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ACTIVIDAD 5. PLANO CARTESIANO MATEMÁTICAS SEGUNDO GRADOUbica en el plano cartesiano cada una de las siguientes coordenadas y une las por bloques para descubrir la figura oculta.
1 2 3 4 6 7 10 9 11 12
( -5, -3) ( -4, -5) ( -3, -7) ( -3, -6) ( -2, -4) ( -1, 0)
( -7, 1) ( -8, 4) ( -9, 7) ( -8, 10) ( -7, 10) ( -5, 9) ( -3, 7)
( -2, 6) ( 0, 7) ( 2, 6) ( 3, 7) ( 5, 9) ( 7, 10) ( 8, 10)
( 9, 7) ( 8, 4) ( 7, 1) ( 3, 4) ( 0, 1) ( -3, 4) ( -7, 1)
( -5, 0) ( -4, 0) ( -2, -1) ( -4, -1) ( -5, 0)
( 5, -3) ( 4, -5) ( 3, -7)
( 5, 0) ( 4, -1) ( 2, -1) ( 4, 0) ( 5, 0)
( 1, 0) ( 2, -4) ( 3, -6) ( 3, -7) ( 1, -8)
( 4, 6)( 7, 9)( 7, 5)( 6, 4)( 4, 5)( 4, 6)
( -3, -7) ( -1, -8) ( 1, -8)( 2, -6)( 1, -5)( -1, -5)( -2, -6)( -1, -8)
( 4, -1)( 4, 0)( 3, -1)
( -7, 4)( -7, 9)( -4, 6)( -4, 5)( -6, 3)( -7, 4)
5 8
( 7, 1) ( 8, -3) ( 9, -7) ( 8, -7) ( 7, -6)
( 4, -9)( 1, -10)( -1, -10) ( -4, -9)( -7, -6)
( -8, -7) ( -9, -6) ( -8, -2) ( -7, 1)
( -4, -1) ( -4, 0) ( -3, -1)
MATEMÁTICAS SEGUNDO GRADOACTIVIDAD 6. SUMA DE POLINOMIOS
Realiza las siguientes suma de polinomios:
a) (3 x2−xy+5 y2
−11)+(x2−9 xy+ y2
+3)
b) (x3+2 x−6)+(5 x2
−5 x+8)
c) (5 x4−x6
+4 x3−7 x+9)+(x6
−6 x3+3 x4
−2)
d) (4 x+7 x3−6 x2
+x4−3)+(9 x4
−3 x3−10 x2
+11)
e) (−17−5 x2+2 x4
+x5)+(−8 x2
−3 x4+7 x5
−x+23)
f) (5 x4+x3
−2 x2)+(7 x3
+4 x2−x+1)+(7 x4
−5 x3+9 x−12)
g) (x3− y3
)+(x3−x2 y+3 x y2
− y3)+(−2 x3
+x2 y−x y2+ y3
)
h) (12a+
43b−c)+(5a−b+1
3c)
i) (12x3
+x2−
25x−1)+( 1
4x3
−3 x2−
53x+3
8 )
j) (32p+q−
34r)+(r+q−5
7p)+( 2
3r−p)+( 4
3r−
14q+
54p)
SUMA DE POLINOMIOS
Ejemplo: sumar los polinomios siguientes
2ab+3 a ² b+4a3b2, 3ab+a2b−2a3b ²
PASO 1. Indicar la operación entre los polinomios utilizando paréntesis.
(2ab+3a ²b+4a3b2)+(3ab+a2b−2a3b ²)
PASO 2. Suprimir el paréntesis, recordando:> si al paréntesis le precede un signo + NO se alteran los signos de los términos encerrados
en el paréntesis.> si al paréntesis le precede un signo - se CAMBIAN los signos de los términos encerrados
en el paréntesis.
2ab+3a ² b+4 a3b2+3ab+a2b−2a3b ²
PASO 3. Agrupar términos semejantes:
2ab+3ab ←Términos con ab
3a ²b+a2b ←Términos con a2b
4 a3b2−2a3b ² ←Términos con a3b ²
PASO 4. Sumar o restar según lo indique los signos de los términos semejantes (sólo coeficientes).
2+3=5 ←Términos con ab
3+1=4 ←Términos con a2b
4−2=2 ←Términos con a3b ²
PASO 5. Colocar el resultado obtenido como coeficiente de las variables correspondientes.
RESULTADO DE LA SUMA
5ab+4 a ²b+2a3b2
MATEMÁTICAS SEGUNDO GRADOACTIVIDAD 7. RESTA DE POLINOMIOS
Realiza las siguientes restas de polinomios:
a) (x2−2 x y+ y2
−1)−(4 x2+11 x y+3 y2
+11)
b) (x2+6 x−11)−(4 x2
−x+7)
c) (2a−4b+3c )−(−a+3 b−9c)
d) (x4−9 x6
+x3−5 x+1)−(3 x6
−4 x3+x4
−3)
e) (4 x+7 x3−6 x2
+x4−3)−(9 x4
−3 x3−10 x2
+11)
f) (−8 x2−3 x4
+8 x5−x+2)−(−17−5 x2
+2 x4+x5
)
g) (7 x2−5 x3
+9 x−12)−(4 x2−x+1)
h) ( 14x3
−3 x2−
53x+
38 )−(1
2x3
+x2−
25x−1)
i) (a3−
53a b−
14b2)−( 5
8a2
−112b2)
j) (m2−4 nm+2n2
−5)−(m2+3nm−7n2
−9)
RESTA DE POLINOMIOS
Ejemplo: restar los polinomios siguientes
3m2−2mn+n2
, m2+4mn−3 n2
PASO 1. Indicar la operación entre los polinomios utilizando paréntesis.
(3m2−2mn+n2
)−(m2+4mn−3n2
)
PASO 2. Suprimir el paréntesis, recordando:> si al paréntesis le precede un signo + NO se alteran los signos de los términos encerrados
en el paréntesis.> si al paréntesis le precede un signo - se CAMBIAN los signos de los términos encerrados
en el paréntesis.
3m2−2mn+n2
−m2−4mn+3n2
PASO 3. Agrupar términos semejantes:
3m2−m2 ←Términos con m ²
−2mn−4mn ←Términos con mn
n2+3n2 ←Términos con n²
PASO 4. Sumar o restar según lo indique los signos de los términos semejantes (sólo coeficientes).
3−1=2 ←Términos con m ²
−2−4=−6 ←Términos con mn
1+3=4 ←Términos con n²
PASO 5. Colocar el resultado obtenido como coeficiente de las variables correspondientes.
RESULTADO DE LA RESTA
2m2−6mn+4 n2
MATEMÁTICAS SEGUNDO GRADOACTIVIDAD 8. MULTIPLICACIÓN DE
POLINOMIOS
Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios:
a) (m−6)(m−2)
b) (5 x+4)(−x+3)
c) (5a+b)(5 a+b)
d) (mn+1)(4−mn)
e) (x−1)(x2+5 x−1)
f) (m+n)(m2−mn+3 n2
)
g) (x2+2 x−4 )(x2
+x−4)
h) (23a+1)(5
3a−
14 )
i) (x−2)(23x2
+14x+
73 )
j) (32x+
14y)( 3
2x−
14y )
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSEjemplo: multiplicar los polinomios siguientes
3 x2 y−2 xy2−y3
, 4 xy2−2 y3
PASO 1. Indicar la operación entre los polinomios utilizando paréntesis.
(3 x2 y−2 xy2− y3
)(4 xy2−2 y3
)
PASO 2. Señalar la multiplicación de cada termino del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio.
(3 x2 y)(4 xy2) , (3 x2 y)(−2 y3
) , (−2 xy2)(4 xy2
) , (−2 xy2)(−2 y3
) ,
(− y3)(4 xy2
) , (− y3)(−2 y3
)
PASO 3. Recordemos que para multiplicar monomios se debe seguir:
> Propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.
> La regla de los signos de la multiplicación.> Aplicar primera ley de los exponentes.
AGRUPAR VARIABLES (LITERALES) COMUNES (Propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación):
(3)(4)( x2 x)( y y2)
(3)(−2)( x2)( y y3
)
(−2)(4)(x x)( y2 y2)
(−2)(−2)(x)( y2 y3)
(−1)(4)(x)( y3 y2)
(−1)(−2)( y3 y3)
MULTIPLICAR LOS COEFICIENTES (teniendo en cuenta laley de los signos de la multiplicación):
←Ley de los signos de la multiplicación:( + )( + ) = ( + )( - )( - ) = ( + )( + )( - ) = ( - )( - )( + ) = ( - )
(12)(x2x )( y y2)
(−6)(x2)( y y3
)
(−8)(x x)( y2 y2)
(4)(x)( y2 y3)
(−4)(x)( y3 y2)
(2)( y3 y3)
APLICAR LEY DE LOS EXPONENTES:
←Leyes de los exponentes
ʚ El producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.
an⋅am=a(n+m)
ʚ Todo número con exponente 1 es igual a sí mismo.
a1=a
(12)(x2+1)( y1+2
)=(12)(x3)( y3
)
(−6)(x2)( y1+3
)=(−6)(x2)(y4
)
(−8)(x1+1)( y2+2
)=(−8)(x2)( y4
)
(4)(x)( y2+3)=(4)(x)( y5
)
(−4)(x)( y3+2)=(−4)(x)( y5
)
(2)( y3+3)=(2)( y6
)
PASO 4. Colocar como suma o resta según lo indique los signos de cada término.
12 x3 y3−6 x2 y4
−8 x2 y4+4 xy5
−4 xy5+2 y6
PASO 5. Reducir términos semejantes:
12x3 y3+(−6 x2 y4
−8 x2 y4)+(4 xy5
−4 xy5)+2 y6
RESULTADO DE LA MULTIPLICACIÓN
12x3 y3−14 x2 y4
+2 y6
MATEMÁTICAS SEGUNDO GRADOACTIVIDAD 9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Realiza las siguientes divisiones de polinomios:
a)18 x3 y4 z2
2 x2 y2 z
b) 45x3 y5 z2
9 x3 y4 z
c)−10m6n3 p2
5mn3
d)169a4b5c2
−13ab3c2
e)−4a2b−4 ab
f)12 x4
−6 x3+24 x2
+3 x3 x
g)18 x6 y5
−35 x3 y7+63x5 y2
7 x3 y2
h)x3 y4
+3 xy3−5 y2
y2
i)m3
−2m2+6m
m
j)2.8 x̣3 y4
−4.6 x2 y3−4 xy2
2 xy
DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIOEjemplo: dividir los polinomios siguientes
−10 x4 y2+15 x3 y3
−30 x2 y4, −5 xy
PASO 1. Indicar la operación entre los polinomios utilizando paréntesis.
−10 x4 y2+15 x3 y3
−30 x2 y4
−5 xy
PASO 2. Señalar la división de cada termino del polinomio por el monomio.
−10 x4 y2
−5 xy,
15 x3 y3
−5 xy,
−30 x2 y4
−5 xy
PASO 3. Recordemos que para dividir monomios se debe seguir:
> Propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación de números racionales.
> La regla de los signos de la división.> Aplicar leyes de los exponentes.
AGRUPAR VARIABLES (LITERALES) COMUNES:
−10−5
⋅x4
x⋅y2
y
15−5
⋅x3
x⋅y3
y
−30−5
⋅x2
x⋅y4
yDIVIDIR LOS COEFICIENTES (teniendo en cuenta la ley de los signos de la división):
←Ley de los signos de la división:( + ) ÷ ( + ) = ( + )( - ) ÷ ( - ) = ( + )( + ) ÷ ( - ) = ( - )( - ) ÷ ( + ) = ( - )
2⋅x4
x⋅y2
y
−3⋅x3
x⋅y3
y
6⋅x2
x⋅y4
y
APLICAR LEY DE LOS EXPONENTES:
←Leyes de los exponentes
ʚ El cociente de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes.
an
am=a(n−m)
ʚ Todo número con exponente 0 es igual a 1.
a0=1
2⋅x4−1⋅y2−1
=2⋅x3⋅y
−3⋅x3−1⋅y3−1
=−3⋅x2⋅y2
6⋅x2−1⋅y4−1
=6⋅x⋅y3
PASO 4. Colocar como suma o resta según lo indique los signos de cada término.
RESULTADO DE LA DIVISIÓN: 2 x3 y−3 x2 y2+6x y3
MATEMÁTICAS SEGUNDO GRADO
ACTIVIDAD 10. REPRESENTACIÓN DE DATOS(HISTOGRAMAS)
La siguiente gráfica muestra los resultados de una encuesta realizada a un grupo de 200 personas sobre su nivel máximo de estudios.
Con la información de la gráfica responde las siguientes preguntas:
a) Es verdad que un total de 10 personas tienen licenciatura como nivel máximo de estudios. ___________
¿Por qué? ___________________________________________________________________________
b) De las personas encuestadas, 90 tienen como nivel máximo de estudios, secundario y bachillerato.
____________________________________________________________________________________
c) El 45% de las personas entrevistadas, solo terminaron la primaria. ______________________________
____________________________________________________________________________________
d) Menos del 20% de las personas entrevistadas, estudiaron hasta el bachillerato. ____________________
____________________________________________________________________________________
