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7/30/2019 Re Scaling 1
http://slidepdf.com/reader/full/re-scaling-1 1/3
P h a s e e l d m o d e l i n g : R e s c a l i n g o f t h e u n i t s
P . M u r a l i
∗
I . T H E M O D E L
I n t h e p h a s e e l d m o d e l , t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e g i v e n b y ,
Π =
ˆ Fdx ← F =
1
2κ (∇φ)2 + (e(x)− ec)g(φ) ( 1 )
w h e r e g(φ) = 4φ3− 3φ4
φ = −M δ Π
δφ= −M
∂F
∂φ−∇ ·
∂F
∂ ∇φ
= −M
(e− ec)g(φ)− κ∇2φ
( 2 )
ρui = σij,j + η∇2ui ( 3 )
σij = g(φ) (δ ijλkk + 2µij) ( 4 )
e =λ
22kk + µijij ( 5 )
I I . D I S C U S S I O N A N D N O T E S
B a s i c m a t e r i a l p a r a m e t e r s t h a t w e c h o o s e t o s o l v e t h e a b o v e e q u a t i o n s a r e , c r i t i c a l e n e r g y
d e n s i t y ec , Y o u n g ' s m o d u l u s , Y , s u r f a c e e n e r g y γ , d e n s i t y ρ, v i s c o s i t y η ( a r b i t r a r i l y s e l e c t e d ) ,
e l a s t i c w a v e s p e e d c = λ/ρ w h i c h l i n k s t h e l e n g t h s c a l e w i t h t h e t i m e s c a l e .
T h e g r a d i e n t c o e c i e n t κ i s r e l a t e d t o t h e γ b y t h e r e l a t i o n κ = γ 2/ec ( s e e n e x t s e c t i o n ) .
T h e r e s c a l e d e q u a t i o n s a r e a s f o l l o w s :
φ
Mecτ =
κ
l2ec∇
2φ−
e
ec− 1
=
γ 2
l2e2c∇
2φ−
e
ec− 1
( 6 )
∗E l e c t r o n i c a d d r e s s : m u r a l i p a l l a @ g m a i l . c o m
7/30/2019 Re Scaling 1
http://slidepdf.com/reader/full/re-scaling-1 2/3
2
l2ρ
τ 2λui = σ
ij,j +η
λτ ∇
2ui ( 7 )
σ
ij = σij/(0λ
∗
)( 8 )
N o t e s
1 . ec a n d λ a r e r e l a t e d b y ec = 1
2(2.5λ)2f a s s u m i n g P o i s s o n ' s r a t i o , ν = 1/4. I f w e a s s u m e ,
f o r o r g a n i c , f ∼ 0.4472 a n d h e n c e ec = λO/4
2 . l i s c h o s e n s u c h t h a t l = γ/[2ec] a n d t h e n o r m a l i z e d κ(= κ/[l2ec]) = 4
3 . F r o m d i m e n s i o n a l a n a l y s i s , t h e d i u s i v e i n t e r f a c e c o r r e l a t i o n l e n g t h c a n b e e x p r e s s e d
b y l2c = κ/ec ( H e n c e i n e e c t t h e l e n g t h s c a l e w e h a v e c h o s e n i s a b o u t h a l f o f t h i s
c o r r e l a t i o n l e n g t h , i f t h e g r i d s p a c i n g i s o n e , w e s h o u l d s e e t h e g r a d i e n t f o r t w o g r i d
s p a c i n g s )
4 . τ = l/c∗ , w h e r e c∗ i s t h e e l a s t i c w a v e s p e e d i n t h e s p e c i c c o m p o n e n t ( e i t h e r o r g a n i c
o r m i n e r a l , w h i c h e v e r i s c h o s e n f o r n o r m a l i z a t i o n ) ,
5 . A g a i n f r o m d i m e n s i o n a l a n a l y s i s , m o b i l i t y , M c a n b e b e d e n e d a s M ≡ 1/[ecτ ] ∼
2c/γ (c/[ecl]), w h i c h i s s o m e k i n d o f ' u x ' ( v o l u m e p e r s e c o n d ) p e r t h r e s h o l d e n e r g y
( w h i c h d r i v e s t h e u x ) .
6 . D e n s i t y ( ρα ) i s a s s u m e d s a m e f o r b o t h t h e c o m p o n e n t s = (λ∗/c∗2). H e n c e t h e e l a s t i c
w a v e s p e e d s a r e d i e r e n t , f o r e x a m p l e cα = c∗
λαλ∗
, i n o r d e r t o k e e p t h e t i m e s t e p
s u c i e n t l y s m a l l , t h e n o r m a l i z a t i o n i s b e t t e r d o n e w i t h t h e s t i c o m p o n e n t .
7 . I n e q u a t i o n ( 4 ) : σ , λ a n d µ a r e e x p r e s s e d i n t h e u n i t s o f λ∗( p e r t a i n i n g t o o n e o f t h e
c o m p o n e n t s ) a n d t h e s a m e s t r e s s i s u s e d i n e q u i l i b r i u m e q u a t i o n ( 7 ) . I n e q u a t i o n ( 5 ) ,
t h e e l a s t i c c o n s t a n t s n e e d t o b e n o r m a l i z e d b y ec
I I I . G R A D I E N T C O E F F C I E N T , κ
U n d e r e q u i l i b r i u m ( s e e e q . 2 ) w e h a v e ( 1 D e q u a t i o n ) ,
7/30/2019 Re Scaling 1
http://slidepdf.com/reader/full/re-scaling-1 3/3
3
κd2φ
dx2= (e− ec)
dg
dφ( 9 )
=⇒κ2
dφdx
2
= (e− ec)g(φ) + p(x) ( 1 0 )
w h e n dφ/dx= 0 , φ = 0 o r 1 , a n d g(φ) = 0 o r 1 , a s s u m i n g g(φ) = 1, p(x) = −(e(x)− ec) ;
w h e n g(φ) = 0, e(x) = ec
κ
2
dφ
dx
2
= (e− ec)[g(φ)− 1]
γ =ˆ κ
2dφdx2
dx =ˆ κ
2dφdxdφ
=⇒ γ =
ˆ κ
2(ec − e)(1− g(φ)dφ ( 1 1 )
W h e n l o a d i s z e r o , e = 0
=⇒ γ 2 =κec
2
(1− g(φ)dφ
2
( 1 2 )
γ 2 ∼ κec4
( 1 3 )
[ 1 ] M u r a l i e t . a l .