Date post: | 30-Jan-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | nguyenmien |
View: | 227 times |
Download: | 1 times |
Quadratic Equation and In equations (Inequalities)
SUBJECTIVE PROBLEMS:
Q. 1.
Solve for x: 4x โ 3
x - 1/2 = 3
x + 1/2 - 2
2x ๏ฟฝ 1 (IIT JEE โ 1978 โ 5 Marks)
Q. 2.
If (m, n) = (1 โ xm
) (1 โ xm ๏ฟฝ 1
) . . . . . . . . . . . (1 โ xm ๏ฟฝ n + 1
)/ (1 โ x) (1 โ x2) . . . . . . . . . . . . . (1 โ x
n)
Where m and n are positive integers (n โ m), show that (m, n + 1) = (m โ 1, n + 1) + xm ๏ฟฝ n ๏ฟฝ 1
(m โ 1, n)
(IIT JEE โ 1978 โ 6 Marks)
Q. 3.
Solve for x: โx + 1 - โx โ 1 = 1. (IIT JEE โ 1978 โ 4 Marks)
Q. 4.
Solve the following equation for x:
2 logx a + log ax a + 3 loga2x a = 0, a > 0 (IIT JEE โ 1978 โ 3 Marks)
Q 5.
Show the square of โโโโโโ โ โก
โโ โโโโกโโโ โ โก is a rational number. (IIT JEE โ 1978 3 Marks)
Q 6.
Sketch the solution set of the following system of inequalities:
x2 + y
2 โ โโ โโโ โโ โ y โ โโ โ โโ (IIT JEE โ 1978 โ 4 Marks)
Q7.
Find all integers x for which (IIT JEE โ 1978 โ 3 Marks)
(5x โ 1) < (x + 1)2 < (7x โ 3).
Q. 8.
If โโ โ โโโ โขโฃโ โโคโคโขโฅ โคโฆ โง2 + px โ โฉ โช โซ โโฌโญ โฎโ โฏ โโโ โขโฃโ โโคโคโขโฅ โคโฆ โง2 โ โโง โ โฅ โช โซโ โโฐโโฑโฒโโขโ โณโ โด โฎโต โณโ โด
โฏโต โณโ โด โฎโต โณโ โด โฏโต โถโฌ โขโโโทโฅ โคโฆ โธโ โฉโ โ โโฌโญ โฅโน
Deduce the condition that the equations have a common root. (IIT JEE โ 1979 - Marks)
โบโบโบโปโผโฝโพโฟโโพโโผโปโโโฟ
Show that for any triangle with sides a, b and c
3 (ab + bc + ca) < (a + b + c) 2 < 4 (bc + ca + ab)
When are the first two expressions equal? (IIT JEE โ 1979 โ 4 Marks)
Given n4 < 10n ๏ฟฝโโ โ ๏ฟฝโโโโ โ โโกโโโโโ โโโโโโโ โ โ โโ โ โโโโ โโโโ โโ โ โโ4 < 10n + 1.
(IIT JEE โ 1980 โ 5 Marks)
Q 11.
Let y = โโโโโโโโโขโฃโโโโขโคโ (IIT JEE โ 1980 โ 5 Marks)
Find all the real values of x for which y takes real values.
Q 12.
For what values of m, does the system of equations?
3x + my = m
2x โฅ 5y = 20
Has solution satisfying the conditions x > 0, y > 0 (IIT JEE โ 1980 โ 5 Marks)
Find the solution set of the system
x + 2y + z = 1;
2x โฆ 3y โฆ w = 2;
โ โ โง โ โฉ โ โง โ โช โ โง โ โซ โ โงโฌ (IIT JEE โ 1980 โ 4 Marks)
Show that the equation e-sin x โฆe- sin x โฆ 4 = 0 has no real solution. (IIT JEE โ 1982 โ 2 Marks)
Q 15.
mn squares of equal size are arranged to from a rectangle of dimension m by n, where m and n are
โญโฎโฏโฐโฑโฎโฒ โญโฐโณโดโตโฑโถโท โธโนโบ โถโปโฐโฎโฑโตโถ โนโผโฒโฒ โดโต โฝโฎโฒโฒโตโพ โฟโญโตโผโโโดโบโฐโฑโถโ โผโ โฏโโตโ โโฎโ โต โตโโฎโฝโฏโฒโ โบโญโต โฝโบโณโณโบโญ โถโผโพโต. A
โโโโโโโโโโโ โโโ โโ
natural number is written in each square such that the number written in any square is the arithmetic
mean of the numbers written in its neighbouring squares. Show that this is possible only if all the
numbers used are equal. (IIT JEE โ 1982 โ 5 Marks)
If one root of the quadratic equation ax2 + bx + c = 0 is equal to the n โ th power of the other, then
show that (IIT JEE โ 1983 โ 3 Marks)
(acn) 1/n + 1 + (an c) 1/n + 1 + b = 0
Q 17.
Find all real values of x which x2 ๏ฟฝ 3x + 2 > 0 and x
2 ๏ฟฝ 2x ๏ฟฝ โ โ โ (IIT JEE โ 1983 โ 2 Marks)
Q 18.
Solve for x; โโ โ โโ โกโโโโโ
+ โโ โ โโ โกโโโโโ
= 10 (IIT JEE โ 1985 โ 5 Marks)
โโโ โ โ โโ โโโโโโโขโฃโ โโคโค โโโโค โโโโโฅ โโฆ โโงโ โโ โฉโโโขโโฃ โชโซ โฌ2 โ 2a | x โa | - 3a2 = 0
(IIT JEE โ 1986 โ 5 Marks)
Q 20.
Find the set of all x for which 2x/(2x2 + 5x + 2) > 1/(x + 1) (IIT JEE โ 1987 โ 3 Marks)
โญโโ โฎ1โ โฎ2 โโฃโ โฏ1โ โฏ2 be the roots of ax2 + bx + c = 0 and px2 + qx + r = 0 respectively. If the system
โโฆ โโ โฉโโโขโโฃโฅ โฎ1 โฐ โ โฎ2 โฑ โช โ โโฃโ โฏ1 โฐ โ โฏ2 z = 0 has nontrivial solution, then prove that b2/q2 =
ac/pr. (IIT JEE โ 1987 โ 3 Marks)
Solve |x2 + 4x + 3 | + 2x + 5 = 0 (IIT JEE โ 1988 - 5 Marks)
Q 23.
Let a, b, c be real. If ax2 โฒ โณโด โฒ โต โถ โ โทโธโน โบโปโผ โฝโพโธโฟ โฝโผโผโบโน โ โธโโ โโ โปโทโพโฝโพ โ โ -1 and ร > 1, then show that
1 + โโโ โ
โโโ < 0. (IIT JEE โ 1995 โ 5 Marks)
โโโโโโโ โโโ โฒโโโฒโผโ
Find the set of all solutions of the equation (IIT JEE โ 1997C โ 3 Marks)
2|y| - |2y โ 1 ๏ฟฝ 1| 2y โ 1 + 1
Let S be a square of unit area. Consider any quadrilateral which has one vertex on each side of S. If
a, b, c and d denote the lengths of sides of the quadrilateral; prove that (IIT JEE โ 1997 โ 5 Marks)
โ โ โ2 + b2 + c2 + d2 โ โโ
โโ โ โก โ โโโ โโโ โโโโโ โโ โโ2 + bx โ โ โ โโก โโ โ โโ โโโ โ โ โขโก โ โ โข โโโ โโโ โโโโโ โโ โฃโ2 + Bx + c = 0, (A
โ โโ โโโ โโโคโ โโโโโโโโ โขโก โโโโ โฅโโโฆโ โโโโ โง2 ๏ฟฝ 4ac/a2 = B2 ๏ฟฝ 4AC/A2. (IIT JEE โ 2000 โ 4 Marks)
โ โโ โโก โงโก โ โงโ โโโโฉ โโชโคโงโโโ โซโฌโโ โ โ โ โโโ โฉโโ โ โก โ โงโ โโโ โโโโโ โโ โโโ โโญโชโโโฌon
ax2 + bx + c = 0. Express the roots of a3 x2 + abcx + c3 โโ โฌโ โโโโคโ โโ โ โก โโ
(IIT JEE โ 2001 โ 4 Marks)
If x2 + (a ๏ฟฝ b) x + (1 ๏ฟฝ a ๏ฟฝ โงโ โ โ โซโโโโ โโก โง โฎ โฏ โโโโ โโฌโโ โโโ โฆโโฉโชโโ โโ โ โโโ โซโโฌโโ โโญโชโโโฌโโ โโโ
unequal real roots for all values of b. (IIT JEE โ 2003 โ 4 Marks)
If a, b, c is positive real numbers. Then prove that (a + 1)7 (b + 1)7 (c + 1)7 > 77 a4 b4 c4
(IIT JEE โ 2004 โ 4 Marks)
Let a and b the roots of the equation x2 ๏ฟฝ 10cx ๏ฟฝ 11d = 0 and those of x2 - 10 ax ๏ฟฝ 11b = are c, d then
โโโ โฆโโฉโชโ โโ โ โ โงโ โ โ โโก โซโโโ โ โ โงโ โ โ โโก โฌโโ (IIT JEE โ 2006 โ 6 Marks)
โฐโฐโฐโฑโฒโณโดโตโถโดโทโฒโฑโทโธโต
Quadratic Equation and In equations (Inequalities) Solutions
SUBJECTIVE PROBLEMS:
Sol 1.
4x โ 3
x ๏ฟฝ 1/2 = 3
x + 1/2 - (2
2)
x/2
โโx โ 3xโโโ โ โx โโ โ 4x/2
โ โโโ โx = 3x โโโโก โโโโโ โ โโโ โx = 3x โโโโ
โโโโโโ x ๏ฟฝ 3/2 = 1 โ โ โ 3/2 = 0
โ โโ โโโ
Sol 2.
RHS = (m โ 1, n + 1) + xm ๏ฟฝ n ๏ฟฝ 1
(m โ 1, n)
= (1 โ xm ๏ฟฝ 1
) (1 โ xm ๏ฟฝ 2
) . . . . . . (1 โ x m ๏ฟฝ n - 1
) / (1 โ x) (1 โ x2) . . . . . . . (1 โ x
m + 1)
+ x m ๏ฟฝ n - 1
[(1 โ xm ๏ฟฝ 1
) (1 โ xm ๏ฟฝ 2
) . . . . . . . (1 โ xm ๏ฟฝ n
) / (1 โ x) (1 โx2) . . . . . (1 โ x
n)]
= (1 โ xm ๏ฟฝ 1
) (1 โ xm ๏ฟฝ 2
) . . . . . (1 โ xm ๏ฟฝ n
) / (1 โ x) (1 โ x2) . . . . . (1 โ x
n)
[1 โ xm ๏ฟฝ n - 1
/1 - xn + 1
+ xm ๏ฟฝ n ๏ฟฝ 1
]
[1 โ xm ๏ฟฝ n ๏ฟฝ 1
+ xm ๏ฟฝ n ๏ฟฝ 1 โ x
m/1 โ x
n + 1]
= (1 โ xm
) (1 โ xm ๏ฟฝ 1
) . . . . . . (1 โ xm ๏ฟฝ n
)/ (1 โ x) (1 โ x2) . . . . . (1 โ x
n) (1 โ x
n + 1)
= (m, n + 1) = L. H. S.
โx + 1 = 1 + โ x โ 1
Squaring both sides, we get
x + 1 = 1 + x โ 1 + 2 โx โ 1 โ 1 = 2โx โ 1.
โ โโ โโโ โ 1)
โ โโ โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
Sol 4.
Given a > 0, so we have to consider two cases: a โ 1 and a = 1. Also it is cleat that x > 0
And x โ 1, ax โ ๏ฟฝโ โ2โ โ ๏ฟฝ
โโโโ โโ โโ โ โก โโ โ ๏ฟฝ
Then given equation can be simplified as
2/log a x + 1/log a x + 3/2 + log a x = 0
Putting log a x = y, we get
2(1 + y) (2 + y) + y (2 + y) + 3y (1 + y) = 0
โ โโ2 + ๏ฟฝ๏ฟฝโ โ โ โ โ โ โ โ -4/3 and -1/2
โ โโโ a x = - 4/3 and log a x = -1/2
โ โ โ โ-4/3 and x = a-1/2
Case II: If a = 1 then equation becomes
2 logx 1 + logx 1 + 3 logx 1 = 6 logx1 = 0
โโโโโ โโ โโโโ โข โ โก โโ โ ๏ฟฝ
โฃโโคโโ โโโโโโโโค โโ โโ โ โ ๏ฟฝโ โ โก โโ โ ๏ฟฝ
If a > 0โ โ ๏ฟฝโฅ โ โ โ-1/2, a-4/3
Sol 5.
Let x = โฆโงโ โฉโชโซโฌโญ
โซโฌโงโฉโฌโญโฎโฏโซโฌโญ
โ โ2 = โงโ โฉโชโซ โฌโญ
โซโฐโฏโญโฎโฏโซโฌโญโฉโชโฐ โฆโฑโ โฏโชโฐ โฌโญ
โ x2 =
โงโ โฉโชโซโฌโญโฎโฎ โฏ โซโฌโญโฉโชโฐ โฆโฑโชโฏโชโฏโชโฐ โฌโญ
โโ2 = โงโ โฉโชโซ โฌโญ
โฎโฎโฏโซโฌโญโฉโชโฐ โฒโณโซโฌโญโดโตโฏโถโชโทโตโธ โซโฌโญ โธ โช
โx2
= โงโ โฉโชโซ โฌโญ
โฎโฎโฏโซ โฌโญโฉโชโฐ โฒโณโซโฏโฌโญโฏโชโดโต
โโ2 = โงโ โฉโชโซโฌโญ
โฎโฎโฏโซโฌโญโฉโชโฐโถโซโฌโญโฏโชโท โ x2 =
โงโ โฉโชโซโฌโญโฎโฎโฏโซโฌโญโฉโซโฐ โฌโญโฉโชโฐ =
โงโ โฉโชโซโฌโญโฑโฎโฉโนโซโฌโญ =
โงโ โฉโชโซโฌโญโญโถโงโ โฉโชโซโฌโญโท = /
โชโญโ which is rational number.
โบโบโบโปโผโฝโพโฟโโพโโผโปโโโฟ
Sol 6.
x2 + y
2 = 2x โ โ โx
2 ๏ฟฝ 2x + 1 + y
2 โ โ
โ (x ๏ฟฝ 1)2 + y
2 โ โ โโโโโ represents the boundary and exterior region
of the circle with Centre at (1, 0)
And radius as 1. For 3x ๏ฟฝ โ โก โโโ โโโ โโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโ โโ โโ ๏ฟฝ y =
12; any two points on it can be
taken as (4, 0), (2, -โโโข โฃโคโโ โโโโโโโ โฅโโ โโ โโ โโโฆโโ โโ โโโโโโโโโ โ โก โโ
which true.
โงgiven in equation represents that half plane region of line 3x ๏ฟฝ y = 12 which contains origin.
โ โโ โ โก โโ โโโ โโโโโโโโโโโโโ โโโโโโโโ โ โฉ โ โโโ โโโ โโโ โโโโโโ โโ โโ โโ โฅโโ โโ โโโ โฅโโ โโโช โฃโคโโ โโโโโโโ โฅโโ โโ
โซโ โโโ โโโฆโโ โโ โโโโโโโโโ โโ โโโ โ โก โ โโโโโ โโ โโโโโ โโ โ โก โ โโโโโโโโโโ โโโโ โโโคโฌ โโคโโโ โโโโโ โโโโโโโโ โโโ
โโโโโโ โฅโโ โโโชโ โ โ โโโโโโโโโโ โโโโโ โโโคโฌ โญโโโโโโโโ โโคโโโโช
Combining all we find the solution set as shaded region in the graph.
Sol 7.
There are two parts of this question
(5x ๏ฟฝ 1) < (x + 1)2 and (x + 1)
2 and (x + 1)
2 < (7x ๏ฟฝ 3) Taking first part
(5x ๏ฟฝ 1) < (x + 1)2 โ โฎโฏ โฐ 1 < x2 + 2x + 1
โ โฏ2 โฐ โฑโฏ โฒ โณ โด โต โ โถโฏ โฐ 1) (x โฐ 2) > 0
โ x < 1 or x > 2 . . . . . . . . . . . . . .(1)
Taking second part
(x + 1)2 < (7x ๏ฟฝ 3) โ โฏ2 โฐ 5x + 4 < 0
โ โถโฏ โฐ 1) (x โฐ 4) < 0
โ 1 < x < 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Combining (1) and (2) [taking common solution], we get 2 < x < 4 but x is an integer therefore x = 3.
โทโทโทโธโนโบโปโผโฝโปโพโนโธโพโฟโผ
โ ๏ฟฝโ โ โโโ โโโ โโ โ โโก โ โ โ2 + p x + q = 0
โ ๏ฟฝ โ โ โ -โโ ๏ฟฝโ โ โ
โ โโ โ โโโ โโโ โโ โ โโก โ โ โ2 + rx + s = 0
โ โ โ โ โ -โโ โ โ โ โก
โโ โโ โ๏ฟฝ โ โโ โ๏ฟฝ โ โโ โโ โ โโ โโ โ โโ
โ โ๏ฟฝ2 โ โโ โ โโ ๏ฟฝโ โ โโ โโ2 โ โโ โ โโ โ โ โ โโ
โ ๏ฟฝ2 โ โ๏ฟฝ โ โกโ โโ2 โ โโ โ โกโ โโ๏ฟฝโ โ โโโ โโ โ โโก โ โ โ2 + p x + q = 0
โ ๏ฟฝ2 โ โ๏ฟฝ โ โ โ โ โโโข โ2 โ โโ โ โ โ โโ
= [(r โ p) ๏ฟฝ โ โโก โ q)] [(r โ p) โ โ โโก โ q)]
= (r โ p) 2 ๏ฟฝ โ โ โโ โ p) (s โ โโ โ๏ฟฝ โ โโ โ โโก โ q) 2
= q(r โ p) 2 โ p(r โ p) (s โ q) + (s โ q) 2
Now if the equations x2 + p x + q = 0 and x2 โ โ โ โ โก โ โ โโโฃโ โ โคโ โฅโฅโ โ โโ โ โ โกโโฆ ๏ฟฝโ โโโโ ๏ฟฝ2 โ โ๏ฟฝ โ
โ โ โ โโโข ๏ฟฝ2 โ โ๏ฟฝ โ โก โ โ
โง๏ฟฝ2/ps โ โ โ โ ๏ฟฝโ โ โ s = 1/r - p
โง๏ฟฝ2 = ps โ q r/r โ โ โโโข ๏ฟฝโ โ โ s/r โ p
โง โโ โ s) 2 = (r โ p) (ps โ q r) which is the required condition.
โฉโ โชโโ โ โโโโ โโ โ โกโซโขโโก โโ โฌโ โค โ โ โ โญ
(a โ b) 2 โฎ โ
โง โ2 + b2 โฎ โฏโโฌ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โโฑโ
Similarly b2 + c2 โฎ โฏโฌโค . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
C2 + a2 โฎ โฏโคโ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โฐ โโฒโ
Adding the three in equations, we get
2(a2 + b2 + c2โ โฎ โฏโโโฌ โ โฌ โค โ โคโโ
โง โ2 + b2 + c2 โฎ โโฌ โ โฌ โค โ โคโ
โณโณโณโดโตโถโทโธโนโทโบโตโดโบโปโธ
Adding 2 (ab + b c + ca) to both sides, we get
(a + b + c) 2 โ ๏ฟฝโโโ โ โ โ โ โโโ
โโ ๏ฟฝ โโโ โ โ โ โ โโโ โ โโ โ โ โ โโ 2 . . . . . . . . . . . (A)
Also c < a + b (triangle inequality)
โ โ2 < ac + b c . . . . . . . . . . . . . . . (4)
Similarly b2 < ab + b c . . . . . . . . . . . . . . (5)
a2 < ab + ca . . . . . . . . . . . . . . . . (6)
Adding (4), (5) and (6), we get a2 + b2 + c2 < 2(ab + b c + ca)
Adding 2 (ab + b c + ca) to both sides, we get
โ โโ โ โ โ โโ 2 < 4 (ab + b c + ca) . . . . . . . . . . (B)
Combining (A) and (B), we get
๏ฟฝโโโ โ โ โ โ โโโ โ โโ โ โ โ โโ 2 < 4(ab + b c + ca)
First two expressions will be equal for a = b = c.
Sol 10.
Given that n4 < 10
n for n for a fixed + ve integer n โ2.
To prove that (n + 1)4, 10
n + 1
Proof: Since n4 < 10
n โ 10n
4 < 10
n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
So it is sufficient to prove that (n + 1)4 < 10n
4
Now (n + 1/n) 4 = (1 + 1/n)
4 โ (1 + 1/2)
4 [โก n โ 2]
= 81/16 < 10
โ (n + 1)4 < 10n
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
From (1) and (2), (n + 1)4 < 10
n + 1
โโโโโโโโโโโโโโโโ
Sol 11.
Y = โโโ๏ฟฝโโโโโโโโโโโโ
y will take all real values if โโ๏ฟฝโโโโ๏ฟฝโโโโโ โ โ
By wavy method:->
x โ [-1, 2) U [3, โ )
[2 is not included as it makes denominator zero, and hence y an undefined number.]
Sol 12.
The given equations are 3x + my โก m = 0 and 2x โก 5y โก 20 = 0 Solving these equations by cross product
method, we get
x/-20m โก 5m = y/-2m + 60 = 1/-15 โก 2m NOTE THIS STEP
โ โ = 25m/2m + 15, y = 2m โ 60/2m + 15
โโโ โ โ โโ โโโโโโโ โโ โ โ
โโโ -15/2 or m > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)
[using wavy method]:->
For y > 0 โ 2(m โก 30)/2m + 15 = 0
โ m < -15/2 or m >
30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
[using wavy method]:->
Combining (1) and (2), we get the common values of m as follows:
m < 15/2 or m > 30 โข m โฃ (-โ , -15/2) U (30, โ )
Sol 13.
The given system is
x + 2y + z = 1 . . . . . . . . . . . . (1)
2x โก 3y โก โคโฅ โ
Multiplying eqn. (1) by (2) and subtracting from (2), we get
โฆโฆโฆโงโ โฉโชโซโฌโชโญโ โงโญโฎโซ
โ๏ฟฝ โ โโ โ โ โ โ โ โ โ - (7y + 2z)
โ โกโ โโ ๏ฟฝโ โ โ โโ โ โ โโโโกโ โโกโโโโโโโ
โโ ๏ฟฝ โ โโ โ โ โ โโโโ โ โ โข โฃโโค โ โ โโฅ
โฆโงโโ โกโโ๏ฟฝ โโกโโ โโโกโ โโ โ โ โขโ ๏ฟฝ โ โโ โ โ โโ โ โ โโฅ
e sin x โฉ e โชsin x โฉ 4 = 0
Let e sin x = y then e-sin x = 1/y
โฆ Equation becomes, y โซ 1/y โซ 4 = 0
โ y2 โซ 4y โซ 1 = 0
โ y = 2 + โฌโญโ โ - โฌโญ
But y is real +ve number,
โฆ๏ฟฝ โฎ โ - โฌโญ โ ๏ฟฝ โ โ โ โฌโญ
โโ sin x = 2 + โฌโญ โ โโโ โ โ โโกโฏe โโ โ โฌโญโ
โฐโ โ โ โ โฌโญ โ โ โ โโกโฏe โโ โ โฌโญโ โ โโกโฏ e e
โโโกโฏ e โโ โ โฌโญโ โ โข โฑโโโฒโโ โโโ โ โ โข
Which is not possible โฆโณโโดโโ โโตโ โฃโโโกโ โโฃโ โโก โถโโฃโ โโกโโ โโโกโโฅ
Sol 15.
For any square can be at most 4, neighbours squares.
Let for a square having largest number d, p, q, r, s be written then
According to the question,
p + q + r + s = 4d
โ (d โซ p) + (d โซ q) + (d โซ r) + (d โซ s) = 0
Sum of four +ve numbers can be zero only if these are zero individually
โฆ d โซ p = 0 = d โซ q = d - r = d โซ s
โ p = q = r = s = d
โ all the numbers written are same. Hence Proved.
โทโทโทโธโนโบโปโผโฝโปโพโนโธโพโฟโผ
Sol 16.
Let โ, ๏ฟฝ be the roots of eq. ax2 + bx + c = 0
According to the question,
โ โ โn
โโโโ โ โ ๏ฟฝ โ -โโ โกโ โ๏ฟฝ โ โโ โก
โ๏ฟฝ โ โโ โก โ โโ โ n โ โโ โก โโ โ โโโ โกโ 1/n + 1
then โ โ ๏ฟฝ โ - โโ โก โโ โ โn = -b/a
Or (c/a) 1/n + 1 + (c/a) n/n + 1 = -b/a
โa .(c/a)1/n + 1
+ a .(c/a)n/n + 1
+ b = 0
โ an/n + 1
c1/n + 1
+ a1/n + 1
c n/n + 1
+ b = 0
โ โโกn c) 1/n + 1 + (can)
1/n + 1 + b = 0 Hence proved.
Sol 17.
x2 โ 3x + 2 > 0, x
2 โ 3x โ โ โ โ
โ (x โ 1) (x โ 2) > 0 and (x โ 4) (x + 1) < 0
โ x โ (-โ, 1) U (2, โ) and x โ [-1, 4]
โ Common solution is [-1, 1) U (2, 4)]
Sol 18.
The given equation is
โโ โ โโขโฃโคโฅโฆโงโ
+ โโ โฉ โโขโฃโคโฅโฆโงโ
= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Let โโ โ โโขโฃโคโฅโฆโงโ
= y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Then โโ โฉ โโขโฃโคโฅโฆโงโ
= โชโซโฌโงโญโฎโฏโฐโซโฌโฑโญโฎโฏโฐ
โฌโฑโญโฎโฏ โฒโฅโฆโงโ
= โชโญโฌโงโญโณโฌโฑโญโฎโฏ
โฒโฅโฆโงโ
= โชโด
โฌโฑโญโฎโฏโฒโฅโฆโงโ
= 1/y (Using (2))
โThe given equation (1) be becomes y + 1/y = 10
โ y2 โ 10y + 1 = 0
โตโตโตโถโทโธโนโบโปโนโผโทโถโผโฝโบ
โ๏ฟฝ โ โโ โ โโโโ-โโโ โ โโโ โโโกโโ
โ๏ฟฝ โ 5 + โ โโก โโ โ โ โ โโก
โโโโโโโโ โ โ โ โ โโโข
โ โฃโ โค โ โโกโฅโฆโงโ โฉ
โ โชโ โค โ โโกโซ
โ โฌ2 โ โญโ โโ โฌ2 โ โ โ โฌ โ โ โ
Again consider
y = 5 โ โ โโก โ โโโโค โ โโก โ โชโโค โ โโกโซ-1
โ โฃโ โค โ โโกโฅโฆโงโ โฉ
โ โชโ โค โ โโกโซ-1 โ โฌ2 โ 3 = -1
โ โฌ2 = 2
โ โฌ โโ โโ โฎโฏโฐโฑโฏ โฒโณโฏ โดโโตโถโฒโทโโฐ โธโโฏ โ โน -โ โน โโ โน -โโ โบ
Sol 19.
The given equation is,
X2 โป 2a |x โป a| - 3a
2 = 0
Here two cases are possible
Case I: x โป a > 0 then |x โป a | = x โป a
โผ Eq. Becomes
X2 โป 2a(x โป a) โป 3a
2 = 0
Or x2 โป 2ax โป a
2 = 0 โ x = 2a ยฑ โ4a
2 + 4a
2/2
โ โฌ โ โธโ โธโโ
Case II: x โป a < 0 then |x โป a| = -(x โป a)
โผ Eq. becomes
X2 + 2a(x โป a) โป 3a
2 = 0
Or x2 + 2ax โป 5a
2 = 0
โ โฌ โ -โ โธโ โโโธ2 + 20a2/2 โ โฌ โ -โ โธ โ โ โธโโกโโ
x = -โธ โ โธโโก โฝโณโถโด โฒโณโฏ โดโโตโถโฒโทโโฐ โดโฏโฒ โทโด โพโธ โ โธโโ โน -โธ โ โธโโกโฟ
โโโโโโโโ โโโโโโโโ
We are given 2x/2x2 + 5x + 2 > 1/x + 1
โ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ2 + 5x + 2 โ 1/x + 1 > 0
โ 2x2 + 2x โ 2x2 โ 5x โ 2/ (2x2 + 5x + 2) (x + 1) > 0
โ -3x -2/ (2x + 1) (x + 1) (x + 2) > 0
โ โโโ โ ๏ฟฝโโ โโ โ โโ โโ โ ๏ฟฝโ โ๏ฟฝโ โ โโ โ โ
โ โโโ โ ๏ฟฝโ โโ โ โโ โโ โ ๏ฟฝโ โ๏ฟฝโ โ โโโ โโ โ โโ2 (x + 2)2 (2x + 1)2 < 0
โ โโโ โ ๏ฟฝโ โโ โ โโ โโ โ ๏ฟฝโ โ๏ฟฝโ โ โโ โ โ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
NOTE THIS STEP: Critical pts. Are x = -2/3, -1, -2, -1/2 on number line
Clearly Inequality (1) holds for,
โ โก โ-2, -1) U (-2/3, -โโ๏ฟฝโ โโโ โ โ -2, -1, -2/3, -1/2]
โโ โโโ โโโโโ โโโโ โ1โ โ2 are the roots of
ax2 + bx + c = 0
โ โ1 โ โ2 = -โขโโโฃ โ1 โ2 = c/a . . . . . . . . . . . . . (1)
โคโโฅ โฆ1โ โฆ2 are the roots of px2 + qx + r = 0
โ โฆ1 โ โฆ2 = -โงโโ โฃ โฆ1 โฆ2 = r/p . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
โฉโโ โโชโโโโซ โฌโญ โโงโฎโโโโฌโโโ โ1 โช โ โ2 z = 0
โคโโฅ โฆ1 โช โ โฆ2 z = 0 has a non trivial solution.
โโฏโ โซโฎโโ โโโโ โฐโ1 โฆ1 โ2 โฆ2| = 0
NOTE THIS STEP:
โโ1 โฆ2 โ โ2 โฆ1 โฑ โ โ โ1/ โ2 โฑ โฆ1โโฆ2
By componendo and dividend, we get
โ1 + โ2/ โ1 - โ2 = โฆ1 + โฆ2/ โฆ1 - โฆ2
โฒโฒโฒโณโดโตโถโทโธโถโนโดโณโนโบโท
โ ๏ฟฝโ1 + โ2) (โ1 - โ2โ โ ๏ฟฝโ1 - โ2) (โ1 + โ2)
โ๏ฟฝโ1 + โ2)2 [(โ1 - โ2)2 - 4โ1 โ2]
โ โ๏ฟฝโ1 + โ2)2 โ โ โ1โ2] (โ1 + โ2)2
Using equations (1) and (2) we get
b2 /a2 [q2/p2 โ 4r/p] = q2/p2 [b2/a2 โ 4c/a]
โโ2 q2 /a2 p2 โ 4b2r/a2r = q2 b2/q2 a2 โ 4cq2/ap2 โ -4b2 r/a2 p = -4cq2/ap2 โโ2r/a = sq2โโ โ b2/q2
= ac/p r Hence Proved
The Given equation is,
|x2 + 4x + 3 | + 2x + 5 = 0
Now there can be two cases.
Case I: x2 โก โโโก โ โ โ โ ๏ฟฝโ โก โโ ๏ฟฝโ โก โโ โ โ
โ โโ ๏ฟฝ- โโ -โโ โ โ-โโ โโ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ โ ๏ฟฝโโ
Then given equation becomes,
โโ2 + 6x + 8 = 0
โ๏ฟฝโโก โโ ๏ฟฝโ โก โโ โ โ โ โ โ -4, -2
But x = -2 does not satisfy (i), hence rejected
โ โ โ -4 is the sol.
Case II: x2 + 4x + 3 < 0
โ๏ฟฝโโก โโ ๏ฟฝโ โก โโ โ โ
โ โโ ๏ฟฝ-3, -1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii)
Then given equation becomes,
-(x2 + 4x + 3) + 2x + 5 = 0
โ -x2 โ โโ โก โ โ โ โ โ2 + 2x โ 2 = 0
โ โ โ -โโโขโ โก โฃโโ โ โ โ -โ โก โขโโ -1 - โขโ
Out of which x = -1 - โขโ โโค โคโฅโฆโ Combining the two cases we get the solutions of given equation as
x= -4, -1 - โขโโ
โงโงโงโ โฉโชโซโฌโญโซโฎโฉโ โฎโฏโฌ
Given ๏ฟฝโโ๏ฟฝ โโโ โโ โโ โ โ โกโ โโ2 โ โโโ โ โ โ โโโ ๏ฟฝโโ โโโโ โโโ๏ฟฝโ โ โโโ โโ โโโโโ โ โ -1 and ร > 1. There
may be two cases depending upon value of a, as shown below.
In each of cases (i) and (ii) of (-1) < 0 and of (1) < 0
โ a (a โ b + c) < 0 and a (a + b + c) < 0
Dividing by a2 (>0), we get
1 โ b/a + c/a < 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
And 1 + b/a + c/a < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Combining (1) and (2) we get
1 + โโโโ +
โขโ < 0 or 1 +
โขโ + โ
โโโ < 0 Hence Proved.
The given equation is,
2|y| - |2y โฃ 1 - 1| = 2y โฃ 1 + 1
On the basis of absolute values involved here (|y| and | 2y โค 1 โค 1), there are two critical pts 0 and l.
So we shall consider three cases, when y lies in three different intervals namely (- โฅโ โโฆโ โงโโ โ โฉโ
(1,โฅโฆ
โชโโโ โซโฌ โญโ โฎ- โฅโ โโฆ ๏ฟฝโโโ
|y| = -y and |2y-1 -1| = 1 โค 2y โฃ 1
โฏโฐโโ โฑโฒโณโโ โโดโตโ๏ฟฝโฒโโ โโโโโถโโ
2-y โค 1 + 2y โฃ 1 = 2y โฃ 1 + 1
โ โท-y โโทโ โญ โ -โ โ โฎ- โฅโ โโฆ
โชโโโ โซโซโฌ โญ โ โงโโ โ โฉ
If y = 0 we get 1 - |1/2 โค 1| = 1/2 + 1
1 โค 1/2 = 1/2 + 1 (not satisfied)
โธโธโธโนโบโปโผโฝโพโผโฟโบโนโฟโโฝ
โ๏ฟฝ โ โ โโ โโโ โ โโโก n
If y = 1 we get 2 - |20 โ 1| = 20 + 1
โ โ โ โ โโโ โโโโโโโโ
โ ๏ฟฝ โ โ โโ โ โโโก n
โโ ๏ฟฝ โ โโโ โโ โโโโ โ๏ฟฝโ โ ๏ฟฝ โ โโ โโy - 1 โ 1| = 1 โ 2y-1
โthe eq. n becomes
2y โ 1 + 2y โ 1 โโ โ โy = 2
โ ๏ฟฝ โ โ โ โโโ โโ
โ ๏ฟฝ โ โ โโ โโโ โโโก๏ฟฝ โโโก n in this case.
โโ โโ โโโโข ๏ฟฝ โ โโโ โฃโ
Then |y| = 1, |2y โ 1 โ 1| = 2y โ 1 โ 1
The given eq. n becomes, 2y โ 2y - 1 + 1 = 2y โ 1 + 1
โ โy โ 2y = 0
โคโโโฅโ โโ โโ โโโโโโโ โโโฆ โ โกโก โฆโโ โก โงโ โกโ โโ โโ ๏ฟฝ โฉโ โ ๏ฟฝ โ โโโ โฃโ
โ โโโ โฃโ โโ โโโ โโโก n in this case.
Combining all the cases, we get the sol n โ โ ๏ฟฝ โ โชโโซ โฌ โญโโ โฃโฎ
a2 = p2 + s2, b2 = (1 โ p) 2 + q2
c2 = (1 โ q) 2 + (1 โ r) 2, a2 = r2 + (1 โ s) 2
โ โ 2 + b2 + c2 + d2 = {p2 + (1 + p) 2} + {q2 โ (1 โ q) 2} + {r2} + (1 โ r) 2} + {s2 + (1 โ s) 2}
Where p, q, r, s all vary in the interval [0, 1].
Now consider the function
y2 = x2 + (1 โ x) 2โ โ โฏ โฐ โฏ โโ
2y d y/dx = 2x โ 2(1 โ x) = 0
โ โฐ โ โโฑโ โฒโโโฅโ โ2 y/dx2 = 4 i.e. +ve
โณโโโฅโ ๏ฟฝ โโ โดโโโโดโ โด โ โ โฐ โ โโฑโ โ โโ โโโตโ โดโโโโดum
โถโถโถโทโธโนโบโปโผโบโฝโธโทโฝโพโป
Value is 1/4 + 1/4 = 1/2
Clearly value is maximum at the end pts which is 1.
โ ๏ฟฝโโโโโโ โโโโโ โกโ โ2 + b2 + c2 + d2 = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2
And maximum value is 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Hence proved.
ALTERNATE SOLUTION:
x 2 + y2 โ โโ โ โโ 2 โ โ โโ โ โ โ = 1
Here x = p, y = 1 โ โ โ โ โ โ โ โ
โ โ2 + b2 + c2 + d2 โโ โ โ โ โ โ โ โ โ
Again x2 + y2 = (x + y) 2 โ 2xy = 1 โ 2xy
โโโโ โโโโข โขโโโฃโค โ ๏ฟฝโโโโโโ โกโ โโ2 + y2) = 1 โ 2(maximum of xy).
Now we know that product of two quantities xy is maximum when the quantities are equal
provided their sum is constant.
Here x + y = p + 1 โ p = 1 = constant.
โโโ โโฅ โโโโโโโ โฆโงโ โ โโ โ โ โโ โ โ โ โ โโ โฉ โ โโ โฉ
โ โ โ โโ โฉโช โ โ โโ โฉ
Minimum of x2 + y2 = 1 โ 2. 1/2. 1/2 = 1 โ 1/2 = 1/2
โ ๏ฟฝโโโโโโ โโโโโ โกโ
a2 + b2 + c2 + d2 = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2
โโฉ โ โ2 + b2 + c2 + d2 โ โโซ
We know that,
โโฌ โ โญโ 2 โ โฎโโฌ โ โฏโ โ โโญ โ โฏโโฐ 2
โฑ โโฌ โ โญโ 2 - โโฌ โญ โ โโฌ โ โฏโ โญ โ โฏโ 2 - โโโฌ โ โฏโ โโญ โ โฏโ
โฑโฒ2/a2 โ 4c/a = B2/A2 โ โโณโ โด โฑ โโโต โ b2/a2 = 4AC โ B2/A2
โฎโโ โโตโ โฌ โโญ โ -โฒโ โโช โฌ โญ โ โตโ โ
โโฌ โ โฏโ โโญ โ โฏโ โ - โถโ โด โโโท โโฌ โ โฏโ โโญ โ โฏโ โ โณโ โดโฐ Hence proved.
โธโธโธโนโบโปโผโฝโพโผโฟโบโนโฟโโฝ
โ ๏ฟฝ โ โ -โโโโ โโ โ โโโ
Roots if the equation a3 x3 + abcx + c3 = 0 are
x = - โโโ โ โก โโโโโ 2 โ 4a3 c3/2a3
= (-โโโโ โโโโโ โ โก โโโโโ 2 (c/a) 2 โ 4(c/a) 3 / 2
โโ ๏ฟฝ โโ โโ โโ โ โก โโ ๏ฟฝ โโ 2 โโโโ 2 โ โโโโโ 3 / 2
โ โโ โโ โโโ ๏ฟฝ โโ โ โก โโ โ โโ 2 / 2
โ โโ โโ โโโ ๏ฟฝ โโ โ โโ โ โโโโ โ โ2 โโ โ โ2
โโโ โ โโโ โ โโ โโโ โโโโโโโโ โโโโโขโฃ โคโโโ
โ โ โ2 โ โโโ โ โ โ โ2.
ALTERNATE SOLUTION:
ax2 ๏ฟฝโโฅ ๏ฟฝ โ โ โฆ โโโข โโโโโข โ โโโ โโฃ โโงโโ โโโ
โฉ โ ๏ฟฝโ โ -โโโ โโโ โ โ โ โโโ
Now, a3 x2 + abcx + c3 = 0
Divides the equation by c2, we get
a3 /c2 x2 + abcx/c2 + c3/c2 = 0, a (ax/c) 2 + b (ax/c) + c = 0
โฉ โโฅโโ โ โโ โ โโโ โโโ โโโโโข
โฉ โฅ โ โโโ โโ โโโ โ โโโ the roots
โฉ โฅ โ โ โ โโ โ โ โ โโโ โโโ โโโโโข
โฉโฅ โ2 โโ โ โ2 are the roots
ALTERNATE SOLUTION:
Divide the equation by a3, we get
x 2 + b/a. c/a. x + (c/a) 3 = 0
โฉโฅ 2 โ โโ ๏ฟฝ โโ โโ โโ โฅ ๏ฟฝ โโ โโ 3 = 0 โฉ โฅ 2 โ โ2 โโฅ - โ โ2 โฅ ๏ฟฝ โโ โโ3 = 0
โฉโฅ โโฅ โ โ2 โโ - โ โ2 (x โ โ2 โโ โ โฆ โฉ โโฅ โ โ2 โโ โโฅ - โ โ2) = 0
โฉ โฅ โ โ2 โโ โ โ2 which is the required answer.
โชโชโชโซโฌโญโฎโฏโฐโฎโฑโฌโซโฑโฒโฏ
The given equation is,
x 2 + (a โ b) x + (1 โ a โ b) = 0
๏ฟฝโ โ โ โ โโโ โ โกโ โโโ n โ โ โก๏ฟฝโโ โโโโโ๏ฟฝโ โโ๏ฟฝโ โโโโ โ โ โ โ โ โ
โ โ๏ฟฝ โ b) 2 โ 4 (1 โ a โ b) > 0
โ ๏ฟฝ2 + b 2 โ 2ab -4 + 4a + 4b > 0
โ โ2 + b (4 โ 2a) + a2 + 4a โ 4 > 0
โโกโโโก โโ ๏ฟฝ โโ๏ฟฝโโ๏ฟฝโ โโ โโขโฃโโโโโโโ โโ โโ ๏ฟฝโโ โโ โคโโโ โโ โ โโโ โ โ โ โ โโฅ โโโโโโโฆโโ๏ฟฝโโ โโฅ ๏ฟฝโโโโ โโฅ ๏ฟฝโโโโ
eq. n less than zero.
i.e., (4 โ 2a) 2 โ 4(a2 + 4a โ 4) < 0
โ โโง โ a) 2 โ (a2 + 4a โ 4) < 0
โ โ โ 4a + a2 โ a2 โ 4a + a < 0
โ - 8a + 8 < 0 โ ๏ฟฝ โ โฉ
Given that a, b, c are positive real numbers. To prove that (a + 1)7 (b + 1)7 (c + 1)7 > 77 a4 b4 c4
Consider L. H. S. = (1 + 7)7. (1 + b)7. (1 + c) 7
= [(1 + a) (1 + b) (1 + c)] 7
[1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc] 7 > [a + b + c + ab + bc + ca + abc] 7 . . . . . . . . . . . . . . .(1)
โชโโค โคโ โซโโโค โ โก๏ฟฝโ โฌโญ โฎ โฏโญ โโโโโฐ โโ โฅโโ โฑ โโ โโโฒโ ๏ฟฝโ โโ โโ ๏ฟฝโโ โโโ โ๏ฟฝ ๏ฟฝโโ ๏ฟฝโโโ โคโ โฐโโ
โ โ๏ฟฝ โฑ โ โฑ โ โฑ ๏ฟฝโ โฑ โโ โฑ โ๏ฟฝ โฑ ๏ฟฝโโโณ 7 โฎ โด7 (a4 b4 c4) a
From (1) and (2), we get
[(1 + a) (1 + b) (1 + c)]7 > 77 a4 b4 c4
Hence proved.
โตโตโตโถโทโธโนโบโปโนโผโทโถโผโฝโบ
Roots of x2 โ 10cx โ 11d = 0 are a and b
โ ๏ฟฝ โ โ โ โโโ ๏ฟฝโ โก ๏ฟฝโ โ -11d
Similarly c and d are the roots of x2 โ 10ax โ 11b = 0
โโ โ โก โ โโ๏ฟฝ ๏ฟฝโ โก โโก โ -11b
โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โก = 10(a + c) and abcd = 121 bd
โโ โ โก โ โโ๏ฟฝ โ โโ ๏ฟฝโ โก ๏ฟฝโ โ โโโ
Also we have a2 โ 10 ac โ 11d = 0 and c2 โ 10ac โ 11b = 0
โ ๏ฟฝ2 + c2 โ 20ac โ 11(b + d) = 0
โ โ๏ฟฝ โ โโ 2 โ 22 x 121 โ 99 (a + c) = 0
โ ๏ฟฝ โ โ โ โโโ โโ โ 22
For a + c = -22, we get a = c
โ โโโโโโโโ โ this value we have a + c = 121
โ ๏ฟฝ โ โ โ โ โ โก โ โโ โ๏ฟฝ โ โโ
โโโโโโโโโขโโฃโโโฃโคโ