Date post: | 26-Mar-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | wilder-pacheco |
View: | 4,729 times |
Download: | 12 times |
Resolución No 1
cada uno ll .,¡: "f, i
\ .rirrr',liiAnalizando un triángulo se$$tbado.,,tr ii ,
ili:ril
¿.a.¿7.r, \ -+ Perírnetro = 3(4) = 12 m
4:r:'r" :i :ir t
Del gráfico, observarrsts'en total'11,.{iiángulos:ir L ir. n: .:: if
equiláteros sombreados {gi12 m de,,p¡i1¡q-l¡.g:
Pelmsf os v Areas Sombreadas
Resolución No 3
Del gráfico
^ 10hA6eco=-:"=5hz
. lro*20.'}n=rsnA8neco=[-o r/
:,..,.,i'ii...,,,,",i.r¡.i:.. .:.:riri¡t .tt :t:
pidnn -4it.t = 5h
= 1
Ar.¡r*io 15h 3:: r::i ,i:,
t \' '¡lr'"':''1r¡
2& [{étodo .,,iiil:rr ':.:¡
Trazadgo h r$gjiar6 del tríángulo ABD
10 10
4-s.;¡ S 1
ÁIil.=3s=5
Resolución lf 2
1er MáodoIdentificando la altura del trapecio, observamos
que es también altura del triángulo BCD
Bloc
Chve D
2Am
trul^/ == \"n20
Del gráfico DH e-s altura, luego en el N'DHB
DH2 =52 -42 -+ DH=3
Trazando AH y analizando las regiones
hiangulares
En el AAHB
Del gráfico
AQ=QD=AD=12m<ADQ=60o ¡ m{QDC=30"
Además r^^ -%{L2JQ?"\ - rn360"
Por simetría se observa que
(.q¿=eca=úRD =los =4se =lnp =f,pa=f,ea
... ( Parmeno de h 'l = 8{2n)=16n
lregión sombreada/
AAeHo 1 -+AAor¡a 5
A6nsp = k
AADHB = 5k
:: AderrÉs A\,oHe=5k=9 -+ k=*.iii' 2 IO
i il ll'..i:,1 &l.et,.AABC
' A¿leHe = AAnnc = 6k.''
Resolución N" 4
:il
Clave N.A.
;lTrazando los radios de los cuadrantes
obliene un triángulo equilátero, es decir
o AE=ED=DA=6r m{EDA = m{EAD = 600
o m{BAE = m{CDE = 30"
Entonces
Aso*b = Aúou"o -(O*.o +2A4asE)
Resolución N" 5
Aso,u = u, -l t tJlt- *zi'to=']!g=o"l llL4 [360" ))
Asomb = go-sJs -a"
,'. Aso'b = 3(12 4$ -21tt m2
R*olución N" 7En el grálico
o ABCD es un paralelogramo
o M es punto medio de BC
Resolución N" 9
Por dato
. cF=s -> AD=4cF4
Trazando GH, se obtiene regiones equivalentes
F k -¡-3k------{G
4.,5
------fEn el AABCcr*0=30o
Clar¡e D o E
aT :
t4a
I
I
DI
Tk
+
I
3kI
I
l_
hiangulares proporcionaléd..,¡b su base .¡ ,l
. Asomu _ srirrj 4. '\,ji i..At""t** - 12k -3
Chr¡¿ C
Resolución No 8 .'
Trazando las dos diagonales del cuadrddo y
traslaciando regiones eq uiva lentes, fenemos
L--- !1 -------------J.
d"tsr*j* ,,.:"'\r:i: i\ et .ii efi¡, i'= 5¡'z
t...Ai*u = 11k2
.,ur,t ',:rr.- l::r':'ir:r'
.,.i: ,.rr, .ijit.. _i::
,.: As.-1, '1,1k' 11'':'._ANosoru 5kz 5
i. '\' \ li Chve B
.. :: )i
Rescilución Nc 10
Trazando lqg:'rtiüios de la semicircunlerencia, se
obdierié un sector circular cuyo ángulo es x
2a*
( ñ"" l- Aflneco - (4a)2 ¡-2
[rcmLrada/ 4 4
Clave A
reF @ittt4!tili'ti:::,.::t:::.:t trc"emrUt@gPdfllE$¡$
En la figura 2a+28 *x= 1800
2(30")+x=1800x - l2O"
Del gráfico
Finalmente
Asomb = A4coo -AAcoo _
A - . _ xeJlf $zo"t _zlieJl) "nn
ro"Asomb = ---¡60" -- z
.'. Aso*b = (4r - 316) cmz
Chve C
Resolución N" 11
¡ir:il:l iit:i¡'i
,ii ,i 'i
Aso*u = Ail¿eco +24¡or'ro
o**o =f.9)' *rl¡u'.2121\2) "L 4 J
^2 nu2ñSomb _
?_ g
I
.'. Aso.b=}-(r+2t
Clave A
t:
Rasolución N' 13
Trazladando adecuadamnete regiones
eo titca le nte$;rqilsrrlos
WI*2+*2=(4f¡2 _>'x=r¡ ' :'
t ,- ' ,.' .r,,
... ( eaimeto an u )= 74x =14&i) = s6 u(región rcmbreada,/ j ..j
.
""n€hve D:i,,rt,ri:,
¡i:r:,
i. n\úxül
' t (' ,qrnu l- Aflneco - 122
' :. '( ,{,nu )= 1n*"o - t2' =72"^t. tsombreada) 2 2
irrrr¡ii,i:|¡'ri::iii}' Cbr¡g B
Resolución N" 12
T*al2
Ial2
Io
Resolución I''1" 14
Trazando radios auxiliares y trasladando
regiones equivalentes, observamos que se
forma un secto¡ círcular
Nl-alz---+*alz-1
r9dn9-q.l&g*rp,9Q11 " 'l.'*ffi
Realizando trazos auxiliares, observame que( ñnu ) ftG)2(60") ¡'R2
"' [**t,nua. J= 360" = 6 A5o^brnu¿u = 95
AH*asono ABCDee =245
p= 4somurea¿a "16644..' 'Hffinono
P= 95 "
100Vo=37.5Va245
Cbve E
Resolución N" 15
TA
I
8
l"
Chve A
Ht-4---+-4-1
A*o.o = 40 - 4' jit',,¡::" .,,
't...1:i
tij. Asonb = 4(10 - ¡) cm?
Resolución No 16
e4.$fÍí 1\
'Pé$nt¡o = é.rr ¡"Jg1 +BE': i'¡r': '
zneJz)$s") . 2neJl)Fao) . . 63600 360"
=8" *oJ?" *rJl66sJz" . ^ r;= _+ ¿\l¿
_ 5,{ln+12,{l6
/ Per¡meho de la \ Jt... | ^"....""_.-_.. l=#(s¡+12) cm
[región ombreada/ 6
Clave E
- 19-
Del gráfico fYlfi = Qft = a n QH =
Err el \.QTR (por relaciones métricas
hiángulo rectángulo)
QTz =QHxQR
62 =bxa -)
. m{QCR = m<QRC = 45' (A isósceles)
Deahí m{RQC = 90"
Entonc¿s
Aso.b = Aboq. -Agnqc
^ n{2)2 2Q)ASomb= 4 -
2
... Aso*b =(n-2)cmz
Clave E
. Asoru _75_7Apataldogramo 20S 20
T
.( Ánu l=uo=99=18o-'fsombreadal 2 2
Resolución No 19
Se hazan los radios auxiliares y se observa qu¿
el triángulo QRC es isósceles (QR = QC)
Ademas
o mAQ = 90" (ángulo central)
o m{QCA = 45" (ángulo inscrito)
-20 -
.
Sea'2-OS el área de la región cuadrangular
,,'.,ffD*.eotqn*: t!
b jii'
'ili:i:Rootu"tun * Uo:ili iien un
:¡ j, .:?ot dato
$ i ¡i*f'¡,,ry
so.¡,,,,¡1ntos medios de BC y CD
ii
i | !i¡\ i.':ü A¡ . D A: l. : #"*=+'$'
iq*.N'I..f,¡,r,ko,\ \ - " -l
Resolución N" 21
Recuerda
-4<-b l"\
. t-.---h f.,,:: ü}
.'=[+)'
Entonces
A{coo = I "-}I$-=e -e x=62 ,':' ..:
'i¡...," t t ':l'.- :: ¡l l'r I ii': rii:r
Además ': -,, :,:A $ eeco = A{eoe - Adcoo '
Io+ro),_ 10(3+r) _n\2 ) 2
8r=15+5r-93r=6 -) r=2
, j Asomb =(u*]o)r=tu. ,
F__ 5 _l
Tomando tangentesA*. tg{c¿} +;-a
\ ':r:::::! :j :ir
r tafc¿ + 45ql '' ,' '
4
1
^ axt.5=-2
t'\ l'ii,,.,,ir(o*+s"):- -3T+
De donde tgg + ts 45" - x + 4j ,1-'tgcr.tgp 5
'. I j..
tt. a;*1 x+4Reemplazando -e-r- =
-r-1o 5t"
,,1r,.¡,.,;¡¡'.,..,¡i:r \ 5
s=**4 -+ x=41
,,,\. \ :t:ii::r' :¡. .ill
^ x(5) 41(5).'. Ac^-r =1O2,5 cm222
R¿solución N" 23
A------_-F
Trazando PM y analizando
triangulares
Chve E
CR¿solución No 22
Recue¡da
tolo+B) _ tgcr+tgP' ' 1- tgcr .tgp
C|clve B
las regiones
1 tr,r- elff ryp,!.!ffi 8á,q#&9'l.r
. AABC (BO es mediana)
AAoeo=AAaoNa=S
. AAPM (PO es mediana)
AAsop=AAom¡=k
r ABPC (PM es med¡ana)
A^epNt = AA¡¡pc =S+k
. ABAC (AM es mediana)
AAg¡M =AAr'aec -+ 2S=S+3k
S=3k
o m{CAB = 30" (ángulo inscri{o)
r N ABC (teorema de Pitágoras)
AC2 +22 =42 -¡
Finalmente
Ac=zJl
Finalmente expresando todas las rcgiones
triangulares en función de K, tenemos j,:.,r,t'i;. .,,,,iijl
B t: "'t ii
. Asomb = 8k
=Z" AAoo 12k 3
R¿solución N" 24
'2 6V
,\a
Asomu = A\,¡ce -( A4eao * A4oec )
. z$Ql (*ef @o"t n{2)2(60"))Asomb = , -l 360. - 360.
J
iiiAs.*u =rJU-(t.+)l
.;: Ai*o =d2J3-nlmz
,i r'l: \'::' ..,::jr
ir.L
r, ::it ,ll l:*s
I ,: 'i,, ',t,..,j,.' ,Lir,
i Reso'h$ión No ¿S$' 'ii
, Sea x $do d4,'gua¡$rado ABCD
poi:,¿atáii BD --1r{" i't: lj rii iu:
. N BAD (teol¿'W-á; pilágoras)
Clave B
.,"Bh2 + ADz =BD?, -+ x2 +x2 =L2
oL22
F- 4 -----"----"--
Como el arco CO ha sido trazado tomando B
como centro, enlonces BO = BC = & = 2 es
decir forman un tríángulo equilátero
Además
. mCB = 60" (ángulo cenhal)
-22-
Trazando CR Y BS, observamos que en el
centro se forrnan cuatro cuadriláteros. siendo
uno de ellos (ONTM) h veínteava parte del
área del cuadrado ABCD, además el triángulo
OCD es la cuarta pade del área del cuadrado
ABCD.
¿Qde:C"rVs¡p.3Q11
Entonc¿s
( x." )= Ano*o
_ Atrooo
[sombreada./ 4 20
*2*21242057lL'1Elzl
(*n^)L2
\*mbreadaJ 10
Resolución I.{" 26
Resolución N" 27
Por dato
. BP-5 -) BP=rc3r A6unR =8cm2
Del gráfico
( tu* )=rnu*rnIsombreada/
l\
5a^ PC=3a
24k=ffi
o N, MDC (teorema de Piiágo. ras) '
, - ,2 l'"
[s*!] +L2 =toz '
\ 2)
t225+5L+f;-+ L" = 100
ct2"- +5L-75=0
4
i Ll*riiü" BM v".ffi nara analizat las regiones
L: hiangillare li tli,i r i *..i*'-'
e ABPC (fP es:ce.viana)I .lj: .1'a6t
"'= Sf n A75pq6 = 3k
...l. ::]'
L AMÉp (Rt\l es mediana)
,'AÁr*=Aa^nc=8cm2
. ,,r AMBC (BN es mediana)..t.,:. A4smi=AAenc=8k
i .,r.i,:*r,,¡ ii:::"''
i -En.¿t$iánsulo BMC (MP es ceviana)i.uii,.,,:"r''i'i"" 13k _ 16+3k _) 39k=g0+15k53
L2 +4L-60=A
(L*6)(L+10)=0 -+ L= 6
Chve B
- 23-
( tu." 'l=or=so*(sombreada J
Clav¿ C
=80+24 =1A4 cmz
Por dato Aflneco = 20
20k=2Q -) k=1
' ( tu* . l= 3k= 3(1)= 3 mzt.smbr€ada/
R¿soh¡ción I.,1" 3O
i-llsffi*rb,4ffi,?!fl #9ll*
Clave D
OB10 ----------{
@).99)l-zJllz)) \2)
Clave B
Trasladando regiones equivalentes observamos
que se obtiene un cr¡adrante
( ñ.u ) AO *L2
[ombreada/ 4 4
T¡azando EB y analizando
triangulares
. AAn¡c =lffz -) ¡dl|z
. ABEC (EN es nredíana)
AAee¡, = AAnc =k
. Al*laeco' AAcnv -) A466v = 5k
"' AAeENa = 3k
. ABEA (EM es mediana)
A¿eerur:A¡n¡re=3k
-24-
A & Pertmetf1É --
{# eÉ& á_z'dg á:ffi
n(r+212 -n¡2 =16n
4¡n- 4n = !6n
,gfut.-.V¡¡xto.fr\t
Deahí OB = 5 -) OP=R=sJt
(-.ffi*)=9 ffi .@
:,,, rj itEntonces sí el radio menor mide r, se deduce':que i
.. t,,
=xgJll2 -to2 +L6n
= (66n -100) u2
Rcsolución ltlo 32
Recuerda (En un triángulo equilátero)
Rcsolución N" 33
En el trapecio BEDC
AAerE =AAcro *k
r rl. ii. .,fi\,"n\ot".ioti$F..$,
ta ie&plucióri'l.ss,e¡iüuentra en el problema 14:: .
.
,: ii; r:i! Clave A\ j n..,:.,,i,,-l.'.¡$-
Como S, + So = 10 m2 -).:
",,..,. W ,.-, ,irr¡rt\..
i¡ ,i.r:¡..trr .,,1t li.ri J .r;
li,, i:,
i:)li. .¡-:lt:i,
¡-','ü
Del gráfico
Clave A
Clave E
53+k=Sr+51+kSs =Sr +Sz
Ss=10m2
Clave A o D
Trasladado los arcos MN, NP, pQ y QM según
indica la figura, se deduce que el contorno de
la región sombreada está conformada por dos
círcunferencias y un cuadrado, es decir
2e
Perímebo = 2@+ Tl\--l I I
= 2(2nR)+4(2R)
= 4ztR+8R
= 4R(¡t+21
Clave A
- 25-
Como el radio mayor mide
3r-12 -)
..( An"u )=ao..,=a[sombreada]
v
Recuerda
N-'-Zl^\ ,l I
-) S=A+B
rywn*iÉ4*¡L'r,il,r,,'.,r ',', ' r[¡cr'*qdg.s*lrqQls:m¡!-
Resoh¡ción No 36
A
Del gráfico
14
1O+L2+t4p=--_z--'| *:: dni
l= uu = 120 *2\rectángulorl
R¿sohrción No 38
Sabemos que
Reemplazando
(a+b\z =a2 +bz +2ab
232 =!72 +2ab
248 =Zab120 = ab
Chr¡e A
Clave C
P=18
Sabemos AAaec =1lnb-10Xn- tZl(p-Ml,
A6aec = {88(8X6X4)
AAo"" =24J6 ".'.. (0
AdenÉs A6aec = Pxr
A6aec = 18R
Igualando (l) y (ll)
Resolucién I.{" 37
B
Por dato
Perimetuo== 46
2b +a\ = q6
a *b =23 ......(l)
En eltriángulo ADC (leorena de Pitágoras)
x el lado del cada cuadrado
xxx
- e.7.>
at¿
x=31
T_*z =g1z =g61 cm2
Como la diagonal menor es igual a uno de sr,rs
lados, entonces el triángulo ABD es equilátero
(l+nu ) ^í.'Jd) u'Jl., I t=-l- l=-'fombreadaf
[ 4 ) 2
e;m
a2 +b2 =fiz ...,.. (lI\Clave B
,'Q&€.-.1hrp80:$1
Resolución No 4O
r09ea2r el lado del cuadrado
Pordaio An=36*'
(2r\2 =36 -> 2r--6 + t=3 .
¡i
... I .o***o \= q (A=+[¡(s)l= rz' ,n\de la figura/ . i
lL r.t
:lt :ii
j:,it¡x,t.,,,'. Cla.-v¡ C
'.i l.\Resolución No 41 .jt .,,.t' ,¡i
Del enunciando ,ii,$iiri,i,¡i .¡j f
Del gráfico
( arn \ ¡R2a n 2oI l=
\ombreadaJ 360" 360"
_ ¡ut{Rz - t2\360"
Por lo tanto, para calcular el átea de la región
sombreada es necesario conoc€r [a longitud de
los radios y el ángulo que comprenden el sector
A'OB'-Clave Bjrii rir
irltlR"ouol r.iónIt" 43
, Seá r el mdio inicial
i , t\ \l,.Á ii\ini.iut = nt2
i 9r¿*.¿" su ra¡lio d¡¡rrenta en 1 cm
I \ Arüá'fi'ñ!t- nk+r)zi li ii ,¡isrri'*
i D"l enünciar¡$q,. ..;:ii
ni ..lf*,,,.$.}!- nrz =7*
-t r=3
Chve B
En eltriángulo AED
A6oeo=A¿peq=AAqro=S
En el triángulo AMQ (AE es mediana)
AAr*=AAeao=25
Por dato
Reolrción N" 42
.'Perímetroa *.,,.¡'r
Ii,l
2(3a) = x
Er s+#@¡wít&:i*:|,t,.....:,,i.,,. : .,. i"ljq;Flmgb,.llfiEpqmqüCe.]L
En eltriángulo DNP (DE es medi^na)
AAoNe=AAEop=2S
/Ñ-- A¡asgP = 12s
Además A¡r.ABcD = 6A s2
12S=60 -) S=5
. ( Á'"u )=ut= s$t=Z|uzIsombreada J
Resolución If 46
B
T10
1D
iil. En el triángulo BAD (teorema de Piiágoras)
[ = rrf"-+W+10J2 +10
BD2 =LO2 +102
BD=1OJ'
+BD+BC
Chve C
Perímetro : f^+M+Bc+ED\_-/= ¡(10)+2¡(10)+20+10
= 302¡ + 30
= 30(¡+1) cm
Cbve N.A.
- 28-
Por dato
e.
Del gráfico
Debido a que
PQ=QB Resolución No 49
Trasladando áreas
siguiente figura
l1
DP
m<ADQ = m<ADQ: m{QDC = 30"
2r(6)(30')Ad€rnas úpq=--860.-=n
Po¡ simetría s¿ observa que
(.p¿=(qc=24pq=2x
equivalentes se obliene la
Por lo tanlo
Resolución N" ¿18
B
AG
r En eltrapecio GBCF
Aaco* = Aapoc
o En el paralelograrno ABCG
A6nec=AAecc =9+S
Por propiedad del hapecio (hapecio GBCF)
s =,',6(4) -) s = 6
!&^)=o^,=e -Aa¡ca
,rQ\2 4(2\tt
-4
..21 u2
Chve C
dePubliaciona
nuco,Z2 de matz o de 201 1
PM
Clave D