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Productos notables
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Universidad de Ciencias y Humanidades
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Algo de historia: Una mirada desde la geometrıa
El Libro II de los Elementos de Euclides es un algebra geometricaque servıa mas o menos para los mismos fines que el algebrasimbolica actual.
Proposicion II.4 de Euclides: Si una lınea recta se corta de unamanera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total esigual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectangulocontenido por ambos segmentos.
Lo anterior es una forma de decir (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, lo queactualmente se conoce el cuadrado del binomio y tiene unarepresentacion geometrica.
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Multiplicacion algebraica
Dadas las expresiones algebraicas A(x) y B(x). Si multiplicamosA(x) con B(x) hallaremos otra expresion C(x) de modo que
A(x).B(x) = C(x)
en la que A(x) y B(x) se denominan factores y C(x) producto.
Ejemplos:(x + 1)(x − 1)︸ ︷︷ ︸
factores
= x2 − 1︸ ︷︷ ︸producto
(a + b)(a + b)︸ ︷︷ ︸factores
= a2 + 2ab + b2︸ ︷︷ ︸producto
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Propiedad distributiva
Dados los numeros a, b, c y d ; se cumple lo siguiente:
a.(b + c) = a.b + a.c = ab + bc
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Ejemplos:
1 x .(x + 3) = x .x + x .3 = x2 + 3x
2 (x + 1)(x − 1) = x .x + x .(−1) + 1.x + 1.(−1)
= x2 − x + x − 1
= x2 − 1
3 (x+y)2 = (x+y)(x+y) = x .x+x .y +y .x+y .y = x2+2xy +y2
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Multiplicacion de binomios con un termino en comun
(x + a)(x + b) ≡ x2 + (a + b)x + ab
Ejemplos:
1 (x + 2)(x + 5) = x2 + (2 + 5)x + 2.5 = x2 + 7x + 10
2 (x + 7)(x − 3) = x2 + (7− 3)x + 7.(−3) = x2 + 4x − 21
3 (x − 4)(x − 5) = x2 + (− 4− 5)x + (−4)(−5) = x2 − 9x + 20
(x + a)(x + b)(x + c) ≡ x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
Ejemplo:
1 (x + 1)(x + 2)(x + 3) == x3 + (1 + 2 + 3)x2 + (1.2 + 2.3 + 3.1)x + 1.2.3= x3 + 6x2 + 11x + 6
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Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2 ≡ a2 + 2ab + b2
(a− b)2 ≡ a2 − 2ab + b2
Ejemplos:
1 (x + 3)2 = x2 + 2.x .3 + 32 = x2 + 6x + 9
2 (5x − 1)2 = (5x)2 − 2.5x .1 + 12 = 25x2 − 10x + 1
3
(x +
1
x
)2
= x2 + 2.x .1
x+
(1
x
)2
= x2 + 2 +1
x2
4
(x − 1
x
)2
= x2 − 2.x .1
x+
(1
x
)2
= x2 − 2 +1
x2
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Corolario: Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a− b)2 ≡ 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a− b)2 ≡ 4ab
Ejemplos:
1(√
3 +√
2)2
+(√
3−√
2)2
= 2(√
32
+√
22)
= 2(3 + 2) =
102 (x + 3)2 − (x − 3)2 = 4.x .3 = 12x3 (n + 1)2 + (n − 1)2 = 2(n2 + 12) = 2(n2 + 1)
4(√
2 + 1)2 − (√2− 1
)2= 4.√
2.1 = 4√
2
5
(x +
1
x
)2
−(
x − 1
x
)2
= 4.x .1
x= 4
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Adrien Marie Legendre
A. M. Legendre (1752 - 1833), Matematico frances. Hizoimportantes contribuciones a la estadıstica, la teorıa de numeros, elalgebra abstracta y el analisis matematico.En 1830 dio una prueba del ultimo teorema de Fermat para elexponente n = 5, casi simultaneamente con Dirichlet en 1828.En matematicas al resolver la formula de Rodrigues, las Funcionesde Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales deLegendre:
ddx
[(1− x2) d
dx P(x)
]+ n(n + 1)P(x) = 0
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Diferencia de cuadrados
(a + b)(a− b) ≡ a2 − b2
Ejemplos:
1 (x + 3)(x − 3) = x2 − 32 = x2 − 9
2(√
5 +√
3) (√
5−√
3)
=√
52 −√
32
= 5− 3 = 2
3 (x + y + z)(x + y − z) = (x + y)2 − z2
4(
6√
x + 4√
y) (
6√
x − 4√
y)
= 6√
x2 − 4√
y2 = 3√
x − 2√
y
5(m3 + n2
) (m3 − n2
)=(m3)2 − (n2
)2= m6 − n4
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Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 ≡ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
Ejemplos:
1(x2 + x + 1
)2= (x2)2 + x2 + 12 + 2(x2.x + x .1 + 1.x2)
= x4 + x2 + 1 + 2(x3 + x + x2)
2 (x + 2y − 3)2 =
= x2 + (2y)2 + (−3)2 + 2(x .(2y) + (2y).(−3) + (−3).x)
= x2 + 4y2 + 9 + 2(2xy − 6y − 3x)
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Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3 ≡ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a− b)3 ≡ a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Ejemplos:
1 (x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x .22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
2 (3x − 2y)3 = (3x)3 − 3.(3x)2.2y + 3.3x .(2y)2 − (2y)3
= 27x3 − 54x2y + 36xy2 − 8y3
3 (x + 1)3 = x3 + 3.x2.1 + 3.x .12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1
4 (x − 1)3 = x3 − 3.x2.1 + 3.x .12 − 13 = x3 − 3x2 + 3x − 1
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Desarrollo de un binomio al cubo
Veamos ahora las formas semidesarrolladas tambien conocidascomo las identidades de Cauchy.
(a + b)3 ≡ a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a− b)3 ≡ a3 − b3 − 3ab(a− b)
Ejemplos:
1 (x + 2)3 = x3 + 23 + 3.x .2.(x + 2) = x3 + 8 + 6x(x + 2)
2 (x − 5)3 = x3 − 53 − 3.x .5.(x − 5) = x3 − 125− 15x(x − 5)
3(
3√
4 + 3√
2)3
= 3√
43
+ 3√
23
+ 3. 3√
4. 3√
2.(
3√
4 + 3√
2)
= 4 + 2 + 3. 3√
4.2.(
3√
4 + 3√
2)
= 6 + 6.(
3√
4 + 3√
2)
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Augustin Louis Cauchy
A. L. Cauchy (1789 - 1857) matematico frances.
Cauchy fue pionero en el analisis matematico y la teorıa de gruposde permutaciones, sin duda uno de los matematicos masimportantes de la historia.
Tambien investigo la convergencia y la divergencia de las seriesinfinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad yfısica matematica.
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Suma y diferencia de cubos
(a + b)(a2 − ab + b2
)≡ a3 + b3
(a− b)(a2 + ab + b2
)≡ a3 − b3
Ejemplos:
1 (x + 2)(x2 − 2x + 4
)= x3 + 23 = x3 + 8
2 (x − 5)(x2 + 5x + 25
)= x3 − 53 = x3 − 125
3 (x + 1)(x2 − x + 1
)= x3 + 13 = x3 + 1
4 (x − 1)(x2 + x + 1
)= x3 − 13 = x3 − 1
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Desarrollo de un trinomio al cubo
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ca)− 3abc
Ejemplos:
1 (x + 2y + 3z)3 =
= x3 + (2y)3 + (3z)3 + 3(x + 2y)(2y + 3z)(3z + x)
= x3 + 8y3 + 27z3 + 3(x + 2y)(2y + 3z)(3z + x)
2 (x +y +2)3 = x3+y3+23+3(x +y +2)(xy +y .2+2.x)−3x .y .2
= x3 + y3 + 8 + 3(x + y + 2)(xy + 2y + 2x)− 6xy
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Igualdades condicionales y teoremas
Si a + b + c = 0, entonces se cumplen las siguientes igualdades.
1. a2 + b2 + c2 = − 2(ab + bc + ca)
2. a3 + b3 + c3 = 3abc
Teoremas:
1. x2 + y2 = 0↔ x = 0 ∧ y = 0
2. x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx ↔ x = y = z
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Aplicaciones
1 Simplifique la expresion: (x + 5)(2x − 3)− (2x + 1)(x − 4)
2 Si se sabe que x2 + x = 1, calcule el valor de L.
L = (x + 2)(x + 1)x(x − 1) + 2
3 Determine el valor dea2
b2+
b2
a2si se sabe que
a
b+
b
a= 3.
4 Determine el valor de xy + yz + zx si se sabe quex + y + z = 3 y x2 + y2 + z2 = 5
5 Calcule el valor de ab si se sabe que a + b = 1 y a3 + b3 = 3.
6 Si x3 = 8 y x 6= 2; calcule el valor de x +4
x.
7 Calcule el valor de (x − y)2 si se sabe que x e y son dosnumeros reales que satisfacen la ecuacionx2 + y2 + 2y + 10 = 6x .
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