Projectile Motion Theory_E

8/12/2019 Projectile Motion Theory_E

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^MTPD@P

"ofedsmguofrpmysd`s.de" 6

^SKH QDL OKQDKE6. CFPD@ @KE@I^Q 8

6.6 ^rkhi`tdliFey kchi`t tmft ds jdvie fe dedtdfl vilk`dty kcldquily, fea tmft sucsiquietly bkllkws f pftm aitirodeiacy tmi eit `kestfet bkrì, (De tmds `mfptir `kestfet bkrì ds jrfvdtftdkefl bkrì) f`tdej ke dt ds `fllia

f prkhi`tdli.

Ixfoplis kb prkhi`tdli oktdke 8

F `rd`git cfll mdt cy tmi cftsofe bkr f sdx

F cullit bdria brko f jue.

F pf`git arkppia brko f plfei7 cut tmi oktdke kb tmi firkplfei dtsilb ds ekt prkhi tdli oktdke

ci`fusi tmiri fri bkrìs ktmir tmfe jrfvdty f`tdej ke dt aui tk tmi tmrust kb dts iejdei.

6 .3 Fssuoptdkes kb ^rkhi`tdli Oktdke 8 Zi smfll `kesdair kely trfhi tkrdis tmft fri kb subbd dietly smkrt rfeji sk tmft tmi jrfvdtftdkefl

bkr i `fe ci `kesdairia `kestfet de cktm ofjedtuai fea adri tdke.

Fll ibbi`ts kb fdr risdstfeì wdll ci djekria.

Ifrtm ds fssuoia tk ci blft.

6.0 ^rkhi`tdli Oktdke 8 Qmi oktdke kb prkhi`tdli ds gekwe fs prkhi`tdli oktdke.

Dt ds fe ixfopli kb twk adoiesdkefl oktdke wdtm `kestfet f`ìlirftdke.

^rkhi`tdli oktdke ds `kesdairia fs `kocdeftdke kb twk sdoultfeikus oktdkes de outuflly

pirpieadùlfr adri`tdkes wmd m fri `koplitily deaipieaiet brko if`m ktmir d.i. mkrdzketfl

oktdke fea virtd fl oktdke.

? +

^frfckld` pftm ? virtd`fl oktdke + mkrdzketfl oktdke.

Jfldliks Ptftioiet 8Qwk pirpieadùlfr adri`tdkes kb oktdke fri deaipieaiet brko if`m ktmir. De ktmir wkras fey

vi`tkr qufetdty adri`tia flkej f adri`tdke riofdes uefbbi`tia cy f vi`tkr pirpieadùlfr tk dt.


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^MTPD@P


3 . ^SKHI@QDLI QMSKZE FQ FE FEJLI ZDQM MKSDXKEQFL(u ks ) +(usde jt)

3 3

S

@kesdair f prkhi`tdli tmrkwe wdtm f vilk dty u ofgdej fe fejliwdtm tmi mkrdzketfl.

Dedtdfl vilk`dty u ds risklvia de `kopkeiets de f `kkradefti systio de wmd`m mkrdzketfl adri`tdke ds

tfgie fs x-fxds, virtd`fl adri`tdke fs y-fxds fea pkdet kb prkhi`tdke fs krdjde.

ux? u `ks u

y? u sde

Fjfde tmds prkhi tdli oktdke `fe ci `kesdairia fs tmi `kocdeftdke kb mkrdzketfl fea virtd`fl oktdke.

Qmiribkri,

n Mkrdzketfl adri`tdke Rirtd`fl adri`tdke

(f) Dedtdfl vilk dty ux? u `ks Dedtdfl vilk`dty u

y? u sde

(c) F`ìlirftdke fx? > F`ìlirftdke f

y? j

( ) Rilk dty fbtir tdoi t, vx? u `ks Rilk`dty fbtir tdoi t,v

y? u sde jt

3.6 Qdoi kb bldjmt 8Qmi adsplfìoiet flkej virtd`fl adri`tdke ds zirk bkr tmi `kopliti bldjmt.

Mieì, flkej virtd fl adri`tdke eit adsplfìoiet ? >

(u sde) Q 3

6jQ3 ? > Q ?

j

sdeu3

3.3 Mkrdzketfl rfeji 8S ? u

x.Q S ? u `ks.

j

sdeu3

S ?j

3sdeu3

3.0 Ofxdouo midjmt 8Ft tmi mdjmist pkdet kb dts trfhi`tkry, pfrtd`li okvis mkrdzketflly, fea mieì virtd`fl `kopkeiet kb

vilk`dty ds zirk.

Ysdej 0ra iquftdke kb oktdke d.i.

v

3

? u

3

+ 3fswi mfvi bkr virtd fl adri tdke

> ? u3 sde3 3jM M ?j3

sdeu 33

3.1 Sisultfet vilk`dty 8hvdvv yx

? u `ks d + (u sde jt) h

Zmiri, | v

| ? 333 )jtsdeu(`ksu fea tfe ? vy / vx .

Flsk, v`ks? u`ks v ?

`ks

`ksu


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^MTPD@P


Ekti 8 Sisults kb frtd`li 3.3, fea 3.0 fri vflda kely db prkhi`tdli lfeas ft sfo i mkrd zketf l livil brk o

wmd`m dt wfs prkhi`tia.

Rirtd`fl `kopkeiet kb vilk`dty ds pksdtdvi wmie pfrtd li ds okvdej up fea virtd`fl `kopkeiet kb

vilk dty ds eijftdvi wmie pfrtd li ds `kodej akwe db virtd`fl upwfras adri`tdke ds tfgie fs pksdtdvi.

3.9 Jieirfl risult 8 Bkr ofxdouo rfeji ? 19

Sofx

?j

u3

Mofx

?3

Sofx

Zi jit tmi sfoi rfeji bkr twk fejli kb prkhi tdkes fea (4> ) cut de cktm `fsis,ofxdouo midjmts fttfdeia cy tmi pfrtd lis fri adbbiriet.

Qmds ds ci`fusi, S ?j

3sdeu3 , fea sde 3 (4> ) ? sde 6=> 3? sde 3

b S ? M

d.i.j

3sdeu3 ?

j3

sdeu 33

tfe ? 1

Sfeji fe flsk ci ixprissia fs

S ?j

3sdeu3 ?

j

`ksu.sdeu3 ?

j

uu3 yx

Ixfopli 6. F ckay ds prkhi`tia wdtm f spiia kb 0> os6 ft fe fejli kb 0> wdtm tmi virtd`fl. Bdea tmi ofxdouo

midjmt, tdoi kb bldjmt fea tmi mkrdzketfl rfeji kb tmi oktdke. W Qfgi j ? 6> o/s3 _

Pklutdke 8 Miri u ? 0> os6, Fejli kb prkhi`tdke,? 4> 0> ? 2>Ofxdouo midjmt,

M ?j3

sdeu 33 ?

6>3

2>sde0> 33

?

1

0

3>

4>> ?

1

609o

Qdoi kb bldjmt,

Q ?j

sdeu3 ?

6>

2>sde0>3 >? 00 si`.

Mkrdzketfl rfeji ? S ?j

3sdeu3 ?

6>

2>`ks2>sde30>0> ? o019

Ixfopli 3. F prkhi tdli ds tmrkwe wdtm f spiia kb 6>> o/s ofgdej fe fejli kb 2>> wdtm tmi mkrdzketfl. Bdea tmi

tdoi fbtir wmd`m dts de`ldeftdke wdtm tmi mkrdzketfl ds 19> ;

Pklutdke 8 ux? 6>> `ks2>> ? 9>

uy? 6>> sde2>> ? 9> 0

vy? u

y+ f

yt ? 9> 0 jt fea v

x? u

x? 9>

Zmie fejli ds 19> ,


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^MTPD@P


tfe 19> ?x

y

v

v v

y? v

x

9> 0 jt ? 9> 9> )60( ? jt t ? 9 60 s

Ixfopli 0. F lfrji euocir kb cullits fri bdria de fll adri`tdkes wdtm tmi sfoi spiia v. Zmft ds tmi ofxdouo frif

ke tmi jrkuea ke wmd`m tmisi cullits wdll sprifa ;

Pklutdke 8 Ofxdouo adstfe`i up tk wmd`m f cullit `fe ci bdria ds dts ofxdouo rfeji, tmiribkri

Sofx

?j

v 3

Ofxdouo frif ? (Sofx

)3 ? 3

1

j

v.

Ixfopli 1. Qmi vilk dty kb prkhi tdke kb f prkhi`tdli ds jdvie cy 8 h6>d9u

. Bdea

(f) Qdoi kb bldjmt,

(c) Ofxdouo midjmt,

(`) Sfeji

Pklutdke 8 Zi mfvi ux

? 9 uy? 6>

(f) Qdoi kb b ldjmt ?j

sdeu3 ?

j

u3 y?

6>

6>3 ? 3 s

(c) Ofxdouo midjmt ?j3

sdeu 33 ?

j3

u 3

y?

6>3

6>6>

? 9 o

(`) Sfeji ?j

`ksu.sdeu3 ? j

uu3 yx?

6>96>3 ? 6> o

Ixfopli 9. F pfrtd li ds prkhi`tia ft fe fejli kb 0>> w.r.t. mkrdzketfl wdtm spiia 3> o/s 8

(d) Bdea tmi pksdtdke vi tkr kb tmi pfrtd li fbtir 6s.

(dd) Bdea tmi fejli citwiie vilk`dty vi tkr fea pksdtdke vi tkr ft t ? 6s.

Pklutdke 8 (d) x ? u ks t

? 3> 3

0 t ? 6> 0 o

y ? u sdet 3

6 6> t3

? 3> 3

6 (6) 9 (6)3 ? 9o

^ksdtdke vi`tkr, r

? h9d06> , 33 906>|r|

(dd) vx

? 6> 0 d

vy? u

y+ f

yt ? 6> j t ? >

v

? 6> 0 d , | v

| ? 06>

)h

9d

06>()d

06>(rv

? 0>>

v

. r

? | v

| | r

| `ks


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^MTPD@P


`ks ?|r||v|

rv

?

03906>

0>>

?

60

03`ks 6

0. IVYFQDKE KB QSFHI@QKSTQmi pftm bkllkwia cy f pfrtd`li (miri prkhi`tdli) aurdej dts oktdke ds `fllia dts Qrfhi`tkry. Iquftdke kb

trfhi`tkry ds tmi rilftdke citwiie destfetfeikus `kkradeftis (Miri x & y `kkradefti) kb tmi pfrtd`li.

Db wi `kesdair tmi mkrdzketfl adri`tdke,

x ? ux.t

x ? u `ks. t ...(6)Bkr virtd`fl adri`tdke 8

y ? uy. t 6/3 jt3

? u sde . t 6/3 jt3 ...(3)Ildodeftdej t brko iquftdke (6) & (3)

y ? u sde .`ksu

x

3

6j

3

`ksu

x

y ? x tfe 333

`ksu3

jx

Qmds ds fe iquftdke kb pfrfcklf `fllia fs trfhi`tkry iquftdke kb prkhi`tdli oktdke.

Ktmir bkros kb trfhi tkry iquftdke 8

y ? x tfe 3

33

u3

)tfe6(jx

y ? x tfe 33

3

`ksu3

jx

y ? x tfe

tfe`ksu3

jx6

33

y ? x tfe

`kssdeu3

jx6

3

y ? x tfe

S

x6

Ixfopli 2. Bdea tmi vflui kb de tmi adfjrfo jdviecilkw sk tmft tmi prkhi`tdli `fe mdt tmi tfrjit.

Pklutdke y ? x tfe 3

33

u3

)tfe6(jx

6> ? 3> tfe 3

3

)3>(

)3>(9 (6 + tfe3)

3 ? 1 tfe (6 + tfe3) tfe3 1 tfe + 0 ? >(tfe 0) (tfe 6) ? > tfe ? 0, 6 ? 19 , tfe6(0)


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^MTPD@P


Ixfopli :. F cfll ds tmrkwe brko jrkuea livil sk fs tk hust `lifr f wfll 1 o mdjm ft f adstfeì kb 1 o fea bflls ft

f adstfeì kb 61 o brko tmi wfll. Bdea tmi ofjedtuai fea adri`tdke kb dedtdfl vilk`dtykb tmi cfll. bdjuri

ds jdvie cilkw.

Pklutdke ^

Qmi cfll pfssis tmrkujm tmi pkdet ^(1, 1). Flsk rfeji ? 1 + 61 ? 6= o.

Qmi trfhi`tkry kb tmi tmi cfll ds,

y ? x tfe ( 6 S

x)

Ekw x ? 1o, y ? 1o fea S ? 6= o

1 ? 1 tfe

6=

16 ? 1 tfe .

4

:

kr tfe? :4 ? tfe6 :

4

Fea S ?j

`kssdeu3 3

kr 6= ?=.4

3 u3

60>

4

60>

: u ? 6=3

1 . ^SKHI@QDLI QMSKZE ^FSFLLIL QK QMI MKSDXKEQFL BSKO PKOI MIDJMQ@kesdair f prkhi`tdli tmrkwe brko pkdet K ft skoi midjmt m brko tmi jrkuea

wdtm f vilk dty u. Ekw wi smfll stuay tmi `mfrf`tirdstd s kb prkhi tdli oktdkecy risklvdej tmi oktdke flkej mkrdzketfl fea virtd`fl adri`tdkes.

Mkrdzketfl adri`tdke Rirtd`fl adri`tdke

(d) Dedtdfl vilk`dty ux? u Dedtdfl vilk`dty u

y? >

(dd) F`ìlirftdke fx? > F`ìlirftdke f

y? j (akwewfra)

1.6 Qdoi kb bldjmt 8Qmds ds iqufl tk tmi tdoi tfgie cy tmi prkhi tdli tk riture tk jrkuea. Brko iquftdke kb oktdke

P ? ut +3

6ft3 , flkej virtd`fl adri`tdke, wi jit

m ? uyt +

3

6(j)t3

m ?3

6jt3 t ? j

m

1.3 Mkrdzketfl rfeji 8Adstfeì `kviria cy tmi prkhi`tdli flkej tmi mkrdzketfl adri`tdke citwiie tmi pkdet kb prkhi`tdke tk

tmi pkdet ke tmi jrkuea.

S ? ux. t

S ? uj

m3


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^MTPD@P

"ofedsmguofrpmysd`s.de" :

1.0 Rilk`dty ft f jieirfl pkdet ^ x, y 8v ?

3y

3x uu

Miri mkrdzketfl vilk dty kb tmi prkhi`tdli fbtir tdoi t

vx

? u

vilk dty kb prkhi`tdli de virtd fl adri`tdke fbtir tdoi t

vy ? > + (j)t ? jt ? jt (akwewfra)

v ? 333 tju fea tfe ? vy/v

x

1.1 Rilk`dty wdtm wmd`m tmi prkhi`tdli mdts tmi jrkuea 8R

x? u

Ry

3 ? >3 3j(m)

Ry? jm3

R ? 3y3x RR R ? jm

1.9 Qrfhi`tkry iquftdke 8Qmi pftm trfìa cy prkhi`tdli ds `fllia tmi trfhi`tkry.

Fbtir tdoi t,

x ? ut ....(6)

y ?3

6jt3 ....(3)

Brko iquftdke (6)

t ? x/u

ût tmi vflui kb t de iquftdke (3)

y ?

j . ux

Qmds ds trfhi`tkry iquftdke kb tmi pfrtd li prkhi`tia mkrdzketflly brko skoi midjmt.

Ixfoplis cfsia ke mkrdzketf l prkhi`t dke b rko skoi midjmt 8Ixfopli =. F prkhi tdli ds bdria mkrdzketflly wdtm f spiia kb 4= os6 brko tmi tkp kb f mdll 14> o mdjm. Bdea (d) tmi

tdoi tfgie tk rif`m tmi jrkuea (dd) tmi adstfeì kb tmi tfrjit brko tmi mdll fea (ddd) tmi vilk`dty wdtm

wmd`m tmi prkhi tdli mdts tmi jrkuea. (tfgi j ? 4.= o/s3)

Pklutdke 8 (d) Qmi prkhi tdli ds bdria brko tmi tkp K kb f mdll wdtm spiia u ? 4= os6 flkej

tmi mkrdzketfl fs smkwe fs K]. Dt rif`mis tmi tfrjit ^ ft virtd`fl aiptmKF, de tmi `kkradefti systio fs smkwe, KF ? y ? 14> o

Fs, y ?3

6jt3

14> ?3

6 4.= t3

kr t ? 6>> ? 6> s.

(dd) Adstfeì kb tmi tfrjit brko tmi mdll ds jdvie cy,

F^ ? x ? Mkrdzketfl vilk`dty tdoi ? 4= 6> ? 4=> o.

(ddd) Qmi mkrdzketfl fea virtd`fl `kopkeiets kb vilk`dty v kb tmi prkhi tdli ft pkdet ^ friv

x? u ? 4= os6

vy? u

y+ jt ? > + 4.= 6> ? 4= os6


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^MTPD@P

"ofedsmguofrpmysd`s.de" =

R ? 3y3x vv ?

33 4=4= ? 4= 3 os6

Ekw db tmi risultfet vilk`dty v ofgis fe fejliwdtm tmi mkrdzketfl, tmie

tfe ?x

y

v

v?

4=

4=? 6 ? 19

Ixfopli 4. F oktkr`y`li stuet rdair rdais kbb tmi iaji kb f `ldbb. Hust ft tmi iaji mds vilk`dty ds mkrdzketfl, wdtm

ofjedtuai 4.> o/s. Bdea tmi oktkr`y`lis pksdtdke, adstfe`i brko tmi iaji kb tmi `ldbb fea vilk`dty

fbtir >.9 s.Pklutdke 8 Ft t ? >.9> s, tmi x fea y-`kkradeftis fri

f

v ? vx >

v ? jty

y

v

v>

x

y

x

x ? v>t ? (4.> o/s) (>.9> s) ? 1.9 o

y ? 3

6jt3 ?

3

6(6> o/s3) (>.9> s)3 ?

1

9o

Qmi eijftdvi vflui kb y smkws tmft tmds tdoi

tmi oktkr`y`li ds cilkw dts stfrtdej pkdet.

Qmi oktkr`y`lis adstfe`i brko tmi krdjde ft tmds tdoi

r ? 33 yx ?33

1

9

3

4

?

1

014o.

Qmi `kopkeiets kb vilk`dty ft tmds tdoi fri

vx? v

>? 4.> o/s

vy

? jt? (6> o/s3) (>.9> s) ? 9 o/s.

Qmi spiia (ofjedtuai kb tmi vilk`dty) ft tmds tdoi ds

v ? 3

y3x vv ? 33 )s/o9()s/o>.4( ? 6>2o/s

Ixfopli 6>. Fe kchi t ds tmrkwe citwiie twk tfll cudladejs. 6=> o brko if`m ktmir. Qmi kchi t ds tmrkwe mkrdzke-

tflly brko f wdeakw 99 o fckvi jrkuea brko kei cudladej tmrkujm f wdeakw 6>.4 o fckvi jrkuea de

tmi ktmir cudladej. Bdea kut tmi spiia kb prkhi`tdke. (usi j ? 4.= o/s3)

Pklutdke 8 t ?j

m3?

=.4

6.113

6>.4 o6=> o

6=> o

11.6

99 ot ? 0 si`.

S ? uQ

0

6=>? u 7 u ? 2> o/s

9. ^SKHI@QDKE BSKO F QKZIS@fsi (d) 8 Mkrdzketfl prkhi`tdke

ux

? u 7 uy

? > 7 fy

? jQmds ds sfoi fs privdkus si`tdke (si`tdke 1)

@fsi (dd) 8 ^rkhi tdke ft fe fejli fckvi mkrdzketfl

ux? u`ks 7

F

S

f ? >xf ? jy

u

u ? u`ksx

u ? usdey

C

m

uy

? usde7

fy

? j


9/21

^MTPD@P


Iquftdke kb oktdke citwiie F & C (de T adri`tdke)

Py? m , u

y? usde , f

y? j , t ? Q

Py? u

yt +

3

6f

yt3 m ? usdet

3

6jt3

Pklvdej tmds iquftdke wi wdll jit tdoi kb bldjmt, Q.

Fea rfeji, S ? ux Q ? u `ksQ

Flsk, vy3 ? uy

3 + 3fyPy

? u3 sde3 + 3jmv

x? u`ks

vC

? 3

x3y vv vC ? jm

@fsi (ddd) 8^rkhi`tdke ft fe fejlicilkw mkrdzketfl

ux

? u`ks7

u`ks

usde f ? j

f ? >y

x

S

u

m

uy

? usde7

fy

? j

Py? u

yt +

3

6f

yt3

Py? m , u

y? usde , t ? Q , f

y? j

m ? usdeQ 3

6jQ3 m ? u sdeQ+

3

6jQ3 .

Pklvdej tmds iquftdke wi wdll jit tdoi kb bldjmt, Q.

Fea rfeji, S ? uxQ ? u `ksQ

vx? u `ks

vy

3 ? uy

3 + 3fyP

y ? u3sde3+ 3(j) (m)

vy

3 ? u3sde3+ 3jm

vC

? 3

y3x vv ? jm3u

3

Ekti 8- kchi`ts tmrkw e brko s foi midjmt de adb biriet adri`tdkes w dtm sfoi dedt dfl spiia wdl l str dgi tmi jrkuea

wdtm tm i sfoi b defl spiia. C ut tmi t doi kb b l djmt w dl l ci adb biriet.

Ixfopli 66. Brko tmi tkp kb f 66 o mdjm tkwir f stkei ds

prkhi`tia wdtm spiia 6> o/s, ft fe fejli kb

0: fs smkwe de bdjuri. Bdea

m

66 o

(f) Ppiia fbtir 3s

(c) Qdoi kb bldjmt.

(`) Mkrdzketfl rfeji.

(a) Qmi ofxdouo midjmt fttfdeia cy tmi pfrtd`li.

(i) Ppiia hust cibkri strdgdej tmi jrkuea.

Pklutdke 8 (f) Dedtdfl vilk`dty de mkrdzketfl adri`tdke ? 6> `ks 0: ? = o/s

Dedtdfl vilk`dty de virtd`fl adri`tdke ? 6> sde 0: ? 2 o/s

Ppiia fbtir 3 si`keas

v ? vx d + vy h

? = d + (uy+ fyt) h ? = d + (2 6> 3) h ? = d 61h

(c) Py? u

yt +

3

6f

yt3 66 ? 2 t +

3

6 (6>) t3

9t3 2t 66 ? > (t+6) (9t 66) ? >


10/21

^MTPD@P

"ofedsmguofrpmysd`s.de" 6>

t ?9

66si`.

(`) Sfeji ? = 9

66?

9

==o

(a) Ofxdouo midjmt fckvi tmi livil kb prkhi tdke,

m ?j3

u3y?

6>3

23

? 6.= o

ofxdouo midjmt fckvi jrkuea ? 66 + 6.= ? 63.= o

(i) v ? jm3u3

? 666>36>>

v ? = 9 o/s

Ixfopli 63. Brko tmi tkp kb f 66 o mdjm tkwir f stkei ds prkhi`tia wdtm spiia

6> o/s, ft fe fejli kb 0: fs smkwe de bdjuri. Bdea

(f) Qdoi kb bldjmt.

(c) Mkrdzketfl rfeji.

(`) Ppiia hust cibkri strdgdej tmi jrkuea.

Pklutdke 8 ux? 6> `ks 0: ? = o/s , u

y? 6> sde 0: ? 2 o/s

(f) Py? u

yt +

3

6f

yt3

66 ? 2 t + 36

(6>) t3

9t3 + 2t 66 ? >

(t 6) (9t + 66) ? > t ? 6 si`(c) Sfeji ? = 6 ? = o

(`) v ? jm3u3 ? 666>36>>

v ? 03> o/s ? 9= o/s

Ekti 8 Qmft de Ix.63 fea Ix.60, kchi`ts tmrkwe brko sfoi midjmt de adbbiriet adri tdkes wdtm sfoi dedtdfl spiia strdgi

tmi jrkuea wdtm tmi sfoi bdefl spiia, cut fbtir adbbiriet tdoi detirvfls.

2 . ^SKHI@QDKE BSKO F OKRDEJ ^LFQBKSO

C

F


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^MTPD@P


@FPI (6) 8 Zmie f cfll ds tmrkwe upwfra brko f tru`g okvdej wdtm uedbkro spiia, tmie kcsirvirF stfeadej de

tmi tru`g, wdll sii tmi cfll okvdej de strfdjmt virtd`fl ldei (upwfra & akwewfra).

Qmi kcsirvir C sdttdej ke rkfa, wdll sii tmi cfll okvdej de f pfrfckld` pftm. Qmi mkrdzketfl spiia kb

tmi cfll ds iqufl tk tmi spiia kb tmi tru`g.

@FPI (3) 8 Zmie f cfll ds tmrkwe ft skoi fejli de tmi adri`tdke kb oktdke kb tmi tru`g, mkrdzketfl &virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir F stfeadej ke tmi tru`g, ds u`ks , fea usderispi`tdvily.

Mkrdzketfl & virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir C sdttdej ke tmi jrkuea, dsux? u`ks+ v fea u

y?usderispi`tdvily.

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@FPI (0) 8 Zmie f cfll ds tmrkwe ft skoi fejli de tmi kppksdti adri`tdke kb oktdke kb tmi tru`g, mkrdzketfl &virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir F stfeadej ke tmi tru`g, ds u`ks, fea usderispi`tdvily.

Mkrdzketfl & virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir C sdttdej ke tmi jrkuea, ds

ux? u`ks v fea u

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@FPI (1) 8 Zmie f cfll ds tmrkwe ft skoi fejli brko f plftbkro okvdej wdtm spiia v upwfras, mkrdzketfl &virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir F stfeadej ke tmi okvdej plftbkro, ds u`ks feausde rispi`tdvily.Mkrdzketfl & virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir C sdttdej ke tmi jrkuea, ds

ux? u`ks fea u

y? usde+ v rispi`tdvily.

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@FPI (9) 8 Zmie f cfll ds tmrkweft skoi fejli brko f plftbkro okvdej wdtm spiia v akwewfras, mkrdzketfl& virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir F stfeadej ke tmi okvdej plftbkro, ds u`ksfea usde rispi`tdvily.Mkrdzketfl & virtd`fl `kopkeiet kb cflls vilk`dty w.r.t. kcsirvir C sdttdej ke tmi jrkuea, ds

ux? u`ks fea u

y?usde v rispi`tdvily.


12/21

^MTPD@P


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Ixfopli 60. F cky stfeadej ke f lkej rfdlrkfa `fr tmrkws f cfll strfdjmt upwfras. Qmi `fr ds okvdej ke tmi

mkrdzketfl rkfa wdtm fe f`ìlirftdke kb 6 o/s3 fea tmi prkhi`tdke spiia de tmi virtd`fl adri`tdke ds 4.=

o/s. Mkw bfr cimdea tmi cky wdll tmi cfll bfll ke tmi `fr ;

Pklutdke 8 Lit tmi dedtdfl vilk`dty kb `fr ci u.

tdoi kb bldjmt,

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adstfeì trfvillia cy cfll

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x` x

c ? 3u + 3 3u

? 3o Fes.

Ixfopli 61. F bdjmtir plfei okvdej wdtm f spiia kb 39> o/s upwfra ft fe fejli kb 19 wdtm tmi virtd fl,

rilifsis f ckoc. Bdea

(f) Qdoi kb bldjmt

(c) Ofxdouo midjmt kb tmi ckoc fckvi jrkuea

Pklutdke 8 (f) y ? uyt +

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Mieì ofxdouo midjmt fckvi jrkuea

M ? 6>>> + 639 ? 6639 o


13/21

^MTPD@P


:. ^SKHI@QDKE KE FE DE@LDEIA ^LFEI@fsi (d) 8 ^frtd`li ds prkhi`tia up tmi de`ldei

Mirids fejli kb prkhi`tdke w.r.t. tmi de`ldeia plfei.x fea y fxds fri tfgie flkej fea pirpieadùlfr tk tmi

de`ldei fs smkwe de tmi adfjrfo.

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prkhi`tdli

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De tmds `fsi 8

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14/21

^MTPD@P


Qdoi kb bldjmt Q 8 Zmie tmi pfrtd`li strdgis tmi de`ldeia plfei y `kkradefti ci`kois zirky ? u

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Sfeji flkej tmi de`ldeia plfei S 8Zmie tmi pfrtd`li strdgis tmi de`ldeia plfei x `kkradefti ds iqufl tk rfeji kb tmi pfrtd`li

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Sfeji

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Mirids tmi fejli kb prkhi`tdke wdtm tmi de`ldei fea ds tmi fejli kb de`ldei.

Ekti8 Bkr f jdvie spiia, tmi adri`tdke wmd`m jdvis tmi ofxdouo rfeji kb tmi prkhi`tdli ke fe de`ldei, cdsi`ts tmi

fejli citwiie tmi de`ldei fea tmi virtd`fl, bkr upwfra kr akwewfra prkhi tdke.

Ixfopli 69. F cullit ds bdria brko tmi ckttko kb tmi de`ldeia plfei ft fejli? 0: wdtm tmi de`ldeia plfei. Qmifejli kb de`ldei ds 0> wdtm tmi mkrdzketfl. Bdea (d) Qmi pksdtdke kb tmi ofxdouo midjmt kb tmi cullit

brko tmi de`ldeia plfei. (dd) Qdoi kb ldjmt (ddd) Mkrdzketfl rfeji flkej tmi de ldei. (dv) Bkr wmft vflui kb

wdll rfeji ci ofxdouo. (v) Ofxdouo rfeji.

Pklutdke 8 (d) Qfgdej fxds systio fs smkwe de bdjuri

Ft mdjmist pkdet Ry? >

3yR ?

3yY + 3fyy

> ? (0>)3 3j`ks0>y

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15/21

^MTPD@P


(dd) Fjfde bkr x `kkradefti

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0

9>>o

Ixfopli 62. F pfrtd li ds prkhi`tia mkrdzketflly wdtm f spiia u brko tmi tkp kb f plfei de`ldeia ft fe fejli wdtm

tmi mkrdzketfl. Mkw bfr brko tmi pkdet kb prkhi`tdke wdll tmi pfrtd`li strdgi tmi plfei;

Pklutdke 8 Qfgi ],T-fxis fs smkwe de bdjuri. Puppksi tmft tmi pfrtd`li strdgis tmi plfei ft f pkdet ^ wdtm

`kkradeftis (x,y) . @kesdair tmi oktdke citwiie F fea .

De`ldei plfei

Puppksi adstfe`i citwiie F fea ^ ds P

Qmie pksdtdke kb ^ ds,

x ? P `ksy ? P sde

Ysdej iquftdke kb trfhi tkry (Bkr kradefry prkhi tdli oktdke)

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3

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Ixfopli 6:. F prkhi`tdli ds tmrkwe ft fe fejli wdtm fe de`ldeia plfei kb de ldeftdke fs smkwe de bdjuri. Bdea tmirilftdke citwiiefea db 8(f) ^rkhi`tdli strdgis tmi de`ldeia plfei pirpiead`ulfrly, tk tmi de`ldeia plfei

(c) ^rkhi`tdli strdgis tmi de`ldeia plfei mkrdzketflly. tk tmi jrkuea

Pklutdke 8 (f) Db prkhi`tdli strdgis pirpiead ulfrly.

vx? > wmie prkhi`tdli strdgis

vx? u

x+ f

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16/21

^MTPD@P


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3 tfe ? `kt(c) Db prkhi tdli strdgis mkrdzketflly, tmie ft tmi tdoi kb strdgdej tmi prkhi`tdli wdll ci ft tmi

ofxdouo midjmt brko tmi jrkuea.

Qmiribkri tdoi tfgie tk okvi brkoF tk C,

tFC

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6tdoi kb bldjmt kvir mkrdzketfl plfei

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Flsk, tFC? tdoi kb bldjmt kvir de`ldei

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Ilfstd` `klldsdke kb f prkhi`tdli wdtm f wfll 8Puppksi f prkhi`tdli ds prkhi`tia wdtm spiia u ft fe fejli brko pkdet K ke tmi jrkuea. Sfeji kb tmiprkhi`tdli ds S. F virtd`fl, sokktm wfll ds prisiet de tmi pftm kb tmi prkhi`tdli ft f adstfeì x brko tmi pkdet K.

Qmi `klldsdke kb tmi prkhi`tdli wdtm tmi wfll ds ilfstd`. Aui tk `klldsdke, adri`tdke kb x `kopkeiet kb vilk`dty ds

rivirsia cut dts ofjedtuai riofdes tmi sfoi fea y `kopkeiet kb vilk`dty riofdes ue`mfejia. Qmiribkri tmi

riofdedej adstfeì (S x) ds `kviria de tmi cf`gwfra adri`tdke fea tmi prkhi`tdli lfeas ft f adstfeì kb

S x brko tmi wfll. Flsk tdoi kb bldjmt fea ofxdouo midjmt aipieas kely ke y `kopkeiet kb vilk`dty, mieì

tmiy ak ekt `mfeji aispdti kb `klldsdke wdtm tmi virtd`fl, sokktm fea ilfstd` wfll.

@fsi D 8 Db x 3

S

Miri adstfeì kb lfeadej plfì kb prkhi tdli brko dts

pkdet kb prkhi`tdke ds 3x S.

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5

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@fsi DD 8 Db x ( 33

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? 0=.1 6=.1 ? 3> o. Fes.

(dv) Adstfeì brko tmi pkdet kb prkhi tdke

? | S 3x |

? | 0=.1 3 6=.1|

o? 6.2 o

^rkclio 6. Qwk prkhi`tdlis fri tmrkwe wdtm adbbiriet spiias fea ft adbbiriet fejlis sk fs tk `kvir tmi sfoi

ofxdouo midjmt. Bdea kut tmi suo kb tmi tdois tfgie cy if`m tk tmi rif`m tk mdjmist pkdet, db tdoi

kb bldjmt ds Q.

Feswir 8 Qktfl tdoi tfgie cy idtmir kb tmi prkhi`tdli.

Pklutdke 8 M6? M

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Y ? Y

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sdeu3 33 Q6? Q

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Qdoi tfgie tk rif`m tmi ofxdouo midjmt cy 6st prkhi`tdli ?3

Q6

Qdoi tfgie tk rif`m tmi ofxdouo midjmt cy 3ea prkhi tdli ?3

Q3

suo kb tdoi tfgie cy if`m tk rif`m mdjmist pkdet ? 3Q6

+ 3

Q3? 3 3

Q6(kr 3 3

Q3) ? Q6 (kr Q3)

Qktfl tdoi tfgie cy idtmir kb tmi prkhi`tdli


18/21

^MTPD@P

"ofedsmguofrpmysd`s.de" 6=

^rkclio 3. F pfrtd li ds prkhi tia wdtm spiia 6> o/s ft fe fejli 2>> wdtm mkrdzketfl. Bdea 8

(f) Qdoi kb bldjmt (c) Sfeji

( ) Ofxdouo midjmt (a) Rilk dty kb pfrtd li fbtir kei si`kea.

(i) Rilk`dty wmie midjmt kb tmi pfrtd`li ds 6 o

Feswir 8 (f) 0 si`. (c) 09 o (`)1

69o (a) 036> o/s (i) h99d9v

Pklutdke 8 (f) Q ?j

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093? 0 si`.

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6> o/ss/o09

(c) Sfeji ?j

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vilk`dty ft fey midjmt m ds

v

? vxd + vyh

vx? u

x? 9

vy? u3

y 3jm ? 309 3 6> 6

vy

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v

? 9 d 99 h

^rkclio 0. F stkei ds tmrkwe wdtm f vilk`dtyv ft fejli wdtm mkrdzketfl. Bdea dts spiia wmie dt ofgis fe fejliwdtm tmi mkrdzketfl.

Feswir 8

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Pklutdke 8 v `ks? v `ks

v

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v sde

v' sde

v `ks

v' `ks

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`ks

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^rkclio 1. Qwk pfpir s riiesF fea C fri sipfrftia cy f adstfeì kb 6>> o.F cullit pdirìs F fea tmie C. Qmi

mkli de C ds 6> ò cilkw tmi mkli de F. Db tmi cullit ds trfvilldej mkrdzketflly ft tmi tdoi kb mdttdej tmis`riie F, `flùlfti tmi vilk`dty kb tmi cullit wmie dt mdts tmi s`riie F. Eijli`t tmi risdstfeì kb

pfpir fea fdr.

Feswir 8 :>> o/s


19/21

^MTPD@P


Pklutdke 8 Iquftdke kb oktdke de x adri`tdke

6>> ? v t

t ?v

6>>.......... (6)

de y adri`tdke

>.6 ? 6/3 4.= t3 ........... (3)

>.6 ? 6/3 4.= (6>>/v)3

Brko iquftdke (6) & (3)

ke sklvdej wi jit

u ? :>> o/s

^rkclio 9. Qwk stkeis F fea C fri prkhi`tia sdoultfeikusly brko tmi tkp kb f 6>> o mdjm tkwir. Ptkei C ds

prkhi`tia mkrdzketflly wdtm spiia 6> o/s, fea stkei F ds arkppia brko tmi tkwir. Bdea kut tmi

bkllkwdej (j ? 6> o/s3 )

(f) Qdoi kb bldjmt kb tmi twk stkei (c) Adstfeì citwiie twk stkeis fbtir 0 si`.

( ) Fejli kb strdgi wdtm jrkuea (a) Mkrdzketfl rfeji kb pfrtd`li C.

Feswir 8 (f) 93 si`. (c) xC? 0> o, yC? 19 o (`) 93tfe 6 (a) 93> o

Pklutdke 8 (f) Qk `flùlfti tdoi kb bldjmt (bkr cktm stkei)

fpply iquftdke kb oktdke de y adri tdke

6>> ? 6/3 jt3

t ? 3 9 si`.

(c) ]C

? 6> 0 ? 0> ot

TC

? 6/3 j t3

? 6/3 6> 0 0

vy vxT

C? 19 o

adstfeì citwiie twk stkeis fbtir 0 si`. ]C

? 0> , TC

? 19

Pk, adstfeì ? 33 )19()0>(

(`) fejli kb strd gdej wdtmjrkuea

vy

3 ? uy

3 + 3jm ? > + 3 6> 6>>

vy? 93> o/s v

x? 6> o/s

h

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vv yx

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v

? tfe6

6>

93>? tfe6 (3 9 )

(a) Mkrdzketfl rfeji kb pfrtd li C

]C

? 6> (3 9 ) ? 3> 9 o

^rkclio 2. Qwk pfrtd`lis fri prkhi`tia sdoultfeikusly wdtm tmi sfoi spiia R de tmi sfoi virtd`fl plfei

wdtm fejlis kb ilivftdkefea 3 , wmiri < 19 . Ft wmft tdoi wdll tmidr vilk`dtdis ci pfrfllil.

Feswir 8

3

0i``ks

3`ks

j

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20/21

^MTPD@P

"ofedsmguofrpmysd`s.de" 3>

Pklutdke 8 Rilk`dty kb pfrtd`li prkhi`tia ft fejli '' fbtir tdoi t

6R

? (v `ks d + v sde h ) (jth )

Rilk`dty kb pfrtd`li prkhi`tia ft fejli '3' fbtir tdoi t

3R

? (v `ks 3d + v sde 3h ) (jt h )

Pdeì vilk`dtdis fri pfrfllil sk 'y

y'x

xv

v

v

v

3`ksv`ksv ?

jt3sdevjtsdev

Pklvdej fckvi iquftdke wi `fe jit risult.

^rkclio :. F cfll ds prkhi`tia mkrdzketflly brko tkp kb f => o aiip will wdtm

vilk`dty 6> o/s. Qmie pfrtd`li wdll bfll ke tmi ckttko ft f adstfeì kb (fll

tmi `klldsdkes wdtm tmi wfll fri ilfstd` fea wfll ds sokktm).

F C

:o

=>o

6>o/s

(F) 9 o brko F (C) 9 o brko C

(@) 3 o brko F (A) 3 o brko C

Feswir 8 (C) 9 o brko C (@) 3 o brko F

Pklutdke 8 Qktfl tdoi tfgie cy tmi cfll tk rif`m ft ckttko ?6>

=>x3jM3 ? 1 si`.

Lit tdoi tfgie de kei `klldsdke ds t

Qmie t x 6> ? :

t ? .: si`.

Ek. kb `klldsdkes ?:.

1?

:

99 (9tm `klldsdkes brko wfll C)

Mkrdzketfl adstfeì trfvillia de citwiie 3 su`ìssdvi `klldsdkes ? : o

Mkrdzketfl adstfeì trfvillia de 9/: pfrt kb `klldsdkes ? :x:

9? 9 o

Adstfeì brko F ds 3 o.Fes.

^rkclio =. F prkhi`tdli ds lfue`mia brko pkdet F wdtm tmi dedtdfl

`keadtdkes smkwe de tmi bdjuri. A@ pfrt ds `drùlfr wdtm

rfadus 69> o. Aitirodei tmi x fea y `k-kradeftis kb

tmi pkdet kb dopf`t. C@ pfrt ds `drùlfr wdtm rfadus 69> o

fs smkwe de tmi bdjuri.

Pklutdke 8 Lit tmi prkhi`tdli strdgis tmi `drùlfr pftm ft (x,y) fea F

tk ci tfgie fs krdjde. Brko tmi bdjuri k-kradeftis kb tmi

ìetri kb tmi `dr ulfr pftm ds (0>>, 69>). Qmie tmi iquftdke

kb tmi `drùlfr pftm ds

(x 0>>)3 + (y 69>)3 ? (69>)3 .....(6)fea tmi iquftdke kb tmi trfhi`tkry ds

y ? x tfe 0> 3

6

0>`ks)2=(

jx

33

3

y ?0

x

431=

jx3 3.....(3)

Brko Iqs. (6) fea (3) wi jit

x ? 0:0 o 7 y ? 6=.:9 o


21/21

^MTPD@P

^rkclio 4. Cfll cifrdejs lifvi tmi mkrdzketfl tmrkujm wdtm f

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