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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “CRISTO REY” Quinto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “CRISTO REY” Quinto Año

TEMA: RAZONAMIENTO INDUCTIVO DEDUCTIVO

¿CUÁL ES EL OBJETIVO?Aprender uno de los métodos más interesantes para afrontar situaciones

problemáticas, utilizando la “Lógica inductiva–deductiva”.

¿QUÉ ES EL RAZONAMIENTO INDUCTIVO?Procedimiento que consiste en analizar experiencias sencillas, pero con

las mismas características que el problema original, con el objetivo de deducir una ley de formación, para así aplicarla a una situación más general.

NOTA:SE RECOMIENDA ANALIZAR TRES CASOS COMO MÍNIMO

Ejemplo:Calcular el valor del término 50 de la siguiente sucesión:1; (1 + 3); (1 + 3 + 5); (1 + 3 + 5 + 7); ....

A) 50 B) 2505 C) 500 D) 2500 E) 3005Resolución:Analizando los primeros términos:1er. Término: 1 = 1 = 12

2do. Término: 1 + 3 = 4 = 22

3er. Termino: 1 + 3 + 5 = 9 = 32

Observamos que el valor de cada término es de la forma n2, donde “n” es la cantidad de números impares que se suman en cada término.

Luego: Término del 50 lugar será:

. Rpta. : D .

NOTA:COMO CADA TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN ESTÁ ÍNTIMAMENTE RELACIONADO CON EL ORDEN QUE OCUPA, ENTONCES, EN MUCHAS SITUACIONES SE ENCONTRARÁ LA LEY DE FORMACIÓN EN BASE AL NÚMERO ORDINAL.

Es bueno que consideremos las siguientes sucesiones con sus respectivas leyes.

SUCESIONESNOTABLES

LEY DE FORMACIÓN GENERAL

n

2n

2n – 1

n2

n3

2n

1; 2; 4; 8; ........; 2n–1 2n-1

1; 3; 7; 15; ........; 2n – 1 2n – 1

n(n + 1)

Prof. Claudio Casilla Mamani Razonamiento Matemático


SUCESIONESNOTABLES

LEY DE FORMACIÓN GENERAL

Ejemplos:1. Indicar la ley de formación para la siguiente sucesión:

MÉTODO PRÁCTICO:Se multiplica a cada ordinal por la razón y se debe forzar a que resulte su respectivo término en la sucesión, ya sea sumando o restándole una cantidad a deducir:

NOTA:AL MULTIPLICAR EL 1(PRIMER ORDINAL) POR 5, DEBEMOS FORZARLO A QUE RESULTE 2, POR ESO LE RESTAMOS 3.

2. Indicar la ley de formación en:

6 ; 9 ; 14 ; 21 ; .............

Resolución:

MÉTODO PRÁCTICO:

Se eleva al cuadrado cada ordinal y se debe forzar a que resulte su respectivo término en la sucesión:

¿QUÉ ES EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO?Aplicación de una experiencia general que se ha verificado que es

verdadera. A una situación en particular.

Ejemplo:Si se sabe que:

1 + 2 + 3 + ........ + n =

Calcular: 1 + 2 + 3 + ........ + 2002

Resolución:Aplicaremos la fórmula para n = 2002:

1 + 2 + 3 + ........ + 2002 = = 2005003

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. ¿De cuantos lados constará la figura 2002?

Rpta.

4. ¿Cuántos triángulos

totalmente sombreados hay

en total?


11

12


2. ¿Cuántos cuadraditos pequeños se puede contar en la figura?

Rpta.

3. Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión

Rpta.

Rpta.

5. ¿De cuantas formas

distintas se puede leer

“MOSHERA” en el siguiente

arreglo?

Rpta.

6. Calcular el número total de rombos sombreados que hay en:

9. Hallar el total de puntos de contacto en:

Rpta.

7. Calcular la suma de cifras del resultado de:

Rpta.

8. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse, 1200 personas asistentes a una reunión?

Rpta.

Rpta.

10. Calcular el número total de bolitas sombreadas en:

Rpta.

11. ¿Cuántas bolitas se contará en la figura 20?

Rpta.12. Calcular:

Rpta.

14. En la figura, hallar el máximo número de cuadriláteros


13

14


13. ¿Cuántos palitos se cuentan en total en la figura?

Rpta.

Rpta.

15. Calcular la suma de todos los elementos de la matriz:

Rpta.

¿POR QUÉ

ENSUCIAS

TU MUNDO?

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”V.L.E.B.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. En la siguiente sucesión,

determinar el número de

círculos sin pintar, en la

3. Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión:

colección de círculos que

ocupe el décimo lugar

(UNMSM – 2001)

A) B) C)

D) E)

2. Hallar el número total de

palitos:

A) B) C)

D) E)

Indicar la última cifra de dicha suma.

A) B) C)D) E)

4. Calcular:

A) B) C)D) E)

5. Calcular el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se indica en la figura

A) B) C)D) E)

6. En la siguiente gráfica. ¿Cuántas bolitas sombreadas hay?

8. ¿Cuántos triángulos se

pueden contar en la

siguiente figura?


MEJOR QUE APRENDER MUCHO, ES APRENDER COSAS BUENAS.

JOSÉ FERNÁNDEZ

15

16


A) B) C)D) E)

7. Cuantas cajitas de la forma se han utilizado en la construcción de la siguiente torre

A) B) C)D) E)

A) B) C)

D) E)

9. ¿Cuántas cerillas se

utilizan por formar desde la

figura (1) hasta la figura

(20)?

A) B) C)

D) E)

10. En la siguiente gráfica ¿Cuántos cuadraditos sombreados hay?

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. B

2. C

3. A

4. B

5. E

6. C

7. E

8. A

9. A

10. D

TEMA: RAZONAMIENTO LÓGICO

PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO DEDUCTIVO SIMPLE


17

18


1. Se cometió un asesinato. Se sospecha de Roberto, José, Manuel y Luis. De ser Manuel el homicida, el delito fue premeditado. Si los autores fueron José u Roberto, ocurrió en la noche. Si el asesino es Luis, no ocurrió el día domingo. Como cuestión de hecho sabemos que el suceso ocurrió el domingo en la tarde. En consecuencia ¿Cuál de los mencionados sería el sospechoso principal?

A) B) C) D) E)

Resolución:Del texto se tiene que si el homicida es:

Manuel delito premeditado. José y Roberto ocurrió en la noche Luis no ocurrió el día domingo

Según el dato: “El suceso ocurrió el domingo por la tarde”, con lo cual se descarta como sospechoso a José y Roberto, además de Luis.

Sospechoso principal: Manuel

. Rpta.: C .

2. Iván, José y Christian postulan a una universidad. Dos de ellos eligen Medicina y el restante Filosofía o Literatura. Si José y Chirsitan no escogieron la misma especialidad. ¿Cuál de las siguientes alternativas de elección deberá inferirse con total certeza como conclusión?

A) José a Literatura

B) José a Medicina

C) Christian a Filosofía

D) Iván a Filosofía

E) Iván a Medicina

Resolución:Como José y Christian escogieron especialidades diferentes, eso quiere decir que uno de ellos escogió medicina; pero falta la otra persona que escogió Medicina la cual necesariamente debe ser Iván.

. Rpta.: E .

PROBLEMAS DE RELACIÓN DE DÍAS CALENDARIOS

1. ¿A qué será equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado mañana de mañana?

A) Ayer B) Mañana

C) Anteayer

D) Pasado mañana

E) F.D.

Resolución:Considerar la siguiente analogía gráfica

MÉTODO PRÁCTICO DE RESOLUCIÓN:Consiste en transformarlo en un problema numérico, colocando en vez de ayer a “–1”, mañana a “+1”; y así los demás y luego sumando todos los equivalentes obteniendo un resultado que de nuevo lo transformaremos a su equivalente en días.

Luego en el problema:

Piden:–1 –2 –1 +2 + 2 + 1 = +1 < > mañana.

. Rpta.: B .2. Siendo Viernes el mañana del mañana de hace 5 días. ¿Qué día será el

anteayer del anteayer de dentro de 4 días.?

A) B) C) D) E)

Resolución:Dato: Viernes < > + 1 + 1 – 5

Viernes < > – 3Graficando:


19

20


. Rpta.: A .

PROBLEMAS DE PARENTESCO1. En la oficina de una compañía de seguros se encuentran 5 hermanos, 5

padres, 5 hijos, 5 tíos, 5 sobrinos 5 primos. Para firmar sus respectivos contratos. El menor número de contratos que firmaron, será: (U.N.MS.M. – 1998)

A) B) C) D) E)

OBSERVACIÓN:PARA QUE EL NÚMERO DE PERSONAS SEA MÍNIMO UNA PERSONA O MÁS DEBEN CUMPLIR UN MÚLTIPLE PAPEL (UN PADRE, TAMBIÉN ES HIJO DEL ABUELO PATERNO DE SU HIJO).

Resolución:En el problema deben haber 5 hermanos donde cada uno debe tener su respectivo hijo (5 hijos), por lo tanto esos 5 hermanos serán padres y tíos a la vez mientras que los 5 hijos serán primos y sobrinos.

# mínimo de contratos = 10

. Rpta.: A .

2. La familia Orozco consta de padre, madre y 8 hijas y se sabe que cada una tiene un sólo hermano ¿Cuántas personas hay en dicha familia?

A) B) C) D) E)

Resolución: Cada hija tiene un único hermano (ese hermano es común para las 8

hijas), luego:

. Rpta.: B .

PROBLEMAS DE CERTEZASSituaciones donde se tiene que dar una respuesta con certeza

(seguridad), y para ello se tendrá que analizar el problema en el “peor de los casos” (situación más crítica o no deseable) y así tendremos con seguridad lo pedido.

1. Se tiene una caja con 5 bolitas blancas, 3 azules y 4 verdes ¿Cuántas bolitas se tendrán que extraer al azar para tener la certeza de haber extraído una bolita blanca?

A) B) C) D) E)

Resolución:Paso 1: Identificar las bolitas que se tiene: 5 blancas, 3 azules y 4

verdes.

Paso 2: Analizar las posibles bolitas extraídas:

Si al sacar la primera bolita esta es blanca ya se tendría la blanca, sólo con la primera extracción; luego la respuesta sería un extracción, pero eso no siempre ocurrirá pues eso sería una casualidad y buena suerte (mejor de los casos)

Paso 3: Como de desea tener certeza, lo adecuado es suponer el peor de los casos; es decir:


21

22


Extraer las 3 azules luego las 4 verdes, la siguiente a extraer será indudablemente blanca.Entonces para tener una bolita blanca con certeza se tuvieron que extraer:

3 + 4 + 1 = 8 bolitas

. Rpta.: C .

2. Se tiene una urna con bolas de billar, en donde hay 14 rojas, 15 negras, 5 azules y 11 verdes. ¿Cuántas bola como mínimo se tendrá que extraer al azar para tener con certeza una de color azul?

A) B) C) D) E)

Resolución:Paso 1: Identificar todas las bolas de billar.

Paso 2: Suponer el peor de los casos.Extraídas: 15N + 14R + 11B + 1A = 41

# total de bolitas extraídas = 41

. Rpta.: A .

PROBLEMAS DE VIAJES, PESADAS, REPARTO, CORTES Y CADENAS1. Un viajero llega a la orilla de un río llevando consigo un lobo una oveja y

una cesta de repollos. El único bote disponible es muy pequeño y no puede llevar más que al viajero y uno de sus bienes. Desgraciadamente si los deja juntos a la oveja se comería los repollos, o el lobo devoraría a la oveja. Si logra transportar todos sus bienes a la otra orilla.¿Cuántas veces como mínimo cruzó el río en la canoa?

A) B) C) D) E)

Resolución:1º Pasa a la oveja2º Regresa3º Lleva al lobo4º Regresa con la oveja

5º Pasa al repollo6º Regresa7º Pasa a la oveja.

Cruzó como mínimo 7 veces el río.

. Rpta.: C .

2. Se tienen 9 bolas (o balines) de acero dEl mismo tamaño y color. Una de las nueve bolas es ligeramente más pesada; todas las demás pesan lo mismo. Empelando una balanza de dos platillos. ¿Cuál es el número de pesadas necesarias para determinar la bola (o balín) de peso diferente?

A) B) C) D) E)

Resolución:

1) Se dividen las 9 bolas de acero en 3 grupos de 3. primera pesada: se colocan 3 en cada platillo.a) La balanza o queda en equilibro o no (ley del medio excluido)b) Si queda en equilibrio, entonces la bola de mayor peso se

encuentra en el grupo que no ha ido pesado. Si no hay equilibrio, entonces se retira y aparta el grupo con la bola más pesada.

2) Se dividen las 3 bolas del grupo más pesado. Segunda pesada: se coloca una bola en cada platillo:a) La balanza o queda en equilibrio o no (¿por qué?)b) Si no hay equilibrio, entonces el balín de mayor peso es el que

hace que se incline la balanza. Si hay equilibrio entonces la bala de mayor peso es la que no fue colocada en la balanza.

Luego es suficiente 2 pesadas.

. Rpta.: B .

3. Se tiene 4 cajas que contienen tornillos de 2 gramos cada uno y 1 caja que contiene tornillos de 3 gramos cada uno. ¿Cuántas pesadas como mínimo se necesita hacer en una balanza de platillos, para determinar la caja que contiene los tornillos de mayor peso?

A) B) C) D) E)


23

24

25


Resolución:Con 1 es suficiente, se coloca 1, 2, 3, 4 y 5 tornillos en cada aja, y luego se determina su peso, si pesan 17 gramos, estará en la primera caja, si pesan 18 gramos en la segunda. 19 gramos en la tercera, 20 gramos en la cuarta y 21 gramos en la quinta caja.

. Rpta.: A .PROBLEMAS SOBRE MENTIRAS Y VERDADES1. Un pueblo estaba dividido en dos barrios, A y B. los de A decían siempre

la verdad y los de B siempre mentían. En cierta ocasión llegó un turista a las afueras del pueblo y encontró a un grupo de tres personas. Pregunto a uno de ellos de qué barrio era y no entendió la contestación. Entonces el turista preguntó a los otros dos. ¿Qué ha dicho?. La segunda persona le dijo: “Ha dicho que es de A”. La tercera persona le dijo: “Ha dicho que es de B”¿Cuál de estas personas es la embustera?

A) La primera

B) La segunda

C) La tercera

D) Ninguna

E) Faltan dados para decidir

Resolución:El turista no entendió la respuesta, pero la podía deducir, debido a que.1ra. posibilidad. Si el 1ro fuera de “A”, luego contestaría la verdad, es decir su repuesta sería: “Soy de “A””.

2da. posibilidad. Si el 1ro fuera de “B”, luego mentiría y su respuesta sería: “Soy de “A””

OBSERVACIÓN:COMO OBSERVARÁN NO IMPORTA DE DONDE FUESE EL 1RO, SU RESPUESTA ES ÚNICA Y SERÍA: “SOY DE A”, LUEGO LA 2DA PERSONA SIEMPRE DICE LA VERDAD Y LA 3RA SERÁ LA EMBUSTERA.

. Rpta.: C .

2. Pepe se encuentra después de tiempo con 2 hermanos gemelos y les pregunta sus nombres, a lo cual responden:“Yo soy Pepe”,“Yo soy Pipo”, “Si lo que él dice es verdad”.Sabe que uno de ellos miente.¿Quién dijo la verdad?

A) Pipo B) Pepe C) Ninguno

D) Es una paradoja matemática

E) Falta información

Resolución:Primera posibilidad: Si el primero miente al decir que. “Yo soy Pepe”, entonces será Pipo. Luego el otro dirá la verdad al decir que:“Yo soy Pipo”, “Si lo que él dice es verdad; o su equivalente será:“Yo soy Pepe”, “si él está mintiendo”; como observarás. El 1ro es Pipo y está mintiendo El 2do es Pepe y está diciendo la verdad:Con lo que ya no es necesario analizar la otra posibilidad, debido a que ya encajaron los datos

Rpta.: B .

NOTA:ESTOS TIPOS DE PROBLEMAS POR LO GENERAL SE AFRONTAN POR MEDIO DE SUPOSICIONES, PARA LUEGO DESCARTAR LAS QUE NO ENCAJAN CON LOS DATOS O SE CONTRADICEN (MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO) Y ASÍ QUEDARSE CON LA VERDAD.

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Saúl Aníbal y Marco son 4. La siguiente tabla muestra


26

27


médicos. Dos de ellos son cardiólogos y uno es pediatra. Aníbal y Marco afirman que uno de ellos es cardiólogo y el otro es pediatra, por lo que podemos deducir que:I. Aníbal y Marco son

pediatras.II. Aníbal y Marco son

cardiólogos.III. Saúl es cardiólogo.IV. Saúl es pediatra.V. Aníbal es cardiólogo y

pediatra.

Rpta.

2. En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes?

Rpta.

3. En una familia hay 1 abuelo, 1 abuela 2 padres, 3 madres, 2 sobrinos, 1 sobrina, 1 tío, 2 tías, 2 nietos, 1 nieta, 1 nuera, 1 suegro, 1 suegra, 2 cuñados, 2 primos, 1 prima, 3 hijos y 2 hijas. Indicar el mínimo número de personas presentes.

Rpta.

el resultado de los partidos de un torneo de ajedrez. Si los partidos ganados abonan 2 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos y solo falta el encuentro entre José y Martín, ¿A quien le ganó José?Nombres P.J. P.G. P.E. P.P. PTO

S

Juan 6 6 0 0 12

Carlos 6 5 0 1 10

Javier 6 3 1 2 7

Eduardo 6 2 0 4 4

José 5 1 2 2 4

Martín 5 1 0 4 2

Pedro 6 0 1 5 1

Rpta.5. En un cajón se colocan

guantes de box; 3 pares de guantes rojos, 4 pares de guantes negros y 2 pares de guantes blancos. ¿Cuál es el menor número de guantes que deben extraerse al azar para obtener con certeza un par del mismo color?

Rpta.

6. Construyendo tu árbol genealógico ¿cuántos bisabuelos tuvieron tus bisabuelos?

Rpta.

10. Walter, Eduardo, Julio y Ricardo son cuatro políticos entre los que hay que elegir un jefe de gobierno. Las cualidades que se requieren para este cargo son: astucia, inteligencia y firmeza.

7. Si Gastón sólo tiene las llaves de 6 habitaciones de un hotel. ¿Cuántas veces tendrá que probar estas para determinar con certeza que llave corresponde a su respectiva puerta?

Rpta.

8. Un caracol desea trasladarse de una huerta a otra. Superando el muro de 5 metros de altura que los separa, trepa verticalmente por el muro, subiendo 3 metros y bajando 2 metros por cada día, de modo que el avance efectivo es de 1 metro por día. ¿En cuantos días llegará a la cima del muro?

Rpta.

9. Un fumador, para satisfacer sus deseos de fumar, recogía colillas y con cada tres de éstas, hacía un cigarrillo. Un día cualquiera, solo pudo conseguir trece colillas. ¿Cuál es la máxima cantidad de cigarrillos que pudo fumar ese día?

Rpta.

Solamente uno de ellos, entre los cuatro reúne todas las cualidades y debe ser, por tanto el Jefe de Gobierno, a su vez se conoce: Cada uno de los políticos

posee, al menos, una de las cualidades requeridas.

Solamente tres de los políticos son astutos y solamente dos son inteligentes y solamente uno es firme.

Walter y Eduardo tienen igual grado de inteligencia (o de falta de ella naturalmente).

Eduardo y Julio son igualmente astutos (o incautos, para el caso).

Julio y Ricardo no son, ambos, astutos

¿Quién debe ser el Jefe de Gobierno?

Rpta.

11. En la figura se muestra un recipiente abierto en A, B y C, con 5 bolas numeradas. Si una operación consiste en: sacar solo una bolo por B o C e inmediatamente introducirlo por A. ¿Cuántas operaciones como mínimo se deben realizar para obtener el orden: 1, 2, 3, 4, 5 de abajo hacia arriba?

13. Tres animalitos, el gusano, el gato y el murciélago, amigos de Alicia en el País de las Maravillas, fueron acusados de haberse robado la sal y de habérsela comido. Al ser interrogado, declararon:Gusano: El gato se comió la sal.Gato: Eso no es cierto.


28


Rpta.

12. Cuatro amigas se encuentran en la playa cada una con lentes para el Sol. Se les escucha la siguiente conversación:María: Yo no tengo ojos azulesLucía: Yo no tengo ojos pardosIrene: Yo no tengo ojos azulesLeticia: Y no tengo ojos verdesSi se sabe que una de ellas tiene ojos azules y las demás ojos pardos y que sólo una de las afirmaciones es incorrecta, ¿quién tiene los ojos azules?

Rpta.

Murciélago: Nunca comí la sal.Si se sabe que al menos una de las declaraciones es verdadera al menos una es falsa ¿Quién se comió la sal?

Rpta.

14. Cuatro sospechosos de haber atropellado con su auto a un peatón, hicieron las siguientes afirmaciones cuando fueron interrogados por la policía: María: “Fue Lucía” Lucía: “Fue Leticia” Irene: “Yo no fui” Leticia: “Lucía miente”Si sólo una de ellas miente ¿Quién atropelló al peatón?

Rpta.

15. Tres amigos ejercen oficios distintos y por casualidad sus apellidos coinciden con los nombres de estos oficios, aunque no cada uno con el suyo. Al ser preguntados por sus respectivos oficios respondieron así.“De las siguientes proposiciones, tres son falsas y una es verdadera”

I. El señor Carpintero no es pintor.

II. El señor Albañil no es carpintero.

III. El señor Carpintero es carpintero.

IV. El señor Albañil no es pintor.

¿Cuál de es la proposición verdadera?

Rpta.


1. En cierta ocasión “Trukini” determinó un suicidio, en base a la siguiente información. La persona se encontraba

ahorcada en un cuarto herméticamente cerrado por dentro con doble candado.

De pared a pared atravesaba un fierro, en el que colgaba el cadáver.

De los pies al suelo había una distancia de 1,60 m de altura.

También se encontró en el suelo: botellas de licor consumidos, colillas de cigarro y regular agua:

3. Un zorro que iba en busca de un poco de comida, divisó un enorme oso que se encontraba aproximadamente a cien metros de distancia hacia el oriente. Antes de que el cazador pudiera convertirse en presa, el astuto zorro corrió cien metros hacia el norte, pero luego se dio cuenta de que el oso no lo había notado. Así que se detuvo y permaneció escondido. En este punto el oso se encontraba hacia el sur del zorro. ¿Cuál es el color del oso?


30 31


En base a estos datos u aplicando el razonamiento deductivo: determinar ¿Cómo se realizó tal suicidio?

A) Utilizó fuego.B) Utilizó veneno.C) Utilizó hielo.D) Fue un paro

cardiaco.E) De varias formas.

2. En un cajón se han metido 10 cajones; en cada uno de estos 10 cajones o bien se han metido 10 cajones o no se ha metido ninguno. ¿Cuántos cajones quedarán vacíos si se cuentan 6 cajones llenos?

A) B) C)D) E)

A) B)C) D)E) Gris y Blanco

4. Se tiene 72 perlas iguales, en la forma, en el color, en el brillo y en el tamaño, rigurosamente iguales, pero una de ellas es más ligera que las otras, las cuales tienen igual peso ¿En cuántas pesadas como mínimo podemos asegurar que encontraremos la perla más ligera, si usáramos una balanza de dos platillos.?

A) B) C)D) E)

5. Pitín fue invitado a cenar a la casa de Pitita, en un instante de la cena mientras todos comentaban algo, Pitín mentalmente decía “en esta reunión he visto 2 padres, 2 madres, 5 hijos (total), 5 hermanos (total), 1 tía, 3 sobrinos, 1 suegro, 1 suegra, 1 nuera, 1 abuelo, 1 abuela y 3 nietos”. ¿Podría decirnos Ud. cual es el número de personas en dicha cena, si es el menor posible?

A) B) C)D) E)

6. Un sultán supuso el siguiente problema a un reo: He aquí tres cofres, uno rojo, otro azul y otro blanco. Cada uno tiene una inscripción.

7. En una bolsa se tiene 12 bolas blancas, 18 bolas negras y 15 bolas rojas. Hallar el número mínimo de bolas que se deben sacar, sin mirar, para estar seguro de tener una bola de cada color.

A) B) C)D) E)

8. Eduardo Julio, Ricardo y Víctor han competido en una carrera, al preguntarle quién fue el ganador, dieron como respuesta: Eduardo : Ganó Julio Julio : Ganó Víctor Ricardo : Yo no gané Víctor : Julio mintió

cuando dijo que yo gané.

En el rojo dice: la llave de la celda está en este cofre.

En el azul dice: la llave de la celda no está en este cofre.

En el blanco dice: la llave de la celda no está en el cofre rojo.

De las tres inscripciones, a lo sumo una es cierta, si sois capaz de adivinar en cuál está la llave os dejaré libre ¿qué cofre debió elegir el reo?

A) Blanco

B) Azul

C) RojoD) Faltan datosE) ni

nguna

Si solamente es cierta una de estas afirmaciones. ¿Quién ganó?

A) B)C) D)E) Faltan datos

9. Si tenemos seis fichas dispuestas como en la figura y llamamos “cambiar” a la acción de voltear todas las fichas a su reverso, sabiendo que “C” es casa y “S” es escudo. ¿cuántas caras y cuántos escudos (en ese orden) tendremos en la figura en 29 cambios?

A) B) C)D) E)

10. ¿En qué mes del año

ocurre que la fecha del último

jueves del mes pasado

sumada a la del primer

domingo del mes que viene

suman 38?

A) B)

C) D)

E)

CLAVES


32

33


1. C

2. A

3. C

4. E

5. A

6. D

7. B

8. A

9. C

10. B

TEMA: ORDEN DE INFORMACIÓN

OBJETIVOEste tema se caracteriza por la abundante información en cada

problema, pero suficiente para llegar a lo pedido. Los datos se deben considerar directa o indirectamente, tratando primero de ordenar adecuadamente la información, en lo posible por medio de diagramas (Rectas, flechas, circunferencias, cuadros de doble entrada).

ORDENAMIENTO CRECIENTE O DECRECIENTEEjemplo: (San Marcos 2000)Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Oliver es menor que Enrique. Claudio es menor que Oliver, pero Gerardo es mayor que Miguel. Por lo tanto el menor de todos es:

A) Enrique

B) Gerardo

C) Miguel

D) Oliver E) Claudio

Resolución:Se trata de formar en un solo sentido las desigualdades (ya sea solo “<” o únicamente “>”) Miguel = Enrique Oliver < Enrique Claudio < Oliver Gerardo > Miguel Miguel < Gerardo Claudio < Oliver < Enrique = Miguel < Gerardo

. Rpta.: E .

Otro Método:Como nos piden un único menor, cada momento al leer el enunciado descartaremos los que no son menores: Miguel y Enrique (descartado) Oliver (descartado) Gerardo (descartado) El menor será el que quedó, o sea ClaudioORDENAMIENTO LATERALConsiderar:

Ejemplo: (San Marcos 2000)El volcán Temboro está ubicado al este de Krakatoa. El volcán Singapur al oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al este?

A) Sumatra

B) Singapur

C) Krakatoa

D) Temboro

E) A o B

Resolución: Krakatoa Temboro

Singapur Krakatoa

Sumatra Singapur

Juntando los Datos:

. Rpta.: D .


34

35


OBSERVACIÓN:MÁS RÁPIDO SERÍA DESCARTANDO LOS QUE ESTÁN MÁS AL OESTE

ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOSEjemplo:Cinco personas: A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: A trabaja en un piso adyacente al que trabajan B y C. D trabaja en el quinto piso. Adyacente y debajo de B, hay un piso vacío.¿Quiénes trabajan en el 4º y 6º piso respectivamente?

A) B – C B) C – A C) E – C D) C – E E) C – B

Resolución:Se tratará de empezar por los datos más claros (que no presenten varias posibilidades) Del último dado se deduce que “B” no puede estar ni en el 1º ni en el 6º

piso (es evidente que tampoco en el 5º). Luego las posibilidades restantes serán:

En el 4º y 6º piso trabajan “C” y “E” respectivamente

. Rpta.: D .

ORDENAMIENTO CIRCULARConsiderar:

1) “A” está al frente de “C”2) “A” está a la izquierda de “D”3) “A” está a la derecha de “B”

Ejemplo:4 amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente, se sabe: PI no se sienta junto a PU PA se tienta junto y a la derecha de PU¿Dónde se sienta PO?

A) Frente a PA B) Frente a PI C) A la izquierda de PU

D) A la derecha de PI

E) Más de uno es correcto

Resolución:Considerando primero el segundo dato por ser más conciso.

Como PI no se sienta junto a PU, entonces necesariamente estará en el frente de PU, y para PO le queda el frente de PA: quedando el gráfico así:


36

37

38


Analizando las alternativas observamos que las que cumplen con A, C y D.

. Rpta.: D .CUADROS DE DOBLE ENTRADA

Ejemplo:

A, B y C se encuentran en la antigua parada y comentan sobre sus vicios.

A dice: A mi no me gusta fumar ni beber.

C dice: Me hubiera gustado aprender a fumar

Considerando que solo hay tres vicios: fumar beber y jugar; y que cada uno

de ellos tiene un solo vicio ¿Cuál es el vicio de A?

A) Fumar B) Beber C) Jugar D) F.D. E) N.A.

Resolución:

Construyamos un cuadro de doble entrada, para así mostrar todas las

posibilidades:

Como a “A” no le gusta fumar ni beber, entonces le gusta jugar, y el

cuadro resulta así:

FUMA BEBE JUEGA

A NO NO SI

B

C

Como el juego le corresponde a ”A”, entonces el juego no será para “B”.

Considerando el segundo dato, se tendrá que “C” no fuma.

El cuadro resultante

“B” Fuma

. Rpta.: A .

OBSERVACIÓN:ESTE PROBLEMA SE PODRÍA RESOLVER SIN EL CUADRO DE LA SIGUIENTE MANERA (PROCESO DIRECTO): COMO “A” NO FUMA NI BEBE, ENTONCES JUEGA, ADEMÁS QUE A

“C” LE HUBIERA GUSTADO APRENDER A FUMAR, ENTONCES “C” NO FUMA, DE DONDE SE DEDUCE QUE EL QUE FUMA SERÁ “B” (DEBIDO A QUE “A” TAMPOCO FUMA).

PERO EN OTROS PROBLEMAS SI ES NECESARIO EL CUADRO POR LA ABUNDANTE INFORMACIÓN.

COMENTARIO:UNA FORMA CONVENIENTE DE RESOLVER ALGUNOS PROBLEMAS DE LÓGICA, CONSISTE EN CONSTRUIR UNA TABLA CON CASILLAS PARA TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES QUE SE PUEDAN PRESENTAR, A LA CUAL SE DENOMINA TABLA DE DOBLE ENTRADA O CUADRO DE DECISIONES. CADA CASILLA SE MARCA CON “SI” O CON “”, PARA INDICAR QUE LA COMBINACIÓN ES CIERTA (VERDADERA), O CON UN “NO” O “X” INDICANDO QUE SE RECHAZA, TODO ESTO SACANDO CONCLUSIONES DE LAS PREMISAS PLANTEADAS DEBEMOS OBSERVAR EN UNA FILA O EN UNA COLUMNA DEBE HABER UNA Y SÓLO UNA MARCADA CON “SI” O “”

DECISIÓN CON DATOS IMPLÍCITOSSon aquellos problemas donde luego de llenar el cuadro de doble entrada con los datos en forma directa no se puede concluir, es entonces que se busca un dato o más adicionales implícitos en los anteriores

Ejemplo:Se sabe que las profesiones de Judith, Elba, Rosa, y Queta son profesora, Nutricionista, Abogada y Odontóloga.¿Quién es la abogada y quién es la odontóloga? Si: Judith está casada con el hermano de la Nutricionista.


39

40


Elba y la Odontóloga van a trabajar en la movilidad de la Nutricioncita. Las Solteras de Rosa y la Profesora son hijas únicas. Elba y Queta son amigas de la Abogada, la cual está de novia.

A) Rosa – Judith B) Rosa – Elba C) Judith – QuetaD) Elba - Queta E) Queta – Rosa

Resolución:

Profesora Nutricion. Abogada Odontol.

Judith NO NO

Elba SI NO NO NO

Rosa NO

Queta NO NO

Como la abogada está de novia, entonces Judith que es casada no es Abogada, de donde se deduce que es Odontóloga.

Profesora Nutricion. Abogada Odontol.

Judith NO NO NO SI

Elba SI NO NO NO

Rosa NO NO SI NO

Queta NO SI NO NO

Por lo tanto, la Abogada es Rosa y la Odontóloga es Judith.

. Rpta.: A .PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. En un examen, Rosa tuvo menos puntos que María, Laura menos puntos que Lucía, Noemí el mismo puntaje que Sara. Rosa más que Sofía, Laura el mismo que María y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo menos puntaje?

4. Ángel es mayor que Alberto y César es menor que David, David y Ángel tienen la misma edad aunque César es menor que Alberto, Luego:

F) Án

A) Rosa

B) Noemí

C) Sofía

D) Laura

E) Lucía

2. María es menor que Lucía, Irene es mayor que María. 3/5 de la edad de Lucía es menos que 4/7 de la edad de Irene. ¿Quién es mayor?

A) María

B) Lucía

C) Irene

D) B y C

E) N.A.

3. José no es mayor que Luis. Miguel tiene la mitad de la edad de Luis y el doble de la edad de Ernesto, Ernesto tiene 3 años menos que José. Por tanto:

A) Luis no es mayor que José

B) Ernesto no es el menor

C) Miguel no es mayor que José

D) José es menor que Miguel

E) José no es el menor

gel es menor que CésarG) Bet

o es menor que CésarH) Bet

o es mayor que David.I) Án

gel es mayor que César.J) N.A

.

5. Janet es más alta que Maribel pero Rocío es más flaca que Janet y no es más alta que Maribel. Luego:

A) .Rocío es más flaca que Maribel

B) Maribel es más alta que Janet.

C) Maribel es más baja de Rocío.

D) Rocío es más baja que Janet.

E) Janet es más flaca que Maribel

6. Si A es mayor que C, D es el doble de A, C es la cuarta parte de D y B es la mitad de A.Luego:

9. Tres amigos escalan una montaña. Lucho se encuentra más arriba que Miguel, Carlos está más arriba que Luis. ¿Cuál de ellos está en 2do. lugar?A) Miguel


41 42


A) A > D > B > CB) D > B > C > AC) D > A > B > CD) D > A > C > BE) Indeterminado

7. Patty sabe más que Ana. Ana sabe menos que Mary. Mary Sabe más que Carlos, entonces:

A) Mary sabe más que Patty.B) Carlos sabe más que Ana.C) Carlos sabe menos que

Ana.D) Mary sabe menos que Ana.E) Carlos sabe más que todas

las chicas

8. Pedro está al sur de Román, Román al norte de Pablo y Juan está entre Román y Pedro, éste más al norte que Pablo. Por tanto:

A) Juan está junto a Pablo.B) Pablo está junto a Pedro.C) Ramón y Juan están antes

que Pedro.D) A nadie se les puede ubicarE) Faltan más datos.

B) LuchoC) CarlosD) Están igualesE) Falta información.

10. A se encuentra a 40km al norte de B pero a 30km, al este de C. D está a 60 km, al oeste de B. de acuerdo a esto:A) B está al sur–este de C.B) C está al nor–este de D.C) E está al sur–este de A.D) D está al sur–oeste de E.E) E está al nor–oeste de D.

11. 6 personajes de Walt Disney se sientan formando un círculo.Minnie no está sentada al lado de Donald ni de Tío Rico.Margarita no está al lado de Minnie ni de Tío Rico.Donald no está al lado de Mickey ni de Margarita. Tribilín está a la izquierda de Donald.¿Quién está junto y a la derecha de Margarita?A) Donal

dB) Tribilí

nC) Minni

eD) Tío

RicoE) N.A.

12. Tres jugadores de fútbol, Gómez, López y Roca son integrantes de los equipos de Universitario, Alianza Lima y Sporting Cristal, pero no necesariamente en ese orden.Gómez juega de arquero. El jugador de Alianza Lima es vecino del de Sporting Cristal. El

14. Seis personas postularon para el cargo de presidente del CLUB SOCIAL. Los seis candidatos tienen todos distinta edad. El más joven obtuvo la mayor cantidad de votos y por coincidencia se verificó que multiplicando la edad de cada

crack de Sporting Cristal es medio campista.López vive en la provincia, mientras que el jugador de Alianza Lima tiene su casa en el centro de la capital. Entonces:El jugador que vive en el centro de la capital es:

A) RocaB) LópezC) GómezD) FernándezE) Balvín

13. Los cuatro primeros puestos de una carrera automovilística ocupados por Juan, José, Jorge y Julio, aunque no necesariamente en ese orden. ¿Puede deducir el orden de llegada, sabiendo que Julio cruzó la meta detrás de José y Juan lo hizo entre Jorge y Julio?

A) Juan – Julio – José – Jorge.B) José – Juan – Julio – JorgeC) Jose – Julio – Juan – JorgeD) José – Jorge – Juan – JulioE) N.A.

candidato por los sufragios obtenidos por c/u de ellos, se obtenía siempre el mismo resultado. Sabiendo que: Jorge Gonzáles obtuvo 252

votos. La cantidad de años de

José Martínez tiene de menos con respecto a Alberto López es la misma que tiene con respecto a Jorge Gonzáles.

Alberto López es 20 años más joven que Julio Pérez.

Mario Fernández obtuvo 112 votos.

Carlos Álvarez tiene 15 años más que Jorge Gonzáles.

Julio Pérez obtuvo 105 votos.

Jorge Gonzáles es 25 años más joven que Mario Fernández.

Luego:El ganador de las elecciones es:

A) Julio PérezB) José Martínez.C) Jorge GonzálesD) Mario FernándezE) Faltan Datos


“QUIEN CONOCE EL SABOR DE LA DERROTA, VALORA MEJOR SUS TRIUNFOS”

ANÓNIMO

43

44


15. Se deben realizar 5 actividades: A, B, C, D y E una por día, desde el lunes hasta el día viernes. Si:D se realizó antes de la BC se realiza 2 días después de AD se realiza jueves o viernes¿Qué actividad se realiza el martes?

A) E B) D C) BD) A E) N.

A.

CLAVES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.


1. Si se sabe que Manuel es mayor que Sara y que Arturo, pero éste último es mayor que

3. Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Toño no está sentado al lado de

Vanessa y que Sara. ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A) Sara es menor que Arturo.B) Vanesa es menor que

Arturo.C) Manuel es menor que

Arturo.D) Sara es menor que Manuel.E) Vanessa es menor que

Manuel.

2. Pedro es 3cm más alto que Jorge. María es 2 cm. Más baja que Jorge. Javier es 5 cm más bajo que Pedro, Rosa es 3cm más baja que Jorge. Se afirma que:

I. Javier y María son de la misma talla.

II. Rosa es la más baja.III. Jorge es el más alto.Son ciertas:

A) Todas B) I Y IIC) I y III D) II y IIIE) N.A.

Nino ni de Pepe; Félix no está la lado de Raúl ni de Pepe. Nino no está al lado de Raúl ni de Félix. Daniel está Junto a Nino, a su derecha. ¿Quién está sentado a la izquierda de Félix?

A) B)C) D)E)

4. Ana, Bertha, Carlos y Diana están sentados en una fila de 4 sillas numeradas del 1 al 4. José los mira y dice:“Berta está al lado de Carlos”“Ana está entre Bertha y Carlos”Pero sucede que las dos afirmaciones que hizo José son falsas. En realidad Berta está en la silla Nº 3.¿Quién está en la silla Nº 2?

A) B)C) D)E)

5. Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Fidel vive en el primer piso. Antonio vive más abajo que Manuel, y Freddy vive un piso más arriba que Antonio. ¿En qué piso vive Freddy?

7. El volcán Temboro está ubicado al este de Sumatra. El volcán Singapur al oeste de Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado al oeste.?


45

46


A) B) C)D) E)

6. Seis amigos: Francisco, Rafael, Luis, Úrsula, Carolina y Ana van al cine y se sientan en una fila de 6 asientos contiguos vacíos. Si se sabe que:Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas.Rafael se sienta en el extremo derecho.Francisco y Úrsula se sientan a la izquierda de los demás¿Cuál de las afirmaciones es correcta?

A) Ana se sienta junto a Rafael

B) Carolina se sienta junto a Luis.

C) Carolina se sienta junto a Rafael.

D) Francisco se sienta junto a Ana.

E) N.A.

A) B)C) D)E)

8. Se tiene un edificio de 6 pisos en el cual viven seis personas: A, B, C, D, E y F, cada una en un piso diferente. Si se sabe que:E vive adyacente a C y BPara ir a la casa de E a la F hay que bajar 3 pisos.A vive en el segundo piso.¿Quién vive n el último piso?

A) B) C)D) E)

9. Cuatro amigos: José, Juan, Carla y Karen, se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que:Entre dos personas del mismo sexo hay un asiento vacío adyacente a ellas.Karen se sienta junto a JoséPodemos afirmar que:I. Carla se sienta junto a

Juan.

10. Seis personas juegan al

Póquer alrededor de una

mesa redonda; Lito no está

sentado al lado de Elena ni

de Juana, Félix no está la

lado de Gino ni de Juana,

Pablo está junto a Elena a

su derecha. ¿Quién está

sentado a la derecha de

II. José se sienta frente a Carla.

III. Karen se sienta frente a Juan

A) B) C)D) E)

Pablo.?

A) B)

C) D)

E)

CLAVES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES

Uno de los motivos más interesantes de las matemáticas, consiste en el arte de interpretar (traducir) un problema de lenguaje literal, (vernáculo) a un lenguaje matemático, con ayuda de símbolos, variables, y operaciones fundamentales. Este motivo se denomina: “Arte de plantear ecuaciones”

Ejemplo Ilustrativo¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los

números puede mostrar, cuan larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además la duodécima parte de su vida, cuando el vello cubríose su barbilla, y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. ¿Cuántos años vivió Diofanto?


47

48


A) 42 B) 21 C) 56 D) 84 E) 96

Resolución:En la lengua vernácula

(lenguaje común)En el idioma del Álgebra

¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números puede mostrar, cuan larga fue su vida,

x (edad de Diofanto)

Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia

(sexta parte)

Había transcurrido además la duodécima parte de su vida, cuando el vello cubríose su barbilla,

(duodécima parte)

y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.

(séptima parte)

Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito

5 (5 años más)

que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la de su padre.

(mitad de la edad del padre)

Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

Al resolver la ecuación: x = 84Luego:; Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84 años.

. Rpta.: D .

SUGERENCIAS PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN Leer cuidadosamente el texto del problema hasta comprender de qué se

trata. Ubicar los datos y la pregunta. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va ha trabajar. Relacionar los datos con las variables para plantear una o más

ecuaciones que al resolver nos den la solución del problema.

RESUMEN:

Veamos a continuación algunos ejemplos de traducción parcial de un problema:LENGUAJE CASTELLANO

(ENUNCIADO)LENGUAJE MATEMÁTICO

(SIMBÓLICO)Un número disminuido en 7 x – 7

Mi edad es 2 veces tu edadTú: xYo: 2x (2 veces)

Mi edad es 2 veces más que la tuyaTú: xYo: x + 2x = 3x (2 veces más)

El triple de un número aumentado en 5 3x + 5El triple, de un número aumentado en 5 3 (x + 5)

La suma de 3 números consecutivosx + (x + 1) + (x + 2)ó (x - 1) + x + (x + 1)

“El exceso de “A” sobre “B” es 5” A – B = 5“A” es excedido por “B” en 5 B – A = 5

La suma de dos números es 13x + y = 13 óxy (13 - x)

“A” es a “B” como 3 es a 5 ó

Por cada 3 varones hay 7 niñasVarones: 3kNiñas: 7k

¿Qué parte de “A” es “B”?

¿Qué Tanto por ciento de “A” es “B”?

7 menos 3 veces un número 7 – 3x7 menos de 3 veces un número 3x – 7“A” es 9 más que “B” A – B = 9

La mitad de “x” es tanto como el quíntuple de “y”

Ejemplos:


49

50


1. Si subo una escalera de 2 en 2, doy 6 pasos más que subiendo de 3 en 3. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

A) B) C) D) E)

Resolución:

Número de pasos: Número pasos:

Según enunciado, los primeros son 6 pasos más que los del segundo caso; luego:

x = 36 (total de escalones). Rpta.: C .

SEGUNDO MÉTODO:Para que el número de escalone sea divisible por 2 y 3 a la vez, entonces debe ser múltiplo de 6. luego asumimos que el total de escalones es “6x” al subirlos de 2 en 2, doy “3x” pasos y al subirlos de 3 en 3 doy “2x” pasos; siendo los primeros 6 más que los segundos

3x – 2x = 6 x = 6

Total de escalones6 (6) = 36

. Rpta.: C .

2. En una granja se tiene cerdos, patos y gallinas. Sin contar los cerdos tenemos 9 animales, sin contar los patos se tendrá 7 animales y sin contar las gallinas tenemos 14 animales. ¿Cuántos cerdos hay?A) B) C) D) E)

Resolución:Sea: C : # de cerdos.

P : # de patos.G : # de gallinas.

Al no contar los cerdos estamos considerando los patos y las gallinas, análogamente entenderemos lo demás, luego:

+P + G = 9C + G = 7C + P = 14

2P + 2G + 2C = 30 P + G + C = 15

(Dato) 9 + c = 15 C = 6

. Rpta.: B .3. En un estacionamiento se cuenta 27 vehículos entre autos y bicicletas. Si

en total se han contado 60 llantas. ¿Cuántas bicicletas hay?

A) B) C) D) E)

Resolución:Como son 27 vehículos en total, si al número de bicicletas le designamos “x”, luego el número de autos sería la diferencia o sea (27 – x)

Considerando el total de llantas:2x + 4 (27 – x) = 60 x = 24

. Rpta.: A .


51

52

53



1. Si se forman filas de 8 niños sobran 4 pero faltarían 8 niños para formar 3 filas más de 7 niños. ¿Cuántos niños son?

Rpta.

2. De los S/. 20 que tenía, gasté la tercera parte de lo que no gasté ¿Cuánto gasté?

Rpta.

3. Hallar el número, donde la suma de su mitad, cuarta y octava parte, resulta dicho número disminuido en una unidad

Rpta.

4. Un holgazán duerme normalmente todas las horas de cada día menos las que duerme ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente.?

Rpta.

5. Pitita recibió 4 soles y tuvo entonces 4 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/. 2 ¿Cuántos tenía al principio?

Rpta.

6. En una reunión hay 40 personas cuando se retiran 8 varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 10 ¿Cuántos varones quedaron?

Rpta.

7. Un tonel lleno de vino vale S/. 900, si se sacan de él 80 litros vale solamente S/. 180 ¿Cuál es la capacidad del tonel?

Rpta.

8. Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 y están en relación de 3 a 2. ¿En

11. En un campeonato de ajedrez, donde intervienen 60 jugadores, compitiendo

cuanto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 5 a 3?

Rpta.

9. En un banquete, habían sentados 8 invitados en cada mesa, luego se trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa. ¿Cuántos invitados habían?

Rpta.

10. Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene?

Rpta.

cada uno de ellos una sola vez, se observa que el número de ganadores era igual al número de empates ¿Cuántos jugadores perdieron?

Rpta.

12. ¿Cuál es el número cuyo cuádrupo sumando al mismo es igual al doble del número, mas el triple del mismo?

Rpta.

13. Un estante puede guardar 24 libros de RM y 20 libros de RV ó 36 de RM y 15 de RV ¿Cuántos libros de RM puede contener el estante?

Rpta.

14. A los habitantes de un pueblo le corresponde 60 litros de agua diarios, al aumentar ala población en 44 habitantes, a cada uno le corresponde 2 litros menos

15. Elena paga por 2 pollos y 5 pavos un total de 495 soles. Si cada pavo cuesta 15 soles más que un pollo ¿Cuántos soles cuestan un pollo y un pavo juntos?


54

55


¿Cuántos habitantes tiene ahora el pueblo?

Rpta.

Rpta.

LA CARRERA PROFESIONAL DEMATEMÁTICA

El matemático se ocupa del estudio de la ciencia matemática, base del desarrollo científico y tecnológico de un país. Su carácter general le permite aplicarla en el estudio de problemas de diferentes orígenes y características. El uso de un lenguaje simbólico universal hace que la matemática se aplique en la actualidad a casi todos los ámbitos del conocimiento.


1. En una granja se tienen: palomas, loros y gallinas, sin contar las palomas tenemos 6 aves, sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves ¿Cuál es el número de palomas en dicha granja?

4. Un abuelo, el hijo y el

nieto, tienen juntos 100

años, el abuelo dice: “Mi

hijo tiene tantas semanas

como mi nieto días y mi

nieto tiene tantos meses

como yo años”. La edad del

A) B) C)D) E)

2. En un triángulo rectángulo el triple del cateto menor excede en una unidad al cateto mayor pero le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa ¿Cuál es la longitud del cateto mayor?

A) B) C)D) E)

3. En un corral se observa 3 gallinas por cada 5 patos y 4 conejos por cada 3 patos. Si en total se cuentan 176 cabezas ¿Cuál es el número total de patas?

A) B) C)D) E)

abuelo es:

A) B) C)

D) E)

5. Con S/.16 464 se han

comprado latas de sardinas,

en cierto número de cajones,

cada uno de los cuales

contiene un número de latas

triple del número de cajones.

Cada lata de sardinas,

cuesta un número de soles

doble del número de cajones

¿Cuántas son las latas de

sardinas?

A) B) C)

D) E)

6. La hierba crece en el prado con igual rapidez y espesura, se sabe que 60 vacas s la comerían en 25 días y 40 en 45 días. ¿Cuántas vacas comerían toda la hierva en 75 días?

A) B) C)D) E)

7. Ray no sabe si comprar 56 tajadores o por el mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros.

9. Tres Docenas de limones cuesta tantos soles como limones dan por S/. 1600 ¿Cuánto vale la docena de limones?

A) B)C) D)E)

10. Si a un número de tres cifras que empieza en 9, se le suprime esta cifra queda 1/21 del número, dar la


56

57


Si decidió comprar el mismo número de artículos de cada tipo ¿Cuántos compró en total?

A) B) C)D) E)

8. Si por S/. 2 dieran 6 chirimoyas más de lo que dan, la media docena costaría 45 céntimos menos ¿Cuánto pagó por docena y media de chirimoyas?

A) S/. 3.60

B) S/. 2

C) S/. 2.40

D) S/. 1.60

E) S/. 2.20

suma de las decenas y unidades del número

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. E

2. A

3. C

4. C

5. C

6. E

7. C

8. A

9. A

10. D

TEMA: CUATRO OPERACIONES

En este tema trataremos el estudio de métodos prácticos para ciertos tipos de problemas.

MÉTODO DEL CANGREJOI. Se invierte las operaciones dadas.II. Se comienza por el último resultado dado.

Ejemplos:1. Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 8 y luego la divides

por 10, el cociente lo multiplicas por 3, luego añades 36 finalmente obtendrás 180. ¿Cuál era su cantidad inicial?

A) B) C) D) E)

Resolución:Disponemos de las operaciones siguientes:

Operaciones Directas Operaciones Inversas1. ( ) x 8 180 – 36 = 1442. ( ) / 10 144 / 3 = 483. ( ) x 3 48 x 10 = 4804. ( ) + 36 = 180 480 / 8 = 60

. Rpta.: A .

2. A la cantidad de soles que tengo le añado 5; al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 4; al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado le sumo 3, para finalmente dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente?A) B) C) D) E)

Resolución:Aplicando el método del cangrejo.

Operaciones Directas Operaciones Inversas1. Nº d soles iniciales 102. Le añado 5 15 – 5 = 103. Lo multiplico por 3 45 3 = 154. Le aumento 4 49 – 4 = 55. Extraigo raíz cuadrada 72 = 496. Le sumo 3 10 – 3 = 77. Dividimos entre 2 5 x 2 = 108. finalmente tenemos 5 5

. Rpta.: C .

DIFERENCIA TOTAL Y DIFERENCIA UNITARIASe reconocen estos tipos de problemas porque tienen siempre los

enunciados (o sus variantes).“Sobra” y “Falta”“Aumenta” y “Disminuye”“Sobraba” y “Disminuía”


58

59


Resolvemos con el siguiente:

Método del rectánguloEjemplos:1. Si pago S/. 7 000 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 4000

pero si les pago S/. 5 500, me sobran S/. 56 000. ¿Cuántos empleados tengo?

A) B) C) D) E)

Resolución:Aplicando el método del rectángulo:

Nº de empleados =

. Rpta.: D .

2. Si compro 7 cuadernos sobrarían S/. 5; pero si compro 10 cuadernos me faltarían S/. 40 ¿De cuanto dinero dispongo?

A) B) C) D) E)

Resolución:Aplicando el método del rectángulo:

Precio de cada cuaderno =

Precio de cada cuaderno = S/. 15

1er caso:Total de dinero = 7 x 15 + 5 = 110

2do caso:Total de dinero = 10 x 15 – 40 = 110

. Rpta.: A .

FALSA SUPOSICIÓNPara resolver más rápidamente los problemas usaremos el:

Método del Rombo:Los problemas presentan las características siguientes:

1. Que tenga 2 incógnitas.2. Que existan los valores numéricos de dichas incógnitas.3. Se conozcan los valores unitarios de cada una de las incógnitas.4. Se conozca el valor numérico producido por las incógnitas.

Ejemplos:1. En una granja donde existen conejos y gallinas se cuentan 60

cabezas y 150 patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay?

A) B) C) D) E)


60

61


Resolución:A = Total de elementosB = Recaudación total producida por el total de elementos (A)C = Mayor valor por unidadD = Menor valor por unidad

Para el problema tendremos:

Nº de gallinas =

Nº de conejos = 60 – 45 = 15

. Rpta.: A .

2. Se desea pagar una deuda de S/. 147 con 39 monedas de S/. 5 y S/. 2. ¿Cuántas monedas de cada tipo se tendrá?

Resolución:Por el método del rombo, tendremos

Monedas de S/. 2 =

Monedas de S/. 5 = 39 – 16= 23

OBSERVACIÓN:HABRÁ NOTADO QUE EN ESTOS TIPOS DE PROBLEMAS AL RESOLVERSE, SIEMPRE LA PRIMERA RESPUESTA ESTARÁ DANDO LA ESPECIE QUE APORTA LA MENOR CANTIDAD DE ELEMENTOS EN EL PROBLEMA.

REGLA DE LA CONJUNTAEstablece relaciones que existen entre diferentes especies,

conociendo las relaciones intermedias (equivalentes) entre éstos

Forma Práctica:1. Se forman equivalencias entre las cantidades2. El 1er elemento y el último deben ser siempre de la misma

especie.3. Las cantidades deben colocarse en forma ALTERNADA.

Ejemplos:

1. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros de cuero y que 2 metros de cuero cuestan S/. 4 ¿Cuánto costarán 6 varas de paño?


62

63

64


Resolución:Aplicando la conjunta tenemos:

6 varas < > 5 metros2 metros < > S/. 4 6 x 2 x X < > 5 x 4 x 4 x < > 4 varas

De donde x = S/. 6

2. Cuánto costarán 6 metros de casimir, sabiendo que 4 metros de éste cuestan lo mismo que 25 metros de lana y que 10 metros de lana cuestan S/. 6?

Resolución:Aplicando la conjunta tenemos:4 m. de casimir < > 25 m. de lana10 m. de lana < > S/. 6 x < > 6m. de casimir

4 x 10 x X < > 25 x 6 x 6

x = S/. 22,5

OBJETOS DADOS EN FORMA DE PAGOTrabajaremos con los siguientes ejemplos:

1. Un herrero toma un aprendiz y además de mantenerlo, promete darle 2 años de trabajo, S/. 74 y un pantalón, al cabo de 1 año y 4 meses lo despide dándole S/. 42 y el pantalón ¿Cuánto vale el pantalón?Resolución:24 meses < > S/. 74 + 1 pantalón ... (I)16 meses < > S/. 42 + 1 pantalón ... (II)

(I) – (II):8 meses < > S/. 32

Indica que por 8 meses que faltan recibe S/. 32 menos. Luego:

Gana en dos años = = S/. 96

Como le descuentan el pantalón, y éste vale: S/. 96 – S/. 74 = S/. 22

2. Por 90 días de trabajo, un patrón promete a un obrero S/. 120 y un traje. Al cabo de 60 días el patrón despide al obrero y le da S/. 120, sin el traje ¿Cuánto vale el traje?

Resolución:Si durante 60 días ha ganado S/. 120 en 90 días hubiera recibido.

= S/. 180. pero por éste tiempo le prometieron S/. 120 y

el traje

Entonces:Valor del traje = 180 – 120 = S/. 60.


1. Si la cantidad que tengo lo multiplico por 8, lo divido luego por 10; al cociente lo multiplico por 3 y añado 36, entonces tendré S/. 180 ¿Cuánto tenía inicialmente?

4. Para ganar S/. 600 en la rifa de un reloj se imprimieron 170 boletos, vendiéndose únicamente 120 boletos, perdiéndose S/. 900. ¿Cuánto cuesta el reloj?


65 66


Rpta.

2. En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero que los devotos le presentan a condición de dejar 80 monedas por cada milagro; un devoto después de 3 milagros se quedó sin nada. ¿Cuánto tenía al inicio?

Rpta.

3. Se tiene 48 fósforos repartidos en tres grupos diferentes. Si del 1er grupo paso al 2do, tantos fósforos como hay en éste; luego del 2do paso al 3ro tantos fósforos como hay en el 3ro y por último del 3ro paso al 1ro tantos fósforos como hay ahora en el 1ro resulta que habrá el mismo número de fósforos en cada grupo. ¿Cuántos fósforos había al principio en cada grupo?

Rpta.

Rpta.

5. Un postulante en un examen de 25 preguntas obtiene 4 puntos por respuesta correcta y perderá un punto por respuesta errada. ¿Cuántas respuestas erradas tuvo si contestando todas las preguntas obtuvo 70 puntos?

Rpta.

6. Un litro de leche pesa 1,03 kg, un lechero entrega 55 l de leche con peso de 56,5 kg. ¿Le agregó agua a la leche? y ¿En que volumen? (1l de agua pesa 1 kg)

Rpta.

7. Sobre una mercancía valuada en S/. 800 se efectúan tres descuentos sucesivos de 20%; 25% y 5%. ¿A que precio se vendió?

Rpta.

8. Cuál es el cambio con Berlín; haciendo escala en París, sabiendo que 10 marcos equivalen a 58 francos y que el cambio de Madrid está a 48,5 pesetas por 100 francos.

Rpta.

9. Un ayudante entra a una fábrica y le promete S/. 2 600 y una gratificación por 5 años de trabajo. Al cabo de 3 años y 3 meses, abandona el trabajo y recibe S/. 850 y la gratificación. ¿A cuanto asciende ésta?

Rpta.

10. En un zoológico hay leones y gorriones, si en total hay 20 cabezas y 62 patas ¿Cuántos leones hay?

Rpta.

11. Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores.?

Rpta.

12. En un examen por cada respuesta bien contestada, ganan un punto y por cada respuesta incorrecta pierde un punto; si la nota de un alumno en 20 preguntas fue de 10. ¿Cuántas preguntas contestó mal?

Rpta.

13. Un estudiante escribe en su cuaderno cada día la mitad de hojas en blanco que posee en es día más 5 hojas, si al cabo de 4 días ha gastado todas las hojas. ¿Cuántas tenía en el cuaderno?

Rpta.14. Se quiere cubrir una

superficie de losetas y se observa que si se quiere formar un cuadrado faltan

15. Cuatro jugadores: A, B, C y D convienen que en cada partida, el que pierde duplicará el dinero que le


67

68


8 losetas, pero si a este cuadrado se agrega una loseta por lado, faltan 23 ¿Cuántas losetas tienen?

Rpta .

queda a c/u de los otros 3. cada uno pierde una partida en el orden indicado por sus letras. ¿Cuánto tenía cada uno al empezar si al final c/u tenía S/. 32?

Rpta.


1. Se contrató a un profesor por un año y al final del cual se le tenía que abonar S/. 24 000 y un reloj. Al cabo de 5 meses fue despedido recibiendo sólo S/. 3 700 y el reloj. ¿Cuánto

4. El trabajo de cuántos

hombres equivaldrá al

trabajo de 8 niños; si el

trabajo de 4 niños equivale

al de 3 niñas, el de una

vale el reloj?

A) B) C)D) E)

2. Un frutero debía vender 300 naranjas a razón de 5 por un sol; y otras 300 naranjas a razón de 3 por un sol; si las vendió todas a razón de 4 por un sol. ¿Ganó o perdió? y ¿Cuánto?

A) No gana ni pierdeB) G

ana 30C) Pi

erde 30D) G

ana 10E) Pi

erde 10

3. Se contrata a un obrero por 63 días con la condición de que se le abonará 40 por cada día de trabajo y que él entregará 50 por cada días que deje de trabajar; si debe recibir 1 400 ¿Cuántos días tendrá que trabajar?

A) B) C)D) E)

mujer al de 2 niñas y el de

tres mujeres al de un

hombre.

A) B) C)

D) E) Inde

terminado

5. Sabiendo que 2 kilos de

frijoles cuestan lo mismo

que 3 kilos de azúcar, que 4

lapiceros valen lo mismo

que 5 kilos de azúcar; que 3

cuadernos valen S/. 30 y

que 8 lapiceros cuestan lo

mismo que 4 cuadernos.

¿Cuánto costarán 6 kilos de

frijoles?

A) B) C)

D) E)

6. Un pastor que llevaba carneros a la feria decía. “si vendo mis carneros a S/. 20 podré comprar un caballo y me quedarán S/.90 ; pero si los vendo a S/. 18 comprando el caballo, no me quedarán más de S/.6”

8. Sobre un artículo marcado en S/. 4 000 se rebajan sucesi-vamente el 5%, el 10% y el 15%. ¿En cuánto menos se vendería se rebajara el 5%, el 10% y el 15% (no sucesivamente)


“LA INGRATITUD ES LA AMNESIA DEL CORAZÓN”

G. BETANCOURT

69

70


¿Cuál es el precio del caballo y cuántos carneros tiene el pastor?

A) 84; 3

B) 42; 1

C) 750 ; 42

D) 512; 22

E) N.A.

7. Un viñador compra una casa que quiere pagar con la cosecha del año, si vende su vino a S/. 145 el tonel; pagará su casa y le sobrará S/. 840, pero si lo vende a S/. 120 el tonel le faltarán S/. 360 para pagar la casa ¿Cuál es el precio de la casa?

A) B) C)D) E)

A) En 100 menos.B) En 107 menos.C) En 20 menos.D) En 324 menos.E) En 20 menos.

9. Que suma necesitará un gobierno para pagar a 4 coroneles, si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes, el de 6 tenientes al de 9 sargentos, si 4 sargentos ganan S/. 2 400 a mes.

A) B)C) D)E)

10. Un hacendado desea comprar una casa con el producto de su cosecha de trigo. Si lo vende a razón de S/. 110 el Hl le faltarán S/. 500, pero si vende a S/. 120 el Hl le sobraríanS/. 1 000. Hallar el número de Hls que tiene el hacendado y el precio de la casa

A) 120 ; 18 000

B) 54 ; 17 002

C) 24; 15 321

D) 150; 17 000

E) N.A.

CLAVES

1. C

2. E

3. B

4. B

5. B

6. C

7. C

8. B

9. C

10. D

TEMA: EDADES


71

72


PROBLEMAS SOBRE EDADESProblemas sobre edades es un caso particular de Planteo de

Ecuaciones, pero debido a la diversidad de problemas y a la existencia de formas abreviadas de soluciones se les trata como un tema a aparte.

En estos problemas intervienen personas, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones que deben cumplirse. Estas relaciones se traducen en una o más ecuaciones según el problema.

En el proceso de solución se asigna una variable a la edad que se desea hallar, luego, si hubieran otras edades desconocidas se tratará de representarlas en función de la variable ya asignada, en caso contrario con nuevas variables.

La información que contiene el problema se debe organizar con ayuda de diagramas que faciliten el planteo de ecuaciones.

DIAGRAMAS LINEALESSe emplean cuando se trate de un solo personaje cuya edad a

través del tiempo debe marcase sobre una línea que representará el transcurso del tiempo.

DIAGRAMAS CON FILAS Y COLUMNASSe emplean cuando se trata de dos o más persona con edades

relacionadas en diferentes tiempos.

En las filas (horizontales) se anota la información de cada personaje y en las columnas (verticales) se distribuyen los datos sobre el pasado, presente o futuro.

PROPIEDADES1. Para avanzar en el tiempo, se suman los años por

transcurrir a la edad que se toma como punto de partida.

Ejemplo: Si Roberto tiene actualmente 30 años,

dentro de 10 años, Roberto tendrá:30 + 10 = 40 años

2. Si se intenta retroceder en el tiempo se restarán los años deseados a la edad de referencia

Ejemplo: Si Juana tiene actualmente 20 años, hace

8 años, Juana tenía:20 – 8 = 12 años

3. La diferencia de edades entre dos persona es una constante, en cualquier tiempo

Ejemplo:

Pas. Pte. Fur.

A 10 12 16

B 6 8 12


73

74


Dif. 4 4 4

LA CARRERA PROFESIONAL DECOMUNICACIÓN SOCIAL

El profesional de esta especialidad organiza y dirige medios de comunicación social. Al informar sobre los hechos, analizarlos y explicarlos, contribuye a forjar la opinión pública. Participa en el proceso de elaboración de los medios informativos. Está capacitado para dirigir periódicos, programas de radios, de televisión. Planifica campañas promocionales mediante prensa, radio o televisión. Organiza la comunicación interna y externa de instituciones públicas o privadas. Analiza y evalúa la conducta de los medios de comunicación social y recoge la opinión del público. Utiliza adecuadamente las nuevas tecnologías de la información.


1. Un padre tiene 28 años y su hijo 1. ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el cuádruplo del hijo?

Rpta.

5. Un amigo le pregunta al otro. Actualmente tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía tu edad; y cuando tú tengas mi edad, entre ambos sumaremos 108 años.

2. Dos personas tiene 40 y 30 años, respectivamente. ¿Después de cuántos años la relación de sus edades será 7/6?

Rpta.

3. “Juanancho” tiene 30 años y su hijo 8. ¿En cuánto tiempo la edad de éste es la tercera parte de la edad del padre?

Rpta.

4. La edad de una persona será dentro de 3 años un cuadrado perfecto, pero hace 3 años era la raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tiene?

Rpta.

¿Cuántos años tengo?

Rpta.

6. María le dice a Rosa: “Hace dos años tenía el cuádruple de tu edad. Dentro de 8 años mi edad será 30 veces la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tendrás dentro de 9 años”. Sus edades actuales son:

Rpta.

7. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes y cuando tengas la edad que yo tengo nuestras edades sumarán 36 años. ¿Cuántos años tengo?

Rpta.8. Hace 7 años tenía “m”

años, dentro de 5 años tendré lo que tenía hace 9 años más la edad que tenía hace 5 años. hallar “m”

Rpta.

9. Cuando yo tenga la edad que él tiene, que es lo que tenías cuando él tenía lo que

11. Pedro es “x” años mayor que José y dentro de “y” años su edad será “z” veces la edad de José ¿Qué edad tiene José?

Rpta.

12. La edad de un hombre es “m>” veces la edad “b” de un niño. ¿Dentro de cuántos años su edad será


75

76


yo tengo, él tendrá la edad que tienes y a ti te faltará 15 años para duplicar la edad que tengo. ¿Cuántos años tengo si hace 10 años tenía la mitad de la edad que tienes?

Rpta.

10. Una persona dice: Si a la edad que tenía hace 10 años la multiplico por la edad que tendré dentro de 10 años, resulta 525. Hallar mi edad

Rpta.

solamente “n” veces la edad del niño?

Rpta.

13. Un niño dice. Si a la edad que tenía hace 8 años la multiplico por la edad que tendré dentro de 8 años resulta 105. hallar mi edad

Rpta.

14. Las edades de Roberto y José son proporcionales como 2 es a 3, si la suma de las edades es 20. ¿Cuál es la edad de c/u de ellos?

Rpta.

15. Cuando entre los 3 teníamos 180 años, tu tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tenía y él la tercera parte de lo que tú tendrás cuando entre los tres tengamos 300 años y yo tenga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo, tú eres mayor que yo, y si yo tuviese lo que tengo, tuve y tendré, tendría 240 años. ¿Cuántos años tengo ahora?

Rpta.


1. Juana tiene una hija a los 20 años una nieta 24 años después. Cuando la nieta tiene 11 años la abuela dice tener 45 años y la hija 30 años. ¿Cuál es la suma de las edades que ocultan ambas?

A) B) C)D) E)

2. La suma de las edades de Juan y Pepe están entre 30 y 40 años. la de Pepe y Lalo están entre 32 y 42; y la de Juan y Lalo se dan entre 34 y 44. la suma de años de los tres ¿Entre qué años oscila?

4. María le dice a Susana: “Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será dos veces la que tengo y saber que cuando tenía 10 años tú tenías la edad que tengo” ¿Cuánto suman las edades actuales de María y Susana?

A) B) C)D) E)

5. Si un padre tiene 32 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será 10 veces mayor que la de su hijo?


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78


A) 42 y 60

B) 45 y 63

C) 48 y 63

D) 39 y 60

E) 48 y 60

F)

3. Dos hermanos cuyas edades se diferencian en 2 años. ¿Después de cuántos años uno tendrá el cuádruple de la edad del otro y éste el doble de la del primero?

A) B) C)D) E)

A) Dentro de 2 años.

B) Dentro de 5 años.

C) Hace 2 años.D) Hace 2 años.E) Ninguna anterior.

6. Un hombre tiene “X” años. su hermano mayor que es “Y” años mayor que “X”, es “Z” años menor que su padre. ¿Qué edad tiene el padre?

A) B)C) D)E)

7. Juan es dos veces mayor que José. En 5 años:

A) Juan tendrá más que el doble de la edad de José.

B) Juan tendrá 6 años menos que el doble de la edad de José.

C) Juan tendrá menos que el doble de la edad de José.

D) Juan tendrá 5 años más que el doble de la edad de José.

E) N.A.

8. Hace dos años tenía el cuádruple de tu edad, dentro de 8 años tendré 30 veces la edad que tú tenías

9. El señor Sánchez tendrá “X” años a partir de la fecha. ¿Cuántos años tuvo hace 6 años?

A) B) C)D) E)

10. Juanito tiene el doble de años que Janet. En “t” años ella tendría 1 1/2 años de edad. ¿Cuál es la edad de Janet actualmente?

A) B)C)

D)E)

.

cuando yo tenía la edad que tú tendrás dentro de 9 años. ¿Qué dad tengo yo?

A) B) C)D) E)

AMIGOS SON LOS QUE EN LAS PROSPERIDADES ACUDEN AL SER LLAMADOS Y EN LAS ADVERSIDADES SIN SERLO

DEMETRIO I

CLAVES

1. C

2. C

3. E

4. D

5. B

6. A

7. C

8. B

9. A

10. C


79

80


ÍNDICE

PÁG.

RAZONAMIENTO INDUCTIVO - DEDUCTIVO................................................... 7

RAZONAMIENTO LÓGICO.......................................................................... 17

ORDEN DE INFORMACIÓN......................................................................... 33

PLANTEO DE ECUACIONES........................................................................ 47

CUATRO OPERACIONES........................................................................... 57

EDADES............................................................................................... 71


Date post:	28-Jan-2016
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