Universitas Gadjah MadaFakultas TeknikDepartemen Teknik Sipil dan Lingkungan
ANALISIS FREKUENSIStatistika dan Probabilitas
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear
xi yi = f(xi)
1 0.5
2 2.5
3 2
4 4
5 3.5
6 6
7 5.5
01234567
0 1 2 3 4 5 6 7
y=
f(x)
X
2
Tabel data Grafik/kurva data
24-Nov-17Analisis Frekuensi
Hubungan antara variabel pertama, x, dengan variabel kedua, y, yang merupakan fungsi variabel pertama, y = f(x).
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Regresi Linear3
01234567
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
data
regresi
24-Nov-17Analisis Frekuensi
Kurva regresi merepresentasikan pola hubungan (tren, perilaku) variabel y terhadap x.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sebaran Data
24-Nov-17Analisis Frekuensi
4
q Situasiq Bagaimana kalau kita ingin mengetahui perilaku salah satu variabel itu sendiri?
q Misalnya: ingin mempelajari pola sebaran data X (X tentu saja adalah variabel random)
Berilah contoh data X di bidang teknik sipil dan lingkungan.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Temperatur Udara Harian Maksimum
24-Nov-17Analisis Frekuensi
5
Tahun Temperatur [°C] Tahun Temperatur [°C] Tahun Temperatur [°C] Tahun Temperatur [°C]
1971 31.8 1981 30.7 1991 30.1 2001 32.1
1972 32.9 1982 32.3 1992 31.1 2002 29.1
1973 32.7 1983 31.8 1993 31.9 2003 31.5
1974 30.7 1984 32.8 1994 33.9 2004 32.4
1975 30.4 1985 31.9 1995 31.9 2005 30.7
1976 29.0 1986 31.4 1996 30.3 2006 29.9
1977 31.5 1987 31.1 1997 29.7 2007 33.8
1978 32.6 1988 30.7 1998 33.8 2008 30.0
1979 32.0 1989 32.7 1999 34.1 2009 33.9
1980 30.2 1990 31.4 2000 30.4 2010 29.6
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Temperatur Udara Harian Maksimum
24-Nov-17Analisis Frekuensi
6
28
29
30
31
32
33
34
35
1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004 2007 2010
Tem
pera
tur
[oC
]
Tahun
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Temperatur Udara Harian Maksimum
24-Kas-17Analisis Frekuensi
7
q Pertanyaanq Apa nama instrumen untuk mengukur temperatur udara?
q Dapatkah kalian menceritakan cara data tersebut diperoleh?
q Dapatkah kalian mendeskripsikan data tersebut secara statistis?
q Bandingkan presentasi data dalam bentuk tabel dan grafik; yang manakah yang lebih baik?
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
μ−3σ−∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σμ +∞
Distribusi Normal
24-Nov-17Analisis Frekuensi
8
X
pX(x)N(μ,σ2)
pX x( ) = 2πσ 2( )−
12 e−
12 x−µ( ) σ2
pdf (probability density function)
luas = pX x( )dx
−∞
+∞
∫ =1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
24-Nov-17Analisis Frekuensi
9
q Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ2), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan:
+∞−∞ x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )òò¥-
sµ---2
¥-
2
ps===£x
tx
XX tettpxPxX d2dprob 212
1
luas di bawah kurva pdf (dari −∞ s.d. x) à cdf
cdf (cumulative distribution function)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pdf - cdf
24-Nov-17Analisis Frekuensi
10
μ–∞0
1
+∞
cdfpX(x)
PX(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal Standar
24-Nov-17Analisis Frekuensi
11
μ μ+σ μ+2σ μ+3σμ−3σ μ−2σ μ−σ−∞ +∞ X0−1−2−3 1 2 3−∞ +∞ Z
0
1PX(x)
cdfpX(x)
ZX =
X −µσ
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Tabel Frekuensi
24-Nov-17Analisis Frekuensi
12
Rentang temperatur [°C] Temperatur [°C] frek frek rel
28 − 29 28.5 1 0.025
29 − 30 29.5 5 0.125
30 − 31 30.5 9 0.225
31 − 32 31.5 12 0.300
32 − 33 32.5 8 0.200
33 − 34 33.5 4 0.100
34 − 35 34.5 1 0.025
Jumlah 40 1
Temperatur udara harian maksimum tahunan
minimum 29.0°Cmaksimum 34.1°Crerata 31.5°Csimp. baku 1.4°C
nilai median rentang temperatur
jika memakai MSExcel, gunakan fungsi=FREQUENCY(…,…) control+shift+enter
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Histogram Frekuensi
24-Nov-17Analisis Frekuensi
13
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35
Frek
uens
i rel
atif
Temperatur [°C]
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Histogram Frekuensi
24-Nov-17Analisis Frekuensi
14
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35
Frek
uens
i rel
atif
Temperatur [°C]
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Pengamatan vs Teoretik
24-Nov-17Analisis Frekuensi
15
q Ekspektasi frek. relatif (frek. relatif teoretis menurut distribusi normal)q klas ke-2: temperatur 29 – 30°C
fT t = 29.5( ) = 2πsT2( )
29
30
∫−1 2
e−1 2 t−T( )2 sT2
dt = 2× π×1.42( )29
30
∫−1 2
e−1 2 t−32.1( )2 1.42
dt
= FT 30( )− FT 29( ) = FZ
30−31.51.4
%
&'
(
)*− FZ
29−31.51.4
%
&'
(
)*
= FZ −1.0714( )− FZ −1.7857( )= 0.1420−0.0371
= 0.1049
frek. relatif(dist. normal)
baca di tabel distribusi normal standar
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal)
24-Nov-17Analisis Frekuensi
16
Temperatur [°C] z FZ(z) frek rel
28 − 29 28.5 -2.5000 − -1.7857 0.0062 − 0.0371 0.0309
29 − 30 29.5 -1.7857 − -1.0714 0.0371 − 0.1420 0.1049
30 − 31 30.5 -1.0714 − -0.3571 0.1420 − 0.3605 0.2185
31 − 32 31.5 -0.3571 − 0.3571 0.3605 − 0.6395 0.2790
32 − 33 32.5 0.3571 − 1.0714 0.6395 − 0.8580 0.2185
33 − 34 33.5 1.0714 − 1.7857 0.8580 − 0.9629 0.1049
34 − 35 34.5 1.7857 − 2.5000 0.9629 − 0.9938 0.0309
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Pengamatan vs Teoretik
24-Nov-17Analisis Frekuensi
17
q Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas
fT ti( ) = Δti ⋅ pT ti( )
pT ti( ) = pZ zi( ) dzdt
=pZ zi( )
sT
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Pengamatan vs Teoretik
24-Nov-17Analisis Frekuensi
18
q Cara lain (lanjutan…)
i = 2 :
Δti =1°C
ti = 29.5⇒ zi =29.5−31.5
1.4= −1.4286
pZ zi( ) = pZ −1.4286( ) = 0.1480
pT ti( ) =pZ zi( )
sT
=0.1480
1.4
$
%&
'
() = 0.1027
fT ti( ) = sT pT ti( ) =1×0.1027 = 0.1027
baca di tabel distribusi normal standar
frek. relatif teoretis (distribusi normal)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal)
24-Nov-17Analisis Frekuensi
19
Temperatur [°C] z pz(z) pT(t) frek rel
28 − 29 28.5 -2.1429 0.0402 0.0287 0.0287
29 − 30 29.5 -1.4286 0.1438 0.1027 0.1027
30 − 31 30.5 -0.7143 0.3091 0.2208 0.2208
31 − 32 31.5 0.0000 0.3989 0.2850 0.2850
32 − 33 32.5 0.7143 0.3091 0.2208 0.2208
33 − 34 33.5 1.4286 0.1438 0.1027 0.1027
34 − 35 34.5 2.1429 0.0402 0.0287 0.0287
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Kurva Pengamatan vs Kurva PDF Teoretis
24-Nov-17Analisis Frekuensi
20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35
Frek
uens
i rel
atif
Temperatur [°C]
PDF Distribusi Normal
Kurva data
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Frekuensi Kumulatif Pengamatan vs Teoretis
24-Nov-17Analisis Frekuensi
21
Temperatur [°C]Pengamatan DistribusiNormal
frek rel frek rel kum frek rel frek rel kum
28 − 29 28.5 0.025 0.025 0.0287 0.0287
29 − 30 29.5 0.125 0.15 0.1027 0.1314
30 − 31 30.5 0.225 0.375 0.2208 0.3522
31 − 32 31.5 0.3 0.675 0.2850 0.6372
32 − 33 32.5 0.2 0.875 0.2208 0.8580
33 − 34 33.5 0.1 0.975 0.1027 0.9607
34 − 35 34.5 0.025 1 0.0287 0.9894
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Kurva Pengamatan vs Kurva CDF Teoretis
24-Nov-17Analisis Frekuensi
22
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
28 - 29 29 - 30 30 - 31 31 - 32 32 - 33 33 - 34 34 - 35
Frek
uens
i rel
atif
kum
ulat
if
Temperatur [°C]
CDF Distribusi Normal
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Kurva CDF pada Kertas Khusus
24-Kas-17Analisis Frekuensi
23
q Kurva CDFq Berupa garis lengkung.q Ada satu cara tertentu yang memungkinkan kurva CDF berupa garis lurus, yaitu dengan
melakukan transformasi koordinat.n Ordinat: magnitud data.
n Skala biasa.
n Absis: probabilitas, PX(x) atau kadang dituliskan pula dengan notasi prob(X < x).n Skala dibuat sedemikian hingga kurva CDF distribusi normal berupa garis lurus.
q Pada tempo doeloe, kertas grafik seperti di atas dibuat dulu à priori sebelum pemplotan data.n Kertas grafik seperti itu dikenal dengan nama kertas probabilitas.n Pemplotan (penggambaran) data dilakukan pada kertas probabilitas tersebut.
q Pada saat ini, langkah automatisasi dengan program aplikasi komputer dapat dilakukan sehingga kertas probabilitas dibuat bersama-sama dengan pemplotan data.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24-Nov-17Analisis Frekuensi24
Kert
as p
roba
bilit
as d
istrib
usi n
orm
alU
ntuk
mem
plot
kan
data
pen
gam
atan
dan
kur
va C
DF
teor
etis
Dap
at d
iund
uh d
ari h
ttp:/
/ist
iart
o.st
aff.u
gm.a
c.id
/
absis adalah probabilitas, prob(X < x) atau PX(x) à frekuensi relatif kumulatifskala dibuat sedemikian hingga CDF berupa garis lurus
ordinat adalah magnitud data (skalar)
prob(X > x) atau 1 − PX(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Plot Data pada Kertas Probabilitas
24-Kas-17Analisis Frekuensi
25
q Data temperatur udara harian maksimum diplotkan pada kertas probabilitas.q Urutkan data dari kecil ke besar, m = 1, 2, …, n
m adalah nomor urut data, n adalah jumlah data.
q Posisi titik data pada kertas probabilitas adalah:n absis: m/(n+1),
n ordinat: magnitud data.
q Cara penempatan titik data tersebut adalah cara Weibul. Ada beberapa cara yang lain, yang akan dikenalkan pada kuliah Hidrologi.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Temperatur Udara Harian Maksimum (Data Urut)
24-Kas-17Analisis Frekuensi
26
mm/(n+1)
[%]Temperatur
[°C]m
m/(n+1)[%]
Temperatur[°C]
mm/(n+1)
[%]Temperatur
[°C]m
m/(n+1)[%]
Temperatur[°C]
1 2.44 29.0 11 26.83 30.4 21 51.22 31.5 31 75.61 32.6
2 4.88 29.1 12 29.27 30.7 22 53.66 31.8 32 78.05 32.7
3 7.32 29.6 13 31.71 30.7 23 56.10 31.8 33 80.49 32.7
4 9.76 29.7 14 34.15 30.7 24 58.54 31.9 34 82.93 32.8
5 12.20 29.9 15 36.59 30.7 25 60.98 31.9 35 85.37 32.9
6 14.63 30.0 16 39.02 31.1 26 63.41 31.9 36 87.80 33.8
7 17.07 30.1 17 41.46 31.1 27 65.85 32.0 37 90.24 33.8
8 19.51 30.2 18 43.90 31.4 28 68.29 32.1 38 92.68 33.9
9 21.95 30.3 19 46.34 31.4 29 70.73 32.3 39 95.12 33.9
10 24.39 30.4 20 48.78 31.5 30 73.17 32.4 40 97.56 34.1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Plot Data pada Kertas Probabilitas
24-Kas-17Analisis Frekuensi
27
q Data temperatur udara harian maksimum adalah time series data, data runtut waktu.
q Memperhatikan prosedur pemplotan data temperatur udara harian maksimum, yaitu data diurutkan, maka:q diartikan bahwa data adalah seri data independent sehingga urut data terhadap
waktu boleh tidak diperhatikan,q data diurutkan dari kecil ke besar dan percentile rank setiap titik data dianggap
merupakan nilai pendekatan probabilitas, prob(T < t).
q Arti notasi prob(T < t) = aq probabilitas temperatur udara kurang daripada t°C adalah aq contoh: prob(T < 32°C) = 0.64
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24-Kas-17Analisis Frekuensi28
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Plot Data pada Kertas Probabilitas
24-Kas-17Analisis Frekuensi
29
q Kurva CDF distribusi normal (kurva cdf teoretis)q Dapat dengan mudah digambarkan pada kertas probabilitas
q Langkahn Tetapkan dua titik data, misal pada temperatur 29°C dan 34°C
n Hitung prob(T < 29°C) dan prob(T < 34°C) dengan menggunakan tabel distribusi normal standar
n Tarik garis lurus yang melewati titik (3.71%,29°C) dan (96.29%,34°C)
PT 29( ) = PZ
29−31.51.4
"
#$
%
&' = PZ −1.7857( ) = 0.0371= 3.71%
PT 34( ) = PZ
34−31.51.4
"
#$
%
&' = PZ 1.7857( ) = 0.9629 = 96.29%
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24-Kas-17Analisis Frekuensi30
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Uji Kesesuaian Sebaran Data terhadap Distribusi Normal
24-Kas-17Analisis Frekuensi
31
q Dengan mencermati plot data temperatur dan garis CDF distribusi normal, tampak bahwa sebaran data temperatur tersebut mendekati CDF distribusi normal.q Artinya, data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut berdistribusi
normal.q Kesesuaian antara sebaran data dengan CDF distribusi normal perlu diuji
q Dikenal dengan istilah best fit test.q Jenis uji, yang lazim dilakukan di bidang hidrologi, adalah uji Smirnov-Kolmogorov
dan uji chi-kuadrat.q Kedua jenis cara menguji kesesuaian tersebut akan dibahas pada kuliah Hidrologi.q Pada kuliah Hidrologi, akan dikenalkan pula beberapa jenis distribusi teoretis selain
distribusi normal.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Tugas/PR
24-Kas-17Analisis Frekuensi
32
q Rapikan hitungan dan plot data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut.
q Unduh data debit aliran dari weblog saya dan lakukan analisis frekuensi dengan langkah kerja seperti yang telah dibahas pada kuliah ini.q http://istiarto.staff.ugm.ac.id/index.php/kuliah/kuliah-sarjana-s1/statistika-dan-
probabilitas/q Nama fail: Data debit puncak Sungai XYZ.xlsx
q Tugas/PR dikumpulkan di ruang saya atau di Sekretariat MTPBA.q Saran
q Selain menghitung dan menyajikan data, berilah deskripsi tentang data dan interpretasi Saudara tentang data tersebut.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ
24-Nov-17Analisis Frekuensi
33
Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s)1 473 12 470 23 1110 34 687 45 843 56 8712 544 13 663 24 717 35 801 46 450 57 7053 872 14 809 25 961 36 323 47 284 58 7774 657 15 800 26 925 37 431 48 460 59 4425 915 16 523 27 341 38 770 49 804 60 2066 535 17 580 28 690 39 536 50 550 61 8507 678 18 672 29 734 40 708 51 729 62 8298 700 19 115 30 991 41 894 52 712 63 8879 669 20 461 31 792 42 626 53 468 64 602
10 347 21 524 32 626 43 1120 54 841 65 40311 580 22 943 33 937 44 440 55 613 66 505
Data debit di atas berasal dari data debit rerata harian selama 66 tahun, yang kemudian dicuplik nilai maksimum pada setiap tahun.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ
24-Nov-17Analisis Frekuensi
34
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60 70
Deb
it [m
3 /s]
Tahun ke-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24-Kas-17Analisis Frekuensi35