Raices Segundo Medio

8/17/2019 Raices Segundo Medio

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Matemática

Clase

Raíces



Pregunta oficial PSU

25.

A)

B)

C)

D)

E)

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2013.

=⋅3

3

2

x

x40,

x0,2 ⋅

3

1

x3

2⋅

3

1

x10

4⋅

x3

2⋅

3

1

x20, ⋅



Una raíz es una cantidad que se debe multiplicar por sí misma tantasveces como indique el índice, para obtener un número determinado.

Raíces

Definición

Valor de la raíz

índice

antidad sub!radical

Ejemplos:

baab nn =⇔=

2,"3 = ( ) "2 porque3 =

3,"14

= ( ) "13 porque4

=2,32# = ( ) 322 porque

# =

!#,12#!3 = ( ) !12##! porque3 =



Raíces

Ejemplos:

Una raíz corresponde a una potencia con exponente $raccionario.

¿Cómo expresarías como raíz?

Definición

#

2

# 2# ""%4 ==

4

3

4 3

## =

%

#

% # && =

3

1

3 22 =

2

1

## =

b

a

b axx =

2

1

12

%12 %12 222%4 ===

2

'a ()b ∈∈

3

2

4

1−

33 23

23

2

1%444

1===

−



Ejemplos:

omo toda raíz corresponde a una potencia con exponente $raccionario,

tambi*n se cumplen las si+uientes propiedades

Raíces

xxn n = ( )mnn m xx =

4444 133

3 3 ===

#### 12

22 ===

aaaa 1"

"" " ===

( ) ( ) 322""##

33 # ===

( ) ( ) 6441616 3

33 ===

( ) ( ) "24433

3 ===



Raíces

•

Multiplicación de raícesSe multiplican las cantidades subradicales conserando el índice!ue tienen en com"n#

Ejemplos:

Propiedades

nnn baba ⋅=⋅ )n - ∈

=⋅ ## 21% =⋅# 21% =# 32 2

=⋅33

3 =⋅3

3 =3

2& 3

=⋅ 44

2&

1

3

1=⋅4

2&

1

3

1=4

"1

1

3

1



Raíces

¿Cómo podríamos reducir las siguientes expresiones?

/suma por la di$erencia

Propiedades

( ) ( ) =−⋅+ 2323 ( ) ( ) =−22

23 23 − 1=

( ) ( ) 22 bababa −=−+

=+⋅− 2#2# ( ) ( ) =+⋅− 2#2# =−2# 3



Raíces

Ejemplo:

¿Qué podríamos hacer si se trata del producto deraíces de distinto índice?

En este caso$ es posible expresarcada raíz como potencias de 3.

%ue&o'

Propiedades

33 =⋅

3

2

3== 3 23 3

2

1

3=3

=⋅ 33 =⋅ 2

1

3

2

33 =+2132

3 =%&

3 6 &3



Se diiden las cantidades subradicales conserando el índice !uetienen en com"n#

Raíces

•

Diisión de raíces

Ejemplos:

b 05b 05

Propiedades

nnn

baba :: =

=33 42.04" : =3 42.04" =3 #12 "

=#

.%

3=#

32

1=#

#2

1

2

1

n

n

n

b

a

b

a

=



Raíces

Ejemplo:

¿Qué podríamos hacer si se trata de la divisiónde raíces de distinto índice?

En este caso$ es posible expresarcada raíz como potencias de 2.

%ue&o'

Propiedades

41%# =3:

!

"

2== # 4# 21%

3

2

2== 3 23 24

=3: 41%# 3

2!"

22 : 32

#4

2−

= 1#2

2= 1# 22= 1# 4=



Raíces

Ejemplos:

• Raí# de una raí#

6quivale a una raíz, cu(o índice es el producto de los índicesiniciales.

Propiedades

nmm n aa ⋅=

% 3 & 3% &⋅= 18 &=

)m ()n - ∈∈

3 %4 % %4= % %2= 2=

3 4 # 24 #=



Raíces

Ejemplos:

• $omposición % descomposición de una raí#

7e utiliza para in+resar un $actor a una raíz, o cuando un $actor de lacantidad sub!radical es un cuadrado per$ecto.

Propiedades

)5n∈nn

n baba ⋅=

=3 4# =⋅3 3 4# =⋅3 412# 3 #00

=4 23 =⋅4 423 =⋅4 2"1 4 1%2

=3%3 =⋅3121 =⋅ 3121 311



¿Cómo podríamos reducir las siguientes expresiones?

Raíces

Propiedades

=++ #01"32 22#221% ⋅+⋅+⋅

2#2324 ++=

212=

=−+ 12&&#24"# 34&32#231%# ⋅−⋅+⋅

32&3#234# ⋅−⋅+⋅=

314310320 −+=

31%=



7e llama racionalizaci8n al procedimiento que convierte una expresi8n$raccionaria con raíces en el denominador, en otra equivalente sin que

aparezcan raíces en *l.

(odemos a&rupar las ormas de racionalización en tres tipos'

9 :e raíces cuadradas en el denominador

Ejemplo : ¿Qué hacemos?

Se ampliica por la misma raíz deldenominador$ en este caso$ por #

Raíces

Racionali#ación

#

3=

#

=⋅#

#

#

3

( ) =

2

#

#3

#

#3=#

3



Ejemplo:

Ejemplo:

Raíces

Racionali#ación

&2

&!=

=&2

&!=⋅

&

&

&2

&!=

⋅&2

&&!

2

&!

n

m=

=⋅n

n

n

m=

n

m=

2n

nm

n

nm



9 :e una raíz en*sima en el denominador

Ejemplo: Ampliicaremos por

¿Qué hacemos si la raíz del denominador tiene un índice maor?


Raíces

Racionali#ación

3

23

=

3 23

=3 3

2

=⋅ 3 2

3 2

3 3

3

3

2 =⋅3 3

3 2

3

32

3

32 3 2⋅

32

% 2 = % 4

3

=% 23

2=⋅

% 4

% 4

% 2 3

3

3

2=

⋅% %

% 4

3

32

3

32 6 4⋅



Raíces

En &eneral$ si en el denominador de una racción se presenta una raíz del tipo'

podremos racionalizar por #



Racionali#ación

n ma n m!na

%

4" #

= " 3

%

=⋅" 3

" 3

" # %

%

%

4=" #%

4=

⋅" 3#

" 3

%%

%4=

" "

" 3

%

%4

%

%4" 3

n

m# =

=# n

m=⋅

# 4

# 4

# n

n

n

m=

# #

# 4

n

nm

n

nm# 4

# 4n



9 :e adici8n o sustracci8n de raíces en el denominador Ejemplo: ¿Qué hacemos?

Si el denominador presenta unaadición !ue inolucra raíces$ entoncesse ampliica por la di!erencia de los

mismos t*rminos#


Raíces

Racionali#ación

13

2=

+

=+13

2=

−−

⋅+ 13

13

13

2 ( )=

−

−13

132 ( )2

132 −



Ejemplo: ¿Qué hacemos?

Si el denominador presenta una di!erencia!ue inolucra raíces$ entonces se ampliicapor la adición de los mismos t*rminos#


Raíces

Racionali#ación

21

#=

−

=− 21

#=

++

⋅− 21

21

21

# ( )=

−+21

21# ( )=

−+1

21# ( )21#! +

R í



Ejemplo:


Raíces

Ejemplo: +olemos a racionalizar

Racionali#ación

n3

2 =+

=+ n3

2 =−−

⋅+ n3

n3

n3

2 ( )n3

n32

−−

2!3

23=

+

=+

2!3

23=

+

+⋅

+

23

23

2!3

23 ( )( )( )

=+

+232!3

232

( ) =−

+2.

23 ( ) =+&

23 ( )&

&23+

P fi i l PSU



Pregunta oficial PSU

25.

A)

B)

C)

D)

E)

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2013.

&'(ER)&(*+&$,RRE$(&

-

=⋅3

3

2

x

x40,

x0,2 ⋅

3

1

x3

2⋅

3

1

x10

4⋅

x3

2⋅

3

1

x20, ⋅

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