Richiami Di Dinamica Delle Strutture 2

8/13/2019 Richiami Di Dinamica Delle Strutture 2

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A

.A.2008-2009-Corsodipr ogetto d

istruttureinzona

s ismica-1

RICHIAMI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE II

Filippo DACARROEuropean Centre for Training and Research in Earthquake Engineering

Universit degli Studi di Pavia, Italy

[email protected]

Corso di progetto di strutture in zona sismica

Prof. Calvi


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A

.A.2008-2009-

Corsodipr ogetto d

istruttureinzona

s ismica-2

Sommario

Sistemi elastici lineari ad 1 grado di libert

Eccitazione sismica: spettri elastici

Sistemi elastici lineari a molteplici gradi di libert


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A

.A.2008-2009-

Corsodipr ogettodistruttureinzona

s ismica-3

Sistemi elastici a molteplici gradi di libert (M-GDL)

Strutture pi complesse M-GDL

Edificio multipiano regolare recente

Hp accettabili: Solai infinitamente rigidi nel piano

Colonne assialmente indeformabili

Masse concentrate nei piani

3D: gdl = 3 x N. piani2D: gdl = 1 x N. piani

1

2

3

4

5


4/27

A

.A.2008-2009-


s ismica-4

1

2

3

4

55u&& Fs5=k5(u5-u4)

4u&& Fs4=k5(u4-u5)

Fs4=k4(u4-u3)

3u&& Fs3=k4(u3-u4)

Fs3=k3(u3-u2)

2u&& Fs2=k3(u2-u3)

Fs2=k2(u2-u1)

1u&& Fs1=k2(u1-u2)

Fs1=k1u1

=

+

++

+

+

0

0

00

0

000

00

0000

000

0000

0000

00000000

0000

5

4

3

2

1

55

5544

4433

3322

221

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

u

u

uu

u

kk

kkkk

kkkkkkkk

kkk

u

u

uu

u

m

m

mm

m

&&

&&

&&&&

&&

Legge di Newton:

uMFs &&=

Sistema di n equazioni

accoppiate

M-GDL: vibrazioni libere non smorzate


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A

.A.2008-2009-


s ismica-5

M-GDL: vibrazioni libere non smorzate

0FuM s =+&&

Forme caratteristiche

Periodi naturali di vibrazione

nodo


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A

.A.2008-2009-


s ismica-6

M-GDL: modi propri di vibrare

Ciascuna forma deformata caratteristica dettamodo naturale di vibrare: elemento fondamentale

Costituiscono oscillazioni periodiche libere di

sistema elastico non smorzato Combinazione lineare = posizione sistema ad ogni

istante In ciascun modo masse di sistema oscillano con

medesima pulsazione ed in fase, mantenendoimmutati rapporti tra ampiezze.

1

2

3

4

5III

II

V

IV

I

Periodo prorio Ti:

tempo richiesto perun ciclo armonico

nel modo naturale

i-esimo (i=1-5)


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A

.A.2008-2009-


s ismica-7

M-GDL: analisi modale

Sistema N-gdl non smorzato, no forzante.

Eq. oscillazioni libere

00 UUUU

0KUUM

&&

&&

==

=+

(0)(0)

tiet U =)(

02 = MKn

0det 2 = MK n i autovalori

i

autovettore

Ti=2/

i

Forma modale

Equazione caratteristica: polinomio di ordine N in n2

se e solo se

Soluzione pu essere vista come sovrapposizione di

vibrazioni libere di ciascuno dei modi naturali date da:


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A

.A.2008-2009-


s ismica-8

Modi propri di vibrare di strutture in 2D e 3D

Primo modo T1 = 0.51 s Secondo modo T2 = 0.13 s Terzo modoT3 = 0.061 s

XY X

Z

Y

Z

XY X

Z

Y

Z

XY X

Z

Y

Z

Modo fondamentale

Traslazione in yT1y = 0.51 s

Modo fondamentale

Traslazione in xT1x = 0.51 s

Modo fondamentale

Rotazione attorno a zT1 = 0.49 s


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A

.A.2008-2009-


s ismica-9

Primo modoT1 = 0.51 s

Secondo modoT2 = 0.13 sTerzo modoT3 = 0.061 s

Modi propri di vibrare di strutture in 2D


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A


istr uttureinzona

s ismica-10

Primo modo dir y

Secondo modo dir xTerzo modo dir

Modi propri di vibrare di strutture in 3D


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A


istr uttureinzona

s ismica-11

Modi propri di vibrare di strutture in 2D e 3D

Primo modoT1

= 0.51 s Secondo modoT2

= 0.13 s Terzo modoT3

= 0.061 s

Primo modo dir x

T2 = 0.51 s

Secondo modo dir x

T5 = 0.13 s

Terzo modo dir x

T8 = 0.061 s

X

YY

Z

X

Z

X

YY

Z

X

Z

X

YY

Z

X

Z


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A


istr uttureinzona

s ismica-12

M-GDL: coordinate principali

==n

i

i tzt1

i )()( U

[ ] 0KM =+=

n

i

ii tztz1

ii )()(&&

0)()( jjjj =+ tztz jT

j

T

KM &&

jj

jj

K

MT

j

Tj

K

M

==

0

0

ji

ji

=

=

K

M

T

T

se i j

0)()( =+

tzKtzM jjjj &&= jjj MK /

2

0)()( 2 =+ tztz jjj &&

Struttura = insieme din 1-GDL

che collaborano a definire il

comportamento globale della

struttura

Spesso solo i primi significativi

0KUUM =+&& Soluzione tramite sovrapposizionemodale con coordinate principali


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A


istr uttureinzona

s ismica-13

M-GDL: coordinate principali

oo

j

2

jj

z(0)zz)0(z

0)t(z)t(z

&&

&&

==

=+

tsinz

tcosz)t(z

tsinBtcosA)t(z

jo

joj

jjj

&+=

+=

?zez oo &

=

=n

i

i tzt1

i )()( U =

=n

1i

ii

T

j

T

j )t(zM)t(M U )t(zM)t(M jjT

j

T

j U =

=

j

T

j

jM

)t(M)t(z

U

Consideriamo U e premoltiplichiamo per MTj

=

j

T

j

jM

)0(M)0(z

U

=j

T

j

jM

)0(M)0(z

U &&


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A

.A.2008-2009 -Corsodipr ogetto d

istr uttureinzona

s ismica-14

M-GDL: esempio di analisi modale

kN/m103

2.422.220.2

2.226.396.19

0.26.197.17

=

K

4 m

3.5m

6 m

m1 =55 ton

m2 =54 ton

m3 =54 ton3.5m

3.5m

6 m

ton

5400

0540

0055

=M

[ ] 0

5442171221682026

22168543960019603

2026196035517719

0det2

2

2

2 =

=

MK n


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A

.A.2008-2009 -Corsodipr ogetto d

istr uttureinzona

s ismica-15

M-GDL: esempio di analisi modale

=+=+

=+

0

0

0

3233

2

2

22

1211

zz

zz

zz

&&

&&

&&

=

1263

525

602

=

5.35

9.22

7.7

=

=

0

0

0

105.2102.2102.0

102.2101.1100.2

102.0100.2104.1

0

0

0

)(

3,1

2,1

1,1

444

444

444

1

2

1 MK

=

390.0

776.0

1

1

=

1

560.0

803.0

2

=

901.0

1

414.0

3

)(

)(

)(

3

2

1

tz

tz

tz

)(

901.0

1

414.0

)(

1

560.0

803.0

)(

390.0

776.0

1

)(

)(

)(

321

3

2

1

tztztz

tu

tu

tu

+

+

=


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A

.A.2008-2009 -

Corsodipr ogettodistr uttureinzona

s ismica-16

M-GDL: sistema smorzato

Sistema smorzato classicamente

Stessi autovettori di quello non smorzato

jise0

jiseM2 jjji

T

j

==

C

00 U(0)UUU(0)

0KUUCUM

&&

&&&

==

=++ Soluzione tramite sovrapposizionemodale con coordinate principali

se e solo se

Smorzamento classico o no dipende da distribuzione di

smorzamento in sistema

)tsin)0(z)0(z

tcos)0(z(e)t( iDiD

iiiiiDi

n

1i

t

iii

++= =

&U


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A

.A.2008-2009 -


s ismica-17


m10

02=M

k11

13

=K

c44

45

=C

Sistema smorzato

non classicamente

=

=1

1

1

5.021


18/27

A

.A.2008-2009 -


s ismica-18


m10

02=M

k11

13

=K

c22

26

=C

Sistema smorzato

classicamente

=

=1

1

1

5.021


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A

.A.2008-2009 -


s ismica-19


KMC 1o aa += Matrice di smorzamento di Rayleigh

minmax

minmax

minmax

14

TT

TTb

TTa

0

0

+=

+=

Come costruire C?

Caratteristiche di struttura e materiale: non sufficienti

Prove dinamiche su strutture esistenti: difficili

Dati raccolti

Struttura con distribuzione smorzamenti abbastanza

regolare smorzamento classico


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A

.A.2008-2009 -


s ismica-20

M-GDL con smorzamento sotto sisma

gx&&&&& MRKUUCUM =++

vettore di influenza delterremoto

spostamenti nella direzione dei

gradi di libert del sistema per uno

spostamento unitario del terreno

U1=1

ug=1 ug=1

U2=1

U3=1

U4=1

U5=1

=

1

1

1

1

1

R

x

z

2

3

4

5

yx

z

1

=

5

5

5

1

1

1

....

U

U

U

U

U

U

y

x

y

x

U

x

yug=1

=

0

sin

cos

..

..0

sin

cos

R


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A

.A.2008-2009 -


s ismica-21

Caso di edificio semplice 3D sotto sisma

m

db12

00

010

001

22 +

=M

0

1

1

=R


22/27

A

.A.2008-2009 -


s ismica-22

M-GDL: risposta ad eccitazione sismica

gjg

j

T

jjjjjj xxM

zzz &&&&&&& ==++

MRj22

ProcedendoProcedendo comecome vistovisto:: Hp:Hp: se0

se2ij

==

ji

jiMjjjT C

gjjjjjj x&&&&& =++ 2

2

)()( ttz jjj =

)()( jj tt jjU =

=

==n

j

j ttzt1

j )()()( ZU

coefficiente dicoefficiente dipartecipazione delpartecipazione deljj--esimoesimo

modo di vibraremodo di vibrare

spostamentispostamenti


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A

.A.2008-2009 -


s ismica-23

M-GDL: dallequazione del moto alla progettazione

1

2

3

4

5

= ==m

1i

n

1j

sjib )t()t(V F

Comportamento di sistema M-GDL come sovrapposizione

di M sistemi 1-GDL

Vb

Fs15 Fs35Fs25 Fs45 Fs55

Fs11Fs31Fs21 Fs41

Fs51

)()()(s ttt ZKKUF ==

j2

j MK j=

)()(s tt MZF =

)()(

2

jsj tt jjj M

F =

PseudoPseudo--accelerazioneaccelerazione

taglio alla base ad istante t


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A

.A.2008-2009 -


s ismica-24

Soluzione con spettro di risposta

)()(

)()( 2

1

2j

1

sj

1 1

sij tM

ttV jj

n

j j

Tn

j

Tm

i

n

j

b =

== =

=== MR

RFF

MassaMassa modalemodale partecipantepartecipante

=

=n

j

jT MM1

~ Hp:Hp: strutturestrutture aa telaiotelaio

pianipiani rigidirigidi

MassimaMassima rispostarisposta concon spettrospettro didi rispostarisposta

),(~

),(max

jmaxj

jjAejbj

jjDej

TSMV

TS

==U

SoluzioneSoluzione: NO: NO sommasomma dovutadovuta ciascunciascun modomodo

SISI sovrapposizionesovrapposizione modalemodale


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A

.A.2008-2009 -


s ismica-25


1

2

3

4

5

Spostam

ento

Accelera

zione

Tag

liobase

Taglio

Vpiano

To

tale

Totale


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A.A.2008-2009 -


s ismica-26


se Tj 0.9Ti per Tj < Ti risposte indipendenti dimodi di vibrare pi probabile valore massimo

con combinazione SRSS (radice quadrata dellasomma dei quadrati delle quantit considerate)

E1, E2 ecc. valori del parametro dovuti Fs1max, Fs2max ecc.

Se modi non indipendenti combinazionequadratica completa (CQC) :

0


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A.A.2008-2009 -

Corsodipr ogetto

distr uttureinzona

s ismica-27

Applicazione analisi modale con spettro di risposta elastico

Edificio regolare multipiano in acciaio peso W=2940 kN

4702.0 3max3 == WSV Aeb

%2/~

3 =TMM %9/~

2 =TMM29109.0 2

max2 == WSV Aeb

%87/

~1 =TMM

127987.0 1max1 == WSV Aeb

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