8/8/2019 RADHAKRISHNA, Statistical Analysis of Shape

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 3 ( 1 9 9 6 ) 1 2 1 3 3s u p p o s e t h a t d h a s a d i s t r i b u t i o n w i t h mean 6 a n d v a r i a n c ec o v a r i a n c e m a t r i x : .( i ) C o n s i d e r a l i n e a r f u n c t i o n b T d a s a m e a s u r e o f s i z e , w h i c hi m p o s e s t h e c o n d i t i o n

b T ( d + c l ) = b T d + c > b T l = 1 .

t i o n s ( v a l u e s o f d ) o n n o b j e c t s o f a p o p u l a t i o n . We d e n o t e t h es a m p l e mean a n d c o v a r i a n c e m a tr i x b y[ 3 . 1 ]

[ 2 . 3 ] a n dI f we r e q u i r e b T d t o b e u n c o r r e l a t e d w i t h t h e s h a p ev a r i a b l e s , t h e n

C o v ( b T d , H d ) = bT,HT = 0 > b T , = a l T o r b = a 5 l 1 1 ,w h e r e a i s a c o n s t a n t . U s i n g t h e c o nd i ti o n E q . 2 . 3 , a - 1 =1 T I - 1 1 s o t h a t t h e r e q u i r e d l i n e a r f u n c t i o n i s 1 T ' - l d /T I - 1 1 .( i ) C o n s i d e r a l i n e a r f u n c t i o n b T d a s i n E q . 2 . 3 . T h e r e g r e s -s i o n o f d on b T d i s

C o v ( d , b T d ) l bV a r ( b T d ) = b T I b [ 2 . 4 ]

w h e r e t h e v e c t o r o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q . 2 . 4r e p r e s e n t s t h e a v e r a g e i n c r e a s e ( o r d e c r e a s e ) i n e a c h o ft h e v a r i a b l e s f o r a u n i t i n c r e a s e i n b T d . We may c h a r a c -t e r i z e b T d a s a m e a s u r e o f s i z e i f t h e v e c t o r i n E q . 2 . 4 h a sa l l p o s i t i v e e l e m e n t s . I f we c h o o s e a l l t h e e l e m e n t s o f E q .2 . 4 t o b e e q u a l t h e n

5 ; bb T , b o c 1 or b c - 1 1 . [ 2 . 5 ]U s i n g t h e c o n d i t i o n b T l = 1 , we h a v e b = : - 1 1 1 1 T ; - 1 1 ,w h i c h i s t h e s a m e v e c t o r a s t h a t d e r i v e d i n ( i ) .( i i i ) L e t d 1 a n d d 2 b e t w o v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t w o i n d i -v i d u a l s . T h e n t h e s q u a r e o f t h e M a h a l a n o b i s d i s t a n c eb e t w e e n t h e i n d i v i d u a l s a d m i t s t h e d e c o m p o s i t i o n( d - d 2 ) T Y - l ( d 1 -d 2 )

= ( d 1 -d 2 ) T H T( H 1 H T ) - 1 H ( d 1 - d 2 )

[ 1 T - E ( d - d 2 ) ] [ 2 . 6 -+ 1 T I - 1 1 [ 2 6

u s i n g t h e i d e n t i t y i n r e f . 1 0 , p . 7 7 ,, - 1 = HT ( H f H ' ) - 1 H + - 1 l ( l 1 7 \ - 1 1 ) -1 T I - 1 . [ 2 . 7 ]

T h e f i r s t p a r t o f E q . 2 . 6 i s t h e s q u a r e o f t h e M a h a l a n o b i sd i s t a n c e i n s h a p e a n d t h e s e c o n d may b e i n t e r p r e t e d a st h e s q u a r e o f t h e M a h a l a n o b i s d i s t a n c e i n s i z e . T h i s a g a i nl e a d s t o t h e f u n c t i o n 1 T ' - ' d / 1 T - 1 a s a n i n d i c a t o r o fs i z e .( i v ) One r e q u i r e m e n t w h i c h b i o m e t r i c i a n s s e e m t o p r e f e r i st h a t s i z e s h o u l d b e s t o c h a s t i c a l l y i n d e p e n d e n t o f s h a p e .T h e p r o b l e m t h e n i s t o d e t e r m i n e a f u n c t i o n f ( d ) , s u c ht h a t f ( d + c l ) = c + f ( d ) a n d i s d i s t r i b u t e d i n d e p e n d e n t l yo f t h e s h a p e v a r i a b l e s H d . I t h a s b e e n s h o w n b y S a m p s o na n d S i e g e l ( 1 1 ) t h a t a m o n g l i n e a r f u n c t i o n s o f s i z e ,1 7 T - I d / I l T : - 1 1 i s t h e u n i q u e f u n c t i o n t h a t i s i n d e p e n -d e n t o f H T d w h e n d h a s t h e m u l t i v a r i a t e n o r m a l d i s t r i -b u ti o n w i t h t h e v a r i a n c e c o v a r i a n c e m a t r i x : . I n t h ea p p e n d i x t o t h i s p a p e r , w e s h o w t h a t t h i s r e s u l t i s t r u ew i t h o u t t h e a s s u m p t i o n t h a t f i s l i n e a r .

3 . S t a t i s t i c a l A n a l y s i s o f S h a p eC o n s i d e r t h e f u l l v e c t o r d o f t h e l o g s o f a l l p o s s i b l e m = k ( k -1 ) / 2 E u c l i d e a n d i s t a n c e s , a n d l e t d 1 , . . . , d , b e t h e o b s e r v a -

S = ( n - l ) 1 ( d l d T + . . . + d - d T - n f l d T ) , [ 3 . 2 ]w h i c h c o n s t i t u t e t h e s u m m a r y s t a t i s t i c s o f a s a m p l e o n w h i c hf u r t h e r c a l c u l a t i o n s a r e b a s e d . I f we a r e w o r k i n g w i t h as e l e c t e d s u b s e t o f d i s t a n c e s t h e r e l e v a n t c o m p o n e n t s i n E q s .3 . 1 a n d 3 . 2 a r e c h o s e n .3 . 1 . Mean S h a p e . A t y p i c a l c o m p o n e n t o f d r i s l o g D ( [ ) , t h el o g o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e l a n d m a r k s i a n d j o f o b j e c t r ,a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p o n e n t i n d i s

nn - 1 l o g D ( ) = l o g D i j s a y ,

r = 1s o t h a t D i j i s t h e g e o m e t r i c m ean o f D l t , r - 1 , . . . , n . T h eg e o m e t r i c m ean d i s t a n c e D i j , i , j = 1 , . . . , k , may n o t b ee m b e d d a b l e i n a E u c l i d e a n s p a c e o f t h e s a m e d i m e n s i o n a s t h eo b j e c t s a r e . F o r g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f s h a p e , we may d oa m e t r i c a l s c a l i n g i n t h e r e q u i r e d d i m e n s i o n u s i n g t h e m e t h o dp r o p o s e d b y T o r g e r s o n ( 1 2 ) . F o r d e t a i l s o f t h i s m e t h o d a n ds o m e m o d i f i c a t i o n s r e f e r e n c e may b e m a d e t o Rao ( r e f . 1 3 ,s e c t i o n 1 4 ) . We c a l l t h e d i s t a n c e s c a l c u l a t e d f r o m t h e c o n f i g -u r a t i o n o b t a i n e d b y m e t r i c s c a l i n g t h e r e g u l a r i z e d m eand i s t a n c e s b e t w e e n l a n d m a r k s , a n d d e n o t e t h e m b y D 1 i . T h er a t i o s o f D i j a r e i n d e p e n d e n t o f t h e s i z e s o f t h e i n d i v i d u a lo b j e c t s , i . e . , we g e t t h e s a m e r a t i o s i f i n s t e a d o f D O r ) we c o n s i d e rA r D ( r ) a s t h e d i s t a n c e s i n t h e r - t h o b j e c t f o r a n y a r b i t r a r y A r .T h e s a m e i s t r u e o f D i j s . I n t h i s s e n s e , t h e d i s t a n c e s D i j o r Dp r o v i d e a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e m ean s h a p e o f o b j e c t s .T h e r e a r e o t h e r w a y s o f d e f i n i n g mean s ha p e c o n f o r m i n g t ot h e d i m e n s i o n s o f t h e o b j e c t s . L e t

d r = ( d r i , . . . , d r m ) T , r = 1 , . . . n [ 3 . 3 ]w i t h m = k ( k - 1 ) / 2 , a n d c o n s i d e r a p x k m a t r i xM ( i . e . , o ft h e s a m e o r d e r a s t h e c o n f i g u r a t i o n o f a n i n d i v i d u a l o b j e c t )w i t h t h e a s s o c i a t e d m v e c t o r o f l o g d i s t a n c e s

dM = ( d M i , . * . , d M m ) T . [ 3 . 4 ]F u r t h e r , l e t w 1 , . . . , wm b e n o n - n e g a t i v e w e i g h t s a d d i n g u p t ou n i t y , a n d d e n o t e

d r = E W j d r j d M = E W j d M j - [ 3 . 5 ]We d e f i n e t h e m e an c o n f i g u r a t i o n a s

m nM *= a r g m i n w j [ ( d l l - d r ) - ( d M I - d M ) ] 2 .M j = l r = l [ 3 . 6 ]

A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t o w o r k d i r e c t l y w i t h d i s t a n c e s i n s t e a do f t h e i r l o g a r i t h m s . R e p r e s e n t i n g t h e a c t u a l d i s t a n c e s i n E q s .3 . 3 - 3 . 6 w i t h a n a s t e r i s k , we may d e f i n e t he m e a n c o n f i g u r a t i o na sn m

M * = a r g m i n E E w j ( d * M j - A d * ? j ) ' ,M , A i , . . * * k A " r = l j = l [ 3 . 7 ]s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n E w j d 2 M i = 1 . T h e e x p r e s s i o n i n E q .3 . 7 c a n b e s i m p l i f i e d t o

S t a t i s t i c s : Rao a n d S u r y a w a n s h i

1d =n- ( d , + ...+ d n )

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1 2 1 3 4 S t a t i s t i c s : Rao a n d S u r y a w a n s h in ( E W J d * r _ * M jM * = argmax (w j d r j ) 2Mr ( E W j d 2 * r )

S u i t a b l e a l g o r i t h m s h a v e t o b e d e v e l o p e d t o s o l v e t h e o p t i m i -z a t i o n p r o b l e m s i n E q s . 3 . 6 a n d 3 . 8 .3 . 2 . C o m p a r i s o n o f Tw o P o p u l a t i o n s i n S i z e a n d S h a p e .L e t d i a n d S i b e t h e s t a t i s t i c s i n E q s . 3 . 1 a n d 3 . 2 b a s e d o n as a m p l e o f s i z e n i f r o m p o p u l a t i o n i , i = 1 , 2 . We w i s h t o t e s tt h e h y p o t h e s e s t h a t t h e p o p u l a t i o n s a r e t h e s a m e i n s i z e a n di n s h a p e w i t h p o s s i b l e d i f f e r e n c e s i n s i z e . D e n o t e S = [ ( n , -1 ) S 1 + ( n 2 - 1 ) S 2 ] / ( n , + n 2 - 2 ) . T h e n t h e o v e r a l lM a h a l a n o b i s d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o p u l a t i o n s h a s t h e d e -c o m p o s i t i o nDo= ( a 1 - d 2 ) T S - ( d l - d 2 )

[ 1 7 S - 1 ( d l - d 2 ) ] 2= ( d - d 2 ) T H T ( H S H ) - l H ( d 1 - d 2 ) + 1 T S - 1 1= D h + D s [ 3 . 9

w h e r e H i s a n m - 1 x m m a t r i x o f r a n k ( m - 1 ) s u c h t h a tH l = 0 . T h e s t a t i s t i c D 2 r e f l e c t s t h e d i f f e r e n c e i n s i z e a n dX 2 f = n + n 2f 2 . [ 3 . 1 0 ]

i s a s y m p t o t i c a l l y d i s t r i b u t e d a s X 2 o n 1 d e g r e e o f f r e e d o mu n d e r t h e n u l l h y p o t h e s i s o f n o d i f f e r e n c e i n s i z e . T h e s t a t i s t i cD s h r e f l e c t s d i f f e r e n c e s i n s h a p e , a n dX2 n n l 2 2[3.11]s h = n i + ? ? 2 - h [ . 1

i s a s y m p t o t i c a l l y d i s t r i b u t e d a s X 2 o n ( m - 1 ) d e g r e e s o ff r e e d o m u n d e r t h e n u l l h y p o t h e s i s o f n o d i f f e r e n c e i n s h a p e ,w h e r e m i s t h e n u m b e r o f d i s t a n c e s c h o s e n .A s a n e x a m p l e , we c o n s i d e r t h e d i f f e r e n c e s i n s i z e a n d s h a p eo f t h e c r a n i i o f c h i m p a n z e e a n d g o r i l l a b a s e d o n a s e l e c t i o n o f1 3 d i s t a n c e s o u t o f 8 ( 8 - 1 ) / 2 p o s s i b l e d i s t a n c e s . T h e d a t aw e r e c o l l e c t e d b y P a u l H i g g i n s ( U n i v e r s i t y C o l l e g e , L o n d o n ) .T h e t o t a l M a h a l a n o b i s d i s t a n c e a n d t h a t d u e t o s i z e a n d s h a p ea r e 7 9 . 2 5 = 1 7 . 6 3 + 6 1 . 6 2 .T h e s a m p l e s i z e s f o r c h i m p a n z e e a n d g o r i l l a w e r e 2 8 a n d 2 9 ,a n d t h e x 2 f o r s i z e i s ( 2 8 X 2 9 / 2 8 + 2 9 ) 1 7 . 6 3 = 2 5 1 . 1 5 , w h i c hi s s i g n i f i c a n t o n 1 d e g r e e o f f r e e d o m . T h e x 2 f o r s h a p e i s ( 2 8 x2 9 / 2 8 + 2 9 ) 6 1 . 6 2 = 8 7 7 . 8 1 , w h i c h i s s i g n i f i c a n t o n 1 2 d e g r e e so f f r e e d o m .I f we w a n t t o d i s c r i m i n a t e b e t w e e n t h e o b j e c t s o f t w op o p u l a t i o n s b y s h a p e a l o n e , t h e a p p r o p r i a t e l i n e a r d i s c r i m i -n a n t f u n c t i o n i s( d 1 - d 2 ) T H T ( H S H T ) - l H d

= ( d 1 - d 2 ) T ( S 1 1 T S - 1 1 ) d , [ 3 . 1 2 ]w h e r e d i s t h e v e c t o r o f l o g d i s t a n c e s o n a n o b j e c t . I n t e r m s o ft h e o r i g i n a l d i s t a n c e s t h e d i s c r i m i n a n t f u n c t i o n i s o f t h e f o r m

r H D ' $ , ' , E E a i j = 0 . [ 3 . 1 3 ]

[ 3 . 8 ]S = E ( n i - 1 ) S i / E ( n i - 1 ) ,B = n d l c l a T + . . . . , n r a r a T -n T.

T h e n t h e s t a t i s t i c f o r t e s t i n g d i f f e r e n c e s i n s i z e i s1 T S - B S - l 1s i = TS-11 9

[ 3 . 1 4 ]

[ 3 . 1 5 ]w h i c h i s d i s t r i b u t e d a s y m p t o t i c a l l y a s X 2 o n ( r - 1 ) d e g r e e s o ff r e e d o m , a n d t h e s t a t i s t i c f o r d i f f e r e n c e s i n s h a p e i s

X s h = t r ( B S 1 ) - I T S - l B S - l I2 (BS-ITS [ 3 . 1 6 ]w h i c h i s d i s t r i b u t e d a s y m p t o t i c a l l y a s x 2 o n ( m - 1 ) ( r - 1 )d e g r e e s o f f r e e d o m .One q u e s t i o n t h a t a r i s e s i n p r a c t i c e i s a b o u t t h e c h o i c e o f as u b s e t o f t h e d i s t a n c e s , o u t o f t h e k ( k - 1 ) / 2 p o s s i b l ed i s t a n c e s , i n c a r r y i n g o u t t h e t e s t s o f d i f f e r e n c e s i n s i z e a n ds h a p e .S o f a r a s t h e e s t i m a t i o n o f t h e m e an s h a p e i s c o n c e r n e d , i ti s d e s i r a b l e t o u s e a l l t h e k ( k - 1 ) / 2 d i s t a n c e s . I n t e s t s o fs i g n i f i c a n c e a n d d i s c r i m i n a n t a n a l y s i s , a l l t h e d i s t a n c e s c a n b eu s e d i f t h e s a m p l e s i z e s a r e s u f f i c i e n t l y l a r g e . T h e f a c t t h a t t h ed i s t a n c e s a r e f u n c t i o n a l l y r e l a t e d d o e s n o t i n v a l i d a t e t h ea s y m p t o t i c t e s t s s i n c e t h e r e l a t i o n s h i p s a r e n o t l i n e a r . How-e v e r , t h e i n f o r m a t i o n c o n t e n t m a y n o t i n c r e a s e w i t h i n c r e a s ei n t h e n u m b e r o f d i s t a n c e s c h o s e n . T h i s t o g e t h e r w i t h s m a l ls a m p l e s i z e s o r d i n a r i l y m e t w i t h i n p r a c t i c e s u g g e s t s t h a t t h e r ei s s o m e a d v a n t a g e i n c h o o s i n g a s u b s e t o f t h e d i s t a n c e s . ( s e er e f . 1 4 f o r l o s s i n e f f i c i e n c y i n u s i n g a l a r g e n u m b e r o f v a r i a b l e sw h e n s a m p l e s i z e s a r e s m a l l ) . I t i s k n o w n t h a t a c h o i c e o f 3 k -6 ( o r 2 k - 3 w h e n t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s o f t h e l a n d m a r k s a r ek n o w n ) d i s t a n c e s i s s u f f i c i e n t t o s p e c i f y t h e c o n f i g u r a t i o n o fl a n d m a r k s o n a t w o - d i m e n s i o n a l o b j e c t . T h e r e may b e d i f f e r -e n t c h o i c e s o f s u c h d i s t a n c e s , b u t i n p r a c t i c e a n y o n e o f t h e s ec h o i c e s w o u l d b e s u f f i c i e n t t o i n d i c a t e d i f f e r e n c e s i n t h ep o p u l a t i o n s . I f we a r e u s i n g n o n p a r a m e t r i c d e n s i t y e s t i m a t i o nf o r c l a s s i f i c a t i o n p u r p o s e s i t i s e s s e n t i a l t h a t we s h o u l d c h o o s ea m i n i m a l s e t o f d i s t a n c e s , w h i c h c a n s p e c i f y t h e c o n f i g u r a t i o no f l a n d m a r k s u n i q u e l y . O n c e a s e t o f d i s t a n c e s i s c h o s e n , t h eb a s i c s t a t i s t i c s n e e d e d f o r s t a t i s t i c a l a n a l y s i s c a n b e o b t a i n e df r o m E q s . 3 . 1 a n d 3 . 2 b y o m i t t i n g s o m e e l e m e n t s . I n p r a c t i c e ,a f e w d i f f e r e n t a l t e r n a t i v e c h o i c e s may b e t r i e d t o s e e i f t h e yl e a d t o d i f f e r e n t c o n c l u s i o n s . A n e x a m p l e w h e r e 2 k - 3d i s t a n c e s a r e s u f f i c i e n t t o s p e c i f y t h e c o n f i g u r a t i o n o f l a n d -m a r k s i s t h a t o f t h e p r o f i l e o f t h e human f a c e a s s h o w n i n F i g .1 .

O n c e t h e ; d i f f e r e n c e s i n s h a p e b e t w e e n t h e p o p u l a t i o n s a r er e v e a l e d t h r o u g h a p p r o p r i a t e t e s t s , i t w i l l b e o f i n t e r e s t t oe x a m i n e t h e e x a c t n a t u r e o f d i f f e r e n c e s . F o r t h i s p u r p o s e , wec o n s i d e r t h e m e a n s h a p e t h r o u g h r e g u l a r i z e d me a n d i s t a n c e sa s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 1 . I f D i 7 ) a n d b , / ) a r e t h e d i s t a n c e sb e t w e e n t h e l a n d m a r k s i a n d j , w e c o n s i d e r a l l p o s s i b l e r a t i o s5 i j = b / b , i , j = 1 , . . . , k . [ 3 . 1 7 ]

3 . 3 . C o m p a r i s o n o f Many P o p u l a t i o n s . Th e t e s t s t a t i s t i c si n E q s . 3 . 1 0 a n d 3 . 1 1 ca n b e g e n e r a l i z e d f o r t e s t i n g e q u a l i t y i ns i z e a n d s h a p e o f s e v e r a l p o p u l a t i o n s . L e t d i a n d S i b e t h es t a t i s t i c s i n E q s . 3 . 1 a n d 3 . 2 b a s e d o n a s a m p l e o f s i z e n i f r o mp o p u l a t i o n i , i = 1 , 2 , .., r . L e t

A n o v e r a l l m e a s u r e o f d i f f e r e n c e i n t h e me a n s h a p e s o f t h e t w op o p u l a t i o n s i s t h e H i l b e r t ' s d i s t a n c em a x 8 il o g i 8 l [ 3 . 1 8 ]

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 3 ( 1 9 9 6 )n=E n i ,

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 3 ( 1 9 9 6 ) 1 2 1 3 5A s t u d y o f t h e p a t t e r n o f t h e $ i j v a l u e s w o u l d i n d i c a t e r e g i o n so f t h e o b j e c t w h e r e s h a p e s i n t h e t w o p o p u l a t i o n s a r e m o r ed i f f e r e n t t h a n i n t h e o t h e r s .4 . O t h e r T y p e s o f E x p l o r a t o r y A n a l y s i s

4 . 1 . P r i n c i p a l C o m p o n e n t A n a l y s i s o f S h a p e . L e t S b e t h ee s t i ma t ed c o v a r i a n c e m a tr i x o f t h e v e c t o r d o f l o g s o f c h o s e nd i s t a n c e s . T h e b a s i c s e t o f s h a p e v a r i a b l e s a s d e f i n e d i n E q . 2 . 1i s

{ a T d : a T i = 0 , a T a = l } . [ 4 . 1 ]We w i s h t o f i n d a m e m b e r i n t h e s e t o f E q . 4 . 1 , w h i c h h a s t h emaximum v a r i a n c e . T h e a l g e b r a i c p r o b l e m i s t h a t o f d e t e r m i n i n ga , w h i c h m a x i m i z e s a T S a s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n s a T l = 0 a n da T a = 1 . T h e e q u a t i o n s l e a d i n g t o t h e o p t i m u m a a r e

Sa = A a + , u 1 , l T a = 0 . [ 4 . 2 ]I t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e o p t i m u m a i s t h e e i g e n v e c t o r o f QS Qc o r r e s p o n d i n g t o t h e max imum e i g e n v a l u e , w h e r e Q = ( I -m - 1 1 1 T ) ; m b e i n g t h e n u m b e r o f c o m p o n e n t s i n t h e v e c t o r d .T h e o t h e r p r i n c i p a l c o m p o n e n t s , ( m - 2 ) i n n u m b e r , c o r r e -s p o n d t o t h e ( m - 2 ) e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e o t h e rn o n - z e r o e i g e n v a l u e s o f QSQ.4 . 2 . C a n o n i c a l C o r r e l a t i o n s . I t may b e o f i n t e r e s t i n s o m es i t u a t i o n s t o k n o w w h e t h e r t h e s h a p e s i n d i f f e r e n t r e g i o n s o fa n o b j e c t a r e r e l a t e d . F o r i n s t a n c e , we may w i s h t o k n o ww h e t h e r t h e r e i s a h i g h c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e s h a p e s o f t h eu p p e r a n d l o w e r p a r t s o f a c r a n i u m . L e t d , a n d d 2 b e m 1 a n dm2 v e c t o r s o f l o g d i s t a n c e s a r i s i n g o u t o f l a n d m a r k s i n t h eu p p e r a n d l o w e r p a r t s o f t h e c r a n i u m . C o r r e s p o n d i n g t o t h ec ho i ce o f d , a n d d 2 , we h a v e t h e c o v a r i a n c e m a t r i x ,

( S l l S 1 2 [ . 3S 2 1 S 2 2 ) [ 4 . 3 ]

3

4 57

1 1f

i n t h e p a r t i t i o n e d f o r m . We now c o n s i d e r t h e s h a p e m e a su r e -m e n t s Y , = H 1 d , a n d y 2 = H 2 d 2 , w h e r e H I i s o f t h e o r d e r ml- 1 Xm l a n d H l l = 0 a n d H 2 i s o f orderm2- 1 X m2 a n dH 2 1 = 0 , w i t h t h e a s s o c i a t e d c o v a r i a n c e m a t r i x

( H 1 S 1 1 H f H 1 S 1 2 H f ' \ 1 1 S 1 2H 2 S 2 1 H T H 2 S 2 2 H j /,= S* S 2 [ 4 . 4 ]a n d f i n d t h e c a n o n i c a l c o r r e l a t i o n s b e t w e e n y , a n d Y 2 . T h e s ec o r r e l a t i o n s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e c ho i c e o f H 1 a n d H2 a n di n a n y p r o b l e m t h e y c a n b e c h o s e n i n a c o n v e n i e n t w a y .5 . C o n c l u s i o n sI t i s d e m o n s t r a t e d i n t h i s p a p e r t h a t b y c o n s i d e r i n g l o gd i s t a n c e s b e t w e e n l a n d m a r k s t h e t r a d i t i o n a l m e t h o d s o f m u l -t i v a r i a t e a n a l y s i s c a n b e u s e d t o s t u d y d i f f e r e n c e s i n t e r m s o fs u b s e t s o f l a n d m a r k s i n a c o n s i s t e n t w a y . T h e a p p r o a c h e sb a s e d o n t h e c o o r d i n a t e s a s i n K e n d a l l ( 3 ) , M a r d i a a n d D r y d e n( 1 5 ) , a n d o t h e r s , t h e m ean s h a p e o f a s u b s e t o f l a n d m a r k s mayd e p e n d o n o t h e r l a n d m a r k s i n c l u d e d i n t h e s t u d y .A p p e n d i xTHEOREM 1 . L e t X - N p ( , u , 5 ) a n d f ( X ) b e a f u n c t i o n s u c h t h a tf ( X + c l ) = c + f ( X ) a n d i s d i s t r i b u t e d i n d e p e n d e n t l y o f z = HX,w h e r e H i s a p - 1 x p m a t r i x o f r a n k p - 1 a n d H i = 0 . T h e nf i s t h e u n i q u e f u n c t i o n , a p a r t f r o m a c o n s t a n t ,

i T l - l Xf ( X ) = [ A . 1 ]P r o o f : W r i t e f ( X ) = g ( y , z ) , w h e r e y = 1 T I - 1 X / l i T - 1 1 . T h e n ,g ( y + c , z ) = c + g ( y , z ) > 7 g ( y , z ) = 1 a g ( y , z ) = y + h ( z ) ,[ A . 2 ]

1 2

F I G . 1 . Minimum n u m b e r o f d i s t a n c e s r e q u i r e d t o f i x a h u m a n f a c i a l p r o f i l e .

S t a t i s t i c s : Rao a n d S u r y a w a n s h i

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1 2 1 3 6 S t a t i s t i c s : Rao a n d S u r y a w a n s h iw h e r e h i s s o m e f u n c t i o n o f z . B e c a u s e X- N p ( , u , E ) , y , a n dz , a n d h e n c e y a n d h ( z ) a r e i n d e p e n d e n t l y d i s t r i b u t e d . I t i sg i v e n t h a t f ( X ) a n d z a r e i n d e p e n d e n t a n d , t h e r e f o r e , y + h ( z )a n d h ( z ) a r e i n d e p e n d e n t .N o w , s u p p o s e t h a t h ( z ) i n E q . A . 2 i s n o t d e g e n e r a t e a n d l e th , a n d h 2 b e t w o d i s t i n c t s u p p o r t p o i n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o fh ( z ) , a n d a b e a n a r b i t r a r y p o i n t s u c h t h a t a - h 1 a n d a - h 2a r e c o n t i n u i t y p o i n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f y . We h a v e ,

P { h ( z ) + y c a } = P { h ( z ) + y ' a I h ( z ) } a . s .= P { y c a - h i } , i = 1 , 2 ,w h i c h i s i m p o s s i b l e s i n c e t h e s e t o f a ' s i s d e n s e i n R . H e n c e h ( z )m u s t b e d e g e n e r a t e .

T h e r e s e a r c h f o r t h i s p a p e r i s s u p p o r t e d b y t h e Army R e s e a r c hO f f i c e u n d e r G r a n t D A A H 0 4 - 9 6 - 1 - 0 0 8 2 .1 . K e n d a l l , D . G . ( 1 9 7 7 ) A d v . A p p i . P r o b a b . 9 , 4 2 8 - 4 3 0 .2 . K e n d a l l , D . G . ( 1 9 8 4 ) B u l l . L o n d . M a t h . S o c . 1 6 , 8 1 - 1 2 1 .3 . K e n d a l l , D . G . ( 1 9 8 9 ) S t a t . S c i . 4 , 8 7 - 1 2 0 .

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 3 ( 1 9 9 6 )4 . B o o k s t e i n , F . L . ( 1 9 8 6 ) S t a t . S c i . 1 , 1 8 1 - 2 4 2 .5 . B o o k s t e i n , F . L . ( 1 9 9 0 ) Commun. S t a t . P a r t A 1 9 , 1 9 3 9 - 1 9 7 2 .6 . B o o k s t e i n , F . L . ( 1 9 9 1 ) M o r p h o m e t r i c T o o l s f o r L a n d m a r k D a t aG e o m e t r y a n d B i o l o g y ( C a m b r i d g e U n i v . P r e s s , C a m b r i d g e ,U . K . ) .7 . K e n t , J . T . ( 1 9 9 2 ) i n T h e A r t o f S t a t i s t i c a l S c i e n c e , e d . M a r d i a ,

K . V . ( W i l e y , N e w Y o r k ) , p p . 1 1 5 - 1 2 7 .8 . L e l e , S . & R i c h t s m e i e r , J . ( 1 9 9 1 ) Am. J . P h y s . A n t h r o p o l . 8 7 ,4 9 - 6 5 .9 . L e l e , S . ( 1 9 9 3 ) M a t h . G e o l . 2 5 , 5 7 3 - 6 0 2 .1 0 . R a o , C . R . ( 1 9 7 3 ) L i n e a r S t a t i s t i c a l I n f e r e n c e a n d I t s A p p l i c a t i o n s( W i l e y , N e w Y o r k ) .1 1 . S a m p s o n , P . D . & S i e g e l , A . F . ( 1 9 8 5 ) J . Am. S t a t . A s s o c . 8 0 ,9 1 0 - 9 1 4 .1 2 . T o r g e r s o n , W. S . ( 1 9 5 8 ) T h e o r y a n d M e t h o d s o f S c a l i n g ( W i l e y ,N e w Y o r k ) .1 3 . R a o , C . R . ( 1 9 6 4 ) S a n k h y d S e r . A 2 6 , 3 2 9 - 3 5 8 .1 4 . R a o , C . R . ( 1 9 5 2 ) A d v a n c e d S t a t i s t i c a l M e t h o d s i n B i o m e t r i cR e s e a r c h , ( W i l e y , N e w Y o r k ) ; r e p r i n t e d ( 1 9 7 4 ) b y H a f f n e r , N e wY o r k .1 5 . M a r d i a , K . V . & D r y d e n , I . L . ( 1 9 9 4 ) A d v . A p p l . P r o b a b . 2 6 ,

3 3 4 - 3 4 0 .