REFRACCION ATMOSFERICA por JosÉ WÜRSOHMIDT Instituto de Física, Universidad Nacional de Tucumán (Recibido el 17-11-1949) SUMMARY: 11} A comparison is given between the tables of atmospheric refraction, obtained in worle on astronomy and geodesy in different countries, and differences existing bctween them are nQted. 21} The introduction of a "standard atmosphere" is proposed for a new numerical· computation, which permits an exact calculation of the density of the air at any level above sea. . 31l A method of computation is applied to the refl'action in the case of aplane surface and, in the case of the earth 'surface, a method of successive approxÍIDations for each zenith distance. I; -:- GENERALIDADES, BIBLIOGRAFIA, TABLAS DE REFRACCION a) Superficie plana, condiciones normales de presión y tem- peratura. Prescindiendo de la curvatura de la superficie terrestre, y por lo tanto considérando constante el índice de refracción .del aire ·en un plano horizontal de la altura y sobr.e el nivel del mar, un rayo solar que tiene 'en una altura muy gránde. (índice de refracción prácticamente igual acero) una distancia z·enital a" llegará al nivel del mar con una distancia zenital menor a o , por el efecto de la r.efracción atmosférica. Mediante el método de las capas paralelas (1), cuya más baja tiene el índice de refracción n, se obtiene fácilmente: (1) sena --- =71" sen a o o con la densidad del ¡ure en el nivel del mar Po, Y la ley ero .... • , .,
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REFRACCION ATMOSFERICA
por JosÉ WÜRSOHMIDT
Instituto de Física, Universidad Nacional de Tucumán
(Recibido el 17-11-1949)
SUMMARY: 11} A comparison is given between the tables of atmospheric refraction, obtained in worle on astronomy and geodesy in different countries, and differences existing bctween them are nQted.
21} The introduction of a "standard atmosphere" is proposed for a new numerical· computation, which permits an exact calculation of the density of the air at any level above sea. .
31l A method of computation is applied to the refl'action in the case of aplane surface and, in the case of the earth 'surface, a method of successive approxÍIDations for each zenith distance.
I; -:- GENERALIDADES, BIBLIOGRAFIA, TABLAS DE REFRACCION
a) Superficie plana, condiciones normales de presión y temperatura.
Prescindiendo de la curvatura de la superficie terrestre, y por lo tanto considérando constante el índice de refracción .del aire ·en un plano horizontal de la altura y sobr.e el nivel del mar, un rayo solar que tiene 'en una altura muy gránde. (índice de refracción prácticamente igual acero) una distancia z·enital a" llegará al nivel del mar con una distancia zenital menor ao, por el efecto de la r.efracción atmosférica. Mediante el método de las capas paralelas (1), cuya más baja tiene el índice de refracción n, se obtiene fácilmente:
(1) sena --- =71" sen ao
o con la densidad del ¡ure en el nivel del mar Po, Y la ley ero ....
•
, .,
"
-164-
pírica de Mr(lskart para gases que relaciona n con Ja densidad P (2):
(1 a) sen a. = [l+C Po] sen 0.0 '
El ánguÍo de refracción b i~ «refracción» será entonces:
(2)
Se deduce fácilmente la siguiente fórmu~a de aproximaci6n:
y= C Po tg 0.0 = (n-1)tg 0.0,
o expresando y en segundos de arco:
(3 a) y = 206265 C Po tg 0.0 '
Ahora bien, mientras que para la densidad del aire a 0° y 760 mm de Hg se toma comúnmente el valor Po = 1,2930 kg/ms
(usaremos el sistema MKS, ya usado desde hace tiem'po ,en Meteorología (S», encontramos en la bibliografía valor,es lig,eramente variables para el índice de refracción del aire bajo condiciones normales de temperatura y presión, a saber:
en las tablas de Landolt-Bornstein «); entre 1,0002933 y 1,0002925
en HandbuClh :der Physik (") ;¡) 1.00029315;¡) 1,00029130.
En consecuencia se hallan semejantes variaciones en los valores numéricos de la magnitud 206265 C Po, llamada «constante de refr!lcción» que es 'el valor de la refracción para el ángulo 0.0 = 450; oscilan entre 60,058" y 60,50". Dos autores, Faye (6) y Connaissance de~ temps (7) citan como valor más seguro: 60,154" que .prácticamente coincide con el valor 60,153", citado en Hándbuch como término medio de todos los valores as tronó,micos más nuevos.
Con este valor para la constante de refracción, el índice de refracción del aire a 0° y 760 mm de Hg será: no = 1,0002916 Y la refracción y = a. ..:..- 0.0 para la distancia zenital 0.0 se calcula mediante: .
(1 aa) sen a. = 1,0002916 sen 0.0 ;
o:
(lb) 19 sen a. = 19 sen 0.0 + 0,0001266.
\
r ',;
"
-165-
La fórmula de aproximación es:
(3 a) 19 Y = 19 tg ~o + 1,77922.
En la tabla 1 damos los valores de. y, calculados mediante '(1 b) Y (3 a) hasta ~o = 75°; para la comparación t3.gregamos los valores de Faye.
TABLA I
ANGULOS DE REFRAOCIÓN
(OQ e, 760 = de Hg; auped. plana) Dist. zen. vaZor exacto valpr aprox. vaZol' de Faye
La comparación de las tres columnas evidencia: 1) que hasta 60° la fórmula de aproximación 'es suficiente hasta los. décimos segundos; 2) que la independencia de la refracción de la constitución de la atmósfera de ninguna manera se extiende hasta 79° (Faye), sino hasta s6,l0 500.
b) Presiónp'o, temperatlzra T'o; fórmula de Comstoclt.
'Con la presi6n p'o y la temperatura T'o 'en ,el nivel del mar, la· densidad del aire, con la «,ecuaci6n de estado del gas perfecto»
(4)
se escribe:
(5) , T
p'o=Po ~: . i~: con: Po=760; T o=273;
.0 ,
.)
"," ~. ':
.,. , .'
'.'i
-166-
por lo tanto se reemplaza sencillamente en ias fórmulas (1 a) y (3 a) Po por p' o', Faye escribe, siendo b la presión y t temperatura en oC: La acción refringente está dada por:
b 1 (n-1) 760 1+0,00366 t "
Con la ;ecuación (5) tendremos p.' ej. para p'0=29,6 inches (pulgadas) y t=50o F (valores muy usados en tiempos pasados y hasta hoy día) las fórmulas:
(1 bb) sen a. = 1,0002780 sen 0.0 . I o:
(1 c) 19 sen ,a. = 19 sen 0.0 + 0,0001207
y,
(3b) 19 'Y = 19 tg 0.0 + 1,75848.
La tabla 11 contiene los valores ex~ctos y aprxoimados, calculados mediante las expr,esiones precedentes; para comparación agregamos los valores de Pryde (8) y de Nassau (9) que se ;refieren a las mismas condiciones de pr,ei?ión Y temperatura.
La comparaclOn de los valores confir~a las' .conclusiones de arriba; a partir de 0,0 = 500 la ley especial según la cual la densidad del aire varía con la altura, la curvatura de la Tierr!ll, mddifica los valores de la' refracción. En v,ez de' usar la fó¡'m~la (5) para reducir los valores encontrados con la fórmula de ,apro-:ximación (3':a), la mayoría de los autores da tablas auxiliares, para reducir las refracciones calculadas para condiciones normales, a otra presión y otra te~peratura; en Nassau (9) se menciona la la fórmula «em,pÍrica» de Comstoclc:
(6) 983b
'Vi---tg a 1- 460+t o·
Escribiendo nuestra fórmula de aproximación:
, p'o' To '( = 206265 C Po -, T' tg 0,0
Po . o y poniendo:
Po = 760 mm = 29,92 inches (pulgadas)
p mm = Linches = b inches ,2,54
To=2730 K= (273+6)0 C= (273. '~) ° F=491,4° F
T'oOK=(273+t)QC= (273. :-32+lt)(),F=
= (459,4+t) ° F
obtenemos, con ¡el valor de Po' como arriba:
(6 a) 987,9, b
'( = 459,4+t '
fórmula prácticamente caSI idéntica con la de Comsloclc.
c) Las refracciones para distancias zeni~ales grandes.
Revisando la bibliografía refer,ente a tablas de refracción at"': . mosférica y métodos para conseguir los valores, sea teóricamente~
.,'
" ,
-168-
sea por observaciones astronómicas, mencionamos a~emás el Il a'ndbuch der Experimentalph ysilc (10), len .el cual se cita un artículo de A. Bemporad, publicado en 1906 en la Enzyldopaedie del' mathematischen W issenschaften, y se reproducen algunas tablas del
mismo. I Un grupo de tablas se refiere a condiciones normales, mien-
tras que en el otro se r,efiere las otras condiciones len el nivel ele) mar, arriba mencionadas.
70Q entre 164,5" y 165,2" 75Q 80Q » 330,8" y 332,3 " 85Q » 607,9" Y 619,3" 86Q 871' 88Q 89Q 90Q » 1816;4" y 2241,3"
Merece especial interés el valor para 0,0 = 90°, la refraoción horizontal; . con el valor 2196 de la tabla de FC!)'e resulta _para las condicion,es b=29,q inches y t=500 F el valor: 2096". .
Encontramos los siguientes valores;'
1980" : Pryile (8) "Mean Refraction" b = 29,6 inches, t = 50Q F. "Bessels Refractions"; mediante 'las tablas de correcei6n para presi6n y temperatura se ve que las condiciones son:
2094,1": »
b = 29,6 inches, t = 49Q F.
2094" Pernter-Exner (11) Los autores dicen que la tabla reproducida de Be~seZ se refiere a 760 = Y 8,5Q a; mediante las tablas de correeei6n se halla: 751,1 =. Y 8,5Q e, valores no muy distintos de 29,6 inches y 49Q F.
2094" Newoomb-EngeZmann (lll)
2090" '. Nassau (O)
2090" BU8seZZ y otros (l!l) 2090" S7GiZZing-Bioharilson (1,)
. '." ",, ..
'.
\
~:~t~i<j:;:':::,".,:"jl;i:'.:,'j
;-". -',1,
,~',. '
)
':,\" .. :; ....
} ' .. :
-169-
Finalmente desta'camos las diy,ergencias, en especial también en el signo de las dif,erencias, entre las "dos tablas publicadas en Pryde :« Mean Refractiolll> y «Hessels Refractions».
TABLA IV
LAS TABLAS l'UBLIOADAS EN EL LIBRO DE PRYDE'
Dist. uenit. Mean Befraction BesseZs Befraction Diferencia
II. - TEORIA ELEMENTAL DE LA REFRACCION ATMOSFERICA.
a) Cambio de la densidad del aire con la altura, «Atmósfena Standard».
Habiendo desarrollado la teoría 'en mi trabajo arriba citado, repito lo dicho en p. 151: «Dependiendo el cambio de la densidad del aire con la altura no sólo de la presión, sino también de la temperatura, suponiendo para 'el último cambio la ley más sencilla posible y tambié~ concordante con las observaciones, es decir, el cambio lineal: escribimos la relación:
(7) T=T'o-cy,
-170-
significando T'o la tem~eratllra en la superficie terrestre (nivel del mar), T en la altura y. Con la constante e positiva la temperatura disminuye .con la altura (disminución normal 'en la tropósfera e 'entre 0,005 y O,Olo/m) ... La «ecuación diferencial de la estática de la atmósf.era» es:
(8) CJp , iJy=-pg,
significando p la densidad, 9 la aceleración de la gravedad, p la , presión; y la ebuaéión de estado del gas perfecto:
(4) p=RpT,
siendo R la constante de los gases;, usando con EXT/¡er el MKS, R tiene el valor numér,ico 29,27. g, siendo 9 9,806".
Mediante las tres "ecuaciones (7), (8) Y (4) se llega a las siguientes expr,esiones que relacionan densidad y presión con la altUra sobree el nivel del mar:
(9)
(10)
~iendo:
(11)
[ ]
x-l (*)
P ,pI o ' 1 - T; o y ,
g: :x:=-;
Re
p' o' p' o' T' o son los valores correspondientes para y = o.
(*) Esta. relación vals también, considerando la curvatura de la ti!3rra, suponiendo que la ,temperatura sea constante sobre una superficie esférica con
centrica. En el trabajo citado se escribió:
19 += (x-1) 19 (l-T~ y) po o
ocn la temperatura T\ en 'Y = O, y, tratándose en la aplicaci6n del trabajo
citado siempre de alturas pequeñas, se aproximó 19 ~ mediante p-p' o , po p+p'o·
"', .
'_ .~ .' ,;-.í ','. 'c /"~' 1" .' ,\:'.,
'~
.'¡ (
/,
/';' ;" \ 1"
-171-
Casos especiales.
1. Caso isopícnico (densidad constante; generalmente no se presenta en la naturaleza). De la ecuación:
,(9a)
sIgue inmediatamente:
y por lo tanto:
(11 a)
y también:
p=p'o
,
%-1=0
c=JL R.
(lOa) [ !l'J' p=p'o 1- RTf; Y .•
I
Para el caso especial .de T'o=To = 273'0 K tenemos:
, [1 Y] . P=Po -7991'
7991.[m] es la conocida «altura de fa atmósfera homogénea» (15).
2. Caso isotérmico.
Poniendo:
(7b) T=T'o
se obtiene med~ante (8): y (4):
(9b) \
(lOb)
Para el caso especial T'o=To=2730 K (10b) es la fórmula conocida de Halley . .. ,
[.,' r ' ( ;:~ ;' ..
,':'
v,, ¡>' ) ~ .. '
:.; ,
¡",!,
-172-
3. Caso adiabático.
Con:
PP'(j -=const=-p'Y p'o'Y
Sfl obtienen las ecuaciones:
(9 c)
(10 c) , = ' [1- ,-1 gp'o ] T TI P Po ,P'QiY-
(7 c) T=T' [1- ,-1 gp'o y] o , -, , P!>
que se identifican con las ecuaciones (9), (10) Y (7), si con el valor de y para el aire 1.405 ponemos:
"
_ _ 1 ___ '" -1 " _y - "'. ,es d-ecl·r·. c g ,-1 Cr.J O 010/ '" '" =-R -,-=" m. ,-1 ,~1 - ,
Ahora bien, dependiendo la «refracción»- en cada altura' del rndice de refracción del aire y éste a su vez de la densidad p y siendo aplicables las fórmUlas sencillas de arriba sólo para ángulos zenitales no muy grandes y para d caso de una superficie plana, tenemos que eleg¡¡; un estado medio normal de la atmósfera, fijando una distribución determinada de la temperatura, con condiciones determminadas de densidad, presión y temperatura en el niveJ. del mar, luego calcular los valores numéricos de la densi-dad para cada altura. '
Habiéndose adoptado en la Argentina oficialmente, con decreto del Poder Ej,ecutivo de fecha 1<> de agosto de 1933 ,la «Atmósfera Standard» de la C. I. N. A., es decir «Convención Inter
, nacional de Navegación Aérea», habiéndose ,encargado con el mismo decreto a la_Dirección de Meteorología, Geofísica e Hidráulica definir dicha atmósfera, estabLeciendo y publicando las constantes"
A;. -;J
,-',
-173-
f6rmulas y tablas de reducción correspondientes, tenemos que· elegir como base para cualquier cálculo numérico las_ definiciones siguientes publicadas por Alfre~o G. Galmarini (16) en 1934; (damos los datos en forma resumida): .
Entre el nivel del mar y la altura de 11 km! (trop6sferª)I:,
«gradiel}te térmico standard» (Toussaint) c~0,0065° C; temperatura en el nivel del mar: 150 C = 2880 K; por lo tanto: temperatura e'n 11 km de altura: - 56,50 C = 216,.5° K.
" ~resi6n en el nivel del mar: 760 mm de Hg.
Desde la altura de 11 km la atm6sf,era es «isotérmica».
Con respecto a los valores de las constantes físicas, dice Galomarini en p. 10: «No difieren mayormente de las de la C.I:N. A., sino en el valor de las decimales, por lo que no afecta ,el resultado final de las constantes que intervienen en las fórmulas». Las f6rmulas encontradas por Galmarini para tfC?p6sfera y e~tratosfera son naturalmente idénticas con las nuestras: Gálmarini, p. 15, f6rm. (8),=nuestra fórm. (9):
[e] x-1
P=',P'(l 1- T'oY
Galmarini, p. 16, f6rm. la = nuestra fórm. (9 b)
R~ ( 1/- 11000) p= p/oe 11
Daremos en la tabla V. los valores numéricos del aire, calculados por nosotros para la aplic~ci6n del cálculo de las refracciones ,comparados con Jos de la tabla de Galmarini.
La coincidencia de los valores es suficiente; la ligera diferencia en la cuarta decimal se explica por:
,
p' 0= p' 273 = 1,293~. 273 = 1,2;567 (YO 1,2257; I 288 288 ,
mientras . que Galmarini tiene:
\ 273 ' p' 0= 1,2930. 288 = 1,2255 (p. 10);
los valores para" son prácticamente los mismos (Wü.: 5,2556; Ga.: 5,256).
b) Teoría de la refracción.
; Superficie plana
Aunque 'en el caso ¡de una superficie plana, la distribución especial de las densidades del aire no tiene influencia sobre los valores de la refracción, si consider,amos alturas muy grandes, pues' Ja ecuación '(l:;a) determina un,Ívocamente el valor qu~
'.~ . .' ""
" . " '1':
(
-175-. 1
.corresponde a tal' altura, conviene considerar la determinación de este ángulo para una altura cualquiera y.
(13)
. {14}
En este caso tendr.emos en vez de (1 a):
sen cx. = [1 + e (p' o-p )] sen cx.o
Ahora, en vez de la ,ecuación (9) que representa p en función ·de la altura y, ponemos la ~cuación:
(15) p -.p' o [1\.- ~] , calculando h mediante los valores de p' o Y de p de la tabla ", .para una determinada altura ,JI (p. ej. para y = 11 lu~); y en,contramos, reemplazando (15) en (13) y poniendo:
(16)' h
Ra= Cp'o
.la relación: . , I
.(13a) sen cx. = [ 1 + ~o 1 sen cx.o
En otras palabras, se reemplaza la curva que corresponde a 'la ecuación (9) (Fig. 1) por la recta gue pasa por los puntos (O~ p'o) y (11, Pll)· . .
Demostré en mi trab~jo citado que entonces la trayectoria del rayo de luz es representada por una circunferencia, cuyo oentro 'liene las coordenadas:
yo=-Ro
y cuyo radio es:
<es decir, para cada distancia zenital la magnitud Ro es u.na me,-
i~ ...
¡ (o,',
J
'¡ •• '.'
{
-176-
\
dida para la curvatura 'media dentro de la tropósf>era (O a 11 km)' ,Dividiendo este intervalo ,en los dos intervalos parciales 6y 5-km, o trazando en la fig. 1 las rectas correspondientes, calculando con (15) y (16)' los valores, y siguiendo este proceso hasta, intervalos de 1 km. se obtienen los resultados s~guientes:
Se puede ¡extender la subdivisión hasta las capas más cercanas a la superficie,encontrándose, p. 'ej., en el primer intervalo de 100 m uh radio de curvatura de 37840 km, ¡es decir la curvatura del rayo de luz aquí es la sexta parte de la de la tierra, (resultado ya conocido). be la misma manera se .puede proceder para la estratósfera.
Ahora bien,para el caso irreal de la superficie plana, estas consideraciones no intervienen en el cálculo de las refracciones; para un determinado intervalo, p. ¡ej. para 11 km, la fórmula, (13) es idéntica con (1? a), y el valor de 'Y obtenido con ellas y con (14) es el mismo. También, si elegimos intervalos parciales, pi. 'ej. dos o cuatro, la suma de las refracciones parciales será igual a la refracción total.
Elegimos el caso de la distancia zenital de 45° y calculamoslas refracciones para 1, 2 Y 4 intervalos de la tropósfera (para los sen se usa -la tabla del libro de Pryde (9); para los demús, cálculos la de SchlOmilcn (17).
'/
/'
,."
i(¡.
/
"
, . . ,
! ~- . "',.',
. , . ,
-177-
Se halla:
'Par~ un intervalo. de 11 km: 40,1 = 40,1"
para dos intervalos de 6 + 5 km: 26,3 + 13,8':""-- 40,1"
.para cuatro intervalo;; de 3 + 3 + 3 + 2 km:
14,7+11,6+9,0+4,8 = 40,1"
Por otra parte, con la fórmula de aproximación:
-(3 b) '( = 206265 e (p' o-p ) tg ao
-obtenemos para' ao = 45° el mismo ángulo de refracción de 40,1" .
.superficie con el radio de curvatura Ii = 6370 Ion.
En el caso de la .superficie curvada '-,ractio de curvatUl'a igual al radio de la Tierra R, = 6370 km ~ el método de las capas de aire concéntricas, de igual densidad, da, en vez 'de (\3 a) la 'ecuación:
(13b) R '
sen a=-R [1--jJ e (p'o- p)], sen ao +1'\ '
-significando ahora 1'\ la altur~ sobre el nivel del mar. (Fig. 2). Procediendo ahora, como en ,el caso de la superficie plana, obten-dremos la 'ecuación: .
I+..l Ro . sen a = --- sen ao
1+ ~ (13 c)
-o también, en buena aproximación, siendo Ro bastante más gran-de que R y pomendo: .
tendremos:
1+ J:... Ro 1 1 1 1 ---=---, con: -=---1 + ~ 1 + l J( R Ro
(13 d) senao sena=---1 +.!l.'
J(
, '
" :-..
-.: 178-I
fórmula que expresa la influencia de la curvatura terrestre, Iilodificadapor la curvatura del rayo de luz.
Escribimos (13 d) en la forma:
'.J , '.2
1.1
1.0
0.9
o.a 0.7
0.6
0.5
0.4
-I'!o.. ~ ~ ~ ~ ~ f0..
"""
[(. 1'\ = -- [sen ao - sen a] ,
seu ao
t--.'r--.. t-~ ~ i'..
" "" i"-- R
~ ~ ~ f;;;:"
O.J o 2 J " 5 6 7 8 9 10 ft
D"'J/dgd d., glr. ,,, funcló." ti, la
altura ,n Kili,
Fig. 1
b d~. d Y O tenemos, con -d = tg a, mtegran o: 11, ,
(14) , "
o también, siendo ~ = R . 'q> : ao
l( t§1"2 q> = R sen aj) 19 --a
, tO"-o. 2
(14,a) ,
Fig. 2
o en buena aproximación, para diferencias 'pequeñas (aO-a):
(14b) [( ( )' cp = 7i ,aO-a .
Finalmeente 'tenemos (Fig. 2):
(15) Y = cp - ( ao-a ).
'" ·,;t ",,;, .. ' ',;ve., JF¡,-
,y
O', ',.
'\
(-'
~' , .. '
l , .' .i<
-179-
Ahora bien, hemos ~anado así el sigui~nte procedimiento para calcular las refracciones .par:a cualguier distancia zenital 0.0 :
1) Calculamos para la trop6sfera ('l1 " 11 km) h", Ro y [{, luego mediante:
(11)
(111)
sen a.n sena.=-_V
1+ i( , [( ( ) q> = R 0.0-0.
'Y = q> - ( 0.0-0.)
kl primera aproximación para la refracci6n en la trop6sfera; lu~go subdividimos en' 6 y 5 k'¡m; si resulta la suma de las' r,efracciones p,arciales igual, al valor anterior, para una determinada distancia zenital, ya tenemos iel valor v,erdadero; si no, subdividimos en 4 intervalos, etc., hasta que, subdividiendo más los intervalos inferiores, llegamos a una suma cOnstante que es entonces la refracci6n verdadera ,en la trop6sfera.
2). Repetimos el mismo procedimiento pafa la estrat6sfera. Daremos un solo ejemplo para un 'ángulo zenital bastante
Resultará así 'para la refracción total que corresponde a la distancia zenital de 80° bajo la suposición de la Atmós:f)erfl Standard el valor de
1 = 222,7/1 + 88,8/1'= 311,5".
Para una superficie plana resultaría ,el valor considerablemente mayor de 324';." '
Por otra parte, r,educiendo 161 valor ganado a las condiciones normales de temperatura y presión, se obtiene:
1=328,6/1
mientr~s que los valores de Faye y de Nassau son 329,8/1 y 332,0/1 respectivamente.
Demostraremos en otro lugar que la aplicación de la fórmula exacta (14 a) en vez de la de a,proximación (14 b) no mod'ificará el resultado para la refracción total y que la elección de las densidades que figuran en la tabla V. ,es suficiente hasta, para el cálculo de la refracción que' corr,esponde a la distancia zenital de 900. Publicaremos también la tabla completa de refracciones.
Instituto de Física. - Tu.cumán, noviembre 13 de 1949.
J. WÜRSORMIDT: Elementare Theorie del' terrestrischen Refeaktion u. B. W. Ann. d. Phys., IV, 60, 151 - 180, 1919;
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.además IR ~ el valor 14,6 (WÜ. 14,593; Ga. 14,595). Han calculado: 1 : g e
0,0065 = 152,8, en vez de 153,85. ' Fünfstellige log(1,1'itlmvische '!/JItd trigonometJ'is~he Tafeln. Hrsg. v,. O.
