Redumat 2 abril 2013 año 2 nº 2 version editada 2014

REDUMAT, Vol 2, No 2. Mayo 15 2013

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Abril 2013. Vol 2 No 2 REDUMAT

Revista de la Unidad de investigación

en educación matemática. FACES-UC

TENDENCIAS EN

EDUCACION MATEMATICA


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Consejo Editorial

Director-Editor:

Cirilo Orozco Moret

Comité Editorial:

Ana Beatriz Ramos, Celestina

Giuffrida, Gladis Arocha, Pedro

Cabrera, Vilma Morales, Fanny

Morales, Germán Rangel,

Miguel Angel Díaz, Magdiel

Acosta, Juan Aguirre, Alfredo

Armas, Arnaldo Souto. Jesus

Parra, José Boada, Wilfredo

Diaz.

Colaboradores:

Guillermo Arraiz, Sheyla

Jimenez, , Mary Carmen Ravelo,

Cristina Kudinov, Leonardo

Vera, Marlene Figueredo,

Maryerlin Valecillos, Kenibel

Munevar, Jhonny Sifontes,

Maira Clemente, Oswaldo

Conde, Ruben Oropeza,

Crisostomo Ruiz, Fernando

Guerrero, Indira Medrano.

Representante legal: Abogada

Jesmar Orozco Labrador.

UNIVERSIDAD DE

CARABOBO

Facultad de Ciencias

Económicas y Sociales

Unidad de Investigación

en Educación Matemática

Ave. Salvador Allende. Edif. FACES.

Piso 2, Cub. 1208. Tf 0414-4717568

Coordinador General: Cirilo Orozco

Moret. [email protected]

Contenido

Comité editorial……………………………………………………………02

Presentación………………………………………………………………03

SECCION 1: AUTOR NOVEL UIEMAT INEDITO

APLICACIÓN DE CALCULOS MATEMATICOS EN LA INGENIERIA. Prof. María Quintero…………………….04

SECCION 2: AUTOR NOVEL UIEMAT REPOSITORIO

REFLEXIONES SOBRE LA REFORMA CURRICULAR EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Autor: Prof. Francisco Laurito……………………………………………………...08

DEL SABER A ENSEÑAR AL SABER ENSEÑADO: UNA INTERPRETACIÓN DE LA TRASPOSICIÓN DIDÁCTICA EN MATEMÁTICA. Autor: Prof. Irma Rodríguez ………………………………………………....14

EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES, DEBILIDADES FORTALEZAS Y LA DISPOSICIÓN AL CAMBIO. Autor: Arminda M. Lugo S………………….21

NUEVAS TECNICAS ESPECÍFICAS DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Y SIGNIFICATIVO EN LA ENSENANZA DE LA MATEMATICA . Autor: Ciriaco José Díaz………………………………………………..…29

SECCION 3: MATERIAL INSTRUCCIONAL UIEMAT INEDITO

CONSTRUCCIÓN TRIÁNGULAR: UNA EXPERIENCIA DIDÁCTICA EN UN AULA DE MATEMÁTICA DE EDUCACIÓN BÁSICA. Autor: Prof. Jimy Rumbos….39


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REDUMAT

TENDENCIAS EN EDUCACION

MATEMATICA

Presentación

La Revista Redumat es el medio de difusión por excelencia de la Unidad de Investigación en

Educación Matemática UIEMAT. Es una revista universitaria enfocada en temas de actualidad

sobre la Educación Matemática en general. La misma está dirigida a recuperar y difundir la

producción intelectual acreditada de profesores, estudiantes y estudiosos de la didáctica en

las disciplinas numéricas; en temas de enseñanza, aprendizaje, evaluación, materiales y

entornos escolares destinados al desarrollo y formación del razonamiento cuantitativo

numérico y meta numérico.

En ese sentido, Redumat se convierte en un repositorio de la producción de la UIEMAT y

publica reflexiones teóricas, experiencias didácticas, notas científicas, artículos originales de

investigación y reseñas de autores nacionales y extranjeros los cuales son seleccionados y

evaluados mediante un proceso sistemático y riguroso de arbitraje, a cargo del comité

editorial.

A partir del 2do número se abre una sección destinada a Investigadores Noveles de la UIEMAT

en donde se publicaran notas científicas, extensos de ponencias, artículos científicos, material

instruccional y experiencias didácticas, en las categorías inédito y repositorio. Esta segunda

categoría, REPOSITORIO, está destinada a acopiar toda la creación intelectual auspiciada desde

nuestra unidad de investigación y constituirá el archivo histórico de la producción intelectual

de la UIEMAT. En ese caso, se señalara expresamente la fuente original donde fue publicado el

producto.

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SECCION 1: AUTOR NOVEL UIEMAT (INEDITO)

APLICACIÓN DE CALCULOS MATEMATICOS EN LA INGENIERIA

María Quintero. email: [email protected]

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática. Unidad de

Investigación en Educación Matemática UIEMAT-FACES

RESUMEN

En la educación matemática a nivel superior, es frecuente la queja estudiantil sobre la poca relación entre algunas materias de naturaleza numérica y la utilidad de los contenidos dados en el ejercicio de la profesión y en la vida cotidiana. Al respecto se conjetura que los profesores de Cálculo Matemático en ingeniería enseñan con un enfoque de matemática pura demasiado centrado en demostraciones y formalismo abstracto, que si bien es una vía hacia el conocimiento correcto y profundo no tiene utilidad práctica evidente. En ese sentido, este artículo tiene el propósito de reflexionar sobre el enfoque didáctico de aplicación concreta en las asignaturas de Cálculo Matemático en las carreras de ingeniería

Palabras clave: Educación Matemática, Educación Superior, Estrategias Didácticas Pragmáticas en Cálculo Matemático

Introducción

En los albores del Siglo XXI, uno de los más graves problemas que enfrenta la educación superior es la deficiencia en competencias matemáticas que presentan los estudiantes prospectos a profesionalización, particularmente aquellos inscritos en carreras vinculadas a la

ciencia y la tecnología como son las ingenierías. Al respecto en estas carreras científicas y tecnológicas, a pesar de los esfuerzos docentes por mejorar las deficiencias matemáticas de sus estudiantes, es donde más notoriamente las instituciones y los profesores continúan acumulando indicadores negativos de rendimiento; repitencia, deserción, bajas calificaciones, poca prosecución y estiramiento de los tiempos de graduación de los estudiantes.

Al respecto, algunos investigadores atribuyen el fenómeno a bajo desarrollo de habilidades de pensamiento matemático en alumnos de educación básica. En ese sentido, se dice que una de las debilidades que con mayor preocupación se evidencia en el sistema educativo venezolano, es la dificultad que presentan los estudiantes y docentes de Educación Básica para desempeñarse en el área de matemática, una asignatura que en su nivel más elemental responde a la necesidad de ordenar y cuantificar y que en niveles más articulados permite preparar al estudiante, para llegar hasta intricados razonamientos abstractos sobre un supuesto o hipótesis que exige su demostración (Zerpa, 2011).

Apropósito de este tema, Herrera (citado por Tabuas 2003), precisa cifras referidas a la educación Venezolana que resultan significativas en torno a los niveles de repitencia de los estudiantes de la primera y segunda etapa de Educación Básica, la mayoría con dificultades en el área numérica: En el período escolar 2001-2002, repitieron el año 414.339 estudiantes, 33.215 (8%) más que en el período 2000-2001.

El primer grado es el nivel con más problemas, pues acumuló el mayor número de repitientes: 81.331 (12,12%). Le sigue sexto grado con 77.800 repitientes. Más de una década después de este diagnóstico, estos alumnos están completando los estudios de educación media y aspiran a ingresar a la educación superior, con el agravante de que, por tradición, tienden en un alto porcentaje por carreras técnicas de alto contenido matemático.

En este orden de ideas, desde hace algunos años, muchos investigadores han coincidido en estudiar las causas y en evaluar algunas alternativas de mejoramiento, sin que el problema se haya resuelto satisfactoriamente. Debido a ello la comunidad académica y científica ha retomado


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con denotado interés el asunto y han emergido diversidad de perspectivas pedagógicas y multiplicidad de líneas de investigación, entre las que destaca la secuencialidad de contenidos y de habilidades de aprendizaje (Sánchez, 1995; Gómez 2005;

Al respecto, Sánchez (1995), plantea que los problemas de rendimiento en el área de matemática de educación básica, aumentan conforme se alcanzan niveles más avanzados de escolaridad, se vuelven apremiantes en la universidad y además están presentes en el desempeño de las personas en su vida familiares y profesional. Además reporta que estas dificultades tienen relación con la carencia de habilidades para procesar información y, por tanto, sugiere que es en el desarrollo de habilidades de pensamiento donde deben buscarse las soluciones de la deficiencia de enseñanza y aprendizaje matemático.

En este sentido, se tiene que valorar el rol protagónico que juega el docente como guía fundamental del proceso educativo, pues es el educador y no el alumno el que posee esa visión general de hacia dónde quiere orientar el aprendizaje y cuáles son las herramientas de las que se debe dotar al niño para que en su paso por la escuela logre desarrollar eficientemente sus capacidades para resolver problemas.

En referencia a las casas de estudios superiores de Venezuela, ese desequilibrio pedagógico es persistente en las asignaturas numéricas de todas las carreras técnicas, particularmente en las carreras de ingeniería en agroindustria y producción animal, en donde las expectativas del estudiante es no encontrar tanta matemática. Allí se conjetura que los docentes que dictamos la asignatura Cálculo Matemático en las universidades de tradición agropecuaria nos concentramos en los contenidos como ciencia formal explicando axiomas, realizando demostraciones y no enseñamos sus aplicaciones prácticas en el área de énfasis profesional, razón por la cual los estudiantes de estas carrera preguntan a diario ¿Para qué ellos cursan esta

asignatura si no la van a usar en las empresas o en el campo para la cual se están formando?

Aunado a esto está el problema de que los contenidos programáticos están diseñados para 16 semanas y por razones de lineamientos oficiales y contingencias de diversa naturaleza se están ejecutando en semestres de solo doce semanas. En este sentido las políticas de gobierno están reduciendo la posibilidad de profundización del saber y conducen a convertir las universidades en máquinas de fabricar profesionales, sobre todo en las áreas productivas.

En razón de lo expuesto, el propósito de este artículo es reflexionar sobre la imperiosa necesidad de introducir estrategias y técnicas didácticas enfocadas en la aplicación de los contenidos y procedimientos a problemas concretos de la realidad para enseñar las asignaturas de Cálculo Matemático en las carreras de ingeniería.

Breve reseña histórica del Cálculo Matemático.

En la antigüedad el cálculo estuvo siempre ligado a la solución de problemas de índole técnico y productivo. En la antigua Grecia con Aristóteles se consideró el cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento y fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Con Pitágoras y Euclides la matemática asumió cuerpo de disciplina formal organizada en sus contenidos, se registraron los algoritmos, las reglas que utilizaron los geómetras griegos, la secuencia operacional de la aritmética y el concepto de función por tablas.

Durante, la Edad Media la matemática fue restringida a una elite que reproducía el conocimiento acumulado, con escasos o poco difundidos aportes a la disciplina. Con el renacimiento, se aceleró y expandió el estudio matemático del espacio exterior y se desarrollaron aplicaciones en todos los campos, Luca Pacioli introdujo la contabilidad en los negocio de la burguesía renacentista y en el siglo XVII y XVIII se destacan en las representaciones y modelaciones matemáticas del cálculo; Descartes, Pascal, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal.


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Fue en el siglo XVII Y XVIII que el cálculo adquiere relevancia de disciplina indispensable para el desarrollo de otras ciencias como la física la cual establece modelos sobre la realidad cuya comprobación experimental utiliza el método científico y aparece la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.

Durante el siglo XIX Y XX el cálculo toma su aplicación también en mecánica, electromagnetismo, radioactividad, astronomía y la geometría no euclidiana encuentra modelos teóricos de astronomía y física; también la lógica dio un giro y la formalización simbólica integro las leyes lógicas en el cálculo matemático

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, Bolzano, Boole; whitehead y Russell lograron métodos importantes de cálculos porque trataron como objeto conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor, así como también se manifestaron los intentos de axiomatizar el cálculo la cual condujo a diversas paradojas y demostraciones de Godel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto, consistente, decidible y completo con grandes implicaciones lógicas matemáticas y científicas

En la actualidad, el cálculo ha adquirido una dimensión y desarrollo importante ya que usa las computadoras para realizar más rápidos los cálculos y se ha convertido en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece la modernización digital.

Luego de hacer referencia a la historia se puede decir que el cálculo consiste en realizar operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.

Enseñanza del Calculo: Formalismo abstracto vs. utilidad y funcionalismo.

Según el artículo problemas epistemológico de la enseñanza del cálculo matemático del Lic. José Orlando Gómez (2005) dice que hoy por hoy el cálculo integral muestra diferentes conflictos en su enseñanza y aprendizaje en los niveles de la

educación superior, a decir verdad una de las razones del problema es intrínseca de dichos temas, que aunque básicos en la matemática, implican conceptos elaborados que en representación quedan desconectados de las vivencias cotidianas. Se cree que esa desconexión con los conceptos previos de vivencia cotidiana es justamente una de las razones de la dificultad que se muestra en el aprendizaje significativo de esos conceptos (relativos al cálculo integral). La formalización de los conceptos del cálculo integral llevó centenas de años a la humanidad, y parecería que en cada individuo la comprensión constructiva consciente de los mismos no puede obtenerse simplemente aceptando la presentación formal elaborada en su versión final, antes e independientemente de una construcción significativa de ella; esa construcción para ser consciente debería ser explícita, apelando a las ideas mentales previas extraídas de las experiencias cotidianas de cada persona. Uno de los problemas es que esas ideas mentales previas, y las experiencias cotidianas de los estudiantes a lo largo de la formación escolar y no escolar y desde su temprana infancia, afortunadamente no son homogéneas, ni aún en lo que se refiere a ideas matemáticas.

De acuerdo a este orden de idea los científicos buscan estrategias y métodos de enseñanza de los cálculos matemáticos para que nosotros como docentes de las carreras de ingeniería las apliquemos y una de las estrategias importante de este nivel es la estudio del cálculo matemático, ya que el cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano, así como también el cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.

Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:

Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.


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Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.

Reflexiones Finales

La importancia de este articulo como docente es entender que en las practicas académicas debemos darle la importancia que tienen la aplicación de los cálculos matemáticos para los estudiantes de ingeniería ya que el desarrollo espectacular de la ciencia en nuestra época y con la irrupción invasiva de las tecnologías con gran potencia de cálculo, han adquirido dimensiones sorprendentes hasta el punto de invadir, sin que lo percibamos, toda nuestra vida cotidiana.

Uno de los avances más notables de los últimos tiempos de la aplicación de la matemática es en la medicina, en las computación, en el área agrícola, en cualquier empresa de procesamiento de alimentos, en las actividades culturales artística, en arquitectura, en la construcción y en cualquier actividad de nuestra práctica diaria, ya que se maneja una gran cantidad de teoría matemática que permite desarrollar cualquier recurso para agilizar el desarrollo del mundo, así como también no es exagerado decir que, con la ayuda de los rayos X u otras técnicas, más la potencia de cálculo de las computadoras actuales, la tomografía computada, la resonancia magnética, etc., son verdaderos artefactos matemáticos donde el problema consiste precisamente en reconstruir una imagen conociendo la atenuación y el ángulo de los rayos.

La matemática no es una mera especulación intelectual, sino que estudia problemas concretos cuyos resultados representan un significativo aporte al acervo cultural y tecnológico de la humanidad y revelan el papel cada vez más importante que juega esta ciencia en el mundo actual. La capacidad de la matemática para modelar la realidad de manera simbólica la convierten en una herramienta indispensable para la comprensión de

los objetos y procesos de estudio. Por más que se crea que “...en matemáticas nunca se sabe de qué se habla...”, la matemática es cada vez más fuerte y vivaz porque es una manera de hablar del mundo moderno

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Arbitrado en la Unidad de Investigación Educación matemática UIEMAT-FACES-UC por Cirilo Orozco Moret (EdD) e-mail:[email protected]


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SECCION 1: AUTOR NOVEL UIEMAT (REPOSITORIO)

Reflexiones sobre la reforma curricular en educación matemática II.

Nota: Artículo originalmente publicado en la web en: http://www.ilustrados.com/tema/7387/Reflexiones-sobre-reforma-curricular-educacion-matematica.html

Autor: Prof. Francisco Laurito. [email protected] Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática. Venezuela.

Unidad de Investigación e Educación Matemática UIEMAT

RESUMEN

Los cambios drásticamente acelerados que vive la sociedad de la información y la comunicación afecta toda actividad cultural humana y obliga a la adaptación permanente de la civilización a una realidad intermitente y etérea. Ello incluye la transformación constante y rápida de la educación en general y a una reforma curricular contingente en educación matemática. En concordancia este artículo tiene el propósito de debatir sobre el movimiento de cambios curriculares recientes en materia de formación en matemática numérica y meta numérica. Se despliegan interpretaciones y reflexiones sobre las tendencias de adaptación a la realidad desde las perspectivas de corto y largo alcance.

Palabras Clave: Educación Matemática. Reformas curricular. Matemática escolarizada local y global. Perspectivas de aula.

INTRODUCCION

En los últimos años ha tenido lugar, en la comunidad de educadores matemáticos a nivel nacional e internacional, una discusión importante sobre los objetivos de la educación matemática escolar, las tendencias predominantes y emergentes relacionadas con los diferentes métodos para el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje, y sobre todo, el papel crítico, social y político que debe cumplir la educación matemática en la actualidad.

Hemos señalado con frecuencia que calcular correcta y adecuadamente, junto con la lectoescritura, forma parte de las habilidades fundamentales que tanto la sociedad en su conjunto como la escuela concretamente deberían cultivar para que los jóvenes se preparen adecuadamente para la vida. Además, la matemática es considerada como una de las asignaturas que nos facilita el entendimiento, el pensamiento lógico y abstracto y sus múltiples usos en cuanto a los métodos y modelos que nos proporciona para la resolución de diversos problemas propios de la matemática como disciplina y muchos otros relacionados con el mundo y la realidad en sus diferentes manifestaciones.

En este artículo examino el currículo desde la perspectiva global y local, bajo la tesis de que tal cambio, es puntual en la base.

CAMBIOS GLOBALES DEL CURRÍCULO

La colaboración que se requiere en el currículo de las matemáticas escolares implica reconocer que el cambio del currículo comienza y termina en el salón de clases. El consenso que


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han asumido las propuestas de reforma curricular tanto locales como regionales y nacionales ha sido con frecuencia ilusorio y las realidades de la práctica diaria no se han tenido en cuenta. Los esfuerzos para obligar a los profesores a que cambien sus currículos son poco promisorios en el nivel regional y aun en el nacional Superar la estabilidad de los currículos puede requerir un enfoque diferente del que pueden usar las comunidades de practica reflexiva. La tecnología que puede jugar un papel clave en este proceso aunque el problema básico no es tecnológico.

Tip O Nelly, vocero de la casa de representantes de los Estados Unidos, en 1994 popularizó lo que ha llegado a ser una máxima fundamental de la política norteamericana. Después de haber sido derrotado en su primera elección como concejal de Cambridge (Massachussets), su padre lo llamó aparte y le dijo: “Toda política es local. No lo olvides” (O Nelly, 1994,p.xv). O Neill daba por hecho que tenía asegurado los votos de su vecindario. A medida que avanzaba hacia posiciones más prominentes en el Estado y luego en el gobierno nacional, repetidamente observó que la primera regla del juego político era poner atención a lo que sucede en su propio patio y cuidar de su gente.

Se puede adelantar una tesis similar acerca de los cambios en el currículo de las matemáticas escolares: Todo cambio curricular es local. En este caso el asunto debe ser obvio. El currículo de las matemáticas escolares es un conjunto de experiencias diseñadas para promover el aprendizaje de las matemáticas. Aunque los documentos nacionales y provinciales pueden proponer e incluso prescribir qué debe ser el currículo, este termina siendo lo que los estudiantes hacen y en consecuencia, es en ese ámbito en donde se manifiestan los cambios.

CONTEXTUALIZACIÓN DEL CURRÍCULO

El segundo estudio Internacional de Matemáticas registró tres niveles del currículo de las matemáticas escolares: el currículo pretendido (desde el punto de vista de los administradores), el currículo implementado o aplicado (desde el punto de vista del profesor), y el currículo logrado (desde el punto de vista del estudiante) (Robitaille, 1980, p. 92; Travers y Westbury, 1989, pp. 6-7). Esta clasificación podía haber sido útil para un estudio en el que las respuestas a los cuestionarios dados por las autoridades nacionales acerca de los planes del currículo y dadas por los profesores acerca de los procesos de clase hubieran sido comparadas con los puntajes de los estudiantes en las pruebas de logro. La clasificación se apoya en el supuesto cuestionable de que el poder educativo fluye directamente del administrador al profesor y luego al alumno:

Designar como pretendido un currículo…limita nuestra versión de los fenómenos complejos de la educación. Eleva las intenciones de las autoridades educativas sobre la de otros participantes en el proceso. ¿Qué hay de las intenciones del profesor y de los estudiantes?...¿Existe un solo currículo pretendido? De manera similar, designar como implementado a un currículo pone al profesor en el papel de empleado obediente, que cumple ordenes de arriba, e implementa planes trazados por otros…El uso de los vocablos pretendido/implementado implica una visión dirigida desde arriba hacia abajo acerca de cómo se construye el currículo de matemáticas y por tanto de cómo puede cambiarse. (Kilpatrick y Davis, 1993, pp. 206-207).

Cuando se utiliza la frase currículo pretendido uno se puede olvidar de que lo que se está escribiendo no es un currículo, sino un conjunto de pautas de un currículo que se va a implementar. La palabra currículo viene del latín cirriculum y significa pista de carreras. Se refiere a

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la experiencia real. El significado se distorsiona cuando la palabra se utiliza para aludir a intenciones más que a realidades. Por detallado que sea el currículo pretendido que se refleja en un documento ministerial o en un libro de texto de matemáticas, no es más real que lo que puede ser el plano arquitecto con respecto a la casa correspondiente.

John Dewey (1900, 1902, 1956) señaló que el niño y el currículo se tienen que ver como dos polos de un proceso en el que se reconstruye la experiencia: Abandonemos la noción de materia de estudio como algo fijo y terminado, fuera de la experiencia del niño; dejemos de pensar en la experiencia del niño como algo fuerte y rápido; veámosla como algo que fluye, embriónica, vital; y nos daremos cuenta que el niño y el currículo son simplemente dos limites que definen un proceso único. De la misma manera que dos puntos definen una línea recta, así, el punto de vista del niño y los hechos y verdades de los estudios definen la instrucción. Lo que llamamos estudios es la reconstrucción continua que se mueve desde la experiencia del niño hacia aquello que se representa mediante cuerpos organizados de verdades. (p. 11).

El currículo de matemáticas no se encuentra en libros, informes o panfletos; emana de la clase.

El sistema educativo mundial es realmente un complejo de sistemas. Las matemáticas se enseñan y se aprenden en las aulas que son unidades estructurales en un colegio. Los colegios dentro de un país se organizan ordinariamente en sistemas alineados de alguna manera con esas estructuras políticas del país, ya sean provincias, estados, ciudades u otros distritos locales. Es muy tentador considerar que estos varios sistemas forman una jerarquía, en las que las decisiones curriculares hechas desde arriba se filtran en forma descendente hasta las aulas. Ciertamente esa filtración ocurre más en unos países que en

otros. Los términos “global” y “local” tienden a ser relativos; cada sistema se convierte en una sombrilla o en un conducto para el sistema que está debajo.

Sería más aproximado sin embargo, pensar que los sistemas se articulan y se impregnan mutuamente. La jerarquía de las estructuras puede existir pero no necesariamente refleja el movimiento de fuerzas que influyen en el cambio del currículo. El vector del cambio puede ir hacia abajo, hacia arriba o hacia un lado. Por ejemplo, una innovación curricular desarrollada en un colegio puede ser recogida y diseminada a través del sistema educativo del país sin ninguna acción del ministerio de educación. O, un país puede adoptar materiales de enseñanza de otros (Howson, Keitel, y Kilpatrick, 1981, pp. 67-82, 243-248). La educación alrededor del mundo se puede comparar con el océano. Fluyen corrientes de ideas curriculares de un lugar a otro, de manera que en la superficie uno puede ver un movimiento considerable. Entre tanto, las estructuras en el fondo mantienen una vida más estable, aunque ciertamente influida por el flujo y reflujo de la superficie.

Por otra parte “la noción de currículo se articula sobre las componentes clásicas: contenidos, objetivos, metodología y evaluación. ” (Dr Luis Rico, 1995, pp. 4-24). la reflexión y la valoración sobre las matemáticas escolares han experimentado en los últimos años cambios profundos y consistentes derivados de los nuevos avances en el campo de la educación, de los estudios sobre sociología, del conocimiento, del desarrollo de la educación matemática y de la profesionalización creciente de profesores y educadores matemáticos. Este marco concibe la educación como “ese proceso mediante el cual un individuo en formación es iniciado en la herencia cultural que le corresponde” (Mead, 1985, p. 191), el modo en que cada generación transmite a las siguientes sus pautas culturales básicas. La educación hace referencia a un sistema de


valores, considera la práctica social en la que se incardina, se basa en unos fundamentos éticos y reflexiona sobre las implicaciones políticas conexas. El conocimiento matemático, como todas las formas de conocimiento, representa las experiencias materiales de personas que interactúan en entornos particulares, culturas y periodos históricos.

Teniendo en cuenta esta dimensión social, el sistema educativo y en particular, el sistema escolar, establece multitud de interacciones con la comunidad matemática, ya que se ocupa de que las nuevas generaciones, sean iniciadas en los recursos matemáticos utilizados socialmente y en la red de significados o visión del mundo en que se encuentran enclavados, esto es, organiza un modo de practica matemática.

La dimensión educativa lleva a considerar el conocimiento matemático como una actividad social, propia de los intereses y la afectividad del niño, cuyo valor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas únicas, a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. El educador se ocupa de enseñar a los niños y adolescentes en la cultura de la comunidad a la que pertenecen y de transmitirles sus valores sociales. De esta cultura también forma parte el conocimiento matemático, que debe comunicarse en toda su plenitud a cada generación.

Las investigaciones y estudios internacionales interesados en la mejora curricular y la difusión de las innovaciones, así como la constitución de una comunidad supranacional de educación matemática, que trata de superar los aislamientos culturales tradicionales e incorporar las realizaciones sociales propias en una corriente de ideas dinámicas y progresistas, presentan datos que caracterizan el momento actual del currículo de matemáticas dentro del sistema educativo en los países avanzados o en vías de desarrollo. Esta consideración global tiene su

especificad en cada país y comunidad, pero presenta rasgos comunes a nivel internacional.

También, y de modo no secundario, debe tenerse en cuenta el continuo y permanente trabajo de miles de profesores, cientos de equipos de trabajo y seminarios permanentes, decenas de reuniones, congresos, jornadas y simposios, que se expresan y manifiestan en las revistas y publicaciones periódicas, en las actas de los congresos y en los libros especializados en educación matemática. Todos estos espacios de comunicación y fuentes documentales constituyen el entramado actual que informa sobre una situación rica y fecunda, que profundiza en la innovación sobre nuestros hábitos de razonamiento y la forma de adquirirlos y enseñarlos.

En los últimos años la comunidad docente ha ido detectando una nueva visión de las matemáticas escolares basada en:

-La aceptación de que el conocimiento matemático es el resultado de una evolución histórica, de un proceso cultural, cuyo estado actual no es, en muchos casos, la culminación definitiva del conocimiento y cuyos aspectos formales constituyen sólo una faceta de este conocimiento.

-La necesaria consideración instrumental del conocimiento matemático desde un punto de vista cognitivo, donde se interpretan los conceptos y estructuras matemáticas como herramientas mediante las que se realizan determinadas funciones y se ponen en prácticas determinadas competencias.

-El reconocimiento de que el núcleo importante de conceptos y procedimientos de la matemática forman parte del bagaje de conocimientos básicos que debe dominar el ciudadano medio; por ello las matemáticas no pueden ser un filtro sino un elemento de promoción y homologación de los alumnos.


-La consideración de los procesos constructivos y de la interacción social en el aprendizaje del conocimiento matemático, en la creación de los sistemas y símbolos y estructuras significativas a las que denominamos matemáticas.

-La necesidad de incorporar, buscar e implementar nuevas tecnologías que pongan a jóvenes y niños en contactos con los aspectos más avanzados de la sociedad y les preparen para desenvolverse en un mundo cambiante.

-La visión activa de la enseñanza, en la que la manipulación de objetos y la elaboración de modelos constituyan una etapa obligada en la adquisición y dominio de los conceptos; al mismo tiempo, una enseñanza menos dirigida y más centrada en la creatividad, el aprendizaje interactivo, la resolución de problemas y la valoración crítica de las decisiones.

NUESTRA NOCIÓN DE CURRÍCULO

En su acepción educativa, el concepto de currículo es de origen anglosajón y, en la actualidad, se ha convertido en un término genérico, con el que se denomina toda actividad que considere el hecho de planificar una formación. Toda reflexión de carácter curricular contempla, explícita o implícitamente, los siguientes elementos:

a. El colectivo de personas a formar. b. El tipo de formación que se requiere

proporcionar. c. La institución social en la que se lleva a

cabo la formación. d. Las necesidades que se requieren cubrir. e. Los mecanismos de control y valoración.

ESTABILIDAD DEL CURRÍCULO

El currículo en cualquier clase de matemáticas está limitado poderosamente por la cultura del colegio. La matriz de escolaridad en la sociedad de la que provienen los estudiantes pone límites en el qué, cómo y cuándo se enseña. En

su sátira clásica sobre el cambio educativo, Harold Benjamín expresa como el currículo para cazar tigres dientes de sable (Peddiwell, 1939) que se utilizó para enseñar a los niños del paleolítico sobrevivió mucho tiempo después de la llegada de la edad de hielo y de que esos tigres hubieran desaparecido. El antiguo currículo preservaba las “verdades eternas”; los reformadores encontraron dificultades al tratar de efectuar cualquier cambio.

Sin lugar a dudas, el cambio más grande en el currículo de matemáticas alrededor del mundo durante este siglo ha tenido lugar en las recientes décadas. La reforma conocida como “matemáticas modernas” de las décadas de 1950 y 1960 que pretendía atraer más estudiantes al estudio de las matemáticas al revelar y emplear sus estructuras abstractas facilitó el camino hacia el movimiento actual que busca hacer las matemáticas escolares más útiles a través de las aplicaciones a problemas reales. El compás curricular en la comunidad de educación matemática a girado 180 grados desde las matemáticas puras hasta las aplicadas en solo tres décadas. En la década de los 60, había un acuerdo casi completo de que si a los estudiantes se les enseñaba nociones básicas como conjuntos, grupos y campos, ellos iban a estar preparados para los usos impredecibles de las matemáticas que se requieren más tarde en la vida. Hoy en contraste, hay un acuerdo casi completo de que los estudiantes necesitan ver matemáticas aplicadas ya sea que esto sea relevante hoy o más tarde.

La historia de este cambio de percepción es complicada. Las calculadoras y los computadores han cambiado las matemáticas fuera del colegio y han hecho posible modelar fenómenos reales en el salón de clase. Los argumentos a favor de que la enseñanza de las matemáticas eleve la competitividad económica de una nación ha creado un clima en el que, de manera creciente, las matemáticas se ven como una materia practica que como una teórica. Al margen de los


matemáticos universitarios, una comunidad cada vez más creciente de educadores matemáticos tanto nacional como internacional ha asumido el control para arbitrar las matemáticas que deben enseñarse en el colegio, lo mismo que para influir en la formación de maestros, de educadores y de otros usuarios de la matemática. Los departamentos y ministerios de educación siguen consultando a los matemáticos, pero hoy, el papel de estos es más ratificar lo correcto de las matemáticas propuestas que proporcionar argumentos, establecer los temas de estudio o demostrar la pedagogía que se debe utilizar.

En pocos países, la fracción de profesores de matemáticas involucrados profesionalmente en esfuerzos de cambio de currículo, ha llegado a superar, digamos 10%. (En Estados Unidos y en el Reino Unido, dos países con una larga historia de organizaciones profesionales en educación, estimo que la fuerza total de enseñanza tiene miembros en las principales organizaciones de profesores de matemáticas en una proporción de alrededor de 5% y casi con certeza no más de 10%). Como Ian Westbury (1980) ha observado, “aun cuando comparativamente gran cantidad de personas participan en…redes orientadas hacia el cambio, siempre habrá más gente que no participa. Las fuerzas para estabilizar el sistema escolar hacen que esto sea inevitable” (p. 32). Westbury concluyó que las iniciativas de reforma del currículo requieren “programas coherentes de coerción” (p. 33) para tener éxito.

CAMBIO REGIONAL DEL CURRÍCULO

¿Cómo se puede promover el cambio de currículo en una región del mundo? Una región se define principalmente pro geografía y economía. Los países de una región se relacionan por proximidad y por una cierta interdependencia. Puede haber algunas afiliaciones políticas también. El sistema educativo de cada país, sin embargo, se define en gran parte por su historia y su herencia cultural. No todos los países de una

misma región tienen tradiciones educativas comunes o incluso similares. En tal contexto, las estrategias coercitivas para el cambio del currículo son pocos promisorias. Los mecanismos usuales de coerción están ausentes. Más aun el papel que los profesores esperan jugar con respecto al cambio en el currículo puede variar de país a país y, en consecuencia sus reacciones a cualquier táctica coercitiva pueden ser diferentes.

Quizás el enfoque más promisorio al cambio regional del currículo es el que sugiere John Olsen (1988) en el análisis de los usos innovadores de los computadores en los colegios. Este autor considera las clases con computadores como una experiencia que introduce a los profesores en la reflexión sobre su propia práctica. En vez de estar obligados a reestructurar el contexto en el que trabajan, los profesores pueden, en grupos, y con la ayuda de simpatizantes exteriores, reflexionar sobre el significado de lo que hacen. Entonces pueden comenzar el proceso de la reforma del currículo dentro de su situación real. Sin ser utópicos, uno puede imaginar grupos colaborativos regionales de profesores que comparten reflexiones sobre su práctica, vía satélite, y se apoyan mutuamente en actividades de reforma.

Cuando Norteamérica puso a un hombre en la luna hace algunos años, la gente se preguntaba por qué no se podían resolver problemas educativos de una manera semejante. Irving Kristol (1973) señaló oportunamente que poner a un hombre en la luna no era sino un problema tecnológico. El cambio social involucra el cambio de la gente. No podemos actualizar a las personas simplemente como actualizamos un software. O reemplazamos el hardware.

Los profesores de las escuelas de ciencias y matemáticas de algunos países pueden darnos una lección. Si el cambio del currículo es un viaje personal, entonces, los reformadores necesitan trabajar con los profesores y con los países donde


ellos están, invitarlos a reunirse en un proceso de reflexión y estimulo mutuo y ser comprensivos cuando ellos tomen sus propios caminos.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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DR. RICO L. (1995) Consideraciones Sobre el Currículo Escolar de Matemáticas. Revista Ema, Vol 1, Nº 1, (Pp. 4-24)

Arbitrado y/o Enviado por: Prof. Cirilo Orozco-Moret (EdD) en la Unidad de Investigación en Educación Matemática UIEMAT-FACES. UC. e-mail: [email protected]

SECCION: AUTOR NOVEL UIEMAT (REPOSITORIO)

DEL SABER A ENSEÑAR AL SABER ENSEÑADO: UNA INTERPRETACIÓN DE LA TRASPOSICIÓN DIDÁCTICA EN MATEMÁTICA.

Nota: Artículo originalmente publicado en: Cuadernos de Educación y Desarrollo. Vol 3, nº 26. 2011. Grupo EUMED. Universidad de Malaga. España. http://www.eumed.net/rev/ced/26/ir.htm

Autor: Irma Rodríguez. [email protected]

Universidad de Carabobo. Maestría de Educación Matemática. Unidad de Investigación en

Educación Matemática. UIEMAT RESUMEN

En la actualidad, está en duda la eficiencia de la escolarización para la formación matemática en virtud de la expansión de la actitud anumérica y del bajo desempeño de la mayoría de los estudiantes en esta disciplina. Al respecto, se conjetura que el docente de matemática es solo un dador de clase y no tiene la preocupación de formar individuos pensantes y crítico, capaces de comprender y explicar la realidad mediante herramientas matemáticas. Al respecto, este ensayo tiene el propósito de examinar interpretativamente el proceso de transposición de contenidos matemáticos fundamentales entre el saber a enseñar (Profesor) y el saber enseñado (Estudiante). La interpretación consiguió puntos de coincidencia y patrones de recurrencia en los procesos de transposición del saber que se da en la enseñanza-aprendizaje de la matemática.


Palabras Clave: Educación Matemática, Transposición Didáctica, Practica del Aula Matemática.

ABSTRACT

Today, the efficiency of schooling for mathematical training is in doubt. It is due to the expansion of math negative attitudes and the poor performance of most students in this discipline. In this regard, it was conjectured that mathematics teacher is only a giver of class and has no concern to form thinking and critic individuals able to understand and explain reality through math tools. In connection, this essay has the purpose of to review interpreting the process of transposition of fundamental mathematical content between knowledge to teach (Professor) and know ledge to learn (student). Interpretation won match points and patterns of recurrence in transposition of knowledge on learning-teaching of mathematics.

Keywords: Mathematics education, Didactics Transposition, Math Classroom Practice.

INTRODUCCIÓN

La Matemática desde el comienzo de la humanidad ha representado una ciencia con valor de significación universal, Sin embargo cuando el docente de la disciplina transmite el conocimiento, es frecuente que sus estudiantes no alcancen a apropiarse adecuadamente de ese conocimiento. Esta situación se refleja en el bajo rendimiento y en otros indicadores de desempeño matemático anómalo. Así, lo confirman los resultados a nivel mundial reportados por organizaciones que hacen seguimiento a la educación sistemática general y a la matemática en particular. Por ejemplo, en un informe emitido por la UNESCO (2007), se recomienda tomar medidas pertinentes en el caso de esta ciencia del saber humano, ya que la misma es tan importante, para la sociedad contemporánea, como el uso de las telecomunicaciones.

Esta expectativa social preocupa a los entes vinculados con la educación, en una gran parte de las naciones del mundo. En el caso particular de España; la cual está en la cola de los países desarrollados, presenta resultados educativos "no satisfactorios”, y aunque el gobierno este

aplicando políticas de estado, inquieta a los investigadores el observar que esas políticas no están funcionando o no se están aplicando los correctivos necesarios. En cuanto a la práctica docente, se reporta desequilibrada en su función, ya que los jóvenes españoles de 15 años tienen la tendencia a empeorar sus registros académicos, según se desprende del informe del Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos Pisa 2003, realizado por los expertos de la OCDE: Este informe revela que un 23% y un 21% de alumnos españoles de 15 años son incapaces de alcanzar el nivel básico en matemáticas y lectura (OCDE, 2003).

Además, en una lista comparativa entre 41 países, España está en el puesto 26 en matemáticas, detrás de Austria, Alemania, Francia, Noruega, Bélgica, Holanda e Irlanda. Respecto a la Unión Europea (UE), sólo Italia, Portugal y Grecia tienen peores resultados que España. Mientras, a la cabeza de la clasificación se sitúan Corea del Sur, Japón y Finlandia (OCDE, 2003).

Todas estas cifras y datos revelan una realidad no deseada a nivel internacional en la cual Venezuela, a pesar de que no participa en esas evaluaciones internacionales, no está exenta del problema. En el país, los indicadores de desempeño en educación matemática son muy bajos para ambos, docentes y estudiantes. Aquí sucede el fenómeno, magnificado en referencia a lo acontecido en el mundo. Siendo la Matemática una disciplina científica con tal nivel de significación y resonancia que aparece considerada en la mayoría de los diseños de las carreras Universitarias, la mayor cantidad de desertores y reprobados en el sistema educativo se encuentra en esta disciplina escolar.

Por otra parte, no hay una ley de reserva del campo laboral para los educadores de matemática y un gran proporción de maestros son conminados a enseñar matemática, cuando ellos mismos no tienen las competencias. Además, el rango de acción pedagógica es muy abierto y la docencia matemática es flexible a recibir profesores provenientes de otras carreras universitarias. Por ejemplo, en el caso de los egresados de Licenciado en Educación mención Matemática, tienen un perfil definido, hacia un desempeño docente en una carrera


considerada aplicable desde la Educación Básica hasta la Educación Superior.

En estas circunstancias y en este momento histórico las casas de estudios superiores tienen la responsabilidad de reformular sus diseños curriculares en la formación de docentes para la Educación Matemática en Venezuela. Se sabe de distorsiones curriculares de diferente índole que deben ser corregidas desde la base; empezando por definir sus propósitos y su destino. Por ejemplo, se debe considerar que los jóvenes de la zona rural reciben una educación de zona urbana y necesitan un modelo de currículo que introduzca esa diferencia contextual. Al respecto se afirma que no existe educación rural sólo educación urbana en liceos rurales. Núñez (2004).

En este sentido, en los nuevos enfoques epistemológicos que se están desarrollando dentro de los modelos didácticos venezolanos, determinaría la forma cómo el educador debe estar atento a las circunstancias contextuales locales pero en paralelo con los cambios que en materia educativa, puedan ocurrir a nivel mundial y nacional, más aún si la innovación va en beneficio del efectivo aprendizaje para sus estudiantes. Es por esta razón que las instituciones formadoras de profesores, necesitan imperativamente definir un deber ser y un deber estar en constante actualización respecto de las emergentes praxeología y de la introducción de innovaciones en los modelos tradicionales. Así como, también debe acometerse la revisión exhaustiva del episteme matemático curricular, entre otros aspectos a considerar, para que se promueva un mejor desempeño en la carrera docente del aprendiz de maestro.

Evidentemente la visión de este enfoque epistemológico flexible y cambiante en didácticas de la Matemática, ha aparecido con retardo, Esto ocurrió así, por la preponderancia de un “modelo popular” de la matemática en las instituciones docentes. En este sentido, se puede afirmar que los modelos docentes habitualmente están sustentados por un modelo epistemológico ingenuo y particular de cada institución, donde se interpreta tácitamente que esa es la manera incuestionable de hacer y reconstruir la matemática en el acto pedagógico.

En referencia a esta concepción, la clase de matemática plantean una problematización epistemológica: la necesidad de analizar las características de las “situaciones reales" que permiten el desarrollo de un proceso de modelización con fines didácticos. Estas situaciones son efímeras debido a los rápidos cambios que se están dando en el mundo; pero a. partir de esta realidad, se percibe la necesidad de una nueva visión y un nuevo modelo de enseñanza que debería estar centrado en el profesor y el estudiante; lo cual exige reformas en profundidad, así como una renovación de los contenidos, métodos, práctica y medio de transmisión del saber. Una circunstancia donde se concibe que el estudio de la didáctica de la Matemática sea la manipulación social de los saberes científicos en el seno de la actividad humana (Angulo, 2009).

En ese sentido, el propósito de éste ensayo fue examinar interpretativamente, ese tipo de circunstancia, entendida como el proceso de transposición de contenidos matemáticos fundamentales entre el saber a enseñar (Profesor) y el saber enseñado (Estudiante). Así, en esta revisión se hizo énfasis en la Transposición Didáctica del profesor de Matemática y la incidencia de este concepto en sus prácticas profesionales. Es decir, hubo una atención dirigida menos al conocimiento matemático del profesor y más sobre la didáctica empleada al abordar la enseñanza de los estudiantes.

Perspectivas de la transposición didáctica.

La Teoría Antropológica de lo didáctico propuesto por (Chevallard, 1899), está inspirada en la atención que ha centrado el investigador en las actividades de las personas implicadas en la materia de análisis, que no es solo resolver problemas , sino en comunicar la matemática como tal. En este sentido, el estudio de las concepciones epistemológicas de los docentes cobra especial relevancia, por su influencia en el proceso enseñanza-aprendizaje, y en la relación del docente con el estudiante, durante su proceso formativo.

Al respecto, se dice que cada profesor mantiene, de manera implícita o explícita, unos principios y


reglas de funcionamiento de su propio conocimiento en particular (Perafán, 2004). En concordancia, hay un renovado interés científico en hacer un seguimiento a la epistemología del profesor de matemática, en referencia a como éste se desempeña en las prácticas profesionales y centrado en que procesos de enseñanza tienen lugar en las instituciones educativas. Desde esta perspectiva, no se consideran los factores vinculados en exclusiva al contenido y se enfatiza más en la actividad docente propiamente dicha, para acortar la brecha epistemológica de fondo y forma entre el saber originario de la comunidad de profesionales de la matemática y el saber enseñado en el aula (Silva, 2003).

Según Perafán (2004), esta concepción de investigación es pertinente porque que conduce a la comprensión e interpretación de los referentes epistemológicos particulares de los profesores, con el fin de dilucidar la naturaleza, el tipo y la función histórica de sus prácticas pedagógicas y didácticas. Esto es debido a que la transposición didáctica es aceptada como la acción de planificación intencional en la cual el docente transforma un saber científico matemático en un saber posible de ser enseñado. Esta transformación es definida como “el conocimiento transmitido del que sabe al que no sabe” Gómez, (2005).

Al mismo tiempo el interés central de este ensayo se fundamenta en el entendimiento de que la matemática constituye una actividad humana y no sólo una disciplina cognitiva. Luego, desde esta visión unas de las mayores preocupaciones del profesor es el logro de la apropiación del conocimiento por parte del estudiante; un proceso conocido como Transposición Didáctica, constructo formulado por Yves Chevallard quien lo concibe como el paso del saber sabio al saber a enseñar, y finalmente del saber a enseñar al saber enseñado.

Con base a esta concepción, el profesor se convierte en objeto-sujeto de su propio desarrollo personal, tal como se postula en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), la cual es básicamente una posición de investigación, cuyo eje central es el hombre aprendiendo y enseñando las estructuras matemáticas a través de las relaciones humanas, y donde se plantea un

programa de alcance integral entre lo matemático y lo didáctico, con mediación de la intercomunicación. Al respecto, se mencionan seis momentos del camino hacia el logro de una clase ideal (Font, 2002).

Perspectiva Atribucional del Docente

Partiendo de los reportes emanados de organismos internacionales como el NCTM (Consejo Estadounidense de Profesores de Matemática), se puede conjeturar que, como nunca antes en la historia de la humanidad, los docentes comienzan a ser participes de la educación sistemática y a preocuparse por su destino. En ese sentido, de las propias decisiones tomadas por los docentes en relación a los contenidos y el carácter de las Matemáticas, se derivan consecuencias importantes tanto para las metas de los estudiantes como para las expectativas de la sociedad (NCTM, 2005).

Correlativamente,, en las dos últimas décadas son muchos las investigaciones destinadas a analizar las concepciones de los profesores, ya que son ahora considerados los “protagonistas” de la enseñanza y como tal, son el segundo punto focal de la investigación educativa (chevallard 2001). Al respecto, en esta línea de investigación que estudia los factores atribucionales del docente en el problema de la didáctica matemática; se detectan tendencias destinadas a indagar el nivel de formación disciplinara del profesor; el nivel de competencia cognitiva y metacognitiva del docente, la concepción del docente respecto a la teoría pedagógica y el comportamiento real en la práctica de aula; el pensamiento y los limites paradigmáticos del educador; entre otras visiones de la educación matemática (Martínez, 1992; Perafan, 2004; García y De Rojas 2003; Orozco, 2009). En esa dirección, (Martínez, 1992) concluye que los docentes de matemática no poseen universalidad de significados sobre contenidos disciplinares claves y que en general la formación y dominio en la disciplina presenta debilidades. Por otro lado, algunas investigaciones relacionadas con la práctica del docente indican que, el dominio teórico sobre los procesos mentales involucrados en el saber matemático, por parte de los profesionales de la enseñanza,


son cualitativamente distintos a los que ejercita y mantiene durante sus practica interactiva (Clases) Perafan (2004).

Al respecto, este investigador concluye que en esa circunstancia no existe una sola epistemología docente; se habla entonces de una epistemología polifónica, con la cual coincide Orozco (2009), cuando afirma que las concepciones epistemológicas complejas de los profesores se deben al paradigma que les ha tocado vivir “el multiparadigma”, un paradigma científico de la complejidad en el cual convive. En concordancia, en la investigación de Perafan se deja ver que el estudiar la cultura del aula desde la perspectiva del profesor, introduce una estrategia que permite comprender, interpretar y poner a circular órdenes discursivas y formas de vida en la escuela que por lo general queden ocultas en los discursos oficiales.

Es decir para estudiar el pensamiento, el conocimiento y la práctica profesional del profesor de matemática se requiere profundizar en epistemologías diferentes y algunas veces considerar las particularidades del individuo o de la institución. Estas se refieren a los significados dados a los saberes académicos, saberes basados en la experiencia, rutinas guiones y teorías implícitas. Al respecto, se ha señalado que las dificultades educativas están centradas principalmente en lo que los profesores piensan acerca de algunos constructos pedagógicos y otros aspectos relativos con la praxis. Estas concepciones inciden en el aprendizaje de los estudiantes, en relación directa con la actuación que despliega el docente en el aula (García y De Rojas 2003).

Así es como la teoría de la transposición didáctica permite la distinción entre el conocimiento académico producido, por ejemplo, por los matemáticos, los conocimiento que se enseñan definidos por el sistema educativo, el conocimiento real impartido por el profesor y, finalmente, el conocimiento que definitivamente es aprendido por los estudiantes. Esta labor de transposición es una construcción social a cargo de un montón de diferentes personas en diferentes instituciones: autoridades políticas, los matemáticos, los docentes y sus asociaciones.

Todos estos agentes sociales tienen el rol de definir las cuestiones de la enseñanza y elegir lo que debe enseñarse, así como determinar en qué forma se presenta el conocimiento. Este nivel de organización institucional es lo que Chevallard llama la "noosfera". En este sentido, es imperioso asumir una actitud crítica en el estudio de las prácticas de aula ejecutadas por el docente. Chevallard (1998) la denomina Vigilancia Epistemológica, para mantener una duda sistémica, una mirada cuidadosa que debe estar preguntándose a cada momento sobre el evento en ocurrencia.

El autor agrega el concepto de vigilancia epistemológica, aludiendo a la atenta mirada que debe haber respecto a la brecha existente entre el saber académico y el saber a enseñar. Para Chevallard la transposición es la transformación de los conocimientos en su proceso de adaptación y supone la delimitación de conocimientos parciales, la descontextualización y finalmente una despersonalización.

Según Gascón, las prácticas didácticas del docente de matemática se caracterizan en tres: la empírica, la espontánea y la del profesor. En La primera se presenta algunas contradicciones entre sus componentes, en la segunda se improvisa dependiendo de los acontecimientos y la última el profesor se concibe como un sujeto concreto siendo el personaje principal con acentuadas contradicciones e improvisaciones. De allí que en una organización matemática concreta (matemática como un todo) el papel del docente de matemática se define como la reconstrucción de los contenido de forma que pueda ser aprendidas.

Para Bosch y Gascón (2001), esto se debe al que el profesor no elige arbitrariamente las técnicas didácticas que utiliza sino que, está sujeto a una Organización Matemática determinada, y depende de la institución donde tiene lugar la enseñanza, de la formación que ha recibido el profesor, de sus conocimientos y creencias. Finalmente Yves Chevallard (1998), expone el significado de Transposición Didáctica con varias connotaciones, al respecto señala que en todo proyecto social de enseñanza y de aprendizaje se establece una identificación y la designación de


contenidos de saberes como contenido a enseñar. Los contenidos de saberes designados como aquellos a enseñar (explícitamente en los programas; implícitamente: Por tradición, evolutivas, de la interpretación de los programas), en general preexisten al movimiento que los designa como tales. Sin embargo, algunas veces (y por lo menos más a menudo de lo que se podría creer) son verdaderas creaciones didácticas, suscitadas por las “necesidades de la enseñanza”. A manera de conclusión

Esta exploración, aunque breve y no exhaustiva, encuentra y ofrece pistas a seguir para dilucidar algunas barreras y desequilibrios propios de la naturaleza de la educación matemática. La interpretación de postulados teóricos y de hallazgos empíricos sobre cómo se concibe y se da el proceso de enseñanza-apprendizaje de los objetos matemáticos, parece indicar que tanto educadores, como expertos e investigadores están virando a explicar el fenómeno de ineficiencia de la educación matemática escolar, desde la perspectiva de análisis del rol del docente. Tal proposición indagativa se enfoca dentro de las interacciones sociales y en vinculación con el proceso de construcción colectiva del saber; atendiendo la conexión con la realidad que ocurre en la práctica de aula. En particular, es de destacar que en esta concepción toma vigencia y abre las puertas del campo de la investigación en educación matemática, el constructo de transposición didáctica de los objetos matemáticos; el cual discrimina entre el saber a enseñar en posesión del profesor, el saber deseado como expectativa institucional y el saber enseñado o real que tiene como destino receptor el estudiante.

Agradecimiento: Este ensayo, fue asesorado y prearbitrado por el Prof. Cirilo Orozco Moret (PhD) , desde la Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT) en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo. Venezuela. Email de contacto: [email protected]

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NOTA: Artículo publicado originalmente en Cuadernos

de Educación y Desarrollo. Revista académica

semestral. Vol 3, Nº 26, 2011. Universidad de Málaga,

España. Eumed.net.

Institución

Docente

Estudiante



Evaluación de los Aprendizajes, Debilidades Fortalezas y la Disposición al Cambio.

Nota: Artículo publicado originalmente en: http://www.ilustrados.com/tema/7393/Evaluacion-panacea-para-aprender-ensenar-mejorar.html

Arminda M. Lugo S. [email protected] Universidad de Carabobo.

Maestría en Educación Matemática. Unidad de Investigación en Educación Matemática

UIEMAT

Resumen

La presente reseña documental es el producto de una indagación reflexiva sobre la evaluación como proceso de enseñanza y su función para mejorar la calidad de vida del ciudadano en formación como ser individual y social. El propósito de esta reseña fue ahondar sobre las posibles debilidades presentes en el proceso de evaluación de los aprendizajes, y estuvo enfocada en subsanarlas, y a su vez, en descubrir y solidificar las fortalezas observadas durante el proceso. La metodología empleada fue elaborar una justificación documentada de observaciones y experiencias en la práctica de aula. Entre las conclusiones que se pueden aportar, es que, quien evalúa debe tener presente la manera cómo se aprende y cómo se enseña: Con el uso de técnicas, recursos e instrumentos apropiados se puede facilitar la búsqueda de la solución o soluciones para la problemática existente de mal uso de la evaluación en el proceso educativo.

Palabras clave: Educación Matemática. Evaluación. Disposición al cambio.

Introducción:

Para nadie es un secreto que la evaluación educativa es una actividad compleja que es monótona y meticulosa, y al mismo tiempo, es una tarea necesaria y primordial en la labor Docente. Sin embargo pocos piensan en la evaluación desde la mirada del discente. Luego, en el cumplimiento de esta actividad, los educadores, constantemente realizamos prácticas evaluativas rutinarias y nos acostumbramos a enjuiciar con excesiva ligereza sin llevar a cabo una reflexión que nos permita cuestionar y corregir lo que se está haciendo y como esto afecta al estudiante. Nos excedemos en la ligereza de juicios sin tomar en cuenta por qué y el para qué se evalúa. Y muchas veces, llevamos a cabo la evaluación desde un punto de vista solo normativo – institucional, y no desde una verdadera óptica pedagógica que permita tomar decisiones en beneficio del aprendiz, en mejora de nuestra eficiencia y del perfeccionamiento del proceso de enseñanza y aprendizaje.

Por estas razones, el propósito de esta reseña, fue, construir un andamiaje teórico que diera soporte a algunas prácticas evaluativas personales para ir profundizando sobre el significado práctico de la evaluación como complemento de aprendizaje y como tarea cotidiana de la profesión docente. Se conjetura que con este tipo de concepción de evaluación, se romperá el marco limitado de etiquetar al aprendiz, lo cual fue impuesto por una evaluación medicionista de resultados triviales y sintéticos, que terminó desligada de los procesos reales de aprender y enseñar.

Se llegó a la conclusión de que la evaluación debe ser concebida de manera constructivista y cualitativa, flexible en su adaptación al contexto, al grupo y al individuo; en función del cambio y transformación de la realidad social. Además se concretó la expectativa de descubrir directrices que permitan de una u otra forma llegar a la solución del problema de uso erróneo de la evaluación del aprendizaje en el proceso educativo escolar.

Breve Reseña Histórica del Concepto


El concepto y la praxis de la evaluación de los aprendizajes son, ambos, constructos subjetivos e imprecisos que han atravesado por varias etapas de desarrollo, a las cuales se han dado por llamar “Generaciones en evolución”. La primera generación de concepciones, a principios del siglo XX, toma la evaluación estrictamente como medición y se sienta en la medición del cociente intelectual, factores de inteligencia y rendimiento académico dentro de una escala de numerales arbitrarios.

La segunda generación de conceptuales de evaluación, que va desde 1930 hasta 1967, comienza a diagnosticar y valorar el impacto de cambios curriculares en los resultados educacionales, dentro de un enfoque eminentemente experimental. Aquí se sitúa Ralph Tyler y toda su escuela de seguidores en el intento de describir el nivel de logro de los objetivos instruccionales previamente establecidos.

La tercera generación de definiciones, que puede ubicarse entre 1967 y 1987, se centra en el manejo de la información que le permite a un evaluador emitir un “juicio de valor” o una valoración de un programa, un resultado o una conducta. Se debe a Michael Scriven (1973) el modelo de evaluación llamada “Goal Free” o sin objetivos preestablecidos.

Dentro de esta generación y acercándose a la cuarta, están algunos de los modelos tales como: el modelo respondiente de Robert Etake (1975), el modelo judicial de Wolf (1975), Owens (1973) y Levine (1974). El modelo de transaccional de Robert Rispey (1975) y el modelo iluminativo de Malcom Parlett y David Hamilton (1977).

La cuarta generación de significados de evaluación (Guba y Lincoln, 1998), se basa en el paradigma constructivista. Se trata la evaluación como de una “negociación” entre los directores, los actores, los beneficiarios y las víctimas de un programa de una actividad escolar, los criterios a que se apelan son:

1. Credibilidad e isomorfismo entre la realidad de los usuarios y la realidad que se les atribuye que ellos manejan.

2. Retroalimentación: (feedback) continúa la información a los agentes, beneficiarios y víctimas.

3. contar con diferentes y contrastantes conformaciones valorativas de una actividad, desde perspectivas complementarias, para elaborar una opinión multifacético y pluralista.

Dentro del enfoque constructivista, se ha desarrollado un paradigma evaluativo llamado “Pragmática” o “tecnología”. Este paradigma se centra en actividades y procesos orientados a la acción. El paradigma pragmático en evaluación echa mano de herramientas cuantitativas y de elementos cualitativos, dentro de un contexto constructivista, en interacción permanente con los actores del proceso educativo.

Dimensiones psicosociales de en Evaluación.

Son muchas las cuestiones que se pueden estudiar en la evaluación entendida como actividad a realizar dentro del proceso de enseñanza, y quizás la primera de ellas sea esta misma consideración de la evaluación como componente de la enseñanza o como factor ajeno de la misma. En la medida en que consideramos la evaluación como una función distinta a la actividad didáctica normal, podremos comprender los recelos, el temor que tradicionalmente ha originado tanto en le profesor como en los alumnos, una reacción completamente normal en el ser humano, que ve con prevención todo lo que no le resulta familiar, lo que es extraño.

La reacción defensiva más frecuente ante esta forma de evaluación extraña, vivida de alguna manera como una amenaza por profesores ya alumnos, consiste en la organización y subordinación de las actividades en función de la superación de los niveles exigidos en unas pruebas que y han sido diseñadas y a veces aplicadas por agentes externos.

Las consecuencias a nivel de alumnos de esta forma de evaluación son en cierta forma similares pero más intensas. No se reconocen ellos la suficiente capacidad para organizar su propio aprendizaje, ya que no poseen capacidad para autoevaluarse y ni siquiera la fuente de decisiones sobre este tema está dentro del propio


grupo de trabajo (profesor), sino que se aleja a instancias ajenas al aula y a la propia escuela.

Desde una perspectiva psicosocial de la evaluación, se pone de relieve el carácter único de cada proceso de aprendizaje y por lo tanto, la imposibilidad de evaluarla mediante la utilización de instrumento de aplicaron general. Se necesita proceder a una evaluación cualitativa que estudie y explique cada caso. Psicológicamente cada persona utiliza unas determinadas estrategias para el tratamiento de información y posee un nivel específico de motivación, lo que origina unos procesos diferentes de aprendizaje.

Socialmente es posible constatar la importante influencia del clima sociocultural del alumno, de la naturaleza de su clima familiar, del nivel de expectativas que se ha formado del tipo de lenguaje que utiliza. La naturaleza de las relaciones entre profesor y alumno y de las que se producen dentro del grupo de alumnos, características del mismo clima social que se da en el centro escolar, son otros tantos factores que pueden influir de manera considerable en los rendimientos.

La evaluación del aprendizaje no será válida en la medida en que se limite a constatar un determinado nivel de aprendizajes sin realizar una explicación individualizada de las características psicosociales que lo han determinado en cada caso.

El Concepto de Evaluación de Aprendizaje

Es el proceso que permite conocer la efectividad de la acción educativa en cada uno de los individuos y en el colectivo que sigue intencionalmente un proceso educacional.

Este proceso puede ser enfocado desde distintos puntos de vistas, y por lo tanto tomar variadas acepciones, según el propósito y el campo en que se emplea.

Se considera bajo dos posibles ópticas:

a) Lo teórico - conceptual, que apunta la definición genérica en el campo educativo: hay consenso entre los teóricos de la evaluación

educativa Wandt y Brown (1975); Cardounel (1962): Scriven (1967); Ferucci Carlos (1971): Nelgon C. (1971); Goring (1971). Villarruel (1974); Popham (1975); Pérez Gómez (1985) y Stufflebean y Anthony Shinkfielnd (1987); Rossi y Frumam (1989), que evaluar en su connotación más genérica, es valorar el merito del objeto, sujeto o ente evaluado Scriven, uno de los más reconocidos teóricos de la evaluación educativa, señalaba que: “lo fundamental del acto evaluativo residía en la valoración del merito”. Evaluar es juzgar las virtudes del hecho, fenómeno, objeto en ente a evaluar, e implica por tanto una tarea judicativa.

b) La metodología o procedimetal que atañe al cómo se realiza y ejecuta la evaluación: la acción de evaluar en sí misma es fundamentalmente una comparación: supone dos componente principales a comparar: el ente a evaluar con todas sus manifestaciones observables y no observables y referentes con los cuales se realiza el acto comparativo.

Villarruel (1974), la definía como el “Acto mediante el cual se compara un hecho, persona, fenómeno,…, con un patrón previamente determinada”. Briones (1985), conjuga aspectos de la definición conceptual con la operativa, conserva el carácter valorativo y judicativo y especifica la comparación del objeto a evaluar con unos criterios, que pueden estar o no explícitos.

Al inicio, la evaluación se ocupaba principalmente de juzgar al estudiante en algunos aspectos de su comportamiento. Esta tarea era responsabilidad absoluta del maestro, y los resultados de la evaluación se informaban al interesada: padres ya alumnos, únicamente al final del lapso escolar. Por esta razón, la evaluación fue vista como una etapa Terminal del proceso de enseñanza, durante mucho tiempo, su propósito era calificar al alumno para decidir su promoción o no. En cambio, Rosales (1968) planea la necesidad de la evaluación en cada momento del proceso de enseñanza aprendizaje al formular lo que debería significar la evaluación en nuestros días, al respecto indica:

La evaluación constituye una reflexión crítica sobre los momentos y factores que intervienen en el proceso didáctico.


La Evaluación desde la Perspectiva del Profesor

La forma en que el profesor vive la evaluación habría que situarse en dos planos de estudios: el ideal y el real. Desde una perspectiva ideal el profesor considera la evaluación como un seguimiento continuo de los progresos de sus alumnos, en ponerse a un lado para observar la forma en que trabaja, los éxitos y posibles errores y, fracasos y poder orientarle y estimular su desarrollo de manera continua e inmediata. Se trata de una forma d evaluación consustancial al desarrollo del proceso instructivo, que toma datos a través de la observación, el dialogo, el análisis de tareas,… Es una clase de evaluación formativa y que asume una visión cognitiva del proceso de aprendizaje.

Sin embargo, en la realidad no puede practicarse, al menos de manera completa, y ello puede deberse a varios motivos:

1. Por las condiciones de trabajo en que se desenvuelve la tarea del profesor. El elevado número de alumnos, el escaso tiempo laboralmente reconocida para dedicarlo a la elaboración de informes, el análisis de trabajos, la entrevista individual, entre otros.

2. La presión social a distintos niveles.

3. Habría que aludir a una, a veces, insuficiente capacitación profesional con sentimientos de inseguridad en el valor del propio juicio y que a veces, serias dificultades para hacer explícitos los argumentos en que fundamenta dichos juicios.

Como resultados de éstos y otros motivos, el profesor se ve ante el problema de no poder realizar una evaluación planamente cualitativa y tener, sin embargo, que proceder una investigación ante diversos estamentos (administración, padres, sociedad, los mismos alumnos) de las decisiones que adopta.

La Evaluación desde la Perspectiva del Alumno.

El análisis de la perspectiva y vivencias de alumno en torno a la evolución resulta necesaria identificar el papel de ésta dentro del proceso instructivo. Y hay que señalar al principio que en un sistema convencional de enseñanza se ha mitificado en exceso. La obtención de calificaciones altas es de extraordinaria importancia para el alumno, pues ello significará alcanzar el reconocimiento y una conceptualización elevada por parte del profesor, de sus compañeros y de manera más amplia, de sus padres y de la misma sociedad.

El peligro que psicopedagógicamente se presenta consiste en identificar un enjuiciamiento sobre el aprendizaje con un enjuiciamiento sobre la persona. Se corre el riesgo de que el alumno que tiene éxito en el aprendizaje pueda llegar a creer que la va a tener en toda actividad personal y profesional. En el caso de que dicho enjuiciamiento sea positivo, los problemas no existen o son mínimos. Sin embargo, en el caso de ser negativa, da lugar al desarrollo de sentimientos pesimistas sobre su trabajo y sobre sí mismo.

Tendencias en la evaluación según Valbuena, 1982, acota que existen diferentes tendencias, entre los principales se tienen:

1. Evaluación en función de contenidos programáticos: En esta tendencia la intención básica es la determinación de la medida en la cual un contenido programático determinado ha sido asimilada por el estudiante, sin que se atienda a las razones o propósitos por los cuales el mismo e estudia.

2. Evaluación en función de logros: Se corresponde con las tendencias curriculares que señalan la necesidad de establecer las metas u objetivos que los estudiantes deben alcanzar y dependiendo de ellos los contenidos programáticos, las actividades de aprendizaje, los recursos y las actividades de evaluación. Dentro de esta tendencia podemos distinguir dos variantes:

a) Evaluación como Medición de Logros: Es determinar cuánto se logró. Para quienes se ubican, en esta tendencia, lo único importante es establecer la medida de lo aprendido y, en


consecuencia, todos los aprendizajes deben ser susceptibles de medición.

b) Evaluación como Valoración de Logros: Evaluar no es sólo determinar cuánto alcanzó cada grupo, sino juzgar esos logros en consideración de las condiciones en las cuales se produjeron.

3. Evaluación para la Toma de Decisiones: En esta tendencia se toma referencia a la anterior; pero con una concepción más amplia de evaluación, so sólo basta señalar que se ha logrado determinado porcentaje de objetivos en det6reminados condiciones, ni indicar que el rendimiento o el programa es excelente; sino que hace falta, con base en los resultados, las fallas y aciertos así como las causas que la produjeron, tomar decisiones que además de certificar o promover garanticen que se subsanen las fallas y se consoliden los aciertos.

4. Evaluación para el Mejoramiento: La tendencia anterior alcanza su máxima expresión, como lo señala Skager y Dave (1977), cuando la educación en general y la evaluación en particular se asocian con crecimiento, innovación y desarrollo. Aquí la evaluación se fundamenta en una toma de decisiones positivas que se basa en las necesidades y progreso del estudiante, a fin de permitirle a él tomar decisiones en aspectos que le afecten directamente. La evaluación así concebida también evaluará el proceso total, obteniendo evidencias que permitan a los docentes, padres, administradores y planificadores tomar las decisiones, a esos diferentes niveles, que mejoren el proceso y garanticen un mejoramiento de los aprendizajes que al final se traduce en un mejoramiento de la calidad de vida del ciudadano como ser individual y social.

Características de una Evaluación Constructivista.

A continuación se presenta algunas características que deben estar presentes en la evaluación constructivista:

Poner énfasis en la evaluación de los procesos de aprendizaje.

Evaluar la significatividad de los aprendizajes.

La funcionalidad de los aprendizajes como un indicador potente del grado de significatividad de los aprendizajes.

La Asunción progresiva del control y responsabilidad lograda por el alumno.

Evaluación y regulación de la enseñanza.

Evaluar aprendizajes contextualizados.

Coherencia entre las situaciones de evaluación y el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Criterios e Indicadores de Logro en la Evaluación Del Rendimiento.

La evaluación del rendimiento académico de los estudiantes se ha definido desde Tyler R. (1934) como la congruencia entre la respuesta solicitada a los estudiantes y el objetivo de aprendizaje propuesta. La evaluación positiva depende de la congruencia entre la pregunta y el objetivo de aprendizaje propuesto. Para el educador conductista que ha formulado sus objetivos específicos no hay mayor dificultad en la evaluación pues desde la formulación del objetivo instruccional ya están anunciadas prácticamente las condiciones la evaluación y el tipo de conducta que el estudiante tendrá que exhibir como indicador de su dominio de objetivo específico mismo, pues éste está formulados desde el principio en términos de la conducta observable que se espera del estudiante.

En la perspectiva cognitiva también se evalúa (y en algunos casos la evaluación puede ser incluso cuantitativa), pero los indicadores de logro no son un muestreo del dominio de aprendizaje que se pretende evaluar. En esta perspectiva, un indicador de logro es una seña reveladora del nivel de comprensión y del tipo d razonamiento que alcanza el alumno sobre el tema o disciplina particular objeto de la enseñanza.

El indicador del logro puede ser apreciado y evaluado por el profesor cognitivo cuando ha categorizado previamente los pasos y los tipos de


nuevo aprendizajes que puedan ocurrirle al alumno no durante el proceso de reelaboración de algún tema. El énfasis cognitivo estará puesto en los aprendizajes que implican comprensión y generación de nuevos sentidos, y desarrollo de habilidades para pensar el tema objeto de enseñanza y aprendizaje.

Concepción Actual de la Evaluación

Dentro de una concepción sistemática de la enseñanza, la evaluación cumple una función insustituible de control, de análisis y valoración de la calidad de los procesos y resultados de los programas, proyectos curriculares y sistemas educativos.

En esta nueva concepción, habrá que atender a dos características especiales:

La naturaleza global y comprensiva de los análisis de evaluación: Los factores que afectan los procesos y determinan la calidad de los resultados son múltiples y actúan de forma conjunta, en interacción. La evaluación debe, considerar factores que hacen referencias a las condiciones iniciales del alumno, del profesor, del currículum y del contexto, a las condiciones que definen los intercambios psicosociales del aula y a los resultados finales más o menos provisionales, observables o internos, que se aprecian en el alumno, profesor currículo y contexto.

El carácter axiológico de todo análisis de evaluación: Evaluar implica valorar, determinar el valor de un proceso educativo. Cuando se pone en juego una actividad valorativa, surge un conjunto de problema que hace referencia a las personas que sustentan la responsabilidad de evaluar, los objetivos que pretende satisfacer la evaluación y la dimensión política de todo proyecto de evaluación. El carácter axiológico de la evaluación nos sugiere la necesidad de considerar a la vez los problemas éticos y los problemas técnicos.

Modelos de Evaluación Cualitativa

Los modelos que a continuación se describen se ubican en el paradigma alternativa de evaluación cualitativa que según Guba y

Lincoln (1994), pertenece a la cuarta generación de la evaluación:

Evaluación iluminativa (Parlett y Hamilton. 1972). Las características más resaltantes de este modelo son:

Tendencia holística en los estudios sobre evaluación.

Mayor preocupación en la descripción e interpretación.

Se orienta el análisis de procesos.

La evaluación se desarrolla bajo condiciones naturales o de campo.

Los principales procedimientos de recolección de información son la observación y la entrevista.

Evaluación respondiente (Stake 1975)

El propósito de este modelo de evaluación consiste en responder a los problemas y cuestiones reales que se plantean los alumnos y profesor cuando desarrollan un programa educativo.

Este módulo presenta las siguientes peculiaridades:

Se orienta a describir las actividades.

Concede más importancia a los problemas que a las teorías.

Toma en consideración las diferentes interpretaciones de aquellos que están implicados en el programa.

Tiene como propósito ofrecer un programa completo y holístico del programa educativo.

En relación a los dos modelos de evaluación cualitativa se pueden plantear las siguientes diferencias:

a) La evaluación iluminativa se orienta al análisis de proceso; mientras que al evaluación


correspondiente se encarga de describir las actividades.

b) La primera evaluación se preocupa más por la descripción e interpretación del proceso; en cambio, la segunda concede mayor atención a los problemas que a las teorías.

c) La iluminativa tiene como fin la holística en los estudios sobre evaluación y la respondiente tiene como propósito ofrecer un programa completo y holística del programa educativo.

d) La primera se basa más al estudio del proceso evaluativo en sí; mientras que la segunda, se fundamenta en los programas.

Evaluación Democrática (Stenhouse, Mc Donald y Elliot 1976, 1982)

El propósito fundamental de esta evaluación es facilitar y promover el cambio no de forma aparente y circunstancial, sino también la transformación verdadera de los que participan en el programa educativo, mediante la modificación de concepciones, creencias y métodos de interpretar esa realidad educativa.

El evaluador bajo este método: ejerce una función de orientación, de promoción, favorece el diálogo, la discusión, la búsqueda, el análisis, activando el pensamiento para comprender y valorar el programa, tomando en consideración los puntos de vistas de los participantes.

Al comparar los modelos de evaluación cualitativa (iluminativa y democrática), se puede constatar que ambos modelos presentan algunas semejanzas. Entre ellas se pueden citar:

Que el evaluador posee una posición neutra, no imparcial, evita imponer sus pensamientos en los participantes, en ambos modelos.

Ambas evaluaciones tienen como propósito principal facilitar y promover el cambio en el proceso de enseñanza – aprendizaje y así lograr una evaluación positiva. Pero ¿Qué es evaluar en el proceso de enseñanza – aprendizaje?, según la concepción de diferentes autores:

Para Jorba y Casellas, 1999; Miras y Solé, 1990; Santos, 1993; Wolf, 1998, evaluar implica, implica seis aspectos centrales:

1. La demarcación del objeto, situación o nivel de referencia que se ha de evaluar.

2. El uso de determinado criterios.

3. Una cierta sistematización para la obtención de la información.

4. La obtención de información se realiza mediante la aplicaron de técnicas.

5. La emisión de juicios.

6. La toma de decisiones.

Mientras que, para Stufflebeam y Shinkfield (1987), conciben la evaluación orientada o valorar los méritos de un determinado objeto de estudiar. En cambio, Villarroel (1974), la define como el “acto mediante el cual se compara un hecho, persona, fenómeno, con un patrón previamente determinado”.

Briones (1985), conservan los aspectos que conjugan las definiciones de los autores anteriores; es decir, un proceso de carácter valorativo y judicativo; pero especifica la comparación del objeto a evaluar con unos criterios, que puedan estar o no explícitos.

Agradecimiento:

Este ensayo, fue asesorado y prearbitrado por el Prof.

Cirilo Orozco Moret (PhD), desde la Unidad de

Investigación en Educación Matemática (UIEMAT) en

la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la

Universidad de Carabobo. Venezuela. Email de

contacto: [email protected]

Referencias Bibliográficas.

Capacitación de Docente en servicio. Universidad de Carabobo (1999).

Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativo. Frida Díaz / Gerardo Hernández Rojas. Serie Mc Grau Hill. 2da Edición.


Evaluación Pedagógica y Cognición. Rafael Flórez Ochoa. Serie Mc Grau Hill, Edición 2003.

Evaluación de los Aprendizajes. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, 2004. Serie Selección de Lecturas.

La Evaluación Cualitativa. Elizabeth Alves / Rosa Acevedo. Petroglifo Producciones, C.A. Segunda Edición, 2002.

Mimeografía: Fave / U.C. 2003. Evaluación de los Aprendizajes.

NOTA: Enviado y/o Arbitrado por: Prof. Cirilo Orozco-Moret. [email protected] universidad de Carabobo. Unidad de Investigación en Educación Matemática. UIEMAT. Artículo publicado originalmente en: http://www.ilustrados.com/tema/7393/Evaluacion-panacea-para-aprender-ensenar-mejorar.html

NOTA: Artículo publicado originalmente en www.ilustrados.com/ http://www.ilustrados.com/tema/7393/Evaluacion-

panacea-para-aprender-ensenar-mejorar.html



Nuevas Técnicas Específicas de Aprendizaje Cooperativo y Significativo en la Enseñanza de la Matemática .

Nota: Artículo publicado originalmente en: Revista Ciencias. http://www.revistaciencias.com/publicaciones/EEkkuFFpklD

FZkfMQW.php

Ciriaco José Díaz. email: [email protected]

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática. Venezuela.

Unidad de Investigación e Educación Matemática UIEMAT

RESUMEN

El propósito de este artículo es reflexionar sobre los componentes estructurales del aprendizaje cooperativo y sus implicaciones en la práctica de aula. Puede decirse que una estructura de aprendizaje cooperativo, por definición, no es más efectiva que las otras estructuras competitiva o individualista, si no se cumplen las condiciones básicas del aprendizaje humano. Es decir, la educación debe enfocarse más que en la concepción de un simple cambio de conducta, en el significado de la experiencia. Vista así, la enseñanza puede ser descrita como un proceso continuo de negociación de significados y de establecimientos de contextos mentales compartidos. Esta conjetura se basa en las ideas de Vigotsky y se puede observar que el proceso de construcción del aprendizaje involucra el concepto de andamiaje y enfatiza este como

importador de la enseñanza, por lo cual el rol central del docente es el de actuar como mediador o intermediario entre los contenidos del aprendizaje y la actividad constructiva que despliegan los educandos. Se ha demostrado que los estudiantes aprenden más, les agrada más la escuela, establecen mejores relaciones con los demás, aumentan su autoestima y aprenden habilidades sociales más efectivas cuando trabajan en grupos cooperativos que al hacerlo de manera individualista y competitiva. Esta experiencia puede y debe ser ensayada en una situación de enseñanza matemática partiendo de los marcos personales de referencia que le permiten al alumno una primera aproximación a la estructura académica y social de la estructura que enfrentan. En opinión de Arens: (1994), las raíces intelectuales del aprendizaje cooperativo se encuentran en una tradición educativa que enfatiza un pensamiento y una práctica democrática centrada en el aprendizaje activo y en el respecto al pluralismo en sociedades multiculturales. A continuación se presentan algunas aplicaciones prácticas de los principios teóricos del aprendizaje cooperativo específicamente recomendada para la educación matemática.

Descriptores: Educación Matemática. Aprendizaje Cooperativo. Aprendizaje Significativo.

INTRODUCCION

La investigación sobre las estructuras mentales y procesos cognitivos realizada entre las décadas de los 70 y hasta los 80, ayudó significativamente a forjar el marco conceptual del enfoque cognitivo contemporáneo. Este marco sustentado, en las teorías de información, la psicolinguística, la simulación por computadora, y la inteligencia artificial conduce a nuevas conceptualizaciones acerca de la representación y naturaleza del conocimiento y de fenómenos como la memoria, la solución de problemas, el significado y la comprensión y la producción del lenguaje.

En esta área, un programa de investigación impulsado con gran vigor por la corriente cognitiva, ha sido el referido al aprendizaje del discurso escrito, que a su vez ha desembocado en el diseño de procedimientos tendientes a modificar


el aprendizaje cooperativo y significativo de los contenidos conceptuales, así como a mejorar su comprensión y recuerdos.

Pueden identificarse en este programa dos líneas principales de trabajo iniciada desde la década de los 70: La aproximación impuesta que consiste en realizar modificaciones o arreglos en contenidos o estructuras del material de aprendizaje; y la aproximación inducida que se aboca a entrenar a los aprendices en el manejo directo y por si mismo de procedimientos que les permitan aprender con éxito de manera autónoma.

En el caso de la aproximación impuesta, la ayuda que se proporciona al educando pretende facilitar intencionalmente un procesamiento más profundo de la información nueva, y estas ayudas son producidas por el docente, el planificador, el diseñador de materiales o el programador del Software educativo, por lo que generalmente constituyen estrategias y técnicas específicas de enseñanza.

Nuevas Técnicas Específicas de Aprendizaje Cooperativo y Significativo en la Enseñanza de la Matemática.

La información que se ha integrado en este tema es congruente con el enfoque constructivista, y en realidad corresponde a las bases teóricas multiperspectiva del ámbito de investigación de la psicología ecléctica posmodernista (reforzando el trabajo de Deutsh, la teoría de Kury Lewin, la teoría del reforzamiento, algunos enfoques de la psicología social entre otros). En este artículo se hará referencia a algunos aportes significativos que contribuyeron con la nueva innovación de técnicas y estrategias.

Por ejemplo, Johnson y Johnson explica las ventajas de la productividad grupal en comparación con el aprendizaje individualizado y por otro lado contribuye a la polémica de si la mayor eficiencia del aprendizaje cooperativo se desprende de la existencia de recompensas. También, Slavin, quien postula que la interdependencia se logra a través de la estructura de incentivos, y sugiere que deben considerarse los siguientes principios:

a) Que la estructura de tareas sea de un tipo en la que esta no se encuentra subdividida o repartida entre los miembros del grupo, sino que todos ellos la acometan a la vez conjuntamente.

b) Que haya recompensas idénticas para todos los miembros del grupo y no centradas en individuos con actos dentro de los grupos.

c) Que las recompensas al grupo se hagan en función del rendimiento individual de los sujetos que forman el grupo y no con la base en una medida de rendimiento global del grupo.

d) Que a todos se les ofrezcan las mismas posibilidades de hacer sus aportaciones particulares al éxito del equipo.

Además, en la integración de los principios anteriores se ha dicho que para que una forma de trabajo grupal sea en realidad cooperativa, tiene que reunir las siguientes características:

a) Interdependencia positiva. b) Interacción cara a cara. c) Responsabilidad Individual d) Utilización de habilidades interpersonales. e) Procedimientos grupales.

En concordancia con estas características hay en la literatura psicológica descripciones aproximadas, de hecho son varias las técnicas que coinciden parcialmente con los requisitos anteriores. A continuación se hará una breve descripción de las estrategias y técnicas más significativas y esta es la temática en la cual se enfoca esta nota científica:

1.-La Técnica del Rompecabezas (Jigsaw).

Se forman grupos de seis educandos, similar al philin 66, que trabajen con un material académico de contenido matemático, el cual ha sido dividido en tantas secciones como miembro del grupo de manera que cada uno se encargue de estudiar su parte. Posteriormente los miembros de los diversos equipos que han estudiado lo mismo se reúnen en “grupos de expertos” para discutir sus secciones y después regresen a su grupo original para compartir y enseñar su sección respectiva a sus compañeros. La única manera que tiene de


aprender las otras acciones es aprendiendo de los demás y debe afianzarse la responsabilidad individual y grupal.

2.-Aprendizaje en equipo (Basado en Slavin y Colaboradores)

Se desarrollan 4 variantes de trabajo Cooperativo

a) División de equipos de estudiantes . Los educadores le asignan a grupos heterogéneos (según edad, rendimiento, sexo y raza) de 4 a 5 integrantes. El profesor les da un material con contenido académico de matemática dividido en guías y los estudiantes trabajan en ellas hasta asegurarse que todos los miembros las dominan, acá todos los alumnos uno por uno, deben ser examinados en forma individual sobre el tema estudiado, sin recibir ayuda de sus compañeros de equipo. El profesor comparará la calificación individual con sus puntuaciones anteriores y si la 2da es superior, recibe varios puntos que se suman a los del equipo para formar la puntuación en grupo, y solo los equipos que alcancen cierta puntuación obtendrán determinadas recompensas grupales, aquí se incluyen varios elementos de competición intergrupal.

b) Competencia en juegos por equipo .

Es similar a la anterior, pero sustituye los exámenes prácticos por torneos académicos semanales en donde los educandos de cada grupo competirán con miembros de igual nivel de rendimiento, de los otros equipos con el fin de ganar puntos para sus respectivos equipos. La filosofía de dicho torneo académico es la de proporcionar a todos los miembros del grupo iguales oportunidades de contribuir a la puntuación grupal, con la ventaja de que cada educando competirá con otro de similar nivel.

c) Equipo de asistencia individual

En contraste con las dos anteriores, aquí se combinan la cooperación y la enseñanza significativa individualizada, y se ha aplicado preferiblemente a las matemáticas con alumnos de 3ero a 6to grado. Los alumnos pasan una prueba diagnóstica y reciben una enseñanza individualizada a su propio ritmo según su nivel.

Después formar pareja o tríada e intercambiar con sus compañeros los conocimientos y respuestas adquiridas a las unidades de trabajo. Se trabaja en base a guías u hojas de trabajo personales, en relación a 4 problemas matemáticos, con la probabilidad de pedir ayuda a los compañeros y/o al docente.

d) Cooperativa integradora de lectura y composición .

Básicamente es un programa para enseñar a leer y escribir nociones de la matemática en los grados superiores de la enseñanza elemental. Mientras el profesor trabaja con un equipo los miembros de los otros equipos o grupos lo hacen con pareja provenientes de dos grupos diferentes. Realizan actividades como lectura mutua o hacer predicciones de cómo terminará los ejercicios.

3.-Aprendiendo junto (basado en Johnson, Jonson y Colaboradores)

Los objetivos, roles, estrategias, pasos y principios propuestos por estos investigadores lo podemos enunciar a los largo de la descripción de la nota científica. Aquí mencionaré las 4 fases generales que se propone:

a) Selección de actividades. De preferencia que involucre solución de problemas, aprendizaje conceptual, pensamiento divergente o creatividad. b) Toma de decisiones respecto a tamaño del grupo, asignación, materiales, etc. c) Realización del trabajo de grupo. d) Supervisión de los grupos.

4.-Investigación en grupo (basado en Sharan y Colaboradores)

Es un plan de organización general de la clase en la que los educandos trabajan en pequeños grupos (2 a 6 integrantes) que utilizan aspectos como la investigación cooperativa, discusiones grupales, planificación de proyecto. Después de seleccionar temas de una unidad que debe ser estudiada por toda la clase, cada grupo convierte esos temas en tareas individuales y lleva a cabo las actividades necesarias para preparar el informe grupal, donde cada grupo comunica a la


clase sus hallazgos. Los pasos para trabajar esta técnica son:

a) Selección del Tópico. b) Planeación cooperativa de metas, tareas y procedimientos. c) Implementación: despliegue de una variedad de habilidades y actividades, monitoreo del profesor. d) Análisis y síntesis de lo trabajado y del proceso seguido. e) Presentación del producto final. f) Evaluación.

5.-Cooperación Cooperación , Basado en Kagan.

Esta surgió como una forma de aumentar el involucramiento de estudiantes universitarios en curso de Psicología, permitiéndoles explorar con profundidad temas de su interés; se encontró que aumenta de manera notable la motivación de los estudiantes. Está orientado, al igual que el anterior, a tareas complejas, donde el alumno toma el control de lo que hay que aprender. Cubre los siguientes pasos:

a) Diseño de experiencias iniciales y discusiones en clase de matemática para despertar la curiosidad y creatividad. b) Conformación de grupos heterogéneos. c) Integración grupal: manejo de habilidades de cooperación y de comunicación dentro del equipo. d) Selección del tema. e) Selección de subtemas. f) Preparación y organización individual de subtemas.

g) Presentación de subtemas en rondas de alumnos al interior del equipo. h) Presentación de las representaciones de los equipos. i) Evaluación (por parte de los compañeros del equipo de clase y del profesor).

Esta técnica se puede preparar en un formato breve de 10 a 15 minutos.

6.-Cooperación guiada o estructurada .

Como se puede trabajar con estudiantes universitarios permite la inclusión de controles experimentales. El trabajo hay que realizarlo en

díadas y se enfoca en actividades cognitivas y meta cognitivas, sucediendo que los participantes en una díada sean iguales con respecto a la tarea a realizar, aquí el docente divide el tema en ejercicios y los miembros de la díada desempeñan de manera alternada los roles de aprendiz recitador y oyente examinador. Para ellos los pasos son los siguientes:

a) Ambos compañeros leen o revisan los ejercicios del texto guía. b) El participante A repite la información sin ver el ejercicio. c) El participante B le da retroalimentación sin ver la guía de ejercicio. d) Ambos trabajan la información. e) Ambos leen la guía de ejercicios dada por su profesor. f) Los dos intercambian los roles para la segunda fase. g) A y B continua de esta manera hasta completar la guía de ejercicio.

CONCLUSION

El aprendizaje matemático es una capacidad humana que va más allá de un simple cambio de conducta y se fundamenta en la interacción estructural que conduce a un cambio en el significado de la experiencia. Esta afirmación está basada en las ideas de Ausubel, quien plantea que el aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa y de la forma como estos subsuntores se relacionan con la nueva información. En este sentido, la estructura cognitiva matemática debe entenderse como el conjunto de conceptos e ideas que un individuo posee en el campo del conocimiento matemático, así como la forma en que están organizados esos contenidos.

Considerando estas premisas, es de vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno, no solo para tratar de saber la cantidad de información de los contenidos matemáticos que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así como del grado de estabilidad. Así, podría decirse que para Ausubel el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que ya el alumno sabe porque es el conocimiento previo el que permite que el alumno establezca una relación con aquello que debe aprender.


En la enseñanza matemática este proceso tiene lugar si el educando tiene en su estructura cognitiva nociones, conceptos e ideas relacionales y cuantitativas estables y definidas, con los cuales la nueva información matemática pueda ser integrada y organizada jerárquicamente,. Es así como el aprendizaje significativo ocurre. Esto es cuando una nueva información “se conecta” con un concepto relevante preexistente en la estructura cognitiva. Ello implica que las nuevas ideas, conceptos y preposiciones pueden ser aprendidas significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente fijas y disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de anclaje para las ideas novedosas.

De lo anterior se deduce que la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel aunque recurre a las ideas ancladas en la memoria se contrapone al aprendizaje memorístico. Así, se debe internalizar que sólo habrá aprendizaje significativo cuando lo que se trata de aprender se logra relacionar de forma sustantiva y no arbitraria con lo que ya conoce quien aprende, es decir, con aspectos relevantes y preexistentes de su estructura cognitiva pero no como un simple ejercicio de memoria. Esta relación o anclaje de lo que se aprende con lo que constituye la estructura cognitiva del que aprende tiene, fundamentalmente para Ausubel, consecuencias trascendentales que inciden en la forma de abordar la enseñanza. El aprendizaje memorístico, por el contrario sólo da lugar a asociaciones puramente arbitrarias con la estructura cognitiva del que aprende. El aprendizaje memorístico no permite utilizar el conocimiento de forma novedosa e innovadora. Debe considerarse que el saber adquirido de memoria está al servicio de un propósito inmediato y suele olvidarse una vez que el propósito se ha cumplido.

BIBLIOGRAFÍA

Frida Díaz y Gerardo Hernández: Docente del Siglo XXI. Como desarrollar una práctica docente competitiva. Edición 2003 Pág. 113 – 138

David Paúl Ausubel: Psicología del Aprendizaje Significativo Verbal. México Trillas 1976

Joseph Novak y Helen Hanesian. México trillas 1983.

Jonson y Jonson y Colaboradores .de Internet. Disponible en: www.abcxxxx.com

Salvin. de Internet Disponible en: www.abcxxxxx.com

Artículo Enviado y/o Arbitrado por: Prof. Cirilo Orozco-Moret. [email protected] universidad de Carabobo. Unidad de Investigacion en Educación Matemática. UIEMAT-FACES-UC.

NOTA: Artículo publicado originalmente en

http://www.revistaciencias.com/publicaciones/EEkkuFFpklD

FZkfMQW.php

Código ISPN de la Publicación: EEKKUFFPKLDFZKFMQW



ttp://www.ilust7/Rtico-

Divergente.ht

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática. Venezuela. Unidad de

Investigación e Educación Matemática UIEMAT

NOTA: Artículo publicado originalmente en www.ilustrados.com/http://www.ilustrados.com/tema/9

387/Resolucion-Problemas-Pensamiento-Matematico-

Divergente.ht


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SECCION: AUTOR NOVEL UIEMAT (INEDITO)

Construcción triangular: una experiencia didáctica en un aula de matemática de

educación básica.

Rumbos C. Jimy J. email: [email protected] Universidad de Carabobo. Maestría en Educación

Matemática. Unidad de Investigación en Educación Matemática

UIEMAT

Resumen

La educación matemática experimental es una actividad pedagógica que toma relevancia e interés científico a nivel global. Al respecto, la perspectiva de diseñar situaciones de aprendizaje que ofrezcan a los estudiantes la posibilidad de construir el conocimiento da lugar a la necesidad de otorgar un papel central, dentro de la organización de la enseñanza, a la existencia de diálogos horizontales de aprendizaje. Estos diálogos son concebidos como momentos de interacción, entre pares, en los cuales los estudiantes se encuentran solos frente a la resolución de un problema, sin que el docente intervenga en cuestiones relativas al saber que enfrentan. El reconocimiento de la necesidad de esos diálogos horizontales de aprendizaje son los que le dan lugar a la situación didáctica ya que esta contiene intrínsecamente la intención de que alguien aprenda algo por experiencia propia, el

estudiante debe relacionarse con el problema respondiendo al mismo en base a sus conocimientos, motivado por el problema y no por satisfacer un deseo del docente, y sin que el docente intervenga directamente ayudándolo a encontrar una solución. En conclusión la actividad interactiva y el dialogo horizontal en el aula de matemática básica mejora la comprensión, la retención y entusiasmo en contenidos de la disciplina. Palabras clave : Educación matemática. Escuela Básica, Experiencia didáctica en geometría, diálogos horizontales de aprendizaje.

Introducción

Como profesor de matemática en el nivel de Educación Básica, siempre tuve la percepción de que en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática no numérica, bien sean con objetos del algebra o de la geometría, se necesita mayor participación del estudiante que del docente para garantizar el éxito pedagógico. A mi juicio, esto es porque el aprendiz es quien debe interiorizar correctamente las representaciones; imágenes, símbolos, figuras, algoritmos y conceptos; que el docente ya conoce, de manera muy singular. Al respecto uno de los conflictos didácticos más relevantes en educación matemática es que en su exposición el docente presenta su concepción personal del objeto matemático a enseñar sin dar oportunidad a la interacción horizontal y afectando la posibilidad de construcción de significados autónomos por parte de los alumnos.

En esta concepción personal subyace la premisa de que algunos objetos matemáticos no obedecen a formulaciones, procedimientos u operaciones rígidas y que estos tienen flexibilidad particular de visualización representativa acorde a la diversidad perceptiva y a las diferencias individuales de los aprendices, las cuales son limitadas por deficiente atención a la matemática como lenguaje y como representación.


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Con base a estas reflexiones, en algunas ocasiones, he hecho del aula de clase un laboratorio de ensayos didácticos siempre que las condiciones se tornan adecuadas para conducir micro experimentos pedagógicos, en los que propicio el desvanecimiento del docente como autoridad experta en el contenido a enseñar y promuevo el dialogo horizontal entre pares observando y guiando la construcción de significados colectivos de objetos matemáticos claves.

En concordancia con estas posiciones, este artículo trata de la descripción de un ensayo didáctico, de esos que los docentes de matemática realizamos con demasiada regularidad, pero que por falta de disciplina investigativa o dedicación a escribir, dejamos de divulgar o debatir. En esta ocasión, se hace un despliegue de la circunstancia de ocurrencia de la experiencia didáctica de construcción del significado de triángulo equilátero por parte de estudiantes de primer grado de educación básica.

A continuación se narra desde la perspectiva personal del autor, la observación de la dinámica ejecutada con la finalidad de que sirva de ejemplo de práctica experimental en el aula y como modelo de reportaje de la actividad de investigación pedagógica en educación matemática.

Materiales y Métodos

Para la sesión práctica de la clase se utilizó un mínimo de materiales esencialmente constituido por diez pajillas o sorbetes (Pitillos) plásticos, un frasco de silicón líquido y una tijera. Por su parte, para guiar el proceso de registro y procesamiento de las observaciones fue planificado que el método de análisis seguiría parámetros de focalización simbólica o verbalística, en función de que el lenguaje oral fue el único medio de codificación de las observaciones de la clase.

Génesis de la Experiencia Didáctica.

En una oportunidad en la cual no me dio tiempo de planificar, tal como es mi rutina, la clase

de construcción de triángulos para los niños del primer año, se me ocurrió una idea de estrategia didáctica, la cual me ayudaría a comprobar la teoría de Guy Brousseau (1986) sobre la teoría de las situaciones didácticas; tema que estaba estudiando para una exposición en mis estudios de postgrado.

Al llegar al liceo fui a la cantina de la institución y compre 10 pajillas o sorbetes (pitillos), antes de dirigirme a mi aula. Una vez en el salón de clase y luego de dar los buenos días, realicé un resumen de la clase expositiva anterior, en la cual se había hablado de la clasificación de los triángulos según sus lados y según sus ángulos. Después de ello informé que haríamos una clase participativa, tipo taller y para ello pedí que se dividieran en cinco grupos de seis personas cada uno, luego indique que cada grupo eligiera un relator el cual debía explicar cómo lograron resolver, como grupo, el problema que me había ideado y que les propondría en el taller como una actividad de aula.

La Dialéctica de la Acción:

Presenté la situación como un reto, les informe sobre el problema a resolver y las reglas a seguir para lograrlo: entregue dos pitillos a cada grupo, pedí que cortaran tres segmentos de tres centímetros cada uno y que con esos seis segmentos construyeran una figura de cuatro triángulos equiláteros. Además les dije que cuando tuvieran la forma correcta me pidieran el único envase con silicón líquido que disponíamos para que fijaran la figura conseguida.

Dialéctica de la Formulación:

En búsqueda de una solución los estudiantes comenzaron a comentar, entre los miembros del grupo, las interpretaciones del problema y a clarificar lo que se les pedía hasta lograr un consenso. Algunos buscaron confirmar cual era la tarea con los grupos vecinos. Después, la manifestación de todos los grupos fue coincidente; comenzaron a realizar acciones que pudieran desembocar en una solución y manipulaban los segmentos plásticos buscando y


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debatiendo colaborativamente la creación de una estrategia que le permitiera demostrar que sabían hacer lo que les había pedido.

Durante este proceso la actividad fue muy animada; los estudiantes hacían cualquier tipo de intercambio de informaciones (Ideas), graficaban, dibujaban, diseñaban modelos por ensayo y error. Se les ocurría una y otra forma de cómo hacer pero a la totalidad de los grupos les resultaba difícil dar con la solución correcta. Algunos estudiantes decían que el problema no tenía solución pero aparecían aquellos dentro de cada grupo que retomaban la tarea e insistían de una y otra manera.

Dialéctica de la Validación:

Los estudiantes trataban de comprobar cada propuesta individual, ensayaban y procedían a construir la idea que se les ocurría a cada uno de los miembros del grupo. Algunos llegaron a construir variadas figuras pero distintas a cuatro triángulos. Al verificar que no tenían la solución intercambiaban experiencias con los demás grupos y seguían trabajando. No faltó quienes intentaran confirmar, con el docente, que habían entendido las condiciones y que el problema tenia solución. Les repetí las condiciones y afirmé que había una solución geométrica del problema.

Institucionalización del objeto matemático:

Cuando ya transcurrió el tiempo y quedaba poco por terminar la hora de la clase, comencé a observar desánimo y pérdida de interés en el reto asumido por parte de la mayoría de los estudiantes. Noté que los más aplicados continuaban obstinados en encontrar una solución del problema, sin mayor éxito. Intervine y comencé a preguntar a cada relator como lo pensaron y que lograron hacer, cada estudiante aporto su idea y con sentido de defraudado o derrotados, algunos dijeron estar convencidos de que no tenía solución, que faltaban instrucciones o que simplemente no se podía hacer, solo con seis segmentos.

Ordené el análisis del problema y del proceso seguido en los intentos de solución. Les

fui señalando donde estaba la base de los errores en cada caso de solución intentado. Finalmente les indique que las limitaciones no las ponemos nosotros mismos, y que los errores provienen de deficientes interpretaciones y/o de falta de visión del problema en su integridad. Por una parte, el reto planteado no tenían ningún tipo de condición. También les señalé que muchas veces las soluciones están mirando hacia adelante, buscando expectativas y previendo que es lo que se quiere conseguir, además les recordé que les había dicho que me pidieran el silicón líquido cuando tuvieran la forma correcta, y eso fue una pista desestimada por todos los grupos.

Les demostré que el error principal y general fue el asumir que la figura a construir tenía que ser plana, cosa que nunca se había indicado. Luego pedí que un grupo me prestara sus segmentos de pitillos, comencé a construir un tetraedro; una pirámide triangular, en la cual cada cara de la pirámide estaba formada por un triángulo equilátero.

Resultados.

Desde la perspectiva del aprendizaje, se observó que en clases anteriores a los estudiantes les costaba mantener una actitud positiva en lo que se les enseñaba, en esta clase no fue así ya que con esta técnica aplicada se notó el interés por la tarea que tenían que realizar, estaban motivados y hubo muestras de cooperación intra e intergrupo. Solicite que levantara la mano quienes pudieran definiera lo que era triángulo equilátero y lo que era tetraedro y sin excepción todos levantaron la mano. Un estudiante mencionó “¡por fin encontré la utilidad de un tema de matemática!” Después de esta actividad la actitud y el comportamiento en las clases de matemática fueron totalmente diferentes, los estudiantes pedían talleres y aplaudían cada vez que terminaban las tareas realizadas en la clase de matemáticas.

Desde la perspectiva personal como docente, con esta experiencia aprendí que, para el docente de hoy, asistir al aula de clase de


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matemática no se puede concretar a exponer temas y objetos matemáticos porque no se trata de transmisión verbal de conocimientos, sino que la clave de la enseñanza significativa está en la construcción del conocimiento con base en la participación de los alumnos, es decir, es el mismo estudiante el que busca, analiza y reflexiona sobre el tema tratado en la clase, es él quien procesa y asimila el conocimiento con base a su experiencia y mediado por el dialogo horizontal entre pares.

También comprendí que mi función como educador debe ser descubrir las necesidades o el interés de mis estudiantes y ser creativo para conseguir la forma como éstas se pueden satisfacer, con la participación colaborativa de los aprendices. He asimilado que en mis aulas de matemática son las experiencias de la vida diaria las que fundamentarán la investigación, la interpretación y la reflexión sobre los contenidos y objetos matemáticos que dicta el programa oficial.

Conclusiones y Recomendaciones.

La experiencia didáctica, diseñada como una tarea práctica de construcción de un tetraedro, aunque no fue lograda por ningún grupo, demuestra que la educación matemática va más allá de esperar resultados correctos y precisos como ocurre en el aula de matemática en la clase tradicional. En este caso fue muy positiva la estrategia de aprendizaje interactiva ya que los estudiantes asimilaron en tiempo real y como producto de su propia actividad cotidiana, los conceptos de triángulos equiláteros y de tetraedro sin la presentación expositiva del docente y sin recurrir a la representación gráfica de estos objetos matemáticos en los textos.

Hubo evidencia significativa de que tanto la

tarea interactiva, como el dialogo horizontal, facilitan la comprensión, promueve la cooperación, desarrollan la habilidad de procesamiento de la información y facilita los cambios de actitud positiva hacia el aprendizaje de objetos matemáticos. Finalmente, se comprobó que el aprendizaje de los objetos matemáticos centrales

de la actividad fue fijado permanentemente; semanas después los estudiantes definían con toda precisión el triángulo equilátero y el tetraedro o “pirámide triangular” los cuales eran tratados con entusiasmo evidente.

En este sentido, se recomienda a los docentes de matemática, relacionar los objetivos programáticos con las expectativas y proyectos de los estudiantes. Es imperativo llevar al aula información sobre la matemática en el mundo real, comenzar las clases con preguntas, incógnitas o datos que despierten el interés por el tema, fomentar la participación de los estudiantes para que piensen en los temas que ya conocen y muestren su opinión sobre el contenido a aprender. La labor primordial que el docente debe ejecutar en la práctica de aula es ayudar a reconocer y superar la ansiedad y frustración, atender y explicar los errores, reconocer las capacidades de los alumnos y adaptar las tareas a esas capacidades, personalizar el trato con los estudiantes, dedicarle un tiempo exclusivo para hablar sobre temas académicos o extraescolares, proponer trabajos en grupo para favorecer la interacción y que se ayuden entre sí, aprendiendo a valorar la labor conjunta de un equipo.

Reconocimiento: Este artículo fue tutorado y pre arbitrado en la Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT), por el Prof. Cirilo Orozco Moret, de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo. Valencia, Venezuela.

Referencias Bibliográficas.

Achaerandio, L. (1998): Iniciación a la Práctica de la Investigación Brousseau G. (1994): “Los diferentes roles del maestro” en Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones, C. Parra; I. Saiz (comp.) Buenos Aires, Paidós Educador. Brousseau G. (1999): “Educación y Didáctica de las matemáticas”, en Educación Matemática, México.


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Abril 2013. Vol 2 No 2 REDUMAT

Revista de la Unidad de investigación

en educación matemática. FACES-UC

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Redumat 2 abril 2013 año 2 nº 2 version editada 2014

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