Presentation given by Francesco for is degree

RELATORE: PHD PROF. RICCARDO RIGON CORRELATORI: PHD EMANUELE CORDANO, PHD GIUSEPPE FORMETTA

Patterns for the application of modern informatics to the integration of PDEs:the case of the Boussinesq Equation

Tesi magistrale in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio

Francesco Serafin | 21 luglio 2014

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und

nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

www.kit.edu

http://www.kit.edu

Motivazioni

I modelli matematici ricoprono un ruolo fondamentale in molti campisia dell’ingegneria sia in ambiti scientifici come fisica, economia, ecc.Sono in continua evoluzione:

1. nuovi metodi numerici vengono sviluppati per risolvere PDEs;2. sviluppo hardware permette di ridurre i tempi computazionali.

Codice "dinamico"

Il codice in cui vengono scritti i modelli matematici deve essere"dinamico" ed essere facilmente sviluppabile, modificabile,debuggabile e mantenibile (Formetta et al. [5])

Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica

Francesco Serafin – The application of modern informatics to the integration of PDEs 21 luglio 2014 2/34

Motivazioni

Obiettivo della tesi

Progettare una infrastruttura informatica che ospiti un codice astratto perimplementare ogni tipo di modello matematico descritto da PDEs



Indice

1. Un ambiente moderno per il calcolo scientifico

2. L’equazione di Boussinesq per le acqua sotterranee

3. Implementazione del software

4. Confronto con la soluzione analitica





Un ambiente moderno per il calcolo scientifico

Strumenti Informatici

Per massimizzare produttività ed efficienza in team work, sono necessari:

Version Control System

IDE (Integrated Development Environment)

UML: per applicare i principi dell’ingegneriadel software

1. progettazione del software2. sviluppo del software3. manutenzione del software4. test del software



Programmazione Orientata agli Oggetti

Tutti i linguaggi di programmazione forniscono una sorta diastrazione dalla realtà, OOP può essere visto come una sorta di“Crescendo di Astrazione” (Eckel [4])

Linea dell’astrazione Proprietà dell’OO

Ereditarietà

Incapsulamento

Polimorfismo

Linguaggio Orientato agli Oggetti: Java

Modeling Framework: OMS3 (Formetta [6])



Programmazione Orientata agli Oggetti

Tutti i linguaggi di programmazione forniscono una sorta diastrazione dalla realtà, OOP può essere visto come una sorta di“Crescendo di Astrazione” (Eckel [4])

Linea dell’astrazione Proprietà dell’OO

Ereditarietà

Incapsulamento

Polimorfismo

Linguaggio Orientato agli Oggetti: Java

Modeling Framework: OMS3 (Formetta [6])





L’equazione di Boussinesq per le acque sotterranee

L’equazione di Boussinesq

Forma conservativa delle BEq implementata (Cordano and Rigon [3],Brugnano e Casulli [1] e Casulli [2]):

∂hw (η, x , y)∂t

= ∇ ·[KS(x , y , z)h(η, x , y)~∇η

]+ Q(x , y) (1)

hw : volume d’acqua totale accumulato inuna colonna di suolo per unità d’area;

ks: conducibilità idraulica satura;

h: spessore dell’acquifero;

η: carico piezometrico incognito(quota della falda freatica);

Q: termine sorgente per unità d’area;



Schema conservativo per la massa

L’equazione di Boussinesq non lineare parabolica è stata discretizzata:

1. nello spazio, considerando una mesh non strutturata

2. nel tempo, con un metodo semi-implicito

L’equazione discretizzata (1) è riscritta con notazione indiciale:

Vi(ηn+1i ) +

Np∑i=1

Tijηn+1j = bi . (2)

Per risolvere il sistema lineare, Brugnano e Casulli [1] hanno proposto unmetodo numerico rigoroso che simula la presenza di celle asciutte ebagnate senza l’introduzione di condizioni ad hoc all’interno dello schemaiterativo.





Implementazione del software


Due sotto-problemi (implementazione guidata):

1. definire opportunamente la mesh

2. risolvere l’equazione differenziale (con la BEq come esempioapplicativo)







Classe Astrattaè una classe che contiene metodi astratti. Non può essere instanziatadirettamente e può presentare una implementazione incompleta o addiritturaassente.

InterfaccePermette allo sviluppatore di definire come si determinano metodi, nomi, listadegli argomenti e variabili di ritorno di una classe, ma senza implementare ilcorpo dei metodi.







Step evolutivi per la realizzazione della struttura orientata aglioggetti

1. struttura base di analisi del problema

2. riempire la struttura base per ottenere una gerarchia di classi completa

Implementazione del codice

Questo è l’ultimo step, ma è al di fuori della fase di progettazione.



Griglia per metodi numerici1. Struttura base

MESH forNUMERICAL

METHOD

Structured mesh Unstructured mesh

AdjacencyMatrix Based

NeighbourMatrices Based

Column com-pressedformat

Row com-pressedformat

Triplet format

Griglia per metodi numerici2. Gerarchia di classi



Problema fisicoPHYSICAL PROBLEMS

ODEPDEDifferential Equation

Time coordinatedependence

TIME DERIVATIVEINDEPENDENT(static resolution)

ELLIPTIC∇ · D~∇u = f

TIME DERIVATI-VE DEPENDENT

(dynamic resolution)

HYPERBOLICαutt = ∇ · D~∇u

PARABOLICαut = ∇·D~∇u+ f

Type of PDE

Equation Linearity Linear Non linear

Type of Mesh Unstructured MeshStructured Mesh

Numerical Method Finite Difference Finite Volume Finite Element

Time dependentapproach

Explicit method Semi-implicitmethod

Implicit method

Compressionformat of Matrix

Dense formatRow Compressed

formatColumn

Compressed formatTriplet format





Confronto con la solutione analitica[8]

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0 25 50 75

Domain [m]

Pie

zom

etr

ic H

ead [m

]

simulationTimeStep

0360.txt

0900.txt

1800.txt

3600.txt

song.txt

Comparison between Song and Boussinesq solution

Simulation time: 10 days − KS = 0.001 m s−1, s = 0.4





Conclusioni

Conclusioni

1. Un ambiente moderno per il calcolo scientifico

2. L’equazione di Boussinesq per le acqua sotterranee

3. Implementazione del software

4. Confronto con la soluzione analitica





Grazie per l’attenzione



BibliografiaLuigi Brugnano and Vincenzo Casulli.

Iterative solution of piecewise linear systems.SIAM Journal on Scientific Computing, 30(1):463–472, 2008.

Vincenzo Casulli.

A high-resolution wetting and drying algorithm for free-surface hydrodynamics.International Journal for Numerical Methods in Fluids, 60(4):391–408, 2009.

E Cordano and R Rigon.

A mass-conservative method for the integration of the two-dimensional groundwater (boussinesq) equation.Water Resources Research, 49(2):1058–1078, 2013.

Bruce Eckel.Thinking in JAVA.Prentice Hall Professional, 2003.

G Formetta, A Antonello, S Franceschi, O David, and R Rigon.

Hydrological modelling with components: A gis-based open-source framework.Environmental Modelling & Software, 55:190–200, 2014.

Giuseppe Formetta.

Hydrological modelling with components: the OMS3 NewAge-JGrass system.PhD thesis, University of Trento, 2013.

Jonathan R Shewchuk.An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain.Technical report, Pittsburgh, PA, USA, 1994.

Zhi-yao Song, Ling Li, and Lockington David.Note on barenblatt power series solution to boussinesq equation.Applied Mathematics and Mechanics, 28(6):823–828, 2007.Ambiente moderno per il Calcolo Scientifico L’equazione di Boussinesq Implementazione del software Confronto con la soluzione analitica


PDE non lineare parabolica, metodosemi-implicito ai volumi finiti

Algorithm 1: Algoritmo per l’implementazione di una PDE non lineareparabolica risolta con un metodo ai volumi finiti semi implicito

Input: initial conditionsOutput: solution to the physical problem

1 for time = 0 to endTime do

2 building of the PDE terms

3 while newton iteration convergence do

4 building of the linear system5 solve the linear system

6 end7 end










6 end7 end



Costruzione dei termini della PDEConsiderando la forma generale della PDE parabolica

αut = ∇ · D~∇u + f , → MUn+1 + T nUn+1 = bn. (3)



Costruzione dei termini della PDEConsiderando la forma generale della PDE parabolica

αut = ∇ · D~∇u + f , → MUn+1 + T nUn+1 = bn. (3)

1 public abstract class AbstractPdeTerm {23 /**4 * this variable is true if the abstract class is implemented for5 * a matrix , otherwise it has to be false6 */7 public boolean matrix;89 /**

10 * this method has to be implemented if the derived class11 * is for an array term12 */13 public abstract double computeArrayTerm(double [] u,14 AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh , int polygonIndex );1516 /**17 * this method has to be implemented if the derived class18 * is for a matrix term19 */20 public abstract double computeMatrixTerm(double [] u,21 AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh , int polygonIndex , int sideIndex );2223 }



Costruzione dei termini della PDE

30 public double [] assemblePdeTerm(double [] u, AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh ,31 AbstractPdeTerm pdeTerm ){3233 double [] term;3435 if (term.matrix ){36 term = assembleMatrix(u, mesh , pdeTerm );37 } else {38 term = assemblyArray(u, mesh , pdeTerm );39 }4041 return term;4243 }4445 /**46 * this method has to be implemented if the derived class is47 * for an array term48 */49 public abstract void temporalLoop(mesh);5051 }



Costruzione dei termini della PDE1 public abstract class AbstractPde {23 public double [] assembleArray(double [] u, AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh ,4 AbstractPdeTerm pdeTerm ){56 double [] term = new double[mesh.polygonsNumber ];78 for (int i = 0; i < mesh.polygonsNumber; i++){9 term[j] = pdeTerm.computeArrayTerm(u, mesh , i, j);

10 }1112 return term;1314 }1516 public double [] assembleMatrix(double [] u, AbstractRCAdjacencyMatrixBased mesh ,17 AbstractPdeTerm pdeTerm ){1819 double [] term = new double[mesh.Ml.length ];2021 for (int i = 0; i < mesh.polygonsNumber; i++){22 for (int j = mesh.Mp[i]; j < mesh.Mp[i + 1]; j++){23 term[j] = pdeTerm.computeMatrixTerm(u, mesh , i, j);24 }25 }2627 return term;2829 }










6 end7 end



Costruzione del sistema lineare

Una struttura astratta per costruire la matrice A e il vettore b del sistemalineare Ax = b è complesso, in quanto assemblare questi termini dipendedal tipo di equazione risolta.




Una struttura astratta per costruire la matrice A e il vettore b del sistemalineare Ax = b è complesso, in quanto assemblare questi termini dipendedal tipo di equazione risolta.

Matrici Sparse

Grazie all’utilizzo del row compressed format, l’intero codice è basato suvettori 1D, per cui gli argomenti di un generico metodo sono vettori.













6 end7 end



Risoluzione del sistema lineare

Per la risoluzione del sistema lineare sono stati usati:

Gradiente Coniugato [7]

precondizionatore per ridurre il tempo di convergenza

Entrambi, implementati nelle Parallel Colt, funzionano in parallelo.



Precondizionatore

Tecniche di precondizionamento

Le tecniche di precondizionamento riducono il numero di iterazionirichieste per la convergenza del metodo di risoluzione iterativo delgradiente coniugato.

Un sistema precondizionato è:

C−1Ax = C−1b (4)

dove C è una matrice non singolare chiamata precondizionatore.



Precondizionatore

Caratteristiche del precondizionatore C

C tale per cui C−1A è essere prossimo alla matrice identitàil precondizionatore deve essere computazionalmente economicoin termini di

memoriavelocità di calcolo



0360.txt 0900.txt

1800.txt 3600.txt

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0 25 50 75 0 25 50 75

0 25 50 75 0 25 50 75

Domain [m]

Pie

zom

etr

ic H

ead [m

]





0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0 10 20 30 40

Domain [m]

Pie

zom

etr

ic H

ead [m

]

simulationTimeStep

0360.txt

0900.txt

1800.txt

3600.txt

song.txt





0360.txt 0900.txt

1800.txt 3600.txt

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.00

0.25

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1.00

0.00

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0.00

0.25

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1.00

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

Domain [m]

Pie

zom

etr

ic H

ead [m

]





0.0

0.1

0.2

0.3

0e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05

Time [s]

Lin

f−norm

[−

]

SimulationType

TIME STEP 0.01

TIME STEP 0.1

TIME STEP 1

Maximum norm between analytical and numerical solution

Error computed like maximum norm in nondimensional simulations



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