Research Collection
Doctoral Thesis
Untersuchungen über die Druckverteilung im örtlich belastetenSand
Author(s): Hugi, Hans
Publication Date: 1927
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000099671
Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
Untersuchungenüber die
Druckverteilung im örtlich
belasteten Sand.
VON DER
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICHZUR ERLANGUNO
DER WÜRDE EINES DOKTORS DER
TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN
GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
HANS HUGI, Dipl. Ing. faus KIESEN (Bern)
Referent : Herr Prof. C. Andreae
Korreferent: Herr Prof. H. Jenny-Dürst
No. 488.
ZÜRICH d 1927.
Diss.-Druckerei A.-Q. Gebr. Leemann & Co.
Stockerstr. 64.
Die vorliegende Arbeit war bis auf die letzte
Korrektur der Drudtbogen fertiggestellt, als uns jäher
Fliegertod am 14. Oktober 1927 den gesdiätzten Mit¬
arbeiter entriss.
ANDREAE.
JENNY-DÜRST.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
1. Vorbemerkungen 5
2. Theoretische Betrachtungen 7
3. Versuche über die Druckverteilung im örtlich belasteten Sand. . 16
4. Versuchsanordnung des Verfassers 19
5. Beziehungen zwischen Plattenbelastung und Platteneinsenkung • • 2&
6. Diskussion der gefundenen Druckverteilungsdiagramme ... 36
7. Schlußfolgerungen 50
8. Anhang 54
9. Literaturverzeichnis66>
1. Vorbemerkungen.
Im Frühjahr 1923 wurde von den Professoren C. Andreae
-und Dr. A. R o h n an der Eidg. Technischen Hochschule in Zürich
die Initiative zur Gründung eines Laboratoriums ergriffen, um
auf wissenschaftlicher Basis Versuche über die Größe und Wir¬
kungsweise des Erddruckes auf Stollen- und Tunnelmauerwerk
durchzuführen. Zweck dieser Untersuchungen sollte sein, die wenig
befriedigenden aber für die Praxis zur Zeit maßgebenden Theorien
von Kommereil, Bierbaumer u. a., welche, größtenteils auf der
klassischen Erddrucktheorie beruhend, für die auf das Tunnel¬
mauerwerk wirkenden statischen Kräfte unrichtige und meistens
stark übersetzte Kräfte liefern, empirisch zu prüfen. Für die ra¬
tionelle Dimensionierung von Tunnelmauerwerk sollten die wirk¬
lichen, äußern Kräfte bekannt sein und nicht nur die im ungünstig¬
sten Falle maximal Möglichen. Die genaue Ermittlung dieser
Kräftr nur durch theoretische Ableitungen ist ausgeschlossen,
da sie sehr komplexe Gebilde darstellen, die in starkem Maße
von den stets ändernden physikalischen Eigenschaften des Ma¬
terials abhängig sind. Beeinflußt werden diese Kräfte durch die
Überlagerungshöhe, ferner durch die Konsistenz, die Kohäsion, die
innere Reibung und die Verspanntnigsmöglichkeit im Material und
im weitern durch die Querschnittsform- und Größe der Durch-
örterung. Jedem Tunnelbauer ist ebenfalls bekannt, daß der
Druck auf die Tunnelwandungen ganz verschieden sein kann, je
nach Art und Weise der Ausführung, daß sich ferner der Druck
wesentlich ändern kann mit der Zeit, die zwischen Aasbruch und
Mauerung verstreicht. Alle diese Einflüsse mittels abstrakter
Theorie in Formeln fassen zu wollen ist ein Ding der Unmöglich¬
keit, tut man dies gleichwohl, so läuft man Gefahr, bei ungenauer
— 6 —
Berücksichtigung einer der angeführten Punkte zu ganz irrigen
Schlüssen zu gelangen. Wenn die Theorie allein nicht zum Ziele
führt, so muß der Versuch nachhelfen. Der Versuch ermöglicht
für einen konkreten Fall die Bestimmung der wirklichen Druck¬
kräfte, ohne letztere in ihre Komponenten zerlegen und einzeln
bestimmen zu müssen, wie dies die Theorie zu tun genötigt ist.
Der Versuch muß auf denkbar einfachste Verhältnisse angewendetund mit größter Präzision durchgeführt werden. Die Ergebnisseeiner einzelnen Versuchsreihe dürfen nicht ohne weiteres verall¬
gemeinert werden, ihr Wert liegt vielmehr in der genauen Be¬
schreibung und Erforschung der kausalen Beziehungen die für
den besondern Fall zwischen den gegebenen äußern Verhältnissen
und den dadurch hervorgerufenen Kräften bestehen. Erst nach
Anwendung der Versuchsmethode auf verschiedene Materialien
und verschiedene Verhältnisse in der Versuchsanordnung wird es
möglich sein, eine allgemein gültige Gesetzmäßigkeit herauszu¬
schälen, die für die Praxis Wert besitzt.
Diese Überlegung war wegleitend für die Arbeiten in dem
neu gegründeten Erddrucklaboratorium. Die erste Hauptaufgabe,die gestellt wurde, lautete: Bestimmung der Druckverteilung auf
Tunnel- und Stollenmauerwerk auf dem Versuchswege und zwar an
Modellen, die etwa im Maßstab 1:10 der Natur nachgebildet sind.
In erster Linie mußten somit Instrumente geschaffen werden, die
gestatten sollten, den gesuchten Erddruck im Erdinnern zu messen.
Diese Aufgabe stellte sich in der Folge als sehr schwierig heraus \
es wurde erkannt, daß jeder noch so fein durchdachte Meßapparat
unbrauchbar ist, wenn er bei der Messung auch nur die geringste
Bewegung im Schüttungsmaterial hervorruft. Nach verschiedenen
Fehlschlägen gelang es eine Meßmethode zu finden, die erlaubt,Erddrücke zu messen ohne störende Bewegungen im Erdmaterial
bei der Messung zu verursachen, mit der Einschränkung, daß nicht
absolute Drücke gemessen werden können, sondern nur relative
Druckschwankungen, welche die Folge von Änderungen in der
Schüttungsbelastung sind.
Die Arbeiten im Erddrucklaboratorium mußten naturgemäßauf viele Sondergebiete ausgedehnt werden um verschiedene Fra¬
gen über Erddruckprobleme abzuklären, die mit der gestellten
— 7 —
Hauptaufgabe in engem Zusammenhange stehen. Die endgültigeLösung der Hauptaufgabe benötigt überaus reiches Versuchsma¬
terial, das nur in jahrelanger systematischer Arbeit herbeige¬schafft werden kann.
Die Untersuchung einer Sonderfrage ist in nachfolgenderArbeit niedergelegt, sie behandelt einen ganz einfachen Fall, näm¬
lich die Druckverteilung im homogenen, kohäsionslosen Sande bei
örtlicher Belastung der Sandoberfläche. Das behandelte Problem
steht mit dem Tunnelbau in enger Beziehung, im besonderen mit
dem Fall des Tunnels mit geringer Überlagerung, bei dem irgendeine Belastung der Schüttungsoberfläche eine Änderung im Verlauf
der Drucklinie bewirken kann. Über das gleiche Problem wurden
schon verschiedentlich Versuche gemacht über deren Anordnungenund Ergebnisse in vorliegender Arbeit berichtet wird. Wesent¬
lich ist dabei die Feststellung, daß alle diese, mit gänzlich ver¬
schiedenen Anordnungen durchgeführten Versuche zu ähnlichen
Ergebnissen gelangen. An dieser Stelle sollen nur die Versuche
erwähnt werden, die zur Zeit von Prof. Dr. K ö g 1 e r an der Tech¬
nischen Hochschule in Freiberg ausgeführt werden und nach
Mitteilungen von Prof. Kögler am „Internationalen Kongreß für
technische Mechanik*' (Zürich, Herbst 1926) ebenfalls ähnliche
Ergebnisse wie diejenigen des Verfass« rs zeitigten.Die Herren Professoren Andreae, Jenny und Dr. Rohn unter¬
stützten mich in meinen Untersuchungen mit Rat und Tat, Ihnen
sei an dieser Stelle herzlichst gedankt.
2. Theoretische Betrachtungen.
Im Punkte A, Abb. 1, der ebenen, horizontalen Oberfläche
einer, in jeder Dimension ins Unendliche ausgedehnten Sandmasse
wirke senkrecht die Kraft Q. Es soll untersucht werden, in wel¬
cher Weise sich dieser Druck Q ins Sandinnere fortpflanzt. Wenn
die Sandmasse ein fester Körper wäre, der genau den elastischen
Gesetzen gehorchen würde, so wäre durch die Formeln von
— 8 —
Boussinesq1) der
hervorgerufen durch
wirkenden Einzellast,
gewiesen, daß durch
in einem Körper, der
ist, berechnet werden
trachtet werden dürfe.
Spannungszustand im Innern des Sandes,
den Einfluß einer auf die Sandoberfläche
festgelegt. Boussinesq hat theoretisch nach-
seine Formeln auch der Spannungszustand
nicht allgemein als elastisch zu bezeichnen
könne, wenn dieser Körper als homogen be-
Es bedeuten x, y und z die Lagekoordinaten
o,
»)»/»>»»»»»»»»»»>f\ _ Sandoterflacnevitwinmummmiiiiibi)
Abb. 1.
des Punktes P in Bezug auf ein, durch den Punkt A gelegtes
rechtwinkliges Koordinatensystem, bei dem die z-Axe senkrecht
steht, q den Fahrstrahl A-P und <p den Winkel zwischen dem
Fahrstrahl und dem Lot. Für die spezifischen Spannungen lauten
die Formeln von Boussinesq:
ffz =3
2?c
3
3
2 71
Q
Q
Q
cos6 <p
y
Auffällig ist bei diesen Gleichungen das Fehlen der Elas¬
tizitätskonstanten. Die Formeln besitzen also gleiche Gültigkeit
für alle homogenen Körper und Materialien und könnten somit
1) Strohschneider, Elastische Druckverteilung und Drucküberschreitung in
Schüttungen. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien.
Math. Nat. Kl. CXXI. Band. Abt. IIa, Jahrgang 1912.
— 9 —
in der technischen Praxis ausgedehnte Anwendung finden (bei¬
spielsweise bei Fundierungen).
Leider zeigten aber die Versuche verschiedener Forscher die
schlechte Übereinstimmung zwischen den Versuchsergebnissen und
der Boussinesq'schen Theorie, was zu der Schlußfolgerung führte,
daß Schüttungen aller Art nicht ohne weiteres als homogene Ge¬
bilde zu betrachten sind.
Unter der Annahme, daß die Formeln von Boussinesq auch
für Sandschüttungen gelten, soll nun zunächst theoretisch die
Druckverteilung auf eine in der Tiefe z unter der Oberfläche ge¬
legene Horizontalfläche untersucht werden. Die Last Q soll vor¬
erst punktförmig wirken und nachher durch kreisrunde Platten
auf die Sandoberfläche übertragen werden. Nur für den letzteren
Fall kann natürlich eine Nachprüfung der gefundenen Werte durch
das Experiment stattfinden.
Durch die Punkte A und P werde eine Vertikalebene gelegt.
Diese Vertikalebene schneidet die durch den Punkt P gelegte
Horizontalebene in der Geraden xx. Für diese Gerade xx soll
das Druckdiagramm der senkrechten spezifischen Drücke, her¬
rührend von der Last Q ermittelt werden.
Es istq = f^fg^
SS
cos w =.
fa' + e*
a =_s Q ^_
=J_ Q-*s
2)z
2/r x*+e* [ix* + e*]a % [>2+*2]S
Durch diese Gleichung ist das gesuchte Diagramm für die,
als konstant einzusetzende Tiefe z gefunden.
Für x
Der Lauf der Kurve wird charakterisiert durch die 1. und
2. Ableitung der Formel 2)
d a: 15 Q • z3 • x
~äx~~~
~
2^c'
Î^+T^T»
= 0 ist ff- =_3 1
—°°
.. ffr 0
— 10 —
Die Kurve besitzt für a? = 0 eine maximale Ordinate. Bei
wachsenden Werten von x schmiegt sich die Kurve asymptotisch
der a:-Axe an.
Die 2. Ableitung
d2oz_
15^ Q-s3 [Qxz — z2~\dx*~
~~
2 TT
"
[»*"+*»]•'•
liefert Wendepunkte,
6x2 — z2 = 0
Die Wendepunkte liegen somit bei
x= ±z-\\-Die zu diesen Wendepunkten gehörende Normalspannung be¬
trägt:
3 Q
2» 1/7 7 y
d2ozFür œ = 0 ist -5—f = neg, die Kurve im Scheitel also nach
unten gekrümmt.
Die theoretische Richtigkeit der Formel von Boussinesq läßt
sich auf einfache Weise prüfen, indem mit dem oben abgeleiteten
Diagramm als Erzeugender und der z-Axe als Rotationsaxe ein
Rotationskörper hergestellt wird, dessen Inhalt J gleich Q sein
muß. Wirklich findet man
Von der punktförmigen Belastung der Sandoberfläche soll
nun übergegangen werden zu der Belastung vermittelst einer
kreisrunden Platte. Das Gewicht der Platte spiele keine Rolle.
Auf diese Platte mit dem Zentrum A und dem Radius J? wirke
der gleichmäßig verteilte spezifische Druck q. Zunächst soll die
Druckverteilung in der durch A gehenden z-Axe untersucht wer¬
den (Abb. 3).
- 11
Die Basiskreisfläche der Platte sei in unendlich schmale kon¬
zentrische Kreisringe zerlegt, r sei der innere Radius eines solchen
Kreisringes, dr seine Breite. Vom Centrum A aus sei jeder
Kreisring in unendlich kleine Ringsektoren geteilt. Es sei «
der Winkel, den der Radius r mit der x-Axe einschließt und
[a-j-da] der Winkel des nächstfolgenden Radius, dann ist r. da
Abb. 2 (perspektivisches Bild).
der innere Bogen des Ringsektors und r.da.dr sein Inhalt. Der
vertikale Druck auf diesen unendlich kleinen Ringsektor beträgt
infolgedessen r. d a. d r. q. Dieser Druck erzeugt im Punkte P
der £-Axe in der Tiefe z eine senkrechte spez. Reaktion von der
Größe
3 q• rda•dr
2tzCOS° (f
Die Gesamtw irkung der ganzen Kreisfläche auf das horizontale
Flächenelement durch P wird erhalten, wenn man u wachsen läßt
von 0 bis 2n, und r von 0 bis B.
Es wird daher:
ffZ=J J
3 • r • qcos3 cp • da • dr
=
Yq-*[R2 + s2]" (*2)
_ —
2^ 2
3
2
— 12 -
Der Randstrahl von l1 an die Peripherie des Kreises sei mit
u und der entsprechende Randwinkel mit y bezeichnet fvergl.Abb. 3).
= g[l
(M2) 2- (.S2)
cos3 rl>~\ 3)
Damit ist oz dargestellt als Funktion des Randwinkeb y. Für
z = 0 wird ^ = 90° und a2 sollte somit theoretisch =g werden.
Wie die praktischen Versuche zeigen, kann ein solches Resultat
für eine Platte nicht erwartet werden, da die Platte einen zen¬
trisch auf ihr ruhenden Druck nicht gleichmäßig auf die Unter¬
lage überträgt, sondern, wie auch die Theorie lehrt, der spezi¬fische Druck in Plattenmitte am größten ist und gegen die Ränder
hin abnimmt.2)Bei der experimentellen Prüfung der Formel 3) wird frei¬
lich zu diesem Druck oz immer noch ein, vom Eigengewicht des
Sandes herrührender Druck hinzukommen, derselbe wird propor¬
tional der Tiefe z 3ein. Der Gesamtdruck auf ein, durch den
Punkt P gelegtes horizontales Flächenelen^nt ergibt sich somit zu
a'z = q [1 — cos3 iü]-\-y 3a)
!) Zimmermann, Berechnung des Eisenbahnoberbaues, Berlin 1888.
— 13 —
Einen Schritt weiter gehend, sollen nun die Druckverhältnisse
untersucht werden, für den Fall, daß P nicht mehr in der z-Axe
liegt, sich also nicht mehr in der Symmetrieaxe senkrecht zur be¬
lastenden Kreisfläche befindet.
Analog der vorigen Ableitung werde die kreisförmige Be¬
lastungsfläche wieder in unendlich kleine Kreisringsektoren ge¬
teilt. Der Inhalt eines solchen ist r. d a. d r und der darauf wirkende
senkrechte Druck beträgt r.da.dr.q. Für den Punkt P re¬
sultiert daraus der senkrechte spezifische Druck zu
3 q•r•da•dr. . cosi (p
2 ?r qiT
Es ist daher der gesamte senkrechte spezifische Druck im
Punkte P herrührend von sämtlichen belasteten Kreisringsek¬
toren:
Jo Jo'
3 q r
cos q> =
Q
2cos3 cp • da • dr
•/O "'" v
e
3 r,
r*3,
— • q I r • dr I —^• da.
' Jo Jo Q2 =
q2 = z2 -|~ x2 -\- r2 — 2 r • x • cos a
-j- x2 -f- r2 = w2.
An. çR ç2i
az—
—— • q z3 1 r • dr \2/r J0 J0
da
[Y«2 — 2-r-x-cosay
In
(•R C^Mr O 1 —
q z3 \—r
• dr\ 1 ir-cosa\ 2• da
J0 w5 J0 L w J
Nun ist
r, 2rx 1-L . .
5 • r x,
35 • r2 • x21 TT
• cosa\ = 1 H„ cos a -4-
w2 J '
co2' 2 w4
,105-r». a;8
,1155-r4-a;4
, ,
H ^—^--• cos3 « H — cos4« + ....
Diese Reihe ist konvergent
— 14 —
Mit Hilfe dieser Entwicklung ergibt sich:
D>- 2 • r • x
cosr • da
Die weitere Integration des Ausdruckes für az liefert als
Ergebnis die resultierende Normalspannung
In diesem Ausdruck bedeuten
s = y x2 + #2
und
w = y¥2~+72 + ^
Um den effektiven Druck in irgend einem Punkte der Sand¬
masse zu berechnen, muß in die Formel (4) noch der Einfluß des
Sandgewichtes einbezogen werden, so daß sich der senkrechte
spezifische Druck endgültig aus der Formel
o'z — oz -(- y • z
berechnen lassen sollte.
Ohne Berücksichtigung des Einflusses des Sandgewichtes wur¬
den mit der Formel (4) folgende 12 Diagramme mit Rechenschieber¬
genauigkeit berechnet und in untenstehender Tabelle zusammenge¬
stellt. Graphisch sind die Resultate in Abb. 14 verwertet worden:
1. Q == 400 kg F = 1500 cm2, s = 45 cm
2.»
F = 1000n i »
3.»
F= 5007) » »
4.M
F= 0» > «
5.n
F = 1500» »
# = 37,5 cm
6.M
F= 1000n i H
7.»
F— 500» i 11
8.1»
F= 0)! ) 11
— 15 —
9. Q = 400 kg, F= 1500 cm2, a = 30 cm
10.„ ,
F = 1000„ ,
11.„ ,
F= 500„ ,
12.„ ,
F= 0„ ,
<2 = Totale Plattenbelastung..F = Kreisfläche der Druckplatte.
Tabelle 1.
Zusammenstellung der berechneten tf3-Werte (kg/cm2).
Abstand Platte A Platte B Platte C Punktförmige
von der F = 1500 cm2 F = 1000 cm2 F = 500 cm2 Belastung
2-Axe cm B = 21,85 cm B = 17,85 cm B = 12,61 cm F=0 cm2
1. z = 45 cm, Q = i 00 kg
0,00 0,0720 0,0795 0,0870 0,0945
15 0,0613 0,0647 0,0683 0,0725
30 0,0357 0,0365 0,0373 0,0375
45 0,0186 0,0178 0,0170 0,0166
2. z = 37,5 cm, Q = 400 kg
0,00 0,0950 0,1064 0,1175 0,1357
15 0,0768 0,0825 0,0873 0,0965
30 0,0405 0,0422 0,0392 0,0395
45 0,0155 0,0153 0,0150 0,0146
3. z = 30 cm, Q = 400 kg
0,00 0,1245 0,1468 0,1745 0,2125
15 0,0940 0,1045 0,1145 0,1212
30 0,0397 0,0407 0,0418 0,0386
45 0,0128 0,0126 0,0125 0,0112
Über das gepreßte Sandmaterial wurde hiebei keine Voraus¬
setzung gemacht, da eine solche von der Formel nicht verlangt
wird. Die drei Summanden der Formel (4) erweisen sich bei der
Berechnung der in Tabelle 1 enthaltenen oz Werte als Glieder
einer stark konvergierenden Reihe. Das Maß der Konvergenz
ist abhängig vom Plattenradius B, von der Tiefe z und vom Ab¬
stand x des Punktes P von der ^-Axe. Die Konvergenz nimmt
16 —
zu, wenn B oder x abnehmen, oder wenn z zunimmt. Beispiels¬weise verhalten sich für den ungünstigen Fall R = 21,85 cm,
x = 45 cm und £ = 37,5 cm die drei Summanden der Formel (4)
zueinander wie 85 :24 :6. Der dritte Summand beträgt in diesem
ungünstigen Fall rund 5% der Summe der zwei ersten Glieder.
Bei der Berechnung der az Werte wurden daher nur die zwei
ersten Summanden der Formel (4) berücksichtigt.
3. Versuche über die Druckverteilung im örtlich
belasteten Sande.
Versuche dieser Art sind äußerst schwierig durchzuführen,da auch nur die geringste Bewegung im Sandinnern störend auf
das Resultat einwirkt. Da aber sozusagen jede Meßmethode irgend¬
wie eine Bewegung im Sandinnern verursacht, so können alle ge¬
fundenen Resultate nur angenäherte Genauigkeit besitzen. Ganz
gleiche Verhältnisse treten bei der empirischen Bestimmung des
Erddrucks auf Stützmauern zu Tage. Wird die Stützmauer um
einen Bruchteil eines mm von der drückenden Masse entfernt, so
werden die sich im Innern des Materials entwickelnden Reibungs¬kräfte den Druck auf die Stützmauer wesentlich verringern und
zwar so lange, bis der untere Grenzwert des aktiven Erddrucks
erreicht ist. Anderseits wird eine geringe Bewegung der Stütz¬
mauer gegen das drückende Material hin den Druck sofort in
starkem Maße erhöhen, dieser Druck kann gesteigert werden bis
der obere Grenzwert des passiven Erddrucks erreicht ist. Je
nach den angewandten Versuchsmethoden zeigen daher auch auf
diesem Gebiete die Versuchsresultate verschiedener Forscher we¬
sentlich verschiedene Werte.
In unserm Fall muß neben der Veränderlichkeit der Reibungs¬
spannungen noch mit Verspannungen und Gewölbewirkung im
Sande gerechnet werden. Angenommen, es ruhe eine Sandschüt-
tung von der Höhe h auf einer unendlich ausgedehnten wagrech-ten Unterlage. In dieser Unterlage befinde sich eine Öffnung,welche durch eine in lotrechtem Sinn bewegliche Bodenklappe
— 17 —
verschlossen sei. Solange sich die Bodenklappe nicht bewegt,steht sie wie die übrige Unterlage unter einem spezifischenDrucke von der Größe y. h. Wenn sich nun die Bodenklappe nach
unten bewegt, so nimmt der auf ihr lastende spezifische Druck
erfahrungsgemäß stetig ab bis zu einem Minimalwert, der von
der Beschaffenheit des Sandes und der Form und Größe der
Klappe abhängig ist. Diese Verminderung des Druckes ist auf
die Gewölbewirkung und die Reibungskräfte im Innern des Sandes
oberhalb der Öffnung zurückzuführen. Interessant ist die Tat¬
sache, daß dieser minimale Druck nahezu unabhängig von der
Höhe h ist.3)Es ist nun leicht einzusehen, daß eine Meßmethode die im
Prinzip auf einer ähnlichen Absenkung beruht, kleinere Drücke
findet, als eine Meßmethode, bei der im Momente der Messung
überhaupt keine Bewegung erfolgt. Strohschneider4) er¬
wähnt beispielsweise eine Meßmethode, bei der ein Kautschuk¬
ballen ins Innere des Sandes gelegt und durch ein Röhrchen nach
außen mit einem Steigrohr verbunden wurde. Dieses Meßsystem
(zuerst außerhalb des Sandes geeicht) zeigte bei Belastung der
Sandoberfläche nur 5°/o des effektiven Druckes an, so daß 95%
durch Reibungsspannungen und Gewölbewirkung aufgenommen
wurden. Ebenso gab beispielsweise eine Messung, bei der eine
mit Quecksilber gefüllte kommunizierende Röhre von einem Punkte
innerhalb der Sandschüttung nach außen geführt war, also den
Druck ähnlich wie ein Barometer anzeigen sollte, trotz Beschrän¬
kung auf äußerst kleine Bewegungen des Druckempfängers, nur
rund 50°/o des ihr zukommenden Druckes wieder. Ebenfalls be¬
friedigt eine ähnliche von Exner in einem Sitzungsbericht der
Akademie der Wissenschaften in Wien beschriebene Meßmethode
nicht.5) Versuche des Verfassers mit Instrumenten, bei denen
3) Engesser: Über den Erddruck gegen innere Stützwände. Deutsche Bau¬
zeitung, 1882.
Bierbaumer: Die Dimensionierung des Tunnelmauerwerks. Leipzig und
Berlin. 1913, S. 31 ff.
4) Strohschneider : El. Druckverteilung und Drucküberschreitung in Schüt¬
tungen.
5) Exner: Über den Druck von Sandhügeln, Sitzungsberichte der Akademie
der Wiss. in Wien. Abt. IIa. Math. Nat. Kl. 13. Nov. 1924.
— IS
Quecksilber als druckanzeigendes Mittel verwendet wurde, zeigten
zudem noch eine nicht außer Betracht zu lassende Abhängigkeit
der Meßvorrichtung von der Temperatur.
Um die Bewegung des Druckempfängers auf ein Minimum
zu reduzieren, konstruierte Strohschneider für seine interessanten
Versuche folgende Vorrichtung. In der Bodenebene eines zur
Aufnahme des Sandes bestimmten Gefäßes schließt eine dünne
Kautschukmembran eine mit Wasser gefüllte Kapsel ab, von der
ein Rohr A zu einer Steigröhre B führt. Zwischen den beiden
Röhren A und B ist eine Kapillare eingeschaltet. Das Rohr A
enthält ferner ein mit Vaselinöl gefülltes Zwischenglied, welches
das Wasser der Kapsel von dem im übrigen Teil des Apparates
verwendeten Weingeist trennt (Weingeist würde die Kautschuk¬
membran der Kapsel angreifen). Im Ruhezustand hält nun der
Druck in der Steigröhre dem Druck auf die Gummimembran
Gleichgewicht. Nimmt der Druck auf die Gummimembran zu,
und soll sich letztere nicht verschieben, so muß sich der
Gegendruck im gleichen Maße vergrößern, was durch Nach¬
gießen von Flüssigkeit in die Steigröhre erreicht wird. Die
Höhe der Flüssigkeitssäule in der Steigröhre gibt nun das Maß
des Druckes auf die Gummimembran an. Eine in der Kapillare
eingeschlossene Luftblase, welche während des Versuchs mit einem
Mikrokosp beobachtet wird, und die sich bei Gleichgewicht in
ihrer Lage nicht verschieben darf, gibt das Mittel in die Hand,
um Druck und Gegendruck gleich groß zu halten.
Eine andere Meßmethode benützten amerikanische Forscher.6)
Ein Kasten, der mit Sand gefüllt werden kann, besitzt im Boden
eine quadratische Öffnung (15x15 cm, 30x30 cm). Diese Öffnung
wird von unten durch eine Klappe abgeschlossen. Diese Klappe
befindet sich am Ende des kürzeren Armes eines zweiarmigen
horizontalen Hebels (Hebelverhältnis 1:50, 1:200). Die Me߬
vorrichtung ist im Prinzip eine Hebelwage, bei der durch Be-
e) Versuche über die Druckverteilung von Vertikallasten durch den Sand
hindurch.
Engineering Record. 22. 1. 191G, S. 106 ff.
Engineering Record. 13. 3. 1915.
Engineering Record. 30. 5. 1914, S. 608 ff.
— 19 —
lastung am Ende des längeren Hebels ein stetes Andrücken der
Klappe an den Kasten bewirkt wird. Ändert sich der Sanddruck
auf die Klappe, so muiß sich die Belastung des längeren Hebel¬
armes entsprechend ändern. Aus dem Maß dieser Belastungsän¬
derung kann auf das Maß der Änderung des Sanddruckes ge¬
schlossen werden. Die maximale Verschiebung der Klappe während
der Messung beträgt nach den ausführlichen Versuchsberichten
0,03 bezw. 0,015 mm. Auf die Versuchsresultate selber soll
an späterer Stelle zurückgekommen werden.
4. Versuchsanordnung des Verfassers.
Die Versuche über die Druckverteilung im örtlich belaste¬
ten Sand wurden vom Verfasser in der Zeit vom Frühling 1925
bis Sommer 1926 im Erddrucklaboratorium der Eidg. Technischen
Hochschule durchgeführt.Zu der Versuchsanordnung gehörten grundsätzlich folgende
4 Teile:
1. Eine Vorrichtung zur Druckerzeugung (100 bis 4000 kg).2. Druckverteilplatten zur gleichmäßigen Verteilung des Druk-
kes auf die Sandoberfläche.
3. Der Versuchssand.
4. Instrumente zum Messen des Druckes in einem beliebigenPunkte im Innern des Sandes.
Die zur Druckerzeugung verwendete Vorrichtung ist eine
Druckluftpresse (vergl. Abb. 4). Sie besteht aus einem Zylindermit einer Bohrung von 71,37 mm (Druckfläche 40 cm2) und
«inem darin beweglichen Kolben, der einen maximalen Hub von
50 mm besitzt. Der Zylinder ist hinsichtlich eines, mittels Druck¬
luft zu erzeugenden Innendruckes von 100 at dimensioniert. Der auf
den Kolben wirkende Druck darf maximal 4000 kg betragen.Um den maximalen Kolbenhub von 50 mm nicht überschreiten zu
können und um letzten Endes ein Herausjagen des Kolbens aus
dem Zylinder zu vermeiden, sind drei in Abb. 4 mit a bezeichnete
— 20 —
Schrauben angebracht, die den ganzen Druck von 4000 kg auf¬
zunehmen imstande sind. Die mit h bezeichneten drei Schrauben
sind lediglich zum Senkrechtstellen der Vorrichtung auf den Druck¬
platten vorhanden. Die beiden Röhren 'i und <> dienen der Zu¬
führung bezw. der Ableitung des für die genaue Dichtung
zwischen Kolben und Zylinder nötigen Öles. Um eine möglichstzentrische DruckÜbertragung zwischen Presse und Druckplatte zu
erzielen, wird die erzeugte Druckkraft durch eine, in Kolbenmitte
Abb. 4. l>nickliittpresse.
eingelassene Stahlspitze d auf eine, im Zentrum der Druckplatte
eingesetzte Pfanne weitergeleitet.Als Mittel zur Druckübertragung auf die Sandoberfläche stan¬
den für die Versuche drei kreisrunde Gußplatten mit 1500, 1000
und 500 cm- glatt abgedrehter Grundfläche und mit entsprecnen-
den Gewichten von 58, 34, und 16 kg zur Verfügung. Die Platten
besitzen die in Abb. 4 ersichtliche Form. Der Abstand der beiden
parallelen Basisflächen beträgt tntsprechend den drei verschie¬
denen Plattengrößen 80, 70 und GO mm und ist so groß gehalten,
um ein Durchbiegen der Platten und einen daraus resultierenden,,schwer bestimmbaren Einfluß auf die Druckverteilung möglichst
zu vermindern.
— 21 —
Als Versuchssand diente ein kohäsionsloser, trockener
Flußsand, bei dem ein größter und kleinster Korndurchmesser von
1,5 bezw. 0,2 mm festgestellt wurde. Das spez. Gewicht des un¬
gerüttelten Materials betrug 1,67 kg/dm1. Durch Rütteln ließ
Abb. 5. Erddruck-Mclnlose (System Amsler).
sich dasselbe auf 1,97 kg/dm3 erhöhen. Für das ungerüttelte
Material wurde ein Porenvolumen von 35"» ermittelt. Der Bö¬
schungswinkel ergab, aus verschiedenen Beobachtungen gemit-
telt, den Wert von 33°. Zur Bestimmung des Reibungs¬winkels v wurde folgende Einrichtung verwendet: Auf einem
— 22 —
mit Sand gefüllten oben offenen Kasten kann sich ein quadrati¬
scher, auf der Unterseite mit Rollen versehener eiserner Rahmen
in der Weise bewegen, daß er auf den Oberkanten zweier gegen¬
überliegender Kastenwandungen mit geringer Reibung rollt. Um
den Rahmen über den mit Sand gefüllten Kasten hinwegzuziehen,
ist nur die geringe rollende Reibung des Rahmens zu überwinden.
Schüttet man nun Sand in den Rahmen, so daß zwischen diesem
Sand und dem Sand des gefüllten Kastens Kontinuität besteht,
so kann durch Messung der Zugkraft, die nötig ist um den Rahmen
zum Gleiten zu bringen und unter Vernachlässigung der geringen
rollenden Reibung des Rahmens, der gesuchte Reibungswert von
Sand auf Sand als Funktion der Belastung ermittelt werden. Für
den Versuchssand wurde bei verschiedenen Belastungen der Quo¬
tient Zugkraft durch Belastung als nahezu konstant gefunden.
Aus dem Quotient selber ließ sich der Reibungswinkel zu 33*
bestimmen. Der Reibungswinkel ist in diesem Falle
somit identisch mit dem Böschungswinkel. Die er¬
wähnte Methode zur Bestimmung des Reibungswinkels ist nicht
vollständig einwandfrei, da bei einem langsamen Steigern der
Zugkraft der Rahmen nicht still bleibt bis zu dem Augenblick, wo
die Zugkraft gleich der Reibungskraft wird. Es finden also vor¬
gängig dem eigentlichen Abscheren der Sandmasse Verschie¬
bungen im Sand, speziell in der Nähe der Gleitfläche, statt, die
das Resultat störend beeinflussen.
Als Instrumente zum Messen des Druckes im Sandmaterial
dienten von der Firma Amsler & Co. in Schaffhausen hergestellte
Druckdosen. Eine solche Druckdose (vergl. Abb. 5) besteht aus
einem Zylinder, in dem sich ein Kolben mit einem Hub von rund
0,8 mm bewegen kann. Der Dosendeckel als Kolben ist durck
eine Welle und zwei Kugellager zwangsläufig und reibungslos
gegenüber der Druckdose (Zylinder) geführt und zwar so, daß er
nicht ecken kann. Aus einem Druckluftakkumulator kann durch
ein Regulierventil und durch ein Messingröhrchen Druckluft in
die Dose gepreßt werden. Angenommen, der Dosendeckel sei in
seiner untersten Lage und werde durch eine Einzellast oder durch
gleichmäßig verteilte Belastung nach unten gepreßt. Sobald die
durch die Druckluft im Doseninnern erzeugte und auf den Dosen-
— 23 —
deckel von innen wirkende Kraft größer wird als der Außendruck,
so hebt sich der Dosendeckel. In diesem Augenblicke kann Druck¬
luft unter der, in Abb. 5 ersichtlichen Gummidichtung hindurch,
der Welle entlang und durch ein eingeschraubtes Messingröhr-
chen ins Freie entweichen, und dort durch Blasenbildung im Was¬
ser wahrgenommen werden. Der in diesem Augenblick am Mano¬
meter des Regulierventils abgelesene Druck zeigt den mit+leren
Abb. G. Amu dining der Mebdostm.
spezifischen Druck auf den Dosendeckel an, gleichgültig ob der
Außendruck zentrisch oder exzentrisch wirke.
Über die Durchführung des Versuches war der Verfasser
anfänglich im Zweifel und zwar in der Frage, ob die Abpressung
des Sandes in einem seitlich begrenzten oder in einem ohne seit¬
liche Begrenzung geschütteten Sandhaufen durchzuführen sei. Die
Voraussetzung des in jeder Dimension unbegrenzten Sandhaufens
mit ebener Oberfläche, wie sie im theoretischen Teil gemacht
wurde, fällt in beiden Fällen sowieso dahin. Für die Versuche
wurde nun ein Mittelweg eingeschlagen, indem eine vorhandene
80 cm tiefe, 80 cm breite und rund 6 m lange Meßgrube mit dem
— 24 —
oben erwähnten Versuchssand ausgefüllt und nachher abgepreßtwurde. Der Boden und die Seitenwände dieser Meßgrube sind
betoniert und können als starr betrachtet werden. In einer Dimen¬
sion, in unserm Falle längs der Grube, konnte für die Versuche
der Sandhaufen genügend genau als unbegrenzt angesehen werden,
während in den zwei andern räumlichen Dimensionen der Boden
und die Seitenwände der Meßgrube den Sandhaufen begrenzten.
Es ist nun interessant, in den Versuchsresultaten den Einfluß die¬
ser seitlichen Begrenzung festzustellen.
Abb. 7. Druckluftpressi1 zwischen Trager und die mit Sand gefüllte MelSgrubr
eingefügt. Zwei Stryganyröhren zum Messen der riatteneinsenkung.
Die Versuche selber spielten sich in folgender Weise ab:
Auf die glatt abgestrichene Oberfläche des gestampften, die Me߬
grube füllenden Sandhaufens wurde eine der drei Druckplatten
aufgelegt. Zwischen diesen Druckplatten und einem Träger eines
über der Meßgrube befindlichen rund 201 schweren Versuchskas¬
tens wurde die Druckluftpresse eingefügt. Bei Verwendung von
Druckluftflaschen (Fülldruck 150 at) wie sie gebräuchlich und
im Handel erhältlich sind, konnte der Druck in der Presse mittelst
eines Regulierventils beliebig zwischen 0 und 100 at variiert
werden (Kolbendruck 0 bis 4000 kg). Vorgängig dieser Pressung
wurden in verschiedenen genau eingemessenen Punkten des Sandes
Druckdosen eingesetzt, um in diesen Punkten den spez. Druck,
— 25 —
hervorgerufen durch die Oberflächenspannung, messen za können.
Die Anordnung der Dosen geschah in der in Abb. 6 ersichtlichen
Weise. Die zwei zu jeder Dose führenden Messingröhrchen wurden
in der Nähe der Dose so lange als möglich horizontal geführt, um
eine Bewehrung des Sandes oberhalb der Dose mit einem unbe¬
rechenbaren Einfluß auf die Druckverteilung zu vermeiden. Wie
man aus Abb. 6 ersieht, waren die Dosen mit einer dünnen (\'10
mm dicken) Gummihaut überzögen, um ein Eindringen von Sand¬
staub zwischen Dosendeckel und Gummimembran zu verhindern.
Abb. S. Druckluftflaschen und Regulicrvontile zum Regulieren des Druckes
in der Drucklut'tpresse und in der MelSdose.
Das Messen des Druckes geschah nach folgender Methode. In
die, vorerst nur vom aufliegenden Sand belastete Druckdose wird
eine konstante Menge Druckluft pro Zeiteinheit abgeblasen. Ent¬
sprechend dem zunehmenden Innendmck wird der Dosendeckel
gegen den Sand gehoben bis zu dem Augenblick, wo unter der
Gummidichtung hindurch Druckluft entweichen kann (vergl. Abb.
5). In der Folge stellt sich in der Dose ein Gleichgewichtszustand
ein, der, entsprechend dem konstanten Einströmen ein konstantes
Abströmen von Druckluft aus der Druckdose bedingt. Dieser
Zustand kann an der gleichmäßigen Blasenbildung der abströ¬
menden Luft in einem Wasserbehälter festgestellt werden. Das
— 26 —
Dosenmanometer zeigt jetzt den spezifischen Sanddruck auf den
Dosendeckel an. Trotz des Grundsatzes, daß während den Mes¬
sungen keine Bewegungen im Sande stattfinden sollen, wird der
Dosendeckel bis zur Erreichung des erwähnten Gleichgewichts¬
zustandes um rund V2 mm gehoben. Dies spielt aber insofern für
uns keine Rolle, als uns in vorliegendem Falle der gemessene
mm
\%N
\fr
!..1
aJ
Ol
1
1
1§*» a°\
cs 1
Spe.
0 1
Z/f/Sl
0 2S 3.0 3.5 *e ts So *9/a»
SandâracA < m
Abb. 9. Zusammenhang zwischen spezifischem Sanddruck und entsprechendemDosendeckelhub.
spez. Sanddruck, herrührend von der Sandauflast nicht in 1. Linie
interessiert, da wir nur die Druckverteilung einer auf der Sandober¬
fläche ruhenden Einzellast untersuchen wollen, welche Aufgabe
wir uns auch bei der theoretischen Auswertung der Boussinesq-schen Formeln stellten. In Abb. 9 ist gleichwohl das Verhältnis,
zwischen aufruhendem Sanddruck und Dosendeckelhub bis zum
Abströmen von Luftblasen graphisch aufgetragen. Je größer der
Sanddruck, umso mehr wird die Gummidichtung komprimiert und
umso mehr muß der Dosendeckel bis zum Abströmen von Druckluft
gehoben werden.
Die eigentliche Messung beginnt erst jetzt. Sobald sich die
Druckdose durch die konstant durchfließende Druckluft im Gleich-
— 27 —
gewicht befindet, wird auf die Sandoberfläche die Einzellast auf¬
gebracht. Die Einzellast, resp. die durch die Druckplatte verteilte
Oberflächenbelastung wird durch langsames Steigern des Druckes
in der Druckluftpresse erzeugt. Damit der Dosendeckel unter
dem Einfluß der zunehmenden spezifischen Belastung keine Be¬
wegung ausführe, damit also der Gleichgewichtszustand in der Dose
weiterbestehe, muß durch gesteigertes Zuführen von Druckluft
der Doseninnendruck ständig vergrößert werden. Da sich der
wm
,
ooo
100 200 3oo loo soo 600 700 «oo soo yooo
&jtz&/>/ der •abrfromenc/en /-tuffb/&se/7 —. »_
Abb. 10. Zusammenhang zwischen Dosendeckelbewegung und Anzahl abströmender
Luftblasen.
Dosendeckel in seiner Lage zu der Dose nicht verschieben darf,
so muß auch die Blasenbildung im Wasserbehälter eine konstante
sein, was das Mittel in die Hand gibt, den Doseninnendruck ent¬
sprechend zu regulieren. Theoretisch ist einzuwenden, daß bei
verschiedenem Innendruck verschiedene Mengen Luft von kon¬
stantem Druck durch eine unveränderliche Öffnung abfließen. Es
müßte sich beispielsweise bei gesteigertem Innendruck und un¬
veränderter Lage des Dosendeckels eine größere Anzahl Blasen
pro Zeiteinheit im Wasserbehälter bilden, als bei geringerem In¬
nendruck. Dieser Einfluß soll aber nicht in Berücksichtigung ge¬
zogen werden, da er höchstens einen Fehler 2. Ordnung zur Folge
hat. Die Genauigkeit der Messung ist also allein von der gleich¬
mäßigen Blasenbildung abhängig. Die Bewegung des Dosendeckels
als Funktion der Anzahl abströmender Blasen ist in untenstehen-
— 28 —
dem empirisch gefundenen Diagramm (Abb. 10) graphisch dar¬
gestellt.
Es ist nun ein Leichtes, bei den Versuchen das Maß der
Dosendeckelbewegung in den Grenzen von 0,000 bis 0,003 mm
zu halten. Grundsätzlich und zusammenfassend besteht also die
Meßmethode ia Folgendem: Einem Steigern des Druckes in der
Druckpresse muß eia gleichzeitiges und paralleles Steigern des
Druckes in der Meßdose folgen, wenn Letztere während der
Messung keine Bewegung ausführen soll.
Gemessen wird nun an den entsprechenden Manometern die
relative Druckzunahme in der Dose bei Mehrbelastung der Sand¬
oberfläche um einen bestimmten Betrag (von 400 zu 400 kg).
Aus dem Verhältnis der beiden Druckzunahmen wird die gesuchte
Druckverteilung errechnet. Da nicht die absoluten Dosendrücke
maßgebend sind, so ist ersichtlich, daß der im anfänglichen Gleich¬
gewichtszustande in der Dose herrschende Innendruck auf die
gesuchte Druckverteilung infolge Einzellast ohne Einfluß bleibt.
5. Beziehungen zwischen Plattenbelastung und
Platteneinsenkung.
Zur Messung der infolge Zunahme der Plattenbelastungen be¬
dingten Platteneinsenkungen wurde eine, in Abb. 7 veranschau¬
lichte Meßmethode verwendet. Die in der Abb. 7 ersichtlichen
Winkeleisen, als Träger der Meßinstrumente werden durch die
Belastungsänderungen auf die Platten in keiner Weise beeinflußt,
sie sind als unbeweglich anzusehen. Die eigentlichen Meßinstru¬
mente sind Stoppany-Uhren (Durchbiegungsmesser System Stop-
pany), die eine genaue Ablesung auf Vioo mm und eine schätzungsi-
weise Ablesung auf Viooonmi erlauben.
Die Resultate der Messungen sind in den Diagrammen der
Abbildungen 11 a, b, c, d zusammengestellt.
Für jede Platte wurden unabhängig voneinander einige Ver¬
suchsreihen mit hintereinander folgenden Belastungen und Ent-
Zusammenhang zwischen den Plattenbelastungen und den entsprechenden Platteneinsenkungen.Abb. 11 a —d.
¥00 Joe 1200 1600 2000 ZU00 2SOC 3ZOO 36 OO uooolcg0.2SS OS3 O.SO0 totS 1335 1ZÛO
[Plattenbelastung —
täes
—>
2I3S 2 Moo / 66S /rg/cm
a) Diagramme der Platte A 1500 cm2
Platteneinsenkung in mm
Ja. Ji. >f» Jk WWOJUJUJIOrOtOtOJO^-'»-'
d) Zusammenstellung der gemittelten Versuchsresultate.
— 29 —
lastungen durchgeführt. Die einzelnen Versuchsreihen jeder Platte
zeigen sehr genau übereinstimmende Eesultate.
Unter der Einwirkung der Belastung sinkt die Platte anfäng¬lich angenähert proportional dieser Belastung ein. Von einer be¬
stimmten Belastung an (Proportionalitäts^renze) beginnt das Maß
der Senkung zuzunehmen bis ein plötzliches, ruckweises und meh¬
rere mm betragendes Einsinken der ganzen Platte stattfindet
(Bruchgrenze), gleichzeitig wölbt sich der Sand rings um die Platte
ein wenig auf. Dieser Vorgang tritt für die gleiche Platte nicht
immer bei der gleichen Grenzbelastung ein, daran ist in großem
Maße die Versuchsanordnung schuld. Terzaghi7) konstatiert dieses
ruckartige Einsinken bei Gründungstiefen der Platte von 0 bis 2,55
r (r = Plattenradius). (Unter Gründungstiefe ist diejenige Tiefe
zu verstehen, in der sich die Plattenbasis unterhalb der horizon¬
talen Sandoberfläche befindet). Bei größern Gründungstiefen ver¬
lief die Senkung kontinuierlich. Terzaghi sieht in der ruckartigen
und kontinuierlichen Setzung zwei grundsätzlich verschiedene Ty¬
pen der Überschreitung des Grenzwertes der Bodentragfähigkeit.Bei der ersten Type führt die Steigerung der Belastung zur Bil¬
dung von Gleitflächen nach welchen der Boden schräg nach außen
und obenhin ausweicht. Diesen Vorgang nennt er Bodenver¬
drängung durch Auftrieb. Bei der zweiten Type, der sog. Boden¬
verdrängung durch Verdichtung verursacht die Steigerung der
Plattenbelastung eine Umlagerung und eine zunehmende Kom¬
pression der von der Belastungserhöhung betroffenen Bodenmassen.
Der Übergang von einer Type zur andern tritt bei der sog. kviti-,
sehen Gründungstiefe ein. Bei Versuchen von Terzaghi mit äußerst
locker gelagertem Sand erfolgte die Platteneinsenkung auch schon
bei einer Gründungstiefe 0 nach Art der Type 2.
Die Versuche des Verfassers verliefen nach Type 1, wenig¬
stens für die beiden Platten B und C, für welche eine genügend)große Belastung bis zum Eintreten des Bruches erzeugt werden
konnte.
Würde man nach Eintreten der ruckartigen Senkung die Be¬
lastung weiterhin steigern, wie das Strohschneider in seinen Ver-
7) Terzaghi: Erdbaumechanik auf bodenphysikahscher Grundlage. Leipzigund Wien 1925, S. 231 ff.
— 30 —
suchen getan hat, so würden auch die nachfolgenden Setzungen
ruckartig vor sich gehen. Die fortgesetzten Drucküberschrei¬
tungen verursachen stets wieder die Bildung neuer Gleichgewichts¬
zustände. Das Last-Senkungs-Diagramm sieht demnach treppen¬
artig aus. Für die weitere Untersuchung kommt nur die erste
Stufe dieses treppenförmigen Diagramms in Betracht, somit spe¬
zifische Plattenbelastungen von 0 bis qy, wenn mit letzterem Aus¬
druck die spez. Bruchbelastung bezeichnet wird. Es bedeute ferner
qp die spez. Plattenbelastung bei der Proportionalitätsgrenze. In
Übereinstimmung mit den Versuchen von Terzaghi fand der Ver¬
fasser, daß für kreisrunde Platten und dicht gelagerten Sand qP
angenähert 0,5 q* beträgt, wie aus den Versuchsreihen für die
Platten B und C Sn Abb. 11 ersichtlich ist.
Interessant ist die Feststellung, daß die Proportionalitäts¬
grenze für jede der drei Platten erreicht war, wenn die Plattenein¬
senkung ein bestimmtes Maß (in unserem Falle genau einen mm)
erreicht hatte.
Sehr anschaulich tritt in der Zusammenstellung der Versachs¬
resultate die bekannte Tatsache hervor, daß die spez. Propor-
tionalitäts- bezw. die spez. Bruchbelastung verschiedener Platten
mit zunehmender Fläche auch zunimmt. Ob die totale zulässige
Plattenbelastung bis zur Erreichung der Proportionalitäts- bezw.
Bruchgrenze mit der 3. Potenz von r, die entsprechenden spezi¬
fischen Belastungen, also linear mit r zunehmen, wie Strohschnei¬
der an Hand seiner Versuche feststellt, kann durch die Versuche
des Verfassers nicht als absolut erwiesen betrachtet werden.
Grundsätzlich nimmt das Diagramm zwischen Belastung und
Einsenkung den in untenstehender Abb. 12 schematisch gezeich¬
neten Verlauf.
Belastet man einen frisch geschütteten und noch niemals be¬
lasteten Sandhaufen stetig und mit relativ großer Belastungs¬
geschwindigkeit, so erhält man als Diagramm die sog. jungfräur
Udhe Kjurve (0—Tx~P2..). Wird die Belastung in Px an¬
gehalten, so sinkt die Platte gleichwohl noch weiter ein um den
Betrag Px—P/. Diese zusätzliche Senkung erklärt sich einesteils
durch elastische Nachwirkungen im kompakten Sandmaterial, an-
— 31 —
dernteils durch den langsamen Ausgleich der unausgeglichenen Kei-
bungsspannungen der Sandkörner aneinander. Diese, bei kon¬
stanter Belastung zeitliche Zunahme der Setzungen ist sowohl für
den dichten wie locker gelagerten Sand relativ gering. Bei fort¬
schreitender Belastung steigt die Kurve von P\ steil an und
schmiegt sich langsam wieder an die jungfräuliche Kurve an. Mit
dem gleichen Resultat läßt sich die Belastung auch in P2 anhalten,und nach geraumer Zeit vom P'8 fortsetzen. Die Kurve (0—P-x—P2..)gibt ein Bild von der Platteneinsenkung bei rascher, die Kurve
ß/vc/igre/rze.—o
il grenze
f'/jz/re/ye/nse/y/cvng /m/n/
Abb. 12.
(0—P\—P'& •) bei langsamer Belastungsgeschwindigkeit. Die
beiden Kurven unterscheiden sich für Sand d. h. für kohäsions-
lose trockene Materialien wenig voneinander, können dies aber,
wie Terzaghi nachweist, bei festen Materialien, oder bei wasser¬
durchtränkten, kolloidartigen Böden, wo sich der hydrodynamische
Druck nur langsam fortpflanzt, in ansehnlichem Maße tun. Findet
in P\ oder P*e eine Entlastung statt, so vollzieht sich die rück¬
läufige Formänderung auf einer Entlastungskurve P\—A bezw.
P'2—A2. Bei erneuter Belastung beschreibt das Diagramm eine,der jungfräulichen Kurve ähnliche Kurve, aber mit geringerer
Neigung (Abb. 11). Jede neue Belastungskurve mündet schließlich
in die ursprüngliche jungfräuliche Kurve ein. Die Plattenein-
äenkungen als Folge der mehrmaligen Belastungen und Ent-
— 32 —
lastungen müssen zur weitern Analyse des Vorganges getrennt
werden in plastische (irreversible) und elastische (reversible) Ein-
senkungen. Wie die Diagramme der Abbildungen 11 zeigen, nimmt
die plastische Einsenkung bei mehrmaliger Belastung immer mehr
ab. Im Gegensatz dazu ist aus den gleichen Diagrammen eindeutig
ersichtlich, daß das Maß der elastischen Einsenkung von der
Anzahl der vorangegangenen Belastungen und Entlastungen voll¬
ständig unabhängig ist, die entsprechenden Entlastungskurven
sind für die gleiche Platte und angenähert gleich große End¬
belastung für alle Versuche sozusagen parallel.
Bei der Zusammenstellung der Resultate für alle drei Platten
zeigt sich ferner die Tatsache, daß das Maß der elastischen Ein¬
senkung bei gleichen spezifischen Endbelastungen von der Größe
der Plattenfläche in keiner Weise beeinflußt wird, die drei Ent-
lastungskurven sind ebenfalls parallel. Es ist anzunehmen, daß
nach einer langen Reihe in bestimmten Grenzen gehaltener Be¬
lastungen und Entlastungen der plastische Teil der Plattenein¬
senkung verschwindet. Die Belastungs- und Entlastungskurve wür¬
de sich in diesem Falle wie bei den festen Körpern schließlich
durch eine, von der Plattengröße unabhängige, geschlossene Hy-
steresisschleife darstellen lassen.
Die doppelte Krümmung der Belastungskurven mit dem Wen¬
depunkt bei der Proportionalitätsgrenze erklärt sich zwangslos
durch die Superposition der nicht linear zunehmenden elastischen
und plastischen Einsenkungen. Ein weiterer praktisch nicht auf¬
findbarer Wendepunkt müßte sich übrigens auch im Belastungs¬
nullpunkt beim Übergang von Druck zu Zug einstellen. Ver¬
schwindet nach einer größern Anzahl von Belastungen der pla¬
stische Einfluß, so wird die Einsenkungskurve auf der Druckseite
einfach gekrümmt sein.
Ein Vergleich der gefundenen Last — Senkungsdiagrammemit den Spannangs — Dehnungsdiagrammen von festen Körpern,
wie solche vielfach an Eisenproben aufgestellt werden, oder wie
sie für felsiges Material von der Druckstollenkommission8) bei
Abpressung von Serizitechiefer im Druckstollen des Kraftwerkes
von Amsteg gefunden wurden, zeigt eine grundsätzliche Überein-
— 33 —
Stimmung sämtlicher Diagramme und wenn Schmid9) diese Über¬
einstimmung für feste Körper wie Eisen und Fels festlegt, so muß
grundsätzlich und an Hand des Versuchsmaterials diese Überein¬
stimmung auch auf lose Böden und im extremen Falle auf kohä-
sionslose Materialien ausgedehnt werden.
So wie die Ursachen, die zur Überschreitung der Tragfähigkeiteiner Sandschüttung führen, mannigfacher Art sind, und wie selbst
die Wirkungen dieser Ursachen ganz verschieden ausfallen kön¬
nen, in gleichem Sinne besitzt auch das Wort „Tragfähigkeit" im
technischen Sprachgebrauch selber keinen klar und einwandfrei
definierten Inhalt. Unter Tragfähigkeit kann man die Boden-
beanspnuchung an der Proportionalitätsgrenze oder an der
Bruchgrenze verstehen. Aber nicht einmal diese Grenzen
besitzen einen festen Charakter, da, wie schon früher er¬
wähnt, die Einsenkung nach verschiedenen Typen erfolgen katm.
Terzaghi kennzeichnet die Tragfähigkeit des Bodens durch drei
Ziffern: die Bruchgrenze, die Proportionalitätsgrenze und die
Bettungsziffer. Da aber die Proportionalitätsgrenze und die Bruch¬
grenze, wie die Versuche zeigen, in gegenseitiger Abhängigkeitstehen (g&<^0,5g&), so genügt die Festlegung von Bruchgrenzeund Bettungsziffer.
In einer interessanten, wenn auch sehr spekulativen Ableitung
findet Terzaghi für die spezifische Bruchbelastung als Funktion
des Plattenradius r (oder weiter gefaßt als Funktion der Quadrat¬
wurzel aus der Druckfläche, wenn diese nicht kreisrund ist, aber
doch gedrängte Form besitzt) den Ausdruck:
2 y • r
lj, ist der Beiwert des aktiven Erddrucks und errechnet sich aus
dem Ausdruck:
6 = *[«-*!8) Bericht der Druckstollenkommission Amsteg. Rohn, Rotpletz, Büchi,
Zürich, November 1923.
9) Schmid: Statische Grenzprobleme im kreisförmig durchörterten Gebirge.Diss. B.T.H., Berlin 1926.
— 34 —
worin q> ! den Gleitwinkel oder natürlichen Böschungswinkel be¬
deutet cp x beträgt nach Terzaghi 33° 30'—54° und £i liegt infolge¬
dessen zwischen 0.288 and 0,106. Für kompakten, also in unserm
Falle mehrmals abgepreßten Sand nähert sich f i dem Wert von
0,106. Bei dicht gelagertem Sand setzt Terzaghi y = 1,72 kg/dm3
in Rechnung (dieser Wert soll auch für die Vergleichswerte des
Verfassers benutzt werden).
Es wird somit
qbmax = 0,306 r kg/cm2
und qpmm-— 0,5 • 0,306 r kg/cm2
Für die Tragfähigkeit einer kreisrunden, auf dicht gelagertem
Sand ruhenden Fundamentplatte mit einem Durchmesser von 200 cm
ergibt die Formel (5) beispielsweise einen Wert von qbmax. —
30,6 kg/cm2. Die spezifische Plattenbelastung bei der Propor¬
tionalitätsgrenze würde in diesem Falle etwa 15,3 kg/cm2 betragen.
Untenstehende Tabelle (vergl. Terzaghi, Erdbaumechanik, Seite
243) gestattet den Vergleich zwischen einigen im Versuchsweg
für dicht gelagerten Sand ermittelten Werten von qb, bezw. qp,
mit den entsprechenden nach Formel 5 berechneten Werten.
Material und Beobachter
Platten¬
radius
r
cm
qb kg/cm2 qp kg/cm3
berechnet gemessen berechnet gemessen
sorgfältig gestampfter Sand
[Strohschneider]
0,8
1,26
1,49
1,78
0,245
0,386
0,456
0,544
0,290
0,420
0,490
0,610
0,127
0,193
0,228
0,272
0,190
0,210
0,260
0,350
eingerüttelter Sand
[Solakian]1,95 0,596 0,480 0,298 0,250
mehrmals abgepreßter Sand
[Hugi]
12,6
17,85
21,81
3,86
5,48
6,70
4,40 1,93
2,74
3,35
1,66
2,00
2,57
Für die Praxis wird es angezeigt sein spezifische Plattenbe¬
lastungen >#p nicht zuzulassen.
35 —
Was die Bettungsziffer anbetrifft, so gehen die Ansichten über
deren grundsätzlichen Begriff weit auseinander. Als Bettungs-ziffeir c bezeichnet man in der Theorie des Eisenbahnoberbaus den
Quotienten aus der Belastung q (in kg/cm2) des Bodens und der
entsprechenden Einsenkung s (in cm). Mithin beträgt:
c =-1- kg/cm3 10)s
Bei erstmaliger Belastung einer Sandschüttung kann die Bet¬
tungsziffer durch die Tangente im Kurvenanfangspunkt an die
jungfräuliche Kurve festgelegt werden. Für mäßige, kontinuier¬
lich zunehmende Belastungen bleibt ihr Wert konstant. Nach mehr¬
maliger Belastung und Entlastung der Sandoberfläche nimmt die
Bettungsziffer hingegen für gleiche spezifische Belastungen wie
im ersten Falle einen ganz andern Wert an, der sich aber im Ver¬
laufe weiterer Belastungen und Entlastungen wenig mehr ändert.
Nach Ansicht des Verfassers wäre es zweckmäßig, für die Bet¬
tungsziffer zwei verschiedene Werte einzuführen, die je nach der
praktischen Verwendung in Rechnung zu setzen wären. Die erste
Bettungsziffer würde für den Fall einer einmaligen und zugleich
erstmaligen Belastung verwendet werden, beispielsweise bei Fun¬
dierungen. Diese Bettungsziffer würde sich auf dem Versuchs¬
wege durch die Tangente im Anfangspunkte der jungfräulichenKurve an diese finden lassen, ihr Wert wäre im größern Maße
durch die plastische Einsenkung beeinflußt. Eine zweite Bettungs¬
ziffer, die sich beispielsweise bei der Untersuchung des Einflusses
von Verkehrslasten benützen ließe, und die ebenfalls auf dem Ver¬
suchswege gefunden werden müßte, wäre in hohem Maße von den
elastischen Eigenschaften des Materials abhängig, der plastischeEinfluß würde mit der Zeit ganz verschwinden. Der Wert der
Bettungsziffer nach der ersten Type liegt nach dem vorhandenen
Versuchsmaterial und für gewaschene Sande zwischen den Grenzen
von 2,0 und 12,5 kg/cm3 (Terzaghi). Bei einer erstmaligen Be¬
lastung der Sandoberfläche durch Platte C ergab sich ein c von
3,8 kg/cm3 (vergl. Abb. 11c, Last-Senkungsdiagramm der Platte
). Für die Bettungsziffer nach Type 2 lieferten die Versuche
') Zimmermann: Berechnung des Eisenbahnoberbaus, Berlin 1888.
— 36 —
des Verfassers für die Platten A, B und 0 die entsprechendenWerte von 24, 20 und 16 kg/cm3. Hiebei wurde zur Vereinfachungeine lineare Senkung der Platte bis zur Proportionalitätsgrenze
angenommen. Diese gefundenen Werte lassen sich natürlich nicht
verallgemeinern, da die Voraussetzung einer unbegrenzten Tiefe
der Sandschüttung für die Versuche nicht gemacht werden konnte.
Je näher sich die, als starr anzusehende Unterlage der Sand-
schüttung an der Sandoberfläche befindet, umso größer wird
c. Es wird sich selten der in einem bestimmten Fall gefundene
Wert einer Bettungsziffer ohne weiteres auf einen andern FalL
anwenden lassen, es wird immer angezeigt sein, zweckdienliche-
Versuche an Ort und Stelle auszuführen.
6. Diskussion der gefundenen Druckverteilungs¬diagramme.
An Hand der Versuchsresultate kann die Feststellung gemacht
werden, daß der gleichmäßigen Steigerung der Belastung auf die
Sandoberfläche eine lineare Zunahme des Doseninnendruckes folgt,
aber nur solange, als die spezifische Plattenbelastung den Wert
von qp nicht überschreitet. Im Intervall von qp bis qb ist die Zu¬
nahme nicht mehr linear; sie vergrößert oder verringert sich, je
nach der Lage der Dose in Bezug auf die Oberflächenbelastung,
wie untenstehende Figuren (Abb. 13) schematisch zeigen.
Der grundsätzliche Unterschied beider Kurven ist erklärlich,
wenn man sich vom Vorgang der Platteneinsenkung ein Bild
macht. Während der Zunahme der Belastung von 0 bis qv bewirkt
die Platteneinsenkung eine gleichmäßige Verdichtung der Sand¬
schichten und bedingt dadurch eine lineare Zunahme des Dosen¬
innendruckes. Wird qp überschritten, so erfolgt ein seitliches
Ausweichen der Sandschichten unter der Platte (Bodenverdrängung
durch Auftrieb), die Dosen in der Nähe der z-Axe werden entlastet,
und dafür die weiter entfernt gelegenen Dosen in stärkerem Maße
belastet. Zur Bildung eines Mittelwertes für die Druckverteilung:
- 37 -
soll nur das konstante Verhältnis zwischen Belastung und Dosen-
înnendruck herangezogen werden, also das Intervall 0 bis qp in
der Oberflächenbelastung.'
Infolge der beschriebenen Verhältnisse
ist es möglich, die Druckverteilungsdiagramme der drei Platten
auf die gleiche Plattenbelastung zu beziehen. Diese Vergleichs¬
belastung betrage 400 kg (Innendruck in der Druckluftpresse
10 at). Die spezifischen Belastungen der Platten A, B und C be¬
tragen entsprechend 0,266 kg/cm2 0,4 und 0,8 kg/cm2. Die ge¬
fundenen Druckverteilungsdiagramme bei dieser Totalbelastung von
400 kg sind graphisch in den Abbildungen 14a, b, c zusammenge-
^ _fl -Dose «*» A^anae des Tr^gKôrperj-. _3 J3ote in z-/*»e.
Zunahme der rlo/test
Abb. 13. Zusammenhang zwischen Oberflachenbelastung und Doseninnendruck.
stellt. Die DruckVerteilung wurde in Tiefen von 30 cm, 37,5 cm
und 45 cm unter der Sandoberfläche untersucht.
Die Druckverteilungskurven zeigen grundsätzlich den gleichen
Verlauf, wie die, eingangs dieser Arbeit von den Boussinesq'schen
Gleichungen für elastische Körper abgeleiteten Verteilungskurven.
In der Nähe der z-Axe ist hingegen das Maß der spezifischen Pres¬
sungen viel größer, als es sich aus der theoretischen Ableitung
ergibt. Da die Summe der Einheitsdrücke auf eine Horizontal¬
ebene gleich groß wie die Auflast sein muß, sei der druckvertei-
iende Körper eine Sandschüttung oder eine, den Boussinesq'schen
Gleichungen gehorchende elastische Masse, kann somit der Schluß
gezogen werden, daß sich die Druckverteilung in der Schüttung,
im Gegensatz zu jener im elastischen Körper seitlich nicht bis
ins Unendliche erstreckt, sondern sich nur auf eine endliche Fläche
J^ttSitAab tier jpez/f/schen Dructe.
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— 41 —
beschränkt. Tatsächlich konnte auch in relativ geringen Ab¬
ständen von der z-Axe und bei noch so großer Steigerung der
Auflast, keine Vergrößerung des spezifischen Sanddruckes wahr¬
genommen werden. Bildet man analog der theoretischen Unter¬
suchung mit dem Druckverteilungsdiagramm als Erzeugenden und
der z-Axe als Rotationsachse einen Rotationskörper, so sollte des¬
sen Inhalt di$ Größe der Auflast, also in unserm Falle 400 kg dar¬
stellen. Die Ausmittlung der Volumen dieser Rotationskörper zeigt
aber, daß ihre Inhalte nur 82—95°/o der theoretischen Werte be¬
tragen, was auf verschiedene Ursachen zurückzuführen ist:
1. Trotz ganz minimalen Dosendeckelbewegungen können sich
oberhalb der Dose im Sand Gewölbe bilden, die sich außerhalb der
Dose abstützen und dadurch den Dosendeckel entlasten.
2. Die Grenze in seitlicher Beziehung, wo der Einfluß der
Oberflächenbelastung zu null wird, kann mit der vorhandenen Me߬
methode nicht absolut genau bestimmt werden. Geringe, nicht
meßbare Sanddrücke können aber in dieser Gegend einen merk¬
baren Einfluß auf die Summierung sämtlicher Drücke ausüben,
da sie weit von der Rotationsachse entfernt sind.
3. Von derjenigen Tiefe an, bei der sich der durch die Belastung
erzeugte Seitendruck auf die Wände der Meßgrube geltend macht,können Reibungsspannungen des Sandes am Mauerwerk entlastend
auf den Vertikaldruck einwirken.
Es darf angenommen werden, daß das Manko an gemessenem
Vertikaldruck keinen wesentlichen Einfluß auf die grundsätzliche
Druckverteilung ausübt. Die Kurven dürfen in diesem Falle ohne
Korrektur zur weitern Diskussion herangezogen werden.
Der wesentliche Unterschied der lotrechten Druckverteilungin vollständig elastischem Material, im Gegensatz zur Druckver¬
teilung in einer Schüttung liegt somit in der seitlichen Begrenzung
der Einflußzone. Im elastischen Körper wird bei endlicher Tiefe
und punktförmiger Belastung der Oberfläche der spezifische Ver¬
tikaldruck in seitlicher Beziehung erst im Unendlichen zu null,
während sich bei einer Schüttung der Vertikaldruck in einem
kegelähnlichen Tragkörper fortpflanzt. Bei punktförmiger Be¬
lastung befindet sich die Spitze dieses Tragkörpers im Angriffs¬
punkt der Auflast, bei Belastung mittelst runden Platten bildet
— 42 —
der Tragkörper einen abgestumpften Kegel, dessen obere Basis
mit der untern Plattenbasis zusammenfällt. Der Winkel, den die
Erzeugende des Tragkörpers mit dem Lot einschließt, sei mit cp0
bezeichnet. Wie Strohschneider an Hand seiner Versuchsergebnisse
zeigt, ist dieser Winkel y0 nicht für alle Tiefenlagen gleich groß,
sondern er nimmt zu mit der Tiefe, so daß daraus zu schließen ist,
daß der Druck nicht innerhalb eines bestimmten Grenzwinkels ver¬
bleibt, sich somit nicht geradlinig, sondern nach unten derart ver¬
breitert, daß er schließlich bis ins Unendliche reicht. Die Erzeu¬
gende des Tragkörpers ist somit eine doppelt gekrümmte Kurve,
die bei punktförmiger Belastung vom Auflagerpunkt der Belastung
ausgehend, sich asymptotisch einer bestimmten Grenzlage nähert.
Unterhalb dieser Grenzfläche kann die Schüttung als elastisch be¬
trachtet werden und für die Druckverteilung treten die Boussinesq'-
schen Gesetze in Kraft. In welcher Tiefe sich diese Grenzfläche
befindet ist theoretisch nicht bestimmbar, sie ist abhängig von der
Dichte und Kohäsion der Schüttung und der Größe der Auflast.
Um die DruckVerteilung zwischen Grenzschicht und Sandober¬
fläche in eine Formel zu fassen ist Strohschneider folgendermaßen
vorgegangen: Um auszudrücken, daß der lotrechte Druck sich
seitlich nicht bis ins Unendliche ausbreite, sondern über einen
Grenzwinkel qp0 hinaus null werde, ersetzt er in der Boussinesq'-
schen Gleichung
3 Q K
Gz = 15—• -
2COS6 Cf
den einen Faktor cos cp willkürlich durch (cos cp— cotg cp0 sin cp)
und setzt *
COS ffl
ff'- = A [cos cp — cotg cp0 sin cp] —~
Er erreicht dadurch, daß für cp = cp0 <f. = 0 wird. Die Kon¬
stante A findet er aus der Bedingungsgleichung
.x = z-tg<p<,
Q = 2 // \ x • dx a~
•'.1 = 0
die ausdrückt, daß die Summe aller Einzeldrücke in einer Schicht
— 43 —
gleich dem aufgelegten Gewicht Q sein muß. Daraus
Ä = M L___2 7C 1 — cos cp0
und
oz = -^-^ •
^• Leos f/) — cotg w0 sin cp]
r~ 6)2?r 1 — cos<f>0
' T '
q2
Diese Formel hat nur bedingten Wert, da der Winkel <p0 weder
auf rechnerischem noch auf direktem Versuchswege einwandfrei
bestimmt werden kann. Zudem ist <p 0 nicht eine Konstante, sondern
nimmt, wie schon erwähnt, mit der Tiefe zu. Auf indirektem Wege
sucht Strohschneider cp 0 aus der Relation
7hsin (f0 = —
Ymax
zu bestimmen, wobei yh das spezifische Gewicht des Sandes in der
untersuchten Tiefenlage h unter der Oberfläche und y ma%. jenes
spezifische Gewicht bedeutet, welches bei vollkommener Pressung
erreichbar wäre. Diese Formel von Strohschneider soll auf fol¬
genden Fall angewendet werden: Q = 40O kg, punktförmig wir¬
kend, £ = 37,5 cm, yÄ = l,89 (durch Versuch ermittelt), y max.
= 2.5 (durch Versuch ermittelt). Der Wert von w 0 berechnet
sich zu 49° und mittels der Formel 6 läßt sich das in Abb. 14 b
strichpunktiert gezeichnete Druckverteilungsdiagramm errechnen.
Die grundsätzliche Übereinstimmung dieser Strohschneider'-
schen Druckverteilungskurve mit den auf dem Versuchswege ge¬
fundenen Druckverteilungsdiagrammen ist eindeutig. Die in der z-
Axe gemessenen as Werte bei Belastung der Sandoberfläche mittels
der Platten A, B und C und der nach Strohschneider berechneten </z
Wert bei punktförmiger Belastung stehen ungefähr in gleichem
Verhältnis zueinander, wie die nach Boussinesq gefundenen o3
Werte für gleiche Belastungsarten.
Das in den Versuchswerten auftretende Druckmanko wird
deshalb, wie schon früher erwähnt, eher auf zu klein gemessene
Drücke in peripherischen Lagen des Tragkörpers zurückzuführen
sein. Allgemein kann festgestellt werden, daß die Formel von
— 44 —
Strohschneider, welche auf Grund von Versuchen in ganz kleinen
Verhältnissen (Ç = 50g, Druck gemessen in Tiefen von 2 bis 5
cm unter der Sandoberfläche) aufgestellt wurde, mit den Ver¬
suchs - Ergebnissen des Verfassers in Einklang steht. Inte¬
ressant sind an dieser Stelle die Schlußfolgerungen, die Stroh¬
schneider aus seinen Versuchen zieht: „Ist die Schüttung sehr
fest, so daß man mit Ausnahme der obersten Grenzlagen von
einem homogenen Gefüge sprechen kann, wie dies insbesondere dann
der Fall sein wird, wenn der zu untersuchende Boden vorher be¬
reits dauernd größere verteilte Belastungen zu tragen hatte (z.
B. der Boden einer genügend tief ausgehobenen Baugrube), so
erscheint es statthaft, ohne einen Übergangskörper anzunehmen,
vollkommen elastisches Verhalten vorauszusetzen. Bei leicht geschüt¬
tetem Sande ergaben die Versuche als obersten Grenzwinkel q 0
ungefähr 50 bis 60°, auch ergab die Bestimmung derjenigen Tiefe
(nach einer Formel mit experimentell festzulegenden Konstan¬
ten), von welcher an die Schüttung als elastisch zu betrachten ist,
daß schon für Schichten, welche ungefähr 1 m unter der Ober¬
fläche liegen, homogene Beschaffenheit, also elastisches Ver¬
halten vorausgesetzt werden darf. Ganz lose Schüttungen zeigen
allerdings kleinere Grenzwinkel und daher auch größere Tiefen
bis zu homogener Beschaffenheit, kommen aber in der Natur kaum
vor. Man wird daher allgemein bei Berechnung der Tragfähigkeit
einer Bauwerksunterlage der Sicherheit Genüge tun, wenn man
annimmt, daß sich der Druck innerhalb einer obersten Schichten¬
stärke von 1 m Höhe allmählich bis ins Unendliche ausbreitet, und
zwar so, daß die Ausbreitung vom Auflagerpunkt der Last aus
unter einem Winkel von 50° beginnt. Für Tiefenlagen unter
diesem Übergang ist dann vollkommen elastisches Verhalten an¬
zunehmen. Voraussetzung bei diesen Folgerungen ist, daß die
Last so klein gewählt wird, daß nicht durch Überlastang des
Bodens eine Zerstörung seiner obersten Schichten erfolgt."
Diese letztere Voraussetzung ist für kohäsionslose Materialien
anfechtbar, denn bei der geringsten Auflast oder bei Vergrößerung
einer bestehenden Auflast um einen geringen Betrag erfolgt eine
Einsenkung des Belastungskörpers und dadurch eine plastische De¬
formation, also eine Zerstörung der obersten Sandschichten. Nach
Ftett» -B d'JSTen
so «/ t*r *#
<3 Äurven p/etcften rpez/fiscfier? l/£r?//tatdrucfresVersvcfureju/tete b& Jieteffonc, cfer Ober/fache
P/a"rre /?a ana/Of tUattta. Betastung mit PlatteJB
entsßrechentre
Veriuchsrtsurtàle àmeri/tjnueher Forscherentjpreetient/e
i Versuchtresuitate ^mernrjnischer Forscher-
Abbildung/5 .t ff bé/tdunyff.Z
Platt« e. d*J!Slcm
flbbltcH/ogfSis analog fibXlSia&iattung mit
P/arte C.
^y-7 m j ft s b
— 46 —
den Versuchen des Verfassers spielt aber die Größe der Belastung
auf die Druckverteilung keine Rolle, solange die spezifische Ober¬
flächenpressung die Proportionalitätsgrenze nicht überschreitet,denn von der Belastung 0 an bis zur spezifischen Pressung qv
nimmt der Doseninnendruck linear au. Die von Strohschneider ge¬
machte Voraussetzung wäre somit in die Form abzuändern: Das
Bild der Druckverteilung in einer Sandschüttung bleibt konstant
und läßt sich angenähert durch die Formel 6 ausdrücken, solange
die spezifische Oberflächenpressung nicht größer als q„ ist.
Die auf Seite 18 erwähnten Versuche amerikanischer Forscher
liefern interessantes Vergleichsmaterial zu den Versuchen des
Verfassers. Beide Versuche wurden in ungefähr den gleichenDimensionen aber mit gänzlich verschiedenen Meßmethoden durch¬
geführt. Um eine Vergleichsbasis zu besitzen, sind beide Versuchs¬
resultate in den Abb. 15 (1, 2, 3) durch Kurven gleichen spezifi¬schen Vertikaldruckes dargestellt.
Auch hier zeigt sich eine grundsätzliche Übereinstimmung be¬
treffend die Druckverteilung im örtlich belasteten Sand. Daß
keine absolute Kongruenz der entsprechenden Kurven vorliegt,ist nicht verwunderlich, denn Versuchsanordnung und Versuchsma¬
terial sind verschieden, ferner sind die Druckplatten verschieden
ausgebildet, sie besitzen somit bei zentrischer Belastung verschie¬
dene Durchbiegung und drücken mit ganz ungleich verteilter Last
auf die Sandoberfläche. Die Druckdifferenz in bestimmter Sand¬
tiefe, bei Belastung der Sandoberfläche durch zwei gleich große,aber verschiedene Durchbiegung besitzende Platten mit gleich
großer zentrischer Auflast, nimmt zu mit zunehmendem Platten¬
radius, wie die Vergleiche für die Platten A und B klar zeigen.
Die Durchbiegungen der Platten A und B bei zentrischer Be¬
lastung der Plattenmitte wurden untersucht mit Hilfe von vier
Durchbiegungsmessern (Stoppanyuhren), welche die Differenzen
à in den Senkungsbeträgen von Plattenmitte und Plattenrand fest¬
stellten. Die zentrische Belastung P wurde für jede Platte von
400 auf 1600 kg gesteigert. Die Durchbiegungen beim Anfangs¬druck (400 kg) wurden zu null angenommen. Über die gefundenenResultate orientiert folgende Zusammenstellung:
— 47 —
1. Platte A.
Belastung P 400 800 1200 1600 kgDurchbiegung d 0,000 0,035 0,085 0,163 mm(= Mehrbetrag der Ein-
senkung von Plattenmitte
gegenüber dem Plattenrand)
2. Platte B.
Belastung P 400 800 1200 1600 kg
Durchbiegung â 0,000 0,027 0,052 0,077 mm
Eunde Druckplatten mit gleich großen Basisflächen aber aus ver¬
schiedenem Material und mit verschiedenem Querschnitt werden
bei gleich großer zentrischer Belastung stets verschiedene Durch¬
biegungen aufweisen, was sich naturgemäß in ungleicher Druck¬
verteilung im gepreßten Sajtid auswirkt und einen strengen Ver¬
gleich der verschiedenen Versuche ungünstig beeinflußt.
Eine wesentliche Feststellung machte ein amerikanischer For¬
scher bei der Untersuchung der Druckverteilung in einer Ton¬
mischung (85% Ton, 10o/o Sand, 5% lehmhaltiger Kies); er fand
dabei, daß die Druckverteilung im kohärenten Tongemisch ange¬
nähert identisch mit derjenigen im kohäsionslosen Sande ist.11)
Versuchsresultate über die Druckverteilungin horizontaler Eichtung. Die Meßdosen, die für die
Untersuchungen der vertikalen Druckverteilung gute Dienste leiste¬
ten, wurden auch verwendet zur Bestimmung des radial gegen die
z-Axe gerichteten spezifischen Horizontaldruckes. Die Unter¬
suchung erstreckte sich auf die Druckbestimmung in zwei durch
die z-Axe gehenden senkrecht aufeinander stehenden Ebenen, wo¬
von die eine parallel zu den Seitenwänden der Meßgrube, und die
andere senkrecht dazu angenommen wurde. Die Messungen er¬
folgten in Tiefen von 30, 37,5 und 45 cm unter der Sandoberfläche.
Die Resultate sind in Abbildung 16 graphisch zusammengestellt,
wobei die gefundenen Horizontaldrücke in den Diagrammen vertikal
aufgetragen sind.
u) Versuche über die Druckverteilung von Vertikallasten durch den Sand
hindurch. Engineering Record. 22. 1. 1916, S. 106 ff.
— 48
In einer theoretischen Ableitung, in der verschiedene mit der
Wirklichkeit nicht genau übereinstimmende Annahmen gemacht
werden, findet Strohschneider, daß bei punktförmiger Belastung
der Sandoberfläche für irgend einen Punkt im Innern der Schüt¬
tung, der Neigungswinkel der einen Hauptspannungsrichtung mit
der Horizontalen, und der Winkel, den der Verbindungsstrahl vom
gewählten Punkt zum Auflagerpunkt der Last mit dem Lot ein¬
schließt, sich zu 90° ergänzen. Daraus wird der Schluß gezogen,
daß „eine Hauptspannung in einem elastischen, ursprünglich span¬
nungslosen Körper, der von einer horizontalen Fläche begrenzt und
von einer darauf normal stehenden Einzellast beansprucht ist,
stets angenähert in der Richtung des vom Angriffspunkte der
Last ausgehenden Strahles liegt". Bei Anwendung der Boussinesq'-
schen Gleichungen läßt sich ferner beweisen, daß die resultierende
Spannung, welche bei punktförmiger Oberflächenbelastung auf
ein horizontales Flächenelement im Innern des Sandes wirkt, in
ihrer Richtung mit dem Fahrstrahl nach dem Angriffspunkt der
Last zusammenfällt. Weil somit diese Resultierende aus Druck
und Schub und die eine Hauptspannung in die gleiche Richtung
fallen, zieht Strohschneider die Folgerung, daß der, bei alleiniger
Berücksichtigung der Auflast hervorgerufene Spamrangszustandfür jeden Punkt der Schüttung linear sei, daß somit die zweite
Hauptspannung senkrecht zum Fahrstrahl zu null werde. Würde
man bei diesem Belastungsfall für jeden Punkt einer horizontalen,
innerhalb der Sandschüttung gelegenen Schicht den radial nach
dem Zentrum gerichteten spezifischen Horizontaldruck senkrecht
auftragen, so entstünde dadurch ein Rotationskörper, der eine senk¬
rechte, durch den Belastungspunkt gehende Rotationsaxe besäße..
Ein Meridianschnitt durch diesen Rotationskörper würde eine
ebene, mehrfach gekrümmte Kurve liefern mit an die horizontale
Schnittgerade sich anschmiegenden Ästen und einem zu null de¬
generierten Minimum in der Rotationsaxe selber. In Wirklichkeit
wird dieser Zustand in der Schüttung selber nie eintreten, da
immer noch der, der Schüttung innewohnende Horizontaldruck zu
superponieren wäre. Letztere Größe spielt aber bei den Versuchen
des Verfassers keine Rolle, da die Wirkungsweise der Meßmethode
gestattet, anfängliche Vertikal- und Horizontaldrücke aus der
— 49 —
Messung zu eliminieren um dadurch den Einfluß der Oberflächen¬
belastung allein zu finden. Die gefundenen Diagramme (Abb. 16)stimmen in ihrer Form grundsätzlich mit der Theorie von Stroh¬
schneider überein. Daß das Minimum in der ^-Axe nicht zu null
ßbÖWUng /Ô rtor/tonte/e und nad/at gegen &'e z-/fxe
wird, ist auf den Umstand zurückzuführen, daß die Belastung der
Sandoberfläche nicht punktförmig, sondern vermittelst einer Fläche
geschah.
Der Einfluß der Seitenwände der Meßgrube macht sich bei
der vertikalen und horizontalen Druckverteilung geltend, wenn
auch zum größten Teile nur in den Randpartien des Tragkörpers.
— 50 —
Für die vertikale Druckverteilung wurde nur die in Richtung der
unbegrenzten Sandmasse, also parallel den Seitenwänden wirken¬
de Verteilung zur Diskussion herangezogen; sie unterscheidet sich
übrigens von derjenigen senkrecht zu de.n Wänden unwesentlich.
Der Unterschied ist viel größer in Bezug auf die horizontale Druck¬
verteilung. Die Seitenwände wirken hier als Widerlager und ver¬
mehren durch ihre Unnachgiebigkeit den Druck in den unter der
einsinkenden Last seitlich ausweichenden Sandpartien. Im Gegen¬
satz dazu kann sich die Bewegung des Sandes parallel den Seiten¬
wänden auswirken und dadurch die Maxima an Horizontaldruck
verringern, wahrscheinlich auch auf Kosten erhöhter Schubspan¬
nungen.
7. Schlußfolgerungen.
Die Versuche des Verfassers und die Vergleiche mit ähnlichen
schon gemachten Versuchen zeigen übereinstimmend, daß die
heute gebräuchlichen Annahmen über die Druckverteilung in
losen Schüttungen nicht zutreffen. Die Ansicht, daß sich bei
punktförmiger Oberflächenbelastung der Druck in einem kegelför¬
migen Tragkörper in der Weise fortpflanzt, daß in jedem durch
diesen Kegel gelegten Horizontalschnitt der spezifische Vertikal¬
druck innerhalb dieses Schnittes konstant sei, ist falsch. Schon
eine abstrakte Überlegung über die Druckverteilung in einer
Schüttung von Kugeln läßt erkennen, daß für jeden Horizontal1-
schnitt der spezifische Vertikaldruck senkrecht unter der Last
am größten sein muß. Wenn auch eine Schüttung von Kugeln
nicht ohne weiteres mit einer Sandschüttung oder noch weniger
mit einer Schüttung loser Erde verglichen werden kann, so muß
die Druckverteilung in allen Fällen doch grundsätzlich überein¬
stimmen. Daß die Formeln von Boussinesq für eine kohäsionslos©
Sandschüttung, speziell in Bezug auf deren oberste Schichten nicht
anwendbar sind, zeigen sämtliche Versuche zur Evidenz. Der
Grund liegt in der Bildung eines kegelähnlichen Tragkörpers. In
— 51 —
welcher Tiefe die Schüttung die, von den Boussinesq'schen Glei¬
chungen verlangte Elastizität und Homogenität besitzt ist theore¬
tisch nicht festlegbar. Die Annahme Strohschneiders, daß schon
in einer Tiefe von 1 m unter der Oberfläche die Boussinesq'schen
Forderungen erfüllt seien ist willkürlich und basiert allein auf
seinen, mit sehr geringer Oberflächenbelastung angestellten Ver¬
suchen. Bei den Versuchen des Verfassers, die mit maximal zu¬
lässiger Oberflächenbelastung durchgeführt wurden, zeigt die Er¬
zeugende des Tragkörpers in einer Tiefe von 45 cm unter der
Sandoberfläche noch sehr geringe Tendenz sich asymptotisch an
die Horizontale anschmiegen zu wollen.
Die Boussinesq'schen Gleichungen, die für feste Materialien
ihre Richtigkeit besitzen mögen, zeigen sich in ihrer Anwendung
auf lose Sandschüttungen in einem weitern Punkte unbrauchbar.
Die geometrische Zusammensetzung von Normaldruck und Schub
in einem horizontalen Flächenelement liefert eine Resultante, die
nach Strohschneider bei punktförmiger Oberflächenbelastung in
die Richtung des Fahrstrahles fällt. Setzt man diese Resultante
mit der, durch das Eigengewicht der Masse auf das gleiche Flächen¬
element hervorgerufenen Spannung zusammen, so kommt man zu
dem Ergebnis, daß schon die Aufbringung einer ganz geringfü¬
gigen Last Q auf die Sandoberfläche zu einer Überschreitung der
Tragfähigkeit führen sollte, und zwar weil die Gesamtresultierende
auf die meisten horizontalen Flächenelemente in der Nähe der
Auflast eine, der erschöpften Reibungsspannung wegen unmög¬
liche Neigung einnehmen müßte. In tiefern Lagen spielt dieses,
gegen die Gültigkeit der Boussinesq'schen Formeln erhobene Ar¬
gument insofern eine geringere Rolle, als der Einfluß der Auflast
auf die Spannungen die auf ein horizontales Flächenelement wirken,
im Verhältnis zum Einfluß des Eigengewichts mit der Tiefe rasch
abnimmt. Daß in größern Tiefen die Formeln von Boussinesq an¬
genähert richtige und für die Praxis genügend genaue Resultate
liefern, kann als sicher angenommen werden.
Die Versuche ergeben somit für die Praxis folgende Richt¬
linien : Bei punktförmiger Belastung einer Schüttungsöberfläche, oder
bei Belastung vermittelst einer gedrängten Fläche erfolgt die senkrechte
Druckverteilung nach der von Strohschneider aufgestellten Formel 6,
— 52 —
wobei für <p0 angenähert 50° einzusetzen ist. Bei ganz kohäsionslosen
Materialien genügt die alleinige Verwendung dieser Formel. Ist das
Material der Schüttung kohärent und interessieren speziell auch die
maximalen Vertikaldrücke in peripherischen Lagen des Tragkörpers,
so ist es zweckmäßig mittelst der Boussinesq'sehen und Strohschneider-
schen Formeln eine Grenzwertkurve aufzustellen. Für feste Materialien
fallen bei genügender Isotropie allein die Boussinesq'sehen Gleichungenin Betracht, da sich in diesem Falle, der vorhandenen Schubspannungen
wegen kein Tragkörper bildet, der Vertikaldruck sich somit seitlich ins
Unendliche ausdehnen kann.
In der Praxis treten sozusagen bei allen Berechnungen des
Grund-, Tunnel- und Hochbaus Fälle ein, bei denen die Berücksich¬
tigung der in vorliegender Arbeit gefundenen Versuchsergebnisee
mehr oder weniger auf das Schlußresultat einwirken kann. All¬
gemein ist die Theorie in der Entwicklung ihrer Berechnungs¬
methoden gerade auf dem Gebiete der Erdbaumechanik der ex¬
perimentellen Nachprüfung weit vorausgeeilt, und diese Berech¬
nungsmethoden, die mathematisch gesprochen mit außerordent¬
licher Feinheit ausgerüstet sind, bedürfen ganz unbedingt der ex¬
perimentellen Nachprüfung bezw. Bestätigung. Will man den Ver¬
such nicht zu Rate ziehen, so ist man genötigt, einen angemessenen,
Sicherheitsfaktor in die Rechnung einzuführen oder dann die Be¬
rechnung nur für extremal auftretende und mathematisch ange¬
nähert genau festlegbare Zustände durchzuführen. In beiden Fällen
sind Überdimensionierung und unwirtschaftliche Arbeit die Folge.
Meistens werden in Berechnungen erdbautechnischer Natur die
physikalischen Eigenschaften des Bodens allein durch die beiden
Größen: spez. Gewicht und Reibungswinkel berücksichtigt. Das
spez. Gewicht kann in isotropem Material angenähert genau er¬
mittelt werden; der Reibungswinkel hingegen, allgemein mit dem
Böschungswinkel identifiziert, ist eine variable Größe, die für die
gleiche Schüttung von der Dichte der Lagerung abhängt und
somit auch eine Funktion des Abstandes von der Schüttungsober-
fläche ist. Ungenau ist ferner die Einführung des maxima¬
len Reibungswinkels in die theoretischen Betrachtungen, also die
Annahme vollentwickelter Reibung. Diese axiomatische Behand¬
lung des Reibungswinkels, sei es in den Erddruckberechnungs-
— 53 —
methoden von Coulomb und Rankine oder sei es in den Berech¬
nungsmethoden des Tunnelbaus (Culmann, Ritter, Bierbaumer, Kom¬
mereil) kann leicht zu Resultaten führen, die mit der Wirklichkeit
absolut nicht übereinstimmen. Eine weitere problematische Größe
physikalischer Natur ist die Kohäsion. Ihre Verwendung bei Be¬
rechnungen treffen wir hauptsächlich im Tunnelbau. Ritter suchte
Kohäsion und Reibung gleichzeitig wirkend in Rechnung zu
setzen, was nicht befriedigen kann. Kommereil und Bierbaumer
berücksichtigen nur das spez. Gewicht und den natürlichen Bö¬
schungswinkel, alle andern Eigenschaften des Materials, spez.
die Kohäsion werden ignoriert. Welchen Einfluß die Verspannungs-
möglichkeit des Materials ausüben kann, zeigt die Erfahrung des
Tunnelbaus. Versuche, diesen Einfluß theoretisch zu fassen, stoßen
auf jgroße Schwierigkeiten und sind in der Literatur nur vereinzelt
zu finden (Engesser, Bierbaumer).
Auf der ganzen Linie ist ersichtlich, wie wichtig es ist, sämtr-
liehe Theorien und Berechnungsmethoden, die sich auf das Erd¬
reich als tragendes oder drückendes Material beziehen, experimen¬
tell nachzuprüfen.
Einen Beitrag in dieser Richtung soll die Arbeit des Verfassers
liefern, welche in folgenden Fällen der Praxis beispielsweise Be¬
rücksichtigung finden kann:
1. Wenn die Druckverteilung beim Abpressen einer Sandober¬
fläche gesucht wird. Es können ohne weiteres die gefundenen
Diagramme verwendet werden, wenn in Bezug auf Dimension,
Anordnung und Material einigermaßen die gleichen Verhältnisse
herrschen wie bei den Versuchen des Verfassers.
2. Bei Berechnung von Tunnelmauerwerk, falls sich der Tunnel
infolge geringer Überlagerung im Druckbereich ständiger Lasten
wie Häuser oder von Verkehrslasten befindet. Eine Last über
Tunnelmitte ergibt einen größern Druckanteil auf Gewölbe und
Widerlager, als gemeinhin angenommen wird, während bei seit¬
licher Lage des Druckobjekts der Druckanteil in stärkerem Maße
abnimmt, als dies nach der gewöhnlichen Berechnungsmethode der
Fall ist.
— 54 —
3. Bei Untersuchungen die die Kenntnis des Belastungs-Sen-
kungsdiagramms erfordern. Charakteristisch ist die doppelte Krüm¬
mung dieser Diagramme gegenüber der einfachen Krümmung der
Spannungs-Dehnungsdiagramme fester Körper, beispielsweise von
Eisen, was seine Ursache in der anfänglich vorwiegend plastischen
Einsenkung des kohärenten Materials hat. Der plastische Einfluß
kommt bei der ersten Pressung am meisten zur Geltung und ver¬
schwindet bei jeder folgenden Pressung mehr. Es ist zweckdienlich,die erste Pressung und die Summe aller folgenden Pressungen durch
zwei verschiedene Bettungsziffern zu kennzeichnen, welche auf em¬
pirischem Wege von Fall zu Fall gefunden werden müssen. Falls
eine plastische Einsenkung nicht erwünscht ist, so empfiehlt sich
eine vorherige Abpressung, durch provisorische Aufschüttung oder
auf mechanischem Wege.
4. Bei Bestimmung der maximal zulässigen Bodenpressung.
Belastungsproben sind mindestens bis zur Proportionalitätsgrenze,besser bis zur Bruchgrenze, durchzuführen, o
vrov liegt ungefährin der Mitte zwischen 0 und a Brach ° «•* soll maximal aprop gewähltwerden.
8. Anhang.
Wie aus den vorangegangenen Kapiteln ersichtlich ist, wurde
bei den Versuchen über die Druckverteilung im örtlich belasteten
Sande darauf geachtet, bei den Messungen keine Bewegungen im
Sandinnem durch die Meßinstrumente hervorzurufen. Hier im
Anhang soll nun noch auf einen Versuch zurückgekommen wer¬
den, der mit der Absicht durchgeführt wurde, gerade diesen Ein¬
fluß der Dosendeckelbewegungen beim Messen von Sanddrücken
zu untersuchen.
Versuchsanordnung: Der Versuch wurde in einem gros¬
sen Modellkasten durchgeführt (3x3x1,5 m). Eine kreisrunde
Eisenplatte mit 30 cm Durchmesser und 20 mm Dicke, sowie drei
konzentrische Ringe mit 10 cm Breite und ebenfalls 20 mm Dicke
— -55 —
wurden je auf drei Druckdosen gelagert (vergl. Abb. 17). Jeder
King konnte für sich durch die Möglichkeit der Dosendeckelbewe-
gung um einen Wert /_+h (0,3—0,8 mm) gehoben werden. Die
Platte und die Ringe bildeten in ihrer Ruhelage eine ebene Tafel.
Ein vierter konzentrischer Ring diente nur zur Aufrechterhaltung
der Kontinuität, damit Ring I nicht anders beansprucht würde als
die Ringe II und III. Das Spiel zwischen den Hingen und zwischen
Ring und Platte betrug 2 mm. Die Tafeloberfläche wurde durch ein
Al)b. 17. Anordnung der Druckdosen unter den Hingen.
dichtes, straff angezogene^ und auf der Unterlage aufgenageltes
Tuch überdeckt, das die Fugen zwischen den Ringen und ebenfalls
den Dosenraum gegen Eindringen von Sand schützen sollte (vergl.
Abb. 18). Die Unterlage wurde durch ein 2 cm dickes, gegen Ver¬
biegen gesichertes Brett, gebildet, das auf einer 20 cm dicken,
horizontal abgestrichenen und festgestampften Sandschicht auf-
ruhte. Je eine der drei unter einem Ring befindlichen Dosen konnte
durch ein Messingröhrchen und vermittelst des Regulierventils
an die Druckluft angeschlossen werden. Die zwei weitern Dosen
stunden mit dieser direkt gespeisten Dose kommunizierend in
Verbindung. Von jeder Dose führte ein dünnes Messingröhrchen
in einen, an einer Kastenseitenwand angebrachten Wasserbehälter,
— 56 —
in dem bei Blasenbildung auf Reaktionen in den entsprechendenDosen geschlossen werden konnte.
Die Versuchstafel wurde nun mit Sand belastet und zwar
wurden nach Zeitintervallen von ca. einer Woche Sandschichten
von je 10 cm Dicke aufgeschüttet und nach Erreichung einer Höhe
von 1,20 m wieder abgetragen. Nach verschiedenen Zeitintervallen
wurden die Drücke der entsprechenden Sandlage auf die Ringeund die Platte (der Einfachheit halber als Ring IV bezeichnet) ge¬
messen, und zwar, was das Wesentliche ist, durch Heben der Ringevermittelst der Dosen bis zum Abströmen von Druckluft aus letz¬
teren. Entsprechend der aufruhenden Sandlast mußten somit im
Momente der Messung die Ringe um rund 0,3 bis 0,8 mm gehobenwerden.
Über das zur Verwendung gelangte Sandmaterial lassen sich
folgende Angaben machen:
Spezifisches Gewicht des ungerüttelten Materials = 1,78
» » « eingerüttelten n= 1,90
Sandzusammensetzun g:
Korngröße Anzahl Prozent Spesi. Gewichte
> 4 mm (max. 8 mm) 12 1,50
2,5 — 4,0 mm 17 1,57
1,0 — 2,5 mm 33 1,54
<C 1,0 mm 38 1,57
100
Der Böschungswinkel des frisch geschütteten Materials
lag in den Grenzen von 33° 30' und 34° 30', es war also <p Mittel= 34°.
Resultate. Wegen ungünstiger Beeinflussung der RingeI und II durch die Kastenwandungen sollen für die Auswertungnur die Ringe III (Dosen 7, 8 und 9) und IV (Dosen 10, 11 und
12) verwendet werden. Als Beispiel für die Art der Aufnotierungist auf Tabelle 2 eine solche für die Versuchsreihe 14 (50 cm
Sandüberlägerung) beigefügt. Interessant ist dabei die graphischeDarstellung der gemessenen Werte (vergl. Abb. 19). In Tabelle
3 und den Abb. 20 und 21 sind die mittleren und maximalen Re-
— 57 —
sultate der einzelnen Versuchsreihen tabellarisch und graphisch
zusammengestellt.
Beim Heben des Dosendeckels, res.p. beim Heben eines ganzen
Ringes ist der passive Widerstand der darüber ruhenden Sand¬
masse zu überwinden. Dieser Widerstand ist nun ein sehr kom¬
plexes Gebilde. Er ist abhängig von der Überlagerungshöhe und
dem spezifischen Gewicht des Materials, ferner vom Reibungswinkel
<f, von der Kohäsion und der Elastizität des Materials und wird
im weitern wesentlich beeinflußt von der Hubhöhe des Ringes.
7-*^
Abb. 18. Die durch die Ringe gebildete Tafel, teilweise durch Tuch überdeckt.
Von Einflüssen der Lagerung und örtlichen Unregelmäßigkeiten
soll abgesehen werden. Die drei unter einem Ring befindlichen
Dosen bilden die Spitzen eines gleichseitigen Dreiecks, sie sollten
dementsprechend bei homogenem Material und ebener Oberfläche
gleiche Drücke aufweisen. Dies trifft aber, wie die Tabellen
zeigen, für keinen Ring zu, es zeigen sich im Gegenteil sogar we¬
sentliche Abweichungen. Die Ursachen dieser Unstimmigkeiten
sind in der Konstruktion der Dosen zu suchen und beruhen auf
dem ungleichen Hub der einzelnen Dosendeckel, sie sind bedingt
durch die Verwendung der ungleichmäßigen als Dichtung dienen-
— 58 —
den Gummimembran. Wenn ein Dosendeckel durch die Druckluft
0,6 mm gehoben werden muß, während der Deckel einer unter dem
gleichen Ring befindlichen Dose beispielsweise einen Hub von
0,8 mm überwinden muß, bis die Druckluft durch das dünne Mes-
singröhrchen entweichen kann, so ist klar, daß die letztere Dose
einen größern passiven Widerstand überwinden muß und somit eine
scheinbar viel größere Belastung trägt. Infolge der Kompressi¬
bilität des Gummi sind die Hübe naturgemäß abhängig von der
äußern Belastung. Es zeigte sich aber, daß die Abhängigkeit nur
zwischen 0 und 0,8 kg/cm2 spezifischer Dosenbelastung zu be¬
rücksichtigen ist, während beim Steigern der Dosenbelastung von
0,8 bis 10,0 kg/cm2 der Gummi sich höchstens noch um 1l10 mm
komprimieren läßt. In unserm Versuch soll bei spezifischen Dosen¬
belastungen von > 0,8 kg/cm2 ein mittlerer Hub von 0,8 mm in
Rechnung gesetzt werden, während bei Belastungen < 0,8 kg/cm2
die Hubhöhe linear mit dem Drucke von 0 auf 0,8 mm ansteigen
soll. Zur Beurteilung der gefundenen Werte sollen Mittelwerte
aus den drei je unter einem Ring befindlichen Dosen in Betracht
gezogen werden.
Wird ein Ring gehoben, so komprimiert er die über ihm be¬
findliche Sandmasse und ruft dadurch Gewölbewirkungen hervor.
Wird der Versuch oftmals wiederholt, so wird das Gewölbe immer
kompakter und die Dosenbelastung immer kleiner. Liegt zwischen
zwei Versuchen ein größeres Zeitintervall (3—5 Tage), so ist ein
merkliches Nachlassen der Gewölbewirkung zu konstatieren (vergl.
Abb. 19). Werden die Gewölbeschalen durch Aufwühlen des Mate¬
rials zerstört und durch Schlagen der Sandoberfläche ein sattes
Aufliegen des Sandes auf der Ringfläche bewirkt, so ist bei er¬
neutem Heben des Ringes ein bis 35°/o höherer Druck zu über¬
winden. Beim Heben des einen Ringes bildet der andere Ring ge¬
wissermaßen ein Widerlager für die sich bildenden Gewölbeschalen.
Die Wirkung davon ist in der graphischen Darstellung der Abb.
19 bei den nach kurzen Intervallen ausgeführten Versuchen klar
ersichtlich.
In den Abb. 20 und 21 sind die, für die verschiedenen Sandüber¬
lagerungen gefundenen, mittleren und maximalen spezifischen Dosen¬
drücke der Ringe III und IV graphisch zusammengestellt. Gleichzei-
Abbildung~\fersuchX.
/9 Gnao/nscAe DarfMIunodar Z&Menteire/le von
T73be//e t
JWHtrerDruck inden
3 unter WogM ee-
findliclteo Maren
Sta*im*/*r U/erf 218
Mittelwert if3["Vi
MM/me/tr Wert Hßf
M**'i*afr Wert 1.53
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kindlichen JOosen.Mittelwert 1.13 l<-ltJjJ
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JJruck /he/ster-Date
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10 20
L/eoer&ger(j/7gshâ/?e —-Drt/cAJP/sgr^mrr?/ùr F</ngfP/-3/?p//V une/ cf/e e/hze//)er> Uaren -fO 7-/t/J2.
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J^lif-fe/ der jûosen 10tffuïZ>oje -72
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Abbildung 2030 «ö 50 60 70 do go 100
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UeberAsgert/ng
JDruc/r sh emer
J?ose "7 Agio»Mo
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7rl/ng//<3c/?e7JDrtscA /'ne/'ner JDose
ftbbttàunç 21
— 62 —
tig ist die mit der Überlagerungshöhe theoretische, lineare Zunahme
des Ruhedrucks, resp. die entsprechende spezifische Dosenbelastung
in Form einer Geraden für jeden Ring aufgetragen. Dieser theo¬
retische Ruhedruck entspricht dem Druck in einer Flüssigkeit, die
dasselbe spez. Gewicht besitzt wie die Sandmasse. Bei der Ober¬
lagerung 0 drückt allein das Gewicht der Ringe auf die Dosen.
Die aus dem Versuch gefundenen Kurven der Dosendrücke ge¬
statten folgende Interpretation: Anfänglich langsames Ansteigen
der Dosendrücke gegenüber dem Ruhedruck infolge Zunahme des
Dosendeekelhubes. Sobald die Dosenbelastung von 0,8 kg/cm2erreicht ist, der Dosendeckelhub also mit zunehmendem Drucke
konstant bleibt, verläuft die Druckzunahme linear zum Ruhedruck,
bis die Schüttungshöhe rd. 60 cm beträgt. Dies wird die Sandhöhe
sein, die eine Zusammendrückung teilweise elastischer, teilweise
plastischer Natur von 0,8 mm (entsprechend dem Dosendeckelhub
von 0,8 mm) gestattet. Von dieser Grenzhöhe an bleibt der Dosen¬
druck angenähert parallel dem Ruhedruck. Aus diesen, für beide
Ringe grundsätzlich gleich gearteten Kurven ist ersichtlich, daß
beim Heben einer Ringfläche der entgegenwirkende Druck nicht
gleich dem Druck eines kegelartigen Belastungskörpers gesetzt
werden darf, sondern daß dieser Belastungskörper ein Zylinderbezw. ein Hohlzylinder ist, und daß der Einfluß des Hubes in Form
einer Konstanten dazu addiert werden muß. Für kleine Hübe
kann zwischen dieser Konstanten und der Hubhöhe direkte Propor¬tionalität angenommen werden. Das Verhältnis der beiden Werte
liefert eine Art Bettungsziffer c, für die sich aus den Versuchsre¬
sultaten ein Wert von 2—3 kg/cms errechnen läßt. Der Druck
P, der auf eine horizontale, in einer homogenen Sandmasse mit der
Uberlagerungshöhe h, befindliche Fläche F ausgeübt werden muß,damit diese um den Wert A h gehoben wird, läßt sich somit nach
der folgenden Formel berechnen:
P = F-h-y + F-c- Ah = F[h-y + Ah-c].
Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel ist die Annahme,daß die Überlagerungshöhe h größer als diejenige Höhe ist, die
infolge der Kompressibilität des Materials um den Wert Ah zu¬
sammengedrückt werden kann (für das Material des gemachten
— 63 —
Versuches rd. 60 cm). Für diese Zusammendrückung ist nicht
allein der über der zu hebenden Fläche befindliche Sandzylinder
in Betracht zu ziehen, sondern dieser Sandzylinder in Kontinuität
mit dem übrigen Material. Wird der Versuch im Wasser durchge¬
führt, so ist, da t=0;P = F.h.y. Soll hingegen die Formel
für kompaktes Gestein angewendet werden, so wird, da c überaus
groß, der Wert für P entsprechend hoch ausfallen. Die Bettungs¬
ziffer in ihre Teilwerte, die von der Reibung im Material, von der
Kohäsion und der Elastizität, ferner von der Form und dem Aus¬
maß der zu hebenden Fläche und andern Eigenschaften abhängen,
zu zerlegen, wird kaum je gelingen und ist auch praktisch wertlos.
Der Wert wird am besten empirisch für das in Betracht fallende
Material bestimmt.
Über die Kohäsion des Materials sind folgende Beobachtungen
gemacht worden. Frisch geschüttetes Sandmaterial weist einen
mittleren Böschungswinkel von 34° auf. Die Kohäsion wird bei
diesem trockenen noch ungelagerten Material eine geringe Rolle
spielen. Nach dem Entleeren des Kastens läßt sich in den untern
durch den Druck der Überlagerung etwas komprimierten Sand¬
schichten ein Böschungswinkel von 42° messen. Diese Erhöhung
des Böschungswinkels ist dem Auftreten von Kohäsion zuzuschrei¬
ben. Nach einer Abhandlung van Knoke12) läßt sich in diesem
Falle für die Kohäsion oder Schubfestigkeit des Materials ein
Wert von 5,8 kg/m2 errechnen. Diese verschwindend kleine Ko¬
häsion wird in unserem Versuch keinen Einfluß auf den Wert
der Bettungsziffer ausüben (Krey setzt die Schubfestigkeit der
Erde in einigen Zahlenbeispielen mit 1000 kg/m2 in Rechnung).
12) Knoke : Über Zahlenwerte der Kohäsion beim Erddruck. Die Ball¬
technik, Heft 11, 1925.
Tabelle 2. Versuchsreihe 14. 50 cm Sanaüberlagerung. Versuch I.
Zeit u. Folged. Anschlüsse
der RingeIII und VI
Dose 7
9
Mittel
00
CO
oi
IV.III
o
IN-IV
2.62 2
1.27,11.47 1
1.79 1
2.62
1.20
1.39
1.74
IV.III
2 60
1.20
1.41
1.74
2.67
1.29
1.15
1.70;
2.64
1.23
1.37
1.75
2.53 2.53(2.531.18 1.19,1.151.37
1.69
1.89 1.32
1.70 1.67
2.50
1.17
1.33
1.67
2 51 2.70
1.151.85
1.2911.98
1.65 2.18
III.IV
2.60
1.50
1.62
1.91
2.60
1.50
1.75
1.95
I.IV
oo
IV.III
1.55 2
1.37 1.
1.5811.
1.83,1.
2.53
1.29
1.46
1.76
2.53
1.30
1.49
1.77
CD
oi
IV.III MI-IV
2.52
1.26
1.41
1.73
2.5512.541.30j1.181.48 1.32
1.78 1.68
IV.III
2.52
1.23
1.39
1.71
III.IV
2.54
1.18
1.32
1.68
2.55
1.23
1.38
1.72
2.54 2.65
1.18 1.85
1.32
1.68
1.98
2.16
2.55
1.53
1.70
1.93
soe
Dose 10
„H
„12
Mittel
1.00[0.1.3311.
1.10 1.
1.14 1.
0.95
1.30
1.02
1.09
0.97
1.36
1.12
1.15
0.90
1.27
1.02
1.06
0.86
1.23
1.00
1.03
0.93
1.25
1.02
1.07
0.93
1.25
1.02
1.07
0 90
1.25
1.01
1.05
0.86
1.22
0.99
102
0.90
1.20
1.00
1.03
1.17|1.40
1.30|1.29,
1.01
1.29
1.15
1.15
.101
|l.351.18
1.18
1.00
1.26
1.10
1.12
0.94
1.22
1.07
1,08
0.8810.901.22 1.20
1.04'1.03
1.05,1.04
0.95
1.28
1.10
1.11
0.96
1.19
1.03
1.06
0.87
1.16
1.00
1.01
0-9o'o.771 16 1.15
1.02
1.03
0.96
0.96***
0.89 1.22
1.08 1.45
0.98 1.33
0.98,1.33
I****
Mittelwerte:Ring III !
Ring IV
Mittel 1.83
Maximum 2.17
Mittel 1.13
Maximum 1.33
1.02
1.29
1.18
1.16
Bemerkungen: * Ring III von 17*°—1734 auf 0.9 Atm. Druck gelassen.** Sand aufgewühlt, wieder geglättet und mit Holzhammer 3 Min. erschüttert.
*** Ring IV von 716— 719 auf Druck 1.30 Atm. gehalten.**** Sand vor der Messung aufgewühlt und nachher durch Schlagen mit Holzhammer erschüttert,
Tabelle 3. Mittlere und maximale Werte der spezifischen Dosenbelastung in kg/cm2. Versuch I.
Ring Dose
BelastungRingeallein
!+ 10cm'+20cm
Sand 1 Sand
i
+30 cm+40 cm
Sand|Sand
+50 cm'+60 cm+70 cm+80 cm+90 cmSand ; Sand l Sand Sand 1 Sand
+ 100 cm+110 cm
Sand i Sand
+90 cm
Sand
+70 cm
Sand
+50cm+30cm
Sand | Sand
III
_,Mittel
'Max.
„Mittel
öMax.
„ Mittely
Max.
0.46 0.88
0.46 i 0.90
0.38 0 66
0.38 1 0.71
0.36 , 0.67
0.36 0.71
1.40
1.42
0.97
1.00
0.97
1.00
1.92
1.92
1 26
1.32
1.30
1.39
2.36
2.37
1.56
1.63
1.67
1.76
2.84
2.85
1.80
1.86
1.95
2.06
3.33
3.37
1.80
1.98
2.10
2.34
3.64
3.65
1.84
1.90
2.20
2.25
4.04
4.16
1.96
1.96
2 45
2.52
4.35
4.50
2.00
2 12
2.65
2.77
4.45
4.58
2.04
2.10
2.71
2.78
3.88
3.90
1.76
1.78
2.20
2.25
3.33
3.36
1.54
1.60
1.82
1.87
2.60
2 70
1.40
1.85
1.50
1.98
172
1.82
1.10
1 30
1.12
1.32
IV
lflMittel
lu
Max.
,,Mittel
Max.
10Mittel
lZ
Max.
0 21
0 21
0.21
0.21
0.21-
0.21
0.41
0.41
0.43
0.43
0.42
0.42
0.61
0.65
0.68
0.70
0.63
0.66
0.86
0.88
0.98
0.98
0.86
0.88
1.12
1.13
1.29
1.29
1.17
1.19
1.40
1.42
1.65
1.66
1.45
1.49
1.52
1.56
188
1.90
1.67
1.71
163
1.69
2.06
2.08
1.78
1.84
1.75
1.82
2.22
2.26
1.94
198
1.80
1.88
2.35
2.40
2.00
2.08
1.85
1.87
2.40
2.42
2.05
2.07
1.50
1.52
2.09
2.12
1.70
1.73
1.30
1.33
1.76
1.78
1,411.47
1.00
1.22
1.30
1.45
1.10
1.33
0.73
0.81
0.85
0.93
0.77
0.87
Mittelwerte der drei unter einem Ring befindlichen Dosen in kg cm-.
j Belastung'
0Ring Ringe ,
Sand| allem
II
+20 cmr+30 cm +40 cm +50 cm +60 cm
Saud i Sand ! Sand Sand , Sand
+ 70 cm +80 cm+90 cm+ 100cm+ 110 cm
Sand' Sand Sand . Sand Sand
1 1
+ 90 cm +70 cm +50cm+ 50 cm
Sand Sand'
Sand,Sand
S i 1
IIIMittel ! 0.40
!0.74 1.11
'1.49
'
1.86 2 20
Max. 0.40,
0.77 ; 1.13 1.54 1.89 2.26
2.41'
2.56
2 56 2.60
2 83 3.00 3 07
2.88 | 3.13 3.13
2.61
2.64
2.23 1.83'
1.31
2.27 j 2.17,
1.48
IVMittel
'0.21
Max. 0.211
0.42 0.64
0.42 ', 0 66
0 90
0.91
1.19 1.50
1.20 ' 1.51
1.09 1.82
1.71 ! 1 87
1.97 2.05 2.10
2.01 | 2.12'
2 12
1.76
1.79
1.49 1.13 0.78
1.53'
1.33 0.87
9. Literaturverzeichnis.
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werks Amsteg.2. Bierbaumer: Die Dimensionierung des Tunnelmauerwerks. Leipzig 1913.
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— 67 -
21. Kögler: Druckverteilung im Baugrunde. Die Bautechnik, Heft 29 und 31,
1927. [Während der Drucklegung der vorliegenden Arbeit erschienen.]
22. K ö g 1 e r : Ergebnisse neuer Versuche über Druckverteilung im Baugrund.
Verhandlungen des 2. internationalen Kongresses für technische Me¬
chanik. Zürich, Orell Füssli, 1927. [Während der Drucklegung der
vorliegenden Arbeit erschienen.]
Curriculum vitae.
Ich bin am 20. Februar 1900 in Burgdorf geboren, wo mein
Vater, Dr. E. Hugi, Technikumslehrer ist. Mein Heimatort ist
Kiesen bei Thun. Nach dem Besuch der Unter- und Mittelschulen
in Burgdorf erwarb ich mir 1918 die Realmaturität am dortigen
Gymnasium und bestand nach anschließendem Studium an der
E. T. H. im Herbst 1923 die Diplomprüfung als Bauingenieur. Im
Frühling und Sommer 1924 war ich bei einer Unternehmung als
Ingenieur in Stellang und als solcher tätig beim Bau des Druck¬
stollens für das Kraftwerk Vernayaz, worauf ich im Herbst ge¬
nannten Jahres wieder nach Zürich übersiedelte und bis im Sommer
1926 die Stelle eines Assistenten für Eisenbahn- und Straßenbau
(Prof. Andreae) inne hatte. Seither bin ich bei der Eidg. Landes¬
topographie als Ingenieur angestellt.
Im Militärdienst bekleide ich den Grad eines Oberlieutnants
der Fliegertruppe.Meine Promotionsarbeit entstand während der Jahre 1925
und 1926, in welcher Zeit ich neben der Assistententätigkeit auch
mit den Arbeiten im Erddrucklaboratorium betraut war.