Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

1

December 15, 2016

CHAPTER 4: Trigonometry and the Unit CircleSection 4.1: Angles and Angle Measure

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

2

December 15, 2016

(A) Standard Position

When drawing an angle θ on the x­y plane in standard position, the following conditions must apply:· Vertex must be at __________________________

· The initial arm lies on ______________________________ 

Angles are often classified according to the quadrant in which their terminal sides lie. 

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

3

December 15, 2016

(B) Positive and Negative Rotation (Standard Position)

(C) Reference Angle­ the acute angle that is formed by the terminal arm of the angle and either the positive or negative x­axis.

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

4

December 15, 2016

Ex)Sketch in standard position the following angles and identify the type of angle, its reference angle.

A) 300° B) ­200° C) 800° D) ­500°

Note: • For angles larger than 360º or smaller than ­360º we subtract or add multiples   of −360º to determine where the angle is.

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

5

December 15, 2016

There are two units for measuring angles:»   Degrees» Radians

What is a radian?

­ A radian is an angle measurement that gives the ratio:

­ Each full radian measure occurs when the arc length is the same as the length of the radius  

Angle Measure

•  An angle measurement•  One degree is defined as             of a full rotation.   

What is a degree?

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

6

December 15, 2016

Angle in radian         Explanation 

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

7

December 15, 2016

When dealing with circles let's start with a special one, the unit circle. » The unit circle has a radius of 1

If the radius is 1 what is the angle of          in radians?

Common Radian Measure

Angle Degrees Angle Radian90180270360453060

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

8

December 15, 2016

Ex)  Convert the following to radian measure (exact and approximate).

A)   135° B) ­58° C) 225°

 D)  144° E) 214.5° F) ­118°

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

9

December 15, 2016

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

10

December 15, 2016

Ex)Sketch the following angles in standard position.

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

11

December 15, 2016

 Co­terminal Angles

• angles in standard position with the same terminal arm and can be measured in degrees or radians

• Co­terminal angles can be found by adding or subtracting multiples of 360° or 2π

• In general, if θ is an angle in standard position then any angle of the form:

θ  ±  2πn,   where n ∈ N     or  θ ± 360°n,     where n ∈ N

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

12

December 15, 2016

Ex)Find an angle that is co­terminal with each of the following angles. Sketch to check your answer.

A)   112° B) 700°

D) ­3

B)

C)

A) ­515

Find one negative and one positive angle that is a co­terminal with each angle. 

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

13

December 15, 2016

Ex) Determine the measures of all angles that are co­terminal with 120° in the given domain.

A) 0° ≤ θ ≤ 720°  B) ­360° ≤ θ ≤ 0°

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

14

December 15, 2016

Ex)Write an expression for all of the angles co­terminal with each angle. Indicate whatyour variable represents.

A)  310°   B)

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

15

December 15, 2016

Arc Length, Radius and the Radian Measure of the Central Angle

2 types of arc length:> Minor Arc> Major Arc

Determine a formula relating the radius (r), central angle θ (measured in radians) and arc length of a circle (a). [Earlier in the notes, the arc length was denoted by the variable s]

Arc Length = θ x radiusa = θr

Know how to rearrange!!

Ex) Determine the measures of the arc length subtended by the angles and radii below:

A) central angle   of with radius of 10 cm. 

B) central angle of 2.6 rad with radius of 4.9cm.

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

16

December 15, 2016

Ex) Determine the measure of the radius of a circle in the following diagram.

Ex)  An arc of 20 cm in length cuts a circle of radius 5.4 cm.  Determine the measure of the central angle in radians and degrees.

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

17

December 15, 2016

Ex) Find the radius of a circle in which an arc of 3 km subtends a central angle of 20o.

Ex) During a family vacation, you go to dinner at the Seattle Space Needle. There is a rotating restaurant at the top of the needle that is circular and has a radius of 40 feet. It makes one rotation per hour. At 6:42 p.m., you take a seat at a window table. You finish dinner at 8:28 p.m. Through what angle did your position rotate during your stay? How many feet did your position revolve?

Do questions 12 and 13 page 176.

Section 4.1 Angles and Angle Measures­soln.notebook

18

December 15, 2016