REND. SEM. MAT. UNI VERS. POLITECN. TORINO

Vol. 34° (1975-76)

SERGIO BENENTI

S T E U T T U E E D I SEPAEABILITA' S U V A E I E T A ' EIEMANOTANE (*).

SUMMARY - We say that a Riemannian manifold Vn has (locally) a « separa­bility structure » if there exists a chart in which the Hamilton-Jacobi equation of the geodesies is integrable by separation of all the variables. Gathering and extending some results given in previous short notes [15], [16], [17], we give a detailed and organic description of such manifolds. We assume the metric to be definite, so that the results hold for the so called « separable dynamical systems », even if many of these can be extended to indefinite metrics. We start from separability conditions given by Levi-Civita showing the existence of particular sets of n commuting indipendenti vectors, r ^ n being Killing vectors, such that the coordinates associated are still separable. Using these vectors as basis of the tangent spaces it is easy to state not only intrinsic properties of Vn, as the existence of n-r permutable Killing double tensors, but also to give a satisfactory solution of the classical problem of finding the general expressions of the metric tensor components.

1. INTRODUZIONE.

Oom'e ben noto, in meccanica analitica, un sistema dinamico conservativo e detto "separabile" se esiste un sistema di coordinate lagrangiane in cui l'equazione ridotta di HAMILTON - JACOBI ha un integrate completo che e somma di funzioni di una singola coordi-nata. Tali sistemi sono interessanti non solo per ragioni analitiche,

Classificazione per soggetto AMS (MOS) 1970: 53B20, 70H20.

(*) Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del C.N.R.

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poiche* la "separazione delle variabili" e forse I'unico metodo col quale si sa integrare l'equazione di HAMILTON - JACOBI, ma anche da un punto di vista strettamente meccanico per la particolarita dei loro moti (si veda per es. [1]).

Chiaramente questo argomento e solo un particolare aspetto meccanico dl un problema piu generale che sorge ogniqualvolta si hanno da determinare le geodetiche di una assegnata varieta rie-manniana attraverso il teorema di HAMILTON - JACOBI. Tale que-stione, ovviamente, pure si pone in relativita generale (si veda ad es- [2]); qui, tuttavia, terremo in considerazione soltanto metriche definite, sebbene molti dei risultati esposti possano benissimo adattarsi a varieta pseudo-riemanniane.

La caratterizzazione dei sistemi dinamici separabili e un pro­blema classico ed ha una lunga storia (una quasi completa biblio-grafia dei lavori piu significativi sull'argomento puo essere ottenuta con Vunione dei lavori citati in [3], [4], [5] ed in questo). Tuttavia, malgrado gli sf orzi, i contributi e le opinioni di molti, non ha ancora trovato, a mio avviso, un assestamento rigoroso e utile alle appli-cazioni. La ragione di cio sta in parte nel fatto che, nel passato e fino ai nostri giorni, il problema fu attaccato in senso "ristretto"; ci si rivolse cioe alia determinazione della forma "generale" dei coefficient dell'energia cinetica (cioe del ten sore metrico) e del potenziale dei sistemi separabili, trascurando quasi completamente gli aspetti intrinseci della questione. In questo contesto s'inquadra come primo fondamentale contributo il ben noto teorema di STAC-

KEL (1898) [6], che e per6 ristretto ai casi, peraltro assai frequenti, in cui Penergia cinetica ha forma diagonale, cioe contiene solo termini quadrati nelle velocita lagrangiane (i cosiddetti "sistemi ortogonali"). Nel 1904 LEVI - CIVITA getto le basi per una tratta-zione generale, ma si arrese di fronte alia complessita della com­pleta discussione delle condizioni differenziali da lui cosi brillante-mente messe in evidenza [7]. Si limit6 a trattare i sistemi bi-dimensionali e, per un numero qualunque di gradi di liberta, quel caso estremo che porta il suo nome in cui la varieta riemanniana delle configurazioni e piatta e il potenziale costante.

Nel 1912 DALL'ACQUA [8], dopo aver trattato sistematica-mente i sistemi a tre dimensioni in un lavoro precedente [9], provo con metodi puramente analitici una congettura di BURGATTI [10], cioe che le coordinate separabili si (xl) possono essere ripartite in due insiemi (uno dei quali eventualmente vuoto, come nel caso di

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LEVI-OIVITA) in modo che i momenti cinetici p{ devono assnmere necessariamente la forma seguente f1):

u. ,

v b (.iv

dove $iy ua, Ea, TJa sono funzioni soltanto della variabile corri-spondente all'indice in basso e a, a sono costanti arbitrarie.

b v

I primi indici latini a, b, ... variano da 1 a un intero fissato m < n (dove n sono i gradi di liberta) e quelli greci d a w + l a nm, i generici indici latini h, i... varieranno da 1 a n.

Ora, come BURGATTI e DALL'ACQUA stessi suggerirono, se e pos­sible invertire le relazioni (1.1) esprimendo le costanti a in funzione dei momenti p{, e trovare una relazione tra queste ed un'altra costante E in modo da ottenere un integrale primo quadratico del tipo:

(1.2) I aVpiPj-U-M,

si ottengono alio stesso momento indicazioni sulla forma dei coeffi­cient! a13 e della funzione V.

DALL'ACQUA, per esempio, diede la seguente relazione:

m n

2E = I a + I a2 , a = l a i '=?n+l v

che e stata adottata anche da HAVAS che, in un recente lavoro [3], esplicita le indicazioni date da DALL'ACQUA.

Tuttavia, si puo piu in generale assumere:

a (iv

(1.3) 2E=Pa T f 0 a a , a (i v

C) Qui usiamo notazioni piu significative che in [8] e [10 ] . La convenzione di somma sugli indici ripetuti e sottintesa; in caso contrario apparira. l 'indicazione « n.s. » (non sommato).

(i.i)

v i b (iv

pa^£aa±Vuaa+ £aaa v f b u v

\ p. . = £ « « »

28

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a (AV

dove /S e t0 sono costanti assegnate, cosicch&, se le matrici ^ ||

e ||w0|| sono regolari e |||^|| e ||^a|! sono le rispettive inverse, dalle

(1.1), (1.2) e (1.3) segue:"

(1.4)

aaa=fiua , a/"b = 0 (a^b) , b

aaa=-pua£Ja (a n.s.) , b v

b [iv /,<, v {.iv

(i v 0

b

U -=puaU+cost. (2) . b

Seguendo questa via pero, non abbiamo la prova rigorosa che le condizioni (1.4) sono necessarie per la separability dell'equazione.

(1.5) cFdiWdjW- 2U=2h ;

cio per due ragioni almeno: primo, per l'ipotesi di regolarita delle v b

matrici |„ e u. « ' cioe dell'invertibilita delle (1.1), secondo perche- si potrebbe sospettare, anche se in realta cosi non e, che neanche la (1.3) e la piu generale relazione tale da ottenere una uguaglianza del tipo (1.2). Delle medesime limitazioni soffre, a mio avviso, il metodo di IAROV - IAROVOI [4] che tratta di un caso piu generale comprendente il tempo (3) con argomenti similari (ma ignorando il lavoro di DALL'ACQUA [8], non citato nella sua biblio-grafia): c'e un passaggio della dimostrazione del suo teorema in cui relazioni lineari sono invertite senza che vi sia alcun argomento provante che cio puo sempre essere fatto.

Ma, a parte tali considerazioni su questi pur validissimi con-tributi alia soluzione del problema della separabilita, appare oggi

b (iv (') Se in particolare poniamo /? = 1 e £0=d(tV, otteniamo le espressioni date da

HAVAS 1.3] e ritenute erroneamente da questi le piu generali. Quando m = n (e il caso hk

di LEVI-CIVITA) si c'eve intendere av= Co^^ e U = cost. h k

(') Sislemi non conservativi sono anche stati trattati, in un caso particolare, da FORBAT [11]).

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chiaro che la questione deve essere riguardata da un diverso punto di vista: la separabilita e infatti non soltanto una propriety delle coordinate, ma e anche, e prima di tut to, legata alia "natura" del sistema stesso; in altre parole, sono i caratteri intrinseci del sistema dinamico che possono, oppure no, permettere l'esistenza di coordi­nate separabili. Qnesto modo di vedere trova la propria realizza-zione, naturalmente, nei metodi della geometria differenziale: occorre prima di tut to indagare sulle proprieta intrinseche delle varieta riemanniane delle configurazioni dei sistemi dinamici sepa­rabili; come si vedra, da una tale indagine si trarra, senza alcuna difficolta, anche la soluzione del problema "ristretto" cioe l'espres-sione generale dei coefficient della energia cinetica e del potenziale.

Su questa via i primi interessanti risultati furono ottenuti da AGOSTINELLI [12], [13], nel 1936: egli per primo trovo l'esistenza di fogliettamenti euclidei su tali tipi di varieta, e, grazie a cio, pote integrare le condizioni di separabilita di LEVI - OIVITA. Sfortunata-mente il suo poderoso lavoro non lo condusse, contrariamente alia sua opinione, alia soluzione generale del problema, ma ad una classe piu ristretta (cfr. [17]). Oionondimeno esso e stato di grande ispirazione per la presente ricerca sulla struttura delle varieta riemanniane delle configurazioni dei sistemi separabili che fa inte-ramente capo alle condizioni di LEVI - CIVITA (4), e di cui alcuni risultati gia sono apparsi in brevi note [15], [16], [17].

Le condizioni di separabilita di LEVI - CIVITA forniscono equa-zioni differenziali del primo e del secondo ordine nei coefficienti della metrica. Dopo aver puntualizzato alcune significative conse-guenze di quelle del primo ordine (§ 2), si stabilisce l'esistenza (§ 3) di un numero r, compreso fra o e n, di vettori di KILLING per-mutabili, cioe di un gruppo abeliano di movimenti a r parametri. Definiti in modo opportuno altri m = n - r vettori ortogonali fra loro e con i precedenti si dimostra (§4), avvalendosi delle suddette condizioni del primo ordine, che tut t i questi vettori commutano fra loro formando cosi una base naturale facente capo ad un nuovo sistema di coordinate che, con semplice verifica, si vedono essere ancora separabili. In tali coordinate, chiamate coordinate separa­bili normali, di cui r sono ignorabili, l'equazione di HAMILTON -

("') Per un difTerente approccio a questioni connesse con la separabilita dell'equa-zione di HAMILTON-JACOBI si veda il reccnte lavoro di WoocHOUSE [51.

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JACOBI del sistema ridotto a m dimensioni e in forma ortogonale sicche' ad esso si puo applicare il teorema di STACKEL ottenendo di conseguenza la generale forma dei coefficient! della metrica in coordinate separabili normali (§ 5) e quindi in quelle separabili generiche, avendo in precedenza stabilito il tipo di trasformazione tra le due basi naturali associate. Avvalendosi di alcune proprieta differenziali di particolari tipi di matrici di funzioni vengono inoltre stabilite (§6) infinite forme "equivalenti" delle componenti del tensore metrico in coordinate separabili, sicche* il problema di LEVI - CIVITA riceve la piu ampia soluzione. Alio scopo di caratte-rizzare geometricamente tali tipi di varieta viene infine dimostrata (§7) l'esistenza di m tensori doppi di KILLING permutabili fra loro e coi vettori di KILLING, prima individuati, nell'algebra di LIE

dei tensori simmetrici, e messe in luce alcune loro ulteriori signifi­cative proprieta, raccolte nell'enunciato di un teorema conclusivo.

2 . CONDIZIONI DI PRIMO ORDINE PER LA SEPARABILITA.

Sia V„ una varieta riemanniana a n dimensioni. Diciamo che VH ha (localmente) una struttura di separabilita se esiste un aperto (5) con un sistema di coordinate locali (of), che chiamiamo separabili, tali che l'equazione

(2.1) I fyWiiW-h fc"^-), 2 \ ex J

h essendo una costante arbitraria, ammette un integrale completo

(2.2) W=2Wi(xi,c) ,

t = \

dove Wi (x\ c) e funzione della sola xl e c rappresenta l'insieme di n costanti arbitrarie essenziali (c), cioe tali che

(2.3) det d2W dx¥c

k

^ 0 .

(") Tale aperto potra per comodita supporsi semplicemente connesso, non volendo qui addenixarci in questioni piu complesse di natuva topologica, tipiche invece di uno studio a cavattere globale.

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Se si introducono le funzioni

(2.4) ni^diW ,

abbiamo allora il seguente sistema ai differenziali totali:

8^=0 (i^j) , (2.5) 1 dig

hkVk

OiTli — ' z " t 2 fa

le cui condizioni di integrabilita sono espresse da un certo numero di equazioni differenziali del primo e secondo ordine sui coefficienti della metrica gij\ estremamente difficoltose a trattarsi. Prendiamo in considerazione soltanto quelle del primo ordine ottenute per la prima volta da LEVI - OIVITA [7] e che, con opportuno ordinamento degli indici, possono porsi nella forma seguente:

(2.6) dag{j = 0 (\/*, j 7* a, \/a: m -\-1 < a <C n) ,

(2.7) \/a: 1 <_ a <_ m , ^ i, j 5* a: dag^ ^ 0 ,

9"%9Jh = 0

(2.8) akc. ™0 A Na:l<a<m ,

dove m e un intero fissato compreso tra o e n (cliiaramente per m — o restano significative le sole condizioni (2.6), per m = n le (2.7) e (28)). Quindi abbiamo due insiemi di coordinate, che con-traddistingueremo, come si e gia fatto nella INTRODUZIONE (§1) usando i primi indici latini per il primo insieme (variabili da 1 a m) ed indici greci per il secondo (variabili da m + 1 a n). Nei casi estremi m = o ed m = n uno dei due insiemi e vuoto.

L'intero m caratterizza il tipo della struttura di separabilita, che denotiamo con Sn r, dove r = n — m.

Poniamo ora attenzione ad alcune conseguenze di queste con­dizioni del primo ordine, piu significative e che saranno richiamate nel seguito. Intanto e immediato const at are che le (2.7) e (2.8)x

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implicano (cfr. [8], [12]):

(2.9) gab = 0 (a^b),

e che le (2.6) equivalgono alle seguenti:

(2.io) rapy=o, r a p a+r a a p=o ; raa6 + ra6a=o (a^p),

ovvero alle:

(2. i i ) r a p y = o , j T a a p = — r a ( 3 o = - a a# a p , r0.ab=d[agb]a (a?±p),

dove i"!^ sono i simboli di CHRISTOFFEL di prima specie. Per quelli di seconda specie JH| = gkh rijh (cioe per i coefficient della connes-sione riemanniana di V„) abbiamo dalle (2.6):

1 (2.12) r% + -fadagij=0 (i,j=^a, a n.s.) .

Le condizioni (2.10)! e (2.12) con indici greci in basso gia appaiono, sotto altra forma, in [12].

Come si vedra al prossimo paragrafo, e assai conveniente intro-durre le seguenti quantita:

(2-i3) #«= rL+\ ffdja. ,

per le quali valgono le seguenti condizioni:

(2.14) J3« = 0 , ^B^+djT^O (a n .s . ) .

La prima di queste e un'immediata conseguenza delle (2.12) e (2.9). Per provare la (2.14)a possiamo introdurre le quantita:

(2.15) _ Ba{ = gijWa=raai + - dfdagaa ,

sicche\ in particolare,

(2.16) • ^ a p = - ^ a o p > Baa** doffaai

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con l'aiuto delle (2.16), (2.9) e (2.8)3 si vede facilmente che l'espres-sione gaaBaj — gakdagjk] = gfi ((p^B^ + djf*), a n.s., si annulla identi-camente per ogni indice a <m ej.

Se nella (2.14)2 si pone i = a, per la (2.14)x si ha in particolare (cfr. anche [8]):

(2.17) dag™=0 .

Finalmente, dalle (2.7), (2.8) e (2.9) segue gak db g/le = 0 (per ft, j 5* a)} lo si puo vedere ponendo nelle (2.8)2 3 i = b. t>i conse-guenza abbiamo (gaa 9^ 0 perche si suppone la metrica definita)

aai 1 1 a d ±—=dfdh ga%gik=0

per j , b ^ a; cio significa che il vettore tangente hb —J S{ e pa-

rallelo al vettore gan dh malgrado essi siano ortogonali:

(^J^-^*-0-Non puo dunque che essere, guardando ancora la (2.9):

(2.18) 8b £ = 0 (a*b) .

OSSERVAZIONE. Prima di procedere oltre si osservi che in una struttura di separabilita di tipo § le coordinate separabiU del primo insieme (xa), sono univocamente determinate a meno di un "cambia-mento di scala". Cio implica in particolare che nel caso estremo m = n, cioe per una §„ 0, c'e un unico sistema di coordinate separabiU (modulo un cambiamento di scala).

Sia infatti (x ') un secondo sistema di coordinate separabili oltre alle (of), tali che, modulo una costante, sia W {x1) = W {x1')

dx{

(6); posto A), = 7Ti7 , le condizioni di separabilita nel nuovo

(u) Conviene osservare che in uno stesso intorno aperto di Vn possono sussistere anche piu strutture di separabilita, distinte anche per il fatto che l'equazione (2.1) ha soluzioni «scalarmente distinte». Lo si verifichi ad es. col considerare il piano reale riferito a sistemi di coordinate cartesiane e polari, entrambe separabili.

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sistema, cioe d^j, = 0 per i' =£ j ' , danno:

che, grazie alle (2.5)2, possono assumere la forma:

.hJk A%A),gikn

k+i A). A), dJb*OL = 0 ( * V / ) ,

dove «"' = 4k nk = ff* ^TT, e quindi, per le (2.6):

(*' ^ j ' )

,ft^fc

j r

Poiche queste condizioni devono essere soddisfatte per ogni scelta delle n (cioe per ogni scelta delle delle [costanti arbitrarie che compaiono in W), dalla (2.7) abbiamo necessariamente AfAf. = 0 per ^ogni a <C m, %' e j ' (if ^ f), e conseguentemente dxa

—- = 0 per a v^ i' : dunque xa deve dipendere dalla xa' sola-dxl

mente, cio che prova quanto asserito.

3 . ESISTENZA DI GRUPPI ABELIANI DI MOVIMENTI.

Eitorniamo ora alle equazioni (2.5). Se possiamo i = a, in virtu delle condizioni (2.10), segue dalle (2.5)2:

1

=1 ( A p r + ^ ^ ' + i (raab +raha) w> + (ra p a+ra a P)^

=raayn"ny+(raaa+raaa)7iw

= (r^rf + - dagaojia) 7ia (a n.s.) ,

— 441 —

cioe, per le posizioni (2.13) e (2.15) (cfr. anche [12], p. 29):

Perci6 le condizioni (2.14), mostrano che il sistema (2.5) puo essere spezzato in una prima parte contenente le sole incognite

(3.1) dana=Bl^ , di7ta=0 (i^a) ,

le cui condizioni di integrabilita sono:

?„BJ+B£BJ=0 (a^/f, p n.s.),

daBa=Q

Esse rappresentano un insieme di condizioni di secondo ordine per la separabilita, dalle quali possiamo dedurre il seguente:

TEOREMA. Con la struttura di separabilita §>nr (r ^ 0) la varieta Vn ammette localmente un gruppo abeliano di movimenti Qr a r parametri.

Se infatti consideriamo il sistema ai differenziali totali

(3.3) dJ^-^B* (a n .s . ) ,

lineare nelle funzioni incognite (£**), possiamo verificare che le sue condizioni di integrabilita sono identicamente soddisfatte in virtu delle (3.2)x. Percio si possono scegliere r = n—m soluzioni indi-pendenti (£**), tali cioe che det |||^|| =^ 0, ovvero r vettori

r v

(3.4) X = f 3„ , V V

soddisfacenti alle equazioni:

(a n.s.) ,

dove le seconde sono banale conseguenza delle (3.2)2.

(3.2)

(3.5) BJ'+F'B^O

I 8J"=0

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Dalle (3.5)! abbiamo |<w dM<f'= — £•" ^B'^ = 0; cio mostra che [a P] to (3]

i vettori X commutano, cioe: a

(3.6) [X, X]=0 . a p

D'altra parte abbiamo in generale (poiche" e da intendersi | a = 0) : Vhj = 9jQ8i*Q + £Q{8i9jQ — rije). Oonsideriamo separata-mente i casi in cui la coppia (i, j), con i ^ j , e del tipo (a, f}), (a, a), (a, a), (a, 6):

1) Pa^p= - flfpol0-BS + r ^ p a (per le (3.3), (2.10)1? (2.6), a n.s.)

= r ( - £ a p + da0ap) = O ((2.14), (2.16)!, (2.6), a*p) ,

2) Vja=-~9a^B^^dagaa~- Wagae ((2.6), (3.3), a n.s.)

= - 1 W„fc* ((2.16),);

3) VJ«=F {dagae- raaQ) =- - ^8ugaQ ((2.10),) ;

4) Vjb^s(da9bQ-rabe)^d[agble ((2.6)) .

Cio mostra che in ogni caso p(i ^ = Oe che quindi gli X sono vettori di Killing: cosi il teorema e dimostrato. a

Come immediato corollario abbiamo che Vn ammette un fogliet-tamento di sottovarieta euclidee: queste sono le varieta Wr invarianti nel gruppo Gr1 definite localmente dalle equazioni xa = cost. (a = 1, 2, ..., m) (cfr. AGOSTINELLI [12]).

Un'altra ovvia conseguenza e I'esistenza di r integrali primi dell'equazioni delle geodetiche di Vn, cioe:

(3.7) £«pM = a > V V

dx3

dove pi = g;j — , e le a sono costanti arbitrarie, ovvero: as v

(3.8) f=itfl ,

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introdotta che si abbia la matrice inversa || f || della matrice rego-lare II P II:

A

(3.9) &„ = #. - ff» = 4f • V V

Dalle (3.9) e (3.5)! segue inoltre

(3.10) Sj^j^i , V

e quindi in particolare da | p = 0 se a ^ /?; tenuto conto anche V

della (3.5)2, cio significa che £p e funzione di x^ solamente; richia-meremo questo fatto nel prossimo paragrafo.

4. COORDINATE SEPARABILI NORMALI.

Accanto ai vettori X, per ottenere delle basi per gli spazi tan-cc

genti di Vn, introduciamo ora gli m vettori mutuamente ortogonali (cfr. (2.9)):

a y y

che sono ovviamente ortogonali agli X. a

Osserviamo innanzitutto che essi commutano fra loro:

(4.2) [X, X] = 0 . a b

Abbiamo infatti per le condizioni del primo ordine (2.17) e (2.18):

/qdi „bh Jij aafl\

=(gaa9bV (9aaz*9b*-gbaKga*) fy •

D'altro canto g# gaa dagW =— gaagbkdagjk, e per le(2.8)2t 3 questa quantita e simmetrica negli indici a eb; dunque la (4.2) e verificata.

— 444 —

Le relazioni di commutazione (4.2) mostrano prima di tutto che la distribuzione definita dagli X e involutiva e quindi comple-

a

tamente integrabile: ne indichiamo con Zm le varieta integrali. Quindi, tenendo conto dei risultati del paragrafo precedente, con-cludiamo che con una struttura di separabilitd § la varietd Vn

ammette due fogliettamenti ortogonali complementari (Wr) e (Zm), il primo costituito dalle sottovarietd euclidee invarianti nel gruppo aheliano Gr (nei casi estremi m = 0 e m = n, questi fogliettamenti ovviamente non esistono); naturalmente la varieta riemanniana quoziente secondo il fogliettamento (Wr) e isometrica ad ogni

I vettori X commutano anche con i vettori di Killing X:

(4.3) [X, X] = 0 . a cc

Per le (2.9), (3.5), (2.17), abbiamo infatti:

a a. \y a a \J '

a

e cio si annulla identicamente in virtu della (2.14)2

Dalle relazioni di commutazione (3.6), (4.2) e (4.3) vediamo allora che i vettori \X\ =\X1 X\ formano un riferimento olonomo:

esiste un sistema di coordinate locali (yl) le cui basi naturali associate sono date dai vettori X. E notevole la circostanza che le coordinate

i

(yl) sono ancora separabili, le chiameremo coordinate separabili "normali" e l'insieme \X\ base separabile normale (7).

Per provarlo possiamo verificare che b n = 0 per i ^ j , dove J i

8 7i = 3W e d ^ — , ovvero n=^ n- se si pone X = ¥ dj. A questo i i i Vy i i i i

scopo osserviamo dapprima che dkn = dk(£vJiv)= 0; cio e ovvio

(7) L'esistenza di un tale speciale sistema di coordinate fu gia individuata, sotto altra forma e in un approccio totalmente differente, da IAROV-IAROVOI in [4'J.

445 —

quando h = a a causa delle (3.1 )2 e (3.5)3; e anche vero per 1c = ft perche* per le (3.1)! e (3.5)x abbiamo #p £'' nv + <T 2p nv =

a

Poiche" d jr. = £k 8k 7z, abbiamo dunque sempre 8 n = 0 e per i a i a i a

simmetria 5 JT = 0. Eesta percio solo da vedere se e 8 n == 0 per a i a b

a^b\ ma poiche^ per le (3.4), la condizione 8 n = 0 implica 8an= 0, a i i

per le (4.1) abbiamo:

ab b 9 b b \Q I \Q /

e cio si annulla identicamente quando a^ b in virtu delle (2.5)x e (2.18); dunque le (y\) sono separabili.

Diamo ora uno sguardo alia relazione tra le basi [d{\ e [Xj. S i

v

conveniente introdurre, accanto alle £a definite nel paragrafo pre­cedente, le seguenti funzioni:

V

ed osservare che £,• e funzione della sola x\ Abbiamo gia visto cio V

per le funzioni £ ;alla fine del paragrafo precedente; per le (3.10) e (2.17) abbiamo d'altra parte:

1- Q<lll V 1 ^

= - (g^l^fB* + a0<r) V

e questo si annulla in virtu delle (2.14)2; abbiamo poi db f0 = 0 per a = b come una conseguenza immediata delle (2.18) e (3.5)2.

Cio posto, osserviamo che alle (3.4) e (4.1) corrispondono le relazioni inverse

p a v

— 446 —

dalle quali segue:

Se poniamo

Sya a dya

dxl l dxl

(4.6) Hi = / &(&) dx(

con opportuno limite inferiore d'integrazione, possiamo vedere che il cambiamento di coordinate (xl) -> (yl) e del tipo seguente (mo­dulo una costante):

(4.7) ya=xa , ya= 2 H{(xl)

Dunque, per ogni indice a, ya puo essere identificata con xa, conformemente a quanto gia osservato alia fine del paragrafo 2: di questo fatto si terra conto nel seguito senza esplicito riferimento.

ij

Siano g e g le componenti contravarianti e covarianti fdel ten-

sore metrico nella base normale jXJ; abbiamo ovviamente per le (3.4) e (4.1).

(4.8)

| 9 = (9aY , 9=0 {a^b) , aa ab

:/«£''/ 9=^9?* >

( ccp a p

3=0 aa

aa

e percio g = gaa. Inversamente, dalle (4.5) segue

(4.9)

a (3

9aa = 9+Za£a9 > aa a|3

a p 1 9ij = tej9

ap

(i5*j, oppure i=-jy^a).

D'altro lato per le componenti contravarianti glJ abbiamo le

— 447 —

aa

espressioni seguenti:

gaa = g ^ gab = Q ^ty

v aa

(4.10) l ^ = - P f j (a n.s.)

/iv /j, v aa

tf*=?'&(g+ejag)

La prima uguaglianza e stabilita sopra; la seconda non e niente altro che la (2.9) qui r iportata per completezza; la terza segue im-mediatamente dalle (4.4) e (3.9); l 'ultima puo essere ot tenuta po­

ur \LV nendo #a|3 = | a | p (g + a?) ed imponendo le condizioni gai giy = d*

fi, V

(xr

per determinare le incognite x. Osserviamo inline, cio che e di importanza fondamentale per il

seguito, chele (ya) sono coordinate ignorabili, cioe chele componenti aa a(3

che non si annullano identicamente g e g (ovvero g e g) non dipen-aa a(3

aa

dono dalle variabili (ya). Per le g cio e ovvio per le (2.17) e (4.10)x: M- d

dobbiamo ricordare che dv = L, 8 dove poniamo d = -r—r . Inoltre i* ,« 8y

d g = 0 perche le coordinate ya sono coordinate cartesiane in ogni /.i cc|3

sottovarieta Wr sulle quali il gruppo abeliano Gr opera come gruppo di traslazioni.

5. FORMA DELLE COMPONENTI DEL TENSORE METRICO IN COORDINATE

SEPARABILI.

Poiche le coordinate (yl) sono separabili ed inoltre le (yv) sono ignorabili, cioe 3W = a dove le a sono costanti arbitrarie, l 'inte-

V V V

grale W dell'equazione (2.1) deve prendere la forma:

(5.1) W= 2 Wa(ya,c) + ayv+cost.

a= 1 v

dove le a sono da riguardarsi come funzioni delle costanti arbitra-

— 448 —

rie c. Tuttavia, se consideriamo la matrice n X r: k

8a V

k

82W

dyvdc

vediamo che il suo rango deve essere r, altrimenti l'integrale (5.1) (ovvero (2.2)) non sarebbe completo. Oio significa che r delle co­stanti c, che supponiamo, ordinandole opportunamente, essere le

k

ultime c, possono essere espresse come funzioni delle costanti a

cosicche la (5.1) puo assumere la forma

(5.2) W= 2 Wa(y", a, a) + ay' \ cost. , a = l b v v

dove si e posto a = c per uniformita di notazione. b b

Abbiamo inoltre:

C2W 8f da

k

= 3W

8ya3a b

82W 8ya8a

V

0 1

per cui certamente risulta:

(5.3) det a2r 8ya8a

^ 0

Ora, in coordinate separabili normali l'equazione (2.1) diventa:

(5.4) aa flV

g{dWf+ gaa=2h fl V

cosi che essa puo riguardarsi come l'equazione di HAMILTON-JACOBI

di un sistema dinamico con m gradi di liberta dove il termine

g aa appare come un "potenziale", essendo le a parametri arbitrari. H v v

_ 449 —

Questa equazione ammette un integrale completo (in virtu della (5.3)) che e somma di funzioni di una sola coordinata poich£ le (ya) sono separabili; inoltre questa equazione e in forma ortogonale, cosicche si puo far ricorso al teorema di STACKEL. Senza ledere la generality possiamo assumere a = h, e concludere cosi che (cfr.

m 6

p. es. [1], § 18.2) esiste una matrice m x m regolare || ua || ed m b

funzioni cpa, con ua e cpa dipendenti al piu dalla variabile ya, tali che:

aa (.iv

(5.5) g = ua , gaa = <paua + c ,

m (i v m

b

dove || ua || e la matrice in versa della || ua || e c una costante. b

Poiche" ua non puo dipendere dai parametri a, dalla (5.5)2 m v

\IV

segue che i coefficienti g hanno necessariamente la forma:

(IV (IV (IV

(5.6) g-=fa"a+f» , m

[IV V[l

dove le Ca = Ca sono funzioni di ya al piu rispettivamente, e le \IV V\l

£o = o s o n o costanti. Le formule (5.5)x e (5.6) ci danno condizioni necessarie per le

componenti del tensore metrico in coordinate separabili normali; ma possiamo ottenere la forma generale delle componenti secondo coordinate separabili generiche usando le relazioni (4.10). Abbiamo allora il seguente:

TEOREMA. Se Vequazione (2.1) ammette un integrale completo della forma (2.2), cioe se le coordinate (xl) sono separabili, esistono

V [11' V\L b

delle funzioni £z-, £a = £B, ua, ognunaT dipendente al piu dalla [IV 1'[A

variabile corrispondente alVindice in basso, e delle costanti £0 = Co, dove gli indici a, b variano da 1 a un intero fissato m < n e gli indici

v b

greci dam + 1 a n, tali che le matrici || ^ || e || ua || sono regolari e i coefficienti gij possono essere posti nella forma seguente, essendo

29

— 450 —

!** II e II ua II le corrispondenti matrici inverse:

(5.7)

g«"=0 (a.r*b)

fyCtct j.a

m

gaa=<Fa<fawa (a n.s.) /ttl' ft V (IV

v (i

Qui conveniamo che per m = o (risp. m = w) tutti i termini contenenti gli indici latini a, b (risp. greci) scompaiano, per cui l'enunciato ha significato anche in questi casi estremi.

Inversamente supponiamo di avere delle funzioni, nelle varia-bili (of), della forma (5.7) e di volere integrare I'equazione (2.1) per separazione di tali variabili. Si pud cercare di soddisfare la (2.1) con una funzione del tipo:

(5.8) W= 2 Wv+W* i '=m+l

dove W* dipende dalle sole (xa) e dove si e posto:

(5.9) Wv (xv) ^ a £„(**) dx*

con opportuno limite inferiore d'mtegrazione e scelta arbitraria delle costanti a. Infatti, guardando alle (5.7), I'equazione (2.1) da:

(IV (IV

(5.10) ua[£aaa+(Zaa-daW*y] = h-Co<*a , m (i v (i (i v

che e un'equazione del tipo

ua0a=h* ,

dove ovviamente e:

(IV (IV

^ « s C a « a + ( f 0 a - a a r * ) a , h* = h-t0aa . (I V (A, V

— 451 —

La (5.10) puo allora risolversi ponendo

b 0a=aUa >

b

con a = h* e a (b ^ m) costanti arbitrarie. Abbiamo percio il se-m b

guente sis tenia di equazioni "separate":

/tv (i b

(5.11) t s a a + ( f 0 a - 8 . T f ) ' = a a 1 I

che ammette l'integrale xa xa

(5.12) r * = 2 la £adxa± V aua~aata dxa\ ,

con opportuna scelta dei limiti d'integrazione e del segno. Sommando fra loro le funzioni (5.12) e (5.9), come dalla (5.8),

abbiamo dunque un'integrale dell'equazione (2.1) che e del tipo (2.2) e contiene n costanti arbitrarie (a) le quali, come subito si verifica, sono essenziali.

Eesta in tal modo den definito un procedimento "standard" col quale si puo ottenere un integrale completo della (2.1) nel caso della separabilita, cioe quando le funzioni g13 hanno la forma (5.7). Nello stesso momento possiamo osservare inoltre che le condizioni espres-se dal Teorema precedente sulle funzioni glJ sono anche sufficients per la separabilita dell'equazione (2.1), a meno che una delle m

b [iv

funzioni a ua — a a 'Qa che appaiono sotto il segno di radice sia b [i v

negativa per ogni scelta delle costanti (a), col che si uscirebbe dal campo reale dove invece vogliamo limitarci.

Ulteriori implicazioni del procedimento "standard" sopra esposto saranno prese in considerazione nel paragrafo 7.

6 . ESPRESSIONI E Q U I V A L E N T ! DELLE COMPONENTI D E L TENSORE ME-

TRICO IN UNA STRUTTURA DI SEPARABILITA.

Nel paragrafo 5 abbiamo stabilito la soluzione di un problema

— 452 —

classico (cfr. [7]): trovare la generale espressione delle funzioni glJ

tali che l'equazione (2.1) possa essere integrata per separazione delle variabili, cioe ammetta un integrale completo della forma (2.2). Ma se guardiamo le condizioni "sufficienti" (1.4) derivanti dal teo-rema di BURGATTI-DALL'ACQUA, queste appaiono "piu generali" che le condizioni "necessarie" espresse dalle (5.7). Per spiegare tale paradosso mostreremo in questo paragrafo che in una struttura di separabilita le componenti del tensore metrico possono assumere piu forme equivalenti che e opportuno conoscere se si vuole parlare in termini di "soluzione generale" ed evitare qualche incompren-sione in cui e facile cadere.

A tale scopo osserviamo come prima cosa che in coordinate separabili normali il sistema ai differenziali totali (2.5) si riduce ad un sistema involgente le (n) solamente:

a

djr. = 0 (a^b) , a b

CC (iv

-, 3 g 7t2+ d g a a

0 71= — — :

9 ««

a

Imponendo che le sue condizioni siano, come devono essere, identicamente soddisfatte per qualunque scelta delle (n) e (a) si ottengono, con qualche calcolo, le seguenti equazioni: a •*

aa bb cc aa bb cc bb aa cc

ggd*g~-gdgdg - gdgdg = ° /n -,\ ob a b b a (6.1)

aa bb a(3 aa bb a(3 bb aa a|5

ab a b b a

Esse forniscono l'insieme delle condizioni di separabilita del secondo ordine in coordinate normali, quelle del primo ordine essendo semplicemente date da:

ij ai dg = 0 (g = 0> {^a) •

(a n.s.)

(a^b, n.s.)

L'integrazione del primo gruppo delle equazioni (6.1), le quali

— 453 —

gia appaiono dedotte per altra via, nel lavoro di DALL'ACQUA [8], aa

fornisce le componenti del tensore metrico g\ quando queste sono state calcolate, le (6.1)2, che sono della forma

aa bb aa bb bb aa

(6.2) ggd2U~gdgd U-gdgd U=0 (a^b, n.s.) , ab a b b a

danno le rimanenti componenti g. Facendo ricorso al teorema di STacKEL abbiamo visto nel paragrafo precedente che l'integrale generale di queste equazioni non pud che essere della forma (cfr. (5.5), (5.6)):

aa

(6.3) g-=.ua , U=Uaua + cost. ,

m m

dove ua sono gli elementi di una linea prenssata (l'm-sima, per m b

esempio) dell'inversa di una matrice m x m regolare || ua || tale

tale che ua e funzione al piu della ya, come la TJa. Vediamo ora come e possibile trovare altre soluzioni per altra via:

A

Siano: N un intero > m, || vB || una matrice JSf x JSf regolare (nel seguito gh indici maiuscoli s'intenderanno semj)re variabili da 1 a JV"), || vB || la sua matrice inversa.

A A

Assumiamo che, per ogni &, va sia al piu funzione di ya e che gli altri termini siano delle costanti.

A

Osserviamo innanzitutto che, se le va sono derivabili, questo tipo di matrici e caratterizzato dalle identita:

c (6.4) dvB = —vadvav

B (a n.s.) . a A A a C

C B

Infatti, dalle identita vD vD — dj, se 8 vA — 0 per o ^ l , segue derivando: A a

c c (6.5) 3vav

a=—vD8vD (a n.s.) ; a A a A

— 454 —

quindi, saturando con vc, si ha la (6.4). Inversamente, se vale la B D A D D

(6.4), saturandola con vB vH, si trova 8 vH = d^ 8 va, e quindi D a a

8 vH = 0 per a ^ H. a

Si noti inoltre che, se va ^ 0, la (6.5) porge: A

c (6.6) vltdva=-(va)-1dvli (a n.s.) .

C a A a A

Poiche" il primo membro non contiene I'indice A, e interessante osservare che la quantita

(v")-1 8 vB , A a A

con a, B fissati, e indipendente dalla scelta dell'indice A, purche' ovviamente sia va ^ 0.

A A

Ora, se assumiamo che le funzioni vA e va siano due volte deri-B

vabili in un opportuno intervallo, prendendo b^a e derivando la (6.4) rispetto a yb, abbiamo, dalle uguaglianze sopra stabilite:

c o 8* vB = — dva 8vn vB - • va 8 v''d vB

%Jb tv

ab A b A a C A a b C C

= (vaYl 8vB 8 va+vD 8vD8vB

H a H b A a A b C

0 = (va)~l 8vB 8va — 8vbvB8vb (a^b, n.s.) .

H all b A a A C b

cosicche, usando la (6.6) ancora, troviamo che il nostro tipo di matrici soddisfano alle seguenti identita del secondo ordine:

(6.7) c2 vB - (i/*)"1 8 v7i 8 va - (v*)-1 8vB 8 vb=0 (b^a, n.s.) ab A II a H b A K b K a A

dove H e K sono indici arbitrari per i quali va e va non si annullano. II K

Un semplice confronto fra le identita (6.7) e le equazioni (6.1)x

indica a questo punto come costruire una vasta classe di soluzioni.

— 455 —

Questa classe e rappresentata da funzioni del tipo seguente:

aa A

(6.8) g=fiva

A

A

dove va sono funzioni del tipo che si e detto e ji sono costanti. A. \iv

Per questa via noi vediamo dalla (5.4) che i coefficient g hanno necessariamente la forma

[IV A [IV [IV

(6.9) g=t>V Co+C0 . A

Le espressioni (6.8) e (6.9) sono "apparentemente" piu generali delle (5.5)!e(5.6) rispettivamente, poiche esse involgono un numero maggiore di funzioni e costanti arbitrarie. Tuttavia esse devono essere riducibili alia forma precedente (5.5)x e (5.6) in virtu di quanto si e visto nel paragrafo 5, dove le soluzioni generali delle (6.1) si sono ottenute attraverso il teorema di STACKEL. Cionondimeno, e meglio provare questo fatto anche direttamente, cosicche" non ci sia alcun dubbio al proposito.

Supponiamo dunque che sia data una soluzione delle (6.1)x del tipo (6.8)-, dobbiamo dimostrare I'esistenza di una matrice regolare

b b A

m X m || ua || tale che dc ua = 0 quando c ^ a e ua = ft va. Gli m A

elementi di una tale matrice, come si e visto, sono caratterizzati da condizioni differenziali del primo ordine del tipo (6.4):

d

(6.10) 8uc + ub 8ubuc=^0 (b n.s.)

b a a b d

Scegliendo a — m segue d

uc dub=- (u1')-1 3ue

d b m b m

A bb

(ub 5^ o perche" ub = ft vb = g), dove il secondo membro e costi-m m A

tuito da una funzione nota delle (ya), essendo le ua assegnate. Cio m

significa che le funzioni Urn 11/ .... . %i . devono soddisfare al se-1 2 w - l

guente sistema ai differenziah totali:

— 456 —

(6.11) duc=fcbu

b , fl=(ubyxdue , a^m, b n.s. , b a a m b m

le cui condizioni di integrabilita sono espresse dalla simmetria negli indici bed della quantita:

d a a

Ub = ub (iiO)-1 d2 uc - ub (ub)~2 3 u° 3 ub + ud(ub it*)'1 3uc 3 a rn db m a m b m d m a m m b m d m

A A

Poiche" uc = p vc e p vc soddisfa a equazioni del tipo (6.1)15 m A. A

abbiamo: £2 uc={ub)~l 3 uc 3 ub + (u*)-1 3 uc 3

db m m b m d m m d m b m

Ud ,

e quindi, ponendo cio nella espressione in questione, essa assume la forma

ub (ub udyl 3 uc 3ud+ud (ub ud)~x 3uc 3 ub , a mm d m b m a mm b m d m

cjie e simmetrica negli indici bed. Pertanto il sistema (6.11) e com-pletamente integrabile ed una matrice (almeno) del tipo richiesto esiste sicuramente.

In maniera del tutto analoga puo essere mostrato che esiste una B A

matrice N x N || wA \\, del solito tipo, tale che fi va = wa, cioe A N

che le soluzioni delle (6.1) possono anche mettersi nella forma:

(6.12)

esse sono dello stesso tipo delle (5.5)! e (5.6) ma involgenti una matrice N X N con N >m.

Osserviamo infine che una forma molto generale delle soluzioni aa

delle equazioni (6.2), quando le g soddisfano alle (6.1)x e sono date sotto la forma (6.8), e la seguente:

A

(6.13) U=UBvB +cost. , A

aa (,1V (IV (IV

g = Wa , g = = wa£a+C0 N N

— 457 —

A

dove Ua dipende da ya al piu, per ogni a e i ; naturalmente queste funzioni possono ridursi alia forma (6.3), come si puo anche verifi-care direttamente seguendo un ragionamento del tipo sopra esposto.

(XV

Oorrispondentemente alle (6.13) abbiamo per le g le seguenti generali espressioni:

(6.14) g = y>B «B+f0

A

dove le ipB dipendono al piu dalla variabile corrispondente all'in-dice in basso (e sono costanti per B > m). Oio significa che, ritor-nando a generiche coordinate separabili, le componenti del tensore metrico possono assumere varie forme equivalenti, per esempio (cfr. (6.8), (6.14) e (4.10)) del tipo:

A

A

v A

fjivA A ( i v

/.i v A A

che «apparentemente» sono piu generali che le (5.7). Quindi le (5.7) costituiscono, per cosi dire, una forma irriducibile delle solu-zioni delle equazioni (6.1).

7 . ESISTENZA DI TENSORI D O P P I DI K I L L I N G PERMUTABILI E C A R A T T E -

RIZZAZIONE GEOMETRICA D E L L E STRUTTURE DI SEPARABILITA.

Vediamo ora di stabilire ulteriori proprieta intrinseche di una Vn dotata di una struttura di separabilita §n r , cominciando dalla seguente: una varieta riemanniana Vn con una struttura di separa­bilita (locale) §>nr ammette m = n - r tensori doppi di Killing linear-mente indipendenti e permutabili neWalgebra di LIE dei tensori sim-metrici.

Nel paragrafo 5 abbiamo mostrato come costruire un integrate completo "separato" partendo dalle condizioni (5.7) sulle compo­nenti del tensore metrico. Quest'integrale e della forma (5.8) e

(6.15)

— 458 —

(5.9) e obbedisce alle equazioni (5.11), dalla quale si deduce imme-diatamente, per l'esistenza degli integrali primi lineari (3.7), l'esi-stenza dei seguenti m integrali quadratici per l'equazioni delle geo-detiche di Vn:

[IV [I

(7.1) ""[Za^ ?PaPfl < (taFPe- Pa)°] = " • b [i v [i b

In altre parole, Vn ammette dunque m tensori doppi di KILLING

K le cui componenti Kij in coordinate separabili sono date da: b b

Kaa=ua, Kac=0 (a^c) , 6 6 6

Kaa==-^^aua (a n.s.) ,

v 6

[IV [l V

6 [i v 6

Ohiaramente il tensore metrico, a cui fa capo l'integrale quadratico delVenergia, e dato da una combinazione di K e dei vettori di KILLING X, cioe: m

a

(7.3) g=K^tX9X, m [i v

come si vede dal confronto delle (5.7) con le (7.2). Proviamo ora che il prodotto di questi tensori doppi commutano

nell'algebra di LIE dei tensori simmetrici di Vn:

(7.4) [K,K] = 0 . a b

Eicordiamo che questo prodotto [, ] e definito alia maniera seguente (si veda p. es. [5] ed i lavori la citati):

(7.5) [P, QY~*=ppr&.<. drQ-k) - qQr(h-drP~'k) ,

dove P e Q sono tensori simmetrici di ordine p e q rispettivamente. II prodotto [P, Q] e dunque un tensore simmetrico di ordine p -f

(7.2)

— 459 —

-\-q — 1 e puo anche essere definito dalla uguaglianza:

(7.6) {i, J)—p, or-*p* ~ p>.

dove:

I=P*-*Ph...pt , J=Qh"Jpk.:Pj ,

e ( , ) sono le classiche parentesi di POISSON. Per i nostri scopi e piu comodo riferirsi a coordinate separabili

normali, nelle quali le componenti dei tensori K sono semplice-mente date da: a

cc ci ftv f*v

(7.7) K--=uc , K = 0 (i^c) , K=£cuc .

a a a a a

Dobbiamo infatti verificare che la quantita

h/cl i(h > kl) ih kl ik Ih U hk

0 = 3 K d K=K 8 K + K d K+K 8 K ab a i a i b a i b a i b

ih

e simmetrica negli indici a e b. Ma le componenti K non dipen-dono dalle coordinate ignorabili (ya), cosicche a

hkl [dh kl dk Ih dl hk

0=K8K+K8K+K8K , ab a d b a d b a d b

e si puo subito vedere, per la (7.7)3, che tutto cio si annulla quando o uno o tutti e tre gli indici h, Jc, I sono maggiori di m (cioe sono indici greci). Non resta che considerare i due casi:

C,UV CC [IV f,lV (A.V

0=K 8 K=uc(8ud£d+uc d'Qc) (c n.s.) , ab a c b a c b b e

cde

0 = 3uf df dt [ddg d

eJ u°]=3d<f ddg <3J> uf 8fu° ,

ab a b a b

ma e sufficiente richiamare le identita (6.10) per mostrare che si ha la simmetria in a e b: la (7.4) e cosi provata.

I tensori K sono infine ovviamente linearmente indipendenti per-a

— 460 —

a a a

che* da c K = 0 segue c ub = 0 e quindi c = 0 poiche* det II wb II 0. a

Quanto asserito all'inizio del paragrafo e dunque completamente dimostrato, osserviamo soltanto ancora che i tensori K hanno

a almeno m autodirezioni in comune, rappresentate dai vettori X,

a e che inoltre, come e immediato verificare usando coordinate sepa-rabili normali, essi commutano anche coi vettori di KILLING X.

a.

Tutte le proprieta intrinseche fmora ritrovate caratterizzano I'esistenza su Vn di una struttura di separabilita; in altre parole abbiamo il teorema seguente (8).

TEOREMA. Una varieta riemanniana Vn ammette localmente una struttura di separabilita Sn> rsee soltanto se, localmente:

1) esistono r vettori di Killing linearmente indipendenti e permutabili:

a) [X, X] = 0 ; o P

2) esistono m = n - r tensori doppi di Killing K indipendenti, permutabili fra loro e con i vettori X: a

b) [K,K] = 0 , [K,X] = 0 ; a b a a

3) * tensori K hanno m autovettori X in comune, ortogonali ai vet-a a

tori X, permutabili fra loro e con gli X: a a

c) [X,X]=0 , [X, X] = 0 . a b a a

Per quanto finora visto abbiamo dunque solo da dimostrare che le condizioni enunciate sono sufficienti. Le condizioni a) e c)

d stabiliscono I'esistenza di coordinate (yl) tali che 3 = 7-7 = X (la

i CV i

base \X\ e, in breve, olonoma). Se consideriamo le compo-

(8) Si veda anche [16] per una diversa dimostrazione, di carattere piu sintetico. Nella presente esposizione si e voluto seguire un procedimento piu utile per le applica-zioni, cioe per la efTettiva determinazione degli integrali quadratici .

— 461 —

y be

nenti K dei tensori K nella base naturale (Xj, abbiamo K = 0 a a t a

bb

per b 9+ c. Se poniamo if = %6, le relazioni di commutazione a)x danno semplicemente a a

(7.8) ub8K=ub8K , ub8ud=ud8ud (b n.s.) , a b c c b a a b c c b a

perche* le b)2 ci dicono, essendo gli X dei vettori di KILLING, che le a

ij

funzioni g, componenti del tensore metrico nella base considerata, ij

e K non dipendono dalle (ya). D'altra parte, per la lineare indipen-a

denza dei tensori K, abbiamo det || u b || ^ 0; se indichiamo con a a

a

|| ub || la matrice inversa della || ub ||, dalla (7.8)2, per saturazione a

a a

con ue, segue: dbe 3 ud — — ud ub 8 ue (b n. s.), cioe in particolare be a c b

a a

8 ue = 0 per b ^ e\ ue e dunque funzione della sola ye. Se inoltre b

JUL"*' b \IV [IV

poniamo £a = ua K, per la (7.8)2 dalla (7.8)x segue ub ud 8 £d = 0 a [a c] b

fir

e quindi, con ragionamento analogo al precedente, 3 Ce = 0 per b

b T* e : Ce dipende dunque al piu da ye. A questo punto, dagli inte-grali primi

6 6 /LIV

p = a , K(p)* + Kpp = a .. v v a b a (i v a

corrispondenti agli r vettori di KILLING ed agli m tensori di KILLING,

abbiamo

a f*v

(p)2 = a uc— £ca a , c a [* v

ed ogni pc viene a dipendere cosi dalla sola yc. Dunque I'equazione di HAMILTON-JACOBI nelle coordinate (yl) e senz'altro separabile.

— 462 —

OSSERVAZIONI FINALI.

In questo lavoro abbiamo trattato della separability dell'equa-zione (2.1), ma la generalizzazione all'eqUazione del tipo

- gij 8: Wd:W- V=h

e immediata (cfr. anche [13]); per la funzione "potenziale" V otte-niamo espressioni generali della forma (6.3) o (6.13) (e la V non dipende dalle coordinate (ya)).

L'ipotesi di una metrica definita e iritervenuta nell'assicurare che gaa 9^ 0 per ogni a = 1, 2, ..., m (§ 2); se si vuole estendere la trattazione a varieta pseudo-riemanniane (cioe con metriche inde­finite, come lo spazio-tempo della relativita generale) dobbiamo anche considerare i casi in cni per un sottoinsieme di indici del primo tipo abbiamo gaa = 0; cio corrisponde ai casi in cui i vettori di KILLING X generano sottospazi tangenti a metrica degenere.

a

Questi casi degeneri sono attualmente alio studio.

Ringrazio il prof. M. ZEULI, il j)rof. D. GALLETTO e il dott. M. FRANCAVIGUA per l'aiuto che mi hanno dato in molti momenti "critici" che questa ricerca ha conosciuto e superato. Eingrazio in modo particolare il j)rof. A. LICHNEROWICZ per la gentile attenzione che ha voluto prestare al mio lavoro e per le molte utili discussioni che abbiamo avuto durante il suo soggiorno a Torino (maggio 1976), nonche il prof. D. Graffi che in piii occasioni mi ha gentilmente fornito utilissime indicazioni bibliogranche.

— 463 —

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SERGIO BENENTI, Istituto di Meccanica Razionale, Universita di Torino.