Problemas de Derivadas

Analysis

Derivadas. Problemas

OpenUepc.com 1.1.4.6.1 Ver 01:03/02/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6.1 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.6 .1 DIFERENCIACION

COPYLEFT

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

22/01/2010

http://www.opencontent.org/openpub/).

mailto:[email protected]

TABLA DE DERIVADAS

Función Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidad

y=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

+

| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 1

COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS

Presento a continuación una colección de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas, es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al cálculo de derivadas. 1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x

'( ) cos ' ' cos' 1 ( sin ) 1 sinf x x x x x x x

2.- Calcular la derivada de la función 4( ) sin ln en x=2

f x x x x

3 3 4'4 3 1 1 2 4'( ) sin ln 4 cos ; ' 4 cos

2 2 2 2 22

f x x x x x x fx

3.- Calcular la derivada de la función ( ) ln xf x x x Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definición de la función, pues sólo tendríamos problemas si apareciesen neperianos de números negativos

1'( ) ln ' 'ln ln ' 1 ln ln 1f x x x x x x x x x xx

4.- Calcular la derivada de la función 2( ) sin f x x x 2 2 2 2'( ) sin ' 'sin sin ' 2 sin cosf x x x x x x x x x x x

5.- Calcular la derivada de la función 3

sin 1( ) x xf xx

3 3' 3 4 3

3 6 6

3

' sin sin ' 0 sin 1 sin cos sinsin 1'( ) ...

sin cos sin 1...

x x x x x x x x x x x x x x xx xf xx x x

x x x x xx

6.- Calcular la derivada de la función tan cos( )ln

x x xf xx

'

2

2

2

' tan tan ' cos ' ln tan cos ln 'tan cos'( ) ...ln ln

1tan tan sin ln tan cos...

ln

x x x x x x x x x xx x xf xx x

x x x x x x x xx

x

7.- Calcular la derivada de la función 2( ) cosf x x '2 2 2'( ) cos sin 2 2 sinf x x x x x x

+


8.- Calcular la derivada de la función ( ) ln cosf x x

' 1'( ) ln cos sin tancos

f x x x xx

9.- Calcular la derivada de la función sin( ) x xf x e 'cos cos cos'( ) 3 3 ln 3 cos ' 3 ln 3 cos sinx x x x x xf x x x x x x

10.- Calcular la derivada de la función ( ) ln(ln )f x x ' 1 1 1'( ) ln(ln )

ln lnf x x

x x x x

11.- Calcular la derivada de la función 2 2( ) ( )f x sen x '2 2 2 2'( ) sin ( ) 2 sin cos 2f x x x x x

12.- Calcular la derivada de la función 3 22( ) lgf x x x

'3 2 2

2 223 22

1 1'( ) lg 3 lg 22 lg

f x x x x e xxx x

13.- Calcular la derivada de la función 2

31( ) xf x

x

' 2 12 1

3 33 3

2 2 2

1 2 1 ( 1) 2 1 1 2'( )3 3 3 1

x x x x x xf xx x x x x x x

14.- Calcular la derivada de la función ( ) arctan1

xf xx

2'

2 2

111'( ) arctan1 11

1

xx xxf xx xx

x

22 2

11 1x x x

2

12 1x x

15.- Calcular la derivada de la función ln( ) arcsec xf xx

'

'2

2 2

ln 1 lnln'( ) arcsec

ln ln ln ln1 1

x xx x xf x

x x x x xx x x x

16.- Calcular la derivada de la función ( ) xf x x Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelven tomando previamente logaritmos neperianos en la expresión a derivar, para posteriormente aplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma

+


1 1( ) ln ( ) ln ln ( ) ' ln ' '( ) 1ln '( ) ln 1( )

x xf x x f x x x f x x x f x x x f x x xf x x

17.- Calcular la derivada de la función n( ) l xf x x ln 2 ln1 2ln 2 ln( ) ln ( ) ln ln ln '( ) '( )

( )x xx xf x x f x x x x f x f x x

f x x x

18.- Calcular la derivada de la función tan( ) xf x x tan tan

2 21 1 1 ln tan( ) ln ( ) tan ln '( ) ln tan '( )( ) cos cos

x x x xf x x f x x x f x x x f x xf x x x x x

19.- Calcular la derivada de la función 1 1( ) ln2 1

xf xx

2

1 1 11 1 1'( )12 211

x xf x x x

x

1 x 21 x

x x

21 x 2

1 11 1 1x x x

20.- Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x

2 2 2

1 2 1'( ) 11 2 1 1

xf xx x x x x

2 1x x 2 2

11 1x x

Ejercicios Propuestos

Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x

Calcular la derivada de la función 1 1( ) ln2 1

xf xx

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 1 4

BOLETÍN DE TRABAJO nº 1

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 13523)( 345 xxxxxf 2. )4)(2()( 23 xxxf

3. 3

2

23)(

xxxf

4. )2)(2()( 3 xxxf

5. 11)(

xxxf

6. xxxf

lnlg

)( 2

7. senx

xxf cos)(

8. 3

3)(x

xfx

9. 3

1)(x

xf

10. x

xfln1)(

+




1. xxf )( 2. 2)( xxf

3. 3

2

)(xxxf

4. 23 32)( xxxf

5. 2

1)(

x

xf

6. xsenx

xfcos

1)(

7. xsenxxsenxxf

coscos)(

8. xxxf

ln1ln1)(

9. 2

2

11)(

xxxf

10. x

xxxf212)(

+




1. e

exfln

1)(

2. xxxexf x ln)( 3. xexf x ln)(

4. x

exfx

ln)(

5. x

exfx

ln11)(

6. ))(ln1()( xexxxf 7. exxf )( 8. xe exxf )(

9. x

x

eexf

11)(

10. x

x

exexxf

lnln)(

+




1. xxxf 3)( 3

2. x

xfx

3lg3)(

3. xx

xf x

x

3

3

lg3lg3

)(

4. tgxsenxxf )(

5. tgx

senxxf )(

6. xx

senxxxfcos

)(

7. xtgx

senxxxfcos

cos)(

8. xtgx

senxxxfcos

cos)(

9. xtgx

xxf

1cos)(

10. xx

senxxxfcos

)(

+




1. 33 3)( xxxf x 2. xxxf 3)( 3

3. x

xxf3

lg)( 3

4. 33ln)( xxf

5. 33

3

lg3)(

xxxxf

x

6. x

xxf31

1)(3

7. xxxf

3lg1ln1)(

8. 33 3)( xxxf x

9. 3

3lgln)(

xxxxxf

10. 3 3)( xxf

+




1. 53)( xxf 2. xxxf 15)(

3. 2

1)(x

xf

4. 5

3

)(xxxf

5. 5

1)(x

xxf

6. 5 4)( xxf

7. 4 5)( xxf

8. 4 5

1)(x

xf

9. 5 4

1)(x

xf

10. x

xxf )(

+




1. xxxf )( 2. xxxf 5)(

3. 5)(x

xxf

4. x

xxf5

)(

5. 3

1)(xx

xf

6. xx

xxf3

)(

7. 3 23)( xxxf

8. 3

3 23

)(xxxxf

9. 5 4

4 5

)(xxxf

10. 5 45

4 53

)(xxxxxf

+




1. 45 33 5 1)(

xxxxf

2. 5 33 5)( xxxf

3. 5 3

3 5

)(xxxf

4. 35 3

5

)(x

xxf

5. 5 33 5

5 33 5

)(xxxxxf

6. 5 3

3 5

11)(

xxxf

7. 4

5 3

1)(

x

xxf

8. 5 3

1)(x

xf

9. 3 5

1)(x

xf

10. 5 3

4

)(x

xxf

+




1. 35 3

4

)(x

xxf

2. 3

5

5 3

1)(

xxf

3. 3 55 3)( xxf

4. 5 5 3)( xxf

5. 5

3

)(x

xxf

6. 3

11)(

xxxf

7. 3)( exf

8. 3 5

)( xexf

9. 3 5)( xxf

10. 3 3 5

5)( xxf

+




1. xxf 3ln)( 2. xxf 3lg)( 3 3. 3

3lg)( xxf

4. 33lg)( xxf

5. xxf 3lg3)(

6. 3

3)( xxf

7. 33 3lg)( xxf

8. 3

3 3lg3)(x

xf

9. 33 3lg)( xxf

10. 3 3ln)( xxf

+




1. 3 2ln)( xexxf x

2. 3 2ln)( xexxf x

3. xexxf ln)(

4. 3 2

)ln()(x

xxf

5. 3 2ln

)(xxexxf

xe

6. x

x

eexf

11)(

7. 2ln1ln1)(

xxxf

8. xxxf

x

ln3)(

3 2

9. 3

ln1ln1)(

xxxf

10. 3 2)( xexf

+




1. 3 2ln)( xexf

2. 3 ln)( xexf

3. 3 2ln)( xxf

4. 23

ln)( xexf

5. 3ln)( xexf

6. 3ln)( x

x

eexf

7. 31)(

xxxf

8. 3

)(xeexf

9. xexf ln)(

10. 3 2ln)( xexf

+

| BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones) 16

BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones)

Deriva:

1.

2

21 arcsenx

xy

2.

xey x log4

sen ·

3. x

xy

tg2

4.

xy

x

cos2 ln

35

5. xexy sen

32 tg

6. arccos ·3 xxy

7. 4

8

27 cos10

xy

8. 32 2 ln y

9. xx eexy

1

10. xy 1arctg

+

| EJERCICIOS VARIOS 17

EJERCICIOS VARIOS

Fuente Ana Fraga Vila

1) Deriva las siguientes funciones:

y = x

x 2

sen y = ln (3x2 5x) y = e2x · cos x

y = cos3 x · cos x2

x

x+ =y 11ln

xx =y

2

sen

x =y arcsen xx =y )tg( 33 sen·sen xxy

xx =y

2121sco

3

2

xx =y x =y x sen

y = x2 · e3x )(senln 2 x =y y = ex · sen3 x

y = xcos x x =y tg2

3

2 39lnx

xy

3

2 39x

xy y = xsen x y = ln (ex + cos x)

253

2

53

x

xy

xxy tg2 )3( y = log ( cos x + 231 x )

y = L 32 )7(sen xx

xx =y

2121osc

x =y 3tg

)1(arctg 2x =y e - ee + e =y x-x

-xx

)(sen sco 3x =y

xx =y 3 y = 322 )1(sen xx 36arctg x =y

241 x

x =y

x +

x =y tg

cos1ln )(sen 232 xe =y

+


x =y arctg xxey 3)1( 4)1(

222 xx +

x =y

x =y ln

x =y 1

tg2 3 )sen(cos xxe =y x

y = tg2 (6x)

2) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Determina los puntos de la

curva y = x3 en los que la recta tangente es paralela a la recta y = 3x + 14

3) Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola x

=y 1 en el punto x = 3.

4) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de inflexión.

5) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 12 x en el punto de abscisa 12.

6) En qué puntos de la curva 1629 23 xxx =y la recta tangente es paralela al eje OX?

7) Calcula a y b para que x

+ b + ax =y 8 tenga en el punto (2, 8) una tangente horizontal.

8) Halla p y q sabiendo que la función f (x) = x3 + px2 + q tiene un mínimo relativo en el punto (2, 3).

9) Halla la ecuación de las tangentes a la curva y = x4 6x2 en sus puntos de inflexión.

10) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de inflexión.

+


11) Dada la parábola y = x2 x

a) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x0 = 1.

b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es paralela a la recta y = x + 3?

12) Halla las asíntotas de la función 4

22

3

xx =y

13) Asíntotas de la curva 4523

2

2

xxxx =y

14) Halla las asíntotas de xxx = xf 5)(

2

15) Halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de 12 x

x =y

16) Calcula los máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen de la función 12 x

x =y

17) Calcula las asíntotas de la función y = 2

3

)4( xx

18) Halla las asíntotas de la curva de ecuación 9102 xx

x =y

19) Estudia el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función: y = 1

12

xx + x

20) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad de la función y = x2(3 2x).

21) Estudia el crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de 13)( 23 xx = xf . Representarla gráficamente.

+


22) Representa gráficamente la función 11

2

2

xx =y

Calculando el dominio de definición, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de

crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos.

23) Esboza la gráfica de xxy 63 2

24) Dada la función .73)( 3 xx = xf

a) Calcula máximos, mínimos y puntos de inflexión

b) Esboza su gráfica

c) Escribe la ecuación de la recta tangente en su punto de inflexión.

25) Representa gráficamente ,61)( 23 xx = xf hallando: puntos de corte con los ejes,

monotonía

(crecimiento y decrecimiento), máximos, mínimos, curvatura y puntos de inflexión.

26) Estudia y representa gráficamente 12

2

xx =y

27) Halla b, c y d para que la función dcxbxxxf 23)( tenga un punto de inflexión en x = 3,

pase por el punto (1, 0) y tenga un extremo en x = 5.

28) Representa gráficamente la función y = (2 x)2 calculando previamente:

a) Dominio de definición.

b) Puntos de corte con los ejes.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

+

| 21

29) Dada la función 21)(

xx = xf

a) Calcula: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

b) Halla sus asíntotas.

c) Esboza su gráfica

+

| 22

+

| 23

Fuente: IES Rego da auga

+

| 24

SOLUCIONES BOLETIN 1

1. 315815)('13523)( 234345 xxxxfxxxxxf 2. 44432223 401624)8)(2()4(6)(')4)(2()( xxxxxxxxfxxxf

3. 26

4

6

44

23

223

3

2

23

46

41812

26326)('

23)(

xxx

xxx

xxxxxxf

xxxf

4. )2ln2)(2()2)(6()(')2)(2()( 323 xxx xxxfxxf

5. 22 1

21

1)1(11)('11)(

xx

xxxfxxxf

6.

2

222

ln

1lglnlg1

)('lnlg)(

xx

xxexxf

xxxf

7. xsen

xxsenxsen

xxxsenxxfxsen

xfctgxsenx

xxf 2

22

22

coscoscoscos)('1)('cos)(

8.

4

1

6

12

23

23

3

33ln333ln3333ln3)('3)(xx

xxx

x

xxxfx

xfxxxxxxx

9. 443

3

33)('1)(x

xxfxx

xf

10. xxx

xx

xfx

xf 22 ln1

ln

11ln0)('

ln1)(

+

| 25


1. xx

xxxfxxxf2

1

2

121

21)(')(

21

211

21

21

2. 33122 222)(')(

xxxxfxxf

3. 66155

3

2 555)(')(x

xxxfxxxxf

4. 323 66)('32)( xxxfxxxf

5. xxfxx

xf 2)('1)( 22

6.

22 cos

coscos

cos1cos0)('cos

1)(xsenx

senxxxsenx

senxxxsenxxfxsenx

xf

7. 2cos

coscoscoscos)('coscos)(

xsenxsenxxxsenxxsenxsenxxxf

xsenxxsenxxf

8.

22 ln12

ln1

1ln1ln11

)('ln1ln1)(

xxxx

xxxxf

xxxf

9. 22

322

2

2

12112)('

11)(

x

xxxxxfxxxf

10. 221

2ln22212ln21)('212)(

x

xxxx

x

x xxfxxf

+

| 26


1.

0ln

0)1(ln0)('ln

1)( 2

eeexf

eexf

2. 1ln1ln11)('ln)( xxeex

xxxeexfxxxexf xxxxx

3. x

exexfxexf xxx 1ln)('ln)(

4. x

xexe

xfx

exfxx

x

2ln

1ln)('

ln)(

5.

2ln1

11ln1)('

ln11)(

xx

exexf

xexf

xxx

6. )1)(ln1())(1()('))(ln1()( xxx exexx

xfexxxf

7. 1)(')( ee exxfxxf 8. xexexe exeexxfexxf 1)(')(

9. 21

11)('11)(

x

xxxx

x

x

eeeeexf

eexf

10.

2ln

1lnln1

)('lnln)(

x

xxxx

x

x

ex

ex

exexexxf

exexxf

+

| 27


1. 3ln333)('3)( 323 xxx xxxfxxf

2.

23

33

3 lg

lg13lg3ln3)('

lg3)(

x

ex

xxf

xxf

xxx

3.

23

3333

3

3

lg3

lg13ln3lg3lg3lg13ln3)('

lg3lg3

)(x

ex

xxexxf

xxxf

x

xxxx

x

x

4. )1(cos)(')( 2 xtgsenxtgxxxftgxsenxxf

5. senxxtg

xtgsenxtgxxxfxtgx

senxxf

....)1(cos)('cos)( 2

2

6. 2cos

1coscos1)('cos

)(xx

senxsenxxxxxxfxx

senxxxf

7. 2

2

cos)1(coscoscos)('

coscos)(

xtgxsenxxtgsenxxxtgxxsenxxf

xtgxsenxxxf

8.

2

22

22

cos

(coscos

1coscoscos)('

coscos)(

xtgx

senxxtgxx

senxxxtgxxxsenxf

xtgxsenxxxf

9. 2

2 111cos1)('1cos)(xtgx

xtgxxtgxsenxxfxtgx

xxf

10. 2cos

1coscos1)('cos

)(xx

senxsenxxxxxxfxx

senxxxf

+

| 28


1. 3 2

233

313ln33)('3)(

xxXfxxxf xx

2. 3ln333

1)('3)( 33 2

3 xxx xx

xfxxf

3.

233

3

3

3ln3lg3lg1

)('3

lg)(

x

xx

x

xexxfxxf

4. x

xfxxf

33 31)('

3ln)(

5.

233

3 233

333

32

33

3

lg

31lglg13lg3ln33

)('lg

3)(xx

xxxe

xxxxx

xfxx

xxf

xx

x

6. 2

323

313ln31313)('

311)(

x

xx

x

xxxfxxf

7.

23

33

3 lg1

lg1ln1lg11

)('lg1ln1)(

x

ex

xxxxf

xxxf

8.

3 2

3333233

3133ln333)('3)(

xxxxxxxfxxxf xxxx

9.

23

33

3

2

3

3

3 lg

lg11lnlg11

lgln3

1)('lgln)(

xx

ex

xxxxx

xxxx

xfxxxxxf

10. 313ln3)('33)( 333

xxx xfxf

+

| 29


1. 45 15)('3)( xxfxxf 2. 115)(')( 1415 xxfxxxf

3. 332

2

22)('1)(x

xxfxx

xf

4. 332

5

3 22)(')(x

xxfxxxxf

5. 656554

5

5454)('1)(xx

xxxfxxx

xxf

6. 5

51

5 4

55

54)(')( 5

4

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+

| 36

SOLUCION PROBLEMAS ANA FRAGA

2) (1, 1) , (1, 1)

3) y 31 =

91 (x 3)

4) y = 6(x 1)

5) y 5 = 51 (x 12)

6) (1, 3,5) , (2, 3)

7) a = 2, b = 0

8) p =3; q = 7

9) y + 5 = 8(x + 1), y + 5 = 8(x 1)

10) y = 6(x 1)

11) a) y = x 1 b) (0, 0)

12) x = 2, x = 2, y = 2x

13) x = 4, y = 1

14) x = 0, y = x 1

15) (0, 0), x = 1, x = 1, y = 0

16) Punto de inflexión (0, 0)

17) x = 4, y = x + 8

18) x = 1, x = 9, y = 0

19) Creciente en ], 2[ ]0, +[. Decreciente en ]2,1[ ]1, 0[. Mínimo (0, 1). Máximo (2,3)

20) Creciente en ]0, 1[. Decreciente en ], 0[ ]1, +[. Convexa en ], 2/1 [. Cóncava ] 2/1 , + [

+

| 37

21) Creciente en ],0[ ]2,+ [. Decreciente en ]0, 2[. Mínimo (2, 3). Máximo (0, 1)

Convexa en ]1, +[. Cóncava ], 1[. Punto de inflexión (1, 1)

22) 24)

24) a) Mínimo (1, 5). Máximo (1, 9). Punto de inflexión (0, 7)

b)

c) y 7 = 3x

25) 26)

27) b = 9, c = 15, d = 7

+

| 38

28) a) D = R; b) (0, 4) (2, 0) c) Decreciente en ] , 2[ ; Creciente en ]2, +[. Mínimo (2, 0)

29) a) Creciente en ]1, 1[. Decreciente en ], 1[ ]1, +[. Máximo (1, 2/1 ), mínimo (1, 2/1 )

b) y = 0

+

| 39

Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×

Date post:	21-Feb-2016
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Problemas de Derivadas

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