a Grupo CYTEMA, Departamento de Física, Universidad del Cauca, Popayán, ColombiabGrupo de Física de Metales, Departamento de Física, Núcleo de Sucre
Universidad de Oriente, Apdo, Postal 299, Cumaná, Venezuela
Received: August 28, 2001; Revised: March 2, 2002
Using ab-initio calculation, we have computed different electronic parameters associated withthe transport coefficients of graphite Bernal. Software CRYSTAL1 was used with a Pople standardSTO- 21G* basis set. Different hamiltonians were tested, choosing a restricted Hartree-Fock one,because it generated the best qualitative results. All graphites studied present a valence bandwidthnear 0.60 a.u., in agreement with the literature. In hexagonal Bernal graphite the splitting of thevalence Π band was accentuated, and E
F = -0.00140 a.u. The surface Fermi is located around the
HKH edge of the first Brillouin zone. In general such surfaces present a central electron orbit ofmaximal size in the plane, which diminish in size when the z component of the k
r vector moves in
KH direction. Integrating on the surface Fermi calculates the time relaxation parallel and the timerelaxation perpendicular and finally we evaluate the parallel and perpendicular resistivity.
Keywords: grafito, tiempo de relajación, superficie de Fermi, resistividad
1. Introduction
El grafito es un semimetal con estructura laminar for-mada por átomos de carbono. Su alta anisotropía está asocia-da con la hibridación de los orbitales atómicos sp2 (s-px-py),lo cual conduce a la generación de un enlace covalenteinterplanar de los átomos de carbono en los planos grafíticos,mientras los orbitales pz no hibridizados proporcionan a laestructura un enlace débil entre sus capas.
La secuencia de empaquetamientos de capas de átomosde carbono permite diferenciar varios tipos de grafito: 1.grafito Hexagonal o Bernal, con una secuencia de capas dela forma ABABAB, siendo esta la estructura mas estable,con cuatro átomos por celda unitaria. 2. grafitoRombohedral, con una secuencia ABCABC entre capas ydos átomos por celda unitaria o seis por celda convencional,y 3. grafito hexagonal simple, el cual es una estructura demonocapas de átomos de carbono arregladas en dosdimensiones y cuyo empaquetamiento de capas es de laforma AAAAAA, con dos átomos por celda unitaria.
Mientras la estructura del grafito ha sido estudiadaintensivamente2, algunos tópicos relacionados con lainteracción entre capas y su efecto en las propiedadeselectrónicas constituyen aún materia de discusión3. Estasúltimas han sido analizadas por medio de modelosparametrizados con simplificaciones teóricas que limitan lavalidez de los resultados obtenidos4.
Los cálculos ab-initio representan una alternativa válidapara estudiar completamente esas propiedades, por estarazón nuestro propósito es aplicar el software CRYSTAL,el cual utiliza técnicas ab-initio para evaluar propiedadesen sistemas periódicos. Crystal permite determinar una seriede parámetros que por si solos han sido motivo de numerososestudios como estructuras de bandas electrónicas, energíade Fermi, matrices de Fock y solapamiento y energías deinteracción, lo cual constituye el fundamento cuántico delpresente trabajo.
2. Teoría
La ecuación de transporte de Boltzman nos conduce bajola aproximación de existencia de un tiempo de relajación, ala definición del tensor conductividad eléctrica5.
σπ
τµ µij i joe
k E v vdfdE
d k= − ∫2
33
4( , )r
(1)
el subíndice µ caracteriza huecos y electrones fo es la
función de distribución de Fermi-Dirac vi y v
j son las
componentes de la velocidad de los portadores sobre super-ficies de energía constante, τ( , )
rk E es el tiempo de relajación
total.La integración de (1) se hace sobre la cantidad de
portadores mayoritarios o minoritarios, electrones o huecos
en la primera zona de Brillouin, con límites deducidos de laestructura de bandas. Escribiendo las velocidades paralelay perpendicular al plano como:
v v vx y2 2 2= +
(2)v vz⊥ =
Utilizando las relaciones (2) para la velocidad yreemplazando en (1) obtenemos las relaciones de laconductividad paralela y perpendicular al plano grafítico.
( ) ( )σπ
τ µ µ= −∫∑eKT
k E v f fdS dE
vZBi
f2
32
41
h
r,
(3)
( ) ( )σπ
τ µ µ⊥ ⊥= −∫∑eKT
k E v f fdS dE
vZBi
f2
32
41
h
r,
Debido al carácter cilíndrico de la superficie de Fermi,estas expresiones se pueden escribir en función de lascoordenadas (χ, α, k
z) como
( ) ( )σπ
τ χ αµ µ= −∫∑e
KTk E v f f d dk
vZBi
z2
32
41
h
r,
(4)
( ) ( )σπ
τ χ αµ µ⊥ ⊥= −∫∑e
KTk E v f f d dk
vZBi
z2
32
41
h
r,
La suma en i corresponde a cada banda susceptible departicipar en el proceso de conducción. La variable
( )χ = +k kx y2 2
12 mide en el plano (0 0 1), la distancia entre la
arista HKH y el respectivo punto (kx, k
y) sobre la superficie
de Fermi, α es la variable angular tomada en el mismo plano(0 0 1), con origen en el punto de intercepción entre elsegmento ΓA contendio en el plano y el punto HKH delmismo.
Para la evaluación de las integrales (4) se debe hallar laexpresión para el tiempo de relajación y la velocidad de losportadores. La teoría cuántica introduce la definición deltiempo de relajación como:
( ) ( ) kdPk kk31 cos1 ′
− ∫ θ−=τ rrr
(5)
donde Pk k´ es la probabilidad de transición del estado kal estado k´, y su forma es:
( ) ( )( )P X H X E k E kk k qr r
h
r rh
′= ′ ′ − ′ ±
2 2πδ ω (6)
(1–cos θ) representa la transferencia de momento en elproceso de dispersión considerado para un electrón de vec-tor de onda k
rincidente y un vector de onda k ′
r dispersado,
θ es el ángulo formado entre ellos.Para temperaturas entre 25 K y 300 K la dispersión de
electrones por fonones acústicos es dominante6, por lo tanto,se puede agrupar los modos de vibración, en paralelo y per-pendicular al plano grafítico. Introduciendo las probabi-lidades de transición asociadas a cada modo, tenemos:
( ) ( )τ θ− = − ′∫1 1rk P dScos
(7)
( ) ( )τ θ⊥−
⊥= − ′∫1 1rk P dScos
Interacción electrón-fonón
En la literatura7 la interacción electrón-fonón ha sidoconsiderada de diversas maneras, siendo las aproximacionesde ión-rígido y ión deformable las de mayor utilización enel estudio de propiedades en metales. En un trabajo anteriorLuiggi y Barreto4, basado en la teoría fenomenológica deOno et al.6, consideraron la interacción electrón fonón através de un modelo de ión-rígido, pero en vez de considerarde manera explícita el potencial de deformación asociadocon las vibraciones de la red, suponen que la interacciónentre electrones y fonones desplaza los núcleos atómicosuna distancia rrδ de su posición de equilibrio. La función
de onda total característica Χ , puede entonces escribirse
como el producto de la función de onda electrónica
deformada ( )Ψr r rk r r, +δ y la función fonónica ξ f . La
forma fenomenológica de definir la función de ondaelectrónica en el trabajo de Luiggi y Barreto4 hace recaertodo el peso de la deformación en el prefactor exponencialde dicha función, conduciendo al desplazamiento rígido delos orbitales atómicos a través de la red de grafito. Estecomportamiento, realmente, es típico de metales pero no desistemas similares a semiconductores fuertemente dopadoscomo es el caso de semimetales.
En el presente trabajo, los elementos matriciales de laecuación (6) los escribimos
( ) ( )X H X k r H k r rf f′ = ′ + ′ξ δ ξΨ Ψr r r r r, , (8)
donde ( )Ψr rk r, esta definido por
∑ω
ωω φ=Ψ ),()(),( , krkkrrrrrr
jj a (9)
con
∑µ
µµωω
⋅−ϕ=φ
RRrkr
rrrrrr kie
N)(1),( (10)
Si cada átomo µ debido al efecto de las vibraciones dered, es desplazado en δ
rr de su posición de equilibrio, la
Vol. 5, No. 2, 2002 Calculo de Parámetros Electrónicos Para el Grafito Bernal 157
función de Bloch ( )φω
r rk r, se escribe
( ) ( ) ( )[ ]µµµµµ
µω δ+⋅δ−−ϕ=φ ∑ RRkiRRrN
rkrrrrrrrr exp1, (11)
Para pequeños desplazamientos, hacemos desarrollossimultáneos tanto de los orbitales atómicos ϕµ como de laexponencial de Bloch, despreciando en ambos casos lostérminos de segundo, la función de onda toma la forma
( ) ( ) ( ) ( )φ ϕ δ∂ϕ
∂δδω ω µ µ
ω µ
µµµ µ
r r r r rr r
rr r r r
k rN
r R Rr R
Rk R i k R, exp= − + ⋅
−
⋅ + ⋅ + ⋅∑11
( ) ( ) ( )φ ϕ δ ϕω µ µ µµ
µ µ µµ
µ
r r r r r r r r r r r rk r
Nr R i k R i k R r R i k R, exp exp= − ⋅ ⋅ + ⋅ −
⋅ +∑∑1
-( ) ( ) ( )
⋅
∂δ−∂ϕ
⋅δ⋅δ⋅+⋅∂δ
−∂ϕ⋅δ+ µ
µ
µωµ
µ µµµ
µ
µωµ∑ ∑ Rki
RRr
RRkiRkiRRr
Rrr
r
rrrrrrr
r
rrr
expexp
(12)
El primer término está asociado a la red estática, elsegundo contiene el efecto de la interacción electrón-fonón,considerando el desplazamiento rígido de los iones y porsupuesto de los orbitales ϕµ , el tercer término considera elefecto de deformación de los orbitales, mientras que elúltimo término considera el efecto combinado dedeformación y desplazamiento, el cual por ser de segundoorden en δ
rR se considera despreciable.
El efecto global de la interacción electrón-fonón se re-duce a la consideración de los elementos matriciales delHamiltoniamo entre funciones de onda, de la siguienteforma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψ ψ φ φωω ω
ω ω ωi j j jr k H r k a k a k r k H r kr r r r r r r r r r, , , ,,
*
,,
*′ = ′ ′′
′∑con
( ) ( ) ( ) ( )[ ]φ φ δ δω ω µ µ µ µµ µ
r r r r r r r r r r r rr k H r k N i k R k R k R k R, , exp′ = ⋅ − ′ ⋅ + ⋅ − ′ ⋅−
′ ′′
∑1 1
( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ δ ϕ
∂ϕ
∂δω µ ω µ µ ω µω µ
µ
r r r r r r rr r
rr R H r R R r R Hr R
R− − ′ + −
−⋅ +
( ) ( )⋅ +−
−
δ
∂ϕ
∂δϕµ
ω µ
µω µ
rr r
rr r
Rr R
RH r R (13)
Esta relación se puede reescribir en función del vectortraslación de la red
r r rT R Rµ µ µ µ′ ′= − (14)
Centrándonos en un átomo de tipo j
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )φ φ δ ϕ ϕω ω µµ µµµ
µ µr r r r r r r r r r r r rr k H r k N i k T k k R r R H r R, , exp′ = ⋅ + − ′ ⋅ ⋅ − −−
′′
′∑1 1
( ) ( ) ( ) ( )+ ⋅ −−
+−
−
′δ ϕ
∂ϕ
∂δ
∂ϕ
∂δϕµ ω µ
ω µ
µ
ω µ
µω µ
r r rr r
r
r r
rr r
R r R Hr R
R
r R
RH r R (15)
El átomo j está fijo mientras que el índicecorrespondiente al átomo i corre sobre todos los átomos.
El efecto de la deformación debido a la interacción
electrón-fonón lo conseguimos al introducir δ µ
rR como un
operador fonónico que actúa sobre la función fonónica ξ f ,
en la ecuación anterior, la expresión para δ µ
rR está dada por5
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )δωµ µ
r hr
r r r r rRN M q
i q R a q a q e qpq p
p p p p p=
⋅ − +∑ +
2
12
,exp $ (16)
donde qr es el vector de onda fonónico, p fija el tipo de
modo vibracional, )(ˆ qepr
es el vector de polarización
fonónico, a+ y a- son los operadores bosónicos de creacióny aniquilación, los cuales conducen a elementos matriciales
no nulos si las funciones de onda fonónicas ξ f sobre las
cuales actúan, caracterizan estados fonónicos cuyaocupación difiere de un fonón. La ecuación (8) toma la forma
( ) ( )X H XN M q
i H k kppq
k k′ =
− − ′∑ ′
hr
r rr
2
12
ωΨ Ψ
( ) ( ) ( ) ( )
∂δ−∂ϕ
−ϕ−−ϕ−ϕ⋅δ∂+
µ
µωµωµ′ωµω
µ RRr
HRrRrHRrR
r
rrrrrrrr
r
(17)
nq,p
es el número de fonones, definidos según laestadística de Bose, considerando que sólo fonones acústicosparticipan en la dispersión, la ecuación anterior se transformaen
⋅
ω+
ω=′ ⊥
⊥
⊥ qNMn
qNM
nXHX
θq
q
θq
q2/12/1
22hh
(18)
Cada uno de los términos en los elementos matricialespermitirán introducir las características paralela y perpen-dicular de los modos vibracionales.
Método de evaluación de las resistividades
Las ecuaciones (4) representan integrales sobre lasuperficie de Fermi en el espacio de los vectores de ondaincidentes, cuya evaluación requiere del conocimiento del
158 Villaquirán et al. Materials Research
integrando sobre dicha superficie, en primer lugar el tiempode relajación, a su vez, es una integral sobre dicha superficiepero no corresponde al barrido de los vectores de ondadispersados luego de ser afectados por el potencial asociadoa la interacción electrón fonón.
Para evaluar los tiempos de relajación tomamos lassiguientes relaciones
(19)
Haciendo uso de las relaciones (5), (18) y (19), se puedeescribir el tiempo de relajación como
(20)
La integración se realiza sobre la superficie de Fermi,que hemos calculado para cada uno de los grafitos.
Los elementos matriciales 2
kk H rr′ΨΨ , son hallados
por medio de la expresión
kk
kk
kk
kkH
SH
rr
rr
rr
rr
r
′
′
′
′κ ΨΨ
ΨΨ==ε (21)
Como hemos dicho anteriormente, vamos a considerarla dispersión de electrones por fonones acústicos. La relaciónde dispersión, considerando los modos paralelo y perpen-dicular al plano, correspondientes a las ramas acústicas lon-gitudinales y transversales ha sido calculada teniendo encuenta las siguientes expresiones:
( ) qkk
Mak o
2/12/12
6818
µ+µ+
=ω
(22)
( ) ⊥⊥
µ+
µ
=ω q
kMak o
2/12/12
623
con
cmdinak /1071,6 5×=
cmdina /1071,6 5×=µ
Las componentes de la velocidad de los portadores encada punto, se puede evaluar mediante:
ii k
Ev
∂∂
=h
1(23)
Una vez realizados los cálculos de los tiempos derelajación y las componentes de las velocidades sobre cadasuperficie de energía constante, se calcula la conductividadutilizando las expresiones (3). La resistividad paralela yperpendicular al plano basal grafítico se evalúa mediantelas siguientes relaciones
1−σ=ρ
(24)1−
⊥⊥ σ=ρ
3. Cálculo de estructura de bandas
Para calcular la estructura de bandas es necesario elegirun Hamiltoniano donde CRYSTAL genere un buen conjuntode datos y donde el nivel de Fermi presente un buen valorde acuerdo a la literatura. Diversas combinaciones depotencial de correlación y de intercambio fueron ensayados,y se obtuvo un mejor conjunto de datos utilizando unHamiltoniano Hartree-Fock restringido. El nivel de Fermipara el grafito Bernal concuerda con el reportado por laliteratura4.
CRYSTAL genera las bandas de energía electrónicacomo una salida del programa. En la entrada del mismo sefijan las direcciones en términos de los vectores recíprocos,generándose E( k
r) en las direcciones de alta simetría del
cristal.Las bandas de energía son halladas dentro del esquema
autoconsistente de Hartree-Fock restringido a capaselectrónicas cerradas. Los resultados obtenidos se discutensubsecuentemente.
En la Fig. 1 mostramos la estructura de bandas E vs. kr
para diferentes direcciones de alta simetría de la primerazona de Brillouin. En la figura se muestra la estructura debandas para el grafito Bernal, evidenciándose las cuatrobandas Π en torno a la energía de Fermi en la direcciónKΓM. Si bien la profundidad de banda en cada caso esconsistente con la literatura, la banda σ inferior es totalmente
zkk ,sen,cos αχχ= αr
zkk ′,α′χ′α′χ′=′ sen,cosr
kkq ′−=rrr
( )kk
kk zz
′α′α+α′αχ′χ+′
=θsensencoscos
cos
( )α′α+α′αχ′χ−χ+χ′= sensencoscos2222q
( )221 zz kkq −′=
( )∫ ∫
π π
0
′−
∇ω
′α′ΨΨθ−χ′
πΩ
=τ3
0
22
21 0
13 / / cosc
k
zkk
E
kddHnq
M r
rr
r
r
( )∫ ∫
π π
0⊥
′⊥⊥−⊥
∇ω
′α′ΨΨθ−χ′
πΩ
=τ3
0
22
21 0
13 / / cosc
k
zkk
E
kddHnq
M r
rr
r
r
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degenerada en esa dirección, ligeramente diferente a loreportado por Charlier et al.8 quienes logran levantar ladegeneración de esa banda en el punto Γ.
En la Fig. 2 mostramos el comportamiento de dichaestructura en la arista HK, donde se evidencian las cuatrobandas Π, siendo la banda central doblemente degenerada.La energía de Fermi corta la banda Π inferior claramente,reforzando el carácter semimetálico.
4. Cálculo de superficie de Fermi
Hasta ahora autores9,10 que evalúan propiedades detransporte no han considerado en detalle la superficie deFermi debido a la complicación computacional que estecálculo representa. En lugar de ello consideran superficiescilíndricas y otros simplemente la ignoran.
Uno de nuestros objetivos es hacer un estudio completode la superficie de Fermi con la intención de considerar susdetalles para la evaluación de la resistividad. CRYSTAL nogenera esta superficie por lo tanto hemos desarrollado unametodología para lograrlo11.
En todas las figuras graficamos kx contra k
y para un k
z
fijo. En centro de cada una de las superficies (semi-cilíndricas) de Fermi calculadas está ubicado en el punto(1/3, 1/3, k
z), donde la coordenada k
z se va moviendo desde
K (kz = 0) hasta H(k
z = 1/2), k
z en unidades de
ocπ2
.
Para hallar los valores de kx y k
y se calculan las bandas
de energía para cada kz y teniendo el valor de la energía de
Fermi, el punto de corte se halla por interpolación, de igualforma se hizo fijando cada plano k
z hasta llegar al punto H;
de esta forma construimos la superficie de Fermi.Las coordenadas de los quince planos en los cuales se
fraccionó la primera zona de Brillouin están en unidades de
oaπ2
para kx y k
y, en unidades de
ocπ2
para kz .
La superficie de Fermi para el grafito ABABAB, oBernal, es mostrada en las Figs. 3 y 4 para los planos k
z
desde 0 a 8/30 y de 9/30 a 15/30 respectivamente. Notamosen estas gráficas dos comportamientos diferentes por encimadel plano 11/30, ya que la inflexión que aparece en ladirección ΓK desaparece y la forma lobular existente debidoa la concavidad hacia adentro se transforma en unaconcavidad hacia fuera. El carácter trigonal reportado coin-cide con el reportado en referencias3,8. La curva (r) muestrala proyección de toda la superficie en el plano (0 0 1) dondese evidencia el comportamiento señalado y ratifica laexistencia de una interacción fuerte entre átomos de planosadyacentes, es decir un valor γ
3 en el modelo SWMcC
importante.
5. Cálculo de las velocidades electrónicas
El cálculo de las velocidades electrónicas se realizómediante la evaluación de la ecuación (23). Utilizando losdatos correspondientes a la estructura de bandas para cadauna de las estructuras cristalinas, y un algoritmo deinterpolación12 obtenemos numéricamente las velocidadeselectrónicas sobre la superficie de Fermi.
En la Fig. 5 se muestran las velocidades calculadas parael grafito Bernal en el plano k
z= 7/30; en la figura se muestra
vx contra k
x, v
y contra k
x y r
v contra kx, k
z en unidades de
2 πco
.
De estas gráficas podemos notar que el orden demagnitud obtenido es acorde con lo esperado mientras que
Figura 1. Estructura de bandas para el grafito Bernal.
Figura 2. Estructura de bandas para el grafito Bernal, en la aristaHK.
160 Villaquirán et al. Materials Research
Figura 3. Superficie de Fermi para el grafito ABABAB, paradiferentes planos kz. Desde (a) kz = 0 a (i) kz = 8/30.
Figura 4. Superficie de Fermi para el grafito ABABAB, paradiferentes planos kz. Desde (j) kz = 9/30 a (q) kz = 1/2. En (r) semuestra la superficie completa.
Figura 5. Velocidades electrónicas para el grafito Bernal en kz=7/30.
Vol. 5, No. 2, 2002 Calculo de Parámetros Electrónicos Para el Grafito Bernal 161
cualitativamente, las velocidades vx y v
y son comple-
mentarias, con discontinuidades producto de la forma mismade la superficie de Fermi. Estas discontinuidades sepresentan básicamente en los vértices trigonales debido a lacoincidencia de mas de un plano de Bragg.
6. Cálculo del tiempo de relajación
Para calcular el tiempo de relajación evaluamos lasintegrales (20), correspondientes al tiempo de relajaciónparalelo y perpendicular, cálculo necesario para evaluar laresistividad.
Para realizar las integrales definimos como lo dice laecuación (19) un vector , cuyo origen está en el punto K dela primera zona de Brillouin, este punto es el centro de lasuperficie de Fermi en el plano k
z= 0. Para cada plano se
integró en 1/6 de la superficie de Fermi, lo que correspondea 0 < α < π/3 en la ecuación (20). La evaluación de losmodos de vibración está descrita por las relaciones (22).
El comportamiento del tiempo de relajación paralelo esmostrado en la Fig. 6, mostramos dicho tiempo de relajaciónpara diferentes temperaturas. El comportamiento generales crecer hasta un máximo y luego decrecer. El punto de
este máximo se ubica en la vecindad de la depresión de lasuperficie. El efecto de la temperatura es disminuir el valordel tiempo de relajación en la medida que ella crece,producto de la variación de la amplitud de vibración y de ladensidad de modos fonónicos participantes. La variaciónde τ máximo se ubica entre 1.9*10-13 y 1.6*10-14 s cuandovamos de T = 25 K a 300 K.
En la Fig. 7 mostramos nuestros resultados para eltiempo de relajación perpendicular τ⊥, cuyo comportamientotanto cualitativo como cuantitativo es similar al anterior.
7. Cálculo de la resistividad
La resistividad eléctrica se calcula mediante la relación(4). De los parámetros allí definidos sólo nos falta evaluarel número de estados ocupados en los diferentes tipos degrafito en función de la temperatura. Usamos la siguienterelación:
( ) ( )dEEfEnN ∫µ
=0
(25)
donde f (E) es la función de distribución de Fermi-Dirac.En la Tabla 1 mostramos los resultados obtenidos, los
Figura 6. Tiempo de relajación paralelo en segundos contra ky en unidades de para el grafito Bernal.
162 Villaquirán et al. Materials Research
Figura 7. Tiempo de relajación perpendicular contra ky en unidades de para el grafito Bernal.
Figura 8. Resistividad paralela y perpendicular (Ω. cm) en funciónde la temperatura (K) para el grafito Bernal.
cuales están dentro de la magnitud esperada. El número deestados ocupados aumenta ligeramente cuando latemperatura crece. Finalmente en la misma tabla mostramoslos valores de ρ y ρ⊥
calculados.En el caso del grafito Bernal las resistividades aumentan
un orden de magnitud, estando el valor determinado paraρ
por encima del valor medido. Creemos que hay unasobreevaluación de ρ⊥, ya que su orden de magnitud es simi-lar a ρ. Finalmente en la Fig. 8 mostramos el efecto de latemperatura sobre las resistividades, el cual en cada caso escreciente en perfecta concordancia con los resultados deLuiggi y Barreto3.
8. Conclusiones
El presente cálculo involucra una serie de conceptosfísicos discutidos a lo largo del presente trabajo que por sísólo pueden afectar el resultado final.
Todos los parámetros electrónicos son determinados pormétodos ab-initio y por supuesto la bondad del método debereflejarse en los resultados finales, siendo la función de onda
Vol. 5, No. 2, 2002 Calculo de Parámetros Electrónicos Para el Grafito Bernal 163
Tabla 1. Tabla de resistividades eléctricas paralela y perpendicu-lar para el grafito Bernal.
T Número de estados ρ|| ρ⊥(K) ocupados (Ω. cm) (Ω. cm)
de partida la responsable de todo el desarrollo posterior.Si bien la estructura de bandas electrónica calculadas
refleja la bondad del método, la superficie de Fermi, tambiénproducto del cálculo ab-initio, introduce algunos elementosque no hemos podido precisar totalmente básicamentedebido a la gran cantidad de memoria involucrada. Igual-mente podemos mantener el mismo criterio sobre las velo-cidades y densidades de estados.
El producto final del trabajo como lo es el cálculo deresistividades, determinando el efecto que la estructuracristalina tiene sobre ella, es logrado.
Varios aspectos novedosos son introducidos: el primeroes el cálculo totalmente ab-initio de la superficie de Fermi,no reportado hasta ahora en la literatura. El segundo laconsideración de forma diferente de la interacción electrón-fonón, donde cada contribución debido a las vibracionesfonónicas son consideradas.
La resistividad paralela calculada se adecua a la obtenidapor otros autores, pero no así la resistividad perpendicular,los valores correspondientes a dichas resistividades semuestran el la Tabla 1. Nos aventuramos a pensar que la
responsabilidad de este comportamiento recae sobre lostérminos cruzados de la interacción electrón-fonón, la cualinduce una mayor conectividad entre átomos de carbono dediferentes planos aumentando considerablemente laconductividad perpendicular. Evidentemente este efectopuede ser fácilmente comprobable.
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