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Inventory Management (Deterministic Model): Dynamic Lot-Sizing Problem &
Capacitated Lot-Sizing Problem
Prof. Dr. Jinxing Xie
Department of Mathematical Sciences
Tsinghua University, Beijing 100084, China
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie
Email: [email protected]
Voice: (86-10)62787812 Fax: (86-10)62785847
Office: Rm. 1202, New Science Building
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Review: EOQ and ELSP EOQ (EPQ / EMQ)
Deterministic, statistic demand (not time-varying) Single stage (uncapacitated), infinite planning horizon
ELSP (Economic Lot-Sizing Problem): Multiple products Single stage (Single Capacitated Machine)
Multiple stage: Echelon Inventory; Powers-of-Two Policies
How about finite horizon case? Constant demand: Equal cycles, or EOQ approximation Dynamic demand (time-varying): Lot-sizing Problem
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（ Single-level Uncapacitated Lotsizing ）
某工厂生产某种产品用以满足市场需求 , 且已知在时段t 中的市场需求为 dt . 在某时段 t, 如果开工生产 , 则生产开工所需的生产准备费为 st , 单件产品的生产费为ct . 在某时段 t 期末 , 如果有产品库存 , 单件产品的库存费为 ht . ( 假设这些参数非负 )
假设初始库存为 0, 不考虑能力限制 , 工厂应如何安排生产 , 可以保证按时满足生产 , 且使总费用最小 ?
单产品、无能力限制的批量问题
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单产品、无能力限制的批量问题
0 T t
d(t)
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假设在时段 t, 产品的生产量为 xt , 期末产品的库存为 It (I0 =0); 用二进制变量 yt 表示在时段 t 工厂是否进行生产准备 . （假设不允许缺货）
.,,2,1,0,
,0
,,,2,1,0,0
,0,1
,,,2,1,..
)(min
0
1
1
TtIx
I
Ttx
xy
TtdIxIts
Ihxcysz
tt
t
tt
tttt
ttttt
T
tt
整数（０－１）规划模型 : 非线性／线性？
xt <=M*yt, yt ＝ 0 or 1, M 充分大
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可以只考虑
注：当 ct 为常数，目标函数可变为
单产品、无能力限制的批量问题
定理 (Zero-switch Property; Zero-Inventory Property)
一定存在满足条件 的最优解 .
假设费用均非负，则在最优解中 ，即 00 TII
T
tt
T
tt dx
11
)(1
ttt
T
tt Ihysz
)1(01 TtxI tt
Ttttttt ddddddx 11 ,,,,0
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单产品、无能力限制的批量问题
记 wij 为第 i 时段生产 时所导致的费用 ( 包括生产准备费、生产费和库存费 ), 即
其中网络：从所有节点 i 到 j (> i) 连一条弧 , 弧上的权为 wi,j-1 , 如 T=4
时：
1j
it ttiiiij Ihxcsw
01 jiii dddx
jitt dddI 21)1( jti
1 2 3 4 5w11 w33 w22 w44
w34 w23 w12
w13 w24
w14
即从节点 1 到 5找一条最短路
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动态规划求解
用 ft 表示当 t 时段初始库存为 0 时，从 t 时段到 T 时段的子问题的最优费用值 ( 即从节点 t 到 T+1 的最短路长 )
最优值（费用）为 f1 . 计算复杂性为
][min
,0
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1
fwf
f
tTt
t
T
)( 2TO
1990(OPERIONS RESEARCH), 1991(Management Science):
对 s, c, h 与 t 无关的情形，找到 O(T) 的算法；否则找到 O(T logT ) 的算法
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注：如何计算 wij ？ in O(T2)?记
for i=1,2,…,T
{ A=0; B=0; C=0;
for j=i,i+1,…,T
{ A=A+dj;
if (j>i) B=B+hj-1;
C=C+B*dj;
if (A=0)
wij=0;
else
wij=si+ci*A+C;
}
}
0 if,0
0 if,1,ji
ji
j
it titjiii
ijd
dhddcsw
jiiji
jiiji
hhhh
dddd
1
1 ;
算法（计算 wi,j ） in O(T2)
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单产品、无能力限制的批量问题：另一种建模方法
1 2 3 4I1
x1
0
T
ttd
1
x2 x3 x4
I2 I3
d1 d2 d3 d4
凹费用（ concave cost ）最小费用流问题
模型扩展：• 提前期非０• 允许缺货• 价格折扣• 非线性成本• Inflation
• 有限能力• 多级系统• ……
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Lot-sizing in Serial System
Serial system （ Love ， 1972, MS):
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Serial System
1
2
N
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Serial System
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Serial System
N=3
n=4
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Serial System
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Serial System: Algorithm Design
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Serial System: Dynamic Programming
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Serial System: Computational complexity
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Multi-stage system
Serial system （ Love ， 1972, MS):
Assembly system ： IN-TREE (1984, MS):
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Multi-stage system
Distribution system
General
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Earlier researches in the field
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General multi-stage system
When production capacity is INFINITE, Dynamic lot-sizing problem (DLSP)
(also called uncapacitated CLSP, since DLSP sometimes refers to Discrete Lot-Sizing Problem)
When production capacity is incorporated,
then problem is much more difficult
(strongly NP-hard) Capacitated lot-sizing problem (CLSP)
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HGA for General CLSP
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General CLSP Model
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Review of this lecture: DLSP & CLSP
Finite horizon, Dynamic demand Single stage (WW algorithm) Serial system (Love) Assembly system Distribution system General system
What can be generalized to DLSP and CLSP Zero-Switch Policy Nested Policy Echelon Inventory
