RECENSIONES FRANKR. DRAKE, SET THEORY. An introduction to Large Cardinals. North-Holland, 1974. Las directrices actuales de la investigación en Teoría de Con- juntos pueden clasificarse respecto a su objeto en dos grandes co- rrientes: la que estudia las cuestiones de independencia y la que estudia los cardinales largos (cardinales que al menos son inaccesi- bles). En la primera, se usa, casi sin excepción, el método del "forcing" de Cohen y el de "los modelos de valores Booleanos"; en la segunda, por el contrario, se usan muy diversos métodos: méto- dos "conjuntistas" (basados solo en conceptos de la Teoría de Con- juntos), métodos "constructivistas" (basados en las ideas desarrolla- das por Godel), métodos "modelísticos" (basados en conceptos de la teoría de Modelos), métodos "algebraicos", etc.; aplicándose también actualmente el método de los modelos de valores Booleanos. El libro de Drake es una introducción a los métodos usados en el estudio de los cardinales largos con excepción del método de los modelos de valores Booleanos. La amplia gama de métodos que ana- liza el libro hace que, por una parte, no tenga una clara organización lógica de los temas y que su tratamiento no sea todo lo profundo posible; por otra parte, lo que es más valioso del libro, que reúna una serie de resultados sobre los cardinales largos que están dispersos en artículos, algunos de ellos solamente mimeografiados, ofreciendo así la primera perspectiva general de este amplio campo de inves- tigación. La idea básica que organiza un poco todo el libro es su concep- ción de los conjuntos: los conjuntos existen en cierto sentido, como objetos de estudio, semejantes a los números y forman una estructura de tipos acumulativos; es decir, cada nivel de la estructura consta de todas las colecciones cuyos miembros están en los niveles inferiores. Además, esa estructura tiene la siguiente propiedad: no puede existir un fin o límite de sus niveles... Los cardinales largos nos dirán hasta dónde puede extenderse ese límite: cardinales cuya existencia justi- fica a partir de' su concepción platónica o realista. Partiendo de esta concepción, describe sucintamente el lenguaje de predicados de primer orden en el que establece los axiomas de 14 521
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RECENSIONES
FRANKR. DRAKE,SET THEORY. An introduction to LargeCardinals. North-Holland, 1974.
Las directrices actuales de la investigación en Teoría de Con-juntos pueden clasificarse respecto a su objeto en dos grandes co-rrientes: la que estudia las cuestiones de independencia y la queestudia los cardinales largos (cardinales que al menos son inaccesi-bles). En la primera, se usa, casi sin excepción, el método del"forcing" de Cohen y el de "los modelos de valores Booleanos"; enla segunda, por el contrario, se usan muy diversos métodos: méto-dos "conjuntistas" (basados solo en conceptos de la Teoría de Con-juntos), métodos "constructivistas" (basados en las ideas desarrolla-das por Godel), métodos "modelísticos" (basados en conceptos dela teoría de Modelos), métodos "algebraicos", etc.; aplicándosetambién actualmente el método de los modelos de valores Booleanos.
El libro de Drake es una introducción a los métodos usados en
el estudio de los cardinales largos con excepción del método de losmodelos de valores Booleanos. La amplia gama de métodos que ana-liza el libro hace que, por una parte, no tenga una clara organizaciónlógica de los temas y que su tratamiento no sea todo lo profundoposible; por otra parte, lo que es más valioso del libro, que reúna unaserie de resultados sobre los cardinales largos que están dispersosen artículos, algunos de ellos solamente mimeografiados, ofreciendoasí la primera perspectiva general de este amplio campo de inves-tigación.
La idea básica que organiza un poco todo el libro es su concep-ción de los conjuntos: los conjuntos existen en cierto sentido, comoobjetos de estudio, semejantes a los números y forman una estructurade tipos acumulativos; es decir, cada nivel de la estructura consta detodas las colecciones cuyos miembros están en los niveles inferiores.Además, esa estructura tiene la siguiente propiedad: no puede existirun fin o límite de sus niveles... Los cardinales largos nos dirán hastadónde puede extenderse ese límite: cardinales cuya existencia justi-fica a partir de' su concepción platónica o realista.
Partiendo de esta concepción, describe sucintamente el lenguajede predicados de primer orden en el que establece los axiomas de
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Zermelo- Fraenkel (ZF) que justifica a partir de su concepción, defi-niendo, para hacer más intuitiva su concepción, el conjunto de todoslos conjuntos finitos hereditarios que constituyen un modelo paralos axiomas de ZF menos el Axioma del Infinito y que son losniveles finitos de la estructura de tipos acumulativos.
Después de esta introducción, nos presenta (Capítulo 2) un des-arrollo de la Teoría de ZFC (ZF más el Axioma de Elección), con lafinalidad de establecer la notación que usará, así como los teoremasque necesitará para el resto del libro. Este desarrollo de ZFC es unabreve (54 páginas) pero interesante exposición de la Teoría de Con-juntos; en ella presenta todos los temas tradicionales: la teoría delos ordinales, de los cardinales, del Axioma de Elección, de La Hipó-tesis Generalizada del Continuo y su relación con la exponenciaciónde cardinales, la teoría elemental de las Particiones (Teorema de Ram-sey), así como las definiciones de los cardinales débil y fuerte inac-cesibles, dejando para los ejercicios una serie de temas interesantes:equivalencias del Axioma de Elección, la paradoja de las clases fun-dadas, los tipos de orden, el teorema del isomorfismo de Mostowski,los números de Dedekind, etc. Otra virtud de esta exposición esseñalar a partir de qué axiomas se demuestra cada teorema, hechono muy frecuente en los libros de Teoría de Conjuntos, pero muyesclarecedor de la importancia de cada axioma.
A partir del Capítulo 3, con muy pocas excepciones, estudia ZFdesde una perspectiva "modelística", es decir, estudia los posiblesmodelos de ZF, especialmente aquellos en los que la relación depertenencia es la pertenencia real: las e -estructuras.
En una primera aproximación nos muestra cómo puede resol-verse en el caso particular de ZF una de las más importantes pre-guntas de la Teoría de Modelos: cuáles son las condiciones necesa-rias y suficientes para que unas fórmulas se conserven bajo restric-ción o extensión de estructuras, así como para que sean absolutasentre dos estructuras. La respuesta nos la da en términos de la Jerar-quía de Levy para fórmulas y términos, y de estructuras transitivas.
Para ello, nos define los conjuntos de IInQ, I:nQ y D.nQ fórmulas ytérminos, introduciéndonos así en una serie de problemas: saber que
"tal" noción es nn ZF, I:nZF, D.nZF para un n determinado; las rela-ciones entre los distintos conjuntos de fórmulas y términos; deter-minar que nociones no son I:1ZF (para demostrado introduce elprincipio de reflexión, ya de por sí interesante, al ser equivalente alAxioma de Sustitución y del Infinito y por mostrar más intuitiva-mente la relación de esos axiomas con la estructura de tipos acumu-lativos), etc.
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Una 2.a aproximación, más propia de la Teoría de Modelos apli-cada a la Teoría de Conjuntos, la hace al responder la siguientepregunta: qué condiciones tiene que cumplir el ordinal (1.para queV(1. (V(1. = U P (V~) que forman la jerarquía acumulativa de von
13<a.Neumann) sea un modelo de ZFC, mostrando que
inaccesible, VK es un modelo de ZFC, de lo cual sefuertes inaccesibles son independientes de ZFC.
La 3.a aproximación, que podríamos llamar "constructivista",es la presentación de la prueba de la consistencia del Axioma deElección y de la Hipótesis Generalizada del Continuo debida aGodel, partiendo de los conjuntos constructibles. Estudiando además,los órdenes constructibles de los subconjuntos de un cardinal; elmodelo minimal cuya existencia estableció Shepherdson en 1951; lasgeneralizaciones de los conceptos de Godel, debidas a Levy y Hajnal:la constructividad relativa a un conjunto o a un predicado extra; larelación entre la jerarquía analítica (que utiliza una generalizaciónde la jerarquía de Levy a lenguajes de orden superior) y la jerar-quía de Levy, bajo la hipótesis de V =L (V = L establece que todoslos conjuntos son constructibles). Terminando esta aproximación pre-sentando un sustituto de los conjuntos constructibles: los conjuntosdefinibles por ordinales, debida a Myhill y Scott (1971), a partirde los cuales puede demostrarse la consistencia del Axioma deElección, pero no la de la Hipótesis Generalizada del Continuo.
En la 4.a aproximación introduce las ultrapotencias, pero soloen la medida necesaria para trabajar con los cardinales medibles,pudiendo demostrar que si existe un cardinal medible entoncesV ~ L Y el primer cardinal fuerte inaccesible no es medible,siguiendo en las demostraciones a Scott. Igualmente presenta losresultados de Rowbottom relacionados con los conjuntos construc-tibles y la existencia de un cardinal medible; y la compatibilidadde la Hipótesis Generalizada del Continuo y los cardinales medibles,demostrada en 1967 por Solovay.
En la 5.a aproximación introduce el concepto de un conjuntode indiscernibles, a los cuales pone en relación con los cardina-les de partición, demostrando la incompatibilidad de V = L conla existencia de algunos cardinales de partición (los k tales quek ~ (w1)< ID), así como la existencia de un ~ 13-subconjunto detU no constructible.
La última aproximación, esta vez a la
lenguajes infinitarios, le permite definir los
si k es fuerte
deduce que los
Teoría de Modelos paracardinales débil y fuerte
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compactos al generalizar el teorema de la compacticidad del len-guaje Lw, w.
Además de este estudio, desde dentro y fuera, de ZFC, destacaen el libro una preocupación: saber cómo pueden generarse los car-dinales largos. Preocupación que se entremezcla con todos los con-ceptos anteriores.
Por ejemplo, los cardinales fuerte y débil inaccesible y de Mahlosurgen desde dentro de ZFC al intentar conseguir respectivamente uncardinal cerrado para la unión y exponenciación de cardinales, parala unión y sucesores de cardinales y para las funciones normales(funciones crecientes y continuas).
Los cardinales medibles y real-medibles, al generalizar las siguien-tes propiedades de w: tener medida bivaluada y medida real notriviales.
Los cardinales de partición, al generalizar el Teorema de Ramseyy los conceptos de particiones. Así, los cardinales k, tales quek ~ (k)2 que generalizan la propiedad de w: w ~ (W)2 (esto es elTeorema de Ramsey), teniendo, además la posibilidad de ser gene-rados a partir de la propiedad del árbol, propiedad que poseen loscardinales k tales que para cada árbol de cardinalidad k con nivelesde cardinalidad < k, existe una rama de cardinalidad k. Los cardi-nales k(ex.) tales que k ~ (ex.)<w, llamados cardinales de Erdos, ob-
tenidos al considerar la relación más fuerte, expresada en términosde particiones, que pueden tener un cardinal k con otro ex.< k (Sa-bemos que los k tales que k ~ (ex.)mno existen si m es infinito, yK ~ (ex.)<wconsidera todos los números finitos). Los cardinales deRamsey que son un caso particular de los de Erdos: cuando k esigual a a..
La familia de los cardinales indescribibles, obtenidos al considerarlos cardinales que no pueden ser descritos por un conjunto de fórmu-las o a partir de otros cardinales. (Aquí, es donde realmente aparecela importancia de la Jerarquía de Levy, pues tenemos cardinalesllPn-Y l:Pn-indescribibles.)
Otros procesos de generación de cardinales, poco detallados enla obra, son los siguientes: los procesos basados en los conceptosalgebraicos (para los débil y fuerte compactos y los medibles se usanindirectamente en varios teoremas) o de Teoría de la Medida (paralos medibles y supercompactos).
Para terminar, diré que muchos de los teoremas del libro intentanponer orden entre esos cardinales largos: demostrar cuáles son ma-yores, iguales. Para ilustrar lo cual, cerraremos la recensión igualque Drake termina su libro, con el siguiente cuadro (cuadro que heabreviado) :
