ruote dentate curti

5/14/2018 ruote dentate curti - slidepdf.com

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~Costruzione di

macchine

Le ruote dentate

I\

Prof. Curti Graziano

Corso di Ingegneria Meccanica



1 Defitlizione delle caratteristiche geometriche notevoli

Figura 1: elemeoti ootevoli di uoa deotatura

circonferenza di testa per A: raggio R.circonferenza di troncatura esterna per B: raggio R,

circonferenza di troncatura interna per C: raggio R

circonferenza di fonda per D: raggio R c

A-A': testa del dente

A-B: smusso

B-C: profilo del dente

C-D: raccordo di fondo

Lo smusso non sempre e presente,. spes so la circonferenza di troncatura esterna coincide con la .

circonferenza di testa.

Figura 2: cararteristiche del profilo .

Per poter misurare in modo univoco Ie dimensioni del profilo e necessario definire una circonferenza

di riferimento di generico raggio R; su di essa e quindi possibile misurare:• s: spessore del dente

• e: vano

• p = s + e : passo del profiloDetto z il numero di denti della ruota deve essere:

zp = 2it·R

2



Per quanto riguarda Ie dimensioni radiali del dente rispetto alia circonferenza di riferimento e

possibile deYinire due parametri fondarnentali:

• ha = R. -R, : addendum• hf = ~ -Rf : dedendum

Nell'unificazione delle ruote dentate e definito il modulo della ruota come:

• m = p I T t = 2~ I zper il quale vale la relazione:

z-rn = 2 R, .

NOTA: nella definizione dei profili delle ruote dentate si assume convenzionalmente T t = 3,1416

2 Profilo dei denti ad evolvente di cerchio

L'evolvente di cerchio e una particolare

curva bidimensionale individuata da un punto

P di una retta nel mota di puro rotolamento

della stessa su di una circonferenza: per ogni

circonferenza sono automaticarnente definiti

due profili ad evolvente uguali ed opposti

dovuti al duplice verso di rotazione possibile

per la retta i quali non dipendono dalla

condizione iniziale del mote relativo. Nel

campo delle ruote dentate la circonferenza su

cui rotola la retta generatrice dei profili edetta circonferenza di base ed il suo raggio e

individuato con R o .Per meglio cornprendere Ie qualita del profilo

Figura 3: profili ad evolvente contra'; ad evolvente di cerchio e possibile

considerare una particolare condizione di

trasmissione delmoto tra -due circonferenze .di raggi R o t ed R o 2 . Si supponeche appoggiata ad

entrambe Ie circonferenze ci sia un'asta rigidache possa muoversi solo traslando parallelamente a se

stessa ( puc esserefisicamente assimilataad unacinghia in trazione tra due pulegge ) e che il suo

mota relativamente.alle duecirconferenze sia sempre di puro rotolamento. Dando alla circonferenza ._

1 ( motrice ) una velocita angolare di rotazione CD1 questa trasmette all'asta un moto traslatorio

uniforme di velocita v coincidente con Ja velocita periferica della circonferenza 1 nel punto di

tangenza con essa T 1 :

v = VTl = CDl ·Ro I

la stessa condizione deve essere verificata anche nel punto T2 tra asta e circonferenza 2:

Vn = CD2·Ro2 = V= CDl ·~1

da cui si ricava che il rapporto di trasmissione tra Ie due circonferenze ( In queste condizioni

cinematiche ) e:

1:':: CD 1 = Rb1

ill1 Rbi

Considerando di porsi come osservatori solidali alla circonferenza 1 il generico punta P dell'asta nel

suo mota descrive esattamente un evolvente relativo alia circonferenza 1 stessa; anche rispetto alia

3



circonferenza 2 vale la medesima osservazione cosicche si trova che i due profili ad evolvente

individuati'tdal mote del punto P sono profili coniugati ossia in contatto in un solo punto ed ivi

tangenti per costruzione, Supponendo ora di materializzare i due profili trovati e smaterializzare

I'asta risulta chiaro come la nuova condizione di trasrnissione del moto coincida in tutto e per tutto

con quella che si era trovata con l'asta infatti iI punto P in cui avviene la trasrnissione effettiva del

mote tra le due ruote si muove esattamente lungo la direzione su cui giaceva l'asta ripetendo puntoper punto ilmote del punto P dell'asta.

Figura 4: derivazione conccttuale del profilo ad evolventc

Vantaggio fondarnentale del profilo ad evolvente di cerchio rispetto agli altri e proprio il rapporto di

trasmissione cost ante nel tempo come per I'asta: questa proprieta e importantissima perche per

4



garantire una certa uniformita al1a trasmissione del moto e necessario che in certi istanti ci siano

almena du~coppie di denti in presa e se il rapporto di trasmissione non e costante per tutti i punti del

profilo si verificano condizioni di interferenza.

2.1 Definizione geometrica del profilo ad evolvente di cerchio

Fissata la circonferenza di base di raggio R, e possibile

descrivere il profilo ad evolvente tramite un'equazione nelle

coordinate cilindriche (j > ed r cosi definite:

• q > e l'angolo compreso tra Ie due semirette uscenti dal centro

C della circonferenza di base e passanti una per il punto

iniziale 0 del profilo e l'altra per ilgenerico punto P

• r e la distanza del generico punto P dal centro C della

circonferenza di base

Considerando la retta p tangente alIa circonferenza di base R

passante per il punto P ( ossia la generatrice del profilo ) eancora possibile individuare l'angolo di incidenza a. compreso

tra Ie due semirette uscenti dal centro C della circonferenza di

base e passanti una per il punto P e l'altra per il punto diFigura 5: profilo ad evolvente

tangenza T tra p e la circonferenza.

La proprieta dell'evolvente di essere generate, da una retta che rotola senza strisciare su una

circonferenza puc essere considerata a livello geometrico come:

in cui:

{~ r or : = ~.(a.+q»

t ( PT ) = Ro·tg(a.)

Si ricava cosi la relazione q > = f(a.):

q > = tg(a.) - a

in cui la funzione f(a) in letteratura prende il nome specifico di ev(a}( 0 inv(a.) in Inglese)

Bisogna ora trovare una ulteriore relazione tra a ed r in modo da poter poi rendere esplicito il

legame tra < p ed r:

dal triangolo rettangolo PCT si ottiene

rcostc) =R, ~ a = arccos( R, Ir)

NOTA: in generate nel1a definizione del profilo del1e ruote dentate sene richieste almeno 4 cifre

significative per garantire una sufficiente precisione nell'ingranamento e nella trasmissione del moto.

5



3 Analisi della cinematica delle ruote dentate

Nel moto reciproco di due ruote dentate il contatto tra due denti avviene istante per istante nel punto

P che - come si e visto nella similitudine con il sistema delle due circonferenze collegate dall'asta - si

muove lungo una retta immaginaria tangente aIle due circonferenze di base; questa retta e detta rettadei contatti,

Chiamando 01 ed O2 i centri delle due circonferenze di base e C il punto di intersezione tra retta dei

contatti e segmento 01 -02 quando il punto di contatto effettivo P si trova a coincidere con C si ha

che la velocita in esso vale

per C considerato appartenente alla ruota 1: VCl= 0)1· e ( OlC )

per C considerato appartenente alIa ruota 2: VC2= 0)2· t ( o ; c )

------ . , .- . . . . .. . - <

/ <,

/<,

/ <,

_-- / '\. . . - - -. - . . . . . , I \

/ <,

I \/ -vc/ '\ / \

/ \ I \

I \ I \

I \O2

\

I I

\ 0 I

\ I

\ C O 2 I\ I,

/. . . . . .

/,. . . . . .

- - ---//

//

/<, ..------

Figura 6: cinematica dell'accoppiamento di due ruote dentate

Geometricamente si trova facilmente una relazione tra OlC e 02C e rispettivamente Rhl ed ~2

tramite il coseno dell'angolo di incidenza ex.:

{

l ( OlC )·cos(ex.)= ~l

e ( 02C )·cos(ex.)= ~2

Sostituendo nelle equazioni delle velocita del punto C:

J Vel = C!))" ~I Icos(ex .)

t VC2 = 0)2· ~2/cos(ex .)

Poiche C!)I· ~I = C!)2· Rt.2e ex.e 10 stesso nei due casi per la proprieta degli angoli alterni interni formati

da due rette parallele tagliate da una trasversale si trova che:

6



Questa relazione esprime il fatto che in C non esiste strisciamento relativo e che dunque esso e ilcentro di ~tantanea rotazione relativa del sistema; rispetto ad esso e possibile descrivere

completamente it mote del sistema tramite la velocita angolare relativa 0 0 . - co2 •

II punto C non cambia la sua posizione assoluta nel tempo percui rispetto alia ruota 1 descrive una

traiettoria circolare di raggio OIC che e la polare del moto relativa al corpo 1; ugualmente si trova

che la polare del mote del corpo 2 e essa pure una circonferenza.

NOT A: Ie polari del mote relativo di due corpi sono Ie curve ideali che fatte rotolare senza strisciare

l'una sull'altra riproducono perfettamente le caratteristiche del mote reale.

Si puc verificare che le due circonferenze individuate sono veramente Ie polari del mote imponendo

la condizione dei puro rotolamento tra esse nel punto di contatto C una volta assegnata alIa prima

una velocita angolare di rotazione C D I e alla seconda CD 2 * :

La condizione di puro rotolamento eVe = v c ossia:,1 ,1

rna essendo sempre

{

t (OIC )-cos(cr) = ~l

t ( 02C )-cos(cr) = ~2

si trova

C Ol· ~ l /cos(cr) = C 0 2 * ~ 2 /costu)

da cui

~ = Rb 2 = CD .

ID 2 * RbI C D 2

dunque e necessariamente C 0 2 * = C O 2 essendo il rapporto di trasrnissione tra Ie due polari uguale a

quello tra i profili ad evolvente. In questa caso Ie polari vengono chiamate circonferenze primitive

del moto.

7



3.1 Rapporto di condotta

Sulla retta dei eontatti illuogo dei eontatti realmente verifieabili non e I'intero segmento TIT2 rna e lasua parte delimitata dalle due cireonferenze di troncatura estema al di fuori delle quali i profiliad

evolverite non esistono piu; risulta cosi individuato il segmento dei eontatti AB in cui Ie coppie di

denti delle due ruote sono effettivamente in presa.

_ t _ 9 2I

Figura 7: indlviduazione del segmento dei contatti

Areo d'azione ( a ): e l'arco percorso dal profilo nel passare dal punto di primo eontatto al punto

finale di eontatto valutato sulla circonferenza primitiva; la misura di a non dipende dalla primitiva

considerata in quanta tra Ie due cireonferenze primitive c'e un mota di puro rotolamento ehe irnpone

che percorrano archi di uguale lunghezza.

Rapporto di condotta ( e ): e definito come rapporto tra arco d'azione e passo; per garantire una

efficiente trasmissionedel mota deve essere maggiore dell'unita infatti questa condizione equivale a

imporre che prima che la eoppia di denti a contatto si separice ne sia una seconda che sia gia entrata

nell'arco d'azione ( cosa impossibile per e s 1 ).

Compatibilmente eon il diseorso appena fatto supponendo di avere 1 < e < 2 si vede che e possibilesuddividere l'areo dei contatti in tre parti:

• due parti di lunghezza pari ad ( a - p ) collocate agli estrerni dell'areo dei contatti in eui si ha

contatto contemporaneamente tra 2 eoppie di denti

• una parte centrale dell'arco dei contatti di lunghezza pari a ( 2p - a ) in cui si ha il eontatto di una

sola coppia di denti

In genere si usano valori di E maggiori di 1,2 e attualmente la tendenza e a salire sopra 2 in modo da

avere sempre almeno 2 eoppie di denti in contatto. .

8



[ ~ " c w J e _

I vantaggi di avere E abbastanza/sono:~ .

• una riduzione degli urti all'atto dell'ingranamento che migliora la trasmissione del mote

• una distribuzione delle forze scambiate tra Ie ruote su un maggior numero di denti che comporta

minori sollecitazioni sui s ingo lo dente ossia minori rischi di collasso a fatica.

,

Figura 8: forze scambiate C OD 8=1,2

Tramite alcune osservazioni geometriche e possibile trovare nuove espressioni di e: l'arco dei contatti .

valutato sulla primitiva ( a ) puc essere messo in relazione con iI corrispettivo sulla circonferenza di

base ( a, ) infatti sono entrambi sottesi dal rnedesirno angolo al centro.

Questo e dimostrabile risalendo alIa costruzione del profilo ad evolvente che irnpone una relazione

biunivoca tra la distanza r del punto considerato dal centro del cerchio di base e 1 0 spostamento

angolare < p del punto stesso rispetto al punto iniziale del profilo: analizzando la figura si deduce che

gli angoli che sottendono a, e ad a sono uguali rna ruotati di < p I'uno rispetto a11'altro cosicche si puc

instaurare la proporzione

a, : R, = a : r da cui a = a, . r / R,

La lunghezza dell'arco a, puc essere determinata considerando che per Ie pro prieta dei profili ad

evolvente la lunghezzadel segmento congiungente un punto qualunque del profilo con il punto di

tangenza al cerchio di base individuato dalla generatrice relativa al punto stesso coincide con la

lunghezza dell'arco di circonferenza che unisce il punto di inizio del profilo con 1 0 stesso punto di

tangenza percui:

~"/. '",

J ~,,'

da cui:

9



· ,~:'~~!.-.~ .

( c <

Essendo il rapporto tra r ed ~ esattamente pari ad l/cos(a) vale:~

s = ~ AB ) / [ p·cos(a)]( (i:.

". .'I.

Come per gli archi d'azione anche per ipassi e lecito scrivere p,

dunque:

s = a b / ps= ~ AB ) / P h

: R, = p : r ossia p-costc) = P b e

Questa relazione esprime il fatto che e possibile dividere il segmento dei contatti in tre parti a

seconda del numero di denti a contatto e percio delle forze scambiate da ogni coppia di denti come si

era fatto per l'arco d'azione.

Figura 9: arco dei contatti (A'B' ) e segmento dei contatti (AB ).

3.2 Lunghezza del segmento dei contatti.

Per valutare il rapporto di condotta e necessario conoscere la lunghezza del segmento dei contatti;

questa e abbastanza scomoda da rnisurare in modo diretto ( cosa che peraltro valeva anche per J'arco

d'azione ) e pero possibiJe ricondurla analiticamente a grandezze note a priori.

10



I\I\ I

)

/ \/ \

I \I \

/ \

Figura 10: luogbezza del-segmeoto dei cootatti AD

Geometricamente vale che:

~AB )=t(BT1 )+l(AT2 )-lcT1T2)

con:

l( BTl) = ~ R : I - R ; .

l( AT2 ) = ~R:l - R~:

~ TIT2 ) = rl·sin(~) + r2·sin(~)

Tutti i dati necessari al calcolo so no noti essendo 0 caratteristiche geometriche delle ruote 0

caratteristiche di montaggio come l'interasse ri+ r2 in quanta anche I'angolo ~ puc essere espresso

Rbi +Rb:

tramite la relazione cos (ce) =

Sfruttando ora Ie relazioni:

{

r = z -m/Z

R, = r + h, = z-rn/Z + h,

R,= rcosfo.) = z·ml2·cos(a)

( vale se il dente non ha smusso in testa)

e possibile correlare la lunghezza del segmento dei contatti con m, Zl , Z2 ed a, assunto per entrambe

Ie ruo te h , = m . .

II



4 Calcolo dello spessore del dente.lIP

Figura 11: spessore del dente

Noto 1 0 spessore S o sulla circonferenza di raggio R o 1 0 spessore s suIIa generica circonferenza di

raggio r e dato daIla relazione:

s ~ s ~- = - + 2 c . : in cui - = P e - = P or ro r ro

c . : risulta definito dalla geometria del profilo ad evolvente:

{

< P = tg(a.) - a.

a = arccos( R, Ir )

c . : = < p (rs ) - < p (r ) = cpo- < p = ev(ao) - ev(a)

Si trova cioe che:

s ~ ~- = - + 2· (<Po- < P ) = - + 2 -[ ev(ao) - ev(a)]r ~ ~

In questa relazione S o , ro ed ao sono noti ed e anche possibile trovare a. dalla a. = arccos( R,Ir )cosicche s e determinato.

12



5 Condlzioni di ingranamento tra profili e tra"mote- angolo di

pressione e passo base

In condizioni di ingranamento tra due profili i raggi vettore relativi al generico punto di contatto P

sene secondo la definizione i segmenti orientati congiungenti i centri 01 ed O2 dei cerchi di base ed ilpunto P stesso; quando questa va a coincidere con il punto C centro di istantanea rotazione relativa

del sistema si trova che i due raggi vettore giacciono sulla stessa retta passante per i centri delle due

circonferenze di base. L'angolo di incidenza per definizione e l'angolo tra il raggio vettore e la

tangente al profilo nel punto considerate; in C i due profili a contatto che oltre ad avere tangente

comune, proprieta dei profili coniugati, hanno anche i raggi vettore coincidenti in direzione e

presentano dunque 10 stesso angolo di incidenza: questa valore particolare di e x . prende il nome di

angolo di pressione.

Figura 12: relazione tra interasse ed angolo di pressione

L'angolo di pressione e it valore che l'angolo di incidenza e x . assume quando si considera come punto

del profilo il centro di istantanea rotazione relativa C' che perc non e una. proprieta intrinseca delle

ruote rna una caratteristica del l 'accoppiamentos 'Si puc verificare che anche I'angolo di pressione efunzione dell'accoppiamenio supponendo di'f~ ingranare due ruote prima con un certo interasse i e

poi con un altro interasse i':

• non cambiano Ie condizioni di ingranamento perche esse dipendono solo dai profili e questi - aloro volta - dipendono solo dai cerchi di base che restano gli stessi

CI ) R• anche il rapporto di trasmissione, dipendendo solo dai cerchi di base, non cambia: _ = ___! !1.

CI ) 2 RbI

• cambia invece proprio l'angolo di pressione e x . infatti vale:

1

= > cos ( c x . ' ) = ~ . cos ( e x . )I'

L'angoJo di pressione deve il suo nome al fatto che indica l'inclinazione della retta dei contatti

rispetto alia tangente comune alle circonferenze primitive delle ruote: la retta dei contatti rappresentapunto per punto la direzione delle.forze normali ( pressioni ) scambiate tra i profili coniugati.

ParJando di accoppiamento di ruote il discorso si complica: una ruota e un insieme di profili ad

evolvente destri e sinistri alternati con una certa periodicita indicata dal modulo ( 0 dal passo),

1 3



quindi perche due ruote possano ingranare tra loro la condizione di non interferenza espressa

dall'angolo "rlipressione ( spontaneamente verificata per il singolo-profilo ) va generalizzata a tutta la

serie di profili della ruota tenendo anche conto del fatto che fisicamente i profili sono accoppiati a

due a due in denti individuando cosi un'alternanza di pieni e di vuoti ben precisa da rispettare

assolutamente.

La condizione di non interferenza a livello di angolo di pressione e sempre la stessa per tutte Ie

coppie di profili coniugati in quanto tutte dipendono dalla stessa coppia di cerchi di base; c x .p puo cosi

essere generalizzato a pro prieta dell'accoppiamento delle due ruote e non delle singole coppie di

profili

La condizione che invece tiene piu specificamente in conto la natura fisica della ruota e data dal

passo base: per potersi accoppiare due ruote devono obbligatoriamente avere 1 0 stesso passo base.

Questo e logico se si pensa ad una coppia di profili omologhi successivi in condizione di

ingranamento: i due punti PeP' di contatto durante il mota rotatorio del sistema si muovono alia

stessa velocita v = C D , · R t " = CD2 ·Ro2 sull'asse dei contatti, di conseguenza la lore distanza misurata

suU'asse dei contatti e costante. La lunghezza del segmento PP' coincide perc sia con la lunghezza

delI'arco 0,0,' ( che individua il passo

base del profilo della ruota 1 ) sia conl'arco 0202' ( che individua il passo base

della ruota 2 ). Da questa osservazione

risulta evidente come ruote con passi base -

diversi non possano ingranare tra loro

perche staccherebbero sull'asse dei contatti

segmenti di lunghezza divers a il che :

considerando i denti nella lore rnaterialita

comporterebbe 0 interferenza 0 gioco a _

seconda delle dimensioni dei denti stessi.Figura 13: passo base dei profili

I~



6 Ruot~ dentata unificata

Per definire questa ruota si parte da una normale condizione di ingranamento tra due ruote e quindi

mantenendo costante il valore dell'angolo di pressione si ingrandisce sempre di pill Ia seconda ( per Ie

caratteristiche del profilo ad evolvente questa non comporta alcun problema di accoppiamento a

patto di mantenere costante il modulo ); facendo crescere il raggio di base della ruota 2 si vede che

cresce proporzionalmente ad esso il raggio della circonferenzaprimitiva r2= R & 2 Icos(o.) e cosi pure

che si allontanano progressivamente da C sia il centro O2 della seconda ruota sia il punto di tangenza

T2. Portanao questo processo al limite ossia facendo tendere &2 all'infinito si trova che la ruota

diventa una dentiera can' dent; a profilo trapezio; i.n queste condizioni infatti si ha che il punta di

tangenza T2 si trova· all'infinito sulla retta dei contatti, che ,puc essere considerata come la

generatrice del profilo ad evolvente nel punto C: essendo il mota di generazione costituito da un

rotolamento puro sulla circonferenza di base - ossia da una rotazione proprio attorno al punto di

t~ngenza T2 - per l'altezza del dente il profilo risulta rettilineo e ortogonale aHa retta dei contatti.

Si puc verificare questa anche considerando l'espressione dell'angolo di incidenza a. in funzione delraggio di base e del raggio generico: cos(o.) = R & I r ; sulla circonferenza prirnitiva questa relazione

fomisce il valore deIl'angolo di pressione, spostandosi di L \r da questa a rigore si avrebbe un angolo

di incidenza a. tale che cos(a.) = R o I ( r + L \r ) rna nell'ambito delI'altezza del dente il L \r esicuramente trascurabile rispetto sia ad r che a R o che sono stati portati all'infinito percui l'angolo di

incidenza risulta costante e pari all'angolo di pressione su tutto il dente.

La dentiera ottenuta e in effetti una ruota ad infiniti denti infatti essendosi tenuto it modulo costante _

in tutti i passaggi fatti per poter assicurare l'ingranamento la relazione 2-r = z-rn impone che per r-7oo

anche Z-7OO.

La dentiera puc come tutte le ruote accoppiarsi sulla sua linea di riferimento con qualunque altra

ruota abbia 1 0 stesso modulo e angolo di pressione perc ha il vantaggio che non richiede la scelta diun certo raggio di base e di un certo numero di denti. Una volta noti it modulo e l'angolo di pressione

la dentiera unificata e completamente definita infatti la~orrna impone ancora che l'addendum sia pari

al modulo, il dedendum sia 1,25 volte il modulo e c_hesulla linea di riferimento il pieno sia uguale al

vuoto.~

1 , 2 5 1 1 1 0

e x .

Linea diriferimento

Figura 14: denticra unificata

15



7 Tagl'to delle ruote dentate

II taglio delle ruote dentate puc essere operato in genere secondo due processi fondamentali:

utilizzando una fresa di forma 0 con il metodo detto per inviluppo.

L'utensile e una fresa di forma in cui ogni tagliente ha la

forma del vane tra dente e dente ed e caratterizzato dai

suoi angoli di spoglia frontale, dorsale e laterale.

Iproblemi di questa metodo sono due:

• il profilo della fresa e esatto solo per ruote con pari

raggio del cerchio di base: noti m ed e x . R ., dipende da z

percui l'utensile potrebbe risultare inutilizzabile anch~ su

ruote con uguali grandezze unificate rna con diverso

numero di denti perche presentano profili ad evalyente

troppo diversi. In questa ottica bisognerebbe costruire una

fresa diver sa per ogni combinazione possibile di m , e x . e z;nella realta si ammette. una fascia di tolleranza in modo da Figura 15: taglio COD fresa diforma

poter usare 10 stesso utensile su ruote con numeri di denti diversi rna

prossimi ( 19-20-21 ; 22-23-24-25 ; .... ), questo perc non risolve

comunque it problema.

• il tempo di lavorazione e molto lungo perche ogni dente va

lavorato singolarmente.

7.1 Taglio con fresa di forma

7.2 Metoda per inviluppo.

Figura 16: fresa di forma

i• • • 1 , ,. '

Figura 17: formazione del profile per i nv i l uppo

La logica di questa metodo puc essere dedotta da un semplice

esempio: si puc supporre di far ingranare una ruota dentata normale

con un tondino di materiale molto cedevole e di

imporre al sistema una condizione di mota che

riproduca quella effettiva di lavoro; la ruota

scaverebbe all'intemo del tondino esattamente il

profilo coniugato al proprio ossia la sequenza di

denti ad evolvente necessaria all'accoppiamento.

Secondo questa logica una determinata ruota-utensile con modulo ed angolo di pressione

unificati sulla primitiva di accoppiamento potrebbe

tagliare ruote con Ie sue stesse caratteristiche rna

con un numero qualsiasi di denti a patto solo di

cambiare di volta in volta il rapporto di

trasmissione in modo da soddisfare la relazione

(:)~ Zl

L'utensile pill conveniente da utilizzare almeno teoricamente e la ruota piu semplice ossia la dentiera;

la dentiera-utensile non rispetta ovviarnente Ie caratteristiche geometriche della dentiera unificata _!!1ane costituisce in pratica una sorta di "negativo" in relazione al faHo che il suo compito no-n e di

ingranare con un profilo unificato rna di scavarlo.

1 6



7.2.1 Definizione del promo di una del1tiera-litensile

Le caratteri~tiche geometriche di base sono sempre il modulo m o el'angolo di pressione C £ o ; la

differenza con Ie normali dentiere nasce invece dal fatto che rispetto ad una linea di riferimento si

prendono

1. addendum ( hao) pari a 1,25mo perche deve scavare il dedendum della ruota unificata con il fondo

del dente ed i suoi raccordi

2. dedendum (hro) maggiore di m o perche deve tagliare i fianchi dei denti fino alIa troncatura esterna

rna non la testa che si preferisce sia definita dalla circonferenza estern a di partenza del tondino ( se

non c'e 1 0 smusso )

Linea di

Figura 18: deotiera utensile

II vantaggio della dentiera in questa operazione rispetto aIle ruote e che mantiene 1 0 stesso modulo e

1 0 stesso angolo di pressione anche carnbiando la linea' di r i fer imento :

Identi della dentiera-utensile sono dei taglienti tridimensionali con vista frontale coincidente con it

profilo teorico appena definito e tre angoli di spoglia ( frontale, dorsale, lateraIe ) dovuti al fatto che

il taglio avviene sia sulla testa del dente sia sui suoi fianchi; essi rivestono un ruolo fondamentale

nella definizione dei profili dei fianchi dei denti della ruota che si sta tagliando per la natura stessa di

questo processo di taglio che opera per inviluppo ossia sfruttando Ie proprieta dei profili coniugati.

7.2.2 Mati fondamentali nel taglio delle mote per inviluppo:

• I!!9to di taglio: e un mote relativo di tipo alternative che si sviluppaindirezione parallel a all'asse

del tondino ed e composto da una corsa di

taglio e da una di ritorno ( in genere efisicamente compiuto dall'utensile); questa 1

mote e fondamentale perche nella realta non

esiste un materiale in grado di tagliare

I'acciaio solo "ingranando" con esso.

• mote di avanzamento: e un mote che 1prima porta J'utensile a contatto con la

superficie del tondino e quindi 1 0 fa

affondare progressivamente in esso durante Figura 19: moti di generazionc ( 1 ) e taglio (2)

la corsa di taglio.

• mote di generazione: e necessario che tra dentiera e tondino si verifichi la condizione cinematica

di rnoto relativo di normale accoppiamento per consentire la generazione dei denti con profilo ad

evolvente di cerchio per processo di inviluppo da parte dei denti della dentiera-utensile. Bisogna

dunque fare in modo che la dentiera trasli con velocita v ortogonalmente all'asse del tondino e chequesta ruoti rispetto at suo asse con velocita angolare 0).

17



7.2.3 De{illiziolle delle condizioni cinemaliche di taglio~

La p rim a co n d iz io ne da im po rre r iguarda o vv iam en te il m o to di gen eraz io n e: p erche su lla ruo ta ch e

si taglia si gen er in o effettivam en te gl i z den ti vo lu ti e in tu itivo che if rap p o rto cin em atico tra v ed ro

n o n p o ssa essere qu alun que.

A n al iz z an do la cin em atica del p ro cesso di tagl io si n o ta che n el cam po d i m ote so lidale al t ond ino -

esiste sicuram en te un p un to che si m uo ve esattam en te co me si m uo verebbe se ap parten esse af cam podi m o ta della den tiera; esso e il cen tro di istan tan ea ro taz io ne relativ a del sistem a ..Poiche l a d en tie ra

trasla co n velocita v p er tro vare tale p un to ( C ) e suffic ien te in div idu are su l la p erp en dic olare alia

d irez io ne di v p assan te p er il cen tro 0 del to ndin o queUo in cui sia ro ·r = v ( co n r d istan za del p un to

\

da 0) in m odu lo e segn o . II cen to di istan tan ea ro taz io ne r im an e fisso du ran te tu tto il p ro cesso di

taglio e in div id ua I e "p o lar i" 0 "p rim itive del m o ta di tagl io " che san a p er la den tiera la retta p aralle la

alI a d irez io ne v m en tre p er il to ndin o la circo nferen z a co n cen tro in 0e raggio r = ~ . .In co rr isp o nden z a d i queste l 'acco p p iam en to aw ien e p er p u ro ro to tam en to e dun que it p ro filo della

den tiera iv i p resen te ( in teso co m e al tem an za di p ien i e di vuo ti v isto ch e ITlo ed ao so n o co stan ti )

deve co in c idere p er fettam en te co n queUo che ha tagl iato su lla (Uo ta. La c irco nferen za p r im itiv a di

taglio del to n din o e dungue un luo go p r iv ilegiato del la (Uo ta ch e r ico p ia p erfettam en te n o n so lo ilmodu l o ! J 1 o e I 'an go lo di p ressio ne C X o della den tiera-u ten sile rn a an ch e ( i.n n egativ o ) 1 0 sp esso re dei

den ti e dei ¥an i che essa p resen tava n ell 'u l tim o istan te d i acco pp iam en to in co rr isp o nden za del la sua

p r im i tiv a d i ta gl io .

In tale situaz io ne se il rap p o rto

tra v e ro fo sse casuale si

tro v erebbe un a c irco n feren za

pr imi t iva d i taglio d i raggio ~

q ua lu n qu e; e ss en d o il raggio ( r )

della c irco n feren z a gen er ica

legato al m o dulo ( m ) p resen tesu e ssa d all a r elaz io n e

vk» casuale p o r terebbe ad un

nurnero di den ti tagl iato z Figura 20: caratteristiche del processo di taglio per lnviluppoaltrettan to casuale o ssia m o l to

p ro babilm en te n on in tero e an co ra m en o p ro babilm en te p ar i a quello vo lu to .

Parten do da queste co n sideraz io n i r isu lta dunque che ; valor; di mQed ~ vincolano la scelta

del/'ll/ensilementre ilnumero di de1l1ivoluto impone il rappor/o cinema/ieo v / C tJ - Z-n7Q /2.

Si p uc an co ra n o tare che Ja p ro pr ieta del la circo nferen za p r im itiv a di tagl io d i r ico piare i p ien i ed i

vuo t i del la co rr isp o n den te retta p r im itiva di taglio della den tiera com po rta che affo n dan do n el

to n din o la den tiera fin o a far co in c idere la l in ea di r ifer im en to scelta p er defin im e Ie p ro p r ieta

geom etr iche ( su cui si era im p o sto il p ien o ~ uguale al vuo to ) co n la retta pr imi t iva d i taglio

passante p er C si o ttien e su l la circo nferen za di raggio R o l a c o n d iz io n e :

2·r= z ·m

n el caso co n siderato do v rebbe

va le re

z · r n o / 2 = R, = v / ro

D al m om en ta che il m o dulo

v ien e fissato co n la scelta

dell 'utensile I'assun z io n e di un

5 0 = ed

e o = 5 d

che un ita al lo ra al la

- - - - - - - - - - - -

a p r im i ti va II"""

dl tag lio d eI Iadent iera

\

\

\

\

\~~ I

I

II

I

I/11

, "I " , ; ;LC irco n feren za p r im itiv a - - - L--....

d i taglio del to n din o

18



fornisce

S o = e o - -Sempre nell'ipotesi di port are la dentiera a penetrare nel tondino fino a che linea di riferimento e retta

primitiva di taglio coincidono si ha anche che hro= had= 1,2S'mo e che invece haodipende da R, che

per produrre ruote unificate deve valere R,= ~ + mo .

7.3 Creatore

II concetto di creatore nasee dal problema che una

dentiera per tagliare ruote con numeri di denti anche

non grandi dovrebbe comunque essere molto lunga, in

genere troppo lunga;le soluzioni possibili sene allora

due:

1. utilizzare una dentiera corta e tagliare un piccolo

numero di denti alIa volta

2. utilizzare il eriterio della vite senza fine: su una

norrnale ruota si avvolgono dei profili ad eliea suddivisiin tanti taglienti orientati ortogonalmente al profilo

dell'elica in_modo tale che ponendo in rotazione i 1

sistema sui suo asse opportunamente inclinato rispetto

all'asse del tondino si ottiene nel piano di taglio un moto

apparente .di traslazione del tagliente in direzione

trasversale come voluto dalla teoria con una velocita

pari al prodotto tra il passo dell'elica e la velocita di

rotazione della ruota stessa.

Figura 21: taglio C OD creatore e creatore

19



8 Condizione di accoppiamento senza gioc<1

Si supponga di avere a disposizione due ruote le cui caratteristiche di taglio sono:

Numero di denti ZI Z2

Angolo di pressione sulla primitiva di C lo c x . o

taglio

Modulo sulla primitiva di taglio 1 1 1 0 1 1 1 0

Passo sulla primitiva di taglio po po

Spessore del dente sulla primitiva di taglio Sol= po / 2 S02= po / 2

Spessore del vane sulla primitiva di taglio eol = po / 2 eo2= po / 2

Addendum rispetto alIa primitiva di taglio h.ol = 1 1 1 0 ha02= 1 1 1 0

Dedendum rispetto alla primitiva di taglio htol = 1 , 2 5 1 1 1 0 hto2= 1 , 2 5 1 1 1 0

La condizione di accoppiamento senza &ioco e guella in cui identi in presa hanno due punti di

contatto can idue denti coniugati dell'altra ruota.

La prima osservazione in merito a questa problema e che i punti di contatto P e P' trovandosi sui lati

opposti dello stesso dente appartengono a evolventi opposte generate rispettivamente dalIe due

tangenti comuni ai cerchi di base passanti per C, questa si riflette nel fatto che durante il mota

relativo di ingranamento delle ruote i due punti P e P' si muoveranno ognuno sulla propria retta dei 0

contatti ( coincidente con la rispettiva generatrice )0

Si puo in primo luogo facilmente verificare che se la condizione di accoppiarnento senza gioco everificata in unpunto.lo e per tutto l'arco dei contatti ( tranne ovviarnentein quella parteiniziale in

cui solo il primo -dei fianchi del dente considerato e in presa ): supponendo che la ruota 1 sia motrice 0

e giri alIa velocita CDIl punto di contattocon trasmissione del mote e il punto P suI fianco destro del _

dente che all'iniziosi.trova a coincidere col punto Pli solidale alla ruota 1 e coincidente col punto P2i .

solidale alla ruota 2; la ruota 2 e vincolata da questo contatto a muoversi alIa velocita ro2( secondo il

rapporto di trasmissione determinato dal rapporto tra i raggi di base) mentre il punto P si sposta

sulla retta dei contatti e scorre suI fianco destro del dente fino a Plfocoincidente ora con P2foSi supponga ora che sia motrice la ruota 2 e che giri esattamente con la velocita CD2 il punto di

contatto istantaneo con trasmissione del moto risulta essere P' e non piu P che viene trascinato; in

questa condizione vale 1 0 stesso discorso fatto per P nel caso precedente: P' resta sempre punto di

contatto e impone alIa ruota 1 una certa velocita roI*. Poiche il rapporto di trasmissione tra Ie ruote

non dipende da quale e motrice rna dai cerchi di base che sono fissi rol* = C!) I cioe la condizione

cinematica nei due casi e la stessa, rna allora non c'e motivo perche i due punti P e P' quando siano

entrambi di contatto all'istante iniziale cambino questo lore state nel corso del mote essendo di per

se inconsapevoli di quale delle due ruote e motrice.

Appurato questa fatto si puo procedere a determinare la condizione geometrica di accoppiamento

senza gioco analizzando il problema nella posizione pill semplice ossia il punto C, che appartiene aile

circonferenze primitive del mote ed e un punto di contatto effettivo: partendo dalla situazione in cui

il fiance "rnotore" del dente in esame - supposto appartenente alia ruota motrice - e in contatto

20



proprio nel punto C con il suo coniugato e imponendo

alia ruota rsotrice la velocita 0 0 1 si ha che 1 0 spessore del

dente passa attraverso il punto C mentre Ie due

circonferenze primitive rotolano senza strisciare I'una

sull'altra ( so no Ie polari del mota ). Quando tutto il

dente e passato attraverso il punto C vi si ha un nuovo

contatto rna sull'altro fianco del dente, queUo trascinato,dopo il quale continuando a far girare il sistemail punto

C viene attraversato dal dente della ruota condotta in

corrispondenza del vano della ruota motrice f inche si

ritoma ne l l a condizione iniziale.

La presenza di puro 'rotolamento tra Ie circonferenze

primitive del mote nel punto C porta riguardo aIle due

situazioni che vi si altemano aile seguenti condizioni di

I I

' accoppiamento senza gioco:

Sl = e2

52.= elcon s ed e rispettivarnente spessori e varn della dentatura

misurati in corri5pondenza delle circonferenze primitive

di accoppiamento~ unendo Ie precedenti relazioni con Ie:

Figura 22: ingranameoto tra due ruoteS2 + : e2 = P2

e considerando che perche possa esserci ingranamento deve essere

PI = P2 = Psi trova la condizione di accoppiamento senza gioco:

SI + S2 = P

Questa condizione e unica e ~ipende dal]'interasse di accoppiarnento: supponendo di paoiredall'interasse di accoppiamento senza gioco i* e di allontanare Ie ruote l'ingranamento continua a

verificarsi rna in corrispondenza di circonferenze primitive sempre piu ampie; iI crescere dei raggi

delle primitive di accoppiarnento comporta un proporzionale aumento del passo di accoppiamento p .

rna una riduzione degli spe5sori SI ed S2 dei denti cosicche risulta essere SI + S2 < P ; quando invece si

~oglia ridurre l'interasse di accoppiamento al di sotto di i* si deve generare interferenza tra i denti

essendo in questa caso s, + S2 > p.

Le due ruote a disposizione verificano la generica condizione di accoppiarnento infatti sulle primitive

di taglio presentano uguale passo po e uguale angolo di incidenza < X . o ( il che corrisponde ad avere

!-1gualepasso base ) rna verificano anche la condizione di accoppiamento senza gioco perche percome sono state tagliate hanno $0 = e o = po / 2 il che comporta So l + S02 = po. ~esto spiega il motivo

percui si irnpongono Ie condizioni di avere il pieno uguale al vuoto sulla linea di riferimentodella

dentiera utensile e di portare tale linea a sovrapporsi alia primitiva di accoppiamento tra dentiera e

tondino per terminare il processo di taglio.

2 1



9 Processo di taglio di mote a profili spostati~

In questa operazione di taglio si elimina la condizione suddetta di fine del processo solo in caso di

coincidenza tra linea di riferimento della dentiera e primitiva di accoppiamento tra dentiera e tondino.

Si definisce il fattore b di scostamento della posizione terminale della dentiera rispetto a quellaprevista nel taglio normale e si assume che sia b = X-mo con I l 1 0 modulo della ruota sulla primitiva di

taglio ed X coefficiente di proporzionalita; convenzionalmente X ( epercui b ) e positivo se la

dentiera e penetrata all'intemo del tondino meno rispetto alia situazione di taglio normale e negativo

invece se la dentiera e stata maggiormente affondata nel tondino.

Figura 24: taglio con X=O,3Sfl"fii/J.:,

il processo normale Ie ruote con profi~no analogie e

Figura 23: taglio C O D X=O

Rispetto alle. ruote tagliate con

differenze:

• il raggio della primitiva di taglio resta 1 0 stesso: dipende solo dal rapporto cinematico di taglioz -rn

scelto pari a ~

• il passo sulla primitiva di .taglio resta 1 0 stesso: la dentiera ha 1 0 stesso passo po in corrispondenza

di ogni sezione del dente percui sulla circonferenza primitivadi taglio del tondino concuisi accoppia .

senza strisciamentoincide sempre il passo po indipendentemente dal fatto che siaentrata piu 0meno

in profondita nel tondino .stesso; si puo anche considerare che po = 1t-rTloe che I T l o a pari numero di

denti z non cambia se non si cambia il rapporto cinematico di taglio

• I'angolo di incidenza sulla primitiva di taglio resta 1 0 stesso per 1 0 stesso motivo del passo infatti la

dentiera oltre ad avere 1 0 stesso passo su ogni sezione del dente ha anche 1 0 stesso angolo di

incidenza a o che incide identico sulla primitiva di accoppiamento del tondino

• i raggi di base delle ruote non cambiano perche esse continuano ad ingranare in uguali condizioni

cinematiche con 1 0 stesso utensile, non mutando il rapporto di trasmissione ruota tagliata - utensile

deve restare costanteil raggio di base della ruota essendo fissato il raggio di base dell'utensile

• cambia 1 0 spessore del dente che aumenta se la dentiera affonda di rneno e diminuisce se affonda

di piu: esso ricopia perfettamente l'ampiezza del vane della dentiera calcolato sulla linea che va ad

accoppiarsi per ultima con la circonferenza primitiva di taglio del tondino e che vale

P o ( ) P oSo = ed = 2 " + 2 b· tg a =2 " + 2X m o ' tg(a)

2 2



• cambia parimenti rna in verso opposto I'ampiezza del vane tra i denti della ruota che deve!It- p .

rispettare la condizione So+ eo= po e percui diventa e o = -: - 2Xmo . tg(a)

• cambia anche il dedendum della ruota che a seconda del valore e del segno di X puc essere piu 0

meno profondo di quello unificato e che vale hID= 1,25 r n a - Xms

• I'addendum come gia nelle ruote tagliate con processo normale e definito dal raggio esterno del

tondino che dunque ha un valore che puc essere assegnato in modo diverso a seconda delle esigenze

La differenza fondarnentale tra una ruota normale ed una a profili spostati sta praticarnente allora

neUe dirnensioni dei denti in quanto i profili restano tali e quali.

9.1 Circonfer~nze di accoppiamento senza gioco tra ruote a profili spostati

Siano date Ie due ruote a profili spostati seguenti:

Nurnero di denti Zl Z2

Angelo di pressione sulla primitiva dia .o c x . o

taglio -

Modulo sulla prirnitiva di taglio r n a rno

Passo sulla primitiva di taglio po po

Spessore del dente sulla primitiva di taglio Sol= ~ +2X1 • mo· tg(a) So 2 = ~ + 2X2 • rna . tg( a)

Spessore del vane sulla primitiva di taglio eol = ~o - 2X1 • mo· tg(a) eo2= ~o - 2X2 • mo· tg(a)

Addendum rispetto alla primitiva di taglio haOI= R a l - ~I ha02= R.2 - Ro2

Dedendum rispetto alia primitiva di taglio hIDI= ( 1,25 - XI ) r n a hf02= ( 1,25 - X2) r n a

Intuitivamente ci si puC>aspettare che per gueste ruote'le circonferenze primitive non vadano piu

bene ed infatti su esse vale:

SO l + So2= (~ o + 2X1 • rno . tg(a» + ( ~ o + 2X2 • mo . tg(a» = po+ 2( X, + X2 )mo·tg(a)

da cui si trova che So l + 5 0 2 = P O solo per:

XI = X2 = 0 ( ruote a profili non spostati )

X, =-X2 (spostarnenti dei profili uguali ed opposti )

Per trovare un'espressione generale della configurazione di accoppiamento senza gioco per ruote a

profili spostati e necessario risalire all'espressione delle spessore del dente in funzione del raggio ed

esprimere quindi la condizione di accoppiamento senza gioeo in funzione dei raggi e degli X delle

ruote.

Tra spessore e raggio vale la relazione:

s S o S o S o- = - +2 ·s = - +2 - (Q o - Q ) = -+ 2 ·[ ev (ao ) - ev(a)]r n, n, Ro

23



l a co ndiz io ne d i acco pp iam en to sen za gio co d iv en ta al lo ra :

~ so , so ~ .s, + 5 2 = r l (- + 2 ' s l ) + r 2 (- - + 2 · s 2 ) = p

ROl R02

C o n d iz io n i ge ne ric he d i in gr an am e n to :

su lJa c irco n feren za p rirn itiv a d i acco pp iam en to Ie due ruo te h an no sem p re uguale an go lo d i in ciden za

co in ciden te co n I 'an go lo d i p ressio ne p ercu i al = a2 = ap e qu in di=> SI = I e v (c x.o ) - e v (a l) ] = ~2 = [ ev (ao ) - ev (a2 )] = ~ = [ ev (ao ) _ ev (ap )]

su l la c irco nferen z a p r irn itiv a d i acco pp iam en to Ie due ruo te dev o no av ere uguale p asso p er p o ter

in gran are p ercu i PI = P2 = P e co si

Z I 'P I __ ~r l =

21t. 2 1 t .

Z 2 • P2 __ Z2' P

r2 =2 1 t 2 1 t

I n tro ducen do Ie co n d iz io n i d i in gran am en to n el la relaz io n e d i acco p p iam en to sen z a gio co ede sp l ic ita n do s i o ttie n e:

sv o lg en d o si o ttie n e:

Z I z -rn, 2-.--.

e q uin d i sem p l ific an d o e r ac co g lien d o

da cu i

XI +X~~= l · tg(ao )- -

Zl + Z1

ossia

X, +X,ev(a;J = ev(cx.o)+ 2 · tg(ao } -

Z, + Z1

Tro vato a p e p o ssib ile r isal ire ra pid am e n te ai r ag gi d el le c ir co n fer en z e p rim itiv e d i ac co p p iam e n to

sen z a g io c o tr am i te la r el az io n e:

rp = R e i cos(a p )

e qu ind i a l l'i n te r as se

. co s(a o )1 * = (Ro l + :Ro2 ) -- .. .;. .._ _; :. .: .. _

c o s ( c c , )

S i p uo an ch e tro vare il m o dulo di acco pp iam en to



I raggi di fondo delle ruote sono definiti dall'operazione di taglio e valgono~

Rn = ~I + b l - 1 , 2Smo= ~I + (XI - 1 ,2 5 )rn a

Rf2 = ~2 + ( X 2 - 1 ,2 5 )rno

I raggi di testa delle ruote possono essere deterrninati "a piacere", generalrnente si irnpone che anche

per queste ruote il gioco tra testa dei denti dell'una e fondo dei denti dell'altra sia cornunque pari a

O,2Srna ottenendo cosi la relazione

Ral = i* - Rn - O,25mo

che esplicitata diventa

R a l = i* - Ro 2 - (X 2 - 1 ) rno

Ra2 = i* - R o l - (X, - 1 )m o

25



10 Vamaggi delle mote con denti a profili spostati e criteri di scelta di

Xl ed'Xl

10.1 Sezione resistente alla base del dente

Lo spessore del dente di una ruota a profili non spostati tagliata con un certo utensile e fissato incorrispondenzadella circonferenza primitiva ( di raggio ~ ) e vale sempre 10 stesso S o caratteristico

della dentiera 0 del creatore. Come si nota dalla figura perc>10 spessore alia base del dente dipende

dalla pendenza dei fianchi che a sua volta e correlata al numero di denti con una legge di

proporzionalita inversa; nell'ingranamento di due ruote allora la pili critica e la pili piccola in cui Ieforze scambiate si distribuiscono su una sezione resistente minore.

In moIti casi dimensionare in sicurezza la ruota piccola aumentando il modulo della trasmissione

comporterebbe l'uso di una ruota grande inaccettabiJe

o per questioni di ingombro 0 per questioni di costo;

molto piu conveniente in tali situazioni e ricorrere a

ruote a profili spostati in cui agendo opportunamente S o

su X. ed X2 si riescono ad ottenere spessori di base dei

denti simili sulle due ruote. Il vantaggio di questa

scelta e che la modifica della resistenza meccanica

delle due ruote avviene "allargando" i denti della ruota z = 15piu piccola ( sottodimensionati ) e "assottigliando"

quelli della ruota pili grossa ( sovradimensionati )

senza agire sul. modulo ossia sulle dimensioni della Figura 25: spessore del deote in relaziooe al

trasmissione. numero di deoti

Profilo tagliato con X=O,3

i

,_'- Profilo tagliato con X=O

Figu ra 26: effctto del taglio con spostameoto dei profili sullo spessore del dente

10.2 Interferenza

Si tratta di un fenomeno che si verifica quando nel punto di contatto tra due profili non si ha

coincidenza delle tangenti; in tale condizione si ha un contatto irregolare ed una compenetrazione tra

i profili stessi.

Nell'analisi dell'ingranamento di due profili ad evolvente di cerchio si e individuato un segmento TIT 2

in cui avvengono tutti i contatti regolari; il problema da considerare ora e se al di fuori di questacampo possano esistere fisicament.e dei contatti tra i denti oppure no.

26



0 - t - 0 - 1 -

Figura 27:analisi della condizione diinterferenza

Si puc studiare la situazione attomo al punto critico T2 in cui il profilo del dente della ruota 2dovrebbe rovesciarsi per continuare ad ingranare correttamente con il relativo dente della ruota 1

cosa che nella realta non puc avvenire: in un generico intervallo di tempo .1t calcolato a partire

dall'istante in cui il contatto avviene esattamente nel punto T2 il punto di tangenza ideale del profilo 1

si sposta.sulla.retta.dei .contatti nelpunto P' mentre nella stesso tempo il puntodiorigine del profilo

2 si sposta sulla circonferenza di base fino in 0' tale che t( P'T 2 ) = t( OT2 ).

Per essere certi.che.nonci ..possaessere .interferenza 'il profilo della ruotal dovrebbe intercettare ·il . .

cerchio base della ruota 2al di.fuori del denteossia prima di 0'. Si veri fica facilmente che questa non'

accade infatti supponendo -di traceiarecon centro in T2 un arco di circonferenza di raggio T2P',

questo intercetta il cerchio base della ruota 2 sicuramente oltre il punto 0' la cui distanza da T2 e pari

al raggio se misurata sull'arco ed e percio rninore se valutata sin linea retta. A maggior ragione ildiscorso vale per l'evolvente che in P' coincide in pratica con l'areo di circonferenza centrato in TI di

raggio TIP' e che dunque e molto meno inclinato dell'arco centrato in T2.

L'interferenza va assolutamente evitata incondizioni di lavoro; durante l'operazione di taglio e inveceaccettabile anehe se crea comunque grossi problemi in quanta comport a una riduzione della sezione

resistente del dente e della lunghezza del segmento dei contatti entrambe dovute all'incavo che si

produce alia radice del dente stesso.

Considerando l'accoppiamento senza gioco ( percui con ap = C X o ) di una coppia di ruote norrnali ci si

rende subito conto del fatto che la condizione pill critica per quanta riguarda l'interferenza e tra latesta della ruota pill grossa ed il fondo della pill piccola; si nota anche che la criticita aumenta al

crescere del diametro della ruota pill grossa ( mentre ap rest a costante ) e che dunque la dentiera e laruota esterna pill pericolosa mentre nel campo delle ruote interne la situazione peggiora ancora.

27



Per ev itare I 'in terferen z a biso gn a irn p o rre che la circo n feren za di base del la ruo ta p iu p icco la sia

suffic ien te~ en te gran de da p o rtare il p un to T 1 l im ite del segmento dei co n tatti co rretti al d i fuo r i

del la circonferenza di tro n catu ra estern a del la ruo ta gran de; p er Ie ruo te un ificate it raggio di

tro n catu ra estern a e I 'in terasse so n o fun z io n e so lo del n u rn ero d i den ti p ercui co l legando queste

gran dez z e tram ite il tr ian go lo 0 1 02 T 1 co n il teo rern a di C arn ot si tro va:

Teo rern a d i C arn o t: ( ~ 2 ? = i

2

+ (~ I )2 - 2 i'~ I'C O S(exo )

so stituen do i termini co n :

rn oR..2 = ~ 2 + rn o = - (Z 2 + 2 )

2

rn oi = -.( Z I + Z2 )

2

rn o~1 = ~ 1 co s(a) = " " 2 ZI co s (cx.o )

s i o t ti en e :

( Z 2 + 2 )2 = [( Z I - '- Z 2i+ Z 1 2COS (e xo )2 2 ,zl (Z I + Z2 ) c o s(e xo ? ]co n alcu ni passaggi:

Z2 2+ 4Z 2 + 4.= z : ? + Z1 2( 1 - COS(exo )2 + 2 ·Z 1·Z 2·( 1 - COS(exo )2 )

Z I2 + 2 'Z I 'Z 2 - 4 ( Z 2+ 1 )/ sin(cx.o)2= 0si r iesce quin d i ad esp lic itare la relaz io ne risp etto a Z I:

2 Z: + 1ZI = z, + 4 . ( )2 - Z,

• Sin < X o -

Questa relaz io n ep erm ette di tro vare il n um ero d i den ti e dunque il raggio d i base min im i p er la ruo ta

1 perche n o n ci sia in terferen za. -

N el l 'in gran arn en to tra n Io ta e d en tiera I 'esp ressio ne si sern plifica:

. ( :. z 2 +1 J 2ZI = l im z , . . . , . . . 4 . , - Z2 =. 2

z : .....ee - sm (ao t sm (ao )

Nel easo di aeco p p iam en to tra ruo ta e den tiera si puc tro vare u n'esp ressio ne sern plice anche p er

ruo te a p ro fili spostati+la co n diz io ne da imporre e sern p re che la l in ea di tro n catura estern a del la

den tiera p assi p er il pun to T1 il che geo rn etr icam en te si traduce n el fatto che la lun ghez za del -

segr nen to :_CH deve essere m in o re deU 'al tez z a del tratto di evo lv en te che si trova so tto la l in ea

prirnitivadi accoppiarnento relativa alia den tiera ( p assan te p er C l _ . _

D a un a do p p ia proiezione del raggio d i base R t l = OC p rim a su C T I e qu in di su C H si tro va che la

rnlu ngh ez za di qu est'u ltim o segm en to e p ar i a R ,I sin (ao )2 = Z I_0 sin (ao )2 ; p oich e si p ar la di den tiere

2un ificate la co ndiz io ne da im po rre e:

mo . 1

Z I2m(ao)- = IT lo - b = rno'( 1 - X I)

do ve co n b sie in d icato .1 0 sco starn en to tra la l in ea di r ifer irn en to della den tiera e la p r irn itiv a di

ac co p piar nen to ; q uesta sc ostam e nto e da irn p u tare o vv iam en te al ia ruo ta in quan to la den tiera p er

n atura n o n r isen te del lo sp o stam en to dei p ro fil i e si aeeo p p ia sen za gio co co n Ie ruo te sern p re lungo

Ie p rim itive d i tagl io in dip en den tem en te dal fatto che esse sian o n orrn al i 0 a p ro fili sp ostati p ro pr io

p er il m odo co n cu i so n o state tagliate.

S em p lific an do si r ic av a l a r el az io n e:

2 ( )ZI =. • 1- X

S t n ( c x o )- 1

28



•

Questo caso an al iticam en te p iu sem p lice rn a n o n co n cettualm en te d iv erso ev iden z ia il seco n do

vantaggio del le ruo te a den ti sp ostati: quan do il co effic ien te X t e n o n n u llo e p o sitiv o il rn in i rno

n um ero di den ti p er ev itare l 'in terferen za si r iduce co nsen ten do in caso d i p ro blem i d i n o n agire su l le

d im en sio ni del la ruo ta ( p ercu i su i co sta dei m ater ial i, su l le in erz ie in gio co , ecc . ) rn a d i r ico rrere ad

u n sem p lic e isp essim e nto d ei den ti o tten en do gl i stessi r isu ltati.

10.3 Strisciamento specifieoL'usura e un asp etto m o lto im p ortan te p er I 'efficace dim en sio nam en to .del .den te, essa d ip en de dagl i

attr iti ch e si gen eran o tra Ie sup erfic i dei den ti a co ntatto in co nd iz io ni d i lav oro .

U na p rim a defin iz io ne u tile e quel la d i str isc iam en to sp ec ifico : se due p ro fil i si m uo vo no restan do a

co ntatto tra lo re e p o ssib ile in d iv iduare gl i sp o stam en ti ch e i due p un ti ch e in iz ialm en te eran o a

co ntatto h an no p erco rso ( c iascun o su I suo p ro filo ) r isp etto ai n uo vi p un ti a co ntatto n el l 'in terv al lo

d i tem p o d t. D e tti questi sp o stam en ti r isp ettiv am en te ds, p er il p un to ap p ar ten en te al p ro f i l o 1 e dS2

p er queU o ap parten en te al p ro filo 2 si defin isco no :

ds( - dS2

ds . - dS2 dt v \( - v a

str isc iam en to sp ec ifico del co rp o 1 : K .=-...:.---=-

=--=--

=ds, ds(

dt

- dS2 - ds. v \2 - v \(str isc iam en to sp ec ifico del co rp o 2 : K2 = d =

S 2 va

co n Vu e Va v elo cita tan gen zial i n el p un to d i co n tatto r isp ettiv am en te del p ro filo 1 e del p ro filo 2

L 'im p o rtan z a d el le str isc iam e nto sp ec ific o e ch e n on tien e co n to so lo del lo str isc iam en to asso lu to rn a

an ch e dello sp az io su .cu i.esso .e.d istr ibu ito , .il ch e tro va fisicam en te r isco n tro n el fatto ch e un uguale

str isc iam en to p o rta usura ben - d iv ersa a seco nda ch e sia co ncen trato in un p un to 0 c h e s ia d is tr ib uito

su tu tto un tratto d i p ro filo .

Si veda ad esem pio il caso d i un a ruo ta ch e:

1 . str isc ia sen z a ruo tare su un a sup er fic ie p ian a: it p un to di co ntatto istan tan eo p er la sup erfic ie

cam bia m en tre p er la ruo ta resta sem p re 1 0 stesso ; in tu itiv am en te c i si p uc asp ettare ch e I a

co nd iz io ne p iu cr itica si v er ifich i su l ia ruo ta ed in effetti g li str isc iam en ti sp ec ific i 1 0 co n fe rmano

infatti K n . O I a = -)0men t r e K s u p . = 1

2 . ruo ta _ sen z a .traslare sem pre su l la stessa sup erfic ie: la situaz io ne eesattam en te in ver t i ta r isp etto al la p receden te ed in fatti si tr o van o Kl"\lola = I

men t r e K , u p . = -:x::

Un 'u ltim a c ar atte ristic a d el lo . str isc iam e n to sp ec ific o - e ch e si an n u lla so lo

quan do dS I = dS 2 o ssia in co n d iz io n i d i p u ro ro to lam en to le qual i

fisicam en te co rr isp on do no a usu ra n ul la.

~~_0t'+dt'~=~/////~:~/

Figura 29

/

Figura 28

29



•

Applicando queste definizioni al caso dei denti degli ingranaggi si puc, cercare di valutare come varia

1 0 strisciameato specifieo lungo l'arco dei eontatti per l'una e per l'altra ruota.

Figura 30: velocita di strisciameoto Delcontatto tra due denti

Come si puc, vedere in .figura.nel generieo punto di eontatto P Ie velocita dei due profili possono

essere seomposte nelle due componentinormale e tangenziale rispetto a i profili stessi; essendo questi

coniugati Ie direzioni normalee tangenziale.eoineidono per costruzione e dunque:

{

V n l = V I - C O S Y I = C D I - t ( O I P ) - e O S Y I { V o l = v 1 - C O S Y l = 0 ) 2 - f ( 0 2 P ) - C 0 5 Y 2

v t l = V I - sinv, = 0 0 I - e (O I P ) - sinv, va = v 2 - s i n Y 2 = 0 ) 2 - e ( 0 2 p ) - siny,

Per il corretto.ingranarnento ( senza distaeeo 0 interferenza ) deve .essere Vnl = Vn2 ed in effetti Ja ...

condizionee.automaticamente verificata essen do

:-vn l = 0 ) 1 - ( f ( o I P ) - e o s Y I ) = 0 ) 1 - R b i = 0 ) 2 - R b 2<

lV n 2 = 0 0 2 - ( t ( 0 2 P ) - e 0 5 Y 2 ) = ( : ) 2 - R b 2 = O )I - R b ,

Le componenti di velocita tangenziaJi possono essere riscritte corne

~V = C !) - t ( O p ) - siny = C !) - t ( r p )1 I I I I I(

( V c = 0 ) 2 - t ( O l P ) - sin y 2 = (!) 2 - t ( T2P)

e quindi gli striseiarnenti relativi risultano:

30



Ponendo allora 0 = e ( CP) sana~

{

t(TIP) = e ( ~ C ) + 0 = R b i · tgo +0

e ( T 2 p ) = e ( T 2 C ) - 5 = Rb2• tga-o

e dunque risulta

C D 1. ( R b i · tga. +0) - C D 2 • ( ~ 2 . tga. -0) tga· ( R b i · C D I - ~ 2 . C D 2 ) + O ( C D I + C D 2 ) 0 C D I+ C D2

K I = C D I.(R"I . tga. +0) = '?I . ( R b i . tga +0) = ( R " I . tga + 0)" C D IC J)

Introducendo il rapporto di trasmissione i= _ e calcolando K2 si ottiene:C! ) 2

a i+1K - .- -I- ( R b i . tgu + 0 ) i -

-0

K2 = ( ) . (i + 1 )- Rb2• tgn - 0

Si tratta di due andamenti di tipo iperbolico: muovendosi sulla retta dei contatti da T 1 verso T2 10

strisciamento specifico del dente della ruota 1 passa da -00 a 1 mentre queUo della ruota 2

esattamente al contrario va da 1 a -00, si annullano entrambi per 0 = 0 ossia in corrispondenza del

punto C in cui si verifica una condizione di puro rotolamento. Nella realta i contatti reali non

avvengono su tutto it segmento T1-T2 rna solo su una sua parte A-B delimitata dalle circonferenze

di troncatura estemadelle ruote; non .si raggiungono allora valori di strisciamento specifico infini ti

perc resta comunque it problemachee presente uno squilibrio tra 10 strisciamento specifico massimo

delle due ruote e la piu penalizzataenuovamente queUa di diametro minore. Lo spostamento dei .

profili, agendo opportunamente sull'interasse di accoppiamentoe sulle circonferenze di troncatura

estern a, permette di modellare il segmento dei contatti A-B in modo da equilibrare 10 strisciamento

specifico. -

Figura 31: andamcnto dcllo strisciamento relative nel contatto tra due denti

31

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ruote dentate curti

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