E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 1
PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA FINITA
(FIR)[Cap. 6]
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 2
Considerazioni generali sul progetto di filtri numericiSpecifiche di progetto
_______________________________________________________________________
L’obiettivo è di progettare una funzione di trasferimento H(z) di un sistema LTI realizzabile (FIR o IIR) la cui risposta in frequenza H(F) approssimi (con criterio opportuno) la desiderata (ideale) Hd (F).
In genere Hd(F) non può essere realizzata esattamente. Occorre stabilire delle tolleranze accettabili della
approssimazione → Specifiche di progetto
)()()( FXFHFY d=)(FX)(FHd
• Operazione di filtraggio di un segnale
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 3
Esempio: passa-basso
12δ
2δ
21 FF1 F2
1
21 FF0
1
F0
ideale)( FH d
progettareda )( FH
Il filtro ideale non è realizzabile (discontinuità):• si impone una banda di transizione F1÷F2 • si impongono una deviazione max in banda passante
e una deviazione max in banda attenuata• nessun vincolo nella banda di transizione (salvo ovvie anomalie)
2δ1δ
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PROGETTO DI FILTRI FIR(Finite Impulse Response)
[ ]nx [ ] [ ] [ ]∑−
=
−=1
0
N
k
knxkhny[ ]nh
Proprietà e caratteristiche principali- Filtri FIR sono fra i più usati- Possono avere una risposta in fase
esattamente lineare (assenza di distorsione di fase e di gruppo)
Progettare h[n] che abbia una realizzabile risposta in frequenza H(F)
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- Sempre stabili
- Strutture più facili da realizzare
- Minore sensibilità nei confronti di una realizzazione con aritmetica a precisione finita
- Possono richiedere un numero di operazioni anche elevato
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 6
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO e
RISPOSTA IN FREQUENZA
[ ] [ ] [ ]∑−
=
−=1
0
N
k
knxkhny
Funzione di trasferimento
[ ]∑−
=
−=1
0
)(N
n
nznhzH solo zeri (escludendo l’origine)
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Risposta in frequenza
[ ] ,)(1
0
2∑−
=
−=N
n
nFjenhFH π
cffF = frequenza normalizzata
)()( FjeFA ϕ=
,)(FA
,)(Fϕ
risposta di ampiezza
risposta di fase
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 8
da cui si ottengono:
,2
)()(F
FFπ
ϕ−=Δ
,)(21)(
dFFdF ϕ
πτ −=
ritardo di fase (campioni)
ritardo di gruppo(campioni)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 9
Fase lineare
aFF −=)(ϕ
cost 2
)()( ====Δ απ
τ aFF
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 10
A. (tipo 1 e 2)
h[n] = h[N - 1 – n], risposta simmetrica
Condizione per la fase lineare (FIR reali)[Cap. 3.9]
0 1 2 3 4 5 6 n
N=7 (dispari)
0 1 2 3 4 5 n
N=6 (pari)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 11
[ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=
∑
∑
−
=
−−
−
=
−−
12
0
212
23
0
212
212cos2
212cos2
21
)( N
n
NFj
N
n
NFj
NnFnhe
NnFnhNhe
FH
π
π
π
π
)(Fje ϕ A_(F)
Ndispari
Npari
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 12
la fase è esattamente lineare e vale)(Fϕ
212)( −
−=NFF πϕ
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 13
212
)_()(−
−=
NFjeFAFH
π
)_(FA funzione reale
Es.:
Passa basso Passa altoPassa banda Multi-banda
⎧⎨⎪
⎩⎪
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 14
Ritardo
21)()( −
==ΔNFF τ intero (N dispari)
intero + 1/2 (N pari)
N dispari
Uscita (ritardata) generata in corrispondenza di istanti di campionamento dell’ingresso (stesso pettine di campionamento)
N pariUscita (ritardata) generata in corrispondenza di istanti di campionamento traslati di T/2 rispetto all’ingresso (pettine di campionamento traslato di T/2 )
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 15
B. (tipo 3 e 4)
h[n] = - h[N - 1 – n], risposta antisimmetrica
0 1 2 3 4 5 6 n
0 1 2 3 4 5 n
N=7 (dispari)
N=6 (pari)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 16
[ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−
=
∑
∑
−
=
−−
−
=
−−
12
0
212
21
0
212
2122
2122
)( N
n
NFj
N
n
NFj
NnFsennhje
NnFsennhje
FH
π
π
π
π
)(Fje ϕ A_(F)
Ndispari
Npari
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 17
la fase vale)(Fϕ
212
2)( −
−−=NFF ππϕ
lineare a meno del fattore costante -π/2 ( fase lineare generalizzata)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 18
212
)_()(−
−=
NFjeFAjFH
π
)_(FA reale
Es.:derivatori
⎩⎨⎧
−==
FFAcFFAsgn)_(
)(_
tr. Hilbert
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 19
Ritardo
Come nel caso precedente è uguale a
21−N campioni
In più è introdotta una rotazione di fase di 90° [ a seconda del segno di A_(F) ] per ogni componente spettrale.
±
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 20
Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)
• FIR fase lineare
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 22
METODI DI PROGETTO FILTRI FIRTre metodi base fondamentali
[altri nei Cap. 6.6 e 6.9]
Metodo delle finestre Vantaggi- Semplicità- A(F) 0.5 alla frequenza di taglio nominaleSvantaggi- Funzione nota analiticamente ed integrabile- Deviazioni uguali in banda passante e attenuata- Deviazioni massime non costanti- N più grande per confrontabili risposte in
frequenza
≅
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 23
Metodo del campionamento in frequenza
Vantaggi- Applicabile a qualunque risposta in
frequenza- Disponibilità di programmi di progetto
Svantaggi- Controllo difficile delle deviazioni- Oscillazione della deviazione non costante- N più grande per confrontabili risposte in
frequenza
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 24
Criterio di Chebychev (minmax o equiripple)
Vantaggi- Criterio ottimo- N più piccolo per confrontabili risposte
in frequenza- Disponibilità di programmi di progetto
Svantaggi- Relativa flessibilità rispetto alla risposta
in frequenza desiderata- Progettazione più onerosa dal punto di
vista dei tempi di calcolo
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 25
METODO DELLE FINESTRE[Cap. 6.4 e 6.5]
Data una desiderata Hd (F) : per esempio
+∞<<∞− n
1
-F1F1 F
passa basso ideale
[ ] ∫−
=2/1
2/1
2)( dFeFHnh nFjdd
π
21
21
−
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 26
- il troncamento fra dà luogo al fenomeno delle oscillazioni di Gibbs
10 −≤≤ Nn
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 27
- finestre w[n] per ridurre le oscillazioni (problema analogo al caso delle stime spettrali)
[ ] [ ] [ ],nwnhnh d= 10 −≤≤ Nn
Una delle più usate (buon compromesso prestazioni /complessità)
[ ] ,1
2cos46.054.0−
−=N
nnw π
(Hamming)
10 −≤≤ Nn
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 28
Rettangolare
[ ] 1=nw
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤−
−−
−≤≤
−=1
21,
122
210,
12
NnNN
n
NnN
n
nw
Bartlett
Esempi di finestre 10 −≤≤ Nn
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 29
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=
12cos1
21
Nnnw π
Hanning
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=
12cos46.054.0N
nnw π
Hamming
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=
14cos08.0
12cos5.042.0
Nn
Nnnw ππ
Blackman
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 30
Kaiser
[ ]⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎭⎬⎫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
21
21
21
0
22
0
NwI
NnNwI
nw
α
α
( )=•0I
=αw
funzione di Bessel modificata di ordine zeroparametro di controllo per la larghezza del lobo principale e per l’ampiezza dei lobi laterali.Valori tipici: 9
214 <
−<
Nwα
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 31
Alcuni esempi (fase lineare)
21−
=Nα
1. Passa banda generalizzato
απFjd eFH 2)( −= 21 FFF <<
A_(F)
F1 F2 F21
1
-F1-F2
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 32
[ ] ( ) ( )[ ]{ −−−
= απαπ
nFsenn
nhd 221
[ ] 0,)(2 12 =−−= αnFFnhd ( N dispari)
( )[ ] } 0,2 1 ≠−− ααπ nnFsen
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 33
2. Derivatore generalizzato
απFjd eFjFH 2)( −=
A_(F)
F1 F2 F21
1
-F2 -F1
Caso particolare per derivatore a larga banda: F1 = 0 , F2 = 0.5
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 34
[ ] [ ]−
⎩⎨⎧
−−−−
ααππαππ
π nnFFnFF )(2cos2)(2cos2
21 1122
2
[ ] [ ] 0,)(
)(2)(22
12 ≠−⎭⎬⎫
−−−− α
ααπαπ n
nnFsennFsen
[ ] 0 ,0 =−= αnnhd ( N dispari)
[ ]=nhd
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 35
3. Trasformatore di Hilbert generalizzato
,sgn)( 2 απFjd eFjFH −−= 21 FFF <<
A_(F)
F1 F2
F21
1
-F2 -F1
Caso particolare per trasf. Hilbert a larga banda: F1 = 0 , F2 = 0.5
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 36
[ ] ( ){ ( )[ ]−−−
= απαπ
nFn
nhd 12cos1
( )[ ] } 0,2cos 2 ≠−− ααπ nnF
[ ] 0,0 =−= αnnhd ( N dispari)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 37
ESEMPI
Progetto di filtro passa basso (N=41, banda passante 0-0.25)Risposte in ampiezza (lineare e in dB) dei filtri progettati col metodo delle finestre confrontate con la risposta ideale desiderata.
Passa Basso - Hamming
Risposta impulsiva del filtro progettato con la finestra diHamming.Notare i campioni nulli a passi dispari dal campionecentrale, tipici di un filtro “half-band”.
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 38
Passa Banda - Hamming Progetto di filtro passa banda (N=51, F1=0.20, F2=0.30)Risposte in ampiezza (lineare e in dB) dei filtri progettati col metodo delle finestre confrontate con la risposta ideale desiderata.
Risposta impulsiva del filtro progettatocon la finestra di Hamming.
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 39
METODO DEL CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA
[Cap. 6.7]
Si campiona la risposta in frequenza desiderata in N punti equispaziati
[ ] )(FHkH d=NkF =
10 −≤≤ Nk
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 40
Si calcolano
[ ] [ ] }{ ,kHIDFTnh N= 10 −≤≤ Nn
che implica un errore
NkF ≠
[ ] )(1
1)(
0)()()(
1
0 22
2
FHee
kHN
eFE
FHFHFE
d
N
k FjkN
j
NFj
d
−−
−=
≠−=
∑−
= −
−
ππ
π
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 41
Per ridurre E(F)
Fsi fanno variare i campioni nella banda di transizione, fino a minimizzare una norma prescelta di E(F). Generalmente due o tre campioni nella banda di transizione sono sufficienti. Soluzione mediante tecniche di programmazione lineare.Osservazione: applicabile a qualunque
risposta in frequenza
0 1/2 1
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 42
CRITERIO DI CHEBYCHEV[Cap. 6.8]
Con questo metodo si vuole minimizzare l’errore massimo della risposta in ampiezza ovvero avere uguali deviazioni massime rispetto alla risposta in ampiezza desiderata (minmax, equiripple).Le deviazioni massime possono essere diverse in banda passante e in banda attenuata.
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 43
Si parte dalle specifiche (es. passa-basso)
1δ
Kδ /12 δ=
deviazione max in banda passante
deviazione max in banda attenuatacon K costante definita
12δ
2δ
21 FF1 F2
1
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 44
2121 δδFFN
cinque parametri interdipendenti(es. passa-basso)
per filtri di tipo diverso (es. multibanda) iparametri interdipendenti sono N , gli estremidelle bande e le deviazioni
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 45
Algoritmo (Programma) di Parks - McClellan(solo FIR a fase lineare)
Ingressi UsciteTipo di filtro (1=multibanda 2=derivatore 3=Hilbert)
Numero, Estremi, Valori nominali delle bande (passanti e attenuate)Peso relativo K
(rapporto della deviazione in banda passante e in banda attenuata)
h[n]
21 , δδ(equiripple, minmax)
• N
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 46
Stima della lunghezza N per FIR a fase lineare[Cap. 6.3]
Una delle più semplici: stima di N per passa-basso (errore entro 10%)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≅21
1012 10
1log132
δδFFN
Proprietà generaleN è inversamente proporzionale alla larghezza della banda di transizione normalizzata F2 - F1
Diverse formule empiriche
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 47
N è meno sensibile a variazioni di 21 δδ e
N non dipende da F1 e da F2 singolarmente, ma solo dalla b. di transizione ΔF=(F2 - F1)
[ con ottima approssimazione]
La stima di N si può estendere ragionevolmente anche a filtri di tipo diverso dal passa-basso
Passa Basso - Parks-McClellan
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 48
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-100
-80
-60
-40
-20
0
Ris
post
adi
mpi
ezza
(dB
)
F freq. normalizzata
Parks-McClellan
Filtro PASSA BASSO
Risposta di ampiezza e impulsivadi un filtro passa-basso equiripple
N=41F1=0.2 fine banda passante F2 =0.3 inizio banda attenuata K =1 peso relativo
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 49
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Ris
post
adi
Api
ezza
(dB
)
F freq. normalizzata
Parks-McClellan
Filtro PASSA BANDA
Passa Banda - Parks-McClellan
Risposta di ampiezza e impulsiva di un filtro passa-banda equirippleN=51F1= 0.15 fine I banda attenuata F2= 0.20 inizio banda passante F3 =0.30 fine banda passante F4 =0.35 inizio II banda attenuata
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-25
-20
-15
-10
-5
0
Ris
post
adi
Ampi
ezza
(dB
)
F freq. normalizzata
Trasformatore di Hilbert
Trasformatore di Hilbert - Parks-McClellan
Risposta di ampiezza e impulsiva di un trasformatore di Hilbert equirippleN=31F1= 0.05 inizio banda trasformatoreF2= 0.45 fine banda trasformatore
00.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45R
ispo
sta
di A
mpi
ezza
F freq. normalizzata
Parks-McClellan
Derivatore
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 51
Risposta di ampiezza e impulsiva di un derivatore equirippleN=20F1= 0.05 inizio banda derivatoreF2 =0.45 fine banda derivatore
Derivatore - Parks-McClellan
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 52
Confronto FIR – Metodi Chebychev e finestre
Confronto di progetti per un filtro passa-basso- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan
(equiripple)N=60, F1 = 0.20 fine banda passante , F2 = 0.30 inizio banda attenuata
Confronto di progetti per un filtro passa-alto- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan
(equiripple)N=61, F1 = 0.20 fine banda attenuata , F2 = 0.30 inizio banda passante
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 53
Confronto di progetti per un filtro passa-banda- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan
(equiripple)N=120, 0-0.15 prima banda attenuata, 0.2-0.3 banda passante, 0.35-0.5 seconda banda attenuata
Confronto di progetti per un filtro elimina-banda- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan(equiripple)N=121, 0-0.15 prima banda passante, 0.2-0.3 banda attenuata, 0.35-0.5 seconda banda passante
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 54
Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)
• FIR-finestre• FIR-equi• FIR-confronto
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 55
STRUTTURE REALIZZATIVE[Cap. 4]
Rappresentano la struttura realizzativa dell’algoritmo di filtraggio.
Non necessariamente coincide con la struttura realizzativa circuitale.
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 56
Struttura Diretta
z-1 z-1 z-1x[n]
h[0] h[1] h[2] h[N-2] h[N-1]
y[n]
[ ] [ ] [ ]∑−
=
−=1
0
N
kknxkhny[ ] ,)(
1
0∑−
=
−=N
n
nznhzH
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 57
Teorema di trasposizione
La funzione di trasferimento del sistema non cambia applicando le regole di trasposizione ad una struttura realizzativa.
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 58
- un’operazione di moltiplicazione per una sequenza g[n] si trasforma in una moltiplicazione per g[-n]
- L’operazione di sottocampionamento si trasforma in operazione di incremento della frequenza di campionamento dello stesso fattore e viceversa
- punti di diramazione diventano punti di somma e viceversa
Regole di trasposizione
- scambiare ingresso e uscita
- invertire il senso del flusso dei segnali
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 59
Operazioni di trasposizione fra strutture realizzative
INGRESSO USCITA
M M
X
g[n] g[-n]X
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 60
Struttura Trasposta
ComplessitàEntrambe richiedono:
N moltiplicazioni N - 1 somme
z-1
x[n]
h[0]h[N-2]h[N-1]
y[n]z-1 z-1
h[N-3]
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 61
FIR a fase lineare:
z-1
z-1 z-1
x[n]
h[0] h[1]
y[n]
z-1
z-1 z-1
N dispari
h[N-1 ]2
h[N-3 ]2
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 62
z-1
z-1 z-1
x[n]
h[0] h[1]
y[n]
z-1
z-1 z-1
N pari
h[N-1]2
h[N-2]2
z-1
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 63
Complessità
Moltiplicazioni :
Somme :
( N dispari)
( N pari)
21+N
2N
1−N
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 64
FIR a campionamento in frequenza
In alternativa alle strutture precedentiRicordiamo:
[ ]∑−
= −
−
−
−=
1
02
11
1)(N
k kN
j
N
ez
kHNzzH π
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 65
Nz −−1
111
−− z
Nπj
ez2
11
1−−
)(NNπj
ez12
11
1−−−
x[n]
[ ]N
H 0
[ ]N
H 1
[ ]NNH 1−
y[n]