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dÉ lsaac Newton (1642-1727)nació en Woolsthorpe, Inglaterra,y estudió en el Colegio de laTrini-dad, en Cambridge. Investigó temasde matemática, óptica y mecánica,y se lo considera uno de los másgrandes sabios de la humanidad.Fue un hombre muy retraído yno se conoce nada de su vida oer-sonal.A él se debe la unión entrela mecánica y la astronomía, puesantes de que enunciara sus leyesse creía que los objetos del cieloeran de naturaleza y comporta-miento muy diferentes de los delaTierra. El genio halla semejanzasdonde el común de las personassólo ve diferencias.

Laidea de vector no se limita a la física. También en com-putación es un concepto muy familiar: se lo considera un conjun-to ordenado de números. Por ejemplo, el conjunto (23 45;0,32;l; 1; 1; 0; 0;0; -8) es un vector de dimensión 10. En biología escomún referirse al gradiente de la concentración de una sustanciaen una zona del organismo. Ese gradiente es un vector que, en ca-da lugar, apunta en la dirección y sentido en que crece la concen-tración.

El tratamiento vectorial permite estudiar los efectos de lasfuerzas sobre las partículas y los cuerpos extensos,f

La historia de las ideas acerca del mundo físico nos mues-tra un gran cambio en la actitud mental de los estudiosos a partirde mediados del siglo XVII, cuando se estableció con suficienteclaridad el significado de fuerza. Hasta esa época su sentido eraincierto y oscuro: se la consideraba como una tendencia o volun-tad de los cuerpos hacia determinado sitio del universo (como silas piedras pudieran tomar decisiones): los cuerpos graves tendíanhacia abajo, los leves hacia el cielo.

Fue a partir de Newton que comenzó a concebirse la fuer-za como una acción que ejerce un cuerpo sobre otro. Si existe unafuerzahay alguien -o algo- que la ejerce, y alguien -o algo-que la recibe.

Así, se acepta que elpeso, quizás el caso más familiar de fuer-zaque experimentamos a diario, no es una tendencia de los cuerposa bajar, sino una atracción que ejerce la Tierra sobre los objetos.

Casi al mismo tiempo en que se aceptó esa idea, se halló queno existen acciones unilaterales: si un cuerpo afrae aotro, también esafraído por éste; si el Sol atrae alipifer,Júpiter atrae al Sol; si un óm-nibus empuja a una mariposa, la mariposa empuja al ómrubus exnc-Iamente con lq misma fuerza, aunque opuesta.

Los intensidodes de los fuerzos son rguoles sobre los dos objetos que chocon.(No es gue seon rguoles los doños ni otros efectos, ni que cada vez que un óm-nibus oplasta a uno moriposo con su porabrisos se produzco iguol estrogo en e/vehículo o gue despierte, sobresaltodo, el pasoje.)

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-l

Cuando se marti l la un clavo, ¿qué fuerza es mayor, la que ha-

ce el marti l lo sobre el clavo o la que hace el clavo sobre el

marti l lo?

¿Cómo vivirÍamos si no hubiera gravedad?

¿Cómo podemos aflolar cómodamente la tuerca de la rueda

del auto,si está endurecida y sólo disponemos de una llave de

manivela?

¿Cómo hacemos para discar en un antiSuo teléfono de disco,

si está muy duro, tenemos la otra mano ocupada ¡ además, el

aparato resbala sobre la mesa por haber perdido sus regato-

nes?

Temas de este capítulo

o Vectores: cantidades físicas con dirección y sentido.o Sistemo de fuerzos: conjunto de ellas.a Diogroma de cuerpo /ibre: esquema de las fuerzas que actúan.o Sistemos equivolentes:distintas formas de conseguir lo mismo.o La resultonte: una fuerza que vale Por todas.o Fuerzos que concurren en el mismo punto, y fuerzos que no lo

hocen.a Lo cupla'. el par de fuerzas con el que abrimos o cerramos

una canil la.o El momento o poder de giro de una cuplo.o Lo inercio de rotoción: lo que gira seguirá haciéndolo aunque

no actúen fuerzas.o No importa en qué lugar de un cuerPo rígido se aplica una

cupla.a Lecturo'. equil ibrio de monedas sobre una regla.

Vectores

¿Conocen uno o más significados de la palabra vectorl (Re-

cuerden, arriesguen una respuesta y después consulten un

diccionario.)

oú

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(,

o

Anillo dinomométrico embleodo en

lo industrio poro medir fuerzos o

través de los deformociones gue

producen. EI reloj comporodor mide

con uno sensibilidod de un milimetro

por codo vuelto de lo agujo.

5

7

¿A qué se debe que a algunos Proyecti les de uso militar se los

llame vectores?

¿Qué mosquito es el vector del paludismo?

En algunas comedias se suele recurrir al conocido recurso

de contestar estrictamente lo que se pregunta, envez de poner em-

peño en ayudar:-Disculpe, ¿sabe dónde hay una oficina de correos?-Sí.-Bien -algo molesto- , ¿podría decírmelo?-¡Claro!-Dígamelo, entonces, por favor -insiste ln víctima, que cree

haber descubierto porfin la clase de locura de su inlerlocutor-Queda a tres cuadras para allá -le responde, obedien-

te, eI pesado suieto, sin levantar la mirada del suelo ni ha-

cer ningún gesto que permita saber a qué lugar se reJiere

(pues le han pedido que lo dijera, no que lo señale)'

Esta gastada brorna, que recomendamos no repetir. ni si-

quiera con gente pacífica o de confianza, sirve aquí para significar

qu", "n

ciertos casos, la información de utilidad requiere una indi-

cación o especificación de dirección geográfica o geométrica'

Vectores y escalares

Las magnitudes que quedan bien definidas con un solo número se

llaman escalares. Algunos ejemplos de magnitudes escalares son:

dos bajo cero), 80,5 m2, etcétera.Para explicar a una persona cómo llegar a cierto lugar, no

basta con decirle que queda a dos kilómetros: además, hay que

indicarle hacia dónde debe ir (por ejemplo, hacia el norte)' El

desplazamiento resulta, así, una magnitud que tiene intensidad (o

módulo), dirección y sentido, y que puede ser representada por

una flecha. A este tipo de magnitudes se las conoce como vecto-

res. Ejemplo de vectores son: la velocidad, el campo eléctrico, la

f'terza y la aceleración

EI concePto de vector es muY omPlio

y oporece en muchas especiolidodes

profesionoles. Lo pontallo ofrece Io

opción veaoriol en Io definición de

uno vorioble de Progromo.

Los flechos se desPlozon con menor

resistencio en uno dirección y sentido

preferencicles (que es el de sus

puntos), en comparoción con otro

close de proyectiles;esto ho llevodo

o elevarlos o lo cotegorío de símbolos

de indicación, de omplísimo difusión

en el lenguoje grófico universol.

En ene caPrtulo se los emPleo Pororepresentor los mognitudes frsicosgue poseen dirección Y sentido,

llamadas magnitudes vectoriales o,

mcb brwemente. vecco res.

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1 6

Suma y resta de vectores

Para sumar dos vectores, se colocan las flechas de modo que ten-gan sus colas en el mismo punto u origen (pero que conserven susdirecciones y sentidos originales). Se completa un paralelogramo,una de cuyas diagonales (aquella que pasa por ese origen cofrúna ambos vectores que se suman) será el vector suma.La otra dia-gonal será e7 veclor resta.

La cola del vector suma coincide con las colas de los.su-mandos.

La punta del vector resta coincide con la punta del minuen-do. (Recordemos que en una resta se llama minuendo al primerode sus términos y sustraendo al otro.)

A + B

A + B = 0

Sumo de dos yectores A y É. Lo diogonol del parolelogramo es lo sumo. Si se

sumon dos vectores que forman un óngulo muy obierto,la suma puede ser rne-

nor que uno de los sumondos. lncluso puede ser cero, si los vectores gue se su-

mon son del mismo módulo y sentidos opuestos.

a - l

-_ Í

-

Poro efectuor uno resta entre dos vectores? y E,se ¡nv¡erte primero ol vectorJ J

E , con lo gue se /o convierte en -É . Lrego, se sumon yV y .-E . nua¡o, otro mé-

todo equivolente.'se unen los puntos de los flechos,desdeB hociaV.

)***,0;

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o

(,

o

ñ

70

De vorios vectores parolelos puede

decirse gue poseen la mismo direc-

ción, ounque olgunos de el/os tengon

sentidos opuestos entre sí. fute signif-

codo es díferente del empleodo en el

lenguoje ordinorio (Por ejemplo, en

olgunos entrodos de subterróneo hoy

corteles que dicen "Línea A, ambas

direcciones"; nosotros diríomos

ambos sentidos)

Lo combonente horizontol de un vector

se suele ídentificor con un subíndice x;

lo verticol,con un subíndice y. Si el vec-

tor opunto hocia orribo y hocio lo dere-

cho, ombos componentes son positivos;

en otros cosos hobró cornDonentes ne-

goüvas o nulos. Los componentes de un

vector se consideran como los proyecc¡G

nes /o sombros) del vector sobre los

ejes coordenodos. Pueden pensorse co-

rno vectores o como simpfes números,porgue sus direcciones y sentidos son

conocidos de ontemono.

A

Los com|onentes de un vectorisobre

los ejes coordenodos se obtienen por

medio del coseno y el seno de uno

de los dos ángulos que formon el

vector y el eje x. Es conveniente usor

el óngulo no moyor que 90";de esto

monero se simPfifco lo obtención

del coseno y el senq Pues osí ombos

resulton positivos. El srino de los

componentes se adiudico desPués

observondo hocio dónde a\untan

los proyecciones.

d( Las funciones trigonométricas

de empleo más frecuente son el

seno, el coseno y la tangente de

un ángulo.

Para sumar más de dos vectores hay dos caminos: uno de

ellos es sumar los vectores de a uno por vez (cada nuevo vector es

sumado al resultado acumulado de las sumas anteriores). Es más

práctico, sin embargo, este otro procedimiento, que en el fondo es

"1 tnirrno, se disponen los vectores uno a continuación del otro en-

cadenándolos cabeza con cola, de modo que cada uno conserve su

orientación original. El vector suma del conjunto es el que va des-

de la cola del primero hasta la cabeza del último'

Et vedor? es lo sumo aefl,12y ?j. crondo el Polígono de vectoresse cieno, la sumo resulto nulo.

H resultodo no dePende del orden en

que se tomon los sumondos poro cons'

truir el polígono.

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18

Componentes de un vector

Un vector 7, co-o el representado en la figura siguiente, puede

considerarse como suma de dos cantidades vectoriales constituti-

vas o componentes. En realidad, hay infinitas combinaciones de

dos vectores que, sumados, dan como resultado el vector; pero, de

todas esas combinaciones, podemos restringirnos a los casos en

los que las componentes de los vectores son perpendiculares entre

sí (por ejemplo, una dirección horizontal y otra vertical). A partir

de estos vectores perpendiculares, se definen las llamadas compo-

nentes cartesianas mediante la siguiente regla: lo que apunta en el

mismo sentido que cada uno de dos ejes de referencia perpendicu-

lares, se considera positivo, y lo que apunta en sentido opuesto,

negativo.El módulo de un vectorv+ se indica con I v- I o más breve-

mente V. Si v+forma un ángulo cr con el eje de las .x, sus proyec-

ciones se calculan como

Ax: A cos uAY: A sen a

E¡emeloEncontrar las componentes de un vector de módulo6 que forma un ángulo de 120" con el sentido positi-

vo del eje x.

Sor-uctóNSi llamamos P a ese vector, se ve en el dibujo que A*

es negativa (apunta hacia la izquierda) y Au positiva(apunta hacia arriba). El ángulo que formael vectorcon la parte negativa del eje x es de 60".

i . . . . i l t t

ilr: \. \ Ñ

i\:\+

Entonces,

Ax= -A .cosa= -6 .cos60" : -6 .0 ,5=-3

Ay: A.sen a :6. sen 60":6.0,866 : 5,20

El lado moyor de un triángulo redángulo

recibe el nombre de hipotenuso (en

gríego:lo gue estó debojo,pues lo escuelo

pttogórica solío rcpresentor los trióngulos

reaóngulos opoyodos sobre su lado

mayor).El lodo que se enfrenta ol ángulo

considerodo se llomo coteto opuesto. El

Iodo restante recibe el nombre de coteto

odyocente (en lotín: que se ocuesto ol

lado).Así

s e n ü : o p l h t p

coscx, -- ody I htP

Ea =op I ody : ssns ¡ ..tt

EI teoremo de Pttógoros (siglo vt o.C)

estoblece que los cuodrodos construidos

sobre los cotetos (los mongos de la túnica

del personoje) sumon un órea igual o lo

del cuodrodo construido sobre lo

hipotenusa (foldo de la túnica):

od,l+ op':¡1¡p'

sen'(x * cos'a,: 'l

Los gue no empleon o menudo estos

expresiones encuentron úül lo polobro

mógico SOHCAHTOA,qUe no es el

nombre de una isla del Pocífico sino uno

reglo mnemotécnico que se /ee: seno

iguol opuesto sobre hipotenuso; coseno

igual odyocente sobre hipotenuso;

tongente iguol opuesto sobre oó¡ocente

{É Un método alternativo Para

hallar la suma de varios vectores

sin el empleo de medios gráficos,

es sumar todas las comPonentes x'

por un lado,Y todas las comPonen-

tes y por separado. Cada suma es

igual, respectivamente' a la comPo-

nente x e y de la suma. Esta mane-

ra de sumar los vectores se

conoce como método onalítico.

j¡t Los u"ctores generalmente

tienen tres comPonentes' Porque

el esoacio ordinario tiene tres

dimensiones (largo, alto Y ancho).

Sin embargo, la dificultad de rePre-

senÉr las tres dimensiones espacia-

les en las páginas de un libro

aconseia restringir los eiemplos a

los vectores del Plano' o sea aque-

l los que sólo Poseen dos comPo-

nentes según los eies x e Y.

Los vectores del esPacio tienen

componentes según x'Y Y z HaY

temas avanzados de la física Y de la

matemática que emPlean más de

tres dimensiones, Y hasta infinitas

de el las.

A v = 5

r l<-----l r+

A x = - 4

Dodos /os componentes de un vector

se io reconstruye fác¡lmente con el

trozodo de líneos parolelos c los ejes'

E.¡eneuo¿óuáles son el módulo y el ángulo del vector de

componentes Ax :6 Y A, = -3r

El módulo es

Recomposición de un vector

teorema de Pitágoras. Como el vector y sus componentes forman

un triángulo rectángulo,

A -

Y el ángulo o¿ entre el vector y el eje x es'

4 , ,oL = drctáti ;'

Ax

Es conveniente omitir los signos de A* y A, en el cálculo'

con lo que el ángulo obtenido será el ángulo no mayor de 90" que

forma ei vector con el eje -r. El cuadrante en el que está ubicado

el vector se determina gráficamente sin dificultad'

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El ángulo es,

l A v la = arctan l--Ll

Ax

n¡t =@ . r-zr :F = t''

- arctanl- arctanL= 26"6 2

A = t +

i,- I'

eJe x.

Al+ Ai

i ¡ l

Revrstót¡

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o

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o

S ,t" qué se diftrencia un vector de un escalar?

$ iawA información hay que dar para definir un vector?

;f# U, módulo de unvector, ¿puede ser negativo? "

fd ¿Para qué sirve la regla del paralelogramo y cómo se usa?

f3 ¿Cómo se suman varios vectores en forma grófica?

é 3 ¿Qué son las componentes de un vector?

y4" ,rí*o se suman y restan vectores en forma analítica?

E.¡rncrcros

7 g Los vecÍores y ? yl¡ormqn entre sí un dngulo de 30'y tie-lJ nen móclulos t0 y 6, respectivamente. Obtengan grtífica-

mente los vecfores ¡- + ¡t y 3_ i.

'! { El veuor?fiene módulo 4, elvectoritiene módulo 7 y am-ll) bos fotman un dngulo de 45'. El vector d, de módulo 2,

forma conTrn ángulo de 120" y cori uno de 165". Sumengráficamente los tres vectores.

t a Et vectur ? üene módulo 30 y et l, 40. Forman entre sí unt / dngulo de 135'. Encuentren un vector dtal que la suma de

los tres vectores dé cero.

á( El empleo de la notación

a = arctan Av/Ax

signif ica que o¿ es el ángulo cuya

tangente vále Ar/Ar. En muchas

calculadoras la función arctan está

indicada como tan 1 o INV tan.

Por convención internacional

las funciones tr igonométricas seno,

coseno y tangente se indican como

sin, cos y ton; sin embarto, en nues-

tro país se encuentra muy arraiga-

do el empleo de sen y tg.

Cuadrante es el nombre de la cuorta

Darte de un círculo. Los cuodrontes se

numeron, en sentido ontihororio, co-

menzondo por el superior derecho.

Sextante es el término con que se de-

nomino a lo sexto parte de un círculo,

y tombién recibe ese nombre un ins-

trumento de navegoción gue posee

uno escolo de ó0 grados.

;P Algrnor llaman orgumento al án-

gulo que forma un vector con el

ere x.

Cursrro¡.¡¡s

t {\ )Es posible que la suma de dos vectores dé como resultadoJ Ó in ,'rrro, de-módulo menor que el del menor cle los suman-

dos?

El ejemplo mós fomiliar de fuerzo es

el peso. El peso de uno moceto, que es

lo otrocción que loTierro eierce sobre

ello, se rePresento Por medio de un

vector fuerzo con dirección vert¡cal y

senüdo hocío oboio.

Sobre lo colillo del cigarríllo de "Boogie

ef aceitoso" octúan el Peso hocio

obajo (fuerzo que eierce loTierro),

y lo fuerzo hocio orribo que hace

el lobio inferior del motón. Ambos

sumon cero. El díbuionte, Fontonarroso,

suele dibujor la colillo seporodo de lo

cabeza del Personoje; lo cuol nos

focilita lá tonsi¡rúccíón del diogromo

de cuerbo aislodo.

I {I La suma de dos vectores de direcciones distintas, ¿puede

"l 7 dar cero?

)g1 ¿Podría darse el caso de dos vectores de módulo 7 cuyo

.{,L,1 ,rrto, suma tenga también módulo 7?

3 I 2os fuerzas de uno tonelada,, ¿pueden equilibrarse con Ltna

.{d A de un gramo!

Fuerzas e interacciones

Los efectos que los cuelpos ejercen entre sí, sus interacciones, se

representan por medio de fuerzas' Así, a cada interacción corres-

ponde unafuerTa. Para indicar una fuerza no basta con dar su in-

iensidad o tamaño; hay que decir' además, hacia dónde apunta'

Entonces, la especificación de una fuerza requiere casi siempre la

indicación de su intensidad, dirección y sentido, o sea ser conside-

rada como vector

Diagramas de cuerPo libre

Sobre los cuerpos suelen actuar muchas firerzas: fuerzas de sogas,

elásticas, de contacto, gravitatorias, de rozamiento, eléctricas,

magnéticas, entre otras. Cuando en un cuerpo se representan todas

las fuerzas que otros cuerpos eJercen sobre é1, se dice que se cons-

truye su diagrama de cuerpo libre. Se dibuja así al cuerpo con un

conjunto de fuerzas que representan todas las interacciones. Este

tipo de diagrama, también llamado de cuerpo aislado, es de gran

utilidad para resolver problemas estáticos y dinámicos. No es que

se piense que dicho cuelpo esté verdaderamente aislado de los de-

mái cuerpos o del resto del universo, o que se encuentre libre de

fuerzas. Simplemente, se lo dibuja separado de los demás para de-jar muy en claro cuáles son sus límites geométricos; de esa forma,

toda fuerza aplicada al cuerpo (representada con una flecha) ten-

drá que tener su punto de aplicación bien marcado dentro de ese

contorno.El diagrama de cuerpo libre sirve, entonces, para no con-

fundirnos cuando, entre distintos cuerpos que interaccionan, con-

sideramos las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos'

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22

é>d*Debemos el sistemo métrico

decimol a la Revolución Francesa

de 1789 que, en su afán de dar

por t¡erra con todo vestigio de la

monarquía, la nobleza y el absolu-

tismo personalista, reemplazó las

medidas antropomórficas como

el pie, la yarday la pulgada, por

otras que se basaban en el mundo

y los objetos y no en las personas:

el metro, el grado Celsius.

Otras reformas de esa revolución,

como la semana de diez días o el

cambio de los nombres de tos me-

ses, fueron muy resistidas y caye-

ron en el olvido.

d1* No se usa simplemente kg

para el kilogramo fuer¿a porque ese

símbofo se reserva para el kilogramo

moso.La moso está estrechamente

vinculada con la fuerza, pero en la

práctica comercial no hace falta

distinguir entre kilogramo fuerza

y kilogramo masa porque un cuerpo

que,aquí en laTierra,pesa 1 kgf,

tiene una masa (en cualquier lugar)

de 1 l€.

dÉ Todavía se oye a personas de

edad avanzada usar la expresión

medio libro al pedir en el almacén

chocolate para taza. Es que hace

años se vendían tabletas de

225 gramos; las actuales son de

150 gramos.

Representoción en dia-

gramo de cuerpo libre.

Unidades de medida de la fuerza

Una de las unidades más corrientes para medir las fuerzas es el ki-logramo fuerza, vulgarmente llamado kilo, qu'e se indica comokgf, kgr o kf . Un kilogramo fuerza es la fuerza con la que la Tie-rra atrae a un objeto llamado kilogramo patrón que se guarda enun museo en Sévres, Francia, cuyo peso es, aproximadamente, elde un litro de agua; es decir que un litro de agua pesa más o me-nos 1 kgf. Es frecuente usar múltiplos y submúltiplos del kgf co-mo el gramo fuerza (gf, 1 kgf = 1000 80, el miligramo fuerza(mgf, 1 gf = 1000 mgf) y la tonelada fuerza (fonf; 1 tonf = 1000keO"

En la práctica técnica y científica se usan otras unidades pa-ralafuerza. Las más habituales son el Newton (N; 1 kgf = 9,8 N)y la dina (dy; 1 kgf = 980.000 dy). Hay también algunas unidadesantiguas que aún se usan, como la libra (lb;1 lb = 0,45 kgfl.

Sistemas de fuerzas concurrentes

Un conjunto o sistema de fuerzas cuyas rectas de acción pasan porel mismo punto, es un sistema de fuerzas concurrentes.

Resultonte y equilibronte de un sisterno de fuerzos concurrentesCuando un sistema de fuerzas concuffentes actúa sobre un cuerporígido, su efecto puede reemplazarse por el de una única fuerza,que es la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema. Esa fuer-iu, qu" rcemplazaa todo el sistema, se conoce como resultante?,del sistema de fuerzas.

La equilibrantelde un sistema de fuerzas concurrentes esaquella fuerza que, agregada al sistema, lo contrarresta o equili-bra; es decir que la suma vectorial de la equilibrante y las fuerzas

:--.-r-

Lo figura a) muestro un sistema de fuer-zos concurrentes y lo b) un s¡s¿emo de

fuerzos que no lo son. En el coso a) elsrstemo eguivole o uno único fuerzo: loresultante.

ff Un cuerpo ngido es el queno se deforma cuando se le aplicanfuerzas. No existen cuerpos absolu-tamente rígidos: los rieles del ferro-carril parecen no deformarse

cuando los pisa una persona o unpequeño auromóvil, pero se ve có-mo se doblan casi un centímetrocuando Dasa el tren. Si se midieranlas deformaciones con un instru-mento muy sensible, se vería quehasta las fuerzas más pequeñas pro-ducen deformaciones en materialesdurísimos. Así, cuando se dice deun cuerpo que es rígido, debe en-tenderse que se trata de un cuerpocuya deformación es insignificanteen el rango de fuerzas considerado.

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del sistema da cero. En otras palabras, Ia equilibrante es una fuer-za del mismo módulo y dirección que la resultanre, pero de senti-do contrario.

PnocF,l--rn¿rExroCon la fan i ta v e l : r lamhre .nnc t ra r \ /qn r rnq nenr ra iqL v r r o . r u J a ¡ ¡ u r t 4 P U q u l r I 4

Go¡llra coMo MEDIDoR DE FuERzAsLIna banda elástica contún nos servirá pat.a construirun instrumento qLre nos peffnita medir la intensidadde diferentes fuerzas.

Maree.ml-es NtscE.sARIoso una gomita,ounatapi tadeplást ico(degaseosaoagLlaminera1) ,o a lgunas monedas del n l is lno valor .o un trozo de alambre delgado,o una fegla,o un clávo,c una pinza

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Condición de equilibrio de un sistemo de fuerzas concurrentesEl problema de la estática es determinar bajo qué condiciones uncuerpo sometido a la acción de un sistema de fuerzas se quedaráquieto. Cuando un cuerpo rígido que estaba inicialmente quietocontinúa en reposo bajo la acción de un sistema de fuerzas se di-ce que el cuerpo (y también el sistema de fuerzas) está en equili-brio. Si las fuerzas son concuffentes, la condición de equilibrio esque la resultante sea nula; entonces,

I I

E F ' = 0 '

donde el símbolo )advierte que deben sumarse todas las fuerzas delsistema. La notación D'indica que se trata del vector cero. J es laletra griega sigma mayiscula, que suena como nuestra S, la letrain:.ctal de suma.

Dinomómetro de loborotorio

construido con un resorte oloiodo

dentro de un tubo ranurodo.

En lo figuro se indica lo resultonte y

lo equilibronte de un sistemo de fuer-zos concurrentes.

5e estiron los gomitos previomente

colibrodos en direcciones cualesquiero(no es necesorio guordor la simetrío);

se morcan sobre e/ popel el punto

medio y los tres puntos extremos. Conlos yolores de longitud obtenidos y los

toblas de colibrocíón de los gomitos

se hallon los módulos de los tres fuer-zos, que se representon con flechosde longitudes odecuadas o codo mó-

dulo;se compruebo con la reglc Celpolígono si sumcn o no cero.

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oMomento de una fuerza

A veces un plomero inexperto emplea una llave inglesa demasia-do larga para apretar un caño y lo rompe. Queda sorprendido, por-que empleó la misma fuerza que solía hacer con la llave pequeñaque acostumbraba usar. Es que una fuerza pequeña con un granbrazo de palanca puede producir el mismo efecto que una grandeaplicada a menor distancia.

Desde un punto de vista intuitivo, se llama momento de unafuerza a su poder de giro. Más rigurosamente, se define eI momen-to M de una fuerzal respecto de un punto (centro de giro) comoel producto de la intensidad de la fuerza por la distancia a la queestá aplicada. Esa distancia tiene que medirse desde el centro degiro y perpendicularmente a la recta de acción de la fuerza,

M : F.df

l,as unidades del momento de una fuerza son las de fuerzamultiplicadas por las de longitud: N.m, kgf.m, etcétera.

2 6

En medios técnicos, al momento de una fuerza suele lla-márselo torque. Por ejemplo, el manual de mantenimiento de unvehículo puede recomendar que su filtro de aceite se ajuste con untorque no mayor que 0,2 daN.m (decanewtons metro), aproxima-damente 200 gf aplicados al extremo de una llave de un metro debrazo de palanca, o una fuerza de 1 kgf con una llave de 20 cm.

Si el centro de giro se encuentra en la misma recta en la queactúa la fuerza, el momento de ésta es nulo.

No debe tomarse la distancia entre el centro de giro y'elpunto de aplicación de la fuerza; interesa sólo la distancia entreese centro y la recta de acción de la fuerza; esa distancia se obtie-ne prolongando hacia ambos lados el segmento orientado o la fle-cha que representa ala fuetza, y trazando luego la perpendicularque pasa por el centro de giro.

Momento de un sistemo de fuerzosUn sistema de fuerzas es un conjunto. una cierta cantidad de fuer-zas (que pueden ser dos, una, muchas o ninguna).

Para calcular el momento de un sistema de fuerzas con res-pecto a un punto, se suman los momentos de todas las fuerzas quecomponen el sistema.

Notemos que hay fuerzas que tiran del cuerpo de tal modoque, si éste estuviera inicialmente quieto, fijo en un punto, y sóloactuasen esas fuerzas, giraúa hacia la izquierda. Y hay otras fuer-zas que, por su solo efecto, iniciarían un giro hacia la derecha aparlir del cuerpo en reposo.

Se acepta convencionalmente que los momentos de lasfuerzas de efecto de giro hacia la izquierda son positivos, y que losotros son negatlvos.

lnercio de giroA veces se afirma erróneamente que los momentos positivos pro-ducen giros hacia la izquierda, y los negativos hacia la derecha.Esto sólo es ciefto si se trata de cuerpos que no giraban inicial-mente.

Veamos este ejemplo: un ventilador está marchando haciala izquierda, y se lo apaga. Tarda algunos segundos en detenerse(si no hubiera ningún rozamiento, quedaría girando indefinida-mente). Si se detiene, es porque sus paletas rozan contra el aire ysu eje contra las partes mecánicas fijas del motor. El aire, por con-siderar sólo una de esas dos resistencias, aplica un momento defrenado opuesto a Ia marcha del ventilador, o sea un torque haciala derecha: un momento negativo. Vemos aquí, pues, un caso demomento negativo que coexiste con un giro positivo.

Esta aparente contradicción no debeía sorprendernos másque el hecho de que un cuerpo pueda tener velocidad hacia el nor-

El momento o poder de giro de

uno fuerza es iguol ol produao de

su intensídod (F) por lo distoncio per-

pendiculor desde la recto en que oc-

túa lo fuerzo hosto el Punto respecto

del cuol se colculo ese momento (d1).

En el ejemplo de esto figuro, el mo-

mento vole 30 N por 1,41 m (que

es la diogonol del cuodrodo),y eso

do 42,3 Nm.

M = F ' d , -Frdr+ F . .d3+ F4d4

Momento de un sistemo de fuerzascon respecto o un punto. El momento

de F2 es negotivo, porque s¡ cominóro-

mos sobre lo flecho en su mismo sen-

tido,veríomos ol punto O a nuestro

derecho.

'l

Uno porücularidod de lo cuplo es que

su momento no depende de qué pun-

to se el4o pora colculorlo.

te y aceleración hacia el sur; es una manifestación más de la iner-cia, propiedad de los cuerpos por la cual pueden estar en movi-miento sin que se les apliquen fuerzas, y aun conservar durante untiempo el sentido del movimiento que tenían, contra fuerzas anta-gónicas.

CuploSe llama cupla, o par de fuerzas, a dos fuerzas paralelas de la mis-ma intensidad o módulo y de sentido opuesto.

culo. La llove de cruz de lo izquierdo aplica el mismo torque que lo llave de mo-nivelo de lo figuro centrol. La figuro de lo derecha ilustro un empleo incorrecto deeso lloye: se estó aplicondo un momento y una fuerza; ésta deformaró lo mani-vela o el Derno.

ResultonteEn algunos textos llaman resultante al vector suma de un sistemade fuerzas. Nosotros preferimos decir, simplemente, suma cüandode eso se trata, y usar la palabra resultante con este otro significa-do más exacto que se emplea en los medios profesionales: resul-tante de un sistema de fuerzas es una únicafuerza equivalente aese sistema.

Hay casos en que no existe resultante. Por ejemplo, si elsistema de fuerzas que estamos analizando es una cupla, entoncesno hay ninguna fuerza que por sí sola pueda producir sobre uncuerpo el mismo efecto que el par. (En algunos textos, sin embar-go, como se considera que resultante es sinónimo de suma, seafirma que la resultante de una cupla es cero)

La resultante de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuer-po (no importa ya si son o no concurrentes) es igual, cuando exis-te, ala suma vectorial de las fuerzas del sistema, y está aplicadaen una rccfa tal que el momento de esa resultante vale lo mismoque el del sistema de fuerzas, independientemente del punto quese elija para hacer el cálculo del momento.

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EquilibronteEs la contraria de la resultante. Es la única fuerza capaz de equi-librar a un sistema de fuerzas dado. Cuando un sistema de fuerzasno tiene fuerza resultante, tampoco tiene fuerza equilibrante.

lEl = lñ"1 = 25 N no hay equil ibrante(n¡ resultante)

Lo equilibrante de un sistemo de fuerzos, cuondo existe, es uno único fuerzacopaz de equilibror o todo el sistemo Lc resultante es opuesto o Io equilibrantey produce sobre el cuerpo el mismo efeao gue el sistemo originol de fuerzas.

Momento resultonteCuando no existe fuerza resultante, y esto sucede con las cuplas,suele hablarse del momento resultante, qtJe es, precisamente, elmomento del sistema de fuerzas que se considera. En cambio,cuando sí hay fuerza resultante es menos usual referirse al momen-to resultante, pues se tataría de un concepto confuso y de escasaaplicación práctica: ese supuesto momento resultante sería diferen-te según el punto con respecto al cual se 1o calculase; habría queespecificar cuál es ese punto en cada caso.

ff todo sistema de fuerzas sepuede reducir a una fuerza másuna cupla.Y todo conjunto de unafuerza más una cupla se puede re-ducir a sólo una fuerza (porque elagregado de una cupla equivale atrasladar lateralmente la fuerza).

Por tanto, el único caso en el queno hay resultante es aquel en elque el sistema equivale a sólo unacuola.

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Sistemas de fuerzas equivalentes

Hay casos en los que, cuando se consideran dos sistemas o con-juntos de fuerzas, es indiferente aplicar uno u otro a un cuerpo o auna partícula: a éstos les pasa lo mismo en ambos casos, si es quese movían de idéntica manera en el momento inicial. Cuando ocu-rre esto, decimos que esos sistemas de fuerzas son equivalentes.

Por pasarle lo mismo a un cuelpo puede entenderse cual-quiera de estas cosas, a elección:

1. Tener el mismo movimiento y, si se trata de un cuerpoque no es rígido, tener además la misma deformación.

tes,

2. Ser equilibrado por la misma fuerza, o por el mismo sis-tema de fuerzas.Por ejemplo, estos dos sistemas de fuerzas son equivalen-

no importa a qué cuerpo estén aplicados:

Dos sistemos de fuerzas equivolentes: do lo mismo oplicor uno fuerza de 2 Nhocio lo derecha, que uno de ó N hocio la derecha y otro simuftónea de 4 N ho-cio lo izquierda.

A continuación tenemos el caso de dos sistemas de fuerzasque sólo son equivalentes si se aplican a un cuerpo rígido, pero nolo son si el cuerpo sobre el que se aplican es deformable.

Dos sistemos de fuerzos que

seríon equivolentes si se aplicoron

o un cuerpo rígido. Al oplicorse

o un cuerpo deformoble, no son

equivolentes: un resorte, por ejem-p/0, se estiro mós en un cosoque en el otro.

Para que dos sistemas de fuerzas sean equivalentes cuandose los aplica a un cuerpo rígido, tienen que cumplir las siguientescondiciones:

1. Las fuerzas de ambos sistemas tienen que sumar lomismo como vectores, cuando se las supone aplicadas almismo punto (aunque no lo estén).2. La suma de los momentos de todas las fuerzas tieneque ser la misma para ambos sistemas cuando esos mo-mentos se calculan con respecto al mismo punto. El pun-to para calcular los momentos puede ser cualquiera, pe-ro debe ser el mismo Dara ambos sistemas.

ff La fuerza y el hombre.

La confusión entre fuerza y ener-

gía nos induce a veces al error de

creer oue sólo el esfuerzo muscu-

lar es capaz de producir fuerzas.

La verdad es que podemos l ibrar-

nos casi siempre de la incomodi-

dad de esforzarnos para obtener

fuerzas: si nos cansamos de soste-

ner un objeto podemos dejarlo

sobre el suelo, sobre una mesa o

una carret i l la, y el los harán la

fuerza que antes hacían nuestros

músculos.

¿Hasta qué punto la práctica anti-

gua de dar forma humana a los

pi lares y columnas de las construc-

ciones obedecía a conceociones

artísticas, o a la creencia de que

sin ese cuidado el edif icio se des-

olomaríal Hace miles de años no

existía demasiada dist inción entre

el arte, la ciencia y la magia.

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d

I!

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Mo¡¡eons EeurLtBRADAs EN UNA REGLA

Supongamos que sobre una regla que puede balancearse sobre su pun-to medio apoyamos cierta cantidad de monedas en disposición simé-trica.

Monedos sobre uno reglo opoyado en su punto medio. Si lo disposición es simé-trica, hobrá equilibrio.

Si desplazamos la misma distancia una moneda hacia la izquierda y otracualquiera hacia la derecha, el equil ibrio se conserva, aunque la nuevadisposición ya no sea simétrica.

El equilibrio se rnontiene si se desplozon pesos iguoles o distoncios igualesy opuestos.

Quizá resulte un tanto difícil aceptar que la operación de repartir elmismo peso hacia un lado y otro conserve el equil ibrio, cuando el pun-to a partir del cual se hace ese desplazamiento simétrico no es el cen-tro de simetría. Puede ofrecerse el argumento que sigue: imaginemosun soporte de peso despreciable sobre el que descansan dos pesas, alprincipio en su centro y después hacia los costados:

Produce el mismo efecto opoyar dos rnonedos en el centro o en los costodos del

soporte de peso desprecioble;en ombos cosos /o reglo "siente" el mismo peso de

dos monedos, y en el mismo punto.

Los efgies del frente del Polocio Piz-

zurno, en Euenos Aires, porecen ayu-

dor o sos¡ener lo construcción r,cro

en verdad cuelgon de ello.

En los cosos ont¡guos suelen verse

sillas con patas en formo de extremi-

dod de animal y bañaderos con poti-

tos de león. El ariete (diminutivo de

aries, cornero en lotín) ero un enorme

tronco con el que /os soldalos golpeo-

ban de punta los puertcs fortificodosporo derriborlos; debío su nombre a

que se adornabo su extremo con

cuernos como los del cornero. Este

onimal (el mocho de lo oveja) es

conocido por lo furio con Ia que topo

de frente o sus contrincantes en /os

duelos por lo posesión de los hembros

del rebaño.Todovío hoy olgunos outo-

movilistos cuelgan de sus vehiculos

cuernos (de verdod o de plóstico) con

lo esperonza de que les den bueno

suerte en caso de choque, ounque

también lo hocen sin esto creencio

dJ puntos rnedios y cargadas con monedas. que mucstra

la f igura, es larán o no en equi l ibr io . Damos un par de

sea impositrle:.i,,r.:.: :r ,:.p!d4{1!+r,!r!!Yrr..YYLrlrPYllJ.qqv-.c., cvllr..La:.IfY:.¡.Y-1Y.,'::a:*:l:::: . . ..,

,,,,,., ,., ,rina¡simé1ría,, se trataiáde un desequili'brio',Otro,'tru. ,, ,'..

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Revlslót t

"z a .'Oué es una fuerz¿.'^:.r{ "'

n X ¿Qué es un sistema de fuerzas concurrentes ?/ i

3{* ¿Qr¿ ¿s /a resultante de un sistema de Juerzas?¿*\.s

3*y ¿Q"¿ es Ia equlllbranle de un sistema de Ji.rerzas?& d f

, \ { } , :Qué se enÍ iende por equi l ibr io . 'l r \ " - -

k\. , r

3{ A ¿Cual es la condición para que un sistema de fuerzas con-*,Y currentes aplicado a un cuetpo lo deje en equilibrio?

áffi ;Or¿ es e1 momento de una fuerza?*l[*f

Q f iCómo se calculq el momento de un sistema de fuerzes?*:3 .X

Sr\ ¿Qué es una cupla? ¿Qué propiedad tiene?

"3¿"-

Q Q lExiste siempre la resultante de un sistema de fuerzas?t t

S& ,r"Ondo dos sistemas de .fuerTas son equivalentes?

EJencrcros

# q ¿Cuat es la resultante de lres fuerzcts horizontales que ac-

*3J túan en la misma recta de acción, una de 15 kgf hacia laderecha, una de 6 kgf hacia la izquierda y ofra de 2,5 kgfhacia la derecha?

* g/' Encuenfren la equilibrante de dos fuerzas perpendiculares,*3W ambas de l5 k i lc ts .

3ff Sobre los exÍremos de una regla de unos 30 cm de longitud-] f estan aplic'adas dos fuerzas perpendiculares ct la reglay de

sentidos iguales. La de la izquierda es de 2 kgfy la de la de-rechct de 5 kgf. ¿En qué lugar habríe que aplicar una tínica

fuerza para que produzca los mismos efectos que las dos

fuerzas anteriores? ¿Cuál sería la íntensidad de esaJuerza?

Revrs¡óN

? í¿ ¿Qu¿ es un vínculo?- l ( J

p¡¡ Den cinco ejemplos de vínculos.I V

A {} ¿Qu¿ es ur mecanismo?.TLl

4 y Citen cinco ejemplos de mecanismos (cle tos ya?1 otros).

7fj iHacia dónde giraró el engranaje de lafigura?* , / .

vtstos, u

.o

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P

f,

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,,9 2 Para que un cuerpo gire sobre sí mismo siempre con laYJ misma velocidad, ¿es necesario que eslé actuando una cu_

Pla?

E¡encrctos

¿Qué fuerza es necesaria para levantar un vehículo de 600kilos, si se dispone de una palanca cuyos brazos miden 2 m4&

y 10 cm? (¡Se supone que se hace fuerza en el extremo delbrazo largo! )

,d € ;O, qué diúmetro deberíct ser el tambor alrededor del cualof, n s¿ arrolla la sttga de un tornr¡, para poder izar un balde de

25 kgf con una fuerz.a de 3 kilos aplicada al extremo de unamanivela de medio metro?

,á f- iQué fuerza hay que hacer para sostener una heladera deryí, j 150 kilogramos sobre un plano inclinado de 20"?

¡f Y ¿Con qué fuerza aprieta un tornillo de media pulgada de

"* f diametro y 1/32 de pulgada de paso, cuando se lo aiustacon un torque de 5 kgf.m? (Una ayuda: conviene despre-ciar el rozamienlo y aplicar el principio de los trabajos vir-tuales. Otra ayuda: una pulgada equivale a 2,54cm.)

Cuesrro¡¡es

K La tendencia internacionar es

favorable a las medidas métricas;

sin embargo, en los Estados Unidos

de América y en nuestro país, entre

otros pocos, son muy usadas las

unidades inglesas, que ya no se em-

olean ni en el mismo Reino Unido:

dif íci lmente podamos comprar tor-

nillos métricos en una ferretería

pequeña, a pesar de que casi todos

los aparatos domésticos los po-

seen.

:*.{-::LÁ?F

:)

¿ ge ,Podría iz.arse a sí mismr¡ un individuo, si dispusiera dee*t3 una roldqna simple colgada del techo y de una soga atada

a su cintwra? Elijan entre las siguientes opciones:

a) Sí, si dispone de fuerza muscular suJiciente, que en eslecaso seró la mitad de su propio peso.b) Sí, si es capaz de hacer una fuerza igual al doble de supeso.c) No. En virtud del principio de acción y reacción, unapersono no puede hctcerse fuerza a sí misma y elevarse, asísea con el auxilio de mecanismt¡s.

,¡f { * "Curil de lo.s alambres

--f V de la tranquera de lafi-gurq no cumple ninguna

funcíón útil?

\Ci .- , -.^'-y-it-

üf \;CuAt de las cedenas puede eliminarse sin que se inclineJW hacia abajo el certel de lafigura? (Se supone que el rema-

che estóflojo.

5t

a) Ninguna; ambas son imprescindibles.b) Ambas: las dos sobran.c) Lq de aruiba.d) La de abajo.e)-Cualquiera de las dos, pero no ambas.

Hay una balanza -como la de la.figura- apoyada en unosupe(icie firme y a cuyo plato se.fija un plano inclinado,que suponemos de un peso de l0 kilos. ¿Qué marcaró labalanza cuando un objeto cuyo peso es tombién de I0 kilosresbale sobre el plano, sin rozamiento?

a) Cero.b) 10 kd.c) Más de l0 pero menos de 20 kgf.d) 20 ksl:.

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(,

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48

e) Más de 20 kilogramos.fl La balanza no indica ningún valor.

{*} ¿¿r verdadera o falsa la^-t Á* sigwiente afirmación?

CierÍos empleados in-

fieles de carnicerías, fa-vorccen a clientes ami-gos pesando las ristrasde choriz.os de modoque algunos cuelguen

fuera del plato. De estamanera no se regislra-ría el peso completo dela mercadería.