Section  7.1:  LOGIC    Proposition:_____________________________________________________________  We  use  lowercase  letters  p,q,and  r  to  denote  propositions    Compound  propositions:  

p¬  means  “not  p”    (negation)        p q∨  means  “p  or  q”    (disjunction)    p q∧  means  “p  and  q”    (conjunction)      p q→  means  “if  p  then  q”    (conditional)  

                         T*  is  called  vacuously  true      

Think  of  a  conditional  as  a  guarantee  like:  “If  you  score  at  least  90%,  then  you  will  get  an  A”.    Even  if  you  score  less  than  a  90%,  the  guarantee  still  remains  in  effect.      1.    Consider  the  propositions  p  and  q:     p:  “ 214 200< ”     q:  “ 223 500< ”  Express  each  of  the  following  propositions  in  an  English  sentence,  and  determine  whether  it  is  true  or  false.  (A)     p¬  ___________________________________________________________________________  (B)     q¬  ___________________________________________________________________________  (C)     p q∨  _________________________________________________________________________  (D)     p q∧  _________________________________________________________________________  (E)     p q→  ________________________________________________________________________    Let   p q→  be  a  conditional  proposition.  

q p→  is  called  the  converse  of   p q→  p q¬ →¬  is  called  the  inverse  of   p q→  q p¬ →¬  is  called  the  contrapositive  of   p q→  

 2.    Consider  the  propositions  p  and  q:     p:  “ 2 2 25 12 13+ = ”   q:  “ 2 2 27 24 25+ = ”  Express  each  of  the  following  propositions  in  an  English  sentence,  and  determine  whether  it  is  true  or  false.  (A)   p q→  _________________________________________________________________________  (B)  The  converse  of   p q→ ____________________________________________________________  (C)  The  inverse  of   p q→  _____________________________________________________________  (D)  The  contrapositive  of   p q→  _______________________________________________________        

p q p¬ p q∨ p q∧ p q→

T T F T T T T F F T F F F T T T F T* F F T F F T*

 Section  7.1:  Logic    Truth  Tables  –  the  first  2  columns  of  a  truth  table  will  always  be  p  and  q.    P  will  be  assigned  the  values  TTFF  respectively,  and  q  will  be  assigned  the  values  TFTF  respectively  to  include  all  possible  combinations.    The  remaining  columns  will  be  filled  in  with  T  or  F  according  to  their  truth  values.    3.    Construct  the  truth  table  for   p q∧¬      

p q q¬ p q∧¬

T T

T F

F T

F F

 4.    Construct  the  truth  table  for   ( )p q q p→ ∧¬ →¬⎡ ⎤⎣ ⎦    

                   

A  proposition  is  called  a  __________________  if  each  entry  in  its  column  is  a  T  A  proposition  is  called  a  __________________  if  each  entry  in  its  column  is  an  F  A  proposition  is  called  a  __________________  if  at  least  one  each  entry  is  a  T  and  at  least  one  entry  is  an  F    5.    Construct  the  truth  table  for   ( ) ( )p q p q→ ∧ ∧¬    

p q p q→ q¬ p q∧¬ ( ) ( )p q p q→ ∧ ∧¬

T T

T F

F T

F F

       

p q p q→ q¬ ( )p q q→ ∧¬ p¬ ( )p q q p→ ∧¬ →¬⎡ ⎤⎣ ⎦

T T

T F

F T

F F

 Section  7.1:  Logic    If  2  compound  propositions  have  the  same  truth  values  in  their  columns(T  only,  not  F)  then  we  can  say  the  first  propositions  logically  implies  the  second  proposition  and  write   p q⇒ .    We  callP Q⇒  a  logical  implication.    6.    Show  that   ( ) ( )p q p q p→ → ⇒ →⎡ ⎤⎣ ⎦    p q p q→ ( )p q p→ → q p→

T T

T F

F T

F F

 Now  compare  the  4th  and  5th  columns.    Whenever   ( )p q p→ →  is  true  (1st  two  rows),   q p→  is  also  

true.    We  therefore  conclude  that   ( ) ( )p q p q p→ → ⇒ →⎡ ⎤⎣ ⎦    If  two  compound  propositions  have  identical  truth  tables  (T&F),  then  they  are  logically  equivalent  and  can  be  written   P Q≡ .    We  call  P Q≡  a  logical  equivalence.    Some  logical  equivalences:  1 ( )p p¬ ¬ ≡

2 p q q p∨ ≡ ∨

3 p q q p∧ ≡ ∧

4 p q p q→ ≡ ¬ ∨

5 ( )p q p q¬ ∨ ≡¬ ∧¬

6 ( )p q p q¬ ∧ ≡¬ ∨¬

7 p q q p→ ≡ ¬ →¬

 7.    Show  that   ( )p q p q¬ ∧ ≡¬ ∨¬  p q p q∧ ( )p q¬ ∧ p¬ q¬ p q¬ ∨¬

T T

T F

F T

F F

The  4th  and  7th  columns  are  identical,  so   ( )p q p q¬ ∧ ≡¬ ∨¬    

Section  7.2:  SETS    Set:  __________________________________________________________________________________________________________  Capital  letters  such  as  A,  B,  and  C  are  used  to  designate  sets.    Each  object  in  a  set  is  called  an  ________________  of  the  set.     a A∈  means  “a  is  an  element  of  set  A”     a A∉  means  “a  is  not  an  element  of  set  A”    A  set  without  any  elements  is  called  the  ___________,  or  ____________  set.    For  example,    the  set  of  all  people  over  20  feet  tall  is  an  empty  set.    Symbolically,  ∅  denotes  the  empty  set.    A  set  is  described  by  either  (1)  listing  all  of  its  elements  between  braces  {}  or  by  (2)  writing  a  rule  within  braces  that  determines  the  elements  of  the  set.           Rule             Listing  Examples:         {x|  x  is  a  weekend  day}       {Saturday,  Sunday}       {x|   2 4x = }           {2,  -­‐2}       {x|  x  is  a  positive  odd  counting  number}   {1,3,5,…}    The  three  dots  in  the  last  set  indicate  that  the  pattern  established  by  the  first  3  entries  continues  indefinitely.    The  first  2  sets  are  called    finite  sets(countable),  the  3rd  set  is  an  infinite  set.    1.    Let  G  be  the  set  of  all  numbers  such  that   2 9x =  (A)  Denote  G  by  the  rule  method  __________________________  (B)  Denote  G  by  the  listing  method  __________________________  (C)  Indicate  whether  the  following  are  true  or  false:  3 G∈  ______     9 G∉  ______    If  each  element  in  set  A  is  also  in  set  B  then  we  call  set  A  a  ______________  of  set  B.    For  example,  the  set  of  all  girls  in  the  class  is  a  subset  of  the  whole  class.    If  set  A  and  set  B  have  exactly  the  same  elements,  then  the  two  sets  are  said  to  be  equal.  Symbolically,     A B⊂  means  “A  is  a  subset  of  B”     A B=  means  “A  &  B  have  exactly  the  same  elements”     A B⊄  means  “A  is  not  a  subset  of  B”     A B≠  means  “A  &  B  do  not  have  exactly  the  same  elements”  *From  the  definition  of  subset,  we  can  conclude  that  ∅  is  a  subset  of  every  set.*    2.    Given  A={0,2,4,6},  B={0,1,2,3,4,5,6},  and  C={2,6,0,4},  indicate  whether  the  following  relationships  are  true  (T)  or  false  (F):    

(A)   A B⊂  _____   (B)     A C⊂  _____   (C)   A C=  _____      

(D)  C B⊂  _____   (E)   B A⊄  _____   (F)   B∅⊂  _____    3.    List  all  the  subsets  of  the  set  {1,2}      

 Section  7.2:  Sets  SET  OPERATIONS    The  union  of  sets  A  and  B,  denoted  by   A B∪  is  the  set  of  all  elements  formed  by  combining  all  the  elements  of  set  A  and  all  of  the  elements  of  set  B  into  one  set.  Symbolically:   { }| orA B x x A x B∪ = ∈ ∈  The  union  of  2  sets  can  be  illustrated  using  a  Venn  Diagram:              A      B      The  intersection  of  set  A  and  B,  denoted  by   A B∩ ,  is  the  set  of  elements  in  set  A  that  are  also  in  set  B.  Symbolically:   { }| andA B x x A x B∩ = ∈ ∈  The  intersection  of  2  sets  can  be  illustrated  using  a  Venn  Diagram:            A      B        If  sets  A  and  B  have  no  elements  in  common,  ( A B∩ =∅ ),  they  are  said  to  be  disjoint.  The  set  of  all  elements  under  consideration  in  called  the  universal  set  U.    The  complement  of  A,  denoted  by  A’,  is  the  set  of  elements  in  U  that  are  not  in  A.  Symbolically:   { }' |A x U x A= ∈ ∉              U                                        A                      A’          4.    If   { }1,2,3,4R = ,   { }1,3,5,7S = ,   { }2,4T = ,  and   { }1,2,3,4,5,6,7,8,9U = ,  find    (A)  R S∪ _________________________     (C)   S T∩  _________________________  (B)   R S∩ _________________________     (D)   'S  _________________________    5.    In  a  survey  of  100  randomly  chosen  students,  a  marketing  questionnaire  included  the  following  3  questions:  (1)  Do  you  own  a  TV?  (2)  Do  you  own  a  car?  (3)  Do  you  own  a  TV  and  a  car?    75  students  answered  yes  to  question  1,   45  students  answered  yes  to  question  2,  

35  students  answered  yes  to  question  3    Make  a  Venn  diagram  to  aid  in  this  problem.    U  =  set  of  students  in  sample  _____                    U                T                  C  T  =  set  of  students  who  own  TV  sets  _____  C  =  set  of  students  who  own  cars  _____    T C∩  =  set  of  students  who  own  cars  &  TV  sets  _____    (A)    How  many  students  owned  either  a  car  or  TV?  ______  (B)    How  many  students  did  not  own  either  a  car  or  TV?  ______  (C)    How  many  students  owned  a  car  but  not  a  TV?  ______  (D)  How  many  students  did  not  own  both  a  car  and  TV?  ______    

Section  7.3:  BASIC  COUNTING  PRINCIPLES    The  number  of  elements  in  a  set  A  is  denoted  by  n(A)    Sets  A  and  B  are  called  _______________  if   A B∩ =∅    Addition  Principle  for  Counting:    For  any  2  sets  A  and  B,   ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩     If  A  and  B  are  disjoint,  then   ( ) ( ) ( )n A B n A n B∪ = +    1.    According  to  a  survey  of  business  firms  in  Cypress,  345  firms  offer  their  employees  group  life  insurance,  285  offer  long-­‐term  disability  insurance,  and  115  offer  group  life  insurance  and  long-­‐term  disability  insurance.    How  many  firms  offer  their  employees  group  life  insurance  or  long-­‐term  disability  insurance?    SOLUTION:  If  G  =  set  of  firms  that  offer  employees  group  life  insurance,  and  D  =  set  of  firms  that  offer  employees  long-­‐term  disability  insurance,  then       G D∩ =  set  of  firms  that  offer  group  life  insurance  and  long-­‐term  disability  insurance     G D∪  =  set  of  firms  that  offer  group  life  insurance  or  long-­‐term  disability  insurance    Thus,     n(G)  =  _____     n(D)  =  _____     n(G D∩ )  =  _____    and       ( ) ( ) ( ) ( )n G D n G n D n G D∪ = + − ∩  =  ______  +  _____  -­‐  _____  =  _____    2.    A  small  town  has  2  radio  stations,  an  AM  station  and  an  FM  station.    A  survey  of  100  residents  of  the  town  produced  the  following  results:  In  the  last  30  days,  65  people  have  listened  to  the  AM  station,  45  people  have  listened  to  the  FM  station,  and  30  have  listened  to  both  stations.      (A)  How  many  people  in  the  survey  have  listened  to  the  AM  station  but  not  to  the  FM  station?    _____  (B)  How  many  have  listened  to  the  FM  station  but  not  to  the  AM  station?    _____  (C)  How  many  have  not  listened  to  either  station?    _____  (D)  Organize  this  information  in  a  table.    Let  U  =  the  group  of  people  surveyed  Let  A  =  set  who  listened  to  AM  station  Let  F  =  set  who  listened  to  FM  station      U                                A              F                   'A F∩   A F∩               'A F∩                      _____    _____            _____                 ' 'A F∩                  ______  

FM Listener FM Non Total

AM Listener

AM Non

Total

Section  7.3:  Basic  Counting  Principles    Multiplication  Principle  for  Counting:  If  two  operations,   1O  and   2O  are  performed  in  order,  where  

1O  has   1N  possible  outcomes  and   2O  has   2N  possible  outcomes,  then  there  are   N1iN2  possible  outcomes  of  the  first  operation  followed  by  the  second.    In  general,  if  n  operations   1O ,   2O ,  …   nO  are  performed  in  order,  with  possible  number  of  outcomes  

1N ,   2N ,  …   nN  respectively,  then  there  are   N1iN2 i...iNn  possible  combined  outcomes  of  the  operations  performed  in  the  given  order.    3.    An  Apple  store  stocks  4  types  of  ipod:  ipod  8G  ,  ipod  16G,  mini,  and  nano.    They  are  low  on  stock  and  are  only  available  in  blue  and  red.    What  are  the  combined  choices,  and  how  many  combined  choices  are  there?    Solve  using  a  tree  diagram.          

iPod  OPTIONS     COLOR     COMBINED  CHOICES                        4.  If  we  had  asked:  “From  the  26  letters  of  the  alphabet,  how  many  ways  can  3  letters  appear  in  a  row  on  a  license  plate  so  no  letter  is  repeated?”,  it  would  be  tedious  to  list  the  possibilities  in  a  tree  diagram  so  we  would  use  the  multiplication  counting  principle  to  solve  this  problem.    What  would  the  answer  be?        5.    Each  question  on  your  multiple  choice  computer  work  has  4  choices.    There  are  20  questions  on  this  week’s  work.    How  many  different  combinations  of  answers  exist  for  the  20  questions?          6.    How  many  4-­‐letter  code  words  are  possible  using  the  first  10  letters  of  the  alphabet  if:  

(A)  No  letter  can  be  repeated?              (B)  Letters  can  be  repeated?            (C)  Adjacent  letters  cannot  be  alike?            

Section  7.4:  PERMUTATIONS  &  COMBINATIONS    FACTORIALS The  product  of  the  first  n  natural  numbers  is  called  n  factorial  and  is  denoted  n!     n!  =  n(n-­‐1)(n-­‐2)…(2)(1)     ex:  6!  =  6x5x4x3x2x1  =  720     n!  =  n(n-­‐1)!     0!  =  1       your  calculator  should  have  a  factorial  button  on  it  -­‐-­‐>    n!      1.    Use  your  calculator  to  compute  each  factorial  expression.  

(A)    5!     (B)    10!9!     (C)    10!

7!     (D)     5!

0!3!     (E)     20!

3!17!  

         n!  grows  very  rapidly.    What  is  the  highest  factorial  value  your  calculator  can  find?      PERMUTATIONS A  permutation  of  a  set  of  objects  is  an  arrangement  of  the  objects  in  a  specific  order  without  repetition.    2a.  Suppose  5  pictures  are  to  be  arranged  from  left  to  right  on  the  wall  of  an  art  gallery.    How  many  permutations  (ordered  arrangements)  are  possible?        The  number  of  permutations  of  n  distinct  objects  without  repetition  is  n!    2b.  Now  suppose  the  art  gallery  only  has  room  for  only  3  of  the  5  pictures  and  they  will  be  arranged  on  the  wall  from  left  to  right.    This  is  a  permutation  of  5  objects  taken  3  at  a  time.    It  is  denoted  P5,3    In  general,  a  permutation  of  a  set  of  n  objects  taken  r  at  a  time  without  repetition  is  denoted  Pn,r  and  

is  given  by:   Pn,r =n!

n − r( )!      where  0  ≤  r  ≤  n  

   

So  for  our  art  gallery  problem  P5,3 =__!

__− __( )! =__!__!

=__⋅ __⋅ __⋅ __⋅ __

__⋅ __= __⋅ __⋅ __ = ___  

             

Section  7.4:  Permutations  &  Combinations  3.    Given  the  set  {A,B,C,D},  how  many  permutations  are  there  of  this  set  of  4  objects  taken  2  at  a  time?    Answer  the  questions  (A)  Using  a  tree  diagram  (B)  Using  the  multiplication  principle  (C)  Using  the  formula  for  permutations.  

 (A)                        (B)  (_____)(_____)      

(C)  P4,2 =__!

__− __( )! =  

   COMBINATIONS A  combination  of  a  set  of  n  distinct  objects  taken  r  at  a  time  without  repetition  is  an  r-­‐element  subset  of  the  set  of  n  objects.    The  arrangement  of  the  elements  in  the  subset  does  not  matter.    4.  How  many  ways  can  3  paintings  be  selected  for  shipment  out  of  the  8  paintings  available?  This  is  the  same  thing  as  the  number  of  combinations  of  8  objects  taken  3  at  a  time.    

Using  the  Combination  formula:      Cn,r =n!

r! n − r( )!          where  0 ≤ r ≤ n  

   

     5.    Find  the  number  of  permutations  of  30  objects  taken  4  at  a  time.  

 

P30,4 =__!

__− __( )! =  

   6.    Find  the  number  of  combinations  of  30  objects  taken  4  at  a  time.      

Section  7.4:  Permutations  &  Combinations    7.    From  a  committee  of  12  people,  

 (A) In  how  many  ways  can  we  choose  a  chairperson,  a  vice-­‐chairperson,  a  secretary,  and  a  

treasurer,  assuming  that  one  person  cannot  hold  more  than  one  position?    

       

(B) In  how  many  ways  can  we  choose  a  subcommittee  of  4  people?              8.    In  a  standard  52-­‐card  deck,  how  many  5-­‐card  hands  will  have  3  hearts  and  2  spades?                9.    Serial  numbers  for  a  product  are  to  be  made  using  3  letters  followed  by  2  numbers.    If  the  letters  are  to  be  taken  from  the  first  8  letters  of  the  alphabet  with  no  repeats  and  the  numbers  are  to  be  taken  from  the  10  digits  (0  –  9)  with  no  repeats,  how  many  serial  numbers  are  possible?    (Order  is  important)                10.  A  company  has  7  senior  and  5  junior  officers.    A  safety  committee  is  to  be  formed.    In  how  many  ways  can  a  4-­‐officer  committee  be  formed  so  that  it  is  composed  of    (a)    1  senior  officer  and  3  junior  officers?     (b)    4  junior  officers?              (c)    at  least  2  junior  officers?