Representative Sets

Parameterized Algorithms using MatroidsLecture II: Representative Sets

Saket Saurabh

The Institute of Mathematical Sciences, India

ASPAK, IMSc, March 3–8, 2014

Problems we would be interested in...Vertex CoverInput: A graphG = (V, E) and a positive integer k.Parameter: kQuestion: Does there exist a subset V 1 Ď V of size at most k such that forevery edge (u, v) P E either u P V 1 or v P V 1?

Hamiltonian PathInput: A graphG = (V, E)

Question: Does there exist a path P inG that spans all the vertices?

PathInput: A graphG = (V, E) and a positive integer k.Parameter: kQuestion: Does there exist a path P inG of length at least k?

Representative Sets

Why, What and How.

Representative Sets

Why, What and How.

Ham-Path

Dynamic Programming for Hamiltonian Path

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

.....

Example:

.

V[Paths of length i ending at vj]

.

SETS, NOT SEQUENCES.

.

Two paths that use the same set of vertices but

.

visit them in different orders are equivalent.

.

= V[Paths of length (i− 1) ending at u, avoiding vj.]

....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.

Potentially storing(ni

)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

.....

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

..

...

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

.....

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

.....

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

.....

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

.....

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

.....

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

Ham-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

n− 1

.

n

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

..

vj

....

.

Example:

.


.


.


.


.


....

u P N(vj)

.

Valid:

.

Invalid:

.


)sets.

K-Path

Let us now turn to k-Path.

To find paths of length at least k,we may simply use the DP table for Hamiltonian Path

restricted to the first k columns.

K-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.

Worst case running time: O⋆((

nk

))

K-Path...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.

Worst case running time: O⋆(nk)

Do we really need to store all these sets?

In the ith column, we are storing paths of length i.

Let P be a path of length k.

There may be several paths of length i that “latch on” tothe last (k− i) vertices of P.

We need to store just one of them.





















Example.

Suppose we have a path P on seven edges.

Consider it broken up into the first four and the last three edges.

..............

....

Example.



..............

....

Example.



..................

..............

........................................................

A Fixed Future (vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk).

.The Possibilities for Partial Solutions Compatible with vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk.

..................

....................................................



...................................

...................................



....................................................

..................



.....................................................................

.



......................................................................



......................................................................



Let’s try a different example.

..................

......................................................................



Here’s one more example:

..................

.....................................................


.

The Possibilities for Partial Solutions Compatible with vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk.

For any possible ending of length (k− i), we want to be sure that we storeat least one among the possibly many “prefixes”.

This could also be(

nk−i

).

The hope for “saving” comes from the fact that a single path of length i ispotentially capable of being a prefix to several distinct endings.


This could also be(

nk−i

).



This could also be(

nk−i

).


For example...

....................................................

Representative Sets

Why, What and How.

..

Partial solutions: paths of length j ending at vi

.A “small” representative family.

..........

If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.

We would like to store at least one path of length j

.

that serves the same purpose.

..

Partial solutions: paths of length j ending at vi.

A “small” representative family.

..........

If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


..


A “small” representative family...........

If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


..



If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


..



If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


..



If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


..



If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


..



If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


..



If:

..

vi

.

(k− j) vertices

.

j vertices

..........

Then:

.


.


Given: A (BIG) family F of p-sized subsets of [n].

S1, S2, . . . , St

Want: A (small) subfamily pF of F such that:

For any X Ď [n] of size (k− p),

if there is a set S in F such that X X S = H,then there is a set pS in pF such that X X pS = H.

The “second half” of a solution — can be any subset.


S1, S2, . . . , St






S1, S2, . . . , St






S1, S2, . . . , St






S1, S2, . . . , St




This is a valid patch into X.


S1, S2, . . . , St




This is a guaranteed replacement for S.


S1, S2, . . . , St





Given: A ď(np

)family F of p-sized subsets of [n].

S1, S2, . . . , St





Given: A ď(np

)family F of p-sized subsets of [n].

S1, S2, . . . , St

Known: D(kp

)subfamily pF of F such that:



Bolobás, 1965.

Given: A a matroid (M, I), and a family of p-sized subsets from I:

S1, S2, . . . , St

Want: A subfamily pF of F such that:

For any X Ď [n] of size at most q,

if there is a set S in F such that X X S = H and X Y S P I,then there is a set pS in pF such that X X pS = H and X Y pS P I.

Lovász, 1977


S1, S2, . . . , St




Lovász, 1977


S1, S2, . . . , St




Lovász, 1977


S1, S2, . . . , St

There is a subfamily pF of F of size at most(p+qp

)such that:



Lovász, 1977


S1, S2, . . . , St

There is an efficiently computable subfamily pF of F of size at most(p+qp

)such that:



Márx (2009) and Fomin, Lokshtanov, Saurabh (2013)

Summary.

We have at hand a p-uniform collection of independent sets, F and a number q.Let X be any set of size at most q. For any set S P F, if:

a X is disjoint from S, andb X and S together form an independent set,

then a q-representative family pF contains a set pS that is:a disjoint from X, andb forms an independent set together with X.

Such a subfamily is called a q-representative family for the given family.

Representative Sets

Back to Why.

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

[RECALL]

..

(ki

)

.

Representative Set Computation

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

[RECALL]

.

(nk

)

.

(ki

)

.


...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

[RECALL]

.

(nk

)

.

(ki

)

.


...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

[RECALL]

.

(nk

)

.

(ki

)

.


...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

Not so fast!

.

(nk

)

.

(ki

)

.


...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

Not so fast!

.

(nk

)is too big!

.

(ki

)

.


We are going to compute representative families at every intermediate stage ofthe computation.

For instance, in the ith column, we are storing i-uniform families.Before moving on to column (i+ 1), we compute (k− i)-representative families.

This keeps the sizes small as we go along.

We are going to compute representative families at every intermediate stage ofthe computation.

For instance, in the ith column, we are storing i-uniform families.Before moving on to column (i+ 1), we compute (k− i)-representative families.

This keeps the sizes small as we go along.

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

...............

1

.

2

.

3

.

¨ ¨ ¨

.

i

.

¨ ¨ ¨

.

k− 1

.

k

.

v1

.

...

.

vj

.

...

.

vn

.


nk

))

.

RECALL

.

Blah blah.

.

(ki

)

.


.

n

.

(k1

)

.

(k1

)n

.

(k2

)

.

(k2

)n

.

(k3

)

.

¨ ¨ ¨

.

(k

i−1

)n

.

(ki

)

.

¨ ¨ ¨

.

2kn

.

2k

Let Pji be the set of all paths of length i ending at vj.

It can be shown that the families thus computed at the ith column, jth row areindeed (k− i)-representative families for Pj

i .

The correctness is implicit in the notion of a representative family.

Representative Sets

A Different Why.

Vertex CoverCan you delete k vertices to kill all edges?

..............

.......

Vertex CoverCan you delete k vertices to kill all edges?

.....................

Let (G = (V, E), k) be an instance of Vertex Cover.

Note that E can be thought of as a 2-uniform family over the ground set V .

Goal: Kernelization.

In this context, we are asking if there is a small subset X of the edges such that

G[X] is a YES-instance↔G is a YES-instance.

Let (G = (V, E), k) be an instance of Vertex Cover.

Note that E can be thought of as a 2-uniform family over the ground set V .

Goal: Kernelization.

In this context, we are asking if there is a small subset X of the edges such that

G[X] is a YES-instance↔G is a YES-instance.

Note: IfG is a YES-instance, thenG[X] is a YES-instance for any subset X Ď E.

We get one direction for free!

It is the NO-instances that we have to worry about preserving.

What is a NO-instance?













....................

IfG is a NO-instance:

For any subset S of size at most k,there is an edge that is disjoint from S.

Ring a bell?

....................

IfG is a NO-instance:

For any subset S of size at most k,there is an edge that is disjoint from S.

Ring a bell?

Recall.

We have at hand a p-uniform collection of independent sets, F and a number q.Let X be any set of size at most q. For any set S P F, if:

a X is disjoint from S, andb X and S together form an independent set,

then a q-representative family contains a set pS that is:a disjoint from X, andb forms an independent set together with X.

Such a subfamily is called a q-representative family for the given family.

Claim: A k-representative family for E is in factanO(k2) kernel for vertex cover.

..E(G) = {e1, e2, . . . , em}

.

{f1, f2, . . . , fr}

.

k-Representative Family

.

O(k2)

.

Is there a Vertex Cover of size at most k?

..E(G) = {e1, e2, . . . , em}

.

{f1, f2, . . . , fr}

.


.

O(k2)

.


..E(G) = {e1, e2, . . . , em}.

{f1, f2, . . . , fr}

.


.

O(k2)

.


..E(G) = {e1, e2, . . . , em}.

{f1, f2, . . . , fr}

.


.

O(k2)

.


..E(G) = {e1, e2, . . . , em}.

{f1, f2, . . . , fr}

.

”

.

O(k2)

.


Let us show that ifG[X] is a YES-instance, then so isG.

This time, by contradiction.

Let us show that ifG[X] is a YES-instance, then so isG.

This time, by contradiction.

..............

......

.

Try the solution forG[X] onG.

.

Suppose there is an uncovered edge.

.

Since X is a k-representative family, for ANY S Ď V , where |S| ď k:

.

if there is a set e in E such that e X S = H,

...

then there is a set pe in X such that pe X S = H.

.

Note that the green edges denoteG[X].

.

Contradiction!

.....................


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


..

.


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

....................

.


.


.


.


...


.


.

Contradiction!

A k-representative family for E(G) is in factanO(k2) instance kernel for Vertex Cover!

Representative Sets

Why, What and How.

Notation

Det(M) : JMKLetM be am ˆ n matrix, and let I Ď [m], J Ď [n].

M[I, J] : M restricted to rows indexed by I and columns indexed by J

M[⋆, J] : M restricted to all rows and columns indexed by J

M[I, ⋆] : M restricted to rows indexed by I and all columns

Standard Laplace Expansion

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

Fix a row and expand along the columns.

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.


Generalized Laplace Expansion

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.

Fix a set of columns, J Ď [6].

.

Iterate over all I Ď [6] such that |I| = |J|.

.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+3)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+4)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+5)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+3+4)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+3+5)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+3+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+4+5)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+4+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(1+5+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(2+3+4)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(2+3+5)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(2+3+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(2+4+5)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(2+4+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(2+5+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(3+4+5)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(3+4+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(3+5+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66

.

uwwwwwwwv

.

}��~

.

(−1)(1+3+6)+(4+5+6)

.


.


.

Det(A[I, J]).

.

Det(A[I, J]).

Det(A) =ÿ

IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)ř

I+ř

J

Recall: A Linear (or Representable) Matroid

M = (E, I), where E = {e1, . . . , en} and I Ď 2E

.

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.

Columns indexed by elements of E

.

rk(M)

...are linearly independent.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.

Columns corresponding to S P I

.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.

Columns corresponding to S P I

.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.

Columns that are linearly independent...

.

rk(M)



..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.

Columns that are linearly independent...

.

rk(M)

...correspond to sets in I.


..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

xe1

.

xe2

.

¨ ¨ ¨

.

xei

.

¨ ¨ ¨

.

xen−1

.

xen

.

AM =

.


.

rk(M)


Given: A collection of p-sized independent sets1:

S = {S1, . . . , St}.

Want: A q-representative subfamily pS of size ď(p+qp

).

1The rank of the underlying matroid is (p+ q).

Given: A collection of p-sized independent sets1:

S = {S1, . . . , St}.

Want: A q-representative subfamily pS of size ď(p+qp

).

1The rank of the underlying matroid is (p+ q).

..Z P S

.|Z| = p.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.

Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.

Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.

Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.

Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.

Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

..Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

.

.Z P S

.|Z| = p.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

.

.Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

.

.Z P S

.|Z| = p

.

Y Ď E

.

|Y| = q

..

P I

.

pZ P pS

..

P I

.Given

.

pZ P pS

.

|pZ| = p

..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17 ..a18 ..a19 ..a110 ..a111 ..a112 ..a113 ..a114 ..a115 ..a116 ..a117

















.

.

.AM = . (p+ q)

.

Columns corresponding to Z

.

p

.

Columns corresponding to Y

.

q

.

Columns corresponding to Z Y Y: LINEARLY INDEPENDENT

0 ‰

Det(AM[‹, Z Y Y])

=ÿ

IĎ[p+q],|I|=p

Det(A[I, Z]) ¨ Det(A[I, Y]) ¨ m

..


















.

.

.AM = . (p+ q).


.

p

.


.

q

.


0 ‰

Det(AM[‹, Z Y Y])

=ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


..


















.

.

.AM = . (p+ q).


.

p

.


.

q

.


0 ‰

Det(AM[‹, Z Y Y])

=ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


..


















.

.

.AM = . (p+ q).


.

p

.


.

q

.


0 ‰

Det(AM[‹, Z Y Y])

=ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


..


















.

.

.AM = . (p+ q).


.

p

.


.

q

.


0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y])

=ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


..


















.

.

.AM = . (p+ q).


.

p

.


.

q

.


0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y])

=ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


..


















.

.

.AM = . (p+ q).


.

p

.


.

q

.


0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


..


















.

.

.AM = . (p+ q).


.

p

.


.

q

.


0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


.

.

..Det(A[I0, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Z])

.

(.

).

vZ :=

....

All subsets of size p of (p+ q).

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.

Det(A[I, Z]) = λ1Det(A[I, T1]) + ¨ ¨ ¨ + λrDet(A[I, Tr])

.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

..Det(A[I0, S1]) .., . . . , ..Det(A[Ij, S1]) .., . . . , ..Det(A[Ir, S1])

.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.

..Det(A[I0, Si]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Si]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Si])

.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.

..Det(A[I0, St]) .., . . . , ..Det(A[Ij, St]) .., . . . , ..Det(A[Ir, St])

.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.

..Det(A[I0, T1]) .., . . . , ..Det(A[Ij, T1]) .., . . . , ..Det(A[Ir, T1])

.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.

..Det(A[I0, Tr]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Tr]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Tr])

.

(

.

)

.

vTr:=

.

A basis of size ď(p+qp

)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p


....Det(A[I0, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ij, Z]) .., . . . , ..Det(A[Ir, Z])

.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

....


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p



.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, ZYY]) =x

ÿ

IĎ[p+q],|I|=p

rÿ

i=1

λiDet(A[I, Ti])¨Det(A[I, Y])¨m


.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, ZYY]) =r

ÿ

i=1

xÿ

IĎ[p+q],|I|=p

Det(A[I, Ti])¨Det(A[I, Y])¨m


.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

ÿ

i=1

Det(AM[‹,TiYY])


.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

ÿ

i=1

Det(AM[‹,TiYY])


.

(.

).

vZ :=

...

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.

S = {S1, . . . . . . . . . , Si, . . . . . . . . . , St}

.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.

(p+qp

)-

dimensionalvectors.

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.


)for

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

ÿ

i=1

Det(AM[‹,TiYY])

Note that at for at least one Ti, we have that:Det(AM[‹,TiYY]) ‰ 0

For such a Ti, we know that:

..1 Y X Ti = H (easily checked: all terms that survive have this property),

..2 Y Y Ti P I (since non-zero determinant→ linearly independent columns).

Thus, the sets corresponding to the basis vectors, T1, . . . , Tr, do form aq-representative family.

0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

ÿ

i=1

Det(AM[‹,TiYY])






0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

ÿ

i=1

Det(AM[‹,TiYY])






0 ‰ Det(AM[‹, Z Y Y]) =r

ÿ

i=1

Det(AM[‹,TiYY])


.

(.

).

vZ :=

....vZ = λ1vT1

+ ¨ ¨ ¨ + λrvTr

.

vZ[I] = λ1vT1[I] + ¨ ¨ ¨ + λrvTr

[I]

.


.


.

(

.

)

.

vS1:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSi:=

.

...

.


.

(

.

)

.

vSt:=

.

χ(S) := {vS1, . . . . . . . . . , vSi

, . . . . . . . . . , vSt}

.


.

(

.

)

.

...

.

vT1:=

.


.

(

.

)

.

vTr:=

.

A basis of size(p+qp

)for

Computing T1, . . . , Tr.

We form a matrix with the vectors {vS1, . . . , vSi

, . . . , vSt} as the columns:

.

.

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt

...and compute a column basis.




..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt





..

..a11 ..a12 ..a13 ..a14 ..a15 ..a16 ..a17

..a21 ..a22 ..a23 ..a24 ..a25 ..a26 ..a27

..a31 ..a32 ..a33 ..a34 ..a35 ..a36 ..a37

..a41 ..a42 ..a43 ..a44 ..a45 ..a46 ..a47

..a51 ..a52 ..a53 ..a54 ..a55 ..a56 ..a57

..a61 ..a62 ..a63 ..a64 ..a65 ..a66 ..a67

..a71 ..a72 ..a73 ..a74 ..a75 ..a76 ..a77

.

.

.

vS1

.

vS2

.

¨ ¨ ¨

.

vSi

.

¨ ¨ ¨

.

vSt−1

.

vSt


..

..JA[I0, S1]K ..JA[I0, S2]K ... . . ..JA[I0, Si]K ... . . ..JA[I0, St]K


..... ..

... ..... ..

... ..... ..

.....JA[Ij, S1]K ..JA[Ij, S2]K ... . . ..JA[Ij, Si]K ... . . ..JA[Ij, St]K..... ..

... ..... ..

... ..... ..

.....JA[Ir, S1]K ..JA[Ir, S2]K ... . . ..JA[Ir, Si]K ... . . ..JA[Ir, St]K

.

.

.

t columns

.

(p+qq

).

rows

..



..... ..

... ..... ..

... ..... ..


... ..... ..

... ..... ..


.

.

.

t columns

.

(p+qq

).

rows

..



..... ..

... ..... ..

... ..... ..


... ..... ..

... ..... ..


.

.

.

t columns

.

(p+qq

).

rows

t ¨

(p+ q

q

)Determinant Computations.

LetM be a linear matroid of rank p+ q = k, S = {S1, . . . , St} be a p-familyof independent sets. Then there exists a q-representative of size at most

(p+qq

).

Moreover, given a representation ofM over a field F, we can find such arepresentative family inO

((p+qq

)tpω + t

(p+qq

)ω−1)

operations over F.

LetM be a linear matroid of rank p+ q = k, S = {S1, . . . , St} be a p-familyof independent sets. Then there exists a q-representative of size at most

(p+qq

).

Moreover, given a representation ofM over a field F, we can find such arepresentative family inO

((p+qq

)tpω + t

(p+qq

)ω−1)

operations over F.

Representative Sets

And that will be all!

Date post:	29-Jun-2015
Category:	Education
Upload:	aspak2014
View:	276 times
Download:	1 times

Representative Sets

Education