PRONÓSTICO DE LA PRIMA DE RENTA VARIABLE: UN ANÁLISIS
EMPÍRICO PARA COLOMBIA (2003-2015)
CAROLINA BORRÉ LOAIZA
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y ECONÓMICAS.
ECONOMÍA
SANTIAGO DE CALI
2016
PRONÓSTICO DE LA PRIMA DE RENTA VARIABLE: UN ANÁLISIS
EMPÍRICO PARA COLOMBIA (2003-2015)
Carolina Borré Loaiza
Código: 1124406
Trabajo de grado presentado
como requisito para optar al título de
Economista
Tutor:
Jorge Mario Uribe Gil
Universidad Del Valle
Facultad De Ciencias Sociales Y Económicas.
Economía
Santiago De Cali
2016
Contenido
Introducción ...................................................................................................................................................... 1
1. Estado Del Arte ............................................................................................................................................ 3
2. Marco Teórico ............................................................................................................................................... 5
2.1 CAPM......................................................................................................................................................6
3. Metodología ................................................................................................................................................... 8
3.1 Modelos por Factores Dinámico. ...................................................................................................8
3.2 Forecasting……………...................................................................................................................10
4. Datos………………………………………………………………………………… 11
5. Estimación ................................................................................................................................................... 12
5.1 In- Sample…………………………………………………………………………………..14
5.2 Out of Sample………………………………………………………………………………14
6. Conclusiones ............................................................................................................................................... 15
Lista de Anexos
Anexo 1. Programación Principal component analysis (PCA) on data – MATLAB……... 23
Anexo 2. Lista de Acrónimos…………………………………………………………… 23
Tabla 1. Análisis de Componentes Principales………………………………………….. 24
Tabla 2. Vectores Propios……………………………………………………………..... 24
Tabla 3. Estimación OLS: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂… ………..... 25
Tabla 4. Estimación OLS: ̂ ̂ ̂ ̂… …………………..…..... 25
Tabla 5. Estimación OLS: ̂ ̂ ̂ ̂… ………………….…...... 25
Tabla 6. Estadísticas de los “forecasts”…………………………………………………...... 25
Tabla 7.Valores pronosticados por modelo…………………………………………….... 25
Gráfico 1. ERP y fase de recesión del ciclo financiero………………………………….....13
Grafico 2. ERP vs Pronóstico ERP in-sample (ERP_HAT) con Modelo por Factores…..... 26
Grafico 3. ERP vs Pronóstico ERP out-of-sample con Modelo por Factores…........................26
Gráfico 4. ERP vs Pronóstico ERP out-of-sample con ARMA(8,8)…………………………26
Gráfico 5. ERP vs Pronóstico ERP out-of-sample con ARMA(6,6)………………………...26
Gráfico 6. Comparación del pronóstico con cada modelo…………………………….26
Gráfico 7.Cargas de los Componentes principales extraídos de las 20 variables
Macroeconómicas……………………………………………………………. 27
Resumen
En las investigaciones académicas de la Prima de Riesgo de Renta Variable o “Equity Risk
Premium - ERP”, es habitual encontrar que su respectivo pronóstico se realice a partir de variables
macroeconómicas. Sin embargo, a la fecha, esto no ha sido aplicado en el mercado bursátil
colombiano, razón por la cual, no es conocido si en el país es posible pronosticar correctamente
de dicha manera. A lo largo del presente trabajo se responde dicho interrogante, utilizando para
el pronóstico un Modelo por Factores Dinámico y la técnica de Componentes Principales. En la
estimación se utilizaron 20 variables macroeconómicas en frecuencia mensual para el periodo
2003-2015. Los resultados muestran que el pronóstico es bueno en términos del MSE (Mean
Square Error) y predice más eficientemente que un ARIMA. Se encontró también que hay un
gran componente predictivo en los agregados monetarios, los depósitos a la vista y el portafolio
de los Fondos de Pensiones y Cesantías, evidenciando importantes características del mercado
accionario colombiano.
Palabras Clave: Pronóstico, Prima de Riesgo, Modelo por Factores, Componentes Principales,
variables macroeconómicas, AFP.
1
Pronóstico de la Prima de renta variable: Un análisis empírico para
Colombia (2003-2015)
Introducción
Es innegable la importancia del mercado financiero dentro del sistema económico. Su influencia
corresponde, en parte, a la gran magnitud de capital líquido que fluye entre venta y compra de
bonos, acciones y otros instrumentos financieros, a cargo de instituciones, empresas y
particulares. Este flujo de recursos monetarios, tiene efectos sobre las variables reales. De allí,
que un colapso en el mercado bursátil se transfiera a la economía real, generando importantes
impactos en toda la población de un país.
El presente trabajo se propone aportar sobre el estudio del mercado bursátil colombiano,
enfocándose en la optimización de decisiones de portafolio. Al tratarse de este tema, es
indispensable hablar de la Prima por Riesgo de Renta Variable o Equity Risk Premium (ERP),
puesto que es una de las variables más utilizadas por los inversionistas a la hora de cambiar la
composición de su portafolio.
En primer lugar, es importante resaltar el papel de los activos de renta variable en el mercado
bursátil colombiano. En Abril de 2015 se han transado un acumulado de 3.9 billones de pesos,
solo en activos de renta variable (equity market) (BVC, 2015), donde las principales empresas
emisoras son el grupo SURA, Ecopetrol, Isagen, Odinsa y Bancolombia, firmas influyentes en la
economía del país. Dicha suma de dinero pone a consideración el estudio de la ERP, con el fin
de maximizar el bienestar nacional y optimizar los beneficios empresariales.
En segundo lugar, se pueden nombrar tres razones por las cuales es importante el estudio de la
Prima de Riesgo para activos de Renta Variable:
i. La ERP muestra el monto que exigen los inversionistas para escoger el activo riesgoso
sobre el activo libre de riesgo, en este sentido, sirve como señal sobre cómo perciben el
mercado los accionistas.
ii. Siguiendo la relación riesgo-retorno (a mayor riesgo mayor retorno), si se desea estimar la
tasa de rendimiento de un activo, es indispensable saber la prima por riesgo. Para los
inversionistas siempre es importante la tasa rendimiento, y por tanto, es importante la
ERP.
2
iii. Gran parte de los fondos de corporaciones, empresas e instituciones, son invertidos en el
mercado bursátil y una de las principales fuentes de financiamiento, de dichas empresas,
es la captación de recursos a través de la venta de activos financieros de renta variable.
En consecuencia, una estimación acertada y anticipada de la Prima por Riesgo, permitiría obtener
mayores ganancias a los inversionistas, si toman sus decisiones basados en dicha estimación. Es
por esta razón, que el presente estudio busca responder la pregunta: ¿Es posible predecir la
Equity Risk Premium para el mercado de acciones colombiano? o dicho de otra forma ¿Existe un
modelo que permita pronosticar los retornos de las acciones en el mercado bursátil colombiano?.
Para ello, en el desarrollo del siguiente documento, se trabajó bajo la hipótesis de que existe un
conjunto de variables macroeconómicas que pueden predecir de forma ajustada la prima de renta
variable. ¿Por qué las variables macro podrían pronosticar la ERP? Pues bien, teóricamente debe
haber una compensación para los inversionistas al enfrentarse a un mayor riesgo, entonces,
partiendo de la teoría del ciclo real de los negocios, la prima de renta variable será más alta en los
valles (mayor riesgo) y más baja en los picos (menor riesgo).También es importante resaltar que
para Colombia, se conoce que el mercado bursátil es pequeño y no responde fuertemente a
factores externos o internos, sin embargo, dicho mercado, responde significativamente a la
dinámica del portafolio de las AFP-Administradoras de Fondos de Pensiones y Cesantías (Uribe,
Mosquera, & Restrepo, 2013), variable que fue incluida para el pronóstico realizado en este
trabajo.
En la estimación del pronóstico, se utilizaron datos con frecuencia mensual desde Enero de 2003
hasta Octubre de 2015, para un total de 20 variables macroeconómicas descritas posteriormente.
Para lograr un correcto aprovechamiento de todas las variables, se utilizó un Modelo por
Factores Dinámico y la técnica de Componentes Principales, con lo cual se obtuvo un
pronóstico con propiedades favorables (MSE y MAE bajos). El pronóstico fue comparado con
dos modelos ARIMA (ARMA(6,6) y ARMA (8,8)), donde éste último arrojó el mejor pronóstico.
El documento se divide de la siguiente manera. La primera parte, expone una revisión de la
literatura donde se narran las técnicas y los resultados obtenidos por otros autores que se han
propuesto pronosticar la ERP. En la segunda, se explican los aspectos teóricos que respaldan la
investigación. En la tercera parte, se define la metodología elegida para la estimación y la
estructura del pronóstico. En la cuarta, se describen las variables utilizadas y la fuente de
información. En la quinta, se describe el proceso de estimación y algunos resultados, y por
último, la sexta parte contiene las conclusiones y recomendaciones.
3
1. Estado Del Arte
Las investigaciones sobre la predicción de la prima de riesgo, puede decirse, empiezan con los
trabajos dedicados a explicar los determinantes de los retornos de los activos. Es así como
Campbell (1987) se propone a demostrar, cómo la estructura temporal de las tasas de interés
predice los retornos de los activos. El autor pone a prueba algunos modelos simples de
valoración de activos utilizando variables latentes (para los retornos esperados), y encuentra que
la tasa de interés nominal es un determinante importante para los precios de las letras del tesoro
y los activos de largo plazo. Fama y French (1989), en la misma línea, relacionan los retornos de
los activos con el ciclo real de los negocios, planteando que la rentabilidad esperada de las
acciones y los bonos en U.S, responde a una prima de riesgo que sigue un patrón cíclico. De ésta
manera, concluyen que en recesiones la rentabilidad esperada es alta y en los picos la rentabilidad
esperada es baja.
Ambos trabajos reúnen dos aspectos fundamentales para la predicción de los retornos. El
primero, es el papel que juegan las variables macroeconómicas en el comportamiento de los
retornos, soportado en evidencia estadística. El segundo, aborda el comportamiento cíclico de la
prima de los activos financieros, y por tanto explica las grandes ganancias en recesiones y bajas
ganancias en auges. Bajo estas líneas, se recogen los trabajos que posteriormente analizan la
predicción de los retornos o de la prima de riesgo de los activos financieros, pero que recurren a
técnicas de estimación más precisas.
Uno de los trabajos más completos en materia es el de Damodaran (2013). Se trata de una
investigación extensa donde se explican los hechos estilizados, las estimaciones comúnmente
utilizadas y todas las implicaciones teóricas de pronosticar la Equity Risk Premium. Constituye un
resumen sobre el cómo funciona y para que sirve la ERP en el mercado bursátil.
Cochrane y Piazzesi (2005) encuentran que la variación de los excesos esperados de los retornos,
es decir, la variación del valor esperado de las ganancias extraordinarias (prima de riesgo), puede
ser predicha por forward rates (tasa fija de una obligación financiera futura: tasa de interés de pago
de un préstamo o tasa a la que se acuerda, se entregará una moneda en el futuro). Sin embargo,
Ludvigson y Ng (2009) refutan los resultados obtenidos por Cochrane y Piazzesi (2005), pues
consideran que sus resultados tienen poco poder predictivo al utilizar un solo tipo de variable
(forward rates). Las autoras encuentran que diversos factores reales (agregados macroeconómicos),
tienen gran poder predictivo sobre el exceso de los retornos en los bonos del tesoro de los
4
Estados Unidos, muy por encima de las tasas futuras y los diferenciales de rendimiento. Para ello
utilizan un modelo por factores estimado mediante la técnica de componentes principales.
Rapach, Neely, Tu & Zhou (2011) en búsqueda de un pronóstico más preciso para la prima de
riesgo en activos de renta variable (Equity Risk Premium-ERP), reconocen la importancia de las
variables macroeconómicas y el papel de los indicadores técnicos, que recogen información de
los precios de los activos, y deciden utilizar ambos tipos de variables para hacer el pronóstico. Al
trabajar con tanta información, utilizan la técnica de componentes principales para las variables
macro, para los indicadores técnicos y para la combinación de ambos. Encuentra que el
pronóstico basado en la combinación de ambos, tiene mayor poder predictivo que cada uno por
separado.
Rapach, Neely, Tu & Zhou (2013), el cual sigue la línea tratada en Rapach e.a (2011), precisa
algunos aspectos teóricos y econométricos. Los autores realizan un ejercicio econométrico, en el
cual el inversionista no es neutral al riesgo, como se supone en los modelos tradicionales de
valoración de activos, sino que es averso al riesgo, como se observa en la realidad. Los resultados
muestran que el inversionista averso al riesgo, tiene mayores ganancias cuando utiliza el
pronóstico basado en la combinación de variables macro e indicadores técnicos, que si utiliza una
medida promedio.
Ahora bien, una característica particular que tienen estas investigaciones, es que utilizan la misma
técnica de estimación: Modelo por Factores Dinámico, puesto que es la más adecuada para
trabajar con un conjunto grande de variables. Stock & Watson (2010) describen los aspectos
teóricos y técnicos de éste método de estimación, y sus respectivas propiedades en cuanto al
pronóstico.
Los trabajos mencionados se han hecho para la economía estadounidense, que dista en gran
medida de la economía colombiana, considerada como un mercado emergente. Por ello es
importante estudiar la diferencia que puede existir entre la prima de riesgo en una economía
desarrollada y en una emergente. Salomos y Grootveld (2003) estudian dicha diferencia,
encontrando que para las economías emergentes la prima por riesgo, en activos de renta variable
(Equity risk Premium), tiene un comportamiento más cíclico que en las economías desarrolladas,
y al ser percibidos como países más riesgosos, la prima tiende a ser más alta. Para desarrollar tales
resultados, los autores calculan la equity risk Premium (Prima de Riesgo de Renta Variable) para
países desarrollados y emergentes y comparan sus hallazgos.
5
La literatura que recoge el tema, se encuentra en mayor abundancia a nivel internacional que
nacional, sin embargo, entre los estudios colombianos son destacables los trabajos de Bastidas
(2008), Monsegny y Cuervo (2008), Uribe, Mosquera & Restrepo (2013) y Astaiza y Gomez
(2013), que si bien, no pretenden hacer un pronóstico de la prima de riesgo o de los retornos de
los activos, permiten hacer algunos acercamientos en materia.
Bastidas (2008) busca observar la incertidumbre de la prima de riesgo a través del modelo de
arbitraje de valoración de activos para Colombia, dicho modelo permite hallar fuentes de
incertidumbre para la prima de riesgo, que para Bastidas, son el tipo de cambio, la inflación, la
variación en la producción industrial y la expectativa inflacionaria. Utilizando como técnica
econométrica el filtro de Kalman, el autor encuentra que hay incertidumbre en la prima por
riesgo asociado con los factores macroeconómicos mencionados. Uribe, Mosquera & Restrepo
(2013), plantean que el mercado bursátil colombiano no responde a factores macroeconómicos
externos o internos, sino que responde a las dinámicas de los portafolios de las AFP
(Administradoras de Fondos de Pensiones). El trabajo se propone a observar las relaciones entre
algunas variables macro y el desarrollo del mercado bursátil, utilizando modelos VAR y VEC.
Encuentran en efecto, que el mercado bursátil responde altamente a las dinámicas de los
portafolios de la AFP.
Monsagni y Cuervo (2008), por su parte, utilizan modelos de heterocedasticidad condicional
(ARCH, GARCH, EGARCH) para explicar el comportamiento de la serie de los retornos de los
activos de la compañía Gillette. Encuentran que un EGARCH (2,1) es el mejor para explicar la
serie de los retornos. El resultado es rescatable ya que puede ser aplicado para otras series de
retornos. Por último, Astaiza y Gomez (2013) exploran si existe una relación entre el ciclo
económico colombiano y la prima por riesgo. Para estimar el ciclo utilizan el filtro de Hodrick-
Prescott1 y comparan gráficamente con la serie de la prima por riesgo, encontrando relación.
Luego estiman un modelo ARMA cuya variable dependiente es la prima por riesgo.
2. Marco Teórico
Si lo que se busca es pronosticar la prima de riesgo de renta variable (Equity Risk Premium- ERP),
en primera medida, es necesario entender qué es y la teoría que la subyace. La ERP es la
compensación que reclaman los inversionistas por enfrentarse al riesgo, es decir, el precio de
1 Es un filtro que permite extraer el componente tendencial de una serie. Fue construido en base a las dinámicas de
la economía estadounidense observadas por Hodrick y Prescott en 1980. Es por ésta razón, que no es apropiado utilizar el filtro para variables en otros países, que distan de parecerse a E.E.U.U.
6
enfrentarse al riesgo (Damodaran, 2013). Entendiéndolo de otra forma, el retorno esperado de
cualquier inversión, puede verse como la suma de la tasa libre de riesgo (lo que el inversionista
recibirá por sus activos libres de riesgo) y la prima de riesgo (lo que reclama el inversionista por
enfrentarse al riesgo -de impago, inflacionario, liquidez- de sus activos riesgosos) o ERP.
A partir de lo anterior, nace el debate sobre cómo medir esa compensación por el riesgo, y por
tanto la pregunta ¿En que se basan los inversionistas para determinar dicha retribución? cobra
sentido e importancia. Tal como se ha mencionado antes, el presente estudio parte de la
hipótesis según la cual las variables macroeconómicas, o en realidad, las condiciones en las que se
encuentra la economía, afectan y por tanto, explican la Equity Risk Premium. Por ejemplo, si las
expectativas inflacionarias son altas, el inversionista reclamará una compensación mayor por una
inversión hoy.
En ese sentido, la ERP depende de múltiples factores y por tanto el modelo usado para su
pronóstico, debe incorporar dicha información. Los modelos básicos de valoración de activos,
aunque por su sencillez no incorporan dichos factores, son la base teórica del modelo de
valoración de activos multifactorial bajo el que se desarrolla el presente trabajo. El modelo más
conocido y el cual es punto de referencia en materia, es el CAPM (Capital Asset Pricing Model)
introducido por William Sharpe en 1964 y por y Jhon Litner en 1965.
2.1 CAPM.
El modelo CAPM es un modelo de equilibrio, en el sentido en que describe la relación entre los
precios de los activos tranzados y ciertos supuestos sobre el comportamientos de los
inversionistas en el mercado (Cvitanic & Zapatero, 2004). Es un modelo que se conforma del
análisis de media-varianza de Markowitz. En 1952, Harry Markowitz propone que para evaluar el
rendimiento de un activo (o de un portafolio compuesto por tales activos), el inversionista solo
(Bai & Ng, Large Dimensional Factor Analysis, 2008) necesita de la media y la varianza de los
retornos, es decir, su valor esperado y que tanto se aleja de dicho valor esperado. Lo anterior es
justificable cuando se cumplen 2 condiciones: (i) La distribución de los retornos es normal, ya
que la distribución normal está totalmente caracterizada por la media y la varianza. (ii) La utilidad
de los inversionistas es cuadrática, así el individuo solo se preocupa por la media y la varianza de
su riqueza final (Cvitanic & Zapatero, 2004). Entonces, dado que le modelo CAPM parte del
análisis de media-varianza de Markowitz, adopta éstas dos condiciones fundamentales.
Siguiendo con el análisis de media-varianza, Markowitz plantea lo se conoce como el Teorema
del único fondo mutuo. En síntesis, partiendo de la existencia de un activo libre de riesgo R y de
7
un portafolio M (fondo mutuo) con activos riesgosos, el inversionista solo considerará los
puntos (portafolios) que se encuentren sobre la recta trazada entre los puntos R y P, es decir,
combinaciones entre activos libres de riesgo y riesgosos. Dicha recta es conocida como frontera
eficiente. Ahora bien, la gran conclusión del modelo CAPM es, si todos los inversionistas son
inversionistas media-varianza, y todos tienen las mismas creencias sobre la media, la varianza y la
covarianza de los activos, su portafolio estará conformado por combinaciones lineales del activo
libre de riesgo y del fondo común, por tanto el fondo M será el portafolio de mercado. Los
inversionistas tendrán exactamente los activos que hay en el portafolio de mercado y en la misma
proporción. Es el único portafolio que los inversionistas considerarán (Cvitanic & Zapatero,
2004).
De ésta manera, el modelo CAPM relaciona los retornos de un activo financiero con los retornos
del portafolio de mercado y los retornos del activo libre de riesgo, tal como se aprecia en la
siguiente ecuación:
, (1)
donde es el retorno esperado del activo i, R el retorno del activo libre de riesgo y el
retorno esperado del portafolio de mercado. Otra forma de verlo es:
, (2)
o para trabajar de forma empírica (que es la línea de éste trabajo):
, (3)
donde es el exceso de retornos del activo i ( y es el exceso de retornos del mercado
Como hemos visto, el CAPM utiliza y extiende el análisis de media-varianza para su propósito.
Así mismo, los modelos multifactoriales son una extensión del modelo CAPM, en los cuales el
rendimiento del activo no depende únicamente del rendimiento del portafolio de mercado, sino
que responde también a un conjunto de factores del mercado como el crecimiento del PIB, las
tasas de interés del mercado, el tamaño de la firma o la tasa de inflación, tal como puede
observarse en Chen, Roll, & Ross (1986). En éste caso, la ecuación para los retornos sería:
, (4)
donde para j=1,2,….. L son factores del mercado.
8
Hasta el momento hemos hablado de los determinantes del rendimiento del activo, pero lo
anterior permite incorporarlos en el estudio de los determinantes de la prima de riesgo: ERP =
. Ésta puede depender de diferentes factores macroeconómicos, y mediante ese canal,
puede ser incorporado el efecto de las variables macro, al rendimiento del activo o del portafolio.
Entonces, si es posible pronosticar la ERP a través de factores macro, también será posible
tomar decisiones de portafolio más acertadas.
3. Metodología
Son muchos los factores que podrían explicar la prima de riesgo de renta variable, desde la tasa
de interés hasta el crecimiento del PIB. Es difícil escoger entre unos y otros, por ejemplo, ¿por
qué escoger la DTF y no la tasa de intervención del Banco? Por una parte, un incremento de la
DTF incentiva la captación de recursos para el banco, indicando que este busca financiamiento
para realizar determinada operación, de manera que para dicha institución la economía está en
buenas condiciones. Por otra parte, una caída de la tasa de intervención del banco es un
incentivo para que las entidades financieras se endeuden y por tanto, el banco busca inyectar
dinero en la economía indicando por tanto, que hay falta liquidez en esta. Otra señal para el
inversionista.
Lo anterior muestra que en ocasiones, y en especial cuando se trabaja con variables
macroeconómicas, se cuenta con mucha información, y tanto para modelación como para
pronóstico, desechar información no es óptimo, sin embargo, utilizar toda la información
contenida en todas las series de forma directa, tampoco promete estimaciones eficientes.
Entonces, al ser el propósito del presente estudio pronosticar la ERP, es necesario buscar una
salida a dicho problema. Por fortuna, existe lo que se conoce en la literatura como Modelos por
Factores Dinámicos (Dynamic Factor Models -DFM-) que enfrentan tal situación.
3.1 Modelos por Factores Dinámicos
Un modelo general por factores, siguiendo a Bai & Ng (2008), puede ser dinámico o estático, es
decir, puede incluir los rezagos de los factores o no (estático). Se empezará por definir, el modelo
general estático.
Sea N el número de variables de corte transversal, para i = 1…. N y t = 1… T un modelo
estático por factores de define como:
, (5)
9
de igual forma:
, (6)
donde son los “r” factores estáticos y son los mismos para cada variable, pues solo cambian
en el tiempo. son las “cargas” de los factores; una carga para cada variable pero es la misma
para todo t. es el error idiosincrático y el componente común del modelo. En síntesis, la
ecuación platea que la variable X puede ser vista como la unión de dos cosas: un componente
aleatorio idiosincrático y un factor con respectivo peso.
Si [ ] [ ] [ ] [ ] ,
entonces la representación matricial del modelo es:
, (7)
aunque se especifica una relación estática entre las variables y los factores, puede ser descrito
por un VAR (Vector Autorregresivo): donde es un operador de rezagos, y
por tanto el modelo dinámico por factores sería:
, (8)
Hasta el momento no se ha solucionado el problema de la dimensionalidad2. Para ello, se utiliza
el análisis de componentes principales (PCA), el cual transforma los datos en un conjunto de
nuevas coordenadas o variables, que al ser combinaciones lineales de las variables originales,
permiten trabajar con una menor dimensión de datos sin perder información. Para entender
mejor, es bueno partir del conjunto de datos original, en nuestro caso, 20 variables
macroeconómicas que serán expuestas posteriormente. La dimensión actual de los datos es
con p=2p, pero se desea reducir la dimensión a con q<p.
Las 20 variables están contenidas en la matriz Xc, centrada en media y de dimensiones Tx1. De
allí, se obtiene la matriz de varianza-covarianzas S, la cual se describe como
. Dado que
el objetivo es trabajar con las combinaciones lineales de las variables originales, se procede a
encontrar los vectores y valores propios (o eigenvalues) de la matriz S.
| |
| |
2 Cuando el número de variables supera el número de observaciones (n>t), los parámetros estimados por OLS son sesgados,
pues se incrementa la varianza del término estocástico. Al incorporar muchas variables en una estimación, se presentan
problemas de multicolinealidad y en ocasiones, se presentan correlaciones espuria.
10
Los eigenvectors son ortormales (ortogonales y con longitud unitaria) y serán organizados en las
columnas de la matriz A. Para escoger los componentes principales se usa como criterio aquellos
con mayor valor propio. El conjunto de los vectores propios con mayores valores propios será el
conjunto de componentes principales:
, (9)
donde Ar contiene los primeros r vectores propios con valores más altos y Zr los r componentes
principales ( ̅ es el j-esimo componente principal.). Finalmente el nuevo
conjunto de datos reducidos se describe como:
, (10)
Con los datos reducidos se estiman los factores de las ecuaciones 5, 7 y 8. Para decidir el número
de factores a incluir, existe el criterio de información desarrollado por Bai & Ng (2002)3 o el
criterio de proporción de varianza. Este último, consiste básicamente en escoger el número de
factores que expliquen el 60% (o más) de la varianza (Stock & Watson, 2010). Será éste, el
criterio utilizado para realizar la estimación.
3.2 Pronóstico.
Recordemos la ecuación del modelo dinámico por factores (ecuación 8). Una vez definido el
número de factores (no observables) Ft, estimados por PCA y escogidos mediante el criterio de
Bai & Ng (2002), es posible estimar la ecuación 8, donde sería la ERP. El respectivo
pronóstico de a 1 periodo es explicado por Stock & Watson (2010) y viene dado por:
[ | ] [ | ]
[ | ] [ | ]
[ | ] [ | ]
(11)
Como (11) adopta las propiedades de (8), la eficiencia del pronóstico no se afecta a medida que
se agregan más variables al sistema.
3 El criterio mide el trade-off entre los beneficios de incluir un factor adicional y los costos medidos como el incremento de
la variabilidad de la muestra al estimar ese factor adicional.
11
4. Datos.
Los datos utilizados fueron obtenidos, en su mayoría, de la página web del Banco de la
Republica. Como excepciones, solo se encuentran las variables asociadas al portafolio de los
Fondos de pensiones y Cesantías, que fueron obtenidas de la página web de la Superintendencia
Financiera de Colombia. Las series se encentran en frecuencia mensual desde 2003-01 hasta
2015-10.
El conjunto de variables macroeconómicas consideradas para el modelo, se tomaron en base a
los estudios realizados por Rapach, Neely, Tu & Zhou (2011) y Ludvigson & Ng (2009), y son
descritas a continuación:
Tasa Cero Cupón: Tomada para los TES (Títulos de deuda pública) a plazo de 1 año.
COLCAP: Índice de Bolsa. Serie empalmada en Enero de 2008 con el IGBC. Los datos
del IGBC también fueron tomados del BanRep.
DTF: Tasa de Captación. Serie tomada para los CDT‟s a 90 días.
TIB: Tasa Interbancaria a 1 día.
Tasa de Colocación: Promedio ponderado de las tasas de interés de diferentes tipos de
crédito.
UVR: Unidad de Valor de Real. Indicador de poder adquisitivo.
PRIME: Tasa de interés externa (E.E.U.U)
ITCR: Índice de la Tasa de Cambio Real.
TRM: Tasa de cambio Representativa del Mercado. Precio del dólar.
Base monetaria, M1, M2 y M3: Agregados Monetarios y Crediticios.
Depósitos a la vista: Depósitos en cuentas de ahorro.
Depósitos en Bonos: Depósitos en bonos emitidos por el Banco de la Republica.
IPI: Índice de Producción real de la Industria manufacturera.
IPP: Índice de Precios al Productor.
Valor Portafolio FPC: Valor total de los títulos valores o participaciones de emisiones
nacionales, a corto plazo, de los Fondos de Pensiones y Cesantías.
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Porcentaje Portafolio FPC: Porcentaje total de los títulos valores o participaciones de
emisiones nacionales, a corto plazo, de los Fondos de Pensiones y Cesantías.
Total Portafolio FPC: Total Cartera (nacional e internacional) de los Fondos de
Pensiones y Cesantías.
Se busca que las tasas de interés capturen componentes de liquidez, de sentimiento de la banca
privada (nacional e internacional), y, naturalmente, del comportamiento del precio del dinero,
todos ellos, factores que afectan las decisiones de ahorro e inversión y podrían afectar por tanto,
la ERP. Por ejemplo, una tasa de captación alta es consecuencia de la intención de los bancos
por financiarse, tal intención puede ser impulsada por unas favorables expectativas a futuro y
deseos de inversión. Esto es una señal positiva para los inversionistas, quienes toman sus
decisiones de portafolio basados en este tipo de señales del mercado. Otro tipo de información
ofrece los agregados monetarios y los depósitos, puesto que permiten capturar componentes de
política monetaria (al igual que la tasa de interés), y a su vez, dan señales sobre la estabilidad del
mercado financiero del país. Los índices macroeconómicos también pueden dar señales a los
inversionistas, en materia de producción industrial y precios. Por último, las participaciones en
activos nacionales de los Fondos de Pensiones pueden dar señales a los inversionistas en
Colombia, dados los aportes de Uribe, et al. (2013).
5. Estimación
Tal como corresponde con las series de tiempo, se procede a garantizar la estacionariedad de las
series, esto es, que el primer y segundo momento de la serie (media y varianza) no varíen en
función del tiempo. Las transformaciones respectivas son resumidas en la Lista de acrónimos
(Anexo 2). Una vez garantizada la estacionariedad, se procede a estimar los componentes
principales de las 20 variables macroeconómicas, utilizando el programa estadístico MATLAB
R2015a y la programación anexa (Anexo 1).
Los resultados muestran que los primeros 8 componentes principales acumulan el 62,61% de la
varianza (Tabla 1), razón por la cual será el número de factores escogido para realizar el
pronóstico. Como cada variable tiene una participación en cada uno de los factores, dado que los
vectores propios son combinaciones lineales de todas las variables, es posible identificar que
series tienen mayor „carga‟ dentro de los componentes.
13
El primer componente principal guarda el mayor porcentaje de varianza (11,21%). A su vez, las
mayores participaciones en dicho factor, vienen dadas, en primer lugar por los agregados
monetarios (Base, M1, M2, M3), luego por los depósitos a la vista, Portafolio de los Fondos de
Pensiones y Cesantías (%), TRM y COLCAP, (Véase Tabla 2). Por su parte, el segundo factor
guarda un 9,54% de la varianza (Gráfico 3), y se “carga” principalmente del ITCR, el precio del
dólar, las tasas DTF, Interbancaria y PRIME. Se deduce entonces, que el primer factor es un
componente monetario y el segundo un componente bancario. El tercer factor da cabida a
componentes macro (IPI, UVR), aunque las tasas de interés son predominantes.
Al resaltar dicho componente monetario y bancario, conviene analizar el comportamiento de la
ERP en periodos de recesión financiera. Al enfrentarse a un mayor riesgo, el inversionista exige
una mayor rentabilidad, se espera entonces, que la ERP sea mayor en periodos de recesión.
Adicionalmente, en un país con economía emergente, como lo es Colombia, se espera una prima
de riesgo, aún mayor, en una fase recesiva, dado que los bajos niveles de liquidez y la presencia
de barreras financieras, induce a los inversionistas a exigir una prima extra por comprar activos
en estos mercados (Donadelli & Prosperi, 2012).
Para analizar esta premisa, se utiliza como referencia la cronología del Ciclo financiero propuesto
por Uribe, Ulloa & Perea (2015). Los autores señalan que en el periodo comprendido entre
2008M09-2011M12, el ciclo financiero de Colombia entró en una fase de recesión. Durante ese
periodo, la ERP se mantuvo (en promedio - 0,03416) por encima de la media general (0,02295), a
lo cual se suma, que durante dicho periodo la serie alcanza su 3er máximo en 2009M11
(0,32153). El primero se ubica en 2004M02 (0,49446) y el segundo en 2005M11(0,32827).
Gráfico 1. ERP y Fase de Recesión del Ciclo Financiero
14
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
Fase de recesión del Ciclo Financiero Uribe, Ulloa & Perea (2015)
A continuación se estima la ecuación (8) por OLS, donde es la ERP y los 8
componentes principales rezagados (l=8). La estimación indica que el segundo, tercer y séptimo
componente principal, no son estadísticamente significativos4 (Tabla 3). No se observan
problemas de autocorrelación ni heterocedasticidad según el estadístico Q y el test de White,
respectivamente. A partir de esta estimación se realiza tanto el forecast in-sample como el forecast
out-of-sample.
5.1 Dentro de muestra (In-Sample):
El pronóstico cuenta con buenas propiedades: MSE (Mean Square Error) bajo (0,0115958) y
acumula el 64, 47% de la varianza de la ERP. El pronóstico se mantiene dentro de las bandas de
confianza (+/- 2 S.E), sin embargo cuenta con un coeficiente de Theil lejano cero (0,745041),
donde cero indica un ajuste perfecto entre el pronóstico y los valores reales. El gráfico 1
permite observar la diferencia entre el pronóstico y los valores reales de la variable.
5.2 Fuera de muestra (Out-of-Sample):
En cuanto a ajuste, tiene un MSE bajo (0,005962), mejor que el pronóstico en muestra; un
coeficiente de Theil igualmente lejano a cero (0,754297) pero se mantiene dentro de las bandas
de confianza (+/- 2 S.E); acumula el 41,24% de la varianza de la ERP, considerablemente menos
4 Esto no es un problema, puesto que para pronosticar nos interesa la correlación y no la causalidad.
15
que el pronóstico dentro de muestra. Los valores pronosticados para el primer semestre del año
2016, pueden observarse en la Tabla 5 y en el Gráfico 2.
Con el fin de probar la eficiencia del modelo para pronosticar, se estima otro pronóstico a partir
de dos modelos ARIMA (ARMA(6,6) y ARMA (8,8)) escogidos utilizando la metodología Box-
Jenkins. Aunque los criterios de información de Akaike y Schwarz favorecen al ARMA(6,6)5, se
realizó el pronóstico con ambos modelos y se encontró, que el ARMA(8,8) es mejor modelo para
predecir. Los resultados son resumidos en la Tabla 4.
Al contar con el menor MSE (0,004820) y al capturar la mayor proporción de la varianza
(68,67%), el modelo ARMA(8,8) se propone como el mejor modelo para pronosticar la ERP.
Este resultado es consistente, en teoría, dado que el modelo ARIMA es el más utilizado para
pronosticar series de tiempo (Nau, 2016). En segundo lugar, se posiciona el pronóstico con el
Modelo por Factores (Segundo menor MSE y MAE), y por último, se encuentra el pronóstico
con el ARMA(6,6), que si bien, guarda mayor proporción de la varianza que el pronóstico DFM,
se ajusta menos a los valores observados de la serie.
Todos los estadísticos anteriores son evaluados para el pronóstico fuera de muestra, al igual que
los resultados de la Tabla 5, donde se muestran los valores pronosticados con cada modelo y se
contrastan con los valores reales de la ERP. El pronóstico del ARMA (6,6) acierta en signo 2 de
5 meses, mientras el pronóstico con el modelo por factores acierta 3/5 y el ARMA8 acierta 5/5.
En la generalidad, el ARMA(8,8) se aleja menos de los valores reales, a excepción del primer mes
estimado, donde el mejor pronóstico lo hace el modelo por factores.
6. Conclusiones
En efecto, es posible pronosticar la ERP haciendo uso de un modelo por factores estimado a
partir de variables macroeconómicas, y dicho pronóstico es, como muestran los anteriores
resultados, eficiente tanto en muestra como fuera de muestra. Lo cierto, es que existe un modelo
más simple que le compite, el ARMA (8,8), el cual explica la prima de riesgo en función de su
pasado y de los rezagos del término estocástico. Este modelo tiene menor MSE, es decir, que la
5 Esto puede ser explicado por la composición de los criterios. Ambos incluyen una penalidad, que es una función creciente
del número de parámetros estimados. En éste sentido el ARMA(8,8) será menos preferido, pues pierde más información en
la estimación.
16
diferencia entre lo pronosticado y el valor real, es la más pequeña entre los modelos evaluados,
propiedad observable en los valores estimados fuera de muestra. Al mismo tiempo, permite un
pronóstico que captura mayor proporción de la varianza (68,67%), por lo tanto, tiende a ser más
acertado en cuanto a picos y valles se trata (valores que se alejan de la media), puntos clave para
tomar decisiones de portafolio y obtener ganancias extraordinarias. Estas propiedades se
mantienen bajo diferentes horizontes de pronóstico.
Aunque parece que el modelo por factores contiene mayor información, gracias a que la técnica
de componentes principales se lo permite, el modelo ARMA8 triunfa fuera de muestra. Esto
soporta la tesis de Goyal & Welch (2004) en la cual ninguna de las variables (o conjunto de ellas)
sugeridas para pronosticar la ERP, es capaz de vencer un pronóstico simple basado en la historia
de los rendimientos (“Can anything beat the historical average? Not yet.” (Goyal & Welch,
2004)).
Sin embargo, dentro de muestra, el modelo por factores captura el 64,47% de la varianza,
sugiriendo resultados económicamente significativos en cuanto a las variables utilizadas. Se
puede concluir entonces, que aunque el modelo no es el más eficiente para pronosticar fuera de
muestra, si contiene información relevante para explicar la ERP, y dicha información está
contenida mayoritariamente en los primeros 8 componentes. Vale la pena revisar cada uno de
ellos observando el gráfico 3.
El primero de los componentes, el cual contiene la mayor parte de la varianza (11,21%), se carga
principalmente por los agregados monetarios (M1, M2, M3, Base), los depósitos a la vista y el
portafolio de los Fondos de Pensiones y Cesantías (en %). Esto quiere decir, primero, que la
varianza de la ERP viene cargada, en buena parte, del componente monetario, y segundo, que el
portafolio de los Fondos de Pensiones y Cesantías también tiene participación, menor que los
agregados monetarios pero mayor que la TRM; lo cual hace notar el papel importante que tienen
los FPC en el mercado bursátil, al menos, en cuanto a los precios. Éste resultado apoya la tesis de
Uribe, Mosquera & Restrepo (2013) y permite además, abrir el debate sobre la concentración del
mercado bursátil colombiano.
En la misma línea, es de anotar que, aunque algunas variables macroeconómicas tienen
información útil para pronosticar la ERP, la construcción de indicadores técnicos como los
propuestos por Rapach, Neely, Tu & Zhou (2013) podrían no ayudar a mejorar las características
17
pronóstico, porque las variables macroeconómicas, en el caso colombiano, tienen una influencia
más débil sobre la ERP que para otros países (como E.E.U.U), dado que es un mercado bursátil
pequeño y concentrado, que no responde mucho a las dinámicas internas de los fundamentales.
Bajo tales características, se espera que la prima de riesgo para activos de renta variable sea mayor
en el país, pues los inversionistas exigen una mayor prima al enfrentarse a mayor riesgo. En una
fase de recesión, se espera una prima aún más alta, por la misma razón. Es así, como en el
periodo 2008M09 – 2011M12, fase de recesión en el ciclo financiero colombiano, la ERP logra
un nivel superior a la media y alcanza su tercer máximo en todo el periodo analizado (2003M03
2015M10).
Para futuras investigaciones, sería interesante trabajar con los ratios utilizados comúnmente para
pronosticar la ERP, pero que no están disponibles para Colombia: Earnings per share, Dividend
Yield, Book to Market ratio. Dichos ratios, guardan información más cercana sobre los precios en el
mercado de acciones, y por lo tanto, están más relacionados con la dinámica del COLCAP y la
Tasa Cero Cupón, variables que estructuran la ERP.
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19
ANEXOS
ANEXO 1.
Principal component analysis (PCA) on data – MATLAB
URL: http://es.mathworks.com/help/stats/princomp.html
A= Matriz de variables macroeconómicas (152 x 20)
B= Matriz de datos estandarizados.
SCORE contiene los componentes principales de la matriz B
>>[n m]=size(A)
>>AMean= mean (A)
>>Astd=std(A)
>>B=(A-repmat(Amean,[n 1]./repmat(AStd,[n 1]) /es equivalente a zscore
>>B=zscore(A)
>>[COEFF SCORE LATENT]= princomp(B)
>>var(SCORE)
>>cumsum(var(SCORE))/sum(var(SCORE))
>>corrcoeff(SCORE)
ANEXO 2.
Lista de Acrónimos.
20
ar2_preciodolar: AR(2) TRM
ar_base: AR(1) Base monetaria
ar_colcap: AR(1) COLCAP
ar_depositos_bonos: AR(1) Depósitos en bonos
ar_ipp: AR(1) IPP
ar_ppensiones: AR(1) Valor Portafolio FPC
ar_xppensiones: AR(1) Porcentaje Portafolio FPC
dum_total_portafolio:
arma_itcr: ARMA(1,1) ITCR
d2_dumipi: d(d(IPI)) corregido con una dummy por quiebre estructural.
d2_m1: d(d(M1)
d2_m2: d(d(M2)
d2_m3: d(d(M3)
d_depositos_alavista: d(Depósitos a la vista)
d_dumcoloc: d(Tasa de Colocación) corregido con una dummy por quiebre estructural.
d_dumdtf: d(DTF) corregido con una dummy por quiebre estructural.
d_dumtib: d(TIB) corregido con una dummy por quiebre estructural.
d_prime: d(PRIME)
d_tasacero: d(Tasa Cero Cupón)
d_uvr: d(UVR)
erp: ((1+col)/(1+tes))-1 donde col=log(COLCAP) y tes=log(Tasa Cero Cupón)
Tabla 1.
Análisis de Componentes Principales >>
Sample: 2003M03 2015M10
Included observations: 152
Computed using: Ordinary correlations
Extracting 20 of 20 possible components
Eigenvalues: (Sum = 20, Average = 1)
Cumulative Cumulative
Number Value Difference Proportion Value Proportion
1 2.241761 0.332987 0.1121 2.241761 0.1121
2 1.908774 0.118969 0.0954 4.150535 0.2075
3 1.789805 0.076163 0.0895 5.940340 0.2970
4 1.713642 0.257143 0.0857 7.653982 0.3827
5 1.456499 0.257287 0.0728 9.110481 0.4555
6 1.199211 0.060259 0.0600 10.30969 0.5155
7 1.138952 0.065798 0.0569 11.44864 0.5724
8 1.073155 0.061772 0.0537 12.52180 0.6261
9 1.011382 0.120320 0.0506 13.53318 0.6767
21
10 0.891062 0.041928 0.0446 14.42424 0.7212
11 0.849134 0.081455 0.0425 15.27338 0.7637
12 0.767679 0.069773 0.0384 16.04106 0.8021
13 0.697906 0.059279 0.0349 16.73896 0.8369
14 0.638626 0.073965 0.0319 17.37759 0.8689
15 0.564661 0.039552 0.0282 17.94225 0.8971
16 0.525109 0.045496 0.0263 18.46736 0.9234
17 0.479613 0.086897 0.0240 18.94697 0.9473
18 0.392717 0.031992 0.0196 19.33969 0.9670
19 0.360725 0.061139 0.0180 19.70041 0.9850
20 0.299586 --- 0.0150 20.00000 1.0000
Tabla 2.
Vectores Propios
Eigenvectors (loadings):
Variable PC 1 PC 2 PC 3 PC 4 PC 5 PC 6 PC 7 PC 8 AR2_PRECIODOLAR 0.170616 0.494369 0.148193 0.165476 0.236395 0.127668 0.011893 -0.231098
AR_BASE 0.413201 -0.110676 -0.183494 0.067169 0.050163 0.105134 -0.212420 0.011673
AR_COLCAP -0.066991 -0.032404 -0.007374 -0.353032 -0.137246 0.330396 0.416671 -0.056598 AR_DEPOSITOS_BONOS 0.003174 0.237731 0.037557 -0.250466 0.275849 0.179279 0.399504 -0.092155
AR_IPP 0.043862 -0.294204 -0.056908 0.082211 0.492109 -0.256109 -0.009774 -0.056006
AR_PPENSIONES -0.090131 0.029884 -0.180460 0.003356 0.106925 0.580624 -0.095641 0.457113
AR_XPPENSIONES -0.276085 -0.087375 -0.096888 0.000561 0.097221 0.401831 -0.365036 0.053776
ARMA_ITCR 0.122156 0.512120 0.132312 0.209772 0.225746 0.039429 -0.094314 0.040412
D2_DUMIPI -0.098453 0.112753 0.304512 -0.139990 0.254838 -0.104057 -0.166745 0.504266
D2_M1 0.448456 -0.072199 -0.083083 -0.064471 0.028510 0.107371 0.148774 0.263984
D2_M2 0.467583 -0.140091 0.113291 -0.145348 -0.115726 0.062126 0.095369 0.200846
D2_M3 0.334194 0.009170 0.381226 -0.206577 -0.190513 -0.106808 -0.092749 0.127342 D_DEPOSITOS_ALAVISTA 0.313556 -0.003909 -0.137696 -0.011167 -0.037673 0.271654 -0.321027 -0.392557
D_DUMCOLOC -0.166441 -0.286639 0.514368 0.073408 0.097743 0.140706 0.076201 0.008256
D_DUMDTF 0.045474 -0.293377 0.483818 0.086838 0.065538 0.265111 -0.095693 -0.253065
D_DUMTIB 0.013685 -0.060145 -0.140953 0.430570 -0.107070 0.082327 0.467042 0.084301
D_PRIME -0.082275 0.296668 0.117276 0.031548 -0.439775 -0.099679 -0.129359 0.191377
D_TASACERO 0.123378 -0.115960 0.039840 0.575183 0.103317 -0.003169 0.123033 0.227407
D_UVR -0.027917 0.116911 0.263120 0.235317 -0.233582 0.210862 0.116280 -0.148067 DUM_TOTAL_PORTAFOLIO 0.047884 0.061701 0.018764 -0.238250 0.363102 -0.054023 0.144748 -0.045167
22
Tabla 3.
Estimación OLS: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.018922 0.009671 1.956575 0.0525
ERP(-8) 0.109670 0.130765 0.838680 0.4031
PC1(-8) 5.24E-17 6.86E-17 0.763193 0.4467
PC2(-8) 6.18E-17 7.15E-17 0.864333 0.3889
PC3(-8) -1.11E-16 7.42E-17 -1.496401 0.1369
PC4(-8) -1.11E-17 1.08E-16 -0.102794 0.9183
PC5(-8) -1.18E-16 9.06E-17 -1.303569 0.1946
PC6(-8) 3.47E-17 9.72E-17 0.357419 0.7213
PC7(-8) -9.18E-17 9.76E-17 -0.940483 0.3487
PC8(-8) 1.44E-18 1.00E-16 0.014364 0.9886 R-squared 0.062486 Mean dependent var 0.021595
Adjusted R-squared -0.000481 S.D. dependent var 0.110804
S.E. of regression 0.110830 Akaike info criterion -1.494715
Sum squared resid 1.645974 Schwarz criterion -1.288478
Log likelihood 117.6195 Hannan-Quinn criter. -1.410912
F-statistic 0.992356 Durbin-Watson stat 1.721862
Prob(F-statistic) 0.449427
Tabla 4.
Estimación OLS: ̂ ̂ ̂ ̂
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.020328 0.009104 2.232842 0.0271
AR(6) -0.856867 0.038984 -21.98013 0.0000
MA(6) 0.939950 0.020516 45.81459 0.0000 R-squared 0.103536 Mean dependent var 0.021595
Adjusted R-squared 0.090821 S.D. dependent var 0.110804
S.E. of regression 0.105652 Akaike info criterion -1.636711
Sum squared resid 1.573903 Schwarz criterion -1.574840
Log likelihood 120.8432 Hannan-Quinn criter. -1.611570
F-statistic 8.142339 Durbin-Watson stat 1.691896
Prob(F-statistic) 0.000450 Inverted AR Roots .84-.49i .84+.49i .00-.97i -.00+.97i
-.84+.49i -.84-.49i
Inverted MA Roots .86+.49i .86-.49i .00-.99i -.00+.99i
-.86+.49i -.86-.49i
Tabla 5.
Estimación OLS: ̂ ̂ ̂ ̂
23
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.004373 0.013265 -0.329671 0.7421
AR(8) 0.840601 0.045054 18.65743 0.0000
MA(8) -0.929365 0.025562 -36.35688 0.0000 R-squared 0.136878 Mean dependent var 0.021595
Adjusted R-squared 0.124635 S.D. dependent var 0.110804
S.E. of regression 0.103669 Akaike info criterion -1.674613
Sum squared resid 1.515366 Schwarz criterion -1.612742
Log likelihood 123.5721 Hannan-Quinn criter. -1.649472
F-statistic 11.18022 Durbin-Watson stat 1.839624
Prob(F-statistic) 0.000031 Inverted AR Roots .98 .69-.69i .69+.69i -.00-.98i
-.00+.98i -.69+.69i -.69+.69i -.98
Inverted MA Roots .99 .70+.70i .70-.70i -.00+.99i
-.00-.99i -.70-.70i -.70-.70i -.99
24
Tabla 6.
Estadísticas de los pronósticos
Forecast MSE MAE Theil Variance Proportion
DFM_OUT 0,005962 0,061419 0,754297 0,41245
ARMA6_OUT 0,007070 0,068298 0,821376 0,44525
ARMA8_OUT 0,004820 0,057964 0,686706 0,68670
Tabla 7.
Valores pronosticados por modelo
Modelo: DFM ARMA(8,8) ARMA(6,6)
Año ERP Real Out Out Out
2015M06 0,035782 0.031342 0.011208 0.034461
2015M07 -0,01796 0.026377 -0.002304 0.009245
2015M08 -0,129397 0.032850 -0.022121 0.005289
2015M09 -0,118576 -0.028328 -0.018143 0.019339
2015M10 0,030196 0.041196 0.003226 0.023038
2015M11* - -0.026971 -0.020801 0.024752
2015M12* - 0.041921 0.001794 0.008219
2016M01* - -0.009175 -0.001026 0.029825
2016M02* - 0.038068 0.008725 0.033215
2016M03* - -0.014455 -0.002634 0.021176
2016M04* - 0.060645 -0.019292 0.018006
2016M05* - -0.024821 -0.015948 0.016538
2016M06* - 0.023778 0.002015 0.030705
Gráfico 1. ERP vs Pronóstico ERP in-sample (ERP_HAT) con Modelo por Factores
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
ERP ERP_HAT_INSAMPLE
25
Gráfico 2. ERP vs Pronóstico ERP out-of-sample (ERPF_DFM_OUT) con Modelo por Factores
(izquierda). Bandas de confianza +/- 2 S.E (derecha)
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
ERP_DFM_OUT ERP
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
M11 M12 M1 M2 M3 M4 M5 M6
2015 2016
ERPF1 ± 2 S.E.
Gráfico 3. ERP vs Pronóstico ERP out-of-sample con ARMA(8,8) (izquierda). Bandas de confianza +/- 2
S.E (derecha)
26
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
ERPF_AR8MA8 ERP
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
M11 M12 M1 M2 M3 M4 M5 M6
2015 2016
ERPF_AR8MA8 ± 2 S.E.
Gráfico 4.
ERP vs Pronóstico ERP out-of-sample con ARMA(6,6) (izquierda). Bandas de confianza +/- 2
S.E (derecha)
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
ERPF_AR6MA6 ERP
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
M11 M12 M1 M2 M3 M4 M5 M6
2015 2016
ERPF_AR6MA6 ± 2 S.E.
27
Gráfico 5.
Comparación del pronóstico con cada modelo.
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
I II III IV I II
2015 2016
ERPF_AR8MA8 ERPF_AR6MA6ERP_HAT_DFM_D ERP
Gráfico 6.
Cargas de los Componentes principales extraídos de las 20 variables Macroeconómicas.
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
AR2_PRECIODOLAR
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSITOS_B…
AR_IPP
AR_PPENSIONES
AR_XPPENSIONES
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSITOS_AL…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL_PORT…
PC1
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
AR2_PRECIODOLAR
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSITOS_B…
AR_IPP
AR_PPENSIONES
AR_XPPENSIONES
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSITOS_AL…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL_PORT…
PC2
28
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
AR2_PRECIODOLAR
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSITOS_B…
AR_IPP
AR_PPENSIONES
AR_XPPENSIONES
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSITOS_AL…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL_PORT…
PC3
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
AR2_PRECI…
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSI…
AR_IPP
AR_PPENSI…
AR_XPPENS…
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSIT…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL…
PC4
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
AR2_PRECIODOLAR
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSITOS_B…
AR_IPP
AR_PPENSIONES
AR_XPPENSIONES
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSITOS_AL…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL_PORT…
PC5
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
AR2_PRECI…
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSI…
AR_IPP
AR_PPENSI…
AR_XPPENS…
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSIT…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL…
PC6
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
AR2_PRECIODOLAR
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSITOS_B…
AR_IPP
AR_PPENSIONES
AR_XPPENSIONES
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSITOS_AL…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL_PORT…
PC 7
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
AR2_PRECI…
AR_BASE
AR_COLCAP
AR_DEPOSI…
AR_IPP
AR_PPENSI…
AR_XPPENS…
ARMA_ITCR
D2_DUMIPI
D2_M1
D2_M2
D2_M3
D_DEPOSIT…
D_DUMCOLOC
D_DUMDTF
D_DUMTIB
D_PRIME
D_TASACERO
D_UVR
DUM_TOTAL…
PC8
