of 21
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
1/21
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
2/21
Cuprins
GEOMETRIE1. Vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Segmente orientate. Vectori n plan . . . . . . . 11.2. Operaii cu vectori . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Vectori coliniari . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Vectori de poziie . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Drepte paralele, concurente. Colinearitate . . . 101.6. Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Geometrie analitic . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Elementele trigonometriei . . . . . . . . . . . 273.2. Ecuaii trigonometrice . . . . . . . . . . . . . 333.3. Aplicaii ale trigonometriei n geometrie . . . . 39
ANALIZ MATEMATIC1. Numere reale, mulimi reale . . . . . . . . . . . . . 432. iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1. iruri reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Operaii cu iruri reale . . . . . . . . . . . . . 482.3. Inegaliti i limite . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Convergen, monotonie, mrginire . . . . . . 522.5. Subiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.6. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . 552.7. Aplicaii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3. Limite de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1. Limita unei funcii . . . . . . . . . . . . . . . 583.2. Operaii cu limite de funcii . . . . . . . . . . . 613.3. Proprietile limitelor de funcii . . . . . . . . 623.4. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Funcii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1. Continuitatea funciilor . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Operaii cu funcii continue . . . . . . . . . . . 704.3. Continuitate i proprietatea lui Darboux . . . . 71
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
3/21
5. Funcii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1. Definiia derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Interpretarea geometric a derivatei . . . . . . 765.3. Operaii cu funcii derivabile . . . . . . . . . . 77
5.4. Derivatele funciilor elementare . . . . . . . . 795.5. Deriatele funciilor compuse . . . . . . . . . . 805.6. Derivate de ordin superior . . . . . . . . . . . 815.7. Teoreme de medii . . . . . . . . . . . . . . . . 835.8. Reprezentarea grafic a funciilor . . . . . . . . 93
6. Integrala nedefinit . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1. Primitive. Integrala nedefinit . . . . . . . . . 986.2. Funcii primitivabile . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3. Integrarea prin pri . . . . . . . . . . . . . . 1046.4. Prima metod de schimbare de variabil . . . . 1066.5. A doua metod de schimbare de variabil . . . . 1106.6. Integrarea funciilor raionale . . . . . . . . . 111
7. Integrala definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.1. Funcii integrabile Riemann . . . . . . . . . . . 1217.2. Proprietile funciilor integrabile . . . . . . . 1267.3. Integrarea prin pri . . . . . . . . . . . . . . 1277.4. Prima metod de schimbare de variabil . . . . 1297.5. A doua metod de schimbare de variabil . . . . 1317.6. Formula de medie . . . . . . . . . . . . . . . 1327.7. Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . 1347.8. Aplicaii ale integralei definite . . . . . . . . . 136
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
4/21
1. Vectori
1.1. Segmente orientate. Vectori n plan
Definiie Perechea ordonat de puncte(A,B) se numetesegment orientat i se noteaz cu AB.Definiie Segmentele orientate AB i CD suntechipolente (se noteaz cu ABCD), dac mijlocul segmentului[AD]coincide cu mijlocul lui[BC].Observaie Dac ABCD, atunci exist o translaie caretransform segmentul ABn segmentul CD.Proprieti Pe mulimea segmentelor orientate relaia deechipolen este o relaie de echivalen:
ABAB( estereflexiv), dac ABCD, atunci CDAB ( este sime-
tric), dac ABCDi CDEF, atunci ABEF(
estetranzitiv).
Segmente orientate
A
B
D
C
AB i CDsunt echipolente dac
i numai dac ABDCeste para-lelogram sau punctele A,B,C,Dsunt coliniare i mijlocul lui[AD]coincide cu mijlocul lui[BC].
A
B
C
D
1
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
5/21
Definiie Se numetevector mulimea tuturor segmente-lor orientate echipolente cu un segment dat.Notaie Vectorul determinat de segmentul orientat
AB se noteaz cu AB (sau cu litere mici): AB=CD| CDAB
.
Observaie DacABCD, atunci AB=CD. Dac u =AB=
CD, atunci spunem c segmentul AB (sau CD)este
unreprezentant al vectorului u .Definiie Lungimea (saumodulul) unui vector este lungi-
mea oricrui reprezentant al su i se noteaz cu |u |.Definiie Vectorul de lungime nul
AA se numetevecto
rul nul i se noteaz 0.
Vectori
Definiie
VectoriiABi
CDsunt
egali
(AB=
CD), dac
segmentele orientate ABi CDsunt echipolente.Observaie
Doi vectori sunt egali dac au acelai modul,
aceeai direcie i sens.Teorem
(Existena reprezentantului cu origine dat)Pentru orice vector u i orice punct M, exist un unic seg-ment orientat M Mpentru care u =M M.Consecin
DacM A=
M B, atunci A=B.
Mulimea segmentelor
orientate
A
B
C
D
u
=
F
E
H
G
v
=
u =AB=CD=...,v=EF=GH=...,CD este un reprezentant al vecto-rului u ,z EFeste un reprezentant al luiv,AB=
CD.
2
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
6/21
2. Geometrie analitic
Fie xx i yy dou axe perpendiculare care se intersec-teaz n punctul O.Definiie Sistemul(xOx,yOy)se numetereper cartezian saureper ortonormat . Punctul O se numeteorigineareperului. Semidreapta [Ox estesemiaxa pozitiv, [Ox
estesemiaxa negativ.Notaie Reperul(xOx,yOy)se noteaz(xOy). Vecto-rii unitate (versorii) pentru axele [Ox respectiv[Oy sunt
notate cu i, j.
Reper cartezian n plan
Fie M un punct oarecare n planul reperului cartezianxOy. Fie xMcoordonata proieciei punctului Mpe axaOx, yMcoordonata proieciei punctului Mpe axa Oy.Definiie Numrul real xMse numete abscisa, iar num-
rul yM se numeteordonata punctului Mi se folosetescrierea M(xM,yM). Perechea ordonat de numere reale(xM,yM)se numetecoordinatele punctului M.
O alt definiie (echivalent) este:
Definiie Vectorul de poziierM=OMal punctului Mse descompune n mod unic dup vectorii ii j:
OM=
xM
i+yM
j,xM,yMR. NumerelexM,yMsuntcoor
donatele punctului M.Notaie Formal, putem scrie rM=(xM,yM).
Coordonate carteziene
a dintre punctele A(xA,yA)i B(xB ,yB)este dat deformula
AB=(xBxA)2+(yByA)2.
Distana a dou puncte
18
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
7/21
Problem. S se determine perimetrul triunghiului AOB,unde A(3,4), B(12,5).S. OA=
32+42=5, OB=
122+52=13, AB=
92+12=
82, deci PAOB
=18+
82.
Problem. S se determine valoarea numruluimRastfelnct distana punctelor A(2;m)iB(m;2)s fie egal cu4.S. AB=
(m2)2+(2m)2=42m2+8=16m=2.
Fie u =(a1,b1)i v=(a2,b2)doi vectori i un numreal.Proprieti (Egalitatea a doi vectori) u =v (a1=a2sb1=b2).Proprieti (Suma a doi vectori)u +v=(a1+a2,b1+b2).Proprieti (nmulirea unui vector cu un numr real)u =(a1,b1).Proprieti (Produsul scalar a doi vectori)
u
v
=a1a2+b1b2R.
Proprieti
Lungimea vectorului uu =
a21+b21.
Consecin Din definitia produsului scalar
cos(u,v)= a1a2+b1b2a21+b
21
a22+b22
.
Consecin Vectorul u este perpendicular pe vectorul v-re dac i numai dac a1a2+b1b2=0.Teorem Vectorii u i v sunt paraleli dac i numai daca1
a2=
b1
b2, a1,a2,b1,b2=0sau a1=a2=0sau b1=b2=0.
Operaii cu vectori n coordonate carteziene
19
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
8/21
Problem. Fie vectorii a =i +j , b=ij iu =6i +2j. S se determine numerele reale p,rRastfel nctu =pa +rb!S.
u =(1,1), v=(1,
1), u =(6,2). pa +rb=p(1,1)+r(1,1)=(p,p)+(r,r)=(p+r,pr)=(6,2)
p+r =6pr =2 p=4,r=2.
Problem.S se calculeze: (2i +5
j )(3i4j ).
S. Din definiia produsului scalar
ii =i
i
cos(i ,
i )=1
1cos0=1,
j
j =1
1cos0=1,
ij =ij cos(i ,j )=11cos90=0, deci
(2i +5
j )(3i4j )=6i 28i
j+15
j
i20j 2=
620=14.Alt soluie: formal, putem scrie
(2i +5
j )(3i4j )=(2,5)(3,4)=23+5(4)=14.
Problem. S se determine valoarea parametrului mRpentru care vectoriiu =2i5j iv=4i +(2m1)jsunt perpendiculari!S.
u v u v=024+(5)(2m1)=0810m+5=0m= 13
10.
Problem. S se arate c unghiul vectoriloru =4
i
5j i
v=3i +7j este obtuz.S.
u v=(4,5)(3,7)=1235=23
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
9/21
Problem. n reperul cartezian xOy sunt date puncteleO(0,0), A(2,1) i B(2,1). S se afle cosinusul unghiului
format de vectoriiOA i
OB!
S.
OA=(2,1),
OB=(
2,1),
OA
=
5,
OB
=
5;
OAOB=3OAOBcos(AOB)=355cos(AOB)=3cos(AOB)= 3
5.
Fie rA=(xA,yA), rB=(xB ,yB), rC=(xC ,yC).Teorem
AB=rB
rA=(xB
xA,yB
yA).
Teorem Dac M(AB) astfel nct M A=kM B,atunci
xM=xAkxB
1k i yM=yAkyB
1k .Consecin Coordonatele mijlocului M al segmentului[AB]:
MxA+xB
2
,yA+yB
2 .Consecin Coordonatele centrului de greutate al triun-ghiului ABC:
G
xA+xB+xC
3 ,
yA+yB+yC
3
.
Problem. n triunghiul ABC fie G centrul de greutate.tiind c vectorul de poziie al unctului A, B, G esterA=4i +7j ,rB=2ij respectiv rG=4i +4j, s se deter-mine vectorul de poziie al punctuluiC.
S. (4,4)=
4+2+xC
3 ,
71+yC3
xC=6,yC=6C(6,6).
21
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
10/21
3. Trigonometrie
3.1. Elementele trigonometriei
Definiie
Raportul dintre semiperimetrul i raza unui cerc
este constant i se noteaz prin (valoarea aproximativeste 3,1415).Definiie
Msura unui unghi la centrul unui cerc cuprin-znd un arc de cerc a crui lungime este egal cu raza cer-cului este de1radian .Observaie
Dac este msura unui unghi n grade iar xreste msura unghiului n radiani, atunci este adevrat re-laia
xr
= 180
.
Msura unghiurilor n radiani
O
A
P0
P/6
P/3
P/2
P2/3
P5/6
P
P7/6
P4/3
P3/2
P5/3
P11/6
I.
II.
III.
IV.
27
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
11/21
Definiie Fie xOy un reper cartezian. Cercul cu centruln O i cu raza egal cu 1pe care este indicatsensul trigonometric direct (invers acelor ceasornicului) se numetecercul trigonometric.Notaie Fie tR un numr real. Atunci exist un unicpunct Ptpe cercul trigonometric pentru care m(AOPt)=t.
Cercul trigonometric
Fie t un numr real i Ptpunctul pentru care m(AOPt)=t.Definiie Ordinata punctului Pt se numetesinusul nu-mrului real t i se noteaz prin sint.Definiie Abscisa punctuluiPtse numetecosinusul nu-mrului real t i se noteaz prin cost.
Sinusul i cosinusul
O
A
Pt
t
cost
sint
O
A
Pt
t
tgt
T
ctgt
T
Definiie Fie dtgdreapta vertical de ecuaie x=1 ifie dctgdreapta orizontal de ecuaie y=1.
Definiie Fie tR\
2+k| kZ
i Tintersecia drep-
telor OPt i dtg. Ordinata punctului Tse numetetangenta numrului t i se noteaz prin tgt.Definiie Fie tR\{k| kZ} i fie T intersecia drep-telorOPtidctg. Abscisa punctuluiTse numetecotangenta numrului real t i se noteaz prin ctgt.
Tangenta i cotangenta
28
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
12/21
x 0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
sinx 0 1222
32 1
32
22
12 0
cosx 132
22
12 0 12
22
32 1
tgx 033 1
3 | 3 1
33 0
ctgx | 3 133 0
33 1
3 |
Valori remarcabile
xC2 xC3sinx=sin(x) sinx=sin(x)cosx=cos(x) cosx=cos(x)tgx=tg(x) tgx=tg(x)
ctgx=ctg(x) ctgx=ctg(x)xC4sinx=sin(2x)cosx=cos(2x)tgx=tg(2x)ctgx=ctg(2x)
Reducerea la primul cadran
x 0 C1
2 C2 C3
3
2 C4 2
sinx 0 + 1 + 0 1 0cosx 1 + 0 1 0 + 1tgx 0 + +| 0 + +| 0
ctgx |+ + 0 |+ + 0 |
Semnul funciilor trigonometrice
29
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
13/21
x 0 C12
C2 C332
C4 2
sinx 0 1 0 1 0cosx 1 0 1 0 1tgx 0 +| 0 +| 0ctgx|+ 0 |+ 0 |
Monotonia funciilor trigonometrice
sin2x+cos2x=1(formula fundam.) tgx=sinx
cosx=
1
ctgx
sin
2x
=
cosx
sin(x)=sinx sin(x+2)=sinx
cos2
x=sinx
cos(x)=cosx cos(x+2)=cosx
tg
2x
=ctgx tg(x)=tgx tg(x+)=tgx
ctg
2x
=tgx ctg(x)=ctgx ctg(x+)=ctgx
Formule trigonometrice fundamentale
30
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
14/21
2. iruri de numere reale
2.1. iruri reale
Definiie Se numeteir real o funcie f:{k,k+1,k+2,...}R(kN). irul se noteaz prin(an), unde an=f(n).
Definiie irul(an)nkestecresctor, dac an+1an, nk;
descresctor, dac an+1an, nk;
mrginit, dac m,MR astfel nct manM,nk;
periodic, dac tN astfel nct an+t=an, nk
Definiie Limita
irului(an)nkeste numrul , dac inumai dac n afara oricrei vecinti Va lui exist celmult un numr finit de termeni ai irului:limita irului(an)= V=V(), nVN astfel nctanV, nnV.Notaie Dac limita irului (an) este , se scrie:limn
an=.
Teorem Fie(an)nNun ir de numere reale, R. limn
an=>0,n0N astfel nct|an|0,n0N astfel nct an>,
n
n0
.
Limita unui ir
46
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
15/21
limn
an=>0, n0N astfel nct an0 exist n0astfel nct pen-
tru orice nn0, an
2
3
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
16/21
2.2. Operaii cu iruri reale
Definiie Fie irurile(an)nNi(bn)nN.
Suma irurilor este irul(cn)nN, unde ck=ak+bk, kN;
Produsul irurilor este irul (dn)nN, unde dk=akbk, kN;
Ctul irurilor este irul(en)nN, unde ek=
ak
bk,
kN, dac bk=0, kN.Definiie Produsul irului(an)cu numrul real este i-rul(pn), undepk=ak, kN.Teorem Dac irul (an)are limit, R, atunci irul(an)are limit i
limn
(an)= limn
an.
Teorem Dac irurile(
an)
i(
bn)
au limite iar suma li-mitelor are sens, atunci irul(an+bn)are limit i
limn
(an+bn)= limn
an+ limn
bn.
Teorem Dac irurile(an)i(bn)au limite iar produsullimitelor are sens, atunci irul(anbn)are limit i
limn
(anbn)= limn
an limn
bn.
Teorem Dac irurile(an)i (bn)au limite iar ctul li-
mitelor are sens, atunci irul anbn are limit ilimn
an
bn
=
limn
an
limn
bn.
Nedeterminri: +(),0,0(), , 0
0.
Operaii cu iruri care au limit
48
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
17/21
Exemplu limn
2n+3
3n2+5n+2= limn
n
n+
3
n
n
3n+5+
2
n=
=limn
n
n+3
n
n
3n+5+
2
n
= limn
n+3
n
limn
3n+5+
2
n
=
=limn
n+ limn
3
n
limn3n+ limn5+ limn2
n
= 1+0
+5+0
= 1
=0.
Exemplu
limn
3n2+n+1
n2+2n+3==
= limn
n
3+1
n+
1
n2
1+2
n+
3
n2
=
= limn
n
limn3+1
n
+ 1
n2 limn1+
2
n
+ 3
n2=(
3
1)=.
Exemplu limn
n2+4n+3
n2+3n+1==
=
limn
n2+4n+3+
n2+3n+1)
n2+4n+3n2+3n+1
1 =
= limn
(n2+4n+3)2
(n2+3n+1)2
n2+4n+3+
n2+3n+1
=
= limn
n+2n2+4n+3+
n2+3n+1
=
limn
=1+
2
n
1+4
n
+ 3
n2+1+
3
n
+ 1
n2
= 11+
1
=1
2.
49
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
18/21
Exemplu
limn
1+1
3+...+
1
3n= limn
1
1
3
n+11 1
3
=
limn3
21 13n+1= 32 .Exemplu
limn
7n
7n+11= limn
1
1+11
7n
= 1
1+0=1.
Problem. S se calculeze: limn
n
k=1arctg 1
k2+k+1
.
S.Pentru kNoarecare fie arctg 1k
=, arctg 1
k+1=. Atunci
arctg 1
k2+k+1=arctg
1
k 1
k+1
1+1
k 1
k+1
=arctg tgtg1+tgtg =
=arctgtg()==arctg 1k arctg 1k+1 ,
astfel limn
nk=1
arctg 1
k2+k+1=
limn
arctg1arctg 1
2+arctg
1
2arctg 1
3+...+arctg
1
n 1
n+1
=
= limn
4 arctg
1
n+1=
4 0=
4.
50
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
19/21
4. Funcii continue
4.1. Continuitatea funciilor
Definiie Funcia f:DRestecontinu n punctulx0D, dac i numai dac pentru orice vecintate V(f(x0)) alui f(x0)exist o vecintate U(x0)a punctului x0pentru
care xDV(x0)f(x)V(f(x0)).Teorem Funcia f:DR este continu n punctul x0Ddac i numai dac sau x0este un punct izolat al lui Dsau
limxx0
f(x)=f(x0).
Teorem
(Criteriul lui Heine) Funciaf:DR este con-tinu n punctul x0D dac i numai dac pentru orice ir(xn), xnD, cu lim
nxn=x0avem lim
nf(xn)=f(x0).
Teorem Funcia f:DR este continu n punctul x0dac i numai dac>0,()>0 astfel nctxD,|xx0|
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
20/21
Definiie Funcia f:DR este continu la stngan punc-tulx0D, dacx0este un punct izolat al mulimii D sau
limxx0xx0
f(x)=f(x0).
Continuitate lateral
Definiie
Funcia f:DR estediscontinu n punctulx0Ddac i numai dac fnu este continu n x0.Definiie
Dac limxx0xx0
f(x)=ljR,
dar lb=lj , atunci farediscontinuitate de prima spe nx0.
Definiie Dac fnu este continu n punctul x0i discon-tinuitatea nu este de prima spe, atunci farediscontinuitate de spea a doua.
Puncte de discontinuitate
Exemplu
f:RR,
f(x)=
2x1 , dac x
7/25/2019 Presstern Memorator Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
21/21
limx2
f(x)=4,limx2
f(x)=3f are discont. de prima spe nx1=2.limx3
f(x)=4,limx3
f(x)=+fare discont. de spea a doua
n x2=3.Problem. S se verifice continuitatea funciei
f:RR, f(x)=
sinx
x, dac x0
n punctulx0=0.
S.Verificm dac limxx0f(x)= limxx0f(x)=f(x0).
limxx0
f(x)=limx0
sinx
x=1
limxx0
f(x)=limx0
x22x+2=1
f(x0)=f(0)=1
lb(x0)=lj(x0)=f(x0)feste continu n punctul x0=0.Problem. S se determine valoarea lui aR ast-
fel nct f s fie continu pe R, unde f:RR,f(x)=
ax2+x+a+1 , dac x