ROOTS OF Non Linier Equations
• Metode Bagi dua (Bisection Method)
• Metode Regula Falsi (False Position Method)
• Metode Grafik• Metode Grafik
• Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Solusi Persamaan Kuadrat Tingkat 2
a
acbbx
cbxaxxf
2
4
0)(
2
2
−±−=
=++=
Persamaan di atas memberi akar-akar penyelesaian untuk
fungsi aljabarf(x)
Yaitu nilai-nilai x yang memberikan f(x) = 0
Kalau persaamaannya f(x) = e-x - x?
Overview of Methods
• Bracketing methods
Graphing method
Bisection methodBisection method
False position
• Open methods
One point iteration
Newton-Raphson
Secant method
• Memahami konsep konvergensi dan divergensi.
• Memahami bahwa metode tertutup selalu
konvergen, sedangkan metode terbuka kadang-
kadang divergen.
Specific Study Objectives
kadang divergen.
• Konvergensi pada metode terbuka biasanya didapat
jika initial guess –nya dekat dengan akar
sebenarnya.
Metode Tertutup
• Graphical
• Bisection method
• False position method• False position method
Cara Grafik
• Plotkan fungsinya dan tentukan dimana
memotong sumbu x.
• Lacks precision f(x)=e-x-x• Lacks precision
• Trial and error
f(x)=e -x
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2
x
f(x)
Cara Grafik (limited practical value)
x
f(x)
x
f(x)Pembatas atas dan
Bawah memiliki
tanda sama.
Akar tidak ada atau
banyak akarx x
x
f(x)
x
f(x)
banyak akar
Tanda berbeda,
jumlah akar-akar ganjil
Bisection Method
• Memanfaatkan beda tanda dua nilai batas
• f(xl)f(xu) < 0 dimana l=lower (batas bawah) dan
u=upper (batas atas)u=upper (batas atas)
• Minimal ada satu akar
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
Algorithm• Pilih xu dan xl. Cek beda tanda nilai fungsi keduanya
f(xl)f(xu) < 0
• Perkirakan akar
xr = (xl + xu) / 2
• Tentukan interval berikut ada di subinterval atas atau subinterval • Tentukan interval berikut ada di subinterval atas atau subinterval
bawah
f(xl)f(xr) < 0 then xu = xr RETURN
f(xl)f(xr) >0 then xl = xr RETURN
f(xl)f(xr) =0 then root equals xr - COMPLETE
Metode Bagi Dua
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ ]00 ,ba
0)()( 00 <bfaf
do n = 0,1,…
2/)( bam += 2/)( nn bam +=
if ,0)()( <mfaf nthen ,1 nn aa =+ mbn =+1
else ,1 ma n =+ nn bb =+1
if ε≤− ++ 11 nn ab exit
end do
or 0)( =mf
Bisection Method
Error
100×−
=awal
awalakhira
perkiraan
perkiraanperkiraanε
•f(x) = e-x - x
CONTOH
Gunakan bisection method untuk mencari
akar-akar persamaan
8
10
•f(x) = e - x
•xl = -1 xu = 1 3.7 18282
-0.63212
-2
0
2
4
6
8
-2 -1 0 1 2
x
f(x)
SOLUTION
6
8
10
f(x)
3.7 18282
-0.63212
1
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
x
f(x)
1
2
SOLUTION
-0.632120.106531
-2
0
-1 0 1 2
x
f(x)
False Position Method
• “Brute Force” dari metode bagi dua kurang efisien
• Menghubungkan dua nilai batas dengan garis • Menghubungkan dua nilai batas dengan garis
lurus
• Mengganti kurva menjadi garis lurus
memberikan “false position”
• Mempercepat perkiraan
xl
xu
f(xu)next estimate, xr
( ) ( )f x
x x
f x
x x
l u
−=
−
Based on
similar
triangles
xuf(xl)
( )( )
( ) ( )
x x x x
x xf x x x
f x f x
r l r u
r u
u l u
l u
−=
−
= −−
−
Regula Falsi
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ ]00 ,ba
0)()( 00 <bfaf
do n = 0,1,…
)]()(/[])()([ afbfbafabfw −−= )]()(/[])()([ nnnnnn afbfbafabfw −−=
if ,0)()( <wfaf nthen ,1 nn aa =+
wbn =+1
else ,1 wa n =+ nn bb =+1
if ε≤− ++ 11 nn ab exit
end do
or 0)( =wf
Regula Falsi
CONTOH
Tentukan akar persamaan dari persamaan berikut
menggunakan false position method, mulai
dengan initial estimate xl=4.55 and xu=4.65
f(x) = x3 - 98
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
4 4.5 5
x
f(x)
Open Methods
• Simple one point iteration
• Newton-Raphson method
• Secant method• Secant method
• Pada metode tertutup, akar terdapat di antara kedua
interval yang dibatasi batas atas dan bawah
Open Methods
• Metode terbuka diharapkan konvergen
solution moves closer to the root as the computation
progresses
• Metode terbuka;
– single starting value, atau
– two starting values that do not necessarily bracket
the root
• Ada kemungkinan metode ini divergen
solution moves farther from the root as the
computation progresses
The tangent
f(x)
f(x ) The tangent
gives next
estimate.xi
x
f(xi)
xi+1
f(xi+1 )
Solution can “overshoot”
the root and potentially
diverge
f(x)
x
x0 x
x1x2
Simple one point iteration /
Metode Titik Tetap
• Merubah formula untuk memperkirakan akar
• Re-arrange fungsi f(x) sehingga ada satu nilai x
pada sebelah kiri dari persamaan pada sebelah kiri dari persamaan
Contoh, untuk f(x) = x2 - 2x + 3 = 0
Ubah menjadi
x = (x2 + 3) / 2
Simple one point iteration
• Contoh lain, untuk
f(x) = sin x = 0,
menjadi
x = sin x + xx = sin x + x
• Hitung nilai x = g(x)
• Perkiraan nilai berikut berdasar pada
x i+1 = g(xi)
Iterasi Titik Tetap
CONTOH
• Untuk f(x) = e-x -3x
• Ubah menjadi g(x) = e-x / 3
• Initial guess x = 0• Initial guess x = 0
-6-4-20246810121416
-2 -1 0 1 2
x
f(x)
Initial guess 0.000
g(x) f(x) εεεε a
0.333 -0.283
0.239 0.071 39.561
0.263 -0.018 9.016-6-4-20246810121416
f(x)
0.263 -0.018 9.016
0.256 0.005 2.395
0.258 -0.001 0.612
0.258 0.000 0.158
0.258 0.000 0.041
-2 -1 0 1 2
x
Metode Newton Raphson
( )( )
tangent = =
=−
dy
dxf
f xf xi
'
'0
f(xi)
tangent
( )( )
( )( )
=−
−
= −
+
+
f xf x
x x
rearrange
x xf x
f x
i
i
i i
i i
i
i
'
'
0
1
1
xixi+1
Metode Newton-Raphson
Newton Raphson
Pitfalls
CONTOH
Gunakan metode
Newton Raphson untuk
mencari akar-akar dari 60
80
100
mencari akar-akar dari
f(x) = x2 - 11 memakai
initial guess xi = 3
-20
0
20
40
60
0 2 4 6 8 10
x
f(x)
Newton Rhapson � Secant
• Include an upper limit on the number of
iterations
• Establish a tolerance, ε• Establish a tolerance, εs
• Check to see if εa is increasing
Bagaimana jika turunan fungsinya sulit dipecahkan?
SECANT METHOD
Secant method
( )( ) ( )
f xf x f x
x x
i i
i i
' =−
−
−
−
1
1
Memperkirakan turunan menggunakan finite divided difference
i i−1
APAKAH finite divided difference? HINT: dy / dx = ∆y / ∆x
Masukkan FDD pada rumus untuk Newton Raphson
( )( )i
iii
xf
xfxx −=+1
'
Masukkan perkiraan
dengan finite difference
pada rumus untuk
Newton Raphson
Secant method( )( )( ) ( )ii
iiiii
xfxf
xxxfxx
−
−−=
−
−+
1
11
Metode Secant
Secant method
( )( )( ) ( )ii
iiiii
xfxf
xxxfxx
−
−−=
−
−+
1
11
• Membutuhkan dua nilai perkiraan awal
• f(x) tidak harus berbeda tanda, membedakan dengan
metode tertutup, false position method.
f(x)
1
2
f(x)
2
FALSE POSITION
SECANT METHOD
x
1
new est.
x1
new est.
Perkiraan baru
dipilih dari potongan
garis dengan sumbu x
Perkiraan baru bisa diluar
batas kurva
Systems of Non-Linear Equations
• Kita telah mengenal sistem persamaan linier
f(x) = a1x1 + a2x2+...... anxn - C = 0
dimana a1 , a2 .... an dan C adalah konstanta1 2 n
• Maka, perhatikan sistem persamaan non-linier
y = -x2 + x + 0.5
y + 5xy = x3
• Selesaikan x dan y
Systems of Non-Linear Equations
• Buat persamaan sama dengan nol
u = x2 + xy – 10
v = y + 3xy2 – 57
• u(x,y) = x2 + xy – 10 = 0• u(x,y) = x2 + xy – 10 = 0
• v(x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0
• Solusi adalah nilai-nilai x dan y yang akan
memberikan nilai fungsi u dan v sama dengan
nol.
Metode Titik Tetap
• Mulai dengan nilai awal x0 = 1.5 dan y0 = 3.5
001 10 yxx −=
1
01
001
3
57
10
x
yy
yxx
−=
−=
Metode Newton Rhapson
x x
uv
yv
u
y
u
x
v
y
u
y
v
x
i i
ii
i
i i i i+ = −
−
−1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u(x,y) dan
v(x,y) x y y x
y y
uv
yv
u
y
u
x
v
y
u
y
v
x
i i
ii
i
i i i i+ = −
−
−1
∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Versi dua persamaan untuk Newton-Raphson
v(x,y)
Determinan Jacobian
(tambahan saja)
x x
uv
yv
u
y
u
x
v
y
u
y
v
x
i i
ii
i
i i i i+ = −
−
−1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
THE DENOMINATOR
OF EACH OF THESE
EQUATIONS IS
FORMALLYx y y x
y y
uv
yv
u
y
u
x
v
y
u
y
v
x
i i
ii
i
i i i i+ = −
−
−1
∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
FORMALLY
REFERRED TO
AS THE DETERMINANT
OF THE
JACOBIAN
Jacobian (tambahan juga)
• The general definition of the Jacobian for n
functions of n variables is the following set of
partial derivatives:
x
f
x
f
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂... 111
n
nnn
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xxx
xxx
fff
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
=∂
∂
...
............
...
...
),...,,(
),...,,(
21
2
2
2
1
2
21
21
21
Jacobian (ini juga tambahan)• The Jacobian can be used to calculate derivatives from a
function in one coordinate sytem from the derivatives of that
same function in another coordinate system.
• Equations u=f(x,y), v=g(x,y), then x and y can be determined as
functions of u and v (possessing first partial derivatives) as
follows:
xffyffyxfu ∂∂=∂∂== /;/);,(
• With similar functions for xv and yv.
• The determinants in the denominators are examples of the use of
Jacobians.
yx
yx
x
yx
yx
y
yx
yx
gg
ff
g
u
y
gg
ff
g
u
x
yggxggyxgv
xffyffyxfu
−=
∂
∂=
∂
∂
∂∂=∂∂==
∂∂=∂∂==
/;/);,(
/;/);,(
Contoh
u = 2x3 + 2xy – 2
v = 2y + 4xy2 – 3
Mulai dengan nilai awal x0 = 0.5 dan y0 = 1.5Mulai dengan nilai awal x0 = 0.5 dan y0 = 1.5
yxx
ux
y
uy
x
vxy
y
v26;2;4;82 22 +===+=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
