RUSNI SAMSIR H111 13 002

0

MODEL MATEMATIKA FERMENTASI BATCH ETANOL DAN

ESTIMASI PARAMETER MODEL MENGGUNAKAN METODE

MARKOV CHAIN MONTE CARLO

SKRIPSI

RUSNI SAMSIR

H111 13 002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

i

HALAMAN JUDUL

MODEL MATEMATIKA FERMENTASI BATCH ETANOL DAN

ESTIMASI PARAMETER MODEL MENGGUNAKAN METODE

MARKOV CHAIN MONTE CARLO

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Program Studi Matematika Departemen Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

RUSNI SAMSIR

H111 13 002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

ii

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN

iii

LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING

iv

HALAMAN PENGESAHAN

v

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas

segala limpahan rahmat, nikmat dan hidayah yang diberikan sehingga penulis dapat

menyelesaikan penulisan skripsi dengan judul “Model Matematika Fermentasi

Batch Etanol dan Estimasi Parameter Model Menggunakan Metode Markov

Chain Monte Carlo” sebagai salah satu syarat akademik untuk meraih gelar

sarjana pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Salawat dan salam semoga senantiasa

tercurah kepada baginda Rasulullah Nabiullah Muhammad SAW beserta

keluarga, sahabat dan para pengikutnya hingga akhir zaman.

Penulis menyadari bahwa penyelesaian tugas akhir ini tidak luput dari

bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ucapan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada kedua orang tua penulis, Ayahanda Samsir Taherong

dan Ibunda Nurhayati Stawa atas didikan, curahan limpahan kasih sayang,

dukungan, doa dan nasehat yang senantiasa diberikan sedari kecil sampai saat ini

kepada penulis. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada adik tersayang

Serni Adila Samsir dan Lidya Pratiwi Samsir atas dukungan dan doa, serta

kehadirannya yang selalu menghangatkan dan menghadirkan canda tawa ditengah-

tengah keluarga. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada keluarga besar

penulis atas doa, nasihat, dukungan, dan bantuannya baik moril maupun materil.

Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh keikhlasan

juga penulis ucapkan kepada :

1. Ibu Prof. Dr. Dwia Aries Tina Palubuhu, MA, selaku Rektor Universitas

Hasanuddin berserta seluruh jajarannya.

2. Bapak Dr. Eng. Amiruddin, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin beserta seluruh jajarannya.

3. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc, selaku Ketua Departemen

Matematika, Bapak Amran S.Si, M.Si selaku sekretaris Departemen

vi

Matematika dan selaku “pembimbing ketiga” penulis yang selalu memberikan

kritik dan saran yang membangun, segenap dosen pengajar dan staf

Departemen Matematika yang telah membekali ilmu dan kemudahan-

kemudahan kepada penulis dalam berbagai hal selama menjadi mahasiswa di

Departemen Matematika.

4. Seluruh Dosen Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Terima kasih atas ilmu dan

pengalaman yang diberikan kepada penulis selama menjalani pendidikan.

Semoga Allah SWT senantiasa membalas segala kebaikan beliau dengan

limpahan nikmat- Nya.

5. Ibu Dr. Kasbawati, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing utama atas nasehat,

dukungan, motivasi, doa dan dengan setulus hati telah meluangkan waktunya

ditengah berbagai kesibukan dan prioritasnya untuk membimbing penulis

menyelesaikan tugas akhir ini. Sesunguhnya dari beliau, penulis tak hanya

mendapat didikan tugas akhir semata, namun lebih dari pada itu. Dari beliau,

penulis belajar banyak hal tentang menjadi seorang peneliti yang professional,

berintegritas dan berdedikasi yang tinggi.

6. Bapak Andi Kresna Jaya, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing pertama dan

penasehat akademik yang telah memberikan perhatian, dukungan, motivasi dan

doa yang terbaik serta dengan penuh kesabaran senantiasa memberikan saran,

meluangkan waktu untuk berdiskusi dan dengan penuh kerendahan hati

bersedia meminjamkan ruangan beliau sebagai tempat belajar dan tempat

penyusunan tugas akhir ini.

7. Ibu Naimah Aris, S.Si., M.Math selaku Ketua Tim Penguji dengan segala

keramahan serta ketulusannya dalam memberikan koreksi dan saran dalam

penyusunan tugas akhir ini.

8. Bapak Andi Galsan Mahie, S.Si, M.Si selaku Sekretaris Tim Penguji yang

selama seminar telah memberikan kritikan yang membangun dan saran dalam

penyempurnaan penyusunan tugas akhir.

vii

9. Ibu Sri Astuti Thamrin, S.Si., M.Stat., Ph.D selaku anggota penguji yang

selama ini memberikan kritik membangun, saran, dan dukungan dalam dalam

penyempurnaan penyusunan tugas akhir.

10. Teman-teman PAKBAL yakni Pradika Mustafa, Sartika, Andi Daniah

Pahrany, Musdalifa Masdar, S.Psi, Siti Ardiyanty Badawi, Hartina Jalihu,

S.Si, I ketut Ari Wiguna, Muh. Ihsan Fatwa, Afif Budi Andy, Muflih

Mubrak Darmadi, S.Si, Erwin Sanjaya Yusuf, Muqtadir Haq, dan Yan

Partha Wikrama. Terima kasih atas bantuan, dukungan, pelajaran, dan

persaudaraan terindah yang terjalin selama perkuliahan ini. Ada banyak

kenangan dan kesan yang sulit untuk dilupakan.

11. Saudara seperjuangan di Departemen Matematika angkatan 2013, MIPA

2013 dan Binomial 2013, terkhusus Muh. Sudin Nur, Teguh Fajrin

Nugraha, Qurniatullah Hasan, Rahmat, Andi Hary Mulyadi, Puji Batari

Asis, Nuni Hardiyanti Nurdin, Nurhikmah dan Siti Surya Rahmi, S.Si,

terima kasih sudah menemani, berjuang bersama, motivasi, dan

kebersamaannya yang mewarnai hari-hari penulis selama perkuliahan.

12. Teman-teman sebapak seruangan yang menjadi saksi perjuangan penulis,

“B4P31235N4”, yaitu Mentari, Nuni, Puji, Eka, Ika, Daniah, Egi, Indah,

Mimi, Ade, Kak Ivan, Irfan, Syawal dan Aldi atas motivasi, semangat,

dukungan, serta bantuan yang diberikan dalam penyelesaian tugas akhir ini.

13. Kanda-kanda dan segenap keluarga besar Himatika FMIPA Unhas dan KM

FMIPA Unhas yang selalu memberikan semangat, pelajaran, dan pengalaman

berharga yang tidak bias didapatkan ditempat lain.

14. Adik-adik Transpose 2014, Simetris 2015 dan Algoritma 2016 yang telah

memberikan bantuan baik dalam akademik dan organisasi serta Kak Ashar dan

Kak Edi yang selalu memberikan masukan dan saran dalam penulisan tugas

akhir ini.

15. Kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu, semoga

segala dukungan dan partisipasi yang diberikan kepada penulis bernilai ibadah

disisi Allah SWT, Amiin.

viii

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu

dengan segala kerendahan hati penulis memohon maaf dan mengharapkan kritik

dan saran yang bersifat membangun yang akan penulis terima sebagai bahan

perbaikan di masa yang akan datang dengan harapan agar tulisan ini dapat

memberikan manfaat lebih bagi semua pihak.

Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah ilmu

pengetahuan bagi kita semua. Amiin Yaa Rabbal Alamin.

Makassar, 28 November 2017

Penulis

ix

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIK

Sebagai civitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di

bawah ini :

Nama : Rusni Samsir

NIM : H111 13 002

Program Studi : Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya : Skripsi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Hasanuddin Hak Bebas royalti Non-eksklusif (Non-exclusive

Royalty Free Right) atas skripsi saya yang berjudul :

“Model Matematika Fermentasi Batch Etanol dan Estimasi Parameter Model

Mengggunkan Metode Markov Chain Monte Carlo”

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka

pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola

dalam bentuk pangkalan data (database), merawat dan mempublikasikan skripsi

saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Makassar pada tanggal 28 November 2017

Yang menyatakan

Rusni Samsir

x

ABSTRAK

Dalam tugas akhir ini model matematika dikembangkan untuk menggambarkan

proses fermentasi pembentukan etanol secara batch dengan menggunakan

mikroorganisme Saccharomyces Cerevisiae dan alga Spirogyra Peipingensis

sebagai bahan baku. Dalam model tersebut terdapat tiga variabel eksperimen yang

ditinjau yaitu substrat (glukosa), sel, dan produk (etanol) serta terdapat sembilan

parameter kinetik yang digunakan untuk memodelkan proses fermentasi batch

tersebut. Perubahan konsentrasi glukosa, sel dan etanol di dalam media

pertumbuhan dimodelkan menggunakan persamaan diferensial biasa yang

diintegrasikan secara numerik menggunkan metode Runge-Kutta orde 4. Nilai

kinetik dari kesembilan parameter model diestimasi menggunakan metode Markov

Chain Monte Carlo dimana penyelesaian estimasi parameter tersebut melibatkan

proses optimasi berupa minimasi jarak antara solusi model dengan nilai data

eksperimen. Nilai parameter yang dihasilkan digunakan untuk mendapatkan solusi

model yang diharapkan dapat menggambarkan dinamika konsumsi glukosa, etanol

dan sel. Hasil tersebut menjadi alat validasi dari model yang dibangun. Kesesuaian

antara solusi model dan data hasil eksperimen menunjukkan bahwa model yang

dibangun dapat digunakan untuk memprediksi perilaku dinamis bioproses yang

dimodelkan.

Kata kunci : Fermentasi Etanol, Metode Batch, Model Kinetik, Metode Runge-

Kutta, Metode MCMC.

xi

ABSTRACT

In this study, a mathematical model was developed to describe a batch fermentation

process, a chemical conversion process by Saccharomyces Cerevisiae

microorganism using Spirogyra Peipingensis algae as the raw material. Three

experimental variables were considered, i.e. substrate (glucose), cell, and product

(ethanol), and nine kinetic parameters were included to model the batch

fermentation system. The rate of the change of glucose, cell and ethanol

concentrations in the culture medium were modeled by using a set of ordinary

differential system which were integrated numerically using the 4th-order Runge-

Kutta method. The kinetic values of the nine model parameters were estimated

using Markov Chain Monte Carlo (MCMC) method where the estimation process

involved an optimization procedure. The optimization problem was simply defined

as finding the optimal distance between the model solutions and the experimental

data values. The resulting parameter values were used to generate the solutions of

the model that are expected can imitate the trend of glucose consumption, ethanol

production and the growth of yeast cell. This estimation result was a tool to validate

the generated model. The suitability between model solution and experimental data

showed that the formulated model could be used to predict the dynamical behavior

of modeled bioprocesses.

Keywords : Ethanol Fermentation, Batch Method, Kinetic Modelling, Runge-

Kutta Method, MCMC Method.

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN ................................................... ii

LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

KATA PENGANTAR ........................................................................................... v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .............................................. ix

ABSTRAK ............................................................................................................. x

ABSTRACT .......................................................................................................... xi

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xii

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL .............................................................................................. xvi

DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................... xvii

BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ...................................................................... 3

1.3 Batasan Masalah......................................................................... 3

1.4 Tujuan Penulisan ........................................................................ 3

1.5 Manfaat Penulisan ...................................................................... 4

1.6 Sistematika Penulisan ................................................................ 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................................... 5

2.1 Fermentasi................................................................................... 5

2.2. Model Kinetika Pertumbuhan Sel .............................................. 6

2.3. Titik Kesetimbangan Sistem ...................................................... 8

2.4. Kestabilan Titik Kesetimbangan ............................................... 8

2.5. Estimasi Parameter .................................................................... 9

2.5.1. Pendekatan Bayesian .................................................................................. 9

2.5.2. Fungsi Likelihood ......................................................................................... 9

2.5.3. Distribusi Prior ..........................................................................................10

2.5.4. Distribusi Posterior ...................................................................................11

2.6. Komputasi Bayesian ................................................................. 12

xiii

2.6.1. Markov Chain Monte Carlo .......................................................................12

2.6.2. Algoritma Metropolis-Hasting ..................................................................13

2.7. Data Fermentasi Etanol ........................................................... 13

BAB III MODEL KINETIKA FERMENTASI BATCH PADA PRODUKSI

BIOETANOL ....................................................................................... 16

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 20

4.1 Analisis Model ........................................................................... 20

4.2 Estimasi Parameter .................................................................. 22

4.2.1 Fungsi Likelihood .......................................................................................22

4.2.2 Distribusi Prior ..........................................................................................23

4.2.3 Distribusi Posterior ...................................................................................25

4.2.4 Algoritma Metropolis-Hastings ................................................................26

4.3 Estimasi Parameter menggunakan Algoritma Metropolis

Hasting ...................................................................................... 27

4.4 Validasi Model Dengan Data Hasil Eksperimen ..................... 34

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 51

5.1 Kesimpulan................................................................................ 51

5.2 Saran .......................................................................................... 52

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 53

LAMPIRAN ......................................................................................................... 56

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Ilustrasi dari : (a) Sistem fermentasi batch, (b) Sistem fermentasi

fed-batch, dan (c) Sistem fermentasi kontinu. ................................... 6

Gambar 2. 2 Data eksperimen fermentasi etanol dengan metode

batch……..………………………………………………………….14

Gambar 2. 3 Hasil interpolasi eksperimen fermentasi etanol ............................... 15

Gambar 3. 1 Hubungan antara laju pertumbuhan spesifik sel 𝜇 terhadap

konsentrasi substrat dan konsentrasi produk………………………...17

Gambar 4. 1 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 1000

iterasi…………………………………………………………….....28

Gambar 4. 2 Grafik posterior untuk 10.000 iterasi………………………………29

Gambar 4. 3 Grafik posterior untuk 100.000 iterasi. ............................................ 30

Gambar 4. 4 Grafik posterior untuk 1.000.000 iterasi. ......................................... 31

Gambar 4. 5 Grafik posterior untuk 2.000.000 iterasi. ......................................... 32

Gambar 4. 6 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk

1.000 iterasi. ..................................................................................... 35


10.000 iterasi. ................................................................................... 35


100.000 iterasi……………………………………………………….36


1.000.000 iterasi. .............................................................................. 36


2.000.000 iterasi. ............................................................................ 37

Gambar 4. 11 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000 iterasi. ... 37

Gambar 4. 12 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 10.000 iterasi. . 38

Gambar 4. 13 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 100.000 iterasi38

Gambar 4. 14 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000.000

iterasi. ............................................................................................. 39

xv

Gambar 4. 15 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 2.000.000

iterasi. ............................................................................................. 39

Gambar 4. 16 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 1.000

iterasi. ............................................................................................. 40


iterasi. ............................................................................................. 40

Gambar 4. 18 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk

100.000 iterasi. ............................................................................... 41


1.000.000 iterasi. ............................................................................ 41


2.000.000 iterasi. ............................................................................ 42

Gambar 4. 21 Nilai error glukosa untuk setiap iterasi. ......................................... 45

Gambar 4. 22 Nilai error sel untuk setiap iterasi. ................................................. 45

Gambar 4. 23 Nilai error etanol untuk setiap iterasi. ............................................ 46

Gambar 4. 24 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk

1000 iterasi. .................................................................................... 46


10.000 iterasi. ................................................................................. 47


100.000 iterasi. ............................................................................... 47


1.000.000 iterasi. ............................................................................ 48


1000 iterasi. .................................................................................... 48

Gambar 4. 29 Grafik standar deviasi untuk error untuk 1.000 iterasi. .................. 50

xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 2. 1 Konsentrasi glukosa, bimossa sel, dan etanol (Sari, 2017). ................. 14

Tabel 3. 1 Deskripsi variabel dan parameter model kinetik fermentasi etanol

dengan metode batch…….............……………....................................19

Tabel 4. 1 Nilai dari parameter-parameter yang digunakan pada

model…….............................................................................................33

Tabel 4. 2 Nilai Error untuk masing-masing variabel ........................................... 44

xvii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Output dari Program untuk 1.000 Iterasi .......................................... 57

Lampiran 2 Data Hasil Eksperimen Pembuatan Etanol ........................................ 62

Lampiran 3 Solusi Model untuk 1.000 Iterasi...................................................... 64

Lampiran 4 Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 1.000 Iterasi ................ 74

Lampiran 5 Perbandingan Antara Data dan Model ............................................. 84

Lampiran 6 Tabel Standar Deviasi untuk Error untuk 1.000 Iterasi .................... 85

Lampiran 7 Main Program ................................................................................... 92

Lampiran 8 Fungsi Model .................................................................................... 96

Lampiran 9 Fungsi Error ...................................................................................... 97


1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bioetanol telah diteliti dan direkomendasikan oleh banyak peneliti sebagai

sumber bahan bakar alternatif terbarukan dan berkelanjutan (Balat dkk., 2008;

Corro dkk., 2008; Sassner dkk., 2008). Produksi etanol sebagai bahan bakar

alternatif telah menjadi topik yang sangat diminati sejak krisis minyak dari tahun

1970an (Tao dkk., 2005).

Etanol diproduksi melalui proses fermentasi. Bahan baku untuk proses

fermentasi berupa bahan mentah seperti monosakarida atau disakarida (gula tebu,

tetes tebu), bahan berpati (padi, jagung, umbi), dan bahan selulosa (kayu, limbah

pertanian). Mikroorganisme yang dapat digunakan dalam proses fermentasi etanol

adalah Saccharomyces cerivisiae, Saccharomyces uvarum (Saccharomyces

carlsbergensis), Candida utilis, Saccharomyces anamensis, Schizosccharomyces

pombe. Saccharomyces cerevisiae merupakan mikroorganisme yang paling banyak

digunakan karena memiliki produktivitas etanol yang tinggi sehingga dapat

digunakan dalam skala besar untuk produksi bioetanol (Balat dkk., 2008; Liu dkk.,

2008). Proses produksi etanol dapat melalui beberapa metode produksi, salah

satunya yaitu metode fermentasi batch. Pada metode fermentasi batch dilakukan

dengan cara memasukkan media dan inkolum secara bersamaan ke dalam

bioreaktor dan pengambilan produk dilakukan pada akhir fermentasi (Rusmana,

2008). Metode ini banyak digunakan dalam skala laboratorium karena metode ini

relatif sederhana dan tidak memerlukan alat-alat khusus.

Model sederhana yang diformulasikan untuk menggambarkan proses

fermentasi batch adalah model tidak terstruktur. Hal tersebut dikarenakan model ini

tidak memperhitungkan perubahan intraselular, keadaan atau keseimbangan dalam

sel (diasumsikan bahwa proses metabolisme dalam keadaan seimbang) (Balat dkk.,

2008; Sassner dkk., 2008). Sedangkan pada model terstruktur, struktur biomassa

didefinisikan dengan menggunakan lebih dari satu variabel, yang mewakili


2

komponen sel, seperti kandungan RNA, enzim, reaktan dan produk

(Charalampopoulos dkk., 2009).

Salah satu kajian menarik dari model tidak terstruktur adalah estimasi nilai

parameter model kinetik. Penelitian tentang metode estimasi nilai parameter model

fermentasi etanol telah dikaji oleh beberapa peneliti, antara lain Skolkap dkk

(2004) yang melakukan penelitian tentang optimasi fermentasi fed-batch dengan

menggunakan metode estimasi parameter Markov Chain, Phisalaphong dkk (2006)

yang memodelkan pengaruh suhu pada proses fermentasi batch dengan

menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS), Kostov dkk (2012) yang

mebandingkan beberapa model fermentasi batch alkohol dengan menggunakan

metode kuadrat error terkecil dan Olievera dkk (2016) yang meneliti tentang model

kinetik proses fermentasi batch dengan menggunakan metode regresi non-linear.

Pada penelitian ini penulis tertarik untuk memodelkan proses fermentasi metode

batch dan memanfaatkan data fermentasi hasil eksperimen untuk mengestimasi

nilai parameter dari model yang dibangun menggunakan metode Markov Chain

Monte Carlo. Metode Markov Chain Monte Carlo merupakan metode simulasi

untuk mendapatkan data sampel dari suatu variabel acak dengan teknik sampling

yang menggunakan sifat rantai Markov. Metode Markov Chain Monte Carlo

(MCMC) memiliki kemampuan yang efektif untuk menentukan nilai estimasi

parameter suatu variabel acak yang berdimensi tinggi sehingga memerlukan sebuah

solusi alternatif dengan pendekatan numerik. Berdasarkan uraian tersebut maka

penulis melakukan sebuah penelitian yang dituliskan dalam bentuk skripsi yang

diberi judul :

Model Matematika Fermentasi Batch Etanol dan Estimasi Parameter Model

Menggunakan Metode Markov Chain Monte Carlo.


3

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana memodelkan proses pembentukan etanol dengan metode fermentasi

batch?

2. Bagaimana menganalisis kestabilan model matematika pada proses

pembentukan etanol dengan metode fermentasi batch?

3. Bagaimana mengestimasi nilai parameter model yang telah dibangun

menggunakan data eksperimen fermentasi etanol?

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah dalam penelitian ini diberikan dari beberapa

asumsi berikut, yaitu :

1. Proses fermentasi yang dimodelkan adalah proses fermentasi etanol dengan

metode batch.

2. Proses fermentasi etanol terjadi pada kondisi yang ideal.

3. Model yang dibangun merupakan model tidak terstruktur yang hanya

memperhatikan variabel glukosa sebagai substrat, etanol sebagai produk, dan

sel Saccharomyces Cerevisiae sebagai mikroorganisme pelaku fermentasi.

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Membangun model matematika dari proses fermentasi etanol dengan metode

fermentasi batch.

2. Menganalisis kestabilan titik kesetimbangan model matematika pada proses

pembentukan etanol dengan metode fermentasi batch.

3. Mengestimasi nilai parameter kinetik dari model menggunakan metode

Markov Chain Monte Carlo (MCMC).


4

1.5 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Memberikan gambaran bagaimana proses fermentasi dapat direpresentasikan

dalam bahasa matematika (model matematika).

2. Memberikan pemahaman mengenai metode estimasi parameter yang dapat

digunakan untuk mengestimasi parameter model dengan menggunakan data

hasil eksperimen.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan

sistematika penulisan.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini membahas mengenai fermentasi, model kinetika fermentasi,

model kinetika pertumbuhan sel, titik kesetimbangan sistem, kestabilan

titik kesetimbangan, estimasi parameter, metode Markov Chain Monte

Carlo serta data fermentasi etanol.

BAB III MODEL KINETIKA FERMENTASI BATCH PADA PRODUKSI

BIOETANOL

Pada bab ini membahas tentang pengkonstruksian model kinetika

fermentasi batch.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini membahas tentang analisis model, fungsi likelihood,

distribusi prior, distribusi posterior, algoritma Metropolis-Hastings,

estimasi parameter dengan algoritma Metropolis-Hastings, dan validasi

model dengan data hasil eksperimen.

BAB V PENUTUP

Memuat kesimpulan dan saran yang diperoleh dari pembahasan yang

telah dilakukan.


5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Fermentasi

Fermentasi adalah reaksi kimia yang melibatkan hidrolisis enzimatik

sukrosa menjadi glukosa dan fruktosa diikuti oleh produksi etanol dan karbon

dioksida dari gula sederhana (Demirbas., 2007). Ada tiga jenis mikroorganisme

yang bisa digunakan dalam fermentasi etanol, yaitu ragi, bakteri dan jamur (Naik

dkk., 2010). Enzim invertase mengkatalisis hidrolisis sukrosa menjadi glukosa dan

fruktosa, seperti yang ditunjukkan pada Persamaan 2.1,

𝐶12𝐻22𝑂11 𝐶6𝐻12𝑂2 + 𝐶6𝐻12𝑂6 ∙ (2.1)

Selanjutnya enzim zymase merubah glukosa menjadi fruktosa dan etanol

ditunjukkan oleh Persamaan 2.2,

𝐶6𝐻12𝑂6 2𝐶2𝐻5𝑂𝐻 + 2𝐶𝑂2. (2.2)

Fermentasi berasal dari kata fervere yang berarti mendidihkan. Seiring

perkembangan teknologi, definisi fermentasi meluas menjadi semua proses yang

melibatkan mikroorganisme untuk menghasilkan suatu produk primer dan produk

sekunder dalam suatu lingkungan yang dikendalikan. Pada mulanya istilah

fermentasi digunakan untuk menunjukkan proses perubahan glukosa menjadi

etanol yang berlangsung secara anaerob. Istilah tersebut kemudian berkembang

lagi menjadi seluruh perombakan senyawa organik yang dilakukan

mikroorgansme dengan melibatkan enzim yang dihasilkannya. Fermentasi adalah

perubahan struktur kimia dari bahan-bahan organik dengan memanfaatkan agen

biologis terutama enzim sebagai biokatalis (Nugraha., 2014).

Secara umum metode fermentasi terbagi atas 3 (tiga), yaitu metode

fermentasi batch, metode fermentasi fed-batch dan metode fermentasi kontinu.

Pada metode fermentasi batch dilakukan dengan cara memasukkan media dan

inkolum secara bersamaan ke dalam bioreaktor dan pengambilan produk

dilakukan pada akhir fermentasi. Pada metode fermentasi fed-batch dilakukan

dengan cara memasukkan sebagian sumber nutrisi ke dalam bioreaktor dengan


6

volume tertentu hingga diperoleh produk yang mendekati maksimal, akan tetapi

konsentrasi sumber nutrisi dibuat konstan. Pada metode ini, media baru

ditambahkan secara teratur tanpa mengeluarkan produk hasil fermentasi.

Sedangkan pada metode fermentasi kontinu, pengaliran subtrat dan pengambilan

produk dilakukan secara terus menerus (kontinu) setiap saat setelah diperoleh

konsentrasi produk maksimal atau subtrat pembatasnya mencapai konsentrasi

yang hampir tetap (Rusmana., 2008). Gambar 2.1. merupakan ilustrasi fermentasi

etanol dengan menggunakan metode batch, fed-batch dan kontinu.

Gambar 2. 1 . Ilustrasi dari : (a) Sistem fermentasi batch, (b) Sistem fermentasi

fed-batch, dan (c) Sistem fermentasi kontinu.

2.2. Model Kinetika Pertumbuhan Sel

Model kinetika fermentasi adalah sebuah model yang menggambarkan

pertumbuhan dan pembentukan produk oleh mikroorganisme. Bukan hanya

pertumbuhan sel aktif, akan tetapi juga kegiatan-kegiatan sel yang istirahat dan sel

yang telah mati (Didu., 2010). Model kinetika pertumbuhan yang paling terkenal

adalah model kinetik Monod. Model ini merepresentasikan pertumbuhan sel yang

diperkenalkan ke dunia pada tahun 1949 oleh Jacques Monod (Monod., 1949).


7

Misalkan 𝑋 menyatakan konsentrasi sel (g/l) dan 𝜇 adalah laju

pertumbuhan spesifik sel (h-1), maka laju perubahan konsentrasi sel terhadap waktu

dimodelkan sebagai berikut :

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝜇𝑋. (2.3)

Selama fermentasi batch, laju pertumbuhan spesifik sel dipengaruhi oleh

konsentrasi nutriennya. Hubungan antara laju pertumbuhan spesifik sel dengan

glukosa dapat dilihat pada persamaan berikut (Monod, 1949) :

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝐾𝑠𝑥 + 𝑆 , (2.4)

dengan 𝑆 menyatakan konsentrasi glukosa (g/l), 𝜇𝑚𝑎𝑥 menyatakan laju maksimum

pertumbuhan spesifik sel (h-1), dan 𝐾𝑠𝑥 menyatakan konsentrasi glukosa yang

mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai setengah dari laju

maksimum.

Laju konsumsi substrat dan laju pembentukan produk oleh sel dapat

diperoleh melalui koefisien yield. Koefisien tersebut menyatakan rasio laju

produksi terhadap laju konsumsi untuk suatu pasangan substrat dan produk

(Kasbawati, 2015). Pertumbuhan dan pembentukan produk oleh mikroorganisme

merupakan proses biokonversi, dimana nutrient kimiawi dikonversi menjadi massa

sel dan metabolit-matabolit. Setiap konversi dapat dinyatakan sebagai koefisien

hasil (koefisein yield). Rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa

dan rasio laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa secara berturut-turut

dilihat pada Persamaan (2.5) dan Persamaan (2.6), (Kasbawati., 2015), yaitu :

𝑌𝑐𝑔 = −𝑑𝐶(𝑡)

𝑑𝐺(𝑡) , (2.5)

𝑌𝑒𝑔 = −𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝐺(𝑡) . (2.6)

dengan 𝑌𝑐𝑔 adalah rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa dan

𝑌𝑒𝑔 adalah rasio laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa.


8

2.3. Titik Kesetimbangan Sistem

Titik kesetimbangan menunjukkan suatu keadaan dari sistem yang tidak

berubah terhadap waktu. Suatu titik �̅� ∈ ℝ𝑛 dikatakan titik kesetimbangan

(equilibrium point) dari

�̇� = 𝒇(𝒙) untuk 𝒙 ∈ ℝ𝑛

(2.7)

jika memenuhi

𝒇(�̅�) = 𝟎,

Dengan

𝒇(𝒙) = (

𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

⋮𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

).

2.4. Kestabilan Titik Kesetimbangan

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (2.7) dengan 𝒙 ̅ sebagai

titik kesetimbangan. Misalkan matriks Jacobi dari Persamaan (2.7) dititik

kesetimbangan �̅� adalah

𝐴 =

(

𝜕𝑓1(�̅�)

𝜕𝑥1…

𝜕𝑓1(�̅�)

𝜕𝑥𝑛⋮ ⋱ ⋮

𝜕𝑓𝑛(�̅�)

𝜕𝑥1…

𝜕𝑓𝑛(�̅�)

𝜕𝑥𝑛 )

.

Kestabilan titik kesetimbangan �̅� dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-

nilai eigen dari persamaan karakteristik matriks Jacobi 𝑨, yaitu 𝜆𝑖, 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛.

Nilai eigen (𝜆𝑖) merupakan solusi dari persamaan karakteristik dapat diperoleh dari

det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 0 dengan I adalah suatu matriks identitas berukuran 𝑛𝑥𝑛.

Secara umum kestabilan suatu titik kesetimbangan mempunyai perilaku

sebagai berikut:

1. Stabil, jika

a. 𝑅𝑒(𝜆𝑖) < 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dengan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) adalah bilangan real,

atau

b. Terdapat 𝑅𝑒(𝜆𝑗) = 0 untuk sebarang 𝑗 dan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) < 0 untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗.


9

2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dengan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) > 0.

dengan 𝑅𝑒(𝜆𝑖) adalah bagian real dari nilai eigen 𝜆𝑖.

2.5. Estimasi Parameter

2.5.1. Pendekatan Bayesian

Dalam teori estimasi, dikenal dua pendekatan yaitu pendekatan statistika

klasik dan pendekatan statistika Bayesian. Statistika klasik sepenuhnya

mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil dari populasi.

Sedangkan statistika Bayesian, disamping memanfaatkan data sampel yang

diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut

prior. Inferensi statistik dengan pendekatan statistika Bayesian berbeda dengan

pendekatan statistika klasik. Pendekatan statistika klasik memandang parameter 𝜃

sebagai parameter yang bernilai tetap. Pendekatan statistika Bayesian memandang

parameter 𝜃 sebagai variabel acak yang memiliki distribusi, disebut distribusi prior.

Dari distribusi prior selanjutnya dapat ditentukan distribusi posterior sehingga

diperoleh estimator Bayesian yang merupakan mean atau modus dari distribusi

posterior (Hidayah, 2010).

2.5.2. Fungsi Likelihood

Fungsi likelihood merupakan fungsi kepadatan bersama 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; )

dari variabel-variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛. Misal terdapat n pengamatan

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 yang masing-masing mempunyai suatu fungsi kepadatan peluang

𝑓(𝑥, 𝜃). Fungsi likelihood dari fungsi yang bergantung terhadap 𝜃 dinotasikan

dengan 𝐿(𝜃), yakni 𝐿(𝜃) = 𝑓𝑥(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; ) atau :

𝑳(𝜽) =∏𝒇𝒙(𝒙𝒊; 𝜽)

𝒏

𝒊=𝟏

∙ (2.8)


10

2.5.3. Distribusi Prior

Distribusi Prior merupakan distribusi awal yang harus diketahui untuk

menentukan distribusi posterior suatu data. Jika dalam menentukan distribusi prior

tidak tepat, maka distribusi posterior juga tidak akan tepat. Sehingga dalam alur

kerja metode Bayesian sangatlah perlu untuk menentukan distribusi prior dengan

tepat. Permasalahan utama dalam metode Bayesian adalah bagaimana memilih

distribusi prior 𝜋(𝜃), dimana prior menunjukkan ketidakpastian tentang parameter

𝜃 yang tidak diketahui. Box dan Tiao (1973) membagi prior menjadi beberapa

kelompok berdasarkan fungsi likelihoodnya :

1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya

a. Distribusi prior konjugat (conjugate), mengacu pada acuan analisis model

terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam

penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola

distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi kepadatan

peluang pembangun likelihoodnya.

b. Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian prior

pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi

likelihoodnya.

2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi

prior tersebut.

a. Distribusi prior non-informatif, apabila pemilihan distribusi priornya tidak

didasarkan pada informasi yang ada sebelumnya. Apabila pengetahuan

tentang prior sangat lemah, maka dapat digunakan prior berdistribusi

normal dengan rata-rata nol dan variansi besar. Efek dari penggunaan prior

dengan rata-rata nol adalah estimasi parameternya dihaluskan menuju nol.

Tetapi, karena pemulusan ini dilakukan oleh varian, maka pemulusan

tersebut bisa diturunkan dengan meningkatkan varian.

b. Distribusi prior informatif, mengacu pada pemberian parameter dari

distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak.


11

2.5.4. Distribusi Posterior

Salah satu hal yang penting dalam tahapan estimasi dengan metode

bayesian adalah menentukan distribusi posterior. Distribusi Posterior dapat

diketahui dengan cara mengalikan distribusi prior dengan fungsi likelihood.

Distribusi posterior merupakan fungsi kepadatan bersyarat 𝜃 jika nilai observasi X

diketahui yang dituliskan pada persamaan (2.9):

𝑓(𝜃|𝑥𝑖) =𝑓(𝜃, 𝑥𝑖)

𝑓(𝑥𝑖) . (2.9)

Jika 𝜃 kontinu maka distribusi prior dan posterior 𝜃 dinyatakan dengan

fungsi kepadatan. Fungsi kepadatan bersyarat satu variabel acak jika diketahui nilai

variabel acak kedua adalah fungsi kepadatan bersama dua variabel acak itu dibagi

dengan fungsi kepadatan marginal variabel acak kedua. Tetapi, fungsi kepadatan

bersama 𝑓(𝜃, 𝑥𝑖) dan fungsi kepadatan marginal 𝑓(𝑥𝑖) pada umumnya tidak

diketahui, hanya distribusi prior dan fungsi likelihood yang biasanya dinyatakan

(Rahmi, 2016).

Reskianti (2013) menuliskan bahwa menurut Soejoeti dan Soebanar (1988)

fungsi kepadatan bersama yang diperlukan dapat ditulis dalam bentuk distribusi

prior dan fungsi likelihood diberikan pada persamaan (2.10):

𝑓(𝜃, 𝑥𝑖) = 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃) , (2.10)

𝑓(𝑥𝑖; 𝜃) merupakan fungsi likelihood dan 𝑓(𝜃) merupakan distribusi prior.

Selanjutnya diketahui fungsi marginal sebagai persamaan (2.11):

𝑓(𝑥𝑖) = ∫ 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)𝑑∞

0

𝜃, (2.11)

sehingga fungsi kepadatan posterior untuk variabel acak kontinu dapat ditulis

sebagai persamaan (2.12):

𝑓(𝜃|𝑥𝑖) = 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)

∫ 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)𝑑∞

0𝜃 , (2.12)

sedangkan untuk variabel acak diskrit, fungsi kepadatan posterior diberikan pada

persamaan (2.13):

𝑓(𝜃|𝑥𝑖) =𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)

∑ 𝑓(𝜃)𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)Θ ∙

(2.13)


12

2.6. Komputasi Bayesian

2.6.1. Markov Chain Monte Carlo

Metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) merupakan metode simulasi

untuk mendapatkan data sampel dari suatu variabel acak dengan teknik sampling

yang menggunakan sifat rantai Markov. Menurut Walsh (2004). MCMC digunakan

untuk mendapatkan nilai estimasi parameter dengan mensimulasikan pengambilan

sampel secara langsung dari distribusi posterior yang kompleks. MCMC cukup

efektif untuk menentukan nilai estimasi parameter suatu variabel acak yang

berdimensi tinggi sehingga memerlukan sebuah solusi alternatif dengan pendekatan

numerik.

Ada beberapa teknik yang tersedia untuk integrasi numerik dan sebagian

besar metode yang ada sangat berhubungan dengan ide yang ada pada integral

Monte Carlo. Teknik integrasi dengan MCMC dilakukan untuk memperoleh sebuah

nilai harapan (expectation). Dalam bentuk yang sederhana dapat dituliskan seperti

pada persamaan (2.14):

∫ 𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ≅1

𝑛∑𝑓(𝑥𝑖) ,

𝑛

𝑖=1

𝑎

𝑏

(2.14)

dimana nilai 𝑥1, 𝑥2, ……𝑥𝑛 dapat diperoleh dari kepadatan 𝑝(𝑥) dalam interval

(𝑎, 𝑏). Dalam analisis paling sederhana dapat menggunakan distribusi uniform

(𝑎, 𝑏). Pada analisis Bayesian, penggunaan MCMC dapat mempermudah

analisisnya, sehingga keputusan yang diambil dari hasil analisis dapat dilakukan

dengan cepat dan tepat.

Menurut Iriawan (2001) terdapat dua kemudahan yang diperoleh dari

penggunaan metode MCMC pada analisis Bayesian. Pertama, metode MCMC

dapat menyederhanakan bentuk integral yang kompleks dengan dimensi besar

menjadi bentuk integral yang sederhana dengan satu dimensi. Kedua, dengan

menggunakan metode MCMC, estimasi densitas data dapat diketahui dengan cara

membangkitkan suatu rantai Markov yang berurutan sebanyak 𝑁 yang cukup besar.

dari distribusi marginal secara tidak langsung tanpa menghitung densitasnya.


13

2.6.2. Algoritma Metropolis-Hasting

Salah satu algoritma pada metode MCMC adalah algoritma Metropolis-

Hasting (MH). Penggunaan Algoritma Metropolis-Hasting menitikberatkan jika

terdapat salah satu parameter yang tidak diketaui, serta untuk membangkitkan

barisan sampel menggunakan mekanisme penerimaan dan penolakan. Algoritma

Metropolis-Hasting digunakan untuk membantu membangkitkan sampel-sampel

acak dari distribusi posterior yang diinginkan.

Misalkan 𝑓(𝑥) adalah fungsi kepadatan peluang, 𝑥(𝑗) adalah variabel acak

dan 𝑞(𝑥|𝑥(𝑗)) adalah distribusi prior yang akan digunakan, secara umum langkah-

langkah algortima ini diberikan sebagai berikut :

1. Bangkitkan sampel 𝑥∗~ 𝑞(𝑥|𝑥(𝑗)) .

2. Hitung nilai peluang penerimaan

𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗) = 𝑚𝑖𝑛 {1,𝑓(𝑥∗)𝑞(𝑥(𝑗)|𝑥∗)

𝑓(𝑥(𝑗))𝑞(𝑥∗|𝑥(𝑗))}

3. Perbaharui nilai 𝑥(𝑗) dengan aturan sebagai berikut :

𝑥(𝑗+1) = {𝑥∗, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝛼 ≤ 𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗)

𝑥(𝑗), 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

dengan 𝛼 ~𝒰(0,1) dimana 𝒰 distribusi seragam pada (0,1).

2.7. Data Fermentasi Etanol

Data yang digunakan adalah data hasil penelitian Desi Mukti Sari pada

tahun 2017 yang meneliti tentang fermentasi Alga Spirogyra Peipingensis menjadi

bioetanol dengan menggunakan nutrisi fermentasi organik dan anorganik. Pada

hasil penelitian tersebut, peneliti mengukur data kadar gula, biomassa sel, dan

pembentukan etanol melalui penambahan nutrisi anorganik yang dilakukan selama

4 hari. Data tersebut disajikan dalam Tabel 2.1.


14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Durasi Fermentasi (Hari)

Konsentr

asi (g

/l)

Glukosa

Sel

Etanol

Gambar 2. 2 Data eksperimen fermentasi etanol dengan metode batch (Sari, 2017).

Tabel 2. 1 Konsentrasi glukosa, bimossa sel, dan etanol (Sari, 2017).

Durasi

Fermentasi

Kadar Glukosa

(g/l) Biomassa sel (g/l) Etanol (g/l)

0 jam 0,6 0,37 0

24 jam 0,06 1.87 0,26

48 jam 0,04 2,52 0,27

72 jam 0,04 2,52 0,28

96 jam 0,04 2,52 0,28

Data hasil fermentasi etanol dengan metode batch dalam Tabel 2.1. dapat dilihat

dalam gambar berikut :

Data hasil penelitian pada Tabel 2.1 kemudian diinterpolasi menjadi 50 data.

Jumlah 50 data dipilih karena pola pada jumlah data tersebut dapat terlihat dengan

jelas. Tujuan dari interpolasi data tersebut adalah untuk menentukan nilai yang

berada di antara dua nilai yang diketahui. Dalam penelitian ini, data pada Tabel 2.1

yang hanya berjumlah 5 buah data diinterpolasi menjadi 50 data. Hasil Interpolasi

data hasil eksperimen dapat dilihat pada Gambar 2.3.


15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3Data Eksperimen

Durasi Fermentasi (hari)

Konsentr

asi (g

/l)

Glukosa

Sel

Etanol

Gambar 2. 3 Hasil interpolasi eksperimen fermentasi etanol dengan metode batch.


16

BAB III

MODEL KINETIKA FERMENTASI BATCH PADA PRODUKSI

BIOETANOL

Pada bagian ini dikonstruksi model matematika dari proses fermentasi

etanol dengan metode batch. Tinjau model matematika dari laju pertumbuhan sel

dalam Persamaan (2.3), yaitu :

𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇𝑋(𝑡), (3.1)

dengan 𝑋(𝑡) menyatakan konsentrasi sel (g/l) pada saat 𝑡 dan 𝜇 menyatakan laju

pertumbuhan spesifik sel (h-1) yang diberikan dalam Persamaan (2.4), yaitu :

𝜇 = 𝜇𝑚𝐺(𝑡)

𝐾𝑔 + 𝐺(𝑡) . (3.2)

Lambang 𝐺(𝑡) menyatakan konsentrasi glukosa (g/l) pada saat 𝑡, 𝜇𝑚𝑎𝑥

menyatakan laju maksimum pertumbuhan spesifik sel (h-1), dan 𝐾𝑔 menyatakan

konsentrasi glukosa yang mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai

setengah dari laju maksimum. Dalam model pertumbuhan sel ini, diasumsikan

bahwa terdapat interaksi antara sel selama proses fermentasi berlangsung sehingga

laju pertumbuhan sel menjadi :

𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇𝑋(𝑡) (1 −

𝑋(𝑡)

𝑋𝑐), (3.1)

dengan 𝑋𝑐 menyatakan konsentrasi maksimal dari sel ragi pada kondisi tertentu.

Hal ini berarti bahwa bahwa pertambahan populasi sel akan memberikan efek

inhibisi pada pertumbuhan sel itu sendiri diakibatkan dari adanya keterbatasan

sumber nutrisi (carryng capacity).

Diasumsikan pula bahwa pertumbuhan sel dipengaruhi oleh keberadaan

glukosa sebagai substrat dan etanol sebagai produk. Pengaruh konsentrasi glukosa

dan etanol yang cukup tinggi menyebabkan pertumbuhan sel mengalami inhibisi

(Levenspiel., 1999). Jika dimisalkan 𝐺𝑐 dan 𝐸𝑐 secara berturut-turut merupakan


17

konsentrasi maksimal dari glukosa dan etanol yang menyebabkan pertumbuhan sel

terhambat, dengan 0 ≤ 𝐺(𝑡) ≤ 𝐺𝑐 dan 0 ≤ 𝐸(𝑡) ≤ 𝐸𝑐 maka efek inhibisi terhadap

pertumbuhan sel dapat dimodelkan sebagai berikut :

𝜇 = 𝜇𝑚𝐺(𝑡)

𝐾𝑔 + 𝐺(𝑡)(1 −

𝐺(𝑡)

𝐺𝑐)𝑛

(1 −𝐸(𝑡)

𝐸𝑐)𝑛

, (3.2)

dengan 𝐸(𝑡) menyatakan konsentrasi etanol pada saat 𝑡. Pada saat konsentrasi 𝐺(𝑡)

sama dengan 𝐺𝑐 atau 𝐸(𝑡) sama dengan 𝐸𝑐 maka fungsi (1 −𝐺(𝑡)

𝐺𝑐) atau (1 −

𝐸(𝑡)

𝐸𝑐)

akan bernilai 0 (nol) yang berarti bahwa laju pertumbuhan sel akan berhenti (lihat

Gambar 3.1). Lambang 𝑛 menyatakan orde inhibisi, dimana pada penelitian ini

dipilih 𝑛 = 1 (efek inhibisi bersifat linier).

𝑛 =1

2

𝑛 = 1

𝑛 = 2

𝜇𝑚𝐺(𝑡)

𝐾𝑔 + 𝐺(𝑡)

𝜇 Aktivitas sistem meningkat sampai mendekati

𝐺𝑐 atau 𝐸𝑐

Jika Konsentrasi glukosa dan etanol meningkat

maka nilai 𝜇𝑚𝐺(𝑡)

𝐾𝑔+𝐺(𝑡) menurun secara linear

Nilai 𝜇𝑚𝐺(𝑡)

𝐾𝑔+𝐺(𝑡) menurun secara

eksponensial

𝐺(𝑡), 𝐸(𝑡)

0 𝐺𝑐 atau 𝐸𝑐

Konsentrasi kritis glukosa dan etanol

ketika seluruh aktivitas sel berhenti

Gambar 3. 1 Hubungan antara laju pertumbuhan spesifik sel 𝜇 terhadap konsentrasi

substrat dan konsentrasi produk.


18

Tinjau rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa dan rasio

laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa yang diberikan dalam

Persamaan (2.5) dan Persamaan (2.6), yaitu :

𝑌𝑥/𝑠 = −𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝐺(𝑡) , (3.4)

𝑌𝑝/𝑠 = −𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝐺(𝑡) , (3.5)

dengan 𝑌𝑥/𝑠 adalah rasio laju pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa dan

𝑌𝑝/𝑠 adalah rasio laju produksi etanol terhadap laju konsumsi glukosa. Dari

koefisien 𝑌𝑥/𝑠 diperoleh laju perubahan glukosa yang dipengaruhi oleh laju

pertumbuhan sel, yaitu :

𝑑𝐺(𝑡)

𝑑𝑡 = −

1

𝑌𝑥/𝑠 𝜇𝑋(𝑡) (1 −

𝑋(𝑡)

𝑋𝑐) . (3.3)

Sedangkan, dari koefisien 𝑌𝑝/𝑠 diperoleh laju perubahan etanol yang dipengaruhi

oleh laju pertumbuhan sel, yaitu :

𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝑡 =

𝑌𝑝/𝑠

𝑌𝑥/𝑠 𝜇𝑋(𝑡) (1 −

𝑋(𝑡)

𝑋𝑐) . (3.4)

Selain itu, diasumsikan pula bahwa sel membutuhkan suplai nutrisi yang sebagian

akan digunakan untuk memproduksi energi. Energi tersebut selanjutnya digunakan

dalam memperbaiki komponen seluler yang rusak, membantu proses transfer nutrisi

sel dan sangat berguna dalam pemeliharaan sel ragi (Kasbawati dkk., 2017; Xiu

dkk., 1998). Dalam pemodelan kali ini, sumber nutrisi tersebut berasal dari substrat

dan produk yang dihasilkan sel pada proses fermentasi, dengan laju pengambilan

substrat dan produk sebagai 𝑚1𝐺 dan 𝑚2𝐸, dengan 𝑚1dan 𝑚2 merupakan

konstanta laju dari pengambilan substrat dan produk untuk pemeliharaan sel ragi

(maintenance sell).

Dari penguraian tersebut diperoleh model kinetika fermentasi batch, yaitu :

𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇𝑋(𝑡) (1 −

𝑋(𝑡)

𝑋𝑐),

𝑑𝐺(𝑡)

𝑑𝑡= −𝑌1𝜇𝑋(𝑡) (1 −

𝑋(𝑡)

𝑋𝑐) − 𝑚1𝐺(𝑡),

(3.5)


19

𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑌2𝜇𝑋(𝑡) (1 −

𝑋(𝑡)

𝑋𝑐) − 𝑚2𝐸(𝑡),

dengan 𝑌1 =1

𝑌𝑥/𝑠 dan 𝑌2 =

𝑌𝑝/𝑠

𝑌𝑥/𝑠 dan 𝜇 diberikan dalam Persamaan (3.2). Nilai awal

yang digunakan pada sistem (3.5) adalah 𝑋(0) = 0,37 (g/l) , 𝐺(0) = 0,6 (g/l), dan

𝐸(0) = 0 (g/l) (Sari, 2017). Deskripsi variabel dan parameter model disajikan pada

Tabel 3.1.

Tabel 3. 1 Deskripsi variabel dan parameter model kinetik fermentasi etanol

dengan metode batch.

Variabel/Parameter Deskripsi Unit

𝑚1 Konstanta laju dari substrat yang

digunakan dalam pemeliharaan sel ragi h−1

𝑚2 Konstanta laju dari produk yang

digunakan dalam pemeliharaan sel ragi h−1

𝑌1 Koefisien yield (rasio laju pertumbuhan

sel terhadap laju konsumsi glukosa) gg−1

𝑌2 Koefisien yield (rasio laju produksi

etanol terhadap laju konsumsi glukosa) gg−1

𝜇 Laju pertumbuhan spesifik sel h−1

𝜇𝑚 Laju maksimum pertumbuhan spesifik

sel h−1

𝐾𝑔

Konsentrasi glukosa yang

mengakibatkan laju pertumbuhan

spesifik sel mencapai setengah dari laju

maksimum

g/l

𝑋𝑐 Konsentrasi maksimal sel yang

menyebabkan pertumbuhan sel

terhambat

g/l

𝐺𝑐 Konsentrasi maksimal glukosa yang


terhambat

g/l

𝐸𝑐 Konsentrasi maksimal etanol yang


terhambat

g/l

𝐺(𝑡) Konsentrasi glukosa pada saat t g/l

𝑋(𝑡) Konsentrasi sel pada saat t g/l

𝐸(𝑡) Konsentrasi etanol pada saat t g/l


20

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Analisis Model

Pada bagian ini, model dalam sistem (3.5) akan dianalisis dengan cara

menentukan titik kesetimbangan dan analisis titik kesetimbangan dari sistem. Titik

kesetimbangan sistem (3.5) akan dicapai ketika syarat berikut dipenuhi yaitu :

𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝐺(𝑡)

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝑡= 0.

(4.1)

Dengan menggunakan persamaan (3.5) diperoleh :

𝜇𝑋(𝑡) (1 −𝑋(𝑡)

𝑋𝑐) = 0,

(4.2)

−𝑌1𝜇𝑋(𝑡) (1 −𝑋(𝑡)

𝑋𝑐) − 𝑚1𝐺(𝑡), = 0,

(4.3)

𝑌2𝜇𝑋(𝑡) (1 −𝑋(𝑡)

𝑋𝑐) − 𝑚2𝐸(𝑡) = 0.

(4.4)

dengan 𝑌1 =1

𝑌𝑥/𝑠 dan 𝑌2 =

𝑌𝑝/𝑠

𝑌𝑥/𝑠 dan 𝜇 diberikan dalam Persamaan (3.2).

Jika Persamaan (4.2), (4.3) dan (4.4) diselesaikan secara simulatan maka akan

diperoleh titik kesetimbangan yaitu 𝑇 = (𝑋∗, 𝐺∗, 𝐸∗) = (𝑋𝑐, 0,0). Kestabilan dari

titik kesetimbangan tersebut dapat dianalisis melalui nilai eigen dari matriks

Jacobian yang sudah dilinearkan. Sehingga diperoleh matriks Jacobian untuk

𝑇 yaitu :

𝐽 = [𝐽11 𝐽12 𝐽13𝐽21 𝐽22 𝐽23𝐽31 𝐽32 𝐽33

]

(4.5)

dengan

𝐽11 =𝜇𝑚𝐺(1−

𝐺

𝐺𝑐)(1−

𝐸

𝐸𝑐)(1−

𝑋

𝑋𝑐)

𝐾𝑔+𝐺−𝜇𝑚𝐺(1−

𝐺

𝐺𝑐)(1−

𝐸

𝐸𝑐)𝑋

𝑋𝑐(𝐾𝑔+𝐺),


21

𝐽12 =𝜇𝑚 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐)𝑋 (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝐾𝑔 + 𝐺−𝜇𝑚𝐺 (1 −


𝑋𝑋𝑐)

𝐺𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺)

−𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐) 𝑋 (1 −

𝑋𝑋𝑐)

(𝐾𝑔 + 𝐺)2 ,

𝐽13 =𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐)𝑋 (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝐸𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺),

𝐽21 = −𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐) (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)

+𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐)𝑋

𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑋𝑐

,

𝐽22 = −𝜇𝑚 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −


𝑋𝑋𝑐)


+𝜇𝑚𝐺 (1 −


𝑋𝑋𝑐)

𝐺𝑐 𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)

+𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐) 𝑋 (1 −

𝑋𝑋𝑐)


2 −𝑚1,

𝐽23 =𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐)𝑋 (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝐸𝑐𝑌𝑥/𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺),

𝐽31 =𝑌𝑝/𝑠 𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐) (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝑌𝑥/𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)−𝑌𝑝𝑠 𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐)𝑋

𝑌𝑥𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑋𝑐

,

𝐽32 =𝑌𝑝/𝑠 𝑋𝜇𝑚 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐) (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝑌𝑥/𝑠(𝐾𝑔 + 𝐺)−𝑌𝑝𝑠 𝑋𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐸𝐸𝑐) (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝐺𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑌𝑥𝑠

−𝑌𝑝𝑠 𝑋𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝐸𝐸𝑐) (1 −

𝑋𝑋𝑐)


2 ,

𝐽33 = −𝑌𝑝𝑠 𝑋𝜇𝑚𝐺 (1 −

𝐺𝐺𝑐) (1 −

𝑋𝑋𝑐)

𝐸𝑐(𝐾𝑔 + 𝐺)𝑌𝑥𝑠

−𝑚2,


22

sehingga untuk Titik 𝑇 = (𝑋∗, 𝐺∗, 𝐸∗) dengan 𝑋∗ = 0, 𝐺∗ = 0 dan 𝐸∗ = 0,

diperoleh matriks Jacobian

𝐽 = [0 0 00 −𝑚1 00 0 −𝑚2

]

Matriks 𝐽 diperoleh nilai eigen 𝜆1 = 0, 𝜆2 = −𝑚2, 𝜆3 = −𝑚1. Berdasarkan nilai

eigen yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa perilaku sistem di sekitar titik

kesetimbangan 𝑇 = (𝑋∗, 𝐺∗, 𝐸∗) stabil.

Setelah menganalisis kestabilan model matematika pada proses

pembentukan etanol dengan metode fermentasi batch, hal yang dilakukan

selanjutnya adalah mengestimasi nilai parameter model yang telah dibangun

menggunakan data eksperimen fermentasi etanol. Estimasi parameter dilakukan

dengan menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC), khususnya

dengan menggunakan algoritma Metropolis-Hasting.

4.2 Estimasi Parameter

Dalam estimasi parameter dengan menggunakan metode Bayes diperlukan

fungsi likelihood, distribusi prior, dan distribusi posterior. Distribusi prior dan

fungsi likelihood digunakan untuk membentuk distribusi posterior dan distribusi

posterior digunakan untuk mengestimasi parameter.

4.2.1 Fungsi Likelihood

Berdasarkan model matematika yang diberikan pada Persamaan (3.5),

didefinisikan sebuah fungsi dalam menentukan error, yaitu :

𝐸𝑖 = ‖𝑫𝒊 − 𝒚𝒊(𝜽)‖ , 𝑖 = 1,2, … , 50.

dengan 𝑫 menyatakan data eksperimen dan 𝒚𝒊 menyatakan solusi model yang

bergantung pada parameter 𝜃, dimana 𝜃 = {𝑌1, 𝑌2, 𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐, 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2}.

Fungsi tersebut digunakan untuk menghitung selisih antara model dan data hasil

eksperimen. Nilai error yang digunakan diasumsikan berdistribusi normal dengan

nilai 𝜇 = 0 dan 𝜎2 = 1. Atau dapat dituliskan 𝐸𝑖~𝑁(0,1), fungsi kepadatan

peluang untuk 𝐸𝑖 yaitu :


23

𝑥 > 0, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0

selainnya 𝑓(𝑥) = ቐ

𝛽𝛼

𝛤(𝛼)𝑥−(𝛼+1) 𝑒𝑥𝑝 (−

𝛽

𝑥),

0,

𝑓(𝐸𝑖; 𝜃) =1

√2𝜋𝑒−

𝐸𝑖2

2 ,

=1

√2𝜋𝑒−

∑‖𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽)‖

2

2𝑛𝑖=1 .

Fungsi likelihood yang digunakan pada penelitian ini adalah fungsi kepadatan

peluang dari distribusi normal. Fungsi likelihood 𝜃 terhadap 𝐸𝑖 dimana 𝐸𝑖 =

{𝐸1, 𝐸2, ⋯ , 𝐸50}, yaitu :

𝐿(𝜃; 𝐸𝑖) =∏1

√2𝜋𝑒−

∑‖𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽)‖

2

2𝑛𝑖=1 ,

50

𝑖=1

= (2𝜋)−25𝑒(− 12∑ ‖𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽)‖

250𝑖=1 ),

= (2𝜋)−25𝑒(− 12∑ (𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))

′(𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))

50𝑖=1 ).

(4.6)

4.2.2 Distribusi Prior

Distribusi prior adalah distribusi awal yang harus diketahui sebelum

menentukan distribusi posterior. Pemilihan distribusi prior merupakan suatu acuan

dalam menentukan distribusi posterior. Pemilihan distribusi prior dapat dilihat

berdasarkan ruang parameternya. Dalam penelitian ini digunakan distribusi prior

non-informatif dikarenakan tidak adanya informasi dari data sebelumnya. Prior

yang digunakan adalah prior yang mengikuti distibusi invers gamma. Misalkan 𝑥

adalah suatu variabel acak berdistribusi invers gamma dengan parameter 𝛼 = 1 dan

𝛽 = 1, maka fungsi densitasnya dapat dituliskan sebagai berikut :

Pada model yang dikonstruksi terdapat 9 parameter yang tidak diketahui,

yaitu 𝑌1, 𝑌2, 𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐, 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2. Dalam penelitian ini, distribusi prior yang

dipilih menggunakan distribusi Invers Gamma atau dapat didefinisikan 𝜃~𝐼𝐺(1,1),

yang dapat diuraikan sebagai berikut:

1. Untuk parameter 𝑌1 diperoleh

𝑓(𝑌1) =1

𝛤(1)𝑌1−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−

1

𝑌1),


24

𝑓(𝑌1) =1

𝛤(1)𝑌1−2 𝑒𝑥𝑝 (−

1

𝑌1) ,

𝑓(𝑌1) = 𝑌1−2 𝑒−𝑌1 .

2. Untuk parameter 𝑌2 diperoleh

𝑓(𝑌2) =1

𝛤(1)𝑌2−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−

1

𝑌2),

𝑓(𝑌2) =1

𝛤(1)𝑌2−2 𝑒𝑥𝑝 (−

1

𝑌2) ,

𝑓(𝑌2) = 𝑌2−2 𝑒−𝑌2 .

3. Untuk parameter 𝜇𝑚 diperoleh

𝑓(𝜇𝑚) =1

𝛤(1)𝜇𝑚

−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝜇𝑚) ,

𝑓(𝜇𝑚) =1

𝛤(1)𝜇𝑚

−2𝑒𝑥𝑝 (−1

𝜇𝑚),

𝑓(𝜇𝑚) = 𝜇𝑚−2𝑒−𝜇𝑚 .

4. Untuk parameter 𝐾𝑔 diperoleh

𝑓(𝐾𝑔) =1

𝛤(1) 𝐾𝑔

−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝐾𝑔),

𝑓(𝐾𝑔) =1

𝛤(1)𝑌2−2 𝑒𝑥𝑝 (−

1

𝐾𝑔) ,

𝑓(𝐾𝑔) = 𝐾𝑔−2 𝑒−𝐾𝑔 .

5. Untuk parameter 𝐺𝑐 diperoleh

𝑓(𝐺𝑐) =1

𝛤(1) 𝐺𝑐

−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝐺𝑐 ) ,

𝑓( 𝐺𝑐 ) =1

𝛤(1) 𝐺𝑐

−2 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝐺𝑐 ) ,

𝑓(𝐺𝑐) = 𝐺𝑐−2 𝑒−𝐺𝑐 .


25

6. Untuk parameter 𝐸𝑐 diperoleh

𝑓(𝐸𝑐) =1

𝛤(1) 𝐸𝑐

−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝐸𝑐 ) ,

𝑓(𝐸𝑐) =1

𝛤(1) 𝐸𝑐

−2 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝐸𝑐 ) ,

𝑓(𝐸𝑐) = 𝐸𝑐−2 𝑒−𝐸𝑐 .

7. Untuk parameter 𝑚1 diperoleh

𝑓(𝑚1) =1

𝛤(1) 𝑚1

−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝑚1 ),

𝑓(𝑚1) =1

𝛤(1) 𝑚1

−2 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝑚1 ) ,

𝑓(𝑚1) = 𝑚1−2 𝑒−𝑚1 .

8. Untuk parameter 𝑋𝑐 diperoleh

𝑓(𝑋𝑐) =1

𝛤(1) 𝑋𝑐

−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝑋𝑐 ) ,

𝑓(𝑋𝑐) =1

𝛤(1) 𝑋𝑐

−2 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝑋𝑐 ),

𝑓(𝑋𝑐) = 𝑋𝑐−2 𝑒−𝑋𝑐.

9. Untuk parameter 𝑚2 diperoleh

𝑓(𝑚2) =1

𝛤(1) 𝑚2

−(1+1) 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝑚2 ) ,

𝑓(𝑚2) =1

𝛤(1) 𝑚1

−2 𝑒𝑥𝑝 (−1

𝑚2 ) ,

𝑓(𝑚2) = 𝑚2−2 𝑒−𝑚2 .

4.2.3 Distribusi Posterior

Dalam estimasi Bayesian, setelah informasi sampel dan prior diketahui,

maka langkah selanjutnya adalah menentukan distribusi posterior. Distribusi


26

posterior merupakan pembagian antara fungsi kepadatan bersama dan fungsi

marginal yang dapat didefinisikan :

𝑓(𝜃|𝐸) =𝐴

𝐵 ,

(4.7)

dengan A menyatakan fungsi kepadatan bersama dan B menyatakan fungsi

marginal. Misalkan 𝜃 = {𝑌1, 𝑌2, 𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐 , 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2} dinyatakan ulang dalam

bentuk 𝜃 = {𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘9}, maka dengan menggunakan Persamaan (4.7) diperoleh

𝑓(𝜃|𝐸) =(2𝜋)−25𝑒(−

12∑ (𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))


50𝑖=1 ) ∏ 𝑘𝑖

−2𝑒−𝑘𝑖9𝑖=1

∫ ⋯ ∫ (2𝜋)−25𝑒(− 12∑ (𝑫𝒊−𝒚𝒊(𝜽))


50𝑖=1 ) ∏ 𝑘𝑖

−2𝑒−𝑘𝑖 𝑑𝑘𝑖9𝑖=1

∞

0

∞

0

.

Bentuk distribusi posterior tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik,

sehingga estimasi terhadap parameter-parameternya dilakukan secara numerik

menggunakan algortima Metropolis-Hasting untuk membantu membangkitkan

sampel-sampel acak dari distribusi prior yang diinginkan.

4.2.4 Algoritma Metropolis-Hastings

Misalkan 𝑓(𝑥) adalah fungsi kepadatan peluang, 𝑥(𝑗) adalah variabel acak,

𝑞(𝑥|𝑥(𝑗)) adalah distribusi prior yang akan digunakan, dan 𝜀 adalah error antara

model dan data. Langkah-langkah algortima Metropolis-Hastings yang digunakan

pada penelitian ini yaitu :

1. Bangkitkan sampel awal 𝑥∗~ N(0,1).

2. Menghitung nilai optimal dari 𝑓(𝑥∗) yang dibangkitkan menggunakan nilai

error yang berdistribusi normal, 𝑥∗, dan data.

3. Menghitung nilai peluang penerimaan 𝑥∗, yaitu :

𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗) = 𝑚𝑖𝑛 {1,𝑓(𝑥∗)𝑞(𝑥(𝑗)|𝑥∗)

𝑓(𝑥(𝑗))𝑞(𝑥∗|𝑥(𝑗))}

4. Memperbaharui nilai 𝑥(𝑗) dengan aturan sebagai berikut :

𝑥(𝑗+1) = {𝑥∗, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑝 ≤ 𝜌(𝑥(𝑗), 𝑥∗)

𝑥(𝑗), 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

dengan 𝑝 ~IG(1,1) dimana 𝐼𝐺 distribusi Invers Gamma pada (1,1)


27

4.3 Estimasi Parameter menggunakan Algoritma Metropolis-Hasting

Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan algoritma Metropolis-

Hasting untuk penaksir Bayesian, diperoleh rata-rata nilai untuk parameter 𝑌1, 𝑌2,

𝜇𝑚, 𝐾𝑔, 𝐺𝑐, 𝐸𝑐, 𝑚1, 𝑋𝑐, 𝑚2. Nilai rata-rata tersebut diperoleh dengan cara

melakukan beberapa kali perulangan, yakni 1.000 kali perulangan, 10.000 kali

perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali

perulangan untuk data eksperimen dalam Tabel 2.1. Nilai rata-rata yang digunakan

sebagai nilai untuk masing-masing parameter dalam model adalah nilai rata-rata

yang menghasilkan error terkecil antara masing-masing variabel pada data dan

solusi masing-masing variabel pada model. Grafik posterior untuk masing-masing

parameter dengan 1.000 kali perulangan, 10.000 kali perulangan, 100.000 kali

perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan secara

berturut-turut dapat dilihat pada history plot pada Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar

4.3, Gambar 4.4, dan Gambar 4.5.

Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar 4.3, Gambar 4.4, dan Gambar 4.5

menunjukkaan hasil estimasi masing-masing parameter, dimana sebelum

mendapatkan nilai untuk masing-masing parameter tersebut hal pertama yang

dilakukan adalah membangkitkan sampel. Untuk membangkitkan sampel maka

digunakan distribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1. Setelah melakukan

beberapa kali percobaan sehingga diperoleh sampel untuk masing-masing

parameter yaitu : 𝑌1 = 60,3636, 𝑌2 = 7,4883, 𝜇𝑚 = 18,0309, 𝐾𝑔 =

2,4172, 𝐺𝑐 = 155,7610, 𝐸𝑐 = 1,6279, 𝑚1 = 1,7279, 𝑋𝑐 = 33,6098 dan 𝑚2 =

0,0094. Dari nilai tersebut kemudian dicari nilai minimal antara data, sampel acak

dan error, sehingga diperoleh nilai minimal dari sampel acak yaitu : 𝑌1 =

38,4679, 𝑌2 = 4,839, 𝜇𝑚 = 32,6265, 𝐾𝑔 = 4,93432, 𝐺𝑐 = 223,818, 𝐸𝑐 =

1,61961 𝑚1 = 1,6589, 𝑋𝑐 = 21,8949 dan 𝑚2 = 0,0119025. Selanjutnya rata-

rata nilai untuk masing-masing parameter yang ditunjukkan pada Gambar 4.1,

sampai Gambar 4.5 dapat dilihat pada Tabel 4.1.


28

400 500 600 700 800 900 100039

40

41

42

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10004

5

6

7

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100031

32

33

34

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10003

4

5

6

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000215

216

217

218

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100022

23

24

25

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000-1

0

1

2

Iterasi

Gambar 4. 1 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 1000 iterasi.

400 500 600 700 800 900 100039

40

41

42

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10004

5

6

7

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100031

32

33

34

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10003

4

5

6

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000215

216

217

218

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100022

23

24

25

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000-1

0

1

2

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100039

40

41

42

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10004

5

6

7

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100031

32

33

34

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10003

4

5

6

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000215

216

217

218

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100022

23

24

25

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000-1

0

1

2

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100039

40

41

42

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10004

5

6

7

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100031

32

33

34

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10003

4

5

6

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000215

216

217

218

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100022

23

24

25

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000-1

0

1

2

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100039

40

41

42

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10004

5

6

7

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100031

32

33

34

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10003

4

5

6

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000215

216

217

218

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100022

23

24

25

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000-1

0

1

2

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100039

40

41

42

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10004

5

6

7

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100031

32

33

34

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10003

4

5

6

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000215

216

217

218

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

Iterasi

400 500 600 700 800 900 100022

23

24

25

Iterasi

400 500 600 700 800 900 1000-1

0

1

2

Iterasi

𝑌1 𝑌2

𝜇𝑚 𝐾𝑔

𝐺𝑐 𝐸𝑐

𝑚1 𝑋𝑐

𝑚2

𝑌1(𝑖)

𝜇𝑚(𝑖)

𝐺𝑐(𝑖)

𝑚1(𝑖) 𝑋𝑐(𝑖)

𝑌2(𝑖)

𝐾𝑔(𝑖)

𝐸𝑐(𝑖)

𝑚2(𝑖)


29

2000 4000 6000 8000 1000020

40

60

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

5

10

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

4

6

8

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000100

200

300

400

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

2

4

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100001.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000010

20

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

0.01

0.02

0.03

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

40

60

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

5

10

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

4

6

8

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000100

200

300

400

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

2

4

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100001.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000010

20

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

0.01

0.02

0.03

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

40

60

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

5

10

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

4

6

8

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000100

200

300

400

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

2

4

2000 4000 6000 8000 100001.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000010

20

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

0.01

0.02

0.03

Iterasi

𝑋𝑐(𝑖)

𝑌2(𝑖)

𝐾𝑔(𝑖)

𝐾𝑔

𝐺𝑐

𝐸𝑐(𝑖)

𝑚1

𝑚2

𝑋𝑐

𝑌1 𝑌2

𝑌1(𝑖)

𝜇𝑚(𝑖)

𝐺𝑐(𝑖)

𝑚1(𝑖)

𝑚2(𝑖)

𝜇𝑚

𝐸𝑐

𝑋𝑐 𝑚1

2000 4000 6000 8000 1000020

40

60

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

5

10

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

4

6

8

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000100

200

300

400

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

2

4

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100001.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000010

20

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

0.01

0.02

0.03

Iterasi

Gambar 4. 2 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 10.000 iterasi.

2000 4000 6000 8000 1000020

40

60

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

5

10

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

4

6

8

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000100

200

300

400

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

2

4

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100001.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000010

20

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

0.01

0.02

0.03

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

40

60

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

5

10

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000020

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

4

6

8

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000100

200

300

400

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100000

2

4

Iterasi

2000 4000 6000 8000 100001.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2000 4000 6000 8000 1000010

20

30

40

50

Iterasi

2000 4000 6000 8000 10000

0.01

0.02

0.03

Iterasi


30

2 4 6 8 10

x 104

0

50

100

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

20

25

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

200

400

600

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

2

4

6

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

1.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

10

20

30

40

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

50

100

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

20

25

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

200

400

600

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

2

4

6

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

1.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

10

20

30

40

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

50

100

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

20

25

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

200

400

600

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

2

4

6

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

1.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

10

20

30

40

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Iterasi

𝑋𝑐(𝑖)

𝑌2(𝑖)

𝜇𝑚

𝐾𝑔(𝑖)

𝐾𝑔

𝐺𝑐

𝐸𝑐(𝑖)

𝐸𝑐

𝑚1

𝑚2

𝑋𝑐

𝑌1 𝑌2

𝑌1(𝑖)

𝜇𝑚(𝑖)

𝐺𝑐(𝑖)

𝑚1(𝑖)

𝑚2(𝑖)

Gambar 4. 3 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 100.000 iterasi.

2 4 6 8 10

x 104

0

50

100

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

20

25

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

200

400

600

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

2

4

6

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

1.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

10

20

30

40

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

50

100

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

20

25

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

200

400

600

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

2

4

6

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

1.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

10

20

30

40

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

50

100

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

5

10

15

20

25

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

200

400

600

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

2

4

6

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

1.4

1.6

1.8

2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

10

20

30

40

Iterasi

2 4 6 8 10

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Iterasi

𝑌1 𝑌2

𝑌1(𝑖) 𝑌2(𝑖)


31

2 4 6 8 10

x 105

0

200

400

600

800

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

50

100

150

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

500

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

10

20

30

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

500

1000

1500

2000

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

200

400

600

800

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

50

100

150

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

500

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

10

20

30

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

500

1000

1500

2000

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

200

400

600

800

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

50

100

150

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

500

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

10

20

30

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

500

1000

1500

2000

Iterasi

𝜇𝑚

𝐾𝑔(𝑖)

𝐾𝑔

𝜇𝑚

𝐾𝑔(𝑖)

𝐾𝑔

𝜇𝑚(𝑖)

𝐺𝑐

𝐸𝑐(𝑖)

𝐸𝑐

𝐺𝑐(𝑖)

𝑋𝑐(𝑖)

𝑚1

𝑚2

𝑋𝑐

𝑚1(𝑖)

𝑚2(𝑖)

Gambar 4. 4 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 1.000.000 iterasi.

2 4 6 8 10

x 105

0

200

400

600

800

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

50

100

150

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

500

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

10

20

30

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

500

1000

1500

2000

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

200

400

600

800

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

50

100

150

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

500

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

10

20

30

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

500

1000

1500

2000

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

200

400

600

800

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

50

100

150

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

500

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

20

40

60

80

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

10

20

30

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

100

200

300

400

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iterasi

2 4 6 8 10

x 105

0

500

1000

1500

2000

Iterasi

𝑌1 𝑌2

𝑌1(𝑖) 𝑌2(𝑖)


32

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

800

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

50

100

150

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

60

80

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

2000

4000

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

1.5

2

2.5

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

0.1

0.2

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

800

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

50

100

150

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

60

80

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

2000

4000

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

1.5

2

2.5

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

0.1

0.2

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

800

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

50

100

150

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

60

80

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

2000

4000

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

1.5

2

2.5

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

0.1

0.2

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

Iterasi

𝜇𝑚

𝐾𝑔(𝑖)

𝐾𝑔

𝜇𝑚(𝑖)

𝑋𝑐(𝑖)

𝑚1

𝑚2

𝑋𝑐

𝑚1(𝑖)

𝑚2(𝑖)

𝐺𝑐

𝐸𝑐(𝑖)

𝐸𝑐

𝐺𝑐(𝑖)

Gambar 4. 5 Grafik posterior untuk masing-masing parameter untuk 2.000.000 iterasi.

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

800

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

50

100

150

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

60

80

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

2000

4000

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

1.5

2

2.5

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

0.1

0.2

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

800

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

50

100

150

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

60

80

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

2000

4000

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

1.5

2

2.5

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

0.1

0.2

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

800

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

50

100

150

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

600

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

60

80

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

2000

4000

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

20

40

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

1.5

2

2.5

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

0.1

0.2

Iterasi

0.5 1 1.5 2

x 106

0

200

400

Iterasi

𝑌1 𝑌2

𝑌1(𝑖) 𝑌2(𝑖)


33

Tabel 4. 1 Nilai dari parameter-parameter yang digunakan pada model.

Parameter Unit Nilai

1.000

Iterasi

10.000

Iterasi

100.000

Iterasi

1.000.000

Iterasi

2.000.00

0 Iterasi

𝑌1 gg−1 39,644 37,649 56,718 403,71 442,75

𝑌2 gg−1 5,2183 4,9467 7,5652 67,82 76,039

𝜇𝑚 h−1 32,486 29,151 27,226 241,35 245,38

𝐾𝑔 g/l 4,9233 4,3653 3,9282 38,468 39,028

𝐺𝑐 g/l 221,98 262,7 285,22 663,13 1065,4

𝐸𝑐 g/l 1,7621 1,6516 2,5669 13,026 19,221

𝑚1 h−1 1,6688 1,6591 1,7308 1,8778 1,889

𝑋𝑐 g/l 23,054 25,069 17,743 160,13 146,45

𝑚2 h−1 0,012137 0,012775 0,01597 0,011276 0,1321

Berdasarkan Tabel 4.1, diperoleh hasil rata-rata nilai taksiran masing-masing

parameter dengan menggunakan 1.000 kali perulangan, 10.000 kali perulangan,

100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan

secara berurutan, yaitu : nilai koefisien yield (rasio laju pertumbuhan sel terhadap

laju konsumsi glukosa) atau 𝑌1 sebesar 39,644 g/l, 37,649 g/l, 56,718 g/l, 403,71

g/l, dan 442,75 g/l, nilai Koefisien yield (rasio laju produksi etanol terhadap laju

konsumsi glukosa) atau 𝑌2 sebesar 52,183 g/l, 49,467 g/l, 7,5652 g/l, 67,82 g/l,

dan 76,039 g/l, nilai laju maksimum pertumbuhan spesifik sel atau 𝜇𝑚 sebesar

32,486 h−1, 29,151 h−1, 27,226 h−1, 241,35 h−1, dan 245,38 h−1, nilai konsentrasi

glukosa yang mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai setengah dari

laju maksimum atau 𝐾𝑔 sebesar 49,233 g/l, 43,653 g/l, 39,282 g/l, 38,468 g/l, dan

39,028 g/l, nilai konsentrasi maksimal glukosa yang menyebabkan pertumbuhan sel

terhambat atau 𝐺𝑐 sebesar 221,98 g/l, 262,7 g/l, 285,22 g/l, 663,13 g/l, dan 1065,4

g/l, nilai konsentrasi maksimal etanol yang menyebabkan pertumbuhan sel

terhambat atau 𝐸𝑐 sebesar 17,621 g/l, 16,516 g/l, 25,669 g/l, 13,026 g/l, dan 19,221

g/l, nilai konstanta laju dari substrat yang digunakan dalam pemeliharaan sel ragi

atau 𝑚1 sebesar 16,688 h−1, 16,591 h−1, 17,308 h−1, 18,778 h−1, dan 1,889 h−1, nilai

konsentrasi maksimal sel yang menyebabkan pertumbuhan sel terhambat atau 𝑋𝑐


34

sebesar 23,054 g/l, 25,069 g/l, 17,743 g/l, 160,13 g/l, dan 146,45g/l, dan nilai

konstanta laju dari substrat yang digunakan dalam pemeliharaan sel ragi atau 𝑚2

sebesar 0,012137 h−1, 0,012775 h−1, 0,01597 h−1, 0,011276 h−1, dan 0,1321 h−1.

Pada Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar 4.3, Gambar 4.4, dan Gambar 4.5

dapat dilihat bahwa terdapat beberapa beberapa parameter yang belum konvergen

dan belum menghasilkan history plot yang stasioner menurut konsep Bayesian.

Dari sembilan parameter, terdapat 3 parameter yang belum konvergen, yakni

𝐺𝑐, 𝐸𝑐 dan 𝑋𝑐 yang ternyata merupakan faktor inhibisi untuk masing-masing

variabel.

Nilai yang terdapat pada Tabel 4.1 dapat digunakan sebagai nilai untuk 9

parameter dalam menentukan solusi model, meskipun masih terdapat 3 parameter

yang belum konvergen menurut konsep Bayesian. Tetapi Nilai parameter pada

Tabel 4.1 menghasilkan solusi model yang secara signifikan tidak berbeda jauh.

Namun masih terdapat nilai error untuk masing-masing perulangan. Nilai error

yang dihasilkan untuk masing-masing perulangan akan dibahas pada bagian

selanjutnya dengan cara memvalidasi solusi model dengan data eksperimen.

4.4 Validasi Model Dengan Data Hasil Eksperimen

Pada bagian ini, dilakukan simulasi yang menunjukkan perbandingan antara

data eksperimen dan model dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 4.1.

Perbandingan antara model dan data eksperimen ditunjukkan pada Gambar 4.6

sampai dengan Gambar 4.21 yang menunjukan hubungan antara data hasil

eksperimen dan data yang diperoleh dari model yang diteliti.


35

Gambar 4. 6 Perbandingan antara data glukosa dan model glukosa untuk 1.000

iterasi.


iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Model Glukosa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Model Glukosa


36


iterasi.


1.000.000 iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Ko

nse

ntr

asi

(g/l

)

Data Glukosa

Model Glukosa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Model Glukosa


37


2.000.000 iterasi.

Gambar 4. 11 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000 iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Model Glukosa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Sel

Model Sel


38



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Sel

Model Sel

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nsen

trasi

(g/l

)

Data Sel

Model Sel


39

Gambar 4. 14 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 1.000.000 iterasi.

Gambar 4. 15 Perbandingan antara data sel dan model sel untuk 2.000.000 iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Sel

Model Sel

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g/l

)

Data Sel

Model Sel


40


iterasi.


iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Ko

nse

ntr

asi

(g/l

)

Data Etanol

Model Etanol

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Etanol

Model Etanol


41


iterasi.

Gambar 4. 19 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 1.000.000

iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Ko

nse

ntr

asi

(g/l

)

Data Etanol

Model Etanol

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Etanol

Model Etanol


42

Gambar 4. 20 Perbandingan antara data etanol dan model etanol untuk 2.000.000

iterasi.

Pada Gambar 4.6, Gambar 4.7, Gambar 4.8, Gambar 4.9, dan Gambar 4.10

menunjukkan perbandingan antara konsentrasi glukosa dari hasil eksperimen dan

konsentrasi glukosa dari model yang telah dikonstruksi. Dari data eksperimen

menunjukkan bahwa konsentrasi glukosa dengan durasi fermentasi sebesar 0 jam,

24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut-turut yaitu 0,6 (g/l), 0,06 (g/l), 0,04

(g/l), 0,04 (g/l), dan 0,04 (g/l). Sedangkan berdasarkan model yang telah

dikonstruksi sebelumnya, untuk 1.000 kali perulangan, konsentrasi glukosa dengan

durasi fermentasi sebesar 0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut turut

yaitu 0,6 (g/l), 0,099 (g/l), 0,014 (g/l), 0,002 (g/l), dan 0,002 (g/l). Namun, dalam

perbandingan antara data glukosa dan model terdapat terdapat sedikit

penyimpangan yang disebut nilai error. Error antara data eksperimen dan model

dilakukan dengan menggunakan fungsi kuadrat terkecil yaitu dengan cara

menjumlahkan hasil kuadrat dari selilih antara data dan model. Pada penelitian ini

data yang digunakan berjumlah 50 data, sedemikian sehingga error yang diperoleh

untuk konsentrasi glukosa adalah penjumlahan kuadrat terkecil dari 50 data

tersebut. Sehingga diperoleh nilai error konsentrasi glukosa untuk 1.000 kali

perulangan yaitu sebesar 0,05 atau sebesar 5%. Hal yang sama juga dilakukan

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Ko

nse

ntr

asi

(g/l

)

Data Etanol

Model Etanol


43

untuk 10.000 kali perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan

dan 2.000.000 kali perulangan, sehingga diperoleh nilai error untuk 10.000 kali

perulangan sebesar sebesar 0,05 atau sebesar 5%, untuk 100.000 kali perulangan

sebesar sebesar 0,05 atau sebesar 5%, untuk 1.000.000 kali perulangan sebesar

sebesar 0,05 atau sebesar 5%, dan untuk 2.0000.000 kali perulangan sebesar sebesar

0,05 atau sebesar 5%.

Selanjutnya pada Gambar 4.11, Gambar 4.12, Gambar 4.13, Gambar 4.14,

dan Gambar 4.15 menunjukkan perbandingan antara konsentrasi sel dari hasil

eksperimen dan konsentrasi sel dari model yang telah dikonstruksi. Dari data hasil

eksperimen menunjukkan bahwa konsentrasi sel dengan durasi fermentasi sebesar

0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut-turut yaitu 0,37 (g/l), 1,87 (g/l),

2,52 (g/l), 2,52 (g/l), dan 2,52 (g/l). Sedangkan berdasarkan model yang telah

dikonstruksi sebelumnya, untuk 1.000 kali perulangan, konsentrasi sel dengan


yaitu 0,37 (g/l), 1,900 (g/l), 2,444 (g/l), 2,532 (g/l), dan 2,542 (g/l). Selanjutnya

dengan menggunakan cara yang sama untuk menghitung error pada glukosa,

diperoleh nilai error untuk konsentrasi sel yaitu untuk 1.000 perulangan sebesar

0,08 atau sebesar 8 %. Hal yang sama juga dilakukan untuk 10.000 kali perulangan,

100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan,

sehingga diperoleh nilai error untuk 10.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,12

atau sebesar 12%, untuk 100.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,15 atau sebesar

15%, untuk 1.000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,20 atau sebesar 20%, dan

untuk 2.0000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,15 atau sebesar 15%.

Selanjutnya pada Gambar 4.16, Gambar 4.17, Gambar 4.18, Gambar 4.19,

dan Gambar 4.20 menunjukkan perbandingan antara konsentrasi etanol dari hasil

eksperimen dan konsentrasi etanol dari model yang telah dikonstruksi. Dari data

hasil eksperimen menunjukkan bahwa konsentrasi etanol dengan durasi fermentasi

sebesar 0 jam, 24 jam, 48 jam, 72 jam, dan 96 jam berturut-turut yaitu 0 (g/l), 0,26

(g/l), 0,27 (g/l), 0,28 (g/l) dan 0,28 (g/l). Sedangkan berdasarkan model yang telah

dikonstruksi sebelumnya, untuk 1.000 kali perulangan, konsentrasi sel dengan


44


yaitu 0 (g/l), 0,2149 (g/l), 0,2832 (g/l), 0,2835 (g/l), 2,274 (g/l). Selanjutnya dengan

melakukan cara yang sama untuk menghitung error pada glukosa dan sel, diperoleh

nilai error konsentrasi etanol untuk 1.000 kali perulangan yaitu sebesar 0,05 atau

sebesar 5 %. Hal yang sama juga dilakukan untuk 10.000 kali perulangan, 100.000

kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan, sehingga

diperoleh nilai error untuk 10.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,05 atau sebesar

5%, untuk 100.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,04 atau sebesar 4%, untuk

1.000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,03 atau sebesar 3%, dan untuk

2.0000.000 kali perulangan sebesar sebesar 0,03 atau sebesar 3%. Nilai error untuk

masing-masing variabel dan perbandingan antara data dan model dapat dilihat pada

Tabel 4.2 dan pada lampiran 4 dan 5.

Tabel 4. 2 Nilai Error untuk masing-masing variabel

Banyak Iterasi Nilai Error

Rata-Rata

Error

Glukosa Sel Etanol

1.000 0.05 0.08 0.05 0.06

10.000 0.05 0.12 0.05 0.07

100.000 0.05 0.15 0.04 0.08

1.000.000 0.05 0.20 0.03 0.09

2.000.000 0.05 0.15 0.03 0.07

Hasil dari validasi model dan data eksperimen menunjukkan bahwa nilai

estimasi parameter pada Tabel 4.1 dapat dijadikan pilihan dalam memilih nilai

parameter untuk 9 parameter model yang tidak diketahui. Namun, setelah

dilakukan validasi tersebut ternyata perbedaan yang paling mendasar dari 1.000 kali

perulangan, 10.000 kali perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali

perulangan dan 2.000.000 kali perulangan terletak pada nilai error untuk masing-

masing variabel dengan 1.000 kali perulangan, 10.000 kali perulangan, 100.000 kali

perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali perulangan dapat dilihat

pada Tabel 4.2. Dari Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa nilai error terkecil untuk masing-

masing variabel terjadi ketika dilakukan 1.000 kali perulangan dengan rata-rata


45

nilai error sebesar 0,06. Sehingga dalam estimasi nilai parameter kali ini, nilai

parameter yang digunakan adalah nilai rata-rata untuk 1.000 kali perulangan. Untuk

melihat perbandingan nilai error untuk masing-masing variabel dengan banyak

perulangan (iterasi) yang berbeda maka dapat dilihat pada Gambar 4.21, Gambar

4.22, dan gambar 4.23.

Gambar 4. 21 Nilai error glukosa untuk setiap iterasi.

Gambar 4. 22 Nilai error sel untuk setiap iterasi.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

Durasi Fermentasi (jam)

Nil

ai

Ero

r

1.000 iterasi

10.000 iterasi

1.000.000 iterasi

2.000.000 iterasi

100.000 iterasi

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01


Nil

ai

Ero

r

1.000 iterasi

10.000 iterasi

100.000 iterasi

1.000.000 iterasi

2.000.000 iterasi


46

Gambar 4. 23 Nilai error etanol untuk setiap iterasi.

Gambar 4. 24 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 1000 iterasi.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6x 10

-3


Nil

ai

Ero

r

1.000 iterasi

10.000 iterasi

100.000 iterasi

1.000.000 iterasi

2.000.000 iterasi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Data Sel

Data Etanol

Model Glukosa

Model Sel

Model Etanol


47

Gambar 4. 25 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 10.000

iterasi.

Gambar 4. 26 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 100.000

iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g/l

)

Data Glukosa

Data Sel

Data Etanol

Model Glukosa

Model Sel

Model Etanol

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Data Sel

Data Etanol

Model Glukosa

Model Sel

Model Etanol


48

Gambar 4. 27 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 1.000.000

iterasi.

Gambar 4. 28 Perbandingan antara data eksperimen dan model untuk 1000 iterasi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Data Sel

Data Etanol

Model Glukosa

Model Sel

Model Etanol

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Ko

nse

ntr

asi

(g

/l)

Data Glukosa

Data Sel

Data Etanol

Model Glukosa

Model Sel

Model Etanol


49

Pada Gambar 4.24, Gambar 4.25, Gambar 4.26, Gambar 4.27, dan Gambar

4.28 menunjukkan perbandingan antara hasil eksperimen dan model. Pada gambar

tersebut dapat dilihat bahwa model yang telah dikonstruksi dapat

merepresentasikan hasil eksperimen fermentasi etanol dengan metode batch.

Namun, dari model yang telah dikontruksi tersebut masih terdapat sedikit

penyipangan (nilai error). Nilai error tersebut diperoleh dengan menggunakan mean

square error, sehingga diperoleh error untuk 1.000 kali perulangan, 10.000 kali

perulangan, 100.000 kali perulangan, 1.000.000 kali perulangan dan 2.000.000 kali

perulangan yaitu sebesar 0,0062. Nilai error sebesar 0,0062 yang diperoleh sangat

kecil sehingga dapat dikatakan bahwa model dapat merepresentasikan hasil

eksperimen fermentasi etanol. Selain itu, untuk memperkuat panarikan kesimpulan,

maka digunakan standar deviasi. Standar deviasi (simpangan baku) menyatakan

keragaman sampel dan dapat digunakan untuk mendapatkan data dari suatu

populasi. Dengan melakukan perhitungan statistika deskriptif (lihat lampiran 6)

maka diperoleh standar deviasi untuk error yang ditampilkan pada Gambar 4.6.

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa standar deviasi untuk error berada pada

interval 0,0585 sampai 0,1106 dengan mean yaitu sebesar 0,0782. Nilai deviasi

yang diperoleh sangat kecil sehingga memberikan makna bahwa titik data individu

sangat dekat dari nilai rata-rata, atau dengan kata lain, model yang telah

dikonstruksi dapat merepresentasikan proses fermentasi etanol dengan metode

batch.


50

Gambar 4. 29 Grafik standar deviasi untuk error untuk 1.000 iterasi.

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.120

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Standar Deviasi

Fre

ku

en

si


51

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dan analisis yang telah dilakukuan,

diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Model matematika dari proses fermentasi etanol dengan metode

fermentasi batch adalah sebagai berikut :

𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇𝑚

𝐺

𝐾𝑔 + 𝐺𝑋 (1 −

𝐺

𝐺𝑐) (1 −

𝐸

𝐸𝑐) (1 −

𝑋

𝑋𝑐) ,

𝑑𝐺(𝑡)

𝑑𝑡= −

1

𝑌𝑥/𝑠𝜇𝑚

𝐺

𝐾𝑔 + 𝐺𝑋 (1 −

𝐺

𝐺𝑐)(1 −

𝐸

𝐸𝑐) (1 −

𝑋

𝑋𝑐) −𝑚1𝐺,

𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝑡=𝑌𝑝/𝑠

𝑌𝑥/𝑠 𝜇𝑚

𝐺

𝐾𝑔 + 𝐺𝑋 (1 −

𝐺

𝐺𝑐) (1 −

𝐸

𝐸𝑐) (1 −

𝑋

𝑋𝑐) − 𝑚2𝐸,

dengan nilai awal 𝑋(0) = 0,37 (g/l) , 𝐺(0) = 0,6 (g/l), dan 𝐸(0) = 0 (g/l).

2. Model yang diperoleh menghasilkan satu titik kesetimbangan yang

stabil.

3. Hasil estimasi nilai parameter kinetik dari model menggunakan metode

Markov Chain Monte Carlo (MCMC) khususnya menggunakan

algoritma Metropolis-Hastings yaitu : nilai koefisien yield (rasio laju

pertumbuhan sel terhadap laju konsumsi glukosa) atau 𝑌1 sebesar

39,644 g/g, nilai Koefisien yield (rasio laju produksi etanol terhadap

laju konsumsi glukosa) atau 𝑌2 sebesar 5,2183 g/g, nilai laju maksimum

pertumbuhan spesifik sel atau 𝜇𝑚 sebesar 32,486 h−1, nilai konsentrasi

glukosa yang mengakibatkan laju pertumbuhan spesifik sel mencapai

setengah dari laju maksimum atau 𝐾𝑔 sebesar 4,9233 g/l, nilai

konsentrasi maksimal glukosa yang menyebabkan pertumbuhan sel

terhambat atau 𝐺𝑐 sebesar 221,98 g/l, nilai konsentrasi maksimal etanol

yang menyebabkan pertumbuhan sel terhambat atau 𝐸𝑐 sebesar 1,7621

g/l, nilai konstanta laju dari substrat yang digunakan dalam


52

pemeliharaan sel ragi atau 𝑚1 sebesar 1,668 h−1, nilai konsentrasi

maksimal sel yang menyebabkan pertumbuhan sel terhambat atau 𝑋𝑐

sebesar 23,054 g/l, dan nilai konstanta laju dari substrat yang digunakan

dalam pemeliharaan sel ragi atau 𝑚2 sebesar 0.012137 h−1. Nilai

parameter tersebut dapat digunakan untuk menentukan solusi model

yang menghasilkan nilai error yang sangat kecil meskipun dalam

penerapannya, menurut konsep Bayesian masih terdapat terdapat 3

parameter yang belum konvergen, yakni 𝐺𝑐 , 𝐸𝑐 dan 𝑋𝑐.

4. Standar deviasi untuk error berada pada interval 0,058 sampai 0,1076

dengan rata-rata yaitu sebesar 0,0784. Nilai standar deviasi yang

diperoleh sangat kecil yang memberikan makna bahwa model yang

telah dikonstruksi dapat merepresentasikan proses fermentasi etanol

dengan metode batch.

5.2 Saran

Pada penelitian ini, digunakan pertumbuhan sel model Monod dan

estimasi parameter dengan menggunakan algoritma Metropolis-Hastings,

dengan fungsi likelihood berdistribusi normal dan distribusi prior

menggunakan distribusi invers gamma. Namun, Perlu dikaji lebih lanjut

kestabilan titik yang diperoleh menggunakan teorema Center Manifold.

Selain itu dalam literatur terdapat beberapa jenis pertumbuhan sel selain

model Monod. Kajian dapat dilanjutkan dengan mengkaji model

pertumbuhan lain tersebut yang mungkin dapat mendekati data eksperimen.

Serta pada estimasi parameter masih terdapat 3 nilai parameter yang belum

konvergen menurut konsep Bayesian, oleh karena itu dapat dikaji faktor-

faktor yang menyebabkan parameter tersebut tidak konvergen sehingga

dapat menyempurnakan penulisan tugas akhir ini.


53

DAFTAR PUSTAKA

Balat, M., Balat, H., Oz., C., 2008. Progress in bioethanol processing. Prog. Energy

Combust. Sci. 34, 551–573.

Box, G.E.P. and Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference in Statistical Analysis.

Philippines : Addidion-Wesley Publishing Company.

Charalampopoulos, D., Vazquez, JA., Pandiella, SS. 2009. Modelling and

validation of Lactobacillus plantarum fermentations in cereal-based media

with different sugar concentrations and buffering capacities. Biochem Eng

J 44: 96- 105.

Corro, G., Ayala, E. 2008. Bioethanol and diesel/bioethanol blends emissions

abatement. Fuel 87, 3537–3542.

Demirbas, A. 2007. Progress and recent trends in biofuels. Progress in Energy and

Combustion Science, 33:1-18.

Didu, Nurhidayah. 2015. Produksi Bioetanol dari Sirup Glukosa Ubi Jalar

(Ipomoea batats L) Secara Fed Batch dengan Menggunakan

Saccharomyces Cerevisiae. [Skripsi]. Bogor: Institut Pertaniah Bogor.

Hidayah, Entin. 2010. Model Disagregasi Data Hujan Temporal Dengan

Pendekatan Bayesian Sebagai Input Pemodelan Banjir. Dalam halaman

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-PhD-15746-Paper-860954.pdf diakses

pada tanggal 17 Juli 2017.

Iriawan, N. 2001. Penaksiran Model Mixtue Normal Univariabel: Suatu Pendekatan

Metode Bayesian dengan MCMC. Prosiding Seminar Nasional dan

Konferda VII Matematika Wilayah DIY & Jawa Tengah, Yogyakarta 105-

110.

Kasbawati, A.Y. Gunawan, R. Hertadi, K.A. Sidarto. 2017. Washout and non-

washout solutions of a system describing microbial fermentation process

under the influence of growth inhibitions and maximal concentration of

yeast cells. Mathematical Biosciences.

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-PhD-15746-Paper-860954.pdf


54

Kasbawati. 2015. Pemodelan Matematika dan Simulasi Numerik Sistem Fermentasi

Etanol oleh Sel Ragi Saccharomyces Cerevisiae. [Disertasi]. Bandung:

Institut Teknologi Bandung.

Koztov, Georgi., dkk. 2012. Modeling of Batch Alcohol Fermentation with Free

and Immobilized Yeasts Saccharomyces cerevisiae 46 EVD.

Biotechnology & Biotechnological Equipment.

Levenspiel, O. 1999. Chemical reaction engineering. Wiley & Sons. 3rd edition.

668p.

Liu, R., Shen, F., 2008. Impacts of main factors on bioethanol fermentation from

stalk juice of sweet sorghum by immobilized Saccharomyces cerevisiae

(CICC 1308). Bioresource Technol. 99, 847–854.

Monod, J. 1949. The growth of bacterial cultures. Annual Review of Microbiology,

3: 371-394.

Naik, S.N., Goud, V.V., Rout, P.K. & Dalai, A.K. 2010. Production of first and

second generation biofuels: A comprehensive review. Renewable and

Sustainable Energy Reviews, 14: 578–597.

Nugraha, A., Pratomo. 2014. Pemanfaatan Ganggang Hijau Menjadi Bahan

Bakar Bioetanol Melalui Hidrolisis Asam Sulfat. [Skripsi]. Palembang:

Politeknik Negeri Sriwijaya.

Oliveira, SC., Oliveira, RC., Tacin, MV., Gattás EAL. 2016. Kinetic Modeling and

Optimization of a Batch Ethanol Fermentation Process. J Bioprocess

Biotech 6: 266.

Phisalaphong, Muenduen., Srirattana, Nuttapana., Tanthapanichakoon, Wiwut.

2006. Mathematical modling to investigate temperature effect on kinetic

parameters of ethanol fermentation. Biochemical Engineering Journal 28:

36-43.

Rahmi, Sulvirah. 2015. Pemodelan Spasial Survival dengan Pendekatan Bayesian.

[Skipsi]. Makassar: Universitas Hasanuddin.

Reskianti, Kiki. 2013. Estimasi Parameter Bayesian Pada Analisis Data

Ketahanan Hidup Berdistribusi Eksponensial Melalui Pendekatan Self


55

Studi Kasus: Analisis Ketahanan Hidup Flourophores. [Skipsi]. Makassar:


Rusmana, Iman., 2008. Sistem Operasi Fermentasi. Bogor: Institut Pertanian

Bogor.

Sari, Desi M. 2017. Fermentasi Alga Spirogyra Peipingensis Menjadi Bioetanol

dengan Menggunakan Nutrisi Fermentasi Organik Dan Anorganik.

[Skipsi]. Makassar: Universitas Hasanuddin.

Sassner, P., Galbe, M., Zacchi, G., 2008. Techno-economic evaluation of

bioethanol production from three different lignocellulosic materials.

Biomass Bioenergy 32, 422–430.

Skolkap, Wanwiska., Scharer, J.M., Douglas, P.M., Moo-Young, M. 2004. Fed-

Batch Optimization of A-Amylase and Protease-Producing Bacillus subtilis

Using Markov Chain Methods. Waterloo: Wiley InterScience.

Tao, F.J. dkk., 2005. Ethanol fermentation by an acid-tolerant Zymomonas mobilis

under non-sterilized condition. Process Biochemistry 40, 183–187.

Walsh B. (2004). Markov Chain Monte Carlo and Gibbs Sampling. Dalam halaman

http://nitro.biosci.arizona.edu/courses/EEB596/ handouts/ Gibbs. pdf

diakses pada tanggal 17 Juli 2017.

Z. Xiu, A. Zeng, W.D. Deckwer. Multiplicity and stability analysis of mi-

croorganisms in continuous culture: growth inhibition. Biotechnol. Bioeng.

57 (1998) 251–261.

http://nitro.biosci.arizona.edu/courses/EEB596/%20handouts/%20Gibbs.%20pdf


56

LAMPIRAN


57

Lampiran 1

Output dari Program untuk 1.000 Iterasi


58

Lampiran 1 (Lanjutan)



59




60


Output dari Program untuk 1.000.000 Iterasi


61


Output dari Program untuk 2.000.000 Iterasi


62

Lampiran 2

Data Hasil Eksperimen Pembuatan Etanol Pada Proses Fermentasi Batch

Data Eksperimen

Durasi Fermentasi

(hari) Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)

0 0.6 0.37 0

0.0816 0.5349 0.5253 0.0313

0.1633 0.4709 0.6767 0.0621

0.2449 0.4087 0.8235 0.092

0.3265 0.3492 0.9653 0.1207

0.4082 0.293 1.1015 0.1477

0.4898 0.241 1.2315 0.1728

0.5714 0.194 1.3547 0.1954

0.6531 0.1527 1.4707 0.2152

0.7347 0.118 1.5789 0.232

0.8163 0.0906 1.6788 0.2452

0.8980 0.0714 1.7697 0.2544

0.9796 0.0611 1.8512 0.2595

1.0612 0.0577 1.9259 0.2611

1.1429 0.0548 2.0012 0.2624

1.2245 0.0522 2.076 0.2635

1.3061 0.0498 2.1491 0.2644

1.3878 0.0477 2.2192 0.2652

1.4694 0.0458 2.2851 0.2659

1.5510 0.0442 2.3453 0.2665

1.6327 0.0428 2.3987 0.2671

1.7143 0.0417 2.444 0.2677

1.7959 0.0409 2.4799 0.2683

1.8776 0.0403 2.5051 0.2689

1.9592 0.04 2.5183 0.2696


63

Data Eksperimen

Durasi Fermentasi

(hari) Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)

2.0408 0.04 2.52 0.2704

2.1224 0.04 2.52 0.2714

2.2041 0.04 2.52 0.2724

2.2857 0.04 2.52 0.2734

2.3673 0.04 2.52 0.2745

2.4490 0.04 2.52 0.2756

2.5306 0.04 2.52 0.2766

2.6122 0.04 2.52 0.2776

2.6939 0.04 2.52 0.2784

2.7755 0.04 2.52 0.2791

2.8571 0.04 2.52 0.2796

2.9388 0.04 2.52 0.2799

3.0204 0.04 2.52 0.28

3.1020 0.04 2.52 0.28

3.1837 0.04 2.52 0.28

3.2653 0.04 2.52 0.28

3.3469 0.04 2.52 0.28

3.4286 0.04 2.52 0.28

3.5102 0.04 2.52 0.28

3.5918 0.04 2.52 0.28

3.6735 0.04 2.52 0.28

3.7551 0.04 2.52 0.28

3.8367 0.04 2.52 0.28

3.9184 0.04 2.52 0.28

4.0000 0.04 2.52 0.28


64

Lampiran 3

Solusi Model untuk 1.000 Iterasi

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)

Glukosa (g/l) Sel (g/l) Etanol (g/l)

0.0000 0 0.6 0.37 0

0.0816 1.9584 0.5209 0.4823 0.0148

0.1633 3.9192 0.4516 0.6081 0.0313

0.2449 5.8776 0.3909 0.7444 0.0492

0.3265 7.836 0.3377 0.8874 0.068

0.4082 9.7968 0.2913 1.0333 0.0871

0.4898 11.7552 0.2508 1.1783 0.1061

0.5714 13.7136 0.2155 1.3195 0.1246

0.6531 15.6744 0.1849 1.4541 0.1422

0.7347 17.6328 0.1584 1.5804 0.1586

0.8163 19.5912 0.1355 1.6971 0.1738

0.8980 21.552 0.1157 1.8035 0.1877

0.9796 23.5104 0.0987 1.8995 0.2001

1.0612 25.4688 0.0841 1.9854 0.2112

1.1429 27.4296 0.0716 2.0614 0.221

1.2245 29.388 0.0609 2.1283 0.2296

1.3061 31.3464 0.0518 2.1869 0.2371

1.3878 33.3072 0.044 2.238 0.2435

1.4694 35.2656 0.0373 2.2821 0.2491

1.5510 37.224 0.0317 2.3203 0.2539

1.6327 39.1848 0.0269 2.3531 0.258

1.7143 41.1432 0.0228 2.3814 0.2614

1.7959 43.1016 0.0193 2.4056 0.2643

1.8776 45.0624 0.0164 2.4262 0.2668

1.9592 47.0208 0.0139 2.4438 0.2688

2.0408 48.9792 0.0118 2.4589 0.2706

2.1224 50.9376 0.01 2.4717 0.272

2.2041 52.8984 0.0084 2.4826 0.2731

2.2857 54.8568 0.0071 2.4919 0.2741

2.3673 56.8152 0.006 2.4997 0.2749

2.4490 58.776 0.0051 2.5064 0.2755

2.5306 60.7344 0.0043 2.5121 0.2759

2.6122 62.6928 0.0037 2.5169 0.2763

2.6939 64.6536 0.0031 2.521 0.2766

2.7755 66.612 0.0026 2.5245 0.2767

2.8571 68.5704 0.0022 2.5274 0.2769

2.9388 70.5312 0.0019 2.5299 0.2769


65

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


3.0204 72.4896 0.0016 2.532 0.2769

3.1020 74.448 0.0013 2.5338 0.2769

3.1837 76.4088 0.0011 2.5353 0.2768

3.2653 78.3672 0.001 2.5366 0.2767

3.3469 80.3256 0.0008 2.5376 0.2766

3.4286 82.2864 0.0007 2.5386 0.2764

3.5102 84.2448 0.0006 2.5393 0.2762

3.5918 86.2032 0.0005 2.54 0.276

3.6735 88.164 0.0004 2.5405 0.2758

3.7551 90.1224 0.0004 2.541 0.2756

3.8367 92.0808 0.0003 2.5414 0.2754

3.9184 94.0416 0.0003 2.5417 0.2752

4.0000 96 0.0002 2.542 0.2749


66

Lampiran 3


Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


0.0000 0 0.6 0.37 0

0.0816 1.9584 0.5212 0.4824 0.0148

0.1633 3.9192 0.452 0.6088 0.0313

0.2449 5.8776 0.3914 0.7461 0.0493

0.3265 7.836 0.3382 0.8906 0.0683

0.4082 9.7968 0.2917 1.0384 0.0876

0.4898 11.7552 0.2511 1.1859 0.1069

0.5714 13.7136 0.2157 1.3297 0.1257

0.6531 15.6744 0.185 1.4672 0.1436

0.7347 17.6328 0.1583 1.5963 0.1604

0.8163 19.5912 0.1353 1.7158 0.1759

0.8980 21.552 0.1155 1.8249 0.1901

0.9796 23.5104 0.0984 1.9234 0.2028

1.0612 25.4688 0.0837 2.0114 0.2141

1.1429 27.4296 0.0712 2.0894 0.2242

1.2245 29.388 0.0605 2.158 0.2329

1.3061 31.3464 0.0513 2.218 0.2406

1.3878 33.3072 0.0435 2.2702 0.2472

1.4694 35.2656 0.0369 2.3154 0.2529

1.5510 37.224 0.0313 2.3543 0.2577

1.6327 39.1848 0.0265 2.3878 0.2618

1.7143 41.1432 0.0224 2.4166 0.2653

1.7959 43.1016 0.019 2.4412 0.2683

1.8776 45.0624 0.016 2.4621 0.2708

1.9592 47.0208 0.0136 2.48 0.2728

2.0408 48.9792 0.0115 2.4952 0.2745

2.1224 50.9376 0.0097 2.5082 0.276

2.2041 52.8984 0.0082 2.5192 0.2771

2.2857 54.8568 0.0069 2.5285 0.278

2.3673 56.8152 0.0059 2.5364 0.2788

2.4490 58.776 0.0049 2.5431 0.2794

2.5306 60.7344 0.0042 2.5488 0.2798

2.6122 62.6928 0.0035 2.5536 0.2802

2.6939 64.6536 0.003 2.5576 0.2804

2.7755 66.612 0.0025 2.5611 0.2806

2.8571 68.5704 0.0021 2.564 0.2807

2.9388 70.5312 0.0018 2.5664 0.2807


67

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


3.0204 72.4896 0.0015 2.5685 0.2807

3.1020 74.448 0.0013 2.5703 0.2806

3.1837 76.4088 0.0011 2.5717 0.2805

3.2653 78.3672 0.0009 2.573 0.2804

3.3469 80.3256 0.0008 2.5741 0.2802

3.4286 82.2864 0.0007 2.575 0.2801

3.5102 84.2448 0.0006 2.5757 0.2799

3.5918 86.2032 0.0005 2.5764 0.2797

3.6735 88.164 0.0004 2.5769 0.2794

3.7551 90.1224 0.0003 2.5774 0.2792

3.8367 92.0808 0.0003 2.5777 0.279

3.9184 94.0416 0.0002 2.5781 0.2787

4.0000 96 0.0002 2.5783 0.2785


68

Lampiran 3


Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


0.0000 0 0.6 0.37 0

0.0816 1.9584 0.5191 0.4844 0.0153

0.1633 3.9192 0.4485 0.613 0.0324

0.2449 5.8776 0.3872 0.7524 0.0509

0.3265 7.836 0.3337 0.8986 0.0703

0.4082 9.7968 0.2873 1.0477 0.0901

0.4898 11.7552 0.247 1.1959 0.1097

0.5714 13.7136 0.2121 1.3398 0.1288

0.6531 15.6744 0.1819 1.4771 0.1469

0.7347 17.6328 0.1558 1.6057 0.1639

0.8163 19.5912 0.1333 1.7244 0.1795

0.8980 21.552 0.114 1.8327 0.1937

0.9796 23.5104 0.0973 1.9305 0.2065

1.0612 25.4688 0.0831 2.0179 0.2179

1.1429 27.4296 0.0709 2.0955 0.2279

1.2245 29.388 0.0604 2.1638 0.2367

1.3061 31.3464 0.0515 2.2237 0.2444

1.3878 33.3072 0.0438 2.276 0.251

1.4694 35.2656 0.0373 2.3213 0.2568

1.5510 37.224 0.0318 2.3606 0.2617

1.6327 39.1848 0.027 2.3945 0.2658

1.7143 41.1432 0.023 2.4237 0.2694

1.7959 43.1016 0.0195 2.4488 0.2724

1.8776 45.0624 0.0166 2.4703 0.2749

1.9592 47.0208 0.0141 2.4887 0.277

2.0408 48.9792 0.012 2.5045 0.2787

2.1224 50.9376 0.0102 2.518 0.2802

2.2041 52.8984 0.0087 2.5295 0.2813

2.2857 54.8568 0.0074 2.5393 0.2823

2.3673 56.8152 0.0063 2.5477 0.283

2.4490 58.776 0.0053 2.5548 0.2836

2.5306 60.7344 0.0045 2.5609 0.284

2.6122 62.6928 0.0038 2.566 0.2844

2.6939 64.6536 0.0033 2.5704 0.2846

2.7755 66.612 0.0028 2.5742 0.2847

2.8571 68.5704 0.0024 2.5773 0.2848

2.9388 70.5312 0.002 2.5801 0.2847


69

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


3.0204 72.4896 0.0017 2.5824 0.2847

3.1020 74.448 0.0014 2.5843 0.2846

3.1837 76.4088 0.0012 2.586 0.2844

3.2653 78.3672 0.001 2.5874 0.2842

3.3469 80.3256 0.0009 2.5886 0.284

3.4286 82.2864 0.0007 2.5896 0.2838

3.5102 84.2448 0.0006 2.5905 0.2835

3.5918 86.2032 0.0005 2.5912 0.2833

3.6735 88.164 0.0005 2.5918 0.283

3.7551 90.1224 0.0004 2.5924 0.2827

3.8367 92.0808 0.0003 2.5928 0.2824

3.9184 94.0416 0.0003 2.5932 0.2821

4.0000 96 0.0002 2.5935 0.2817


70

Lampiran 3

Solusi Model untuk 1.000.000 Iterasi

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


0.0000 0 0.6 0.37 0

0.0816 1.9584 0.5145 0.4895 0.02

0.1633 3.9192 0.441 0.6223 0.042

0.2449 5.8776 0.378 0.7648 0.0655

0.3265 7.836 0.324 0.9127 0.0896

0.4082 9.7968 0.2776 1.062 0.1137

0.4898 11.7552 0.2378 1.2093 0.1373

0.5714 13.7136 0.2037 1.3517 0.1599

0.6531 15.6744 0.1744 1.4868 0.181

0.7347 17.6328 0.1493 1.6132 0.2005

0.8163 19.5912 0.1278 1.73 0.2182

0.8980 21.552 0.1094 1.8366 0.234

0.9796 23.5104 0.0937 1.9331 0.248

1.0612 25.4688 0.0802 2.0196 0.2602

1.1429 27.4296 0.0686 2.0967 0.2707

1.2245 29.388 0.0587 2.165 0.2796

1.3061 31.3464 0.0502 2.2252 0.2871

1.3878 33.3072 0.043 2.2779 0.2933

1.4694 35.2656 0.0367 2.3241 0.2983

1.5510 37.224 0.0314 2.3643 0.3023

1.6327 39.1848 0.0269 2.3993 0.3054

1.7143 41.1432 0.023 2.4296 0.3077

1.7959 43.1016 0.0197 2.4557 0.3092

1.8776 45.0624 0.0168 2.4784 0.3102

1.9592 47.0208 0.0144 2.4979 0.3106

2.0408 48.9792 0.0123 2.5148 0.3106

2.1224 50.9376 0.0105 2.5292 0.3102

2.2041 52.8984 0.009 2.5416 0.3094

2.2857 54.8568 0.0077 2.5523 0.3083

2.3673 56.8152 0.0066 2.5615 0.3071

2.4490 58.776 0.0056 2.5694 0.3056

2.5306 60.7344 0.0048 2.5761 0.3039

2.6122 62.6928 0.0041 2.5819 0.3021

2.6939 64.6536 0.0035 2.5869 0.3001

2.7755 66.612 0.003 2.5911 0.2981

2.8571 68.5704 0.0026 2.5948 0.296

2.9388 70.5312 0.0022 2.5979 0.2938


71

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


3.0204 72.4896 0.0019 2.6005 0.2915

3.1020 74.448 0.0016 2.6028 0.2892

3.1837 76.4088 0.0014 2.6048 0.2869

3.2653 78.3672 0.0012 2.6065 0.2846

3.3469 80.3256 0.001 2.6079 0.2822

3.4286 82.2864 0.0009 2.6091 0.2798

3.5102 84.2448 0.0007 2.6102 0.2774

3.5918 86.2032 0.0006 2.6111 0.275

3.6735 88.164 0.0005 2.6118 0.2726

3.7551 90.1224 0.0005 2.6125 0.2703

3.8367 92.0808 0.0004 2.613 0.2679

3.9184 94.0416 0.0003 2.6135 0.2655

4.0000 96 0.0003 2.6139 0.2631


72

Lampiran 3

Solusi Model untuk 2.000.000 Iterasi

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


0.0000 0 0.6 0.37 0

0.0816 1.9584 0.514 0.4897 0.0205

0.1633 3.9192 0.4403 0.6228 0.043

0.2449 5.8776 0.3771 0.7654 0.0669

0.3265 7.836 0.3229 0.9132 0.0914

0.4082 9.7968 0.2764 1.0624 0.1159

0.4898 11.7552 0.2366 1.2092 0.1397

0.5714 13.7136 0.2025 1.351 0.1625

0.6531 15.6744 0.1733 1.4855 0.1837

0.7347 17.6328 0.1482 1.611 0.2032

0.8163 19.5912 0.1268 1.7269 0.2208

0.8980 21.552 0.1085 1.8325 0.2364

0.9796 23.5104 0.0928 1.928 0.2502

1.0612 25.4688 0.0793 2.0135 0.2621

1.1429 27.4296 0.0678 2.0896 0.2723

1.2245 29.388 0.058 2.157 0.2809

1.3061 31.3464 0.0496 2.2163 0.288

1.3878 33.3072 0.0424 2.2683 0.2938

1.4694 35.2656 0.0363 2.3137 0.2984

1.5510 37.224 0.031 2.3532 0.302

1.6327 39.1848 0.0265 2.3875 0.3046

1.7143 41.1432 0.0226 2.4172 0.3064

1.7959 43.1016 0.0194 2.4429 0.3075

1.8776 45.0624 0.0165 2.4651 0.308

1.9592 47.0208 0.0141 2.4842 0.308

2.0408 48.9792 0.0121 2.5006 0.3075

2.1224 50.9376 0.0103 2.5148 0.3066

2.2041 52.8984 0.0088 2.5269 0.3054

2.2857 54.8568 0.0075 2.5373 0.3039

2.3673 56.8152 0.0064 2.5463 0.3021

2.4490 58.776 0.0055 2.554 0.3002

2.5306 60.7344 0.0047 2.5605 0.2981

2.6122 62.6928 0.004 2.5662 0.2959

2.6939 64.6536 0.0034 2.571 0.2935

2.7755 66.612 0.0029 2.5751 0.2911

2.8571 68.5704 0.0025 2.5787 0.2886

2.9388 70.5312 0.0021 2.5817 0.286


73

Model

Durasi

Fermentasi

(hari)

Durasi

Fermentasi

(jam)


3.0204 72.4896 0.0018 2.5843 0.2834

3.1020 74.448 0.0016 2.5865 0.2807

3.1837 76.4088 0.0013 2.5884 0.278

3.2653 78.3672 0.0011 2.59 0.2753

3.3469 80.3256 0.001 2.5914 0.2726

3.4286 82.2864 0.0008 2.5926 0.2699

3.5102 84.2448 0.0007 2.5936 0.2671

3.5918 86.2032 0.0006 2.5944 0.2644

3.6735 88.164 0.0005 2.5952 0.2617

3.7551 90.1224 0.0004 2.5958 0.259

3.8367 92.0808 0.0004 2.5963 0.2563

3.9184 94.0416 0.0003 2.5968 0.2537

4.0000 96 0.0003 2.5972 0.251


74

Lampiran 4

Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 1.000 Iterasi

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

1 0 0 0

2 0.000196 0.001849 0.00027225

3 0.00037249 0.00470596 0.00094864

4 0.00031684 0.00625681 0.00183184

5 0.00013225 0.00606841 0.00277729

6 2.89E-06 0.00465124 0.00367236

7 9.604E-05 0.00283024 0.00444889

8 0.00046225 0.00123904 0.00501264

9 0.00103684 0.00027556 0.005329

10 0.00163216 2.25E-06 0.00538756

11 0.00201601 0.00033489 0.00509796

12 0.00196249 0.00114244 0.00444889

13 0.00141376 0.00233289 0.00352836

14 0.00069696 0.00354025 0.00249001

15 0.00028224 0.00362404 0.00171396

16 0.00007569 0.00273529 0.00114921

17 4E-06 0.00142884 0.00074529

18 0.00001369 0.00035344 0.00047089

19 0.00007225 9E-06 0.00028224

20 0.00015625 0.000625 0.00015876

21 0.00025281 0.00207936 8.281E-05

22 0.00035721 0.00391876 3.969E-05

23 0.00046656 0.00552049 0.000016

24 0.00057121 0.00622521 4.41E-06

25 0.00068121 0.00555025 6.4E-07

26 0.00079524 0.00373321 4E-08

27 0.0009 0.00233289 3.6E-07

28 0.00099856 0.00139876 4.9E-07

29 0.00108241 0.00078961 4.9E-07

30 0.001156 0.00041209 1.6E-07

31 0.00121801 0.00018496 1E-08


75

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

32 0.00127449 6.241E-05 4.9E-07

33 0.00131769 9.61E-06 1.69E-06

34 0.00136161 1E-06 3.24E-06

35 0.00139876 2.025E-05 5.76E-06

36 0.00142884 5.476E-05 7.29E-06

37 0.00145161 9.801E-05 9E-06

38 0.00147456 0.000144 9.61E-06

39 0.00149769 0.00019044 9.61E-06

40 0.00151321 0.00023409 1.024E-05

41 0.001521 0.00027556 1.089E-05

42 0.00153664 0.00030976 1.156E-05

43 0.00154449 0.00034596 1.296E-05

44 0.00155236 0.00037249 1.444E-05

45 0.00156025 0.0004 0.000016

46 0.00156816 0.00042025 1.764E-05

47 0.00156816 0.000441 1.936E-05

48 0.00157609 0.00045796 2.116E-05

49 0.00157609 0.00047089 2.304E-05

50 0.00158404 0.000484 2.601E-05

ERROR 0.04772606 0.08094262 0.05014113


76

Lampiran 4


Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

1 0 0 0

2 0.00018769 0.00184041 0.00027225

3 0.00035721 0.00461041 0.00094864

4 0.00029929 0.00599076 0.00182329

5 0.000121 0.00558009 0.00274576

6 1.69E-06 0.00398161 0.00361201

7 0.00010201 0.00207936 0.00434281

8 0.00047089 0.000625 0.00485809

9 0.00104329 1.225E-05 0.00512656

10 0.00162409 0.00030276 0.00512656

11 0.00199809 0.001369 0.00480249

12 0.00194481 0.00304704 0.00413449

13 0.00139129 0.00521284 0.00321489

14 0.000676 0.00731025 0.002209

15 0.00026896 0.00777924 0.00145924

16 6.889E-05 0.006724 0.00093636

17 0.00000225 0.00474721 0.00056644

18 0.00001764 0.002601 0.000324

19 0.00007921 0.00091809 0.000169

20 0.00016641 8.1E-05 7.744E-05

21 0.00026569 0.00011881 2.809E-05

22 0.00037249 0.00075076 5.76E-06

23 0.00047961 0.00149769 0

24 0.00059049 0.001849 3.61E-06

25 0.00069696 0.00146689 1.024E-05

26 0.00081225 0.00061504 1.681E-05

27 0.00091809 0.00013924 2.116E-05

28 0.00101124 6.4E-07 2.209E-05

29 0.00109561 7.225E-05 2.116E-05

30 0.00116281 0.00026896 1.849E-05

31 0.00123201 0.00053361 1.444E-05


77

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

32 0.00128164 0.00082944 1.024E-05

33 0.00133225 0.00112896 6.76E-06

34 0.001369 0.00141376 4E-06

35 0.00140625 0.00168921 0.00000225

36 0.00143641 0.001936 1.21E-06

37 0.00145924 0.00215296 6.4E-07

38 0.00148225 0.00235225 4.9E-07

39 0.00149769 0.00253009 3.6E-07

40 0.00151321 0.00267289 0.00000025

41 0.00152881 0.002809 1.6E-07

42 0.00153664 0.00292681 4E-08

43 0.00154449 0.003025 1E-08

44 0.00155236 0.00310249 1E-08

45 0.00156025 0.00318096 9E-08

46 0.00156816 0.00323761 3.6E-07

47 0.00157609 0.00329476 6.4E-07

48 0.00157609 0.00332929 0.000001

49 0.00158404 0.00337561 1.69E-06

50 0.00158404 0.00339889 0.00000225

ERROR 0.04784687 0.12051119 0.04694362


78

Lampiran 4


Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

1 0 0 0

2 0.00024964 0.00167281 0.000256

3 0.00050176 0.00405769 0.00088209

4 0.00046225 0.00505521 0.00168921

5 0.00024025 0.00444889 0.00254016

6 3.249E-05 0.00289444 0.00331776

7 3.6E-05 0.00126736 0.00398161

8 0.00032761 0.00022201 0.00443556

9 0.00085264 4.096E-05 0.00466489

10 0.00142884 0.00071824 0.00463761

11 0.00182329 0.00207936 0.00431649

12 0.00181476 0.003969 0.00368449

13 0.00131044 0.00628849 0.002809

14 0.00064516 0.008464 0.00186624

15 0.00025921 0.00889249 0.00119025

16 0.00006724 0.00770884 0.00071824

17 0.00000289 0.00556516 0.0004

18 0.00001521 0.00322624 0.00020164

19 0.00007225 0.00131044 8.281E-05

20 0.00015376 0.00023409 2.304E-05

21 0.00024964 1.764E-05 1.69E-06

22 0.00034969 0.00041209 2.89E-06

23 0.00045796 0.00096721 1.681E-05

24 0.00056169 0.00121104 3.6E-05

25 0.00067081 0.00087616 5.476E-05

26 0.000784 0.00024025 6.889E-05

27 0.00088804 4E-06 7.744E-05

28 0.00097969 9.025E-05 7.921E-05

29 0.00106276 0.00037249 7.921E-05

30 0.00113569 0.00076729 7.225E-05

31 0.00120409 0.00121104 6.4E-05


79

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

32 0.00126025 0.00167281 5.476E-05

33 0.00131044 0.002116 4.624E-05

34 0.00134689 0.00254016 3.844E-05

35 0.00138384 0.00293764 3.136E-05

36 0.00141376 0.00328329 2.704E-05

37 0.001444 0.00361201 2.304E-05

38 0.00146689 0.00389376 2.209E-05

39 0.00148996 0.00413449 2.116E-05

40 0.00150544 0.004356 1.936E-05

41 0.001521 0.00454276 1.764E-05

42 0.00152881 0.00470596 1.6E-05

43 0.00154449 0.00484416 1.444E-05

44 0.00155236 0.00497025 1.225E-05

45 0.00156025 0.00506944 1.089E-05

46 0.00156025 0.00515524 9E-06

47 0.00156816 0.00524176 7.29E-06

48 0.00157609 0.00529984 5.76E-06

49 0.00157609 0.00535824 4.41E-06

50 0.00158404 0.00540225 2.89E-06

ERROR 0.04683276 0.15342124 0.0426343


80

Lampiran 4

Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 1.000.000 Iterasi

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

1 0 0 0

2 0.00041616 0.00128164 0.00012769

3 0.00089401 0.00295936 0.00040401

4 0.00094249 0.00344569 0.00070225

5 0.00063504 0.00276676 0.00096721

6 0.00023716 0.00156025 0.001156

7 1.024E-05 0.00049284 0.00126025

8 9.409E-05 9E-06 0.00126025

9 0.00047089 0.00025921 0.00116964

10 0.00097969 0.00117649 0.00099225

11 0.00138384 0.00262144 0.000729

12 0.001444 0.00447561 0.00041616

13 0.00106276 0.00670761 0.00013225

14 0.00050625 0.00877969 8.1E-07

15 0.00019044 0.00912025 6.889E-05

16 0.00004225 0.007921 0.00025921

17 1.6E-07 0.00579121 0.00051529

18 0.00002209 0.00344569 0.00078961

19 8.281E-05 0.001521 0.00104976

20 0.00016384 0.000361 0.00128164

21 0.00025281 3.6E-07 0.00146689

22 0.00034969 0.00020736 0.0016

23 0.00044944 0.00058564 0.00167281

24 0.00055225 0.00071289 0.00170569

25 0.00065536 0.00041616 0.001681

26 0.00076729 2.704E-05 0.00161604

27 0.00087025 8.464E-05 0.00150544

28 0.000961 0.00046656 0.001369

29 0.00104329 0.00104329 0.00121801

30 0.00111556 0.00172225 0.00106276

31 0.00118336 0.00244036 0.0009


81

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

32 0.00123904 0.00314721 0.00074529

33 0.00128881 0.00383161 0.00060025

34 0.00133225 0.00447561 0.00047089

35 0.001369 0.00505521 0.000361

36 0.00139876 0.00559504 0.00026896

37 0.00142884 0.00606841 0.00019321

38 0.00145161 0.00648025 0.00013225

39 0.00147456 0.00685584 8.464E-05

40 0.00148996 0.00719104 4.761E-05

41 0.00150544 0.00748225 2.116E-05

42 0.001521 0.00772641 4.84E-06

43 0.00152881 0.00793881 4E-08

44 0.00154449 0.00813604 6.76E-06

45 0.00155236 0.00829921 0.000025

46 0.00156025 0.00842724 5.476E-05

47 0.00156025 0.00855625 9.409E-05

48 0.00156816 0.008649 0.00014641

49 0.00157609 0.00874225 0.00021025

50 0.00157609 0.00881721 0.00028561

ERROR 0.04574428 0.20387718 0.03283283


82

Lampiran 4

Nilai Error Masing-Masing Variabel untuk 2.000.000 Iterasi

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

1 0 0 0

2 0.00043681 0.00126736 0.00011664

3 0.00093636 0.00290521 0.00036481

4 0.00099856 0.00337561 0.00063001

5 0.00069169 0.00271441 0.00085849

6 0.00027556 0.00152881 0.00101124

7 1.936E-05 0.00049729 0.00109561

8 7.225E-05 1.369E-05 0.00108241

9 0.00042436 0.00021904 0.00099225

10 0.00091204 0.00103041 0.00082944

11 0.00131044 0.00231361 0.00059536

12 0.00137641 0.00394384 0.000324

13 0.00100489 0.00589824 8.649E-05

14 0.00046656 0.00767376 0.000001

15 0.000169 0.00781456 9.801E-05

16 0.00003364 0.006561 0.00030276

17 4E-08 0.00451584 0.00055696

18 0.00002809 0.00241081 0.00081796

19 0.00009025 0.00081796 0.00105625

20 0.00017424 6.241E-05 0.00126025

21 0.00026569 0.00012544 0.00140625

22 0.00036481 0.00071824 0.00149769

23 0.00046225 0.001369 0.00153664

24 0.00056644 0.0016 0.00152881

25 0.00067081 0.00116281 0.00147456

26 0.00077841 0.00037636 0.00137641

27 0.00088209 2.704E-05 0.00123904

28 0.00097344 4.761E-05 0.001089

29 0.00105625 0.00029929 0.00093025

30 0.00112896 0.00069169 0.00076176

31 0.00119025 0.001156 0.00060516


83

Data ke- ERROR

Glukosa Sel Etanol

32 0.00124609 0.00164025 0.00046225

33 0.001296 0.00213444 0.00033489

34 0.00133956 0.002601 0.00022801

35 0.00137641 0.00303601 0.000144

36 0.00140625 0.00344569 8.1E-05

37 0.00143641 0.00380689 3.721E-05

38 0.00145924 0.00413449 1.156E-05

39 0.00147456 0.00442225 4.9E-07

40 0.00149769 0.00467856 4E-06

41 0.00151321 0.0049 2.209E-05

42 0.001521 0.00509796 5.476E-05

43 0.00153664 0.00527076 0.00010201

44 0.00154449 0.00541696 0.00016641

45 0.00155236 0.00553536 0.00024336

46 0.00156025 0.00565504 0.00033489

47 0.00156816 0.00574564 0.000441

48 0.00156816 0.00582169 0.00056169

49 0.00157609 0.00589824 0.00069169

50 0.00157609 0.00595984 0.000841

ERROR 0.04580861 0.14833841 0.03028782


84

Lampiran 5

Perbandingan Antara Data dan Model

Durasi

Fermentasi

Data Eksperimen Solusi Model untuk 1.000

Iterasi

Solusi Model untuk

10.000 Iterasi

Solusi Model untuk

100.000 Iterasi

Solusi Model untuk

1.000.000 Iterasi

Solusi Model untuk

2.000.000 Iterasi

Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol Glukosa Sel Etanol

0 jam 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000 0.600 0.370 0.000

24 jam 0.060 1.870 0.260 0.099 1.900 0.200 0.098 1.923 0.203 0.097 1.931 0.207 0.094 1.933 0.248 0.093 1.928 0.250

48 jam 0.040 2.520 0.270 0.014 2.444 0.269 0.014 2.480 0.273 0.014 2.489 0.277 0.014 2.498 0.311 0.014 2.484 0.308

72 jam 0.040 2.520 0.280 0.002 2.532 0.277 0.002 2.569 0.281 0.002 2.582 0.285 0.002 2.601 0.292 0.002 2.584 0.283

96 jam 0.040 2.520 0.280 0.000 2.542 0.275 0.000 2.578 0.279 0.000 2.594 0.282 0.000 2.614 0.263 0.000 2.597 0.251


85

Lampiran 6

Tabel Standar Deviasi untuk Error untuk 1.000 Iterasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

1 0.079 251 0.0671 501 0.0795 751 0.0826

2 0.058 252 0.0726 502 0.0862 752 0.0997

3 0.0655 253 0.0791 503 0.0879 753 0.0763

4 0.0666 254 0.0637 504 0.0769 754 0.0874

5 0.0718 255 0.0773 505 0.0835 755 0.0777

6 0.0686 256 0.0876 506 0.0755 756 0.0698

7 0.071 257 0.0735 507 0.0742 757 0.0883

8 0.0657 258 0.0797 508 0.0772 758 0.0756

9 0.075 259 0.0876 509 0.0878 759 0.0805

10 0.0711 260 0.0959 510 0.0761 760 0.0853

11 0.0866 261 0.0833 511 0.0765 761 0.0809

12 0.0831 262 0.074 512 0.0766 762 0.0747

13 0.0786 263 0.0783 513 0.0757 763 0.0704

14 0.0774 264 0.0721 514 0.0774 764 0.0792

15 0.0835 265 0.0754 515 0.07 765 0.0667

16 0.0703 266 0.0836 516 0.0769 766 0.0795

17 0.0781 267 0.0794 517 0.0831 767 0.0863

18 0.0741 268 0.0829 518 0.0769 768 0.0773

19 0.0863 269 0.0647 519 0.076 769 0.0773

20 0.0743 270 0.0812 520 0.0687 770 0.0758

21 0.0678 271 0.0924 521 0.0744 771 0.0845

22 0.0766 272 0.0765 522 0.0828 772 0.0758

23 0.0785 273 0.0694 523 0.078 773 0.081

24 0.0842 274 0.0725 524 0.0829 774 0.0865

25 0.0816 275 0.0606 525 0.083 775 0.0726

26 0.0982 276 0.0753 526 0.0802 776 0.0821

27 0.0774 277 0.0907 527 0.0774 777 0.0808

28 0.0787 278 0.0632 528 0.0709 778 0.0854

29 0.0808 279 0.0881 529 0.0819 779 0.0781

30 0.0739 280 0.0653 530 0.0826 780 0.0662

31 0.0838 281 0.0656 531 0.1021 781 0.0891

32 0.0749 282 0.0632 532 0.0919 782 0.0672

33 0.0732 283 0.0698 533 0.077 783 0.083

34 0.078 284 0.0768 534 0.0737 784 0.0773


86

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

35 0.0786 285 0.1 535 0.0904 785 0.1012

36 0.0856 286 0.0725 536 0.0805 786 0.0902

37 0.0784 287 0.078 537 0.0704 787 0.0783

38 0.0734 288 0.0753 538 0.0795 788 0.0744

39 0.0858 289 0.0806 539 0.0989 789 0.0837

40 0.0734 290 0.0706 540 0.0747 790 0.074

41 0.0812 291 0.0682 541 0.0766 791 0.0862

42 0.0743 292 0.0726 542 0.077 792 0.0712

43 0.0742 293 0.0765 543 0.067 793 0.0677

44 0.0724 294 0.0673 544 0.0832 794 0.0781

45 0.0769 295 0.0661 545 0.0712 795 0.0763

46 0.0775 296 0.0739 546 0.0704 796 0.0751

47 0.0796 297 0.0639 547 0.0905 797 0.0903

48 0.0697 298 0.083 548 0.0841 798 0.073

49 0.0869 299 0.0964 549 0.0788 799 0.0715

50 0.0765 300 0.0816 550 0.0709 800 0.0674

51 0.0683 301 0.079 551 0.0804 801 0.08

52 0.0668 302 0.0752 552 0.0655 802 0.0911

53 0.0744 303 0.082 553 0.0824 803 0.0885

54 0.0738 304 0.0774 554 0.0872 804 0.0781

55 0.0755 305 0.0869 555 0.0794 805 0.0859

56 0.0736 306 0.085 556 0.0871 806 0.0817

57 0.0719 307 0.0734 557 0.0671 807 0.0778

58 0.0809 308 0.068 558 0.0896 808 0.0705

59 0.0774 309 0.061 559 0.0829 809 0.066

60 0.0714 310 0.0657 560 0.0735 810 0.0831

61 0.0771 311 0.0821 561 0.0778 811 0.0694

62 0.0833 312 0.0759 562 0.0937 812 0.0901

63 0.0783 313 0.0777 563 0.0777 813 0.0829

64 0.0846 314 0.0811 564 0.0749 814 0.0814

65 0.0695 315 0.0748 565 0.0704 815 0.0896

66 0.0768 316 0.0743 566 0.0747 816 0.0779

67 0.0858 317 0.0733 567 0.0917 817 0.0879

68 0.0898 318 0.0758 568 0.0924 818 0.0761

69 0.0744 319 0.0935 569 0.0789 819 0.0752

70 0.0807 320 0.0712 570 0.0846 820 0.0861

71 0.0686 321 0.0763 571 0.0746 821 0.0728


87

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

72 0.0734 322 0.0706 572 0.0734 822 0.0805

73 0.0741 323 0.0659 573 0.0908 823 0.0825

74 0.072 324 0.0633 574 0.0929 824 0.093

75 0.0913 325 0.0678 575 0.0691 825 0.0824

76 0.0735 326 0.0893 576 0.0921 826 0.0825

77 0.0835 327 0.0759 577 0.0744 827 0.0833

78 0.0773 328 0.064 578 0.0743 828 0.0815

79 0.083 329 0.0683 579 0.0802 829 0.077

80 0.0735 330 0.0642 580 0.0729 830 0.0715

81 0.0613 331 0.0721 581 0.076 831 0.0876

82 0.0795 332 0.0624 582 0.0698 832 0.0889

83 0.0638 333 0.0722 583 0.0702 833 0.07

84 0.0789 334 0.0747 584 0.0772 834 0.0859

85 0.0827 335 0.0764 585 0.0814 835 0.0745

86 0.0782 336 0.0973 586 0.0776 836 0.0796

87 0.0888 337 0.0802 587 0.0763 837 0.0858

88 0.0936 338 0.0785 588 0.0862 838 0.0798

89 0.0692 339 0.0717 589 0.08 839 0.0677

90 0.0749 340 0.0917 590 0.0762 840 0.0769

91 0.0842 341 0.0731 591 0.0945 841 0.0922

92 0.0707 342 0.0689 592 0.0947 842 0.0764

93 0.0813 343 0.0824 593 0.0928 843 0.0988

94 0.0747 344 0.072 594 0.071 844 0.0789

95 0.0711 345 0.0794 595 0.0796 845 0.0834

96 0.0752 346 0.0779 596 0.0724 846 0.0876

97 0.0653 347 0.0825 597 0.0742 847 0.0868

98 0.0772 348 0.0834 598 0.0976 848 0.0845

99 0.0763 349 0.0847 599 0.0776 849 0.0835

100 0.0785 350 0.0768 600 0.0932 850 0.0722

101 0.0835 351 0.0621 601 0.0742 851 0.0813

102 0.0742 352 0.0646 602 0.0803 852 0.0757

103 0.0676 353 0.0847 603 0.0847 853 0.0722

104 0.0714 354 0.0703 604 0.1018 854 0.0724

105 0.0675 355 0.0727 605 0.0817 855 0.0689

106 0.0775 356 0.0731 606 0.0817 856 0.0826

107 0.0828 357 0.0902 607 0.0709 857 0.0718

108 0.0752 358 0.0764 608 0.0677 858 0.0818


88

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

109 0.0623 359 0.0663 609 0.081 859 0.0756

110 0.0646 360 0.095 610 0.0784 860 0.08

111 0.0866 361 0.076 611 0.0747 861 0.0747

112 0.0775 362 0.0847 612 0.0715 862 0.0692

113 0.0813 363 0.0795 613 0.0753 863 0.0709

114 0.0768 364 0.0809 614 0.0782 864 0.0791

115 0.0809 365 0.0762 615 0.078 865 0.0835

116 0.0724 366 0.0753 616 0.0748 866 0.0734

117 0.0776 367 0.0796 617 0.0899 867 0.0824

118 0.0771 368 0.0787 618 0.0734 868 0.0793

119 0.0703 369 0.0787 619 0.0836 869 0.0807

120 0.0761 370 0.0766 620 0.0705 870 0.09

121 0.0747 371 0.0832 621 0.082 871 0.0743

122 0.0743 372 0.0903 622 0.0926 872 0.0878

123 0.0789 373 0.0749 623 0.0851 873 0.0764

124 0.0865 374 0.0826 624 0.064 874 0.0808

125 0.0864 375 0.0851 625 0.0742 875 0.0735

126 0.0867 376 0.0785 626 0.0814 876 0.085

127 0.0712 377 0.0723 627 0.0729 877 0.0724

128 0.0718 378 0.0938 628 0.0809 878 0.0716

129 0.0836 379 0.0825 629 0.0766 879 0.085

130 0.0813 380 0.079 630 0.0758 880 0.0845

131 0.0716 381 0.08 631 0.0793 881 0.0806

132 0.0963 382 0.078 632 0.0801 882 0.0912

133 0.0715 383 0.0616 633 0.0819 883 0.0702

134 0.0843 384 0.0809 634 0.0708 884 0.0749

135 0.0965 385 0.0789 635 0.0769 885 0.0749

136 0.074 386 0.0756 636 0.078 886 0.0854

137 0.0611 387 0.079 637 0.0834 887 0.0883

138 0.0723 388 0.0858 638 0.0742 888 0.0775

139 0.0758 389 0.0657 639 0.0747 889 0.0822

140 0.0683 390 0.0696 640 0.0752 890 0.0914

141 0.0851 391 0.0706 641 0.0778 891 0.0691

142 0.0794 392 0.077 642 0.0708 892 0.0864

143 0.0831 393 0.0695 643 0.0802 893 0.0767

144 0.0687 394 0.0789 644 0.0788 894 0.0883

145 0.0826 395 0.0879 645 0.0789 895 0.0747


89

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

146 0.0701 396 0.0704 646 0.0842 896 0.0963

147 0.0759 397 0.068 647 0.0784 897 0.0865

148 0.0971 398 0.0809 648 0.0773 898 0.0737

149 0.0695 399 0.0933 649 0.0846 899 0.0737

150 0.075 400 0.0776 650 0.0772 900 0.0881

151 0.0772 401 0.0842 651 0.0837 901 0.0752

152 0.0678 402 0.0823 652 0.0679 902 0.0713

153 0.0749 403 0.0827 653 0.0678 903 0.0823

154 0.1076 404 0.0823 654 0.0881 904 0.094

155 0.0708 405 0.0762 655 0.0955 905 0.0756

156 0.081 406 0.0883 656 0.0747 906 0.0757

157 0.0705 407 0.0774 657 0.0743 907 0.0748

158 0.0776 408 0.0793 658 0.0773 908 0.0698

159 0.0862 409 0.0708 659 0.0803 909 0.0807

160 0.076 410 0.0882 660 0.0812 910 0.0836

161 0.0711 411 0.0776 661 0.0673 911 0.0787

162 0.0753 412 0.0793 662 0.0761 912 0.0857

163 0.0799 413 0.0875 663 0.0861 913 0.0776

164 0.0776 414 0.0839 664 0.071 914 0.0773

165 0.0687 415 0.0841 665 0.0778 915 0.0733

166 0.0689 416 0.0764 666 0.076 916 0.0779

167 0.0785 417 0.0744 667 0.075 917 0.078

168 0.0729 418 0.0828 668 0.0818 918 0.072

169 0.0774 419 0.077 669 0.1022 919 0.0744

170 0.0678 420 0.072 670 0.0797 920 0.0694

171 0.0774 421 0.073 671 0.0908 921 0.0742

172 0.0709 422 0.0769 672 0.0727 922 0.0876

173 0.0697 423 0.0721 673 0.0726 923 0.0721

174 0.0899 424 0.0758 674 0.0752 924 0.0871

175 0.0814 425 0.0883 675 0.0809 925 0.0643

176 0.0665 426 0.0688 676 0.0752 926 0.0821

177 0.0805 427 0.0887 677 0.0732 927 0.0956

178 0.0674 428 0.0777 678 0.0775 928 0.0728

179 0.088 429 0.0772 679 0.0724 929 0.0851

180 0.0853 430 0.0873 680 0.0835 930 0.0844

181 0.0693 431 0.0807 681 0.0811 931 0.0837

182 0.0857 432 0.0591 682 0.0871 932 0.0816


90

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

183 0.0721 433 0.0781 683 0.0667 933 0.0835

184 0.0608 434 0.0797 684 0.0837 934 0.083

185 0.0691 435 0.0731 685 0.0787 935 0.0675

186 0.0868 436 0.0865 686 0.0868 936 0.069

187 0.0708 437 0.0713 687 0.0859 937 0.0746

188 0.0662 438 0.0762 688 0.0752 938 0.0679

189 0.0741 439 0.0782 689 0.0612 939 0.0817

190 0.0745 440 0.0779 690 0.0846 940 0.0699

191 0.0753 441 0.0692 691 0.0799 941 0.0793

192 0.068 442 0.0803 692 0.0738 942 0.0807

193 0.0655 443 0.1021 693 0.0788 943 0.0788

194 0.0817 444 0.0801 694 0.0818 944 0.0775

195 0.0805 445 0.0703 695 0.0768 945 0.094

196 0.0806 446 0.0873 696 0.0843 946 0.0951

197 0.0896 447 0.0736 697 0.0698 947 0.084

198 0.0693 448 0.0885 698 0.0827 948 0.0688

199 0.079 449 0.0879 699 0.0818 949 0.0828

200 0.0876 450 0.0867 700 0.0854 950 0.0696

201 0.0691 451 0.0865 701 0.0689 951 0.0761

202 0.0695 452 0.0724 702 0.0705 952 0.0729

203 0.069 453 0.0816 703 0.077 953 0.0775

204 0.0752 454 0.0909 704 0.085 954 0.095

205 0.0717 455 0.0782 705 0.0784 955 0.0803

206 0.0642 456 0.0737 706 0.0633 956 0.0865

207 0.0707 457 0.0784 707 0.0755 957 0.0849

208 0.0852 458 0.0802 708 0.0876 958 0.079

209 0.084 459 0.0945 709 0.075 959 0.0651

210 0.0742 460 0.0816 710 0.0926 960 0.0762

211 0.0772 461 0.0639 711 0.0659 961 0.0938

212 0.0874 462 0.0627 712 0.0804 962 0.085

213 0.0974 463 0.0848 713 0.0795 963 0.0883

214 0.0688 464 0.0968 714 0.0797 964 0.098

215 0.0717 465 0.0711 715 0.0727 965 0.0851

216 0.0675 466 0.0635 716 0.0832 966 0.084

217 0.1051 467 0.0697 717 0.0725 967 0.0742

218 0.0887 468 0.0813 718 0.0867 968 0.0906

219 0.0838 469 0.0779 719 0.0666 969 0.089


91

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

Iterasi

ke-

Standar

Deviasi

220 0.081 470 0.074 720 0.0665 970 0.0931

221 0.0624 471 0.0768 721 0.0631 971 0.0714

222 0.0727 472 0.1005 722 0.0802 972 0.0854

223 0.0739 473 0.0843 723 0.0739 973 0.0752

224 0.0778 474 0.0793 724 0.0635 974 0.079

225 0.0793 475 0.0893 725 0.0818 975 0.0826

226 0.0709 476 0.0832 726 0.0837 976 0.088

227 0.0918 477 0.0827 727 0.0753 977 0.0681

228 0.0743 478 0.0698 728 0.0751 978 0.082

229 0.0662 479 0.0954 729 0.0797 979 0.0878

230 0.0764 480 0.0766 730 0.0795 980 0.0845

231 0.0748 481 0.0731 731 0.0897 981 0.0723

232 0.0813 482 0.0802 732 0.0886 982 0.0725

233 0.0846 483 0.0861 733 0.0865 983 0.0779

234 0.0687 484 0.0744 734 0.0786 984 0.0705

235 0.0731 485 0.07 735 0.0747 985 0.0726

236 0.0794 486 0.0792 736 0.0801 986 0.0693

237 0.0651 487 0.0854 737 0.084 987 0.0745

238 0.0827 488 0.0753 738 0.0853 988 0.0796

239 0.0779 489 0.0823 739 0.0666 989 0.0864

240 0.077 490 0.085 740 0.0787 990 0.0747

241 0.0657 491 0.0838 741 0.0792 991 0.0729

242 0.067 492 0.0764 742 0.067 992 0.0791

243 0.0632 493 0.0826 743 0.0838 993 0.0781

244 0.0697 494 0.0669 744 0.077 994 0.0801

245 0.0741 495 0.0745 745 0.0867 995 0.0865

246 0.0956 496 0.0919 746 0.0853 996 0.0839

247 0.0978 497 0.0966 747 0.0673 997 0.0835

248 0.0684 498 0.0945 748 0.0675 998 0.0896

249 0.0904 499 0.0825 749 0.0716 999 0.0868

250 0.0893 500 0.0901 750 0.07 1000 0.0804

MIN 0.058

MAX 0.1076

AVERAGE 0.07838216


92

Lampiran 7

Main Program

%% % The derivatives can be written as % % dG/dt = -1/y1*U*X-m1*G % dE/dt = U*X*(1-(X/Xc)) % dX/dt = y2/y1*U*X-m2*E % U =(Um*G)/(kg+G))*(1-(G/Gc)*(1-(E/Ec))); % % The system is written in file <himmelode.html |himmelode.m|> and

the % sum of squares function in <himmelss.html |himmelss.m|>. clc; clear model data parama options

%input Data Fermentasi time=[0 1 2 3 4]; glukosa=[0.6 0.06 0.04 0.04 0.04]; Sel=[0.37 1.87 2.52 2.52 2.52]; etanol=[0 0.26 0.27 0.28 0.28]; Xq=linspace(0,4,50)';

% % Interpolasi Data Pchip X1=interp1(time,glukosa,Xq,'pchip'); X2=interp1(time,Sel,Xq,'pchip'); X3=interp1(time,etanol,Xq,'pchip'); data.ydata=[Xq X1 X2 X3];

%% % Initial concentrations are saved in |data| to be used in sum of % squares function. G0 = 0.6; X0 = 0.37; E0 = 0;

data.y0 = [G0;X0;E0];

% Refine the first guess for the parameters with |fminseacrh| and % calculate residual variance as an estimate of the model error

variance.

% Bangkitkan tebakan awal parameter menggunakan rand(nv,b) dalam

bentuk % matiks 9x1

% ba=1; % bb=0; % nv=9; % k00 = ba*rand(nv,1)


93

k00=[60.3636 7.4883 18.0309 2.4172 155.7610 1.6279 1.7279 33.6098 0.0094 ];

[k0,ss0] = fminsearch(@f_Error,k00,[],data)

mse = ss0/(length(data.ydata)-4)

%% params = { {'k1', k0(1), 0} {'k2', k0(2), 0} {'k3', k0(3), 0} {'k4', k0(4), 0} {'k5', k0(5), 0} {'k6', k0(6), 0} {'k7', k0(7), 0} {'k8', k0(8), 0} {'k9', k0(9), 0} };

model.ssfun = @f_Error; % -2*log(likelihood) function model.sigma2 = mse; % initial error variance

options.nsimu = 1000; % banyak simulasi options.updatesigma = 1; % the variances are sampled as

conjugate priors % specified by the parameters S20 and N0 of the inverse gamma % distribution, with the 'noninformative' defaults

[results,chain,s2chain] = mcmcrun(model,data,params,options); %

memanggil fungsi mcmc % save [results,chain,s2chain];

%% figure(1); clf mcmcplot(chain,[],results,'chainpanel'); % Menampilkan gambar

rentang nilai posterior

%% figure(2); clf mcmcplot(sqrt(s2chain),[],[],'dens',2) title('error std')


94

%% % Function |chainstats| lists some statistics, including the % estimated Monte Carlo error of the estimates. chainstats(chain,results)

%% % perbandingan antara Model kinetik dan data yang digunakan figure(3); clf [t,y] = ode45(@f_Model,linspace(0,4,50),data.y0,[],mean(chain)); plot(Xq,X1,'*c',Xq,X2,'*b',Xq,X3,'*r',t,y,'-r') ylim([0,3.00]) legend('Glukosa','Sel','Etanol','G1','X1','E1') title('Data and fitted model')

%% % Perbandingan antara reduksi gula dari model kinetik dan Reduksi

gula dari data figure(4); clf subplot 221 plot(Xq,X1,'*c',t,y(:,1),'-r') title('Data Glukosa dan Model')

% Perbandingan antara sel dari model kinetik dan sel dari data subplot 222 plot(Xq,X2,'*b',t,y(:,2),'-r') title('Data Sel dan Model')

% Perbandingan antara pembentukan etanol dari model kinetik dan

pembentukan % etanol dari hasil eksperimen subplot 223 plot(Xq,X3,'*c',t,y(:,3),'-r') title('Data Etanol dan Model')

% Glukosa, Sel dan Etanol dari model subplot 224 plot(t,y,'*r') title('Model')

%% % Glukosa, Sel dan Etanol berdasarkan hasil eksperimen figure(5); clf plot(Xq,X1,'*c',Xq,X2,'*b',Xq,X3,':') title('Data')

%% % Perbandingan antara reduksi gula dari model kinetik dan Reduksi

gula dari % data model Aiba

figure(6); clf plot(Xq,X3,'*r',t,y(:,3),'-b' ) legend('Data Etanol','Model Etanol')


95

title('Data Etanol dan Model') xlabel('Durasi Fermentasi (hari)') ylabel('Konsentrasi (g/l)')

%% figure(7); clf plot(Xq,X1,'*r',t,y(:,1),'-b' ) legend('Data Etanol','Model Glukosa') title('Data Glukosa dan Model') xlabel('Durasi Fermentasi (hari)') ylabel('Konsentrasi (g/l)')

%% figure(8); clf plot(Xq,X2,'*r',t,y(:,2),'-b' ) legend('Data Etanol','Model Sel') title('Data Sel dan Model') xlabel('Durasi Fermentasi (hari)') ylabel('Konsentrasi (g/l)')


96

Lampiran 8

Fungsi Model

function ydot = f_Model(t,y,k) % Himmelblau 9.9 odefile G=y(1); X=y(2); E=y(3); y1=k(1); y2=k(2); U=((k(3)*G)/(k(4)+G))*(1-(G/k(5))*(1-(E/k(6)))); q1=(1/y1)*U; q2=(y2/y1)*U;

ydot = [ -q1*X*(1-(X/k(8)))-k(7)*G; U*X*(1-(X/k(8))); q2*X*(1-(X/k(8)))-k(9)*E; ];


97

Lampiran 9

Fungsi Error

function ss = f_Error(k,data) % sum-of-squares for Himmelblau 9.9 time = data.ydata(:,1); Glukosa = data.ydata(:,2:4); y0 = data.y0;

[time,y] = ode45(@f_Model,time,y0,[],k); Amodel = y;

f=Glukosa-Amodel;

ss=norm(f);

Date post:	21-Oct-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	5 times
Download:	0 times

RUSNI SAMSIR H111 13 002

Documents