DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR

119/02/2014

219/02/2014

NOTAS COMPLEMENTARIOAS DECURSOS SIMILARES, A SEGUIR

• Constantinou M. (2013), Structural Dynamicand Earthquakes Enginnering. University at Buffalo, USA.

• Jerome P. (2004), Structural Dynamic, University of Michigan, USA

Dr. Roberto Aguiar 319/02/2014

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR

CLASE 2

VIBRACIONES LIBRES EN

SISTEMAS DE UN GRADO DE

LIBERTAD

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DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR

EQUILIBRIO ESTÁTICO

FR = k*d

k

P.I.

dP.E.E.

m

M*g

(1) (2)

SF = 0

m*g = k*d

519/02/2014

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

SF = 0

P.E.E.

(3)

m

c

𝑞0, 𝑞0

K*(q+d)

m

m*g

FA = c ∗ q

m ∗ q

(4)

k ∗ q + δ + c ∗ q − m ∗ g + 𝑚 ∗ q = 0k ∗ q + k ∗ δ + c ∗ q − m ∗ g + m ∗ q = 0

𝐦 ∗ 𝐪 + 𝐜 ∗ 𝐪 + 𝐤 ∗ 𝐪 = 𝟎 619/02/2014

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

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VIBRACIÓN LIBRE

𝐦 ∗ 𝐪 + 𝐜 ∗ 𝐪 + 𝐤 ∗ 𝐪 = 𝟎

Definiciones:

Wn =k

m T =2π

Wnξ =

c

2 𝑚 ∗ 𝑘

Al dividir para “m”

𝐪 +𝒄

𝒎∗ 𝐪 +

𝒌

𝒎∗ 𝐪 = 𝟎 c

m=

c ∗ 2 m ∗ k

2 m ∗ k ∗ m= 2ξWn

𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 +𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎

719/02/2014

SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 +𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎

Dr. Roberto Aguiar

819/02/2014

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 +𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎

q t = a ∗ 𝑒𝜆.𝑡

𝜆 = −𝜉𝑊𝑛 ±𝑊𝑛 𝜉2 − 1

• Vibración Libre sin Amortiguamiento x = 0

• Vibración Libre Sub Amortiguada 0 x 1

• Vibración Libre Sobre Amortiguada x 1

• Vibración Libre Críticamente Amortiguada x = 1

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DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

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VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO

𝐪 𝐭 = 𝐀 𝐂𝐨𝐬 𝑾𝒏 ∗ 𝒕 + 𝑩 𝑺𝒆𝒏 𝑾𝒏 ∗ 𝒕

q t = 𝐶 ∗ 𝑆𝑒𝑛 𝑊𝑛 ∗ 𝑡 + 𝛾

𝛾 = 𝑡𝑔−1𝐵

𝐴𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2

1019/02/2014

Dr. Roberto Aguiar

1119/02/2014

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

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VIBRACIÓN LIBRE SUB AMORTIGUADA

q t = 𝑒−𝜉𝑊𝑛𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑊𝑎𝑡 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑎𝑡

Primera forma:

q t = 𝑒𝑥𝑝 −𝜉𝑊𝑛𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑊𝑎𝑡 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑎𝑡

Segunda forma:

q t = 𝐶 𝑒𝑥𝑝 −𝜉𝑊𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛 −𝜉𝑊𝑎𝑡 𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2

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DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

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VIBRACIÓN LIBRE SOBRE AMORTIGUADA

𝐪 𝐭 = 𝑨 𝒆𝒙𝒑 −𝝃𝑾𝒏 +𝑾𝒏 𝝃𝟐 − 𝟏 𝒕 + 𝑩 𝒆𝒙𝒑 −𝝃𝑾𝒏 +𝑾𝒏 𝝃𝟐 − 𝟏 𝒕

1319/02/2014

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

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VIBRACIÓN LIBRE CRITICAMENTE AMORTIGUADA

𝐪 𝐭 = 𝑨𝒕 + 𝑩 𝒆𝒙𝒑 −𝑾𝒏 𝒕

1419/02/2014

IMPORTANCIA DE ESTUDIAR VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO

• ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURA.

• ENERGÍA DISIPADA

• INTODUCCIÓN A DISIPADORES DE ENERGÍA QUE TRABAJAN A FRICCIÓN

Dr. Roberto Aguiar 1519/02/2014

ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURA

𝐪 𝐭 = 𝐀 𝐂𝐨𝐬 𝑾𝒏 ∗ 𝒕 + 𝑩 𝑺𝒆𝒏 𝑾𝒏 ∗ 𝒕

Dr. Roberto Aguiar

1619/02/2014

ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURADr. Roberto Aguiar

1719/02/2014

ENERGÍA DISIPADA

Dr. Roberto Aguiar

1819/02/2014

VIBRACIÓN LIBRE EN SISTEMAS DE 1GDLSIN AMORTIGUAMIENTO PERO CON FRICCIÓN

Dr. Roberto Aguiar1919/02/2014

SOLUCIÓN DE PRIMERA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Dr. Roberto Aguiar

2019/02/2014

CONDICIONES EN t = T/2

Dr. Roberto Aguiar

2119/02/2014

SOLUCIÓN DE SEGUNDA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Dr. Roberto Aguiar

2219/02/2014

Dr. Roberto Aguiar

2319/02/2014

IMPORTANTE COLOCAR DISPOSITIVOS DE FRICCIÓN

Dr. Roberto Aguiar

2419/02/2014

Dr. Roberto Aguiar

2519/02/2014

SOLUCIÓN PARTE SUPERIORDr. Roberto Aguiar

26

19/02/2014

SOLUCIÓN PARTE INFERIOR Y TOTALDr. Roberto Aguiar

2719/02/2014

APLICACIÓN DE RESORTES EN SERIEAISLADORES SÍSMICOS

2

2

1

1R

Wk

R

Wk DD ==

Dr. Roberto Aguiar

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RESORTES EN SERIE

21

21

12

21

21

21

**

RR

W

RR

WRWR

R

W

R

W

R

W

R

W

R

W

R

W

kD

=

=

=

KF

KF*q

Ff1

ueW

Ff2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1

Dr. Roberto Aguiar

2919/02/2014

ENERGÍA DISIPADA

Ff1

ueW

Ff2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1

ED

Dr. Roberto Aguiar

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ENERGÍA ELÁSTICA

Ff1

ueW

Ff2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1

KF*q

EL

KF

Dr. Roberto Aguiar

3119/02/2014

DISIPADORES DE ENERGÍA VISCOELÁSTICOS

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DISIPADORES DE ENERGÍA VISCOELÁSTICOS

19/02/2014 33

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

CON CEINCI-LABDR. ROBERTO AGUIAR

FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO x

Δ𝜉 = 𝑙𝑛𝑞 𝑡

𝑞 𝑡+𝑛𝑇𝑎=

2 𝜋 𝑛 𝜉

1−𝜉2

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FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO

Dr. Roberto Aguiar

3519/02/2014

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

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MATERIAL Y/O SISTEMA

ESTRUTURAL

NIVEL DE ESFUERZOS O DEFORMACIONES x (%)

Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1

Sistemas de tuberías que pueden vibrar

libremente

Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 1 a 2

Cercanos a sy, sin excederlo 2 a 3

Sistemas estructurales de acero soldado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3

Cercanos a sy, sin excederlo 5 a 6

Concreto Pretensado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3

Cercanos a estados últimos, sin perdida de pretensión. 5 a 7

Sin pretensión residual 7 a 10

Sistemas estructurales de Hormigón

Armado

Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible 2 a 3

Agrietamiento visible generalizado 3 a 5

Cercanos a estados últimos 7 a 10

Estructuras de acero apernadas Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 5 a 6

Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12

Sistemas estructurales de madera, con

elementos clavados o apernados

Esfuerzos admisibles 5 a 7

Cercano a estados últimos, con juntas apernadas 10 a 15

Estado de agotamiento con juntas clavadas 15 a 20

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Factor de amortiguamiento equivalente

Ff1

ueW

Ff2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1

ED

Ff1

ueW

Ff2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1

KF*q

EL

KF

L

Deq

E

E

x

4=

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