PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

PRO-1027

Dérivation numérique

Introduction Dérivation numérique

– Différences finies

– Polynômes d’interpolation et d’approximation Travail pratique 5

Introduction

Dans plusieurs problèmes nous avons besoin de calculer la dérivée d’une fonction

Deux approches existent pour résoudre ce problème Une première, qui estime les valeurs de la dérivée

lorsqu’une fonction est connue mais dont sa dérivée ne peut pas être déduite analytiquement

L’estimation de la dérivée peut se faire par une approche aux différences finies de la forme:

x

xfxxf

dx

xdf

)()()(

Introduction

Une seconde approche est de calculée la dérivée des polynômes d’interpolation ou d’approximation dont nous pouvont déduire la forme analytique

Dérivation numérique (différences finies)

Les méthodes aux différences finies découlent de la série de Taylor:

!3

)()(

!2

)()()()()(

3

3

32

2

2 x

dx

xdfx

dx

xdfx

dx

xdfxfxxf

Si nous éliminons les termes d’ordre supérieur ou égal à 2 nous obtenons

xdx

xdfxfxxf

)()()(

En isolant le terme dérivé nous obtenons

x

xfxxf

dx

xdf

)()()( • Différence avant d’ordre 1

Dérivation numérique (différences finies)

L’approximation d’ordre 2 de la dérivée première de f(x) est obtenue en incluant un second terme à la série de Taylor:

!2

)()()()(2

2 x

dx

xdf

x

xfxxf

dx

xdf

Nous devons estimer d’abord la dérivée seconde en utilisant une méthode aux différences finies de la forme:

x

xfxxf

dx

xdf

)(')(')(

2

2

Dérivation numérique (différences finies)

Si nous substituons le résultat de l’estimation de la dérivée première par différence finie d’ordre 1 nous obtenons

Nous pouvons alors déduire une approximation d’ordre 2 de la dérivée première

22

2

)(

)()(2)2()(

x

xfxxfxxf

dx

xdf

• Approximation de premier ordre de la dérivée seconde

x

xfxxfxxf

dx

xdf

x

dx

xdf

x

xfxxf

dx

xdf

2

)(3)(4)2()(!2

)()()()(2

2

Dérivation numérique (différences finies)

La dérivée seconde d’ordre 2 est alors déduite par

En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première

22

2

)(

)(2)(5)2(4)3()(

x

xfxxfxxfxxf

dx

xdf

x

xxfxxfxf

dx

xdfx

xxfxf

dx

xdf

2

)2()(4)(3)(

)()()(

Dérivation numérique (différences finies)

En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde

22

2

22

2

)(

)3()2(4)(5)(2)(

)(

)2()(2)()(

x

xxfxxfxxfxf

dx

xdf

x

xxfxxfxf

dx

xdf

Dérivation numérique (différences finies)

En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première

x

xxfxxfxxfxxf

dx

xdfx

xxfxxf

dx

xdf

12

)2()(8)(8)2()(2

)()()(

Dérivation numérique (différences finies)

En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde

22

2

22

2

)(12

)2()(16)(30)(16)2()(

)(

)()(2)()(

x

xxfxxfxfxxfxxf

dx

xdf

x

xxfxfxxf

dx

xdf

Dérivation numérique (différences finies)

Illustration des méthodes aux différences (dérivée première)

Dérivation numérique (différences finies)

Illustration des méthodes aux différences (dérivée seconde)

Dérivation numérique (Polynômes)

Les splines cubiques prennent la forme

)(6

)(6

)(6

)(6

)( 111313

1 xxhz

h

yxx

hz

h

yxx

h

zxx

h

zxS i

ii

i

ii

ii

i

ii

i

ii

i

ii

Leurs dérivées premières donnent:

66)(

2)(

2)(' 11212

1ii

i

iii

i

ii

i

ii

i

ii

hz

h

yhz

h

yxx

h

zxx

h

zxS

Leurs dérivées secondes donnent:

)()()('' 11 i

i

ii

i

ii xx

h

zxx

h

zxS

Dérivation numérique (Polynômes)

Polynômes d’approximation (degré 1)

ay

baxy

' Polynômes d’approximation (degré 2)

ay

baxy

cbxaxy

2''

2'

2

Dérivation numérique (Polynômes)

Polynômes d’approximation (degré 3)

ay

baxy

cbxaxy

dcxbxaxy

6'''

26''

23' 2

23

Dérivation numérique (Polynômes)

Polynômes d’approximation (degré 4)

ay

baxy

cbxaxy

dcxbxaxy

edxcxbxaxy

24''''

624'''

2612''

234'2

23

234

Travail pratique 5

Dérivation de polynômes d’approximation (Cas APPLE VS MICROSOFT)

Travail pratique 5

Résultats attendus (approximation optimale)

Travail pratique 5

Résultats attendus (dérivée première)