PROPOSTA DE REGRAS PARA PROJETO DE GRADUAÇÃO · used, as well as to identify possible failures in...

Universidade de Brasília - UnB Faculdade UnB Gama - FGA

Curso de Engenharia Aeroespacial

CORRELAÇÃO TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE MODELOS DINÂMICOS DE ESTRUTURAS

AEROESPACIAIS LEVES

Autor:Allan Corrêa Domingues Orientador: Prof. Dr. Sergio Henriqueda Silva

Carneiro

Brasília, DF

2017

Allan Corrêa Domingues

TÍTULO:CORRELAÇÃO TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE MODELOS DINÂMICOS

DE ESTRUTURAS AEROESPACIAIS LEVES

Monografia submetida ao curso de graduação em Engenharia Aeroespacial da Universidade de Brasília, como requisito parcial para obtenção do Título de Bacharelem Engenharia Aeroespacial. Orientador: Prof. Dr. Sergio H. S. Carneiro

Brasília, DF 2017

CIP – Catalogação Internacional da Publicação*

Domingues, Allan C.

Correlação Teórico-Experimental de Modelos Dinâmicos de Estruturas Aeroespaciais Leves/ Allan C. Domingues. Brasília:

UnB, 2017. 82p. : il. ; 29,5 cm.

Monografia (Graduação) – Universidade de Brasília

Faculdade do Gama, Brasília, 2017. Orientação: Dr. Sergio H.

S. Carneiro.

1. Análise Modal Experimental. 2. Parâmetros Modais. 3.

Honeycomb I. Carneiro, Sergio H. S.. II. Correlação Teórico-

Experimental de Modelos de Estruturas Aeroespaciais Leves.

CDU Classificação

REGULAMENTO E NORMA PARA REDAÇÃO DE RELATÓRIOS DE PROJETOS DE GRADUAÇÃO FACULDADE DO GAMA - FGA

Allan Corrêa Domingues

Monografia submetida como requisito parcial para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Aeroespacial da Faculdade UnB Gama - FGA, da Universidade de Brasília, em (data da aprovação 06/07/17) apresentada e aprovada pela banca examinadora abaixo assinada:

Prof. Dr.Sergio Henriqueda Silva Carneiro, UnB/ FGA Orientador

Prof. Dr. Artem Andrianov, UnB/ FGA Membro Convidado

Prof. Dr.Manuel Nascimento Dias Barcelos Júnior, UnB/ FGA Membro Convidado

Brasília, DF 2017

Esse trabalho é dedicado aos que sempre me deram apoio e fizeram de tudo para que não me faltasse nada e pudesse alcançar meu sonho de poder fazer esse curso.

AGRADECIMENTOS

Quero agradecer primeiramente a Deus, que me conduziu para que eu pudesse chegar até aqui. Aos meus pais, que sempre estiveram ao meu lado dando apoio e possibilitando que eu pudesse me dedicar a esse curso. À minha namorada Sumara, que me ajudou nas horas de desânimo e cansaço. Ao meu orientador Dr. Sergio H. S. Carneiro, que sempre deu conselhos e serve como motivador para a carreira futura na indústria aeroespacial que ainda me espera. Aos professores Dr. Adriano Todorovic Fabro e Dr. Marcus Vinicius Girão, da Faculdade de Tecnologia da UnB, que dedicaram equipamento e tempo para nos ajudar com que esse projeto fosse possível. Ao mestrando Kleverson, que trabalhou juntamente comigo nas análises experimentais e na concepção do modelo de elementos finitos. E à Universidade de Brasília que me possibilitou cursar o curso de Engenharia Aeroespacial.

Confie no Senhor de todo o seu coração e não se apoie em seu próprio entendimento. (Provérbios 3:5)

RESUMO

Nas engenharias mecânica, aeroespacial, civil,os projetos estão constantemente sujeitos as cargas dinâmicas. Essas cargas dinâmicas podem causar danos às estruturas e com isso causar graves acidentes. Por essa razão, é de extrema importância identificar os parâmetros modais de uma estrutura ao fazer a concepção de um projeto. A determinação desses parâmetros consiste em identificar as frequências naturais, fatores de amortecimento e modos naturais de vibração. Estes parâmetros também são importantes para determinar a vida útil do material utilizado, bem como identificar possíveis falhas na estrutura. A sua obtenção pode ser realizada por meio de ensaio modal experimental ou de modelos teóricos utilizando método de elementos finitos. Esse trabalho visa apresentar formas de obter essas propriedades utilizando estudo teórico e experimental. Além de correlacioná-los visando obter uma visão ampla dessas características para uma melhor compreensão do comportamento das estruturas. Serão apresentados ensaios modais realizados em painéis leves do tipo sanduíche com núcleo de honeycomb em condição de contorno livre-livre e os respectivos modelos de elementos finitos.

Palavras-chave: Análise modal experimental, parâmetros modais,honeycomb

ABSTRACT

In mechanical, aerospace, civil engineering, the projects are constantly subject to dynamic loads. These dynamic loads can cause damage to the structures and cause serious accidents. For this reason, it is extremely important to identify the modal parameters of a structure when designing a project. The determination of these parameters consists of identifying natural frequencies, damping factors and natural modes of vibration. They also collaborate to determine the useful life of the material used, as well as to identify possible failures in the structure. They can be obtained through experimental modal test or theoretical models using finite element method. This work will present ways to obtain these properties using theoretical and experimental study. In addition to correlating them to obtain a broad view of these characteristics for a better understanding of the behavior of structures. We will present modal tests performed on sandwich panels with honeycomb core in free-free boundary condition and the respective finite element models. Keywords: experimental modal analysis, modal parameters, honeycomb.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2. 1.Sistema massa-mola-amortecedor ........................................................................ 16 Figura 2. 2. Sistema massa-mola-amortecedor com duas massas ........................................ 23 Figura 2. 3. Exemplo de Diagrama de Bode (a) FRF (b) Fase (c) Coerência ........................ 31 Figura 2. 4. Diagrama de Nyquist para a Mobilidade (Soeiro 2001) ....................................... 32 Figura 2. 5. Geometria dos painéis sanduiche do tipo honeycomb (a) células do núcleo. (b) camadas (HexWeb, 1999). ....................................................................................................... 35 Figura 3. 1. Configuração de ensaio modal com (1) Aquisição de dados Labview, (2) vibrômetro LDV Polytec 100, e (3) Painel honeycomb pendurado por fios de nylon. ............ 39 Figura 3. 2. Painel de 10mm de espessura com fitas reflexivas nos pontos de medição ...... 39 Figura 3. 3. Representação gridde medição e pontos de excitação (círculos) para p painel de 10 mm de espessura. ............................................................................................................... 40 Figura 3. 4. Representação gridde medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 15 mm de espessura. ............................................................................................................... 40 Figura 3. 5. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 30 mm de espessura. .......................................................................................................... 41 Figura 3. 6. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 39,5 mm de espessura. ....................................................................................................... 41 Figura 4. 1. Convergência de malha painel de 10mm de espessura ...................................... 45 Figura 4. 2. Soma das FRFs para o painel de 10mm .............................................................. 46 Figura 4. 3. Diagrama de Estabilização painel 10mm ............................................................. 46 Figura 4. 4. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 10 mm .................................................................................................................................. 48 Figura 4. 5. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 2 no Ponto A1 do painel de 10 mm .................................................................................................................................. 48 Figura 4. 6. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 3 no Ponto A1 do painel de 10 mm .................................................................................................................................. 49 Figura 4. 7. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 5 no Ponto A1 do painel de 10 mm .................................................................................................................................. 49 Figura 4. 8. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 6 no Ponto A1 do painel de 10 mm .................................................................................................................................. 50 Figura 4. 9. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos - painel 10mm .................................................................................................................................................. 51 Figura 4. 10. Modo 1 painel de 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ........... 52 Figura 4. 11. Modo 2 painel de 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ............ 53 Figura 4. 12. Modo 4 painel 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 53 Figura 4. 13. Modo 5 painel de 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ............ 53 Figura 4. 14. Convergência de Malha Painel de 15mm .......................................................... 54 Figura 4. 15. Soma das FRFs para o painel de 15mm ............................................................ 55 Figura 4. 16. Diagrama de Estabilização painel de 15mm ...................................................... 56 Figura 4. 17. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 15 mm ....................................................................................................................... 57 Figura 4. 18. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 2 no Ponto A1 do painel de 15 mm ....................................................................................................................... 57 Figura 4. 19. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 3 no Ponto A1 do painel de 15 mm ....................................................................................................................... 58 Figura 4. 20.Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 4 no Ponto A1 do painel de 15 mm ....................................................................................................................... 58 Figura 4. 21. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 5 no Ponto A1 do painel de 15 mm ....................................................................................................................... 59 Figura 4. 22. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 15 mm .................................................................................................................................................. 60

Figura 4. 23. Modo 1 painel 15mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 61 Figura 4. 24. Modo 2 painel 15mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 61 Figura 4. 25. Modo 3 painel 15mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 61 Figura 4. 26. Modo 4 painel 15mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 62 Figura 4. 27. Convergência de malha do painel de 30mm de espessura ............................... 63 Figura 4. 28. Soma das FRFs para o painel de 30mm ............................................................ 64 Figura 4. 29. Diagrama de estabilidade painel de 30mm ........................................................ 64 Figura 4. 30. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 30 mm ....................................................................................................................... 66 Figura 4. 31. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 2 no Ponto A1 do painel de 30 mm ....................................................................................................................... 66 Figura 4. 32. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 3 no Ponto A1 do painel de 30 mm ....................................................................................................................... 67 Figura 4. 33. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 4 no Ponto A1 do painel de 30 mm ....................................................................................................................... 67 Figura 4. 34. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 5 no Ponto A1 do painel de 30 mm ....................................................................................................................... 68 Figura 4. 35. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 6 no Ponto A1 do painel de 30 mm ....................................................................................................................... 68 Figura 4. 36. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 30 mm .................................................................................................................................................. 69 Figura 4. 37. Modo 1 painel 30mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 70 Figura 4. 38. Modo 2 painel 30mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 70 Figura 4. 39. Modo 3 painel 30mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ................. 71 Figura 4. 40. Convergência de Malha painel 39,5mm de espessura ...................................... 72 Figura 4. 41. Soma das FRFs para o painel de 39,5mm......................................................... 73 Figura 4. 42. Diagrama de estabilização painel de 39,5mm ................................................... 73 Figura 4. 43. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 39,5 mm .................................................................................................................... 74 Figura 4. 44. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 2 no Ponto A1 do painel de 39,5 mm .................................................................................................................... 75 Figura 4. 45. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 3 no Ponto A1 do painel de 39,5 mm .................................................................................................................... 75 Figura 4. 46. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 39,5 mm ............................................................................................................................................ 76 Figura 4. 47. Modo 1 painel 39,5mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico .............. 77 Figura 4. 48. Modo 2 painel39,5mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ............... 77 Figura 4. 49. Modo 3 painel39,5mm de espessura (a)Experimental ensaio com excitação em F1 (b) Numérico ........................................................................................................................ 78 Figura 4. 50. Modo 4 painel39,5mm de espessura (a) Experimental ensaio com excitação em H2 (b) Numérico ................................................................................................................. 78

LISTA DETABELAS

Tabela 2. 1. Efeito da variação da espessura do honeycomb nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011). ......................................................................................................... 36 Tabela 2. 2. Efeito da variação da espessura da face nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011) .............................................................................................................................. 36 Tabela 2. 3. Efeito da variação do tamanho das células nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011) .............................................................................................................................. 37

Tabela 3. 1. Características dos painéis. ................................................................................. 38 Tabela 4. 1. Frequências Numéricas Painel 10mm de espessura .......................................... 45 Tabela 4. 2. Frequênciase razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 10 mm .................................................................................................................................. 47 Tabela 4. 3. Comparação entre experimental e numérico painel de 10 mm .......................... 51 Tabela 4. 4. Frequências numéricas painel de 15mm ............................................................. 55 Tabela 4. 5. Frequênciase razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 15 mm .................................................................................................................................. 56 Tabela 4. 6. Comparação entre experimental e numérico painel de 15 mm .......................... 59 Tabela 4. 7. Frequências numéricas painel 30mm .................................................................. 63 Tabela 4. 8. Frequênciase razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 30 mm .................................................................................................................................. 65 Tabela 4. 9. Comparação entre experimental e numérico painel de 30 mm .......................... 69 Tabela 4. 10. Frequências numéricas painel 39,5mm ............................................................. 72 Tabela 4. 11. Frequências e razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 39,5 mm .................................................................................................................... 74 Tabela 4. 12. Comparação entre experimental e numérico painel de 39,5 mm ..................... 76

LISTA DE SIGLAS

FRF Função de Resposta em Frequência

MEF Método de Elementos Finitos

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos Latinos Unidades

A, C, X Coeficientes das equações de deslocamento

F0 Força inicial [N]

am, bm, a0 Coeficientes da série de Fourier

𝑐 Constante de amortecimento viscoso [N.s/m] f0 Força inicial normalizada pela massa [N/Kg]

𝑗 Unidade imaginária, √−1 Adimensional

𝑘 Rigidez da mola [𝑁/𝑚] X Deslocamento [m] ẋ Primeira derivada do deslocamento pelo tempo [m/s] ẍ Segunda derivada do deslocamento pelo tempo [m/s2] M Massa [Kg] x0 Posição inicial [m] v0 Velocidade inicial [m/s]

Símbolos Gregos

Θ Variação angular [rad]

Φ Ângulo de fase [rad]

Λ Autovalor Adimensional

δ(t) Delta de Dirac

ωn Frequência natural angular [𝑟𝑎𝑑/𝑠] Ω Frequência angular [rad/s] ωd Frequência natural amortecida [rad/s]

Ζ Fator de amortecimento normalizado pela massa

Admensional

Matrizes

C Matriz de amortecimento F Vetor forçamento K Matriz de rigidez M Matriz de massa X Vetor deslocamento X(i) Vetor modal i x(i) Modo de vibração i

SUMÁRIO

1INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 14

1.1 ESCOPO ................................................................................................................................. 14 1.2 OBJETIVO .............................................................................................................................. 14 1.2.1 Objetivo geral ........................................................................................................................ 14 1.2.2 Objetivos específicos ........................................................................................................... 14

1.3 METODOLOGIA...................................................................................................................... 15 1.4 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO ........................................................................................ 15

2REVISÃO TEÓRICA .......................................................................................................................... 16

2.1 GRAUS DE LIBERDADE ........................................................................................................ 16 2.2 SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE ............................................................................. 16 2.2.1 Resposta livre e sem amortecimento .................................................................................. 17 2.2.2 Resposta livre com amortecimento viscoso ...................................................................... 18 2.2.3 Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento. ................................................. 19 2.2.4Resposta forçada harmonicamente e com amortecimento viscoso: ................................ 20 2.2.5 Resposta do sistema para forças gerais ............................................................................. 21

2.3 MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE ................................................................................... 22 2.4 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL ....................................................................................... 25 2.4.1 Excitadores ............................................................................................................................ 27 2.4.1.1Martelo de impacto ................................................................................................................ 27 2.4.1.2Shakers ................................................................................................................................. 28 2.4.2 Sensores ................................................................................................................................ 28

2.4.2.1Acelerômetros ....................................................................................................................... 28 2.4.2.2Vibrômetro laser doppler ....................................................................................................... 29 2.5 SÉRIE DE FOURIER E TRANSFORMADA DE FOURIER ..................................................... 29 2.6 FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ........................................................................ 30 2.7 MÍNIMOS QUADRADOS PARA EXPONENCIAIS COMPLEXAS ........................................... 32 2.8 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................................................................................. 34 2.9 ESTRUTURAS SANDUÍCHES DE NÚCLEO HONEYCOMB ................................................. 35

3MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................................................. 38

3.1 TESTE MODAL ....................................................................................................................... 38 3.2 MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS .......................................................................... 42

4RESULTADOS E DISCUSSÕES ....................................................................................................... 44

4.1 PAINEL 10mm DE ESPESSURA ............................................................................................ 44 4.1.1 Modelo numérico................................................................................................................... 44 4.1.2 Análise modal experimental ................................................................................................. 45 4.1.3 Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento. ................................................. 50

4.2 PAINEL 15mm DE ESPESSURA ............................................................................................ 54 4.2.1 Modelo numérico................................................................................................................... 54 4.2.2 Análise modal experimental ................................................................................................. 55 4.2.3 Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento. ................................................. 59

4.3 PAINEL 30mm DE ESPESSURA ............................................................................................ 62 4.3.1 Modelo numérico................................................................................................................... 62 Análise modal experimental .......................................................................................................... 63 4.3.3 Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento. ................................................. 68

4.4 PAINEL 39,5mm DE ESPESSURA ......................................................................................... 71 4.4.1 Modelo numérico................................................................................................................... 71 4.4.2 Análise modal experimental ................................................................................................. 72 4.4.3 Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento. ................................................. 75

5CONCLUSÃO .................................................................................................................................... 79

5.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................................... 79 5.2 TRABALHOS FUTUROS ........................................................................................................ 80

6REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 81

14

1. INTRODUÇÃO

1.1. ESCOPO

Na indústria aeroespacial, estruturas do tipo honeycomb são comumente

utilizadas, pois possuem boa resistência mecânica associada a um peso reduzido.

Essas características fazem dessa estrutura uma escolha natural no

desenvolvimento do satélite geoestacionário brasileiro, diminuindo o peso da carga

efetiva e consequentemente os custos de lançamento. Este satélite estará sujeito a

vibrações durante o transporte até a área de lançamento e durante o lançamento

(Cho et. al., 2011) que podem causar desgastes e danos à estrutura. Por esta razão

é importante compreender o comportamento dinâmico dessas estruturas a fim de

evitar perdas no projeto.

O estudo desse comportamento se dá por meio da identificação de

propriedades dinâmicas tais como frequências naturais, fator de amortecimento e os

modos naturais de vibração (Soeiro, 2001). Esse tipo de estudo possui relevância na

engenharia por contribuir para determinar a integridade de uma estrutura (Ewins,

2000). Esta identificação é comumente realizada por meio da correlação de ensaios

modais experimentais e modelos numéricos de elementos finitos. Para os ensaios

modais nessas estruturas o uso de um vibrômetro laser se mostra relevante uma vez

que elas possuem peso reduzido e o vibrômetro irá medir a resposta do sistema sem

a necessidade de um contato direto com a estrutura, ou seja, sem a necessidade de

adicionar uma massa ao sistema.

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. Objetivo geral

O objetivo deste trabalho é realizar a caracterização do comportamento

estrutural dinâmico de quatro painéis do tipo sanduíche com núcleo de honeycomb

para aplicações aeroespaciais. Essas características serão obtidas por meio de

ensaios modais e modelagem numérica de elementos finitos desses painéis.

1.2.2. Objetivos específicos

Para realizar a caracterização desses painéis são estabelecidos os seguintes

objetivos específicos:

15

Avaliar diferentes estratégias modelagem numérica de quatro painéis

honeycomb com diferentes geometrias utilizando o Método de

Elementos Finitos.

Identificar as frequências e modos naturais de vibrações e fatores de

amortecimento dos painéis por meio da análise modal experimental.

Correlacionar os resultados dos modelos dinâmicos numéricos com os

resultados experimentais.

Indicar a adequação de cada estratégia de modelagem e apresentar a

recomendação de seleção de tipo de elementos finitos a serem

utilizados, de acordo com a geometria dos painéis.

1.3. METODOLOGIA

Para obter as características dinâmicas dos painéis honeycomb os ensaios

foram realizados por meio do teste de impacto e condições de contorno que

simulassem a condição do tipo livre-livre. As respostas foram obtidas utilizando um

vibrômetro laser doppler que media a velocidade instantânea dos painéis. Esses

dados serão utilizados na validação do modelo de elementos finitos desenvolvido no

software ANSYS®.

1.4. APRESENTAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho está organizado em 5 capítulos. O primeiro é referente à

introdução, incluindo contextualização e objetivos. O segundo capítulo é composto

pela revisão teórica, para uma melhor compreensão dos conceitos envolvidos na

análise modal. No terceiro capítulo é apresentada a metodologia utilizada em cada

fase do trabalho, desde os ensaios modais até a modelagem de elementos finitos.

No quarto capítulo é feita a análise dos resultados e a discussão sobre o que eles

significam. Por fim, no quinto capítulo é feita uma conclusão do tema abordado.

16

2. REVISÃO TEÓRICA

Neste capitulo serão apresentados os principais conceitos envolvendo o estudo de vibrações. Bem como definir a melhor forma de obter as características modais de uma estrutura.

2.1. GRAUS DE LIBERDADE

O número de graus de liberdade de um sistema é definido pela quantidade de

variáveis independentes capazes de descrever o comportamento desse sistema ao

longo do tempo. Em um sistema mecânico, esses graus de liberdade estarão

associados a cada ponto de massa do sistema ligados entre si por algum

mecanismo, como por exemplo: um sistema massa-mola-amortecedor ou pêndulo

composto que para cada massa será atribuída uma variável independente (Rao,

2008).

2.2. SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE

O modelo idealizado de uma estrutura é um sistema massa-mola-

amortecedor, onde a massa representa a inércia da estrutura, a mola representa a

rigidez e o amortecedor a energia dissipada (Agilent Technologies). E a partir desse

modelo é possível obter as propriedades dinâmicas de uma estrutura, tais como:

frequências naturais, fator de amortecimento e modos naturais de vibração.

Figura 2. 1.Sistema massa-mola-amortecedor

Aplicando a segunda lei de Newton no sistema da Fig (2.1) poderemos

analisar seu comportamento dinâmico.

∑ 𝐹=ma (1)

17

Onde F é a força resultante, m é a massa do sistema e a é a aceleração. A

aceleração pode ser representada pela segunda derivada da posição.

a=ẍ (t) (2)

Admitimos que as forças que agem no sistema são:

Força exercida pela mola é dada por Fm=-kx, onde k é a rigidez da mola e x é

o deslocamento e possui sinal negativo pois é oposta a direção de x

Força exercida pelo amortecedor é dada por Fa=-cẋ, onde c é a constante de

amortecimento viscoso e ẋ é a velocidade do sistema e essa força também é oposta

a direção de x.

E uma força qualquer F(t)

-kx -cẋ+F(t)=mẍ (3)

mẍ+cẋ+kx=F(t) (4)

O sistema será classificado como não amortecido quando c=0, ou seja, não

há dissipação da energia nele. Quando c≠0 o sistema é um sistema amortecido que

irá dissipar energia até que não haja mais movimento (Rao, 2008, Inman, 2014).

Quando F(t)=0 o sistema será um sistema de vibração livre, ou seja, após

uma excitação inicial ele continuará vibrando independente de força externa. Em

contrapartida, quando F(t)≠0 o sistema será classificado como vibração forçada.

2.2.1. Resposta livre e sem amortecimento

Para esse sistema teremos F(t)=0 e c=0.

mẍ+kx=0 (5)

Dividindo a Eq. (10) pela massa.

ẍ+ωn2x=0 (6)

ωn2=𝑘

𝑚 (7)

ωn é a frequência natural do sistema que é dada em função da rigidez e da massa

do sistema.

18

O deslocamento x(t) será dado pela solução da equação diferencial dada por:

x(t)=A1cos(ωnt)+ A2sen(ωnt) (8)

Onde A1 e A2 são constantes dadas pelas condições iniciais do sistema.

A1=x0essa é a amplitude inicial do sistema.

ẋ(t)= ωn(-A1sen(ωnt)+A2(cos(ωnt)) (9)

v(0)= ẋ(0)=v0 (10)

A2=𝑣0

𝜔𝑛 (11)

Substituindo A1 e A2 na Eq. (8) a resposta do sistema será dada da seguinte forma

x(t)=x0cos(ωnt)+𝑣0

𝜔𝑛sen(ωnt) (12)

2.2.2. Resposta livre com amortecimento viscoso

F(t)=0 e c≠0

mẍ+cẋ+kx=0 (13)

Dividindo a eq. (17) pela massa

ẍ+2ζωnẋ+ωn2x=0 (14)

Onde ζ é o fator de amortecimento normalizado pela massa dado por:

ζ=𝑐

2𝑚𝜔𝑛 (15)

A resposta do sistema será dada por:

x(t)= Ae-ζωntsen(ωdt+ϕ) (16)

19

A=√(𝑣0+𝜁𝜔𝑛𝑥0)2+(𝑥0𝜔𝑑)2

𝜔𝑑2 (17)

Sendo A a amplitude inicial do sistema

ϕ=tan-1 𝑥0𝜔𝑑

𝑣0+𝜁𝜔𝑛𝑥0 (18)

ϕ é a fase inicial

ωd=ωn√1 − 𝜁2 (19)

ωd é a frequência do sistema amortecido

2.2.3. Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento.

F(t)=F0cos(ωt) e c=0

mẍ+kx=F0cos(ωt) (20)

A solução será dividida em duas partes.

Sendo a primeira a solução da equação harmônica

xh(t)=C1cos(ωnt)+C2sen(ωnt) (21)

E a segunda será a solução particular da equação dada por:

xp(t)=Xcos(ωt) (22)

Onde:

X= 𝐹0

𝑘−𝑚𝜔2 (23)

O deslocamento do sistema será dado por:

x(t)= C1cos(ωnt)+C2sen(ωnt)+ 𝐹0

𝑘−𝑚𝜔2cos(ωt) (24)

Onde C1 e C2 são constantes dadas pelas condições iniciais do sistema.

C1=x0 - 𝐹0

𝑘−𝑚𝜔2 (25)

20

C2=𝑣0

𝜔𝑛 (26)

Por conseguinte, a resposta do sistema no tempo com uma força harmônica e

sem amortecimento será dada por:

x(t)=(x0 -𝑓0

𝜔𝑛2 −𝜔2)cos(ωnt)+

𝑣0

𝜔𝑛sen(ωnt)+

𝑓0

𝜔𝑛2 −𝜔2cos(ωt) (27)

Onde f0 é a força normalizada pela massa dada por:

f0=𝐹0

𝑚 (28)

Observando o sistema podemos notar que lim𝜔→𝜔𝑛

𝑓0

𝜔𝑛2 −𝜔2=∞ logo a amplitude do

sistema iria crescer indefinidamente causando o efeito de ressonância (Rao 2008).

2.2.4. Resposta forçada harmonicamente e com amortecimento viscoso:

F(t)=F0cos(ωt) e c≠0

mẍ+cẋ+kx=F0cos(ωt) (29)

Onde F0 é a força inicial e ω é uma frequência qualquer. A solução particular do

sistema será

xp=Xcos(ωt-θ) (30)

Onde:

tanθ=2𝜁𝜔𝑛𝜔

(𝜔𝑛2 −𝜔2)

(31)

X= 𝑓0

√(𝜔𝑛2−𝜔2)2+ (2𝜁𝜔𝑛𝜔)2

(32)

A solução harmônica:

xh(t)= Ae-ζωntsen(ωdt+ϕ) (33)

tanϕ = 𝜔𝑑(𝑥0−𝑋𝑐𝑜𝑠)

𝑣0+(𝑥0−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃)𝜁𝜔𝑛−𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛 (34)

A=𝑥0−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜙 (35)

21

Logo a equação da resposta do sistema no tempo será dada por

x(t)=𝑥0−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜙 e-ζωntsen(ωdt+ϕ)+

𝑓0

√(𝜔𝑛2 −𝜔2)2+ (2𝜁𝜔𝑛𝜔)2

cos(ωt-θ) (36)

2.2.5. Resposta do sistema para forças gerais

Supondo que essa força seja periódica, ou seja, F(t)=F(t±T) onde T é o

período da força e que ela possa ser escrita na forma de série de Fourier.

F(t)= 𝑎0

2 + ∑ (𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) + 𝑏𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜔𝑡)∞

𝑚=1 ) (37)

mẍ+cẋ+kx= 𝑎0

2 + ∑ (𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) + 𝑏𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝜔𝑡))∞

𝑚=1 (38)

Como estamos tratando o sistema como um sistema linear, podemos separar

cada uma das equações diferencias:

mẍ+cẋ+kx= 𝑎0

2 (39)

mẍ+cẋ+kx= 𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) (40)

mẍ+cẋ+kx=𝑏𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜔𝑡) (41)

Cada uma das equações diferenciais terá uma solução e o resultado final será

o somatório dessas soluções.

xp(t)= 𝑎0

2𝑘 (42)

xp(t)=𝑎𝑚𝜔𝑛

2

𝑘

√(𝜔𝑛2 −𝑚2𝜔2)2+ (2𝜁𝑚𝜔𝑛𝜔)2

cos(mωt-θm) (43)

xp(t)=𝑏𝑚𝜔𝑛

2

𝑘

√(𝜔𝑛2 −𝑚2𝜔2)2+ (2𝜁𝑚𝜔𝑛𝜔)2

sen(mωt-θm) (44)

tanθm=2𝑚𝜁𝜔𝑛𝜔

(𝜔𝑛2 −𝑚2𝜔2)

(45)

Agora iremos analisar um sistema com uma força do tipo impulso. O impulso

é caracterizado por uma força aplicada por um instante de tempo finito do tipo I=FΔt.

22

A magnitude desse impulso é calculada pela integral

I=∫ 𝐹𝑑𝑡𝑡+∆𝑡

𝑡 (46)

Quando calculado o limite de I quando Δt0 é definido como impulso unitário.

𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0

∫ 𝐹𝑑𝑡𝑡+∆𝑡

𝑡 =1 (47)

Essa função é denominada delta de Dirac δ(t)

Logo a Eq.(4) ficaria da seguinte forma

mẍ+cẋ+kx= δ(t) (48)

Considerando a Eq. (36) a resposta do sistema seria dado por

x(t)=𝑥0−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜙 e-ζωntsen(ωdt+ϕ)+

𝛿(𝑡)

𝑚

√(𝜔𝑛2 −𝜔2)2+ (2𝜁𝜔𝑛𝜔)2

cos(ωt-θ) (49)

A Equação (9) também poderia ser resolvida utilizando a transformada de

Fourier.

m(jω)2X(jω) - mẋ(0)-mx(0)+c jωX(jω)- cx(0) + kX(jω)=1 (50)

X(jω)=1+𝑚ẋ(0)+(𝑚+𝑐)𝑥(0)

𝑚𝑗𝜔2+𝑐𝑗𝜔+𝑘 (51)

Essa será a resposta do sistema no domínio da frequência.

2.3. MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

Para compreender o comportamento de um sistema com múltiplos graus de

liberdade iremos analisar primeiramente um sistema com dois graus de liberdade.

Supondo um sistema massa-mola-amortecedor com duas massas ligadas entre si

por uma mola e um amortecedor como na Fig. (2.2):

23

Figura 2. 2. Sistema massa-mola-amortecedor com duas massas

Analisando cada uma das massas as equações serão da seguinte forma:

ẍ1m1+cẋ1+(k1+k2)x1-k2x2=F(t) (52)

ẍ2m2+cẋ2+(k2+k3)x2-k2x1=0 (53)

Onde x1, ẋ1, ẍ1 é a posição, velocidade e aceleração da massa m1 e x2, ẋ2, ẍ2

é a posição, velocidade e aceleração da massa m2. Podemos escrever este sistema

em forma de matriz:

[𝑚1 00 𝑚2

] [ẍ1

ẍ2] + [

𝑐 00 𝑐

] [ẋ1

ẋ2] +[

𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2

−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3] [

𝑥1

𝑥2]=[

𝐹(𝑡)0

] (54)

M[ẍ1

ẍ2]+C[

ẋ1

ẋ2] + 𝑲 [

𝑥1

𝑥2] = 𝑭 (55)

Onde M é a matriz de massa dada por [𝑚1 00 𝑚2

]

C é a matriz de amortecimento [𝑐 00 𝑐

]

K é a matriz de rigidez [𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2

−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3]

F é o vetor forçamento [𝐹(𝑡)

0]

Analisando o sistema sem amortecimento e resposta livre

M[ẍ1

ẍ2] + 𝑲 [

𝑥1

𝑥2] = 𝟎 (56)

As frequências naturais do sistema serão dadas pelo determinante

det(–ω2M+K)= 0 (57)

24

O determinante dessa matriz gera a equação de frequência do quarto grau,

porém poderá ser tratada como uma equação do segundo grau utilizando ω2 como

variável. Com isso observamos que para um sistema com dois graus de liberdade

teremos duas frequências naturais ω1 e ω2. Logo, podemos compreender que o

número de frequências naturais de um sistema estará associado ao seu grau de

liberdade.

A solução desse sistema será dada por:

x1(t)=X1cos(ω+ϕ) (58)

x2(t)=X2cos(ω+ϕ) (59)

Onde ω é obtido pelo determinante eq. (57) e X1 e X2 são dependentes de ω1

e ω2, dessa forma X1 e X2 serão dados por:

(–ω2M+K)[𝑋1

𝑋2]=0 (60)

X1= 𝑋1(1)

, 𝑋1(2)

X2= 𝑋2(1)

, 𝑋2(2)

Onde 𝑋1(1)

e 𝑋2(1)

dependem de ω1 e 𝑋1(2)

e 𝑋2(2)

dependem de ω2.

Como é uma solução homogênea podemos escrever as seguintes razões:

r1= 𝑋2

(1)

𝑋1(1)=

−𝑚1𝜔12+(𝑘1+𝑘2)

𝑘2=

𝑘2

−𝑚2𝜔12+(𝑘2+𝑘3)

(61)

r2= 𝑋2

(2)

𝑋1(2)=

−𝑚1𝜔22+(𝑘1+𝑘2)

𝑘2=

𝑘2

−𝑚2𝜔22+(𝑘2+𝑘3)

(62)

Se analisarmos a solução para cada uma das frequências separadamente teremos

os vetores modais X(1)e X(2). Esses vetores modais são dados por:

X(1)=[𝑋1

(1)

𝑋2(1)

]=[𝑋1

(1)

𝑟1𝑋1(1)

] (63)

25

X(2)=[𝑋1

(2)

𝑋2(2)

]=[𝑋1

(2)

𝑟2𝑋1(2)

] (64)

A solução da eq.(58) para cada frequência é

x(1)=[𝑋1

(1)cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1)

𝑟1𝑋1(1)

cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1)] (65)

x(2)=[𝑋1

(2)cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2)

𝑟2𝑋1(2)

cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2)] (66)

Onde x(1) e x(2) são o primeiro e o segundo modo de vibração respectivamente e

𝑋1(1)

, 𝑋1(2)

, 𝜙1𝑒 𝜙2são determinados pelas condições iniciais.

𝑋1(1)

=1

𝑟2−𝑟1[(𝑟2𝑥01 − 𝑥02)2 +

(−𝑟2𝑣01+𝑣02)2

𝜔12 ]

1/2

(67)

𝑋1(2)

=1

𝑟2−𝑟1[(−𝑟2𝑥01 + 𝑥02)2 +

(𝑟2𝑣01−𝑣02)2

𝜔22 ]

1/2

(68)

tan(𝜙1) =−𝑟2𝑣01+𝑣02

𝜔1(𝑟1𝑥01−𝑥02) (69)

tan(𝜙2) = 𝑟2𝑣01−𝑣02

𝜔2(−𝑟1𝑥01+𝑥02) (70)

x01 e x02 são as posições iniciais, v01 e v02 são as velocidades iniciais.

2.4. ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL

Ewins define teste modal como o processo que envolve uma estrutura a fim

de se obter uma descrição matemática de seu comportamento dinâmico (Ewins,

2000). Quando esse teste modal é realizado conhecendo a força de excitação, ele é

chamado de Análise Modal Experimental (Gevinski, 2014). A análise modal

experimental é uma ferramenta que auxilia na obtenção das características modais

de uma estrutura.Tais características são as frequências naturais, o fator de

amortecimento e os modos naturais de vibração.

26

A aplicação mais comum desse tipo de análise é para a validação de modelos

teóricos de elementos finitos (Ewins, 2000). Além disso, permite obter propriedades

dinâmicas que muitas das vezes o modelo de elementos finitos não é capaz de

identificar como amortecimento e características de não linearidade (Gevinski, 2014).

Ela também pode contribuir para determinar se há possíveis falhas na estrutura,

determinar o amortecimento crítico e indicar a vida útil de cada material (Craig et. al.,

2006).

Ela percorre o caminho inverso do caminho teórico (Ewins, 2000). Na teoria a

partir do modelo massa-mola-amortecedor são aplicadas ferramentas matemáticas

para atingir as propriedades dinâmicas da estrutura e por fim se obter o

comportamento delas ao longo do tempo seja o deslocamento, velocidade ou

aceleração. Já na análise modal experimental primeiramente se analisa o

comportamento do sistema em relação a uma determinada entrada, passado por

ferramentas matemáticas onde se identificam as propriedades dinâmicas até que se

atinja um modelo da estrutura.

Essa análise consiste em excitar a estrutura e investigar seu comportamento

por meio de sensores de velocidade, aceleração ou deslocamento. Depois se

relaciona o sinal de entrada do sistema com o sinal de saída por meio da Função de

Transferência. Tal função pode ser dada no domínio da transformada de Laplace ou

no domínio da transformada de Fourier. Ao utilizar a transformada de Fourier ela é

chamada de Função de Resposta em Frequência (FRF) (Soeiro, 2001).

Ao realizar um experimento de análise modal é necessário levar alguns

fatores em consideração. Primeiramente é primordial definir o tipo de contorno. Ele

pode ser do tipo livre-livre ou restrito. Ambos são difíceis de serem implementados

de forma propriamente dita. O contorno do tipo livre-livre a estrutura não deve ter

contato com nenhuma superfície. Cada estrutura apresenta seis modos de corpo

rígido sendo três de flexão e três de torção (Schwarz et al., 1999). Ao suspender

uma estrutura para simular as condições de contorno “livre-livre” os modos de corpo

rígido não terão mais frequência zero. Para simular de forma adequada esse

contorno os suportes terão que ser macios o suficiente para garantir que as

frequências de corpo rígido sejam menores que 10% do primeiro modo de flexão.

27

Já no tipo de contorno restrito a estrutura deve ter seus movimentos

restringidos em todo seu contorno ou em um ou mais lados, entretanto a base onde

será fixada apresentará um grau de movimento que poderá interferir no resultado

final (Agilent Technologies). Para teste que possuem a finalidade de validar modelos

teóricos é comum ser usado o contorno do tipo livre-livre (Ewins, 2000).

2.4.1. Excitadores

Outro fator importante ao se realizar um teste modal é o tipo de excitador. Os

mais comuns são martelo de impacto e shakers. Cada um deles possui vantagens e

desvantagens que também dependerão do tipo de resultado pretendido no teste.

2.4.1.1. Martelo de impacto

O mais comum e de fácil implementação é o martelo de impacto. O método

baseia-se em gerar um impulso com o martelo para que a estrutura vibre até que a

energia gerada por ele seja dissipada. É um método utilizado para fazer medições

de curto tempo. O impulso gerado é afetado pela massa do martelo, pela velocidade

e pela rigidez do corpo de prova. Como controlar a velocidade do martelo é algo

difícil, uma forma de alterar a magnitude do impulso é por intermédio da massa do

martelo. O martelo de impacto de teste modal possui uma massa adicional que pode

ser acoplada ao martelo a fim de gerar um impulso com maior amplitude (Agilent

Technologies).

Outro fator é a rigidez do corpo de prova. Ela pode afetar a forma do pulso.

Como não é viável alterar a rigidez do corpo de prova, uma solução é alterar a ponta

do martelo de impacto, podendo ser com pontas mais rígidas como alumínio, ou

menos rígidas como de nylon (Agilent Technologies).

Uma desvantagem desse método é a presença de ruídos tanto no sinal da

força quanto no sinal da resposta dependendo do tempo de medição. Além disso, é

preciso garantir que o martelo esteja normal a superfície e que não haja mais de um

impacto durante o ensaio, pois isso pode causar problemas na análise do sinal

(Ewins, 2000).

28

2.4.1.2. Shakers

Apesar do ensaio com o martelo de impacto ser mais utilizado devido o custo

e ser de fácil implementação, algumas limitações, tais como, obter modos em

frequências mais elevadas ou evitar danos à estrutura que está sendo testada, faz-

se necessário excitar a estrutura de outra forma. A alternativa mais comum é a

utilização de shakers (Schwarz et al., 1999).

Existem dois tipos de shakers. Os eletromagnéticos ou eletrodinâmicos e os

eletro-hidráulicos. A diferença entre eles é que o primeiro é alimentado por uma

corrente elétrica e o segundo é um modelo hidráulico. A vantagem do primeiro é que

a faixa de frequência é maior do que a do segundo, porém o segundo é capaz de

exercer uma força maior (Agilent Technologies).

Entretanto, ao utilizar esse tipo de mecanismo de excitação deve ter alguns

cuidados. Primeiramente esse tipo de excitador é fixado à estrutura e isso pode

alterar a dinâmica dela. Outro fator é como isolar as reações da base do shaker para

que elas não afetem a energia transmitida para a estrutura. Ela pode ficar suspensa

e com isso o shaker irá vibrar livremente sem que nenhuma reação seja transmitida

à base, ou se estará fixa em um suporte de tal forma que este suporte isole as

reações geradas na base do shaker.

2.4.2. Sensores

Os sensores são responsáveis por medir a resposta do sistema. Os mais

comuns são os acelerômetros que medem a aceleração do sistema. Porém existem

outros sensores como vibrômetros responsáveis por medir a velocidade.

2.4.2.1. Acelerômetros

O acelerômetro é o sensor comumente utilizado devido ao baixo custo. Ele é

um transdutor que utiliza cristais piezoelétrico que convertem a compressão medida

em sinais elétricos obtendo assim a aceleração do sistema (Silva, 2013). Esse tipo

de sensor é fixado à estrutura e dependendo da estrutura a ser feita a medida, essa

massa adicional irá influenciar os resultados. Existem modelos que podem medir a

aceleração em mais de um eixo, porém o mais comum é aquele que mede em um

eixo apenas.

29

2.4.2.2. Vibrômetro laser doppler

O Vibrômetro Laser Doppler é um sensor que mede a velocidade instantânea

de uma superfície utilizando o efeito doppler (Souza, 2014). Ele permite fazer

análises sem que haja contato com a estrutura e consequentemente não há

influência da massa do sensor. Ele também colabora para uma análise mais rápida e

precisa das medidas.

2.5. SÉRIE DE FOURIER E TRANSFORMADA DE FOURIER

Uma ferramenta que auxilia a análise experimental é a série de Fourier e a

Transformada de Fourier. Essa série é utilizada para fazer a análise de um sistema

que é aplicado uma força qualquer como foi mostrado no subitem 2.2.5. A série

permite transformar um sinal periódico em uma soma de senos e cossenos. Esta

série se dá por meio do seguinte método:

Se um sinal periódico satisfizer as condições de Diritchlet (Arruda, 2008):

I. x(t)=x(t±nT) para n=0,1,2,3... e∫ |𝑥(𝑡)|𝑇/2

−𝑇/2𝑑𝑡<∞

II. Número finito de descontinuidades num período T

III. Número finito de máximos e mínimos locais num período T

x(t)=𝑎0

2∑ (𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔0𝑡) + 𝑏𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜔0𝑡)∞

𝑚=1 , m=1,2,3... (71)

Onde:

am= 2

𝑇∫ 𝑥(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2 (72)

bm= 2

𝑇∫ 𝑥(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2 e (73)

a0= 2

𝑇∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2 (74)

Essa série irá contribuir para analisar o comportamento periódico de uma

estrutura, ou seja, no caso da estrutura que vibra livremente sua resposta pode ser

aproximada para uma série de Fourier uma vez que ela satisfaça as condições de

Diritchlet.

30

Além disso, essa série permite transformar a análise no domínio do tempo

para uma análise no domínio da frequência da transformada de Fourier. Se um sinal

transitório x(t) em um determinado intervalo finito de tempo satisfazer as condições

de Diritchlet e se a ∫ 𝑥(𝑡)∞

−∞𝑑𝑡 existir, será possível aplicar a transformada de Fourier

(Arruda 2008). Essa transformação nos permite converter equações diferenciais em

equações algébricas (RAO 2008).

X(f)= ∫ 𝑥(𝑡)∞

−∞𝑒−2𝑗𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡 (75)

2.6. FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA

A função de resposta em frequência é uma função que relaciona o sinal de

entrada do sistema com o sinal de saída por meio das transformadas de Fourier no

domínio da frequência. É ela que irá fornecer os dados das características dinâmicas

da estrutura (Schwarz et al., 1999).

Ela será obtida pela razão da resposta do sistema dividido pela entrada.

Dependendo do tipo de resposta ela recebe diferentes nomes (Soeiro, 2001).

Quando a resposta do sistema for dada em função do deslocamento a FRF será

chamada de receptância, quando a resposta for velocidade esta é chamada de

mobilidade e quando for aceleração esta recebe o nome de acelerância.

A FRF é comumente representada por H(ω), porém dependendo da resposta

obtida pode ser representada de outras formas, α(ω) para receptância, Y(ω) para

mobilidade e A(ω) para acelerância (Soeiro, 2001). Como ela é obtida por intermédio

de transformada de Fourier, os resultados serão representados por números

complexos em função das frequências angulares.

Para ajudar a analisar as propriedades dinâmicas da estrutura, a FRF pode

ser representada por meio do diagrama de Bode ou do diagrama de Nyquist.

31

(a)

(b)

(c)

Figura 2. 3. Exemplo de Diagrama de Bode (a) FRF (b) Fase (c) Coerência

No diagrama de bode a FRF será representada por meio de dois gráficos. Na

Fig.(2.3 (a)) relaciona a magnitude com a frequência. Cada pico desse gráfico é uma

frequência natural. O gráfico do meio relaciona a fase com a frequência.

Este diagrama contribui para uma identificação das frequências naturais e da

quantidade de modos naturais dentro do intervalo de medição. Ele é dado em escala

logarítmica e as frequências podem ser em radianos por segundo ou em Hertz.

Além disso, também é comum relacionar esse diagrama com o gráfico da

coerência pela frequência como é mostrado no gráfico da Fig.(2.3 (c)). Ela pode

variar de 0 a 1 e serve para medir a qualidade do sinal que está sendo medido

(AN011 2003).

32

O diagrama de Nyquist é outra forma de representar os resultados de uma

análise modal experimental. Esse diagrama permite identificar tanto as frequências

naturais quanto os coeficientes de amortecimento.

Figura 2. 4. Diagrama de Nyquist para a Mobilidade (Soeiro 2001)

A Figura (2.4) representa um diagrama de Nyquist para a mobilidade. A

equação que descreve esse gráfico é dada pela Eq.(76) (Soeiro 2001):

[Im(H(ω))]2 +[𝑅𝑒(𝐻(𝜔)) − 1

2𝑐]

2

= [1

2𝑐]

2

(76)

A frequência natural será identificada quando a circunferência cortar o eixo

real, além disso, com o diâmetro da circunferência é possível reconhecer o fator de

amortecimento viscoso.

2.7. MÍNIMOS QUADRADOS PARA EXPONENCIAIS COMPLEXAS

O método de mínimos quadrados para exponenciais complexas (Least-

Squares Complex Exponential- LSCE) é bastante utilizado para a identificação das

propriedades dinâmicas utilizado em testes modais. Ele é responsável por calcular

os pólos das FRFs aplicando a Inversa da transformada de Fourier(IFFT),

transformando a resposta do domínio da frequência, para o domínio do tempo. A

formulação apresentada nesta seção tem como referência principal o trabalho de

(Kerschen).

hrs(t)= IFFT[Hrs(ω)]=2Re[∑ 𝐴𝑟𝑠(𝑘)𝑒𝜆𝑘𝑡𝑛𝑘=1 ] (77)

33

Onde r representa os graus de liberdade, número de pontos medidos, e s é o

modo, Ars é o resíduo do deslocamento e λk são os pólos.

Sabendo que a FRF é dada pela razão de entre a entrada e a saída do

sistema no domínio da frequência podemos escrever Hrs(ω) como

Hrs(ω)=𝑄𝑟(𝜔)

𝑃𝑠(𝜔) (78)

Onde Qr é a resposta do sistema e Ps é a entrada do sistema no domínio da

frequência. Eles podem ser escritos por uma razão de dois polinômios:

𝑄𝑟(𝜔)

𝑃𝑠(𝜔)=

∑ 𝛼𝑗(𝑖𝜔)𝑗𝑜𝑝𝑗=0

∑ 𝛽𝑗(𝑖𝜔)𝑗𝑜𝑞𝑗=0

(79)

Qr(ω)∑ 𝛽𝑗(𝑖𝜔)𝑗𝑜𝑞𝑗=0 =Ps(ω)∑ 𝛼𝑗(𝑖𝜔)𝑗𝑜𝑝

𝑗=0 (80)

Onde oq é o grau do polinômio da resposta do sistema associado ao grau de

liberdade do sistema e op é o grau do polinômio da entrada do sistema. Realizando a

análise no domínio do tempo e aplicando um intervalo de tempo Δt a eq.(80) pode

ser escrita da seguinte forma

∑ 𝛽𝑗𝑞𝑟(𝑡 + 𝑗𝛥𝑡)𝑜𝑞𝑗=0 =∑ 𝛼𝑗𝑝𝑠(𝑡 + 𝑗𝛥𝑡)𝑜𝑝

𝑗=0 (81)

qr é a função da resposta no domínio do tempo e ps é a função da entrada.

Como se trata de um ensaio de impacto depois de um intervalo de tempo o valor de

ps será 0 então a eq.(81) pode ser escrita como

∑ 𝛽𝑗𝑞𝑟(𝑗𝛥𝑡)𝑜𝑞𝑗=0 =∑ 𝛽𝑗ℎ𝑟𝑠(𝑗𝛥𝑡)𝑜𝑞

𝑗=0 =0 (82)

Substituindo o valor hrs da eq.(77) a eq. (82) pode ser reescrita da seguinte

forma:

∑ 𝛽𝑗2𝑅𝑒[∑ 𝐴𝑟𝑠(𝑘)𝑒𝜆𝑘𝛥𝑡𝑛𝑘=1 ]𝑜𝑞

𝑗=0 =0 (83)

Os valores de β serão obtidos por intermédio da resolução do sistema

admitindo que βoq=1

34

[

ℎ𝑟𝑠(0) … ℎ𝑟𝑠((𝑜𝑞 − 1)∆𝑡)

⋮ ⋱ ⋮ℎ𝑟𝑠((𝑜𝑞 − 1)∆𝑡) … ℎ𝑟𝑠((2𝑜𝑞 − 2)∆𝑡)

] [

𝛽0

⋮𝛽𝑜𝑞−1

]= - [

ℎ𝑟𝑠(𝑜𝑞∆𝑡)

⋮ℎ𝑟𝑠((2𝑜𝑞 − 1)∆𝑡)

] (84)

Um fator que pode implicar na identificação dos parâmetros modais é a ordem

do modelo. Essa ordem está relacionada diretamente com o grau de liberdade do

sistema. Caso a ordem analisada seja maior que a ordem correspondente ao grau

de liberdade do sistema, os dados gerados podem não corresponder aos dados

reais do sistema. Por esta razão, é utilizado um diagrama de estabilização que irá

contribuir para uma melhor identificação dos pólos.

Após a obtenção dos parâmetros ainda faz-se necessário a obtenção dos

modos. Como estruturas reais apresentam dissipação de energia isso implica que os

modos serão representados por números complexos diferentes dos numéricos que

não consideram o amortecimento e possuem modos reais. Quando o amortecimento

é pequeno a parte real dos modos complexos é uma boa aproximação dos modos

reais correspondentes.

2.8. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

As estruturas possuem elementos elásticos contínuos. Estes elementos são

deformáveis e possuem infinitos pontos de massa. Para cada ponto de massa é

atribuído um grau de liberdade, ou seja, uma estrutura possui infinitos graus de

liberdade. Esses tipos de elementos são denominados de sistemas contínuos (Rao,

2008). Sendo assim, a análise dessas estruturas far-se-á mais complexa.

A investigação teórica desses sistemas contínuos é possível por meio de

métodos aproximados com uma série de equações de derivadas parciais e

recorrência a uma série de Fourier. Embora, tal análise seja possível somente em

meios contínuos homogêneos e simples (Azevedo, 2003). Além disso, os resultados

gerados são uma aproximação do valor exato e há certa dificuldade em gerar

resultados mais aproximados sendo necessário aumentar o grau da equação, o que

tornam os cálculos mais complexos (Assan, 2003).

Por esta razão foi desenvolvido o Método dos Elementos Finitos (MEF). Este

método consiste em dividir estruturas em pequenas regiões em forma de grade

transformando estruturas contínuas em discretas (Assan, 2003). Isso permite fazer

35

com que o comportamento da estrutura seja analisado para cada região

individualmente ao invés de resolver o problema comum todo. O resultado final será

a combinação dos resultados de cada uma dessas pequenas regiões.

Devido à complexidade dos cálculos a resolução desse método se dá por

meio computacional. Contudo, essa facilidade computacional pode gerar problemas

em um projeto. Isso se deve ao fato de que muitas vezes devido à qualidade do

software o projetista aceita os resultados sem saber o que está por trás da

ferramenta computacional. Fato que pode gerar falhas devido a algum erro nos

valores de entrada (Azevedo, 2003). Por isso, faz-se necessário ter dados

previamente obtidos, seja por meio de análise teórica ou mesmo por intermédio de

método experimental, a fim de comprar os resultados e validar o modelo numérico.

2.9. ESTRUTURAS SANDUÍCHES DE NÚCLEO HONEYCOMB

Painéis sanduiche do tipo honeycomb são estruturas constituídas por duas

placas laminadas finas de alta resistência e um núcleo composto por um conjunto

celular de estruturas no formato hexagonal (Meifeng et. al., 2007) e feito,

frequentemente, de material composto como mostra na Fig. (2.6). Essa configuração

permite que as estruturas tenham peso reduzido, alta resistência mecânica, grande

capacidade de isolamento térmico e acústico, resistência ao fogo e um elevado

coeficiente de amortecimento. (Portela et. al., 2010).

(a) (b)

Figura 2. 5. Geometria dos painéis sanduiche do tipo honeycomb (a) células do núcleo. (b) camadas (HexWeb, 1999).

36

Essas propriedades fizeram com que o uso desses painéis na indústria

aeroespacial se tornasse cada vez mais comum. Elas permitem diminuir o peso da

estrutura de aeronaves, foguetes e satélites fazendo com que diminua o custo de

lançamento e aumente a carga útil (Boudjemai et. al., 2011).

As características do honeycomb, tais como tamanho da célula, espessura do

honeycomb e espessura das faces, são fatores que afetam as frequências naturais

da estrutura (Boudjemai et. al., 2011).

Em uma análise realizada por Boudjemai (2011) observou-se que as

frequências de torção e flexão aumentam conforme o aumento da espessura do

honeycomb, já os modos laterais diminuem como mostra a Tab. (2.1).

Tabela 2. 1. Efeito da variação da espessura do honeycomb nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011).

Espessura do Honeycomb

(mm)

Modo 1 (flexão)

(Hz)

Modo 2 (Torção)

(Hz)

Modo 3 (lateral)

(Hz)

Modo 4 (flexão)

(Hz)

10 143,55 462,57 1190,80 854,76 15 196,40 616,50 1100,70 1144,20 20 248,22 760,09 1046,90 1411,90 25 288,58 873,10 983,90 1609,50

Já a espessura das faces contribui para um aumento das frequências

conforme aumenta a espessura delas (Boudjemai et. al., 2011) Tab (2.2).

Tabela 2. 2. Efeito da variação da espessura da face nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011)

Espessura daface (mm)

Modo 1 (Hz)

Modo 2 (Hz)

Modo 3 (Hz)

Modo 4 (Hz)

0,5 167,37 542,19 938,6 999,9 1 196,32 624,01 1099,8 1145,3

1,5 207,03 648,74 1164,7 1181,9 2 214,82 661,25 1201,4 1211,2

Outro fator importante a ser analisado é o tamanho das células. Essa

característica contribui para a diminuição do peso da estrutura. Verificou-se que as

frequências aumentam conforme aumenta o tamanho delas (Boudjemai et. al., 2011)

Tab (2.3). Porém essa diferença não se apresenta tão significativa quanto as outras

duas propriedades anteriores. Por isso, em um projeto onde se visa a diminuição do

37

peso da estrutura, o aumento do tamanho da célula irá contribuir para a redução do

peso sem que afetem as frequências da estrutura.

Tabela 2. 3. Efeito da variação do tamanho das células nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011)

Tamanho da célula (mm)

Modo 1 (Hz)

Modo 2 (Hz)

Modo 3 (Hz)

Modo 4 (Hz)

2 196,32 624,01 1099,8 1145,3 3 199,42 619,42 1112,7 1142,8

3,5 210,50 654,33 1175,9 1198,9 4 214,75 665,68 1198,6 1199,1

38

3. MATERIAIS E MÉTODOS

Neste capitulo será

apresentada a

metodologia utilizada

para realizar os testes

modais, bem como a

elaboração do modelo

de elementos finitos de

cada um dos painéis.

3.1. TESTE MODAL

Os painéis estudados possuem as propriedades descritas na Tab. (3.1).

Tabela 3. 1. Características dos painéis.

Espessura T (mm)

Direção L (mm)

Direção W (mm)

Honeycomb Faces

10

670

300

HexWeb CRIII – Al 5056 – 1/4” – 0,001P (10P) – 9,4 mm - (MIL-C-7438G

ou AMS -C-7438)

Al 2024 T3 NON CLAD (AMS QQA

250/4 e AMS 4037) – 0,3 mm

15

280

300

HexWeb CRIII – Al 5056 – 1/4” – 0,001P (10P) –

14,4 mm - (MIL-C-7438G ou AMS -C-7438)


250/4 e AMS 4037) – 0,3 mm

30

240

340

HexWeb CRIII – Al 5056 – 1/4” – 0,001P (10P) –

29,4 mm - (MIL-C-7438G ou AMS -C-7438)


250/4 e AMS 4037) – 0,3 mm

39,5

620

260

HexWeb CRIII – Al 5056 – 1/4” – 0,0015P (15P) – 38,7 mm - (MIL-C-7438G

ou AMS -C-7438)


250/4 e AMS 4037) – 0,4 mm

Para a análise modal experimental, foi utilizada uma bancada conforme

mostra a Fig. (3.1) onde os painéis foram fixados com fios de nylon, objetivando

simular as condições de contorno do tipo livre-livre. Fora utilizado o Vibrômetro laser

Portable Digital Vibrometer - PDV100 – Polytec para medir a resposta dos painéis, o

Martelo de impacto PCB 086C03 com ponta de vinil para excitar as estruturas, a

placa de aquisição NationalInstrumenteDAQ 9172 e o software LabView para gerar

os dados.

39

Figura 3. 1. Configuração de ensaio modal com (1) Aquisição de dados Labview, (2) vibrômetro LDV Polytec 100, e (3) Painel honeycomb pendurado por fios de nylon.

A fim de gerar os dados experimentais necessários para a extração de

parâmetros modais, cada painel foi discretizado em pontos de medida numa malha

espaçados entre si 4 centímetros. Em cada um dos pontos dessa malha foi posta

uma fita adesiva reflexiva para refletir melhor o laser e gerar dados com o mínimo de

ruído possível Fig. (3.2). Para identificar os pontos foi padronizado que cada coluna

seria nomeada com letras do alfabeto seguindo a ordem da esquerda pra direita e

em cada linha foi atribuído um número na ordem de cima para baixo.

Figura 3. 2. Painel de 10mm de espessura com fitas reflexivas nos pontos de medição

40

O painel de 10 mm de espessura foi discretizado em 17 colunas e 8 linhas

gerando um total de 136 pontos. Para obter uma quantidade maior de modos e

analisar melhor o comportamento do painel foram escolhidos dois pontos de

excitação como mostrado na Fig (3.3). Ele foi suspenso de forma que a direção L do

honeycomb ficou na horizontal e a direção W na vertical.

Figura 3. 3. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para p painel de 10 mm de espessura.

O painel de 15 mm de espessura foi discretizado em 7 colunas e 7 linhas

gerando 49 pontos Fig (3.4). Esse painel ficou posicionado de forma que a direção L

do honeycomb ficasse na vertical e a direção W ficasse na horizontal.

Figura 3. 4. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 15 mm de espessura.

41

O painel de 30 mm de comprimento foi discretizado em 9 colunas e 7 linhas

gerando assim 63 pontos Fig. (3.5). A disposição dele foi com a direção L na vertical

e a direção W na horizontal.

Figura 3. 5. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 30 mm de espessura.

O painel de 39,5mm de espessura foi discretizado em 15 colunas e 7 linhas

gerando 105 pontos Fig. (3.6). Foram necessários 3 pontos de excitação para

analisar melhor seu comportamento. Ele foi suspenso com a direção L na horizontal

e a direção W na vertical.

Figura 3. 6. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 39,5 mm de espessura.

42

Foram realizadas três medições em cada um dos pontos. Cada uma das

medições gerava um arquivo ‘.txt’ que continha informações de força, tempo e

velocidade. Com estes dados obtidos, foram efetuadas médias para minimizar os

efeitos de eventuais ruídos nos sinais, e geradas as FRF para cada par (excitação,

resposta) ponto com o auxílio do software MATLAB. Em seguida, com o auxílio do

toolbox EasyMod (Kouroussiset et.al., 2012), foi possível analisar os dados e obter

as frequências naturais de cada um dos painéis.

3.2. MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS

Os modelos de Elementos Finitos foram construídos utilizando a biblioteca de

elementos do software ANSYS Mechanical APDL. Esses modelos foram utilizados

para obter uma prévia do comportamento dinâmico dos painéis para baixas

frequências e escolher os melhores pontos para excitação.

Os modelos consistem em três camadas que representam as duas faces e o

núcleo honeycomb. As propriedades do material que compõem a estrutura

honeycomb foram definidas com base nos valores nominais obtidos de publicações

do próprio fabricante. O material que compõe as faces é um material de liga de

alumínio considerada isotrópico com 70GPa de Módulo de Young, 0,33 de

coeficiente de Poisson e 2780Kg/m3 de densidade. O núcleo dos painéis de 10, 15 e

30mm de espessura possui características ortotrópicas com o módulo de

cisalhamento da direção L de 220MPa, na direção W de 103MPa e resistência a

compressão de 1,8MPa. Para o painel de 39,5mm de espessura, que apresenta um

honeycomb diferente dos demais, o módulo de cisalhamento na direção L é de

345MPa, na direção W é de 152MPa e resistência a compressão é de 3,3MPa.

A densidade da camada de honeycomb foi alterada para que o peso da

estrutura numérica ficasse próximo ao peso da estrutura real. Isso contribuiu para

melhorar a proximidade dos valores numéricos com os valores experimentais. As

densidades do honeycomb ficaram da seguinte forma: 77,64Kg/m3 para o painel de

10mm de espessura, 70,18kg/m3 para o painel de 15 mm de espessura, 72kg/m3

para o painel de 30 mm de espessura e 72,37kg/m3 para o painel de 39,5mm de

espessura.

43

Foram realizadas teste de convergência de malha. Os elementos utilizados

para compor os modelos numéricos foram o SHELL181 e o SOLID185.O SHELL181

é um elemento comumente utilizado para análise de estruturas finas. Ele possui seis

graus de liberdade em cada um dos nós e utiliza teoria de cisalhamento-deformação

de primeira ordem. O SOLID185 é um elemento sólido hexaédrico para análise de

estruturas mais espessas, com três graus de liberdade por nó. É um elemento

robusto e versátil, que permite análises elastoplásticas, hiperelásticas e de grandes

deformações (ANSYS®). Essa convergência consiste em aumentar o número de

elementos da malha até que os resultados não apresentem alterações até a

segunda casa decimal.

44

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste capítulo serão

apresentados os resultados

dos ensaios experimentais

obtidos utilizando o toolbox

Easymod para MATLAB e a

comparação com os dados

obtidos no modelo numérico de

elementos finitos.

4.1. PAINEL 10mm DE ESPESSURA

Esse painel é o que possui a menor espessura e o maior comprimento entre

os painéis testados. A célula do seu honeycomb tem tamanho de 1/4” (6,35mm) e

utiliza liga de alumínio de 5056 com densidade nominal pcf de 2,4. O modelo

numérico foi realizado utilizando as propriedades com base nos dados da HexWeb®

(1999).

4.1.1. Modelo numérico

Na Figura (4.1) é apresentada a análise de convergência da malha para o painel

de 10mm de espessura para a primeira frequência natural. O elemento SHELL181

apresentou resultados mais próximos do experimental. Além disso, apresentou

pouca alteração nos resultados com o aumento do número de elementos, enquanto

que o elemento SOLID185 até 50 mil elementos ainda não apresentava

convergência da malha.

45

Figura 4. 1. Convergência de malha painel de 10mm de espessura

A partir dessa análise de convergência, o modelo numérico desse painel foi

gerado utilizado o elemento SHELL181 e uma malha de 22400 elementos. Com

esse número de elementos as três primeiras frequências já apresentavam

convergência até a segunda casa decimal. Na Tab (4.1) é apresentado as

frequências obtidas até 1kHz.

Tabela 4. 1. Frequências Numéricas Painel 10mm de espessura

Modos 1 2 3 4 5 6 7

Freq.(Hz) 159,56 204,88 427,13 438,78 728,79 767,02 845,70

Esse painel apresentou 7 modos até 1kHz. Essa análise numérica contribuiu

para a escolha dos pontos de excitação na análise modal experimental.

4.1.2. Análise modal experimental

A primeira parte para a identificação das propriedades dinâmicas dos painéis

por intermédio da análise modal experimental foi a geração das FRFs de cada

ensaio. Com ela é possível ter uma ideia de quantas frequências naturais existem

dentro do intervalo de medição. No gráfico da soma das FRFs dos ensaios observa-

se que possuem 6 picos até 1kHz Fig (4.2).Esses picos indicam que esse painel

possui 6 frequências naturais até 1kHz.

46

Figura 4. 2. Soma das FRFs para o painel de 10mm

Para identificar cada uma dessas frequências foi utilizado o toolbox EasyMod

(Kouroussis et al, 2012). Assim, foi possível realizar uma análise utilizando o método

mínimos quadrados para exponenciais complexas. Com esse método foram

identificadas as frequências naturais com o auxilio do diagrama de estabilização Fig.

(4.3).

Figura 4. 3. Diagrama de Estabilização painel 10mm

47

O diagrama é uma ferramenta importante para a identificação das

frequências. Os pontos azuis representam valores de raízes geradas pelo programa,

os pontos verdes representam os pontos onde a frequência estabiliza, ou seja, são

valores que o programa reconhece como uma frequência natural e os pontos

vermelhos representam a estabilidade do amortecimento. O número de interações

influencia diretamente a quantidade de frequências reconhecidas. É necessário

tomar cuidado com a ordem escolhida para análise, pois isso pode gerar valores de

frequências a mais ou a menos. Nesse painel foi utilizado o valor de ordem 25, o que

gerou os valores de frequência da Tab. (4.2).

Tabela 4. 2. Frequênciase razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 10 mm

Modos

Frequência Natural

Experimental Excitação em

C4 (Hz)

Razão de Amortecimento

C4 (%)

Frequência Natural


L3 (Hz)


L3 (%)

1 159,2 1,34 159,8 1,39 2 201,6 1,84 201,3 1,65 3 430,4 2,32 433,4 0,65 4 728,0 0,78 727,9 0,76 5 759,0 0,71 757,9 0,92 6 854,2 1,70 852,4 1,08

Após a identificação das frequências, foi realizada uma análise da

contribuição de cada ponto para a identificação das frequências por meio do

diagrama de Bode e de Nyquist.

As Figuras (4.4) a (4.8) representam o comportamento do ponto A1 do painel

de 10mm de espessura em cada frequência. No diagrama de Nyquist quando os

pontos azuis se aproximam da circunferência vermelha representa que dentro do

intervalo de frequência pré-determinado é possível identificar um modo. O diagrama

de Bode o intervalo de frequência e a relação entre a FRF medida pelos pontos

azuis e a FRF gerada pelo círculo vermelho.

48

Figura 4. 4. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 10 mm


49



50


Para o ponto A1 é possível identificar os modos nas Fig. (4.4), (4.6) e (4.8) de

forma clara. Isso se confirma na relação entre a FRF gerada e a FRF medida que se

mostrou bem próximas no diagrama de Bode. E no diagrama de Nyquist os pontos

azuis se aproximam da circunferência vermelha. Já para as Fig. (4.5) e (4.7) há uma

leve divergência no diagrama de Bode, porém no diagrama de Nyquist indica que

existem modos nesse intervalo de frequência. Para esse ponto não foi possível obter

qualquer relação na frequência de 730Hz. Isso indica que no ponto A1 esse modo

não é bem identificado.

4.1.3. Comparação do resultado experimental e numérico

Na Tabela (4.3) é possível observar as frequências obtidas

experimentalmente e numericamente, bem como a diferença em porcentagem entre

elas. As diferenças entre os resultados foram menores do que 2% indicando uma

boa correlação entre o modelo numérico e o teste modal.

51

Tabela 4. 3. Comparação entre experimental e numérico painel de 10 mm

Modos

Frequência Natural


C4 (Hz)

Frequência Natural


L3 (Hz)

Frequência Natural

Numérica (Hz)

Diferença Num x Exp Excitação em C4 (%)

Diferença Num x Exp Excitação em L3 (%)

1 159,2 159,8 159,6 0,25 -0,12 2 201,6 201,3 204,9 1,64 1,79 3 430,4 427,1 -0,77 4 433,4 438,8 1,24 5 728,0 727,9 728,8 0,11 0,12 6 759,0 757,9 767,0 1,05 1,20 7 854,2 852,4 845,7 -0,99 -0,79

Porém, para correlacionar essas frequências é necessário correlacionar os

modos naturais. Foi realizada uma análise preliminar das amplitudes das FRFs e

correlacionado com os modos numérico Fig. (4.9).

Amplitudes das FRFs Modos numéricos

159Hz

159Hz

201Hz

204Hz

430Hz

427Hz

728Hz

729Hz

759Hz

767Hz

Figura 4. 9. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos - painel 10mm

52

É importante ressaltar que a análise das amplitudes das FRFs não

representam modos. É uma análise feita com a parte real de um conjunto de

números complexos das FRFs enquanto que os modos numéricos são reais.

Entretanto, observa-se que existe uma semelhança entre as amplitudes das FRFS

nas frequências naturais e dos modos numéricos. Isso é um indicativo que exista um

modo nessa frequência.

Para obter os modos dos testes modais foi necessário analisar linha por linha

de cada painel. Com o programa Easymod foram encontradas as relações de cada

ponto da linha. Porém, para encontrar a relação entre uma linha e outra foi utilizado

os modos obtidos numericamente. Com base nos modelos numéricos as linhas

foram multiplicadas por constantes a fim de que os modos se assemelhassem com

os modos numéricos, sem que as relações dos pontos da linha se alterassem. Nas

Figuras (4.10) a (4.13) são apresentados alguns modos do painel de 10mm de

espessura obtidos experimentalmente juntamente com os modos numéricos.

(a) (b)

Figura 4. 10. Modo 1 painel de 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico

53

(a) (b)


(a) (b)

Figura 4. 12. Modo 4 painel 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico

(a)

(b)


54

Esses modos confirmam a relação entre o modelo numérico e os dados

obtidos experimentalmente. O modo da frequência de 430Hz não foi possível

identificar por este método. Uma possível justificativa é a existência de dois modos

dentro de uma faixa de freqüência de 427Hz a 438Hz observados no modelo

numérico e consequentemente no experimental esses modos podem estar misturado

dificultando a sua identificação.


Esse é a segunda menor espessura e o menor comprimento entre os painéis

testados. Seu honeycomb possui propriedades semelhantes ao painel de 10 mm de

espessura.


Para o painel de 15mm tanto o SOLID185 quanto o SHELL181 apresentaram

valores próximos Fig. (4.14). Porém apesar do SOLID185 mostrar o resultado mais

próximo do experimental em relação a primeira frequência natural, até 50 mil

elementos a malha ainda não apresentava uma convergência dos resultados,

enquanto que o SHELL181 mostrou-se praticamente constante.

Figura 4. 14. Convergência de Malha Painel de 15mm

Mesmo o SOLID185 apresentando um resultado mais próximo do

experimental o modelo numérico foi realizado usando o elemento SHELL181 com

21000 elementos. Esse elemento apresentou convergência com um número menor

55

de elementos enquanto que o SOLID185 necessitou de uma quantidade maior de

elementos pra convergir exigindo um tempo maior de processamento.

Tabela 4. 4. Frequências numéricas painel de 15mm

Modos 1 2 3 4 5

Freq.(Hz) 677,36 1013,1 1328,5 1585,8 1696,5

Devido a espessura do honeycomb e o tamanho menor em relação ao painel

de 10mm de espessura, esse painel apresentou 1 modo até 1kHz e com isso foi

necessário ampliar a faixa de medição até 2kHz para obter uma quantidade maior de

modos.


A Figura (4.15) representa as FRFs geradas pela análise modal experimental

desse painel. Considerando os resultados numéricos espera-se que esse painel

apresente 5 frequências naturais até 2kHz. Na análise da soma das FRFs observa-

se que o gráfico possui 5 picos, o que indica a existência de 5 frequências naturais.


Na Figura (4.16) é apresentado o diagrama de estabilização desse painel.

Para a obtenção das frequências a ordem foi de 16 interações que permitiu obter 5

frequências naturais.

56

Figura 4. 16. Diagrama de Estabilização painel de 15mm

Os pontos de excitação obtiveram frequências com valores semelhantes o

que é possível observar na Tab. (4.5).


Modos

Frequência Natural


C3 (Hz)


C3 (%)

Frequência Natural


B2 (Hz)


B2 (%)

1 666,8 1,24 666,5 1,28 2 1031,7 0,45 1030,9 0,45 3 1335,1 1,35 1334,8 1,18 4 1604,7 1,77 1602,4 2,40 5 1694,7 2,15 1694,8 1,31

Analisando os diagramas de Nyquist e de Bode para o ponto A1 do painel de

15mm Fig. (4.17) a (4.21) é possível identificar 5 modos. Isso se confirma pela

relação entre os pontos azuis e a circunferência vermelha no diagrama de Nyquist e

da semelhança entre as FRFs geradas e medidas no diagrama de Bode. Eles

também confirmam a existência de 5 frequências naturais obtidas dentro da faixa de

medição.

57



58


Figura 4. 20.Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 4 no Ponto A1 do painel de 15 mm

59



Na Tabela (4.6) é apresentada a comparação das frequências naturais

obtidas experimentalmente e numericamente. Assim como o painel de 10mm esse

painel apresentou diferenças menores do que 2%.


Modos

Frequência Natural


C3 (Hz)

Frequência Natural


B2 (Hz)

Frequência Natural

Numérica (Hz)

Diferença Num x Exp Excitação em C3 (%)

Diferença Num x Exp Excitação em B2 (%)

1 666,8 666,5 677,4 1,59 1,63 2 1031,7 1030,9 1013,1 -1,80 -1,73 3 1335,1 1334,8 1328,5 -0,07 -0,05 4 1604,7 1602,4 1585,8 -1,18 -1,03 5 1694,7 1694,8 1696,5 0,11 0,10

A partir da análise das amplitudes das FRFs do painel de 15 mm de

espessura foi possível ter um indicativo que as freqüências experimentais e os

modos numéricos possuem uma boa correlação Fig. (4.22).

60


667Hz

677Hz

1032Hz

1013Hz

1335Hz

1328Hz

1605Hz

1585Hz

1695Hz

1696Hz

Figura 4. 22. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 15 mm

Essa relação se confirma após a análise dos modos experimentais e

numéricos. Nas Figuras (4.23) a (4.26) se observa a semelhança entre os modos e

os valores de frequência.

61

(a)

(b)


(a)

(b)


(a) (b)


62

(a)

(b)



Com uma espessura maior que os outros dois painéis e o segundo menor

comprimento entre os painéis testados foi necessário ampliar a faixa de medição

para 4kHz, pois este painel apresentou apenas 2 modos até 2kHz. A configuração

do seu honeycomb é semelhante aos outros dois.


Para o painel de 30 mm de espessura, por se tratar de uma estrutura com

maior espessura esperava-se que o SOLID185 apresentasse resultados mais

consistentes que o SHELL181. Porém analisando o gráfico da Fig.(4.27) observa-se

que o SHELL181 apresentou resultados mais próximos ao experimental para a

primeira frequência até 50 mil elementos.

63

Figura 4. 27. Convergência de malha do painel de 30mm de espessura

O modelo numérico desse painel foi realizado utilizando o elemento

SHELL181 com 20400 elementos. Mesmo com uma espessura maior o elemento

SHELL181 se mostrou mais viável que o SOLID185 devido ao tempo de

processamento.

Tabela 4. 7. Frequências numéricas painel 30mm

Modos 1 2 3 4 5 6 7

Freq.(Hz) 1105,7 1387,6 2298,8 2401,2 2802,6 3361,0 3877,5


Como indicado pelo modelo numérico, para obter uma quantidade maior de

modos foi necessário aumentar o intervalo de análise para 4kHz. Devido as

limitações do ensaio realizado com o martelo de impacto que permite fazer análise

para frequências mais baixas, obter as frequências acima de 3kHz se mostrou mais

difícil. Na Figura (4.28) que representa soma das FRFs obtidas experimentalmente,

observa-se que diferentes pontos de excitação obtiveram uma quantidade diferente

de frequências naturais.

64


No diagrama de estabilização desse painel, Fig (4.29), para evitar obter

frequências que não representam as frequências naturais do painel de 30mm foi

realizado uma análise na ordem de 16 interações. Dessa forma foram obtidas seis

frequências naturais até 4kHz uma a menos que as frequências obtidas

numericamente.

Figura 4. 29. Diagrama de estabilidade painel de 30mm

65

Com excitação no ponto D2 foi possível obter uma frequência a mais que o

ponto de excitação B2 como mostra a Tab. (4.8). Isso demonstra que a escolha de

mais de um ponto de excitação se fez necessária para fazer uma análise mais

adequada do comportamento dinâmico de uma estrutura.


Modos

Frequência Natural


B2 (Hz)


B2 (%)

Frequência Natural


D2 (Hz)


D2 (%)

1 1102,1 1,81 1105,7 1,55 2 1383,9 1,30 1384,2 1,64 3 2360,7 1,69 2341,4 1,90 4 2756,2 0,79 2723,4 4,47 5 3318,9 0,97 3321,9 0,26 6 3834,8 0,35

Um fator importante a ser observado na Tab. (4.8) é a razão de

amortecimento da quarta frequência para excitação em D2. Esse valor mais elevado

mostra que esse modo não é bem observado para este ponto de excitação. Por esta

razão os valores das frequências entre um ponto e outro se mostraram distantes.

Para o painel de 30mm de espessura os diagramas de Nyquist e Bode

gerados para o ponto A1 confirmam a existência de 6 modos dentro da faixa de

medição do ensaio Fig. (4.30) a (4.35).

66



67



68




Na Tabela (4.9) observa-se que a maior diferença obtida entre os dados foi de

2,91%.

69


Modos

Frequência Natural


B2 (Hz)

Frequência Natural


D2 (Hz)

Frequência Natural

Numérica (Hz)

Diferença Num x Exp Excitação em B2 (%)

Diferença Num x Exp Excitação em D2 (%)

1 1102,1 1105,7 1105,4 0,30 -0,03 2 1383,9 1384,2 1387,6 0,27 0,24 3 2341,4 2298,8 -1,82 4 2360,7 2401,2 1,71 5 2756,2 2723,4 2802,6 1,68 2,91 6 3318,9 3321,9 3361,0 1,26 1,18 7 3834,8 3877,5 1,11

A maior diferença se deu na frequência em que o ponto de excitação D2

apresentou a maior razão de amortecimento. Devido a energia gerada nessa

frequência ser menor a identificação dela se mostra mais difícil.

Na Figura (4.36) são apresentadas as amplitudes das FRFs e os modos

numéricos do painel de 30mm de espessura. A semelhança entre eles mostram que

nas frequências identificadas experimentalmente possuem modos parecidos com os

numéricos.


1102Hz

1105Hz

1383Hz

1387Hz

2360Hz

2299Hz

3322Hz

3361Hz

Figura 4. 36. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 30 mm

70

Esse painel foi o que apresentou maior dificuldade na identificação dos

modos. Isso se deve ao fato que o teste de impacto é um teste adequado para

ensaios de baixas frequências. Como nesse painel a faixa de medição foi ampliada

para 4kHz, a energia gerada pelo impacto dificultou a identificação dos modos acima

de 3kHz. Isso se reflete na Fig.(4.36), onde só foi possível correlacionar quatro

modos com as amplitudes das FRFs. Além disso, as Figuras (4.38) a (4.40)

representam os modos que foram possíveis obter utilizando o programa Easymod.

(a)

(b)


(a)

(b)


71

(a)

(b)


Só foi possível identificar os três primeiros modos do painel de 30mm de

espessura com qualidade suficiente para correlacioná-los com os modos numéricos.

4.4. PAINEL 39,5mm DE ESPESSURA

Esse painel é o que possui a maior espessura e o segundo maior

comprimento entre os painéis testados. Além disso, seu honeycomb possui

propriedades diferentes em relação aos demais painéis. Sua densidade nominal pfc

é de 3,4. Essa informação é importante, pois as características de módulo de

cisalhamento nas direções L e W são maiores que dos outros painéis e essas

propriedades são importantes na modelagem de elementos finitos. Outro fator

importante é que as suas faces também possuem uma espessura maior.


Para o painel de 39,5mm de espessura, assim como o painel de 30mm,

esperava-se que o SOLID185 apresentasse resultados melhores. Porém novamente,

para uma malha de até 50 mil elementos o SHELL181 mostrou resultados mais

próximos do experimental Fig.(4.40).

72

Figura 4. 40. Convergência de Malha painel 39,5mm de espessura

O modelo numérico foi feito utilizando o elemento SHELL181 com 18009

elementos. Foram obtidos 4 modos até 2kHz.

Tabela 4. 10. Frequências numéricas painel 39,5mm

Modos 1 2 3 4

Freq.(Hz) 575,84 727,82 1391,9 1484,7


A análise modal experimental desse painel se mostrou mais complexa para

obter as frequências naturais até 2kHz. Isso se deve ao fato que o terceiro e quarto

modos se apresentam como um pico apenas como mostra na soma das FRFs da

Fig. (4.41). Foram necessários três pontos de excitação a fim de obter esses modos

separadamente.

73

Figura 4. 41. Soma das FRFs para o painel de 39,5mm

Na Figura (4.42) é apresentado o diagrama de estabilização. A análise se deu

na ordem de 15 interações. Esse número de interações permitiu identificar 4

frequências naturais. Nesse diagrama é possível notar que para diversos valores de

interações aparecem frequências além do número de picos representados na FRF. É

preciso ter cuidado com o valor da ordem escolhido, pois essa escolha poderá gerar

dados que não correspondem a FRF analisada.

Figura 4. 42. Diagrama de estabilização painel de 39,5mm

74

Na Tabela (4.11) são apresentadas as frequências obtidas experimentalmente

e a razão de amortecimento. Os resultados se mostraram próximos, porém na

excitação no ponto D2 não foi possível identificar uma das frequências.

Tabela 4. 11. Frequências e razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 39,5 mm

Modos

Frequência Natural


F1 (Hz)


F1 (%)

Frequência Natural


H2 (Hz)


H2 (%)

Frequência Natural


D2 (Hz)


D2 (%)

1 576,9 0,68 577,2 0,66 577,3 0,73 2 725,8 0,71 727,2 1,10 725,0 0,69 3 1468,7 1,19 1484,5 1,92 4 1506,3 0,96 1508,2 0,61 1505,3 1,02

Figura 4. 43. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 39,5 mm

75



Devido a proximidade entre as frequências dos modos 3 e 4 do painel de

39,5mm de espessura, a identificação deles separadamente se apresenta de forma

complexa. Isso se confirma no diagrama de Bode e de Nysquist do ponto A1, pois a

Fig. (4.45) que abrange o intervalo de 1450Hz e 1520Hz foi possível identificar um

modo, enquanto que no diagrama de estabilização Fig. (4.42) identificou duas

frequências naturais dentro desse intervalo de frequência.


Na Tab.(4.12) são apresentados os comparativos dos resultados e observa-se

que para a terceira frequência a diferença chegou a 6,23%. Essa diferença pode ter

76

sido influenciada devido às propriedades do honeycomb que se apresenta diferente

dos demais painéis.

Tabela 4. 12. Comparação entre experimental e numérico painel de 39,5 mm

Modos

Frequência Natural

Experimental Excitação em F1 (Hz)

Frequência Natural


H2 (Hz)

Frequência Natural


D2 (Hz)

Frequência Natural

Numérica (Hz)

Diferença Num x Exp Excitação em F1 (%)

Diferença Num x Exp Excitação em H2 (%)

Diferença Num x Exp Excitação em D2 (%)

1 576,9 577,2 577,3 575,8 -0,19 -0,24 -0,26 2 725,8 727,2 725,0 727,8 0,28 0,08 0,39 3 1468,7 1484,5 1391,9 -5,22 -6,23 4 1506,3 1508,2 1505,3 1484,7 -1,47 -1,56 -1,37

Apesar da diferença do terceiro modo ser de quase 7% analisando as

amplitudes das FRFs nota-se que existe uma semelhança com o modo numérico

Fig.(4.46). Os demais modos também apresentaram semelhanças com as

amplitudes das FRFs.


577Hz

576Hz

726Hz

728Hz

1467Hz

1392Hz

1506Hz

1485Hz

Figura 4. 46. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 39,5 mm

77

Foi possível identificar os quatros modos do painel de 39,5mm de espessura.

Nas Figuras (4.47) a (4.50) mostram a boa correlação entre os modos experimentais

e os modos numéricos.

(a)

(b)

Figura 4. 47. Modo 1 painel 39,5mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico

(a)

(b)

Figura 4. 48. Modo 2 painel39,5mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico

78

(a) (b)

Figura 4. 49. Modo 3 painel39,5mm de espessura (a)Experimental ensaio com excitação em F1 (b) Numérico

(a)

(b)

Figura 4. 50. Modo 4 painel39,5mm de espessura (a) Experimental ensaio com excitação em H2 (b) Numérico

Analisando as Fig. (4.49) e (4.50) observa-se que as frequências são

praticamente a mesma. Na análise das FRFs o terceiro e quarto modos aparecem

em um só pico em comum. Devido a esse fato, quando excitado em F1 o terceiro

modo aparece, porém o quarto modo não aparece. Já com excitação em H2 aparece

o quarto modo e não aparece o terceiro modo. Isso só foi possível observar após a

obtenção dos modos dos testes modais.

79

5. CONCLUSÃO

5.1. ANÁLISE DOS RESULTADOS

A modelagem numérica utilizando propriedades isotrópicas para as faces e

propriedades ortotrópicas para o honeycomb mostraram uma boa correlação com o

os dados experimentais. As propriedades que mais afetaram os resultados foram o

módulo na direção L e W e a resistência à compressão na direção T. O módulo na

direção T e a resistência à compressão nas direções L e W não alteraram de forma

significativa os resultados numéricos. Outro fator importante foi a densidade do

honeycomb. Esta contribuiu para que os valores de frequências numéricas se

aproximassem dos valores experimentais. Ela foi estimada utilizando a massa dos

painéis e o volume aproximado do honeycomb.

No ensaio modal a escolha de mais de um ponto de excitação contribuiu para

a obtenção das frequências e dos modos naturais. Isso se mostra claro no ensaio do

painel de 39,5mm de espessura onde dois modos acabam se misturando na análise

das somas das FRFs. As razões de amortecimento mostraram valores menores do

que 3% em quase todos os resultados. Apenas no painel de 30mm de espessura

houve uma razão maior do que 4% cujo o valor da frequência experimental mostrou

uma maior diferença em relação ao numérico. Isso pode indicar que no ponto onde a

estrutura foi excitada não obtém de forma clara esse modo.

Além disso, um dos objetivos de um ensaio modal é a validação do modelo

numérico (Ewins, 2000). A proximidade entre as frequências obtidas

experimentalmente e as frequências obtidas numericamente mostram a boa

correlação teórica-experimental dos quatro painéis estudados. Essa correlação se

mostra mais evidente quando analisam as amplitudes das FRFs obtidas

experimentalmente, os modos numéricos e os modos experimentais. Com isso é

possível validar o modelo de elementos finitos.

Essa análise em conjunto do teste modal e do modelo numérico permitiu uma

compreensão mais adequada do comportamento dinâmico dessas estruturas. A

análise modal experimental auxiliou na identificação das frequências naturais e dos

fatores de amortecimento. O modelo numérico contribuiu para uma análise

80

adequada dos modos obtidos experimentalmente permitindo encontrar a relação de

cada linha das malhas dos painéis.

No modelo de elementos finitos a análise utilizando o elemento SHELL181 se

mostrou mais adequada que o SOLID185 para todos os painéis. Um fator crucial

para isso foi a convergência da malha. Enquanto que o SHELL181 convergia com

até 20 mil elementos, o SOLID185 apresentou convergência acima de 100 mil

elementos. Essa quantidade de elementos influencia no custo de processamento.

5.2. TRABALHOS FUTUROS

A análise desses quatro painéis contribuiu para familiarizar com o processo de

análise modal experimental, bem como a análise dos dados e a correlação com o

modelo de elementos finitos. A partir desses dados será possível fazer a análise de

forma adequada de outros dois painéis de tamanhos maiores e configurações

diferentes do honeycomb, mais representativas das que serão utilizados na estrutura

do satélite.

Porém, ainda é necessário fazer uma investigação mais aprofundada da

rotina Easymod. Como se trata de uma rotina pronta, ainda é necessário

compreender algumas de suas funções. A complexidade do código influenciou

diretamente a obtenção dos modos dos painéis. Essa investigação permitira realizar

uma análise mais adequada de todas as propriedades dinâmicas e principalmente

dos modos obtidos no teste modal.

Por fim, como se trata de estruturas que foram projetadas para um satélite, as

condições de contorno do tipo “livre-livre” não representam as condições reais as

quais essas estruturas estarão submetidas. Com a validação do modelo numérico

será possível fazer uma análise dessas estruturas da forma como ela será utilizada

no satélite e gerar dados próximos dos que seriam obtidos se fosse feitos ensaios

modais. Essa validação também permite analisar a resposta dinâmica dessas

estruturas para qualquer força utilizando o modelo numérico.

81

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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