Resolución de problemas elementales de FÍSICA y QUÍMICA · PDF...

Resolución de

problemas elementales

de FÍSICA y QUÍMICA

HORTENSIO BAILADOR COSCARÓN

M. LUZ LAVEDA CANO

Título: Resolución de problemas elementales de FÍSICA Y QUÍMICA.Autores: Hortensio Bailador Coscarón y M.Luz Laveda Cano.I.S.B.N.: 84-8454-046-4Depósito legal: A-1058-2000

Edita: Editorial Club Universitarioweb: www.editorial-club-universitario.es

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Tlf.: 96 567 19 87C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante)e-mail: [email protected]: www.1gamma.com

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puedereproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico,incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento deinformación o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de lostitulares del Copyright.

PRÓLOGO

Este texto está dirigido a alumnos y alumnas que han elegido por vezprimera la Física y la Química, bien pensando en futuros estudios deCiencias o Ingeniería, o simplemente por esa curiosidad que supone labúsqueda de una explicación del orden de la naturaleza.

Los principales objetivos que hemos perseguido en este libro de iniciación ala Física y la Química son, por una parte, mostrar al estudiante a través deejercicios y problemas, los principios básicos de Física y Química y reforzarla comprensión de conceptos mediante ejemplos de la vida real y, al mismotiempo, pretendemos motivar a los estudiantes en la apasionante experienciaque es conocer la naturaleza, mostrando las reglas fundamentales del juego,es decir, estudiando Física, que es la más fundamental de las disciplinascientíficas. Nos sentiremos compensados si conseguimos este últimoobjetivo.

A continuación se describen algunas características de este libro.

Queremos indicar que la finalidad de este libro es servir de soporte y apoyoal libro de texto habitual de los alumnos. Por esta razón, hemos obviadoalgunas explicaciones, que creemos se deben conocer de antemano.

Hemos utilizado la letra negrita para indicar una magnitud vectorial, aunquela mayoría de las veces resolvemos el problema utilizando la componentedel vector, o bien calculamos el módulo del vector indicando la dirección ysentido del mismo.

Conceptos como velocidad media y rapidez media se han utilizadoindistintamente puesto que sólo tratamos problemas de movimiento cuyatrayectoria es rectilínea y en este caso, ∆e (desplazamiento sobre latrayectoria) coincide con ∆r (módulo del vector desplazamiento).

Es de todos conocido la importancia de las matemáticas para comprender laCiencia, por eso, hemos pretendido aunar el conocimiento de ideas yconceptos a través de descripciones con la resolución algebraica deproblemas. En los ejercicios se muestran la mayor parte de los pasos cuandose desarrollan las ecuaciones básicas.

Al final del texto, aparecen varios apéndices. El primero de ellos constituyeun repaso de las técnicas matemáticas más utilizadas en el texto: notacióncientífica, álgebra, geometría. Además, los apéndices contienen tablas dedatos físicos, factores de conversión, unidades del S.I. de magnitudesfísicas, el espectro electromagnético y una tabla periódica. A lo largo dellibro se hace referencia a estos apéndices.

Esperamos pues, que los estudiantes consigan adquirir los conocimientosnecesarios para abordar cursos de Física y Química posteriores conconfianza y con la seguridad que da un buen aprendizaje.

LOS AUTORES

“Si os apasiona la Ciencia, haceos científicos. No penséis enlo que va a ser de vosotros. Si trabajáis firme y conentusiasmo, la Ciencia llenará vuestra vida.”

Severo Ochoa

“El científico no estudia la naturaleza porque sea útil; laestudia porque se deleita en ella, y se deleita en ella porquees hermosa. Si la naturaleza no fuera bella, no valdría lapena conocerla, y si no ameritara saber de ella, no valdría lapena vivir la vida.”

Henri Poincaré

A nuestras familias

ÍNDICE

PRÓLOGO

1. CINEMÁTICA 1

2. ESTÁTICA 35

3. DINÁMICA 47

4. TRABAJO Y ENERGÍA 77

5. FLUIDOS 101

6. CALOR Y TEMPERATURA 129

7. ONDAS 143

8. QUÍMICA 157

APÉNDICES 189

Cinemática

1

1. CINEMÁTICA

1.1. Expresa las siguientes velocidades en m/s y ordénalas de mayor amenor:150 m/h, 50 mi (náuticas)/h, 300 m/min, 50 mi (terres. USA)/h, 1 nudo,72 km/h.(1 milla náutica es la longitud de 1 min de meridiano = 1 852 m; 1 nudo= 1 mi/h).(1 milla terrestre USA = 1 609 m).

Pasamos todas las unidades a m/s.

sm

0,042s6003

h1hm

150 =⋅ ; ;sm

35,22mi1

m6091·

s6003h1

·hmi

50 =

sm

5s60

min1·

minm

300 = ; sm

25,72mi1

m8521·

s6003h1

·hmi

50 = ;

sm

0,51mi1

m8521 ·

s6003h1

·nudomi/h 1

nudo·1 = ; sm

20s3600

h1·

km1m0001

·h

km72 = ;

El orden es: 50 mi (náutica)/h > 50 mi (terrestre)/h > 72 km/h > 300 m/min> 1 nudo > 150 m/h.

1.2. Una chica tarda 20 min en llegar al instituto, que está a 2 500 m desu casa. ¿Cuál ha sido su velocidad media?

En primer lugar obtenemos el tiempo en s: 20 min·min

s60= 1 200 s.

Resolución de problemas elementales de Física y Química

2

Aplicamos la expresión de la velocidad: ÄtÄx

v= v = )tt()xx(

0

0

−−

v = s2001m5002

; v = 2,1 m/s

1.3. La gráfica de la derecharepresenta el desplazamientoque realiza una chica desde sucasa al parque, para reunirsecon sus amigos.a) Describe el movimiento.b) Calcula la velocidad de la

chica a la ida y a la vuelta.c) Dibuja la trayectoria seguida por la chica.

a) En el primer tramo (10 min) la posición cambia uniformemente, es unMRU, la chica va desde su casa al parque donde se reúne con sus amigos.

En el segundo tramo (de 10 a 60 min) la chica permanece parada en lamisma posición.

En el tercer tramo (de 60 a 80 min) la chica regresa al punto de partida, laposición cambia uniformemente, es un MRU aunque, como vemos regresamás despacio, la pendiente de la recta es menor.

b) ÄtÄx

v= v = )tt()xx(

0

0

−−

A la ida =−

−=min0)(10

m0)(1000v 100 m/min; m/s1,67

s60min1

·minm

100 = .

A la vuelta =−

−=min60)(80

m000)1(0v 50 m/min; m/s0,83

s601min

·minm

50 = .

0

250

500

750

1000

1250

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t (min)

x (m)

Cinemática

3

c)La trayectoria, como vemos, no tienenada que ver con la gráfica posición-tiempo.

1.4. En una tormenta pasan 2 s desde que vemos el relámpago hasta queoímos el trueno. Si la velocidad del sonido en el aire es 343 m/s(apéndice E.5), ¿a qué distancia se está produciendo la tormentaeléctrica?

Como la velocidad del sonido es uniforme, ∆x = v ∆t.

∆x = 343 m/s ·2 s; ∆x = 686 m.

Que es la distancia a la que se produjo la tormenta.

Despreciamos el tiempo que emplea la luz en recorrer esa distancia, ya quees mucho menor de 2 s.

1.5. Un coche que circula a 90 km/h, ¿cuánto tiempo tardará enrecorrer 65 km?

Obtenemos los datos en unidades del Sistema Internacional, SI.

90sm

25s3600

h1·

km1m0001

·h

km = ; 65 km ·km

m0001= 65 000 m.

ÄtÄx

v= ; ∆t =vx∆

; ∆t =s/m25m00065

; ∆t = 2 600 s.

Que son 43,3 min.

Podemos obtener el resultado utilizando las unidades que nos dan en elproblema.


4

∆t = vx∆

; ∆t = h/km90

km65; ∆t = 0,72 h.

0,72 h ·hmin60

= 43,3 min.

1.6. Una persona conduce un coche desde una ciudad T hasta unaciudad B, pasando por una ciudad A. La distancia que separa la ciudadT de la ciudad A es 50 km, la misma que la que separa la ciudad A de laciudad B. La carretera desde T hasta A es peligrosa, por lo que sóloalcanza una velocidad media de 50 km/h, pero desde la ciudad A hastala ciudad B es una autovía y la recorre a una velocidad media de 100km/h. ¿Cuál es la velocidad media alcanzada por esa persona en eltrayecto de la ciudad T hasta la ciudad B?.

La respuesta que se nos puede ocurrir, la semisuma de las velocidadesmedias de cada tramo, o sea 75 km/h, es incorrecta.

v=tx

∆∆

; Ésta es la velocidad media.

Calculamos el tiempo que tarda en recorrer cadatramo.

tT,A =h/km50

km50; tT,A = 1 h; tA,B =

h/km100km50

; tA,B = 0,5 h.

La velocidad media será: v=h5,1km100

; v= 66,7 km/h.

1.7. En una vuelta ciclista a España por etapas, los ciclistas hanrecorrido 2 800 km en un tiempo total de 86,15 h. ¿Cuál ha sido lavelocidad media con que han realizado la vuelta?

T

A

B

Cinemática

5

Podemos realizar las operaciones con las unidades proporcionadas.

ÄtÄx

v= ; h86,15

km8002v= ; v = 32,5 km/h.

Ahora pasamos el resultado a unidades SI.

sm

03,9s3600

h1·

km1m0001

·h

km32,5 = ;

1.8. Los valores de la posición de un móvil en movimiento rectilíneoestán representados en la tabla. Contesta razonadamente a lassiguientes preguntas.

Instante, t (s) 0 2 4 6 8 10 12Posición, x (m) -20 -16 -12 -8 -4 0 4

a) ¿Cuál es el valor de posición inicial?b) ¿Cuál es la velocidad? Describe cualitativamente el movimiento.c) ¿Se produce algún cambio de sentido en el movimiento?d) Expresa la ecuación temporal de la posición. ¿Cuál es la posición alcabo de 4,6 s?e) Calcula el valor de la aceleración.

a) El valor de la posición inicial, es el valor de la posición para t = 0 s,que es: x 0 = -20 m.

b) Como es un MRU (velocidad constante); ÄtÄx

v= , y podemos tomar

dos posiciones cualesquiera con su correspondiente valor de “t”.

s)04(m))20(12(

v−

−−−= ; v = 2 m/s


6

El movimiento representado sobre unos ejes de coordenadas es el de unmóvil que va de izquierda (valores negativos de la posición) a derecha.

c) No, aunque la posición del móvil cambie de signo, siempre va en elmismo sentido.

d) ÄtÄx

v= ; ∆x = v ∆t; x f – x 0 = v ∆t; x f = x 0 + v ∆t;

x f = -20 m + 2 m/s ·∆t;

La posición al cabo de 4,6 s es:

x 4,6 = -20 m + 2 m/s ·(4,6 s – 0 s); x 4,6 = -10,8 m.

e) La a = 0 m/s2 ya que es un MRU, en un movimiento rectilíneo y convelocidad constante, no hay aceleración.

1.9. Un coche circula por una carretera con una velocidad constante de90 km/h, cuando ve a un camión 1,5 km más adelante que circula convelocidad constante de 20 m/s, en la misma dirección y sentidocontrario. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar el coche al camión?¿Qué distancia recorre el camión hasta que es alcanzado?

Obtenemos la velocidad en m/s.

s/m25km1

m0001·

s6003h1

·h

km90 = ;

Ambos móviles circulan con MRU y consideramos el origen de nuestrosistema de referencia en el coche. Ponemos los datos de cada móvil.

Coche: v = 25 m/s; x 0 = 0 m; Camión: v = -20 m/s; x 0 = 1 500 m.

Escribimos la ecuación de la posición de cada móvil: x = x 0 + v ∆t. Y sustituimos los valores.

1 500 m

coche camión

v0 = 25 m/s v0 = –20 m/s

Cinemática

7

x coche = 0 m + 25 m/s ·∆t; x camión = 1 500 m – 20 m/s ·∆t.

En el momento del encuentro la posición final y el tiempo transcurrido hande ser los mismos para los dos móviles, por lo tanto igualamos las dosecuaciones.

x coche = x camión. 0 m + 25 m/s ·Ät = 1 500 m – 20 m/s ·Ät

Y aquí podemos despejar el tiempo “t”.

25 m/s ·(t-0 s) = 1 500 m – 20 m/s ·(t-0 s)Despejando:

s3,33t;s/m45

m1500t == .

Y averiguamos la posición final del camión:

x camión= 1 500 m – 20 m/s · 33,3 s; x camión= 833 m.

El espacio recorrido es la diferencia, en valor absoluto, entre las posicionesfinal e inicial:

e = m667m5001m833 =−

1.10. ¿En qué se distinguen un MRU y un MRUA?

Ambos movimientos son rectilíneos, pero el MRU tiene velocidad uniforme,constante, mientras que el MRUA es un movimiento acelerado,uniformemente acelerado (siempre la misma aceleración), con lo que suvelocidad cambia.

1.11. Una moto que parte del reposo aumenta su velocidad en 1 m/s,cada segundo, calcula intuitivamente su velocidad a los 10 s.Comprueba que este resultado coincide con el calculado mediante laecuación: ∆∆ v = a ∆∆t.


8

Parte del reposo, y después de 1 s tendrá una velocidad de 1 m/s, después de2 s, 2 m/s, después de 3 s tendrá 3 m/s... y después de 10 s tendrá 10 m/s.

Si el aumento de la velocidad es 1 m/s cada segundo, implica que laaceleración es 1 m/s2.

Utilizando la ecuación: ∆v = 1 m/s2 ·10 s; ∆v = 10 m/s.

Que coincide con el resultado obtenido antes.

1.12. El signo de las magnitudes posición, velocidad y aceleración, paratres cuerpos A, B y C viene dado en la siguiente tabla. Describecualitativamente el movimiento de cada cuerpo.

A B Cx + + -v + - -a - + -

Fijamos un sistema de coordenadas convencional para estudiar elmovimiento.

El móvil A se encuentra en la parte positiva del eje X y se dirige hacia laderecha (signo positivo en la velocidad) pero como la aceleración es desentido contrario a la velocidad (negativa) hace que reduzca la velocidad.

El móvil B se encuentra en la parte positiva del eje X y se dirige hacia laizquierda (signo negativo en la velocidad) pero como la aceleración es desentido contrario a la velocidad (positiva) hace que reduzca la velocidad.

El móvil C se encuentra en la parte negativa del eje X y se dirige hacia laizquierda (signo negativo en la velocidad) y como la aceleración es delmismo sentido que la velocidad (negativa) hace que la velocidad aumente.

Conviene fijarse en que el hecho de aumentar o disminuir el valor de lavelocidad tiene que ver con el hecho de que el signo de la aceleración sea elmismo o sea distinto.

Cinemática

9

El signo de la posición sólo nos indica en qué parte del eje de coordenadasestá situado el móvil, pero no hacia dónde se dirige, que nos lo indica elsigno de la velocidad.

1.13. Un coche parte del reposo y alcanza los 100 km/h en 9,3 s. ¿Cuálha sido su aceleración? ¿Qué espacio ha recorrido en los 9,3 s?

Es un MRUA y para calcular la “a” utilizamos la ecuación: tv

a∆∆= .

Como parte del reposo v 0 = 0 m/s.

Obtenemos la “vf ” en m/s:

sm

27,8s3600

h1·

km1m0001

·h

km100 = ;

Y calculamos la “a”;

;s)03,9(

s/m)08,27(a

−−= a = 2,99 m/s2.

Para hallar el espacio recorrido usamos la ecuación de la posición

x = x 0 + v 0 Ät +21

a (∆t)2.

x = 0 m + 0 m/s (9,3 s-0 s) +21

2,99 m/s2 ·(9,3 s-0 s)2 x = 129 m.

1.14. Un ciclista inicialmente en reposo acelera durante 15 s con unaaceleración constante de 0,5 m/s2. ¿Qué espacio recorre en ese tiempo?¿Qué velocidad alcanza?

La velocidad y posición iniciales son nulas; v 0 = 0 m/s, x 0 = 0 m.

Para calcular el espacio recorrido: x = x 0 + v 0 Ät +21

a (∆t)2;

x 15 = 21

0,5 m/s2 ·(15 s)2 x 15 = 56,3 m.


10

La velocidad alcanzada es:

v = v 0 + a ∆t; v 15 = 0,5 m/s2 ·15 s; v 15 = 7,5 m/s.

1.15. Un conductor que circula en su coche a 72 km/h, ve 80 m másadelante, ponerse en rojo el semáforo. ¿Con qué aceleración debefrenar para detenerse justo en el semáforo?

Consideramos el origen del sistema de referencia en el punto donde seencuentra inicialmente el coche y la posición final, el punto donde está elsemáforo.

La velocidad final del coche es cero, ya que se detiene en el punto delsemáforo.

Obtenemos la velocidad en m/s.

sm

20s3600

h1·

km1m0001

·h

km72 = ;

Colocamos los datos que tenemos: x f = 80 m; x 0 = 0 m; v 0 = 20 m/s;v f = 0 m/s

Se trata de un MRUA en el que nos piden la aceleración, para lo que

utilizamos las ecuaciones de la posición: x = x 0 + v 0 ∆t +21

a (∆t)2, y la

velocidad: v = v 0 + a ∆t.

En ambas ecuaciones desconocemos la “a” y el “t” por lo que debemoscombinar las dos ecuaciones para obtener: v 2 = v 2

0 + 2 a ∆xY ya podemos obtener la velocidad:

0 = (20 m/s)2 +2 a (80 m – 0 m); 22

s/m5,2a;m80·2

)s/m20(a −=−= .

El signo es negativo debido a que el coche debe disminuir su velocidad.

Cinemática

11

1.16. ¿Cuál es el valor de la velocidad de un objeto en el momento enque cambia el sentido de su movimiento?

Para cambiar de sentido el objeto disminuye su velocidad hasta que se hacecero, y cambia el sentido. Siempre que cambia de sentido el signo de lavelocidad cambia, por lo tanto en un instante debe ser cero.

1.17. Indica los signos de las magnitudes posición, velocidad yaceleración de un móvil que se encuentra a la izquierda del origen delsistema de coordenadas que hemos fijado, moviéndose hacia laizquierda y aumentando el valor de su velocidad.

El signo de la posición es negativo ya que está en la parte negativa del eje.

La velocidad también es negativa ya que el móvil se dirige a la izquierda.

La aceleración es negativa también, ya que si aumenta el valor de lavelocidad, la aceleración debe tener el mismo signo que ésta.

1.18. Un coche parte desde la posición x = 0 m con una velocidadconstante de 20 m/s y, en el mismo instante, una moto parte desde laposición x = 150 m en la misma dirección y sentido contrario, con unavelocidad constante de 64,8 km/h. ¿Cuánto tiempo pasa hasta elencuentro? ¿En qué punto se encuentran? ¿Cuál es el espacio recorridopor cada uno? Representa ambos movimientos en una gráfica posición-tiempo.

Obtenemos la velocidad en m/s. sm

18s3600

h1·

km1m0001

·h

km64,8 = ;

Ponemos los datos de cada móvil.Ambos movimientos son uniformesy las ecuaciones de posición son:

x c = 0 m + 20 m/s ·∆t.x m = 150 m –18 m/s ·∆t.

coche motox 0 = 0 mv 0 = 20 m/s

x 0 = 150 mv 0 = -18 m/s


12

El punto en el que se encuentren, la posición final será la misma y el tiempotranscurrido también, por lo tanto igualamos las dos ecuaciones.

x c = x m .

Entonces:0 m + 20 m/s·∆t = 150 m –18 m/s·∆t.

Y despejando “t”, ya que t 0 = 0, y ∆t = t:

s/m38m150

t = ; t = 3,95 s.

Y el punto en el que se encuentran:

x c = 0 m + 20 m/s ·3,95 s; x c = 79 m.

El espacio recorrido por el coche: e = m79m0m79 =− .

El espacio recorrido por la moto: e = m71m150m79 =− .

El punto donde se cortan las rectas nos indica la posición y el instante en elque se cruzan.

1.19. Los valores de la posición y la velocidad de un móvil, estánrepresentados en la siguiente tabla.

t (s) x coche(m/s) x moto(m/s)0 0 1501 20 1322 40 1143 60 964 80 785 100 606 120 427 140 248 160 6

020406080

100120140160

0 1 2 3 4 5 6 7 8

t (s)

x (m) x-coche x-moto

Cinemática

13

Instante, t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Posición, x(m) -10 -5 0 5 11 19 29 38,5 45 48,5Velocidad, v(m) 5 5 5 5 7 9 11 8 5 2

a) Describe cualitativamente el movimiento en las distintas fases.b) Calcula la velocidad media en el intervalo de 1 a 3 s.c) Calcula la aceleración media en el intervalo de 6 a 9 s.d) Expresa la ecuación temporal de la posición para el intervalo de

0 a 3 s, y para el intervalo de 3 a 6 s.e) Expresa la ecuación temporal de la velocidad para los intervalos de

0 a 3 s, y 6 a 9 sf) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 6,37 s?

a) En cuanto a la posición, el móvil se encuentra a la izquierda del eje decoordenadas, moviéndose hacia la derecha.

En cuanto a la velocidad, de 0 a 3 s es un MRU ya que siempre lleva lamisma velocidad, 5 m/s, pero a partir de 3 s ya es un MRUA. Desde 3 shasta 6 s aumenta la velocidad a razón de 2 m/s cada segundo (laaceleración será por lo tanto 2 m/s2) y desde 6 s hasta el final (9 s)disminuye su velocidad a razón de 3 m/s cada segundo (la aceleración serápor lo tanto –3 m/s2).

b) En este intervalo la velocidad es constante, por lo tanto su velocidadmedia es 5 m/s.

c) En el intervalo de 6 a 9 s la aceleración la podemos deducir de los datosde la tabla, ya que la velocidad disminuye 3 m/s cada segundo.

Algebraicamente la podemos calcular de la siguiente forma:

tv

a∆∆= ; 2s/m3a;

s)69(s/m)112(

a −=−

−= .

d) Para el intervalo de 0 a 3 s es un MRU y la ecuación de la posición es:

x = x 0 + v ∆t .


14

Conociendo la posición inicial y la velocidad (se obtienen de la tabla),construimos la ecuación temporal:

x = -10m + 5m/s ·∆t.

En el intervalo de 3 a 6 s es un MRUA. La ecuación de la posición es:

x = x 0 + v 0 Ät +21

a (∆t)2.

La aceleración ya la conocemos, es 2 m/s2, (tv

a∆∆= ) y el resto de las

condiciones las obtenemos de la tabla.

La ecuación temporal es:

x = 11 m + 7 m/s ·(t-3 s) +21

2 m/s2 ·(t-3 s)2.

Fíjate cómo las condiciones iniciales deben ser consideradas para cadaintervalo y por lo tanto la ecuación es válida para cada intervalo concreto.

e) Para el intervalo de 0 a 3 s, es un MRU y por eso la velocidad esindependiente del tiempo, es constante.

Para el intervalo de 6 a 9 s, es un MRUA con aceleración –3 m/s2 (yacalculada), y el resto de las condiciones las miramos en la tabla.La ecuación temporal es:

x = 29 m + 11 m/s ·(t-6 s) +21

(-3 m/s2) (t-6 s)2.

f) La velocidad al cabo de 6,37 s debe estar comprendida entre los valoresde 11 m/s y 8 m/s, para calcularla aplicamos la ecuación de la velocidad enfunción del tiempo.

v = v 0 + a ∆t;

Tomamos el tiempo inicial, 6 s, que es cuando comienza este tramo y por lotanto la velocidad inicial es 11 m/s, y la aceleración, ya calculada en elapartado c), es –3 m/s2.

Cinemática

15

v = 11 m/s – 3 m/s2 ·(t-6 s); v 6,37 = 11 m/s – 3 m/s2 ·(6,37 s-6 s)

v 6,37 = 9,89 m/s.

1.20. Un coche de la policía de tráfico, parado, observa el paso de unvehículo que ha cometido una infracción y que marcha a 126 km/h. Elcoche de la policía se pone en movimiento en el mismo instante en quepasaba el infractor, con una aceleración de 0,25 m/s2, hasta que le daalcance.a) ¿Cuánto tiempo tarda en darle alcance?b) ¿Qué espacio recorrió hasta darle alcance?c) ¿Cuánto tiempo tardó el coche policía en alcanzar la misma

velocidad que llevaba el infractor?d) Realiza la gráfica posición-tiempo y la gráfica velocidad-tiempo

para ambos móviles y, encuentra en ellas los datos pedidos en losapartados anteriores.

a) El vehículo infractor va con velocidad constante, MRU:

sm

35s3600

h1·

km1m0001

·h

km126 = ;

El coche de policía lleva un MRUA con: v 0 = 0; a = 0,25 m/s2; y como laposición y tiempo iniciales para ambos móviles es el mismo los tomamoscomo cero.

En el momento de alcanzar al infractor la posición final y el tiempo serán elmismo en ambos casos, así que pondremos las ecuaciones respectivas eigualamos.

x policía = x 0 + v 0 ∆t +21

a (∆t)2; x infractor = x 0 + v ∆t;

0 m + 0 m/s · t +21

0,25 m/s2 · t2 = 0 m + 35 m/s · t;

policía infractor


16

0,125 m/s2 · t2 – 35 m/s · t = 0; t (0,125 m/s2 · t – 35 m/s) = 0;

Una solución es: t = 0 s, y la otra: t = 2s/m125,0

s/m35; t = 280 s.

La solución t = 0 s es la correspondiente al instante inicial, donde tambiéntienen la misma posición, es una solución correcta matemáticamente pero nofísicamente.

b) El espacio recorrido por la policía, que coincide con su posición, es:

x policía = x 0 + v 0 ∆t +21

a (∆t)2;

x policía = 21

0,25 m/s2 ·(280 s)2; x policía = 9 800 m.

c) Para saber el tiempo que tarda en alcanzar la misma velocidad igualamoslas ecuaciones de las velocidades respectivas.

v policía = v 0 + a ∆t; v infractor = 35 m/s (cte.);Igualando:

0,25 m/s2 · t = 35 m/s; t =2s/m25,0

s/m35; t = 140 s.

Alcanzar la misma velocidad es distinto de alcanzar la misma posición.

d)

t (s) x policía (m) x infractor (m)0 0 040 200 140080 800 2800

120 1800 4200160 3200 5600200 5000 7000240 7200 8400280 9800 9800320 12800 11200 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 40 80 120 160 200 240 280 320

t (s)

x (m) x-policía x-infractor

Cinemática

17

El tiempo que tarda el coche policía en darle alcance es el tiempo quetranscurre hasta que se igualan las posiciones, (se cruzan en la gráfica) quecomo vemos en la gráfica posición-tiempo es 280 s.

El espacio recorrido se ve en la misma gráfica, 9 800 m.

El tiempo que tarda el coche policía en alcanzar la misma velocidad que elinfractor (no significa que lo alcance) lo vemos en la gráfica velocidad-tiempo (se cruzan las rectas) y es 140 s.

1.21. Una moto parte del reposo con una aceleración de 0,5 m/s2. Alminuto y medio deja de acelerar y se mantiene con la velocidadalcanzada. ¿Cuál ha sido la velocidad alcanzada al minuto y medio decomenzar a moverse? ¿Qué espacio ha recorrido en el minuto y medio?¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 10 km? Representa la gráficavelocidad-tiempo.

Como parte del reposo la v 0 = 0 m/s, el tiempo que está acelerando es 90 s ya = 0,5 m/s2. Aplicamos la ecuación de la velocidad: v = v 0 + a ∆t;

v 90 = 0 m + 0,5 m/s2 · 90 s; v 90 = 45 m/s.

El espacio recorrido en ese minuto y medio: x 90 = x 0 + v 0 ∆t +21

a (∆t)2.

t(s) v policía (m/s) v infractor (m/s)0 0 3540 10 3580 20 35

120 30 35160 40 35200 50 35240 60 35280 70 35320 80 35 0

102030405060708090

0 40 80 120 160 200 240 280 320

t (s)

v (m/s) v-policía v-infractor


18

x 90 = 0 m + 0 m +21

0,5 m/s2 ·(90 s)2; x 90 = 2 025 m.

Para recorrer 10 000 m (10 km), sabemos que 2 025 m ya los ha recorridocon MRUA y los restantes (10 000 m - 2 025 m) los recorre con velocidadconstante (45 m/s).

10 000 m = 2 025 m + 45 m/s ·∆t; ∆t =s/m45

)m0252m00010( −;

∆t = 177,2 s.

Y el tiempo total será:t = 90 s + 177,2 s; t = 267,2 s

Gráfica velocidad-tiempo:

1.22. Un cohete ha tardado 2 min en alcanzar una velocidad de5·104 km/h partiendo del reposo. Calcula la aceleración media.Si el cohete mantiene esa aceleración constante, ¿a qué altura debeascender para doblar la velocidad anterior?

Obtenemos la velocidad en unidades SI.

sm

88913s3600

h1·

km1m0001

·h

km5·104 = ;

0

10

20

30

40

50

0 15 30 45 60 75 90 105 120

t (s)

v (m/s)t (s) v (m/s)0 015 7,530 1545 22,560 3075 37,590 45105 45120 45

Cinemática

19

La aceleración es: tv

a∆∆= ;

s)0120(m/s)088913(

a−−= ; a = 115,7m/s2.

La altura a la que debe ascender para alcanzar 27 778 m/s la calculamos conla expresión:

v 2 = v 20 + 2 a ∆y.

Empleamos ∆y para representar la altura, ya que es un movimiento vertical.En los problemas anteriores usábamos ∆x, porque eran movimientoshorizontales.

(27 778 m/s)2 = (0 m/s)2 + 2 ·115,7m/s2 ·∆y; ∆y =2

2

s/m7,115·2

)s/m77827(;

∆y = 3,334·106 m. Que es la altura alcanzada.

1.23. En un MRUA:a) ¿La velocidad media y la velocidad instantánea son, en cualquier

instante de tiempo iguales?b) ¿En ningún instante de tiempo serán iguales?

a) No, la velocidad media tendrásiempre el mismo valor, mientras quela velocidad instantánea cambiará suvalor progresivamente.

b) No, en algún instante de tiempodeben ser iguales, pero sólo en uninstante.

1.24. Los valores de la posición y la velocidad de un movimientorectilíneo, en momentos sucesivos, están representados en la siguientetabla.

02468

101214

0 1 2 3 4 5 6 7 8t

vv-instantánea

v-media


20

Instante, t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Posición, x(m) 0 11,75 13 13,75 14Velocidad, v(m/s) 2 2 2 2 2 2

a) Expresa la ecuación temporal de la posición para los intervalos quevan de 0 a 5 s y de 5 a 9 s.

b) Completa los valores de posición y velocidad que faltan.c) ¿Cuál es el valor de la velocidad al cabo de 7,37 s?d) Representa gráficamente la posición frente al tiempo.

a) De 0 a 5 s es MRU y la ecuación de la posición es: x = x 0 + v ∆t;

Tomando valores de la tabla obtenemos la ecuación temporal:

x = 0 m + 2 m/s ·∆t.

A partir de 5 s es un MRUA y aplicamos, x = x 0 + v 0 ∆t +21

a (∆t)2 para

calcular la aceleración.

14 m = 11,75 m + 2 m/s ·(9 s – 6 s) +21

a (9 s-6 s)2; a = -0,5 m/s2.

Y la ecuación temporal de la posición es:

x = 11,75 m + 2 m/s ·∆t +21

(-0,5 m/s2) (∆t)2.

b) De 0 a 5 s es MRU y para completar los valores de posición aplicamos laecuación temporal:

x = 0 m + 2 m/s ·∆t.

Sustituyendo los sucesivos valores de “t” tenemos las sucesivas posiciones.

La posición al cabo de 1 s es:

x1= 0 m + 2 m/s ·1 s; x1= 2 m;

Y las siguientes posiciones:

x 2= 4 m; x 3 = 6 m; x 4 = 8 m; x 5 = 10 m; x 6 = 12 m.

Cinemática

21

A partir de 5 s es un MRUA. Expresamos la ecuación temporal de lavelocidad aprovechando los datos ya conocidos:

v = v 0 + a ∆t v = 2 m/s – 0,5m/s2 ·∆t.

Y los sucesivos valores de velocidad son:

v 6 = 2 m/s – 0,5m/s2 ·(6 s-5 s); v 6 = 1,5 m/s;

Y las demás velocidades:

v 7 = 1 m/s; v 8 = 0,5 m/s; v 9 = 0 m/s.

Completamos el cuadro.

Instante, t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Posición, x(m) 0 2 4 6 8 10 11,75 13 13,75 14Velocidad, v(m/s) 2 2 2 2 2 2 1,5 1 0,5 0

c) Para calcular la velocidad a los 7,37 s, aplicamos la ecuación temporal dela velocidad (sabemos que debe estar entre 1 y 0,5 m/s).

v 7,37 = 2 m/s – 0,5 m/s2 ·(7,37 s-5 s); v 7,37 = 0,82 m/s.

d) La gráfica posición-tiempo:

Vemos que a partir de los 5 s pasa a ser curva, ya que es un MRUA.

t (s) x (m)0 01 22 43 64 85 106 11,757 138 13,759 14

02468

10121416

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t (s)

x (m)


22

1.25. El movimiento de un cuerpoestá representado en la siguientegráfica.a) ¿Cuál es el espacio recorrido a

los 12 s?b) ¿Y la velocidad a los 12 s?

a) Como en 12 s existen dos tipos de movimientos debemos dividirlo en dospartes. En los primeros 10 s es un MRU, y el espacio recorrido es:

x 10 = v ∆t x 10 = 15 m/s ·10 s; x 10 = 150 m.

De 10 a 12 s es un MRUA y para calcular el espacio recorrido debemoshallar antes la aceleración en ese tramo:

;s)1015(

s/m)150(a

−−

= a = -3 m/s2.

La ecuación de la posición es: x = x 0 + v 0 ∆t +21

a (∆t)2

Sustituyendo:

x 12 = 150 m + 15 m/s ·(12 s-10 s) +21

(-3m/s2) (12 s-10 s)2; x 12 = 174 m.

b) Para calcular la velocidad a los 12 s: v 12 = v 10 + a ∆t

v 12 = 15 m/s –3 m/s2 ·(12 s-10 s) v 12 = 9 m/s.

1.26. Los valores de posición y velocidad de un ciclista que corre unacontrarreloj, están representados en la siguiente tabla.

Instante (min) 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Posición (m) 0

Velocidad (m/s) 0 12

Aceleración (m/s2) 0,05 0,05 0 0 0 0 -0,03 -0,03 -0,03

0

5

10

15

20

0 5 10 15

t (s)

v (m/s)

Cinemática

23

a) Halla la ecuación temporal de la posición para los intervalos de 0 a4 min, y de 5 a 9 min.

b) Completa los valores de posición y velocidad que faltan.c) ¿Cuál es el valor de la velocidad a los 7,37 min?d) ¿Cuál es el valor de la posición a los 15 min?

a) En el tramo de 0 a 4 min es un MRUA con a = 0,05 m/s2, posición yvelocidad iniciales nulas.

La ecuación del MRUA es: x = x 0 + v 0 ∆t +21

a (∆t)2.

Sustituyendo:

x =21

0,05 m/s2 · t2;

Para tener la ecuación temporal en el tramo de 5 a 9 min debemos calcularprimero la posición a los 4 min (240 s) con la ecuación anterior (es unMRUA) y después la posición a los 5 min (300 s) que ya es MRU, y éstapasará a ser la posición inicial en el tramo de 5 a 9 min.

x 4 =21

0,05 m/s2 ·(240 s)2; x 4 = 1 440 m;

x 5 = 1 440 m + 12 m/s ·(300 s –240 s); x 5 = 2 160 m.

La ecuación temporal en el tramo de 5 a 9 min es:

x = 2 160 m + 12 m/s ·(t –300 s).

b) Los valores de posición y velocidad se completan aplicando lascorrespondientes ecuaciones temporales.

Para el primer tramo, de 0 a 4 min (240 s). Se calcula en principio laposición a los 2 min:

x =21

0,05 m/s2 · t2; x 2 =21

0,05 m/s2 ·(120 s)2; x 2 = 360 m;

La posición a los 4 min es:


24

x 4 =21

0,05 m/s2 · (240 s)2 x 4 = 1 440 m;

v = 0,05 m/s2 · t; v 2 = 0,05 m/s2 · 120 s; v 2 = 6 m/s;

Para el tramo de 4 a 12 min es MRU.

x = 1 440 m + 12 m/s ·(t-240 s); x 6 = 1 440 m + 12 m/s ·(360 s –240 s);

x 6 = 2 880 m; x 8 = 4 320 m; x 10 = 5 760 m; x 12 = 7 200 m.

La velocidad en este tramo es constante 12 m/s.

Para el tramo de 12 min hasta el final es MRUA con aceleración negativa.Las posiciones son:

x = 7 200 m + 12 m/s ·(t-720 s) +21

(-0,03m/s2) (t-720 s)2;

x 14 = 8 424 m; x 16 = 9 216 m.

Las velocidades:v = 12 m/s – 0,03 m/s2 ·(t-720 s);

v 14 = 8,4 m/s; v 16 = 4,8 m/s.

Y ya se completa la tabla.

Instante (min) 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Posición (m) 0 360 1 440 2 880 4 320 5 760 7 200 8 424 9 216

Velocidad (m/s) 0 12 12 12 12 12 12 8,4 4,8

Aceleración (m/s2) 0,05 0,05 0 0 0 0 -0,03 -0,03 -0,03

c) La velocidad a los 7,37 min (442,2 s) es constante, la miramos en la tabla,es 12 m/s.

d) La posición a los 15 min (900 s) la calculamos con la ecuación temporalde la posición correspondiente a ese tramo.

x = 7 200 m + 12 m/s ·(t-720 s) +21

(-0,03 m/s2) (t-720 s)2

Cinemática

25

x 15 = 7 200 m + 12 m/s ·(900 s-720 s) +21

(-0,03 m/s2) (900 s-720 s)2;

x 15 = 8 874 m.

1.27. Si un cuerpo de 2 kg tarda un tiempo “t” en caer desde una alturade 10 m, ¿cuánto tiempo tardará si el mismo cuerpo es de 4 kg?

El mismo, ya que la aceleración en la caída libre de un cuerpo sigue siendola misma, aunque aumente la masa. Por lo tanto, la velocidad será la mismay el tiempo también.

En la aceleración de caída de un cuerpo influye la densidad del cuerpo(debido al empuje) o el rozamiento con el aire, pero no influye la masa.

Dos cuerpos de la misma densidad, aunque la masa sea muy distinta, caencon la misma aceleración, sólo si la densidad es muy diferente, laaceleración de caída será distinta. Es lo que ocurre cuando dejamos caer unapiedra y un papel desde la misma altura.

Por otra parte, el rozamiento con el aire depende de la forma del cuerpo.

1.28. Si dejamos caer un cuerpo desde una altura de 20 m, sabiendo quecae con la aceleración de la gravedad, ¿cuál será la velocidad al cabo de1,2 s? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?

La velocidad a los 1,2 s será:

v 1,2 = 0 m/s – 9,8 m/s2 ·1,2 s; v 1,2 = -11,8 m/s.

El signo negativo indica que está cayendo, de acuerdo con el sistema decoordenadas que venimos utilizando.

El tiempo lo averiguamos considerando la posición final: y f = 0 m.

0 m = 20 m + 0 m/s ·∆t +21

(-9,8 m/s2) (∆t)2;


26

Y despejamos el tiempo:4,9 m/s2 ·(∆t)2 = 20 m; ∆t = 2,02 s;

Y como t 0 = 0 s; entonces: t = 2,02 s.

1.29. Si lanzamos hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de20 m/s (sólo actúa la aceleración de la gravedad), ¿cuánto tiempopasará hasta que su velocidad se anule? ¿Qué altura alcanzará? ¿Cuálserá la velocidad al cabo de 2,4 s?

Aplicamos la ecuación de la velocidad, sabiendo que la velocidad final escero:

0 m/s = 20 m/s – 9,8 m/s2 · t; t = 2,04 s.

Para calcular la altura alcanzada empleamos el tiempo calculado ya que es elpunto en que su velocidad se anula.

y = 0 m + 20 m/s · 2,04 s +21

(-9,8 m/s2) (2,04 s)2; y = 20,4 m.

La velocidad a los 2,4 s es:v 2,4 = 20 m/s –9,8 m/s2 ·2,4 s; v 2,4 = -3,52 m/s.

El signo es negativo porque está cayendo.

1.30. A partir de la gráficaaverigua el espacio recorrido alos 10 s, y la velocidad a los 9 s.

Calcularemos el espacio recorridoen cada tramo averiguando, enprimer lugar, la aceleracióncorrespondiente.

En el primer tramo, de 0 a 2 s:

tv

a∆∆= ;

s)02(

s/m)010(a i −

−= a i = 5 m/s2.

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10

t (s)

v (m/s)

Cinemática

27

Y el espacio recorrido:

x i = 0,5 · 5 m/s2 · (2 s)2; x i = 10 m.

En el segundo tramo, horizontal, a ii = 0 m/s2.

El espacio será:x ii = 10 m + 10 m/s ·2 s; x ii = 30 m.

En el tercer tramo:

;s)46(

s/m)1020(a iii −

−= a iii = 5 m/s2;

x iii = 30 m +10 m/s · 2 s +21

5 m/s2 (2 s)2; x iii = 60 m.

En el cuarto tramo la aceleración será negativa ya que el móvil vadisminuyendo su velocidad:

s)610(

s/m)200(a iv −

−= ; a iv = - 5 m/s2.

La posición ahora nos da el espacio recorrido:

x iv = 60 m + 20 m/s · 2 s +21

(-5 m/s2) (2 s)2; x iv = 90 m.

La velocidad a los 9 s la podemos calcular bien gráficamente, o bienaplicando la ecuación de la velocidad al último tramo.

v 9 = 20 m/s –5 m/s2 ·(9 s – 6 s); v 9 = 5 m/s;

1.31. Desde una altura de 100 m dejamos caer un cuerpo y en ese mismoinstante, en la misma vertical, lanzamos desde el suelo otro cuerpo conuna velocidad inicial de 25 m/s. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que secruzan? ¿A qué altura se cruzan? ¿Cuál es la velocidad de cada cuerpo


28

en el momento de cruzarse? ¿Qué altura máxima alcanza el cuerpolanzado desde el suelo? ¿Cuánto tiempo tarda el cuerpo que cae desdelos 100 m, en llegar al suelo?

Este tipo de problemas es similar a los problemas de encuentros, yaresueltos anteriormente, con la salvedad de la aceleración, que aquí es la dela gravedad.

Se utiliza la ecuación de la posición del MRUA y seaplican las condiciones, la posición final y el tiempoen el momento del encuentro son iguales.

y A = 100 m +21

(-9,8 m/s2) t2;

y B = 25 m/s · t +21

(-9,8 m/s2) t2.

Igualamos:

100 m +21

(-9,8 m/s2) t2 = 25 m/s · t +21

(-9,8 m/s2) t2;

100 m = 25 m/s · t; t = 4 s.

La altura a la que se cruzan la calculamos sustituyendo los 4 s en cualquierade las ecuaciones de la posición:

y A = 100 m +21

(-9,8 m/s2) t2; y A = 100 m +21

(-9,8 m/s2) (4 s)2;

y A = 21,6 m.

Ésta es la altura a la que se cruzan.

La velocidad en el momento de cruzarse:

v A = -9,8 m/s2 · 4 s; v A = -39,2 m/s

Está cayendo ya que la velocidad es negativa.

A y0 = 10 mv0 = 0 m/s

B v0 = 25 m/sy0 = 0 m

Cinemática

29

v B = 25 m/s – 9,8 m/s2 · 4 s; v B = -14,2 m/s.

También está cayendo, por lo tanto cuando se cruzan los dos cuerpos estáncayendo.

Para saber la altura que alcanza el cuerpo B debemos averiguar antes eltiempo que está subiendo, y lo hacemos calculando el tiempo que tarda enhacerse su velocidad nula, que supone alcanzar la máxima altura.

0 m/s = 25 m/s - 9,8 m/s 2 · t; t = 2,6 s;

Este tiempo lo sustituimos en la ecuación de la posición

y B = 25 m/s · t +21

(-9,8 m/s2) t2; y B = 31,9 m.

El tiempo que tarda en llegar al suelo el cuerpo A lo averiguamos con laecuación de la posición, sabiendo que la posición final es cero.

0 m = 100 m +21

(-9,8 m/s2) t2; t = 4,5 s.

1.32 Indica razonadamente a qué tipo de movimiento rectilíneocorresponden las siguientes gráficas:

c)

t

x d)

t

v

a)

t

x b)

t

x


30

a) Es un MRUA ya que el incremento de posición es mayor a medida queaumenta el tiempo, la velocidad es cada vez mayor. Puede ser, por ejemplo,un cuerpo cayendo.

b) Es MRU ya que el incremento de posición siempre es el mismo, paracada incremento de tiempo, la velocidad siempre es la misma.

c) Es MRUA ya que el incremento de posición es cada vez menor a medidaque aumenta el tiempo, la velocidad es cada vez menor, por eso la curvatiende ha hacerse horizontal. Puede ser el movimiento de un cuerpo cuandolo lanzamos hacia arriba.

d) Es un MRUA, la velocidad disminuye hasta hacerse cero y después tomavalores negativos, cada vez mayores, por lo que ha habido un cambio desentido. Representa, por ejemplo, un cuerpo que sube, alcanza su máximaaltura y baja, aumentando la velocidad con signo negativo.

e) Es un MRU, la velocidad es constante.

f) Es MRUA ya que la aceleración es distinta de cero y es constante.

1.33. Desde un ático a 10 m de altura lanzamos hacia arriba una pelotacon una velocidad inicial de 5 m/s. ¿Qué altura respecto al ático alcanzala pelota? ¿Cuál es la velocidad que tiene la pelota cuando vuelve apasar enfrente del ático? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Conqué velocidad llega al suelo? Representa las gráficas posición-tiempo yvelocidad-tiempo.

e)

t

v f)

t

a

Cinemática

31

Para calcular la altura máxima averiguamos primero el tiempo que tarda enanularse su velocidad.

v = v 0 + a ∆t; 0 m/s = 5 m/s – 9,8 m/s2 · ∆t;

∆t = 0,51 s.

Este tiempo lo sustituimos en la ecuación de la posición.

y = 10 m + 5 m/s ·0,51 s +21

(-9,8 m/s2) (0,51 s)2;

y = 11,3 m.

Cuando la pelota vuelve a pasar enfrente del ático lavelocidad será la misma, -5 m/s.

Analíticamente lo podemos calcular, sabiendo que eltiempo es el doble (1,02 s).

v = 5 m/s – 9,8 m/s2 ·1,02 s; v = –5 m/s.

El tiempo que tarda en llegar al suelo lo calculamos considerando laposición final cero.

0 m = 10 m + 5 m/s · t +21

(-9,8 m/s2) t2;

t =)s/m9,4(·2

m10·)s/m9,4(·4)s/m5(s/m52

22

−−−±−

; t = 2,03 s.

La velocidad al llegar al suelo:

v = 5 m/s – 9,8 m/s2 · 2,03 s; v = -14,9 m/s.

Las gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo son:

10 m

v 0 = 5 m/s

t (s) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2y (m) 10,0 10,8 11,2 11,2 10,9 10,1 8,9 7,4 5,5 3,1 0,4 -2,7

v (m/s) 5,0 3,0 1,1 -0,9 -2,8 -4,8 -6,8 -8,7 -10,7 -12,6 -14,6 -16,6


32

1.34. Expresa las siguientes velocidades angulares en rad/s y ordénalasde mayor a menor:25 r.p.m., 50 ciclos/s, 30 vueltas por min, 180º en 10 s.

25 r.p.m. son 25 rev/min;

s/rad62,2s

rad83,0

rev1rad2

·s60

min1·

minrev

25 =π=π;

50 ciclos/s son 50 rev/min;

s/rad2,5s

rad7,1

rev1rad2

·s60

min1·

minrev

50 =π=π;

30 vueltas por min son 30 rev/min;

s/rad14,3s

radrev1rad2

·s60

min1·

minrev

30 =π=π;

180º en 10 s;

;s/rad99,0s

rad31,0

º360rad2

·s10

180º =π=π

El orden es: 50 ciclos/s > 30 vueltas por min > 25 r.p.m. > 180º en 10 s.

1.35. ¿Cuál es la velocidad angular en unidades SI, de un disco de viniloa 45 r.p.m.?

-6

-3

0

3

6

9

12

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

t (s)

y (m)

-15

-12-9

-6

-3

03

6

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2t (s)

v (m/s)

Cinemática

33

45 r.p.m. son 45 rev/min;

s/rad7,4s

rad5,1

rev1rad2

·s60

min1·

minrev

45 =π=π;

1.36. ¿Cuál es la velocidad angular de la aguja del minutero de un relojde radio 3 cm?. ¿Y si el radio es 1,5 cm?.

La aguja del minutero, al dar una vuelta recorre 2π rad en 60 min (3 600 s).

t∆ϕ∆=ω ;

s6003

rad2 π=ω ; ω = 5,5·10-4π rad /s; ω = 1,7·10-3 rad/s.

El radio no importa pues el arco que recorre y el tiempo que tarda es elmismo con uno u otro radio.

1.37. Las dos ruedas estángirando unidas por una cadena.¿Qué puedes decir acerca de lavelocidad lineal, y angular de lospuntos “A” y “B”?

La velocidad lineal de A y B es la misma ya que están unidas por la cadenay se mueven a la vez.

La velocidad angular será mayor en el caso de B ya que debe dar másvueltas para el mismo recorrido de cadena.

v A = v B; ωA· r A = ωB· r B; si: r A > r B entonces: ωA < ωB;

1.38. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación de la Tierra? ¿Y lavelocidad angular de traslación?

En la rotación la Tierra gira 2ð rad en 24 horas (86 400 s):

A

B

rA rB

B


34

t∆ϕ∆=ω ;

s40086

rad2 π=ω ; ω = 2,3·10-5 π rad/s.

En la traslación gira 2ð rad en 365 días (3,2·10 7 s):

;s3,2·10

radð2ù

7= ω = 6,2·10-8 π rad/s.

1.39. ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto de la superficie de laTierra teniendo en cuenta únicamente la rotación?

Como ya hemos visto la velocidad angular es:

ω = 2,3·10-5 π rad/s; v = ω · r.

El radio de la Tierra es 6,37·106 m (apéndice C):

v = 2,3·10-5 π rad/s · 6,37·106 m; v = 460 m/s.

¡¡Aproximadamente 1 657 km/h!!

1.40. ¿Cuál es el arco recorrido, en radianes y en grados, por un móvilque tiene una velocidad angular de 12 rad/s al cabo de 100 s?

El arco recorrido es:

Äϕ = ω·∆t; ∆ϕ = 12 rad/s ·100 s; ∆ϕ = 1 200 rad;

Sabiendo que 360º son 2π rad;

1 200 rad ·rad2

º360π

= 68 755º, que son º360

º75568=190,99 vueltas

Que son 190 vueltas y 355º (190,99 vueltas).

Date post:	06-Feb-2018
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Resolución de problemas elementales de FÍSICA y QUÍMICA · PDF...

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