Referat Variabile aleatoare uniforme.Variabile aleatoare geometriceCapitolul 1. Variabile aleatoare27

1.1. Variabile aleatoare discrete27

1.2. Vector aleator bidimensional32

1.3. Caracteristici numerice asociate variabilelor aleatoare36

1.4. Funcia caracteristic. Funcia generatoare de momente51

1.5. Probleme rezolvate53

1.6. Probleme propuse66

Capitolul 2. Legi clasice de probabilitate (repartiii) ale variabilelor

aleatoare discrete69

2.1. Legea discret uniform69

2.2. Legea binomial. Legea Bernoulli71

2.3. Legea binomial cu exponent negativ. Legea geometric79

2.4. Legea hipergeometric83

2.5. Legea Poisson (legea evenimentelor rare)86

Capitolul 2

Variabile aleatoare

Variabila aleatoare este una din noiunile fundamentale ale teoriei probabilitilor i a statisticii matematice. n cadrul unei cercetri experimentale se constat c ntre valorile numerice msurate exist diferene chiar dac rmn neschimbate condiiile de desfurare ale experimentului.

Dac ne referim la o singur msurtoare, variabila aleatoare este acea mrime care n cadrul unui experiment poate lua o valoare necunoscut aprioric. Pentru un ir de msurtori, variabila aleatoare este o noiune care-l caracterizeaz din dou puncte de vedere:

caracterizare din punct de vedere cantitativ variabila ne d informaii privind valoarea numeric a mrimii msurate;

caracterizare din punct de vedere calitativ variabila aleatoare ne d informaii privind frecvena de apariie a unei valori numerice ntr-un ir.

Dac valorile numerice ale unui ir de date aparin mulimii numerelor ntregi sau raionale atunci se definete o variabil aleatoare discret, iar n cazul aparteneei valorilor la mulimea numerelor reale se definete o variabil aleatoare continu.

2.1. Variabile aleatoare discrete

n ciuda faptului c dup repetarea unui experiment de un numr mare de ori intervine o anumit regularitate n privina apariiei unor rezultate ale acestuia, nu se poate preciza niciodat cu certitudine care anume dintre rezultate va apare ntr-o anumit prob. Din acest motiv cuvntul sau conceptul aleator trebuie neles sau gndit n sensul c avem de-a face cu experimente sau fenomene care sunt guvernate de legi statistice (atunci cnd exist un anumit grad de incertitudine privind apariia unui rezultat sau reapariia lui) i nu de legi deterministe (cnd tim cu certitudine ce rezultat va apare sau nu). Pentru ca astfel de experimente sau fenomene s fie cunoscute i prin urmare studiate, sunt importante i necesare dou lucruri i anume:

1. rezultatele posibile ale experimentului, care pot constitui o mulime finit, infinit sau numrabil sau infinit i nenumrabil;

2. legea statistic sau probabilitile cu care este posibil apariia rezultatelor experimentului considerat.

n linii mari i ntr-un neles mai larg, o mrime care ia valori la ntmplare sau aleatoriu dintr-o mulime oarecare posibil se numete variabil aleatoare (sau ntmpltoare). Se poate da i o definiie riguroas.

Definiia 2.1.1. Fie cmpul de probabilitate {, K, P}. Numim variabil aleatoare de tip discret o aplicaie X : R care verific condiiile:

i) are o mulime cel mult numrabil de valori;

ii) x R (X x) K

Observaia 2.1.2.

1) Dac K = P() atunci ii) este automat ndeplinit;

2) O variabil aleatoare de tip discret este deci o funcie univoc de

forma

X : {x1, x2, xn, }R;

3) Se obinuiete ca valorile variabilei s se noteze n ordine cresctoare adic x1 x2 x3 ... x n ...., xi R, i = 1, 2,

4) Evenimentele Ai = X-1(xi) = { / X() = xi } K, oricare ar fi i

1, 2, 3, ,

X-1 : {x1, x2, xn, } K este inversa funciei X.

Definiia 2.1.3. Numim distribuia sau repartiia variabilei aleatoare X de tip

xi

discret, tabloul de forma X :unde xi,i I, sunt valorile posibile ale

pi i I

variabilei aleatoare X iar pi este probabilitatea cu care variabila considerat X ia valoarea xi , adic pi = P(X = xi ), i I mulimea I putnd fi finit sau cel mult numrabil.

Observaia 2.1.4.

1) Evenimentele (X = xi ), i I formeaz un sistem complet de evenimente i pi 1.

i I

2) Variabila aleatoare pentru care mulimea valorilor este un interval finit sau infinit pe axa numerelor reale este variabil aleatoare continu.

3) Forma cea mai general a unei variabile aleatoare aparinnd unei clase de variabile aleatoare de tip discret se numete lege de probabilitate discret.

Definiia 2.1.5.Spunemcvariabilele aleatoare X i Y care au respectiv

xiy j

distribuiileXi Ysunt independente dac

pi i Iq j j J

P(X = xi , Y = yj) = P(X = xi ) P(Y = yj),(i, j)IxJ.Definiia 2.1.6. Fie variabilele aleatoare X, Y care au respectiv distribuiile atunci variabila aleatoare sum X+Y, produs X Y i ct

X

(dacy j0, jJ )

Y

xi y j X Y pij (i, j) IxJ , respectiv(i,j)IxJ.

voraveadistribuiileX Yxy,

ipj

ij

(i, j) IxJ

xi

X

y junde pij= P(X=xi,Y =yj)

Y

pij (i, j) IxJ

Definiia 2.1.7. Se numete

a) produs al variabilei aleatoare X prin constanta real a, variabila

aleatoare notat prinax

aX :i

pi

i I

b)sum a variabilei aleatoare X cu constanta real a, variabila

a xi aleatoare notat prin a X :

pii I

c) putere a variabilei aleatoare X de exponent k, k Z , variabila

kcu condiia ca operaiilexk , i I , s aib

aleatoare X k : xi

i

pi i I

sens.

Observaia 2.1.8. Au loc relaiile pijpi , i Iipijq j , j J.

j Ji I

Dac variabilele X,Y sunt independente atunci pijpiqj , (i, j)IJ

Definiia 2.1.9. Fie { , K, P} un cmp de probabilitate, iar X : R o variabil aleatoare. Numim funcie de repartiie ataat variabilei aleatoare X funcia F : R [0, 1], definit prin F(x) = P X x , x R, adic

F(x)=pi , xR .

xix

Dac nu exist pericol de confuzie, funcia de repartiie a variabilei aleatoare X se noteaz prin F.

Propoziia 2.1.10. (proprieti ale funciei de repartiie)

1.a, bR, ab avem

P(aXb)F(b)P XbF(a)P Xa

P(aXb)F(b)F(a)P(Xb)

P(aXb)F(b)F(a)

P(aXb)F(b)F(a)P Xa

Demonstraie

Avem succesiv

P(aXb)P(Xb, Xa)P (Xb)(Xa)

P(Xb)P(Xa)F (b)P XbF (a)P Xa

dac s-a inut seama de relaia (X a) (X b) i s-a folosit probabilitatea diferenei.

P(aXb)P (aXb)( Xa)P(aXb)P(Xa)

F (b) P X b F (a) P X a P( X a) F (b) P X b F (a) dac s-a folosit relaia demonstrat anterior.

2. F este nedescresctoare pe R,

adic x1 , x2R,x1 x2F (x1 ) F(x2 )

Demonstraie

0 P(x X x2 ) F(x2 ) F(x1 ) F(x1 ) F(x2 )

1

3. lim F(x) 0,lim F(x) 1

xx

Demonstraie

lim F(x) lim P(X x) P( ) 0

xx

lim F(x) lim P(X x) P(E) 1

xx

4. x R, F(x a) F(x) (F este continu la stnga n fiecare punct

x R )

2.2. Vector aleator bidimensional

Definiia 2.2.1. Fie cmpul de probabilitate {, K, P}. Spunem c U=(X,Y) este vector aleator bidimensional de tip discret dac aplicaia U : R 2 verific condiiile:

i) are o mulime cel mult numrabil de valori;

ii) (x, y) R 2 , (X x, Y y) K .

Definiia 2.2.2. Numim distribuia sau repartiia vectorului aleator (X,Y) de tip discret tabloul:

Yy1yj

X

p11p1j

x1

xipi1pij

......

32

unde ( xi , y j ) sunt valorile pe care le ia vectorul aleator

(X,Y),iar

pijP(Xxi ,Yy j ).

Evidentpij = 1.

i, jI J

Definiia 2.2.3. Numim funcie de repartiie ataat vectorului aleator bidimensional funcia F: R 2 0,1 , definit prin:

F(x,y) = P(Xx, Yy),(x, y)R 2 .

Propoziia 2.2.4.(proprietile funciei de repartiie a unui vector aleator bidimensional de tip discret)

1. dac a 5 .Deci :x 1;0,1,1 x 2;34,2 x 3;9F (x)7,3 x 4;98,4 x 5;91,x 5.c) AvemP(X