INGENIERIA

ANTISISMICA

Contenido RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES ................................................. 3

RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES .................................................. 3

RIGIDEZ LATERAL (KL) .................................................................................................. 3

CASO I: COLUMNA MURO ...................................................................................... 4

Base empotrada y libre en el otro extremo ......................................................... 4

CASO II: COLUMNA Base empotrada y articulada en el otro extremo .......... 4

CASO III: COLUMNA Empotramiento perfecto ................................................... 5

CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE ..................................................................... 5

1. ELEMENTOS EN PARALELO ................................................................................. 5

2. ELEMENTOS EN SERIE ........................................................................................... 6

SISTEMAS CON ELEMENTOS RGIDOS .......................................................................... 7

MTODOS DE ANLISIS ................................................................................................. 8

MTODO PISO POR PISO ........................................................................................... 8

MTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS ......... 9

METODO DE LA COLUMNA ANCHA .............................................................................. 10

1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO ............................................................ 10

a) ANALISIS MATRICIAL ............................................................................................. 11

MTODO DE MUTO ................................................................................................................ 13

RIGIDEZ LATERAL ................................................................................................................ 13

2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO ................... 16

4.- DETERMINACIN DE ESFUERZOS ............................................................................... 19

MTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS .................. 21

ANLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS .................................................... 21

METODO DE WIBUR BIGGS ......................................................................................... 33

PROBLEMAS ....................................................................................................................... 35

PROBLEMA N1 .............................................................................................................. 35

PROBLEMA N2 .............................................................................................................. 36

PROBLEMA N 03 ........................................................................................................... 41

PROBLEMA N5 .............................................................................................................. 46

PROBLEMA N6 .............................................................................................................. 47

CONCLUSIONES: ............................................................................................................... 51

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INTRODUCCION

La parte ms importante de Ingeniera antissmica es el clculo de rigideces, ya que esto

garantiza que el anlisis ssmico de una edificacin sea la correcta, sin esta se falla todo el clculo

no ser la verdadera .Para esto en este captulo se desarrolla el tema de Rigideces en sistemas

a porticadas y sistemas de duales, tambin se determina la rigideces de muros en general ya

sea de concreto armado o albailera confinada.

Objetivos

Conocer los diferentes mtodos de clculos de rigideces

Tener un conocimiento suficiente para su aplicacin adecuada de los diferentes mtodos

Comparar Resultados de los diferentes ejercicios que se presentan

RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

La rigidez en estructuras es la capacidad que presenta la estructura para soportar esfuerzo sin

tener que adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.

RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES

La rigidez es la relacin existente entre el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento

producido, de esto se deduce:

Rigidez Deformaciones

RIGIDEZ LATERAL (KL)

Es la fuerza cortante (V) en un elemento vertical, si el desplazamiento lateral efectivo (e) es igual a 1cm.

=

e(/)

Dnde:

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KL: Rigidez Lateral

V: Fuerza Cortante

e: Desplazamiento lateral efectivo

CASO I: COLUMNA MURO

Base empotrada y libre en el otro extremo

KL = f (E, h, I, A)

PARA LA COLUMNA

PARA EL MURO

CASO II: COLUMNA Base empotrada y articulada en el otro extremo

F

F

F

F

M

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CASO III: COLUMNA Empotramiento perfecto

CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE

1. ELEMENTOS EN PARALELO

La rigidez lateral total del sistema se calcula para cada direccin principal del sismo.

Rigidez lateral de cada columna es igual a:

Condicin suficiente:

Del grfico:

F

F

M

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Por lo tanto:

2. ELEMENTOS EN SERIE

Rigidez lateral de cada columna es igual a:

Condicin suficiente:

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Del grfico:

Por lo tanto:

SISTEMAS CON ELEMENTOS RGIDOS

CONSIDERACIONES PRINCIPALES

Se aisla al muro (placa) para determinar su rigidez lateral de cada entrepiso

Se asume distribucin de carga lateral triangular inversa.

= ()

()

P: Fuerzas ssmicas

: Desplazamiento absoluto

: Desplazamiento relativo entre piso

2P

h2

h1

L

h5

h4

h3

5P

4P

3P

P =

3

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MTODOS DE ANLISIS

A. Piso por piso

B. Piso acumulado (Elementos independientes)

C. Columna ancha (Castigliano y anlisis matricial)

D. Elementos finitos

MTODO PISO POR PISO

Para determinar la rigidez lateral de los muros se consideran:

empotrado en la base y libre en la parte superior del muro.

se realiza para cada muro y para cada piso independientemente.

se realiza el anlisis en cada direccin independientemente.

1 piso

2 piso

K1 =1

1 =

15

1

K3 =33

=

3

K5 =55

=

5

3 ,4 Y 5 pisos

K4 =22

=

2

K5 =44

=9

4

L

h1

1.5P

L

h3

1.2P

L

h4

9P

L

h5

5P

L

h2

1.4P

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Caso general:

= (3

+ .

)1

Caso particular:

=3

= = . = 0.

= ( (3

) + . (

) )1

MTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS

Consideraciones:

Mtodo limitado solo hasta 5 o 6 niveles

El muro desde la base debe considerarse empotrada hasta el ltimo nivel del muro.

Los desplazamientos en el extremo libre para la determinacin de la rigidez lateral

deben ser los efectivos.

=3

+

L

h5

5P

L

h4

9P4

L

h3

12P

L

h2

14P

L

h1

15P

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K1 =1

1 =

15

1 1 =

1513

3+

151

K2 =2

2 =

14

2 2 =

1423

3+

142

K3 =3

3 =

12

3 3 =

1233

3+

123

K4 =4

4 =

9

4 4 =

943

3+

94

K5 =5

5 =

5

5 1 =

553

3+

55

Caso particular: Seccin rectangular

=

( (

3

) + . (

)) =

; G=0.25E

METODO DE LA COLUMNA ANCHA

1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO

Este mtodo se puede aplicar para cualquier nmero de piso de la estructura que se est

analizando en un sistema con elementos rgidos y los resultados obtenidos por este

mtodo expresan mejor el comportamiento de los muros.

La rigidez lateral ser determinada por la siguiente frmula:

=

Los desplazamientos laterales para una estructura de dos pisos es el siguiente:

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El desplazamiento para el primer piso ser el siguiente:

1 =

(1

3 + 212) +

1

El desplazamiento para el segundo piso ser el siguiente:

2 =

(1

3 +8

21

2 + 122 +

2

3) +

( 1 + 2)

a) ANALISIS MATRICIAL

Convencin de signos:

FUERZAS DESPLAZAMIENTOS

G.D.L: se pueden considerar como las incgnitas ya que estn asociadas al

desplazamiento y a las fuerzas internas de la estructura.

Matriz de rigidez para cada elemento :

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[

3 0

6

2

3 0

6

0

0 0

0

6

2 0

6

2 0

3 0

6

2

3 0

6

2

0

0 0

0

6

2 0

6

2 0

]

(66)

Matricialmente lo podemos expresar como la solucin al problema:

[]{} = {}

PROBLEMA N 04:

Para la estructura reticular de acero (todas las barras: = . 06

2; = 02), se pide

determinar la rigidez lateral.

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MTODO DE MUTO

Est en los resultados de la deformacin por flexin en las barras son ms exactos, incluso pueden utilizarse para el diseo de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformacin El anlisis ssmico aproximado de edificios trata sobre el estudio de mtodos que permiten resolver en forma aproximada a los prticos de edificios sujetos a carga lateral (sismo o viento). Entre este mtodo encontramos el mtodo de muto que se utiliza principalmente para resolver prticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales. Es uno de los mtodos que se usa para resolver en forma aproximada a los prticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateral producida producida por el viento o los sismos. La diferencia que contempla a este mtodo de otros (mtodo del portal o del voladizo) axial son despreciables. RIGIDEZ LATERAL Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral

Se define a la rigidez lateral absoluta (K0 Da) como aquella fuerza cortante V capaz de originar

un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definicin

se obtiene:

Donde D0 es la denominada rigidez lateral estndar (en unidades de fuerza entre longitud,

usualmente ton/cm) calculada como:

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La rigidez lateral estndar depende de la altura de cada columna,

pero como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura,

entonces esas columnas tendrn el mismo valor D0

El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos,

para el caso que la columna este biempotrada (vigas muy rgidas) el valor de a es 1. En cambio

si la columna esta biarticulada a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al

desplazamiento lateral), por otro lado, si la columna est articulada en su base y empotrada en

su extremo superior (vigas rgidas), se demostrara que a es un 1/4

Base, el mtodo de muto, siempre trabaja como un coeficiente de rigidez a la flexin

El valor a esta comprendido entre 0 y 1, y la mxima rigidez lateral (K) se obtienen cuando la

columna esta biempotrada, si esta columna se articulase en su base K se reduce en 75 % y si

luego se articulase en su extremo superior, k se degrada en 100% convirtindose en un

mecanismo inestable.

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Tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendra que ella resulta dependiente del sistema de

carga lateral actuante, sin embargo, muto concluye que en los prticos compuestos por vigas y

columnas, la distribucin y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K.

CALCULO DEL COEFICIENTE a (MUTO RECOMIENDA) 1.-COLUMNAS QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES AL PRIMERO a.- si b.-el mtodo es vlido solo cuando K 0.2, de lo contrario, la frmula es imprecisa. El valor K es

menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relacin con la columna (vigas chatas), o

cuando la columna trata de transformarse en una placa.

2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS DEL PRIMER PISO a.- base semi-empotrada: aparte de existir vigas de cimentacin (vc), la rigidez aportada por

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Cuando la base de la columna esta semi empotrada, el valor que

se obtenga de a deber ser inferior al caso en que la base este

empotrada (sub-caso b)

b.- base empotrada

c.- base articulada:

2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO La condicin para que un conjunto de columnas estas dispuestos en paralelos es que su desplazamiento relativo () sea nico. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rgidos (aligeradas losas macizas) denominados diafragmas rgidos donde al existir monolitismo entre las vigas y la losa, las vigas, tambin sern rgidas axialmente. Estudiando un entrepiso cualquiera del prtico mostrado y llamando Q al cortante de entrepiso

(valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratara de reducir el conjunto de columnas

a un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las

columnas que conforman ese entrepiso.

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Nota: cada columna absorbe fuerza cortante en proporcin a su rigidez lateral. Por otro, lado se observa que el desplazamiento del entrepiso (A) puede obtenerse si se modela al prtico como un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea Ki.

3.- PRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO: columnas en serie La condicin para que dos o ms columnas (ubicadas una sobre otra), estn dispuestas en serie

es que la fuerza cortante en ellas sea nica, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del

nivel que separa a las columnas es nulo. Este sistema puede reducirse a una sola columna

equivalente de doble altura de la siguiente manera.

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Este caso de columnas en serie puede presentarse en prticos con mezzanine, donde la altura del mezzanine la masa es pequea, as como la aceleracin ssmica con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es despreciable con relacin a los que existen en los niveles superiores. Tambin puede presentarse en prticos con viga intermedia en el entrepiso, que sirve como

apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequea, la fuerza de inercia ser nula

en ese nivel.

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4.- DETERMINACIN DE ESFUERZOS

Conocido el cortante que absorbe una columna (V), MUTO proporciona unas tablas que permiten ubicar la posicin del punto de reflexin (Di). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado se determinan los esfuerzos. a.- Graficar el DMF en las columnas. b.- calcular los momentos en las vigas, Repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporcin a las rigideces de las vigas (Kr); y grfica su DMF. C.- determinar la fuerza cortante en las vigas. D.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.

UBICACIN DEL PUNTO DE INFLEXIN (PI) EN LAS COLUMNAS Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a Yh, el valor y el valor Y se determina como Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3; Dondey0, es la altura estndar del PI, Y1 es una correccin por variacin de rigidez de las vigas, mientras que Y2 e Y3 Corresponden a conexiones por diferencias de altura entre los pisos

consecutivos. Como usualmente los pisos son tpicos, solo se calcula

Y0 .

a.- altura estndar del PI (Y0h) Suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, as como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribucin de las fuerzas laterales era triangular. El clculo de Y0 se efecta en cada eje vertical de las columnas. Es necesario saber cuntos niveles tiene el eje de la columna en anlisis, en que entrepiso est

ubicada y el valor de K.

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b.- correccin y1 Esta correccin se realiza solo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexin que las inferiores (B). Para calcular Y1 es necesario determinar el parmetro de 1 y k.

- Para el 10 piso Y1 = 0, salvo que la base este semiempotrada

- Si 1 >1, se ingresa a la tabla con la inversa de 1 y se cambia de signo al valor Y1, es decir, el PI se corre hacia abajo.

c.- Correcciones Y2, Y3 Estas correcciones se efectan cuando la columna superior o inferior a la que est en estudio, tienen distintas alturas, para esto, es necesario calcular los parmetros 2 , 3, K. Observaciones: - Si 2=1 Y2 =0 - Si 3=1 Y3 = 0

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- Para columnas del 10 piso Y3 = 0 - Para columnas del 20 piso Y2 = 0

MTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS

El mtodo asigna a cada columna un valor caracterstico D que viene a ser la relacin entre el corte que toma la columna y la deformacin que la produce. Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relacin entre las sumas de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y la rigidez de la columna. El corte que forma cada columna j del entrepiso, est dado por:

ANLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS

Los pasos a seguir son: 1) Calculo de los valores de D

2) distribucin de la cortante de entrepiso Q entre las columnas proporcionalmente a sus valores D. Dj: constante relativa de la columna j Dj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado 3) determinacin de los puntos de inflexin de las columnas y clculo de los momentos flectores.

4) Calculo de las solicitaciones en vigas y fuerzas axiales en columnas.

5) Correccin de torsin.

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VALORES D EN LAS COLUMNAS a) Para columnas de altura uniforme

A : constante que depende de K Kc : rigidez de la columna considerada

Si KV3+KV4 es mucho mayor que KV1+ KV2 , o a la inversa ; el valor de A no debe ser mayor que el que resultara de aplicar la formula correspondiente al caso siguiente: CASO N 02: extremo empotrado (primer piso)

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CASO N 03: extremo articulado

b) caso en que las columnas son de altura no uniforme. CASO N 04: Una columna de altura h que difiere de la altura estndar h:

CASO N 05: Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h1 y h2 las cuales sumadas dan la altura

estndar h

CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MTODO DE MUTO Para el clculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas del doctor Muto para calcular las rigideces DX DY. Se debe cumplir que K sea mayor a 0.20. ya que las limitaciones del mtodo estn dadas por el valor de K En cuento K se haga ms pequeo el error se incrementara, debido a que una hiptesis base es que las vigas son suficientemente rgidas; un pequeo valor de K indicara que esta condicin no se cumple satisfactoriamente. Posteriormente hallamos las rigideces para vigas y columnas tanto en la direccin X como Y. Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de rigideces.

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CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES

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Rigidez lateral absoluta:

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Para h=200 cm; D0=63 ton/cm Para h=300 cm; D0=28 ton/cm

Para h = 600 cm; D0 = 7 ton/ cm

CALCULO DE : TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO

Y EN SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

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Calculo del coeficiente a IV. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero

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V. base empotrada VI. base articulada

PARA EL EJEMPLO

Rigidez lateral absoluta: Para h=200 cm; D0=47.88 ton/cm Para h=300 cm; D0=21.28 ton/cm Para h = 600 cm; D0 = 5.32 ton/ cm

Luego de realizar los clculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.

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CALCULO DE : TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO

Y EN SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

EJEMPLO N2: Aplicando el mtodo de muto, analizar el prtico ASUMIR: Vigas: 0.3x 0.5 m2 Columna: 0.3 x 0.4 m2 K0=0.0004 m3 E=2000000 Ton/m2

Solucin Coeficiente de rigidez a flexin Vigas: Para h= 5m, Kv=1.56 Para h= 6m, KV=1.30 COLUMNAS: Para h = 3m, KC=1.33 Para h = 4m, KC=1 RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA

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Para h=3m, D0=1067 ton/m Para h=4m, D0=600 ton/m

Luego de hallar los valores de ,D ,K de cada columna se tiene:

Calculo de :

APLICACIN POR EL MTODO DE MUTO Aplicamos el mtodo a nuestro edificio para el eje principal 1-1 (igual que eje 2-2) Analizamos el primer nivel Hallamos la rigidez para las vigas y columnas

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VIGA: 0.25x0.50 m Columna: 0.25x0.50 m Kv=I/hK0 Consideramos como rigidez estndar de la estructura K0=0.001 m3 Coef. De rigidez a flexin:

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PRTICO X1: PARA LAS RIGIDECES LATERALES 3 PISO: 2900.8290 ton/m 2 PISO: 2900.8290 ton/m 1 PISO: 3116.5695 ton/m

BIBLIOGRAFA:

Per.

Contreras; EDICIVIL; 2003

METODO DE WIBUR BIGGS

Para el mtodo de la rigidez lateral de las estructuras a porticadas Wilburg y Biggs

presentaron los siguientes sistemas de ecuaciones, las cuales se emplearon debiendo

tener en cuenta el nivel de entrepiso del cual se calculara dicha rigidez , asi como tambin

el tipo de apoyo que idealizaremos para la estructura dentro del proceso de anlisis y

que se mantendr durante la vida til de esta , dichas ecuaciones se presentan:

A) ULTIMO NIVEL

B) NIVEL TIPICO

= 8

[

()

+1 +

(

)1

+ ()

++1 +

( )

]

1

= 8

[

()

+ 1 +

(

)1

+

(

)

]

1

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C) SEGUNDO NIVEL

C.1) BASE EMPOTRADA

C.1) BASE ARTICULADA

D) PRIMER NIVEL

C.1) BASE EMPOTRADA

C.1) BASE ARTICULADA

2 = 8

2[

2

()

2

+1 + 2

(

)1+

()1

+2

(

)2

]

1

= 8

1[

1

()1

+1 + 2

(

)1+

()1

]

1

=

1[

81

()1

+ 1 + 2

()1

]

1

2 = 8

2[

2

()2

+ 1 + 2

()1

+2

(

)2

]

1

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PROBLEMAS

PROBLEMA N1

Para el sistema compuesto por una viga (E = 2x10^5 kg/cm2) y una varilla de acero (E = 2.1x10^8

kg/cm2) de 2 cm2 de rea colocado en uno de sus extremos tal como se muestra en la figura.

Cul debe de ser el momento e inercia I de la viga para que el desplazamiento en el extremo

libre debido a una carga de 30 toneladas hacia abajo, sea de 1 cm?

SOLUCIN: TEOREMA DE CASTIGLIANO

VIGA:

M = Tx - Px

TIRANTE: N = T

VIGA:

M = Tx - Px

P = 30 ton

2m

2m

T

=

= 0

= 0

( )2

+ 0 =

200

0

200

0

( ) 8 06

= . . ()

=

= ( )() = ( )2

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TIRANTE:

N = T

DE (1) Y (2), se obtiene:

T = 21 Ton

Remplazando en la ecuacin (1):

I = 120000 cm4 Rpta.

PROBLEMA N2

La estructura mostrada en la figura es de concreto armado (E=2.2*106 Kg/m2) y puede

modelarse suponiendo un diafragma rgido y EI vigas =. Se pide determinar la rigidez

lateral para la direccin de anlisis x-x.

Considere la seccin de columnas:

= 1

= T

( )2

+

=

200

0

200

0

()8106

3+

200

= 0 .. (2)

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Solucin:

a) Calculamos la Inercia de las columnas.

Columna 1:

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Columna 2:

Seccion B (cm) D (cm) X (cm) A (cm2) X*A

1 30 90 45 2700 121500

2 30 30 15 900 13500

3600 135000

X= 37.5

TOTAL

Seccion I A (cm2) d (cm) d^2 I + A*d^2

1 1822500 2700 7.5 56.25 1974375

2 67500 900 22.5 506.25 523125

I= 2497500TOTAL

Seccion B (cm) D (cm) X (cm) A (cm2) X*A

1 30 90 45 2700 121500

2 30 30 75 900 67500

3600 189000

X= 52.5

TOTAL

Seccion I A (cm2) d (cm) d^2 I + A*d^2

1 1822500 2700 7.5 56.25 1974375

2 67500 900 22.5 506.25 523125

I= 2497500TOTAL

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Columna 3:

b) Hallamos la rigidez de cada columna.

Para la columna 1:

=

3

= 0. 97 00

03

= 0. Ton /cm

Para la columna 2:

=

3

= 0. 000

03

= 0.008 Ton /cm

B (cm) D (cm) I

60 30 135000

135000I=

D (cm) I

60 636172.512

I= 636172.512

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Para la columna 3:

=

3

= 0. 6 6 7 .

03

= 0.0 9 Ton /cm

c) Hallamos la rigidez de cada prtico en direccin al eje X

Prtico 1:

= + = 0. + 0.0 9

= 0. 86 Ton /cm

Prtico 2:

= +

= 0.008 + 0.0 9 = 0.09 Ton /cm

Prtico 3:

= +

= 0. + 0.0 9 = 0. 86 Ton /cm

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d) Hallamos la rigidez lateral total en direccin al eje X

= + + = 0. 86 + 0.09 + 0. 86

= . Ton /cm

PROBLEMA N 03

Para la estructura de concreto armado (fc=280 kg/cm2) con Mezzanine mostrada en la figura se

pide determinar las rigideces laterales segn el modelo dinmico propuesto (1,2,3,) para la

direccin de anlisis X-X.

Considere:

VIGAS (0.3mx0.6m)

COLUMNAS 0.

W mezzanine =1.50 ton/2

W nivel superior =0.9ton/2

MODELO DINAMICO

6m

6m

6m

6m

6m 6m 6m 6m

PLANTA

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SOLUCIN:

Calculando los momentos de inercia :

= .4

64=

.404

64= 66 .7 4 =

30603

12= 0000 4

3m

4m

ELEVACION

6m

6m

6m

6m

6m 6m 6m 6m

PLANTA

5

EDCBA

1

2

3

4

3m

4m

ELEVACION

2

3

1

INGENIERIA

ANTISISMICA

Calculo de la rigidez relativa de las columnas:

1 =

700= 79. 0 3

2 =

00= . 6 3

3 =

00= 8.88 3

Rigidez relativa de la viga:

Kv =Iv

600=

0000

600= 900 cm3

Calculo de KI de la columna :

Ec = 000fc = 000 80 = 0.998 /2

KI1 = . Ec. Ic

h3=

0.998 66 .7

7003= . 0 Ton/cm

KI2 = 0.998 66 .7

003= .9 Ton/cm

KI3 = 0.998 66 .7

003= .0 Ton/cm

Calculo de rigidez lateral de las columnas:

PARA LOS EJES 2,3 Y 4:

EJE A=E

=900

179.52= .0 =

0.5+

2+= 0.79

= 1 0.79 = . 0 0.79

= . /

INGENIERIA

ANTISISMICA

EJES B=D

K =900

314.16= .86 a =

0.5+k

2+k=

0.69

KL1 = KI2 0.69 = .9 0.69

KL1 = .08 Ton/cm

K =9003

2418.88= . a =

k

2+k= 0.6

KL2 = KI3 0.6 = .0 0.6

KL2 = 8.69 Ton/cm

=

+

= . /

EJE C

K =1800

314.16= .7 a =

0.5+k

2+k= 0.8

KL1 = KI2 0.8 = .9 0.8

KL1 = .79 Ton/cm

K =3600

2418.88= . a =

k

2+k= 0.68

KL2 = KI3 0.6 = .0 0.68

KL2 = 9. Ton/cm

=

+

= . /

INGENIERIA

ANTISISMICA

PARA LOS EJES 1 Y 5:

EJE B=C=D

=9002

179.52= 0.0 =

0.5+

2+= 0.88

= 1 0.79 = . 0 0.88

= . /

Calculo de rigidez de cada prtico :

Para el prtico 2, 3 y 4

= 0.87 + .78 + . 9 = 0. 9 /

2,3,4 = 0. 9 = . 7 /

,, = . /

Para el prtico 1 y 5

= 0.87 + 0.97 = .6 /

1,5 = .6 = 9. /

, = . /

Calculo de rigidez lateral total del sistema:

= ,, + ,

KL sitema. = . 7 + 9. = 0. ton/cm

. = . /

INGENIERIA

ANTISISMICA

PROBLEMA N5

EJERCICIO 5

3 1 3/8" W=3 TON

3m 2 1 3/8"

4m

SOLUCION

POR EL PRIMER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO 3

2

DETEMINAMOS EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LA ARMADURA RX

M 1=0 P

4P=3RX RX=4P/3

FY=0 RY=P 1

RX

RY

CALCULO DE FUERZAS AXIALES EN CADA ELEMENTO

NUDO 2 NUDO 1

N13

RX 37

RX N23

RX= N23 RY A 1 3/8" AT

N23=4P/3 RX=N13COS 37 3 1 3/8" 9.5799 cm2 28.7398 cm2

N13=5P/3 2 1 3/8" 9.5799 cm3 19.1598 cm2

E=2.1 X 10 6 KG/CM2 P= 3000

BARRA L(cm) E A N n/P N Nxn/PxL/EA

1.-3 500 2100000 19.1598 (-)5P/3 1.6666 4999.8 0.103548485

2.-3 400 2100000 28.7398 4P/3 1.3333 3999.9 0.035345487

V3 0.138893972 cm

DETERMINAMOS LA RIGIDEZ VERTICAL

K = P/

K= 3 ton / 0.13889 cm

k= 21.5998 ton/cm RESPUESTA

PARA PEQUEAS OSCILACIONES VERTICALESDE LA MASA DE LA ESTRUCTURA CON ELEMENTOS BIARTICULADOS SE PIDE DETERMINAR LA RIGIDEZ VERTICAL E=2.1 X 10 6 KG/CM2

INGENIERIA

ANTISISMICA

PROBLEMA N6

Para el prtico de concreto armado de 2 niveles mostrado en la figura, determinar la rigidez lateral

de columnas por los mtodos de Muto y Wuilbur. (E=210ton /cm2).

METODO DE MUTO

Primer piso

= 0 3

= 9 7. 4

= 0803

= 800004

= 0 03

= . 4

=

3=

0 .

03= .90/

1 = 9 7.

600= 69 . 9 2 =

80000

600= .

INGENIERIA

ANTISISMICA

Segundo piso

=0.

+ =

0. .96

+ .96= 0. 06

=1 + 2

=

69 . 9 + .

7 .07= .96

= = 0. 06 .90 = . 6/

1 = . 6

+

. 6

= .7 /

=

+ =

. 7

+ . 7= 0.

=1 + 2

=

69 . 9 + 69 . 9

609. = . 7

= = 0. . 9 = 6.6 /

=

3=

0 .

03= . 9/

1 = 9 7.

600= 69 . 9

2 =6.6

+

6.6

= . /

INGENIERIA

ANTISISMICA

METODO DE WUILBUR

Primer piso

= 0 3

= 9 7. 4

= 0803

= 800004

= 0 03

= . 4

1 = 9 7.

600= 69 . 9 2 =

80000

600= .

=

1[

81

()1

+ 1 + 2

()1

]

1

2 = .

0= 7 .07

INGENIERIA

ANTISISMICA

Segundo piso

=

1[

81

()1

+ 1 + 2

( )1

]

1

= 0

0[

8 0

7 .07 + 7 .07+

0 + 0

69 . 9 + . ]1

= .6 /

= 8

[

()

+ 1 +

(

)1

+

(

)

]

1

= 8 0

0[

0

609. +

0 + 0

69 . 9 + . +

0

69 . 9]1

= .7

= 0 3

= 9 7. 4

= 0 03

= . 4

1 = 9 7.

600= 69 . 9 2 =

.

0= 609.

INGENIERIA

ANTISISMICA

METODO DE MUTO METODO DE WUILBUR

CONCLUSIONES:

Hay diferentes mtodos para el clculo de rigideces

En el caso del mtodo para sistemas flexibles de Muto y Wuilbur , los resultados

son bastante semejantes

Para el clculo de rigideces de sistema de muros la aplicacin de la frmula es

relativamente fcil

Estudiar bien los temas de este captulo ya que es muy importante para el anlisis

de edificaciones.

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