REQUISITOS PARA EL ARTÍCULO DE DIVULGACIÓN DEL CONOCIMIENTO PORTADA En Arial 14, negritas, alineación centrada: 1.Datos de la institución 2.Logo de la Institución 3.Datos del curso y del responsable del curso 4.Título del artículo 5.Nombre de la alumna o alumno autor del artículo En Arial 10, alineación derecha: 6. Fecha de entrega TÍTULO Y AUTOR -Título en arial 14, con mayúsculas, alineación centrada -Autor en Arial 12, alineación derecha LAS MATEMÁTICAS EN LAS TESELACIONES REGULARES DE ESCHER Adrián Cuevas González APARTADO DE PRESENTACIÓN -La palabra presentación como subtítulo: en Arial 12, tipo oración, alineada a la izquierda. -Propósito del artículo en el primer párrafo. -Todo el contenido (cuerpo) del apartado de presentación: En arial 12, justificado. Presentación. Iniciaré por mencionar que el presente texto se escribe con el propósito de realizar un acercamiento a la concepción matemática de la obra de Escher, focalizada en las teselaciones creadas por el autor a partir de la matematización de los mosaicos moriscos que cubren los muros de la Alhambra de Granada. Esto le permitió descubrir que los módulos básicos visualizados en sus inicios como formas orgánicas, resignificarlos en polígonos regulares. Al observar los mosaicos creados por Maurits Cornelius Escher no deja de asombrar la forma en que se entrelazan a la
Transcript
REQUISITOS PARA EL ARTÍCULO DE DIVULGACIÓN DEL CONOCIMIENTO
PORTADA En Arial 14, negritas, alineación centrada: 1.Datos de la institución 2.Logo de la Institución 3.Datos del curso y del responsable del curso 4.Título del artículo 5.Nombre de la alumna o alumno autor del artículo En Arial 10, alineación derecha: 6. Fecha de entrega
TÍTULO Y AUTOR -Título en arial 14, con mayúsculas, alineación centrada -Autor en Arial 12, alineación derecha
LAS MATEMÁTICAS EN LAS TESELACIONES REGULARES DE ESCHER
Adrián Cuevas González
APARTADO DE PRESENTACIÓN -La palabra presentación como subtítulo: en Arial 12, tipo oración, alineada a la izquierda. -Propósito del artículo en el primer párrafo. -Todo el contenido (cuerpo) del apartado de presentación: En arial 12, justificado.
Presentación.
Iniciaré por mencionar que el presente texto se escribe con el
propósito de realizar un acercamiento a la concepción
matemática de la obra de Escher, focalizada en las teselaciones
creadas por el autor a partir de la matematización de los
mosaicos moriscos que cubren los muros de la Alhambra de
Granada. Esto le permitió descubrir que los módulos básicos
visualizados en sus inicios como formas orgánicas,
resignificarlos en polígonos regulares.
Al observar los mosaicos creados por Maurits Cornelius Escher
no deja de asombrar la forma en que se entrelazan a la
-Una cita parafraseada de múltiples autores. -Cierre del apartado presentación. -Vinculación hacia el apartado conceptualización.
perfección las figuras orgánicas, de tal manera que al
apreciarlos difícilmente nos damos cuenta que se diseñaron a
partir de transformaciones geométricas de polígonos regulares,
lo que impregna un significado especial a sus teselaciones
como producto del arte geométrico.
Para comprender la matemática que vive en los
mosaicos escherianos en palabras de Freire (1996) y Lockhart
(2008) debemos identificarla como un proceso de
matematización, como el descubrir que en un mosaico
compuesto por figuras de lagartos o patos y peces entrelazados
además de una ilusión óptica se encuentran patrones
matemáticos.
Con referencia a lo anterior, apreciar la geometría en la
obra de Escher es un proceso de mate-alfabetización que
implica además de reconocer el valor estético cultural de sus
realizaciones, la necesidad de replantear su significado en una
realidad que nos invita a incursionar en el concepto de procesos
geométricos como las proyecciones simétricas o la
compensación de áreas en los polígonos.
A fin de atender al propósito centraré la atención en los
procesos matemáticos a los que recurre Escher para el diseño
de sus mosaicos teselados como punto de partida es necesario
conceptualizar los términos teselación, tesela, mosaico y su
significado específico en la obra de Maurits Cornelius.
APARTADO DE CONCEPTUALIZACIÓN -La palabra conceptualización como subtítulo: en Arial 12, tipo oración, alineada a la izquierda. -Todo el contenido (cuerpo) del apartado de conceptualización: En arial 12, justificado. -En el primer párrafo: origen etimológico, definición de diccionario o de obra general. -Una conceptualización acotada al objeto de estudio y sustentada por una cita textual de autor.
Conceptualización.
Para conocer el significado del término teselación,
iniciaré por su origen etimológico, procede del latín <tesella>,
que puede traducirse <azulejo>, y este a su vez de la palabra
griega <tessares>, que es sinónimo de <cuatro>. De acuerdo
con el diccionario electrónico Definición.de la conceptualiza
como el patrón que se sigue al recubrir una superficie en la
que se requiere evitar la superposición de figuras y asegurar
que no se registran espacios en blanco en el recubrimiento.
La Asociación Mexicana de Ciencias en el comunicado
de divulgación ‘Teselaciones, arte y matemática’ conceptualiza
la teselación de un plano como el recubrimiento de
un friso o un zócalo con figuras regulares e iguales con
la única condición de que en cada vértice confluya un
número entero de figuras, de donde se deduce que el
ángulo formado entre dos lados consecutivos debe ser
divisor de 360°. Esto deja tres opciones: los cuadrados
(90°), los triángulos (60°) y los hexágonos (120°). Las
posibilidades se multiplican si se combinan figuras,
figuras no regulares o deformaciones varias. (Asociación
-Una aclaración de lo que no debe entenderse como significado del objeto de estudio. -A manera de cierre, una conceptualización de creación propia.
La obra de Escher que refiero en este artículo son
teselaciones regulares, mosaícos teselados creados a partir de
módulos o teselas por la transformación de polígonos utilizando
el método de compensación de áreas, donde aprovecha cada
espacio libre para diseñar formas con patrones definidos que
representan figuras de animales y humanos que no son otra
cosa que creativos dibujos geométricos, lo que lo hizo estar más
cerca de los matemáticos que de los artistas de su tiempo.
A diferencia de éstas teselaciones escherianas existen
“los teselados irregulares que están construidos a partir de
polígonos regulares e irregulares que, al igual que todas las
teselaciones, cubren toda la superficie sin sobreponerse ni dejar
espacios vacíos.” (PLAN CEIBAL, s.f.); los demi-regulares que
se forman a partir de la combinación de dos o más polígonos
regulares pero de modo que no todos los vértices tengan la
misma distribución y los semirregulares formados por la
combinación de dos o más polígonos regulares pero distribuidos
de modo tal que en todos los vértices aparezcan los mismos
polígonos y en el mismo orden.
Reformulando los significados expuestos, las
teselaciones creadas por Escher se definen como teselados
regulares, mosaicos reconocidos por su valor artístico
concebido a partir de patrones matemáticos que se han
-Vinculación hacia el apartado contextualización.
convertido en modelo al crear innovaciones en el diseño de
mosaícos, cenefas y textiles. El estudio de la relación arte-
matemática en la obra de este singular arquitecto es un
interesante objeto de estudio que presenta áreas de
oportunidad para la investigación, en el siguiente apartado se
realiza un pequeño acercamiento a su estado del arte.
APARTADO DE CONTEXTUALIZACIÓN -La palabra contextualización como subtítulo: en Arial 12, tipo oración, alineada a la izquierda. -Todo el contenido (cuerpo) del apartado de contextualización: En arial 12, justificado. -En el primer párrafo la base de datos desde la que se realiza la contextualización -Las publicaciones consideradas como antecedentes en orden cronológico
Contextualización.
Para contextualizar la matemática en la obra de Escher
como objeto de estudio se recurrió a la base de datos de
GOOGLE ACADÉMICO del 2000 a 2016. Entre los 2,000
resultados de la búsqueda sólo en páginas en español se
encontraron doce indirectamente relacionados con ‘Las
matemáticas en la obra de Escher’, al buscar en inglés fueron
veintiséis los textos con relación relativa a ‘The mathematics of
MC Escher’
Se consideran como antecedentes al presente estudio
los siguientes textos académicos: ‘M.C. Escher. Reflexiones
sobre la división regular del plano’ escrito en el año 2000 por
Rafael Pérez Gómez en el que expone cómo el autor realiza sus
teselaciones a partir de descubrir la geometría en los muros de
la Alhambra. ‘Escher I. Las matemáticas para construir’
publicado en 2005 por Capi Corrales donde muestra los
procesos de construcción y pensamiento matemático utilizados
-Información sobre el contenido del texto publicado que presenta mayor relación con el objeto de estudio -Cierre sintetizando el proceso de contextualización -Vinculación hacia el apartado contextualización. (en este caso se realiza al inicio del apartado de demostración)
por el arquitecto en sus obras. ‘El extraño mundo de las
teselaciones’ tesis realizada por Sara Alejandra Pando Figueroa
en la que evidencia los patrones matemáticos que se involucran
en la creación de mosaicos teselados.
El texto publicado con mayor cercanía al propósito de
este estudio es el que refiere a la investigación realizada por
Sara Pando a partir de su inquietud por acercarse a la
matemática en los mosaicos teselados y descubrir que hay
cosas realmente sorprendentes que se pueden crear y explicar
con el pensamiento geométrico. En específico el capítulo 3 en
el que sustenta la relación entre geometría, arte, ciencia y
teselados; y el capítulo 4 dedicado a la aplicación de isometrías
y simetrías en los mosaicos.
La contextualización permitió observar que entre los
resultados aportados por GOOGLE ACADÉMICO, son escasos
los que se relacionan directamente con el estudio. Destacan los
textos de Pérez Gómez por sus aportaciones para fundamentar
los patrones matemáticos en la obra de Escher, el escrito por
Corrales sobre la construcción de teselaciones y el realizado por
Pando con relación a los procesos geométricos que se utilizan
al teselar.
APARTADO DE DEMOSTRACIÓN -La palabra demostración como subtítulo: en Arial 12,
Demostración.
tipo oración, alineada a la izquierda. -Todo el contenido (cuerpo) del apartado de contextualización: En arial 12, justificado. -En el primer párrafo se vincula el apartado anterior y se presentan los procesos matemáticos que están presentes en el objeto de estudio en formato de viñeta numerada -El párrafo de inicio para cada proceso matemático comienza por anotar el número y nombre, punto y seguido iniciar el contenido -Evidenciar cada proceso matemático con al menos una imagen que debe numerarse en su margen superior en Arial 12, alineación centrada Imagen 1, Al pie de la imagen anotar su referencia en un paréntesis que se inicia con la palabra fuente dos puntos, seguida de la referencia en Arial 8, alineación izquierda. (Fuente:https://www.idec.edu.mx/web6/)
-Reducir las imágenes para evitar saltos de página
La información encontrada en los textos aporta elementos
para demostrar que la matemática está presente en la obra de
Escher y puede observarse como:
1. Deformación de polígonos
2. Las simetrías en los mosaicos (teselaciones)
3. Teselaciones regulares
1.Deformación de polígonos. Las teselaciones de Escher se
construyen a partir de la descomposición de polígonos con el
método de áreas compensadas que consiste en realizar en uno
de los lados del polígono tomado como base, una deformación
a la cual debemos aplicarle una isometría, con el fin de que la
figura formada mantenga la misma área que la original. Este
procedimiento puede ser aplicado más de una vez hasta formar
la figura deseada. A las nuevas figuras que teselan el plano se
les llama trisides.
Resulta sencillo identificar la deformación del triángulo
equilátero con el método de compensación de áreas para
descubrir un pez volador.
Otras deformaciones de polígonos utilizadas por Escher
incluyen triángulos encontrados, cuadrados o hexágonos, la
imagen 2 muestra cómo se generan las formas orgánicas a
partir de la compensación de áreas.
2.Las simetrías en los mosaicos (teselaciones). Para
demostrar que la simetría se encuentra presente en la obra de
Escher debe significarse de acuerdo con el planteamiento de
Enrique de la Torre:
la teoría de la simetría es una parte de la geometría que,
operando sobre el espacio euclídeo, engloba como
transformaciones a todas las isometrías, siendo su
interés específico el estudio de los grupos de isometrías
que dejan invariantes las figuras. Las transformaciones
en el plano afín reciben también el nombre de isometrías;
la palabra isometría proviene del griego y significa ‘igual
medida’. Podemos concluir entonces que las
traslaciones, los giros y las simetrías son movimientos en
el plano, y cualquier otro movimiento que se realice es
composición de ellos. Todo movimiento en un plano es o
bien la identidad o una traslación o una rotación
(movimientos directos, que no cambian la orientación del
objeto después de aplicarle el movimiento), o bien una
simetría o una simetría deslizante (movimientos
indirectos, que cambian la orientación). (De la Torre
Fernández, 2012)
desde esta visión, se entiende una teselación como un
recubrimiento especial del plano, que se genera con la
repetición, en dos o más direcciones distintas donde cada tesela
cumple ciertas características de acoplamiento y regularidad.
En la imagen 4 es sencillo identificar un triángulo
equilátero con vértices en la cola y las aletas de cada pez
volador. Los movimientos que convierten el triángulo en el pez
son las simetrías centrales generadas en rotación de orden 6 en
los vértices del triángulo.
En otro ejemplo más complicado sobre la utilización de
las simetrías en las teselaciones de Escher, la imagen 5
muestra con una cuadrícula sobrepuesta al dibujo la forma en
que se generan las imágenes y sus proyecciones.
3.Teselaciones regulares. Los mosaicos creados por
Escher se consideran teselaciones regulares porque al
utilizarse en la composición de un mosaico los polígonos son
equivalentes, además de pertenecer al grupo de diecisiete que
son periódicas y se clasifican en cinco tipos conforme a las
Las imágenes propias no se referencian
simetrías que se generan a partir de la repetición de la figura
base.
Las imágenes muestran como la transformación de polígonos,
las simetrías y la categorización de polígonos para la
construcción de teselaciones regulares están presentes en la
obra de este arquitecto más matemático que artista.
APARTADO DE EVIDENCIA Y CIERRE -Las palabras Evidencia y cierre como subtítulo: en Arial 12, tipo oración, alineada a la izquierda. -Todo el contenido (cuerpo) del apartado de contextualización: En arial 12, justificado. -En el primer párrafo la introducción a la viñeta de entrevista -Viñeta de entrevista:
Dentro de un recuadro al ancho de márgenes del texto
Los datos de identificación en arial 10, alineación derecha con
Evidencia y cierre.
Para finalizar incluyo el siguiente comentario sobre las
matemáticas en la obra de Escher producto de una entrevista
informal al Dr. en Educación Jaime Hernández, catedrático en
la licenciatura en Diseño en el Instituto de estudios superiores
de occidente (ITESO).
interlineado sencillo y espaciado “0”.
Viñeta de entrevista en formato de guion de teatro, Arial 12
-En el segundo párrafo la conclusión -En el tercer párrafo recomendación de textos para profundizar en el tema de estudio
En conclusión, el pensamiento geométrico permea los
procesos creativos de Escher, desde la singular apreciación que
realiza a los muros de la Alhambra que le permite encontrar en
ellos isometrías y simetrías, descubrir que la tesela básica para
realizar cualquiera de los mosaicos moriscos es un polígono
regular. Su creación es trascendente porque a partir de los
principios de compensación de áreas y transformaciónes
geométricas construye composiciones complejas. Lo que
conduce a afirmar que sus teselaciones son una expresión
artística matematizada.
Si te interesa saber más acerca de la obra de Escher te
recomiendo los siguientes libros ‘la magia de M.C. Escher’ de
editorial TASCHEN; ‘M.C. Escher: Simmetry Book publicado por
POMEGRANATE; si tu interés se inclina hacia los procesos
geométricos desde su concepción clásica resulta interesante
‘Lo que cabe en el espacio’ de Héctor Xenil, editado por copIt-
arXives.
REFERENCIAS -Las palabra Referencias como subtítulo: en Arial 12, tipo oración, alineada a la izquierda. -Las referencias en estilo APA 6ª edición, en arial 10, alineado a la derecha, con sangría francesa, interlineado sencillo, espaciado “0”
Referencias. Asociación Mexicana de Ciencias. (6 de Junio de 2013). Teselaciones, Arte
y Matemáticas. Boletín AMC(208), 13. Recuperado el 9 de Noviembre de 2016, de http://www.comunicacion.amc.edu.mx/comunicados/teselaciones-arte-y-matematicas
Corrales Rodrigañez, C. (Junio de 2005). Escher I: Las matemáticas para construir. (F. E. Matemáticas, Ed.) SUMA(49), 101-108. Recuperado el 12 de Septiembre de 2016, de http://www.mat.ucm.es/~ccorrale/pdfs/suma49.pdf
De la Torre Fernández, E. (2012). Mosaicos: rompiendo el plano de manera armónica. Seminario, Ministerio de Educación, ESTALMAT, Galicia. Recuperado el 28 de octubre de 2016, de http://www.estalmat.org/madrid/archivos/Galicia-Mosaicos.pdf
Diccionario electrónico Definición.de. (s.f.). Recuperado el 12 de septiembre de 2016, de http://definicion.de/teselacion/
Lockhart, P. (2008). Lamento de un matemático. Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española(11.4), 737-766. Recuperado el 12 de Septiembre de 2016, de https://eudml.org/doc/44110
A PARTIR DE LA SIGUIENTE PÁGINA EL
EJEMPLO COMPLETO CON TODAS LAS
CARACTERÍSTICAS DE FORMATO Y
CONTENIDO
LAS MATEMÁTICAS EN LAS TESELACIONES REGULARES DE
ESCHER
Adrián Cuevas González
Presentación.
Iniciaré por mencionar que el presente texto se escribe con el propósito de realizar
un acercamiento a la concepción matemática de la obra de Escher, focalizada en
las teselaciones creadas por el autor a partir de la matematización de los mosaicos
moriscos que cubren los muros de la Alhambra de Granada. Esto le permitió
descubrir que los módulos básicos visualizados en sus inicios como formas
orgánicas, resignificarlos en polígonos regulares.
Al observar los mosaicos creados por Maurits Cornelius Escher no deja de
asombrar la forma en que se entrelazan a la perfección las figuras orgánicas, de tal
manera que al apreciarlos difícilmente nos damos cuenta que se diseñaron a partir
de transformaciones geométricas de polígonos regulares, lo que impregna un
significado especial a sus teselaciones como producto del arte geométrico.
Para comprender la matemática que vive en los mosaicos escherianos en
palabras de Freire (1996) y Lockhart (2008) debemos identificarla como un proceso
de matematización, como el descubrir que en un mosaico compuesto por figuras de
lagartos o patos y peces entrelazados además de una ilusión óptica se encuentran
patrones matemáticos.
Con referencia a lo anterior, apreciar la geometría en la obra de Escher es un
proceso de mate-alfabetización que implica además de reconocer el valor estético
cultural de sus realizaciones, la necesidad de replantear su significado en una
realidad que nos invita a incursionar en el concepto de procesos geométricos como
las proyecciones simétricas o la compensación de áreas en los polígonos.
A fin de atender al propósito centraré la atención en los procesos matemáticos a
los que recurre Escher para el diseño de sus mosaicos teselados como punto de
partida es necesario conceptualizar los términos teselación, tesela, mosaico y su
significado específico en la obra de Maurits Cornelius.
Conceptualización.
Para conocer el significado del término teselación, iniciaré por su origen
etimológico, procede del latín <tesella>, que puede traducirse <azulejo>, y este a
su vez de la palabra griega <tessares>, que es sinónimo de <cuatro>. De acuerdo
con el diccionario electrónico Definición.de la conceptualiza como el patrón que se
sigue al recubrir una superficie en la que se requiere evitar la superposición de
figuras y asegurar que no se registran espacios en blanco en el recubrimiento.
La Asociación Mexicana de Ciencias en el comunicado de divulgación
‘Teselaciones, arte y matemática’ conceptualiza la teselación de un plano como el
recubrimiento de
un friso o un zócalo con figuras regulares e iguales con la única condición de
que en cada vértice confluya un número entero de figuras, de donde se
deduce que el ángulo formado entre dos lados consecutivos debe ser divisor
de 360°. Esto deja tres opciones: los cuadrados (90°), los triángulos (60°) y
los hexágonos (120°). Las posibilidades se multiplican si se combinan
![Precursores catalíticos de polioxometalatos tipo Anderson ... · to [7, 8], las cuales elevan los costos de operacionales que hasta cierto punto podrían ser compensadas con el uso](https://static.documents.pub/doc/80x56/5e8133c57b19ab705b2181c6/precursores-catalticos-de-polioxometalatos-tipo-anderson-to-7-8-las-cuales.jpg)
