QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202

8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202

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Q u a n t u m T u n n e l i n g i n N u c l e a r F u s i o n

A . B . B a l a n t e k i n

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n

M a d i s o n , W I 5 3 7 0 6 U . S . A

N . T a k i g a w a

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , T o h o k u U n i v e r s i t y

9 8 0 - 7 7 S e n d a i J a p a n

A b s t r a c t

R e c e n t t h e o r e t i c a l a d v a n c e s i n t h e s t u d y o f h e a v y i o n f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w

t h e C o u l o m b b a r r i e r a r e r e v i e w e d . P a r t i c u l a r e m p h a s i s i s g i v e n t o n e w w a y s

o f a n a l y z i n g d a t a , s u c h a s s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s ; n e w a p p r o a c h e s t o

c h a n n e l c o u p l i n g , s u c h a s t h e p a t h i n t e g r a l a n d G r e e n f u n c t i o n f o r m a l i s m s ;

a n d a l t e r n a t i v e m e t h o d s t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s , s u c h a s t h o s e

u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l . T h e r o l e s o f n u c l e o n t r a n s f e r , a s y m m e t r y

e e c t s , h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s , a n d s h a p e - p h a s e t r a n s i t i o n s a r e e l u c i d a t e d .

T h e c u r r e n t s t a t u s o f t h e f u s i o n o f u n s t a b l e n u c l e i a n d v e r y m a s s i v e s y s t e m s

a r e b r i e y d i s c u s s e d .

1



C o n t e n t s

I I n t r o d u c t i o n 3

I I O n e - D i m e n s i o n a l M o d e l f o r F u s i o n 4

A E x p e r i m e n t a l O b s e r v a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

B O n e - D i m e n s i o n a l B a r r i e r P e n e t r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

C B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

D E n e r g y D e p e n d e n c e o f t h e E e c t i v e R a d i u s . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

E I n v e r s i o n o f t h e D a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I I I M u l t i d i m e n s i o n a l Q u a n t u m T u n n e l i n g i n N u c l e a r P h y s i c s 9

A C o u p l e d - C h a n n e l s F o r m a l i s m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

B S i m p l i e d C o u p l e d - C h a n n e l s M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

C P a t h I n t e g r a l A p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

D A d i a b a t i c a n d S u d d e n T u n n e l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

E I n t e r m e d i a t e C a s e s - D y n a m i c a l N o r m M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

I V D e s c r i p t i o n o f N u c l e a r S t r u c t u r e E e c t s b y t h e I n t e r a c t i n g B o s o n

M o d e l 2 0

A L i n e a r C o u p l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

B H i g h e r - O r d e r C o u p l i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

V C o m p a r i s o n o f C u r r e n t T h e o r y w i t h D a t a 2 4

A S t a t u s o f C o u p l e d - C h a n n e l s C a l c u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

B N u c l e o n T r a n s f e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

C P r o b i n g A s y m m e t r y E e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

D S i g n a t u r e s o f N u c l e a r V i b r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

E E e c t o f N o n - l i n e a r c o u p l i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

F A n g u l a r M o m e n t u m D i s t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

G P r o b i n g S h a p e P h a s e T r a n s i t i o n s w i t h F u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

H D i c u l t i e s i n E x t r a c t i n g B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

I F u s i o n o f U n s t a b l e N u c l e i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

J F u s i o n o f V e r y M a s s i v e S y s t e m s a n d S u p e r h e a v y N u c l e i . . . . . . . . . . 3 1

V I O p e n P r o b l e m s a n d O u t l o o k 3 2

2



I . I N T R O D U C T I O N

Q u a n t u m t u n n e l i n g i n s y s t e m s w i t h m a n y d e g r e e s o f f r e e d o m i s o n e o f t h e f u n d a m e n t a l

p r o b l e m s i n p h y s i c s a n d c h e m i s t r y ( H a n g g i e t a l . , 1 9 9 0 ; T s u k a d a e t a l . , 1 9 9 3 ) . O n e e x a m p l e

o f t u n n e l i n g p h e n o m e n a i n n u c l e a r p h y s i c s i s t h e f u s i o n o f t w o n u c l e i a t v e r y l o w e n e r g i e s .

T h e s e r e a c t i o n s a r e n o t o n l y o f c e n t r a l i m p o r t a n c e f o r s t e l l a r e n e r g y p r o d u c t i o n a n d n u c l e -

o s y n t h e s i s , b u t t h e y a l s o p r o v i d e n e w i n s i g h t s i n t o r e a c t i o n d y n a m i c s a n d n u c l e a r s t r u c t u r e .

U n t i l a b o u t f t e e n y e a r s a g o , l o w e n e r g y f u s i o n r e a c t i o n s w e r e a n a l y z e d i n t e r m s o f a s i m p l e

m o d e l , w h e r e o n e s t a r t s w i t h a l o c a l , o n e - d i m e n s i o n a l r e a l p o t e n t i a l b a r r i e r f o r m e d b y t h e

a t t r a c t i v e n u c l e a r a n d r e p u l s i v e C o u l o m b i n t e r a c t i o n s a n d a s s u m e s t h a t t h e a b s o r p t i o n i n t o

t h e f u s i o n c h a n n e l t a k e s p l a c e a t t h e r e g i o n i n s i d e t h e b a r r i e r a f t e r t h e q u a n t u m t u n n e l -

i n g . T h e s h a p e , l o c a t i o n , a n d t h e h e i g h t o f t h i s p o t e n t i a l w e r e d e s c r i b e d i n t e r m s o f f e w

p a r a m e t e r s w h i c h w e r e v a r i e d t o t t h e m e a s u r e d c r o s s s e c t i o n s . T h e s y s t e m a t i c s o f p o t e n -

t i a l s o b t a i n e d i n t h i s w a y w e r e d i s c u s s e d b y V a z e t a l . ( 1 9 8 1 ) . A n u m b e r o f e x p e r i m e n t s

p e r f o r m e d i n t h e e a r l y 8 0 ' s s h o w e d t h a t t h e s u b b a r r i e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r i n t e r m e d i a t e -

m a s s s y s t e m s a r e m u c h l a r g e r t h a n t h o s e e x p e c t e d f r o m s u c h a s i m p l e p i c t u r e ( B e c k e r m a n ,

1 9 8 8 ; V a n d e n b o s c h , 1 9 9 2 ) . T h e i n a d e q u a c y o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l m o d e l f o r s u b b a r r i e r

f u s i o n w a s e x p l i c i t l y d e m o n s t r a t e d b y i n v e r t i n g t h e e x p e r i m e n t a l d a t a t o d i r e c t l y o b t a i n t h e

e e c t i v e o n e - d i m e n s i o n a l f u s i o n b a r r i e r u n d e r t h e c o n s t r a i n t t h a t i t i s e n e r g y i n d e p e n d e n t

( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ) .

I n r e c e n t y e a r s t h e r e h a s b e e n a l o t o f e x p e r i m e n t a l e o r t i n m e a s u r i n g f u s i o n c r o s s

s e c t i o n s a n d m o m e n t s o f c o m p o u n d n u c l e u s a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s . A c o m p l e t e

c o m p i l a t i o n o f t h e r e c e n t d a t a i s b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s r e v i e w . S e v e r a l r e c e n t r e v i e w s

( S t e f a n i n i e t a l . , 1 9 9 4 ; R e i s d o r f , 1 9 9 4 ) p r e s e n t a n e x c e l l e n t o v e r v i e w o f t h e c u r r e n t e x p e r -

i m e n t a l s i t u a t i o n . T h i s a r t i c l e r e v i e w s t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s o f t h e l a s t d e c a d e i n o u r

u n d e r s t a n d i n g t h e m u l t i d i m e n s i o n a l q u a n t u m t u n n e l i n g n a t u r e o f s u b b a r r i e r f u s i o n . W e

s h o u l d e m p h a s i z e t h a t t h e l a r g e v o l u m e o f n e w d a t a a n d e x t e n s i v e t h e o r e t i c a l w o r k d o e s

n o t a l l o w u s t o p r o v i d e a n e x h a u s t i v e s e t o f r e f e r e n c e s . T h e s e l e c t i o n w e m a d e d o e s n o t

i m p l y t h a t o m i t t e d r e f e r e n c e s a r e a n y l e s s i m p o r t a n t t h a n t h e o n e s w e c h o s e t o h i g h l i g h t i n

d i s c u s s i n g d i e r e n t a s p e c t s o f f u s i o n p h e n o m e n a .

T h e n a t u r a l l a n g u a g e t o s t u d y f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w t h e C o u l o m b b a r r i e r i s t h e c o u p l e d -

c h a n n e l s f o r m a l i s m . I n t h e l a s t d e c a d e c o u p l e d c h a n n e l s a n a l y s i s o f t h e d a t a a n d t h e r e -

a l i z a t i o n o f t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n e n e r g y d e r i v a t i v e s o f t h e c r o s s s e c t i o n a n d t h e b a r r i e r

d i s t r i b u t i o n s ( R o w l e y e t a l . , 1 9 9 1 ) m o t i v a t e d a c c u m u l a t i o n o f v e r y h i g h p r e c i s i o n d a t a .

W h e n t h e e n h a n c e m e n t o f t h e c r o s s s e c t i o n b e l o w t h e b a r r i e r w a s r s t o b s e r v e d , m a n y

a u t h o r s p o i n t e d o u t t h a t i t i s n o t e a s y t o i d e n t i f y t h e u n d e r l y i n g p h y s i c a l m e c h a n i s m ( B r i n k

e t a l . , 1 9 8 3 b ; K r a p p e e t a l . , 1 9 8 3 ) . A n y c o u p l i n g i n t r o d u c e d b e t w e e n t r a n s l a t i o n a l m o t i o n

a n d i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m e n h a n c e s t h e c r o s s s e c t i o n . T h e r e c e n t h i g h - p r e c i s i o n d a t a

h e l p e d r e s o l v e s o m e o f t h e s e a m b i g u i t i e s b y s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s a n d m e a n a n g u l a r

m o m e n t a a s w e l l . T h e q u a l i t y o f t h e e x i s t i n g d a t a n o w m a k e s i t p o s s i b l e t o q u a n t i t a t i v e l y

e x p l o r e a n u m b e r o f t h e o r e t i c a l i s s u e s i n t h e q u a n t u m t u n n e l i n g a s p e c t s o f s u b b a r r i e r f u s i o n ,

s u c h a s e e c t s o f a n h a r m o n i c a n d n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n t e r m s .

I n t h e n e x t s e c t i o n , a f t e r b r i e y r e v i e w i n g o b s e r v a b l e s a c c e s s i b l e i n h e a v y - i o n f u s i o n

r e a c t i o n s , a n d t h e r e a s o n s w h y a o n e - d i m e n s i o n a l d e s c r i p t i o n f a i l s , w e p r e s e n t t h e m o t i v a t i o n

f o r s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s . I n S e c t i o n I I I w e d i s c u s s t h e s t a n d a r d c o u p l e d - c h a n n e l s

3



f o r m a l i s m , a n d a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s s u c h a s t h e p a t h i n t e g r a l f o r m a l i s m a n d G r e e n ' s

f u n c t i o n a p p r o a c h e s a l o n g w i t h t h e i r v a r i o u s l i m i t i n g c a s e s . S e c t i o n I V h a s a d u a l p u r p o s e :

i t c o v e r s r e c e n t a t t e m p t s t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n

M o d e l w h i l e i l l u s t r a t i n g t h e t e c h n i c a l d e t a i l s o f t h e s e a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s d i s c u s s e d i n

S e c t i o n I I I . I n S e c t i o n V , w e s u r v e y a r e p r e s e n t a t i v e s a m p l e o f r e c e n t h i g h - q u a l i t y d a t a

w i t h a f o c u s o n n e w p h y s i c s i n s i g h t s . W e c o n c l u d e i n S e c t i o n V I w i t h a b r i e f d i s c u s s i o n o f

t h e o p e n p r o b l e m s a n d o u t l o o k f o r t h e n e a r f u t u r e .

I I . O N E - D I M E N S I O N A L M O D E L F O R F U S I O N

A . E x p e r i m e n t a l O b s e r v a b l e s

I n t h e s t u d y o f f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w t h e C o u l o m b b a r r i e r t h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a b l e s

a r e t h e c r o s s s e c t i o n

( E ) =

1

X

̀ = 0

̀

( E ) ; ( 1 )

a n d t h e a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a

h ̀ ( E ) i =

P

1

̀ = 0

`

̀

( E )

P

1

̀ = 0

̀

( E )

: ( 2 )

T h e p a r t i a l - w a v e c r o s s s e c t i o n s a r e g i v e n b y

̀

( E ) =

h

2

2 E

( 2 ̀ + 1 ) T

̀

( E ) ; ( 3 )

w h e r e T

̀

( E ) i s t h e q u a n t u m - m e c h a n i c a l t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y t h r o u g h t h e p o t e n t i a l b a r -

r i e r a n d i s t h e r e d u c e d m a s s o f t h e p r o j e c t i l e a n d t a r g e t s y s t e m .

F u s i o n c r o s s s e c t i o n s a t l o w e n e r g i e s a r e m e a s u r e d b y d e t e c t i n g e v a p o r a t i o n r e s i d u e s o r

s s i o n p r o d u c t s f r o m c o m p o u n d n u c l e u s f o r m a t i o n . E v a p o r a t i o n r e s i d u e s c a n b e d e t e c t e d

d i r e c t l y b y m e a s u r i n g t h e d i e r e n c e i n v e l o c i t i e s b e t w e e n t h e m a n d t h e b e a m - l i k e i o n s .

V e l o c i t y s e l e c t i o n c a n b e a c h i e v e d e i t h e r b y e l e c t r o s t a t i c d e e c t o r s o r b y v e l o c i t y l t e r s .

A l t e r n a t i v e t e c h n i q u e s i n c l u d e d e t e c t i n g e i t h e r d i r e c t o r d e l a y e d X - r a y s a n d g a m m a r a y s . A

r e v i e w o f d i e r e n t e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s t o m e a s u r e t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s i s g i v e n b y

B e c k e r m a n ( 1 9 8 8 ) .

S e v e r a l t e c h n i q u e s w e r e d e v e l o p e d f o r m e a s u r i n g m o m e n t s o f t h e a n g u l a r m o m e n t u m

d i s t r i b u t i o n s . T h e a d v e n t o f d e t e c t o r a r r a y s e n a b l e d m e a s u r e m e n t o f f u l l g a m m a - r a y m u l -

t i p l i c i t i e s ( F i s c h e r e t a l . , 1 9 8 6 ; H a l b e r t e t a l . , 1 9 8 9 ) , w h i c h , u n d e r s o m e a s s u m p t i o n s , c a n

b e c o n v e r t e d t o

̀

d i s t r i b u t i o n s . I t i s a l s o p o s s i b l e t o m e a s u r e r e l a t i v e p o p u l a t i o n s o f t h e

g r o u n d a n d i s o m e r i c s t a t e s i n t h e e v a p o r a t i o n r e s i d u e s t o d e d u c e t h e s p i n d i s t r i b u t i o n i n t h e

c o m p o u n d n u c l e u s ( S t o k s t a d e t a l . , 1 9 8 9 ; D i G r e g o r i o e t a l . , 1 9 9 0 ) . F i n a l l y , t h e a n i s o t r o p y

o f t h e s s i o n f r a g m e n t a n g u l a r d i s t r i b u t i o n c a n b e r e l a t e d t o t h e s e c o n d m o m e n t o f t h e s p i n

d i s t r i b u t i o n ( B a c k e t a l . , 1 9 8 5 ; V a n d e n b o s c h e t a l . , 1 9 8 6 a ; V a n d e n b o s c h e t a l . , 1 9 8 6 b ) .

I t i s w o r t h w h i l e t o e m p h a s i z e t h a t m o m e n t s o f a n g u l a r m o m e n t a , u n l i k e t h e f u s i o n c r o s s

s e c t i o n i t s e l f , a r e n o t d i r e c t l y m e a s u r a b l e q u a n t i t i e s . O n e n e e d s t o m a k e a n u m b e r o f

4



a s s u m p t i o n s t o c o n v e r t g a m m a - r a y m u l t i p l i c i t i e s o r i s o m e r i c s t a t e p o p u l a t i o n s t o a v e r a g e

a n g u l a r m o m e n t a . A n e l a b o r a t i o n o f t h e s e a s s u m p t i o n s a l o n g w i t h a t h o r o u g h d i s c u s s i o n o f

t h e e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s i s g i v e n b y V a n d e n b o s c h ( 1 9 9 2 ) .

B . O n e - D i m e n s i o n a l B a r r i e r P e n e t r a t i o n

T h e t o t a l p o t e n t i a l b e t w e e n t h e t a r g e t a n d p r o j e c t i l e n u c l e i f o r t h e ̀ - t h p a r t i a l w a v e i s

g i v e n b y

V

̀

( r ) = V

N

( r ) + V

C

( r ) +

h

2

̀ ( ̀ + 1 )

2 r

2

= V

0

( r ) +

h

2

̀ ( ̀ + 1 )

2 r

2

; ( 4 )

w h e r e V

N

a n d V

C

a r e t h e n u c l e a r a n d C o u l o m b p o t e n t i a l s , r e s p e c t i v e l y . T h e ̀ = 0 b a r r i e r i s

r e f e r r e d t o a s t h e C o u l o m b b a r r i e r . T h e b a r r i e r s o b t a i n e d i n E q . ( 4 ) i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e

1 f o r s e v e r a l ̀ - v a l u e s .

F o r a o n e - d i m e n s i o n a l b a r r i e r t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s c a n b e e v a l u a t e d n u m e r i c a l l y -

e i t h e r e x a c t l y o r u s i n g a u n i f o r m W K B a p p r o x i m a t i o n , v a l i d f o r e n e r g i e s b o t h a b o v e a n d

b e l o w t h e b a r r i e r ( B r i n k a n d S m i l a n s k y , 1 9 8 3 a ; B r i n k , 1 9 8 5 a ) :

T

̀

( E ) = 1 + e x p ( 2 S

̀

( E ) ) ]

? 1

; ( 5 )

w h e r e t h e W K B p e n e t r a t i o n i n t e g r a l i s

S

̀

( E ) =

s

2

h

2

Z

r

2 ̀

r

1 ̀

d r

"

V

0

( r ) +

h

2

̀ ( ̀ + 1 )

2 r

2

? E

#

1 = 2

: ( 6 )

I n t h i s e q u a t i o n r

1 ̀

a n d r

2 ̀

a r e t h e c l a s s i c a l t u r n i n g p o i n t s f o r t h e ̀ - t h p a r t i a l w a v e p o t e n t i a l

b a r r i e r .

I f w e a s s u m e t h a t t h e p o t e n t i a l b a r r i e r c a n b e r e p l a c e d b y a p a r a b o l a

V

0

( r ) = V

B 0

?

1

2

2

2

( r ? r

o

)

2

; ( 7 )

w h e r e V

B 0

i s t h e h e i g h t a n d i s a m e a s u r e o f t h e c u r v a t u r e o f t h e s - w a v e p o t e n t i a l b a r r i e r ,

t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a n b e c a l c u l a t e d t o b e ( H i l l a n d W h e e l e r , 1 9 5 3 )

T

0

( E ) =

1 + e x p

?

2

h

( E ? V

B 0

)

? 1

: ( 8 )

I n t h e n u c l e a r p h y s i c s l i t e r a t u r e E q . ( 8 ) i s k n o w n a s t h e H i l l - W h e e l e r f o r m u l a . E s p e c i a l l y

a t e n e r g i e s w e l l b e l o w t h e b a r r i e r t h e r e a r e s i g n i c a n t d e v i a t i o n s f r o m t h i s f o r m u l a a s t h e

p a r a b o l i c a p p r o x i m a t i o n n o l o n g e r h o l d s .

C . B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s

A n a l t e r n a t i v e w a y o f p l o t t i n g t h e t o t a l c r o s s s e c t i o n d a t a i s t o l o o k a t t h e s e c o n d

e n e r g y d e r i v a t i v e o f t h e q u a n t i t y E , s o m e t i m e s c a l l e d t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e b a r r i e r s . T o

e l a b o r a t e o n t h e p h y s i c a l s i g n i c a n c e o f t h i s q u a n t i t y l e t u s c o n s i d e r p e n e t r a t i o n p r o b a b i l i t i e s

5



f o r d i e r e n t p a r t i a l w a v e s i n t h e c a s e o f a o n e - d i m e n s i o n a l s y s t e m ( c o u p l i n g t o a n i n t e r n a l

s y s t e m i s n e g l e c t e d ) , E q . ( 5 ) . U n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , t o b e e l a b o r a t e d i n t h e n e x t

s u b s e c t i o n , w e c a n a p p r o x i m a t e t h e ̀ d e p e n d e n c e o f t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a t a g i v e n

e n e r g y b y s i m p l y s h i f t i n g t h e e n e r g y ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ; B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 ) :

T

̀

' T

0

"

E ?

̀ ( ̀ + 1 ) h

2

2 R

2

( E )

#

; ( 9 )

w h e r e R

2

( E ) c h a r a c t e r i z e s a n e e c t i v e m o m e n t o f i n e r t i a . R ( E ) w a s f o u n d t o b e a s l o w l y

v a r y i n g f u n c t i o n o f e n e r g y a s d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . C o n s e q u e n t l y , i n m a n y a p p l i c a t i o n s

R ( E ) i s r e p l a c e d b y r

0

, t h e p o s i t i o n o f t h e s - w a v e b a r r i e r , i n E q . ( 9 ) . I f m a n y v a l u e s o f

̀ a r e i m p o r t a n t i n t h e s u m o v e r p a r t i a l - w a v e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s i n E q . ( 1 ) , w e c a n

a p p r o x i m a t e t h a t s u m w i t h a n i n t e g r a l o v e r ̀ , a n d , u s i n g E q . ( 9 ) o b t a i n ( B a l a n t e k i n e t a l . ,

1 9 8 3 ; B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 )

E ( E ) = R

2

( E )

Z

E

? 1

d E

0

T

0

( E

0

) : ( 1 0 )

I t w a s f o u n d t h a t E q . ( 1 0 ) r e p r e s e n t s t h e e x p e r i m e n t a l d a t a f o r t h e t o t a l f u s i o n c r o s s

s e c t i o n r a t h e r w e l l ( B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 ; D a s g u p t a e t a l . , 1 9 9 1 ; B a l a n t e k i n e t

a l . , 1 9 9 6 ) . D i e r e n t i a t i n g E q . ( 1 0 ) t w i c e ( R o w l e y e t a l . , 1 9 9 1 ) o n e n d s t h a t t h e e n e r g y

d e r i v a t i v e o f t h e s - w a v e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i s a p p r o x i m a t e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s e c o n d

e n e r g y d e r i v a t i v e o f t h e q u a n t i t y E u p t o c o r r e c t i o n s c o m i n g f r o m t h e e n e r g y d e p e n d e n c e

o f R ( E ) :

d T

0

( E )

d E

1

R

2

( E )

d

2

d E

2

( E ( E ) ) +

O (

d R

d E

) : ( 1 1 )

S i n c e R ( E ) i s a s l o w l y v a r y i n g f u n c t i o n o f e n e r g y , t h e r s t t e r m i n E q . ( 1 1 ) c a n b e u s e d

t o a p p r o x i m a t e t h e r s t d e r i v a t i v e o f t h e s - w a v e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y . F o r a c o m p l e t e l y

c l a s s i c a l s y s t e m , T

0

i s u n i t y a b o v e t h e b a r r i e r a n d z e r o b e l o w ; h e n c e t h e q u a n t i t y d T

0

( E ) = d E

w i l l b e a d e l t a f u n c t i o n p e a k e d w h e n E i s e q u a l t o t h e b a r r i e r h e i g h t , a s s h o w n i n F i g u r e

3 . Q u a n t u m m e c h a n i c a l l y t h i s s h a r p p e a k i s b r o a d e n e d a s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y

s m o o t h l y c h a n g e s f r o m z e r o a t e n e r g i e s f a r b e l o w t h e b a r r i e r t o u n i t y a t e n e r g i e s f a r a b o v e

t h e b a r r i e r ( s e e F i g u r e 3 ) . R o w l e y e t a l . ( 1 9 9 1 ) s u g g e s t e d t h a t i f m a n y c h a n n e l s a r e c o u p l e d

t o t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n , t h e q u a n t i t y d T

0

( E ) = d E i s f u r t h e r b r o a d e n e d a n d c a n b e t a k e n

t o r e p r e s e n t t h e \ d i s t r i b u t i o n s o f t h e b a r r i e r s " d u e t o t h e c o u p l i n g t o t h e e x t r a d e g r e e s o f

f r e e d o m a s d e p i c t e d i n F i g u r e 4 f o r a t w o - c h a n n e l c a s e .

O b v i o u s l y o n e n e e d s r a t h e r h i g h p r e c i s i o n d a t a t o b e a b l e t o n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e t h e

s e c o n d d e r i v a t i v e o f t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n . S u c h h i g h - q u a l i t y d a t a r e c e n t l y b e c a m e a v a i l -

a b l e f o r a n u m b e r o f s y s t e m s . A s a s p e c i c e x a m p l e o f t h e q u a l i t y o f r e c e n t d a t a , F i g u r e 5

s h o w s t h e m e a s u r e d c r o s s s e c t i o n a n d t h e e x t r a c t e d a s s o c i a t e d b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f o r t h e

1 6

O +

1 5 4

S m s y s t e m ( W e i e t a l . , 1 9 9 1 ; L e i g h e t a l . , 1 9 9 5 ) .

E q s . ( 9 ) a n d ( 1 0 ) ( w i t h t h e s u b s t i t u t i o n R ( E ) ! r

0

) c a n a l s o b e u s e d t o o b t a i n a d i r e c t

c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n a n d t h e a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n ( S a h m

e t a l . , 1 9 8 5 ; A c k e r m a n n , 1 9 9 5 ) :

6



T

̀

( E ) =

1

r

2

0

d ( E

0

( E

0

) )

d E

0

!

; ( 1 2 )

w h e r e

E

0

= E ? ( h

2

= 2 r

2

0

) ̀ ( ̀ + 1 ) : ( 1 3 )

F o r e n e r g i e s w e l l a b o v e t h e b a r r i e r , o n e c a n u s e t h e p a r a b o l i c a p p r o x i m a t i o n o f E q . ( 7 )

f o r t h e p o t e n t i a l b a r r i e r . F u r t h e r a p p r o x i m a t i n g R ( E ) b y r

0

a n d i n s e r t i n g t h e p e n e t r a t i o n

p r o b a b i l i t y f o r t h e p a r a b o l i c b a r r i e r , E q . ( 8 ) , i n E q . ( 1 0 ) o n e o b t a i n s a n a p p r o x i m a t e

e x p r e s s i o n f o r t h e c r o s s s e c t i o n ( W o n g , 1 9 7 3 )

( E ) =

h r

2

0

2 E

l o g

1 + e x p

2

h

( E ? V

B 0

)

: ( 1 4 )

I n t h e c l a s s i c a l l i m i t , w h e r e ! 0 o r E V

B 0

, E q . ( 1 4 ) r e d u c e s t o t h e s t a n d a r d g e o m e t r i c a l

r e s u l t

( E ) = r

2

0

1

?

V

B 0

E

: ( 1 5 )

D . E n e r g y D e p e n d e n c e o f t h e E e c t i v e R a d i u s

I f o n e s e t s R ( E ) = r

0

i n E q . ( 9 ) f o r a p p r o x i m a t i n g t h e ̀ - w a v e p e n e t r a b i l i t y b y t h e

s - w a v e p e n e t r a b i l i t y a t a s h i f t e d e n e r g y , o n e g e t s o n l y t h e l e a d i n g t e r m i n w h a t i s a c t u a l l y

a n i n n i t e s e r i e s e x p a n s i o n i n = ̀ ( ̀ + 1 ) . T h e n e x t t e r m i n t h i s e x p a n s i o n c a n e a s i l y b e

c a l c u l a t e d . L e t r

̀

d e n o t e t h e p o s i t i o n o f t h e p e a k o f t h e ̀ - w a v e b a r r i e r w h i c h s a t i s e s

@ V

̀

( r )

@ r

r = r

̀

= 0 ; ( 1 6 )

a n d

@

2

V

̀

( r )

@ r

2

r = r

̀

< 0 ; ( 1 7 )

t h e n t h e h e i g h t o f t h e b a r r i e r i s g i v e n b y V

B l

= V

l

( r

̀

) . W e m a k e t h e a n s a t z t h a t t h e b a r r i e r

p o s i t i o n c a n b e w r i t t e n a s a n i n n i t e s e r i e s ,

r

̀

= r

0

+ c

1

+ c

2

2

+ ; ( 1 8 )

w h e r e t h e c

i

a r e c o n s t a n t s . E x p a n d i n g a l l f u n c t i o n s i n E q . ( 1 6 ) c o n s i s t e n t l y i n p o w e r s o f ,

w e n d t h a t t h e r s t c o e c i e n t i s

c

1

= ?

h

2

r

3

0

; ( 1 9 )

w h e r e i s t h e c u r v a t u r e o f t h e s - w a v e b a r r i e r

7



= ?

@

2

V

0

( r )

@ r

2

r = r

0

: ( 2 0 )

S u b s t i t u t i n g t h e l e a d i n g o r d e r c o r r e c t i o n i n t h e b a r r i e r p o s i t i o n r

̀

i n t o E q . ( 4 ) , w e n d t h a t

t o s e c o n d o r d e r i n t h e ̀ - w a v e b a r r i e r h e i g h t i s g i v e n b y

V

B l

= V

B 0

+

h

2

2 r

2

0

+

h

4

2

2

2

r

6

0

: ( 2 1 )

T h e r e f o r e , a n i m p r o v e d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e ̀ - d e p e n d e n c e i n t h e p e n e t r a b i l i t y i s g i v e n b y

T

̀

( E ) T

0

E ?

h

2

2 r

2

0

?

h

4

2

2

2

r

6

0

!

: ( 2 2 )

C o m p a r i n g E q . ( 2 1 ) w i t h E q . ( 6 ) , w e n d t h a t t h e e n e r g y - d e p e n d e n t e e c t i v e r a d i u s c a n b e

e x p r e s s e d a s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 )

R

2

( E ) = r

2

0

"

1 ?

4

r

2

0

R

E

0

d E

0

T

0

( E

0

) ( E

? E

0

)

R

E

0

d E

0

T

0

( E

0

)

#

: ( 2 3 )

T h i s e x p r e s s i o n i s u s e f u l i n a s s e s s i n g t h e u t i l i t y o f t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f t h e q u a n t i t y E

a s t h e d i s t r i b u t i o n o f b a r r i e r s a s i t g i v e s a n e s t i m a t e o f t h e t e r m s n e g l e c t e d i n E q . ( 1 1 ) . I f

w e r e w r i t e E q . ( 1 1 ) i n c l u d i n g p r e v i o u s l y n e g l e c t e d t e r m s

d T

0

( E )

d E

=

1

R

2

( E )

d

2

d E

2

( E ( E ) ) ?

E ( E )

R

4

( E )

d

2

d E

2

R

2

( E )

?

2 T

0

( E )

R

2

( E )

d

d E

R

2

( E )

; ( 2 4 )

w e s e e t h a t a s t r o n g e n e r g y d e p e n d e n c e o f R ( E ) w o u l d n o t o n l y p r o v i d e a n o v e r a l l m u l -

t i p l i c a t i v e f a c t o r b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a b l e d

2

( E ) = d E

2

a n d t h e t r u e b a r r i e r

d i s t r i b u t i o n ( i . e . , d T

0

= d E ) , b u t m a y a l s o s h i f t t h e p o s i t i o n o f v a r i o u s p e a k s i n i t a n d c h a n g e

t h e w e i g h t s o f t h e s e p e a k s . E q . ( 2 3 ) c a n b e u s e d t o i l l u s t r a t e t h a t s u c h c o r r e c t i o n s a r e

i n d e e d s m a l l ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . T h i s i s a u s e f u l c o n s i s t e n c y c h e c k e v e n w h e n c h a n n e l

c o u p l i n g e e c t s y i e l d a n u m b e r o f e i g e n - b a r r i e r s ( c f . S e c t i o n I I I B ) a s E q . ( 1 1 ) s t i l l n e e d s

t o b e s a t i s e d f o r e a c h o n e - d i m e n s i o n a l e i g e n - b a r r i e r t o b e a b l e t o i n t e r p r e t e x p e r i m e n t a l l y

d e t e r m i n e d d

2

( E ) = d E

2

a s t h e d i s t r i b u t i o n o f b a r r i e r s .

E . I n v e r s i o n o f t h e D a t a

U s i n g A b e l i a n i n t e g r a l s ( C o l e a n d G o o d , 1 9 7 8 ) , o n e c a n s h o w t h a t f o r e n e r g i e s b e l o w

t h e b a r r i e r

Z

V

B ̀

E

d E

0

S

̀

( E

0

)

p

E

0

? E

=

2

s

2

h

2

Z

r

2 ̀

r

1 ̀

d r

"

V

0

( r ) +

h

2

̀ ( ̀ + 1 )

2 r

2

? E

#

; ( 2 5 )

w h e r e V

B ̀

i s t h e h e i g h t o f t h e ̀ - w a v e p o t e n t i a l a n d V

0

( r ) i s t h e s - w a v e b a r r i e r . T h e e n e r g y

d e r i v a t i v e o f t h e l e f t - h a n d s i d e o f E q . ( 2 5 ) c a n b e i n t e g r a t e d b y p a r t s t o y i e l d ,

8



Z

V

B ̀

E

d E

0

@ S

̀

( E

0

) = @ E

0

p

E

0

? E

= ?

2

s

2

h

2

( r

2 ̀

? r

1 ̀

) ; ( 2 6 )

w h i c h i s u s e d t o n d t h e b a r r i e r t h i c k n e s s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ) . U s i n g E q s . ( 5 ) a n d ( 9 ) ,

o n e c a n r e l a t e t h e W K B p e n e t r a t i o n i n t e g r a l t o t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c r o s s s e c t i o n

a s

S

0

( E ) =

1

2

l o g

2

4

"

d

d E

"

E ( E )

R

2

( E )

# #

? 1

? 1

3

5

: ( 2 7 )

T h u s , i f R ( E ) i s s p e c i e d , t h e t h i c k n e s s o f t h e b a r r i e r a t a g i v e n e n e r g y i s c o m p l e t e l y

d e t e r m i n e d f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d a t a u s i n g E q s . ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) .

T h e p o t e n t i a l s r e s u l t i n g f r o m t h e a n a l y s i s o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 8 3 ) f o r s i x s y s t e m s a r e

s h o w n i n F i g u r e 6 . F o r c o m p a r i s o n , p o i n t C o u l o m b a n d t h e p h e n o m e n o l o g i c a l l y d e t e r m i n e d

p o t e n t i a l o f K r a p p e e t a l . ( 1 9 7 9 ) a r e a l s o s h o w n . I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t t h i s i n v e r s i o n

m e t h o d a s s u m e s t h e e x i s t e n c e o f a s i n g l e p o t e n t i a l b a r r i e r . T h e t h i c k n e s s f u n c t i o n s , t =

r

2 0

? r

1 0

, i n F i g u r e 6 e s p e c i a l l y f o r t h e h e a v i e r s y s t e m s a r e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e a s s u m p t i o n

o f a s i n g l e - v a l u e d o n e - d i m e n s i o n a l l o c a l p o t e n t i a l , c l e a r l y i n d i c a t i n g t h e n e e d f o r c o u p l i n g

t o o t h e r d e g r e e s o f f r e e d o m . T h i s r e s u l t w a s c o n r m e d b y t h e s y s t e m a t i c s t u d y o f I n u i a n d

K o o n i n ( 1 9 8 4 ) .

I I I . M U L T I D I M E N S I O N A L Q U A N T U M T U N N E L I N G I N N U C L E A R P H Y S I C S

A . C o u p l e d - C h a n n e l s F o r m a l i s m

A s t a n d a r d t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o s t u d y t h e e e c t o f n u c l e a r i n t r i n s i c d e g r e e s o f f r e e d o m

o n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i s t o n u m e r i c a l l y s o l v e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s t h a t d e t e r m i n e

t h e w a v e f u n c t i o n s o f t h e r e l a t i v e m o t i o n . F o r e x a m p l e , i f o n e i s i n t e r e s t e d i n t h e e e c t o f

t h e e x c i t a t i o n o f t h e g r o u n d s t a t e K = 0

+

r o t a t i o n a l b a n d o f t h e t a r g e t n u c l e u s , t h e n

e a c h c h a n n e l c a n b e d e n o t e d b y a s e t o f i n d i c e s ( I ; ̀ ) , w h e r e I a n d ̀ a r e t h e a n g u l a r

m o m e n t u m o f t h e r o t a t i o n a l e x c i t e d s t a t e s o f t h e t a r g e t n u c l e u s a n d t h a t o f t h e r e l a t i v e

m o t i o n , r e s p e c t i v e l y . T h e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s t h e n r e a d

"

?

h

2

2

d

2

d r

2

+

h

2

2 r

2

̀

1

( ̀

1

+ 1 ) + V ( r )

? E

I

1

#

f

I

1

; ̀

1

( r )

+ F

( r )

X

I

2

; ̀

2

( ? )

J + ̀

2

i

I

2

+ ̀

2

? I

1

? ̀

1

"

( 2 ̀

1

+ 1 ) ( 2 I

1

+ 1 ) ( 2 I

2

+ 1 )

2 + 1

#

1 = 2

< I

1

I

2

0 0 j 0 > < ̀

1

0 0 j ̀

2

0 >

(

̀

1

I

1

J

I

2

̀

2

)

f

I

2

; ̀

2

( r ) = 0 : ( 2 8 )

W h e n t h e c o u p l e d - c h a n n e l s f o r m a l i s m i s u s e d t o s t u d y d i r e c t r e a c t i o n s t h e o p t i c a l p o t e n t i a l

V ( r ) c o n t a i n s a n i m a g i n a r y p a r t i n o r d e r t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e e e c t o f i n t r i n s i c d e g r e e s

o f f r e e d o m o t h e r t h a n t h e r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n o n t h e s c a t t e r i n g . T h e m u l t i - p o l a r i t y o f t h e

i n t r i n s i c e x c i t a t i o n i s = 2 i f w e r e s t r i c t t o q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n s . T h e c o u p l i n g f o r m

f a c t o r F

( r ) c o n s i s t s o f C o u l o m b a n d n u c l e a r p a r t s ,

9



F

( r ) = F

C

( r ) + F

N

( r ) : ( 2 9 )

I f t h e c o u p l i n g i s r e s t r i c t e d t o t h e q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n s , t h e C o u l o m b p a r t i s

F

C

( r ) =

3

p

2 0

Z

1

Z

2

e

2

R

2

c

r

3

( r R

c

)

=

3

p

2 0

Z

1

Z

2

e

2

r

2

R

3

c

( r < R

c

) ( 3 0 )

a n d t h e n u c l e a r p a r t i s

F

N

( r ) = ?

s

5

4

R

V

d V

N

d r

: ( 3 1 )

I n m o s t c a l c u l a t i o n s t h e s c a l e p a r a m e t e r s R

c

a n d R

V

a r e t a k e n t o b e 1 : 2 A

1 = 3

. I n t h e s t a n d a r d

c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s , o n e s o l v e s E q . ( 2 8 ) b y i m p o s i n g r e g u l a r b o u n d a r y c o n d i t i o n

a t t h e o r i g i n . I n c o n t r a s t , i n t h e s t u d y o f h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s , o n e t a k e s t h e p o t e n t i a l

t o b e r e a l a n d o f t e n s o l v e s E q . ( 2 8 ) b y i m p o s i n g t h e i n c o m i n g w a v e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t

s o m e p o i n t i n s i d e t h e p o t e n t i a l b a r r i e r t o o b t a i n S - m a t r i c e s . T h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i s t h e n

o b t a i n e d b a s e d o n t h e u n i t a r i t y r e l a t i o n a s

=

k

2

X

̀

( 2 ̀ + 1 ) f 1 ?

X

a

j S

a

( ̀ ) j

2

g ; ( 3 2 )

w h e r e t h e i n d e x a d e s i g n a t e s d i e r e n t s c a t t e r i n g c h a n n e l s , w h i c h h a v e b e e n e x p l i c i t l y d e a l t

w i t h i n t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n . A n a d v a n t a g e o f t h e c o u p l e d - c h a n n e l s m e t h o d i s

t h a t o n e c a n t r y t o c o n s i s t e n t l y a n a l y z e h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s , a n d o t h e r s c a t t e r i n g p r o -

c e s s e s s u c h a s e l a s t i c s c a t t e r i n g . C o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s f o r a n u m b e r o f s y s t e m s e x i s t

i n t h e l i t e r a t u r e ( D a s s o e t a l . , 1 9 8 3 ; L i n d s a y a n d R o w l e y , 1 9 8 4 ; E s b e n s e n a n d L a n d o w n e ,

1 9 8 7 ; T h o m p s o n e t a l . , 1 9 8 5 ; S t e f a n i n i e t a l . , 1 9 9 0 ) .

O n e c a n s i g n i c a n t l y r e d u c e t h e d i m e n s i o n o f t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s b y i g -

n o r i n g t h e c h a n g e o f t h e c e n t r i f u g a l p o t e n t i a l b a r r i e r d u e t o t h e n i t e m u l t i - p o l a r i t y o f

t h e n u c l e a r i n t r i n s i c e x c i t a t i o n ( T a k i g a w a a n d I k e d a , 1 9 8 6 ; E s b e n s e n e t a l . , 1 9 8 7 ) . T h i s i s

c a l l e d t h e n o - C o r i o l i s a p p r o x i m a t i o n , r o t a t i n g f r a m e a p p r o x i m a t i o n , o r i s o - c e n t r i f u g a l a p -

p r o x i m a t i o n ( G o m e z - C a m a c h o a n d J o h n s o n , 1 9 8 8 ) . A p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h t o n o - C o r i o l i s

a p p r o x i m a t i o n w a s g i v e n b y H a g i n o e t a l . ( 1 9 9 5 a ) .

I f o n e f u r t h e r i g n o r e s t h e n i t e e x c i t a t i o n e n e r g y o f n u c l e a r i n t r i n s i c m o t i o n , t h e n o n e

c a n c o m p l e t e l y d e c o u p l e t h e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s i n t o a s e t o f s i n g l e e i g e n - c h a n n e l

p r o b l e m s . T h e s e t w o a p p r o x i m a t i o n s s i g n i c a n t l y s i m p l i f y t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s a n d

a l s o g i v e a c l e a r p h y s i c a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e e e c t o f c h a n n e l - c o u p l i n g i n t e r m s o f t h e

d i s t r i b u t i o n o f p o t e n t i a l b a r r i e r s .

B . S i m p l i e d C o u p l e d - C h a n n e l s M o d e l s

U n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s i t i s p o s s i b l e t o s i g n i c a n t l y s i m p l i f y t h e c o u p l e d - c h a n n e l s

e q u a t i o n s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . W e t a k e t h e H a m i l t o n i a n t o b e

1 0



H = H

k

+ V

0

( r ) + H

0

( ) + H

i n t

( r ; ) ( 3 3 )

w i t h t h e t e r m H

k

r e p r e s e n t i n g t h e k i n e t i c e n e r g y

H

k

= ?

h

2

2

r

2

; ( 3 4 )

w h e r e r i s t h e r e l a t i v e c o o r d i n a t e o f t h e c o l l i d i n g n u c l e i a n d r e p r e s e n t s a n y i n t e r n a l d e g r e e s

o f f r e e d o m o f t h e t a r g e t o r t h e p r o j e c t i l e . I n t h i s e q u a t i o n V

0

( r ) i s t h e b a r e p o t e n t i a l a n d

t h e t e r m H

0

( ) r e p r e s e n t s t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e t a r g e t o r t h e p r o j e c t i l e n u c l e u s .

I n t r o d u c i n g t h e e i g e n s t a t e s o f H

0

( )

H

0

j n i =

n

j n i ; ( 3 5 )

a n d e x p a n d i n g t h e r a d i a l w a v e f u n c t i o n a s

( r ) =

X

n

n

( r ) j n i ; ( 3 6 )

t h e t i m e - i n d e p e n d e n t S c h r o e d i n g e r e q u a t i o n i s r e d u c e d t o a s e t o f c o u p l e d e q u a t i o n s f o r t h e

r e l a t i v e m o t i o n w a v e f u n c t i o n s

n

,

"

?

h

2

2

d

2

d r

2

+ V

̀

( r ) ? E

#

n

( r ) = ?

X

m

n

n m

+ h n j H

i n t

( r ; ) j m i ]

m

( r ) : ( 3 7 )

T h e s e e q u a t i o n s a r e s o l v e d u n d e r t h e i n c o m i n g w a v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s :

n

( r ) !

8

>

>

<

>

>

:

n 0

e x p ( ? i k

n

r ) +

q

k

k

n

R

n

e x p ( i k

n

r ) ; r ! + 1

q

k

k

n

T

n

e x p ( ? i k

n

r ) ; r ! r

m i n

9

>

>

=

>

>

;

; ( 3 8 )

w h e r e h

2

k

2

n

= 2 = E ?

n

. T h e i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e t a k e n t o b e i n i t i a l l y i n t h e i r

g r o u n d s t a t e l a b e l e d b y n = 0 a n d t h e a s s o c i a t e d g r o u n d s t a t e e n e r g y i s s e t t o b e z e r o ,

0

= 0 . I n E q . ( 3 8 ) t h e r e e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t s i n e a c h c h a n n e l a r e d e n o t e d

b y R

n

a n d T

n

, r e s p e c t i v e l y .

S e v e r a l g r o u p s ( D a s s o e t a l . , 1 9 8 3 ; B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 a ; J a c o b s a n d S m i l a n s k y , 1 9 8 3 )

s t u d i e d v a r i o u s s i m p l i f y i n g l i m i t s t o e m p h a s i z e s a l i e n t p h y s i c a l f e a t u r e s . H e r e w e s u m m a r i z e

t h e a p p r o a c h o f D a s s o e t a l . ( 1 9 8 3 ) . T h e y a s s u m e d t h a t t h e c o u p l i n g i n t e r a c t i o n f a c t o r s i n t o

a r e l a t i v e p a r t , F ( r ) , a n d a n i n t r i n s i c p a r t , G ( ) :

M

n m

n

n m

+ h n j H

i n t

( r ; ) j m i =

n

n m

+ F ( r ) h n j G ( ) j m i ; ( 3 9 )

a n d t h a t t h e f o r m f a c t o r F ( r ) i s a c o n s t a n t ( t a k e n b y D a s s o e t a l . ( 1 9 8 3 ) t o b e t h e v a l u e

o f F ( r ) a t t h e b a r r i e r p o s i t i o n ) . U n d e r t h e s e a p p r o x i m a t i o n s t h e c o u p l e d - c h a n n e l e q u a t i o n s

d e c o u p l e t o g i v e

"

?

h

2

2

d

2

d r

2

+ V

̀

( r ) +

n

? E

#

X

m

U

n m

m

( r )

!

= 0 ; ( 4 0 )

1 1



w h e r e U

n m

i s t h e u n i t a r y m a t r i x w h i c h d i a g o n a l i z e s t h e c o u p l i n g m a t r i x M

n m

t o g i v e a s e t

o f e i g e n v a l u e s

n

. E q . ( 4 0 ) i n d i c a t e s t h a t t h e e e c t o f t h e c o u p l i n g i s t o r e p l a c e t h e o r i g i n a l

b a r r i e r b y a s e t o f e i g e n - b a r r i e r s V

̀

( r ) +

n

. T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a l c u l a t e d i n t h e

i n c o m i n g - w a v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s g i v e n b y

T

̀

( E ) =

X

n

j U

n 0

j

2

T

̀

( E ?

n

) ; ( 4 1 )

w h e r e T

̀

( E ?

n

) i s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s c a l c u l a t e d a t s h i f t e d e n e r g i e s E ?

n

.

E v e n t h o u g h t h e c o n s t a n t - c o u p l i n g a p p r o a c h w o u l d o v e r p r e d i c t t h e t r a n s m i s s i o n p r o b -

a b i l i t y , i t c a n n e v e r t h e l e s s b e u s e d t o g e t a q u a l i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d e p e n d e n c e o f

t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n o n v a r i o u s p h y s i c a l q u a n t i t i e s . F o r e x a m p l e , o n e c a n s t u d y c o u p l i n g

t o a n h a r m o n i c m o d e w i t h a n i t e Q - v a l u e u s i n g t h e m o d e l H a m i l t o n i a n

M =

2

= 2 D +

1

2

C

2

+ F

0

; ( 4 2 )

y i e l d i n g

M

m n

= ? n Q

m n

+ F (

p

n

n ; m + 1

+

p

n + 1

n ; m ? 1

) ; ( 4 3 )

w h e r e ? Q = h

q

C = D i s t h e e x c i t a t i o n e n e r g y a n d F = F

0

q

j Q j = 2 C m e a s u r e s t h e t o t a l

s t r e n g t h o f t h e c o u p l i n g a n d t h e e i g e n v a l u e s a r e

n

= n j Q j ? F

2

= j Q j : ( 4 4 )

T h e t o t a l t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d t o b e

T

c c

( E ) =

1

X

n = 0

( F

2 n

= Q

2 n

n ! ) e x p ( ? F

2

= Q

2

) T ( E ? n j Q j + F

2

= j Q j ) : ( 4 5 )

I n t h e s p e c i a l c a s e o f a t w o - c h a n n e l p r o b l e m t h e m a t r i x

M =

0

B

@

0 F

F ? Q

1

C

A

( 4 6 )

h a s e i g e n v a l u e s

=

1

2

? Q

q

Q

2

+ 4 F

2

; ( 4 7 )

w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g w e i g h t f a c t o r s

U

2

=

2 F

2

4 F

2

+ Q

2

Q

p

4 F

2

+ Q

2

: ( 4 8 )

N o t e t h a t f o r F = j Q j < 1 t h e l o w e s t e e c t i v e b a r r i e r c a r r i e s t h e l a r g e s t w e i g h t f o r n e g a t i v e

Q , w h i l e t h e s i t u a t i o n i s r e v e r s e d f o r p o s i t i v e Q ( c f . S e c t i o n V B ) .

T a n i m u r a e t a l . ( 1 9 8 5 ) p o i n t e d o u t t h a t t h e c o n s t a n t c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n c a n o v e r -

e s t i m a t e l o w - e n e r g y f u s i o n r a t e s w h e r e t h e c o u p l i n g e e c t s a r e s t r o n g a n d t h e a s s o c i a t e d

1 2



f o r m f a c t o r s a r e r a p i d l y v a r y i n g . D a s s o a n d L a n d o w n e ( 1 9 8 7 a ) e x t e n d e d t h e i r m o d e l f o r

s t r o n g c o u p l i n g c a s e s . T h e y d i a g o n a l i z e d t h e c o u p l e d i n t r i n s i c s y s t e m i n t h e b a r r i e r r e g i o n

t o o b t a i n t h e e i g e n s t a t e s

j ( r )

i a n d t h e e i g e n v a l u e s

( r ) a s f u n c t i o n s o f r t o o b t a i n t h e

t o t a l t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y

T

s c c

( E ) =

X

j h ( R ) j 0 i j

2

T

( E ; V ( r ) +

( r ) ) ; ( 4 9 )

w h e r e T

( E ; V ( r ) +

( r ) ) i s t h e p e n e t r a t i o n p r o b a b i l i t y f o r t h e p o t e n t i a l V ( r ) +

( r ) . T h e

w e i g h i n g f a c t o r s a r e x e d a t a c h o s e n r a d i u s R , w h i c h m i g h t b e t h e p o s i t i o n o f t h e u n p e r -

t u r b e d b a r r i e r o r t h e a v e r a g e p o s i t i o n o f t h e e i g e n - b a r r i e r s . T w o c o u p l e d - c h a n n e l s c o d e s ,

s i m p l i e d i n t h i s m a n n e r , a r e a v a i l a b l e i n t h e l i t e r a t u r e : C C F U S ( D a s s o a n d L a n d o w n e ,

1 9 8 7 b ) a n d C C D E F ( F e r n a n d e z - N i e l l o e t a l . , 1 9 8 9 ) . B o t h o f t h e m t r e a t t h e v i b r a t i o n a l c o u -

p l i n g i n t h e c o n s t a n t c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n . T h e l a t t e r t a k e s i n t o a c c o u n t p r o j e c t i l e a n d

t a r g e t d e f o r m a t i o n s w i t h i n t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n a n d t r e a t s c o u p l i n g t o t h e t r a n s f e r

c h a n n e l s w i t h a c o n s t a n t f o r m f a c t o r .

I n C C F U S t h e b a s i s s t a t e s i n c l u d e d a r e t h e g r o u n d s t a t e

j 0

i , t h e q u a d r u p o l e o n e - p h o n o n

s t a t e b

y

2

j 0 i , t h e o c t u p o l e o n e - p h o n o n s t a t e b

y

3

j 0 i , a n d t h e p r o d u c t t w o - p h o n o n s t a t e b

y

2

b

y

3

j 0 i .

T h e r e s u l t i n g m a t r i x t o b e d i a g o n a l i z e d t o y i e l d t h e e i g e n - c h a n n e l s i s

M =

0

B

B

B

@

0 F

2

( r ) F

3

( r ) 0

F

2

( r )

2

0 F

3

( r )

F

3

( r ) 0

3

F

2

( r )

0 F

3

( r ) F

2

( r )

2

+

3

1

C

C

C

A

: ( 5 0 )

I n C C F U S t h e d o u b l e p h o n o n s t a t e s ( b

y

2

)

2

j 0 i , a n d ( b

y

3

)

2

j 0 i a r e n o t i n c l u d e d f o r m a t h e m a t i c a l

s i m p l i c a t i o n . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x i n E q . ( 5 0 ) c a n b e w r i t t e n a s t h e s u m s o f t h e

e i g e n v a l u e s o f t h e t w o 2 2 m a t r i c e s w h i c h r e p r e s e n t t h e c o u p l i n g o f t h e s i n g l e o n e - p h o n o n

s t a t e s , i . e . ,

M

2

=

0 F

2

( r )

F

2

( r )

2

!

; ( 5 1 )

a n d

M

3

=

0 F

3

( r )

F

3

( r )

3

!

: ( 5 2 )

I f t h e m a t r i x o f E q . ( 5 0 ) a l s o i n c l u d e d t h e d o u b l e - p h o n o n s t a t e s ( b

y

2

)

2

j 0 i , a n d ( b

y

3

)

2

j 0 i

s u c h a s i m p l e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e i g e n v a l u e s o f t h e 4 4 a n d 2 2 m a t r i c e s w o u l d n o t

b e p o s s i b l e . C C F U S p r o v i d e s t w o o p t i o n s ; t h e m a t r i c e s o f E q . ( 5 1 ) a n d ( 5 2 ) a r e e i t h e r

d i a g o n a l i z e d b y r e p l a c i n g t h e f o r m f a c t o r s F

2

( r ) a n d F

3

( r ) w i t h t h e i r v a l u e s a t t h e l o c a t i o n

o f t h e b a r e p o t e n t i a l b a r r i e r , o r d i a g o n a l i z e d f o r a l l v a l u e s o f r . I n t h e l a t t e r c a s e o n l y t h e

w e i g h t f a c t o r s , b u t n o t t h e e i g e n v a l u e s a r e e v a l u a t e d a t t h e p o s i t i o n o f t h e b a r e b a r r i e r . T h e

t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t s f o r e a c h e i g e n - b a r r i e r a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e W o n g f o r m u l a , E q .

( 1 4 ) .

T h e a p p r o a c h o f C C F U S c a n b e g e n e r a l i z e d t o i n c o r p o r a t e n d i e r e n t p h o n o n s b y i n -

c l u d i n g t h e g r o u n d s t a t e , n o n e - p h o n o n s t a t e s , n ( n ? 1 ) = 2 t w o - p h o n o n s t a t e s ( i . e . , n o t t h o s e

1 3



s t a t e s w h e r e t h e s a m e p h o n o n a p p e a r s m o r e t h a n o n c e ) , n ( n ? 1 ) ( n ? 2 ) = 3 ! t h r e e - p h o n o n

s t a t e s , e t c . t o o b t a i n a t o t a l n u m b e r o f

1 + n +

n ( n ? 1 )

2 !

+

n ( n ? 1 ) ( n ? 2 )

3 !

+

n ( n ? 1 ) ( n ? 2 ) ( n ? 3 )

4 !

+ = 2

n

( 5 3 )

s t a t e s . S i n c e n o p h o n o n a p p e a r s m o r e t h a n o n c e , t h e e i g e n v a l u e s o f t h e r e s u l t i n g 2

n

2

n

m a t r i x c a n b e w r i t t e n a s a p p r o p r i a t e c o m b i n a t i o n s o f t h e e i g e n v a l u e s o f n 2 2 m a t r i c e s .

E v e n t h o u g h t h e a p p r o a c h o f C C F U S p r o v i d e s a n e l e g a n t m a t h e m a t i c a l s o l u t i o n t o t h e

m a t r i x d i a g o n a l i z a t i o n p r o b l e m i t i g n o r e s a l l t h e s t a t e s w h e r e t h e s a m e p h o n o n a p p e a r s

m o r e t h a n o n c e , e . g . , t h e d o u b l e - p h o n o n s t a t e s . D a s g u p t a e t a l . ( 1 9 9 2 ) a n d K r u p p a e t a l .

( 1 9 9 3 ) p o i n t e d o u t t h a t i n s o m e c a s e s t h e c o u p l i n g o f a s t a t e l i k e ( b

y

i

)

2

j 0 i t o t h e g r o u n d

s t a t e c a n b e s t r o n g e r t h a n t h e c o u p l i n g o f a s t a t e l i k e b

y

i

b

y

j

j 0 i ; i 6= j . K r u p p a e t a l . ( 1 9 9 3 )

c o n s i d e r e d q u a d r u p o l e a n d o c t u p o l e p h o n o n s , b u t i n c l u d e d t h e i r d o u b l e - p h o n o n s t a t e s a s

w e l l d i a g o n a l i z i n g t h e r e s u l t i n g 6 6 m a t r i x . D a s g u p t a e t a l . ( 1 9 9 2 ) e x c l u d e d a l l m u l t i p l e -

p h o n o n s t a t e s , s o f o r n d i e r e n t t y p e s o f p h o n o n s t h e y n u m e r i c a l l y d i a g o n a l i z e d a n ( n +

1 ) ( n + 1 ) m a t r i x i n s t e a d o f a n a l y t i c a l l y d i a g o n a l i z i n g a n 2

n

2

n

m a t r i x . T h e r e s u l t i n g

s i m p l i e d c o u p l e d c h a n n e l s c o d e i s n a m e d C C M O D ( D a s g u p t a e t a l . , 1 9 9 2 ) . I n C C M O D t h e

w e i g h t f a c t o r s a r e c a l c u l a t e d a t t h e p o s i t i o n o f t h e b a r e b a r r i e r , b u t t h e e n e r g y d e p e n d e n c e

o f R ( E ) i n E q . ( 9 ) i s t a k e n i n t o a c c o u n t u s i n g t h e p r e s c r i p t i o n o f R o w l e y e t a l . ( 1 9 8 9 ) .

E i g e n - c h a n n e l c r o s s s e c t i o n s a r e a g a i n c a l c u l a t e d u s i n g t h e W o n g ' s f o r m u l a .

M a n y e x p e r i m e n t a l i s t s u s e t h e s e s i m p l i e d c o u p l e d c h a n n e l c o d e s . W h e n u s i n g t h e m i t

i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r t h e a p p r o x i m a t i o n s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h s . S o m e

o f t h e s e a p p r o x i m a t i o n s ( c o n s t a n t c o u p l i n g , W o n g ' s f o r m u l a ) l e a d t o a n o v e r e s t i m a t e o f t h e

c r o s s s e c t i o n . S o m e o f t h e i g n o r e d c o u p l i n g s ( e . g . , t h e d o u b l e p h o n o n s t a t e s ) m a y b e v e r y

i m p o r t a n t f o r t h e d y n a m i c s o f t h e a n a l y z e d s y s t e m . W e t h e r e f o r e r e c o m m e n d u s i n g t h e s e

c o d e s o n l y f o r a q u a l i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d a t a a n d s t r o n g l y e n c o u r a g e a u t h o r s t o

u s e f u l l c o u p l e d c h a n n e l c o d e s f o r a n y q u a n t i t a t i v e d e s c r i p t i o n .

F i n a l l y o n e s h o u l d p o i n t o u t t h a t i n t h e l i m i t i n w h i c h t h e i n t r i n s i c e n e r g i e s a r e s m a l l

c o m p a r e d t o t h e c o u p l i n g i n t e r a c t i o n o n e c a n a p p r o x i m a t e E q . ( 3 9 )

M

n m

F ( r ) h n j G ( ) j m i : ( 5 4 )

I n t h i s c a s e i t i s n o t n e c e s s a r y t o r e q u i r e t h e c o u p l i n g t o b e c o n s t a n t . T h e t r a n s f o r m a t i o n

a m p l i t u d e b e t w e e n t h e g r o u n d s t a t e a n d t h e e i g e n - c h a n n e l s l a b e l e d b y i s t h e g r o u n d s t a t e

w a v e f u n c t i o n y i e l d i n g t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y

T

r m t o t a l

=

Z

d j ( ) j

2

T E ; V ( r ) + F ( r ) G ( ) ] ; ( 5 5 )

w h e r e T E ; V ( r ) + F ( r ) G ( ) ] i s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y f o r t h e p o t e n t i a l V ( r ) + F ( r ) G ( )

c a l c u l a t e d a t e n e r g y E .

C . P a t h I n t e g r a l A p p r o a c h

A n a l t e r n a t i v e f o r m u l a t i o n o f t h e m u l t i d i m e n s i o n a l q u a n t u m t u n n e l i n g i s g i v e n b y t h e

p a t h i n t e g r a l f o r m a l i s m ( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ) . F o r t h e H a m i l t o n i a n g i v e n i n E q .

1 4



( 3 3 ) t h e p r o p a g a t o r t o g o f r o m a n i n i t i a l s t a t e c h a r a c t e r i z e d b y r e l a t i v e r a d i a l c o o r d i n a t e

( t h e m a g n i t u d e o f r ) r

i

a n d i n t e r n a l q u a n t u m n u m b e r s n

i

t o a n a l s t a t e c h a r a c t e r i z e d b y

t h e r a d i a l p o s i t i o n r

f

a n d t h e i n t e r n a l q u a n t u m n u m b e r s n

f

m a y b e w r i t t e n a s

K ( r

f

; n

f

; T ; r

i

; n

i

; 0 ) =

Z

D r ( t ) ] e

i

h

S ( r ; T )

W

n

f

n

i

( r ( t ) ; T ) ; ( 5 6 )

w h e r e S ( r ; T ) i s t h e a c t i o n f o r t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n a n d W

n

f

n

i

i s t h e p r o p a g a t o r f o r t h e

i n t e r n a l s y s t e m a l o n g a g i v e n p a t h o f t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n :

W

n

f

n

i

( r ; T ) =

D

n

f

̂

U

i n t

( r ( t ) ; T )

n

i

E

: ( 5 7 )

̂

U

i n t

s a t i s e s t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n

i h

@

̂

U

i n t

@ t

= H

0

+ H

i n t

]

̂

U

i n t

; ( 5 8 )

̂

U

i n t

( t = 0 ) = 1 : ( 5 9 )

W e w a n t t o c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e r

i

a n d r

f

a r e o n o p p o s i t e s i d e s o f t h e b a r r i e r . I n t h e

l i m i t w h e n t h e i n i t i a l a n d n a l s t a t e s a r e f a r a w a y f r o m t h e b a r r i e r , t h e t r a n s i t i o n a m p l i t u d e

i s g i v e n b y t h e S - m a t r i x e l e m e n t , w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e p r o p a g a t o r a s

( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 )

S

n

f

; n

i

( E ) = ?

1

i h

l i m

r

i

! 1

r

f

! ? 1

p

i

p

f

2

!

1

2

e x p

i

h

( p

f

r

f

? p

i

r

i

)

1

Z

0

d T e

+ i E T = h

K ( r

f

; n

f

; T ; r

i

; n

i

; 0 ) ; ( 6 0 )

w h e r e p

i

a n d p

f

a r e t h e c l a s s i c a l m o m e n t a a s s o c i a t e d w i t h r

i

a n d r

f

. I n h e a v y i o n f u s i o n

w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y i n w h i c h t h e i n t e r n a l s y s t e m e m e r g e s i n a n y

n a l s t a t e . F o r t h e ̀ t h p a r t i a l w a v e , t h i s i s

T

̀

( E ) =

X

n

f

j S

n

f

; n

i

( E ) j

2

; ( 6 1 )

w h i c h b e c o m e s , u p o n s u b s t i t u t i n g E q s . ( 5 7 ) a n d ( 6 0 ) ,

T

̀

( E ) = l i m

r

i

! 1

r

f

! ? 1

p

i

p

f

2

!

1

Z

0

d T e x p

i

h

E T

1

Z

0

e

T e x p

?

i

h

E

e

T

Z

D r ( t ) ]

Z

D ~ r (

~

t ) ] e x p

i

h

( S ( r ; T ) ? S ( ~ r ;

e

T ) )

M

( ~ r (

~

t ) ;

e

T ; r ( t ) ; T ) : ( 6 2 )

H e r e w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e e n e r g y d i s s i p a t e d t o t h e i n t e r n a l s y s t e m i s s m a l l c o m p a r e d t o

t h e t o t a l e n e r g y a n d t a k e n p

f

o u t s i d e t h e s u m o v e r n a l s t a t e s . W e i d e n t i e d t h e t w o - t i m e

i n u e n c e f u n c t i o n a l a s

M

( ~ r (

~

t ) ;

e

T ; r ( t ) ; T ) =

X

n

f

W

n

f

; n

i

( ~ r (

~

t ) ;

e

T ; 0 ) W

n

f

; n

i

( r ( t ) ; T ; 0 ) : ( 6 3 )

1 5



U s i n g t h e c o m p l e t e n e s s o f n a l s t a t e s , w e c a n s i m p l i f y t h i s e x p r e s s i o n t o w r i t e

M

( ~ r (

~

t ) ;

e

T ; r ( t ) ; T ) =

D

n

i

̂

U

y

i n t

( ~ r (

~

t ) ;

~

T )

̂

U

i n t

( r ( t ) ; T )

n

i

E

: ( 6 4 )

E q . ( 6 4 ) s h o w s t h e u t i l i t y o f t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l m e t h o d w h e n t h e i n t e r n a l s y s t e m h a s

s y m m e t r y p r o p e r t i e s . I f t h e H a m i l t o n i a n i n E q . ( 5 8 ) h a s a d y n a m i c a l o r s p e c t r u m g e n e r a t i n g

s y m m e t r y , i . e . , i f i t c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e C a s i m i r o p e r a t o r s a n d g e n e r a t o r s o f a

g i v e n L i e a l g e b r a , t h e n t h e s o l u t i o n o f E q . ( 5 8 ) i s a n e l e m e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n g L i e g r o u p

( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ) . C o n s e q u e n t l y t h e t w o t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l o f E q .

( 6 4 ) i s s i m p l y a d i a g o n a l g r o u p m a t r i x e l e m e n t f o r t h e l o w e s t - w e i g h t s t a t e a n d i t c a n b e

e v a l u a t e d u s i n g s t a n d a r d g r o u p - t h e o r e t i c a l m e t h o d s . T h i s i s e x a c t l y t h e r e a s o n w h y t h e

p a t h i n t e g r a l m e t h o d i s v e r y c o n v e n i e n t w h e n t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e i s r e p r e s e n t e d b y a n

a l g e b r a i c m o d e l s u c h a s t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l .

T w o - t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l s c a n b e c a l c u l a t e d e x a c t l y f o r o n l y a l i m i t e d n u m b e r o f

s y s t e m s . O n e o f t h e s e i s a h a r m o n i c o s c i l l a t o r , l i n e a r l y c o u p l e d t o t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n .

I n t h i s c a s e t h e H a m i l t o n i a n i s

H = ?

h

2

2

0

@

2

@ r

2

+ V

0

( r ) + ( a

y

a +

1

2

) h ! +

0

f ( r ) ( a + a

y

) ; ( 6 5 )

w h e r e

0

i s t h e b a r e m a s s o f t h e m a c r o s c o p i c m o t i o n a n d V

0

( r ) i s t h e b a r e p o t e n t i a l . T h e

a

y

( a ) , ! , m a n d f ( r ) a r e t h e c r e a t i o n ( a n n i h i l a t i o n ) o p e r a t o r s o f t h e o s c i l l a t o r q u a n t a , t h e

f r e q u e n c y a n d t h e m a s s p a r a m e t e r o f t h e o s c i l l a t o r a n d t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r , r e s p e c t i v e l y .

T h e q u a n t i t y

0

= h = 2 m ! ]

1 = 2

r e p r e s e n t s t h e a m p l i t u d e o f t h e z e r o - p o i n t m o t i o n o f t h e

h a r m o n i c o s c i l l a t o r . T h e t w o t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l

M

r e e c t s t h e e e c t s o f c o u p l i n g t o

t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r a n d i s g i v e n b y

M

(

e

r (

~

t ) ;

e

T ; r ( t ) ; T ) = e x p ?

i

2

! ( T ?

e

T ) ] e x p f ?

2

0

h

2

( y

1

+ y

2

+ y

3

) g ( 6 6 )

w i t h

y

1

=

Z

T

0

d t

Z

t

0

d s f ( r ( t ) ) f ( r ( s ) ) e

? i ! ( t ? s )

y

2

=

Z

e

T

0

d

~

t

Z

~

t

0

d ~ s f (

e

r (

~

t ) ) f (

e

r ( ~ s ) ) e

i ! (

~

t ? ~ s )

y

3

= ? e

i ! (

e

T ? T )

Z

T

0

d t f ( r ( t ) ) e

i ! t

Z

e

T

0

d

~

t f (

e

r (

~

t ) ) e

? i !

~

t

: ( 6 7 )

A n e x a c t c a l c u l a t i o n o f t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l i s p o s s i b l e i n t h i s c a s e b e c a u s e o f t h e s y m -

m e t r y o f t h e H a m i l t o n i a n u n d e r t h e H e i s e n b e r g - W e y l a l g e b r a .

D . A d i a b a t i c a n d S u d d e n T u n n e l i n g

W e c a n d i s c u s s t h e e e c t s o f c o u p l i n g s b e t w e e n n u c l e a r s t r u c t u r e a n d t r a n s l a t i o n a l m o t i o n

i n t w o l i m i t i n g c a s e s . T h e r s t c a s e i s t h e s u d d e n l i m i t i n w h i c h t h e e n e r g y l e v e l s o f t h e

i n t e r n a l s y s t e m a r e d e g e n e r a t e . T h e s e c o n d c a s e i s t h e a d i a b a t i c l i m i t i n w h i c h t h e e n e r g y

1 6



o f t h e r s t e x c i t e d s t a t e o f t h e s y s t e m i s v e r y l a r g e s o t h a t t h e i n t e r n a l s y s t e m e m e r g e s i n

t h e g r o u n d s t a t e a t t h e o t h e r s i d e o f t h e b a r r i e r .

S e v e r a l e x a m p l e s a r e w o r k e d o u t e x p l i c i t l y b y B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a ( 1 9 8 5 ) , t o w h i c h

t h e r e a d e r i s r e f e r r e d f o r f u r t h e r d e t a i l s . I t c a n b e s h o w n t h a t i n t h e s u d d e n l i m i t , t h e t o t a l

t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i s g i v e n b y a n i n t e g r a l o f t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s f o r a x e d v a l u e

o f t h e i n t e r n a l c o o r d i n a t e , w i t h t h e w e i g h t o f t h e i n t e g r a t i o n g i v e n b y t h e d i s t r i b u t i o n o f

t h e i n t e r n a l c o o r d i n a t e i n i t s g r o u n d s t a t e . F o r e x a m p l e f o r t h e l i n e a r l y - c o u p l e d h a r m o n i c

o s c i l l a t o r a s t h e e x c i t a t i o n e n e r g y g e t s s m a l l e r , ! ! 0 , t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l o f E q . ( 6 6 )

t a k e s t h e f o r m

M

(

e

r (

~

t ) ;

e

T ; r ( t ) ; T ) = e x p

?

2

0

2 h

2

Z

T

0

d t f ( r ( t ) ) ?

Z

e

T

0

d

~

t f (

e

r (

~

t ) ) ]

2

!

: ( 6 8 )

U s i n g t h e i n t e g r a l

Z

1

? 1

d x e

? ( a x

2

+ b x )

=

r

a

e

b

2

= 4 a

( 6 9 )

w e c a n r e w r i t e t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l a s

M

(

e

r (

~

t ) ;

e

T ; r ( t ) ; T ) =

S

(

e

r (

~

t ) ;

e

T ; r ( t ) ; T )

1

0

p

2

Z

1

? 1

d e

?

1

2

(

0

)

2

e x p

?

i

h

Z

T

0

d t f ( r ( t ) ) ?

Z

e

T

0

d

~

t f (

e

r (

~

t ) ) ]

!

( 7 0 )

w h e r e t h e l o w e r s u x s s t a n d s f o r s u d d e n t u n n e l i n g . I n s e r t i n g t h i s e x p r e s s i o n i n t o E q . ( 6 2 )

o n e o b t a i n s

T ( E ) =

1

p

2

Z

+ 1

? 1

d x e

? x

2

= 2

T

0

( E ; V

0

( r ) + x

0

f ( r ) ) ; ( 7 1 )

w h e r e T

0

( E ; V

0

( r ) + x f ( r ) ) i s t h e p r o b a b i l i t y o f t u n n e l i n g t h r o u g h t h e o n e - d i m e n s i o n a l b a r -

r i e r V

0

( r ) + x f ( r ) a t e n e r g y E . T h i s e x p r e s s i o n i s k n o w n a s t h e z e r o p o i n t m o t i o n f o r m u l a

a n d w a s r s t d e r i v e d b y E s b e n s e n ( E s b e n s e n , 1 9 8 1 ) . T h i s r e s u l t c a n a l s o b e d e r i v e d e i t h e r

u s i n g t h e c o u p l e d - c h a n n e l s f o r m a l i s m ( c f . S e c t i o n I I I B ) o r u s i n g G r e e n ' s f u n c t i o n s ( T a k i -

g a w a e t a l . , 1 9 9 2 a ) . S i m i l a r l y , i f t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n c o u p l e s t o a v e r y s l o w r o t a t i o n a l

m o t i o n t h r o u g h a c o u p l i n g H a m i l t o n i a n g i v e n b y

H

i n t

=

s

5

4

P

2

( c o s ) f ( r ) ( 7 2 )

t h e n t h e n e t t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y i s o b t a i n e d b y r s t c a l c u l a t i n g t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y

f o r a x e d o r i e n t a t i o n o f t h e p r i n c i p a l a x i s o f t h e d e f o r m e d n u c l e u s , a n d t h e n t a k i n g a v e r a g e

o v e r a l l o r i e n t a t i o n s

T ( E ) =

Z

1

0

d c o s T

0

0

@

E ; V

0

( r ) +

s

5

4

P

2

( c o s ) f ( r )

1

A

: ( 7 3 )

1 7



T h i s f o r m u l a w a s r s t d e r i v e d b y C h a s e e t a l . ( 1 9 5 8 ) i n t h e s t u d y o f s c a t t e r i n g o f r o t a t i o n a l

n u c l e i i n t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n . S y s t e m a t i c s o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s o f

1 6

O w i t h a

s e r i e s o f S m i s o t o p e s , r a n g i n g f r o m v i b r a t i o n a l t o r o t a t i o n a l , w a s r s t g i v e n b y S t o k s t a d a n d

G r o s s ( 1 9 8 1 ) u s i n g E q . ( 7 3 ) .

I n a c t u a l c a l c u l a t i o n s , b o t h v i b r a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n s a r e t r u n c a t e d a t n i t e

e x c i t e d s t a t e s . I n t h e s e c a s e s , t h e H e r m i t e a n d t h e G a u s s i n t e g r a l s i n E q s . ( 7 1 ) a n d ( 7 3 ) a r e

r e p l a c e d b y t h e H e r m i t e a n d t h e G a u s s q u a d r a t u r e s , r e s p e c t i v e l y ( N a g a r a j a n e t a l . , 1 9 8 6 ) .

Z e r o p o i n t m o t i o n f o r m u l a e t h e n h a v e a s i m p l e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n : I n t h i s a p p r o x i -

m a t i o n f u s i o n o f a d e f o r m e d n u c l e u s w i t h a n i t e n u m b e r ( N ) o f l e v e l s c a n b e d e s c r i b e d b y

s a m p l i n g N o r i e n t a t i o n s w i t h t h e i r r e s p e c t i v e w e i g h t s :

( E ) =

N

X

i = 1

!

i

( E ; V

0

( R ) +

i

f ( r ) ) ; ( 7 4 )

w h e r e

P

N

i = 1

!

i

= 1 . F o r e x a m p l e , i n a t w o - l e v e l s y s t e m , t h e o r i e n t a t i o n s

1

= 7 0 : 1 2

o

a n d

2

= 3 0 : 5 5

o

c o n t r i b u t e w i t h w e i g h t f a c t o r s !

1

= 0 : 6 5 2 a n d !

1

= 0 : 3 4 8 , r e s p e c t i v e l y , a s

i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 7 .

W h e n b o t h t a r g e t a n d p r o j e c t i l e a r e h e a v y a n d d e f o r m e d o n e n e e d s a m o d e l d e s c r i b i n g

m a c r o s c o p i c p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e s f o r a r b i t r a r i l y o r i e n t e d , d e f o r m e d h e a v y i o n s . S u c h

a m o d e l d e s c r i b i n g c o m p l e t e l y g e n e r a l c o n g u r a t i o n s o f t w o s e p a r a t e d n u c l e i i s g i v e n b y

M o l l e r a n d I w a m o t o ( 1 9 9 4 ) .

I n t h e a d i a b a t i c l i m i t , i . e . , t h a t o f s l o w t u n n e l i n g , o n e c a n i n t r o d u c e ( B a l a n t e k i n a n d

T a k i g a w a , 1 9 8 5 ) a n = ! e x p a n s i o n , ! a n d b e i n g t h e f r e q u e n c i e s o f t h e i n t e r n a l m o t i o n a n d

t h e t u n n e l i n g b a r r i e r , r e s p e c t i v e l y . I n t h i s l i m i t t h e e e c t s o f t h e c o u p l i n g t o i n t e r n a l d e g r e e s

o f f r e e d o m c a n b e r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f e n e r g y - i n d e p e n d e n t p o t e n t i a l r e n o r m a l i z a t i o n

( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ; M u l l e r a n d T a k i g a w a , 1 9 8 7 ) :

V

0

( r ) ! V

a d

= V

0

( r ) ?

2

0

f

2

( r ) = h ! ; ( 7 5 )

a n d a m a s s r e n o r m a l i z a t i o n ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 4 a )

0

!

a d

=

0

+ 2

2

0

h !

1

!

2

d f

d r

!

2

: ( 7 6 )

T h i s l i m i t i s v e r y c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s i t u a t i o n i n v e s t i g a t e d b y C a l d e i r a a n d L e g g e t t ( 1 9 8 3 )

i n t h e i r s t u d y o f m u l t i d i m e n s i o n a l q u a n t u m t u n n e l i n g . I n t h e C a l d e i r a - L e g g e t t f o r m a l i s m

t h e t e r m w h i c h r e n o r m a l i z e s t h e p o t e n t i a l i n E q . ( 7 5 ) i s a d d e d t o t h e L a g r a n g i a n a s a

c o u n t e r - t e r m . N o t e t h a t t h e c o r r e c t i o n t e r m t o t h e p o t e n t i a l i s t h e w e l l - k n o w n p o l a r i z a t i o n

p o t e n t i a l a n d t h e c o r r e c t i o n t e r m t o t h e m a s s i s t h e c r a n k i n g m a s s . H e n c e a p p r o p r i a t e

g e n e r a l i z a t i o n s o f E q s . ( 7 5 ) a n d ( 7 6 ) h o l d n o t o n l y f o r a l i n e a r l y - c o u p l e d o s c i l l a t o r , b u t f o r

a n y s y s t e m ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 4 a ) . E e c t s o f t h e p o l a r i z a t i o n p o t e n t i a l o n t h e s u b b a r r i e r

f u s i o n c r o s s s e c t i o n w e r e e l u c i d a t e d b y T a n i m u r a e t a l . ( 1 9 8 5 ) .

T y p i c a l l y a d i a b a t i c b a r r i e r a l o n e o v e r p r e d i c t s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y . W e c a n

d e m o n s t r a t e t h i s f o r t h e c o n s t a n t c o u p l i n g c a s e (

a d

=

0

) u s i n g t h e e x a c t c o u p l e d - c h a n n e l s

r e s u l t o f E q . ( 4 5 )

T

c c

( E ) =

1

X

n = 0

1

n !

0

f

h !

!

2 n

e x p ( ?

2

0

f

2

= ( h ! )

2

) T

E ? n h ! +

2

0

f

2

h !

!

: ( 7 7 )

1 8



I n s e r t i n g t h e i n e q u a l i t y

T

E ? n h ! +

2

0

f

2

h !

!

T

E +

2

0

f

2

h !

!

: ( 7 8 )

i n t o E q . ( 7 7 ) w e g e t

T

c c

( E ) T

a d i a b a t i c

( E ) : ( 7 9 )

W e s h o u l d e m p h a s i z e t h a t i n t h e a d i a b a t i c l i m i t b o t h t h e p o t e n t i a l a n d t h e m a s s r e n o r -

m a l i z a t i o n s h o u l d b e c o n s i d e r e d t o g e t h e r . M a n y a u t h o r s r e f e r t o u s i n g o n l y t h e a d i a b a t i c

p o t e n t i a l a s t h e a d i a b a t i c l i m i t . W h i l e f o r c o n s t a n t c o u p l i n g i t i s t r u e t h a t

a d

=

0

, i n

m o s t c a s e s o f i n t e r e s t t o n u c l e a r f u s i o n t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r s r a p i d l y c h a n g e n e a r t h e

b a r r i e r a n d t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e a d i a b a t i c m a s s a n d t h e b a r e m a s s c a n g e t v e r y l a r g e .

I n t h e s e c a s e s , u s i n g t h e a d i a b a t i c c o r r e c t i o n t o t h e m a s s i n a d d i t i o n t o t h e a d i a b a t i c p o -

t e n t i a l , e v e n t h o u g h t h e f o r m e r i s i n t h e n e x t o r d e r i n 1 = ! a s c o m p a r e d t o t h e l a t t e r , c a n

s i g n i c a n t l y r e d u c e t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y t o v a l u e s b e l o w t h e e x a c t c o u p l e d - c h a n n e l s

r e s u l t ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 4 a ) .

A d i a b a t i c a n d s u d d e n a p p r o x i m a t i o n s a r e v e r y u s e f u l f o r o b t a i n i n g a n a l y t i c a l r e s u l t s

w h i c h p r o v i d e a c o n c e p t u a l f r a m e w o r k f o r u n d e r s t a n d i n g t h e f u s i o n p r o c e s s . F o r d e f o r m e d

n u c l e i , w h e r e t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s a r e v e r y l o w , s u d d e n a p p r o x i m a t i o n p r o v i d e s a r e a s o n -

a b l y g o o d d e s c r i p t i o n o f t h e d a t a . I n c a s e o f r o t a t i o n - v i b r a t i o n c o u p l i n g , s u d d e n a p p r o x i -

m a t i o n c a n b e u t i l i z e d t o r e d u c e t h e s i z e o f t h e c h a n n e l c o u p l i n g .

I f t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s o f t h e i n t e r n a l s y s t e m a r e l a r g e t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n t e n d s

t o o v e r e s t i m a t e t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y a t e n e r g i e s w e l l b e l o w t h e b a r r i e r . I n d e e d E s b e n s e n

e t a l . ( 1 9 8 3 ) s h o w e d t h a t a t b e l o w t h e b a r r i e r e n e r g i e s s u d d e n a p p r o x i m a t i o n p r o v i d e s a n

u p p e r l i m i t t o t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y . U s i n g t h e p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h H a g i n o e t a l .

( 1 9 9 5 b ) s h o w e d t h a t , f o r a n e a r l y d e g e n e r a t e s y s t e m , t h e n i t e e x c i t a t i o n e n e r g y l e a d s t o

a m u l t i p l i c a t i v e d i s s i p a t i o n f a c t o r w h i c h r e d u c e s t h e b a r r i e r p e n e t r a b i l i t y e s t i m a t e d i n t h e

s u d d e n l i m i t . T h i s l a t t e r r e s u l t a l s o p r o v i d e s a g o o d e x a m p l e o f t h e u t i l i t y o f t h e p a t h i n t e g r a l

m e t h o d . A s w e m e n t i o n e d e a r l i e r f o r H a m i l t o n i a n s w r i t t e n i n t e r m s o f t h e g e n e r a t o r s o f a

L i e a l g e b r a p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h i s e s p e c i a l l y c o n v e n i e n t a s i n t e g r a l s o v e r p a t h s b e c o m e

i n t e g r a l s o v e r t h e g r o u p m a n i f o l d a n d t h u s a r e a m e n a b l e t o t h e s t a n d a r d g r o u p t h e o r e t i c a l

t e c h n i q u e s . A n e x a m p l e f o r t h i s i s t h e t r e a t m e n t o f t h e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s i n s u b b a r r i e r

f u s i o n w i t h t h e i n t e r a c t i n g b o s o n m o d e l d i s c u s s e d i n S e c t i o n I V . F i n a l l y c o u p l e d c h a n n e l

t e c h n i q u e s a r e n o t p r a c t i c a l a s t h e n u m b e r o f c h a n n e l s g e t s v e r y l a r g e , e . g . , f o r t u n n e l i n g

p r o b l e m s a t n i t e t e m p e r a t u r e . O n t h e o t h e r h a n d f o r n i t e t e m p e r a t u r e p r o b l e m s p a t h

i n t e g r a l t e c h n i q u e s c a n e a s i l y b e a p p l i e d ( s e e e . g . , A b e a n d T a k i g a w a ( 1 9 8 8 ) w h e r e p a r t i c l e

d e c a y f r o m a h o t c o m p o u n d n u c l e u s i s i n v e s t i g a t e d a n d t h e t h e r m a l u c t u a t i o n o f t h e n u c l e a r

s u r f a c e i s s h o w n t o a m p l i f y t h e d y n a m i c a l e e c t ) .

E . I n t e r m e d i a t e C a s e s - D y n a m i c a l N o r m M e t h o d

I n t h e i n t e r m e d i a t e c a s e s b e t w e e n t h e s u d d e n a n d t h e a d i a b a t i c t u n n e l i n g , t h e e e c t s o f

t h e e n v i r o n m e n t i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d t o i l l u s t r a t e i n s i m p l e p h y s i c a l t e r m s . T h e d y n a m i c a l

n o r m m e t h o d ( B r i n k , 1 9 8 5 b ; T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 5 b ) i s a t e c h n i q u e i n t r o d u c e d t o g i v e a n

1 9



i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e e e c t s o f t h e e n v i r o n m e n t i n t h e i n t e r m e d i a t e c a s e s . D e n i n g

t h e a d i a b a t i c b a s i s b y

H

0

( ) + H

i n t

( ; r ( t ) ) ]

n

( r ( t ) ; ) h ( r ( t ) ; )

n

( r ( t ) ; ) =

n

( r ( t ) )

n

( r ( t ) ; ) : ( 8 0 )

I n t h e s a m e s p i r i t a s t h e W K B a p p r o x i m a t i o n f o r a p o t e n t i a l m o d e l , f o r t h e t o t a l w a v e

f u n c t i o n o n e c a n t a k e t h e a n s a t z

( r ; ) = ( r ; )

d W

d r

!

? 1 = 2

e

i W ( r ) = h

: ( 8 1 )

H e r e t h e p a r a m e t e r

2

i s 1 a n d ? 1 i n c l a s s i c a l l y a l l o w e d a n d i n c l a s s i c a l l y f o r b i d d e n r e g i o n s ,

r e s p e c t i v e l y a n d t h e a c t i o n o b e y s t h e H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n

2

2

0

d W

d r

!

2

+ V

a d

( r ) = E ( 8 2 )

w h e r e V

a d

i s t h e a d i a b a t i c p o t e n t i a l d e n e d b y

V

a d

( r ) = V

0

( R ) +

0

( r ) : ( 8 3 )

O n e c a n t h e n d e r i v e a n a p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n w h e r e t h e n e t t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y i s g i v e n

b y t h e p r o d u c t o f t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y t h r o u g h t h e a d i a b a t i c p o t e n t i a l b a r r i e r a n d a

m u l t i p l i c a t i v e f a c t o r w h i c h r e p r e s e n t s t h e n o n - a d i a b a t i c e e c t o f t h e i n t r i n s i c d e g r e e s o f

f r e e d o m :

T = T

0

( E ; V

a d

) N (

b

)

N ( ) =

Z

d j ( r ( ) ; ) j

2

; ( 8 4 )

w h e r e

b

i s t h e t i m e w h e n t h e t u n n e l i n g p r o c e s s i s c o m p l e t e d . N o t e t h a t i n t h i s a p p r o x i -

m a t i o n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i n E q . ( 8 4 ) i s c a l c u l a t e d w i t h t h e b a r e m a s s , n o t t h e

r e n o r m a l i z e d m a s s o f E q . ( 7 6 ) . O n e c a n e a s i l y s h o w t h a t N 1 . T h i s m e a n s t h a t t h e t r a n s -

m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a l c u l a t e d w i t h t h e a d i a b a t i c p o t e n t i a l i s a l w a y s g r e a t e r t h a n t h e a c t u a l

t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y . T h e d e v i a t i o n o f N f r o m 1 g i v e s t h e m e a s u r e o f n o n - a d i a b a t i c i t y

o f t h e t u n n e l i n g p r o c e s s .

O n e w a y t o d e t e r m i n e t h e d y n a m i c a l n o r m f a c t o r , N , i s t o r s t e x p a n d ( r ; ) i n t h e

b a s i s o f t h e a d i a b a t i c s t a t e s

n

( r ( ) ; )

( r ; ) =

X

n

a

n

( )

n

( r ( ) ; ) ( 8 5 )

a n d t h e n d e t e r m i n e t h e e x p a n s i o n c o e c i e n t s a

n

b y s o l v i n g t h e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s

_a

n

( )

? _r ( )

X

m 6= n

a

m

( )

1

n

( r ( ) ) ?

m

( r ( ) )

<

n

j

@

~

h

@ r

j

m

> = ?

1

h

~

n

( r ( ) ) a

n

( ) ( 8 6 )

2 0



w i t h ~

n

=

n

( r ( ) ) ?

0

( r ( ) ) . N o t e t h a t E q . ( 8 6 ) i s c o r r e c t t o d e s c r i b e a c l a s s i c a l l y f o r b i d d e n

r e g i o n . O n e n e e d s t o m o d i f y i t w i t h i n o r d e r t o d e s c r i b e a c l a s s i c a l l y a l l o w e d r e g i o n . A s

a n e x a m p l e , o n e c a n c o n s i d e r t h e l i n e a r l y - c o u p l e d o s c i l l a t o r w i t h t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r

g i v e n b y f ( r ) = c r . A s s u m i n g t h a t t h e t u n n e l i n g p a t h i s g i v e n b y t ( ) = R

0

s i n ( ) , R

0

b e i n g t h e l e n g t h o f t h e t u n n e l i n g r e g i o n , w e o b t a i n

N (

b

) e x p

(

?

2

c

0

R

0

h !

2

!

)

( 8 7 )

E q . ( 8 7 ) s h o w s t h a t t h e a d i a b a t i c i t y o f t h e t u n n e l i n g p r o c e s s i s g o v e r n e d n o t o n l y b y a

p a r a m e t e r = ! , b u t a l s o o n t h e c o u p l i n g s t r e n g t h a n d o n t h e l e n g t h o f t h e t u n n e l i n g r e g i o n .

T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 5 b ) a p p l i e d t h e d y n a m i c a l n o r m m e t h o d t o s p o n t a n e o u s s s i o n o f

2 3 4

U .

I V . D E S C R I P T I O N O F N U C L E A R S T R U C T U R E E F F E C T S B Y T H E

I N T E R A C T I N G B O S O N M O D E L

A n a l g e b r a i c n u c l e a r s t r u c t u r e m o d e l s i g n i c a n t l y s i m p l i e s e v a l u a t i o n o f t h e p a t h i n -

t e g r a l . T h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l ( I B M ) o f A r i m a a n d I a c h e l l o ( I a c h e l l o a n d A r i m a ,

1 9 8 7 ) i s o n e s u c h m o d e l w h i c h h a s b e e n s u c c e s s f u l l y e m p l o y e d t o d e s c r i b e t h e p r o p e r t i e s o f

l o w - l y i n g c o l l e c t i v e s t a t e s i n m e d i u m - h e a v y n u c l e i . I n t h i s s e c t i o n , a t t e m p t s t o u s e t h e I B M

i n d e s c r i b i n g n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s o n f u s i o n a r e r e v i e w e d . T h e p a t h i n t e g r a l f o r m u l a t i o n

o f t h i s p r o b l e m , a s s k e t c h e d i n t h e n e x t s e c t i o n , r e q u i r e s a n a l y t i c s o l u t i o n s f o r t h e n u c l e a r

w a v e f u n c t i o n s . I n t h e r s t a t t e m p t t o u s e t h e I B M t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s

i n s u b b a r r i e r f u s i o n , t h e S U ( 3 ) l i m i t o f t h e I B M w a s e m p l o y e d ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 1 ) .

H o w e v e r , t h e S U ( 3 ) l i m i t c o r r e s p o n d s t o a r i g i d n u c l e u s w i t h a p a r t i c u l a r q u a d r u p o l e d e f o r -

m a t i o n a n d n o h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n , a s i t u a t i o n w h i c h i s n o t r e a l i z e d i n m o s t d e f o r m e d

n u c l e i . T h u s a n a l y t i c s o l u t i o n s a w a y f r o m t h e l i m i t i n g s y m m e t r i e s o f t h e I B M a r e n e e d e d

f o r r e a l i s t i c c a l c u l a t i o n s o f s u b b a r r i e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s .

I n a p a r a l l e l d e v e l o p m e n t , a 1 / N e x p a n s i o n w a s i n v e s t i g a t e d ( K u y u c a k a n d M o r r i s o n ,

1 9 8 8 ; K u y u c a k a n d M o r r i s o n , 1 9 9 0 ; K u y u c a k a n d M o r r i s o n , 1 9 9 1 ) f o r t h e I B M w h i c h p r o -

v i d e d a n a l y t i c s o l u t i o n s f o r a g e n e r a l H a m i l t o n i a n w i t h a r b i t r a r y k i n d s o f b o s o n s . T h i s

t e c h n i q u e p r o v e d u s e f u l i n a v a r i e t y o f n u c l e a r s t r u c t u r e p r o b l e m s w h e r e d i r e c t n u m e r i c a l

c a l c u l a t i o n s a r e p r o h i b i t i v e l y d i c u l t . L a t e r i t w a s a p p l i e d t o m e d i u m e n e r g y p r o t o n s c a t -

t e r i n g f r o m c o l l e c t i v e n u c l e i ( K u y u c a k a n d M o r r i s o n , 1 9 8 9 ) i n t h e G l a u b e r a p p r o x i m a t i o n ,

g e n e r a l i z i n g t h e e a r l i e r w o r k d o n e u s i n g t h e S U ( 3 ) l i m i t ( G i n o c c h i o e t a l . , 1 9 8 6 ) . U s i n g t h e

1 / N e x p a n s i o n t e c h n i q u e i n t h e p a t h i n t e g r a l f o r m u l a t i o n o f t h e f u s i o n p r o b l e m ( B a l a n t e k i n

e t a l . , 1 9 9 2 ) m a k e s i t p o s s i b l e t o g o a w a y f r o m t h e t h r e e s y m m e t r y l i m i t s o f t h e I B M . I n

p a r t i c u l a r a r b i t r a r y q u a d r u p o l e a n d h e x a d e c a p o l e c o u p l i n g s c a n b e i n t r o d u c e d .

A . L i n e a r C o u p l i n g

W e t a k e H

i n t

i n E q . ( 3 3 ) t o b e o f t h e f o r m o f t h e m o s t g e n e r a l o n e - b o d y t r a n s i t i o n

o p e r a t o r f o r t h e I B M ,

H

i n t

=

X

k j ̀

k j ̀

( r )

h

b

y

j

~

b

̀

i

( k )

Y

( k )

( ̂ r ) ; ( 8 8 )

2 1



w h e r e t h e b o s o n o p e r a t o r s a r e d e n o t e d b y b

̀

a n d b

y

j

. T h e k s u m r u n s o v e r k = 2 ; 4 ; : : : 2 ̀

m a x

.

O d d v a l u e s o f k a r e e x c l u d e d a s a c o n s e q u e n c e o f t h e r e e c t i o n s y m m e t r y o f t h e n u c l e a r

s h a p e , a n d t h e k = 0 t e r m i s a l r e a d y i n c l u d e d i n t h e b a r e p o t e n t i a l V

0

( r ) . T h e f o r m

f a c t o r s

k j ̀

( r ) r e p r e s e n t t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f t h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e i n t r i n s i c a n d

t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s . T h e i n t e r a c t i o n t e r m g i v e n i n E q . ( 8 8 ) i s a n e l e m e n t o f t h e S U ( 6 )

a l g e b r a f o r t h e o r i g i n a l f o r m o f t h e I n t e r a c t i o n B o s o n M o d e l w i t h s a n d d b o s o n s a n d i s

a n e l e m e n t o f t h e S U ( 1 5 ) a l g e b r a w h e n g b o s o n s a r e i n c l u d e d a s w e l l ( I a c h e l l o a n d A r i m a ,

1 9 8 7 ) .

T o s i m p l i f y t h e c a l c u l a t i o n o f t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l , w e u s e t h e n o - C o r i o l i s a p p r o x i m a -

t i o n . W e r s t p e r f o r m a r o t a t i o n a t e a c h i n s t a n t t o a f r a m e i n w h i c h t h e z - a x i s p o i n t s a l o n g

t h e d i r e c t i o n o f r e l a t i v e m o t i o n . N e g l e c t i n g t h e r e s u l t i n g c e n t r i f u g a l a n d C o r i o l i s t e r m s i n

t h i s r o t a t i n g f r a m e i s e q u i v a l e n t t o i g n o r i n g t h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f t h e o r i g i n a l H a m i l -

t o n i a n . I n t h i s a p p r o x i m a t i o n , t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r s b e c o m e i n d e p e n d e n t o f ̀ a n d o n l y

m = 0 m a g n e t i c s u b - s t a t e s o f t h e t a r g e t a r e e x c i t e d ( T a k i g a w a a n d I k e d a , 1 9 8 6 ; T a n i m u r a ,

1 9 8 7 ; E s b e n s e n e t a l . , 1 9 8 7 ) . F o r h e a v y s y s t e m s t h e n e g l e c t e d c e n t r i f u g a l a n d C o r i o l i s f o r c e s

a r e s m a l l . W e t a k e t h e s c a t t e r i n g t o b e i n t h e x - y p l a n e . T h e n m a k i n g a r o t a t i o n t h r o u g h

t h e E u l e r a n g l e s

̂

b = ( ; = 2 ; 0 ) , w e c a n w r i t e t h e f u l l H a m i l t o n i a n a s t h e r o t a t i o n o f a

s i m p l e r H a m i l t o n i a n d e p e n d i n g o n l y o n t h e m a g n i t u d e o f r

H = R (

̂

b ) H

( 0 )

( r ) R

y

(

̂

b ) : ( 8 9 )

S i n c e i n E q . ( 3 3 ) H

0

a n d H

t

= H

k

+ V

0

( r ) a r e r o t a t i o n a l l y i n v a r i a n t , H

i n t

i s t h e o n l y t e r m

w h o s e f o r m i s a e c t e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n . H e n c e w e i n t r o d u c e t h e r o t a t e d i n t e r a c t i o n

H a m i l t o n i a n H

( 0 )

i n t

( r ) , g i v e n b y

H

i n t

= R (

̂

b ) H

( 0 )

i n t

( r ) R

y

(

̂

b ) ; ( 9 0 )

H

( 0 )

i n t

( r ) =

X

j ` m

j ` m

( r ) b

y

j m

b

` m

; ( 9 1 )

j ` m

( r ) = (

? )

m

X

k

s

2 k + 1

4

h j m ̀

? m

j k 0

i

k j ̀

( r ) : ( 9 2 )

I f w e a s s u m e n o w t h a t t h e f o r m f a c t o r s

k j ̀

( r ) a r e a l l p r o p o r t i o n a l t o t h e s a m e f u n c t i o n o f

r t h e n t h e H a m i l t o n i a n H

( 0 )

i n t

c o m m u t e s w i t h i t s e l f a t d i e r e n t t i m e s a n d h e n c e w e c a n w r i t e

t h e t w o - t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l a s

M

=

*

n

i

e x p

i

h

Z

e

T

0

d t H

( 0 )

i n t

( ~ r ( t ) )

!

e x p

?

i

h

Z

T

0

d t H

( 0 )

i n t

( r ( t ) )

!

n

i

+

( 9 3 )

i n t h e d e g e n e r a t e s p e c t r u m l i m i t .

S i n c e t h e e x p o n e n t s o f t h e t w o o p e r a t o r s i n t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l c o m m u t e ,

M

b e -

c o m e s t h e m a t r i x e l e m e n t o f a n S U ( 6 ) t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n S U ( 6 ) b a s i s s t a t e s , i n o t h e r

w o r d s i t i s a r e p r e s e n t a t i o n m a t r i x e l e m e n t f o r t h i s g r o u p a n d c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d u s -

i n g s t a n d a r d t e c h n i q u e s . T h e t w o - t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l f o r t h e s d - v e r s i o n o f t h e I B M

w a s c a l c u l a t e d b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 2 ) a n d , f o r t h e p a r t i c u l a r c a s e o f S U ( 3 ) l i m i t , b y

B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 1 ) .

2 2



B . H i g h e r - O r d e r C o u p l i n g s

U p t o t h i s p o i n t , w e h a v e u t i l i z e d o n l y a r s t - o r d e r c o u p l i n g b e t w e e n n u c l e a r s t a t e s

a n d t r a n s l a t i o n a l m o t i o n . A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n i n c l u d e t h e e e c t s o f c o u p l i n g t o a l l o r d e r s .

T h i s c a n b e a c h i e v e d b y e x p l o i t i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t i e s o f t h e r e s o l v e n t o p e r a t o r d i r e c t l y

w i t h o u t u t i l i z i n g i t s p a t h i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n . S u c h a G r e e n ' s f u n c t i o n a p p r o a c h h a s a l s o

b e e n u s e d t o s t u d y q u a n t u m t u n n e l i n g i n a h e a t b a t h ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 2 a ) .

T o i n c l u d e t h e e e c t s o f c o u p l i n g s t o a l l o r d e r s , t h e i n t e r a c t i o n H a m i l t o n i a n i n E q . ( 3 3 )

i s w r i t t e n a s

H

i n t

( r ; ) + V

0

( r ) = V

C o u l

( r ; ) + V

n u c

( r ; ) ; ( 9 4 )

w h e r e t h e C o u l o m b p a r t i s

V

C o u l

( r ; ) =

Z

1

Z

2

e

2

r

( 1 +

3

5

R

2

1

r

2

̂

O ) ( r > R

1

) ;

=

Z

1

Z

2

e

2

r

( 1 +

3

5

r

2

R

2

1

̂

O ) ( r < R

1

) : ( 9 5 )

T h e n u c l e a r p a r t i s t a k e n t o h a v e W o o d s - S a x o n f o r m ,

V

n u c

( r ; ) = ? V

0

1 + e x p

r

? R

0

? R

1

̂

O ( ̂ r ; )

a

! !

? 1

: ( 9 6 )

I n E q s . ( 9 5 ) a n d ( 9 6 ) , R

0

i s t h e s u m o f t h e t a r g e t a n d p r o j e c t i l e r a d i i a n d R

1

i s t h e

m e a n r a d i u s o f t h e d e f o r m e d t a r g e t .

̂

O i s a g e n e r a l c o u p l i n g o p e r a t o r b e t w e e n t h e i n t e r n a l

c o o r d i n a t e s a n d t h e r e l a t i v e m o t i o n

̂

O =

X

k

v

k

T

( k )

( ) Y

( k )

(

̂

r ) : ( 9 7 )

T h e c o e c i e n t s v

k

r e p r e s e n t t h e s t r e n g t h s o f t h e v a r i o u s m u l t i p o l e t r a n s i t i o n s i n t h e t a r g e t

n u c l e u s . I n t h e s t a n d a r d I B M w i t h s a n d d b o s o n s , t h e o n l y p o s s i b l e t r a n s i t i o n o p e r a t o r s

h a v e k = 0 ; 2 ; 4 ; : : : ( o d d v a l u e s b e i n g e x c l u d e d a s a c o n s e q u e n c e o f t h e r e e c t i o n s y m m e t r y

o f t h e n u c l e a r s h a p e ) . T h e m o n o p o l e c o n t r i b u t i o n i s a l r e a d y i n c l u d e d i n t h e W o o d s - S a x o n

p a r a m e t e r i z a t i o n a n d s o i s n o t n e e d e d . T h e q u a d r u p o l e a n d h e x a d e c a p o l e o p e r a t o r s a r e

g i v e n b y

T

( 2 )

= s

y

~

d + d

y

s ]

( 2 )

+ d

y

~

d ]

( 2 )

; ( 9 8 )

T

( 4 )

= d

y

~

d ]

( 4 )

: ( 9 9 )

W e a d o p t t h e \ c o n s i s t e n t - Q " f o r m a l i s m o f C a s t e n a n d W a r n e r ( C a s t e n a n d W a r n e r , 1 9 8 8 ) ,

i n w h i c h i n E q . ( 9 8 ) i s t a k e n t o b e t h e s a m e a s i n H

I B M

( t t e d t o r e p r o d u c e t h e e n e r g y

l e v e l s c h e m e a n d t h e e l e c t r o m a g n e t i c t r a n s i t i o n r a t e s o f t h e t a r g e t n u c l e u s ) a n d i s t h u s n o t

a f r e e p a r a m e t e r .

I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e u s e d t h e u s u a l a p p r o x i m a t i o n i n w h i c h t h e n u c l e a r p o t e n t i a l

o f E q . ( 9 6 ) i s e x p a n d e d i n p o w e r s o f t h e c o u p l i n g , k e e p i n g o n l y t h e l i n e a r t e r m ( c f . E q .

2 3



( 8 8 ) ) . I n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n t o a l l o r d e r s w e c o n s i d e r t h e r e s o l v e n t

o p e r a t o r f o r t h e s y s t e m

G

+

( E ) =

1

E

+

? H

t

? H

I B M

( ) ? H

i n t

( r ;

̂

O )

: ( 1 0 0 )

T h e b a s i c i d e a i s t o i d e n t i f y t h e u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n w h i c h d i a g o n a l i z e s t h e o p e r a t o r

̂

O

̂

O

d

= U

̂

O U

y

( 1 0 1 )

i n o r d e r t o c a l c u l a t e i t s e i g e n v a l u e s a n d e i g e n f u n c t i o n s

̂

O

d

j n i =

n

j n i : ( 1 0 2 )

A s s u m i n g t h e c o m p l e t e n e s s o f t h e s e e i g e n f u n c t i o n s

X

n

j n i h n j = 1 ( 1 0 3 )

o n e c a n w r i t e t h e m a t r i x e l e m e n t o f t h e r e s o l v e n t a s

h

f

; r

f

j G

+

( E ) j

i

; r

i

i

= h

f

; r

f

j U

y

U

h

E

+

? H

t

? H

i n t

( r ;

̂

O )

i

? 1

U

y

U j

i

; r

i

i

= h

f

; r

f

j U

y

h

E

+

? H

t

? H

i n t

( r ;

̂

O

d

)

i

? 1

X

n

j n i h n j U j

i

; r

i

i

=

X

n

h

f

j U

y

j n i h n j U j

i

i h r

f

j G

+

n

j r

i

i ( 1 0 4 )

w h e r e

G

+

n

( E ) =

1

E

+

? H

t

? H

i n t

( r ;

n

)

: ( 1 0 5 )

T o d e r i v e t h i s r e s u l t w e i g n o r e t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s i n t h e t a r g e t n u c l e u s . T h i s c o r r e s p o n d s

t o s e t t i n g t h e t e r m H

I B M

t o b e z e r o i n E q s . ( 1 0 0 ) a n d ( 1 0 5 ) . I n t h i s c a s e , t h e G

+

n

( E ) g i v e n

i n E q . ( 1 0 4 ) i s t h e r e s o l v e n t o p e r a t o r f o r o n e - d i m e n s i o n a l m o t i o n i n t h e p o t e n t i a l H

i n t

( r ;

n

) ,

t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n o f w h i c h c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d w i t h i n t h e s t a n d a r d W K B a p p r o x -

i m a t i o n . T h e t o t a l c r o s s s e c t i o n c a n b e c a l c u l a t e d b y m u l t i p l y i n g t h e s e e i g e n - c h a n n e l c r o s s

s e c t i o n s b y t h e w e i g h t f a c t o r s i n d i c a t e d i n E q . ( 1 0 4 ) . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e m a t r i x e l e -

m e n t h n j U j

i

i w i t h i n t h e I B M i s s t r a i g h t f o r w a r d ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 3 ; B a l a n t e k i n e t a l . ,

1 9 9 4 a ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 b ) . I t i s a l s o p o s s i b l e t o g e n e r a l i z e t h e p r e v i o u s f o r m a l i s m t o

i n c l u d e a r b i t r a r y k i n d s o f b o s o n s i n t h e t a r g e t n u c l e u s a n d i n v e s t i g a t e w h e t h e r g b o s o n s

h a v e a n y d i s c e r n i b l e e e c t s o n s u b b a r r i e r f u s i o n r e a c t i o n s . O n e n d s t h a t ( B a l a n t e k i n e t

a l . , 1 9 9 4 b ) e x c e p t f o r s l i g h t d i e r e n c e s i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s ( w h i c h c a n b e m a d e e v e n

s m a l l e r b y n e t u n i n g t h e c o u p l i n g s t r e n g t h s ) , t h e r e a r e n o v i s i b l e d i e r e n c e s b e t w e e n t h e

s d a n d s d g m o d e l p r e d i c t i o n s . T h e s i m i l a r i t y o f t h e r e s u l t s i m p l i e s t h a t s u b b a r r i e r f u s i o n

p r o b e s t h e o v e r a l l c o u p l i n g s t r e n g t h i n n u c l e i , b u t o t h e r w i s e i s n o t s e n s i t i v e t o t h e d e t a i l s

o f t h e n u c l e a r w a v e f u n c t i o n s . I n t h i s s e n s e s u b b a r r i e r f u s i o n , w h i c h i s a n i n c l u s i v e p r o c e s s ,

i s i n t h e s a m e c a t e g o r y a s o t h e r s t a t i c q u a n t i t i e s ( e n e r g y l e v e l s , e l e c t r o m a g n e t i c t r a n s i t i o n

2 4



r a t e s ) , a n d d o e s n o t s e e m t o c o n s t i t u t e a d y n a m i c p r o b e o f n u c l e i , i n c o n t r a s t t o e x c l u s i v e

p r o c e s s e s s u c h a s p r o t o n s c a t t e r i n g .

U s i n g t h i s f o r m a l i s m , a s y s t e m a t i c s t u d y o f s u b b a r r i e r f u s i o n o f

1 6

O w i t h r a r e e a r t h n u c l e i

b e c a m e p o s s i b l e . F u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r t h e r e a c t i o n s

1 6

O +

1 4 4 ; 1 4 8 ; 1 5 4

S m a n d

1 6

O +

1 8 6

W

w e r e m e a s u r e d b y t h e A u s t r a l i a n N a t i o n a l U n i v e r s i t y g r o u p ( W e i e t a l . , 1 9 9 1 ; L e i g h e t a l . ,

1 9 9 3 ; L e m m o n e t a l . , 1 9 9 3 ; M o r t o n e t a l . , 1 9 9 4 ; L e i g h e t a l . , 1 9 9 5 ) . T h e a n g u l a r m o m e n t u m

d i s t r i b u t i o n s f o r

1 6

O +

1 5 4

S m w a s m e a s u r e d b y B i e r m a n e t a l . ( 1 9 9 3 ) , a n d f o r

1 6

O +

1 5 2

S m b y

W u o s m a a e t a l . ( 1 9 9 1 ) . T h o s e f o r

1 6

O +

1 4 4 ; 1 4 8

S m w e r e d e d u c e d b y B a b a ( 1 9 9 3 ) . B a l a n t e k i n

e t a l . ( 1 9 9 4 a ) t t h e e x i s t i n g d a t a o n v i b r a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l n u c l e i w i t h a c o n s i s t e n t s e t

o f p a r a m e t e r s w h i c h a r e t h e n u s e d t o p r e d i c t t h e c r o s s - s e c t i o n a n d < ` > - d i s t r i b u t i o n s .

F i g u r e 8 c o m p a r e s t h o s e d a t a w i t h t h e c r o s s s e c t i o n c a l c u l a t i o n s o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 a )

a n d t h e a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n c a l c u l a t i o n s o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 c ) .

F i n a l l y o n e s h o u l d m e n t i o n t h a t t h e e e c t s o f a n h a r m o n i c i t i e s b o t h i n n u c l e a r s p e c t r a

( C a s t e n a n d Z a m r , 1 9 9 6 ) a n d i n t h e v i b r a t i o n a l c o u p l i n g i n s u b b a r r i e r f u s i o n ( H i n d e e t a l . ,

1 9 9 4 ; M o r t o n , 1 9 9 5 ) r e c e n t l y a t t r a c t e d s o m e a t t e n t i o n . A r i m a a n d I a c h e l l o ( 1 9 7 6 ) p o i n t e d

o u t t h a t t h e U ( 5 ) s y m m e t r y l i m i t o f t h e I B M s h o u l d e x h i b i t i n t h e s p e c t r a a n h a r m o n i c i t i e s

s i m i l a r t o t h e g e o m e t r i c a n h a r m o n i c v i b r a t o r m o d e l o f B r i n k e t a l . ( 1 9 6 5 ) . T h i s a s s e r t i o n

w a s l a t e r e x p l i c i t l y c o n r m e d ( A p r a h a m i a n e t a l . , 1 9 8 7 ) . T h i s f e a t u r e o f t h e I B M m a k e s i t

p o s s i b l e t o d i s c u s s t h e e e c t s o f a n h a r m o n i c i t i e s i n t h e v i b r a t i o n a l c o u p l i n g i n s u b b a r r i e r

f u s i o n u s i n g t h e U ( 5 ) l i m i t ( H a g i n o e t a l . , 1 9 9 7 b ) .

V . C O M P A R I S O N O F C U R R E N T T H E O R Y W I T H D A T A

A . S t a t u s o f C o u p l e d - C h a n n e l s C a l c u l a t i o n s

D i G r e g o r i o a n d S t o k s t a d ( 1 9 9 1 ) p r e s e n t e d a s y s t e m a t i c a n a l y s i s o f f u s i o n c r o s s s e c t i o n s

a n d a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a f o r f o u r t e e n d i e r e n t s y s t e m s u s i n g a b a r r i e r p e n e t r a t i o n

m o d e l t h a t i n c l u d e s c o u p l i n g t o i n e l a s t i c c h a n n e l s . T h e y c o n c l u d e d t h a t m o d e l p r e d i c t i o n s

e x p l a i n d a t a w e l l f o r l i g h t a n d a s y m m e t r i c s y s t e m s w h e r e a s l a r g e d i s c r e p a n c i e s e x i s t f o r

l a r g e s y m m e t r i c s y s t e m s . I n d e e d f o r l i g h t a n d a s y m m e t r i c s y s t e m s t h e b a s i c p r e m i s e o f t h e

c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i s j u s t i e d : F o r t h e s e s y s t e m s t h e r e p u l s i v e C o u l o m b p o t e n t i a l

i s r e l a t i v e l y w e a k a n d t h e t a i l o f t h e a t t r a c t i v e n u c l e a r p o t e n t i a l h a s s u c i e n t s t r e n g t h t o

\ t u r n i t a r o u n d " t o f o r m t h e p o t e n t i a l b a r r i e r . T h e b a r r i e r i s t h u s f o r m e d a t a r a t h e r

l a r g e n u c l e a r s e p a r a t i o n , l o n g b e f o r e t w o n u c l e a r s u r f a c e s s t a r t t o u c h i n g . C o n s e q u e n t l y , a s

t h e s y s t e m p e n e t r a t e s t h e b a r r i e r i n d i v i d u a l n u c l e i p r e s e r v e t h e i r c h a r a c t e r a n d o n e c a n

t a l k a b o u t c o u p l i n g o f t h e s t a t e s i n t h e t a r g e t n u c l e i t o t h e q u a n t u m t u n n e l i n g p r o c e s s .

T h e i n v e r s i o n p r o c e d u r e o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 8 3 ) d e m o n s t r a t e d t h a t e v e n w h e n t h e r e a r e

i s o t o p i c d i e r e n c e s i n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n ( W u e t a l . , 1 9 8 5 ) , o n e c a n s t i l l d e s c r i b e t h e

q u a n t u m t u n n e l i n g w i t h a o n e - d i m e n s i o n a l e e c t i v e p o t e n t i a l f o r v e r y l i g h t s y s t e m s . O n t h e

o t h e r h a n d , f o r h e a v i e r a n d m o r e s y m m e t r i c s y s t e m s o t h e r e e c t s n o t e x p l i c i t l y i n c l u d e d i n

t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s , s u c h a s n e c k f o r m a t i o n m a y p l a y a n i m p o r t a n t r o l e .

M a n y e x p e r i m e n t a l g r o u p s u s e s i m p l i e d c o u p l e d - c h a n n e l s c o d e s s u c h a s C C F U S ( D a s s o

a n d L a n d o w n e , 1 9 8 7 b ) , C C D E F ( F e r n a n d e z - N i e l l o e t a l . , 1 9 8 9 ) , C C M O D ( D a s g u p t a e t a l . ,

1 9 9 2 ) , o r t h e I B M - b a s e d m o d e l s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 3 ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 a ; B a l a n t e k i n

e t a l . , 1 9 9 4 b ) . A s w e m e n t i o n e d e a r l i e r i t i s w o r t h w h i l e t o k e e p i n m i n d t h a t a l t h o u g h t h e s e

2 5



c o d e s a r e q u i t e a d e q u a t e f o r q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n s , t h e y m a y b e m a k i n g a n u m b e r o f

a s s u m p t i o n s , s u c h a s i g n o r i n g t h e r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r , e x c i t a t i o n

e n e r g i e s a n d / o r h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s . B e f o r e o n e m a k e s a q u a n t i t a t i v e s t a t e m e n t , i t m a y

b e s a g a c i o u s t o c h e c k w h a t t h e a p p r o x i m a t i o n s a r e a n d i f t h e o b s e r v e d d i s c r e p a n c i e s w i t h

t h e d a t a i s a r e s u l t o f t h e s e s i m p l i c a t i o n s . I n S e c t i o n I V B , w e e x p l i c i t l y d e m o n s t r a t e d t h e

e e c t o f t h e h i g h e r o r d e r c o u p l i n g s .

T h e c r u c i a l i n g r e d i e n t o f t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i s t o i d e n t i f y r e l e v a n t d e g r e e s

o f f r e e d o m a n d t o m o d e l t h e a p p r o p r i a t e H a m i l t o n i a n . E v e n t h e c h o i c e o f t h e o p t i c a l

p o t e n t i a l s h o u l d b e s c r u t i n i z e d . F o r e x a m p l e , a r e c e n t s u r v e y ( B r a n d a n a n d S a t c h l e r , 1 9 9 7 )

o f t h e k n o w l e d g e o f t h e o p t i c a l p o t e n t i a l b e t w e e n e v e n m u c h s i m p l e r s y s t e m s , s u c h a s t w o

l i g h t i o n s , i n d i c a t e t h a t m a n y a n o m a l i e s n e e d e d t o b e r e s o l v e d b e f o r e a g o o d t h e o r e t i c a l

u n d e r s t a n d i n g o f t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g d a t a c a n b e a c h i e v e d . F o r h e a v i e r s y s t e m s , f r o m t s

t o e l a s t i c s c a t t e r i n g d a t a a t e n e r g i e s n e a r t h e b a r r i e r , t h e o p t i c a l p o t e n t i a l w a s s h o w n t o h a v e

a s t r o n g e n e r g y d e p e n d e n c e , k n o w n a s \ t h r e s h o l d a n o m a l y " ( S a t c h l e r , 1 9 9 1 ) . N a g a r a j a n e t

a l . ( 1 9 8 5 ) p o i n t e d o u t t h a t t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n b e t w e e n t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s

o f t h e o p t i c a l p o t e n t i a l s h o u l d b e u s e d i n r e g i o n s w h e r e t h e a b s o r p t i o n v a r i e s r a p i d l y w i t h

e n e r g y s u c h a s n e a r a n d b e l o w t h e b a r r i e r . T h e s o u r c e o f t h e e n e r g y d e p e n d e n c e c a n b e

e i t h e r c h a n n e l c o u p l i n g o r t h e n o n - l o c a l i t y o f t h e e x c h a n g e c o n t r i b u t i o n ( G a l e t t i a n d C a n d i d o

R i b e i r o , 1 9 9 4 ) . G a l e t t i a n d C a n d i d o R i b e i r o ( 1 9 9 5 ) c o m p a r e d n o n - l o c a l e e c t s a n d c o u p l e d

c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i n s i m p l e m o d e l s o f n u c l e a r f u s i o n .

T h e v e r y r s t c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s f o r h e a v y - i o n f u s i o n a s s u m e d a l i n e a r c o u -

p l i n g t o q u a d r u p o l e o r o c t u p o l e s u r f a c e v i b r a t i o n s a n d q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n s . A s m o r e

p r e c i s e d a t a b e c a m e a v a i l a b l e , t h e s i g n i c a n c e o f t h e h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n s ( R h o d e s -

B r o w n a n d O b e r a c k e r , 1 9 8 3 ) , n e u t r o n t r a n s f e r ( B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 a ) , c o u p l i n g o f m u l t i -

p h o n o n s t a t e s ( T a k i g a w a a n d I k e d a , 1 9 8 6 ; K r u p p a e t a l . , 1 9 9 3 ) , a n d h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s

( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 3 ) e m e r g e d . I n t h e r e s t o f t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s r e p r e s e n t a t i v e d a t a

i l l u s t r a t i n g t h e s e e e c t s .

B . N u c l e o n T r a n s f e r

A n o t h e r i n t e r e s t i n g q u e s t i o n i s t h e e e c t o f t h e n u c l e o n t r a n s f e r o n s u b b a r r i e r f u s i o n ( c f .

S e c t i o n I I I B ) . I n p a r t i c u l a r t h e r o l e o f t r a n s f e r c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s h a s b e e n

e m p h a s i z e d ( B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 a ; B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 b ; E s b e n s e n a n d L a n d o w n e , 1 9 8 9 ) .

A l g e b r a i c m o d e l s , s u c h a s t h a t d e s c r i b e d i n S e c t i o n I V , a t p r e s e n t d o n o t i n c l u d e t h e e e c t s

o f n u c l e o n t r a n s f e r . I t i s n o w e x p e r i m e n t a l l y p o s s i b l e t o o b s e r v e u p t o s i x - n u c l e o n t r a n s f e r

a t s u b b a r r i e r e n e r g i e s ( J i a n g e t a l . , 1 9 9 4 ) . H e n c e i n t h e n e a r f u t u r e s y s t e m a t i c s t u d i e s

i n c l u d i n g n u c l e o n t r a n s f e r r e a c t i o n s , f u s i o n , a n d e l a s t i c s c a t t e r i n g m a y b e p o s s i b l e .

T h e e e c t o f n u c l e o n t r a n s f e r o n f u s i o n c a n b e i l l u s t r a t e d f o r e x a m p l e b y c o n s i d e r i n g

f u s i o n r e a c t i o n s b e t w e e n d i e r e n t N i i s o t o p e s . I n d e e d t h e s e w e r e t h e p i o n e e r i n g e x p e r i m e n t s

o f B e c k e r m a n e t a l . ( 1 9 8 0 ) w h e r e t h e e n h a n c e m e n t o f s u b b a r r i e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s w a s

r s t o b s e r v e d . T h e s e c r o s s s e c t i o n s w e r e l a t e r m e a s u r e d b y S c h i c k e r e t a l . ( 1 9 8 8 ) a n d m o r e

r e c e n t l y b y A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 ) . T h e c r o s s s e c t i o n s m e a s u r e d b y A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 )

f o r t h e

5 8

N i +

6 4

N i a n d

6 4

N i +

6 4

N i s y s t e m s a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e 9 , w h e r e t h e e n e r g i e s a r e

n o r m a l i z e d t o t h e h e i g h t o f t h e s - w a v e p o t e n t i a l b a r r i e r . O n e s e e s a d i s c e r n i b l e e n h a n c e m e n t

f o r t h e

5 8

N i +

6 4

N i s y s t e m o v e r t h e

6 4

N i +

6 4

N i s y s t e m . I n t h e s y m m e t r i c s y s t e m

6 4

N i +

6 4

N i

2 6



t h e r e a r e n o t r a n s f e r c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s , a n d o n l y t h o s e c h a n n e l s d e s c r i b i n g

i n e l a s t i c e x c i t a t i o n s n e e d t o b e i n c l u d e d . O n t h e o t h e r h a n d , i n t h e

5 8

N i +

6 4

N i s y s t e m

t h e r e i s a n a d d i t i o n a l c o u p l i n g o f t h e t r a n s f e r c h a n n e l

6 4

N i (

5 8

N i ,

6 0

N i )

6 2

N i w i t h a Q - v a l u e

o f Q = + 3 : 9 M e V . T h e s e a d d i t i o n a l c h a n n e l s i n c r e a s e t h e

5 8

N i +

6 4

N i c r o s s s e c t i o n ( c f . t h e

d i s c u s s i o n i n S e c t i o n I I I B ) .

S i g n a t u r e s o f p o s i t i v e Q - v a l u e t r a n s f e r r e a c t i o n s c a n a l s o b e i d e n t i e d i n f u s i o n b a r r i e r

d i s t r i b u t i o n s . B y c o m p a r i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f o r

1 6

O +

1 4 4

S m a n d

1 7

O +

1 4 4

S m r e a c t i o n s

M o r t o n e t a l . ( 1 9 9 4 ) s h o w e d t h a t t h e e e c t o f t h e n e u t r o n - s t r i p p i n g c h a n n e l i n t h e s e c o n d

r e a c t i o n i s e v i d e n t i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n .

I n f u s i o n r e a c t i o n s o f i d e n t i c a l n u c l e i t h e r e a r e a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g e e c t s m a g n i e d

b y t h e e x i s t e n c e o f o n l y e v e n p a r t i a l w a v e s . F o r e x a m p l e , t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s h a v e a n

o s c i l l a t o r y s t r u c t u r e a s a f u n c t i o n o f e n e r g y ( P o e e t a l . , 1 9 8 3 ) . F u r t h e r m o r e , e l a s t i c t r a n s f e r

p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n s u c h c o l l i s i o n s ( v o n O e r t z e n a n d N o r e m b e r g , 1 9 7 3 ) . C h r i s t l e y e t

a l . ( 1 9 9 5 ) s h o w e d t h a t e v e n i n c a s e s w h e r e n o o s c i l l a t o r y s t r u c t u r e i s v i s i b l e i n c r o s s s e c t i o n ,

t h e r e s t i l l i s a s i g n a t u r e o f t h e e l a s t i c t r a n s f e r i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s .

C . P r o b i n g A s y m m e t r y E e c t s

O n e w a y t o p r o b e t h e e e c t s o f a s y m m e t r y o f t h e s y s t e m o t h e r t h a n n u c l e o n t r a n s f e r i s

t o m e a s u r e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s a n d a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a f o r d i e r e n t s y s t e m s l e a d i n g

t o t h e s a m e c o m p o u n d n u c l e u s . S u c h a m e a s u r e m e n t w a s r e c e n t l y p e r f o r m e d ( A c k e r m a n n

e t a l . , 1 9 9 6 ) f o r t h e s y s t e m s

2 8

S i +

1 0 0

M o a n d

6 4

N i +

6 4

N i l e a d i n g t o t h e c o m p o u n d n u c l e u s

1 2 8

B a . T h e s e m e a s u r e m e n t s c o m p l e m e n t a p r e v i o u s m e a s u r e m e n t f o r t h e s y s t e m

1 6

O +

1 1 2

C d

( A c k e r m a n n e t a l . , 1 9 9 4 ) . T h e y n d t h a t b o t h f u s i o n c r o s s s e c t i o n s a s w e l l a s a v e r a g e

a n g u l a r m o m e n t a c a n b e e x p l a i n e d b y c o u p l e d c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s . F o r t h e

2 8

S i +

1 0 0

M o

s y s t e m i n c l u d i n g l o w e s t 2

+

a n d 3

?

s t a t e s o f b o t h t h e t a r g e t a n d t h e p r o j e c t i l e i n t h e c o u p l e d -

c h a n n e l s c a l c u l a t i o n i m p r o v e s t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d d a t a , a s c o m p a r e d t o t h e

n o - c o u p l i n g l i m i t , b u t i s n o t s u c i e n t t o r e p r o d u c e t h e d a t a . O n e n e e d s t o i n c l u d e a n

a d d i t i o n a l c h a n n e l w i t h t h e Q - v a l u e o f t h e t w o - n e u t r o n p i c k - u p r e a c t i o n t o b r i n g t h e d a t a

a n d t h e o r y i n t o a g r e e m e n t . T h e d a t a f o r t h e s y m m e t r i c s y s t e m

6 4

N i +

6 4

N i , w h e r e n o t r a n s f e r

c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s a r e p r e s e n t , a r e a l r e a d y w e l l r e p r o d u c e d o n l y w i t h c o u p l i n g

t o t h e i n e l a s t i c c h a n n e l s . H e n c e t h e d a t a o f A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 ) a l s o p r o v i d e e v i d e n c e

f o r t h e i n u e n c e o f t h e t w o - n u c l e o n t r a n s f e r c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s o n t h e f u s i o n

p r o b a b i l i t i e s .

S t u d i e s o f t r a n s f e r c h a n n e l c o u p l i n g a n d e n t r a n c e c h a n n e l e e c t s f o r t h e n e a r a n d s u b b a r -

r i e r f u s i o n w a s a l s o g i v e n b y P r a s a d e t e l . ( 1 9 9 6 ) f o r t h e s y s t e m s

4 6

T i +

6 4

N i ,

5 0

T i +

6 0

N i ,

1 9

F

+

9 3

N b , a n d b y C h a r l o p e t a l . ( 1 9 9 5 ) f o r t h e s y s t e m s

2 8

S i +

1 4 2

C e ,

3 2

S +

1 3 8

B a , a n d

4 8

T i +

1 2 2

S n .

T h e s e a u t h o r s a l s o r e p o r t n o s i g n i c a n t e n t r a n c e c h a n n e l e e c t s e x c e p t t h a t t h e p o s i t i v e Q

v a l u e f o r t w o - n e u t r o n p i c k u p s h o w s u p a s a n a d d i t i o n a l e n h a n c e m e n t i n t h e

4 6

T i +

6 4

N i

s y s t e m .

2 7



D . S i g n a t u r e s o f N u c l e a r V i b r a t i o n s

O n e r e l a t i v e l y u n e x p l o r e d a s p e c t o f s u b b a r r i e r f u s i o n i s s e a r c h i n g f o r s i g n a t u r e s o f n u c l e a r

v i b r a t i o n s . L e i g h e t a l . ( 1 9 9 5 ) c o n r m e d t h e e e c t s o f v i b r a t i o n a l c o u p l i n g i n t h e

1 6

O +

1 4 4

S m

s y s t e m . T o s e a r c h f o r s i g n a t u r e s o f n u c l e a r v i b r a t i o n s S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 c ) m e a s u r e d t h e

f u s i o n c r o s s s e c t i o n f o r

3 2 ; 3 6

S +

1 1 0

P d s y s t e m s .

1 1 0

P d i s a v i b r a t i o n a l n u c l e u s w h o s e t w o -

q u a d r u p o l e - p h o n o n t r i p l e t i s w e l l k n o w n . S i m p l i e d c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s f o r t h e s e

s y s t e m s a r e p e r f o r m e d b y S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 c ) a n d b y D e W e e r d ( 1 9 9 6 ) . S t e f a n i n i e t a l .

( 1 9 9 5 c ) , u s i n g t h e m e t h o d o f K r u p p a e t a l . ( 1 9 9 3 ) , a s s u m e d a c o n s t a n t c o u p l i n g e x p l i c i t l y

i n c l u d i n g t h e n i t e Q v a l u e o f t h e c o u p l e d c h a n n e l s . I n t h e s e e x p e r i m e n t s i t w a s a l s o

o b s e r v e d t h a t t h e c r o s s s e c t i o n f o r t h e

3 2

S +

1 1 0

P d s y s t e m i s g r e a t l y e n h a n c e d b e c a u s e o f t h e

t w o - n e u t r o n t r a n s f e r c h a n n e l .

S i n c e

1 1 0

P d l i e s b e t w e e n U ( 5 ) a n d S O ( 6 ) s y m m e t r y l i m i t s o f t h e I B M i t c a n n o t b e

d e s c r i b e d a n a l y t i c a l l y . D e W e e r d ( 1 9 9 6 ) r s t n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e d q u a d r u p o l e m a t r i x e l e -

m e n t s b e t w e e n d i e r e n t s t a t e s u s i n g t h e P H I N T c o d e ( S c h o l t e n , 1 9 9 1 ) a n d t h e n n u m e r i c a l l y

o b t a i n e d e i g e n v a l u e s a n d t h e a s s o c i a t e d w e i g h t s ( c f . E q . ( 1 0 4 ) ) . H i s r e s u l t f o r t h e b a r r i e r

d i s t r i b u t i o n o f t h e

3 6

S +

1 1 0

P d s y s t e m i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 1 0 a l o n g w i t h t h e d a t a . W h i l e

o n e - p h o n o n s p a c e c l e a r l y f a i l s i n d e s c r i b i n g t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n , t h e a g r e e m e n t w i t h d a t a

s u c c e s s i v e l y i m p r o v e s a s o n e i n c l u d e s m o r e p h o n o n s i n t h e c a l c u l a t i o n . T h i s d r a s t i c c h a n g e

i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f o r d i e r e n t n u m b e r s o f p h o n o n s w a s a l s o n o t e d b y S t e f a n i n i e t

a l . ( 1 9 9 5 c ) f o r t h i s s y s t e m a n d b y S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 b ) f o r t h e

5 8

N i +

6 0

N i s y s t e m .

E . E e c t o f N o n - l i n e a r c o u p l i n g s

A n i m p o r t a n t c o m p o n e n t i n t h e t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e s u b b a r r i e r f u s i o n d a t a i s

t h e e e c t o f n o n - l i n e a r c o u p l i n g s . T h e s e e e c t s w e r e d i s c u s s e d b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 3 )

u s i n g t h e I B M i n t h e l i m i t o f z e r o e x c i t a t i o n e n e r g y ( c f . S e c t i o n I V B ) . F o r n u c l e a r s u r f a c e

v i b r a t i o n s t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s c a n n o t b e n e g l e c t e d i n m o s t c a s e s , a n d o n e h a s t o s o l v e

f u l l c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s . T h e s e c a l c u l a t i o n s c a n b e v e r y i n v o l v e d , a n d c o n s e q u e n t l y

t h e y w e r e c a r r i e d o u t b y v e r y f e w g r o u p s .

E s b e n s e n a n d L a n d o w n e ( 1 9 8 7 ) e x p a n d e d t h e c o u p l i n g p o t e n t i a l ( c f . E q . ( 9 6 ) ) u p t o

s e c o n d o r d e r w i t h r e s p e c t t o t h e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r o b t a i n i n g a g o o d a g r e e m e n t b e -

t w e e n t h e i r c a l c u l a t i o n s a n d d a t a f o r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s b e t w e e n d i e r e n t n i c k e l i s o t o p e s .

T h e q u a d r a t i c c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n w a s s h o w n t o d e s c r i b e w e l l f u s i o n c r o s s s e c t i o n s a n d

a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s f o r t h e

5 8 ; 6 4

N i +

9 2 ; 1 0 0

M o r e a c t i o n s ( R e h m e t a l . , 1 9 9 3 ) .

C o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i n c l u d i n g c o u p l i n g t o a l l o r d e r s a n d t h e n i t e e x c i t a t i o n e n -

e r g y o f n u c l e a r s u r f a c e v i b r a t i o n s w e r e p e r f o r m e d f o r t h e

5 8

N i +

6 0

N i r e a c t i o n ( S t e f a n i n i e t

a l . , 1 9 9 5 b ) .

I n F i g u r e 1 1 t h e c a l c u l a t i o n o f H a g i n o e t a l . ( 1 9 9 7 a ) f o r t h e s y s t e m

6 4

N i +

9 6

Z r i s c o m p a r e d

w i t h t h e d a t a o f S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 2 ) . H e r e t h e r e s u l t s o f c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s t o

a l l o r d e r s ( s o l i d l i n e s ) a g r e e w i t h t h e d a t a v e r y w e l l a s o p p o s e d t o t h e n o - c o u p l i n g ( t h e d o t t e d

l i n e s ) , l i n e a r - c o u p l i n g ( t h e d o t - d a s h e d l i n e s ) , a n d q u a d r a t i c c o u p l i n g ( t h e d a s h e d l i n e s ) c a s e s .

T h e u p p e r p a n e l c o m p a r e t h e o r y a n d c a l c u l a t i o n s f o r t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n a n d t h e l o w e r

p a n e l f o r t h e a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a . I n t h i s c a l c u l a t i o n u p t o d o u b l e p h o n o n s t a t e s

a r e i n c l u d e d i n t h e c o u p l e d c h a n n e l s . A n i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h i s c a l c u l a t i o n i s t h a t a

2 8



t r u n c a t i o n o f t h e c o u p l i n g w i t h i n t h e d o u b l e p h o n o n s p a c e e v e n a t t h e q u a d r a t i c l e v e l i s n o t

s u c i e n t t o d e s c r i b e t h e d a t a , o n e n e e d s t o i n c l u d e c o u p l i n g s t o a l l o r d e r .

F . A n g u l a r M o m e n t u m D i s t r i b u t i o n s

D i G r e g o r i o a n d S t o k s t a d ( 1 9 9 1 ) a l s o c o m p a r e d a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a o b t a i n e d u s i n g

d i e r e n t e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s w i t h t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s . T h e y f o u n d t h a t t h e r e i s g o o d

a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d d a t a o b t a i n e d f r o m i s o m e r r a t i o a n d g a m m a - r a y m u l t i p l i c i t y

m e a s u r e m e n t s w i t h t h e e x c e p t i o n o f m o r e s y m m e t r i c s y s t e m s , b u t n o t f o r t h e s s i o n f r a g m e n t

m e a s u r e m e n t s . F r o m t h e s s i o n f r a g m e n t a n g u l a r a n i s o t r o p y m e a s u r e m e n t s o n e o b t a i n s n o t

< ` > , b u t < ̀

2

> . E s p e c i a l l y i f t h e

̀

d i s t r i b u t i o n i s p u s h e d t o h i g h e r ̀ v a l u e s a s a r e s u l t o f

c o u p l i n g t o o t h e r c h a n n e l s < ̀

2

>

1 = 2

m a y s i g n i c a n t l y d i e r f r o m < ` > , w h i c h m a y e x p l a i n

s o m e o f t h e r e p o r t e d d i s c r e p a n c i e s . A n e x c e l l e n t r e v i e w o f t h e e o r t s t o m e a s u r e a n g u l a r

m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s i n f u s i o n r e a c t i o n s w a s g i v e n b y V a n d e n b o s c h ( 1 9 9 2 ) .

T h e r e h a v e b e e n m a n y a t t e m p t s t o e x t r a c t a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a d i r e c t l y f r o m t h e

f u s i o n e x c i t a t i o n f u n c t i o n s ( B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 ; R e i s d o r f e t a l . , 1 9 8 5 ; R o w l e y

e t a l . , 1 9 9 3 ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . M o m e n t s o f a n g u l a r m o m e n t a a r e r e l a t e d t o t h e

m o m e n t s o f f u s i o n c r o s s s e c t i o n s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . T h e s e r e l a t i o n s c a n h e l p a s s e s s

t h e c o n s i s t e n c y o f a c c u r a t e f u s i o n c r o s s s e c t i o n m e a s u r e m e n t s w i t h m e a s u r e m e n t s e x t r a c t i n g

a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s u s i n g d i e r e n t m e t h o d s .

G . P r o b i n g S h a p e P h a s e T r a n s i t i o n s w i t h F u s i o n

U n t i l r e c e n t l y l i t t l e a t t e n t i o n w a s p a i d t o s u b b a r r i e r f u s i o n o n g a m m a u n s t a b l e t a r g e t s .

T h e O s a n d P t r e g i o n i s i n t e r e s t i n g t o s t u d y s i n c e t h e s e n u c l e i g o t h r o u g h a s h a p e t r a n s i t i o n

f r o m p r o l a t e t o o b l a t e a s o n e i n c r e a s e s t h e n u m b e r o f p r o t o n s f r o m 7 6 t o 7 8 .

1 9 2

O s h a s

a p o s i t i v e ( p r o l a t e ) q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r a n d a n e g a t i v e h e x a d e c a p o l e d e f o r -

m a t i o n p a r a m e t e r .

1 9 4

P t h a s a q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r s i m i l a r i n m a g n i t u d e t o

t h o s e o f

1 9 2

O s , b u t w i t h a n e g a t i v e s i g n ( o b l a t e ) a n d a h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r

c o m p a r a b l e t o t h a t o f

1 9 2

O s i n s i g n a n d m a g n i t u d e . T h e i s o t o p e s a r e s i m i l a r i n a l l r e s p e c t s

o t h e r t h a n t h e

2

s i g n . T h e e e c t o f t h i s s h a p e p h a s e t r a n s i t i o n o n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s

w o u l d b e n o t i c e a b l e b y t h e s k e w n e s s t o w a r d h i g h e r e n e r g i e s f o r p r o l a t e n u c l e i a n d t o w a r d

l o w e r e n e r g i e s f o r o b l a t e n u c l e i ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 a ) . T h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s c a l c u -

l a t e d u s i n g t h e I B M b a s e d m o d e l o f S e c t i o n I V b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 a ) i s s h o w n i n

F i g u r e 1 2 .

T o u n d e r s t a n d t h i s e e c t o f t h e s h a p e p h a s e t r a n s i t i o n i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s , t h e

f u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r t r a n s i t i o n a l n u c l e i P t a n d O s w e r e r e c e n t l y m e a s u r e d u s i n g a n

1 6

O

b e a m b y t h e L e g n a r o g r o u p ( S t e f a n i n i e t a l . , 1 9 9 5 a ) a n d a

4 0

C a b e a m b y t h e S e a t t l e g r o u p

( B i e r m a n e t a l . , 1 9 9 6 a ) . ( S i n c e

4 0

C a i s a h e a v i e r p r o j e c t i l e o n e e x p e c t s t h i s e e c t t o b e

e n h a n c e d ) . T h e t o t a l f u s i o n c r o s s s e c t i o n s c a l c u l a t e d b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 a ) f o r t h e

1 6

O +

1 9 4

P t s y s t e m a g r e e v e r y w e l l w i t h t h e e v a p o r a t i o n r e s i d u e s m e a s u r e d b y S t e f a n i n i e t

a l . ( 1 9 9 5 a ) o n c e t h e s s i o n c r o s s s e c t i o n s e s t i m a t e d b y t h e s t a t i s t i c a l m o d e l c a l c u l a t i o n s a r e

s u b t r a c t e d .

2 9



T h e

4 0

C a +

1 9 4

P t a n d

4 0

C a +

1 9 2

O s c r o s s s e c t i o n s m e a s u r e d a n d t h e a s s o c i a t e d b a r r i e r

d i s t r i b u t i o n s e x t r a c t e d b y B i e r m a n e t a l . ( 1 9 9 6 a ) a r e s h o w n i n F i g u r e 1 3 , w h e r e t h e r e s u l t s

a r e a l s o c o m p a r e d w i t h t h e C C D E F c a l c u l a t i o n s . T h e c a l c u l a t i o n s t a k e t h e e x c i t a t i o n s o f

t h e t a r g e t n u c l e u s i n t o a c c o u n t w i t h i n t h e r o t a t i o n a l m o d e l i n c l u d i n g b o t h q u a d r u p o l e a n d

h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n s . T h e y a l s o t a k e i n t o a c c o u n t t h e e x c i t a t i o n o f t h e p r o j e c t i l e t o

t h e 3

?

s t a t e a t 3 . 7 M e V a n d t h e t w o n e u t r o n t r a n s f e r r e a c t i o n s f r o m t h e t a r g e t n u c l e u s t o t h e

g r o u n d s t a t e o f

4 2

C a . T h e c o n s t a n t c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n s h a v e b e e n u s e d f o r v i b r a t i o n a l

e x c i t a t i o n o f t h e p r o j e c t i l e a n d t h e t r a n s f e r r e a c t i o n s , w h i l e t h e r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e f o r m

f a c t o r o f t h e c o l l e c t i v e m o d e l w a s u s e d f o r r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n s . T h e p r e d i c t e d s k e w n e s s

o f t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n t o w a r d h i g h e r e n e r g i e s f o r t h e p r o l a t e n u c l e u s

1 9 4

O s a n d t o w a r d

l o w e r e n e r g i e s f o r t h e o b l a t e n u c l e u s

1 9 4

P t i s o b s e r v e d . T h e s e c o n d p e a k f o r b o t h s y s t e m s

i s d u e t o t h e e x c i t a t i o n o f t h e o c t u p o l e s t a t e i n t h e p r o j e c t i l e . T h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s

f o r b o t h s y s t e m s a l s o e x h i b i t a t a i l a t t h e l o w e r e n e r g i e s , w h i c h i s n o t r e p r o d u c e d b y t h e

C C D E F c a l c u l a t i o n s . T h i s p r o b l e m w a s r e c e n t l y a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e 2 n

t r a n s f e r r e a c t i o n s t o t h e r s t e x c i t e d 2

+

s t a t e o f

4 2

C a ( B i e r m a n e t a l . , 1 9 9 6 b ) .

O n e s h o u l d p o i n t o u t t h a t f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n e x t r a c t e d f r o m t h e

1 6

O +

1 8 6

W d a t a

o f L e m m o n e t a l . ( 1 9 9 3 ) h a s t h e s h a p e e x p e c t e d f o r a t a r g e t n u c l e u s w i t h a n e g a t i v e h e x a d e -

c a p o l e d e f o r m a t i o n . T h e r e a r e p r o n o u n c e d d i e r e n c e s b e t w e e n t h i s d i s t r i b u t i o n a n d t h a t o f

1 6

O +

1 5 4

S m ( W e i e t a l . , 1 9 9 1 ) , w h i c h a r e j u s t t h o s e e x p e c t e d f r o m a c h a n g e i n s i g n o f t h e

h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n . T h e s e d a t a h e n c e d e m o n s t r a t e s s t r o n g s e n s i t i v i t y o f f u s i o n t o

t h e h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n .

H . D i c u l t i e s i n E x t r a c t i n g B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s

S i n c e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s i n c l u d e t h e s e c o n d e n e r g y d e r i v a t i v e o f t h e c r o s s s e c t i o n , v e r y

a c c u r a t e m e a s u r e m e n t s o f e x c i t a t i o n f u n c t i o n s a t c l o s e l y s p a c e d e n e r g i e s a r e r e q u i r e d . E v e n

w i t h v e r y h i g h p r e c i s i o n d a t a , s m o o t h b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s c a n o n l y b e o b t a i n e d u n d e r

c e r t a i n m o d e l d e p e n d e n t a s s u m p t i o n s s u c h a s n e - t u n i n g t h e e n e r g y s p a c i n g f o r c a l c u l a t i n g

s e c o n d d e r i v a t i v e s ( I z u m o t o e t e l . , 1 9 9 5 ; D e W e e r d , 1 9 9 6 ) . K r a p p e a n d R o s s n e r ( 1 9 9 5 )

s u g g e s t e d t o u s e i n t e g r a l s , r a t h e r t h a n t h e d e r i v a t i v e s o f t h e f u s i o n d a t a t o i m p r o v e m o d e l

i n d e p e n d e n c e i n t h e a n a l y s e s . U n f o r t u n a t e l y , m o m e n t s o f t h e c r o s s s e c t i o n s a r e e v e n m o r e

f e a t u r e l e s s t h a n t h e c r o s s s e c t i o n s t h e m s e l v e s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . I n c o n t r a s t , o n e o f

t h e m a i n a d v a n t a g e s o f u s i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s i s t h a t t h e y b r i n g o u t i m p o r t a n t f e a t u r e s

i n t h e d a t a . H o w e v e r , m o m e n t s o f t h e c r o s s s e c t i o n c o u l d b e u s e f u l a s t h e y a r e r e l a t e d

t o t h e m o m e n t s o f a n g u l a r m o m e n t a u n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s ( B a l a n t e k i n a n d R e i m e r ,

1 9 8 6 ; D a s s o e t a l . , 1 9 8 6 ; E s b e n s e n a n d L a n d o w n e , 1 9 8 7 ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) .

E v e n w i t h a v e r y h i g h p r e c i s i o n i n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i t i s r a t h e r d i c u l t t o e x t r a c t

f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s a t h i g h e r e n e r g i e s a s t h e c r o s s s e c t i o n c h a n g e s v e r y s l o w l y a n d

t h e e r r o r s o n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n g r o w w i t h e n e r g y . T o i l l u s t r a t e t h e r e a s o n f o r t h i s

b e h a v i o r c o n s i d e r a s e t o f f u s i o n d a t a m e a s u r e d a t a x e d e n e r g y s p a c i n g E . T h e s e c o n d

d e r i v a t i v e m a y b e a p p r o x i m a t e d b y t h e p o i n t - d i e r e n c e f o r m u l a ( R o w l e y , 1 9 9 2 )

d

2

( E )

d E

2

)

!

n

= ?

2 ( E )

n

? ( E )

n + 1

? ( E )

n ? 1

( E )

2

: ( 1 0 6 )

I f t h e s t a t i s t i c a l e r r o r s o n t h e c r o s s s e c t i o n a r e a x e d f r a c t i o n o f t h e i r m e a s u r e d v a l u e s

3 0



( )

n

= f

n

; ( 1 0 7 )

t h e n t h e e r r o r i n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e i s

d

2

( E )

d E

2

!

p

6 f E

( E )

2

: ( 1 0 8 )

H e n c e t h e e r r o r o n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e i n c r e a s e s a s t h e c r o s s s e c t i o n i n c r e a s e s , w h e r e a s

t h e s e c o n d d e r i v a t i v e i t s e l f g e t s s m a l l e r a t h i g h e r e n e r g i e s . F u r t h e r m o r e E m u s t b e s m a l l

e n o u g h t o r e s o l v e a n y i n t e r e s t i n g s t r u c t u r e , w h i c h a l s o c o n t r i b u t e s t o t h e l a r g e e r r o r s a t h i g h

e n e r g i e s .

I t h a s b e e n s u g g e s t e d t h a t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s m a y b e c o n t a i n e d

i n t h e q u a s i - e l a s t i c s c a t t e r i n g e x c i t a t i o n f u n c t i o n s a t b a c k w a r d a n g l e s ( K r u p p a e t a l . , 1 9 9 3 ;

A n d r e s e t a l . , 1 9 8 8 ) . T i m m e r s e t a l . ( 1 9 9 5 ) r e c e n t l y d e v e l o p e d a m e t h o d t o e x t r a c t a

r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f r o m q u a s i - e l a s t i c e x c i t a t i o n f u n c t i o n s . T h e y

f o u n d t h a t a l t h o u g h t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f t h e q u a s i - e l a s t i c s c a t t e r i n g d a t a i n d e e d s h o w s t h e

g e n e r a l f e a t u r e s o f t h e f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s , i t s s e n s i t i v i t y i s r e d u c e d a t h i g h e n e r g i e s .

M o r e r e c e n t l y R o w l e y e t a l . ( 1 9 9 6 ) s h o w e d t h a t t h e e e c t s o f s t r o n g c o u p l i n g a r e p r e s e n t

i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f r o m t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g , b u t a r e s m o o t h e d o u t s i n c e d i e r e n t

e i g e n - b a r r i e r s h a v e p h a s e d i e r e n c e s . F u r t h e r m o r e t h e e e c t s a r e a l s o s m o o t h e d b y w e a k

c o u p l i n g s , w h i c h a p p e a r i n r s t o r d e r i n t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n , b u t o n l y i n

s e c o n d o r d e r i n f u s i o n c r o s s s e c t i o n . I t w o u l d b e i m p o r t a n t t o t r e a t t h e p h a s e p r o b l e m

p r o p e r l y i n o r d e r t o o b t a i n i n f o r m a t i o n o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f r o m t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g

d a t a .

I . F u s i o n o f U n s t a b l e N u c l e i

H e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s i n d u c e d b y a h a l o n u c l e u s o r b y a n u n s t a b l e n e u t r o n r i c h

n u c l e u s a r e v e r y i n t r i g u i n g c u r r e n t s u b j e c t s o f n u c l e a r p h y s i c s ( I s h i h a r a e t e l . , 1 9 9 3 ) . S e v e r a l

g r o u p s h a v e p e r f o r m e d e x p e r i m e n t s t o e x a m i n e w h e t h e r t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i n s u c h c a s e s

i s s i g n i c a n t l y d i e r e n t f r o m t h a t i n h e a v y i o n c o l l i s i o n s i n d u c e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g s t a b l e

i s o t o p e s . Y o s h i d a e t a l . ( 1 9 9 5 ) s t u d i e d t h e f u s i o n r e a c t i o n s o f

1 1 ; 1 0 ; 9

B e w i t h

2 0 9

B i a t e n e r g i e s

n e a r t h e C o u l o m b b a r r i e r . T h e y o b s e r v e d n o s i g n i c a n t d i e r e n c e i n t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n

f o r t h e c o l l i s i o n o f

1 1

B e f r o m t h a t o f

1 0

B e . O n t h e o t h e r h a n d , F u k o u - Y o u m b i e t a l . ( 1 9 9 4 )

h a v e r e p o r t e d t h a t t h e i n d u c e d s s i o n c r o s s s e c t i o n n e a r t h e C o u l o m b b a r r i e r i s m u c h l a r g e r

i n t h e

1 1

B e +

2 3 8

U r e a c t i o n t h a n t h a t i n t h e

9

B e +

2 3 8

U r e a c t i o n . T h i s i s a v e r y i n t e r e s t i n g

r e s u l t , t h o u g h i t i s n o t c l e a r y e t w h e t h e r t h e s s i o n t o o k p l a c e v i a a c o m p o u n d n u c l e u s

f o r m a t i o n , s u g g e s t i n g a n e n h a n c e d f u s i o n c r o s s s e c t i o n i n t h e c a s e o f u n s t a b l e i s o t o p e .

T a k i g a w a a n d S a g a w a ( 1 9 9 1 ) a n d T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 2 b ) s u g g e s t e d t h a t t h e f u s i o n

c r o s s s e c t i o n w i l l b e s i g n i c a n t l y e n h a n c e d i f o n e u s e s a h a l o n u c l e u s a s t h e p r o j e c t i l e . I n

d e r i v i n g t h i s c o n c l u s i o n , t h e e x i s t e n c e o f a s t a b l e s o f t d i p o l e o s c i l l a t i o n o f t h e c o r e n u c l e o n s

a g a i n s t t h e h a l o n e u t r o n s w a s a s s u m e d . T h o u g h i t i s n o t y e t c o m p l e t e l y s e t t l e d d o w n , t h e

e x i s t e n c e o f a p h y s i c a l s o f t d i p o l e o s c i l l a t i o n i n l i g h t h a l o n u c l e i i s u n l i k e l y ( S a g a w a e t a l . ,

1 9 9 5 ) . T h i s m i g h t e x p l a i n w h y t h e f u s i o n d a t a o f Y o s h i d a e t a l . ( 1 9 9 5 ) d o n o t s h o w a n y

c h a r a c t e r i s t i c a l l y d i e r e n t b e h a v i o r f o r t h e c a s e o f

1 1

B e p r o j e c t i l e . A s h a s b e e n s h o w n b y

T a k i g a w a a n d S a g a w a ( 1 9 9 1 ) , t h e n e u t r o n h a l o i t s e l f c a n e n h a n c e t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n b y

3 1



s t a t i c a l l y l o w e r i n g t h e f u s i o n b a r r i e r . T h i s e e c t a l o n e i s , h o w e v e r , n o t s o d r a s t i c . M o r e o v e r ,

1 1

B e h a s l e s s p r o n o u n c e d h a l o p r o p e r t y t h a n

1 1

L i .

U s i n g t i m e - d e p e n d e n t H a r t r e e - F o c k t h e o r y K i m e t a l . ( 1 9 9 4 ) s h o w e d t h a t n u c l e o n t r a n s -

f e r i s e n h a n c e d f o r f u s i o n r e a c t i o n s b e t w e e n a s t a b l e a n d a n u n s t a b l e n u c l e u s w i t h n e u t r o n

h a l o .

S o m e d e b a t e e x i s t s c o n c e r n i n g t h e e e c t s o f b r e a k u p o f t h e h a l o n u c l e i . T a k i g a w a e t

a l . ( 1 9 9 3 ) h a v e s h o w n t h a t a l t h o u g h t h e l a r g e e n h a n c e m e n t o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i s

m o d e r a t e d b y t h e b r e a k - u p , t h e h a l o n u c l e u s

1 1

L i s t i l l l e a d s t o a l a r g e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n

t h a n t h e o t h e r L i i s o t o p e s . O n e s h o u l d p o i n t o u t t h a t t h i s c o n c l u s i o n r e l i e s o n t h e a s s u m p t i o n

t h a t t h e r e e x i s t s a s o f t d i p o l e r e s o n a n c e i n

1 1

L i . O n t h e o t h e r h a n d , C a n t o e t a l . ( 1 9 9 5 )

a r g u e d t h a t t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n o f a h a l o n u c l e u s w i l l b e h i n d e r e d b y t h e b r e a k - u p e e c t .

T o t h e c o n t r a r y , D a s s o a n d V i t t u r i ( 1 9 9 4 ) c o n t e n d e d t h a t t h e b r e a k - u p c h a n n e l e n h a n c e t h e

f u s i o n p r o b a b i l i t y . I n o r d e r t o r e a c h a d e n i t e c o n c l u s i o n , o n e n e e d s t o k n o w m o r e a b o u t t h e

r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e b r e a k - u p f o r m f a c t o r a n d h a s t o t r e a t b o t h t h e r e a l a n d t h e v i r t u a l

b r e a k - u p p r e c e s s e s i n a c o n s i s t e n t w a y i n c l u d i n g t h e a s s o c i a t e d p o t e n t i a l r e n o r m a l i z a t i o n .

O n e i n t e r e s t i n g s u b j e c t t o b e e x p l o r e d i s t h e e e c t s o f t h e b o n d f o r m a t i o n d u e t o h a l o

n e u t r o n s o n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n . B e r t u l a n i a n d B a l a n t e k i n ( 1 9 9 3 ) s t u d i e d t h i s p r o b l e m

b y u s i n g t h e f u s i o n b e t w e e n

1 1

L i , c o n s i s t i n g o f

9

L i c o r e a n d h a l o d i - n e u t r o n s , a n d

9

L i a s a n

e x a m p l e . A s

1 1

L i a n d

9

L i a p p r o a c h e a c h o t h e r , t h e r e i s a p a r t i c u l a r s e p a r a t i o n d i s t a n c e

a t w h i c h b o t h t h e C o u l o m b a n d n u c l e a r p o t e n t i a l s b e t w e e n t h e t w o c o r e s a r e s m a l l , b u t

t h e t w o n e u t r o n s i n t h e h a l o c a n b e s h a r e d b y b o t h c o r e s . O n e c a n t h e n i n v e s t i g a t e t h e

e e c t o f t h i s m o l e c u l a r b o n d i n g o n t h e f u s i o n o f

1 1

L i a n d

9

L i . T h e s e p r e l i m i n a r y c a l c u l a t i o n s

i n d i c a t e d ( B e r t u l a n i a n d B a l a n t e k i n , 1 9 9 3 ) a v e r y s i g n i c a n t e n h a n c e m e n t o f t h e f u s i o n c r o s s

s e c t i o n d u e t o m o l e c u l a r b o n d i n g . T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 5 a ) s h o w e d t h a t t h i s c r o s s s e c t i o n

i s s o m e w h a t r e d u c e d w h e n d i e r e n t i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e u s e d . T h e c a l c u l a t i o n s o f b o t h

g r o u p s w e r e d o n e i n t h e a d i a b a t i c a p p r o x i m a t i o n , w h i c h t e n d s t o o v e r e s t i m a t e t h e e e c t .

E x i s t e n c e o f m o l e c u l a r b o n d i n g , a n d i t s e e c t o n t h e f u s i o n p r o c e s s r e m a i n s t o b e a n o p e n

q u e s t i o n .

I n t h i s c o n n e c t i o n , w e w i s h t o r e m a r k t h a t a p o l a r i z a t i o n o f t h e w a v e f u n c t i o n s o f t h e

v a l e n c e n e u t r o n s , i . e . , t h e a d m i x t u r e o f h i g h e r o r b i t s , i s e s s e n t i a l i n o r d e r f o r t h e b o n d e e c t

t o b e s i g n i c a n t . I m a n i s h i a n d v o n O e r t z e n ( 1 9 9 5 ) s t u d i e d t h e b o n d e e c t i n t h e f u s i o n

b e t w e e n

1 1

B e a n d

1 0

B e a n d s h o w e d t h a t a s i g n i c a n t p o l a r i z a t i o n o f t h e v a l e n c e n u c l e o n s

s t a r t s t o t a k e p l a c e e v e n w h e r e t h e c o r e n u c l e i a r e s t i l l f a r a p a r t i f t h e b i n d i n g e n e r g y

o f t h e v a l e n c e n u c l e o n s i s s m a l l , a n d t h a t c o n s e q u e n t l y t h e r e e x i s t s a l a r g e b o n d e e c t i n

t h i s s y s t e m . N o t i c e t h a t

1 1

B e h a s t w o b o u n d s t a t e s 1 p

?

1 = 2

a n d 2 s

+

1 = 2

a n d o n e l o w l y i n g

r e s o n a n c e s t a t e 1 d

+

5 = 2

. T h e h y b r i d i z a t i o n o f t h e s e o p p o s i t e p a r i t y c o n g u r a t i o n s c a u s e s a

l a r g e p o l a r i z a t i o n .

I t i s p o s s i b l e t h a t t h e r e s p o n s e o f t h e p r o j e c t i l e i n h e a v y i o n c o l l i s i o n s i n d u c e d b y a

n e u t r o n r i c h u n s t a b l e n u c l e u s c a n b e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f t h e c o u p l i n g t o a r e s o n a n c e

s t a t e . S e v e r a l m o d e l s e x i s t t o c a l c u l a t e t h e e e c t o f t h e w i d t h o f t h e r e s o n a n t s t a t e o n

q u a n t u m t u n n e l i n g ( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ; H u s s e i n e t a l . , 1 9 9 5 ) .

3 2



J . F u s i o n o f V e r y M a s s i v e S y s t e m s a n d S u p e r h e a v y N u c l e i

A s t h e c o m p o u n d n u c l e i f o r m e d i n t h e f u s i o n g e t h e a v i e r , s s i o n b e c o m e s a n i n c r e a s i n g l y

i m p o r t a n t d e - e x c i t a t i o n c h a n n e l . F o r s u c h r e a c t i o n s , e v a p o r a t i o n r e s i d u e s a n d s s i o n f r a g -

m e n t s m u s t b e a d d e d t o o b t a i n t h e t o t a l f u s i o n c r o s s s e c t i o n . A s s y s t e m s g e t m o r e m a s s i v e

( Z

p

Z

t

> 1 0 0 0 ) , f u s i o n s t a r t s c o m p e t i n g w i t h o t h e r r e a c t i o n c h a n n e l s r e p r e s e n t i n g a s i g n i -

c a n t e x c h a n g e o f e n e r g y , c h a r g e , m a s s , a n d a n g u l a r m o m e n t a . U n d e r s t a n d i n g t h e d y n a m i c s

o f f u s i o n a n d c o m p e t i n g r e a c t i o n s f o r v e r y m a s s i v e s y s t e m s i s e s s e n t i a l , a m o n g o t h e r t h i n g s ,

t o a s s e s s t h e c o n d i t i o n s f o r t h e f o r m a t i o n o f s u p e r - h e a v y e l e m e n t s . T h e s e t o p i c s a r e c o v e r e d

i n a r e c e n t r e v i e w b y R e i s d o r f ( 1 9 9 4 ) .

A s i g n i c a n t d i e r e n c e b e t w e e n t h e f u s i o n o f m a s s i v e n u c l e i a n d t h e f u s i o n o f m e d i u m

w e i g h t n u c l e i w h i c h w e d i s c u s s e d s o f a r i s t h a t t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n f o r v e r y m a s s i v e

s y s t e m s i s n o t e n h a n c e d , b u t r a t h e r h i n d e r e d . T h i s s i t u a t i o n i s e n c o u n t e r e d w h e n t h e

p r o d u c t o f t h e a t o m i c n u m b e r s o f t h e p r o j e c t i l e a n d t a r g e t e x c e e d s a b o u t 1 8 0 0 ( R e i s d o r f ,

1 9 9 4 ) . T h e i n c i d e n t e n e r g y h a s t o b e c o n s i d e r a b l y h i g h e r t h a n t h e f u s i o n b a r r i e r e x p e c t e d

f r o m t h e B a s s p o t e n t i a l ( B a s s , 1 9 7 4 ) w h i c h w a s d e t e r m i n e d t o t t h e f u s i o n d a t a a b o v e

t h e b a r r i e r f o r m e d i u m w e i g h t s y s t e m s w i t h Z

p

Z

t

= 6 4 ? 8 5 0 i n a p o t e n t i a l m o d e l . T h i s

e x c e s s e n e r g y i s c a l l e d t h e e x t r a p u s h e n e r g y . B j o r n h o l m a n d S w i a t e c k i ( 1 9 8 2 ) a t t r i b u t e d

t h i s h i n d r a n c e p h e n o m e n a t o t h e f a c t t h a t t h e s s i o n b a r r i e r f o r m a s s i v e s y s t e m s l o c a t e s

w e l l i n s i d e t h e p o t e n t i a l b a r r i e r i n t h e e n t r a n c e c h a n n e l , a n d i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t s o f

t h e e x t r a p u s h a n d t h e e x t r a e x t r a p u s h . T h e f o r m e r i s t h e e n e r g y n e e d e d t o o v e r c o m e t h e

c o n d i t i o n a l s a d d l e , i . e . , t h e s a d d l e u n d e r t h e c o n s t r a i n t o f m a s s a s y m m e t r y , w h i l e t h e l a t t e r

i s t h e e n e r g y n e e d e d t o c a r r y t h e s y s t e m i n s i d e t h e u n c o n d i t i o n a l s a d d l e f o r s s i o n . T h o u g h

t h e r e h a v e b e e n q u i t e a n u m b e r o f e x p e r i m e n t a l a s w e l l a s t h e o r e t i c a l s t u d i e s o f t h e e x t r a

p u s h e n e r g y , i t s o r i g i n a n d t h e d e p e n d e n c e o n v a r i o u s p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m , s u c h a s t h e

e e c t i v e s s i l i t y p a r a m e t e r i n t h e e n t r a n c e c h a n n e l , a r e n o t f u l l y u n d e r s t o o d . O n e s h o u l d

n o t e t h a t t h e d e c r e a s e o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n w i t h d e c r e a s i n g b o m b a r d i n g e n e r g y i n

m a s s i v e s y s t e m s , w h e r e t h e r e e x i s t s a n e x t r a p u s h , i s a l s o m u c h s l o w e r t h a n t h a t e x p e c t e d

i n t h e p o t e n t i a l m o d e l w h e r e t h e r e e x i s t s a n e x t r a p u s h . T h i s i n d i c a t e s t h e e x i s t e n c e o f a

k i n d o f e n h a n c e m e n t m e c h a n i s m o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i n m a s s i v e s y s t e m s a s w e l l o n c e

t h e h i n d r a n c e e e c t a s s o c i a t e d w i t h t h e e x t r a p u s h p r o b l e m i s i s o l a t e d .

A n i n t e r e s t i n g p r o b l e m c o n c e r n i n g t h e f u s i o n o f m a s s i v e n u c l e i i s t h e s y n t h e s i s o f s u p e r

h e a v y e l e m e n t s . A s i g n i c a n t a d v a n c e o c c u r r e d w h e n H o f m a n n e t e l . ( 1 9 9 6 ) a t G S I w o r k i n g

w i t h t h e S H I P v e l o c i t y l t e r h a s s u c c e e d e d i n p r o d u c i n g t h e s u p e r h e a v y e l e m e n t Z = 1 1 2 b y

t h e s o c a l l e d c o l d f u s i o n m e t h o d u s i n g

7 0

Z n +

2 0 8

P b r e a c t i o n . T h i s i s t h e h e a v i e s t e l e m e n t

r e c o r d e d t o d a t e a n d i t i s o n l y t w o a t o m i c n u m b e r a w a y f r o m t h e p r e d i c t e d m a g i c n u m b e r

Z = 1 1 4 . T h o u g h t h e s u c c e s s f u l s y n t h e s i s o f e l e m e n t 1 1 2 a f t e r t h e s y n t h e s i s o f e l e m e n t s 1 1 0

a n d 1 1 1 i n 1 9 9 4 s e e m s t o i n d i c a t e t h a t a s i m i l a r e x p e r i m e n t a l s t r a t e g y c a n b e u s e d t o g o

f u r t h e r t o t h e r e a l m o f t h e h e a v i e s t e l e m e n t s , a p r o b l e m i s t h a t t h e c r o s s s e c t i o n i s v e r y s m a l l ,

i . e . , o f t h e o r d e r o f 1 p b . A c t u a l l y , o n l y t w o e v e n t s w e r e i d e n t i e d f o r Z = 1 1 2 . I t w o u l d

c e r t a i n l y b e v e r y i n t e r e s t i n g t o l o o k f o r a l t e r n a t i v e w a y s t o s y n t h e s i z e s u p e r h e a v y e l e m e n t s .

A n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n i n t h i s c o n n e c t i o n i s t o e x a m i n e w h e t h e r t h e r e a r e a d v a n t a g e s o f

u s i n g n e u t r o n r i c h u n s t a b l e n u c l e i . A p r e l i m i n a r y s t u d y i n t h i s d i r e c t i o n h a s b e e n u n d e r t a k e n

b y T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 2 b ) a n d T a k i g a w a a n d S h i n o z u k a ( 1 9 9 2 c ) . T h e s e a u t h o r s d i s c u s s e d

t h e a d v a n t a g e s s u c h a s t h e l a r g e r s u r v i v a l p r o b a b i l i t y o f t h e c o m p o u n d s y s t e m , l o w e r i n g o f

3 3



t h e f u s i o n b a r r i e r , a n d t h e p o s s i b l e l o w e r i n g o f t h e e x t r a - p u s h e n e r g i e s , a n d d i s a d v a n t a g e s

s u c h a s t h e l o w b e a m i n t e n s i t y i n r e a c t i o n s i n d u c e d b y n e u t r o n r i c h u n s t a b l e n u c l e i . I n

p a s s i n g , w e w i s h t o m e n t i o n t h a t N o m u r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) i s t r y i n g t o u s e ( H I , x n ) r e a c t i o n s

t o e x p e r i m e n t a l l y s y n t h e s i z e s u p e r h e a v y e l e m e n t s u s i n g t h e c o o l i n g m e c h a n i s m b y p a r t i c l e

e m i s s i o n , a n d t h a t A r i t o m o e t a l . ( 1 9 9 7 ) a r e i n t r o d u c i n g a d i u s i o n m o d e l t o t h e o r e t i c a l l y

d i s c u s s t h e m e c h a n i s m o f t h e s y n t h e s i s o f s u p e r h e a v y e l e m e n t s , t h o u g h b o t h o f t h e m t r e a t

a t h e r m a l p r o c e s s r a t h e r t h a n a q u a n t u m t u n n e l i n g p r o c e s s .

V I . O P E N P R O B L E M S A N D O U T L O O K

A l t h o u g h t h e r e s t i l l a r e m a n y u n s e t t l e d i s s u e s e v e n i n f u s i o n r e a c t i o n s w i t h s t a b l e n u c l e i ,

r e m a r k a b l e p r o g r e s s h a s b e e n m a d e i n t h e l a s t f t e e n y e a r s . N e w , c o n c e p t u a l l y a l l u r i n g

w a y s o f a n a l y z i n g d a t a , s u c h a s s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s ; n e w a p p r o a c h e s t o c h a n n e l

c o u p l i n g , s u c h a s t h e p a t h i n t e g r a l a n d G r e e n f u n c t i o n f o r m a l i s m s ; a n d a l t e r n a t i v e m e t h -

o d s t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s , s u c h a s t h o s e u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l ,

w e r e i n t r o d u c e d . T h e r o l e s o f n u c l e o n t r a n s f e r , h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s , a n d s h a p e - p h a s e

t r a n s i t i o n s w e r e e l u c i d a t e d . W e c a n n o w u n d e r s t a n d t h e d a t a f o r c l e a n ( i . e . , a s y m m e t r i c )

s y s t e m s i n t e r m s o f i n e l a s t i c e x c i t a t i o n s a n d n u c l e o n t r a n s f e r . A c q u i s i t i o n o f h i g h p r e c i s i o n ,

c o m p l e m e n t a r y d a t a f o r f u s i o n , t r a n s f e r r e a c t i o n s , a n d e l a s t i c s c a t t e r i n g a t b e l o w a n d n e a r

t h e b a r r i e r s h o u l d b e e n c o u r a g e d a s t h e o r e t i c a l t o o l s a r e a v a i l a b l e t o a n a l y z e t h e m .

O n t h e o t h e r h a n d , f u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r v e r y h e a v y s y m m e t r i c s y s t e m s c a n n o t b e

r e p r o d u c e d b y t h e p r e s e n t m o d e l s . I n s u c h s y s t e m s i n c l u s i o n o f h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g i s

e s s e n t i a l . O n e s a l i e n t i n g r e d i e n t i s a p r o p e r d e s c r i p t i o n o f n e c k f o r m a t i o n . T h o u g h t h e r e

a r e m a n y p i o n e e r i n g a t t e m p t s w h i c h r e l a t e t h e l a r g e e n h a n c e m e n t o f t h e f u s i o n c r o s s s e c -

t i o n t o t h e n e c k f o r m a t i o n ( J a h n k e e t a l . , 1 9 8 2 ; K r a p p e e t a l . , 1 9 8 3 ; I w a m o t o a n d H a r a d a ,

1 9 8 7 ; I w a m o t o a n d T a k i g a w a , 1 9 8 9 ; A g u i a r e t a l . , 1 9 8 8 ) , a m i c r o s c o p i c d e s c r i p t i o n o f f u -

s i o n r e a c t i o n s i n g e n e r a l a n d n e c k f o r m a t i o n i n p a r t i c u l a r i s s t i l l a t a v e r y p r i m i t i v e s t a g e

a n d n e e d s t o b e f u r t h e r d e v e l o p e d . I n c o n n e c t i o n w i t h t h e f o r m e r , w e w i s h t o n o t e t h e

c o m p u t e r s i m u l a t i o n s f o r s u b - b a r r i e r f u s i o n r e a c t i o n s b y B o n a s e r a a n d K o n d r a t y e v ( 1 9 9 4 ) .

T h e e e c t s o f n e c k f o r m a t i o n c o u l d b e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f t h e q u a n t u m t u n n e l i n g i n a

m u l t i - d i m e n s i o n a l s p a c e ( L a n d o w n e a n d N i x , 1 9 8 1 ; K o d a m a e t a l . , 1 9 7 8 ; Y u D e n i s o v a n d

R o y e r , 1 9 9 4 ; Y u D e n i s o v a n d R o y e r , 1 9 9 5 ) .

S e v e r a l e x i s t i n g a n d p r e s e n t l y u n d e r c o n s t r u c t i o n e x p e r i m e n t a l f a c i l i t i e s p r o v i d i n g b e a m s

o f s h o r t - l i v e d r a d i o a c t i v e n u c l e i p r e s e n t n e w o p p o r t u n i t i e s t o e x p l o r e t h e d y n a m i c s o f t h e

f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w t h e C o u l o m b b a r r i e r . I n s u c h f a c i l i t i e s , i n a d d i t i o n t o t e s t i n g o u r

p r e s e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e f u s i o n d y n a m i c s i n a n e w s e t t i n g , o n e c a n e x p e r i m e n t a l l y

i n v e s t i g a t e e n t i r e l y n e w f a c e t s s u c h a s t h e c o u p l i n g o f r e s o n a n t s t a t e s t o q u a n t u m t u n n e l i n g

a n d t h e p o s s i b i l i t y o f m o l e c u l a r b o n d f o r m a t i o n .

O n e s h o u l d n a l l y r e m a r k t h a t t h e r e a r e m a n y o t h e r t u n n e l i n g p h e n o m e n a i n n u c l e a r

p h y s i c s b e s i d e s h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s . A l p h a d e c a y , s s i o n , v a r i o u s r a r e d e c a y s , a n d

n u c l e a r s t r u c t u r e p r o b l e m s s u c h a s t h e d e c a y o f a s u p e r d e f o r m e d b a n d t o a n o r m a l b a n d

w i l l a l s o b e e e c t e d b y c o u p l i n g t o t h e i n t r i n s i c d e g r e e s o f f r e e d o m a n d i n s i g h t o b t a i n e d

i n t h e s t u d y o f h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s a t s u b b a r r i e r e n e r g i e s w i l l b e a v a l u a b l e t o o l t o

u n d e r s t a n d t h e s e p h e n o m e n a i n m o r e d e t a i l .

3 4



A C K N O W L E D G M E N T S

W e t h a n k J . B e a c o m a n d K . H a g i n o f o r t h e i r c o m m e n t s o n t h e m a n u s c r i p t . W e a r e

g r a t e f u l t o o u r c o l l a b o r a t o r s a n d c o l l e a g u e s J . B e n n e t t , A . D e W e e r d , K . H a g i n o , S . K u y u -

c a k , J . L e i g h , N . R o w l e y , R . V a n d e n b o s c h f o r m a n y d i s c u s s i o n s o v e r t h e y e a r s . T h i s r e s e a r c h

w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e U . S . N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n G r a n t s N o . P H Y - 9 3 1 4 1 3 1

a n d P H Y - 9 6 0 5 1 4 0 ; i n p a r t b y t h e J a p a n S o c i e t y o f P r o m o t i o n o f S c i e n c e ; a n d i n p a r t b y t h e

U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n R e s e a r c h C o m m i t t e e w i t h f u n d s g r a n t e d b y t h e W i s c o n s i n A l u m n i

R e s e a r c h F o u n d a t i o n . I t w a s a l s o s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e G r a n t - i n - A i d f o r G e n e r a l S c i e n -

t i c R e s e a r c h , C o n t r a c t s N o . 0 6 6 4 0 3 6 8 a n d N o . 0 8 6 4 0 3 8 0 ; t h e G r a n t - i n - A i d f o r S c i e n t i c

R e s e a r c h o n P r i o r i t y A r e a s , C o n t r a c t s N o . 0 5 2 4 3 1 0 2 a n d N o . 0 8 2 4 0 2 0 4 ; a n d M o n b u s h o

I n t e r n a t i o n a l S c i e n t i c R e s e a r c h P r o g r a m : J o i n t R e s e a r c h f r o m t h e J a p a n e s e M i n i s t r y o f

E d u c a t i o n , S c i e n c e a n d C u l t u r e C o n t r a c t N o . 0 9 0 4 4 0 5 1 .

3 5



R E F E R E N C E S

A b e , M . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 8 , P h y s . L e t t . B 2 0 9 , 1 4 9 .

A c k e r m a n n , D . , L . C o r r a d i , D . R . N a p o l i , C . M . P e t r a c h e , P . S p o l a o r e , A . M . S t e f a n i n i , F .

S c a r l a s s a r a , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , G . F . S e g a t o , a n d C . S i g n o r i n i , 1 9 9 4 , N u c l . P h y s . A

5 7 5 , 3 7 4 .

A c k e r m a n n , D . , 1 9 9 5 , A c t a P h y s . P o l . B 2 6 , 5 1 7 .

A c k e r m a n n , D . , P . B e d n a r c z y k , L . C o r r a d i , D . R . N a p o l i , C . M . P e t r a c h e , P . S p o l a o r e , A . M .

S t e f a n i n i , K . M . V a r i e r , H . Z h a n g , F . S c a r l a s s a r a , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , L . M u l l e r ,

G . F . S e g a t o , F . S o r a m l e , a n d C . S i g n o r i n i , 1 9 9 6 , N u c l . P h y s . A 6 0 9 , 9 1 .

A g u i a r , C . E . , V . C . B a r b o s a , L . F . C a n t o , a n d R . D o n a n g e l o , 1 9 8 8 , P h y s . L e t t . B 2 0 1 , 2 2 .

A n d r e s , M . V . , N . R o w l e y , a n d M . A . N a g a r a j a n , 1 9 8 8 , P h y s . L e t t . B 2 0 2 , 2 9 2

A p r a h a m i a n , A . , D . S . B r e n n e r , R . F . C a s t e n , R . L . G i l l , a n d A . P i o t r o w s k i , 1 9 8 7 , P h y s . R e v .

L e t t . 5 9 , 5 3 5 .

A r i m a , A . a n d F . I a c h e l l o , 1 9 7 6 , A n n . P h y s . ( N . Y . ) 9 9 , 2 5 3 .

A r i t o m o , Y . , T . W a d a , M . O h t a a n d Y . A b e , 1 9 9 7 , P h y s . R e v . C 5 5 , R 1 0 1 1 .

B a c k , B . B . , R . R . B e t t s , J . E . G i n d l e r , B . D . W i l k i n s , S . S a i n i , M . B . T s a n g , C . K . G e l b k e ,

W . G . L y n c h , M . A . M c M a h a n , a n d P . A . B a i s e n , 1 9 8 5 , P h y s . R e v . C 3 2 , 1 9 5 .

B a b a , C . V . K . , 1 9 9 3 , N u c l . P h y s . A 5 5 3 , 7 1 9 c .

B a l a n t e k i n , A . B . , S . E . K o o n i n , a n d J . W . N e g e l e , 1 9 8 3 , P h y s . R e v . C 2 8 , 1 5 6 5 .

B a l a n t e k i n , A . B . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 5 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 6 0 , 4 4 1 .

B a l a n t e k i n , A . B . a n d P . E . R e i m e r , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . C 3 3 , 3 7 9 .

B a l a n t e k i n , A . B . , J . B e n n e t t , a n d N . T a k i g a w a , 1 9 9 1 , P h y s . R e v . C 4 4 , 1 4 5 .

B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , A . J . D e W e e r d , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 2 , P h y s . R e v . C 4 6 ,

2 0 1 9 .

B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 3 , P h y s . R e v . C 4 8 , 1 2 6 9 .



B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 4 , P h y s . L e t t . B 3 3 5 , 2 9 5 .

B a l a n t e k i n , A . B . , A . J . D e W e e r d , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 6 , P h y s . R e v . C 5 4 , 1 8 5 3 .

B a s s , R . , 1 9 7 4 , N u c l . P h y s . A 2 3 1 , 4 5 .

B e c k e r m a n , M . , M . S a l o m a a , H . A . E n g e , A . S p e r d u t o , J . B a l l , A . D i R i e n z o , S . G a z e s , Y .

C h e n , J . D . M o l i t o r i s , a n d M . N a i - f e n g , 1 9 8 0 , P h y s . R e v . L e t t . 4 5 , 1 4 7 2 .

B e c k e r m a n , M . , 1 9 8 8 , R e p . P r o g . P h y s . 5 1 , 1 0 4 7 .

B e r t u l a n i , C . a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 4 , 2 7 5 .

B i e r m a n , J . D . , A . W . C h a r l o p , D . J . P r i n d l e , R . V a n d e n b o s c h , a n d D . Y e , 1 9 9 3 , P h y s . R e v .

C 4 8 , 3 1 9

B i e r m a n , J . D . , P . C h a n , J . F . L i a n g , M . P . K e l l y , A . A . S o n z o g n i , a n d R . V a n d e n b o s c h , 1 9 9 6 ,

P h y s . R e v . L e t t . 7 6 , 1 5 8 7 .

B i e r m a n , J . D . , P . C h a n , J . F . L i a n g , M . P . K e l l y , A . A . S o n z o g n i a n d R . V a n d e n b o s c h , 1 9 9 6 ,

U n i v e r s i t y o f W a s h i n g t o n p r e p r i n t .

B j o r n h o l m , S . a n d W . J . S w i a t e c k i , 1 9 8 2 , N u c l . P h y s . A 3 9 1 , 4 7 1 .

B o n a s e r a , A . a n d V . K o n d r a t y e v , 1 9 9 4 , P h y s . L e t t . B 3 3 9 , 2 0 7 .

B r a n d a n , M . E . a n d G . R . S a t c h l e r , 1 9 9 7 , P h y s . R e p . 2 8 5 , 1 4 3 .

B r i n k , D . M . , A . F . R . d e T o l e d o P i z a , a n d A . K . K e r m a n , 1 9 6 5 , P h y s . L e t t . 1 9 , 4 1 3 .

B r i n k , D . M . a n d U . S m i l a n s k y , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 0 5 , 3 0 1 .

3 6



B r i n k , D . M . , M . C . N e m e s , a n d D . V a u t h e r i n , 1 9 8 3 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 4 7 , 1 7 1 .

B r i n k , D . M . , S e m i - C l a s s i c a l M e t h o d s f o r N u c l e u s - N u c l e u s S c a t t e r i n g ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y

P r e s s , C a m b r i d g e , E n g l a n d , 1 9 8 5 ) .

B r i n k , D . M . , i n F r o n t i e r s o f N u c l e a r D y n a m i c s , B r o g l i a , R . A . a n d C . H . D a s s o , E d s . ( P l e n u m

P r e s s , L o n d o n , 1 9 8 5 ) , p . 1 7 1 .

B r o g l i a , R . A . , C . H . D a s s o , S . L a n d o w n e , a n d G . P o l l a r o l o , 1 9 8 3 , P h y s . L e t t . B 1 3 3 , 3 4 .

B r o g l i a , R . A . , C . H . D a s s o , S . L a n d o w n e , a n d A . W i n t h e r , 1 9 8 3 , P h y s . R e v . C 2 7 , 2 4 3 3 .

C a l d e i r a , A . O . a n d A . J . L e g g e t t , 1 9 8 3 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 4 9 , 3 7 4 .

C a n t o , L . F . , R . D o n a n g e l o , P . L o t t i , a n d M . S . H u s s e i n , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , R 2 8 4 8 .

C a s t e n , R . F . a n d D . D . W a r n e r , 1 9 8 8 , R e v . M o d . P h y s . 6 0 , 3 8 9 .

C a s t e n , R . F . a n d N . V . Z a m r , 1 9 9 6 , P h y s . R e p . 2 6 4 , 8 1 .

C h a r l o p , A . , J . B i e r m a n , Z . D r e b i , A . G a r c i a , S . G i l , D . P r i n d l e , A . S o n z o g n i , R . V a n d e n -

b o s c h , a n d D . Y e , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 6 2 8 .

C h a s e , D . M . , L . W i l e t s , a n d A . R . E d m o n d s , 1 9 5 8 , P h y s . R e v . 1 1 0 , 1 0 8 0 .

C h r i s t l e y , J . A . , M . A . N a g a r a j a n , a n d A . V i t t u r i , 1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 9 1 , 3 4 1 .

C o l e , M . W . a n d R . H . G o o d , 1 9 7 8 , P h y s . R e v . A 1 8 , 1 0 8 5 .

D a s g u p t a , M . , A . N a v i n , Y . K . A g a r w a l , C . V . K . B a b a , H . C . J a i n , M . L . J h i n g a n , a n d A . R o y ,

1 9 9 1 , P h y s . R e v . L e t t . 6 6 , 1 4 1 4 .

D a s g u p t a , M . , A . N a v i n , Y . K . A g a r w a l , C . V . K . B a b a , H . C . J a i n , M . L . J h i n g a n , a n d A . R o y ,

1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 3 9 , 3 5 1 .

D a s s o , C . H . , S . L a n d o w n e , a n d A . W i n t h e r , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 0 5 , 3 8 1 ; 4 0 7 , 2 2 1 .

D a s s o , C . H . , H . E s b e n s e n , a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . L e t t . 5 7 , 1 4 9 8 .

D a s s o , C . H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 7 , P h y s . L e t t . B 1 8 3 , 1 4 1 .

D a s s o , C . H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 7 , C o m p u t . P h y s . C o m m u n . 4 6 , 1 8 7 .

D a s s o , C . H . a n d A . V i t t u r i , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 5 0 , R 1 2 .

Y u D e n i s o v , V . a n d G . R o y e r , 1 9 9 4 , J . P h y s . G 2 0 , L 4 3 .

Y u D e n i s o v , V . a n d G . R o y e r , 1 9 9 5 , P h y s . A t o m i c N u c l . 5 8 , 3 9 7 .

D e W e e r d , A . J . , 1 9 9 6 , P h . D . D i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n .

D i G r e g o r i o , D . E . , J . O F e r n a n d e z N i e l l o , A . J . P a c h e c o , D . A b r i o l a , S . G i l , A . O . M a c c h i a v e l l i ,

J . E . T e s t o n i , P . R . P a s c h o l a t i , V . R . V a n i n , R . L i g u o r i N e t o , N . C a r l i n F i l h o , M . M . C o i m b r a ,

P . R . S i l v e i r a G o m e s , a n d R . G . S t o k s t a d , 1 9 8 6 , P h y s . L e t t . B 1 7 6 , 3 2 2 .

D i G r e g o r i o , D . E . , K . T . L e s k o , B . A . H a r m o n , E . B . N o r m a n , J . P o u l i o t , B . S u r , Y . D . C h a n ,

a n d R . G . S t o k s t a d , 1 9 9 0 , P h y s . R e v . C 4 2 , 2 1 0 8 .

D i G r e g o r i o , D . E . a n d R . G . S t o k s t a d , 1 9 9 1 , P h y s . R e v . C 4 3 , 2 6 5 .

E s b e n s e n , H . , 1 9 8 1 , N u c l . P h y s . A 3 5 2 , 1 4 7 .

E s b e n s e n , H . , J . - Q . W u , a n d G . F . B e r t s c h , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 1 1 , 2 7 5 .

E s b e n s e n , H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 7 , P h y s . R e v . C 3 5 , 2 0 9 0 .

E s b e n s e n , H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 9 , N u c l . P h y s . A 4 9 2 , 4 7 3 .

E s b e n s e n , H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 9 , N u c l . P h y s . A 4 6 7 , 1 3 6 .

E s b e n s e n , H . , S . L a n d o w n e , a n d C . P r i c e , 1 9 8 7 , P h y s . R e v . C 3 6 , 1 2 1 6 .

F u k o u - Y o u m b i , V . , J . L . S i d a , a n d N . A l a m a n o s , H e a v y I o n F u s i o n , E x p l o r i n g t h e V a r i e t y o f

N u c l e a r P r o p e r t i e s , A . M . S t e f a n i n i , e t a l . , E d s . ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 4 ) , p . 3 0 5 .

F e r n a n d e z - N i e l l o , J . , C . H . D a s s o , a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 9 , C o m p u t . P h y s . C o m m u n . 5 4 ,

4 0 9 .

F i s c h e r , R . D . , A . R u c k e l s h a u s e n , G . K o c h , W . K u h n , V . M e t a g , R . M u h l h a n s , R . N o v o t n y ,

3 7



H . S t r o h e r , H . G r o g e r , D . H a b s , H . W . H e y n g , R . R e p n o w , D . S c h w a l m , W . R e i s d o r f , a n d

R . S . S i m o n , 1 9 8 6 , P h y s . L e t t . B 1 7 1 , 3 3 .

G a l e t t i , D . a n d M . A . C a n d i d o R i b e i r o , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 5 0 , 2 1 3 6 .

G a l e t t i , D . a n d M . A . C a n d i d o R i b e i r o , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 1 4 0 8 .

G i n o c c h i o , J . N . , T . O t s u k a , R . D . A m a d o , a n d D . A S p a r r o w , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . C 3 3 , 2 4 7 .

G o m e z - C a m a c h o , J . a n d R . C . J o h n s o n , 1 9 8 8 , J . P h y s . G 1 2 , L 2 3 5 .

H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , A . B . B a l a n t e k i n , a n d J . R . B e n n e t t , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 2 8 6 .

H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , J . R . B e n n e t t , a n d D . M . B r i n k , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 3 1 9 0 .

H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , a n d J . R . L e i g h , 1 9 9 7 , P h y s . R e v . C

5 5 , 2 7 6 .

H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 7 , T o h o k u U n i v e r s i t y p r e p r i n t .

H a l b e r t , M . L . , J . R . B e e n e , D . C . H e n s l e y , K . H o n k a n e n , T . M . S e m k o v , V . A b e n a n t e , D . G .

S a r a n t i t e s , a n d Z . L i , 1 9 8 9 , P h y s . R e v . C 4 0 , 2 5 5 8 .

H a n g g i , P . , P . T a l k n e r , a n d M . B o r k o v e c , 1 9 9 0 , R e v . M o d . P h y s . 6 2 , 2 5 1 a n d r e f e r e n c e s

t h e r e i n .

H i l l , D . L . a n d J . A . W h e e l e r , 1 9 5 3 , P h y s . R e v . 8 9 , 1 1 0 2 .

H i n d e , D . J . , C . R . M o r t o n , M . D a s g u p t a , J . R . L e i g h , R . C . L e m m o n , J . P . L e s t o n e , J . C . M e i n

a n d H . T i m m e r s , P r o c e e d i n g s o f t h e 7 t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n N u c l e a r R e a c t i o n

M e c h a n i s m s , V a r e n n a , I t a l y , J u n e 1 9 9 4 .

H o f m a n n , S . , V . N i n o v , F . P . H e b e r g e r , P . A r m b r u s t e r , H . F o l g e r , G . M u n z e n b e r g , H . J .

S c h o t t , A . G . P o p e k o , A . V . Y e r e m i n , S . S a r o , R . J a n i k , a n d M . L e i n o , 1 9 9 6 , Z . P h y s . A

3 5 4 , 2 2 9 .

H u s s e i n , M . S . , 1 9 9 1 , N u c l . P h y s . A 5 3 1 , 1 9 2

H u s s e i n , M . S . , M . P . P a t o , a n d A . F . R . d e T o l e d o P i z a , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 8 4 6 .

I a c h e l l o , F . a n d A . A r i m a , T h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l , ( C a m b r i d g e , 1 9 8 7 ) .

I m a n i s h i , B . a n d W . v o n O e r t z e n , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 3 2 4 9 .

I n u i , M . a n d S . E . K o o n i n , 1 9 8 4 , P h y s . R e v . C 3 0 , 1 7 5 .

I s h i h a r a , M . , N . T a k i g a w a , a n d S . Y a m a j i , E d s . H e a v y - I o n R e a c t i o n s w i t h N e u t r o n - R i c h

B e a m s ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 3 ) .

I w a m o t o , A . a n d K . H a r a d a , 1 9 8 7 , Z . P h y s . A 3 2 6 , 2 0 1 .

I w a m o t o , A . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 9 , P h y s . L e t t . B 2 1 9 , 1 7 6 .

I z u m o t o , T . , T . U d a g a w a , a n d B . T . K i m , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 7 6 1 .

J a c o b s , P . M . , a n d U . S m i l a n s k y , P h y s . L e t t . B 1 2 7 , 3 1 3 ( 1 9 8 3 ) .

J a h n k e , U . , H . H . R o s s n e r , D . H i l s c h e r , a n d E . H o l u b , P h y s . R e v . L e t t . 4 8 , 1 7 .

J i a n g , C . L . , K . E . R e h m , J . G e h r i n g , B . G l a g o l a , W . K u t s c h e r a , M . R h e i n , a n d A . H . W u o s -

m a a , 1 9 9 4 , P h y s . L e t t . B 3 3 7 , 5 9 .

K i m , K . - H . , T . O t s u k a , a n d M . T o h y a m a , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 5 0 , R 5 6 6 .

K o d a m a , T . , R . A . M . S . N a z a r e t h , P . M o l l e r , a n d J . R . N i x , 1 9 7 8 , P h y s . R e v . C 1 7 , 1 1 1 .

K r a p p e , H . J . , J . R . N i x , a n d A . J . S i e r k , 1 9 7 9 , P h y s . R e v . C 2 0 , 9 9 2 .

K r a p p e , H . J . , K . M o h r i n g , M . C . N e m e s , a n d H . R o s s n e r , 1 9 8 3 , Z . P h y s . A 3 1 4 , 2 3 ( 1 9 8 3 ) .

K r a p p e , H . J . a n d H . R o s s n e r , i n L o w E n e r g y N u c l e a r D y n a m i c s , Y . O g a n e s s i a n e t e l . , E d s .

( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 5 ) , p . 3 2 9 .

K r u p p a , A . T . , P . R o m a i n , M . A . N a g a r a j a n , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 3 , N u c l . P h y s . A 5 6 0 , 8 4 5 .

K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 8 8 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 8 1 , 7 9 .

K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 8 9 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 9 5 , 1 2 6 .

3 8



K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 8 9 , P h y s . R e v C 4 1 , 2 9 3 6 .

K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 9 1 , P h y s . R e v C 4 3 , 1 1 8 7 .

L a n d o w n e , S . a n d J . R . N i x , 1 9 8 1 , N u c l . P h y s . A 3 6 8 , 3 5 2 .

L e i g h , J . R . , N . R o w l e y , R . C . L e m m o n , D . J . H i n d e , J . O . N e w t o n , J . X . W e i , J . C . M e i n , C . R

M o r t o n , S . K u y u c a k , a n d A . T . K r u p p e , 1 9 9 3 , P h y s . R e v . C 4 7 , R 4 3 7 .

L e i g h , J . R . , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , J . C . M e i n , C . R . M o r t o n , R . C . L e m m o n , J . P . L e s t o n e ,

J . O . N e w t o n , H . T i m m e r s , J . X . W e i , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 3 1 5 1 .

L e m m o n , R . C . , J . R . L e i g h , J . X . W e i , C . R . M o r t o n , D . J . H i n d e , J . O . N e w t o n , J . C . M e i n ,

M . D a s g u p t a , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 6 , 3 2 .

L i n d s a y , R . a n d N . R o w l e y , 1 9 8 4 , J . P h y s . G 1 0 , 8 0 5 .

M o l l e r , P . a n d A . I w a m o t o , 1 9 9 4 , N u c l . P h y s . A 5 7 5 , 3 8 1 .

M o r t o n , C . R . , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , J . R . L e i g h , R . C . L e m m o n , J . P . L e s t o n e , J . C . M e i n ,

J . O . N e w t o n , H . T i m m e r s , N . R o w l e y , a n d A . T . K r u p p a , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . L e t t . 7 2 , 4 0 7 4 .

M o r t o n , C . R . , 1 9 9 5 , P h . D . D i s s e r t a t i o n , A u s t r a l i a n N a t i o n a l U n i v e r s i t y .

M u l l e r , B . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 7 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 7 3 , 1 6 3 .

N a g a r a j a n , M . A . , C . M a h a u x , a n d G . R . S a t c h l e r , 1 9 8 5 , P h y s . R e v . L e t t . 5 4 , 1 1 3 6 .

N a g a r a j a n , M . A . , A . B . B a l a n t e k i n a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . C 3 4 , 8 9 4 .

N o m u r a , T . e t a l , P r o c e e d i n g s o f t h e T o u r s S y m p o s i u m o n N u c l e a r P h y s i c s I I , 1 9 9 4 , T o u r s ,

F r a n c e ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 5 ) , p p . 4 1 8 - 4 2 7 .

v o n O e r t z e n , W . a n d W . N o r e m b e r g , 1 9 7 3 , N u c l . P h y s . A 2 0 7 , 1 1 3 .

P o e , N . , N . R o w l e y , a n d R . L i d s a y , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 1 0 , 4 9 8 .

P r a s a d , N . V . S . V . , A . M . V i n o d k u m a r , A . K . S i n h a , K . M . V a r i e r , D . L S a s t r y , N . M a d h a v a n ,

P . S u g a t h a n , D . O . K a t a r i a , a n d J . J . D a s , 1 9 9 6 , N u c l . P h y s . A 6 0 3 , 1 7 6 .

R e h m , K . E . , H . E s b e n s e n , J . G e h r i n g , B . G l a g o l a , D . H e n d e r s o n , W . K u t s c h e r a , M . P a u l ,

F . S o r a m e l , a n d A . H . W u o s m a a , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 7 , 3 1 .

R e i s d o r f , W . , F . P . H e s s b e r g e r , K . D . H i l d e n b r a n d , S . H o f m a n n , G . M u n z e n b e r g , K . - H .

S c h m i d t , J . H . R . S c h n e i d e r , W . F . W . S c h n e i d e r , K . S u m m e r e r , a n d G . W i r t h , 1 9 8 5 , N u c l .

P h y s . A 4 3 8 , 2 1 2 .

R e i s d o r f , W . , 1 9 9 4 , J . P h y s . G 2 0 , 1 2 9 7 .

R h o d e s - B r o w n , M . J . a n d V . E . O b e r a c k e r , 1 9 8 3 , P h y s . R e v . L e t t . 5 0 , 1 4 3 5 .

R o w l e y , N . , A . K a b i r , a n d R . L i n d s a y , 1 9 8 9 , J . P h y s . G 1 5 , L 2 6 9 .

R o w l e y , N . , G . R . S a t c h l e r , a n d P . H . S t e l s o n , 1 9 9 1 , P h y s . L e t t . B 2 5 4 , 2 5 .

R o w l e y , N . , 1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 3 8 , 2 0 5 c .

R o w l e y , N . , J . R . L e i g h , J . X . W e i , a n d R . L i n d s a y , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 4 , 1 7 9 .

R o w l e y , N . , H . T i m m e r s , J . R . L e i g h , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , J . C . M e i n , C . R . M o r t o n ,

a n d J . O . N e w t o n , 1 9 9 6 , P h y s . L e t t . B 3 7 3 , 2 3 .

S a h m , C . - C . , H . - G . C l e r c , K . - H . S c m i d t , W . R e i s d o r f , P . A r m b r u s t e r , F . P . H e s s b e r g e r , J . G .

K e l l e r , G . M u n z e n b e r g , a n d D . V e r m e u l e n , 1 9 8 5 , N u c l . P h y s . A 4 4 1 , 3 1 6 .

S a g a w a , H . , N g u y e n v a n G i a i , N . T a k i g a w a , M . I s h i h a r a , a n d K . Y a z a k i , 1 9 9 5 , Z . P h y s . A

3 5 1 , 3 8 5 .

S a t c h l e r , G . R . , 1 9 9 1 , P h y s . R e p . 1 9 9 , 1 4 7 .

S c h i c k e r , R . , N . A l a m a n o s , P . B r a u n - M u n z i n g e r , J . S t a c h e l , a n d L . W a t e r s , 1 9 8 8 , P h y s .

L e t t . B 2 0 6 , 9 .

S c h o l t e n , O . , i n C o m p u t a t i o n a l N u c l e a r P h y s i c s , L a n g a n k e , K . , J . A . M a r u h n , a n d S . E .

K o o n i n , E d i t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 1 ) .

3 9



S t e f a n i n i , A . M . , J . W u , L . C o r r a d i , G . M o n t a g n o l i , H . M o r e n o , Y . N a g a s h i m a , L . M u e l l e r ,

M . N a r a y a n a s a m y , D . R . N a p o l i , P . S p o l a o r e , S . B e g h i n i , F . S c a r l a s s a r a , G . F . S e g a t o , F .

S o r a m e l , C . S i g n o r i n i , H . E s b e n s e n , S . L a n d o w n e , a n d G . P o l l a r o l o , 1 9 9 0 , P h y s . L e t t . B

2 4 0 , 3 0 6 .

S t e f a n i n i , A . M . , L . C o r r a d i , , D . A c k e r m a n n , A . F a c c o , F . G r a m e g n a , H . M o r e n o , L . M u e l l e r ,

D . R . N a p o l i , G . F . P r e t e , P . S p o l a o r e , S . B e g h i n i , D . F a b r i s , G . M o n t a g n o l i , G . N e b b i a , J . A .

R u i z , G . F . S e g a t o , C . S i g n o r i n i , a n d G . V i e s t i , 1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 4 8 , 4 5 3 .

S t e f a n i n i , A . M . , P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n \ H e a v y - I o n F u s i o n : E x p l o r -

i n g t h e V a r i e t y o f N u c l e a r P r o p e r t i e s " , P a d u a , I t a l y , M a y 2 5 - 2 7 , 1 9 9 4 ( W o r l d S c i e n t i c ,

S i n g a p o r e , 1 9 9 4 ) .

S t e f a n i n i , A . M . , D . A c k e r m a n n , L . C o r r a d i , J . H . H e , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , F . S c a r l a s -

s a r a , a n d G . F . S e g a t o , 1 9 9 5 , A c t a P h y s . P o l . B 2 6 , 5 0 3 .

S t e f a n i n i , A . M . , D . A c k e r m a n n , L . C o r r a d i , D . R . N a p o l i , C . P e t r a c h e , P . S p o l a o r e , P . B e d -

n a r c z y k , H . Q . Z h a n g , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , L . M u e l l e r , F . S c a r l a s s a r a , G . F . S e g a t o ,

F . S o r a m e l a n d N . R o w l e y , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . L e t t . 7 4 , 8 6 4 .

S t e f a n i n i , A . M . , D . A c k e r m a n n , L . C o r r a d i , J . H . H e , G . M o n t a g n o l i , S . B e g h i n i , F . S c a r l a s -

s a r a , a n d G . F . S e g a t o , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 1 7 2 7 .

S t o k s t a d , R . G . , Y . E i s e n , S . K a p l a n i s , D . P e l t e , U . S m i l a n s k y , a n d I . T s e r r u y a , 1 9 8 0 , P h y s .

R e v . C 2 1 , 2 4 2 7 .

S t o k s t a d , R . G . , D . E . D i G r e g o r i o , K . T . L e s k o , B . A . H a r m o n , E . B . N o r m a n , J . P o u l i o t , a n d

Y . D . C h a n , 1 9 8 9 , P h y s . R e v . L e t t . 6 2 , 3 9 9 .

S t o k s t a d , R . G . a n d E . E . G r o s s , 1 9 8 1 , P h y s . R e v . C 2 3 , 2 8 1 .

T a k i g a w a , N . , a n d K . I k e d a , P r o c . S y m p . o n M a n y F a c e t s o f H e a v y I o n F u s i o n R e a c t i o n s ,

E d . W . H e n n i n g e t a l . , ( A r g o n n e : A N L - P H Y - 8 6 - 1 ) ( 1 9 8 6 ) , p p . 6 1 3 - 6 2 0 .

T a k i g a w a , N . a n d H . S a g a w a , 1 9 9 1 , P h y s . L e t t . B 2 6 5 , 2 3 .

T a k i g a w a , N . , Y . A l h a s s i d , a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 9 2 , P h y s . R e v . C 4 5 , 1 8 5 0 .

T a k i g a w a , N . , H . S a g a w a , T . S h i n o z u k a , 1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 3 8 , 2 2 1 c .

T a k i g a w a , N . a n d T . S h i n o z u k a , 1 9 9 2 , P r o c e e d i n g s o f t h e 1 8 t h I N S I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m

o n P h y s i c s w i t h H i g h I n t e n s i t y H a d r o n A c c e l e r a t o r s , T o k y o , M a r c h 1 4 - 1 6 , 1 9 9 0 K u b o n o , S .

a n d T . N o m u r a , E d s . , ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 0 ) .

T a k i g a w a , N . , M . K u r a t a n i , a n d H . S a g a w a , 1 9 9 3 , P h y s . R e v . C 4 7 , R 2 4 7 0 .

T a k i g a w a , N . , K . H a g i n o , M . A b e , a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 4 9 , 2 6 3 0 .

T a k i g a w a , N . , S . Y o s h i d a , K . H a g i n o , a n d S . K . P a t r a , 1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 8 8 , 9 1 c .

T a k i g a w a , N . , K . H a g i n o , a n d M . A b e , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 1 8 7 .

T a n i m u r a , O . , J . M a k o w k a , a n d U . M o s e l , 1 9 8 5 , P h y s . L e t t . B 1 8 3 , 3 1 7 .

T a n i m u r a , O . , 1 9 8 7 , P h y s . R e v . C 3 5 , 1 6 0 0 .

T h o m p s o n , I . J . , M . A . N a g a r a j a n , J . S . L i l l e y , a n d B . R . F u l t o n , 1 9 8 5 , P h y s . L e t t . B 1 5 7 , 2 5 0 .

T i m m e r s , H . , J . R . L e i g h , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , R . C . L e m m o n , J . C . M e i n , C . R . M o r t o n ,

J . O . N e w t o n , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 8 4 , 1 9 0 .

T s u k a d a , M . , S . K o b a y a s h i , S . K u r i h a r a , S . N o m u r a , E d s . , P r o c . o f t h e 4 t h I n t e r n a t i o n a l

S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f Q u a n t u m M e c h a n i c s , J J A P S e r i e s 9 ( J a p a n e s e J o u r n a l o f

A p p l i e d P h y s i c s P u b l i c a t i o n O c e , T o k y o , 1 9 9 3 ) .

V a n d e n b o s c h , R . , T . M u r a k a m i , C . - C . S a h m , D . D . L e a c h , A . R a y , a n d M . J . M u r p h y , 1 9 8 6 ,

P h y s . R e v . L e t t . 5 6 , 1 2 3 4 .

V a n d e n b o s c h , R . , T . M u r a k a m i , C . - C . S a h m , D . D . L e a c h , A . R a y , a n d M . J . M u r p h y , 1 9 8 6 ,

4 0



P h y s . R e v . L e t t . 5 7 , 1 4 9 9 .

V a n d e n b o s c h , R . , 1 9 9 2 , A n n . R e v . N u c . P a r t . S c i . 4 2 , 4 4 7 .

V a z , L . C . , J . M . A l e x a n d e r , a n d G . R . S a t c h l e r , 1 9 8 1 , P h y s . R e p . C 6 9 , 3 7 3 .

W e i , J . X . , J . R . L e i g h , D . J . H i n d e , J . O . N e w t o n , R . C . L e m m o n , S . E l f s t r o m , J . X . C h e n a n d

N . R o w l e y , 1 9 9 1 , P h y s . R e v . L e t t . 6 7 , 3 3 6 8 .

W o n g , C . Y . , 1 9 7 3 , P h y s . R e v . L e t t . 3 1 , 7 6 6 .

W u , J . Q . , G . B e r t s c h , a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 8 5 , P h y s . R e v . C 3 2 , 1 4 3 2 .

W u o s m a a , A . H . , R . R . B e t t s , B . B . B a c k , M . P . C a r p e n t e r , H . E s b e n s e n , P . B . F e r n a n d e z ,

B . G . G l a g o l a , T h . H a p p , R . V . F . J a n s s e n s , T . L . K h o o , E . F . M o o r e , a n d F . S c a r l a s s a r a ,

1 9 9 1 , P h y s . L e t t . B 2 6 3 , 2 3 .

Y o s h i d a , A . , N . A o i , T . F u k u d a , M . H i r a i , M . I s h i h a r a , H . K o b i n a t a , Y . M i z o i , L . M u e l l e r , Y .

N a g a s h i m a , J . N a k a n o , T . N o m u r a , Y . H . P u , F . S c a r l a s s a r a , C . S i g n o r i n i , a n d Y . W a t a n a b e ,

1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 8 8 , 1 0 9 c .

4 1



F I G . 1 . O n e d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l o f E q . ( 4 ) f o r t h e

6 4

N i +

6 4

N i s y s t e m f o r s e v e r a l ̀ v a l u e s .

T h e l o w e s t b a r r i e r i s f o r ̀ = 0 ( t h e b a r e b a r r i e r ) . T h e m i d d l e a n d t o p b a r r i e r s a r e f o r ̀ = 1 0 0 a n d

̀ = 1 5 0 r e s p e c t i v e l y .

F I G . 2 . T h e e e c t i v e r a d i u s e x t r a c t e d f r o m f u s i o n c a l c u l a t i o n s f o r t h e

1 6

O +

1 5 4

S m s y s t e m u s i n g

E q . ( 6 ) . T h e c u r v e s c o r r e s p o n d t o s p h e r i c a l , v i b r a t i o n a l a n d d e f o r m e d n u c l e i w i t h q u a d r u p o l e

c o u p l i n g s t r e n g t h s v

2

= 0 , 0 . 1 3 a n d 0 . 2 6 , r e s p e c t i v e l y . F r o m B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 6 ) .

F I G . 3 . C l a s s i c a l ( o n t h e l e f t ) a n d q u a n t u m m e c h a n i c a l ( o n t h e r i g h t ) t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s

f o r a o n e - d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l b a r r i e r .

F I G . 4 . C l a s s i c a l ( o n t h e l e f t ) a n d q u a n t u m m e c h a n i c a l ( o n t h e r i g h t ) t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s

f o r a t w o - c h a n n e l c o u p l i n g . V

0

i s t h e h e i g h t o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l b a r r i e r c o u p l e d t o

t h e s e c h a n n e l s .

F I G . 5 . F u s i o n c r o s s s e c t i o n a n d b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f o r t h e

1 6

O +

1 5 4

S m s y s t e m b y L e i g h e t

a l . ( 1 9 9 5 ) .

F I G . 6 . E e c t i v e o n e - d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l b a r r i e r s f r o m ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ) . T h e o u t e r

t u r n i n g p o i n t s a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e p h e n o m e n o l o g i c a l p o t e n t i a l o f K r a p p e e t a l . ( 1 9 7 9 ) t o

t t h e p e a k p o s i t i o n s . T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e o u t e r a n d i n n e r t u r n i n g p o i n t s i s t h e t h i c k n e s s

f u n c t i o n i n v e r t e d f r o m t h e d a t a . T h e s h a d e d r e g i o n i n d i c a t e s t h e e r r o r e n v e l o p e . T h e s h o r t d a s h e d

l i n e d e n o t e s t h e p o i n t C o u l o m b p o t e n t i a l a n d t h e l o n g - d a s h e d l i n e d e n o t e d t h e p o t e n t i a l o f ( K r a p p e

e t a l . , 1 9 7 9 ) .

F I G . 7 . I l l u s t r a t i o n o f t h e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n . T h e s o l i d

c u r v e i s t h e t o t a l p o t e n t i a l f o r t h e

1 6

O +

1 5 4

S m s y s t e m w h e n t h e p r o j e c t i l e i s t a k e n t o b e s p h e r i c a l .

T h e d a s h e d ( = ? 0 : 3 2 7 ) a n d d o t - d a s h e d ( = + 0 : 6 1 3 ) c u r v e s a r e p o t e n t i a l s f o r t h e t w o - l e v e l

a p p r o x i m a t i o n f o r t h e t a r g e t w i t h = 0 : 2 5 . T h e a r r o w s s h o w t h e s h i f t s p r e d i c t e d f o r t h e b a r r i e r

p e a k s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) .

F I G . 8 . A s y s t e m a t i c s t u d y o f s u b b a r r i e r f u s i o n o f

1 6

O p r o j e c t i l e w i t h r a r e e a r t h n u c l e i , t h e

s t r u c t u r e o f w h i c h i s d e s c r i b e d u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l ( s e e t e x t ) .

F I G . 9 . F u s i o n c r o s s s e c t i o n s f r o m A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 ) f o r t h e s y s t e m s

5 8

N i +

6 4

N i ( c i r c l e s )

a n d

6 4

N i +

6 4

N i ( s q u a r e s ) a s a f u n c t i o n o f t h e e n e r g y n o r m a l i z e d t o t h e b a r r i e r h e i g h t .

F I G . 1 0 . C o m p a r i s o n b e t w e e n m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f o r

3 6

S +

1 1 0

P d

s y s t e m a s m o r e p h o n o n s a r e i n c l u d e d i n t h e c a l c u l a t i o n . T h e d a t a a r e f r o m S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 c )

a n d t h e c a l c u l a t i o n i s f r o m D e W e e r d ( 1 9 9 6 ) . T h e d o t - d a s h e d , d a s h e d , a n d s o l i d l i n e s c o r r e s p o n d

t o c a l c u l a t i o n s i n c l u d i n g o n e - p h o n o n , t w o - p h o n o n , a n d t h r e e - p h o n o n s t a t e s , r e s p e c t i v e l y .

F I G . 1 1 . F u s i o n c r o s s s e c t i o n ( u p p e r p a n e l ) a n d t h e a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a ( l o w e r p a n e l )

f o r t h e

6 4

N i +

9 6

Z r s y s t e m . T h e d a t a i s f r o m S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 2 ) . t h e t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n i s

f r o m H a g i n o e t a l . ( 1 9 9 7 a ) . T h e t w o - p h o n o n s t a t e s o f t h e q u a d r u p o l e s u r f a c e v i b r a t i o n o f b o t h

t h e p r o j e c t i l e a n d t h e t a r g e t a r e t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e c o u p l e d c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s . T h e

d o t t e d l i n e i s t h e r e s u l t i n t h e a b s e n c e o f c h a n n e l c o u p l i n g . T h e d o t - d a s h e d a n d d a s h e d l i n e s a r e

t h e r e s u l t s w h e n t h e n u c l e a r p o t e n t i a l i s e x p a n d e d u p t o t h e r s t a n d t h e s e c o n d o r d e r t e r m s

i n t h e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r s , r e s p e c t i v e l y . T h e s o l i d l i n e i s t h e r e s u l t o f t h e c o u p l e d c h a n n e l s

c a l c u l a t i o n s t o a l l o r d e r s , o b t a i n e d w i t h o u t e x p a n d i n g t h e n u c l e a r p o t e n t i a l .

4 2



F I G . 1 2 . P r e d i c t e d b e h a v i o r o f t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f o r f u s i o n r e a c t i o n s o n t h e p r o l a t e

(

1 9 4

O s ) a n d t h e o b l a t e (

1 9 4

P t ) n u c l e i ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 a ) .

F I G . 1 3 . E x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d f u s i o n c r o s s s e c t i o n s b y B i e r m a n e t a l . ( 1 9 9 6 a ) f o r p r o l a t e

a n d o b l a t e n u c l e i . T h e s o l i d c u r v e i s t h e s i m p l i e d c o u p l e d c h a n n e l s c a l c u l a t i o n w i t h t h e C C D E F

c o d e . T h e d a s h e d c u r v e i s t h e r e s u l t f o r a o n e - d i m e n s i o n a l b a r r i e r i g n o r i n g a l l t h e c o u p l i n g s .

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