Elementary Mathematics Education
Primárne matematické vzdelávanie
teória, výskum a prax
Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou
Mathematics Education in Primary School
Theory, Research and Practice
The Conference Proceedings
26. 4. 2017 – 28. 4. 2017 TÁLE
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax
Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou organizovanej
Fakultou prírodných vied a Pedagogickou fakultou Univerzity Mateja Bela v Banskej
Bystrici s podporou projektu KEGA 003TTU-4/2015 Elektronické kurzy pre vyučovanie
matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných gymnázií a
projektu KEGA 003UMB-4/2017 Implementácia blended learningu do prípravy
budúcich učiteľov matematiky, ktorá sa konala na Táloch, 26. – 28.4.2017.
Vedecký výbor
Pavol Hanzel (Banská Bystrica, SR)
Michaela Kaslová (Praha, ČR)
Pavel Klenovčan (Banská Bystrica, SR)
Gabriela Pavlovičová (Nitra, SR)
Jaroslav Perný (Liberec, ČR)
Iveta Scholtzová (Prešov, SR)
Oliver Židek (Trnava, SR)
Katarína Žilková (Ružomberok, SR)
Organizačný výbor
Pavol Hanzel
Pavel Klenovčan
Ľubica Gerová
Katarína Sebínová
Daniela Guffová
Patrik Voštinár
Recenzenti
Ľubica Gerová
Pavol Hanzel
Pavel Klenovčan
Iveta Scholtzová
Katarína Žilková
Editori
Katarína Sebínová
Ľubica Gerová
Patrik Voštinár
Za pôvodnosť a správnosť jednotlivých príspevkov zodpovedajú ich autori.
Príspevky neprešli jazykovou úpravou.
Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica
Belianum. Vydavateľstvo UMB/Edícia: FPV UMB
ISBN: 978-80-557-1236-9
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
Úvod
„Výučba sú myšlienky a činy. Pozeraj sa svetu
na hodiny a buď o vždy pol kroka vpred.“
Dynamický rozvoj súčasnej spoločnosti prináša so sebou požiadavku na zmenu
v profesijnej príprave učiteľov tak, aby reflektovala na schopnosť jedinca adaptovať sa
na meniaci sa svet a napĺňať jeho víziu. Na túto zmenu treba pripravovať aj
učiteľov - elementaristov. Pracovníci fakúlt pripravujúcich učiteľov primárneho
školstva a učitelia elementárnej matematiky na Slovensku, v Poľsku a v Čechách sa
pravidelne stretávajú na konferenciách EME, aby sa oboznámili s novými odbornými
výsledkami v didaktike matematiky, viedli priateľské diskusie, osviežujúce telo
i matematického ducha každého účastníka. V diskusiách rezonujú závery
medzinárodných kongresov ICME o vyučovaní matematiky.
22. stretnutie učiteľov matematiky - EME 2017, zaoberajúcich sa prípravou
učiteľov elementaristov, už po druhý raz víta svojich účastníkov v hoteli Stupka
v Nízkotatranskom stredisku Tále na konferencii s medzinárodnou účasťou na tému:
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax.
Konferencia sa koná v dňoch 26. – 28. 4. 2017 pod záštitou dekanky FPV UMB
doc. RNDr. Jarmily Kmeťovej, PhD. Organizátormi sú Katedra matematiky Fakulty
prírodných vied UMB v Banskej Bystrici v spolupráci s Pedagogickou fakultou UMB,
JSMF a Slovenskou matematickou spoločnosťou. Organizácia konferencie EME 2017
bola podporená projektom KEGA 003TTU-4/2015 s názvom Elektronické kurzy pre
vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných
gymnázií a projektom KEGA 003UMB-4/2017 s názvom Implementácia blended
learningu do prípravy budúcich učiteľov matematiky. V rámci riešenia uvedených
projektov sa na konferencii realizujú sekcie:
Matematická a didaktická príprava učiteľov pre primárne vzdelávanie – rozsah,
kvalita a aktuálny výskum
Efektívne využívanie moderných technológií vo vyučovaní matematiky.
Veríme, že rokovanie a závery tejto konferencie obohatia didaktiku matematiky
v príprave učiteľov primárnej školy. Prajeme Vám mnoho nových inšpiratívnych
podnetov k práci a veľa príjemných chvíľ, strávených na konferencii v krásnom
prostredí Nízkych Tatier.
doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
Obsah
Výskum vplyvu iUčebnice z hľadiska retencie geometrických poznatkov Erik Bayerl, Katarína Žilková ...................................................................................... 6
Od Stewartovy věty k Pythagorově větě Jaroslav Beránek ......................................................................................................... 11
Utváření představ o pojmu trojúhelník v průběhu základní školy Irena Budínová ........................................................................................................... 16
Matematizace slovních úloh – problém nejen pro žáky, ale i pro jejich učitele Jana Cachová .............................................................................................................. 24
Tablet vo vyučovaní matematiky Soňa Čeretková, Ivana Boboňová, Mária Bernáthová ............................................... 28
Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém
kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky Radka Dofková, David Nocar .................................................................................... 33
Geometrické myslenie študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky Ľubica Gerová, Katarína Sebínová ............................................................................. 38
Matematická gramotnosť vo vzdelávaní súčasných i budúcich učiteľov Jana Hnatová............................................................................................................... 43
Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití geometrie v praxi Jitka Hodaňová ........................................................................................................... 48
Pracovní listy rozvíjející předmatematickou gramotnost u předškolních děti
zařazené do vzdělávání učitelek mateřských škol Michaela Kaslová ....................................................................................................... 53
Intelektovo nadaný žiak a matematika – prípadová štúdia Jana Kojnoková, Alena Prídavková ........................................................................... 58
Pojem štvorec a deti predškolského veku Janka Kopáčová .......................................................................................................... 63
Možnosti využitia softvéru GeoGebra vo vyučovaní matematiky v primárnom
vzdelávaní Lilla Koreňová ............................................................................................................ 67
Očekávání studentů od praktické složky v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ Radek Krpec, Darina Jirotková .................................................................................. 72
Geometrické kurikulum na 1. stupni Marie Kupčáková ....................................................................................................... 76
Proces třídění v komunikaci učitelky a dítěte (v mateřské škole) Eva Nováková ............................................................................................................ 81
Několik slov k cyklografii Jitka Panáčová ............................................................................................................ 86
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
Dizajn výskumu optimalizácie výučbových materiálov z matematiky pre primárne
vzdelávanie Edita Partová .............................................................................................................. 92
Význam obrázka pri riešení kombinatorickej úlohy Gabriela Pavlovičová .................................................................................................. 96
Výchova tvořivého učitele Šárka Pěchoučková ................................................................................................... 101
Aktivizace výuky matematiky na 1. stupni ZŠ Jaroslav Perný ........................................................................................................... 105
Interaktívne aplikácie na riešenie slovných úloh z matematiky pre 1. stupeň ZŠ Milan Pokorný .......................................................................................................... 110
Exekutívne funkcie v matematike v primárnom vzdelávaní Alena Prídavková, Edita Šimčíková, Blanka Tomková ........................................... 114
Kombinatorické problémy v prostředí didaktických her na 1. stupni ZŠ Jana Příhonská, Jana Rolečková ............................................................................... 119
Gry i zabawy matematyczne sposobem na myślenie matematyczne dzieci Grażyna Rygał .......................................................................................................... 123
Kooperačné nástroje e-learningu v pregraduálnej matematickej príprave učiteľov
pre primárne vzdelávanie Iveta Scholtzová, Marek Mokriš .............................................................................. 128
Stimulácia kontroly pozornosti - výsledky pilotného výskumu Edita Šimčíková, Alena Prídavková, Blanka Tomková ........................................... 132
Stavby z kociek – prostriedok rozvíjania priestorovej predstavivosti v rámci
odbornej pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov Dominika Štefková ................................................................................................... 136
Niektoré miskoncepcie pri riešení slovnej úlohy so zlomkami Valéria Švecová ........................................................................................................ 140
Stimulácia kontroly pozornosti prostredníctvom matematických úloh u žiakov
4. ročníka základnej školy Blanka Tomková, Alena Prídavková, Edita Šimčíková ........................................... 146
Rozvíjanie číselných predstáv vo fínskych didaktických prostriedkoch pre
primárny stupeň vzdelávania Anna Vašutová ......................................................................................................... 150
GeoGebra a JavaScript Patrik Voštinár .......................................................................................................... 154
Studentský pohled na praktickou složku učitelské přípravy v matematice 1. stupně Renáta Zemanová, Darina Jirotková ........................................................................ 159
Analýza predstáv štvrtákov o kruhoch Katarína Žilková ....................................................................................................... 163
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
6
Výskum vplyvu iUčebnice z hľadiska retencie geometrických
poznatkov
The Research of iBook Impact in Term of Geometrical Knowledge Retention
Erik Bayerl, Katarína Žilková
MESC: D44, G54, U64, U74
Abstract
The paper is specialized on description, especially evaluation of experimental
effect’s results by means of created iBook from thema about plane isometry in term of
retention gained knowledge among students at particular grammar school. Mentioned
results of research point to comparison and actually in some tasks are pointed to positive
impact of iBook usage retention gained knowledge of students in compare with
traditional educational methods.
Key words: iBooks textbook, interactivity, dynamic geometry, retention, math
education.
Abstrakt
Príspevok je zameraný na opis a najmä vyhodnotenie výsledkov experimentálneho
pôsobenia prostredníctvom vytvorenej iUčebnice z tematického celku o zhodných
zobrazeniach v rovine z hľadiska retencie získaných vedomostí u žiakov jedného
gymnázia. Uvedené výsledky výskumu poukazujú na porovnateľnosť a v niektorých
úlohách dokonca pozitívnejší vplyv využívania iUčebnice na retenciu získaných
vedomostí žiakov v porovnaní s vyučovaním tradičnými metódami vzdelávania.
Kľúčové slová: iUčebnica, interaktivita, dynamická geometria, retencia, matematické
vzdelávanie.
1. Úvod
Dnešná moderná spoločnosť si vyžaduje aj moderné prístupy ku vzdelávaniu.
Vzdelávanie sa prostredníctvom nových technologických platforiem inovuje na
efektívnejšie, pre žiakov zaujímavejšie. V poslednom období dochádza k čoraz
častejšiemu využívaniu tabletov vo vzdelávaní. Ich implementácia do vzdelávania so
sebou prináša množstvo výhod, ktoré v sebe tablety integrujú. Vzdelávanie
prostredníctvom tabletov, či smartfónov zároveň podporuje aj tzv. mobilné vzdelávanie.
Už dávnejšie výskumy (Wise, Toto a Lim, 2006) poukazujú na to, že moderné
technológie, predstavujú silný faktor vo vzdelávaní, ktorého správne využitie pozitívne
ovplyvňuje učenie a pozornosť žiakov. Course a Chen (2010) zistili, že využívaním
tabletov sa žiaci dokážu ľahšie orientovať a preskúmať problémy, cítia sa pohodlne
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
7
a zároveň ich používanie podporuje učenie hrou. Galligan, Hobohmand a Loch (2012)
vo svojich výskumoch dospeli k záveru, že študentom využívajúcich tablety vo
vzdelávaní matematiky ich používanie uľahčuje riešenie úloh, uľahčuje predstavivosť
a poskytuje efektívnu spätnú väzbu. Výhody implementácie tabletov do vzdelávania
matematiky potvrdzujú aj mnohé ďalšie výsledky výskumov (Schnackenberg, 2013;
Courtois, DeGrove, Montrieux, Raes, De Marex a Schellens, 2013; Burden a Kearney,
2016). Aby bolo možné naďalej skúmať vplyv využívania spomínaných platforiem ako
sú tablety, či smartfóny, na efektivitu vzdelávania, je potrebné vytvárať edukačné
materiály pre takéto zariadenia. K tvorbe takéhoto edukačného materiálu dochádza už aj
na Slovensku (Voštinár a Hanzel, 2015). Ide o novú oblasť vzdelávania, v ktorej je
potrebné realizovať výskum zameraný na vplyv a efektivitu vzdelávania matematiky
a jej jednotlivých tém prostredníctvom spomínaných platforiem. To bol jeden
z dôvodov, prečo sme sa rozhodli vytvoriť iUčebnicu, ktorú je možné používať nielen
priamo na vyučovacej hodine, ale kdekoľvek prostredníctvom iPad, či iPhonu. V článku
sa zameriavame na to, aký vplyv má využívanie iUčebnice v matematickom vzdelávaní
na kvalitu poznatkov žiakov, resp. na rozvíjanie ich geometrického myslenia vzhľadom
na retenciu nadobudnutých vedomostí v porovnaní s tradičnou formou vzdelávania
matematiky.
2. Dizajn a priebeh výskumu
Aby bolo možné zrealizovať samotný výskum, potrebovali sme vytvoriť iUčenicu
zameranú na zhodné zobrazenia v rovine. IUčenicu sme vytvorili prostredníctvom
bezplatného softvéru iAuthor, ktorý umožňuje integrovať interaktívne a dynamické
prvky (aplety vytvorené v GeoGebre) a zároveň má vytvorená učebnica aj benefity
tradičnej elektronickej učebnice. Naša iUčebnica predstavuje skôr zbierku riešených
úloh dopĺnenú o základné teoretické poznatky o zhodných zobrazeniach. Okrem
bežných statických prvkov (texty, obrázky) je v každej úlohe implementovaný
interaktívny a dynamický applet, ktorý umožňuje meniť polohové a metrické vlastnosti
daných geometrických prvkov. Práve tento prvok bol pre nás a náš výskum
najpodstatnejší a najdôležitejší, keďže sme chceli zisťovať ako aktívne využívanie
interaktívnych a dynamických prvkov vplýva na upevňovanie vedomostí žiakov
v procese vzdelávania, a aký vplyv má na uchovanie týchto vedomostí, ich trvácnosť
s odstupom času.
Keďže bolo našim cieľom odhaliť efektívnosť vplyvu iUčebnice na uchovanie
vedomostí žiakov, za výskumnú metódu sme zvolili experiment. Nezávisle premennou
bola iUčebnica a závisle premennou bola miera uchovaných vedomostí žiakov.
Predpokladali sme, že využívanie iUčebnice bude mať pozitívnejší vplyv na uchovanie
vedomostí žiakov v porovnaní s vedomosťami žiakov, ktorí pracovali s tradičnými
metódami (bez použitia akýchkoľvek interaktívnych a dynamických prvkov). Keďže
išlo o experiment, bolo potrebné zvoliť experimentálnu a kontrolnú skupinu. Vzhľadom
na dostupnosť sa jednalo o dostupný výber žiakov. Po zvolení porovnateľných skupín
prebehlo experimentálne pôsobenie počas 4 týždňov. Experimentálna skupina pracovala
prevažne s iUčebnicou, v edukačnom procese žiaci používali iPady a interaktívnu
tabuľu. Žiaci kontrolnej skupiny používali tradičné rysovacie pomôcky a využívali
tradičné edukačné stratégie.
Po odučení tematického celku boli žiaci otestovaní formou písomného testu, ktorý
obsahoval 5 úloh tematicky zameraných na zhodné zobrazenia v rovine. Počas
testovania používali žiaci oboch skupín len bežné rysovacie pomôcky bez akýchkoľvek
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
8
interaktívnych prvkov. Keďže nás zaujímala miera uchovaných vedomostí, podrobili
sme obe skupiny opätovnému testovaniu s polročným odstupom. Žiaci opätovne riešili
písomný test obdobným spôsobom s úlohami obdobného typu.
3. Charakteristika výskumného súboru
Výskumný súbor tvorili žiaci 2.ročníka gymnázia v Banskej Bystrici, u ktorých
bola zachovaná kompaktnosť tried. Aby sme zachovali čo najväčšiu objektívnosť,
rozhodli sme sa na začiatku pred samotným výskumom porovnať žiakov všetkých tried
2. ročníka zo všeobecných vedomostí z geometrie. K dispozícii sme mali celkovo
4 triedy. Po zvolení dvoch najporovnateľnejších tried sme obe triedy ešte podrobili
štatistickému porovnaniu rovnocennosti. Na porovnanie sme použili neparametrickú
verziu 2-výberového Mann-Whitneyho testu, ktorý nám potvrdil rovnocennosť
a porovnateľnosť medzi zvolenou kontrolnou a experimentálnou skupinou. Kontrolnú
skupinu tvorilo 28 žiakov a experimentálnu 29 žiakov. Následne sme mohli prejsť
k samotnému experimentu.
4. Analýza a interpretácia výsledkov
Po realizácii experimentu boli žiaci oboch skupín podrobení písomnému testu,
ktorý obsahoval 5 úloh tematicky zameraných na zhodné zobrazenia, ktoré reflektovali
nižšie aj vyššie poznávacie hladiny. Keďže nás zaujímalo, aký vplyv bude mať
používanie iUčebnice na úroveň zapamätania a uchovania vedomostí žiakov, tak sme
podrobili žiakov obdobnému testovaniu s odstupom pol roka. Po vyhodnotení oboch
písomných testov sme pre obe skupiny určili zmenu v počte získaných bodov každého
žiaka pre každú úlohu z testu. Získané rozdiely v počtoch bodov sme následne porovnali
v oboch skupinách a podrobili štatistickému testovaniu. Použili sme Mann–
Whitney test. Formulovali sme nulovú a alternatívnu hypotézu:
H0: Medzi zmenou dosiahnutých výsledkov v teste a posteste v kontrolnej
a experimentálnej skupine nie sú rozdiely.
HA: Medzi zmenou dosiahnutých výsledkov v teste a posteste v kontrolnej
a experimentálnej skupine sú rozdiely.
Overovanie sme realizovali na hladine významnosti 0,05.
Oba testy (test aj postest) obsahovali úlohy rôzneho typu zameraných na zhodné
zobrazenia v rovine. V úlohe 1 mali žiaci zobrazovať lomenú čiaru v osovej a stredovej
súmernosti. Pri riešení úlohy im mala pomôcť štvorcová sieť. V úlohe 2 zisťovali, či je
útvar zobrazený na obrázku osovo alebo stredovo súmerný. Úloha 3 bola zameraná na
určovanie samodružných priamok v stredovej, či osovej súmernosti. Posledné dve úlohy
boli rozdelené do dvoch častí. Časť a) bola zameraná na riešenie konštrukčnej úlohy,
ktoré malo obsahovať všetky časti riešenia úlohy (náčrt, rozbor, postup konštrukcie,
konštrukcia a odpoveď o počte riešení v danej situácii). Časť b) bola zameraná na širšiu
diskusiu o počte riešení a analýzu opísanej konkrétnej situácie.
Očakávali sme, že práve v posledných dvoch úlohách by mohli byť výsledky
v experimentálnej skupine významne lepšie, keďže skúsenosti s využívaním
interaktivity a dynamiky by mohli mať vplyv na rozvoj predstavivosti a abstrakcie práve
v schopnosti žiaka mentálne manipulovať s geometrickými útvarmi a abstrahovať
podstatné prvky.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
9
Tabuľka 1. Výsledky Mann-Whitneyho testu.
Sum of Ranks testovacia
štatistika Z p-hodnota
Kontrolná sk. Experimentálna sk.
1.úloha 813,5 839,5 -0,016 0,984
2.úloha 2284,5 1631,5 1,610 0,107
3.úloha 882,0 771,0 -1,109 0,267
4a.úloha 1703,5 1299,5 -2,251 0,024
4b.úloha 757,5 953,5 -1,516 0,129
5a.úloha 1293,0 918,0 1,969 0,049
5b.úloha 707,0 946,0 1,668 0,095
Z uvedených údajov (Tab. 1) je zrejmé, že testovacia štatistika Z sa nachádza
v oblasti nezamietania nulovej hypotézy (-1,96;1,96) pre úlohy 1, 2, 3, 4b a 5b. Zároveň
p-hodnota je pre uvedené úlohy vyššia ako hladina významnosti 0,05. Preto na hladine
významnosti 0.05 nezamietame nulovú hypotézu a predpokladáme, že neexistuje
štatisticky významný rozdiel medzi zmenou dosiahnutých výsledkov úloh 1, 2, 3, 4b
a 5b v teste a posteste medzi kontrolnou a experimentálnou skupinou.
Zároveň môžeme vidieť (Tab. 1), že testovacia štatistika Z je mimo intervalu
(-1,96; 1,96) pre úlohy 4a, 5a. Zároveň aj p-hodnota je uvedené úlohy nižšia ako hladina
významnosti 0,05. Na základe týchto kritérií zamietame nulovú hypotézu
a predpokladáme, že existuje štatisticky významný rozdiel medzi zmenou dosiahnutých
výsledkov úloh 4a, 5a v teste a posteste medzi kontrolnou a experimentálnou skupinou.
Zároveň môžeme potvrdiť, že experimentálna skupina má nižšie ohodnotenie poradí
v oboch úlohách (tab. 1, stĺpec Sum of ranks), a teda dosahovala menší pokles
výsledkov ako kontrolná skupina.
Zhrnutím získaných výsledkov môžeme konštatovať, že využívanie iUčebnice vo
vzdelávaní testovaných žiakov malo prinajmenšom porovnateľný vplyv na mieru ich
zapamätania vedomostí. Keďže predchádzajúce výsledky ukazujú, že žiaci využívajúci
iUčebnicu získali prvotne hlbšie a kvalitatívne lepšie výsledky, ktoré sa tým pádom
z hľadiska retencie nadobudnutých vedomostí pevnejšie uchovali, považujeme tento
výsledok za viac ako uspokojivý. Našu spokojnosť s dosiahnutými výsledkami
potvrdzuje aj fakt, že v úlohách zameraných na riešenie konštrukčných úloh sa dokonca
ukázalo, že pokles získaných vedomostí je štatisticky menej výraznejší práve v skupine
používajúcej iUčebnicu.
5. Záver
Cieľom príspevku bolo opísať výsledky experimentálneho pôsobenia iUčebnice
z tematického celku o zhodných zobrazeniach v rovine z hľadiska retencie
nadobudnutých vedomostí žiakov jedného gymnázia. Výsledky experimentu naznačujú,
že používanie iUčebnice má minimálne porovnateľný vplyv na retenciu získaných
vedomostí žiakov ako edukácia tradične používanou formou vzdelávania. Využívanie
iUčebnice by tak mohlo predstavovať ďalšiu vhodnú alternatívu pre vzdelávanie žiakov.
Dokonca v úlohách konštrukčného charakteru sme zaznamenali štatisticky pozitívnejší
vplyv na mieru zapamätania a uchovania vedomostí žiakov práve v skupine
využívajúcej iUčebnicu, čo len podčiarkuje možnosť jej prípadného využívania
v edukačnom procese.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
10
Literatúra
BURDEN, K., KEARNEY, M. Future scenarios for mobile science learning. Research
in Science Education, 2016, 46.2: 287-308.
COURTOIS, C., et al. Push or pull? A longitudinal survey study on the acceptance of
tablets in secondary education. In: 7th International Technology, Education and
Development Conference. 2013.
COUSE, L. J., CHEN, D. W. A tablet computer for young children? Exploring its
viability for early childhood education. In Journal of Research on Technology in
Education. 2010, 43 (1), 75-98.
GALLIGAN, L., HOBOHM, C., LOCH, B. Tablet technology to facilitate improved
interaction and communication with students studying mathematics at a distance.
Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching. 2012, 31(4),
363-385.
HANZEL, P., VOŠTINÁR, P. Elektronický kurz „Vybrané kapitoly z diskrétnej
matematiky“. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, roč. 11, 2016, č. 4,
s. 88-96. ISSN 1336–2232.
SCHNACKENBERG, H. L., et al. Tablet technologies and education. International
Journal of Education and Practice, 2013, 1.2: 7.
VOŠTINÁR, P., HANZEL, P. Mobile application – a tool for teachers, pupils and their
families. In Book of Abstracts, 15th Conference on Applied Mathematics Aplimat
2016. Bratislava : Nakladateľstvo STU, 2016. ISBN 978–80–227–4530–7.
WISE, J. C., TOTO, R., LIM, K. Y. Introducing Tablet PCs: Initial results from the
classroom. In: Frontiers in Education Conference, 36th Annual. IEEE, 2006.
p. 17-20.
Mgr. Erik Bayerl
Katedra matematiky FPV UMB
Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica
E-mail: [email protected]
doc. PaedDr. Katarína Žilková, PhD.
Pedagogická fakulta Katolícka univerzita v Ružomberku
Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
11
Od Stewartovy věty k Pythagorově větě
From Stewart’s theorem to Pythagoras` theorem
Jaroslav Beránek
MESC: G10
Abstract
The article is devoted to teaching mathematics to future teachers at elementary
schools. It contains one not very familiar topic which can be used as the means for
broadening and deepening mathematics teaching, and further as the motivation for
individual study. First, there is given the formulation, the proof and several applications
of Stewart’s theorem while determining the lengths of the median, altitude and axis of
the interior angle in a triangle. In the conclusion, there is shown that under certain
conditions Stewart’s theorem transforms into Apollonius´ theorem and finally to
Pythagoras` theorem.
Key words: Teaching of mathematics, triangle, Stewart’s theorem.
Abstrakt
Příspěvek je věnován výuce matematiky budoucích učitelů prvního stupně
základní školy. Obsahuje málo známé téma, které je možno použít jako zajímavý námět
k rozšíření a zpestření výuky elementární geometrie, a dále jako motivaci
k samostatnému studiu. Nejprve je uvedena formulace, důkaz a několik aplikací
Stewartovy věty při určení délky těžnice, výšky a osy vnitřního úhlu v trojúhelníku.
V závěru je ukázáno, že za jistých předpokladů lze ze Stewartovy věty obdržet větu
Apolloniovu, a následně i větu Pythagorovu.
Klíčová slova: Výuka matematiky, trojúhelník, Stewartova věta.
1. Úvod
Důležitým činitelem ovlivňujícím kvalitu výuky matematiky na 1. stupni základní
školy je kromě promyšleně stanoveného obsahu učiva a kvalitních učebnic rovněž
kvalitní příprava učitelů. Fakulty připravující učitele pro uvedený stupeň školy musí
budoucí učitele připravit nejen na odborně i metodicky správné vedení výuky
matematiky, ale dát jim i jistý matematický nadhled. Proto je nutno hledat témata, která
by výuku matematických disciplín těchto studentů zpestřila a rozvinula jejich znalosti
a přitom nebyla příliš vzdálená od školské matematiky. Jako výhodné se např.
v elementární geometrii jeví využití Stewartovy věty a některých jejích aplikací.
Stewartova věta není dnes běžně známá a není ani součástí učebnic matematiky,
přestože se jedná o jednoduché planimetrické tvrzení týkající se trojúhelníka. V další
části uvedeme její znění i důkaz (viz [1]). Připomeňme jen (viz [2]), že Matthew
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
12
Stewart (1717-1785) byl skotský matematik. Studoval na Univerzitě v Glasgowě, kde
započala jeho dlouholetá spolupráce s matematikem Robertem Simsonem, se kterým
společně v roce 1749 publikovali dílo Apollonii Pergaei locorum planorum libri II.
Nejvýznamnějším Stewartovým dílem je práce Some General Theorems of
Considerable use in the Higher Parts of Mathematics, obsahující rovněž hlavní téma
tohoto příspěvku, Stewartovu větu. Zabýval se rovněž astronomií, kde přispěl k řešení
Keplerovy úlohy geometrickými metodami (1756).
2. Stewartova věta a její využití
Stewartova věta (viz [1]) vyjadřuje vztah mezi délkami dvou stran trojúhelníku,
délkou příčky ohraničené společným vrcholem těchto dvou stran a libovolným vnitřním
bodem strany třetí a délkami úseků, které tato příčka na třetí straně vytíná. Nechť ABC
je libovolný trojúhelník, nechť X je libovolný vnitřní bod strany AB. Využijeme
označení podle obrázku 1, tedy AC = b, BC = a, CX = x, AX = p, BX = q. Podle
Stewartovy věty platí:
Věta 1: a2p + b
2q = (p + q)(pq + x
2).
Obrázek 1. Stewartova věta-označení.
Důkaz: (viz [1]) Využijeme označení podle obrázku 1, nechť dále značí velikost úhlu
AXC. Podle kosinové věty pro trojúhelníky AXC a BXC platí:
b2 = p
2 + x
2 2px cos ,
a2 = q
2 + x
2 2qx cos (180 ).
První rovnici vynásobíme q, druhou p a obě rovnice sečteme. Dostaneme
b2q + a
2 p = p
2q + q
2p + x
2(p + q) 2pqx cos 2pqx cos (180 ).
Protože platí známý vztah cos (180 ) = cos , máme po dosazení
b2q + a
2 p = p
2q + q
2p + x
2(p + q).
Odtud již Stewartova věta plyne snadnou úpravou.
Dříve než uvedeme využití Stewartovy věty pro některé speciální případy,
dokážeme jedno pomocné tvrzení. Také toto tvrzení se v učebnicích matematiky
základních a středních škol vyskytuje poměrně málo, většinou bez důkazu. Proto pro
úplnost bude uvedeno nyní.
Lemma: Každá z os vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka rozděluje protější stranu
v poměru délek přilehlých stran, tj. při označení podle obrázku 2 (kde CX je osa
vnitřního úhlu při vrcholu C), platí p : q = b : a .
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
13
Obrázek 2. Důkaz pomocného tvrzení-označení.
Důkaz: Nechť platí označení podle obrázku 2. Podle sinové věty pro trojúhelníky ACX
a BCX platí (sin = sin , protože = 180 ):
sin
p
sin
b ,
sin
q
)180(sin
a
.
Z těchto vztahů vyjádříme p, q a dosadíme do hledaného poměru:
a
b
sin)180(sin
a
sinsin
b
q
p
,
protože sin 0 a sin (180 ) = sin 0. Pomocné tvrzení tedy platí.
a) Určení délky těžnice trojúhelníku
Nechť úsečka CX je těžnicí trojúhelníka ABC v označení podle obrázku 1, platí tedy
p = q = 2
c. Její délku místo x označíme tc . Dosadíme do Stewartovy věty a upravíme
(úpravy uvádíme zkráceně):
a2
2
c+ b
2
2
c = (
2
c +
2
c)(
2
c
2
c + tc
2),
(a2
+ b2)
2
c = c (
4
c 2
+ tc2),
tc = 2
c)ba(2 222 .
Délky zbývajících dvou těžnic dostaneme snadno cyklickou záměnou.
b) Určení délky osy vnitřního úhlu trojúhelníku
Nechť úsečka CX je osou vnitřního úhlu ACB trojúhelníka ABC v označení podle
obrázku 2 (její délku místo x označíme oc), rozděluje tedy tento úhel na dva shodné
úhly, které označíme . Pro úseky p, q na straně AB platí podle pomocného tvrzení vztah
a
b
q
p . Tento vztah spolu se vztahem p + q = c tvoří soustavu rovnic o neznámých p, q
kterou vyřešíme. Řešením obdržíme vztahy pro výpočet p, q v závislosti na délkách
stran trojúhelníka ABC . Platí
ba
bcp
,
ba
acq
.
Tyto vztahy dosadíme do Stewartovy věty a2p + b
2q = (p + q)(pq + x
2) a upravíme.
Uvedeme pouze dosazení a výsledný vztah. Obdržíme
a2
ba
bc
+ b
2
ba
ac
= (
ba
bc
+
ba
ac
)(
ba
bc
ba
ac
+ oc
2), odkud plyne
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
14
ba
)cba)(cba(aboc
.
Délky zbývajících dvou os dostaneme opět snadno cyklickou záměnou.
c) Určení velikosti výšky v trojúhelníku
Nechť platí označení podle obrázku 2, kde příčka CX je výškou trojúhelníka ABC,
přímky CX a AB jsou na sebe kolmé. Velikost výšky označíme vc, p + q = c. Podle
kosinové věty v trojúhelníku ABC platí a2 = b
2 + c
2 2bc cos.. V pravoúhlém
trojúhelníku AXC platí cos = b
p. Po dosazení za cos do předchozího vztahu a úpravě
dostanemec2
acbp
222 . Ze vztahu q = c – p obdržíme úpravou
c2
bcaq
222 .
Dosadíme za p, q do Stewartovy věty a upravíme:
c2
)cba(2)cba(v
4442222
c
.
Délky zbývajících dvou výšek dostaneme opět cyklickou záměnou.
d) Speciální případy
Uvažujme nyní znění Stewartovy věty v jejím základním tvaru
a2p + b
2q = (p + q)(pq + x
2).
V případě, že příčka CX je těžnicí trojúhelníku ABC, platí p = q. Po dosazení a úpravě
přejde Stewartova věta do tvaru (označení podle obrázku 1)
a2 + b
2 = 2(p
2 + x
2).
Tento vztah bývá uváděn jako tzv. Apolloniova věta nazvaná podle starověkého učence
Apollonia z Pergy, od kterého pochází její slovní geometrická formulace (pro libovolný
trojúhelník): Součet čtverců nad libovolnými dvěma stranami trojúhelníka je roven
dvojnásobku součtu čtverců nad polovinou třetí strany a nad těžnicí na tuto třetí stranu.
Je-li navíc trojúhelník ABC pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu C (v označení
podle obrázku 1) a příčka CX je jeho těžnicí, platí p = q = x, bod X je střed přepony AB,
tedy střed kružnice opsané trojúhelníku ABC (Thaletova kružnice). Dosadíme do
Apolloniovy věty p = x a po snadné úpravě s využitím c = 2p obdržíme Pythagorovu
větu a2 + b
2 = c
2. Zajímavé je, že jsme neobdrželi Pythagorovu větu jako speciální
případ kosinové věty, jak bývá v učebnicích běžně uváděno, ale jako speciální případ
Stewartovy věty.
3. Závěr
V příspěvku byla uvedena Stewartova věta a její využití na výpočet některých
prvků v trojúhelníku, dále věta Apolloniova a věta Pythagorova, které jsou jejími
speciálními případy. Cílem nebylo uvedení původních matematických výsledků.
Záměrem bylo ukázat studentům učitelství pro 1. stupeň ZŠ nepříliš složité téma pro ně
téměř neznámé, na kterém lze mj. zopakovat řada základních geometrických pojmů
(včetně procvičení úpravy algebraických výrazů). Pro studenty se zájmem o matematiku
může toto téma hrát i roli motivační pro další studium matematiky.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
15
Literatura
[1] CALDA, E. Stewartova věta a příčky v trojúhelníku. In. Rozhledy matematicko-
fyzikální, ročník 86 (2011), č. 2, s. 1-5. ISSN 0035-9343.
[2] Matthew Stewart (mathematician). Dostupné z
https://en.wikipedia.org/wiki/Matthew_Stewart_(mathematician). Citováno dne
13. 1. 2017.
[3] Apollonius` theorem. Dostupné z
https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius%27_theorem. Citováno dne 15. 1. 2017.
Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta MU
Poříčí 7, 603 00 Brno, Česká republika
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
16
Utváření představ o pojmu trojúhelník v průběhu základní
školy
Development of conceptions of the concept triangle during the basic school
Irena Budínová
MESC: G10
Abstract
Geometric shapes are one of the first subjects in mathematics education during the
early stage of elementary school. Even before entering formal schooling, children gain
some basic information about geometric shapes through their everyday experiences.
Children form conceptions about the concepts on the base of their experiences. Some of
these early conceptions about geometric shapes might be incorrect, which might
negatively impact children’s further understanding of geometric shapes. In this study,
we try to look at how the conceptions of the concept triangle are developed during
elementary and lower secondary school.
Key words: geometry, plane figures, triangle.
Abstrakt
Geometrické útvary jsou jedním z prvních témat, se kterým se setkávají žáci
v průběhu 1. stupně ZŠ. Již v předškolním věku získávají o útvarech jisté poznatky,
které ale nemusí být správné a mohou ovlivňovat vývoj pojmu v pozdějších letech. Ve
studii se pokoušíme zmapovat, jakým způsobem se vyvíjí představy žáků o pojmu
trojúhelník v průběhu 1. a 2. stupně ZŠ.
Klíčová slova: geometrie, rovinné útvary, trojúhelník.
1. Úvod
Představy o geometrických pojmech si žáci utvářejí po celou školní docházku. Již
žáci předškolního věku se setkávají s různými geometrickými útvary a vytváří si o nich
prvotní představy. V tomto období vzniká řada miskoncepcí o geometrických pojmech –
např. didaktické pomůcky, jako jsou čtverce a trojúhelníky, mívají zaoblené rohy, aby
se dítě neporanilo. Nejedná se tedy o čtverec nebo trojúhelník, spíše o útvary se
čtvercovým nebo trojúhelníkovým tvarem, avšak přesto je jim přisouzen název
„čtverec“ a „trojúhelník“. Dále děti připodobňují geometrické útvary k věcem z okolí –
k dopravním značkám, k vlajkám, ke střeše, aj. Cutugno a Spagnolo (2014) v této
souvislosti uvádějí, že mnoho žáků ve věku 11 – 12 let připodobňuje geometrické
útvary k reálným objektům z jejich okolí. To může ale znamenat, že termín pro ně zatím
nemá jasný význam (Cutugno, Spagnolo, 2014).
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
17
Žáci v prvních dvou ročnících základní školy se o geometrických útvarech
rozhodují na základě toho, jak na ně útvar působí. Pokud jim připomíná něco, co viděli
již dříve a bylo to pojmenováno jako trojúhelník, nazvou to také trojúhelníkem.
Giaquinto (2007) se na utváření geometrických pojmů dívá z pohledu vnímání různých
objektů jedincem. Naše počáteční geometrické představy závisí podle něj na tom, jak
vnímáme dané útvary. Na základě prvotních zkušenosti vzniká percepční pojem –
např. trojúhelník žák pozná podle obrázku. Některý model trojúhelníku na žáka může
působit jako ne-trojúhelník (typicky tupoúhlý trojúhelník postavený na vrcholu), ale
také naopak ne-model trojúhelníku žák může vnímat jako trojúhelník (např.
rovnoramenný trojúhelník postavený na základnu s ustřiženými či zaoblenými vrcholy).
Na základě setkávání s útvary v učebních materiálech nebo v běžném životě
vzniká u žáka prototyp pojmu. Tsamir et al. (2015, citováno z Dindyal, 2015)
poukazuje, že velice často je to nějaký netypický rys (např. velikost nebo orientace),
který přispívá k vytvoření prototypického příkladu. Dětem na 1. stupni ZŠ může použití
několika pozitivních a negativních příkladů pomoci získat pevnější pochopení
geometrického pojmu.
S miskoncepcemi z předškolního vzdělávání je potřeba pracovat v prvních dvou
letech školní docházky. Žák sice stále vnímá útvary percepčně, nezvažuje jejich
vlastnosti, avšak dostane možnost vytvářet si skupiny modelů a ne-modelů, na které
naváže v dalších letech.
Van Hiele (viz např. Tipps, Johnson, Kennedy, 2011) nazval první období, kdy se
žák rozhoduje jen na základě toho, jak na něj útvar působí, jako období vizualizace.
Toto období trvá zhruba do 3. ročníku ZŠ. V té době si žák začne všímat toho, že útvar
má určité vlastnosti, podle kterých se může také rozhodovat. Začne přecházet do období
analýzy. Ve 4. ročníku by již většina žáků měla být na této druhé úrovni. K přechodu
však dojde jen za předpokladu, že žák dostává dostatečné stimuly ve výuce geometrie.
V opačném případě žák stagnuje na úrovni vizualizace a nemusí cítit žádnou potřebu
začít uvažovat jinak než percepčně.
Aktivity na 2. stupni ZŠ by potom měly vést k tomu, že se žák přesune do období
neformální dedukce. Žák by měl již vědět, jaké vlastnosti má daný útvar, ale také by
měl být schopen provádět jednoduché důkazy tvrzení o útvaru. Opět platí, že pokud žák
nedostává dostatečné podněty, může po celý 2. stupeň setrvávat na úrovni analýzy, nebo
dokonce vizualizace.
2. Výzkum geometrického myšlení žáků 4. ročníku ZŠ
V letech 2015 a 2016 jsem ve spolupráci s Katarínou Žilkovou mapovala
žákovské představy o základních geometrických pojmech na základě testu, který
K. Žilková vytvořila společně s J. Kopáčovou (Kopáčová, Žilková, 2015). Testu se
v ČR účastnilo 226 žáků 4. ročníku. V případě trojúhelníku se ukázalo, že prototypem
trojúhelníku je rovnoramenný (více než rovnostranný) trojúhelník stojící na základně.
S podobnými výsledky se setkáváme i v zahraničních výzkumech (např. Cutugno,
Spagnolo, 2014). Výsledky poukazovaly na to, že mnoho žáků 4. ročníku setrvává na
úrovni vizualizace a stále mají o útvarech mnoho miskoncepcí. Zhruba 14 % žáků
neidentifikovalo tupoúhlý trojúhelník stojící na vrcholu jako trojúhelník, asi 20 % žáků
považovalo za trojúhelník různé útvary trojúhelníkového tvaru (se zaoblenými rohy, se
zakulacenými stranami). Tou největší miskoncepcí u trojúhelníku bylo to, že žáci
neměli jasno v tom, které body patří trojúhelníku, a mnozí nepovažovali body ležící
uvnitř trojúhelníku (tj. ne na hranici) za body trojúhelníku (asi 40 % žáků). Mnoho žáků
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
18
1. stupně se ve výuce setká s tím, že modelují „trojúhelníky“ z dřívek nebo na geodesce
z gumičky. Zde může vznikat nesprávná představa o tom, co to trojúhelník vlastně je.
Jiná možná příčina mohou být obrázky v učebních materiálech, které většinou také
obsahují pouze hranici trojúhelníku a ne jeho vnitřek.
3. Výzkum geometrického myšlení na 1. a 2. stupni ZŠ
Zajímalo mě, jaký je další vývoj žákovských představ o základních geometrických
útvarech. Chtěla jsem vědět důvody, podle kterých se žáci rozhodují o geometrických
útvarech. Podle van Hieleho stupnice by žáci 4. ročníku měli být povětšinou na úrovni
analýzy, tj. měli by být schopni zdůvodnit své rozhodnutí, přitom by se měli rozhodovat
na základě vlastností útvaru, nikoli podle toho, jak na ně útvar působí. V 8. ročníku by
již měli žáci přecházet do úrovně neformální dedukce, jejich zdůvodnění by měla být
preciznější, měli by si uvědomovat více vlastností útvaru. Původní test jsem proto
pozměnila, k otázce např. „který útvar je trojúhelník“ měli žáci také zapsat, proč tak
soudí. U každého útvaru byla rovněž možnost útvar vlastními slovy „definovat“.
Test doposud vyplnilo celkově 130 žáků, a to 40 žáků 4. ročníku, 65 žáků
6. ročníku a 25 žáků 8. ročníku. Testování dále pokračuje, výsledky zatím nejsou
konečné.
Úloha 1: Je útvar na obrázku trojúhelník? Odpověď zakroužkuj a zdůvodni.
ano - ne
ano - ne
proč: ____________________
_____________________
proč: ____________________
_____________________
proč: ____________________
_____________________
proč: ____________________
_____________________
ano - ne ano - ne Jednoznačné výsledky jsem dle očekávání získala v případě 1B (rovnoramenný
trojúhelník stojící na základně), který většina žáků vnímá jako prototyp trojúhelníku.
V tomto případě 100 % žáků 4., 6. i 8. ročníku odpovědělo, že útvar je trojúhelník.
Zajímavé bylo sledovat zdůvodnění žáků. Pro některé bylo určujícím faktorem to, že
útvar má tři strany, nebo že má tři vrcholy, ale také že má rovné strany (bez udání
jejich počtu). Velmi často byla ale odpověď: vypadá jako trojúhelník. Tj. přesně takto
má vypadat trojúhelník. Tato odpověď se nejčastěji objevovala u žáků 4. ročníku
a nejméně často u žáků 8. ročníku. Žákova orientace na prototypický tvar a orientaci
útvaru sice s věkem a přibývajícími zkušenostmi klesá, avšak odpověď je velmi naivní
a neměla by se vyskytovat ani u žáků 4. ročníku. Někteří žáci 8. ročníku byli schopni
zvažovat také součet úhlů trojúhelníku, což je vlastnost, která se učí ve vyšších
ročnících 2. stupně.
Různé odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 1.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
19
Tabulka 1. Odpovědi na úlohu 1B.
Odpověď 4. ročník 6. ročník 8. ročník
Má 3 strany 20 % 12 % 48 %
Má 3 vrcholy 8 % 25 % 4 %
Má rovné strany 0 % 9 % 0 %
Má 3 úhly 3 % 3 % 0 %
Úhly dohromady dávají 180° 0 % 0 % 8 %
Vypadá jako trojúhelník 25 % 12 % 8 %
Žáci k popisu používali různé nepřesné termíny, vrchol např. nazývali jako
„špičku“ nebo „rožek“, stranu jako „čáru“ nebo „hranu“. Přesná terminologie je přitom
jedna z částí geometrického myšlení, kterou je třeba cíleně rozvíjet. Dle Hoffera (1981,
citováno z Dindyal, 2015) jsou verbální dovednosti (tj. správné používání terminologie
a přesné vyjadřování při popisování geometrických pojmů) jednou z pěti dovedností,
které se mají ve výuce geometrie rozvíjet. Těmito dovednostmi jsou vizuální
dovednosti, verbální dovednosti, dovednosti znázorňování a zakreslování, logické
dovednosti a schopnosti aplikace. Na obrázku 1 je ukázka řešení žáka 4. ročníku,
na níž můžeme sledovat potíže a nepřesnosti při vyjadřování.
Obrázek 1. Řešení úlohy 1 žákem 4. ročníku.
Ve výsledcích úlohy 1A (tupoúhlý trojúhelník stojící na vrcholu) se projevilo, že
zaměření na tvar a orientaci klesá s věkem žáků. Celkové výsledky jsou uvedeny
v tabulce 2.
Tabulka 2. Celkové výsledky úlohy 1A.
Je útvar 1A trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník
Ano 70 % 88 % 96 %
Ne 30 % 12 % 4 %
Žáci, kteří volili odpověď „ano“, nejčastěji uváděli zdůvodnění, že útvar má 3
strany. Žáci, kteří zvolili „ne“, uváděli jako zdůvodnění to, že je nakřivo, nebo že
všechny strany nejsou stejně dlouhé, ale objevovala se i další zdůvodnění. Mnoho
žáků neuvedlo žádné zdůvodnění.
Různé odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 3.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
20
Tabulka 3. Odpovědi pro úlohu 1A.
Odpověď 4. ročník 6. ročník 8. ročník
Má 3 strany 20 % 12 % 44 %
Má 3 vrcholy 10 % 22 % 4 %
Má 3 strany a 3 vrcholy 0 % 5 % 4 %
Má 3 rovné strany 0 % 10 % 0 %
Má rovné strany 0 % 15 % 0 %
Má 3 úhly 0 % 3 % 0 %
Úhly dohromady dávají 180° 0 % 0 % 8 %
Je nakřivo → ne 10 % 6 % 0 %
Všechny strany nejsou stejně dlouhé
→ ne
10 % 0 % 0 %
Z odpovědi „má rovné strany“ lze soudit, že pro některé žáky není jednoznačné,
zda strana trojúhelníku je automaticky úsečka, zda by se nemohlo jednat i o křivku.
Někteří žáci také zvažovali trojúhelníkovou nerovnost. Na následujícím obrázku
vidíme, že žák 6. ročníku usoudil, že trojúhelník 1A nesplňuje trojúhelníkovou
nerovnost. Trojúhelníkovou nerovnost desinterpretoval a vyložil si ji nesprávně.
Můžeme si všimnout, že měl problémy vyjádřit své myšlenky.
Obrázek 2. Řešení úlohy 1 žákem 6. ročníku.
U úlohy 1C ubývalo nesprávných odpovědí od 4. do 8. ročníku, jak je vidět
v tabulce 4. Žáci, kteří se domnívali, že útvar je trojúhelník, nejčastěji jako zdůvodnění
uváděli, že má 3 strany. Termín „strana“ tedy pro ně není ustálený. Žáci, kteří útvar
nepovažovali za trojúhelník, uváděli, že nemá rovné strany, nebo má více než 3
strany, má více než 3 vrcholy.
Tabulka 4. Celkové výsledky úlohy 1C.
Je útvar 1C trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník
Ano 18 % 9 % 0 %
Ne 82 % 91 % 100 %
Úloha 1D měla ještě vyšší úspěšnost. Jako zdůvodnění žáci uváděli, že nemá
rovný spodek, nemá rovné strany a více logická zdůvodnění, jako má 4 strany, má 4
vrcholy nebo má 4 úhly. Celkové výsledky jsou uvedeny v tabulce 5.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
21
Tabulka 5. Celkové výsledky úlohy 1D.
Je útvar 1D trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník
Ano 8 % 3 % 0 %
Ne 92 % 97 % 100 %
Úloha 2: Doplň: Trojúhelník je ___________________________________
Úkolem žáků v úloze 2 bylo vyjádřit vlastními slovy, co je trojúhelník. Nejčastější
odpovědí bylo útvar se 3 stranami. Termín „strana“ přitom u mnoha žáků není správně
vytvořen. Někteří žáci přidali přívlastek geometrický, jen minimum žáků uvedlo, že se
jedná o rovinný útvar. V některých případech zcela chyběl podmět. Mnoho žáků
neuvedlo žádnou odpověď.
Nejčastější odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 6.
Tabulka 6. Odpovědi v úloze 2.
Trojúhelník je … 4. ročník 6. ročník 8. ročník
Bez odpovědi 40 % 17 % 16 %
… geometrický útvar se 3 stranami 30 % 31 % 28 %
… geometrický útvar se 3 stranami
a 3 vrcholy
3 % 9 % 8 %
… geometrický obrazec se 3
vrcholy
3 % 15 % 4 %
… má dvě ramena stejně dlouhá a
větší než spodní
5 % 10 % 0 %
Žák 4. ročníku na obrázku 3 vychází z nesprávné představy, že trojúhelník je
pouze rovnoramenný trojúhelník. Ve větě chybí podmět.
Obrázek 3. Specifikace trojúhelníku žákem 4. ročníku.
Jeden z nejšikovnějších žáků 8. ročníku zmiňuje, že se jedná o rovinný útvar
a přestože jím uvedená definice (obrázek 4) by byla velmi netypická (uvádí vlastnost,
která není vnímána jako definitorická – součet vnitřních úhlů), do této specifikace
spadají opravdu všechny trojúhelníky.
Obrázek 4. Žák 8. ročníku podává jednu z nejlepších odpovědí.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
22
Úloha 3. Pro trojúhelník ABC doplň:
Zakroužkuj všechny body trojúhelníku:
A B C D E F Zakroužkuj vrcholy trojúhelníku:
A B C D E F
Zapiš strany trojúhelníku: __________
Již dříve bylo uvedeno, že mnoho žáků 4. ročníku mělo nesprávnou představu
o vnitřních bodech trojúhelníku. Proto mě zajímalo, jak se tyto představy mění
v průběhu 2. stupně ZŠ.
Nejméně problematická byla druhá část, tedy určit vrcholy trojúhelníku. Správnou
odpověď uvedlo 65 % žáků 4. ročníku, 98 % žáků 6. ročníku a 88 % žáků 8. ročníku.
Třetí úkol splnilo správně 35 % žáků 4. ročníku, 74 % žáků 6. ročníku a 72 %
žáků 8. ročníku. Větší část žáků přitom volila označení pomocí krajních bodů, tj.
𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, nežli označení malým písmenem 𝑎, 𝑏, 𝑐. Nejčastějšími chybami bylo
označení 𝐴, 𝐵, 𝐶, případně |𝐴𝐵|, |𝐵𝐶|, |𝐴𝐶|, nebo také 3 cm, 5 cm, 6 cm.
U první části jsme se setkali s rozličným pojetím. Někteří žáci za body
trojúhelníku vnímají pouze jeho vrcholy. Někteří naopak vrcholy za body trojúhelníku
nepovažují, a označili pouze body E a F. Jiní žáci za body trojúhelníku považují pouze
body A, B, C a E. Vyskytly se i další odpovědi. Nejčastější odpovědi jsou uvedeny
v tabulce 7.
Tabulka 7. Které body patří trojúhelníku?
Odpověď 4. ročník 6. ročník 8. ročník
Správně – A, B, C, E, F 8 % 26 % 48 %
Pouze body E, F 18 % 40 % 8 %
Pouze body A, B, C 13 % 2 % 0 %
Pouze bod E 10 % 6 % 28 %
Pouze bod F 18 % 3 % 4 %
Pouze A, B, C, E 3 % 8 % 4 %
Body D, E, F 25 % 5 % 0 %
4. Závěr Je zjevné, že na 2. stupni ubývá miskoncepcí o trojúhelníku. Žáci 8. ročníku např.
nepovažují za důležité aspekty otočení nebo netypický tvar. I u osmáků se však setkáme
s naivním vyjadřováním, používáním nesprávných termínů a desinterpretací některých
faktů.
Mnozí žáci napříč ročníky nemají usazené některé pojmy, jako je např. strana.
Žáci si nejsou jisti, zda je strana úsečka, nebo i křivka
Z výsledků je patrné, že žáci se ve výuce nesetkávají s tím, že by pojem nějakým
neformálním způsobem vymezovali. Proto i žáci 8. ročníku měli velké problémy
s vymezením pojmu. Někteří k popisu používali velmi naivní vyjadřování, někteří
zvažovali jen některé vlastnosti trojúhelníku a neuvažovali protipříklady.
Žáci mají značné problémy s chápáním, které body patří trojúhelníku. V této
souvislosti pro ně může být matoucí práce se dřívky nebo s geodetkou. Tím nechci říci,
že by žáci neměli s těmito pomůckami pracovat – určitě měli, protože pomůcky rozvíjí
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
23
některé důležité představy. Je však žáky třeba upozornit, že nemodelujeme trojúhelník,
ale pouze jeho hranici.
Podle mého názoru nejsou žáci 8. ročníku na úrovni neformální dedukce, kde by
měli být podle van Hieleho teorie. Dokládá to jejich malá schopnost útvar správným
a vyčerpávajícím způsobem specifikovat. Bez této schopnosti stěží mohou provádět
důkazy některých tvrzení o trojúhelnících.
Literatura
CUTUGNO, P., SPAGNOLO, F. (2014). Misconceptions about triangle in Elementary
school. Diakses tanggal, 24.
DINDYAL, J. (2015). Geometry in the early years: a commentary. ZDM Mathematical
Education. FIZ Karlsruhe.
GIAQUINTO, M. (2007). Visual Thinking in Mathematics. An epistemological study.
Oxford: University Press.
HOFFER, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74,
s. 11 – 18.
KOPÁČOVÁ, J., ŽILKOVÁ, K. (2015). Developing children’s language and reasoning
about geometrical shapes – a case study. In Novotná, H. Moraová, H. (Eds.),
International Symposium. Elementary Maths Teaching. Prague: Charles
University, Faculty of Education.
TIPPS, S., JOHNSON, A., & KENNEDY, L. M. (2011). Guiding Children’s Learning
of Mathematics. Wadsworth, Cengage Learning.
TSAMIR, P., TIROSH, D., LEVENSON, E., BARKAI, R., & TABACH, M. (2015).
Early years teachers‘ concept images and concept definitions: triangles, circles
and cylindres. ZDM Mathematics Education, 47 (3).
Mgr. Irena Budínová, Ph.D.
Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU
Poříčí 31, Brno, Česká republika
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
24
Matematizace slovních úloh – problém nejen pro žáky,
ale i pro jejich učitele
Mathematizing word problems - a problem not only for students but also for their
teachers
Jana Cachová
MESC: C30
Abstract
The paper deals with the mathematizing word problems (horizontal and vertical)
in the primary education. It shows some of the difficulties of pupils and their teachers. It
is possible to focus the teaching on improving correct ideas and understanding. It is
necessary to strengthen solving as well as creating tasks and challenges - for students
and for future teachers.
Key words: word problems, the horizontal and vertical mathematizing, creating
problems.
Abstrakt
Příspěvek se zabývá otázkami matematizace slovních úloh (horizontální
i vertikální) v primárním vzdělávání. Ukazuje obtíže nejen u žáků, ale i jejich učitelů.
Zlepšení vidí v zaměření vyučovacích přístupů na utváření správných představ a
porozumění, především pak v posílení orientace vzdělávání na řešení, ale i tvoření úloh
a problémů, a to jak u žáků, tak u budoucích učitelů.
Klíčová slova: slovní úlohy, horizontální a vertikální matematizace, tvoření úloh.
1. Ilustrační ukázka na úvod
Ve třetím ročníku děti řeší samostatně úlohu: Kolik pětek je potřeba k zapsání
všech čísel od 100 do 200?
Velmi brzy ukáže výsledek jeden žák, následně několik dalších. Všichni mají
správný výsledek 20. Učitelku to zaráží. Sama úlohu řešila mnohem delší dobu. Vyzve
žáky, aby komentovali svůj postup řešení.
Lukáš: „No, já jsem si řekl, že 200 mínus 100 je 100 a 100 děleno 5 je 20… no a
měl jsem výsledek.“
U: „Myslíš, Lukáši, že by to mohlo platit vždy při podobném zadání?“
L: „To nevím, ale já to dělal takhle.“
U: „Má někdo jiný způsob řešení, děti?“
Žáci: „Ne, my jsme to řešili stejně jako Lukáš.“
U: „Aha, já to řešila jinak. Dobrá, řekněme, že je to asi dobře.“
Učitelka se ani nepokusila pochopit řešení žáků. Pravděpodobně si nevěděla rady,
Lukášův komentář ji viditelně překvapil.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
25
2. Matematizace slovních úloh
Úlohu je možné řešit různými způsoby. K dobré představě o vlastnostech čísel
druhé stovky napomůže například stovková tabulka od 101 do 200 (součást tisícového
leporela Das Tausenderbuch, 2012), z níž je počet hledaných číslic dobře vidět (obr. 1).
Lukáš i ostatní s velkou pravděpodobností pouze použili zadaná čísla a provedli s nimi
formální operaci, aby výsledek mohl odpovídat očekávání učitelky.
Obrázek 1. Stovková tabulka druhé stovky z tisícového leporela s vyznačením
výskytu číslice 5.
Těžko s jistotou říci, co bylo příčinou, že většina žáků uchopila úlohu povrchně.
Bez jasné představy o pravidelném narůstání čísel druhé stovky a jejich zápisu
v desítkové soustavě pouze pokusně operovali se zadanými hodnotami. Učitelka nejspíš
zařadila tuto úlohu v dobré víře podpořit rozvoj myšlení žáků. Sama ale nebyla schopna
reagovat na nečekané řešení, které ji zmátlo o to víc, že se žáci dobrali k výsledku, který
považovala za správný.
Mezi příčiny chybné matematizace slovních úloh může často patřit také formální a
šablonovitý přístup k jejich řešení. Příkladem šablonovitého přístupu k řešení slovních
úloh je i striktní požadování jednotného způsobu zápisu slovní úlohy - viz obrázek 2
z jiné školy na začátku druhé třídy. Dívenka úlohu správně vyřešila a zapsala odpověď,
učitelka ale po ní požaduje jednotný zápis, zbytečně obohacený o algebraickou
neznámou x.
Obrázek 2. Ukázka opraveného řešení slovní úlohy.
Za formálním postupem žáků při řešení slovních úloh často stojí převládající tzv.
mechanické vzdělávání. To se projevuje absencí jak horizontální, tak vertikální
matematizace. „…Horizontální matematizací se rozumí proces, v němž je problém
z reality připravován k matematickému zpracování. Horizontální matematizace vede ze
světa reálného života do světa matematiky, tedy např. realita vyjádřená slovní úlohou je
popsána rovnicí. Vertikální matematizace pak znamená matematické zpracování
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
26
problému. Horizontální matematizace je tedy vytváření matematického modelu reality,
vertikální matematizace znamená fungování modelu. Horizontální matematizace je
důležitou součástí procesu poznání, na ní záleží, zda matematickými prostředky získané
výsledky mají význam pro studovanou část reality…“ (Kuřina, 2016). Podle přístupů
k matematizaci rozlišuje Kuřina v souladu s Treffersem čtyři typy vzdělávání (viz jeho
tabulka – tab. 1):
Tabulka 1.
VZDĚLÁVÁNÍ
Matematizace
Horizontální Vertikální
Mechanické - -
Empirické + -
Strukturalistické - +
Realistické + +
Pokud chybí horizontální matematizace, děti si správně nepředstaví problém,
nedokážou situaci vhodným způsobem modelovat, neznázorňují. Pokud není zastoupena
vertikální matematizace, vztah použitý k řešení dále nefunguje – nedá se zobecnit pro
podobné úlohy. Chceme-li dovést žáka ke správným představám a k porozumění, máme
podle Stehlíkové a Cachové (2006) několik možností:
vést jej k řešení vhodných problémů a samostatné tvůrčí práci,
vycházet ze vztahu matematiky k realitě (pracovat na projektech),
pěstovat umění vidět v matematice (proč a jak něco funguje),
rozvíjet matematickou gramotnost žáka (učit se pro život).
Do výše uvedených možností se promítá jak horizontální, tak vertikální
matematizace. Někde je více zastoupena horizontální (projekty, učení pro život), jinde
vertikální (umění vidět, jak co funguje), konkrétní poměr zastoupení záleží na
charakteru dané situace a učitelově přístupu.
L. Ma (1999) za základ matematiky považuje čísla a početní algoritmy. F. Kuřina
(Hošpesová a kol. 2011) dodává: „… k řešení úloh, ke skutečnému jádru matematiky se
na elementární úrovni hodí spíše klasická aritmetika, algebra a geometrie... Poznat
důkladně vlastnosti čísel, početních operací a strukturu elementární geometrie znamená
i budování aparátu k řešení úloh…“. L. Ma zadávala učitelům netradiční úlohy
z elementární aritmetiky. Ukázala, že existují učitelé, kteří učí, aniž by rozuměli obsahu.
Že ani pro naše budoucí učitele není matematický obsah vždy zcela jasný, dokládají
některé z následujících ukázek úloh, které studenti vytvořili k zadání: Sestavte slovní
úlohu, kterou bude možné vyřešit pomocí výpočtu 198 : 3 + 16.
Andrea: Najdi 3 čísla, jejichž součtem je číslo 198. Jedno číslo je o 16 větší než
ostatní. (Řešení: 198 : 3 = 66; č. 66, 66, 82)
Bára: Maminka měla 198 korun a chtěla je rozdělit mezi 3 děti, nejstarší z nich
dostal o 16 Kč více. Kolik dostalo nejstarší dítě? Adam a Aneta jsou dvojčata a
Petr je nejstarší dítě.
(Řešení: Dvojčata dostala každý 66 Kč, Petr dostal 82 Kč.)
Dana: Adélka, Pepíček a Anička mají celkem 198 kaštanů. Adélka má o 16 více
než Pepíček a Anička. Kolik má kdo kaštanů?
Eva: Na stavbu pyramidy bylo potřeba 198 krychlí. Pyramida se ale stavěla z
kvádrů. Jeden kvádr měl spojené 3 krychle. Při dostavbě zaútočil nepřítel a
muselo se dodat ještě 16 kvádrů. Kolik kvádrů se spotřebovalo?
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
27
Andree, Báře, ani Daně se nepovedlo dodržet, aby jejich zadání odpovídalo
danému výpočtu. Přitom jim nevadí, že součet všech třech částí převyšuje zadaný celek.
Studenti většinou volili úlohy s rozdělováním kaštanů, peněz nebo bonbonů mezi děti,
neobjevila se zajímavější propojení s realitou. Evino zadání je sice takovým pokusem,
ovšem stále neumělým. Hledání vhodných reálných situací, na které je možné konkrétní
matematický vztah aplikovat, je pro některé studenty učitelství problematické.
Žáci pátého ročníku vymýšleli slovní úlohy k zadanému násobení:
Planeo Elektro nakupuje 222 ks mobilních telefonů. 1 stojí 9032 Kč. Kolik zaplatí
za celý nákup?
Paní vedoucí nakoupila pro svoji firmu 1234 ks zimních bund. Prodávala je po
678 Kč. Všechny bundy byly vyprodány. Kolik Kč si vydělala paní vedoucí?
Ačkoli byly úlohy většinou o nakupování, byly „reálnější“ než počítání kaštanů a
bonbonů.
3. Tvořivý přístup k řešení úloh jako cesta k lepší profesionalitě učitele
Řešení slovních úloh patří neodmyslitelně k vyučování matematice. V přípravě
učitele primárního vzdělávání je zapotřebí posílit nejen jejich řešení, ale zároveň
tvoření. Ukotvení didaktiky v matematických souvislostech, respektující zákonitosti
pedagogiky a psychologie, je základem zvyšování profesionality vyučování v primární
škole. V americké pedagogice se vžil termín L. S. Shulmana didaktická znalost obsahu,
pro Evropu je ale spojení didaktiky a matematiky přirozené (Hošpesová a kol. 2011).
V hodině je důležité vycházet z tvořivé činnosti žáků, vedoucí k nabývání
zkušeností důležitých pro porozumění a formování správných představ o věcech a
jevech. Dobře vedené vyučování může rozvíjet myšlení i celou osobnost, učit správným
pracovním návykům. Ve školské praxi tomu tak často není - nejen v posledních letech.
Už F. Krček a C. Kehr (1889) upozorňují: „…Kvap, s jakým mnozí učitelé vyučují, a
kupení a hromadění učiva, v němž si mnohá škola libuje, jsou trvalosti a drženlivosti
vyučování na převelikou ujmu…“ a „ … pravidla početní se nepodávají, nýbrž
vyhledávají, vyvozují se od žáků cestou názoru a cvičení…“. F. Kuřina vidí jako
pomyslný lék „…orientaci matematického vzdělávání na řešení úloh, tedy na rozvíjení
myšlení ve vyučování…“ (podrobně Hošpesová a kol. 2011). Cestou k dobrému
vyučování je tak práce s vhodnými úlohami a problémy.
Literatura
HOŠPESOVÁ, A., A KOL. Matematická gramotnost a vyučování matematice. České
Budějovice: Jihočeská univerzita, 2011. ISBN978-80-7394-259-5.
KEHR, K., KRČEK. F. Praxe ve škole obecné. Winkler, Brno, 1889.
KUŘINA, F. Matematika jako pedagogický problém. Gaudeamus, Hradec Králové,
2016. ISBN: 978-80-7435-644-5.
STEHLÍKOVÁ, N., CACHOVÁ, J. Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe. In
Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP : Studijní materiály k projektu. 1. vyd.
Praha: JČMF, 2006. ISBN 80-7015-085-8.
WITTMANN, E., MÜLLER, G. Das Tausenderbuch mathe 2000, Klett, Stuttgart, 2012.
PhDr. Jana Cachová, Ph. D.
Katedra matematiky PřF UHK
Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
28
Tablet vo vyučovaní matematiky
Tablet in Mathematics Education
Soňa Čeretková, Ivana Boboňová, Mária Bernáthová
MESC: Q63,U73
Abstract
Since 2013, several projects dealing with the implementation of tablets in primary
and secondary education have been carried out in Slovakia. The use of tablets in
education create more dynamic learning atmosphere and, subsequently, the
requirements on teacher competence are also being changed. The article offers a
comparison of teachers' and pupils' activities in solving the same mathematical problem
traditionally and using tablets and Samsung School system.
Key words: tablet, mathematics, handout, Samsung School.
Abstrakt
Od roku 2013 sa na Slovensku realizujú viaceré projekty zaoberajúce sa
implementáciou tabletov do vyučovania v primárnom a sekundárnom vzdelávaní.
Využitie tabletov dynamizuje atmosféru vyučovacej hodiny a tým sa výrazne menia aj
požiadavky na kompetencie učiteľa. Článok prináša porovnanie práce učiteľa a žiakov
pri riešení tej istej matematickej úlohy tradične a s využitím tabletov a systému
Samsung School.
Kľúčové slová: tablet, matematika, pracovný list, Samsung School.
1. Digitálne technológie na slovenských školách
Digitálne technológie na slovenských školách začínajú reálne prispievať
k inovatívnemu spôsobu výučby. Nezisková organizácia EDULAB v spolupráci so
spoločnosťou Samsung Electronics Czech and Slovak, s.r.o., začala v roku 2013
realizovať pilotný projekt Škola na dotyk, ktorého cieľom bolo nielen dodať školám
tablety a iné dotykové technológie, ale hlavne vytvoriť dlhodobo fungujúce prostredie
pre ich využívanie vo výučbe (skolanadotyk.sk, 2013).
Inovatívny spôsob výučby pomocou tabletov a dotykových displejov, ktorý sa
realizoval v rámci pilotného projektu Škola na dotyk sa naplno rozbehol v roku 2014 na
všetkých zúčastnených školách. Ide doposiaľ o najväčší projekt svojho druhu na
Slovensku (skolanadotyk.sk, 2014). Do projektu bolo vybratých 12 základných
a stredných škôl z celého Slovenska. Ich výber sa uskutočnil na základe kvality
projektov predložených školami. Každá zo zúčastnených škôl následne získala,
v závislosti od počtu žiakov, približne 30 tabletov, dotykový displej a ďalšie
technológie, ktoré žiaci denne využívajú na vyučovaní (skolanadotyk.sk, 2013). Školy
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
29
získali nielen technické vybavenie, ale aj softvérovú a didaktickú podporu od
organizátora projektu, neziskovej organizácie EDULAB (skolanadotyk.sk, 2014).
Projekt Škola na dotyk sa v roku 2015 rozšíril aj v univerzitnom prostredí pod
názvom Škola na dotyk Univerzita. Cieľom bolo vytvorenie tabletových učební na pôde
univerzít a začlenenie práce s dotykovými technológiami do bežného vysokoškolského
kurikula so zámerom pripravovať budúcich učiteľov v podmienkach, ktoré ich čakajú
v ich budúcom zamestnaní (skolanadotyk.sk, 2017).
V rovnakom období prebiehal na Slovensku aj národný projekt Elektronizácia
vzdelávacieho systému regionálneho školstva. Jeho cieľom bolo zriadenie a vybavenie
digitálnych učební, vytváranie digitálneho vzdelávacieho obsahu a vyškolenie
vybraných osôb pre zabezpečenie ďalšieho vzdelávania pedagogických pracovníkov.
V rámci národného projektu získali materské, základné a stredné školy na Slovensku
(s výnimkou Bratislavského kraja) moderné digitálne vybavenie, ktoré im umožní
modernizovať výučbu. Spolu 1 026 škôl bolo vybavených modernou tabletovou
učebňou. Partnerom projektu bolo Metodicko-pedagogické centrum, ktoré zodpovedalo
za organizačno-personálne zabezpečenie využívania digitálnych vzdelávacích
materiálov pre moderné formy vyučovania (digiskola.sk, 2017).
Na efektívne využívanie digitálnych technológií vo vyučovaní je potrebné
vytvoriť adekvátne pracovné podmienky pre učiteľov, ktoré im umožnia naplno sa
venovať zvyšovaniu svojich vedomostí a zručností v oblasti digitálnej gramotnosti.
Zdieľanie edukačných aplikácií, či vytvorených metodických materiálov, ale aj zážitkov
a skúseností z používania tabletov vo vyučovaní považujeme za veľmi prínosné a preto
v tomto článku prinášame ukážku matematickej úlohy, ktorú možno riešiť s využitím
tabletu a systému Samsung School.
2. Porovnanie práce s klasickým pracovným listom a práce s tabletom v prostredí
Samsung School
V nasledujúcom texte uvedieme ukážky matematickej úlohy, ktorá je zložená
z troch nadväzujúcich zadaní (úloha 1.1, 1.2 a 1.3). V tabuľkách porovnávame
jednotlivé kroky riešenia a prácu žiakov a učiteľa pri tradičnom vyučovaní a pri práci
s tabletmi. Úloha bola riešená na jednej vyučovacej hodine matematiky v piatom
ročníku v triede, ktorú navštevujú žiaci so všeobecným intelektovým nadaním.
Úloha 1.1 Traja kamaráti sa rozhodli, že na Veľkonočný pondelok pôjdu vyšibať päť
svojich spolužiačok. Nevedeli presne, kde ktorá spolužiačka býva, ale poznali názov
ulice na sídlisku a mali ďalšie informácie, ktoré im mohli pomôcť spolužiačky nájsť.
Pomôžte chlapcom vypátrať adresy dievčat. Spolužiačky Evka, Zuzka, Milka, Lucka a
Katka bývajú takto: Eva býva v činžiaku, ktorý má v susedstve len jeden činžiak a
rovnako býva aj Zuzka. Lucka nebýva pri Evke ani Zuzke. Katka má za susedu Zuzku.
Tabuľka 1. Metodický komentár k procesu riešenia úlohy 1.1.
Klasický pracovný list Tablet a Samsung School
Žiaci pri hľadaní riešenia zapisujú
ceruzkou, pri omyle prečiarkujú, gumujú,
riešenie na papierovom pracovnom liste
sa stáva neprehľadným.
Funkcia pera v tablete umožňuje
zapisovať riešenie, funkcia gumy
nezanecháva stopu, riešenie je
prehľadné, žiak voľne experimentuje.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
30
Učiteľ priebežne zisťuje, aké riešenia
žiaci navrhujú, musí chodiť pomedzi
žiakov, kladie otázky, aby zistil, kto
postupuje v riešení správne.
Učiteľ monitoruje žiakov vo svojom
tablete z jedného miesta, vlastné
správne riešenie aj riešenia jednotlivých
žiakov má v tablete pohotovo pred
sebou.
Učiteľ hľadá správne riešenia
v pracovných listoch jednotlivých
žiakov, ak riešenia hneď hodnotí, zapisuje
na papierový pracovný list body, udeľuje
pečiatky a pod.
Učiteľ vo svojom tablete monitoruje
prácu všetkých žiakov súčasne, správne
riešenie okamžite ohodnotí spätnou
väzbou do tabletu žiaka.
Žiak má svoje riešenie vyriešené na
papierovom pracovnom liste a keď je
vyzvaný, aby s riešením oboznámil
ostatných spolužiakov, musí použiť
tabuľu a prekresliť obrázok.
Riešenie každého žiaka je možné
zdieľať do všetkých žiackych tabletov
naraz, prezentujúci žiak prepne funkciu
pera z písania na ukazovadlo a môže
svoje riešenie okamžite prezentovať
ostatným.
Úloha má dve riešenia, to predstavuje
nové kreslenie na tabuli, vzniká napríklad
riziko, že si predošlé riešenie musíme
kvôli miestu na tabuli zotrieť a pod..
Ďalšie správne riešenie umožní učiteľ
zdieľať do všetkých tabletov - všetkým
žiakom, nič sa nezotiera, nemaže.
Úloha 1.2 Teraz už vieme, v ktorom činžiaku býva, ktorá kamarátka. Ešte musíme zistiť
poschodie a číslo bytu. Číslo poschodia a bytu je výsledok výpočtu aritmetickej úlohy.
Vieme, že každá kamarátka býva v byte, ktorého číslo dáva ciferný súčet 9. Jedno
z dievčat upresnilo: „Ja bývam na prízemí a každá ďalšia kamarátka býva o poschodie
vyššie.
Tabuľka 2. Metodický komentár k procesu riešenia úlohy 1.2.
Klasický pracovný list Tablet a Samsung School
Žiaci riešia 25 aritmetických úloh v obore
malej násobilky. Žiaci zapisujú riešenia
do papierového pracovného listu alebo do
zošitov. Kontrola správnych výpočtov
spočíva v prečítaní výsledkov všetkých
25 výpočtov.
Každý žiak si nahrá zadanie do svojho
tabletu zo spoločne zdieľanej databázy
úloh (napr. Dropbox).
Učiteľ monitoruje na svojom tablete
výsledky každého žiaka. Nie je potrebné
čítať výsledky nahlas. Učiteľ vidí správne
alebo chybné riešenia jednotlivých žiakov.
Ak chce učiteľ upozorniť žiaka na chybu
a vyžaduje, aby žiak prepočítal zadanie
ešte raz, nemusí žiaka upozorniť
menovite, ale využije možnosť
„súkromnej hodiny“ s daným žiakom: na
učiteľskom tablete zdieľa obsah žiakovho
tabletu a podčiarkne chybné výsledky,
ktoré by si mal žiak opraviť.
Žiaci si zoberú pero (ceruzku, pastelku)
inej farby a hľadajú výsledky, v ktorých
je ciferný súčet 9. Opäť môže nastať
situácia že je potrebné opravovať
(gumovať, škrtať).
Žiaci využijú funkciu pera, zmenia farbu
pera. Ak sa žiak pomýli, jednoducho
chybné označenie odstráni a riešenie je
opäť prehľadné.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
31
Žiaci zistia, že súčinov s ciferným súčtom
9 je viac ako je dievčeniec. Dôležité je
vrátiť sa k zadaniu úlohy a uvedomiť si,
čo povedala v poslednej vete zadania
spolužiačka (čítanie s porozumením).
Prostredie na tablete je prehľadné a žiak si
rýchlejšie uvedomí dôležitú informáciu
v závere zadania.
Žiaci zmenia farbu pera a už len vyznačia
ako dievčence bývajú od prízemia po
najvyššie poschodie.
Úloha 1.3 Dievčatá sa na príchod chlapcov tešili a pripravovali. Každá ozdobila
kraslicu a použila nasledovné ozdoby:
Ozdobte i vy veľkonočnú kraslicu. Použite tie isté ozdoby – geometrické útvary, ktoré
použili spolužiačky.
Tabuľka 3. Metodický komentár k procesu riešenia úlohy 1.3.
Klasický pracovný list Tablet a Samsung School
Žiaci pri riešení vyfarbujú v papierových
listoch pastelkami.
Žiaci vyfarbujú v tablete pomocou funkcie
pero.
Spoločné prezentovanie riešenia v triede
sa môže uskutočniť presunom stoličiek
do kruhu alebo umiestnením obrázkov na
lavice, pripnutím na nástenku a pod.. Žiaci
svoje riešenia porovnávajú a zistia, že
riešenia sú rôzne a pestré.
Učiteľ monitoruje všetky tablety, vidí
všetky riešenia, svoj tablet zdieľa na
interaktívnu tabuľu a všetci žiaci vidia
riešenia všetkých spolužiakov naraz na
interaktívnej tabuli.
3. Záver
Práca s digitálnym vzdelávacím obsahom a využitie rôznych digitálnych aplikácií
a systémov zdieľania digitálneho obsahu učiteľom a žiakmi počas vyučovacej hodiny
s tabletmi prináša súčasnému učiteľovi výzvy k ďalšiemu, permanentnému vzdelávaniu,
t. j. nadobúdaniu nových kompetencií najmä v oblastiach organizácie vyučovacej
hodiny a primeranej adaptácie obsahu vyučovania do podoby využiteľnej v práci
s tabletmi. Otázka, do akej hĺbky dokáže vyučovanie s využitím tabletov nahradiť
tradičné vyučovanie (napríklad matematiky) a aké nové kompetencie bude musieť
učiteľ zvládnuť, je iba jednou z množstva otázok. Aktuálne sa na súčasné školstvo
kladie výzva vzdelávať generáciu žiakov, ktorej sa hovorí (Pilný a Kučerová, 2014)
„digitálni domorodci“ alebo generácia Y. Táto výzva nemôže byť ignorovaná.
Poďakovanie. Táto práca bola podporovaná Agentúrou na podporu výskumu a
vývoja na základe Zmluvy č. APVV-14-0446.
Literatúra
PILNÝ, I., KUČEROVÁ, T. Manéž informačního věku. 2014, BizBooks. Albatros
Media a.s.. ISBN 978-80-265-0169-5.
digiskola.sk. 2017. Národný projekt: Elektronizácia vzdelávacieho systému
regionálneho školstva. On line [19.1.2017] http://www.digiskola.sk/.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
32
skolanadotyk.sk. 2013. Tablety mieria do škôl. On line [19.1.2017]
http://www.skolanadotyk.sk/TYPO3/fileadmin/user_uploads/TS_Skola_na_dotyk
_final.pdf .
skolanadotyk.sk. 2014. Výučba pomocou tabletov sa rozbehla naplno. On line
[19.1.2017] http://www.skolanadotyk.sk/TYPO3/fileadmin/user_
uploads/TS_Skola_na_dotyk_02-1.pdf.
skolanadotyk.sk. 2017. Aktivity. On line [19.1.2017]
http://www.skolanadotyk.sk/aktivity.html.
doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD
Katedra matematiky FPV UKF v Nitre
Tr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitra
E-mail: [email protected]
PaedDr. Ivana Boboňová, PhD.
Katedra matematiky FPV UKF v Nitre
Tr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitra
E-mail: [email protected]
Mgr. Mária Bernáthová
ZŠ Benkova 34
949 11 Nitra
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
33
Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně
ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT
ve výuce matematiky
Analysis of Educational Needs and Competencies of Primary School Teachers in the
Olomouc Region for the Implementation and Use of ICT in Teaching Mathematics
Radka Dofková, David Nocar
MESC: U72
Abstract
The article analyses using ICT in mathematical education by primary school
teachers in Olomouc region: presentational and mathematical software, interactive
whiteboard, using and creating e-learning environments and learning materials, etc. The
article is based on the results of the research realized in schools in 2015/2016, aiming to
identify the training needs of teachers in different areas.
Key words: teaching of mathematics, ICT, teacher, primary school.
Abstrakt
Příspěvek analyzuje užívání ICT prostředků ve výuce matematiky učiteli prvního
stupně ZŠ v Olomouckém kraji: prezentační a matematický software, interaktivní
tabule, využití a tvorba e-learningových prostředí a studijních materiálů apod. Vychází
z výsledků výzkumného šetření realizovaného ve školním roce 2015/2016 na školách,
jehož cílem bylo identifikovat vzdělávací potřeby učitelů v různých oblastech.
Klíčová slova: výuka matematiky, ICT, učitel, první stupeň ZŠ.
Úvodem
Jedním z aktuálních trendů soudobého vzdělávání nejen v matematice je
implementace digitálních technologií do edukačního procesu. Aplikované technologie
jsou využívány ve velké míře (počítače, výukový software, digitální výukové objekty,
mobilní zařízení či interaktivní tabule) pro rozvíjení tvořivosti a kreativity žáků. Tento
potenciál je v poslední době ještě více umocněn rozvojem mobilních technologií
(smartphone, tablet), a proto není divu, že i tyto technologie je potřeba umět efektivně
zapojit do vzdělávacího procesu také v matematice, počínaje již výukou na prvním
stupni ZŠ.
1. Výzkumné šetření
Realizované výzkumné šetření bylo vedeno se záměrem identifikovat vzdělávací
potřeby učitelů 1. stupně základních škol Olomouckého kraje na základě jejich
aktuálních kompetencí k využívání ICT ve výuce matematiky, a to nejen pro potřeby
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
34
rozšíření nabídky předmětů v rámci dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků, ale i
jako reflexe současné skladby matematické komponenty studijní nabídky realizované
v prezenční i kombinované formě Katedrou matematiky PdF UP v rámci pregraduální
přípravy budoucích učitelů 1. stupně ZŠ.
Učitelé ze škol v Olomouckém kraji byli osloveni buď elektronicky, nebo osobně
členy realizačního týmu. Celková návratnost dotazníku byla 114. U dotazníků
distribuovaných elektronicky lze procentuální návratnost určit velmi těžko. Větší část
(zhruba 2/3) byla shromážděna při osobních návštěvách členů výzkumného týmu
na školách, kde byla návratnost 100%. Analýzy a grafické výstupy byly zpracovány
v programech Microsoft Excel a Statistica.
1.1 Rozdělení respondentů dle délky praxe
U sledovaného vzorku respondentů byla proměnná „délka praxe“ klíčovou
pro další analýzy. Dalo se předpokládat, že začínající učitelé prvního stupně budou mít
jiné požadavky na své další vzdělávání než učitelé, kteří v praxi působí již delší dobu.
V dotazníku se respondenti měli identifikovat s jednou z následujících 4 kategorií:
a. začínající učitelé (do 5-ti let praxe),
b. učitelé s délkou praxe do 15-ti let,
c. učitelé s délkou praxe mezi 15-ti a 30-ti lety,
d. učitelé s praxí delší než 30 let.
Začínajících učitelů odpovědělo celkem 35 (31 %) a tvořili druhou nejpočetnější
skupinu. Učitelů s délkou praxe do 15-ti let bylo 25 (22 %). Nejpočetnější skupinou byli
učitelé s délkou praxe mezi 15-ti a 30-ti lety, tvořilo ji 40 učitelů (35 %). Relativně silně
zastoupenou skupinou (vzhledem ke shromážděnému vzorku respondentů) byli i učitelé
s praxí delší než 30 let. Těch bylo celkem 14 (12 %). Takto vytvořené kategorie byly
analyzovány z hlediska normality rozdělení hodnot této proměnné.
1.2 Struktura dotazníku
Dotazníkové položky byly rozděleny do dvou částí. V první části byly zjišťovány
potřebné informace o osobě respondenta - pohlaví, věk, délka učitelské praxe, způsob
a preferovaná forma dalšího vzdělávání. Většinu odpovědí bylo možno realizovat
výběrem nabízených možnosti, případně doplnit odpověď, která v možnostech obsažena
nebyla. Možnosti poslední položky respondenti seřazovali dle míry vlastní preference
od hodnoty 1 (odpověď s nejvyšší prioritou) po hodnotu 4.
V další části bylo obsaženo 37 dotazníkových položek, formulovaných jako
tvrzení, kdy respondent mohl pomocí pětistupňové škály označit míru svého souhlasu
s uvedeným tvrzením, kde hodnota 1 označovala naprostý souhlas, hodnota 5 naopak
naprostý nesouhlas. Respondenti měli taktéž možnost zvolit „nevím, nedovedu
odpovědět“. Poslední, volitelná, položka byla formulovaná jako volná odpověď, coby
doplnění dotazníku o položku s vysokou důležitostí pro respondenta, která však
v dotazníku nebyla zahrnuta. Tuto možnost žádný z respondentů nevyužil.
Pro získání zpětné vazby o vlastním hodnocení postojů k dosavadním
kompetencím učitelů k využívání ICT ve výuce matematiky si ukážeme výsledky
získané z následujících položek dotazníku:
oblast č. 1: práce s ICT - prezentační software
oblast č. 2: práce s ICT - matematický software, internetové zdroje, tvorba
vlastních interaktivních a dynamických materiálů
oblast č. 3: práce s ICT - interaktivní tabule
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
35
oblast č. 4: využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní
škole
oblast č. 5: tvorba e-learningových studijních materiálů
1.3 Vyhodnocení sledovaných oblastí z dotazníku
Celkové rozložení absolutních četností odpovědí učitelů dle uvedených oblastí
a jejich poměrové vyjádření je patrné z následujícího grafu (obr. 1):
Obrázek 1. Četnost odpovědí učitelů u jednotlivých oblastí.
Nyní se podíváme podrobněji na jednotlivé oblasti. V položce zkoumající zájem o
vzdělávání v oblasti práce s ICT (prezentačním softwarem), obr. 2, výrazně převažovaly
kladné odpovědi.
Obrázek 2. Práce s ICT - prezentační software.
Další položka (obr. 3) „práce s ICT - matematický software, internetové zdroje,
tvorba vlastních interaktivních a dynamických materiálů“ zaujala téměř 60 %
respondentů (naprostý souhlas 23,7 %, souhlas 36 %).
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
36
Obrázek 3. Práce s ICT - matematický software, internetové zdroje, tvorba vlastních
interaktivních a dynamických materiálů.
Položka „práce s ICT - interaktivní tabule“ zaujala (s průměrnou hodnotou 2,04)
73 % respondentů s kladným postojem (naprostý souhlas 31,6 %, souhlas 41,2 %),
(obr. 4).
Obrázek 4. Práce s ICT - interaktivní tabule.
Nízký zájem o téma „využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na
základní škole“ (průměrná hodnota 2,80) lze vysvětlit pravděpodobně nedostatečným
rozšířením e-learningu na dotyčných školách případně nižší obeznámeností s tímto
způsobem realizace a podpory výuky. Celkově téma odmítá téměř 20 % respondentů - 7
% naprosto, 12,3 % vyjádřilo svůj nesouhlas (obr. 5).
Obrázek 5. Využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní škole.
Nízký zájem byl také o téma „tvorba e-learningových studijních materiálů“
(průměrná hodnota 3,19), celkem souhlasilo necelých 23 % učitelů z toho pouhá 4,4 %
naprosto. Zde lze usuzovat, že e-learning není na školách, kde oslovení pedagogové
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
37
působí, dostatečně rozšířen natolik, aby cítili potřebu vzdělávat se v uvedené oblasti
(obr. 6).
Obrázek 6.Ttvorba e-learningových studijních materiálů.
Závěr
Hodnocení jednotlivých položek zkoumající vzdělávací potřeby učitelů v oblasti
ICT bylo víceméně pozitivní. Pouze u dvou položek vyskytujících se v tomto seznamu
je poněkud překvapivý nízký zájem o témata, která jsou, případně budou v blízké
budoucnosti, aktuální i na základních školách: „využití e-learningových prostředí ve
výuce matematiky na základní škole“ a „tvorba e-learningových studijních materiálů“.
Je možné si zde položit otázku, z čeho nízký zájem o uvedená témata pramení.
Zda se jedná pro učitele o nezajímavá, neužitečná témata nebo naopak se jedná o
témata, která jsou natolik dobře známá, že učitelé nepociťují potřebu se jim věnovat ve
svém dalším vzdělávání. Dosažené závěry chápeme jako východiska nejen pro další
zkoumání, ale také pro zkvalitnění pregraduální přípravy budoucích učitelů.
Výzkumné šetření k využívání ICT ve výuce matematiky na základních školách a
s tím související šetření vzdělávacích potřeb učitelů je realizováno v rámci projektu
studentské grantové soutěže UP č. IGA_PdF_2017_014 .
PhDr. Radka Dofková, Ph.D.
Univerzita Palackého v Olomouci
Pedagogická fakulta, Katedra matematiky
Žižkovo nám. 5., 77140 Olomouc, Česká republika
E-mail: [email protected]
Mgr. David Nocar, Ph.D.
Univerzita Palackého v Olomouci
Pedagogická fakulta, Katedra matematiky
Žižkovo nám. 5., 77140 Olomouc, Česká republika
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
38
Geometrické myslenie študentov predškolskej a elementárnej
pedagogiky
Geometric thinking of students in preschool and elementary education
Ľubica Gerová, Katarína Sebínová
MESC: D75
Abstract
Development of geometric thinking is a longer process which is necessary to be
supported by manipulation activities from childhood. Quality understanding of
geometric concepts is important for future elementary teachers. The article presents
some factors that tell us about the state of their knowledge and skills during the bachelor
study geometry at university.
Key words: Primary and pre-primary education, geometry, preschool and elementary
pedagogy.
Abstrakt
Rozvíjanie geometrického myslenia je dlhšie trvajúci proces, ktorý je potrebné
podporiť manipulačnými činnosťami od detského veku. Kvalitné pochopenie
geometrických pojmov je dôležité pre budúcich učiteľov – elementaristov. Článok
prezentuje niektoré činitele, ktoré vypovedajú o stave ich vedomostí a zručností počas
bakalárskeho štúdia geometrie na vysokej škole.
Kľúčové slová: Primárne a predprimárne vzdelávanie, geometria, predškolská
a elementárna pedagogika.
1. Úvod
Matematická gramotnosť je podstatným pojmom, ktorý je zdôrazňovaný
v každom štátnom vzdelávacom programe (ďalej len ŠVP) pre príslušné vekové
kategórie od materských po vysoké školy. Mnohé články odbornej verejnosti
v poslednom období poukázali na jej klesajúcu úroveň (napr. Gerová, 2013), (Mokriš,
2010), (Scholtzová, 2010). Výsledky rôznych testovacích meraní žiakov základnej školy
to potvrdzujú (NÚCEM, 2017). Alföldyová s Palkovou (2016, s. 44) poukazujú
„na podpriemernú úroveň vedomostí žiakov na začiatku 5. ročníka ZŠ z tematického
okruhu geometria a meranie“. Na Pedagogickej fakulte UMB v Banskej Bystrici
v príprave budúcich učiteľov - elementaristov je vyučovaný predmet Matematická
gramotnosť 2, ktorý je orientovaný na tento tematický okruh ŠVP. V nasledujúcej časti
uvedieme niektoré výsledky študentov, ktoré preukazujú v tomto predmete.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
39
2. Úvod do vyučovania predmetu
Predmet Matematická gramotnosť 2 je vyučovaný v 2. ročníku bakalárskeho
štúdia odboru Predškolská a elementárna pedagogika. V jeho úvode študenti v LMS
Moodle absolvujú vstupný test. Cieľom je dať im spätnú väzbu o ich aktuálnych
vedomostiach a zručnostiach z geometrického učiva základnej školy, ktorého ovládanie
je nutné pre ich ďalšie štúdium. Test pozostáva z 15 úloh. Niektoré úlohy ponúkajú
výber odpovedí zo 4 možností (13), niektoré vyžadujú doplniť krátku odpoveď (2).
Úlohy sú algoritmické a poloalgoritmické, teda na úrovni reprodukcie (9) alebo
prepojenia (6) poznatkov a zručností. Vychádzajú z učiva o rovinných útvaroch
(trojuholníky, štvoruholníky), o telesách (kváder), o podobnosti útvarov, o zhodnom
zobrazení (osová súmernosť), o miere rovinných a priestorových útvarov. Zadanie
štyroch úloh vychádza z reálneho života. Na základe tohto obsahu by mal byť test
pre študenta vysokej školy ľahko zvládnuteľný.
V školskom roku 2016/17 vstupný test vypracovalo 75 študentov. Výsledky sú
vyjadrené v tabuľke 1.
Tabuľka 1. Vstupný test.
Úspešnosť v teste Počet %
100 % 6 8,00
Aspoň 65 % 37 49,33
Aspoň 50 % 47 62,67
Menej ako 33,33 % 6 8,00
0 % 14 18,67
n=75
Na základe dosiahnutých výsledkov v teste možno konštatovať priemerný výkon
študentov z učiva ZŠ. Sú študenti, ktorých úspešnosť bola nulová. To poukazuje na to,
že na učiteľské štúdium sa hlásia študenti, ktorí dosahujú priemernú, príp. podpriemernú
úroveň matematických poznatkov. Neselektuje ich prijímacia skúška z matematiky,
ktorá sa v danom odbore nerealizuje. Vzhľadom na to študenti nie sú nútení zdokonaliť
svoje vedomosti a zručnosti z geometrie pred vstupom na vysokú školu.
Na začiatku vyučovania daného predmetu študenti odpovedajú aj na dve otázky:
1. Ako hodnotím svoje súčasné geometrické vedomosti a zručnosti?
2. Ako mienim nadviazať svojou prácou v predmete na dosiahnutú úroveň
vedomostí a zručností?
Ich odpovede sme zhrnuli v tabuľke 2.
Tabuľka 2. Odpovede študentov.
1. otázka 2. otázka
Úroveň Počet % Počet %
Slabá 41 66,13 Zlepšiť základy učiva 33 53,23
Priemerná 16 25,81 Systematické učenie sa 16 25,81
Dobrá 5 8,06 Doučovanie 6 9,08
Zlepšiť porozumenie textu 5 8,06
Využiť spoluprácu 2 3,23
n=62
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
40
Študenti sa zaradili do troch úrovní, podľa ich vyjadrenia slabej, priemernej a
dobrej. Uvedomujú si svoju nedostatočnú úroveň na začiatku vyučovaného predmetu.
Na základe toho je pre nich náročnejšie nadviazať na ňu požadovaným učivom
v semestri. Každý študent (aj pri dobrej úrovni vedomostí) konštatoval potrebu
zlepšovať sa v učive ZŠ, lebo ho dostatočne neovláda. Často tiež konštatujú
nedostatočnú pozornosť vyučovaniu geometrie na stredných školách (ďalej len SŠ), a to
v súvislosti s absenciou tohto tematického okruhu, alebo s vyučovaním v obmedzenom
časovom priestore. Ide najmä o školy mimo gymnázií, z ktorých väčšina študentov
prichádza študovať odbor Predškolská a elementárna pedagogika. Časť z nich potrebuje
doučovanie mimo školy, alebo pomoc spolužiakov, pretože podľa ich konštatovania
„nie sú schopní problematiku zvládnuť sami“. Uvedomujú si problémy v porozumení
odborných textov, zadaní úloh, s čím súvisí ich dosiahnutá úroveň verbálnej a
symbolickej terminológie. Okrem teoretických základov študenti vidia svoje rezervy
vo svojom systéme učenia sa a v systematickom prístupe k učeniu sa. Viacerí študenti
uviedli aj viac možností súčasne.
Týmito vyjadreniami študenti len potvrdzujú svoje dosiahnuté výsledky
vo vstupnom teste.
3. Testy na priebežné overovanie vedomostí a zručností
Študenti mohli preukázať svoje predsavzatia zlepšovať sa v priebehu štúdia
predmetu Matematická gramotnosť 2. Ich spätnou väzbou boli aj priebežné výsledky
testov v 13 preberaných témach, ktoré im boli zadané v LMS Moodle, a to: Výstavba
geometrie (T1), Priestorová predstavivosť (T2), Bod, priamka, polpriamka, úsečka (T3),
Rovina, polrovina (T4), Rovinné útvary (T5), Zhodnosť rovinných útvarov (T6),
Polohové vlastnosti a kolmosť v priestore (T7), Niektoré topologické pojmy (T8),
Telesá (T9), Miera rovinných útvarov (T10), Miera priestorových útvarov (T11),
Zhodné zobrazenia (T12), Podobnosť útvarov (T13). Testy vypracovalo 74 študentov.
Dosiahnutú úspešnosť prezentuje tabuľka 3.
Tabuľka 3. Priebežné testy.
Testy Úspešnosť % Testy Úspešnosť %
T1 55,14 T8 49,85
T2 42,16 T9 65,92
T3 43,81 T10 45,05
T4 38,42 T11 48,21
T5 48,65 T12 35,14
T6 34,46 T13 34,64
T7 38,82
Cieľom zadaných testov bolo, aby študent zistil, či si v dostatočnej miere doplnil
učivo geometrie ZŠ a ako dokázal na to nadviazať učivom daného predmetu. Typy úloh
a ich úrovne riešenia boli podobné ako vo vstupnom teste. Úspešnosť v riešení nebola
vyššia ako 66 %. Najslabšie výsledky dosiahli študenti v teste T6 (34,46 %) a
T13 (34,64 %), ktoré sa týkali relácií v geometrii (zhodnosť a podobnosť rovinných
útvarov). S nimi sa v činnosti stretávajú i deti predškolského veku. Uvádzame ukážku
najslabšie vyriešených úloh v T6 (18,92 %) a v T13 (14,86 %):
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
41
Medzi nimi sú úlohy na reprodukčnej úrovni i úrovni prepojenia poznatkov.
Študenti najviac uspeli v teste T9 (65,92 %) súvisiacim s témou Telesá. Najvyššiu
úspešnosť (82,43 %) dosiahli v algoritmickej úlohe, v ktorej bolo potrebné určiť počet
vrcholov, hrán a stien štvorstena.
Aj keď celková úspešnosť v tomto teste bola najvyššia zo všetkých, nie je
postačujúca. Najlepšie vyriešenou úlohou je úloha na úrovni reprodukcie, nevyriešilo ju
však správne 17,57 % študentov.
Ukazuje sa, že väčšina študentov potrebuje väčší časový priestor na zlepšenie
základov geometrie na úrovni učiva ZŠ, ako majú k dispozícii počas predmetu
Matematická gramotnosť 2. Pretrvávajúce problémy im naznačujú, že musia vynaložiť
ešte viac úsilia a systematickej práce, ako predpokladali na začiatku predmetu. Pomôcť
v tom im môžu aj dobrovoľné konzultácie na vysokej škole, ktoré však využívajú
zriedka.
3. Záver
Potvrdzuje sa, že sa nezvyšuje kvalita geometrických vedomostí a zručností
študentov prijatých na štúdium odboru Predškolská a elementárna pedagogika. V
predchádzajúcom období o nej písala i širšia odborná verejnosť napr. (Gerová, 2016),
(Žilková, 2014), (Kuřina, 2016) a ďalší. Poukázala na príčiny a navrhla i možnosti
riešenia. Tie sú predovšetkým v rukách systematického riešenia problematiky na
celoštátnej úrovni a učiteľov ZŠ a SŠ. Budúci učitelia primárneho a predprimárneho
vzdelávania majú sklon k menej presnej popisnej geometrickej koncepcii, ktorá je však
určená skôr predškolskému a mladšiemu školskému veku. V ich učiteľskej príprave je
preto potrebné klásť väčší dôraz na presnosť a správnosť ich geometrických predstáv.
Na základe sebareflexie sami študenti musia vytrvať v svojej dôslednejšej príprave.
Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu KEGA 003TTU-4/2015
„Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých
4 ročníkoch osemročných gymnázií“.
Uvažujme len konvexné uhly. Ktorý striedavý uhol je zhodný
s uhlom TQR?
(Pri označení uhla zvoľte abecedné poradie bodov ležiacich na
jeho ramenách.)
T6
Trojuholník MNO na obrázku je pravouhlý. Úsečka OP je jeho výška. Ktoré
z trojuholníkov MPO, OPN, MON sú podobné? Označte jednu odpoveď.
1. Iba MPO a OPN. 2. Žiadne dva.
3. Iba OPN a MON. 4. Všetky tri.
T13
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
42
Literatúra
ALFÖLDYOVÁ, I. – PALKOVÁ, V. 2016. Úlohy z geometrického učiva v rámci
Testovania 5-2015. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, Universitas
Catholica Ružomberok. Ružomberok : 2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s. 39 – 44.
ISSN 1336-2232.
GEROVÁ, Ľ. 2013. Pripravenosť študentov k štúdiu matematiky na vysokej škole. In
Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou
„Matematika v primárnej škole, Rôzne cesty, rovnaké ciele“. Prešov : PF PU,
2013. s. 69 – 73. ISBN 978-80-555-0765-1.
GEROVÁ, Ľ. 2016. Geometrické predstavy budúcich učiteľov pre predprimárne a
primárne vzdelávanie. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, Universitas
Catholica Ružomberok. Ružomberok : 2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s. 65 – 69.
ISSN 1336-2232.
KUŘINA, F. 2016. Geometrie jako pedagogický problém. In Studia Scientifica
Facultatis Paedagogicae, Universitas Catholica Ružomberok. Ružomberok :
2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s. 9 – 21. ISSN 1336-2232.
MOKRIŠ, M. 2010. Priestor a tvar – pohľad na matematickú gramotnosť študentov
odboru predškolská a elementárna pedagogika. In Acta Universitatis Palackianae
Olomoucensis „Matematika 4“. Olomouc : PF UP, 2010. s. 182 – 186.
ISBN 978-80-244-2511-5.
NÚCEM. 2017. [online]. Bratislava : 2017. [cit. 2017-02-08]. Dostupné na:
<http://www.nucem.sk/sk/>.
SCHOLTOVÁ, I. 2010. Niektoré aspekty matematickej gramotnosti študentov odboru
Predškolská a elementárna pedagogika. In Acta Universitatis Palackianae
Olomoucensis „Matematika 4“. Olomouc : PF UP, 2010. s. 271 – 276. ISBN 978-
80-244-2511-5.
ŽILKOVÁ, K. 2014. Poznatky a predstavy o pravouholníkoch študentov učiteľstva pre
primárne vzdelávanie. In Acta Universitatis Palackianae Olomoucensis
Matematika 6 „Mathematics education in primary school – tradition, inovation“.
Olomouc : UP, 2014. s. 284 – 288. ISBN 978-80-244-4062-0.
PaedDr. Ľubica Gerová, PhD.
Katedra predškolskej a elementárnej pedagogiky
Pedagogická fakulta UMB Banská Bystrica
Ružová 13, 974 11 Banská Bystrica
E-mail: [email protected]
RNDr. Katarína Sebínová, PhD.
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied UMB Banská Bystrica
Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
43
Matematická gramotnosť vo vzdelávaní súčasných i budúcich
učiteľov
Mathematical literacy in the education of in-service and prospective teachers
Jana Hnatová
MESC: U75
Abstract
The paper explores the construction task about hexaflexagon as an example of
numeracy development with its practical implication. The task was included in the
Mathematical Literacy course within the training of primary school teachers and in the
We Start with GeoGebra accredited training program for in-service teachers.
Key words: Mathematical Literacy, Hexaflexagon Task, Dynamic Geometry,
GeoGebra.
Abstrakt
Príspevok sa zaoberá ukážkou rozvoja matematickej gramotnosti s presahom
do praxe prostredníctvom konštrukčnej úlohy o hexaflexagone. Úloha bola zaradená
do vzdelávania študentov učiteľstva primárneho vzdelávania v predmete Matematická
gramotnosť a do akreditovaného vzdelávacieho programu Začíname s programom
GeoGebra určeného pre učiteľov zo škôl.
Kľúčové slová: matematická gramotnosť, úloha o hexaflexagone, dynamická
geometria, GeoGebra.
1. Úvod
V súčasnosti na Slovensku prebieha niekoľko rôznych meraní monitorujúcich
dosahovanú úroveň vedomostí a zručností z matematiky žiakov rôznej vekovej alebo
vzdelanostnej úrovne. Nelichotivým zistením, že „zaradením úloh s praktickým
presahom sa úspešnosť ich riešenia znižuje“ a odporúčaním „zaradzovať do výučby viac
aplikačných úloh vyššej kognitívnej úrovne“ (NÚCEM, Testovanie 5, 2015) odbornú
učiteľskú obec pravdepodobne neprekvapíme. Tento fakt však bol podnetom pre
zamyslenie sa nad potrebou zaraďovať aj do vzdelávania súčasných i budúcich učiteľov
úlohy podporujúce rozvoj matematickej gramotnosti s praktickým presahom
do reálneho života.
2. Úloha o hexaflexagone
Úlohami orientovanými na rozvoj matematickej gramotnosti s presahom do praxe
sledujeme schopnosť študenta používať svoje matematické poznatky na pochopenie
a riešenie problémov reálneho života.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
44
Ukážka, pomocou ktorej chceme demonštrovať možnosti rozvoja, vychádza
z oblasti zábavnej matematiky. Upravili sme ju však do podoby konštrukčnej
geometrickej úlohy o hexaflexagone. Úlohu sme začlenili do vzdelávania učiteľov
v akreditovanom vzdelávacom programe Začíname s programom GeoGebra na
hodinách matematiky a tiež do vzdelávania študentov bakalárskeho štúdia v predmete
Matematická gramotnosť. Dôvodom začlenenia bol práve praktický presah úlohy, jej
silný propedeutický náboj a v neposlednom rade veľká variabilnosť jej konštrukčného
riešenia s možnosťou využitia klasických rysovacích prostriedkov i dynamických
geometrických systémov.
Znenie úlohy je jednoduché: „Navrhnite predlohu na zhotovenie „magického“
papierového pozdravu v tvare jednoduchého plochého modelu tri-hexaflexagonu.“
Hexaflexagon je „magická“ skladačka vyrobená z prúžka papiera. Ten postupne
skladáme cez rovnostranné trojuholníky do tvaru pravidelného šesťuholníka, ktorý má
na rozdiel od jednoduchého modelu mozaikovo vyskladaných viacero povrchových
plôch. Vychádzajúc z názvu, sa v tri-hexaflexagone skladaním „objavia“ tri plochy.
Samozrejme, na internete nájdeme množstvo voľne stiahnuteľných predlôh
hexaflexagonov aj s rôznymi farebnými či obrazovými aplikáciami. Svoj hexaflexagon
má napríklad Vida! Science Centrum Brno aj kreslené filmy z produkcie Walt Disney
Studio - Inside Out, Zootopia, Moana či Kniha džunglí (obr. 1). Tieto však patria
do skupiny hexa-hexaflexagonov, teda hexaflexagonov so šiestimi mozaikovými
plochami, ktorých konštrukcia je prácnejšia.
Obrázok 1. Ukážky flexagonov dostupných na internete.
Ak chceme v rámci vzdelávacej aktivity vytvoriť vlastný model tri-
hexaflexagonu, potrebujeme: prúžok papiera danej šírky alebo hárok papiera s danými
rozmermi, rysovacie potreby alebo softvér schopný dynamickej konštrukcie, nožničky
a lepidlo. Študent, v pozícii tvorcu predlohy, stojí pred konštrukčnou úlohou zostrojiť
10 zhodných rovnostranných trojuholníkov tak, aby boli rozmery prúžka alebo papiera
vhodne využité. Ďalšou limitujúcou podmienkou praktickej realizácie konštrukčného
postupu je možnosť (pri konštrukcii na papier) resp. nemožnosť (pri konštrukcii na
prúžok papiera) zmysluplne využiť jednotlivé základné rysovacie nástroje.
Pôvodná požiadavka na konštrukciu hexaflexagonu sa teda v prvom kroku
transformovala do dvoch variantov čiastkových konštrukčných úloh:
Úloha 1A: Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, ak je daná jeho výška v
s použitím pravítka a uhlomera.
Úloha 1B: Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, ak je daná jeho výška v
s použitím pravítka a kružidla.
Konštrukcie navrhnuté študentmi na seminári Matematická gramotnosť sme
vizuálne spracovali v programe GeoGebra (obr. 2).
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
45
a) b)
c)
d)
Obrázok 2. Konštrukcie rovnostranného trojuholníka podľa zadania úloh 1A
a 1B v programe GeoGebra.
Myšlienkovo podobné typy konštrukcií sa objavovali aj pri zadaní úlohy
vo vzdelávaní učiteľov z praxe. V oboch skupinách jednoznačne dominoval
konštrukčný postup s využitím uhlomeru (obr. 2b). Konštrukčné postupy bez neho sa
objavili len ojedinele, pri študentoch až po praktickej ukážke nemožnosti využitia
uhlomeru pri práci s prúžkom papiera.
V druhom kroku kompletizácie predlohy musí študent – tvorca predlohy zvážiť
konštrukciu ostatných zhodných trojuholníkov. Pri nich je možné vychádzať:
z konštrukcie trojuholníka podľa niektorej z viet sss, sus alebo usu, v súlade so
zadaním nasledujúcej úlohy:
Úloha 2A: Je daný rovnostranný trojuholník ABC. Zostrojte rovnostranný
trojuholník CBD;
z využitia zhodného zobrazenia, konkrétne osovej súmernosti, vychádzajúc
z úlohy:
Úloha 2B: Zostrojte obraz rovnostranného trojuholníka ABC v osovej
súmernosti podľa priamky BC.
Zaujímavým momentom bolo študentmi na seminári navrhnuté intuitívne použitie
osovej súmernosti pri skladaní prúžka papiera bez potreby realizovať konštrukciu
pomocou rysovacích potrieb. Po praktickom vyskúšaní ho však precíznejší študenti
zavrhli ako nepresné. V skupine učiteľov pracujúcich s programom GeoGebra boli oba
typy konštrukcií navrhnuté a pomocou dynamických konštrukcií aj odskúšané.
Oceňovanou sa stala možnosť zostrojenia obrazu trojuholníka v osovej súmernosti
pomocou zabudovaného nástroja Osová súmernosť a možnosť záverečných farebných
úprav. Dynamická konštrukcia navyše umožňovala v prípade využitia posuvníkov
meniť šírku prúžka v predlohe podľa reálnych potrieb a krokovo demonštrovať
konštrukčný postup riešenia úlohy.
Jej funkčnú verziu sme s možnosťou stiahnutia sprístupnili na
https://www.GeoGebra.org/m/m7z58KYy (obr. 3).
Otázke: „Ako postupovať v prípade vytvárania predlohy so žiakmi na primárnom
stupni vzdelávania?“ sa budeme venovať v blízkej budúcnosti.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
46
Obrázok 3. Výkres dynamickej konštrukcie tri-hexaflexagonu v programe
GeoGebra.
3. Zhrnutie
Kľúčovou výhodou prezentovanej úlohy je jej prepojenie s praktickým životom
v podobe reálne zhotoviteľného výstupu a presah požiadaviek na konštrukciu predlohy
cez viacero stupňov vzdelávania.
Študentom učiteľstva pre primárne vzdelávanie táto úloha prináša:
zábavnú, časovo primeranú, materiálne a finančne nenáročnú aktivitu so
silným propredeutickým nábojom pre ich budúcich žiakov,
ukážku prepojenia matematiky, konkrétne geometrie s praxou,
opodstatnenie požiadavky zvládnuť počas štúdia elementárnej geometrie na
požadovanej úrovni konštrukcie trojuholníka a zhodné zobrazenia v rovine,
možnosť zapojenia digitálnych technológií do konštrukcie predlohy
a následného grafického spracovania výstupu,
rôznorodosť v podobe náročnejších konštrukcií ďalších flexagonov
(tertaflexagonov alebo octaflexagonov).
Učiteľom z praxe táto úloha a jej výstup umožňuje:
rozšíriť portfólio o novú, ľahko zhotoviteľnú učebnú pomôcku demonštrujúcu
základné vlastnosti rovnostranného trojuholníka a pravidelného šesťuholníka
s potenciálom identifikovať základné vlastnosti a vzťahy medzi stranami
a uhlami v týchto útvaroch,
doplniť zbierku úloh praktického využitia matematiky v edukačnej praxi
s reálne použiteľným materiálnym výstupom,
využiť metodickú variabilitu pri jej zaradení do výučby,
získavať a rozvíjať ďalšie kompetencie či už matematické alebo zamerané na
prácu s počítačom a vhodne zvoleným edukačným softvérom.
Literatúra
MOKRIŠ, M., SCHOLTZOVÁ, I., ZEĽOVÁ V. Matematická gramotnosť študentov
odboru Predškolská a elementárna pedagogika na konci 1. stupňa
vysokoškolského štúdia in Acta Paedagogicae Presoves - Nova Sandes. Annus VII.
Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, 2011. s. 102-110.
ISBN 978-80-555-0376-9.
NUCEM. Testovanie 5-2015 Priebeh, výsledky a analýzy. Bratislava: NÚCEM, 2016.
On line [02.02.2017] https://lnk.sk/djmQ.
PRÍDAVKOVÁ, A. Elements of mathematical literacy in primary teacher training in
Mathematics XVI. Czestochowa: Publishing House of Jan Dlugosz University of
Czestochowa, 2011. ISBN 978-83-7455209-7.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
47
PÁLKOVÁ, V., PRÍDAVKOVÁ, A. a kol. Matematika pre život : zbierka úloh na
rozvoj matematickej gramotnosti žiakov primárnej školy. Prešov: Prešovská
univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, 2013. ISBN 978-80-555-0743-9.
WALT DISNEY ANIMATION STUDIOS. The Jungle Book - hexaflexagon. 2016. On
line [04.02.2017] https://lnk.sk/exB9.
WALT DISNEY ANIMATION STUDIOS. Zootopia - hexaflexagon. 2016. On line
[04.02.2017] https://lnk.sk/INQS.
RNDr. Jana Hnatová, PhD.
Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta
Katedra matematickej edukácie
17. novembra 15, 08001 Prešov
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
48
Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití
geometrie v praxi
Mathematics in Elementary School with Focus on Geometry Utilization in Practice
Jitka Hodaňová
MESC: D40
Abstract
The article describes the graphical and non-traditional problems in mathematics.
Subject matters are a part of the article which we can use in mathematical and art
teaching. The article gives item for relation developing between school subjects.
Teachers develop pupils’ mathematical interest with help of geometrical problems.
Geometrical object drawing prepares pupils for technical objects, too. Technical
education must start in the elementary school and it is necessary to use the
comprehensive approach to the educational program.
Key words: geometry, relation between subjects, technical practice.
Abstrakt
Článek je zaměřený na grafické a netradiční úlohy v matematice. Součástí článku
jsou náměty, které je možné využít v hodinách matematiky i v hodinách výtvarné
výchovy. Článek rozvíjí mezipředmětové vztahy. Geometrickými úlohami učitelé
rozvíjí zájem žáků o matematiku. Rýsování geometrických objektů připravuje žáky také
pro technické předměty. Výchova žáků pro technickou praxi musí začít již na 1. stupni
ZŠ a je nutné se zaměřit na komplexní přístup k realizaci vzdělávacího programu.
Klíčová slova: geometrie, mezipředmětové vztahy, technická praxe.
1. Ukotvení matematiky v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní
vzdělávání (RVP ZV)
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání je kurikulární dokument,
který vymezuje závazné rámce vzdělávání pro jeho jednotlivé etapy. RVP ZV navazuje
svým pojetím na RVP PV (Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání) a
je východiskem pro koncepci rámcových vzdělávacích programů pro střední vzdělávání.
Dále vymezuje to, co je nezbytné a společné pro vzdělávání žáků všech základních škol,
především pak základní učivo a očekávané výstupy v jednotlivých obdobích školní
docházky. RVP ZV také specifikuje úroveň klíčových kompetencí, jíchž by žáci měli
dosáhnout na konci základního vzdělávání. Zároveň také podporuje komplexní přístup
k realizaci vzdělávacího obsahu (Hejný, Kuřina, 2009) a umožňuje volbu různých
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
49
vzdělávacích postupů, odlišných metod, forem výuky a využití všech podpůrných
opatření ve shodě s individuálními potřebami žáků.
Vzdělávací obsah základního vzdělávání je v RVP ZV orientačně rozdělen do
devíti vzdělávacích oblastí. Vyučovacímu předmětu matematika je věnována celá jedna
vzdělávací oblast s názvem Matematika a její aplikace. Vzdělávací obsah této oblasti je
rozdělen na čtyři tematické okruhy – Číslo a početní operace; Závislosti, vztahy a práce
s daty; Geometrie v rovině a v prostoru; Nestandardní aplikační úlohy a problémy
(Hejný, Kuřina, 2009).
2. Výzkumné šetření zaměřené na využití matematiky v běžném životě
Komplexní přístup při realizaci vzdělávacího programu v matematice na prvním
stupni základní školy zahrnuje rovněž rozvíjení zájmu žáků o matematiku. Zájem žáků
o matematiku se prohlubuje také tím, že ukazujeme žákům význam matematiky pro
praxi a využití matematiky v běžném životě. V rámci souvisislé pedagogické praxe při
výuce matematiky na prvním stupni základních škol jsme se zajímali, zda si žáci na
prvním stupni základních škol uvědomují možnosti využití matematiky v běžném
životě. Naše výzkumné šetření jsme realizovali v pátých třídách základních škol.
Soustředíli jsme se především na to, v jakých oblastech žáci pátých tříd základních škol
využívají matematického vzdělání. Ke sběru dat pro odpovědi jsme zvolili dotazník,
který byl předložený žákům pátých tříd na prvním stupni fakultních základních škol v
Olomouci. Výsledný výzkumný vzorek představoval 71 respondentů. Dotazníky byly
zadávány osobně. Následně byla provedena analýza odpovědí. Žáci pátých tříd
základních škol měli uvést oblasti, ve kterých využívají matematiku v běžném životě.
Tabulka č. 1. Aplikace matematiky v běžném životě.
Kategorie uvedených odpovědí Absolutní četnost
Obchod a peníze 36
Domácí příprava do hodin matematiky 25
Práce s rodiči doma (dílna, zahrada, kuchyně) 10
Sport, hry na PC 6
Řešení zábavných příkladů a hlavolamů 4
Graf č. 1. Aplikace matematiky v běžném životě.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
50
Vhodným prostředkem, jak rozvíjet zájem žáků o matematiku je geometrie
v rovině a v prostoru. V hodinách matematiky, které jsou věnovány geometrii, je možné
rozvíjet grafické dovednosti žáků, které podporují vytváření mezipředmětových vztahů,
např. vztah geometrie a výtvarné výchovy. Některé příklady mohou žákům ukazovat
využití geometrie v technické praxi.
3. Geometrie v rovině a v prostoru
V rámci tematického okruhu geometrie v rovině a v prostoru žáci pracují
s geometrickými objekty, a to i v reálných situacích, tedy se zřetelem na objekty kolem
nás. Dokážou určovat polohu objektu v rovině i v prostoru, porovnávají, odhadují, měří
délku, obvod, obsah i velikost úhlu a zdokonalují svůj grafický projev. (RVP ZV, 2007)
Podle RVP ZV řadíme mezi rovinné útvary, se kterými žák na prvním stupni
základní školy pracuje, následující objekty: lomená čára, přímka, polopřímka, úsečka,
čtverec, obdélník, trojúhelník, kružnice, kruh, čtyřúhelník a mnohoúhelník. Žáci na
prvním stupni základní školy si rozvíjí jednak jemnou motoriku, dále pak vizuální a
prostorovou představivost, kompozici a fantazii.
V článku uvádíme několik příkladů, které rozvíjí geometrické znalosti žáků na
prvním stupni základní školy. Současně uvedené příklady ukazují vztah mezi geometrií
a výtvarnou výchovou a geometrií a běžným životem.
4. Grafické úlohy v geometrii na 1. stupni základní školy
Osová souměrnost nemusí být pouze základním učivem. Lze ji využít
prostřednictvím zajímavých úloh jako oživující a motivační prvek během hodin
matematiky napříč všemi ročníky prvního stupně ZŠ.
Příklad č. 1 Osová souměrnost
V levé části obrázků vidíš levou polovinu objektů. Dokresli do obrázků pravé
poloviny objektů.
Obrázek 1. Osová souměrnost.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
51
Kružnice a kruh jsou základními geometrickými útvary, se kterými se děti
setkávají již od předškolního věku. Dovednost narýsovat kružnici je součástí
geometrického učiva již ve třetím ročníku prvního stupně. Přesto je práce s kružítkem
pro některé děti poměrně náročná. Následující úlohy slouží jako náměty pro
zdokonalení manipulace s kružítkem.
Příklad č. 2 Konstrukce kružnic - bubliny
Narýsujte libovolný počet kružnic s libovolným poloměrem. Kružnice se mohou
vzájemně překrývat. Kružnice vybarvěte dle fantazie.
Význam této úlohy spočívá v nácviku práce s kružítkem. Je kladen důraz na
přesnost rýsování a na zvládnutí manipulace s kružítkem. Ve výtvarné výchově můžeme
využít tohto nácviku v rýsování kružnic z geometrie např. v tématu vodní svět.
Obrázek 2. Konstrukce kružnic – bubliny.
Příklad č. 3 Kružnice - květina
Ve středu stránky narýsuj kružnici o poloměru 4 cm. Narýsuj druhou kružnici
s týmž poloměrem a se středem ležícím na křivce první kružnice. Středem třetí
kružnice, stále s poloměrem 4 cm, je průsečík obou předešlých kružnic. Tento postup
opakuj ještě 4krát. Vzniklý květ je možné vybarvit dle fantazie (předlohy).
Obrázek 3. Kružnice – květina.
Příklad č. 4 Geometrické objekty v rovině
Narýsujte v rovině libovolný počet obdélníků nebo čtverců. Jednotlivé obdélníky
nebo čtverce je možné barevně zvýraznit.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
52
Obrázek 4. Obdélníky. Obrázek 5. Čtverce.
3. Závěr
Tyto úlohy jsou formulovány na stejném principu jako úloha bubliny. Jsou určeny
pro nácvik rýsování kružnic, čtverců a obdélníků, pro upevnění této dovednosti a pro
rozvoj kreativního vyjadřování žáků. Kreativita je základní podmínkou lidské existence.
Rozvíjení kreativity žáků je důležité pro jejich další studium, pro získávání zkušeností a
pro budoucí volbu profesního zaměření.
Zpracováno za podpory projektu Grantový fond děkana PdF UP v Olomouci,
Česká republika.
Literatura
HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy
k vyučování. 2. vyd. Praha: Portál, 2009. ISBN 978-80-7367-397-0.
KRIŽALKOVIČ, K., HÁJEK, J., MALINOVÁ, E., DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky
pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vydání. Praha: SPN, 1989, 269s. ISBN 8004204333.
NOVÁK, B. Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky 2: pro studium učitelství pro
1. stupeň ZŠ). 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2004, 66s.
ISBN 802-440-916.
STOPENOVÁ, A. Matematika II. Geometrie s didaktikou. Olomouc: Univerzita
Palackého v Olomouci, 2001. 62 str. ISBN 80-7067-978-6.
ZDENĚK, M. Základy výtvarné výchovy: Učebnice pro pedagogické fakulty. 1. vyd.
Praha: SPN, 1987, 291 s.
Online zdroje:
KUCHAŘ, J., A. Grafické a netradiční úlohy ve výuce matematiky na 1. stupni základní
školy. Diplomová práce, Olomouc: Univerzita Palackého, 2016.
Mgr. Jitka Hodaňová, Ph.D.
Pedagogická fakulta UP
Žižkovo nám. 4, 771 40 Olomouc,
Česká republika
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
53
Pracovní listy rozvíjející předmatematickou gramotnost
u předškolních děti zařazené do vzdělávání učitelek
mateřských škol
Work sheets developing the pre-mathematics literacy used in the process of the
kindergarten teacher´s training
Michaela Kaslová
MESC: B56
Abstract
Work sheets focused on the development of pre-mathematics literacy are
numerous. In the Czech Republic it is not obligatory to review them before the
publishing. This fact influences their quality and produces a lot of problems in practice.
Key words: Quality of worksheet, pre-mathematics literacy.
Abstrakt
Pracovní listy na trhu určené pro rozvoj předmatematické gramotnosti jsou
početné. V ČR nepotřebují recenzní posudek před jejich publikací. To ovlivňuje jejich
kvalitu a působí problémy v praxi.
Klíčová slova: Kvalita pracovních listů, předmatematická gramotnost.
1. Úvod
Pracovní list má relativně mladou historii v kontextu školního prostředí. Podobně
jako Čapek (2015) kladu izolovaný pracovní list na pomezí mezi učebnicí a pracovním
sešitem. V dostupných materiálech k vývoji našeho školství od období Československa
po dnes můžeme spatřovat předchůdce pracovního listu v učitelově práci na tabuli, kdy
„popsal či pokreslil“ celou desku tabule před hodinou a během vyučování s danými
informacemi pracovala celá třída buď ústně, nebo písemně tak, že text z tabule přepsali
do sešitu nebo na papír. Rozvojem nových technologií se objevovaly učitelské -
autorské pracovní listy (dále PL) psané na psacím stroji přes kopírovací papír, později
množení na cyklostylu až se dospělo k jejich množení na kopírce či elektronické
tiskárně. Na popsaných případech šlo dominantně o výtvor učitele. S rozvojem nových
technologií se začalo vyskytovat i kopírování jednotlivých listů od jiných autorů.
V době internetu jsou v nabídce také PL (i anonymní) k volnému stažení. To, co bylo
zpočátku pro PL typické (obsah i forma byly „šité na míru dané skupině žáků), zčásti
vymizelo. Jsou země, kde se nepoužívají učebnice ani pracovní sešity, ale žáci dostávají
od učitele jednotlivé PL a vkládají je do desek. Jejich počet za rok se liší třída od třídy,
stát od státu. Nelze tedy tvrdit, že PL se vyskytují jen tam, kde je nadbytek financí.
Původní role procvičování se rozšiřuje o role nové.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
54
Termín „pracovní list“ se vyskytoval zpočátku především v singuláru. Pokud
analyzujeme pracovní sešity jak pro ZŠ, tak pro mateřskou školu, pak na pracovní sešit
můžeme pohlížet jako na specifický soubor pracovních listů, které jsou v matematice
zpravidla svázány. Pokud jde o pracovní sešity v ZŠ, jde vždy o strukturovaný
gradovaný soubor PL provázaných více či méně na učebnice, kurikula. Soubor PL
zaměřený na vybrané téma nazývám doplňkový pracovní sešit. Pracovní sešity pro
mateřské školy však nejsou strukturovány, jde zpravidla o jednotlivé na sobě nezávislé
stránky, nepostihují ani jako celek úplné spektrum toho, co by mělo být obsahem
přípravy dítěte na školu. Frekventovaná témata někdy neplní tolik roli fixace, ale spíš
prohloubení. Do PL ať izolovaných, tak svázaných se předpokládá minimálně grafický
zásah žáka, ne-li víc. V lepším případě je to následná diskuse plynoucí z porovnávání
oněch zásahů. V matematice ani v pre-matematice nejde jen o pouhé doplňování. PL
otvírají svět různých metod řešení, postupů, pro které často v učebnicích nebo v jiném
didaktickém prostředí není prostor. V PL tedy vůbec nemusí jít o tréninkově pojaté
úkoly. Jsou PL, kde se kombinují techniky komunikace, které přímo vybízejí k mluvě,
které podněcují řešitelovu tvořivost. Izolované PL jsou zpravidla nezbytné v outdoorové
matematice se zvláštní roli navíc – v otevřeném prostoru zvyšují pozornost žáka, jsou
oporou pro jeho paměť, jsou prostředím pro odraz jeho emocí, které v nestandardním
prostředí prožívá a podobně.
PL je z pohledu grafického řešení specifický, v matematice vedle aritmeticko-
algebraické symboliky, geometrické symboliky, hláskového písma může obsahovat i
grafy, tabulky obrázky, fotografie, avšak zpravidla je v něm více místa, než je
v učebnici - „je graficky vzdušnější“.
Pokud jde o PL „klasický“, pak obsahuje úkoly relativně uzavřené. Zavádím nový
termín a to „pracovní list polotovar“, kde je to žák, který naznačené úkoly dotváří, pak
teprve řeší (lze i takové PL mezi žáky vyměňovat), takový v mateřské škole není. PL
tištěné pro ZŠ mají většinou doložku ministerstva školství, zejména pokud jsou vázány
na učebnice.
Jak a co dělá řešitel s PL, záleží na tom, jak je práce zadána. Roli zadavatele vždy
alespoň zčásti plní učitel. Nepřesnost v pokynech nebo ve vytištěném zadání mohou
způsobit řadu nedorozumění, zklamání, může to mít dopad demotivující, a pokud se
nedostatek opakuje, může jít o vliv deformující. V mateřské škole záleží zadání na tom,
jak PL učitel pochopil.
2. Pracovní list v mateřské škole
Mezi první soubor PL pro mateřské školy lze pokládat publikaci Albatrosu z roku
1979 Těšíme se do školy, od autorů Vebrerová, Dušková, Hřebejková. Všechny
dostupné pracovní listy po rok vydání 1995 byly podrobeny analýze a dospěla jsem
k jejich detailnější charakteristice, což připouští i kritické pohledy na jednotlivé listy,
zadání, ilustrace a podobně. U PL z pozdějších let byl udělán jen výběr, záměrně autory
neuvádím.
PL v mateřské škole mají svá specifika: na jedné straně listu papíru (zpravidla
formátu A4 nebo B4) je jeden až dva úkoly, výjimečně tři nebo čtyři. List papíru může
být alternován stránkou na interaktivní tabuli, na tabletu nebo obrazovce počítače. Na
PL se objevují většinou obrázky zvířat, dětí a jejich blízkých, dále věcí, které dítě bere
do ruky, ale není to pravidlem. Vzhledem k tomu, že dítě ještě neumí číst, bývá
v záhlaví PL zapsán pokyn k úkolu pro dospělého, který úkol přečte, předpokládá se
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
55
komentář k zadání. Na PL nenajdeme, na jakou zkušenost by měl PL navázat, ani zda
práce s ním není podmíněna jinak, například již jistou úrovní rozvoje grafomotoriky.
Chybějící poznámky k PL legalizují to, že se dítě pouští na pokyn dospělých do
práce s PL ještě ve fázi, kdy na to není zralé. Pokud se dítě musí stále ještě plně
soustředit na to, jak držet tužku/pastelku a má problém vést čáru tak, jak si ono samo
přeje, pak na to odčerpává pozornost a energii a vlastní podstat řešení úkolu uniká.
Nezkoumá se příliš příčina a nezralost se kompenzuje instrukcemi dospělého. Dítě
respektující dospělého se nakonec podřídí jeho instrukcím a PL se míjí účinkem, není-li
kopii úkolem. Podobně to může dopadnout, když dítě nemá dostatečnou zkušenost
s prostředím, ve kterém se úkol v PL odehrává. Dítě, které má omezenou zkušenost
s poznáváním reálného světa nebo má zkušenosti zasazené do jiných kulturních vzorců,
bude těžko řešit úkoly, které se o tyto zkušenosti opírají.
Cílem pracovního listu v předmatematickém vzdělávání není primárně jeho
zaplnění. V PL by mělo docházet k jistému završení poznávání světa všemi smysly (pro
matematiku dominantně kinezí, hapticky, manipulativně, zrakem a sluchem). PL staví
na jisté míře obecného nebo směřuje k zobecňování. Obrázek, čára, šipka jsou grafické
znaky zastupující svět dítěte, znaky, které lze „číst“ nejen jedno/dvouslovně, některé
dokonce celou větou podle toho, jak je grafický list pojat. Srozumitelnost pracovního
listu tedy spočívá i v kvalitě a srozumitelnosti obrázků, v členění plochy přiměřeně i
k rozvoji vnímání dítěte. Aby dítě mohlo řešit PL, musí grafické komunikaci rozumět,
onen obrázkovo-symbolický svět chápat, interpretovat. Zásah dítěte do PL je rovněž
produktem pochopení dané komunikace, které se v procesu řešení dítě přizpůsobuje,
tedy adaptuje se na dané komunikační grafické kódy. Problém nastává, pokud dítě
neodlišuje zástupnou roli obrázku od reality, za předpokladu, že realitu zná (podívá se
na obrázek psa, pes v jeho představě ožívá, náhle skáče, štěká, je huňatý, třeba i smrdí a
má blechy, má jméno). Pohled mladšího dítěte na obrázek se tedy od pohledu dospělého
značně liší. Pro dospělého obrázek v pracovním listu hraje roli zástupce druhu,
typu … je reprezentantem. Toto jde obtížně předpokládat u dítěte na úrovni konkrétního
myšlení. Nezvládnutý rozpor mezi světem dospělého a světem dítěte vytváří další
předpoklady pro nefunkčnost PL.
Zařazení PL je zajímavé ovšem z mnoha důvodů, nezajímá nás pouhý výstup -
řešení, ale z hlediska diagnostického je významný i celý proces řešení. Na toto není
učitel mateřské školy připraven, ani k tomu není na PL vybízen. Je/není učitel mateřské
školy připraven na to, že:
a. PL nemají recenzní posudky odborníků;
b. PL jsou různé kvality;
c. k PL neexistuje metodický doprovod i s uvedením očekávaného přínosu, nejen
řešení;
d. PL lze řešit i jinak než tužkou;
e. PL má více řešení a vede k diskusi;
f. PL se nemá řešit izolovaně, ale v sérii, ne nutně v jeden den;
g. PL tvoří součást specifické didaktické struktury, která má jak část úvodní,
přípravou a další;
h. že na některé PL musí navazovat opět manipulativní nebo kinestetické aktivity
a tak podobně?
Jak se pracuje s pracovními listy? V praxi najdeme nejrůznější postupy od těch,
kde ve věkově heterogenních třídách pracují všechny děti od 2,5 roku po 7 let s tímtéž
pracovním listem, až po výjimky, kde učitelka čeká na moment, kdy dítě pro PL dozrálo
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
56
a PL nepoužívá plošně, proces individualizuje vzhledem k procesu zrání dítěte. Na
základě pozorování i na základě diskusí s 300 učiteli (studenti kombinovaného studia či
účastníci kurzů dalšího vzdělávání při různých pedagogických a vzdělávacích centrech
bez bakalářského studia) jsme dospěli k běžnému schématu: učitelka rozdá
PL(zpravidla po dopolední svačině), sdělí dětem zadání a nechá děti individuálně
pracovat, jednotlivé PL kontroluje a děti povzbuzuje a chválí. Dokončené PL se
vyberou a někdy vystaví, někdy si je nesou děti domů, což rodiče chválí. Pokud se dítěti
práce nedaří, učitelky poradí, nebo děti vyzvou ke spolupráci, nebo dokonce práci za
dítě dodělají, či mu nabídnou vzorové řešení, což vede zpravidla k bezduchému
kopírování. Ve schématu chybí jak příprava dítěte na práci s PL např. v podobě
pohybových aktivit, obměny aktivit v PL, tak závěrečná společná diskuse, porovnávání,
kde by se ukázalo, že úkol šlo řešit i jinak. Naopak je relativně významný tlak na unicitu
v řešení jak po stránce obsahu, tak i formy.
Analýza 300 PL, které jsou dominantně nabízeny na trhu, ukázala, že 28 % PL
(Kaslová, Dobrovolná) až 31 % PL (Kaslová) obsahuje závažné chyby či nedostatky;
nezapočítáváme jazykové chyby ani nedostatky technického rázu včetně nepřiměřené
velikosti grafických znaků, nedostatku místa na práci. Všechny ostatní nedostatky lze
začlenit do některé z hlavních skupin:
a. nejasné či nepřesné zadání umožňující různé výklady;
b. chybné nebo nadbytečné užití terminologie (pokud je vůbec nutná);
c. zadání pojato náznakem, nutící řešitele spíše k „vciťování“ než k přemýšlení
(Jak to autor asi chtěl?);
d. naznačeno chybné řešení jako správné;
e. zdůrazňování nepodstatných jevů, respektive jejich protěžování oproti jevům
podstatným, což vytváří předpoklad pro vznik formalismů;
f. zadání opírající se o realitu mimo zkušenost dítěte;
g. zadání kopírující učivo prvního, někdy i druhého ročníku ZŠ (didaktická
chyba – „předbíhání učiva“);
h. volba slov odrážející míru nepochopení problematiky zadavatelem nebo rozpor
mezi formulací zadání a obrázky.
Bylo vybráno 7 pracovních listů s nedostatky, které jsem zadala 260
učitelům/budoucím učitelům mateřských škol. Jejich řešení a poznámky byly
analyzovány (z toho 50 řešení studenty ve spolupráci s Dobrovolnou v roce 2016).
Z 260 osob tří skupin bylo ve skupině P 115 studentů pomaturitního vyššího odborného
vzdělávání nebo bakalářského studia se zaměřením na mateřské školy; ve skupině S
bylo 100 učitelek mateřských škol se středoškolským vzděláním, ve skupině M 45
studentů magisterského studia.
Analýza reakcí odhalila následující: 13 osob rozpoznalo víc než 50 % nedostatků
v zadaných PL, což činí 5 % z celkového počtu. Příčina se ukázala v diskusi: většina
osob nepředpokládala, že by v PL mohla být úskalí, výpovědi byly různé, leckdy
emotivní (Jak to, když je to tištěný!). Rozložení „úspěšných osob“ ve skupinách:
S: 1,0 % (1 ze 100); P: 5,0 % (6 ze 115); M: 13,3 % (6 z 45). Ukázalo se, že z 260 osob
mají studenti magisterského studia rozvinutější kritické myšlení a vyšší předmětovou
odbornost, která jim umožnila identifikovat více nedostatků. Délka praxe se ukázala
jako zcela nevýznamná. Naopak dané PL mylně pokládalo za zcela bezproblémové
15,4 % (40 z 260) s tím, že v dané skupině 40 osob převládaly 70 % učitelky
S: (28 ze 40), pak učitelky P: 22,5 % (9 ze 40) a skupina M: 12,5% (5 ze 40).
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
57
3. Závěr
Šetření prokázalo, že deficit odborných recenzí k didaktickým materiálům pro
mateřské školy pro předmatematickou gramotnost má negativní vliv na kvalitu
pracovních listů. Ani střední a ani vyšší odborné vzdělání rozhodně nejsou zárukou pro
to, že se učitelka mateřské školy bez doškolení snadno vyrovná s nedostatky
v pracovních listech zaměřených na předmatematickou gramotnost. Samo magisterské
vzdělání učitelek z praxe není stoprocentní zárukou kvality práce s pracovními listy.
Příspěvek podpořen projektem Podpora společenství praxe jako nástroj rozvoje
klíčových kompetencí. Reg.č. CZ.02.3.68/0.0/0.0/16_011/0000660.
Literatúra
ČAPEK, R. Moderní didaktika. Praha: Grada Publishing, 2015. ISBN 978-80-247-3450-7
DOBROVOLNÁ V. Kvalita pracovních listů v ČR pro rozvoj předmatematické
gramotnosti. Diplomová práce, vedoucí M. Kaslová. Praha: UK Pedf, 2016.
PhDr. Michaela Kaslová
UK PedF v Praze
M. Rettigové 4, 116 39 Praha 1
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
58
Intelektovo nadaný žiak a matematika – prípadová štúdia
The Intellectually Gifted Pupil and Mathematics – the Case Study
Jana Kojnoková, Alena Prídavková
MESC: C42, Q32
Abstract
Individual educational requirements of intellectually gifted pupils require teachers
increased interest in studying their psychological characteristics. The mathematical
problems solving process of pupils shows how good and effective student thinking,
systematic planning process and utilize adopted strategy are. Understanding these
factors affecting success of intellectually gifted pupils may effect a targeted skills
development of intellectually gifted, but also less successful pupils. This paper deals
with cognitive and metacognitive processes of intellectually gifted pupils used while
solving mathematical problems aimed at creating ideas about cube nets.
Key words: Intellectually gifted pupil. Metacognition. Executive functions.
Mathematical thinking development.
Abstrakt
Individuálne edukačné požiadavky intelektovo nadaných žiakov si vyžadujú
zvýšený záujem učiteľov o štúdium ich psychologických charakteristík. Proces riešenia
matematickej úlohy žiakom ukazuje, ako dobre a efektívne žiak premýšľa, systematicky
plánuje postup riešenia, či využíva osvojené riešiteľské stratégie. Pochopenie týchto
faktorov ovplyvňujúcich úspešnosť intelektovo nadaných žiakov môže prispieť
k cieľavedomému rozvoju schopností intelektovo nadaných, ale aj slaboprospievajúcich
žiakov. V príspevku popisujeme kognitívne a metakognitívne postupy intelektovo
nadaného žiaka pri riešení matematickej úlohy zameranej na tvorbu predstavy o sieťach
kocky.
Kľúčové slová: Intelektovo nadaný žiak. Metakognícia. Exekutívne funkcie. Rozvoj
matematického myslenia.
1. Úvod
Školská legislatíva umožňuje vzdelávanie intelektovo nadaných žiakov formou
individuálnej integrácie, ktorá je ale podľa Machů a Kočvarovej (2013) prevažne len
priestorová. Znamená to, že individuálne integrovaný žiak je zaradený do kolektívu
rovesníkov, pričom nie je v plnej miere braný ohľad na jeho potreby a záujmy, jeho
vzdelávaniu sa neprispôsobujú formy, metódy ani obsah vyučovacích predmetov.
Spomenutá teória je však v praxi málokedy skutočnosťou. Osobnosť intelektovo
nadaného žiaka nenechá učiteľa pasívneho, v záujme rozvoja žiaka, ako aj organizácie
vyučovacej hodiny, siahne učiteľ po alternatívnych metódach, či zaujímavých úlohách
a problémoch, ktoré majú potenciál zaujať a budovať poznanie žiaka.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
59
Silným faktorom, ktorý ovplyvňuje tieto zmeny pracovného štýlu učiteľa, aj celej
triedy je odlišnosť vnímania intelektovo nadaného žiaka, jeho individualita, jedinečnosť
a pohľad na seba samého. Porozumenie tomu, ako intelektovo nadaný žiak premýšľa,
organizuje svoje myšlienky, plánuje kognitívnu činnosť je pre učiteľa nevyhnutné pri
úspešnej práci s týmto žiakom, ale aj inšpiratívne pri intervencii u slabo prospievajúcich
žiakov. Rozvinuté metakognitívne schopnosti a autoregulatívne stratégie uplatňované
v procese učenia sa sú východiskové pre úspešné exekutívne fungovanie nielen
intelektovo nadaných žiakov.
2. Žiak ABC – žiak s intelektovým nadaním
Žiak ABC (9;2) je žiakom štvrtej triedy základnej školy, ale každý o ňom hovorí,
že sa nespráva ako dieťa. Rád číta, zaujíma sa o zahraničnú politiku a má široký
všeobecný prehľad. Okrem iného, je aj hudobne talentovaný, hrá na hudobnom nástroji,
spieva a tancuje vo folklórnom súbore. Pri nástupe do základnej školy už dokázal
plynulo čítať text s porozumením a písať veľkými tlačenými písmenami, koncentroval
sa pomerne dlhý čas na pracovnú úlohu a mal potrebu verbalizovať spôsob svojho
uvažovania a postup riešenia úlohy. Diagnostická správa psychologického vyšetrenia
potvrdila jeho nadpriemerné schopnosti v oblasti analytického a pojmového myslenia,
preto bol od prvého ročníka ZŠ začlenený do triedy ako žiak s intelektovým nadaním.
Jeho individuálny výchovno-vzdelávací program (IVVP) bol vypracovaný s ohľadom
na rozšírenie požiadaviek zo slovenského jazyka a matematiky.
Triedna učiteľka ho ale vníma ako žiaka, ktorý nemá veľmi rád matematiku. Sám
o sebe hovorí, že matematiku má celkom rád, ale niekedy sa mu nechce, vôbec nemá
rád počítanie príkladov. Jeho pozornosť je hlavne pri povinných úlohách stále viac
rozptýlená. Od prvého ročníka bojuje triedna učiteľka s jeho neustálym „prečo“ a snaží
sa ho presvedčiť o tom, že sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie sú pre neho dôležité.
Žiak ABC má nedostatky v oblasti pamäťového a písomného počítania. Princípu
počtových operácií rozumie veľmi dobre, ale základné spoje u neho nie sú
zautomatizované a to ho spomaľuje pri riešení úloh, ktoré ho zaujímajú, prestáva sa mu
preto dariť a stráca trpezlivosť aj motiváciu. Z uvedeného dôvodu má vo štvrtom
ročníku zmenený IVVP, v oblasti matematiky je väčší priestor venovaný podpore
rozvoja problematických aritmetických schopností. Obsah programu je doplnený
o učivo z iných prírodovedných predmetov. Veľmi ho baví chémia a fyzika, keď
vyrastie, túži stať sa nanofyzikom.
Pri testovaní úrovne jeho matematických a kognitívnych schopností (využitím
štandardizovaných testov) sa potvrdilo, že žiak má nadpriemerné intelektové
schopnosti, ale na druhej strane disponuje nedostatkami v aritmetike. V obidvoch
testoch pristupoval k riešeniu úloh rozvážne, nebral ohľad na stanovený časový limit
a postupoval vlastným pracovným tempom. Počtová batéria testu kognitívnych
schopností (Thorndike, Hagen) identifikovala jeho prirodzenú inteligenciu
so štandardným skóre (IQ) 112, čo je 79. percentil populácie žiakov v danom veku.
Úspešnosť v subtestoch zameraných na porovnávanie a seriáciu a neúspešnosť
v subteste vyžadujúcom tvorbu rovníc potvrdila jeho priemerné aritmetické schopnosti.
V teste matematických schopností Kalkúlia III prejavil schopnosti na úrovni
matematického veku 9;9. Z celkového počtu 29 vyriešených úloh sa objavilo najviac
chýb v obrazcoch symetrických podľa vodorovnej osi.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
60
3. Analýza postupov riešenia vybraných úloh
Pri individuálnej práci so žiakom ABC (v čase mimo vyučovania) mu boli
zadávané úlohy s gradovanou náročnosťou, ktoré vytvárali podmienky pre uplatnenie
rôznych riešiteľských stratégií. Prezentované úlohy sú orientované na oblasť
matematiky, kde ide o budovanie konceptu sieť kocky. Pri riešení súboru úloh sa žiak
ABC samostatne pokúsil vytvoriť jednotlivé siete kocky na základe mentálnej predstavy
podporovanej manipulatívnym experimentovaním so štvorcami. Jirotková (2007)
vyjadruje názor, že žiak, ktorý tvorí sieť kocky samostatne, musí prekonávať rôzne
prekážky, čo mu prináša informácie a skúsenosti presahujúce oblasť daného
matematického problému. Napriek náročnosti na čas a vynaloženú energiu žiaka pri
riešení úlohy, je tento spôsob efektívnejší z pohľadu rozvoja inteligencie a osobnosti
žiaka, ktorý sa naučí pracovať s chybou, synchronizovať intelektuálnu a manipulatívnu
činnosť a experimentálne hľadať rôzne stratégie riešenia problému. Okrem
spomenutých edukačných benefitov prináša takýto prístup k riešeniu úlohy aj priestor
pre metakognitívne uvažovanie nad procesom riešenia. V ďalšej časti budú predstavené
zadania úloh, otázky metakognitívneho charakteru a stručná analýza žiakovho prístupu
k riešeniu úlohy.
U1: Nakresli všetky rôzne útvary zložené zo štyroch rovnako veľkých štvorcov.
Susedné štvorce musia mať spoločnú aspoň jednu stranu.
Otázky rozvíjajúce metakogníciu žiaka pri riešení úlohy:
Vysvetli, čo je strana štvorca. Vysvetli, čo znamená „musia mať spoločnú práve jednu
stranu“.
Koľko takýchto útvarov sa ti podarilo nájsť?
Sú v tomto prípade symetrické obrazce podobné, alebo rovnaké?
Žiak ABC mal hneď po prečítaní zadania potrebu uistiť sa, či úlohu pochopil
správne (Môže to byť nakreslené napríklad aj takto?) Vzťah „susedné štvorce“
nepochopil po prečítaní zadania úlohy, čo demonštroval vymodelovaním správneho
umiestnenia štvorcov, pričom si myslel, že je to príklad nesprávneho riešenia. Žiak
ABC ďalej chvíľu pokračoval s umiestňovaním vystrihnutých štvorcov, potom kreslil
schémy na základe mentálnej predstavy. Problém pri generovaní riešení úlohy nastal,
keď si všimol, že niektoré útvary sú rovnaké, ale v zobrazení osovo súmerné, prípadne
otočené, a žiak sa zamýšľal nad tým, či aj podobný útvar predstavuje nové riešenie
(obr. 1).
Obrázok 1. Grafické riešenie prvej úlohy žiakom ABC.
U2: Pridaj k nájdeným útvarom jeden rovnako veľký štvorec tak, aby si dostal rôzne
útvary zložené z piatich štvorcov. Nájdi čo najviac takýchto útvarov.
Otázky rozvíjajúce metakogníciu žiaka pri riešení úlohy:
Vysvetli, podľa akého systému si dopĺňal piaty štvorec do obrázka. Dopĺňal si ho
náhodne?
Čo ti tieto obrázky zo štvorcov pripomínajú? Poznáš hru pentomino?
Už pred začatím riešenia tejto časti úlohy si bol žiak jednoznačne vedomý toho, že
sa počet riešení po zmene zadania navýši. Jednotlivé riešenia žiak zakresľoval znova iba
na základe mentálnej predstavy. Proces riešenia bol sprevádzaný aj verbalizáciou
postupu. Pri zakresľovaní riešení pracoval systematicky posúvaním piateho štvorca
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
61
na novú pozíciu v obrazci a bral pri tom do úvahy aj útvary otočené. V priebehu
hľadania útvarov viackrát povedal, že už našiel všetky riešenia, vzápätí si bol istý, že
ešte nenašiel všetky riešenia a odhodlane hľadal ďalšie. Netradičný bol najmä grafický
prejav žiaka: pri kreslení útvarov najprv načrtol obvod celého útvaru, potom ho rozdelil
na jednotlivé štvorce (obr. 2).
Obrázok 2. Grafické riešenie druhej úlohy žiakom ABC.
U3: Útvary sú zložené z piatich štvorcov. Dokresli jeden štvorec tak, aby vznikla sieť
kocky. Nájdeš viac ako jedno riešenie?
Otázky rozvíjajúce metakogníciu žiaka pri riešení úlohy:
Ktorý geometrický útvar má šesť stien? Vysvetli, ako podľa teba vznikne sieť kocky?
Nájdeš medzi svojimi obrázkami aj taký, ktorý by sieťou kocky nemohol byť? Vysvetli
prečo.
Vystrihni si jeden obrázok siete kocky a pokús sa ju poskladať.
Po prečítaní úlohy sa zistilo, že žiak nepozná pojem sieť kocky. Po krátkom
rozhovore so žiakom o tom, čo je kocka, z čoho sa skladá a vysvetlení toho, ako vzniká
jej sieť žiak získal predstavu o tom, čo je potrebné pri riešení úlohy hľadať. Pri hľadaní
sietí kocky si pomáhal modelovaním jednotlivých prípadov pomocou vystrihnutých
štvorcov. Žiak ale vymodeloval konkrétne riešenie, ktoré mal vytvorené v predstave,
neriešil úlohu metódou pokus-omyl, vystrihnuté štvorce využíval iba na uistenie sa
o správnosti nájdeného riešenia. Celkový čas, za ktorý žiak ABC našiel všetkých 11
sietí kocky bol šesť minút. Na obrázku 3 je zaznačených iba šesť riešení, pretože žiak
vo svojom verbálnom komentári k riešeniu úlohy identifikoval chýbajúcich päť sietí ako
symetrické k už zakresleným.
Obrázok 3. Grafické riešenie tretej úlohy žiakom ABC.
4. Záver
Z analyzovaných ukážok riešenia matematických úloh intelektovo nadaným
žiakom ABC vyplývajú o tomto žiakovi pre učiteľa cenné informácie. Hoci žiak ľahko
stratí pozornosť a má potrebu komunikovať aj to, čo nesúvisí s riešenou problematikou,
prejavuje pri riešení úloh vysokú úroveň uvedomelých aktívnych metakognitívnych
schopností (Vyrosteková 2010). Je schopný verbalizovať proces riešenia, plánovať
jednotlivé kroky riešenia úlohy, dokonca si celý postup riešenia podržať v pamäti
a následne ho vizualizovať na papieri. Tieto schopnosti sú prejavom dobrého
exekutívneho fungovania zabezpečujúceho nielen jeho školskú úspešnosť.
Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV-15-0273
Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií
slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) – kognitívny
stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
62
Literatúra
JIROTKOVÁ, D. Budování schématu síť krychle. In Cesty zdokonalování kultury ve
vyučování matematice. 2007, České Budějovice: Jihočeská univerzity v Českých
Budějovicích. ISBN 978-80-7394-052-2.
MACHŮ, E., KOČVAROVÁ, I. et al. Kvalita školy z hlediska péče o nadané žáky.
2013, Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíne. ISBN 978-80-7454-316-6.
POLOMČÁKOVÁ, A. Diagnostikovanie a rozvíjanie vybraných kľúčových kompetencií
v školskej matematike – autoreferát k dizertačnej práci. 2013, Košice: UPJŠ.
VYROSTEKOVÁ, K. Metakognícia a diagnostikovanie jej úrovne. In Pedagogická
veda a školská prax v historickom kontexte – zborník z medzinárodnej vedeckej
konferencie konanej dňa 28. januára 2010 v Trnave. 2010, Trnava: Univerzita sv.
Cyrila a Metoda v Trnave. ISBN 978-80-8105-182-1.
Mgr. Jana Kojnoková
Katedra matematickej edukácie
Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove
Ulica 17. novembra č. 15, 080 01 Prešov
E-mail: [email protected]
doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD.
Katedra matematickej edukácie
Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove
Ulica 17. novembra č. 15, 080 01 Prešov
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
63
Pojem štvorec a deti predškolského veku
The Notion of a Square and Pre-school Age Children
Janka Kopáčová
MESC: C51, D71
Abstract
In the VEGA 1/0440/15 project - Geometrical conceptions and misconceptions in
pre-school and primary school children we study children’s and students’ perception of
planar geometrical shapes. In this article we will observe how children aged 4-6
perceive squares - whether they are able to identify and name squares correctly and
which misconceptions occur most often. The aim of this article is not only to ascertain
the current situation, but also propose expedient didactic methods for the prevention and
correction of misconceptions.
Key words: Square, cube, misconception, preschool age, van Hiele.
Abstrakt
V rámci riešenia projektu VEGA 1/0440/15 - Geometrické koncepcie a
miskoncepcie detí predškolského a školského veku sa zaoberáme otázkami, ako vnímajú
deti a žiaci rovinné geometrické útvary. V príspevku sa bližšie budeme venovať
problematike štvorca u detí vo veku 4 až 6 rokov. Zaujíma nás, či dokážu štvorec
správne identifikovať a pomenovať, aké miskoncepcie sú najčastejšie. Cieľom je nielen
zistiť aktuálny stav, ale aj navrhnúť vhodné didaktické postupy na prevenciu a korekciu
miskoncepcií.
Kľúčové slová: štvorec, kocka, miskoncepcia, predškolský vek, van Hiele.
1. Úvod
Dieťa predškolského veku je prirodzene zvedavé a aktívne poznáva svet okolo
seba. Poznávanie dieťaťa je spontánne, prevažne skúsenostné, zážitkové a je silne
emocionálne zafarbené. Vnímanie je základom poznávania skutočnosti, je globálne –
dieťa vníma celok, aj keď sa občas nechá upútať nepodstatným detailom. V tomto veku
hovoríme o názornom (intuitívnom) myslení. Dieťa začína uvažovať v celostných
pojmoch, ktoré vznikajú na základe podstatných znakov (napr. ovocie, jedlo...), ale
uvažovanie je ešte stále silne viazané na vnímané alebo predstavované objekty. Toto
myslenie je prelogické a egocentrické (Sodomková, 2015).
Myslenie a reč sa vzájomne podmieňujú a ovplyvňujú. Reč je nielen základným
prostriedkom komunikácie, ale aj nástrojom myslenia. Reč si deti rozvíjajú najmä
v komunikácií s dospelými, v menšej miere ju ovplyvňujú médiá a rovesníci. Deti sa
učia napodobňovaním verbálneho prejavu osôb, s ktorými žijú a komunikujú.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
64
Neopakujú však všetko čo počujú, opakovanie má selektívny charakter. Najčastejšie
opakujú vety, v ktorých je nové slovo alebo slovo v novej situácií (Sodomková, 2015).
2. Metodika výskumu
Súčasťou projektu VEGA 1/0440/15 - Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí
predškolského a školského veku je výskum predstáv detí predškolského veku z oblasti
identifikácie, triedenia, vlastností a pomenovania geometrických útvarov. Cieľom je
preskúmať predstavy detí predškolského veku o geometrických útvaroch a ich
vlastnostiach, identifikovať potenciálne mylné predstavy a identifikovať úroveň
geometrických poznatkov detí podľa definovaných hladín van Hiele teórie.
V rámci projektu sme skúmali deti predškolského veku, mladšieho aj staršieho
školského veku. Teoretický rámec a niektoré výsledky sú sprístupnené v prácach
(Tkáčik, Žilková, 2016 a Kopáčová, Žilková, 2016). V nasledujúcom príspevku sa
budeme venovať len jednému čiastkovému problému – zaujíma nás, či predškoláci
dokážu správne identifikovať štvorec v ľubovoľnej polohe a pomenovať ho.
Našu výskumnú vzorku tvorilo 46 detí vo veku 4 roky 1 mesiac až 6 rokov
4 mesiace, 22 dievčat a 24 chlapcov, väčšina navštevuje materskú školu a pochádza
zo severu Slovenska. Výskum sa realizoval koncom roka 2015.
Výskum prebehol s každým dieťaťom individuálne, formou pološtruktúrovaného
rozhovoru, boli použité modely rovinných geometrických útvarov a jednotné obrazové
predlohy. Z výskumu boli vytvorené videozáznamy, čo nám umožnilo robiť pomerne
podrobnú analýzu.
Modely rovinných geometrických útvarov boli väčšinou vystrihnuté z tvrdého
farebného papiera, pričom farba vo vzťahu k tvaru nehrala rolu. Každý útvar – kruh,
trojuholník, štvorec, obdĺžnik bol ponúknutý vo viacerých veľkostiach.
Obrázkových predlôh bolo 6, každá sledovala iný cieľ. Pre účely nášho článku sa
zoznámime len s prvými tromi. Prvá predloha (hnedá) slúžila na zistenie, či dieťa vie
pomenovať útvar na obrázku. Na druhej predlohe (oranžová) má dieťa ukázať útvar,
ktorý pomenuje výskumník (obrázok 1). Tretia predloha (fialová) je zameraná na
identifikáciu štvorca, či dieťa vie odlíšiť štvorec od ne-modelov štvorca (obrázok 2).
3. Ako deti identifikujú štvorec
Podľa očakávania, deti boli najspontánnejšie pri manipulácií s vystrihnutými
geometrickými útvarmi. Zapojili fantáziu, začali si skladať obrázky a jednotlivé útvary
pomenovávali v závislosti na veku. Štvorročné deti používali domček, okno, ale staršie
sa už snažili použiť správny názov. Štvorec bol najčastejšie chybne pomenovaný ako
kocka.
Obrázok 1. Rovinné geometrické útvary.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
65
Na hnedej predlohe (obrázok 1) boli dva štvorce – jeden v tzv. základnej
polohe, druhý pootočený o 45°, a jeden kosoštvorec. Z celkového počtu 46 detí
37 správne pomenovalo štvorec v základnej polohe, pootočený spoznalo a správne
nazvalo len 27 detí. Väčšina za štvorec považovala aj kosoštvorec – len 14 správne
povedalo, že to štvorec nie je.
Ukázalo sa, že pre deti je ľahšia opačná úloha. Keď výskumník na oranžovej
predlohe (obrázok 1) požiadal, aby mu ukázali štvorec, správne ukázalo 40 detí štvorec
v základnej polohe a 34 v pootočenej polohe.
Pre porovnanie kruh správne identifikovali všetky deti, len najmenšie používalo
názov guľôčka a nebolo ochotné sa ho vzdať.
Obrázok 2. Modely a ne-modely štvorca.
Identifikácia štvorca vo fialovej predlohe (obrázok 2) pre deti nebola jednoduchá,
často svoje výpovede menili. Kým na začiatku správne označili len štvorce, po otázkach
výskumníka, ktorý upriamil ich pozornosť na štvorcové tvary, priraďovali aj niektoré z
nich k štvorcom. Pomerne jednoznačne vedeli určiť, že kríž (44 správnych odpovedí)
a obdĺžnik (43 správnych odpovedí) nie sú štvorce. Prekvapivé je, že len 37 detí
označilo štvorec v základnej polohe, mnohé ho prehliadli, čo pripisujeme jeho veľkosti.
Naopak, pootočenie štvorca už nezmýlilo taký počet detí ako predtým, správne ho
zaradilo až 41 detí. Najväčšie problémy robil útvar so zaoblenými vrcholmi – len 16
ho správne nezaradilo k štvorcom a kosoštvorec, ktorý identifikovalo len 13 detí.
Lichobežník deti nepoznali, nevedeli jeho názov, ale neoznačovali ho ako štvorec
(37 správnych odpovedí). Zaujímavé je, že zakrivenie strán prekážalo menšiemu počtu
detí ako zaoblenie vrcholov. Útvar a útvar označilo ako štvorec len 19 detí.
Predstavy detí sú veľmi individuálne a vyhranené. Viaceré deti používajú na
označenie štvorca slovo kocka. Niektoré to chápu ako synonymum slova štvorec, iné na
pokyn „ukáž mi štvorec“ ukazujú pravouhlý trojuholník, pootočený štvorec alebo
kosoštvorec.
4. Záver
Výskum ukázal, už aj najmladšie dieťa dokáže presne identifikovať štvorec v tzv.
štandardnej polohe, priradiť správny názov už nie je také jednoduché. Súhlasíme
s Budínovou (2016), že nie vždy možno jednoznačne zaradiť dieťa do niektorej van
Hiele hladiny. Veľmi často sa dieťa orientuje aj vizuálnou stránkou útvaru, aj sa pokúša
o analýzu – „štvorec má 4 strany a všetky rovnaké“ alebo „štvorec nie je obdĺžnik, lebo
nemá dlhšie...“.
Ukázalo sa, že nepresné používanie pojmov štvorec a kocka má na deti veľmi
silný vplyv. Bežne sa stretávame s vyjadrením, že značka označujúca hlavnú cestu je
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
66
kosoštvorec, károvaná košeľa a štvorčekový papier sú označované ako kockované,
veľmi často sú ľubovoľné diely stavebnice označované ako kocka. Táto nepresnosť vo
vyjadrovaní robí veľké škody v utváraní správnych predstáv. Pre dieťa je zložité
uvedomiť si, že zmena polohy nepredstavuje aj zmenu tvaru – vyjadrenie o pootočenom
štvorci „nie je to štvorec, lebo je naopak“ , čo je v súlade aj so zistením v iných prácach
(Partová, Žilková, 2016). Netreba zabúdať, že reč a myslenie sa navzájom ovplyvňujú.
Zisťovanie a odstraňovanie nesprávnych predstáv je veľmi zdĺhavý a namáhavý proces
s neistým koncom.
Jedinou cestou na vytváranie správnych predstáv je presné vyjadrovanie
a dostatok aktivít, ktoré deťom umožnia spoznávať geometrické tvary v rôznych
polohách.
Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu VEGA 1/0440/15
Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku.
Literatúra
BUDÍNOVÁ, I. Developing the Conception of the Notion Square at Elementary School.
In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae : Universitas Catholica
Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s. 45 – 55. ISSN 1336-2232.
KOPÁČOVÁ, J., ŽILKOVÁ, K. Žiacke predstav o štvorcoch. In: Uhlířová, M. (ed.)
EME2016 : Primární matematické vzdělávání v souvislostech. Olomouc :
Univerzita Palackého v Olomouci, 2016 . S. 132-137. ISBN 978-80-905281-3-0.
PARTOVÁ, E., ŽILKOVÁ, K. Uvažovanie detí predškolského veku o plohe a tvare
rovinných útvarov. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae : Universitas
Catholica Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s. 168 – 178. ISSN 1336-2232.
SODOMKOVÁ, S. Předškolní věk. In: Fuchs, E., Lišková, H., Zelendová , E. (eds.)
Rozvoj předmatematických představ dětí předškolního věku. Praha : JSMF, 2015.
s. 7 - 27. ISBN 978-80-7015-022-1.
TKÁČIK, Š., ŽILKOVÁ, K. Geometrické miskoncepcie o štvoruholníkoch u žiakov 9.
ročníka základnej školy. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae :
Universitas Catholica Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s. 204 – 215.
ISSN 1336-2232.
RNDr. Janka Kopáčová, CSc.
Katedra predškolskej a elementárnej pedagogiky
Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita v Ružomberku
Hrabovská cesta 1
Ružomberok
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
67
Možnosti využitia softvéru GeoGebra vo vyučovaní
matematiky v primárnom vzdelávaní
The possibilities of using GeoGebra software in teaching mathematics in elementary
education
Lilla Koreňová
MESC: D53, G53, U63, U73
Abstract
This contribution intends to point out the possibilities of GeoGebra software as an
effective tool for teaching mathematics in the first stage of primary school. We created
and circulated a questionnaire to determine the use of technology by primary education
teachers in Slovakia and Hungary, and their opinions and experience concerning
GeoGebra software.
Key words: GeoGebra, teaching geometry, primary mathematics education.
Abstrakt
Príspevok chce poukázať na možnosti softvéru GeoGebra ako efektívneho
nástroja vyučovania matematiky na 1. stupni základnej školy. Dotazníkom sme
zisťovali stav vo využívaní technológií učiteľmi primárneho vzdelávania na Slovensku a
v Maďarsku, ako aj ich názory a skúsenosti so softvérom GeoGebra.
Kľúčové slová: GeoGebra, vyučovanie geometrie, primárne matematické vzdelávanie
1. Úvod
Vyučovanie matematiky v primárnom vzdelávaní je zamerané vo veľkej miere na
rozvoj základnej matematickej gramotnosti a rozvíjanie kognitívnych oblastí, ako
zapamätanie, porozumenie a aplikácia (podľa Bloomovej revidovanej taxonómie).
V súčasnosti je veľmi dôležité, aby sa vo vyučovaní využívali také vyučovacie metódy
a formy, ktoré sú pre deti motivujúce a vedú k efektívnejšiemu procesu výučby.
Využitie digitálnych technológií, ako napríklad interaktívnej tabule, tabletov
a smartfónov s vhodným softvérom alebo aplikáciami je vhodná voľba pre deti, ktorí sú
digitálnymi domorodcami. Inovatívne vyučovacie metódy, obohatené o digitálny
rozmer, zákonite prenikajú do škôl. Pre vyučovanie matematiky je jednou z možností
softvér GeoGebra. Softvér GeoGebra je open-source softvér, je dostupný voľne
učiteľom aj žiakom, dynamicky sa vyvíja a je vhodný nielen pre PC a notebooky, ale aj
ako aplikácia pre tablety a smartfóny a zároveň je k dispozícii aj ako webová aplikácia.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
68
2. Príklady využitia softvéru GeoGebra
Využitie softvéru GeoGebra v primárnom vzdelávaní môžeme rozdeliť podľa
rôznych kritérií. Je zjavné, že vzhľadom na špecifiká obsahu matematického
vzdelávania aj na digitálne zručnosti žiakov, sa spôsob využitia v primárnom líši od
sekundárneho a terciálneho vzdelávania.
Podľa druhu hardvéru, čo ovplyvňuje aj formu vyučovania, môžeme softvér
GeoGebra použiť:
Premietanie z PC alebo NB cez dataprojektor – táto možnosť najmenej využíva
potenciál tohto softvéru, učiteľ využíva tento softvér prevažne na transmisiu,
animácie vytvorené ako GeoGebra aplety však môžu výrazne zvýšiť názornosť
a tým aj pochopenie učiva.
GeoGebra aplety alebo GeoGebrabooky na interaktívnej tabuli sa okrem
transmisívnej formy, ako sme uviedli vyššie, dajú využiť aj na skupinovú
prácu, didaktickú hru a v niektorých prípadoch aj ako aktivizujúci činiteľ
objavného vyučovania.
GeoGebra aplety, GeoGebrabooky na tabletoch a smartfónoch vytvárajú
možnosť okrem klasického precvičovania – drillu, e-testovania formou
autoevalvácie žiakov aj možnosť konštruktivistického vyučovania, žiackeho
objavovania.
V ďalšej časti uvádzame ukážky GeoGebra apletov a GeoGebrabookov zaradené
podľa možností ich použitia.
Pre interaktívnu tabuľu uvedieme príklady z portálu Geomatech:
Na obrázku č. 1 je aplet vhodný pre interaktívnu tabuľu a frontálnu prácu učiteľa
s triedou. Úlohou žiakov je nájsť algoritmus, ako pracuje „stroj”.
Obrázok 1.
zdroj: http://tananyag.geomatech.hu/material/simple/id/508819#material/1384715
Na obrázku č. 2 je aplet vhodný na precvičovanie jednotiek dĺžky. Deti majú
vložiť do akvária, kde je 20 litrov vody ryby podľa pravidla: každá ryba potrebuje
k životu aspoň 1 liter vody. Súčet dĺžok všetkých rýb má byť aspoň 20 cm. Táto úloha
má viac riešení, preto podporuje kreativitu detí. Precvičujú sa tým počtoví operácie,
relácie viac – menej, ako aj premena jednotiek dĺžky.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
69
Obrázok 2.
zdroj: http://tananyag.geomatech.hu/material/simple/id/145788
V rámci nášho výskumu na Základnej škole Hlboká v Bratislave sme sa zamerali
len na možnosti m-learningu s GeoGebrou. Najviac sa podľa našich experimentálnych
skúmaní osvedčila kombinácia manipulatívnych činností s kombináciou Geogebra
apletov na smartfónoch a tabletoch. Práca vo dvojiciach sa ukázala ako najefektívnejšia.
Aktivita: Osová súmernosť (Obrázok 3)
Pre zavedenie pojmu osová súmernosť sme použili objavné vyučovanie a to
kombináciu manipulatávnej činnosti s digitálnymi technológiami. V prvom kroku deti
rysovali na papier rôzne geometrické útvary a priamku. Potom papier prehli pozdĺž
priamky a prekreslili útvar tak, že ho presvietili cez okno. Deti skúmali tieto svoje
„kresby” pomocou zrkadla. V ďalšej časti použili GeoGebrabook dostupný na
https://www.geogebra.org/m/sxhCscUZ.
Obrázok 3.
zdroj: https://www.geogebra.org/m/sxhCscUZ
Pri tejto aktivite mali žiaci dokresliť v štvorčekovej sieti na GeoGebra aplete
útvary osovo súmerné. Niektorí žiaci pracovali na interaktívnej tabuli. Tento
GeoGebrabook má 11 apletov, ktoré majú gradujúcu obtiažnosť.
Táto aktivita deti veľmi motivovala, mali okamžitú spätnú väzbu. Žiaci riešili
úlohy v GeoGebrabooku aj na tabletoch aj na interaktívnej tabuli.
2. Prieskum názorov učiteľov
V rámci výskumu využívania digitálnych technológií na hodinách matematiky na
1. stupni základných škôl sme oslovili viac ako 150 učiteľov na Slovensku a viac ako
100 učiteľov v Maďarsku. Väčšinou išlo o učiteľov, ktorí v minulosti absolvovali ďalšie
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
70
vzdelávanie učiteľov a tak sme na nich mali kontakt. Oslovili sme aj učiteľov pomocou
Facebooku v ich záujmových skupinách. Na dotazník odpovedalo 107 respondentov,
z toho 35 z Maďarska a 72 zo Slovenska. Čo sa týka pohlavia, 98% respondentov boli
ženy. V elektronickom dotazníku sme v prvej časti zisťovali vybavenie škôl digitálnymi
technológiami. Na základe zistení môžeme predpokladať, že väčšina učiteľov
primárneho vzdelávania na Slovensku aj v Maďarsku môže využívať interaktívnu
tabuľu, ale tablety a smartfóny menej. Učitelia však nebrali do úvahy možnosť, kde by
deti využívali svoje vlastné zariadenia. Podľa našich skúseností veľa detí v tomto veku
už vlastní smartfón alebo tablet, ich použitiu bránia skôr legislatívne podmienky.
V druhej časti sme sa zamerali na zisťovanie návykov a názorov učiteľov z hľadiska
metód vyučovania, ak využívajú digitálne technológie. 52% respondentov uviedlo, že
interaktívnu tabuľu využívajú na vysvetľovanie učiva pomocou interaktívnych
materiálov, 9% uviedlo, že ju používajú aj na elektronické testovanie pomocou klikerov
alebo smartfónov, 51% učiteľov využíva interaktívnu tabuľu aj na prezentáciu žiackych
projektov, 64% učiteľov pomocou interaktívnej tabule hrajú s deťmi didaktické hry.
38% učiteľov uviedlo, že interaktívnu tabuľu využívajú len ako klasickú tabuľu na
písanie. V ďalšej časti 38% respondentov uviedlo, že majú možnosť aspoň niekedy
použiť tablety alebo smartfóny na vyučovaní. Z nich 38% uviedlo, že tablety alebo
smartfóny používajú žiaci na individuálnu prácu (vyhľadávanie údajov na internete),
47% využívajú interaktívne aplety, hlavne HotPotatoes testy alebo aplikácie na
precvičovanie učiva. Zaujímavé boli zistenia ohľadom vyučovacích metód, ktoré
využívajú učitelia v kontexte s digitálnymi technológiami. 78% učiteľov uviedlo, že
digitálne technológie využívajú pri výklade učiva, 30% uviedlo, že technológie
využívajú aj pri objavnom, heuristickom vyučovaní, 42% uviedlo, že technológie
využívajú aj pri projektovom vyučovaní. V poslednej časti sme sa zamerali na
využívanie softvéru GeoGebra na hodinách matematiky. Ukázalo sa, že 56% učiteľov,
ktorí absolvovali školenia zamerané na softvér GeoGebra, používajú tento softvér aj na
hodinách matematiky. Len 16% však si vytvára svoje vlastné GeoGebra aplety, výkresy,
ostatní používajú už hotové materiály z GeoGebratube alebo z portálu Geomatech.
3. Záver
Na základe našich zistení je softvér GeoGebra vhodným prostriedkom pre
primárne vzdelávanie matematiky. Skrýva v sebe veľký potenciál ako pre využitie na
interaktívnej tabuli, ale hlavne ako m-learning, kde žiaci využívajú smartfóny a tablety.
Hlavne možnosť využiť už hotové GeoGebra aplety je z hľadiska učiteľov veľmi
lákavá. Okrem toho, že sa zatraktívni vyučovanie, učitelia majú možnosť vo väčšej
miere nahrádzať transmisívnu výučbu matematiky konštruktivistickými metódami.
Navyše sa zvyšuje takto digitálna gramotnosť žiakov aj učiteľov, čo je tiež veľkým
prínosom.
Poďakovanie: Príspevok vznikol za podpory projektu APVV- 15-0387.
Literatúra:
NEWMANN, D., Johnson, Ch., WEBB, B. Evaluating the quality of learning in
Computer Supported Co-operative Learning. Queen's University elfast,
Information Management Dept. On line [13.1.2003]
http://www.qub.ac.uk/mgt/papers/jasis/jasis.html.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
71
GUNČAGA, J. GeoGebra in Mathematical Educational Motivation. Annals: Computer
Science Series, 2011, 9, 75-84.
GUNČAGA, J., KOPÁČOVÁ,J.:A Compaprative study: Turkish and Slovak preservice
primary mathematics teacher´s skills about symmetry.SEMT 13, Tasks and Tools
in Elementary Mathematic, Charles Univesity, Prague , 2013.
HERENDINÉ-KÓNYA, E. A matematika tanítása alsó tagozaton. Nemzedékek Tudása
Tankönyvkiadó, Budapest, 2013.
KOSTRUB, D. Dieťa/žiak/študent – učivo – učiteľ, didaktický alebo bermudský
trojuholník? Rokus, Prešov, 2008.
MOLNÁR, P., a LUKÁČ, S. (2015). Dynamic Geometry Systems in Mathematics
Education: Attitudes of Teachers. International Journal of Information and
Communication Technologies in Education, 2015, 4(4), 19-33.
Doc. PaedDr. Lilla Koreňová, PhD.
Katedra predprimárnej a primárnej pedagogiky
Pedagogická fakulta
Univerzita Komenského v Bratislave
Račianska 59
813 34 Bratislava
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
72
Očekávání studentů od praktické složky v přípravě budoucích
učitelů 1. stupně ZŠ
Expectation of Undergraduate Students from Practical Aspects of Preparation in
Teaching for First Level of Primary Schools
Radek Krpec, Darina Jirotková
MESC: D40
Abstract
In this paper, the first part of the research of expectations of the undergraduate
students from the practical aspects of a preparation in a mathematics teaching for the
first level of primary schools is presented. These expectations are consisted of an
identification of incentives, motives and motivations of the undergraduate students for
the purposes of an improvement of the approach to the mathematics teaching. The
experiences and expectations of students are investigated before and after their
professional practice using the method of a questionnaire construction. The aim of the
research is a change in the concept of the professional undergraduate preparation of the
mathematics teaching. The research is focused on the field of study Teaching for
Primary Schools – Level 1 at Faculty of Education od University of Ostrava.
Key words: Faculty teacher, math teacher, professional practice, supervising teacher,
teacher preparation.
Abstrakt
Článek je věnován prvním výsledkům výzkumu, který se zabývá identifikací
podnětů, pohnutek a motivací studentů přispívajících k posunům přístupu k vyučování
matematice v pregraduální přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. Na základě
dotazníkového šetření získáváme zkušenosti a očekávání studentů – budoucích učitelů –
před a po realizaci jednotlivých profesních praxí. Cílem výzkumu je změna pojetí
profesní pregraduální přípravy na výuku matematiky v oboru Učitelství pro 1. stupeň
ZŠ Pedagogické fakulty Ostravské univerzity.
Klíčová slova: Učitel matematiky, příprava učitele, profesní praxe, fakultní učitel,
vedoucí učitel.
1. Úvod
Podobně jako došlo v minulých letech k úpravě obsahu jednotlivých předmětů
pregraduální přípravy studentů v oboru učitelství 1. st. ZŠ v oblasti matematiky na
Pedagogické fakultě Ostravské univerzity, snažíme se nyní o rozsáhlou proměnu
koncepce průběžné praxe z matematiky, a to jak z hlediska rozsahu, tak obsahu. Cílem
změn je zvýšení provázanosti teoretické a praktické přípravy s důrazem na její
praktickou složku.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
73
Když jsme se rozhodovali o provádění úprav v teoreticko-didaktických
matematických disciplínách, navazovali jsme na výsledky výzkumů (Jirotková, Krpec,
2013; Hejný, Zemanová 2013; Zemanová, 2013; Krpec, 2015; Krpec, Vidlařová, 2014).
V posledních dvou jmenovaných jsme analyzovali názory na tehdy stávající výuku
jednotlivých matematických oblastí zařazených do přípravy budoucích učitelů 1. st. ZŠ.
Podobně i v tomto případě se budeme snažit vycházet z výsledků výzkumu. Tentokrát
jsme se inspirovali projektem Katedry matematiky a didaktiky matematiky (KMDM)
Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy (PedF UK). Cílem je identifikace podnětů,
popudů, pohnutek či motivací přispívajících k posunům jak učitelova, tak studentova
přístupu k vyučování matematice pomocí dotazníkového šetření u studentů a rozhovory
s učiteli. Při jejich analýze budeme mimo jiné vycházet z (Jirotková, 2012; Davis,
Maher, Nodings, 1990). Dotazníky KMD PdF OU jsou v mnoha položkách shodné
s dotazníky KMDM PedF UK, což umožní závěrečnou komparaci výsledků.
2. Dotazníkové šetření na PdF OU
Šetření probíhalo od prosince 2016. Do ledna 2017 se jej zúčastnilo zatím
36 studentů. Z toho 11 studentů 4. ročníku a 25 studentů 3. ročníku. Studenti 4. ročníku
absolvovali jeden semestr náslechů a dva semestry výstupů, všechny matematické
předměty studia s výjimkou didaktiky aritmetiky. Studenti 3. ročníku do té doby
neabsolvovali v matematice žádné náslechy a výstupy, ani didaktické předměty.
Příklady otázek dotazníků naleznete v článku Zemanová, Jirotková (2017).
Vzhledem k danému rozsahu článku jsme pro analýzu vybrali po jedné otázce
u každého ročníku:
A. U studentů 4. ročníku - Jaké máte zkušenosti z průběžné praxe z matematiky?
(zde se můžete rozepsat, napsat nějaký příběh týkající se žáků, kolegů studentů, třídních
učitelů, fakultních učitelů – didaktiků).
B. U studentů 3. ročníku - Ve 4. ročníku vás čeká průběžná praxe z matematiky.
Tedy budete docházet na vybrané školy nejprve pozorovat zkušené učitelé matematiky,
později své spolužáky při vedení matematiky a sami hodiny matematiky připravovat,
vést a reflektovat.
Co od této praxe očekáváte? Co byste chtěl/a z praxe získat? Kde očekáváte, že
budete potřebovat pomoci?
3. Analýza výsledků
Ve vybraných odpovědích, které studenti uvedli v dotaznících, jsme identifikovali
společné jevy a na základě tohoto kritéria jsme vytvořili třídy jevů.
a. Zkušenosti: dále jsme členili na příběhy s dětmi, poučení, povzbuzují
zkušenosti, zkušenosti budící pochybnost.
b. Osobní profesní rozvoj (OSR): dále jsme třídili na moje pochybnosti, můj
strach, moje slabé stránky, moje silné stránky.
c. Vlastní praxe – podle toho, koho se jev týká: dále jsme třídili na obecně,
fakultní učitel, ZŠ učitel.
d. Vlastní praxe – podle toho, čeho se jev týká: dále jsme třídili na nezvládá,
nabídne, zvládá.
A. Studenti čtvrtého ročníku - zkušenosti
ad a) Z 11 studentů se jich 9 vyjádřilo v tom smyslu, že zkušenosti z praxe byly pro ně
povzbuzující, žádná ze studentek neměla zkušenost budící pochybnost.
ad b) V rámci odpovědí pouze jedna studentka odpověděla, že si uvědomuje spoustu
rezerv, ale neuvádí konkrétně.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
74
ad c), d) Z 11 studentů 3 uvedli jevy poukazující na to, co obecně praxe nezvládá.
Zajímavé, že dvě z těchto odpovědí byly zcela opačné. Jedna studentka
odpověděla, že „Stále koukat, jak jiní učí, nám nic nedává.“, naproti tomu druhá
uvedla, že by bylo třeba více hodin, aby se s kolektivem třídy dostatečně
seznámili a jedna uvedla, že praxe byla „z ruky“. Čtyři studenti uvedli, že
významná byla pomoc třídní učitelky, z toho 3krát pro seznámení s třídou a 4krát
pomoc s přípravou a pěti studentům byla přínosem závěrečná reflexe s fakultním
učitelem. Odpovědi týkající se učitele a didaktika bychom mohli zahrnout pod
jevy „Praxe zvládá ...“.
B. Studenti třetího ročníku - očekávání
ad a) Studenti většinou očekávají vlastní zkušenost. Jelikož jde o očekávání, zpravidla
půjde o zkušenost povzbuzující. Z 25 studentů toto očekávání uvedlo 21 studentů.
Z toho ve 13 případech jde o získání vlastní zkušenosti obecně. Ve dvou
případech respondenti specifikovali, že chtějí získat vlastní zkušenost s klasickou
výukou. Ve 3 případech se dotazovaní vyslovili pro získání zkušeností se
zařazováním zajímavých technik metod do vyučování. Ve 3 případech uvedli
získat zkušenosti se zaváděním nebo vysvětlením nové látky. Ve dvou případech
by chtěli získat zkušenosti s tím, „co mi jde a s čím mám problém“, v jednom
případě pak zapracovat na zlepšení komunikace s dětmi a v jednom případě získat
přehled, kolik toho děti během jednoho ročníku zvládnou.
ad b) Jeden respondent odpověděl, že jeho slabší stránkou bude výuka geometrie.
ad c), d) Do kategorie, co praxe obecně nezvládá, lze zařadit, že studenti dopředu
nevědí, jaké učivo budou učit, což se objevilo ve dvou případech a v jednom
případě uvádí student, že výuka nebude jako běžná, neboť bude ve třídě příliš
pozorovatelů a tudíž tato praxe není přínosná.
Do kategorie, co praxe přinese obecně, lze uvést všechna očekávání týkající se
vlastních zkušeností s výukou. Kromě toho se ještě 3krát vyskytl jako přínos, co
praxe nabídne i pozorování ostatních studentů při jejich výuce.
Z pohledu toho, co studentovi na praxi přinese ZŠ učitel, se objevují nejčastěji
dva typy odpovědí:
ve 14 případech lze shrnout odpovědi pod jev „pomoc s přípravou na hodinu“
obecně, z toho navíc v jednom případě „pomoc s klasifikací“, v jednom případě
„jak pomoci žákovi při nezvládání učiva”, ve třech případech „pomoc
s využitím různých metod práce“, ve dvou případech rady „ohledně chování
žáků“;
v 7 případech pak studenti očekávají, že jim praxe nabídne “náslechy na
hodinách zkušeného učitele”, inspirace využití různých metod předvedených
na jejich hodinách.
Kromě převládajících dvou typů odpovědí je ještě v jednom případě očekávána
reflexe odučené hodiny se ZŠ učitelem.
Od fakultního učitele studenti očekávají, že jim praxe nabídne reflexi hodiny, což
se vyskytlo v odpovědích 2krát a jednou studenti uvedli pomoc s přípravou
na výuku.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
75
4. Závěr
Na výsledky uvedené v tomto článku budou navazovat další, ve kterých budeme
porovnávat další výsledky dotazníkového šetření například z hlediska porovnání, jaká
byla očekávání a jaké jsou u stejné skupiny nabyté zkušenosti. Další budou věnovány
srovnání, zda se např. zkušenosti po absolvování praktické přípravy mezi jednotlivými
ročníky postupně mění. A v neposlední řadě bychom chtěli porovnat výsledky šetření na
KMD PdF OU a KMDM PedF UK. Zajímá nás např., nakolik ovlivní výsledky šetření
skladba předchozí teoreticko-didaktické přípravy. Získaná zjištění bychom chtěli pak
implementovat nejen do profesní přípravy studentů, ale je možné, že budeme provádět
i úpravy v teoreticko-didaktické přípravě budoucích učitelů 1. st. ZŠ na PdF OU.
Literatura
DAVIS, R.B. & MAHER, A.C & NODDINGS. N. (eds.): _Journal for Research in
Mathematics Education_. Monograph No. 4. Constructivist Views on the
Teaching and Learning of Mathematics. NCTM, 1990.
HEJNÝ, M., ZEMANOVÁ, R.: Vyučování orientované na budování schémat v praxi.
In: Elementary Mathematics Education EME ’13. Prešov: Univerzita Prešov,
2013.
JIROTKOVÁ, D.: Tool for diagnosing the teacher's educational style in
mathematics: development, description and illustration. Orbis
Scholae, č. 2, 2012, vol. 6, pp. 69-83.
JIROTKOVÁ, D., KRPEC, R. Vyučování orientované na budování schémat v přípravě
učitelů. Matematika v primárnej škole. Prešov: Prešovská univerzita v Prešove,
Pedagogická fakulta, 2013. s. 101-106.
KRPEC, R., VIDLAŘOVÁ, E. Pohled na matematickou komponentu oboru učitelství 1.
st. ZŠ očima absolventů Ostravské univerzity a srovnání s univerzitami v ČR.
GRANT journal. 2014, roč. 2014, sv. 03, s. 48-50.
KRPEC, R. Matematická komponenta v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ na
Ostravské univerzitě z pohledu absolventů. STUDIA SCIENTIFICA FACULTATIS
PAEDAGOGICAE. 2015, roč. 14, s. 116-120.
ZEMANOVÁ, R. Vyučování metodou budování schémat – ostravská zkušenost v
učitelské přípravě a praxi. In: Dva dny s didaktikou matematiky 2013. Praha:
Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova.
RNDr. Radek Krpec, Ph.D.
Katedra matematiky s didaktikou
Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita
Mlýnská 5, 701 03 Ostrava 1
E-mail: [email protected]
Doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D.
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova
M. D. Rettigové 4, 116 39 Praha 1
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
76
Geometrické kurikulum na 1. stupni
Geometry curriculum at elementary school
Marie Kupčáková
MESC: D30
Abstract
This paper explains and reminds us about a concept of Geometry curriculum at
elementary school which was implemented in our schools since the 1980s. We will give
some thoughts about its influence in presence as well.
Key words: Curriculum, Geometry.
Abstrakt
V tomto příspěvku si připomeneme koncepci geometrického učiva na prvním stupni
základní školy, která byla realizována na školách v ČSSR od osmdesátých let minulého
století. Zamyslíme se formou testu nad jejím vlivem na tvorbu současných učebnic
matematiky pro 1. stupeň.
Klíčová slova: Standardy, geometrie.
1. Geometrické kurikulum na 1. stupni základní školy dříve a dnes
Od roku 1976 byl v tehdejší ČSSR realizován projekt Další rozvoj československé
výchovně vzdělávací soustavy, stručně zvaný množinové pojetí matematiky. Ten, kromě
odlišného přístupu k aritmetickému učivu, zcela zásadně změnil tradiční vyučování
geometrie. Žák nebyl seznamován s geometrickými pojmy, vztahy, konstrukcemi
a dalšími abstraktními pojmy až od dvanácti let, ale už od sedmi let. Mělo se za to, že
axiomatické, systematické vytváření geometrických poznatků je „jednoduché“, „jasné“
a bude zárukou trvalých vědomostí. Dětem byly už od druhé třídy vnuceny abstraktní
geometrické pojmy. Metodickou řadu učiva vytvořily: bod (vrchol krychle), úsečka
(základní pojem – hrana krychle), polopřímka (hrana krychle prodloužená na jednu
stranu), polopřímky opačné (jakási „hra na přetahovanou“), přímka (hrana krychle
prodloužená na obě strany), rovina (odvozená od stěny krychle), polorovina, atd. Autoři
koncepce byli přesvědčeni (a tvrdí to na webových stránkách i dnes), že jejich
geometrie je „odvozená z prostoru“, proto „přirozená“ a pochopitelná v jakémkoliv
věku.
Geometrie se začala učit přísně formálně a „vědecky“.
V dalších letech se obsah i forma geometrického vzdělávání neměnily. Dodnes se
školáci trápí vymyšlenými problémy matematiků-didaktiků, jaké neřešil ani Eukleidés
ve svých Základech. Například: Když vyznačuji bod, mám kreslit „plusko“ nebo
„otočený křížek“? Mám přímku popsat psacím nebo tiskacím písmenem? Jak
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
77
pojmenovat úsečku, která je grafickým součtem různých úseček AB, CD? (Jak
pojmenovávat přenášené krajní body?) Jak symbolicky zapsat, že úsečky AB a CD jsou
shodné? Jak zapsat, že jsou stejně dlouhé? Jaký je rozdíl mezi přímou čárou, úsečkou
a přímkou? Je polopřímka půlkou přímky? Je polorovina půlkou roviny? Jsou
polopřímky RS a SR opačné? Náleží střed kružnice kružnici?... atd.
Přehnaný a věku nepřiměřený důraz začal být kladen na přesnost rýsování.
Projekt Další rozvoj československé výchovně vzdělávací soustavy k dnešnímu dni
už prošel všemi pěti formami obsahu kurikula. Tedy koncepční, projektovou, realizační,
rezultátovou a efektovou (klasifikace dle [PRŮ]).
I když první tři formy tohoto kurikula proběhly vcelku bez problémů a bez
povšimnutí veřejnosti, hodně špatné výsledky rezultátové formy „projektu“ jsme
s překvapením zaznamenali, stejně jako vysoké školy technické, před rokem 2000 i na
pedagogické fakultě. Tehdy nastal náhlý propad geometrických znalostí a dovedností
studentů. Předcházející ročníky, které začínaly s geometrií na druhém stupni základní
školy, bývaly v geometrii výrazně lepší. Sporné je i kladné hodnocení poslední,
efektové formy kurikula, neboť nabyté (nenabyté) abstraktní znalosti nemohou bývalí
žáci v současné profesní kariéře ani uplatnit, protože jsou zcela nepotřebné (viz ukázka
z testování dále).
Na základě svých čtyřicetiletých zkušeností s geometrií a její výukou konstatuji, že
čas vynaložený učiteli a žáky prvního stupně byl promarněn. I když se mnohým
autorům učebnic zdálo (a zdá), že získávané vědomosti budou pro život nesmírně
důležité a budou bezpečně uloženy v paměti žáků, není to pravda. Nejsou ani důležité,
ani uložené do dlouhodobé paměti. Experiment, jehož část uvedu dále, potvrdil, že
v pracovní paměti dospělých nezůstává z učiva geometrie prvního období 1. stupně ZŠ
už téměř nic. Nevhodně načasované planimetrické učivo sice chvíli bylo v senzorické
paměti, po dobu dvou let snad i v krátkodobé paměti, avšak pak je zakryly jiné
informace. Jeden z hlavních důvodů zapomínání učiva spočívá v tom, že abstraktní
geometrické pojmy je dítě schopno vstřebávat až od 11 – 12 let věku (podrobně viz.
[GAR]). Studenti se vše učí na dalších úrovních škol od základů, ale už s narušeným
aparátem ukládání geometrických poznatků, a nepamatují si ani nové učivo.
Současná didaktika elementární matematiky se dávno vyrovnala s množinami. Tzv.
množinové pojetí aritmetiky nenajdeme už v žádné řadě učebnic. Jinak je tomu
s reziduem zvaným moderní základy geometrie. Zdá se mi, že ty nabyly punc jakési
nedotknutelnosti, jak o tom svěd4í většina současných českých učebnic matematiky pro
první stupeň základní školy.
Při pozorném čtení současných Standardů shledáme, že neobsahují axiomatické
pojetí planimetrie na prvním stupni. Například první očekávaný výstup M-3-3-01 zní
„žák rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá
tělesa; nachází v realitě jejich reprezentace. [STA]
Pojem „rovinný útvar“, tedy útvar dimenze 2, můžeme nahrazovat slovy jako
destička, ploška ap. Útvary dimenze 1 (přímka a její části) nejsou rovinnými útvary (!),
a už z formulace základního výstupu nepatří do 1. období prvního stupně. To by mělo
jednou provždy znamenat konec opačným polopřímkám a dalším věku nepřiměřeným
odborným pojmům v geometrii určené žákům ve věku 7 – 9 let. (Více viz [MET])
Autoři nejpoužívanějších učebnic se tím však neřídí. A je vcelku logické, že na školách
se učí právě to, co je v učebnicích. Ty navíc zakrývají abstraktní pojmy „vtipnými“
ilustracemi, aby daly žákům najevo, že učivo je „snadné“. Výklad a odborná
terminologie jsou mnohdy na úrovni střední školy.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
78
V Metodických komentářích ke standardům uvádíme například i to, že v souladu
s psychologickými poznatky je vhodné začít s rýsováním a konstrukčními úlohami až
ve věku 11 – 12 let. Souběžně s rýsováním útvarů pak používat správné názvosloví, aby
je žák mohl užívat i na dalších stupních škol. (V současné době je, co se týká
symboliky, v českých učebních textech nejednota, kterou by mělo napravit vydání
nových, pro všechny typy a stupně škol závazných, názvů a značek školské
matematiky.) [MET]
2. Testování uchování geometrických vědomostí
V uplynulých letech jsem průběžně testovala studenty učitelství na UHK ze znalostí
učiva 1. stupně a zjišťovala, jak málo si pamatují. Jsem přesvědčena, že to není jejich
vina. Příčina je psychologicky odůvodněná a spočívá, jak bylo výše uvedeno, ve
špatném prvotním načasování učiva.
Abych podložila svůj apel na oficiální přerušení (a zřejmě i zakázání) třicetileté
vžité axiomatické koncepce geometrie na prvním stupni, uskutečnila jsem malý
didaktický výzkum, jehož část zde uvedu.
Využila jsem toho, že bývalí i dnešní žáci řeší ve škole stejné úlohy. V roce 2015
jsem zadala obvyklý test ze současného třetího ročníku ZŠ (sestavený fakultní učitelkou
podle ŠVP), v pěti různých ročnících ZŠ a také ve druhém a třetím ročníku studia
učitelství ZŠ1 na PdF UHK. Každou úlohu jsem rozdělila na sledované jevy a ty
hodnotila (+, –). Výsledky jsem zaznamenávala do tabulek pomocí skutečných počtů
správně splněných dílčích úkolů. Varovné výsledky jsou zvýrazněny.
Pro ilustraci vybírám dvě úlohy.
Úloha 1
Narýsuj přímku m. Na přímce m vyznač body C, D. Vyznač barevně polopřímky
CD, DC. (1a)
Rozhodni, zda jsou pravdivé tyto věty:
Polopřímky CD a DC leží na jedné přímce. pravda/ nepravda (1b)
Polopřímky CD a DC nemají společný bod. pravda/ nepravda (1c)
Polopřímky CD a DC jsou polopřímky opačné. pravda/ nepravda (1d)
Tabulka1. Úspěšnost řešení 1. úlohy.
V žádné ze sledovaných skupin nebyly uspokojivě vyřešeny všechny dílčí úkoly.
Poslední, který se týkal opačných polopřímek, uspokojivě splnili pouze žáci 3. ročníku.
Vytěsnění pojmu z paměti starších respondentů jasně prokázalo jeho neužitečnost.
Je třeba uvést, že ve třinácti knihách Eukleidových Základů ani jednou nenajdeme
matoucí předponu polo–. Sám Eukleidés vystačil s druhým postulátem o prodlužování
přímé čáry (jedním směrem).
Ú1 III. IV. V. VI. VII.
20
let
21
let
19 23 27 20 20 54 29
1a 13/19 22/23 2/27 4/20 11/20 28/54 22/29
1b 16/19 23/23 23/27 17/20 19/20 51/54 29/29
1c 7/19 2/23 7/27 13/20 16/20 44/54 27/29
1d 12/19 1/23 11/27 9/20 7/20 9/54 5/29
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
79
Úloha 2
Na obrázku (obr. 1) je narýsovaná kružnice k se středem S a jsou vyznačeny některé
body. Zapiš body, které
náleží kružnici k .................... (2a)
náleží kruhu, který je kružnicí k určen ................ (2b)
nenáleží kružnici k .................. (2c)
nenáleží kruhu, který je kružnicí k určen ............... (2d)
Obrázek 1. Úloha2.
Samo znění úloh o „náležení“ je nepřirozené. Alarmující jsou výsledky druhé úlohy
ve všech skupinách, vyjma 4. ročníku. I zde se ukázalo, že za to nenesou odpovědnost
žáci, ani učitelé, ale samo učivo a ti, kteří je zas a znova zařazují do učebnic
matematiky. ŠVP se přirozeně řídí zvolenou řadou učebnic.
Tabulka2. Úspěšnost řešení 2. úlohy.
3. Závěr
Z našeho šetření vyplynulo, že kurikulum výuky geometrie na 1. stupni stále
ovlivňuje koncepce zavedená v tehdejší ČSSR v osmdesátých letech minulého století,
o čemž svědčí obsah většiny učebnic. Využití času vyhrazeného pro matematiku je tak
zčásti neefektivní. Proto doporučujeme, aby byly oficiálně přesunuty geometrické
konstrukční úlohy do 4. – 5. ročníku ZŠ a abstraktní pojmy až na 2. stupeň základní
školy.
Těžiště geometrie na prvním stupni by mělo spočívat, z důvodu uchování jiných
smysluplných užitečných geometrických poznatků, v manipulativních činnostech
(modelování, kreslení od ruky, nácvik kreslení pomocí kružítka a pravítka), poznávání
geometrických tvarů (2D, 3D), rozvíjení představivosti v rovině i prostoru a v rozvíjení
slovní zásoby (české i správné geometrické).
Ú2 III. IV. V. VI. VII. 20 let
21
let
19 23 27 20 20 54 29
2a 17/19 22/23 9/27 11/20 17/20 46/54 20/29
2b 2/19 17/23 5/27 1/20 11/20 19/54 18/29
2c 8/19 10/23 2/27 5/20 9/20 12/54 11/29
2d 9/19 22/23 6/27 6/20 16/20 34/54 25/29
A
B
EC
S
D k
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
80
Literatura
GARDNER, H.: Dimenze myšlení. Portál, 1999. ISBN 8071782793.
PRŮCHA, J.: Moderní pedagogika. Portál, 2013. ISBN 9788026204565.
Standardy pro základní vzdělávání – příloha RVP ZV, 1. září 2013.
Metodické komentáře ke Standardům pro základní vzdělávání. NÚV 2015.
http://clanky.rvp.cz/wp-content/upload/prilohy/20617/matematika.pdf [9.2.2017] .
RNDr. Marie Kupčáková, Ph.D.
Katedra matematiky PřF UHK, Hradec Králové
Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové 3
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
81
Proces třídění v komunikaci učitelky
a dítěte (v mateřské škole)
Sorting activities in the process of communication between teachers and children (in the
kindergarten)
Eva Nováková
MESC: C30
Abstract
Sorting activities represent activities with a potential to develop the propedeutics
of mathematical skills of pre-school children. They usually have the form of tasks to
group objects into certain sets based on given criteria. In this paper, the authors use
video recording as a basis for considerations about the processes of sorting as well as
about forms, methods and efficiency of the teacher-child communication. This kind of
activities enable teachers to consider relationships between pre-school and primary
school education and to view both of these as phases of one continuous educational
process.
Key words: propedeutics of mathematical skills, communication, manipulation, sorting.
Abstrakt
Jednou z aktivit využívaných při rozvíjení předmatematických představ v
mateřské škole je třídění předmětů - seskupování prvků do určitých souborů, tříd,
obvykle na základě sděleného kritéria, vyjadřujícího určitou shodu nebo podobnost
prvků. Na základě videonahrávky se v článku zamýšlíme jak nad procesem samotného
třídění, tak nad průběhem komunikace učitelky a dítěte. Úloha umožňuje promýšlet
návaznosti mezi předškolním vzděláváním a vzděláváním na prvním stupni ZŠ.
Klíčová slova: Matematická pregramotnost, komunikace, manipulace, třídění.
1. Úvod
Jedním z hlavních cílů práce s dítětem předškolního věku je rozvíjet verbální i
neverbální komunikativní dovedností. Zkušenosti rodičů i učitelek v předškolních
zařízeních (Slezáková, Šubrtová, 2015, Švejnohová, Slavíková, 2016, Zemanová, 2015)
ukazují, že je k tomu možné využívat nejrůznější příležitosti: komentovat vlastní zážitky
dětí; popsat prožívanou situaci; vyjadřovat v rozhovoru nápady, pocity, mínění a
úsudky; formulovat otázky a odpovídat na ně - patří mezi aktivity, směřující k rozvoji
poznávacích schopností, jazyka a myšlenkových operací (RVP PV, 2016).
Důležitou složkou získávání předmatematických zkušeností dětí je objevování
vztahů mezi prvky v určitém souboru předmětů (množině) a mezi těmito soubory
prostřednictvím konkrétních manipulativních činností. Kaslová (2015) uvádí, že
významné místo přitom zaujímá třídění, seskupování prvků do určitých souborů, tříd,
obvykle na základě sděleného kritéria, vyjadřujícího určitou shodu nebo podobnost
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
82
prvků. Třídění předmětů, známé z dětských her, předpokládá, že děti jsou k této činnosti
motivovány, obvykle samým charakterem předmětů, které třídí (hračky, ovoce,
dopravní prostředky, oblečení,…) a že dokáží jednotlivé předměty identifikovat, označit,
pojmenovat, podle jejich kvalitativních znaků (barva, tvar, materiál,…), případně jejich
funkce, a stanovit rozdíly a shody mezi nimi.
2. Popis a rozbor aktivity
V příspěvku prezentujeme analýzu jedné aktivity, která je reflexí zkušeností
získaných v prostředí mateřské školy. V našem výzkumu jsme analyzovali soubor
videozáznamů, pořízených při činnosti učitelky s dětmi. Sledované aktivity byly
zaměřeny k rozvoji matematické pregramotnosti dětí při motivovaných manipulacích
s pomůckami a konkrétními předměty, na porovnávání, uspořádávání a třídění souborů
předmětů podle určitého pravidla. Na základě jednoho z pořízených videozáznamů byl
zpracován a komentován přepis komunikace mezi učitelkou a dětmi.
Zadání, z něhož aktivita dětí vychází, poskytuje příležitost k tvořivému projevu,
zároveň však tvůrčí možnosti omezuje striktními pravidly stanovenými matematickým
obsahem: vlastnostmi rozkladu množiny na třídy na základě relace ekvivalence.
Učitelka zařadila tuto aktivitu jako reakci na předchozí zkušenost s tříděním
předmětů a uvedení aktivity modifikovala. V předchozích činnostech zaměřených
na třídění sama zadala kritérium pro třídění.
Obrázek 1. Předměty známé dětem z běžného života, které budou třídit.
Komunikace a její popis Komentář
U 1 „Zkus to roztřídit podle toho,
co si myslíš. Kam, co k sobě
patří.“
Učitelka používá pokyn „roztřídit“ jako
součást zadání úkolu, což je pro děti signál
k rozdělení předmětů do skupin. Zároveň
ale neuvádí jednoznačné kritérium
očekávaného třídění, ale navozuje ho
vyjádřením "co k sobě patří".
D1 2 Postupně odděluje skupiny
předmětů:
a) krabička a pexeso,
b) skleněná kulička,
hvězdička a andílek,
c) sklenička, zavařovací
sklenička,
Kritériem třídění je materiál, z něhož byly
předměty vyrobeny.
Přínosné by bylo dotázat se děvčete, jak k
takovému rozdělení dospěla, i když je
zřejmé, že verbalizování myšlenek je pro
děti v předškolním věku obtížné.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
83
d) papírový lepící bloček,
rolička od toaletního papíru,
leták,
e) plastová láhev, plastová
krabička, dřevěná tyčka od
nanuku, plastové pouzdro,
plastové postavičky šmoulů,
plastová lžička.
U 3 „Pozor, padá nám to.“
D1 4 Pokračuje v třídění.
U 5 „Hotovo? Tak jak to tedy
máš teď rozdělený?“
Učitelka se ptá na kritérium třídění.
D2 6 „Já si myslím, že to není
dobře.“
Druhé děvče vyhodnocuje situaci dříve,
než se k ní vyjádřila sama autorka.
Některé předměty jsou zčásti tvořeny
jiným materiálem, než byl zvolen pro
danou skupinu předmětů: balení pexesa,
andílek, zavařovací sklenice. Věci z
papíru nejsou v jedné skupině - jsou
rozděleny na dvě části - a mezi věci z
plastu byla pravděpodobně na základě
tvarové podobnosti zařazena dřevěná
tyčka.
Zda mělo druhé z děvčat pochybnosti
tohoto charakteru či jiné se nedozvídáme.
U 7 „A tak třeba dělila nějak,
podle něčeho jinýho.“
Učitelka tímto sdělením směřuje k
alternaci kritéria pro třídění, které zvolila
první dívka. Dále se však této myšlence
nevěnovala.
U 8 „No.“ Děvče sděluje učitelce vlastnosti
jednotlivých skupin, z jakého materiálu
jsou vyrobeny přičemž učitelka
vyhodnocuje všechna vyjádření
souhlasným „Hm“.
D1 9 „Skleněný.“
U 10 „Hm.“
D1 11 „Papírový.“
U 12 „Hm.“
D1 13 „Plastový.“
U 14 „Hm.“
U 15 „A co dál?“
D1 16 „Skleněný.“
U 17 „To máme taky skleněný,
viď?“
Poté, co děvče označilo již druhou skupinu
předmětů ze skla, učitelka na tuto
skutečnost bezprostředně poukazuje. Tato
rychlá reakce uzavírá dítěti možnost k
odkrytí, objevení této skutečnosti a
samostatné nápravě, tj. zařazení všech
skleněných předmětů do stejné skupiny.
U 18 „Pozor ať ti to nespadne.“
D1 19 „Ty se nám zatoulaly.“
D1 20 Přesouvá skleničky k
ostatním skleněným.
U 21 „A co toto? (ukazuje ..) A
ještě tady máme.“ Přesouvá
před dítě plastový květináč.
Učitelka opět přebírá iniciativu a
poukazuje na papírovou krabičku, pexeso a
plastový květináč. Tyto předměty byly
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
84
v danou chvíli problematické z pohledu
dodržení kritéria třídění. Dvě třídy
rozkladu nebyly disjunktní a každý prvek
základní množiny nepatřil do některé ze
tříd rozkladu. Vznikly dvě skupiny věcí
vyrobených z papíru a plastový květináč
dosud děvče do svých „tříd“ nezařadilo.
D1 22 „Nevím.“
U 23 „Nevíš? Tak zkus na to
sáhnout, zkus to poťukat. Co
myslíš?“
Učitelka nabádá k zapojení více smyslů
pro určení materiálu, ze kterého je
výrobek.
D1 24 „??“
U 25 „Hm. Co tak krabička, co
myslíš?“
Dílčími otázkami vede děvče k
přehodnocení problematické skupiny
(papírová krabička, pexeso) a to tím, že je
vysloven materiál, ze kterého jsou
vyrobeny.
D1 26 „To je z papíru.“
U 27 „A to pexeso? Co myslíš?“
D1 28 „Z papíru.“
U 29 „No, vidíš to.“ Zcela konkrétně instruuje děvče k přesunu
obou předmětů k věcem z papíru a tím k
vytvořením jedné skupiny. Na stole byly v
tuto chvíli předměty blízko u sebe, proto
učitelka vyzvala k oddělení skupin.
Verbálně ale děvče nabádá, ať dá skupinky
k sobě, čímž myslela předměty v
jednotlivých skupinách nikoliv skupiny
samotné. Ty naopak chtěla oddělit.
D1
30 „Tak to zkusíš dát k sobě ty
skupinky, abysme to tedy
rozto...“
U 31 „Zkus jenom je takhle k sobě
přidat.“ Přisunula plastový
květináč k plastové lahvi.
Sama odděluje dva plastové předměty.
Děvče k nim přidává zbývající plastové
věci. Ostatní předměty nepřesouvá, ale
sahá na ně a některé skupiny pojmenuje. D1 32 „Tady máme skleněný.“
U 33 „Hm. Jo. Dobrý? Hotový?“ Ujištění o dokončení úkolu a jeho
správnosti. D1 34 „Dobře.“
3. Shrnutí, závěry
Na začátku práce je patrný akcent na dětskou aktivitu, kreativitu, hledání vlastních
podmínek pro třídění, který však v průběhu práce byl upozaděn a učitelka jednoznačně
směřovala k uplatnění vlastního kritéria, tj. třídění podle materiálu.
Dítě si nestanovuje hned na začátku jednoznačné pravidlo pro třídění, které poté
"stačí pouze aplikovat". Na videu vidíme proces hledání, přičemž spouštěčem byl pokyn
učitelky (U1) - "co k sobě patří". Děvče střídá při posuzování a rozhodování dvě
hlediska: "mít podobný tvar", "být vyroben ze stejného materiálu". Hned u prvních
dvou předmětů můžeme sledovat, že krabička i pexeso jsou z papíru, ale že jsou si také
tvarově blízké. Pro děvče byla ona tvarová blízkost natolik dominantní, že je nezařadila
mezi ostatní věci z papíru. Význam tvaru předmětů se ukázal podstatný také u zařazení
dřevěné tyčky mezi plastové pouzdro. Vzhledem k tomu, že tyto dva předměty byly
z různých materiálů, jejich zařazení do téže skupiny bylo chybou ve chvíli, kdy do téže
skupiny byly zařazeny další plastové předměty. Zároveň ale můžeme sledovat, jak
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
85
důležitá je posloupnost děje. Nejprve si děvče vzalo dva předměty a vyhodnotilo je oba
jako plastové (krabička, láhev) a odložilo je. Následující dva předměty, které vzalo,
byla tyčka a pouzdro, které ovšem vyhodnotilo z pohledu jiných vlastností, ale dále
nezjišťovala, zda danou vlastnost má i jiný prvek („reprezentant třídy rozkladu“) v již
vytvořené skupině, do které chtěla předmět zařadit. Učitelka ve svých reakcích tuto
interpretaci nereflektovala, nevyužila tento potenciál vhledu do situace.
Pro proces třídění je důležité, aby děti dobře znaly vlastnosti tříděných předmětů,
ale také aby uměly správně vyhodnotit danou vlastnost, tj. zvolené kritérium. Například
u třídění podle barev někdy děti váhají, zda mají předměty o různých odstínech téže
barvy zařadit do jedné skupiny. Ve chvíli, kdy se nutně nejedná o vizuální vjem, bývá
posuzování obtížnější. V našem případě se též ukázalo, že pro posouzení vlastností je
významná i dosavadní zkušenost dítěte. Pokud mu již někdo z důvěryhodných
dospělých sdělil, že se jedná například o plastovou lžičku, nemusí dítě blíže více
zkoumat materiál, z kterého je lžička vyrobena.
Výzkum byl realizován v rámci řešení úkolu FRMU „Realizace inovativních
změn v matematické složce přípravy učitelek mateřských škol na PdF MU".
Literatura
KASLOVÁ, M. Prelogické myšlení. In: Fuchs, E., Lišková, H., Zelendová, E. (eds.).
Rozvoj předmatematických představ dětí předškolního věku: metodický průvodce.
(pp. 76-101). Praha: JČMF 2015.
Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání. Praha: 2017. Dostupné z
http://www.msmt.cz/file/39793/.
SLEZÁKOVÁ, J., ŠUBRTOVÁ, E. Matematika všemi smysly aneb Hejného metoda
v MŠ: pokus o malou příručku pro kreativní pedagogy. Praha: Step by Step ČR,
o.p.s., 2015.
ŠVEJNOHOVÁ, A., SLAVÍKOVÁ, V. Panáček aneb O rozvíjení matematických
představ a spolupráce v dětské skupině. Komenský, 2016, č. 04, s. 31-39
ZEMANOVÁ, R. Jak děti předškolního věku rozumí prostoru. Ostrava: Ostravská
univerzita v Ostravě, 2015.
Mgr. Eva Nováková, Ph.D.
Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU
Poříčí 31, 603 00 Brno, Česká republika
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
86
Několik slov k cyklografii
Some words about cyclography
Jitka Panáčová
MESC: G80, G60
Abstract
In the paper there are briefly described basic problems of cyclography (one-to-one
correspondence of the set of all points of the 3E onto the set of all directed circles -
cycles – of the proper plane of the 3E . The article summarizes principles and
applications of cyclography method, and in the end introduces its historical
development.
Key words: cycle, directed line, isotropic line, directed plane, basic conic C, C – conic
area.
Abstrakt
Práce sa zabývá základními problémy cyklografické zobrazovací metody
(bijektivní zobrazení množiny všech bodů rozšířeného euklidovského prostoru 3E na
množinu všech orientovaných kružnic – cyklů – vlastní roviny prostoru 3E ). Shrnuje
dále aplikaci této metody na řešení planimetrických úloh z geometrie orientovaných
kružnic a v závěru zachycuje stručně její historický vývoj.
Klíčová slova: cyklus, orientovaná přímka, isotropní přímka, orientovaná rovina,
základní kuželosečka C, C - kuželová plocha.
1. Úvod
Cyklografie nebo cyklografické zobrazení je příkladem nelineární zobrazovací
metody. Pod pojmem zobrazovací metody rozumíme bijektivní zobrazení útvarů
trojrozměrného euklidovského prostoru (popř. rozšířeného euklidovského prostoru) na
určité objekty jedné roviny, kterou nazýváme nákresna. Bodu v prostoru tedy přiřadíme
určitý útvar v nákresně. V případě cyklografického zobrazení je obrazem bodu
v prostoru cyklus v nákresně, přičemž střed cyklu je ortogonální průmět daného bodu do
nákresny.
2. Základní principy cyklického promítání
V dalším textu se předpokládá znalost následujících pojmů elementární geometrie
euklidovské roviny E2: orientace přímky (orientovaná přímka), orientace roviny
(orientovaná rovina), orientovaný úhel.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
87
Poznámka 1: Pod pojmem úhel se v celém textu bude rozumět příslušný konvexní
úhel (např. < AOB nebo < �⃗� 𝑣 ). Jestliže úhel < �⃗� 𝑣 patří do zvolené (kladné) orientace
roviny, budeme říkat, že tento úhel určuje orientaci roviny nebo orientace roviny je
tímto úhlem určená.
Definice 1: Buď k(O, r) libovolná kružnice orientované euklidovské roviny E2 (úhlem
< �⃗� 𝑣 ) a K, L libovolná uspořádaná dvojice navzájem různých bodů na k. Řekneme, že
kružnice k je dvojicí bodů K, L orientovaná kladně, resp. záporně, jestliže orientovaný
úhel < KOL patří, resp. nepatří do zvolené orientace roviny (tj. jestliže úhly < �⃗� 𝑣 , < KOL jsou orientované souhlasně, resp. nesouhlasně).
Poznámka 2: Orientovanou kružnici nazýváme cyklus, původní kružnici nositelkou
cyklu. Analogicky orientovanou přímku nazýváme paprskem, původní přímku
nositelkou paprsku. Ve smyslu předchozí definice pak hovoříme o kladných
a záporných cyklech. Poloměrem kladného, resp. záporného cyklu budeme nazývat
reálné číslo r, resp. - r, kde r je poloměr nositelky cyklu.
Definice 2: Kladnou polorovinou orientované eukleidovské roviny ρ vzhledem
k danému paprsku (určeného polopřímkou 𝐾𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗) nazýváme polorovinu (s hraniční
přímkou danou body K, L) incidentní s bodem X, pro který orientovaný úhel < LKX
patří do zvolené orientace roviny ρ. Opačnou polorovinu k této polorovině nazýváme
zápornou polorovinou orientované roviny ρ vzhledem k danému paprsku.
Kladnou stranou kladného, resp. záporného cyklu nazýváme vnitřek, resp. vnějšek
nositelky cyklu; vnějšek, resp. vnitřek této kružnice se nazývá jeho zápornou stranou.
Definice 3: Buď v orientované euklidovské rovině ρ dána přímka t a kružnice k.
Řekneme, že paprsek s nositelkou t se dotýká cyklu s nositelkou k, jestliže nastane právě
jedna z následujících dvou možností:
1. Přímka t je tečnou kružnice k a kladná polorovina roviny ρ vzhledem k danému
paprsku je částí kladné strany cyklu.
2. Přímka t je tečnou kružnice k a kladná strana cyklu je podmnožinou kladné
poloroviny roviny ρ vzhledem k danému paprsku.
Jestliže mají dva cykly ve společném bodě společný dotykový paprsek, řekneme, že se
oba cykly ve společném bodě dotýkají.
2.1 Obraz bodu
Základním prostorem bude rozšířený euklidovský prostor 3E nad polem reálných
čísel. Principem cyklografické zobrazovací metody je kolmé promítání do jedné
(vlastní) roviny. Buď 3E libovolná vlastní rovina (průmětna). Orientujme oba
poloprostory prostoru 3E s hranicí (tj. prohlašme libovolný z nich za kladný).
V kótovaném zobrazení se přiřadí každému vlastnímu bodu P 3E uspořádaná dvojice
(P1, zP), kde P1 je kolmý průmět bodu P do průmětny a z
P je orientovaná vzdálenost
bodu P od roviny (kóta bodu P). V cyklografii se postupuje analogicky. Při zobrazení
libovolného vlastního bodu P 3E se sestrojí nejprve jeho kolmý průmět P1 do roviny.
Dále je třeba (kromě orientace poloprostorů prostoru 3E s hranicí ) orientovat
průmětnu např. orientovaným úhlem < �⃗� 𝑣 . Každému bodu P prostoru 3E pak
přiřadíme cyklus PC průmětny s poloměrem z
P, jehož nositelka má střed P1. Cyklus
PC je tedy kladný, resp. záporný, jestliže orientovaná vzdálenost bodu P od průmětny je
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
88
kladná, resp. záporná. Pro bod Q je Q = Q1 a zQ = 0 (tento bod nazýváme
„nulovým" cyklem).
Věta 1: Zobrazení : 3E → C množiny všech vlastních bodů prostoru 3E na množinu
všech cyklů C průmětny , které bodu P přiřadí cyklus PC, je bijekce.
Definice 4: Zobrazení z věty 1 je zobrazovací metoda a nazývá se cyklografické
zobrazení. Množina C všech cyklů v rovině se nazývá prostor cyklů.
Poznámka 3: Nositelka cyklu PC 3E je průnikem rotační kuželové plochy v 3E dané
vrcholem P, jejíž tvořící přímky mají odchylku 45° od průmětny . Tato kuželová
plocha protíná rovněž nevlastní rovinu Ω 3E v kuželosečce C (tzv. základní
kuželosečka). Kuželosečka C leží na analogických kuželových plochách pro všechny
vlastní body prostoru 3E a její střed je nevlastním bodem přímek kolmých na
průmětnu . Tento přístup umožňuje jiný pohled na nositelky cyklů v průmětně; každou
kružnici - nositelku cyklu PC - lze vyjádřit jako průnik kuželové plochy s vrcholem P a
určující kuželosečkou C Ω s průmětnou . Tuto kuželovou plochu značíme symbolem
KP(P, P
C)
1.
Definice 5: Rotační kuželovou plochu, jejíž tvořící přímky svírají s osou odchylku 45°,
nazýváme C - kuželová plocha.
Věta 2: Množinou všech dotykových cyklů k pevnému cyklu PC jsou cyklografické
obrazy všech bodů C - kuželové plochy, jejíž určující kružnice je nositelka cyklu PC.
Poznámka 4: Množinou cyklů, které incidují se společným bodem Q, jsou
cyklografické obrazy všech bodů C - kuželové plochy s vrcholem Q. V dalším textu by
bylo možné ukázat, jakým způsobem se cyklograficky zobrazuje přímka nebo rovina.
Touto problematikou se však již dále nebudeme podrobně zabývat, neboť momentálně
zbudovaný aparát vystačí pro ilustraci využití cyklografie na následujícím příkladu.
3. Praktické využití cyklografie Možností využití cyklografického zobrazení je celá řada, nejzajímavější je však
řešení planimetrických úloh pomocí cyklografie, ze kterých je v následujícím textu
vybrána jedna z Apolloniových úloh.
Původní Apolloniova úloha se zabývá konstrukcí kružnice, která se dotýká daných
tří kružnic. Obecnou Apolloniovou úlohou rozumíme úlohu o konstrukci kružnice
dotýkající se daných tří geometrických útvarů (body, přímky, kružnice). Její řešení
metodou cyklografického zobrazení je velmi jednoduché a elegantní. Před samotnou
ukázkou řešení Apolloniovy úlohy užitím této metody se však nejdříve zabývejme
otázkou průniku dvou C - kuželových ploch.
3.1 Pomocná úloha
Jsou dány dvě C-kuželové plochy KA(A, A
C), K
B(B, B
C), přičemž určující
kružnice plochy KA, resp. K
B obsahuje cyklus A
C , resp. B
C . Určete průnik
KA
∩ KB.
Řešení: Průnikem dvou kvadrik je obecně křivka 4. stupně. Protože kuželové plochy
KA, K
B obsahují základní kuželosečku C, musí být i druhá část průniku těchto ploch
kuželosečka. Označme tuto kuželosečku k a její rovinu α.
1 Pokud nemůže dojít k záměně, budeme používat zkráceného zápisu kuželové plochy K
P.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
89
Rovina λ (AB λ, λ ꓕ) obsahující osy AA1, BB1 obou kuželových ploch je jejich
rovinou souměrnosti, tj. i vlastní části k jejich průniku. Rovina α kuželosečky k je kolmá
na rovinu λ a osa kuželosečky k je průsečnicí rovin α a λ. Zvolme si rovinu λ za druhou
průmětnu a dořešme úlohu v Mongeově zobrazení s nákresnou . V druhém průmětu
pak pohodlně sestrojíme vlastní body průniku KA
∩ KB
∩ λ = (KA
∩ λ)
∩
(KB
∩ λ), což jsou vrcholy M, N kuželosečky k. Je zřejmé, že k je hyperbola nebo elipsa
(pokud nositelka jednoho cyklu leží uvnitř nositelky druhého) a MN je jejich osou.
Rovina α je určená (MN α α ꓕ λ); její stopa pα je chordála nositelek cyklů A
C, B
C.
Kuželosečku k pak sestrojíme jako rovinný řez např. KA
∩ α. Ohniska kolmého
průmětu kuželosečky k do roviny jsou body A1, B1. Odtud vyplývá následující
vlastnost:
Věta 3: Množina středů všech cyklů, které se dotýkají daných dvou cyklů, je hyperbola
nebo elipsa, která má středy daných cyklů za ohniska.
3.2 Apolloniova úloha
Sestrojte kružnici, která se dotýká daných tří kružnic a, b, d v rovině .
Rozbor: Orientujme dané kružnice a, b, d v rovině a příslušné cykly označme AC, B
C,
DC.
Buď Z cyklografické zobrazení v prostoru 3E s průmětnou ;
Z-1
: AC, B
C, D
C A, B, D.
Jestliže v existuje cyklus XC, který se dotýká cyklů A
C, B
C, D
C, tak pro bod
X = Z-1
(XC) platí: X K
A ∩ K
B ∩ K
D. Obráceně pro každý bod Y K
A ∩ K
B ∩ K
D
platí, že cyklus YC se dotýká cyklů A
C, B
C, D
C. Planimetrická Apolloniova úloha je
tak převedena s využitím principů cyklografického zobrazení na prostorovou úlohu:
nalézt průnik tří C-kuželových ploch a k němu určit jeho cyklografický obraz. Nositelky
cyklografických obrazů bodů průniku jsou pak částí řešení zadané úlohy.
Konstrukce: Bod X průniku C-kuželových ploch leží v rovině γ vlastní kuželosečky
k KA
∩ KB
a analogicky v rovině β kuželosečky l KA
∩ KC
(konstrukce rovin γ, β
podle předcházející pomocné úlohy; pγ, p
β jsou chordály příslušných dvojic kružnic).
Označme γ ∩ β = s. Pak platí: X KA
∩ s. Zřejmá je konstrukce stopníku ps p
β ∩ p
γ
přímky s; kromě toho je přímka s rovnoběžná s přímkou s' (s' γ' ∩ β'), kde
A β' β' || β, A γ' γ' || γ, tj. γ', β' jsou vrcholové roviny kuželové plochy KA
rovnoběžné s rovinami β, γ (v daném pořadí).
Průsečíky KA
∩ s se sestrojí pomocí roviny λ dané rovnoběžkami s, s'. Platí:
KA
∩ s = s
∩ (λ
∩ K
A) = s
∩{AX0,AY0}, kde {X0,Y0} = p
λ ∩ a. Pak přímka daná body
A, X0, resp. A, Y0 protíná přímku s v bodě X, resp. Y a X1, Y1 jsou středy hledaných
cyklů. Kružnice, které jsou nositelkami cyklů XC, Y
C, jsou částí řešení úlohy (0 až 2
řešení).
Diskuse: Úplné řešení získáme, když budeme uvažovat všechny možné kombinace
orientací kružnic a, b, d. Jejich počet je 23. Vždy dvě dvojice (pro navzájem opačné
cykly) dají jedno řešení, tj. všechna řešení dají čtyři trojice cyklů. Úloha má celkem
0 - 8 řešení; jejich počet závisí na vzájemné poloze kružnic a, b, d.
4. Historie cyklografie Samotná myšlenka cyklografie (vzájemně jednoznačného zobrazení bodů
v prostoru na cykly v rovině) se objevila již v díle [8] B. E. Cousineryho, ve kterém je jí
využito při řešení některých Apolloniových úloh. Poté pak Nikolaus Druckenműller
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
90
(1806-1883) - žák Julia Plűckera (1801-1868) - v r. 1842 zkonstruoval v díle [9]
prostředky analytické geometrie zobrazení, které bylo později také nazváno isotropní
projekce.
Za první soustavně zpracované dílo o cyklografii jako o zobrazovací metodě
deskriptivní geometrie je považováno dílo [3] Wilhelma Fiedlera (1832-1912). Tato
kniha má čistě konstruktivní charakter, věnuje svou pozornost konstrukčním úlohám
o kružnici a kouli. Fiedlerovo pojetí zobrazení splňuje principielně parametry
kruhového zobrazení, nelze ho proto označovat za cyklografii v pravém slova smyslu,
přestože jeho publikace paradoxně ve svém názvu slovo cyklografie nese. V jeho knize
sice narazíme na zmínku o tom, že kružnici v rovině lze orientovat, aby se zabránilo
dvojznačnosti, ale autor této možnosti nevyužil a operoval výhradně s elementy
neorientovanými.
Nejnovější podobu cyklografie jako zobrazovací metody deskriptivní geometrie
přineslo systematické dílo [2], které vyšlo r. 1929 jako druhý díl přednášek Emila
Műllera na vídeňské technice. Bylo zpracováno po Műllerově smrti jeho asistentem
Josefem Leopoldem Kramesem (1897-1986). Z hlediska cyklografie se jedná
o praktickou aplikaci myšlenky isotropní projekce v deskriptivní geometrii a tím
zároveň za plod mnohých úvah F. Kleina a Maria Sophuse Lieho (1842-1899), které se
vztahovaly v té době k modernímu výzkumu deskriptivní geometrie. Toto Műllerovo
dílo přineslo mnoho poznatků z jeho dřívějších publikací o cyklografii, z díla
W. Fiedlera [3] a ze studií například Wilhelma Blaschkeho (1885-1962) a Erwina
Wilhelma Kruppy (1885-1967). Samotné konstruktivní provedení různých úloh však
Műller na rozdíl od Fiedlera prováděl pomocí kótovaného promítání a operoval zásadně
s orientovanými elementy. Obě pojetí se dále odlišovala v tom, že v Műllerově díle [2]
plnila velmi důležitou funkci nevlastní základní kuželosečka, s níž Fiedler vůbec
nepracoval.
4.1 Cyklografie v Čechách
Jedinou knižní publikací u nás, která se podrobně a uceleně problematikou
cyklografického zobrazení zabývala, je monografie [1] L. Seiferta (1883 – 1956). Tato
kniha vydaná v r. 1949 je napsána v Műllerově pojetí – jedná se o přeložené a zkrácené
Műllerovo dílo [2]. Autor v ní popisuje základními principy cyklografie, vysvětlil
pojmy a vlastnosti tzv. cyklografické koule a cyklického zobrazení bodových
transformací, popsal konstrukci cyklického obrazu křivky a plochy v 3E a v závěru
zkoumal užití cyklické projekce a Laguerrových transformací. Na příkladech různých
planimetrických úloh je ilustrováno praktické využití cyklografie.
Tato monografie [1] byla určena především pro kandidáty středoškolského
učitelství. L. Seifert usiloval o zavedení cyklografie do výuky deskriptivní geometrie na
českých vysokých školách pro budoucí středoškolské učitele a přednášel ji na
Přírodovědecké fakultě MU v Brně. Po jeho smrti zde cyklografii přednášel Seifertův
žák Karel Svoboda. Jmény těchto dvou geometrů však éra cyklografie ve výuce u nás
začíná a zároveň i končí. V hodinách deskriptivní geometrie byl dán prostor jiným
metodám.
Kromě monografie [1] v české odborné literatuře nalezneme v mnohých
souvislostech rozličné zmínky o cyklografii, často ve spojení s řešením planimetrických
úloh. Z celé této nevelké řady knižních publikací o cyklografii se zmiňujících jmenujme
alespoň učebnici deskriptivní geometrie Jana Sobotky (1862-1931) [5], která je však
napsána ještě ve Fiedlerově pojetí. Další zmínky o této zobrazovací metodě již
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
91
v Műllerově pojetí nalezneme v monografiích Josefa Holubáře (1895 – 1970) [6] a [7],
ve kterých mimo jiné autor ilustroval prostřednictvím cyklografie řešení Apolloniových
úloh.
5. Závěr Využití cyklografie v oblastech matematiky a geometrie je široké, bohužel se dnes
již v rámci výuky deskriptivní geometrie s touto zajímavou metodou téměř nesetkáme.
Její aplikace na řešení klasických úloh z elementární geometrie je elegantní a názorná
a mohla by tudíž vzbudit opětovný zájem. V současné době na tuto metodu narazíme
v některých pracích a materiálech Zity Sklenárikové z FMFI UK v Bratislavě (viz
[10]). Velmi inspirativní je dále novější pojednání o cyklografii [11] od Lenky Juklové
z UP v Olomouci a diplomová práce [12] od Jiřího Hátle.
Literatura
[1] SEIFERT, L.: Cyklografie, Jednota československých matematiků a fyziků, Praha,
1949.
[2] MŰLLER, E.- KRAMES, J. L.: Vorlesungen űber darstellende Geometrie, 2.
Band: Die Zyklographie, Wien und Leipzig, 1929.
[3] FIEDLER, W.: Cyklographie oder Construktion der Aufgaben uber Kreise und
Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme, Leipzig, 1882.
[5] SOBOTKA, J.: Deskriptivní geometrie promítání parallelního, JCMF, Praha, 1906.
[6] HOLUBÁŘ, J.: O metodách rovinných konstrukcí, JCMF, Praha, 1940.
[7] HOLUBÁŘ, J.: O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů,
JČMF, Praha, 1948.
[8] COUSINERY, B. E.: Geometrie perspective, 1828.
[9] DRUCKENMÜLLER, N.: Die Übertragungsprinzipien der analytischen
Geometrie, 1842.
[10] SKLENÁRIKOVÁ, Z.: K metódam riešenia Apolloniovej úlohy, Matematika
v proměnách věků. III., 2004, 45-55.
[11] JUKLOVÁ, L.: Aplikace deskriptivní geometrie: základy kartografie a cyklografie,
Univerzita Palackého v Olomouci, Olomouc, 2013.
[12] HÁTLE, J.: Cyklografie a její užití k řešení planimetrických úloh, diplomová práce,
PřF UP Olomouc, 2006.
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.
Katedra matematiky PedF MU
Poříčí 31
Brno 603 00
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
92
Dizajn výskumu optimalizácie výučbových materiálov
z matematiky pre primárne vzdelávanie
Design of research optimization of teaching materials for primary education
Edita Partová
MESC: E10, U20, U60, U70
Abstract
The paper deals with the planning of the research project "Optimization of
educational materials in mathematics based on an analysis of the current needs and
abilities of pupils of younger school age." When optimizing the researchers undertook
to examine the ability of students of primary education using both traditional and
modern teaching aids, explore their preferences when selecting teaching materials and
activities and align them with the needs of society as defined in curriculum.
Key words: primary mathematics, education, researche.
Resume
Príspevok sa zaoberá plánovaním výskumného projektu „Optimalizácia
výučbových materiálov z matematiky na základe analýzy súčasných potrieb a
schopností žiakov mladšieho školského veku.“ Pri optimalizácii sa riešitelia projektu
rozhodi skúmať schopnosti žiakov primárneho vzdelávania používať tradičné aj
moderné učebné pomôcky, skúmať ich preferencie pri výbere výučbových materiálov
a aktivít a zosúladiť ich s potrebami spoločnosti definovanými v školských
dokumentoch.
Key words: primárne vzdelávanie , matematika, výskum.
1. Úvod
Matematické vzdelávanie, na primárnom stupni vzdelávania, nie je v centre
záujmu vedeckého výskumu na Slovensku. Celoštátne meranie matematických
vedomostí žiakov na 1. stupni základnej školy je len na začiatku, ale výsledky
medzinárodných meraní naznačujú nepriaznivý stav. Spomenieme len jeden zo záverov
PISA, podľa ktorých slovenskí žiaci dlhodobo dosahujú podpriemerné výsledky
v oblasti matematickej gramotnosti v porovnaní s ostatnými krajinami OECD, a že
Slovensko patrí medzi krajiny, kde je najvýraznejší vplyv sociálneho zázemia žiakov
na ich výsledky v testovaní. Podobne je slovenské školstvo predmetom kritiky, pre
nevhodnú štruktúru výstupov vzdelávania, prílišný dôraz sa kladie na faktografiu
a minimálny na aplikáciu poznatkov. Napriek výrazným zmenám v štandardoch za
posledné desaťročie sa situácie nezlepšila, skôr naopak. Nízka úroveň vzdelávacích
štandardov z matematiky pre ISCED1 vniesla do vzdelávania neistotu a dezorientáciu.
Absentuje v nich aj akákoľvek reflexia aktuálnych záujmov a schopností žiakov danej
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
93
vekovej skupiny a požiadaviek spoločnosti. Okrem iných aj uvedené zistenia nás
motivovali aby sme sme vytvorili projekt Optimalizácia výučbových materiálov z
matematiky na základe analýzy súčasných potrieb a schopností žiakov mladšieho
školského veku, ktorý realizujeme za finančnej podpory APVV. Cieľom projektu je
sledovaťv praxi spôsoby vyučovacích aktivit, skúmať druhy výučbových materiálov
a učebných pomôcok z hľadska ich súladu so schopnosťami žiakov danej vekovej
skupiny, tak aby boli motivujúce pre získanie potrebných matematických kompetencií.
2. Návrh výskumného projektu
Organizácia výskumu v oblasti matematického vzdelávania v mladšom školskom
veku je náročná úloha, z pohľadu plánovania, metodológie a vyhodnotenia projektu.
Pri plánovaní výskumu sme vychádzali z dostupnej odbornej literatúry (Fraenkel, al
all.) a rozhodli sme sa pre kombináciu viacerých výskumných metód. Hlavné etapy
projektu sú
tvorba výskumného nástroja
hlavný výskum s využitím výskumného nástroja
tvorba výučbových materiálov
experimentálne overovanie výučbových materiálov
analýza výsledkov výskumu a ich publikovanie výsledkov
poskytnutie výsledkov odoberajúcim subjektom
Projekt je plánovaný na štyri roky, preto máme možnosť dôkladne pripraviť
výskumný nástroj, čo je predpokladom získavania vierohodných údajov. Kľúčovým
výskumným nástrojom bude akčný výskum uskutočnený na zámerne vybraných
školách.
Hlavným princípom pri tvorbe aktivít je zabezpečiť možnosť žiakom získavať
a osvojiť si poznatky spôsobom, ktorý je pre nich najvhodnejší. Právo výberu je
podmienené možnosťou poznania rôznych postupov, materiálov a organizačných foriem
vyučovania, preto sme a rozhodli navrhnúť aktivity, ktoré sme pracovne nazvali
„zrkadlové“. To znamená, že aktivita s rovnakým obsahom a vyučovacím cieľom je
vytvorená v dvoch -troch modifikáciách, pričom sa menia pomôcky, prostredie,
materiál, kontext alebo didaktická situácia. Neoddeliteľnou súčasťou prípravy sú
podrobné metodické inštrukcie (scenáre) pre výskumníkov založené na dôkladnej
didaktickej analýze aktivít.
3. Prvá etapa tvorby výskumného nástroja
Vzhľadom na vytýčené ciele je potrebné zabezpečiť čo najlepšiu kvalitu
výskumu, preto sme realizovali predpilotné testovanie výskumného nástroja.
Riešiteľský kolektív je zostavený z členov niekoľkých pracovísk z dvoch univerzít
(Univerzita Komenského v Bratislave a Katolícka univerzita v Ružomberku). V záujme
zabezpečiť pokrytie všetkých oblastí matematiky sme dbali na to aby bolo zastúpené
učivo z geometrie (rovinné útvary a ich vzťahy), aritmetiky (čísla a operácie) aj z
algebry (závislosti, premenné). Témy sme rozdelili medzi výskumníkov, ktorí si vybrali
konkrétne učivo z danej oblasti a pripravili návrh aktivít. Pre každý ročník boli
navrhnuté dve geometrické a dve aritmeticko-algebraické úlohy.
Zrkadlové aktivity- ako pracovný termín chápeme v zmysle rôznych aktivít na
to isté učivo, ktoré umožňujú žiakom používať manipuláciu s reálnymi predmetmi,
s virtuálnymi objektmi, alebo využívať pero-papier. Dôležitým kritériom výberu bola
možnosť používania rôznych prostriedkov a pomôcok v aktivitách s tým istým obsahom
napr. predmety každodenného života (slamky, vrchnáky fliaš, rôzne obaly), klasické
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
94
didaktické pomôcky (geometrické útvary, počítadlá), digitálne technológie (interaktívna
tabuľa, notebook) aj pero a papier.
Ku každej aktivite je vypracovaný podrobný scenár pre výskumníka
s alternatívnymi postupmi, a zároveň základný súbor reálnych aj virtuálnych pomôcok.
Pri výbere učiva aj aktivít, sme vychádzali z výsledkov najnovších výskumov, ktoré sú
podrobnejšie opísané napríklad v publikáciách ( Gunčaga-Kopáčová, 2013), (Žilková,
2013), alebo (Partová 2011). Uvedieme ukážku z tematického celku Čísla a operácie,
učivo základné spoje odčítania s prechodom cez 10.
4. Ukážka návrhu zrkadlovej aktivity na téme základný spoj odčítania
s prechodom cez 10.
Náročnosť pri výbere učiva sme zámerne postavili o niečo vyššie ako sú
požiadavky výkonových štandardov, chceli sme eliminovať dôsledky faktografickej
znalosti základných spojov Základné spoje odčítania s prechodom cez 10 sú obsahovo
zaradené do druhého ročníka. Testovanie bolo naplánované na začiatok novembra,
preto sme predpokladali, že prebieha konštrukcia (vyvodenie) základných spojov
odčítania s prechodom cez 10 žiaci ich ešte nemajú zautomatizované. Vybrali sme
spoje 12 – 5, 15 – 8, 13 – 7, 14 – 6, ktoré boli napísané na kartičkách a žiaci mali
zistiť výsledok s využívaním ponúknutých pomôcok, pričom poradie jednotlivých
druhov pomôcok bolo vopred určené. Podstatou konštrukcie základného spoja
odčítania s prechodom cez 10 sú dva typy rozkladu čísla: rozklad dvojciferného čísla na
desiatky a jednotky a rozklad menšiteľa (jednociferného čísla) alebo desiatky na dve
čísla. Význam modelov v procese porozumenia abstraktných pojmov a postupov
zdôrazňuje mnoho odborníkov napríklad (Hospešová at all), preto sme starostlivo
vyberali rôzne modely a dbali aj na poradie ich používania. Ako prvý model sme
ponúkli vrchnáky plastových fliaš v obale od vajíčok (desiatka) a mimo obalu
(jednotky) tak ako je znázornené na obrázku 1. Potom nasledoval model so súpravou na
demonštráciu desiatkovej sústavy (Base ten Dienes blok) v skutočnej aj virtuálnej
verzii. (Obrázok 2)
Obrázok 1. Model odčítania používaním predmetov z bežného života.
Obrázok 2. Model odčítania s Diensovou súpravou v skutočnej aj virtuálnej podobe.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
95
Obrázok 3. Soroban.
Prvé tri modely motivujú žiakov k rozmeneniu desiatky na jednotky aby mohli
uskutočniť operáciu. Ďalšiu skupinu pomôcok tvorili guľôčkové počítadlá, na ktorých
súčasne vidíme znázornené desiatky aj jednotky, ide o to aby žiak získal skúsenosti
s dvojakou interpretáciou 10 guľôčok (10 jednotiek aj 1 desiatka) podľa potreby.
Nakoniec sme ponúkli žiakom rádové počítadlo soroban (Obrázok 3), ktoré je žiakom
neznáme, preto je vhodné na testovanie porozumenia desiatkovej sústavy a na
objavenie nového postupu odčítania s prechodom cez desiatku.
5. Závery
Predbežná analýza videozáznamov umožnila identifikovať niektoré schopnosti na
očakávanej úrovni, napríklad problém používania počítačovej myši, alebo identifikácia
rovinných útvarov. Na druhej strane sa nepotvrdila preferencia virtuálnych pomôcok.
Na základe tohto predpilotného testovania vieme odhadnúť niektoré parametre
v preferenciách žiakov v rôznych oblastiach: atraktívnosť materiálov, spôsob
spracovania a realizácie aktivít, čiastočne aj výber matematického učiva. Tieto
skúsenosti budú základom pre doladenie výskumného nástroja a pre uskutočnenie
pilotného testovanie pred hlavným testovaním optimalizovaných výučbových
materiálov.
Poďakovanie: Príspevok vznikol za podpory projektu APVV- 15-0387.
Literatúra
GUNČAGA, J., KOPÁČOVÁ,J.:A Compaprative study: Turkish and Slovak preservice
primary mathematics teacher´s skills about symmetry.SEMT 13, Tasks and Tools
in Elementary Mathematic, Charles Univesity, Prague , 2013
ISBN 978- 80- 7290-637-6.
HOŠPESOVÁ, A., KUŘINA,F., CACHOVÁ, J., MACHÁČKOVÁ, J., ROUBIČEK,
F., TICHÁ, M., VANÍČEK, J.: Matematická gramotnost a vyučovíní matematice.
Jihočeská univerzita, , Pedagogická fakulta, České Budejovice, 2011
ISBN 978-80-7394-259-5.
FRAENKEL, J.R., WALLEN,N.E.: How to design and evaluate research in education.
2nd ed. McGraw-Hill Inc. USA 1993, ISBN 0-07-021771-8.
PARTOVÁ. E.: Vyučovanie matematiky pomocou moderných technológií. 1. vyd. -
Bratislava : Univerzita Komenského, 2011. - 94 s. - ISBN 978-80-223-3144-9.
ŽILKOVÁ, K. Teória a prax geometrických manipulácií v primárnom vzdelávaní.
Praha: Powerprint, 2013, 115 s. ISBN 978-80-87415-84-9.
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.htmlnlvm.
doc. RNDr.Edita Partová, CSc.
Univerzita Komenského v Bratislave, Pedagogická fakulta
Račianska 59, 81334 Bratislava, Slovensko
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
96
Význam obrázka pri riešení kombinatorickej úlohy
Meaning of the picture in combinatorial problem solving
Gabriela Pavlovičová
MESC: K20, C30
Abstract
The article is focused on combinatorial thinking of primary school pupils and the
strategy of one combinatorial problem solution. The impact of presence of picture in a
task to pupils´ achievement and chosed organizational principles were investigated.
A pupils´ work with the picture and the outcomes of 3rd
graders are presented in the
article.
Key words: Combinatorial thinking, picture, primary education.
Abstrakt
Článok sa zameriava na kombinatorické myslenie žiakov prvého stupňa základnej
školy a stratégie riešenia jednej kombinatorickej úlohy. Je skúmaný vplyv prítomnosti
obrázka v zadaní úlohy na úspešnosť jej riešenia a zvolený organizačný princíp. Taktiež
je analyzovaná práca žiakov so samotným obrázkom a výsledky žiakov 3. ročníka ZŠ.
Kľúčové slová: Kombinatorické myslenie, obrázok, primárne vzdelávanie.
1. Úvod
Vyučovanie kombinatoriky ako jednej z matematických disciplín je vhodné podľa
Scholtzovej (2004) aj preto, lebo „mnoho problémových situácií môže byť zaujímavých
pre žiakov a zároveň im poskytnúť možnosť skúmania a objavovania. Dajú sa v nej
nájsť aktivity vhodné pre výborných žiakov, ale aj také, ktoré sú primerané pre žiakov
nie veľmi úspešných v matematike. Na pochopenie mnohých aplikácií stačí aritmetika
a elementárna algebra.“ Kombinatorické myslenie sa rozvíja už v rannom detstve
hrovou činnosťou no i bežnými dennými aktivitami, pri ktorých niečo vyberáme,
triedime, zoskupujeme, usporadúvame, kombinujeme atď. Na prepojenosť
kombinatoriky a rozvoja geometrických schopností detí vo veku 5-10 rokov vhodnými
didaktickými aktivitami poukazuje Kaslová (2016).
Vidermanová a kol. (2013) uvádzajú štyri úrovne kombinatorického myslenia,
ktoré vychádzajú z práce Jones et al.(1997):
1. Preštrukturálna: žiak vymenováva prvky v náhodnom poradí, bez akejkoľvek
systematickej stratégie.
2. Uništrukturálna: žiak začne využívať metódu pokus-omyl, objaví nejaké
čiastočné postupy, prípadne pri práci s malým počtom prvkov vie správne
použiť jeden organizačný princíp.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
97
3. Multištrukturálna: žiak vie systematicky vypisovať všetky kombinatorické
skupiny podľa podmienok zadania úlohy, používa niekoľko rôznych
organizačných princípov, začína úlohy riešiť aj úvahou, výpočtom, nie len
vymenovaním všetkých prvkov.
4. Vzťahová: žiak používa vzorce na výpočet, vzťahy medzi vzorcami i Pacsalov
trojuholník.
Pri riešení slovných úloh na primárnom stupni vzdelávania je veľmi dôležitá
názornosť a vizualizácia danej situácie (Pavlovičová, 2012). Tak aj pri
kombinatorických úlohách môže byť text doplnený obrázkom, prípadne môže obrázok
predstavovať samotné zadanie úlohy.
2. Analýza žiackych riešení
V článku analyzujeme riešenia jednej kombinatorickej úlohy, ktorá bola daná
žiakom dvoch tried 3. ročníka ZŠ v dvoch fázach. Žiaci riešili rovnakú úlohu, ktorej
zadanie bolo v prvej fáze v jednej triede (3.B, 14 žiakov) doplnené obrázkom
korešpondujúcim s textom a v druhej triede (3.A, 16 žiakov) bola úloha zadaná len
slovným textom bez obrázka. V druhej fáze riešili žiaci po troch dňoch v jednotlivých
triedach vymenené zadania. Bola použitá modifikácia úlohy z učebnice matematiky pre
2. ročník ZŠ od autorov Molnár, Mikulenková (2004). Výskytu a analýze
kombinatorických úloh vo vybraných učebniciach matematiky pre 1. stupeň ZŠ
v Českej republike sa venujú Příhonská, Vilimovská (2012), kde je spomenutá aj táto
úloha.
Zamerali sme sa na sledovanie týchto javov:
1. vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na jej riešenie,
2. porovnanie organizačných princípov u jednotlivých žiakov v oboch triedach
v závislosti od toho, či riešili úlohu najskôr bez obrázka alebo s obrázkom.
Zadanie úlohy
Anička má modrú a červenú sukňu, bielu a žltú blúzku. Koľko má rôznych
možností skombinovať sukňu s blúzkou, keď sa oblieka na oslavu?
Obrázok 1. Zadanie úlohy (Molnár, 2004, s.54).
2.1 Vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na žiacke riešenia
Úspešnosť riešenia danej úlohy s obrázkom a bez neho v jednotlivých triedach je
uvedená v Tabuľke 1.
Tabuľka 1. Úspešnosť riešenia úlohy.
Trieda
______________
Riešenie
3.A 3.B
1.fáza
(bez obrázka)
2. fáza
(s obrázkom)
1.fáza
(s obrázkom)
2. fáza
(bez obrázka)
správne 11 15 12 12
nesprávne 5 1 2 2
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
98
Ako vidíme, obrázok v zadaní úlohy pomohol k správnemu riešeniu štyrom
žiakom v 3.A, ktorí úlohu v 1. fáze nevyriešili správne. Pri analýze týchto riešení bola
viditeľná väzba na hľadanie riešenia kreslením kombinácií oblečenia, teda daný obrázok
žiakom v druhej fáze pomohol. Na Obr. 2a, 2b je ukážka riešení jednej žiačky.
Obrázok 2a. Riešenie 1. fáza (3.A). Obrázok 2b. Riešenie 2. fáza (3.A).
Jedna žiačka v 3.A mala v prvej aj druhej fáze správny výsledok, no nesprávne
riešenie, ktoré vychádzalo zo sčítania jednotlivých kusov oblečenia (Obr. 3). Túto
stratégiu nezmenila ani pri zadanom obrázku v druhej fáze.
Obrázok 3. Nesprávne riešenie.
V 3.B mali dvaja žiaci nesprávne riešenia v oboch fázach, ktoré vyplývali tiež zo
sčítania jednotlivých kusov oblečenia. Žiaci pritom kreslili, či už obrázok v zadaní mali
alebo nie. Teda traja žiaci mali správny výsledok - 4 možnosti, ktorý vychádzal
z nesprávneho postupu a bol dôsledkom rovnosti 2.2=2+2, kde 2.2 pri správnom riešení
predstavuje kombinatorické pravidlo súčinu.
2.2 Porovnanie organizačných princípov pri riešení úlohy
V 3.A, kde žiaci riešili v prvej fáze úlohu bez obrázka sme zaznamenali len malé
zmeny v stratégii riešenia úlohy bez obrázka a s obrázkom. Žiaci použili tieto
organizačné princípy:
kreslili kombinácie oblečenia v prvej aj druhej fáze, pričom dodržiavali farby
v zadaní úlohy,
slovne písali kombinácie farieb v prvej aj druhej fáze (Obr.4), pričom prvá
farba bola farba sukne a druhá farba blúzky alebo naopak,
v prvej fáze nakreslili jednotlivé kusy oblečenia a kombinácie pospájali čiarami
a v druhej fáze spájali dvojice priamo v obrázku (Obr.5a, 5b).
priradili symbol k farbe (bez kreslenia oblečenia) a tvorili dvojice. Zaujímavé
bolo vytvorenie symbolu pre bielu farbu slovom alebo prázdnym krúžkom
a tiež používanie znamienka „+“ na vyjadrenie spájania sukne a blúzky
(Obr.6a, 6b).
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
99
Obrázok 4.
Obrázok 5a. Riešenie 1. fáza. Obrázok 5b. Riešenie 2. fáza.
Obrázok 6a. Obrázok 6b.
Zatiaľ čo v prípade na Obr.6a žiak znamienkom „+“ vyjadril nejakú binárnu
operáciu, ktorá má svoj výsledok, v prípade na Obr. 6b znamienko „+“ nahrádza spojku
„a“, prípadne spojenie dvoch prvkov.
V 3.B, kde žiaci riešili v prvej fáze úlohu s obrázkom, sme zaznamenali len jednu
zmenu organizačného princípu. Okrem štyroch žiakov všetci kreslili svoje obrázky
kombinácií oblečenia v prvej aj druhej fáze. Priamo v obrázku nevytváral dvojice ani
jeden žiak. V štyroch riešeniach sme videli zmenu, pri ktorej žiaci v prvej fáze kreslili
svoje riešenia, no v druhej fáze dvojice vypisovali slovne, pričom písali nie len farby
ako žiaci v 3.A ale aj ich priradenie k sukni alebo blúzke (Obr.7a, 7b).
Obrázok 7a. Riešenie 1. fáza (3.B). Obrázok 7b. Riešenie 2. fáza (3.B).
3. Diskusia a záver
Z analýzy žiackych riešení môžeme konštatovať, že z pohľadu úrovní
kombinatorického myslenia sa žiaci nachádzali na rozmedzí uništrukturálnej
a multištrukturálnej úrovne. Väčšina použila len jeden organizačný princíp, no boli
žiaci, ktorí použili dva rôzne princípy a tiež takí, ktorí použili súčet. Avšak tento súčet
vychádzal z predstavy súčtu ako kardinálneho čísla zjednotenia dvoch množín, nebolo
to kombinatorické pravidlo súčtu. Vplyvu počítacích zručností na schopnosťou riešiť
kombinatorické úlohy na vzťahovej úrovni sa venujú viaceré výskumy v tejto oblasti.
Ako uvádza Lockwood (2013), za účelom pomôcť žiakom pri rozvíjaní solídneho
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
100
kombinatorického myslenia (a stať sa tak úspešnými riešiteľmi rôznych
kombinatorických problémov) výskumníci potrebujú hlbšie porozumieť procesu
konceptualizácie matematickej činnosti sprevádzajúcej riešenie počtových úloh
u žiakov.
Z aspektu poznávacieho procesu môžeme povedať, že žiaci pri riešení
kombinatorickej úlohy pracovali na úrovni separovaných modelov. Väčšina z nich si
potrebovala danú úlohu presne znázorniť kresbou, a to aj v prípade keď ju už mali
znázornenú v obrázku. Obrázok mal v zadaní úlohy podľa Mareša (Čáp, Mareš, 2001)
reprezentujúcu funkciu, teda bol obrazovým vyjadrením textu. Môžeme konštatovať, že
žiaci, ktorí mali zadanie s obrázkom v prvej fáze, viac využili na svoje riešenia vlastnú
kresbu a to aj v druhej fáze. Žiaci, ktorí mali v prvej fáze zadanie bez obrázka, viac
riešili úlohu slovným vypisovaním dvojíc než kreslením, a to aj v druhej fáze. Zdá sa ,
že prítomnosť obrázka v zadaní navádzala žiakov viac na kreslenie ako na vypisovanie
alebo symbolické vyjadrenie danej situácie, či hľadanie iného organizačného princípu.
Na záver môžeme konštatovať, že sa preukázal vplyv prítomnosti obrázka v zadaní
úlohy na stratégie i správnosť riešenia danej kombinatorickej úlohy.
Literatúra
ČÁP, J. ,MAREŠ, J. Psychológie pro učitele. 2. vydanie, Praha: Portál, 2007. ISBN
978-80-7367-273-7.
JONES, G. A. et al. A framework for assessing and nurturing young children‘s thinking
in probability. Educational Studies in Mathematics. Vol.32, pp.101–125, 1997.
KASLOVÁ, M. Kombinatorické úlohy v (pre-)geometrii. In: Studia Scientifica
Facultatis Paedagogicae. Roč. 11, č. 4, s. 179-183, 2016. ISSN 1336-2232.
LOCKWOOD, E. A model of students’ combinatorial thinking. The Journal of
Mathematical Behaviour. Vol. 32, no. 2, pp. 251–265.
MOLNÁR, J., MIKULENKOVÁ,H. Matematika pro 2. ročník – 2. díl. Prodos. ISBN:
80-85806-88-6.
PAVLOVIČOVÁ, G. Obrázok ako didaktický prostriedok k tvorbe matematických
úloh. In: Matematika 5: Elementary Mathematics Education 2012, sborník
příspěvků z konference konané v Olomouci 25. - 27. 4. 2012. Olomouc :
Univerzita Palackého, 2012. ISBN 978-80-244-3048-5, p. 197-201.
PŘÍHONSKÁ, J., VILIMOVSKÁ, L.: Kombinatorické úlohy na první stupni základní
školy.In: Matematika 5: Elementary Mathematics Education 2012, sborník
příspěvků z konference konané v Olomouci 25. - 27. 4. 2012. Olomouc :
Univerzita Palackého, 2012. ISBN 978-80-244-3048-5, P. 197-201.
SCHOLTZOVÁ, I. Integrácia kombinatoriky do vyučovania matematiky na základnej
škole. MPC v Prešove, 2004. On line [8.2.2017]
http://www.mcpo.sk/downloads/Publikacie/PrirodPred/PPMAT200502.pdf.
VIDERMANOVÁ, K., MELUŠOVÁ,J., ŠUNDERLÍK,J. Metódy riešenia
matematických úloh. Nitra : UKF, 2013. ISBN 978-80-558-0032-5.
doc. PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD.
Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre
Tr. A. Hlinku 1, 94974 Nitra
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
101
Výchova tvořivého učitele
Educating a Creative Teacher
Šárka Pěchoučková
MESC: B55
Abstract
Creativity in mathematics can be understood as the creation of novel useful
products or as the discovery of novel procedures. In mathematics, students' creative
approach is cultivated using concrete tasks and methods; problem-based task solving,
employment of researcher-type tasks, solving of unconventional problems and game-
like activities are some of them. The actual process of inventing activities and putting
them into practice with pupils at schools is of a great importance as well. We will focus
on activities from geometry branch created by students of Elementary School Teaching
study programme.
Key words: Creativity, mathematics, didactics of mathematics, primary education.
Abstrakt
Tvořivost v matematice můžeme chápat jako tvorbu nových užitečných produktů
nebo jako objevení nových postupů. V matematice je tvořivý přístup studentů rozvíjen
prostřednictvím konkrétních úloh a postupů, ke kterým patří řešení problémových úloh,
zařazování úloh badatelského typu, řešení netradičních úloh nebo herní činnosti. Velký
význam má rovněž vlastní tvorba činností a jejich realizace se žáky ve školách.
Zaměříme se na to, jaké činnosti vytvořili studenti oboru Učitelství pro 1. stupeň
základní školy v oblasti geometrie.
Klíčová slova: Tvořivost, matematika, didaktika matematiky, primární vzdělávání.
1. Úvod
Při výuce didaktiky matematiky na vysokých školách se studentům snažíme
předat to nejlepší, co vytvořilo lidstvo v průběhu svého dlouhodobého vývoje. Aby
student uchopil danou matematickou látku s porozuměním, musí se tohoto procesu sám
aktivně zúčastnit. Jednou z možností je vytvořit mu podmínky pro uplatnění tvořivého
přístupu (Krejčová, 2011).
2. Tvořivost v matematice
Tvořivost vymezuje I. Lokšová jako „vytváření pro subjekt (jedince) nebo určitou
skupinu nových, užitečných řešení a produktů, a to při úlohách, které jsou spíše
heuristického (divergentního) nebo algoritmického (konvergentního) typu“ (Lokšová,
Lokša, 1999, s. 113). V Pedagogickém slovníku je tvořivost považována za „duševní
schopnost vycházející z poznávacích a motivačních procesů, v níž ovšem hrají důležitou
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
102
roli též inspirace, fantazie, intuice. Projevuje se nalézáním takových řešení, která jsou
nejen správná, ale současně nová, nezvyklá, nečekaná.“ (Průcha, Walterová, Mareš,
2003, s. 253-254). Obě tato pojetí odpovídají chápání tvořivosti v matematice. V prvním
případě (nazveme ho tvorba nových užitečných produktů) se tvořivý přístup uplatňuje
v didaktické oblasti při tvorbě konkrétních aktivit a forem práce, které můžeme zařadit
do vyučování matematiky, nebo při vytváření matematických úloh různého typu –
problémových, zajímavých, zábavných, jež vedou ke zvýšení motivace žáků a tím
i jejich zájmu o daný předmět. Tvorbě takových činností a úloh se studenti učí postupně
v průběhu celého studia.
V druhém případě (označíme ho jako objevení nových postupů) mohou studenti
při řešení matematických úloh najít takové postupy, které jsou nejen správné, ale
současně nové, netradiční, nečekané. Matematika je totiž předmět přímo předurčený pro
problémové a badatelské metody ve vyučování a zejména při objevování nových
poznatků se používá divergentní myšlení a heuristické postupy.
K metodám rozvíjení tvořivosti patří heuristické techniky a principy jako je
formulování otázek, produkování velkého počtu nápadů, návrhů a hypotéz řešení,
motivace k produkování nápadů, přehled údajů a jejich třídění, využití dosavadních
údajů a získávání dalších, přeformulování problému, překonání tradičního pohledu na
jevy, divoké nápady (neobvyklá řešení), spojování různorodých prvků, analogie, hlasitá
zjednodušení, bezděčná asociace, uložení problému, odložení řešení, klima pro tvoření
příznivých vnějších podmínek a herní činnosti (Honzíková, 2011).
V matematice je tvořivý přístup studentů rozvíjen prostřednictvím konkrétních
úloh a postupů, ke kterým patří:
řešení problémových úloh
zařazování úloh badatelského typu
řešení netradičních úloh
vlastní tvorba aktivit a jejich realizace ve školách
herní činnosti.
Při přípravě budoucích učitelů primárního vzdělávání na KMT FPE ZČU v Plzni
ve velké míře rozvíjíme tvořivý přístup našich studentů prostřednictvím vlastní tvorby
aktivit a jejich realizace ve školách. V následujícím textu uvedeme některé konkrétní
činnosti, které vytvořili studenti oboru Učitelství pro 1. stupeň základní školy.
3. Vlastní tvorba studentů
Prostorové tvary kolem nás
Didaktický cíl: žák vyhledá prostorové tvary ve svém okolí a prezentuje jejich
vlastnosti
Pomůcky: fotoaparát, mobilní telefon
Popis: Žáky rozdělíme do skupin. Úkolem žáků je přinést z domova různé věci
připomínající nějaká geometrická tělesa nebo je vyfotit ve svém okolí. Každá skupina
hledá jiný druh geometrického tělesa. Tělesa nebo fotografie žáci roztřídí a pojmenují.
Po roztřídění žáci společně ve skupině prezentují svoje těleso, jaké má geometrické
vlastnosti a kde ho můžeme nalézt nebo používat ve svém okolí.
Realizace se žáky: Činnost proběhla ve 3. ročníku základní školy. Žáci se rozdělili
do tří skupin podle těles (krychle-jehlan, kvádr-koule, válec-kužel). Všechny předměty,
které do školy žáci postupně nosili, byly ve třídě shromažďovány týden a až následně se
s nimi pracovalo. Nejlákavější částí pro žáky bylo focení těles. Fotili doma i venku na
procházce a „chytré mobily“ mohli použít i při vyučování. Když bylo nashromážděno
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
103
dostatek materiálu, jednotlivé skupiny prezentovaly svoji celotýdenní práci. Hovořily
o tom, jak se jim pracovalo, v čem měly problém, jaká byla spolupráce a popsaly
vlastnosti daných těles.
Skupina krychle-jehlan zajímavě a geometricky správně popsala svá tělesa.
Problém však měla s hledáním jehlanů v běžném životě. Nakonec se jí podařilo najít
jehlany na dětském hřišti u školy, i když jí jehlany jenom připomínaly. Skutečným
geometrickým tělesům neodpovídaly (obrázek 1).
Obrázek 1. Hledání krychlí a jehlanů (Pelánová, 2016, s. 23).
Druhá skupina kvádr-koule v hledání těles neměla žádný problém, nedokázala
však správně popsat kvádr. Při prezentaci jim museli pomoci ostatní. Spolužáci skupině
na modelu kvádru vysvětlili, jak se dá jednoduše zjistit počet hran, stěn i vrcholů.
Třetí skupina válec-kužel ve svém okolí kužel nenašla. Několik žáků ze skupiny
vyfotilo kužele ve svých domácnostech, ale nebyli si jisti, zda se o kužely skutečně
jedná. Po ujasnění vlastností geometrických těles poznali, že vybrané předměty
skutečným geometrickým tělesům odpovídají jenom částečně (obrázek 2). Válců žáci
našli poměrně hodně a uměli je též bez problémů popsat (Pelánová, 2016).
Obrázek 2. Hledání válců a kuželů (Pelánová, 2016, s. 24).
Sítě těles
Didaktický cíl: žák identifikuje prostorový útvar, vytváří si představu jeho sítě
Pomůcky: krabičky od potravin, předměty denní potřeby, papír formátu od A4 do A0,
tužka, nůžky
Popis: Úkolem žáka je přinést z domova papírové nebo plastové krabičky od různých
potravin, které jim připomínají nějaká geometrická tělesa. Mohou využít i drobné
předměty. Se žáky nejdříve společně hledáme společné znaky jednotlivých předmětů
a řekneme si, která tělesa nám připomínají. Poté se žáci pokusí jakýmkoliv způsobem
„obkreslit“ předmět na list papíru. Kontrolu provádějí žáci složením tělesa ze sítě. Po
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
104
skončení práce společně zkontrolujeme splnění úkolu. Žáci popíší své strategie řešení
a dojdeme k závěru, že jsme vytvářeli sítě těles.
Realizace se žáky: Činnost proběhla v 5. ročníku základní školy. Žáci přinesli krabičky
od čaje, krabici od kukuřičných lupínků, kostky cukru, knihu, tuhé lepidlo (v tubě)
a sbalený deštník. Po společném úvodu, kdy jsme si uvedli geometrické vlastnosti
jednotlivých předmětů a řekli jsme si, jaká tělesa nám připomínají, se žáci pokusili
vytvořit sítě těles. Žáci, kteří používali kostku cukru, ji přitiskli na papír a obkreslili
jednu stěnu. Pak kostku převrátili a obkreslili další stěnu. Stejným způsobem
pokračovali dál. Zdůvodňovali to tím, že když se hodí hrací kostkou, tak se také
převrací. Jeden žák tímto způsobem nakreslil devět stěn, jedna žákyně měla správný
počet stěn, ale podle nákresu se těleso nedalo složit. Další žákyně pracovala s knihou
a do sítě nakreslila o dvě stěny více. Po kontrole správnosti sítě skládáním těles obě
žákyně chyby odstranily, žákovi se to však nepodařilo. Žákyně, která vytvářela síť válce
pomocí lepidla v tubě, nejprve nakreslila jednotlivé stěny odděleně, ale vzápětí nákres
překreslila. Zdůvodnila to tím, že i tuba lepidla je spojená (Janoušková, 2016).
V obou výše uvedených případech se jednalo z hlediska tvořivosti studentů
o tvorbu nových užitečných produktů. Činnost Sítě těles vedla u žáků také k objevení
nových postupů, neboť používali různé strategie při vytváření sítí jednotlivých těles
pomocí konkrétních předmětů.
4. Závěr
Výchova k tvořivosti jako součást rozvoje dítěte a žáka je obsažena ve všech
současných školních dokumentech. Je tedy třeba, abychom i my na vysokých školách
vytvářeli vhodné prostředí pro uplatňování tvořivosti studentů.
Literatura
HONZÍKOVÁ, J. Úroveň tvořivých schopností na základní škole, subjektivní
předpoklady a objektivní podmínky rozvoje tvořivosti. In: PĚCHOUČKOVÁ, Š.
ed. Tvořivost v počátečním vyučování matematiky. Plzeň: ZČU v Plzni, 2011,
s. 9-23. ISBN 978-80-7043-992-0.
JANOUŠKOVÁ, Š. Užití manipulace ve výuce geometrie [závěrečná práce]. Plzeň:
Západočeská univerzita v Plzni, 2016.
KREJČOVÁ, E. Proč a jak napomáhat rozvíjení tvořivosti žáků v hodinách matematiky
na 1. stupni základní školy. In: PĚCHOUČKOVÁ, Š. ed. Tvořivost v počátečním
vyučování matematiky. Plzeň: ZČU v Plzni, 2011, s. 120-124.
ISBN 978-80-7043-992-0.
LOKŠOVÁ, I., LOKŠA, J. Pozornost, motivace, relaxace a tvořivost dětí ve škole.
Praha: Portál, 1999. ISBN 80-7178-205-X.
PELÁNOVÁ, J. Rozvoj prostorové představivosti na 1. stupni ZŠ prostřednictvím
didaktických her [závěrečná práce]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2016.
PRŮCHA, J., WALTEROVÁ, E., MAREŠ, J. Pedagogický slovník. Praha: Portál, 2003.
ISBN 978-80-7367-246-1.
PhDr. Šárka Pěchoučková, Ph.D.
KMT FPE ZČU v Plzni
Klatovská 51, 306 14 Plzeň
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
105
Aktivizace výuky matematiky na 1. stupni ZŠ
Activation of pupils in Mathematics lessons on primary school
Jaroslav Perný
MESC:
Abstract
The contribution deals with specific options how to help students - future primary
school teachers - to get rid of their fear of Mathematics and show them that teaching
Mathematics can be creative and interesting for both pupils and teachers. The teaching
of geometry and the usage of active forms of education is mentioned, e.g. didactic
games, mathematical competitions and fairy-tales and projects.
Key words: geometry, activation, didactic games, mathematical competitions and fairy-
tales, projects.
Abstrakt
Příspěvek se zabývá některými možnostmi, jak napomoci studentům-budoucím
učitelům 1. stupně ZŠ odstranit jejich častou obavu z matematiky a ukázat jim, že výuka
matematiky může být tvůrčí a pro žáky i je samotné zajímavá. Zmínil bych zde výuku
geometrie a využití aktivizujících forem ve výuce, jako didaktické hry, matematické
soutěže a pohádky a projekty.
Klíčová slova: geometrie, aktivizace, didaktické hry, matematické soutěže a pohádky,
projekty.
1. Úvod
Je známo, že v současné době v Česku, v souvislosti s otázkou státní maturity
z matematiky, se ze strany institucí, zdůrazňuje potřeba změny způsobu a přístupu k její
výuce. Nejen na všech stupních škol, ale i ve vysokoškolské přípravě učitelů. Dosavadní
způsob je prý nedostatečný.
Nedaří se řešit problém, jaká má být úroveň maturity z matematiky, zda
„gymnaziální“ či „průchodná“ i pro ostatní typy středních škol.
Současně ale nastává problém nedostatku učitelů matematiky (také informatiky,
fyziky a chemie), takže matematiku na 2. stupni ZŠ učí např. učitelé českého jazyka, či
jiných předmětů.
Domnívám se, že bude velmi těžké tuto situaci řešit.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
106
2. Hlavní část
Výzkumy ukazují, že u žáků 1. stupně ZŠ patří matematika mezi oblíbené
předměty, většinou hned po tělesné výchově. Pokud je neoblíbená, má na tom velký
podíl vyučující. Domnívám, že je nutné u našich studentů-budoucích učitelů primární
školy odstranit strach z matematiky, který si často přinášejí a ukázat jim matematiku
jinou, zajímavou, aby sami mohli tvořivě využít širokého potenciálu, který jim dává
jejich předmětová všestrannost.
Snažíme se, aby naši studenti-budoucí učitelé primární školy tvořivě přistupovali
k některým oblastem:
a. Výuka geometrie. Změnit představu většiny studentů, že geometrie je jen
rýsování, počítání obvodů a obsahů, převody jednotek a zlobení se
s rýsovacími pomůckami. Že je to především vytváření matematických pojmů
a struktur manipulací s geometrickými pojmy a vztahy mezi nimi, rozvíjení
geometrické představivosti v rovině i prostoru, především formou
manipulativních činností, her, řešením problémů, hádanek a hlavolamů.
b. Didaktické hry. Velmi účinný prostředek pro aktivizaci žáků, který u nich
může napomoci zvýšení obliby, ale i úspěšnosti matematiky. Didaktická hra,
jako přirozená činnost mladších žáků, bývá velmi účinná a efektivní. Žáci si při
ní ani neuvědomí, že se vlastně i učí. Problémem bývá někdy malá znalost
didaktických her u učitelů.
c. Matematické soutěže třídní a mezitřídní, mimo vyučování. Můžou vyvolat
zájem žáků, zejména těch úspěšnějších a nasměrovat je k matematice. Bývají
více kolové, např. v pohádkovém prostředí, buď ve třídě, nebo mezi třídami,
kde je vhodné zařadit i úlohy lehčí, protože i slabší žáci můžou napomoci
k vítězství své třídy.
d. Matematické projekty. Pro žáky velmi efektivní, ale pro učitele pracné jsou
projekty. Nejen přímo matematické, ale zejména více předmětové, kde mohou
budoucí učitelé primární školy využít svých vše předmětových kompetencí a
využít úspěšně mezipředmětových vztahů.
e. Matematické pohádky. Zadání běžných úloh může být ve formě pohádkového
příběhu, který žáky lépe motivuje ke snaze o pomoci např. Princezně, při
řešení, nebo jsou přímo „zataženi“ do příběhu. Většinou se jedná o úlohy
k opakování, cenné, ale obtížnější jsou pohádky výkladové, zavádějící nový
pojem či vlastnost.
Je řada dalších možností, které by mohly matematiku udělat poutavější a
zajímavější. Někteří učitelé 1. stupně ZŠ je nevyužívají, nevědí o nich. Bohužel se tímto
způsobem často nepokračuje na 2. stupni ZŠ.
3. Některé ilustrační grafy
K předchozím oblastem přikládám několik ilustračních grafů, ukazujících
výsledky některých výzkumů.
Výuka matematiky
Oblíbenost vyučovaných předmětů.
Vzorek 178 vyučujících 1. stupně ZŠ, z toho 6 mužů. Nejoblíbenější předmět
1 – nejméně 10. Matematika na 2. místě. 61,5 % učí MA rádo, 37,5 % nevadí jim a
pouze 1 % ji vyučuje nerado.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
107
Výuka geometrie
Co pro mě znamená, když se řekne výuka školní geometrie.
Vzorek 178 vyučujících 1. stupně ZŠ, z toho 6 mužů. Nejvíce zabírají starosti ne
geometrické, s pomůckami, nepěkné pocity, stres. Poměrně málo zůstává na činnosti
jako práce s modely, hry, hádanky, práce s grafy.
Didaktické hry
Oblíbenost matematiky před častějším zařazováním didaktických her do výuky a po
něm.
Vzorek 73 žáků 1. stupně ZŠ, experimentální třída 36, kontrolní třída 37 žáků,
4. ročník.
23%
11%
14% 27%
6% 19%
A - geometrie v rovině
B - výpočty, měření
C - geometrie v prostoru
D - pomůcky a práce s nimi
E - práce s modely, hry,hádanky, grafyF - nepěkné pocity, stres,
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Kontr. tř. před DH - dívky
Kontr. tř. po DH - dívky
Kontr. tř. před DH - hoši
Kont. tř. po DH - hoši
Exp. tř. před DH - dívky
Exp. tř. po DH - dívky
Exp. tř. před DH - hoši
1,9 2,6
5,5 5,7 5,5
4,1 4,5 4,9
6,2
4,6
0
1
2
3
4
5
6
7
Předměty
Oblíbenost vyučovaných předmětů Čj M
Pč Tv
Cj Prv
Vl Př
Hv
Vv
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
108
U dívek a chlapců z tříd kontrolní skupiny se oblíbenost matematiky příliš
nezměnila. U chlapců a hlavně pak u dívek z experimentální skupiny je očividné
zvýšení obliby matematiky po zařazování didaktických her.
Matematické soutěže (Mat a Matynka)
Úspěšnost více kolové soutěže mezi 3. ročníky městské a vesnické školy s úlohami i
pro slabší žáky
Celková úspěšnost městské (Lit) i venkovské školy (Kře) byla v podstatě
srovnatelná. Rozdíly v jednotlivých kolech vznikly pravděpodobně rozdílným důrazem
učitelů na některé oblasti učiva. Soutěž byla dobrovolná a zúčastnilo se 60 % žáků
městské školy a 100 % žáků venkovské.
Matematický projekt
Úspěšnost žáků v testu před projektem a v testu po projektu.
Vzorek 120 žáků 1. stupně ZŠ z 5 škol. Úlohy výstupního testu 2 byly obdobné
vstupnímu testu 1.
Úspěšnost dívek, chlapců, celkem test 1 Úspěšnost dívek, chlapců, celkem test 2
Z grafů je patrné, že po realizaci projektu, došlo ke zlepšení úspěšnosti při řešení
úloh testu 2 oproti testu 1.
3. Závěr
Uvedenými grafy chci naznačit, že snaha zaměřit naše studenty na výše zmíněné
oblasti potvrzuje zmíněnou aktivizaci žáků primární školy a jejich zlepšování. Tyto
výsledky mají u studentů dobrou odezvu a napomáhají kladně ovlivnit jejich vztah
75 79
77
0102030405060708090
100
úl.1 úl.2 úl.3 úl.4 prům
dív chl celk
83 86
84
0102030405060708090
100
úl.1 úl.2 úl.3 úl.4 prům
dív chl celk
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
109
k matematice, který se projevuje větším počtem diplomových prací z matematiky,
i lepší spoluprací našich absolventů s fakultou při řešení projektů ESF, kde je třeba
účasti učitelů z praxe.
Literatura:
KRÁSNÁ, J.: Didaktické hry a jejich využití při výuce matematiky na 1. stupni ZŠ. DP.
TU v Liberci, 2013.
PERNÝ, J.: Tvořivostí k rozvoji prostorové představivosti. 2. vyd. TU v Liberci, 2016
ZLATNÍKOVÁ, R.: Situačně orientované slovná úlohy v primární matematice. DP. TU
v Liberci, 2016.
Jaroslav Perný, doc. PaedDr., Ph.D.
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
FP TU v Liberci
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
110
Interaktívne aplikácie na riešenie slovných úloh z matematiky
pre 1. stupeň ZŠ
Interactive Applications for Word Problems from Mathematics at Primary Schools
Milan Pokorný
MESC: U72
Abstract
The paper deals with efficient utilization of modern information and
communication technologies in mathematics teaching at the first grade of primary
schools. The author characterizes interactive applications for word problems from
mathematics. The applications, that are suitable for 6 to 10 years old pupils, can be
utilized in classrooms in a combination with interactive whiteboards, as well as for
voluntary activities of pupils at school clubs or as a part of their homework.
Key words: ICT in education, word problems, interactivity, interactive whiteboard,
mathematics teaching.
Abstrakt
Článok sa zaoberá efektívnym využitím moderných informačných a
komunikačných technológií vo vyučovaní matematiky na prvom stupni základných
škôl. Autor článku charakterizuje interaktívne aplikácie, ktoré sú primárne určené na
nácvik riešenia slovných úloh. Tieto aplikácie, ktoré sú vhodné najmä pre žiakov prvého
stupňa základnej školy, môžu byť využívané počas vyučovacích hodín v kombinácii s
interaktívnou tabuľou, ale najmä pre samostatnú prácu žiakov, či už v rámci školských
klubov detí alebo domácej prípravy na vyučovanie.
Kľúčové slová: IKT vo vyučovaní, slovné úlohy, interaktivita, interaktívna tabuľa,
vyučovanie matematiky.
1. Úvod
V súčasnej dobe zaznamenávame masový prienik moderných technológií do
vzdelávania na všetkých typoch škôl, vrátane základných. Ministerstvo školstva, vedy,
výskumu a športu Slovenskej republiky realizuje okrem iných projektov aj projekt
DIGIPEDIA 2020. Medzi ciele projektu okrem iného patrí zabezpečiť do roku 2020
digitálne vzdelávacie a učebné pomôcky v každej triede v materských, základných,
stredných a vysokých školách a adekvátne koncové zariadenie umožňujúce digitálne
vzdelávanie pre každého žiaka, ako aj plne digitalizované učivo a vzdelávacie nástroje
dostupné vo všetkých školách na Slovensku. (pozri Koncepcia informatizácie rezortu
školstva s výhľadom do roku 2020 – DIGIPEDIA 2020)
V prospech integrácie moderných technológií do vzdelávania hovoria výsledky
mnohých výskumov zameraných na efektívnosť využitia týchto technológií
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
111
vovyučovaní. Mnohé výskumy preukázali, že vhodné použitie moderných technológií
vo vyučovaní matematiky dokáže zvýšiť úroveň vedomostí žiakov a zlepšiť ich vzťah
k matematike. V poslednej dobe sa okrem e-learningu či blended learningu spomína aj
m-learning. Ako uvádzajú Hanzel a Voštinár (2015), ak vychádzame z myšlienky J. A.
Komenského, že školské hry sú efektívna forma vzdelávania, mohlo by sa zdať vhodné,
aby používanie tabletov a mobilných telefónov slúžilo ako spojenie medzi hrou
a výučbou matematiky.
Vybavenie škôl kvalitným hardvérom je nutnou podmienkou pre efektívne
využívanie moderných technológií vo vyučovaní matematiky, nie však postačujúcou.
Plne súhlasíme so Žilkovou (2014), ktorá tvrdí, že kvalita elektronického vzdelávania je
determinovaná predovšetkým kvalitným e-obsahom.
Je nesporné, že nemožno predpokladať, že si budú učitelia hromadne pripravovať
interaktívne vzdelávacie materiály použiteľné na interaktívnych tabuliach či
na koncových zariadeniach žiakov sami. Skúsenosti s prípravou profesionálnych
produktov totiž ukazujú, že na to treba skupinu odborníkov z viacerých oblastí. Naviac,
množstvo prác je programovacieho charakteru. Odkiaľ teda vziať vhodné interaktívne
aplikácie použiteľné vo vyučovaní matematiky? Jedným z hlavných zdrojov je Internet,
kde skutočne nájdeme obrovské množstvo aplikácií, ktoré sú podľa stránok, na ktorých
sa nachádzajú, určené pre použitie na hodinách matematiky. Tu sa však učiteľ stretne
s viacerými problémami. Prvým z nich je jazyková bariéra. Je totiž pochopiteľné, že
väčšina aplikácií na Internete nie je v slovenčine, prípadne češtine. Jazyková bariéra je
pritom najsilnejšia pri použití na prvom stupni základnej školy. Ďalším problémom je
stupeň interaktivity vzdelávacích materiálov z Internetu. V mnohých prípadoch sú to iba
dokumenty vo formáte doc či pdf, takže o interaktivite nemožno ani uvažovať. Ďalšie
z nich zasa maximálne poskytnú spätnú väzbu o správnosti či nesprávnosti riešenia,
avšak pri nesprávnom riešení sa nesnažia naviesť žiaka na správne riešenie. Takúto
mieru interaktivity možno iba ťažko považovať za dostatočnú. Mnohé aplikácie naviac
zakaždým pracujú s tými istými zadaniami vrátane číselných údajov, takže sú
použiteľné iba jednorazovo. No a v neposlednej rade je otázkou didaktické spracovanie
aplikácií, ktoré je častokrát na nepostačujúcej úrovni. Z uvedeného vyplýva, že nájdenie
dostatočného počtu kvalitných interaktívnych aplikácií použiteľných pri vyučovaní
matematiky predstavuje pre učiteľa pomerne veľký problém. Aby sme tento problém
aspoň trochu zmenšili, rozhodli sme sa pripraviť interaktívne aplikácie efektívne
použiteľné pri vyučovaní matematiky na prvom stupni.
2. Interaktívne aplikácie pre riešenie slovných úloh
V tejto časti uvedieme charakteristiku nami pripravených interaktívnych aplikácií
pre nácvik riešenia slovných úloh z matematiky na prvom stupni základnej školy.
Jedným z dôležitých cieľov vyučovania matematiky na prvom stupni základnej
školy je, aby sa žiaci naučili správne riešiť slovné úlohy primeranej náročnosti. Podľa
nášho názoru, pri nácviku ich riešenia je možné využiť potenciál interaktívnych
aplikácií. Aby sme poskytli učiteľom na prvom stupni základných škôl interaktívne
aplikácie k tejto téme, vytvorili sme zbierku pozostávajúcu z 10 interaktívnych aplikácií
zameraných na nácvik riešenia slovných úloh. Zbierka je verejne dostupná na adrese
http://pdf.truni.sk/pokorny/slovne_ulohy/.
Čím sa líšia aplikácie v tejto zbierke od väčšiny iných aplikácií na Internete?
V prvom rade je to tým, že aplikácie sú rozdelené podľa typu slovnej úlohy, čo
umožňuje učiteľovi precvičovať práve ten typ úloh, ktorý práve potrebuje. Typy
slovných úloh sú:
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
112
Jednoduché slovné úlohy typu A+B,
Jednoduché slovné úlohy typu A-B,
Jednoduché slovné úlohy typu A.B,
Jednoduché slovné úlohy typu A:B,
Jednoduché slovné úlohy typu o x viac, o x menej,
Jednoduché slovné úlohy typu x-krát viac, x-krát menej,
Zložené slovné úlohy typu A+(A+B), A+(A-B),
Zložené slovné úlohy typu A+(A.B), A+(A:B),
Zložené slovné úlohy na delenie celku na dve nerovnaké časti,
Zložené slovné úlohy na delenie celku na dve časti v pomere 1:X.
Druhou výhodou našich interaktívnych aplikácií je spätná väzba, ktorá sa
v prípade nesprávneho výsledku snaží naviesť žiaka na správny postup riešenia úlohy.
Táto spätná väzba je zobrazená na obrázku 1. Po zadaní nesprávneho výsledku žiakom
sa ho aplikácia postupne pýta, či porozumel zadaniu, pričom riešenie rozdelí na tri
jednoduchšie kroky. V prvom kroku tak žiak zadá, koľko Eur stála bábika, v druhom,
koľko Eur stojí lego a v treťom, koľko Eur stojí celý nákup. Ak by žiak mal aj pri takto
zjednodušenom postupe problém, môže si pomôcť tlačidlom Pomôž mi a doplň za mňa
odpoveď, ktoré doplní odpoveď do práve riešeného kroku, aby žiak pokračoval v riešení
úlohy ďalej samostatne. Učiteľ má zasa k dispozícii spätnú väzbu o tom, koľko úloh
ktorý žiak vyriešil bez chyby a koľko úloh vyriešil s pomocou interaktívnej aplikácie.
Obrázok 1. Spätná väzba po zadaní nesprávneho výsledku.
Treťou výhodou interaktívnych aplikácií je skutočnosť, že úlohy v nich nemajú
vopred určené poradie ani číselné vstupy, ale sa náhodne generujú. To zabezpečuje
skutočne samostatnú prácu žiakov, lebo každý žiak má na svojom koncovom zariadení
inú úlohu s inými číslami, takže výsledok nie je od koho odpísať. Pri opätovnom
spustení sa potom samozrejme generujú úlohy v inom poradí a s inými číslami, čo
zabezpečuje možnosť viacnásobného použitia aplikácií.
Medzi ďalšie pozitíva nami vytvorenej zbierky zaraďujeme:
jednoduché ovládanie, ktoré nerobí problémy ani žiakom prvého stupňa ZŠ,
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
113
zhodu s požiadavkami na vedomosti žiaka so štátnym vzdelávacím
programom,
vďaka slovenčine nie je v aplikáciách žiadna jazyková bariéra,
každý žiak pracuje vlastným tempom,
je možné pracovať so žiakmi individuálne, a to tak, že ak žiak nemá problém
s riešením daného typu slovných úloh, možno mu spustiť interaktívnu
aplikáciu s úlohami zložitejšieho typu,
vďaka možno už zastaranému typu aplikácií (exe súbory) ich možno spustiť na
interaktívnych tabuliach rôznych výrobcov, ako aj na koncových zariadeniach
s rôznymi verziami operačného systému Windows (starších aj novších,
s pripojením na Internet i bez neho),
žiaci dokážu a aplikáciami pracovať aj bez prítomnosti učiteľa, čo umožňuje
ich použitie najmä mimo vyučovacej hodiny, či už v rámci domácej prípravy
alebo v škole počas krúžkov či ŠKD.
3. Záver
Je nesporné, že integrácia moderných technológií dokáže urobiť vzdelávací proces
zaujímavejší, pútavejší a efektívnejší. V článku sme opísali zbierku interaktívnych
aplikácií na nácvik riešenia slovných úloh na 1. stupni ZŠ. Sme presvedčení, že tieto
aplikácie môžu byť pre žiakov základných škôl užitočné. Napriek tomu však zbierku
nepovažujeme za uzavretú. Naďalej ju plánujeme postupne rozširovať o ďalšie typy
slovných úloh. Taktiež sme si vedomí, že by bolo potrebné experimentálne overiť
prínos rôznych spôsobov použitia aplikácií na žiakoch 1. stupňa základných škôl, čo sa
nám zatiaľ nepodarilo realizovať.
Poďakovanie: Článok vznikol aj vďaka podpore grantu KEGA 003TTU-4/2015.
Literatúra
MŠVVaŠ SR. DIGIPEDIA 2020 Koncepcia informatizácie rezortu školstva s výhľadom
do roku 2020. Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej
republiky, 2013. Dostupné na internete:
<http://www.minedu.sk/data/att/4796.pdf >.
VOŠTINÁR, P., HANZEL, P. Mobile application – a tool for teachers, pupils and their
families. APLIMAT 2016 - 15th Conference on Applied Mathematics 2016,
Proceedings, 2016, 1118-1125. ISBN 978-802274531-4.
ŽILKOVÁ, K. Prednosti a riziká vzdelávania prostredníctvom e-learningového kurzu
manipulačná geometria. XXVI. DIDMATTECH 2013: New Technologies in
Science and Education: International scientific and professional conference.
University of West Hungary, Györ, 2014, 222-227. ISBN 978-963-334-184-1.
PaedDr. Milan Pokorný, PhD.
Trnavská univerzita, Pedagogická fakulta
Priemyselná 4, P.O.BOX 9, 918 43 Trnava
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
114
Exekutívne funkcie v matematike v primárnom vzdelávaní
Executive functions in primary mathematics
Alena Prídavková, Edita Šimčíková, Blanka Tomková
MESC: C32, D32, Q32
Abstract
Executive functions are mental processes that manage, control and organise
cognitive processes. They constitute the basic level of mental functioning. Mathematics
as a school subject with its content is a resource of ideas for creating a collection of
tasks that can be applied as regular intervention to stimulate not only pupil’s thinking
and the ability to learn but also his/her metacognition. The paper outlines the basis for
developing a program aimed at stimulating executive functions in the pupils of the 4th
grade in primary education. The paper also offers the results of the content analysis of
the selected curricular documents in mathematics and cognitive characteristic of some
mathematical tasks. The program is being developed and will be experimentally verified
within the scope of the APVV-15-0273 grant scheme project.
Key words: Executive Functions. Mathematical Education. Primary level of education.
Stimulation Program.
Abstrakt
Exekutívne funkcie sú mentálne procesy, ktoré riadia, kontrolujú a organizujú
kognitívne procesy. Predstavujú základnú úroveň mentálneho fungovania. Matematika
ako učebný predmet a jej obsah predstavuje zdroj námetov na tvorbu súboru úloh,
ktorými je možné pri pravidelnej intervencii stimulovať nielen myslenie, schopnosť učiť
sa, ale aj metakogníciu žiakov. V príspevku sú predstavené základné východiská pre
tvorbu programu určeného na stimuláciu exekutívnych funkcií u žiakov 4. ročníka
primárneho stupňa vzdelávania. Prezentované budú výsledky obsahovej analýzy
kurikulárnych dokumentov z matematiky a charakteristika matematických úloh
z pohľadu ich kognitívnej náročnosti. Program je vytváraný a bude experimentálne
overený v rámci riešenia grantového projektu APVV-15-0273.
Kľúčové slová: Exekutívne funkcie. Matematická edukácia. Primárny stupeň
vzdelávania. Stimulačný program.
1. Úvod
Exekutívne funkcie predstavujú mentálne procesy, ktoré riadia a kontrolujú
procesy na úrovni kognície. Žiak s nedostatočne rozvinutým exekutívnym fungovaním
môže mať v škole problémy vo viacerých oblastiach (Kovalčíková, Ropovik 2012, In
Brajerčík et al., 2015): neschopnosť zamerať a udržať pozornosť, neschopnosť podržať
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
115
v pamäti informácie, problémy pri monitorovaní a regulácii výkonu, neschopnosť
plánovať kroky vopred, neschopnosť generovať a implementovať stratégie,
neschopnosť učiť sa z chýb. Deficity v procese učenia sa (v procese založenom na
spracovávaní podnetov, ich následnej organizácii, usporiadaní a zautomatizovaní
osvojených schopností) môžu byť v niektorých prípadoch pripísané deficitom
v žiakovom exekutívnom fungovaní (Brajerčík et al., 2015). Cielená intervencia zo
strany psychológa alebo učiteľa môže výrazne zvýšiť úspešnosť žiaka v škole.
Úspešnosť pri riešení matematických úloh vyžaduje od žiakov zapojenie mnohých
exekutívnych a kognitívnych funkcií. Žiaci musia porozumieť zadaniu úlohy, zapamätať
si potrebné údaje, ako aj výsledky čiastkových operácií. Pri riešení je často potrebné
stanoviť vhodnú stratégiu postupu, naplánovať adekvátnu nadväznosť jednotlivých
krokov a priebežne kontrolovať a regulovať zvolené postupy. Všetky tieto elementy
procesu riešenia matematickej úlohy vyžadujú zapojenie exekutívnych funkcií ako je
kontrola pozornosti, pracovná pamäť, plánovanie a sebaregulácia.
Cieľom vyučovania matematiky by malo byť, okrem osvojenia si obsahu, aj
vytváranie podmienok edukácie tak, aby mali všetci žiaci príležitosť: riešiť problémy,
zdôvodňovať a dokazovať - matematika by mala byť orientovaná na zdôvodňovanie, nie
na memorovanie, komunikovať - v matematike by mali mať žiaci priestor na
komunikovanie matematických myšlienok použitím rôznych reprezentácií, hľadať
súvislosti a vytvárať reprezentácie vychádzajúce z reálneho života (Harmon – Jones,
2005).
Aj tieto skutočnosti predstavujú východiská pre tvorbu stimulačného programu
kreovaného na kurikulárnom základe matematiky, čo je jedným z cieľov výskumného
projektu APVV-15-0273 Experimentálne overovanie programov na stimuláciu
exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej
dochádzky) – kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka, ktorý je
riešený na Pedagogickej fakulte PU v Prešove. Projekt vychádza z výsledkov skúmania
realizovaného v ostatných 10 rokoch. V oblasti kognitívnej edukácie je vytvorených
mnoho programov kognitívnej intervencie a stimulácie (Kovalčíková et al., 2016,
s. 140-141), ktoré sú kurikulárne orientované, ale na druhej strane existuje málo
zdrojov, ktoré dokumentujú ich aplikáciu do edukačnej praxe. V príspevku
prezentujeme čiastkové výsledky výskumu realizovaného za účelom tvorby programu
na stimuláciu exekutívnych funkcií prostredníctvom úloh z matematiky.
2. Obsahová analýza kurikulárnych dokumentov z matematiky
Cieľom prvej etapy výskumu bolo realizovať obsahovú analýzu kurikulárnych
dokumentov z matematiky na Slovensku. Analýza bola zameraná na identifikáciu
požiadaviek na vedomosti a zručnosti žiakov a na obsah matematického poznania,
v primárnom a nižšom sekundárnom stupni vzdelávania. Ďalšie výsledky analýzy
kurikulárnych dokumentov z matematiky z hľadiska stimulácie kognitívnych
a exekutívnych funkcií žiakov primárneho stupňa vzdelávania uvádzajú Šimčíková
a Tomková (2016).
Predmet matematika v primárnom stupni vzdelávania má podľa Štátneho
vzdelávacieho programu pre primárne vzdelávanie (2015): (1) budovať základy
matematickej gramotnosti žiakov, (2) rozvíjať kognitívne oblasti (vedomosti, aplikáciu
vedomostí, zdôvodňovanie). Pri získavaní nových poznatkov z matematiky sa odporúča,
okrem iného, využívať aplikáciu rôznych spôsobov reprezentácie matematického
obsahu. Z hľadiska akceptácie rozvoja kognitívnych funkcií, resp. rozvoja exekutívnych
funkcií žiakov, boli z kurikulárneho dokumentu vybrané iba tie ciele predmetu, ktoré
spĺňali požiadavky: používať matematiku ako jeden z nástrojov na riešenie problémov
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
116
z reálneho života, rozvíjať zručnosti súvisiace s procesom učenia sa a rozvíjať
poznávacie procesy a myšlienkové operácie.
Na základe analýzy spomínaných dokumentov boli vyšpecifikované tematické
celky v predmete matematika, ktoré svojím obsahovým zameraním predstavujú
fundament pre vytváranie modelov tých matematických pojmov, ktoré sú v primárnom
stupni vzdelávania prezentované na propedeutickej úrovni a na vyšších stupňoch
vzdelávania predstavujú dôležité východisko pre budovanie kľúčových matematických
konceptov. Pre tvorbu stimulačného programu boli vybrané tie oblasti obsahu
matematického vzdelávania, ktorých charakter zodpovedá projektovým cieľom:
Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické
myslenie (postupnosti, kombinatorika, výroková logika).
Čísla a operácie s prirodzenými číslami.
Geometria (základné geometrické útvary, orientácia v priestore a v rovine).
Do kreovaného stimulačného programu sú postupne zaraďované úlohy, ktoré sú
z pohľadu matematiky orientované na uvedené oblasti kurikula.
3. Kognitívna náročnosť úloh z matematiky
Úlohy vybrané na zaradenie do stimulačného programu určeného pre
slaboprospievajúcich žiakov 4. ročníka ZŠ, z vyšpecifikovaných oblastí obsahu
matematiky, boli analyzované z pohľadu ich kognitívnej náročnosti, ako aj z hľadiska
ich účelnosti pri stimulácii exekutívnych funkcií (v procese riešenia úlohy). Zaradené
boli do rôznych úrovní kognitívnej náročnosti (podľa teórie M. K. Stein, 2009) a ďalej
bola realizovaná ich klasifikácia na základe prioritne stimulovanej exekutívnej funkcie.
V matematike nie je jednoduché vytvoriť úlohu tak, aby bola primárne zameraná na
stimuláciu len jednej exekutívnej funkcie. Na základe výsledkov predchádzajúcich
výskumov boli úlohy vyberané, vytvárané a preformulovávané tak, aby v procese ich
riešenia boli stimulované exekutívne funkcie: kontrola pozornosti, pracovná pamäť,
plánovanie a sebaregulácia.
V nasledujúcej časti predstavíme koncept kognitívna náročnosť úlohy. Úrovne
kognitívnej náročnosti úlohy odrážajú myšlienkové procesy žiaka prítomné pri vnímaní
a riešení úlohy od zapamätania si, cez použitie postupov a algoritmov v prepojení aj bez
prepojenia na pojmy, ich porozumenie a význam. Stein (2009) klasifikovala
matematické úlohy, podľa kognitívnej náročnosti, do štyroch skupín. Medzi úlohy s
nižšou kognitívnou náročnosťou zaraďuje úlohy na zapamätanie si (1. Memorization)
a úlohy vyžadujúce úkony bez prepojenia (2. Procedures without Connections).
K úlohám s vyššou kognitívnou náročnosťou patria tie, ktoré vyžadujú úkony
s prepojením (3. Procedures with Connections) a matematické úlohy, problémy
(4. Doing Mathematics).
1. Memorization: ide o reprodukovanie naučených faktov, pravidiel, ako aj ukladanie
nových vedomostí do pamäte. Úlohy na tejto úrovni majú konvergentný charakter
a môžeme tu zaradiť napríklad počítanie spamäti využitím zautomatizovaných
spojov, určenie obvodu geometrických útvarov (použitím vzorcov).
2. Procedures without Connections: zahŕňajú algoritmické používanie formulácií
a postupov na základe priamej inštrukcie či predchádzajúcej skúsenosti žiaka bez
ďalšej nadväznosti na problém a jeho pochopenie. Ide o úlohy, ktoré sú zamerané na
produkciu správnych odpovedí, ako napríklad slovné úlohy, ktorých riešenie využíva
presne daný postup, úlohy na precvičenie výpočtu obvodov rovinných
geometrických útvarov.
3. Procedures with Connections: sú charakteristické uvedomelým používaním
formulácií, algoritmických postupov a stratégií v nadväznosti na matematický
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
117
problém a jeho hlbšie pochopenie. Úlohy na tejto úrovni sú reprezentované
množstvom rôznych pohľadov na problém, čo prispieva k pochopeniu
matematických vzťahov a súvislostí.
4. Doing Mathematics: úlohy na tejto úrovni požadujú pre ich úspešné riešenie
komplexné uvažovanie o probléme. Od žiakov sa vyžaduje objavenie stratégie
riešenia vyplývajúcej z pochopenia podstaty problému. Objavenie stratégií vyžaduje
aj autoreguláciu vlastných myšlienkových postupov a vynaloženie kognitívnej
námahy pri nepredvídaných krokoch riešenia úlohy, ako aj vysvetlenie – verbalizáciu
použitej stratégie pri hľadaní riešenia.
4. Záver
Na základe obsahovej analýzy kurikulárnych dokumentov a kognitívnej analýzy
úloh boli jednotlivé úlohy zaradené do stimulačného programu tak, aby vytvárali
doménovo špecifické moduly. Každý modul je zameraný na jednu z identifikovaných
tém matematického kurikula a v procese postupného zadávania úloh sú stimulované
vyššie spomenuté exekutívne funkcie (prioritne jedna). Súčasťou každej úlohy vo
všetkých moduloch sú, okrem kognitívnej inštrukcie, aj otázky zamerané na stimuláciu
metakognitívnych schopností žiaka. V procese stimulácie budú okrem kognitívnych
a exekutívnych funkcií rozvíjané aj metakognitívne stratégie, ktoré predstavujú dôležitý
element pri rozvoji myslenia a schopnosti učiť sa. Cieľom programu je učiť žiakov
myslieť, uvažovať, plánovať, prezentovať vlastné myšlienkové procesy a postupy, ktoré
prebiehajú v mysli jednotlivca pri riešení úlohy, problému.
Riešitelia projektu z Pedagogickej fakulty PU v Prešove zatiaľ vytvorili modul
zameraný na rozvoj a stimuláciu kontroly pozornosti. Jeho charakteristika, obsah
a výsledky pilotného výskumu sú prezentované v príspevkoch v tomto zborníku.
Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV-15-0273
Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií
slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) – kognitívny
stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka a projektu podporeného
International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study of
School Psychology and the International School Psychology Association.
Literatúra
BRAJERČÍK, J,. DEMKO, M., KRESILA, J., PRÍDAVKOVÁ, A. Stimulácia
exekutívneho fungovania žiaka pomocou nástroja Matematický semafor. In:
Prírodné vedy, vzdelávanie a spoločnosť. Prešov: SFS, KFMT FHPV v Prešove.
2015, s. 64-69. ISBN 978-80-971450-4-0.
HARMON, D. A., JONES, T. S. Elementary Education. Santa Barbara, Calif: ABC-
CLIO. 2005. ISBN 1-57607-942-2.
KOVALČÍKOVÁ, I. et al. Diagnostika a stimulácia kognitívnych a exekutívnych
funkcií žiaka v mladšom školskom veku. Prešov: Vydavateľstvo PU. 2016.
ISBN 978-80-555-1719-3.
PRÍDAVKOVÁ, A., KRESILA, J., DEMKO, M., BRAJERČÍK, J. Stimulation of
executive function "shifting" in teaching mathematics. In: Acta mathematica 17.
Nitra: UKF. 2014, s. 135-141. ISBN 978-80-558-0613-6.
STEIN, M. K. et al. Implementing Standard-Based Mathematics Instruction –
A Casebook For Professional Development. 2. vyd. New York: Teachers College
Press. 2009. ISBN 978-0-8077-4957-9.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
118
ŠIMČÍKOVÁ, E., TOMKOVÁ, B. Analýza matematického kurikula vo vybraných
krajinách hľadiska stimulácie kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov
primárneho vzdelávania. In: Освіта і суспільство. Міжнародний збірник
наукових праць. – Бердянський державний педагогічний університет, 2016;
ISBN 978-617-7291-80-9 (електронне видання); 395 c., іл., табл., бібл., s. 69-
74. On line [21.2.2017] http://bdpu.org/Papers_Berdyansk_2016.html.
ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika, 2015. On line [12.1. 2017].
http://www.statpedu.sk/sites/default/files/dokumenty/inovovany-statny-
vzdelavaci-program/matematika_pv_2014.pdf .
doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD.
Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej
edukácie
Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov
E-mail: [email protected]
PaedDr. Edita Šimčíková, PhD.
Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej
edukácie
Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov
E-mail: [email protected]
Mgr. Blanka Tomková, PhD.
Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej
edukácie
Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
119
Kombinatorické problémy
v prostředí didaktických her na 1. stupni ZŠ
Combinatorial Tasks
in Didactic Games Environment in Elementary School
Jana Příhonská, Jana Rolečková
MESC: D30, K20
Abstract
In contribution we discuss the issue of development logical thinking of pupils in
elementary schools. The article is one of the outputs of the research project SGS –
Combinatorics in elementary school. The project focuses on set activities that can
promote combinatorial reasoning in children in elementary schools. We describe one of
didactic game which focuses on perception of the concept configuration of elements.
Key words: combinatorics, combinatorial reasoning, didactic game.
Abstrakt
V příspěvku je diskutována problematika rozvoje kombinatorických schopností
žáků na prvním stupni základní školy. Je podána informace o řešení grantu SGS na FP
TUL se zaměřením na vytvoření souboru aktivizujících činností, které mohou pomoci
žákům rozvíjet jejich schopnosti při řešení kombinatorických úloh. Je popsána jedna
z vytvořených didaktických her, která je zaměřena na vnímání pojmu uspořádání prvků.
Klíčová slova: kombinatorika, kombinatorické myšlení, didaktická hra.
1. Úvod
Školská kombinatorika je podstatnou součástí matematické kultury vzdělávání.
Řadu kombinatorických problémů lze velmi snadno zformulovat, avšak jejich řešení
bývá mnohdy velmi obtížné. Kombinatorické problémy pomáhají žákům vytvářet
správné matematické představy, formulovat smysluplné závěry a zevšeobecňovat
matematické pojmy. Problematikou rozvoje kombinatorických schopností žáků se
zabývá řada autorů. Výsledky jejich studií (např. Benson & Jones 1999; Johnson, Jones,
Thornton, Langrall, & Rous 1998; Nisbet et al., 2000; Zimmermann & Jones, 2002)
ukazují na obtíže žáků s řešením úloh, které vyžadují od žáků kombinatorické
uvažování. Proto je kladen důraz na zařazování kombinatorických problémů již na
prvním stupni základní školy.
Rozvíjením logicko-kombinačního myšlení se zabýváme v rámci řešení projektu
SGS na FP TUL. V prvním roce řešení projektu byla provedena analýza učebnic
a přijímacích testů s cílem identifikovat typy a četnost zařazení kombinatorických úloh.
Ukázalo se, že procento zastoupení těchto úloh v porovnání s jinými typy úloh je
výrazně menší. Naším cílem je podněcovat u žáků zájem o řešení problémových úloh,
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
120
mezi něž kombinatorické úlohy můžeme zařadit, a vést je k rozvoji řešitelských strategií
při jejich řešení. Navrhujeme proto aktivity, vesměs manipulační, kdy žáci pracují
s různými pomůckami za účelem jejich uspořádání a výběru skupin prvků, které je dáno
pravidly jednotlivých aktivit, resp. her. Aktivity jsou zaměřené na využívání základních
kombinatorických principů a vhodných metod při jejich řešení. Navrženo je celkem
35 dílčích aktivit, tři didaktické hry (Kombinuj, Zahrada tulipánů a Matika bez
vzorečků) a několik aktivit v prostředí víceméně známých společenských her (Domino,
Člověče nezlob se, Logic, Rummy). Všechny navržené aktivity procházejí v současné
době pilotní realizací ve školách.
V další části popisujeme jednu z didaktických her. Hra byla pilotně zrealizována
v prosinci 2016 na ZŠ náměstí Míru v Ruprechticích v Liberci a je zaměřena na
rozvíjení pojetí uspořádání a opakování prvků.
2. Didaktická hra – Zahrada tulipánů
Jedná se o hru manipulační, kdy se děti snaží podle předlohy na kartičce, svou
zvolenou strategií, co nejrychleji sestavit řadu barevných kamenů na herním plánu.
Cíl:
Vnímání uspořádání a opakování prvků v dané konfiguraci
Rozvoj logického myšlení
Rozvoj kompetence sociální, komunikační a k řešení problémů
Věk: od 8 let (2. třída ZŠ)
Časová dotace: 45 min. (10 min. - motivace, 10 min. - vysvětlování pravidel, 20 min. -
samotná realizace hry, 5 min. vyhodnocení)
Počet hráčů: 2 až 4
Pravidla hry: Barevné kameny rozmístíme na herní plán. Pokládáme je do řady vedle
sebe v pořadí: zelená, modrá, bílá, žlutá, červená. Vždy dvě řady na krajích herního
plánu jsou obsazeny kameny, prostřední řada zůstane volná (viz Obrázek 1 – barevná i
černobílá verze). Vedle herního plánu umístíme karty lícem dolů, kde karty jedním
bodem budou navrchu a karty s pěti body úplně vespod. Hráč vytváří z hracích kamenů
barevné řady, kde záleží na pořadí barev. Každý žák si vezme z hromádky jednu kartu
(vzor barevných tulipánů). Nesmí je soupeřovi ukázat. Následně hráči posouvají vždy
jeden hrací kámen ve směru dopředu, dozadu i diagonálně. V tazích se střídají. Pokud
jeden hráč táhne kamenem, může druhý stejný kámen v tahu hned po soupeři posunout
dál. Zakázáno je však posunout daný kámen po soupeřově tahu na původní místo, ve
kterém byl před tahem soupeře. Cílem je sestavit z hracích kamenů barevnou řadu
totožnou s pořadím barevných tulipánů na kartičce. Řady se mohou na herním plánu
vytvářet svisle, vodorovně i diagonálně (viz Obrázek 2). Když se jednomu z hráčů
podaří řadu sestavit, řekne slovo: „Mám“ a ukáže soupeřovi kartičku i řadu na plánu,
kterou sestavil, aby to mohl soupeř zkontrolovat. Poté si položí kartičku vedle sebe na
lavici a vezme si další. Postupně si hráči berou kartičky s odstupňovanou obtížností.
Karty s jedním a dvěma body mají každou barvu tulipánu jen jednou. Karty se třemi
body mají jednu barvu tulipánu dvakrát. Karty se čtyřmi body mají dvě barvy tulipánů
dvakrát a karty s pěti body mají jednu barvu tulipánů dokonce třikrát. Každý hráč
postupuje vlastním tempem. Na konci hry, kdy má každý hráč jednu kartu v ruce a
v balíčku již žádné karty nejsou, se sečtou získané body. Záleží na tom, kdo jako první
sestaví poslední řadu. Druhý pomalejší hráč musí následně kartu odložit, protože se do
celkového počtu již nezapočítává. Vyhrává hráč s vyšším počtem získaných bodů.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
121
Obrázek 1. Hrací plán.
Závěry z pilotní realizace hry:
Na začátku hodiny byli žáci motivováni pohádkou ze země tulipánů – Holandska.
Následně byla prezentována pravidla hry prostřednictvím interaktivní tabule. Pravidla
byla pochopena ihned. Pozornost žáků byla upoutána herním plánem a manipulací
s barevnými herními kameny. Každý žák si vytvořil svou vlastní strategii sestavování
barevných řad. Ve hře nejde jen o individuální sestavení řady. Soupeři si nevědomky
vzájemně sestavování znemožňují. Proto byl, jak se prokázalo, úspěšnější ten hráč,
který dokázal odhadnout, kde staví řadu soupeř, a buď se mu snažil vyhnout, nebo mu
stavění vědomě narušoval. Zároveň byla úspěšnost podmíněna úrovní chápání žáků a
jejich individuálními předpoklady ke kombinatorickému uvažování. Mezi hráči byly
patrné rozdíly v logickém myšlení, což se odráželo v rychlosti a schopnosti sestavování
řad. Jistou úlohu, podmiňující vítězství a prohru, hrála i náhoda výběru karet. Čas jedné
vyučovací hodiny byl dostačující. Většina hráčů dokončila první hru, ti rychlejší chtěli,
a také jim bylo umožněno, hrát opakovaně. Po sečtení bodů na kartičkách měly některé
dvojice souhlasný počet získaných bodů. Došlo tedy mezi hráči k remíze. Součet bodů
na kartičkách by proto bylo lepší upravit tak, aby byl roven lichému číslu. Předejdeme
tak možnosti, že bude vítězů více. Při několikaminutové reflexi na konci hodiny žáci
hodnotili hru jako velmi zdařilou a zábavnou. Ocenili by však větší herní plán a více
času na hraní, aby se mohli prostřídat a hrát tak i se svými dalšími kamarády. Ze
začátku hra postupuje rychle, avšak když se přijde do složitější fáze, kde se řady
sestavují podle karet se čtyřmi a pěti body, děti dlouho přemýšlejí a hra se protahuje.
Obrázek 2. Možné sestavy uspořádání.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
122
Obrázek 3. Realizace hry.
3. Závěr
Didaktická hra má pro žáka silný motivační efekt – žák je vtažen do prostředí, ve
kterém uplatní své schopnosti při řešení problémů a získává nové zkušenosti i
vědomosti. Je vhodnou metodou k uplatnění konstruktivistického edukačního stylu,
jehož základem je přesvědčení učitele o schopnosti žáka objevovat a aplikovat
matematické poznatky a propojovat je s již dříve získanými a objevenými. Každá
z kombinatorických didaktických her, kterou navrhujeme, má potenciál rozvíjet
kombinatorické myšlení žáků a odpovídá svým zaměřením kategorizaci problémů,
kterou jsme navrhli na základě provedené analýzy učebnicových řad (Hry s čísly,
Kvantifikační problémy, Sudoku a Magické čtverce, Problémy z teorie grafů, Základní
kombinatorické principy, Geometrické problémy, Rozhodovací problémy, Rozdělovací
problémy a Jiné, které nelze jednoznačně přiřadit k žádné z uvedených kategorií). Ne
všechno se dá vymyslet, jsou informace, které je nutno získat z učebnice či jiné
literatury, z internetu nebo které sdělí učitel. K hlubšímu poznání však žák dochází
prostřednictvím vlastní konstrukce poznatkové struktury. Didaktická hra tuto konstrukci
umožňuje.
Literatura
BENSON, C. T., JONES, G. A.: Assessing students’ thinking in modelling
probability contexts. The Mathematics Educator. 1999. Vol 4.
Issue 2. pp 1-21.
JOHNSON, T. M., JONES, G. A., THORNTON, C. A., LANGRALL, C.
W., ROUS, A.: Students’ thinking and writing in the context of
probability. Written Communication, 1998. Vol 15. Issue 2. pp 203-229.
NISBET, S., JONES, G. A., LANGRALL, C. W., & THORNTON, C. A.: A
dicey strategy to get your M & Ms. Australian Primary
Mathematics Classroom. 2000. Volume 5. Issue 3. pp 19-22.
ZIMMERMANN, G. M., & JONES, G. A.: Probability simulation: What
meaning does it have for high school students? Canadian Journal
of Science, Mathematics and Technology Education. 2002. Vol 2.
Issue 2. pp 221-236.
Doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D.
Katedra matematiky a didaktiky matematiky FP TUL
Univerzitní náměstí 1410/2
E-mail: [email protected]
Jana Rolečková
FP TUL
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
123
Gry i zabawy matematyczne sposobem
na myślenie matematyczne dzieci
Math games as a way
of mathematical thinking of children
Grażyna Rygał
MESC: A902
Abstract
The article presents examples of math games that develop logical thinking of
children. Games can be used for math class and extra-curricular activities. This form of
working with children may stimulate their interest in mathematics and arouse interest in
this subject. When asking the right questions, presented games can become an
inspiration to creation of new games and mathematical development of children.
Key words: math games, logical thinking, children teaching.
Streszczenie
W artykule zaprezentowano przykłady gier i zabaw matematycznych, które
pozwalają rozwijać myślenie logiczne dzieci. Gry i zabawy można stosować na lekcjii
matematyki oraz na zajęciach dodatkowych. Taka forma pracy z dziećmi może
zaciekawić ich matematyką i rozbudzić zainteresowanie przedmiotem. Prezentowane
gry, przy właściwe zadawanych pytaniach, mogą stać się inspiracją do tworzenia
nowych gier i rozwoju matematycznego dzieci.
Słowa kluczowe: gry i zabawy matematyczne, logiczne myślenie, uczenie dzieci.
1. Wprowadzenie
Gra i zabawa są bardzo istotnym środkiem edukacyjnym w realizacji programu
zarówno wychowania przedszkolnego jak i wczesnoszkolnego.
Stosowanie gier i zabaw na tych etapach kształcenia powinno być powszechne.
Według Krzysztofa Kruszewskiego [1] gry dydaktyczne należą do problemowych
metod kształcenia i wywołują u graczy myślenie problemowe. K. Kruszewski [1] dzieli
gry dydaktyczne na:
Gry służące osiąganiu celów w sferze emocjonalnej:
o kształtujące reguły wyboru strategii postępowania,
o kształtujące postawy wobec określonych zjawisk lub wartości,
Gry służące osiąganiu celów w sferze poznawczej:
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
124
o kształtujące proste dyspozycje i sprawności związane z wykonywaniem
zadań intelektualnych
o kształtujące umiejętności złożone np. wyrabiające w jakiejś dziedzinie
myślenie twórcze
o kształtujące umiejętności specjalne, także społeczne np. umiejętność
dyskusji, negocjowania
o pozwalające opanować wiadomości przewidziane w programie nauczania.
Zabawa według Wincentego Okonia [2] to działalność wykonywana dla
przyjemności i jest główną formą aktywności dzieci.
Najczęściej stosowany podział zabaw mówi o:
zabawie dydaktycznej, która prowadzi do rozwiązania założonego w niej
zadania,
zabawie konstrukcyjnej, która polega na budowaniu różnych obiektów
najczęściej z klocków, ale nie tylko,
zabawie ruchowej, charakteryzującej się częstą zmianą miejsca uczestnika
zabawy i rozwijająca funkcje motoryczne
zabawie tematycznej, pozwalającej uczestnikom na granie ról,
a zatem fikcyjne spełnianie różnych funkcji społecznych.
2. Przykłady gier i zabaw
„Trzy w jednej linii” [3] – gra dwuosobowa
Pomoce: kostka, kolorowe pionki po ok. 12 dla każdego gracza, plansza do gry
(rys. 1).
1 3 5 2 4
4 6 1 6 4
6 2 3 5 1
3 5 4 1 6
2 6 3 5 2
Rys. 1. Plansza do gry ”Trzy w jednej linii”.
Zasady gry:
gracze na zmianę wykonują ruchy.
zawodnik rozpoczynający grę rzuca kostką, po czym ustawia swój pionek na
polu planszy odpowiadający wyrzuconej liczbie oczek.
na jednym polu może stać tylko jeden pionek.
wygrywa ten gracz, który jako pierwszy ustawi na planszy trzy pionki swojego
koloru obok siebie w linii poziomej, pionowej lub uskośnej.
Uwagi: Gra doskonale uczy dzieci rozpoznawania zapisu
„liczmanowego” czyli kropek na kostce z liczbą na planszy, czyli
reprezentuje liczba 4.
Wprowadza element emocji – napięcia i rywalizacji. Uczestnik gry samodzielnie
podejmuje decyzję, szczególnie w początkowej fazie gry, gdzie postawi swój pionek. Po
wypadnięciu np. liczby 2 na kostce ma cztery możliwości postawienia pionka na
planszy. W dalszej fazie gry musi rozważać jeszcze ustawienia pionków przeciwnika.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
125
Po zakończeniu gry można dokonać analizy, jak rozmieszczono liczby od 1 do 6 na
planszy. Czy wszystkie pojawiły się tyle samo razy. Mamy do czynienia z kwadratem
25-polowym, zatem teraz jest 4 razy 1, 2, 3, 4, 5 i 5 razy 6.
Modyfikacje:
możemy poprosić uczniów, aby na tym 25-polowym kwadracie zaproponowali
inne rozwiązanie,
do gry można zastosować planszę 36-polową.
ta gra pozwala na poruszenie z uczniami bardzo wielu zagadnień i pobudzenie
ich myślenia, prowadzącego do modyfikacji gry.
M. Dąbrowski [3] proponuje też modyfikacje typu:
o wygrywa zawodnik, który jako pierwszy ustawi cztery pionki w jednej linii,
o gra toczy się aż do zapełnienia planszy. Wygrywa zawodnik, który zajmie
na planszy więcej pól.
„Żuczek” [4] – gra dla dwóch osób
Pomoce: jedna kostka sześcienna, rysunek żuczka (rys. 2), kartka oraz długopis
dla każdego gracza.
Zasady gry:
trzeba wyrzucać kostką liczby w określonej kolejności, aby kolejno rysować
części „żuczka”
wygrywa zawodnik, który jako pierwszy narysuje „żuczka”.
rysuję tułów
rysuję głowę
rysuję jeden czułek
rysuję drugi czułek
rysuję prawe oko
rysuję lewe oko
rysuję trzy nogi z prawej strony
rysuję trzy nogi z lewej strony
rysuję ogonek
Rys. 2. „Żuczek”.
Uwagi: Gra uczy przede wszystkim cierpliwości, ćwiczy motorykę ręki, poprzez
wykonanie rysunku: głowa i tułów – kształty owalne, czułki, nogi, ogonek – odcinki.
Można po zakończeniu gry dokonać wielu modyfikacji, np. rysujemy tę część
żuczka, która wypadnie nie stosując kolejności rysowania, czyli gdy wypadnie
rysuję trzy nogi z lewej, nawet jeśli nie mam innych części żuczka. Kolejnym
pomysłem może być zmiana żuczka na inne zwierzątko, np. króliczka itp.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
126
Zabawa w „ważenie” [na podstawie 5]
Przedstawiamy dzieciom planszę (rys. 3) i pytanie: „Czy możesz określić ciężar
poszczególnych rzeczy (worka, pudła, słoja, walizki, skrzyni)?”
Rys. 3. Plansza do zabawy w ”ważenie”.
Uwagi: Dzieci muszą znać zasadę wagi szalkowej i wiedzieć, co oznacza „waga
w równowadze”.
W tej zabawie mogą brać udział wszystkie dzieci. Doskonała jest tu „burza
mózgów”.
Dzięki tej zabawie uczniowie utrwalają sobie regułę, że jeżeli z obu stron wagi
zdejmę taki sam przedmiot to waga pozostanie w równowadze. To doskonały wstęp do
przyszłego rozwiązywania równań.
Dowiadują się też, że jeden przedmiot można zastąpić kilkoma innymi
zachowując wagę w równowadze.
Zabawa ta uczy logicznego myślenia, intuicyjnie uczy pojęcia równowagi i
pojęcia równości.
3. Podsumowanie
Stosowanie gier i zabaw w edukacji nie tylko dzieci jest bardzo potrzebne.
Uczniowie poprzez udział w takich aktywnościach nie czują zmęczenia, a często
dowiadują się więcej niż na tradycyjnych zajęciach.
Najlepszym podsumowaniem niech będzie pogląd G. Petty’ego [6]: „Prawie
każdą czynność można zamienić w zabawę, jeżeli uczynimy z niej zadanie
problemowe”.
Literatura
Encyklopedia pedagogiczna. pod redakcją Wojciecha Pomykało, Fundacja Innowacja,
Warszawa 1993 (wyd. pierwsze) [1].
OKOŃ W. Słownik pedagogiczny. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992
(wyd. piąte) ISBN 83-01-10042-7 [2].
DĄBROWSKI M. Gry matematyczne – nie tylko dla klas 1-3. Wydawnictwo Nowik,
Opole 2015 ISBN 978-83-62687-74-9 [3].
NOWIK J. Materiały z warsztatów prowadzonych na konferencji dla nauczycieli.
Konferencja SNM, Kraków 2014 [4].
Waga nr 1
Waga nr 2
Waga nr 3
Waga nr 4
Waga nr 5
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
127
Bzik matematyczny – dla dzieci w wieku 9-12 lat. Wydawnictwo Siedmiogród 1998,
ISBN 83-7162-827-7, Wrocław 2003 [5].
KREJCOVA E. Matematyka w zabawach i grach w szkole podstawowej. Wydawnictwo
Nowik, Opole 2016 ISBN 978-83-62687-80-0 [6].
dr hab. Grażyna Rygał prof. AJD
Wydział Pedagogiczny, Akademia im. Jana Długosza w Częstochwie ul.
Waszyngtona 4/8
42-200 Częstochowa, Polska
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
128
Kooperačné nástroje e-learningu v pregraduálnej
matematickej príprave učiteľov pre primárne vzdelávanie
Collaborative e-learning tools in undergraduate mathematical training of primary
education teachers
Iveta Scholtzová, Marek Mokriš
MESC: C69, G19, U79
Abstract
Teaching of the Geometry with Didactics course at the Faculty of Education,
University of Presov is carried out with the support of e-learning on the basis of LMS
Moodle. In the 2015/2016 academic year, a collaborative tool Wiki has been
incorporated into the e-course for the first time to assist in designing joint presentations
by the teams of students. The results of the students’ work are methodological materials
for teaching geometry at the primary stage education. Our survey explores the process
of developing the methodological materials, the involvement of individual students in
the collaborative work on the joint product and problems that arose during team
cooperation.
Key words: Geometry, e-learning, Cooperative Tools, Primary Education Teacher.
Abstrakt
Na Pedagogickej fakulte Prešovskej univerzity v Prešove sa výučba predmetu
geometria s metodikou realizuje s podporou e-learningu na báze LMS Moodle.
V akademickom roku 2015/2016 bol do e-kurzu prvýkrát inkorporovaný kooperačný
nástroj Wiki na tvorbu spoločných prezentácií študentských tímov. Výsledkom práce
študentov boli metodické materiály pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni
vzdelávania. V rámci prieskumu bol sledovaný proces tvorby metodických materiálov,
podiel jednotlivých študentov na spoločnom produkte a tiež problémy pri kooperácii
v rámci tímov.
Key words: geometria, e-learning, kooperačné nástroje, učiteľ primárneho vzdelávania.
1. Úvod
Súčasťou e-learningového kurzu v prostredí Moodle geometria s metodikou sú
učebné materiály určené na samoštúdium, niektoré dynamické nástroje, cvičenia
zamerané na samostatnú prácu študentov, vstupný test a priebežné testy.
V akademickom roku 2015/2016 bol do tohto kurzu inkorporovaný kooperačný nástroj
Wiki. Študenti už mali skúsenosť s týmto kooperačným nástrojom z predchádzajúcej
výučby v predmete didaktika IKT v primárnej edukácii (Adamkovičová a kol. 2016). Na
začiatku semestra bola študentom zadaná seminárna práca – vytvoriť prostredníctvom
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
129
nástroja Wiki didaktický materiál pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni
vzdelávania.
2. Proces tvorby didaktických materiálov
Pre seminárnu prácu v predmete geometria s didaktikou bolo vyšpecifikovaných
päť tematických okruhov z učiva geometrie na 1. stupni základnej školy:
1. Čiara, bod, úsečka, priamka, polpriamka. Vzájomné polohy geometrických
útvarov.
2. Rovinné útvary, ich vlastnosti a rysovanie.
3. Priestorové útvary, stavby z kociek.
4. Propedeutika zhodných a podobných zobrazení.
5. Dĺžka úsečky, premena jednotiek dĺžky. Obvod rovinného útvaru
a propedeutika obsahu rovinného útvaru.
V seminárnej práci pre daný tematický okruh si študenti mali vybrať konkrétne učivo
a následne
a. vypracovať metodický postup sprístupnenia nového učiva;
b. zvoliť jednu úlohu z danej problematiky a prezentovať metodický postup jej
riešenia.
V 1. ročníku magisterského stupňa štúdia v študijnom programe učiteľstvo pre
primárne vzdelávanie bolo 100 študentov, ktorí boli pre výučbu v rámci seminárov
rozdelení do piatich študijných skupín. V rámci každej študijnej skupiny bolo
vytvorených päť tímov (spolu 25 tímov), ktoré mali 3 – 5 členov. Každému tímu bol
pridelený jeden tematický okruh pre spracovanie v rámci seminárnej práce. Na
vypracovaní seminárnej práce sa mali podieľať všetci členovia daného riešiteľského
tímu. Tímy z tej istej študijnej skupiny mali on-line prístup k spracovanej seminárnej
práci ostatných tímov z danej skupiny. Takto mali študenti k dispozícii didaktický
materiál, ktorý zahŕňal problematiku všetkých tematických okruhov.
Seminárne práce boli spracovávané a prezentované priebežne počas semestra tak,
že korešpondovali s problematikou preberanou v rámci výučby v predmete geometria
s metodikou.
V procese vytvárania študentských produktov sa hneď v úvode vyskytli ťažkosti
technického charakteru. Napriek tomu, že študenti už skôr pracovali s kooperačným
nástrojom Wiki, bolo zo strany pedagógov nevyhnutné poskytovať konzultácie pri
riešení problémov. V niekoľkých prípadoch dokonca došlo k zrušeniu vstupných
nastavení, ktoré bolo potrebné obnoviť. Samotné spracovanie seminárnej práce
prebiehalo v on-line režime, pričom študenti využívali HTML formát (Obrázok 1.). Po
uložení časti seminárnej práce mali ostatní členovia tímu aktuálny on-line prehľad
o stave jej spracovania.
Obrázok 1. Prostredie na spracovanie obsahu seminárnej práce.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
130
Kooperácia v rámci jednotlivých tímov nebola vždy optimálna. Z reakcií
študentov bolo evidentné, že nie všetci členovia riešiteľského tímu prispievali k tvorbe
produktov rovnakým dielom. Tútor mohol v kurze pomocou nástroja História sledovať
proces tvorby seminárnej práce a aj podiel jednotlivých študentov na danej činnosti.
Nebolo vždy pravidlom, že ak bol študent prihlásený pod svojím kontom, tak potom na
danej činnosti v tom čase s ním nekooperovali aj iní členovia tímu. Vzhľadom na to
mieru podielu práce jednotlivých členov tímu bolo nutné overiť pri prezentácii
seminárnej práce.
V niektorých prípadoch študenti prezentovali, že si prácu rozdelili, každý sa
podieľal na príprave materiálov, ale vo Wiki pracoval jeden – dvaja. V jednom tíme
došlo k situácii, že jeden člen, podľa názoru ostatných, nijako neprispel k spoločnému
produktu, a teda nesplnil podmienky stanovené pre seminárnu prácu. Bolo nevyhnutné
zadať študentovi inú seminárnu prácu, aby mal možnosť splniť podmienky priebežného
hodnotenia v predmete.
Vo vytvorených materiáloch, okrem textu, študenti používali podporný obrázkový
materiál, ktorí si väčšinou sami vytvárali. Predpokladali sme, že študenti budú pri
tvorbe obrázkovej dokumentácie využívať aj geometrické softvérové prostredia, napr.
Geogebra, CaR, pretože podporné študijné materiály v prostredí Moodle boli vytvárané
aj za pomoci týchto softvérov. Z analýzy seminárnych prác však vyplynulo, že
používané bolo len scanovanie, resp. fotografie.
Obrázok 2. Obrázkový podporný materiál vytvorený študentmi.
Prehľad o použitých podporných materiáloch bolo možné získať v záložke
Súbory. Študenti využívali len podporný materiál statického charakteru vo forme
obrázkov. Použitie materiálov, ktoré by mali dynamickú podobu (napr. video), nebolo
zaznamenané.
Vytvárané metodické materiály boli zo strany pedagógov priebežne
monitorované. Vo Wiki boli do materiálov vkladané komentáre a pripomienky
(Obrázok 3.). Komentáre a pripomienky boli vkladané priamo do textu seminárnej práce
a boli farebne odlíšené. Pri kontaktnej výučbe na seminároch prebiehala intenzívna
diskusia o vytvorených produktoch.
Obrázok 3. Ukážka vloženého komentára.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
131
3. Záver
Inovácia procesu výučby v predmete geometria s metodikou priniesla niektoré
nové poznatky o procese nadobúdania odborných a didaktických kompetencií študentov
pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni vzdelávania. Potvrdila tiež niektoré už
skôr známe problémy a nedostatky.
Tento proces je možné posudzovať z troch aspektov:
geometria, odborné a didaktické kompetencie študentov – miskoncepcie
v geometrických predstavách, nedostatky v používaní odborného jazyka,
v grafickom znázorňovaní, v matematických zápisoch, problémy v didaktickej
interpretácii geometrickej problematiky pre žiakov mladšieho školského veku;
použitie technológií – napriek všeobecne rozšírenému názoru, že generácia
súčasných mladých ľudí na dobrej úrovni ovláda informačno-komunikačné
technológie, nie je tomu tak u všetkých študentov, mnohí majú ťažkosti
s prípravou materiálov, ktoré by mohli byť použiteľné v pedagogickej praxi;
kooperácia – pôsobenie v pedagogickej praxi je o neustálej sociálnej interakcii
a to nielen so žiakmi (a ich rodičmi), ale aj s kolegami pri príprave spoločných
materiálov na školách. V tomto kontexte je schopnosť kooperácie veľmi
významným aspektom pedagogického pôsobenia. Ukázalo sa, že mnohí
študenti nie sú „nastavení“ na spoluprácu. Ak majú pracovať v tíme, radšej
urobia celý objem práce, než by mali prácu rozdeliť.
Získané poznatky môžu prispieť k skvalitneniu procesu pregraduálnej
matematickej prípravy budúcich pedagógov pre primárne vzdelávanie.
Príspevok je čiastkovým výstupom projektu KEGA 013PU-4/2015 Aplikácia
kooperačných a komunikačných nástrojov v e-learningových kurzoch pre učiteľov
primárneho vzdelávania.
Literatúra
ADAMKOVIČOVÁ, M., BURGEROVÁ, J., PISKURA, V. E-kurz Didaktika IKT v
primárnej edukácii. Sborník příspěvků z konference a soutěže eLearning 2016.
Hradec Králové: Gaudeamus, 2016. ISBN 978-80-7435-657-5. s. 17 – 21.
doc. RNDr. Iveta Scholtzová, PhD.
Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej
edukácie
Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov, SR
E-mail: [email protected]
Mgr. Marek Mokriš, PhD.
Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej
edukácie
Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov, SR
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
132
Stimulácia kontroly pozornosti - výsledky pilotného výskumu
Stimulation of attentional control - results of pilot research
Edita Šimčíková, Alena Prídavková, Blanka Tomková
MESC: C32, D42, Q32
Abstract
The paper is intended as a partial output of the APVV grant scheme project that
addresses the issue of stimulating executive functions in pupils who underperform in
mathematics. It follows on the previous articles that give details about the fundamentals
of designing a stimulation program in mathematics and about the nature of tasks in
terms of the project’s proposals. Two modules designed to stimulate attentional control
were piloted on a sample of pupils. The aim of the author is to provide basic data about
the course of the pilot study. Discussion of the results and the procedure of piloting with
some suggestions for further modification of the research’s implementation stage are
presented in the article.
Key words: Attentional Control. Stimulation of Executive Functions. Pair Stimulation.
Metacognitive Strategy.
Abstrakt
Príspevok je vypracovaný ako čiastkový výstup grantového projektu APVV, ktorý
rieši problematiku stimulácie exekutívnych funkcií slabo prospievajúcich žiakov
z matematiky. Nadväzuje na príspevky, v ktorých sú prezentované východiská tvorby
stimulačného programu z matematiky a charakteristika úloh z hľadiska projektových
zámerov. Dva vytvorené moduly boli overené v pilotnom výskume na vybranej vzorke
žiakov. Naším zámerom je poskytnúť informáciu o realizácii pilotného výskumu a jeho
výsledkoch. V príspevku sú vyslovené komentáre k priebehu pilotáže a návrhy na
modifikácie úloh pre realizáciu vlastného výskumu.
Kľúčové slová: Kontrola pozornosti. Stimulácia exekutívnej funkcie. Párová
stimulácia. Metakognitívna statégia.
1. Úvod
Na základe analýzy Štátneho vzdelávacieho programu, výkonových štandardov vo
vzdelávacej oblasti Matematika a práca s informáciami (2015) pre štvrtý ročník
základnej školy, boli v rámci prípravnej fázy výskumu grantového projektu APVV
Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií
slaboprospievajúceho žiaka - kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského
jazyka špecifikované vzdelávacie štandardy, ktoré už na prvý pohľad svojou
formuláciou nabádajú k potrebe venovať vo vyučovacom procese pozornosť stimulácii
kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov. Konkrétne výkonové štandardy
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
133
zodpovedajúce projektovým zámerom boli prezentované autorkami Šimčíková,
Tomková (2016). Výsledky analýzy kurikula matematiky pre primárne vzdelávanie
(2015) a výsledky grantového projektu APVV Exekutívne funkcie ako základ schopnosti
učiť sa: diagnostika a stimulácia riešeného na PF PU v Prešove v rokoch 2012 - 2015
(Kovalčíková, 2016) tvorili jedno z východísk pre prípravu stimulačného programu
z matematiky pre žiakov 4. ročníka základnej školy zo sociálne znevýhodňujúceho
prostredia. Proces tvorby stimulačného programu, analýza úloh z matematického
hľadiska a z hľadiska stimulácie exekutívnych funkcií žiakov sú prezentované
v príspevkoch autoriek Prídavková, Tomková, Šimčíková v tomto zborníku. Navrhnutá
batéria doménovo špecifických úloh cielene zameraných na stimuláciu exekutívnej
funkcie kontrola pozornosti bola implementovaná do praxe v rámci prvej etapy
pilotného výskumu v januári 2017.
2. Výsledky pilotného výskumu – prvá etapa
Prvá etapa pilotného výskumu bola realizovaná s nasledujúcimi cieľmi:
a. overiť adekvátnosť vytvorených úloh z matematiky;
b. overiť primeranosť inštrukcií;
c. overiť vhodnosť otázok zameraných na metakognitívne uvažovanie;
d. overiť formu záznamového hárku.
Vzorku pilotného výskumu tvorili traja žiaci zo sociálne znevýhodňujúceho
prostredia vo veku 9 – 11 rokov (dvaja chlapci a jedno dievča). Všetci traja navštevujú
základnú školu, komunikačná bariéra medzi administrátorom a žiakmi nebola. Pilotný
výskum prebiehal popoludní po vyučovaní mimo školského prostredia.
Výskumné ciele boli realizované v párovej aj individuálnej stimulácii, proces
výskumu bol pozorovateľmi z riešiteľského tímu zaznamenaný neštruktúrovaným
pozorovaním a audiozáznamom.
V prvej etape pilotného výskumu boli overené dva moduly z navrhnutého
stimulačného programu a spracované prvé výsledky. Prvý modul je z hľadiska
doménovej špecifikácie zaradený do tematického celku Riešenie aplikačných úloh
a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie, druhý modul do tematického
celku Geometria a meranie. Z hľadiska stimulácie exekutívnych funkcií obidva
overované moduly podporujú stimuláciu funkcie kontrola pozornosti, ale čiastočne aj
pracovnú pamäť. Úlohy v moduloch majú odstupňovanú kognitívnu náročnosť
v niekoľkých úrovniach.
Prvé výsledky pilotného výskumu priniesli nasledujúce zistenia:
a. Navrhnuté úlohy boli do stimulačného programu v prvom module zvolené
vhodne z hľadiska matematiky aj z hľadiska stimulácie kontroly pozornosti.
Ukázalo sa však, že je potrebné zredukovať počet úloh s obrázkovými
postupnosťami na polovicu a vytvoriť k nim pre párovú stimuláciu žiakov
analogické úlohy. Z číselných postupností bola vynechaná jedna postupnosť
kvôli neprimeranej náročnosti pre zvolenú vzorku žiakov. Postupnosť bude
vylúčená z batérie úloh vo výskume. Druhý modul je vytvorený z dvoch
„zácvičných“ úloh, ktoré sú dôležité pre overenie matematických schopností
z oblasti orientácie v priestore a sú potrebné pre stimuláciu kognície a exekúcie
žiakov v ťažiskových úlohách v module. V pilotnom výskume sa potvrdili naše
predpoklady, že žiaci vo vekovej kategórii 9 – 10 rokov nebudú mať vážnejšie
problémy s priestorovou orientáciou v trojrozmernom priestore. Výraznejší
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
134
problém nastáva v procese orientácie v rovine, preto budú úlohy modifikované
smerom k tomuto cieľu.
b. Overenie primeranosti inštrukcií k navrhnutým úlohám bolo zamerané
na porozumenie verbálnych zadaní úloh zo stimulačného programu, keďže
čítanie textu/zadaní žiakmi mohlo výrazne nežiaduco ovplyvniť riešenie úloh
a predĺžiť čas stimulácie. Pilotný výskum potvrdil primeranosť formulácií
matematických zadaní úloh pre stanovenú vzorku žiakov. V prípade
výraznejšej komunikačnej bariéry žiakov vo výskumnej vzorke v hlavnom
výskume možno pozvať jazykovo vybaveného asistenta učiteľa, ale iba
v počiatočnej fáze výskumu, resp. úlohu interpretovať v jazyku žiaka bez
zásahu do podstaty úlohy a bez akejkoľvek nápovedy.
c. Tretím cieľom pilotného výskumu bolo overiť vhodnosť otázok zameraných na
proces metakognície a sebaregulácie žiaka tak, aby šlo o procesuálne
orientovanú mediáciu. Na splnenie tohto cieľa boli vopred pripravené otázky
rozdelené do troch fáz – otázky zadávané pred riešením úlohy, počas riešenia
a po vyriešení a to v komunikácii administrátor – žiak (Partanen a kol., 2015).
Tieto otázky boli doplnené o otázky zamerané na sebahodnotenie
a sebareguláciu žiaka. Vzhľadom na to, že naši žiaci nie sú v školskom
vzdelávaní vedení k metakognitívnemu fungovaniu, požaduje sa od nich iba
výkon orientovaný na výsledok, predstavovala táto fáza výskumu najviac
problematickú oblasť. Žiaci sa snažili úlohy vyriešiť čo najskôr a prekvapili ich
otázky administrátora súvisiace s ich uvažovaním, rozprávaním postupov
nahlas, argumentáciou a vysvetľovaním. Otázky považujeme za presne
formulované a smerujúce k požadovaným cieľom, z predloženej batérie je však
potrebné abstrahovať po jednej otázke na každú metakognitívnu oblasť
(pomenuje koncepty, opíše stratégiu, určí chyby, popíše nápravu a pod.).
Sebahodnotenie odrážalo školské hodnotenie (to, ako žiaka hodnotia iní). Je
potrebné zvoliť sebahodnotenie pomocou vhodných symbolov, v pilotnom
výskume malo väčšiu výpovednú hodnotu ako slovné sebahodnotenie.
d. Výsledky pilotáže ukázali potrebu urobiť korekcie vo vytvorenom
záznamovom hárku. Špecifikovať a precizovať postupnosť zadávaných otázok
v jednotlivých fázach tak, aby im žiak rozumel a vyhnúť sa úprave otázok,
resp. podotázkam počas stimulácie. Doplniť pozorovací hárok
o zaznamenávanie riešenia úlohy z matematického hľadiska a z hľadiska
stimulácie exekutívnych funkcií. Zároveň sa ukázala potreba úpravy hárku pre
dvoch stimulovaných žiakov súčasne tak, aby bol záznam prehľadný a poskytol
pri spracovaní údajov rýchlu a relevantnú spätnú väzbu.
3. Záver
Pilotný výskum zameraný na stimuláciu exekutívnych funkcií priniesol
z matematického pohľadu zistenie, že žiaci zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia vo
vybranej vzorke poznali typy úloh zo školského vzdelávania, niektorí aj z testovania
psychológmi. Preto prejavili snahu rýchlo úlohu vyriešiť (doplniť zadanie požadovaným
úkonom), aj keď to neurobili správne. Rušili ich všetky otázky, ktoré im boli zadávané
priebežne hlavne pri úlohách, kde si boli istí s výsledkom. Odpovede na otázky boli
spočiatku strohé, jednoslovné. Dôsledná stimulácia kontroly pozornosti a akcent na
popis metakognitívnych stratégií však spôsobili, že žiaci uvažovali nad postupmi pri
riešení a snažili sa vysloviť ich nahlas. V párovej stimulácii využili aj proces
vzájomného učenia sa. Ďalšie korekcie a modifikácie úloh a inštrukcií sú plánované
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
135
počas tréningu administrátorov stimulácie. Pilotný výskum potvrdil strategický zámer
členov riešiteľského tímu projektu APVV, ktorý vychádza okrem iného z myšlienok
Jensena (2009), že dôležitejšie je v učiteľskej praxi umožniť žiakom sledovať to, čo
robia, ako opravovať ich chyby, alebo hovoriť, čo majú robiť.
Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV-15-0273
Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií
slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) – kognitívny
stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka a projektu podporeného
International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study of
School Psychology and the International School Psychology Association.
Literatúra
HEJNÝ, M. a kol. 2006. Práce s chybou jako strategie rozvoje klíčových kompetencí
žáka. [online]. Praha: JČMF. Dostupné na internete:
http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=99.
JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell,
Georgia, USA: International Centre for Mediated Learning, 2009.
KOVALČÍKOVÁ, I. et al. Diagnostika a stimulácia kognitívnych a exekutívnych
funkcií žiaka v mladšom školskom veku. Prešov: Vydavateľstvo PU. 2016.
ISBN 978-80-555-1719-3.
PARTANEN, P., JANSSON, B., LISSPERS, J. & SUNDIN, Ö. Metacognitive Strategy
Training Adds to the Effects of Working Memory Training in Children with
Special Educational Needs. 2015. In International Journal of Psychological
Studies, 7(3), 130.
ŠIMČÍKOVÁ, E., TOMKOVÁ, B. Analýza matematického kurikula vo vybraných
krajinách z hľadiska stimulácie kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov
primárneho vzdelávania. In: Освіта і суспільство. Міжнародний збірник
наукових праць. – Бердянський державний педагогічний університет, 2016;
ISBN 978-617-7291-80-9 (електронне видання); 395 c., іл., табл., бібл.,
s. 69-74. On line [20.2.2017] http://bdpu.org/Papers_Berdyansk_2016.html.
Štátny vzdelávací program pre primárne vzdelávanie – 1. stupeň základnej školy .
Matematika. 2015. On line. [3. 2. 2017]
http://www.statpedu.sk/sites/default/files/dokumenty/inovovany-statny-
vzdelavaci-program/matematika_pv_2014.pdf.
PaedDr. Edita Šimčíková, PhD.
Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME
Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov
E-mail: [email protected]
doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD.
Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME
Ul.17. novembra 15, 080 01Prešov
E-mail: [email protected]
Mgr. Blanka Tomková, PhD.
Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME
Ul.17. novembra 15, 080 01Prešov
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
136
Stavby z kociek – prostriedok rozvíjania priestorovej
predstavivosti v rámci odbornej pregraduálnej prípravy
budúcich učiteľov
Construction of building blocks - a means of developing spatial imagination in
undergraduate training of future teachers
Dominika Štefková
MESC: G19
Abstract
Imagination is one of the most important and indispensable skills that an
individual is endowed with. Everyday life brings about many situations in which it is
necessary to exploit the ability of spatial imagination. Solving tasks in the context of
developing spatial imagination should be a part of the teaching mathematics at all stages
of education and thus should be included in undergraduate training of future teachers as
well. This paper presents one way for enhancing the quality of training primary school
teachers in terms of developing their spatial imagination.
Key words: mathematical teacher training, primary education, spatial imagination,
construction of building blocks.
Abstrakt
Predstavivosť je jednou z najdôležitejších schopností, ktorou jedinec
disponuje, bez ktorej by sa v živote nezaobišiel. V každodennom živote sa bežne
vyskytujú situácie, v ktorých je potrebné využiť priestorovú predstavivosť. Riešenie
úloh v kontexte rozvíjania priestorových predstáv by malo byť súčasťou vyučovania
matematiky na všetkých stupňoch vzdelávania, a teda majú mať svoje zastúpenie aj
v rámci odbornej pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov. V príspevku prezentujeme
jednu z možností ako zvýšiť kvalitu vzdelávania učiteľov primárnej školy z pohľadu
rozvoja ich priestorovej predstavivosti.
Kľúčové slová: matematická príprava učiteľov, primárny stupeň vzdelávania,
priestorová predstavivosť, stavby z kociek.
1. Úvod
Ako zvýšiť kvalitu pregraduálneho vzdelávania elementaristov z pohľadu rozvoja
ich odborovo-didaktických matematických kompetencií? Akými prostriedkami je
možné rozvíjať a zdokonaľovať úroveň priestorovej predstavivosti budúcich učiteľov?
Akým spôsobom je možné efektívne ovplyvniť stimulovanie priestorovej
predstavivosti? Aké nástroje sú vhodné na aplikáciu v zmysle rozvoja a podpory
schopnosti priestorového videnia u učiteľa? Tieto otázky sú len niektoré, ktoré si
častokrát kladú odborníci z predmetnej oblasti. Dôležitým činiteľom, ktorý vplýva na
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
137
úroveň prípravy na povolanie učiteľa je aj individuálna schopnosť samotného
absolventa vytvárať a vybavovať si predstavy, schopnosť mentálne porovnávať,
manipulovať a transformovať vizuálnu komunikáciu.
2. Priestorová predstavivosť u študentov v rôznych stupňoch vzdelávania
Pod pojmom priestorová predstavivosť rozumieme súhrn schopností, ktoré súvisia
s predstavami jedinca o priestore, geometrických objektoch, ich vlastnostiach a
vzájomných vzťahoch (Robová 2009). Dôležitý je aj fakt, že priestorová predstavivosť
resp. schopnosť vnímania priestoru je uznávaná ako jedna zo súčastí globálnej
inteligencie človeka. H. Gardner uvádza v rámci teórie multiplikačnej inteligencie
priestorovú inteligenciu ako samostatný faktor (Laznibatová 1992, In: Brincková –
Uherčíková - Vankúš 2013). Zdôrazňuje, že ide o schopnosť vytvárať si v mysli obrazy,
uchovávať ich a znovu si ich vybavovať. Predstavivosť je mimoriadne dôležitá pri
zapamätávaní, a teda aj pri učení sa a je základom všetkých tvorivých schopností.
Priestorová predstavivosť zohráva významnú úlohu predovšetkým v geometrii.
Ako však vieme, riešenie planimetrických a stereometrických úloh robí často problémy
žiakom a študentom na všetkých stupňoch vzdelávania. Psychológovia sa zhodujú
v tom, že prvou etapou, kedy prebieha intenzívny rozvoj priestorovej predstavivosti
spojený so základnými geometrickými predstavami je predškolský vek (okolo piateho
roku veku). Druhou etapou je obdobie mladšieho školského veku. Pokiaľ sa rozvoj
priestorovej predstavivosti nepodnieti ani vo veku 10-15 rokov, objavujú sa vo vyššom
stupni vzdelávania známky jej nedostatočnej rozvinutosti, s ktorými sa potom my
(vysokoškolskí pedagógovia) mnohokrát v praxi stretávame. Avšak aj v neskoršom
období je možné geometrické myslenie a priestorovú predstavivosť rozvíjať, aj keď ide
o pomalší a dlhodobejší proces, v ktorom sa využíva predovšetkým logické myslenie
jedinca. Zo skutočnosti, že uvedená schopnosť je trénovateľná (Hejný 1990), je
potrebné, podľa nášho názoru, v rámci pregraduálneho vzdelávania budúcich učiteľov
profitovať a podieľať sa na jej zámernom rozvíjaní.
Na Pedagogickej fakulte PU v Prešove je do novoakreditovaných študijných
plánov zaradený, okrem iných, zaradený aj predmet Praktikum z geometrie, ako
povinne voliteľný. Prispelo sa tak k rozšíreniu disciplín, ktoré sú orientované na
rozvíjanie odborovo-didaktických matematických kompetencií. Predmet je určený pre
magisterský študijný program Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie a Učiteľstvo pre
primárne vzdelávanie a pedagogika psychosociálne narušených. V dennej forme štúdia
je výučba realizovaná vo forme seminárov v rozsahu jednej hodiny týždenne.
Cieľom predmetu je riešiť úlohy zamerané na rozvíjanie geometrickej
gramotnosti, analyzovať úlohy z pohľadu existencie rôznych riešiteľských stratégií,
riešiť a tvoriť aplikačné a neštandardné úlohy z geometrie pre žiakov v primárnom
stupni vzdelávania a použiť didaktické pomôcky pri tvorbe a riešení úloh z geometrie.
V akademickom roku 2016/2017, kedy výučba predmetu je realizovaná druhýkrát,
si disciplínu zaradilo do študijných plánov až 126 študentov (zo skupiny 159 študentov),
čo predstavuje 81,13%. Do obsahu predmetu sú zaradené aj úlohy typu – stavby
z kociek - ako jeden z prostriedkov rozvoja priestorovej predstavivosti. Uvedomujeme
si, že nie každý budúci učiteľ na 1. stupni základnej školy má ku geometrii príliš
pozitívny vzťah (nie je to ani jeho povinnosť), neznamená to však, že nemôže resp.
nebude žiakov viesť k precvičovaniu priestorového videnia. Podľa nášho názoru je
podstatné a nutné, aby aj učitelia mali v dostatočnej miere rozvinutú spomínanú
schopnosť, ak chceme, aby boli kompetentní ju rozvíjať u žiakov.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
138
3. Stavby z kociek v pregraduálnej príprave učiteľov elementaristov
Koncentrovanie našej pozornosti na stavby z kociek vyplýva aj zo skutočnosti, že
tento typ úloh je neoddeliteľnou súčasťou obsahu učiva geometrie na 1. stupni základnej
školy. Podľa inovovaného Štátneho vzdelávacieho programu, Primárne vzdelávanie –
1. stupeň základnej školy (2015) by žiak mal:
2. ročník: Postaviť jednoduchú stavbu z kociek podľa vzoru a podľa obrázka.
3. ročník: Postaviť stavbu z kociek na základe plánu. Vytvoriť plán stavby
z kociek.
4. ročník: Vytvoriť z kociek rôzne stavby podľa plánu. Vytvoriť a slovne
opísať vlastnú stavbu. Nakresliť plán stavby z kociek.
Zároveň sú to pre nás aj východiská, ktoré využívame pri tvorbe úloh určených
pre študentov, ktoré sú potom aplikované v priebehu realizácie výučby spomínaného
predmetu.
Na Pedagogickej fakulte PU v Prešove študujú aj študenti zo zahraničia v rámci
programu Erasmus+. Do svojich študijných programov si majú možnosť zaradiť aj
predmety spojené s matematikou. Nakoľko našou snahou je zvyšovať kvalitu
vzdelávania aj týchto študentov, bol vypracovaný projekt KEGA, ktorý je riešený na PU
v Prešove. Cieľom projektu je vytvorenie súboru učebných zdrojov určených pre
výučbu vybraných disciplín zameraných na matematickú prípravu. Všetky materiály
budú vytvorené v slovenskom aj anglickom jazyku, čím budú zabezpečené komplexné
študijné materiály pre danú skupinu študentov.
V súčasnosti, v rámci riešenia projektu, prebieha kreovanie elektronických
podporných materiálov v anglickom jazyku: elektronických učebných textov
v LMS MOODLE, súboru power-pointových prezentácií, pracovných listov
a diagnostických materiálov. Uvedené študijné materiály sú postupne zaraďované do už
vytvorených e-learningových kurzov k predmetom Mathematics as a Game, Elementary
Mathematics.
Spomínané učebné zdroje sa orientujú na rôzne témy z oblasti elementárnej
matematiky a geometrie v súlade s obsahom uvedených disciplín. Poukazujúc na
uvedené, je priestor venovaný aj planimetrickým a stereometrickým úlohám, a teda aj
problematike stavieb z kociek. V elektronických podporných kurzoch tak budú
pripravené úlohy, ktorých riešenie efektívne ovplyvní stimulovanie priestorovej
predstavivosti u študentov zo zahraničia. Jednotlivé materiály sa však budú môcť
využiť aj pri výučbe matematických disciplín v skupinách slovenských študentov
s rozšíreným vyučovaním anglického jazyka.
V zozname literatúry uvádzame odkazy na konkrétne zahraničné zdroje vo forme
power-pointových prezentácií, video prezentácií, pracovných listov a rôznych
internetových stránok orientovaných na predmetnú problematiku. Ich aplikácia je
možná nielen pri výučbe predmetov zameraných na matematiku primárnej školy, ale aj
počas individuálnej prípravy študenta na vyučovanie.
4. Záver
V rámci odbornej a didaktickej matematickej prípravy je potrebné rozvíjať
u populácie študentov – budúcich učiteľov na 1. stupni základnej školy schopnosť
priestorového videnia. Jednou z možností ako to realizovať, je zaraďovanie „vhodných“
úloh z geometrie do ich profesionálnej prípravy. „Vhodnými“ úlohami máme na mysli
aj problematiku stavieb z kociek, ktoré sa podieľajú na rozvíjaní a podpore
priestorových predstáv. Na druhej strane, by si aj samotní študenti mali uvedomovať
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
139
dôležitosť rozvinutosti priestorovej predstavivosti, nakoľko jej využitie je späté
s množstvom situácií v bežnom živote.
Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA-
021PU-4/2015 Tvorba učebných zdrojov pre matematické pregraduálne vzdelávanie
elementaristov v cudzom jazyku.
Literatúra
BRINCKOVÁ, J., UHERČÍKOVÁ, V., VANKÚŠ, P. Netradičné metódy rozvíjania
predstavivosti v matematike. 2013. Bratislava: KEC FMFI UK. On line
[13.2.2017] http://www.comae.sk/netradicnemetody.pdf.
HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2.1990. Bratislava: SPN.
ISBN 80-08-00014-7.
ROBOVÁ, J. Programy dynamické geometrie a jejich využití ve výuce stereometrie. On
line [18.1.2017]
http://www.webmatika.sk/zbornik1/clanky/Robova_prispevek.pdf.
Štátny vzdelávací program. Primárne vzdelávanie – 1. stupeň základnej školy. 2015. On
line [18.1.2017] https://www.minedu.sk/data/att/7502.pdf.
Adult numeracy themes. On line [18.1.2017]
http://literacy.kent.edu/Oasis/Resc/Educ/geometry3.html.
Building Sugar Cube Structures. On line [13.2.2017]
http://mamapapabubba.com/2013/07/14/building-sugar-cube-structures/.
Cubic Triangle Views. On line [13.2.2017]
http://www.unipuzzle.com/Series/CubicViews/CV0408/.
Designing Buildings. On line [13.2.2017] http://fawnnguyen.com/designing-buildings/.
Faces and elevations. On line [18.1.2017] )
http://donsteward.blogspot.sk/2013/08/faces-and-elevations.html.
Four Ways to Make a Step Pyramid. On line [18.1.2017]
http://www.brighthubeducation.com/science-fair-projects/76976-make-a-step-
pyramid-for-a-school-project/.
Plans and elevations. On line [20.2.2017]
https://www.youtube.com/watch?v=ekNqiLB8pL8.
Plans and elevations from whiteboard maths. On line [13.2.2017]
https://www.slideshare.net/mrhoad/plans-and-elevations-from-whiteboard-maths-
12640300.
Spatial reasoning. On line [20.2.2017]
http://www.11plusforparents.co.uk/NVR/spatial1a.html.
Stacking Cubes. On line [cit. 18.1.2017] http://poj.org/problem?id=1642.
The castle. On line [13.2.2017] https://nzmaths.co.nz/resource/castle.
Transformations building plans. On line [13.2.2017]
http://slideplayer.com/slide/8628717/.
Views and Elevations. On line [20.2.2017]
https://www.youtube.com/watch?v=BnwoipoGWJ8.
3D Figures Worksheet. On line [20.2.2017] http://worksheets.tutorvista.com/3d-figures-
worksheet.html.
PaedDr. Dominika Štefková, PhD.
PU v Prešove, PF, Katedra matematickej edukácie
Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov, Slovensko
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
140
Niektoré miskoncepcie pri riešení slovnej úlohy so zlomkami
Some misconceptions in solution of the word problem with fractions
Valéria Švecová
MESC: D50, D70
Abstract
Pupils come together with the solution of word problems gradually at the
elementary level of primary education. They learn to self manage every phase of the
solution of word problems. In the contribution we deal with the analysis of student’s
solutions to the word problem with fractions. Fractions belong to one of the most
problematic of the thematic units in teaching mathematics. Many studies show that
pupils and students have problems to understand the concept of a fraction. We are
focused therefore in the analysis of the student‘s solutions on fraction’s misconceptions.
Key words: word problems, analysis of the solution of the word problem,
misconceptions in solving word problem with fractions.
Abstrakt
S riešením slovných úloh sa žiaci stretávajú postupne už na prvom stupni
základnej školy. Žiaci sa učia samostatne zvládnuť každú fázu riešenia slovnej úlohy.
V príspevku sa zaoberáme analýzou študentských riešení jednej slovnej úlohy so
zlomkami. Zlomky patria k jednému z najproblematickejších tematických celkov vo
vyučovaní matematiky. Mnohé štúdie dokazujú, že žiaci a študenti majú problém
porozumieť pojmu zlomok. Preto sme sa pri analýze študentských riešení zamerali na
miskoncepcie zlomkov.
Kľúčové slová: slovné úlohy, analýza riešenia slovnej úlohy, miskoncepcie pri riešení
slovných úloh so zlomkami.
1. Úvod
Ako uvádzajú Mokriš a Scholtzová (2008) dôležitým elementom úspešnej
vzdelávacej činnosti učiteľa na primárnym stupni vzdelávania je jeho dobrá teoretická
príprava, ktorá v sebe zahŕňa aj oblasť elementárnej matematiky. S riešením slovných
úloh sa žiaci stretávajú postupne už na prvom stupni základnej školy. Žiaci sa učia
samostatne zvládnuť každú fázu riešenia slovnej úlohy.
Problematikou slovných úloh sa zaoberá množstvo matematikov a autorov, z čoho
vyplýva, že je tento pojem v literatúre definovaný rôznymi spôsobmi.
Bureš (2014) chápe matematický model slovnej úlohy ako popis vzájomných
vzťahov medzi údajmi v zadaní úlohy, ktoré je možné vyjadriť pomocou
matematických prostriedkov. Tieto vzťahy sa dotýkajú prevažne číselných údajov,
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
141
prípadne polohy geometrických údajov, a sú vyjadrené matematickými prostriedkami
(reláciami, operáciami).Pre jazykové porozumenie je dôležité, aby žiaci zvládli čítanie
s porozumením. Následne po tejto fáze je nutné úlohu previesť na matematickú úlohu
a teda danú situáciu zmatematizovať. Tento proces je možné previesť viacerými
spôsobmi a vybrať si rôzne metódy riešenia slovných úloh.
Odvarko (1990) proces riešenia slovných úloh (vo všeobecnosti
s nematematickým obsahom) rozdelil na matematizáciu situácie, riešenie matematickej
úlohy, návrat do kontextu zadania. Zdôrazňuje význam dvojitej skúšky – jednak
správnosti riešenia matematickej úlohy a jednak kontextovej správnosti (obrázok 1).
Vysvetlivky
SÚ – slovná úloha
MÚ – matematická úloha
VSÚ – výsledok slovnej
úlohy
VMÚ – výsledok
matematickej úlohy
Sk – skúška
Obrázok 1.
Slovnú úlohu môžeme riešiť pomocou kalkulu (t.j. súbor pravidiel pre zápisy
výrazov pomocou jednoduchých symbolov a pre úpravy týchto výrazov na tvary
výhodné pre získavanie výsledkov úloh), alebo bez kalkulu. Starší žiaci často siahajú po
riešení pomocou rovnice s jednou neznámou, resp. využitím sústavy dvoch rovníc
s dvoma neznámymi. Na prvom stupni ZŠ však ešte žiaci nemajú dostatočnú úroveň
vedomostí, aby využili tento matematický aparát. Mnoho úloh riešiteľných pomocou
rovníc je možné riešiť aj inými metódami ako sú pokus- omyl, grafické znázorňovanie
situácie a úsudok. Tieto metódy sú použiteľné aj u mladších žiakov. Pri grafickom
znázorňovaní a riešení úsudkom môžu žiaci hlbšie preniknúť do podstaty problému ako
pri použití naučeného algoritmu riešenia (Švecová, 2012).
2. Analýza žiackych riešení
112 študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika riešilo v rámci
testu nasledujúcu slovnú úlohu. V jednom podniku sú z 1050 zamestnancov 2
3 žien.
Z nich majú 4
5 odbornú kvalifikáciu.
Koľko žien pracuje v podniku?
Koľko žien nemá odbornú kvalifikáciu?
Koľko mužov pracuje v podniku?
Pri jej vyhodnotení sme sledovali úspešnosť, prípadne neúspešnosť troch krokov,
ktoré predstavovali odpovede na jednotlivé tri otázky:
Prvým krokom bolo určenie (vypočítanie) počtu žien (šlo o určenie 2
3 z 1050).
Túto prvú časť úlohy správne vyriešilo 52 študentov, čo predstavuje približne 46%.
Pri „hľadaní“ odpovede na druhú otázku bolo potrebné použiť dve operácie. A to
najprv určiť 4
5 z počtu žien, čím sa určilo, koľko žien má kvalifikáciu. A potom
SÚ MÚ
VSÚ VMÚ
1
2
Sk 1
3
Sk 2
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
142
výsledok odčítať od celkového počtu žien. Tento spôsob správne použilo 25 študentov,
t.j. cca 22%. Ďalší spôsob riešenia bolo určiť priamo 1
5 z počtu žien, čo je vlastne
odpoveď na druhú otázku. Tento druhý spôsob považujeme za náročnejší, vyžadujúci si
iný vhľad do úlohy. Týmto spôsobom úlohu správne vyriešilo 11 študentov, čo
predstavuje necelých 10%. Tento krok robil študentom najväčšie problémy.
Najčastejšou chybou bolo, že študenti iba vypočítali 4
5 z počtu žien a výsledok
považovali za odpoveď na otázku Koľko žien nemá odbornú kvalifikáciu?
Tretím krokom bolo určenie počtu mužov pracujúcich v podniku. Tí študenti,
ktorí správne odpovedali na prvú otázku, správne odpovedali aj na tretiu otázku. Všetci
túto úlohu riešili rozdielom celkového počtu pracujúcich a počtom pracujúcich žien.
Celkovo zadanú slovnú úlohu správne vyriešilo 34 študentov, čo predstavuje
zhruba 30%. Táto nízka úspešnosť zrejme súvisí s hlavnou prekážkou úspešného
riešenia slovných úloh, ktorou je ako uvádza Hejný (2003) neschopnosť žiaka
porozumieť úlohe, pochopiť situáciu opísanú úlohou a /alebo výzvu, ktorú úloha kladie.
Rôzna náročnosť jednotlivých krokov je potvrdená aj Scheffeho testom
viacnásobného porovnávania (tab. 1).
Tabuľka 1. Viacnásobné porovnávanie.
Krok 1 2
bez kvalifikácie 2. sp. ****
bez kvalifikácie 1. sp. ****
počet mužov ****
počet žien ****
Ako ilustruje tabuľka 1 na základe Scheffeho testu boli v rámci riešenia danej
slovnej úlohy medzi jednotlivými krokmi vytvorené dve homogénne skupiny. Prvú
homogénnu skupinu tvorí určenie počtu žien bez kvalifikácie, a to jedným aj druhým
spôsobom a druhú homogénnu skupinu tvorili kroky, na základe ktorých bol určovaný
počet žien a mužov. Test viacnásobného porovnávania potvrdil medzi týmito dvomi
skupinami štatisticky signifikantný rozdiel. Vyplýva to aj z faktu, že správne určiť počet
žien a počet mužov bolo možné aj bez toho, aby sme správne určili počet žien bez
kvalifikácie. Ale pokiaľ bol počet žien určený nesprávne, následne na to bol nesprávne
stanovený aj počet žien bez kvalifikácie.
Keďže daná slovná úloha robila študentom značné problémy, až 40 študentov (čo
predstavuje 35,71%) sa ju ani nepokúsilo riešiť. Presné počty sú zachytené v tabuľke 2.
Tabuľka 2. Počet študentov neúspešných pri riešení druhej slovnej úlohy.
Počet študentov Nesprávne riešenie
v %
Nezačali riešiť 40 51,28
Nesprávne riešenie 38 48,72
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
143
Mnohým študentom v tejto úlohe robila problém už len samotná matematizácia
slovnej úlohy (obrázok 2).
Obrázok 2.
V ďalšom uvedieme niektoré nesprávne predstavy študentov pri riešení danej
slovnej úlohy. Ako je vidieť z obrázku 3, študentka riešila slovnú úlohu pomocou
trojčlenky, jej riešenie však bolo nesprávne. Neuvedomila si však, že 100% predstavuje
jeden celok. Táto nesprávna predstava viedla k záveru, že z 350 žien pracujúcich
v podniku má 840 žien kvalifikáciu.
Obrázok 3.
S týmto výsledkom bola spokojná. Tento istý nedostatok má aj riešenie z ďalších
dvoch obrázkov, kedy študentka určila, že dve polovice , resp. šesť pätín z pracujúcich
žien nemá kvalifikáciu, .
Obrázok 4.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
144
Obrázok 5.
Uvedené chyby zrejme pramenia z nesprávneho chápania pojmu zlomok. Možno
predpokladať, že u niektorých študentov boli nesprávne vytvorené predstavy o pojme
celok a časť.
Veľa študentov jednotlivé počty nevyčíslilo, ale ich vyjadrilo v tvare zlomku.
Môžeme predpokladať, že tak urobili buď preto, lebo nepochopili zadanie úlohy, resp.
otázku alebo mali problém s matematizáciou úlohy.
Obrázok 6.
Obrázok 7.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
145
3. Záver
Možno povedať, že tak učitelia ako aj žiaci považujú riešenie slovných úloh
v matematike za náročné. Ako uvádza Novotná (2000) už len samotná skutočnosť, že
žiak má riešiť slovnú úlohu, je hlavnou príčinou jeho neúspechu. V našom prípade, sa
slovná úloha z pohľadu študentov javila ako náročná aj preto, že šlo o slovnú úlohu so
zlomkami. To môže prameniť aj zo špecifického významu a predstavy zlomkov
v porovnaní s prirodzenými číslami, s ktorými žiaci pracujú pred zavedením zlomkov.
Literatúra
BUREŠ, J. Žákovská tvorba slovních úloh jako indikátor matematické kultury žáků ZŠ.
Praha: Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta. 2014.
HEJNÝ, M. Anatómia slovnej úlohy o veku. In: Zborník príspevkov z konferencie
Matematika v škole dnes a zajtra. Ružomberok: Katolícka Univerzita, 2003,
s. 1-13. ISBN 80-8084-066-0.
MOKRIŠ, M., SCHOLTZOVÁ, I. Matematická gramotnosť študentov odboru
predškolská a elementárna pedagogika na začiatku ich profesijnej prípravy. In
Acta mathematica 11, 2008, s. 159-164. ISBN 978-80-8094-396-7.
NOVOTNÁ, J. Analýza řešení slovních úloh. Praha: Univerzita Karlova v Praze, 2000,
126s. ISBN 80-7290-011-0.
ODVARKO, O a kol. Metody řešení matematických úloh. Praha: SPN, 1990, 264s.
ŠVECOVÁ, V. Stratégie riešenia vybraných slovných úloh v príprave učiteľov pre
primárne vzdelávanie. In: Acta Mathematica 15 : zborník príspevkov z X.
nitrianskej matematickej konferencie. Nitra: UKF, 2012, s. 155-160. ISBN 978-
80-558-0135-3.
PaedDr. PhDr. Valéria Švecová, PhD.
Katedra matematiky, FPV
Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre,
Tr. A.Hlinku 1
949 74 Nitra
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
146
Stimulácia kontroly pozornosti prostredníctvom
matematických úloh u žiakov 4. ročníka základnej školy
Stimulation of attention control through mathematical tasks in pupils of 4th
year
of primary school
Blanka Tomková, Alena Prídavková, Edita Šimčíková
MESC: C32, Q32, U32
Abstract
The paper is a partical result of the APVV-15-0273 Experimental verification of
programs aimed to stimulation of executive functions of underperforming pupil (in the
last year of elementary education) - the cognitive stimulation potential of math and
Slovak language. One of the project´s objectives is to devise a program for stimulating
executive functioning of pupils through selected mathematical tasks. The first step is to
design appropriate tasks and later verify their suitability within intended testing on a
selected samples. Reasoning for the choice of mathematical areas and particular tasks
with their description are included in the article. The article presents a preliminary study
of the outlined problem.
Key words: Control of attention. Executive functions. Elementary Education.
Abstrakt
Príspevok je súčasťou riešenia grantového projektu APVV-15-0273
Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií
slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) – kognitívny
stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka. Jedným z cieľov je vytvoriť
program stimulácie exekutívneho fungovania žiaka prostredníctvom zvolených
matematických úloh. Prvým krokom je vytvoriť primerané úlohy a overiť ich vhodnosť
v rámci chystaného testovania na zvolenej vzorke. Zdôvodnenie výberu matematických
oblastí, jednotlivých úloh, ako aj ich popis je súčasťou článku. Príspevok predstavuje
prvotnú štúdiu predloženého problému.
Kľúčové slová: Kontrola pozornosti. Exekutívne funkcie. Primárna edukácia.
1. Úvod
Cieľom projektu Experimentálne overovanie programov na stimuláciu
exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej
dochádzky) – kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka je
navrhnúť a overiť stimulačný program vytvorený na kurikulárnom základe slovenského
jazyka ako aj matematiky. V rámci projektu sa uskutoční skúmanie a hodnotenie žiakov
4. ročníkov základných škôl, ktorých spoločnými znakmi sú neprospievanie
z matematiky (hodnotenie prospechu v rámci predmetu stupňom dobre, prípadne
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
147
dostatočne) a sociálne znevýhodnené prostredie. Našou úlohou bolo navrhnúť
a otestovať matematické úlohy pre tento stimulačný program.
Bolo zrejmé, že počas realizácie projektu nebude možné vytvoriť a otestovať
úlohy, ktoré by pokrývali celý obsah kurikula matematiky 4.ročníka základnej školy. Pri
výbere zamerania úloh sme sa preto orientovali na úlohy, ktoré umožnia odhaliť
myšlienkové postupy žiakov tým, že v rámci riešenia úloh vyžadujú pozornosť žiaka,
porozumenie zadaniu, uplatnenie krátkodobej pamäti, voľbu vhodnej stratégie. Do
návrhu batérie úloh neboli zaradené úlohy vyžadujúce len uplatnenie automatického
spoja niektorej binárnej operácie, prípadne úlohy vyžadujúce znalosť premeny jednotiek
dĺžky, času, či peňažnej meny. Východiskom pre výber úloh boli:
výsledky národných meraní (Testovanie 5),
výsledky medzinárodných meraní (TIMSS 2011, TIMSS 2015),
základné pedagogické dokumenty (ŠVP pre primárne vzdelávanie -
Matematika),
odborné výstupy venované problematike kognitívneho, metakognitívneho
a exekutívneho myslenia žiaka.
Vytvorené úlohy sme overovali v rámci pilotného testovania. Jeho výsledky sú
spracované v článku (Šimčíková, Prídavková, Tomková, 2017).
2. Charakteristika úloh
Analýzou výsledkov národných a medzinárodných meraní (Mullis et al. 2012,
Martin et al. 2016, Alföldyová a kol., 2016) boli pre potreby výskumu vyšpecifikované
nasledujúce oblasti matematiky - postupnosti, priestorová predstavivosť, výroková
logika, kombinatorika, číselné predstavy a číselné operácie, ktoré budú tvoriť jednotlivé
moduly stimulačného programu.
Súčasťou každého modulu budú úlohy zamerané na kontrolu pozornosti, pracovnú
pamäť, plánovanie, sebahodnotenie a sebareguláciu žiaka.
Prvá séria úloh bude zameraná na kontrolu pozornosti žiaka. Pozornosť možno
považovať za kľúčový determinant akejkoľvek (teda aj školskej) činnosti. Organizáciu
pozornosti je možné rozvíjať už od útleho veku prostredníctvom úloh vyžadujúcich
selektívnosť a strategickosť vo vnímaní a to aj protredníctvom verbalizovania týchto
stratégií (Kovalčíková a kol. 2015, s.22-26). Návrh úloh preto zohľadňuje nielen
matematickú stránku zadania, ale orientuje sa aj na metakognitívne funkcie žiaka,
v rámci ktorých sa snaží viesť žiaka k verbalizácii zadania pokynov úlohy, jednotlivých
krokov riešenia, ako aj zhodnotenia postupu a správnosti riešenia.
Schopní riešitelia matematických úloh zámerne premýšľajú o stratégii riešenia,
argumentácii, uplatnením svojich znalostí a zručností, teda využívajú metakognitívne
procesy keď zaznamenávajú, ako premýšľali a argumentovali, rozpoznávajú prekážku
v postupe, sú si vedomí, že niečomu celkom nerozumejú, rozhodnú sa zámerne
zavrhnúť a nahradiť neúspešnú stratégiu, znova premyslia svoj prístup a skúmajú
prepojenia so súvisiacimi konceptmi a znalosťami. Metakognitívne procesy sa u žiakov
aktivizujú, ak je im zadaná úloha, ktorá pre nich predstavuje istý druh výzvy (Frobisher,
Frobisher, 2015, s. 155-159).
V stimulačnom programe sú jednotlivé úlohy a inštrukcie k nim vytvárané tak,
aby sa v procese intervencie u žiakov rozvíjali aj metakognitívne schopnosti, t. j. aby
boli schopní prezentovať a verbalizovať myšlienkové procesy, ktoré prebiehajú pri
riešení úlohy. V slovenskom kontexte bola táto problematika riešená v oblasti skúmania
procesu tvorby textu, kde výsledky ukázali, že predstava pisateľov mladšieho školského
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
148
veku o prebiehajúcich mentálnych činnostiach pri písaní textu je všeobecná a málo
konkrétna (Klimovič, 2016, s. 149).
Kurikulárne zameranie prvého modulu vychádza z požiadaviek kladených na
absolventa primárneho stupňa edukácie (ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika,
2015). Od žiaka sa očakáva, že dokáže:
identifikovať a popísať pravidlo vytvorenej postupnosti; na základe
identifikovaného pravidla doplniť do postupnosti niekoľko čísel, znakov,
symbolov,
umiestniť (dokresliť) rovinné a priestorové geometrické útvary podľa pokynov;
určiť polohu geometrických útvarov v priestore,
rozhodnúť o pravdivosti (nepravdivosti) tvrdenia; sformulovať pravdivý alebo
nepravdivý výrok; vytvoriť negáciu jednoduchého výroku; zdôvodniť
pravdivosť (nepravdivosť) tvrdenia; vytvoriť zložené výroky a rozhodnúť o ich
pravdivosti (nepravdivosti); vyriešiť slovné úlohy na výrokovú logiku,
vytvoriť systém pri hľadaní a zapisovaní spôsobov usporiadania dvoch (troch)
predmetov, znakov, symbolov, rôznych čísel zložených z daných číslic (číslice
sa môžu aj opakovať); vytvoriť rôzne dvojciferné (trojciferné, štvorciferné)
čísla z množiny číslic (číslice sa môžu aj opakovať); nájsť všetky rôzne
spôsoby usporiadania dvoch (troch) predmetov, znakov, symbolov; určiť počet
možností usporiadania dvoch (troch) predmetov, znakov, symbolov; vyriešiť
slovné úlohy s kombinatorickou motiváciou;
sčítať, odčítať prirodzené čísla v obore do 10 000; vynásobiť a vydeliť
prirodzené čísla v obore do 100; vyriešiť jednoduché a zložené slovné úlohy na
sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.
V metodológii tvorby stimulačného programu vychádzame z troch základných fáz
mentálneho aktu, ktoré je možné registrovať pri riešení úlohy (Jensen 2009,
Kovalčíková et al., 2016, s. 143). Je to (1) vstupná fáza (input), v priebehu ktorej žiak
získava informácie a sú aktivizované kognitívne štruktúry dieťaťa; (2) elaboračná fáza
(elaboration), v rámci ktorej prebieha spracovanie zhromaždených informácií; (3)
výstupná fáza (output), ktorá je typická komunikáciou o spracovaných výsledkoch
myslenia.
3. Záver
V rámci realizácie projektu bola navrhnutá séria úloh zameraná na stimuláciu
kontroly pozornosti pre dva stanovené moduly – modul postupnosti a priestorovej
predstavivosti. Úlohy mali odstupňovanú kognitívnu náročnosť. Adekvátnosť úloh, ale
vhodnosť a primeranosť inštrukcií boli overované v rámci pilotného výskumu počas
párovej stimulácie priamo v teréne.
Jeho výsledky umožnia modifikáciu navrhovaných úloh, ako aj vytvorenie
návrhov úloh zameraných na stimuláciu kontroly pozornosti pre ďalšie moduly.
Súčasťou pozorovania bolo nielen hodnotenie kognitívnej, ale aj metakognitívnej
stránky žiaka počas riešenia úloh.
Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV-15-0273
Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií
slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) – kognitívny
stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka a projektu podporeného
International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study
of School Psychology and the International School Psychology Association.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
149
Literatúra
ALFÖLDYOVÁ, I. a kol. Testovanie 5-2015 (priebeh, výsledky, analýzy). Bratislava,
NÚCEM. 2016. On line [13.1.2017]
http://www.nucem.sk/sk/filemanager/download/6255/2/testovanie-5-2015-
priebeh-vysledky-a-analyzy.
FROBISHER, L., FROBISHER, A. Didaktika matematiky I. Porozumieť. Riešiť.
Počítať. Bratislava: Raabe. 2015. ISBN 978-80-8140-180-0.
JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell,
Georgia, USA: International Centre for Mediated Learning, 2009.
KLIMOVIČ, M. Detský pisateľ v procese tvorby textu. Prešov: Vydavateľstvo PU.
2016. ISBN 978-80-555-1696-7 JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning,
Culture and Cognition. Roswell, Georgia, USA: International Centre for Mediated
Learning, 2009.
KOVALČÍKOVÁ, I. et al. Diagnostika a stimulácia kognitívnych a exekutívnych
funkcií žiaka v mladšom školskom veku. 2015. Vydavateľstvo PU v Prešove,
Prešov. ISBN 978-80-555-1540-3.
MULLIS, I.V.S., MARTIN, M. O., FOY, P., a A. ARORA. Timss 2011 International
Results in Mathematics. Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study
Center, ISBN 978-90-79549-17-7. On line [15.1. 2017].
http://www.timssandpirls.bc.edu/timss2011/international-results-
mathematics.html.
MARTIN, M. O., MULLIS, I. V. S., and HOOPER, M. (eds.). Methods and Procedures
in TIMSS 2015. Retrieved from Boston College, TIMSS & PIRLS International
Study Center. On line [13.1.2017]
http://timssandpirls.bc.edu/publications/timss/2015-methods.html.
ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika, 2015. On line [12.1. 2017].
http://www.statpedu.sk/sites/default/files/dokumenty/inovovany-statny-
vzdelavaci-program/matematika_pv_2014.pdf .
ŠIMČÍKOVÁ, E., PRÍDAVKOVÁ, A. a B. TOMKOVÁ. Stimulácia kontroly
pozornosti - výsledky pilotného výskumu. V tomto zborníku.
TZURIEL, D. The Cognitive Modifiability Battery (CMB): Assessment & Intervention.
Instruction Manual. School of Education, Bar-Ilan University: Ramat-Gan, Israel.
1995.
Mgr. Blanka Tomková, PhD.
Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME
Ul.17. novembra 15, Prešov 080 01
E-mail: [email protected]
doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD.
Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME
Ul.17. novembra 15, Prešov 080 01
E-mail: [email protected]
PaedDr. Edita Šimčíková, PhD.
Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME
Ul.17. novembra 15, Prešov 080 01
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
150
Rozvíjanie číselných predstáv vo fínskych didaktických
prostriedkoch pre primárny stupeň vzdelávania
Developing the concept of number in Finland’s methodological materials for primary
education
Anna Vašutová
MESC: D12
Abstract
Developing the concept of number is one of the priorities in primary mathematics.
The formation of the concept starts as early as in pre-primary education where the
emphasis is placed mainly on hands-on activities of children. On the first stage of
primary education, the mental ability of a pupil to grasp and apprehend the concept of
numbers is gradually developing. Means or methods by which it is possible to
systematically and comprehensively affect the cognitive structure of a pupil differ
depending on developmental characteristics of the child. These methods differ also in
conformity with the educational culture of each country. The paper presents one of the
educational conceptions used in Finland aimed at developing the concept of number.
Key words: Concept of Number. Mathematical Education. Primary Education.
Abstrakt
Rozvíjanie číselných predstáv je jednou z priorít primárneho matematického
vzdelávania. Ich tvorba sa začína už v predprimárnom vzdelávaní, kde je dôraz kladený
najmä na manipulačný charakter činností detí. Na 1. stupni základnej školy sa postupne
menia, skvalitňujú mentálne schopnosti žiakov vnímať a chápať pojem čísla. Spôsoby
alebo metódy, pomocou ktorých je možné systematicky a komplexne pôsobiť na
kognitívne štruktúry žiakov sa v závislosti a v súčinnosti s vývinovými zmenami
rovnako menia. Tieto spôsoby sú diferentné aj v závislosti od vzdelávacej kultúry
každej krajiny. Príspevok prezentuje jednu zo vzdelávacích koncepcií zameraných na
tvorenie číselných predstáv využívaných vo Fínsku.
Kľúčové slová: Číselné predstavy. Matematické vzdelávanie. Primárne vzdelávanie.
1. Úvod
Koncepcia vytvárania predstáv o číslach je rôzne štruktúrovaná aj v slovenskom
vzdelávacom kontexte. V príspevku sa zameriavame na 1. ročník základných škôl.
Aktuálne je na trhu pre uvedený ročník dostupných približne šesť typov pracovných
zošitov z matematiky. Tri pochádzajú z vydavateľstva Aitec jeden z Orbis Pictus
Istropolitana, jeden z vydavateľstva Taktik a jeden z vydavateľstva Fraus (Hejného
metóda). Najodlišnejšiu koncepciu v súvislosti s oblasťou numerácie ponúka pracovný
zošit z vydavateľstva Taktik a samozrejme vydavateľstva Fraus. Spoločnou črtou
ostatných pracovných zošitov (PZ) je, že v I. časti PZ sú zavedené čísla v obore do 10
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
151
a v II. časti do 20. Vo všetkých štyroch typoch sa chronologicky postupuje približne
rovnako (kultúrna podmienenosť):
samostatné zavedenie prirodzených čísel v obore od 1 do 6 ako počtu prvkov
v skupine;
zavedenie relačných znakov pre porovnávanie a porovnávanie podľa počtu;
písanie číslic postupne od 1 do 6, potom nasleduje 0 a čísla 7 až 10;
po čísle dva sa zavádza operácia sčítania, po čísle 4 operácia odčítania;
v II. časti PZ sú zavedené čísla 11 až 20 najčastejšie spoločne (niekde sa ešte
zvlášť venuje pozornosť postupne jednotlivých číslam).
Rozklad čísla nie je zaradený jednotne, rovnako ako usporadúvanie čísel
a orientácia v číselnom rade (radové číslovky) či práca s číselnou osou. Ďalšou
zaujímavosťou sú aj v odlišnosti grafického či symbolického vyjadrenia čísel a najmä
operácií s nimi (obrázkové slovné úlohy).
2. Fínska koncepcia
Vo fínskych pracovných zošitoch z matematiky Tuhattaituri z vydavateľstva
Otava v Helsinkách je možné sledovať inú chronologickú postupnosť pri konštruovaní
predstáv o číslach. Spoločným znakom je, že žiaci vo veku 8 rokov (vo Fínsku 1. ročník
a na Slovensku 2. ročník základnej školy) počítajú rovnako v obore do 100. Vytváranie
predstáv o prirodzených číslach a rozširovanie číselného oboru prebieha v 1. ročníku vo
Fínsku v uvedenom poradí.
Tabuľka 1. Postup pri zavádzaní prirodzených čísel v 1. ročníku vo Fínsku.
Už od prvej strany pracujú žiaci s číslami v číselnom obore do 10, pričom je ich
úlohou určiť počet predmetov v súbore a zakrúžkovať číslo v číselnom rade, ktoré tento
počet vyjadruje. Vytvárať súbory s daným počtom dokresľovaním objektov podľa
zadaní v podobe číselných znakov. Ďalej pokračujú v práci s číselnou osou, ktorá veľmi
prirodzene nadväzuje na už známy číselný rad. Úlohy žiakov sú rovnaké ako pri práci
v číselnom rade. Propedeutika sčítania je zaradená v úvode a to pomocou číselnej osi,
pričom žiaci sčítajú hneď troch sčítancov. Až potom sa prechádza na písanie
jednotlivých číselných znakov v poradí, aké uvádza tabuľka 1. Pri vytváraní predstavy
o prirodzenom čísle je číslo prezentované prostredníctvom rôznych a v obore do 10
dôsledne sa opakujúcich reprezentantov. Prirodzené číslo najprv vystupuje ako počet
predmetov v skupine, k čomu slúži ilustračný obrázok. Číslo ako prvok Peanovej
množiny prezentuje grafický model v podobe usporiadaného číselného radu (číselný
pás), čím sa postupne buduje vizuálna predstava o usporiadanom číselnom rade
a pozícii čísla v ňom. Tento model pretrváva pri zavádzaní čísel v obore do 20, okrem
toho je od počiatku úlohou žiakov vyznačovať číslo (ako počet predmetov v skupine) na
číselnej osi. Predstava o prirodzenom čísle ako kardinálnom čísle sa vytvára využitím
štruktúrovaného modelu prstov na rukách. Kvantitatívny význam čísla je doplnený
o model analógových hodín, kde číslo vystupuje v spojitosti s meranou veličinou času.
Uvedené modely sú využité pri číslach v obore do 10. Číslo 0 sa zavádza spoločne
s číslom 1 ako počet prvkov v množine, v prípade nuly takej, ktorá nemá žiadne prvky,
k čomu ako východisko slúži ilustračný obrázok. Po čísle 2 pribúdajú úlohy na rozklad
1 a 0
súčasne
2 – 12
samostatne
13 – 15
súčasne
16 – 18
súčasne
19 – 20
súčasne
21 – 100
súčasne
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
152
čísla, ktoré svojím grafickým znázornením umožňujú integráciu aj iných matematických
tém (na propedeutickej úrovni) (obr. 1).
Obrázok 1. Rozklad čísla.
Využitie uvedeného modelu prináša pedagógovi možnosť riešiť ju so žiakmi,
okrem iného, ako úlohu kombinatorického charakteru s pravdepodobnostným nábojom.
Po zavedení čísla 3 nasleduje podkapitola zameraná na porovnávanie priraďovaním, na
ňu nadväzuje zavedenie porovnávania pomocou relačných znakov. Samostatná
podkapitola sa venuje situácii, keď je v skupinách rovnaký počet prvkov. Ďalej
nasleduje sprístupnenie operácie sčítanie so zavedením znakov (+,=). Po čísle 4 žiaci
riešia rovnice na sčítanie, ktoré vznikli modifikáciou úlohy zameranej na rozklad čísla.
Po čísle 5 je zaradená podkapitola zameraná na sčítanie pomocou číselnej osi, kde
sa nevyužíva číslo už iba ako kvantita, ale aj ako identifikátor (adresa). V samostatnej
podkapitole je sprístupnené odčítanie rovnakým metodickým postupom ako sčítanie,
teda aj pomocou číselnej osi. V nasledujúcej podkapitole je zavedený znak pre menu
(€) a žiaci operujú s eurami. Po zavedení čísel 6 a 7 je zaradený nový typ úlohy na
porovnávanie s vyššou mierou náročnosti. Žiaci majú doplniť dané tri čísla tak, aby
použili každé iba raz a aby bol matematický zápis správny (obr. 2).
Obrázok 2. Porovnávanie čísel.
Počnúc zavedením čísla 11 sa mení aj grafické znázorňovanie čísel, pričom každé
je modelované len pomocou číselného radu rozdeleného na dve samostatné desiatky.
Predstava kvantity je zabezpečená ilustračným obrázkom a prelína sa s umiestnením
daného počtu predmetov (čísla) na číselnej osi.
Po čísle 12 je zaradená podkapitola zameraná na zavedenie pojmu diagram.
Prezentovaný je konkrétne histogram, do ktorého majú žiaci na základe ilustračného
obrázka podľa vzoru zaznamenávať počty daných predmetov. Obmenou je čítanie a
zapisovanie údajov z grafu. Vzniká tu priestor pre nové grafické vyjadrenie čísla ako
kvantity, ktoré zároveň umožňuje žiakom vidieť „väčšie“ číslo podľa výšky stĺpca, čo
využijú pri porovnávaní či usporadúvaní číselných údajov.
Druhá časť pracovného zošita nadväzuje na prvú a po krátkom opakovaní
(v číselnom obore do 12) sú zavedené čísla 13 až 15, potom 16 až 18 a nakoniec 19
a 20. Nasledujúca podkapitola je zameraná na orientáciu v čase a číslo tu vystupuje ako
vyjadrenie veličiny času. Pomerne rozsiahla časť je po čísle 20 venovaná upevňovaniu
vedomostí a neskôr sa zameriava na počítanie s prechodom cez základ 10. Nasledujúca
podkapitola je zameraná na oblasť geometrie a merania a číslo sa viaže opäť k ďalšej
veličine a to miere úsečky. Po nej nasleduje sprístupnenie čísel v obore do 100 po
desiatkach. Čo je vyjadrené pomocou sčítania desiatich desiatok a zároveň graficky
prezentované využitím číselnej osi a stĺpcového diagramu.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
153
Ďalej nasleduje zavedenie tzv. stovkovej tabuľky, ktorá je využívaná jednak pre
vznik predstavy o čísle 100, ale aj ako pomôcka pre lepšiu orientáciu v číselnom rade,
pre jednoduchšie porovnávanie, či usporadúvanie čísel. Neskôr sa využíva aj pri
matematických operáciách. Ide o úsporný a praktický vizualizačný model, ktorý má
viacúčelové využitie. Žiaci spočiatku dopĺňajú chýbajúce čísla v tabuľke v tvare
štvorca, neskôr majú k dispozícii iba nepravidelný útvar (obr. 3).
Obrázok 3. Časť „stovkovej tabuľky“.
3. Záver
Pre fínske didaktické prostriedky je typické pravidelné opakovanie sa grafického
spracovania jednotlivých tém, nadväznosť v zmysle prirodzeného prepájania známeho
a neznámeho cez ich podobnosť a vizuálna podpora, ktorou chápeme dôsledné
zabezpečenie konkrétnych modelov, ktoré umožňujú riešiť úlohy aj menej zdatným
žiakom.
Vybrané úlohy môžu slúžiť ako inšpirácia pre pedagogickú prax, a zároveň na
obohatenie výučby v rámci pregraduálnej prípravy študentov elementaristov. Tvorbe
výučbových zdrojov sa vo svojich práca venujú aj Prídavková, Šimčíková a Tomková
(2016).
Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA č. 021PU-4/2015
Tvorba učebných zdrojov pre matematické pregraduálne vzdelávanie elementaristov
v cudzom jazyku.
Literatúra
HAAPANIEMI, S. et al. Tuhattaituri 1a, Opettajan opas. Helsinki: Otava. 2006. 343 s.
ISBN 978-951-1-21433-5.
HAAPANIEMI, S. et al. Tuhattaituri 1b, Opettajan opas. Helsinki: Otava. 2007. 344 s.
ISBN 978-951-1-214380-0.
PRÍDAVKOVÁ, A., E.ŠIMČÍKOVÁ . Edukácia matematiky v slovenskom a cudzom
jazyku aplikáciou hudobných komunikačných prostriedkov. In: EME - primární
matematické vzdělávání v souvislostech. 21. ročník vědecké konference s
mezinárodní účastí. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2016.
s. 190-94. ISBN 978-80-905281-3-0.
ŠIMČÍKOVÁ, E., B. TOMKOVÁ. Obsah matematického vzdelávania v oblasti práca s
informáciami na Slovensku a vo vybraných krajinách. In: Edukacja na rozdrožu
[elektronický zdroj]: czesc 1: nauczyciel - uczeń - edukacja. Opole: Wydawnictwo
Instytut Slaski, 2016. ISBN 978-83-62683-76-5. CD-ROM, s. [465-476].
Mgr. Anna Vašutová, PhD.
Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta,
Katedra matematickej edukácie
Ul. 17. novembra č. 15, 080 01 Prešov
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
154
GeoGebra a JavaScript
GeoGebra and JavaScript
Patrik Voštinár
MESC: U70
Abstract
The article deals with creating applets in mathematics software GeoGebra.
GeoGebra contains a large number of tools that can be used in teaching. In case that
users need some tool, that GeoGebra doesn't have, they can create this tool themselves.
The article described the possibility of using JavaScript programming language in
mathematics software GeoGebra.
Key words: GeoGebra, JavaScript, programming .
Abstrakt
Článok sa zaoberá vytváraním appletov v matematickom programe GeoGebra.
Program GeoGebra obsahuje veľké množstvo nástrojov, ktoré sa môžu použiť pri
výučbe. V prípade, že používatelia potrebujú nástoj, ktorý GeoGebra neobsahuje, tak si
ho môžu doprogramovať sami. V článku je opísaná možnosť použitia programovacieho
jazyka JavaScript v matematickom programe GeoGebra.
Kľúčové slová: GeoGebra, JavaScript, programovanie.
1. Úvod
V súčasnej dobe je predmet matematika medzi žiakmi na základných a stredných
školách menej populárny ako iné predmety. Spôsob výučby matematiky sa za
posledných pár desiatok rokov veľmi nezmenil. Učitelia zvyčajne uvedú žiakov do
problému, ukážu vzorce, vyriešia úvodné príklady a následne žiaci počítajú príklady,
kým neprejdú na ďalšiu tému. Žiaci si často ani neuvedomujú, kedy to bude pre nich
užitočné. Jedným z najvýraznejších trendov v posledných rokoch je zavádzanie
informačno-komunikačných technológií do procesu vyučovania. Skúsenosti dokazujú,
že využívanie týchto prostriedkov môže prispieť k zvýšeniu kvality vyučovania.
Existuje viacero spôsobov, ako efektívne integrovať digitálne materiály do
vzdelávacieho procesu. Viaceré univerzity napríklad používajú LMS systémy a
e-learningové kurzy. Hlavnou výhodou takýchto kurzov je možnosť študovať
kedykoľvek a kdekoľvek.
Alternatívou je použitie kombinovaného vzdelávania (tzv. blended learning).
Malatinská, Pokorný a Hlíc (2013) charakterizujú kombinované vzdelávanie, ako
kombináciu klasického (prezenčného, face-to-face) a e-learningového vzdelávania, tak
aby využili ich výhody.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
155
Hanzel (2013) zdôrazňuje, že elektronické študijné materiály by nemali byť
napísané klasickým spôsobom (definícia, veta, dôkaz), ale je nutné použiť dynamiku
a interaktivitu.
Pokorný (2013) vo svojom výskume, ktorý realizoval na vzorke 172 študentov
v rokoch 2010-2013 dokázal, že študenti, ktorí riešili matematické problémy s použitím
interaktívnych prvkov boli úspešnejší, ako študenti, ktorí pri riešení nepoužívali
interaktívne prvky.
Jednou z možností, aby e-learningové kurzy obsahovali interaktívne prvky je
vloženie appletov do kurzov. Napríklad pri vyučovaní geometrie je možné používať
softvérové produkty patriace do skupiny tzv. dynamických geometrických systémov.
U nás sú najčastejšie používané programy Cabri Geometria a GeoGebra (Bayerl,
Žilková, 2015).
2. Dynamický geometrický softvér GeoGebra
GeoGebra je matematický softvér, ktorý je voľne šíriteľný, multiplatformový,
kompatibilný so systémom Moodle. Kompatibilný so systémom Moodle znamená, že
applety sú funkčné priamo na stránke e-lekcie. Proces vloženia do e-lekcie je pomerne
jednoduchý – mal by ho zvládnuť bez problémov aj bežný používateľ.
Tento softvér obsahuje veľké množstvo nástrojov, ktoré sa dajú využiť pri
vyučovaní. V prípade, že používateľovi chýba nejaký nástroj, tak si ho môže
doprogramovať sám.
GeoGebra podporuje dva typy programovacích jazykov – GGBScript
a JavaScript.
JavaScript je plnohodnotný programovací jazyk, ktorý sa používa najmä pri
tvorbe webových stránok. Tento programovací jazyk je dosť rozšírený, na rozdiel od
GGBScript - špecifického jazyka vytvoreného výlučne pre programovanie v GeoGebre.
Naprogramovať funkčnosť môžeme, keď sa:
klikne na nejaký objekt,
aktualizuje časť objektu (zmení sa jeho hodnota),
načíta súbor.
Na naprogramovanie funkčnosti je potrebné otvoriť v GeoGebre okno Vlastnosti
objektu a následne kliknúť na záložku Scripting. Táto záložka je zobrazená na
obrázku 1.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
156
Obrázok 1. Okno s JavaScript metódami.
Na prácu s objektami GeoGebry môžeme používať metódy objektu ggbApplet:
ggbApplet.nazovMetody(parameter1, parameter2, ..., parameterN)
Všetky metódy, ktoré sa dajú použiť pri programovaní sa nachádzajú na stránke
GeoGebry1.
2. Ukážka applet Viditeľnosť objektov
Tento applet obsahuje tri tlačidlá, obrázok, posuvník, bod a text (pozri obrázok 2).
V jednom okamihu môže byť stlačené iba jedno tlačidlo (text má červenú farbu).
V prípade, že je stlačené „tlačidlo1“:
objekt text sa zobrazí a nastaví sa mu text „Hodnota posuvníka bola
vynulovaná“,
hodnota posuvníka sa nastaví na 0,
zobrazí sa bod s jeho popisom „popis tlačidla 1“,
ak bol obrázok viditeľný, tak ho nastav na neviditeľný a naopak.
V prípade stlačenia „tlačidlo2“:
objekt text sa zobrazí a nastaví sa mu text „Hodnota posuvníka je (aktuálna
hodnota posuvníka)“ ,
hodnota posuvníka sa zväčší o 2,
zobrazí sa bod s jeho popisom „popis tlačidla 2“,
ak bol obrázok viditeľný, tak ho nastav na neviditeľný a naopak.
V prípade stlačenia „tlačidlo3“:
viditeľnosť objektu text sa zmení na neviditeľný,
1 https://wiki.geogebra.org/en/Reference:JavaScript
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
157
viditeľnosť objektu posuvník sa zmení na neviditeľný,
viditeľnosť objektu bod sa zmení na neviditeľný,
ak bol obrázok viditeľný, tak ho nastav na neviditeľný a naopak.
Obrázok 2. Applet Viditeľnosť objekt - stlačené tlačidlo „tlačidlo1“.
Tento príklad slúži ako ukážka naprogramovania vlastnej funkčnosti pomocou
jazyka JavaScript. Applet Viditeľnosť objektov aj so všetkými príkazmi je možné
stiahnuť na stránke GeoGebry2.
Na obrázku 1 je zobrazené skriptovacie okno so všetkými príkazmi, ktoré sa majú
vykonať, v prípade stlačenia tlačidla tlačidlo1.
3. Záver
Vzdelávanie je zložitý proces, ktorého kvalita a efektívnosť závisí nielen od
obsahu vzdelávania, ale aj od foriem a metód, ktoré sa v tomto procese použijú. Jednou
z možných foriem je začlenenie IKT do procesu vzdelávania. Program GeoGebra je na
základných a stredných školách na Slovensku pomerne rozšírený. Tento program má
samozrejme svoje výhody a aj nevýhody. Jednou z najväčších nevýhod je obmedzené
množstvo nástrojov, ktoré sa môžu použiť. Tento problém sa dá v GeoGebre vyriešiť
napríklad naprogramovaním si vlastnej funkčnosti, ako sme to ukázali v tomto
príspevku.
Príspevok bol spracovaný ako súčasť projektu KEGA č. 003TTU-4/2015
„Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4
ročníkoch osemročných gymnázií“.
2 https://ggbm.at/KYc6FCPx
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
158
Literatúra
HANZEL, P. Dynamika a interaktívnosť e-študijných materiálov, In Matematika
v primárnej škole, Rôzne cesty, Rovnaké ciele, pp. 78-81, 2013.
ISBN 978–80–555–0765–1.
MALATINSKÁ, S., POKORNÝ, M., HÍC, P. Efficiency of Blended Learning in
Teaching Mathematics at Primary School. Information, Communication and
Education Application, Advances in Education Research, Volume 85, 2015,
s. 6-11. ISBN 9781–61275–118–4, ISSN 2160–1070.
POKORNÝ, M. Interactive Elements Can Increase the Efficiency of e-learning Course.
In Information, Communication and Education Application, Advances in
Education Research, Volume 30, 2013, s. 173-178. ISSN 2160–1070,
ISBN 978–1–61275–056–9.
BAYERL, E., ŽILKOVÁ, K. Dizajn interaktívnej elektronickej zbierky úloh
z matematiky. In 9. didaktická konference s medzinárodní účastí. Brno :
Masarykova univerzita, 2015, s 7-12. ISBN 978–80–210–8143–7.
BAYERL, E., ŽILKOVÁ, Interactive Textbooks in Mathematics Education – What
Does It Mean for Students?. In 15th Conference on Applied Mathematics Aplimat
2016. Bratislava : Nakladateľstvo STU, 2016. s.56-65.
ISBN 978–80–227–4531–4.
Mgr. Patrik Voštinár
Univerzita Mateja Bela, Fakulta prírodných vied
Tajovského 40, 974 01, Banská Bystrica
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
159
Studentský pohled na praktickou složku učitelské přípravy
v matematice 1. stupně
Practical Aspects of Preparation in Mathematics Teaching for First Level of Primary
Schools Evaluated by Undergraduate Students
Renáta Zemanová, Darina Jirotková
MESC: D40
Abstract
In this paper, the first part of the research focused on identifying incentives
contributing to the development of teachers´ beliefs of primary school students related
to the mathematics teaching attitude is presented. Using method of questionnaire
research, data are collected. Those related to their experience, attitudes and needs are
processed in different periods of their professional development. The goal of the
research is to compile and elaborate foundation for the conception of effective changes
in professional development of the undergraduate primary school teacher training at
faculties of education at University of Ostrava and at Charles University.
Key words: Faculty teacher, math teacher, professional practice, supervising teacher,
teacher preparation.
Abstrakt
Článek seznamuje s první částí výzkumu zaměřeného na hledání incentiv
přispívajících k posunům v pedagogickém přesvědčení studentů učitelství 1. st. ZŠ,
které se týkají přístupu k vyučování matematice na 1. stupni ZŠ. Metodou
dotazníkového šetření jsou získávána výzkumných data. Z nich jsou nyní zpracovávány
údaje o zkušenostech, názorech, postojích a potřebách budoucích studentů v různých
fázích profesní praxe. Cílem výzkumu je získat a zpracovat podklady pro koncipování
efektivní změny v pojetí profesní pregraduální přípravy budoucích učitelů 1. stupně ZŠ
pedagogických fakult Ostravské i Karlovy Univerzity.
Klíčová slova: Fakultní učitel, učitel matematiky, profesní praxe, vedoucí učitel,
příprava učitele.
1. Úvod
Pojetí praktické přípravy budoucích učitelů se v rámci jednotlivých učitelských
fakult liší. Na Pedagogické fakultě Ostravské univerzity (PdF OU) dlouhodobě fungoval
model, kdy všechny profesní praxe oboru Učitelství pro 1. stupeň garantovala Katedra
preprimární a primární pedagogiky. S novou akreditací přešla garance průběžné praxe
na oborové katedry, přičemž žádný jednotný koncept neexistuje. Katedra matematiky
s didaktikou (KMD) aktuálně připravuje rozsáhlou proměnu koncepce průběžné praxe
z matematiky, a to jak z hlediska rozsahu, tak obsahu. Cílem změn je zvýšení
provázanosti teoretické a praktické přípravy s důrazem na její praktickou složku.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
160
Pro úspěch této práce je nutné znát názory a potřeby studentů, jichž se praxe týká.
KMD PdF OU se inspirovala projektem Katedry matematiky a didaktiky matematiky
(KMaD) Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy (PdF UK). V jeho rámci zde
dlouhodoběji zpracovávají 1) reflexe učitelů, v jejichž třídách praxe probíhá, 2)
studentů, kteří se na praxi připravují a 3) studentů, kteří již praxi absolvovali. Cílem je
identifikace incentiv, tedy podnětů, popudů, pohnutek či motivací přispívajících
k posunům jak učitelova, tak studentova přístupu k vyučování matematice. Nástrojem
získání tohoto souboru jsou dotazníky pro studenty a rozhovory s učiteli. Dotazníky
KMD PdF OU jsou v mnoha položkách shodné s dotazníky KMaD PdF UK, což
umožní závěrečnou komparaci výsledků. Tato umožní odlišit jevy závislé na
konkrétním vysokoškolském prostředí od jevů společných.
Naše práce se opírá o několik teoretických zdrojů. Především je to studie nástrojů
pro identifikaci vyučovacího stylu, analyzující dvacet parametrů týkajících se
učitelského přesvědčení (Jirotková, 2012) a publikace o změnách vyučovacího stylu
(Hejný, 2012). Principy konstruktivismu nejblíže k aspektu našeho výzkumu
představuje publikace (Davis, Maher, Noddings, 1990). Výzkum navazuje na předchozí
práce autorů a dalších členů KMaD PdF UK a KMD PdF OU, týkající se pregraduální
přípravy učitelů v souvislosti se změnou role ve vyučování orientovaném na budování
schémat (Hejný, Zemanová, 2013), (Jirotková, Krpec, 2013), (Zemanová, 2013).
Další část zde prezentovaného výzkumu je připravována ve zprávě (Krpec,
Jirotková, 2017).
2. Dotazníkové šetření na PdF OU
Šetření probíhalo od prosince 2016 do ledna 2017, zúčastnilo se ho 36 studentů.
Z toho 11 studentů 4. ročníku a 25 studentů 3. ročníku. Studenti 4. ročníku absolvovali
jeden semestr náslechů a dva semestry výstupů, všechny matematické předměty studia
s výjimkou didaktiky aritmetiky. Studenti 3. ročníku do té doby neabsolvovali
v matematice žádné náslechy a výstupy, ani didaktické předměty.
Dotazník obsahoval otázky:
a. Jaké máte zkušenosti z průběžné praxe z matematiky?
b. V 5. ročníku (resp. 4. ročníku) vás čeká souvislá (resp. průběžná) praxe
z matematiky.
Co od této praxe očekáváte? Co byste chtěl/a z praxe získat? Kde očekáváte,
že budete potřebovat pomoci?
Čeho se před touto praxí obáváte?
Na co se před touto praxí těšíte?
c. Jak si během souvislé praxe představujete svou spolupráci s třídním učitelem?
Co od něj očekáváte?
d. Jak si během souvislé praxe představujete svou spolupráci s fakultním učitelem
– didaktikem? Co od něj očekáváte?
e. Posuďte vaše silné a slabé stránky pro vyučování matematice na 1. stupni ZŠ.
Uvádíme příklad odpovědi:
ad a) Myslím, že to bylo pro studenty/studentky, kteří učili matematiku metodou
prof. Hejného nesnadné v tom, že praxe byla ve studijním programu dříve, než si prošli
nezbytnou didaktikou, která je intenzivněji zařazena až ve 4. ročníku. Nicméně je
výborné, že jsme měli možnost podívat se do škol, kde je tato metoda zavedena a na
vlastní oči jsme viděli, že pro děti učící se tímto způsobem je matematika mnohem
zábavnější a nestresující, jak bývá v klasické metodě, kdy se učitelé zaměřují spíš na
výsledek než na samotný proces vedoucí k výsledku.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
161
ad b) Očekávání: Očekávám více zkušeností pro budoucí praxi, z praxe bych si
chtěla hlavně dobrý pocit z toho, že jsem dětem ukázala, že jde, aby matematika byla
také zábavná. Myslím si, že budu potřebovat pomoct hlavně v oblasti, jak dětem
jednotlivá didaktická prostředí vysvětlit, abych náhodou neprozradila něco, co mají
objevit oni. Obavy: Pravděpodobně vyučující od konkrétní třídy, že by se jí nová
metoda nemusela zamlouvat, když je zvyklá na běžnou. Těšení: Na děti, protože praxe
je velmi málo…
ad c) Kritiku, abych věděla, na čem více zapracovat.
ad d) Tipy na webové stránky, které mi při praxi mohou pomoci, případné nápady,
jak si mohu pomůcky vyrobit sama, když konkrétní škola nemá.
ad e) Moje slabá stránka je nejistota, protože jsem v matematice nikdy nevynikala,
nicméně metoda prof. Hejného je zábavná a umožňuje zažít úspěch všem, takže si
myslím, že má silná stránka bude spočívat ve vytváření různých úkolů a pomůcek třeba
i spolu s dětmi na jednotlivá prostředí.
3. Analýza výsledků
V odpovědích, které studenti uvedli v dotaznících, jsme identifikovali společné
jevy a na základě tohoto kritéria jsme vytvořili třídy jevů.
a. Zkušenosti: dále jsme členili na „příběhy s dětmi“, „poučení“, „povzbuzují
zkušenosti“, „zkušenosti budící pochybnost“.
b. Osobní profesní rozvoj (OSR): dále jsme třídili na „moje pochybnosti“, „můj
strach“, „moje slabé stránky“, „moje silné stránky“.
c. Vlastní praxe – podle toho, koho se jev týká: dále jsme třídili na „obecně“,
„fakultní učitel“, „ZŠ učitel“.
d. Vlastní praxe – podle toho, čeho se jev týká: dále jsme třídili na „nezvládá“,
„nabídne“, „zvládá“.
Každou odpověď studenta je pak možné rozdělit na jednotlivé úseky (odpovídající
sledovanému jevu) a tyto zařadit do příslušné třídy. Výsledná matice má záhlaví, jak
uvádíme v tabulce 1. Do jednotlivých polí matice pak umisťujeme úseky odpovědí
studentů. Cílem je sledování výskytu jevu a četnost jeho zastoupení v odpovědích
studentů.
Tabulka. 1.
student zkušenosti OSR praxe
nezvládá nabídne zvládá
obecn
ě
ZŠ
učitel
fakultn
í
učitel
obecn
ě
ZŠ
učitel
fakultn
í
učitel
obecn
ě
ZŠ
učitel
fakultn
í
učitel
01
02
atd.
Konkrétní ilustrace na vybraném jevu uvádí R. Krpec (Krpec, 2017). Zde
aktuálně náš výzkum končí. V další fázi zamýšlíme získaná data analyzovat
elektronicky v procesu, který umožní ke každému identifikovanému jevu přiřadit
všechny korespondující odpovědi. Můžeme tak pro každý jev přesně určit jeho četnost.
Výhodou takto připraveného souboru je relativně snadná možnost porovnávání různých
skupin respondentů, např. v různých fázích profesní praxe nebo v jednotlivých
studijních skupinách. Dokážeme tak identifikovat jevy společné a jevy výjimečné jen
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
162
některým skupinám respondentů. Toto umožní formulaci incentiv v závislostech na
vnějších podmínkách a jejich porovnání.
4. Závěr
Výsledky šetření zamýšlíme následně porovnat s výsledky šetření probíhajícího
na KMaD PdF UK. Dokážeme tak identifikovat jak jevy oběma fakultám společné, tak
specifické a zamýšlet se nad vlivem prostředí, např. portfolia matematických předmětů,
výukovým stylem vysokoškolských učitelů, škol, kde studenti vykonávají praxi nebo
vedoucích učitelů praxe. Získaná zjištění pak implementovat do připravovaných
organizačních změn pregraduální přípravy učitele matematiky na 1. stupni ZŠ.
Literatura
DAVIS, R.B., MAHER, A.C, NODDINGS. N. (eds.): Journal for Research in
Mathematics Education. Monograph No. 4. Constructivist Views on the Teaching
and Learning of Mathematics. NCTM, 1990.
HEJNÝ, M. Pedagogické schopnosti učitele v matematice – příběh. In KOHNOVÁ,
Jana et al. Profesní rozvoj učitelů a cíle školního vzdělávání. Praha: UK v Praze,
PedF, 2012, s. 245-252.
HEJNÝ, M., ZEMANOVÁ, R. Vyučování orientované na budování schémat v praxi. In
Blanka Tomková, Marek Mokriš (Eds.) Matematika v primárnej škole – rôzne
cesty, rovnaké ciele. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou
účasťou. Prešov: Prešovská univerzita v Prešově, Pedagogická fakulta, 2013,
s. 82-86.
JIROTKOVÁ, D. Tool for diagnosing the teacher's educational style in mathematics :
development, description and illustration. Orbis Scholae, No. 2, vol. 6, 2012,
pp. 69-83.
JIROTKOVÁ, D., KRPEC. R. Vyučování orientované na budování schémat v přípravě
učitelů. In Blanka Tomková, Marek Mokriš (Eds.) Matematika v primárnej škole
– rôzne cesty, rovnaké ciele. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie
s medzinárodnou účasťou. Prešov: Prešovská univerzita v Prešově, Pedagogická
fakulta, 2013, s. 101-106.
KRPEC, R. JIROTKOVÁ, D. Očekávání studentů od praktické složky v přípravě
budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. V přípravě.
ZEMANOVÁ, R. Vyučování metodou budování schémat – ostravská zkušenost v
učitelské přípravě a praxi. In: Dva dny s didaktikou matematiky 2013. Praha:
Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, 2013, s. 110-113.
RNDr. Renáta Zemanová, Ph.D.
Katedra matematiky s didaktikou
Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita
Mlýnská 5, 701 03 Ostrava 1
E-mail: [email protected]
Doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D.
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova
M. D. Rettigové 4, 116 39 Praha 1
E-mail: [email protected]
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
163
Analýza predstáv štvrtákov o kruhoch
The analysis of 4th graders' conceptions of circles
Katarína Žilková
MESC: G23, D73
Abstract
In the project VEGA 1/0440/15 “Geometric conceptions and misconceptions of
children in preschool and school age” we are concerned with the perception of planar
geometric shapes by children and we investigate which attributes of shapes are preferred
in their identification. The article contains results of investigation related to the
perception of circles of children in fourth grade of the primary school.
Key words: a circle, a model, a non-model, van Hiele theory, children in fourth grade
of the primary school.
Abstrakt
V rámci riešenia projektu projektu VEGA 1/0440/15 „Geometrické koncepcie a
miskoncepcie detí predškolského a školského veku” sa zaoberáme otázkami, ako
vnímajú deti/žiaci rovinné geometrické útvary a zisťujeme, ktoré atribúty útvarov
preferujú pri ich identifikácii. Príspevok obsahuje výsledky zistení týkajúcich sa
vnímania kruhov žiakmi 4. ročníka základnej školy.
Kľúčové slová: kruh, model, ne-model, van Hiele, žiak 4. ročníka.
1. Úvod
Optimalizácia matematického vzdelávania je založená na dôkladnej analýze
súčasného stavu v danej problematike. Ak sa v ostatnom období hovorí
o minimalizovanej geometrickej príprave žiakov školského veku, tak je vhodné najskôr
zistiť aktuálny stav schopností žiakov a pokúsiť sa reflektovať tento stav pri príprave
dokumentov pre matematické vzdelávanie. V rámci riešenia projektu projektu VEGA
1/0440/15 sa zaoberáme otázkami, aké predstavy majú deti predškolského a školského
veku o rovinných geometrických útvaroch a zisťujeme ich prekoncepty a koncepty.
Cieľom je aj identifikovať najčastejšie miskoncepcie a zistiť mieru ich ustálenosti, aby
sa mohli navrhnúť účelné a efektívne didaktické edukačné postupy v geometrickom
vzdelávaní. Príspevok obsahuje výsledky zistení týkajúcich sa predstáv žiakov
4. ročníka základnej školy o kruhu.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
164
2. Výskumná vzorka a nástroj
Výskumný súbor tvorilo 345 žiakov 4. ročníka základných škôl, prevažne
z oblastí situovaných na severe a severovýchode Slovenska. Subjekty výskumu boli
vyberané na základe dostupnosti a súbor pozostával aj z bežnej populácie, aj z populácie
detí zo sociálne znevýhodneného prostredia. Krajové zastúpenie subjektov výskumu je
uvedené v tabuľke 1.
Tabuľka 1. Krajové zastúpenie výskumného súboru.
kraj počet
žiakov
Bansko-Bystrický 11
Prešovský 80
Košický 57
Žilinský 190
Trenčiansky 7
spolu 345
Výskumným nástrojom bol neštandardizovaný test vytvorený jednak na základe
obsahu ŠvP pre matematiku primárneho vzdelávania, ale aj na základe teoretických
východísk van Hiele poznávacieho procesu v geometrii. Napriek tomu, že test nie je
štandardizovaný, po analýze získaných údajov sa ukázalo, že vykazuje známky
kvalitného testu s diagnostickým potenciálom. Hlavné zameranie testu bolo cielené na
zisťovanie predstáv a chybných predstáv štvrtákov o rovinných geometrických
útvaroch. Rozlišovali sme schopnosť žiakov pomenovať útvar, identifikovať ho (rozlíšiť
ho medzi inými geometrickými útvarmi), poznať jeho elementárne vlastnosti a vytvoriť
jeho model. V príspevku predkladáme výber zistení týkajúcich sa problémov spojených
s identifikáciou kruhu na základe grafickej reprezentácie.
3. Analýza dát
V rámci analýzy získaných údajov sme si kládli niekoľko cieľov. Jedným z nich
bolo zistiť náročnosť správnej identifikácie kruhov a porovnať ju s náročnosťou
identifikácie iných geometrických útvarov (trojuholník, štvorec a obdĺžnik). Ďalším
cieľom bolo zistiť úspešnosť a náročnosť rozlišovania medzi modelmi a ne-modelmi
kruhov, resp. vytvoriť rozdelenie grafických reprezentácií modelov a ne-modelov podľa
obtiažnosti pre žiaka 4. ročníka základnej školy.
Prostriedkami štatistickej analýzy (nielen na základe úspešnosti žiakov) sa
potvrdil náš predpoklad, že žiaci 4. ročníka ZŠ identifikujú kruhy v porovnaní
s trojuholníkom, štvorcom a obdĺžnikom najľahšie, a teda hodnotíme ich z hľadiska
rozlišovania ako geometrické objekty najmenej náročné pre žiakov. V tomto
konštatovaní iste zohráva úlohu aj skutočnosť, že kým pri iných geometrických
útvaroch je pri identifikácii významná aj poloha útvaru, pri kruhu je tento atribút
eliminovaný. V ďalšej analýze sa budeme venovať výsledkom vyhodnotenia toho, ako
žiaci identifikujú grafické reprezentácie rôznych útvarov ako modely a ne-modely
kruhov. Základom skúmania bola predloha (obrázok 1), na ktorej boli tri modely kruhov
rôznej veľkosti a ostatné útvary, ktoré mohli holisticky pripomínať žiakom kruh. Každý
žiak mal vyznačiť, ktoré útvary na obrázku nie sú kruhy, teda mal identifikovať tzv. ne-
modely kruhov. Túto časť testu budeme v ďalšom texte označovať ako subtest.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
165
Odpovede žiakov na každú z položiek sme kódovali binárne (0 – nesprávna odpoveď,
1 – správna odpoveď), čo umožnilo získať výsledky pre každý z útvarov A až P zvlášť.
Obrázok 1. Predloha na identifikáciu modelov a ne-modelov kruhov.
4. Výsledky: modely a ne-modely kruhov
Úspešnosť žiakov v kontexte správnej identifikácie je uvedená v tabuľke 2.
Posledné písmeno zakódovanej položky označuje príslušný útvar (pozri obrázok 1).
Teda napríklad Ci5A označuje prvý útvar na predlohe označený písmenom A.
Reliabilita subtestu odhadnutá Cronbachovou alfou je 0,82, a teda vnútorná
konzistencia položiek v rámci uvedenej predlohy je veľmi dobrá. Na základe úspešnosti
v identifikácii útvaru môžeme konštatovať, že najľahšie a najspoľahlivejšie bol
identifikovaný „kruh strednej veľkosti“, na predlohe označený ako útvar C.
Najproblematickejším útvarom z hľadiska identifikácie ako modelu alebo ne-modelu
kruhu bol útvar J, pri ktorom žiaci dosiahli mimoriadne nízku úspešnosť.
Tabuľka 2. Úspešnosť v identifikácii útvaru.
položka úspešnosť položka úspešnosť
Ci5A 0,96 Ci5J 0,45
Ci5B 0,95
Ci5K 0,97
Ci5C 0,98
Ci5L 0,97
Ci5D 0,96
Ci5M 0,79
Ci5E 0,82
Ci5N 0,94
Ci5F 0,80
Ci5O 0,96
Ci5G 0,80
Ci5P 0,92
Ci5H 0,84
Zamerajme sa teraz podrobnejšie a osobitne na kategóriu modelov a kategóriu ne-
modelov kruhov. Cieľom bolo zistiť, ktoré útvary spôsobujú žiakom väčšie problémy
v identifikácii, teda ktoré vlastnosti útvarov preferujú pri rozlišovaní.
Výsledky pre modely kruhov
Reliabilita položiek, ktoré tvorili modely kruhov, odhadnutá Cronbachovou alfou
je 0,73, čo je prijateľná hodnota. Celkovú reliabilitu tejto časti testu znižuje iba položka
Ci5N, po ktorej odstránení by alfa dosiahla hodnotu 0,82.
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
166
Percentuálna úspešnosť presiahla v každej z položiek hodnotu 94%. Veľmi
vysoké sú i hodnoty parametra diskriminácie pre každú položku a všetky parametre
náročnosti dosahujú pomerne vysoké, navzájom iba málo sa líšiace, negatívne hodnoty,
čo poukazuje na nízku náročnosť položiek. Teda identifikácia rovinných útvarov, ktoré
sú modelmi kruhov, na základe grafickej reprezentácie, nie je pre žiakov náročná úloha
a spoľahlivo dokážu rozlíšiť tieto útvary od útvarov, ktoré nie sú kruhmi.
Tabuľka 3. Percento úspešnosti riešenia v každej položke, faktorová záťaž,
diskriminačný parameter položky, náročnosť položky.
Útvar %
Faktorová
záťaž
Diskriminácia Náročnosť
𝒂𝒊 SE 𝒃𝒊 SE
Ci5C 97,7 0,95 4,83 1,69 -2,02 0,29
Ci5L
97,4 1,00 22,48 380,16 -1,97 1,36
Ci5N
94,2 0,85 2,85 1,11 -1,78 0,33
CochranovQ test preukázal, že trojica útvarov, ktoré sú kruhmi (C, N, L) neboli
pre žiakov na identifikáciu rovnako náročné (Q(2) = 14,00, p = 0,001), pričom
spomedzi tejto trojice bol najnáročnejší útvar N.
Tabuľka 4. Rozdelenie položiek subtestu „Kruhy“ do dvoch zhlukov.
Zhluky Útvary Graficky
1 Ci5L, Ci5C
2 Ci5N
Teda, i keď pri modeloch kruhov odpadá významný aspekt polohy rovinného
útvaru v rovine, výsledky naznačujú, že aj „veľkosť kruhu“ môže byť pre žiakov
významný atribút pri jeho identifikácii. Aj výsledky skúmaní v nižších vekových
kategóriách ukazujú, že sa deti často vyjadrujú na margo menšieho modelu kruhu
a označujú ho nie ako kruh, ale napr. ako krúžok. Alebo ho označujú ako kruh, ale
s „výhradou“ (resp. akýmsi diskriminačným atribútom), napr. „je to kruh, ale je taký
maličký“. Je teda pravdepodobné, že takto vytvorená predstava detí už v nižšom veku je
stabilná, zrejme aj ťažšie modifikovateľná, a následne zotrváva aj do pomerne vyššieho
veku dieťaťa.
Výsledky pre ne-modely kruhov
Reliabilita časti testu obsahujúca ne-modely kruhov odhadnutá Cronbachovou
alfou je 0,80, čo je veľmi dobrá úroveň.
Spomedzi všetkých položiek dosiahli žiaci najnižšiu úspešnosť v položke Ci5J
(45,2%). Taktiež najnižšiu hodnotu dosahuje diskriminačný parameter tejto položky
(0,73), čo je stredne silná diskriminácia. Znamená to, že táto položka nerozlišuje tak
dobre medzi osobami s rôznymi schopnosťami. Z uvedeného dôvodu by bolo dobré túto
položku z testu vynechať. Všetky ostatné položky dosahujú vysokú hodnotu
diskriminačného parametra (≥ 0,80).
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
167
Korelácia latentných premenných dosahuje hodnotu 0,47. Polovica položiek silno
koreluje práve s jedným z faktorov a s druhým má veľmi nízku koreláciu. Druhá
polovica položiek (Ci5A, Ci5B, Ci5D, Ci5K, Ci5O, Ci5P) koreluje s oboma faktormi.
Vzhľadom na záporné hodnoty faktorových záťaží, zodpovedajú vyššie hodnoty
parametrov náročností (MDIFF1, MDIFF2) menej náročným položkám. Vzhľadom na
prvú latentnú premennú sú najnáročnejšími položkami Ci5F a Ci5G a najmenej
náročnými položkami sú Ci5D, Ci5K, Ci5P, Ci5O.
Tabuľka 5. Percento úspešnosti riešenia v každej položke, faktorová záťaž,
diskriminačný parameter položky, náročnosť položky.
Útvar %
Faktorové
záťaže Diskmininácia Náročnosť
F1 F2 𝒂𝒊 MDIFF1 MDIFF2
Ci5A
96,2 -0,39 -0,66 2,26 0,92 0,39
Ci5B
95,4 -0,37 -0,68 2,25 0,91 0,42
Ci5D
95,7 -0,54 -0,22 0,89 1,00 0,00
Ci5E
81,7 -1,00 0,11 28,61 0,93 -0,38
Ci5F
80,0 0,09 -1,00 32,04 0,64 0,77
Ci5G
79,7 0,09 -1,00 9,95 0,65 0,76
Ci5H
84,1 -0,06 -0,74 1,23 0,75 0,66
Ci5J
45,2 -0,09 -0,54 0,73 0,79 0,61
Ci5K
97,1 -0,58 -0,39 1,54 0,99 0,13
Ci5M
79,4 -1,00 0,04 5,30 0,95 -0,33
Ci5O
95,9 -0,60 -0,25 1,11 1,00 0,00
Ci5P 91,6 -0,62 -0,25 1,22 1,00 0,00
Na základe hodnôt parametrov náročnosti z 2D 2PL modelu sme zhlukovou
analýzou zistili, že optimálnym riešením je rozdeliť položky do piatich zhlukov
(obrázok 2).
Obrázok 2. Položky v priestore náročností.
Ci5ACi5B
Ci5D
Ci5E
Ci5F Ci5G
Ci5HCi5J
Ci5K
Ci5M
Ci5OCi5P
0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05
MDIFF1
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
MD
IFF
2
Ci5ACi5B
Ci5D
Ci5E
Ci5F Ci5G
Ci5HCi5J
Ci5K
Ci5M
Ci5OCi5P
Zhluk 1
Zhluk 2
Zhluk 3
Zhluk 4
Zhluk 5
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
168
Objekty v prvom zhluku sú najnáročnejšie a objekty vo štvrtom zhluku možno
považovať za najmenej náročné. Piaty zhluk (Ci5M, Ci5E – dvojica útvarov
ohraničených elipsami), resp. jeho poloha, je z hľadiska náročnosti pomerne atypická
(pozri obrázok 2). Pre prehľadnosť a názornosť ilustrujeme rozdelenie aj
prostredníctvom grafickej reprezentácie ne-modelov kruhov (tabuľka 6).
Tabuľka 6. Rozdelenie položiek subtestu „Kruhy“ do piatich zhlukov.
Zhluky Útvary Grafická reprezentácia
1 Ci5F, Ci5G
2 Ci5H, Ci5J
3 Ci5B, Ci5A
4 Ci5K, Ci5O, Ci5D, Ci5P
5 Ci5M, Ci5E
Môžeme konštatovať, že pomocou zhlukovej analýzy sa roztriedili ne-modely
kruhov na triedy veľmi príbuzných objektov. Do prvého zhluku patria dva pravidelné
mnohouholníky, ktoré vizuálne pripomínajú kruhy a patrili z hľadiska identifikácie
k najnáročnejším položkám aj z pohľadu schopností žiakov. Pre štvrtáka sú v druhom
zhluku pomerne atypické a málo frekventované rovinné útvary. Tretí zhluk je
reprezentovaný útvarmi, ktoré majú sčasti kruhový tvar, ale kruhmi nie sú. Do štvrtého,
najpočetnejšieho zhluku patrí štvorica útvarov, ktoré sú typovo tiež veľmi príbuzné,
majú príliš „hranaté tvary“ (K, O, D, P). A nakoniec, v piatej skupine sú útvary
ohraničené elipsami.
5. Záver
Empirické dáta preukázali, že rozdelenie útvarov do skupín veľmi presne
zodpovedá holistickému vnímaniu týchto útvarov, čo zodpovedá van Hiele teórii
o poznávacom procese v geometrii (van de Walle, John, 2001). K podobnému záveru
sme dospeli aj v prípade nemodelov štvorcov, obdĺžnikov a trojuholníkov. Celá skupina
útvarov na predlohe (obrázok 1) sa, na základe získaných údajov v rámci vyššie
špecifikovaného výskumného súboru, rozložila na disjunktné triedy, v ktorých sa
nachádzajú veľmi „podobné“ rovinné útvary so spoločným atribútom. Pri identifikácii
kruhu je síce eliminovaný atribút polohy útvaru, ale ukázalo sa, že aj veľkosť kruhu nie
je pre žiakov 4. ročníka základnej školy zanedbateľný atribút. Pri spracovaní údajov
a ich analýze sme reflektovali schopnosti žiakov v kontexte náročnosti položiek.
Dôsledkom tohto analytického prístupu je zistenie skutočností, ktoré môžu mať vplyv
Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017
169
na skvalitnenie výskumného nástroja. Položky (resp. grafické reprezentácie rovinných
útvarov), ktoré vykazovali „slabšie” štatistiky môžu byť vynechané a nahradené
položkami umožňujúcimi získanie nových informácií s cieľom vytvoriť kvalitný
diagnostický nástroj na zisťovanie miskoncepcií žiakov 4. ročníka o rovinných
geometrických útvaroch.
Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu projektu VEGA 1/0440/15
„Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku”.
Literatúra
VAN DE WALLE, JOHN A. (2001). Geometric Thinking and Geometric Concepts. In
Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 4th ed.
Boston: Allyn and Bacon. On line
http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/pdfs/session9/vand.pdf.
doc. PaedDr. Katarína Žilková, PhD.
Katedra predškolskej a elementárnej pedagogiky
Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita v Ružomberku
Hrabovská cesta 1
Ružomberok
E-mail: [email protected]
Názov Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax
Druh publikácie Zborník
Vydavateľ Belianum. Vydavateľstvo Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici
Tlač EQUILIBRIA, s.r.o. Košice
Rok vydania 2017
Náklad 70 ks
Počet strán 170
Vydanie 1.
ISBN 978-80-557-1236-9