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Resoluci´ on de sistema de ecuaciones lineales. M´ etodos directos Juan Manuel Rabasedas 23/09/2019 Juan Manuel Rabasedas Resoluci´ on de sistema de ecuaciones lineales.M´ 23/09/2019 1 / 21
Resolucion de sistema de ecuaciones lineales.Metodos directos
Juan Manuel Rabasedas
23/09/2019
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Sistemas lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran numero de areas,tanto directamente modelizando situaciones fısicas o indirectamente en lasolucion numerica de otros modelos matematicos.
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Sistemas lineales
Pretendemos resolver un sistema de forma Ax = ba11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
......
......
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
(1)
con
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...an1 an2 · · · ann
∈ Mn(R), b =
b1b2...bn
∈ Rn.
(2)Nos interesa resolver sistemas de n ecuaciones con n incognitas, cuandoexista solucion y sea unica. Estas condiciones se verifican si
det(A) 6= 0 .
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Sistemas Diagonales
El sistema mas sencillo que podemos resolver esta dado pora11x1 + 0 + · · · + 0 = b1
0 + a22x2 + · · · + 0 = b2... 0
. . . 0...
0 + 0 + · · · + annxn = bn
donde la solucion se calcula trivialmente haciendo
xi = bi/aii , i = 1, ..., n
Ejercicio: ¿Como podemos resolverlo en Scilab?Esto se puede escribir en Scilab
x = b./diag(A)
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Sistemas Triangulares
En un sistema triangular dado pora11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
0 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2... 0
. . ....
...0 + 0 + · · · + annxn = bn
la ultima ecuacion es de resolucion inmediata xn = bn/ann y luego serealiza una sustitucion regresiva o remonte obteniendose lascomponentes de la solucion como
xi =1
aii
bi −n∑
j=i+1
aijxj
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Sistemas Triangulares
El esquema del algoritmo es el siguiente:xn = bn/annpara i = n − 1, . . . , 1xi = (bi − A(i , i + 1 : n)x(i + 1 : n))/aii
finparaEsto se puede escribir en Scilab
x(n) = b(n)/A(n,n)
for i=n-1:-1:1
x(i) = ( b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n) )/A(i,i)
end
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Sistemas Triangulares
Ejercicio
Implementar en Scilab una funcion remonte que tome como parametrosuna matriz A triangular superior y un vector b y resuelva el sistema Ax = b
function s1 = remonte(A, b)
n = size(A,1)
for i = n:-1:1
x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i)
end
s1 = x
endfunction
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Metodo de Gauss
La idea es transformar un sistema(e1) a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1(e2) a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...
......
......
(en) an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
(3)
en uno triangular mas sencillo de resolver aplicando remonte. Si a11 6= 0,podemos sustituir e2 por e2 − a21
a11e1, eliminando el primer termino como
sigue
(e2) 0 + (a22 −a21a11
a12)x2 + · · ·+ (a2n −a21a11
a1n)xn = b2 −a21a11
b1
Continuando con las sustituciones:
e3 = e3 − a31a11
e1...
...en = en − an1
a11e1
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Metodo de Gauss
Se obtiene ceros en la primer columna:(e1) a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1(e2) 0x1 + a′22x2 + · · ·+ a′2nxn = b′2...
......
......
(en) 0x1 + a′n2x2 + · · ·+ a′nnxn = b′n
(4)
Continuando con las sustituciones de la siguiente manera:
e3 = e3 − a32a22
e2...
...en = en − an2
a22e2
Obtenemos ceros en la segunda columna columnaPodemos continuar hasta hacer cero todos los elementos por debajo de ladiagonal.
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Metodo de Gauss
En general, cuando ya hay ceros por debajo de la diagonal, en lascolumnas 1, 2, . . . , k − 1 para obtener cero en la posicion (j, k) se hace laoperacion: ej = ej − ajk/akk ∗ ekEsto lo podemos escribir es Scilab:
mjk = a(j,k)/a(k,k)
A(j, :) = A(j, :) - mjk * A(k, :)
b(j) = b(j) - mjk * b(k)
Si evitamos operar con los elementos que ya se han puesto en cero el esquema de latriangulacion nos queda:para k = 1, . . . , n − 1
para j = k + 1, . . . , nmjk = ajk/akkajk = 0A(j , k + 1 : n) = A(j , k + 1 : n) −mjk ∗ A(k, k + 1 : n)bj = bj −mjk ∗ bk
finpara jfin-para k
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Metodo de Gauss
Luego en Scilab la triangulacion nos queda:
function [s1, s2] = gauss(A, b)
a = size(A)
n = a(1)
for i = 1:(n-1)
for j = (i+1):a(1)
mjk = A(j,i)/A(i,i)
A(j,i)=0
A(j,i+1:n) = A(j,i+1:n) - mjk*A(i,i+1:n)
b(j) = b(j) - mjk*b(i)
end
end
s1 = A
s2 = b
endfunction
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Factorizacion LU
Si resolvemos Ax = b con eliminacion Gaussiana (sin pivoteo) el sistemase transforma en Ux = g donde
U =
u11 u12 · · · u1n0 u12 · · · u1n
. . .
0 0 · · · unn
, con uij = a(i)ij
Podemos tener una matriz auxiliar triangular inferior, basada en loscoeficientes mjk = ajk/akk definidos anteriormente.
L =
1 0 · · · 0
m21 1 · · · 0. . .
mn1 mn2 · · · 1
Teorema
Sea A una matriz no singular y sean L y U las matrices recien definidas.Entonces si U es producida sin pivoteo se tiene que LU = A, esto es lo quese llama la factorizacion LU
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2 sistemas mas sencillos
Esta factorizacion LU permite resolver el sistema a traves de 2 sistemasmas sencillos
LU = A←→{
Ly = b,Ux = y .
Ambos sistemas son triangulares, por ende faciles de resolver.Este analisis es valido siempre que existan matrices L y U, triangularinferior la primera y triangular superior la segunda tales que LU = A.Existen varios metodos para encontrar estas matrices:• lii = 1, Doolite,• uii = 1, Crout,• Si U = Lt i.e. uii = lii , ∀i , Cholesky.
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Factorizacion de Cholesky
Sea (1 22 5
)Entonces (
u11 0u12 u22
)(u11 u120 u22
)=
(1 22 5
)u211 = 1
u11u12 = 2u212 + u222 = 5
Se deduce queu11 = 1u12 = 2u22 = 1
U =
(1 20 1
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Factorizacion de Cholesky
Sea (1 22 4
)Entonces (
u11 0u12 u22
)(u11 u120 u22
)=
(1 22 4
)u211 = 1
u11u12 = 2u212 + u222 = 4
Se deduce queu11 = 1u12 = 2u22 = 0
U =
(1 20 0
)Existe U pero no la factorizacion de Cholesky, U no es inversible.
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Factorizacion de Cholesky
Sea (1 22 3
)Entonces (
u11 0u12 u22
)(u11 u120 u22
)=
(1 22 3
)u211 = 1
u11u12 = 2u212 + u222 = 3
Se deduce queu11 = 1u12 = 2u22 =
√−1
Entonces no existe la factorizacion de Cholesky de A
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Factorizacion de Cholesky
Caso general:
El producto de la fila 1 de Ut por la columna 1 de U da: u211 = a11 luego:
u11 =√a11
El producto de la fila 1 de Ut por la columna j de U da u11u1j = a1j luego:
u1j =a1ju11
, j = 2, . . . , n
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Factorizacion de Cholesky
Al hacer el producto de la fila 2 de Ut por la columna 2 de U, se puedecalcular u22. Al hacer el producto de la fila 2 de Ut por la columna j de Use puede calcular u2j . El calculo de U se hace por fila.Supongamos ahora que se conocen los elementos de las filas1, 2, . . . , k − 1 de U y se desea calcular los elementos de la fila k de U.El producto de la fila k de Ut por la columna k de U da:
k∑i=1
u2ik = akk ,k−1∑i=1
u2ik + u2kk = akk
Luego
ukk =
√√√√akk −k−1∑i=1
u2ik , k = 2, . . . , n
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Factorizacion de Cholesky
El producto de la fila k de Ut por la columna j de U da:
k∑i=1
uikuij = akj
Luego
ukj =akj −
∑k−1i=1 uikuijukk
, k = 2, . . . , n j = k + 1, . . . , n
Utilizando el producto de matrices las formulas anteriores se puedenescribir ası:t = akk − U(1 : k − 1, k)tU(1 : k − 1, k)ukk =
√t
ukj =akj−U(1:k−1,k)tU(1:k−1,j)
ukk
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Factorizacion de Cholesky
Podemos almacenar los valores ukk y ukj sobre los antiguos valores de akky akj , de esta forma nos queda: t = akk − U(1 : k − 1, k)tU(1 : k − 1, k)akk =
√t
akj =akj−U(1:k−1,k)tU(1:k−1,j)
akkEl esquema del algoritmo para la factorizacion de Cholesky nos queda ası:
datos: A, e
para k = 1, ..., n
calculo de t
si t < e entonces salir
akk = sqrt(t)
para j = k + 1, ..., n
calculo de akj
finpara j
finpara k
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Factorizacion de Cholesky
function [U, ind] = Cholesky(A)
eps = 1.0e-8
n = size(A,1)
U = zeros(n,n)
for k = 1:n
t = A(k,k) - U(1:k-1,k)’*U(1:k-1,k)
if t <= eps
printf("Matriz no definida positiva.\n")
ind = 0
return
end
U(k,k)= sqrt(t)
for j = k+1:n
U(k,j) = ( A(k,j) - U(1:k-1,k)’*U(1:k-1,j) )/U(k,k)
end
end
ind = 1
endfunction
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