مـــلخــص الــــــــــذوال الـــــــــــــعـذديـــت إشارة كثير حذود من الذرجت االولى او من الذرجت الثانيت

𝑎𝑥إشاسج انؼثاسج + 𝑏 حم انؼادنح 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 جذ 0 = −𝑏

𝑎 ي نذا

اإلشاسج

𝑎𝑥2حم يؼادنح ي انذسجح انثاح إشاسج انؼثاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐

=∆: حث ∆حغة انض 𝑏2 − 4𝑎𝑐

>∆إرا كا =∆إرا كا 0 <∆إرا كا 0 0انؼادنح ال ذمثم حهل

𝑎𝑥2 إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎𝑥2 :نذا + 𝑏𝑥 + 𝑐ال مثم ذحهم

∞ +∞- x

𝑎 𝑎𝑥2 فظ إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥انؼادنح ذمثم حم يضاػف = −𝑏

2𝑎

𝑎𝑥2إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐

:نذا

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

∞ + −𝑏

2𝑎 ∞- x

𝑎 𝑎𝑥2 فظ إشاسج 𝑎 فظ إشاسج + 𝑏𝑥 + 𝑐

: انؼادنح ذمثم حال يراضا ا

𝑥1 =−𝑏+ ∆

2 𝑥2 =

−𝑏− ∆

2𝑎 إشاسج

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥1: تفشض < 𝑥2

:نذا

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2

∞ + 𝑥2 𝑥1 ∞- x

فظ إشاسج

𝑎

ػكظ

𝑎 إشاسج

فظ إشاسج

𝑎

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

= 𝑓 𝑥 ذكرة ي انشكم 𝑓 𝑥انؼثاسج - 𝑥 − 𝑎 𝑔 𝑥 ؼ أ 𝑔 𝑥 حاصم انمغح اإللهذح نـ 𝑓 𝑥 ػهى

𝑥 − 𝑎

- 𝑓 𝑎 = = 𝑓 𝑥ي انشكم 𝑓 𝑥 ؼ أ ك كراتح 0 𝑥 − 𝑎 𝑔 𝑥 حث 𝑔 𝑥 حاصم انمغح اإللهذح نـ

𝑓 𝑥 ػهى 𝑥 − 𝑎

𝑓 دانح صجح ػهى I ℝ ؼ أ :( 𝑥 ∈ 𝐼, −𝑥 ∈ 𝐼 ) 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥

𝑓 دانح فشدح ػهى I ℝ ؼ أ :( 𝑥 ∈ 𝐼, −𝑥 ∈ 𝐼 ) 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥

دساعح شفؼح انذانح ؼ دساعح إرا كاد صجح أو فشدح

:مركز التناظر ومحور التناظر

, 𝐴 𝑎انمغح - 𝑏 يشكض ذاظش نـ 𝐶𝑓 ؼ أ 𝑓 2𝑎 − 𝑥 + 𝑓 𝑥 = 2𝑏أ𝑓 𝑎 − 𝑥 + 𝑓 𝑎 + 𝑥 = 2𝑏

𝑥انغرمى رانؼادنح - = 𝑎 يحس ذاظش نـ 𝐶𝑓 ؼ أ𝑓 2𝑎 − 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎أ0 − 𝑥 − 𝑓 𝑎 + 𝑥 = 0

التقاطع مع المحاور

= 𝑓 𝑥 يغ يحس انفاصم كف حم انؼادنح 𝐶𝑓 نرحذذ ذماعغ - حهل انؼادنح فاصم ز انمظ انرشاذة 0

يؼذيح

,0 إ جذخ ذك حا مغح انرماعغ راخ اإلحذاثاخ 𝑓 0حغة نرحذذ مظ انرماعغ يغ يحس انرشاذة - 𝑓 0

:نقطت االنعطاف

- 𝑓′′ ( انشرمح انثاح نـ𝑓) ذؼذو ػذ𝑎 يغشج إشاسذا ؼ ا انمغح 𝐴 𝑎 , 𝑓 𝑎 مغح إؼغاف نـ 𝐶𝑓

, 𝐴 𝑎 نى ذغش إشاسذا فانمغح 𝑎إرا اؼذيد انشرمح األنى ػذ - 𝑓 𝑎 مغح إؼغاف نـ 𝐶𝑓 ششط كاف غش الصو ،

: 𝑪𝒇 نقط من

, 𝐴 𝑎انمغح - 𝑏 ذر إنى 𝐶𝑓 ؼ أ 𝑓 𝑎 = 𝑏

, 𝐴 𝑎انمغح - 𝑏 رسج نـ 𝐶𝑓 ؼ أ 𝑓 𝑎 = 𝑏 𝑓 𝑎 = 0

8من1

∞ + −𝑏

𝑎 ∞- x

𝑎 𝑎𝑥 ػكظ إشاسج 𝑎 0 فظ إشاسج + 𝑏

:المستقيماث المقاربت

- lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝑏أ lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 𝑏 ؼ أ انغرمى ر انؼادنح𝑦 = 𝑏 يماسب نـ 𝐶𝑓 ياصي نحس

ػهى انرشذة∞− ا ∞+انفاصم ػذ

- lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎 أ∞+ 𝑓 𝑥 = 𝑥 ؼ أ انغرمى ر انؼادنح ∞− = 𝑎 يماسب نـ 𝐶𝑓 ياصي نحس

انرشاذة

- ∆ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐶𝑓 +∞−∞

lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

- 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑔 𝑥 a ≠ 0lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = أ 0

lim𝑥→−∞ 𝑔 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐶𝑓 +∞−∞

:الوضع النسبي لمنحني بياني ومستقيم

- 𝐶𝑓 ∆ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 𝐶𝑓 ∆

𝑥𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 𝐶𝑓 ∆

𝑥𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝐶𝑓 ∆

:الوضع النسبي لمنحنيين بيانيين

- 𝐶𝑓 𝐶𝑔 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥

𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 > 0 𝐶𝑓 𝐶𝑔

𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 < 0 𝐶𝑓 𝐶𝑔

𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0 𝐶𝑓 𝐶𝑔

:الحل البياني لمعادلت او متراجحت

= 𝑓 𝑥انحم انثا نهؼادنح - 𝑎 ؼ ذحذذ فاصم مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى األفم ر انؼادنح :𝑦 = 𝑎

< 𝑓 𝑥انحم انثا نهرشاجحح - 𝑎 ؼ ذحذذ انفاصم تحث 𝐶𝑓 فق انغرمى األفم ر انؼادنح :𝑦 = 𝑎

> 𝑓 𝑥انحم انثا نهرشاجحح - 𝑎 ؼ ذحذذ انفاصم تحث 𝐶𝑓 ذحد انغرمى األفم ر انؼادنح :𝑦 = 𝑎

= 𝑓 𝑥انحم انثا نهؼادنح - 𝑔 𝑥 ؼ ذحذذ فاصم ذماعغ 𝐶𝑓 يغ 𝐶𝑔

𝑦 يغ انغرمى ر انؼادنح 𝐶𝑓 فاصم ذماعغ - = 𝑎𝑥 + 𝑏 حهل انؼادنح 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

المناقشت البيانيت

= 𝑓 𝑥نالشح ػذد حهل انؼادنح - 𝑚 كف أ حذد ػذد مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى األفم ر انؼادنح 𝑦 = 𝑚 يغ

𝑚 رغش ف ℝ غى انحم يضاػفا ػذيا غاي 𝑚 غى حال حذاانشجع مغح امغح انضاح ذشذثح انزسج ػذ

= 𝑓 𝑥نالشح ػذد حهل انؼادنح - 𝑕 𝑚 كف أ حذد ػذد مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى األفم ر انؼادنح

𝑦 = 𝑕 𝑚 يغ 𝑚 رغش ف ℝ مصذ تـ 𝑕 𝑚 ػثاسج تذالنح 𝑚 2− يثال𝑚 أ 𝑚

= 𝑕 𝑚 نرجة انخغأ ا األحغ أ ضغ 𝛼 أي الش حهل انؼادنح 𝑓 𝑥 = 𝛼 تفظ عشمح 𝑓 𝑥 = 𝑚

𝛼فإرا كا يثال = −2𝑚 ( لها يثال𝛼 < 𝑚إرا كاد )فزا ؼ أ ( انؼادنح ذمثم حال يضاػفا حم آخش1 > −1

2

𝛼ال (انؼادنح ذمثم حم يضاػفا حم آخش < 2𝑚− ؼ ا 1 < 𝑚 تانران 1 > −1

2 ا إنى

8من2

> 𝑎 خاص انمح انغمح 𝑏 ؼ ا −𝑏 < 𝑎 < 𝑏

𝑎 = 𝑏 ؼ ا 𝑎 =– 𝑏 أ 𝑎 = 𝑏

𝑎 > 𝑏 ؼ ا 𝑎 > 𝑏𝑎 < −𝑏

= 𝑓 𝑥نالشح ػذد حهل انؼادنح - 𝑎𝑥 + 𝑚 كف أ حذد ػذد مظ ذماعغ 𝐶𝑓 يغ انغرمى انائم ر انؼادنح

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑚 يغ 𝑚 رغش ف ℝ ا إنى يا ه :

𝑦 يغرم يؼادنرا ػهى انرشذة ′∆ ∆ إرا كا = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑎′𝑥 + 𝑏′

ػهى انرشذة ′∆ ∆ يؼايه ذج انغرم ′𝑎 𝑎غى انؼذد -

ػهى انرشذة يغ يحس انرشاذة ′∆ ∆ ذشذثر ذما عغ ′𝑏 𝑏ثم انؼذد -

𝑎 يراصا إرا كا ′∆ ∆ ك - = 𝑎′

𝑎 يرؼايذا إرا كا ′∆ ∆ ك × 𝑎′ = −1

𝑏 إرا كا ′∆ ذحد ∆ يراصا فإ ′∆ ∆ إرا كا < 𝑏′ ( انؼكظ)

يغ يغرمى يائم ك زا انغرمى ياصا نغرمى يماسب 𝐶𝑓 فك انؼغاخ انغاتمح فإ ػادج ف حانح انالشح نرماعغ

تانغثح نهماسب ا نهاط حغة انحانح𝑏 تانمح 𝑚نهح ا ناط ػذ مغح ، ماس ف ز انحانح

𝑚إرا كا < 𝑏 فزا ؼ ا انغرمى انرحشن ترغش انـ 𝑚 ذحد انماسب أ اناط حغة انحانح ، حذد ف ز انحانح ػذد

𝑚انرماعؼاخ ارا كا > 𝑏 فزا ؼ ا انغرمى انرحشن ترغش انـ 𝑚 فق انماسب أ اناط حغة انحانح ، حذد ف ز

𝑚انحانح ػذد انرماعؼاخ إرا كا = 𝑏 فزا ؼ ا انغرمى انرحشن ترغش انـ 𝑚 غثك ػهى انماسب أ اناط حغة

انحانح ، حذد ف ز انحانح ػذد انرماعؼاخ

𝑚 اصي ياعا ػذ مغح غى انحم يضاػفا ػذيا 𝑚إرا كا انغرمى انرحشن ترغش انـ - = 𝑏 غى حال انزسج ػذ

حذا

∆ : ا نهرضح أكثش أخز يثال

= 𝑓 𝑥: انشعى انماتم نهذانح 𝑥2+2𝑥+3

𝑥+1 1 3

2 انغرم انظاش تانه األحش يراصا ا اناعا ػذ

يؼادنراا ػهى انرشذة– 2 0انمغرا راذا انفاصهرا

𝑦 = −𝑥 + 3 𝑦 = −𝑥 − 4 الحظ أ األل مغغ يحس ) 5

( - 5 انثا 3انرشاذة ػذ انمغح راخ انرشذثح

انغرماخ تانه األخضش ياصح نهغرم آف انزكش

1 𝑦 = −𝑥 + 5 5

5 4 𝑦 = −𝑥 − 4

𝑓 𝑥 = −𝑥 + 𝑚

𝑚 < −5 ∆′

∆′ 5

𝑚 = −5 ∆′

−5 < 𝑚 < 3 𝑚

𝑦 = −𝑥 + 𝑚 ∆ ∆′ 2 3 4

𝑚 = 3 ∆

𝑚 > 3 ∆′ 1

8من3

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑚 𝐶𝑓

𝑦 = 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑥 + 1

𝑚 < 1𝑚 > 1𝑚 ≠ 1

𝑚 = 1

-

𝑓 𝑔 𝑕𝑙lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = 𝑙lim𝑥→+∞ 𝑕 𝑥 = 𝑙

𝑥𝑔 𝑥 < 𝑓 𝑥 < 𝑕 𝑥 lim𝑥→+∞ 𝑥 = 𝑙

1𝑓 𝑔𝑙lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = +∞𝑥

𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = +∞

2𝑓 𝑔𝑙lim𝑥→+∞ 𝑔 𝑥 = −∞𝑥

𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = −∞

𝑓𝐷𝑓𝑎𝐷𝑓 𝑓𝑎

𝑓𝑎𝑓 𝑎 𝑓𝑎lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎

𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠ℝ

1𝑓 , 𝑏 𝑘𝑓 𝑎 𝑓 𝑏

c 𝑎 𝑏𝑓 𝑥 = 𝑘

2 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑘

𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑎, 𝑏

𝑓𝐼 ℝ𝑎 𝑎 + 𝑕𝐼𝑕 ≠ 0

𝑓 𝑎𝑓 𝑎+𝑕 −𝑓 𝑎

𝑕 𝑕0

𝑓 𝑎 𝑓′ 𝑎

𝑓′ 𝑎 = lim𝑕→0𝑓 𝑎+𝑕 −𝑓 𝑎

𝑕 𝑓′ 𝑎 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎 𝑥 = 𝑎 + 𝑕

𝑥𝐼𝐼

𝑓′ : 𝑥 → 𝑓′ 𝑥 𝑓

𝑓𝐼 ℝ 𝐶𝑓 𝑂; 𝑖 ; 𝑗

𝑓 𝑥0 𝐶𝑓 𝐴 𝑥0 , 𝑓 𝑥0

∆ 𝑓′ 𝑥0 𝑦 = 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − x0 + 𝑓 𝑥0

8من4

1lim𝑥

>→𝑎

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎= 𝑙lim

𝑥<→𝑎

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎= 𝑙′𝑙 ≠ 𝑙′𝑓 𝑎

𝐶𝑓 𝐴 𝑎 , 𝑓 𝑎 𝑙′𝑦 = 𝑙′ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 𝑎

𝑙𝑦 = 𝑙 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 𝑎 𝐴 𝐶𝑓

2lim𝑥

>→𝑎

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎= ∓∞lim

𝑥<→𝑎

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎= 𝑙′𝑓 𝑎

𝐶𝑓 𝐴 𝑎 , 𝑓 𝑎 𝑙′𝑦 = 𝑙′ 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 𝑎

𝐴 𝐶𝑓

𝐶𝑓 𝐴

𝑓𝐼

𝑓𝐼 ℝ

𝑥𝐼𝑓′ 𝑥 > 0𝑓

𝑓𝐼

𝑥𝐼𝑓′ 𝑥 < 0𝑓

𝑓𝐼

𝑥𝐼𝑓′ 𝑥 = 0𝑓𝐼

𝑓 𝑔 𝐼 ℝ 𝑔𝑥𝐼

𝒙 → 𝒏𝒂𝒙𝒏−𝟏𝑥 → 𝑎𝑥𝑛𝑛𝑎

𝒇′ + 𝒈′𝑓 + 𝑔

𝒇′𝒈 + 𝒈′𝒇𝑓 × 𝑔𝒇′𝒈−𝒈′ 𝒇

𝒈𝟐

𝑓

𝑔−𝒂

𝒙+𝒃 𝟐𝑎

𝑥+𝑏

𝒏𝒇′𝒇𝒏−𝟏𝑓𝑛

𝒙 →𝒇′ 𝒙

𝟐 𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑓 𝑥 𝑓𝐼

𝒙 → −𝒔𝒊𝒏𝒙𝑥 → 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝒙 → 𝒄𝒐𝒔𝒙𝑥 → 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝒙 → −𝒇′ 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥

𝒙 → 𝒇′ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑠𝑖𝑛 𝑓 𝑥 𝒇′

𝒇𝑥 → 𝑙𝑛 𝑓 𝑥 𝑓𝐼

𝒙 → 𝒇′ 𝒙 𝒆𝒇 𝒙 𝑥 → 𝑒𝑓 𝑥

𝑓 𝐼 ℝ𝑣

𝑢 𝐼 𝑣 ∘ 𝑢𝐼 𝑥𝐼 𝑣 ∘ 𝑢 ′ 𝑥 = 𝑢′ 𝑥 𝑣 ′ 𝑢 𝑥

8من5

1 𝑎 𝑏 𝑎 ≠ 0𝑢𝐼R𝐽

𝑥𝑎𝑥 + 𝑏𝐼

𝑓: 𝑥 → 𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 𝐽 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏

2 𝑥 → 𝑢 𝑥 𝑢𝐼 ℝ 𝐼 𝑢

𝐼 𝑢′

=𝑢 ′

2 𝑢

3 𝑥 → 𝑢 𝑥 𝑛

𝑛𝑛 ≥ 2 𝑢𝐼 ℝ

𝑢𝑛𝐼 𝑢 𝑛 ′ = 𝑛𝑢′𝑢𝑛−1

𝑓I 𝑓 𝑥𝐼ε

𝑕𝑥 + 𝑕𝐼 𝑓 𝑥 + 𝑕 = 𝑓 𝑥 + 𝑕𝑓′ 𝑥 + 𝑕𝜀 𝑕 lim𝑕→0 𝜀 𝑕 = 0

𝑕0𝑓 𝑥 + 𝑕 ≈ 𝑓 𝑥 + 𝑕𝑓′ 𝑥

𝑓 𝑥 + 𝑕𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑕 𝑕0 𝑓

𝑥 → 𝑥 + 1𝑥 1

2𝑥 + 1

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1𝑓′ 𝑥 =1

2 𝑥

𝑓 𝑥 + 1 ≈ 𝑓 1 + 𝑥𝑓′ 1 𝑕 𝑥 𝑥1

𝑓′ 1 =1

2 𝑓 1 = 1𝑓 𝑥 + 1 = 1 + 𝑥

1

2 𝑥 + 1 ≈

1

2𝑥 + 1

𝑥 →1

2𝑥 + 1 𝑥 → 𝑥 + 1𝑥0

𝒂𝒃𝒄

= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 انمغح𝐴 𝑎 , 𝑏 ذر إنى 𝐶𝑓

= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = , 𝐴 𝑎انمغح 0 𝑏 رسج نـ 𝐶𝑓

= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = 0𝐴 𝑎 , 𝑏

= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = 𝛼𝐴 𝑎 , 𝑏 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽

= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 × 𝛼 = −1𝐴 𝑎 , 𝑏 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽

= 𝑓 𝑎ؼ أ 𝑏 𝑓 𝑎 = 𝛼𝐴 𝑎 , 𝑏 𝛼

𝑦𝑓 𝑥 𝑦′𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 𝑕 𝑥

𝛼𝑥 + 𝛽 + 𝑐

𝑕 𝑥 𝑔 𝑥

𝑕 𝑥

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

𝑕 𝑥

𝛼𝑥 + 𝛽 + 𝑐

𝑕 𝑥

1𝑎𝑦′ = 𝑎𝑦𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑥 = 𝑐𝑒𝑎𝑥 𝑐

8من6

2𝑎𝑦′ = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑥 = 𝑐𝑒𝑎𝑥 −𝑏

𝑎

1𝑐

1 𝑓 1 = 0

2𝑓 𝑓

𝑦𝑓 𝑥 𝑦′𝑓′ 𝑥

+ 𝑦: انؼادنح انرفاضهح ℝ ؼرثش ف 𝑦 = 𝑒−𝑥 ………… . 𝐸

= 𝑢 𝑥 : تانشكم ℝ انؼشفح ػهى 𝑢ذأكذ أ انذانح 𝑥𝑒−𝑥 𝐸 حم نهؼادنح

𝑢′ 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥

حال نؼادنح ذفاضهح𝑢 حرى ذك 𝑎 𝑏ػ

− 𝑦 : ؼرثش انؼادنح انرفاضهح :كمن 2𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 ………… 1.

= 𝑢 𝑥 : تانشكم ℝانذانح انؼشفح ػهى 𝑢ػذد حمما 𝑎 𝑏نك 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒𝑥 ػ،𝑎 𝑏 حرى ذك 𝑢 1 حال نهؼادنح = 𝑢′ 𝑥 :نذا 𝑎𝑒𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒𝑥 أي 𝑢′ 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏 𝑒𝑥

𝑢′ 𝑥 − 2𝑢 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑒𝑥 − 2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒𝑥

𝑢′ 𝑥 − 2𝑢 𝑥 = −𝑎𝑥 + 𝑎 − 𝑏 𝑒𝑥

𝑢 1 حال نهؼادنح𝑥 −𝑎 = 1

𝑎 − 𝑏 = 0 −𝑎𝑥 + 𝑎 − 𝑏

𝑥1 × 𝑥 + 1𝑎 = −1𝑎 = 𝑏𝑏 = −1

𝑓 𝑎 𝑓′ 𝑎 = lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎0

0

lim𝑥→𝑎𝑔 𝑥 −𝑔 𝑎

𝑥−𝑎 𝑔′ 𝑎 Sin

Cos

𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑐𝑥𝑔 0 = 𝑐𝑜𝑐0 = 1

𝑔′ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥

lim𝑥→0𝑔 𝑥 −𝑔 0

𝑥−0𝑐𝑜𝑠 𝑔′ 0 0

lim𝑥→0𝑐𝑜𝑠𝑥 −1

𝑥= 0

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1𝑔 0 = 1 = 1

𝑔′ 𝑥 =1

2 𝑥+1

lim𝑥→0𝑔 𝑥 −𝑔 0

𝑥−0𝑔0 𝑔′ 0

1

2

lim𝑥→0 𝑥+1−1

𝑥=

1

2

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 + 3𝑥

𝑔 0 = 1 + 3 × 0 = 1

𝑔′ 𝑥 =1

2 𝑥+1+ 3lim𝑥→0

𝑔 𝑥 −𝑔 0

𝑥−0

𝑔0 𝑔′ 0 1

2+ 3 =

7

2

lim𝑥→0 𝑥+1−1+3𝑥

𝑥=

1

2

8من7

Sin𝜋

2𝜋

3 3

2

2𝜋

3𝜋

4

2

2

3𝜋

4𝜋

6

1

2

5𝜋

6

Cos 3

2

2

2

1

2−

3

2 −

2

2 −

1

2 π-cos

11𝜋

6

−1

2

7𝜋

67𝜋

4

− 2

2

5𝜋

45𝜋

3

− 3

2

4𝜋

3

−𝜋

2

-sin

8من8