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Bulletin of Mathematical Biology, Vol. 58, No. 4, pp. 611-641, 1996Elsevi er Science Inc.9 1996 Society for Mathe matic al Biology0092-8240/96 $15.00 + 0.00

0092-8240(96)00037-7

A S T U D Y O F T H E B I F U R C A T I O N B E H A V I O U R O F AM O D E L O F F L O W T H R O U G H A C O L L A P S I B L E T U B E

J . P . A R M I T S T E A D a n d C . D . B E R T R A MG ra d ua t e S c hoo l o f B i ome d i c a l Eng i ne e r i ng ,Univers i ty of New S outh W ales ,Sydney, Au stral ia 2052( E . m a i l : j e f f a , c h r i s b @ g s b r n e . u n s w . e d u . a u )

O . E . J EN S END e pa r t m e n t o f A p p l i e d Ma t he m a t i c s a nd T he ore t ic a l P hys ic s,Univers i ty of Cambr idge ,C a mb r i dge , Eng l a nd C B 3 9EW( E . m a i l : O . E . J e n s e n @ d a m t p . c a m . a c .u k )

M o s t o f th e e l a s ti c tu b e s f o u n d i n t h e m a m m a l i a n b o d y w ill c o ll a p s e f r o m a d i s t e n d e dc i r c u la r c r o s s s e c t io n a n d w h e n c o l l a p s e d m a y u n d e r g o f l o w - i n d u c e d o sc il la t io n s . A m a t h e -ma t i c a l mode l de sc r i b i ng f l u i d f l ow i n a c o l l a ps i b l e t ube i s a na l yse d us i ng t he so f t wa rep a c k a g e A U T O - 8 6 . A U T O - 8 6 i s u s e d f o r c o n t i n u a t io n a n d b i f u r c a ti o n p r o b l e m s i n s y s te m so f n o n - l i n e a r o r d i n a r y d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n s . T h e m o d e l is a t h i r d - o r d e r l u m p e d - p a r a m e t e rt ype a nd i s ba se d on t he c l a s s i c a l "S t a r l i ng re s i s t o r " ; i t de sc r i be s t he uns t e a dy f l owbe ha v i our a nd , i n pa r t i c u l a r , t he e xpe r i me nt a l l y obse rve d se l f - e xc i t e d osc i l l a t i ons , i n a wa ywh i c h is s imp l e e no ug h t o g i ve phys i c a l und e rs t a nd i ng , ye t s ti ll f i rml y ba s e d o n f l u i dm e c h a n i c a l p r in c i p le s . S o m e o f t h e b i f u r c a t i o n t y p e s f o u n d i n th i s m o d e l b e a r c l o s er e s e m b l a n c e t o t h e t y p e s s u g g e s t e d b y e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s o f se l f- e x c it e d o s c il la t io n si n c o l l a p s i b l e t u b e s ; t h e y t h u s s h e d s o m e l i g h t o n t h e v a r i o u s t o p o l o g i c a l c h a n g e s w h i c ho c c u r i n p r a c t ic e , p a r t i c u la r l y i n v i ew o f t h e f a c t t h a t s o m e o f t h e p o i n t s f o u n d n u m e r i c a ll ya re d i f f ic u l t t o a c h i e ve e xp e r i me nt a l l y , whi l e t he e x i s t e nc e o f o t he r s c a n o n l y be i n fe r re di n d i r e c t l y a n d u n c e r t a i n l y f r o m e x p e r i m e n t .

I n t r o d u c t i o n . M o s t o r g a n i s m s o f o v e r a f e w d o z e n c e l l s h a v e c o m e t op o s s es s s y st e m s w h i c h i n c o r p o r a t e s o m e f o r m o f " c o n d u i t " f o r t h e d i st ri b u -t i o n a n d c o l l e c t i o n o f fl u id s a n d s o m e m e a n s o f e li c it in g b u l k f l o w w i t h i nt h e c o n d u i t . E x a m p l e s o f su c h s y s t em s w i t h i n th e h u m a n b o d y i n c l u d e t h ec a r d i o v a s c u l a r s y s t e m , t h e g a s t r o i n t e s t i n a l s y s t e m a n d t h e r e s p i r a t o r y s y s -t e m ( G u y t o n , 1 9 86 ). I n m a m m a l s t h e s e c o n d u i t s t a k e o n t h e f o r m o f el as ti ct u b e s o f n e a r l y c i rc u l a r c r o s s s e c t i o n w h e n d i s t e n d e d .

I t is o f c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t, b o t h t h e o r e t i c a l ly a n d p r a c ti c al ly , t h a tu n d e r c e r t a i n f lo w a n d e x t e r n a l p r e s s u r e c o n d i t io n s , m o s t o f t h e e l a s ti c

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612 J. P . ARMITSTEADet al.t u b e s f o u n d i n t h e m a m m a l i a n b o d y w i ll c o l la p s e f r o m a d i s t e n d e d c i r c u l a rc r o s s s e c ti o n . F u r t h e r , a s a p a r t i c u l a r s u b s e t o f t h is b e h a v i o u r , t u b e s o f t h isk i n d m a y u n d e r g o s e l f - e x c i t e d o s c i l l a t i o n s i n w h i c h t h e c r o s s s e c t i o n v a r i e sb e t w e e n a n o v a l a n d a m o r e c o m p l e x d o u b l e - c h a m b e r e d f ig u r e - ei g h t s h a p e( C o n r a d , 1 96 9). E x a m p l e s o f b o t h c o l l a p s e a n d s e l f- e x c it e d o s c il l a ti o n s h a v eb e e n o b s e r v e d i n t h e h u m a n b o d y . I n g e n e r a l , v e i n s a b o v e t h e l e v e l o f t h eh e a r t a r e c o l l a p s e d d u e t o a n o r m a l l y n e g a t iv e t r a n s m u r a l ( i n s i d e m i n u so u t s i d e ) p r e s s u r e . O t h e r e x a m p l e s o f s i m p l e c o l l a p s e o c c u r i n t h e u r e t h r ad u r i n g m i c t u r i t i o n a n d i n t h e p u l m o n a r y a i r w a y s ( S h a p i r o , 1 9 7 7 ) . E x a m p l e so f o s c i l l a t i o n s m a y i n c l u d e t h o s e i n s y s t e m i c a r t e r i e s w h e n a s u f f i c i e n t l yn e g a t i v e t r a n s m u r a l p r e s s u r e i s a p p l i e d d u r i n g c l i n i c a l s p h y g m o m a n o m e t r y( U r a n d G o r d o n , 1 9 7 0 ) . O t h e r i n v i v o e x a m p l e s o f o s c i l l a t i o n s i n c l u d et h o s e i n t h e v e i n s n e a r t h e h e a r t ( o n ly o c c as i o n a ll y r e c o r d e d ) ( M a t s u z a k i,1986), t he c o l l a pse a nd o sc i l l a t ion o f the spe c ia l i s e d a i r wa ys o f the l a r ynxd u r i n g v o c a l i sa t i o n , t h e s i m i l a r o s c i ll a t io n o f t h e a v i a n s y r in x d u r i n g c a l l i n g( K i n g a n d M c L e l l a n d , 1 9 84 ) a n d f o r c e d e x p i ra t o ry w h e e z e s ( G r o t b e r g a n dGavr ie ly , 1989) .

I n v e s t ig a t i o n o f c o ll a p s i b le - t u b e b e h a v i o u r . T h e i n t e r e s t i n g b e h a v i o u r a s -s o c i a t e d w i t h f lo w i n c o l la p s i b l e tu b e s h a s a t t r a c t e d m a n y w o r k e r s f r o mva r ious f i e lds to s tudy i t bo th i n v i v o a n d , m o r e t y p i c a l l y , o n t h e l a b o r a t o r yb e n c h . A m o n g t h e m o r e r e c e n t i n v e s t i g a t i o n s , b o t h e x p e r i m e n t a l ( B e r t r a me t a l . , 1990 , 1991) a nd the o r e t i c a l ( B e r t r a m a nd P e d le y , 1982 ; C a nc e l l i a ndP e d l e y , 19 85 ; M o r g a n a n d P a r k e r , 1 98 9), m o s t h a v e i n v o l v e d a n e x p e r i m e n -t a l s e t u p k n o w n a s t h e S t a r l i n g r e s i s t o r ( K n o w l t o n a n d S t a r l i n g , 1 9 1 2 ) .

T h e S t a r l i n g r e s i s t o r ( s e e F i g . 1 ) h a s a n e l a s t i c t u b e s u s p e n d e d i n ac o n t r o l l a b l e - p r e s s u r e c h a m b e r b e t w e e n t w o r i g i d t u b e s . T h e u p s t r e a m t u b e

, L I , ! 1 , Lpe I1 Ul pl ~ e v ~ _ p2 112 ,

A = A v A = A

A : I IA = I

Figure 1. The collapsible tub e or Starling resistor m odel. The collapsible sectionof the tub e is enclosed in a sealed cham ber at pressure Pe and fed from aconstant pressure head upstream of Pu. Inlet and outlet conditions are deter-mined by l um ped parameters for resistance and inertance. Flo w conditionswithin the collapsible tu be are described by three ordinary differential equa-tions for the independent dimensionlessvariables of upstream and downstreamfluid velocityand the cross-sectional area at the poin t of maximum collapse (seeAp pendix for d etails).

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BIFURCATION BEHA VIOU R OF FLOW THR OUG H A COLLAPSIBLE TUBE 613

is c o n n e c t e d t o a n a d j u s t a b l e p r e s s u r e h e a d , a n d t h e f l o w c h a r a c t e r is t ic sc a n b e m o d i f i e d b y c h a n g i n g th e i n l e t - o u t l e t c o n d i ti o n s .

T w o d i s ti n c t iv e p r o p e r t i e s c h a r a c t e r i s e t h e f lo w b e h a v i o u r o f c o l la p s i b let u b e s : f l o w l i m i t a t i o n a n d s e l f - e x c i t e d o s c i l l a t i o n ( B e r t r a m et aL, 1991).C o n s i d e r t h e S t a r li n g r e s i s to r i n F i g . 1 w i t h c o l l a p s ib l e s e g m e n t u p s t r e a mp r e s s u r e P l , d o w n s t r e a m p r e s s u r e P 2 a n d c h a m b e r p r e s su r e Pe" F l o wl im i t at io n oc c ur s w h e n t h e d o w n s t re a m t ra n s m u r a l p r e s s u re ( P 2 - P e ) isn e g a t i v e , t h a t i s , c h a m b e r p r e s s u r e i s g r e a t e r t h a n t h e p r e s s u r e i n t h ed o w n s t r e a m c o l la p s ib l e s e g m e n t o f t h e t u b e . I f t h e u p s t r e a m t r a n s m u r a lp r e s s u r e ( P l - P e ) i s m a i n t a i n e d c o n s t a n t , t h e n i t is f o u n d t h a t f l o w r a t et h r o u g h t h e t u b e is e s s e n t ia l l y i n d e p e n d e n t o f t h e d r i v in g p r e s s u r e d i ff e r -e n c e ( P l - P 2 ) , a n d h e n c e o n l y d e p e n d s o n t h e u p s t r e a m c i rc u it c o n d it io n s(Shapi ro , 1977) .I n t h e f lo w - l im i t in g r a n g e o f t h e s e n e g a t i v e d o w n s t r e a m t r a n s m u r a lp r e s s u r e s, s e l f- e x c i te d o s c il la t io n s c a n o c c u r . A f u ll u n d e r s t a n d i n g o f t h em e c h a n i s m o f th e s e o s c il la t io n s ha s y e t t o b e a c h i e ve d . M o r e t h a n o n ec a t e g o r y o f o s c i l l a t i o n s h a s b e e n o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y , a n d i n d e e dB e r t r a m et al. ( 19 9 1 ) h a v e i d e n t i f ie d m o r e t h a n six d i f f e r e n t c l as s e s o fo s c i ll a ti o n s u n d e r d i f f e r e n t d r i v in g c o n d i t i o n s .

Mathematical modell ing of collapsible- tube behaviour. C o m p l e m e n t i n gt h e e x p e r i m e n t a l i n v e s t ig a t i o n o f S t a r li n g - r e s is t o r -l ik e s e t u p s h a s b e e n ap a r a l l e l a t t e m p t t o e x a m i n e c o l l a p s i b l e - t u b e b e h a v i o u r u s i n g p u r e l y m a t h e -m a t i c a l m o d e l s . T h e s e c a n g e n e r a l l y b e c l a s s i f i e d i n t o t w o g r o u p s : l u m p e d -p a r a m e t e r m o d e l s , i n w h i c h t h e f l o w is c h a r a c te r i s e d b y a n u m b e r o ft i m e - v a r y i n g s p a ti a ll y in v a r i a n t p a r a m e t e r s s u c h a s c r o s s - s e c t io n a l a r e a a tt h e p o i n t o f c o ll a ps e , a n d m o r e c o m p l e x m o d e l s in w h i c h th e s e l e c t e dp a r a m e t e r s a r e c o n s i d e r e d to v ar y b o t h t e m p o r a l l y a n d o v e r o n e o r t w os p a ti a l d im e n s i o n s . T h e f o r m e r m o d e l s c a n b e r e p r e s e n t e d b y s e ts o fa u t o n o m o u s o r d i n a r y d i ff e r e n ti a l e q u a t io n s , w h i l e th e l a t te r m o d e l s r e q u i r es e ts o f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n o r d e r t o a c c o u n t f o r b o t h s p a t ia l a n dt e m p o r a l v ar ia t io n . I n b o t h c a s e s th e e q u a t i o n s a r e n o n - l i n e a r d u e t o t h ea s s o c i a t e d f l u i d - m e c h a n i c a l p r i n c ip l e s . P a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r er e q u i r e d i n o r d e r t o t a k e i n t o a c c o u n t w a v e p r o p a g a t i o n . I t h a s b e e np o s t u l a t e d ( K a m m a n d P e d l e y , 1 9 89 ) th a t s u p e r - cr i ti c a l f lo w ( f lu i d s p e e dg r e a t e r t h a n t h e p r o p a g a t i o n v e l o c it y o f s m a l l -a m p l i t u d e w a ve s) , w h i c hl e a d s to " c h o k i n g " , m a y b e a p r i m e m e c h a n i s m o f u n s t e a d y fl ow i nco l l aps ib l e t ubes .

App l ica t ion o f the AU TO -86 so ftware package . T h e o b j e c t o f t h e w o r kd i sc u s s e d h e r e w a s to a n a ly s e a l u m p e d - p a r a m e t e r m o d e l , s t u d i e d b yB e r t r a m a n d P e d l e y (1 98 2) , u s in g s o f tw a r e c a l l e d A U T O - 8 6 w h i c h w a s

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614 J. P. ARMITSTEAD e t a l .

e s p e c ia l ly d e s i g n e d t o b e a p p l i e d to b i f u r c a t io n a n d c o n t i n u a t i o n p r o b l e m si n v o l v in g o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . T h e e q u a t i o n s o f B e r t r a m a n dP e d l e y a re d e r i v e d i n t h e A p p e n d i x , w h i c h a l s o e x p l ai n s t h e n o n -d i m e n s io n a l is a ti o n s c h em e . A U T O , d e v e l o p e d b y D o e d e l a n d K e r n 6 v ez(1986) , ha s t he ab i l i t y t o t r a ce ou t so lu t ion b ranches , bo th s t a t i c andp e r i o d i c , o v e r a u s e r - s e l e c t e d r a n g e o f c o n t r o l s p a c e f o r s e t s o f o r d i n a r yd i f f e r e n t ia l e q u a t i o n s . I t c a n a l so l o c a t e b i f u r c a t i o n p o i n t s o f t h e e q u i l i b r iaa n d f la g th e m f o r s u b s e q u e n t t ra c in g o u t o f a n y n e w b r a n c h t h e n c ee m a n a t i n g . F i n a l l y , i t c a n c o n t i n u e b i f u r c a t i o n p o i n t s i n t w o - p a r a m e t e rs p a c e . T h u s , f o r e x a m p l e , t h e l o c a t i o n o f a H o p f b i f u r c a t i o n p o i n t c a n b et r a c e d o u t f o r t w o i n d e p e n d e n t v a ri ab l es . T h e i n d e p e n d e n t v a r ia b le s i n v e s-t i g a t e d i n t h i s s t u d y w e r e u p s t r e a m p r e s s u r e P u a n d c h a m b e r p r e s s u r e P e "A n e w v e r s io n , A U T O - 9 4 , is n o w a v a i la b le .

M e t h o d s . A U T O w a s ru n o n a n A p o l l o D N 3 0 0 0 w o r k s ta ti o n. H a r dc o p y o f g r a ph i cs w a s o b t a i n e d u s i n g p r o g r a m s s u p p l ie d w i t h A U T O l in k e dt o i n - h o u s e g r a p h i c s r o u t i n e s a n d v a r i o u s P o s t s c r ip t t r a n s l a t io n t o o ls . I n i ti a lm o d e l co n d i ti o n s w e r e o b t a i n e d f ro m a f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a a lg o -r i th m w i th a d a p t i v e s te p -s iz e c o n tr o l. T h e R u n g e - K u t t a i n t e g r a to r w a s a l sou s e d i n d e p e n d e n t l y , p r o v i n g u s e f u l i n t h e i n v e s t i g a ti o n o f c o n t r o l s p a c ew h i c h A U T O c o u ld n o t b e m a d e t o n e g o t ia t e.

T h e a l g o r i t h m s u s e d b y A U T O a r e d e s c r i b e d i n s o m e d e t a i l i n t h er e f e r e n c e m a n u a l ( D o e d e l a n d K e r n 6 v e z, 1 98 6). A U T O is c ap a b l e o fs o l v in g n u m e r i c a ll y a s y s t e m o f o r d i n a r y d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n s ( a t d i s c r e t ei n t e r v a l s ) a s a f r e e p a r a m e t e r i s v a r i e d f o r b o t h s t e a d y a n d u n s t e a d ys o l u t i o n s . S t a b i l i t y i s t r a c k e d a n d b i f u r c a t i o n p o i n t s a r e d e t e c t e d b y m o n i -t o r i n g t h e l i n e a r i s e d J a c o b i a n , i n t h e c a s e o f s t e a d y s o l u t i o n s , a n d F l o q u e tm u l t ip l i e rs ( a n u m e r i c a l e q u i v a l e n t o f t h e P o i n c a r 6 m u l t ip l i e r) , i n t h e c a s eo f u n s t e a d y s o l u ti o n s .Re s u l t s .

C ha m be r p r e s s ur e P e a s t he c o n t r o l par am e t e r . A t l o w v a l u e s o f P e t h em o d e l t u b e i s w i d e o p e n a n d c o n s t a n t f l o w c o n d i t i o n s a r e e s t a b l i s h e d .F i g u r e 2 s h o w s a b i f u r c a t i o n d i a g r a m w i t h c h a m b e r p r e s s u r e P e a s t h ec o n t r o l - s p a c e p a r a m e t e r , P u = 2 9 5 . T h e o r d i n a t e i s A , t h e n o n - d i m e n s i o n a la r e a a t t h e m o s t c o l l a p s e d p a r t o f t h e t u b e , o r i n th e c a s e o f u n s t e a d yb e h a v i o u r , t h e m a x i m u m o f A ( t ) . Stab le , s t e ady so lu t ions a re i nd i ca t ed byfu l l l i ne s; uns t ab l e , s t e ady so lu t ions by do t t ed l i ne s . F i l l ed c i rc le s rep r e sen tt h e p a t h o f a s t a b l e , u n s t e a d y s o l u t i o n ; o p e n c i r c l e s t h a t o f a n u n s t a b l e ,u n s t e a d y s o l u t i o n ( e. g. F i g u r e 6 ). T h r e e b i f u r c a t i o n p o i n t s a r e i n d i c a t e d o nF i g u r e 2 . A p a i r o f f o ld s o r s a d d l e - n o d e b i f u r c a ti o n s ( m a r k e d b y o p e ns q u a r e s ) a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e h y s t e r e t ic c o l la p s e o f th e t u b e a s P e i s

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A1.25

BIFURCATI ON BEHAV IOUR OF FLOW THR OUG H A COLLAPSIBLE TUBE 615

1.88

0.75

0.50

8.25

8.80

I1

J

0 ~QQ~" ~00000000000. ' ~ OQO O~00

i I I I188. 185. 198. 195. 2oo. 285. 218.PeFigure 2. A bifurcation diagram in (Pe , A ) space for Pu = 295, which show s thetopological changes in the m odel solutions as the control para me ter Pe is varied.The control p aram eter is measured on the horizontal axis, while the ordinatedenotes the maximum value of the dimensionless variable A, the area of the

most collapsed section of the tube . So lid lines represent stable steady solutions,broke n lin es represent unstable steady solutions, and filled circles representstable un steady solutions (limit cycles). Bifurcations, o r points a t wh ich equilib-ria change topologically, are represented by symbols. This figure show s a pa ir o ffolds (marked b y open squares) and a H op f bifurcation (m arked b y a filledsquare) at whic h a pa th o f limit cycles is born. N ote that the slope discontinuityat A = 1 in this and subsequent figures is a consequence of the way the tubelaw is formulated in equation (A13).i n c r e a s e d . F o l l o w i n g a lo n g a s t e a d y s o l u t io n b r a n c h , e a c h f o l d m a r k s t h et r a n s i t i o n o f a s i n gl e p u r e l y r e a l e i g e n v a l u e f r o m t h e n e g a t i v e d o m a i n t ot h e p o s i t iv e a s s t a b il it y is l o st . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t d u r i n g t h e a n a l y si s o ft h e m o d e l ( w h ic h c o n s is t s o f t h r e e c o u p l e d o r d i n a r y d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n s ) ,a t le a s t o n e p u r e l y r e a l a n d s t r ic t ly n e g a t i v e e i g e n v a l u e w a s a l w a y s f o u n d ;t h is is c o n s i s t e n t w i t h o u r n u m e r i c a l f i nd i n g s t h a t t h e d y n a m i c s a r e c o n -s t r a in e d t o t h a t w h i c h c a n b e r e p r e s e n t e d in a t w o - d i m e n s i o n a l p h a s es p ac e . T h e f il le d s q u a r e a t P e - - 1 9 1 d e n o t e s a H o p f b i f u rc a t io n w h e r es ta b il it y is lo s t v i a th e m o v e m e n t o f a c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r o f e i g e n v a l u e sa c r o s s t h e i m a g i n a r y a x is i n t o t h e p o s i t i v e q u a d r a n t s . A r e p e l l o r i s t h u sc r e a t e d a n d l i m it c y cl e s s u b s e q u e n t l y d e v e l o p . E a c h o f t h e b i f u r c a t i o np o i n ts c a n b e c o n t i n u e d in t w o - p a r a m e t e r (Pu ,Pe ) s p a c e . T o t h e r i g h t o fF i g . 2 i t c a n b e s e e n t h a t t h e l i m i t c y c l e s i n c r e a s e i n a m p l i t u d e , a n de v e n t u a l ly b e c o m e u n s t a b l e a t P e v a lu e s b e y o n d th o s e s h o w n .

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6 16 J . P . A R M I T S T E A D e t a l .Upstream pressure Pu as the control parameter. Figure 3 show s a b i fu rca -t i o n d i a g r a m i n (P u , A ) s p a ce . A t l o w p , v a l u e s t h e t u b e is c o m p l e t e l yco l l apsed , s t e ady f low is e s t ab l i shed and A inc rea se s s low ly w i th p~ . AH o p f b i f u r c a t io n a g a i n i n d i c a t e s t h e b i r t h o f l im i t c yc le s a t t h e c r it ic a l p ,v a l u e o f a p p r o x i m a t e l y 1 4 0 . F o r t h i s p a r t i c u l a r v a l u e o f Pe ( 2 0 0 ) t h es o l u t i o n p a t h o f l i m i t c y c l e s e m a n a t i n g f r o m t h e H o p f b i f u r c a t i o n d i s a p -

p e a r s a t a t y p e o f h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n c a l le d a b l u e - s k y c a t a s t r o p h e( T h o m p s o n a n d S t e w a r t, 1 9 86 ) at Pu "" 3 0 5. A h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n i ng e n e r a l is " a t r a je c t o r y t h a t a p p r o a c h e s t h e s a m e e q u i l i b r i u m ( n e c e s sa r il y asadd le ) fo r t - -, -oo a nd fo r t ~ + o0" (T ho m ps on and S t ew ar t , 1986) . T het u b e r e o p e n i n g i s a g a i n a s s o c i a t e d w i t h a p a i r o f f o l d s , a l t h o u g h t h e l o w e ro n e i s q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t f r o m t h a t i n F i g . 2 b e c a u s e i t m a r k s t h e

t . 2 5

I . 08

8.75

0.50

O. 25

0. O0

0 O e n o 9 0 ~ ~

O 0 O, 0 Q q l, 0 4 j O O O 0 0 O 0 0 O 0 go ' ~ "~ ~

ii I i I

188. 150. 288. 258. 388.PUF i g u r e 3 . A b i f u r c a ti o n d i a g r a m i n ( p , , A ) s p a c e f o r P e = 200 . L ines aga inr e p r e s e n t s o l u t i o n p a t h s a n d s y m b o l s r e p r e s e n t b i f u r c a t i o n p o i n t s ( s e e F ig . 2 ).T h e s ta b l e s t e a d y s o lu t i o n p a t h a t t h e l e f t o f t h e d i a g r a m is b r o k e n b y a H o p fb i f u r c a ti o n a n d t w o f o ld b i fu r c a t io n s b e f o r e r e a p p e a r i n g t o t h e r i g h t o f t h ed i a g r a m . A p a t h o f l i m i t c y c l e s is b o r n a t t h e H o p f b i f u r c a t i o n a n d p r o c e e d s t ot h e r i g h t b e f o r e d i s a p p e a r in g a t a h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n ( w h e r e t h e p a t h o ff il le d ci r cl e s m e e t s t h e d a s h e d c u r v e ) a t p , = 3 0 5. A s P u i s i n c r e a s e d t o w a r d t h ec o n n e c t i o n , t h e p e r i o d o f t h e l i m i t c y c le s i n c r e a s e s a n d e v e n t u a l l y t e n d s t oi n fi n it y a t t h e c o n n e c t i o n p o i n t i ts e lf . A n y s li g h t j u m p a c r o s s t h e c o n n e c t i o nr e s u l ts i n t h e d i s a p p e a r a n c e o f t h e l im i t c y c l e s a l t o g e t h e r . ( N o t e t h a t a s e c o n d

p a t h o f l im i t c y c l e s e x is ts i n t h i s r e g i o n o f c o n t r o l s p a c e b u t i s n o t s h o w n h e r e .See F ig . 11 , pane l VI I . )

35 &

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BIFURCATIO N BEHA VIOUR OF FLOW TH ROU GH A COLLAPSIBLE TUBE

Peo i od10.

617

9 .

8.

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

0.I I I I

100. tS0. 200. 250. 300. 350.PuFigure 4. A plot of Pu versus limit-cycleperiod for Pe = 200 as the hom oclinicconnection show n in Fig. 3 is approached . The pe riod ten ds to infinity at thehomoclinic connection point.

t r a n s i t i o n b e t w e e n t w o d i f f e r e n t uns table , s t e a d y s o l u t i o n p a t h s . F i g u r e 4s h o w s t h e p e r i o d o f t h e l i m i t c y c l e s p l o t t e d a g a i n s t P u. A s t h e h o m o c l i n i cc o n n e c t i o n i s a p p r o a c h e d , t h e p e r i o d r i s e s s t e e p l y t o w a r d i n f i n i t y .

F i g u r e 5 s h o w s t w o p h a s e - p l a n e p l o t s i n ( u 2 , A ) s p a c e a t ( p u , P e ) =( 32 0 , 2 00 ), c l o s e t o t h e l o w e r f o l d . B o t h o r b i t s a r e c a p t u r e d b y t h e u p p e rs t ab l e s o l u t i o n ( t u b e o p e n ) , b u t t h e y p r o c e e d b y d i ff e r e n t r o u te s . T h e l o w e rs t a r t i n g p o i n t s p i r a l s o u t f r o m a r e p e l l o r b e f o r e e n t e r i n g t h e b a s i n o fa t t r a c ti o n o f t h e s t ab l e s o l u t io n , w h i l e t h e u p p e r o r b i t p r o c e e d s m o r ed i r e c t l y , a l b e i t c o n s t r a i n e d b y t h e f l o w a s s o c i a t e d w i t h t h e l o w e r o r b i t .

L o w P u v a l ue s w i t h P e a s c on t r o l par am e t e r . A t l o w e r P u v a l u e s t h e t u b ec o l l a p s e s n o n - h y s t e r e t i c a l l y ( i. e. n o f o l d s ) as c h a m b e r p r e s s u r e Pe is in-c r e a s e d . F i g u r e 6 s h o w s a b i f u r c a t i o n d i a g r a m i n ( P e , A ) s p a c e f o r P u = 25.A H o p f b i f u r c a t i o n a g a i n m a r k s t h e s t a rt o f a p a t h o f l i m i t c y c le s a tPe = 3 8 0 , b u t t h e f a t e o f t h i s s o l u t i o n p a t h i s m a r k e d l y d i f f e r e n t . A t a r o u n dPe - - - - 5 3 0 a c y c li c f o l d ( a n a l o g o u s t o a f o l d f o r e q u i l i b r ia , a s m e t a b o v e , b u tf o r li m i t c y c le s ) i s e n c o u n t e r e d w h e r e a n u n s t a b l e a n d a s ta b l e s o l u t i o np a t h m e e t a n d a n n i h i l a t e e a c h o t h e r . T h e s o l u t i o n p a t h o f u n s t a b l e l i m i t

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6 1 8 J . P . A R M I T S T E A D et a l .

1 .1

L.25 'l.~ ~.zs ~ ~.25 ~.~ ~.zsu 2

Figure 5 . A (u2 , A ) pha se-p lan e p lo t o f two in tegra t ions fo rwa rd in t ime fo rPu = 320 and Pe= 200 . The s ta r t ing po in ts fo r the two runs a re the two po in tson F ig . 3 wh ere a ver t ica l l ine a t pu = 320 (no t d rawn) wou ld in te rsec t thedashed curves fo r uns tab le s teady equ i l ib r ia . The f i r s t in tegra t ion (o r ig ina t ingn e a r u2= 2 .1 ) sta r t s f rom the lower uns tab le equ i l ib r ium ( repe l lo r ) cu rve o f F ig .3 ; the second (o r ig ina t ing n ear u 2 = 2 .55) s ta r t s f rom the upp er uns tab leequ i l ib r ium curve ( sadd le ) . Bo th so lu t ions a re cap tu red by the upper ( tubeopen) s tab le equ i l ib r ium po in t , a l though the t ra jec to r ies they fo llow to ge t the reare qua l i ta t ive ly d i f fe ren t . Bo th equ i l ib r ium po in ts have assoc ia ted wi th themone e igenva lue ou t o f th ree which i s pure ly rea l and nega t ive ; the o ther twoe igenva lues a re , in the f i r s t case , a complex con juga te pa i r wi th pos i t ive rea lpar t s desc r ib ing a repe l lo r and , in the second case , two pure ly rea l and pos i t ivee igenva lues descr ib ing a sadd le . Th ese e igenva lues on ly descr ibe beh av iour loca lto the equ i l ib r ium po in t , no t the u l t imate c ap tu re by the so lu t ion a t A > 1.Thus the repe l lo r t ra jec to ry in i t ia l ly sp i ra l s ou t be fo re be ing cap tu red , whi letha t o f the sadd le does no t . The sadd le t ra jec to ry i s , however , add i t iona l lyf o r c e d t o c u r v e a r o u n d th e r e p e l l o r o n c e a wa y f r o m th e l o c al e n v i r o n me n t o f i tsequ i l ib r ium po in t .

t

0 . 9

0 . 8

0 . 7

0 . 6

0 . 5

0 . 4

A

0 . 3

0 . 2

0 . I

0

c y c le s p r o c e e d s t o t h e l e f t a n d e x p a n d s i n d e f i n i t e l y a t a r o u n d Pe = 2 0 0 . F o rPe > 5 3 0 t h e r e i s t h u s a p p a r e n t l y n o s t a b l e s o l u t i o n , a p h y s i c a l ly u n l i k e lys c e n a r i o . T h e f u ll li k e ly t o p o l o g y o f t h e s i t u a t i o n i s p o s t u l a t e d b e l o w .

Two-parameter continuation in ( P u , P e ) space. E a c h o f t h e b i f u r c a t i o np o i n t s s h o w n s o f a r - - t h e f o l d , t h e H o p f b i f u r c a t i o n , t h e c y c li c f o l d a n d t h e

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9/31

A1.25

1 . 00

0.75

O. 50

O. 25

0. 00

B I F U R C A T I O N B E H A V I O U R O F F L O W T H R O U G H A C O L L AP S IB L E T U B E 6 19

00o0o00000oo0000oOo

0 ~ 0 0 0 0 0 0 0o o o o o o o . ~ .o _ i ;. ~ _ ; ; i ~ _ a ~ _ . . . . . . . .

I I r r IO. toO. 200. 300. 4OO. 5oo. 600.Pe

F i g u r e 6 . A b i f u r c a t io n d i a g r a m i n ( P e , A ) s p a c e f o r Pu = 2 5 . A s t h e c o n t r o lp a r a m e t e r Pe i s i n c r e a s e d , t h e s t a b l e s t e a d y s o l u t i o n t o t h e l e f t o f t h e d i a g r a mr a p i d l y f a ll s t o a m a r k e d l y lo w e r A v a l u e , b u t n o t t h r o u g h a f o l d b i f u r c a t i o n . A tn o Pe v a l u e i n t h i s r e g i o n i s t h e r e a n i n s t a b i l i t y . T w o t y p e s o f u n s t e a d y s o l u t i o np a t h s a r e s h o w n i n t h i s d ia g r a m : a s t a b l e p a t h m a r k e d b y fi l le d c i r c l es a n d a nu n s t a b l e p a t h m a r k e d b y o p e n c i rc l es . A s P e i s i n c r e a s e d t o t h e r ig h t o f t h ed i a g r am , t h e t w o u n s t e a d y s o l u t i o n p a t h s m e e t a n d a r e a n n i h i l a te d ( c y c li c -f o l db i f u r c a t i o n ) . T o t h e r i g h t o f t h i s b i f u r c a t i o n a l l t r a j e c t o r i e s l e a v e t h e n e i g h b o u r -h o o d , i . e . t h e r e i s n o l o c a l s t a b l e s o l u t i o n . ( N o t e t h a t a s e c o n d p a t h o f s t a b l el i m i t c y c l e s e x i s t s i n t h i s r e g i o n o f c o n t r o l s p a c e , b u t w a s t o o s t e e p t o b ed e t e c t e d . S e e F i g . 9 , p a n e l B . )

h o m o c l in i c c o n n e c t i o n - - w a s c o n t i n u e d in t w o - p a ra m e t e r (Pu,Pe) s p a c e .( T h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n i s t r a c ed o u t b y c o n s i d e r i n g a li m i t c y c le o fv e r y la r g e f i x e d p e r i o d a s b e i n g a n a p p r o x i m a t i o n t o a n o r b i t o f in f i n i tep e r i o d .) T h i s is m o s t i n s t r u c ti v e i n d e t e r m i n i n g t h e o v e r a l l d y n a m i c a lb e h a v i o u r o f t h e m o d e l a s p , a n d Pe a r e v a r i e d . F o r e x a m p l e , t h et w o - p a r a m e t e r c o n t i n u a t i o n o f h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s s u g g e s t e d t h a t t h ec u r ve w a s d o u b l e - v a lu e d i n Pe" F i g u r e 7 , w i t h p , = 3 0 6 , s h o w s t h i s t o b e t h ec a se . T w o h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s a r e s h o w n in ( P e , A ) s p a c e a t Pe = 1 9 6a n d 1 9 8 . T h e u n s t e a d y s o l u t i o n p a t h a t Pe > 1 9 8 w a s tr a c e d o u t " m a n u a l l y "u s in g t h e R u n g e - K u t t a a lg o ri th m .

F i g u r e 8 s h o w s a c o m p o s i t e o f a ll t w o - p a r a m e t e r c o n t i n u a t i o n l oc i. T h ed i a g r a m h a s b e e n d i v i d e d u p i n t o s e g m e n t s , e a c h h a v i n g a s p e c i fi c t o p o l o g y ,b y v er t ic a l l i n e s a t v a l u e s o f P u c o r r e s p o n d i n g t o c r it ic a l p o i n t s . T h e l a tt e r

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620A

1 . 2 5

J . P . A R M I T S T E A D e t a l .

1. O0

0. 75

O. 50

0 . 2 5

O. 00

Zgg

g, gI i t/ it ~ Q O

o 4 . 1 ~ o o o o o o o 9 9 0 O 0 0 e '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I I I I I

190. 195. 208. 205. 21 8. 215. 220.PeFigure 7. A bifurcation diagram in (Pe, A ) space fo r Pu = 306 con taining twofold bifurcations, a H op f bifurcation and two hom oclinic connections. Th e pa thof s teady limit cycles born at the Ho pf bifurcation is "split" by the homoclinicconnections before continuing its march to the righ t. As Pe is increased, thelimit cycles eventually attain maxim a greater than the v alue of the stable (tubeopen) solution at the left of the diagram.

m a r k q u a l it a ti v e tr a n s i ti o n s i n t h e o n e - p a r a m e t e r b i f u r c a t i o n d i a g r a m sc o n s i d e r e d s o fa r . D i a g r a m m a t i c a l l y , e a c h l i n e m a r k s a c u r v e i n t e r s e c t io np o i n t o r a cu r v e m a x i m u m o r m i n i m u m . In t h is d i a g r am , t h e c u r v e s m a r k e df l , f 2 r e p r e s e n t t h e f o l d l oc i, H t h e H o p f lo c u s, c f l , c f 2 t h e c y c l i c - f o l d l o c ia n d h c l , h c 2 t h e h o m o c l i n i c lo c i. T h e r e g i o n s a r e l a b e l l e d f r o m A t o K( e x c lu d i n g I f o r t h e s a k e o f c la r it y ); s c h e m a t i c b i f u r c a t i o n d i a g r a m s r e p r e -s e n t a ti v e o f t h e r e g i o n s a r e s h o w n i n F ig . 9 . E a c h o f th e s e s c h e m a t i cr e p r e s e n t a t i o n s w a s s k e t c h e d a f t e r c o n s i d e r i n g a " s l i c e " t h r o u g h t h e m i d d l eo f th e r e g i o n a n d c o m b i n i n g t h e r e su l t w i th g e n e r a l k n o w l e d g e o f t h eb i f u rc a t io n b e h a v i o u r o f t h e m o d e l o b t a i n e d f r o m t h e v a r io u s A U T O r u n sp e r f o r m e d . F i g u r e 10 sh o w s th e s a m e c o m p o s i t e d i a g r a m n o w d i s s e c te di n t o r e g i o n s o f P e; F ig . 11 c o n t a in s s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e( P u , A ) - s p a c e b i f u r c a t i o n d i a g r a m i n e a c h r e g i o n .

D i s c u ss i on . T h e a n al ys is o f t h e t u b e m o d e l d e m o n s t r a t e d a v a r ie t y o f f lo wb e h a v i o u r s a s s o c i a te d w i t h a n u m b e r o f m o d a l i t i e s o f s ta b il it y lo ss . B o t h

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B I F U R C A T I O N B E H A V I O U R O F F L O W T H R O U G H A C O L L A P S IB L E T U B E 621

R e300.

2 7 5 .

2 5 0 .

2 2 5 .

288.1 7 5 .

i50.

CD E

f i

i388.

G H/ / "F ~ / J K1

Ifi ii!

/Z/

l I I8. 180. 208. 488. 508. 088, 700.

PuF i g u r e 8 . T h e c o m p o s i t e t w o - d i m e n s i o n a l b i f u r c a t io n d i a g r a m s e c t i o n e d i n t od i f f e r e n t r e g i o n s A - K b o u n d e d b y v a l u e s o f p , a t w h i c h t o p o l o g i c a l c h a n g e s i nt h e m o d e l o c c u r . A s l i c e t h r o u g h a n y r e g i o n r e s u l t s i n a t o p o l o g i c a l l y d i s t i n c to n e - d i m e n s i o n a l b if u r c at i o n d i a g r a m w i th c o n t r o l p a r a m e t e r Pe" C u r v e i d e n t i -f i e r s : H , H o p f ; f , f o ld ; c f , cy c l i c f o ld ; h c , h o m o c l i n i c co n n ec t io n .

l o c a l b i f u r c a t i o n s ( H o p f , f o l d , c y c l i c f o l d ) a n d a g l o b a l b i f u r c a t i o n ( h o m o -c li ni c c o n n e c t i o n ) w e r e i d e n ti fi e d . G l o b a l b i f u r c a t i o n s a r e c h a r a c t e r is e d b yl a r g e - sc a l e c h a n g e s i n p h a s e - s p a c e f lo w a n d s u b s e q u e n t c h a n g e s i n t h eb a s i n s o f a t t r a c t i o n o f e q u i l ib r i a . L o c a l b i f u r c a ti o n s , b y c o n t r a st , d o n o ta f f e c t th e f lo w in p h a s e s p a c e f a r f r o m t h e s it e o f t h e b i f u r c a t i n g e q u i li b r ia ;t h e y a r e m a t h e m a t i c a l l y c h a r a c t e r i se d b y f u n d a m e n t a l c h a n g e s i n th ee i g e n v a l u e s o f t h e l i n e a r i s e d J a c o b i a n , i n t h e c a s e o f s t e a d y e q u i l ib r i a , a n dc h a n g e s i n t h e P o i n c a r 6 m u l t i p l i e r s , i n t h e c a s e o f l i m i t c y c l e s . G l o b a lb i f u rc a t io n s s u ch a s h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s d o n o t i n v o lv e c h a n g e s i n t h e s ec h a r a c t e r i s ti c c o m p o n e n t s ; r a t h e r , t h e y i n v o l v e c h a n g e s i n th e t o p o l o g i c a lc o n f i g u r a t i o n .

T h e o n l y l o c a l b i f u r c a t i o n o f u n s t e a d y e q u i l i b r i a i d e n t i f i e d - - t h e c y c l i cf o l d - - w a s a c o - d i m e n s i o n - 1 b i f u r c a ti o n ( i .e . o b t a i n e d t h r o u g h v a r i a t io n o fo n e c o n t r o l p a r a m e t e r ) i n w h i c h o n e P o i n c a r 6 m u l t i p l ie r c ro s se s t h e u n i tc i r c le . P has e -p l an e ana lys i s o f t he s t ab l e an d un s t ab l e l im i t cyc l es a s soc i-a t e d w i t h t h e c y c l i c f o l d f a i l e d t o f i n d a n y " s p i r a l l i n g " o r b i t s a p p r o a c h i n g

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6 22 J . P . A R M I T S T E A D e t a l .

A ,I

~ , ~ , " ~ o o .o 9

c l o: ; . o o , . " Il0 o~E l' - ' - - " - - ' t 5 9!

~ o "

G I~ 9 g o ~ 1 7 6

8

i - : _ . . . . . . . . . . . . . . . .k

a os ~ o 9 1 7 6p h i l

F i g u r e 9 . S k e tc h e s o f t h e t o p o l o g i c a ll y d i s ti n c t o n e - d i m e n s i o n a l b i f u r c a t i o nd i a g r a m s r e p r e s e n t a t i v e o f e a c h r e g i o n d e l i n e a t e d i n F ig . 8 . T h e c o n t r o l p a r a m -e t e r f o r e a c h i s P e a n d t h e o r d i n a t e a g a i n d e n o t e s t h e m a x i m u m v a l u e o f th ed i m e n s i o n l e s s v a r ia b l e A . T h e s k e t c h e s a r e a r r i v e d a t b y c o n s i d e r i n g t h a t t h e r em u s t b e a t o p o l o g i c a ll y s m o o t h t r a n s i t io n f r o m e a c h r e g i o n t o a d j o i n i n g o n e s .S y m b o l s c o r r e s p o n d t o t h o s e i n t h e d i a g ra m s g e n e r a t e d b y t h e c o n t i n u a t io ns o f t w a r e ( e . g . F i g s . 2 a n d 3 ) . N o t e t h a t h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s a r e n o t m a r k e dwi t h a spe c i a l sym bol , bu t o c c u r w he r e s t a b l e osc i l l a to ry pa t hs ( f il le d c i rc l e s )m e e t u n s t a b l e s t e a d y p a t h s ( d a s h e d c u r v e s ) , i n p a n e l s F - K .

t h e l im i t cy c le s a n d n o e v i d e n c e w a s f o u n d o f b i fu r c a t io n t o a n i n v a r ia n tt o r u s e i t h e r b y p h a s e - p l a n e a n a ly s i s o r a s fl a g g e d b y A U T O . I n f a ct , t h em o d e l d y n a m i c s w e r e f o u n d t o b e c o n s t r ai n e d t o a t w o - d i m e n s i o n a l ce n t r em a n i f o l d ; i . e . t h e p h a s e p o r t r a i t i s g e n e r a l l y o r g a n i s e d b y t h o s e e i g e n v a l u e sw i t h z e r o r e a l p a r ts . A s s t a t e d p r e v i o u s ly , in t h e a n a ly s i s o f t h is t h i r d - o r d e r

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P e3 0 0 .

B I F U R C A T I O N B E H A V I O U R O F F L O W T H R O U G H A C O L L A P S I B L E T U B E 6 2 3

2 7 5 .

2 5 0 .

2 2 5 .

2 0 0 .

1 7 5 .

1 5 0 .

X l

h / -5r - - - / / I x

I HI I I I I I I I

0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 .P UFigure 10. The com posite two-dimensional bifurcation diag ram of Fig. 8, thistime sectioned into regions I-X I bounded by topologicallycritical values o f Pe"A slice through any region now resu lts in a topologically distinct bifurcationdiagram with control parameter Pu.

m o d e l o n e p u r e l y re a l a n d n e g a t i v e e i g e n v a lu e w a s a lw a y s o b s e r v e d , a n d s ot h e i n t e r e s t i n g f l ow i n p h a s e s p a c e a l w a ys r e d u c e d t o t w o d i m e n s i o n s .

A n y d y n a m i c a l s y s te m c o n s t r a i n e d t o a t w o - d i m e n s i o n a l, p l a n a r c e n t r em a n i f o l d c a n b e e x p e c t e d t o d i s p la y o n ly s i m p l e l im i t cy c le s. N o e v i d e n c ew a s f o u n d o f h i g h e r - d i m e n s i o n a l a t tr a c to r s t h a t w o u l d r e p r e s e n t , f o r e x am -p l e , q u a s i - p e r i o d i c o r m o d e - l o c k e d in t e r a c t i o n s o f d i s ti n c t o sc i ll a ti o n s o rd y n a m i c a l c h a o s .

A f u r t h e r i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n re g a r d i n g t h e m o d e l w a s th a t t h eh o m o c l i n i c c o n n e c t i o n f o u n d w a s n o t t ra n s v e rs e . A t r an s v e r se h o m o c l i n i cc o n n e c t i o n r e q u i r e s t h a t t h e d i m e n s i o n o f its s ta b le m a n i f o l d ( c o n ta i n i n gt h e p a r t o f t h e o r b i t a p p r o a c h i n g t h e s a d d l e ) a n d t h e d i m e n s i o n o f i tsu n s t a b l e m a n i f o l d ( c o n ta i n i n g t h e p a r t o f t h e o r b i t l ea v in g t h e s a d d le ) s u mt o a v a lu e g r e a t e r t h a n t h e d i m e n s i o n o f p h a s e s p a ce . C a r e f u l i n s p e c t io n o ft h e h o m o c l in i c c o n n e c t i o n r e v e a le d a m a x i m u m s u m o f d i m e n s i o n s o f o n ly3 . T r a n s v e r s e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s h a v e b e e n i d e n t if i e d as k e y f e a t u r e so f s y s t e m s c o n t a i n i n g r e g i o n s o f c h a o t i c b e h a v i o u r , a n d t h e y c a n l e a d t oc o m p l e x s t r u c tu r e s s u c h a s h o m o c l i n i c t a n g le s ( A b r a h a m a n d S h a w , 19 84 ;G u c k e n h e i m e r a n d H o l m e s , 1 98 6). T h e l a c k o f a n y tr a n s v e rs e h o m o c l i n i cc o n n e c t i o n i n th i s m o d e l a n al ys is a n d t h e f a c t t h a t t h e d y n a m i c s a r e

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6 2 4 J . P . A R M I T S T E A D et al .

i I

; /0 0 0 0 0 0 0 0H"a

" oo o o o o o o ~ ] , , 9 . , ~

~ ~ ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 ',o914 99 9

io

o , , o 9 . . . . ~ o

I X i " o o ~ .|

I9 . ,0 0 0 0 0 0 0 0 j ~

w ]

o o o o o o 2 ~ ~ . . . . . . . . , ~O O O 9 9 Iv IJ

I99 e~ko o o o o o o o o o ~ o 9 ~ ' ~~ .r . . . . . . . . . i

v m l N :; []I~ 1 7 6 1 7 6 1 7 6 1 7 6 1 7 6 1 7 6 1 7 6 1 7 6 1 7 6. . k

x i I0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9

; uF i g u r e l l . S k e t c h e s r e p r e s e n t a t i v e o f t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m s i n e a c h r e g i o nd e l i n e a t e d i n F i g . 1 0 . T h e c o n t r o l p a r a m e t e r f o r e a c h d i a g r a m i n t h is c a s e i s P u ,w h i l e t h e o r d i n a t e a g a i n r e p r e s e n t s A .

c o n s t r a i n e d t o a c e n t r e m a n i f o l d o f d i m e n s i o n 2 , h a v e i m p l i c a t io n s f o r t h et y p es o f b e h a v i o u r o b s e r v e d a n d w o u l d c e r ta in l y p r e c lu d e a n y d y n a m i c a lc h a o s .

Behav iour in reg ions of ( P u , Pe) space d e l imi ted by Pu va lue . T h e t w o -p a r a m e t e r c o m p o s i te b i fu r c a t i o n d i a g ra m c a n n o w b e e x p l a in e d i n t e r m s o fc h a n g e s i n b i f u r c a t i o n b e h a v i o u r . T h e f i r s t s t a g e i n t h i s p r o c e s s i s t h e

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BIFURCATION BEHAVIOUR OF FLOW THR OUG H A COLLAPSIBLE TUBE 625

i d e n t i f i c a t i o n o f c r i t i c a l p o i n t s , w h i c h d e l i n e a t e d i f f e r e n t r e g i o n s o f t h ed i a g r a m . S u c h p o i n t s i n c l u d e t h e i n t e r s e c t i o n o f d i f f e r e n t l o ci o f b i f u r c a t io np o i n ts a n d g e o m e t r i c a l m a x i m a a n d m i n i m a o f l oc u s c u rv e s w i t h r e s p e c t t ot h e c o n t r o l p a r a m e t e r s . T h e i n t e r s e c t i o n s o f b i f u r c a t i o n l o ci a r e a l s o k n o w na s c o - d i m e n s i o n - 2 p o i n ts , w h i c h c a n o n l y b e r e a c h e d b y a d j u s ti n g b o t h o ft h e c o n t r o l p a r a m e t e r s , Pu a n d Pe, s i m u l t a n e o u s l y . T h e c r it ic a l p o i n t s w e r es h o w n i n F i g . 8 a l o n g w i t h l i n e s w h i c h s e c t i o n e d t h e d i a g r a m i n t o d i f f e r e n tr e g i o n s o f P u a n d p a s s e d t h r o u g h t h e s e p o i n ts .C o n s i d e r Fi gs . 8 a n d 9 in d e t a i l. S t a r t in g a t t h e f a r l e f t o f t h e t w o - p a r a m -e t e r d i a g r a m w i t h a l o w v a l u e o f Pu, r e g i o n A h a s t h r e e b i f u r c a t i o n p o i n t s :a H o p f b i f u r c a t i o n a n d t w o c y c li c -f o ld p o i n t s . A s p ~ i s i n c r e a s e d a n d r e g i o nB i s e n t e r e d , t h e c y cl ic f o l d w i t h l a r g e r A v a l u e m o v e s to a p o s i t i o n i n Pe tot h e r ig h t o f th e H o p f b if u r ca t io n . O n e n t e r i n g r e g i o n C , t h e v e r t e x o f t h ec y c li c -f o ld l o c u s h a s b e e n p a s s e d , a n d h e n c e t h e c y cl ic f o l d s h a v e m o v e dt o g e t h e r a n d d i s a p p e a r e d . W h i l e Pu i s i n c r e a s e d , t h e g r a d i e n t a s s o c i a t e dw i t h t h e c o l l a p s e o f t h e t u b e i n th e b i f u r c a t i o n d i a g r a m is g e t t i n g s te e p e r ,a n d f in a ll y a p a i r o f f o l d s ( s a d d l e - n o d e b if u r c a t i o n s ) is i n t r o d u c e d a t t h eb e g i n n i n g o f r e g i o n D .T h e r e is n o w h y s t e r e s is i n v o l v e d i n t h e s t e a d y s o l u t i o n p a t h b e c a u s e o ft h e s e f o ld s , w h i c h s t e a d il y s e p a r a t e w i t h i n c r e a s i n g P u. A s P u i s i n c r e a s e df u r t h e r , t h e H o p f b i f u r c a t i o n m a r c h e s l e f t w a r d in t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a mu n t i l it r e a c h e s a p o i n t w h e r e i t is b e t w e e n t h e f o l d s i n te r m s o f Pe, a s s e e ni n r e g i o n E . R e g i o n F s h o w s t h e e m e r g e n c e o f tw o h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n si n t h e u n s t e a d y s o l u t i o n p a t h . T h i s o c c u r r e n c e is b r o u g h t o n b y t w o fa c t o rs .F i rs t, t h e u n s t e a d y s o l u t i o n p a t h is s t e e p e n i n g w i t h i n c r e a s in g P u , b r i n g i n gi t c l o s e r t o t h e u n s t a b l e s t e a d y s o l u t i o n p a t h . S e c o n d , t h e t w o f o l d s a r es e p a r a t in g a n d t h e H o p f b i fu r c a ti o n i s a ls o m o v i n g b a c k t o w a r d t h e l o w e rf o l d . T h i s r e s u l t s i n t h e u n s t e a d y s o l u t i o n p a t h t o u c h i n g t h e s a d d l e p a t h ,c r e a ti n g a s in g l e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n f r o m w h i c h t w o u n s t e a d y s o l u ti o np a t h s e m a n a t e . T h i s s i tu a t io n e x i st s o n l y o n t h e b o u n d a r y b e t w e e n r e g i o n Ea n d r e g i o n F. I n s i d e re g i o n F t h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n h a s b e c o m e tw o .

F o l lo w i n g t h e u p p e r b r a n c h o f t h e l o cu s o f h o m o c l i n ic p o i n ts i n r e g i o n Fi n F ig . 8 , i t c a n b e s e e n t h a t i t a p p r o a c h e s t h e u p p e r f o l d lo c u s . O n e o f tw os c e n a r i o s i s t h e n p o s s i b l e : e i t h e r ( a ) t h e t w o c u r v e s m e e t a n d a b i f u r c a t i o no c c u r s o r ( b ) t h e t w o c u r v e s d o n o t t o u c h a n d n o b i f u r c a t i o n e x i s t s . A sd i s c u s s e d b e l o w , f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e s w e r e f o u n d i n t h e h o m o c l i n i cc o n n e c t i o n s o n e i t h e r s id e o f t h is p o s t u l a t e d m e e t i n g p o i n t , th u s i n d ic a t in gs c e n a r io ( a ). T h e r e f o r e t h e h o m o c l i n i c l o cu s j u st t o u c h e s t h e u p p e r f o l dl o c u s a t o n e p o i n t ( s i t u a t io n G ) b e f o r e r e c e d i n g . T h i s is c o n s i s t e n t w i t h t h eh o m o c l i n ic c o n n e c t i o n r u n n i n g u p t h e u n s t a b l e s te a d y s o l u ti o n t o t h e t o pf o ld , b e y o n d w h i c h i t c a n n o t p r o c e e d . T h u s t h e b i f u r c a ti o n d i a g r a m f o rr e g i o n H is id e n t i c a l to t h a t f o r r e g i o n F .

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626 J. P . ARMITSTEAD e t a l .

T h e c o - d i m e n s i o n - 2 p o i n t w h i c h t u r n s r e g i o n H i n t o r e g i o n J is p a r t ic u -l a r l y i n t e r e s t i n g b e c a u s e i t i n v o l v e s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e l o w e r f o l d a n dH o p f a n d h o m o c l i n i c l oc i. ( T h e t w o - p a r a m e t e r d i a g r a m d o e s n o t s h o w t h isi n t e r s e c t i o n p r e c is e l y b e c a u s e A U T O w a s u n a b l e t o a d v a n c e t h e a p pr o x i-m a t e h o m o c l i n i c l o c us f a r e n o u g h . T h e l o c a t io n o f t h e p o i n t i ts e lf w a sd e t e r m i n e d a s th e i n t e r s e c ti o n o f t h e f o l d lo c u s w i t h t h e e n d p o i n t o f t h eH o p f l o c u s a t (Pu ,Pe ) = ( 3 2 8 ,2 0 0 ) .) I n t e r m s o f t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m( F ig . 9 ) t h is r e s u l t s i n t h e c o n v e r g e n c e o f t h e t w o e n d s o f t h e l o w e ru n s t e a d y s o l u t i o n p a t h a t t h e l o w e r f o ld p o in t , a n d h e n c e t h e d i s a p p e a r a n c eo f t h is b r a n c h . T h i s l ea v e s o n l y t h e u p p e r b r a n c h e m a n a t i n g f r o m t h e o t h e rh o m o c l i n i c c o n n e c t i o n a s s h o w n i n r e g i o n J . R e g i o n H r e fl e ct s t h e s i t u a t i o nb e f o r e t h is h a p p e n s , w i t h t h e u p p e r h o m o c l i n i c b r a n c h h a v i n g r e c e d e d f r o mt h e u p p e r f o l d p o i n t a n d t h e l o w e r h o m o c l i n i c b r a n c h s ti ll ex t an t ; h e n c e ,r e g i o n H h a s q u a l i t a ti v e l y t h e s a m e b i f u r c a t i o n d i a g r a m a s r e g i o n F .

I f t h e h o m o c l i n i c l o c u s is f o ll o w e d f u r t h e r i n t o r e g i o n J , t h e u n s t e a d ys o l u t io n p a t h b e c o m e s e x t r e m e l y s te e p , w i t h t h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o nc o n t i n u i n g t o m o v e t o w a r d t h e l o w e r f o l d o n t h e b i f u r c a t io n d i a g r a m . T h isis e v i d e n t a t t h e r i g h t - h a n d e n d o f Fi g . 8 , w h e r e t h e f o l d a n d h o m o c l i n i cl o ci a p p e a r t o c o a l e s c e o r , p e r h a p s , e v e n c r o s s a t t h e s t a r t o f r e g i o n K .T o p o l o g i c a l c o n s i s te n c y w o u l d o r d i n a r il y d e m a n d t h e c r e a t i o n o f a n e wl o cu s o f H o p f b if u r c a ti o n s a t s u c h a m e e t i n g p o i n t , b u t n o e v i d e n c e o f t hi sw a s f o u n d . I n s p e c t i o n o f t h e r e l e v a n t d a t a f i le s r e v e a l e d t h a t a s f a r o u t a s a tpu = 780 the tw o c u r ve s d i f f e r i n Pe v a l u e o n l y a t t h e f o u r t h d e c i m a l p l a c e.T h i s s u g g e s t s t h a t , i n f a c t , t h e t w o t r u e l o c i n e i t h e r c r o s s n o r c o a l e s c e , i nw h i c h c a s e t h e r e i s n o r e g i o n K .

T h e s k e t c h e s i n F i g . 9 r e f l e c t t h e a m p l i t u d e o f o s c i l l a t i o n s a s f o u n d b yt h e c o n t i n u a t i o n s o f t w a r e . T h e r e s u l t is t h a t t h e p a t h s o f s t a b l e o s c i l la t o r ys o l u t i o n s i n m a n y c a s es c l i m b r a p i d l y o u t o f t h e t o p o f t h e d i a g r a m , le a v i n ga r e g i o n o n t h e r i g h t - h a n d s i d e w h e r e a p p a r e n t l y n o s t a b l e s o l u t i o n e x is ts .E x p e r i m e n t a l l y , o n e w o u l d e x p e c t a h i g h v a lu e o f P e t o l e a d t o t h e e v e n t u a la b o l i t i o n o f o s c il la t io n s . D y n a m i c a l l y , i t is b e l i e v e d t h a t a s t a b l e s o l u t i o ns h o u l d e xi st , i m p l y i n g t h a t a t s o m e e x t r e m e l y h i g h A v a l u e t h e s t a b l eo s c il l at o r y p a t h e v e n t u a l ly li es o v e r t h e " u n c o v e r e d " u n s t a b l e s t e a d y p at h .

Behaviour in regions of ( P u , Pe) space d elimited by Pe value. C o n s i d e r i n gn o w F i g s . 10 a n d 1 1. B e g i n n i n g a t a l o w v a l u e o f Pe, t h e o n l y l o c u s c r o s s e dby a s li c e in p , i s t he c yc l i c - fo ld l i ne . Th us , t h e o n ly b i f u r c a t io n p o in t is ac y cl ic f o l d a n d t h e t u b e o p e n s n o n - h y s t e r e ti c a l ly a s s h o w n i n r e g i o n I . A ti n c r e a s e d Pe t h e v e r t e x o f t h e f o l d l o c u s i s c r o s s e d a n d t w o f o l d s a p p e a r i nt h e s t e a d y s o l u t i o n p a t h i n r e g i o n I I . T h e c y c l ic f o l d m o v e s t o w a r d t h e r i g h to f th e b i f u r c a ti o n d i a g r a m .

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BIFURCATION BEHAVIOUR OF FLOW THR OUG H A COLLAPSIBLE TUBE 627

W i t h l i t t l e f u r t h e r i n c r e a s e i n Pe, t h e m i n i m u m o f t h e H o p f b i fu r c at io nl o c u s is p a s s e d a n d t w o H o p f b i f u r c a t io n p o i n t s a r e b o r n , a s s e e n i n r e g i o nI I I. T h e s e t w o p o i n t s a r e j o i n e d b y a s in g l e u n s t e a d y s o l u t i o n b r a n c h ,w h i c h , i n t h e b e g i n n i n g , i s q u i t e s h a l l o w . A s Pe i s i n c r e a s e d f u r t h e r , t h eu n s t e a d y s o l u t io n p a t h " i n f la t e s ", t h e H o p f b i f u r c a ti o n p o i n t s m o v e f u r th e ra p a r t a n d e v e n t u a l ly t h e r i g h t - h a n d H o p f m o v e s b e t w e e n t h e f o ld s as s e e ni n r e g i o n I V .W h i l e t h is h a s b e e n h a p p e n i n g , t h e c y clic f o l d h a s c o n t i n u e d t o m o v e t ot h e r i g h t o f t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m , u n t i l i t i n f a c t p a s s e s t h e l e f t - h a n dH o p f b i f u rc a t io n a t t h e b e g i n n i n g o f r e g i o n V . T h e v a l u e o f Pe a t w h i c h t h i sh a p p e n s c o r r e s p o n d s t o t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e H o p f a n d c y c l ic - fo l d l o c i i nF ig . 10. T he re a re no w two l im i t cycl es w h ich ex i s t fo r a s i ng l e va lue o f p , ,and an uns t ab l e l im i t cyc l e . Th i s uns t ab l e l im i t cyc l e i s t he s epara t r i xb e t w e e n t h e b a s i n s o f a t tr a c t i o n o f t h e t w o s t a b le l im i t cy c le s.R e g i o n V I b e g i n s a t t h e l o w e s t p o i n t ( in t e r m s o f Pe) o f t h e h o m o c l i n i cl o cu s , w h i c h , s in c e t h e g r a d i e n t o f t h e c u r v e w i t h r e s p e c t t o Pe a t t h a t p o i n tis a p p r o x i m a t e l y z e r o , is a s s u m e d t o b e a m i n i m u m . T h e h o m o c l i n i c l o c u s isi n d e e d d o u b l e - v a l u e d i n Pe, s i n c e th e c u r v e a t t a in s a p o s i ti v e g r a d i e n tb e f o r e t e r m i n a t i n g a t t h e H o p f - s a d d l e - h o m o c l i n i c c o l li si o n p o i n t. T h i sp o i n t w a s d e t e r m i n e d a s t h e e n d p o i n t o f t h e H o p f l o cu s , w h i c h is c o n t a i n e di n t h e f o l d l o c u s a n d h a s a Pe o r d i n a te g r e a t e r t h a n t h e m i n i m u m i n th eh o m o c l i n i c lo c us . T o p o l o g ic a l ly t h is m e a n s t h a t t h e H o p f - t e r m i n a t e d u n -s t e a d y s o l u t i o n p a t h h a s i n f l a t e d t o t h e p o i n t w h e r e i t h a s t o u c h e d t h eu n s t a b l e b r a n c h o f t h e s t e a d y s o l u t io n p a t h . A t t h is s i n g le v a l u e o f Pe b o t ho f th e u n s t e a d y p a t h s e m a n a t i n g f r o m t h e H o p f b i fu r c a ti o n s t e r m i n a t e a tt h e o n e h o m o c l i n ic c o n n e c t i o n . A s Pe i s i n c r e a s e d f u r t h e r , t h e t w o p a t h ss e p a r a t e a n d t w o h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s r e s ul t.T h e H o p f - s a d d l e - h o m o c l i n i c c o l li si o n m a r k s t h e b e g i n n i n g o f r e g i o n V I I .T h e r i g h t -h a n d h o m o c l i n ic c o n n e c t i o n h a s d i s a p p e a r e d a t t h e c o ll is io n , a sh a s t h e r i g h t - h a n d H o p f b if u r c a t i o n a n d it s a s so c i a t e d p a t h o f li m i t c y cl es .T h i s l e a v e s a s i n g le b r a n c h o f l im i t c y cl es b e g i n n i n g a t a H o p f b i f u rc a t i o n .T h e r i g h t e n d o f th i s b r a n c h n o w b e g i n s to c l im b t h e u n s t a b le s t ea d ys o l u t i o n p a t h w i t h i n c r e a s i n g Pe, b r i n g i n g t h e t w o r e m a i n i n g u n s t e a d ys o l u t i o n p a t h s c l o s e r t o g e t h e r ; t h e y f in a ll y m e e t a t t h e b e g i n n i n g o f r e g i o nV II I , a t t he cusp o f t he cy c l ic - fo ld l ocus on F ig . 10 , r e su l t i ng i n ani n t e r c h a n g e o f s o l u t io n b r a n c h e s .A f t e r t h is c o l li si o n , t h e c y c li c f o l d b e g i n s t o r e c e d e t o t h e l e f t a n d t h eh o m o c l i n i c c o n n e c t i o n a g a in m o v e s u p t o w a r d t h e u p p e r f o ld b if u rc a t io n .R e g i o n ( o r li n e ) I X r e p r e s e n t s t h e s in g le v a l u e o f P e a t w h i c h th e h o m o -c li ni c c o n n e c t i o n c o - r e s id e s w i th t h e u p p e r f o l d p o i n t. T h e h o m o c l i n icb i f u r c a t i o n p o i n t t h e n r e c e d e s f r o m t h e f o l d l o c u s a n d t h e b i f u r c a t i o nd i a g r a m ( r e g i o n X ) a g a i n l o o k s l i k e r e g i o n V I I I . T h e u n s t e a d y s o l u t i o n

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628 J.P. ARMITSTEAD t a l .b r a n c h e m a n a t i n g f r o m t h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n is n o w e x t r e m e l y s t ee p ,a s a l l u d e d t o p r e v i o u s l y . F i n a l l y , r e g i o n X I c o r r e s p o n d s t o r e g i o n K a sd i s c u s s e d a b o v e .

Topologies o f the (pu,Pe)-Sp ace diagra m . N o w th a t t h e (pu,Pe)-Spaced i a g r a m h a s b e e n e x a m i n e d i n te r m s o f th e l o g i c al p r o g r e s s i o n t h r o u g h t h ev a r i o u s b i f u r c a t i o n d i a g r a m s d e s c r i b e d , t h e r e g i o n s o f d i f f e r e n t t o p o l o g i c a lb e h a v i o u r o f t h e e q u i l i b ri a c a n b e d e t e r m i n e d . F i g u r e 1 2 s h o w s t h e d i ff e r-e n t r e g i o n s o f t o p o l o g i c a l b e h a v i o u r o f t h e m o d e l a n d F i g . 1 3 s h o w ss k e t c h es o f th e t o p o l o g ic a l b e h a v i o u r r e p r e s e n t a t i v e o f e a c h r e g i o n . T h es k e t c h f o r t h e t o p o l o g y o f t h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n is a sp e c i a l c a s e i nt h a t i t d o e s n o t r e p r e s e n t b e h a v i o u r i n a t w o - d i m e n s i o n a l re g i o n o f th et w o - p a r a m e t e r d i a g r a m ; r a t h e r , t h i s t o p o l o g y o n ly ex is ts f o r a n y p o i n t l y in ge x ac tl y o n t h e h o m o c l i n i c l o cu s ( r e m e m b e r i n g t h a t t h e h o m o c l i n i c l o cu s , a sp l o t t e d b y A U T O , i s a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e t r u e h o m o c l i n i c l o cu s ).

T h e s e s k e t c h e s c a n o n l y r e p r e s e n t t h e b e h a v i o u r o f t h e m o d e l i n t h el o c al n e i g h b o u r h o o d o f t h e v a r io u s e q u i li b ri a . T h e e x a ct b a s in o f a t t ra c t i o n

P e300.

275.

250.

225.

208.

175.

150.

( v i i i )f l

H ( i v ) h c 2

( i ~ ~________. h c lVi)

( i ) ( v )

PuFigure 12. The com posite wo-dimensionalbifurcation diagram , or control-spacediagram, show n w ith the different a reas of topological behaviour m arke d withlowercase ro m an num erals. Each area is bounded by the loc i of bifurcationpoints. Each corresponds to a qualitatively distinct flow in ph ase space; seeFig . 13.

I I I I I I8. 188. 288. 388. 408. 508, 680. 708.

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B I F U R C A T I O N B E H A V I O U R O F F L O W T H R O U G H A C O L LA P S IB L E T U B E 6 29

r

(

P e 2 0 5p u = 3 1 2

(ii)]P

i

(vi) I

~,) ,(viii)~

h c , j

F i g u r e 1 3 . T h e d i f f e r e n t e q u i l ib r i a i n t w o - d i m e n s i o n a l c o n t r o l s p a c e , a s m a r k e di n F i g . 12 , shown ske t c he d i n pha se spa c e wi t h t he i r a s soc i a t e d f l ows . F i l l e dc i rc l e s de no t e s t a b l e s t e a dy so l u t i ons ( foc i ) ; ope n c i r c l e s de no t e uns t a b l e one s( sa dd le s ) . D a sh e d l ine s show un s t a b l e l i mi t c yc l e s, wh i c h a re a l so se c t i onst h r o u g h s e p a r a tr i c es .

fo r each equ i l i b r ium cou ld on ly be d e t e rm ined a f t e r r igorous phase -p l an eana lys is . W ha t can be de t e rm ined he re i s t he n a ture o f the f low a round theequi l i b r i a and t he sepa ra t r i ce s which might be expec t ed fo r a cons i s t en tphase -p l ane d i agram.

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630 J. P. ARMITSTEAD e t a l .

R e g i o n ( i ) r e p r e s e n t s t h e s i m p l e s t b e h a v i o u r t h e m o d e l e x h i b i t s , w h e r ea ll s o l u t io n s c o n v e r g e t o a s i n g l e , s t a b le e q u i l i b r i u m p o i n t . S i n c e t w o o f t h ee i g e n v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h t h i s p o i n t ( a t a l l e q u i l i b r i a o f t h i s t y p e i n v e s t i -g a t e d ) a r e p a r t o f a n i m a g i n a r y p a ir , it s t h r e e - d i m e n s i o n a l i n s e t is as s h o w ni n F i g . 1 3 . T h i s d e p i c t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e s p i r a l l i n g s e e n a r o u n d t h i sp o i n t ( w h e r e v e r i n v e s t i g a t e d ) a n d i t c a n b e c h a r a c t e r i s e d a s a f o c u s r a t h e rt h a n a n o d e a n d a s a n a t t r a c t o r o f i n d e x z e r o . ( N o t e t h a t t h e i n d e x o f ac h a r a c t e r i s t i c p o i n t i s t h e n a m e g i v e n t o t h e d i m e n s i o n o f i t s " o u t s e t " .A t t r a c t o r s h a v e o n l y i n s et s , s a d d l e p o i n t s h a v e i n s e ts a n d o u t s e t s a n dr e p e l l o r s h a v e o n l y o u t s e t s . )

A s r e g io n ( ii ) i s e n t e r e d the c yc l i c - fo ld loc us i s c r o s se d , a nd a s t a b le a nda n u n s t a b l e l i m i t c y c l e a r e s i m u l t a n e o u s l y b o r n . F u r t h e r i n t o r e g i o n (i i)t h e s e l i m i t c y c le s h a v e s e p a r a t e d : t h e u n s t a b l e l i m i t c y c l e b e c o m e s as e p a r a t r ix b e t w e e n t h e s t a b l e p o i n t a n d t h e s t a b l e l i m i t c y c le . A l t h o u g ht h e s e l i m i t c y c le s a r e t h r e e d i m e n s i o n a l , t h e y c a n b e t r e a t e d a s t w od i m e n s i o n a l i n s o f a r a s c o n c e r n s t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h c h a r a c t e r i s t i c p o i n t sa n d o t h e r l i m i t c y c le s . N e v e r t h e l e s s , a n a t t e m p t h a s b e e n m a d e i n F ig . 13 t oi n d i c a t e t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e a n d r e l a ti v e p l a c e m e n t o f th ec r i t ic a l po in t s i n a w a y w h ic h i s c on s i s t e n t w i th F ig . 12.

I n o r d e r t o m o v e i n t o r e g i o n ( i i i ) , t h e H o p f l o c u s m u s t b e c r o s s e d . T h i sr e su l ts i n t h e s ta b l e p o i n t b e c o m i n g u n s t a b l e d u e t o t h e c r o s s in g o f t h ei m a g i n a r y ax is b y a c o m p l e x p a i r o f e i g e n v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h t h e p o i n t .T h e s t a b l e f o c u s i s t h u s r e p l a c e d b y a n u n s t a b l e f o c u s ( a r e p e l l o r ) a n d as t a b le l im i t c y c le w h i c h g r o w s o u t f r o m t h e p o i n t o f it s b i r t h . T h e p h a s ep l a n e a s s k e t c h e d i n F i g . 1 3 n o w c o n t a i n s t h r e e l i m i t c y c l e s ; t h e u n s t a b l el i m i t c y c l e a c t s a s a s e p a r a t r ix b e t w e e n t h e t w o s t a b l e o n e s . T h e v i e w isa g a i n tw o d i m e n s i o n a l a n d m a y b e c o n s i d e r e d a c r os s s e c ti o n t h r o u g h at h r e e - d i m e n s i o n a l t u b u l a r s e p ar a tr ix .

M ov in g in to r e g ion ( iv ) f r o m r e g ion ( i ii ), t he c yc l i c - fo ld loc us i s c r o s s e df o r a s e c o n d t i m e . T h i s re s u l t s i n t h e a n n i h i l a t i o n o f t h e i n n e r t w o li m i tc y c le s a s t h e y m o v e t o w a r d c o i n c i d e n c e . T h i s t h e n l e a v e s t h e u n s t a b l e f o c u sa s t h e o n l y c h a r a c t e r i s t i c p o i n t a n d t h e o u t e r l i m i t cy c l e a s t h e o n l ya t t r a c to r .

I n o r d e r t o r e a c h r e g i o n ( v), it is f ir st n e c e s s a r y t o r e c r o s s t h e H o p f l o cu s ,t h u s r e t u r n i n g t o r e g i o n ( i) . T h i s r e s u l t s i n t h e l i m i t c y c l e s h r i n k i n g i n t o t h eu n s t a b l e f o c u s u n t i l i t d i s a p p e a r s , a n d t h e f o c u s a g a i n b e c o m e s a s t a b l ee q u i l i b r i u m p o i n t . O n n o w e n t e r i n g r e g i o n ( v ) t h e f o l d l o c u s i s c r o s s e d a n d ,f o r t h e f i r s t t i m e , m o r e t h a n o n e c h a r a c t e r i s t i c p o i n t i s e x t a n t . A s t h e f o l do c c u r s , t w o n e w c h a r a c t e r i s t i c p o i n t s a r e b o r n : o n e i s s t a b le ; t h e o t h e ru n s t a b le . T h e p o i n t s a r e s h o w n s k e t c h e d w i t h t h e i r a s s o c i a te d i n s e ts a n do u t s e t s i n F i g . 13 . T h e t w o s t a b l e p o i n t s a r e f o c i o f t h e s a m e t y p e , w h i l e t h eu n s t a b l e p o i n t i s a s a d d l e o f i n d e x 1 . ( E i t h e r o n e o f t h e s t a b l e e q u i l i b r i u m

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p o i n ts c a n b e a n n i h i l a t e d w i th t h e s a d d le , c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o b r a n c h e so f t h e f o l d l o cu s .)

T h e s t a b l e e q u i l i b r i u m p o i n t s a l w a y s h a v e a s s o c i a t e d w i t h t h e m a c o m -p l e x p a i r o f e i g e n v a l u e s ; i n o t h e r w o r d s , t h e y a r e a l w a y s " f o c a l " i n n a t u r er a t h e r t h a n " n o d a l " . T h i s m e a n s t h a t a t a f o l d b i f u r c a ti o n , t w o o f t h ee i g e n v a l u e s m u s t a lw a y s b e c o i n c i d e n t a t t h e o r ig i n o f t h e e i g e n v a l u e p la n e ,w h i l e th e o t h e r is c o n f in e d to t h e n e g a t i v e re a l d o m a i n . T h e t w o c o i n c i d e n te i g e n v a l u e s t h e n s e p a r a t e i n o n e o f t h r e e w a y s c o r r e s p o n d i n g t o t h r e ed i f f e r e n t e q u i l i b r i u m p o i n t s : (1 ) t h e e i g e n v a l u e s sp l it i n t o a c o m p l e x p a i rwi th pos i t i ve r ea l pa r t s (uns t ab l e focus o r s add l e o f i ndex 2 ) ; (2 ) onee i g e n v a l u e m o v e s a l o n g t h e r e a l a x is in a p o s i t iv e d i re c t i o n , t h e o t h e r i n an e g a t i v e d i r e c t i o n ( s a d d l e o f i n d e x 1 ) ; ( 3 ) t h e e i g e n v a l u e s s p l i t i n t o ac o m p l e x p a i r w i t h n e g a t i v e r e a l p a r t s ( s t a b l e f o c u s o r a t t ra c t o r , o f i n d e x 0).A l l t h r e e o u t c o m e s a r e s e e n i n r e g i o n ( v i ) : f r o m l e f t t o r i g h t t h e c r i t i c a lp o i n t s a r e a s a d d l e o f i n d e x 2 , a s a d d l e o f i n d e x 1 a n d a n a t t r a c t o r .

A s r e g i o n ( v i ) i s e n t e r e d , t h e H o p f l o c u s i s y e t a g a i n r e c r o s s e d , r e s u l t i n gi n t h e b i r t h o f a n o t h e r l i m i t c y c l e f r o m t h e " l o w e r " f o c u s . T h e u n s t a b l ef o c u s w h i c h t h e l i m i t c y c l e n o w s u r r o u n d s i s a n i n d e x - 2 s a d d l e . T h i s i sc o n s i s t e n t w i t h t h e p h a s e - p l a n e r e s u l t s o b t a i n e d b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n ,b u t a g a i n t h e e x a c t n a t u r e o f th e w h o l e t h r e e - d i m e n s i o n a l p h a s e s p a c e isn o t k n o w n . T h e i n se t s o f t h e m i d d l e s a d d le n o w f o r m s e p a r at r ic e s d i v id i n gt h e f l o w b e t w e e n t h e u p p e r s t a b le f o c u s a n d t h e l i m i t c y c le .R e g i o n ( v i i ) i s r e a c h e d b y c r o s s i n g t h e ( a p p r o x i m a t e ) l o c u s o f t h eh o m o c l i n i c c o n n e c t i o n . T h e l im i t c y cl e d i s a p p e a r s v i a a " b l u e - s k y c a t a s tr o -p h e " ( T h o m p s o n a n d S t e w a r t, 1 98 6), l e a v in g j u s t t h e t h r e e c h a r a c t e r i s ti cpo in t s . Th i s s i t ua t i on i s s im i l a r t o t ha t o f r eg ion (v ) , excep t t ha t t he l owerc h a r a c t e r i s ti c p o i n t is a n u n s t a b l e f o c u s r a t h e r t h a n a s ta b l e o n e . A l ls o l u t io n s w i l l n o w c o n v e r g e to t h e o n e s t a b l e e q u i l ib r i u m . A s k e t c h ( h c l ) i si n c l u d e d i n F i g . 1 3 t o s h o w t h e s i t u a t i o n w h i c h o c c u r s e x a c t l y a t t h eh o m o c l i n i c c o n n e c t i o n . A n i n s e t a n d o u t s e t o f th e s a d d l e a r e c o n n e c t e d vi aa n o r b i t o f in f i n i te p e r i o d w h i c h e n c l o s e s t h e u n s t a b l e f o c us .

I f t h e h o m o c l i n i c l o c u s is a g a i n c r o s s e d , a n e w r e g i o n (v ii i) is e n t e r e d ,w h i c h , a l t h o u g h s e p a r a t e f r o m r e g i o n ( v i ) , i s i d e n t i c a l t o i t i n t e r m s o f t h ee q u i li b r ia p r e s e n t . T h e m a i n d i f f e re n c e b e t w e e n t h e s e t w o r e g i o n s is in t h eb e h a v i o u r o f t h e l im i t c yc le , w h i c h w i l l b e l o o k e d a t i n m o r e d e t a i l b e lo w .T h e r e m a i n i n g p a n e l s i n F ig . 1 3 w i ll b e d i s c u s s e d in t h i s c o n t e x t.

The fa r r igh t o f the ( pu , Pe) -Space d iagram. A t t h e f a r r i g h t o f t h e( P u , P e)-S P a c e d i a g r a m ( F ig . 8), t h e h o m o c l i n i c lo c u s a n d t h e f 2 b r a n c h o ft h e f o l d l o c u s a p p e a r t o c o a l e s c e . W h i l e t r y i n g t o d e t e r m i n e t h e e x a c tl o c a t i o n o f t h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n , li m i t c y c le s w e r e s t u d i e d i n r e g i o n

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6 32 J . P . A R M I T S T E A D et aL( v ii i) o f F i g . 12 v e r y c l o s e t o t h e c o n n e c t i o n i ts e l f , t o t h e r i g h t o f (Pu , Pe )s p a ce . T h i s a re a o f t h e t w o - p a r a m e t e r d i a g r a m c o n t a i n s e q u i l ib r i a e q u iv a -l e n t t o t h o s e o f r e g i o n ( v i) ( a s t a b l e f o c u s , a s a d d l e a n d a r e p e U o rs u r r o u n d e d b y a li m i t c y cl e) a n d s p a n s t h e r e g i o n J - r e g i o n K b o u n d a r y a tw h i c h t h e f o l d l o c u s a n d t h e h o m o c l i n i c l o c u s b e g i n t o b e i n d i s t i n g u i s h a b l e .T h e s e r e g i o n - ( v i i i ) l i m i t c y c l e s h a v e a l a r g e m a x i m u m v a l u e w h i c h e x c e e d st h e d i m e n s i o n l e s s t h r o a t - a r e a v a l u e f o r t h e s t a b le s t e a d y s o l u t i o n o f ap -p r o x i m a t e l y 1 . T h u s , i f t h e A U T O c o n v e n t i o n o f p l o t t in g u n s t e a d y s o l u t i o np a t h s o n b i f u r c a t io n d i a g r a m s w i t h t h e i r m a x i m u m v a l u e a s t h e y o r d i n a t ei s f o l lo w e d , t h is is a v e r y s t e e p p a t h i n d e e d . F u r t h e r i n v e s t i g a t i o n b e i n gd e e m e d n e c e s s a ry , t h e l i m i t c y cl es w e r e r e c a l c u la t e d a n d p l o t t e d a s p h a s ep l a n e s . A n e x a m p l e i s s h o w n i n F i g . 1 4 . T h e s t a b l e s t e a d y s o l u t i o n i s s h o w na s a f i ll e d c i rc l e, w h i l e th e " u p p e r " u n s t a b l e s t e a d y s o l u t i o n ( t h e s a d d l e ) i s

A

2.5

1.5

0 .5

-1u2

F i g u r e 1 4. A ( A , u 2 ) p h a s e - p l a n e p l o t o f a n i n t e g r a ti o n f o r Pu = 3 5 0 a n dPe = 2 2 6 .6 s ta r t e d f r o m t h e e q u i li b r iu m p o i n t o n t h e l o w e r b r a n c h o f t h eu n s t a b l e s t e a d y s o l u t i o n p a t h . T h i s c o r r e s p o n d s , f o r e x a m p l e , t o a t r a j e c t o r yb e g i n n i n g j u s t t o t h e r i g h t o f t h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n o n t h e l o w e r s o l u ti o np a t h o f F ig . 9 , p a n e l K . T h e s o l u t i o n s p i r a ls o u t , a p p r o a c h e s t h e s a d d l e p o i n t( o p e n c i r cl e ) v e r y c l o se l y a n d s u b s e q u e n t l y b e c o m e s a l i m i t c y c l e w i t h a l a r g ea m p l i t u d e . T h e l o c a t i o n o f t h e s t a b l e e q u i l i b r i u m p o i n t ( t u b e o p e n ) is sh o w n a sa f i l led circle .

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BIFURCA TION BEHAV IOUR OF FLOW THR OU GH A COLLAPSIBLE TUBE 633

s h o w n a s a n o p e n c i rc le . T h e s o l u t i o n w a s s t a r t e d f r o m t h e l o w e r u n s t a b l es t e a d y s o l u t i o n ( t h e r e p e U o r ) .

E x a m i n a t i o n o f t h e p l o t s h o w s t h e t r a j e c t o r y s p ir a l li n g o u t u n t il a c l o s ei n t e r a c t i o n o c c u r s w i t h t h e s a d d l e p o i n t . T h e s o l u t i o n a p p r o a c h e s t h es a d d l e w i th a f a ir ly h i g h s p e e d a n d t h e n a l m o s t s to p s t h e r e . T h e s o l u t i o nt h e n r e c e d e s f r o m t h e s a d d l e p o i n t a n d t h e a r e a o f t h e t u b e d r o p s a l m o s t t oz e r o . T h e s o l u t i o n i s s u b s e q u e n t l y d r i v e n i n t o l a r g e - a m p l i t u d e l i m i t - c y c l eo s c i ll a ti o n s w h e r e t h e A - 1 t e r m s a g a i n d r i v e t h e m o d e l c lo s e t o a ni n t e g r a t o r " c r a s h " .

T h i s l i m i t c y c l e i s f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f r o m o t h e r s e n c o u n t e r e d , i nt h a t i t s e x c u r s i o n s r e a c h a v a l u e g r e a t e r t h a n t h e v a l u e o f t h e s t a b l ee q u i l i b r i u m ( i. e. t h e t u b e - o p e n c o n d i t i o n ) . W h e n t h is l i m i t c y c le w a s p l o t t e dw h i l e s l o w l y r e d u c i n g Pe, t h e s y s t e m w a s s e e n t o e x h i b i t a b l u e - s k yc a t a s t r o p h e ; i .e . th e l im i t c yc l e d i s a p p e a r e d v i a a h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n .T h u s , t w o f u n d a m e n t a l l y d i f fe r e n t h o m o c l i n i c o r b it s h a v e b e e n i d e n t if i e d( n e i t h e r t r a n s v e r s e ) a n d a r e s h o w n i n p a n e l s h c l a n d h c 2 o f F ig . 13 .P a n e l ( v iii ) o f F ig . 1 3 r e p r e s e n t s t h e t o p o l o g i c a l b e h a v i o u r o f r e g i o n ( v ii i)w h i c h fit s c o n s i s t e n tl y w i t h t h e b e h a v i o u r i n n e i g h b o u r i n g r e g i o n s . T h eo s c u l a t o r y p o i n t a t (Pu, P e ) ( 3 2 4 , 2 1 7 ) is t h u s a c o - d i m e n s i o n - 2 b i f u r c a t i o npoin t which l inks the topologies of reg ions (v i ) , (v i ) , (v i i ) and (v i i i ) .

T h e l a s t s c h e m a t i c b i f u r c a t i o n d i a g r a m s s h o w n i n F ig s . 9 a n d 1 1 w e r ep o s t u l a t e d f o r v a lu e s o f P u t o t h e f a r r i g h t o f t h e (Pu, P e) 'S P ace d i ag ram ,c o r r e s p o n d i n g t o r e g i o n s J a n d K a n d r e g i o n s I X a n d X I o f F ig s . 8 a n d 1 0,r e sp e c ti v el y . T h e s e s k e t c h e s in e a c h c a s e s h o w t h e c o n n e c t i o n p o i n t o f t h eu n s t e a d y s o l u t io n p a t h m o v i n g t o w a r d t h e l o w e r fo l d p o i n t, a n d a t t h e s a m et i m e b e c o m i n g s te e p . (S u c h a p a t h w o u l d lo o k d i ff e r e n t, a n d p e r h a p s m o r es e n s ib l e , if t h e t i m e - a v e r a g e d v a l u e o f a l i m i t cy c le w e r e u s e d a s t h e yo r d i n a t e i n s t e a d o f t h e l im i t- c y cl e m a x i m u m v a lu e .) T h e m a i n p o i n t t o b em a d e h e r e i s t h a t t h e l i m i t c y c le s g r o w t o a l a r g e a m p l i t u d e q u i c k l y a s o n ef o ll ow s t h e u n s t e a d y s o l u t io n p a t h a w a y f r o m t h e h o m o c l i n ic c o n n e c t i o n . I nf a ct , t h e l i m i t c y c le s s o o n d e v e l o p t o t h e p o i n t w h e r e t h e y a r e n o t f o ll o w -a b l e w i t h a R u n g e - K u t t a i n t e g ra t o r ; th e a m p l i t u d e a p p e a rs t o g r o w w i t h o u tb o u n d .

T h i s e x p l a n a t i o n o f t h e f a r r i g h t o f (Pu, Pe) s p a c e i s p u t f o r w a r d a s as u g g e s ti o n r a t h e r t h a n a r i g o ro u s e x p l a n a ti o n . T h e d e v e l o p m e n t o f a ne x p l a n a t io n i s h i n d e r e d b y t h e f a c t t h a t t h e l im i t cy c le s w h i c h e m a n a t e f r o mt h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n t o t h e r i g h t o f (pu , P e ) space a re ve ry d i f f icu l t t os t u d y . T h e y e x i s t i n o n l y a v e r y s m a l l r e g i o n ( o f e i t h e r Pu o r Pe) n e a r t h ec o n n e c t i o n , o u t s i d e w h i c h t h e o s c il la t io n s t e n d t o g r o w w i t h o u t b o u n d .

Com parison wi th exper iment . C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e n u m e r i c a l a n al y-s is o f t h e m o d e l a n d a c tu a l e x p e r i m e n t a l r es u lt s m u s t b e a p p r o a c h e d b y

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634 J. P . ARMITSTEAD e t a l .

r e m e m b e r i n g t h a t t h e m o d e l is o f lu m p e d - p a r a m e t e r t yp e , w h i l e t h e p h y s i-c a l s i t u a t i o n c o u l d b e m o r e p r o p e r l y r e p r e s e n t e d w i t h p a r t i a l d i f f e r e n t i a lequa t ions . Wi th t h i s i n mind , i t i s s t i l l poss ib l e t o compare re su l t s i n t hosep a r ts o f c o n t r o l s p ac e o r w i t h t h o s e s o r ts o f b e h a v i o u r w h i c h th e m o d e lw o u l d b e e x p e c t e d t o r e p r e s e n t w e l l . T h e p a p e r o f B e r t r a m e t a l . (1991)d e s c r i b e s t h e f l o w t h r o u g h a t h i c k -w a l l e d s i li c o n e r u b b e r t u b e a n d d i sc u s s est h e t r a n s i t i o n b e t w e e n d i f f e r e n t ty p e s o f b e h a v i o u r i n t e r m s o f b i f u r c a t io nt h e o r y .

T h e t w o t r a n s i t i o n s d i s c u s s e d b y B e r t r a m e t a l . ( 1 9 9 1 ) w h i c h s h o w s o m es im i la r it y w i t h e x p e r i m e n t a r e t h e s u d d e n a n d h y s t er e ti c j u m p f r o m t h eu p p e r s t a b l e s t e a d y e q u i l i b r i u m o f ( e . g . ) F i g . 9 , p a n e l D ( A c l o s e t o o n ec o r r e s p o n d i n g t o a n o p e n t u b e ), t o t h e l o w e r o n e ( c o l la p s e d t u b e ), a n d t h es u s p e c t e d l o ss o f l i m i t- c y c le o s c i ll a ti o n s t h r o u g h a h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n .B e r t r a m e t a l . ( 1 9 9 1 ) s u g g e s t t h a t t h e h y s t e r e t i c t r a n s i t i o n b e t w e e n t h ec o l la p s e d a n d o p e n t u b e s ta te s o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y a s P e i s i nc rea sedc a n b e r e p r e s e n t e d b y a p a ir o f s a d d l e - n o d e b i f u r ca t io n s . T h i s t y p e o fb e h a v i o u r h a s b e e n d e m o n s t r a t e d e x p li ci tl y i n t h e a n al ys is o f t h e m o d e lh e r e ( s e e F ig . 9 , p a n e l D ) a n d w a s a ls o s e e n i n a n a n a l y si s o f t h e m o d e l o fC a n c e l l i a n d P e d l e y ( 1 9 85 ) b y J e n s e n ( 1 99 0 ).T h e t u b e w a s a l s o s e e n t o v a r y a b r u p t l y b e t w e e n t h e o p e n s t a t e a n dosc i l la t i ons , w i th a d eg ree o f hys t e re s i s , as P e w a s v a r ie d . I t w a s n o t e d t h a tp e r i o d - l e n g t h e n i n g w a s o c c a si o n a l ly s e e n a s P e w a s d e c r e a s e d b e f o r e t h ea b r u p t t r a n s i t io n t o t h e o p e n t u b e s t at e . T h i s ty p e o f b e h a v i o u r is q u i t es i m i la r t o t h a t n e a r t h e h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s f o u n d i n t h e a n a l y si s o f t h em o d e l ( s e e F ig . 3). B e r t r a m e t a l . (1991) sugg es t ed seve ra l poss ib l e topo lo g i -c a l c o n f i g u r a t i o n s b y w h i c h o s c i l l a t i o n s c o u l d d i s a p p e a r i n t h i s a b r u p tm a n n e r . T h e i r t a s k w a s m a d e d i f fi cu l t b y t h e f a c t th a t n o t a l l m a t h e m a t i -c a l l y p o s s i b l e s o l u t i o n s a r e a t t a i n a b l e e x p e r i m e n t a l l y . T h i s i s w h e r e t h ea n al ys is o f a m o d e l c a n l e n d v a l u a b l e i n s ig h t i n t o t h e m o s t l i k e ly c o n f i g u ra -t io n , a n d i n th i s c a se a h o m o c l i n i c c o n n e c t i o n s e e m s q u i t e f e a s ib l e .B e r t r a m e t a l . ( 1 99 1 ) a l so d i sc u s s t h e e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d t r a n s i t i o nb e t w e e n l o w - f r e q u e n c y o s c i l l a t i o n s a n d h i g h - f r e q u e n c y n o i s e - l i k e o s c i l l a -t i o n s . T h i s t r a n s i t i o n i s o b s e r v e d t o b e e i t h e r h y s t e r e t i c o r n o n - h y s t e r e t i ca n d q u a s i -p e r io d i c d u r in g t h e t ra n s it io n . T h e p r o p o s e d e x p l a n a ti o n f o r t h et r a n s i t i o n i s i n t e r m s o f a f o u r - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d , a n d t h e s p e ci fi ct o p o l o g y d e s c r i b i n g t h e q u a s i - p e r i o d i c i ty is a t w o - t o r u s . T h i s t y p e o f b e -h a v i o u r i s n o t d i s p l a y e d b y t h e m o d e l , s i n ce t h e d y n a m i c s a r e l i m i t e d t ot w o - d i m e n s i o n a l n o n - t o r o i d a l m a n i f o ld s .I t h a s b e e n p o i n t e d o u t b y B e r t r a m a n d P e d l e y ( 19 8 3) i n a p a p e rd i sc u ss in g t h e e x p e r i m e n t a l s e p a r a t i o n o f f lo w in a n i n d e n t e d c h a n n e l t h a tt h e S t r o u h a l n u m b e r ( f o r b o t h t h e o r y a n d e x p e r i m e n t ) o f t h e s e l f - e x c i t e do s c i ll a ti o n s th e y i n v e s t i g a t e d is s o m e w h a t g r e a t e r t h a n 1 . T h i s s u g g e s t s t h a t

8/3/2019 R Starling

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B I F U R C A T I O N B E H A V I O U R O F F L O W T H R O U G H A C O L L