Spyken 270516 Olof Nilsson Na3a� Handledare, Gunilla Edman

Rubiks Kub - en matematisk studie

2

Abstract

The pieces on a Rubik’s cube can be arranged in a staggering 43 quintillion number of ways. Enough to make it to the moon and back 3.2 billion times if you were to stack them on top of each other. This fact illustrates the extraordinary complexity of the puzzle. Equally extraordinary is its mathematical richness. In fact, the cube makes for a perfect example of what is in mathematics called an algebraic group. Therefore, the cube often is used in education, to exemplify one. When looking for explanations on how to solve the cube, most of them will not make intuitive sense. Basically they require you to memorize a lot of "algorithms" which are to be executed in a specific order. If followed meticulously enough, the cube magically will turn out solved. But does it exist an intuitive method by which it can be solved? The answer to that question is yes. In fact, not just one, but several. I intend to introduce such a method by providing examples that illustrate its main ideas. The method, or rather the tools, that I am going to describe are essentially based on group theory. Therefore, I will first introduce the concept of a group and explain why the cube can be considered as one. Finally, I will give an explanation to from where the huge number which is, 43 252 003 274 489 856 000, 43 quintillion, originates.

3

Innehållsförteckning

Inledning 4Bakgrund 4Galois och femtegradaren 6Vad är en grupp? 7Notation 8Lösningen av kuben och ett viktigt koncept 9

Kommutator 10Orientering av hörnbitarna 10Permutering av hörnbitarna 11Permutering av kantbitarna 12

15-pusslet, Rubiks kub och invariant 1215-pusslet analogt med kuben 16Varför 43 252 003 274 489 856 000? 18Ett matematiskt rikt pussel 20Referenser 21

4

Inledning Det antal permutationer, dvs blandningar, som en Rubiks kub kan uppvisa är obegripligt många. Bitarna på en Rubiks kub kan ordnas på 43 triljoner olika sätt. Närmare bestämt finns det 43 252 003 274 489 856 000 sätt att blanda Rubiks kub på. Var kommer denna makalösa siffra ifrån? Om man skulle stapla kuber med dessa samtliga varianter på varandra, skulle stapeln nå från jorden till månen och tillbaka igen, 3,2 miljarder gånger. Det motsvarar en sträcka på 260 ljusår. Hade kuberna istället använts för att täcka jordens yta skulle det gå att göra 276 gånger. De 350 miljoner exemplar av kuben som sålts i världen skulle om man lade dem intill varandra "bara" nå ett halvt varv runt jordklotet. Trots en sådan ofantlig mängd möjliga utgångslägen lyckades Lucas Etter hösten 2015 lösa kuben på 4,90 sekunder. Etters lösning utgörs av 42 vridningar vilket blir ca 8,6 st per sekund (RubiksCube Fannation, 2015). Av de 10 bästa tider som kuben lösts på är 8 st satta under 2015 (World Cube Association, 2016). Statistiskt sett verkar alltså ytterligare världsrekord inte långt borta. Med en nästan oändlig mängd möjliga permutationer är det svårt att förstå hur Etter kan lösa kuben på 4.90 s. Att han skulle ha memorerat en sådan ofantlig mängd olika fall är omöjligt. Nej här är det frågan om en utarbetad lösningsmodell. Till skillnad från andra pussel hålls bitarna i en Rubiks kub samman. Detta gör kuben till ett elegant exempel på en permutationsgrupp. Att många bitar rör sig samtidigt och att dom har både position och orientering ger gruppen dess enorma komplexitet. Eftersom Rubiks kub kan beskrivas som en algebraisk grupp används den ofta för att illustrera och beskriva viktiga koncept inom gruppteori i samband med undervisning. Men vad är en grupp och vad är det som gör kuben till ett bra exempel på en sådan? Kan vi använda oss av gruppteorin för att finna en lösning på kuben? Och hur kommer vi fram till att kuben kan blandas på 43 252 003 274 489 856 000 olika sätt? Dessa frågeställningar ska jag, med Rubiks kub som utgångspunkt och experimentellt objekt, försöka besvara.

Bakgrund

Tangram är ett pussel som under tidigt 1800-tal blev populärt i Europa. Pusslet kommer ursprungligen från Kina och sägs vara mycket gammalt. Precis hur gammalt är oklart (Ronald C. Read, June 1, 1965). Trots tangrams mycket rena estetik uppvisar pusslet enormt stor variationsrikedom och möjligheterna är nästan obegränsade. Den genom tiderna största problemkonstruktören och skapare av tankenötter var amerikanen Sam Loyd (1841–1911). Han var också en av sin tids bästa schackspelare och fokuserade till stor del på att lösa

5

och formulera problem relaterade till just schack. Loyds mest berömda skapelse var 15-pusslet, vilket i många avseenden kan betraktas som en föregångare till Rubiks kub (Singh, Simon, 1997). Det råder idag dock kontrovers om huruvida han verkligen var pusslets riktiga fader (Jerry Slocum, 2016). Pusslet utgörs av femton brickor numrerade från 1 till 15 som i ordning placerats i ett inramat 4 x 4 rutnät. Målet är att från ett blandat tillstånd skjuta brickorna så de hamnar i ursprunglig ordning. Pusslet såldes sådant att bricka 15 och 14 bytt plats. Loyd utlovade en belöning till den som kunde lösa pusslet, dvs placera brickorna i sin rätta ordning. Loyd visste att problemet saknade lösning och kunde därför vara säker på att han skulle slippa betala ut belöning (Singh, Simon, 1997). Jag återkommer längre fram till varför ingen lyckades hitta en lösning.

100 år efter det att Sam Loyd skapat hysteri med sitt 14-15-pussel presenterades nästa utmaning. Rubiks kub uppfanns 1974 av Ernõ Rubik och började säljas i hans hemland Ungern 1977. 1980 introducerades pusslet internationellt och idag har mer än 350 000 000 kuber sålts (Levy, Joel. 2013). Rubik ville från början bli skulptör men beslöt tillslut att studera arkitektur vid University of Technology i Budapest. Detta innebar att Rubik både studerade formlära och beskrivande geometri. Senare blev han inbjuden och ombedd att undervisa i just dessa ämnen . Tillsammans med sina studenter utforskade han egenskaper hos solida kroppar och dess relation till färg. Det var Rubiks engagemang i undervisning som ledde till de idéer som till sist formade kuben. Rubiks syfte var att använda kuben i sin undervisningen för att illustrera spatiala rörelser men insåg också tidigt dess kommersiella värde (Ernö Rubik, 1988). Det är kubens samtliga egenskaper som ger den dess charm; mekanismen, färgschemat, tredimensionaliteten (bitarna hålls ihop) och att flera bitar rör sig samtidigt.

1 tangram

2 15-pusslet med bricka 14 och 15 inverterade

3 Rubiks kub

6

Galois och femtegradaren

Gruppteorins grundläggande principer utvecklades av den franske matematikern Evariste Galois, född endast tjugotvå år efter den franska revolutionen. Galois far arbetade med politik och bidrog starkt till sin sons politiska engagemang. Evariste befann sig ständigt i den politiska hetluften, vilket inte bara kom att beröva honom hans matematiska karriär, utan också kostade honom livet. Galois liv var fyllt av tragiska händelser. Hans far tog sitt liv, då Galois var mycket ung. Utöver denna tragiska händelse försökte Galois förgäves att få sin matematiska talang erkänd. Galois blev flera gånger nekad plats på de universitet han sökte. Som om detta inte var tillräckliga motgångar försummades hans bidrag till en av den tidens mest prestigefyllda matematiktävlingar av de ansvariga och han gick miste om det förstapris som han var värd (Timothy Gowers, 2008) (Simon Singh, 1997). Arbetet kom nämligen att visa sig innehålla matematiska idéer som nu värdesätts mycket högt och har lett till stora framsteg inom naturvetenskapens alla grenar. På grund av sitt engagemang i revolutionära rörelser och för sin kritik mot monarkin blev Galois trots sitt korta liv fängslad två gånger. Under den sista fängelsevistelsen omhändertogs Galois av en kvinna som han förälskade sig i. Som resultat av denna kärlek hamnade han i duell med en rival. Duellen förlorades vilket är förklaringen till hans korta liv. Natten som föregick duellen ägnade Galois till att skriva ut de teorem som han menade skulle lösa femtegradsekvationens gåta. Tidigare matematiker hade lyckats konstruera lösningsformler av grad 1, 2, 3 och 4 medan formeln för den generella femtegradsekvationen fortfarande saknades. Problemet var följande: Betrakta ekvationen nedan av grad n

axn + bxn-1 + � = 0 där a≠0 och n≥1. Finn en formel uttryckt i koefficienterna a, b, … som enbart involverar de aritmetiska operationerna, dvs +, -, × och ÷, tillsammans med !

, rotutdragningar, för godtyckligt k som beskriver en rot för ekvationen. Galois ville bevisa följande teorem: Det finns ingen sådan formel för n≥5 Teoremet bevisades på ett tillfredsställande sätt år 1824 av Niels Henrik Abel (Timothy Gowers 2008). Galois arbete med femtegradaren ledde till utvecklingen av det som nu kallas gruppteori. Galois ställde sig följande fråga: hur skiljer sig de ekvationer som är lösbara i radikaler från de som inte är det? Han kom fram till att varje polynom är associerat med en grupp och att ett polynoms lösbarhet i radikaler kan uttryckas som en strukturell egenskap hos denna grupp. Denna

7

karakteristiska grupp kallas ”galois grupp” och teorin avseende denna är känd som ”galois teori” (Timothy Gowers, 2008). Lösning i radikaler: Att vara lösbar i radikaler avser ett polynom vars rötter kan erhållas genom enbart rationella operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division) och radikaler (rotutdragningar) (E. J. Borowski, 2007).

Vad är en grupp?

Galois definierar en grupp som en mängd sluten under en associativ binär operation med avseende till vilken det existerar ett unikt identitetselement och att det till samtliga element i denna mängd existerar en invers (E. J. Borowski, 2007). Tydligare uttryckt innebär definitionen att varje grupp uppfyller följande fyra krav: Associativitet: En binär operation är associativ om den har egenskapen att parenteser kring dess argument kan ignoreras. Matematiskt kan detta beskrivas på följande vis

(a ⦁ b) ⦁ c = a ⦁ (b ⦁ c)

där ⦁ är den binära operationen (E. J. Borowski, 2007). Slutenhet: En mängd under en binär operation är sluten om den innehåller alla element av den mängd som erhålls då den binära operationen tillåts tillämpas på mängdens element. Binär operation: en binär operation avser operationer vilka tillämpas på två st tal, kvantiteter eller uttryck, t ex addition multiplikation men en binär operation kan också vara långt mer abstrakt vilket vi senare ska se. Om a och b är två element i en grupp G, då är även a ⦁ b, där ⦁ är den binära operationen, ett element tillhörande G (E. J. Borowski, 2007). Identitet: Ett element i mängden sådant att när den binära operationen tillämpas på detta samt ett annat element blir resultatet det sistnämda elementet.

Dvs, det existerar en identitet, e, om det för varje element a ∈ G gäller att a ⦁ e = a = e ⦁ a (E. J. Borowski, 2007). Invers: Avser ett element relaterat till ett annat element, i en mängd, sådant att då den definierade operationen tillämpas på de båda talen, så blir resultatet identitetselementet, e. För en grupp, G, gäller därför att det till varje element, a ∈ G, finns ett annat element ,b ∈

8

G, sådant att a ⦁ b = e = b ⦁ a (E. J. Borowski, 2007). Ett typiskt exempel på en grupp är mängden av de hela talen, Z, under addition. För alla heltal gäller att summan av dem är ett tredje heltal. I vilken ordning vi summerar argumenten spelar ingen roll. Därför är operationen associativ. Det existerar också en identitet, nämligen 0. Vi kan konstatera att det till varje tal a existerar ett annat tal b sådant att när det summeras med det första erhålls identiteten, 0. Däremot utgör inte de hela talen under multiplikation en grupp. Detta beror på att kravet att det till varje tal i gruppen måste existera en invers inte är uppfyllt. Kan vi med hjälp av ovanstående bekräfta att Rubiks kub är exempel på en grupp? Som nämndes inledningsvis finns det totalt 43 252 003 274 489 856 000 distinkta permutationer. Dessa utgör tillsammans gruppens element. Vilken är då den binära operationen som vi associerar med denna grupp? Varje permutation är ett resultat av en serie regelriktiga vridningar av kubens sex sidor. Vi kan beskriva vår binära operation som sammanlänkningen av två serier regelriktiga vridningar, dvs permutationer. Varje permutation är ett resultat av regelriktiga vridningar av kubens sex sidor (Ernö Rubik, 1988). Vi kan konstatera att denna operation måste vara associativ. Det spelar nämligen ingen roll i vilken ordning vi sammanlänkar de olika elementen, permutationerna så långe vi inte alternerar elementens faktiska ordning. Slutenhet är en trivial egenskap eftersom gruppen innefattar precis alla kubens permutationer. Identiteten i detta fall skulle vara en serie rörelser som i effekt inte påverkar kubens utseende alls. Slutligen så är det alltid möjligt att utföra en given algoritm baklänges. Denna algoritm kallar vi den tidigares. Regelriktig vridning: Det är inte tillåtet at plocka isär kuben för att sedan återförena bitarna på ett annat sätt. Det är heller inte tillåtet att byta plats på pusslets olika klisterlappar. Hade vi betraktat dessa som regelriktiga operationer skulle kuben haft långt fler permutationer än vad den har.

Notation

För att kunna beskriva idéer och rörelser av kubens sidor krävs konventioner för hur algoritmer, dvs fixerade/bestämda sekvenser av vridningar ska skrivas. Ett sådant system utvecklades av David Singmaster. Singmaster utvecklade också en av de mest populära lösningsmetoderna för kuben (A Curious History of Mathematics). Kubens olika yttre lager betecknas med versalerna F(front), U(up), R(right), L(left), D(down) och B(back). Varje enskild bokstav betecknar en kvarts vridning medurs av respektive sida på kuben. Medurs i den bemärkelsen att sidan i fråga riktas rakt mot betraktaren.

9

För att beskriva den motsatta operationen till en godtycklig operation X, dvs X-1(inversen till operation X) används primtecken och inversen skrivs X′ (och uttalas X prim). Om U beskriver en kvarts vridning av det övre lagret så beskriver U′ samma vridning fast i motsatt riktning. En vridning på 180 grader betecknas X2, där X är en av kubens sex sidor('3x3x3 notation', 2014).

Lösningen av kuben och ett viktigt koncept

Hur löser man då kuben? Jag tänker här inte redogöra för en fullständig lösningsmetod. Istället tänker jag fokusera på två viktiga koncept som tillsammans utgör nyckeln till en intuitiv lösningsmodell. Det finns inte en entydig lösningsmetod. Många olika har utvecklats och de lämpar sig olika bra i olika situationer. Man kan exempelvis ta sig an problemet genom att först uteslutande fokusera på att positionera samt orientera hörnbitarna. Därefter gör man samma sak för kubens kantbitar. Metoden gör det enkelt för den som löser kuben att hålla ordning på hur bitarna förflyttas. Därför används metoden t ex då målet är att lösa kuben med förbundna ögon. Metoden är dock långsam och för att som Etter lösa kuben på 4,90 s krävs därför en annan metod. En mer effektiv metod är den som bygger på idén om att dela upp kuben i tre olika lager. Dessa löser man sedan ett efter ett. Det första är enklast. Pusslet blir sedan mer och mer svårlöst eftersom utövaren måste ta hänsyn till den ordning han/hon redan skapat. Den fria ytan att jobba på blir mindre och mindre. Både det första och det andra lagret är för den som haft tid att förkovra sig i pusslet fullt möjliga att intuitivt lösa. Det sista lagret däremot, är inte lika enkelt och därför kommer jag främst att fokusera på just det. För den som är intresserad av en fullständig lösning återfinns förslag på litteratur i slutet av mitt arbete. Den som lyckats lösa två lager på en Rubiks kub inser snabbt problematiken i att fullända uppgiften. Hur kan man utan att förstöra den ordning man lyckats skapa placera och orientera kubens sista nio bitar? En metod bygger på två verktyg/principer som kan tillämpas och anpassas av användaren själv.

4b figuren visar vridning U′

4c figuren visar vridning F

4d figuren visar vridning R

4a

10

Kommutator

Kommutator är ett gruppteoretiskt begrepp och avser kvantiteten x-1y-1xy = [x,y] där x och y är element i en grupp (Timothy Gowers, 2008). Kommutatorer är mycket användbara för lösningen av Rubiks kub och är serier av rörelser, algoritmer, på formen A B A’ B’, där A och B i sig själva är serier av rörelser. Delen av algoritmen som denoteras med A syftar till att ändra positionen och orienteringen eller bådadera för en specifik bit, a. Mer specifikt utgörs A ofta av en algoritm som åstadkommer detta utan att förändra något annat i det övre lagret. De två andra lagren vilka redan lösts tillåts dock att påverkas av algoritm A. B används för att flytta bit a ur sitt läge och ersätta den med en bit, b. Algoritm A utförs därefter baklänges(A’) och har därför effekten att återställa den ordning som algoritm A förstörde. Algoritm B utförs därefter också baklänges ('Commutator', 2013). Så hur tillämpas kommutatorer rent praktiskt? Säg att vi exempelvis är intresserade av att orientera två hörnbitar utan att påverka kuben i övrigt. Att enbart förändra orienteringen av en hörnbit är inte möjligt. Varför det är så, återkommer jag till senare. Orientering av hörnbitarna

Nedan illustreras ett fall med två hörnbitar i rätt position men felaktig orienterade. Övriga bitar har både rätt position och rätt orientering.

Vi skapar först en algoritm som orienterar en utav de båda hörnbitarna, exempelvis den markerad b. Att algoritmen ger upphov till oordning i kubens två nedre lager är i enlighet med planen. Algoritmen tillåts dock inte att påverka det övre lagret förutom just att orientera hörnbit a. Problemet går att lösa på flera sätt. Ett sätt är med följande algoritm A = R’D’RDR’D’RD För resultatet; se bild 6. Algoritm B:s uppgift är sedan att flytta hörnbit a så att den tar b:s plats. För algoritm B finns det oftast bara ett alternativ, vilket

5 6 7 8

9

11

oftast utgörs av en vridning. Algoritmen i detta fall är B = U’ Resultatet av denna utförd efter A; se bild 7. Vad händer om vi härifrån utför algoritm A baklänges? Hörnbit a kommer då att vridas en tredjedels varv åt andra hållet och den ordning som algoritm A förstörde kommer att återställas. Algoritm A’ är följande: A’ = (R’D’RDR’D’RD)’ = D’R’DRD’R’DR Resultatet av A B A’ visas i bild 8, föregående sida. Nu behöver vi bara rätta till det övre lagret genom att vrida den övre sidan 90 grader medurs. Detta är algoritm B’ B’ = U Permutering av hörnbitarna

Situationen beskriven nedan står i kontrast till den just beskriven. Nu söker vi inte längre en algoritm som orienterar utan en som permuterar. Det är i detta fall tre kantbitar som ska permuteras(positioneras).

Lösningsmetoden för denna situation är direkt analog med den tidigare. Trots det kan det vara svårt att omedelbart se likheterna. Idén är den att vi ska försöka hitta en algoritm vilken flyttar bit c till platsen där b befinner sig. Om vi lyckas med det har vi lyckats positionera en av hörnbitarna, nämligen hörnbit c. Algoritmen som utför detta kallar vi på nytt för A. Resultatet av A illustreras av bild 11. Lägg märke till att algoritm A precis som tidigare inte påverkar det övre lagret i övrigt. Detta är viktigt. Därefter vrider vi det övre lagret så att bit a hamnar på den plats där bit c nu är belägen. Till sist återstår bara att utföra den första algoritmen baklänges. Att utföra denna borde ha effekten att ordningen i de två undre lagren återställs och att bit b återgår till sitt ursprungliga läge, vilket är precis vad vi vill. Nu återstår bara att utföra inversen till algoritm B, dvs B’. Nedan återfinns exempel på algoritmer som fungerar. A = R’DR B = U’

10 11 12 13 14

12

A’ = (R’DR)’ = R’D’R B’ = U Permutering av kantbitarna

Det sista fallet jag hade tänkt att ta upp är förmodligen det svåraste av de tre. Förmodligen för att det inte längre är det översta lagret utan det mittersta som vi i huvudsak är intresserade av.

Målet med den första algoritmen är i detta fall att flytta bit a till platsen där c initialt befinner sig. Detta utan att påverka resten av det mellersta lagret. Det översta och det understa är å andra sidan inte viktiga att bevara. Algoritmen som löser denna uppgift kallar vi A och som jag tidigare påpekat så finns det inte endast en lösning. Jag beskriver ett exempel på en lösning, den mest effektiva. A = RU’R’ Vi skiftar nu det mellersta lagret så att bit b hamnar på den plats där a befinner sig. Denna algoritm är den vi kallar B och är: B = E (equator slice) Om vi nu tillämpar inversen till A så kommer bit c att återvända till den önskade positionen samtidigt som ordningen i det övre och under lagret återställs. Algoritmen blir: A’ = RUR’ Resultatet illustreras av bild 14. Nu återstår endast att tillämpa den inverterade algoritmen av B. Vi får följande algoritm B’ = E’

15-pusslet, Rubiks kub och invariant

Så hur kommer det sig då att problemet som Sam Loyd utmanade allmänheten att lösa är omöjligt? Problemet var följande: Finn en sekvens av regelriktiga förflyttningar sådana att de kan ta pusslet från ett tillstånd a till ett tillstånd b.

15 16 17 18 19

13

För att undvika förvirring kommer jag att namnge brickorna med bokstäver från A till O istället för med siffror. Ett lemma avser en matematisk/logisk sanning som presenteras och bevisas för att sedan kunna tillämpas i det faktiska beviset av teoremet i fråga. Def. Vi börjar med att definiera spelets tillåtna förflyttningar som de förflyttningar/drag då en bricka skjuts till en intilliggande fri ruta. Def. Det är också lämpligt att definiera naturlig/relativ ordning. Denna beskrivs av följande schema:

Teorem: Det existerar ingen sekvens bestående av regelriktiga förflyttningar sådan att den kan invertera O och N och samtidigt lämna resterande bokstäver orörda. Det till vänster avbildade brädet kan ej transformeras till det avbildat till höger.

Lemma 1: förflyttning i horisontellt led förändrar inte den relativa/naturliga ordningen av objekten/bokstäverna. Ex på förflyttning i horisontellt led är följande transformation:

Bevis: vid en förflyttning i horisontellt led av en bricka, förflyttas ett objekt från cell " till en intilliggande cell, "-1 eller "+1. Resten av pusslets bitar förblir orörda. Därmed är den relativa ordningen objekten emellan bevarad. Definition: Ett par bokstäver L1 och L2 är en omkastning/inversion/invertering om L1 föregår L2 i alfabetet men L2 förekommer före L1 i pusslet.

14

Lemma 2: En förflyttning i vertikalt led förändrar den relativa ordningen på precis 3 par av objekt, dvs en sådan förflyttning leder till precis 3 inverteringar. Ex på förflyttning i horisontellt led är följande transformation:

Innan transformationen är L före både M, O och N efter transformationen är den relativa ordningen förändrad och L är nu före M, O och N. Bevis: Vid en förflyttning i vertikalt led förflyttas ett objekt från cell " till en fri ruta "-4 eller "+4. När ett objekt förflyttas 4 positioner så förändras dess relativa ordning i förhållande till 3 andra objekt ("-1, "-2, "-3 eller "+1, "+2, "+3). Lemma 3: Pariteten avseende antalet inverteringar förändras inte efter en förflyttning i sidled. Definition (paritet): (med avseende på ett tal) egenskapen att antingen vara udda eller jämn (Oxford Dictionaries, 2015). Bevis: Antalet inverteringar förändras inte när en bricka skjuts i horisontellt led och därmed inte heller pariteten avseende detta antal. Lemma 4: En förflyttning i vertikalt led medför att pariteten avseende antalet inverteringar ändras. Bevis: För att visa detta kan vi titta på samtliga fyra fall som kan inträffa. A samtliga 3 par är i ordning ⟶ #invertering ökar med 3 B samtliga 3 par är i oordning ⟶ #invertering minskar med 3 C alla utom 1 par är i ordning ⟶ #invertering ökar med 1 D alla utom 2 par är i ordning ⟶ #invertering minskar med 1 Addition av ett udda tal till ett godtyckligt tal a kommer

1. resultera i ett jämt tal om a är udda 2. resultera i ett udda tal om a är jämnt.

I vilket fall kommer pariteten med avseende på antalet inverteringar att ändras. Lemma 4 innebär att det krävs ett udda antal förflyttningar i vertikalt led för att invertera ett par. Varje gång en sådan förflyttning sker så flyttas den tomma rutan antingen upp eller ned. Men eftersom den tomma

15

rutans utgångsläge är på en jämn rad och det finns ett jämnt antal rader är det en omöjlighet att denna skulle kunna befinna sig på en red med jämnt radtal efter ett udda antal förflyttningar i vertikalt led. Här blir det problematiskt. Följdsats/korollarium: I samband med en regelriktig förflyttning kommer pariteten avseende antalet inverteringar och pariteten avseende radtalet (se illustrationen till lemma 5) för den rad som den tomma rutan befinner sig i båda att förändras eller båda att vara oförändrade. Dvs om den ena är jämn och den andra udda före en transformation så kommer så vara fallet även efter transformationen. Lemma 5: För samtliga tillstånd som går att nå från konfigurationen som visas nedan gäller att pariteten avseende antalet inverterade par skiljer sig från pariteten av radtalet för raden som innehåller den tomma rutan. Detta är invarianten.

Bevis av invariant med hjälp av induktion P(n)(predikat) – efter godtycklig sekvens av n förflyttningar från

så kommer pariteten avseende antalet inverterade par och pariteten av radtalet för den rad som den tomma rutan befinner sig på att vara olika. Bas fall: n=0, pariteten avseende #inverterade par är udda (O�N), pariteten avseende #$%4 är jämn � de båda pariteten är olika. Induktivt steg: (för n≥0, visa att P(n) � P(n+1)) Betrakta en godtycklig sekvens av n+1 förflyttningar, m1, m2,…, mn+1. Av vår induktiva hypotes vet vi att det för P(n) gäller att de två pariteten är olika. Närmare bestämt så är pariteten avseende antalet inverteringar udda och pariteten avseende på vilken rad den tomma rutan är belägen jämn. Av följdsats/korollarium 1 vet vi att förhållandet mellan de två pariteten inte förändras under transformationen mn+1 � pariteten avseende antalet inverterade par efter m1, m2,…, mn, mn+1 är udda och pariteten avseende på vilken rad den tomma rutan är belägen är jämn � P(n+1) � Bevis av teorem: Pariteten av antalet inverteringar i det sökta tillståndet är jämnt (0). Pariteten av radtalet för detta tillstånd är också jämnt. Av lemma 5: Det sökta tillståndet kan inte nås från det

16

givna tillståndet. Detta bevisar teoremet (Tom Leighton, fall 2010).

15-pusslet analogt med kuben

Rubiks kub har egenskaper som påminner om 15-pusslet. Om vi utgår från en kub i löst tillstånd och vrider en hörnbit ett steg medurs eller moturs uppstår ett tillstånd som inte går att nå med regelriktiga vridningar. Detta är något som alla som kan lösa kuben är medvetna om. Fenomenet är analogt med att invertera två angränsande brickor på 15-pusslet och på så vis rendera pusslet olösbart. På samma sätt som för 15-pusslet kan vi använda oss av en så kallad "invariant" för att visa att det erhållna tillståndet inte går att nå med regelriktiga vridningar. Kuben är ett pussel långt mer komplext än 15-pusslet. Därför tänker jag nu utnyttja den kunskap som analysen av 15-pusslet gett oss och istället för att genomföra ett rigoröst bevis beskriva ett experiment som tar oss till den korrekta slutsatsen. Varje hörnbit har tre sidor. Låt den sida på hörnbiten som utgör en del av kubens övre plan förbli omarkerad. Markera därefter resterande två sidor i medurs riktning röd respektive blå. På så vis kommer det mönster vi letar efter att vara enklare att se. Upprepa proceduren för de resterande tre hörnbitarna i det övre lagret. Vänd sedan kuben och gör samma sak igen. Därefter bör kuben se ut som på bilden nedan.

Om vi sammanställer antalet röda respektive blå markeringar på två motstående sidor upptäcker vi att deras antal är ekvivalent. Antalet röda markeringar är lika många som antalet blå. I det ena fallet räknar vi noll röda och noll blå markeringar. I det andra fallet räknar vi sammanlagt fyra röda och fyra blå markeringar. Markeringarna tar i båda fallen ut varandra. Efter att ha blandat kuben ett antal gånger och på nytt sammanställt markeringarna på två motstående sidor uppträder ett tydligt mönster. Experimentet visar att om vi sammanställer antalet röda respektive blå markeringar på två sidor, den ena parallell med den andra, och därefter subtraherar antalen med varandra, så kommer resultatet alltid att vara en multipel av 3.

20 21 Kuben sedd uppifrån

22 Kuben sedd från sidan

17

Hur kan vi övertyga oss själva om att det måste vara så? Ett sätt är att analysera samtliga situationer som kan uppstå. Om vi kan visa att en vridning på 90 grader för samtliga fall medför antingen en ökning eller minskning med tre markeringar av samma färg, då är vi färdiga. Jag tar här upp två exempel, men det är fullt möjligt att titta på alla situationer. Mina exempel är tagna från bilderna ovan.

Vi ser att i fallet som visas i bild 28 ersätts en röd markering av två blå. Nettoeffekten blir att det sammantagna antalet markeringar av det övre och undre lagret ökar med tre blå. I det andra fallet ökar det sammantagna antalet markeringar med tre röda. Om vi fortsätter på detta vis, inser vi snart att vid varje vridning av en sida på kuben, kommer förändringen att vara antingen ±3 eller 0. Det förklarar varför vi bara kan nå vissa permutationer. Vi har nu hittat en så kallad ”invariant” för kubens hörnbitar. En sådan går också att hitta för kubens kantbitar och ytterligare en som jag återkommer till. Betrakta nu den ursprungliga situationen illustrerad av bild 20. Om vi vrider en av de åtta hörnbitarna ett tredjedels varv får vi situationen nedan.

23 24

25 26

28 Figuren avbildar situationen för och efter 90 graders vridning medurs

29 Kuben med endast en hörnbit vriden

30 31

27 Figuren avbildar situationen för och efter 90 graders vridning medurs

18

Bilden till vänster föreställer kuben fotograferad från ovan och den till höger visar motsatt sida. Om vi för detta fall sammanställer markeringarna får vi att nettoeffekten är en blå markering. Det är inte en multipel av tre och därför skulle det vara omöjligt att nå en sådan permutation genom enbart regelriktiga vridningar. Vi kan således konkludera att kuben inte går att lösa om endast en hörnbit skulle vridas på det viset. Med andra ord så existerar inte en algoritm som har förmågan att vrida endast en hörnbit. Situationen avbildad ovan, se bild 29, är alltså omöjlig. Inte heller är det tillåtet att vrida samma hörnbit så att den röda markeringen riktas uppåt. Problemet är det samma för denna permutation. En hörnbit kan vara orienterad på 3 olika sätt. På ett analogt vis kan även samtliga kantbitar vara orienterade på 2 olika sätt. precis som med hörnbitarna är det omöjligt att vända en kantbit med regelriktiga vridningar. Också detta kan visas genom en så kallad invariant. En tredje egenskap hos kuben är att man inte kan utföra ett udda antal inverteringar bitar emellan, precis som för 15-pusslet. Om bitarna man byter är hörn eller kantbitar spelar ingen roll. T ex så är det möjligt att först låta två kantbitar byta plats och därefter två hörnbitar. Då två, dvs ett jämnt antal platsbyten har utförts kommer kuben fortfarande gå att lösa. Om däremot enbart ett platsbyte av t ex två hörnbitar görs, resulterar experimentet i en kub som inte längre är lösbar.

Varför 43 252 003 274 489 856 000?

Vi föreställer oss att samtliga bitar avlägsnas från kuben. Därefter låter vi systematiskt positionera bitarna på nytt. Börja med kantbitarna; totalt finns det 12 stycken. För den första biten finns det alltså 12 möjliga platser där den kan placeras. För den andra biten finns det 11 platser kvar att välja på osv. Mönstret fortsätter ända till sista biten, för vilken det bara finns en möjlighet. Om vi multiplicerar denna serie siffror erhålls det totala antalet positioner kantbitarna kan ha, enl följande: 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 vilket skrivs 12! (! uttalas fakultet). Nu återstår att positionera hörnbitarna, totalt 8 stycken. Antal sätt som dessa kan positioneras på erhålls på samma sätt. Vi får då följande: 8*7*6*5*4*3*2*1=8! Vi har nu endast tagit hänsyn till bitarnas respektive position. Tidigare har jag påpekat att kantbiten såväl som hörnbiten både har position och orientering. Vi måste alltså även ta hänsyn till att

19

bitarna har orientering. Hörnbiten kan vara orienterad på tre olika sätt och kantbiten på två. För att få det totala antalet permutationer krävs alltså ytterligare två faktorer. Till antalet är kantbitarna 12 och hörnbitarna är 8. Samtliga av dem kan vara orienterade på två respektive tre sätt, dvs: 212*38

Antalet permutationer blir: 12!*8!*212*38 ≈ 5.19*1020 Den som är lite för ivrig kanske skulle nöja sig här. Man skulle kunna tro att detta är svaret, men riktigt så enkelt är det inte. I det föregående avsnittet visade jag hur vissa permutationer inte går att nå då vi utgår från en löst kub. Siffran vi just beräknat innefattar även sådana ”omöjliga permutationer”. En hörnbit kan vara orienterad på tre olika sätt och en kantbit på två. Föreställ dig att vi har tre kuber. Alla likadana med undantag av att samma hörnbit för de tre kuberna befinner sig i olika lägen.

Vi har nyss visat att vi aldrig kan ta oss från position beskriven i fig 32, till positionerna i fig 33 och 34. Kuberna illustrerade ovan kan var och en blandas på exakt lika många sätt. Samtliga blandningar är olika, dvs ingen av blandningarna för respektive kub går att åstadkomma med utgångspunkt från de övriga två. Även kantbitarna orientering ger kuben möjlighet till två parallella universum av permutationer. Det finns dessutom ett sätt att skapa ytterligare två parallella universum av permutationer. Precis som på 15-pusslet kan vi på en Rubiks kub byta plats på två bitar. En kub på vilken ett udda antal sådana byten gjorts kan omöjligt transformeras till en blandning som kan åstadkommas från utgångspunkt med ett jämnt antal byten. De tre systemen just beskrivna är oberoende av varandra och kan därför kombineras på olika sätt. Säg t ex att du befinner dig i det universum för vilket gäller att:

1. antalet inverteringar är udda 2. en hörnbit har vridits ett steg medurs 3. kantbitarna är orörda

32 33 34

20

Det finns 12 möjliga sätt att kombinera dessa egenskaper. För egenskap 1 finns det två möjligheter. För egenskap 2, finns tre och för egenskap 3 finns ytterligare två möjligheter. Dessa parametrar kan kombineras på 2*2*3=12 antal sätt. Dessa 12 parallella universum innefattar alla exakt lika många permutationer och således måste vi dividera det tidigare erhållna antalet permutationer med 12. Vi får: ()!×,!×)-.×/0

() =43 252 003 274 489 856 000 Nu har vi fått fram det totala antalet permutationer för en Rubiks kub.

Ett matematiskt rikt pussel

Vi har nu sett vad en grupp är, att Rubiks kub är ett exempel på en sådan och att gruppteori kan tillämpas för hitta system med vilka vi kan lösa pusslet. Vi har också begripliggjort varför det är tvunget att hålla sig till regelriktiga vridningar om vi vill vara säkra på att hitta en lösning. Slutligen såg vi att denna fundamentala kunskap var nyckeln till den ofantliga siffra 43 252 003 274 489 856 000 som är kubens totala antal permutationer. Detta är bara början på den matematiska resa som Rubiks kub kan föra sin utforskare på. Kuben är enkel att låta sig fascineras över. Dess enkelhet, mekanism och färgschema gör den otroligt elegant. Men kuben är inte bara ett väl formgivet objekt. Under ytan döljer sig en värld av matematik. Rubiks kub är inte bara ett pussel, den är ett första kliv in i matematiken.

21

Referenser 'Commutator' (2013) speedsolving.com. Available at: https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Commutator (Hämtad: 1 februari 2016). 'Earth' (2016) Wikipedia. Tillgänglig på: https://en.wikipedia.org/wiki/Earth#cite_note-usno-10 (Hämtad: 1 januari). E. J. Borowski, J. M Borwein. (2007) Collins dictionary of Mathematics. 2nd edn. London: HarperCollins Publishers. Ernö Rubik, Tamás Varga, Gerzson Kéri, György Marx, Tamás Vekerdy. (1988) Rubik's Cubic Compendium. New York: Oxford University Press, Inc. GreshamCollege (2011) The Memoirs and Legacy of Évariste Galois - Dr Peter Neumann. Tillgänglig på: https://www.youtube.com/watch?v=xfJ4vwQ3vpo (Hämtad: 17 februari 2016). Jerry Slocum (2016) Mathworld. Tillgänglig på: http://mathworld.wolfram.com/15Puzzle.html (Hämtad: 12 Maj 2016) 'Light year' (2016) Wikipedia. Tillgänglig på: https://en.wikipedia.org/wiki/Light-year (Hämtad: 1 januari). Levy, Joel. (2013) A Curious History of Mathematics. London: André Deutsch. 'Moon' (2016) Wikipedia. Tillgänglig på: https://en.wikipedia.org/wiki/Moon (Hämtad: 1 januari). '3x3x3 notation' (2014) speedsolving.com. Available at: https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/3x3x3_notation (Hämtad: 17 februari 2016). Oxford Dictionaries. (2015) Oxford Dictionary of English. Oxford University Press. RubiksCube Fannation (2015) Rubik's Cube World Record 4.90 sec Stop Motion Lucas Etter. Tillgänglig på: https://www.youtube.com/watch?v=QOn3hXtTx9s (Hämtad 8 Januari 2016) 'Rubik’s Cube' (2016) Wikipedia. Tillgänglig på: https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube (Hämtad: 1 januari). Ronald C. Read (June 1, 1965) Tangrams: 330 Puzzles (Dover Recreational Math) :Dover Publications, Inc. Singh, Simon. (1997) Förmats gåta, Stockholm, Norstedts Förlag.

22

Timothy Gowers. (2008) The Princeton Companion to Mathematics. New Jersey: Princeton University Press. Tom Leighton, and Marten Dijk. 6.042J Mathematics for Computer Science, Fall 2010. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare), http://ocw.mit.edu (Accessed 26 Apr, 2016). License: Creative Commons BY-NC-SA World Cube Association (2016) Results. Tillgänglig på: https://www.worldcubeassociation.org/results/e.php?i=333 (Hämtad: 28 April 2016) Bildkällor http://www.lightinthebox.com/sv/monster-som-gor-tra-tangram-iq-pusslet_p231144.html?currency=SEK&litb_from=paid_adwords_shopping&utm_source=google_shopping&utm_medium=cpc&adword_mt=&adword_ct=88300784473&adword_kw=&adword_pos=1o1&adword_pl=&adwordh