PROSES POISSON

PROBABILITAS TERAPAN

ANGGOTA KELOMPOK

• Rizky Esa Ramadhan (1008605003)• I Nyoman Mahayasa A.P (1008605004)• P.B. Ari Dharma Udayana (1008605017)• Kadek Ery Perwira Dinanta (1008605024)• I Putu Gede Darpana P.W. (1008605037)• I Made Yuda Prasetia (1008605050)• Dewa Made Sri Arsa (1008605051)• I Putu Ramaditya M. (1008605054)• Kadek Dwi Praseptia P. (1008605056)• Putu Agung Ananta W. (1008605058)

MATERI HARI INI

• DISTRIBUSI PELUANG POISSON

• PROSES POISSON DENGAN PARAMETER

• BIRTH-DEATH

PENDAHULUAN

• Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.

• Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.

• Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan. Distribusi poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

CIRI – CIRI PROSES POISSON

• Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat

tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu

dan tempat yang lain yang terpisah.

• Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding

dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan

terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang

singkat dan luas daerah yang sempit.

• Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan

terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang

sama diabaikan.

DEFINISI DISTRIBUSI PELUANG POISSON

poisson xe

x

x

( ; )!

Keterangan :

e : bilangan natural = 2.71828...

x : banyaknya unsur BERHASIL dalam

sampel

: rata-rata keberhasilan

CON’T..

• Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus sebagai berikut :

• Dimana : • λ = Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu • t = Jumlah unit waktu • x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

P ( x ) = (e –λ . t . (λ.t) x ) / X!

TABEL PELUANG POISSON

• Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson.

• Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial.

• Misal :

x = 4.5 = 5.00 0.0111 0.00671 0.05 0.03372 0.1125 0.08423 0.1687 0.1404

dst dst dst15 0.0001 0.0002

CON’T

• poisson(2; 4.5) = 0.1125

• poisson(x < 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5) + poisson(2; 4.5)

= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736

• poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)

atau = 1 - poisson(x 2) = 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]

= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125] = 1 - 0.1736 = 0.8264

CONTOH KASUS

• Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5

kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang

bahwa pada halaman berikut ia membuat:

a. tidak ada kesalahan ?(x = 0)

b. tidak lebih dari 3 kesalahan ?( x 3)

c. lebih dari 3 kesalahan ?(x >3)

d. paling tidak ada 3 kesalahan (x 3)

PENYELESAIAN

µ= 5a. x = 0 dengan rumus? hitung poisson(0; 5) atau dengan Tabel

Distribusi Poisson di bawah x:0 dengan = 5.0 (0; 5.0) = 0.0067

b. x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson hitung poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3;

5.0) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650

  c. x 3 poisson( x 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +

poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)atau

  poisson(x >3) = 1 - poisson(x3)

= 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)]

= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404] = 1 - 0.2650 = 0.7350

PROSES POISSON DENGAN PARAMETER

• Sebuah proses Poisson, adalah proses stokastik di mana peristiwa terjadi terus menerus dan secara independen dari satu sama lain. Contoh proses Poisson yaitu peluruhan radioaktif dari atom, curah hujan dan lainnya.

• Proses Poisson memiliki rumus {N (t), t ≥ 0}, dimana N (t) adalah jumlah kejadian yang telah terjadi sampai dengan waktu t (mulai dari waktu 0). Jumlah kejadian antara waktu a dan b waktu diberikan sebagai N (b) - N (a) dan memiliki distribusi Poisson. Setiap realisasi proses {N (t)} adalah non-negatif integer.

BENTUK PROSES POISSON

• Sebuah proses penghitungan waktu kontinu {N (t), t ≥ 0} yang memiliki properti berikut :

• N (0) = 0• Independen inkremen• Stasioner inkremen• Tidak ada kejadian dihitung secara simultan.

• Konsekuensi dari definisi ini mencakup:• Distribusi probabilitas dari N (t) adalah distribusi

Poisson.• Distribusi probabilitas dari waktu menunggu sampai

kejadian berikutnya adalah distribusi eksponensial.

JENIS LAIN PROSES POISSON

• Proses Poisson homogen adalah proses yang ditandai dengan parameter λ, juga dikenal sebagai intensitas, seperti jumlah kejadian dalam interval waktu (t, t + τ]. Hubungan ini diberikan rumus sebagai berikut :

Dimana N (t + τ) - N (t) = k adalah jumlah peristiwa dalam interval waktu (t, t + τ].

CONT’…

• Sama seperti variabel acak Poisson dicirikan oleh

parameter λ, proses Poisson homogen dicirikan

oleh parameter λ juga, yang merupakan jumlah

yang diharapkan dari "peristiwa" yang terjadi per

satuan waktu. N (t) adalah sampel dari proses

Poisson homogen. Sebuah proses Poisson

homogen dapat dipandang sebagai kasus khusus

ketika λ (t) = λ, dengan laju yang konstan.

CONT’…

• Secara umum, tingkat parameter dapat berubah dari waktu ke waktu, proses tersebut disebut proses non-homogen atau proses Poisson tidak homogen. Dalam hal ini, fungsi umum diberikan sebagai λ (t).

• Dengan demikian, jumlah kedatangan pada interval waktu (a, b ], diberikan sebagai N (b) - N (a), mengikuti distribusi Poisson yang berkaitan dengan parameter λa, b

CONT’…

• Sebuah variasi lebih lanjut pada proses Poisson,

proses Poisson ruang-waktu, memungkinkan untuk

memisahkan variabel ruang dan waktu. Meskipun

secara teoritis hal ini dapat diperlakukan sebagai

proses spasial murni dengan memperlakukan

"waktu" hanya sebagai komponen lain dari ruang

vektor,maka akan membuat lebih mudah dalam

sebagian besar aplikasi, sehingga menarik untuk

dikaji.

CONT’…

• Dibandingkan dengan proses Poisson homogen berbasis waktu, ekstensi untuk proses Poisson ruang-waktu dapat memperkenalkan ketergantungan spasial ke dalam sebuah fungsi, seperti yang didefinisikan sebagai λ (x, t), di mana x dalam V untuk beberapa ruang vektor V (R2 atau R3). Namun proses Poisson ruang-waktu mungkin memiliki fungsi tingkat yang konstan sehubungan dengan salah satu atau kedua dari x dan t.

PROSES POISSON DENGAN PARAMETER

• Seperti yang didefinisikan di atas, proses stokastik

{N (t)} adalah proses Markov, atau lebih khusus,

proses Markov continous-time.

CONT’….

• Untuk menggambarkan distribusi eksponensial inter-arrival, dan mempertimbangkan proses Poisson homogen N (t) dengan tingkat λ parameter, serta membiarkan Tk menjadi waktu kedatangan k, untuk k = 1, 2, 3, ... . Jelas jumlah kedatangan sebelum beberapa waktu t tetap kurang dari k dan jika dan hanya jika waktu menunggu sampai kedatangan k lebih dari t. Dalam simbol, kejadian [N (t) <k] terjadi jika dan hanya jika kejadian [Tk> t] terjadi. Akibatnya probabilitas dari peristiwa ini adalah sama:

CON’T..

Proses menghitung {N(t).t ≥ O} disebut : Proses Poisson dengan parameter λ, λ>0 Jika :•N(O) = 0• Prosesnya naik bebas dan naik stasioner•P{N(h) = 11= λh + o(h)•P{N(h) ≥ 2) = 0(h).

CON’T..

CON’T..

CON’T..

CON’T..

CON’T..

BIRTH - DEATH

• Proses kelahiran-kematian (birth-death process) merupakan suatu kasus khusus dalam proses Markov. Dalam hal ini, transisi dimungkinkan hanya antara kondisi yang berturutan, dimana pengamatan proses kelahiran-kematian dilakukan pada proses-proses yang bersifat continuous-time sehingga probabilitas bahwa lebih dari satu kejadian (event) terjadi pada interval waktu infinitesimal adalah NOL, sesuai persamaan yang diberikan.

BIRTH – DEATH CONT’…

CONT….

CONT…

• Berdasarkan kenyataan bahwa kelahiran dan kematian adalah hal yang tidak saling berhubungan, serta dengan memperhatikan gambar sebelumnya, maka dapat dinyatakan :1. Probabilitas benar ada satu kelahiran pada (t, t + Δt ) ketika proses pada kondisi Ek-1 adalah λk-1 Δt + 0(Δt).2. Probabilitas benar ada satu kematian pada (t, t + Δt ) ketika proses pada kondisi Ek+1 adalah μk+1 Δt + 0(Δt).3. Probabilitas benar tidak ada kelahiran pada (t, t + Δt )

ketika proses pada kondisi Ek adalah 1- λk Δt + 0(Δt).4. Probabilitas benar tidak ada kematian pada (t, t + Δt )

ketika proses pada kondisi Ek adalah 1- μk Δt + 0(Δt).

CONT…

• Dengan mengambil interval waktu (t, t + Δt ), maka untuk kondisi Ek akan hanya dapat dimasukkan tiga kemungkinan mutual exclusive, yaitu :1. P{tidak terjadi perubahan kondisi pada kondisi k} = [1-λkΔt + 0(Δt)] [1- μkΔt + 0(Δt)] ;2. P{sistem pada kondisi k-1 dan terjadi satu kelahiran} = λk-1 Δt + 0(Δt) ;3. P{sistem pada kondisi k+1 dan terjadi satu kematian} = μk+1 Δt + 0(Δt) ;

CONT…

• Jika Pk(t) adalah probabilitas bahwa sistem berada dalam kondisi k pada waktu t dan pk,j(Δt) merupakan probabilitas transisi dari kondisi k ke kondisi j selama waktu t, maka dapat ditulis :

Pk(t + Δt) = Pk(t) pk,k (Δt) + Pk-1(t) pk-1,k (Δt) + Pk+1(t) pk+1,k (Δt)

CONT…

• Jika pi,j(Δt) diekspresikan menggunakan kecepatan kelahiran dan kematian, maka dapat diperoleh :

Pk(t + Δt) = Pk(t)- (λk + μk )ΔtPk(t) + λk-1ΔtPk-1(t) + μk+1ΔtPk+1(t) + 0(Δt)

• Jika Δt 0, maka didapat,dPk(t) / dt = - (λk + μk )Pk(t) + λk-1Pk-1(t) +

μk+1Pk+1(t) + 0(Δt), k ≥ 1dP0(t) / dt = - λ0 P0(t) + μ1P1(t), k = 0yang disebut sebagai Persamaan Kondisi.

CONT…

• Pada kesetimbangan statistik, dengan menggunakan persamaan (3-7) akan didapat

λk-1Pk-1 + μk+1Pk+1 - (λk + μk )Pk = 0, untuk k ≥ 1

μ1P1 - λ0 P0 = 0 , untuk k = 0

• λk .Pk = μk+1 .Pk+1 sebagai Persamaan Kesetimbangan, yang mempunyai pengertian Berapakali perubahan dari kondisi k ke k+1 sama dengan berapa kali perubahan dari k+1 ke k.

CONT…

• Proses Poisson cukup signifikan dalam pembahasan teori trafik telekomunikasi, terutama pada jaringan circuit-switched.

Q & A