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7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 1
2. Performances d'un Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
STABILITE
Condition gnrale de stabilit
Stabilit au sens strict
(systme asymptotiquement stable, stabilit au sens de Lyapunov)
Il y a retour l'quilibre aprs disparition de la perturbation.
Il est instable sil ny revient pas ou sil s'en carte.
Exemple : pendule simple
Autre dfinition de la stabilit (au sens large) :A entre borne correspond une sortie borne pour le systme.
Critre gnral de stabilit des systmes TC
y(t) = h(t)h(t)
Temps
1H(p)
Y(p) = H(p)
Frquence
( )t
Thorme : (hypothse de causalit)
TC : Un systme linaire TC est stable si et seulement si tousles ples de sa FT ont leur partie relle strictement ngative.
TD : TCTD : z epT= (T: priode dchantillonnage)
Un systme linaire TD est stable si et seulement si tous les ples
de sa FT ont leur module strictement infrieur 1.
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 2
Lesples d'un systme caractrisent sa dynamique (stabilit).
Leszros dterminent sa rapidit (phase minimale).
Lieu des ples de la FT et stabilit (systmes TC)
Plus les ples de la FT sont loigns de l'axe imaginaire
(avec partie relle
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 3
Exemple :
3me ordre (3 ples) constitu dun sous-systme du 1er ordre
(ple 2p
) et dun sous-systme du 2nd ordre (ples 1p
et
*
1
p)
Im p
Re p
1p
*
1p
2p
Critre algbrique de stabilit de Routh des systmes TC
Soit H pN p
D p( )
( )
( )= la FT d'un systme linaire continu ( TC)
Q p( ) : polynme caractristique de la stabilit
Stabilit de H p( ) : H(p) H pN p
D p( )
( )
( )=
Q p D p( ) ( )=
Stabilit du Systme Boucl H p( ) :+
-
H(p) H'(p)
=+
=
+
=+
H pH p
H p
N p
D p
N p
D p
N p
N p D p( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )11
Q p N p D p( ) ( ) ( )= +
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 4
Q p a p a p a p ann
n
n( ) = + + + + =
1
1
1 0 0L 0na 0>n
Critre de Routh
1. Si certains coeffs ai 0, Q p( ) a des racines partie relle 0Le systme est donc instable (cas o au moins un a i < 0), ou juste
instable (cas o au moins un a i = 0 avec les autres coeffs 0).
2. Tableau de Routh
On
crit
pn
:
pn - 1
:
an - 2
an
an - 1
an - 3
an - 4
an - 5
...
...
a1
si n impairou a
0si n pair
On
calcule
A1
A2
A3
...
B1
B2
B3
...
.
.
.
M1
M2
M3
...
N1
N2
N3
O1
O2
O3
...
...
pn - 2
:
pn - 3
:
p 2 :
p1
:
p0
:
On analyse
-
a1
si n pair
ou a0 si n impair
.
.
....
.
.
....
Calculs
Pivot : an1 :A
a a a a
a
n n n n
n
11 2 3
1
=
A
a a a a
a
n n n n
n
21 4 5
1
=
Pivot : A1 :B
A a a A
A
n n1
1 3 1 2
1
=
BA a a A
A
n n2
1 5 1 3
1
=
...
Pivot : N1 : O
N M M N
N11 2 1 2
1=
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 5
Thorme
Une CNS de stabilit du systme est que tous les coefficients de la
1re colonne du tableau de Routh soient>0.
Le nombre de changements de signe des coefficients de la 1re
colonne est gal au nombre de ples instables.
Cas particuliers
1. Il apparat un 0 dans la 1re colonne seulement :
Un coeff. nul dans la 1re colonne indique la prsence dune (ou
des) racine(s) juste instable(s) ou instable(s) de )(pQ
Poursuite de la construction du tableau :
On remplace 0
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 6
Exemple :
Stabilit du SB ( retour unitaire et comparateur +/-) de BO H p( )
en fonction du gainKde lamplificateur de la BO :
Systme en Boucle Ouverte (BO) : ( )H p
K
p p p( ) =
+ +5 102
Systme en Boucle Ferme (BF) : = + + +H p
K
p p p K( )
5 103 2
Polynme caractristique : Q p p p p K ( ) = + + +5 103 2
Tableau de Routh :
p
p
p
p
3
2
1
0
:
:
:
:
5
1
10 5 K
K
10
0
0
K
Le Systme Boucl (SB) H p( ) est stable si : 0
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 7
Critre de stabilit de Nyquist des systmes TC
X(p)+
-
Y(p)E(p)
H(p) Y(p)X(p) H'(p)
=+
H pH p
H p( )
( )
( )1
Soit : +n : le nombre de ples partie relle > 0 de H p( ) )
n+ : le nombre de ples partie relle > 0 deH(p)
t : le nombre de tours compts algbriquement dans lesens trigonomtrique du lieu deH(p) autour du point -1.
On a : ++ = 'nnt ou encore : tnn = ++'
Theorme de Nyquist
Un Systme Boucl est stable ( ( ) =+n' 0 ) si et seulement si lenombre tde tours autour du point -1 du lieu de la BO est gal au
nombre de ples partie relle > 0 ( +n ) de la BO.
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 8
Exemple 1 : H pK
p a p b p c( )
( )( )( )=
+ + +
0
Im[H(p)]
Re[H(p)]= +=
= 0= +0
-1
t= 0 Systmestable (sens large) enBF( 0' =+n ) si systme
stable (sens large) en BO, or ici 0=+n SB stable
Exemple 2 : H pK
p p b p c( )
( )( )=
+ +
0
Im[H(p)]
Re[H(p)]= +=
= 0
= +0
-1
t= 2 Systme instable enBF
( 0' >= ++ tnn , car +n ne peut tre
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 9
Exemple 3 : ap
KppH
+=)(
0
Im[H(p)]
Re[H(p)]= +=-1
t= 1 Systmestable (sens large) enBF( 0' =+n ) si systme
instable en BO avec 1 ple instable, or ici 0=+n
Critre du revers
(critre simplifi, moins gnral que le critre de Nyquist)
Soit dterminer si un SB )(pH de BO H p( ) est stable (SB
comparateur +/- :)(1
)()(
pH
pHpH
+= )
. On se restreint des systmes stables en BO (au sens large, cest-
-dire tels que 0=+n )
. On limite le trac du lieu de Nyquist de la BO pourp restreint la branche p i= ( > 0) du contour de Bromwich
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 10
Critre du revers dans le plan de Nyquist
Si lorsqu'on parcourt le lieu de la BO H i( ) dans le sens des ( varie de 0 + ), on laisse sur sa gauche le point -1 lorsquon
se trouve 0 telle que [ ]Arg H i( ) 0 = , le SB est stable
Exemple : H pK
p a p b p c( )
( )( )( )=
+ + +
0
Im[H(p)]
Re[H(p)]= +
= 0
-1
0
0
Im[H(p)]
Re[H(p)]= +
= 0-1
0
0
Im[H(p)]
Re[H(p)]= +
=0-1
0
SBstable SB limite stable SB instable
Critre du revers algbrique
Soit 0 telle que Arg H i[ ( )] 0 = .Si H i( )0 1< : SB stable
.Si H i( )0 1= : SB limite stable
.Si H i( )0 1> : SB instable
Critre du revers dans le plan de Bode
0 dB
0
H idB
( )
0
0
Arg H i[ ( )]
0 dB
0
H idB
( )
0
0
Arg H i[ ( )]
0 dB
0
H idB
( )
0
0
Arg H i[ ( )]
SB stable SB juste stable SB instable
H i dBdB
( )0 0< H i dBdB( )0 0= H i dBdB( )0 0>
0 : pulsation telle que Arg H i[ ( )] 0 =
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 11
Critre du Revers dans le plan de Black
0 dB
H idB
( )
0
Arg H i[ ( )]
0 dB
H idB
( )
0Arg H i[ ( )]
0 dB
H idB
( )
0
Arg H i[ ( )]
SB stable SB juste stable SB instable
H i dBdB
( )0 0< H i dBdB( )0 0= H i dBdB( )0 0>
0 : pulsation telle que Arg H i[ ( )] 0=
Lieu des Racines (lieu d'Evans)
FTBO : H p KN p
D p( )
( )
( )=
Stabilit de la FTBF : racines de : D p K N p( ) ( )+ = 0
Polynme caractristique Q(p) : Q(p) = D(p) + K. N(p) = 0
Lorsque le gainKvarie de 0 + , les racines du polynmecaractristique dcrivent dans le plan complexe le lieu des racines.
Exemple :
BO : H pK
p p a( )
( )=
+ Polynme caractristique :
Q(p) = p(p + a) + K = 0 p ap K2 0+ + =
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 12
Racines de Q(p) : ( 0 ) :
pa a
K
p a a K
1
2
2
2
2 4
2 4
= +
=
( < 0 ) :
pa
i Ka
p
a
i K
a
1
2
2
2
2 4
2 4
= +
=
-a K K0
Im( , )p p1 2
Re( , )p p1 2
Ka=
2
4 K= 0
a2
K= +
K= +
K= 0
Systme boucl Stable K>0
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 13
Marges de stabilit
Marges de stabilit dans le plan de Nyquist
-1
cercle unit
0
Im[ ( )]H i
Re[ ( )]H i0
1
g
M
( )H i
Mg'
Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = :
.Mgg
g H idB = = = 201
20 20 0log log log ( )
Soit 1 telle que : H i( )1 1= :
. M Arg H i = + [ ( )]1
Marges de stabilit dans le plan de Bode
0 dB
0
H idB
( )
0
0
Arg H i[ ( )]
1
1
MgdB
M
Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = : .Mg H idB dB= ( )0
Soit 1 telle que : H i dBdB( )1 0= : . M Arg H i = + [ ( )]1
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 14
Marges de stabilit dans le plan de Black
0 dB
H idB
( )
0
Arg H i[ ( )]1
MgdB
M
Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = : .Mg H idB dB= ( )0
Soit 1 telle que : H i dBdB( )1 0= : . M Arg H i = + [ ( )]1
Valeurs deMetMgassurant une bonne marge de stabilit :
M
Mg dBdB
=
=
45
10 (valeurs usuelles)
Abaque de Black
Lecture de labaque de Black
X(p)+
-
Y(p)T(p) X(p) Y(p) T p( )
T p( ) : FTBO T pT p
T p' ( )
( )
( )=
+1: FTBF
Trac BO T i( ) (coordonnes rectangulaires)
Abaques T i dB( ) et Arg T i[ ( )] (coordonnes curviligne)
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 15
- 90 - 45
8 dB
6 dB
0dB
- 180 - 90 T i
dB( )
Arg T i[ ( )]
0 dB
-3 dB0dB
- 180 - 90 T i
dB( )
Arg T i[ ( )]
Abaques de gain
Abaques de phase
Exemple :
- 90 - 45
8 dB
6 dB
0dB
- 180 - 90 T i
dB( )
Arg T i[ ( )]
0 dB
-3 dB
M
T i( )
MM
A M , T i( ) est tel que :
T i dB
Arg T i
dB( )
( )
=
=
0
90
Abaques BF : =
=
T i dB
Arg T i
dB( )
( )
3
45
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 16
Rsonance en BF
Le contour de l'abaque (en dB) que le lieu de la BO T i( )
tangente, indique la valeur maximale du module du gain de la BF
T i dB( ) et donc le facteur de rsonnance Q de la BF et la
pulsation de rsonnance r de la BF :
Exemple avec une BO rsonante :
8 dB
6 dB
0dB
T idB
( )
Arg T i[ ( )]
2.3 dB
T i( )
r
r
TdB0
r :pulsation de rsonance (BO) r :pulsation de rsonance (BF)
T dB0 : gain statique de la BO : T T idB dB0=
( ) pour =
0 T
dB0 : gain statique de la BF : = T T idB dB0 ( ) pour = 0 :
=+
TT
T0
0
01 T dBdB0 0
T i( ) passe par un maximum pour = r
Dans cet exemple: = Q dB T dB dB
2 30
.
= Q T i T dB dB dB
( )max
0
Avec : dBT dB 00 : =Q dBdB 2 3.
Comme =
Qm m
1
2 1 2, on a : m = 0 42. (amortissement de la
BF) si on assimile la BF un 2nd ordre.
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 17
PRECISION - RAPIDITE
Exemples
- Asservissement de position de lobjectif dun appareil photo
(auto-focus)
Prcision
y
c
+
-
yH(p)
Prcision inverse de l'erreur ( ) ( ) ( )t y t y t c=
Prcision statique erreur statique ( ) lim ( ) lim ( )t t p pt p= = =
0
Prcision dynamique erreur dynamique (transitoire)
Ex.:rponse indicielle dun SB du 2nd ordre pseudo-oscillant
t
y(t)
0
)(y tc
( )t= y t( )= ( )t
Erreur dynamique
Erreur statique
La prcision si ( )t ( ) ( ) ( )t y t y t c=
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 18
Prcision des Systmes Asservis Linaires (SAL)
Soit le SB de BO H p( ) (SB comparateur +/-)
y
c
+
-
yH(p)
Erreur ( ) ( ) ( )t y t y t c=
( ) [ ( )]p TL t=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )p Y p Y p Y p
H p
H pY p Y p
H pc c c c= =
+=
+1
1
1
Erreur absolue ( ) ( ) ( )t y t y t c= TL ( ) ( )
( )p Y p
H pc=
+
1
1
Erreur relative(y t C yc te c( ) = = ) ( )( ) ( )
( )ty t y t
y trelative c
c=
(%)
Prcision statique = = = =
( ) lim ( ) lim ( )t t p pt p 0
=
+lim ( )
( )pcpY p
H p0
1
1
Intgrateur (pur)
K p( ) possde un intgrateur (pur) si K p pK p( ) ( )=
11
K p( ) comporte n intgrateurs (purs) si K p p K pn( ) ( )=
1
1
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 19
Gain en BO et gain en BF
BO )(tu )(tyBO)(pH BF
)(pH)(tyBF)(tyc
)(t+
-
0H gain statique de BO 0H gain statique de BF0
0
01 H
HH
+=
Rponses indicielles non unitaires :
BO BF
)(tyBO
0U
00UH
t
)(tu
)(tyBF
)(tyc0Y
00YH
t
0H 0
0
01 H
HH
+= 1
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 20
Prcision statique dun Systme Boucl
n nombre dintgrateurs (purs) de la BO H p( ) H p pH p
n n( ) ( )=
1
Entre de consigne constante ( en chelon)
( )t erreur de position p t( ) erreur statique de position p
Consigne: chelon damplitude Y0 y t Y tc ( ) ( )= 0 de TL Y pY
pc ( ) =
0
Ex. : rponse indicielle dun SB du 2nd ordre pseudo-oscillant
t
y(t)
0
y t( )=
y t Yc ( ) = 0
p
=+
lim ( )( )p
cpY pH p0
1
1 p
pY
H p=
+lim
( )00
1
1
n = 0 :p
p
YK
=+
0
1
1
avec : K H H ppp
= =
00
lim ( ) : Gain statique de la BO
n 1: p = 0
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 21
Entre de consigne en rampe
( )t erreur de vitesse v t( ) erreur statique de vitesse v
Consigne: rampe de pente a y t at tc ( ) ( )= de TL Y pa
pc ( ) = 2
Ex. : rponse dun SB du 2nd ordre pseudo-oscillant
t
y(t)
0
y tc ( )
v
= +lim ( ) ( )pcpY p H p0
1
1 v p
a
p H p=
+lim ( )0
1
1
n = 0 : v =
n = 1: vv
a
K=
avec : K H pH pvp
= =
100
lim ( )
n 2 : v = 0
7/29/2019 Resume Automatique
22/28
Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 22
Entre de consigne en parabole
( )t erreur dacclration a t( ) erreur statique dacclration a
Consigne: parabole (param. b ) y tb
t tc ( ) ( )=2
2 de TL Y p
b
pc ( ) = 3
Ex. : rponse dun SB du 2nd ordre non oscillant
ty(t)
0
y tc ( )
a
= +lim ( )
( )pcpY p
H p01
1 a
p
b
p H p= +lim ( )0 21
1
n 1 : a =
n = 2 : aa
b
K=
avec : K H p H pa p= =
200
2lim ( )
n 3 : a = 0
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 23
Rsum (les erreurs statiques unitaires sobtiennent pour
Y
a
b
0 1
1
1
=
=
=
)
y t( )
y t Y tc ( ) ( )= 0 y t at tc ( ) ( )= y tb
t tc ( ) ( )=2
2
n = 0 p
pp
YK
=+
0
1
1
v
v =
a
a =
n = 1 p
p = 0
v
vv
a
K=
a
a =
n = 2 p
p=
0
v
v=
0
a
a a
b
K=
p v a
K H H ppp
= =
00
lim ( ) : Gain statique de la BO
K H pH pv p
= =
10 0lim ( )
K H p H pa p
= =
20 0
2lim ( )
7/29/2019 Resume Automatique
24/28
Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 24
Rapidit des systmes
Rapidit et stabilit
Exemple (lieu des ples) :
3me ordre (3 ples) = sous-systme du 1er ordre (ple 2p )
+ sous-systme du 2nd ordre (ples 1p et*
1p )
Im p
Re p
1p
*
1
p
2p
Sous-systme du 1er ordre gouvern par le ple 2p :
moins stable et moins rapide
que le sous-systme du 2nd ordre rgi par les ples 1p et*
1p ,
car 2p est situ plus prs de laxe imaginaire.
Les ples dominants (lents) sont situs le plus prs de laxe imaginaire
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 25
Rapidit et stabilit dans le plan de Black
Exemple (lieu de Black) :
Module
Phase
BO BO plus rapide
BF plus stable
Rapidit dun systme en BO avance de temps avance de phase
dcalage vers la droite du lieu de la BO dans le plan de Black
stabilit la BF
7/29/2019 Resume Automatique
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 26
Performances dans le domaine frquentiel
+
-
Y(p)E(p)
H(p) Y(p)H'(p)Y pc ( )Y pc ( )
Frquence Temps(Plan de Black de la BO) (rponse indicielle de la BF)
Arg H
H01
| H | (BO)
1
2
3
H03
H02
2
2.3 dB
-6 dB
dB
r1
r2
r3
1
t
y(t)
0
yc
p
2
t
y(t)
0
yc
p
3
t
y(t)
0
yc
p
cyHty 10)( ==
cyHty
20)( ==
cyHty 30)( ==
cy t y
H
H y Hc c( )= = + =
0
0
0
1
1
11 p faible (H0 1 lev) = H dB0 1 1 =H dB1 2 3max .
dy t yH
Hy Hc c( )= =
+=
0
0
0
2
2
21 p leve (H0 2 faible) = H dB0 2 8 = H dB2 6max
ey t yH
Hy Hc c( )= =
+=
0
0
0
3
3
31 p nulle (H0 3 ) =H dB0 3 0 =H dB3 2 3max .
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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit
TR 2. 27
On dduit le facteur de rsonance de la BF assimile un 2nd ordre :
Qm m
=
1
2 1 2 0
max
H
H
=
dBenHH )( 0max =
c : Q dBdB = 3 3. 37.0=m
d : Q dBdB = 2 44.0=m e : Q dBdB = 2 3. 42.0=m
( m < 1: rgime pseudo-oscillant)
(rsonance si Q dBdB > 0 1>Q ( m < 0 7. ))
Pulsation de rsonance et rapidit
La pulsation de rsonance r du SB ( de la BF) est obtenue la
tangence de la BO au contour de labaque de Black de gain
(du fait que labaque de gain crot de faon concentrique au fur et mesure quon sapproche du point critique)
La pulsation de rsonance r du SB traduit sa rapidit :
plus un SB est rapide, plus r est leve.
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Rappels sur la rponse en BO et en BF
Rponse indicielle de la BO Rponse indicielle de la BF
0H faible :
t0
A
AHtyBO 0)( ==
)(tyBO
t0
A
AH'tyBF 0)( == )(tyBF
p
0H lev :
t0
A
AHtyBO 0)( ==
)(tyBO
t
0
A
AH'tyBF 0)( ==
)(tyBF
p
0H infini (prsence dintgrateur pur sans la BO) :
t0
A
AHtyBO 0)( ==
)(tyBO
t
0
A
AH'tyBF 0)( ==
)(tyBF
0=p
0H 0
0
01 H
HH
+=
1
_________