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8/13/2019 Richiami Di Dinamica Delle Strutture 2
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A
.A.2008-2009-Corsodipr ogetto d
istruttureinzona
s ismica-1
RICHIAMI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE II
Filippo DACARROEuropean Centre for Training and Research in Earthquake Engineering
Universit degli Studi di Pavia, Italy
Corso di progetto di strutture in zona sismica
Prof. Calvi
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A
.A.2008-2009-
Corsodipr ogetto d
istruttureinzona
s ismica-2
Sommario
Sistemi elastici lineari ad 1 grado di libert
Eccitazione sismica: spettri elastici
Sistemi elastici lineari a molteplici gradi di libert
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A
.A.2008-2009-
Corsodipr ogettodistruttureinzona
s ismica-3
Sistemi elastici a molteplici gradi di libert (M-GDL)
Strutture pi complesse M-GDL
Edificio multipiano regolare recente
Hp accettabili: Solai infinitamente rigidi nel piano
Colonne assialmente indeformabili
Masse concentrate nei piani
3D: gdl = 3 x N. piani2D: gdl = 1 x N. piani
1
2
3
4
5
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A
.A.2008-2009-
Corsodipr ogettodistruttureinzona
s ismica-4
1
2
3
4
55u&& Fs5=k5(u5-u4)
4u&& Fs4=k5(u4-u5)
Fs4=k4(u4-u3)
3u&& Fs3=k4(u3-u4)
Fs3=k3(u3-u2)
2u&& Fs2=k3(u2-u3)
Fs2=k2(u2-u1)
1u&& Fs1=k2(u1-u2)
Fs1=k1u1
=
+
++
+
+
0
0
00
0
000
00
0000
000
0000
0000
00000000
0000
5
4
3
2
1
55
5544
4433
3322
221
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
u
u
uu
u
kk
kkkk
kkkkkkkk
kkk
u
u
uu
u
m
m
mm
m
&&
&&
&&&&
&&
Legge di Newton:
uMFs &&=
Sistema di n equazioni
accoppiate
M-GDL: vibrazioni libere non smorzate
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A
.A.2008-2009-
Corsodipr ogettodistruttureinzona
s ismica-5
M-GDL: vibrazioni libere non smorzate
0FuM s =+&&
Forme caratteristiche
Periodi naturali di vibrazione
nodo
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A
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Corsodipr ogettodistruttureinzona
s ismica-6
M-GDL: modi propri di vibrare
Ciascuna forma deformata caratteristica dettamodo naturale di vibrare: elemento fondamentale
Costituiscono oscillazioni periodiche libere di
sistema elastico non smorzato Combinazione lineare = posizione sistema ad ogni
istante In ciascun modo masse di sistema oscillano con
medesima pulsazione ed in fase, mantenendoimmutati rapporti tra ampiezze.
1
2
3
4
5III
II
V
IV
I
Periodo prorio Ti:
tempo richiesto perun ciclo armonico
nel modo naturale
i-esimo (i=1-5)
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A
.A.2008-2009-
Corsodipr ogettodistruttureinzona
s ismica-7
M-GDL: analisi modale
Sistema N-gdl non smorzato, no forzante.
Eq. oscillazioni libere
00 UUUU
0KUUM
&&
&&
==
=+
(0)(0)
tiet U =)(
02 = MKn
0det 2 = MK n i autovalori
i
autovettore
Ti=2/
i
Forma modale
Equazione caratteristica: polinomio di ordine N in n2
se e solo se
Soluzione pu essere vista come sovrapposizione di
vibrazioni libere di ciascuno dei modi naturali date da:
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A
.A.2008-2009-
Corsodipr ogettodistruttureinzona
s ismica-8
Modi propri di vibrare di strutture in 2D e 3D
Primo modo T1 = 0.51 s Secondo modo T2 = 0.13 s Terzo modoT3 = 0.061 s
XY X
Z
Y
Z
XY X
Z
Y
Z
XY X
Z
Y
Z
Modo fondamentale
Traslazione in yT1y = 0.51 s
Modo fondamentale
Traslazione in xT1x = 0.51 s
Modo fondamentale
Rotazione attorno a zT1 = 0.49 s
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A
.A.2008-2009-
Corsodipr ogettodistruttureinzona
s ismica-9
Primo modoT1 = 0.51 s
Secondo modoT2 = 0.13 sTerzo modoT3 = 0.061 s
Modi propri di vibrare di strutture in 2D
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A
.A.2008-2009-Corsodipr ogetto d
istr uttureinzona
s ismica-10
Primo modo dir y
Secondo modo dir xTerzo modo dir
Modi propri di vibrare di strutture in 3D
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A
.A.2008-2009-Corsodipr ogetto d
istr uttureinzona
s ismica-11
Modi propri di vibrare di strutture in 2D e 3D
Primo modoT1
= 0.51 s Secondo modoT2
= 0.13 s Terzo modoT3
= 0.061 s
Primo modo dir x
T2 = 0.51 s
Secondo modo dir x
T5 = 0.13 s
Terzo modo dir x
T8 = 0.061 s
X
YY
Z
X
Z
X
YY
Z
X
Z
X
YY
Z
X
Z
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A
.A.2008-2009-Corsodipr ogetto d
istr uttureinzona
s ismica-12
M-GDL: coordinate principali
==n
i
i tzt1
i )()( U
[ ] 0KM =+=
n
i
ii tztz1
ii )()(&&
0)()( jjjj =+ tztz jT
j
T
KM &&
jj
jj
K
MT
j
Tj
K
M
==
0
0
ji
ji
=
=
K
M
T
T
se i j
0)()( =+
tzKtzM jjjj &&= jjj MK /
2
0)()( 2 =+ tztz jjj &&
Struttura = insieme din 1-GDL
che collaborano a definire il
comportamento globale della
struttura
Spesso solo i primi significativi
0KUUM =+&& Soluzione tramite sovrapposizionemodale con coordinate principali
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A
.A.2008-2009-Corsodipr ogetto d
istr uttureinzona
s ismica-13
M-GDL: coordinate principali
oo
j
2
jj
z(0)zz)0(z
0)t(z)t(z
&&
&&
==
=+
tsinz
tcosz)t(z
tsinBtcosA)t(z
jo
joj
jjj
&+=
+=
?zez oo &
=
=n
i
i tzt1
i )()( U =
=n
1i
ii
T
j
T
j )t(zM)t(M U )t(zM)t(M jjT
j
T
j U =
=
j
T
j
jM
)t(M)t(z
U
Consideriamo U e premoltiplichiamo per MTj
=
j
T
j
jM
)0(M)0(z
U
=j
T
j
jM
)0(M)0(z
U &&
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A
.A.2008-2009 -Corsodipr ogetto d
istr uttureinzona
s ismica-14
M-GDL: esempio di analisi modale
kN/m103
2.422.220.2
2.226.396.19
0.26.197.17
=
K
4 m
3.5m
6 m
m1 =55 ton
m2 =54 ton
m3 =54 ton3.5m
3.5m
6 m
ton
5400
0540
0055
=M
[ ] 0
5442171221682026
22168543960019603
2026196035517719
0det2
2
2
2 =
=
MK n
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A
.A.2008-2009 -Corsodipr ogetto d
istr uttureinzona
s ismica-15
M-GDL: esempio di analisi modale
=+=+
=+
0
0
0
3233
2
2
22
1211
zz
zz
zz
&&
&&
&&
=
1263
525
602
=
5.35
9.22
7.7
=
=
0
0
0
105.2102.2102.0
102.2101.1100.2
102.0100.2104.1
0
0
0
)(
3,1
2,1
1,1
444
444
444
1
2
1 MK
=
390.0
776.0
1
1
=
1
560.0
803.0
2
=
901.0
1
414.0
3
)(
)(
)(
3
2
1
tz
tz
tz
)(
901.0
1
414.0
)(
1
560.0
803.0
)(
390.0
776.0
1
)(
)(
)(
321
3
2
1
tztztz
tu
tu
tu
+
+
=
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A
.A.2008-2009 -
Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-16
M-GDL: sistema smorzato
Sistema smorzato classicamente
Stessi autovettori di quello non smorzato
jise0
jiseM2 jjji
T
j
==
C
00 U(0)UUU(0)
0KUUCUM
&&
&&&
==
=++ Soluzione tramite sovrapposizionemodale con coordinate principali
se e solo se
Smorzamento classico o no dipende da distribuzione di
smorzamento in sistema
)tsin)0(z)0(z
tcos)0(z(e)t( iDiD
iiiiiDi
n
1i
t
iii
++= =
&U
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.A.2008-2009 -
Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-17
M-GDL: sistema smorzato
m10
02=M
k11
13
=K
c44
45
=C
Sistema smorzato
non classicamente
=
=1
1
1
5.021
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A
.A.2008-2009 -
Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-18
M-GDL: sistema smorzato
m10
02=M
k11
13
=K
c22
26
=C
Sistema smorzato
classicamente
=
=1
1
1
5.021
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A
.A.2008-2009 -
Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-19
M-GDL: sistema smorzato
KMC 1o aa += Matrice di smorzamento di Rayleigh
minmax
minmax
minmax
14
TT
TTb
TTa
0
0
+=
+=
Come costruire C?
Caratteristiche di struttura e materiale: non sufficienti
Prove dinamiche su strutture esistenti: difficili
Dati raccolti
Struttura con distribuzione smorzamenti abbastanza
regolare smorzamento classico
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s ismica-20
M-GDL con smorzamento sotto sisma
gx&&&&& MRKUUCUM =++
vettore di influenza delterremoto
spostamenti nella direzione dei
gradi di libert del sistema per uno
spostamento unitario del terreno
U1=1
ug=1 ug=1
U2=1
U3=1
U4=1
U5=1
=
1
1
1
1
1
R
x
z
2
3
4
5
yx
z
1
=
5
5
5
1
1
1
....
U
U
U
U
U
U
y
x
y
x
U
x
yug=1
=
0
sin
cos
..
..0
sin
cos
R
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Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-21
Caso di edificio semplice 3D sotto sisma
m
db12
00
010
001
22 +
=M
0
1
1
=R
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s ismica-22
M-GDL: risposta ad eccitazione sismica
gjg
j
T
jjjjjj xxM
zzz &&&&&&& ==++
MRj22
ProcedendoProcedendo comecome vistovisto:: Hp:Hp: se0
se2ij
==
ji
jiMjjjT C
gjjjjjj x&&&&& =++ 2
2
)()( ttz jjj =
)()( jj tt jjU =
=
==n
j
j ttzt1
j )()()( ZU
coefficiente dicoefficiente dipartecipazione delpartecipazione deljj--esimoesimo
modo di vibraremodo di vibrare
spostamentispostamenti
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s ismica-23
M-GDL: dallequazione del moto alla progettazione
1
2
3
4
5
= ==m
1i
n
1j
sjib )t()t(V F
Comportamento di sistema M-GDL come sovrapposizione
di M sistemi 1-GDL
Vb
Fs15 Fs35Fs25 Fs45 Fs55
Fs11Fs31Fs21 Fs41
Fs51
)()()(s ttt ZKKUF ==
j2
j MK j=
)()(s tt MZF =
)()(
2
jsj tt jjj M
F =
PseudoPseudo--accelerazioneaccelerazione
taglio alla base ad istante t
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.A.2008-2009 -
Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-24
Soluzione con spettro di risposta
)()(
)()( 2
1
2j
1
sj
1 1
sij tM
ttV jj
n
j j
Tn
j
Tm
i
n
j
b =
== =
=== MR
RFF
MassaMassa modalemodale partecipantepartecipante
=
=n
j
jT MM1
~ Hp:Hp: strutturestrutture aa telaiotelaio
pianipiani rigidirigidi
MassimaMassima rispostarisposta concon spettrospettro didi rispostarisposta
),(~
),(max
jmaxj
jjAejbj
jjDej
TSMV
TS
==U
SoluzioneSoluzione: NO: NO sommasomma dovutadovuta ciascunciascun modomodo
SISI sovrapposizionesovrapposizione modalemodale
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Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-25
Soluzione con spettro di risposta
1
2
3
4
5
Spostam
ento
Accelera
zione
Tag
liobase
Taglio
Vpiano
To
tale
Totale
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Corsodipr ogettodistr uttureinzona
s ismica-26
Soluzione con spettro di risposta
se Tj 0.9Ti per Tj < Ti risposte indipendenti dimodi di vibrare pi probabile valore massimo
con combinazione SRSS (radice quadrata dellasomma dei quadrati delle quantit considerate)
E1, E2 ecc. valori del parametro dovuti Fs1max, Fs2max ecc.
Se modi non indipendenti combinazionequadratica completa (CQC) :
0
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A.A.2008-2009 -
Corsodipr ogetto
distr uttureinzona
s ismica-27
Applicazione analisi modale con spettro di risposta elastico
Edificio regolare multipiano in acciaio peso W=2940 kN
4702.0 3max3 == WSV Aeb
%2/~
3 =TMM %9/~
2 =TMM29109.0 2
max2 == WSV Aeb
%87/
~1 =TMM
127987.0 1max1 == WSV Aeb