Recherche Operationnelle Elements Cours DS

8/10/2019 Recherche Operationnelle Elements Cours DS

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Facult Ordinateurs, Informatique et Microlectronique

Filire Francophone Informatique

Vasi le MORARU

Recherche

oprationnelle

Elments de cours

Chiinu

U.T.M.2012

UNIVERSITE

TECHNIQUE

DE MOLDOVA

AGENCE

UNIVERSITAIRE

DE LA

FRANCOPHONIE

ally signed byary TUMson: I attest to theracy and integrityis document


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2

n lucrare este tratatmetoda simplex n vederea utilizriiacesteia n determinarea soluiilor optime a problemelor deprogramare liniar, de programare n numere ntregi, deprogramare liniar-fracionar. Se prezint problema de transport ise abordeaz dualitatea n programarea liniar.

Lucrarea reprezint o iniiere n cursul de Cercetrioperaionale, coninnd exemple i exerciii care s facilitezestudiul individual i este destinat studenilor din anul doi de laFacultatea Calculatoare, Informatic i Microelectronic,Filiera francofonInformatica.

Autor: conf. univ., dr. Vasile Moraru

Responsabil pentru ediie: conf. univ. Liviu Carcea

Recenzeni: conf.univ., dr. Mihail Perebinoslector superior Daniela Istrati

U.T.M., 2012


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Avant- Propos

Dans lindustrie, le commerce, ladministration,

lconomie, la chimie, lnergie, le transport, les rseaux, danspresque tous les domaines de lactivit humaine apparaissent des

problmes qui conduisent au choix une situation donne et ce

choix doit tre fait dune telle manire quil soit assure la

ralisation dun but bien dtermin. Les problmes de ce type sont

nomms problmes de dcision. Un rle important dans lesproblmes de dcision le joue les problmes doptimisation qui

consistent dans le calcul du maximum ou du minimum dune

fonction donne de plusieurs variables lies entre elles par dune

dentre toutes les possibilits daction dans des diffrentes

relations. Un cas particulier des problmes doptimisation est laprogrammation linairequi inclue un systme dquations et (ou)

inquations linaires, nommes restrictions du problme, aussi

quune fonction linaire qui reprsente le but dsir, le but dsir

par la valeur maximale ou minimale de celle-ci.

Le problme de programmation linaire a t formulpourla premire fois en 1939 par Kantorovitch L.V. En 1947 Dantzig

George a labor la mthode simplex de rsolution des problmes

de programmation linaire. La mthode simplex consiste dans le

parcours des sommets du polydre des solutions admissibles, en


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4

sapprochant de la solution optimale, jusquau moment de sa

atteinte dans un des sommets dupolydre.

Dans louvrage on tudie la mthode simplex pour son

utilisation pour la dtermination des solutions optimales des

problmes de programmation linaire, de programmation des

nombres entiers, de programmation linaire fractionnaire. On

prsente le problme de transport et on aborde la dualit dans la

programmation linaire. On discute la sensibilit de la solution et

on indique les possibilits dutilisation du produit informatique

QM pour la rsolution des problmes laide de lordinateur.

Les mthodes doptimisation linaire sont inclues dans les

programmes denseignement universitaire comme objet spar ou

les compartiments des cours de Recherche Oprationnelle ou de

Programmation Mathmatique. Les cours respectives sont lues

aux tudiants des institutions denseignement suprieur avec un

profil technique et conomique. Cest eux que cet ouvrage est

adress aussi comme aux autres hommes qui veulent sinitier dans

loptimisation linaire.


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Liste des notations

R lensemble de nombres rels.

nR lespace linaire ndimensionnel.

kx suite des vecteurs: kx .

x* la solution du problme: nRx* .

||x|| la norme du vecteur nRx . Un indice peutprciserla nature de cette norme.

TA la transpose de la matriceA.

1A linverse de la matriceA.

I la matrice unit.

yx, le produit scalaire des vecteursn

Ryx,

Px lensemble des lmentsxavec la propritP.

xf le gradient de la fonctionf(x).

xf2 la matrice Hesse de la fonctionf(x).

x .0si0 xx

x


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6

1. NOTIONS CONCERNANT LES

ENSEMBLES ET LES FONCTIONS

CONVEXES

1.1. Ensembles convexes

Un ensemble M, M Rn, est appel ensemble convexe si

pour tous deux points Mxx 21, , appartenant cet ensemble, le

segment de droite qui les unit appartient de mme cet ensemble.Autrement dit, pour tout Mxx 21, a lieu

Mxxz 21 1

pour tout rel, 10 (fig.1.1).

En particulier, lensemble vide, lensemble form dun seullment et tout lespace n dimensionnel Rn, sont des ensemblesconvexes. Dans la fig. 1.2 sont donns des exemples densembles

2R qui ne sont pas convexes.On constate facilement que lintersection dune famille

densembles convexes est un ensemble convexe.Soit RbaRxa n ,0,, . Lensemble

x1

5x( )

M

MM

Fig. 1.1.Ensemble convexe Fig. 1.2. Exemples densemblesqui ne sont pas convexes


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7

n

i

ii

T bxaxbxax1

forme un hyperplandeRn.

Les demi-espacesdterminspar lhyperplan sont,bxaxS T

.bxaxS T

Evidemment, SS . Les ensembles S, et S sont

convexes.

SoitA une matrice de dimensions nm , nRx et mRb .

Lensemblen

j

ijij mibxaxbAxxT1

,2,1,

est appel tronon. Le tronon reprsente lintersection dunnombre fini de demi espaces

,,,2,11

mibxaxSn

j

ijiji

et, donc, est un ensemble convexe.

Un tronon born est appelpolydre convexeoupolytope.Unpolydre planaire est un polygone.

La combinaison linaire des lments miRx ni ,,2,1,

de formem

mxxx

2

2

1

1 o ,0i

mi ,,2,1 et 121 m

sappelle combinaison

convexedes lments mxxx ,,, 21 .Thorme1.1. Un ensemble convexe contient toute

combinaison convexe construite de ses lments.Dmonstration (par induction). Soit M un ensemble

convexe,nRM . Il en rsulte que toute combinaison convexe,

construite de deux lments de Mappartient M. Supposons que

Mcontient toute combinaison de maximum 3,1 mm ,lmentsde M. Considrons la combinaison convexe


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8

m

mxxxz 2

2

1

1, miMxi ,,2,1, telle que

121 m . Evidemment, au moins pur un des indices

1: ii . On peut considrer que 11 . Alors

m

mxxxy 3

3

2

2, o miii ,3,2,

1 1, est une

combinaison convexe des lments mxxx ,...,32 , car i 0 et

132 m . Conformment lhypothse inductive que

My . Comme yxz 11

1 1 et M est un ensemble

convexe, il rsulte quez M,fait qui dmontre le thorme.Soit nRM un ensemble non vide et convexe. On dit que

x Mest un point dextremum de lensembleMsil nexiste aucunzyMzy ,1,0,, tels que:

zyx 1 .

Autrement dit, le point dextremum x ne peut pas appartenir lintervalle (y,z)pour tous Mzy, .

Nous montrons ici deux exemples de points dextremumdes ensembles convexes en

2R . On note par E lensemble despoints dextremum de lensembleM.

1. 1,12

2

2

1

2

2

2

1 xxxExxxM .

2. ,00,5,42 212121 , xxxxxxxM

TTTTE 2,3,0,2,5,0,0,0 .

Dans la fig.1.3 sont prsents ces deux ensembles pourlesquels est videnti lensemble des points dextremumE.

Un hyperplan ou un demi-espace na pas de pointsdextremum.

Un ensemble ferm et born en nR sappelle compacte.Tout ensemble convexe compact en

nR possde des pointsdextremum. Si M est un ensemble convexe compacte en nR et un nombre fini de points dextremum, alors tout lment de


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9

lensembleMpeut tre exprim comme une combinaison convexede ses points dextremum.

Soit le trononbAxxT ,

o nRx , Aest une matrice de dimension mRbnmnm ,, .

Notons par A une sous matrice dordre nn de A. Supposons

que 0det A . En ce cas, le systme dquations bxA , o b contient des lments de b, aprs une ventuelle rmunration,

admet une solution unique x . Si Tx alorsx sappellesommetdu trononT.

On vrifie immdiatement que le tronon T a au plus!!/! nmnmCnm sommets, qui sont ses points dextremum.

Exemple:Soit le tronon Tdfini par:

x2

x1

2

x2

x1

5

0

2

3

0

Fig. 1.3 Puncte extreme


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10

.0

0

5

,42

2

1

21

21

-x

, -x

,xx

xx

o 2,4 nm . On aura les sommets (voir fig.1.3)

0

2 x,

2

3 x,

5

0 x,

0

04321x

.0 x,42x

,5x,42x

0,,5x

,0,0

2

21

21

21

1

21

2

1 xxx

xx

xx

1.2. Fonctions convexes

Soit M un ensemble convexe dansnR . La fonction f(x)

dfinie sur lensembleMsappellefonction convexesi :yfxfyxf 11 (1.1)

pour toutx,y M et tout 1,0 .Si lingalit (1) est stricte pour

toutx,y M, x y et tout 1,0 , alors on dit que la fonction f(x)

est une fonctionstrictement convexe.

La fonction f(x)est appele concave(strictement concave)si la fonction -f(x)est convexe (strictement convexe).

Sil existe R, 0, tel que pour tout x,y M et tout1,0 ,a lieu lingalit2

2111 yxyfxfyxf , (1.2)

on dit que la fonctionf(x)estfortement convexe, c..d. la fonction2

22xxf est convexe.

On constate que toute fonction fortement convexe est une

fonction strictement convexe.


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11

Exemple 1. La fonction ,,2

2Rxxxxxf n , est

une fonction trs convexe. Pour cette fonction lingalit (1.2) setransforme en galit avec la constante 1:

2

2

2

2

2

2

2

2111 yxyxyx

pour toutx,ynR et tout 1,0 .

Exemple 2. Toute fonction linaire nRcxxcxf ,,, est une fonction convexe et en mme temps une fonction concave,parce que

).()1()())1(( yfxfyxf

Soit la fonction f(x), nRx , qui admet les drivespartielles

ix

xf )(, .,1,2,,,

2

njixx

xf

ji

Le vecteur, les lments duquel sont les drives partiellessappellegradientde la fonction xf . On le note pargrad f(x) ou

xf ,ou xf : T

nx

xf

x

xf

x

xfxf ,,,

21

La matrice de dimensions nn

2

2

2

2

1

2

12

2

2

2

2

12

2

1

2

21

2

2

1

2

2

.................................................

nnn

n

x

xf

xx

xf

xx

xf

xx

xf

x

xf

xx

xf

xx

xf

xx

xf

x

xf

xf


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12

sappelle la matrice Hesse de la fonction xf ou la matrice

hessienne. Elle est note aussi parH(x)ouf (x).Dans le cours danalyse mathmatique on dmontre que si

la fonctionf(x)a les drives partielles du premier ordre continuessur

nR , alors

yyxfxfyxf , . (1.3)

Si f(x) admet des drives partielles du deuxime ordrecontinues sur

nR , alors

22,

2

1, yyyxfyxfxfyxf . (1.4)

Thorme 1.2. Soit f(x) une fonction qui admet des

drives partielles du premier ordre continues sur nR . La fonctionf(x)est convexe si

nRyxyxfxfyxf ,,, .

La fonctionf(x)est strictement convexe si et seulement si

0,,,, yRyxyxfxfyxf n .

La fonctionf(x)est trs convexe si et seulement sinRyxyyxfxfyxf ,,

2,

2

2.

Autrement dit, le graphe de la fonction convexe

(strictement convexe) est situplus haut (strictement au-dessus) delhyperplan tangent. Pour les fonctions trs connexes le graphe estsituplus haut dun certain parabolode (fig. 1.5)

2

2

0si0,

0si,

xxfexfx

xx

xfn

a) b) c)

Fig.1.5. Types de convexit: a) fonction convexe;b) fonction strictement convexe; c) fonctionfortement convexe.

Thorme 1.3.Si la fonctionf(x), x Rn,admet des drives

partielles du deuxime ordre continues sur nR , la fonctionf(x)est


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13

convexe si et seulement si la matrice Hesse xf2 ) est positive

semidfinie pour tout nRx , c..d.nRyxyyxf ,,0,2 .

Une condition ncessaire et suffisante pour que la fonction f(x)soitfortement convexe est: existent 0, mRm n , tels que

nRyxymyyxf ,,,22

. (1.5)

Exemple 3.Soit 2Rx et la fonction:

385 21212

1 xxxxxxf .

On a:

01-

1-2,

8-

52 2

1

21xf

x

xxxf .

La matrice Hesse la matrice Hesse2f(x)est positive semidfinie

et, donc, on peut affirmer que la fonction considre est convexe.Observons que la fonction de lexemple prcdent peut tre

crite de la manire suivante:

38-,521-

1-2,2

1

2

1

2

1

21x

x

x

xxxxf

ou

cxbxAxcxbAxxxf TT ,,2

1

2

1,

o xfA 2 , Tb 8,5 et 3c .De mme, on remarque que

la somme des vecteursAx et breprsente le gradient xf .

SoitAune matrice de dimensions nRbnn , etc R. La

fonction xAxx ,2

1est appele forme quadratique sur Rn. La

fonction

cxbxAxxf ,,2

1 (1.6)

sappelle fonction quadratique. On vrifie immdiatement que


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14

nRx,yyAyybAxxfyxf ,,

2

1, . (1.7)

Vue que2

22, yAyAy , on a

2,

2

1yyAy . Par

consquent, on peut crireyybAxxfyxf ,

et, conformment (1.3), le gradient de la fonction quadratiqueest:

bAxxf .

Maintenant de (1.4) et (1.7) rsulte que la matrice Hesse2f(x)dune fonction quadratique (1.6) est constante et identique

la matriceA.Les fonctions quadratiques jouent un rle important dans

les problmes doptimisation. Cela est expliqu par le faitquautour des points de minimum les fonctions ont uncomportement quadratique. De plus, le dveloppement dunefonction jusqu lapproximation du deuxime ordre donne une

fonction quadratique.En ce qui suit nous montrerons que si la matrice A est

positivement dfinie, alors la fonction quadratique (1.6) est trsconvexe. Soit 0,xAx pour 0,xRx

n.

Notons par

1, zRzzS n .

Lensemble S est ferm et born. Vue que la orme quadratique

zAzzg ,21 est continue, existe z* S tel que g(z*) g(z)pour

tout z S. Ayant lhypothse que la matrice A est positivementdfinie, on a:

0**,2

1* zAzzg .

Evidemment, pour toutn

,0 Rxx , il rsulte que Sx

xz et


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15

22

2

,2

1x,

2,

2

1xzAzx

xx

xA

xxAx ,

ce qui montre que la matrice Hesse Axf

2

satisfait lingalit(1.5)avecm=2 0.Il faut souligner que si la matrice Hesse est positivement

dfinie:0,,0,

2 yRx,yyyxf n , (1.8)

on peut seulement affirmer que la fonction f(x) est strictementconvexe (mais non trs convexe). Autrement dit, les relations (1.5)et (1.8) ne sont pas quivalentes dans le cas des fonctions nonquadratiques. De plus, la condition (1.8) est seulement une

condition suffisante pour une fonction quelconque (non

quadratique) quelle soit strictement convexe.Exemple 4. Considrons dans lespace bidimensionnel

2R la fonction strictement convexe (vrifiez cette affirmation!)dfinie par:

4

2

4

1 xxxf .

On a :

2

2

2

12

12x0

012xxf

La matrice Hesse xf2 ne satisfait pas la condition (1.8) dans

le cas o Tx 0,0 .


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2. LA PROGRAMMATION LINEAIRE

2.1. Problme gnral de programmation linaire

Un problme gnral de programmation linaire consiste dterminer les rels nxxx ,,, 21 qui maximisent (ou minimisent)

une fonction linaire

nnxcxcxcf 2211

et qui vrifie les ingalits et les galits linaires:

,

K, kx

bxa...xaxa

.....................................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

k

snsnss

rn,nr,r,r

rnrnrr

nn

nn

0

,

,

,

2211

11222111

2211

22222121

11212111

o njsibac iijj ,,2,1,,,2,1,,, sont des rels donns; K est

un ensemble dindices de lensemble n,,2,1 En utilisant les notations matricielles:

,

x

x

x

, x

b

b

b

, b

... a aa

.........................

... a aa

... a aa

A

nrrnrr

n

n

2

1

2

1

21

22221

11211


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17

,

c

c

c

, c

b

b

b

b,

a ...aa

...................................

... a aa

... a aa

A

ns

r

r

s,ns,s

,nr,r,r

,nr,r,r

2

1

2

1

21

22212

12111

le problme gnral de programmation linaire peut tre crit de laforme :

K., kx

,bxA

b,Ax

)((c,x)f(x)

k 0

minmax

Faisons la notation:

.K, k, xbxAb,AxRxT kn

0

Lensemble T est appel domaine des solutions admissibles duproblme. Le domaine des solutions admissibles est un ensemble

convexe (voir 1.1). Les conditions 0, xbxAb,Ax k

sont appeles restrictions ou contraintes du problme deprogrammation linaire. Les coefficients

ija et les termes libres bi

sont des valeurs constantes donnes.La fonction f(x) qui est maximise (ou minimise) est

appele fonction objectif, ou fonction critre, ou fonction but, oufonction defficacit.

Une solution admissible Tx* pour laquelle

T, xf(x),f(x*) dans le cas du problme de maximum,ou T, xf(x),f(x*) dans le cas du problme deminimum, sappelle solution optimale du problme deprogrammation linaire.


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2.2.Exemples de problmes de programmation linaire

2.2.1. Problme du menu optimalSupposons quon dispose de nproduits alimentaires (pain,

fromage, sucre, etc.) qui contiennent m substances nutritives(vitamines, protines, etc.). Le problme du menu consiste dterminer les quantits de chaque produit qui doivent treutilises, de la faon que certaines demandes en substancesnutritives soient satisfaites et que le ncessaire biologique soitassur un cot minimal.

Soit une unit du produit alimentaire icontienne aijunits

de substance nutritive j. Supposons que le ncessaire delorganisme en substances nutritives jest bjet le cot dune unitdu produit alimentaire iest ci. Pour formuler mathmatiquement leproblme, notons par xi le nombre dunits de produitsalimentaires iqui seront utilises. Le problme du menu sera critsous la forme:

min2211 xc...xcxcf(x) nn

avec les contraintes

,

.x, ....,, xx

bxa...xaxa

............................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

n

mnmnmm

nn

nn

00021

2211

22222121

11212111

La fonction linaire

n

i

iixcxf1

)( reprsente le cot total

du menu, le minimum duquel est cherch. Les contraintes duproblme expriment les conditions dassurance des ncessits delorganisme en substances nutritives. Evidemment, les variablesxi,i = 1,2,, n,ont une certaine signification pour le problme dumenu seulement si elles sont non ngatives.


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On peut analyser et dautres critres, comme, par exemple,la maximisation de la quantit totale de calories ou la minimisationdu volume des produits alimentaires.

Le problme du menu est un cas particulier dun problmedu mlange. Tout problme dans lequel on dsire que des quantitsxi, i = 1,2, , ndes produits avec certaines proprits soit faite unecombinaison qui contienne certains lments j, j=1,2,en quantitsbj, si on connat les quantits aijdes lmentsjcontenus dans uneunit de xi, avec une dpense minimale, sappelle problme dumlange (voir [3]).

2.2.2. Problme de lutilisation optimale des ressourcesdisponibles

Dans une entreprise on fait n types de produits notsP1, P2,, Pn qui ncessitent m types de ressources de matire premireR1, R2, , Rm, ayant la disposition biunits de miRi ,,2,1, .

Pour une unit de produit Pi sont utilises aij units de Rj dematire premire. On connat encore que chaque unit de produit

Pi apporte un bnfice gal ci lei. On demande de dterminercombien dunits de chaque produit sont ncessaires pour obtenirun bnfice maximal. Autrement dit, dterminer un plan de

production optimal, c..d. un vecteur nRx tel quemax2211 xc...xcxcf(x) nn

dans les contraintes suivantes:

,

00021

2211

22222121

11212111

.x, ....,, xx

bxa...xaxa

.............................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

n

mnmnmm

nn

nn

Ici nxxx ,, 21 reprsente respectivement la quantit dunits de

P1, P2, , Pnfabriquespar lentreprise.


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20

2.2.3. Problme du transportConsidrons un certain produit qui est estoquen m centres

de dpt mAAA ,,, 21 en quantits maaa ,,, 21 . Ce produit doit

tre transport ncentres de distribution nBBB ,,, 21 en quantitsnbbb ,,, 21 . On connat le cot du transport dune unit de produit

du centreAiau centreBi. On suppose quen

nj

i

m

i

i ba1

,

c..d. la rserve totale des dpts est gale la demande totale descentres de distribution. On demande de concevoir un plan optimal

de transport (de dterminer les quantits xijde produit transportesde Ai Bj) tel que le cot total du transport soit minimum(minimal).

Le cot du transport du centreAiau centreBiest cijxijunitsfinancires. Le cot total des transports sera:

m

i

n

jijijmnmnmmmm

nnnn

xcxcxcxc

xcxcxcxcxcxcf

1 12211

22222221211112121111

....

.........

Les rcontraints de ce problme scrivent comme il suit:a)

La quantit transporte du dptAivers les ncentres dedistribution doit tre gale avec le disponible deAi, c..d.

;,...,2,1,...21 miaxxx iinii

b) la quantit transporte dans le centre de distribution Bide

tous les centres de dpt est gale avec la quantit deproduit bjncessaire:

;,...,2,1,...21 njbxxx jmjjj

c) les quantitsxijdoivent tre des grandeurs non ngatives.

La formulation mathmatique du problme de transport peuttre reprsente de la manire:

Dterminer la valeur minimum(minimale ou du minimum) dela fonction:


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21

m

i

n

j

ijijxcf1 1

.

dans les contraintes:

.,...,2,1,,...,2,1,0

,,...,2,1,

,,...,2,1,

1

1

njmix

njbx

miax

ij

n

j

jij

n

j

iij

Dans le modle ci-dessus du problme de transport on a suppos

que la conditionn

nj

i

m

i

i ba1

est satisfaite. Cette condition

sappelle condition dquilibre. Dans le cas o la conditiondquilibre nest pas ralise, le problme sappelle problme nonquilibr, qui, en introduisant un centre fictif, peut tre rduit unproblme de transport quilibr.

2.3. Forme dun problme de programmation linaire

On dit que le problme de programmation linaire a laformestandardsilest de la forme:

max),()( xcxf ,

avec les contraintes:

.0

,

xbAx

o: mnnn RbRxRcRx ,,, , A matrice de dimensions

nmArangnm , . Donc, dans le problme deprogrammation linaire en forme standard le systme descontraintes est un systme dgalits et toutes les inconnues sontimposes les conditions de non ngativit.


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22

Tout problme de programmation linaire peut tre rduit la forme standard. Il est vident que:

xfxfTxTx

maxmin .

En consquence, le problme de minimum se rduit au problmede maximum.

Si 0, xbAx , on peut crire:

,0,0

,

yx

byAx

o Tmyyyy ,,, 21 .

Si0, xbAx

, alors

.0,0

,

yx

byAx

Les variables myyy ,,, 21 sappellent variables de compensation

ou variables cart. Il faut mentionner que les variables de

compensation napparaissent pas dans la fonction objective.Si au moins pour une des variables xi il nest pas pose la

condition de non-ngaivit, alors on peut la remplacer dans leproblme considr par iii vux , o ui et visont deux variables

nouvelles, telles que 0,0 ii vu .

Exemple.Soit le problme de programmation linairemin2)( 321 xxxxf


.0,0

,13

,82

21

321

321

xx

xxx

xxx

Transformons ce problme la forme standard.1.

La minimisation de la fonctionfest quivalente samaximisation

321 2)()( xxxxfxg .

2.

Substituons 543 xxx , o 0,0 54 xx .


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23

3. Introduisons les variables de compensation 06x et

07

x pour transformer les contraintes - inquations en

contraintes - quations:

.0,0

,13

,82

76

7321

6321

xx

xxxx

xxxx

Donc, le problme considr se rduit au problme suivantde programmation linaire la forme standard:

max2)( 5421 xxxxxg


.,,,,,, ix

,xxxxx

,xxxxx

i 7654210

13

82

75421

65421

Une autre forme de prsentation des problmes deprogrammation linaire est la forme canonique. Si toutes lescontraintes sont des ingalits de mme sens et toutes lesinconnues sont non-ngatives, alors on dit que le problme deprogrammation linaire a laforme canonique:

)(ouxcxf minmax),()(


.0

,0ou

,0

,

x

Ax

x

bAx

Il faut souligner que si le sens de lingalit est , lafonction objectif se maximise et pur la fonction objectif seminimise.

Observons que toute contrainte de la forme:

iinii baaxa ...211

est quivalente un systme de deux restrictions:

.

...

,...

211

211

iinii

iinii

baaxa

baaxa


24/115

24

Constaterons que tout problme de programmationlinaire peut tre rduit soit la forme standard, soit la forme

canonique.

2.4. Interprtation gomtrique des problmes deprogrammation linaire deux variables

Considrons le problme de programmation linaire laforme canonique dans lespace bidimensionnel avec la fonctionobjectif

2211 xcxcf et le systme des contraintes:

Dessinons dans le systme cartsien de coordonnes 21Oxx lesdroites di, les quations desquelles sont:

.,...,2,1,2211 mibxaxa iii

Notons par T le domaine du plan pour lequel sont satisfaites les

restrictions du problme considr de programmation linaire.Supposons que ce domaine est le polygone ABCDEF (voir fig.

2.1). Selon 1.1, Test un polygone convexe (tronon).Pour rsoudre le problme de programmation linaire, il

faut chercher les pointsM(x1, x2),appartenant lensemble T, pour

lesquels la fonction objectif 2211 xcxcf prend la valeurmaximale.

Reprsentons la droite d0 dquation 02211 xcxc . Cettedroite passe par lorigine est perpendiculaire au

vecteurT

ccn 21, . Le vecteur n est orient dans le sens croissantdes valeurs de la fonction f. Soit v une valeur arbitraire de la

fonction objectif 2211 xcxcf . Alors lquation

vxcxc 2211

.0,0

.............................

,

,

21

,2211

2222121

1212111

xx

bxaxa

bxaxa

bxaxa

mmm


25/115

25

reprsente une famille de droites parallles la droite d0; quand lagrandeur vvarie dans lintervalle , la droite vxcxc 2211 se dplace, restant perpendiculaire au vecteur n.

Vu que 21,xxM doit appartenir lensemble T, il rsulte

que le maximum de la fonction2211

xcxcf satteint dans le

sommetEdu T. En fait, le vecteur nmontre la direction o il fautdplacer la droite d, pour augmenter la valeur de la fonction

objectif, parce que la fonction linaire 2211 xcxcf est croissantedans la direction de n. Alors la valeur maximale sobtient pour lescoordonnes du point E qui se trouvent lintersection des droites

2d et 3d (voir la fig. 2.1).

Sur la fig.2.1 on voit que le minimum de la fonction

objectif satteint dans le sommetBdu polygone T. Si la droite 0d

nest pas parallle avec aucune des cots du polygone des

solutions admissibles, alors il nexiste quune seule solutionoptimale.

E

x

n

x

A

F

D

O C

dm

do

x

x

O

n

Fig. 2.1Fig. 2.2


26/115

26

Dans le cas quand une des cots du polygone des solutionsadmissibles est parallle la droite 0d , alors le problme admet

une infinit de solutions optimales qui seront reprsentes par les

coordonnes de tous les points de cette cot.Une autre situation, qui peut apparatre dans le problme deprogrammation linaire, est quand la fonction objectif na pas demaximum (ou minimum) finit (voir la fig. 2.2). Cela se passe

quand le tronon Tnest pas born.Exemple:Dterminer les valeurs de 1x et 2x telles que la

fonction21 xxf soit maximale dans les conditions :

.0,0

,3

,93

,2,42

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xxxx

Pour a reprsentons graphiquement les droites:

.0:

,3:

,93:

,2:

,42:

210

24

213

212

211

xxd

xd

xxd

xxd

xxd

d1

d4

x2

x1

n

d0

o

d3

d2

A

B C

D

Fig .2.3


27/115

27

On obtient le polygone convexe ABCD. En donnant ladroite 0d dquation 021 xx un dplacement parallle avec

elle-mme dans la direction n on obtient que les coordonnes de

point C ralisent le maximum de la fonction linaire 21 xxf .On dtermine les coordonnes de ce point lintersection desdroites 3d et 4d :

.3

,93

2

21

x

xx

On a 3,2 *2*

1xx et 532maxf .

Il rsulte que la solution optimale dun problme deprogrammation linaire deux variables satteint dans un dessommets du tronon T. Ces sommets, vu dans 1.1, ne sont que lespoints extrmes de lensemble T. Ce phnomne est gnral:nimporte quelle solution optimale dun problme deprogrammation linaire avec un nombre quelconque de variableset de restrictions correspond un point extrme du tronon dessolutions admissibles.

III. Mthode du Simplexe

De faon comme on a constat dans le chapitre II, leproblme de programmation linaire, revient la dterminaisondes extrmes (sommeils) du polydre convexe et le choix dessommeils pour lesquels la fonction objectif prend une valeur

optimale.La mthode du simplexe a t labore en 1949 de B. G.Dantzing et consiste en parcours des sommeils du polydreconvexe de telle faon que la fonction objectif de chaque foisprend la meilleure valeur dans le sens optimal que dans le sommeilantrieur. Quand lamlioration optimale de la fonction nest paspossible, on obtient une solution optimale. La mthode dusimplexe peut tre prsente sous diverses formes (voir, parexemple [1,2,3,5,6,9,11]). Dans tout les cas la mthode dusimplexe se dcompose en tapes suivantes:


28/115

28

- on dtermine la solution initiale de base;- par une procdure itrative on remplace la solution

initiale de base, jusqu ce quon arrive la situationquand la valeur de la fonction objectif ne croit pas ou laconclusion que le problme nadmet pas un optimumfinit.

La description de la mthode simplexe [9] est donne encontinuation. On considre le problme de programmation linairedonne sous forme standard:

,0

,

max),(

x

bAx

xcf

(3.1)

o ,),,,(,),,,(,),,,( 212121T

n

T

n

T

n bbbbxxxxcccc et A

est une matrice de dimensionne nm avec nm . Supposons queles lignes de la matrice A sont indpendantes linaires, donc

mArang )( .

3.1. Solution admissible de base

Notons avecBla sous-matrice de la matriceAconstitu dem colonnes de faon que B soit une matrice non singulire

)0(detB dordre mm et avec N la sous-matrice dordre)( mnm qui contienne les colonnes restes de A. Donc nous

avons la dcomposition:

NBA La matriceBsappelle matrice basique, etN- matrice non basique.

De mme faon on spare les vecteurs cetx:

N

B

N

B

c

xx

c

cc ,

oBc et Bx sont composs de tels m composants qui dterminent

la dcomposition de la matrice A. Alors le systme bAx devient :


29/115

29

bNxBx NB

Ce systme peut tre crit sous la forme

NB NxbBx

ou.

11

NB NxBbBx (3.2)

Les composantes du vecteur Bx sappellent variables

basiques(ou de base) mais les composantes du vecteur Nx tant

appeles variables non basiques.On dit quun systme des quations de la forme (3.2) est un

systme sous la forme explicite.La solution de ce systme donnepar

0

1

N

B

x

bBx

sappellesolution de basedu systme .bAx Si 0

1bB alors la solution de base vrifie les conditionsde non-ngativit :

0)0(

)0(

N

B

x

xx

et sappelle solution de base admissible du problme deprogrammation linaire (3.1).

Une solution de base admissible pour le problme (1)sappelle non dgnre, si le nombre des ses composantes non

nulles est gal avec le nombre des quations du systme bAx ,cest--dire 01bB .On dmontre (vois, par exemple, [2,3]) que la solution de

base admissible nest quun point extrme de lensemble

0,, xbAxRxxT n

et rciproquement.


30/115

30

3.2. Critre doptimalisation

Soit Bune matrice basique et respectivementT

N

T

B

T

ccc .Alors la fonction objectif ),( xcf devient

.)()(1111

N

T

N

T

B

T

BN

T

NN

T

B

N

T

NB

T

B

N

BT

N

T

B

T

xcNBcbBcxcNxBbBc

xcxcx

xccxcf

Le problme de programmation linaire (1) peut tre crit sous la

forme

.0,0

,

max),)((),(11

11

BN

NN

NNB

TT

B

xx

NxBbBx

xccBNbBcf

(3.1)

Cette forme sappelle forme explicite du problme deprogrammation linaire (3.1).

Notons bB1

et .)(1

B

T

cB Alors la forme explicite peut tre crite en mode suivant

.0,0

,

max),(),(1

BN

NN

NN

T

B

xx

NxBx

xcNcf

Le vecteurN

T cN reprsente le critre

doptimalisation, parce quil nous dit si la solution de baseadmissible est une solution optimale de la programmation linaire(1).

Soit zj, (cN)jet (xN)j, j=1,2, . . .,n-m,les composantes des

vecteursTNz et respectivement xN . On constate que si

0)( jNjj cz , j=1,2, . . . ,n-m, le maximum de la fonction

objectif


31/115

31

mnNmnNNB xxxcf )()()(),( 2211

satteint pour 0Nx . Pour nimporte quelle autre solution

admissible x au moins une composante 0)( jNx et au passage

dune solution admissible de base lautre valeur de la fonctionobjectif devient plus petite.

Cest--dire, si nous avons une solution de base admissible pourlaquelle

,,,2,1,0 mnjj

alors elle est une solution optimale.

Noterons par ,,,2,1, mnjaj la colonne qui lui

correspond de la matriceN.On observe que ).,( jT

jj aaz Sil

existe j tel que 0j et le vecteur jj aB1 a toutes les

composantes plus petites ou gales zro 0)(( ij pour

),,2,1 mj alors la fonction objectif f nest pas bornesuprieur dans lensemble des solutions admissibles. Vraiment, onvrifie immdiatement que pour tout 0, tTt , le vecteur

N

B

x

xx

dfini par,,,2,1,,0)(,)(, mijixtxtx iNjNjB

est de mme une solution admissible du problme deprogrammation linaire considr. En choisissant un tsuffisamment grand, on constate que le problme a des solutionsadmissibles non bornes ( 0, xbxA pour nimporte quel

0t et x si t ), donc nadmetun maximum finit:

jB tcxcf ),(),( pour t .

Il est possible aussi et le cas suivant. Parmi les

composantes du vecteur jj aB1

(correspondant la

diffrence 0j ) sont des grandeurs positives. Soit 0s


32/115

32

et 0)( is , o i est un nombre naturel, gal lun des nombres

1,2, . . ., m. En ce cas sNx )( il ne peut pas prendre des valeurs

arbitraires, parce que pour si nous avons 0)( iNx et

sNsB xx )( mais sNsB xcf )(),( .

De la condition dadmissibilit 0Bx rsulte

ixis

isN ,

)()(

En choisissant

ks

k

is

i

ai

sN

s

x

)()(

min)(

0)(

(3.4)

nous obtiendrons une autre solution admissible avec

0)(

)(,0)(ks

ksNsB xx

On peut dmontrer (vois, par exemple, [2,3]) que cette solutiondistingue une solution de base admissible qui correspond unenouvelle matrice basiqueB . La matrice B sobtient de la matriceprcdente B par le remplacement de sa colonne k par levecteur sa . Pour la solution admissible de base obtenue, la valeur

de la fonction objectif devient plus grande que la valeur dans la

solution prcdente.Cette opration de passage dune solution admissible de

base lautre sappelle pivotation ou itration simplexe, etllment 0)( ks sappelle pivot. A cette tape sexclue la

variable sBx )( de l ensemble des variables de base, en

introduisant au lieu delle la variable sNx )( . En ayant une nouvelle

matrice basiqueB , nous obtenons une autre forme explicite du

systme :bAx

NB xNBbBx11

)()( .

Le choix (4) nous assure que la solution de base


33/115

33

0

)(1bB

x

xx

N

B (3.5)

est une solution de base admissible, cest--dire 0)( 1bB .Par consquent,sont possibles les cas suivants:

1. Si ,,,2,1,0 mnjj alors la solution de base

admissible donne par 0, NB xx est une solution

optimale du problme (3.3).2.

Sil existe un indice jtant que 0j et tous les lments

de la colonne de jj aB1 sont plus petits ou gaux

zro, alors le problme de programmation linaire (3.3)nadmetun maximum finit.

3.

Sil existe au moins un s pour lequel 0s et les

vecteurs s ont les composantes positives, on va

dterminer une nouvelle solution admissible de base laide de la formule (3.5).

3.3. Algor i thme du simplexe

En base de celles dmontres ci-dessus, dans section 3.2,lorganisation des calcules peut tre faite par des diffrentesfaons. Ainsi on obtient des diverses variantes de la mthode dusimplexe. Nous allons nous arrter sur lune delle [9]. Cette

variante de lalgorithme du simplexe, dcrit plus haut, sutilisedans la majorit des programmes spciaux pour la rsolution desproblmes de programmation linaire laide des moyennestechniques de calcul. En pratique les problmes avec un caractreconcret ont un nombre, en gnral, suffisamment grand desvariables et des restrictions et peuvent tre rsolues seulement laide des machines de calcul.


34/115

34

Soit un problme de programmation linaire sous la formeexplicite (3.3), ainsi on connat une matrice basique B tel que levecteur

0

1

bBx

est une solution de base admissible duproblmede programmationlinaire donne. Alors les pas de lalgorithme du simplexe sont lessuivants:

Pas 1.On dtermine le vecteur

B

T cB 1)(

Le calcul de ce vecteur est quivalent la rsolution du systmedes quations linaires

B

T CB 1)( .

Pas 2. On calcule le produit scalaire

),( jj az

et les diffrences

jNjj cz )(

pour mnj ,,2,1 . Ici ja est la colonnejde la matriceN.

Pas 3. On tudie les signes des diffrences j .

a) Si pour tous j, nous avons 0j , alors la solution de

base disponible est une solution optimale. ARRET.

b) Sil existe au moins un j pour lequel 0j , alors on

calcule jsj

min0

et on passe au pas suivant.

Pas 4. On dtermine le vecteur

ss aB1 ,

donc, on rsout le systme des quations linaires

ss aB .

Pas 5. On tudie les composantes du vecteur s .


35/115

35

a) Si ,,,2,1,0)( miis alors le problme donn a la

fonction objectif non borne suprieure sur lensemble des sessolutions admissibles. ARRET.

b) En cas contraire on dtermine

is

i

iks

k

is )(min

)( 0)(

et on passe aupas 6dalgorithme.Pas 6. On forme une nouvelle matrice basique B tel quau

lieu de la colonne k de la matrice Bon crit la colonne sa de la

matrice N et on calcule la solution de base admissible qui

correspond la nouvelle matrice basique B , o

ks

ksNx

)()( et 0)( sBx .

On revient au premier pas de lalgorithme. Lalgorithme se rptejusquau moment quand sobtient une solution optimale (Pas 3) oustablit que la fonction objectif nest pas borne suprieur surlensemble des solutions admissibles (pas 5, a).

Exemple.Utilisons lalgorithme du simplexe pour larsolution du problme de programmation linaire

min12 xxg

dans des contraintes suivantes:

.0,0

5

22

22

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Aupralable transformons ce problme la forme standard, ainsi:min21 xxf


36/115

36

.5,4,3,2,1,0

,5

,22

,22

521

421

321

ix

xxx

xxx

xxx

i

La matrice du systme des quations est

10011

01021

00112

A

et a le 3)(Arang .

Choisissons

11

21

12

,

100

010

001

NB ,

parce que 01)det(B et donc B est une matrice basique.

Soulignons le fait que 01 bbB . En tenant compte de a, onobtient

.

5

2

2

,

0

0

0

3

2

1

x

x

x

xc BB

,0

0,

1

1

2

1

x

xxc NN

1

2

1

,

1

1

2

21 .

Pas 1.

0

0

0

0

0

0

100

010

001

)(1

B

T cB .


37/115

37

Pas 2. .1)(,1)(,0 221121 NN cczz

Pas 3. Ainsi 01 et donc la solution de base admissibleTx )5,2,2,0,0()1( nest pas optimale. Elle peut tre amliorepar

le changement de la matrice basiqueB.Pas 4.

.

1

1

2

1

1

2

100

010

001

1

1

1aB

Pas 5.

21

2

10)( )(1

5,12min

)(min

1 i

i

i i

.

Pas 6.

.

01

12

01

,

110

010

021

NB

La matrice B sobtient de laB,en remplaant la deuximecolonne par le vecteur 1a .

On calcule

,01,

00

,

3

2

6

,

110

010

021

)(

2

4

5

1

3

1

NN

B

cxxx

x

x

x

xB

0

1

0

,

1

2

1

,

0

1

0

21aacB

et on revient au premier pas avec BB .


38/115

38

Pas 1.

.

0

1

0

0

1

0

100

112

001

)(1

B

T cB

Pas 2.

.101)(

,1)1(2)(

,1),(,2),(

222

111

2211

N

N

cz

cz

azaz

Pas 3. Vu que 01 , la solution de base admissible

Tx )3,0,6,0,2()2( nest pas la solution optimale.Pas 4.

.

3

2

3

1

2

1

110

010

021

1

1

1 aB

Pas 5. On calcule

31

3

10)( )(3

3

)(min

1i

i

i i

.

Pas 6. Au lieu de la troisime colonne de la matrice Boncrit le vecteur 1

,

110

210

121

B

01

10

00

N .

On obtient des donnes

3/13/10

3/23/10

111

)(1B ,

2

1

3

1

4

9

x

x

x

xB ,


39/115

39

0

0

5

4

x

xxN , ,

0

0Nc ,

1

1

0

Bc ,

1

0

0

1a ,

0

1

0

2a .

En reprenant lalgorithme du simplexe avec BB nousavons

Pas 1.

3/1

3/2

0

1

1

0

3/13/21

3/13/11

001

)( 1 BT cB .

Pas 2.

3

1),( 11 az ,

3

2,22 az ,

3

10

3

1111 N

cz ,

3

20

3

2)( 222 Ncz .

Pas 3. Vu que 0,0 21 , la solution de base

admissible obtenueTx )0,0,9,1,4()3( est optimale. Nous avons

3)max(f pour 1,4 *2*

1 xx et donc -3.min(g)

Lobservation 1. Si en cours de lapplication de lalgorithme dusimplexe la solution de base admissible obtenue est dgnre(contient des composantes non nulles au moins que le nombre des

restrictions), alors il est possible un cycle; on peut revenir unesolution de base trouve antrieurement. Soulignons le fait que ladgnration nimplique pas obligatoirement le cycle. Pourlloignement du cycle on procde dans un mode spcial (onapplique la technique de perturbation ou la mthodelexicographique; voir les travaux [5, 6, 13, 23, 28]). Quoique

beaucoup de problmes pratiques sont dgnrs, peu delles sontcycliques. Dans la littrature de spcialit on connatdes exemplesdes cycles, mais elles sont construites avec difficult.


40/115

40

Heureusement ce type de problme est rare en pratique. Voil unexemple dun probleme dgnr:

.0,0

,0,6

max25

21

21

21

212,1

xx

xxxx

xxxxf

Lobservation 2. Lalgorithme du simplexe assure laconvergence vers la solution optimale dans un nombre finit de pas.

Vraiment, du fait quun problme de programmation linaire aseulement un nombre finit de solutions de base admissibles non

dgnres aprs un nombre finit ditrations on va arriver soit une solution optimale, soit la conclusion que la fonction objectifnest pas borne suprieur sur lensemble des ses solutionsadmissibles.

Lobservation 3. Au moment o jj ,0 rsulte que

la fonction objectif ne peut pas crotre. Si pour une variable nonbasiquexknous avons 0k , alors au cas osur la colonne k

est possible de choisir un pivot 0)( is dans le pas suivant

nous obtiendrons une nouvelle solution optimale qui donne la

mme valeur pour la fonction objectif. En faisant une combinaisonlinaire convexe des solutions optimales trouves, on obtientlensemble de toutes les solutions optimales.

3.4. Tableaux simplexe

Si le problme de programmation linaire nest pas grand,on peut organiser les calculs aprs lalgorithme du simplexe laide des tableaux appels tableaux simplexe.

Soit donne un problme de programmation linaire laforme explicite (voir 3.2.):


41/115

41

,0,0

,

max,,

1

NB

NB

NN

T

B

xx

NxBx

xcNcf

o la matrice basiqueBest suppose gale avec la matrice unitI.Supposerons encore que les thermes libres mbbb ,...,, 21 sont non

ngatifs. En ce cas mnmn aaab ,,,,0 2211 la

solution admissible de base est11)( bxB , 22)( bxB , ...,

mmB bx )( , 0)( 1Nx , 0)( 2Nx , ..., 0)( mnNx , et la

fonction objectif a la valeur ),( Bcf . Avec ces donnes on peutconstruire le tableau suivant qui sappelle tableau simplexe:

Variablesdebase

1)( Bx

2)( Bx

mBx )( 1)( Nx

SNx )(

mnNx )(

is

i

1)( Bx

1b

1 0

011

1s

1mn

kmn

2)( Bx

2b

0 1

0 21 2s

2mn

kBx )(

kb

0 0

0k1

ks

kmn

mBx )(

mb

1 0

1

m1

ms

mmn

jj

j

cz

0 0

01 s

mn


42/115

42

Chaque ligne de ce tableau correspond lquation, quireprsente les variables de base

1

)(B

x , ...,mB

x )( par rapport au

variables1)( Nx , 2)( Nx , ..., mnNx )( . La dernire ligne correspond

aux diffrencesjjj cz , o )( , jBj acz , ., ..., n-m,j 21

Pour chaque colonne de la matrice basique nous aurons 0j .

Si toutes les diffrences j sont non ngatives, la solution

de base Bx sera une solution optimale. En cas contraire on choisit

comme colonne pivot la colonne s de la variable non basique

sNx )( pour laquelle s est la plus petite:

jj

sj 0(

min .

On tudie les composantes du vecteur s . Si 0is pour

,,...,2,1 mi alors leproblme de programmation linaire nadmet

pas un maximum finit. Si le vecteur s a des composantes

positives, alors on constitue le rapportisi

)( , avec les i pour

lesquels 0is

. Nous choisirons comme llment pivotks

(dans le tableau il est notks

) si

is

i

iikS

k

s )(min

)( 0)(

La ligne ksappellera laligne pivot. Si la valeur minimaleest atteinte pour quelques indices k, alors on choisit lun deux.

A cette tape sexclut la variablekB

x de lensemble des

variables de base, en introduisant au lieu delle la variablesN

x et

on passe au tableau suivant. Le passage dun tableau lautreconsiste en calculer des composantes des vecteurs qui ne font paspartie de la base et des diffrences correspondantes

jNjj cz . Notons les lments du tableau suivant avec


43/115

43

.,,,''''

jijifb Ces lment peuvent tre obtenus facilement

aprs une rgle qui sappelle la rgle du rectangle: on forme unrectangle, en ayant un sommeil dans llment qui se calcule, et

llment pivot qui est situ dans le sommeil diamtralementoppos.

La nouvelle valeur de llment calcul sera gale auproduit entre la vieille valeur et llment pivot, duquel onsoustrait le produit des autres sommeils du rectangle, le rsultat estdivis au pivot:

ks

jski

ji

ks

jskiksji

ji

...'

Les lments de la ligne pivot se divisent avec le coefficient ks mais pour les lments situs sur la colonne du pivot nous avons

0'

is pour ki et 1'

ks.

Exemple. Considrons le problme suivant deprogrammation linaire

max3 321 xxxf


3,2,1;0

,53

,224

,12

31

321

321

ix

xx

xxx

xxx

i

En utilisant les variables de compensation ,0,0,0 654 xxx

transformons le problme de programmation linaire la formestandard avec les termes libres non ngatifs :

(ai)j (as)j

(ai)k (as)k


44/115

44

.6,,2,1,0

,53

,224

,12

max0003

631

5321

4321

654321

ix

xxx

xxxx

xxxx

xxxxxxf

i

On observe que le systme des quations duproblme standard estexplicite par rapport aux inconnues ,, 54 xx et 6x . On peut crire

donc le premier tableau simplexe:

Dans ce tableau la dernire ligne contient deux diffrencesngatives: 012 et .033 Ce signifie que la solution

initiale de base 0,5,2,1 321654 xxxxxx nest pas

optimale.

On choisit comme colonne pivot, la colonne forme descoefficients ,111

1,13121

de la variable non

basique 3x , pour laquelle 33 est la plus petite. Elaborons les

rapportsii 1

/ pour lesquels 1/:01111 i

,

.5/313

En consquence llment pivot sera 111

. En

appliquant la mthode dcrite plus haut nous obtiendrons lasuccession suivante de trois tableaux simplexe.

Variablesde base 1x2x

3x

4x5x

6x

isi )/(

4x 1 2 -1 1 1 0 01:1

5x 2 -4 2 -1 0 1 0 -

6x 5 3 0 1 0 0 1 1:5

j 0 1 -1 3 0 0 0


45/115

45

Eta

pe

Variab

les de

base1x

2x

3x

4x

5x

6x

is

i

)(

II

3x

1 2 -1 1 1 0 0

5x

3 -2

1

0 1 1 0 1

3

6x

4 1 1 0 -1 0 1

1

4

j

3 7 -4 0 3 0 0

III

3x

4 0 0 1 2 1 0 -

2x

3 -2 1 0 1 1 0 -

6x

1

3

0 0 -2

-1

1 3

1

j

15 -1 0 0 7 4 0

IV

3x

4 0 0 1 2 1 0

2x

11/3 0 1 0 -1/3 1/3 2/3

1x

1/3 1 0 0 -1/2 -1/3 1/3

j

46/3 0 0 0 19/3 11/3 1/3


46/115

46

Toutes les diffrences j du dernier tableau sont non

ngatives, le fait qui attire lattention que lalgorithme du simplexeest arriv la dernire tape. En consquence, nous avons une

solution optimale 4,3/11,3/1*

3

*

2

*

1 xxx et une valeuroptimale de la fonction objective 3/46maxf .

Observation.Sil existe plus dun rapport minimum

is

i

airs

r

ks

k

is )(min

)( 0)(

alors on peut choisir comme lment pivot ks )( ou rs )( . En

choisissant llment pivot ks )( obtiendrons 0)( rBx . Lasolution de base obtenue sera dgnre. En ce cas il est possibleque la valeur de la fonction objectif ne soit pas modifie en coursde quelques tapes successives et revenons lune des solutions debase admissibles par lesquelles nous avons dj pass. Cettesituation sappelle cyclique; lalgorithme du simplexe peut trecontinu jusqu linfini sans conduire aux solutions. Voil

pourquoi on suppose la non-dgnration dans lapplication delalgorithme du simplexe. La finitude de lalgorithme du simplexeest assurepour les problmes de programmation linaire nondgnrs (ayant toutes les solutions de base non dgnrs).Soulignons encore une fois le fait que la dgnration (lexistenceau moins dune solution de base dgnre) nimplique pasobligatoirement le cycle. Quoique beaucoup de problmespratiques soient dgnrs, aucun na pas fait le cycle jusqu

prsent et les exemples avec les cycles ont t construits avecdifficult. Dans le cas de dgnration onprocde dans un modespcial pour viter le phnomne du cycle, en utilisant soit latechnique de perturbation, soit la mthode lexicographique (voirpar exemple [2,6,9,11]).


47/115

47

3.5.Dterminaisonde la solution initiale de base

Comme on a tablit dans le paragraphe 3.3, pour larsolution dun problme de programmation linaire on passe

dune solution de base initiale et en utilisant lalgorithmesimplexe, on arrive une solution optimale. Pas chaque matrice Bde la dcomposition NBA nous assure que 01bBxB etpar consquent il faut continuer avec une autre matrice B. Lenombre des essais peut tre assez grand. Au plus, dans le casquand lensemble des solutions admissibles est vide alors nexistepas une matrice B qui nous pourra donner une solution de base

admissible.Considrons un problme de programmation linaire sous

la forme standard

max),( xcf

0

,

x

bAx (3.6)

o A est une matrice de la dimension

.,,, mnn RbRcRxnm Supposons que 0b ; en cas

contraire nous pouvons multiplier la ligne i dans laquelle 0ib

avec 1. Faisons une association avec le problme (3.6) leproblme suivant de programmation linaire

min...21 myyyg

0,0

,

yx

byAx (3.7)

Les variables myyy ,...,, 21 sappellent variables artificielles. Le

problme (3.7) a la forme explicite avec la matrice B=IoIest lamatrice lunit de dimension mm et avec la solution de base

admissible 0,...,011 mm byby , 0...21 nxxx . Par

consquent nous pouvons appliquer lalgorithme du simplexe pourla rsolution du problme (3.7).


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48

Si le problme (3.7) a une solution optimale ),( ** yx et

0)min(g , comme 0*iy , rsulte que tous 0*

iy . Deux cas

sont possibles [5, 6]:

1). Aprs lapplication de lalgorithme du simplexe aucunedes variables artificielles myyy ,...,, 21 nest pas une variable

basique. Alors, en loignant les variables artificielles et sescoefficients sobtient un tableau simplexe correspondant uneforme explicite du systme bAx dans lequel les thermes libressont non ngatifs.

2). Dans le tableau simplexe final unes des variables

artificielles myyy ,...,, 21 sont des variables basiques. Cest possiblesi le problme (3.6) est dgnr ou si mrArang )( . Si

mArang )( et le problme (3.7) a dgnr, alors au lieu de la

variable basique 0iy introduisons la variable non basique ix

sans affecter la non-ngativit des thermes libres et la solutionoptimale pour le problme (3.7), parce que la solution de baseadmissible nouvellement obtenue est la mme que la solution

prcdente. Dans le cas o mrArang )( , peuvent rester parmiles variables basiques 0iy , mais leurs lignes sont exclues du

systme sans modification de lensemble des solutions admissiblespour le problme (3.6).

Dans ce mode peuvent tre limins successivement parmiles variables basiques du tableau simplexe final toutes les variables

artificielles, aprs quoi on peut continuer lalgorithme du simplexe

avec la solution de base admissible *x pour le problme (3.6).Si 0)min(g , en ce cas au moins un 0*iy et, donc, le

problme (3.6) na pas de solutions admissibles et donc aucunesolution optimale.

Cette mthode sappelle encore mthode des deux phases.Une autre mthode est la mthode de la pnalisation, qui consisteen rsolution du problme suivant


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49

m

i

iyMxcf1

max),(

0,0

,

yx

byAx

(3.8)

oMest un nombre rel suffisamment grand.Le problme (3.8) a une solution de base

admissible 0ii by , mi ,...,2,1 ; nixi ,...,2,1,0 . Si aprs

lapplicationde lalgorithme du simplexe le problme (3.8) a unesolution optimale ),( ** yx pour laquelle 0*y , alors *x est une

solution optimale du problme (3.6). Dans le cas o 0*

y leproblme (3.6) na pas de solutions admissibles. Si le problme(3.8) a la fonction objectivement non borne suprieur alors leproblme (3.6) na pas de solutions optimales (na pas de solutionsadmissibles ou la fonction objectif nest pas borne suprieur).

IV. ualit en programmation linaire

4.1.Problmes duals symtriques

Soit un problme de programmation linaire sous forme

0

,

max),()(

x

bAx

xcxf

(P)

o nRc , mRb , nRx et A est une matrice des dimensionsnm .

Associons au problme (P) un autre problme deprogrammation linaire dfini par


50/115

50

0

,

min),()(

y

cyA

ybyg

T (D)

o mRy , etA, bet csont les donnes du problme (P).Etant donnes le problme (P), appel problme primal, le

problme (D) sappellera le problme dual associ au problme(P).

Exemple. Ecrivez le problme dual au problme:max432)( 4321 xxxxxf

,4,3,2,1,0

,52

,8645,4323

4321

4321

4321

ix

xxxx

xxxxxxxx

i

Nous avons le problme dualmin584)( 321 yyyyg

.3,2,1,0

,46

,14

,352,223

321

321

321

321

iy

yyy

yyy

yyyyyy

i

Si on transforme le problme (D) dans un problme de

minimum, en lcrivant sous la forme

,0

,

max),()(

y

cyA

ybyg

T (D )

et construisons le dual du problme (D ) alors le problme dualassoci celui-ci sera le problme (P). Nous pouvons dire que les

problmes (P) et (D) constituent une paire des problmes duaux


51/115

51

lun lautre. Ces problmes (P), (D) sappellent encore duauxsymtriques.

4.2. Thormes duales de la programmation linaire

Entre les problmes primalet dual peuvent tre tablies desrelations qui sont plusieurs fois trs utiles aussi du point de vupratique que dupoint de vu thorique.

Thorme 4.1.Soit x une solution admissible du problmeprimal P , et y une solution admissible du problme dual D .Alors a lieu la relation

ygxf .Dmonstration. Supposons que 0,0 yx sont des

solutions admissibles des problmes DP, . Multiplions

bxA du P avec 0y et cyAT du D avec 0x . On

obtient

xAyxyAxc T ,,, ,

xAyyxAyb ,,, ,do rsulte que xfyg et lethorme est dmontr.

Thorme 4.2. Si *x est une solution admissible du

problme P et *y est une solution admissible du problme D et a lieu

*,*, xcyb

alors *y et *x sont des solutions optimale du problme D et

respectivement du problme P .Dmonstration. Soit *x une solution admissible du

problme P . Du thorme 4.1 rsulte que pour chaque solution

admissible y du problme D a lieu

*,, xcyb

et prenant en consideration que *,*, ybxc il suit

ybyb ,*, .


52/115

52

Donc *y est une solution optimale du problme D . En modeanalogue on montre que *x est une solution optimale du

problme P . Le thorme est dmontr.

Thorme 4.3 (Thorme de la dualit). Si le problmeprimal P a une solution optimale alors le problme dual D demme a une solution optimale mais les valeurs optimales desfonctions objectifs des ces deux problmes sont gales: minmax gf .

Dmonstration.Supposons que le problme P admet unesolution optimale *x . Dans ce cas la solution *x peut treobtenue, En rsolvant laide de lalgorithme du simplexe le

problme standard associ au problme P :max,0, sxxc

,bIxAx s 0,0 sxx

o msmT RxR ,0,...,0,00

etI est une matrice unit dordre

m.

Si on note avec B la sous-matrice de la matrice IA

construite par deux colonnes pour lesquelles la solution optimalesera

00*

1* bBxx B

alors 0,1

jNjBjcaBc , o Bc est le vecteur constitude

ces composantes du vecteur cqui correspondent aux inconnues *Bx

du dernier tableau simplexe associau problme standard de plushaut.

On peut crire quemnjcaBc

jNjB,...,2,1,,

1.

Vu queTT

B

T

B

cBc 01 ,

il rsulte


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53

jBj

T

B caBc1

etTTT

B cIABc 01 .

Si on note 1* Bcy TBT de la dernire relation rsulte

TT cAy * et 0* IyT

ou

cyAT * et 0*y

et donc *y est une solution admissible du problme dual D . Enplus on peut crire

*,***, *1 xcxcxcbBcbyyb TBTBTBT .

Mais *x est une solution admissible du problme P et *y est

une solution admissible du problme D et alors en utilisant lethorme 4.1 on constate que

*,*,, ybxcyb

pour chaque solution admissible y, ainsi *y est une solution

optimale du problme D .Le thorme est dmontr.

Le problme primal P peut tre considr comme le dual

du problme D et alors du thorme 4.3 il rsulte

immdiatement aussi comme dans le cas o le problme dual D

a une solution optimale suit que le problme primal P a demme une solution optimale et les valeurs optimales des fonctionsobjectifs sont gales.

Thorme 4.4 (Thorme des cartes complmentaires).Pour que deux solutions admissibles *x et *y des problmes

duaux P et respectivement D soient des solutions optimales il

est ncessaire et suffisant que ces solutions vrifient les relations:0**, bAxy ,

0**, cyAx T .


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54

Dmonstration.Ncessit. Soit *x et *y des solutions

optimales du problme dual P et respectivement D . On peutcrire

*,*, xcyb et **,**, xyAAxyT

.Do

0**,**, cyAxAxby T .

Du fait que *,0*,0* Axbxy et cyAT * , de la relation

den haut ilrsulte0**, Axby ,

0**, cyAx T .

Suffisance. Rciproquement, si *x est admissible pour leproblme primal, et *y pour le dual, du 0**, Axby et

0**, cyAx T , nous avons **,**, AxyxyAT

, il rsulte

*,*, xcyb . Tant que *x est une solution optimale du

problme primal P , et *y solution optimale du problme

dual D . Donc le thorme est dmontr.

4.3. Algor i thme simplexe dual

Lapplication de lalgorithme du simplexe la rsolutiondu problme dual ne conduit pas un nouvel algorithme dersolution des problmes de programmation linaire, appellalgorithme du simplexe dual. Lalgorithme du simplexe dual

construit une succession de solutions de base du problme primaltant que la premire solution de base admissible est une solutionoptimale du problme. Pour le commencement dcrirons leprocd de trouver une solution optimale laide de la mthodesimplexe, qui correspond la rsolution optimale du problmeprimal.

Soit *x la solution optimale du problme primalmax,

xcxf

.0,xbAx


55/115

55

De la dmonstration du thorme de dualit (voir 4.2.) on dduitimmdiatement que le vecteur

B

T

cBy1

* est une solution optimale du problme dual

min,ybyg

,cyAT 0y .

En langage des tableaux simplexe a signifie que les coordonnesdu vecteur *y sont situes dans la dernire ligne du tableausimplexe qui correspond au vecteur unit.

Exemple.Etant donn le problme primal:max2 321 xxxxf


0,0,0

,232

,12

1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

,

leproblme dual sera:min2 21 yyyg


0,0

,23

,1221

,1

21

21

21

21

yy

yy

yy

yy

On applique lalgorithme du simplexe au problme primaltransforme la forme standard et on obtient la succession suivantedes tableaux simplexe.


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56

EtapeVariablesde base 1

x 2x 3x 4x 4x is

i

)(

I

4x 1 1 1/2 1 1 01:1

5x 2 1 2 [3] 0 1 3:2

j 0 -1 -1 -2 0 0

II

4x 1/3 [2/3] 1/6 0 1 -1/3 3:1

4x 2/3 1/3 2/3 1 0 1/32

j 4/3 -

1/3

1/2 0 0 2/3

III

4x 1/2 1 1/4 0 3/2 -1/2

4x 1/2 0 7/12 1 -1/2 1/2

j 3/2 0 7/12 0 1/2 1/2

La solution optimale du problme primal est ,2/1*1x

2/1,0*

3

*

2 xx . Conformment au tels mentionn au-dessus, la

solution optimale du problme dual se trouve dans la dernire

ligne des tableaux simplexe: 2/1,2/1*2

*1 yy . Pour les

deux problmes, la fonction defficacit la valeur2/3minmax gf .

Passons la description de lalgorithme du simplexe dual.Considrons un problme de programmation linaire en forme

explicite (avec les notations prcdentes): il faut dterminer lavaleur maximale de la fonction

mnNmnNNBxxxcxf

2211,

dans les contraintes suivantes

mnNmnNNBxxxx

2211,

0,0 BN xx .

On dit que le problme de programmation linaire estadmissible dual sil est en forme explicite et les diffrences


57/115

57

mn,...,, 21 sont ngatives. Dans le cas o la matrice de base

B concide avec la matrice unit I, alors le problme est dualadmissible si les coefficients de la fonction objectif sont non-

positifs.Supposons que 0j pour chaque mnj ,...,2,1 . La

solution de base

00

Bxx

sappellesolution admissible dualdu problme.Lalgorithme du simplexe dual est un algorithme simplexe

appliqu au dualsans construire le problme dual. Cet algorithmeexcute cyclique la successions suivante de pas.

Pas 1.Le choix de la ligne pivot p.

On dtermine lindiceptant que

ii

pi

min0

.

Dans le cas o ii ,0 , alors la solution de base disponible est

une solution optimale du problme de programmation linaire.ARRET.Pas 2.Le choix de la colonne pivot.

Dans la lignepon cherche des lments 0)( pj et on dtermine

llment avec lindice qpour lequel

pj

j

jpq

q

pj )(min

)( 0)(

et on dcide llimination parmi des composants de la solution debase de linconnuexpet son remplacement avec la variablexq.

Si tous jpj ,0)( , alors le problme considr na pas

de solutions admissibles.ARRET.

Pas 3. On excute les transformations lmentairesncessaires dans le tableau simplexe associ au problme, avec lepivot

pq, aprs les rgles de lalgorithme du simplexe et on

revient aupas 1.


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58

Exemple. Soit le problme de programmation linairemin3 321 xxx

avec les contraintes

3,2,1,0

,12

,03

,2,12

32

31

21

321

ix

xx

xx

xxxxx

i

En transformant ce problme la forme standard on obtient le

problme de programmation linaire max3 321 xxxxf

dans les contraintes

.7,...,2,1,0,12

,03

,2

,12

732

631

521

4321

ixxxx

xxx

xxx

xxxx

i

Ce problme est sous la forme duale admissible et en luiappliquant lalgorithme du simplexe dual on obtient la successionsuivante des tableaux simplexe:

Eta

pe

Variabl

es de

base1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

min

i

I

4x -1 -2 -1 1 1 0 0 0

5x -2 [-1] 1 0 0 1 0 0 2

6x 0 -3 0 -1 0 0 1 0

7x -1 0 -1 -2 0 0 0 1

j 0 1 3 1 0 0 0 0

pjj/

1


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59

II

4x 3 0 -3 1 1 -2 0 0

1x 2 1 -1 0 0 -1 0 0

6x 6 0 -3 -1 0 -3 1 0

7x -1 0 -1 [-2] 0 0 0 1 1

j -2 0 4 1 0 1 0 0

pjj/ 4 1/2

III

4x 5/2 0 5/2 0 1 -2 0 1/2

1x 2 1 -1 0 0 -1 0 0

6x 13/2

0 7/2 0 0 -3 1 -1/2

3x 1/2 0 1/2 1 0 0 0 -1/2

j -5/2 0 7/2 0 0 1 0 1/2

Par consquent la solution optimale du problme considrest ,0,2 *2

*

1xx 2/1*3x et 2/5maxf . La solution optimale

du problme dual est ,1,0 *2*

1 yy 2/1*

3y .

Avant de finir ce compartiment, soulignons le fait que

lalgorithme du simplexe ou lalgorithme du simplexe dual neconstitue pas les mthodes uniques de rsolution des problmes deprogrammation linaire. Avec les autres mthodes de rsolution onpeut faire connaissance dans les ouvrages [5, 6, 11, 13, 16, 17, 23,

25, 28].

Lalgorithme du simplexe a t cr en 1947 de GeorgeDantzing (S.U.A.) et aprs ce quon avait vu, consiste en parcourirdes sommeils du polydre des solutions admissibles, ensapprochant toujours de la solution optimale, jusquau momentquand elle est atteinte dans un sommeil du polydre. Dans lesannes 70 on a constat que dans certains cas lalgorithme dusimplexe fonctionne en temps non-polynomial (le temps de calcul

nest pas une fonction polynomiale). En 1979 le savantL.G.Khachian a propos un algorithme appel mthode


60/115

60

dellipsode. Dans cet algorithme il est parcouru un ensemble finitdellipsodes, tant que le centre du dernier ellipsode correspondune solution optimale et son temps de calcul est polynomial. Plus

tard, en 1984, par N. Karmarkar (le savant indien tablit aux tats-Unis d'Amrique) a t lanceune mthode originale de rsolutiondes problmes de programmation linaire, qui considrablementdpasse en rapidit les vieilles mthodes. La stratgie duKarmarkar consiste en reformulation du problme de chaque fois,tant quon obtient un ensemble finit de points situs dans le centredes polydres des solutions admissibles. Pour les dtails en ce quiconcerne les mthodes de Khachian et Karmarkar le lecteur doit

voir la monographie [28], ainsi que louvragede Karmarkar N.A.New Polinomial-Time Algorithm for Linear Programming. BellAT&T Laboratories 1984, 38 p.

V. Rsolution des problmes de transport

5.1.Prliminaires

Les premires applications de la mthode deprogrammation linaire en rsolution des problmes deplanification les ont constitus les problmes de transport. En4.2.2. a t expos le problme de transport comme un exemple de

programmation linaire. Ces problmes se rencontrent trs souventen pratique avec loccasion de distribution des produits, de larpartition entre les divers consommateurs etc. On dit quunproblme doptimisation est unproblme de type transport, si sonmodel mathmatique peut tre prsent en mode suivant :dterminer la valeur minimale de la fonction

m

i

n

j

ijijxcf

1 1

,

dans les conditions:


61/115

61

.

;,...,2,1;,...,2,1,0

;,...,2,1,

;,...,2,1,

11

1

1

n

j

j

m

i

i

ij

j

m

i

ij

i

n

j

ij

ba

njmix

njbx

miax

Les donns du problme de transport peuvent tre prsents sousla forme suivante des tableaux appels matrice de transport:

i

j

A

B 1B 2B 1nB ia

1A 11c

12c

nc1

1a

11x 12x nx1

2A 21c

22c

nc22a

21x 22x nx2

mA 1mc

2mc

mnc

ma

1mx 2mx mnx

jb 1b 2b

nb T

Dans le tableau par T est not la valeur commune desm

i

n

j

ji ba1 1

. Cette condition sappelle condition dquilibre. Si

elle nest pas ralise, alors on peut introduire un centre fictif et


62/115

62

rduire en ce mode le problme un problme de transportquilibr. Vraiment, soit

m

i

n

j

ji ba1 1

.

Alors on introduit une ligne 1m avecm

i

i

n

j

jm aba11

1et 0,1 jmc pour .,...,2,1 nj

Pour le casm

i

n

j

ji ba1 1

,

on introduit une colonne 1n avecn

j

j

m

i

in bab11

1 et mic ni ,...,2,1,01, .

Ainsi dans les deux situations on arrive la forme quilibre.Le problme de transport est un cas particulier de

programmation linaire, qui peut tre rsolu par lalgorithme

simplexe. Grce leur forme particulire, on peut faire larsolution par la mthode spciale. Ensuite nous montrerons unevariante dalgorithme simplexe appel mthode des potentielles.Avant de passer la description de cette mthode nousmontrerons le procd de dtermination de la solution initiale debase.

5.2.Dtermination de la solution ini tiale de baseDans un problme de transport, le systme des quations

des conditions avec m+n-1quations indpendantes. Vraiment, lenombre de restrictions est m+n. Rsoudrons chaque quation, encommenant avec la deuxime, du systme

miax i

n

j

ij ,...,2,1,1

par rapport avec la variable 1ix :


63/115

63

.,...,3,2,2

1 mixaxn

j

ijii

En mode analogue rsoudrons chaque quation, en commenant

avec la deuxime, du systme

njbx j

m

i

ij ,...,2,1,1

,

par rapport la variable jx1 :

.,...,3,2,2

1 njxbxm

i

ijjj

Des premires quations des systmes mentionns nous avonsn

j

jxax2

1111 ,

m

i

ixbx2

1111

oun

j

m

i

n

j

iji

m

i

ijj xabxbax2 2 2

1

2

111 ,

do on dduit quem

i

i

n

j

j abba2

1

2

1 ,

cest--dire on obtient la condition dquilibre.Par consquent, de la condition dquilibre rsulte que le

systme des quations restrictions peut tre rsolu par rapportavec 1n-m variables. Donc une solution de base a au plus1n-m composantes 0ijx , les autres seront nulles. Si nous

avons moins de 1n-m de composantes positives, la solution debase est dgnre.

Pour la dtermination dune solution initiale de baseexceptant les mthodes connues de la programmation linaire, on

connat aussi desmthodesspcifiques: le procd du coin Nord-Ouest, le procd de llment minimale (du tableau, de la ligne


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64

ou de la colonne). Ces procds ne ncessite pas une thoriespciale et nous illustrerons avec leur application en cas de larsolution du problme concrte de transport avec trois centres deproduction

21

,AA et3

A dans lequel se trouvent les quantits 90t,

70tet respectivement 50tet qui doivent tre transporten quatrecentres de consommation 321 ,, BBB et 4B en quantits 80t,

60t, 40t et respectivement 30t. Le cot de transports des centres

iA aux centres jB est prsent dans la matrice de transport.

i

j

A

B 1B 2B 3B 4B ia

1A 2 1 3 2 90

80 10 - -

2A 2 3 3 1 70

- 50 20 -

3A 3 3 2 1 50

- - 20 30

jb

80 60 40 30 210

Le procd du coin Nord-Ouest de dtermination de lasolution initiale de base consiste en suivantes. Dans le carr, quisappelle encore caisse, (1,1) du coin Nord-Ouestde la matrice detransport on passe la valeur 80 gale avec le plus petit entre 1a et

1b ainsi que )90,80min(11x . Vu que nous avons reparti la

quantit de produit ncessaire dans la premire colonne sepassent ,021x 031x . Dans la matrice de transport, dans ces

caisses crirons le symbole -. Les caisses dans lesquelles estpassce symbole sappellentles caisses libres.

Ensuite, fixons lattention sur 12x du coin haut - gauche du

tableau form par les colonnes 2B et 3B et procdons en mode

analogue comme pour 11x , ainsi prenons

1010,60min,min 11212 babx .


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Vu que la quantit entire 901a a t repartie aux

centresB1etB2nous avons 0,0 1413 xx .

Il nous reste un tableau form des lignes A2, A3 et des

colonnes B2, B3 et B4. Pour ce tableau sapplique de nouveau leprocd dcrit:0,5070,50min 3222 xx .

On passe 40,20min23x 0,20 24x .

Enfin

2020,50min33x , 3030,30min34x .

La solution initiale de base est 8011x , 1012x , 5022x ,

2023x , 2033x , 3034x .La valeur de la fonction defficacit

est:

4503012022035031018021f

La dterminationde la solution initiale de base laide duprocd de llment minimale (du tableau, de la ligne ou de la

colonne) est faite en mode semblable, sauf que chaque fois lesvaleurs ne se passent pas dans le coin nord-ouest, mais dans les

caisses avec le cot minimal (du tableau, de la lignerespectivement colonne).

Par exemple, en utilisant le procd dlment minimaldans la ligne en problme de transport prcdent, on obtient letableau suivant :

i

j

A

B 1B 2B 3B 4B ia

1A 2 1 3 2 90

30 60 - -

2A 2 3 3 1 70

40 - - 30

3A 3 3 2 1 50

10 - 40 -

jb 80 60 40 30 210


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On choisit dans chaque ligne llment ijc le plus petit et

on le reparti dans la caisse correspondante la plus petite quantitparmi les quantits disponibles ia et tels ncessaires

jiijj baxb ,min: . Dans la premire ligne llment le plus petitest 1

12c . On destinera pour 6060,90min,min 2112 bax .

Donc 022x , 032x . Dans A1 il reste encore 90-60-30t.

Chercherons dans la valeur de jc1 immdiatement suprieur de

12c . Cette valeur est donne par 21411 cc . On constate quon

peut prendre arbitrairement nimporte quelle delles. Par exemple,si on choisit la caisse (1,1), alors destinerons pour

11x la valeur 30

gale 80,6090min .Ensuite on procde en mode similaire avec les autres lignes

restes. On obtient la solution initiale de base suivante: 6012x ,

4021x , 3024x , 1031x , 4033x . La valeur de la fonction

devient: 3404021033014026013022f

Le procd de llment minimal dans la colonne estsemblable au procd de llment minimal dans la ligne, mais lesvaleurs jiij bax ,min sont dtermines en base de la valeur

minimale des lments ijc qui se trouvent dans chaque colonne.

Le rsultat dapplication de ce procd mne la solution de baseinitiale montredans le tableau suivant:

i

j

A

B 1B 2B 3B 4B ia

1A 2 1 3 2 90

80 10 - -

2A 2 3 3 1 70

- 50 - 20

3A 3 3 2 1 50

- - 40 -

jb 80 60 40 30 210


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La valeur de la fonction defficacit est:4301014022015031018023f .

Le procd de llment minimal du tableau consiste enrpartition des quantits aux destinataires aprs le critre dlment

ijc minimal du tableau. Lapplication de ce procd donne une

solution de base initiale qui concide avec celle obtenue par leprocd de llment minimal dans la ligne ou avec celle indiquedans le tableau suivant:

i

j

AB 1B 2B 3B 4B ia

1A 2 1 3 2 90

30 60 - -

2A 2 3 3 1 70

50 - 20 -

3A 3 3 2 1 50

- - 20 30

jb 80 60 40 30 210

La valeur de la fonction defficacit sera :4= 2 30 + 1 60 + 2 50 + 3 20 + 2 20 + 1 30 = 350.

Les solutions de base initiales obtenues par les quatre

procds ne concide pas et350,430,340,450 4321 ffff .

Les rsultats obtenus pour le problme considr nepeuvent pas constituer une conclusion en avantage dutilisationdun ou dautre procd dcrit.

Observation:Dans lexemple suivant m = 3, n = 4. Par lesprocds prsentsplus haut nous avons obtenu m + n1 = 6desvaleurs strictement positives pour xij, et les autres m n(m + n 1) = 12 6 = 6 sont gales zro. On dmontre (voir, parexemple, [6]) que, en cas gnral, pour m centres de stockage et ncentres de destination laide des procds dcrits plus haut nous


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pouvons dterminer au plus m + n 1 valeurs des inconnues xijstrictement plus grandes que zro. Ces variables sappellentvariables de base et dterminent une solution initiale de base. Decette solution initiale de base tabliepar lun des procds prvus,on peut passer une autre solution de base et ainsi de suite,jusquau moment o on obtient la solution optimale. Ensuitedcrirons la mthode appele mthode des potentiels qui est unevariante de lalgorithme simplexe.

5.3. Mthode des potentiels

Thorme 5.1. Soit njmixij ,2,1;,,2,1,*

unesolution optimale du problme de transport. Achaque ligne ide lamatrice de transport il correspond un nombre *iu et chaque

colonnej- un nombre *jv tant que sont satisfaites les relations:

.,...,2,1;,...,2,1

,0pour

,0pour

***

***

njmi

xcvu

xcvu

ijijji

ijijji

Dmonstration. Le problme de transport peut treconsidr comme un problme dual du problme deprogrammation linaire suivante :

n

j

jj

m

i

ii vbuag11

max

avec les restrictions .,...,2,1;,...,2,1, njmicvu ijji

Si njmivu ji ,,2,1;,,2,1,,**

est une solution

optimale du problme de plus haut alors, conformment authorme des cartes complmentaires (voir 4.2), la conditionncessaire et suffisante que, *ijx ,

*

iu et*

jv soient optimales est

donne par les relationsnjmixcvu ijijji ,,2,1;,2,1,0

*** .


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Du fait que ** et ji vu sont des solutions admissibles pour le

problme dual suit quenjmicvu ijji ,,2,1;,2,1,0

**

les relations qui en ensemble avec les relations de plus hautdmontre le thorme.

Les grandeurs uii vjsappellentpotentielsdes centresAietBj.

Reprenons lexemple de 5.2 et analysons la solution initialede base obtenue par le procd du coin nord-ouest pour les casoptimal. Pour cela, au centre de consommation Bj , j=1,2,3,4 le

potentielvj.

i

j

A

B 1B 2B 3B 4B ia

1A 2 1 3 2 90

80 10 - -

2A 2 3 3 1 70

- 50 20 -

3A 3 3 2 1 50

- - 20 30

jb 80 60 40 30 210

Conformment au thorme dmontrplus haut pour les caissesoccupes nous avons:

.1

,2

,3

,3

,1

,2

43

33

32

22

21

11

vu

vu

vu

vu

vu

vu


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70

Donc, pour dterminer les potentiels il faut rsoudre unsystme des six quations avec sept inconnues, qui ont une infinitde solutions. En prenant dans ce systme dquations, parexemple, 0

1

u , obtenons

0,1,1,2,1,2 433221 vvuuvv

Calculons les diffrences ui+ vj cijpour les caisses libres de lamatrice de transport:

pour la caisse (1,3): 021331 cvu ;

pour la caisse (1,4): 001441 cvu ;

pour la caisse

Date post:	02-Jun-2018
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