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Programaci´ on Matem´ atica Programaci´ on no lineal Regla para resolver el problema general ´ Optimos globales Programaci´ on no lineal Jes´ us Get´ an y Eva Boj Facultat d’Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jes´ us Get´ an y Eva Boj Programaci´ on no lineal 1 / 51
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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Programacion no lineal

Jesus Getan y Eva Boj

Facultat d’Economia i EmpresaUniversitat de Barcelona

Marzo de 2014

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Programacion no linealFormulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Regla para resolver el problema generalAlgorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Optimos globales

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Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Max f (x1, . . . , xn)g1(x1, . . . , xn) ≤ 0.g2(x1, . . . , xn) ≤ 0.. . . . . . . . .gm(x1, . . . , xn) ≤ 0.

con

{f , gi ∈ C2(D) ,D ⊂ Rn abierto.

(1)

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

El conjunto de soluciones factibles es:

K = {~x ∈ Rn | g1(~x) ≤ 0 , . . . , gm(~x) ≤ 0}.

El conjunto factible consta de interior, vertices y frontera que no esvertice.

Las funciones f (~x) y gi (~x) con i = 1, . . . ,m, pueden ser lineales ono lineales.

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Las restriciones pueden ser con ≥ o =, con objeto de

(i) estandarizar el problema y facilitar su estudioy(ii) resolucion

haremos la siguiente tabla de conversion:

Si son de la forma gi (~x) ≤ bi , se cambia por gi (~x)− bi ≤ 0.Si son de la forma gi (~x) ≥ bi , se cambia por bi − gi (~x) ≤ 0.Si son de la forma gi (~x) = bi , se cambian por gi (~x)− bi ≤ 0.

bi − gi (~x) ≤ 0.

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Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

El estudio que hacemos a continuacion es paralelo al que hemoshecho para los programas matematicos con restricciones deigualdad. Primero, definimos los conceptos de restriccionessaturadas.

DefinitionDado el programa (1). El punto ~x o ∈ K se dice que satura unarestriccion g(~x) (o que es una restriccion activa) si y solo si alsustituirlo en la restriccion cumple g(~x o ) = 0.

Notese que, si un punto factible satura una restriccion este lacumple con el signo igual, en caso contrario, si no satura larestriccion o no es activa este sera <.

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Cosideramos un punto ~xo ∈ K que es optimo para el programa(1).

El punto ~xo ∈ K saturara algunas restricciones, sea Γ el conjuntode ındices de las restricciones saturadas o activas por ~xo .

DefinitionDado el programa (1). Un punto ~x o ∈ K es regular si y solo si losgradientes de las restricciones saturadas o activas en ~x o forman unconjunto de vectores linealmente independiente.

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Dicho de otra manera, si Γ es conjunto de ındices de lasrestricciones saturadas (o activas) y |Γ| es el numero derestricciones saturadas, tenemos

rango Jg(~xo) = rango

∇gi (~xo)

...∇gk(~xo)

= |Γ| .

k ∈ Γ

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Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Como punto de partida utilizaremos el problema de programacionno lineal en forma canonica (1) y consideraremos el punto ~xo ∈ Kcomo maximo local del problema (1).

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Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Sabemos, por el teorema de Lagrange, que si ~xo es regular ymaximo local de (1) y satura o hace activas k = |Γ| restricciones,entonces

existen λo1 , . . . , λok ∈ R, unicos con λoi > 0 , ∀i ∈ Γ tales que

∇f (~xo) = λo1∇g1(~xo) + · · ·+ λok∇gk(~xo).

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Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Nuestro problema es encontrar el punto donde la funcion alcanza elvalor maximo, por esta razon, no conocemos las restriccionessaturadas con antelacion.Para salvar esta situacion, anadiremos el resto de las restricciones(las no saturadas o no activas) y diremos que λoi = 0 para todasellas y con el fin de garantizar la eleccion de los signos de λintroducimos la siguiente ecuacion

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Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

λoi gi (~xo) = 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m.

Esta relacion nos dice que

(i) Si el punto ~xo satura la restriccion i (gi (~xo) = 0)⇒ λoi > 0.

(ii) Si el punto ~xo no satura la restriccion i (gi (~xo) < 0)⇒ λoi = 0.

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Formulacion general del problemaOptimos localesCondicion de regularidadCondiciones de Kuhn-Tucker

Condicion necesaria de maximo:

TheoremDado el programa (1) con ~xo regular.Si ~xo es maximo local ⇒ debe haber multiplicadoresλo1 , . . . , λ

om ∈ R, tales que satisfagan

a) ∇f (~xo)− λo1∇g1(~xo)− · · · − λom∇gm(~xo) = 0,b) λoi gi (~x

o) = 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m},c) λoi ≥ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m},d) gi (~x

o) ≤ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.

Al igual que en los problemas con restricciones de igualdad, elmultiplicador λoi se podrıa considerar como el precio sombra parala i-esima restriccion de (1). Observamos que tambien debemosincluir en las restricciones las de no negatividad (i.e. xi ≥ 0 ).

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

La reglaEl enfoque basico consiste en convertir el problema (1) en uno sinrestriciones mediante la funcion de Lagrange.

Lo haremos por pasos.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Paso 1. Escribir la funcion lagrangiana

L(~x ;~λ

)= f (~x)−

m∑i=1

λigi (~x).

Notese que estan todas las restricciones. Los λi son losmultiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Paso 2. Calculamos el Jacobiano de las restricciones

Jg(~xo) =

∇g1(~x)...∇gm(~x)

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Paso 3. Calcular el gradiente de la funcion lagrangiana.

∇xL(~x ;~λ

)e igualar a cero.

∂L(~x ;~λ

)∂xi

=∂f (~x)

∂xi−

m∑i=1

λigi (~x)

∂xi= 0 para todo i ∈ {1, . . . , n}.

Calcularemos las derivadas parciales con respecto a cada una de lasvariables de decision y las igualaremos a cero.

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Paso 4. Imponemos las condiciones de holgura complementaria

λi ≥ 0 para todo i ∈ {1, . . . ,m}.

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Paso 5. Decisiones sobre el signo de λi

λigi (~x) = 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Paso 6. Escribimos las condiciones de factibilidad de la solucion

gi (~x) ≤ 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Los posibles resultados del problemas seran la o las soluciones delsiguiente sistema:

∂f (~x)∂xi−

m∑i=1

λigi (~x)∂xi

= 0 para todo i ∈ {1, . . . , n}.

λi ≥ 0 para todo i ∈ {1, . . . ,m}.λigi (~x) = 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m.gi (~x) ≤ 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m.

→ El ~xo que es candidato a optimo.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Las soluciones de (1) tienen que estar en el conjunto factible K ,mas concretamente en uno de los conjuntos siguientes:

O1 conjunto de puntos del interior de K .O2 conjunto de puntos de la frontera que no sean vertices de K .O3 conjunto de puntos que son vertices de K .

Esta idea, nos permitira localizar las soluciones e interpretar suposicion geometrica en el problema.

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Encontrar la solucion del problema

max 3x1 + x2,s.a: x2

1 + x22 − 5 ≤ 0,

x1 − x2 − 1 ≤ 0.

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Paso 1.

L (x1, x2 : λ1, λ2) = 3x1+x2−λ1(x21 + x2

2 − 5)−λ2 (x1 − x2 − 1) .

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Paso 2.

Jg(~xo) =

(2x1 2x21 −1

)

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Paso 3.∂L(~x ;~λ

)∂x1

= 3− 2λ1x1 − λ2 = 0,

∂L(~x ;~λ

)∂x2

= 1− 2λ1x2 + λ2 = 0.

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Paso 4.λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0.

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Paso 5.λ1(x21 + x2

2 − 5)

= 0,λ2 (x1 − x2 − 1) = 0.

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Paso 6.x21 + x2

2 − 5 ≤ 0,x1 − x2 − 1 ≤ 0.

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Escribimos el sistema de inecuaciones que tenemos que resolver enuna matriz

3− 2λ1x1 − λ2 = 0 λ2 ≥ 0 x21 + x2

2 − 5 ≤ 01− 2λ1x2 + λ2 = 0 λ1

(x21 + x2

2 − 5)

= 0 x1 − x2 − 1 ≤ 0λ1 ≥ 0 λ2 (x1 − x2 − 1) = 0

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Nos ayudamos a determinar el caso que tenemos que resolvermediante un diagrama basado en que la solucion debe saturar(λ 6= 0) o no saturar (λ = 0) las restricciones.

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λ1 λ2 Significado La solucion esta

↗ 6= 0 satura las dos restricciones en un vertice6= 0

↘ = 0 satura la 1 y no satura la 2 en frontera no vertice

↗ 6= 0 no satura la 1 y satura la 2 en frontera no vertice= 0

↘ = 0 no satura la 1 y no satura la 2 en el interior

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Mediante un dibujo del conjunto factible y las curvas de nivel de lafuncion objetivo sabemos que la solucion esta en un vertice, enconsecuencia, el caso a estudiar es el λ1 6= 0 y λ2 6= 0.

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Figure: grafica

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Sustituimos la informacion en las ecuaciones, en nuestro caso, quelas restricciones se saturan3− 2λ1x1 − λ2 = 0 λ2 > 0 x2

1 + x22 − 5 = 0

1− 2λ1x2 + λ2 = 0 λ1(x21 + x2

2 − 5)

= 0 x1 − x2 − 1 = 0λ1 > 0 λ2 (x1 − x2 − 1) = 0

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Resolvemos el sistema por sustitucion

x21 + x2

2 − 5 = 0x1 − x2 − 1 = 0

}→nos da dos soluciones

si x2 = −2 entonces x1 = −1.si x2 = 1 entonces x1 = 2.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Resolvemos el sistema siguiente para cada caso

3− 2λ1x1 − λ2 = 01− 2λ1x2 + λ2 = 0

}

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Caso (x1, x2) = (−1,−2)

→ 3 + 2λ1 − λ2 = 01 + 4λ1 + λ2 = 0

}→ la solucion es λ1 = −2

3, λ2 =

5

3contradiciendo que estos valores tienen que ser positivos, portanto, abandonamos este caso.

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Caso (x1, x2) = (2, 1)

→ 3− 4λ1 − λ2 = 01− 2λ1 + λ2 = 0

}→ la solucion es λ1 =

2

3, λ2 =

1

3siendo

los dos positivos.

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Como la matriz Jacobiana era funcional, no hemos podido saber surango, sustituyendo la solucion encontrada en ella y calculando surango

rango de

(4 21 −1

)es 2, que coincide con el numero de

restricciones saturadas, luego el punto es regular y como no hayninguna contradiccion con las inecuaciones, consideraremos que elcandidato a maximo es

(xo1 , x

o2 ;λo1 , λ

o2) =

(2, 1;

2

3,

1

3

).

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Faltarıa comprobar que efectivamente es el maximo.

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Regla para resolver el problema generalOptimos globales

Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

TheoremDado el programa (1) y un punto ~xo que es regular y que cumplela condicion necesaria de optimalidad.Si para todo vector ~v ∈ RN distinto del vector nulo tal que

~vT · ∇gj(~xo) = 0 para todo j ∈ Γ

y ~vTH~xL(~xo ;~λo

)~v es definida negativa, entonces ~xo es maximo

local.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

El conjunto Γ es de ındices de las restricciones saturadas. Noteseque el vector v es ortogonal a todos los gradientes de lasrestricciones que son saturadas por ~x y la matriz hessiana estacalculada unicamente para las variables ~x .

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

En definitiva nos dice que la forma cuadratica (el hessiano)restringida a las direcciones factibles ~v tiene que ser definidanegativa.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

En el caso de que la forma cuadratica H~xL(~xo ;~λo

)sea definida

negativa, la forma cuadratica restringida a ~v tambien lo sera, enconsequencia podemos decir directamente que el punto ~xo esmaximo local.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Tenemos que el Lagrangiano es

L (x1, x2 : λ1, λ2) = 3x1 + x2−λ1(x21 + x2

2 − 5)−λ2 (x1 − x2 − 1) .

El hessiano en el candidato (xo1 , x

o2 ;λo1 , λ

o2) =

(2, 1;

2

3,

1

3

)sera:

H~xL(~x ;~λ

)=

(−2λ1 00 −2λ1

);

H~xL(~xo ;~λo

)=

−4

30

0 −4

3

que es definida negativa, en consequencia el punto ~xo es maximolocal.

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Min f (x1, . . . , xn)g1(x1, . . . , xn) ≥ 0.g2(x1, . . . , xn) ≥ 0.. . . . . . . . .gm(x1, . . . , xn) ≥ 0.

con

{f , gi ∈ C2(D) ,D ⊂ Rn abierto.

(2)

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Algorıtmo basico: La ReglaUna vision geometrica practica de la solucionUn ejemplo academico clarificadorCondicion suficienteContinuacion del ejemplo academico

Condicion necesaria de mınimo:

TheoremDado el programa (2) con ~xo regular.Si ~xo es mınimo local ⇒ debe haber multiplicadoresλo1 , . . . , λ

om ∈ R, tales que satisfagan

a) ∇f (~xo)− λo1∇g1(~xo)− · · · − λom∇gm(~xo) = 0,b) λoi gi (~x

o) = 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m},c) λoi ≥ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m},d) gi (~x

o) ≥ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.

Observamos que tambien debemos incluir en las restricciones lasde no negatividad (i.e. xi ≥ 0 ).

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Caso programa concavo

TheoremDado el programa (1). Si la funcion f es concava, K es unconjunto convexo y ~xo ∈ K es regular. Son equivalentes:1. ~xo ∈ K es maximo local.2. ~xo ∈ K es maximo global.3. ∃ λo1 , . . . , λ

om ∈ R, unicos y tales que

a) ∇f (~xo)− λo1∇g1(~xo)− · · · − λom∇gm(~xo) = 0.b) λoi gi (~x

o) = 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.c) λoi ≥ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.d) gi (~x

o) ≤ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.

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El teorema anterior nos asegura que para un programa concavo lascondiciones necesarias de Kuhn–Tucker son suficientes paramaximo y en un programa convexo, las condiciones necesarias deKuhn–Tucker son suficientes para mınimo.

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Caso programa convexo

TheoremDado el programa (2). Si la funcion f es convexa, K es unconjunto convexo y ~xo ∈ K es regular. Son equivalentes:1. ~xo ∈ K es mınimo local.2. ~xo ∈ K es mınimo global.3. ∃ λo1 , . . . , λ

om ∈ R, unicos y tales que

a) ∇f (~xo)− λo1∇g1(~xo)− · · · − λom∇gm(~xo) = 0.b) λoi gi (~x

o) = 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.c) λoi ≥ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.d) gi (~x

o) ≥ 0 , ∀i ∈ {1, . . . ,m}.

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