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7/30/2019 Prbs Construction
1/13
C o n s t r u c t i o n o f l a r g e f a m i l i e s o f p s e u d o - r a n d o m b i n a r y
s e q u e n c e s
b y
L o u i s G O U B I N
S c h l u m b e r g e r S e m a
3 6 - 3 8 r u e d e l a P r i n c e s s e B P 4 5
F - 7 8 4 3 1 L o u v e c i e n n e s C e d e x - F r a n c e
E - m a i l : L G o u b i n @ s l b . c o m
C h r i s t i a n M A U D U I T
I n s t i t u t d e M a t h e m a t i q u e s d e L u m i n y , U P R 9 0 1 6 C N R S
6 3 A v . d e L u m i n y , C a s e 9 0 7
F - 1 3 2 8 8 M a r s e i l l e C e d e x 9 , F r a n c e
E - m a i l : m a u d u i t @ i m l . u n i v - m r s . f r
a n d
A n d r a s S
A R K
O Z Y
D e p a r t m e n t o f A l g e b r a a n d N u m b e r T h e o r y
E o t v o s L o r a n d U n i v e r s i t y
H - 1 0 5 3 B u d a p e s t , K e c s k e m e t i u . 1 0 - 1 2 , H u n g a r y
E - m a i l : s a r k o z y @ c s . e l t e . h u
R e s e a r c h p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e H u n g a r i a n N a t i o n a l F o u n d a t i o n f o r S c i e n t i c R e s e a r c h , G r a n t
N
T 0 2 9 7 5 9 , a n d M K M f u n d F K F P - 0 1 3 9 / 1 9 9 7 a n d \ B a l a t o n " F r e n c h - H u n g a r i a n e x c h a n g e p r o g r a m
T e T - 1 8 / 0 0 .
1
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A b s t r a c t
I n a s e r i e s o f p a p e r s M a u d u i t a n d S a r k o z y ( p a r t l y w i t h c o a u t h o r s ) s t u d i e d n i t e p s e u d o r a n d o m
b i n a r y s e q u e n c e s . T h e y s h o w e d t h a t t h e L e g e n d r e s y m b o l f o r m s a \ g o o d " p s e u d o r a n d o m s e q u e n c e ,
a n d t h e y a l s o t e s t e d o t h e r s e q u e n c e s f o r p s e u d o r a n d o m n e s s , h o w e v e r , n o l a r g e f a m i l y o f \ g o o d "
p s e u d o r a n d o m s e q u e n c e s h a s b e e n f o u n d y e t .
I n t h i s p a p e r , a l a r g e f a m i l y o f t h i s t y p e i s c o n s t r u c t e d . A g a i n , t h e c o n s t r u c t i o n i s r e l a t e d t o t h e
L e g e n d r e s y m b o l . M o r e o v e r , b y u s i n g e l l i p t i c c u r v e s l a r g e f a m i l i e s o f b i n a r y s e q u e n c e s a r e c o n s t r u c t e d .
I t i s e x p e c t e d t h a t t h e s e s e q u e n c e s f o r m \ g o o d " p s e u d o r a n d o m b i n a r y s e q u e n c e s .
1 9 9 1 M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : 1 1 K 4 5 .
K e y w o r d s : p s e u d o r a n d o m , b i n a r y s e q u e n c e , L e g e n d r e s y m b o l , e l l i p t i c c u r v e s .
1 I n t r o d u c t i o n
I n a s e r i e s o f p a p e r s M a u d u i t a n d S a r k o z y ( p a r t l y w i t h f u r t h e r c o a u t h o r s ) s t u d i e d n i t e p s e u d o r a n d o m
b i n a r y s e q u e n c e s
E
N
= f e
1
e
2
: : : e
N
g 2 f ; 1 + 1 g
N
I n p a r t i c u l a r , i n P a r t I 2 ] r s t t h e y i n t r o d u c e d t h e f o l l o w i n g m e a s u r e s o f p s e u d o r a n d o m n e s s :
W r i t e
U ( E
N
t a b ) =
t ; 1
X
j = 0
e
a + j b
a n d , f o r D = ( d
1
: : : d
k
) w i t h n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s d
1
< : : : < d
k
,
V ( E
N
M D ) =
M
X
n = 1
e
n + d
1
e
n + d
2
: : : e
n + d
k
T h e n t h e w e l l - d i s t r i b u t i o n m e a s u r e o f E
N
i s d e n e d a s
W ( E
N
) = m a x
a b t
U ( E
N
t a b ) = m a x
a b t
t ; 1
X
j = 0
e
a + j b
w h e r e t h e m a x i m u m i s t a k e n o v e r a l l a b t s u c h t h a t a b t 2 I N a n d 1 a a + ( t ; 1 ) b N , w h i l e
t h e c o r r e l a t i o n m e a s u r e o f o r d e r k o f E
N
i s d e n e d a s
C
k
( E
N
) = m a x
M D
V ( E
N
M D ) = m a x
M D
M
X
n = 1
e
n + d
1
e
n + d
2
: : : e
n + d
k
w h e r e t h e m a x i m u m i s t a k e n o v e r a l l D = ( d
1
: : : d
k
) a n d M s u c h t h a t M + d
k
N
T h e n t h e s e q u e n c e E
N
i s c o n s i d e r e d a s a \ g o o d " p s e u d o r a n d o m s e q u e n c e i f b o t h t h e s e m e a s u r e s
W ( E
N
) a n d C
k
( E
N
) ( a t l e a s t f o r s m a l l k ) a r e \ s m a l l " i n t e r m s o f N ( i n p a r t i c u l a r , b o t h a r e o ( N ) a s
N ! 1 )
M o r e o v e r , i t w a s s h o w n i n 2 ] t h a t t h e L e g e n d r e s y m b o l f o r m s a \ g o o d " p s e u d o r a n d o m s e q u e n c e .
M o r e e x a c t l y , l e t p b e a n o d d p r i m e , a n d
( 1 ) N = p ; 1 e
n
=
n
p
E
N
= f e
1
: : : e
N
g
2
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T h e n b y T h e o r e m 1 i n 2 ] w e h a v e
W ( E
N
) p
1 = 2
l o g p N
1 = 2
l o g N
a n d
C
k
( E
N
) k p
1 = 2
l o g p k N
1 = 2
l o g N
S i n c e t h e n n u m e r o u s b i n a r y s e q u e n c e s h a v e b e e n t e s t e d f o r p s e u d o r a n d o m n e s s b u t s t i l l c o n s t r u c -
t i o n ( 1 ) i s t h e b e s t ( s e e a l s o 5 ] f o r a n o t h e r c o n s t r u c t i o n w h i c h i s j u s t a s l i g h t l y w o r s e ) . H o w e v e r , a l l
t h e c o n s t r u c t i o n s g i v e n s o f a r f o r \ g o o d " p s e u d o r a n d o m b i n a r y s e q u e n c e s p r o d u c e o n l y a \ f e w " g o o d
s e q u e n c e s w h i l e i n c e r t a i n a p p l i c a t i o n s ( e . g . , i n c r y p t o g r a p h y ) o n e n e e d s \ l a r g e " f a m i l i e s o f \ g o o d "
p s e u d o r a n d o m b i n a r y s e q u e n c e s .
I n t h i s p a p e r o u r g o a l i s t o c o n s t r u c t l a r g e f a m i l i e s o f t h i s t y p e . W e r e m a r k t h a t o u r r e s u l t s c o u l d
b e e x t e n d e d t o t h e m o r e g e n e r a l c a s e o f s e q u e n c e s o f k s y m b o l s ( s e e 4 ] ) , h o w e v e r , w e p r e f e r t o f o c u s
h e r e o n t h e s l i g h t l y s i m p l e r c a s e k = 2
2 A f u r t h e r c o n s t r u c t i o n r e l a t e d t o t h e L e g e n d r e s y m b o l
I n 3 ] w e e x t e n d e d c o n s t r u c t i o n ( 1 ) b y g e n e r a l i z i n g t h e d e n i t i o n o f e
n
t o
e
n
=
f ( n )
p
w h e r e f ( n ) i s a p e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l o v e r F
p
( = t h e e l d o f t h e m o d u l o p r e s i d u e c l a s s e s ) .
H o w e v e r , v e r y l i t t l e i s k n o w n o n p e r m u t a t i o n p o l y n o m i a l s a n d w e k n o w o n l y v e r y f e w o f t h e m .
N o w w e s h a l l b e a b l e t o u s e a m u c h g r e a t e r f a m i l y o f \ g o o d " p o l y n o m i a l s . B e f o r e d e s c r i b i n g t h e
f a m i l y o f t h e s e p o l y n o m i a l s , w e h a v e t o i n t r o d u c e t w o d e n i t i o n s .
D E F I N I T I O N . 1 I f M 2 I N , A B Z Z ( = r i n g o f t h e m o d u l o m r e s i d u e c l a s s e s ) , a n d A + B
r e p r e s e n t s e v e r y e l e m e n t o f Z Z
m
w i t h e v e n m u l t i p l i c i t y , i . e . , f o r a l l c 2 Z Z
m
,
( 2 ) a + b = c a 2 A b 2 B
h a s e v e n n u m b e r o f s o l u t i o n s ( i n c l u d i n g t h e c a s e w h e n t h e r e a r e n o s o l u t i o n s ) , t h e n t h e s u m A + B i s
s a i d t o h a v e p r o p e r t y P
D E F I N I T I O N . 2 I f k ` m 2 I N a n d k ` m , t h e n ( k ` m ) i s s a i d t o b e a n a d m i s s i b l e t r i p l e i f
t h e r e a r e n o A B Z Z
m
s u c h t h a t A = k B = ` , a n d A + B p o s s e s s e s p r o p e r t y P
T H E O R E M . 1 I f p i s a p r i m e n u m b e r , f ( X ) 2 F
p
X ( F
p
b e i n g t h e e l d o f t h e m o d u l o p r e s i d u e
c l a s s e s ) h a s d e g r e e k ( > 0 ) f ( X ) h a s n o m u l t i p l e z e r o i n F
p
( = t h e a l g e b r a i c c l o s u r e o f F
p
) , a n d t h e
b i n a r y s q u e n c e E
p
= f e
1
: : : e
p
g i s d e n i e d b y
e
n
=
8
>
>
>
:
f ( n )
p
f o r ( f ( n ) p ) = 1
+ 1 f o r p f ( n )
t h e n
( i ) w e h a v e
( 3 ) W ( E
p
)
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4/13
( i i ) i f ` 2 I N i s s u c h t h a t t h e t r i p l e ( r ` p ) i s a d m i s s i b l e f o r a l l r k , t h e n
( 4 ) C
`
( E
p
)
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5/13
( i i ) W r i t e f ( X ) = b f
1
( X ) w i t h b 2 Z Z
p
w h e r e f
1
( X ) i s a u n i t a r y p o l y n o m i a l . F o r a n y i n t e g e r s
d
1
: : : d
`
a n d M 2 I N w i t h
( 8 ) 0 d
1
< : : : < d
`
M + d
`
p
f ( n + d
i
) 0 ( m o d p ) 1 n M 1 i `
h a s a t m o s t k ` s o l u t i o n s . T h u s w r i t i n g a g a i n
0
p
= 0 , w e h a v e
V ( E
p
M D ) =
M
X
n = 1
e
n + d
1
e
n + d
2
: : : e
n + d
`
M
X
n = 1
f ( n + d
1
)
p
f ( n + d
2
)
p
f ( n + d
`
)
p
+ k ` =
=
b
`
p
!
M
X
n = 1
f
1
( n + d
1
) f
1
( n + d
2
) : : : f
1
( n + d
`
)
p
+ k `
W r i t e h ( n ) = f
1
( n + d
1
) f
1
( n + d
2
) : : : f
1
( n + d
`
) . I t s u c e s t o s h o w :
L E M M A 2 . I f f k ` a r e d e n e d a s i n T h e o r e m 1 , t h e n h ( X ) h a s a t l e a s t o n e z e r o i n F
p
w h o s e
m u l t i p l i c i t y i s o d d .
I n d e e d , a s s u m i n g t h a t L e m m a 2 h a s b e e n p r o v e d , t h e p r o o f o f ( 4 ) c a n b e c o m p l e t e d i n t h e f o l l o w i n g
w a y : b y L e m m a 2 , w e m a y a p p l y L e m m a 1 w i t h
n
p
2 a n d h ( X ) i n p l a c e o f d a n d f ( X ) ,
r e s p e c t i v e l y ( s i n c e t h e n ( 5 ) h o l d s w i t h d = 2 ) . T h e d e g r e e o f h ( X ) i s c l e a r l y k ` , t h u s a p p l y i n g L e m m a
1 w e o b t a i n
V ( E
p
t a b )
M
X
n = 1
h ( n )
p
+ k ` 0 t h e r e i s a t l e a s t o n e s u c h g r o u p ) .
S i n c e A + D p o s s e s s e s p r o p e r t y P , t h u s ( r ` p ) ( w i t h r = A ) i s n o t a n a d m i s s i b l e t r i p l e . C l e a r l y
h e r e w e h a v e r d e g f
1
= d e g f = k w h i c h c o n t r a d i c t s o u r a s s u m p t i o n o n ` a n d t h u s , i n d e e d , t h e
c o n c l u s i o n o f L e m m a 2 c a n n o t f a i l , a n d t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .
5
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6/13
3 S u c i e n t c r i t e r i a f o r a d m i s s i b i l i t y .
T o b e a b l e t o u s e T h e o r e m 1 , o n e n e e d s c r i t e r i a f o r a t r i p l e ( k ` p ) b e i n g a d m i s s i b l e .
H e r e w e w i l l p r e s e n t a n d p r o v e t h r e e s u c i e n t c r i t e r i a o f t h i s t y p e :
T H E O R E M . 2
( i ) F o r e v e r y p r i m e p a n d k 2 I N k < p t h e t r i p l e ( k 2 p ) i s a d m i s s i b l e .
( i i ) I f p i s p r i m e , k ` 2 I N a n d
( 9 ) ( 4 ` )
k
< p
t h e n ( k ` p ) i s a d m i s s i b l e .
( i i i ) I f p i s a p r i m e s u c h t h a t 2 i s a p r i m i t i v e r o o t m o d u l o p , t h e n f o r e v e r y p a i r k ` 2 I N w i t h
k < p ` < p , t h e t r i p l e ( k ` p ) i s a d m i s s i b l e .
P R O O F .
( i ) A s s u m e t h a t c o n t r a r y t o t h e a s s e r t i o n , t h e r e i s a p r i m e p a n d a k 2 I N w i t h
( 1 0 ) k < p
s u c h t h a t t h e t r i p l e ( k 2 p ) i s n o t a d m i s s i b l e , i . e . , t h e r e a r e A B Z Z
p
s u c h t h a t A = k B = 2 a n d
( 2 ) h a s e v e n n u m b e r o f s o l u t i o n s f o r a l l c 2 Z Z
p
. W r i t e B = f b b + d g ( w h e r e d 6= 0 ) , a n d a s s u m e t h a t
a 2 A I f a + t d 2 A f o r e v e r y n o n - n e g a t i v e i n t e g e r t , t h e n b y d 6= 0 w e h a v e
Z Z
p
= f a a + d : : : a + ( p ; 1 ) a g A
w h e n c e A = p w h i c h c o n t r a d i c t s ( 1 0 ) a n d A = k . L e t T d e n o t e t h e s m a l l e s t n o n - n e g a t i v e i n t e g e r
w i t h a + T d 62 A t h e n w e h a v e T > 0 b y a = a + 0 d 2 A . N o w w r i t e
( 1 1 ) c = a + b + T d
T h i s c a n b e r e w r i t t e n a s
c = ( a + ( T ; 1 ) d ) + ( b + d )
w h e r e a + ( T ; 1 ) d 2 A ( b y t h e d e n i t i o n o f T ) a n d ( b + d ) 2 B s o t h a t c c a n b e r e p r e s e n t e d i n f o r m
( 2 ) . S i n c e t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s o f ( 2 ) i s e v e n , t h u s c m u s t h a v e a n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n o f f o r m ( 2 ) ,
s a y ,
( 1 2 ) c = a
0
+ b
0
a
0
2 A b
0
2 B
w i t h
( 1 3 ) b
0
6= b + d
I t f o l l o w s f r o m ( 1 2 ) , ( 1 3 ) a n d B = 2 t h a t
( 1 4 ) b
0
= b
T h u s b y ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) w e h a v e
a
0
= a + T d 2 A
w h i c h c o n t r a d i c t s t h e d e n i t i o n o f T , a n d t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .
( i i ) A s s u m e t h a t k ` p s a t i s f y ( 9 ) , a n d w e h a v e A B Z Z
p
A = k B = `
6
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7/13
I t s u c e s t o s h o w t h a t t h e n t h e r e i s a c 2 Z Z
p
f o r w h i c h ( 2 ) h a s e x a c t l y o n e s o l u t i o n . M o r e o v e r ,
i f m 2 I N ( m p ) = 1 , t h e n ( 2 ) a n d
m a + m b = m c a 2 A b 2 B
h a v e t h e s a m e s o l u t i o n s , a n d i f c r u n s o v e r t h e e l e m e n t s o f Z Z
p
, t h e n h e r e c
0
= m c d o e s t h e s a m e .
T h u s i t s u c e s t o s h o w t h a t t h e r e a r e m 2 I N c
0
2 Z Z
p
s u c h t h a t ( m p ) = 1 , a n d
( 1 5 ) m a + m b = c
0
a 2 A b 2 B
h a s e x a c t l y o n e s o l u t i o n .
F o r a 2 Z Z , l e t r ( a ) d e n o t e t h e a b s o l u t e l e a s t r e s i d u e o f a m o d u l o p , i . e . , d e n i e r ( a ) 2 Z Z b y
r ( a ) a ( m o d p ) r ( a )
p ; 1
2
W e n e e d
L E M M A 3 . I f k ` p A a r e d e n e d a s a b o v e , a n d t h e r e s i d u e c l a s s e s i n A a r e r e p r e s e n t e d b y
a
1
: : : a
k
, t h e n t h e r e i s a n m 2 I N s u c h t h a t ( m p ) = 1 a n d
( 1 6 ) r ( m a
i
)
1
2
p
`
f o r i = 1 2 : : : k :
P R O O F O F L E M M A 3 . C o n s i d e r t h e p k t u p l e s
( 1 7 ) u
j
= ( r ( j a
1
) : : : r ( j a
k
) ) j = 1 2 : : : p
W r i t e =
1
2
p
`
+ 1 a n d Z =
p
D
+ 1 . T h e n D Z > p , t h u s f o r e a c h o f t h e k t r i p l e s i n ( 1 7 ) , t h e r e
a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s t
1
= t
1
( j ) : : : t
k
= t
k
( j ) s u c h t h a t
r ( j a
i
) 2
;
p ; 1
2
+ t
i
D ;
p ; 1
2
+ t
i
D + 1 : : : ;
p ; 1
2
+ ( t
i
+ 1 ) D ; 1
f o r i = 1 2 : : : k
a n d f o r t h e s e i n t e g e r s t
i
c l e a r l y w e h a v e
( 1 8 ) t
i
2 f 0 1 : : : Z ; 1 g f o r i = 1 2 : : : k :
T h e n u m b e r o f t h e p o s s i b l e k t u p l e s t
1
: : : t
k
w i t h ( 1 8 ) i s , b y ( 9 ) ,
Z
k
=
p
D
+ 1
k
7/30/2019 Prbs Construction
8/13
T h e n i t f o l l o w s f r o m ( 2 0 ) t h a t
r ( m a
i
) = r ( ( j
1
; j
2
) a
i
) r ( j
1
a
i
) ; r ( j
2
a
i
) < D f o r i = 1 2 : : : k
w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f o f L e m m a 3 .
I n o r d e r t o c o m p l e t e t h e p r o o f o f a s s e r t i o n ( i i ) , c o n s i d e r a n i n t e g e r m s a t i s f y i n g ( m p ) = 1 a n d
( 1 6 ) i n L e m m a 3 , a n d d e n o t e t h e r e p r e s e n t a t i v e s o f t h e r e s i d u e c l a s s e s i n B b y b
1
: : : b
`
. N o w w e
r e p r e s e n t t h e e l e m e n t s o f Z Z
p
o n a c i r c l e , m o r e e x a c t l y , a s s i g n t h e c o n s e c u t i v e v e r t i c e s Q ( 1 ) : : : Q ( p )
o f a r e g u l a r p - g o n t o t h e c o n s e d u t i v e r e s i d u e c l a s s e s 1 2 : : : p
C o n s i d e r t h e v e r t i c e s Q ( m b
1
) : : : Q ( m b
`
) a n d c o n s i d e r a p a i r Q ( m b
i
) Q ( m b
j
) o f v e r t i c e s s u c h
t h a t , m o v i n g o n t h e c i r c l e i n p o s i t i v e d i r e c t i o n , t h e r e i s n o f u r t h e r v e r t e x Q ( m b
X
) b e t w e e n t h e m ,
m o r e o v e r , t h i s i s t h e p a i r o f c o n s e c u t i v e v e r t i c e s w i t h t h e m a x i m a l d i s t a n c e b e t w e e n t h e m . W e m a y
a s s u m e t h a t m o v i n g i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n Q ( m b
i
) c o m e s r s t , f o l l o w e d b y Q ( m b
j
) ( w i t h n o Q ( m b
x
)
b e t w e e n ) . I n o t h e r w o r d s ,
m b
x
62 f m b
i
+ 1 m b
i
+ 2 : : : m b
j
; 1 g f o r x = 1 2 : : : `
( i n Z Z
p
s e n s e , i . e . , m o d u l o p ) . A s t r a i g h t f o r w a r d a p p l i c a t i o n o f t h e p i g e o n h o l e p r i n c i p l e g i v e s t h a t t h e
m a x i m a l m o d u l o p d i s t a n c e b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e m b
0
x
s , i . e . , t h e d i s t a n c e b e t w e e n m b
i
a n d m b
j
i s
a t l e a s t p = ` ] + 1 ( n o t e t h a t p = ` i s n o t i n t e g e r ) .
C o n s i d e r t h e n u m b e r s r ( m a
1
) : : : r ( m a
k
) , a n d r e o r d e r t h e m a c c o r d i n g t o t h e i r s i z e , d e n o t e t h e
n u m b e r s o b t a i n e d i n t h i s w a y b y r
1
: : : r
k
s o t h a t , b y ( 1 6 ) ,
;
1
2
p
`
r
1
< : : : < r
k
1
2
p
`
B y ( 1 6 ) w e h a v e
( 2 1 ) ( m b
j
+ r
1
) ; ( m b
i
+ r
k
) = ( m b
j
; m b
i
) + r
1
; r
k
p
`
+ 1
;
1
2
p
`
;
1
2
p
`
= 1 > 0
I f u v a r e d e n e d b y r ( m a
u
) = r
1
a n d r ( m a
v
) = r
k
, t h e n i t f o l l o w s e a s i l y f r o m ( 1 6 ) a n d ( 2 1 ) t h a t
t h e n u m b e r s
m b
i
+ r
k
= m b
i
+ m a
v
a n d
m b
j
+ r
1
= m b
j
+ m a
u
d o n o t h a v e a n y f u r t h e r r e p r e s e n t a t i o n s i n f o r m ( 1 5 ) w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f .
( i i i ) F r o m p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w t h i s i s , p e r h a p s , t h e m o s t i m p o r t a n t o f t h e t h r e e c r i t e r i a . N a m e l y ,
t h i s c r i t e r i o n e n a b l e s u s t o c o n t r o l e v e n c o r r e l a t i o n s o f v e r y h i g h o r d e r p r o v i d e d t h a t t h e r e a r e \ m a n y "
p r i m e s p s u c h t h a t 2 i s a p r i m i t i v e r o o t m o d u l o p
U n f o r t u n a t e l y , i t i s n o t k n o w n y e t t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p r i m e s w i t h t h i s p r o p e r t y
h o w e v e r , i t i s c o n j e c t u r e d t h a t a p o s i t i v e p r o p o r t i o n o f t h e p r i m e s i s o f t h i s t y p e . P a r t l y b e c a u s e o f
t h e i m p o r t a n c e o f t h i s c r i t e r i o n , p a r t l y i n o r d e r t o h e l p t o u n d e r s t a n d t h e n o t i o n o f a d m i s s a b i l i t y a n d
t h e r e l a t e d d i c u l t i e s b e t t e r , w e w i l l g i v e a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h i s c a s e i n t h e n e x t s e c t i o n . T h i s
d i s c u s s i o n w i l l l e a d n o t o n l y t o t h e p r o o f o f c r i t e r i o n ( i i i ) , b u t i t w i l l a l s o p r o v i d e n e g a t i v e e x a m p l e s .
4 A d m i s s i b i l i t y , \ g o o d " p r i m e s . N e g a t i v e e x a m p l e s .
D E F I N I T I O N 3 . A p o s i t i v e i n t e g e r m i s s a i d t o b e g o o d i f f o r a n y p a i r k ` 2 I N w i t h k < m ` < m ,
t h e t r i p l e ( k ` m ) i s a d m i s s i b l e .
T H E O R E M 3 . A n o d d p r i m e p i s g o o d i f a n d o n l y i f 2 i s a p r i m i t i v e r o o t m o d u l o p
8
7/30/2019 Prbs Construction
9/13
P R O O F O F T H E O R E M 3 . F o r a n y C Z Z
p
l e t u s c o n s i d e r t h e p o l y n o m i a l P
C
( X ) 2 F
2
X
d e n e d b y P
C
( X ) =
X
c 2 C
X
s ( c )
w h e r e s ( c ) d e n o t e s t h e l e a s t n o n n e g a t i v e e l e m e n t o f t h e r e s i d u e c l a s s c
m o d u l o p
W e r e m a r k t h a t f o r a n y u 2 Z Z
p
, t h e p o l y n o m i a l P
u + C
( X ) i s e q u a l t o t h e r e s i d u e o f X
u
P
C
( X )
m o d u l o ( 1 + X
p
) i n F
2
X
I t f o l l o w s f r o m t h i s r e m a r k t h a t f o r a n y A B Z Z
p
, t h e s u m A + B h a s p r o p e r t y P i f a n d o n l y i f
( 1 + X
p
) d i v i d e s P
A
( X ) P
B
( X ) i n F
2
X
I f 1 + X + + X
p ; 1
i s r e d u c i b l e i n F
2
X ] , l e t u s w r i t e 1 + X + + X
p ; 1
= P
1
( X ) P
2
( X ) w i t h
2 d e g P
i
p ; 3 f o r i 2 f 1 2 g ( p o l y n o m i a l s o f d e g r e e 1 d o n o t d i v i d e 1 + X + + X
p ; 1
i n F
2
X )
I f w e d e n e A a n d B b y P
1
( X ) =
X
a 2 A
X
s ( a )
a n d ( 1 + X ) P
2
( X ) =
X
b 2 B
X
s ( b )
, w e s e e t h a t t h e s u m
A + B h a s p r o p e r t y P , s o t h a t p i s n o t a g o o d p r i m e .
C o n v e r s e l y i f 1 + X + + X
p ; 1
i s i r r e d u c i b l e i n F
2
X ] , f o r a n y A B Z Z
p
s u c h t h a t A + B h a s
p r o p e r t y P , t h e p o l y n o m i a l 1 + X + + X
p ; 1
m u s t d i v i d e P
A
( X ) o r P
B
( X ) i n F
2
X ] , w h i c h i m p l i e s
A = Z Z
p
o r B = Z Z
p
, s o t h a t p i s a g o o d p r i m e .
T h u s w e h a v e p r o v e d t h a t a p r i m e p i s g o o d i f a n d o n l y i f t h e p o l y n o m i a l 1 + X + + X
p ; 1
i s
i r r e d u c i b l e i n F
2
X
I t f o l l o w s f r o m a w e l l k n o w n r e s u l t c o n c e r n i n g c y c l o t o m i c p o l y n o m i a l s ( s e e f o r e x a m p l e 1 , T h e o r e m
2 . 4 7 , p a g e 6 5 ] ) t h a t t h e p o l y n o m i a l 1 + X + + X
p ; 1
f a c t o r s i n t o
p ; 1
d
d i s t i n c t i r r e d u c i b l e p o l y n o m i a l s
o f t h e s a m e d e g r e e d i n F
2
X ] , w h e r e d i s t h e l e a s t p o s i t i v e i n t e g e r s u c h t h a t 2
d
1 m o d p . I n p a r t i c u l a r ,
t h i s s h o w s t h a t t h e p o l y n o m i a l 1 + X + + X
p ; 1
i s i r r e d u c i b l e i n F
2
X ] i f a n d o n l y i f 2 i s a p r i m i t i v e
r o o t m o d u l o p , w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e o r e m 3 .
R E M A R K T h e s a m e m e t h o d s h o w s t h a t a n i n t e g e r m i s g o o d i f o n l y i f m = 4 p
k
o r 2 p
k
, w h e r e p
i s a n o d d p r i m e , k 0 a n d 2 i s a p r i m i t i v e r o o t m o d u l o m ( s e e 1 , p a g e 7 ] ) .
I f p i s n o t a g o o d p r i m e , t h e n t h i s m e t h o d p r o v i d e s m a n y e x a m p l e s o f A B Z Z
p
s u c h t h a t A + B
h a s p r o p e r t y P , i . e . , o f p a i r s k ` 2 I N s u c h t h a t ( k ` p ) i s n o t a d m i s s i b l e .
E X A M P L E 1 . I f p = 7 , t h e n t h e f a c t o r i z a t i o n o f 1 + X
7
i n F
2
X ] a s ( 1 + X + X
3
) ( 1 + X + X
2
+ X
4
)
s h o w s t h a t i f A = f 0 1 3 g a n d B = f 0 1 2 4 g , t h e n A + B h a s p r o p e r t y P . I t f o l l o w s t h a t ( 3 , 4 , 7 )
a n d ( 4 , 3 , 7 ) a r e n o t a d m i s s i b l e .
F o r p = 7 , i t i s a c t u a l l y e a s y t o n d a l l A B Z Z
7
s u c h t h a t A + B h a s p r o p e r t y P . T h e p r o b l e m i s
e q u i v a l e n t t o n d a l l p o l y n o m i a l s P
A
a n d P
B
o f d e g r e e l e s s t h a n 7 i n F
2
X ] s u c h t h a t P
A
( X ) P
B
( X ) i s
a m u l t i p l e o f t h e p r o d u c t o f t h e t h r e e i r r e d u c i b l e p o l y n o m i a l s ( 1 + X ) ( 1 + X + X
3
) a n d ( 1 + X
2
+ X
3
)
i n F
2
X
F o r e x a m p l e , t h e f a c t o r i z a t i o n o f ( 1 + X + X
2
+ X
3
) ( 1 + X
7
) i n F
2
X ] a s ( 1 + X
3
+ X
5
+ X
6
) ( 1 +
X + X
2
+ X
4
) s h o w s t h a t i f A = f 0 3 5 6 g a n d B = f 0 1 2 4 g , t h e n A + B h a s p r o p e r t y P . M o r e o v e r
a l i t t l e c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t ( 3 , 4 , 7 ) , ( 4 , 3 , 7 ) a n d ( 4 , 4 , 7 ) a r e t h e o n l y n o n - a d m i s s i b l e t r i p l e f o r p = 7
E X A M P L E 2 . I f p = 1 7 , t h e n t h e f a c t o r i z a t i o n o f 1 + X
1 7
i n F
2
X ] a s ( 1 + X + X
3
+ X
6
+ X
8
+
X
9
) ( 1 + X + X
2
+ X
4
+ X
6
+ X
7
+ X
8
) s h o w s t h a t i f A = f 0 1 3 6 8 9 g a n d B = f 0 1 2 4 6 7 8 g ,
t h e n A + B h a s p r o p e r t y P
9
7/30/2019 Prbs Construction
10/13
I n t h e s a m e w a y , t h e f a c t o r i z a t i o n o f 1 + X
1 7
i n F
2
X ] a s ( 1 + X
3
+ X
4
+ X
5
+ X
8
) ( 1 + X
3
+ X
4
+
X
5
+ X
6
+ X
9
) s h o w s t h a t i f A = f 0 3 4 5 8 g a n d B = f 0 3 4 5 6 9 ) , t h e n A + B h a s p r o p e r t y P
I t f o l l o w s t h a t ( 6 , 7 , 1 7 ) , ( 7 , 6 , 1 7 ) , ( 5 , 6 , 1 7 ) a n d ( 6 , 5 , 1 7 ) a r e n o t a d m i s s i b l e .
E X A M P L E 3 . I f p = 3 1 , t h e n t h e f a c t o r i z a t i o n o f 1 + X
3 1
i n F
2
X ] a s ( 1 + X
2
+ X
5
) ( 1 + X
2
+
X
4
+ X
5
+ X
6
+ X
8
+ X
9
+ X
1 3
+ X
1 4
+ X
1 5
+ X
1 6
+ X
1 7
+ X
2 0
+ X
2 1
+ X
2 3
+ X
2 6
) s h o w s t h a t i f
A = f 0 2 5 g a n d B = f 0 2 4 5 6 8 9 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 2 0 2 1 2 3 2 6 g t h e n A + B h a s p r o p e r t y P I t
f o l l o w s t h a t ( 3 , 1 6 , 3 1 ) a n d ( 1 6 , 3 , 3 1 ) a r e n o t a d m i s s i b l e .
5 C o n s e q u e n c e s , t h e a l g o r i t h m .
C o m b i n i n g T h e o r e m 1 a n d ( i ) i n T h e o r e m 2 w e o b t a i n .
C O R O L L A R Y 1 . I f p f k E
p
a r e d e n e d a s i n T h e o r e m 1 , t h e n w e h a v e
( 2 2 ) W ( E
p
)
7/30/2019 Prbs Construction
11/13
w h e r e a n y c o e c i e n t s a
i
c a n b e c h o s e n w i t h
( 2 7 ) a
i
2 Z Z
p
f o r i = 0 1 : : : t ; 1 a n d a
t
2 Z Z
p
n 0
L e t d ( X ) d e n o t e t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f t h e p o l y n o m i a l s g ( X ) a n d g
0
( X ) , a n d c o m p u t e
( 2 8 ) f ( X ) =
g ( X )
d ( X )
=
g ( X )
( g ( X ) g
0
( X ) )
T h e n c o m p u t i n g t h e s e q u e n c e E
p
d e n e d a s i n T h e o r e m 1 , w e o b t a i n a \ g o o d " p s e u d o r a n d o m
s e q u e n c e E
p
I n d e e d , i t f o l l o w s f r o m ( 2 8 ) t h a t f ( X ) h a s n o m u l t i p l e z e r o s . T h e d e g r e e o f f ( X ) i s
d e g f ( X ) d e g g ( X ) = k
M o r e o v e r , b y ( 2 4 ) a n d ( 2 5 ) , f o r a l l ` L w e h a v e
` L
p
2
o
1 1
7/30/2019 Prbs Construction
12/13
C o n s t r u c t i o n 2 :
A =
n
n : 1 n N ; 1 x
i
>
p
2
o
C o n s t r u c t i o n 3 :
A =
n
n : 1 n N ; 1 y
i
i s e v e n
o
C o n s t r u c t i o n 4 :
A =
n
n : 1 n N ; 1 x
i
i s e v e n
o
C o n s t r u c t i o n 5 :
A =
n
n : 1 n N ; 1 x
i
< y
i
o
T h e n d e n e E
N
= f e
1
: : : e
N ; 1
g b y
e
n
=
+ 1 i f n 2 A
; 1 i f n 62 A
W e e x p e c t t h a t f o r a l l E , g , a l l t h e s e c o n s t r u c t i o n s d e n e \ g o o d " p s e u d o r a n d o m s e q u e n c e s . U n -
f o r t u n a t e l y , i t s e e m s v e r y , p e r h a p s h o p e l e s s l y , d i c u l t t o p r o v e t h i s . T h u s i n o r d e r t o s u p p o r t t h i s
c o n j e c t u r e , t h e b e s t w e c o u l d d o w a s t o g a t h e r c o m p u t e r e v i d e n c e s . W e c o n s i d e r e d t h r e e ( p E g )
t r i p l e t s :
# p E g N
1 9 9 7 y
2
= x
3
+ 7 2 4 x
2
+ 3 2 4 x + 9 8 0 ( 7 8 9 2 8 ) 9 5 8
2 1 9 9 7 y
2
= x
3
+ 9 1 0 x
2
+ 1 9 3 3 x + 1 1 6 5 ( 3 8 9 3 5 4 ) 2 0 3 1
3 2 7 9 7 y
2
= x
3
+ 1 3 4 6 x + 3 5 1 ( 2 4 0 1 1 6 8 7 ) 2 7 3 6
F o r e a c h o f t h e s e t r i p l e t s , a n d f o r c o n s t r u c t i o n s 1 , 2 , 3 , 4 a n d 5 , w e c a l c u l a t e d b o t h W ( E
N
) a n d
C
2
( E
N
) . W e o b t a i n e d :
T h e t r i p l e t ( p E g ) T y p e o f c o n s t r u c t i o n N W ( E
N
) C
2
( E
N
)
1 1 9 5 8 3 9 1 2 6
1 2 9 5 8 4 1 1 2 6
1 3 9 5 8 2 8 1 1 1
1 4 9 5 8 9 3 1 4 1
1 5 9 5 8 4 7 9 0
2 1 2 0 3 1 5 5 1 8 6
2 2 2 0 3 1 8 2 2 1 4
2 3 2 0 3 1 4 6 2 0 4
2 4 2 0 3 1 5 0 2 3 2
2 5 2 0 3 1 4 0 1 7 5
3 1 2 7 3 6 8 3 2 4 1
3 2 2 7 3 6 6 7 2 2 8
3 3 2 7 3 6 6 0 2 5 9
3 4 2 7 3 6 1 4 5 2 5 5
3 5 2 7 3 6 7 8 1 8 3
1 2
7/30/2019 Prbs Construction
13/13
R E F E R E N C E S
1 ] R . L i d l a n d H . N i e d e r r e i t e r , F i n i t e F i e l d s , E n c y c l o p e d i a o f M a t h . A p p l . , V o l . 2 0 , A d d i s o n - W e s l e y ,
R e a d i n g , M A , 1 9 8 3 .
2 ] C . M a u d u i t a n d A . S a r k o z y , O n n i t e p s e u d o r a n d o m b i n a r y s e q u e n c e s I : M e a s u r e o f p s e u d o r a n -
d o m n e s s , t h e L e g e n d r e s y m b o l , A c t a A r i t h . 8 2 ( 1 9 9 7 ) , 3 6 5 - 3 7 7 .
3 ] C . M a u d u i t a n d A . S a r k o z y , O n n i t e p s e u d o r a n d o m b i n a r y s e q u e n c e s I I : T h e C h a m p e r n o w n e ,
R u d i n - S h a p i r o , a n d T h u e - M o r s e s e q u e n c e s . A f u r t h e r c o n s t r u c t i o n , J . N u m b e r T h e o r y 7 3 ( 1 9 9 8 ) ,
2 5 6 - 2 7 6 .
4 ] C . M a u d u i t a n d A . S a r k o z y , O n n i t e p s e u d o r a n d o m b i n a r y s e q u e n c e s o f k s y m b o l s , I n d a g a t i o n e s
M a t h e m a t i c a e , t o a p p e a r .
5 ] A . S a r k o z y , A n i t e p s e u d o r a n d o m b i n a r y s e q u e n c e , S t u d i a S c i . M a t h . H u n g a r . 3 8 ( 2 0 0 1 ) ,
3 7 7 - 3 8 4 .
6 ] W . S c h m i d t , E q u a t i o n s o v e r F i n i t e F i e l d s . A n E l e m e n t a r y A p p r o a c h , L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 5 3 6 ,
S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 7 6 .
7 ] A . W e i l , S u r l e s c o u r b e s a l g e b r i q u e s e t l e s v a r i e t e s q u i s ' e n d e d u i s e n t , A c t . S c i . I n d . 1 0 4 1 ,
H e r m a n n , P a r i s , 1 9 4 8 .
1 3
