Robert Löw- A versatile setup for experiments with Rubidium Bose Einstein condensates: From optical...

8/3/2019 Robert Löw- A versatile setup for experiments with Rubidium Bose Einstein condensates: From optical lattices to Ry…

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A v e r s a t i l e s e t u p f o r e x p e r i m e n t s w i t h

R u b i d i u m B o s e E i n s t e i n c o n d e n s a t e s :

F r o m o p t i c a l l a t t i c e s t o R y d b e r g m a t t e r

V o n d e r F a k u l t ä t M a t h e m a t i k u n d P h y s i k d e r U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t

z u r E r l a n g u n g d e r W ü r d e e i n e s D o k t o r s d e r

N a t u r w i s s e n s c h a f t e n ( D r . r e r . n a t . ) g e n e h m i g t e A b h a n d l u n g

v o r g e l e g t v o n

R o b e r t L ö w

a u s M ü n c h e n

H a u p t b e r i c h t e r : P r o f . D r . T i l m a n P f a u

M i t b e r i c h t e r : P r o f . D r . U l r i c h S t r o t h

T a g d e r m ü n d l i c h e n P r ü f u n g : 1 3 . D e z e m b e r 2 0 0 6

P h y s i k a l i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t

2 0 0 6



D 9 3



I n m e m o r i a m J o s e f L ö w



I I



C o n t e n t s

Z u s a m m e n f a s s u n g V I

1 I n t r o d u c t i o n 1

1 . 1 C o l d a t o m s m e e t s o l i d s t a t e p h y s i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 R y d b e r g m a t t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 3 T h i s t h e s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 T h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s 7

2 . 1 A t o m - l i g h t i n t e r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . 1 . 1 D o p p l e r - c o o l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 . 1 . 2 M a g n e t o - o p t i c a l t r a p p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

2 . 1 . 3 P o l a r i z a t i o n g r a d i e n t c o o l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 2 M a g n e t i c t r a p p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 2 . 1 C l o v e r l e a f t r a p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

2 . 3 E v a p o r a t i v e c o o l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 4 B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 4 . 1 T h e n o n - i n t e r a c t i n g B o s e g a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 4 . 2 T h e i n t e r a c t i n g B o s e g a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 4 . 3 C o l l i s i o n a l p r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 5 D i p o l e p o t e n t i a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 5 . 1 O p t i c a l l a t t i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

2 . 6 R y d b e r g a t o m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

2 . 6 . 1 G e n e r a l p r o p e r t i e s o f R y d b e r g a t o m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

2 . 6 . 2 G e n e r a l p r o p e r t i e s o f R u b i d i u m R y d b e r g a t o m s . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

2 . 6 . 3 L i f e t i m e o f R u b i d i u m R y d b e r g a t o m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 E x p e r i m e n t a l s e t u p a n d p e r f o r m a n c e o f B o s e - E i n s t e i n p r o d u c t i o n 3 1

3 . 1 T h e v a c u u m s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

3 . 1 . 1 E u s i v e o v e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4

3 . 1 . 2 M a i n c h a m b e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

3 . 2 T h e l a s e r s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

3 . 3 I m a g i n g s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

3 . 3 . 1 F l u o r e s c e n c e i m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

3 . 3 . 2 A b s o r p t i o n i m a g i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

3 . 3 . 3 T i m e o f i g h t e x p a n s i o n o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e . . . . . . . . . . 4 5

3 . 4 C o m p u t e r c o n t r o l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

3 . 5 A n i n t e n s e R u b i d i u m s o u r c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

3 . 6 T h e Z e e m a n s l o w e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

3 . 7 M a g n e t o - o p t i c a l t r a p a n d m o l a s s e s c o o l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

3 . 7 . 1 M a g n e t o - o p t i c a l t r a p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

3 . 7 . 2 M o l a s s e s c o o l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4



I V g o n n

3 . 8 O p t i c a l p u m p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

3 . 9 M a g n e t i c t r a p p i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

3 . 1 0 E v a p o r a t i v e c o o l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

3 . 1 1 B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

4 T h e o r e t i c a l r e s u l t s 6 7

4 . 1 T h e l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7

4 . 1 . 1 L i g h t - i n d u c e d d i p o l e m o m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7

4 . 1 . 2 P o t e n t i a l s o f i n t e r a c t i n g d i p o l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

4 . 1 . 3 T h e e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0

4 . 1 . 4 O u t l i n e o f t h e c a l c u l a t i o n a n d r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1

5 E x p e r i m e n t a l r e s u l t s 7 5

5 . 1 B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s i n a n o p t i c a l l a t t i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

5 . 1 . 1 E x p e r i m e n t a l s e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

5 . 1 . 2 R e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6

5 . 2 R a b i o s c i l l a t i o n s b e t w e e n t h e t w o h y p e r n e g r o u n d s t a t e s . . . . . . . . . . . . . . 8 0

5 . 3 E x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g a t o m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

5 . 3 . 1 L a s e r s y s t e m f o r a t w o p h o t o n e x c i t a t i o n i n t o R y d b e r g - s t a t e s . . . . . . . 8 3

5 . 3 . 2 E l e c t r i c e l d c o n g u r a t i o n s a n d i o n d e t e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4

5 . 3 . 3 S t a r k e e c t i n a m a g n e t i c a l l y t r a p p e d c l o u d . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8

5 . 3 . 4 L i f e t i m e o f t h e 4 3 S

I = P

s t a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9

6 S u m m a r y a n d O u t l o o k 9 1

6 . 1 M i l e s t o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1

6 . 1 . 1 A r u n n i n g B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n m a c h i n e . . . . . . . . . . . . . . . 9 1

6 . 1 . 2 E x p e r i m e n t a l r e a l i z a t i o n o f a n o p t i c a l l a t t i c e . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2

6 . 1 . 3 C o h e r e n t c o u p l i n g o f t w o h y p e r n e g r o u n d s t a t e s . . . . . . . . . . . . . . 9 2

6 . 1 . 4 I n v e s t i g a t i o n o f u l t r a - c o l d R y d b e r g a t o m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2

6 . 1 . 5 T h e o r e t i c a l t r e a t m e n t o f l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n s . . . . . . 9 3

6 . 2 W h a t

H

s n e x t ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

6 . 2 . 1 T h e s p i n - B o s o n m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

6 . 2 . 2 R y d b e r g m a t t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

A T h e e l e m e n t R u b i d i u m 9 7

A . 1 P h y s i c a l p r o p e r t i e s o f

V U

R b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7

A . 2 O p t i c a l p r o p e r t i e s o f

V U

R b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7

B R u b i d i u m a t o m s i n m a g n e t i c e l d s 1 0 1

C R u b i d i u m R y d b e r g a t o m s i n e l e c t r i c e l d s 1 0 3

D O p t i c a l B l o c h e q u a t i o n s i n a m u l t i - l e v e l a t o m 1 0 7

D . 1 S p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g a n d t h e l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n . . . . . . . 1 0 8

E O p t i c a l d i p o l e p o t e n t i a l s i n a m u l t i - l e v e l a t o m 1 1 1

F P h y s i c a l d i m e n s i o n s o f t h e m a i n v a c u u m c h a m b e r 1 1 3

G T h r e e l e v e l s y s t e m s 1 1 5



g o n n V

H T a y l o r e x p a n s i o n o f a g e n e r a l i z e d o c t o p o l e 1 1 7

I R e d u c t i o n o f t h e l i f e t i m e o f R y d b e r g s t a t e s d u e t o b l a c k b o d y r a d i a t i o n 1 2 3

B i b l i o g r a p h y 1 2 6

D a n k s a g u n g 1 4 2



V I m m n n



Z u s a m m e n f a s s u n g

I n d i e s e r A r b e i t p r ä s e n t i e r e i c h e i n e n n e u a r t i g e n A u f b a u f ü r E x p e r i m e n t e m i t B o s e - E i n s t e i n K o n -

d e n s a t e n b e s t e h e n d a u s

V U

R b A t o m e n u n d d i e e r s t e n e x p e r i m e n t e l l e n E r g e b n i s s e , d i e a n d i e s e r

A p p a r a t u r e r b r a c h t w u r d e n . D e r F o k u s l i e g t d a b e i i n d e r U n t e r s u c h u n g v o n F r a g e s t e l l u n g e n a u s

d e r F e s t k ö r p e r p h y s i k s o w i e d e r E i g e n s c h a f t e n v o n R y d b e r g M a t e r i e b e i s e h r h o h e n D i c h t e n u n d

T e m p e r a t u r e n n a h e d e s a b s o l u t e n N u l l p u n k t e s .

A l s i m J a h r 2 0 0 2 E r i c C o r n e l l , C a r l W i e m a n a n d W o l f g a n g K e t t e r l e d e n N o b e l p r e i s f ü r d i e E r z e u -

g u n g e i n e s B o s e - E i n s t e i n K o n d e n s a t e s ( B E K ) u n d f ü r e r s t e f u n d a m e n t a l e U n t e r s u c h u n g e n d a r a n

ü b e r r e i c h t b e k a m e n , w a r d i e s n i c h t n u r e i n e A u s z e i c h n u n g f ü r e i n e n u n h i s t o r i s c h e w i s s e n s c h a f t l i c h e

L e i s t u n g , s o n d e r n a u c h d e r S t a r t s c h u s s f ü r e i n ü b e r a u s l e b e n d i g e s F o r s c h u n g s g e b i e t . D i e s e A u s -

s a g e w i r d d u r c h d i e E n t w i c k l u n g d e r w i s s e n s c h a f t l i c h e n V e r ö e n t l i c h u n g e n i m F o r s c h u n g s g e b i e t

d e r q u a n t e n e n t a r t e t e n G a s e g e s t ü t z t , d i e d e r A b b i l d u n g 1 . 1 e n t n o m m e n w e r d e n k a n n . D a b e i w u r -

d e n n u r F a c h a r t i k e l g e w e r t e t , d i e a u f e x p e r i m e n t e l l e n D a t e n b a s i e r e n . Z u d i e s e n A r t i k e l n k o m m e n

d r e i ÿ i g m a l s o v i e l e t h e o r e t i s c h e V e r ö e n t l i c h u n g e n h i n z u , s o d a s s n u n s e i t d e r e r s t e n E r z e u g u n g e i n e s

B E K s i n 1 9 9 5 b i s h e u t e m e h r a l s 2 0 . 0 0 0 w i s s e n s c h a f t l i c h e A b h a n d l u n g e n e n t s t a n d e n s i n d . D a b e i

z e i g t d i e S t e i g u n g d e r V e r ö e n t l i c h u n g s k u r v e b i s l a n g k e i n e A b a c h u n g , w a s a u f e i n e l e b e n d i g e

Z u k u n f t d e r Q u a n t e n g a s e h i n d e u t e t . D i e s e Z u k u n f t w i r d v o n i n z w i s c h e n w e l t w e i t ü b e r f ü n f z i g

A r b e i t s g r u p p e n m i t c i r c a a c h t z i g f u n k t i o n s t ü c h t i g e n B E K - A u f b a u t e n g e s t a l t e t w e r d e n . I n d i e s e n

G r u p p e n k o n n t e n b i s l a n g d i e E l e m e n t e

I

H [ 1 ] ,

R

H e [ 2 ] ,

S P

C r [ 3 ] ,

I Q Q

C s [ 4 ] ,

R I

K [ 5 ] ,

U

L i [ 6 ] ,

P Q

N a

[ 7 ] ,

V S

R b [ 8 ] ,

V U

R b [ 9 ] , a n d

I U R

Y b [ 1 0 ] e r f o l g r e i c h k o n d e n s i e r t w e r d e n . S e i t k u r z e m w u r d e n d i e

B E K s b a s i e r e n d a u f a t o m a r e n G a s e n n o c h u m z w e i f e s t k ö r p e r a r t i g e S y s t e m e e r w e i t e r t . S o k o n -

n t e n u n a u c h d i e E x i s t e n z e i n e r q u a n t e n e n t a r t e t e n P h a s e m i t P o l a r i t o n e n [ 1 1 ] u n d M a g n o n e n [ 1 2 ]

n a c h g e w i e s e n w e r d e n .

D i e F o r s c h u n g a n Q u a n t e n g a s e n e r s t r e c k t s i c h h e u t e ü b e r f a s t a l l e k l a s s i s c h e n G e b i e t e d e r P h y s i k

u n d h a t s o e i n e V i e l f a l t a n g e n o m m e n , d a s s e s u n m ö g l i c h i s t , s i e i n e i n e i n f a c h e s S t r u k t o g r a m m

z u p r e s s e n . D a r u m s e i i m F o l g e n d e n e i n e s u b j e k t i v e Ü b e r s i c h t ü b e r d i e v e r s c h i e d e n e n A k t i v i t ä t e n

g e g e b e n .

I n f a s t a l l e n b i s l a n g d u r c h g e f ü h r t e n E x p e r i m e n t e n i s t d i e W e c h s e l w i r k u n g z w i s c h e n d e n A t o m e n

v o n e n t s c h e i d e n d e r B e d e u t u n g , w e l c h e h i e r a l s k l e i n s t e r g e m e i n s a m e r N e n n e r h e r a n g e z o g e n w e r -

d e n s o l l . T y p i s c h e r w e i s e i s t d i e W e c h e l w i r k u n g s e n e r g i e v o n m a g n e t i s c h o d e r o p t i s c h g e f a n g e n e n

B E K s e i n e G r ö ÿ e n o r d n u n g g r ö ÿ e r a l s d e r e n t s p r e c h e n d e Q u a n t e n d r u c k d u r c h d e n F a l l e n e i n s c h l u s s .

D i e s e E n e r g i e d r ü c k t d i e B E K s a u s e i n a n d e r u n d m a c h t s i e d a m i t f ü r o p t i s c h e A b b i l d u n g s s y s t e m e

w e s e n t l i c h l e i c h t e r z u g ä n g l i c h . D i e d a d u r c h e n t s t a n d e n e n d e t a i l i e r t e n A u f n a h m e n v o n B E K s w a r e n

s i c h e r l i c h m a ÿ g e b l i c h f ü r d e n g r o ÿ e n E r f o l g d i e s e s G e b i e t e s v e r a n t w o r t l i c h .

I n d e n e r s t e n J a h r e n n a c h d e r e r s t e n e r f o l g r e i c h e n K o n d e n s a t i o n i n 1 9 9 5 w u r d e n a l l e m ö g l i c h e n

A r t e n v o n e l e m e n t a r e n h y d r o d y n a m i s c h e n A n r e g u n g e n u n t e r s u c h t , w i e z . B . D i p o l o s z i l l a t i o n e n ,

Q u a d r u p o l a n r e g u n g e n , F o r m o s z i l l a t i o n e n , A t m u n g s m o d e n u n d S c h e r e n m o d e n [ 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 ]

s o w i e d e r e n k o r r e s p o n d i e r e n d e n D ä m p f u n g s m e c h a n i s m e n . E i n e g a n z a n d e r e A r t v o n k o l l e k t i v e r

A n r e g u n g , d i e e r s t d u r c h d i e P r ä s e n z e i n e r W e c h s e l w i r k u n g m ö g l i c h i s t , s i n d P h o n o n e n , d i e a u f

v e r s c h i e d e n e A r t e n [ 1 8 , 1 9 , 2 0 ] u n t e r s u c h t w u r d e n . D i e K o m b i n a t i o n v o n m a k r o s k o p i s c h e r Q u a n -

t e n k o h ä r e n z u n d e i n e r p h o n o n e n a r t i g e D i s p e r s i o n s r e l a t i o n v e r b i e t e t d i e A n r e g u n g v o n Q u a s i t e i l c h e n



V I I I m m n n

u n t e r h a l b e i n e r k r i t i s c h e n G e s c h w i n d i g k e i t [ 2 1 , 2 2 ] , w a s g e m e i n h i n a l s S u p e r u i d i t ä t b e z e i c h n e t

w i r d . D e r N a c h w e i s e i n e r s u p e r u i d e n P h a s e i n e i n e m B E K w u r d e a u f v e r s c h i e d e n e A r t e n e r -

b r a c h t [ 2 3 , 2 4 , 2 5 ] , m a n i f e s t i e r t s i c h a b e r a m s c h ö n s t e n d u r c h d i e E x i s t e n z v o n q u a n t i s i e r t e n

W i r b e l n [ 2 6 , 2 7 , 2 8 ] . D u r c h i n t e r f e r o m e t r i s c h e M e t h o d e n k o n n t e a u c h g e z e i g t w e r d e n , d a s s

d i e b e o b a c h t e t e n W i r b e l t a t s ä c h l i c h q u a n t i s i e r t s i n d [ 2 9 ] . I n t e r f e r o m e t r i e i s t ü b e r h a u p t e i n e s

d e r w i c h t i g s t e n W e r k z e u g e , u m B E K s z u u n t e r s u c h e n , u n d w u r d e e r s t m a l s z u m N a c h w e i s d e r

m a k r o s k o p i s c h e n K o h ä r e n z d e r M a t e r i e w e l l e n v e r w e n d e t [ 3 0 ] . B a l d w u r d e s i e a b e r a u c h b e n u t z t ,

u m z . B . d i e P h a s e e i n e s K o n d e n s a t s z u b e s t i m m e n [ 3 0 ] o d e r u m B e s c h l e u n i g u n g e n [ 3 1 , 3 2 ] u n d

f u n d a m e n t a l e K o n s t a n t e n [ 3 3 ] z u m e s s e n .

W i e s c h o n g e s a g t w u r d e , s i n d W e c h s e l w i r k u n g e n v o n f u n d a m e n t a l e r B e d e u t u n g u n d m a c h e n s i c h

v o r a l l e m i n E x p e r i m e n t e n b e m e r k b a r , i n d e n e n s i e a l s N i c h t l i n e a r i t ä t a u f t a u c h e n . H i e r s e i z u m

B e i s p i e l d i e E r z e u g u n g v o n S o l i t o n e n [ 3 4 , 3 5 , 3 6 ] o d e r d e r N a c h w e i s v o n V i e r w e l l e n m i s c h u n g [ 3 7 ]

g e n a n n t . M i t H i l f e v o n F e s h b a c h r e s o n a n z e n i s t e s m ö g l i c h , d i e S t ä r k e d e r W e c h s e l w i r k u n g d u r c h

M a g n e t f e l d e r a n n ä h e r n d b e l i e b i g z u v e r ä n d e r n [ 3 8 , 3 9 , 4 0 , 4 1 , 4 2 ] , w a s v i e l e n e u e e x p e r i m e n t e l l e

M ö g l i c h k e i t e n e r ö n e t . D i e s e r E e k t w u r d e z u m B e i s p i e l a u s g e n u t z t , u m B E K s , b e s t e h e n d a u s

M o l e k ü l e n , h e r z u s t e l l e n [ 4 3 , 4 4 ] . D a z u w e r d e n z w e i A t o m e e i n e s B E K s m i t t l e s e i n e r F e s h b a c h r e s o -

n a n z a d i a b a t i s c h i n e i n M o l e k ü l u m g e w a n d e l t . D i e s e M o l e k ü l e m ü s s e n a b e r n i c h t z w a n g s l ä u g a u s

z w e i B o s o n e n b e s t e h e n , s o n d e r n k ö n n e n a u c h F e r m i o n e n e n t h a l t e n [ 4 5 , 4 6 , 4 7 ] .

D i e s e k n a p p e Ü b e r s i c h t s o l l n o c h u m e i n i g e w i c h t i g e E r g e b n i s s e v o n f u n d a m e n t a l e r B e d e u t u n g

e r w e i t e r t w e r d e n . D i e V e r w i r k l i c h u n g v o n v e r s c h i e d e n e n A t o m l a s e r t y p e n [ 4 8 , 4 9 , 5 0 ] z e i g t e e i n -

d r u c k s v o l l d i e n a h e V e r w a n d s c h a f t z w i s c h e n d e n K o h ä r e n z e i g e n s c h a f t e n e i n e s n o r m a l e n L a s e r s z u

d e m e i n e s S t r a h l s v o n k o h ä r e n t e n M a t e r i e w e l l e n . W e i t e r h i n w u r d e e i n k o h ä r e n t e r V e r s t ä r k e r f ü r

M a t e r i e w e l l e n e n t w i c k e l t [ 5 1 , 5 2 ] , L i c h t a u f w e n i g e M e t e r p r o S e k u n d e a b g e b r e m s t [ 5 3 , 5 4 ] o d e r

d i e P h y s i k d e r S p i n o r k o n d e n s a t e e i n g e h e n d u n t e r s u c h t [ 5 5 , 5 6 , 5 7 ] . Z u l e t z t s e i n o c h a u f d i e H e r -

s t e l l u n g e i n e s G a s e s i m T o n k s - G i r a r d e a u R e g i m e [ 5 8 , 5 9 ] , d e r N a c h w e i s v o n E m o v Z u s t ä n d e n [ 6 0 ]

u n d d i e E r z e u g u n g v o n V e r s c h r ä n k u n g [ 6 1 ] v e r w i e s e n .

N a c h d e m i c h d i e F o r s c h u n g d e r l e t z t e n z e h n J a h r e g r o b u m r i s s e n h a b e , s t e l l t s i c h n u n d i e F r a g e ,

w a s d i e Z u k u n f t b r i n g e n w i r d . A k t u e l l i s t e i n H a u p t g e b i e t d i e U n t e r s u c h u n g v o n q u a n t e n e n t a r t e t e n

G a s e n i n o p t i s c h e n G i t t e r n , d i e a u c h e i n Z i e l d e s h i e r v o r g e s t e l l t e n e x p e r i m e n t e l l e n A u f b a u s i s t

u n d d a r u m i n e i n e m e i g e n e n u n t e n s t e h e n d e n A b s c h n i t t b e h a n d e l t w i r d . M i t d e r e r f o l g r e i c h e n K o n -

d e n s a t i o n v o n C h r o m a t o m e n [ 3 ] s t e h t n u n e r s t m a l i g e i n S y s t e m m i t e i n e r s p ü r b a r e n d i p o l a r e n

W e c h s e l w i r k u n g z u r V e r f ü g u n g , w a s i n n e r h a l b k ü r z e s t e r Z e i t z u e i n e r ü b e r a u s g r o ÿ e n A n z a h l v o n

t h e o r e t i s c h e n A r b e i t e n f ü h r t e u n d v i e l e r w a r t e n l ä s s t . B E K s w u r d e n a b e r a u c h i n t e n s i v a l s e i n

S y s t e m f ü r P r ä z i s i o n s m e s s u n g e n v o n N a t u r k o n s t a n t e n [ 6 2 ] , a l s S e n s o r f ü r B e s c h l e u n i g u n g e n u n d

R o t a t i o n e n [ 6 3 ] o d e r z u m N a c h w e i s e i n e s p e r m a n e n t e n D i p o l m o m e n t s d e s E l e k t r o n s [ 6 4 ] d i s k u t i e r t .

W e i t e r e A n w e n d u n g e n e r g e b e n s i c h i n d e r A t o m l i t h o g r a p h i e [ 6 5 ] o d e r d e m A u f b a u v o n H y b r i d s y s -

t e m e n , d i e K o n d e n s a t e m i t m a k r o s k o p i s c h e n F e s t k ö r p e r e l e m e n t e n k o m b i n i e r e n [ 6 6 ] .

F e s t k ö r p e r p h y s i k m i t u l t r a k a l t e n A t o m e n

D i e e x p e r i m e n t e l l e u n d t h e o r e t i s c h e F e s t k ö r p e r p h y s i k b e h a n d e l t f a s t a u s s c h l i e ÿ l i c h d i e E i g e n -

s c h a f t e n v o n E l e k t r o n e n i n k r i s t a l l i n e r M a t e r i e u n d d e r e n S t r u k t u r . U l t r a k a l t e G a s e b e n d e n s i c h

d a g e g e n n o r m a l e r w e i s e i n e i n e m u n g e o r d n e t e n Z u s t a n d , k ö n n e n a b e r m i t H i l f e v o n o p t i s c h e n G i t -

t e r n p e r i o d i s c h a n g e o r d n e t w e r d e n . N u n ü b e r n e h m e n d i e A t o m e d i e R o l l e d e r E l e k t r o n e n u n d d a s

o p t i s c h e G i t t e r s t e l l t d a s t i g h t - b i n d i n g P o t e n t i a l d e r r e m a n e n t e n I o n e n d a r . D i e s c h w a c h e W e c h -

s e l w i r k u n g z w i s c h e n d e n A t o m e n , d i e v i e l f ä l t i g e n E i n s t e l l m ö g l i c h k e i t e n d e r P o t e n t i a l l a n d s c h a f t u n d



m m n n I X

d i e K o n t r o l l e ü b e r d e n Q u a n t e n z u s t a n d d e r A t o m e m a c h t d i e s z u e i n e m i d e a l e n M o d e l l s y s t e m , u m

f e s t k ö r p e r p h y s i k a l i s c h e F r a g e s t e l l u n g e n z u u n t e r s u c h e n .

D e r e r s t e V e r s u c h o p t i s c h e G i t t e r m i t e i n e m B E K z u k o m b i n i e r e n w u r d e i m J a h r e 1 9 9 8 v o r g e n o m -

m e n u n d l i e f e r t e s o g l e i c h d e n N a c h w e i s v o n B l o c h o s z i l l a t i o n e n [ 6 7 ] , w a s g e r a d e m a l f ü n f J a h r e z u v o r

i n e i n e m F e s t k ö r p e r s y s t e m e r r e i c h t w u r d e [ 6 8 ] . D i e U n t e r s u c h u n g d e r D y n a m i k v o n A t o m e n i n o p -

t i s c h e n G i t t e r n e r b r a c h t e a u c h d e n N a c h w e i s v o n W a n n i e r - S t a r k L e i t e r n [ 6 9 ] u n d L a n d a u - Z e n e r

T u n n e l n [ 7 0 ] .

D e r g r ö ÿ t e E r f o l g d e r o p t i s c h e n G i t t e r i s t s i c h e r l i c h d i e E r z e u g u n g e i n e s M o t t - I s o l a t o r Z u s t a n d s

e i n e s B E K s i n e i n e m d r e i d i m e n s i o n a l e n o p t i s c h e n G i t t e r [ 7 1 , 7 2 ] , w a s b i s h e u t e n i c h t i n F e s t k ö r p e r n

e r r e i c h t w u r d e . D i e t h e o r e t i s c h e B e s c h r e i b u n g d i e s e s s t a r k k o r r e l i e r t e n Z u s t a n d s e r f o l g t m i t H i l f e

d e s B o s e - H u b b a r d M o d e l l s [ 7 3 ] . D i e s e s M o d e l l i s t a u f g r u n d s e i n e r g r o ÿ e n K o m p l e x i t ä t s c h w i e r i g

h a n d z u h a b e n u n d w e i t e r e E x p e r i m e n t e w e r d e n s i c h e r z u m V e r s t ä n d n i s d i e s e s S y s t e m s b e i t r a g e n

[ 7 4 ] .

E i n w e i t e r e s f e s t k ö r p e r t h e o r e t i s c h e s M o d e l l s y s t e m i s t d a s S p i n - B o s o n M o d e l l [ 7 5 ] , w e l c h e s d i e K o p -

p l u n g e i n e s P s e u d o - S p i n s a n e i n b o s o n i s c h e s B a d b e s c h r e i b t . D i e K o p p l u n g i n d u z i e r t D i s s i p a t i o n d e s

S p i n z u s t a n d s a b h ä n g i g v o n d e n E i g e n s c h a f t e n d e s t h e r m i s c h e n B a d e s . W i e a u c h d a s B o s e - H u b b a r d

M o d e l l k a n n d a s S p i n - B o s o n M o d e l l a u f B E K s ü b e r s e t z t w e r d e n [ 7 6 , 7 7 ] . D i e U n t e r s u c h u n g d i e s e s

Q u a n t e n - D i s s i p a t i o n M o d e l l s i s t e i n H a u p t z i e l d e s h i e r v o r g e s t e l l t e n A u f b a u s . D i e e x p e r i m e n t e l l e

U m s e t z u n g e r f o r d e r t i m P r i n z i p n i c h t d i e P e r i o d i z i t ä t e i n e s o p t i s c h e n G i t t e r s , w e l c h e s a b e r a l s H i l -

f s m i t t e l z u r E r z e u g u n g d e s t h e r m i s c h e n B a d e s e i n g e s e t z t g e n u t z t w e r d e n k a n n . S o l c h e i n G i t t e r

w u r d e i m R a h m e n d i e s e r A r b e i t s c h o n e r f o l g r e i c h i m p l e m e n t i e r t .

R y d b e r g M a t e r i e

N e b e n d e r U n t e r s u c h u n g d e s S p i n - B o s o n M o d e l l s i s t d i e E r f o r s c h u n g v o n u l t r a k a l t e n R y d b e r g g a s e n

d i e z w e i t e H a u p t r i c h t u n g d i e s e s P r o j e k t e s . R y d b e r g a t o m e s i n d h o c h a n g e r e g t e A t o m e m i t e i n e m

o d e r m e h r e r e n E l e k t r o n e n i n Z u s t ä n d e n m i t h o h e n H a u p t q u a n t e n z a h l e n [ 7 8 ] . E r s t e U n t e r s u c h u n -

g e n z u d e n E i g e n s c h a f t e n v o n R y d b e r g z u s t ä n d e n w a r e n n u r i n h o c h a n g e r e g t e n P l a s m e n o d e r d u r c h

a s t r o n o m i s c h e B e o b a c h t u n g e n m ö g l i c h [ 7 9 ] , w o s i e d u r c h R e k o m b i n a t i o n v o n I o n e n u n d E l e k t r o n e n

e n t s t e h e n . D i e E r n d u n g d e s L a s e r s e r m ö g l i c h t e e s s c h l i e ÿ l i c h , A t o m e i n w o h l d e n i e r t e Z u s t ä n d e

a n z u r e g e n , w a s h i n r e i c h e n d a u s g e n u t z t w u r d e [ 8 0 ] . A l s Q u e l l e n d i e n t e n d a b e i m e i s t D a m p f z e l l e n

o d e r t h e r m i s c h e A t o m s t r a h l e n . M i t d e r E n t d e c k u n g d e r L a s e r k ü h l u n g [ 8 1 , 8 2 , 8 3 ] w a r e n n u n

a t o m a r e W o l k e n i m K B e r e i c h v e r f ü g b a r , w a s d a s F o r s c h u n g s g e b i e t d e r g e f r o r e n e n R y d b e r g g a s e

i n i t i i e r t e [ 8 4 , 8 5 ] . D e r N a m e s p i e g e l t d a b e i d i e T a t s a c h e w i e d e r , d a s s a u f d e r Z e i t s k a l a d e r d u r c h g e -

f ü h r t e n E x p e r i m e n t e o d e r d e r L e b e n s d a u e r d e r a n g e r e g t e n Z u s t ä n d e d i e A t o m e s i c h n i c h t m e r k l i c h

b e w e g e n u n d s o m i t e i n g e f r o r e n s i n d . D a m i t i s t e s n u n m ö g l i c h , d i e W e c h s e l w i r k u n g e n z w i s c h e n

d e n A t o m e n w e i t a u s g e n a u e r z u u n t e r s u c h e n a l s j e z u v o r . R y d b e r g a t o m e h a b e n e i n e g r o ÿ e P o l a r -

i s i e r b a r k e i t , w a s e i n e s t a r k e v a n - d e r - W a a l s W e c h s e l w i r k u n g n a c h s i c h z i e h t [ 8 6 , 8 7 , 8 8 , 8 9 , 9 0 ] .

L e g t m a n z u s ä t z l i c h n o c h e i n e l e k t r i s c h e s F e l d a n , e r g i b t s i c h f ü r d i e m e i s t e n Z u s t ä n d e e i n g r o ÿ e s

e l e k t r i s c h e s D i p o l m o m e n t . D i e D i p o l - D i p o l W e c h s e l w i r k u n g f ü h r t f ü r z w e i n a h e b e i e i n a n d e r l i e g e n d e

A t o m e z u e i n e m B l o c k a d e e e k t d e r A n r e g u n g , w e l c h e a l s G r u n d l a g e e i n e s c - N O T G a t t e r s f ü r d i e

Q u a n t e n i n f o r m a t i o n s v e r a r b e i t u n g d i e n e n k ö n n t e [ 9 1 ] .

D i e E r w e i t e r u n g d e r R y d b e r g f o r s c h u n g a u f l a s e r g e k ü h l t e A t o m w o l k e n e r w e i t e r t e d e n P a r a m e t e r -

r a u m u m m e h r e r e G r ö ÿ e n o r d n u n g e n u n d e r ö n e t e d a m i t n e u e p h y s i k a l i s c h e S i t u a t i o n e n . E i n e l o -

g i s c h e K o n s e q u e n z i s t e s n u n , B E K s f ü r E x p e r i m e n t e h e r a n z u z i e h e n , d a s i e e i n e w e s e n t l i c h h ö h e r e

D i c h t e b e i e x t r e m k l e i n e n T e m p e r a t u r e n a u f z e i g e n . W e i t e r h i n h a t m a n n u n a u c h d i e M ö g l i c h k e i t ,



X m m n n

d i e i n t e r n e n u n d e x t e r n e n F r e i h e i t s g r a d e k o h ä r e n t z u k o n t r o l l i e r e n , w i e d i e o b i g e A u i s t u n g d e r

E x p e r i m e n t e d e u t l i c h g e z e i g t h a t . A u f d e r A g e n d a s t e h t z u n ä c h s t d i e U n t e r s u c h u n g d e r d i p o l a r e n

W e c h s e l w i r k u n g u n d d e r N a c h w e i s d e s B l o c k a d e e e k t s . H i e r m i t l ä ÿ t s i c h n u n i n K o m b i n a t i o n

m i t e i n e m k o h ä r e n t e n A n r e g u n g s s c h e m a e i n c - N O T G a t t e r b e w e r k s t e l l i g e n . W e i t e r h i n w i r d d i e

M ö g l i c h k e i t u n t e r s u c h t , i n w i e f e r n s i c h R y d b e r g a t o m e i n e l e k t r o s t a t i s c h e n F a l l e n e i n f a n g e n l a s s e n

o d e r d i e o b d i e E r z e u g u n g v o n M o l e k ü l e n b e s t e h e n d a u s e i n e m R y d b e r g a t o m u n d e i n e m G r u n d z u -

s t a n d s a t o m m a c h b a r i s t [ 9 2 ] .

E x p e r i m e n t e l l e r A u f b a u

B o s e - E i n s t e i n K o n d e n s a t e w e r d e n u n t e r E i n s a t z v e r s c h i e d e n e r K ü h l m e c h a n i s m e n u n d F a l l e n t y p e n

e r z e u g t . H i e r z u w u r d e z u n ä c h s t e i n e U l t r a h o c h v a k u u m - K a m m e r a u f g e b a u t , d i e b e i 1 0

I I

m b a r

b e t r i e b e n w i r d . D a s K a m m e r d e s i g n b e i n h a l t e t , u n ü b l i c h z u s o n s t i g e n A u f b a u t e n , z u s ä t z l i c h a c h t

F e l d p l a t t e n z u r E r z e u g u n g k o m p l e x e r e l e k t r i s c h e r F e l d g e o m e t r i e n , s o w i e z w e i M u l t i k a n a l p l a t t e n z u r

D e t e k t i o n v o n I o n e n u n d E l e k t r o n e n . D i e s w u r d e i n H i n b l i c k a u f d i e g e p l a n t e n E x p e r i m e n t e m i t R y d -

b e r g a t o m e n v o r g e n o m m e n . D a b e i w a r e s w i c h t i g , d a s s d i e K o m p o n e n t e n z u r E r z e u g u n g e i n e s B E K

n i c h t b e e i n t r ä c h t i g t w e r d e n . D a s w ä r e z u m e i n e n e i n g u t e r o p t i s c h e r Z u g a n g z u r L a s e r k ü h l u n g a u s

d r e i R a u m r i c h t u n g e n s o w i e e i n e M ö g l i c h k e i t , e i n e s p e z i e l l e M a g n e t f a l l e z u r S p e i c h e r u n g d e r A t o m e

m ö g l i c h s t n a h a n d i e A t o m e h e r a n z u b r i n g e n . W e i t e r h i n m u s s n o c h e i n A t o m s t r a h l z u m L a d e n d e r

m a g n e t o - o p t i s c h e n F a l l e ( M O T ) h i n z u g e f ü g t w e r d e n , e i n e A n t e n n e i n n e r h a l b d e r K a m m e r , u m r a -

d i o f r e q u e n z i n d u z i e r t e V e r d a m p f u n g s k ü h l u n g v o r n e h m e n z u k ö n n e n u n d z w e i A c h s e n z u r o p t i s c h e n

A b b i l d u n g d e r k a l t e n A t o m w o l k e . A l l d i e s w u r d e b e w e r k s t e l l i g t , u n d e s k ö n n e n K o n d e n s a t e m i t

m e h r e r e n h u n d e r t t a u s e n d A t o m e n e r z e u g t w e r d e n . H i e r z u w i r d z u n ä c h s t e i n A t o m s t r a h l m i t e i n e m

e u s i v e n O f e n e r z e u g t , d e r m i t t e l s e i n e s Z e e m a n - A b b r e m s e r s v o r g e k ü h l t w i r d u n d e i n e M O T l ä d t .

D i e F u n k t i o n s w e i s e e i n e r M O T b a s i e r t a u f e i n e r g e s c h i c k t e n K o m b i n a t i o n v o n s e c h s L a s e r s t r a h l e n

u n d e i n e m m a g n e t i s c h e n Q u a d r u p o l f e l d , d a s e s e r l a u b t , d i e A t o m e n i c h t n u r z u k ü h l e n , s o n d e r n a u c h

r ä u m l i c h e i n z u f a n g e n . M i t d i e s e r M e t h o d e w e r d e n t y p i s c h e r w e i s e I H

I H

A t o m e i n d e r M O T g e f a n g e n

u n d a n s c h l i e ÿ e n d m i t t e l s M o l a s s e n k ü h l u n g a u f w e n i g e 1 0 K h e r u n t e r g e k ü h l t . A l s n ä c h s t e s w i r d

d i e s e s o v o r g e k ü h l t e W o l k e i n e i n e r e i n m a g n e t i s c h e F a l l e t r a n s f e r i e r t . I n u n s e r e m F a l l h a n d e l t e s

s i c h d a b e i u m e i n e I o e - P r i t c h a r d a r t i g e K l e e b l a t t f a l l e . E i n e w e i t e r e V e r r i n g e r u n g d e r T e m p e r a t u r

w i r d d u r c h e v a p o r a t i v e s K ü h l e n e r r e i c h t . B e i d i e s e r M e t h o d e w e r d e n A t o m e m i t h o h e r k i n e t i s c h e r

E n e r g i e a u s d e r F a l l e d u r c h d a s E i n s t r a h l e n e i n e r p a s s e n d e r R a d i o f r e q u e n z e n t f e r n t . Ü b e r e l a s t i s -

c h e S t ö ÿ e r e t h e r m a l i s i e r e n s i e z u e i n e r t i e f e r e n T e m p e r a t u r u n d e r r e i c h e n s c h l i e ÿ l i c h b e i w e n i g e n

1 0 0 n K d i e k r i t i s c h e T e m p e r a t u r , b e i d e r d e r G r u n d z u s t a n d d e r F a l l e m a k r o s k o p i s c h b e s e t z t w i r d

u n d d a s B E K e n t s t e h t . D a b e i w u r d e n a l l e w i c h t i g e n K e n n g r ö ÿ e n d e r e i n z e l n e n K ü h l s c h r i t t e s o w i e

d e s K o n d e n s a t s a u s f ü h r l i c h u n t e r s u c h t , s o d a s s e s n u n m ö g l i c h i s t , i m t ä g l i c h e n B e t r i e b z u v e r l ä s s i g

K o n d e n s a t e i m M i n u t e n t a k t h e r z u s t e l l e n .

E x p e r i m e n t e l l e E r g e b n i s s e

N a c h d e m d e r A u f b a u c h a r a k t e r i s i e r t w u r d e , k o n n t e n e r s t e E x p e r i m e n t e d u r c h g e f ü h r t w e r d e n , d i e

f ü r d i e b e i d e n a n g e s t r e b t e n P r o j e k t e ( R y d b e r g - M a t e r i e u n d S p i n - B o s o n M o d e l l ) e n t s c h e i d e n d e

G r u n d l a g e n d a r s t e l l e n .

D i e R y d b e r g a n r e g u n g i n e i n e n d e n i e r t e n Z u s t a n d e r f o l g t m i t t e l s e i n e s s c h m a l b a n d i g e n L a s e r s y s -

t e m s d u r c h e i n e z w e i - P h o t o n e n A n r e g u n g . U m d i e R y d b e r g a t o m e s e l e k t i v d e t e k t i e r e n z u k ö n -

n e n , w u r d e n z w e i M u l t i k a n a l p l a t t e n ( M C P ) e i n g e b a u t . D u r c h A n l e g e n e i n e s s t a r k e n e l e k t r i s c h e n



m m n n X I

F e l d e s , d a s d u r c h d i e F e l d p l a t t e n e r z e u g t w i r d , w e r d e n d i e R y d b e r a t o m e f e l d i o n i s i e r t u n d m i t e i n e m

g e e i g n e t e n F e l d g r a d i e n t e n i n d i e M C P g e l e n k t u n d d o r t d e t e k t i e r t . M i t d i e s e r A n o r d n u n g w u r d e

e i n e A u ö s u n g v o n c a . 1 0 0 R y d b e r g a t o m e n e r r e i c h t . U m d i e F e l d e r d i e d u r c h d i e a c h t F e l d p l a t t e n

e r z e u g t w e r d e n z u t e s t e n , w u r d e d i e S t a r k v e r s c h i e b u n g d e s 4 3 S Z u s t a n d e s f ü r v e r s c h i e d e n e F e l d -

k o n g u r a t i o n e n a u s g e m e s s e n u n d m i t t h e o r e t i s c h e n M o d e l l e n v e r g l i c h e n , w a s z u e i n e r s e h r g u t e n

Ü b e r e i n s t i m m u n g f ü h r t e . W e i t e r h i n w u r d e d i e L e b e n s d a u e r d e s 4 3 S Z u s t a n d e s g e m e s s e n , u n d a u c h

d i e s e R e s u l t a t e s t i m m e n g u t m i t d e n t h e o r e t i s c h e n M o d e l l e n ü b e r e i n .

F ü r d a s z w e i t e P r o j e k t , d e r e x p e r i m e n t e l l e n U n t e r s u c h u n g d e s S p i n - B o s o n M o d e l l s , w u r d e e i n e i n d i -

m e n s i o n a l e s G i t t e r a u f g e b a u t u n d c h a r a k t e r i s i e r t . D i e s e s G i t t e r w i r d i n e i n e m n ä c h s t e n S c h r i t t a u f

z w e i D i m e n s i o n e n e r w e i t e r t u m e i n d i m e n s i o n a l e Q u a n t e n g a s e e r z e u g e n z u k ö n n e n , d i e s p ä t e r m a l

d a s b o s o n i s c h e B a d d a r s t e l l e n s o l l e n . U m d i e G i t t e r t i e f e b e s t i m m e n z u k ö n n e n , w u r d e e i n B E K a n

d e m G i t t e r p o t e n t i a l g e b e u g t u n d d i e B e u g u n g s o r d n u n g a l s F u n k t i o n d e r W e c h s e l w i r k u n g s z e i t d e -

t e k t i e r t . D u r c h V e r g l e i c h m i t e i n e m t h e o r e t i s c h e n M o d e l l k o n n t e d i e G i t t e r t i e f e a u f 5 % G e n a u i g k e i t

b e s t i m m t w e r d e n .

A l s d r i t t e s R e s u l t a t w u r d e e i n M i k r o w e l l e n s y s t e m b e i 6 . 8 G H z a u f g e b a u t , w a s g e r a d e d e r H y p e r f e i n -

a u f s p a l t u n g v o n

V U

R b e n t s p r i c h t . M i t e i n e r s p e z i e l l e n H e l i x a n t e n n e w u r d e d i e M i k r o w e l l e n s t r a h l u n g

a u f e i n e l a s e r g e k ü h l t e A t o m w o l k e g e r i c h t e t , u n d e s w u r d e n k o h ä r e n t e R a b i o s z i l l a t i o n e n b e o b a c h t e t .

I n K o m b i n a t i o n m i t d e m R a d i o f r e q u e n z s y s t e m d e r V e r d a m p f u n g s k ü h l u n g i s t e s n u n m ö g l i c h , d i e

A t o m e i n j e d e n b e l i e b i g e n m a g n e t i s c h e n G r u n d z u s t a n d k o h ä r e n t z u t r a n s f e r i e r e n .

T h e o r e t i s c h e E r g e b n i s s e

S c h l i e ÿ l i c h w i r d n o c h e i n V o r s c h l a g z u r e x p e r i m e n t e l l e n U n t e r s u c h u n g d e r l i c h t i n d u z i e r t e n D i p o l -

D i p o l w e c h s e l w i r k u n g v o r g e s t e l l t . W e n n A t o m e e i n e r e l e k t r o m a g n e t i s c h e n W e l l e a u s g e s e t z t s i n d ,

v e r h a l t e n s i e s i c h w i e e i n g e d ä m p f t e r h a r m o n i s c h e r O s z i l l a t o r u n d w e i s e n e i n o s z i l l i e r e n d e s D i p o l -

m o m e n t a u f . D i e A t o m e e r f a h r e n e i n e K r a f t ü b e r d i e P o t e n t i a l e , d i e d u r c h d i e D i p o l m o m e n t e a l l e r

A t o m e i n e i n e r a t o m a r e n W o l k e e r z e u g t w e r d e n u n d w e r d e n d a r i n b e s c h l e u n i g t . J e d o c h w e i s e n d i e

D i p o l p o t e n t i a l e e i n e R e t a r d i e r u n g a u f d e r L ä n g e n s k a l a d e r W e l l e n l ä n g e d e s e i n g e s t r a h l t e n L i c h t s

a u f . D a m i t s i c h d i e e i n z e l n e n P o t e n t i a l e n i c h t z u N u l l m i t t e l n , i s t e s n ö t i g , d i e D i c h t e v e r t e i l u n g

d e r A t o m e a u f w e n i g e W e l l e n l ä n g e n e i n z u s c h r ä n k e n , w a s m i t H i l f e v o n o p t i s c h e n G i t t e r n m ö g l i c h

i s t . D e r r e s u l t i e r e n d e I m p u l s g e w i n n d u r c h d i e W e c h s e l w i r k u n g s o w i e d e r B e i t r a g d u r c h s p o n t a n e

S t r e u u n g w i r d i m D e t a i l d i s k u t i e r t .





1 I n t r o d u c t i o n

W h e n i n 2 0 0 2 t h e N o b e l p r i z e w a s g i v e n t o E r i c C o r n e l l , C a r l W i e m a n a n d W o l f g a n g K e t t e r l e

o m n o f o E i n n o n d n o n n d l o l k l o m D n d o l

n d m n l d o o o o n d n [ 9 3 , 9 4 , 9 5 ] , d i d t h i s n o t d e n o t e t h e

e n d o f a w e l l s e t t l e d r e s e a r c h e l d b u t r a t h e r a b e g i n n i n g . T h i s n o t i o n i s p r o p p e d b y g u r e 1 . 1 .

I t s h o w s t h e a n n u a l a m o u n t o f p u b l i s h e d a r t i c l e s i n t h e e l d o f q u a n t u m d e g e n e r a t e g a s e s , w h i c h

m u s t i n c l u d e s o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s t o b e c o u n t e d . T h e a n n u a l n u m b e r o f p u b l i c a t i o n s w i t h

o n l y t h e o r e t i c a l c o n t e n t i s r o u g h l y t h i r t y t i m e s a s l a r g e [ 9 6 ] a n d r e a c h e d i n t h e y e a r 2 0 0 5 a v a l u e o f

m o r e t h a n 3 5 0 0 a r t i c l e s . A l l i n a l l m o r e t h a n 2 0 . 0 0 0 a r t i c l e s h a v e b e e n w r i t t e n o n t h i s t o p i c s i n c e

t h e r s t e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n i n 1 9 9 5 u n t i l t h e e n d o f 2 0 0 6 .

T h e r e l a t i v e i n c r e a s e o f p u b l i c a t i o n s i s m o r e o r l e s s c o n s t a n t o v e r t h e l a s t t e n y e a r s a n d s e e m s

n o t t o l e v e l o i n t h e n e a r f u t u r e . T h i s a s c e n t i s a l s o o w e d t o t h e n u m b e r o f e x p e r i m e n t a l g r o u p s

w o r k i n g w o r l d w i d e o n d e g e n e r a t e q u a n t u m g a s e s , w h i c h r e a c h e d b y n o w r o u g h l y e i g h t y r u n n i n g

i n d i v i d u a l e x p e r i m e n t a l s e t u p s d i s t r i b u t e d a m o n g f t y r e s e a r c h g r o u p s w o r l d w i d e .

1995 2000 2005

0

25

50

75

100

Year

P u

b l i c

a t i o n s

F i g u r e 1 . 1 : P u b l i c a t i o n s p e r y e a r i n r e f e r e e d j o u r n a l s w i t h a n e x p e r i m e n t a l c o n t e n t r e g a r d i n g q u a n t u m

d e g e n e r a t e g a s e s . T h i s i n c l u d e s B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s a s w e l l F e r m i - g a s e s b e l o w t h e F e r m i t e m p e r a t u r e .

T h e b a r c h a r t w a s c o m p i l e d w i t h t h e h e l p o f t h e h o m e p a g e s o f t h e i n d i v i d u a l e x p e r i m e n t a l g r o u p s , t h e I S I

w e b o f k n o w l e d g e , g o o g l e s c h o l a r a n d t h e j o u r n a l s t h e m s e l v e s . T h e e r r o r o f t h e a n n u a l c o u n t i s a t m o s t

u n d e r e s t i m a t e d b y 1 0 % .

T h e y e a r 1 9 2 4 w a s d e c i s i v e f o r n o w a d a y s c o l d a t o m p h y s i c i s t s i n t h r e e m a n n e r s . S a t y e n d r a N a t h

B o s e a n d A l b e r t E i n s t e i n e s t a b l i s h e d t h e o r e t i c a l l y t h e e x i s t e n c e o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e

[ 9 7 , 9 8 , 9 9 ] b y u s i n g s t a t i s t i c a l p h y s i c s . I n t h e s a m e y e a r p u b l i s h e d L o u i s - V i c t o r d e B r o g l i e h i s

P h D - t h e s i s o n q u a n t u m t h e o r y i n w h i c h h e p r o p o s e d t h e w a v e - p a r t i c l e d u a l i t y [ 1 0 0 ] . T h e m a t t e r -

w a v e c h a r a c t e r o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e i s a d i r e c t i m p l e m e n t a t i o n o f t h i s i d e a . F i n a l l y

r e c e i v e d K a r l M a n n e G e o r g S i e g b a h n t h e n o b e l p r i z e o d o n d n ( l d o

E o o [ 1 0 1 ] , w h i c h l e d i n c o m b i n a t i o n w i t h t h e a d v a n c e m e n t s i n q u a n t u m t h e o r y t o



2 I s n o d o n

a f u l l u n d e r s t a n d i n g o f t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f a t o m s .

I t t o o k a n o t h e r 1 4 y e a r s u n t i l t h e i d e a o f t h e B o s e - E i n s t e i n s t a t i s t i c r e c e i v e d a b r o a d e r a t t e n t i o n ,

w h e n F r i t z L o n d o n a n d L a s z l o T i s z a r e v i v e d i t t o e x p l a i n s u p e r u i d i t y i n l i q u i d

R

H e i n 1 9 3 8 [ 2 1 , 1 0 2 ] .

A l t h o u g h t h e p r o p e r t i e s o f s u p e r u i d l i q u i d s o r s u p e r c o n d u c t o r s a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e B o s e -

s t a t i s t i c s , i s t h e d e s c r i p t i o n a s a n i d e a l g a s n o t s u c i e n t t o d e s c r i b e t h i s s y s t e m s . A l o o p h o l e f r o m

t h i s s t r o n g l y i n t e r a c t i n g s y s t e m s i s t h e c h a n g e o v e r t o w e a k l y i n t e r a c t i n g g a s e s . T h e r s t n o t i o n o f

g a s e s o f H y d r o g e n a t o m s a s a s y s t e m f o r B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n w a s g i v e n b y C . E . H e c h t i n

1 9 5 9 [ 1 0 3 ] a n d e m p h a s i z e d b y a m o r e q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s b y W . C . S t w a l l e y a n d L . H . N o s a n o w i n

1 9 7 6 [ 1 0 4 ] .

B u t i t n e e d e d t h e d l o m n o m o d o o o l n d o m l l [ 1 0 5 ] , a l s o

h o n o r e d w i t h a N o b e l p r i z e i n 1 9 9 7 [ 8 1 , 8 2 , 8 3 ] , w h i c h p i o n e e r e d t h e b r e a k t h r o u g h o f t h e t h e r s t

o b s e r v a t i o n s o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e i n a d i l u t e g a s o f

V U

R b [ 9 ] ,

P Q

N a [ 7 ] a n d

U

L i [ 6 ] i n 1 9 9 5 .

I n t h e f o l l o w i n g y e a r s r e s e a r c h e r s a l s o m a n a g e d t o c o n d e n s e

I

H [ 1 ] ,

R

H e [ 2 ] ,

R I

K [ 5 ] ,

S P

C r [ 3 ] ,

V S

R b [ 8 ] ,

I Q Q

C s [ 4 ] a n d

I U R

Y b [ 1 0 ] .

T h e r e s e a r c h o n q u a n t u m d e g e n e r a t e g a s e s h a s e v o l v e d i n s u c h a d i v e r s i t y a n d i s b y n o w c o n n e c t e d

t o a l m o s t a n y e l d o f p h y s i c s , t h a t i t i s i m p o s s i b l e t o r e d u c e i t t o a s i m p l e i p c h a r t . I n t h e

f o l l o w i n g I w a n t t o g i v e a s m a l l o v e r v i e w o v e r t h e d i e r e n t r e s e a r c h a c t i v i t i e s w i t h o u t a i m i n g f o r

c o m p l e t e n e s s .

A s a s u p e r i o r t o p o s m a y a c t t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e a t o m s , w h i c h i s a k e y i n g r e d i e n t i n a l m o s t

a l l c o n d u c t e d e x p e r i m e n t s . T h e i n t e r a c t i o n e n e r g y i n m a g n e t i c a l l y o r o p t i c a l l y t r a p p e d c o n d e n s a t e s

i s a b o u t a n o r d e r o f m a g n i t u d e l a r g e r t h a n t h e q u a n t u m p r e s s u r e , w h i c h p u s h e s t h e a t o m s a p a r t

a n d m a k e s c o n d e n s e d c l o u d s b y t h i s m u c h b e t t e r a c c e s s i b l e t o o p t i c a l i m a g i n g t e c h n i q u e s . B y

t h i s r e s e a r c h e r s c o u l d p r o d u c e d e t a i l e d p i c t u r e s o f B E C s a n d w a s p r o b a b l y c r u c i a l f o r t h e t r e m e n -

d o u s s u c c e s s o f t h e w h o l e r e s e a r c h e l d . I n t h e b e g i n n i n g r e s e a r c h e r s i n v e s t i g a t e d a l l k i n d o f

c o l l e c t i v e ( h y d r o d y n a m i c ) e x c i t a t i o n s o f t r a p p e d c o n d e n s a t e s a s d i p o l e m o d e s , q u a d r u p o l a r m o d e s ,

s h a p e o s c i l l a t i o n s , b r e a t h i n g m o d e s o r s c i s s o r m o d e s [ 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 ] a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g

d a m p i n g m e c h a n i s m s . A n o t h e r k i n d o f c o l l e c t i v e e x c i t a t i o n a r e p h o n o n m o d e s [ 1 8 , 1 9 , 2 0 ] w i t h

t h e i r c o r r e s p o n d i n g s t r u c t u r e f a c t o r [ 1 0 6 ] . A p h o n o n - l i k e e n e r g y - m o m e n t u m d i s p e r s i o n r e l a t i o n

i n c o m b i n a t i o n w i t h a m a c r o s c o p i c q u a n t u m c o h e r e n c e d o e s n o t a l l o w t h e g e n e r a t i o n o f e l e m e n -

t a r y e x c i t a t i o n s b e l o w a c r i t i c a l v e l o c i t y [ 2 1 , 2 2 ] , w h i c h i s c o m m o n l y k n o w n a s s u p e r u i d i t y . T h e

e x i s t e n c e o f a s u p e r u i d p h a s e h a s b e e n s h o w n w i t h s e v e r a l m e t h o d s [ 2 3 , 2 4 , 2 5 ] , b u t h a s i t s

m o s t i n t r i g u i n g p r o o f b y t h e g e n e r a t i o n o f q u a n t i z e d v o r t i c e s [ 2 6 , 2 7 , 2 8 ] . T h e e v i d e n c e t h a t t h e

p r o d u c e d v o r t i c e s a r e r e a l l y q u a n t i z e d o n e s , h a s b e e n p r o v i d e d b y a n i n t e r f e r e n c e e x p e r i m e n t [ 2 9 ] ,

w h i c h c l e a r l y s h o w e d t h e a z i m u t h a l p h a s e t w i s t b y 2 . I n t e r f e r o m e t r i c t e c h n i q u e s h a v e b e e n u s e d

i n t h e r s t p l a c e t o s h o w t h e m a c r o s c o p i c c o h e r e n c e o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s [ 3 0 ] , b u t w e r e

s o o n e x p a n d e d t o m e a s u r e t h e p h a s e o f c o n d e n s a t e s [ 3 1 , 3 2 ] , a c c e l e r a t i o n s [ 6 7 ] o r f u n d a m e n t a l

c o n s t a n t s [ 3 3 ] .

A s c l a i m e d b e f o r e i n t e r a c t i o n s a r e t h e h e a r t o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e p h y s i c s . T h i s i s m o s t

n o t i c e a b l e i n a s e t o f d i v e r s e e x p e r i m e n t s b a s e d o n a n o n l i n e a r i t y i m p a r t e d b y t h e i n t e r a c t i o n s

a m o n g t h e a t o m s . T h i s a r i s e s f o r e x a m p l e i n f o u r w a v e m i x i n g o f m a t t e r w a v e s [ 3 7 ] o r i n t h e

e x i s t e n c e o f s o l i t o n s [ 3 4 , 3 5 , 3 6 ] . N a t u r e d e l i v e r e d b y c h a n c e a k n o b t o a d j u s t t h e s c a t t e r i n g l e n g t h

o f t h e a t o m s b y a p p l y i n g a c e r t a i n m a g n e t i c e l d , t h e F e s h b a c h r e s o n a n c e s [ 3 8 , 3 9 , 4 0 , 4 1 , 4 2 ] .

T h i s e e c t m a d e t h e r s t p r o d u c t i o n o f a m o l e c u l a r B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e p o s s i b l e [ 4 3 , 4 4 ] .

B u t m o l e c u l a r c o n d e n s a t e s d o n o t h a v e t o c o n s i s t o n l y o f b o s o n i c a t o m s b u t c a n a l s o b e c r e a t e d

w i t h t w o f e r m i o n i c a t o m s [ 4 5 , 4 6 , 4 7 ] .

T h i s r a c y o v e r v i e w o m i t t e d s o m e m a j o r a c h i e v e m e n t s w h i c h s h a l l n o t b e f o r g o t t e n . T h i s a r e t h e



I F I g o l d o m m o l d 3

d e m o n s t r a t i o n o f s e v e r a l a t o m l a s e r s [ 4 8 , 4 9 , 5 0 ] , m a t t e r w a v e a m p l i e r s [ 5 1 , 5 2 ] , s l o w l i g h t

p r o p a g a t i o n [ 5 3 , 5 4 ] , s p i n o r c o n d e n s a t e s [ 5 5 , 5 6 , 5 7 ] , t h e g e n e r a t i o n o f a T o n k s - G i r a r d e a u g a s

[ 5 8 , 5 9 ] , t h e d e t e c t i o n o f a n E m o v s t a t e [ 6 0 ] , t h e g e n e r a t i o n o f e n t a n g l e m e n t [ 6 1 ] a n d n a l l y

a l l t h e e o r t p u t i n t o t h e m i n i a t u r i z a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p s f o r g e n e r a t i n g B o s e - E i n s t e i n

c o n d e n s a t e s [ 1 0 7 , 1 0 8 ] . A m a j o r d o m a i n o f c u r r e n t r e s e a r c h a r e s o l i d s t a t e r e l a t e d t o p i c s , w h i c h

w i l l b e p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s e p a r a t e l y , b e c a u s e o f i t s s p e c i a l c o n n e c t i o n t o t h i s t h e s i s .

A f t e r r e c a p i t u l a t i n g t h e r e s e a r c h o f t h e l a s t t e n y e a r s r e m a i n s t h e q u e s t i o n o n t h e f u t u r e o f c o l d

a t o m p h y s i c s . A s u r v e y o f r e c e n t t h e o r e t i c a l p u b l i c a t i o n s a l l o w s o n e t o d i s t i l l f u t u r e r e s e a r c h

t e n d e n c i e s b u t o n e h a s t o b e a w a r e t h a t e x p e r i m e n t a l r e s e a r c h o f t e n d i s c o v e r n e w e e c t s w h i c h

w e r e o n n o o n e s m i n d .

W i t h t h e s u c c e s s f u l c o n d e n s a t i o n o f C h r o m i u m [ 3 ] , o n e h a s t h e r s t B E C w i t h a n o t i c e a b l e d i p o l a r

i n t e r a c t i o n [ 1 0 9 ] a t h a n d , w h i c h h a s t r i g g e r e d a l r e a d y a l a r g e a m o u n t o f t h e o r e t i c a l w o r k . B o s e -

E i n s t e i n c o n d e n s a t e s h a v e a l s o b e e n w i d e l y d i s c u s s e d a s a s o u r c e f o r p r e c i s i o n e x p e r i m e n t s f o r e . g .

m e a s u r i n g a c c e l e r a t i o n s a n d r o t a t i o n s [ 6 3 ] o r f u n d a m e n t a l c o n s t a n t s [ 6 2 ] . B u t t h e m a j o r f r a c t i o n

o f t h e o r e t i c a l p u b l i c a t i o n s d e a l s w i t h s o l i d s t a t e r e l a t e d t o p i c s , w h i c h a r e p a r t l y d i s c u s s e d i n t h e n e x t

s e c t i o n . O t h e r d i r e c t i o n s m a y b e t h e m e a s u r e m e n t o f t h e p e r m a n e n t d i p o l e m o m e n t o f t h e e l e c t r o n

[ 6 4 ] , t h e u s a g e o f c o n d e n s a t e s a s a c o h e r e n t s o u r c e f o r a t o m l i t h o g r a p h y [ 6 5 ] o r b u i l d i n g h y b r i d

s y s t e m s m a d e o f c o n d e n s a t e s a n d s o m e s o l i d s t a t e d e v i c e [ 6 6 ] . F i n a l l y i t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t

t h e r e i s c o n d e n s a t e p h y s i c s b e y o n d c o l d a t o m s , a s w a s s h o w n j u s t r e c e n t l y b y r e a c h i n g q u a n t u m

d e g e n e r a c y w i t h e x c i t o n p o l a r i t o n s a t r o o m t e m p e r a t u r e [ 1 1 ] a n d a l s o w i t h m a g n o n s [ 1 2 ] .

1 . 1 C o l d a t o m s m e e t s o l i d s t a t e p h y s i c s

E x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s o l i d s t a t e p h y s i c s m o s t l y f o c u s e s o n t h e e l e c t r o n i c p r o p e r t i e s a n d t h e

s t r u c t u r e o f c r y s t a l m a t t e r . U l t r a - c o l d a t o m i c g a s e s a r e u s u a l l y i n a n u n o r d e r e d s t a t e , b u t t h e y

c a n b e s t r u c t u r e d b y t r a n s f e r r i n g t h e m i n t o a p e r i o d i c p o t e n t i a l , f o r i n s t a n c e i n t o o n e p r o d u c e d b y

t h e i n t e r f e r e n c e p a t t e r n o f t w o l a s e r b e a m s . N o w t h e a t o m s a d o p t t h e r o l e o f t h e e l e c t r o n s i n a

s o l i d a n d t h e o p t i c a l l a t t i c e p o t e n t i a l t h e t i g h t - b i n d i n g p o t e n t i a l o f t h e r e m a n e n t i o n s . T h e w e a k

i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e c o l d a t o m s , t h e v a r i a b i l i t y o f t h e o p t i c a l l a t t i c e s ( d e p t h , g e o m e t r y , l a t t i c e

c o n s t a n t ) a n d t h e c o n t r o l o v e r t h e i n t e r n a l a n d e x t e r n a l q u a n t u m s t a t e o f t h e a t o m s m a k e s t h i s

a n i d e a l c o n s t r u c t i o n k i t f o r m a n y f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s .

T h e c o n j u n c t i o n o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e w i t h a n o p t i c a l l a t t i c e s w a s a c h i e v e d f o r t h e r s t

t i m e i n 1 9 9 8 [ 6 7 ] . B l o c h o s c i l l a t i o n s [ 1 1 0 , 1 1 1 ] w e r e o b s e r v e d , w h e n a c o n d e n s a t e w a s f a l l i n g

d o w n w a r d s i n a v e r t i c a l l a t t i c e p o t e n t i a l [ 6 7 ] . T h e c o r r e s p o n d i n g c o n r m a t i o n o f B l o c h o s c i l l a t i o n s

i n a s o l i d s t a t e s y s t e m h a p p e n e d o n l y v e y e a r s e a r l i e r i n a s e m i c o n d u c t o r s u p e r l a t t i c e [ 6 8 ] . F u r t h e r

e x p e r i m e n t s w i t h o n e - d i m e n s i o n a l l a t t i c e s a l s o e s t a b l i s h e d W a n n i e r - S t a r k l a d d e r s [ 6 9 ] a n d L a n d a u

Z e n e r t u n n e l i n g [ 7 0 ] . O f l a r g e i n t e r e s t i n s o l i d s t a t e p h y s i c s a r e J o s e p h s o n j u n c t i o n s [ 1 1 2 ] w h i c h

a r e w i d e l y d i s c u s s e d a s q u b i t s f o r q u a n t u m i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g . A l s o t h i s c a n b e i m p r i n t e d o n

c o l d a t o m p h y s i c s w i t h t h e h e l p o f o p t i c a l l a t t i c e s [ 1 1 3 ] .

A m a j o r b r e a k t h r o u g h c o n s t i t u t e s t h e e x p e r i m e n t a l r e a l i z a t i o n o f a M o t t - I n s u l a t o r [ 7 1 , 7 2 ] w i t h a

B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e c o n n e d i n a t h r e e - d i m e n s i o n a l o p t i c a l l a t t i c e . U p t o n o w t h e r e e x i s t s n o

a n a l o g o u s n d i n g i n a s o l i d s t a t e s y s t e m . T h e t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n o f b o s o n i c a t o m s i n o p t i c a l

l a t t i c e s i s u s u a l l y d o n e w i t h t h e B o s e - H u b b a r d m o d e l [ 7 3 ] . T h e i n v e s t i g a t i o n o f s t r o n g l y c o r r e l a t e d

a t o m i c s y s t e m s i s j u s t a t a s t a r t a n d m u c h i n s i g h t i n t o t h e o r e t i c a l i n t r a c t a b l e p r o b l e m s c a n b e

e x p e c t e d [ 7 4 ] . A n o t h e r f a m o u s m o d e l i n s o l i d s t a t e p h y s i c s i s t h e S p i n - B o s o n m o d e l [ 7 5 ] , w h i c h

d e s c r i b e s t h e c o u p l i n g o f a p s e u d o - s p i n t o a b o s o n i c b a t h . T h i s c o u p l i n g i n d u c e s a d i s s i p a t i o n o n



4 I s n o d o n

t h e s p i n d e p e n d i n g o n t h e p r o p e r t i e s o f t h e b a t h . A l s o t h i s m o d e l c a n b e t r a n s l a t e d , a s i n t h e c a s e

o f t h e B o s e - H u b b a r d m o d e l , i n t o c o l d a t o m p h y s i c s [ 7 6 , 7 7 ] . S u c h a n i m p l e m e n t a t i o n r e q u i r e s i n

p r i n c i p l e n o t t h e p e r i o d i c i t y o f a n o p t i c a l l a t t i c e , b u t s y s t e m s o f l o w e r d i m e n s i o n a l i t y , w h i c h a r e

b e s t d o a b l e w i t h t h e m . T h e i n v e s t i g a t i o n o f s u c h q u a n t u m d i s s i p a t i v e s y s t e m s i s a m a j o r g o a l o f

t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p d e s c r i b e d i n t h i s t h e s i s a n d w i l l b e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n c h a p t e r 6 . 2 . 1 .

T h e r e e x i s t s a l s o a n o t h e r w a y t o d o s o l i d s t a t e p h y s i c s w i t h u l t r a c o l d a t o m s . Q u a n t u m d e g e n e r a t e

F e r m i g a s e s [ 1 1 4 , 1 1 5 , 1 1 6 ] a r e a n i d e a l s y s t e m t o s t u d y h i g h t e m p e r a t u r e s u p e r c o n d u c t i v i t y . T h e

s u p e r u i d i t y o f a B a r d e e n - C o o p e r - S c h r i e e r s t a t e o f s t r o n g l y i n t e r a c t i n g F e r m i o n s a t o n l y a t e n t h

o f t h e F e r m i t e m p e r a t u r e h a s b e e n s h o w n b y m o n i t o r i n g q u a n t i z e d v o r t i c e s [ 1 1 7 ] .

1 . 2 R y d b e r g m a t t e r

J o s e p h v o n F r a u n h o f e r d i s c o v e r e d i n 1 8 1 4 i n t h e s p e c t r u m o f t h e s u n l i g h t d i s t i n c t d a r k l i n e s , w h i c h

w a s t h e r s t i n d i c a t i o n f o r a d i s c r e t i z a t i o n o f t h e e n e r g y l e v e l s i n a t o m s [ 1 1 8 ] . A b o u t h a l f a c e n t u r y

l a t e r G u s t a v K i r c h h o a n d R o b e r t B u n s e n n o t i c e d t h a t a l l e l e m e n t s e x h i b i t c h a r a c t e r i s t i c s p e c t r a l

p r o p e r t i e s [ 1 1 9 ] . T h e y a c t u a l l y a l s o d i s c o v e r e d t h e e l e m e n t R u b i d i u m b y d o i n g s p e c t r o s c o p y o n

m i n e r a l w a t e r f r o m B a d D ü r k h e i m ( R h e i n l a n d P f a l z ) . J o h a n n e s R y d b e r g e s t a b l i s h e d t h e n i n 1 8 8 8

a n e m p i r i c a l e q u a t i o n , w h i c h d e s c r i b e d t h e w a v e l e n g t h s o f t h e s p e c t r a l l i n e s o f a H y d r o g e n a t o m

[ 1 2 0 ] . B u t i t w a s n o t u n t i l t h e d i s c o v e r y o f q u a n t u m m e c h a n i c s , t h a t a f u l l u n d e r s t a n d i n g o f t h e

s p e c t r a l p r o p e r t i e s w e r e p o s s i b l e [ 1 2 1 ] .

R y d b e r g a t o m s a r e e x c i t e d a t o m s w i t h o n e o r m o r e e l e c t r o n s t h a t h a v e a v e r y h i g h p r i n c i p a l q u a n t u m

n u m b e r [ 7 8 ] . F i r s t e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s o f R y d b e r g a t o m s w e r e o n l y p o s s i b l e i n p l a s m a s o r b y

a s t r o n o m i c a l o b s e r v a t i o n s , w h e r e t h e y a r i s e f r o m i o n - e l e c t r o n r e c o m b i n a t i o n [ 7 9 ] . T h e i n v e n t i o n o f

l a s e r s m a d e i t e v e n t u a l l y p o s s i b l e t o e x c i t e a t o m s i n t o a s p e c i c s t a t e . T h e p r o p e r t i e s o f R y d b e r g

a t o m s w h e r e e x a m i n e d i n t h e f o l l o w i n g y e a r s i n a b r o a d m a n n e r [ 8 0 ] , b u t u n t i l a d e c a d e a g o o n l y

i n r o o m t e m p e r a t u r e v a p o r c e l l s o r a t o m i c b e a m s . T h e d e v e l o p m e n t o f l a s e r c o o l i n g [ 8 1 , 8 2 , 8 3 ]

p r o v i d e d a t o n c e a t o m i c s a m p l e s i n t h e K r e g i m e . T h e c o m b i n a t i o n o f b o t h t e c h n i q u e s f o u n d e d

t h e r e s e a r c h e l d o f f r o z e n R y d b e r g g a s e s [ 8 4 , 8 5 ] . T h e n a m e r e e c t s t h e f a c t , t h a t d u r i n g

t h e t i m e - s c a l e s o f t h e c o n d u c t e d e x p e r i m e n t s o r t h e e x c i t e d s t a t e l i f e t i m e o f t h e R y d b e r g s t a t e s ,

t h e a t o m s a r e o n l y m i n i m a l l y d i s p l a c e d b y t h e r m a l m o t i o n . T h i s a l l o w s a m u c h m o r e s e n s i t i v e

i n v e s t i g a t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e a t o m s . T h i s c a n b e t h e d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n o r

t h e v a n - d e r - W a a l s i n t e r a c t i o n , w h i c h c a n b e q u i t e l a r g e d u e t o t h e l a r g e p o l a r i z a b i l i t y o f R y d b e r g

s t a t e s . S u c h a n i n t e r a c t i o n c a n i n d u c e a b l o c k a d e e e c t f o r e x c i t a t i o n o f c l o s e b y a t o m s , w h i c h

h a s b e e n s t u d i e d b y s e v e r a l g r o u p s [ 8 6 , 8 7 , 8 8 , 8 9 , 9 0 ] . T h i s n o n l i n e a r i t y o f t h e d i p o l e b l o c k a d e

e e c t w a s p r o p o s e d t o b e u s e d a s a c - N O T g a t e f o r q u a n t u m i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g [ 9 1 ] .

T h e a d v a n c e m e n t o f R y d b e r g r e s e a r c h t o u l t r a - c o l d a n d a l s o m u c h d e n s e r s a m p l e s o f g a s e s e x -

p a n d e d t h e p a r a m e t e r r a n g e f o r r e s e a r c h e r s b y s e v e r a l o r d e r s o f m a g n i t u d e a n d o p e n e d b y t h i s

m a n y n e w o p p o r t u n i t i e s . A l o g i c a l c o n s e q u e n c e i s t h e n e x t s t e p t o w a r d s e v e n c o l d e r a n d d e n s e r

s a m p l e s , t h e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s . T h e c o n t r o l o v e r t h e i n t e r n a l a n d e x t e r n a l s t a t e s o f B o s e

c o n d e n s e d s a m p l e s e x p a n d s t h e p o s s i b i l i t i e s t o a l a r g e v a r i e t y o f n o v e l e x p e r i m e n t s . T h i s i s t h e

o t h e r m a i n r o u t e o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p d e s c r i b e d i n t h i s t h e s i s a n d m o r e d e t a i l s o n p l a n n e d

e x p e r i m e n t s c a n b e f o u n d i n c h a p t e r 6 . 2 . 2 .



I F Q 5

1 . 3 T h i s t h e s i s

I n t h i s t h e s i s I p r e s e n t t h e r e a l i z a t i o n o f a n e x p e r i m e n t a l s e t u p f o r u p - t o - d a t e r e s e a r c h o n d e g e n e r a t e

q u a n t u m g a s e s . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e a s s e m b l y w i t h a l l i t s c o m p o n e n t s w a s t e s t e d c a r e f u l l y a n d

r s t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o n B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s w e r e a c h i e v e d . T h e p r e s e t t i n g f o r t h i s

p r o j e c t w a s t o c r e a t e a s e t u p , w h i c h i s a s v e r s a t i l e a s p o s s i b l e , b u t a v o i d s a n y d i s t u r b a n c e f o r a n

e c i e n t p e r f o r m a n c e o f B E C p r o d u c t i o n . B y i n c l u d i n g c o m p o n e n t s f o r e l e c t r i c e l d g e n e r a t i o n

a n d s p e c i a l i z e d c h a r g e d p a r t i c l e d e t e c t o r s i s t h i s v a c u u m c h a m b e r i n c o m b i n a t i o n w i t h d e g e n e r a t e

q u a n t u m g a s e s a u n i q u e t o o l f o r t h e e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f u l t r a - c o l d R y d b e r g m a t t e r . J u s t

a s w e l l i n n o v a t i v e i s t h e e o r t t o e x p l o r e t h e p h y s i c s o f t h e S p i n - B o s o n m o d e l , w h i c h w i l l b e a

m a j o r a d v a n c e m e n t f o r a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f d e c o h e r e n c e i n m a n y s y s t e m s .

I n c h a p t e r 1 I r e c a p i t u l a t e t h e r e s e a r c h e l d o f q u a n t u m d e g e n e r a t e g a s e s a n d s h o w i n w h i c h

m a n n e r t h i s p r o j e c t w i l l c o n t r i b u t e . T h e r e q u i r e d t h e o r e t i c a l t o o l s f o r l a s e r c o o l i n g , B o s e - E i n s t e i n

c o n d e n s a t i o n , m a n i p u l a t i o n o f m a t t e r w a v e s a n d a n d t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f R y d b e r g a t o m s a r e

r e v i e w e d i n c h a p t e r 2 . C h a p t e r 3 d e a l s t h e n w i t h t h e w h o l e e x p e r i m e n t a l s e t u p a n d c h a r a c t e r i z e s

t h e s y s t e m p e r f o r m a n c e s t a r t i n g f r o m t h e t h e r m a l g a s i n t h e o v e n s t e p b y s t e p t i l l t h e g e n e r a t i o n

o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s . W i t h t h i s c h a p t e r i s t h e b a s i c o p e r a t i o n o f t h e s y s t e m d e m o n s t r a t e d

a n d I p r e s e n t i n c h a p t e r 5 t h r e e e x p e r i m e n t s , w h i c h a r e i m p o r t a n t f o u n d a t i o n s f o r b o t h p l a n n e d

p r o j e c t s . C h a p t e r 4 p r e s e n t s a p r o p o s a l t o m e a s u r e t h e e e c t s o f l i g h t i n d u c e d d i p o l e p o t e n t i a l s i n

m o m e n t u m s p a c e . T h e t h e s i s c l o s e s w i t h c h a p t e r 6 , w h i c h s u m m a r i z e s t h e w o r k d o n e a n d g i v e s

a n d e t a i l e d d e s c r i p t i o n a n d w o r k i n g p l a n f o r t h e i n t e n d e d e x p e r i m e n t s o n R y d b e r g m a t t e r a n d t h e

S p i n - B o s o n m o d e l .





2 T h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n s

T h e p r o d u c t i o n o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s ( B E C ) c o n s i s t s o f m a n y d i e r e n t e x p e r i m e n t a l s t e p s

[ 1 2 2 ] . T h e i n t e r a c t i o n s o f t h e a t o m s w i t h l i g h t e l d s , m a g n e t i c e l d s , r a d i o - f r e q u e n c y e l d s o r

a m o n g t h e m s e l v e s i s u s e d i n e a c h s t e p i n d i e r e n t c o m b i n a t i o n s t o c o o l d o w n a n a t o m i c s a m p l e

t o q u a n t u m d e g e n e r a c y . T h i s c h a p t e r g i v e s a n o u t l i n e o f t h e r e q u i r e d t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d f o r

e a c h t y p e o f i n t e r a c t i o n a n d i t s p h y s i c a l i m p l e m e n t a t i o n . A l m o s t a l l e x p e r i m e n t a l s t e p s e x p l o i t t h e

i n t e r a c t i o n o f a t o m s w i t h e l e c t r o m a g n e t i c e l d s . T h e b a s i c t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n o f a t o m l i g h t

i n t e r a c t i o n a n d i t s e x t e n s i o n t o l a s e r c o o l i n g m e t h o d s i s g i v e n i n c h a p t e r 2 . 1 . M a g n e t i c e l d s a r e

u s e d t o d e s i g n c o n s e r v a t i v e p o t e n t i a l s , e s p e c i a l l y t r a p c o n g u r a t i o n s a s s h o w n i n c h a p t e r 2 . 2 . T h e

i n h e r e n t l i m i t a t i o n s o f l a s e r c o o l i n g a r e b y p a s s e d b y t h e e v a p o r a t i v e c o o l i n g m e t h o d ( s e e c h a p t e r

2 . 3 ) w h i c h l e a d s n a l l y t o q u a n t u m d e g e n e r a c y . T h e b a s i c p r o p e r t i e s o f B E C s a n d t h e i n u e n c e o f

i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e a t o m s i s d i s c u s s e d i n c h a p t e r 2 . 4 . A n o t h e r w a y t o g e n e r a t e c o n s e r v a t i v e

p o t e n t i a l s b e s i d e s m a g n e t i c e l d s i s g i v e n b y f a r o r e s o n a n t d i p o l e p o t e n t i a l s ( s e e c h a p t e r 2 . 5 ) ,

w h i c h n d s a n a p p l i c a t i o n s i n t h e g e n e r a t i o n o f a n o p t i c a l l a t t i c e . F i n a l l y i s a n o u t l i n e o n t h e

p r o p e r t i e s o f R y d b e r g a t o m s g i v e n i n c h a p t e r 2 . 6 .

2 . 1 A t o m - l i g h t i n t e r a c t i o n

F o r a s i m p l i e d d e s c r i p t i o n o f t h e t h e a t o m - l i g h t i n t e r a c t i o n w e a s s u m e a t w o l e v e l s y s t e m w i t h a

g r o u n d s t a t e j

g i

a n d a n e x c i t e d s t a t e j

e i

w h i c h a r e s e p a r a t e d b y a n e n e r g y ~

!

H

. T h i s t w o l e v e l

s y s t e m i s e x p o s e d t o a s i n g l e m o d e l i g h t e l d w i t h e n e r g y ~

!

L

. F u r t h e r m o r e i s t h e a t o m c o u p l e d t o

a l l m o d e s o f t h e v a c u u m , w h i c h c a n b e m o d e l e d b y a d a m p i n g [ 1 2 3 ] . T h e f o l l o w i n g a b b r e v i a t e d

t r e a t m e n t f o l l o w s t h e a r t i c l e s [ 1 2 4 , 1 2 5 , 1 2 6 ] . T h e f u l l H a m i l t o n i a n o f t h i s s y s t e m i s g i v e n b y

H

g e s

a H

A

C H

L

C H

A L

C H

A V

: ( 2 . 1 )

T h e k i n e t i c e n e r g y p a r t o f t h e a t o m i c H a m i l t o n i a n H

A

a p

P

= P m C ~

!

H

j e

i h e

j i s f r o m n o w o n t r e a t e d

c l a s s i c a l l y . T h e H a m i l t o n i a n o f t h e l i g h t e l d H

L

a ~

!

L

@ a

y

a C I = P A c a n b e o m i t t e d b y a s s u m i n g a

g e n e r a l c l a s s i c a l l i g h t e l d

~

E a ~ " @ ~r A E @ ~r A o s @ !

L

t @ ~r A A . T h e e l e c t r i c e l d c o m p o n e n t

~

E o f t h e

l i g h t e l d i s d e n e d b y t h e a m p l i t u d e E , t h e p o l a r i z a t i o n ~ " a n d t h e p h a s e . T h e c o u p l i n g b e t w e e n

t h e a t o m a n d t h e l i g h t e l d i s g i v e n t h e n b y H

A L

a

~

d ¡

~

E a

~ !

R

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A @ j

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g i h

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w h e r e t h e R a b i - f r e q u e n c y !

R

a j h

g j

~

d ¡

~ " j

e i j

E

H

= ~

w a s i n t r o d u c e d . T h e d i p o l e m a t r i x e l e m e n t

~

d

g e

a h

g j

~r j

e i

i s t h e o v e r l a p i n t e g r a l b e t w e e n t h e g r o u n d s t a t e d a n d t h e e x c i t e d s t a t e a n d i s

p r o p o r t i o n a l t o t h e t r a n s i t i o n s t r e n g t h . T h e d i p o l e m o m e n t i s g i v e n b y

~

d a e ~r a n d ~" i s t h e u n i t

p o l a r i z a t i o n v e c t o r . T h e d a m p i n g , g i v e n b y t h e c o u p l i n g H

A V

o f t h e a t o m t o a l l m o d e s o f t h e

v a c u u m , i s i n s e r t e d i n t o t h e L i o u v i l l e e q u a t i o n i n t h e j

g i

a @ H ; I A a n d j

e i

a @ I ; H A b a s i s

a

i

~

H ; C

D ( 2 . 2 )



8 P o l o n d o n

b y t h e L i n d b l a d s u p e r o p e r a t o r

D [ 1 2 7 ] , a l s o k n o w n a s t h e d e c o h e r e n c e s u p e r o p e r a t o r o r D e e -

o p e r a t o r . T h e a p p l i c a t i o n o f

D o n t h e d e n s i t y m a t r i x g i v e s

D a

C

I

P

@

C

C

C

A a

e e

e g

P

g e

P

C

g g

; ( 2 . 3 )

w h e r e w e u s e d t h e r a i s i n g a n d l o w e r i n g m a t r i c e s

C

a n d

d e n e d a s

C

a

H I

H H

a n d

a

H H

I H

: ( 2 . 4 )

T o e l i m i n a t e t h e t e r m s o s c i l l a t i n g w i t h !

L

t h e e q u a t i o n s a r e t r a n s f o r m e d i n t o a n e w b a s i s a s

g e

a

g e

e

i !

L

t

,

e g

a

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e

i !

L

t

,

g g

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g g

a n d

e e

a

e e

. F u r t h e r a l l t e r m s w i t h P !

L

a r e

e l i m i n a t e d ( r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o n ) a n d o n e o b t a i n s a s a r e s u l t f o u r c o u p l e d e q u a t i o n s :

e e

a

i !

R

P

@

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g e

A

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g g

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i !

R

P

@

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A C

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g e

P

g e

e g

a

i !

R

P

@

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g g

A C i

L

e g

P

e g

:

( 2 . 5 )

T h e t i m e e v o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n s a r e n o w d o m i n a t e d b y t h e c o u p l i n g !

R

a n d t h e l a s e r d e t u n i n g

L

a !

L

!

H

. A s a n a l s t e p t h i s s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n c a n b e r e d u c e d t o t h r e e e q u a t i o n s

w i t h o u t l o s s o f i n f o r m a t i o n b y s e t t i n g u a @

g e

e g

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g e

e g

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e e

C

g g

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T h e s e a r e t h e t h r e e c o m p o n e n t s o f a s o c a l l e d B l o c h - v e c t o r

~

a @ u ; v ; w A a n d t h e e q u a t i o n s o f

m o t i o n a r e n a l l y

u a

L

v

P

u

v a

L

u !

R

w

P

v

w a !

R

w

P

:

( 2 . 6 )

B y s e t t i n g

~

a @ !

R

; H ;

L

A e q u a t i o n s ( 2 . 6 ) c a n b e r e w r i t t e n a s

~

a

~

¢

~

w h i c h i s a n a l o g o u s t o

t h e m o t i o n o f a s p i n i n a m a g n e t i c e l d o r a c l a s s i c a l s p i n n i n g t o p o n w h i c h a c t s a t o r q u e . T h e

B l o c h - v e c t o r p r e c e s s e s a r o u n d

~

w i t h t h e e e c t i v e R a b i f r e q u e n c y

e

a

!

P

R

C

P

L

: ( 2 . 7 )

O f i n t e r e s t i s t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n

~

s t

a H s i n c e m o s t e x p e r i m e n t a l s t e p s h a p p e n o n a t i m e

s c a l e l o n g c o m p a r e d t o t h e d a m p i n g .



P F I e o m E l n o n 9

u

s t

a

L

!

R

s

s C I

v

s t

a

!

R

s

s C I

w

s t

a

I

P

I

s C I

:

( 2 . 8 )

H e r e w e i n t r o d u c e d t h e s a t u r a t i o n p a r a m e t e r s

s a

!

P

R

= P

P

L

C

P

= R

a

I = I

s a t

I C R

P

l

=

P

; ( 2 . 9 )

w h e r e I $

E

P

i s t h e i n t e n s i t y o f t h e a p p l i e d l i g h t e l d a n d t h e s a t u r a t i o n i n t e n s i t y i s

I

s a t

a

~

!

Q

H

I P c

P

a

h c

Q

Q

H

: ( 2 . 1 0 )

T h e s a t u r a t i o n i n t e n s i t y d e p e n d s o n t h e w a v e l e n g t h

H

, r e s p e c t i v e l y t h e f r e q u e n c y !

H

o f t h e t r a n -

s i t i o n a n d t h e l i f e t i m e o f t h e e x c i t e d s t a t e . I n s t e a d y s t a t e t h e m o s t r e l e v a n t r e s u l t i s t h e

s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g r a t e o f p h o t o n s

s c a t t

a

P

s

s C I

w h i c h i s d e t e r m i n e d b y t h e s p o n t a n e o u s

d e c a y r a t e o f t h e s t e a d y s t a t e e x c i t e d s t a t e f r a c t i o n . T h i s i n e l a s t i c s c a t t e r i n g r a t e i s d i r e c t l y

c o n n e c t e d t o c o o l i n g o r h e a t i n g r a t e s o f a t o m i c s a m p l e s .

T o e x t r a c t t h e f o r c e s a n a t o m e x p e r i e n c e s i n t h e g e n e r a l i z e d l i g h t e l d

~

E a ~ " E @ ~r A o s @ !

L

t @ ~r A A

i t i s a d v a n t a g e o u s t o u s e t h e E h r e n f e s t t h e o r e m

~

F a m h

~r i

a h r

@

~

d ¡

~

E A i

. I n s t e a d y s t a t e t h e t i m e

a v e r a g e d f o r c e c o n s i s t s o f t w o p a r t s :

~

F a ~

u

s t

r !

R ~

!

R

v

s t

r

~

F

d i p

~

F

s p o n t

: ( 2 . 1 1 )

T h e r s t t e r m

~

F

d i p

i s t h e d i p o l a r f o r c e , w h i c h i s a c o n s e r v a t i v e f o r c e a n d a l l o w s c o h e r e n t m a n i p u -

l a t i o n o f m a t t e r w a v e s l i k e e . g . d i r a c t i o n i n o p t i c a l l a t t i c e s [ 1 2 8 ] . T h e s e c o n d t e r m

~

F

s p o n t

i s t h e

s p o n t a n e o u s f o r c e w h i c h i s d i s s i p a t i v e a n d c a n b e u s e d t o h e a t o r c o o l a t o m i c s a m p l e s [ 1 2 5 ] .

2 . 1 . 1 D o p p l e r - c o o l i n g

T h e s e c o n d t e r m i n e q u a t i o n ( 2 . 1 1 ) c a n b e u s e d t o s l o w d o w n a n d t h e r e f o r e c o o l a t o m s . L e t

u s a s s u m e a n a t o m l o c a t e d w i t h i n o n e l a s e r b e a m w h i c h i s s e t t o b e a p l a n e w a v e w i t h w a v e

v e c t o r

~

k

L

. T h e p h a s e o f t h e l i g h t e l d i s t h e n a

~

k

L

¡ ~r . T h e s p o n t a n e o u s f o r c e c a l c u l a t e s t o

~

F

s p o n t

a !

R

v

s t

~

~

k

L

a

P

s

s C I

~

~

k

L

w h e r e t h e s t e a d y s t a t e v a l u e s o f e q u a t i o n ( 2 . 8 ) h a v e b e e n i n s e r t e d .

T h e a t o m a b s o r b s p h o t o n s f r o m t h e l a s e r b e a m a n d r e c e i v e s w i t h e a c h s c a t t e r i n g p r o c e s s o n e

p h o t o n r e c o i l i n t h e d i r e c t i o n o f t h e w a v e v e c t o r . A f t e r e x c i t a t i o n t h e a t o m d e c a y s w i t h i n i n t h e

l i f e t i m e b a c k i n t o t h e g r o u n d s t a t e a n d r e c e i v e s a n o n d i r e c t i o n a l m o m e n t u m d u e t o t h e e m i t t e d

p h o t o n . T h e s p a t i a l s y m m e t r y o f t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e s p o n t a n e o u s e m i s s i o n ( s e e a p p e n d i x

D ) e n t a i l s t h a t t h e c e n t e r o f m a s s o f m u l t i p l e r e c o i l s a d d u p t o z e r o . B u t t h e r e r e m a i n s a r a n d o m

w a l k i n m o m e n t u m s p a c e w h i c h i s e q u i v a l e n t t o a h e a t i n g p r o c e s s t h a t o n l y s c a l e s w i t h t h e s q u a r e



1 0 P o l o n d o n

2 4-2-4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Velocity [ /k]G

0

0.0

F o r c e

[ h k

]

G

F

F

F

F=- vb

+

-

ges

F i g u r e 2 . 1 : S p o n t a n e o u s f o r c e o n a n a t o m i n a n o n e d i m e n s i o n a l D o p p l e r - c o o l i n g s e t u p . T h e a t o m i s

i r r a d i a t e d b y t w o c o u n t e r - p r o p a g a t i n g l a s e r b e a m s d e n o t e d w i t h + , r e s p e c t i v e l y - . T h e r e d a n d g r e e n l i n e

r e p r e s e n t t h e f o r c e s i n d u c e d b y e a c h i n d i v i d u a l l a s e r b e a m . T h e s u m ( b l u e l i n e ) o f b o t h f o r c e s c a n b e

a p p r o x i m a t e d l i n e a r l y ( g r e y l i n e ) f o r s m a l l v e l o c i t i e s .

r o o t o f s c a t t e r e d p h o t o n s [ 1 2 5 ] . T h i s h e a t i n g c a n b e m o d e l e d b y a B r o w n i a n m o t i o n i n m o m e n t u m

s p a c e .

I n a n e x t s t e p o n e h a s t o i n c l u d e t h e D o p p l e r - s h i f t o f t h e a t o m s , w h i c h m o v e w i t h a c e r t a i n v e l o c i t y

~v r e l a t i v e t o t h e p r o p a g a t i o n o f t h e l a s e r b e a m . T h e D o p p l e r - s h i f t

~

k

L

¡ ~v a l t e r s t h e r e s o n a n c e

f r e q u e n c y o f t h e a t o m i c t r a n s i t i o n a n d w i t h t h i s t h e s c a t t e r i n g r a t e . T h e r s t p r o p o s a l t o u s e t h e

D o p p l e r e e c t o f t h e a t o m s a n d l a s e r r a d i a t i o n f o r c o o l i n g d i l u t e g a s e s w a s a l r e a d y r e l e a s e d i n

1 9 7 5 [ 1 2 9 ] . T h e i d e a c o n s i s t s o f t w o p a r a l l e l , b u t c o u n t e r - p r o p a g a t i n g l a s e r b e a m s . T h e s o c a l l e d

D o p p l e r - c o o l i n g t e c h n i q u e r e q u i r e s , t h a t b o t h l a s e r f r e q u e n c i e s a r e d e t u n e d t o t h e r e d r e l a t i v e t o

t h e a t o m i c r e s o n a n c e f r e q u e n c y . I n o n e d i m e n s i o n t h e e n t i r e f o r c e o n t h e a t o m s i s t h e n

~

F a ~

k

L

I = I

s a t

I C I = I

s a t

C R

L

~

k

L

¡ ~v

P

=

P

I = I

s a t

I C I = I

s a t

C R

L

C

~

k

L

¡ ~v

P

=

P

: ( 2 . 1 2 )

F o r s m a l l v e l o c i t i e s , n a m e l y j k v j ( , t h i s f o r c e c a n b e l i n e a r i z e d a n d i s e q u i v a l e n t t o a n o r d i n a r y

f r i c t i o n t e r m .

~

F %

V

~

k

P

L

L

I = I

s a t

~v

@ I C I = I

s a t

C @ P

L

= A

P

A

P

a

~ v : ( 2 . 1 3 )

T h e a t o m s m o t i o n i s d a m p e d i n t h i s f r i c t i o n a l e n v i r o n m e n t w h i c h i s c o m m o n l y k n o w n a s o p t i c a l

m o l a s s e s [ 1 3 0 ] .

T h e h e a t i n g r a t e o f t h e c l o u d b y t h e m o m e n t u m d i u s i o n c o m b i n e d w i t h t h e c o o l i n g r a t e r e s u l t s

i n a n o p t i m u m s t e a d y s t a t e t e m p e r a t u r e a t

L

a

= P [ 1 3 0 ] . T h e o b t a i n e d t e m p e r a t u r e i s t h e s o

c a l l e d D o p p l e r - t e m p e r a t u r e T

D

. I n o n e d i m e n s i o n i t i s g i v e n b y

T

D

a

~

P k

B

( 2 . 1 4 )



P F I e o m E l n o n 1 1

E

zJ=0

J=1

m=1

m=0

m=-1w

d

L

L

B(z)

s s+ -

0

F i g u r e 2 . 2 : P r i n c i p l e o f m a g n e t o - o p t i c a l t r a p p i n g o f a t o m i c c l o u d s . D e p i c t e d a r e t h e Z e e m a n s h i f t e d e n e r g y

l e v e l s ( b l a c k l i n e s ) f o r a J = 0 3 J = 1 s y s t e m . T h e s t r e n g t h a n d t h e d i r e c t i o n o f t h e m a g n e t i c e l d i s i n d i c a t e d

b y t h e g r e e n a r r o w s . I f a n a t o m i s l o c a t e d t o t h e l e f t , w i t h r e s p e c t t o z e r o m a g n e t i c e l d a t z = 0 , i t i s s h i f t e d

i n t o r e s o n a n c e w i t h r e s p e c t t o t h e l a s e r b e a m c o m i n g i n f r o m t h e l e f t a n d i s p u s h e d b a c k t o t h e c e n t e r .

a n d i s e . g . f o r R u b i d i u m 1 4 6 K [ 1 3 1 ] .

2 . 1 . 2 M a g n e t o - o p t i c a l t r a p p i n g

T h e D o p p l e r - c o o l i n g m e c h a n i s m d e s c r i b e d i n t h e s e c t i o n b e f o r e i s u n f o r t u n a t e l y s p a c e i n v a r i a n t

a n d c a n n o t b e u s e d t o t r a p a s a m p l e o f c o l d a t o m s i n s p a c e . B u t b y c o m b i n i n g t h e s p o n t a n e o u s

f o r c e w i t h a s p a t i a l d e p e n d e n t m a g n e t i c e l d t h i s b e c o m e s p o s s i b l e . S u c h a m a g n e t o - o p t i c a l t r a p

( M O T ) , c o n s i s t i n g o f t h r e e o r t h o g o n a l p a i r s o f c o u n t e r p r o p a g a t i n g l a s e r b e a m s a n d a m a g n e t i c

q u a d r u p o l e e l d , w a s r s t d e m o n s t r a t e d i n 1 9 8 7 [ 1 3 2 ] . T h e m a g n e t i c e l d s h i f t s t h e a t o m i c

t r a n s i t i o n f r e q u e n c i e s a s @ g

H

F

m

H

F

g

F

m

F

A

B

B w h e r e t h e p r i m e s d e n o t e t h e e x c i t e d s t a t e ,

B

t h e B o h r m a g n e t o n a n d B t h e m a g n e t i c e l d . I t i s t h e m a g n e t i c s u b l e v e l s o f t h e a t o m s a n d t h e i r

d i e r i n g Z e e m a n s h i f t s , w h i c h m a k e s p a t i a l d e p e n d e n t f o r c e s p o s s i b l e . T h e m a g n e t i c e l d i s c h o s e n

t o b e a t h r e e d i m e n s i o n a l q u a d r u p o l e w i t h a z e r o m a g n e t i c e l d a t t h e c e n t e r , w h i c h c o i n c i d e s w i t h

t h e c e n t e r o f t h e t r a p . T h e d e t u n i n g

L

i s a g a i n n e g a t i v e a n d t h e p o l a r i z a t i o n s h a v e t o b e c i r c u l a r

a s s h o w n i n g u r e 2 . 2

T o c a l c u l a t e t h e f o r c e s i n a M O T e q u a t i o n ( 2 . 1 2 ) h a s t o b e e x p a n d e d b y t h e Z e e m a n t e r m

e

B

H

z = ~

w h e r e B

H

i s t h e m a g n e t i c e l d g r a d i e n t . T h e e e c t i v e m a g n e t i c m o m e n t

e

i s t h e m e d i a n o f t h e

m a g n e t i c m o m e n t o f a l l p o s s i b l e t r a n s i t i o n s a n d i s 5 / 6

B

f o r t h e F = 2 3 F = 3 t r a n s i t i o n i n

V U

R b .

T h e t o t a l f o r c e i n o n e d i m e n s i o n i s t h e n

~

F a ~

k

L

I = I

s a t

I C I = I

s a t

C R

L

~

k

L

¡ ~v

e

B

H

z = ~

P

I = I

s a t

I C I = I

s a t

C R

L

C

~

k

L

¡ ~ v C

e

B

H

z = ~

P

: ( 2 . 1 5 )

T h i s f o r c e c a n a l s o b e l i n e a r i z e d f o r s m a l l v e l o c i t i e s a n d s m a l l d i s t a n c e s a n d y i e l d s

~

F %

~ v

~ r : ( 2 . 1 6 )



1 2 P o l o n d o n

T h e f r i c t i o n c o e c i e n t i s i d e n t i c a l t o t h e c o e c i e n t c a l c u l a t e d f o r p u r e D o p p l e r - c o o l i n g i n s e c t i o n

2 . 1 . 1 . T h e s e c o n d t e r m ~r a d o p t s t h e f o r m o f a r e s t o r i n g f o r c e i n a h a r m o n i c o s c i l l a t o r . B o t h

f o r c e s t o g e t h e r a r e e q u i v a l e n t t o a d a m p e d h a r m o n i c o s c i l l a t o r . T h e s p r i n g c o n s t a n t c a l c u l a t e s t o

a

e

B

H

= ~

k

L

. S t a r t i n g f r o m t h i s e q u a t i o n s s e v e r a l p r o p e r t i e s o f t h e M O T c a n b e c a l c u l a t e d

a n a l y t i c a l a s e . g . t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n , s i z e , c a p t u r e r a n g e a n d s o o n [ 1 3 2 , 1 3 3 ] . T h e s e s o l u t i o n s

a r e v a l i d f o r n o n i n t e r a c t i n g s a m p l e s , h e n c e s a m p l e s w i t h s m a l l a t o m n u m b e r s u p t o o n e m i l l i o n

a t o m s . T h e r e e x i s t s e v e r a l s e m i - e m p i r i c a l r e s u l t s o n l a r g e r c l o u d s u p t o 1 0

U

a t o m s [ 1 3 4 , 1 3 5 , 1 3 6 ,

1 3 7 , 1 3 8 , 1 3 9 ] b u t t h i s i s s t i l l a s m a l l a t o m n u m b e r c o m p a r e d t o o u r M O T s w i t h w e l l m o r e t h a n

1 0

I H

a t o m s . I n t h i s r e g i m e t h e p r o p e r t i e s o f t h e c o l d c l o u d a r e d o m i n a t e d b y t h e h i g h o p t i c a l

d e n s i t y a n d r a d i a t i o n t r a p p i n g e e c t s w h i c h m a k e a t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n u p t o n o w i m p o s s i b l e .

2 . 1 . 3 P o l a r i z a t i o n g r a d i e n t c o o l i n g

I n e x p e r i m e n t s w i t h s m a l l m a g n e t o - o p t i c a l t r a p s t h e m e a s u r e d t e m p e r a t u r e s a r e u p t o t e n t i m e s

s m a l l e r t h a n t h e e x p e c t e d D o p p l e r - t e m p e r a t u r e . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h e m a g n e t i c s u b s t r u c t u r e

o f t h e a t o m s a n d o p t i c a l p u m p i n g b e t w e e n t h e s e l e v e l s . T h i s m e t h o d i s c a l l e d p o l a r i z a t i o n g r a d i e n t

c o o l i n g , o p t i c a l m o l a s s e s o r S y s i p h u s c o o l i n g d e p e n d i n g o n t h e p o l a r i z a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e l a s e r

b e a m s a n d i s d i s c u s s e d t o q u i t e s o m e e x t e n d i n [ 1 4 0 , 1 3 0 ] .

T h e p h y s i c a l s i t u a t i o n i n o u r e x p e r i m e n t a l s e t u p c o n s i s t s o f t h r e e p a i r s o f c o u n t e r p r o p a g a t i n g l a s e r

b e a m s w i t h

C

a n d

p o l a r i z a t i o n r e s p e c t i v e l y . T h e l i g h t c r e a t e s a p e r i o d i c p o t e n t i a l w h i c h d i e r s

f o r t h e d i e r e n t m a g n e t i c s u b s t a t e s . T h e a t o m s a r e p r e f e r e n t i a l l y p u m p e d f r o m o n e m a g n e t i c

s u b l e v e l o f o n e h y p e r n e s t a t e a t a p o t e n t i a l m a x i m u m i n t o a n o t h e r m a g n e t i c s u b l e v e l w i t h i n t h e

s a m e h y p e r n e s t a t e i n t o a m i n i m u m o f t h e p o t e n t i a l . B y t h i s t h e a t o m c l i m b s r e p e a t e d l y u p h i l l i n

t h e o p t i c a l p o t e n t i a l a n d l o o s e s b y t h i s k i n e t i c e n e r g y .

W e u s e t h e g r e y m o l a s s e s s c h e m e , w h e r e t h e d e t u n i n g o f t h e c y c l i n g l a s e r i s n e g a t i v e b y s o m e

l i n e w i d t h s w i t h r e s p e c t t o r e s o n a n c e [ 1 4 1 ] . T h i s l i m i t s m u l t i p l e s c a t t e r i n g e e c t s b y t h e r e d u c e d

o p t i c a l t h i c k n e s s . T o e n s u r e t h a t a l l a t o m s w i t h i n t h e c l o u d s e e t h e s a m e p o t e n t i a l , a l l m a g n e t i c

e l d s h a v e t o b e s w i t c h e d o . F u r t h e r m o r e a d d i t i o n a l c o i l s a r e u s e d t o c o m p e n s a t e t h e e a r t h

m a g n e t i c e l d , w h i c h a l r e a d y c a u s e s a d i s t u r b a n c e f o r t h i s c o o l i n g s c h e m e . T h e t e m p e r a t u r e o f a n

a t o m i c c l o u d c o o l e d i n s u c h a m a n n e r s c a l e s a s T %

I =

L

[ 1 4 0 , 1 3 0 ] a n d i s u l t i m a t e l y l i m i t e d b y a

s i n g l e p h o t o n r e c o i l , w h i c h c o r r e s p o n d s f o r R u b i d i u m t o a t e m p e r a t u r e o f 3 9 2 n K [ 1 3 1 ] .

2 . 2 M a g n e t i c t r a p p i n g

T h e i n t e r a c t i o n o f a t o m s w i t h m a g n e t i c e l d s c a n b e u s e d t o c r e a t e c o n s e r v a t i v e p o t e n t i a l s , p a r t i c -

u l a r y t r a p s , f o r c o l d a t o m c l o u d s . T h e a d v a n t a g e o f s u c h t r a p s i s t h e a b s e n c e o f h e a t i n g p r o c e s s e s

a s f o u n d i n M O T s ( s e e c h a p t e r 2 . 1 . 2 ) . T o a c t u a l l y t r a p n e u t r a l p a r t i c l e s o n e h a s t o g e n e r a t e a l o c a l

e l d m i n i m u m o r a l o c a l e l d m a x i m u m . B u t t h e l a t t e r i s f o r b i d d e n b y t h e M a x w e l l e q u a t i o n s [ 1 4 2 ] .

T h e m a g n e t i c d i p o l e s i n t e r a c t w i t h t h e e l d b y t h e Z e e m a n - e e c t . F o r n o t t o o l a r g e m a g n e t i c

e l d s , t h e e n e r g y s h i f t o f t h e a t o m s i s l i n e a r w i t h t h e m a g n e t i c e l d s t r e n g t h a s

E a g

f

m

F

B

j

~

B j : ( 2 . 1 7 )

I f n o w t h e Z e e m a n e n e r g y f o r a m a g n e t i c s u b - l e v e l o f a n a t o m i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g m a g n e t i c

e l d , t h e y w i l l f e e l a f o r c e t o w a r d s t h e e l d m i n i m u m . S u c h s t a t e s a r e c o m m o n l y r e f e r r e d t o a s

w e a k e l d s e e k e r s . A t l a r g e r e l d s t h e h y p e r n e c o u p l i n g i s l i f t e d a n d t h e e n e r g y s h i f t c a n b e



P F P w n n 1 3

Clover-leaf

Pinch

Bias

Z

F i g u r e 2 . 3 : T h e c l o v e r l e a f m a g n e t i c t r a p . T w o i d e n t i c a l u n i t s a r e m o u n t e d o n t h e o p p o s i t e s i d e s o f t h e

v a c u u m c h a m b e r t o t r a p a t o m s i n t h e g e o m e t r i c c e n t e r o f t h e s e t u p . I n e a c h u n i t f o u r g r a d i e n t c o i l s ( b l u e )

a r e a l i g n e d i n o n e p l a n e w i t h t w o c i r c u l a r c o i l s ( g r e e n ) . B y i n c r e a s i n g t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e s m a l l p i n c h

c o i l s ( g r e e n ) a l o n g z , c o m p a r e d t o a H e l m h o l t z c o n g u r a t i o n , o n e a c h i e v e s a c u r v a t u r e o f t h e m a g n e t i c e l d

i n t h e c e n t e r . T o c o m p e n s a t e t h e o s e t e l d , p r o d u c e d b y t h e p i n c h c o i l s o n e h a s t o a d d t w o b i a s c o i l s

( r e d ) i n H e l m h o l t z c o n g u r a t i o n . T h e a r r o w s i n d i c a t e t h e d i r e c t i o n o f t h e a p p l i e d c u r r e n t s .

d e s c r i b e d w i t h t h e B r e i t - R a b i e q u a t i o n [ 1 4 3 ] ( s e e a l s o A p p e n d i x B ) . I n c o n v e n t i o n a l e x p e r i m e n t a l

s e t u p s , t h e m a g n e t i c e l d s a r e g e n e r a t e d b y c u r r e n t c a r r y i n g l o o p s , w h i c h h a s t h e a d v a n t a g e t h a t

t h e t r a p p i n g g e o m e t r y c a n e a s i l y b e c h a n g e d i n t i m e .

A s l o n g t h e m a g n e t i c e l d v a r i e s s l o w l y c o m p a r e d t o t h e e n e r g y s p l i t t i n g b e t w e e n d i e r e n t m a g n e t i c

s u b - s t a t e s , t h e o r i e n t a t i o n o f t h e m a g n e t i c m o m e n t w i l l f o l l o w t h e m a g n e t i c e l d a d i a b a t i c a l l y . A

c h a n g e i n t h e m a g n e t i c e l d c a n b e c a u s e d e i t h e r b y t h e m o t i o n o f t h e a t o m s w i t h i n t h e i n h o -

m o g e n e o u s e l d o r b y t e m p o r a l c h a n g e o f t h e a p p l i e d e l d s . T h i s l i m i t a t i o n c a n b e e x p r e s s e d

a s

!

L a r m o r

)

d

d t

~

B @ t A

j

~

B @ t A j

; ( 2 . 1 8 )

w i t h t h e L a r m o r - f r e q u e n c y !

L a r m o r

a B = ~

. I f t h i s c o n s t r a i n i s v i o l a t e d t h e a t o m s c a n c h a n g e t h e i r

s p i n i n a s o c a l l e d M a j o r a n a s p i n i p p r o c e s s [ 1 4 4 , 1 4 5 ] a n d g e t t r a n s f e r r e d i n t o o t h e r m a g n e t i c

s u b l e v e l s , l i k e l y n o n - t r a p p e d s t a t e s .

2 . 2 . 1 C l o v e r l e a f t r a p

T h e r e e x i s t s e v e r a l m e t h o d s t o g e n e r a t e a m i n i m u m i n a m a g n e t i c e l d d i s t r i b u t i o n b y c u r r e n t

c a r r y i n g c o i l s . T h e s i m p l e s t r e a l i z a t i o n i s a n a r r a n g e m e n t o f t w o c o i l s i n a n t i - H e l m h o l t z c o n g u -

r a t i o n w h i c h g i v e s a t h r e e d i m e n s i o n a l q u a d r u p o l a r e l d [ 1 4 6 ] . T h i s i s a l s o t h e e l d c o n g u r a t i o n

n e e d e d f o r m a g n e t o - o p t i c a l t r a p p i n g . T h e s p h e r i c a l q u a d r u p o l e t r a p c a n b e u s e d t o s t o r e a t o m s ,

b u t i s d i s a d v a n t a g e o u s d u e t o a p o i n t o f z e r o m a g n e t i c e l d i n t h e c e n t e r . A t t h i s p o i n t t h e a t o m s

c a n e a s i l y u n d e r g o M a j o r a n a s p i n i p s a n d l e a v e t h e t r a p . T h e r e a r e d i e r e n t d e s i g n s f o r s t a t i c

m a g n e t i c t r a p s w i t h a n o n - z e r o m a g n e t i c e l d a t i t s m i n i m u m . T h e s e a r e I o e - P r i t c h a r d t y p e t r a p s

[ 1 4 7 , 1 4 8 ] , o p t i c a l l y p l u g g e d I o e - P r i t c h a r d t r a p s [ 7 ] , t o p t r a p s [ 1 4 9 ] , b a s e b a l l t r a p s [ 1 5 0 ] , q u i c

t r a p s [ 1 5 1 ] , c i r c u l a r w a v e g u i d e s [ 1 5 2 ] a n d m i c r o - s t r u c t u r e d p l a n a r z - t r a p s [ 1 5 3 ] .



1 4 P o l o n d o n

A s p e c i a l v e r s i o n o f a I o e P r i t c h a r d t r a p i s a s o c a l l e d c l o v e r l e a f t r a p [ 1 5 4 , 1 5 5 ] . T h e p r i n c i p a l

g e o m e t r y o f a c l o v e r l e a f t r a p i s s h o w n i n g u r e 2 . 3 a n d t h e a c t u a l d e s i g n a s u s e d i n o u r e x p e r i m e n t a l

s e t u p i s s h o w n i n g u r e 3 . 9 . T h e m a g n e t i c e l d g e n e r a t e d b y t h i s c o n g u r a t i o n o f c o i l s c a n b e

a p p r o x i m a t e d i n s e c o n d o r d e r t o

~

B @ ~r A a

H

H

I

B

H

C

x

y

H

B

H

x z

y z

z

P

I

P

@ x

P

C y

P

A

B

H H

P

: ( 2 . 1 9 )

B

H

i s t h e m a g n e t i c e l d o s e t , B

H

t h e e l d g r a d i e n t a n d B

H H

t h e c u r v a t u r e . T h e p o t e n t i a l s e e n b y

t h e a t o m s i s g i v e n b y U a g

F

m

F

B

j

~

B @ ~r A j

, w i t h

j

~

B @ ~r A j

a

B

H

C

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H H

R

@ P z

P

x

P

y

P

A

P

C

B

H

y C

B

H H

P

y z

P

C

B

H

x C

B

H H

P

x z

P

: ( 2 . 2 0 )

F o r s m a l l d i s t a n c e s t h i s p o t e n t i a l c a n b e e x p a n d e d t o s e c o n d o r d e r

U

h a r m

a g

F

m

F

B

B

H

C

I

P

B

H P

B

H

B

H H

P

@ x

P

C y

P

A C

I

P

B

H H

z

P

; ( 2 . 2 1 )

w h i c h r e p r e s e n t s a h a r m o n i c o s c i l l a t o r p o t e n t i a l U a

I

P

m !

P

P

C

I

P

m !

P

z

z

P

. T h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n -

c i e s e x h i b i t e d b y p a r t i c l e s i n s u c h a p o t e n t i a l a r e c o m m o n l y r e f e r r e d t o a s t r a p p i n g f r e q u e n c i e s :

!

a

g

F

m

F

B

m

B

H P

B

H

B

H H

P

!

z

a

g

F

m

F

B

m

B

H H

;

( 2 . 2 2 )

w h e r e a

x

P

C y

P

.

F o r l a r g e r t e m p e r a t u r e s o r s m a l l o s e t e l d s t h e a t o m i c c l o u d e x t e n d s r a d i a l l y f a r i n t o r e g i o n s

b e y o n d t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r a p p r o x i m a t i o n a n d t h e t r a p p i n g p o t e n t i a l c a n b e a p p r o x i m a t e d

l i n e a r l y a s

U

l i n

a g

F

m

F

B

B

H

C

I

P

B

H H

z

P

: ( 2 . 2 3 )

T h e a x i a l h a r m o n i c o s c i l l a t o r a p p r o x i m a t i o n i s r e t a i n e d .

F r o m i n t e r e s t a r e t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n s a n d t h e p e a k d e n s i t i e s i n t h e d i e r e n t r e g i m e s . G e n -

e r a l l y t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n i s g i v e n b y n @ ~r A a n

H

e x p @

U @ ~r A = k

B

T A w i t h t h e p e a k d e n s i t y

n

H

a N =

e x p @ U @ ~r A = k

B

T A d

Q

r . E x p l i c i t e x p r e s s i o n s a r e g i v e n i n t h e t a b l e 2 . 2 . 1 .

T h e l i n e a r r e g i m e i s s e p a r a t e d b y t h e h a r m o n i c o n e , w h e n t h e c o l d c l o u d e x t e n d s i n t h e l i n e a r

r e g i m e i n t o a m a g n e t i c e l d c o m p a r a b l e w i t h t h e o s e t e l d a s

B

H

% B

H

, w h e r e

w a s d e n e d

i n t a b l e 2 . 2 . 1 . T o c a l c u l a t e r e l i a b l e p e a k d e n s i t i e s i n t h i s i n t e r m e d i a t e r e g i m e o n e h a s t o u s e a

n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n a l g o r i t h m .

1

1

R e l i a b l e r e s u l t s w e r e p r o d u c e d w i t h t h e M o n t e - C a r l o M e t h o d f r o m M a t h e m a t i c a ( W o l f r a m R e s e a r c h ) .



P F P w n n 1 5

H a r m o n i c r e g i m e L i n e a r r e g i m e

R a d i a l w i d t h

a

k

B

T

g

F

m

F

B

B

H P

B

H

B

H H

P

a

I

!

k

B

T

m

a

k

B

T

g

F

m

F

B

B

H

A x i a l w i d t h

z

a

k

B

T

g

F

m

F

B

B

H H

a

I

!

z

k B

T

m

z

a

k

B

T

g

F

m

F

B

B

H H

a

I

!

z

k B

T

m

D e n s i t y d i s t r i b u t i o n n @ ~r A a n

H

e x p

P

P

P

z

P

P

P

z

n @ ~r A a n

H

e x p

z

P

P

P

z

P e a k d e n s i t y n

H

a

N

@ P A

Q = P

P

z

n

H

a

N

p

V

P

z

M e a n d e n s i t y n a

n

H

P

Q = P

n a

n

H

P

S = P

T a b l e 2 . 1 : P r o p e r t i e s o f a n a t o m i c c l o u d c o n n e d i n a m a g n e t i c t r a p p i n g p o t e n t i a l . T h e h a r m o n i c r e g i m e

i s d e s c r i b e d b y a n t h r e e - d i m e n s i o n a l h a r m o n i c o s c i l l a t o r p o t e n t i a l a s g i v e n i n e q u a t i o n ( 2 . 2 1 ) . I n t h e l i n e a r

r e g i m e t h e a x i a l p o t e n t i a l r e m a i n s h a r m o n i c , b u t i s r a d i a l l y c h a n g e d t o a c o n s t a n t g r a d i e n t p o t e n t i a l B

H

a s

i n d i c a t e d b y e q u a t i o n ( 2 . 2 3 ) .

T h e a x i a l c u r v a t u r e B

H H

h a s a l s o a c o n t r i b u t i o n i n t o t h e r a d i a l d i r e c t i o n a s c a n b e s e e n i n e q u a t i o n

( 2 . 2 0 ) . A t s o m e p o i n t t h i s p a r t c a n c e l s o u t t h e c u r v a t u r e o f t h e r a d i a l c o n n e m e n t a n d t h e a t o m s

c a n g e t l o s t a t t h e s e s o c a l l e d i n s t a b i l i t y p o i n t s . T h e s e p o i n t s a r e g i v e n b y s o l v i n g |

.

B @ x ; H ; z A j = d x a

H a n d a r e l o c a t e d a t

z

i n s t

a ¦

B

H

B

H H

B

H

P B

H

: ( 2 . 2 4 )

A n o t h e r a s p e c t o f m a g n e t i c t r a p p i n g i s t h e i n u e n c e o f g r a v i t y . T h e a t o m s g e t d r a g g e d d o w n

i n a h a r m o n i c t r a p b y t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e a s

s a g

a P g = !

P

, w i t h g a W : V I m / s

P

b e i n g t h e

a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y . I n a p u r e l y l i n e a r t r a p , t h e e l d g r a d i e n t h a s t o b e l a r g e r t h a n

m g

m

F

g

f

B

t o k e e p t h e a t o m s t r a p p e d .

I n t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e o f B E C - p r o d u c t i o n d i e r e n t t r a p p i n g e l d g e o m e t r i e s a r e n e e d e d .

T h e c o l d a t o m i c c l o u d , w h i c h w a s p r e p a r e d b y l a s e r - c o o l i n g m e t h o d s a s d e s c r i b e d a b o v e , h a s t o

b e t r a n s f e r r e d i n t o a s u i t a b l e m a g n e t i c t r a p . T h i s m e a n s d u r i n g t r a n s f e r t h e l o s s i n t e m p e r a t u r e ,

d e n s i t y a n d a t o m - n u m b e r s h o u l d b e m i n i m i z e d . T h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e c o l d c l o u d a f t e r

m o l a s s e s c o o l i n g i s i n a g o o d a p p r o x i m a t i o n G a u s s i a n i n a l l t h r e e d i r e c t i o n s . T h e p a r a m e t e r s B

H

,

B

H

a n d B

H H

h a v e t o b e a d j u s t e d s u c h , t h a t f o r t h e g i v e n t e m p e r a t u r e t h e w i d t h s

i

o f t h e t r a p p e d

c l o u d m a t c h . W i t h a n i n c r e a s i n g s i z e o f t h e m o l a s s e s c o o l e d c l o u d t h e c u r v a t u r e s o f t h e m a g n e t i c

e l d p o t e n t i a l h a v e t o b e r e d u c e d m o r e a n d m o r e . T h i s c a n b e d o n e a x i a l l y o n l y b y r e d u c i n g t h e

c u r r e n t s i n t h e P i n c h - c o i l s . R a d i a l l y o n e c a n e i t h e r r e d u c e t h e c u r r e n t s i n t h e c l o v e r - l e a f c o i l s o r

i n c r e a s e t h e o s e t e l d v i a t h e c u r r e n t i n t h e B i a s c o i l s . T h i s p r o c e d u r e c a u s e s s e v e r a l p r o b l e m s . A

r e d u c t i o n o f t h e c u r r e n t s c o m e s a l o n g w i t h a r e d u c e d t r a p d e p t h a n d h o t t e r a t o m s w i l l b e l o s t f r o m

t h e t r a p . A n o t h e r p r o b l e m i s t h e n e a r l y i s o t r o p i c s h a p e o f t h e l a s e r - c o o l e d c l o u d . I f t h e r a d i a l a n d

a x i a l c u r v a t u r e c o n v e r g e t o t h e s a m e v a l u e , t h e n t h e i n s t a b i l i t y p o i n t s m i g r a t e t o w a r d s t h e t r a p p i n g

c e n t e r a n d e v e n l e s s a t o m s c a n b e t r a p p e d . I t i s e v e n i m p o s s i b l e t o g e n e r a t e a n i s o t r o p i c t r a p p i n g

p o t e n t i a l w i t h I o e - P r i t c h a r d t y p e t r a p s [ 1 5 5 ] . T h e l a s t c o m p l i c a c y i s t h e i n c r e a s e d g r a v i t a t i o n a l

s a g . T h i s c a n b e h a n d l e d e i t h e r b y s h i f t i n g t h e m a g n e t o - o p t i c a l t r a p d o w n w a r d s w i t h a n a d d i t i o n a l

g r a d i e n t e l d a l o n g t h e d i r e c t i o n o f g r a v i t y t o t h e n e w m i n i m u m p o s i t i o n o f t h e c a t c h i n g p o t e n t i a l

o r b y s h i f t i n g t h e m a g n e t i c t r a p m i n i m u m u p w a r d s b y a n c o n s t a n t m a g n e t i c e l d a l o n g g r a v i t y .

T h e l a t t e r i s h a r d e r t o d o , s i n c e t h e e l d s i n t h e c a t c h i n g t r a p a r e l a r g e r t h a n i n a m a g n e t o - o p t i c a l

t r a p .



1 6 P o l o n d o n

A f t e r t h e a t o m s w e r e s u c c e s s f u l l y t r a n s f e r r e d i n t o a m o d e - m a t c h e d t r a p , t h e d e n s i t y o f t h e c l o u d

h a s t o b e i n c r e a s e d . T h i s i n c r e a s e s t h e e l a s t i c c o l l i s i o n r a t e , w h i c h i s n e c e s s a r y f o r e c i e n t e v a p -

o r a t i v e c o o l i n g . T h e c o n n e m e n t o f t h e t r a p i s d o n e a d i a b a t i c a l l y , w h i c h c a u s e s a l s o a r i s e o f t h e

t e m p e r a t u r e a s

T

l i n

a

e

g

F

m

F

B

k

B

B

H ; h a r m

B

H P

l i n

B

H H

l i n

B

H P

h a r m

B

H H

h a r m

I = R

T

Q = R

h a r m

: ( 2 . 2 5 )

T h e t r a p g e o m e t r y c h a n g e s d u r i n g c o m p r e s s i o n f r o m a t h r e e d i m e n s i o n a l h a r m o n i c ( h a r m ) o s c i l l a t o r

t o a r a d i a l l y l i n e a r ( l i n ) t r a p . A l t h o u g h t h i s c o m p r e s s i o n i s d o n e a d i a b a t i c a l l y t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y

i s i n c r e a s e d b y E u l e r

H

s c o n s t a n t e , w h i c h i s c a u s e d b y t h e d i e r e n t g e o m e t r i e s o f t h e t r a p s .

T h e i n c r e a s e d d e n s i t y a l l o w s n o w f o r e c i e n t e v a p o r a t i v e c o o l i n g . T h e p e a k d e n s i t y i n t h e l i n e a r

c a s e s c a l e s a s n

H

$ T

S = P

w h e r e a s i n t h e h a r m o n i c t r a p o n l y a s n

H

$ T

Q = P

. B u t s o m e t i m e s i t i s

a d v a n t a g e o u s t o r e d u c e t h e c o n n e m e n t d u r i n g e v a p o r a t i o n , t o a v o i d d e n s i t y d e p e n d e n t i n e l a s t i c

t h r e e b o d y c o l l i s i o n s a s d e s c r i b e d i n c h a p t e r 2 . 4 .

2 . 3 E v a p o r a t i v e c o o l i n g

L a s e r c o o l i n g h a s i t s l i m i t s i n t e m p e r a t u r e a n d d e n s i t y a s d i s c u s s e d i n c h a p t e r 2 . 1 . 3 . T h e r e e x i s t s

u p t o d a y n o c o n c e p t t o r e a c h q u a n t u m d e g e n e r a c y b y p u r e o p t i c a l c o o l i n g t e c h n i q u e s , t h e r e f o r e

a d i e r e n t k i n d o f c o o l i n g m e t h o d i s n e e d e d

2

. T h e p r i n c i p l e o f t h e f o r c e d e v a p o r a t i v e c o o l i n g

m e t h o d i s t o r e m o v e a b o v e a v e r a g e h o t a t o m s f r o m t h e a t o m i c c l o u d a n d l e t t h e r e m a i n i n g a t o m s

r e t h e r m a l i z e [ 1 5 7 ] . B y t h e t r u n c a t i o n o f t h e h o t t e s t a t o m s o f a M a x w e l l - B o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n ,

t h e r e m a i n i n g a t o m s r e s i d e i n a n o n - e q u i l i b r i u m s i t u a t i o n . I f t h e e n e r g y o f t h e r e m a i n i n g a t o m s

i s r e d i s t r i b u t e d a l o n g a l l a t o m s a c c o r d i n g t o a M a x w e l l - B o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n , i s t h e t e m p e r a t u r e

r e d u c e d . E s s e n t i a l f o r t h i s t h e r m a l i z a t i o n p r o c e s s a r e c o l l i s i o n s b e t w e e n t h e a t o m s . I t t a k e s o n l y

a b o u t v e c o l l i s i o n s p e r a t o m t o n d t h e c o l d c l o u d a g a i n i n t h e r m a l e q u i l i b r i u m , a f t e r t h e h o t a t o m s

w e r e r e m o v e d [ 1 5 8 ] . T h e e l a s t i c s c a t t e r i n g r a t e i s g i v e n b y

s c a t t

a n v . A l t h o u g h t h e v e l o c i t y

d r o p s w i t h f a l l i n g t e m p e r a t u r e , d o e s t h e s c a t t e r i n g r a t e i n c r e a s e w i t h p r o c e e d i n g e v a p o r a t i o n , d u e

t o t h e l a r g e r g a i n i n d e n s i t y . T h i s r e g i m e i s c a l l e d r u n a w a y e v a p o r a t i o n . T h e t i m e n e e d e d t o r e a c h

q u a n t u m d e g e n e r a c y i s l i m i t e d b y t h e l o s s e s o f a t o m s d u e t o b a c k g r o u n d c o l l i s i o n s , n a m e l y t h e

t r a p l i f e t i m e .

T o q u a n t i f y t h e p e r f o r m a n c e o f a n e x p e r i m e n t a l l y c o n d u c t e d e v a p o r a t i v e c o o l i n g s t e p i t i s c o m m o n

t o e x p r e s s i t a s t h e g a i n i n t e m p e r a t u r e o r p h a s e s p a c e d e n s i t y w i t h r e s p e c t t o t h e l o s t a t o m s . T h e

e c i e n c y o f t h e e v a p o r a t i v e p r o c e s s i s e x p r e s s e d i n t e m p e r a t u r e g a i n p e r a t o m l o s s

a

d @ l n T A

d @ l n N A

a

T = T

N = N

( 2 . 2 6 )

a n d t h e e c i e n c y i s t h e g a i n i n p h a s e s p a c e d e n s i t y ( p s d ) p e r a t o m l o s s

a

d @ l n p s d A

d @ l n N A

a

p s d = p s d

N = N

: ( 2 . 2 7 )

2

T h e e v a p o r a t i o n t o q u a n t u m d e g e n e r a c y i n a p u r e l y o p t i c a l d i p o l e t r a p [ 1 5 6 ] i s s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s a n a l l

o p t i c a l m e t h o d .



P F Q i o o o l n 1 7

Ti

Ecut

T <Tif

f ( v

)

v

f ( v

)

f ( v

)

v v

F i g u r e 2 . 4 : S c h e m a t i c s e q u e n c e o f t h e e v a p o r a t i v e c o o l i n g t e c h n i q u e . F r o m a n s a m p l e w i t h a M a x w e l l -

B o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n f @ v A a

2

m

k

B

T

3 = 2

v

2

e x p

m v

2

2 k

B

T

a n d a t e m p e r a t u r e T

i

t h e h o t t e s t a t o m s ( T >

E

c u t

= k

B

) a r e r e m o v e d . T h e r e m a i n i n g a t o m s a r e n o t a n y m o r e i n t h e r m a l e q u i l i b r i u m . A f t e r s o m e c o l l i s i o n s

t h e c l o u d f o l l o w s a g a i n a M a x w e l l - B o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n , b u t a t l o w e r t e m p e r a t u r e T

f

.

T h e t r u n c a t i o n p a r a m e t e r g i v e s t h e r a t i o o f t h e t e m p e r a t u r e o f t h e c o l d c l o u d a n d t h e c u t o

e n e r g y .

a

E

c u t

k

B

T

: ( 2 . 2 8 )

T h e r e m o v a l o f t h e h o t t e s t a t o m s c a n b e e i t h e r d o n e b y l o w e r i n g t h e t r a p d e p t h , a s i t i s d o n e i n

d i p o l e t r a p s [ 1 5 6 ] , o r b y a d d r e s s i n g t h e m w i t h r a d i o - f r e q u e n c y e l d s . T h e r s t m e t h o d h a s t h e

d i s a d v a n t a g e t h a t w i t h t h e r e d u c t i o n o f t h e t r a p d e p t h , u s u a l l y a l s o t h e c o n n e m e n t i s r e d u c e d

a n d b y t h i s t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g r a t e . T h i s i s f o r m a g n e t i c a l l y t r a p p e d p a r t i c l e s n o t t h e m e t h o d o f

c h o i c e , s i n c e e v a p o r a t i o n c a n b e a c c o m p l i s h e d a t f u l l c o n n e m e n t . I n a m a g n e t i c t r a p t h e a t o m s

a r e l o c a t e d i n t h e m i n i m u m o f a m a g n e t i c e l d . T h e h o t t e r a t o m s e x t e n d i n r e g i o n s w i t h h i g h e r

m a g n e t i c e l d s a n d e x p e r i e n c e a l a r g e r Z e e m a n n - s h i f t w h i c h a l l o w s a s p a t i a l d e p e n d e n t r e s o n a n c e

c o n d i t i o n f o r t h e r a d i o - f r e q u e n c y e l d . T h e r f - e l d t r a n s f e r s b y a m a g n e t i c d i p o l e t r a n s i t i o n t h e

a t o m s i n t o a n o n - t r a p p e d s t a t e a n d t h e y g e t l o s t . T h i s i s o n l y p o s s i b l e i f t h e t w o s t a t e s c o u p l e d b y

t h e r f - e l d h a v e d i e r e n t Z e e m a n - s h i f t s . I n

V U

R b e x i s t t w o d i e r e n t t r a n s i t i o n s t o d o s o . T h e m o s t

c o m m o n o n e i s t h e t r a n s f e r o f t h e a t o m s w i t h i n o n e h y p e r n e m a n i f o l d i n t o n o n - t r a p p e d m a g n e t i c

s u b - s t a t e s b y h i g h - f r e q u e n c y - e l d s ( H F ) . T h e o t h e r o n e i s t h e t r a n s f e r o f t h e t r a p p e d a t o m s i n t o

a n o t h e r n o n - t r a p p e d h y p e r n e s t a t e b y m i c r o w a v e r a d i a t i o n ( M W ) . T h e r e s o n a n c e c o n d i t i o n f o r

b o t h m e t h o d s i s

@ g

H

F

m

H

F

g

F

m

F

A

b

j B @ ~r A

j a

~

!

r f

; ( 2 . 2 9 )

w h e r e g

F

i s t h e L a n d é f a c t o r a n d m

F

t h e p r o j e c t i o n o f t h e m a g n e t i c m o m e n t .

F o r a c o n s t a n t f r e q u e n c y !

r f

t h e a t o m s m o v e t h r o u g h t h e r e g i o n o f r e s o n a n c e w i t h a v e l o c i t y

v . T h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y i n t o a n o n - t r a p p e d s t a t e c a n b e d e r i v e d b y u s i n g t h e L a n d a u - Z e n e r

p i c t u r e . T h e p r o b a b i l i t y d e p e n d s o n t h e L a n d a u - Z e n e r p a r a m e t e r [ 1 5 9 ] w h i c h i s v a l i d f o r t r a n s i t i o n s

w i t h i n o n e h y p e r n e m a n i f o l d

L Z

a

~

!

P

R

g

F

B

P v @ d B = d r A

: ( 2 . 3 0 )



1 8 P o l o n d o n

w i t h t h e R a b i f r e q u e n c y !

R

a g

F

B

B

r f

= P ~

. B

r f

i s t h e a m p l i t u d e o f t h e m a g n e t i c e l d p r o d u c e d

b y t h e r f - e l d a n d d B = d r t h e g r a d i e n t o f t h e m a g n e t i c e l d a t t h e p o s i t i o n w h e r e t h e a t o m s a r e

i n r e s o n a n c e . A n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n f o r R u b i d i u m a t o m s [ 1 6 0 ] s h o w e d t h a t f o r a L a n d a u - Z e n e r

p a r a m e t e r m o r e t h a n 1 a l m o s t a l l a t o m s a r e t r a n s f e r r e d i n t o n o n - t r a p p e d s t a t e s .

2 . 4 B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n

A s t h e f o r c e d e v a p o r a t i o n c o o l i n g p r o c e e d s , t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y i n c r e a s e s u n t i l t h e c o l d a t o m i c

c l o u d u n d e r g o e s a t a c r i t i c a l t e m p e r a t u r e a p h a s e t r a n s i t i o n t o a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e . T h e

e x i s t e n c e o f s u c h a p h a s e t r a n s i t i o n w a s a l r e a d y p o s t u l a t e d i n 1 9 2 5 b y A l b e r t E i n s t e i n [ 9 8 ] b a s e d

o n a n a r t i c l e o f S a t y e n d r a N a t h B o s e [ 9 7 ] . A m o r e e x t e n d e d d e r i v a t i o n o f t h e p h a s e t r a n s i t i o n f o r

a n o n i n t e r a c t i n g b o s o n i c g a s i s g i v e n i n [ 1 6 1 ] . T h e p h y s i c s o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s o f d i l u t e

a t o m i c g a s e s i s r e v i e w e d i n [ 2 2 , 1 6 2 ] .

2 . 4 . 1 T h e n o n - i n t e r a c t i n g B o s e g a s

F o r a t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e p h a s e t r a n s i t i o n f r o m a t h e r m a l g a s w i t h B o s e - s t a t i s t i c s t o

a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e w e a s s u m e a n o n i n t e r a c t i n g B o s e g a s c o n n e d i n a p o t e n t i a l U @ ~r A .

T o m o d e l i t s t h e r m o d y n a m i c p r o p e r t i e s w e a s s u m e a g r a n d c a n o n i c a l e n s e m b l e , w h i c h a l l o w s t h e

e x c h a n g e o f e n e r g y a n d p a r t i c l e s w i t h a r e s e r v o i r [ 1 6 1 ] . T h e o c c u p a t i o n n u m b e r n

k

o f a s t a t e k a t

a g i v e n t e m p e r a t u r e T i s g i v e n b y t h e B o s e - d i s t r i b u t i o n

h n

k

i a

I

e

@

k

A = k

B

T

I

; ( 2 . 3 1 )

k

i s t h e e n e r g y o f a s t a t e k a n d t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l . F o r h i g h t e m p e r a t u r e s t h i s d i s t r i b u t i o n

i s e q u i v a l e n t t o a B o l t z m a n n - d i s t r i b u t i o n o f a c l a s s i c a l g a s . A g i v e n t o t a l a t o m n u m b e r N x e s t h e

c h e m i c a l p o t e n t i a l .

N a

k

h n

k

i : ( 2 . 3 2 )

A s t h e t e m p e r a t u r e i s r e d u c e d , t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l a p p r o a c h e s t h e g r o u n d s t a t e e n e r g y

H

o f

t h e p o t e n t i a l a n d t h e g r o u n d s t a t e p o p u l a t i o n h

n

H

i b e c o m e s a m a c r o s c o p i c n u m b e r N

H

.

A s a n e x t s t e p w e w a n t t o c a l c u l a t e t h e n u m b e r o f a t o m s N

N

H

n o t o c c u p y i n g t h e g r o u n d s t a t e

N

N

H

a

I k a I

I

e

@

k

A = k

B

T

I

%

I

H

@ A

I

e

@

A = k

B

T

I

d : ( 2 . 3 3 )

T h e s u m o v e r a l l s t a t e s ( e x c e p t t h e g r o u n d s t a t e ) c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a n i n t e g r a l w i t h a

c o n t i n u o u s d e n s i t y o f s t a t e s f u n c t i o n @ A . T h i s i s a l l o w e d a s l o n g t h e t e m p e r a t u r e i s l a r g e c o m p a r e d

t o t h e l e v e l s p a c i n g s . S i n c e t h e d e n s i t y o f s t a t e s g o e s t o z e r o f o r

3

H t h e e r r o r m a d e b y s t a r t i n g

t h e i n t e g r a l f r o m z e r o i s n e g l i g i b l e . T h e d e n s i t y o f s t a t e s i s g i v e n b y



P F R f o E i n n o n d n o n 1 9

@ A a

I

@ P ~ A

Q I

I I

I

U @ ~r A

p

P

P m d

Q

r d

Q

p

a

P @ P m A

Q = P

@ P ~ A

Q

U <

U @ ~r A d

Q

r :

( 2 . 3 4 )

F o r t e m p e r a t u r e s a b o v e t h e p h a s e t r a n s i t i o n , t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n n @ ~r A c a n b e c a l c u l a t e d w i t h

t h e h e l p o f t h e n o r m a l i z a t i o n N a

n @ ~r A d

Q

r

n @ ~r A d

Q

r a

I

Q

d B

g

Q = P

e

@ U @ ~r A A = k

B

T

; ( 2 . 3 5 )

w h e r e t h e t h e r m a l d e B r o g l i e w a v e l e n g t h

d B

a

P

~

P

m k

B

T

( 2 . 3 6 )

w a s i n t r o d u c e d . T h e p o l y - l o g a r i t h m i c f u n c t i o n i s d e n e d a s g

@ x A a

I

j a I

x

j

= j

[ 1 6 3 ] . F o r a n y

t r a p p i n g p o t e n t i a l r e a c h e s t h e p o l y - l o g a r i t h m i c f u n c t i o n a c r i t i c a l v a l u e , i f x 3

I , w h i c h i s e q u i v a l e n t

w i t h a c h e m i c a l p o t e n t i a l t h a t a p p r o a c h e s H . I f t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y ( p s d ) r e a c h e s t h i s p o i n t

t h e p h a s e t r a n s i t i o n t o t h e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e o c c u r s :

p s d a m a x @ n @ ~r A A

Q

d B

a g

Q = P

@ I A a P : T I P : : : ( 2 . 3 7 )

I n a t h r e e d i m e n s i o n a l h a r m o n i c o s c i l l a t o r p o t e n t i a l U @ ~r A a

m

P

@ !

P

x

x

P

C !

P

y

y

P

C !

P

z

z

P

A t h e d e n s i t y

o f s t a t e s i s g i v e n b y @ A a

I

P @ ~ ! A

Q

P

. T h e m e a n t r a p p i n g f r e q u e n c y i s g i v e n b y ! a @ !

x

!

y

!

z

A

I = Q

.

T h e f r a c t i o n o f a t o m s N N

H

r e m a i n i n g i n a n a r b i t r a r y e x c i t e d s t a t e e v a l u a t e s t o

N

N

H

a g

Q

@ I A

k

B

T

~

!

Q

: ( 2 . 3 8 )

A t t h e p h a s e t r a n s i t i o n t h e g r o u n d s t a t e f r a c t i o n c a n b e s e t t o z e r o ( N

H

a H ) a n d t h e c r i t i c a l

t e m p e r a t u r e i n a n h a r m o n i c o s c i l l a t o r i s

T

c

a

~

!

k

B

N

g

Q

@ I A

I = Q

: ( 2 . 3 9 )

W i t h t h i s w e c a n g i v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e f r a c t i o n o f a t o m s i n t h e c o n d e n s e d s t a t e

N

H

N

a I

T

T

c

Q

: ( 2 . 4 0 )

T h e a b o v e t r e a t m e n t o f t h e p h a s e t r a n s i t i o n i s o n l y v a l i d f o r l a r g e a t o m n u m b e r s N 3 I

. F o r a

n i t e a t o m n u m b e r o n e c a n n o t a s s i g n a d e n i t e c r i t i c a l t e m p e r a t u r e t o t h e s y s t e m . T h e i n i t i a l

t r a n s i t i o n p o i n t i s s o f t e n e d i n a r e g i o n a r o u n d T

c

. T h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f t h e n i t e

s i z e e e c t s c a n b e f o u n d i n [ 2 2 , 1 6 4 , 1 6 5 ] .



2 0 P o l o n d o n

2 . 4 . 2 T h e i n t e r a c t i n g B o s e g a s

U n t i l n o w t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e a t o m s w a s o m i t t e d , w h i c h s h a l l n o w b e i n c l u d e d . I t i s s u c i e n t

f o r d i l u t e B o s e g a s e s a t v e r y l o w t e m p e r a t u r e s t o m o d e l t h e i n t e r a c t i o n b y p a i r w i s e e l a s t i c s c a t t e r i n g

e v e n t s . T h e s c a t t e r i n g p o t e n t i a l c a n b e d e s c r i b e d b y a p s e u d o p o t e n t i a l [ 2 2 ]

V @ ~r

~r

H

A a g @ ~r

~r

H

A ; ( 2 . 4 1 )

w i t h t h e i n t e r a c t i o n p a r a m e t e r g a R ~

P

a = m a n d t h e s - w a v e s c a t t e r i n g l e n g t h a . T h e t e m p e r a t u r e

i n B o s e c o n d e n s e d g a s e s i s t y p i c a l l y s o l o w , t h a t h i g h e r p a r t i a l w a v e s o f t h e s c a t t e r i n g a m p l i t u d e c a n

b e n e g l e c t e d [ 1 6 6 ] . T h e a t o m s i n a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e h a p p e n t o b e a l l i n t h e s a m e i n t e r n a l

a s w e l l e x t e r n a l q u a n t u m s t a t e a n d t h e c o n d e n s a t e f r a c t i o n c a n b e d e s c r i b e d w i t h a m a c r o s c o p i c

w a v e - f u n c t i o n @ ~r A . T h i s m e a n e l d a p p r o a c h r e s u l t s n a l l y t h e s o c a l l e d G r o s s - P i t a e v s k i i e q u a t i o n

w h i c h i s a n o n l i n e a r S c h r o e d i n g e r e q u a t i o n .

~

P

r

P

P m

C U @ ~r A C g j @ ~r A j

P

@ ~r A a @ ~r A : ( 2 . 4 2 )

A t v e r y l o w t e m p e r a t u r e s o r h i g h d e n s i t i e s t h e k i n e t i c t e r m i n e q u a t i o n ( 2 . 4 2 ) c a n b e n e g l e c t e d .

W i t h t h i s s o c a l l e d T h o m a s - F e r m i a p p r o x i m a t i o n t h e s o l u t i o n i s a l g e b r a i c a n d t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n

c a l c u l a t e s t o

n @ ~r A a j

@ ~r A j

P

a

I

g

@

U @ ~r A A : ( 2 . 4 3 )

I n a h a r m o n i c o s c i l l a t o r p o t e n t i a l t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n a d o p t s a p a r a b o l i c s h a p e . T h e e x t e n s i o n

o f t h e c o n d e n s a t e i s g i v e n i n t h i s c a s e b y t h e T h o m a s - F e r m i r a d i u s r

T F

, w h i c h c a n b e c a l c u l a t e d

b y s e t t i n g

U @ ~r A a H :

r

P

T F ; i

a

P

m !

P

i

: ( 2 . 4 4 )

B y u s i n g t h e n o r m a l i z a t i o n N a

n @ ~r A d

Q

r f o r t h e g i v e n a t o m n u m b e r N o n e c a n a l s o c a l c u l a t e t h e

c h e m i c a l p o t e n t i a l a s [ 1 6 2 ]

a

I S

P = S

P

N a

a

h o

P = S

~

! a

I S

P = S

P

@ !

Q

p

m ~

P

a N A

P = S

; ( 2 . 4 5 )

w h e r e w e u s e d t h e w i d t h a

h o

o f t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r g r o u n d s t a t e e i g e n - f u n c t i o n , g i v e n b y

a

h o ; i

a

~

= @ m !

i

A : ( 2 . 4 6 )

T h e b a r s i n d i c a t e t h e g e o m e t r i c m e a n f o r t h e t r a p p i n g f r e q u e n c i e s d e n e d a s ! a @ !

x

¡ !

y

¡ !

z

A

I = Q

a n d i s a n a l o g o u s g i v e n f o r t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r g r o u n d s t a t e . F i n a l l y o n e c a n c a l c u l a t e t h e p e a k

d e n s i t y o f t h e i n t e r a c t i n g c o n d e n s a t e w a v e f u n c t i o n

n

H

a

! m

V ~

a

I S N a

a

h o

P = S

: ( 2 . 4 7 )

W i t h t h e e q u a t i o n s g i v e n i n t h i s c h a p t e r i t i s n o w p o s s i b l e t o c h a r a c t e r i z e q u a n t i t a t i v l y a l l p h y s i c a l

p r o p e r t i e s o f t h e c o n d e n s a t e f r a c t i o n a n d w i l l n d t h e i r u s a g e i n c h a p t e r 3 . 1 1 .



P F S h o l o n l 2 1

2 . 4 . 3 C o l l i s i o n a l p r o c e s s e s

W e h a v e s e e n t h a t t h e d o m i n a n t c o l l i s i o n a l p r o c e s s i n a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e i s e l a s t i c t h e

s - w a v e s c a t t e r i n g a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s c a t t e r i n g r a t e i s g i v e n b y

e l a s t i c

a n h

v i

H

; ( 2 . 4 8 )

w h e r e h v i i s t h e m e a n v e l o c i t y i n t h e c e n t e r o f m a s s f r a m e o f t h e t w o c o l l i d i n g p a r t i c l e s a n d n i s

t h e m e a n d e n s i t y . F o r i d e n t i c a l b o s o n s i s t h e t o t a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n g i v e n b y V a

P

w i t h a

b e i n g t h e s - w a v e s c a t t e r i n g l e n g t h . F o r d i s t i n g u i s h a b l e p a r t i c l e s i s t h e t o t a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n

r e d u c e d b y a f a c t o r t w o t o R a

P

. A t s u c h c o l d t e m p e r a t u r e s a s f o u n d i n B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s

i t i s f a i r t o o m i t t h e c o r r e c t i o n s t o t h e s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n f o r h i g h e r t e m p e r a t u r e s .

B e y o n d t h i s e l a s t i c s c a t t e r i n g e v e n t s , t h e r e e x i s t a l s o i n e l a s t i c t w o b o d y p r o c e s s e s , b y w h i c h t h e

i n t e r n a l s t a t e o f t h e a t o m s i s c h a n g e d a n d t h e y m a y b e l o s t f r o m t h e t r a p . T h e r s t o n e i s a

s p i n e x c h a n g e c o l l i s i o n b e t w e e n t w o a t o m s . I n t h i s p r o c e s s t h e t o t a l m a g n e t i c m o m e n t o f t h e t w o

p a r t i c l e s m

t o t

a m

I

C m

P

i s r e d i s t r i b u t e d w i t h i n t h e t h e t w o p a r t i c l e s . H o w e v e r t h e t o t a l m a g n e t i c

m o m e n t h a s t o b e c o n s e r v e d . T h e s p i n e x c h a n g e c o l l i s i o n s r a t e s c a l e s w i t h t h e t h i r d p o w e r o f t h e

t o t a l m a g n e t i c m o m e n t [ 1 6 7 ] . B u t i f a l l t h e t r a p p e d a t o m s a r e i n t h e s a m e s t r e t c h e d s t a t e a s e . g .

F a P ; m

F

a P , w h i c h i s t h e c a s e f o r o u r t r a p p e d s a m p l e o f a t o m s , t h i s c o l l i s i o n w i l l n o t o c c u r

s i n c e t h e r e e x i s t s n o o t h e r c o m b i n a t i o n o f m a g n e t i c m o m e n t s w h i c h c o n s e r v e s t h e t o t a l m o m e n t .

T h e s e c o n d i n e l a s t i c t w o b o d y s c a t t e r i n g p r o c e s s i s t h e d i p o l a r r e l a x a t i o n . I n t h i s c a s e t h e a t o m s

t r a n s f e r d u r i n g t h e s c a t t e r u n g e v e n t a n g u l a r m o m e n t u m , g i v e n b y t h e k i n e t i c e n e r g y , i n t o t h e

i n t e r n a l s t a t e . T h i s p r o c e s s s c a l e s w i t h t h e v e l o c i t y o f t h e a t o m s a n d c a n a l s o b e n e g l e c t e d f o r

v e r y s m a l l t e m p e r a t u r e s .

O n e i n e l a s t i c p r o c e s s , w h i c h c a n n o t b e n e g l e c t e d i s t h e i n e l a s t i c t h r e e b o d y d e c a y . H e r e a r e

t h r e e p a r t i c l e s i n v o l v e d , w h e r e t w o o f t h e m c r e a t e a m o l e c u l a r s t a t e a n d t h e t h i r d a t o m t a k e s

a w a y t h e e x c e s s e n e r g y o f t h e b o u n d s t a t e . T h i s p r o c e s s d e t e r m i n e s t h e l i f e t i m e o f B o s e - E i n s t e i n

c o n d e n s a t e s , i f o t h e r h e a t i n g p r o c e s s e s a r e a b s e n t . T h e d e c a y r a t e c a n b e c a l c u l a t e d b y

d N

d t

a

L

N n

P

@ ~r A d

Q

r ; ( 2 . 4 9 )

w h e r e L i s t h e r a t e c o n s t a n t f o r i n e l a s t i c t h r e e b o d y c o l l i s i o n s [ 1 6 8 , 1 6 9 ] .

2 . 5 D i p o l e p o t e n t i a l s

A t o m s c a n n o t o n l y b e s t o r e d i n m a g n e t i c t r a p s b u t a l s o i n d i p o l e p o t e n t i a l s m a d e o f l i g h t [ 1 7 0 ,

1 7 1 , 1 7 2 , 1 7 3 ] . T h e d i p o l e f o r c e a r i s e s f r o m t h e d i s p e r s i v e p a r t o f t h e a t o m l i g h t i n t e r a c t i o n ( s e e

c h a p t e r 2 . 1 ) i n a l i g h t e l d w i t h a n i n t e n s i t y g r a d i e n t . T h e r e s u l t a n t c o n s e r v a t i v e p o t e n t i a l U

d i p

i s

g i v e n b y t h e s h i f t e d e n e r g y l e v e l s o f a t w o - s t a t e a t o m d r e s s e d w i t h t h e l i g h t e l d I @ ~r A a n d c a n b e

a p p r o x i m a t e d f o r l a r g e d e t u n i n g s a n d s m a l l s a t u r a t i o n p a r a m e t e r s a s

U

d i p

@ ~r A a

Q c

P

P !

Q

H

!

H

!

L

C

!

H

C !

L

I @ ~r A : ( 2 . 5 0 )

T h e f r e q u e n c y o f t h e l i g h t e l d i s !

L

, a n d t h e r e s o n a n c e f r e q u e n c y o f t h e a t o m i s !

H

. i s t h e

n a t u r a l l i n e w i d t h o f t h e t r a n s i t i o n . A l t h o u g h t h e d i s p e r s i v e p a r t o f t h e a t o m l i g h t i n t e r a c t i o n



2 2 P o l o n d o n

i s c o n s e r v a t i v e r e m a i n s i n t h e p r e s e n c e o f a l i g h t e l d a l w a y s a c o n t r i b u t i o n o f t h e s p o n t a n e o u s

s c a t t e r i n g r a t e

s c

w h i c h i s g i v e n b y

s c

a

Q c

P

P ~

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Q

H

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L

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H

Q

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H

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L

C

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H

C !

L

P

I @ ~r A : ( 2 . 5 1 )

A d v a n t a g e o u s i s t h a t t h e s c a t t e r i n g r a t e d r o p s q u a d r a t i c a l l y w i t h t h e d e t u n i n g a !

H

!

L

w h e r e a s t h e p o t e n t i a l d e p t h o n l y d r o p s l i n e a r l y . T h i s a l l o w s o n e t o g e n e r a t e p o t e n t i a l s a t a l a r g e

e n o u g h d e t u n i n g w h i c h c a n t r a p a t o m s w i t h o u t s u e r i n g h e a t i n g o r o p t i c a l p u m p i n g b y s p o n t a n e o u s

s c a t t e r i n g e v e n t s . F o r d e t u n i n g s r e l a t i v e l y c l o s e t o r e s o n a n c e e q u a t i o n s ( 2 . 5 0 ) a n d ( 2 . 5 1 ) c a n b e

s i m p l i e d i n a r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o n b y d r o p p i n g t h e c o u n t e r - r o t a t i n g ( s e c o n d ) t e r m . A

d e t a i l e d t r e a t m e n t f o r m u l t i - l e v e l a t o m s i s g i v e n i n A p p e n d i x E .

I f t h e d e t u n i n g i s n e g a t i v e ( r e d d e t u n e d ) t h e a t o m s e x p e r i e n c e a f o r c e t o w a r d s h i g h e r i n t e n s i t y .

F o r > H ( b l u e d e t u n e d ) t h e s i t u a t i o n i s v i c e v e r s a a n d t h e a t o m s m o v e t o r e g i o n s o f l o w e r

i n t e n s i t y . L e t u s a s s u m e a f o c u s e d G a u s s i a n b e a m , w h i c h h a s a m a x i m u m i n t e n s i t y a t i t s g e o m e t r i c

c e n t e r . I n t h e c a s e o f r e d d e t u n i n g t h e a t o m s a r e a t t r a c t e d t o w a r d s t h e f o c u s o f t h e b e a m a n d c a n

b y t h i s b e t r a p p e d . T h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f G a u s s i a n b e a m p r o p a g a t i n g a l o n g z i s g i v e n b y

I @ ~r A a

P P

H

w

x

@ z A w

y

@ z A

e x p

P x

P

w

x

@ z A

e x p

P y

P

w

y

@ z A

: ( 2 . 5 2 )

T h e t o t a l l i g h t p o w e r i n t h e l a s e r b e a m i s g i v e n b y P

H

. T h e f u n c t i o n s w

x

@ z A a n d w

y

@ z A d e s c r i b e

t h e r a d i a l e x t e n s i o n o f t h e b e a m w h i l e i t p r o p a g a t e s a l o n g z a n d a r e g i v e n b y

w

x ; y

@ z A a w

H

x ; y

I C

L

z

w

H

x ; y

P

: ( 2 . 5 3 )

T h e r a d i u s o f a G a u s s i a n b e a m i s d e n e d b y t h e l e n g t h a t w h i c h t h e i n t e n s i t y d r o p s t o I = e

P

. T h e

r a d i i w

H

x ; y

a r e t h e e x t e n s i o n s o f t h e b e a m a t t h e p o s i t i o n o f t h e f o c u s a n d

L

i s t h e w a v e l e n g t h o f

t h e l a s e r . T h e d i s t a n c e f r o m t h e f o c u s t o t h e p o i n t a t w h i c h t h e b e a m w a i s t e x p a n d s b y a f a c t o r

o f

p

P i s c a l l e d t h e R a y l e i g h - r a n g e

z

R

a

w

H

x ; y

P

L

: ( 2 . 5 4 )

I f t h e t r a p p e d c l o u d i s s m a l l c o m p a r e d t o t h e r a d i i , t h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n c a n b e e x p a n d e d

q u a d r a t i c a l l y b y

I

h a r m

@ ~r A a

P P

H

w

H

P

I

P

P

w

H

R

z

P

R

w

H

P

P

; ( 2 . 5 5 )

w h e r e w e a s s u m e d a s p h e r i c a l b e a m w i t h w

x

@ z A a w

y

@ z A a w

@ z A .

O n e c a n e a s i l y e x t r a c t f r o m t h i s i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n t h e t r a p p i n g f r e q u e n c i e s i n r o t a t i n g w a v e

a p p r o x i m a t i o n a s



P F S h o l o n l 2 3

!

z

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T c

P

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P

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P R c

P

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Q

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: ( 2 . 5 6 )

W i t h t h e s e t r a p p i n g f r e q u e n c i e s a l l p r o p e r t i e s o f a t r a p p e d c o l d c l o u d o r a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e

[ 1 7 4 ] c a n b e e x t r a c t e d w i t h t h e m e t h o d s d e s c r i b e d i n c h a p t e r 2 . 2 a n d 2 . 4 .

2 . 5 . 1 O p t i c a l l a t t i c e s

A n o p t i c a l l a t t i c e i s a p e r i o d i c p o t e n t i a l t h a t i s f o r m e d d u e t o i n t e r f e r e n c e o f t w o o r m o r e l a s e r

b e a m s [ 1 7 5 , 7 4 ] . D e p e n d i n g o n t h e i r p o l a r i z a t i o n s , d i r e c t i o n s a n d i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n s a l a r g e

v a r i e t y o f o p t i c a l p o t e n t i a l s c a n b e g e n e r a t e d . T h e s i m p l e s t c a s e e m e r g e s i f a l i n e a r p o l a r i z e d l a s e r

b e a m i s r e t r o - r e e c t e d i n t o i t s e l f . B y t h i s a c o s i n e s h a p e d i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n a r i s e s a l o n g t h e

d i r e c t i o n o f t h e k - v e c t o r o f t h e l a s e r b e a m s . T h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f s u c h a n o p t i c a l l a t t i c e i s

r a d i a l l y s t i l l G a u s s i a n i n s h a p e a s i n t h e c a s e o f a n o r d i n a r y s i n g l e b e a m d i p o l e t r a p . T h e a s s o c i a t e d

p o t e n t i a l f o r a c o n s t a n t i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f b o t h b e a m s i s

U

l a t

a R U

d i p

o s

P

@ k z A : ( 2 . 5 7 )

T h e p o t e n t i a l U

d i p

i s t h e p o t e n t i a l o f a s i n g l e l a s e r b e a m a n d c a n b e c a l c u l a t e d w i t h t h e m e t h o d s

p r e s e n t e d i n t h e s e c t i o n b e f o r e . T h e f a c t o r 4 i n t h e l a t t i c e p o t e n t i a l U

l a t

a r i s e s f r o m t h e i n t e r f e r e n c e

o f t h e e l e c t r i c e l d c o m p o n e n t s . k a P = i s t h e w a v e - n u m b e r o f t h e l a s e r a n d z i s t h e a x i s o f

p r o p a g a t i o n .

T o e x p l o r e t h e d y n a m i c s o f a n a t o m i n s u c h a n o p t i c a l l a t t i c e p o t e n t i a l i t i s b e n e c i a l t o c a l c u l a t e

r s t t h e e i g e n - e n e r g i e s . T h i s i s d o n e b y s o l v i n g t h e t i m e i n d e p e n d e n t S c h r o e d i n g e r e q u a t i o n

~

P

P m

d

P

d z

P

C U

H

o s

P

@ k z A

a E ; ( 2 . 5 8 )

w i t h U

H

a R U

d i p

. T h i s S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n i s n o w r e s c a l e d w i t h a k z , q a U

H

= R E

r

a n d

a a

E

E

r

U

H

P E

r

, w h e r e E

r

i s t h e r e c o i l e n e r g y o f o n e p h o t o n , t o o b t a i n t h e f o r m o f t h e w e l l k n o w n

M a t h i e u d i e r e n t i a l e q u a t i o n [ 1 6 3 ] :

d

P

d

P

C @ a

P q o s @ P A A a H ( 2 . 5 9 )

T h e s o l u t i o n s t o t h e M a t h i e u d i e r e n t i a l e q u a t i o n a r e g i v e n b y t h e M a t h i e u f u n c t i o n s w h i c h c a n

b e l o o k e d u p i n [ 1 6 3 ] . A s c o n s e q u e n c e t h e e i g e n - e n e r g i e s o f t h e o p t i c a l l a t t i c e s y s t e m a p p e a r o n l y

i n b a n d s s e p a r a t e d b y b a n d g a p s a s c o m m o n l y f o u n d i n s o l i d - s t a t e s y s t e m s [ 1 7 6 ] .

W i t h t h e k n o w l e d g e o f t h e t i m e i n d e p e n d e n t s o l u t i o n o f t h e S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n i t i s s t r a i g h t -

f o r w a r d t o c a l c u l a t e t h e d y n a m i c s o f a p a r t i c l e i n a n o p t i c a l l a t t i c e a s l o n g t h e q u a n t u m s t a t e i s

k n o w n a t a c e r t a i n t i m e . L e t u s a s s u m e a n a t o m w i t h a n e x t e r n a l s t a t e w a v e - f u n c t i o n w h i c h

i s s u d d e n l y s u p e r i m p o s e d b y a n o p t i c a l l a t t i c e w i t h a d e p t h U

H

. A t t i m e t a H t h e o p t i c a l l a t t i c e

i s s w i t c h e d o n a n d t h e w a v e f u n c t i o n o f t h e f o r m e r l y f r e e p a r t i c l e h a s t o b e p r o j e c t e d i n t h e n e w

b a s i s s e t o f B l o c h - s t a t e s j

n ; } i

, t h e e i g e n - s t a t e s o f t h e o p t i c a l l a t t i c e a s



2 4 P o l o n d o n

0 0.5 1-0.5-1 0 0.5 1-0.5-1

0

10

20

30

0

5

10

15

E n e r g y

[ E / E

]

r e

c

E n e r g y

[ E / E

]

r e c

Wave vector [q] Wave vector [q]

U = 4 EU = 40Erec

rec

F i g u r e 2 . 5 : D i s p e r s i o n r e l a t i o n o f a p a r t i c l e i n a n o p t i c a l l a t t i c e . D e p i c t e d a r e t h e a l l o w e d E i g e n - e n e r g i e s f o r

a g i v e n q u a s i - m o m e n t u m q . T h e l e f t g u r e i s c a l c u l a t e d f o r a l a t t i c e d e p t h o f U a R E

r e c

a n d t h e r i g h t f o r

U a R H E

r e c

. T h e l e f t g u r e r e s e m b l e s s t i l l t h e u n p e r t u r b e d p a r a b o l i c d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r a f r e e p a r t i c l e .

O n t h e r i g h t t h e b a n d s a r e n e a r l y a t f o r s m a l l b a n d i n d i c e s . F o r v e r y d e e p p o t e n t i a l s t h e b a n d s t r u c t u r e

a p p r o a c h e s t h a t o f a h a r m o n i c o s c i l l a t o r .

j @ t a H A i a

I n a H

j n ; } i h n ; } j @ t a H A i : ( 2 . 6 0 )

T h e B l o c h s t a t e s a r e c h a r a c t e r i z e d b y a b a n d i n d e x n a n d t h e q u a s i - m o m e n t u m i n t h e l a t t i c e } .

W i t h t h e e i g e n - e n e r g i e s E

n

@ } A t h e e v o l u t i o n o f t h e w a v e f u n c t i o n i s g i v e n b y

j @ t A i a

I n a H

h n ; } j @ t a H A i e

i E

n

@ } A t = ~

j n ; } i : ( 2 . 6 1 )

A f t e r a c e r t a i n t i m e t h e l a t t i c e i s s w i t c h e d o a g a i n . T h e w a v e f u n c t i o n j

@ t A i

h a s n o w t o b e

p r o j e c t e d i n t o t h e b a s i s s e t o f p l a n e w a v e s , s i n c e t h e d e t e c t i o n o f t h e a t o m s h a p p e n s i n m o m e n t u m

s p a c e ( s e e c h a p t e r 3 . 3 ) . T h e r e s u l t i n g w a v e f u n c t i o n i s t h e n

j @ A a

I I

b

}

@ n A j P n ~

k

l a t t

i ; ( 2 . 6 2 )

w i t h t h e c o e c i e n t s

b

}

@ m A a

I n a H

h n ; }

j @ t a H A

i h P m

~

k

l a t t

j n ; }

i e

i E

n

@ } A = ~

: ( 2 . 6 3 )

T h e c o e c i e n t s b

}

@ n A a r e t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e s t o n d a p o p u l a t i o n i n t h e m - t h d i r a c t i o n

o r d e r . I f t h e p a r t i c l e w a s i n i t i a l l y a t r e s t i t i s s u c i e n t t o u s e a r e d u c e d m o m e n t u m s p e c t r u m w i t h

P n ~

k

l a t t

f o r i n t e g e r n , s i n c e b y s y m m e t r y o n l y t h i s m o m e n t a o c c u r .



P F T d o m 2 5

F o r v e r y s m a l l i n t e r a c t i o n t i m e s t h e w h o l e p r o b l e m r e d u c e s t o t h e d i r a c t i o n o f a p l a n e w a v e a t a

t h i n p h a s e - g r a t i n g [ 1 7 7 , 1 7 8 ] . I n t h i s s o c a l l e d R a m a n - N a t h r e g i m e d o e s t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n n o t

c h a n g e d u r i n g t h e i n t e r a c t i o n t i m e b u t t h e p a r t i c l e w a v e f u n c t i o n a c c u m u l a t e s a s p a c e d e p e n d e n t

p h a s e . T h e R a m a n - N a t h a p p r o x i m a t i o n i s v a l i d , a s l o n g t h e i n t e r a c t i o n t i m e i s w e l l s h o r t e r t h a n

t h e o s c i l l a t i o n p e r i o d T o f t h e h a r m o n i c a l l y a p p r o x i m a t e d o p t i c a l l a t t i c e p o t e n t i a l a n d i s g i v e n b y

T a

I

P

m

U

H

k

P

l a t t

: ( 2 . 6 4 )

T h e a c q u i r e d p h a s e i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a p p l i e d i n t e n s i t y t i m e s t h e i n t e r a c t i o n t i m e a n d w i t h t h i s

t h e w a v e f u n c t i o n e v o l v e s l i k e

j @ t A

i a

j @ H A

i e

i U

l a t t

@ ~r A t = ~

: ( 2 . 6 5 )

T h e f r e e e v o l u t i o n a f t e r t h e i n t e r a c t i o n t i m e d u r i n g t h e t i m e o f i g h t p h a s e i s t h e d e t e r m i n e d b y

t h e g r a d i e n t s o f t h e a c c u m u l a t e d p h a s e . T h e p r o b a b i l i t y t o n d a p o p u l a t i o n i n t h e n - t h m o m e n t u m

s t a t e i s t h e n e a s i l y o b t a i n e d b y a F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n o f e q u a t i o n 2 . 6 5 a n d y i e l d s

p @ n A a

J

n

U

H

R E

r e c

P

; ( 2 . 6 6 )

w h e r e t h e J

n

a r e B e s s e l f u n c t i o n s o f t h e r s t k i n d .

T h e r e s u l t s d e r i v e d a b o v e a r e n o t o n l y v a l i d f o r a s i n g l e p a r t i c l e b u t t o s o m e e x t e n d a l s o f o r

B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s . T h e s p a t i a l e x t e n s i o n o f a B E C i s t y p i c a l l y w e l l l a r g e r t h a n t h e l a t t i c e

c o n s t a n t a n d c a n t h e r e f o r e b e a s s u m e d t o b e a p l a n a r w a v e . O n t h e o t h e r h a n d i s t h e i n t e r a c t i o n

e n e r g y a m o n g t h e a t o m s i n m o s t c a s e s m u c h s m a l l e r t h a n t h e d e p t h o f t h e o p t i c a l l a t t i c e a n d

b y t h i s i s t h e d y n a m i c s d e t e r m i n e d b y t h e l a t t i c e p o t e n t i a l . A n e x c e p t i o n a r e v e r y s h a l l o w o p t i c a l

l a t t i c e s , w h e r e a m o d i c a t i o n o f t h e d y n a m i c s d u e t o i n t e r a c t i o n s a r e e x p e c t e d [ 1 7 9 , 1 8 0 ] .

2 . 6 R y d b e r g a t o m s

T h i s s e c t i o n s r e v i e w s t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f R y d b e r g a t o m s . I f o n e o r s e v e r a l e l e c t r o n s i n a n

a t o m a r e e x c i t e d t o a l a r g e q u a n t u m n u m b e r n o n e s p e a k s o f a R y d b e r g a t o m . T h e e l e c t r o n i s

n o w f a r s e p a r a t e d f r o m t h e c o r e w h i c h l e a d s t o a r e d u c e d i n t e r a c t i o n w i t h t h e n u c l e u s a n d t h e

r e m a i n i n g e l e c t r o n s . T h e e n e r g y l e v e l o f t h e e x c i t e d e l e c t r o n i s v e r y c l o s e t o t h e v a c u u m l e v e l

a n d t h e r e f o r e o n l y w e a k l y b o u n d . S u c h a n a l m o s t f r e e e l e c t r o n r e a c t s v e r y s e n s i t i v e t o e l e c t r i c

e l d s . T h e e l e c t r o n o r b i t a l c a n b e e a s i l y d e f o r m e d i f a n e x t e r n a l e l e c t r i c e l d i s a p p l i e d a n d l e a d s

t o a n e n h a n c e d p o l a r i z i b i l i t y o f R y d b e r g s t a t e s . T h e l a r g e p o l a r i z a b i l i t y e n t a i l s a s t r o n g v a n d e r

W a a l s i n t e r a c t i o n a m o n g t h e R y d b e r g a t o m s , a s w e l l l a r g e d i p o l e m o m e n t s . A s t r o n g d i p o l e - d i p o l e

i n t e r a c t i o n , w h i c h i s i n i t s n a t u r e l o n g r a n g e a n d a n i s o t r o p i c , i s f r o m s p e c i a l i n t e r e s t f o r f u r t h e r

i n v e s t i g a t i o n s . T h e i n t e r a c t i o n s o f u l t r a c o l d a t o m i c s a m p l e s a r e t y p i c a l l y d o m i n a t e d b y t h e s h o r t

r a n g e , i s o t r o p i c a n d m u c h w e a k e r s - w a v e s c a t t e r i n g l e n g t h . T h e d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n a m o n g

R y d b g e r g a t o m s i s e v e n d i s c u s s e d a s a t o o l f o r q u a n t u m c o m p u t i n g [ 9 1 ] . O n e f u r t h e r a s p e c t o f

R y d b e r g a t o m s , a m o n g m a n y o t h e r s [ 7 8 ] , i s t h e l o n g e x c i t e d s t a t e l i f e t i m e . F o r R y d b e r g s t a t e s

w i t h a p r i n c i p l e q u a n t u m n u m b e r o f n = 4 0 i s t h e l i f e t i m e a l r e a d y t h r e e o r d e r s o f m a g n i t u d e l a r g e r

c o m p a r e d t o t h e e x c i t e d s t a t e s u s e d f o r l a s e r c o o l i n g .



2 6 P o l o n d o n

S t a t e n

2

S

1 = 2

n

2

P

1 = 2

n

2

P

3 = 2

n

2

D

3 = 2

n

2

D

5 = 2

n

2

F

J

0

3 . 1 3 1 1 8 0 4 ( 1 0 ) 2 . 6 5 4 8 8 4 9 ( 1 0 ) 2 . 6 4 1 6 7 3 7 ( 1 0 ) 1 . 3 4 8 0 9 1 7 1 ( 4 0 ) 1 . 3 4 6 4 6 5 7 2 ( 3 0 ) 0 . 0 1 6 3 1 2

2

0 . 1 7 8 4 ( 6 ) 0 . 2 9 0 0 ( 6 ) 0 . 2 9 5 0 ( 7 ) - 0 . 6 0 2 8 6 ( 2 6 ) - 0 . 5 9 6 0 0 ( 1 8 ) - 0 . 0 6 4 0 0 7

4

- 1 . 8 - 7 . 9 0 4 0 - 0 . 9 7 4 9 5 - 1 . 5 0 5 1 7 - 1 . 5 0 5 1 7 - 0 . 3 6 0 0 5

6

- 1 1 6 . 4 3 7 3 1 4 . 6 0 0 1 - 2 . 4 2 0 6 - 2 . 4 2 0 6 3 . 2 3 9 0

8

- - 4 0 5 . 9 0 7 - 4 4 . 7 2 6 5 1 9 . 7 3 6 1 9 . 7 3 6 -

v a l i d f o r n > 1 4 1 1 1 3 4 4 4

¡ E ( m K ) ¦ 0 . 5 ¦ 3 ¦ 3 ¦ 3 ¦ 3 ¦ 1 0

E

i

, c m

1

3 3 6 9 0 . 7 9 8 9 ( 5 ) 3 3 6 9 0 . 7 9 9 ( 3 ) 3 3 6 9 0 . 7 9 7 ( 3 ) 3 3 6 9 0 . 7 9 7 8 ( 3 0 ) 3 3 6 9 0 . 7 9 7 8 ( 3 0 ) 3 3 6 9 0 . 7 9 9 ( 1 0 )

S o u r c e [ 1 8 3 , 1 8 3 , 1 8 4 ] [ 1 8 3 , 1 8 3 , 1 8 5 , 1 8 5 , 1 8 5 ] [ 1 8 3 , 1 8 3 , 1 8 5 , 1 8 5 , 1 8 5 ] [ 1 8 3 , 1 8 3 , 1 8 6 , 1 8 6 , 1 8 6 ] [ 1 8 3 , 1 8 3 , 1 8 6 , 1 8 6 , 1 8 6 ] [ 1 8 7 ]

T a b l e 2 . 2 : R y d b e r g - R i t z - P a r a m e t e r f o r

8 5

R b . A l l d a t a a r e r e l a t i v e t o t h e c e n t e r o f m a s s v a l u e s o f t h e

h y p e r n e s p l i t s . T h e e r r o r s o f t h e c a l c u l a t e d e n e r g i e s a r e g i v e n i n t h e c o l u m n ¡ E . T h e i o n i z a t i o n e n e r g i e s

E

i

a n d t h e e r r o r s a r e t a k e n f r o m [ 1 8 5 ] , t h e s o u r c e s o f t h e R y d b e r g - R i t z p a r a m e t e r s a r e g i v e n a t t h e b o t t o m

o f e a c h c o l u m n .

T h e r e e x i s t m a n y d i e r e n t w a y s t o g e n e r a t e R y d b e r g a t o m s . T h e s i m p l e s t m e t h o d i s g i v e n b y t h e

r e c o m b i n a t i o n o f i o n s a n d f r e e e l e c t r o n s [ 8 0 ] a s i t o c c u r s i n a l l k i n d s o f p l a s m a s . A n o t h e r m e t h o d

i s t h e e x c i t a t i o n o f g r o u n d s t a t e a t o m s b y i n e l a s t i c c o l l i s i o n s w i t h a n e n e r g e t i c c h a r g e d p a r t i c l e

b e a m . H o w e v e r , t h i s a r e r a n d o m p r o c e s s e s a n d a r e u s e l e s s i f o n e w a n t s t o p o p u l a t e s e l e c t i v e l y o n e

a n d o n l y o n e e x c i t e d s t a t e . S u c h a c o n t r o l l e d w a y o f e x c i t a t i o n i n t o a d e n i t e q u a n t u m s t a t e i s

p o s s i b l e w i t h t h e h e l p o f n a r r o w b a n d l a s e r s , w h i c h i s a l s o t h e a p p r o a c h i n o u r s e t u p ( s e e c h a p t e r

5 . 3 ) .

2 . 6 . 1 G e n e r a l p r o p e r t i e s o f R y d b e r g a t o m s

I f o n l y o n e e l e c t r o n o f a n a l k a l i a t o m i s e x c i t e d t o a l a r g e q u a n t u m n u m b e r n t h e s y s t e m i s

v e r y s i m i l a r t o t h e H y d r o g e n a t o m . T h e o t h e r e l e c t r o n s r e m a i n c l o s e t o t h e c o r e i n a n o b l e g a s

c o n g u r a t i o n a n d i n t e r a c t b y t h i s o n l y m i n o r w i t h t h e e x c i t e d e l e c t r o n . T h e l a r g e d i s t a n c e o f t h e

e x c i t e d e l e c t r o n o r b i t t o t h e c o r e l i f t s a l s o t h e c o u p l i n g t o t h e a n g u l a r m o m e n t u m t o t h a t o f t h e

n u c l e a r s p i n . T h e q u a n t u m n u m b e r s F a n d m

F

o f t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m a r e n o w n o t s u i t a b l e

a n y m o r e . N e v e r t h e l e s s r e m a i n s t h e L S - c o u p l i n g a n d J a n d m

J

a r e n o w t h e q u a n t u m n u m b e r s o f

c h o i c e . T h e e e c t i v e c h a r g e s e e n b y t h e e x c i t e d e l e c t r o n i s C e , s i n c e t h e N p r o t o n s o f t h e n u c l e u s

a r e s h i e l d e d b y t h e N

I c o r e e l e c t r o n s . B y t h i s R y d b e r g s t a t e s o f a l k a l i a t o m s a r e v e r y s i m i l a r t o

t h a t o f a H y d r o g e n a t o m .

T h i s s i m p l e s t p o s s i b l e d e s c r i p t i o n o f t h e e n e r g y l e v e l s i n a t o m i c H y d r o g e n w a s a l r e a d y g i v e n i n t h e

l a t e 1 9 t h c e n t u r y b y W . H a r t l e y [ 1 8 1 ] a s

a R

I

I

R

I

n

P

: ( 2 . 6 7 )

T h i s e q u a t i o n d e s c r i b e s t h e p o s i t i o n o f t h e u o r e s c e n c e l i n e o f t h e B a l m e r s e r i e s i n w a v e n u m b e r s

w i t h p o s i t i v e i n t e g e r s n a n d t h e R y d b e r g c o n s t a n t R

I

a I : H W U ¢

I H

U

1 / m . J o h a n n e s R y d b e r g

e x t e n d e d t h e r e s e a r c h o n t h e a t o m i c s t r u c t u r e t o h i g h l y e x c i t e d s t a t e s o f a l k a l i s a n d t h e i r a p p e n d a n t

u o r e s c e n c e l i n e s [ 1 8 2 ] . T h i s e n d e a v o r r e s u l t e d i n a m o d i e d v e r s i o n o f e q u a t i o n ( 2 . 6 7 ) , w h i c h

n o w a l s o d e s c r i b e s t h e l e v e l s t r u c t u r e o f a l k a l i a t o m s

l

a

I l

R

I

@ n

l

A

P

: ( 2 . 6 8 )

T h e p o s i t i o n o f t h e u o r e s c e n c e l i n e s ( g i v e n i n w a v e n u m b e r s ) a r e n o w c h a r a c t e r i z e d w i t h t h e h e l p

o f a n i n d e x l w h i c h i n c l u d e s t h e d i e r e n t a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s s ; p ; d ( l = 0 , 1 , 2 ) . F u r t h e r i s t h e



P F T d o m 2 7

P r o p e r t y E x p r e s s i o n @ n

£

A

x

R b ( 4 1 d ) R b ( 4 3 s )

B i n d i n g e n e r g y W

n

a

R

H

I

@ n

£

A

P

@ n

£

A

P

8 . 6 5 m e V 8 , 5 6 m e V

L e v e l s p a c i n g W

n

W

n I

@ n

£

A

Q

1 0 7 . 8 G H z 1 0 9 . 6 6 G H z

O r b i t - r a d i u s < r > 9

I

P

Q @ n

£

A

P

l @ l C I A

@ n

£

A

P

2 3 5 5 . 4 6 a

H

2 3 8 4 . 2 a

H

G e o m . s i z e < r >

P

@ n

£

A

R

I : U R ¡

I H

U

a

P

H

I : U V ¡

I H

U

a

P

H

L i f e t i m e ( s p o n t a n e o u s d e c a y ) a

H

¡ @ n

n ; j ; l

A

@ n

£

A

Q

7 8 s 9 9 s

L i f e t i m e ( b l a c k b o d y r a d i a t i o n )

b b

a

Q ~ @ n

£

A

P

R

Q

k

B

T

@ n

£

A

P

8 2 s 9 0 s

F i n e - s t r u c t u r e s p l i t t i n g ( f o r d ) 1 0 . 8 @ n

£

A

Q

T H z @ n

£

A

Q

1 7 2 M H z n o f s s

T a b l e 2 . 3 : p r o p e r t i e s o f R y d b e r g a t o m s c a l c u l a t e d f o r R b ( 4 1 d ) - a n d R b ( 4 3 s ) - s t a t e s f o l l o w i n g t h e c a l c u l a t i o n

i n [ 7 8 ] .

e l e m e n t s p e c i c q u a n t u m d e f e c t

l

a n d t h e s e r i e s l i m i t

I l

i n t r o d u c e d . T h e y h a v e t h e i r n a t u r e i n

t h e a l t e r e d e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l s e e n b y t h e e x c i t e d e l e c t r o n d u e t o t h e r e m a i n i n g e l e c t r o n s c l o s e

t o t h e n u c l e u s . T h e d e p e n d e n c e o n t h e a n g u l a r m o m e n t u m l i s c a u s e d b y t h e d i e r e n t s h a p e s o f

t h e o r b i t a l s . T h e e l e c t r o n i n t h e e x c i t e d s t a t e h a s a d i e r i n g p r o b a b i l i t y t o b e f o u n d w i t h i n t h e

c l o u d o f t h e c o r e e l e c t r o n s d e p e n d i n g o n l . T h e C o u l o m b i n t e r a c t i o n w i t h t h e c o r e e l e c t r o n s a n d

t h e e x c h a n g e i n t e r a c t i o n l e a d s t h e n t o c o r r e c t i o n s , e m b e d d e d i n t h e q u a n t u m d e f e c t a n d t h e s e r i e s

l i m i t s .

T h e a b s o l u t e b i n d i n g e n e r g y o f a n e l e c t r o n i n a H y d r o g e n a t o m c a n b e c a l c u l a t e d w i t h t h e a t o m

m o d e l b y N i e l s B o h r . T h e b i n d i n g e n e r g y W d e c r e a s e s q u a d r a t i c a l l y w i t h i n c r e a s i n g q u a n t u m

n u m b e r a s

W a

e

P

m

e

Q P

P

"

P

H

~

P

I

n

P

a

R

I

I

n

P

: ( 2 . 6 9 )

T h e s i z e r o f t h e h y d r o g e n a t o m s c a l e s a s n

P

r a

R "

H

~

P

e

P

m

e

n

P

a a

H

n

P

; ( 2 . 7 0 )

w h e r e t h e B o h r r a d i u s a

H

a S : P W ¡ I H

I I

m i s g i v e n b y t h e w i d t h o f t h e G a u s s i a n g r o u n d s t a t e

e l e c t r o n d i s t r i b u t i o n o f a H y d r o g e n a t o m . T h e e x t e n s i o n o f t h i s t h e o r y t o a l k a l i a t o m s , p a r t i c u l a r y

R u b i d i u m i s g i v e n i n t h e n e x t s e c t i o n .

2 . 6 . 2 G e n e r a l p r o p e r t i e s o f R u b i d i u m R y d b e r g a t o m s

T h r o u g h o u t a l l e x p e r i m e n t s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s

V U

R b w a s u s e d . T h e e x c i t e d e l e c t r o n s e e s f o r

h i g h l y i n g R y d b e r g s t a t e s a n u c l e u s w i t h 3 7 p r o t o n s s h i e l d e d b y 3 6 n e a r b y e l e c t r o n s . T h i s l e a d s t o

a n a l t e r n a t i o n o f t h e l e v e l s t r u c t u r e a s e x p l a i n e d i n t h e c h a p t e r b e f o r e . T h e a l t e r e d e n e r g y l e v e l s

o f n o n - h y d r o g e n i c a t o m s c a n b e c a l c u l a t e d b y i n t r o d u c i n g a n e e c t i v e q u a n t u m n u m b e r

n

£

a n

n ; j ; l

( 2 . 7 1 )



2 8 P o l o n d o n

10 15 20 30 50 70 100

0.001

0.01

0.1

1

State [n]

L i f e t i m e

[ m s

]

T=300 K

S

P

D

F i g u r e 2 . 6 : L i f e t i m e o f R u b i d i u m - R y d b e r g s t a t e s f o l l o w i n g e q u a t i o n ( 2 . 7 5 ) . T h e c a l c u l a t e d l i f e t i m e s f o r S ,

P a n d D s t a t e s a r e g i v e n a t 0 K . T h e b l a c k l i n e i s t h e l i f e t i m e

b b

d u e t o b l a c k - b o d y r a d i a t i o n a t 3 0 0 K .

w h e r e

n ; j ; l

i s t h e q u a n t u m d e f e c t [ 1 8 8 ] w h i c h d e p e n d s o n t h e m a i n q u a n t u m n u m b e r n , t h e c o u p l e d

a n g u l a r m o m e n t u m j a n d t h e o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m l . T h e q u a n t u m d e f e c t s c a n b e c a l c u l a t e d

w i t h t h e R y d b e r g - R i t z e q u a t i o n [ 1 8 5 ] a s

n ; j ; i

a

i a H ; P ; R ; : : :

i

@ n

i

A

i

( 2 . 7 2 )

T h e c o e c i e n t s

n ; j ; i

h a v e b e e n d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y a n d a r e s u m m a r i z e d i n t h e t a b l e 2 . 2 .

T h e e n e r g i e s W o f t h e R y d b e r g s t a t e s c a n n o w b e c a l c u l a t e d w i t h

W a

R

H

I

n

£ P

( 2 . 7 3 )

w h e r e R

H

I

i s a n e l e m e n t s p e c i c R y d b e r g c o n s t a n t . T h e i o n i z a t i o n e n e r g y f o r t h e t w o R u b i d i u m

i s o t o p e s d i e r s o n l y b y ~ ¡

I U R M H z [ 1 8 4 ] a n d a r e i n w a v e - n u m b e r s E

V S

i

a Q Q T W H : U W V W @ P A c m

I

a n d E

V U

i

a Q Q T W H : V H R V @ P A c m

I

.

F u r t h e r p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f R u b i d i u m R y d b e r g s t a t e s a r e g i v e n i n t a b l e 2 . 3 . T h i s s c a l i n g l a w s

a r e i m p o r t a n t f o r m a n y a s p e c t s w h e n d o i n g e x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g a t o m s . A s a n e x a m p l e

a R u b i d i u m a t o m i n t h e 4 3 S s t a t e h a s a d i a m e t e r o f a b o u t 2 5 0 n m , w h i c h i s l a r g e r t h a n t h e

i n t e r - p a r t i c l e d i s t a n c e i n a t y p i c a l B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e , b u t w e l l b e l o w t h e d i s t a n c e s i n a

m a g n e t o o p t i c a l t r a p . O n t h e o t h e r h a n d i s t h e l i f e t i m e o f t h e 4 3 S s t a t e a b o u t 1 0 0 s a n d

t h e c o r r e s p o n d i n g l i n e w i d t h i s a b o u t 1 0 k H z . T h i s n a r r o w l i n e w i d t h i n c o m b i n a t i o n w i t h a

c o m p a r a b l e n a r r o w e x c i t a t i o n s c h e m e r e s u l t s i n a v e r y s e n s i t i v e s p e c t r o s c o p y t o o l o f e x t e r n a l e l d s

o r i n t e r a c t i o n e n e r g i e s . A n o t h e r f e a t u r e i s t h e s m a l l g a p p i n g b e t w e e n d i e r e n t R y d b e r g s t a t e s w h i c h

c a n b e a d d r e s s e d b y s i m p l e m i c r o - w a v e t e c h n i q u e s . T h i s o p e n s m a n i f o l d o p t i o n s f o r m a n i p u l a t i n g

t h e i n t e r n a l q u a n t u m s t a t e o f R y d b e r g a t o m s . C h a p t e r 6 . 2 . 2 g i v e s a n o u t l o o k o n s e v e r a l p o s s i b l e

e x p e r i m e n t s , w h i c h c a n b e d o n e w i t h t h e a v a i l a b l e s y s t e m .



P F T d o m 2 9

S t a t e

H

t h

( n s )

t h

H

e x

( n s )

e x

S 1 . 4 3 2 . 9 4 1 . 4 5 ¦

0 . 0 3 3 . 0 2 ¦

0 . 0 2

P 2 . 7 6 3 . 0 2 2 . 8 0 ¦

0 . 0 3 3 . 0 1 ¦

0 . 0 3

D 2 . 0 9 2 . 8 5 2 . 1 0 ¦

0 . 0 3 2 . 8 9 ¦

0 . 0 2

T a b l e 2 . 4 : P a r a m e t e r s t o c a l c u l a t e t h e l i f e t i m e s o f R y d b e r g s t a t e s a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 2 . 7 5 ) . T h e v a l u e s

a r e e i t h e r e x p e r i m e n t a l ( e x p ) o r t h e o r e t i c a l ( t h ) r e s u l t s [ 1 9 1 , 1 9 0 ] .

2 . 6 . 3 L i f e t i m e o f R u b i d i u m R y d b e r g a t o m s

T h e l i f e t i m e o f a n y e x c i t e d s t a t e j

n

H

; l

H

i i s d e t e r m i n e d b y t h e E i n s t e i n - c o e c i e n t s a I = A

n

H

; l

H

; n ; l

.

I f t h e r e e x i s t s e v e r a l p o s s i b l e d e c a y c h a n n e l s t o l o w e r l y i n g s t a t e s j

n ; l i

t h e l i f e t i m e c o n t a i n s a l l

a l l o w e d t r a n s i t i o n b y s u m m a t i o n o f t h e i n d i v i d u a l E i n s t e i n c o e c i e n t s I = a n ; l

A

n

H

; l

H

; n ; l

. W i t h

t h e k n o w l e d g e o f t h e e i g e n f u n c t i o n s j

n ; l i

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n - e n e r g i e s o f t h e R y d b e r g

s t a t e s [ 1 8 9 ] i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c a l c u l a t e t h e E i n s t e i n c o e c i e n t s b y i n t e g r a t i o n o f t h e d i p o l e

m a t r i x e l e m e n t s

A

n

H

; l

H

; n ; l

P

Q

e

P

!

Q

n

H

; l

H

; n ; l

"

H

c

Q

h

h

n

H

; l

H

j ~r

j n ; l

i

P

( 2 . 7 4 )

T h e l i f e t i m e s f o r S , P a n d D s t a t e s h a v e b e e n m e a s u r e d u p t o n = 4 4 [ 1 9 0 ] a n d t h e a c q u i r e d d a t a

c a n b e c o n d e n s e d i n a n e m p i r i c a l e q u a t i o n f o r t h e l i f e t i m e :

a

H

@ n

n ; j ; l

A

: ( 2 . 7 5 )

T h e q u a n t u m d e f e c t s

n ; j ; l

c a n b e f o u n d i n t a b l e 2 . 3 a n d t h e s t a t e d e p e n d e n t p a r a m e t e r s

H

a n d

i n t a b l e 2 . 4 .

T h e l i f e t i m e s c a l c u l a t e d a b o v e a r e o n l y v a l i d a t T = 0 . F o r t e m p e r a t u r e s a b o v e z e r o t h e b l a c k - b o d y

r a d i a t i o n i n d u c e s t r a n s i t i o n s i n t o o t h e r s t a t e s . T h i s i s c a u s e d b y t h e e n l a r g e d n u m b e r o f a l l o w e d

t r a n s i t i o n s a t l o w f r e q u e n c i e s . T h e c o r r e c t e d l i f e t i m e i s t h e n [ 7 8 ]

I

a

I

T a H K

C

I

b b

w i t h

b b

a

Q ~

n

£ P

R

Q

k

B

T

: ( 2 . 7 6 )

A f u r t h e r c o r r e c t i o n o f t h e l i f e t i m e a r i s e s , i f o n e i n c l u d e s t h e a l t e r e d b l a c k b o d y s p e c t r u m o f

e l e c t r o m a g n e t i c m o d e s i n a n i t e s i z e c a v i t y . T h i s c o r r e c t i o n s a r e c a r r i e d o u t i n a p p e n d i x I .





3 E x p e r i m e n t a l s e t u p a n d p e r f o r m a n c e o f

B o s e - E i n s t e i n p r o d u c t i o n

T h i s c h a p t e r r e v i e w s t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p a n d t h e t e c h n i q u e s u s e d t o a c h i e v e B o s e - E i n s t e i n

c o n d e n s a t i o n ( B E C ) . F i g u r e 3 . 1 i l l u s t r a t e s t h e m a i n s t e p s s t a r t i n g f r o m a n o r d i n a r y t h e r m a l g a s

i n a n e u s i v e o v e n t o w a r d s t h e q u a n t u m d e g e n e r a t e r e g i m e . T o r e a c h q u a n t u m d e g e n e r a c y , t h e

t e m p e r a t u r e h a s t o b e r e d u c e d b y n i n e o r d e r s o f m a g n i t u d e a n d t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y h a s t o b e

i n c r e a s e d b y a l m o s t 1 4 o r d e r s o f m a g n i t u d e s t a r t i n g f r o m a s a t u r a t e d R u b i d i u m g a s a t 1 6 0

C . T h e

p h a s e s p a c e d e n s i t y i s g i v e n b y n

Q

d B

w i t h t h e d e n s i t y n a n d t h e d e B r o g l i e w a v e l e n g t h

d B

. I f t h e

p h a s e s p a c e d e n s i t y a p p r o a c h e s u n i t y , t h e t r a p p e d a t o m s u n d e r g o a p h a s e t r a n s i t i o n a s d e s c r i b e d

i n c h a p t e r 2 . 4 . B e l o w a c r i t i c a l t e m p e r a t u r e t h e g r o u n d s t a t e o f t h e s y s t e m i s m a c r o s c o p i c a l l y

o c c u p i e d b y t h e B E C . T h e i m m e n s e g a i n i n p h a s e s p a c e d e n s i t y i s r e a l i z e d b y s e v e r a l c o o l i n g

t e c h n i q u e s w h i c h w i l l b e p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g .

A s a s t a r t i n g p o i n t a n u l t r a - h i g h v a c u u m c h a m b e r i s n e e d e d t o i s o l a t e t h e u l t r a c o l d a t o m i c e n s e m b l e

f r o m i t s t h e r m a l e n v i r o n m e n t . I t s g e o m e t r i c a l l a y o u t a n d i t s f e a t u r e s a r e a d d r e s s e d i n s e c t i o n 3 . 1 .

T h e e l e m e n t o f c h o i c e i s

V U

R b , w h i c h i s b y n o w t h e m o s t c o m m o n a t o m u s e d i n c o l d a t o m

e x p e r i m e n t s a n d t h e r e f o r e a l s o t h e b e s t c h a r a c t e r i z e d e l e m e n t . S i n c e i t i s a n a l k a l i a t o m w i t h o n l y

o n e e l e c t r o n i n t h e o u t e r s h e l l t h e c o m p l e x i t y o f t h e e l e c t r o n i c l e v e l s c h e m e i s n o t t o o b r a n c h e d

o u t . T h e r e q u i r e d t r a n s i t i o n s f o r l a s e r c o o l i n g c a n b e a d d r e s s e d b y s t a n d a r d , w e l l d e v e l o p e d ,

l a s e r s y s t e m s . A f u r t h e r a d v a n t a g e o f

V U

R b i s i t s w e l l b e h a v e d s c a t t e r i n g p r o p e r t i e s w h i c h a l l o w

f o r e c i e n t e v a p o r a t i v e c o o l i n g . T h e b a s i c o p t i c a l a n d p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f

V U

R b a r e g i v e n i n

a p p e n d i x A .

T h e d e s c r i p t i o n o f t h e l a s e r s y s t e m a n d t h e m e t h o d s f o r d a t a a c q u i s i t i o n a r e g i v e n i n c h a p t e r 3 . 2

a n d 3 . 4 . T h e c h a p t e r s 3 . 5 t o 3 . 1 1 f o l l o w t h e a t o m s o n t h e i r w a y f r o m t h e e u s i v e o v e n , t h r o u g h

t h e Z e e m a n - s l o w e r , l a s e r c o o l i n g s t e p s , p u r e m a g n e t i c t r a p p i n g , e v a p o r a t i v e c o o l i n g a n d n a l l y t o

t h e p h a s e t r a n s i t i o n t o a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e . S o m e a s p e c t s o f t h e s e t u p c a n b e f o u n d i n

m o r e d e t a i l i n [ 1 9 2 ] .

T h e t i m e t a b l e b e l o w g i v e s a n i d e a o f t h e t i m e - s c a l e s n e e d e d t o s e t u p u p a n d d e b u g s u c h a n

e x p e r i m e n t .

J a n u a r y 2 0 0 4 - S t a r t i n g p o i n t o f d e s i g n i n g t h e v a c u u m c h a m b e r

A u g u s t 2 0 0 4 - F i r s t b a k e - o u t o f t h e m a i n c h a m b e r . S o m e l e a k s m a d e s o m e r e - w e l d i n g

n e c e s s a r y .

S e p t e m b e r 2 0 0 4 - B a k e - o u t o f t h e f u l l v a c u u m a s s e m b l y . A l e a k y i o n g a u g e a n d a l e a k y h i g h

v o l t a g e f e e d t h r o u g h h a d t o b e e x c h a n g e d .

N o v e m b e r 2 0 0 4 - O b s e r v a t i o n o f t h e r s t m a g n e t o - o p t i c a l t r a p .

D e c e m b e r 2 0 0 4 - F i r s t t r a n s f e r o f a t o m s i n t h e m a g n e t i c t r a p . D u e t o a p r o b l e m w i t h t h e

c l o v e r l e a f t r a p w e h a d t o e x c h a n g e s o m e o f t h e m a g n e t i c c o i l s .



3 2 Q i m n l n d o m n o f o E i n n o d o n

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10 -4

10-2

100

P h

a s e

s p a c e

d e n

s i t y

10s 35s10ms 1s

Oven

MOT

Molasses

Magnetictrap

BEC

Experimental progression

F i g u r e 3 . 1 : T h e g r a p h d e p i c t s t h e d i e r e n t e x p e r i m e n t a l s t e p s f r o m t h e e u s i v e o v e n t o a B o s e - E i n s t e i n

c o n d e n s a t e i n p h a s e s p a c e d e n s i t y . F i r s t a m a g n e t o - o p t i c a l t r a p ( M O T ) i s l o a d e d f o r t e n s e c o n d s b y a t o m s

d e c e l e r a t e d w i t h a Z e e m a n - s l o w e r . T h e t e m p e r a t u r e o f t h e f u l l y l o a d e d M O T i s t h e n r e d u c e d b y m o l a s s e s

c o o l i n g . D i r e c t l y a f t e r t h i s t h e a t o m s a r e t r a n s f e r r e d i n t o a m o d e m a t c h e d p u r e l y m a g n e t i c t r a p w h i c h i s

s u b s e q u e n t l y c o m p r e s s e d w i t h i n o n e s e c o n d t o t h e f u l l c o n n e m e n t . F i n a l l y e v a p o r a t i v e c o o l i n g f o r a b o u t

h a l f a m i n u t e d e l i v e r s t h e d e s i r e d B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e ( B E C ) .

A p r i l 2 0 0 5 - T h e r e f u r b i s h e d c l o v e r l e a f t r a p i s r u n n i n g . F i r s t o b s e r v a t i o n o f r a d i o - f r e q u e n c y

e v a p o r a t i o n i n t h e m a g n e t i c t r a p

J u n e 2 0 0 5 - O n e o f t h e p o w e r s u p p l i e s f o r t h e m a g n e t i c t r a p e x h i b i t s t o o m u c h c u r r e n t n o i s e

a n d h a s t o b e e x c h a n g e d .

J u n e 2 0 0 5 - F i r s t B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e

A u g u s t 2 0 0 5 - F i r s t d i r a c t i o n o f a B E C i n a n o p t i c a l l a t t i c e

A u g u s t 2 0 0 5 - A d e f e c t i v e h i g h v o l t a g e f e e d t h r o u g h f o r t h e m u l t i - c h a n n e l p l a t e h a d t o b e

e x c h a n g e d , f o r w h i c h t h e v a c u u m h a d t o b e o p e n e d .

N o v e m b e r 2 0 0 5 - U l t r a - h i g h v a c u u m i s r e s t o r e d , t h e l a s e r o p t i c s i n p l a c e a n d t h e M O T i s

r u n n i n g a g a i n .

D e c e m b e r 2 0 0 5 - A s h o r t c i r c u i t i n t h e m a g n e t i c t r a p h a s t o b e x e d

F e b r u a r y 2 0 0 6 - T h e B E C a n d t h e o p t i c a l l a t t i c e i s w o r k i n g a g a i n a n d t h e a p p a r a t u s i s r e a d y

f o r n e w p h y s i c s .

M a r c h 2 0 0 6 - F i r s t e x c i t a t i o n o f R y d b e r g a t o m s i n a M O T a n d d e t e c t i o n o f e l d i o n i z e d

a t o m s o n t h e m u l t i - c h a n n e l p l a t e s .

A p r i l 2 0 0 6 - F i r s t R y d b e r g e x c i t a t i o n i n a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e .



Q F I m m 3 3

3 . 1 T h e v a c u u m s y s t e m

F i g u r e 3 . 2 : S c h e m a t i c v i e w o f t h e w h o l e v a c u u m s e t u p . T h e c o n s t r u c t i o n c a n b e d i v i d e d i n t o f o u r s e g m e n t s .

O n t h e u p p e r r i g h t i s t h e o v e n a s s e m b l y d e p i c t e d , w h i c h p r o v i d e s a n i n t e n s e b e a m o f R u b i d i u m a t o m s . T h e

h o t a t o m s e n t e r t h e Z e e m a n - s l o w e r , w h i c h c o n n e c t s t h e o v e n p a r t w i t h t h e m a i n c h a m b e r . I n t h e c e n t e r o f

t h e m a i n c h a m b e r t h e s l o w e d d o w n a t o m s a r e c a u g h t i n a m a g n e t o - o p t i c a l t r a p , t r a n s f e r r e d i n t o a p u r e l y

m a g n e t i c t r a p a n d c o o l e d d o w n t o a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e . T h e m a i n c h a m b e r c o m b i n e s v e r y g o o d

o p t i c a l a c c e s s , n o n e t h e l e s s n e a r b y s t r o n g m a g n e t i c e l d c o i l s , h i g h v o l t a g e e l d p l a t e s , t w o m u l t i - c h a n n e l

p l a t e s f o r c h a r g e d p a r t i c l e d e t e c t i o n a n d a n a n t e n n a t o e x p o s e t h e a t o m s t o r a d i o f r e q u e n c i e s . O n t h e l o w e r

r i g h t o f t h e m a i n c h a m b e r t h e p u m p i n g c r o s s i s a t t a c h e d , w h i c h c o n s i s t s o f a n 2 0 0 l / s i o n p u m p ( g r e e n

e d g e s ) a n d a n T i t a n s u b l i m a t i o n p u m p , o p p o s i t e o f t h e i o n p u m p .

T h e v a c u u m c h a m b e r c o n s i s t s m a i n l y o f t w o p a r t s a s d e p i c t e d i n g u r e 3 . 2 . T h e o v e n a s s e m b l y

i s o p e r a t e d a t h i g h v a c u u m ( I H

U

m b a r ) a n d d e l i v e r s a t h e r m a l b e a m o f g a s e o u s R u b i d i u m i n t o

t h e u l t r a h i g h v a c u u m p a r t o f t h e c h a m b e r ( < P ¡

I H

I I

m b a r ) f o r f u r t h e r p r o c e s s i n g . T h e B E C -

s e t u p l o c a t e d a t W o l f g a n g K e t t e r l e s g r o u p i n M I T [ 1 9 3 ] a c t e d a s a t e m p l a t e f o r o u r d e s i g n . I t s

e l e m e n t a r y c o n c e p t c a n b e f o u n d i n s e v e r a l g r o u p s w o r l d w i d e [ 2 , 1 9 4 , 1 9 5 , 1 9 6 ] . I n a d d i t i o n t o

t h e u s u a l r e q u e s t s f o r c o l d a t o m e x p e r i m e n t s , w e e x p a n d e d o u r s y s t e m b y t w o c o m p o n e n t s . F i r s t

w e i n s e r t e d s e v e r a l e l d p l a t e s i n s i d e t h e v a c u u m c h a m b e r t o a p p l y w e l l c o n t r o l l e d e l e c t r i c e l d s

a c r o s s t h e a t o m s a n d s e c o n d w e i n s t a l l e d t w o m u l t i - c h a n n e l p l a t e s f o r i o n a n d e l e c t r o n d e t e c t i o n .

T h i s c o m b i n a t i o n o f t e c h n i q u e s i s t o t h i s d a y u n i q u e i n t h e w o r l d , b u t s e v e r a l g r o u p s a r e p l a n n i n g

t o s e t u p s i m i l a r e x p e r i m e n t s .

T h e r e a r e m a n y c o n s t r a i n t s , w h i c h h a v e t o b e a c c o m p l i s h e d s i m u l t a n e o u s l y , b u t a r e m o s t l i k e l y t o

h i n d e r o n e a n o t h e r .

G o o d o p t i c a l a c c e s s t o t h e a t o m s f r o m a l l d i r e c t i o n s f o r l a s e r c o o l i n g , i m a g i n g , o p t i c a l l a t t i c e s




a n d e t c . T h i s d e m a n d s l a r g e w i n d o w s c l o s e t o t h e a t o m s .

A s m a l l v o l u m e o f t h e v a c u u m c h a m b e r t o a l l o w f o r h i g h p u m p i n g r a t e s . T h i s p a r t i c u l a r y

f o r b i d s n a r r o w a p e r t u r e s .

T h e u l t r a - h i g h v a c u u m r e s t r i c t s t h e m a t e r i a l s , w h i c h c a n b e u s e d , t o s t e e l , b e t t e r s t a i n l e s s

s t e e l , T i t a n i u m , n o b l e m e t a l s , g l a s s , c e r a m i c s , o x y g e n f r e e c o p p e r a n d s p e c i a l p u r p o s e g l u e .

H i g h u x o f c o l d a t o m s i n t o t h e u l t r a - h i g h v a c u u m p a r t o f t h e c h a m b e r w i t h o u t p o l l u t i n g t h e

v a c u u m .

C l o s e b y c o i l s t o a p p l y s t r o n g e n o u g h m a g n e t i c e l d s w i t h m o d e r a t e c u r r e n t s t o t r a p t h e

a t o m s .

F i e l d p l a t e s , w h i c h c a n b e s e t v e r y f a s t t o h i g h v o l t a g e s . T h i s d e m a n d s s p a c i o u s h i g h v o l t a g e

f e e d t h r o u g h s i n t o t h e v a c u u m c h a m b e r .

T w o m u l t i - c h a n n e l p l a t e s c l o s e t o t h e a t o m s a n d e l e c t r i c a l l y w e l l s h i e l d e d t o a v o i d s t r a y e l d s .

A r a d i o - f r e q u e n c y a n t e n n a i n s i d e t h e v a c u u m c h a m b e r c l o s e t o t h e a t o m s f o r e v a p o r a t i v e

c o o l i n g .

A l l t h i s r e q u i r e m e n t s a r e f u l l l e d b y t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p p r e s e n t e d i n t h i s t h e s e s a n d t h e i r

i m p l e m e n t a t i o n s a r e p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s i n d e t a i l .

3 . 1 . 1 E u s i v e o v e n

T h e s t a r t i n g p o i n t f o r t h e R u b i d i u m a t o m s i s a n e u s i v e c e l l w h i c h c o n t a i n s a R u b i d i u m v a p o r . A

v i a l w i t h 5 g o f a n a t u r a l m i x t u r e o f

V S

R b a n d

V U

R b ( r a t i o 7 2 : 2 8 ) i s h e a t e d t o t y p i c a l l y 1 6 0

C . T h i s

r e s u l t s i n a v a p o r p r e s s u r e o f a b o u t V ¡

I H

Q

m b a r [ 1 3 1 ] . T h e o v e n a s s e m b l y c o n t a i n s s e v e r a l u n i t s

t o d i v i d e t h e h i g h p r e s s u r e p a r t f r o m t h e u l t r a h i g h v a c u u m s i d e a n d t o p r o d u c e a w e l l c o l l i m a t e d

a t o m i c b e a m .

I n g u r e 3 . 3 a s c h e m a t i c v i e w o f t h e o v e n i s d e p i c t e d a n d g u r e 3 . 4 s h o w s a p h o t o o f t h e r e a l

s e t u p . A l l e l e m e n t s a r e b a s e d o n s t a n d a r d C o n F l a t a n g e s . T h e t e m p e r a t u r e o f t h e e u s i v e c e l l

1

i s h e a t e d u p w i t h a s t r i p h e a t e r a n d c o n t r o l l e d b y a t w o s t e p c o n t r o l . T h e o v e n c a n b e b r o u g h t u p

t o 1 6 0

C w i t h i n 2 h o u r s . A f a s t e r h e a t i n g w o u l d r e s u l t i n a t e m p e r a t u r e g r a d i e n t w i t h i n t h e o v e n

p a r t a n d b y t h i s i n m e c h a n i c a l s t r e s s o n t h e v a c u u m t t i n g s , w h i c h h a s t o b e a v o i d e d . T h e a t o m s

l e a v e t h e c e l l t h r o u g h t h e n o z z l e

2

, w h i c h i s j u s t a h o l e w i t h 3 m m i n d i a m e t e r . R i g h t b e h i n d t h e

n o z z l e t h e a t o m s p a s s a c o o l i n g s h i e l d m a d e o f c o p p e r

3

. T h e c o p p e r t u b e i s t h e r m a l l y c o n t a c t e d

b y a c o p p e r r o d t o a p e l t i e r e l e m e n t o u t s i d e t h e v a c u u m . T h e p e l t i e r e l e m e n t c o o l s t h e c o p p e r t u b e

t o a b o u t 5

C a n d a l l a t o m s , w h i c h d o n o t f o l l o w t h e s t r a i g h t t r a j e c t o r y g e t a d s o r b e d . T h e v a p o r

p r e s s u r e o f R u b i d i u m a t a t e m p e r a t u r e o f 5

C i s a f e w t i m e s 1 0

V

m b a r . T o s w i t c h o n a n d o

t h e a t o m i c b e a m a m o t o r i z e d s h u t t e r

4

c a n b e m o v e d i n t o t h e b e a m w i t h i n s e v e r a l m i l l i s e c o n d s .

A n i o n p u m p

1

i s m o u n t e d w i t h a r i g h t a n g l e t o t h e s i x - w a y c r o s s

4

t o a v o i d d i r e c t d e p o s i t i o n o f

R u b i d i u m i n t o t h e p u m p . A n i o n g a u g e

2

a l s o c o n n e c t e d t o t h e c r o s s

4

m e a s u r e s a p r e s s u r e b e l o w

1 0

U

m b a r . A t p o s i t i o n

5

a d i e r e n t i a l p u m p i n g t u b e o f 1 2 0 m m l e n g t h a n d 3 m m d i a m e t e r

s e p a r a t e s t h e o v e n p a r t f r o m t h e u l t r a - h i g h v a c u u m s i d e . A e x i b l e c o u p l i n g

7

i s n e c e s s a r y t o

1

V a c I o n , 4 0 l / s , V a r i a n

2

B a y a r d - A l p e r t i o n g a u g e U H V - 2 4 , V a r i a n



Q F I m m 3 5

1

2

3

4

6

7

8

1

3

4

5

8

7

9

9

F i g u r e 3 . 3 : S c h e m a t i c v i e w o f t h e o v e n .

1

e u s i v e c e l l

2

n o z z l e

3

c o o l e d c o p p e r s h i e l d

4

m o t o r i z e d

s h u t t e r

5

i o n p u m p

6

d i e r e n t i a l p u m p i n g t u b e

7

e x i b l e b e l l o w c o u p l i n g

8

m a n u a l v a l v e

9

C F - a n g e

t o Z e e m a n - s l o w e r

3

1

4

5

679

8

11

10

2

12

F i g u r e 3 . 4 : P i c t u r e o f t h e o v e n .

1

e u s i v e c e l l

2

n o z z l e

3

c o o l e d c o p p e r s h i e l d

4

m o t o r i z e d s h u t t e r

5

i o n p u m p

6

d i e r e n t i a l p u m p i n g

7

e x i b l e b e l l o w

8

v a l v e

9

C F - a n g e t o Z e e m a n - s l o w e r

1 0

m o t o r f o r

m e c h a n i c a l s h u t t e r

1 1

P e l t i e r e l e m e n t f o r c o o l i n g s h i e l d

1 2

i o n g a u g e




a l i g n t h e w h o l e r i g i d o v e n a s s e m b l y p a r a l l e l t o t h e Z e e m a n - s l o w e r . F i n a l l y a g a t e v a l v e

8

a l l o w s

t o d i s c o n n e c t t h e u l t r a - h i g h v a c u u m o f t h e m a i n c h a m b e r c o m p l e t e l y f o r m t h e o v e n , w h i c h i s o n l y

d o n e f o r e x c h a n g i n g t h e R u b i d i u m v i a l i n

1

a n d o t h e r m a i n t a i n i n g w o r k . B e h i n d t h e v a l v e f o l l o w s

t h e Z e e m a n - s l o w e r , w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d i n c h a p t e r 3 . 6 .

3 . 1 . 2 M a i n c h a m b e r

T h e m a i n v a c u u m c h a m b e r d e p i c t e d i n g u r e 3 . 5 a n d g u r e 3 . 2 i s t h e h e a r t o f t h e w h o l e s e t u p . I t

w a s b u i l t c o m p l e t e l y i n t h e m a c h i n e s h o p o f t h e U n i v e r s i t y o f S t u t t g a r t . A l l e l e m e n t s a r e m a d e o f

s t a i n l e s s s t e e l a n d w e l d e d t o g e t h e r f r o m t h e v a c u u m s i d e . T h e p r i n c i p l e o f t h e d e s i g n i s a t u b e o n

w h i c h r a d i a l l y a l l t h e p o r t s (

1

-

1 2

) p o i n t t o w a r d s t h e c e n t e r . T h e a n g l e b e t w e e n e a c h p o r t i s 3 0

.

I n t o t h i s t u b e e x t e n d t w o b u c k e t s , w h i c h g i v e s p a c e f o r t h e m a g n e t i c t r a p . T o g e t a l s o o p t i c a l

a c c e s s i n t h e t h i r d d i m e n s i o n a o n e i n c h g l a s s - m e t a l v i e w - p o r t i s w e l d e d c e n t e r e d o n t o e a c h b u c k e t .

T h e y a r e m a d e o f a o n e i n c h s t e e l t u b i n g , o n w h i c h a w i n d o w i s d i r e c t l y f u s e d . B y t h i s t h e r a d i a l

e x t e n s i o n i s m i n i m i z e d a n d a l l o w s a b e t t e r i n s e r t i o n o f t h e m a g n e t i c t r a p p i n g c o i l s . T h e b u c k e t s

a r e c o n n e c t e d t o t h e m a i n c h a m b e r w i t h C F 2 5 0 a n g e s ( o u t e r d i a m e t e r 3 0 4 . 8 m m ) , t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t h e t w o t t i n g s i s 2 4 9 . 2 m m . A m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e p h y s i c a l d i m e n s i o n s o f

t h e m a i n v a c u u m c h a m b e r i s g i v e n i n a p p e n d i x F . T h i s r a t h e r l a r g e l a y o u t w a s c h o s e n t o m i n i m i z e

e d d y - c u r r e n t s w h e n s w i t c h i n g o t h e m a g n e t i c t r a p s u d d e n l y , s i n c e t h e h i g h c o n d u c t i v e c o p p e r

g a s k e t s a r e b y t h i s f u r t h e r a w a y f r o m t h e a t o m s . T h e m a i n t u b i n g , w h i c h h o l d s t h e r a d i a l p o r t s

(

1

-

1 2

) h a s a n i n n e r d i a m e t e r o f 2 0 0 m m a n d a n o u t e r d i a m e t e r o f 2 0 5 m m . T h e b u c k e t s h a v e a n

i n n e r d i a m e t e r o f 1 5 5 m m a n d a n o u t e r d i a m e t e r o f 1 5 9 m m . T h e i n n e r d i a m e t e r o f t h e b u c k e t i s

i m p o r t a n t f o r t h e d e s i g n o f t h e m a g n e t i c t r a p , w h i c h w i l l b e s e t i n t o t h e b u c k e t . T h e r e i s e n o u g h

s p a c e b e t w e e n t h e b u c k e t a n d t h e m a i n t u b e , s u c h t h a t g o o d p u m p i n g s p e e d i s e n s u r e d . B e t w e e n

t h e t w o b u c k e t s i s a n o p e n a r e a w i t h a d i s t a n c e b e t w e e n o f 2 8 m m . W e u s e d f o r t h e i n n e r s u r f a c e

s t e e l w i t h 2 m m t h i c k n e s s , w h i c h l i m i t s t h e m i n i m u m d i s t a n c e o f t h e m a g n e t i c t r a p p i n g c o i l s t o

3 2 m m .

O p t i c a l a c c e s s t o t h e a t o m s i s p o s s i b l e t h r o u g h o n e o f t h e 1 1 r a d i a l v i e w p o r t s

2

t o

1 2

, e x c e p t

t h e p o r t s

4

a n d

1 0

( s e e g u r e F . 1 ) , w h i c h a r e o c c u p i e d b y t h e h i g h v o l t a g e f e e d t h r o u g h s

3

f o r

t h e t w o m u l t i - c h a n n e l p l a t e s . P o r t

1

i s u s e d t o c o n n e c t t h e Z e e m a n - s l o w e r t o t h e m a i n v a c u u m

c h a m b e r . F o r l a s e r c o o l i n g a n d t r a p p i n g a n o p t i c a l a c c e s s i n t h e t h i r d d i m e n s i o n i s i n d i s p e n s a b l e .

T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y t w o v i e w p o r t s

1 8

i n s i d e t h e b u c k e t s a s m e n t i o n e d a b o v e . T h e m a g n e t o -

o p t i c a l t r a p i s t h e n o p e r a t e d w i t h t h e p o r t s

2

,

5

,

8

,

1 1

a n d t h e t w o p o r t s

1 8

. T h e r e a r e t w o

l a r g e r p o r t s

3

a n d

6

f o r t h e i m a g i n g s y s t e m t o i m p r o v e t h e n u m e r i c a l a p e r t u r e a n d w i t h t h i s t h e

o p t i c a l r e s o l u t i o n . W h e n u s i n g l i g h t w i t h a w a v e l e n g t h o f 7 8 0 n m f o r i m a g i n g t h e m a x i m u m s p a t i a l

r e s o l u t i o n i s l i m i t e d t o 2 . 8 m . A l l p o r t s c a n b e u s e d m a n i f o l d a s e . g . f o r o p t i c a l l a t t i c e s . T h e

t a b l e 3 . 1 g i v e s a n o v e r v i e w o f a l l o p t i c a l p o r t s a n d t h e i r u s a g e .

T h e l a r g e a n g e

1 1

c o n n e c t s t h e p u m p i n g c r o s s t o t h e m a i n c h a m b e r . T h e m a i n c h a m b e r i s k e p t a t

u l t r a - h i g h v a c u u m w i t h a 2 0 0 l / s i o n - g e t t e r p u m p

4

a n d a t i t a n s u b l i m a t i o n p u m p . A l i q u i d n i t r o g e n

c o n t a i n e r i s c o n n e c t e d t o t h e t i t a n s u b l i m a t i o n p u m p t o i n c r e a s e t h e p u m p i n g e c i e n c y . A f t e r a

b a k e - o u t o f t h e w h o l e v a c u u m s e t u p a t a b o u t 2 0 0

C f o r o n e w e e k t h e p r e s s u r e i n t h e U H V r e g i o n

i s m e a s u r e d w i t h a n i o n g a u g e

2 0

t o b e b e l o w P

¡ I H

I I

m b a r . T h e l i f e t i m e o f t h e m a g n e t i c t r a p ,

w h i c h i s a d i r e c t m e a s u r e o f t h e b a c k g r o u n d p r e s s u r e , i s 1 6 3 s a s c a n b e s e e n f r o m g u r e 3 . 6 .

U n c o m m o n t o s t a n d a r d B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n s e t u p s , w e i n c l u d e d t w o m u l t i - c h a n n e l p l a t e s

a n d e l d p l a t e s , w h i c h a r e u s e d f o r e x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g a t o m s a n d t h e i r d e t e c t i o n . T h e

3

4 p i n H V f e e d t h r o u g h , 3 k V , H o s i t r a d

4

M e c a 2 0 0 0 , M e c a



Q F I m m 3 7

1

2

3

4

5

6

7

8 9

12

19

10

22

20

11

21

13

1415

16

17

24

18

13

16

17

23

F i g u r e 3 . 5 : S c h e m a t i c v i e w o f t h e m a i n v a c u u m c h a m b e r a n d a p i c t u r e i n t o t h e c h a m b e r , b o t h w i t h o n e

b u c k e t r e m o v e d .

1

C F 1 6 a n g e f o r Z e e m a n - s l o w e r

2

C F 3 5 o p t i c a l p o r t f o r t h e m a g n e t o - o p t i c a l t r a p ( M O T )

3

C F 6 3 o p t i c a l p o r t f o r a b s o r p t i o n i m a g i n g , a l t e r n a t i v e o p t i c a l l a t t i c e

4

C F 3 5 M u l t i - c h a n n e l p l a t e a t t a c h e d t o a f o u r f o l d h i g h v o l t a g e f e e d t h r o u g h ( i o n d e t e c t i o n )

5

C F 3 5 o p t i c a l p o r t f o r t h e M O T

6

C F 6 3 o p t i c a l p o r t f o r u o r e s c e n c e i m a g i n g , a l t e r n a t i v e a b s o r p t i o n i m a g i n g o r o p t i c a l l a t t i c e .

7

C F 3 5 o p t i c a l p o r t f o r t h e Z e e m a n - s l o w i n g l i g h t

8


9


1 0

C F 3 5 M u l t i - c h a n n e l p l a t e a t t a c h e d t o a f o u r f o l d h i g h v o l t a g e f e e d t h r o u g h ( e l e c t r o n d e t e c t i o n )

1 1

C F 1 5 0 a n g e t o w a r d s p u m p i n g c r o s s a n d o p t i c a l p o r t f o r t h e M O T

1 2

C F 3 5 o p t i c a l p o r t f o r o p t i c a l l a t t i c e , a l t e r n a t i v e a b s o r p t i o n i m a g i n g

1 3

R a d i o f r e q u e n c y a n t e n n a , t h e s e c o n d a n t e n n a i s s y m m e t r i c a l l y a t t a c h e d t o 2 )

1 4

H i g h v o l t a g e e l d p l a t e s , i s o l a t e d b y a c e r a m i c s p a c e r s

1 5

R e c e s s e d b u c k e t c o n t a i n i n g t h e m a g n e t i c c o i l s

1 6

a n d

1 7

M u l t i - c h a n n e l p l a t e s d e p l o y e d i n a F a r a d a y c a g e

1 8

O n e i n c h o p t i c a l v i e w p o r t f o r t h e M O T a n d o p t i c a l l a t t i c e

1 9

,

2 1

a n d

2 2

H i g h v o l t a g e f e e d t h r o u g h s , e . g . f o r c o n n e c t i o n t o e l d p l a t e s

2 0

I o n g a u g e

2 3

D u a l e l e c t r i c f e e d t h r o u g h f o r t h e r a d i o f r e q u e n c y a n t e n n a

2 4

C F 2 5 0 m a i n a n g e , o n w h i c h t h e b u c k e t s a r e m o u n t e d




F l a n g e ] C F - s i z e u s a g e d i s t a n c e t o w i n d o w N A

1 1 6 Z e e m a n - s l o w e r - -

2 3 5 M O T 2 1 5 . 4 m m 0 . 0 9

3 6 3 I m a g i n g 1 8 4 . 7 m m 0 . 1 7

4 3 5 M C P - -

5 3 5 M O T 2 2 0 . 4 m m 0 . 0 9

6 6 3 I m a g i n g 1 8 4 . 7 m m 0 . 1 7

7 3 5 Z e e m a n - s l o w i n g l i g h t 2 2 0 . 7 0 . 0 9

8 3 5 M O T 1 7 0 . 4 m m 0 . 1 1

9 3 5 I m a g i n g 1 4 5 . 5 m m 0 . 1 3

1 0 3 5 M C P - -

1 1 1 5 0 M O T 6 5 2 . 4 m m 0 . 1 0

1 2 3 5 I m a g i n g 2 5 5 . 4 m m 0 . 0 7

1 8 f r o n t 1 i n c h M O T / l a t t i c e / R y d b e r g / p u m p i n g 4 6 m m 0 . 2 8

1 8 b a c k 1 i n c h M O T / l a t t i c e 4 6 m m 0 . 2 8

T a b l e 3 . 1 : C h a r a c t e r i s t i c s o f a l l a n g e s a n d t h e i r u s a g e . T h e r i g h t c o l u m n g i v e s t h e n u m e r i c a l a p e r t u r e s

( N A ) i n c l u d i n g t h e o p t i c a l v i e w p o r t s . T h e o p t i c a l r e s o l u t i o n i s t h e n g i v e n b y t h e R a y l e i g h c r i t e r i o n ¡ x a

H : T I = N A , w h e r e ¡ x i s t h e s m a l l e s t r e s o l v a b l e s t r u c t u r e a n d t h e w a v e l e n g t h o f t h e l i g h t .

m a t e r i a l s u s e d i n m u l t i c h a n n e l p l a t e s

5

a r e s t a i n l e s s s t e e l , g l a s s a n d c h r o m i u m a n d s u i t a b l e f o r

o u r e x t r e m e u l t r a - h i g h v a c u u m c o n d i t i o n . T h e e i g h t e l d p l a t e s a r e e l e c t r i c a l l y i s o l a t e d t o t h e

c h a m b e r w a l l s w i t h c e r a m i c s p a c e r s a n d a r e g l u e d o n t o t h e m w i t h a s p e c i a l v a c u u m g l u e

6

. T h e

o u t g a s s i n g r a t e o f t h i s g l u e i s l o w e n o u g h , t o m a i n t a i n t h e l o w p r e s s u r e . T h e p l a t e s a r e c o n n e c t e d

t o K a p t o n - i s o l a t e d c o p p e r w i r e s w i t h s p e c i a l v a c u u m c o p p e r - b e r y l l i u m c l a m p s .

3 . 2 T h e l a s e r s y s t e m

I n o u r e x p e r i m e n t s l a s e r l i g h t i s u s e d t o s l o w , c o o l , p u m p , p o l a r i z e a n d d e t e c t t h e a t o m s . F o r t h i s

w e s e t u p t w o l a s e r - s y s t e m s t o g e n e r a t e a l l n e c e s s a r y f r e q u e n c i e s . F o r a l l t r a n s i t i o n s a s c e n d i n g

f r o m t h e F a P g r o u n d s t a t e , w e u s e a n T i t a n i u m : S a p p h i r e l a s e r

7

p u m p e d b y a n 1 0 W s o l i d s t a t e

l a s e r

8

. A b o u t o n e W a t t o f r e s o n a n t l i g h t i s n o w a v a i l a b l e f o r f u r t h e r p r o c e s s i n g . M o s t o f t h e l a s e r

p o w e r i s t a k e n f o r t h e c o o l i n g l i g h t o f t h e m a g n e t o - o p t i c a l t r a p ( M O T ) a n d t h e Z e e m a n - s l o w e r .

T h e c o o l i n g c y c l e i s t u n e d t o t h e F a P ; m

F

a P 3

F

H

a Q ; m

H

F

a Q t r a n s i t i o n , w h i c h b e h a v e s

n e a r l y a s a t w o l e v e l s y s t e m . F o r m o r e d e t a i l s o n t h e o p t i c a l p r o p e r t i e s o f

V U

R b s e e a p p e n d i x A .

T w o f u r t h e r b e a m s a r e d e t a c h e d f o r r e s o n a n t a b s o r p t i o n i m a g i n g a n d p o l a r i z i n g t h e a t o m s . P o l a r -

i z i n g s t a n d s f o r t r a n s f e r r i n g a l l a t o m s a f t e r t h e l a s t l a s e r c o o l i n g s t e p i n t o t h e F a P ; m

F

a P s t a t e ,

w h i c h c a n b e c a u g h t b y a p u r e l y m a g n e t i c t r a p . T h e p o l a r i z i n g l i g h t i s t u n e d t o t h e F a P 3

F

H

a P

5

T y p e B 0 1 2 V A , E l - M u l

6

H i g h t e m p e r a t u r e e p o x y E p o T e k 3 7 7 , E p o x y T e c h n o l o g y

7

M B R 1 1 0 , C o h e r e n t

8

V e r d i V 1 0 , C o h e r e n t



Q F P l m 3 9

0 100 2 00 3 00 4 00 5 00 6 00

0.0

Time [s]

N u m b e r

o f

a t o m s

[ a r b

. u

n i t s ]

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

t = 163 s

F i g u r e 3 . 6 : M e a s u r e d l i f e t i m e i n t h e m a g n e t i c t r a p . A t o m s w e r e s t o r e d i n a p u r e c o n s e r v a t i v e t r a p p i n g

p o t e n t i a l . A f t e r 1 6 3 s t h e i n i t i a l a t o m n u m b e r d r o p p e d d u e t o b a c k g r o u n d g a s c o l l i s i o n s t o 1 / e i n a n

e x p o n e n t i a l ( s o l i d l i n e ) d e c a y .

t r a n s i t i o n a n d i s

C

p o l a r i z e d . B y t h i s t h e a t o m s a r e s h u e d f r o m a n y m

F

s t a t e i n t h e m

F

a P s t a t e

w h i c h i s a d a r k s t a t e w i t h r e s p e c t t o t h e l i g h t , w h i c h i s o n r e s o n a n c e w i t h t h e F a P 3 F

H

a P

t r a n s i t i o n . T h e i m a g i n g b e a m i s t u n e d r e s o n a n t l y t o t h e F a P ; m

F

a P 3

F

H

a Q ; m

H

F

a Q

t r a n s i t i o n , a n d i s a l s o p o l a r i z e d . D e t a i l s o f o u r i m a g i n g s y s t e m w i l l b e d i s c u s s e d i n c h a p t e r 3 . 3 .

T h e s e c o n d l a s e r s y s t e m u s e d f o r t r a p p i n g a n d c o o l i n g , i s t h e r e p u m p i n g s y s t e m t u n e d t o t h e

F a I 3 F a P t r a n s i t i o n . T h i s i s i n e v i t a b l e , s i n c e t h e l i g h t o f t h e c o o l i n g l a s e r i s s t i l l t r a n s f e r r i n g

a t o m s i n t o t h e F

H

a P s t a t e a l t h o u g h i t i s 2 6 7 M H z d e t u n e d f r o m t h e F

H

a Q s t a t e . F r o m t h e r e

t h e a t o m s d e c a y w i t h a 5 0 7 p r o b a b i l i t y i n t o t h e F a I s t a t e a n d d o n o t p a r t i c i p a t e a n y m o r e i n

t h e c o o l i n g c y c l e . S i n c e h i g h l a s e r p o w e r i s n o t r e q u i r e d h e r e , w e u s e a s t a n d a r d l a s e r d i o d e

9

i n a n

L i t t r o w s e t u p [ 1 9 8 ] , w h i c h w a s d e v e l o p e d i n o u r g r o u p . W i t h t h i s s e t u p w e o b t a i n a b o u t 8 0 m W

o f l a s e r p o w e r a f t e r t h e o p t i c a l d i o d e .

T o s t a b i l i z e t h e l a s e r f r e q u e n c i e s w i t h i n 1 M H z w e u s e a p o l a r i z a t i o n s p e c t r o s c o p y m e t h o d [ 1 9 7 ] .

T h e T i t a n i u m : S a p p h i r e l a s e r i s s t a b i l i z e d t o t h e F a P 3 F

H

a Q t r a n s i t i o n l i n e a n d t h e d i o d e l a s e r

t o t h e F a I 3

F

H

a H t r a n s i t i o n . T o s h i f t t h e l i g h t t o t h e d e s i r e d f r e q u e n c i e s , w e u s e a c c u s t o -

o p t i c a l m o d u l a t o r s

1 0

( m o s t l y ) i n a d o u b l e p a s s c o n g u r a t i o n . T h e s e m o d u l a t o r s a r e a l s o u s e d f o r

f a s t s w i t c h i n g t h e l a s e r p o w e r w i t h i n t y p i c a l l y 3 0 n a n o - s e c o n d s . S i n c e t h e r e r e m a i n s a l w a y s s o m e

l e a k a g e o f l i g h t t h r o u g h t h e m o d u l a t o r s , e v e r y l a s e r b e a m i s e q u i p p e d a d d i t i o n a l l y w i t h a m e c h a n i c a l

s h u t t e r

1 1

t o s w i t c h t h e l i g h t e n t i r e l y o .

A l l d r i v i n g u n i t a s s e m b l i e s f o r t h e a c c u s t o - o p t i c a l m o d u l a t o r s a r e h o m e b u i l d w i t h a s i m i l a r d e s i g n .

T h e r a d i o - f r e q u e n c y i s g e n e r a t e d b y v o l t a g e c o n t r o l l e d o s c i l l a t o r s ( V C O )

1 2

a n d i t s f r e q u e n c y c a n

b e t u n e d w i t h a n e x t e r n a l c o n t r o l v o l t a g e . T h e s i g n a l l e v e l o f t h e V C O i s s u b s e q u e n t l y a d j u s t e d

w i t h e i t h e r a f r e q u e n c y m i x e r

1 3

c o n t r o l l e d b y a n e m i t t e r f o l l o w e r o r a b i - p h a s e a t t e n u a t o r

1 4

. T h e

9

L D - 0 7 8 0 0 - P 2 5 0 - 1 , T o p t i c a

1 0

3 2 0 0 - 1 2 1 , 3 1 1 0 - 1 2 0 a n d 3 0 8 0 - 1 2 0 , C r y s t a l T e c h n o l o g y

1 1

L S 2 , U n i b l i t z , V i n c e n t A s s o c i a t e s

1 2

Z O S 3 0 0 , Z O S 2 0 0 a n d Z O S 1 5 0 , M i n i C i r c u i t s

1 3

Z A D 1 . 1 , M i n i C i r c u i t s

1 4

Z M A S - 1 , M i n i C i r c u i t s




WM

S

S

MBR

Verdi

Verdi

MBR

WM

S

Repumper (MOT)

Repumper (Slower)

M O T - a x i a l

M O T - r a

d i a l

Imaging

Pump

Slower

Mirror

l /4-plate

l /2-plate

Polarizingbeam splitterOptical diode

Faraday isolator

10W solid statepump laser

Titan:Sapphirelaser

Wave-meter

Spectroscopy

Diode laser

Accusto-opticalmodulator

Polarizationmainatining

fiber

F i g u r e 3 . 7 : S c h e m a t i c v i e w o f t h e l a s e r s y s t e m f o r t r a p p i n g a n d c o o l i n g . A l l n e c e s s a r y b e a m s a r e e x t r a c t e d

f r o m t w o l a s e r s , a p u m p e d T i t a n i u m : S a p p h i r e l a s e r a n d a n e x t e r n a l c a v i t y d i o d e l a s e r . I n t h e g u r e a l l l e n s e s ,

a p e r t u r e s , s h u t t e r s , m o t o r i z e d m i r r o r s a r e o m i t t e d f o r c l a r i t y . A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e s p e c t r o s c o p y s e t u p

a n d i t s f u n c t i o n a l i t y c a n b e f o u n d i n [ 1 9 7 ] .



Q F Q s m n m 4 1

F i g u r e 3 . 8 : L o c k i n g s c h e m e o f t h e l a s e r s y s t e m . S h o w n a r e t h e l o c k - p o i n t s f o r t h e T i t a n i u m : S a p p h i r e l a s e r

( r i g h t ) a n d t h e d i o d e l a s e r s y s t e m ( r i g h t ) . T h e a r r o w s i n d i c a t e t h e s h i f t o f t h e l a s e r f r e q u e n c i e s t o t h e

d e s i r e d t r a n s i t i o n s b y a c c u s t o - o p t i c a l m o d u l a t o r s .

r f - s w i t c h

1 5

w h i c h f o l l o w s n e x t i s u s e d t o a t t e n u a t e t h e r f - p o w e r i n t h e o - s t a t e b y a t l e a s r 4 0 d B .

F i n a l l y t h e r a d i o - f r e q u e n c y i s a m p l i e d t o a m a x i m u m p o w e r o f 3 3 d B m ( 2 W ) b y a h i g h p o w e r

a m p l i e r

1 6

a n d d e l i v e r e d w i t h a n o r d i n a r y S M A c a b l e t o t h e t r a n s d u c e r o f t h e a c c u s t o - o p t i c a l

m o d u l a t o r . T h e s u p p r e s s i o n o f t h e l a s e r l i g h t i n t h e r s t o r d e r b e a m i n t h e o - s t a t e i s t y p i c a l l y

b e t t e r t h a n 1 : 1 0 0 0 .

3 . 3 I m a g i n g s y s t e m

T o o b t a i n q u a n t i t a t i v e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e a t o m i c e n s e m b l e i t i s s u c i e n t t o m e a s u r e t h e s p a t i a l

d e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e a t o m i c c l o u d f o r e x a m p l e w i t h a C C D c a m e r a . I f t h i s m e a s u r e m e n t i s

r e p e a t e d f o r d i e r e n t t i m e s , a f t e r t h e c l o u d w a s r e l e a s e d f r o m i t s t r a p p i n g p o t e n t i a l , o n e c a n

d e r i v e f r o m t h i s p i c t u r e s t h e t e m p e r a t u r e , t h e a t o m n u m b e r a n d w i t h t h e k n o w l e d g e o f t h e s h a p e

o f t h e c o n n i n g p o t e n t i a l t h e d e n s i t y i n s i d e t h e t r a p . I n m o s t i m a g i n g t e c h n i q u e s r e s o n a n t , o r

n e a r r e s o n a n t l i g h t , i s u s e d a n d t h e a t o m s a r e i m a g e d b y s u i t e d o p t i c s o n t o a C C D - c h i p . T h e

p i c t u r e s t a k e n b y t h e C C D - c h i p c o n t a i n o n l y t w o - d i m e n s i o n a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c l o u d s i n c e

t h e s i g n a l a l o n g t h e i m a g i n g a x i s i s i n t e g r a t e d . T y p i c a l l y o n e a s s u m e s r a d i a l s y m m e t r i c s a m p l e s f o r

c o m p u t a t i o n . B u t i t i s a l s o p o s s i b l e t o t a k e p i c t u r e s s i m u l t a n e o u s l y i n t w o d i r e c t i o n s a n d e x t r a c t

f r o m t h i s t h e r e a l t h r e e d i m e n s i o n a l s i t u a t i o n .

I f t h e a t o m s a r e n o t B o s e c o n d e n s e d , b u t e s t a b l i s h a c l a s s i c a l t h e r m a l g a s , t h e y a d o p t a G a u s s i a n

d e n s i t y d i s t r i b u t i o n n @ ~ r ; t A a f t e r t h e y a r e r e l e a s e d f r o m a n y t r a p p i n g p o t e n t i a l f o r a c e r t a i n t i m e

o f i g h t . T h i s i s v a l i d a s l o n g a s t h e e x p a n d e d c l o u d i s w e l l l a r g e r t h a n i n t h e i n i t i a l t r a p p e d

s i t u a t i o n a n d t h e v e l o c i t i e s i n t h e t r a p f o l l o w a M a x w e l l - B o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n [ 1 3 7 ] . T h e d e n s i t y

d i s t r i b u t i o n o f a s u c i e n t e x p a n d e n d c l o u d i s t h e n g i v e n b y

n @ ~r A a n

H

e x p

x

P

P

P

x

y

P

P

P

y

z

P

P

P

z

: ( 3 . 1 )

1 5

Z Y S W A - 2 - 5 0 D R , M i n i C i r c u i t s

1 6

Z H L - 1 - 2 W , M i n i C i r c u i t s




CCD(abs)

f=250mm

f=250mm

Microscopeobjective

(1x, 4x or 8x)

Optical fiberfor absorption imaging

CCD(fluo)

Beams forfluorescence imaging

F i g u r e 3 . 9 : S c h e m a t i c s e t u p o f t h e a b s o r p t i o n ( a b s ) a n d u o r e s c e n c e ( u o ) i m a g i n g s y s t e m .

T h e

i

' s a r e t h e I =

p

e r a d i i o f t h e c l o u d . T h e p e a k d e n s i t y i s d e t e r m i n e d b y n

H

a

N

@ P A

Q = P

x

y

z

w i t h N b e i n g t h e t o t a l a t o m n u m b e r . I n t e g r a t i n g t h e G a u s s i a n c u r v e o v e r o n e a x i s , e . g . t h e x - a x i s ,

g i v e s t h e c o r r e s p o n d i n g s i g n a l o n t h e C C D - c a m e r a .

~ n @ y ; z A a n

H

p

P

x

e x p

y

P

P

P

y

z

P

P

P

z

: ( 3 . 2 )

A f t e r a c e r t a i n t i m e o f i g h t t h e s i z e o f t h e c l o u d i n c r e a s e s a s

@ t A a

P

H

C

k

B

T

m

t

P

: ( 3 . 3 )

T h i s i s v a l i d a s l o n g t h e i n i t i a l d e n s i t y d i s t r i b u t i o n a t t a H i s a l s o G a u s s i a n w i t h a w i d t h

H

. T h i s

i s t r u e f o r a t o m i c c l o u d s i n h a r m o n i c t r a p p i n g p o t e n t i a l s o r t o s o m e e x t e n t f o r m a g n e t o - o p t i c a l

t r a p s w i t h a G a u s s i a n s h a p e . F o r l a r g e t i m e o f i g h t s d o m i n a t e s t h e s e c o n d t e r m i n ( 3 . 3 ) a n d t h e

t e m p e r a t u r e i s s i m p l y g i v e n b y

T a

m

P

@ t A

k

B

t

P

: ( 3 . 4 )

T h e a n a l y s i s o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s e d s a m p l e s i n t i m e o f i g h t w i l l b e d i s c u s s e d i n c h a p t e r 3 . 3 . 3 .

3 . 3 . 1 F l u o r e s c e n c e i m a g i n g

I n u o r e s c e n c e i m a g i n g t h e s p o n t a n e o u s e m i t t e d l i g h t o f a n a t o m i c s a m p l e i s d e t e c t e d . T h i s i s

u s u a l l y d o n e b y i r r a d i a t i n g t h e a t o m i c c l o u d r e s o n a n t l y w i t h t h e s i x b e a m s f o r m a g n e t o - o p t i c a l

t r a p p i n g ( M O T ) . T h e g l o w i n g c l o u d i s i m a g e d w i t h a d i m i n u t i o n o p t i c o n t o a C C D - c h i p

1 7

, b e -

c a u s e t h e m a g n e t o - o p t i c a l l y t r a p p e d c l o u d i s u s u a l l y l a r g e r t h a n t h e c h i p s i z e . T h e s i g n a l l e v e l i s

p r o p o r t i o n a l t o t h e c o l l e c t e d l i g h t , w h i c h i s c o n s t r a i n e d b y t h e n u m e r i c a l a p e r t u r e o f t h e i m a g i n g

1 7

S l o w S c a n I m a g i n g S y s t e m S I S 9 , T h e t a S y s t e m s



Q F Q s m n m 4 3

s y s t e m . I n o u r c a s e t h i s i s t h e r s t l e n s ( s e e g u r e 3 . 9 ) o f o u r o b j e c t i v e . A l t h o u g h t h e d i s t a n c e

t o t h e a t o m s i s l a r g e r t h a n n e c e s s a r y a n d t h e e n t r a n c e a p e r t u r e o f t h e o b j e c t i v e r e l a t i v e l y s m a l l , i s

t h e s i g n a l l e v e l s u c i e n t d o w n t o 1 0

T

a t o m s .

F o r a q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s o f t h e C C D - p i c t u r e s i t i s n e c e s s a r y t o e s t i m a t e t h e s c a t t e r i n g r a t e o f

t h e a t o m s a n d t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e e m i t t e d l i g h t . T h e a t o m s a r e e x p o s e d i n s i x d i r e c t i o n s

w i t h c i r c u l a r p o l a r i z e d l i g h t , t h u s i t i s f a i r t o a s s u m e t h a t t h e d i r e c t i o n s o f t h e s p o n t a n e o u s e m i t t e d

p h o t o n s a r e i s o t r o p i c . T h e l i g h t i s t u n e d i n t o r e s o n a n c e w i t h t h e F a P 3

F

H

a Q t r a n s i t i o n . I t

r e m a i n s t h e s c a t t e r i n g r a t e o f t h e a t o m s o n r e s o n a n c e

s c

a

P

c g

s

I C

c g

s

: ( 3 . 5 )

T h e s a t u r a t i o n p a r a m e t e r w a s d e n e d i n c h a p t e r 2 . 1 . I i n t r o d u c e d h e r e a n e e c t i v e C l e b s c h - G o r d a n

c o e c i e n t

c g

w h i c h t a k e s t h e d i e r i n g t r a n s i t i o n s t r e n g t h s , g i v e n i n a p p e n d i x A , i n t o a c c o u n t .

B y a s s u m i n g t h a t t h e a t o m i c s a m p l e i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d a m o n g t h e m a g n e t i c s u b l e v e l s o f t h e

F a P g r o u n d s t a t e a n d e v e r y a t o m i s i r r a d i a t e d i n e q u a l s h a r e s c i r c u l a r p o l a r i z e d l i g h t ( b y t h e s i x

M O T - b e a m s ) , o n e o b t a i n s

c g

= 7 / 1 5 . T h e i n t e n s i t y i n e a c h b e a m i s a b o u t 1 8 I

s a t

w h i c h g i v e s a n

s a t u r a t i o n p a r a m e t e r o f s a T ¡

I V o n r e s o n a n c e . W i t h s u c h a h i g h i n t e n s i t y t h e s c a t t e r i n g r a t e i s

w i t h i n 1 7 a c c u r a c y = P .

A l t h o u g h t h e d e t u n i n g i n r e s p e c t t o t h e n e x t p o s s i b l e t r a n s i t i o n F a P 3

F

H

a P i s q u i t e l a r g e , t h e

h i g h i n t e n s i t y p r o v o k e s e v e r y 7 5 c y c l e s a n o - r e s o n a n t e x c i t a t i o n i n t o t h e F

H

a P s t a t e a n d e v e r y

2 0 0 c y c l e s i n t o t h e F

H

a I s t a t e . T h e p r o b a b i l i t y f o r a d e c a y f r o m t h e F

H

a P s t a t e i n t o t h e F a I

g r o u n d s t a t e i s 5 0 7 a n d f o r a d e c a y f r o m F

H

a I 8 0 7 . T o r e t u r n t h e a t o m s i n t o t h e c y c l i n g

t r a n s i t i o n F a P 3

F

H

a Q t h e r e p u m p i n g l a s e r h a s a l s o t o b e p r e s e n t .

T h e r e a r e s e v e r a l e e c t s , w h i c h c a n a l t e r t h e a c t u a l p h y s i c a l s i t u a t i o n b y t h e p r e s e n c e o f t h e

i m a g i n g l i g h t . T h e m a j o r d e v i a t i o n i s d u e t o t h e o p t i c a l d e n s i t y o f t h e c l o u d , w h i c h c a u s e s t h e

i n t e n s i t y o f t h e r e s o n a n t l a s e r b e a m t o b e r e d u c e d w h i l e i t i n t r u d e s i n t o t h e c l o u d . T h e a t o m s i n

t h e c e n t e r o f t h e c l o u d s c a t t e r l e s s p h o t o n s d u e t o t h e r e d u c e d i n t e n s i t y . T h e s e a r e l a c k i n g o n t h e

C C D - c a m e r a a n d p r e t e n d a s m a l l e r a t o m n u m b e r . O n t h e o t h e r h a n d i s t h e l i g h t e m i t t e d b y t h e

a t o m s i n s i d e t h e c l o u d a l s o h i n d e r e d t o p r o p a g a t e o u t w a r d s b y m u l t i p l e s c a t t e r i n g e v e n t s . T h i s

e e c t i s c o m m o n l y k n o w n a s r a d i a t i o n t r a p p i n g . T h i s d e v i a t i o n s c a n b e a v o i d e d b y d e t u n i n g t h e

l a s e r a w a y f r o m r e s o n a n c e t o o b t a i n a m o r e t r a n s p a r e n t c l o u d b y r e d u c i n g t h e e e c t s o f m u l t i p l e

s c a t t e r i n g e v e n t s .

F i n a l l y i t s h o u l d b e m e n t i o n e d , t h a t t h e c o l d c l o u d i s h e a t e d b y t h e s p o n t a n e o u s s c a t t e r e d p h o t o n s .

T h e h e a t i n g s c a l e s w i t h t h e s q u a r e r o o t o f s c a t t e r e d p h o t o n s , w h i c h g i v e s i n o u r c a s e o f 1 0 0 s

i r r a d i a t i o n t i m e a t f u l l s a t u r a t i o n a t e m p e r a t u r e g a i n o f a b o u t 2 2 K .

3 . 3 . 2 A b s o r p t i o n i m a g i n g

T h e s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g e v e n t s i n u o r e s c e n c e i m a g i n g a l t e r t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e

a t o m i c c l o u d . F o r v e r y c o l d a n d s m a l l s a m p l e s t h i s l e a d s a l r e a d y t o a n a l t e r n a t i o n o f t h e d e n s i t y

d i s t r i b u t i o n w i t h i n t h e e x p o s u r e t i m e ( t y p i c a l l y 1 0 0 s ) o f t h e r e s o n a n t i m a g i n g l i g h t . T o a v o i d

t h i s , o n e u s e s t h e a b s o r p t i o n i m a g i n g t e c h n i q u e , w h e r e t h e a p p l i e d i n t e n s i t y i s r e d u c e d w e l l b e l o w

t h e s a t u r a t i o n i n t e n s i t y a n d b y t h i s t h e n u m b e r o f s p o n t a n e o u s s c a t t e r e d p h o t o n s . I n s p i t e t o

u o r e s c e n c e i m a g i n g t h e a b s o r p t i o n i m a g i n g m e t h o d d e t e c t s t h e p h o t o n s n o t b e i n g a b s o r b e d b y




t h e s a m p l e . O n e l a s e r b e a m i s s h o n e o n t o t h e a t o m s a n d a s h a d o w p i c t u r e i s r e c o r d e d o n t h e

C C D - c h i p

1 8

. T h e a b s o r p t i o n o f p h o t o n s i n t h e a t o m i c c l o u d f o l l o w s s i m p l y B e e r ' s l a w

I @ x A a I

H

e

O D ¡ x

: ( 3 . 6 )

T h e c r o s s s e c t i o n @ A f o r l i g h t s c a t t e r i n g a t a t w o l e v e l a t o m w i t h d e t u n i n g i s g i v e n b y

@ A a

Q

P

= P

I C R

P

P

: ( 3 . 7 )

F o r s m a l l i n t e n s i t i e s ( I (

I

s a t

) t h e a m o u n t o f s c a t t e r e d p o w e r i s l i n e a r t o t h e i n c i d e n t l a s e r i n t e n s i t y

P

s c a t t e r e d

a @ A I . T h e a t t e n u a t i o n d I o f t h e i n t e n s i t y I o f t h e l a s e r i n t r u d i n g a c l o u d w i t h a d e n s i t y

d i s t r i b u t i o n n @ ~r A i s g i v e n b y

d I a @ A n @ ~r A I d x : ( 3 . 8 )

I n t e g r a t i o n a l o n g x g i v e s

O D @ y ; z A a @ A

I

I

n @ x

H

; y ; z A d x

H

: ( 3 . 9 )

T h e i n t e n s i t y a t t h e p o s i t i o n @ y ; z A i s t h e n I @ y ; z A a I

H

e

O D

. B y r e c o r d i n g t h e u n p e r t u r b e d i n t e n s i t y

d i s t r i b u t i o n I

H

@ y ; z A a n d t h e d i m i n i s h e d d i s t r i b u t i o n I @ y ; z A o n e c a n r e c o n s t r u c t t h e t w o - d i m e n s i o n a l

d e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e c l o u d w i t h

n @ y ; z A a

I

@ A

l n

I

H

@ y ; z A

I @ y ; z A

: ( 3 . 1 0 )

T h e s p o n t a n e o u s e m i t t e d l i g h t d o e s n o t c o n t r i b u t e t o t h e i m a g e s i n c e i t i s s c a t t e r e d i n t o t h e

c o m p l e t e s o l i d a n g l e a n d o n l y a v e r y s m a l l f r a c t i o n r e a c h e s t h e c h i p . T h e i n t e g r a t i o n o f n @ y ; z A

a l o n g y a n d z y i e l d s t h e t o t a l a t o m n u m b e r N . T o r e c o v e r t h e t h e f u l l t h r e e - d i m e n s i o n a l d e n s i t y

d i s t r i b u t i o n o n e h a s t o u s e t h e k n o w l e d g e o f t h e e x i s t i n g s y m m e t r i e s o f t h e a t o m i c s a m p l e s .

F o r l a r g e c o l u m n d e n s i t i e s i s t h e i n c i d e n t l i g h t a l m o s t b l a c k e n e d o u t . A t a n o p t i c a l d e n s i t y o f t h r e e

a l r e a d y 9 5 7 o f t h e i n i t i a l i n t e n s i t y i s l a c k i n g . I t d e p e n d s o n t h e d y n a m i c r a n g e o f t h e c a m e r a

a n d t h e n o i s e l e v e l i n t h e p i c t u r e s i f t h i s i n f o r m a t i o n i s s t i l l v a l u a b l e . I n o u r e x p e r i m e n t s t h e l i m i t

o f r e s o l u t i o n i s r e a c h e d a t a n o p t i c a l d e n s i t y o f a b o u t 3 . 5 , w h i c h i s d u e t o t h e r e m a n e n t n o i s e

l e v e l . T o c i r c u m v e n t t h i s p r o b l e m , t h e i m a g i n g f r e q u e n c y c a n b e s h i f t e d a w a y f r o m r e s o n a n c e a n d

t h e s a m p l e b e c o m e s m o r e t r a n s p a r e n t . H o w e v e r , t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n i s n o t u n i f o r m a n d t h e

t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e c l o u d a c t s a s a l e n s o n t h e i m a g i n g l i g h t a n d l e a d s t o d i s t o r t e d i m a g e s

[ 1 9 9 ] . A s e c u r e w a y t o r e d u c e t h e o p t i c a l d e n s i t y i s a l a r g e e x p a n s i o n t i m e o f t h e c o l d c l o u d , w h i c h

i s u s u a l l y t h e p r o c e d u r e i n o u r e x p e r i m e n t . A n o t h e r w a y t o i m a g e v e r y d e n s e c l o u d s i s t h e p h a s e

c o n t r a s t i m a g i n g m e t h o d , w h i c h a l s o m a k e s u s e o f t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e a t o m s [ 2 0 0 ] a n d i s

p l a n n e d t o b e i m p l e m e n t e d i n o u r s e t u p .

T h e d e p t h o f f o c u s o f t h e a b s o r p t i o n i m a g i n g s y s t e m i s g i v e n b y t h e R a y l e i g h r a n g e ( s e e e q u a t i o n

2 . 5 4 ) a n d i s i n o u r c a s e 5 5 m . S i n c e t h e i m a g i n g a x i s i s p a r a l l e l t o g r a v i t y t h e a t o m i c s a m p l e f a l l s

1 8

N T E / C C D D e t e c t o r , P r i n c e t o n I n s t r u m e n t s



Q F Q s m n m 4 5

d o w n w a r d s d u r i n g t h e f r e e e x p a n s i o n a n d t h e i m a g i n g s y s t e m h a s t o b e a d j u s t e d f o r e a c h t i m e o f

i g h t . F o r e x a m p l e t h e c l o u d d r o p s b y 4 . 4 m m f o r a t i m e o f i g h t o f 3 0 m s .

U s u a l l y w e a p p l y a b s o r p t i o n i m a g i n g o n l y t o a t o m i c c l o u d s , w h i c h w e r e a l r e a d y e v a p o r a t i v e l y c o o l e d

d o w n i n a m a g n e t i c t r a p ( s e e c h a p t e r 3 . 1 0 ) . T h e a t o m s a r e c a p t u r e d i n t h e F a P ; m

F

a P g r o u n d

s t a t e . T o i m a g i n g t h e a t o m s t h e y a r e r e l e a s e d f r o m t h e t r a p a n d a m a g n e t i c e l d o f a f e w G a u s s

i s a p p l i e d p a r a l l e l t o t h e r e s o n a n t b e a m t o d e n e a q u a n t i z a t i o n a x o s . O n e h a s t o a s s u r e t h a t

t h e a t o m s f o l l o w a d i a b a t i c a l l y t h e m a g n e t i c e l d , s o w e s w i t c h o n t h e q u a n t i z a t i o n e l d a l r e a d y

b e f o r e t h e y a r e r e l e a s e d f r o m t h e m a g n e t i c t r a p . T h e

C

p o l a r i z a t i o n o f t h e b e a m o n l y c o u p l e s

t h e g r o u n d s t a t e a t o m s t o t h e F

H

a Q ; m

H

F

a Q , w h i c h a l w a y s d e c a y s b a c k i n t o t h e i n i t i a l s t a t e

F a P ; m

F

a P . A n a d m i x t u r e o f p o l a r i z a t i o n w o u l d p u m p t h e a t o m s a w a y f r o m t h e c l o s e d c y c l e ,

a n d t h e s c a t t e r i n g r a t e w o u l d d r o p a c c o r d i n g t o t h e C l e b s c h - G o r d a n c o e c i e n t s . T h e e v a l u a t e d

a t o m n u m b e r i s t h e n u n d e r e s t i m a t e d .

I n a b s o r p t i o n i m a g i n g i t i s n o t n e c e s s a r y t o h a v e a n y r e p u m p i n g l i g h t p r e s e n t . F i r s t o f a l l t h e

p o l a r i z a t i o n h i n d e r s a n e x c i t a t i o n i n t o t h e F

H

a P s t a t e . B u t a n i t e c o n t r i b u t i o n o f l i g h t i s l i k e l y

t o b e p r e s e n t . A t s m a l l i n t e n s i t i e s e v e r y 8 0 0 0 c y c l e s a n a t o m s e n t e r s t h e F

H

a P s t a t e f r o m w h i c h

i t d e c a y s w i t h 5 0 7 p r o b a b i l i t y i n t o t h e F a I s t a t e . W i t h a n e x p o s u r e t i m e o f t y p i c a l l y 1 0 0 s

a b o u t 2 0 0 P h o t o n s a r e s c a t t e r e d o n t h e c y c l i n g t r a n s i t i o n a n d o n l y a n e g l i g i b l e f r a c t i o n o f a t o m s

g e t s p u m p e d a w a y .

3 . 3 . 3 T i m e o f i g h t e x p a n s i o n o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e

T h e t i m e o f i g h t m e t h o d i s m o s t l y a p p l i e d t o t h e a n a l y s i s o f B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s e d s a m p l e s .

I n s p i t e t o t h e r m a l c l o u d s i s t h e d o m i n a n t e e c t o n t h e e x p a n s i o n n o l o n g e r t h e t h e r m a l m o t i o n

o f t h e a t o m s b u t t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l , g i v e n b y t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e a t o m s ( s e e c h a p t e r

2 . 4 . 2 ) . T h i s i s v a l i d a s l o n g t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l i s l a r g e r t h a n t h e e n e r g y o f t h e l o w e s t e i g e n s t a t e

i n t h e t r a p a n d l a r g e r t h a n t h e t e m p e r a t u r e o f t h e s a m p l e . T h e f o l l o w i n g t r e a t m e n t f o l l o w s [ 2 0 1 ] .

T h e f o r c e o n a p a r t i c l e i n s i d e t h e c o n d e n s a t e i s

~

F @ ~ r ; t A a r

@ g n @ ~ r ; t A A ; ( 3 . 1 1 )

w h e r e t h e i n t e r a c t i o n p a r a m e t e r g a R ~

P

a = m w a s d e n e d i n c h a p t e r 2 . 4 . T h e s i m p l e s t a n s a t z i s

a s c a l i n g l a w f o r t h e T h o m a s - F e r m i r a d i i r

T F ; i

@ t A :

r

T F ; i

@ t A a

i

@ t A r

T F ; i

@ t a H A : ( 3 . 1 2 )

T h i s t a k e s a l r e a d y i n t o a c c o u n t , t h a t t h e p a r a b o l i c d e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e t r a p p e d c o n d e n s a t e

i s c o n s e r v e d . T h e c o n d e n s a t e s p r o d u c e d i n a c l o v e r l e a f t r a p a r e c i g a r - s h a p e d w i t h a n a s p e c t r a t i o

a !

z

= !

. W i t h r e - s c a l i n g t h e t i m e a s a !

t a n d u s i n g t h a t u s u a l l y (

I o n e g e t s i n l o w e s t

o r d e r i n f o r t h e t w o s c a l i n g f a c t o r s

@ A a

p

I C

P

z

@ A a I C

P

r t n

l n

p

I C

P

:

( 3 . 1 3 )

T h e e x p a n s i o n o f t h e c o n d e n s a t e c a n b e e x p r e s s e d w i t h t h e a s p e c t r a t i o

d

o f t h e T h o m a s - F e r m i

r a d i i w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t h e a t o m n u m b e r .




F i g u r e 3 . 1 0 : S n a p s h o t o f t h e c o m p u t e r c o n t r o l s o f t w a r e . M o r e d e t a i l s a r e g i v e n i n t h e t e x t .

d a

z

@ t A

@ t A

!

!

z

( 3 . 1 4 )

I t i s a l s o p o s s i b l e t o s o l v e t h e t h r e e c o u p l e d d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 3 . 1 1 ) n u m e r i c a l l y .

T h e d i s t i n c t e x p a n s i o n b e h a v i o r o f a B E C c o m p a r e d t o a t h e r m a l c l o u d c a n b e u s e d a s e v i d e n c e

f o r t h e s u c c e s s f u l p r o d u c t i o n o f a q u a n t u m d e g e n e r a t e B o s e g a s .

3 . 4 C o m p u t e r c o n t r o l

T h e c r e a t i o n o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e a n d e x p e r i m e n t s w i t h t h e m i s a p r o c e d u r e c o n s i s t i n g

o f m a n y s i n g l e s t e p s . A b o u t f t y d e v i c e s h a v e t o b e c o n t r o l l e d t i m e s e n s i t i v e . T h i s a r e n a m e l y

a c t i o n s l i k e o p e n i n g a n d c l o s i n g m e c h a n i c a l s h u t t e r s , a l t e r i n g f r e q u e n c i e s a n d i n t e n s i t i e s o f t h e

l a s e r s , t r i g g e r i n g c a m e r a s , c o n t r o l l i n g t h e m a g n e t i c e l d s a n d m a n y m o r e a c t i o n s w h i c h c a n n o t

b e t r e a t e d h e r e e n t i r e l y . A B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e i s t y p i c a l l y p r o d u c e d w i t h i n 4 5 s e c o n d s a n d

r e q u i r e s a s e q u e n c e o f m o r e t h a n t h i r t y s t e p s . I n p r i n c i p l e o n e m u s t b e a b l e t o v a r y e v e r y p a r a m e t e r ,

w h i c h f o r b i d s m o s t l y h a r d - w i r e d s o l u t i o n s . I n o u r e x p e r i m e n t t h e s e q u e n c e s a r e p r o g r a m m e d i n a n

g r a p h i c a l i n t e r f a c e

1 9

b a s e d o n L a b V i e w 7 ( N a t i o n a l I n s t r u m e n t s ) . E a c h w o r d i n t h e s e q u e n c e d e n e s

t h e s t a t e o f t h e e x p e r i m e n t f o r a c e r t a i n t i m e , u n t i l i t p r o c e e d s t o t h e n e x t w o r d . I t i s p o s s i b l e

t o u s e m a n y b a s i c p r o g r a m m i n g t o o l s , a s l o o p s , s u b r o u t i n e s , s t a t e d e p e n d e n t f u n c t i o n s a n d s i m i l a r

1 9

T h e p r o g r a m m i n g o f t h e i n t e r f a c e w a s d o n e b y R o l f H e i d e m a n n a n d J ö r g W e r n e r . M o r e d e t a i l s a b o u t t h e c o d i n g

c a n b e f o u n d i n [ 2 0 2 ]



Q F S e n n n d m o 4 7

e l e m e n t s . W i t h t h i s i t i s p o s s i b l e t o i m p l e m e n t e x p e r i m e n t a l s c a n s , w h i c h r u n i n d e p e n d e n t l y u p t o

s e v e r a l h o u r s .

T h e c o n t r o l p r o g r a m r u n s o n a n o r d i n a r y I B M - P C u n d e r W i n d o w s X P . T h e i n t e r f a c e t o t h e e x -

p e r i m e n t i s g i v e n b y o n e d i g i t a l P C I c a r d

2 0

a n d t w o a n a l o g P C I c a r d s

2 1

. A l l i n a l l w e h a v e 6 4

T T L - c h a n n e l s a n d e i g h t a n a l o g c h a n n e l s w i t h 1 2 b i t r e s o l u t i o n a n d e i g h t f u r t h e r a n a l o g c h a n n e l s

w i t h 1 6 b i t r e s o l u t i o n . T h e d i g i t a l c h a n n e l s a r e i s o l a t e d b y o p t o - c o u p l e r s a n d a t r a n s i s t o r c i r c u i t

f o r e a c h c h a n n e l a l l o w s u s t o d r i v e d e v i c e s w i t h 2 0 0 m A a t 5 0 . T h e a n a l o g s i g n a l s a r e a l l p i p e d

t h r o u g h a d i s c r i m i n a t o r t o v a r y t h e a m p l i c a t i o n o r t h e o s e t o f t h e o u t p u t v o l t a g e . T h e r e e x i s t s a

b u n c h o f e l e c t r o n i c c i r c u i t s f o r f u r t h e r p r o c e s s i n g o f t h e s i g n a l s , l i k e b a s i c l o g i c a l o p e r a t i o n s ( A N D ,

O R , X O R , N O T ) , m u l t i p l e x e r s t o g e n e r a t e w i t h o n e T T L s i g n a l t w o a r b i t r a r y v o l t a g e s a n d p u l s e

g e n e r a t o r s . T h e l a t t e r i s n e c e s s a r y s i n c e t h e t i m e r e s o l u t i o n o f t h e c o n t r o l p r o g r a m i s l i m i t e d t o

1 0 0 s . T h e p u l s e g e n e r a t o r s c a n c r e a t e T T L p u l s e s d o w n t o 2 0 n s . T o g e n e r a t e e v e n s h o r t e r

p u l s e s w e u s e s p e c i a l i z e d s i g n a l g e n e r a t o r s .

T h e c o n t r o l s o f t w a r e n o t o n l y t a k e s c a r e o f t h e p r o g r e s s i o n d u r i n g t h e e x p e r i m e n t , b u t a l s o s a v e s

a n y d e s i r e d p a r a m e t e r a n d t h e s e q u e n c e i t s e l f t o a l e a n d t a k e s c a r e o f t h e p a t h s , w h e r e t h e

p i c t u r e s h a v e t o b e r e c o r d e d . T h i s r e c o r d s a l s o s e r v e s a s a d d i t i o n a l d o c u m e n t a t i o n o f t h e c o n -

d u c t e d e x p e r i m e n t s . T h e c o n t r o l o f t h e c a m e r a s i s a l s o d o n e b y h o m e - m a d e L a b V i e w ( N a t i o n a l

I n s t r u m e n t s ) p r o g r a m s . O n a s e c o n d c o m p u t e r t h e a n a l y s i s o f a l l a c c u m u l a t e d d a t a c a n b e d o n e

s i m u l t a n e o u s l y t o t h e e x p e r i m e n t s . A l a r g e l i b r a r y

2 2

o f s e l f w r i t t e n M a t L a b ( M a t h W o r k s ) r o u t i n e s

a l l o w s u s t o c o m b i n e t h e r e c o r d e d p i c t u r e s ( o r a n y o t h e r s i g n a l ) w i t h t h e d a t a e x p o r t e d f r o m t h e

c o n t r o l p r o g r a m a n d t o d o a n y w i s h e d a n a l y s i s i n r e a l t i m e .

3 . 5 A n i n t e n s e R u b i d i u m s o u r c e

T h e r e e x i s t s a w i d e r a n g e o f a t o m i c s o u r c e s t o l o a d e c i e n t l y m a g n e t o - o p t i c a l t r a p s ( M O T ) .

M o s t c o m m o n i n p r e s e n t B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n s e t u p s a r e d o u b l e - M O T s y s t e m s [ 2 0 3 , 2 0 4 ] ,

t w o - d i m e n s i o n a l M O T s [ 2 0 5 , 2 0 6 ] , d i s p e n s e r s [ 1 8 9 , 2 0 7 ] a n d e u s i v e c e l l s i n c o m b i n a t i o n w i t h

a Z e e m a n - s l o w e r [ 2 0 8 ] . T h e l a t t e r d e l i v e r s c o m p a r e d t o a l l o t h e r s o u r c e s t h e h i g h e s t u x o f

c o l d a t o m s a n d i s a l s o u s e d i n o u r s e t u p . A n o t h e r a d v a n t a g e o f t h e Z e e m a n s l o w i n g t e c h n i q u e

i s t h e l i t t l e a m o u n t o f c o o l i n g l i g h t n e e d e d a n d t h e r a t h e r s i m p l e a d j u s t m e n t o f j u s t o n e o p t i c a l

a x i s . D i s a d v a n t a g e o u s i s t h e n e c e s s i t y o f e l a b o r a t e m a g n e t i c e l d d i s t r i b u t i o n s , w h i c h h a v e t o b e

m a n u f a c t u r e d v e r y c a r e f u l l y , a n d i t s r a t h e r b u l k y l a y o u t . H o w e v e r , t h e e l o n g a t e d t u b i n g o f t h e

Z e e m a n - s l o w e r s e r v e s a s a n a d d i t i o n a l d i e r e n t i a l p u m p i n g s t a g e b e t w e e n t h e o v e n a n d t h e m a i n

c h a m b e r a n d i m p r o v e s b y t h i s t h e q u a l i t y o f t h e u l t r a - h i g h v a c u u m .

T h e o v e n i n o u r e x p e r i m e n t i s u s u a l l y h e a t e d u p t o 1 6 0

C w h i c h c o r r e s p o n d s t o a v a p o r p r e s s u r e

o f V ¡

I H

Q

m b a r . T h e n o z z l e o f t h e o v e n i s s i m p l y a c i r c u l a r a p e r t u r e w i t h 4 m m i n d i a m e t e r . T o

s p e a k o f a n e u s i v e o v e n i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e m e a n f r e e p a t h o f t h e p a r t i c l e s i s l a r g e r t h a n t h e

w a l l t h i c k n e s s o f t h e o r i c e . O n e c a n e s t i m a t e t h e c r o s s s e c t i o n o f a n y a t o m w i t h t h e M a s s e y - M o h r

f o r m u l a [ 2 0 9 ] ( g i v e n i n a t o m i c u n i t s )

a V : H V Q

C

T

~

v

r

P = S

; ( 3 . 1 5 )

2 0

D I O - 6 4 , V i e w p o i n t S y s t e m s

2 1

P C I N I 6 7 3 3 a n d P C I N I 6 7 1 3 , N a t i o n a l I n s t r u m e n t s

2 2

M o s t o f t h e p r o c e d u r e s f o r d a t a a n a l y s i s w e r e w r i t t e n b y P i e t S c h m i d t [ 1 6 6 ] .




0 10-10 -5 5

Position [mm]

F l u x

[ a . u . ]

Slower

Diff. pump

Cooled Shield

Oven

Main chamber

1433mm

2 8 m m

F i g u r e 3 . 1 1 : F l u x d i s t r i b u t i o n o f t h e e u s i v e b e a m . T h e g u r e o n t h e l e f t s i d e d e p i c t s a h o r i z o n t a l l y

c o m p r e s s e d v i e w o f t h e v a c u u m c h a m b e r i n c l u d i n g a l l a p e r t u r e s . T h e c o l o r c o d i n g r e e c t s t h e u x p e r

u n i t a r e a a n d t i m e . T h e r e d a r e a i s t h e f r a c t i o n o f t h e u n p e r t u r b e d u x a s g i v e n i n e q u a t i o n ( 3 . 1 6 ) . T h e

o r a n g e p a r t i s a l r e a d y d i m i n i s h e d b y t h e e n d a p e r t u r e o f t h e Z e e m a n - s l o w e r a n d t h e y e l l o w b y t h e e n d o f t h e

d i e r e n t i a l p u m p i n g t u b e . T h e g r a p h o n t h e r i g h t s i d e s h o w s t h e t r u n c a t e d i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n r a d i a l

d i r e c t i o n a t t h e c e n t e r o f t h e m a i n c h a m b e r .

w h e r e C

T

a R R P T a : u : i s t h e C

T

- c o e c i e n t f o r R u b i d i u m [ 2 1 0 , 2 1 1 ] a l s o g i v e n i n a t o m i c u n i t s

a n d v

r

t h e r e l a t i v e v e l o c i t y o f t h e t w o c o l l i d i n g p a r t i c l e s i n t h e c e n t e r o f m a s s f r a m e . W i t h a n o v e n

t e m p e r a t u r e o f 1 6 0

C t h e m e a n f r e e p a t h i s a b o u t 3 0 0 m a n d t h e r e f o r e c o m p a r a b l e w i t h t h e

w a l l t h i c k n e s s o f 1 m m , h e n c e w e a s s u m e o u r s o u r c e t o b e e u s i v e [ 2 1 2 ] .

T h e u x d ̈

H

o f a t o m s p e r s e c o n d e m i t t e d i n t o a s o l i d a n g l e d i s g i v e n b y [ 2 1 3 ]

d ̈

H

a

P

m k

b

T

P

o v e n

V

p @ T A o s d ; ( 3 . 1 6 )

w h e r e

= 4 m m i s t h e d i a m e t e r o f t h e n o z z l e , p @ T A t h e v a p o r p r e s s u r e o f R u b i d i u m ( s e e e q u a t i o n

A . 1 ) a n d t h e a n g l e w i t h r e s p e c t t o t h e n o r m a l o f t h e a p e r t u r e a r e a .

T o o b t a i n t h e t o t a l u x ̈

H

l e a v i n g t h e o v e n w i t h i n t h e f u l l c o s i n e d i s t r i b u t i o n , o n e h a s t o i n t e g r a t e

o v e r d

̈

H

a

P

m k

B

T

P

o v e n

V

p @ T A : ( 3 . 1 7 )

.

A t 1 6 0

C t h e t o t a l u x o f a t o m s l e a v i n g t h e o r i c e i s I : R ¡

I H

I U

a t o m s / s . B u t a s m a l l f r a c t i o n

t h e i n t e g r a t e d u x r e a c h e s t h e c e n t e r o f t h e m a i n v a c u u m c h a m b e r , w h e r e t h e m a g n e t o - o p t i c a l

t r a p i s l o c a t e d . F i g u r e 3 . 1 1 d e p i c t s t h e g e o m e t r i c s i t u a t i o n . T h e a t o m i c b e a m i s t r i m m e d b y t w o

a p e r t u r e s , t h e e x i t a r e a o f t h e d i e r e n t i a l p u m p i n g t u b e a n d t h e e n d o f t h e Z e e m a n - s l o w e r . A t o m s

w h i c h h i t a n y p a r t o f t h e v a c u u m c h a m b e r s t i c k t o t h e w a l l a n d a r e t h e r e f o r e l o s t f r o m t h e b e a m .

W i t h o u t a n y a p e r t u r e s t h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n i s c o n s t a n t o v e r t h e s m a l l o r i e n t a t i o n a l c h a n g e s

o f d . T o o b t a i n t h e r e a l i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n ( u x p e r u n i t a r e a ) o n e h a s t o w e i g h t e q u a t i o n

( 3 . 1 6 ) w i t h a w e i g h t f u n c t i o n a s d e p i c t e d i n g u r e 3 . 1 1 . T h i s f u n c t i o n w a s d e t e r m i n e d s t r a i g h t

f o r w a r d b y a g e o m e t r i c t r e a t m e n t [ 2 1 3 ] . T h e c e n t r a l p a r t o f t h e b e a m i s n o t a e c t e d b y t h e

a p e r t u r e s a n d s t a y s u n a l t e r e d . T h e r e e x i s t s a n a r e a w h i c h c a n n o t b e r e a c h e d g e o m e t r i c a l l y b y a n y

a t o m a n d t h e i n t e n s i t y i s s e t t o z e r o . T h e r e g i o n i n b e t w e e n i s a p e n u m b r a i n w h i c h t h e i n t e n s i t y

d e c r e a s e s l i n e a r l y . T h e i n t e g r a t i o n o f t h e d i e r e n t i a l u x i n c l u d i n g t h e w e i g h t f u n c t i o n a t a n o v e n

t e m p e r a t u r e o f 1 6 0

C g i v e s a t o t a l u x i n t o t h e M O T - a r e a o f P : U

¡

I H

I P

a t o m s / s . T h i s i n c l u d e s

b o t h R u b i d i u m i s o t o p e s .



Q F T m n l o 4 9

T h e l o n g i t u d i n a l v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e e m i t t e d a t o m s f o l l o w s a m o d i e d M a x w e l l - B o l t z m a n n

d i s t r i b u t i o n [ 2 1 3 ]

f @ v A a

P

v

Q

e

v

P

P

; ( 3 . 1 8 )

w i t h a

P k

B

T = m . T h e m e a n v e l o c i t y i s g i v e n b y v a

V k

B

T = @ m A a n d i s a t 1 6 0

C 3 2 5 m / s .

T h e r a d i a l v e l o c i t y i s l i m i t e d b y t h e a p e r t u r e s f o r a p a r t i c l e w i t h a m e a n v e l o c i t y o f 3 2 5 m / s t o a

m a x i m u m v a l u e o f 2 . 6 m / s .

3 . 6 T h e Z e e m a n s l o w e r

A m a g n e t o - o p t i c a l t r a p ( M O T ) i s u n f o r t u n a t e l y n o t a b l e t o c a t c h m o s t o f t h e a t o m s o f a t h e r m a l

b e a m e m i t t e d b y a n e u s i v e o v e n . T h e c a p t u r e r a n g e o f a M O T o f a b o u t 3 0 m / s i s t e n t i m e s

s m a l l e r t h a n t h e m e a n v e l o c i t y o f t h e a t o m i c b e a m l e a v i n g a n e u s i v e o v e n a t 1 6 0

C . H o w e v e r ,

t h e t h e r m a l a t o m s c a n b e s l o w e d d o w n b y s c a t t e r i n g r e s o n a n t p h o t o n s f r o m a c o u n t e r - p r o p a g a t i n g

l a s e r b e a m . W i t h e a c h p h o t o n a b s o r b e d , t h e m o m e n t u m o f t h e a t o m i s r e d u c e d i n a v e r a g e b y

~

k . T h e r e c o i l v e l o c i t y p e r a b s o r p t i o n i s 5 . 8 8 m m / s a n d a s s u m i n g a n i n i t i a l v e l o c i t y o f 3 0 0 m / s

a n a t o m h a s t o s c a t t e r r o u g h l y S ¡ I H

R

p h o t o n s t o b r i n g i t t o a h a l t . I n c l u d i n g t h e m a x i m u m

s c a t t e r i n g r a t e = P ( s e e t a b l e A . 2 ) t h e a t o m s c o m e t o r e s t w i t h i n 3 m s . T h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n

a

m a x

a I : I ¡ I H

S

m / s

P

r e d u c e s t h e m i n i m u m l e n g t h o f t h e s l o w e r t o l e s s t h a n h a l f a m e t e r . T h e

d o w n s i d e o f t h e l o n g i t u d i n a l s l o w i n g i s a r a d i a l i n c r e a s e o f m o m e n t u m b y s p o n t a n e o u s l y e m i t t e d

p h o t o n s . A l t h o u g h t h e c e n t e r o f m a s s o f a l l e m i t t e d p h o t o n s a d d u p t o z e r o , r e m a i n s a c o n t r i b u t i o n

o f t h e m e a n s q u a r e d e v i a t i o n , w h i c h s c a l e s w i t h t h e s q u a r e r o o t o f n u m b e r o f s c a t t e r e d p h o t o n s .

F o r t h e p a r a m e t e r s g i v e n a b o v e t h e i n c r e a s e o f t h e r a d i a l v e l o c i t y i s a b o u t 1 . 3 m / s .

T h e t e c h n i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f s u c h a s l o w i n g m e t h o d i s t h e Z e e m a n - s l o w i n g t e c h n i q u e [ 2 1 4 ] .

T h e a l t e r i n g D o p p l e r s h i f t o f t h e a t o m s d u r i n g d e c e l e r a t i o n i s c o m p e n s a t e d b y s u i t a b l e m a g n e t i c

e l d s t o k e e p t h e m i n r e s o n a n c e b y t h e Z e e m a n s h i f t . A m u c h m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e

Z e e m a n - s l o w i n g t e c h n i q u e t h a n g i v e n h e r e , c a n b e f o u n d i n [ 2 1 5 ] .

T h e n e c e s s a r y s l o w e r l e n g t h t o s t o p R u b i d i u m a t o m s w i t h a n i n i t i a l v e l o c i t y o f 3 0 5 m / s i s 0 . 4 2 2 m .

I n o u r a c t u a l s l o w e r d e s i g n t h i s l e n g t h w a s d o u b l e d t o b e 0 . 8 5 0 m t o e n s u r e r o b u s t o p e r a t i o n . B y

t h i s , i r r e g u l a r i t i e s i n t h e m a g n e t i c e l d a n d s c a t t e r i n g r a t e s b e l o w = P c a n b e c o r r e c t e d .

A s t h e a t o m s a r e s l o w e d d o w n , t h e r e d u c e d D o p p l e r s h i f t h a s t o b e c o m p e n s a t e d w i t h a s p a t i a l

d e p e n d e n t m a g n e t i c e l d a p p r o p r i a t e t o t h e v e l o c i t i e s o f t h e a t o m s . T h e r e a r e t w o w a y s t o c o m p e n -

s a t e t h e D o p p l e r s h i f t , r s t u s i n g t h e j

F a P ; m

F

a

P i 3 j

F

H

a Q ; m

H

F

a

Q i

c y c l i n g t r a n s i t i o n

w i t h a d e c r e a s i n g m a g n e t i c e l d f o r s l o w e r a t o m s o r t h e j

F a P ; m

F

a P i 3 j

F

H

a Q ; m

H

F

a Q i

w i t h

a n i n c r e a s i n g m a g n e t i c e l d . T h e l a t t e r h a s t h e a d v a n t a g e t h a t t h e l a r g e m a g n e t i c e l d a t t h e e n d

o f t h e s l o w e r f o r t h e s t o p p e d a t o m s r e s u l t s i n a l a r g e d e t u n i n g o f t h e

C

p o l a r i z e d c o o l i n g l i g h t

a n d i s n o t d i s t u r b i n g t h e M O T w h e n i t p a s s e s t h r o u g h i t . O n e c a n t a k e a d v a n t a g e o f t h i s e e c t

b y e v e n e n l a r g i n g t h i s d e t u n i n g w i t h a n a d d i t i o n a l m a g n e t i c o s e t e l d . T h e d i s a d v a n t a g e o f t h i s

m e t h o d i s a n a d d i t i o n a l m a g n e t i c e l d a t t h e p o s i t i o n o f t h e M O T , w h i c h h a s t o b e c o m p e n s a t e d

b y s o m e e x t r a c o i l s .

T o d e t e r m i n e t h e g e o m e t r y o f t h e a c t u a l s l o w e r d e s i g n a n d t h e r e q u i r e d m a g n e t i c e l d d i s t r i b u t i o n s

w e s t a r t w i t h t h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n a c t i n g o n t h e a t o m s

a a

~

k

P m

; ( 3 . 1 9 )




600

500

400

300

200

100

0

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

2

0

-2

B [ G ]

z[m]

DB[G]

250 200 150 100 50 0

F i g u r e 3 . 1 2 : W i n d i n g p l a n o f t h e Z e e m a n - s l o w e r a n d t h e r e s u l t i n g m a g n e t i c e l d . I n t h e u p p e r p a r t o f t h e

g u r e t h e w i n d i n g s a r e d i s p l a y e d b y t h e l l e d c i r c l e s . T h e v e r t i c a l l i n e s g i v e t h e n u m b e r o f r o w s w h e r e a

w i n d i n g h a s t o b e l o c a t e d . T h e c o l o r s i n d i c a t e t h e a p p l i e d c u r r e n t s . G r e e n 2 0 A , b l u e 1 5 A , r e d 1 0 0 A , y e l l o w

- 5 . 7 A a n d o r a n g e 5 . 7 A . T h e r e d c u r v e i n t h e l o w e r g r a p h i s t h e d e s i r e d c o u r s e o f t h e m a g n e t i c e l d . T h e

b r o w n c u r v e i s c a l c u l a t e d w i t h t h e w i n d i n g p l a n a n d t h e g i v e n c u r r e n t s . T h e b l u e c u r v e i s a m e a s u r e m e n t o f

t h e a c t u a l s l o w e r a n d t h e g r e e n c u r v e g i v e s t h e d e v i a t i o n f r o m t h e t h e o r e t i c a l ( b r o w n ) r e s u l t .

w h i c h i s v a l i d f o r l a r g e i n t e n s i t i e s . A n a t o m s t a r t i n g f r o m t h e o v e n w i t h a v e l o c i t y v

H

w i l l b e

d e c e l e r a t e d a s

v @ z A a

v

P

H

P a z : ( 3 . 2 0 )

T h e l e n g t h o f t h e s l o w e r i s t h e r e f o r e L a @ v

P

H

v

P

e n d

A = P a . T h e m a g n e t i c e l d s h i f t s t h e a t o m i c

t r a n s i t i o n a s

a @ m

H

F

g

H

F

m

F

g

F

A

B

B

z

= ~

; ( 3 . 2 1 )

a s s u m i n g t h a t t h e r e i s o n l y a m a g n e t i c e l d a l o n g t h e z - d i r e c t i o n p r e s e n t . F o r a n y s t r e t c h e d

t r a n s i t i o n , a s w e u s e i t h e r e , b e c o m e s t h e d e t u n i n g a

B

B

z

= ~

. P u t t i n g e v e r y t h i n g t o g e t h e r t h e

p r o g r e s s i o n o f t h e m a g n e t i c e l d h a s t o b e

B @ z A a

~

B

k v

H

C k

v

P

H

P a z

C B

H

; ( 3 . 2 2 )



Q F T m n l o 5 1

w h e r e B

H

i s t h e a d d i t i o n a l c o n s t a n t m a g n e t i c e l d a l o n g t h e z - d i r e c t i o n .

O f i n t e r e s t i s n a l l y o n l y t h e l o a d i n g r a t e o f Z e e m a n s l o w e d a t o m s i n t o t h e M O T . F o r t h i s t h e

a t o m s h a v e t o b e a t r s t s l o w e n o u g h t o b e i n t h e c a p t u r e r a n g e o f t h e M O T . B u t t h e y a l s o h a v e

t o b e s p a t i a l l y i n s i d e t h e c a p t u r e r a d i u s o f t h e M O T w h i c h i s o n t h e o r d e r o f a f e w c e n t i m e t e r s .

T h e r e a r e i n p r i n c i p a l t h r e e s p a t i a l b r o a d e n i n g m e c h a n i s m s w h i c h h a v e t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t .

F i r s t o f a l l w e h a v e s e e n i n c h a p t e r 3 . 1 . 1 t h a t t h e r e i s a p r i n c i p a l b r o a d e n i n g o f t h e h o t a t o m b e a m

d u e t o t h e g e o m e t r i c a l c o n s t r a i n t s o f t h e a p e r t u r e s ( s e e g u r e 3 . 1 1 ) . T h i s r a d i a l d i s t r i b u t i o n i s

a d d i t i o n a l l y b r o a d e n e d b y t h e i n c r e a s e d t i m e o f i g h t t i m e o f t h e s l o w e d a t o m s . T h e r a d i a l h e a t i n g

b y t h e s p o n t a n e o u s e m i t t e d p h o t o n s h a s t o b e a d d e d t o t h e r a d i a l t e m p e r a t u r e b y g e o m e t r i c a l

c o n s t r a i n t s . T h e t r a n s v e r s a l v e l o c i t y d u e t o h e a t i n g a t t h e e n d o f t h e s l o w e r i s g i v e n b y

v

a

~

k

m

p

n : ( 3 . 2 3 )

T h e n u m b e r n o f s c a t t e r e d p h o t o n s i s n a m @ v

i

v

f

A = ~

k w i t h v

i

t h e i n i t i a l v e l o c i t y a n d v

f

t h e n a l

v e l o c i t y . F o r a n a t o m s t a r t i n g w i t h 3 0 0 m / s a n d d e c e l e r a t i n g i t d o w n t o s t a n d s t i l l , t h e t r a n s v e r s a l

v e l o c i t y c a l c u l a t e s v

a I : Q m / s . A d d i n g t h e r a d i a l v e l o c i t y o f 2 . 6 m / s f r o m g e o m e t r i c a l c o n s t r a i n t s

w i t h t h e r a d i a l h e a t i n g i n q u a d r a t u r e , t h e t r a n s v e r s a l v e l o c i t y i s a p p r o x i m a t e l y 2 . 9 m / s . M o r e d e t a i l s

o f t h i s a d d i t i o n a l b r o a d e n i n g e e c t s c a n b e f o u n d i n [ 2 1 5 ] .

T h e r e a r e t w o l a s e r f r e q u e n c i e s r e q u i r e d t o o p e r a t e t h e Z e e m a n - s l o w e r . B e s i d e s t h e c o o l i n g l a s e r

o n e h a s t o i n c l u d e a r e p u m p i n g l a s e r , w h i c h t r a n s f e r s a t o m s f r o m t h e F a I s t a t e i n t o t h e F a P

g r o u n d s t a t e . T h e r e p u m p e r i s t u n e d t o t h e F a I 3

F

H

a P t r a n s i t i o n f r o m w h i c h t h e a t o m s c a n

d e c a y i n t o t h e F = 2 s t a t e . S i n c e t h e L a n d é f a c t o r f o r F a I ( g

F a I

a

I = P ) d i e r s f r o m F a P

( g

F a I

a I = P ) i t i s n o t p o s s i b l e t o k e e p t h e r e p u m p i n g l a s e r i n r e s o n a n c e o v e r t h e f u l l l e n g t h o f t h e

s l o w e r . S o i t i s b e s t t o t u n e t h e r e p u m p e r s u c h , t h a t t h e a t o m s l e a v i n g t h e o v e n a r e a s s o o n a s

p o s s i b l e t r a n s f e r r e d i n t o t h e F a P s t a t e . I t i s a l s o a d v a n t a g e o u s t o h a v e t h e s a m e p o l a r i z a t i o n f o r

t h e r e p u m p i n g l a s e r a n d t h e c o o l i n g l a s e r , b e c a u s e t h i s t r a n s f e r s t h e e q u a l l y o c c u p i e d m

F

s t a t e s

t o w a r d s t h e d e s i r e d m

F

a P s t a t e . I n s i d e t h e s l o w e r t h e a t o m s s t a y m o s t l i k e l y w i t h i n t h e c y c l i n g

t r a n s i t i o n , e v e n w i t h a n i m p e r f e c t c i r c u l a r p o l a r i z a t i o n o f t h e c o o l i n g b e a m . T h e d i e r i n g Z e e m a n -

s h i f t s f o r - t r a n s i t i o n s ( o r e v e n l a r g e r s h i f t s f o r

) r e d u c e s t h e p u m p i n g i n t o w r o n g s t a t e s . T a b l e

3 . 2 s u m m a r i z e s t h e e x p e r i m e n t a l s p e c i c a t i o n s o f o u r Z e e m a n - s l o w e r .

L e n g t h 0 . 8 5 0 m

M a x i m u m c a p t u r e v e l o c i t y 3 0 5 m / s

O s e t e l d 1 5 0 G

F i e l d a t s l o w e r e n d 4 2 8 G

T o t a l d e t u n i n g o f c o o l i n g l a s e r 5 9 9 M H z

D e t u n i n g d u e t o D o p p l e r s h i f t 3 8 9 M H z

D e t u n i n g d u e t o o s e t e l d 2 1 0 M H z

T a b l e 3 . 2 : P r o p e r t i e s o f t h e Z e e m a n - s l o w e r .

F i n a l l y t h e l o a d i n g r a t e R o f t h e m a g n e t o - o p t i c a l t r a p s h a l l b e e s t i m a t e d .

R a

I

P

Q

̈ : ( 3 . 2 4 )




T h e i n i t i a l u x ̈ r e a c h i n g t h e r e g i o n o f t h e m a g n e t o o p t i c a l t r a p ( M O T ) i s r e d u c e d b y s e v e r a l

c o n s t r a i n t s . F i r s t o f a l l

I

a H : P V ( s e e c h a p t e r A . 1 ) t a k e s c a r e o f t h e n a t u r a l a b u n d a n c e o f

V U

R b .

T h e n e x t f a c t o r a c c o u n t s f o r t h e c a p t u r e r a n g e o f t h e Z e e m a n - s l o w e r w h i c h w a s d e s i g n e d t o b e

a t 3 0 5 m / s . F o r a n o v e n t e m p e r a t u r e o f 1 6 0

C o n e c a n c a l c u l a t e t h e r e d u c e d u x w i t h e q u a t i o n

( 3 . 1 8 ) t o

P

a H : Q H W . T h e l a s t f a c t o r

Q

i s t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e n i t e s p a t i a l c a p t u r e r a n g e

o f t h e M O T . S i n c e t h i s l a s t f a c t o r d e p e n d s o n t h e s i z e o f t h e l a s e r b e a m s , t h e m a g n e t i c e l d

g r a d i e n t s o f t h e M O T a n d t h e d e t a i l e d r a d i a l u x d i s t r i b u t i o n o f t h e Z e e m a n - s l o w e d a t o m s , i s i t

d i c u l t t o g i v e a n e x a c t v a l u e . A r e a s o n a b l e e l a b o r a t e e s t i m a t i o n f o l l o w i n g [ 1 9 2 ] g i v e s

Q

a H : P .

W i t h a n i n i t i a l u x o f ¨ a P : U ¡

I H

I P

a t o m s / s a t 1 6 0

C i s t h e e x p e c t e d l o a d i n g r a t e o f t h e M O T

R a R : U ¡ I H

I H

a t o m s / s .

3 . 7 M a g n e t o - o p t i c a l t r a p a n d m o l a s s e s c o o l i n g

T h i s c h a p t e r p r e s e n t s t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f t h e d i e r e n t l a s e r c o o l i n g s t e p s . S i n c e t h e r s t

r e a l i z a t i o n o f a m a g n e t o - o p t i c a l t r a p ( M O T ) i n 1 9 8 7 [ 1 3 2 ] s e v e r a l h u n d r e d a r t i c l e s d e a l i n g w i t h a l l

k i n d o f a s p e c t s o f l a s e r c o o l i n g h a v e b e e n p u b l i s h e d t i l l t o d a y . T h e p h y s i c s o f M O T s w i t h n o t a t o o

l a r g e a t o m n u m b e r i s u n d e r s t o o d v e r y w e l l [ 8 1 , 8 2 , 8 3 , 2 1 6 ] . B u t w i t h a n i n c r e a s i n g a t o m n u m b e r

t h e c o m p l e x i t y o f i n t e r a c t i o n s r a i s e s a n d o n l y p h e n o m e n o l o g i c a l m o d e l s [ 2 1 7 , 1 3 6 ] a r e a v a i l a b l e .

F o r e v e n l a r g e r n u m b e r s o f t r a p p e d a t o m s , a s w e r e a l i z e d i t i n o u r s e t u p , n o t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n

i s a v a i l a b l e a t a l l .

3 . 7 . 1 M a g n e t o - o p t i c a l t r a p

T h e c o l d a t o m i c b e a m , d e s c r i b e d i n t h e c h a p t e r b e f o r e , i s n o w u s e d t o l o a d a M O T . T h e M O T

o p e r a t e s w i t h t h r e e o r t h o g o n a l p a i r s o f c o u n t e r - p r o p a g a t i n g c i r c u l a r p o l a r i z e d l a s e r b e a m s a n d a

m a g n e t i c q u a d r u p o l e e l d ( s e e c h a p t e r 2 . 1 . 2 ) . T h e l a s e r b e a m s e n t e r r a d i a l l y t h e v a c u u m c h a m b e r

a t t h e p o r t s 2 , 5 , 8 a n d 1 1 a n d a x i a l l y t h r o u g h p o r t s 1 8 a s d e n e d i n g u r e 3 . 2 . T h e r e i s a t o t a l

p o w e r o f 3 0 0 m W c o o l i n g l i g h t a v a i l a b l e , w h i c h i s d e t u n e d t o t h e r e d b y a b o u t 2 . 5 f r o m t h e

F a P t o F

H

a Q t r a n s i t i o n . T h e b e a m s i z e o f t h e r a d i a l b e a m s i s r o u g h l y ( 1 / e

P

r a d i u s ) 2 . 5 c m a n d

a x i a l l y , l i m i t e d b y t h e s i z e o f t h e v i e w p o r t , a b o u t 1 . 2 c m . T h e m e a s u r e d i n t e n s i t i e s i n t h e c e n t e r

o f e a c h r a d i a l b e a m a r e a b o u t 8 s a t u r a t i o n i n t e n s i t i e s ( I

s a t

= 1 . 6 W / m

P

) a n d a x i a l l y 2 3 s a t u r a t i o n

i n t e n s i t i e s .

I n a d d i t i o n t o t h e c o o l i n g l i g h t t h e r e p u m p i n g l i g h t i s o v e r l a p p e d i n t w o a x e s o f t h e r a d i a l p o r t s .

T h e r e p u m p e r r e t u r n s t h e a t o m s v i a t h e F a I t o F

H

a P t r a n s i t i o n , f r o m w h i c h t h e y d e c a y w i t h

a 5 0 7 p r o b a b i l i t y i n t o t h e F a P g r o u n d s t a t e , b a c k i n t o t h e c o o l i n g c y c l e . T h e t o t a l a v a i l a b l e

r e p u m p i n g p o w e r f o r t h e M O T i s 4 0 m W .

T h e m a g n e t i c q u a d r u p o l e e l d i s g e n e r a t e d b y t w o c o i l s i n a n t i - H e l m h o l t z c o n g u r a t i o n ( s e e s e c t i o n

3 . 9 ) . A c u r r e n t o f 1 7 . 5 A i n e a c h c o i l r e s u l t s i n a n a x i a l g r a d i e n t o f 1 7 G / c m a n d r a d i a l l y o f

8 . 5 G / c m .

I t i s p r e f e r a b l e t o h a v e a l a r g e a t o m n u m b e r i n t h e M O T b e c a u s e i t e a s e s t h e s u c c e e d i n g e v a p o r a t i v e

c o o l i n g . I n g u r e 3 . 1 3 s o m e p r o p e r t i e s o f t h e M O T a r e d e p i c t e d . T h e o v e n t e m p e r a t u r e w a s s e t

t o 1 6 0

C . W e a r e a b l e t o l o a d t h e M O T w i t h w e l l m o r e t h a n 1 0

I H

a t o m s , w h i c h i s o n t h e l a r g e

s i d e o f a l l r e p o r t e d M O T s . T h e l a r g e s t r e p o r t e d a t o m n u m b e r o f T ¡ I H

I H

a t o m s i n a M O T h a s

b e e n a c h i e v e d b y [ 1 7 9 ] . T h e l o a d i n g c u r v e w a s t t e d t o t h e s o l u t i o n o f s i m p l e r a t e e q u a t i o n

N a R

M O T

N w i t h a n a t o m n u m b e r N i n t h e M O T . T h e m e a s u r e d l o a d i n g r a t e i n t o t h e M O T



Q F U w n o E o l n d m o l o o l n 5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

1

2

3

4

Atom number [10 ]

T e m p e r a t u r e [ m

K ]

10

1

2

3

4

5

D e n s i t y

[ 1 0

m

]

0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Loading time [s]

10-10

10-9

10-8

10-7

P h a s e s p a c e d e n s i t y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Atom number [10 ]10

1 6

- 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Atom number [10 ]

10

A t o m

n u m b e r

[ 1 0

] 1 0

F i g u r e 3 . 1 3 : M e a u s e r e d p r o p e r t i e s o f t h e m a g n e t o - o p t i c a l t r a p . U p p e r l e f t : L o a d i n g o f t h e M O T . T h e s o l i d

l i n e i s a s i m p l e m o d e l d i s c u s s e d i n t h e t e x t . U p p e r r i g h t : T e m p e r a t u r e o f t h e M O T v e r s u s a t o m n u m b e r i n

t h e M O T . L o w e r l e f t : P e a k d e n s i t y i n t h e M O T v e r u s a t o m n u m b e r . L o w e r l e f t : P e a k p h a s e s p a c e d e n s i t y

v e r s u s a t o m n u m b e r .

i s R a I : Q ¡

I H

W

a t o m s / s a n d t h e l o s s r a t e i s

M O T

a H : I 1 / s . T h e a p p e n d a n t c u r v e i s p l o t t e d i n

t h e u p p e r l e f t o f g u r e 3 . 1 3 . T h e m e a s u r e d l o a d i n g r a t e i s b y m o r e t h a n a n o r d e r o f m a g n i t u d e

l o w e r t h a n t h e e x p e c t e d R a R : U ¡

I H

I H

a t o m s / s g i v e n i n c h a p t e r 3 . 6 . T h e m a j o r f o r f e i t o f u x

i s p r o b a b l y d u e t o a s l i g h t m i s a l i g n m e n t o f t h e o v e n n o z z l e , t h e d i e r e n t i a l p u m p i n g t u b e a n d t h e

Z e e m a n - s l o w i n g t u b e , w h i c h c l i p s a p a r t o f t h e t h e r m a l b e a m l e a v i n g t h e o v e n .

T h e a d v a n t a g e o f a l a r g e a t o m n u m b e r i n t h e M O T c o m e s a l o n g w i t h a t e m p e r a t u r e i n c r e a s e u p

t o s e v e r a l m i l l i - K e l v i n a n d a d i s t i n c t l o s s i n d e n s i t y . B o t h r e d u c e s t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y b y n e a r l y

t h r e e o r d e r s o f m a g n i t u d e . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h e l a r g e o p t i c a l d e n s i t y o f t h e c l o u d , s u c h t h a t

t h e c o o l i n g l i g h t c a n n o t r e a c h a n y m o r e t h e i n n e r l y i n g a t o m s . T h i s a l s o l e a d s t o m u l t i p l e s c a t t e r i n g

o f l i g h t i n s i d e t h e c l o u d ( r a d i a t i o n t r a p p i n g ) a n d b y t h i s t o h e a t i n g . T h e h i g h t e m p e r a t u r e i s n o t a

p r o b l e m , a s t h e s a m p l e c a n b e s h o c k - f r o s t e d b y m o l a s s e s c o o l i n g a s s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n . T h e

d e n s i t y c o u l d a l s o b e i n c r e a s e d , b y c o m p r e s s i n g t h e M O T v i a r i s i n g t h e c u r r e n t f o r t h e m a g n e t i c

q u a d r u p o l e e l d q u i c k l y a t t h e e n d o f t h e l o a d i n g s t e p [ 1 2 2 , 2 1 8 ] . H o w e v e r w e a r e h i n d e r e d t o d o

s o r i g h t n o w , s i n c e t h e c u r r e n t l y u s e d p o w e r s u p p l i e s f e a t u r e n o t e n o u g h c u r r e n t .

A f t e r t h e m e c h a n i c a l s h u t t e r i n t h e o v e n p a r t i s c l o s e d , d i s r u p t i n g t h e a t o m i c u x , t h e M O T s t a r t s




0 20 40 60 80 100

10

10

10

1010

Time [s]

A t o m s

9

8

7

F i g u r e 3 . 1 4 : N o n - e x p o n e n t i a l d e c a y o f t h e a t o m n u m b e r i n a m a g n e t o - o p t i c a l t r a p .

t o d e c a y . L o o k i n g a t t h e s e m i - l o g r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d e c a y i n g u r e 3 . 1 4 , i t e x h i b i t s a c l e a r

n o n l i n e a r b e h a v i o r . A t h i g h e n o u g h d e n s i t i e s t w o - b o d y l o s s e s b y l i g h t a s s i s t e d c o l l i s i o n s [ 2 1 9 ] h a v e

t o b e a d d e d i n t h e r a t e e q u a t i o n

d N

d t

a

M O T

N N h n i : ( 3 . 2 5 )

T h e t w o - b o d y l o s s i s p r o p o r t i o n a l t o t h e m e a n d e n s i t y h

n i

w h i c h i s i t s e l f a f u n c t i o n o f t h e a t o m

n u m b e r N ( s e e g u r e 3 . 1 3 ) . T o s o l v e t h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n I e x t r a c t e d f r o m t h e d a t a a n i n t e r -

p o l a t i n g f u n c t i o n h

n i

@ N A a n d i n t e g r a t e d t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n n u m e r i c a l l y . T h e b e s t a g r e e m e n t

w a s r e a c h e d f o r a R : T ¡ I H

I V

m

Q

/ s a n d

M O T

a H : H P Q s

I

. A p r e v i o u s m e a s u r e m e n t g a v e

a Q : R ¡

I H

I V

m

Q

/ s [ 2 1 9 ] . T h e l i f e t i m e o f t h e M O T i s a b o u t

I

M O T

a R Q s w h i c h i s m u c h s h o r t e r

t h a n t h e s o l e l i f e t i m e d u e t o b a c k g r o u n d p r e s s u r e o f a b o u t 1 6 3 s . B u t a t o m s a r e a l s o l o s t f r o m

t h e M O T b y i m b a l a n c e o f t h e i n t e n s i t i e s o f t h e l a s e r b e a m s o r b y r e g i o n s w i t h a s p e c k l e d p a t t e r n s

c o n t r i b u t i o n .

3 . 7 . 2 M o l a s s e s c o o l i n g

T h e t e m p e r a t u r e o f t h e M O T i s w a y t o o l a r g e t o b e c a u g h t i n a p u r e m a g n e t i c t r a p a n d a f u r t h e r

c o o l i n g s t e p i s i n e v i t a b l e . T h e s o c a l l e d m o l a s s e s c o o l i n g [ 1 4 1 ] i s s u c h a m e t h o d a n d c a n b e

i m p l e m e n t e d w i t h t h e s a m e a r r a n g e m e n t o f t h e l a s e r s a s u s e d f o r t h e M O T . T h e p o l a r i z a t i o n i s

t h e s a m e , b u t o n e h a s t o s e t t h e f r e q u e n c y o f t h e c o o l i n g l i g h t b y s o m e l i n e w i d t h s i n t o t h e r e d a n d

s w i t c h o f a l l m a g n e t i c e l d s . T o b e s u r e t h a t t h e r e i s n o t a n y m a g n e t i c e l d p r e s e n t , w e a d d e d

t h r e e p a i r s o f H e l m o l t z c o i l s , o n e f o r e a c h a x e s , t o t u n e t h e m a g n e t i c e l d t o z e r o . B y t h i s t h e

e a r t h m a g n e t i c e l d a n d s t r a y e l d s f r o m t h e i o n p u m p s c a n e a s i l y b e c o m p e n s a t e d .

A f t e r t h e M O T i s l o a d e d , a l l m a g n e t i c e l d s a r e s w i t c h e d o a n d t h e c o m p e n s a t i o n e l d s a r e

s w i t c h e d o n . S i m u l t a n e o u s l y t h e d e t u n i n g o f t h e l a s e r i s s w i t c h e d t o - 1 5 . 5 . T h e i n t e n s i t y d r o p s

d u e t o t h e r e d u c e d e c i e n c y o f t h e a c c u s t o - o p t i c a l m o d u l a t o r b y 3 0 7 . T h e m o l a s s e s i s k e p t o n

f o r 1 0 m s , a f t e r w h i c h t h e a t o m s h a v e r e a c h e d t h e i r e q u i l i b r i u m t e m p e r a t u r e . T h e r e i s a n i n i t i a l

a t o m l o s s o f m o r e t h a n 5 0 7 c o m p a r e d t o t h e M O T , b u t t h e a t o m n u m b e r s t a y s n e a r l y c o n s t a n t

i f t h e m o l a s s e s t i m e i s e x t e n d e d t o 5 0 m s . F i g u r e 3 . 1 5 s h o w s t h e t e m p e r a t u r e s a f t e r 1 0 m s o f



Q F V y l m n 5 5

0 5 10 15 20 25

0

20

40

60

80

100

120

140

Detuning [ ]G

T e m p e r a

t u r e

[ K

]

m

F i g u r e 3 . 1 5 : M o l a s s e s t e m p e r a t u r e v e r s u s d e t u n i n g f r o m r e s o n a n c e . T h e l i g h t f o r m o l a s s e s c o o l i n g w a s

a p p l i e d f o r 1 0 m s . T h e s o l i d l i n e i s p r o p o r t i o n a l t o I = t o g u i d e t h e e y e .

m o l a s s e s c o o l i n g t i m e f o r d i e r e n t d e t u n i n g s . T h e s o l i d l i n e f o l l o w s t h e e x p e c t e d c o u r s e o f t h e

t e m p e r a t u r e a s T $

I = [ 2 1 7 , 1 3 7 ] . T h e l o s s i n d e n s i t y a f t e r t h e m o l a s s e s c o o l i n g s t a g e c a n b e

a t t r i b u t e d t o t h e l o s s o f a t o m s .

T h e c o l d a t o m i c c l o u d a f t e r t h e m o l a s s e s c o o l i n g s t e p i s t y p i c a l l y q u i t e l a r g e w i t h a n 1 / e w i d t h o f

a Q m m . I t i s v e r y h a r d t o c a t c h s u c h a l a r g e c l o u d i n a m a g n e t i c t r a p w i t h o u t l o s s o f p h a s e

s p a c e d e n s i t i t y , s i n c e t h e t r a p p i n g f r e q u e n c i e s f o r a m o d e m a t c h e d t r a p h a v e t o b e v e r y s m a l l ( s e e

c h a p t e r 3 . 9 ) . O n e p o s s i b i l i t y t o a v o i d t h i s p r o b l e m i s t o i n t r o d u c e a c o m p r e s s i o n s t e p a t t h e e n d

o f t h e l o a d i n g o f t h e M O T [ 2 2 0 ] .

3 . 8 O p t i c a l p u m p i n g

A f t e r t h e m o l a s s e s c o o l i n g s t e p t h e a t o m s a r e e q u a l l y d i s t r i b u t e d o v e r a l l m

F

l e v e l s a n d h a v e t o

b e t r a n s f e r r e d i n t o t h e t r a p a b l e F a P , m

F

a P s t a t e . T h i s i s d o n e b y a n a x i a l c i r c u l a r p o l a r i z e d

p u m p i n g b e a m . W e a p p l y t h i s b e a m f o r 1 m s w h i l e t h e m a g n e t i c t r a p p i n g e l d s a r e s w i t c h e d o n .

D o i n g s o , w e e n d u p w i t h a b o u t t h r e e t i m e s m o r e a t o m s c a u g h t i n t h e m a g n e t i c t r a p . W i t h o u t

p u m p i n g w e w o u l d e x p e c t t o c a t c h o n l y 2 / 5 o f t h e a t o m s , w h i c h g i v e s a m a x i m u m g a i n o f t r a p p e d

a t o m s b y a f a c t o r o f 2 . 5 . T h e e x p l a n a t i o n f o r t h i s e v e n b e t t e r g a i n i n t r a p p e d a t o m n u m b e r s i s

m o s t l i k e l y g i v e n b y a n u n e q u a l d i s t r i b u t i o n o v e r t h e v e m a g n e t i c s u b - l e v e l s o f t h e F a P s t a t e

a f t e r t h e m o l a s s e s c o o l i n g s t e p . F i n a l l y i t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t t h e c l o u d i s n o t n o t i c e a b l e

h e a t e d b y t h e p u m p i n g l i g h t .

3 . 9 M a g n e t i c t r a p p i n g

I n o u r s e t u p w e u s e a m a g n e t i c t r a p i n t h e s o c a l l e d c l o v e r l e a f c o n g u r a t i o n [ 1 5 4 , 1 5 5 ] . T h e d e s i g n

o f t h e a c t u a l t r a p i s l i m i t e d b y t h e g e o m e t r i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s g i v e n b y t h e p h y s i c a l d i m e n s i o n s

o f t h e v a c u u m c h a m b e r ( s e e a p p e n d i x F ) a n d t h e r e s i s t a n c e o f t h e c o p p e r w i r e s .




Clover-leaf

Pinch

Bias

F i g u r e 3 . 1 6 : T h e w i n d i n g s c h e m e o f t h e c l o v e r l e a f m a g n e t i c t r a p . T h e f u n c t i o n a l i t y i s e x p l a i n e d i n c h a p t e r

2 . 2 . A s i n g l e l e a f ( b l u e ) c o n s i s t s o f 1 6 l o o p s a r r a n g e d i n f o u r w i n d i n g s i n f o u r l a y e r s . I n t h e m i d d l e o f t h e

f o u r l e a f s , c o n s i s t i n g o f f o u r w i n d i n g s a n d t w o l a y e r s , a r e t h e p i n c h c o i l s ( g r e e n ) l o c a t e d . T h e o s e t e l d

p r o d u c e d b y t h e p i n c h c o i l s i s c o m p e n s a t e d b y t h e b i a s c o i l s ( r e d ) . T h e y a r e m a d e o f f o u r l a y e r s o f t h e r s t

w i n d i n g s a n d t h r e e l a y e r s f o r t h e r e m a i n i n g t h r e e w i n d i n g s . T h e i n n e r o p e n d i a m e t e r o f t h e p i n c h c o i l s i s 2 9

m m a n d t h e o u t e r d i a m e t e r o f t h e b i a s c o i l s i s 1 5 5 m m .

80 mm 80 mm

3 0 mm

0 1400400 600200 800 1000 1200

Magnetic field [G] Fluorescence signal [a.u.]

Intensity

F i g u r e 3 . 1 7 : M a g n e t i c e l d d i s t r i b u t i o n a n d m a g n e t i c a l l y t r a p p e d a t o m s . T h e l e f t g u r e s h o w s t h e c a l -

c u l a t e d a b s o l u t e v a l u e o f t h e m a g n e t i c e l d f o r 4 0 0 A i n a l l c o i l s w i t h t h e g i v e n g e o m e t r y a s d e n e d i n

g u r e 3 . 9 . T h e o s e t e l d i n t h e c e n t e r ( d a r k b l u e ) i s a b o u t o n e G a u s s . T h e w h i t e c i r c l e s i n d i c a t e t h e

i n s t a b i l i t y p o i n t s o f t h e t r a p , w h i c h a r e p o t e n t i a l s a d d l e p o i n t s a t w h i c h t h e a t o m s c a n l e a v e t h e t r a p ( s e e

e q u a t i o n 2 . 2 4 ) . O n t h e r i g h t a u o r e s c e n c e p i c t u r e o f P ¡ I H

9

t r a p p e d a t o m s a t 5 0 0 K i s s h o w n . T h e

t r a p p e d a t o m s e x h i b i t t h e s h a p e a s e x p e c t e d f r o m t h e m a g n e t i c e l d d i s t r i b u t i o n w i t h a n a d d i t i o n a l s l i g h t l y

t r i a n g u l a r c o n t r i b u t i o n .



Q F W w n n 5 7

+-

+-

+ -

+-

+-

P o w e

r T

e n 6 6 D

3 0 V

, 5

5 0 A

P o w e r

T e n 6 2 B

1 0 V

, 2

0 0 A

P o w e r

T e n 6 3 D

2 0 V

, 5

0 0 A

P i n c h

1

B i a s

1

B i a s

2

P i n c h 2

C L 1

C L 2

1kW

1W

IGBT

Diode

0,5W

L a m b d a

Z U P 6

- 3 3

6 V ,

3 3 A

L a m b d a Z U P 6

- 3 3

6 V

, 3

3 A

Ground

(1)(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

F i g u r e 3 . 1 8 : C i r c u i t s f o r m a g n e t i c e l d g e n e r a t i o n . T h e e l e m e n t a r y c i r c u i t c o n s i s t s o f a p o w e r s u p p l y , a n

I G B T s w i t c h ( i n s u l a t e d - g a t e b i p o l a r t r a n s i s t o r ) , a d i o d e t o a v o i d o p p o s i t e c u r r e n t s a n d a r i n g - d o w n a s s e m b l y .

T h e c o i l s e x h i b i t a n o h m i c r e s i s t a n c e a s w e l l a n i n d u c t i v e l o a d . W h e n s w i t c h i n g o t h e c u r r e n t w i t h t h e

I G B T s w i t c h , t h e s t o r e d i n d u c t i v e e n e r g y i s t r a n s f e r r e d v i a a n u l t r a f a s t r e c t i e r d i o d e i n t o t h e r i n g d o w n

c i r c u i t y , w h e r e i t i s d i s s i p a t e d i n a s m a l l o h m i c r e s i s t o r ( 0 . 5 o r 1 ) . A p a r a l l e l r e s i s t o r ( 1 k ) d i s c h a r g e s

r e m a n e n t v o l t a g e s o n t h e r i n g d o w n d i o d e . T o p r o t e c t t h e p o w e r s u p p l i e s , I G B T s a n d d i o d e s a g a i n s t h i g h

v o l t a g e p u l s e s w e i n s e r t e d o n s e v e r a l p l a c e s v a r i s t o r s a n d t r a n s i e n t v o l t a g e s u p p r e s s o r s . A d d i t i o n a l l y t h e

p o w e r s u p p l i e s a r e p r o t e c t e d a g a i n s t o p p o s i t e c u r r e n t s w i t h b y p a s s i n g d i o d e s .

T h e e l d g r a d i e n t s f o r t h e M O T a r e g e n e r a t e d b y t h e t w o Z U P 6 - 3 3 p o w e r s u p p l i e s a n d c l o s i n g t h e s w i t c h e s

( 1 ) , ( 2 ) a n d ( 3 ) . P i n c h 1 a n d p i n c h 2 r e f e r t o t h e p i n c h c o i l s o n e a c h s i d e o f t h e v a c u u m c h a m b e r . T h e

c a t c h t r a p i s o p e r a t e d w i t h t h e t h r e e P o w e r T e n s u p p l i e s a n d t h e I G B T s ( 4 ) , ( 5 ) a n d ( 6 ) . T h e o p e n e d I G B T

( 1 ) t a k e s c a r e , t h a t n o c u r r e n t i s b y p a s s e d v i a t h e r i n g d o w n o f t h e u p p e r Z U P 6 - 3 3 . D u r i n g c o m p r e s s i o n

o f t h e t r a p , t h e c u r r e n t o f t h e P o w e r T e n 6 2 B s u p p l y i s r a m p e d d o w n a n d n a l l y s w i t c h e d o w i t h I G B T

( 5 ) . T h e f u l l c o m p r e s s e d t r a p i s o p e r a t e d a t 4 0 0 A i n t h e p i n c h c o i l s , t h e b i a s c o i l s a n d t h e e l e c t r o n i c a l l y

s e p a r a t e d c l o v e r l e a f c o i l s ( C L ) .

T o a c h i e v e a d e q u a t e e l d s t r e n g t h s i t t u r n s o u t t h a t t h e n e e d e d c u r r e n t d e n s i t i e s a r e t o l a r g e

f o r s i m p l e c o p p e r w i r e s . T h e r e f o r e w e u s e h o l l o w c o p p e r t u b i n g s t h r o u g h w h i c h c o o l i n g w a t e r i s

p u m p e d . T h e u s e d t u b i n g h a s a n o u t e r d i a m e t e r o f 4 m m a n d a n i n n e r d i a m e t e r o f 2 m m . O n e

l e a f o f t h e c l o v e r l e a f s i s m a d e o f a b o u t 2 0 m o f c o p p e r t u b i n g . A t a p r e s s u r e o f 1 2 b a r i s t h e

c o o l i n g w a t e r u x t h r o u g h o n e l e a f a b o u t 2 l / m i n , w h i c h a l l o w s u s t o a p p l y c u r r e n t s u p t o 5 0 0 A

c o n t i n u o u s l y . T h e t e m p e r a t u r e o f t h e c o i l s i n c r e a s e s t h e n o n l y b y a f e w d e g r e e C e l s i u s . T h e

d e t a i l e d g e o m e t r y o f t h e c o i l s i s s h o w n i n g u r e 3 . 9 .

T o o b t a i n t h e a c t u a l a b s o l u t e v a l u e o f t h e m a g n e t i c e l d d i s t r i b u t i o n s w e e i t h e r g a v e t h e a t o m s a

k i c k b y a n m a g n e t i c e l d p u l s e a n d m e a s u r e d t h e o s c i l l a t i o n o f t h e c e n t e r o f m a s s o r w e r e c o r d e d

d i r e c t l y t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e t r a p . W e d i d s o f o r d i e r e n t t e m p e r a t u r e s o f t h e c l o u d s

a n d c o m b i n a t i o n s o f c u r r e n t s . T h e a x i a l c u r v a t u r e i s g i v e n b y B

H H

a H : S G / c m

P

p e r A m p e r e a n d a

r a d i a l g r a d i e n t o f B

H

a H : T H U G / c m p e r A m p e r e . T h e o s e t e l d i s a b o u t 1 G , w h e n 4 0 0 A a r e

r u n n i n g t h r o u g h t h e c l o v e r l e a f c o i l s a n d a s w e l l t h r o u g h t h e p i n c h a n d b i a s c o i l s . W i t h a d d i t i o n a l

a x i a l c o i l s i n H e l m h o l t z c o n g u r a t i o n o n e c a n n e t u n e t h e o s e t b y a f e w G a u s s .

B y a p p l y i n g 4 0 0 A m p e r e s i n a l l c o i l s t h e t r a p p i n g f r e q u e n c i e s a r e m e a s u r e d t o b e 1 8 H z a x i a l l y a n d

3 1 0 H z r a d i a l l y . F i g u r e 3 . 9 s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e m a g n e t i c e l d a n d

t h e s h a p e o f a t r a p p e d a t o m i c c l o u d . T h e s i m u l a t i o n o f t h e m a g n e t i c e l d i s d o n e b y d e c o m p o s i n g




t h e w i n d i n g s i n t o s m a l l l i n e a r s e c t i o n s a n d c a l c u l a t i n g t h e e l d o f e a c h p i e c e w i t h B i o t - S a v a r t s l a w

[ 2 2 1 ] .

T h e r e q u i r e m e n t s o n t h e h i g h c u r r e n t p o w e r s u p p l i e s a r e v e r y d e m a n d i n g . A n y c u r r e n t n o i s e o f t h e

s o u r c e l e a d s t o p a r a m e t r i c h e a t i n g o f t h e t r a p p e d a t o m s [ 2 2 2 , 2 2 3 ] . W e e s t i m a t e d t h a t t h e n o i s e

l e v e l h a s t o b e l o w e r t h a n 1 0

S

t o b e o n t h e s a v e s i d e . T h i s s p e c i c a t i o n s a r e f u l l l e d b y t h e p o w e r

s u p p l y u n i t s u s e d i n o u r s e t u p

2 3

. I t i s a l s o n e c e s s a r y t o s w i t c h t h e c u r r e n t s v e r y f a s t o n a n d o .

T h e d e t a i l e d e l e c t r o n i c c i r c u i t s a r e e x p l a i n e d i n g u r e 3 . 1 8 . T h e s w i t c h o n t i m e i s o n t h e o r d e r o f

a f e w 1 0 0 s , w h i c h i s a c h i e v e d b y b i a s i n g t h e s u p p l i e s t o a c e r t a i n v o l t a g e . T h e s w i t c h o t i m e

h a s t o b e s h o r t c o m p a r e d t o t h e t r a p p i n g f r e q u e n c y t o a v o i d a n y a d i a b a t i c e e c t s f o r t h e t i m e

o f i g h t e x p a n s i o n . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y s p e c i a l r i n g - d o w n c i r c u i t s , w h i c h p i c k u p t h e c u r r e n t s

a n d d i s s i p a t e t h e m w i t h i n 5 0 s i n a s p e c i a l i z e d l o w - o h m i c r e s i s t o r . H o w e v e r , t h e r e r e m a i n s o m e

m a g n e t i c e l d s d u e t o e d d y c u r r e n t s i n t h e c o p p e r g a s k e t s o f t h e C F 2 5 0 a n g e s ( s e e g u r e F . 1 ) .

T h e s e e l d s d o n o t s i g n i c a n t l y a l t e r t h e e x p a n s i o n o f t h e c l o u d b u t m a k e i t i m p r a c t i c a l t o d o

a b s o r p t i o n i m a g i n g w i t h i n t h e t h e r s t m i l l i s e c o n d s a f t e r r e l e a s i n g t h e c l o u d f r o m t h e m a g n e t i c

t r a p .

A f t e r t h e m o l a s s e s c o o l i n g s t e p a n d t h e o p t i c a l p u m p i n g t h e a t o m s a r e i n i t i a l l y t r a n s f e r r e d i n t o

a m o d e m a t c h e d m a g n e t i c t r a p . T h i s c a t c h i n g t r a p i d e a l l y e x h i b i t s t h e s a m e t e m p e r a t u r e a n d

d e n s i t y d i s t r i b u t i o n f o r t h e t r a p p e d a t o m s a s i t d o e s f o r t h e m o l a s s e s c o o l e d c l o u d . T h i s w o u l d

a l l o w t o t r a n s f e r a l l a t o m s w i t h o u t l o s s i n p h a s e s p a c e d e n s i t y f r o m t h e m o l a s s e s c o o l e d c l o u d

t o t h e m a g n e t i c t r a p . I n o u r c a s e w e h a v e t o d e a l w i t h r a t h e r l a r g e s i z e d m a g n e t o - o p t i c a l t r a p s ,

w h i c h d e m a n d s m a l l c u r v a t u r e s a n d l e a d s t o a t o o l a r g e g r a v i t a t i o n a l s a g . T o o p t i m i z e t h e t r a n s f e r

w e s h i f t e d t h e m a g n e t o - o p t i c a l t r a p b y a n a d d i t i o n a l c o n s t a n t e l d d o w n w a r d s t o t h e e q u i l i b r i u m

p o s i t i o n o f t h e c a t c h t r a p . S i n c e t h e t r a p i s t o o s h a l l o w f o r t h e d e s i r e d p a r a m e t e r s , w e h a v e t o u s e

a s t e e p e r c o n n e m e n t t h a n d e s i r e d . T h i s l e a d s t o a n l o s s i n p h a s e s p a c e d e n s i t y b y m o r e t h a n o n e

o r d e r o f m a g n i t u d e ( s e e g u r e 3 . 1 ) .

T h e c a t c h t r a p i s o n l y k e p t o n f o r o n e m i l l i s e c o n d d u r i n g w h i c h t h e p o l a r i z i n g l i g h t i s a p p l i e d . I n a

l a s t s t e p t h e t r a p i s c o m p r e s s e d t o t h e n a l s e t t i n g w i t h i n 6 0 0 m s . T h e p e a k p h a s e s p a c e d e n s i t y

i n c r e a s e s b y s u c h a c o m p r e s s i o n f r o m a h a r m o n i c t r a p t o a l i n e a r o n e b y a n f a c t o r o f e a P : U I V : : : ,

w h i c h i s d u e t o t h e a l t e r e d g e o m e t r y [ 2 2 4 ] .

3 . 1 0 E v a p o r a t i v e c o o l i n g

A b o u t P ¡

I H

W

a t o m s a t 6 0 0 - 7 0 0 K a r e i n i t i a l l y t r a p p e d i n a m a g n e t i c t r a p i n t h e F a P ; m

F

a P

s t a t e . T h e t r a p h a s a n o s e t B

H

o f 1 . 5 G , a r a d i a l g r a d i e n t B

H

o f 2 4 3 G / c m a n d a n a x i a l c u r v a t u r e

o f 2 0 0 G / c m

P

. T h e i n i t i a l s c a t t e r i n g r a t e n ¡

¡

v i s a b o u t t e n p e r s e c o n d . C o n t r a r y t o t h i s s t a n d s

t h e t r a p l o s s c o l l i s i o n r a t e o f 1 / 1 6 3 p e r s e c o n d ( s e e g u r e 3 . 6 ) . T h i s g i v e s a r a t i o o f g o o d ( e l a s t i c )

t o b a d ( t r a p l o s s ) c o l l i s i o n s o f 1 6 0 0 .

T h e f o r c e d e v a p o r a t i o n c o o l i n g s c h e m e f o r o u r e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n i s s h o w n i n g u r e 3 . 1 9 .

T h e m a g n e t i c t r a p c r e a t e s a s p a c e d e p e n d e n t Z e e m a n s h i f t f o r t h e t r a p p e d a t o m s . A r a d i o

f r e q u e n c y e l d i s t u n e d t o t h e d i e r e n c e o f t h e Z e e m a n s h i f t b e t w e e n t w o m a g n e t i c s u b l e v e l s . I n

o u r c a s e w e o n l y a d d r e s s s t a t e s w i t h i n o n e h y p e r n e m a n i f o l d , b u t w i t h t h e u s a g e o f t h e m i c r o w a v e

s e t u p ( s e e c h a p t e r 5 . 2 ) w e a l s o d e m o n s t r a t e d e v a p o r a t i v e c o o l i n g b y t r a n s f e r r i n g t h e a t o m s f o r m

F a P ; m

F

a P s t a t e i n t o t h e u n t r a p p e d F a I ; m

F

a H s t a t e .

2 3

P 6 3 D 2 0 3 3 0 , P 6 3 D 2 0 5 0 0 a n d P 6 6 D 3 0 5 5 0 , P o w e r T e n



Q F I H i o o o l n 5 9

F i g u r e 3 . 2 0 s h o w s t h e g e o m e t r y o f t h e r a d i o f r e q u e n c y a n t e n n a u s e d f o r e v a p o r a t i v e c o o l i n g . T h e

c o i l s h a d t o b e p l a c e d b e y o n d t h e r e c e s s e d b u c k e t s , s i n c e t h e c e n t e r o f t h e t r a p i s a l r e a d y r e s e r v e d

f o r t h e e l d p l a t e s ( s e e c h a p t e r 5 . 3 ) . T h e c o n s e q u e n c e i s , t h a t t h e a t o m s a r e n o t l o c a t e d i n t h e

n e a r e l d o f t h e a n t e n n a , s i n c e t h e d i s t a n c e t o t h e a n t e n n a i s l a r g e r t h a n t h e e x t e n s i o n s o f t h e c o i l .

I t i s a l s o d i s a d v a n t a g e o u s t h a t p a r t s o f t h e a n t e n n a a r e h i d d e n ( f r o m t h e a t o m p e r s p e c t i v e ) b e h i n d

t h e r e c e s s e d b u c k e t s a n d t h a t t h e d i s t a n c e o f t h e b u c k e t s i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e w a v e l e n g t h .

T h e m e a s u r e m e n t o f t h e e v a n e s c e n t e l d a t t h e p o s i t i o n o f t h e t r a p p e d a t o m s , s h o w s t h a t t h e

m a g n e t i c e l d s t r e n g t h i s s t i l l s u c i e n t f o r e v a p o r a t i v e c o o l i n g .

T h e e c i e n c y o f t h e e v a p o r a t i v e c o o l i n g c a n b e e x p r e s s e d i n t h e g a i n o f p h a s e s p a c e d e n s i t y

v e r s u s a t o m l o s s .

a

d p s d = p s d

d N = N

: ( 3 . 2 6 )

hn

E

x

m =+2f

m =+1f

m =0f

m =-1f

m =-2

f

m =+2f

-x cut +xcut

F i g u r e 3 . 1 9 : E v a p o r a t i o n o f m a g n e t i c a l l y t r a p p e d a t o m s b y r a d i o f r e q u e n c y e l d s . D e p i c t e d a r e t h e Z e e m a n

e n e r g i e s o f t h e m a g n e t i c s u b - s t a t e s . T h e t o p s h o w s a s c h e m a t i c d i s t r i b u t i o n o f a t h e r m a l a t o m i c c l o u d . T h e

a t o m s a r e t r a p p e d i n t h e F a P ; m

F

a P s t a t e . A t o m s w i t h m o r e t h a n a v e r a g e e n e r g y e x t e n d t o r e g i o n s o f

l a r g e r m a g n e t i c e l d , w h e r e t h e y u n d e r g o a L a n d a u - Z e n e r t r a n s i t i o n i n t o l o w e r l y i n g s t a t e s d u e t o a r a d i o

f r e q u e n c y e l d w i t h e n e r g y h . A f t e r t w o t r a n s i t i o n s t h e a t o m s a r e i n a m

F

a H s t a t e a n d a r e n o t a n y m o r e

t r a p p e d . W i t h t h i s t e c h n i q u e i t i s p o s s i b l e t o e x t r a c t o n l y t h e m o s t e n e r g e t i c a t o m s o u t o f t h e t r a p a s

d e m a n d e d i n c h a p t e r 2 . 3

I n o u r e x p e r i m e n t w e r e a c h a v a l u e o f = 2 . 6 b y d r a w i n g a l i n e c o n n e c t i n g t h e i n i t i a l c l o u d b e f o r e

e v a p o r a t i o n a n d t h e p o i n t o f t h e p h a s e t r a n s i t i o n a s s h o w n i n g u r e 3 . 2 1 . O t h e r g r o u p s [ 1 5 9 , 2 2 5 ,

2 2 6 , 1 4 7 ] r e p o r t e d v a l u e s o f a b o u t t h r e e .

F i g u r e 3 . 2 2 s h o w s t h e s a m e s e t o f d a t a a s i n g u r e 3 . 2 1 b u t n o w a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e . I n

t h i s g u r e a r e t h e t r u n c a t i o n e n e r g i e s E

c u t

o f t h e r a d i o - f r e q u e n c y e l d i n c l u d e d ( h o r i z o n t a l l i n e s ) ,

w h i c h a r e d e n e d b y

E

c u t

a P h

m

F

g

F

B

B

H

: ( 3 . 2 7 )

E v e r y a t o m w i t h a n e n e r g y l a r g e r t h a n E

c u t

w i l l b e r e m o v e d f r o m t h e t r a p . T h e t r u n c a t i o n e n e r g y

h a s t o b e c o r r e c t e d b y t h e o s e t o f t h e m a g n e t i c t r a p . T h e h o r i z o n t a l l i n e s o n g u r e 3 . 2 2 r e p r e s e n t




4 8 12 16 20 24 28 32

0,1

1,0

10

B [ m G ]

f [MHz]

F i g u r e 3 . 2 0 : M a g n e t i c e l d g e n e r a t e d b y t h e a n t e n n a s i n s i d e t h e c h a m b e r v e r s u s a p p l i e d f r e q u e n c y . T h e

a n t e n n a ( r e d ) c o n s i s t s o f a p a i r o f t w o w i n d i n g s i n H e l m h o l t z c o n g u r a t i o n ( s e e F . 1 ) . T h e e l d w a s m e a s u r e d

w i t h a s i n g l e p i c k - u p l o o p . T h e l o o p w a s a l i g n e d s u c h , t h a t t h e m e a s u r e d m a g n e t i c e l d c o m p o n e n t w a s

p e r p e n d i c u l a r t o t h e q u a n t i z a t i o n e l d o f t h e m a g n e t i c t r a p . T h e a p p l i e d p o w e r w a s 5 0 0 m W . I n t h e n a l

s e t u p w e u s e d a h o m e b u i l d f r e q u e n c y g e n e r a t o r w h i c h i s c a p a b l e t o g e n e r a t e a r b i t r a r y f r e q u e n c i e s u p t o

4 5 M H z . T h e s y n t h e s i z e r h a s a l s o a n a n a l o g i n p u t t o a d j u s t t h e p o w e r . T h e r f s i g n a l f r o m t h e f r e q u e n c y

g e n e r a t o r i s s u b s e q u e n t a m p l i e d ( A P 5 5 0 0 - 2 , F P A ) t o a m a x i m u m p o w e r o f 2 W . T h i s i s a f a c t o r o f 2 i n

t h e m a g n e t i c e l d a s d e p i c t e d a b o v e .

t h e t r u n c a t i o n t e m p e r a t u r e , w h i c h i s s i m p l y T

c u t

a E

c u t

= k

B

. F i n a l l y o n e c a n d e n e a t r u n c a t i o n

p a r a m e t e r a s

a

E

c u t

k

B

T

: ( 3 . 2 8 )

T h e o p t i m u m t r u n c a t i o n p a r a m e t e r s h o u l d b e b e t w e e n 4 a n d 8 [ 1 5 8 ] t o r e a c h t h e r e g i m e o f t h e

s o - c a l l e d r u n a w a y e v a p o r a t i o n [ 1 5 8 ] . I n o u r e x p e r i m e n t t h e i n i t i a l t r u n c a t i o n p a r a m e t e r i s 6 . 8 a n d

i n c r e a s e s d u r i n g e v a p o r a t i o n c o n t i n u o u s l y t o a b o u t 3 0 c l o s e t o t h e p h a s e t r a n s i t i o n . T h e a c c u r a c y

o f t h e p o s i t i o n o f t h e t r u n c a t i o n p a r a m e t e r d e c r e a s e s w i t h l o w e r t e m p e r a t u r e s . A l t h o u g h o n e c a n

o b t a i n r e l i a b l e v a l u e s f o r t h e t e m p e r a t u r e s o f t h e c l o u d a n d t h e f r e q u e n c y o f t h e r f e l d , i t i s m u c h

h a r d e r t o g e t a n e x a c t v a l u e f o r t h e o s e t e l d . I f t h e m e a s u r e d o s e t e l d o f 1 . 5 G i s o n l y l o w e r

b y 1 0 % c h a n g e s t h e n a l t r u n c a t i o n p a r a m e t e r f r o m 3 0 t o 2 0 . N e v e r t h e l e s s i t s t i l l s e e m s t h a t

t h e t r u n c a t i o n p a r a m e t e r i s t o o l a r g e a t v e r y c o l d t e m p e r a t u r e s . T h i s c o u l d h a v e i t s r e a s o n i n a

t o o s t r o n g c o u p l i n g o f t h e r a d i o - f r e q u e n c y e l d t o t h e m a g n e t i c t r a n s i t i o n w h i c h i s e q u i v a l e n t t o a

u n d e s i r e d b r o a d e n i n g o f t h e r f k n i f e .

O n e c a n a l s o d e n e a n e c i e n c y f o r t h e e v a p o r a t i v e c o o l i n g p r o c e s s i n t h e t e m p e r a t u r e v e r s u s

a t o m n u m b e r r e p r e s e n t a t i o n

a

d T = T

d N = N

: ( 3 . 2 9 )

I n o u r m e a s u r e m e n t w e r e a c h e d a v a l u e o f a H : W W b y a g a i n c o n n e c t i n g l i n e a r l y t h e d a t a p o i n t

o f t h e i n i t i a l a t o m i c c l o u d a n d t h e p o i n t o f t h e p h a s e t r a n s i t i o n . I n [ 1 5 9 ] a v a l u e o f a I : I w a s

r e a c h e d .



Q F I H i o o o l n 6 1

106

107

108

109

1010

10

-8

10-6

10-4

10-2

100

102

Atom number

P h

a s e

s p a c e

d e n s

i t y

2.6

F i g u r e 3 . 2 1 : P h a s e s p a c e d e n s i t y v e r s u s a t o m n u m b e r . T h e d o t s a r e a c q u i r e d w i t h u o r e s c e n c e i m a g i n g

a n d t h e s q u a r e s w i t h a b s o r p t i o n i m a g i n g . T h e b l a c k d o t o n t h e l o w e r r i g h t r e p r e s e n t s t h e i n i t i a l s i t u a t i o n i n

t h e m a g n e t i c t r a p . A s a r s t e v a p o r a t i v e s t e p ( r e d d o t s ) a c o n s t a n t r a d i o f r e q u e n c y o f 3 6 M H z i s a p p l i e d

f o r d i e r e n t t i m e s . T h e a r r o w i n d i c a t e s t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g t i m e f r o m 1 s t o 6 0 s . T h e b e s t v a l u e o f

1 5 s i s t a k e n a n d t h e n e x t s t e p , a l i n e a r r a m p ( g r e e n d o t s ) f r o m 3 6 M H z d o w n t o 1 8 M H z i s a d d e d . T h e

t i m e s t e p s w e r e a l t e r e d a g a i n f r o m 1 s t o 6 0 s w i t h 3 s b e i n g t h e b e s t v a l u e . T h e b l u e d o t s r e p r e s e n t a l i n e a r

r a m p f r o m 1 8 M h z t o 5 . 6 2 5 M h z w i t h i n 1 s u p t o 6 0 s a n d t h e b e s t r e s u l t a t 6 s . T h e m a g e n t a c o l o r e d d o t s

a r e a r a m p f r o m 5 . 6 2 5 M H z t o 3 . 9 4 M H z f r o m 1 s t o 1 5 s a n d 3 s b e s t . T h i s i s f o l l o w e d b y t h e c y a n r a m p

f r o m 3 . 9 4 M H z t o 2 . 2 5 M H z , l a s t i n g 1 s t o 3 0 s , a n d o p t i m a l a t 3 s . T h e r e d s q u a r e s a r e r a m p e d f r o m

2 . 2 5 M H z d o w n t o 1 . 4 M H z f r o m 1 s t o 9 s . T h e g r e e n s q u a r e s a r e r a m p e d f r o m 2 . 2 5 M H z t o 1 . 3 5 M H z

w i t h i n 1 s t o 1 2 s . A d d i t i o n a l l y a c o n s t a n t r f e l d a t 1 . 3 5 M H z w a s a d d e d f o r 1 0 0 m s . T h e n a l r a m p w h i c h

r e a c h e s t h e c r i t i c a l p h a s e s p a c e d e n s i t y o f 2 . 6 1 2 ( b l u e l i n e ) s t a r t s a l s o a t 2 . 2 5 M H z a n d s t o p s a t 1 . 3 2 M H z

w i t h i n 3 s p l u s 1 0 0 m s a t 1 . 3 2 M H z . T h e t o t a l e v a p o r a t i o n t a k e s 3 3 . 1 s . T h e b o t t o m o f t h e t r a p i s 1 . 5 1 G

w h i c h c o r r e s p o n d s t o a f r e q u e n c y o f 1 . 0 6 M H z . T h e s l o p e o f 2 . 6 o f t h e s o l i d b l a c k l i n e i s t h e e c i e n c y o f

t h e e v a p o r a t i o n a s d e n e d i n e q u a t i o n ( 3 . 1 0 ) .




106

107

108

109

1010

10-1

100

101

102

103

104

Atom number

T e m p e r a

t u r e

[ K ]

m

0.99

F i g u r e 3 . 2 2 : T e m p e r a t u r e v e r s u s a t o m n u m b e r . T h e c o l o r c o d i n g i s i d e n t i c a l t o g u r e 3 . 2 1 . T h e a r r o w

w i t h i n t h e c y a n d o t s s h o w s t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g t i m e a s e x p l a i n e d i n t h e c a p t i o n o f g u r e 3 . 2 1 . T h e

h o r i z o n t a l s o l i d l i n e s i n d i c a t e t h e t r u n c a t i o n e n e r g y f o r e a c h s t e p i n t h e s a m e c o l o r a c c o r d i n g t o e q u a t i o n

( 3 . 1 0 ) . F o r a l l l i n e a r r a m p s t h e n a l v a l u e o f t h e t h e r f - s w e e p i s t a k e n . T h e s l o p e 0 . 9 9 o f t h e s o l i d b l a c k

l i n e i s t h e e c i e n c y a s d e n e d i n e q u a t i o n ( 3 . 2 9 ) .

T h e m e a s u r e d p h a s e t r a n s i t i o n o c c u r s a p p r o x i m a t e l y a t 4 0 0 n K w i t h 1 . 5 ¡

I H

T

a t o m s . T h e t r a p p i n g

f r e q u e n c i e s f o r t h e g i v e n o s e t e l d o f 1 . 5 G a r e r a d i a l l y 2 5 0 H z a n d a x i a l l y 1 8 H z . T h e t h e o r e t i c a l l y

e x p e c t e d t e m p e r a t u r e o f t h e p h a s e t r a n s i t i o n i s f o r t h i s p a r a m e t e r s 5 3 7 n K ( s e e e q u a t i o n 2 . 3 9 )

a n d i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e m e a s u r e d v a l u e .

3 . 1 1 B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n

W h e n t h e e v a p o r a t i v e c o o l i n g p r o c e e d s t o w a r d s t h e c r i t i c a l t e m p e r a t u r e f o r t h e p h a s e t r a n s i t i o n

t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n u n d e r g o e s a n a l t e r a t i o n f r o m a p u r e G a u s s i a n s h a p e v i a a t h e r m a l B o s e

d i s t r i b u t i o n t o t h e p a r a b o l i c s h a p e o f a p u r e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e a t T = 0 K . F i g u r e 3 . 2 3

s h o w s t h e c o n d e n s a t e f r a c t i o n o f t h e c o l d c l o u d a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e . T h e s o l i d l i n e r e f e r s

t o e q u a t i o n ( 2 . 4 0 ) w i t h a c r i t i c a l t e m p e r a t u r e o f 3 7 5 n K . T h e e x p e c t e d c r i t i c a l t e m p e r a t u r e ( s e e

e q u a t i o n 2 . 3 9 ) s h o u l d b e a t 5 3 7 n K f o r t h e m e a s u r e d a t o m n u m b e r a n d t r a p p a r a m e t e r s . T h e

t e m p e r a t u r e s f o r e a c h d a t a p o i n t i n g u r e 3 . 2 3 h a v e b e e n e x t r a c t e d f r o m a s i n g l e a b s o r p t i o n p i c t u r e

a f t e r 2 1 m s t i m e o f i g h t b y t t i n g a G a u s s i a n t o t h e w i n g s o f t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n a n d i s c o r r e c t

w i t h i n 1 0 % . T h e d e v i a t i o n o f t h e m e a s u r e d t r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e c a n b e c a u s e d b y t h e n i t e

n u m b e r o f p a r t i c l e s a s w e l l b y t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e a t o m s . T h i s e e c t s a r e d i s c u s s e d i n d e t a i l

a t t h e e n d o f t h i s c h a p t e r .

F i g u r e 3 . 2 4 i l l u s t r a t e s t h e a n a l y s i s o f t h e a b s o r p t i o n i m a g e s c a r r i e d o u t o n c l o u d s a f t e r 2 1 m s t i m e o f

i g h t . T h i s a n a l y s i s y i e l d s t h e t e m p e r a t u r e , t h e n u m b e r o f t h e r m a l a t o m s , t h e n u m b e r o f c o n d e n s e d

a t o m s a n d t h e f r a c t i o n o f c o n d e n s e d a t o m s . W e l l a b o v e T

c

t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n f o l l o w s a s i m p l e

B o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n w h i c h h a s a G a u s s i a n s h a p e i n r e a l s p a c e a s w e l l i n m o m e n t u m s p a c e f o r a

h a r m o n i c t r a p p i n g p o t e n t i a l . T h e w i d t h s o f t h e c l o u d a f t e r a t i m e o f i g h t t c a n b e c o n v e r t e d

i n t o a t e m p e r a t u r e b y a s s u m i n g t h a t t h e i n i t i a l w i d t h s a r e n e g l i g i b l e s m a l l b y k

b

T a m @ = t A

P

.

A t t e m p e r a t u r e s c l o s e t o T

c

o n e h a s t o t a k e t h e e n h a n c e d o c c u p a t i o n p r o b a b i l i t y o f l o w e r l y i n g

s t a t e s i n t o a c c o u n t . T h i s i s c a u s e d b y t h e B o s e - d i s t r i b u t i o n , w h i c h f a v o r s t h e l o w e r l y i n g s t a t e s



Q F I I f o E i n n o n d n o n 6 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C o n d e n s a t e f r a c t i o n

Temperature [ K]m

F i g u r e 3 . 2 3 : F r a c t i o n o f B o s e c o n d e n s e d a t o m s v e r s u s t e m p e r a t u r e . A t t h e c r i t i c a l t e m p e r a t u r e T

c

a

m a c r o s c o p i c f r a c t i o n o f t h e a t o m s p o p u l a t e s t h e g r o u n d s t a t e a s d e s c r i b e d i n c h a p t e r 2 . 4 . T h e t h r e e

a b s o r p t i o n p i c t u r e s a r e t a k e n a f t e r 2 1 m s t i m e o f i g h t . T h e c l o u d w e l l a b o v e T

c

h a s a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n

a n d i s i s o t r o p i c a s e x p e c t e d f o r a t h e r m a l c l o u d . A t T a T

c

t h e a t o m i c c l o u d i n t h e a b s o r p t i o n p i c t u r e i s

a l r e a d y a n i s o t r o p i c a s o n e e x p e c t s t o s e e f o r a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e . B u t t h e t t e d c l o u d ( r i g h t p i c t u r e

i n g u r e 3 . 2 4 ) s h o w s t h a t t h e r e e x i s t s n o c o n d e n s a t e f r a c t i o n . T h e a n i s o t r o p y i s c a u s e d b y t h e d i s t i n c t

i n c r e a s e o f t h e p e a k d e n s i t y d u e t o t h e B o s e e n h a n c e m e n t . F i n a l l y t h e l a s t a b s o r p t i o n p i c t u r e s h o w s a c l e a r

B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e w i t h a b o u t 5 5 % o f t h e a t o m s i n t h e c o n d e n s a t e p h a s e .

c o m p a r e d t o t h e B o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n . I t h a s b e e n s h o w n [ 2 2 7 , 2 2 8 ] t h a t t h e r e e x i s t s a s e m i c l a s -

s i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n . T h i s i s v a l i d i n t h e i d e a l g a s l i m i t w h e n t h e t e m p e r a t u r e

i s m u c h h i g h e r t h a n t h e l e v e l s p a c i n g s o f t h e c o n n i n g p o t e n t i a l U @ ~r A . T h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n i s

t h e n g i v e n b y

n @ ~r A a

I

Q

d B

I j a I

e

j @ U @ ~r A A = k

B

T

j

Q = P

a

I

Q

d B

g

Q = P

e

@ U @ ~r A A = k

B

T

: ( 3 . 3 0 )

T o c o m p a r e t h e t h e o r e t i c a l d e n s i t y d i s t r i b u t i o n w i t h t h e t w o d i m e n s i o n a l a b s o r p t i o n p i c t u r e s w e

h a v e t o i n t e g r a t e e q u a t i o n ( 3 . 3 0 ) a l o n g t h e y - a x i s .

n

B o s e

@ x ; z A a n

B o s e ; H

p

y

H

g

P

e

@ x = x

H

A

P

@ z = z

H

A

P ( 3 . 3 1 )




0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 400 800-400-800

0.0

0 400 800-400-800

Distance [ m]m Distance [ m]m

O p

t i c a

l d

e n

s i t y

O p

t i c a

l d

e n

s i t y

T=TcT<Tc

F i g u r e 3 . 2 4 : D e n s i t y d i s t r i b u t i o n a t d i e r e n t t e m p e r a t u r e s . T h e p i c t u r e s h o w a c e n t r a l s l i c e o f t w o a b s o r p -

t i o n i m a g e s t a k e n a f t e r 2 1 m s t i m e o f i g h t . T h e g u r e o n t h e r i g h t i s a t h e r m a l c l o u d j u s t a t t h e c r i t i c a l

t e m p e r a t u r e a s s h o w n i n g u r e 3 . 2 3 . O n t h e l e f t a n a t o m i c c l o u d w e l l b e l o w T

c

i s s h o w n , w h i c h c o r r e s p o n d

t o t h e d a t a p o i n t w i t h a c o n d e n s a t e f r a c t i o n o f 5 5 % i n g u r e 3 . 2 3 . T h e v e r t i c a l b l a c k l i n e s i n d i c a t e t h e

p a r t o f t h e c l o u d w h i c h w a s t a k e n f o r t t i n g t h e t h e r m a l c o n t r i b u t i o n . T h e g r e e n c u r v e i s a G a u s s i a n t o n

t h e w i n g s b e y o n d t h e b l a c k l i n e s . T h e b l u e l i n e i s t h e B o s e e n h a n c e d d i s t r i b u t i o n w h i c h s h o w s , t h a t t h e r e

i s a c t u a l l y n o c o n d e n s a t e p r e s e n t i n t h e r i g h t g u r e . F i n a l l y t h e r e d l i n e i s t h e c o n d e n s a t e i n T h o m a s - F e r m i

a p p r o x i m a t i o n . T h e c o n d e n s a t e f r a c t i o n i s r e d u c e d b y t h e e n h a n c e m e n t o f t h e B o s e d i s t r i b u t i o n c o m p a r e d

t o t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .

T h e t r a p i s r a d i a l l y s y m m e t r i c a l o n g z a n d o n e c a n s e t x

H

a y

H

. T h e f r e e p a r a m e t e r s f o r a f u l l t w o -

d i m e n s i o n a l t a r e t h e p e a k c o l u m n d e n s i t y a n d t h e w i d t h s x

H

a n d z

H

. T h e f u g a c i t y

2 4

w a s s e t t o o n e

w h i c h c o r r e s p o n d s t o a c h e m i c a l p o t e n t i a l o f a H . B y t h i s o n e n e g l e c t s t h e e e c t o f i n t e r a c t i o n s

i n t h e n o n - c o n d e n s e d p a r t o f t h e a t o m i c c l o u d s . I n o r d e r t o u s e t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n ( 3 . 3 1 ) a s a

t t i n g f u n c t i o n o n e h a s t o e x p a n d t h e p o l y - l o g a r i t h m i c f u n c t i o n a c c o r d i n g t o g

P

@ x A a

I

j a I

x

j

= j

P

.

I n o u r c a s e w e i n c l u d e d t h e r s t t w e n t y t e r m s .

T h e f r a c t i o n o f a t o m s , w h i c h i s n o t t t e d b y t h e B o s e d i s t r i b u t i o n c a n b e a s s i g n e d t o t h e B o s e -

E i n s t e i n c o n d e n s a t e . F o r t h e d e g e n e r a t e p a r t o f t h e c l o u d w e i n c l u d e a g a i n t h e i n t e r a c t i o n a m o n g

t h e a t o m s a n d u s e a l s o t h e T h o m a s - F e r m i a p p r o x i m a t i o n . I n a p a r a b o l i c t r a p t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n

h a s a l s o a p a r a b o l i c s h a p e . I n t e g r a t i o n a l o n g t h e y - a x i s g i v e s

n

B E C

@ x ; z A a m a x

R

Q

n

B E C , 0

r

T F ; y

I

x

P

r

P

T F ; x

x

P

r

P

T F ; z

@ Q = P A

; H

; ( 3 . 3 2 )

w i t h t h e T h o m a s - F e r m i r a d i i r

T F

a s d e n e d i n c h a p t e r 2 . 4 . A l s o t h e c o n d e n s e d f r a c t i o n o f t h e c l o u d

i s r a d i a l l y s y m m e t r i c a l o n g z a n d o n e c a n s e t r

T F ; y

a r

T F ; x

. T h e f r e e p a r a m e t e r s f o r t t i n g t h e

m e a s u r e d d i s t r i b u t i o n s i n t h e a b s o r p t i o n p i c t u r e s a r e , s i m i l a r t o t h e c a s e o f t h e B o s e - d i s t r i b u t i o n ,

t h e c o l u m n p e a k d e n s i t i e s n

B E C , 0

a n d t h e t w o T h o m a s - F e r m i r a d i i r

T F ; y

a n d r

T F ; x

.

T h e s e q u e n c e o f t t i n g t h e d a t a i n c l u d e s t h r e e s t e p s . F i r s t a r e c t a n g u l a r r e g i o n i n t h e c e n t e r

o f t h e c o l d c l o u d i s r e m o v e d f r o m t h e d a t a a n d t h e r e m a i n i n g w i n g s a r e t t e d w i t h a G a u s s i a n

2 4

T h e f u g a c i t y i s d e n e d a s z = e

, w i t h = k

B

T



Q F I I f o E i n n o n d n o n 6 5

t o e x t r a c t t h e t e m p e r a t u r e f r o m t h e i r w i d t h s . T h e s a m e w i n g s a r e t h e n t t e d w i t h t h e B o s e -

d i s t r i b u t i o n t o o b t a i n t h e t h e r m a l f r a c t i o n o f t h e a t o m i c e n s e m b l e . I n t h e t h i r d s t e p t h e t t e d

B o s e d i s t r i b u t i o n i s s u b t r a c t e d f r o m t h e c o m p l e t e c l o u d a n d t h e r e m a i n i n g d a t a i s t t e d w i t h t h e

p a r a b o l i c B o s e - E i n s t e i n d i s t r i b u t i o n .

T h e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s c o n t a i n a b o u t Q ¡

I H

S

a t o m s i n a t r a p w i t h a r a d i a l f r e q u e n c y o f

2 5 0 H z a n d a x i a l l y o f 1 8 H z . T h i s g i v e s a p e a k d e n s i t y o f Q : S ¡

I H

I R

c m

Q

a n d a n i n t e r a c t i o n

e n e r g y ( c h e m i c a l p o t e n t i a l ) o f a Q k H z . T h e r a d i a l s i z e i s r

T F ; x

a r

T F ; y

a Q : Q m a n d a x i a l l y

r

T F ; z

a R T m .

W i t h t h e k n o w l e d g e o f t h e d e n s i t y i t i s p o s s i b l e t o e s t i m a t e t h e l i f e t i m e o f t h e c o n d e n s a t e d u e t o

t h r e e b o d y r e c o m b i n a t i o n . T h e c o e c i e n t f o r t h i s i n e l a s t i c p r o c e s s i s a I : V ¡

I H

P W

c m

T

/ s . T h e

t o t a l s c a t t e r i n g r a t e i n t h e c e n t e r o f t h e c l o u d i s t h e n 2 . 2 s

I

, w h i c h c o r r e s p o n d s t o a l i f e t i m e o f

a b o u t 4 5 0 m s .

N o w t h e e e c t o f a n i t e p a r t i c l e n u m b e r a n d t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e a t o m s o n t h e t r a n s i t i o n

t e m p e r a t u r e s h a l l b e d i s c u s s e d . T h e n i t e s i z e e e c t o f a n i t e a t o m n u m b e r s h i f t s t h e t r a n s i t i o n

p o i n t t o l o w e r t e m p e r a t u r e s a n d c a n b e a p p r o x i m a t e d b y [ 1 6 4 ]

T

c

@ N A a

I

@ P A @ Q A

P = Q

P

I

N

I = Q

T

H

c

%

I

H : U P U S

I

N

I = Q

T

H

c

; ( 3 . 3 3 )

w h e r e T

H

c

i s t h e c r i t i c a l t r a n s i t i o n t e m p e r a t u r e i n t h e t h e r m o d y n a m i c l i m e s , N t h e a t o m n u m b e r

a n d @ x A R i e m a n n

8

s z e t a - f u n c t i o n [ 1 6 3 ] . F o r a t o m n u m b e r s a b o v e o n e m i l l i o n , c l o s e t o t h e c r i t i c a l

t e m p e r a t u r e , t h i s s h i f t i s l e s s t h a n 1 % a n d c a n b e n e g l e c t e d i n o u r c a s e .

F o r a t r a p p e d g a s i n a h a r m o n i c o s c i l l a t o r p o t e n t i a l i s t h e s h i f t d u e i n t e r a c t i o n s g i v e n t o t h e l o w e s t

o r d e r i n t h e c o u p l i n g c o n s t a n t R ~

P

a = m g i v e n b y [ 2 2 9 , 2 3 0 ]

T

c

@ a ; N A a

I I : Q Q

a

" a

h o

N

I = T

T

c

; ( 3 . 3 4 )

w h e r e a i s t h e s c a t t e r i n g l e n g t h a n d " a

h o

t h e m e a n h a r m o n i c o s c i l l a t o r l e n g t h o f t h e t r a p . F o r o u r

p a r a m e t e r s t h e e v a l u a t e d c o r r e c t i o n i s w e l l b e y o n d t h e v a l i d i t y o f t h e e x p a n s i o n a n d o n e c a n s t a t e

t h a t t h e c r i t i c a l t e m p e r a t u r e i s s h i f t e d b y m o r e t h a n 1 0 % d u e t o i n t e r a c t i o n s . A m o r e d e t a i l e d

t r e a t m e n t o f t h e r e a l c r i t i c a l t e m p e r a t u r e h a s t o b e d o n e n u m e r i c a l l y a n d i s b e y o n d t h e s c o p e o f

t h i s t h e s i s .

I n c o n c l u s i o n t h i s c h a p t e r o n t h e e x p e r i m e n t a l m e t h o d s s h o w s t h a t t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e t u p

i s a s d e s i r e d a n d B E C s c a n b e p r o d u c e d r e l i a b l y . T h e f u n c t i o n a l i t i e s o f t h e i n d i v i d u a l s t e p s a r e w e l l

u n d e r s t o o d a n d q u a n t i t a t i v e s p e c i c a t i o n s h a v e b e e n p r o d u c e d . W i t h t h e f u l l c h a r a c t e r i z a t i o n o f

t h e B E C i s t h e s y s t e m n o w r e a d y f o r e x p l o r i n g n o v e l p h y s i c s .





4 T h e o r e t i c a l r e s u l t s

4 . 1 T h e l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n

I n t h i s c h a p t e r , I i n v e s t i g a t e n e w p h y s i c a l a s p e c t s t h a t a r i s e i n d e n s e c o l d a t o m i c s a m p l e s i r r a d i a t e d

b y a n e a r r e s o n a n t l a s e r b e a m . A t o m s e x p o s e d t o a n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e r e s p o n d a s d a m p e d

h a r m o n i c o s c i l l a t o r s a n d e x h i b i t a n a l t e r n a t i n g e l e c t r i c d i p o l e m o m e n t . T h e i n t e r a c t i o n e n e r g y o f

s u c h d i p o l e s c a n e x c e e d t h e o n e o f m a g n e t i c d i p o l e s i n a t o m i c g r o u n d s t a t e s b y s e v e r a l o r d e r s o f

m a g n i t u d e .

T h e i d e a o f t h e p r o p o s e d e x p e r i m e n t d e s c r i b e d h e r e i s t o s t u d y t h e c o h e r e n t i n t e r a c t i o n o f l a s e r

i n d u c e d e l e c t r i c d i p o l e s b y t r a n s f e r r i n g t h e i n t e r a c t i o n e n e r g y a m o n g t h e d i p o l e s i n t o k i n e t i c e n e r g y ,

w h i c h c a n b e p r o b e d w i t h s t a n d a r d t i m e o f i g h t t e c h n i q u e s . I n i t i a l l y , t h e d i p o l e s a r e g e n e r a t e d f o r

a c e r t a i n a s h t i m e b y a l a s e r b e a m w i t h l i n e a r p o l a r i z a t i o n i n a s p i n p o l a r i z e d s a m p l e o f c o l d a t o m s .

D u r i n g t h e a s h t i m e , t h e d i p o l e m o m e n t s r e a c h a s t e a d y s t a t e a n d t h e l i g h t - i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e

i n t e r a c t i o n p o t e n t i a l i s b u i l d u p . A s a r s t s t e p , I c a l c u l a t e t h e s e p o t e n t i a l s f o r a c e r t a i n d e n s i t y

d i s t r i b u t i o n i n c l u d i n g t h e r e t a r d a t i o n e e c t s o f t h e d i p o l a r e l d s a n d t h e d r i v i n g e l e c t r o m a g n e t i c

w a v e . T h e a s h t i m e i s c h o s e n l o n g e n o u g h t h a t t h e a t o m s c a n e v o l v e i n t h e i n d u c e d p o t e n t i a l ,

n a m e l y t o g a i n m o m e n t u m , b u t s h o r t e n o u g h n o t t o c h a n g e t h e i n i t i a l d e n s i t y d i s t r i b u t i o n . A s a

n e x t s t e p I d i s c u s s t h e c h a n g e o f t h e i n i t i a l m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n f o r d i e r e n t g e o m e t r i e s o f t h e

a t o m i c c l o u d a n d a s a f u n c t i o n o f t h e a n g l e w i t h r e s p e c t t o t h e l i n e a r p o l a r i z a t i o n o f t h e l a s e r l i g h t .

T h e r e s u l t s o f t h i s c h a p t e r w e r e p u b l i s h e d i n [ 2 3 1 ] a n d a r e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n [ 2 3 2 ] .

4 . 1 . 1 L i g h t - i n d u c e d d i p o l e m o m e n t s

I n t h e f o l l o w i n g I a s s u m e a t w o l e v e l a t o m w i t h a n e x c i t e d s t a t e l i f e t i m e a n d a n e n e r g y s e p a r a t i o n

!

H

. T h e d y n a m i c s o f a n a t o m i r r a d i a t e d b y c o h e r e n t l i g h t w i t h f r e q u e n c y ! c a n b e t r e a t e d w i t h

t h e o p t i c a l B l o c h e q u a t i o n s a s i n t r o d u c e d i n c h a p t e r 2 . 1 . T h e o p e r a t o r o f t h e d i p o l e m o m e n t c a n

b e w r i t t e n a s

d a d

g e

@ j

g i h

e j

C j

e i h

g j

A ; ( 4 . 1 )

w h e r e d

g e

i s t h e d i p o l e m a t r i x e l e m e n t .

d

g e

a

Q "

H

h c

Q

P !

Q

H

: ( 4 . 2 )

T h e e x p e c t a t i o n v a l u e h

d i

o f t h e d i p o l e m o m e n t i s

h

d i

a P d

g e

@ u o s @ ! t A

v s i n @ ! t A A : ( 4 . 3 )



6 8 R o l l

10 20 30 40 50

1

2

3

4

5

I [I ]0 sat

d

[ D e b y e

]

d=0 G

d=1 G

d=2 G

d=3 G

F i g u r e 4 . 1 : E x p e c t a t i o n v a l u e o f t h e a m p l i t u d e o f t h e d i p o l e m o m e n t a s g i v e n i n e q u a t i o n ( 4 . 5 ) .

T h e s t e a d y s t a t e e x p e c t a t i o n v a l u e d

s t

o f t h i s d i p o l e m o m e n t i s t h e n , b y i n s e r t i n g t h e s t e a d y s t a t e

s o l u t i o n s f o r u a n d v

d

s t

a

P d

g e

!

R

s

s C I

o s @ ! t A

P

s i n @ ! t A

; ( 4 . 4 )

w h e r e a !

!

H

i s t h e d e t u n i n g o f t h e d r i v i n g e l d . T h e d i p o l e m o m e n t o s c i l l a t e s w i t h t h e l a s e r

f r e q u e n c y w i t h a p h a s e s h i f t d e p e n d i n g o n t h e d e t u n i n g . T h e a m p l i t u d e d o f t h i s o s c i l l a t i n g d i p o l e

m o m e n t i s

d a

Q "

H

h c

Q

!

Q

I

H

I

s a t

I C

R

P

P

I C

R

P

P

C

I

H

I

s a t

: ( 4 . 5 )

A s c a n b e s e e n i n g u r e 4 . 1 t h e r e e x i s t s f o r a n y d e t u n i n g a n i n t e n s i t y I

H

w h i c h m a x i m i z e s t h e

a m p l i t u d e o f t h e d i p o l e m o m e n t t o d

m a x

a

Q "

H

h c

Q

= R !

Q

. T h i s h a p p e n s i f t h e i n t e n s i t y i s s e t t o

I

H

a I

s a t

I C

R

P

P

: ( 4 . 6 )

4 . 1 . 2 P o t e n t i a l s o f i n t e r a c t i n g d i p o l e s

I n t h e f o l l o w i n g , I a m d e a l i n g w i t h o s c i l l a t i n g d i p o l e s d r i v e n b y a n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e w i t h l i n e a r

p o l a r i z a t i o n a n d w a v e v e c t o r k . I a s s u m e t h a t a l l d i p o l e m o m e n t s a r e o f e q u a l s t r e n g t h , o r i e n t e d

p a r a l l e l a n d o s c i l l a t e w i t h t h e s a m e f r e q u e n c y ! . T h e p h a s e b e t w e e n t w o d i p o l e s d e p e n d s o n t h e

p o s i t i o n o f t h e a t o m s w i t h r e s p e c t t o t h e e l e c t r o m a g n e t i c w a v e p h a s e f r o n t s a n d t h e i n t e r a t o m i c

d i s t a n c e . T h e r e t a r d e d i n t e r a c t i o n p o t e n t i a l f o r t w o i n t e r a c t i n g d i p o l e s w i t h o n e d i p o l e l o c a t e d a t

t h e o r i g i n a n d t h e o t h e r a t ~ r

H

r e a d s [ 2 3 3 ]

~

V

d d

@ ~r

H

; H A a

d

P

o s @

~

k ¡ ~ r

H

A

R "

H

r

Q

H

¡ ( 4 . 7 )

¡

i ; j

@

i j

Q

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H ; i

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P

H

A @ o s @ k r

H

A C k r

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A A

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H ; i

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r

P

H

A @ k

P

r

P

H

o s @ k r

H

A A ; i ; j a x ; y ; z ;



R F I l n d d d o l E d o l n o n 6 9

y [ ]l x [ ]l

z

[

] l

z

[

] l

0 0

0 02 2

2 2

-2

- 2

-2

- 2

d 1

d2r

0

k

EE

k

F i g u r e 4 . 2 : R e t a r d e d i n t e r a c t i o n p o t e n t i a l s o f t w o o s c i l l a t i n g d i p o l e s d r i v e n b y a n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e

a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 4 . 7 ) . T h e l a s e r e l d i s i n b o t h g u r e s l i n e a r l y p o l a r i z e d a l o n g t h e z - d i r e c t i o n a n d t h e

w a v e v e c t o r k o f t h e t r a v e l i n g w a v e p o i n t s i n t h e y - d i r e c t i o n . T h e t w o d i p o l e s a r e s e p a r a t e d b y ~r , w h e r e o n e

i s p l a c e d a t t h e o r i g i n . T h e y e l l o w r e g i o n s c o r r e s p o n d t o a r e p u l s i v e , t h e b l u e t o a n a t t r a c t i v e p o t e n t i a l . I n

t h e l e f t g u r e t h e t w o d i p o l e s l i e i n t h e y z - p l a n e a n d i n t h e r i g h t g u r e i n t h e x z - p l a n e .

w h e r e d i s t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e d i p o l e m o m e n t a n d

~

k t h e w a v e v e c t o r o f t h e d r i v i n g e l d . T h e

p o t e n t i a l s g e n e r a t e d b y e q u a t i o n ( 4 . 7 ) a r e i l l u s t r a t e d i n g u r e 4 . 2 . T h e r e t a r d a t i o n g e n e r a t e s a

p o t e n t i a l p a t t e r n , w h e r e t h e p o t e n t i a l i s d e p e n d i n g o n t h e p o s i t i o n e i t h e r a t t r a c t i v e o r r e p u l s i v e .

I n a B o s e - c o n d e n s e d s a m p l e w e a r e t y p i c a l l y d e a l i n g w i t h m a n y a t o m s . S o I w a n t t o e x t e n d t h e

d e s c r i p t i o n t o a s y s t e m o f N p a i r w i s e i n t e r a c t i n g d i p o l e s w i t h a d e n s i t y d i s t r i b u t i o n n @ ~r A . T h e

s u p e r p o s e d p o t e n t i a l V

d d

@ ~r

H

A f o r a d i p o l e a t p o s i t i o n ~r

H

i s g i v e n b y

V

d d

@ ~r

H

A a

~

V

d d

@ ~r

H

; ~r A n @ ~r A d

Q

r : ( 4 . 8 )

R e p l a c i n g

~

V

d d

@ ~r

H

; ~r A b y d

P

o s @

~

k ¡ @ ~ r

H

~r A A V

H

d d

@ ~ r

H

~r A , i t i s p o s s i b l e t o r e w r i t e t h e i n t e g r a l a s a

c o n v o l u t i o n

V

d d

@ ~r

H

A a

d

P

o s @

~

k ¡

@ ~ r

H

~r A A

V

H

d d

@ ~ r

H

~r A n @ ~r A d

Q

r ; ( 4 . 9 )

t o w h i c h t h e c o n v o l u t i o n t h e o r e m c a n b e a p p l i e d .



7 0 R o l l

Flash Beam

Polarization

OpticalLattice

OpticalLattice

x

y

z

j

F i g u r e 4 . 3 : A B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e w i t h i n a n o n e - d i m e n s i o n a l o p t i c a l l a t t i c e . T h e r e s u l t i n g d e n s i t y

d i s t r i b u t i o n i s a s t a c k o f p a n c a k e - s h a p e d c o n d e n s a t e s . A l a s e r a l o n g t h e y - d i r e c t i o n i n d u c e s t h e d i p o l e -

d i p o l e i n t e r a c t i o n . T h e l i n e a r p o l a r i z a t i o n o f t h e a s h b e a m c a n b e a l t e r e d f r o m x - p o l a r i z a t i o n ( ' = 0

) t o

z - p o l a r i z a t i o n ( ' = 9 0

) . T h e a l t e r e d m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n i s e i t h e r p r o j e c t e d o n t o t h e x - z p l a n e o r t h e y - z

p l a n e .

4 . 1 . 3 T h e e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n

T h e u n d e r l y i n g g e o m e t r i e s o f t h e p r o p o s e d e x p e r i m e n t a r e s h o w n i n g u r e 4 . 3 . T h e d e s i r e d p a r a -

m e t e r s a r e r e a l i s t i c i n a t y p i c a l B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e e x p e r i m e n t w i t h

V U

R b a t o m s i n t h e F = 2 ,

m

p

= 2 g r o u n d s t a t e . T h e a t o m i c c l o u d i s c o n n e d i n a c i g a r - s h a p e d m a g n e t i c t r a p w i t h t h e l o n g

a x e s a l o n g z a s d e p i c t e d i n g u r e 4 . 3 . I n a d d i t i o n , I a d i a b a t i c a l l y s w i t c h o n a r e t r o - r e e c t e d l a s e r

b e a m w i t h a w a v e l n e g t h o f 7 8 5 n m t o c r e a t e a n o p t i c a l l a t t i c e a l o n g t h e z - a x i s t o i n c r e a s e t h e

d e n s i t y . T h e d e p t h o f t h e l a t t i c e i s s e t t o 1 0 0 r e c o i l e n e r g i e s , w h i c h r e s u l t s i n a n a x i a l t r a p p i n g

f r e q u e n c y o f 1 0 5 k H z . T h e a d d i t i o n a l a x i a l c o n n e m e n t d u e t o t h e m a g n e t i c t r a p i s n e g l e c t e d i n

t h e f o l l o w i n g . R a d i a l l y , t h e t r a p p i n g f r e q u e n c y i s s e t t o 1 k H z w h i c h c a n e i t h e r b e g e n e r a t e d b y t h e

m a g n e t i c t r a p p i n g p o t e n t i a l o r t h e d i p o l e p o t e n t i a l o f t h e o p t i c a l l a t t i c e . D u e t o t h e s t r o n g a x i a l

c o n n e m e n t , t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f t h e g r o u n d s t a t e c a n n o t b e c a l c u l a t e d i n t h e T h o m a s - F e r m i

a p p r o x i m a t i o n . I s o l v e d t h e f u l l G r o s s - P i t a e v s k i i e q u a t i o n [ 2 2 ] n u m e r i c a l l y w i t h a n i m a g i n a r y t i m e

S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n f o r 2 5 0 a t o m s i n a s i n g l e l a t t i c e s i t e f o r t h e g i v e n t r a p p i n g f r e q u e n c i e s . T h e

r e s u l t i n g p a n c a k e - s h a p e d d e n s i t y d i s t r i b u t i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d i n r a d i a l d i r e c t i o n b y a p a r a b o l a

w i t h a T h o m a s - F e r m i r a d i u s o f 1 . 1 5 m a n d a x i a l l y b y a n G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n w i t h a 1 / e

P

r a d i u s

o f 3 4 . 2 n m . T h e r e s u l t i n g p e a k d e n s i t y i s W : U ¡

I H

P H

m

Q

a n d t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l i s 5 . 8 k H z . I n

t h e f o l l o w i n g , I a s s u m e a n i n n i t e s t a c k o f e q u a l p a n c a k e s s e p a r a t e d b y / 2 = 7 8 5 / 2 n m .

T h e i n t e n s i t y o f t h e a s h b e a m i s s e t t o 1 1 2 0 I

s t

a n d i t s f r e q u e n c y i s b l u e - d e t u n e d b y 1 0 0 M H z

f r o m t h e F = 2 t o F = 3 t r a n s i t i o n ( D

P

m u l t i p l e t o f R u b i d i u m ) a t 7 8 0 . 2 4 9 n m , w h i c h c o r r e s p o n d s t o a

d e t u n i n g o f 1 6 . 7 . U s i n g s u c h a l a r g e d e t u n i n g , o n e c a n n e g l e c t a n i n h o m o g e n e o u s i l l u m i n a t i o n o f

t h e a t o m i c c l o u d s i n c e o n l y a s m a l l f r a c t i o n o f t h e l i g h t i s a b s o r b e d . T h e i n d u c e d d i p o l e p o t e n t i a l s

a l t e r s t h e e e c t i v e d e t u n i n g t o t h e a s h b e a m w h i c h r e s u l t s i n a n a l t e r i n g p h a s e a n d m a g n i t u d e o f

t h e o s c i l l a t i n g d i p o l e s w i t h i n t h e c l o u d . T h i s e e c t c a n a l s o b e n e g l e c t e d , s i n c e t h e d e t u n i n g o f t h e

a s h b e a m i s m u c h l a r g e r t h a n t h e i n d u c e d d i p o l e p o t e n t i a l . A l s o n o n l i n e a r e e c t s a s l e n s i n g b y

t h e i n h o m o g e n e o u s d e n s i t y d i s t r i b u t i o n [ 1 9 9 ] a n d r a d i a t i o n t r a p p i n g [ 2 3 4 ] a r e s t r o n g l y s u p p r e s s e d .

T h e a s h b e a m p r o p a g a t e s a l o n g t h e y - d i r e c t i o n a n d i t s p o l a r i z a t i o n a n g l e ' c a n b e a l t e r e d f r o m

H

( p o l a r i z a t i o n a l o n g t h e x - a x i s ) t o W H

( p o l a r i z a t i o n a l o n g t h e z - a x i s ) . T h e s t e a d y s t a t e d i p o l e

m o m e n t w i t h t h i s p a r a m e t e r s i s 5 . 2 6 D e b y e . T h e a s h b e a m i s a p p l i e d f o r 3 0 0 n s w i t h c o n s t a n t

i n t e n s i t y , w h i c h i s l o n g c o m p a r e d t o I = a n d a l l o w s a l l a t o m s t o r e a c h t h e s t e a d y s t a t e . T h e




-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

r m=0.27 m

0.55 mm

2.20 mm

1.10 mm

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0

U [ ] G

m a x ( | d U / d y | ) / m

[ m

/ s

] 2 10

5

104

103

r m[ m]

0 1 2 3 4

my [ m]

F i g u r e 4 . 4 : T h e l e f t g u r e s h o w s t h e i n d u c e d p o t e n t i a l s a l o n g t h e y - a x e s a t x = z = 0 f o r d i e r e n t r a d i a l

w i d t h s o f t h e a t o m i c c l o u d s . T h e v e r t i c a l r e d b a r s a t e a c h p l o t i n d i c a t e t h e r a d i a l T h o m a s - F e r m i r a d i u s .

T h e p e a k a t o m i c d e n s i t y w a s k e p t c o n s t a n t a t W : U ¡ I H

2 0

m

3

f o r a l l w i d t h s . T h e p o l a r i z a t i o n o f t h e a s h

b e a m p o i n t s a l w a y s a l o n g t h e x - a x i s . O n t h e r i g h t s i d e , t h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n a s d e p e n d e n c e o f t h e

r a d i a l T h o m a s - F e r m i r a d i u s i s d e p i c t e d . T h e d a t a s h o w s t h e m a x i m u m g r a d i e n t o f t h e p o t e n t i a l s d i v i d e d

b y t h e m a s s o f a R u b i d i u m a t o m ( m = 1 . 4 4 ¡ I H

2 5

k g ) . T h e h o r i z o n t a l l i n e a ) g i v e s a n u p p e r l i m i t f o r t h e

u n i d i r e c t i o n a l a c c e l e r a t i o n (

d h p i

d t

= m a ~ k = R m ) d u e t o r a d i a t i o n p r e s s u r e . T h e h o r i z o n t a l l i n e b ) m a r k s t h e

m a x i m u m a c c e l e r a t i o n d u e t o m o m e n t u m d i u s i o n c a u s e d b y s p o n t a n e o u s e m i s s i o n p r o c e s s e s (

d

p

h p

2

i

d t

= m ) .

T h e a s h i n g l a s e r h a s a d e t u n i n g o f 1 0 0 M H z a n d a n i n t e n s i t y o f 1 1 2 0 I

s a t

.

s w i t c h i n g t i m e o f t h e l i g h t c a n b e r e d u c e d t o s e v e r a l t e n t h o f n a n o - s e c o n d s w i t h a n a c c u s t o - o p t i c a l

m o d u l a t o r a n d i s t h e r e f o r e s h o r t c o m p a r e d t o t h e 3 0 0 n s a s h i n g t i m e .

4 . 1 . 4 O u t l i n e o f t h e c a l c u l a t i o n a n d r e s u l t s

F o r a g i v e n d e n s i t y d i s t r i b u t i o n a n d w i t h t h e k n o w l e d g e o f t h e r e t a r d e d d i p o l e p o t e n t i a l s o n e c a n

c a l c u l a t e t h e p o t e n t i a l w i t h i n a s i n g l e p a n c a k e . S i n c e t h e r e e x i s t s n o a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o e q u a t i o n

( 4 . 9 ) , t h e i n t e g r a l i s d i s c r e t i c i z e d o n a s i m p l e c u b i c l a t t i c e f o r a n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n . T h e g r i d

f o r t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n i s c h o s e n t o b e T R ¢

T R ¢

I P V a T S : S Q T l a t t i c e p o i n t s a n d t h e g r i d

l a t t i c e s p a c i n g i s

l

= Q P a P R : S n m w h e r e

l

i s t h e w a v e l e n g t h o f t h e l a s e r g e n e r a t i n g t h e o p t i c a l

l a t t i c e . B y u s i n g t h e c o n v o l u t i o n t h e o r e m o n e c a n s t r a i g h t f o r w a r d u s e a c o m m o n F F T a l g o r i t h m

f o r e v a l u a t i o n . T h e f u l l p o t e n t i a l , i n c l u d i n g a l l l a t t i c e s i t e s , i s s i m p l y o b t a i n e d b y s u p e r p o s i n g

t h e c a l c u l a t e d s i n g l e p a n c a k e p o t e n t i a l i n a n i n n i t e o n e d i m e n s i o n a l c h a i n . T h e r e s u l t o f s u c h a

c a l c u l a t i o n i s s h o w n i n g u r e 4 . 4

T h e i n d u c e d d i p o l e p o t e n t i a l V

d d

c h a n g e s t h e m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n o f t h e a t o m i c c l o u d . I n t h e

f o l l o w i n g , I a s s u m e a d e n s i t y d i s t r i b u t i o n o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e w i t h a l l a t o m s h a v i n g t h e

s a m e p h a s e . T h e u n d i s t u r b e d w a v e f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s

H

@ ~r A a e

i ' @ t A

n

H

@ ~r A . T h e w a v e

f u n c t i o n i s a n e i g e n - s t a t e o f t h e u n p e r t u r b e d s i t u a t i o n a n d t h e r e f o r e t h e t i m e e v o l u t i o n o p e r a t o r

o f t h e s y s t e m , a f t e r t h e i n t e r a c t i o n i s s w i t c h e d o n , w r i t e s

U @ ~ r ; t A a e x p @

i V

d d

@ ~r A t = ~

A a n d w i t h

t h i s @

~

r ; t A a

U @ ~ r ; t A

H

@ ~r A . H e r e I d e m a n d t h a t t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n d o e s n o t c h a n g e d u r i n g

t h e i n t e r a c t i o n t i m e , w h i c h i s l e g i t i m a t e i n t h e s o c a l l e d R a m a n N a t h r e g i m e [ 2 3 5 ] . T h e R a m a n -

N a t h a p p r o x i m a t i o n i s v a l i d a s l o n g t h e g a i n e d k i n e t i c e n e r g y i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e i n t e r a c t i o n



7 2 R o l l

Polarization angle j

s p

[ h k ]

y

s p

[ h k ]

x

0 30 60 90

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

0 30 60 90

Polarization angle j

F i g u r e 4 . 5 : T h e t w o g r a p h s d e p i c t t h e w i d t h o f t h e m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n o f t h e a t o m i c c l o u d a f t e r t h e

l i g h t - i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e p o t e n t i a l w a s a p p l i e d f o r 3 0 0 n s . T h e T h o m a s F e r m i r a d i u s w a s s e t t o 1 . 1 5 m .

T h e g r a p h o n t h e l e f t s h o w s t h e b r o a d e n i n g i n m o m e n t u m s p a c e p r o j e c t e d o n t o t h e y - a x e s a s a f u n c t i o n o f

t h e p o l a r i z a t i o n a n g l e a n d t h e r i g h t t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e x - a x e s . T h e s l a s h - d o t t e d l i n e i n c l u d e s t h e e e c t

o f t h e l i g h t - i n d u c e d p o t e n t i a l s a n d t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l . T h e s o l i d l i n e i s t h e i n c o h e r e n t b a c k g r o u n d o f

t h e s p o n t a n e o u s s c a t t e r e d p h o t o n s a s a f u n c t i o n o f t h e p o l a r i z a t i o n a n g l e ' . T o r e c e i v e t h e f u l l w i d t h i n

m o m e n t u m s p a c e o n e h a s t o a d d t h e t w o c u r v e s i n q u a d r a t u r e .

p o t e n t i a l . T h e m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n a f t e r t h e i n t e r a c t i o n t i m e t i s g i v e n b y

~ n @

~

k ; t A a

I

V

Q

e

i

~

k ~r

U @ ~ r ; t A

H

@ ~r ; H A d

Q

r

P

: ( 4 . 1 0 )

D u r i n g t h e i n t e r a c t i o n t i m e o f 3 0 0 n s t h e a t o m s e x p e r i e n c e a m a x i m u m a c c e l e r a t i o n o f a b o u t

S ¢ I H

R

m = s

P

( s e e g u r e 4 . 4 ) w h i c h r e s u l t s i n a s p a t i a l d i s p l a c e m e n t o f l e s s t h a n 1 % o f t h e

w a v e l e n g t h o f t h e d r i v i n g e l d . T h e k i n e t i c e n e r g y a f t e r s u c h a n a c c e l e r a t i o n i s a b o u t 1 % o f

t h e c a l c u l a t e d i n t e r a c t i o n e n e r g y . T h e r e f o r e i t i s a f a i r a p p r o x i m a t i o n t o c a r r y o u t t h e s i m u l a t i o n

i n t h e R a m a n - N a t h r e g i m e . T h i s m e a n s a l s o t h a t s u p e r r a d i a n t e e c t s c a n b e n e g l e c t e d [ 2 3 6 ] .

T o a c c o u n t f o r a d d i t i o n a l b r o a d e n i n g e e c t s o f t h e m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n b y s p o n t a n e o u s s c a t -

t e r i n g e v e n t s , t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e f u l l a t o m i c d e n s i t y m a t r i x w a s c a r r i e d o u t s e e a p p e n d i x D .

T h i s i n c l u d e s t h e d i e r e n t p o l a r i z a t i o n s o f t h e d r i v i n g e l d , t h e p u m p i n g o f t h e a t o m s i n t o o t h e r

m

F

s t a t e s a n d t h e a n g u l a r d i s t r i b u t i o n o f t h e a c q u i r e d r e c o i l . F o r g i v e n p a r a m e t e r s , a b o u t t h r e e

p h o t o n s a r e s c a t t e r e d p e r a t o m . T h e a m o u n t o f s c a t t e r e d p h o t o n s c a n b e e x p e r i m e n t a l l y c h e c k e d

f o r c o n s i s t e n c y p u r p o s e s b y t h e s h i f t o f t h e c e n t e r o f m a s s p o s i t i o n a f t e r s o m e t i m e o f i g h t o f t h e

a t o m c l o u d .

T h e n a l m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n i s t h e n g i v e n b y t h e c o n v o l u t i o n o f t h e m o m e n t u m g a i n d u e t o t h e

i n d u c e d d i p o l e p o t e n t i a l , t h e m e a n e l d o f t h e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e a n d t h e s p o n t a n e o u s l y

s c a t t e r e d p h o t o n s . T o e x t r a c t a m e a n m o m e n t u m b r o a d e n i n g , t h e c o n v o l u t e d d i s t r i b u t i o n w a s

t t e d w i t h v e r y g o o d a g r e e m e n t b y a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .

I n g u r e 4 . 4 t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e l i g h t - i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n p o t e n t i a l t h r o u g h t h e

c e n t e r o f a p a n c a k e a l o n g t h e y - a x i s i s s h o w n . T h e c o n t r i b u t i o n o f t h e n e i g h b o r i n g p a n c a k e s i s

i n c l u d e d b y p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e d i e r e n t c u r v e s r e p r e s e n t p a n c a k e s w i t h d i e r e n t

r a d i a l s i z e s b u t a t x e d a x i a l s i z e a n d c o n s t a n t d e n s i t y a n d s h o w t h e d e p e n d e n c e o f t h e i n d u c e d




p o t e n t i a l s o n t h e g e o m e t r y o f t h e a t o m i c c l o u d . I n t h e l i m i t o f a n i n n i t e c l o u d w i t h a c o n s t a n t

d e n s i t y d i s t r i b u t i o n , t h e p o t e n t i a l w o u l d b e j u s t a c o n s t a n t a n d i t s m e c h a n i c a l e e c t o n t h e a t o m s

v a n i s h e s . T h e i n c r e a s e o f t h e i n d u c e d p o t e n t i a l s i n t h e c e n t e r o f t h e c l o u d w i t h l a r g e r r a d i i a r i s e s

f o r m t h e g r e a t e r a t o m n u m b e r w i t h i n t h e c l o u d , s i n c e t h e d e n s i t y i s k e p t c o n s t a n t . T h e i n t e r a c t i o n

p o t e n t i a l i s o n t h e o r d e r o f s e v e r a l M H z , w h i c h i s l a r g e c o m p a r e d t o a l l o t h e r e n e r g y s c a l e s i n t h e

s y s t e m l i k e t h e t r a p p i n g f r e q u e n c i e s a n d t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l d u e t o t h e i n t e r a c t i o n v i a s - w a v e

s c a t t e r i n g .

T h e r i g h t h a n d s i d e o f g u r e 4 . 4 s h o w s t h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n e x t r a c t e d f r o m t h e p o t e n t i a l s .

F o r s u c i e n t l y s m a l l r a d i a l s i z e s o f t h e a t o m i c c l o u d , t h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n p r e v a i l s t h e u n i -

d i r e c t i o n a l a c c e l e r a t i o n

~ k

R

d u e t o t h e s p o n t a n e o u s l i g h t f o r c e . T h i s a l l o w s t o c l e a r l y d i s t i n g u i s h

t h e e e c t s e m e r g i n g f r o m t h e d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n f r o m s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g e v e n t s .

F i n a l l y t h e s l a s h - d o t t e d c u r v e s i n g u r e 4 . 5 s h o w t h e c a l c u l a t e d w i d t h s o f t h e m o m e n t u m d i s t r i -

b u t i o n f o r t h e p r e v i o u s p a r a m e t e r s a l o n g t h e x a n d y d i r e c t i o n a s a f u n c t i o n o f t h e p o l a r i z a t i o n

a n g l e . N o t i n c l u d e d i n t h e s l a s h - d o t t e d c u r v e s i s t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g

e v e n t s r e p r e s e n t e d b y t h e s o l i d l i n e s . T h e b r o a d e n i n g i n m o m e n t u m s p a c e c a n b e u p t o 1 0 r e c o i l s ,

w h i c h i s f a i r l y l a r g e r t h a n t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l . N o t i c e a b l e i s t h e e x i s t e n c e

o f a s t r o n g d e p e n d e n c e o f t h e b r o a d e n i n g o n t h e p o l a r i z a t i o n a n g l e ' . I n b o t h d i r e c t i o n s e x i s t s a n

a n g l e a t w h i c h t h e e e c t o f t h e d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n n e a r l y v a n i s h e s a n d t h e m o m e n t u m d i s t r i -

b u t i o n i s d o m i n a t e d b y t h e r e l e a s e d c h e m i c a l p o t e n t i a l . T h e p l o t o n t h e l e f t s i d e s h o w s a m i n i m u m

c l o s e t o t h e s o - c a l l e d m a g i c a n g l e a t 5 4 . 7 4

w h e r e t h e i n t e r a c t i o n o f t w o d i p o l e s v a n i s h e s . S u c h a

m i n i m u m b r o a d e n i n g i s a c l e a r s i g n a t u r e o f t h e d i p o l a r c h a r a c t e r o f t h e p o t e n t i a l s s i n c e i t c a n n o t

b e e x p l a i n e d b y o t h e r l i g h t - a t o m i n t e r a c t i o n m e c h a n i s m s .

T h i s t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t o f t h e l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n i d e n t i e s a n e w r e g i m e o f

c o h e r e n t a t o m - l i g h t i n t e r a c t i o n . T h e m e c h a n i c a l e e c t o f t h i s i n t e r a c t i o n c a n b e d e t e c t e d i n a

s t a n d a r d B E C - s e t u p a s w e u s e . T h e s m o k i n g g u n o f t h e d i p o l a r c h a r a c t e r i s t h e a n g u l a r d e p e n d e n c e

o f t h e m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n , w h i c h c a n n o t b e e x p l a i n e d b y s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g e v e n t s .



7 4 R o l l



5 E x p e r i m e n t a l r e s u l t s

I n t h i s c h a p t e r I r e v i e w t h e r e s u l t s o f t h r e e d i s t i n c t e x p e r i m e n t a l p r o j e c t s , w h i c h w e r e a c c o m -

p l i s h e d d u r i n g t h e l a s t y e a r . E a c h o f t h e m i n v o l v e d a n a d d i t i o n a l s e t u p , w h i c h w i l l b e p r e s e n t e d

i n d e t a i l . T h e p r o j e c t s w e r e r e a l i z e d w i t h t h e h e l p o f t h r e e d i p l o m a s t u d e n t s a n d m o r e d e t a i l s o n

t h e c o n d u c t e d e x p e r i m e n t s c a n b e f o u n d i n [ 1 8 0 , 2 3 7 , 2 3 8 ] . T h e o u t c o m e o f t h e s e e x p e r i m e n t s

a r e i m p o r t a n t c o r n e r s t o n e s t o w a r d s t h e t w o m a i n r e s e a r c h r o u t e s o f t h i s p r o j e c t , n a m e l y R y d b e r g

m a t t e r a n d t h e S p i n - B o s o n m o d e l ( f o r m o r e d e t a i l s o n t h e s e s e e c h a p t e r 6 . 2 ) .

5 . 1 B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s i n a n o p t i c a l l a t t i c e

T h e r s t r e s u l t i s t h e o b s e r v a t i o n o f d i r a c t i o n o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e i n a o n e - d i m e n s i o n a l

e l e c t r o m a g n e t i c s t a n d i n g w a v e . T h e c o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l d a t a w i t h t h e t h e o r e t i c a l

p r e d i c t i o n s d e r i v e d i n c h a p t e r 2 . 5 . 1 a l l o w s t h e a s s i g n a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s n e e d e d f o r

f u t u r e e x p e r i m e n t s i n v o l v i n g o p t i c a l l a t t i c e s . T h e f o c u s h e r e b y i s o n t h e e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n

o f t h e S p i n - B o s o n m o d e l w h i c h i s a d d r e s s e d i n c h a p t e r 6 . 2 . A m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e

a c c o m p l i s h e d e x p e r i m e n t s w i t h o p t i c a l l a t t i c e s a n d t h e t e c h n i c a l b a c k g r o u n d o f t h e e x p e r i m e n t a l

s e t u p , a s w e l l t h e t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t , c a n b e f o u n d i n [ 1 8 0 ] . T h e g e n e r a l s t a t u s o f r e s e a r c h

i n v o l v i n g c o l d a t o m s a n d o p t i c a l l a t t i c e s i s r e v i e w e d i n c h a p t e r 1 . 1 .

5 . 1 . 1 E x p e r i m e n t a l s e t u p

T o t e s t t h e p e r f o r m a n c e o f t h e l a s e r s e t u p s h o w n i n g u r e 5 . 1 w e i m p l e m e n t e d a s a r s t s t e p a

o n e - d i m e n s i o n a l o p t i c a l l a t t i c e w i t h a w a v e l e n g t h o f 8 2 0 n m . B y m o n i t o r i n g t h e d i r a c t i o n o r d e r s

i n d e p e n d e n c e o f t h e i n t e r a c t i o n t i m e o f t h e B E C w i t h t h e o p t i c a l l a t t i c e , w e c a n d r a w c o n c l u s i o n s

a b o u t t h e g e o m e t r y o f t h e l a t t i c e , t h e a c h i e v e d p o t e n t i a l d e p t h s a n d i t s r e p r o d u c i b i l i t y .

T h e t w o l a s e r b e a m s g e n e r a t i n g t h e o p t i c a l l a t t i c e w e r e a l i g n e d t h r o u g h t h e v i e w p o r t

1 8

( s e e g u r e

3 . 5 ) a l o n g t h e l o n g a x i s ( z - a x i s ) o f t h e c i g a r s h a p e d B E C . T h e s i g n a l o f a n e x t e r n a l r e f e r e n c e

c a v i t y w a s u s e d t o s t a b i l i z e t h e f r e q u e n c y o f t h e T i t a n i u m : S a p p h i r e l a s e r . T h e l i g h t w a s b r o u g h t

t o t h e v a c u u m c h a m b e r b y a p o l a r i z a t i o n m a i n t a i n i n g b e r . T h i s i n c r e a s e s t h e p o i n t i n g s t a b i l i t y o f

t h e l a s e r b e a m s w i t h r e s p e c t t o t h e a t o m s , s i n c e t h e f r e e p r o p a g a t i o n i n a i r i s r e d u c e d t o a b o u t

h a l f a m e t e r . T h e p o l a r i z a t i o n o f t h e l i g h t i s c l e a n e d a f t e r t h e b e r a d d i t i o n a l l y b y a p o l a r i z i n g

b e a m s p l i t t i n g c u b e . T o a v o i d a d d i t i o n a l o p t i c s f o r b e a m e x p a n s i o n w e u s e a c o l l i m a t i o n p a c k a g e

1

w h i c h d e l i v e r s r i g h t a w a y a p a r a l l e l b e a m w i t h a n 1 / e

P

w a i s t o f 6 0 0 m . T h i s c o l l i m a t e d b e a m i s

t h e n f o c u s e d o n t o t h e a t o m s w i t h a f = 3 0 0 m m l e n s , w h i c h y i e l d s a t t h e p o s i t i o n o f t h e a t o m s a

b e a m w a i s t o f 1 3 0 m w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g R a y l e i g h - r a n g e o f 7 . 1 m m . T h e T h o m a s - F e r m i r a d i i

3 . 3 m ¢

3 . 3 m ¢

4 6 m o f t h e m a g n e t i c a l l y t r a p p e d B E C a r e i n b o t h d i r e c t i o n s w e l l s m a l l e r t h a n

t h e e x t e n s i o n o f t h e f o c u s e d l a s e r b e a m . B y t h i s o n e c a n a s s u m e t h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n t o b e

c o n s t a n t o v e r t h e c o n d e n s a t e . F o r r e t r o - r e e c t i n g t h e l a s e r b e a m w e m o u n t e d a n o t h e r f = 3 0 0 m m

1

6 0 F C - 4 - A 6 . 2 S , S c h ä f t e r - K i r c h h o



7 6 S i m n l l

WM

Ti:Sa

Verdi

PID

PID

Ti:Sa

Verdi

PID

WM

Bending mirror

RetroreflectingMirror

Lens

l /2-plate

Polarizingbeam splitter

Optical diodeFaraday isolator

10W solid statepump laser

Titan:Sapphirelaser

PID - control

Wave - meter

Accusto - opticalmodulator

Polarization

maintainingfiber

Cavity resonator

Optical lattice

Photo diode

F i g u r e 5 . 1 : L a s e r - s y s t e m f o r e x p e r i m e n t s w i t h o p t i c a l d i p o l e t r a p s a n d o p t i c a l l a t t i c e s . A T i t a n i u m : S a p p h i r e

l a s e r ( T I S - S F 0 7 , T e k h n o - S c a n ) , p u m p e d b y a s o l i d - s t a t e l a s e r ( V e r d i - 1 0 , C o h e r e n t ) , d e l i v e r s a b o u t 1 W a t t

o f l a s e r p o w e r a t a w a v e l e n g t h o f 8 2 0 n m . T h e s i g n a l o f a n e x t e r n a l c a v i t y r e s o n a t o r i s u s e d t o c o n t r o l t h e

r e s o n a t o r l e n g t h o f t h e T i : S a l a s e r , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o s t a b i l i z e t h e l a s e r f r e q u e n c y . A n a c c u s t o o p t i c a l

m o d u l a t o r ( A O M ) i s u s e d t o a d j u s t t h e d e p t h o f t h e d i p o l e p o t e n t i a l s . B y i m p l e m e n t i n g a p h o t o d i o d e a f t e r

t h e o p t i c a l b e r w e c a n c o n t r o l t h e i n t e n s i t y b y r e g u l a t i n g t h e r f p o w e r e n t e r i n g t h e A O M w i t h a P I D l o o p .

T h e r e s p o n s e t i m e o f t h e l o o p c i r c u i t r y i s s u c i e n t f o r a d i a b a t i c r a m p i n g o f t h e d i p o l e p o t e n t i a l s b u t n o t

f o r t h e s h o r t t i m e s c a l e s r e q u i r e d i n d i r a c t i o n e x p e r i m e n t s . F o r s u c h e x p e r i m e n t s o n l y t h e p a s s i v e s t a b i l i t y

o f t h e i n t e n s i t y i s u s e d .

l e n s i n a 2 f - s e t u p b e h i n d t h e v a c u u m c h a m b e r . T o e n s u r e a g o o d o v e r l a p b e t w e e n t h e t w o b e a m s ,

w e i n s t a l l e d a p h o t o - d i o d e i n f r o n t o f t h e b e r a n d a l i g n e d t h e r e t r o - r e e c t e d b e a m w i t h a H

m i r r o r

a g a i n t h r o u g h t h e b e r .

5 . 1 . 2 R e s u l t s

T o o p t i m i z e t h e a l i g n m e n t o f t h e l a t t i c e w e t r a n s f e r r e d i n a r s t s t e p t h e r m a l a t o m s w i t h a

t e m p e r a t u r e o f a f e w K i n t o t h e f o c u s o f a s i n g l e l a s e r b e a m ( w i t h o u t t h e r e t r o - r e e c t e d b e a m ) .

T h e p o s i t i o n o f t h e d i p o l e t r a p w a s t h e n o p t i m i z e d o n t h e t r a n s f e r e c i e n c y o f t h e a t o m s . B y

i n c r e a s i n g l i n e a r l y t h e p o w e r o f t h e l i g h t t r a p t o a m a x i m u m v a l u e o f a b o u t 2 0 0 m W a n d t h e n

s w i t c h i n g o s u d d e n l y t h e m a g n e t i c t r a p , w e a c h i e v e d a t r a n s f e r e c i e n c y o f a l m o s t 1 0 0 % . A s a

n e x t s t e p w e a d d e d t h e r e t r o - r e e c t e d l a s e r b e a m t o g e n e r a t e a n o p t i c a l l a t t i c e . T o t r a n s f e r t h e

a t o m s i n t o t h e o p t i c a l l a t t i c e p o t e n t i a l w e p r o c e e d e d i n t h e s a m e m a n n e r a s f o r t h e s i n g l e b e a m

t r a p . A l s o i n t h i s c a s e w e t r a n s f e r r e d a l m o s t a l l a t o m s i n t o a p u r e d i p o l e p o t e n t i a l . W e t e s t e d t h e

a d i a b a t i c i t y o f t h e t r a n s f e r b y r s t r a m p i n g u p t h e l a s e r p o w e r w i t h i n 1 0 0 m s , h o l d i n g t h e a t o m s f o r



S F I f o E i n n o n d n n n o l l 7 7

0 0.2 0.5 1.1 1.7 2.2 2.8 3.3 3.8 4.3 4.8 5.2 5.7 6.2 6.7 7.2 8.3 10 13

F i g u r e 5 . 2 : A b s o r p t i o n i m a g e s o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e d i r a c t e d i n a n o p t i c a l l a t t i c e . T h e l o w e r p a r t

o f t h e g u r e s h o w s a b s o r p t i o n i m a g e s o f t h e d i r a c t e d a t o m s f o r d i e r e n t i n t e r a c t i o n t i m e s . T h e n u m b e r s

b e l o w i n d i c a t e t h e e x p o s u r e i n s . T h e c o l o r c o d i n g r e e c t s t h e n u m b e r o f d e t e c t e d a t o m s ( f r o m l i t t l e

a t o m n u m b e r c o l o r e d b l u e t o h i g h o n e s i n r e d ) . A b o v e t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t i s a t h e o r e t i c a l s i m u l a t i o n f o r

a p o t e n t i a l d e p t h o f 9 1 E

r e c

d e p i c t e d . W i t h t h e g r e a t a g r e e m e n t b e t w e e n e x p e r i m e n t a n d t h e o r y , w e c a n

s p e c i f y t h e d e p t h o f t h e l a t t i c e p o t e n t i a l w i t h i n 5 % a c c u r a c y .

s e v e r a l m s i n t h e c o m b i n e d p o t e n t i a l o f t h e m a g n e t i c t r a p a n d t h e o p t i c a l t r a p a n d t h e n d e c r e a s e d

t h e p o w e r a g a i n w i t h i n 1 0 0 m s . F o r t h e r m a l c l o u d s a t a t e m p e r a t u r e o f a f e w K w e m e a s u r e d

a l m o s t n o h e a t i n g o f t h e c l o u d . B u t w h e n t r a n s f e r r i n g a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e i n t o t h e l a t t i c e

t h e a t o m s w e r e s e v e r e l y h e a t e d . S i n c e w e m o n i t o r e d a l s o a l o s s i n t h e a t o m n u m b e r , w e i d e n t i e d

t h i s h e a t i n g w i t h i n e l a s t i c t h r e e b o d y c o l l i s i o n s ( s e e c h a p t e r 2 . 4 . 3 ) .

T o d e t e r m i n e t h e d e p t h o f t h e o p t i c a l l a t t i c e p o t e n t i a l w e c o n d u c t e d a s t a n d a r d d i r a c t i o n e x p e r -

i m e n t [ 1 7 9 ] . A f t e r t h e g e n e r a t i o n o f a B E C w i t h a b o u t P ¡

I H

S

a t o m s ( a s d e s c r i b e d i n c h a p t e r

3 . 1 1 ) t h e l a t t i c e l a s e r l i g h t w a s s w i t c h e d o n f o r a c h o s e n t i m e w i t h c o n s t a n t p o w e r o f a b o u t 2 0 0

m W , w h i l e t h e c o n d e n s a t e w a s s t i l l c o n n e d i n t h e m a g n e t i c t r a p . T h e a s h i n g t i m e w a s v a r i e d

f r o m 2 0 0 n s t o 1 2 . 6 s b y s w i t c h i n g o n a n d o t h e r a d i o - f r e q u e n c y p o w e r o f t h e a c c u s t o - o p t i c a l

m o d u l a t o r a n d w i t h t h i s t h e l a s e r l i g h t . T h e r i s e a n d f a l l t i m e s o f t h e i n t e n s i t y w a s o n t h e o r d e r

o f 2 5 n s . T h i s s w i t c h i n g t i m e i s o f 2 5 n s w a s i n c l u d e d i n a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t

a n d i t t u r n e d o u t t h a t i t i s n o t c h a n g i n g t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e d i r a c t i o n p a t t e r n s s e v e r e l y . 1 0 0

s a f t e r t h e l a t t i c e l i g h t p u l s e w a s s w i t c h e d o n , w e r e l e a s e d t h e a t o m s f r o m t h e m a g n e t i c t r a p f o r

a t i m e o f i g h t m e a s u r e m e n t . T h e m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n o f t h e a t o m s w a s d e t e c t e d a f t e r 1 7 m s

o f f r e e e v o l u t i o n b y a b s o r p t i o n i m a g e s ( s e e c h a p t e r 3 . 3 . 2 ) .

I n g u r e 5 . 2 a b s o r p t i o n i m a g e s f o r i n c r e a s i n g i n t e r a c t i o n t i m e s a r e s h o w n . T h e u p p e r p a r t o f

t h e g u r e s h o w s a t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n f o l l o w i n g c h a p t e r 2 . 5 . 1 f o r a l a t t i c e d e p t h o f 9 1 E

r e c

.



7 8 S i m n l l

t [ s]m

t [ s]m t [ s]m

t [ s]m t [ s]m

F r a c

t i o n

F r a c

t i o

n

F r a c

t i o n

F r a c

t i o n

F r a c

t i o

n

0th order 1st order

2nd order 3rd order

4th order

F i g u r e 5 . 3 : O c c u p a t i o n f r a c t i o n o f t h e d i e r e n t d i r a c t i o n o r d e r s . E a c h p l o t s h o w s t h e n o r m a l i z e d a t o m

n u m b e r f o r e a c h o r d e r a s f u n c t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n t i m e w i t h t h e o p t i c a l l a t t i c e p o t e n t i a l . T h e a t o m n u m b e r

p e r o r d e r i s t h e s u m o f t h e t w o s y m m e t r i c d i r a c t i o n p e a k s . T h e s o l i d l i n e s a r e t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n f o r

t h r e e d i e r e n t p o t e n t i a l d e p t h s , n a m e l y 8 6 E

r e c

( b l u e ) , 9 1 E

r e c

( g r e e n ) a n d 9 6 E

r e c

( m a g e n t a ) .



S F I f o E i n n o n d n n n o l l 7 9

D i r a c t i o n p e a k s u p t o t h e f o u r t h o r d e r a r e c l e a r l y v i s i b l e . A m o r e d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h e d a t a i s

s h o w n i n g u r e 5 . 3 . T h e v e p l o t s s h o w t h e t i m e d e p e n d e n t o c c u p a t i o n o f t h e i n d i v i d u a l d i r a c t i o n

o r d e r f r o m 0 t h t o 4 t h o r d e r . T h e f r a c t i o n o f e a c h o r d e r w a s d e t e r m i n e d b y s u m m i n g t h e n u m b e r o f

a t o m s f o r t h e t w o s y m m e t r i c d i r a c t i o n o r d e r s a n d n o r m a l i z i n g i t t o t h e t o t a l a t o m n u m b e r . T h e

i n t e n s i t y u c t u a t i o n o f t h e l a s e r w a s a b o u t o f 5 % f r o m s h o t t o s h o t , s i n c e t h e P I D - l o o p f o r t h e

i n t e n s i t y s t a b i l i z a t i o n c o u l d n o t b e u s e d f o r s u c h s h o r t p u l s e s . T h e v a r i a t i o n o f t h e i n t e n s i t y i s m o s t

l i k e l y d u e t o t h e p o i n t i n g i n s t a b i l i t y o f t h e T i : S a l a s e r , w h i c h l e a d s t o a r e d u c e d i n j e c t i o n e c i e n c y

i n t o t h e o p t i c a l b e r . T h e d i e r i n g i n t e n s i t i e s a r e r e e c t e d i n g u r e 5 . 3 b y t h r e e t h e o r e t i c a l c u r v e s

f o r p o t e n t i a l d e p t h s a t 8 6 E

r e c

( b l u e ) , 9 1 E

r e c

( g r e e n ) a n d 9 6 E

r e c

( m a g e n t a ) .

T h e a v a i l a b l e l a s e r p o w e r o f a b o u t 2 0 0 m W l e a d s a t t h e p o s i t i o n o f t h e a t o m s t o a p e a k i n t e n s i t y

o f I

m a x

= 9 8 0 W / m

P

. T h e e x p e c t e d p o t e n t i a l d e p t h ( s e e A p p e n d i x E ) i s t h e n a b o u t 1 3 0 E

r e c

. T h e

o b s e r v e d p o t e n t i a l d e p t h o f a b o u t 9 1 E

r e c

i s 3 0 % b e l o w t h e e x p e c t e d v a l u e , w h i c h c a n b e e x p l a i n e d

b y s e v e r a l c i r c u m s t a n c e s . T h e t w o v i e w p o r t s ( m a d e o f f u s e d s i l i c a ) t h r o u g h w h i c h t h e l a s e r b e a m s

e n t e r t h e v a c u u m c h a m b e r f e a t u r e n o a n t i r e e c t i o n c o a t i n g , w h i c h r e d u c e s t h e p o t e n t i a l d e p t h o f

t h e o p t i c a l l a t t i c e a l r e a d y b y 1 5 % . A f u r t h e r e e c t f o r a d e c r e a s e d p o t e n t i a l d e p t h i s t h e s l i g h t

c h a n g e o f t h e l i n e a r p o l a r i z a t i o n b y t h e o p t i c a l v i e w p o r t s w h i c h e x h i b i t s o m e b i r e f r i n g e n c e . B e c a u s e

o f t h e l a r g e d e t u n i n g a r e s i n g l e b e a m d i p o l e t r a p s a l m o s t i m m u n e t o t h i s e e c t , b u t t h e o p t i c a l

l a t t i c e d e p e n d s o n t h e i n t e r f e r e n c e o f t h e e l e c t r i c e l d c o m p o n e n t s . I f t h e d i r e c t i o n o f t h e e l e c t r i c

e l d c o m p o n e n t o f t h e l i n e a r p o l a r i z a t i o n i s t i l t e d b y a n a n g l e w i t h r e s p e c t t o t h e i n i t i a l b e a m

a n d t h e r e t r o - r e e c t e d o n c h a n g e s t h e p o t e n t i a l d e p t h a s o s

P

. F i n a l l y r e m a i n s a u n c e r t a i n t y

i n t h e o v e r l a p o f t h e t w o f o c i , s i n c e t h e f o c u s o f t h e r e t r o - r e e c t e d b e a m c a n n o t b e a d j u s t e d

i n d e p e n d e n t l y a s i t i s d o n e f o r t h e p r i m a r y b e a m . H o w e v e r i s t h i s e e c t r a t h e r n e g l i g i b l e a t s u c h

l a r g e R a y l e i g h r a n g e s a s u s e d i n o u r c a s e .

T h e o b s e r v a t i o n o f t h e d i r a c t i o n p e a k s g i v e s n o t o n l y i n f o r m a t i o n a b o u t t h e d e p t h o f t h e o p t i c a l

p o t e n t i a l , b u t c a n a l s o b e u s e d t o c a l i b r a t e t h e i m a g i n g s y s t e m . E a c h d i r a c t i o n o r d e r n c o r r e s p o n d s

t o a r e c o i l m o d e o f ¦ P n ~

k . W i t h t h e w e l l k n o w n r e c o i l v e l o c i t y a t 8 2 0 n m a n d t h e k n o w l e d g e o f

t h e t i m e o f i g h t d u r a t i o n i t i s p o s s i b l e t o c a l i b r a t e t h e m a g n i c a t i o n v e r y a c c u r a t e l y .

T h e a b s o r p t i o n p i c t u r e s i n g u r e 5 . 2 s h o w n o t o n l y d i s t i n c t d i r a c t i o n p e a k s b u t a l s o a c l o u d

o f s c a t t e r e d a t o m s . T o e s t i m a t e t h e n u m b e r o f s c a t t e r e d a t o m s o n e h a s t o i n c l u d e t h e t i m e

d e p e n d e n c e o f t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n . T h e t o t a l n u m b e r o f s c a t t e r i n g e v e n t s i s g i v e n b y t h e

i n t e g r a t e d s c a t t e r i n g r a t e

n @ t A

¡ v d t . T h e e v o l u t i o n o f t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n c o n s i s t s o f t h r e e

s t e p s . I n t h e r s t s t e p t h e l a t t i c e p o t e n t i a l i s a p p l i e d t o t h e m a g n e t i c a l l y t r a p p e d a t o m s f r o m a f e w

n s u p t o t o 1 3 s . T h e d e n s i t y o f t h e c l o u d d o e s a l m o s t n o t c h a n g e d u r i n g t h i s p u l s e a n d c a n b e s e t

t o b e c o n s t a n t . T h e v e l o c i t y o f t h e d i r a c t e d a t o m s f o r t h e n t h o r d e r i s n t i m e s t h e r e c o i l v e l o c i t y

¡ I I : P m m / s . F o r a m e a n d e n s i t y o f I H

I R

c m

Q

o n l y a f e w p e r c e n t o f t h e a t o m s a r e s c a t t e r e d .

T h e a t o m s r e s i d e a f t e r t h e p u l s e f o r 1 0 0 s i n t h e m a g n e t i c t r a p . T h e c e n t e r o f m a s s o f t h e r s t

d i r a c t i o n o r d e r m o v e s i n t h i s t i m e a b o u t 1 m , w h i c h i s m u c h l e s s t h a n t h e T h o m a s - F e r m i r a d i u s

o f a b o u t 5 0 m a l o n g t h e z - a x i s . A l s o h e r e o n e c a n a s s u m e t h e d e n s i t y t o b e c o n s t a n t , a n d a b o u t

1 0 % o f t h e a t o m s m o v i n g w i t h t w o r e c o i l v e l o c i t i e s g e t s c a t t e r e d d u r i n g t h i s t i m e . F i n a l l y t h e

a t o m s a r e r e l e a s e d f r o m t h e m a g n e t i c t r a p a n d u n d e r g o a f r e e e x p a n s i o n a s d e s c r i b e d i n c h a p t e r

3 . 3 . 3 . D u r i n g t h e e x p a n s i o n t h e s c a t t e r i n g r a t e d r o p s a c c o r d i n g l y t o t h e r e d u c t i o n o f t h e d e n s i t y . I n

t h e c a s e o f c i g a r s h a p e d c o n d e n s a t e s , a s g i v e n i n o u r c a s e , t h e d e n s i t y d r o p s r o u g h l y q u a d r a t i c a l l y

i n t i m e . I f o n e t a k e s f o r e x a m p l e a s i t u a t i o n w h e r e a b o u t h a l f o f t h e a t o m s a r e d i r a c t e d i n t o

t h e r s t d i r a c t i o n o r d e r ( s e e a b s o r p t i o n g u r e a t 1 . 7 s ) t h e i n t e g r a t i o n o f t h e s c a t t e r i n g r a t e

r e s u l t s i n a t o t a l s c a t t e r i n g p r o b a b i l i t y o f a b o u t 5 0 % , w h i c h i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e o b s e r v e d

f r a c t i o n .

T o o b t a i n a b e t t e r v i s i b i l i t y o f t h e d i r a c t i o n p e a k s , o n e h a s t o r e d u c e i n f u t u r e e x p e r i m e n t s t h e



8 0 S i m n l l

d e n s i t y o f t h e i n i t i a l c l o u d e i t h e r b y r e d u c i n g t h e s t r e n g t h o f t h e c o n n i n g m a g n e t i c t r a p o r b y

a p p l y i n g t h e l a t t i c e p o t e n t i a l a f t e r s o m e t i m e o f i g h t . I f f o r e x a m p l e t h e r a d i a l t r a p p i n g f r e q u e n c y

o f t h e m a g n e t i c t r a p i s r e d u c e d b y a f a c t o r o f t e n , o n e l i m i t s t h e s c a t t e r i n g e v e n t s a l r e a d y t o o n l y

a f e w p e r c e n t .

T h i s r e a l i z a t i o n o f a o n e - d i m e n s i o n a l l a t t i c e i s a n i m p o r t a n t s t e p t o w a r d s t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e

S p i n - B o s o n m o d e l ( s e e c h a p t e r 6 . 2 . 1 ) . T h e n e x t s t e p i s t h e e x t e n s i o n o f t h e s e t u p t o a t w o -

d i m e n s i o n a l l a t t i c e i n t h e s a m e m a n n e r a s d e s c r i b e d a b o v e . W i t h a l a t t i c e d e p t h o f 3 0 E

r e c

f o r

e a c h a x i s o n e r e a c h e s t h e r e g i m e o f o n e - d i m e n s i o n a l g a s e s a s r e q u i r e d f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f

t h e S p i n - B o s o n m o d e l .

5 . 2 R a b i o s c i l l a t i o n s b e t w e e n t h e t w o h y p e r n e g r o u n d s t a t e s

T o t r a n s f e r a t o m s c o h e r e n t l y b e t w e e n t h e t w o h y p e r n e g r o u n d s t a t e s o f

V U

R b o n e n e e d s e i t h e r

a m i c r o w a v e e l d a t 6 . 8 G H z o r t w o p h a s e l o c k e d l a s e r s f o r R a m a n t r a n s i t i o n s . T h e l a t t e r i s

a l r e a d y a v a i l a b l e i n o u r i n s t i t u t e [ 2 3 9 ] a n d w i l l b e i m p l e m e n t e d i n o u r s e t u p f o r e x p e r i m e n t s 6 . 2 . 1

i n t h e f r a m e w o r k o f t h e S p i n - B o s o n m o d e l . T h e c o m b i n a t i o n o f t h e r f - e l d s u s e d f o r e v a p o r a t i v e

c o o l i n g ( s e e c h a p t e r 3 . 1 0 ) a n d t h i s m i c r o w a v e a s s e m b l y w i l l b e u s e d t o t r a n s f e r t h e a t o m s i n a n y

d e s i r e d m a g n e t i c s u b l e v e l o f t h e F a I o r F a P g r o u n d s t a t e m a n i f o l d . T h e a v a i l a b i l i t y o f a

e x i b l e m i c r o w a v e a s s e m b l y i s a p o w e r f u l t o o l f o r m a n y e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n s . T h e m a j o r a i m i s

o n t h e a b i l i t y t o t r a n s f e r a t o m s i n t o a r b i t r a r y m a g n e t i c s u b - l e v e l o f b o t h h y p e r n e g r o u n d s t a t e s

o r m i x t u r e s o f d i e r e n t s t a t e s , a l s o c a l l e d s p i n o r c o n d e n s a t e s [ 5 5 ] . B u t i t c a n a l s o b e u s e d f o r

e v a p o r a t i v e c o o l i n g , d r i v i n g c l o c k t r a n s i t i o n s o r f o r s e n s i t i v e s p e c t r o s c o p y w i t h a r e s o l u t i o n w e l l

b e l o w 1 k H z [ 2 4 0 ] .

Oscillator6.4 GHz

FrequencyMixer

BandpassFilter

Pre- Amplifier

DirectionalCoupler

4 Watt Amplifier

VCO400 MHz

Signal Generator0-1GHz

SwitchSignal

Analyzer

Helix-Antenna

F i g u r e 5 . 4 : S c h e m a t i c s e t u p f o r m i c r o w a v e g e n e r a t i o n . A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n i s g i v e n i n t h e t e x t .

T h e s e t u p f o r g e n e r a t i n g m i c r o w a v e r a d i a t i o n a t 6 . 8 G H z i s s h o w n i n g u r e 5 . 4 . T h e k e y d e s i g n

c r i t e r i a w e r e e x c e l l e n t f r e q u e n c y s t a b i l i t y , w i t h a f r e q u e n c y d r i f t b e t t e r t h a n 1 k H z p e r h o u r , a



S F P o l l o n n o ( n o n d 8 1

0 0.5 1.0 1.5 2.0

0

1

2

3

4

5

Time [ms]

A t o m

n u m b e r [ a

. u . ]

d = 7 kHz

d = 0 kHz

d = 2 kHz

F i g u r e 5 . 5 : D a m p e d R a b i o s c i l l a t i o n s i n t h e t i m e d o m a i n . T h e t h r e e d a t a s e t s s h o w R a b i o s c i l l a t i o n s

b e t w e e n t h e F a I ; m

F

a H a n d F a P ; m

F

a H s t a t e f o r t h r e e d i e r e n t d e t u n i n g s = 0 k H z ( r e d ) , = 2

k H z ( g r e e n ) a n d = 7 k H z ( b l u e ) . B y t t i n g t h e d a t a ( c r o s s e s ) w i t h a n e x p o n e n t i a l l y d a m p e d c o s i n e ( s o l i d

l i n e ) o n e c a n e x t r a c t t h e e e c t i v e R a b i f r e q u e n c y

e

a n d t h e d a m p i n g . O n r e s o n a n c e ( = 0 k H z ) i s t h e

t t e d e e c t i v e R a b i f r e q u e n c y

e

= 1 . 1 0 k H z , f o r 2 k H z d e t u n i n g 1 . 2 4 k H z a n d f o r 7 k H z d e t u n i n g 2 . 4 5

k H z . T h e e e c t i v e R a b i f r e q u e n c y i s p l o t t e d i n g u r e 5 . 6 a s a f u n c t i o n o f t h e d e t u n i n g . T h e d a m p i n g i s

o n r e s o n a n c e 9 0 0 H z , a t 2 k H z d e t u n i n g 7 0 2 H z a n d f o r 7 k H z d e t u n i n g 3 5 6 H z .

p h a s e n o i s e b e l o w - 1 0 0 d B c / H z a n d h i g h p o w e r o f s e v e r a l W a t t s i n t h e r a d i a t i o n e l d . T h e h e a r t

o f t h e s y s t e m i s a Y I G - o s c i l l a t o r

2

a t 6 . 4 G H z , w h i c h i s s u b s e q u e n t l y f r e q u e n c y m i x e d

3

w i t h a s i g n a l

g e n e r a t o r

4

t o o b t a i n t h e d e s i r e d 6 . 8 G H z . B y c o n t r o l l i n g t h e s i g n a l g e n e r a t o r e i t h e r b y G P I B o r

T T L s i g n a l s o n e c a n g e n e r a t e a l m o s t a r b i t r a r y f r e q u e n c y r a m p s ( b e t w e e n 5 . 4 G H z a n d 7 . 4 G H z )

a n d p u l s e s e q u e n c e s r e s p e c t i v e l y . T h e m i x e d s i g n a l i s c l e a n e d b y a b a n d p a s s l t e r

5

a n d a m p l i e d

i n t w o s t e p s

6 7

u p t o 4 W a t t . T h e m o n i t o r i n g o f t h e s i g n a l i s e i t h e r d o n e v i a a d i r e c t i o n a l c o u p l e r

8

o r d i r e c t l y i n l i n e b y a z e r o - b i a s e d S c h o t t k y - d i o d e

9

.

T h e h o l e s e t u p i s t e r m i n a t e d w i t h a h o m e b u i l d i m p e d a n c e m a t c h e d h e l i c a l a n t e n n a [ 2 4 1 ] . I t s s p e c i a l

w i n d i n g p a t t e r n p r o d u c e s a d i r e c t i o n a l r a d i a t i o n p a t t e r n o f c i r c u l a r l y p o l a r i z e d m i c r o w a v e s . T h e

a n t e n n a i t s e l f c o n s i s t s o f a h e l i c a l w i r e w o u n d o n a r o d m a d e o f p l e x i g l a s s

1 0

. T h e d i m e n s i o n s o f

t h e a n t e n n a c a n b e r e d u c e d b y t h e v a l u e o f t h e r e f r a c t i v e i n d e x ( "

r

= 2 . 4 7 5 ) o f t h e p l e x i g l a s u s e d .

O n e s i d e o f t h e a n t e n n a i s t e r m i n a t e d b y a b a s e p l a t e , w h i c h a c t s a s a n r e e c t o r f o r t h e m i c r o w a v e .

T h e r e a r e e i g h t w i n d i n g s o n a r o d o f 7 7 . 6 m m l e n g t h a n d 1 1 m m d i a m e t e r , w h i c h g i v e s a f o r w a r d

g a i n o f 1 7 d B m c o m p a r e d t o a n o r d i n a r y d i p o l e a n t e n n a . T h e b a s e p l a t e h a s a d i a m e t e r o f 2 1 m m

a n d i s f u r n i s h e d w i t h a S M A c o n n e c t o r o n t h e b a c k s i d e . M o r e d e t a i l s a b o u t t h e a n t e n n a d e s i g n

a n d i t s r a d i a t i o n p e r f o r m a n c e c a n b e f o u n d i n [ 2 3 7 ] .

M i c r o w a v e r a d i a t i o n a t 6 . 8 G H z h a s a v a c u u m w a v e l e n g t h o f 4 4 . 1 m m . T h e o p e n a p e r t u r e b e t w e e n

2

A g a t e S e r i e s C r y s t a l O s c i l l a t o r , W e n z e l A s s o c i a t e s , I n c .

3

D o u b l e b a l a n c e d m i x e r J - 4 0 8 0 M , E c l i p s e M i c r o w a v e , I n c .

4

S S G M G 3 6 4 1 A , A n r i t s u

5

A A M C S - B P F - 2 5 0 M - 3 d B - S f , A A - M C S , I n c .

6

Z X 6 0 - 8 0 0 8 E , M i n i - C i r c u i t s

7

A M 5 3 - 6 . 3 - 7 3 - 3 5 - 3 5 , M A - L T D , I n c .

8

7 8 0 - 3 0 - 6 . 0 0 0 , M e c a E l e c t r o n i c s

9

D Z R 1 2 4 A A , H e r o t e k

1 0

P M M A , D e g u s s a



8 2 S i m n l l

-15 -10 -5 0 5 10 15

3

4

5

6

7

89

10

11

12

-15 -10 -5 0 5 10 15

Detuning [kHz] Detuning [kHz]

E f f e c t i v e R a b i - f r e q u e n c y

[ k H z ]

A m p l i t u d e [ a . u

. ]

F i g u r e 5 . 6 : A n a l y s i s o f t h e R a b i o s c i l l a t i o n s b e t w e e n t h e F a I ; m

F

a H a n d F a P ; m

F

a H s t a t e a s s h o w n

i n g u r e 5 . 5 . O n t h e l e f t s i d e i s t h e d e p e n d e n c e o f t h e e e c t i v e R a b i - f r e q u e n c y o n t h e d e t u n i n g s h o w n .

T h e b l u e l i n e i s a p l o t o f t h e e e c t i v e R a b i f r e q u e n c y

e f f

a

!

2

R

C

2

( s e e e q u a t i o n 5 . 1 ) w i t h a c o u p l i n g

s t r e n g t h o f !

R

a Q : S S k H z . T o t h e r i g h t i s t h e d e p e n d e n c e o f t h e a m p l i t u d e v e r s u s d e t u n i n g d e p i c t e d .

T h e b l u e l i n e i s p r o p o r t i o n a l t o t h e e x p e c t e d a m p l i t u d e

!

2

R

!

2

R

+

2

a n d p l o t t e d a g a i n f o r a c o u p l i n g s t r e n g t h o f

!

R

a Q : S S k H z .

t h e t w o r e s e s s e d b u c k e t s o f 2 8 m m i s l a r g e r t h a n h a l f t h e m i c r o w a v e w a v e l e n g t h , w h i c h a l l o w s a

t r a v e l i n g w a v e i n s i d e t h e b u c k e t s . T h e a n t e n n a i s p l a c e d i n f r o n t o f t h e v i e w p o r t

1 1

( s e e g u r e

3 . 5 ) , w h i c h i s n o h a n d i c a p f o r t h e r a d i a t i o n b e c a u s e o f i t s l a r g e d i a m e t e r . T h e a c t u a l r a d i a t i o n

p a t t e r n a t t h e p o s i t i o n o f t h e a t o m s i s p r o b a b l y q u i t e c o m p l i c a t e d d u e t o t h e c o m p l e x g e o m e t r y o f

t h e v a c u u m c h a m b e r . T o g a i n m o r e i n s i g h t a b o u t t h e i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e c h a m b e r o n e

h a s t o u s e a d v a n c e d n u m e r i c a l m e t h o d s , w h i c h h a s n o t b e e n d o n e y e t . N e v e r t h e l e s s i s t h e e l d

d i s t r i b u t i o n m o r e o r l e s s i n d e p e n d e n t o v e r t h e t y p i c a l l y u s e d f r e q u e n c y r a n g e o f a f e w M H z , w h i c h

w a s n o t t h e c a s e f o r t h e r a d i o - f r e q u e n c y e l d s u s e d f o r e v a p o r a t i v e c o o l i n g ( s e e c h a p t e r 3 . 1 0 ) .

W e t e s t e d t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e t u p b y o b s e r v i n g R a b i o s c i l l a t i o n s b e t w e e n t h e t w o h y p e r n e

g r o u n d s t a t e s o f

V U

R b . F o r t h i s w e p r e p a r e d i n i t i a l l y a l a s e r c o o l e d c l o u d i n t h e F a I s t a t e w i t h a

t e m p e r a t u r e o f a b o u t 2 0 K . I n o r d e r t o a c h i e v e a t w o - l e v e l s y s t e m , w e a p p l i e d a s m a l l m a g n e t i c

e l d o f 2 0 0 m G i n z - d i r e c t i o n a n d t u n e d t h e m i c r o w a v e f r e q u e n c y t o t h e F a I ; m

F

a H 3

F a

P ; m

F

a H t r a n s i t i o n . T h i s s o c a l l e d c l o c k t r a n s i t i o n e x h i b i t s o n l y a q u a d r a t i c Z e e m a n s h i f t w i t h

t h e m a g n e t i c e l d s t r e n g t h a n d i s b y t h i s c o m p a r a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o m a g n e t i c e l d s ( s e e a p p e n d i x

B ) .

T h e d r i v e n t w o l e v e l s y s t e m c a n b e d e s c r i b e d b y o p t i c a l B l o c h e q u a t i o n s ( s e e c h a p t e r 2 . 1 ) a n d h a s

f o r a c o n s t a n t d r i v i n g e l d f o l l o w i n g s o l u t i o n

p

P

a

!

P

R

!

P

R

C

P

I

P

I

o s

!

P

R

C

P

; ( 5 . 1 )

w h e r e p

P

i s t h e p o p u l a t i o n f r a c t i o n o f a t o m s i n s t a t e F a P ; m

F

a H . T h e f r a c t i o n p

I

i n F a

I ; m

F

a H i s t h e n I

p P . T h e e e c t i v e R a b i - f r e q u e n c y i s g i v e n b y

e

a ! P

R

C

P

w i t h t h e

o r d i n a r y R a b i f r e q u e n c y !

R

a n d t h e d e t u n i n g . T h e c o u p l i n g s t r e n g t h f o r t h e g i v e n t r a n s i t i o n i s

g i v e n b y



S F Q i m n d o m 8 3

!

R

a

B

~

j

~

B

r f

¡ ~ e

z

j ; ( 5 . 2 )

w h e r e t h e d i r e c t i o n o f t h e m a g n e t i c e l d

~

B

r f

h a s t o b e p a r a l l e l t o t h e q u a n t i z a t i o n a x i s ~ e

z

. F o r

a m e a s u r e d c o u p l i n g s t r e n g t h o f 3 . 5 5 k H z g i v e s t h i s a p e r p e n d i c u l a r m a g n e t i c e l d c o m p o n e n t o f

3 m G .

T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o n c o h e r e n t R a b i o s c i l l a t i o n s a r e c o m b i n e d i n g u r e 5 . 6 . T h e r a d i o

f r e q u e n c y w a s a p p l i e d t o t h e a t o m s i n t h e F a I s t a t e f o r a c e r t a i n t i m e , a f t e r w h i c h t h e a t o m s

i n t h e F a P s t a t e w e r e s e l e c t i v e l y d e t e c t e d . T h e c o l l e c t e d d a t a ( u p t o 1 0 m s ) e x h i b i t e d d a m p e d

o s c i l l a t i o n s s h o w n i n g u r e 5 . 5 , w h i c h w e r e a n a l y z e d i n t i m e - a n d f r e q u e n c y - s p a c e . O n r e s o n a n c e

a c l e a r d a m p i n g w i t h c o r r e s p o n d i n g l i n e w i d t h o f 9 0 0 H z w a s a p p a r e n t , w h i c h i s m o s t l i k e l y d u e

i n h o m o g e n e i t i e s o f t h e m i c r o w a v e e l d w i t h i n t h e v a c u u m c h a m b e r . B y t h i s i n h o m o g e n e i t i e s e x h i b i t

t h e a t o m s a d i e r i n g e e c t i v e R a b i f r e q u e n c y d e p e n d i n g o n t h e i r p o s i t i o n . I n t h e c a s e o f l a r g e

d e t u n i n g t h i s e e c t d o e s c o n t r i b u t e l e s s a n d f o r = 1 0 k H z w a s t h e d a m p i n g a l r e a d y r e d u c e d t o 7 6

H z . M o r e d e t a i l s t o t h e m i c r o w a v e - s e t u p , i t s p e r f o r m a n c e a n d e x p e r i m e n t a l i m p l i c a t i o n s c a n b e

f o u n d i n [ 2 3 7 ] .

A s m e n t i o n e d a b o v e t h i s s y s t e m w i l l b e u s e d t o m a n u f a c t u r e t h e i n i t i a l s t a t e f o r i n v e s t i g a t i n g

t h e S p i n - B o s o n m o d e l ( s e e c h a p t e r 6 . 2 . 1 ) b u t h a s a l s o m a n y o t h e r a p p l i c a t i o n s . I t c a n b e u s e d

t o g e n e r a t e m i x t u r e s o f d i e r e n t s p i n s t a t e s f o r s t u d y i n g S p i n o r c o n d e n s a t e s [ 5 5 ] o r t o m e a s u r e

t h e i n t e r a c t i o n e n e r g y a m o n g t h e a t o m s [ 2 4 0 ] . B u t i t h a s a l s o m a n i f o l d i m p l e m e n t a t i o n s f o r

i n v e s t i g a t i n g R y d b e r g m a t t e r ( s e e c h a p t e r 6 . 2 . 2 ) . B y a p p l y i n g L a n d a u - Z e n e r s w e e p s [ 2 4 2 ] o n t h e

m a g n e t i c a l l y t r a p p e d a t o m s o n e c a n r e m o v e a c e r t a i n f r a c t i o n o f a t o m s a n d a d j u s t b y t h i s t h e

a t o m i c d e n s i t y a t c o n s t a n t t e m p e r a t u r e . T h i s m e t h o d i s i d e a l t o s t u d y t h e d e n s i t y d e p e n d e n c e o f

b l o c k a d e e e c t s o f t h e R y d b e r g e x c i t a t i o n d u e t o v a n - d e r - W a a l s o r d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n . A

f u r t h e r a p p l i c a t i o n i s g i v e n b y t h e S t a r k e e c t o f R y d b e r g s t a t e s a s d e p i c t e d i n g u r e C . 1 . A t c e r t a i n

e l e c t r i c e l d s t h e l e v e l s p l i t t i n g s a r e o n t h e s a m e o r d e r a s t h e a v a i l a b l e m i c r o w a v e f r e q u e n c i e s . W i t h

t h i s o n e c a n t r a n s f e r t h e a t o m s w i t h i n o n e L - m a n i f o l d t o a n y a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e . O f s p e c i a l

i n t e r e s t a r e h e r e t h e s t r e t c h e d s t a t e s w i t h m a x i m u m L w h i c h e x h i b i t e x t r e m e l y l o n g l i f e t i m e s [ 7 8 ] .

5 . 3 E x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g a t o m s

T h e f o c u s o f t h e e x p e r i m e n t s p r e s e n t e d s u b s e q u e n t l y w a s m a i n l y p u t o n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e

m u l t i - c h a n n e l p l a t e s a n d t h e e l e c t r i c e l d c o n g u r a t i o n s . W e t e s t e d t h e e l d p l a t e s b y m e a s u r i n g

t h e q u a d r a t i c S t a r k - e e c t o f R y d b e r g a t o m s i n t h e 4 3 S

I = P

s t a t e . T h e l a s e r s y s t e m a n d t h e d a t a

a c q u i s i t i o n h a s b e e n a l r e a d y e x a m i n e d c a r e f u l l y o n a d i e r e n t s e t u p [ 1 8 9 ] . O n e s t e p b e y o n d t e s t i n g

t h e s e t u p i s t h e m e a s u r e m e n t o f t h e e x c i t e d s t a t e l i f e t i m e o f t h e 4 3 S

I = P

s t a t e a t a t e m p e r a t u r e o f

2 0 K a n d a d e n s i t y o f S ¡

I H

I P

c m

Q

. S a m p l e s a t s u c h l o w t e m p e r a t u r e s a n d h i g h d e n s i t i e s w e r e

u n t i l n o w n o t a v a i l a b l e i n a n y e x p e r i m e n t o n R y d b e r g a t o m s .

5 . 3 . 1 L a s e r s y s t e m f o r a t w o p h o t o n e x c i t a t i o n i n t o R y d b e r g - s t a t e s

T h e e x c i t a t i o n i n t o R y d b e r g s t a t e s w i t h m a i n q u a n t u m n u m b e r s r a n g i n g f r o m n = 2 0 u p t o t h e

i o n i z a t i o n t h r e s h o l d i s a c c o m p l i s h e d b y a t w o - p h o t o n e x c i t a t i o n s c h e m e a s i n t r o d u c e d i n a p p e n d i x

G . F o r t h i s t r a n s i t i o n t w o w a v e l e n g t h s a t 7 8 0 n m a n d 4 8 0 n m a r e n e e d e d , w h e r e a s t h e l a t t e r o n e

i s g e n e r a t e d b y f r e q u e n c y d o u b l i n g o f l i g h t a t 9 6 0 n m . F i g u r e 5 . 3 . 1 d e p i c t s t h e s c h e m a t i c s e t u p

o f t h e l a s e r s y s t e m . T h e t w o d i o d e l a s e r s s y s t e m s f o r t h e r e d ( 7 8 0 n m ) a n d t h e i n f r a r e d ( 9 6 0 n m )



8 4 S i m n l l

l i g h t , a s w e l l a l l e l e m e n t s f o r f r e q u e n c y s t a b i l i z a t i o n a r e l o c a t e d i n a s e p a r a t e r o o m t o i n c r e a s e t h e

s t a b i l i t y . B y t h i s w e r e a c h e d a n o v e r a l l l i n e - w i d t h o f t h e t w o l a s e r f r e q u e n c i e s w e l l b e l o w o n e M H z .

T h e i n f r a r e d l i g h t i s b r o u g h t t o t h e l a b o r a t o r y b y a n o p t i c a l b e r , p a s s e s a t a p e r e d a m p l i e r , a

f r e q u e n c y d o u b l i n g c a v i t y

1 1

a n d i s n a l l y d e l i v e r e d b y a n o t h e r b e r t o t h e e x p e r i m e n t . A t h i r d b e r

t a k e s t h e r e d l i g h t ( 7 8 0 n m ) d i r e c t l y f r o m t h e s e c l u d e d r o o m t o t h e e x p e r i m e n t .

O u r s e t u p s h o w n i n g u r e 5 . 3 . 1 a l l o w s u s t o c h o o s e e a s i l y d i e r e n t l a s e r f r e q u e n c i e s f o r m a n i f o l d

e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n s . T h e r e d l i g h t a t 7 8 0 n m c a n b e l o c k e d t o a n y l i n e o f t h e p o l a r i z a t i o n

s p e c t r o s c o p y . B e f o r e i t e n t e r s t h e v a c u u m c h a m b e r , i t p a s s e s a n a c c u s t o - o p t i c a l m o d u l a t o r

1 2

i n

a d o u b l e - p a s s c o n g u r a t i o n . W i t h t h i s A O M w e c a n t u n e t h e f r e q u e n c y o f t h e l i g h t b y 1 0 0 M H z

w i t h a l m o s t c o n s t a n t i n t e n s i t y . I n c o m b i n a t i o n w i t h t h e l o c k i n g s c h e m e w e c a n t u n e t h e l i g h t

r i g h t o n a r e s o n a n c e , o r d e t u n e i t a t m o s t b y 4 0 0 M H z t o a n y t r a n s i t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e

S S

I = P

@ F a P A 3

S P

Q = P

@ F

H

a Q A t r a n s i t i o n . T h e t r a n s f e r c a v i t y i s u s e d t o s t a b i l i z e t h e i n f r a r e d l i g h t

( 9 6 0 n m ) w i t h r e s p e c t t o t h e a l r e a d y s t a b i l i z e d r e d l i g h t ( 7 8 0 n m ) . T h e 3 0 c m l o n g c a v i t y i s m a d e

o f s t a i n l e s s s t e e l a n d h a s a m o d e s p a c i n g o f 1 2 5 M H z . T h e l e n g t h o f t h e c a v i t y c a n b e a l t e r e d b y

a p i e z o a c t u a t o r , w h i c h a r e a l s o u s e d t o s t a b i l i z e t h e l e n g t h o f t h e c a v i t y o n t o t h e r e d l i g h t ( 7 8 0

n m ) . A d d i t i o n a l l y w e e v a c u a t e t h e c a v i t y t o a v o i d c h a n g e s i n t h e r e f r a c t i v e i n d e x o f t h e a i r d u e

t o a t m o s p h e r i c p r e s s u r e a n d h u m i d i t y . T h e m a s t e r l a s e r a t 9 6 0 n m c a n n o w b e s t a b i l i z e d t o a n y

m o d e o f t h e c a v i t y i n s t e p s o f 1 2 5 M H z . A s u b s e q u e n t A O M i n d o u b l e p a s s c o n g u r a t i o n , a l l o w s

u s t o s c a n t h e i n f r a r e d l i g h t b y 2 5 0 M H z , w h i c h c o r r e s p o n d s t o 5 0 0 M H z o f t h e f r e q u e n c y d o u b l e d

b l u e l i g h t a t 4 8 0 n m . T o s c a n a l a r g e r f r e q u e n c y r e g i o n t h a n a v a i l a b l e b y t h e A O M s , w e c o n t r o l

t h e g r a t i n g o f t h e i n f r a r e d d i o d e l a s e r d i r e c t l y a n d s c a n b y t h i s t h e f r e q u e n c y w i t h o u t m o d e - j u m p s

f o r m o r e t h a n 6 G H z . T o c a l i b r a t e t h e f r e q u e n c y o f t h e s c a n n e d a r r a y w e s i m u l t a n e o u s l y r e c o r d

t h e s i g n a l f r o m t h e F a b r y P e r o t r e s o n a t o r .

T h e t w o l a s e r b e a m s f o r t h e t w o - p h o t o n e x c i t a t i o n h a v e b e e n o v e r l a p p e d b e f o r e e n t e r i n g t h e

v a c u u m c h a m b e r a t a n d i c h r o i c m i r r o r . T h e o v e r l a p p e d b e a m s w e r e a l i g n e d p a r a l l e l t o t h e l o n g

z - a x i s , w h i c h i s a l s o t h e q u a n t i z a t i o n a x i s o f t h e m a g n e t i c t r a p . T h e p o l a r i z a t i o n o f t h e r e d a n d

b l u e l i g h t w a s s e t t o

C

r e s p e c t i v e l y

. A t t h e p o s i t i o n o f t h e a t o m s t h e 1 / e

P

r a d i u s o f t h e r e d

l i g h t ( 7 8 0 n m ) w a s s e t t o 5 5 0 m a n d t h e b l u e ( 4 8 0 n m ) t o 4 0 m w h i c h y i e l d s r o u g h l y a c o n s t a n t

i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n a c r o s s t h e a t o m s .

5 . 3 . 2 E l e c t r i c e l d c o n g u r a t i o n s a n d i o n d e t e c t i o n

T h e h i g h s e n s i t i v i t y o f R y d b e r g a t o m s t o e l e c t r i c e l d s i s a b e n e c i a l t o o l t o d o e x p e r i m e n t s w i t h

t h e m . T o p r o d u c e e l e c t r i c e l d s h a p e s a s v e r s a t i l e a s p o s s i b l e , w e i n s t a l l e d e i g h t e l d p l a t e s c l o s e

t o t h e a t o m s . T h e s p a t i a l a r r a n g e m e n t c a n b e s e e n i n g u r e 5 . 8 a n d g u r e 3 . 5 . E a c h o f t h e s e

p l a t e s c a n b e a d d r e s s e d i n d i v i d u a l l y , w h i c h a l l o w s u s t o g e n e r a t e n e a r l y a n y e l d c o n g u r a t i o n

s t a r t i n g f r o m c o n s t a n t e l d s i n a r b i t r a r y d i r e c t i o n s , t o o n e d i m e n s i o n a l g r a d i e n t s , t w o d i m e n s i o n a l

q u a d r u p o l e s , h y p e r b o l i c c o n c a v e s a d d l e s o r h y p e r b o l i c c o n v e x e l d s w i t h a p o s i t i v e c u r v a t u r e i n a l l

t h r e e d i m e n s i o n s . S o m e r e a l i z a t i o n s a r e s h o w n i n g u r e 5 . 9 a n d d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n H .

T h e e i g h t e l d p l a t e s a r e m a d e o f s t a i n l e s s s t e e l w i t h a t h i c k n e s s o f 0 . 5 m m . T h e y a r e g l u e d w i t h

1 m m t h i c k c e r a m i c s p a c e r s o n t o t h e r e s e s s e d b u c k e t s . T h e d i m e n s i o n s o f t h e s p a c e r s h a v e t o b e

s m a l l e n o u g h , t h a t t h e y a r e c o m p l e t e l y h i d d e n b e h i n d t h e e l d p l a t e s f r o m t h e v i e w p o i n t o f t h e

a t o m s . A n y i n s u l a t i n g s u r f a c e c a n a c c u m u l a t e c h a r g e a n d f a l s i f y t h e d e s i r e d e l d c o n g u r a t i o n . T o

c h a r g e t h e e l d p l a t e s t h e y a r e s p o t w e l d e d t o a s t a i n l e s s s t e e l w i r e , w h i c h a r e r a d i a l l y l e d o u t w a r d s

1 1

T A - S H G 1 1 0 1 V 0 - 0 0 0 2 5 , T o p t i c a

1 2

3 2 0 0 - 1 2 1 , C r y s t a l T e c h n o l o g y




S

PID

PID

PID

PID

S

Frequency

doubling cavity

Cacityresonator

Accusto-opticalmodulator

Optical diode

Photo - diode

Mirror

l /2 plate

l /4 plate

Polarizingbeam - splitter

Opticalfiber

Diode laser

Diode laser(Slave)

Spectroscopy

PID - control

EOM

EOMElctro -optical

modulator

780 nm

960 nm

480 nm

F i g u r e 5 . 7 : L a s e r - s y s t e m f o r t w o p h o t o n e x c i t a t i o n o f

8 7

R b i n t o R y d b e r g s t a t e s . T h e r e d l i g h t a t 7 8 0 n m

i s g e n e r a t e d b y a s t a n d a r d d i o d e l a s e r s y s t e m i d e n t i c a l t o t h e r e p u m p i n g s y s t e m d i s c u s s e d i n c h a p t e r 3 . 2 .

T h e p r o d u c t i o n o f b l u e l i g h t i n t h e r a n g e o f 4 7 5 n m t o 4 8 3 n m i s m o r e i n v o l v e d . F o r t h i s p u r p o s e w e u s e a

m a s t e r s l a v e s e t u p , w h e r e a s t a n d a r d d i o d e l a s e r s e t u p d e l i v e r s i n f r a r e d l i g h t a t 9 6 0 n m w h i c h i s a m p l i e d

b y a t a p e r e d a m p l i e r . A s u b s e q u e n t f r e q u e n c y d o u b l i n g c a v i t y d e l i v e r s t h e d e s i r e d w a v e l e n g t h . T h e t w o

l a s e r f r e q u e n c i e s a r e s t a b i l i z e d a g a i n s t e a c h o t h e r b y a t r a n s f e r c a v i t y , w h i c h i s i t s e l f s t a b i l i z e d w i t h t h e r e d

l a s e r s y s t e m t o a s p e c t r o s c o p y s i g n a l i n a R u b i d i u m g a s c e l l .

a s c a n b e s e e n b e s t i n g u r e 3 . 5 . A t t h e e d g e o f t h e r e s e s s e d b u c k e t t h e w i r e s a r e x e d i n p o s i t i o n

b y s h o r t c e r a m i c t u b i n g s , w h i c h a r e a l s o g l u e d t o t h e b u c k e t s a n d a r e s u b s e q u e n t l y c o n n e c t e d t o

c a p t o n - i n s u l a t e d c o p p e r w i r e s . T h e s e c o p p e r w i r e s a r e t h e n n a l l y c o n n e c t e d t o o n e o f t h e f o u r f o l d

h i g h v o l t a g e f e e d - t h r o u g h s . T o a v e r t b r e a k t h r o u g h s i n s i d e t h e c h a m b e r i n d u c e d b y s h a r p e d g e s w e

r o u n d e d o a l l f o u r e d g e s o f e a c h p l a t e w i t h a r a d i u s o f 1 . 5 m m . F i n a l l y w e e t c h e d a n d e l e c t r o -

p o l i s h e d a l l e l d p l a t e s i n c l u d i n g t h e s p o t w e l d e d w i r e s t o b u r n i s h a l s o s m a l l s p i k e s . T h e p o l i s h i n g

w a s d o n e i n a a c i d b a t h c o n s i s t i n g o f o n e p a r t o f 9 6 % s u l f u r i c a c i d , t w o p a r t s o f 8 5 % p h o s p h o r i c

a c i d a n d s i x p a r t s o f d i s t i l l e d w a t e r [ 2 4 3 ] . A f t e r t w o m i n u t e s a t a c u r r e n t o f 5 A m p e r e s a b o u t 7 0

m o f s t a i n l e s s s t e e l f r o m t h e p l a t e s w a s r e m o v e d a n d t h e y e x h i b i t e d a s e m i g l o s s s u r f a c e . A f t e r

i n s t a l l a t i o n o f t h e e l d p l a t e s a n d e v a c u a t i n g t h e c h a m b e r w e m e a s u r e d n o c u r r e n t l e a k a g e u p t o

3 0 0 0 V o l t s f o r a l l p l a t e s .

D u r i n g t h e e x p e r i m e n t a l c o u r s e i t i s n e c e s s a r y t o s w i t c h t h e a p p l i e d v o l t a g e s w i t h i n s h o r t t i m e s .

T o d o s o w e u s e b i p o l a r h i g h v o l t a g e s w i t c h e s

1 3

w h i c h h a v e a n i n t r i n s i c r i s e - t i m e o f 6 0 n s . T h e

1 3

H T S - 6 1 0 3 G S M , B e h l k e



8 6 S i m n l l

26.1

1 4 .

9

2 4 .

3

C G

B

H

A E

D

FIJ

39

4437

1

x

z

F i g u r e 5 . 8 : E l e c t r i c e l d p l a t e s ( A - H ) a n d F a r a d a y c a g e s ( I a n d J ) f o r t h e m u l t i - c h a n n e l p l a t e s . F o u r e l d

p l a t e s a r e g l u e d o n t o e a c h o f t h e r e s e s s e d b u c k e t s ( s e e a p p e n d i x F ) , s u c h t h a t p l a t e A , B , C , a n d D l i e

v i s - a - v i s t o t h e p l a t e s E , F , G a n d H . T h e i n n e r d i s t a n c e b e t w e e n t h e p l a t e s i s 2 5 m m . A l l d i m e n s i o n s g i v e n

i n t h e g u r e a r e i n m i l l i m e t e r s . T h e M C P s w e r e l o c a t e d a s c l o s e a s p o s s i b l e t o t h e c e n t e r o f t h e v a c u u m

c h a m b e r w i t h o u t l o o s i n g a n y o p t i c a l a c c e s s , w h i c h r e s u l t e d i n t h e t w o d i e r e n t d i s t a n c e s .

p u s h - p u l l c i r c u i t o f t h e s w i t c h h a s t o b e a d j u s t e d t o m a t c h t h e c a p a c i t i v e l o a d o f 5 0 p F o f e a c h

e l d p l a t e a s w e l l t h e 3 0 0 p F l o a d o f t h e h i g h v o l t a g e c o a x c a b l e , w h i c h c o n n e c t s t h e s w i t c h t o

t h e h i g h v o l t a g e f e e d t h r o u g h s .

T h r e e d i e r e n t e l d d i s t r i b u t i o n s a r e s h o w n i n g u r e 5 . 9 . T h e c a l c u l a t i o n s h a v e b e e n d o n e w i t h a

n i t e e l e m e n t m e t h o d

1 4

, w h i c h i n c l u d e d t h e m o s t r e l e v a n t ( g r o u n d e d ) p a r t s o f t h e v a c u u m c h a m b e r

a s w e l l t h e e i g h t e l d p l a t e s a n d t h e t w o F a r a d a y - c a g e s o f t h e M C P s [ 2 3 8 ] . T h e r e s u l t s s h o w ,

t h a t w e a r e a b l e t o g e n e r a t e e l d s , w h i c h a r e a l m o s t c o n s t a n t , l i n e a r o r q u a d r a t i c . T h i s e x a m p l e s

d o n o t i n c l u d e t h e c a g e s o f t h e M C P s , w h i c h c a n b e a d d e d t o g e n e r a t e e v e n m o r e c o m p l e x e l d

d i s t r i b u t i o n s . W i t h t h e h e l p o f t h e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r a g e n e r a l i z e d o c t o p o l e g i v e n i n a p p e n d i x

H ) o n e c a n d e s i g n a l l k i n d o f d e s i r e d e l d c o n g u r a t i o n s .

F o r a h i g h d e t e c t i o n s e n s i t i v i t y o f R y d b e r g a t o m s , w e i n s t a l l e d t w o M C P s

1 5

i n s i d e t h e v a c u u m

c h a m b e r . A f t e r e l d i o n i z a t i o n o f t h e R y d b e r g a t o m , w e u s e a l r e a d y o n e o f t h e M C P s t o d e t e c t

t h e i o n s . T h e s e c o n d o n e i s p l a n n e d t o d e t e c t s i m u l t a n e o u s l y t h e e l e c t r o n s . A n M C P c o n s i s t s

m a i n l y o f a t h i n ( 5 0 0 m ) g l a s s - p l a t e w i t h a b o u t o n e m i l l i o n h o l e s ( 1 0 m ) i n i t . B e t w e e n t h e

f r o n t a n d t h e b a c k s i d e o f t h e p l a t e o n e a p p l i e s s e v e r a l t h o u s a n d v o l t s . I f n o w a c h a r g e d p a r t i c l e

h i t s o n e o f t h e c h a n n e l s , i t p r o d u c e s s e c o n d a r y e l e c t r o n s , w h i c h p r o d u c e b y s t r i k i n g t h e w a l l s f u r t h e r

e l e c t r o n s . T h i s e l e c t r o n a v a l a n c h e i s t h e n d e t e c t e d b y a n a n o d e , w h i c h s i t s b e h i n d t h e g l a s s p l a t e

t h a t c o l l e c t s t h e e l e c t r o n s . T o i m p r o v e t h e a m p l i c a t i o n e v e n f u r t h e r , w e u s e M C P s i n a C h e v r o n

c o n g u r a t i o n , w h i c h c o n s i s t s o f t w o s u c c e s s i v e g l a s s p l a t e s w i t h a s m a l l s p a c i n g i n - b e t w e e n . T h e

e l e c t r o n c u r r e n t a r r i v i n g a t t h e a n o d e i s c o n v e r t e d b y a l a r g e r e s i s t o r t o a v o l t a g e a n d t h e n a m p l i e d

b y a h o m e b u i l d c i r c u i t [ 1 8 9 ] . T h e w h o l e M C P C h e v r o n - a s s e m b l y i s b o x e d i n t o a F a r a d a y c a g e ,

w h i c h s h i e l d s t h e a t o m s i n t h e c e n t e r o f t h e c h a m b e r f r o m t h e b i a s e d f r o n t s i d e , t y p i c a l l y w i t h

- 2 0 0 0 V . T h e F a r a d a y c a g e i s c l o s e d i n t h e f r o n t b y a g r i d w i t h a n d i a m e t e r o f 1 2 m m a n d a

t r a n s m i s s i b i l i t y o f 8 5 % . T h e a c t i v e a r e a o f t h e M C P f r o n t s i d e h a s a n d i a m e t e r o f 8 . 5 m m . I t i s

n o t p o s s i b l e t o s w i t c h a n y v o l t a g e o f t h e M C P v e r y f a s t b e c a u s e o f t h e l a r g e c a p a c i t a n c e o f t h e

s t a c k e d p l a t e s . O n t h e o t h e r h a n d t h e a n o d e i s a l s o s h i e l d e d b y t h e F a r a d a y c a g e f r o m c a p a c i t i v e

c r o s s - t a l k i n g t o t h e e l d p l a t e s , w h e n t h e i r v o l t a g e s a r e s w i t c h e d d u r i n g t h e e x p e r i m e n t .

1 4

C o m s o l , F e m l a b

1 5

T y p e B 0 1 2 V A , T e c t r a




-0.2 -0.1 0 0.1 0.2Position [cm]

E l e c t r i c f i e l d [ V / c m ]

0.04

0.03

0.02

0.01

0

-0.1

xy

z

EyD

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2Position [cm]

xy

z

EyD

0.2

0.15

0.1

0.05

0

-0.05


-0.2 -0.1 0 0.1 0.2Position [cm]

xy

z

1.03

1.02

1.01

1

0.99

0.98

0.97

0.96


-2.7V

+2.7V

z

x

z

y

+2.7V

-2.7V

z

x

z

y

+3V

-3V

z

x

z

y

F i g u r e 5 . 9 : S i m u l a t e d e l e c t r i c e l d c o n g u r a t i o n s . T h e t h r e e g u r e s s h o w t h e r e a l i z a t i o n o f a c o n s t a n t

e l e c t r i c e l d d i s t r i b u t i o n ( t o p ) , a g r a d i e n t e l d ( m i d d l e ) a n d a e l d w i t h c o n s t a n t c u r v a t u r e ( b o t t o m ) . O n t h e

l e f t a r e t h e p o t e n t i a l s i n t h e x - z p l a n e a s w e l l i n t h e y - z p l a n e s h o w n . T h e s m a l l s q u a r e s i n t h e c e n t e r o f e a c h

p o t e n t i a l p l o t i n d i c a t e s t h e p l o t t i n g r a n g e f o r t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e e l e c t r i c e l d c o m p o n e n t s d e p i c t e d

o n t h e r i g h t . T h e g r e e n c u r v e ¡ E

y

d i s p l a y s t h e d e r i v a t i o n o f t h e d e s i r e d g r a d i e n t e l d E

y

a I V / c m

2

¡ y ,

r e s p e c t i v e l y c u r v a t u r e e l d E

y

a I V / c m

3

¡ y

2

. T o o b t a i n a c o n s t a n t e l e c t r i c e l d o f 1 V / c m t h e p l a t e s

A , B , C a n d D h a v e t o b e c h a r g e d t o + 2 . 6 V a n d E , F , G a n d H t o - 2 . 6 V . I n t h e c a s e o f t h e g r a d i e n t

e l d t h e p l a t e s A , C , E a n d G w e r e s e t t o + 2 . 7 V a n d B , D , F a n d H r e s p e c t i v e l y t o - 2 . 7 V . F o r t h e t h i r d

c o n g u r a t i o n f o r a e l d w i t h a c o n s t a n t c u r v a t u r e t h e p l a t e s A , C , F a n d H a r e s e t t o - 3 V a n d B , D , E

a n d G t o + 3 V .



8 8 S i m n l l

T o d e t e c t t h e R y d b e r g a t o m s w i t h a n M C P , o n e h a s a t r s t t o e l d i o n i z e t h e e x c i t e d a t o m s . T h i s

c a n b e d o n e b y a l a r g e e n o u g h e l e c t r i c e l d a s d e s c r i b e d i n a p p e n d i x C , w h i c h i s i n t h e c a s e o f a n

4 3 S

I = P

s t a t e a b o u t 1 6 0 V / c m . I n o u r c a s e w e w a n t t o d e t e c t t h e i o n s a n d a n d o n e h a s t o p r o v i d e

a s u i t a b l e e l e c t r i c e l d d i s t r i b u t i o n w h i c h g u i d e s t h e i o n s i n t o t h e M C P J .

U s u a l l y t h e m a g n e t i c e l d s o f t h e t r a p p i n g p o t e n t i a l a r e s t i l l s w i t c h e d o n , w h e n t h e i o n s y t o w a r d s

t h e M C P . T h e c o m b i n a t i o n o f e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d s p r o v o k e a d r i f t o n t h e i o n s a c c o r d i n g t o

t h e f o r c e F a q @

~

E C ~v ¢

~

B A . A n u m e r i c a l s i m u l a t i o n f o r t h e g i v e n e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n , s h o w s

t h a t t h e d r i f t i s i n o u r c a s e i n t h e o r d e r o f 1 m m a n d b y t h i s w e l l b e l o w t h e a p e r t u r e o f t h e M C P

o f 8 . 5 m m .

W e c a l i b r a t e d t h e M C P i o n s i g n a l b y m o n i t o r i n g t h e l o s s e s i n a c o l d a t o m i c c l o u d d u e t o R y d b e r g

e x c i t a t i o n a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v o l t a g e s i g n a l o n t h e a n o d e . A f t e r a m p l i c a t i o n , w h i c h i s t h e

s a m e f o r t h e s u b s e q u e n t e x p e r i m e n t s , w e a c q u i r e 1 V s p e r Q : T S ¡ I H

I H

a t o m s . I n p r i n c i p a l o n e c o u l d

d i s t i n g u i s h b e t w e e n s i n g l e i o n e v e n t s , b u t t h e n o i s e l e v e l o f t h e s i g n a l l i m i t s o u r m i n i m u m s e n s i t i v i t y

t o a b o u t a f e w h u n d r e d i o n s .

5 . 3 . 3 S t a r k e e c t i n a m a g n e t i c a l l y t r a p p e d c l o u d

T o e x a m i n e t h e e l e c t r i c e l d s g e n e r a t e d b y t h e e l d p l a t e s , w e m a k e u s e o f t h e q u a d r a t i c S t a r k

e e c t e x h i b i t e d b y t h e 4 3 S

I = P

s t a t e . T h e e n e r g y s h i f t ¡ W o f t h i s s t a t e l o c a t e d i n a n e l e c t r i c e l d

E i s g i v e n b y [ 1 8 9 ]

¡ W a

I

P

E

P

( 5 . 3 )

w i t h = P a V : H T M H z / ( V / c m )

P

.

T h e e l e c t r i c e l d f o r t h e S t a r k s h i f t w a s p r o v i d e d b y t h e e l d p l a t e s B a n d H , w h i c h w a s t u n e d

f r o m - 1 5 V t o + 1 5 V . A l l o t h e r e l d p l a t e s a s w e l l t h e c a g e o f t h e M C P I w a s s e t t o g r o u n d . T h e

s i m u l a t i o n o f t h e e m e r g i n g e l d g i v e s i n t h e g e o m e t r i c c e n t e r a e l d o f 0 . 1 4 V / c m p e r a p p l i e d

u n i t o f v o l t a g e o n e l d p l a t e B a n d H . T h e o r i e n t a t i o n o f t h e e l d i s p a r a l l e l t o t h e x - a x i s . T h e

i n t r i n s i c a s y s m m t e r i c c o n g u r a t i o n o f t h e e l d e x h i b i t s a d d i t i o n a l l y a n g r a d i e n t a l o n g t h e x - a x i s o f

0 . 1 V / c m

P

p e r a p p l i e d u n i t o f v o l t a g e . T h i s e l d i s s u p e r p o s e d w i t h a r e m a n e n t e l d o f t h e f a r a d a y

c a g e o f t h e M C P J , w h i c h w a s s e t t o - 1 5 V . T h e c a l c u l a t e d e l d r e m a i n i n g f r o m t h e c a g e a t t h e

c e n t e r i s 0 . 2 V / c m p l u s a g r a d i e n t o f 2 V / c m

P

. F o r d e t e c t i o n o f t h e R y d b e r g a t o m s w e s w i t c h

a f t e r e x c i t a t i o n t h e v o l t a g e o n p l a t e B a n d H t o + 1 0 0 0 V , w h i c h i s s u c i e n t f o r e l d i o n i z a t i o n .

T h e e l d c o n g u r a t i o n w i t h t h e p l a t e s B a n d H a t a p o s i t i v e v o l t a g e a n d t h e F a r a d a y c a g e a t - 1 5 V

d r a g s t h e p o s i t i v e i o n s t o w a r d s t h e M C P f o r d e t e c t i o n .

A s a n a t o m i c c l o u d f o r e x c i t a t i o n w e u s e d a e v a p o r a t i v e c o o l e d s a m p l e c o n n e d i n t h e m a g n e t i c

t r a p a s d e s c r i b e d i n c h a p t e r 3 . 1 0 . A t a t e m p e r a t u r e o f 4 0 K t h e c l o u d i s i n t h e h a r m o n i c r e g i m e

o f t h e m a g n e t i c t r a p w i t h a n r a d i a l w i d t h o f a b o u t 4 0 m . F o r s u c h s m a l l c l o u d s o n e c a n n e g l e c t

t h e b r o a d e n i n g o f t h e s p e c t r o s c o p i c l i n e s d u e t o i n h o m o g e n e t i e s o f t h e e l e c t r i c e l d . F o r t h e g i v e n

p a r a m e t e r s a b o v e , t h e b r o a d e n i n g i s l e s s t h a n o n e p e r c e n t o f t h e m a g n i t u d e o f t h e S t a r k s h i f t

e n e r g y .

F i g u r e 5 . 1 0 s h o w s t h e r e s u l t o n t h e m e a s u r e d S t a r k s h i f t . T h e p a r a b o l i c t ( b l u e l i n e ) i s s h i f t e d

b y 1 . 3 3 7 V w i t h r e s p e c t t o 0 V , w h i c h i s c a u s e d b y t h e a d d i t i o n a l o s e t e l d o f t h e F a r a d a y c a g e .

A t 0 V o n e g e t s a n S t a r k s h i f t o f 0 . 5 8 M H z w h i c h c o r r e s p o n d s t o a n o s e t e l d o f 0 . 2 7 V / c m

( c a l c u l a t e d 0 . 2 V / c m ) . T h e c u r v a t u r e o f t h e t t e d p a r a b o l a c a n b e u s e d t o c a l i b r a t e t h e e l e c t r i c




-15 -10 -5 0 5 10 15

320

340

360

380

400

420

Voltage on plates B and H [V]

R e

d l a s e r

d e

t u n

i n g

[ M H z

]

F i g u r e 5 . 1 0 : S t a r k s h i f t o f t h e R Q S

1 = 2

s t a t e . T h e b l a c k d o t s r e p r e s e n t t h e m a x i m a o f t h e m e a s u r e d R y d b e r g

s i g n a l s ( r e d ) . T h e e l d w a s a p p l i e d t o t h e a t o m s b y c h a r g i n g t h e e l d p l a t e s B a n d H w i t h a c e r t a i n v o l t a g e .

T h e b l u e l i n e i s a p a r a b o l i c t t o t h e d a t a : D e t u n i n g ( M H z ) = H : Q P S P @ U

B ; H

I : Q Q U V A

2

M H z / V

2

C R I P : V

M H z

e l d f o r t h e a p p l i e d v o l t a g e s a t e l d p l a t e B a n d H . T o a c h i e v e 1 V / c m a t t h e p o s i t i o n o f t h e a t o m s

o n e h a s t o a p p l y 5 V a t b o t h e l d p l a t e s . T h e e x p e c t e d v a l u e f r o m t h e t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n h a s

b e e n 7 . 2 V . B o t h d e v i a t i o n s f r o m t h e t h e o r e t i c a l c a n b e e x p l a i n e d i f t h e a t o m i c c l o u d i s s h i f t e d

a l o n g t h e x - a x i s b y a f e w m i l l i m e t e r s a w a y f r o m t h e g e o m e t r i c c e n t e r . M o r e l i k e l y a r e i m p r e c i s i o n s

o f t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s , s i n c e t h e p a r a m e t r i z a t i o n o f t h e f u l l v a c u u m c h a m b e r g e o m e t r y i s

n o t f e a s i b l e .

T h e s p e c t r o s c o p i c l i n e s ( p l o t t e d i n r e d ) e x h i b i t a b r o a d e n i n g w h i c h i s n o t i n d e p e n d e n t o n t h e a p p l i e d

e l e c t r i c e l d . T h e r e a r e t w o p o s s i b l e p a t h s f o r t h e t w o p h o t o n t r a n s i t i o n S S

I = P

3 S P

Q = P

3 R Q S

I = P

.

T h e d e s i r e d t r a n s i t i o n e n d s i n t h e j a C I = P s t a t e o f t h e R Q S

I = P

m a n i f o l d , w h i c h i s t h e o n l y o n e

a l l o w e d b y t h e c h o s e n p o l a r i z a t i o n s . N e v e r t h e l e s s i s t h e d i r e c t i o n o f t h e m a g n e t i c e l d a d j a c e n t

t o t h e t r a p p i n g c e n t e r n o t a n y m o r e p a r a l l e l t o t h e z - a x i s a n d a t o m s c a n a l s o b e t r a n s f e r r e d t o t h e

j a

I = P w h i c h i s n o t a n y m o r e i n s e n s i t i v e t o t h e m a g n e t i c e l d . T h e g

j

f a c t o r o f t h e R y d b e r g

s t a t e i s 2 a n d t h e t o t a l c h a n g e i n m a g n e t i c m o m e n t u m i s 2

B

. F o r t h e g i v e n w i d t h o f t h e o f

a t o m i c c l o u d t h i s r e s u l t s i n a b r o a d e n i n g o f a b o u t 3 M H z , w h i c h e x p l a i n s t h e o b s e r v e d w i d t h s v e r y

w e l l . T h e m a g n e t i c e l d o s e t o f t h e m a g n e t i c t r a p o f a b o u t 1 G l e a d s t o a n l i n e s h i f t o f 2 . 8 M H z

w h i c h i s b a r e l y r e s o l v e d i n t h e a v a i l a b l e d a t a .

5 . 3 . 4 L i f e t i m e o f t h e 4 3 S

I = P

s t a t e

T h e m e a s u r e m e n t o f t h e l i f e t i m e h a s b e e n c a r r i e d o u t o n a m a g n e t i c a l l y t r a p p e d c l o u d a t 2 0 K

a n d a d e n s i t y o f a b o u t S ¡

I H

I P

c m

Q

o f g r o u n d s t a t e a t o m s . T h e m e a n d i s t a n c e b e t w e e n t h e

m a g n e t i c a l l y t r a p p e d a t o m s o f o n l y 6 0 0 n m b e c o m e s c o m p a r a b l e t o t h e d i a m e t e r o f 2 5 0 n m o f

a R y d b e r g a t o m i n t h e 4 3 S

I = P

s t a t e ( s e e t a b l e 2 . 3 ) . T h e q u e s t i o n i s w e t h e r t h e e x c i t e d s t a t e

l i f e t i m e i s a l t e r e d b y t h e n e a r b y g r o u n d s t a t e a t o m s o r n o t . T h e c o n g u r a t i o n o f t h e l a s e r b e a m s

i s t h e s a m e a s b e f o r e . T h e p o w e r o f t h e l a s e r b e a m s w a s s e t t o 2 0 0 W ( 7 8 0 n m ) a n d t o 4 5

m W ( 4 8 0 n m ) . W e e x c i t e d a b o u t Q ¡

I H

U

t r a p p e d a t o m s f o r 2 0 s a n d e l d i o n i z e d t h e r e m a i n i n g



9 0 S i m n l l

0 100 200 300 400 500

5

4.5

4

3.53

2.5

2

1.5

1

0.5

Delay time [µs]

R y

d b e r g

s i g n a l

[ V s

]

F i g u r e 5 . 1 1 : M e a s u r e m e n t o f t h e 4 3 S

1 = 2

s t a t e l i f e t i m e . T h e b l u e l i n e i s a n e x p o n e n t i a l t t o t h e r e d d a t a

p o i n t s w i t h a t i m e c o n s t a n t o f a W V : V s . T h e o s e t o f t h e M C P s i g n a l i s 0 . 3 6 V s .

R y d b e r g a t o m s a f t e r a c e r t a i n d e l a y t i m e ¡ t a n d d e t e c t e d t h e i o n s o n t h e M C P .

T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n g u r e 5 . 1 1 . E a c h d a t a p o i n t i s a n a v e r a g e o f 2 0 0 m e a s u r e m e n t s . T h e l o s s

o f R y d b e r g a t o m s f o l l o w s v e r y w e l l a s i m p l e e x p o n e n t i a l d e c a y w i t h a t i m e c o n s t a n t o f 9 9 s ¦

I S

s . T h i s c o r r e s p o n d s e x a c t l y t o t h e e x p e c t e d t h e o r e t i c a l v a l u e o f 9 9 s g i v e n b y e q u a t i o n ( 2 . 7 6 ) .

O n t h e o t h e r h a n d a r e d u c t i o n o f t h e l i f e t i m e b y a n f a c t o r o f t w o d u e t o b l a c k b o d y r a d i a t i o n i s

e x p e c t e d . A m o r e d e t a i l e d t r e a t m e n t o f t h e i n u e n c e o f b l a c k b o d y r a d i a t i o n i n a n i t e s i z e c a v i t y

i n a p p e n d i x I s h o w s , t h a t t h e r e d u c t i o n o f t h e l i f e t i m e i s o n l y a b o u t 5 % w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h

t h e m e a s u r e m e n t . T h i s s h o w s o n t h e o t h e r s i d e , t h a t f o r t h e g i v e n d e n s i t y o f S ¡

I H

I P

c m

Q

t h e

l i f e t i m e i s n o t i n u e n c e d n o t i c e a b l e b y n e a r b y g r o u n d s t a t e a t o m s o r b y t h e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e

R y d b e r g a t o m s .

I n c o n c l u s i o n t h e s e r e s u l t s o n t h e m e a s u r e m e n t o f t h e S t a r k e e c t a n d t h e e x c i t e d s t a t e l i f e t i m e

s h o w t h a t a l l c o m p o n e n t s f o r e x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g a t o m s a r e r u n n i n g p r o p e r l y a n d a r e c a l i -

b r a t e d c a r e f u l l y . T h i s s y s t e m e s t a b l i s h e s a c o m p l e t e l y n e w r e g i m e f o r r e s e a r c h o f R y d b e r g m a t t e r

a n d s o m e f u t u r e p r o j e c t s a r e i l l u s t r a t e d i n c h a p t e r 6 . 2 . 2 .



6 S u m m a r y a n d O u t l o o k

T h e g o a l o f t h i s t h e s i s w a s t o s e t u p a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n e x p e r i m e n t , w h i c h c a n b e u s e d

t o a d d r e s s m a n y n o v e l q u e s t i o n s c o n n e c t e d t o q u a n t u m d e g e n e r a t e s y s t e m s , a t o m i c p h y s i c s a n d

s o l i d s t a t e t h e o r y . D u r i n g t h e c o u r s e o f t h e l a s t t h r e e y e a r s I d e s i g n e d t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p

f r o m s c r a t c h a n d p l a n n e d i t s r e a l i z a t i o n . T h e s u c c e s s f u l c o n v e r s i o n o f t h e b l u e p r i n t s i n t o a r e a l

e x p e r i m e n t a l s e t u p w a s r e a l i z e d w i t h i n a y e a r w i t h t h e h e l p o f a n e n d u r i n g d i p l o m a s t u d e n t [ 1 9 2 ] .

A t t h e e n d o f t h i s p r o c e s s w e c a n p r o d u c e q u a n t u m d e g e n e r a t e s a m p l e s o n d e m a n d a n d u s e t h e m

a s a l a u n c h i n g p a d f o r p h y s i c a l i n v e s t i g a t i o n s . T h e s e r e q u i r e s u i t a b l e t o o l s , o f w h i c h s e v e r a l w e r e

d e v e l o p e d a l o n g s i d e a n d a r e s u m m a r i z e d i n t h e m i l e s t o n e s b e l o w .

6 . 1 M i l e s t o n e s

A l l i n a l l w e s e t u p a n u l t r a - h i g h v a c u u m s y s t e m , t h r e e c o m p l e x l a s e r s y s t e m s , e l a b o r a t e h i g h

c u r r e n t a n d h i g h v o l t a g e e l e c t r o n i c s , s p e c i a l i z e d m a g n e t i c c o i l s , e l d p l a t e s f o r m a n i f o l d e l e c t r i c

e l d c o n g u r a t i o n s , s e n s i t i v e i o n d e t e c t o r s , a c o m p l e x c o n t r o l - a n d a n a l y s i s s o f t w a r e a n d m a n y

s m a l l g a d g e t s a l o n g s i d e .

6 . 1 . 1 A r u n n i n g B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n m a c h i n e

T h e p r e c o n d i t i o n f o r e x p e r i m e n t s w i t h B o s e - c o n d e n s e d a t o m s i s a r e l i a b l e , e c i e n t , c a l i b r a t e d a n d

e x i b l e s e t u p . W i t h t h e s e t u p p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s , w e a r e a b l e t o p r o d u c e o n a d a i l y b a s i s e v e r y

4 5 s e c o n d s a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e c o n s i s t i n g o f h a l f a m i l l i o n a t o m s . T h e m a i n t e n a n c e o f

t h e w h o l e s y s t e m r e q u i r e s e v e r y o t h e r w e e k a n a l i g n m e n t o f t h e l a s e r s y s t e m s a n d t h e a d j u s t m e n t

o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e l a s e r b e a m s f o r l a s e r c o o l i n g . T h e v a c u u m s y s t e m n e e d s n o a t t e n d a n c e ,

b e s i d e s a n e w l a y e r o f T i t a n i u m i n t h e s u b l i m a t i o n p u m p o n c e p e r y e a r a n d t h e e x c h a n g e o f t h e

R u b i d i u m v i a l i n t h e o v e n e v e r y s e c o n d y e a r . A l l o t h e r c o m p o n e n t s , a s e . g . t h e i m a g i n g s y s t e m ,

t h e h i g h c u r r e n t e l e c t r o n i c s , t h e c o n t r o l p r o g r a m , t h e a n a l y s i s s o f t w a r e , e t c . a r e d e b u g g e d a n d

r e a d y s e t .

T h e c o m b i n a t i o n o f a Z e e m a n - s l o w e r w i t h a c l o v e r - l e a f t r a p i s u p t o d a t e t h e m o s t e c i e n t w a y

t o p r o d u c e l a r g e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s w i t h l o n g l i f e t i m e s . T h e r e p e t i t i o n r a t e o f 4 5 s e c o n d s

c a n s t i l l b e i m p r o v e d , b u t w i l l b e u l t i m a t e l y l i m i t e d t o a b o u t 2 0 - 3 0 s e c o n d s [ 1 2 2 ] .

T h e r e l i a b i l i t y o f t h e s y s t e m a l s o i n c l u d e s t h e c a l i b r a t i o n o f i t s d e t e c t i o n m e t h o d s a n d i t s t o o l s

f o r m a n i p u l a t i o n , w h i c h a l l o w t h e d e d u c t i o n o f q u a n t i t a t i v e i n f o r m a t i o n . F o r d e t e c t i o n w e u s e

t h e i m a g i n g s y s t e m s a n d t h e m u l t i - c h a n n e l p l a t e s . T h e t w o i m a g i n g s e t u p s , u o r e s c e n c e a n d

a b s o r p t i o n , a r e b o t h c a l i b r a t e d i n t h e i r m a g n i c a t i o n s c a l i n g a n d d e t e c t i o n e c i e n c y t o a n a b s o l u t e

a c c u r a c y o f a b o u t 9 0 % . T h e d e t e c t i o n e c i e n c y o f t h e e l d i o n i z e d R y d b e r g a t o m s i s a c c u r a t e

t o r o u g h l y 7 5 % .

T h e m a j o r t o o l s t e s t e d i n t h i s t h e s i s a r e t h e m a g n e t i c e l d s p r o d u c e d b y t h e c l o v e r - l e a f t r a p , t h e

e l e c t r i c e l d c o n g u r a t i o n s f o r e x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g a t o m s , t h e f a r - o r e s o n a n t l i g h t p o t e n t i a l s

g e n e r a t i n g o p t i c a l l a t t i c e s a n d t h e p r o p e r t i e s o f t h e m i c r o w a v e g e n e r a t i o n a t 6 . 8 G H z .



9 2 T m m n d y l o o k

T h e v e r s a t i l i t y o f t h i s s e t u p i s i n n a t e l y g i v e n b y t h e e x t r e m e l y g o o d o p t i c a l a c c e s s o f t h e v a c u u m

c h a m b e r t o t h e a t o m i c s a m p l e s . A l m o s t a l l e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d s o f a r w i t h q u a n t u m d e g e n e r a t e

g a s e s r e q u i r e m o r e o r l e s s c o m p l e x c o m b i n a t i o n s o f s e v e r a l l a s e r b e a m s . W h a t d i s t i n g u i s h e s t h e

p r e s e n t s e t u p f r o m a l l o t h e r e x i s t i n g a s s e m b l i e s w o r l d w i d e i s i t s s p e c i c l a y o u t f o r e x p e r i m e n t s w i t h

R y d b e r g a t o m s .

6 . 1 . 2 E x p e r i m e n t a l r e a l i z a t i o n o f a n o p t i c a l l a t t i c e

W i t h t h e o b s e r v a t i o n o f t h e t i m e d e p e n d e n t d i r a c t i o n o f a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e i n a n o p t i c a l

l a t t i c e a n d i t s a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t , w e c o u l d d e t e r m i n e a l l r e l e v a n t p a r a m e t e r s .

T h e t h e o r e t i c a l t o o l s d e v e l o p e d t o d e s c r i b e t h e o b s e r v e d d i r a c t i o n p e a k s a r e a l s o c a p a b l e t o

s i m u l a t e t i m e d e p e n d e n t l a t t i c e p o t e n t i a l s o r v a r y i n g i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e a t o m s , w h i c h l e a d s t o

n e w p h y s i c a l i n s i g h t s [ 1 8 0 ] . O p t i c a l l a t t i c e s a r e g o i n g t o b e a m a j o r i n g r e d i e n t f o r f u t u r e e x p e r i m e n t s

d e a l i n g w i t h t h e s p i n - B o s o n m o d e l , b u t a r e a l s o r e l e v a n t f o r e x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g a t o m s .

6 . 1 . 3 C o h e r e n t c o u p l i n g o f t w o h y p e r n e g r o u n d s t a t e s

W e h a v e s e t u p a h i g h - c l a s s s y s t e m f o r m i c r o w a v e g e n e r a t i o n a n d t e s t e d i t s p e r f o r m a n c e b y d r i v i n g

a t w o l e v e l s y s t e m c o h e r e n t l y [ 2 3 7 ] . T h e o b s e r v a t i o n o f R a b i o p p i n g a n d i t s e x c e l l e n t a g r e e m e n t

w i t h t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s , e n d o w s u s a c a l i b r a t e d t o o l f o r m a n i f o l d a p p l i c a t i o n s . I n c o m b i -

n a t i o n w i t h t h e r a d i o - f r e q u e n c y s e t u p f o r e v a p o r a t i v e c o o l i n g , w e a r e n o w a b l e t o t r a n s f e r a t o m i c

p o p u l a t i o n s c o h e r e n t l y i n a n y m a g n e t i c s u b - l e v e l i n b o t h h y p e r n e s t a t e . T h i s w i l l b e e i t h e r u s e d

i n t h e c o n t e x t o f t h e s p i n - B o s o n m o d e l , b u t c a n a l s o b e u s e d t o m a n i p u l a t e t h e a t o m i c s a m p l e s

f o r R y d b e r g e x p e r i m e n t s .

6 . 1 . 4 I n v e s t i g a t i o n o f u l t r a - c o l d R y d b e r g a t o m s

T o c o n n e c t t h e p h y s i c s o f q u a n t u m d e g e n e r a t e g a s e s w i t h t h e e l d o f R y d b e r g a t o m s , w e s u c c e s s -

f u l l y i n s t a l l e d a n d t e s t e d s e v e r a l n o v e l t e c h n o l o g i e s i n t o o u r s e t u p . N o v e l h a s t o b e r e a d i n t h e

c o n t e x t o f t r a d i t i o n a l t r a p p i n g a n d c o o l i n g s e t u p s . T h e e x c i t a t i o n o f R u b i d i u m a t o m s i s d o n e b y a

l a s e r s y s t e m , w h i c h w a s p r e v i o u s l y b u i l t a n d t e s t e d o n a s e p a r a t e s e t u p [ 1 8 9 ] . T o m a k e u s e o f t h e

s e n s i t i v i t y o f R y d b e r g a t o m s w e i n s t a l l e d e i g h t e l d p l a t e s i n s i d e t h e v a c u u m c h a m b e r t o g e n e r a t e

c o m p l e x e l d c o n g u r a t i o n s [ 2 3 8 ] . T h e f u n c t i o n a l i t y o f t h e p l a t e s w a s t e s t e d a n d c a l i b r a t e d b y

m e a s u r i n g t h e S t a r k s h i f t f o r d i e r e n t e l e c t r i c e l d s . T h e d e t e c t i o n o f R y d b e r g a t o m s i s o n l y m a d e

p o s s i b l e b y t h e e l d p l a t e s , w h i c h a r e u s e d t o e l d i o n i z e t h e R y d b e r g a t o m s a n d t o g u i d e t h e

r e m a i n i n g i o n s i n t o a m u l t i - c h a n n e l p l a t e . W e i n s t a l l e d t w o M C P s i n s i d e t h e v a c u u m c h a m b e r ,

o n e f o r e l e c t r o n d e t e c t i o n a n d t h e o t h e r o n e f o r i o n d e t e c t i o n . B o t h o f t h e m a r e w o r k i n g , b u t w e

u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s , p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s , o n l y o n e f o r i o n d e t e c t i o n . T h e c a l i b r a t i o n o f t h e

d e t e c t i o n e c i e n c y a l l o w s u s , t o g e t h e r w i t h t h e k n o w l e d g e o f t h e a t o m n u m b e r s d e d u c e d f r o m t h e

i m a g i n g s y s t e m s , t o e x t r a c t q u a n t i t a t i v e e x c i t e d s t a t e f r a c t i o n s . F i n a l l y w e m e a s u r e d t h e l i f e t i m e

o f t h e R Q S

I = P

s t a t e , w h i c h i s i n a c c o r d a n c e w i t h t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s . W e c o n c l u d e f r o m

t h i s , t h a t t h e i n u e n c e o f n e a r b y g r o u n d s t a t e a t o m s o n t o t h e R y d b e r g a t o m s i s s m a l l e n o u g h ,

w h i c h a c t u a l l y p e r m i t s o n e t o c o n d u c t e x p e r i m e n t s a t s u c h d e n s i t i e s .



T F P

H

n c 9 3

6 . 1 . 5 T h e o r e t i c a l t r e a t m e n t o f l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n s

T h e p r o p o s e d e x p e r i m e n t [ 2 3 1 , 2 3 2 ] o n m e a s u r i n g t h e l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n i l l u s -

t r a t e s h o w c o h e r e n t , l o n g - r a n g e a n d a n i s o t r o p i c i n t e r a c t i o n s c a n b e b r o u g h t t o g e t h e r w i t h q u a n t u m

d e g e n e r a t e g a s e s . B e y o n d t h i s e e c t e x i s t s u p t o d a t e o n l y o n e e x p e r i m e n t a l s y s t e m , w h i c h e x h i b i t s

s u c h n a t u r e d i n t e r a c t i o n s . T h e c o n r m a t i o n o f t h e d i p o l a r c h a r a c t e r i n a C h r o m i u m c o n d e n s a t e

[ 1 6 5 ] h a s t r i g g e r e d a h u g e a m o u n t o f t h e o r e t i c a l p r o p o s a l s t o i n v e s t i g a t e s u c h s y s t e m s i n m o r e

d e t a i l .

6 . 2 W h a t

H

s n e x t ?

T h e e x p e r i m e n t a l s e t u p p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s h a s a d i s p o s i t i o n f o r m a n y d i e r e n t s c i e n t i c e l d s ,

b u t i n t h e e n d o n e h a s t o f o c u s o n a f e w d i s t i n c t t o p i c s . T h e i n v e s t i g a t i o n o f R y d b e r g e x c i t a t i o n s

f r o m a B E C w a s a l r e a d y t h e m o t i v a t i o n f o r t h e e x p e r i m e n t a l l a y o u t o f t h e w h o l e e x p e r i m e n t a n d

i s o n e o f t h e k e y e n t e r p r i s e s . A s a s e c o n d g o a l i s t h e e x p e r i m e n t a l r e a l i z a t i o n o f t h e s p i n - B o s o n

m o d e l w i t h t h e h e l p o f a B E C .

6 . 2 . 1 T h e s p i n - B o s o n m o d e l

Q u a n t u m i m p u r i t y s y s t e m s h a v e b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y b y m a n y t h e o r e t i c a l g r o u p s [ 7 5 , 2 4 4 , 2 4 5 ]

b u t o n l y l i t t l e e x p e r i m e n t a l i n s i g h t i s a v a i l a b l e [ 2 4 6 , 2 4 7 ] . T h e k e y i d e a o f t h e s o c a l l e d s p i n -

B o s o n m o d e l w h i c h d e s c r i b e s t h e d e c o h e r e n c e o f a g e n e r a l i z e d s p i n S , w h i c h c o u p l e s t o a b o s o n i c

e n v i r o n m e n t E . D e g e n e r a t e q u a n t u m g a s e s c a n b e u s e d t o r e a l i z e s u c h m o d e l s w i t h t h e p o s s i b i l i t y

t o a d j u s t t h e f u n d a m e n t a l p a r a m e t e r s o v e r a w i d e r a n g e [ 7 7 , 7 6 ] .

|a>

|b>Reservoir

BECD e

VabVb

F i g u r e 6 . 1 : T h e s p i n - B o s o n m o d e l . T h e l e f t p a r t o f t h e g u r e s h o e s t h e t w o s t a t e s

j a

i a n d

j b

i o f a

g e n e r a l i z e d s p i n S e m b e d d e d i n a b a t h E o f b o s o n i c e x c i t a t i o n s . T h e t w o s p i n s t a t e s a r e s e p a r a t e d b y a n

b i a s e n e r g y " a n d a r e c o u p l e d b y a t u n n e l i n g c o u p l i n g ¡ . O n t h e r i g h t s i d e i s a n e x p e r i m e n t a l i m p l e m e n t a t i o n

o f t h e s p i n - B o s o n m o d e l s h o w n . T h e t w o s p i n s t a t e s a r e n o w r e p r e s e n t e d b y t h e t w o d i e r e n t h y p e r n e

g r o u n d s t a t e s o f

8 7

R b a n d t h e b a t h b y t h e e x c i t a t i o n s i n a B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e . T h e a t o m s o f t h e

c o n d e n s a t e i n s t a t e j a i a r e c o n n e d i n p o t e n t i a l V

a b

w h i c h a c t s o n b o t h s p i n s t a t e s . A n a d d i t i o n a l p o t e n t i a l

V

b

o n l y a c t s o n t h e s p i n s t a t e

j b

i . T h e t u n n e l i n g c o u p l i n g i s o b t a i n e d b y c o h e r e n t R a m a n t r a n s i t i o n s b e t w e e n

t h e t w o h y p e r n e s t a t e s .




A s c h e m a t i c i l l u s t r a t i o n o f t h e u n d e r l y i n g p h y s i c a l s y s t e m i s g i v e n i n g u r e 6 . 1 . I t c o n s i s t s o f a

t w o l e v e l s y s t e m w i t h s t a t e s j

a i

a n d j

b i

, a l s o r e f e r r e d t o a s a q u a s i - s p i n , w h i c h i s e m b e d d e d i n

a n e n v i r o n m e n t . T h e s p i n i s c o u p l e d t o t h e b o s o n i c e x c i t a t i o n s , d e s c r i b e d a s h a r m o n i c o s c i l l a t o r

s t a t e s , o f t h e e n v i r o n m e n t . T h e l a r g e d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e b a t h c a u s e s a d e c o h e r e n c e o f t h e

c o h e r e n t e v o l u t i o n o f t h e s p i n s t a t e . S u c h a c o h e r e n t e v o l u t i o n i s f o r e x a m p l e g i v e n b y a t u n n e l

c o u p l i n g a s s h o w n i n t h e r i g h t p a r t o f g u r e 6 . 1 o r b y a n e x t e r n a l d r i v i n g e l d a s i s i t p l a n n e d i n

o u r r e a l i z a t i o n ( s e e r i g h t p a r t o f g u r e 6 . 1 ) . T h e s p i n - B o s o n H a m i l t o n i a n H

s B

i s t h e n [ 7 6 ] g i v e n

b y

H

s B

a

~

¡

P

x

C

q

~

!

q

b

y

q

b

q

C

~

P

z

~

C

q

q

@ b

q

C b

y

q

A

: ( 6 . 1 )

T h e s p i n s t a t e s a r e n o w g i v e n b y j a i a @ I ; H A a n d j b i a @ H ; I A a n d

x

a n d

z

a r e t h e o r d i n a r y

P a u l i s p i n m a t r i c e s . T h e r s t t e r m d e s c r i b e s t h e c o h e r e n t c o u p l i n g b e t w e e n t h e t w o s p i n s t a t e s

a n d t h e s e c o n d t e r m t h e b o s o n i c b a t h i n s e c o n d q u a n t i z a t i o n d e s c r i p t i o n , w h e r e b

q

a n d b

y

q

a r e

t h e a n n i h i l a t i o n a n d a n d c r e a t i o n o p e r a t o r s o f t h e p h o n o n m o d e s . T h e y a r e c h a r a c t e r i z e d b y a

m o m e n t u m q a n d t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n !

q

a u ¡

q , w h e r e u i s t h e s p e e d o f s o u n d . W i t h t h e l a s t

t e r m t h e s p i n s a r e c o u p l e d t o t h e b a t h . T h e b o s o n i c b a t h c a n b e r e d u c e d t o a n e e c t i v e d e n s i t y

o f s t a t e s f o r s u c i e n t l o w f r e q u e n c i e s a s

J @ ! A a

P

q

@ !

!

q

A a P !

s

: ( 6 . 2 )

O n e c a n d i s t i n g u i s h b e t w e e n d i e r e n t p h y s i c a l c a s e s d e p e n d i n g o n t h e e x p o n e n t s a n d t h e d i s s i p a t i o n

p a r a m e t e r . T h e m o s t i n t e r e s t i n g c a s e i s t h e s o c a l l e d o h m i c o n e w i t h s a I , w h i c h i s o u r g o a l .

F o r a d a m p i n g > I o n e e x p e c t s a t T a H a l o c a l i z a t i o n i n o n e s p i n s t a t e , w h i c h i s n o t f e a s i b l e

w i t h B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s . T h e i n t e r e s t i n g r e g i m e i s f o r r a n g i n g b e t w e e n 0 a n d 1 / 2 , w h i c h

r e s u l t s i n u n d a m p e d R a b i o s c i l l a t i o n s a t a H , d a m p e d o s c i l l a t i o n s f o r H < < I = P a n d a p u r e l y

e x p o n e n t i a l d e c a y a t a I = P . E x p e r i m e n t a l l y w e w i l l b e a b l e t o v a r y f r o m 0 t o 0 . 0 8 a s w i l l b e

d i s c u s s e d b e l o w w i t h a l l t h e o t h e r r e q u i r e d p r e c o n d i t i o n s .

P r e p a r a t i o n o f t h e e n v i r o n m e n t E O h m i c d a m p i n g w i t h s a I i s g i v e n i n t h e c a s e o f a o n e

d i m e n s i o n a l T o n k s - G i r a r d e a u g a s , a l s o k n o w n a s L u t t i n g e r l i q u i d [ 5 8 , 5 9 ] . T h i s r e g i m e c a n b e

r e a l i z e d w i t h t h e h e l p o f a t w o d i m e n s i o n a l o p t i c a l l a t t i c e ( s e e c h a p t e r 5 . 1 ) , w h i c h d e l i v e r s i n t o t h e

b a r g a i n u p t o 1 0 0 i d e n t i c a l a n d i n d e p e n d e n t r e s e r v o i r s . T h e c o n d e n s a t e i s i n i t i a l l y p r e p a r e d i n t h e

F a P ; m

F

a C P s t a t e a n d t h e n t r a n s f e r r e d a d i a b a t i c a l l y i n t o t h e o p t i c a l d i p o l e t r a p . W i t h t h e h e l p

o f a m i c r o w a v e e l d ( s e e c h a p t e r 5 . 2 ) t h e a t o m s a r e t h e n t r a n s f e r r e d i n t o t h e F a I ; m

F

a C I

w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e s t a t e j

a i

.

P r e p a r a t i o n o f t h e q u a s i - s p i n S a n d t h e c o u p l i n g ¡ T h e o t h e r s p i n s t a t e j

b i

i s e q u i v a l e n t t o

t h e F a P ; m

F

a I s t a t e . T h e c o u p l i n g ¡ b e t w e e n t h e t w o s p i n s t a t e s i s t h e n d o n e b y d r i v i n g

c o h e r e n t R a m a n t r a n s i t i o n s w i t h l a s e r l i g h t [ 1 9 ] . S u c h a l a s e r s y s t e m i s a l r e a d y a v a i l a b l e a n d w a s

t e s t e d e x t e n s i v e l y b y o b s e r v i n g e l e c t r o m a g n e t i c a l l y i n d u c e d t r a n s p a r e n c i e s i n a v a p o r c e l l [ 2 3 9 ] . I t i s

i m p o r t a n t t h a t o n l y o n e a t o m p e r r e s e r v o i r u n d e r g o e s R a b i o s c i l l a t i o n s . T o a s s u r e t h a t a n a d d i t i o n a l

p o t e n t i a l V

b

i s s u p e r p o s e d , w h i c h o n l y a c t s o n s t a t e j

b i

b u t n o t o n s t a t e j

a i

. T h e s e l e c t i v i t y i s

a c h i e v e d b y t u n i n g t h e R a m a n t r a n s i t i o n s u c h , t h a t i t i s i n r e s o n a n c e w i t h t h e g r o u n d s t a t e e n e r g y

o f t h e p o t e n t i a l V

b

. O n t h e o t h e r h a n d h a s t h e o n - s i t e i n t e r a c t i o n t o b e l a r g e e n o u g h t h a t i t s h i f t s

t h e n i v e a u o u t o f r e s o n a n c e , i f m o r e t h a n o n e a t o m i s c o n n e d i n t h e p o t e n t i a l V

b

. T h i s r e q u i r e s

a q u i t e s t e e p p o t e n t i a l , w h i c h i n v o l v e s a s h a r p f o c u s e d l a s e r b e a m . T h e s t a t e s e l e c t i v i t y o f t h e

d i p o l e p o t e n t i a l i s g i v e n f o r l i n e a r p o l a r i z e d l i g h t a t 7 8 7 n m , a s d e s c r i b e d i n a p p e n d i x E . W i t h a n



T F P

H

n c 9 5

a v a i l a b l e l a s e r p o w e r o f 3 0 0 m W a n d a w i d t h o f 5 m o f t h e f o c u s e d G a u s s i a n b e a m o n e a c h i e v e s ,

i n c o m b i n a t i o n w i t h t h e t w o - d i m e n s i o n a l l a t t i c e , i n a l l t h r e e d i m e n s i o n s a c o n n e m e n t w i t h m o r e

t h a n 2 0 0 k H z .

V a r i a t i o n o f t h e c o u p l i n g s t r e n g t h t o t h e b a t h T o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e d e s i r e d d e c o h e r e n c e

d u e t o t h e c o u p l i n g t o t h e b a t h a n d o t h e r u n w i s h e d d i s t u r b a n c e s , i s o n e p o s s i b i l i t y t o a l t e r t h e

c o u p l i n g t o t h e r e s e r v o i r . T h i s c a n b e a c h i e v e d i n t w o w a y s . T h e r e e x i s t s a n i n t e r s t a t e F e s h b a c h

r e s o n a n c e b e t w e e n t h e t w o s t a t e s F a I ; m

F

a C I a n d F a P ; m

F

a I a t 9 . 1 G [ 4 2 ] b y w h i c h

c a n b e a l t e r e d c o n t i n u o u s l y f r o m 0 t o 0 . 0 3 . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t o c h a n g e t h e o n e d i m e n s i o n a l

d e n s i t y b y a f a c t o r o f t w o , w h i c h e x t e n d s t h e r a n g e o f u p t o 0 . 0 8 .

D e t e c t i o n F i n a l l y o n e h a s t o d e t e c t t h e a t o m s s t a t e d e p e n d e n t t o a c q u i r e t h e d a m p e d R a b i -

o s c i l l a t i o n s . T h e e x p e r i m e n t w i l l b e e x e c u t e d o n a b o u t 1 0 0 i d e n t i c a l s y s t e m s , w i t h e a c h c o n t a i n i n g

o n l y o n e d r i v e n s p i n s t a t e . T h i s d e m a n d s a d e t e c t i o n s e n s i t i v i t y o f b e t t e r t h a n 1 0 0 a t o m s . T h e

d e t e c t i o n e c i e n c y o f e l d i o n i z e d R y d b e r g a t o m s i s a l r e a d y o n t h e o r d e r o f a f e w h u n d r e d i o n s 5 . 3

a n d i s p r e s e n t l y l i m i t e d b y t h e q u a l i t y i f t h e d e t e c t i o n c i r c u i t r y . A n i m p r o v e m e n t o f t h e d e t e c t i o n

e c i e n c y b y a f a c t o r o f t e n s h o u l d b e s u c i e n t . T h e s t a t e s e l e c t i v e e x c i t a t i o n i n t o a R y d b e r g s t a t e

h a s b e e n s h o w n i n [ 1 8 9 ] f o r o u r l a s e r s y s t e m a n d i s a d e q u a t e f o r o u r s c o p e .

6 . 2 . 2 R y d b e r g m a t t e r

I n m o s t q u a n t u m o p t i c a l s y s t e m s t h e i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e p a r t i c l e s a r e t h e k e y t o n o v e l p h e n o m -

e n a . T h e s e a r e i n t h e e l d o f q u a n t u m g a s e s t h e s h o r t r a n g e c o n t a c t i n t e r a c t i o n a n d i n e x p e r i m e n t s

d e a l i n g w i t h i o n t a p s t h e l o n g - r a n g e C o u l o m b r e p u l s i o n . O n e e x c e p t i o n t o t h i s r e s t r i c t i o n i s t h e

r s t r e a l i z a t i o n o f a d i p o l a r q u a n t u m u i d , i n w h i c h t h e m a g n e t i c d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n b e c o m e s

c o m p a r a b l e t o t h e c o n t a c t i n t e r a c t i o n a n d t h u s v i s i b l e .

R y d b e r g a t o m s c a n e x h i b i t l a r g e p e r m a n e n t e l e c t r i c d i p o l e m o m e n t s , w h i c h l e a d t o a n i s o t r o p i c a n d

l o n g - r a n g e i n t e r a c t i o n s a m o n g t h e a t o m s . T h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e c o h e r e n c e p r o p e r t i e s a n d t h e

p o s s i b i l i t i e s t o c o n t r o l t h i s d i p o l a r i n t e r a c t i o n s i n a m a n y p a r t i c l e s y s t e m w i l l b e a m a j o r t a s k . T h i s

i s a l s o i n t e r e s t i n g w i t h a v i s i o n o f r e a l i z i n g q u a n t u m l o g i c a l e l e m e n t s w i t h t h e h e l p o f R y d b e r g

s t a t e s . T h e i n t e r a c t i o n o f t h e d i p o l e s w i t h e l e c t r i c e l d s c a n a l s o b e u s e d t o e x e r t f o r c e s o n t h e

R y d b e r g a t o m s o r e v e n t o s t o r e t h e m i n a n c o n s e r v a t i v e p o t e n t i a l . F i n a l l y w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e

g e n e r a t i o n o f m o l e c u l e s c o n s i s t i n g o f R y d b e r g a t o m s a n d g r o u n d s t a t e a t o m s .

D i p o l e b l o c k a d e T h e e n e r g y l e v e l s a m o n g t w o n e i g h b o r i n g R y d b e r g a t o m s a r e s h i f t e d b y e i t h e r t h e

v a n d e r W a a l s i n t e r a c t i o n o r t h e i r d i p o l a r m o m e n t . F o r l a r g e e n o u g h s h i f t s , o r t o s m a l l i n t e r a t o m i c

d i s t a n c e s , l e a d s t h i s t o a b l o c k a d e e e c t , w h i c h w a s a l r e a d y o b s e r v e d f o r t h e v a n d e r W a a l s

i n t e r a c t i o n [ 8 7 , 8 6 ] . T h e g o a l i s t h e m e a s u r e m e n t o f a d i p o l e b l o c k a d e e e c t , w h i c h w i l l b e a

r s t s t e p t o w a r d s q u a n t u m i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g w i t h R y d b e r g a t o m s [ 9 1 ] . T h e s t r e n g t h o f t h e

d i p o l a r i n t e r a c t i o n c a n b e c o n t r o l l e d b y t h e i n d u c e d d i p o l e - m o m e n t s o f a s t a t e e x h i b i t i n g a q u a d r a t i c

S t a r k e e c t v i a t h e s t r e n g t h o f t h e e l e c t r i c e l d .

T r a p p i n g R y d b e r g a t o m s W i t h t h e h e l p o f t h e e i g h t e l d p l a t e s w e a r e a b l e t o g e n e r a t e a n e l e c t r i c

e l d d i s t r i b u t i o n w i t h a e l d m i n i m u m i n t h e c e n t e r . I n t h i s g e o m e t r y w e a r e a b l e t o c a t c h w e a k

e l d s e e k i n g s t a t e s . T h e s t r o n g e s t c o n n e m e n t i s a c h i e v e d w i t h t h e m o s t e x t r e m a l h y d r o g e n - l i k e

s t a t e e x h i b i t i n g t h e l a r g e s t d i p o l e m o m e n t s . F o r a t o m s i n n a R H s t a t e a n d v o l t a g e s u p t o 3 0 0 0 V

a t t h e e l d p l a t e s r e s u l t i n t r a p p i n g f r e q u e n c i e s o f 1 M H z . T h i s i s c o m p a r e d t o t h e e x c i t e d s t a t e

l i f e t i m e l a r g e e n o u g h , t h a t o n e c a n c l e a r l y t a l k a b o u t t r a p p e d R y d b e r g a t o m s . T h e e v i d e n c e w i l l

b e a m e a s u r e m e n t o f t h e t r a p p i n g f r e q u e n c y o f a k i c k e d R y d b e r g a t o m . W i t h t h e c o n t r o l o v e r




t h e p o s i t i o n o f R y d b e r g a t o m s o n e c a n m a n i p u l a t e a n d e x a m i n e t h e i n t e r a c t i o n s o f R y d b e r g s t a t e s

w i t h a i n d e p e n d e n t l y t r a p p e d ( m a g n e t i c a l l y o r o p t i c a l l y ) B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e .

M o l e c u l e s T h e e x i s t e n c e o f p o l a r m o l e c u l e s c o n s i s t i n g o f o n e R y d b e r g a t o m a n d o n e g r o u n d s t a t e

a t o m h a s b e e n p o s t u l a t e d i n [ 9 2 ] . T h e v i b r a t i o n a l s t a t e s o f s u c h a m o l e c u l e w o u l d h a v e a l e v e l

s p a c i n g r a n g i n g f r o m M H z t o G H z . T h i s c o u l d b e r e s o l v e d s p e c t r o s c o p i c a l l y w i t h o u r l a s e r s y s t e m .

Q u a n t u m I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g ( Q I P )

T h e r e a l i z a t i o n o f Q I P [ 2 4 8 , 2 4 9 ] r e q u i r e s s e v e r a l c o n d i t i o n s , w h i c h h a v e t o b e a c c o m p l i s h e d

s i m u l t a n e o u s l y :

A s c a l a b l e p h y s i c a l s y s t e m w i t h w e l l - c h a r a c t e r i z e d q u b i t s

T h e a b i l i t y t o i n i t i a l i z e t h e q u b i t s t a t e

D e c o h e r e n c e t i m e s m u c h l o n g e r t h a n t h e q u a n t u m g a t e o p e r a t i o n

A u n i v e r s a l s e t o f q u a n t u m g a t e s

T h e a b i l i t y t o m e a s u r e s p e c i c q u b i t s

A r e g u l a r p a t t e r n o f N

V U

R b a t o m s c o n n e d i n a n o p t i c a l l a t t i c e c a n b e t h e s t a r t i n g p o i n t f o r Q I P

w i t h N q u b i t s . T h e t w o s t a t e s o f t h e q u b i t a r e t h e t w o h y p e r n e g r o u n d s t a t e s F a I a n d F a P

o f

V U

R b . I n i t i a l l y a l l a t o m s a r e p r e p a r e d i n i d e n t i c a l q u a n t u m s t a t e , w h i c h i s m a d e p o s s i b l e b y a

M o t t - i n s u l a t i n g p h a s e [ 7 2 ] . N o w a l l a t o m s e x h i b i t t h e s a m e i n t e r n a l ( e . g . j

F a I i

) a n d e x t e r n a l

q u a n t u m s t a t e . T h e n e x t s t e p i s t h e g e n e r a t i o n o f a q u a n t u m i n p u t r e g i s t e r b y t r a n s f e r r i n g s p e c i c

q u b i t s i n t o t h e o t h e r s p i n s t a t e j F a P i b y a 1 - q u b i t o p e r a t i o n . T h i s c a n b e d o n e b y c o m b i n i n g

t h e n a r r o w l i n e w i d t h o f m i c r o w a v e t r a n s i t i o n s w i t h a s p a c e d e p e n d e n t Z e e m a n s h i f t . T h i s r e q u i r e s

a s p a t i a l r e s o l u t i o n o f t h e d i e r e n t l a t t i c e s i t e s b y s u i t a b l e m a g n e t i c e l d g r a d i e n t s .

N o w i s t h e a p p l i c a t i o n o f 2 - q u b i t o p e r a t i o n s w i t h t h e h e l p o f t h e d i p o l e - b l o c k a d e e e c t a m o n g

R y d b e r g - a t o m s [ 9 1 ] p o s s i b l e . T h e d i p o l e - d i p o l e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e R y d b e r g a t o m s s u p p r e s s e s

t h e e x c i t a t i o n o f a n a t o m i n t o a R y d b e r g - s t a t e , i f a n e i g h b o r i n g a t o m i s a l r e a d y i n a R y d b e r g

s t a t e . A m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n h o w t o r e a l i z e a c - N O T q u a n t u m g a t e i s g i v e n i n [ 1 8 9 ] . A

i m p l e m e n t a t i o n o f t h i s g a t e , r e q u i r e s t h a t o n l y t w o n e a r b y l a t t i c e s i t e s a r e i n v o l v e d . T h e s e l e c t i o n

o f t w o s p e c i c l a t t i c e p o s i t i o n s c a n b e a c h i e v e d w i t h t h e h e l p o f t h e S t a r k - s h i f t a n d t h e n a r r o w

l i n e w i d t h s o f R y d b e r g e x c i t a t i o n s . U n f o r t u n a t e l y i t i s n o t p o s s i b l e i n o u r s e t u p t o g e n e r a t e e l e c t r i c

e l d s , w h i c h h a v e o n l y a t t w o d i s t i n c t p o s i t i o n s t h e s a m e e l d s t r e n g t h . T o g e t a r o u n d t h i s p r o b l e m ,

o n e c a n u s e t w o l a s e r b e a m s , w i t h e a c h b e i n g i n r e s o n a n c e a t o n e l a t t i c e s i t e . A s a l a s t s t e p o n e

h a s t o r e a d o u t t h e r e s u l t , w h i c h i s s t o r e d i n t h e s p i n s t a t e s . T o d o s o , o n e a d d r e s s e s a g a i n a

s p e c i c l a t t i c e s i t e w i t h a n e l e c t r i c e l d a n d e x c i t e s t h e a t o m s t a t e s e l e c t i v e l y i n t o a R y d b e r g s t a t e .

S u b s e q u e n t l y t h e R y d b e r g a t o m i s e l d i o n i z e d a n d d e t e c t e d w i t h a m u l t i - c h a n n e l p l a t e .



A T h e e l e m e n t R u b i d i u m

T h e e l e m e n t R u b i d i u m i s s i n c e a l m o s t 2 0 y e a r s t h e s t a n d a r d a t o m f o r c o l d a t o m p h y s i c s . A l t h o u g h

t h e r s t t r a p p i n g a n d c o o l i n g e x p e r i m e n t s w e r e d o n e w i t h S o d i u m [ 1 3 2 ] , t h e d e v e l o p m e n t o f c h e a p e r

d i o d e l a s e r s y s t e m s m a d e R u b i d i u m m o r e a n d m o r e a t t r a c t i v e [ 2 5 0 ] . I t s s i m p l e e l e c t r o n i c l e v e l

s c h e m e , c o m m o n t o a l l a l k a l i e l e m e n t s , g i v e s e x p e r i m e n t a l i s t s a l m o s t a t w o - l e v e l s y s t e m a t h a n d .

I n n a t u r e R u b i d i u m i s f o u n d i n t w o s t a b l e i s o t o p e s , n a m e l y

V S

R b a n d

V U

R b [ 2 5 1 ] . T h e l a t t e r i s u s e d

i n o u r e x p e r i m e n t s d u e t o i t s w e l l b e h a v e d s c a t t e r i n g p r o p e r t i e s a t l o w t e m p e r a t u r e s .

V S

R b e x h i b i t s a

n e g a t i v e s c a t t e r i n g l e n g t h a t s m a l l m a g n e t i c e l d s w h i c h m a k e s B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t i o n d i c u l t

[ 8 ] . T h e n a t u r a l r a t i o b e t w e e n t h i s t w o i s o t o p e s i s 7 2 t o 2 8 , w i t h

V U

R b h o l d i n g t h e s m a l l e r f r a c t i o n .

V U

R b i s r a d i o a c t i v e a n d d e c a y s w i t h a r a t e o f 4 . 9 1 0

I H

y e a r s i n t o

V U

S r [ 2 5 2 ] . T h e o t h e r i s o t o p e s ,

V P

R b ,

V Q

R b a n d

V R

R b , c a n b e c r e a t e d a r t i c i a l l y b u t a r e n o t f o u n d i n n a t u r e .

A . 1 P h y s i c a l p r o p e r t i e s o f

V U

R b

T h e v a p o r p r e s s u r e o f

V U

R b i n t o r r i n t h e l i q u i d p h a s e c a n b e m o d e l e d b y

l o g

I H

P

v

a I S : V V P S Q

R S P W : T Q S

T

C H : H H S V T T Q T

P : W W I Q V l o g

I H

T ; ( A . 1 )

w i t h T b e i n g t h e t e m p e r a t u r e i n K e l v i n [ 1 3 1 ] . A l l f u r t h e r i m p o r t a n t p r o p e r t i e s a r e l i s t e d i n t a b l e

A . 1 .

A t o m i c n u m b e r 3 7

T o t a l n u c l e o n s 8 7

R e l a t i v e n a t u r a l a b u n d a n c e 2 7 . 8 3

A t o m i c m a s s ( S I ) 1 . 4 4 3 1 6 0 6 0 ( 1 1 ) ¢

I H

P S

k g

A t o m i c m a s s ( a . u . ) 8 6 . 9 0 9 1 8 0 5 2 0 ( 1 5 ) u

M e l t i n g p o i n t 3 9 . 3 1

C

B o i l i n g p o i n t 6 0 8

C

V a p o r p r e s s u r e a t 2 5

C 3 . 0 ¢

I H

U

t o r r

T a b l e A . 1 : P h y s i c a l p r o p e r t i e s o f

8 7

R b

A . 2 O p t i c a l p r o p e r t i e s o f

V U

R b

F o r a m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e o p t i c a l p r o p e r t i e s o f R u b i d i u m t h a n g i v e n h e r e s e e [ 1 3 1 , 1 2 5 ] .

T h e e l e c t r o n i c g r o u n d s t a t e c o n g u r a t i o n o f R u b i d i u m i s I s

P

P s

P

P p

T

Q s

P

Q p

T

Q d

I H

R s

P

R p

T

S s

I

, w i t h



9 8 e l m n d m

F i g u r e A . 1 : L e v e l s c h e m e o f t h e D - l i n e d o u b l e t w i t h i t s h y p e r n e s t r u c t u r e o f

8 7

R b .

o n e s o l e l y e l e c t r o n i n t h e S s s h e l l . T h e e n e r g e t i c a l l y n e x t e x c i t e d s t a t e i s a d o u b l e t d u e t o t h e n e

s t r u c t u r e s p l i t t i n g , w h i c h a r e c o m m o n l y k n o w n a s t h e D

I

l i n e S

P

S

I = P

3 S

P

P

I = P

a n d t h e D

P

l i n e

S

P

S

I = P

3 S

P

P

Q = P

. T h e n u c l e u s h a s a s p i n o f I = 3 / 2 , w h i c h g i v e s a n h y p e r n e s t r u c t u r e o n t o p o f

t h e n e s t r u c t u r e d o u b l e t .

T h e c a l c u l a t i o n f o r e a c h t r a n s i t i o n s t r e n g t h w i t h i n i n t h e m a n i f o l d s c a n b e s i m p l i e d b y e x t r a c t i n g

t h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f t h e t r a n s i t i o n d i p o l e m o m e n t s [ 1 2 5 ] . T o c a l c u l a t e t h e d y n a m i c s o f t h e

m u l t i l e v e l s y s t e m i r r a d i a t e d b y a l a s e r o f a c e r t a i n p o l a r i z a t i o n , i n t e n s i t y a n d d e t u n i n g , o n e n e e d s

t o k n o w t h e R a b i f r e q u e n c y f o r e a c h t r a n s i t i o n a

e g

E

H

= ~

a n d t h e s p o n t a n e o u s d e c a y r a t e s

f o r e a c h d e c a y c h a n n e l a !

Q

P

e g

= @ Q "

H

~

c A . E

H

i s t h e a m p l i t u d e o f t h e e l e c t r i c e l d o f t h e d r i v i n g

l i g h t e l d a n d ~

! t h e e n e r g y d i e r e n c e b e t w e e n t h e g r o u n d a n d e x c i t e d s t a t e . T h e d i p o l e m a t r i x

e l e m e n t i s g i v e n b y

e g

a e h

e j

" ¡

~r j

g i

a e h

n

H

L

H

m

H

L

j "

¡ ~r

j n L m

L

i ; ( A . 2 )

w i t h e l e m e n t a r y c h a r g e e a n d t h e u n i t y v e c t o r o f t h e p o l a r i z a t i o n " o f t h e e l e c t r i c e l d . T h e p r i m e s

i n d i c a t e t h e e x c i t e d s t a t e . T h e a t o m i c e i g e n - s t a t e s a r e g i v e n i n t h e F ; m

F

- b a s i s o f t h e h y p e r n e

m a n i f o l d . T o c a l c u l a t e ( A . 2 ) o n e c a n m a k e u s e o f t h e W i g n e r - E c k h a r d t t h e o r e m [ 2 5 3 , 2 5 4 ] t o

d e c o m p o s e t h e c o u p l i n g s o f t h e a n g u l a r m o m e n t a

e g

a @

I A

I C L

H

C S C J C J

H

C I m

H

F

@ P J C I A @ P J

H

C I A @ P F C I A @ P F

H

C I A

¢

L

H

J

H

S

J L I

J

H

F

H

I

F J I

F I F

H

m

F

q m

H

F

e

h n

H

L

H

j j r

j j n L

i : ( A . 3 )

T h e r e d u c e d m a t r i x e l e m e n t h

n

H

L

H

j j r

j j n L

i d e p e n d s o n l y o n t h e r a d i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e a t o m i c

w a v e f u n c t i o n . F o r t r a n s i t i o n s w i t h i n t h e D 2 m a n i f o l d i s J a I = P , J

H

a Q = P , L a H , L

H

a I a n d

I a Q = P . T h e p o l a r i z a t i o n o f t h e l i g h t i s g i v e n b y q a H f o r l i n e a r p o l a r i z e d l i g h t a n d q a ¦

I f o r

C

r e s p e c t i v e l y

p o l a r i z e d l i g h t . T h e e x p r e s s i o n i n c u r l y b r a c k e t s a r e 6 j - s y m b o l s a n d i n r o u n d

b r a c k e t s 3 j - s y m b o l s . T h e r e d u c e d m a t r i x e l e m e n t c a n b e d e r i v e d i n d i r e c t l y f r o m t h e m e a s u r e d l i f e

t i m e o f t h e e x c i t e d s t a t e o r b y s t r a i g h t f o r w a r d b y i n t e g r a t i o n o f t h e d i p o l e m a t r i x e l e m e n t . T h e



e F P y l o o

V U

9 9

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

F=1

F=2

F=1 F=1

F=2F=2

F=2

F=1

F=2

50

5

1520

15

1520

15

20 5 0 205

55

5

5

15

1530

30

10151510

D1-Manifold

D2-Manifold

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

0

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2

-1 0 1

0

F=1

F=2

F=0

F=3

F=1 F=1

F=0

F=2F=2

F=2

F=3

F=1

F=2

p-pol s -pol+

604024124

1015

1510

13

6

515 30

2525

20

20 32 36 32 20

205

05

20

3

4

3

25 0 25

20

15

2015

p-pol s -pol+

F i g u r e A . 2 : T r a n s i t i o n s s t r e n g t h s w i t h i n i n t h e D 2 m a n i f o l d f o r l i n e a r a n d c i r c u l a r p o l a r i z e d l i g h t . T h e

s t r e n g t h s a r e n o r m a l i z e d t o t h e w e a k e s t t r a n s i t i o n t o o b t a i n o n l y i n t e g e r s .



1 0 0 e l m n d m

l a t t e r m e t h o d r e q u i r e s a v e r y g o o d k n o w l e d g e o f t h e r a d i a l w a v e f u n c t i o n a n d i s t h e r e f o r e n o t t r i v i a l

[ 1 8 9 ] . T h e o p t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e D 1 a n d D 2 m a n i f o l d a r e g i v e n i n t h e t a b l e A . 2 .

P r o p e r t y V a l u e

D 2 - l i n e @ S S

I = P

3 S P

Q = P

A

F r e q u e n c y 2 3 8 4 . 2 2 7 9 8 1 8 7 7 3 ( 5 5 ) T H z

W a v e l e n g t h ( v a c u u m ) 7 8 0 . 2 4 6 2 9 1 6 2 9 ( 1 1 ) n m

L i f e t i m e 5 P

Q = P

2 6 . 2 4 ( 4 ) n s

L i n e w i d t h 5 P

Q = P

2 6 . 0 6 5 ( 9 ) M H z

S a t u r a t i o n i n t e n s i t y 1 6 . 7 W / m

P

R e c o i l v e l o c i t y 5 . 8 8 4 5 m m / s

R e c o i l e n e r g y 2 3 . 7 7 1 0 k H z

R e c o i l t e m p e r a t u r e 3 6 1 . 9 6 n K

D o p p l e r s h i f t w i t h v

a t o m

= v

r e c o i l

2 7 . 5 4 1 9 k H z

D o p p l e r t e m p e r a t u r e 1 4 6 K

H y p e r n e s p l i t t i n g F = 1 , F = 2 ( g r o u n d s t a t e ) 6 . 8 3 4 6 8 2 6 1 0 9 0 4 2 9 ( 9 ) G H z

H y p e r n e s p l i t t i n g F

H

= 0 , F

H

= 1 ( e x c i t e d s t a t e ) 7 2 . 2 1 8 ( 4 ) M H z


H

= 1 , F

H

= 2 ( e x c i t e d s t a t e ) 1 5 6 . 9 4 7 ( 7 ) M H z


H

= 0 , F

H

= 1 ( e x c i t e d s t a t e ) 2 6 6 . 6 5 0 ( 9 ) M H z

D 1 - l i n e @ S S

I = P

3 S P

I = P

A

F r e q u e n c y 2 3 7 7 . 1 0 7 4 6 3 5 ( 4 ) T H z

W a v e l e n g t h ( v a c u u m ) 7 9 4 . 9 7 8 8 5 0 9 ( 8 ) n m

L i f e t i m e 5 P

Q = P

2 7 . 7 0 ( 4 ) n s

L i n e w i d t h 5 P

Q = P

2 5 . 7 4 6 ( 8 ) M H z

S a t u r a t i o n i n t e n s i t y 1 4 . 9 W / m

P

R e c o i l v e l o c i t y 5 . 7 7 5 4 m m / s

R e c o i l e n e r g y 2 3 . 6 3 2 5 k H z

R e c o i l t e m p e r a t u r e 3 4 8 . 6 6 n K


H

= 1 , F

H

= 2 ( e x c i t e d s t a t e ) 8 1 6 . 6 5 6 ( 3 0 ) M H z

T a b l e A . 2 : O p t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e

8 7

R b D 1 a n d D 2 m a n i f o l d



B R u b i d i u m a t o m s i n m a g n e t i c e l d s

T h e Z e e m a n e n e r g y o f t h e d i e r e n t h y p e r n e g r o u n d s t a t e s i n R u b i d i u m c a n b e c a l c u l a t e d b y

u s i n g t h e B r e i t - R a b i f o r m u l a [ 1 4 3 , 2 1 3 ] . F o r t h e c a s e o f z e r o a n g u l a r m o m e n t u m s e c o n d o r d e r

p e r t u r b a t i o n t h e o r y g i v e s

E

F ; m

F

@ B A a @

I A

F

~

!

h f

P

I C

R m

F

P I C I

x C x

P

C c o n s t ( B . 1 )

w i t h

x a

@ g

I

C g

s

A

B

B

~

!

h f

( B . 2 )

T h e s p i n o f t h e n u c l e u s i s I a Q = P , t h e g - F a c t o r o f t h e n u c l e u s g

I

a H : W W S I H

Q

a n d t h e g -

F a c t o r o f t h e e l e c t r o n g

s

a P : H H P Q . T h e h y p e r n e s p l i t t i n g o f t h e t w o g r o u n d s t a t e s i s !

h f

a

P T : V Q R T V P T I P V @ S A H z .

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Magnetic field [T]

E n e r g

y

6 . 8

G H

z

m =+2Fm =+1

Fm = 0

Fm = - 1

F

m = - 2F

m = - 1F

m = 0F

m =+1F

F=2

F=1

F i g u r e B . 1 : Z e e m a n s h i f t o f m a g n e t i c s u b - l e v e l s o f

8 7

R b i n t h e p r e s e n c e o f a m a g n e t i c e l d .

F o r n o t t o l a r g e m a g n e t i c e l d s t h e Z e e m a n s p l i t t i n g c a n b e a p p r o x i m a t e d t o s e c o n d o r d e r a s l o n g

t h e Z e e m a n s p l i t t i n g E

F ; m

F

@ B A (

!

h f

.

E

F ; m

F

@ B A a @ I A

F

~

!

h f

P

C m

F

g

F

B

B C

@ R

m

P

F

A

I T

@ g

s

B

B A

P

~

!

h f

C c o n s t ( B . 3 )



1 0 2 f d m o m n m n ( l d

w i t h

g

F

a @

I A

F

I

P I C P

g

s

( B . 4 )

F o r t h i s a p p r o x i m a t i o n a l s o g

I

( g

s

w a s a s s u m e d . F o r l a r g e m a g n e t i c e l d s t h e h y p e r n e c o u p l i n g

o f t h e n u c l e u s s p i n I a n d t h e a n g u l a r m o m e n t u m J b r e a k s d o w n a n d t h e l i n e s g r o u p i n t o t w o p a i r s

J a ¦

I = P ( o r b i t a l m o m e n t u m L = 0 ) a n d t h e f o u r p r o j e c t i o n s o f t h e n u c l e u s I a ¦

Q = P ; ¦

I = P .

F r o m s p e c i a l i n t e r e s t a r e t h e s o c a l l e d c l o c k - t r a n s i t i o n s b e t w e e n t w o m

F

a H m a g n e t i c s u b - l e v e l s ,

s i n c e t h e y a r e l e a s t s e n s i t i v e t o m a g n e t i c e l d s . T h e e n e r g y s h i f t f o r a c l o c k t r a n s i t i o n f r o m

F a I ; m

F

a H 3

F a P ; m

F

a H d e p e n d s o n l y q u a d r a t i c a l l y o n t h e m a g n e t i c e l d s a s

¡

E

a

@ g

s

B

A

P

P ~

!

h f

B

P

: ( B . 5 )

T h i s g i v e s a f r e q u e n c y s h i f t o f 5 7 5 . 1 5 H z / G

P

.



C R u b i d i u m R y d b e r g a t o m s i n e l e c t r i c e l d s

S i n c e t h e h i g h l y e x c i t e d e l e c t r o n i s o n l y w e a k l y b o u n d t o t h e c o r e , t h e R y d b e r g a t o m s e x h i b i t

s t r o n g i n t e r a c t i o n s w i t h e l e c t r i c e l d s . T h e e n e r g i e s o f t h e n e w e i g e n - s t a t e s o f a R y d b e r g a t o m i n

a n c o n s t a n t e l e c t r i c e l d a r e s h o w n i n t h e S t a r k m a p i n g u r e C . 1 . T h e d e n o t a t i o n o f t h e s t a t e s i s

o n l y v a l i d f o r z e r o e l e c t r i c e l d . W i t h i n c r e a s i n g e l e c t r i c e l d t h e u n p e r t u r b e d s t a t e s a c q u i r e m o r e

a n d m o r e a d m i x t u r e s b y o t h e r s t a t e s . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e e i g e n - e n e r g i e s f o r R u b i d i u m w a s d o n e

c a r e f u l l y i n [ 1 8 9 ] i n c l u d i n g t h e n e - s t r u c t u r e a n d t h e h y p e r n e s t r u c t u r e . T h e c o n t r i b u t i o n o f t h e

l a t t e r i s o n t h e o r d e r o f a f e w k H z a n d s h a l l b e o m i t t e d h e r e .

T h e H a m i l t o n i a n o f a n a t o m i n a n c o n s t a n t e l e c t r i c e l d E a l o n g z i s g i v e n b y

H a H

H

C H

f s

C E z ( C . 1 )

w h e r e H

H

i s t h e u n p e r t u r b e d a t o m a n d H

f s

t h e n e s t r u c t u r e e n e r g y d u e t o t h e c o u p l i n g o f t h e

o r b i t a l m o m e n t u m t o t h e e l e c t r o n s p i n . T o c a l c u l a t e t h e S t a r k m a p b y d i a g o n a l i z a t i o n t h e f u l l

H a m i l t o n i a n H o n e h a s t o k n o w t h e u n p e r t u r b e d R u b i d i u m e i g e n - s t a t e s a n d t h e m a t r i x e l e m e n t s

d u e t o t h e e l e c t r i c e l d .

n ; l ; m j

E z j

n

H

; l

H

; m

H a

m ; m

H

l ; l

H

¦ I

E l ; m j

o s j

l

H

; m

H ¡ n ; l j j

r j j

n

H

; l

H ( C . 2 )

T h e c o n t r i b u t i o n o f t h e o r b i t a l p a r t h

l ; m j

o s j

l

H

; m

H

i c a n b e c a l c u l a t e d a l g e b r a i c a l l y [ 2 5 5 ] . T h e

r e d u c e d m a t r i x e l e m e n t s h n ; l j j r j j n

H

; l

H

i a r e o v e r l a p i n t e g r a l s o f t h e r a d i a l p a r t a n d h a v e t o i n t e g r a t e d

n u m e r i c a l l y .

N o w w e h a v e t o i n c l u d e t h e n e s t r u c t u r e w h i c h c o u p l e s t h e o r b i t a l m o m e n t u m l w i t h t h e s p i n

s a ¦

I = P t o a n e w a n g u l a r m o m e n t u m j a l ¦

I = P . T h e c o u p l i n g m a t r i x e l e m e n t s a r e n o w

n ; l ; j ; m

j

j E z

j n

H

; l

H

; j

H

; m

H

j a

m

j

; m

H

j

l ; l

H

¦ I

n ; l ; j

j j r

j j n

H

; l

H

; j

H

E ( C . 3 )

¢

m

l

a m

j

¦

I

P

l ;

I

P

; m

l

; m

j

m

l

j j ; m

j

l

H

;

I

P

; m

l

; m

j

m

l

j j

H

; m

j

¢

l ; m

l

j o s

j l

H

; m

l

;

T h e r s t l i n e i n e q u a t i o n ( C . 3 ) a r e a g a i n t h e r e d u c e d m a t r i c e l e m e n t s o f t h e r a d i a l p a r t . T h e

s e c o n d l i n e i s a s u m o v e r C l e b s c h - G o r d a n c o e c i e n t s w h i c h c a n b e l o o k e d u p i n [ 2 5 3 , 2 5 4 ] a n d

t h e l a s t l i n e a r e t h e a n g u l a r o v e r l a p i n t e g r a l s a s i n t r o d u c e d i n e q u a t i o n ( C . 2 ) .

T h e R Q S

I = P

s t a t e i s o f s p e c i a l i n t e r e s t , w h i c h w a s a l s o u s e d t h r o u g h o u t i n o u r e x p e r i m e n t s ( s e e

c h a p t e r 5 . 3 ) , s i n c e i t o n l y e x h i b i t s a q u a d r a t i c S t a r k e e c t . T h e c a l c u l a t e d S t a r k s h i f t ¡ a p E

P

g i v e s a v a l u e o f - 8 . 0 6 M H z / ( V / c m )

P

f o r p .



1 0 4 g d m d o m n l ( l d

Electric field [V/cm]

5 10 15 20 25 30

623.550

623.650

623.700

623.750

0

L a s e r

f r e q

e u e n c y r e

l a t i v e

t o

t h e

5

P

- l e v e l

[ T H z

]

3 / 2

623.600

41P

40D

42S

n=39,l>F

42P

41D

43S

39F

40Fn=40,l>F

F i g u r e C . 1 : C a l c u l a t e d S t a r k m a p i n c l u d i n g t h e L S - c o u p l i n g [ 1 8 9 ] . T h e a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s w i t h

l Q e x h i b i t a q u a d r a t i c d e p e n d e n c e o n t h e e l e c t r i c e l d a n d t h e s t a t e s w i t h l > 3 a r e l i n e a r .

B y i n c r e a s i n g t h e e l e c t r i c e l d m o r e a n d m o r e i t i s p o s s i b l e t o d e t a c h t h e w e a k l y b o u n d e l e c t r o n

f r o m t h e c o r e . T h i s p r o c e s s i s c a l l e d e l d i o n i z a t i o n . T h e t w o e m e r g i n g c h a r g e d f r a g m e n t s , a s o l e l y

e l e c t r o n a n d a R n

C

i o n , c a n b e d e t e c t e d w i t h m u l t i - c h a n n e l p l a t e s w i t h a h i g h e c i e n c y . L e t u s

a s s u m e c l a s s i c a l l y t h e C o u l o m b p o t e n t i a l o f H y d r o g e n a t o m i n a n c o n s t a n t e l e c t r i c e l d E .

V a

e

P

R "

H

r

C e E r ( C . 4 )

F i g u r e C . 2 s h o w s t h e u n p e r t u r b e d ( b l u e ) a n d t h e p e r t u r b e d ( r e d ) C o u l o m b p o t e n t i a l . T h e n e w

l o c a l m a x i m u m o f t h e c o m b i n e d p o t e n t i a l i s g i v e n b y

V

m a x

a

P

E e

Q

R "

H

( C . 5 )

T h e i o n i z a t i o n e l d c a n b e c a l c u l a t e d [ 1 8 9 ] t o b e

E a

E

H

I T n

R

( C . 6 )



1 0 5

-2 -1 1 2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.0

0

z [a ]0

V

[ e V ]

F i g u r e C . 2 : C o u l o m b p o t e n t i a l o f a c h a r g e C e p e r t u r b e d b y a c o n s t a n t e l e c t r i c e l d a l o n g z w i t h a e l d

s t r e n g t h o f I H

6

V / m .

w h e r e E

H

a

e

S

m

P

e

T R

Q

"

Q

H

~

R

. T h e R y d b e r g s t a t e s c a n i o n i z e e v e n a t l o w e r e l d s b y t u n n e l i n g t h r o u g h t h e

b a r r i e r .

T h e e l d i o n i z a t i o n c a n b e u s e d i n a n e x p e r i m e n t t o g a i n d e t a i l e d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e p h y s i c a l

s i t u a t i o n . S i n c e t h e i o n i z a t i o n e n e r g y d e p e n d s o n t h e R y d b e r g s t a t e o n e c a n d e t e c t t h e p o p u l a t i o n

o f t h e s t a t e s b y s l o w l y i n c r e a s i n g t h e e l e c t r i c e l d . B y t h i s m e t h o d o n e d e t e c t s r s t t h e h i g h e r

e x c i t e d s t a t e s f o l l o w e d b y t h e l o w e r o n e s . B e y o n d t h i s , t h e a r r i v a l t i m e o f t h e i o n s o n t h e m u l t i -

c h a n n e l p l a t e s g i v e s v a l u a b l e i n f o r m a t i o n a b o u t t i m e - d e p e n d e n t p r o c e s s e s i n a n f r o z e n R y d b e r g

g a s . A d e t a i l e d e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e S t a r k m a p c l o s e b y t h e R Q S

I = P

s t a t e c a n b e f o u n d

i n [ 1 8 9 , 2 5 6 ] .



1 0 6 g d m d o m n l ( l d



D O p t i c a l B l o c h e q u a t i o n s i n a m u l t i - l e v e l a t o m

T h e m a s t e r e q u a t i o n ( 2 . 5 ) f o r a t w o - l e v e l s y s t e m i r r a d i a t e d b y a n l i g h t e l d w a s g i v e n i n c h a p t e r

2 . 1 . T h i s s y s t e m o f c o u p l e d e q u a t i o n s c a n b e e x p a n d e d t o a m u l t i - l e v e l a s e x h i b i t e d b y

V U

R b [ 1 3 1 ] .

e e

a

i

P

g

e g

@

e g

g e

A

e e

g g

a

i

P

e

e g

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A C

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i

e g

e g

g e

a

i

P

e g

@

g g

e e

A

P

g e

i

e g

g e

( D . 1 )

T h e e x c i t e d s t a t e s a r e l a b e l e d w i t h e a n d t h e g r o u n d s t a t e s w i t h g . T h e c o u p l e d e q u a t i o n s ( D . 1 )

o n l y i n c l u d e d e n s i t y m a t r i x e l e m e n t s w h i c h a r e c o u p l e d b y a d r i v i n g e l d o r a s p o n t a n e o u s d e c a y

c h a n n e l . T h e R a b i - f r e q u e n c i e s b e t w e e n t h e m a g n e t i c s u b - l e v e l s a r e g i v e n b y

e g

a

P h

F

e

j j e r

j j F

g

i E

q

~

a

I

P I

s a t

F I F

H

m

F

q

m

H

F

( D . 2 )

w h i c h i s v a l i d f o r t r a n s i t i o n s w i t h i n i n t h e D 2 m a n i f o l d o f

V U

R b . T h e e x c i t e d s t a t e s a r e l a b e l e d w i t h

a p r i m e . T h e l i f e t i m e o f a n y e x c i t e d s t a t e i s w h i c h w a s g i v e n i n t a b l e A . 2 . A n e x c i t e d s t a t e c a n

d e c a y i n d i e r e n t m a g n e t i c l e v e l s o f t h e g r o u n d s t a t e w i t h f o l l o w i n g r a t e s

e g

a

F I F

H

m

F

q

m

H

F

P

( D . 3 )

T h e p o l a r i z a t i o n o f t h e l i g h t i s t a k e n i n t o a c c o u n t b y s e t t i n g q a H f o r l i n e a r p o l a r i z e d l i g h t a n d

q a ¦ I f o r

¦

l i g h t . I f a m a g n e t i c e l d B i s p r e s e n t t h e d e t u n i n g

e

g h a s t o b e c o r r e c t e d a c c o r d i n g

t o t h e Z e e m a n - s h i f t o f t h e m a g n e t i c s u b - l e v e l s .

e g

a

H

C @ m

F

H g

H

F

m

F

g

F

A

B

B ( D . 4 )

B y s o l v i n g t h e c o u p l e d e q u a t i o n s ( D . 1 ) n u m e r i c a l l y o n e c a n e x t r a c t f r o m t h i s t h e t i m e d e p e n d e n t

p o p u l a t i o n o f t h e m a g n e t i c s u b l e v e l s a n d t h e h e a t i n g o f t h e c l o u d d u e t o t h e n u m b e r o f s c a t t e r e d

p h o t o n s . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s f o r c i r c u l a r a n d l i n e a r p o l a r i z a t i o n a r e a n i s o t r o p i c a n d s o i s a l s o

t h e m o m e n t u m t r a n s f e r t o t h e a t o m s a n i s o t r o p i c . T h e p r o b a b i l i t y t o n d a s c a t t e r e d p h o t o n i n a

s o l i d a n g l e d i s g i v e n b y

P

@ A a

Q

V

s i n

P

P

@ A a

Q

I T

@ I C o s

P

A

( D . 5 )



1 0 8 h y l f l o o n n m l E l l o m

D . 1 S p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g a n d t h e l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e

i n t e r a c t i o n

I n c h a p t e r 4 . 1 I p r e s e n t e d a p r o p o s a l t o m e a s u r e t h e e e c t o f a l i g h t i n d u c e d d i p o l e - d i p o l e p o t e n t i a l

i n m o m e n t u m s p a c e . B e y o n d t h e d e s i r e d m o m e n t u m g a i n o f t h e a t o m s d u e t o t h e i n d u c e d p o t e n t i a l

o n e a c q u i r e s a l s o m o m e n t u m b y t h e r e c o i l s o f s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g e v e n t s . T o c a l c u l a t e t h i s

c o n t r i b u t i o n o n e h a s t o s o l v e t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e d e n s i t y m a t r i x . F o r i n t e n s i t i e s w e l l b e l o w

t h e s a t u r a t i o n i n t e n s i t y , w h i c h i s n o t t h e c a s e h e r e , o n e c o u l d a l s o u s e a r a t e m o d e l , w h i c h n e g l e c t s

t h e c o h e r e n c e s o f t h e o - d i a g o n a l d e n s i t y m a t r i x e l e m e n t s .

T h e l i n e a r p o l a r i z e d l a s e r l i g h t c o u p l e s t h e a t o m s f r o m t h e S S

I = P

, F = 2 g r o u n d s t a t e t o t h e e x c i t e d

S P

Q = P

, F = 3 s t a t e . D u e t o m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n s p o n t a n e o u s d e c a y c a n o n l y h a p p e n b a c k i n t o

F = 2 . T h e f r e q u e n c y o f l i g h t i s s h i f t e d b y a I T : U t o h i g h e r e n e r g i e s w i t h r e s p e c t t o r e s o n a n c e ,

w h i c h r e d u c e s o - r e s o n a n t e x c i t a t i o n i n t o o t h e r F - s t a t e s . I f t h e d i r e c t i o n o f t h e p o l a r i z a t i o n i s

p a r a l l e l t o t h e q u a n t i z a t i o n a x e s o f t h e a t o m s , o n e c a n w r i t e d o w n t h e c o u p l e d e q u a t i o n s o f

m o t i o n :

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( D . 6 )

T h e n o t a t i o n i s a n a b b r e v i a t e d f o r m f o r e . g

@ P

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a P i h F a P ; m

F

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, w h e r e t h e p r i m e s

d e n o t e t h e e x c i t e d s t a t e . T h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e s t a t e s i s e s t a b l i s h e d b y t h e R a b i - f r e q u e n c y



h F I o n n o n n d l n d d d o l E d o l n o n 1 0 9

0.1

0.2

0.3

0.4

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0.0 0.0100 200 300 400 5000 100 200 300 400 5000

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time [ns] time [ns]

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F i g u r e D . 1 : T i m e e v o l u t i o n o f t h e d i a g o n a l m a t r i x e l e m e n t s . T h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n w a s d o n e f o r a t o m s

i n i t i a l l y i n t h e F a P ; m

F

a P s t a t e i r r a d i a t e d b y a l i n e a r p o l a r i z e d b e a m w i t h 1 1 2 0 I

s a t

a n d 1 6 . 7 d e t u n i n g .

T h e p o l a r i z a t i o n i s p a r a l l e l t o t h e q u a n t i z a t i o n a x i s o f t h e a t o m s . I n t h i s c o n g u r a t i o n a r e t h e m a t r i x e l e m e n t s

~ e q u i v a l e n t t o T h e l e f t g u r e s h o w s t h e p o p u l a t i o n o f t h e d i e r e n t m a g n e t i c s u b l e v e l s o f t h e g r o u n d s t a t e

a n d t h e r i g h t g u r e t h e e x c i t e d s t a t e s .

!

R

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I = P I

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. T h e R a b i - f r e q u e n c y f o r e a c h t r a n s i t i o n h a s t o b y w e i g h t e d w i t h t h e a c c o r d i n g

C l e b s c h - G o r d a n c o e c i e n t s t a k e n f r o m a p p e n d i x A . T h e i n t e n s i t y I w a s s e t t o 1 1 2 0 s a t u r a t i o n

i n t e n s i t i e s I

s a t

.

T h e t w e n t y e q u a t i o n s ( D . 6 ) a r e n o t t h e c o m p l e t e s e t o f c o u p l e d e q u a t i o n s . T h e f u l l s y s t e m c o n s i s t s

o f 1 0 0 c o u p l e d e q u a t i o n s , w h i c h c a n b e s o r t e d t o b e i n a J o r d a n f o r m ( d i a g o n a l b l o c k m a t r i x ) , w i t h

a 2 0 x 2 0 a n d 8 0 x 8 0 s u b - m a t r i x . T h e 8 0 x 8 0 m a t r i x s u b - m a t r i x c o n t a i n s n o e x p l i c i t c o u p l i n g t o t h e

l i g h t - e l d a n d t h e c o r r e s p o n d i n g d e n s i t y m a t r i x e l e m e n t s ( f o r e x a m p l e

@ P ; H A

) d e c a y t o z e r o w i t h i n

= P .

T o s o l v e t h e c o u p l e d e q u a t i o n s n u m e r i c a l l y ( w i t h e . g . M a t h e m a t i c a , W o l f r a m R e s e a r c h ) o n e h a s t o

d e n e t h e s t a r t i n g c o n d i t i o n s a t t = 0 . I f t h e B o s e - c o n d e n s e d a t o m s a r e i n i t i a l l y i n t h e F a P ; m

F

a P

g r o u n d s t a t e a n d t h e q u a n t i z a t i o n a x i s ( h e r e t h e d i r e c t i o n o f t h e m a g n e t i c e l d ) i s p a r a l l e l t o t h e

e l e c t r i c e l d o f t h e l i n e a r p o l a r i z a t i o n , o n e h a s t t o s e t

@ P ; P A

@ t a H A a I a n d a l l o t h e r e l e m e n t s t o

z e r o . T h i s i s o n l y o n e s p e c i a l s i t u a t i o n o f t h e p r o p o s e d e x p e r i m e n t s a n d u s u a l l y t h e p o l a r i z a t i o n

a n d t h e m a g n e t i c e l d a r e n o t p a r a l l e l . T h i s p r o b l e m c a n b e s o l v e d e i t h e r b y t r a n s f o r m i n g t h e

l i g h t e l d i n t o t h e r e f e r e n c e f r a m e o f t h e a t o m s [ 1 6 6 ] o r v i c e v e r s a . T h e r s t m e t h o d i n t r o d u c e s

n e w p o l a r i z a t i o n c o m p o n e n t s , w h i c h l e a d s t o m o r e c o u p l e d e q u a t i o n s a n d i s a v o i d e d h e r e . I t i s

e a s i e r t o r o t a t e t h e J a P s p i n o r o f t h e a t o m s i n t o t h e r e f e r e n c e f r a m e o f t h e l i g h t e l d [ 2 5 4 ] . I f

t h e a n g l e b e t w e e n t h e m a g n e t i c e l d a n d t h e e l e c t r i c e l d i s a n d t h e t r a p p e d a t o m s a r e i n t h e

F a P ; m

F

a P , t h e y c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h e r e f e r e n c e f r a m e o f t h e l i g h t e l d a s

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( D . 7 )



1 1 0 h y l f l o o n n m l E l l o m

F i g u r e D . 1 s h o w s a n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( D . 6 ) f o r t h e p a r a m e t e r s

g i v e n a b o v e a n d i n t h e c a p t i o n . T h e s a t u r a t i o n p a r a m e t e r f o r t h e g i v e n i n t e n s i t y a n d d e t u n i n g i s

s a I , w h i c h g i v e s i n s t e a d y s t a t e a n e x c i t e d s t a t e f r a c t i o n o f 1 / 4 ( s e e e q u a t i o n 2 . 8 ) . W i t h t h e f u l l

k n o w l e d g e o f t h e t i m e e v o l u t i o n o n e c a n d i r e c t l y c a l c u l a t e t h e n u m b e r o f s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g

e v e n t s . E v e r y e x c i t e d s t a t e d e c a y s w i t h i n t o o n e o f t h e a l l o w e d g r o u n d s t a t e s , w h e r e a s e a c h

d e c a y c h a n n e l h a s t o b e w e i g h t e d b y i t s C l e b s c h - G o r d a n c o e c i e n t . B y t h i s o n e c a n d i s t i n g u i s h

b e t w e e n t h e e m i s s i o n o f - a n d - p o l a r i z e d l i g h t . T h e n u m b e r N o f s c a t t e r e d p h o t o n s i s t h e n

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( D . 8 )

T h e s p o n t a n e o u s e m i s s i o n s o f t h e p h o t o n s f o l l o w t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s g i v e n i n e q u a t i o n s ( D . 5 ) .

T h e r e f e r e n c e f r a m e f o r t h e s e d i s t r i b u t i o n s i s g i v e n b y t h e p o l a r i z a t i o n o f t h e l i g h t e l d . F o r t h e

p a r a m e t e r s g i v e n a b o v e , e a c h a t o m s c a t t e r s o n a v e r a g e d u r i n g t h e r s t 3 0 0 n s 1 . 5 2 c i r c u l a r p o l a r i z e d

a n d 1 . 2 8 l i n e a r p o l a r i z e d p h o t o n s .

O f i n t e r e s t i s t h e p r o j e c t i o n o f t h e e m i s s i o n p a t t e r n s o n t h e x - r e s p e c t i v e l y t h e y - a x e s a s t h e

p r o p o s e d m e a s u r e m e n t i n c h a p t e r 4 . 1 r e q u i r e s . T h e d e n i t i o n o f t h e c o o r d i n a t e s a n d o f t h e a n g l e ,

w h i c h d e t e r m i n e s t h e d i r e c t i o n o f t h e p o l a r i z a t i o n , a r e a l s o t a k e n f r o m c h a p t e r 4 . 1 . T h e p r o j e c t i o n s

o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n ( D . 5 ) o n t h e y - a x i s , w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e

p o l a r i z a t i o n , a n d t h e x a x i s a r e :

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:

( D . 9 )

T h e p r o j e c t e d d i s t r i b u t i o n s a r e s p a n n e d f o r a I ; I . A s a l a s t s t e p o n e h a s t o c a l c u l a t e t h e

s t a n d a r d d e r i v a t i v e s f o r e a c h d i s t r i b u t i o n

I

I

P @ A d , w h i c h g i v e s

j

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( D . 1 0 )

T h e w i d t h i n m o m e n t u m s p a c e i s t h e n s i m p l y g i v e n b y t h e p r o d u c t o f t h e s t a n d a r d d e r i v a t i v e , t h e

n u m b e r o f s c a t t e r e d l i n e a r o r c i r c u l a r p o l a r i z e d p h o t o n s a n d t h e r e c o i l m o m e n t u m . T h e r e s u l t s f o r

a l l a n g l e s a r e s h o w n i n g u r e 4 . 5 .



E O p t i c a l d i p o l e p o t e n t i a l s i n a m u l t i - l e v e l a t o m

T h e a p p r o x i m a t i o n o f a t w o l e v e l s y s t e m c o u p l e d t o a l i g h t e l d ( s e e c h a p t e r 2 . 1 i s i n m a n y

c a s e s n o t v a l i d a n d o n e h a s t o e x p a n d t h e t h e o r y f o r m u l t i l e v e l a t o m s b y i n c l u d i n g a l l a l l o w e d

t r a n s i t i o n s . I n o u r c a s e w e c a n r e s t r i c t t h e a l l o w e d t r a n s i t i o n s t o t h e D 1 a n d D 2 m a n i f o l d w h i c h

w e r e s p e c i e d i n a p p e n d i x A . F o r s m a l l s a t u r a t i o n p a r a m e t e r s o r a d e q u a t e d e t u n i n g o n e c a n d e r i v e

e x p l i c i t e x p r e s s i o n s f o r t h e d i p o l e p o t e n t i a l s a n d t h e s c a t t e r i n g r a t e s f o r m u l t i l e v e l a t o m s [ 1 7 2 ] .

T h e a p p r o x i m a t i v e e x p r e s s i o n s ( E . 1 ) a n d ( E . 2 ) a r e v a l i d , a s l o n g t h e e x c i t e d s t a t e f r a c t i o n i s s t i l l

s m a l l c o m p a r e d t o t h e g r o u n d s t a t e o n e . T h e e n e r g y s h i f t o f a n a t o m s i t u a t e d i n a l i g h t e l d w i t h

f r e q u e n c y ! i s

U

d i p

a

j

Q c

P

P !

Q

i j

i j

!

i j

!

C

i j

!

i j

C !

I @ ~r A ( E . 1 )

T h e a t o m i n s t a t e j

i i

i s c o u p l e d b y t h e l i g h t e l d I @ ~r A w i t h f r e q u e n c y ! t o a l l a l l o w e d s t a t e s j

j i

w i t h a t r a n s i t i o n s t r e n g t h

i j

. A l s o t h e s c a t t e r i n g r a t e c a n b e c a l c u l a t e d a n d i s g i v e n b y

s c

a

j

Q c

P

P ~

!

Q

i j !

!

i j Q

i j

!

i j

!

C

i j

!

i j

C ! P

I @ ~r A ( E . 2 )

W i t h t h i s t w o e q u a t i o n s i t i s p o s s i b l e t o c a l c u l a t e s t a t e d e p e n d e n t p o t e n t i a l s a s r e q u i r e d f o r t h e S p i n -

B o s o n m o d e l ( s e e c h a p t e r 6 . 2 . 1 ) , t h e p o t e n t i a l d e p t h o f t h e o p t i c a l l a t t i c e u s e d i n o u r e x p e r i m e n t s

( s e e c h a p t e r 5 . 1 ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s c a t t e r i n g r a t e s .

I n m o s t c a s e s l a s e r l i g h t i s a p p l i e d t o a t o m s i n t h e F a P ; m

F

a P s t a t e w h i c h i s t h e c a s e f o r

o u r B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e s . F o r t h i s s i t u a t i o n a r e t h e e x p e c t e d p o t e n t i a l s a n d s c a t t e r i n g r a t e s

e x p l i c i t l y c a r r i e d o u t a n d t h e r e s u l t s a r e p l o t t e d i n g u r e E . 1 a s a f u n c t i o n o f t h e w a v e l e n g t h . T h e

c o l o r c o d i n g i n t h e t w o g r a p h s r e p r e s e n t s t h e t h r e e d i e r e n t p o l a r i z a t i o n s o f t h e l i g h t e l d . T h e y

a r e v a l i d a s l o n g t h e k - v e c t o r o f t h e c i r c u l a r p o l a r i z e d l i g h t , o r t h e e l e c t r i c e l d v e c t o r o f t h e l i n e a r

p o l a r i z e d l i g h t , i s p a r a l l e l t o t h e q u a n t i z a t i o n a x i s o f t h e a t o m s .



1 1 2 i y l d o l o n l n m l E l l o m

p

s+

s_

-4000

-2000

0

2000

4000

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

U / k

[ n

K ]

B

U / k

[ n

K ]

B

770 780 790 800 810 820Wavelength [nm]

157 MHz267 MHz

Wavelength [nm]780.250 780.253 794.983 794.986

Wavelength [nm]

818 MHz

D2 D1

F'=3 F'=2 F'=1 F'=1 F'=2

x10

-4000

-2000

0

2000

4000

U / k

[ n

K ]

B

p

s+

s_

770 780 790 800 810 820Wavelength [nm]

157 MHz267 MHz

Wavelength [nm]780.250 780.253 794.983 794.986

Wavelength [nm]

818 MHzD2 D1

F'=3 F'=2 F'=1 F'=1 F'=2

G s c

[ H

z

]

G s c

[ H z

]

103

105

107

10-1

10-3

10-5

103

105

107

G s c

[ H z

]

F i g u r e E . 1 : D i p o l e p o t e n t i a l s a n d s p o n t a n e o u s s c a t t e r i n g r a t e f o r a n

8 7

R b - a t o m i n a F a P ; m

F

a P s t a t e

f o r

+

,

a n d p o l a r i z e d l i g h t . T h e i n t e n s i t y o f t h e l i g h t e l d w a s s e t t o 1 6 W / m

2

.



F P h y s i c a l d i m e n s i o n s o f t h e m a i n v a c u u m

c h a m b e r

F i g u r e F . 1 : S h e e r p l a n o f t h e m a i n c h a m b e r .

1

C F 1 6 a n g e f o r Z e e m a n - s l o w e r

2

C F 3 5 o p t i c a l p o r t f o r t h e m a g n e t o - o p t i c a l t r a p ( M O T )

3


4

C F 3 5 M u l t i - c h a n n e l p l a t e a t t a c h e d t o a f o u r f o l d h i g h v o l t a g e f e e d - t h r o u g h ( i o n d e t e c t i o n )

5


6

C F 6 3 o p t i c a l p o r t f o r u o r e s c e n c e i m a g i n g , a l t e r n a t i v e a b s o r p t i o n i m a g i n g o r o p t i c a l l a t t i c e

7

C F 3 5 o p t i c a l p o r t f o r t h e Z e e m a n - s l o w i n g l i g h t

8


9


1 0

C F 3 5 M u l t i - c h a n n e l p l a t e a t t a c h e d t o a f o u r f o l d h i g h v o l t a g e f e e d - t h r o u g h ( e l e c t r o n d e t e c t i o n )

1 1

C F 1 5 0 a n g e t o w a r d s p u m p i n g c r o s s a n d o p t i c a l p o r t f o r t h e M O T

1 2

C F 3 5 o p t i c a l p o r t f o r o p t i c a l l a t t i c e , a l t e r n a t i v e a b s o r p t i o n i m a g i n g

2 4

C F 2 5 0 m a i n a n g e , o n w h i c h t h e b u c k e t s a r e m o u n t e d



1 1 4 p l d m n o n o m n m m



G T h r e e l e v e l s y s t e m s

T h e e x c i t a t i o n o f R y d b e r g s t a t e s w a s d o n e i n o u r e x p e r i m e n t s ( s e e c h a p t e r 5 . 3 ) w i t h a t w o p h o t o n

e x c i t a t i o n s c h e m e . T h e u n d e r l y i n g t h e o r y o f t h i s t e c h n i q u e i s s i m i l a r t o t h e t r e a t m e n t o f t h e t w o -

l e v e l s y s t e m s i n t r o d u c e d i n c h a p t e r 2 . 1 . A m o r e d e t a i l e d o f t h r e e l e v e l s y s t e m s c a n b e f o u n d i n [ 2 5 7 ]

F i g u r e G . 1 s h o w s s c h e m a t i c a l l y t h e t h r e e l e v e l s y s t e m w i t h a n g r o u n d s t a t e j

I i

, a n i n t e r m e d i a t e

s t a t e j

P i

a n d t h e R y d b e r g s t a t e j

Q i

. T h e l a s e r f r e q u e n c i e s f o r e x c i t a t i o n m a y b e d e t u n e d t o t h e

e n e r g y d i e r e n c e b e t w e e n t h e e l e c t r o n i c s t a t e s b y

I

r e l a t i v e t o ~

! I ( b l u e a r r a o w ) a n d

P

r e l a t i v e

t o t h e t o t a l e n e r g y d i e r e n c e ~

! I C ~

! P ( r e d + b l u e a r r a o w ) .

|1>

|2>

|3>

d1

d2

hw2

hw1

F i g u r e G . 1 : T w o p h o t o n e x c i t a t i o n s c h e m e . T h e p o p u l a t i o n o f s t a t e

j I

i i s t r a n s f e r r e d b y t w o p h o t o n s , h e r e

l a b e l e d a s t h e r e d a n d b l u e a r r o w s , i n t o a n e x c i t e d s t a t e j Q i .

T h e H a m i l t o n o p e r a t o r f o r t h i s s y s t e m i n t h e b a s i s s e t j

I i

a @ I ; H ; H A , j

P i

a @ H ; I ; H A , j

Q i

a @ H ; H ; I A

a n d a f t e r a p p l y i n g t h e r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o n [ 2 5 8 ] i s

H a

H

I

P

!

R I

H

I

P

!

R I

I

I

P

!

R P

H

I

P

!

R P

P

: ( G . 1 )

T h e R a b i - f r e q u e n c i e s !

R i

a r e a n a l o g o u s t o t h e d e n i t i o n i n c h a p t e r 2 . 1 . T h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e

p o p u l a t i o n s i s g i v e n b y t h e L i o u v i l l e e q u a t i o n

a

i

~

H ; C

P

D

P

C

Q

D

Q

C

: ( G . 2 )

T h e d e c a y r a t e s

P

a n d

Q

a r e a s u s u a l t h e l i f e t i m e s o f s t a t e j

P i

r e s p e c t i v e l y s t a t e j

Q i

. T h e d a m p i n g

o f t h e o - d i a g o n a l d e n s i t y m a t r i x e l e m e n t s i s d e t e r m i n e d b y t h e r e d u c e d L i n d b l a d o p e r a t o r s

D

i

[ 1 2 7 ] , a n a l o g o u s t o t h e t w o - l e v e l s y s t e m s o n t r o d u c e d i n c h a p t e r 2 . 1 .

D

i

a

i

C

i

C

i

C

i ( G . 3 )

H e r e w e i n t r o d u c e d t h e r a i s i n g a n d l o w e r i n g o p e r a t o r s

¦

i

d e n e d a s



1 1 6 q l l m

P

a H H H

I H H

H H H

C

P

a H I H

H H H

H H H

( G . 4 )

Q

a

H H H

H H H

H I H

C

Q

a

H H H

H H I

H H H

( G . 5 )

T h e d i a g o n a l d a m p i n g t e r m s h a v e t o b e i n c l u d e d b y a s e p a r a t e o p e r a t o r

. T h e a t o m s i n s t a t e j

Q i

d e c a y w i t h a r a t e a

Q

i n t o s t a t e j I i a n d w i t h r a t e b

Q

i n t o s t a t e j P i . F u r t h e r a l l a t o m s i n s t a t e j P i

d e c a y w i t h a r a t e

P

i n t o s t a t e j

I i

. I f o t h e r d e c a y c h a n n e l s a r e e x c l u d e d t h e n h o l d s a C b a I a n d

t h e t r a c e o f t h e d e n s i t y m a t r i x i s c o n s e r v e d . T h e d i a g o n a l d a m p i n g i s t h e n

a

P

P P

C a

Q

Q Q

H H

H b

Q

Q Q

P

P P

H

H H

Q

Q Q

: ( G . 6 )

I f o n e c h o o s e s a l a r g e d e t u n i n g

P

w i t h j

P

j ) !

R I

; !

R P

, t h e p o p u l a t i o n o f t h e i n t e r m e d i a t e s t a t e

j P

i g o e s t o z e r o a n d c a n b e n e g l e c t e d . B y t h i s o n e r e a c h e s a g a i n a t w o - l e v e l s y s t e m w i t h a n

e e c t i v e 1 - P h o t o n c o u p l i n g

e

a !

P

R I

!

P

R P

R

P

P

C

P

Q

( G . 7 )

w h i c h c a n b e t r e a t e d w i t h t h e o p t i c a l B l o c h - e q u a t i o n s ( 2 . 6 ) .



H T a y l o r e x p a n s i o n o f a g e n e r a l i z e d o c t o p o l e

I f t h e e i g h t e l d p l a t e s ( s e e c h a p t e r 5 . 3 ) a r e t r e a t e d a s p o i n t c h a r g e s l o c a t e d a t t h e c o r n e r s o f a

c u b o i d , i t i s p o s s i b l e t o g i v e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e e l e c t r i c e l d d i s t r i b u t i o n s . T h e p o t e n t i a l s

a n d t h e e l e c t r i c e l d s c a n b e e x p a n d e d i n t o a T a y l o r s e r i e s i n c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s . T h i s i s d o n e

t o o b t a i n a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s i n a n p o l y n o m i a l f o r m a n d b y t h i s a b e t t e r a p p r o a c h t o d e s i r e d e l d

c o n g u r a t i o n s . T h e m o d e l p o t e n t i a l c o n s i s t s o f e i g h t p o i n t c h a r g e s q

i

l o c a t e d a t t h e p o s i t i o n s ~r

c i

a s s h o w n i n g u r e H . 1 .

x

y

z

A

B

C

D

G

F

E

H

a

a

b

F i g u r e H . 1 : G e n e r a l i z e d O c t o p o l e . T h e e i g h t c h a r g e s o f t h e o c t o p o l e a r e l o c a t e d a t t h e c o r n e r s o f a c u b o i d

w i t h l e n g t h b , h e i g h t a a n d w i d t h a , w h i c h r e e c t s t h e s y m m e t r y o f t h e a c t u a l e l d p l a t e s i n s i d e t h e v a c u u m

c h a m b e r . T h e l a b e l i n g A H o f t h e c h a r g e s a s w e l l t h e o r i e n t a t i o n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m i s e q u i v a l e n t

t o t h a t i n c h a p t e r 5 . 3 .

E a c h p o i n t c h a r g e c a n b e s e t i n d e p e n d e n t l y t o a n y v a l u e , s u c h a s i n r e a l i t y a l s o e a c h e l d p l a t e .

T h e t o t a l p o t e n t i a l U

t o t

i s t h e n s i m p l y o b t a i n e d b y s u p e r p o s i n g t h e i n d i v i d u a l p o t e n t i a l s U

i

a s

U

t o t

a

V

i a I

U

i

. A c t u a l l y t h e r e a r e a l s o t h e t w o F a r a d a y c a g e s o f t h e m u l t i - c h a n n e l p l a t e s a v a i l a b l e

f o r e l d g e n e r a t i o n , b u t t h e y w i l l b e e x c l u d e d i n t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n .

T h e e x p a n s i o n o f t h e p o t e n t i a l o f a s i n g l e p o i n t c h a r g e a t p o s i t i o n ~r

c i

i s c a r r i e d o u t a r o u n d ~r a H

u p t o f t h o r d e r a n d y i e l d s



1 1 8 r l o n o n o n l z d o o o l

U

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j ~r ~r

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C 0 t h o r d e r

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C 1 s t o r d e r

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Q @ ~r ¡ ~r

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C 3 r d o r d e r

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I H S @ ~r ¡ ~r

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C 4 t h o r d e r

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P P S @ ~r ¡ ~r

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U

C : : : 5 t h o r d e r .

( H . 1 )

F r o m i n t e r e s t i s t h e e l e c t r i c e l d d i s t r i b u t i o n w h i c h i s d e t e r m i n e d b y

~

E

t o t

a r

U

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. A g a i n t h i s i s

d o n e f o r a s i n g l e c h a r g e a t p o s i t i o n ~r

c i

~

E

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a r

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C 0 t h o r d e r

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C W H H j ~r j

P

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C : : : 4 t h o r d e r .

( H . 2 )

T h e c o m b i n e d e l e c t r i c e l d

~

E

t o t

o f a l l e i g h t c h a r g e s i s a l s o g i v e n b y s u m m a t i o n o f t h e i n d i v i d u a l

e l d s a s

~

E

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V

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E

i

.

T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e f a c i n g s o f t h e e l d p l a t e s i s 2 8 m m a n d b y t h i s i s b s e t t o 1 4 m m .

T h e e e c t i v e d i s t a n c e a b e t w e e n t h e f o u r e l d p l a t e s r e m a i n s t o b e d e t e r m i n e d . I n g u r e 5 . 9

a r e e l e c t r i c e l d d i s t r i b u t i o n s s h o w n , w h i c h w e r e c a l c u l a t e d w i t h a n i t e e l e m e n t m e t h o d

1

f o r t h e

r e a l g e o m e t r i e s o f t h e e l d p l a t e s i n c l u d i n g t h e s u r r o u n d i n g v a c u u m c h a m b e r . B y e x p a n d i n g t h e

s i m u l a t e d e l d c o n g u r a t i o n s a l s o i n t o a T a y l o r s e r i e s a n d c o m p a r i n g t h e i n d i v i d u a l o r d e r s w i t h

e q u a t i o n ( H . 1 ) a n d ( H . 2 ) o n e o b t a i n s a g o o d a g r e e m e n t i f a i s s e t t o a b o u t 1 5 m m i n a l l o r d e r s .

T h e e r r o r i n t h e e l e c t r i c e l d n o r m a t t h e o r i g i n i s t h e n b e l o w 1 0 % c o m p a r e d t o t h e f u l l s i m u l a t i o n

s h o w n i n g u r e 5 . 9 . T o d o e v e n b e t t e r o n e c a n a s s i g n a d i s t a n c e a f o r e a c h e x p a n s i o n o r d e r .

W h e n a i s a l t e r e d f r o m 1 4 m m t o 1 6 m m t h e b a s i c g e o m e t r y o f t h e p o t e n t i a l a n d t h e e l e c t r i c e l d

d o e s n o t c h a n g e . T o d i s c u s s s o m e b a s i c c o n g u r a t i o n s i t i s s e t f o r n o w t o a a b . F o r t h i s c u b i c a l

o c t o p o l e a r e n o w f o u r d i e r e n t c o n g u r a t i o n s o f t h e e l e c t r i c e l d s e x p l i c i t l y w r i t t e n o u t a c c o r d i n g

t o t h e e x p a n s i o n ( H . 2 ) . T h i s f o u r c o n g u r a t i o n s a r e a l s o d e p i c t e d i n g u r e H .

1

C o m s o l , F e m l a b



1 1 9

C o n s t a n t e l e c t r i c e l d F o r t h i s s i t u a t i o n a r e t h e c h a r g e s A , B , C a n d D s e t t o

q a n d E , F , G ,

H t o C q . T h e e l e c t r i c e l d s a l o n g t h e t h r e e c o o r d i n a t e a x e s a r e t h e n

~

E

t o t

@ y ; z a H A $

H

H

I C

Q

I T

x

P

C

I S

P S T

x

R

~

E

t o t

@ x ; z a H A $

H

H

I C

Q

I T

y

P

C

I S

P S T

y

R

~

E

t o t

@ x ; y a H A $

H

H

I

Q

V

z

P

V S

I P V

z

R

:

( H . 3 )

A c o n s t a n t e l e c t r i c e l d a l o n g z c a n a l s o b e g e n e r a t e d b y o n l y c h a r g i n g t h e p l a t e s B a n d D t o

q

a n d t h e o p p o s i t e p l a t e s F a n d H t o C q . T h i s i n c r e a s e s t h e c u r v a t u r e s r o u g h l y b y a n f a c t o r o f t w o .

I n t h e e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e S t a r k s h i f t o f t h e R Q S s t a t e ( s e e c h a p t e r 5 . 3 ) w e a c t u a l l y

u s e d a n e v e n s i m p l e r c o n g u r a t i o n b y j u s t c h a r g i n g o n l y t w o p l a t e s , B a n d H t o C q .

~

E

t o t

@ y ; z a H A $

I

P x C

Q

V

x

P

C

I Q

I T

x

Q

C

V S

I P V

x

R

H

H

~

E

t o t

@ x ; z a H A $

I C

Q

R

y

P

I S

Q P

y

R

y

Q

R

y

Q

H

~

E

t o t

@ x ; y a H A $

I

W

V

z

P

C

R S

I P V

z

R

H

I

P

z C

I Q

I T

z

Q

:

( H . 4 )

T h i s p r o d u c e s a l r e a d y a g r a d i e n t e l d a l o n g t h e x - a x i s , w h i c h g u i d e s t h e e l d i o n i z e d i o n s t o w a r d s

t h e m u l t i - c h a n n e l p l a t e . O n t h e o t h e r h a n d i s t h e g r a d i e n t s m a l l e n o u g h , t h a t f o r s m a l l a t o m i c

s a m p l e s i t d o e s n o t c o n t r i b u t e t o t h e l i n e w i d t h a s i t i s t h e c a s e f o r t h e s p e c t r o s c o p i c r e s u l t s s h o w n

i n g u r e 5 . 1 0 .

L i n e a r g r a d i e n t e l d A e l d w h i c h e x h i b i t s a l i n e a r g r a d i e n t i n a l l d i r e c t i o n s i s s i m p l y f a b r i c a t e d

b y s e t t i n g a l l c h a r g e s t o C q :

~

E

t o t

@ y ; z a H A $

x C

I

V

x

Q

H

H

~

E

t o t

@ x ; z a H A $

H

y C

I

V

y

Q

H

~

E

t o t

@ x ; y a H A $ H

H

P z C

I Q

I R

z

Q

:

( H . 5 )




Position [cm]

0 0.5 1-0.5-1

Position [cm]

Position [cm]

Position [cm]

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0

E l e c t r i c F i e l d [ V / c m ]

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0


0.0

2.0

6.0

8.0

10.0

4.0

E l e c t r i c F i e l d [ m V / c m ]

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


0.00

xy

z

xy

z

xy

z

1V/cm

xy

z

1V/cm 32

0 0.5 1-0.5-1

0 0.5 1-0.5-1 0 0.5 1-0.5-1

F i g u r e H . 2 : F o u r d i e r e n t e l d c o n g u r a t i o n s . F o r a l l f o u r c a s e s w a s a s e t t o 1 5 m m a n d b t o 1 4 m m .

T h e i n d i v i d u a l g r a p h s s h o w t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e e l e c t r i c e l d a l o n g t h e t h r e e c o o r d i n a t e a x e s . O n t o p

a r e t h e t w o c o n g u r a t i o n s ( H . 3 ) a n d ( H . 4 ) f o r c o n s t a n t e l d g e n e r a t i o n s h o w n . T h e c h a r g e s w e r e c h o s e n

s u c h , t h a t t h e e l d n o r m a t t h e o r i g i n i s 1 V / c m . F o r t h e u p p e r l e f t c a s e t h e c h a r g e s A , B , C a n d D w e r e

s e t t o q a n d E , F , G , H t o C q . T h e r e a l i z a t i o n o f e l e c t r i c e l d s a s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s w i t h R y d b e r g

a t o m s ( s e e c h a p t e r 5 . 3 ) u s e s o n l y t h e p l a t e s B a n d H a t p o s i t i v e v a l u e s a n d i s s h o w n o n t h e u p p e r r i g h t .

A q u a d r u p o l a r e l d w i t h c o n s t a n t g r a d i e n t s a l o n g a l l t h r e e c o o r d i n a t e a x e s ( s e e e q u a t i o n H . 5 ) i s r e a l i z e d

b y s e t t i n g a l l a l l c h a r g e s t o t h e s a m e v a l u e a n d i s d e p i c t e d o n t h e l o w e r l e f t . T h e m a g e n t a c o l o r e d l i n e

r e p r e s e n t s a c o n s t a n t g r a d i e n t e l d w i t h 1 V / c m

2

. F i n a l l y i s o n t h e l o w e r r i g h t t h e s i t u a t i o n f o r a e l d w i t h

c o n s t a n t c u r v a t u r e s s h o w n a s s t a t e d b y e q u a t i o n ( H . 6 ) . I n t h i s c a s e t h e p l a t e s A , C , F a n d H a r e c h a r g e d

t o C q a n d B , D , E a n d G r e s p e c t i v e l y t o

q . T h e m a g e n t a c o l o r e d l i n e i s a e l d w i t h a c o n s t a n t c u r v a t u r e

o f 1 V / c m

3

.



1 2 1

Q u a d r a t i c e l d s T h e l a s t c o n g u r a t i o n c a n b e u s e d t o g e n e r a t e a q u a d r a t i c e l d d e p e n d e n c e i n

t w o d i r e c t i o n s a n d z e r o e l d a l o n g z . T o d o s o o n e c a n c h a r g e t h e p l a t e s f o r e x a m p l e a l t e r n a t e l y

w i t h C q ( A , C , F a n d H ) a n d

q ( B , D , E a n d G ) t o o b t a i n

~

E

t o t

@ y ; z a H A $

H

H

x

P

U

I T

x

R

~

E

t o t

@ x ; z a H A $

H

H

y

P

C

U

I T

y

R

~

E

t o t

@ x ; y a H A $

H

H

H

:

( H . 6 )

I n g u r e H i s t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e e l e c t r i c e l d f o r t h i s f o u r c o n g u r a t i o n s s h o w n . T h e p l o t t e d

e l d s s h o w t h e T a y l o r s e r i e s ( H . 3 ) t o ( H . 6 ) u p t o t h e f o u r t h o r d e r . A t t h i s o r d e r t h e r e i s a l m o s t

n o d i e r e n c e o f t h i s a p p r o x i m a t i o n t o t h e r e a l e l e c t r i c e l d d i s t r i b u t i o n .

T h e T a y l o r s e r i e s o f t h e e l e c t r i c e l d c a n a l s o b e s e e n a s a s e t o f l i n e a r e q u a t i o n s i n q

i

. B y

s e t t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e s h a p e o f t h e e l e c t r i c e l d , o n e c a n s o l v e t h e e q u a t i o n s f o r e a c h

e x p a n s i o n o r d e r t o o b t a i n t h e r e q u i r e d c h a r g e s . A l l i n a l l t h e r e a r e t h r e e e l d c o m p o n e n t s f o r

e a c h e x p a n s i o n o r d e r , w h i c h a r e w e l l - d e n e d b y t h e e i g h t c h a r g e s . F o r a g i v e n e l e c t r i c e l d i s t h e

s y s t e m o v e r - d e t e r m i n e d a n d n o s o l u t i o n f o r t h e c h a r g e s m a y b e a v a i l a b l e . E a s i e r t o h a n d l e a r e t h e

p o t e n t i a l s , w h i c h r e d u c e s t h e n u m b e r o f e q u a t i o n s b y a f a c t o r o f t h r e e . N o w o n e s t a r t s w i t h a

c o n s e r v a t i v e p o t e n t i a l U

t o t

a n d p r o c e e d s a s b e f o r e .






I R e d u c t i o n o f t h e l i f e t i m e o f R y d b e r g s t a t e s

d u e t o b l a c k b o d y r a d i a t i o n

T h e l i f e t i m e o f R y d b e r g s t a t e s c a n b e c a l c u l a t e d w i t h t h e h e l p o f e q u a t i o n ( 2 . 7 5 ) a n d y i e l d s f o r a n

a t o m i n t h e R Q S

I = P

s t a t e a l i f e t i m e o f a W W s . I n [ 7 8 ] i s a c o r r e c t i o n f o r t h e l i f e t i m e d u e t o b l a c k

b o d y r a d i a t i o n g i v e n ( s e e e q u a t i o n 2 . 7 6 ) , w h i c h r e d u c e s i t a t a t e m p e r a t u r e o f 3 0 0 K t o a R U s .

F o r t h i s c o r r e c t i o n i t w a s a s s u m e d t h a t t h e a t o m s c h a n g e t h e i r i n t e r n a l s t a t e b y i n d u c e d e m i s s i o n s

o r a b s o r p t i o n s o f p h o t o n s g i v e n b y a n o r d i n a r y b l a c k b o d y r a d i a t i o n s p e c t r a l d e n s i t y :

@ A d a

V h

Q

c

Q

@ e

h = k

B

T

I A

: ( I . 1 )

T h i s e q u a t i o n i s v a l i d i n f r e e s p a c e , b u t g e t s a l t e r e d f o r t h e m o d e d i s t r i b u t i o n i n a n i t e s i z e c a v i t y

[ 2 5 9 , 2 6 0 ] . F o r a p a r a l l e l e p i p e d w i t h s i d e s L

x

, L

y

a n d L

z

w i t h c o n d u c t i n g w a l l s t h e e i g e n f r e q u e n c i e s

a r e g i v e n b y

n

x

; n

y

; n

z

a

c

P

n

P

x

L

P

x

C

n

P

y

L

P

y

C

n

P

z

L

P

z

w i t h n

i

a H ; I ; P ; : : : ( I . 2 )

W i t h t h e i n n e r d i m e n s i o n s o f t h e v a c u u m c h a m b e r o f 2 8 m m x 2 0 0 m m x 2 0 0 m m ( s e e a p p e n d i x

F ) h a s t h e l o w e s t l y i n g m o d e a f r e q u e n c y o f a b o u t 5 G H z a n d i s w e l l b e l o w t h e l o w e s t p o s s i b l e

t r a n s i t i o n f r e q u e n c y a t 5 0 G H z o f t h e R Q S

I = P

s t a t e . B y t h i s i t i s a f a i r a p p r o x i m a t i o n t o e x p r e s s

e q u a t i o n ( I . 2 ) w i t h a n e e c t i v e l e n g t h

"

L a @ L

x

L

y

L

z

A

I = Q

a s

n

a

c

P

"

L

@ P n A

I = Q

w i t h n a H ; I ; P ; : : : ( I . 3 )

w h i c h d e p e n d s n o w o n l y o n o n e i n d e x n . T h e f r e q u e n c y d i s t a n c e b e t w e e n t w o s u c c e s s i v e m o d e s

¡ c a l c u l a t e s t h e n t o

¡ a

c

Q

I P

P

"

L

Q

; ( I . 4 )

w h i c h i s p l o t t e d i n g u r e I . 1 . T o c a l c u l a t e a c t u a l t r a n s i t i o n r a t e s i t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s t h e

r a d i a t i o n e l d i n t e r m s o f n u m b e r o f p h o t o n s

"

N p e r m o d e [ 2 6 1 ]

"

N a

I

e

h = k

B

T

I

; ( I . 5 )

w h i c h i s a l s o p l o t t e d i n g u r e I . 1 f o r T a Q H H K . W h a t i s l e f t t o c a l c u l a t e t h e l i f e t i m e o f a n y s t a t e

a r e t h e E i n s t e i n A c o e c i e n t s f o r a l l p o s s i b l e t r a n s i t i o n s , w h i c h a r e g i v e n b y [ 1 2 1 ]

A

n

H

; l

H

; n l

a

P

Q

e

P

!

Q

n

H

; l

H

; n ; l

"

H

c

Q

h

j h n

H

; l

H

j r

j n ; l

i j

P

( I . 6 )



1 2 4 s d o n o l m o d d o l k o d d o n

10-2

10-1

100

101

102

103

10-2

10-1

100

101

102

103

10 4

105

Frequency [THz]

E i n s

t e i n A c o e

f f i c i e n

t [ 1

/ s ]

a n

d M o

d e s e p a r a

t i o n

[ 1 / s ]

D n

10-10

10-5

100

N u m b

e r

n o

f p

h o

t o n s

p e r

m o

d e

5P

Stimulated Emission

Absorption

1/2

5P3/2

F i g u r e I . 1 : E i n s t e i n A c o e c i e n t s a n d p r o p e r t i e s o f t h e b l a c k b o d y r a d i a t i o n i n a n i t e s i z e c a v i t y . E a c h

c r o s s r e p r e s e n t s t h e E i n s t e i n A c o e c i e n t f o r t r a n s i t i o n s f r o m t h e R Q S

1 = 2

s t a t e t o a n P

1 = 2

s t a t e ( b l u e ) a n d

n P

3 = 2

s t a t e ( g r e e n ) . T h e c o e c i e n t s a r e p l o t t e d a g a i n t h e e n e r g y d i e r e n c e ~ !

n

H

; l

H

; n ; l

i n T H z f r o m n a S

( g r o u n d s t a t e ) t o n a P H H . T h e o r a n g e l i n e d e p i c t s t h e a v e r a g e p h o t o n n u m b e r p e r m o d e w i t h f r e q u e n c y

a s g i v e n b y e q u a t i o n ( I . 5 ) . T h e g r a p h a l s o i n c l u d e s t h e m o d e s p a c i n g ( r e d l i n e ) a t a c e r t a i n f r e q u e n c y f o r

a n i t e s i z e c a v i t y w i t h t h e d i m e n s i o n s o f t h e v a c u u m c h a m b e r a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( I . 4 ) .

T h e i n i t i a l s t a t e i s d e n o t e d w i t h j

n

H

; l

H

i a n d i s s e p a r a t e d b y a n e n e r g y

~

!

n

H

; l

H

; n ; l

t o a s t a t e j

n ; l i

.

T h e e n e r g y d i e r e n c e s c a n b e c a l c u l a t e d w i t h e q u a t i o n ( 2 . 7 3 ) . T o c a l c u l a t e t h e d i p o l e m a t r i x

e l e m e n t s h

n

H

; l

H

j r

j n ; l

i o n e h a s t o s o l v e t h e t i m e - i n d e p e n d e n t S c h r ö d i n g e r e q u a t i o n , i n c l u d i n g t h e

q u a n t u m d e f e c t f o r R u b i d i u m , t o o b t a i n t h e n e c e s s a r y w a v e - f u n c t i o n s . W i t h t h e k n o w l e d g e o f t h e

w a v e - f u n c t i o n s o n e c a n s i m p l y c a l c u l a t e t h e o v e r l a p i n t e g r a l o f t h e R Q S

I = P

w i t h a l l s t a t e s a l l o w e d

b y a d i p o l e t r a n s i t i o n , h e r e n P

I = P

a n d n P

Q = P

. T h i s w a s c a r r i e d o u t u p t o n a P H H a n d t h e r e s u l t i s

d e p i c t e d i n g u r e I . 1 .

A s a r s t s t e p s h a l l t h e l i f e t i m e o f t h e R Q S

I = P

w i t h o u t t h e i n u e n c e o f t h e b l a c k b o d y r a d i a t i o n

b e c a l c u l a t e d [ 7 8 ]

I

a

R P n a S

Q = P j a I = P

A : ( I . 7 )



1 2 5

T h i s g i v e s a n v a l u e o f a I P Q s w h i c h i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e 9 9 s c a l c u l a t e d p r e v i o u s

w i t h e q u a t i o n ( 2 . 7 5 ) . T h e d e v i a t i o n i s m o s t l i k e l y d u e t o t h e q u a l i t y o f t h e c a l c u l a t e d w a v e -

f u n c t i o n s f o r s m a l l q u a n t u m n u m b e r s a t w h i c h t h e q u a n t u m d e f e c t m o d e l i s l e s s a c c u r a t e . W i t h

t h e k n o w l e d g e o f t h e E i n s t e i n A c o e c i e n t s i s i t n o w p o s s i b l e t o c a l c u l a t e e x p l i c i t l y t h e i n u e n c e

o f t h e o r d i n a r y b l a c k b o d y r a d i a t i o n . T h e s t i m u l a t e d e m i s s i o n r a t e i s s i m p l e

"

N t i m e s a s l a r g e a s t h e

s p o n t a n e o u s r a t e , w h e r e

"

N i s t h e a v e r a g e p h o t o n n u m b e r g i v e n b y e q u a t i o n ( I . 5 ) . T h i s s t a t e m e n t

a l s o h o l d s f o r a b s o r p t i o n p r o c e s s e s t o s t a t e s w i t h a h i g h e r e n e r g y . T h e c o r r e c t i o n t o t h e l i f e t i m e i s

t h e n

I

b b

a

R P n a S

Q = P j a I = P

"

N @ A A C

I n a R Q

Q = P j a I = P

"

N @ A A : ( I . 8 )

T h e r s t t e r m c o r r e s p o n d s t o s t i m u l a t e d e m i s s i o n a n d t h e s e c o n d t o a b s o r p t i o n p r o c e s s e s a n d t h e

e v a l u a t i o n y i e l d s

b b

a @ R H W W I = s C Q R T H I = s A

I

a I Q P s . T h e e e c t i v e l i f e t i m e i s t h e n r e d u c e d

t o

I

e

a

I

C

I

b b

( I . 9 )

a n d e v a l u a t e s t o

e

a T R s w h i c h i s a b o u t 5 0 % o f t h e u n d i s t u r b e d l i f e t i m e o f 1 2 3 s . T h i s

r e d u c t i o n o f t h e l i f e t i m e i s a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e o n e c a l c u l a t e d w i t h t h e h e l p o f e q u a t i o n s ( 2 . 7 5 )

a n d ( 2 . 7 6 ) . T h e s u m w a s c a r r i e d o u t t o n = 2 0 0 f o r w h i c h i t a l r e a d y c o n v e r g e d . T h e r e e x i s t s a l s o

a b s o r p t i o n o f p h o t o n s t o c o n t i n u u m s t a t e s , w h i c h w a s n e g l e c t e d s i n c e t h e c o r r e s p o n d i n g E i n s t e i n

c o e c i e n t s a r e v e r y s m a l l .

T o i n c l u d e t h e d i s c r e t e s p e c t r u m o f a n i t e s i z e c a v i t y t h e E i n s t e i n c o e c i e n t s a r e a d d i t i o n a l l y

w e i g h t e d b y t h e r a t i o o f t h e E i n s t e i n c o e c i e n t a n d t h e m o d e s p a c i n g ¡ . T h i s r e e c t s t h e

p r o b a b i l i t y t h a t a c a v i t y m o d e i s i n r e s o n a n c e w i t h a p o s s i b l e t r a n s i t i o n . T h e c o r r e c t i o n o f t h e

l i f e t i m e i s n o w

I

c b b

a

R P n a S

Q = P j a I = P

"

N @ A

A

P

P ¡ @ A

C

I n a R Q

Q = P j a I = P

"

N @ A

A

P

P ¡ @ A

: ( I . 1 0 )

C a r r y i n g o u t t h i s e v a l u a t i o n o n e r e c e i v e s f o r

I

c b b

a @ I H W Q : Q I = s C I : R I = s A

I

a I = W : I s

I

w h i c h

g i v e s a n e e c t i v e l i f e t i m e o f

e

a I I V s a n d c o r r e s p o n d s t o a r e d u c t i o n o f r o u g h l y 5 % o f t o t h e

u n d i s t u r b e d l i f e t i m e o f 1 2 3 s .



1 2 6 f l o



B i b l i o g r a p h y

[ 1 ] D . G . F r i e d , T . K i l l i a n , L . W i l l m a n n , D . L a n d h u i s , S . M o s s , D . K l e p p n e r , a n d T . G r e y t a k ,

f o E i n n g o n d n o n o e o m r d o n , P h y s . R e v . L e t t . 8 1 , 3 8 1 1 ( 1 9 9 8 ) .

[ 2 ] A . R o b e r t , O . S i r j e a n , A . B r o w a e y s , J . P o u p a r d , S . N o w a k , D . B o i r o n , C . W e s t b r o o k , a n d

A . A s p e c t , e f o E i n n g o n d n o w l e o m , S c i e n c e 2 9 2 ( 2 0 0 1 ) .

[ 3 ] A . G r i e s m a i e r , J . W e r n e r , S . H e n s l e r , J . S t u h l e r , a n d T . P f a u , f o E i n n g o n d n o n

o g o m m , P h y s . R e v . L e t t . 9 4 , 1 6 0 4 0 1 ( 2 0 0 5 ) .

[ 4 ] T . W e b e r , J . H e r b i g , M . M a r k , H . - C . N ä g e r l , a n d R . G r i m m , f o E i n n g o n d n o n o

g m , S c i e n c e 2 9 9 , 2 3 2 ( 2 0 0 3 ) .

[ 5 ] G . M o d u g n o , G . F e r r a r i , G . R o a t i , R . J . B r e c h a , A . S i m o n i , a n d M . I n g u s c i o , f o E i n n

g o n d n o n o o m e o m m g o o l n , S c i e n c e 1 9 4 , 1 3 2 0 ( 2 0 0 1 ) .

[ 6 ] C . C . B r a d l e y , C . A . S a c k e t t , J . J . T o l l e t t , a n d R . G . H u l e t , i d n o f o E i n n

g o n d n o n n n e o m q e s n o n , 7 5 p . 1 6 8 7 ( 1 9 9 5 ) .

[ 7 ] K . D a v i s , M . M e w e s , M . A n d r e w s , N . v a n D r u t e n , D . D u r f e e , D . K u r n , a n d W . K e t t e r l e ,

f o E i n n g o n d n o n n q o o d m e o m , P h y s . R e v . L e t t . 7 5 , 3 9 6 9 ( 1 9 9 5 ) .

[ 8 ] S . C o r n i s h , N . C l a u s s e n , J . R o b e r t s , E . C o r n e l l , a n d C . W i e m a n , l

V S

f o E i n n

g o n d n d l n l s n o n , P h y s . R e v . L e t t . 8 5 , 1 7 9 5 ( 2 0 0 0 ) .

[ 9 ] M . H . A n d e r s o n , J . R . E n s h e r , M . R . M a t t h e w s , C . E . W i e m a n , a n d E . A . C o r n e l l , y E

o n o f o E i n n E g o n d n o n n h l e o m o , S c i e n c e 2 6 9 , 1 9 8 2 0 1

( 1 9 9 5 ) .

[ 1 0 ] Y . T a k a s u , K . M a k i , K . K o m o r i , T . T a k a n o , K . H o n d a , M . K u m a k u r a , T . Y a b u z a k i , a n d

Y . T a k a h a s h i , n E n l f o E i n n g o n d n o n o o E i l o n e o m , P h y s . R e v .

L e t t . 9 1 , 0 4 0 4 0 4 ( 2 0 0 3 ) .

[ 1 1 ] J . K a s p r z a k , M . R i c h a r d , S . K u n d e r m a n n , A . B a a s , P . J e a m b r u n , J . K e e l i n g , F . M a r c h e t t i ,

M . S z y m a n a c u t e s k a , R . A n d r e , J . S t a e h l i , V . S a v o n a , P . L i t t l e w o o d , B . D e v a u d , a n d L . D a n g ,

f o E i n n g o n d n o n o i o n o l o n , N a t u r e 4 4 3 , 4 0 9 ( 2 0 0 6 ) .

[ 1 2 ] S . D e m o k r i t o v , V . D e m i d o v , O . D z y a p k o , G . M e l k o v , A . S e r g a , B . H i l l e b r a n d s , a n d A . S l a v i n ,

f o E i n n g o n d n o n o E i l l m w n o n o o m m n d

m n , N a t u r e 4 4 3 , 4 3 0 ( 2 0 0 6 ) .

[ 1 3 ] M . M e w e s , M . A n d r e w s , N . v a n D r u t e n , D . K u r n , D . D u r f e e , C . T o w n s e n d , a n d W . K e t t e r l e ,

g o l l i o n o f o E i n n g o n d n n w n , P h y s . R e v . L e t t .

7 7 , 9 8 8 ( 1 9 9 6 ) .

[ 1 4 ] D . S t a m p e r - K u r n , H . - J . M i e s n e r , S . I n o u y e , M . A n d r e w s , a n d W . K e t t e r l e , g o l l o n l n d

r d o d n m i o n o f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . p . 5 0 0 ( 1 9 9 8 ) .



1 2 8 f l o

[ 1 5 ] D . J i n , J . E n s h e r , M . M a t t h e w s , C . W i e m a n , a n d E . C o r n e l l , g o l l i o n o

f o E i n n g o n d n n h l q , P h y s . R e v . L e t t . 7 7 , 4 2 0 .

[ 1 6 ] O . M a r a g o , S . H o p k i n s , J . A r l t , E . H o d b y , G . H e c h e n b l a i k n e r , a n d C . F o o t , y o n

o o w o d n d i d n o ) d o d f o E i n n g o n d n d

q , P h y s . R e v . L e t t . 8 4 , 2 0 5 6 .

[ 1 7 ] F . C h e v y , V . B r e t i n , P . R o s e n b u s c h , K . M a d i s o n , a n d J . D a l i b a r d , n f n

w o d o n i l o n d f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 8 , 2 5 0 4 0 2 ( 2 0 0 2 ) .

[ 1 8 ] M . A n d r e w s , D . K u r n , H . - J . M i e s n e r , D . D u r f e e , C . T o w n s e n d , S . I n o u y e , a n d W . K e t t e r l e ,

o o n o o n d n f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 7 9 , 5 4 9 ( 1 9 9 7 ) .

[ 1 9 ] D . S t a m p e r - K u r n , A . C h i k k a t u r , A . G ö r l i t z , S . I n o u y e , S . G u p t a , D . P r i t c h a r d , a n d W . K e t -

t e r l e , i o n o o n o n n f o E i n n g o n d n v n , P h y s . R e v .

L e t t . p . 2 8 7 6 ( 1 9 9 9 ) .

[ 2 0 ] R . O z e r i , J . S t e i n h a u e r , N . K a t z , a n d N . D a v i d s o n , h y o n o o n o n i n

n f o E i n n g o n d n o m o s m n , P h y s . R e v . L e t t . 8 8 , 2 2 0 4 0 1 ( 2 0 0 2 ) .

[ 2 1 ] F . L o n d o n , E n o m n o n o v d r l m n d f o E i n n h n , N a t u r e

1 4 1 , 6 4 3 ( 1 9 3 8 ) .

[ 2 2 ] F . D a l f o v o , S . G i o r i n i , P . P i t a e v s k i i , a n d S . S t r i n g a r i , o o f o E i n n o n d n o n

n d , R e v . M o d . P h y s . 7 1 , 4 6 3 ( 1 9 9 9 ) .

[ 2 3 ] C . R a m a n , M . K ö h l , R . O n o f r i o , D . D u r f e e , C . K u k l e w i c z , Z . H a d z i b a b i c , a n d W . K e t t e r l e ,

i d n o g l l o n f o E i n n g o n d n d q , P h y s . R e v . L e t t . 8 3 , 2 5 0 2

( 1 9 9 9 ) .

[ 2 4 ] A . C h i k k a t u r , A . G ö r l i t z , D . S t a m p e r - K u r n , S . I n o u y e , S . G u p t a , a n d W . K e t t e r l e , o n

n d i n n m n o s m n n f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t .

8 5 , 4 8 3 ( 2 0 0 0 ) .

[ 2 5 ] S . B u r g e r , F . C a t a l i o t t i , C . F o r t , F . M i n a r d i , M . I n g u s c i o , M . C h i o f a l o , a n d M . T o s i , E

) d n d h h n m o f o E i n n g o n d n n o d y l o n l ,

P h y s . R e v . L e t t . 8 6 , 4 4 4 7 .

[ 2 6 ] M . M a t t h e w s , B . A n d e r s o n , P . H a l j a n , D . H a l l , C . W i e m a n , a n d E . C o r n e l l , o n

f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 3 , 2 4 9 8 .

[ 2 7 ] K . M a d i s o n , F . C h e v y , W . W o h l l e b e n , a n d J . D a l i b a r d , o p o m o n n d f o E

i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 4 , 8 0 6 .

[ 2 8 ] J . A b o - S h a e e r , C . R a m a n , J . V o g e l s , a n d W . K e t t e r l e , y o n o o v n

f o E i n n g o n d n , S c i e n c e 4 7 6 , 2 9 2 ( 2 0 0 1 ) .

[ 2 9 ] S . I n o u y e , S . G u p t a , T . R o s e n b a n d , A . C h i k k a t u r , A . G ö r l i t z , T . G u s t a v s o n , A . L e a n h a r d t ,

D . P r i t c h a r d , a n d W . K e t t e r l e , y o n o o n l n f o E i n n

g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 7 , 0 8 0 4 0 2 ( 2 0 0 1 ) .

[ 3 0 ] M . A n d r e w s , C . T o w n s e n d , H . - J . M i e s n e r , D . D u r f e e , D . K u r n , a n d W . K e t t e r l e , y o n

o s n n f n o f o g o n d n , S c i e n c e 2 7 5 , 6 3 7 ( 1 9 9 7 ) .



f l o 1 2 9

[ 3 1 ] D . H a l l , M . M a t t h e w s , C . W i e m a n , a n d E . C o r n e l l , w m n o l n

o E g o m o n n f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 1 , 1 5 4 3 ( 1 9 9 8 ) .

[ 3 2 ] Y . S h i n , M . S a b a , T . A . P a s q u i n i , W . K e t t e r l e , D . E . P r i t c h a r d , a n d A . E . L e a n h a r d t , e o m

s n o m f o E i n n g o n d n n h o l E l l o n l , P h y s . R e v . L e t t .

9 2 , 0 5 0 4 0 5 ( 2 0 0 4 ) .

[ 3 3 ] S . G u p t a , K . D i e c k m a n n , Z . H a d z i b a b i c , a n d D . P r i t c h a r d , g o n s n o m n

f o E i n n g o n d n o w h = m n d , P h y s . R e v . L e t t . 8 9 , 1 4 0 4 0 1 .

[ 3 4 ] S . B u r g e r , K . B o n g s , S . D e t t m e r , W . E r t m e r , K . S e n g s t o c k , A . S a n p e r a , G . S h l y a p n i k o v ,

a n d M . L e w e n s t e i n , h k o l o n n f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 3 , 5 1 9 8 .

[ 3 5 ] B . A n d e r s o n , P . H a l j a n , C . R e g a l , D . F e d e r , L . C o l l i n s , C . C l a r k , a n d E . C o r n e l l , n

h k o l o n h n o o n n f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 6 ,

2 9 2 6 .

[ 3 6 ] B . E i e r m a n n , T . A n k e r , M . A l b i e z , M . T a g l i e b e r , P . T r e u t l e i n , K . - P . M a r z l i n , a n d M . K .

O b e r t h a l e r , f f o E i n n q o l o n o e o m l s n o n , P h y s .

R e v . L e t t . 9 2 ( 2 0 0 4 ) .

[ 3 7 ] L . D e n g , E . H a g l e y , J . W e n , M . T r i p p e n b a c h , Y . B a n d , P . J u l i e n n e , J . S i m s a r i a n , K . H e l m e r -

s o n , S . R o l s t o n , a n d W . P h i l l i p s , p o E w n w , S c i e n c e 3 9 8 , 2 1 8

( 1 9 9 9 ) .

[ 3 8 ] S . I n o u y e , M . A n d r e w s , J . S t e n g e r , H . - J . M i e s n e r , D . S t a m p e r - K u r n , a n d W . K e t t e r l e , y E

o n o p o n n n f o E i n n g o n d n , N a t u r e 3 9 2 , 1 5 1 ( 1 9 9 8 ) .

[ 3 9 ] P . C o u r t e i l l e , R . F r e e l a n d , D . H e i n z e n , F . v a n A b e e l e n , a n d B . V e r h a a r , y o n o

p o n n n g o l d e o m n , P h y s . R e v . L e t t . 8 1 .

[ 4 0 ] J . W e r n e r , A . G r i e s m a i e r , S . H e n s l e r , J . S t u h l e r , T . P f a u , A . S i m o n i , a n d E . T i e s i n g a ,

y o n o p o n n n n l o l d q o

S P

g , P h y s . R e v . L e t t . 9 4 ,

1 8 3 2 0 1 ( 2 0 0 5 ) .

[ 4 1 ] A . M a r t e , T . V o l z , J . S c h u s t e r , S . D ü r r , G . R e m p e , E . v a n K e m p e n , a n d B . V e r h a a r ,

p o n n n d m V U X o n w m n n d e n l , P h y s . R e v .

L e t t . 8 9 , 2 8 3 2 0 2 ( 2 0 0 2 ) .

[ 4 2 ] M . E r h a r d , H . S c h m a l j o h a n n , J . K r o n j a g e r , K . B o n g s , a n d K . S e n g s t o c k , w m n o

m d E n E n n l p o n n n

V U

, P h y s . R e v . A 6 9 , 0 3 2 7 0 5 ( 2 0 0 4 ) .

[ 4 3 ] E . D o n l e y , N . C l a u s s e n , S . T h o m p s o n , a n d C . W i e m a n , e o m E w o l l g o n n

f o E i n n g o n d n , N a t u r e 4 1 7 , 5 2 9 ( 2 0 0 2 ) .

[ 4 4 ] J . H e r b i g , T . K r a e m e r , M . M a r k , T . W e b e r , C . C h i n , H . - C . N ä g e r l , a n d R . G r i m m , E

o n o w o l l n m q , S c i e n c e 3 0 1 , 1 5 1 0 ( 2 0 0 3 ) .

[ 4 5 ] M . G r e i n e r , C . R e g a l , a n d D . J i n , i m n o w o l l f o E i n n g o n d n o m

p m q , N a t u r e 4 2 6 , 5 3 7 ( 2 0 0 3 ) .

[ 4 6 ] M . B a r t e n s t e i n , A . A l t m e y e r , S . R i e d l , S . J o c h i m , C . C h i n , J . H . D e n s c h l a g , a n d R . G r i m m ,

g o o o m w o l l f o E i n n g o n d n o h n p m q , P h y s .

R e v . L e t t . 9 2 , 1 2 0 4 0 1 ( 2 0 0 4 ) .



1 3 0 f l o

[ 4 7 ] M . Z w i e r l e i n , C . S t a n , C . S c h u n c k , S . R a u p a c h , A . K e r m a n , a n d W . K e t t e r l e , g o n d n o n

o o p m o n e o m x p o n n , P h y s . R e v . L e t t . 9 2 , 1 2 0 4 0 3

( 2 0 0 4 ) .

[ 4 8 ] M . M e w e s , M . A n d r e w s , D . K u r n , D . D u r f e e , C . T o w n s e n d , a n d W . K e t t e r l e , y g o l

o f o E i n n g o n d n d e o m , P h y s . R e v . L e t t . 7 8 , 5 8 2 ( 1 9 9 7 ) .

[ 4 9 ] E . H a g l e y , L . D e n g , M . K o z u m a , J . W e n , K . H e l m e r s o n , S . R o l s t o n , a n d W . P h i l l i p s , e

l l E g o l l m d E g o n n o e o m v , S c i e n c e 2 8 3 , 1 7 0 6 ( 1 9 9 9 ) .

[ 5 0 ] I . B l o c h , T . H ä n s c h , a n d T . E s s l i n g e r , e o m v g y g o l , P h y s . R e v .

L e t t . 8 2 , 3 0 0 8 ( 1 9 9 9 ) .

[ 5 1 ] S . I n o u y e , T . P f a u , S . G u p t a , A . C h i k k a t u r , A . G ö r l i t z , D . P r i t c h a r d , a n d W . K e t t e r l e ,

y o n o E g o n e m l ( o n o e o m w , N a t u r e 4 0 2 , 6 4 1

( 1 9 9 9 ) .

[ 5 2 ] M . K o z u m a , Y . S u z u k i , Y . T o r i i , T . S u g i u r a , T . K u g a , E . H a g l e y , a n d L . D e n g , E

g o n e m l ( o n o w , S c i e n c e 2 8 6 , 5 4 4 8 ( 1 9 9 9 ) .

[ 5 3 ] L . H a u , S . H a r r i s , Z . D u t t o n , a n d C . B e h r o o z i , v d d o n o I U w

o n d n n l o l d e o m q , N a t u r e 3 9 7 , 5 9 4 ( 1 9 9 9 ) .

[ 5 4 ] S . I n o u y e , R . L ö w , S . G u p t a , T . P f a u , A . G ö r l i t z , T . G u s t a v s o n , D . P r i t c h a r d , a n d W . K e t -

t e r l e , e m l ( o n o v n d e o m n f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 5 ,

4 2 2 5 .

[ 5 5 ] J . S t e n g e r , S . I n o u y e , D . S t a m p e r - K u r n , H . - J . M i e s n e r , A . C h i k k a t u r , a n d W . K e t t e r l e , n

h o m n n q o n d n o f o E i n n g o n d n , N a t u r e 7 4 , 3 4 5 ( 1 9 9 5 ) .

[ 5 6 ] H . S c h m a l j o h a n n , M . E r h a r d , J . K r o n j a g e r , M . K o t t k e , S . v a n S t a a , L . C a c c i a p u o t i , J . J .

A r l t , K . B o n g s , a n d K . S e n g s t o c k , h n m o p a P n o f o E i n n g o n d n ,

P h y s . R e v . L e t t . 9 2 , 0 4 0 4 0 2 ( 2 0 0 4 ) .

[ 5 7 ] L . S a d l e r , J . H i g b i e , S . L e s l i e , M . V e n g a l a t t o r e , a n d D . S t a m p e r - K u r n , o n n o m m E

f k n n n d p o m n n o f o E i n n g o n d n , N a t u r e 4 4 3 ,

3 1 2 ( 2 0 0 6 ) .

[ 5 8 ] B . P e r e d e s , A . W i d e r a , V . M u r g , O . M a n d e l , S . F ö l l i n g , I . C i r a c , G . S h l y a p n i k o v , T . H ä n s c h ,

a n d I . B l o c h , o n k E q d q o l o l d e o m n n y l v , N a t u r e 4 2 9 ,

2 7 7 ( 2 0 0 4 ) .

[ 5 9 ] T . K i n o s h i t a , T . W e n g e r , a n d D . W e i s s , y o n o y n E h m n o n l o n k E q d

q , S c i e n c e 3 0 5 , 1 1 2 5 ( 2 0 0 4 ) .

[ 6 0 ] T . K r a e m e r , M . M a r k , P . W a l d b u r g e r , J . D a n z l , C . C h i n , B . E n g e s e r , A . L a n g e , K . P i l c h ,

A . J a a k k o l a , H . - C . N ä g e r l , a n d R . G r i m m , i d n o i ( m o n m n n l E

o l d q o g m e o m , N a t u r e 4 4 0 , 3 1 5 ( 2 0 0 6 ) .

[ 6 1 ] O . M a n d e l , M . G r e i n e r , A . W i d e r a , T . R o m , T . W . H ä n s c h , a n d I . B l o c h , g o n o l l d g o l l o n

o w l E l i n n l m n o y l l d e o m , N a t u r e 4 2 5 , 9 3 7 ( 2 0 0 3 ) .

[ 6 2 ] M . W e i d e m ü l l e r a n d C . Z i m m e r m a n n , s n o n n l o l d q ( W i l e y - V C H , 2 0 0 5 ) ,

1 s t e d i t i o n .



f l o 1 3 1

[ 6 3 ] M . K a s e v i c h , g o n e o m , S c i e n c e 2 9 8 , 1 3 6 3 ( 2 0 0 2 ) .

[ 6 4 ] J . H u d s o n , B . S a u e r , M . T a r b u t t , a n d E . H i n d s , w m n o i l o n i l h o l

w o m n n p w o l l , P h y s . R e v . L e t t . 8 9 , 0 2 3 0 0 3 ( 2 0 0 2 ) .

[ 6 5 ] M . O b e r t h a l e r a n d T . P f a u , y n E D o E n d E h m n o n l x n o e o m

v o , J . P h y s . : C o n d e n s . M a t t e r 1 5 , R 2 3 3 ( 2 0 0 3 ) .

[ 6 6 ] S e e P r o j e c t A r e a C i n t h e S o n d e r f o r s c h u n g s b e r e i c h / T r a n s r e g i o 2 1 , C o n t r o l o f q u a n t u m

c o r r e l a t i o n s i n t a i l o r e d m a t t e r : C o m m o n p e r s p e c t i v e s o f m e s o s c o p i c s y s t e m s a n d q u a n t u m

g a s e s i n S t u t t g a r t , U l m , T ü b i n g e n , .

[ 6 7 ] B . A n d e r s o n a n d M . K a s e v i c h , w o o n m s n n o m e o m n n l

e , S c i e n c e 2 7 3 , 1 6 8 6 ( 1 9 9 8 ) .

[ 6 8 ] C . W a s c h k e , H . R o s k o s , R . S c h w e d l e r , K . L e o , H . K u r z , a n d K . K ö h l e r , g o n

m l l m E i m o n p o m f l o y l l o n n m o n d o l ,

P h y s . R e v . L e t t . 7 0 , 3 3 1 9 ( 1 9 9 3 ) .

[ 6 9 ] S . W i l k i n s o n , C . B h a r u c h a , K . M a d i s o n , Q . N i u , a n d M . R a i z e n , y o n o e o m

n n E k v d d n n e l n y l o n l , P h y s . R e v . L e t t . 7 6 , 4 5 1 2

( 1 9 9 6 ) .

[ 7 0 ] M . J o n a - L a s i n i o , O . M o r s c h , M . C r i s t i a n i , N . M a l o s s i , J . H . M u l l e r , E . C o u r t a d e , M . A n d e r l i n i ,

a n d E . A r i m o n d o , e m m v n d E n n n l n n o d o n l , P h y s . R e v .

L e t t . 9 1 , 2 3 0 4 0 6 ( 2 0 0 3 ) .

[ 7 1 ] N . M O T T , w l E s n l o n o n , R e v . M o d . P h y s . 4 0 , 6 7 7 ( 1 9 6 8 ) .

[ 7 2 ] M . G r e i n e r , O . M a n d e l , T . E s s l i n g e r , T . H ä n s c h , a n d I . B l o c h , n m n o n

o m ) d o w o s n l o n q o l o l d e o m , N a t u r e 4 1 5 , 3 9 ( 2 0 0 2 ) .

[ 7 3 ] D . J a k s c h , C . B r u d e r , J . C i r a c , C . G a r d i n e r , a n d P . Z o l l e r , g o l d f o o n e o m n y l

v , P h y s . R e v . L e t t . 8 1 , 3 1 0 8 ( 1 9 9 8 ) .

[ 7 4 ] D . J a k s c h a n d P . Z o l l e r , g o l d e o m r d o o l o , A n n . P h y s . 1 , 3 7 ( 2 0 0 5 ) .

[ 7 5 ] U . W e i s s , n m h m ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 9 ) , 2 n d e d i t i o n .

[ 7 6 ] A . R e c a t i , P . F e d i c h e v , W . Z w e r g e r , J . v o n D e l f t , a n d P . Z o l l e r , h n E f o o n

w o d l n d u o n d o i ' n v o h m n o n l n m q , a r X i v p p . c o n d m a t / 0 2 1 2 4 1 3

( 2 0 0 2 ) .

[ 7 7 ] A . R e c a t i , P . F e d i c h e v , W . Z w e r g e r , J . v o n D e l f t , a n d P . Z o l l e r , e o m n m h o

g o l d o o o ) d f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 9 4 ,

0 4 0 4 0 4 ( 2 0 0 5 ) .

[ 7 8 ] T . F . G a l l a g h e r , d e o m ( C a m b r i g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , 1 9 9 4 ) .

[ 7 9 ] A . D a l g a r n o , d o m n o , i n d o o m n d m o l l ,

e d i t e d b y R . F . S t e b b i n g s a n d F . B . D u n n i n g ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 3 ) .

[ 8 0 ] P . K o c h , d d n m , i n d o o m n d m o l l , e d i t e d

b y R . F . S t e b b i n g s a n d F . B . D u n n i n g ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 3 ) .



1 3 2 f l o

[ 8 1 ] S . C h u , x o l v X m n l o n o n l l , R e v . M o d . P h y s . 7 0 , 6 8 5

( 1 9 9 8 ) .

[ 8 2 ] C . N . C o h e n - T a n n o u d j i , x o l v X w n l n o m o o n , R e v . M o d . P h y s .

7 0 , 7 0 7 ( 1 9 9 8 ) .

[ 8 3 ] W . D . P h i l l i p s , x o l v X v o o l n n d n o n l o m , R e v . M o d . P h y s .

7 0 , 7 2 1 ( 1 9 9 8 ) .

[ 8 4 ] W . A n d e r s o n , J . V e a l e , a n d T . G a l l a g h e r , o n n h o l E h o l i n n n x l

p o z n d q , P h y s . R e v . L e t t . 8 0 , 2 4 9 ( 1 9 9 8 ) .

[ 8 5 ] I . M o u r a c h k o , D . C o m p a r a t , F . d e T o m a s i , A . F i o r e t t i , P . N o s b a u m , V . A k u l i n m , a n d P . P i l l e t ,

w n E f o d i ' n p o z n d q , P h y s . R e v . L e t t . 8 0 , 2 5 3 ( 1 9 9 8 ) .

[ 8 6 ] K . S i n g e r , M . R e e t z - L a m o u r , T . A m t h o r , L . G . M a r c a s s a , a n d M . W e i d e m ü l l e r , o n

o i o n n d l f o d n n s n d d s n o n n g o l d q o d

e o m , P h y s . R e v . L e t t . 9 3 , 1 6 3 0 0 1 ( 2 0 0 4 ) .

[ 8 7 ] D . T o n g , S . F a r o o q i , J . S t a n o j e v i c , S . K r i s h n a n , Y . Z h a n g , R . C ô t é , E . E y l e r , a n d P . G o u l d ,

v o l f l o k d o d i o n n n l o l d q , P h y s . R e v . L e t t . 9 3 , 0 6 3 0 0 1

( 2 0 0 4 ) .

[ 8 8 ] T . C a r r o l l , K . C l a r i n g b o u l d , A . G o o d s e l l , M . L i m , a n d M . W . N o e l , e n l h n d n o

h o l E h o l s n o n n x l y n E h m n o n l m l o d e o m , P h y s .

R e v . L e t t . 9 3 , 1 5 3 0 0 1 ( 2 0 0 4 ) .

[ 8 9 ] K . A f r o u s h e h , P . B o h l o u l i - Z a n j a n i , D . V a g a l e , A . M u g f o r d , M . F e d o r o v , a n d J . M a r t i n ,

o o y o n o o n n i l h o l E h o l s n o n n g o l d

d e o m , P h y s . R e v . L e t t . 9 3 , 2 3 3 0 0 1 ( 2 0 0 4 ) .

[ 9 0 ] W . L i , P . J . T a n n e r , a n d T . G a l l a g h e r , h o l E h o l i o n n d s o n z o n n n l o l d

q o d e o m , P h y s . R e v . L e t t . 9 4 , 1 7 3 0 0 1 ( 2 0 0 5 ) .

[ 9 1 ] D . J a k s c h , J . I . C i r a c , P . Z o l l e r , S . L . R o l s t o n , R . C o t e , a n d M . D . L u k i n , p n m

q o x l e o m , P h y s . R e v . L e t t . 8 5 , 2 2 0 8 ( 2 0 0 0 ) .

[ 9 2 ] C . G r e e n e , A . D i c k i n s o n , a n d H . S a d e g h p o u r , g o n o o l n d x o n E o l l E v o n

n d w o l l , P h y s . R e v . L e t t . 8 5 , 2 4 5 8 ( 2 0 0 0 ) .

[ 9 3 ] T h e N o b e l P r i z e i n P h y s i c s 2 0 0 1 a t w w w . n o b e l p r i z e . o r g .

[ 9 4 ] W . K e t t e r l e , x o l l X n o m X f o E i n n o n d n o n n d

o m l , R e v . M o d . P h y s . 7 4 , 1 1 3 1 ( 2 0 0 2 ) .

[ 9 5 ] E . A . C o r n e l l a n d C . E . W i e m a n , x o l v X f o E i n n o n d n o n n d l D

( U H n d o m n m n , R e v . M o d . P h y s . 7 4 , 8 7 5 ( 2 0 0 2 ) .

[ 9 6 ] R . L ö w , h n n d n f o E i n n g o n d n v , D i p l o m a t h e s i s ,

M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ( 2 0 0 0 ) .

[ 9 7 ] N . S . B o s e , l n k q z n d v n n o , 2 6 p . 1 7 8 ( 1 9 2 4 ) .

[ 9 8 ] A . E i n s t e i n , n n o d d l n n o m n q , S i t z b e r . K g l . P r e u s s . A k a d . W i s s .

p . 2 6 1 ( 1 9 2 4 ) .



f l o 1 3 3

[ 9 9 ] A . E i n s t e i n , n n o d d l n n o m n q F e n d l n , S i t z b e r .

K g l . P r e u s s . A k a d . W i s s . p . 3 ( 1 9 2 5 ) .

[ 1 0 0 ] L . d e B r o g l i e , l é o d n , P h d t h e s i s , F a c u l t e d e s S c i e n c e s d e

P a r i s ( 1 9 2 4 ) .

[ 1 0 1 ] T h e N o b e l P r i z e i n P h y s i c s 1 9 2 4 a t w w w . n o b e l p r i z e . o r g .

[ 1 0 2 ] L . T i s z a , n o n o m n n r s s , N a t u r e 1 4 1 , 9 1 3 ( 1 9 3 8 ) .

[ 1 0 3 ] C . H e c h t , o l ) d f o o r d o n e o m q n d v d , P h y s i c a

2 5 , 1 1 9 5 ( 1 9 5 9 ) .

[ 1 0 4 ] W . S t w a l l e y a n d L . N o s a n o w , o l 4 x 4 n m m , P h y s . R e v . L e t t . 3 6 , 9 1 0

( 1 9 7 6 ) .

[ 1 0 5 ] T h e N o b e l P r i z e i n P h y s i c s 1 9 9 7 a t w w w . n o b e l p r i z e . o r g .

[ 1 0 6 ] F . Z a m b e l l i , L . P i t a e v s k i i , D . S t a m p e r - K u r n , a n d S . S t r i n g a r i , h n m p o n d

w o m n m h o n o d f o q , P h y s . R e v . A 6 1 , 0 6 3 6 0 8 ( 2 0 0 0 ) .

[ 1 0 7 ] W . H ä n s e l , P . H o m m e l h o , T . H ä n s c h , a n d J . R e i c h e l , f o E i n n g o n d n o n o n

w o l o n g , N a t u r e 4 9 8 , 4 9 8 ( 2 0 0 1 ) .

[ 1 0 8 ] H . O t t , J . F o r t a g h , G . S c h l o t t e r b e c k , A . G r o s s m a n n , a n d C . Z i m m e r m a n n , f o E i n n

g o n d n o n n w o , P h y s . R e v . L e t t . 8 7 , 2 3 0 4 0 1 ( 2 0 0 1 ) .

[ 1 0 9 ] J . S t u h l e r , A . G r i e s m a i e r , T . K o c h , M . F a t t o r i , T . P f a u , S . G i o v a n a z z i , P . P e d r i , a n d L . S a n -

t o s , y o n o h o l E h o l s n o n n h n n m q , P h y s i c a l R e v i e w

L e t t e r s 9 5 , 1 5 0 4 0 6 ( 2 0 0 5 ) .

[ 1 1 0 ] F . B l o c h , Ü d n n m n k d i l k o n n n u l l n , Z . P h y s i k 5 2 , 5 5 5 ( 1 9 2 8 ) .

[ 1 1 1 ] C . Z e n e r , e o o i l l f k d o n o o l d h l , P r o c . R o y . S o c . L o n d o n

S e r . A 1 4 5 , 5 2 3 ( 1 9 3 4 ) .

[ 1 1 2 ] B . J o s e p h s o n , o l x i ' n o n d n n l n , P h y s . L e t t . 1 , 2 5 1 ( 1 9 6 2 ) .

[ 1 1 3 ] F . C a t a l i o t t i , S . B u r g e r , C . F o r t , P . M a d d a l o n i , F . M i n a r d i , M . I n g u s c i o , A . T r o m b e t t o n i ,

a n d A . S m e r z i , t o o n t n o n e f o E i n n g o n d n , S c i e n c e 2 9 3 ,

8 4 3 ( 2 0 0 1 ) .

[ 1 1 4 ] A . T r u s c o t t , K . S t r e c k e r , W . M c A l e x a n d e r , G . P a t r i d g e , a n d R . H u l e t , y o n o p m

n q o d e o m , S c i e n c e 2 9 1 , 2 5 7 0 ( 2 0 0 1 ) .

[ 1 1 5 ] F . S c h r e c k , L . K h a y k o v i c h , K . C o r w i n , G . F e r r a r i , T . B o u r d e l , J . C u b i z o l l e s , a n d C . S a l o m o n ,

f o E i n n g o n d n s m m d n p m , P h y s . R e v . L e t t . 8 7 , 0 8 0 4 0 3

( 2 0 0 1 ) .

[ 1 1 6 ] Z . H a d z i b a b i c , C . S t a n , K . D i e c k m a n n , S . G u p t a , M . Z w i e r l e i n , A . G ö r l i t z , a n d W . K e t t e r l e ,

o E w o n m h n f o n d p m q , P h y s . R e v . L e t t . 8 8 ,

1 6 0 4 0 1 ( 2 0 0 2 ) .

[ 1 1 7 ] M . Z w i e r l e i n , J . A b o - S h a e e r , A . S c h i r o t z e k , C . S c h u n c k , a n d W . K e t t e r l e , o n d

) d n o n l s n n p m q , N a t u r e 4 3 5 , 1 0 4 7 ( 2 0 0 5 ) .



1 3 4 f l o

[ 1 1 8 ] J . F r a u n h o f e r , t o o n p n o

H

m m l n D F o n i F v o m m l

( K ö n i g l i c h B a y e r i s c h e A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n , 1 8 8 8 ) , 1 . A u a g e .

[ 1 1 9 ] G . K i r c h h o , q m m l e n d l n n ( V d m V e r l a g D r . M ü l l e r , 2 0 0 6 ) , 1 . A u a g e .

[ 1 2 0 ] J . R y d b e r g , n n n ü d f ' n d i m o n k n d m E

n i l m n @ l o n o n d d 9 é m o n d l m n m E

A ( A k a d e m i s c h e V e r l a g s g e s e l l s c h a f t L e i p z i g , 1 8 8 9 ) , o s t w a l d

H

s K l a s s i k e r d e r e x a k t e n W i s -

s e n s c h a f t e n , 1 . A u a g e , E r s c h e i n u n g s j a h r 1 9 2 2 .

[ 1 2 1 ] H . B e t h e a n d E . S a l p e t e r , n m m n o o n E n d o E l o n o m ( P l e n u m ,

N e w Y o r k , 1 9 5 7 ) .

[ 1 2 2 ] E . S t r e e d , A . C h i k k a t u r , T . G u s t a v s o n , M . B o y d , Y . T o r i i , D . S c h n e b l e , G . C a m p b e l l ,

D . P r i t c h a r d , a n d W . K e t t e r l e , i m n l o f i g i m n , R e v . S c i . I n s t r u m .

7 7 , 0 2 3 1 0 6 ( 2 0 0 6 ) .

[ 1 2 3 ] C o h e n - T a n n o u d j i , C . , D u p o n t - R o c , J . , a n d G . G r y n b e r g , e o m E o o n n o n ( J o h n

W i l e y 8 S o n s , 1 9 9 2 ) .

[ 1 2 4 ] T . P f a u , f m n n D ä D f n d Q D y k D y k m w l l n X e o m o k ( d e

G r u y t e r 8 C o , B e r l i n , 1 9 9 1 ) , 1 0 . A u a g e .

[ 1 2 5 ] H . J . M e t c a l f a n d P . v a n d e r S t r a t e n , v g o o l n n d n ( S p r i n g e r V e r l a g , N e w

Y o r k , 1 9 9 9 ) .

[ 1 2 6 ] P . M e y s t r e , e o m y ( S p r i n g e r V e r l a g , N e w Y o r k , 2 0 0 1 ) .

[ 1 2 7 ] G . L i n d b l a d , y n q n o o n m h n m l m o , C o m m . M a t h . P h y s

4 8 , 1 9 9 ( 1 9 7 6 ) .

[ 1 2 8 ] P . J e s s e n a n d I . D e u t s c h , y l l , A d v . A t . M o l . O p t . P h y s 3 7 , 1 ( 1 9 9 6 ) .

[ 1 2 9 ] T . H ä n s c h a n d A . S c h a w l o w , g o o l n o q v d o n , O p t . C o m . 1 3 , 6 8 ( 1 9 7 5 ) .

[ 1 3 0 ] P . L e t t , W . P h i l l i p s , S . R o l s t o n , C . T a n n e r , R . W a t t s , a n d C . W e s t b r o o k , y l m o l ,

J . O p t . S o c . A m . B 6 , 2 0 8 4 ( 1 9 8 9 ) .

[ 1 3 1 ] D . S t e c k , d m V U h v n h , h t t p : / / s t e c k . u s / a l k a l i d a t a .

[ 1 3 2 ] E . R a a b , M . P r e n t i s s , A . C a b l e v , S . C h u , a n d D . P r i t c h a r d , n o x l o d m

e o m d o n , P h y s . R e v . L e t t . 5 9 , 2 6 3 1 ( 1 9 8 7 ) .

[ 1 3 3 ] D . P r i t c h a r d , E . R a a b , V . B a g n a t o , C . W i e m a n , a n d R . W a t t s , v n o n E

n o p o , P h y s . R e v . L e t t . 5 7 , 3 1 0 ( 1 9 8 6 ) .

[ 1 3 4 ] T . W a l k e r , D . S e s k o , a n d C . W i e m a n , g o l l o o o l l d n l o m ,

P h y s . R e v . L e t t . 6 4 , 4 0 8 ( 1 9 9 0 ) .

[ 1 3 5 ] D . S e s k o , T . W a l k e r , a n d C . W i e m a n , f o o x l e o m n o n n o p o

, J . O p t . S o c . A m . B 8 , 9 4 6 ( 1 9 9 1 ) .

[ 1 3 6 ] A . S t e a n e , M . C h o w d h u r y , a n d C . J . F o o t , d o n p o n w n o E o l , J .

O p t . S o c . A m . B 9 , 2 1 4 2 ( 1 9 9 2 ) .



f l o 1 3 5

[ 1 3 7 ] C . W a l l a c e , T . D i n n e e n , K . T a n , A . K u m a r a k r i s h n a n , P . G o u l d , a n d J . J a v a n a i n e n , w E

m n o m n d n g o n n n w n o E o l , J . O p t . S o c . A m . B

1 1 , 7 0 3 ( 1 9 9 4 ) .

[ 1 3 8 ] C . C o o p e r , G . H i l l e n b r a n d , J . R i n k , C . T o w n s e n d , K . Z e t i e , a n d C . F o o t , m

o e o m n w n o E o l , E u r o p h y s . L e t t . 2 8 , 3 9 7 ( 1 9 9 4 ) .

[ 1 3 9 ] K . K i m , H . N o h , a n d W . J h e , w m n o m o w n o E o l

m o n n , P h y s . R e v . A 7 1 , 0 3 3 4 1 3 ( 2 0 0 5 ) .

[ 1 4 0 ] J . D a l i b a r d a n d C . N . C o h e n - T a n n o u d j i , v o o l n l o h o l l m o l z o n

d n X m l o l m o d l , J . O p t . S o c . A m . B 6 , 2 0 2 3 ( 1 9 8 9 ) .

[ 1 4 1 ] D . B o i r o n , A . M i c h a u d , P . L e m o n d e , Y . C a s t i n , C . S a l o m o n , S . W e y e r s , K . S z y m a n i e c ,

L . C o g n e t , a n d A . C l a i r o n , v g o o l n o g m e o m n q y l w o l h o n

o I F I u , P h y s . R e v . A 5 3 , R 3 7 3 4 ( 1 9 9 6 ) .

[ 1 4 2 ] W . W i n g , y n x l l n n i l o m n p l d , P r o g . Q u a n t .

E l e c t . 8 1 , 1 8 1 ( 1 9 8 4 ) .

[ 1 4 3 ] G . B r e i t a n d I . R a b i , w m n o x l n , P h y s . R e v . 3 8 , 2 0 8 2 ( 1 9 3 1 ) .

[ 1 4 4 ] E . M a j o r a n a , e o m y n n g o m o w n o l , N u o v o C i m e n t o 9 , 4 3 ( 1 9 3 2 ) .

[ 1 4 5 ] D . M . B r i n k a n d C . V . S u k u m a r , w j o n n E ) n o n n m n , P h y s .

R e v . A 7 4 , 0 3 5 4 0 1 ( 2 0 0 6 ) .

[ 1 4 6 ] A . M i g d a l l , J . P r o d a n , W . P h i l l i p s , T . B e r g e m a n , a n d H . M e t c a l f , p y o n o

w n l l d x l e o m , P h y s . R e v . L e t t . 5 4 , 2 5 9 6 ( 1 9 8 5 ) .

[ 1 4 7 ] U . E r n s t , A . M a r t e , F . S c h r e c k , J . S c h u s t e r , a n d G . R e m p e , f o E i n n g o n d n o n n

s o ' d p l d g o n ( o n , E u r o . P h y s . L e t t . 4 1 , 1 ( 1 9 9 8 ) .

[ 1 4 8 ] D . P r i t c h a r d , g o o l n x l e o m n w n o o n o o , P h y s .

R e v . L e t t . 5 1 , 1 3 3 6 ( 1 9 8 3 ) .

[ 1 4 9 ] W . P e t r i c h , M . A n d e r s o n , J . E n s h e r , a n d E . C o r n e l l , l D l g o n ( n n w n

o i o g o o l n o x l e o m , P h y s . R e v . L e t t . 7 4 , 3 3 5 2 ( 1 9 9 5 ) .

[ 1 5 0 ] T . B e r g e m a n n , G . E r e z , a n d H . M e t c a l f , w n o n p l d o x l e o m ,

P h y s . R e v . A 3 5 , 1 4 2 9 ( 1 9 8 7 ) .

[ 1 5 1 ] T . E s s l i n g e r , I . B l o c h , a n d T . H ä n s c h , f o E i n n o n d n o n n d o l E s o ' E

o n ( o n , P h y s . R e v . A 5 8 , R 2 6 6 4 ( 1 9 9 8 ) .

[ 1 5 2 ] S . G u p t a , K . M u r c h , K . M o o r e , T . P u r d y , a n d D . S t a m p e r - K u r n , f o E i n n o n d n o n

n l d , P h y s . R e v . L e t t . 9 5 , 1 4 3 2 0 1 ( 2 0 0 5 ) .

[ 1 5 3 ] J . R e i c h e l , W . H ä n s e l , a n d T . H ä n s c h , e o m w o m n l o n w n

, P h y s i c a l R e v i e w L e t t e r s 8 3 , 3 3 9 8 ( 1 9 9 9 ) .

[ 1 5 4 ] M . M e w e s , M . A n d r e w s , N . v a n D r u t e n , D . K u r n , D . D u r f e e , a n d W . K e t t e r l e , f o E i n n

g o n d n o n n l g o n ( n n d w n , P h y s . R e v . L e t t . 7 7 , 4 1 6 ( 1 9 9 6 ) .



1 3 6 f l o

[ 1 5 5 ] D . S t a m p e r - K u r n , k n n d o k n x n m p l d X d o q o f o E

i n n g o n d n n w n n d y l , P h d t h e s i s , M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f

T e c h n o l o g y ( 2 0 0 0 ) .

[ 1 5 6 ] M . B a r r e t t , J . S a u e r , a n d M . C h a p m a n , e l l E o l o m o n o n o m f o E i n n

o n d n , P h y s . R e v . L e t t . 8 7 , 0 1 0 4 0 4 ( 2 0 0 1 ) .

[ 1 5 7 ] K . D a v i s , M . M e w e s , M . J o e , M . A n d r e w s , a n d W . K e t t e r l e , i o g o o l n o o d m

e o m , P h y s . R e v . L e t t . 7 4 , 5 2 0 2 ( 1 9 9 5 ) .

[ 1 5 8 ] W . K e t t e r l e a n d N . v a n D r u t e n , i o g o o l n o d e o m , A d v . A t . M o l . O p t .

P h y s . 3 7 , 1 8 1 ( 1 9 9 6 ) .

[ 1 5 9 ] K . D i e c k m a n n , f o E i n n g o n d n o n r e o m x m n h w n

, P h d t h e s i s , U n i v e r s i t y A m s t e r d a m ( 2 0 0 1 ) .

[ 1 6 0 ] P . V a l k e r i n g , y m z o n o i o g o o l n o d m e o m n w n ,

M a s t e r t h e s i s , U n i v e r s i t y o f U t r e c h t ( 1 9 9 9 ) .

[ 1 6 1 ] K . H u a n g , l w n ( W i l e y , 1 9 8 8 ) , 2 n d e d i t i o n .

[ 1 6 2 ] C . P e t h i c h a n d H . S m i t h , f o E i n n g o n d n o n n h l q ( C a m b r i d g e P r e s s ,

2 0 0 2 ) , 1 s t e d i t i o n .

[ 1 6 3 ] M . A b r a m o w i t z a n d I . S t e g u n , r n d o o k o w m l p n o n ( D o v e r P u b l i c a t i o n s ,

N e w Y o r k , 1 9 6 8 ) , 5 . e d n .

[ 1 6 4 ] W . K e t t e r l e a n d N . v a n D r u t e n , f o E i n n g o n d n o n o p n x m o l

d n y n o h m n o n , P h y s . R e v . A 5 4 , 6 5 6 ( 1 9 9 6 ) .

[ 1 6 5 ] A . G r i e s m e i e r , h o l E h o l s n o n n h n n m q X f o E i n n g o n E

d n o n o g m m e o m , P h d t h e s i s , U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t ( 2 0 0 6 ) .

[ 1 6 6 ] P . O . S c h m i d t , n o o l E g o l d g o m m e o m , P h d t h e s i s , U n i v e r s i t ä t

S t u t t g a r t ( 2 0 0 3 ) .

[ 1 6 7 ] S . H e n s l e r , l k n n n l k l n d o l n q n , P h d t h e s i s , U n i v e r s i t ä t

S t u t t g a r t ( 2 0 0 4 ) .

[ 1 6 8 ] E . B u r t , R . G h i r s t , C . M y a t t , M . H o l l a n d , E . C o r n e l l , a n d C . W i e m a n , g o n D g o l o n

n d g o l l o n X y n v n o f o E i n n g o n d n o m h , P h y s .

R e v . L e t t . 7 9 , 3 3 7 ( 1 9 9 7 ) .

[ 1 6 9 ] J . S ö d i n g , D . G u e r y - O d e l i n , P . D e s b i o l l e s , F . C h e v y , H . I n a m o r i , a n d J . D a l i b a r d , E f o d

h o d m f o E i n n g o n d n , A p p l . P h y s . B 6 9 , 2 5 7 ( 1 9 9 9 ) .

[ 1 7 0 ] P . M e y s t r e a n d S . S t e n h o l m , w n l i ' o v , O p t . S o c . A m . B 6 , 1 7 0 5

( 1 9 8 5 ) .

[ 1 7 1 ] S . C h u a n d C . W i e m a n , v g o o l n n d n o e o m , O p t . S o c . A m . B 6 , 1 9 6 1

( 1 9 8 9 ) .

[ 1 7 2 ] R . G r i m m , M . W e i d e m ü l l e r , a n d Y . O v c h i n n i k o v , y l d o l o n l o m , A d v .

A t . M o l . O p t . P h y s 4 2 , 9 5 ( 2 0 0 0 ) .



f l o 1 3 7

[ 1 7 3 ] S . C h u , J . B j o r k h o l m , A . A s h k i n , a n d A . C a b l e , i m n l y o n o y l l

d e o m , P h y s . R e v . L e t t . 5 7 , 3 1 4 ( 1 9 8 6 ) .

[ 1 7 4 ] D . S t a m p e r - K u r n , M . A n d r e w s , A . C h i k k a t u r , S . I n o u y e , H . M i e s n e r , J . S t e n g e r , a n d W . K e t -

t e r l e , y l g o n ( n m n o f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t . p . 2 0 2 7 ( 1 9 9 8 ) .

[ 1 7 5 ] O . M o r s c h a n d M . O b e r t h a l e r , h n m o f o E i n n g o n d n n y l v ,

R e v . M o d . P h y s . 7 8 , 1 7 9 ( 2 0 0 6 ) .

[ 1 7 6 ] N . A s h c r o f t a n d M . D a v i d , o l d ( S a u n d e r s C o l l e g e , P h i l a d e l p h i a , 1 9 7 6 ) .

[ 1 7 7 ] P . K a p i t z a a n d P . D i r a c , h ' o n o n i l o n f m o ' n d n v , P r o c .

C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 2 9 , 2 9 7 ( 1 9 3 3 ) .

[ 1 7 8 ] D . F r e i m u n d , K . A a t o o n i , a n d H . B a t e l a a n , y o n o u z E h i ' , N a t u r e

4 1 3 , 1 4 2 ( 2 0 0 1 ) .

[ 1 7 9 ] J . S c h o s e r , i z n n f o E i n n E u o n d n n n k n o o n w n E

l l , P h d t h e s i s , U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t ( 2 0 0 3 ) .

[ 1 8 0 ] J . N o l d , l k l n n n o n q n , D i p l o m a t h e s i s , U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t

( 2 0 0 6 ) .

[ 1 8 1 ] W . H a r t l e y , J . C h e m . S o c . 4 3 , 3 9 0 ( 1 8 8 3 ) .

[ 1 8 2 ] J . R y d b e r g , P h i l . M a g . S

t h

s e r i e s 2 9 , 3 3 1 ( 1 8 9 0 ) .

[ 1 8 3 ] W . L i , I . M o u r a c h k o , M . N o e l , a n d T . G a l l a g h e r , w l l m E o o o o l d

d o m n m n o E o l X n m d o n D n D n d n d ,

P h y s . R e v . A 6 7 , 0 5 2 5 0 2 ( 2 0 0 3 ) .

[ 1 8 4 ] S . A . L e e , J . H e l m c k e , J . L . H a l l , a n d B . P . S t o i c h e , h o l E o E o o n n o n o

d l l X o n n n D l D n d n l n o d l , O p t i c s

L e t t . 3 , 1 4 1 ( 1 9 7 8 ) .

[ 1 8 5 ] C . - J . L o r e n z e n a n d K . N i e m a x , n m h o n

P

P

I = P ; Q = P

v l n

Q W

K s n d

V S

s ,

P h y s . S c r . 2 7 , 3 0 0 ( 1 9 8 3 ) .

[ 1 8 6 ] B . S t o i c h e a n d E . W e i n b e r g e r , C a n . J . P h y s . 5 7 , 2 1 4 3 ( 1 9 7 9 ) .

[ 1 8 7 ] I . J o h a n n s o n , A r k . f . F y s i k 2 0 , 1 3 5 ( 1 9 6 1 ) .

[ 1 8 8 ] M . S e a t o n , n m d o , R e p . P r o g . P h y s . 4 6 , 1 6 7 ( 1 9 8 3 ) .

[ 1 8 9 ] A . G r a b o w s k i , e n w z v k ü l n n d o ) ö n d n d E

k o k o n

V U

E e o m n , P h d t h e s i s , U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t ( 2 0 0 6 ) .

[ 1 9 0 ] A . d e O l i v e i r a , M . M a n c i n i , V . B a g n a t o , a n d L . M a r c a s s a , w m n o d E

l m n o l d d o m , P h y s . R e v . A 6 5 , 0 3 1 4 0 1 ( 2 0 0 2 ) .

[ 1 9 1 ] C . E . T h e o d o s i o u , v m o l k l E m l o m d , P h y s . R e v . A 3 0 , 2 8 8 1

( 1 9 8 4 ) .

[ 1 9 2 ] U . R a i t z s c h , e n r E u m m z h ü n o n i m n n m f o E

i n n E u o n d n n n o n q n , D i p l o m a t h e s i s , U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t ( 2 0 0 4 ) .



1 3 8 f l o

[ 1 9 3 ] B E C I I I s e t u p , C e n t e r f o r U l t r a - C o l d A t o m s ( C U A ) , M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ,

C a m b r i d g e , U S A , h t t p : / / c u a . m i t . e d u / k e t t e r l e g r o u p .

[ 1 9 4 ] T . M u k a i a n d M . Y a m a s h i t a , i 0 n d o d o n o f o E i n n g o n d n

y o m n o E f o d v o , P h y s . R e v . A 7 0 , 0 1 3 6 1 5 ( 2 0 0 4 ) .

[ 1 9 5 ] K . B o n g s , S . B u r g e r , G . B i r k l , K . S e n g s t o c k , W . E r t m e r , K . R z a z e w s k i , A . S a n p e r a , a n d

M . L e w e n s t e i n , g o n i o l o n o f o n n f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . L e t t .

8 3 , 3 5 7 7 ( 1 9 9 9 ) .

[ 1 9 6 ] Y . T o r i i , Y . S u z u k i , M . K o z u m a , T . S u g i u r a , a n d T . K u g a , w E n d f s n E

o m o f o E i n n g o n d n , P h y s . R e v . A 6 1 , 0 4 1 6 0 2 ( 2 0 0 0 ) .

[ 1 9 7 ] W . D e m t r ö d e r , i m n l k P X i l k z ä n d y k ( S p r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 1 ) , 2 .

A u a g e .

[ 1 9 8 ] L . R i c c i , M . W e i d e m ü l l e r , T . E s s l i n g e r , A . H e m m e r i c h , C . Z i m m e r m a n n , V . V u l e t i c , W . K n i g ,

a n d T . H ä n s c h , e o m n E l z d d o d l m o o m , O p t .

C o m m u n . 1 1 7 ( 1 9 9 5 ) .

[ 1 9 9 ] A . M a r t e , p E o n n z n

¤

ÿ n l k l d m o m , P h d t h e s i s , T e c h n i s -

c h e U n i v e r s i t ä t M ü n c h e n ( 2 0 0 3 ) .

[ 2 0 0 ] M . A n d r e w s , M . M e w e s , N . v a n D r u t e n , D . D u r f e e , D . K u r n , a n d W . K e t t e r l e , h D

x o n E h s m n o f o g o n d n , S c i e n c e 2 7 3 , 8 4 ( 1 9 9 6 ) .

[ 2 0 1 ] Y . C a s t i n a n d R . D u m , f o E i n n g o n d n o n n m E h n d n , P h y s . R e v .

L e t t . 7 7 , 5 3 1 5 ( 1 9 9 6 ) .

[ 2 0 2 ] J . W e r n e r , y o n o p o n n n n l o l d q o

S P

g , P h d t h e s i s ,

U n i v e r s ä t S t u t t g a r t ( 2 0 0 6 ) .

[ 2 0 3 ] A . S t e a n e , P . S z r i f t g i s e r , P . D e s b i o l l e s , a n d J . D a l i b a r d , w o d l o n o e o m d

f o l , P h y s . R e v . L e t t . 7 4 ( 1 9 9 5 ) .

[ 2 0 4 ] T . B . S w a n s o n , D . A s g e i r s s o n , J . A . B e h r , A . G o r e l o v , a n d D . M e l c o n i a n , i 0 n n

n d o l m n o E o l m , J . O p t . B : Q u a n t u m S e m i c l a s s . O p t . 1 5 , 2 6 4 1

( 1 9 9 8 ) .

[ 2 0 5 ] J . S c h o s e r , A . B a t ä r , R . L ö w , V . S c h w e i k h a r d , A . G r a b o w s k i , Y . B . O v c h i n n i k o v , a n d T . P f a u ,

s n n o o g o l d e o m p o m o E d m n o n l w n o E o l ,

P h y s . R e v . A 6 6 , 0 2 3 4 1 0 ( 2 0 0 2 ) .

[ 2 0 6 ] K . D i e c k m a n n , R . J . C . S p r e e u w , M . W e i d e m ü l l e r , a n d J . T . M . W a l r a v e n , o E d m n o n l

m n o E o l o o l o o m , P h y s . R e v . A 5 8 , 3 8 9 1 3 8 9 5 ( 1 9 9 8 ) .

[ 2 0 7 ] J . F o r t a g h , A . G r o s s m a n n , T . W . H ä n s c h , a n d C . Z i m m e r m a n n , p l o d n o m n o E

o l o m l d m l o , J . A p p l . P h y s . 8 4 , 6 4 9 9 ( 1 9 9 8 ) .

[ 2 0 8 ] C . A . S t a n a n d W . K e t t e r l e , w l l o m o o l E o o l n m n , R e v .

S c i . I n s t r u m . p . 0 6 3 1 1 3 ( 2 0 0 5 ) .

[ 2 0 9 ] H . M a s s e y a n d C . M o h r , p n d n o n o m n n q e n d n E

m o o g o l l o n F s s F h m n o n o v o p o f n e o m n d

w o l l , P r o c . R . S o c . L o n d o n A 1 4 4 , 1 8 8 ( 1 9 3 2 ) .



f l o 1 3 9

[ 2 1 0 ] M . M a r i n e s c u , H . R . S a d e g h p o u r , , a n d A . D a l g a r n o , h o n g o 0 n o e l k l E w l

h m , P h y s . R e v . A 4 9 , 9 8 2 ( 1 9 9 4 ) .

[ 2 1 1 ] H . B o e s t e n , C . T s a i , J . G a r d n e r , D . H e i n z e n , a n d B . V e r h a a r , y o n o

o n n n g o l l o n o o g o l d

V U

e o m , P h y s . R e v . A 5 5 , 6 3 6 ( 1 9 9 7 ) .

[ 2 1 2 ] P r i v . c o m m . w i t h D r . W i e l a n d S c h ö l l k o p f , F r i t z - H a b e r - I n s t i t u t d e r M a x - P l a n c k - G e s e l l s c h a f t .

[ 2 1 3 ] N . F . R a m s e y , w o l l f m ( C l a r e d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 5 6 ) , 2 n d e d i t i o n .

[ 2 1 4 ] W . P h i l l i p s a n d H . M e t c a l f , v h l o n o n e o m f m , P h y s . R e v . L e t t 4 8 , 5 9 6

( 1 9 8 2 ) .

[ 2 1 5 ] S . K r o b o t h , v k ü l n o n m o m n , D i p l o m a t h e s i s , U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t

( 2 0 0 2 ) .

[ 2 1 6 ] M . D r e w s e n , P . L a u r e n t , A . N a d i r , G . S a n t a r e l l i , A . C l a i r o n , Y . C a s t i n , D . G r i s o n , a n d

C . S a l o m o n , s n o n o E h o l o o l n ' n m m n o E o l ,

A p p l . P h y s . B 5 9 , 2 8 3 ( 1 9 9 4 ) .

[ 2 1 7 ] C . G . T o w n s e n d , N . H . E d w a r d s , C . J . C o o p e r , K . P . Z e t i e , C . J . F o o t , A . M . S t e a n e ,

P . S z r i f t g i s e r , H . P e r r i n , a n d J . D a l i b a r d , E d n n m n o E o l ,

P h y s . R e v . A 5 2 , 1 4 2 3 ( 1 9 9 5 ) .

[ 2 1 8 ] W . P e t r i c h , M . A n d e r s o n , J . E n s h e r , a n d E . C o r n e l l , f o o e o m n g o m d

w n o E y l , J . O p t . S o c . A m . B p . 1 3 3 2 ( 1 9 9 4 ) .

[ 2 1 9 ] C . D . W a l l a c e , T . P . D i n n e e n , K . - Y . N . T a n , T . T . G r o v e , a n d P . L . G o u l d , s o o h ' n

n v o g o l l o n o v g o o l d d m e o m , P h y s . R e v . L e t t . 6 9 , 8 9 7 ( 1 9 9 2 ) .

[ 2 2 0 ] W . P e t r i c h , M . A n d e r s o n , J . E n s h e r , a n d E . C o r n e l l , g o m n n e o m g l o d n

w n o E y l , P R O C I N T Q U A N T U M E L E C T R O N C O N F , I E E E , P I S C A T A W A Y ,

N J , ( U S A ) p . 2 3 6 ( 1 9 9 4 ) .

[ 2 2 1 ] J . J a c k s o n , g l l i l o d n m ( W i l e y , 1 9 9 8 ) , 3 r d e d i t i o n .

[ 2 2 2 ] M . G e h m , K . O . H a r a , T . S a v a r d , a n d J . T h o m a s , h n m o x o E s n d d r n n

e o m , P h y s . R e v . A 5 8 , 3 9 1 4 ( 1 9 9 8 ) .

[ 2 2 3 ] V . S c h w e i k h a r d , l o l d e o m n p E h n d y l v , D i p l o m a t h e s i s , U n i v e r -

s i t ä t S t u t t g a r t ( 2 0 0 1 ) .

[ 2 2 4 ] P . W . H . P i n s k e , A . M o s k , M . W e i d e m ü l l e r , M . R e y n o l d s , T . H i j m a n s , a n d T . W a l r a v e n ,

e d l l g n n h n o d f o q , P h y s . R e v . L e t t . 7 8 ,

9 9 0 ( 1 9 9 7 ) .

[ 2 2 5 ] T h e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e e x p e r i m e n t ( 2 0 0 1 ) i n A m s t e r d a m i n t h e g r o u p o f J . T . M .

W a l r a v e n .

[ 2 2 6 ] T h e B o s e - E i n s t e i n c o n d e n s a t e e x p e r i m e n t ( 1 9 9 8 ) i n K o n s t a n z i n t h e g r o u p o f G . R e m p e .

[ 2 2 7 ] J . R o b i n s o n , x o o n f o E i n n s n l p n o n , P h y s . R e v . 6 7 8 ( 1 9 5 1 ) .

[ 2 2 8 ] V . B a g n a t o , D . P r i t c h a r d , a n d D . K l e p p n e r , f o E i n n g o n d n o n n n i n l

o n l , P h y s . R e v . A 8 5 , 4 3 5 4 ( 1 9 8 7 ) .



1 4 0 f l o

[ 2 2 9 ] S . G i o r g i n i , L . P . P i t a e v s k i i , a n d S . S t r i n g a r i , g o n d n p o n n d g l m

o d s n n f o q , P h y s . R e v . A 5 4 , R 4 6 3 3 ( 1 9 9 6 ) .

[ 2 3 0 ] A . A l b u s , S . G i o r g i n i , F . I l l u m i n a t i , a n d L . V i v e r i t , g l m o f o E i n n

g o n d n o n n d e o m f o E p m w , J . P h y s . B A t . M o l . O p t . P h y s . 2 3 ,

3 5 ( 2 0 0 2 ) .

[ 2 3 1 ] R . L ö w , R . G a t i , J . S t u h l e r , a n d T . P f a u , o n v E s n d d h o l E h o l s n o n

n w o m n m , E u r o p h y s . L e t t . 7 1 , 2 1 4 ( 2 0 0 5 ) .

[ 2 3 2 ] R . G a t i , s n o n o l o l d e o m n o d l o n l , D i p l o m a t h e s i s , U n i v e r s i t ä t

S t u t t g a r t ( 2 0 0 4 ) .

[ 2 3 3 ] D . P . C R A I G a n d T . T H I R U N A M A C H A N D R A N , w o l l n m i l o d n m

( D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , 1 9 9 8 ) .

[ 2 3 4 ] A . M o l i s c h a n d B . O e h r y , d o n n n e o m o ( C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d ,

1 9 9 8 ) .

[ 2 3 5 ] U . J a n i c k e a n d M . W i l k e n s , e o m w o o n n w n o E y l p l d , P h y s . R e v . A 5 0 ,

3 2 6 5 ( 1 9 9 4 ) .

[ 2 3 6 ] D . S c h n e b l e , Y . T o r i i , M . B o y d , E . W . S t r e e d , D . E . P r i t c h a r d , a n d W . K e t t e r l e , s n n

o o o l d o m o m o E d m n o n l m n o E o l , S c i e n c e 3 0 0 ,

4 7 5 ( 2 0 0 3 ) .

[ 2 3 7 ] H . B e n d e r , w k o l l n n n o n l k l n e o m n , D i p l o m a t h e s i s , U n i v e r s i t ä t

S t u t t g a r t ( 2 0 0 6 ) .

[ 2 3 8 ] E . K u h n l e , d i o n o f o E i n n g o n d n , D i p l o m a t h e s i s , U n i v e r s i t ä t

S t u t t g a r t ( 2 0 0 6 ) .

[ 2 3 9 ] H . K ü b l e r , i l k o m n s n d z n n z n n d m h m z l l , D i p l o m a

t h e s i s , U n i v e r s i t ä t S t u t t g a r t ( 2 0 0 5 ) .

[ 2 4 0 ] A . G ö r l i t z , T . G u s t a v s o n , A . L e a n h a r d t , R . L ö w , A . C h i k k a t u r , S . G u p t a , S . I n o u y e ,

D . P r i t c h a r d , a n d W . K e t t e r l e , o d m f o E i n n g o n d n n p a P n

v E o l m y l , P h y s . R e v . L e t t . 9 0 , 0 9 0 4 0 1 ( 2 0 0 3 ) .

[ 2 4 1 ] J . K r a u s a n d R . M a r h e f k a , e n n n ( M c G r a w - H i l l , 2 0 0 2 ) , 3 r d e d i t i o n .

[ 2 4 2 ] J . R u b b m a r k , M . K a s h , M . L i t t m a n , a n d D . K l e p p n e r , h n m l ' o d d l l

o n X e d o v n d E n ' n d o m , P h y s . R e v . A 2 3 , 3 1 0 7

( 1 9 8 1 ) .

[ 2 4 3 ] M . B u h l e r t , i l k o o l n n d i l k o k n o n i d l l D w n n d e l m n m F

n n d n n e o z n l ÿ l n ü n x n ' k

( F o r t s c h r i t t - B e r i c h t e V D I , V D I - V e r l a g , D ü s s e l d o r f , 2 0 0 0 ) , r e i h e 2 , N r . 5 5 3 .

[ 2 4 4 ] A . L e g g e t t , S . C h a k r a v a r t y , A . D o r s e y , M . F i s h e r , A . G a r g , a n d W . Z w e r g e r , h n m o

h o E m , R e v . M o d . P h y s . 5 9 , 1 ( 1 9 8 7 ) .

[ 2 4 5 ] H . G r a b e r t a n d A . N . ( e d i t o r s ) , n E f o o l m X p o m i l o n n o n m

g o m n , S p e c i a l I s s u e : C h e m . P h y s . 2 9 6 , 1 2 1 3 5 6 ( 2 0 0 4 ) .



f l o 1 4 1

[ 2 4 6 ] C . M y a t t , B . K i n g , Q . T u r c h e t t e , C . S a c k e t t , D . K i e l p i n s k i , W . I t a n o , C . M o n r o e , a n d

D . W i n e l a n d , h o n o n m o o n o g o l n o i n n d

o , N a t u r e 4 0 3 , 2 6 9 ( 2 0 0 0 ) .

[ 2 4 7 ] M . B r u n e , E . H a g l e y , J . D r e y e r , X . M a i t r e , A . M a a l i , C . W u n d e r l i c h , J . R a i m o n d , a n d

S . H a r o c h e , y n o h o n o w n n m w E

m n , P h y s . R e v . L e t t . 7 7 , 4 8 8 7 ( 1 9 9 6 ) .

[ 2 4 8 ] A . S t e a n e , n m o m n , R e p . P r o g . P h y s . 6 1 , 1 1 7 ( 1 9 9 8 ) .

[ 2 4 9 ] D . D i V i n c e n z o , l s m l m n o n o n m g o m n , F o r t s c h r . P h y s . 4 8 ,

7 7 1 ( 2 0 0 0 ) .

[ 2 5 0 ] B . S h e e h y , S . S h a n g , R . W a t t s , S . H a t a m i a n , a n d H . M e t c a l f , h o d E v h l o n n d

g o l l m o n o d m f m , J . O p t . S o c . A m . B 6 , 2 1 6 5 ( 1 9 8 9 ) .

[ 2 5 1 ] A . R a d z i g a n d B . S m i r n o v , n h o n e o m D w o l l n d s o n ( S p r i n g e r V e r l a g ,

B e r l i n , 1 9 8 5 ) .

[ 2 5 2 ] D . L i d e , g g r n d o o k o g m n d ( C R C P r e s s , T a y l o r a n d F r a n c i s G r o u p

L C C , 2 0 0 6 ) , 8 7 t h e d i t i o n .

[ 2 5 3 ] I . S o b e l m a n n , e o m n d d n o n ( S p r i n g e r V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 2 ) .

[ 2 5 4 ] R . Z a r e , e n l w o m n m ( J o h n W i l e y 8 S o n s , 1 9 8 8 ) .

[ 2 5 5 ] M . L . Z i m m e r m a n n , M . L i t t m a n , M . K a s h , a n d D . K l e p p n e r , k o d

o l k l E m l o m , P h y s . R e v . A 2 0 , 2 2 5 1 ( 1 9 7 9 ) .

[ 2 5 6 ] A . G r a b o w s k i , R . H e i d e m a n n , R . L ö w , J . S t u h l e r , a n d T . P f a u , r o l o n d

o o o l o l d d m e o m , F o r t s c h r . P h y s . 5 4 , 7 6 5 ( 2 0 0 6 ) .

[ 2 5 7 ] D . S u t e r , o v E e o m s n o n ( C a m b r i d g e S t u d i e s i n M o d e r n O p t i c s

( N o . 1 9 ) , 2 0 0 5 ) .

[ 2 5 8 ] B . S h o r e , o o o n o m o n ( W i l e y , N e w Y o r k , 1 9 9 0 ) .

[ 2 5 9 ] K . C a s e a n d S . C h i u , i l o m n p l o n n g , P h y s . R e v . A 1 , 1 1 7 0 ( 1 9 7 0 ) .

[ 2 6 0 ] A . K o l o k o l o v a n d G . S k r o t s k i i , i l l m d o n n p n E z g , O p t . S p e c t r o s c .

3 6 , 1 2 7 ( 1 9 7 4 ) .

[ 2 6 1 ] R . L o u d o n , n m o o v ( O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , L o n d o n , 1 9 7 3 ) , 1 s t

e d i t i o n .



1 4 2 h n k n



D a n k s a g u n g

A n d i e s e r S t e l l e s e i n o c h a l l e n e i n D a n k a u s g e s p r o c h e n , d i e d u r c h i h r e d i r e k t e u n d i n d i r e k t e

U n t e r s t ü t z u n g w ä h r e n d d e r l e t z t e n J a h r e z u r E n t s t e h u n g u n d z u m G e l i n g e n m e i n e r D o k t o r a r b e i t

b e i g e t r a g e n h a b e n .

T i l m a n P f a u m ö c h t e i c h d a f ü r d a n k e n , d a s s e r m i c h v o n d e r G e b u r t s s t u n d e d e s P I 5 a n a k t i v

t e i l h a b e n l i e ÿ u n d m i r d i e A u f g a b e ü b e r t r u g d i e s e s P r o j e k t z u p l a n e n u n d a u f z u b a u e n . D a b e i i s t

e s i h m h o c h a n z u r e c h n e n , d a s s e r t r o t z d e r s e l b s t z e r s t ö r e r i s c h e n K r e a t i v i t ä t d e r A p p a r a t u r n i e d a s

V e r t r a u e n i n s e i n R u b i d i u m - T e a m u n d d e s s e n t o l l k ü h n e K i s t e v e r l o r . O h n e s e i n e v i s i o n ä r e n I d e e n ,

d i e d e m E x p e r i m e n t i m m e r e i n p a a r S c h r i t t e v o r r a u s s i n d , w ä r e d e r d e r z e i t i g e E r f o l g d i e s e s P r o j e k t e s

n i e s o m ö g l i c h g e w e s e n .

D a m i t e i n e A p p a r a t u r , d i e a u s s o u n g l a u b l i c h v i e l e n E i n z e l t e i l e n b e s t e h t , ü b e r h a u p t m a l f u n k t i o -

n i e r e n k a n n , i s t d i e M i t a r b e i t u n d U n t e r s t ü t z u n g v i e l e r M e n s c h e n n ö t i g , u n d d e n e n m ö c h t e i c h h i e r

d a n k e n :

U l r i c h R a i t z s c h , d e r s i c h d u r c h n i c h t s a b s c h r e c k e n l i e ÿ u n d w i r k l i c h v o n d e r S t u n d e N u l l

a n m i t d a b e i w a r . M e i n e k r e a t i v e z e i t s p a r e n d e A r b e i t s w e i s e m i t d e m K l e b e b a n d e r g ä n z t e e r

d u r c h a k k u r a t e S o r g f a l t , u n d d i e e r r e i c h t e S t a b i l i t ä t d e s E x p e r i m e n t s i s t s i c h e r s e i n V e r d i e n s t .

U n d w e n n a n a l l e m m a l w i e d e r d i e F o u r i e r e b e n e s c h u l d w a r , b l i e b e r d o c h i m m e r r u h i g u n d

g e l a s s e n . D a f ü r : G i b B u s s i .

R o l f H e i d e m a n n , d e r d a s g a n z e t ü r k i s f a r b e n e L a s e r s y s t e m a u f g e b a u t h a t u n d s i c h a u c h ,

w a h r l i c h h e l d e n h a f t , g e o p f e r t h a t d i e S t e u e r s o f t w a r e u m z u p r o g r a m m i e r e n ( s t u d i e r t i s t

s t u d i e r t ) . D u r c h s e i n e v o r a u s s c h a u e n d e A r t i m L a b o r ( I c h h a b d a s s c h o n m a l v o r b e r e i t e t )

w u r d e e r z u r e c h t d e r N a m e n s p a t r o n d e s " E h r e n - R o l f - A w a r d s " d e s P I 5 . A u ÿ e r d e m d a n k e i c h

i h m f ü r v i e l e a n g e n e h m e M e s s n ä c h t e , d i e w i r z u s a m m e n h a l b s c h l a f e n d d u r c h w a c h t h a b e n .

A x e l G r a b o w s k i , d e r w i r k l i c h v o r k e i n e m P r o b l e m z u r ü c k s c h r e c k t e u n d a l l e s i m m e r s o f o r t i n

A n g r i n a h m , d a b e i i m m e r s e i n e m L e i t s p r u c h f o l g e n d : D a s k a n n d o c h g a r n i c h t s o s c h w e r

s e i n . U n v e r g e s s e n w e r d e n m i r d i e e r s t e n , h ö c h s t k r i m i n e l l e n , T e s t l ä u f e u n s e r e r H o c h s p a n -

n u n g e l e k t r o n i k s e i n , b e i d e n e n s i c h R o l f a l s S i c h e r h e i t s b e a u f t r a g t e r m i t G r a u s e n a b w a n d t e .

S e l b s t w e n n 1 0 W a t t L a s e r s t r a h l e n k r e u z u n d q u e r d u r c h s L a b o r s c h o s s e n , k o n n t e i h n d a s

n i c h t a u s d e r R u h e b r i n g e n .

J ü r g e n S c h o s e r , m i t d e m i c h u n e n d l i c h v i e l e M e ÿ n ä c h t e a n d e r a l t e n A p p a r a t u r ( i t ' s a b u g ,

n o t a f e a t u r e ) v e r b r a c h t e u n d d a b e i a l l e H ö h e n u n d T i e f e n e i n e s P h y s i k e r l e b e n s d u r c h l e b t e .



1 4 4 h n k n

A b e r m i t u n g l a u b l i c h e r Z ä h i g k e i t k o n n t e n w i r d e r M a s c h i n e d o c h n o c h e i n p a a r E r g e b n i s s e

a b r i n g e n . V o n a l l d i e s e n d u r c h w a c h t e n N ä c h t e n w e r d e n m i r v o r a l l e m d i e k u l t u r h i s t o r i s c h e n

A u s ü g e w e i t n a c h M i t t e r n a c h t , w ä h r e n d d i e K i s t e h i n t e r u n s m a l w i e d e r m a c h t e w a s s i e

w o l l t e , i m m e r i n E r i n n e r u n g b l e i b e n .

V e r a B e n d k o w s k y , d i e n u n s e i t e i n e m J a h r i m R u b i d i u m - T e a m i s t u n d d e m r e i n e n M ä n -

n e r h a u f e n d u r c h I h r e a u s g e g e l i c h e n e A r t e t w a s Z i v i l i s a t i o n n ä h e r b r a c h t e . A l s H ü t e r i n d e s

t ü r k i s f a r b e n e n L i c h t e s i s t s i e u n e n t b e h r l i c h g e w o r d e n .

J ü r g e n S t u h l e r u n d A x e l G ö r l i t z , d i e f ü r m e i n e F r a g e n u n d P r o b l e m e s t e t s e i n o e n e s O h r

h a t t e n u n d z u v i e l e n L ö s u n g e n b e i t r u g e n .

M i r w a r e n v i e l e m o t i v i e r t e N a c h w u c h s k r ä f t e a l s D i p l o m a n d b z w . D i p l o m a n d i n g a n z o d e r

z u m i n d e s t t e i l w e i s e a u s g e l i e f e r t . J e d e r v o n I h n e n h a t e i n e n w i c h t i g e n T e i l z u m A u f b a u o d e r

z u m G e l i n g e n d e r E x p e r i m e n t e b e i g e t r a g e n . D a s s i n d i m e i n z e l n e n A l e x a n d e r B a t ä r , R o l f

H e i d e m a n n , V o l k e r S c h w e i k h a r d , J o c h e n S t e i n m a n n , R u d o l f G a t i , U l r i c h R a i t z s c h , J o h a n n e s

N o l d , H e l m a r B e n d e r , E v a K u h n l e u n d B j ö r n B u t s c h e r , d i e b i s l a n g a l l e n a c h I h r e r D i p l o m a r b e i t

a l s D o k t o r a n d e n d e m F o s c h u n g s g e b i e t t r e u g e b l i e b e n s i n d .

W e i t e r h i n m ö c h t e i c h a l l e n e h e m a l i g e n u n d g e g e n w ä r t i g e n K o l l e g e n v o n d e n a n d e r e n A r b e i t s -

g r u p p e n f ü r d i e f r e u n d s c h a f t l i c h e Z u s a m m e n a r b e i t s o w i e d e m r e g e n A u s t a u s c h v o n K n o w - H o w

( u n d E q u i p m e n t ) d a n k e n . V o r a l l e m m i t P i e t S c h m i d t , S v e n H e n s l e r , B e r n d K a l t e n h ä u s e r

u n d A x e l G r i e s m e i e r h a t t e i c h v i e l e i n t e r e s s a n t e p h y s i k a l i s c h e u n d a u c h n i c h t p h y s i k a l i s c h e

D i s k u s s i o n e n .

A x e l G r a b o w s k i , R o l f H e i d e m a n n u n d U l r i c h R a i t z s c h d a n k e i c h f ü r d i e s o r g f ä l t i g e K o r r e k t u r

d i e s e r A r b e i t u n d S y l v i a T a s s y f ü r d i e v i e l e n K o m m a t a .

E i n e n w e s e n t l i c h e n B e i t r a g h a b e n d i e e i n z e l n e n W e r k s t ä t t e n g e l e i s t e t . A l l e n v o r a n d i e F e i n -

m e c h a n i k u m H e r r n K a m e l l a . H e r r n K u b e s e i f ü r d i e H e r s t e l l u n g d e r V a k u u m k a m m e r g e d a n k t

u n d H e r r n D i e t r i c h , d e r j e d e s n o c h s o k o m p l i z i e r t e T e i l h e r s t e l l e n k o n n t e , s o w i e a l l d e n a n d e r e n

M i t a r b e i t e r n d i e e i n e V i e l z a h l v o n K o m p o n e n t e n h e r g e s t e l l t h a b e n . B e i d e n E l e k t r o - n i k e r n

m u s s i c h m i c h b e i H e r r n M ö h r l e , H e r r n H e n n i n g u n d H e r r n B r a u n f ü r d i e R e a l i s i e r u n g a l l

m e i n e r , m a n c h m a l e t w a s a u s g e f a l l e n e n , I d e e n b e d a n k e n . D i e E l e k t r i k u m H e r r n K e r n h a t

m i r s t e t s g u t e D i e n s t e g e l e i s t e t , w e n n e s m a l w i e d e r u m K o m p o n e n t e n f ü r v i e l S t r o m g i n g .

S e h r d a n k b a r b i n i c h H e r r n M a u r e r v o n d e r T i e f t e m p e r a t u r a b t e i l u n g , d e r i m m e r s c h n e l l u n d

u n k o m p l i z i e r t m i t s e i n e m H e l i u m s c h n ü e r a n g e r ü c k t i s t . Z u l e t z t s e i n o c h d e r G l a s w e r k s t a t t

u m H e r r n Q u a c k u n d d e r S c h r e i n e r e i u m H e r r n H a u k e g e d a n k t .

D e n M i t a r b e i t e r n i m S e k r e t a r i a t , S y l v i a T a s s y u n d N a d i n e P r e l l w i t z , d i e s t e t s d i e e r s t e F r o n t

f ü r R e c h n u n g e n u n d A d m i n i s t r a t i v e s h i e l t e n .



h n k n 1 4 5

E i n e w i c h t i g e R o l l e s p i e l t e K a r i n O t t e r , d i e d i e g u t e S e e l e d e s P I 5 w a r u n d i n m i r d i e L e i d e n -

s c h a f t z u m E x p o n a t e b a u w e c k t e . D e r g r o ÿ e E r f o l g d e r E x p e r i m e n t a u n d d e r H i g h l i g h t s w ä r e

o h n e s i e n i e m ö g l i c h g e w e s e n .

H e r r n P r o f . S t r o t h d a n k e i c h f ü r d i e u n k o m p l i z i e r t e u n d z ü g i g e M i t b e r i c h t e r s t a t t u n g d i e s e r

A r b e i t .

H e r r n P r o f . M a h l e r d a n k e i c h d a f ü r , d a s s e r k u r z f r i s t i g d e n P r ü f u n g s v o r s i t z ü b e r n o m m e n h a t ,

u n d d a s s i c h i h n o f t m i t m e i n e n t h e o r e t i s c h e n P r o b l e m e n b e h e l l i g e n d u r f t e .

D e r S t u d i e n s t i f t u n g d e s d e u t s c h e n V o l k e s d a n k e i c h f ü r d i e n a n z i e l l e U n t e r s t ü t z u n g .

I c h d a n k e a u ÿ e r d e m a l l d e n M e n s c h e n , d i e m i c h a u ÿ e r h a l b d e s L a b o r s u n t e r s t ü t z t h a b e n .

D a s s i n d m e i n e E l t e r n , d i e m i r d a s P h y s i k s t u d i u m e r m ö g l i c h t h a b e n , m e i n e S c h w e s t e r I r i s ,

d i e i m m e r a n m i c h g e g l a u b t h a t u n d u n t e r a l l e n F r e u n d e n u n d B e k a n n t e n v o r a l l e m T o b i a s

S e i d l , d e r d a f ü r s o r g t e , d a s s i c h d e n A n s c h l u s s a n d a s r e a l e L e b e n n i c h t v e r l o r .

M e i n g r ö ÿ t e r D a n k g e h t a n P a t i f ü r d i e m o r a l i s c h e U n t e r s t ü t z u n g , w e n n e s m a l m i t d e n A t o m e n

Date post:	06-Apr-2018
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