Selected Scientific Papers of Alfred Lande

Fundamental Theories of Physics

A New International Book Series on The Fundamental Theories of Physics: Their Clarification, Development and Application

Editor: ALWYN VAN DER MERWE University of Denver, U.S.A.

Editorial Advisory Board:

ASIM BARUT, University of Colorado, U.S.A. HERMANN BONDI, Natural Environment Research Council, U.K. BRIAN D. JOSEPHSON, University of Cambridge, U.K. CLIVE KILMISTER, University of London, U.K.

GUNTER LUDWIG, Philipps-Universitiit, Marburg, F.R.G. NATHAN ROSEN, Israel Institute of Technology, Israel MENDEL SACHS, State University of New York at Buffalo, U.S.A.

ABDUS SALAM, International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy HANS-JURGEN TREDER, ZentralinstitutJUr Astrophysik der Akademie der

Wissenschaften, G.D.R.

Selected Scientific Papers of Alfred Lande

edited by

A.O. Barut Department of Physics, University of Colorado, Boulder, U S.A.

and

A. van der Merwe Department of Physics, University of Denver, U. S.A.

D. Reidel Publishing Company A MEMBER OF THE KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS GROUP

Dordrecht / Boston / Lancaster / Tokyo

Ubrary of Congress Catalop.g in Pub6catiou Data

Lande, Alfred, 1888-Selected scientific papers of Alfred Lande.

(Fundamental theories of physics) Includes index. 1. Physics. I. Barut, A. O. (Asim Orhan), 1926-

II. Van der Merwe, Alwyn. III. Title. IV. Series. QC21.2.L36A25 1987 530 87-23484 [SBN-13: 978-94-010-8266-2 e-[SBN-13: 978-94-009-3981-3 00[: 10.1007/978-94-009-3981-3

Published by D. Reidel Publishing Company, P.O. Box 17, 3300 AA Dordrecht, Holland.

Sold and distributed in the U.S.A. and Canada by Kluwer Academic Publishers, 101 Philip Drive, Assinippi Park, Norwell, MA 02061, U.S.A.

In all other countries, sold and distributed by Kluwer Academic Publishers Group, P.O. Box 322, 3300 AH Dordrecht, Holland.

All Rights Reserved © 1988 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1988 No part of the material protected by this copyright notice may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without written permission from the copyright owner

ALFRED LANDE circa 1935.

(Portrait furnished by courtesy of Prof. Carl H. Lande.)

ALFRED LANDE circa 1947.

(Portrait furnished by courtesy of Prof. Carl H . Lande.)

EDITORS' PREFACE

Theoretical physicists allover the world are acquainted with Lande's celebrated computation of the g factor or splitting factor or, more precisely, the magne­togyric factor. The so-called anomalous Zeeman effect had intrigued, if not vexed, some of the most distinguished physicists of that time, such as Bohr, Sommerfeld, Pauli, and others. Lande realized that this recalcitrant effect was inseparable from the multiplet line structure - a breakthrough in understanding which he achieved in 1922 at the age of thirty four. It was in the same year that Lande discovered the interval rule for the separation of multiplet sublevels, a significant result that holds in all cases of Russell-Saunders coupling and renders comparatively easy the empirical analysis of spectral multiplets.

In the twenties, Lande succeeded in constructing some original concepts of axiomatic thermodynamics by employing Caratheodory's somewhat esoteric approach as his guiding concept. Published in the Handbuch der Physik, his comprehensive treatise, evincing several novel ideas, has become a classic.

Lande, Sommerfeld's student though never a true disciple, published two monographs on quantum mechanics that are remarkable for their content and exposition. In this connection it may be apposite to stress that Lande had sub­scribed for many years to the (infelicitously named) Copenhagen interpretation. Physicists are prone to forget that already Born at flISt propounded a unitary particle theory, which he only later on, after a visit to Bohr in Copenhagen, dis­owned on becoming 'converted' to the generally accepted dualism of com­plementarity - the reconciliation of the corpuscle and wave pictures.

In numerous papers and lectures and in three formidable, polemical books, Lande assailed the Copenhagen ideology. He critically examined the Stern-Ger­lach experiment and invoked the work of Duane, Ehrenfest, Epstein, and sever­al other physicists to attack and often even to ridicule the wave-particle 'church'."

And thus the classical quantum theorist Lande became a renegade, a heretic among the adherents to Bohr's and Heisenberg'S tenets.

Throughout his academic pursuits, Lande had been almost obsessed with the so-called 'quantum riddle'. His objective was to create the whole mathematical edifice of quantum theory without having to resort to quantal concepts. In 1966 he presented a paper at an international colloquium held at the University of

·w. Yourgrau and A. van der Merwe, 'Alfred Lande and the Development of Quantum Theory', in Perspectives in Quantum Theory, W. Yourgrau and A. van der Merwe, eels. (The MIT Press, Cambridge, 1971).

vii

viii EDITORS' PREFACE

Denver, later published in its proceedings, in which he constructed quantum mechanics by invoking only three nonquantal postulates,··

Alfred Lande was a reserved, modest, and rather aloof man. It is almost ironical that this unpretentious and mild-mannered scholar should dare to challenge some of the most brilliant physicists of his time and should risk antag­onizing old colleagues and friends along the way. He was in no sense a wild eccentric; on the contrary, his outstanding training, his formidable powers of reasoning, and his masterly handling of the physicist's tools have ensured Lande a place in the galaxy of original thinkers and architects of modem theoretical physics. His name will endure.

Asim O. Barut Alwyn van der Merwe

··w. Yourgrau, 'Alfred Lande'. Phys. Today 29 (5),82(1976).

TABLE OF CONTENTS

First Frontispiece

Second Frontispiece

Editors' Preface

SELECTED PAPERS APPEARING IN THIS VOLUME

2. 'Quanteneffekt im Hochfrequenzspektrum', Phys. Z. 15, 793-794.

3. 'Zur Theorie der Helligkeitsschwankungen', Phys. Z. 15,

v

vi

vii

946-952. 2 4. 'Einige neue Experimente zur Quantenhypothese und deren

theoretische Bedeutung', Naturwiss. 3, 17 - 23. 9 6. 'Uber ein Paradoxon der Optik', Phys. Z. 16,201-204. 16 8. 'Die Abzahlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke

(strahlender Korper)', Ann. Phys. (Leipzig) SO, 89-105. 20 9. 'Uber die absolute Berechnung der Kristalleigenschafter mit

Hilfe Bohrscher Atommodelle' (with M. Born), Preuss. Akad. 45,1048-1068. 37

13. 'Uber die Berechnung der Kompressibilitiit reguliirer Kristalle aus der Gittertheorie' (with M. Born), Deut. Phys. Ges. 20, 210-216. 58

14. 'Kristallgitter under Bohrsches Atommodell' (with M. Born), Deut. Phys. Ges. 20, 202-209. 65

15. 'Uber Koppelung von Elektronenringen und das optische Drehungsvermogen asymmetrischer Molekiile', Phys. Z. 19, 500-505. 73

16. 'Die Abstiinde der Atome im Molekiil und im Kristall' (with M. Born), Naturwiss. 6, 496. (Vorliiufige Mitteilung.) 79

17. 'Elektronenbahnen im Polyederverband', Preuss. Akad. 5, 101-106. 80

18. 'Antwort auf die Bemerkungen des Herrn L. Vegard zu unseren Arbeiten fiber Kristallgitter and Bohrsches Atommodell' (with M. Born), Deut. Phys. Ges. 385-387. 86

The papers appearing in this volume are numbered according to the comprehensive list of papers which are presented in chronological order beginning on p. 550.

x TABLE OF CONTENTS

20. 'Adiabatenmethode zur Quantelung gestorter Elektronensysteme', Deut. Phys. Ges. 21, 578-584. 89

21. 'Eine Quantenregel fUr die raumliche Orientierung von Elektronenringen', Deut. Phys. Ges. 21, 585-588. 96

22b. 'Das Serienspektrum des Heliums', Phys. Z. 20, 228-234. 100 23. 'Ober die Grosse der Atome', Z. Phys. 2, 191-197. 107 25. 'Ober ein dynamisches WiirfelatolPmodell' (with E.

Madelung), Z. Phys. 2,230-235. 114 26. 'Ober Wiirfelatome', Phys. Z. 21, 626-628. 120 27. 'Storingstheorie des Heliumatoms', Phys. Z. 21, 114-122.

(Habilitationsschrift, Frankfurt.) 123 29a. 'Ober den anomalen Zeemaneffekt. Part I', Z. Phys. 5,

231-241. 131 29b. 'Ober den anomalen Zeemaneffekt. Part II', Z. Phys. 5,

398-405. 142 30. 'Anomaler Zeemaneffekt und Seriensysteme bei Ne und Hg',

Phys. Z. 22,417-422. 150 31. 'Ober den anomalen Zeemaneffekt', Naturwiss. 9, 926-928. 156 33. 'Zur Theorie der anomalen Zeeman- und magneto-

mechanischen Effekte', Z. Phys. 11, 353-363. 159 35. 'Fortschritte beim Zeemaneffekt', Ergeb. Exakt. Naturwiss.

11,147-162. 170 36. 'Zur Theorie der Rontgenspektren', Z. Phys. 16, 391-396. 186 37. 'Zur Struktur des Neonspektrums', Z. Phys. 17,292-294. 192 39. 'Schwierigkeiten in der Quantentheorie des Atombaues,

besonders magnetise her Art', Phys. Z. 24, 441-444. 195 43. 'Termstruktur der Multipletts hoherer Stufe' (with W.

Heisenberg), Z. Phys. 25, 279-286. 199 44. 'Ober gestrichene und verschobene Spektralterme', Z. Phys.

27,149-156. 207 45. Ober den quadratischen Zeemaneffekt', Z. Phys. 30, 329-340. 215 47. 'Lichtquanten und Koharenz', Z. Phys. 33, 571-578. 227 49. 'Warum hat das System der chemischen- Elemente die

Periodenlangen 2,8,8,18,18, 32?, Naturwiss. 13,604-606. 235 50. 'Zur Quantentheorie der Strahlung', Z. Phys. 35, 317-322. 238 51. 'Ein Experiment iiber Koharenzfahigkeit von Licht' (with W.

Gerlach), Z. Phys. 36, 169-173. 244 52. 'Neue Wege der Quantentheorie', Naturwiss. 14,455-458. 249 54. 'Zur Wellenmechanik der Kontinua und Elektrodynamik', Z.

Phys. 44, 768-772. 253 55. 'Spontane Quanteniibergange', Z. Phys. 42, 835-839. 258 56. 'Zu Diracs Theorie des Kreiselelektrons', Z. Phys. 48,

601-606. 263 62. 'Zur Quantenelektrik von G. Mie', Z. Phys. 57,713-722. 269 63. 'Polarisation von Materiewellen', Naturwiss. 17,634-637. 279 64. 'Zur Quantenmechanik der Gasentartung', Z. Phys. 74,

780-784. 283

TABLE OF CONTENTS xi

65. 'The Magnetic Moment of the Proton', Phys. Rev. 44, 1028 -1029. 288

66a,b. 'Neutrons in the Nucleus. Parts I and II', Phys. Rev. 43, 620-623; 43, 634-626. 289

67. 'Nuclear Magnetic Moments and Their Origin' , Phys. Rev. 46, 477-480. 296

68. 'Critical Remarks on the Interpretation of Quantum Theory', J. Franklin Inst. 226, 83-98. 300

69. 'Transitions between Levels Spaced Almost Continuously', Phys. Rev. 54,940-944. 316

7la. 'Sommerfeld's Fine Structure Constant and Born's Reciprocity', J. Franklin Inst. 228,495-502. 321

72. 'The Structure of Electric Particles and the Number 137', Phys. Rev. 56, 486. 329

73a. 'On the Existence and the Magnitude of Electronic Charges', J. Franklin Inst. 229, 767-774. 330

73b. 'On the Stability and Magnitude of Electroonic Charges. Part II, Scalar Wave Functions' (with L. H. Thomas), J. Franklin Inst. 231, 63-70. 338

74a. 'Finite Self-Energies in Radiation Theory. Part 1', Phys. Rev. 60, 121-127. 346

74b. 'Finite Self-Energies in Radiation Theory. Part II' (with L. H. Thomas), Phys. Rev. 60, 514-523. 353

75. 'On the Magnitude of Electronic Charges', Phys. Rev. 59, 434-435. 363

76. 'Finite Self-Energies in Radiation Theory. Part II' (with L. H. Thomas), Phys. Rev. 65, 175-184. 365

77. 'Interaction between Elementary Particles. Part 1', Phys. Rev. 76, 1176-1179. 375

78. 'The Physical Significance of the Reciprocal Lattice of Crystals', Am. Scientist 76, 414-416. 379

79. 'Interaction between Elementary Particles'. Part II', Phys. Rev. 77, 814-816. 382

80. 'On Advanced and Retarded Potentials', Phys. Rev. 80, 283. 385 81. 'Thermodynamic Continuity and Quantum Principles', Phys.

Rev. 87, 267-271. 388 82. 'Quantum Mechanics and Thermodynamic Continuity' , Am. J.

Phys. 20, 353-359. 391 84. 'Probability in Classical and Quantum Theory', Scientific

Papers Presented to Max Born (Oliver and Boyd, Edinburgh), pp. 59-64. 397

85. 'Quantum Mechanics, a Thermodynamic Approach', Am. Scientist 41, 439-448. 403

86. 'Quantum Mechanics and Thermodynamic Continuity. II', Am. J. Phys. 22, 82-87. 413

89. 'Le Principe de Continuite et la Theorie des Quanta', J. Phys. Radium 16, 353-357. 419

xii TABLE OF CONTENTS

92. 'Deduction de la Theorie Quantique a Partir de Principes Non-Quantiques', J. Phys. Radium 17,1-4. 424

94. 'if; Superposition and Quantum Rules', Am. J. Phys. 24, 56-59. 428

95. 'Wellenmechanik und Irreversibilitat', Physik. Bliitter 13, 312-314. 432

97. 'if; Superposition and Quantum Periodicity', Phys. Rev. 108, 891-893. 435

101. 'Quantum Theory from Non-Quantal Postulates', in Berkeley Symposium on the Axiomatic Method, pp. 353-364. 438

102. 'Zur Quantentheorie der Messung', Z. Phys. 153, 389-393. 450 104. 'From Dualism to Unity in Quantum Mechanics', Brit. J. Phil.

Sci. 10, 16-24. 455 105. 'Heisenberg's Contracting Wave Packets', Am. J. Phys. 27,

415-417. 464 107. 'Warum interferieren die Wahrscheinlichkeiten?', Z. Phys.

164, 558-562. 467 108. 'Ableitung der Quantenregeln auf nich-quantenmassiger

Grundlage', Z. Phys. 162, 410-412. 473 109. 'Dualismus, Wissenschaft und Hypothese', in Werner

Heisenberg und die Physik unserer Zeit, Fritz Bopp, ed. (Vieweg, Braunschweig, 1961), pp. 119-127. 477

110. 'Unitary Interpretation of Quantum Theory', Am. J. Phys. 29, 503-507. 486

116. 'Quantum Fact and Fiction', Am. J. Phys. 33, 123-127. 491 117. 'Discussion: Solution of the Gibbs Entropy Paradox', 1. Phil.

Sci. 32, 192-193. 496 120. 'Quantum Fact and Fiction. II', Am. J. Phys. 4, 1160-1163. 498 125. 'Quantenmechanik, Beobachtung und Deutung', Int. J. Theor.

Phys. 1,51-60. 502 129. 'Quantum Fact and Fiction. III', Am. J. Phys. 37, 541-548. 512 130. 'Unity in Quantum Theorie', Found. Phys. 1, 191-202. 520 133. 'Quantum Fact and Fiction. IV', Am. J. Phys. 43, 701-704. 532 136. 'Physikalische Theorie der Beugung von Materieteilchen' ,Ann.

Phys. (Leipzig) 33, 88-92. 536

APPENDICES A. Alfred Lande: A Biographical Sketch B. Alfred Lande: An Autobiography C. Letter to Allen D. Breck D. Books by Alfred Lande E. Handbook Review Articles by Alfred Lande F. Papers of Alfred Lande

541 542 545 548 549 550

PAPER 2.

Quanteneffekt im Hochfrequenzspektrum.

Von A. Lande.

J. Franck und G. Hertz') zeigten, da!) H g. Atame dureh auftreffendc Elektronen ioni· siert werden und die uItraviolctte Vol oodsche Rcsonanzlinie A = 253,6/1l1 aussendcn, ,venn die kinetischc Energic der Elcktronen den kritischcn

Betrag i:c = h· -~- = hv erreicht. Es ist zu ver· ).

muten, daB sich cine entsprechende Beziehung auch bei andern Elementcn und fur andere charakteristische Spektrallinien vorfindet. Nun hat ~Ioseley2) die sekundaren Rontgenspektra cler meisten Elcmente des periodischen Sy~tems untersucht und mit gro.Ber Gcnauigkeit cine I

line arc Bezichung zwischen, den Atomnummern lV (JV tes Element im periodischen System) uncl den Quadrat\vurzcln aus den lIochfrequenzcn J)

des Barklasehen K· und L.Typus gefundell. Anurcrscits hat \Vhiddington 3) beobachtet, daI) cine Reihe chemise her E.\cm(~nte unter clem EinfluB primarer Rontgenstrahlung nur dann sekundare Strahlen aussendct, wenn die primare StrahluIlg durch Elektr~nensto.l3e her~'or. oTerufen wird, dcren StoI3energle obcrhalb elllcr kritischen Encrgie I·e begt;. \Vhicldington bnd die zugehorigc kritische Elektronengc­schwindigkcit Vc nahezu proportional dem Atom­gewicht A des sekundaren Strahlers (vc = A . I d'). Ein Vergleich der kritischen Elcktroncncnergien von \Vhiddington mit den J\Ioselcyschcn Rijntgenfrcquenzen zcigt bei allen untersuchten Elementcn cine nahe (Tbcrcinstimmung Z\"vischen fc und der mit h multiplizierten langsamsten und starksten Rontgcnfrequenz Ka !I'), wic aus fol· gender Tabellc hervorgcht:

I) Verh. d. Deutsch.Phl's. Ges. 16, 457 und 512, It) 14. 2) Phil. Mag:. 26, 1024, 1913; 27, 703, 1914. 3) Proc. Roy. Soc. London. 85, 323, 1.91 I. . 4) Whiddingtons Bcobachtungcn beillehen !>lch n~1I

auf E1emente mit nicdrigem Atumgewicht, bci dencn dll~ weichcrc L-Strahlung llicht auCtritt.

Reprinted from Phys. Z. 15,793-794 (1914).

Whiddington :Moselcl' Quo-Elc-

berechnet tient ment gcmessen bcrcchnct gemessen

fie :!IV Volt Ee: e ).' lOS h· v: e

At 220,) 7,3 8,346 5,0 l,4 Cr 7320 24·4 2,30 1 18,1 1,3 ", 9 600 32 ,0 1,c)46 21,6 l,4 lFi 1.°750 35,~ 1,662 25,2 l,4 Cll IIOSO 36,C) l,549 27,0 1,3 Zit 11280 37,6 1,442 29 10 l,3 S, 1540:) 5 '3 35,0" l,4

") AU5 MoscJeys Interpola.tionsformel abgelcitet.

F'i.ir das elcktrische Elementarquantum ist c -- 4,7' 10-10 genom men , fUr h der \-Vert 6,55' 10-". Es zeigt sieh also, da!) fiir aile untersuchten Elementc im Gebiet der Rontgenfrequenzen ein Quantencffekt besteht, der dem von Franck und Hertz im "Cltravioletten entdecktcn ana­log ist.

DaB die Elektroncnencrgien [c et\\'as groBer als die zugchorigen hi) beobachtet wurden, stimmt mit der bei allcn Resonanzvorgangcn bci Rontgenstrahlen in Erschcinung trctcndcn Tatsache iibcrein, daB das Resonanzgcbict um 12~20 nil) nach Rot gegcn das Erregungsgebi~t vcrschobcn ist 1).

Nach J. Stark') ist j. = 253,6 tit' die lang· samste Frcquenz eifler vorn ncutralcn Hg-Atorn ausgcsandtcn Serie, \velcher also die klcinste kritische StoJ3energie i-c entspricht; analog isl Zli vermuten, daB bei Elernenten, welchc L­Strahlung ncbcn der harteren K-Strahlung auf­wei sen (Elementc mit h6hcrcm Atomgcwicht als 90), E, sich = hVL (statt ~ hVA') findet, VL eine der l\!Ioseleyschen L-Frequcnzcn ist.

I) Verg-l. Pohl, Die Physik Jer Rontgem.trablcn. Sdte 77, 97, I2I~

2) Ann. d_ Phys. 42, 241, 1913.

(Eingegaugen 10. Aug11st 1914.)

2 PAPER 3

Zur Theorie der Helligkeitsschwankungen.

Von A. Lande.

In einer Di,kussion zwischen A. Einstein und W. Ritz ') uber die Freiheitsgrade der HohIraumstrahIung handelte es sich urn folgen· des Paradoxon: Einerseits ist die Zahl der Frei· heitsgrade eines Hohlraums V nach der Jeans· schen AbzahIung der elektromagnetisch mog. lichen Eigenschwingungen gleich

(al o

Nimmt man aber andrerseits an, die Strahlung werde hervorgerufen durch die Emission von N innerhalb der Wand befindIichen Elektronen, so wird der Strahlungszustand im Innern dUTch die 3 N Zustandsvariablen der N Elektronen nach der Theorie der retardierten Poten­tiale vollstandig bestimmt sein, so daB als Zahl der Freiheitsgrade

(b) anzusetzen ist. Die Losung des Paradoxons, daB, auch wenn elektrische Felder nUT von Elektronenbewegungen hervorgerufen werden sollen, doch in einem spiegelnden HohIraum noch beliebige Felder liberlagert werden durfen, deren Dasein auf fruhere sehr oft gespiegelte Elektronenimpulse geschoben wird, scheint rucht

I) W. Ritz, diese Zeitschr. 9. 903, [908; 10, 224, 1909i A. Einstein, diese Zeit&chr.lO, ]85, 1909; Ein­stein n. Ritz, diese Zeitschr. 10, 323. 1909.

Reprinted from Phys. Z. 15,946-952 (1914).

den wesentlichen Punkt Zll treffen. Denn, wie im folgenden gezeigt werden sol1, ist die von N Elektronen emittierte Strahlung, bereits wenn sie in den freien Raum hinein gesandt wird, Schwankungsgesetzen unterworfen, welche, nach dem bekannten engen Zusammenhang zwischen Schwankungen und ZahI der Freiheitsgtade, auf den J eansschen Ausdruck (a) hinweisen, speziell also unabhangig von der ZahI N sind. Wir werden dabei Beziehungen ableiten, welche eng mit den Resultaten M. v. Laues in seiner Arbeit ,;Ober die Freiheitsgrade von Strahlen­hiindcln"l) zusammenhangen.

§ I. In der Entfernung 1 vom Beobachtungs. punkt 0 befinden sich N monochromatische Lichtzentren (Atome), welche in a eine mitt· lere Helligkeit ] hervorbringen. Dieselbe mitt· lere HeUigkeit J wird in 0 erregt durch Nr' Zentren derselben Art, welche sich in der Entfernung r von 0 befinden. Intensitats· schwankungen urn ] werden aus zwei Grunden vorkommen:

l. Befindet sich jedes der Nr' Atome im Verlaufe der langen Zeit T nur a·mal je eine Zeit T im leuchtenden Zustand, und hangt die Verteilung der a Leuchtzeiten T liber die gesamte Zeit T bei jedem Atom vom Zufall ab, so wechselt fortwabrend die Z ahl der gleichzeitig leuchtenden Atome. Je groBer aber der Mittelwert dieser Zahl ist, umso geringer

I) M. v. Laue, Ann. d. Phys. 44, 1191. 1914.

SELECTED SCmNTIFIC PAPERS

2 Lande, Helligkeitsschwankungen. Physik. Zeitschr. XV, 1914.

werden die relativ.en Schwankungen urn diesen Mittelwert sein. Wird also die mittlere Hellig­keit I im Beobachtungspunkt 0 einmal durch eine kleine Lichtquelle in geringer Entfernung, ein zweites Mal durch eine groBe Lichtquelle derselben Art in groBer Entfernung hervor­gebracht, so werden die in 0 beobachteten Helligkeitsschwankungen urn den Mittelwert J im zweiten Fall klein gegeniiber denen im ersten Fall sein und im Grenzfall iiberhaupt ver­schwinden.

2. Schwankungen einer zweiten Art ent­stehen dadurch, daB die leuchtenden Zentren Phasendifferenzen besitzen, welche nach den Gesetzen des Zufalls wechseln, so daB die in 0

beobachtete Intensitat I durch Interferenz bald groBer, bald kleiner als I wird. Es soll zuniichst gezeigt werden, daB die GroBe dieser Schwankungen im Nullpunkt unabhangig von der Zahl der die mittlere Intensitat I hervor­bringenden Zentren ist, im Gegensatz zu den Schwankungen der ersten Art_

§ 2. Es seien, unter VernachHissigung der im Grenzfall unendlich kleinen Schwankungen l. Art, in jedem Augenblick genau n Atome im leuchtendell Zustand. Die Emission moge durch n monochromatische lineare Oszillatoren besorgt werden, welche p16tzlich ihreSchwingucgs­rich tung, Phase und Amplitude iindern kf -aen. Alle sollen in einem kleinen Kegel urn die ~-Achse liegen. Dann erzeugt der x te Oszillator in 0 ein elektrisches Feld, dessen Komponente nach der I.U z senkrechten Polarisationsrichtung x gleich

G: r = ~.xax eitl~ Z,

ist. Zx glot die Entfernung, A% die Amplitude, cI, die Pha,'~ des "ten Oszillators an; cI, liegt mit gleich~~- vVahrscheinlichkeit zwischen 0 und 2:1<, jeder Wee-t A, besitze die Wahrscheinlich­keitw(A), 00 daBJdw(A)~ I, und A=JAdw. Der FaktC!" a~ ~st gleich der Projektlon eines in der S :~:·ving!.ingsrichtung des emittierenden !inearen O:::zillators gezogenen Einheitsvektors auf die Polarisationsrichtung x; die Wahrschein· lichkeit, daB diese Projektion zwischen den Werten "und a+d«(o;;;«;;;l) liegt, ist bekanntlich gleich d a, unabhiingig von der GroBe von ,,;

daher ist z. B. az = Jl£!2 d a =..!. Es wird , 3

also die gesamte elektrische Kraft in 0

" Q;x= ~A.a. e"6". ~ z,

1

Die in 0 erzeugte Intensitat ist dann

. I~llitxl'=I~A.a·ei~,I·. (I)

~ Z. I

1

Schreibt man zur Abkiirzung der beiden reellen GroBen

I.~ ~2(~:)', 1

R = 12A;;' ei~'1 ~ 1 lit ,I , 1

so wird . R·=I=LI.~I.-·!.2(~·)·· (3) I. I. 3 z,

1

Es wird gefraj"t nach der Wahrscheinlichkeit eines Wertes Jil. bis I + dIll,. d. h_ wegen (I) naeh der Wahrseheinlichkeit, daB die geo­metrisehe Summe der in der komplexen Ebene

A,£<, _~ ( ) gezogenen n Vektoren -"-i~- -e' x x = I, 2, .. n

ihren Endpunkt in einem Kreisring urn den NuUpunkt hat, dessen Radien sieh aus (3)

R' = I .!.. ~ -(.4.:--)' I, 3~ Zx

1 und

R' + dR' = l.±.!.I. 1 '~-1(~~-)' J, 3~ z,

1

bestimmen. (Ax, a", Zx sind reell.) § 3. Z ur Bereehnung dieser Wahrscheinlich­

keit benutzen wir folgenden Satz I ): Hat man n komplexe GroBen ~x ~ g, + i1j, (,,~ I, 2, .. n), so ist die Wahrscheinlichkeit, daB

2: ii, - 2: g, zwischen X und X + d X, und zugleich

2:'1x - 2:1j, zwischen Y und Y + dY liegt, filr groBe n niiherungsweise gleich

dW = _~ . e-~~I~::~~t~~.dXdY. 2J<-Y~[-!8' (5)

Dabei bedeutet gx den Mittelwert von Ii .. d. h_

g, = J g,dw usw. Ferner ist darin

!8~i(s.- g')(lIx- ii,)· 1

I) Markoff, Wabrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig 19 12• § 33-

3

4 ALFRED LANDE

Physik. leitschr. XV, 1914. Lande, Helligkeitsschwankungen.

1m vorliegenden Fall ist 6~ + i 1/11 =

~~" (cos 0, + i sin 0,), wobei A', f', und 0, Z7. Zx

voneinander unabhiingige GroBen sind. Daher ist hier

~ (A.", \ (Ax) -;:7. = --cosu,,)= ---- 'a;c'cosa,,=o, Zx " z"

Also wird hier

~(= 1·2(/1'\)'=1/:, \!l=o 6 " z,

und die Wahrscheinlichkeit, daB

" R = 12 At ei6'1 1

in da, Gebiet dX dY fallt, ist nach (5)

dW= __ 3 ....=.:~e-5(X'+J"j)/;:;;;(;~;T. :n:2(A./z,)'

Einfuhrung von Polarkoordinaten R, fJ gibt

X 2 + Y'~R', dX dY = RdfJdR= ~.dfJ·dR'

2

(-.1.), dfJ i 'A )" dW =e- SR'!2, •• --.dI3R'/.:s(~ ).

2Jt \ \ZiI

Integration tiber fJ und Einflihrung vun (3) ergibt flir die in (4) gesuchte Wahrscheinlichkeit:

dW=e-J/J •. dU/Jo)' (6)

Zugleich findet sich J 0 als Mittelwert von J: J = ./1 dW = J 0 (7)

o Wir haben also gefunden '): die Wahrschein­

lichkeit einer Schwankung J - J im Beobach· tungspunkt a hangt nur von der GroBe der

I) Herr Prof. v. La u e machtc mich freundlichst dar­auf aufmerksam. daB ein der Gl. (6) analoges Rcsultat fUr Schallquellen bereits von Lord Ray Ie i~ h abgeleitct wurde, freilich auf gauz anderm Wege. Vgl. Rayleigh, Theory of Sound § 42a.

mittleren Helligkeit ;- ab, nicht von der Art, wie diese mittlere Helligkeit hervorgebracht wird; sie ist also unabhiingig von der lahl n') (im Gegerisatz zu den Schwankungen I. Art, § [), dem Abstand z und der Amplitude A der emittierenden Oszillatoren.

Liegen die leuchtenden Atome von a aus gesehen in einem kleinen Kegel dS2 um die z-Achse mit 0 als Spitze, so kann man dieses Resultat auch so aussprechen:

Fur die Schwankungen im Punkt a ist nur die "mittlere Helligkeit des be­leuchtenden Kegels" maBgebend, d, h, die mittlere Helligkeit beim Beobachten in der Richtung d S2, nicht aber die lahl, Amplitude und Entfernung der Lichtzentren, welche diese mittlere Helligkeit hervorrufen.

Sind daher die leuchtenden Atome auf irgend· einer den N ullpunkt ganz umschlieBenden Schale mit gleichmaBiger Dichte verteilt, so daB von 0

aus gesehen die leuchtende Hulle uberall gleich hell erscheint, so wird man in 0 und auch in jedem andern Punkt P im Innern dieses "Hohl­raums" nieht nur die gleiche mi ttlere Intensitat, sondern auch gleich graBe Schwankungen er· halten, und es ist die GroBe dieser Schwan· kungen unabhiingig von der lahl der die Hulle bildenden Atome, von der Gestalt und GroBe des Hohlraums und von der Lage des Be· obachtungspunktes in ihm (allein auf Grund retardierter Potentiale, ohne Berucksichtigung von Spiegelungen),

§ 4, Auch cter zeitliche Ablauf der Schwankungen kann nieht von der Zahl der emittierenden Teilchen abhangen. Nehmen wir namlich zunachst an, daB samtliche Oszillatoren im gleichen Moment t = 0 und dann immer nach Intervallen 1: aIle gleich­zeitig ihrc Phasen wechseln, so werden in dem Beobachtungspunkt 0 im Verlauf

der leit T nacheinander Z = T verschiedene T

voncinander unabhangige n-Iomentanintensitaten

J,J". J z auftreten. Bedeutet £(T) die wahrend Tim Mittel am Beobachtungspunkt pro Flachen­einheit durchgestrahlte Energie, £(T) aber den tatsachlichen Betrag der Durchstrahlung wahrend T, so ist

-;: . ~

E-=_E= 2£p-Z.1. E f~l J J

I) Genauer: :Fur graOes 11 existiert eil1 bestirnmter Grenzwert fur diese GroBe. Man iiberzeugt sich aber leicht, daO bereit3 fur n = 50 uie gcnaucn Werte dicsem G-renzw~rt ungeheuer nahe kommen, daO es also gleich~ giiltig ist, ob lUan SO oder 10,;0 OsziUatoren hat, so daO in diesem Sinne von einer Unabh5ngigkeit des Resultats von n gesprochen werden dare.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

4 Lande, Helligkeitsschwankungen. Physik. Zeitschr. XV, 1914.

Da nun JIT mit der Wahrscheinlichkeit

dW = e-'77dJ/] vorkommt (GI. 6), ergibt sich (vgl. Markoff I. c. § 16):

Die Wahrscheinlichkeit, daB die relative Schwankung des gesamten wahrend T stattfin· denden Energietransports zwischen den Werten

E-E E-E ,E-E) E und --E + d'.-lt-

liegt, ist fiir groBe Z naherungsweise

(E-~' z dW(E~E;I=-,-.e- E " d(~~!'VZ).

Ely]; E 2

Daraus ergibt sich das mittlere Schwan· kungsquadrat

+~

(E K E)'~[ (E K E)'dW =Y=T' (8)

Geben wir jetzt die Beschrankung, daB samt­lithe Oszil!atoren immer aile zur gleichen Zeit ihre Phase wechseln, auf, so andert sich in obiger Betrachtung nUl, daB die Z Intensihiten J,]2 .. J z jetzt nicht mehr plotzlich nach Zeit· intervallen 't' einander ab16sen, sondern daB ein allmahlicher Dbergang von J 1 auf J 2 auf .. J z

stattfindet; denn zur Zeit t = f werden ') von

N . . N . -Oszdlatoren berelts p eme andere Phase,

dagegen N( 1 -}) noch die gleiche Phase wie

zu t = 0 haben. GI. (8) gilt also nach wie vor, und wir bemerken, daB auch der zeitliche Ablauf der Intensitatsschwankungen von der Zahl der Oszillatoren unabhangig ist.

§ S. Bis jetzt hatten wir nur diejenigen Schwankungen betrachtet, weIche n in Richtung der z·Achse gelegene OszilJatoren in dem einen Punkt 0 hervorbringen. Beleuchten die n Atome ein ganzes FHichensttick, welches urn den Null­punkt senkrccht zur z-Richtung gelegt ist, so werden zwischen zwei verschiedenen Punk ten (g, 7)) dieser Flache fortwahrend wechsclnde ortliche lntensitatsunterschiede auftreten. \Vir fragen nach dem mittleren Quadrat des Inten~

sitatsunterschiedes J (15, '1) - J (0) an den zwei Punkten (15, '1) und 0 der Flache z = 0 im Ver· haltnis zn der an heiden Punkten gleichen mittleren Intensitat I, d. h. wir suchen

iJ2=(,(S''1); J(02Y-----

I) Uuter VernachHissigung cler Schwankungen er~ter Art (§ I).

Die Berechnung von Lj2 werden wir auf zwei Weisen ausfiihren: einmal unter der Annahme, daB fiir beide Punkte unabhangig von­einander das Wahrscheinlichkeitsgesetz (6) gilt, das zweite Mal direkt mit Hilfe retardierter Potentiale, indem wir hier beriicksichtigen, daB die Erregung in 0 und (g, '1) gleichzeitig von denselben Oszillatoren hervorgerufen wird, also in gewisser Weise voneinander abhangig ist; wir werden _daher zunachst bei der zweiten Methodc einen andern (kleineren) Wert fiir LJ2 erhalten, des sen GroBe von der Entfernung 0

bis (15, '1) abhangt. Dberschreitet aber (5'1) eine bestimmte kritische Entfernung von 0, so wer­den wir denselben Wert fiir J2 wie bei der ersten Rechnungsart find en, und diirfen dann behaupten, daB die Erregung in iiberkritischer Entfernung von 0 im Sinne der Wahrschein. Iichkeitsrechnung als unabhangig von der Er· regung in 0 anzusehen ist. Aus der GroBe der kritischen Entfernung werden wir eine Einteilung der beleuchteten Flache in Elementargebiete ableiten) deren Zahl iibereinstimmt mit der von M. v. Laue (I. c.) auf anderm Wege erhaltenen Zahl der Freiheitsgrade eines auf der FHiche miindenden Strahlenbiindels.

§ 6. Wir berechnen zunachst .32 unter der Voraussetzung vollstandiger Unabhangigkeit von J (0) und J (5 'I)' Die Wahrscheinlichkeit, daB J(o) in das Interval! dUo) und zugleich J(S'I) in das Intervall dJ(g'l) fallt, ist dann nach (6)

dW = e J(Ol+JJ("'). der) d(J~'l)).

Fiihren

also ](0)

J so wird

wir als neue Variable

IScj +j(511) ~r

J J(o) - Ii~'I] =;J

J '

r+LI Ltg '0 J

dW ~ e-rLdrdLl, 2

also die Wahrscheinlichkeit, daB

](0) - J(5'1)

J

ein

r-LI

zwischen LI und LI + dLl Hegt, wahrend r alle moglichen "'"'erte annimmt, namlich zwischen LI und ex; variiert (] > 0), gleich

'_dLl!'e-1'dr=_' e-'dLl; 2 • 2

j

5

6 ALFRED LANDE

Physik. Zeitsehr. XV, 1914. Lande, HcIligkeltsschwankungcn.

und es wird die Wahrscheinlichkeit, daB

1](0) ~ J(gr/)1

zwischen 11 und IJ + d iJ liegt, doppelt sO groB, gleich c - .1 d i,l. Daher findet sich schlieBlieh

.1' (iJ 2 e- 1 d,j c-_ 2. (9) o

§ 7. Nun berechnen wir /f2 nach der lweiten Methode (§ 5). Wir behandeln das Problem in der Ebene y = 0; die Erweiterung auf den Raum geschieht spater ohne Schwierigkeit. Die n Lichtzentren mogcn siehl von 0 aus gesehen, aIle inncrhalb eines kleinen ()ffnungswinkels !.:! urn die z-Achse befinden (siehe Fig. I), die

Fig. I.

Koordinaten des xten Oszillators seien ::; = 1'0,

X = X7., seine Entfernungen von den Beobach· tungspunkten 0 und g seien r xO und r F.~. Fur kein Atom ist x;( gr6Ber als der l\(aximal· betrag X ---, ro . !!.. Dann ist die IntensiHit in o bzw. in g nach § 2 gleich

J-fi ,«, o~Tr:-

J() -rA,«, 'c' + )' g =., . c! 7. 1'7.; I ' r x~

wobei AxC!xc;ox fUr jedes der n Atome einen andern von Zeit zu Zeit sich unregelmafiig andernden Wert hat, der aber nur yom Atom r., nieht yom Beobachtungspunkt abhangt. 1m Nenner diirfen bei kleinem Q Yxo und rx.: durch ro ersetzt werden. 1m Exponenten ist, weil

dort r als Faktor von k = 2Jr auf tritt, in erster l

Niiherung

Yr.; -= rX.o + Slx.s = r1(O + _~x.g Yo

Zll setzen, falls!2x. den kleinen vVinkel zwischen rxo und Yo bedeutet.

Daher wird

J() _jA.", 16, ikr,0 12

o =.--e·e , Yo

J (s) ~r~:' e'" e'kr". /kx,i '°1 2.

Machen wir die Annahme, daB die n Atome in glcichen Ab~tanden a auf der Geradcn z = r 0

angeordnet sind, so daB x~ =--= x . u, .X = n . a wird, und kiirzen ab

kali 2Jl6i; u=-'-~-,-',

Yo I.fll

so wird

f (!O)

.1 J(0)-J(5)

J

I~D,I' -1*D,c,a , '. i~, - Ii r;"Dx !

Bedeutet ferner (J den konjugierten Wert von (I, so wird daraus

A = (2D.)(2D,) - (2D,e ia ')(2i5;e- 1a ,) ,

(2D,)(2D,)

I~~~====--(22D.Dr)

Nun nimmt aber in D. (10) der absolute

Betrag ·i·c.· und in D.D~ der Betrag Yo

unabhangig von den iihrigen Faktoren nach bestimmten \Vahrscheinlichkeitsgesetwn aIle moglichen positiven \Verte an. Es dad daher hei der Mittelwertsbildung

if' = [22D.15,(1 - eiaC'- 0 )]' :[2.'2D.DX

, . "hi d N d v k (-EA;-"."r)' 1m Za er un enner er r a tor -,-, Yo

vor das Summenzeichen gestellt werden und hebt sich dann weg. Daher wird mit Benutzung der Abkiirzung g;. = kr" + O.

j~~L~'~'I' I~"f {I

. [""'e i (rpy.-fi;)]2 . -- . , \\'obei jedes 'P, unahhangig jeden \Vert zwischen 0 und Wahrscheinlichkeit annimmt.

-f , : (II)

von den iibrigen 2lC mit gleicher

1m Nenner von (II) kann man schreiben "It I II It

-7-7ei(P,,-PI) = 27~(ci('Px-rl) + c-i(rh.-pl))

------ " ~Iei{rpx:-rpt) = ~cos(fJJ'/.- rp,,)= n,

(12)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Lande, Helligk.eitsschwan~ungen. Physik. Zeitschr. XV, 1914.

1m Zahler von (1 I) kann man schreibcn .:!,~~.,'c·:(rl'y'--qi) __ ~~e;(if7.+m:-rr,-tll) --=0-

7. I

:::~'cos(cp,-- Iff) - ~~'cOS(CP'-1' ""- 'lJI- r:l) 7.1 x /

(::::::)' ~ [~~'cos (cp, - CPI)]' + [::::::cos (Ip, + x I y.(

(~X - (f't - (;1)]2 - '2 ::.--::.~"'::.~ cos

('f, --. 'lil + 'f-I'- 'P" + up - "q). Fi.ihrt man ein fl';u =--= Ty. - PI '-'---- - - '.I'i7. und

I/'u=o so wird

(:::~')' --- l:::~' cos '1',.], + l~'~' cos ('1'" + u(" -1))]'- 2:::~':::~'COS("',,+ 'I'h+e(P -q)).

Bei def .Mittelwertsbildung (~:!~r~ bleibcn im erst en Quadral nur die Glieder x --=- I stchen (C051/'7.x= I). ebenso im zweitcn Quadrat; im doppelten Produkt blciben nur die Glieder mit

" --- q, 1 ~ .•. p, '/,,! + 1/'"" - 0

stehen. Also wird

(~~')' ~ n' + n' --2 ~cos (I" + '/'21 + "'I') + COS (I" + '/'32 + '1',,) + ... + cos(u, + '/,,, + "'13) + COS(2" + 'I'" + ",,,) + ... + .... }

(:::~'l' ~ 2n' - 2 ((11 - I) COS I" + (n-2) cos 2(: + .. I cos (n- I) a;

,,-1

=- 2n2-2n::'~cosxn + 2:!~XCOSXC I

11-1 011-1 -= zn 2 - 211.~C05xr: + 2a(~7sinxr:.

Darin ist nach hckannten Formeln: 11-1 I ( ~ ... cos XC: :c:,,_ ---- sin Ut: - sin ~ )

. u "2 25m -

2

lI5;lsin xc: =.0.. ~- (--C0511 (: + cos~ ~. . (; \ 2

2sm :2

Man erhalt daher ~ (; q('

cos ~ C05- cos~-

222 (27~)2=2n2-- +cosa1l' - - ----

sin (! sin ~ sin2 ~~ 2

Einflihrung von H = n (/ ergibt

(.1':::)' ~ 2n' _ cosH!.!....n + sinH/211

cosH. cos_HI>.,,- _,,-os2HLz!'.. sin'H/211 sin'HI2n

Nun gehen wir ZUI Grenze lim n = co bei festern H =na tiber:

(2'2')2 = 2n' _ 2.!'. + cos H . 4n' _1n' H H' H'

und erhalten schlieBIich bei Division den Nenner n' (12)

A' = 2 - ~2 II - cos H)

worin nach (10)

H =nn='!6s ~::!=.=Xs 2.ir = rf} i. rf} i~

!!, g ~)~7 :=_ (I) X 2)~ .

durch

(13)

(14)

Dabci war X die GroBe der v()n den leuch­tenden Atomen x" = ;.c • a erfiillten Strecke, .X -- n . 6 auf der Geraden z::.....;. r o. !2 der \Vinkel, unter dem die Streckc vom Beobachtungspunkt 0

aus geschen wird, S die Entfernung zwischen den beiden Beobachtungspunkten 0 und saul der Geraden z =-=- 0, (r) der \Vinkel, unter dem die Strecke 0 g von der Lichtquelle aus erscheint; ;/2 bedeutete das mittlere Quadrat des relativen Intcnsitatsunterschiedes zwi:ichcn den zwei Punk ten 0 und 5, und ist hier als Funktion von -,Y, ('J, i. bzw. g, £2, ). gefunden. In

~ 6 hatten wir fUr J2 unter dec Voraussetzung, daB die Erregungen in 0 und S voneinander unabhangig scien, den \Vert A2 = 2 gefundcn. Wir vergleichen damit die graphische Dar­stellung von ]i(H) aus GJ. (13) (Fig. 2).

H

8 9 ~o

Fi.~. z.

Bei H co. 0 1st .~j2 = 0, d. h. zwei sehr benach­barte Punktc der beleuchtctell Fhiche werden in jcdemAugenblick nahezu gleich stark crleuchtet. Bei H = 2.7, d. h. nach (14) bei

XC O~ OJ.X , " -·s

~ I ro i. i. i.

erreicht .. ---12 zum erstenmal den Wert 2, als

. . S h k . C Yo j, d selCli die c wan ·ungcn In !:i =, -_y- un 0 VOll-

einander un abhangig, und im weiteren Verlauf der Kurve entlernt sich ;'j2(H) nur noch mini· mal von dem Wert 2. (Die nachste groBte relative Ab\vcichung betragt 0,04: I bei H ~3Jr] die iibernachste nur 0,00 I 6: I bei 1I ~ 5 Jl). Wir wollen zunachst einmal von dieser Abwei­chung absehen und so tun, als bliebe :J2 auch fUr H>2Jl: imrner genau auf dem "Vert 2.

Dann konnen wir das Resultat so aussprechen:

7

8 ALFRED LANDE

Physik. Zeitschr. XV, 1914. Lande, Helligkeitsschwankungen.

Die Intensitatsschwankungen in Punkten Ii der Graden z = 0, welche erhellt wird von einer im Abstand Yo parallel laufen­den leuchtenden Linie, sind im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung als un· abhangig ar:zusehen von den Schwan­kungen in 0, wenn die Entfernung 0 bis

) g groBer als !.~ ist.

i. . !:~ ,1St aber nach uer elementaren Beugungs-

theorie gerade der Abstand je zweier Intensitats­minima, weIche ein Spalt der Breite X = r 6·!.~ im Abstand Yo auf der FHiche z;;;;= 0 ennvirft. Gehcn wir zum raumIichen Problem tiber, so konnen wir ahne wei teres schlieJ3en, daB das System def dunklen Streifen, weIche eine Beu­gungsoffnung auf einer FHiche entwirft, zu­gleich die FHiche in Elementargebicte ein­teilt, innorhalb deren diejenigen Helligkeits­sch-.vankungen als koharent betrachtet werden mi..issen, \velche eine an die Stelle der Beu· guugsoffnung gesetzte gleich gro13e Lichtquelle hervorbringt. Dieses Resultat hangt aufs engste

zusammen mit dem von M. v. Laue auf an· derem Wege erhaltenen Ergebnis, daB die Zahl der Freiheitsgrade eines Strahlenbiindels von der raumlichen Offnung .Q', welches auf der

( 1;0" Flache S' miindet, gleich ,=i~) ist.

Die Erregungen in zwei Punk ten , die um

mehr als E. = l~ voneinander entfernt liegen, ~ !!,

sind nach unsrer Betrachtungsweise mittels re~

tardierter Potentiale streng genommen nicht VOll­

einander unabhangig (Fig. 2). Nur in gewisser

Annaherung \virdJ von ~ C"u ;~ an, die Abhangig­

keit Ger Schwankungen unmerkbar. Dagegen zeigt ':,TIser Resultat, daB die GroBe der Schwan~ kung-ell VOil cler Zahl n cler leuchtenden Atome unabhangig bleibt, im Gegensatz zu der gewohn­lich auftretenden Abnahme der relativen Schwan­kung mit zunehmender Zahl der beteiligten un" abhingigcn Systeme.

Gottingen) November ]914.

(Eingegangcn 5. Dezember 1914·,1

PAPER 4

Einige neue Experimente zur Quanten­hypothese und deren theoretische Be­

deutung. ron Dr . .,Alfred Lamde, Gottingen.

~ 1. Solange die chemischen Atome als die letzten unteilharen Bausteine del' )Iatf'l'ie ange­~t'11i:'11 wludell, munte mall die physikalische Ve.r­ullderliehkeit chemisch cinfacher Korper als cine Massenerscheinung au££asscn, hervorgerufen dUI'l'h die \r echselwirkullg' sl'hr vielpl' gleic-harti­g('l' Atome aufeinander. Die Gl'undlehrell del' Chemie fullen allf diesel' Ansicht, und auch die ul'sprlingliche Spcktralanalyse setzte, W8nll sic jl'dcm Element e1'n ganz bestimmte:o; ~pf'ktrl1m 'lll­

~whrieb, die Unveriindcl'liehkeit df'R dlPmist:iJen Atoms Yoraus. Sehr bald gelang' es abel', ein mld clemselbcn chcmischcn Korper rnehrere yerschie­delle Spektru ZIl f'ntlockplI, ail' lluabhanp:ig von­eiuandpr jo llach den UUDel'Cll l;mstandeH hald gf'­~ollJert, baltl glcichzcitig hel'YorgC'hracht \\"('r(}(,11 kOlllltC'll. Durch l~ntcrsuchungen an lC'llchtrndl'n positiv geladenen Atomen (Kana],,1 rallhnl) 7.eigtt, .J. Stark, daD die vcrschieJcJlcIl F\pekt1'3 von .11'n AtoIHl'U in Yel'scliiedem'H ell'ktrisdwTl I .. adllil.!..!:s-1':1IstitlHlen aURgesandt werden (neutrail's, f'itnvI'l"­

tig'ps, zweiwertiges usw. Spektrum). Die All­tl'PIIlllIllg ncp:ativer Elf'kh'Oll(,ll vom Atom vrl"­HIIIIl'rt also st'ine imlCl'en Eigcnsehaftcll, von til'nen daR 311Rgesandtc Lieht Kunde g-ibt, ill dun:hgrf'ifl'lHler \Veis(" Dahl'l' kommt es, daD (·liemiseiH' Vpl'liindllllgf'lI, die doeh lul.eh elek­trol'lll'miR('1](,lt Vorsh·lltlJlgen rllln.:h ('ll·ktl'i~t'h{' 1\ ri:i ftc, BillUUllg YOll Valt'lizekktrollCll us,,". zu­"tH.lldc komml'n, Spcktra emitti(,I'pn. ill II<.'rH'll !li(, :-';pf'ktl'a ihl'(,l' KonstitUt.'lltl'll lli~'ht im gf'l'ing,.;tl'lI \\·i('del'zuprkpllIlCTl sind. Auf verschiedclwli W't'gen kaHll man fCl'nf'1' inllcl'halb cines soh-hell ;-.ip('ktl'ullls wpitl'r(' Y<"l'uliderIl1lf..!:f>11 JICI'vorrufpll, ll. a. die Le"Uchtkraft einzelncr I.inion verstiirkell (Jill']' abs(·hwo.ch(,lI; Illll'l'h g"t'l'ig-n('te V!'rsuch:-.all­onlnung ]iiGt siclt Rogal' crreichcn, daJ.\ vom p:auzpn Fipekh'um heliehig-t' eillz('lne I .. iuicn bzw. Liniell­grllppcn ilhrigblcihen (§ 7). Die (,infachstc Dell­t illig diesel' Tatsache 1st die: nas lClichtendc ,\ tom {lnrchliiuft, Lei gcg-ebene]' eicktrisehcr La­dllTig', eine groBe Heilic yerschiedcller LeuchtzH­st:illCh,. ill jcJelU Zustand (oUt'r vie1kicht heim rlwrg-ang' von einem Zustallli ZUI1l zweitell) scndet "s nul' eine soh·he Linie bilw. Oruppc alls. Da:-; llliter gcwohnlidwll Umshindcn beobachtetc Gl'­~Hmt~p('ktrlllll Zl·i~t liUl' das gh-icll:l.citig-e Vor­lulll(lpnspin splir vieleI' Atomc ill l'l'hr viplC'll \"L'I"Rehicdcll('1l Le'tI('htzu~tiindcn nil; elie W']'­

~('hi('(loIlC IIelligkrit d('r Sp0ktrllllilliC'1l puhlprie1lt

Nw. Win.

Reprinted from Naturwiss. 3, 17-23 (1915).

del' rdatin'll Hiiufig-keit. mit ell'!' die ]('Ul'litpllden Atomzustalldc zugeg'en sind, - 'Vahrend aIle frtiheren Erkliirungsversuche fiir die Gesetz­miiBigkeitcn der Spektra anf (Tl"lm<l (leI' .An­schauung gleiehzcitigen Erklingens siimtlieher t;pcktraltone ung'cheuer komplizierte ~f(,I'hanis­men YoraussetZE'n muiltcn uncI a11e lllchr oller weniger fehlsehIug-en, gelang es N. RoltT mit Ven-rendung der nacheinander durl'1I1aufenen \'crschicdcnell Atomzustande, von denen jeoN cinzclne verhaltnisma.l3ig einfaell kOllstruicrt ist, (>inige del' hauptsiiehEchstell Spektralsel'iengesctzc thcoretisch abzuleiten1).

§ 2. Kaeh del' e]ekLromagneli~chen 1'heorie kommt Lichtemissioll oann zllstande, wenn pille elektris(·he Ladung ihre Geschwindigkeit odeI' Bcwegllngsrichtung andert. Das pinfa{'hste 1f odcll del' ErZ€ugHIlg- einer Spekt l'allinie ist. t'in E1cktroll, we]chc'3 mit einer Kraft proportional (leI' Entfernung (quasielastisehe Kraft) all cine Uleiehgewiehtslag-l' gebul1den ist, um Jic::';(' mit. 11m so gruHerer SehwinglllJl!szahl hel'lImpendelt, je sHirker die Bindl111g ist, llnd dabei dnrch Licht­(omission Energio verliert (H. A. Lorentz), Ein solches quasi~lastisch /!ebundenes strahll'lHles E1cktrotl 2 ) hat hei gf'j.wbener BiIl(lul1g dit' Eigell­lil'haft, hillreichcnu cinfarbiges Li.cht, d. h. cine ~pektl'allini(> au:-;zllsenden unu aus auffallendplTI "i'(~iBcn Licht zu absorbierell. Es behalt feruC'r hei Energievermindernng <lurch Aus!-1tl'ahlung "cine Farbe lwi und zei~t 1m magnetischf'n Feld dil' lH'ohaehh'tl' IIOrmalf' Aufspa1tI1TJg' jn zwei bz\\,. dTf~i Hpektrallinien (Zeemnnn-Effekt) , Das ~\rodl'll giht dag'('g'l'll k('itll, Ht'('hpw-wliaft fi.i.r die Aufspaltllng im clcktr~schen Fcld (Sta'l"lc­Effl·ktp). em ktztcl'en Effckt Zli Cl'hultCll, muD man die quasie\aRtische Art del' Billdung 111111

dnmit I':u~leieh die rnabhangigkeit del' Farbc yom Encl'gil'inhalt allf~phen. Danlit oaR Elektron (lann trotzdem Hoch CillP seharfe SpektraJIinic an";Rl'lHien kann, mull sejne Ener.qie wahrencl des Emis::;iollsprOZE'sses dCll ::tu del' Farbc gehorig-en hm;timmten \Ycrt haben; Bowie die Ent'l"g-ic des El('kt.rons dureh Emission llnter diescll Betrag

1) V~~~gl. diPRe Zpihil'hrift 1914, S. 285 It. 30D (Scdi· ,I}{'r), 'Veitere JJiteratllr am SchluB del' Arbeit.

:OJ !tit 1It dip 1\la1"\rw, (? dip L:ulllllg" ties Elpktroll;-. :r 1"\pine Ij~ntfernllllR von (\I'r Hllhf'ifl)!l:'. k dip Binilltllgs­kon;;tallte, so l[1.l1td, i'it'inC' Bl'wpgung~glcid1Ung bei V Pl'·

IIfl('llliiHsiguug del' Ntrahlullg-f.l(Htmpfung: 1nx+1CX=O~

I)n:-; E1f'ktnlll k!llill IH'li('lligt' RIH'l',!.rie R = 1~'. :i:3+k~ hf':-;ihf'TI, olme dal3 "if·l, tlie Schwingungszahl 'V 1tndert,

elf\. v Hur YOll k HlHlm uhhiingt: V=2'1II"'k;.r;il. ;\) Yl'"r;!1. dip:-;(, Zeitschrift 1914. S. 145 (Stork).

9

10 ALFRED LANDE

18 Lande: Einige neue Experimente zur Quantenhypothese tlsw.

gesunken ist, mull die Lichtausstrahlung auf­horen, ohne daB aus den elektromagnetischen Eigensch.ften des Modells ain Grund dofiir ab­zuleiten ist. Das Bild des an eine Gleichgewichts­]age gebundencn strahlenden Elektrons kann also ohne Ergiinzung durch nichtmechanische - nicht­elektrische Eigenscha£ten yon den experimentellen Beobachtungen keine Rechenschaft geben.

Ein oweites beriihmtes Modell des Ieuchtenden Atoms besteht aus einer positiven Zentrall.dung, die von negativen Elektronen elektrisch neutrali­siert und nach dem Allziehungsgesetz vom um­gekehrten Quadrat del' EntfernunA' llmkreist wird (Rutherford). D. hier, wie bei den Planeten­bahnen, Umlaufszeit und Umlaufsenergie, also Farbe und Intensitiit des ousgestrahlten Licht. voneinsnder funktionell abhangig sindl ), kann eine ein£arbige scharfe Spektrallinie nur dann emittiert werden, wenn der Energieinhalt des: kreisenden Elektrons die zu der Spektralfarbe gchorigc bestimmte Energic hat. D. h. also wie oben: sobald das Elektron durch Ausstrahlung Energie verliert, mu..13 aus unbekannten Grunden plotzlich die Strahlung aufhoren. Aueh dieses Atommodcll ist also durch niehtmechanische~ nichtclektromagnetische Vorstellungen zu er­giinzen, urn die Beobachtungen ·wiederzugeben.

§ 3. Wamend die vorigen Uberlegungen nur die U nzulanglichkeit zweier spezieller mechaniseh­elektrischer Modelle zeigen, erhebt sich ein viel gewichtigerer Feind der reinen Mechanik unO. Elektrodynamik in der allgemeinen Theor;e der Strahlungserscheinungen. deren Resultate von allen speziel1en Vorstellungen liber Atomkonsti­tution unabhangig sind. Die Strahlungsthcorle 'fiihrt auf Grund einigcr fundamentaler Beob­achtungstatsachen, z. B. daB jeder Korper bei bcstimmter 'l'emperatur und stabilen chemischen Eigenschaften iiberhaupt ein bestimmtes Licht aussendet (Rotglut, Weillglut) zu dem SehlnD, daB das I~cuchten nicht in ciner allmiihlichen kontinnierlich ycrlaufendcn Energ'ieausstrah lung bestehen kann, wie es jedes mechanisch-elektrische Modell zeigt, sondern in einem explosion~iihn­lichen Vorgang, bei dem das leuchtende Atom momentan eine hetriichtlichu Energiemenge aus­stB.Ilt. urn dann einige Zeit gar kein Licht zu emittieren. Die genauere Analyse der Funda­mcntalbeobachtung~n fuhrte zu dem Ergebnis, daB Energieemission mit der Lichtschwingungs­zahl " (v Schwing-ungen pro Rekunde) Tlur in

1) Die Gleichgewichtsbedingllng; Zentrifugal- gleich

7.x-ntripeta,lkraft IlC'illt: mv2 ="+ ,~-, oder. da.V=2trT·V, r r-

(1) 1n 4'1!J r '.i!v2 ="+. e_/I'_ Die Energiegleichung: Gesamtenergie E gleicl) potentielle En{1rgie cp plus kinetische K heiilt:

(2) E= .,,+K= ,+ e~/j'+ '; (2n ,. v)'.

Au, (I) und (') folgl ... 2 = R 1J3fJ;1 e2t c2_ m 4112 und 78 = e+ e-l! n'111l ,,2.

endlich,n Energiequanten der GroBe ,= h .• erfolgen kann (Planck); dabei ist heine nni­"erselle N aturkonstante und hat den Wert h = 6,65 . 10-27 erg. sec. h wird nWirkungs­quantum" genannt. Die theoretische Ableitung des Wirkung8ge3etZf!S S = h· v aus einigen all­ti:iglichen Beobachtungen an leuchtenden Korpern, bei denen durch das Zusammenwirken von 'l'ril­lionen von Atomen alIe feineren Einzelvorgiinge yerwischt sind, wurde erst nachtriiglich experi­mentell im Einzelnen gerechtfertigt, indem bei einer Reihe Yon Leuchtprozessen das wirkliche Auftreten von endlichen Energiequanten a = h 'V

nachgewiesen und gemessen werden konnte (s. u.). Dieser Erfolg der Theorie ist urn so heher einzu­schiitzen, als das zuniichst hypothetisch aufgestellte \Virkungsgesetz sich gegen eine Welt von schein~ bar festbegriindeten Tatsachen durchzukampfen hatte, namlich gegen die klassische Mechanik und Elektrodynamik, die, im Gegensatz zur Quanten~ emission a = h . 'I, nur kontinuierliche Ener­gieumsetzungen kennt und nUe' wenn auch noeh so kleinen Energiebetriige I als zulassig erachtet. An eine ErkHirung, d. h. eine Ein£iigung des Wir­kungsgesetzes in unser bisheriges elektromaA'ne­tisch-mechanisches Weltbild, ist vorlaufig gar nicht ZIl denken; wir konnen uns einstweilen nur darauf beschranken, ein moglichst gro.Ues Beoh­achtungsmaterial liber quantenhafte Prozesse zu­sammenzlltragen und so die aus Massenerschei­nungen abstrahierten Gesetze am Einzelindividu~ urn nachzupriifen. Einige darauf ausgehende Ex~ perimentaluntersuchungen soIl en im folgenden besprochen werden.

§ 4. Phosphores.en.. Viele Metallsalze haben die Fiihigkeit, nach Bestrahlung mit Licht ge~

wisser Farbe ("erregendes Licht") noch einige Zeit im Dunkeln mit geanderter Farhe nachzuleuch­ten (Phosphoreszenzlicht). Die Dauer des Nach­leuchtens kann wesentlich verkiirzt werden dUTch Bestrahlung mit anderem Licht geeigneter Farba (ausloschendf>3 Licht), und auch durch Erwar­mung des Phosphors. J ede neue Bestrahlung mit erregendem Licht bringt den Phosphoreszenzvor­gang in unveranderter Starke hervor; d8.l'aus folgt, daB die Energie des Phosphoreszenzli("hts nur aus dem aufiallendcn Licht stammen und kcineswcgs schon vor der Bestrahlung in Jen Phosphormolekiilen potentiell .ufgespeichert sein kann, so daB etwa das enegeude Licht nur kata­lytisch anslO,end wirkte. N Reh Lenard bestaht die "Erregung" des Phosphors darin. daB aus dem auffallenden Licht ein hestimmtes Spektralgebiet absorbiert (erregende Absorption) und die absor­bierte Energie dazu verwendet wird. aus Jen Phosphormolekiilen je ein Elektron loszurei.Ben. Das Elektron lagert sich an andere "auf­speichernde" Atome an: die Substanz iat "er~ regt". d. h. sie steht zur AllRsendung des Phos­phoreszenzlichts bereit, sie ii't mit Phosphores­?;C'llzenergie "geladen". Die .,Ausloschung" der Erregnng, d. h. die Loslosung von den auf-

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 11

i.:uHl(\: Ji:inig'C' neue Expcl'imente znt' Quantenhypothese usw. 19

~l-'ei<.'lterlldell Atumell, gcsehieht iufoIge Vall \Varrnebewegung J uuer, ""CUll Licht geeiglletcr Farhe ubsorbiert (ausloschende Absorption) und die absOl'bierte Ellergie dazu benutzt wird, das Elr.ktron Y011 den aufspeichernden Atomen wie­dl'l' lo:szutl'enJH~ll. Es ~lQl'zl danll in Jas urspriiug'­Hehe Molckiil zuriick und sendet d"abei das eigC'ut­liche Phosphoreszenzlicht au:;. \Vahrend die Lei jpclpn~l atomal'f'll EinzelprozeB emittierte Lil'hte'lC'l'­gil' allt'IIlul dell:selht'TI Bdrag hut (s. II.), zeigt die be­obachtete Helligkeit del' Phosphoreszenz llUI' die ZrJhl del" glcichzcitig sieh abspiclenden Elelnent:1l'­prozesse un. El'regel1dcr, ausli::i-schcnder und phos~ l1horeszierendcl' Spektralbereich konnen sleh 1E'il~ weise liberdeckcn, doch liegt in del' Regel tlas Intcnsitutsmaximmll del' PhosphoreszeIlz .in lnng­welligel'om Gebiet als das del' Erregung (Stokl's­sehe Urgel); beidp ,verden eingcl'ahmt dnl'ch ('in ultrarotcs und ei~l ultraviolettes AuslOschung'~g'e­biet, (,1'51('1"('S wflli1'selH'inlieh den Rehwillgullg'Cll del' :luispeichel'nden Atome, letzteres den Schwin­gungeH del' nufg('~p('ichel'ton Elektrollen ,-'nL­spl'CChelld. l'Itit dic::iCIIl Bild des rhosphol'c:3zenz­Yorgang::; stimmen folgcnde Hauptel'gcbnisse dol' Lenardschen Beobachtuugen iiberein: 1. Die el'­regende Absorption (d. h., ,velcher Brllchteil del' nuffalIcnden Lichtenergie abgefang!:'ll uIlll Zlll' .,Errcgung" vCl'bmuchL winl) nilllmL Wil ZUlll'h­

mendel' Erl'cg'ullg' (d. h. zuuelUllCnUel' Zulli :It'l' aufgc.spcicheTten :Elektl'oneu im Y crhiiltnis ZlIl' Zahl drr noch niJ'ilt lo:;:gptl'(,lllltell o(ler hr1·l'it,. zllrikkgekehrten) abi). 2. Die ausWschende ..--\b~ Slll'ptioll Hinlllll Illit zUlH:'hmellder Erregung Z(l.

3. Dip hei del' Errcgung absol'bierte Euergio "\vil'd nalwzll in ihrf'TIl yollen Betrage nachher als Phos­JJhol'eszenz1icht wiedergewonnen. (Keine Yerluste bei del' .Aufspeicherung und dnrch \Varll1ebewc~ g·ung.) 4. Die l~'al'be des PhosphorcszcDz1ichts ist unabhangig (hYOlI, ,ve]ehe Farbe man ZUl' Ene· g·Ullg beIlutzt hat; daR Phosphores7.enzlicht ist un· J>oIari,.;;iert. 5. Yergl'i::iikrllllg del' auffallendt'll J .. ichtilliensitid hat nul' inso£ern EillfluJ.l auf dell Phosphore::iZellzvorgang, als sie den gauzen Phos­phore:szenzprozel3 bE'sch10uuigt, olmc abel' Einflul3 auf die Farbt des Erregungs-, AllSlOschullgS- und Phosphoreszenzg'ebietes 7,U habel) (\veil jedcr Elc· mcntarprozeB uIl\'cralHlpl't hlciht und uur die Zahl dcr gleichzeitigen Pruzf'sse variiert). 6. Die beim ZUl'ilck~tul'Zf'li eine~ ElektJ'ons im gallz211 cmittierte Phosphol'eHzenzli('htcl1crgie hat mit '!:rl'o!3cr Annaherung dell \Yt'rt h. -'1(1, wo \In dio Rchwingungszahl del' .PhoRphorc:;zenzfarbc bed!:"'n· tr't, wclehe Hm intcHsivsff'l1 ausgestrahlt wird. -

I) K()lllllH')l lint j('l\ ... ,., ('em Y Ph.Z{·llhpll. \·Oll lll'lIt'll

in piuPIll bC),tiIllTlltt'll Moment X' tlllerregt. -'"" l!rregt "inu (N' + X" =- S), und fa.llt auf Uen l(orper dil' l.il'htilltPIl~itHt J~I 'lUf. >'.0 wird nQch J)urchluufen ciller :-.\(·hjpht Yon del' Dicke /) nul' ll()('h di~ LichtilltensiHlt .J = Jo' e ./1 { •• \' + (1,\") y(.'rhuuden sein die Faktoren f llnd (l >'.ind di!' Abt;orptioll~koeffizienten df'f €fff'gf'll­dell ull(l der alisHis('hcnden Absorption. Dcr rrb~orbierte Lichtlwtrag Jo -- J wird zur Errrgnng und Aus­lO"chuug de':> Phosphors verhmucht.

Nw.1913.

Die lctzten Sutze (3) bi::> (6) tl'agea uie charaktc~ ristischell Zuge quantenhafter Vorgallge, wie wir sio noch Ulchrmals vorfinden ,verden_ V'm ihre Bedeutung klar zu erkennen, wollen wir uber­legen, wclche Yorgange an ihrer Stelle nach del' gcwi::ihnlichen ElektrociYl1l1mik zu erWflX­ten waren. Es falle cinc Lichtwellc auf den Phosphor auf. \Yeun seinc Molekiile iibcrhaupt die aufgefangene Enorgie ZUl' Erregung benutzell, so muLlte Illall el'wurten, daD samtliche lIolekiile nl1('h der gleichen Zeit mit del' erforderlichcn .Energieaufspeicherullg' fertig \varel1, da die Bu­lichtung bei aDen Zllr gleichen Zeit begonnen hat. Die Aufspeichel'ungszcit wurde man dUl'ch Schwachung del' auffallenden Intensitiit be· liebig verliingern 1;:onnen; wiire sic abel' abgc· laufan, so mu13tcn im glcichen ~romellt plotzlich alle Tl'illioncn MolckUlc crregt lind fiihig seill, untoI' Phusphol'C5lCllZclllission zurllckzustiirzen. Statt dessen beobachtct.. man ctwas ganz anderes: Die Zahl del' voll el'l'cgten, fllso phosphol'cSZ011Z­Hihigell :llolekiile nimmt von Anf:mg del' Bc­stl'uhlung an nllmahlich und glcichllliillig ZU, und zwal' wjrd in gleichen Zeiten del' gleivhe Prozcllt­satz del' unerl'egtcn )[olekiile nell cnegt. Die Zeit, die notig 1St, urn ein ~[olckfLI zu Cl'l'Ogl'll. licgt ilbcrdies auell bei bclicbig sehwachcm I.i('ht ullterhalb del' llcobachtungsgrcnzc. l~s ist, :11~ bC3itzc die auffal1endc Jjchtwdlc del' Schwiu­gungszahl v llicht ill ihl'el' grmlC'1l AusdC-'hnung: iiberall die glciC'lie Ellel'gicuiehtC', flontlf't'll lwstrlw aus eiuzelucn "Lichtatomen" odeI' .,Li('htqUHll· ten", in clencH jc eille :-\0 bctdichtlichc Energi(' kOllz8ntl'ierL ist, daG sie lH~im Auflreffen auf pin ~folekUl daflselh0. ill nnmpBhal' kUl'zer Zeit. voll (l'l'egt, uagegen all~ l\lolektile unp.rregt Hillt, HlI

lienen das Lichtatolll in ge\Yi~8Pl' Entfprnung YOl'~ beifliegt. Da jeJes Phosphor~szenzzentl'um min­(lpstcns die Enel"gie h· '10 braueht, um sie naeh· tl'ligiieh "\viedE'l' fils PllOSphol'pszcllzlicht ahzllgeben, Iliitte man dOll I.ichtquanten mit del' Schwill­gUllg'''lzahl v die Encrgie €. = h . 'i zuzuschrciben (Liehtquulltenhypothrse, Einstein. Stark). Die Sloke::;:~,;('he H.eg·C'l v> '10 wi.irde dunn besagen h v > hvo' l1. h. die erl'egendt'll I.ichtquuntt:'ll lt 'I llli.1SSt'U gri)l3pl' ::;ein a 1~ die ~piit('r wif'der:>:u­g:ewilluenden QuanieIl h vI)' damit PlwsphoreR7.enz zusLullllo kOIllmt. Die Licht.quantPllhypothesc steht naturlich :im schUristCll GegPllRat7. 7.U al1f'll opti­<;:.('h(,11 El'fahrungen odeI' kann nul' ilurch so kiil15tliche Zusatzhypothescn mit del' Optik ill Einklang gcbracht werden, daJ.l 111<111 til ihl' ,vohl nicht mchr fils ein heuristi:schcs Priuzip sellen darf, das zugleich zelgt, wiC' rat10s wir p;egem\ .. ~ir­tip; clelll Problem dCR l-,cuehtens gpgelliaJE'l'stelll'll. ]£ine anderE' Deutung del' Bt'ohachtullg', daD Huc'h lll1ter sehr sclHVachel' T.idltbeslrahlulIg· !lit' Pllo~~ phorcszenzCl'l'l'gullg' bei ('inzplllell ~foll'kiU('n R()­fort, bei ulltleren {'l')lt ~patpr l'in5ptzt, l)(-'.,tt·ht darin. daD man pine g(',\,,·iss(~ .,Di,;position" ;':Ul'

Erregung bci dell ~lolekillell al:.! I:'dol'del'lich all­nimmt, die 11:1('h den Gl'srb;C'l1 d("1:; 7.uff111~ bflld

12

20

dit'Sl'lI. Iiald jt'lll'tl :\iuit'klill'lI ZlIklllllilH'11 sidi. F,'cili('h winl :llwh dUl'('11 dil' ])i:-.posi1 illw.;h,YpO­

lltt'''::(' diL' H('IJ\\'il'l'igkt,jt ni('ht H'l'llllVd{'Il, (hlll dil' !..','l'l"hh' 11i"'pOlli[ll'tPIl jiolPkiil(', lllil g't'niig-PHll

..:ellllt'll gl'lIiig'(>wi "i('1 Lil'lit nllfzllfallg'pll, dl'll and('l'u illl' Lil'ht \\'('g'lll'1l11H'll Illliss(,1J 1), ,,,ellll, wil' 1'8 t:i('IWl'gl'stdlt j..::1", tIn,., Phospliol't'SZ(lIlZli('hL ..:(,jlll' ElIc'rgil' au..,; drill illlffnlll'lldl'll Licht sl'llopf1.

I)it' ,l!ll'il'hvil PhospIIOl'l'Si'Tlly.l'l'seIH'illlIllJ.!."'!l

/.('i)..("l'1I sidl ililrigl'll::' lluch ,la Illl , Wl'Ull mllll dell

PllO::'iV1wl' uit·lIt III it. Lieht l)l'~tl'<lhlt! sOlllkl'll ihn lnit ]~I('k11'oIH'n (Kathll(il'll..:;tl'ahklJ) bombnl'dil'rt. nil':"'l'!' Eft'ckt soll jl'dudl 1m uiil'ilstPll J'nl'ngTll­phl'lL lIlitlJl'haudl'lt \\'l'J'dl'lJ.

~ ~). Plllore8Zfll2. J)il~ Di.111l'l" dv::; nll'rkli("hl'll :\nvhlC'udltcll:'l Sl"hWHllkt \)('i Yt'l':"{'hie<i(,lwll Plw..::· llhul"l'1l z\Yi~;('h('ll \\'t'itell 01"l'112l'lI. BnH'ht('il('u \ Illl ::;Vklllldl'll hi" xu )llltWtl'Il. 1st :sic 11lll11cBbnr Idl'ill. ::-0 spri('ht lllllll yon l,'llloreszellz. j)il' EigelHdHlft, zn fluul'l>:szi('l"ClI, d. 11. wtihl"clHl del' Ul~stnlhlUllg: mit g'PPiglll't gefiil'btem C'l"l'eg('l}(ll~l1 Lic11t l'illl' lHldcl"e FUl'h{' :3l'lbstiindig- HlI:'3l11SC'udl'll. Iltlbl'll llldlr ode!" \H'lli~l'I' alle l\:OI'Pl'l". Dil' l'ill­

Lwh~ten }'lnores'zl'HZi.'l'.:whl'iuUllg·l'll z(!igcn si('h jill

Ch'biot dpl' HonfYf'lls//'(//den, die als uuHpl'st ..;dllwllst'h\ying'l'ude Lidltwclll>u 1111Z1bdH'1l :'lill(l, !'twa tnuseIldnwl so sl'llllt·ll nls j.(·(·wohnli('hl':' Licht. l...iiJ3t llWJl IWntg'cn,.,tl'Hhlell yon llli.ig1i{'h~t kkilli.'l' ~('11willgullg::;znhl UHf ('[(It'll Ki.il'pl'l", 7.. B. Ei::-('Il, fallen, so Wl'l'tli.'ll siC' 1Jl1 Vi"PIl ,'tWH" llh­~(ll'bil·]'t lllld ;wl'srl'l'ul, (lilt)(, .1:11.1 rtwa~ Bi.'~Olldl'l\_':' g'l>cwhit,ht, El'hiiht lUtlll jl'tzt ht',,/iiIHlig dil' ~l'hwill­g'llllg~znhi v tks auffallC'IHli.'ll Hontg'Plllil'ht-:, ~O IYi1'(l da~ Eisl'll ynll t'ilH'lll zil'llllicil :whnrf ddi~ Ilil'l'tl'll kl'iti:whl'1l IJ all pliirzli('h die Huft'allpndl> Stl'Hhlullg' :>otflrk nbsol'hiel'l'H uIld uut ihl'(' J\:(I:jtt~n "i.·kllndill' ('illl' sehHrie Spektrallinie del' Sl'lnyill­;:!,'llllgszuhl '01 0 :lUS~Plld(,1l (elWl'llkh>ri"tisl'hp St:'kllJl·· tliil'::-trnhlulJg. BorHa, J/osel('.II), nil' Sekundiir­"tl':llllullg' 'III tl'itt l'l':'t dllllll lIllf, \\'l'llll deb nHf~ fnlll·lllh· v Hili l>iuigl' Pl'Ol.l'llt pTiiGN HI"" '01 0 ;~t. tl. h. lHWIt LIN ].il'ht(IU'lllt(,llh,vpotlli.'.~p. WPlIll d il' l'I'l'l'gP1Hlt'1l Quunh'lI It 'J dWHS g'l'i.iHt'l' HIs die S(>klllllliil'"tl'llhlullg':"quuntcll h'in ;;.ind. "~ii('h::;t. 'J,

~o Iwhiilt v') seim'n \rel't llIlYl'l'nni.lert lwi, nul' IliIlllllt dil' Illtl'llsitiit th'!' 'Jo-Ell1i~sioll (= Zahl dn t:'lllittil'I'P1Hlcll ZE'ntrcll) 1lnd del' v-.\h;;Ol'l)tion ~l'JlIll'1l tlb. ,il' lllvhl' v das VI] iibC'rtl'if-it. Die (,lllll'aJ.;tpl'istis('hl' ~f'klllldiil':3tl'll1111l11g i:;;t cine

typbwlll' Pho:,phol't'szl'llZel'seheiuung: cbs <lH-;g'{>­::-trllhlt,> Lil'ht ist l111polHl'i~iel't. seine F:ll'hc ist llHnbh:ilJ,I.!'ig YOlt dcr 1nten",itiit ulHI }'<lrb(, dC's ('lTl'g!:'n(l,>ll I-,lchtp:<., tlt'l' ahwrhierh> Rl'u('hh'il Jl':'; ('ITPg"L'lldl'll Li('htps wird lUllwzu ,'()llstiindig 111" l'luon'szl'llzli('l!t ,dedl'l'g'p"'Onlll'll, 11110 die Stokl'SeWhl' HV/!l'l v> '110 iM ('diillt, rill G,',2'l'n­... atz Z1I11l Pho~phol't·szellz.qebi('t ist abcl' die'

1) IJaH nHeh 1.1'11(/1'(' dil> . .iit'htab:-orllit'fl'ndC'n'" QlH'l"

::;'.!IJ\\~~e ~~iO:I~I~:II;'I~~:~;lI;;~~~~P~~~~~Jl J;ctt~)i~i~~e ll~~h~~i;~~~(~ hit uil'ht, da. die -ersteren unter aer Annahme b~­l'pehllet sind, dnCl fOl'td;luernd aUc unern'gtell MolekLile ab-;orhieren,

ALFRED LANDE

ItijnIW·IIf1uon,.,/,l'll/, ,lUI' {'ill(' 1·wlwrfl· !.Iili/(' 'J II ;1,11-

:.;mllllH'Ilg'l',wilrlllllvft, wiihn'IHI (I!l-; 1':ITl'!-!,'uug-;­gl'hid "011 d(~l1l kriti~·;('h(,ll 'J > 'IH l)i-: zu d{'ll knt·· 7.('StPIl ,,'('Il('u I'l'i(·ht. \\,iillJ'{'IHl -t'l'l'lll'l' hei !ll'll

gp\r{illlll i('lwll Phll . .;phol'{-,S7.l'llz(,l'~ehl'illllllg'i.'11 ~ lit· Art tit'I' Bindullg' del' Ph/)svhol'l'~ZPllzatnllll~ ill el('n 1\loll'kiill'll (·int' gTOUl' Holle ~pit'lt, i~t die elJ<ll'uk­tl'l'lRtis('ho Hiilltg(>llfluOl'c"'Zl'llZ (>iIH' l'l'illl' Ei~(,ll­

f;('hnft de" ,\tOJllS, :\Illn hnt (':0; hi('l' Offl'llhill' mit d('1" Lo~tn'llilullg YOU ]<;}(,ktI'OIH'll zu hlll, dip lll'­~nll<l('rS ::-t<ll'k llll IlllH'l'll dl':-; At'JlllS fl· . ..;tg·(,buJl{l,,1l ,;illd, wiL' nth (h'I' gl'nl1l'l) hl'illl Z.Ul'ikk~tiirzl'n ;.t.'('­

\\'OIlIlt'IH'1l Al'bcit II II(} IH'l'YOl'g:l'ht ('J II ist ('twa 1000111nl so g1'o1.l nls tins y sidllhHl'('1l Lidrb). Dit' P]H)SllhorL'SZl'llzdcktl'Olll'll 8l'hcilll'll dagegl'll llll'hl' all dl'r OLl'l'flii('hp (1L'1' .\tomu zu :;itzcn, ::;0 <1:'10 bl'IlH('hbHl'tl' ~\tOlllC Ulld )folpkiilp droll l1ug<.:'­"tijrtL'll Pl'Oz{lH triibl'll (s. u,). ,lcdc.'; ('hl'miseht' EkllH'llt (von Ai aufwiirt,,) bC5itzt. cinc besoni.lcl'C Seilwillg'ullg':;zahI 'IIII' dil' 8('11wo1'(;,11 Atouw Hog'ar

llll'hn'l'll. Bell,uchtet lllall mit dpl11 eillfal'bigl'l1 ('haraktl'l'isti~whcll Eis(,llli<'ht vp ('in z.wl'ites EI(>~ 111l'nt, ('tWH ..:\Juminiull1, de~:·ll·ll 'J II kh~illel' £lIs da~ Ei~('ll-'J() iRt. "0 winl dn::; Allll1lilliuHl-'Ju ltdl ~l'kLlnd;ir llnf~tl'l1hlell; dagcgcll ::;{,l1uct Eis,>ll seTh'if l'l'i B{lstl'nlJ!ullg mit Eisenlicht 'Jo kein se· kU11d~irl'''' Eisl'lllicht 'II 11 au:s. ('lltslll'l'cl1l'lld dc'l' Stnk(,i';schl~n Hegel.

Es g'ibt lIoch ('ill l ' zwcitC' )J('tJlOdc zur JTl'n'l~'­bringllug' del' (,haraktl'l'i"tisehen HOIltgcllstl'nh­IUllg·. lliillili('h l·ill B()11lhardellH?nt des Ldl'effl'llc1(,1l

l\:ijl'Jll'r~ mit A'lp/droll ('11 (Kathodenstrflhkll)' Ucradc:3o wit' YOl'hl'I' zur .--\.uf:3lleil'hcl'ung tl~'1' Fluol"l':,zl'IlZl'lI{'l',!.!:ip Ii 'Jo die ..... l chU'illrJlIlI.Q8zaill v d('~ nuftrl'ffpwll'll Li(,ht,;:;, d. h, dip G)'Lilk, .::.('illC'r I~ieht­

l'llL'l'p:il'qut1Utl'll II 'J, eillE'n bpstimmtpn Gl'Pl1ZWCl't iihprschl'eiten llluBtCll, so 11l111.l hie!' dil~ Energic E dl'r ~lUftrpff('(l(l('n Elektl'Oll('U <>int'll }.::l'itj~e'll(,ll \\~el't Ec Ohul'';i.'hn·itL>u, UIll wil'k,;al1l .zu sei11, Die ~rpssullg (lrhidrlinllfnll) orgah die wi..-htigl' 13L'­zidlll1lg: Sc i::1-t etwa.-; p:l"iiGl'l' al", h . '11\1' ""il' {illdell also hiPl' 111lSPl' eil'IllPlltHl'CS \\~irkung'sg('~ctz e: = h'J

Kieocl': die bcohu('htek Abwclchnllg lif',zt, wit' ohcu .. gC"rndt' ill del' Ilach del' Stokes"l'hl'H Hc(,!d zu ('nnll'tcl\(ku Hichtung:, daD ZUI· ~\ufspciell'> I'tlllg' l1pl' }'J1l0l't~1lZ(,IlZ(>lIel'g·it' h'J n ein dWilS g"l'O­Bl'rl'1' Elll'l'g:iC'brtrag Ec = h'J > hV(I uufgcw-:ntll't Kerdcll lllU1.l. Al1ftl't'ffpnde LichtquHnten lind Ekktronen konllell sielt aI~o, falls sic g'ki{'h'~' Elll:'rgi(' C'llthnltpii. s{'hf'inbnl' g'(>g'('ll:"citig' \'('1'­

trt'tl'll.

§ G, .. \lIalogl' T,'luol'e:,z('uzerscheill1lllg:en Jill-den sieh aUl'h illl Gebiet dcs si('htll(//'('/I Lil"ht-:, :SUi' hat lllan es hier mit Elcktl'OllPll Xli tnll. die naIw riel' Atol11oberflul'he ~itzen ulld dahcl' dUl'eh iiunel'{l Einflii5se, Druck- und Tempcl'atul'ande>-1'1lnp;, Beimischuug' il'emdel' .('hemischer StoHL'. If'if'lit in ihren Schwing'ung'pn, n150 3ueh in del'

FarLe des ausgcsandten Liehtps. gestOrt "-(,I'll"ll,

I3esonders eingchellde Untel"suchungen sind am fluoreszierenden Queek:;;ilberdampf gemacht \Y01'­

(}('u; R. TI'. TVood fanel, daG sehr yerdiinnter flr;-

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 13

L'\lld(': Einige neue Experimente zur Quantenhypothesc us,v, 21

dampf eine schade Fluol'eszenzlinie Vo mit. del' \YellenJiinge )'0 ==: 203,61J-Jl. besitzt, die bC'i Bestl'flh­lung mit Lieht uoeh kUrzercr 'YellenUnge einps Bereiches um A = 186 [L;J. hell fiufleuchtd .. dagegcH im J..i(·ht. dessen Sehwingungszahl v 110eh niiher an vI) lic~!'t odeI' g'fir kleincl' als "0 1st, gauz unbe­{'iufluBt b1cibt. DaB wir es hier mit cineI' echtcll Fluol'csz(,llZel'schciuung zn tUll habcll. gcht dUl'm13 hel'\"or, dall das sekundare Licht \Ill kcinc Spur VOll

Polarisation zeigt (im OCg'cnsatz zu den "TIe­SUllUl1Zer5Cheillungen" s. u. § 7), und daD mit zu­nelllnender Heillheit des Damp£cs, (1 h. abnchmcn­dl'll storendcn Einfliissel1. 1110h1' nnd rnehl" die ganze auffallcllc:-"e Enel'gie als Fluol'eszenzli('ht wirul'l'W'\wOllllCn wiru,

"\Yie die Ruutgf'n-fluol'cszl'nz, so HlBt ~ieh Bueh die Fluol'l';;zenz im sichthUl'ell T,.i('11tgebict dlll'c·h Rte7dronensfij/3p hel'vol'l'ufel1. J. 'Frank: und G, He)'(z entdeeldl'll YOI' lml'zem, (laB zur Ionisie­rung LIes Hy-Dampfes, d, h. ZUI' Abtrennung eines Elektrons aus jf'dem II.q-Atoll, die auftref£cnden Eh,kt1'OlWn mindestE'llS mit E'inel' kl'itiscllPll Ener­,u.'ie lie aufprallcl1 miiss{'ll, wooei ~c gerailn glpi('h IIv n uud Yo die Sc1nving'ung'szahl ohiger :E'lllores­Zl'IIZlinic A = 2.");3.6 ist. Tahdkhlich bcohadltdell ;.;ie 'wcitcr, clHO unter dicSE'll1 Elcktrol1Puanprall da<; Fluorcszcnzlicht \I" Husgesandt ,,-iwl. l,N ahl'­~dl('inlieh muD ahf'l' die <lazu llot.igt: AufprHllener­Qic, '\\'io c"; 11a('h (hor Stokcsschf'n Hegel uml d('r :\(ll1iYHh-lIz yon auft]'effrl1rk1' F.lektrollrl1cllcJ'Qic ll11d Lidltquantl'llel1f'rgi(' Zll E>fWaJ't('ll ist, {'h~'[lf': !.!r(j[1e1' £lIs hV(l seilJ; je(lC'llfcllls fandpll Prank ullc1 I!ed;?' dCllt1icllPS L{'lIchtpn ('l'st bei iillt'l'kritische:r .-\ufl'l'all('nf'l'g-ie Ii> h\lo'

§ 7. Yon <lIC'f FhlOrpsz011z ;.;(-11<11'£ /.\1 11lttl'r:"wlH'i­

d('11 ~ill(l die RpMnall;:;('l's('lieilllln[}f'n, dip 11' {)()d

('Iltdl'l'kt ]I:.li. "\Viiltrend hri del' 1"1. dir Ern'!.!!! II,..!.' in ('illf'm nw111' oclrr weniger brf'itt'll GdJif'f v l'1'­folgt 1 de~Rpn Sl'hwingungs7.:9.hlen graDer aIs .... 1)

"ill(l, wiihrcn(l fC'rnC'l' r1ns Fluol'e~7.cnzlicht ,-ollstiin(lig U11}lllluri"iC'('1 i"t, zf'igt das TIe­-,ollHnzlicht stuJ'hC' Polnl'i<:lution. UJl(l zu ~eilll'l' EI'7011g'ung mnD daR auffallendc Licht mit dl'lIl Hl'"UllHllzlieht Lie; auf CillO]1 an8er-ol'tll'ntlieJH'1l Gl'iHl YOH Oenauigkpit iiherHill­:-;timml'll. Bl'im Joel fand Wond I,. B., dal3 I!·(·wi,,~(' H!''':OllHlIZlini('1I 110(,11 kcill(· SPUl' (,l'I"'f,rt

,\"(,I'tku, \\·l'llll dip rl'fl'gl'll(le Lil,hlw(;l1l'l!lil.nge ]llll'

lllll 1/10(1 iJ.:;' - II)--~ ('111 rliH(,l'iC'rt: c1ns wiirr akl1" :-.1isvh f('hll'lldt.' ){I'SOllllIlZ hci %\\"ri ')'(ill(,ll. di(, 11111

1/1O(JUU .,'1'011" <lisSOllii'l'('ll (1/1 .. '1'01\" hat (jas :--;('l\",illg:UJlgsxahl\"(~r1ltl1tllis 4.'",). Inh'l'l'ssant j<;t,

.hlLl bl'i l{t.'stl'ahlullg' mit Y\I Licht oft nieht n11l' (lie Lillie ',Ill' sOllllt'l'll lIo\!h (,ill(': Hl'iill' l:lwicl'E'l' r~illil'll VI v:! .•• Huftl'ctCll, tIit' OffClll>u1' mit Yo irg't'nuwie g·pkop]lclt ~ill(l; (,J'l"l'gt llHW il'gt'1l11 ('itlP Lillip (li('­SI'I' (;l'UPPi." so l'n'wlH'illt'll filwh (lie awl{,l'll lllrlll'

(J(It,!, \Yl'ulger 11l'11. dal'lllll('l' 1111('11 dil' -5l'll1ll'll(l\,

:--dnvillg·L'lld(,ll T~illicll, 1hl.l'HUS {'J'kl;ircll sieh die fl'i"tiH'l' oft IIPohfW11h,tVll .. A 11.,l!}lhrnC'n" ,!..!;eg'cn rlin ~t()kl's:·wh(' Iteg(,l; Ill!lll ll<llll' l'g (lahl'i f'h0n Hiellt lliit Flu()l'(,SZ('III" sond!'rn mit H('~l)lIaJly' Xli 1 nil.

§ 8. Die bisher festgestellte Xqniyalenz dCl' zwei Energieformen: T .. icht ',I (Lichtquanten hv)

und ElektronenstoBenergie £, wenn s = hy, £indet ~ich bei der Energieem1:ssion wieder. Del' hei dpr Phosphoreszenz dil'ekt gemessenell uncI bpi ,121' Fluoreszenz mit gro.Ber "~ahrseheinliehkeit anfllog' yerll1uteten Emission yon I .. ichtenergie in Bew

triigen hyu geht eine Emission 't'on. Eleldro)Jr1H parallel, deren Energie s ebenfalls in I]lHllltpn­theol'etisehem Zusammenhang mit einer Licht­schwing'ungszahl Y stehtJ wie ZUE'rst Einstein Yel'mutete. lfan beobacbtete, daB Rllffal1endes Rontgenlicht Y gleichzeitig mit lier Auslosung d/?"!' Sckundarstrahlung "0 noch Elektl'onen aus dem bcstrahlten Karpel' freimacht (Sekul!diil'c Katho­Jens/rahlen, Dorn, Beatty). Auch dieser Effckt setzt erst bei bestimmtem 'I ein, und zwar bei dClll­

f.:.elbeD kritischen \I, bei dem anch di.e seklllld~1'0

nontgcnstrahlung beginnt. :N ach cincr 1\[cf31'c111c yon Sadler ist iiberhaupt bei jeder auffallcllden Hontgenfarbe das V cl'hiiltnis zwischen del' in Form \"on Elcktronen Rnsgcstrahlten Energie 1I1H1

del' glcirhzcitigen sckundaren Rontgcnenerg-ie llalwzu konstant (unn. zwar nicht viel verschierlE'll von Eins). ttbel' die gcnauen Anfangsgeschwindi[l­keiten der abgctrenntcn Elcktronen herrscht l1(wh krine Ubereinstimmung. Sind die cmittierten Elektrol1cll dieselben, ViTelehe, wcnn :-:io zuriick-9tiirzen, die sekunc1il.rc Fluol'cszenzs:trahlung ]101'­

yorbringen unu dabei die Energ-ie hyo abgeben, so mii.Ote man ennnten. daB die glci('llC odrr eh\·lls g-l'oLkrc Eut'l'gie llotij:t bt. mn sic yom Atom 10s­zl1l'ciUen, daB sie abel' dann ohlle Geschwindig-keit llel)('n (lcm Atom liegell Lk.ihl'nt) nnd eY('ntuel1 II~H'h i·inigc·l' Zeit alle \\"iedcr zllrii('kstiir'7.l~n ki;n-11('11. Statt deSHen wird oeobachtet, daf3 sie mit EIH:'rgipll fo1'tfliegen, die Hicht prhehlieh kleiner aI" It. Y siud, W{) 'J dip p)'regende Liehtsc:lnvingllng'sl';tlhl i~t. J.aH al!';o 1111'0 Anffmg~gpschwindigkeit wedor = f1 llo('h eiwa ('im' Funkt.ion yon Yo i'lt, ~Inn hat. l''5 11i('1' offcnlml' mit cinem z\\(:'it.en Effd.;t. Zil t1111,

(It'l' steh wie,lor besondcrs gut nneh dC'l' Liehtquml­tPllhypothe;;.c llent.en Hint: Ein 'rei1 der llE'bC'll dl'll Atomen lieg'en hlC'iuenoell Iosgeli)stcll TIlek­tl'Ol)C'll wird 118Ch eiulg'er Zeit zurttekstiirzcn, pin i\mlol'C'l' Teil wil'd nH'llPl' von E'inem zweitE'll Licht­quantum "') getroffen 11n<1 fliegt mIl c1essen Kostell mil dee kindi:'l(~h(>n EIH'rg~ie ~ = h,) fOl't. ~atilJ'lidl j"t damit iiher riPll J\1pC'hanismu8 dC's ,rOl'~'llng:::; nil'ht das gering:;;te ansgt:'sagt,

§ 9. GallI, analog-e El'seheinungE'n findell skh WleUf'I' im GeLiet df's gl'wuhnli('}wll T~i('htg. DC'T .... il'lilhal't'll Fluol'l'H¥.l'TlzE'mission (~ 5) gC'ht cine Emission von Elektl'ollcH paral1el (T.,lchtclektl'i'3('lH'T E{fC'kl. J[rrJlll'{/(-lu.;, Ponl 1.111(1 Prinqshf'im). AllC'h

1) l)ir' (l}pktrolllagupti'wh bl'J"('('hud\' Kmft a11(,1' Y('lfiiglHll"l'U Li"htYHellt'Il reidlt nit'llt im ('lltfprnLel"ten ;llh. lim dllS Elektron .'!c(o)"t nil." dPlll .... \tomiIlIlP!'U Ilf'I'­

,\U"%Il!,pi(kn, Hondpl'll t','i kanll d,>ll kritL,,~hl:'ll Enp!',!.!ip-

1)('~rag' \'l'st dureil allma.h1i('hf' ~t('ig('rnng- f.,E'itlC'l' Am­pl11l1.1(' «rhn1tl'll. "V\.Ti'lln P" zllm I'r"tpllmnl dip kritiRPlw .\mpli1ndl'l!l'l'('idd h,11. 11<1j 1';0; (bhl'i Hlllliilll'J'll(l (11(' f:('­:.dl\l-illdigk(~it KnIt

14 ALFRED LANDE

22 Lande: Einigc neue Experimcntl' %111' Quantcnhypothese usw.

hiP]' lliing'L'Jl die Allfangsgcschwinuig'kcitcn dot' lichtelcktl'is('h(,ll }~l('ktl'oncn wesentlieh 'lOll del' Iluftrcffcn(]rll 8whwiug'Ullgszuhl 'J aLi mall find(·t I~~lll']"gi('\\'f'l'll', (lie entspl'cchend del' Stokesschc\Jl Hcg'd um cinigc Pl'ozC'ut hinter dcm quantcll­thcol'etlsc1iC'1l WcrL It· v luruekbleibcll (][U,q1irs, llic/tardson). Dabei hiiug't'll die Oesch1I)indi!J­h'itpll ON li('hte]f>ld"j<;('hC'n Elf'kh'onf'n nirht YOll

del' lnfensitrit des auffallcnoell Lidus ah, 1";011-

(1('1'11 uHrin yon sriner Farba 'I; nul' die Zahl d(\j' Pl'O Zl'itcinht>it ausg'f'sl1ndLen Elpktl'onell hangt Y(lll (kl' Tntf'llsitat ilb und ist ihr dirckt, prOI)()r­tional. Um die ~\rcl'k\\'iil'digkr'it del' lwi :lCIl

sekulluaren Katho(h'llstrahlcll und dem lichtC'j"'k­h'i3Chcll Effekt gl·1tendt'1l Ge-,;eLze zu erkenTIl~:l, wollen 'wir wieder itberlegon, was an ihrer Stelk nach mechanisch-elcktroIllHgnntischen Anschau­ungen ZU Cl'wartC'u i:-it, \\'{'l In , Wif) a]s festgestellt anr.unelllllcn ist, die li('lt1 l'l('kl ri:..;dlf~ Elektrollcn· {'llf'l'g-ie aus clem auffallenden Licht stallll11t. Nach g('wijlmI.ichen Vorstellullgen ,vircl dlls im Atom g'(']mIl(ll'IIC Elf'ktron rlul'ch dip 311-ffallcnden Licht-1\'(!1!en ill Rehwilll!:ungen gel'aten, d. h. Eneq.,de auffallgen, 7.ugleich ahel' s('lhst wieder aURstrah­]Oll, Die T.oslOsung aus dent Atom m()ge geschelBI1, wClln diu ElltfPl'nl1ng elps E]ektrol1s von seiner (lleichgcwi('htslage ei~en kl'itischen Betrag iibel'~ sC'hl'eitet oapr, was auf dasselbe hinau~komlDl, ",cun seine Encrgie einen gewissen "~ crt e(' 121'­

l'cieltt (clrssen Betl'ag nahe bei 11'J o liegen muD. wcil IIvll die bci del' I.ostrcnnung geleistetc Al'hcit dal'stdlt, § 6). Bci nngest(jrter Liehtanregltllg wiL'd sieh mit del' Zeit ('in dynmni<;ches Gleichgl'­",ii·ht zwischen Enefl:rieein- und -flu<;strnhlllng h0['­ste1lcn, so daJ3 (bs Elektl'oll s('hlieOii('h einc ~'I'­wis.3C Energ'ie E E'llthalt, derf'l1 Betl'ag mit nlm~h­mender In tellsiliit des el'regcnden Lichts beliebig YCl'kleincrt \\Tel'den kann. Dnrch gcnugende V(ll'­miJldcl'ung del' auffaIlcndcn Intcnsit~ft (Entfe'r­Ilung yon del' Lichtquel1e) kaull clahcr dieses ~ unter den kl'itischen 'Vert €e g'f'braeht werden, f':() dan das Elektron sich nie vom Atom losreil1cn "'ird. Die (·xpcrimentel1e Beobachtung des licht­f'lcktrischcIl Effekts geschieht aleI' gerade bei 1n­tCllsitaten. die unter del' Annahmc ;;'ormHler Aus­stl'ahlung theon'tisch bei weitem nicht .lUI' Er­l'l'ielul1lg del' kritisclwn Energie Ec .-....;h'l-!(I geniigen wiiruen. Saga)' WE'nn tlllgenommen wird. da.B nul' I~n('rgieeinstl'ahlung und keine Ausstl"ahlung des 'Elektrons vor1umden ist, wiil'de man die Ansamm­lUllgszeit del' Enf'rgie ec dadurch bei jedem Atom Lcliebig YE'l'liingern konnen! daB mall sehl' <;;('hwaches Licht aufstrahlt; hattf' dieses geniigend lunge g-ewirkt, so llliH3tc im sclbcn ~Ioment in nllen Atomen die Energieaufspeiehel'nng fel'tig sC'in und p16tzli(·h ans allen Trilliouen Atomen die Elektl'OllC'1l befreit ,wrr1ell. III 1Vil'kliehkeit beobachtet man abel' auch Lei selll' schwachcmLicht, daB schon nach unme13bal' kUl'zel' Zeit die Be­freiung einzelnpr Elektronf'tl stattfinr1pt, df!.rart, daD sich die eigentll(·1J am SchluP del' Auhpeiche­rUllg:'lzeit erwal'tc>te ]ichtelektrische Explosion

ftber die ganze Zeit gleichmii.Big yerte-ilt. Nehmeu wir 3Lo1' immcl'hin aUJ ein Elektron sC'i aus dC'll1 Atom ]>cfl'eit; dann wird cs nach del' Elektro­Il.Yltilillik unter clem };influ13 del' auftrpffen{j(·n \Vf'lle ') hin und h('r geschi.Htclt und wi I'd dabei E1Wl'gic aufnehmen und Qusstl'ahlcll. Dagegen ist ahsolut lIicht einzuRchcn. WiHum es pliltzlich gcran­lillig fortf1iE'gt, noeh dnzu mit einer Energie h· ". deren GroDe gar nicht von dl'l' Starke. sondern nul' yon del' Rchwing-ungszahl der auffallcuden Licht­w('lIe abhiingt. 'Vi1l lllan die Lichtquantenhypo­these, ,,{elche dic'scn El'sehC'inungcn g'crccht wird, nbf'l' mit andrl'n optischen Erfahrungrll l111V(>T~in­hal' schcint. vC'rmciden, so bleibt. nul' Ubrig, anzu­He-hmen, daB durch gcwisse unbekaunte Vorgiinge Jie gesamtc von den Trillioncn Atomen absol'­bicrte Lichtcnergic j(·dt';·zcit samtlichcn Atomr-D r.1l1' Ycrfiigung- '3teht 11l1J in cinzelncn 7,ufiillig le­~ondl'rs "di6ponicrten" Atomen zur AuslOsung go­langt und dort den lichtelektrischen Prozt'B IH~l'­,'orbringt. :Freilich spricht gegen rlipse Dispo:;:i­tiollshypothe.3e die Tatsache, daB auch in <lasen, bei dencn (lie einzelnen Atomo nul' verh~11tni8-

miiBig sclten in \Vechselwirkung tn'ten, ein 1irht­f'kktrischE'r Effekt vorhanden ist.

§ 10. Aus all em gellt henror. daB wir in den hcsprochcnen Quantenl' ff·l·:·:ten Erschcinungcn vor tlllS hahen, die del' Eiuurduung in Ullser elektro­magneti<;('hes \Veltbi1d yol1komlllcn widerstehen. Nun sind schon seit langere.r Zeit nnr]ere Tat­>.achcn bekannt, YOll dencn dassel be gilt. Rereits llic Exislclll. von Eld.troIJolI, in denen endliche I,adungcn unf engem TIauIn konzcntric.rt "ind. ohne daD dl'.fell enOl'me .'\LstoDungskrafte ZlU' Zel'­"pl'ellll'llllg' UPI' Ladllllg' fLihn'll, zeigt ft'emde \Vil'­kllllC'cn an, ... \"(·1c118 die C'lektrischen Kraftc allf­helwn. Yor nllem abel' dio Tatsachc, daB dio positiyen lind negatin"H Elementarladllng(,l1 Hm' in gam: 1cstimmtcll Konfigl1rationcll, die ,dr I'llemische Atome uennC'l1, vorkommcn, we1chc "jeh, wic {lil' ral]ioaki j, pn Prozesse ]phl'E'n, gpgell­';citig l'P)))'orJllzie1'8n, llnd rleren EigenschaftPll. quantE'llhafte I~kl1t- llltcl Elektronenemission, sidt clektl'umagnetisch nicht erkHiren lassen, deutet auf VOl'giingc hin, Yon deren ,,)IeC'hanismus" ,viI" uns auch nicht den al1crgering8ten Degri-ff maclU'1l ki-innell. Das rinzige.-was ,dl' yon ilmcn \\'i"Sl'II. i::-t, soweit rein pel'iodische PruZt;S~:' mit eiller wohl(lefiniel'tcn 8C'1l\vingungszahl 'Y in Bf'­tl'acht kommell, die Giiltigkeit des PJan('ksc.i. 'n W'il'kungsg'e'lf'tz('s E = h· v. E-s wurde oft diskutiert, ob das \Vil'kungsgesetz in cineI' Eigensclw.ft Q(>f ~-\tOIllf' beruLt odeI' b('l'eit'l dem Vflku11m ZtlZU­

schreiben ist. Demgegeniiber hat A. Sommer­feld da;;;; Pl'ogramm aufgestcllt, umaekchl't ;)11<:;

t1L'r OU1tigk('it des QuantengcsctzC'l clas Dasein tl0l' ('hf'llli<wlH'n Atollle hpgl'cifell Zll 1(,1"Ilen.

Literatur. Bwtly, 1'1'1)1.', Huy. Sot'., .11 ,s?, ,iiI. lOlL /J(/I'kla. lllHI Sadler, Phil. l\Iag. 16, 5;;0, HlUS. Bohr, Phil. Mag . .'26, 1, 1!)12. EhIlJ/ci1l, ~\ntl. 11. ]}lIy-... 17, 12.2, 1D05.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Buder: Chimaren und Pfropfmischlingc.

F}'(f.Ilck 1I1H1 Ilcrlz, YerIl. d. deutsclen Phys. Ges. 1.'1, 967, HJ11; 15, 34, HJ13; 16, 457, 1914; la, 012, 11)14.

Hughes, Phil. Mag. 2:;, 683, 1913. J{o8c1cy nnd iJandn, Phil. Mag, 26, 10~4, 1!H3;

,'!,', 703, 1914. IJ('.)lard, Heiilellwrger Akademie 1912-1914. Richardson, Phil. Mag. 26, 549, 1913. J. Stark, Phys. Ztschr. 8, 881, 1007; 11" 562, H113;

//,, 961, 1013. Wood, Phys. Zbchr. 6, 003. 1905; 10, 42:). lUO!);

10,466, 1!.I09; 1:1,353, 1012; 1.1, 177, 1912; 13, I1S9, l!JU.

WhirltliJll1'on, Pmc. Roy. SO{', A 86, 370. 1912. l1azlt folg-endc Biichcr, in uellen sich vide weitere

Lih\rn,tnr findet: ](urH!YI, Da~ Lpllcht.en dpf Gase und Dampfe, SfLITl!U-

11ln~ ,,'ViRR~nRcllaft," Nr. ·HI. Pla11ck, Vorlesungf'll ii1wr \Varme-strahlung, 2. Aun.

1f11:1. PaM, Die Physik (lp1' Rontgpnstrahlen, Sammlnng

.,\Yi!';semellaft" Nr. 4;). Pald und Prings1icim, Die lirhtplekt!ischell En;clH'l­

Hllngf'B, Vieweg, 1914. Stark, J~lektri'1cllr Sprktrfll:ln:llyse cherni:::cher

.\tOIllt', PIIY.'likalisdw Bibliothek Xr. 1, 8. IIirZf·l, 1914.

15

23

16 PAPER 6

Ober ein Paradoxon der Optik.

Von A. Lande.

Ein bekanntes Paradoxon der Optik lautet falgendermaBen 1): Jeder ebene Lichtimpuls von beliebiger Form HiBt sich nach Fourier auf· fassen als Vberlagerung unendlich vieler reincr Sinuswellen mit verschicdenen vVellenHingen i .. ,\11 Stellen des Raumes, bis zu denen der Im­puIs uoeh nieht gelangt ist, heben sich durch Interferenz die samtlichen endlosen Sinuswellen grade gegenseitig auf. Stcllt man abeT in den Weg des Impulses eine farbenzerstreuellde Vor­richtung (Prisma, Beugungsgitter), 50 wird diese als harmonischer Analysator cine riiumlichc TrcnntIng der cinzclnen endloscn Sinus wellen, ein Spcktrum, hervorbringcn, so daB cine gegen-­scitige Vernichtung nicht mchr stattfindcn kann. "Daraus folgt, daB die Lichtintcnsitat an jcdem Pllnkt des Spcktrums unabhiingig von der Zeit sein 1llufi, weil jede einzclne harmonische Kom­ponente eine konstantc Amplitude besitzt. Daher muLl jede Lichtquelle, glc-ichgiiltig ob sic aus­ge10scht ist oder ob sic lcuchtet, ein Spektrum von unveranderlicher Starke gcben(2). Die Anwen­dung dieser Uberlegungcn auE die Thcorie der Interferenz fiihrte zu deT Anschauung, daB:') .. die RegelmaBigkeit der Lichtschwingungcn, die durch die Beobachtungen von Fizeau 11ml Foucault nachgcwicsen wurde. keine Eigenschaft cler wirkIichen Lichtbewegung sei. sand ern erst durch den SpektraJapparat

. I) V;:.::-l. die Darstellung bei Wood, Physical Optics, I\.<lp. 23:.

2) lTbcrsctzt nach Gouy, C. R. 120, 916, 1895; vgJ. rerner Gouy, Journ. de I'hys. 5, 354, 1886; Schuster, Phil. Mag. 1894, S. 509; l'oin~arc, Co R.120, 757,1895,

3) Schuster, C. R. 120 q89, IS95i Lord Ray­Jeigh, Sc.:ieutific Papers Vol. 111, s. 47.

Reprinted from Phys. Z. 16,201-204 (1915).

hervorgebracht" werde 1). Deshalb sei "die Zahl deT beobacbtbaren Banden (in den Inter­ferenzversuchen von Fizeau und Michelson) allein durch die auflo.ende Kraft des Spektro­skops f,egrenzt, beweise abeT nichts iiber die RegelmiiLligkeit der Scbwingungen im ursprting­lichen Licht"').

Urn das erwahnte Paradoxon Zll lasen und auch seine F olgerungen zu revidieren, ist es vielleicht von Interesse, den zeitlichen Ablauf der Licbtzerstreuung eines ebenen \Vellenzuges von endlicher Breite exakt zu untersucben. Urn frei von speziellen Mate­rialkonstanten dispergierender Substanzen Zll

bleiben, soli dcrVorgang der I3eugung am Rande einer vollkommen spiegelnden Halbebene betrach­tet werden, der sich mit den von A. Sommer­feld gegebenen Methoden 3) exakt bebandeln bB!_ Ais HauptrcslIitatc der Untersucbung werden wir Hnden:

I. Es gclangt an keinc Stelle des Raumes cine Lichterregung, bevor nieht die zur Aus­breitllng mit normalcr Lichtgcschwindigkeitc urn die Schirmkante bcrum notige Zeit abgelaufen is!.

2. Ein ebcner\Vellenzug, der aus lV\Vellcn}. besteht, zeigt im Beugungsbild n 1I r die N beUen und N dunkeln Streifen der N niedrigsten Ordnungen. Die Beobacbtungs­dauer eines Streifens p ter Ordnung sinkt, von

d W NA b - _. -em normalen ert c Cl medngstem p, mIt

wachsemler Ordnung linear auf die Beobachtungs­dauer Null beim letzten Streifen N ter Ordnung.

I) e-bcrselzt nach Schuster, C. R. 120, 989, 1895. 2) Obersetzt nach Rayleigll, 1. c. s. 60. 3) A. Sommerfeld, Mathematische Thcorie der

Piffraktion, Math. Ann. 47, 3T7, 1896 (zitiert als S, r): lJerselbe, Theoretisches liber die Beugung der Rontgen­strahlen, Zcitschr. f. Math. u. Phys. 46. II, 1901 (So II)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Lande, Dber ein Paradoxon der Optik. Physik. Zeitsehr. XVI, 191;.

3. Die Streifen stellen sieh nieht plbtzlich in ihrer vallen Intensitatsstarke her und verlosehen nieht pliitzlieh, sondern durehlaufen einen An· klingungs· bzw. einen Abklingungszu· stand. Jedaeh erreicht das Beugungsbild be· reits nach Verlauf einer einzigen Lichtperiode naeh Beginn der Anklingung in groBer An· naherung die stationare Lichtstarke, und sinkt in einer gleiehen Zeit naeh Beginn der A b klingung auf eine Intensitat herab, die gegen die statio· nare Liehtstarke praktiseh zu vernaehlassigen ist.

4. Aueh bei unendlieh lange andauernder Beleuchtung wird man dan n nur die 1\7 ersten Ordnungen beobaehten, wenn die ankommende Erregung aus SinusweUen besteht, welche nach je N.Perioden unregelmaBig' ihre Phase weehseln (Spektrallinie). Vergliehen mit der normalen In· tensitatsverteilung bei ganllich fehlenden Phasen· weehseln wird dabei das Bild der hellen und dunklen Strcifen urn so verschwommener, ZU

je hbherer Ordnung man fortschreitet, urn in der N ten und in allen hoheren Ordnungen gaoz Zll verschwinden.

Diese Resultate werden auf folgende Weise gc,,'onnen 1):

I. Nach Sommerfelds exakter Losung des Ileugungsproblems') gibt cine unendlich lange andauerndc cbne Erregung rein periodischer Well,en, welche aus dem Unendlichen der posi· tiven x-Achse herkommt und an einer voll­kammen spiegelnden Halbebene X = 0, y < ° gebeugt wird, im "unbeschatteten" Raum y > 0

(Figur) Maxima und Minima auf den Zylinder· paraboloidcn

2:" (x + r) o::r (" + 3 ), (n~. 0, I. 2,3 .. ), (I) ~ '4

wobci die Elltferllung r von der Schirmkantc x :.::-.: y 0 gercchnet wird. Die Schnitte einiger dieser Paraboloide mit der xy~Ebenc sind in der Figur pimktiert eingezeichnet. Den geraden Zahlen n entsprechen die Maxima, den UD'

geraden die Minima. Ihre Entstehung wird da­durch klar, daB Sommerfelds Lasung im "Ull­

beschattctcn Raum" y..:t"o sich auffassen HH)t als Gberlagerung E + C cbuer Wellen

E o.~~ sin 2.J< (et + x), I.

und Zylinderwellen

(2)

C._.A«(,r)Sin[2.Jr (cl.-r)+ .P]. (3) ). 4

E hat die Form ankommender ebuer Wellen. C stellt Zylinderwellen dar, welche von der

I) llic illl:'lliihrlidH.: Ableitullg del' RC:'lullate IJach tkn c:-.akkn So III iUcr re! ibclll'll l\letholil'\1 \\inl spiiter ]luhli­,dert werden .

.!) Somlllcrll'iLi 1.

Sehirmkante x = y = 0 radial auszugehen schei· nen. Ihre Amplitude Ai., r) hangt ab vom Ort (r, rp) des Aufpunktes, in welcher die Licht· erregung E + C beobaehtet wird.

1m "Schattenraumr'-Quadranten x < 0, 'V < ° bestehen allein die Zylinderwellen C, so daB eine durch A tr, p) bestimmte und lwar monotone In· tensitatsabnahme von der Grenze des geometri­schen Schattens (y = 0, x<o) bis zur Schirrnriick· seite stattfindet.

1m "Reflexionsraum" x> 0, :v < 0 besteht die Erregung E + C + E R, wabei:

E" o' sill 2:7 (et-x) ).

reflektierte ebene Wellen darstellt.

II. Eine lweite Arbeit von Sommerfeld') bchandclt die Beugung dDes aus dem Un end· lichen der positiven x-Achse kommenden 1m· pulses der endliehen Breite 2 B. In groBer Ent· fernung x> 0 vom Schirm \Vird der heran­kommende Impuls dargestellt dureh

/(ct+x) fiir Argumente cl+x)<B 1 ()

bzw. ° " " ict+x:>BI 4

Der Impuls eilt mit Lichtgeschwindigkeit c auf den Schirm x = 0 zu. Seine Front erreicht den Schirm im Moment ct = - B; wtirde der Schirm die Lichtausbreitung Dlcht storen, so wiirde der Impuls im Moment ct ~., + B dell Schirm ganz tiberstrichen haben, urn dann nach (- x) hin weiter zu eilen. In Wirklichkeit be· ginnt aber im Moment ct = - B der Bcugungs· vorgang: Der ankomrnende ebene Impuls wird von der "Schattengrenze" y ~---=- 01 X < 0 in zwei Tcile zerschnitten (FiRur). Ocr Teil 'V> 0

wandert aIs cbener Impuls .

I) Sommerfelrl 11.

17

18 ALFRED LANDE

Physik. Zcitschr. XVI, Il)I5. Lande, Vbcr cin Paradoxon der Optik.

a) 10" f (et + x) Wr Argumente . _ I Ict+ ,t!<-BJ (5)

b) E' = 0 ftir Argumcnte ct + X ;,""" B jill "unbcschatteten" Raum y> 0 ungestort weiter. Der Teil 'V < 0 wird am Schirm x=-=.... 0, y < 0 nach 'dell Gcsetzcn der geomC'­trischcn Optik rcflektiert als cbener Impuls

a) E// ~ f (et - x) hir Argumente I et--xi<B (6)

b) EI/ --= 0 fiir Argumente ct -:t I > BJ AuBcrdcm hcginnt abel' yom l\Ioment ct = - n an radial von def Schirmkanlc aus ein Zylin-derimpuls

a;' C' -'-' g (et -1') ftir Argumcnte -B<et-r<+B

b) C' == h(ct-r) filr Argumentc +R<ct-r<cxc

c') C' =-- 0 flir Argumente -,,<et-r<-B

auszugehcn. In der Figur ,ind gcmiil3 (5), (Il), (7) die Gel·

lungsbcreiche der Erregungcn j, g, h in del' xy-Ebene eingezeichncl, ni:lmlich folgendermaticn:

In dem durch Ebencn begrenzten Gebiet -ct- B<x.z.. --ct+ B

helTscht, soweit es nicht im Schatten­raum \'erhiuft~ die Lichtcrregung

E'-o f (et + x).

(;'a)

IJieses Gebiet geht mit Lichtgeschwindigkeit c in Richtung der negativen x-Achsc \veiter.

In clem ebenen Gebiet I- cl-B<x< + (/ -I- B

herrscht, !:ioweit es im Rcflcxionsraum \'crEtuft, die Erregung

E/ ~! (el - x).

I (6'al

I Dieses Gebiet wandert in RichtllUg der positiven x·Achse weiter.

In clem Zylindcrringgcbiet ct-B<r<ct+R

hcrrscht fUr r> 0 die Erregung C-g(ct-r).

Dicses Gcbiet eilt mit Lichtgcschwindigkeit radial von der Schirmkante fort

In dem Zylindergebiet 0<1<el-8

herrscht die Erregung C c= h(et-r).

Dcr Radius dieses Zylindergebietes \v3.cilst mit Lichtgeschwindigkeit.

111 allen ubrigen Gcbicten der .:rv-Ebcne ist in dem betrachteten Zeitpunkt kein~ Licht· errcgung vorhanden.

Dort, wo sich das Zylinderringgebiet (7'0) mit dem ebencn Gcbiet (5' a) i.i b erd ec k t, herrscht als gesamte Lichterregung

E' + C' ~ j let + x) + g (et - r). (8)

Das Dberdeckungsgebid wird begrenzt dUTch die aul3ere Flache r 0= et + B des Zylinderringes (/ a) und durch die Ruckseite x ~ - ct + B des ebenen Gebiets (s' a). Wahrend diese beiden GrenzfHichen im Raum fortwandern, bewegt sich ihre Schnittgerade auf dem ebenen Paraboloid

x + r ~ 2 B. (8') Der behandelte lmpuls bestehc nun in einem

Zeitpunkt c t < - B, wenn seine Front den Schirm noeh nicht errei.cht hat, aus N reinen Sinusperiodcn der vVcllenUinge ). von der Gesamtbreitc 2 B = N i .. d. h. es sci in (4) speziell

Dann laBt sich mit Bilfe der exakten Sommer­f eldschen Methoden ableiten, daB die Funktion C' = g(et-·r) in ihrem GUltigkeitsbereich (7'a) grol3e Ahnlichkeit mit der in (3) vorkommenden Funktion

r2~7 3.7Tl C=A1",,)sinl;. (ct-r)+ +1 (3)

hat; und lwar unterscheidet sieh C' in einem festen Punkt (xy) urn so weniger von C, je bngere Zeit der Punkt (X 1'1 in dem sich be· \vegenden Ringgebiet (7'a) hcreits licgt. Der Cbcrgang von C' in C, die Anklingung, wird vollendet in groBer Annaherung bereits etwa

cine Lichtperiode T -- !~- nach dem Eintritt des e

iesten Punktes IX \') durch die auGere Zylindcr. fbehe }' - c t + B in das lnnere des Ring­gebietes. Daher darf C = g (et - r). abge· sehen von einem schmalen Anklingungsgebiet nahe dem aufiercn Ringrand, iiberall dUTch C ersetzt ,verden. Es treten also durch Inter­fcrenz von E' und C' Maxima uml I\'Iinima an den gleichcn Stcllcn (Paraboloiden) auf~ die in (1) angcgeben wurden, soweit diese Para­boloicle in dem Cberdcckungsgebiet \'er­laufen. Da das Dberdeckungsgebiet durch das mit (11 konfokale und koaxiale Paraboloid (8')

x + r = N i. (8") b~grcnzt ist, kommen fur Ivlaxima und I\Iinima nur diejenigen Paraboloide (I)

-,+r=n+ 3 !:.,(n~0,I,2 .. ) (I) , 4 2

in Betracht, welche innerhalb (8') verIaufen. Ihre Anzahl ist 2N. D. h., man beobachtet nur N helle und N dunkIe Streifen, ent· sprechend den gcraden und den ungeraden

Zahlcnwerten von n< z;.Y 3

~ namlich

1l=O, 2, -1- .. 2]\7.--2, hzw. Il=I, 3· 5 2N·- I.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

4 Lande, Dber ein Paradoxon cleT Optik. Physik. Zeitschr. X\"J, 1915.

Die Beoblchtuogsdauer des Streifens mit der Zahl n auf einer in den Beugungsraum gestell­ten Platte berechnet sich zu

apparat cntwirft; wihrend namlich das Fourier­spektrum aus zeitlich unbegrenzt andauernden \Vellen aIler verschiedenen Farben besteht, wird, jedenfalls am Rande einer Halbebene, ~eine Er-

(10) scheinung beobachtet, welche identisch ist mit dem liberal! gleich gefirbten Beugungsbild, das auch eine unbegrenzte Welle derselben Periode erzeugen wiirde. Der einzige Unterschied zwi­schen abgcbrochcner und unbegrenzter \Velle

Von dieser Zeit Til ist aber ooeh ein Hir aile Il gleich groBer Zeitbetrag der ungefahren GroBe

T -= ·2 ist, was die Beobachtung betrifft, all der Halbcbcne nur die yerschiedene Dauer des

fUr den Anklingungsyorgang abzurechnen, sonst gleichcn Beugungsbildes. DaB die scharfen so daB der letzte dunkle und helle Streifen I Linien bei einem stark auflosenden Gitter mit nicht mchr deutlich zum Vorschein kommen abnehmender Lange des auftreffenden \\rellen-wird. zuge" venvischt werden, liegt nicht darall, daB

Dcm AnklingungsproLcJ3 enlspricht im Gebict das Fourierspcktrum des \Vellenzuges sich r<ct ~ B ein Ab klingungsvorg-ang. Es wird verbreitert, sondern ist darauf zuruckzufUhren, namlich in einem festen Punkt (xy) noeh beliebig daB jene Scharfe durch das 2usammenwirken lange Zeit, nachdem der 2ylindcrring iiber ihn vieler riumlich getrennter Stellen (Gitterstriche) himveggegangen ist, cine Lichterregung (7'b) des beugenden Apparates zustande kommt, daB Cf =-= h (ct - r) angetroffen. Jedoch zeigt die abel' bei kUl'zer Dauer die \\"irkung der einzel-l\.echnung, daB h (ct ~ r) bereits Ibis 2 Period en nen Gitterstriche nicht im selben l\Toment an nach dem Eintritt des Punktes (x y) in das Ge- der Beohachtungsstel1c Zllr Geltung kommen biet r < ct ~ Beine Intensitat erhalt, welche I kann, daB also sOlusagen die Auflosungskraft gegen den stationiren Illtensit;itswert iIll Ring- I des Apparatcs hcrabgesetzt iSt,l) Die Yerhiilt-gebict Zll vernachUissigen ist. nisse, \venn der abgebrochene Impuls nicht

Das Rcsultat 4 tiber die labl der M 'xima aus Sinuswellcn bC'5tE'ht) sondern irgend cine und :\'finima bei ul1endlich langcn \\'ellen- andere Form hat) sind 5ehr komplizicrt; jeden-l.\.igen mit Phasenwechscln erg-ibt sich ohne falls hat das dann beobachtete farbige Spcktrum wcitcres mit Hilfc \'on \\'ahrscheinlichkeits· I nichts oder doch nur indirekt et\vas mit clem betrachtungen. F 0 II ri er~pcktrllm des ]mpulses zu tun.

Un sere Ergebnisse gestatten, einige bekanntc I Cberhaupt ist das eingangs erw~ihnte Para-Gbcrlcgungen tiber den Beg-riff der spektralcn doxoo auf cine Verwcchs]ung von Fot! ricl'-I.crlegung zu crganzen. Ein \Vellcnzug von spektrum LInd beobaclltbareffi Spektrullllufi.ick-n Sinusperiodcn bBt sich zwar formal nach dem zllfuhrcn. Fourierschcn Lchrsatz als ein "Spektrum" auf- -------tassen. Die:;,es Fourierspektrum hat aber nichts zu I) C'-'nclil.t;rC~ wird dC:lnn:ichst nublizier\. tun mit clem wirklich beobachtctcn Spektrum, das Gottingen, April 19 1 5. der ahgcbrochcnc \Yellenzug in eiocm llcugungs- !

(1~illgegangen 21. .\pri[ lIJI5.}

19

20 PAPERS

89

3. Die .A.b~iJ,hlung de,. FreiheUsgrade in eifter Elektronen'Wolke (Sflrahlender Kih'per);

von ..d. Lande.

Inhalt: I. Teil. § 1. Die Fouriersche Reihe. § 2. Die Frei· heitsgra.de des Hohlraumes. - II. Teil. § 3. Schwankungen der spek. tralen Intensitatsverteilung. § 4. Raumliche Intensitatsschwnnkungpn. - Zusammenfassung.

L Tell.

Die Strahlung in einem nach aul3en abgeschlQssenen Raum lal3t sich auf verschiedene Weise analysieren. J. H. Jeansl) lOst sie in lauter Eigenschwingungen auf, von denen jede den ganzen abgeschlossenen Raum durchsetzt. Als Zahl del' Eigen· schwingungen im Volumen V und im Intervall d'll findet Jeans

(1)

(Zahl del' Freiheitsgrade). M. v. Laue 2) baut die Strahlung aus lauter schmalen Bundeln von endlicher Lange auf; jedes Bundel wird im Intervall d'll durch eine bestimmte Zahl von Angaben (Koeffizienten einer Fourierschen Reihe) beschrieben. Durch Summation uber aIle in V moglichen Biindel gelangt v. Laue dann ebenfalls zu del' J eansschen Zahl (1) del' Frei· heitsgrade.

Bedenkt man nun, da.6 die Strahlung ihren Ursprung in leuchtenden Quellen im Innern oder an den Wanden des Hohlraumes hat, so ist dieses Resultat zunachst uberraschend. Da namlich; unabhangig vom Voluminhalt V, del' Strahlungs· zustand an jedem Punkt des Hohlraumes durch die retar' cliel'ten Potentiale der N Quellen bestimmt ist, so sollte d Z nicht proportional dem Voluminhalt V, sondern pro· portional del' Quellenzahl N sein. Diesel' Widerspruch mit dem Jeansschen Ergebnis wurde seinerzeit als Grund fUr die Abweichung der J eansschen Strahlnngsformel von del'

1) J. H. Jeans, Phil. Mag. 10. p. 91. 1905. 2) M. v. Laue, Ann. d. Phys. 44. p. 1197. 1914.

Reprinted from Ann. Phys. (Leipzig) SO, 89-105 (1916).

SELECTED SCmNTIFIC PAPERS

90 A. Lande.

Erfahrung hingestellt. Naeh W. Ritzl) soHen namlieh aus allen iiberhaupt mogliehen Losungen der Maxwellsehen Gleiehungen nur diejenigen in Wirkliehkeit zulassig sein, die sieh auf retardierte Potentiale strahlencler QueHen zmiiek­fiihren lassen, was fiir die Gesamtheit der Jeanssehen Eigensehwingungen nieht zutreffe. Daher stellten letztere eine zu groEe Mannigfaltigkeit von Losungm der Maxwellsehen Gleichungen dar, und die Zahl der Freiheitsgrade sei in Wirklichkeit von (1) abweichend. Entgegen dieser Auf­fassung wollen wir im Folgenden naehweisen, dafr sieh (als Gegenstiick zur Auflosung in Jeanssche Eigenschwingungen und Lauesche StraWenbiindel) die Strahlung in V aueh drekt aus retardierten Potentialen von N belie big verteilten Oszillatoren ableiten latlt und dabei cloch wieder genau die .Jeanssche Zahl (1) herauskommt, also Unabhangigkeit von N, Proportionalitat mit V. Wir zeigen namlieh, dati eine grotle Zahl von Freiheitsgraden nur verschwindende Energien tragen und dadurch von vornherein ausseheiden, wahrend die Energien anderer Freiheitsgrade ihr Nichtverschwinden Cler Existenz von Oszillatoren an einer bestimrden zugeord­neten Stelle (ies Raumes verdanken, woiureh die Propor­tionalitat von dZ ncit dem Voluminhalt V verstandlich wird.

§ 1. Die Fouriersche Reihe.

In dem Hohlraum V mogen N Oszillatoren ilgenawJe verteilt sein. Die Emissionsbewegung des uten Oszillators denken wir uns harmonisch mit unendlich langeI' Grund­periode (Fouriersches Integral) aufge16st zu

00

Ja"(v)e-2i,,vtdv [aJv) komplex]. o

Dann beobachtet man in einem Punkt PEq auf einer den Hohl­raum durchsetzenclen ~ l]-Ebene die zur Schwingungszahl v gehorige harmonische Komponente

(2)

1) W. Ritz, Physik. ZeitEchr. 9. p. 903. 1908. Vg\. ferner A. Ein­stein, \. c. 10. p. 185. 1909; W. Ritz, 10. p.224. 1909; A. Einstein 11. W. Ritz, 10. p. 323. 1909.

21

22 ALFRED LAND~

Abziihlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke" 91

falls c. den Richtungskosinus zwischen Schwingungs- und beobachteter Polarisationsrichtung angibt. Die Funktion A ('II, ;, 'YJ) entwickeln wir liber einem Farbenintervall

LI" b" Llv Vo - 2" IS Vo +2"

und libel' einem l'echteckigen Gebiet LI f = LI ;. LI 'YJ

LI~ b" LI~ d LlTf b" LlTf So - 2" IS SO + 2" un 1Jo - 2" IS 1Jo + ""2

zu del' Fourierschen Reihe

(3) -00 -00 -00

wobei der Fourierkoeffizient G81'Q den Wert erhii.lt:

f ;Iv dE .1'1 _ 1 '0+2 .0+"2 '10+"2

~ G81'Q - Lld~LlTfJ dv J dS J d1J (4) dv M d'l

I "o-:r ':0-"2 '10-2"

" (" -"0 '-'0 11-'10) l X A(v,S,1J)e- 2", 'J;"""a+~I'+~Q •

1m Exponenten von (2) kOnnen wir schreiben

(5) THOq = I". + (S - So) «K + (1J - 1JO){JH

falls rH die Entfernung des "ten Oszillators von der Mitte von LI f angibt, und wenn aN und PH die Richtungskosinusse der Verbindungen des Oszillators mit zwei anderen auf LI f liegenden Punkten sind, die um so naher von del' Mitte liegen, je kleiner die Ausn:essungen von LI f gegen rN sind" Dann wird aus (4) bei Einsetzung von (2), (5)

I G.pq = ~ LIE J~Llvf aH ('II)dv J d sJ d1J

1 _2in(V-vOs+vt_2:.r) _2i:nE-~o(p_a~) (6) X __ • e d v , • • e d • H ,

rK ;:1J _ 2i,,'1-7]0 (q_p v d '1)

• e .d'1 H c

1m Nenner setzen wir statt der mit ; 'YJ veranderlichen GroBe rH<'J eine mittlere Entfernung r;: des "ten Oszillators von den

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

92 A. Lande.

Punkten des Flachenelementes L1 t vor das Integralzeichen, ebenso statt der mit 'P veranderlichen Gr0.6e a" ('P) eine mitt­lere Gro.Be a,,? In den Exponenten kann statt der mit L1 ~ bzw. L1n multiplizierten Varia bIen 'P ein mittlerer konstanter Wert gesetzt werden. Dadurch wird

it,· "0+""2 1'-1') A,.

~a c -2i""0(/-r Ie) 1 fd -2i"y (,+I A r---" ) G ~ H~ eX. - 'Ve l' C x spq r L/p

x Jv 1'0-"""2

oder nach Ausfiihrung der Integrationen

(7) G,p q = ~ M(,,) X cp ('" s) X X ('" p) X 1/1('" q),

worin die Faktoren fP, X' 'IjJ die Form sin":,, haben. Zu diesem Ausdruck G,pg tragt jeder Oszillator u mit einem

Glied M" bei, welches Il-och mit den yom Index 8 p q ab­hangenden Faktoren fP •• X"p 'IjJ"q multipliziert ist. Um G s". zu diskutieren, wollen wir den ganzen Raum um das Flachen­element L1 ~ L1n herum d urch die

( Kugelschar r(s) = ~ s + c t I L/p

(8) ~ und die heiden

l Kegelscharen a(p) = ~ p Riq) = _0_ q pL/~ 'v' pL/'I

(s, p, q = 0, ± 1, ± 2 .. ± (0),

in Pilcher einteilen, welche um so kleiner ausfallen, je gro.Ber L1 t', L1 ~ und L1n sind. An jed8r Ecke eines Faches sto.6en drei

23

24 ALFRED LANDE

Abziihlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke. 93

der Flachen (8) zusammen, so daB die Fachecken ein System von Gitterpunkten s p q bilden und zu jedem Gitterpunkt s p q ein Gsv• gehOrt. Mit Bezug auf einen Oszillator " mit den Raumkoordinaten rx ax f3x lassen sich die Gitterpunkte s p q ordnen in Schalen, welche den Os zilla tor " umge ben: Die erste Schale besteht aus 23 Gitterpunkten, namlich den acht Ecken des den Oszillator selbst enthaltenden Faches; die zweite Schale besteht aus 43 _23, die dritte Schale aus 63 - (43 -23)

Gitterpunkten usw. Der Beitrag Mx CPxs Xxp 1jJxq des "ten Oszillators zu einem Gspq ist nun um so kleiner, je graBer die Nenner

s+tLlv_Av,. eX'

/' L1; v L1 ~ P - -e-ax' q - e fix'

yon cP X 1jJ sind. Der Oszillator " tragt also am meisten zu denjenigen GsP• bei, (lie zu den 8 Gitterpunkten der ersien Schale geharen, und sein Beitrag zu einem andel'en Gspq ist um so kleiner, je graBer die Zahl der zwischen dem Punkt s p q und dem Os zilla tor gelegenen Schalen ist. Der Beitrag Mx ({Jxs Xxp1jJx. der Gitterpunkte, welche die mte den Oszilla­tor " umgebende Schale bilden, sinkt mit wachsendem m unter jede beliebige Grenze. VergraBert man andererseits Ll 1', Ll ~, Ll1) hinreichend, so wird das N etzwerk der Gitterpunkte engmaschiger. Dabei bleibt zwar die Anzahl der zu betracht­lichen Gspq AnlaB gebenden Gitterpunkte unverandert; da­gegen wird das Raumgebiet, in welchem die wesentlich bei­tragenden Gitterpunkte liegen, beliebig nahe an den Oszil­lator herangedrangt; d. h. die Einfluf3sphiire jedes Oszilla­tors auf die GsP• laBt sich durch VergraBerung von Ll 1', Ll~, Ll1) riiumlich belie big verkleinern, wahrend die Zahl der in der EinfluBsphare liegenden Gitterpunkte unverandert bleibt. Liegen nun Oszillatoren in einem gegebenen Volumelement r bis r + dr, a bis a + da, f3 bis f3 + df3

(9) d V = r d r d Q = r d 1· d a d/j{J (y = COS 6) , COI:3

so sind die in d V liegenden Gitterpunkte s p q eingeschlossen in den Grenzen:

I -t LI v + A v r < s < - t LI v + A" (T + d r) , '10) e e \ d;a<p<vAl(u+da), vAll{J<q<"A'7({I+d{l),

c c r: c

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

94 A. Lande.

und man hat innerhalb dV im ganzen

(11) Llz = LIP dr Pj ~ d a' pj1J dfJ = ~,dr Ll '/I Llfd Q cose, c c c (;'

Gittcrpunkte s p q. Dureh VergroBerur:g von dV odn von LlvLlf, d. h. aurch VergriiBf>rung von LIz, H1Bt sich nun e1'­reichen, daB das Gebiet, welches von cien EinfiuBspharen der in d V liegenden Oszillatoffn eingmon;lI'ED wid, relativ belie big wenig liber den Rand von dV hinausJagt. Behauptet n'.an also, daB die GsP • aZZer auBerhalb d V liegenden Gitter­punkte s p q von allen innerhalb dV liegenden Oszillatoren " vf>rschwindend kleine Beitrage Mn fPns Xnp 1Jin. erhalten, so begeht man einen urn so kleineren relativen Fehler, je kleiner die EinfluBspharen der einzelnen Oszillatoren im VerhaltLis zu dem ganzen den Oszillatoren zur Verfiigung stehenaen Raum dV sind, d. h. je groBer die Zahl LIz (11) gegen Eins wird.

Sind also Os zilla tor en nur innerhalb d V vorhanden, so werden im Grenzfall

(12)

aile GsP.' die zu auBerhalb d V gelegenen Gitterpunkten s p q gehoren, von vornherein verschwiIlllen. Ubrig bleiben nur die LI z GsP• - Werte, deren Gitterpunkte innerhalb d V liegcn, ueren s p q also in den Intervallen (10) eingeschlossen sind. Man hat also das Resultat:

Die in einem Volumteil dV = r dr dQ verteilten Oszi1-latoren bringen auf einem unter dem Einfallswinkel e ge­legenen Flachenstiick LI t im FarbenintervaU LI jJ eine Licht­erregung hervor, die wegen (10) beschrieben wird dureh hiiehstens

(13) p2

Ll z = f.:8 L1 f Ll v d r d Q cos e (flllls Ll z > 1).

nieht versehwindende ]'ourier koeffizientEn Gspo' wahrend ciie iibrigen GsP • von vornherein versehwinden, unabhangig ven cler Zahl der in dem Volumteil enthaltenen Oszillatoren. -Jedes von Null verschiedene G. pq verdankt sein Nichtver­sehwinden der Existenz von OsziJlatoren in einer bestimmtm Raumgegend; es tragen namlieh aIle die Oszillatoren " zu dem betreffenden G'Vq merklieh bei, deren EinfluBspharen den Gitter­punkt s p q enthalten.

25

26 ALFRED LANDE

Abzahlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke. 95

§ 2. Die Freiheitsgrade des Hohlraums.

Hat man Ieuchtende Oszillatoren in mehreren VolumteiIen, 80 setzt sich Gs.,. (7') einfach additiv aus den Beitragen der einzelnen Volumteile zusammen, und es verschwinden wieder aIle die GsP • von vornherein, deren Gitterpunkte s p q auilel­halb des von Oszillatoren eingenommenen Gebietes V Iiegen. Dadurch ist der Strahlungszustand in den Intervallen L1 I, L1 }' auf Emissionen von Oszillatoren zuriickgefiihrt (an Stelle del' Zuruckfiihrung auf Eigensehwingungen des Hohlra un:.es [ J e a ns ] odeI' auf Strahlenbumiel [v, Laue]), und die Zahl der Be­stimmungsstiieke cler Strahlung auf L1 f, ,111 Uir:gt nieht yon cler Zahl cler Oszillatoren ab, sonaern von dem Voluminhalt des den Oszillatoren zur Verfugung stehenden GebiE'tes ctar. Der eingangs erwahnte Wic:erspruch ist dadurch geWst.

Urn die Zahl der Bestimmungsstiicke der ganzen Strahlung zu bereehnen, wenn clie Oszillatoren ein Raumgebiet Verfiillen, betrachte man 1) eine beliebige Ebene I, welche ein von Oszil­Iatoren erfulltes Raumgebiet V eventuell in mehreren nieht zusamnwnhangenaen Stiickfn durchsetzt. f denken wir uns aus lauter Stueken L1f zusammengesetzt, so ciaB f = EL1/. Dureh jedes L1 f legen wir, als Achse eines Kegels der Off­nung (ZQ, in der festen Richtung Q eine Gemc,e, welche n~it

der Normalen von L1 I den Einfallswinkel e bildet. Den inner­halb V verlaufenden Teil R (lieser Geraden c~enken wir aus lauter Rtucken rlr zusammengesetzt, so ciaB L: dl' = R. Sum­lllieren wir jetzt in (13) iiber samtIiehe Stiieke d r del' zu einem L1 I geh6rigen Geraden R und dann ii.ber siimtliche zu f ge­h6rigen Stucke L1 I, so wird

,;£,;£dr ,1fcos e = Vi 1/ f

also ist wegen (13)

(lie Zahl der Fourierkoeffizienten Gs"., welche die Beleuch­tung der ganzen Ebene f durch samtliche Oszillatoren mit Farben L1 y beschreibt, soweit (iese aus tier Kegeloffnung d Q

UlIl die feste Richtung Q auf die einzelnen Stii.cke L1 f strahlen. IJiiBt man aIle Einfallswinkel zu, so tl'itt 4n an die Stelle

1) Vgl. M. v. Laue, Ann. d, Phys. 44. p. 1200. 1914.

SELECrED SCIENTIFIC PAPERS

96 A. Lande.

von dQ. Beachtet man schlieBlich, dati in jed em kompIexen Fourierkoeffizienten GBlIq zwei Angaben (Amplitude und Phase) enthalten sind, so findet man die J eanssche Zahl

(14) dZ=8nll'Vd'll c· ,

als Zahl der unabhangigen Angaben, welche den Strahlungs­zustand auf einer beliebigen durch V geIegten Ebene f im Interval! d" beschreiben. Da nach Bestimmung der dZ Zu­standsgrotlen auf der Ebene t der Zustand in jedem anderen Punkt des Volumens V oOOe neue Angaben mitbestimmt ist, falls passende Randbedingungen, etwa spiegelnde Wande, VOl'­

geschrieben sind, so ist dZ als Zahl der Fieiheitsgrade des Raumes V im Intervall d" anzusprechen. AIle iibrigen Frei­heitsgrade sind von vornherein ausgeschIossen, da ihre Enel'­gien gegen die der az Freiheitsgrade um so mehr verschwinden, je groBer dZ gegen 1 ist:

(12) dZ,> 1.

Die Bedingung (12) ist iibrigens auch die Voraussetzung del' Untersuchungen von Jeans, Weyl und v. Laue iiber die Freiheitsgrade der HohIraumstrahlung.

II. Tell.

Zu einem aOOIichen Resultat geIangt man durch eme Methode, die sich auf die Schwankungen der spektraIen und der raumIichen EnergieverteiIung griindet. Man kann nal1l­lich fragen, ob bei der fortwahrend schwankenden Energie­verteiIung im Spektrum al!e Farben wirklich unabhangig von­einander sind, oder ob nicht bei gegebener Intensitat del' Farbe 'V im seIben Augenblick die Intensitat einer benach­barten Farbe ,,+ LI'II mehr oder weniger mitbestil1lmt ist; ebenso, ob nicht die Intensitatsschwankungen an benachbarten Raumpunkten in jedem Augenblick irgendwie verlmiipft sind. Wir werden nun finden, daB bei den fortwahrenden raUl1l­lichen und spektralen Intensitatsschwankungen zwei benach­barte Stellen des Raumes und cies Spektrums wahrscheinlich­keitstheoretisch um so abhangiger voneinander sind, je nahE'l' sie beieinander liegen, so daB sich, bis auf einen unbestil1lmten Zahlenfaktor, ein kritisches Raumintervall und ein kritisches Farbenintervall festst-ellen laBt, innerhalb dE'ssen Abhangigkeit,

27

28 ALFRED LAND~

Abzahlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke. 97

auBerhalb dessen Unabhangigkeit besteht. Dadurch. gelingt es, den Raum und das Spektrum in voneinander unabhangig schwankende Elementarbereiche zu zerlegen, deren Anzahl bis auf jenen unbestimmten Faktor mit der Jeansschen Zahl (1) der Freiheitsgrade iibereinstimmt. Die kritischen Intervalle sind iibrigens identisch mit den kritischen Grenzen des harmo­nischen und optischen Auflosungsvermogens, welche beide auch nur bis auf einen unbestimmten Faktor definiert sind.

§ 3, Schwankungen der spektralen IntenBitatBverteilun&,.

Der Beo bachtungspunkt P werde bfstrahlt von n Oszil­latoren, welche in der Entfernung

dr b' d .. 1"-2 IS 1"+2

von P innerhalb eines korperlichen Winkels dQ liegen, also ein Volurr.element r dQ dT erfiillen. Die Schwingung des "ten Oszillators werde nach Fourier mit einer Grundperiode 2 T dargestellt durch

(1 ) (aH • komplex). - 00

1st dann tH die Lichtzeit vom "ten Oszillator zum Punkt P t" = rJc, und bedeutet c .. den Kosinus der Schwingungs­richtung des "ten Oszillators gegen die in P beobachtete Polari­sationsrichtung, so wird die Lichterregung in P dargestellt durch

(2) n +00 3(' +00 71:' n 1f8

~ ~a C -1-(1-1.) ~ -1-1 ~ a c +i-t K ~8~e: = Be T J(~e TH,

"'-' r" .. " 1 -co - 00 1

wobei die Schwingung v = 8/2 T den Amplituden-Phasenfaktor

(3) .. A ,:aX.cH +i:!!t

,a - ~H--e T"

8 1 ""

besitzt. Bezeichnen wir mit i die zu z konjugiert komplexe GrOBe, so wird die 1ntensitat der Schwingung v = s/2 T

J _ .A i _ "'! ""i. a". e" aI" c,• +1 ~ (I -I ) ,- 8 8 -..::;.;'" ~ r reT If P,

" I'

(4)

und, wenn '/I' = s' /2 T die Schwingungszahl erner anderen Fourierschwingung ist:

Annalen der Phyalk. IV. Folge. 60. 'l

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

98 A. Lande.

(6) 1 Nun berechnen wir, unter der Voraussetzung im Durch­

schnitt gleichmafJiger Dichteerfiillung des Volumelements rdQdr mit 0l1zillatoren, den Mittelwert J., wenn jeder Oszillator mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jeder Entfernung

dr b' dr r-""2 IS r+2" liegen kann, so daB die Zeiten t1 ••• t" ... t,. in einem Spiel-raum

r=dor (t .. =;+r", -i<r,,< +i). um to = ric variieren. Dann wird in (4) der Mittelwel't

f +_/2 +r 2 . :r 8 • , l..J Jd d 'plr,,-rl') - SIn (ns./2T) fin ""'" " r x r I' e - (n 8 T /2 T)' .. r ":=- I"

l -r/2 -r/2 = 1 fiir " = fL.

Nehmen wir an, daB VT = 81:/2T grofJ gegen 1 ist, d. h. daB auf die Strecke dr viele Wellenlangen 1. = clv fallen, so ist also der Mittelwert der Glieder ,,::;; f1, gegen den der Glieder " = f1, zu vernachlassigen, und wir erhalten aus (4)

(6)

Sina VT und V'T groB gegen 1, ohne daB auch (v - V')T groB gegen 1 zu sein braucht, so finden wir entsprechend, daB in (5) bei der Mittelung nur diejenigen Glieder stehen bleiben, fiir welche ,,= f1, und (! = (1 ist - diese geben 1 als Mittel­wert des Exponentialfaktors -, oder fiir welche ,,= (1 und f1, = (! ist - diese ge ben den Mittelwert sin 2 [:n; (8 - 8') T 12 TJ : [:n;(s - s') T 12 TJ2 -, so daB man aus (5) erhli.lt:

r J J., = 1 . ~ ~ I a".I" cx'i ae 8 ' I" cq"

B 8 ~. ,£.t r H " re'A

+ sin" [~(a - _') ./2 7'1 ~ ~ ax. c. a,.. CI' aI'S' CI' a".' c" (7) I [n(a - a')./2TJ2 ..::;.;" ~ r" 1"1' 1"1' 1"" '

"~I' dagegen aus (6) -J x -J. - ~ 2} I au lie,," I ae8 ' I" ce"

Sf - H I! t 51 , rl( rg

29

30 ALFRED LAND~

Abzahlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke. 99

Waren J. und J., voneinander ganz unabhangig, so ware

J. J .. : T. x J" = 1 .

In Wirklichkeit weicht aber, wegen (s-s')/2T = v- v', T = dr/c, dieser Quotient urn so mehr von dem "unabhangigen" Wert 1 ab, je groBer in (7)

(8) sin 2 [n (v - v') dr / c J : [n (v- v') dr / c J2 ist. Der una bhangige Welt 1 wird beim Auseinanderriicken von v und v' erstmalig erreicht, wenn (8) verschwindet, d. h. bei

Iv- v'l = cldr.,

als seien die Intensitatsschwankungen an den beiden Stellen v und v' des Spektrums voneinander unabhangig. Bei weiter wachsender Differenz I v- v' I > c I dr entfernt sich der wahre Wert J. J., : J. X J., yon dem unabhangigen Wert 1 nur noch minimal. Je nachdem man diesem Entfernen mehr oder weniger Rechnung tragt und unter d eine mehr oder weniger die 1 iibertreffende Zahl versteht, kann man

(8') d . c Idr

als eine Art kritische Farbendifferenz auffassen, derart, daB zwei Farben v und v' als voneinander abhangig gelten, wenn Iv-v'l <dcldr, als unabhangig, wenn Iv-v'l >dcldr ist. Ein Spektralbereich LI v wird dadurch in

(9)

unabhangig schwankende Farbenbezirke zerlegt. Da die in den Gr6.Ben aH • (u = 1,2, ... n; - 00 < s < + (0) ausgedriick­ten speziellen Emissionseigenschaften del' Oszillatoren und auch ihre Anzahl n aus dem Ergebnis herausfallen, hat man das Resultat: 1)

Ein gleichmaBig dicht mit Oszillatoren erfiiIltes Volum­element r dQ dr gibt im Aufpunkt r = 0 ein Spektrum, in welchem die Intensitaten zweier Farben v und v' im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung urn so unabhangiger von-

1) Dasselbe Resultat in anderer Einkleidung vgl. M. v. Laue. Uber einen Satz der Wabrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie, Ann. d. Phys. 47. p. 853. 1915.

7·

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

100 A. Lande.

einandel' schwanken, je groJ3er I v - '1"1 d rl c gegen 1 ist, un­abhangig von del' Zahl und den speziellen Eigenschaften del' Oszillatoren. Daraus leitet sich eine Einteilung des im Auf­punkt beobachteten Spektralintervalls L1 v in

1 (9) TLlvdr/c

Elementarbezirke unabhangiger Schwankungen abo

§ '. Ril.umliche Intensiiji.taachwankungen.

Wir denken uns wie in (1) die Emissionsbewegung jedes OsziUatol's spektral aufgelost und betrachten in diesem Para­graphen nul' die Eigenschwingungen einer einzigen Farbe v = ciA, k = 27&1).. 1st wieder r" die Entfernung des ;octen Oszillators von P, r'" die von einem benachbarten Punkt P', so wirel die Lichterregung in P bzw. P' bis auf den Faktor e- 2i :nt dargestellt dul'ch

(10) (J" =. Phase), n

A , ~ a" C" ;(6 +kr ') = H--e H H. l' ,

1 "

JJ' = A'&A'.d' = ~ ~ ~ ~ a"c"a",c", aece a"c" ~ .. ~ ~r: ~- rx rp' Yq' '1"0'

e i (6" - 6", + de - d ,,) + i k (r" - r '" + r e' - r ",) .

Geht man zu Mittelwerten libel' viele Phasenverteilungen t5 libel', so blriben in J nul' die Summengliedel' mit ;oc = {£ stehen, so daJ3

(11) - 2-' la I'e' J= .. -"-"-f' • "

wil'd. In J J' bleiben nul' die Summenglieder stehen, bei welchen " = {£ und e = (J ist - diese geben den Exponentialfaktol' eO = 1 -, und die Gliedel', bei denen ;oc = (J und {£ = e ist - diese geben den Faktor eik[(.,,-r,,')-(rl'-rl'~l. Also wird

31

32 ALFRED LANDE

Abzahlung der Freiheitsgrade in eineT Elektronenwolke. 101

Die beiden Aufpunkte P und P' mogen nun auf einem Ebenen­stuck f liegen; P habe auf f die Koordinaten ~ = 0, 'fj = 0, P'die Koordinaten ~'fj. Die Mitte des Oszillatoren enthaltenden Raumelements r dQ dr liege von P aus in del' Richtung mit den Kosinussen ao Po Yo, so daJ3

(13) dQ.= dad{J COl 8

wird, wenn Yo = cos e und e del' Einfallswinkel zwischen del' Richtung ao Po Yo und del' Flachennormalen von fist. Die Oszillatoren m.ogen die urn ao Po Yo herum liegenden Rich­tungskosinusse ax Px Yx haben, wobei

cex = ceo + ax (- d2a < Ox < + d2a) , flx = flo + b" (- d! < bx <- d!) .

1st die Entfernung P P' klein gegen r", so wird angenahert

(14) r,.'- Tx"" sce .. + nflx= (sUo + 'fJflo) + (s 0 .. + b .. ).

Nimmt, unter del' Voraussetzung im DUl'chschnitt gleich­miif3iger Dichteerfiillung des Volumelements r dr da dp /cos e, jedes 0" und b" mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden Wert zwischen -da/2 und +da/2 bzw. zwischell -dp/2 und +dfJ/2 an, so wird der Mittelwert des Exponentialfaktors (12) nach (14)

+<la/2 +<lP/2 1 Jf fJeik[(E4x+'1bx)-( •• ,,+'1b,,)] da da db db

(da d{f)t " " .. I' -<la/2 - ap/2

sin' (k ~ d a/2) lin' (k" d (J/2) "" (Hda/2'f • (k"d{J/2)

Daher wird aus (12) im Durchschnitt

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

102 A. Lande.

Waren J und J' voneinander ganz unabhangig, so ware

JJ': Jx J'= 1.

In Wirklichkeit weicht abel' nach (15) dieser Quotient um so mehr von dem. "unabhangigen Wert" 1 ab, je groBer

(16) sin'(k ~ d .. /2) sin" (k 7J d{J/2)

(kE d .. /2)" (k'1 d (J/2)'

ist. Der unabbangige Wert 1 wird, falls p (0,0) abriickt, erstmalig erreicht wenn (16) d. h. auf dem Quadratrand

I I 2,,; 1 S = kdo =""i[;"'

p' (~, 'rJ) von verschwindet,

als seien die Intensitatsschwankungen in P und P' von­einander unabbangig. Bei waiter wachsendem Abstand P P' weicht der wahre Wert J J': J X J' nur noch minimal von dem "unabbangigen" Wert 1 abo Je nachdem man.dieser Abweichung mehr oder weniger Rechnung tragt, und unter e eine mehr oder weniger die 1 iibertreffende Zahl versteht, kann

(16')

als eine Ad kritischer Fliichenbezirk angesprochen werden, del'art, da.B die Beleuchtung in zwei Punkten P (0, 0) und P' (~. 'rJ) als voneinander abhangig gilt, wenn

als unabhangig, wenn

33

34 ALFRED LANDE

Abziihlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke. 103

ist. Ein Ebenenstiick L1 t wird claclurch in

(17) 1 d a d{J 1~' €J .. .t1f--l.'- = .. C' Afd!l COS

unabhangig schwankende Elementarbezirke zerlegt. Wir ha ben alBo das Resultat: 1) Wirel ein Ebenenstiick aus der Einfallsrichtung e her

von Oszillatoren beleuchtet, welche im Durchschnitt mit gleich­maBigel' Dichte ein Volumelement r dQ dr erfiillen, so sind die Intensitatsschwankungen in zwei Punkten P' (1;,1)) und P (0,0) del' Flache im Sinne del' Wahl'scheinlichkeitsrechnung um so unabhangigel' voneinander, je graBer

H d a . k '7 d fi = ~ 1} ~ d !l cos €J 2n 2n 5 c~

gegen 1 ist, unabhii.ngig von del' Zahl und den speziellen Eigenschaften der Oszillatoren. Daraus leitet sich eine Ein­teilung des Ebenenstiickes L1 I in

(17) 1 ~ • .. C' A f d !l cos €J

unabhangig schwankende Elemental'bezirke abo

Durch Multiplikation von (17) mit (9) erMlt man

(18) 1 v' JiF C' d T d .Q cos €J A f A v

als Gesamtzahl der unabhangig schwankenden Elementar­bezirke, welche die in einem Volumelement r dQ dr gleich­maBig dicht verteilten Oszillatoren auf einem Ebenenstiick L1 I im Farbintervall L1'11 aus der Einfallsrichtung e her hen-or­bringen, unabhiingig von der Zahl und den speziellen Eigen­schalten der Oszillatoren. Die Zahl (18) der unabhangigen Ele­mentarbereiche von L1 t . L1 'V stlmmt bis auf den unbestimmten Faktol' 1/ i5 102 iiberein mit del' Zahl L1 z in Gleichung 13, Teil I, fiir die Zahl der unabhangigen Angaben zur Beschreibung des Zustandes auf L1 f . L1 V.

Der unbestimmte' ZahlenfaktOl' 1/1'),2 in (18) tragt dem Umstand Rechnung, daB zwei Stellen des Spektrurr~ bzw.

1) Dit,selbe Resultat in anderer Einkleidung vgl. A. Land ... Zur Theorie der Helligkeitsschwankungen. Physik. Zeitschr. 15. p.946. 1914.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

104 A. Lande.

des Raumes auch dann noch nicht in ihren Schwankungen ganz unabhangig sind, wenn ihre Entfernung das kritische Intervall (8') bzw. (16') iibertrifft, und daE andererseits auch bei unterkritischer Entfernung ein gE:wisses MaE von Un­abhangigkeit besteht.

Die kritische Entfernung (16') I~ -~'I = e i.lda unab­hangiger Schwankungen bei Beleuchtung zweier Punkte aus dem Winkel d a ist iibrigens identisch mit der Grenze ihrer optischen AuflOsbarkeit, die ebenfalls nur bis auf einen un­bestimmten Zahlenfaktor definiert ist. 1) Analog flihrt das kritische Farbenintervall (8')

I" - '1"1 = (5 -"-- = J/r , dr

zu einer "Grenze der har1nonischen A uflOsbarkeit", d. i. einer minimalf'll Schwingungszahldifferenz 1'1' - v' I, welche zwei be­nachbarte Farben nicht unterschreiten diiden, wenn sie wah­rend einer vorgegebenen Zeit T aufgeliist werden sollen; oder auch dem Reziproken einer minimalen Zeit T, welche zur Analyse eines vorgegebenen Farbenakkords t', '1" notig ist: T = 15 I 1 v - v' 1. 2)

Zusammenfassung.

1. Teil. Die Strahlung, welche eine Wolke von Oszil­latOl'en "auf einem Flachenelement L1 f = L1 ~ . L1 'IJ der ~'IJ-Ebene im Farbenintervall L1 v = c L1 AI A2 hervorbringt, wird in die 1<"ouriersche Reihe

+00 +00 +00 .,. (V~YI) ~-~(1 TJ-rJC)) ~ ~ ~'" --8+--P+-- q

A (v,~, 1)) = ::E- .LJ ~q G,pq e ,j I' A < ,j'1

-00 -00 -00

1) M. v. Laue, Ann. d. Phys. 44. p. 1197. 1914. 2) Damit ein Zusammenklang aus zwei gleichzeitig angeschlagenen

Tonen v und v' harmonisch analysiert werden kann, darf die dafiir zur Verfiigung stehende Zeit < nicht kleincr als die Schwingungsdauer l/v - v' des DHferenztones "ein, d. h. man muB eine "Schwebung" abwarten. Zwei Tonintervalle VI bis "/ und "2 bis v.' werden in der Musik als gleich bezeichnet, wenn VI: v,' = P2: v/ ist. Die zur harmonischen Auflosbar. keit notige Minimalzeit (Schwebungsperiode) ist. aJ€o um so groBer, je tieter bei gleichbleibendem Tonintervall v: v' die beiden Tone v und v' Jiegen.

35

36 ALFRED LANDE

Abziihlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke. 105

entwickelt, wobei . (tA T.Lll)

Silln 8+ "'''-Y-.-

n(sH11.-~. J/) • ( 11 'i il ) 81lln q - _.- ".

( 11 'I ) :II q - _l_. {Ix

wil'd. Zu jedem Inclextripel 8 p q gehort also eine bestimmte Raumstelle r, a, fl, deren umgebende Oszillatoren r" a" fl .. den drei Faktoren der Form sin xl x zu ihrell Maximalwerten 1 wr­helfen. 1m Grenzfall sehr kleiner Wellenlangen A ist abel' del' Ab­fall von diesem Maximum 1 auf 0 raumlich so steil, daB die GroBe Gspq nUl' abhangt yon del' Lagerungsdichte und Leucht­kraft derjenigen Oszillatoren, (lie sich auBerst nahe an del' zu s p q zugeordneten Raumstelle maximaler sin xl x-Fakloren befinden. Ob also del' FOUl'iel'koeffizient Gspq von 0 ver­schieden ist, hangt nUl' yon del' Existenz von Oszillatoren in clel' Umgebung del' zu 8 p q zugeordneten Raumstelle ab, nicht von del' Zahl del' dortigen Oszillatoren. Sind also die OsziUatol'en yon vornherein aUe auf einen bestimmten Raum V beschrankt, so verschwinden von vornherein aUe die G'M' deren Gitterpunkte s p q au(.Jerhalb V liegen, und es ist die Zahl del' libel'haupt als yon 0 wrschieden in Betracht kommenden Bestimmungsstucke Gspo proportional clem fiir die Oszillatoren zul' Verfiigung stehenden Raum V, na.mlich gleich del' Jeansschen Zah (1). Allein aus retardierten PotE'ntialen von Oszillatoren laBt sich also die J eanssche Zahl del' It'l'eiheitsgrade ableiten, womit del' eingangs erwahnte 'Wider­Sl)l'uch geWst iat.

II. Teil. Einige Resultate iiber die GroBe unabhangig Hchwankender Gebiete des Raumes und des Spektrums sind am SchluB del' §§ 3 und 4 angegeben. Sie fiihren zu "kritischen" Raum- und Farbenintervallen, welche mit den Grenzen dp" optischpn uncl harrr..onischpn Aufliisungsvermiigpns ii.berein­stimmen.

Brps t -J,i tows k, Februar 1916.

(Eingegangen 1. Marz 1916.)

PAPER 9

1048

fiber die absolute Berechnung der Kristalleigen­schaften mit Hilfe BOHRscher Atommodelle.

Von Prot: Ill'. :\1. BORN und Dr. A. LANDE.

(V orgelegt von lIm. EINSTEIN.)

1 nhalt. I. Das Potential zweiel" Eiektl'onenringe. 2. Del' Atom­Rbstand in Molekeln. 3. Del" Elementarahstand fill' eine Klasse regularer Krist.alle. 4. Das Potential des kubischen Raumgitters. 5. Dos Potential (-I)ter Ordnung (nnch MADELUNG). 6. Da. Po-

tential (-s)ter Ordnung. Vergleich mit del" Erfahrung.

Die von BOHR, SmIMEIU'ELD U. 3.. ausgebaute VOl'stellung iiber Atom­konstitution hat den Grund fur die Gro13enordnung 10-' em del' Atom­radien aufgedeekt: es ist del' Radius des quantenhaft stabilisierten Ring­systems del' Elektronenhahnen urn den positiven Kern, bei welehem die Elektronenringe nul' mit wenigen Quanten ausgestattet sind. Es fragt sieh nun, wie aus solchen Ringsystemen eine Molekel mit be­stimmten iunereu Atomab.tlinden gebildet werden kann und weiter­hin ein Kristall, del' .in als eine einzige, riesige Molekel aufzu­fassen ist '.

Nach den Vorstellungen iiber die Natur del' chemisehen Kriifte, die Hr. KOSSEL' entwiekelt hat. und denen wir nns hier ansehlie13en, gesehieht die Molekelhildung SO, daB neutrale Atome durch Abgabe odeI' Aufnahme von iiu/3el'en (V alenz-)Elektronen zu lonen werden UIld

1 Hr. TH. v. KARMAs hat nach mGndlichel' Mitteilung schon VOl' lingerer Zeit den Versuch gemacht, die Eigenschaften del' Kristallgitter a.us BOBRSchen Elektronenring­systemen abzuleiten; er wird seine Rechnungen demniichst veroffentlichen. Del' Unter­schied gegen unsere TheOl'ie besteht bauptsachlich darin~ daa er von neutralen Atomen ansgehl (wie z. B. hei Diamant) nnd dabeI' slatt del' COuLOMBschen elektrodynamisrlle Anziehungskriifte del' Ringe aufeinander einfiihren muS. - Ferner hat Hr. A. C. CREHORE

eine Untersnchung verofi'entlicht (Phil. Mag. Vol. XXIX. 6. ser. 1915, P.750), die ein lihnliches Ziel hat. Doch geht er nicht von BORRschen Elektronenriogen aus, sondern von seinen eigenen Atommodellen, die sieh an das TaoMsoNsche Atommodell anlehnen, belrachtet die Atome als elektrisch neutral (auch bei Kristallen wie NaCll) und muB daber mit elektrodynamischen Anziehungen operieren. Seine iiuBersl undurchsichtigen Rechnungen scheinen Uberdies fehlerhaft zu sein.

, Vergl. W. KOSSEL, Ann. d. Phys. (4) 49. p. 229. 1916.

SitzuDgsberichte 1918. (1)

Reprinted from Preuss. Akad. 45, 104S-1068 (1918).

37

38 ALFRED LANDE

1049 Gesamtsitzung vom 14. November 1918. - Mitteilung vom 17. Oktohar

letztere sidl dann zum Molekelverband zusammenfinden. Dabei bieten sich zwei FragE'stellungen dar. I. Die Frage nach den Energieverbiilt­nissen dl'r lonenbildung und -anlagerung. Ihre Beantwortung wiirde in einer Theorie del' chemischen Umsetzungen und WiirmetOnungen bestehen. 2. Die Frage nach den physikalischen Eigenschaften del' fl'rtigen Molekel, spt'ziell nach ihren GrilJ3enverhiiltnissen und den KriifteIi, welche bei Deformationen auftrett'n, mit dt'm Ziel, eine Theorie del' Aggrpgatzustiinde zu gewinnen, hesolllll'rs eine Theorie der abso­luten Dimensiont'n und Deformationskriifte dl'r Kristalle.

Die erstere Frage nach den Energil'umsl'tzungen bei del' Molekel­bildung ist dadurch erschwert, daJ3 die meJ3haren WiirmetOnungen bei chemise hen Prozessen nul' kleine Brucht«.>ile der im ganzen um­gesetzten Energieml'ngen sind. Denn die Wiirmeentwicklung ist nur del' kleine Resthetrag, welcher von dl'n groJ3en En«.>rgiegt'winnen und -vl'rlust«.>n bei del' Abtrennung, Ionisierung und gegenseitigen Anlage­rung del' Partikel iibrigbleibt. Damit also ein atomistisch berechneter Zahlenwert fur die Wiirmetonung ein einigermal3l'n richtiges Resultat ergibt, mussen seine einzelnen positivl'n und nl'gativen Posten schon einen sehr hohell Grad von Naturtreue besitzen.

Anders bei del' zweiten Fragl'stellung nach den physikalischen EigellscllRften des Molekl'lverbandes. Die Struktur del' Molekel kommt hier voll zur Geltllng, ihre Theorie kann daller leichter an. del' Er­fahrung gf'pruft wl'rden. Dip einfllchste Frage, die man aufwel'fen kann, ist die Bach den stahilen Abstlinden del'lonen in del' Molekel uud besonders im Kristall. Del' niichste Schritt wiire dann die Bereeh­nung der Kriifte, welche bei Anderlmg diesel' Abstiinde auftreten.

DaG zwei Ringsysteme sich iiberhaupt in einem bestimmten Ab­stand einstellen konnen, erkliirt shoh so: In groJ3er Entfernung ziehen sich das positive und das negative Ion einfaeh mit COULOMBscher Kraft an. In gl·ol3erer Niihe macht sich dagegen die Struktur der Partikel bemerkhar; neben dem Anziehungsterm tritt ein AbstoJ3ungsterm auf, dervoll dem spezielll'n Bau del' beteiligten Ionen abhiingt. Gleichgewicht herrscht dort, wo sich Anziehung und AbstoJ3ung die Wage halten.

Diese Anziehungs- lind Ahstol3ungskriifte konnen weiterhin znr Bildung von Kristallen fuhren, wobei dann der lonenabstand die Rolle del' Gitterkonstanten spielt. Die a.n Kristallgittern gewonnenen eindelltigen Ergebnisse del' Theorie eignen sich sogar in besonderem MaJ3e zum VergleicJl mit der Erfahrung. Wir werden aber zur Er­liiuterung del' Methode die Reclmung auch f"dr isolierte lUolekel zwei­atomiger, heteropolarer1 V t'rbindungen durchf"dhren.

, Vel"gl. W. KOSSEL, J. c. p .• 65 und R. ABEGG, Zeitschr. I: anorg. Chemie 50, p. 309, 310, 1906.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 39

'wi. SOH" 11110 A. LANDE: Absolute. Bel'eehnllng' dol' Rri.ta1lei~chatten 1050

Dil' Dimensillnen lies Kri8!allgitters werden durch die Forderung gewonnell, dal3 im uatilt·lid,,'u Zllstand des Kristall,. wedel' Einzel­krat't,e not,1t Spnllllullgen ,'orlHlndl~n sind. Diese nAnt'angsspannungenu tratell "choll iu dpr I'r .• t.PII mnlekulart.heorctisehcn Ahleitung del' Elasti­zitatsthcoril' tIur!'h ('AUCHY I aul' IIIlI] sintI damals Gegenst.anrl zahlrei­eher Diskussio1ll'u A"'WI'81'1I: <10"" knnll die Bedingung der Spannungs­li'eiheit nidt!. Z\II' Bpstimmullg' <leI' tHt.terkollst.anten frllchthar gemallht werden, solange di,' Summl'1l iih",· t1i" iHolekularkriifte durch Integrale el'set.zt werden. Die u('1I('rl' Uitter,lynamik' hat sich von dieser ver­,'infhcht.en Rl'clllllIngsweis!' fr('igemacht lInd damit die l\1ilglichkeit ge­wonnen, dil' Gl'samth!,it <ler Be,lingungsgleichungen aufzustellen, del' die ill'stimmungsstUch eiIlI'S Hitt.ers hei gegebpnen Einzelkriiften zwi­schen je zwei Atomrn genUgen mussen.

Wir wl'l'<lpn im t'olgenden einen ersten Scllritt in del' Anwendung diesl'r W!'il'huugen tun, illuem wi .. fiir die l'l'guliiren Kristalle vom Typus des NM Cl Ill]ter den angegehenen Hypothesen Uber den ,\.tombau Bowie unter plausiblen Annahmell uber die Stellung del' Atom­achsen im Gittt'r dip "hsolutt' Kantenliinge des e1em!'ntaren Wilrfels herechnen. (Vergleich mit den H!,obachtungen § 6.)

~ 1. Das l'otl'utia.1 zwpier Elektrollenringe.

vVir betrachtell zUIliichst das gegenseitige Potential zweier Elek­konelll'inge, deren }\litt.plpnnkte 0. und 0, den Ahstnud l' voneinander hahen lmd derpu Achsenrichtungen C;, und~, gegeneinandel' den Winkel en bilden. St,]tt Punkthelegungen mit P. bzw. p, Elektronen von der Laduug -f uehmen wir knntiuuierliche Bplegungl'n mit'den Gesamt­ladungen R. = - e 1'. nIHl lo', = - "]1, an, welclte aul' zwei Kreisen von den Radien 11. nnll 11, gleichmal3ig vl'rteilt. sind. 1st dann R del' Ab­stand zweier Kreisringpunkte "1, und A" so wird das gegenseitige Po­tential der Ringe gleich dem Mit.tplwert VOlt

(I) E.E,·-k iiher alle Lagen yon A, auf dem erstell Ring lIud A, auf dem zweiten Ring. Zur Berechnung yon r/R henutzeu wir die EULERschen Winkel <1>, S, f als Hest.immnngsst.licke dpr heiden Pnnkte A, und A,. Auf

I A. L. CAUeHr. Exet·c. de math . .l (18.8) p. 188; muvres (.). 8 p.227. Vergl. "nch Enzyklopildie de .. math. Wiss. IV 23. C. H. Mi'r.t.ER u. A. TmPE. Gl'undgl. d. math. EUistizitatstheorie.

, Vergl. lit BORN, Dynamik del' Kristallgitter. Leipzig. B. G. Teubner, 1915.

(1 0 )

40 ALFRED LANDE

t051 Gesamtsitzwlg vom 14. November 1918. - Mitteilung \'001 17. Oktober

F,!/.1.

f x

einer Einheitskugel (Fig. I) seien x, y, z die Durchsto-

;c .l3ungspunkte eines rechtwink­ligen Koordinatensystems, dessen z-Achse in Richtung del' Verbindung r = 0. 0,

fallen soll. Sind~, und ~,

die DurchstoBungspunkte der beiden Ringachsen, so gehen die Spuren del' beiden Ring­ebenen als gro.l3te Kreise durch die auf ~, (bzw. ~,)

sellkl'echten Richtungen ~, und~, (bzw. ~, und ~,). Del' Winkel zwischen z und ~, w('rde 3-, genannt. Ehi Punkt A, des gri.l!3ten Kreises £,~,

werde <lurch das Azimut </" von E, aus festgelegt. EntspreclJendes gelte fiil' 3-, und </".

"Vird nUll das xyz-System so gelegt, da.13 ~, auf den Kreis zx fiillt, so sclmeidet z~, dell Kreis xy in einem um den Winkel/ ver­dl'ehten Punkt. Die l'echtwinkligen Koordinatell eines Ringpunktes A, (cp,3-,o) UZW. A, (cp,3-,/) sind dann 1

{

X, = {/.' (~COs tp,' cos 3-,), (2) y, = a, sm 1',.

:1 = ill co~ CPr sin SI ~

X, = a, (-cos </'. cos 3-, cos/-sin </'. sin}), y, = a,(-cos </" cos 3-, sin/+sin </>, cos}), z, = a, cos <p, sin 3-"

bezogl'll auf' die Ringzentren 0, hzw. 0,. Die Entfernung R = A,A, wird daher gegeben durch

R' = (;c,-x,)'+ (y,-y,)'+ (z,+r-z,)'

oder mit Einsetznng von (2)

R' (a, 3- a, 3-) a~ +a: -;:; = 1+ 2 r cos ,~, sin .-;:- cos cp, sin, +--r'-

2a,a, ( "-" / . "- . } - -r-' - cos cp, cos cp, cos oJ, cos oJ, cos + cos <P. sm <p, cos oJ, 8m

-sin </" cos </', cos 3-, sin/+sin cp, sin <p, cos/+cos <p, cos <p, sin 3-, sin ~,).

Ordnet man dies nacll Potenzen von r-' nnd fiihrt die Abkiil'zung

(3) cos Ii" = sin 3-, sin 3-, + cos 3-, cos 3-, cos/

ein. so erhillt man

1 G. KIRCHHOFF, Vorlesungen libel' Meehanik. Leipzig, B. G. Teubner, 1897. 5. Vorles:" § J. GI. (8).

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 41

M. BORN und A. LANDE: Absolute Bel'echnung del' Kristalleigensebaften 1 052

R' r'- = I+2A+B', wobei

A = '2 cos </>, sin S, - '2 cos <p, sin S, , r .,~

a~ + a: 2aI a 2 ~ • •

B'= 1" ---.;:;--[cos<p, cos<p, coso,,+sm<p, sm<p, cosj

+ sinj (cos </>, sin <p, cos S, - sin <p, cos <p, cos S,)].

Zur BeJ'echnung des Potent.ials (I) hmueht man die Gro~e

dip. wir bis auf' GroJJen 4. Ordnung in I entwickeln wollen. Man r

el'hiilt.

I Urn den Mittelwert yon R zu erhalten, hat man in (5) die Mittel-

werte der GroJJen (4) liber alle Azimute </>, und <p, einzusetzen, welche hei13en:

A=o, l' = 0, AB' = 0,

- 3 [(a )'" (a )' 4a'a' 'J A' ="8 --;: sin'S,+ ---;: sin' S,+~Sin'S, sin'S, ,

A: B = -- - .~ - sm S + - sm S +----·-smS smS cos d -" I a;+a: [(a,), . , (a,), ., ] a;+a:. . 2 r 2 r I r \I r4 J 2: t2 ,

- (a'+a')' a'a' B' = -'--'-- +--'-,' [cos'o~,+cos'j+sin'j (cos'S,+cos'S,)]. r' r

Flihrt man noch, an Stelle des in (3) definierten Winkels 8,,, den Winkel en zwischen den beiden Ringachsen ~, und ~, ein:

(6) cos en = cos $, cos S,+ sin S, sin S, cosj,

und benutzt die Be;lleichnungen

42 ALFRED LANDE

1053 Gesarnloqitzung vorn 14. November 191ft -- \1itteilung- ,'om 17. Oktoher

P,(eosS) = I (3 COS'S-II, 2 <

f'iir die zweit.e und viP!'!" Kugelfunktioll I', und 1', Hnd eine verwRndtp Funktion Q4' so c!'hiilt man sehlieBlich nac], "lrmentarpr Umformung

(i) = -H I -~ l (~' )'P, leosS,) + (~~ rl', leosS,) 1 +t[( ~ ),P,ICOSS,)+(:: yl', iCOsS)+ 2~';4a: Q,IS,S",,)\I·

(8)

Dureh M.ultiplikation mit E, E, ergibt sich Ilaraus rlas gegellscitige Potential ..j., del' heiden Ringe mit den Ladungen E, und E,. Ordllpt man die Glieder von .J, nach Potenzen von r-', schreiht also

(-J) (-3) (-;)

-J.- = ,.-' i' +,.-, 'l' +,.-' t +.

(-nj

so werden die Koeflizicnten 'I' nieht meh!' von ,lem gegenseitigell Abstand T, sondern nul' noeh von dell Stellungen und den Radiell del' Ringe abhangen und dip Werte hesitzen

(-'I -1-' =E,.E"

i 10) (+.'1 = -E, E,' ; {a; P, (cosS,1 +a: P, (cosS,)} ,

(-51_ E E . ~ { 4 P 0,) j p ( -) "Q (". ~ ) \ \ 'i' - I ~ 8 a l .,(COS.:71 +a z 4 COS.:J'z +2fl j a Z 4 "'-'1 J'l EI2 I'

Diese Formeln gel ten aueh rur die Wirkung cines positiven Kerlls del' Ladnng E, auf einen Elektronenrillg del' Ladung fI'" wcnn man dabei a, = 0 setzt.

§ 2. Del' Atomabstand in Molekeln.

Das so gewonnene Potential zweier Elektronenringe wollen wir nun zur Berechnung des A tomabstandes r in zweiatomigen (hetero· polaren) YIolekeln beJlutzen. Als Resultat wird sieh prgeben, da13 ,. mehrfach gril13el' ist als del' Radius des grill3ten Elektl'onenringes del' heteiligten Ionen. Daher ist es gerechtfertigt,. die Entwieklung (9) dps

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 43

M. BORN und A. LAND": Absolute Berechnung del' Kristalleigenschatten 1054

Potentials je zweier Ringe gleicb von vornherein nach dem zweiten Glied abzubrechen, also zu schreiben

(-I) (-3)

.J., = r-' ''\' + r-' '" .

Das Gesamtpotential <p del' beiden Ionen wird erhalten, indem (-.) (-3)

man die Formeln fUr 'I' und 'I' aus (10) anwendet !. auf'die Wirkung zwischen den Ringen des ehien und den Ringen des anderen Ions, 2. auf die Wirkung zwischen dem Kern des einen und den Ringen des anderI'll Ions, 3. auf die Wirkllng zwischen den beiden Kernen, llnd die so erhaltenen Allsdriicke summiert. Schreibt man das Resultat der Summa.tion in der Form cJ> = :::. '\', also

(-.) (-3)

<p = r-' cJ> -+- r-' cJ> •

so wird Gleichgewicht fUr denjenigen Abstand r herrschen, bei welchem

<f> ein Minimum, also ~~ = 0 ist, d. h. es wird

(-J)

oJ> Mngt dahei durch die Winkel s., lind s., (10) noch von dE'r St.ellung der verschiedenen Ringe gegen die V erbindung~linie r abo

Es fragt sicll nun, ob nicht, die gegenseitige Stellung dE'r Ringe innel'halb des einzelnen Atoms durch das Eingehen in den Molekel­verhand geandert wird. Herr SOMMERFELD I hat gezeigt, dae ein Atom mit nicht mehr als 3 Ringen dalln seine minimale Energie hesitzt, wenn die Ringe senkrecht gekreuzte Achsell hahen, Doch fillliet SOMMERFELD, dae die EnergieditTerenz zwischen komplanarer und gekreuzter Stellung der Ringe nur sehr klein im Verhaltnis zur Gesamtenergie des Ring­systems ist. Die zugehorigen, senkrecht stellenden Kraf'te sind aher trot.zdem, wie eine einfache Rechnung zeigt, immer noch mehrfach grlieer als die ihnen entgegenwirken<len parallelstellenuen Krlifte bei del' Annaherung eines anueren Ions, eine Folge davon, d&e die Ent­fernung rein mehl'faches ues groeten beteiligten Elektronenringrauius bleibt. Man kann also .mnehmen, dae die gekreuzte Stellung del' Ringe innerhalb des einzelnl'n Atoms auch nach seinem Eintl'itt in den Mole­kelverband erhalten bleibt.

Wil' gehen nun zur Berechnung des Atomabstandes (I I') iiber. Ein positives Ion mit der Atomnummer Z+ und del' Gesamtladung + I • P

I A. S01PlERFEI.D, Phys. Zeitschr. 19, p. 297, '9.8<

44 ALFRED LANDE

1055 Gesamtsitzung yom 14. November 1918. - Mitteilung yom 17. Oktober

bestehe aus der Kernladung + Z+· e, umgeben von einem innersten Elektronenring aus P,t Elektronen, einem zweiten, dritten usw. Ring aus P,to P ,+ , ... Elektronen mit den Ringradien a ,t , a,to a, •• .. '. In dies"r Bezeichnungsweise besitzt der Kern den Radius a ot = 0 und die La­dungszahl Pot = - Z+. Entsprechendes gelte fUr ein negatives Ion der

(_r) (-.1

Hesamtladung - p und der Kernladung Z-· P • Die Hro.l3l'n c!J =:E -'I! (-,) (-,)

und iJ> = I 'I! in (II ') entstehen durch Summation nach k+ und k- = 0, I. 2'" aus den Gril13en (10), also

oder wegen ~P .. p = +e, Ip.-p = -I' It+ /t-

FOhrt man dann die Abkiirzung

(I I')

ein, so wird nach (I I') der gesuchte Atomallstand

r=Y3(~a;,p'tc.,-:EIl::_P'_C } it /t-

Bei EinfUhrung der Verhiiltnissl' <to = a.: ao ,ler Ringradien zu dem Bahnradius

(12)

(N = RVDBERGsche Konstante) des einquantigen Wa.ssl'rstoffelektrons im BOHRschen Modell wird schlie.l3lich del' gesuchte Atomabstand

(13) l' = 0.528 '1'3 (Ia.',Pk. C .. - Ia.t. Pk·· c._). 10-' em. ,lot ,t-

Durch die Faktoren c. (I 1 ") ist diesel' Ausdruck abhiingig von den Winkeln S. der Ringachsen gegen die Verhinrlungslinie r, wobei .aber die Achsen innerhalb ein unddesselben Ions ullverlinderlich senkrecht

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS 45

M. BORN und A. LANDE: 'Absolute Berechoung der Kristalleigenschatteo 1056

aufeinander stehen bleiben. Fiir die Gleichgewichtsorientierung der

beiden ronan gegeneinander kommen nur Winkel .s = 0 und .s =~. in 2

Betracht mit c. = ~ bzw. c. = -~ (I I"). Stabil wird eine lonen-2 4

stellung mit solchen Winkeln S sein, fiir welche die gegenseitige po­tentielle Energie ein Minimum ist; das ist der Fall, wenn die Diffe­renz unter dem Wurzelzeichen in (12) moglicllst kleine positive Wert!' annimmt, damit rein Minimum wird.

Der auf ao (12) reduzierte Radius «. des leten Ringes bprt'chnet sich in erster Nahel'lmg uus der Beziehung'

Durin bedeutet 11k die AnzaM del' Quanten, welche die Winkel­geschwindigkeit OJ. im kten Ring festlegt durch die Beziehung m a. OJ ..

_ An,.. Z. bedeutet die .wirksame Kernladungszahl. flir den kten 2".

Ring: sil' ist die Differenz aus del' Kernladungszahl Z, der Anzahl

~Pi der innerhalb des kten Ringes liegenden Elektronen und der • Ab­I"::"

schirmungskonstante" 8. hei Pk krt'ist6rmigangeordnetenElektronen, z. E.'

s. = 0 fiir P. = 1 , ". = 0.25 fiir P. = 2,

.~. = 2.805 fUr P. = 8.

Die Zahl n., welche angibt, wieviel Energiequanten .iedes Elektron des kten Ringes als kin"tische Energie erhiilt., wird von SOMMEa~'ELD und KROO auf Grund ,ll',' Rontg('n.]l~ktl'en ZlI n. = k ungenommen: del' kte Ring soli k-qllllnt.ig s"in. Idpntifiziert m"n aher die Atomradien (Wir­kUilgsspharen) mit, den Radiell a,.,

air ftk k'l ao = do/( = ~. = Z~ ..

ihl'er iiuJ3el'"ten Ringe, so ist die darin auftret.endl', abgeschil'mte Ladullgszahl X, . ..ter innerhllih a. liegeD!\ell Ladung('n fijI' den lIuJ3er­sten Ring bei homologen EienlPllten de, periodischen Systems im all­gemeincn je<lpsmlli die gleiehe. DIIS wiir<it' .Iso bedeuten, <laJ3 die mit, a~ proportionaien At,omvoiumirHl von einem zum and ern homologen Element zunehmen wie die 6, Potenzen del' ganzen Zahlen k, welehe an-

l A. SOInrERFELO, Atombau u. Rontgenspektren, Phys. Zt.qchr. 19_ S. 297. 191~t

.1. Knoo. nAr 1. U. 2. Elektronenrin~ d. Atoma. cbenda S, 307

46 ALFRED LANDE

1057 Gesamtsitzung vom 14. ~ovember 1918. - Mitteilung vom 17. Oktober

geben, del' wievielte Ring (von innen an gezahlt.) del' aul3erste Ring ot's betreffenden Elements ist, d. h. mit der 6. Potenz von einer zur andern Periode des Systems del' Elemente'. Urn mit del' Erfahrung in Einklang zu bleiben, mul3 mall jedenfalls fur den jeweiligen aufJersten Ring die SOMMERFELD-KRoosche Annahme n. = k fUr Elemente aus den hoheren Period en aufgeben. Das braucht aber die SOM"ERFELD-KROO­schen Rontgenspektren nieht zu beeintrachtigen, da "ieh diese bei holl!'rell Elementen fl11l' in den imwrsten Ring-ell del' Atome abspielen (vergl. ,len Titel de\' Knooschen ,crl,eit).

Als Beispiel betraehten wir Verbindullgen von Elementen, welche den drei ersten Zeilen (le~ periodisehen Systems f'ntnummen sind, iibel' ,leren Aufbau also einigermal3en begriindete Vorstellungen bestehen, VPfbindungen <leI' Alkalimetalle Li, Na, l{ mit den Halogenen Fund Cl.

Das positive Alkaliion entsteht durch Abtrennullg des negativen \i alenzelektrons, wdches allein den aul3ersten Ring des Atoms bildet, so ,lnl3 del' zweitiiul3erste Ring des Atoms aus 8 Elektronen als aul3erster Ring de, Ions zuriickbleibt. Das negative Halogenion entsteht durch Aufnahme eines Elektrons ill dell iiul3ersten Ring des Atoms, welcher ,\adurcll aus einem Siebellerring zum Achterring wird. Man berechnet dann aus (14), I 14') nil' ,lie vel'schiedenen Ringe k folgende Elektronen­zahlen P. und zugehorige auf 11" (I 2) reduzierte Radien ct. unter der Allnahme n, = I, n, = 2, ", = 3 bzw. Il, = 2 •

Tabelle I.

Z=Po p, (n,= I)

p, In, = 2)

p, (n, = 3) I (n, = 2)

a, 0, ", ", Li+ 0.364

Na, + " 0.093 0646 K+ '9 0,053 0. 283 1.454 0.646 F- 9 0,114 0·955

CI - '7 0.060 0.328 2.145 0·955

Setzt man dies" Wert." ill (13) ein lind probiert. aus, welche Orien­t.ierung del' Ringachsen gegcn die VCl'bindungslinip l' (d. h. welche

Allswahl del' Faktoren ". lintel' den Werten +! und - _1 ) Zll kleinst-2 4

moglichem r fIihri. so erbij]t man folgende Werte fijr r· 10' em:

! Hr. SOMMERFELD hat. ill seiner Ansprache zu ),1. PLANCKS 60. Geburtstag (er­~[~hienell bei C. F. l\1iitler~ Karlsruhei. B. (918) dmi ("tn des auBersten Ringes als "Atom­groBe .. bezeichnet und gezeigt, daB diese AtomgroHen eirren ahnHchen Gang haben wie die Atomvolumina, wenD cler nte Hing n-quantig gerecbnet wird. Wir sind der :\ieinung, daJ3 man diesel' interessanten Analogie kein zu groJ3es Gewiebt beilegen darf'. weiJ dabei G-roJJen verscbiedener Dimensionen verglicben werden.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 41

M. BORN und A. LANDE: Absolute Bereehnung der KristaUeigenscbafien 1 058

Tabelle 2.

Li F NaF KF 1·94 1.21 0·91

0.83 1------ --f-----

LiCI 2.80 N. r.1 2.68 RCI 2.08

1.28 1.00 0·93

Bei den Verbindungen des Cl und denen des K sind zwei Werte be­rpchnet worden unter del' Annahme n, = 3 (obere Zahl del' Tabelle 2) uud n, = 2 (untere Zahl)_ Zu minimalem r f'l1hl't stets diejenige Orien­tierung del' Ionen, bpi del' die Acbse ihres iiu13el'ste.n Ringes senk­recht zu f' zeigt; eine Ausnahme davon maeht nul' KF, n, = 3, mit parallel zu I' gestellten Aehsen. da die Senkrechtstellung dort negativen Radikanden in (I 3) ergibt. Innerhalb del' einzelnen Ionen wurtlf' gekreuzte Ringstellung angenommen: mit del' erwiibnten Aus­nahme zeigf'n also die Acbspll del' zwpit1ill13ersten Ionenringe par­allel ZIl 1'.

Die theol'etiseiwll Werte der Tabelle 2 eignen sich iibrigens nicht, mm Vergleicll mit del' Erfithr'!-ng, wei! fiir die einzelne Molekel die empirische Definition (If's Molekeldurchmessflrs /' (Wirkungssphiire) zu nnbestimmt ist. Erst im Kristall geM del' Atomabstand in die aueh empirisch wohldefinierte Gittflrkonstante iiber (§ 6). Die Betrachtungen diescs Paragraphen sollpu nul' znr Erl1iuterung uer angewandten Me­thod£' dienen unu nuf uie folgenden kompliziert~Ii Betrachtungen an Kristallen vorhereiten.

§ 3. Del' Elementarabstalld fiil' eine Klasse regularer KristaIle.

Wir wollen nun das im ~ I pntwickelte Potential zweier Elektronen­ringe anwenden auf den hekannten reguliiren Gittertypus, w dem das Steinsalz gehort; wir nehmen also an, daB in den Eckpunkten eines kubisehen Raumgitters ahwechseln<I Ringsystpme del' in § 2 heschrie­henen Ionenarten liegen. Wir b<'nlltzen dabei die Bezeicll1lungen, die in dem Buche von M. BORS, Dynamik del' Kristallgitter', gebraucht werden. Besteht <Ins Hitter aus mehreren (8) ineinamler geschobenen einf'achen Gittern, so solleH uipsf' <lurch Indizes k = I , 2, .••. ~ unter­,chieden werden. \Vir betrachtcn nUn zwei Gittel'pllnkte. von denen del' eine im Elementar-Pa.ralleh'piped 1= 0, m = 0, n = (> liegt, also (lie Indizes (oook') llahl'n mogl', wiihrend die des amlern (lmnk) seien, lind nehmen an, <la13 ih,·., 'V('chsP-iwirkung ,lurch pin Potential cf>J~~) hf'-

! M. BORN, Dynamik cler Kristaligittt'.r, I.eipzig, B. G. Teuhner 1915-

48 ALFRED LANDE

1059 Gesamtsitzung vom 14. November 1918. - Mitteilung yom 17. Oktober

schrieben sei. Das gesamte Pot.ential alIer Gitterpunkt.e auf die 8 Punkte (oook). k= 1. 2 ... ·.~. ist dann

(15)

wobei derStrich an demSummenzeichen bpdeuten solI, daB die sGlieder cp~~ (k = I, 2.' .. s) auszulassen sind. Die Symmetrievel'hlUtnisse der be­trachteten rl'guliiren Kristallklasse und die Anordnung dpr beiden Ionen­arten in den Wiirfelecken bringt es nun mit sich. daJ3 die relative Konfigul'ation del' Gittt'l'anordnung (kubisches Gitter) und aUe vorkom­wenden Winkel (Achsenrichtungen von Elektronenringen) im unverzerr­ten Kristall von vornherein festlipgen und nur die absolute Dimension li des Gitters, unabhiingig von Symmetrieverhiiltnissen. kontinuierlich verii.nderlich ist. Entwickelt man daher me Einzelpotentiale cpl~.t;? nach diesem ehlen unabhiingigen Parameter des unverzerrten Kristalls in del' Form

(16)

so wird aus (15)

(16')

Gleichgewicht bei fehlendem iiuJ3eren Druck herrscht unter del' Bt'­dingung cp = Minimum, d. h.

dcp (k

dli = 0 =~h.l'·-oo(>, . •

Dureh die Potentiale (10) wirken lIun zwei ionisierte Atome in groJ3em Ahstand mit COuLOMBSchen Anziehungskriiften aufeinander, und erst bei Anniiherung treten AbstoJ3ungskriifte hinzu. Daher ist das gewichtigste

(-oj

Glied del' Reihe (16') das Glied 8- 0 ", und wir werden sehen. daB das niichst hlihere Potential in dero betrachteten Kristall erst vom - 5 ten Grade in lJ ist. Also hat (17) die Forro

(-.j (-'J 0= (-1)8-' "'+(-5)lJ- 6 "'+"',

und ihre Llisung ist. in erster Niiherung

(18) ~'~ 8= -5"'. (-.j

'"

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 49

M. 80,.,.. und A. LANDE: Absolute Bereohnung der Kristalleigeneehalten 1060

Damit ist die Bestimmung der absoluten Gittergrol3e lJ auf die Auf.. gabe reduziert, die GroJ3en

(18') (4) (4)

"'=~~S''''l~~ 10 i' Ima

zu bereehnen.

§ 4. Das Potential des kubisehen Raumgitters.

Es liege also ein kubisches Raumgitter VOl', bestehend aus zu­niichst nur zwei Sorten von Elel{tronenringen,. unterschieden durch ihre Radien a und Ladungen E. Die Achscn jeder del' beiden Ringsorten sollen abel' noch vier verschiedenen Orientierungen im Raumgitter an­gehoren, so daJ3 in jedem Elementarkubus im ganzen 8 voneinander zu unterscheidende Ringe vorhanden sind. 1st .Q:.der Elementarabstand von einem Ringzentrum zum niichsten Ringzentrnm del' anderen Sorte, so hat man 8 ineinandergestellte Raumgitter k = [, 2, ••• 8, die wir aber statt durch den einen Index k durch drei in lJ gemessene Koor­dinaten £,J,k charakterisieren wollen, wiihrend die Indizes l,m,n den Elementarwiirfel angebell sollen. Aus den 8 Gitterpullkten

(19) V~~) = (~~~), (0~/~~2), C~~~2), C~~~o) C/~'~~/2), C~2:00), eo'~200), (~oo'~')

gehen donn aile iibrigen hervor durch Einsetzung aller positiven und llegativen gonzen Zohlell fUr 1 m n 1 • Fiir die eine Ringsorte ist die Summe i + J + k ganzzahlig, fUr die andere Sorte durch 2 gebrochen. 1m Einklang mit del' Symmetrie des reguUiren Systems nehmen wir an: Die Achsen del' 8 Ringe (19) zeigen nach dem Punkt ('/4' '/4' '/4)"

Die Richtungskosinus del' Ringachsen des Ringes l'~ n haben dann ( "k) die Werte

(20) (-1),1

Y3 (_I)';

-Y3 (-I)""

¥3'

Die Entfernung "i:t~) ,Ies Ringes (:~~) von dem Ring (~~~) ist

gegeben durch

(20') rl~~ = Ii.p = lJ·Y(l+i)'+ (m+Jj'+ (n+k)' ;

1 2i, 2j, 2k sind stets ganze Zahlen, 4;, 4j, 4k stets gerade Zablen. Doge!(en sind /+;, m+j, n+k gan,e oder duroh 2 gebrochene Zahlen.

• Dieselbe Anordnung del' Ringachseo beoiitzt auch Hr. A. C. CREHORE in der obe" ,itierten Arbeit und erlautert sie duroh Figuren.

(22)

50 ALFRED LANDE

1061 Gesamltiitzung "om 14. November 1918. - Mitteihmg vom 17. Oktober

die Richtungskosinus

(20")

del' V ~bindungslinie sind

l+i m+j n+k p

Bedt>utet, also S!~~ <len Winkel zwischen del' Achse drs Ringes ( iik) lmn

und rg;{!), und S(~~~) den Winkel zwischen del' A chse des Ringes (00 0) 000 und rl:t!), so wird

1 >I('j') - (-I),"(l+i)+(-I)'i(m+j)+(-I)"(n+k)

cos .... Zmn - 11 • p'r 3

"(000) _ (l+i)+(m+j)+(n+k) cos J 000 - ' p' y 3 .

(2 I)

Dagegen wird del' in (6) eingefiihrt.e Winkel sl~~ zwischen den Achsell

del' Ringe (Iii k) Ulld (000) gegeben durch mn 000

(2 I') .' (_I),i+(_l),j+(_l),k

cos E!'~'!! = '-----'---'---'---'--3

Ferner wil'd aus (2 I) I ' SI'jk) - ~ l 2 (I + i)(m + j) (- t),i+'J + .. '1 cos Inn - J + a2 '

(2"') 3 , 1 ,''''(0001_ Il 2(I+i)(m+j )+"']

COS J 000 - - I + . 3 p'.

Summiel't man (2 I") Ubel' die Indizeskombinat.ionen

( iik) (-ijk) (i-Jk) (ij-I.:) jmi.t j e6permutationen lmn -lmn .I-mn lm-n bel Vertauschung von

( -i-j-k) (i-i-k) (-ij-k) (-i-jk) i j k -l-m-n l-m-n -lm-n -l-mn I: m', n

(d. h. im ganzen 6,8 = 48 Kombinationen), so fallen durch diese Sum­miel'ullg (Summenzeichen 2) alle Gliedel' fort" welche Produkte (t + i), (m+j) \lSW. enthalten, und es bleibt iibrig

worin del' Zahlenfaktor CI%~ im allgemeinen, entsprechend del' Anzahl del' Kombinationen (22), den Wert 48 haben wird. Kommen abel' unter den Zahlen ij k, 1m n N ullen vor, odeI' sind unter ihnen gleiche Zahlen, so ist die Anzahl CI:~~ del' Kombinationen (22) verkleinert. (Vgl. die Werle von C in TabelIe 3, S. 1065.)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 51

}1. BORN und A. LA"D'" Absolute Bel'echnung riel' Kl'istalleigenschaften 1062

In derselhen Weise findet man dann

2 cos' Slijk) - 2 cos' SIOUU) - e!ii',. ~ [I + 4 (l +il.'.(m + JJ'+ ~--l >L 1m" - 000 - mn 9 ,,4, '

2 cos'd%~ =;= Cw,,~· HI+fC(-I),i+'i+ ... )],

r l (l+i)'(m+J')'(-r)"+'J+ "'J 2 cos' "-Vik). cos' Slooo) - erik). -- 1+4 --~~----.'---'~-'-~~-..., mn 000 - mfl 9 p4 '

2 cos S-i'~~i. cos &I:~:). cos el%~) = C!%~). r [(- r)"+ .. jJ(1 + ir (-0'i+ '..:1 CJ

Fur die in (7) eingefuhrten Funktionen erhiilt man also die Summen

2 P, (cos Sl~~') = 2 P, (cos &':::)) = o.

2 P (cos &iiik) - 2 P (cos &(000)) = ejij '). (_ .L){ r _ 5 (l +i)Jm."",::J)'~ ____ .:..} 4 ~ 1m" - ~ 4 '000 mn 18 a 4 '

2 Q4 (.9-~%~, S-(~~~), c}%~)

= Cli~~.2.{(_ rri+'iI15(1+.!)~(~--l=ir + .5~n+~.l.' -4] + ... }. 9 I p' p'_

Da durcb die Summation 2 zu jeder Kombination (/!.~) auch aile Kombina.tionen mit negativen Indizes erscbiipft sind, so erhiilt man

das Gesamtpotent.ial 4) auf (000) durch Summation tiber aile Punkte 000 (19) und aile nus (19) hervorgehenden Punkte mit vprschwindenden

oder posi tiven Werten lmn, mit Ausnahme des Punktes (000)' seIher. 000 Es werden also durch Einsetzung von (24), (24'). (24") in (10) die Ent.wicklungsglieder von (I 6')

mit den Abktirzungen

Aliik) _ J--.{ _ (l+i)'(m+J)'+'" \ hnn - 48 I 5 ::;4 J :

Elik) r { ,i+"l3S(l+i)'(m+J)' s(n.+k)' ] } l,;!n==U(-l).1 0 4 + ;;' -4+"',

p' = (l+i)'+(m+j)'+(n+k)'.

52 ALFRED LANDE

1063 lies:lITltsitzung vain 14. l\oH'mbel" HH8 . . - ~'litteilullg vom 17. Oktober

§ 5. Das Potential (- I)ter Orunung (nach MADELUNG).

Urn uie in (25) auftretenuen Summen auszuwerten, kann man sich (-s)

bei <I> auf uie paar ersten SummengJieder beschriinken, ua die ent-fernteren Partikel wegen del" Faktoren 1/05 sehr msch abnehmende

(-I)

Beitriige liefern (~6). Urn aueh <I> zu berechnen, dessen Glieder den nUl" langsam mit uer Entfernung abnehmenden Faktor lip besitzen, hf'nutzen wir cine allgemeine Methode zur Auswertllng von Potentialen im unendlichen Hitter, welche Herr K MADELUNG gefllnden hat und demniichst in der Phy'. Zeitscbrift publizieren wird. Ihr Resultat in der speziellen Anwendnng anf das hier benutzte kuhische Ranmgitter soll im folgendcn wkdergegeben werden.

MADELUNG setzt das Potential im Nullpunkt. herriihrend von den andern>Gitterpunkten eiues kubischen Raumgitters von ahwechselnd po­sitiv undnegativ gel'l(ieIH>ll Punkten ±r'. aus <irei Summanden zusammen:

(-'i ()')-' f ~. ~,' .} (27) 3-' <I> =r" 2> l~<I>p+~<I>"+~"'E =f'.J-',z{",},

cl wobei 2 del' AbstaIlll von eillem positiven zum nii.chsten negativen

Partikel ist: das Gitter selLst soli im x y z -System ol'ientiert sein>

I. <l> p ist das auf den Element3l'abstand I reduzierte Potential eines Gitterpunktes P der .c-Achse auf den Nullpunkt ::i: <l>p ist die Gesamt­wirkung aller dieser Gitterpunkte (mit Ausnahme des Nullpunktes seIber), niimlich Wf'gell des abwechselnden Vorzeichens der Ladungen ± e und del' El'stl'eckllng del' x-Achse ins Positive und Negative:

mit dem Zahlenwert

::E;'<l>p=-2ln2 =-1.3862.

II. <l>L ist das Potential einer parallel zul' x-Achse laufenden Gitter­linie der Netzebelle z = o. ::E;' <1>" ist die Gesamtwirkullg aller dieser Gitterlinien (mit Ausllahme der .x-Achse seiber), fur welche MADELUNG die Reihe angibt [H~') = nullte HANKELsche FUllktion I. Art']:

I Hr. MADELUNG benu!z! die kUl'ze Bezeichnung ir. H~) (ix) = Ko (x). 2

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 53

M. BoRN and A. LANDE: Absolute Berechnang der KristalleigensehaCt.en 1064

in welcher uie Summen nach n nul' iiher aile ungr:\tlen positiven Zahlt'n zu erstreeken sin,l unu all13erol"ut'ntlich rasch kom',>rgierl'n, ebenso wie die Reihe del' Summen selbst. 1I111n finuet deu Zahlcuwert

(29') I' cI>j; = -0.225·

m. cI>E ist das Pott'ntinl eint'r pnrallel zur Ebeue z = 0 laufeuden

N('tzcbeue, ~'cI>E die Gesnmtwirkung aller dit'ser El>eu('n (mit Allsuahme der Netzebeue z = 0 sclbt'l'), fiil' welchI' J1iADELt:NG die Reihe allgibt

Die Summen sind uber aile ungeraden positiYen Zllhlen m und n zu erstreeken und konvergiert'n rasch. 1I1an findet numerisch

Betlt'nkt man, dall in jed"m Elcmental'kubus 4 pORiti,-e und 4 llegative lonen Iiegen, so l'rhfi.lt man numel'isch- aus (27)

(-.)

(31) cI> = 2.8·(-L386-o,225-0.131)e' = -27,878'.

~ 6. Das Potential (-5jter Ol'unung. Vergleich mit del' El'fahrung.

(-s) Bpi der Berechnung von cI> nus (25) br'seh!'~nkt'n wir UIlS wt'gen

tIer Ahnnhme der einzeluen WietIer mit. I / ~s Ruf tIas gt'genseitige Po­~

tential derjenigen Glieder. ucren Abstand kleinc!' odcr gleich z· 3 ist,

d. h. auf die 122 Z11 (000) benachbarten Pnrtikel, fijI' weicht' p::S~ 000 - 2

ist. Dieselben sind charakterisiprt clurch Jie C!::i~) Koml,inationen (22)

und hesitzen die in folgender Tabelle zusammengestelltcn WertI'

- .Ai~~)· Ci%~ :e5 und B~'~~. Cl~~l Ip5 ,

welche ill (25) einzusetzen und zu summit'ren sind. Man sieht aus dieser T,thelle die starke Ahllnhmc d('r Groi3en in

.I .. n bei,len letzten Spalt.en nuf weniger als d('n 200ten Tdl .It·s Bei­trags uer llachst henat'hhnrten lonen. Dil' Bt'ilriige d"r noell \vt'iter elltl"l'rntl'n, nicht in Tabelle 3 I ... riieksichtigt. .. n lonNI konnen 'llso fort­gt'lasst'Il werden, um so mehr als illre Vorzeichcn zwischt'n + uud - wechseln.

Unterscheidet man die LidJell Ringsorten durch ihre Radien a ..

und a_und summiert man uach(25)die,\Virkung auf (~~~) lH'rriihrend

SitzUDgsberichle 1918. (2)

54 ALFRED LANDE

1065 Uesamtsitzung vom 14. No"ember 1918. - Mitteilung yom 17. Oktober

Tahelll' 3 . . _.

,"k) I A(Ijl<j H(lj') A·C H.C

\/~'1I G - --- --F' I ... lll"t ~., ,;

(lOa) 6 3' 0,146 0.750 -~8.02 +144·0 000

(oB) 12 5.66 000

-0.°365 o.b46 + 2·48 + 43·9

(H~) 8 000

2.06 -0.°963 0.:\88 + 1.58 + 6·39

(000) 6 0,146 I 100

-0.5 84 - 0.81 - 3.50

(too) 24 0.572 0.0292 001

-0.383 - 0·40 - 5.28

eH ) 24 100

0·364 -0.°365 -0.248 + 0.3 2 ....., 2.r;

(000) I. Oil 0,177 -0.0')65 -0·401 + 0.08 - 0.85

(100) 24 0.132 -0.0704- 0.298 -+- 0.22 + 0·95 Oil (!OO) 6 0.132 0.146 0.750 -~ 0.12 + 0·59

100

von den Rin~en 1\('1' ~\eichl'n Sort!' (\\"('\e'''e WlDzzahlige Illdexsumme i + j + k !ll'Sitzell) llllt! !-l:I'S<lIIlI .. rt <lavon <lit, <leI' mlll('rll Ring-sOI·te (wde'he gebrochene IndexSUllllll(' i + j + k ha\ol"llj. so wircl das Potpntial aller

Ringe auf den Ring (~~~), tails er dell Radius o~ hat, gleich

(33) E~E_r(a';+ a~)(- 26·7) +,,':.a~·146.61 + g~E+r(a:':+a:")'2.0+ a':.a~·37.41:

dagt'/ort'n, filII. er d"11 Ra,lins a'-- hnt, gicich <i,'m da"aus elltstehenden Ausdruck, wenn man die iIHlizt's + an a unll E mit den Tntlize's­vertanscht.. Sind weiterhill in den Ringz .. ntr,'n punktformige Ladungt'n (Kerlle) angehracht, ~o er!JlIlt man aus (33) das Potential (- s)ter Ordnung zwischen KernPll und Ringen, indem man 1'3ssellll a flir einen Ring gleicll Null s .. tzt.

Jt't,zt wollen wi .. annt'hmt'n, daB statt, des .. inell Ring-t"s a+ mehrt'rp konzt'tttrische. komJll:uwre Ringe mii den R1Hlipn 0kt UlIlI <ll'tt L~dnll' gen E+ = -f·P,.. vnrhanden se;"n. derell Achspn alit> dil' gleid.t" Orientierung hahell', und ehenso mehrt're kottzl'ntJisclte. gleicltge··

1 NaCl 1St regula)' holoedl'isch, die ubrig-en Halogen-Alkalisalze sind reguUir plagiedrisch. Cnsel' ~lod"ll aus komplanal'en Ringsystemen gibt diesp.n Unterschied zunachst niehl wieder. "ielleicht beruht el' auf einer abweicheodeu Stellung del' inneren Ringe, was anf' das Ergebnis del' folgenden Reehnungen nul' gelingen Ein­tlnB bitle.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 55

M. BORN und A. LANDE: Absolute Berecbnung del" Kristalleigenschat\en l066

richtete Ringe der (-) Sorte. Ferner soll die Gesamtladung des (+) Ring"ystems mit Kern (+ Ions) gleich + I • P, (lie dt's anderen (- Ions) glt'ieh - I • e sein. Berlenkt man noch, dat.l in (;3 von jeder Sorte yier Ionen vorhanden sind, so erhalt man aus (33). als Potential (- s)ter Ordnung des ganzen Gitters auf den Elementarwiirfel.

Fiihrt man statt der Radien a die rerluzit'rten Radicn el (12), (14) ein, "0 wird mit Hilfe VOll (3 I) aus (I8)

[ 4' 5 I I ( " )' ( )' I (34) .:\=0,5 28 '10-' 27,87\37,4 ~PHGt" +~Pk-Gt;,-

- 57,4 r~Pk.Gtt.- ~Pk-Gtt-I + 293,2' ~Pkt el;+' ~p'-elk-n'/4cm. In den foJgenden Beispielen wollell wir die in ,(34) eillzusetzenden reduziertcn Radien" nieht aus der Naherungsforrnel (14) hereclmen, sondern aus del' exakten Beziehung

n. elk = Zk+Ak ' (351

Das ZusatzgJied Ak triigt dcm Umstand Reehllllllg, dat.l dit' auf den hen Hing "wil'hame Kernladungszahl« nieht nur von der' inllt'rhalb ak lit'gelldcn Lll(1 un gsza II! ahh;;ngt, sOlltlern dnt.l auell die ra um­liche Anordnung aller inIlerhalb uncI uut.lerhaJb fl. Ji~genden Ringe <las auf den hen Ring wirkend" FpJd j,pt'intlut.lt. lInter (In AnnahIlle, dat.l iIll Krbtallwrlw][(l aile Rin!!"e rinl's Ions in tlerselben Ebene Iiegen, hat das Zusatzglied AI' die (~estaltl

A,. = --- "Pj ,,}, +- ... Pi -"- . 3 ..... ' ("")' 1 '" (' '" )' 4 i<k XJ,: 2 j>k , «-j

Es bewil'kt, dat.l del' "uBerste Ring etwas vergroBel't wird. \Vip-viel die durch A. hervol'gebracllte Anderullg" aer Ringradien ausmacht, er­j,eunt man aus dem Vel"gJcich der j(llgendcll lIach (35), (35') gerech­neten reduzierten R"dirll "'!" mit. <iellen lIach (141 g(,l'I'{"l1l1l'ten Radien ,leI" Tabelle I.

Del' in der TabeJle [ aneh heriichiellt.igte Fall fl., = 3 tllritter' Ring 3 'l'mntig) ist "on d<lrt, unver;;n,1"rt zu iilwl"llehmen, wei! ,lie Korrek­t imwll iI'k dann nad, (35') mi' <1('11 iiut.lerstt'll Ring nlll" \Cl'r",hwinllend klein werden.

I A. SOMMERFELD <t. a.. O.

56 ALFRED LANDE

1067 GesamtsitzllDf{ vum 14. November 1918. - ~litt.eilulig vom 17. Oktober

Tabelle 4.

z p. (nl=J)

p, (n,=2) ( rl3=2) .. a, T', .,

I~i + 0.364 N. + " 0.093 0.649 li+ 19 0.053 0.278 0·754 F- 9 0.114 0·959

CI - 17 0.060 0.325 1.097

Die Wert.e del" Tabe11e 4 in (34) eingesctzt ergeben folgende Grlil3en 8 X 10' em l :

Tabelle 5.

Bert'chn. Beob. BeJ'echu. Beob. BI'l'ecllll. Beob.

LiF 3·60 4·00 N.F 4·86 4·60 KF 5·34 5.31 (7·3)

l.iCI 4. 19 S·1I Nan 5·44 5·59 Kel 5.90 6.24

(7·7) (7·81 (11.0)

Bei den Verbindungen des K und denen des CI ist die obere Zahl der Tabelle mit 2 'luantigem, die nntere eingpklammerte mit 3quantigem dritten Ring bCl'echnet. Die Uhereinstimmung del' er,ten Altern:ttive uml die Diskrepanz der zweiten mit den bpohaehtetell Werten 2 scheint zugunsten del' Annahme zu sprel'hell, dal3 <1,-r dritte Elektronen­ring der Kristallionen 2quantig ist. In folgender graphischl'n DarsteHung del' Tabelle 5 sind die beobachteten Wert<> von .1'.10' als Kreise, die mit 2 quantigem bzw. 3 quantigem drittell Ring herech­neten als Striche hzw. Kr('uze eingptragen. Wiihr£'nd die Annahme Ii, = 2 gute Ubereinstimmung mit der Erfahl'ung giht, fiihrt die An­nahme n. = k fiir k::;:: 3 zu hetrachtlidlen Ahweichungen.

Die Gl'iinde, welche die Allgemeillheit der SOMMERFELD-KRooschen Annahme n.::;:: k fiir <lie jeweiligen aul3ersten Elektronenringe verbieten, sind in § 2 auseinandergesetzt. Die Diskrepanz zwischen Erfahrung

I M. R"INOANUM hat bemerkt (Bel'. d. Deutsch. Phys. Ges., 2 I. Sept. 1904, p. 293), daJ3 sich die Molekularvolumina der Halogensalze BUS den Quadraten der Atomvolumina der Bestandteile lineal' zusammensetzen. Seine empirische Formel hat eine gewisse :\hnlichkeit mit IInserem Ausdl'Uck mr 1,' nach (34).

2 Die als beobachlet eingelragewm Werle der Tabelle 5 sind aus den spe­zifi.ehen Gewichlen e mit Hilfe der Atomgewichte u und der AVOGADROschen Zahl N = 6.2.10'3 abgeleilet nach der Formel

3 3

~_1/4("'+"-) _ 86 0".1/"++"-- r Ne - I. • I r --e- .

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 57

M. BoRN und A. LANDE: Absolute l3ereehnnng der Kristalleigeuschat'ten 1068

FIfI·2. ).":x10 IJcm iiul1ershHI .

Ning(n.r2)

11 01Beo6B tung

o r----=-lza"ari n .2 '0 9

... n3~3

Ii C10 7

6 li 0

5

+ N·O 3

2 KO 1 0 ..

llf N., I,' [, CI tkc/ J(CI

und Theorie bei del' Annahme n. = k.wiirde bei den kristallischen Ver­bindungen der hoheren Elemente Rb, Cs und Br, J mit mehr ala drei Ringen noch auf fallen del' werden; jedoch wollen wir diege Elemente mangels l,egriindeter Vorstellungen fiber ihren Aufbau llillr nicht be­halldeln, sondern uns mit .der Theorie del' Gitterkonstante lJ f'iir die einwel'tigen Ionen aus den drei ersten Reihen des periodischen Systems begniigell. DaJ3 keine volle Ubereinstimmung mit del' Erfahrung erzielt ist, kann an Unvollkommellheiten del' benutzten Atommodelle, besonders del' jeweiligen iiuJ3ersten Tonenringe, liegen (dagegen hat eine GroJ3eniinderung del' inneren Ringe und die Art ihrer Orientierung im Raumgitter wegen del' Kleinheit ihrer Radien a nul' geringen Ein­tluJ3 auf den Wert [34] von lJ). Sodann benutzte unsere Theorie die offenbar nicllt korrekte Vereinfacftung, daJ3 die Potentiale hoherer aIs (- s)ter Ordnung in del' Reihe (17') zur Bestimmung von lJ auJ3er acht gelassen wurden; doch haben wir uns iiherzeugt, dal3 diese Vernach­Hissigung durchaus erlnubt ist. Endlich ist nicht beriicksichtigt, daJ3 durch das Feld del' iibrigen Ionen die Elektronenbahnen jedes einzelnen Ions veriindert werden. Abel' auch diese Wirkung kann das Resultat nicht wesentlich bl'eintlussen.

Wir hllben auch versucht, die Kompressibilitiit x zu berechnen. Wiihrend die I'rhaltl'nen x-Werte von Kl'istall zu Kiistall den richtigen Gang zl'igen, ergeben sich absolute Werte f'iir die Zusammendriickbar .. keit, welche durchweg doppelt so groB als die beobachteten sind. Wir bebalten uns VOl', auf diese Diskrepanz zuriickzukommen.

Ausgegeben IIln 21. November.

8erllD. gedruckt itl del' keiehsclrneWei.

Silzunglberichto IDl~. (3)

58

210

PAPER 13

)1. Born und A. Lande, [Xr.21/24.

Vber die Berechnung der Kompressibilitlit regullirer E10 istalle aus del' Gittertheorie;

von M. Born und A. Lande.

(Eingegangen am 8. November 1918.)

Nachdem wir gezeigt haben 1), daB sich die Gitterkonstanten der reguUiren Kristalle vom Typus des NaCl berechnen lassen, wenn man die Atome als BOHRsche Elektronenringsysteme mit bestimmten Achsenrichtungen annimmt, sind wir daran gegangen, die iibl'igen Kristalleigenschaften aus diesel' Vorstellung abzu­leiten. Am einfachsten gestaltet sich die Berechnung der Kom­pressibilitaten; dabei hat sich nun, wie wir bereits am SChlusse unserer zitierten Abhandlung andeuteten, herausgestellt, daB die berechneten Kompressibilitaten gerade doppelt so groil heraus­kommen als die beobachteten. Die aus BOHRschen Atomen auf­gebauten Kristalle sind also zu weich. Diese Tatsache erscheint uns sehr schwerwiegend aus dem Grunde, weil zu ihrer Ableitung keinerlei besondere Voraussetzungen iiber die Elektronenringe der Atome notwendig sind, son del'll nur ein allgemeines Resultat iiber das AbstoBungsgesetz der Ringe, daB namlich die potentielle Energie dieser AbstoBung mit hinreichender Naherung umgekehrt proportional del' fiinften Potenz der Gitterkonstanten 0 ist.

Wir haben gezeigt, daB die potentielle Energie pro Elementar­wiirfel (mit geniigender Naherung) die Form

a b IP=-(f+(fo

hat, wo das erste Ulled die elektrostatische (CoULoMBsche) An­ziehung der in ihren Mittelpunkten konzentriel't gedachten Atom­ladungen und das zweite Glied die genannte AbstoBungswirkung der Elektronenringe darstellt.

') M. BORN und A. LANDE, SitzuDgsber. d. Konig!. PreuLl. Akademie d. Wi.sensch., 17. Okt. 1918, S. 1048. V g!. auch die voranstehende Arbeit.

Reprinted from Deut. Phys. Ges. 20, 210-216 (1918).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

1918.] Uber die Berechnung del' Kom pressibilitat uew, 211

Anstatt nun mit diesem Gesetz die Kompressibilitat zu be­rechnen und zu zeigen, dall sie dann urn das Doppelte ZU groll berauskommt, wollen wir von dem allgemeineren Ansatze 1)

a b t:[J=-If+d~ 1)

ausgeben und beweisen, da13 del' Wert n = 5 mit den beobacbteten Kompressibilitaten unvertraglich ist und durcb n = 9 ersetzt werden mull. Die einfacbe Recbnung gestaltet sicb folgenderma13en:

Die Gleicbgewicbtsbedingung lautet t:[J = Min. oder

t:[J' = ;. -0~~1 = o. 2)

Hieraus baben wir friiher unter der Aunahme BOHRscber Atome (n = 5, a und b bekannt) den Gitterabstand 00 berecbnetj wir wollen jetzt umgekebrt 00 als durch Beobachtungen bekannt anseben und b aus 2) berecbnen:

b - ~ on-1 - nO' 3)

Durch nocbmaliges Differenzieren folgt aus 1) mit Beriicksichti­gung von 3):

1/ 2 a n (n + 1) b a t:[J = - -03 + --On +2--- = ;fii (n - 1).

o Daher lautet die Reihenentwickelung der potentiellen Energie pro Elementarwiirfel:

a(n-l) (0-00)2 t:[J = t:[J0 + -,f'---' --2- + ...

o Die Anderung des V olumens dieses W iirfels sei

Li = 03 -0; = 30i(0-00)j daber hat man bis auf Glieder von b6berer als zweiter Ordnung

a(n-1) t:[J = t:[JO+18~Li2.

o Daraus berechnet sicb der Druck

P = _ d~ = _~(n-1) Li dLi 9 oJ .

1) Einen Ansatz dieser Form hat auch Herr E. GRUNEISEN seiner Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente [Ann. d. Phys. (4) 39, 257, 1912J zugrunde gelegt; doch fehlt bei ihm die Vorstellung, daJl die Auziehungen elektrostatiBcher Natur sind (Exponent - 1 VOIO 0), und damit die Moglich­keit exakter quantitativer Schliisse.

59

60 ALFRED LANDE

212 M. Born und A. Lande, [Nr.21/24.

Die Kompressibilitat ist definiert durch

1 dv 1 dLl " = - v d p = - 6t d p j

mithin folgt 964 ,, ____ 0_.

- a(n-l) 4)

Die Berechnung der Konstanten a ist in unserer zitierten Arbeit durchgefiihrtj sie ist dort mit t (f)(-I) bezeichnet. Nach der Methode von MADELUNG 1) ergibt sich niimlich fiir die elektro­statische Energie aller loneR eines Gitters vom Typus NaCl auf ein einzelnes, wenn der Abstand benachbarter, voneinander ver­schiedener loneR gleich 1 gesetzt wird, der Wert 2)

-e2 .(1,386 + 0,225 + 0,131) = -e2 .1,742.

Ais Elementarwiirfel hat man nun einen Bolchen zu nehmen, dessen Kanten 60 parallel den Achsen von einem Ion zum niichsten gleichen Ion reichen und der von jeder 80rte vier loneR enthiilt. Daher ist die potentielle Energie aller lORen auf die eines Elementarwiirfels

8 e2

llo/2 e2 • 1,742 = -(fo.2.13,94.

Sind in der Volumeneinheit N Elementarwiirfel, so erhiilt

man die Energie der Volumeneinheit durch Multiplikation mit ~, weil bei der Summation jedes lonenpaar doppelt geziihlt wird j die Energie der Volumeneinheit ist also

e2 -~.13,94.N,

und hieraus folgt durch Division mit N die Energie pro Elementar­wiirfel

a 13,94e2

-00 = --6-0-'

Es st also a = 13,94e2• 5)

1) E. MADELUNG, Phye. ZS. 19, 524, 1918. 2) V gl. M. BORN U. A. LANDE, I. c., § 5, Ende, Formel 31. V gl. auch das

Beispiel bei MADEL UNG, I. c., S. 531, dessen Gitterkonstante a gleich 2 d' iet, wodurch der Zahlenwert doppelt so gro.B herauskommt. Bei BORN~L.UfDE, I. c. S. 1060, Zeile 11 iet der sinnentstellende Druckfehler d' in d' /2 zu ver­beseern.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

1918.] Uber die Berechnung der Kompressibilitat usw. 213

Die Gitterkonstante ~o berechnen wir aus der Dichte ~, den Atomgewichten 14+ und 14- der Ionen und der AVOGADROSchen Zahl N = 6,2.1023 :

~o = V~(I1'~V~~L)= 1,86.10-8V/L+~-'U=. 6)

Dann erhalten wir mit e = 4,76.10-10 elektrostatische Einheiten aUB 4), 5), G) zur Bestimmung von n:

n = 1 + 3,41 . 10-13 ~ (/L+ ~ /L-r3• 7)

Die Kompressibilitat x ist fur 12 Halogensaize von RICHARDS und JONES 1) gemessen worden; von dies en scheiden die Silber­saize hier aus, weil diese nach allen unseren Kenntnissen nicht kristallinisch, sondern amorph sind. Fur die iibrigen neun Salze gibt die folgende Tabelle die nach 7) zur Berechnung von n notigen Daten Bowie die daraus gewonnenen Werte von n:

,(1+ , ,u_ I ~ xbeob. I n I Y.ber. I

NaC!. 23,0 35,5 2,17 4,1.10-12 7,75 3,46.10-12

XaBr. 23,0 79,9 3,01 5,1 8,41 4,73 XaJ 23,0 126,9 3,55 6,9 8,33 6,30

KCI 39,l 35,5 1,98 5,0 9,62 5,36 KBr 39,l 79,9 2,70 6,2 9,56 6,64 KJ. 39,1 126,9 3,07 8,6 9,10 8,68

TICI 204,0 35,5 7,02 4,7 9,00 4,69 TIBr. 204,0 79,9 7,54 5,l 9,43 5,36 TIJ. 204,0 126,9 7,056 6,7 9,60 6,76

Der Mittelwert der so berechneten n- Werte ist 8,76; das widerspricht dem Werle n = 5, der sich aus der Annahme BOHR scher Elektronenringe ergeben hat. Die nachste gauze Zahl ist

n = 9.

Mit diesem Werte sind die in der letzten Kolonne zusammen-gestellten Werte von x berechnet, namlich nach der aus' 7) folgen­den Formel

" = 4,26. 10-1< (14+ ! 14_~ )". 8) -------

1) TH. W. RICHUDS und GR. JONES, Journ. Amer. Chern. Soc. 31, 158, 1909. Wir entnehmen die Zahlenangaben von ~ del' kritischen Zusammen­stellnng von W. VOIGT in seinem Lehrbuch der Kristallphysik, § 362, S.72O.

61

62 ALFRED LANDE

214 M. Born und A. Lande, [~r. 21/24.

Die Figur veranschaulicht die 'Obereinstimmung, die man im Hinblick auf die Schwierigkeit der Kompressibilitatsmessungen als recht gut bezeichnen mull.

In die Figur sind aullerdem noch die Werle von "ber. uud Xbeob. fiir Flullspat OaFs eingetragen. Das Gitter dieses Kristalls ist von den bisher behandelten ganzlich verschieden. Der Elementar-

X·1012

10 )( Beobaohtuug _ Theorie

* x

X * ~ X

* '5(

4 )(

oL-~--~--~~~~~~~~~~~~~~~F---NaOJ NaBr NaJ IOJ IBr IJ TlOi TIBr TIJ Oa 2

wiirfel, dessen Kante Jo parallel der Achse von einem Oa-Atom zum benachbarten reicht, enthii.lt vier Oa-Atome und acht F -Atome, so daU

do = Y.4(/L+~2/L-) = 1,86.10-s y 1'+ ~ 2/L-

ist. Die Konstante a hat der eine von uns (A. LANDE) berechnet und wird dariiber gesondert berichten 1)j sie hat den von 5) ganz verschiedenen Wert a = 38,7 e2•

Daraus folgt fiir x aus 4) mit n = 9, IL+ = 40,1, 1'_ = 19, I? = 3,18:

"ber. = 1,54.1O-u (1'+ ~ 21'~y'3= 1,10.10-12.

Del' beobachtete Wert betriigt2): "beob. = 1,16.10-12 ;

die 'Obereinstimmung ist recht befriedigend 8).

1) Vgl. die folgllnde Abhandlung. 2) V gl. W. VOIGT, Kristallphysik, VU, Kapitel, § 872, S.742. S) Man kann· die Formel4) znr Bereehnung der Elektronenladung e aus

Diehte, Kompressibilitat und Atomgewichten benutzen j fUr die 10 oben be­handelten Kristalle ergibt sich als Mittelwert e = 4,84. 10-10 (anstatt 4,76. 10-10), allerdings mit' einem mittleren Fehler von etwa 10 Proz.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

1918.] Ober die Berechnung der Kompressibilitii.t usw. 215

Hatte man n = 5 statt n = 9 genommeD., so wiirde in der Formel 4) fiir "der Faktor n-l im Nenner den Wert 5 -1 = 4 statt 9 - 1 = 8 bekommen, " also doppelt so groB ausfallen, wie wir schon oben gesagt haben.

Es scheint uns nun im Hinblick auf die Verwendbarkeit der BOHR schell Atommodelle zum Aufbau der Kristallgitter von Wichtig­keit, ganz klar zu stellen, ob die Schliisse, die zur Verwerfung des Exponenten 5 und zur Annahme des Exponenten 9 gefiihrt haben, tatsachlich zwingend sind. Wir stellen daher die not­wendigen Voraussetzungen nochmals zusammen:

1. Die Struktur des Kristallgitters. Diese ist durch die Rontgenaufnahmen wohl als vollig gesichert zu betrachten. Aus den neueren Untersuchungen von DEBYE und SCHERRER 1) folgt iiberdies mit Hilfe von Messungen der Intensitii.tsverhaltnisse der Interferenzflecke, daB samtliche zu einem Atom gehorigen Elek­tronen auf engem Raume um den Kern konzentriert sind, derart, daB das Verhaltnis des Durchmessers dieses Raumes zur Gitter­konstanten von der Gro13enordnung 1: 10 ist.

2. Die Atome tragen die der Valenz entsprechende Anzahl von einfachen Ladungen e = 4,76.10-1°. Das wird einmal durch das Vorhandensein von Reststrahlen und die quanti­tativen" Beziehungen zwischen Reststrahlfrequenz und ultrarotem Brechungsindex bewiesen2); sodann haben auch DEBYE u. SCHERRER (in der eben zitierten Abhandluug, § 2) durch Intensitatsmessungen der Interferenzflecke von Rontgenstrahlen den direkten Nachweis der einfachen Ladungen fiir den Kristall LiF erbracht.

3. Au13er dem ·durch Ladungen verursachten Kon­traktionsbestreben _a~-1 besteht ein Expansions­bestre ben b {j-" und sonst keine wesentliche Kraft. Man konnte daran den ken, daB au13er der COULoMBschen noch eine elektrodyna­mische Anziehung der rotierenden Elektronenringe in Betracht kame; eine solche wiirde jedoch einer hOheren Potenz von {j-l proportional sein und ist neben der COULoMBschen Wirkung zu vernachlassigen 3).

1) P. DEBn: und P. SCHERRER, Phys. ZS. 19, 474, 1918; vgl. insbe­sondere § 3, S. 480.

2) V gl. W. DEHLINGIIR, Phys. ZS. 10,276, 1914; M. BOliN, Sitzungsber. d. Konigl. Preull. Akad. d. WiBsensch. 1918, S.604 und Phys. ZS. 19, 539, 1918.

3) Anders ist es bei neutralen Atomen, wo die COULOIIB Bche Anziehung feblt und die niedl'igste Potenz von cJ'-1 im Ausdrucke des Potentials von den elektrodynamiscben Wirkungen belTiihl't.

63

64 ALFRED LANDE

·216 l\I. Born und A. Lande, Uber die Berechnung uew. [Nr.21/24.

Das wird auch durch den Befund direkt bestatigt, daB die Kompressibilitii.t des Flullspats Ca Fs bei unserer Rechnung richtig herauskommt; denn dieses Ergebnis beruht wesentlich darauf, daB das Kontraktionsbestreben durch die COULOMBsche Anziehung dieses charakteristischen Gitters richtig wiedergegeben wird 1).

Es scheint uns, dall gegen diese drei Voraussetzungen ~eine Einwande erhoben werden konnen, und damit ware das Ergebnis n = 9 gesichert.

Dies widerspricht nun unseren friiheren Ansatzen, bei denen die abstollende Kraft auf die Wirkung der Elektronenringe zuriick­gefiihrt wurde. Die von uns auf Grund der ebenen Ringe ge­fundene gute Dbereinstimmung der Gitterkonstanten mit den Beobltchtungen konnen wir nicht als so zwingend anerkennen, wie die voranstehenden Dberlegungen 2). Wir sehen auch keine Moglich­keit, wie man etwa durch andere Anordnung der Ringe zu einem hoheren Exponenten als 5 kommen konnte. Der hobe Exponent 9 liillt sich so deuten, daIl die Elektronen des einzelnen Atoms nach den Richtungen des Raumes gleichmiillig verteilt sind, nicht in ebenen Scheiben. Damit erhebt sich fiir die Quantentheorie eine neue Aufgabe; die ebenen Elektronenbahnen geniigen nicht, die Atome sind offenbar ralHDli~e' Gebilde. Diesel' Schlull scheint uns ebenso gewichtig, wie die Ergebnisse der Forschung iiber die Spektren der Rontgenstrahlen, und trotz der Erfolge, die dort mit. den ebenen Ringsystemen erzielt sind, miissen wir eine Er­weiterung der Theorie im ge~annten Sinne verlangen.

Einige Dberlegungen in dieser Richtung werden wil' dem­p.achst mitteilen.

1) DaJl die Glieder mit d'-5 und d'-7 nicht genau Null sind, iet theo· retisch wahrscheinlich; auch deuten die Abweichungen der ". Werte, be­sonders bei den Na·Salzen, damuf hin.

t) DaJl die aus Elektronenringsystemen aufgebauten Kristalle zu weich werden, baben wir noch auf anderem Wege gepriift; wir haben namlich die Reststrahlfrequenzen berechnet und viel zu lan~same Schwingungen gefunden.

PAPER 14

202 M. Born und A. Lande, [Nr.21/24.

Kristallgitter und Bok'l'sches Atommodell; von M. Born und A. Lande.

(Eingegangen am 5. November 1918.)

In einer kurzlich erschienenen Arbeit der Verfasser 1) wurde der Versuch gemacht, einige regullire Kristalle vom N a C1-Typus als Aggregate BOHR scher Atommodelle aufzufassen und die ab­solute GroJ3e ihrer Gitterabstiinde aUB universellen Konstanten und ganzen Zahlen (Atomnummern, Valenzzahlen usw.) voraus­zuberechnen: Ein positives Alkaliion und ein negatives Halogen­ion, aufgebaut aus positiven Kernen und Elektronenringen, wirken in groJ3er Entfernung so aufeinander, als seien ihre Ladungen in ihren Zentren punktformig vereinigt, mit elektrostatischem COULOMB schen Potential. umgekehrt proportional ihrem Abstand r. In groJ3erer Niihe macht sich jedoch ihre Struktur bemerkbar in Zusatzpotentialen proportional der dritten, funften usw. Potenz ihres Abstandes (die geraden Potenzen von r fallen durch Mittelung uber aHe Phasen der Elektronen auf ihren Kreisbahnen heraus) und man erhaJt das Gesamtpotential zweier solcher Ring­systeme in der Form:

(-1) (-3) (- 5)

1/1 = r 1.1/I + r3. t/J + r5. t/J + "', 1) (-H)

worin die Koeffizienten t/J von den Radien und riiumlichen Orientierungen der beteiligten Elektronenringe abhiingen.

Fiir den Kristallverband, wo jedes Ion unter dem EinfluJ3 unend­lich vieler anderer lonen eine Gleichgewichtslage annimmt, wurde in der zitierten Arbeit die Vorstellung durchgefiihrt, daJ3 die Ringe eines Ions alle konzentrisch und in einer Ebene liegen und daJ3 die Achsen dieser komplanaren Ringsysteme abwechselnd in Richtung der vier langen Hauptdiagonalen des Elementarwiirfels im kubischen Gitter zeigen. Entsteht also das Kristallgitter durch Reproduktion der acht GitterpUlikte

ijk = 000, too, OlO, oot, 0a, lOl, HO, iH. ------

1) M. BORN und A. LANDE, Uber die absolute Bereehnung der Kristal1-eigenBeha.ften mit Hille BOHR seher Atommodelle. Sitzungsber. d. preull. Akad. d. Wiss. 1918, S. 104.8.

Reprinted from Deut. Phys. Ges. 20, 202-209 (1918).

65

66 ALFRED LANDE

1918.J Kristallgitter und Bohrsches Atommodell. 203

sowurden den Ringaehsen (_1)2i

des Ions (_ 1)2j

(ij k) die RiehtungskosinuB

VB ' Vs' (_ 1)2k

VB 2)

zugesehrieben. Bei dieser mit der kristallographisehen Regularitat vertragliehen Ringorientierung heben sieh dureh Summierung del' Potentiale (1) iiber aHe Gitterpunkte des kubisehen Gitters die mit r-S proportionalen Glieder fort, und es bleibt alB Gesamt­potential tP aHer Gitterpunkte auf die aeht Gitterpunkte des Elementarkubus ~3 iibrig:

(-1) (-5)

tP=~-1.tP+~-5.tP+ ... , 3)

entwiekelt naeh reziproken Potenzen des Elementarabstandes a von einem + -Ion langs einer Wiirfelkante zum folgenden + -Ion. Aus der Gleiehgewiehtsb1ldingung d tPld ~ = ° ergibt sieh dann unter Vernaehlassiguug hoherer Entwiekelungsglieder der Gitter­abstand 0:

V~ 0= =5cJJ. (-1)

cJJ Benutzt man als Ma3einheit den Radius

h2 ao = 0,528.10-8 em = ---

41/:'e'm

4)

5)

des innersten, einquantigen Ringes beim BOHR schen Wasserstoff­atom, ferner die auf ao reduzierten Radien der Elektronenringe 1m + -Ion und - -Ion: jk = 1: KRing

k=2: LRing k = 3: MRing usw.

5')

uud die Anzahlen 11k der Elektronen, welche den kten Ring bilden, dazu die Zahl (BORN und LANDE, 1. c., § 5)

(-1)

cJJ = - 27,84

fiir das COULOMB sche Potential aner Gitterpunkte auf die aeht Punkte des Elementarkubus 03 (reduziert auf Punktladungen e = + 1), so ergibt sieh fiir a die Formel (1. c., § 6):

a = 0,52 .10-8 [2~::4137,4[(..!711kIX:)! + (..!7Pk IX!)::] 6)

- 57,4[(~PkIXO. -(Epk-at)J + 293,2(..!7PkIXn.·(..!7PkIXO-l rem. *

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

204 M. Born und A. Lande, [Nr.21/24.

Um die Gitterkonstanten 8 del' verschiedenen Halogen-Alkalisalze zu erhalten, hat man hier fiir die auf ao reduzierten Ringradien ft. und ihre Belegungszahlen Pk mit Elektronen die Werte ein­zusetzen, welche durch die BOHR8che Theorie und ihre Erweiterung auf hohere Elemente des periodischen Systems nahegelegt werden, und die Summen (.E Pkftn+ usw. iiber aIle Ringe des +-lon8 (bzw. - -Ions) aU8zufUhren.

Die Formel 6) fur 8 ist ~uniichst nul' fUr den Fall auf­gestellt, da/3 in jedem einzelnen Ion aUe Ringe komplanar sind, also samtliche Ringachsen des Ions ij k die Richtungskosinus (2) besitzen. Wiirde man den inneren Ringen davon abweichende Achsenrichtungen zuschreiben, etwa dem zweitiiu.l3ersten Ring des Ion8 ij k die Achsenrichtungskosinus:

( _1)2j

p' (_1)2k

Va ' und dem drittau/3ersten Ring die Richtungen:

(_1)2k (_1)2i (_1)2j

va' Va' V3 '

7)

7')

80 wiirden die Summenglieder in 6), welche sich auf diese inneren Ringe beziehen, mit anderen Zahlenfaktoren aU8zustatten sein. :Va abel' die Radien ft als h3here Potenzen in den Radikanden von 6) eingehen, so bestimmen im wesentlichen doch nur die iiullersten Ringe den Wert von 8; auch bei Verzicht auf Kom­planaritat wlirde 8 keinen wesentlich anderen a18 den nach 6) berechneten Wert bekommen, falls nur die Radien und Urien­tierungen del' iiullersten Ringe erhalten bleiben 1).

Da8 letztere ist nun aber bei Umorientierung del' inneren Ringe keineswegs del' Fall. Nach A. SOMMERFELDS 2) allgemeiner Theorie BOHR scher Ringsysteme sind vielmehr die absoluten Werte der iiu.l3ersten Ringradien ziemlich empfindlich gegen Orientierungs­iinderungen der inneren Ringe. SOMMERFELD gibt dafiir folgende Formeln an. '11k sei die Anzahl del' Quanten, welche jedes Elektron

1) Sohreibt man dagegen auch den auJ3ersten Ringen der lonen eine Orientiernng 7) oder 7') zu, eo andern die Zahlenfaktoren im Radikanden von 6) eioh BO, daJl der Radikand neg a ti v, also rf imaginar ausfiillt. :Vur die Bullersten Ringe ist also nur die Orientierung 2) zuliissig.

2) A. SOMMERFELD, Phys. ZS. 111, 297, 1918.

67

68 ALFRED LANDE

1918.] KristaUgitter und Bohrsc.hes AtommodelL 205

des kten Ringes gemiill der Impulsgleichung (SOMMERFELD, I. c., GL 2):

8)

auf seiner Kreisbahn mitbekommt ("der kte Ring ist ftk-quantig"). Der auf ao 5) reduzierle Radius ". = ak: ao !>') bestimmt sich dann aus der Gleichung (SOMMERFELD, 1. c., Gl. 10):

11, " 8') k = Zk + .Ak '

in welcher Zk die gesamte Ladungszahl innerhalb des kten Ringes (Kernladung Z vermindert um die inneren Ringladungen ~Pi)

i<k vermindert um die "Abschirmungskonstante" SPk fiir p. Elektronen im kten Ring bedeutet (SOMMERFELD, 1. c. S.297):

1 1'-1 1. sp = 4" 2: --:-nl

1=1 sln-

9)

P z. B. S2 = 0,25, Ss = 2,805, S10 = 3,863;

Zk = Z-Ip,- sp". 9') i<k

Neben Zk tritt in 8') noch eine von der gegenseitigen Beeinflussung der Ringe herriihrende Konstante Ak auf, welche den Wert (SOMMERFELD, 1. c., Gl. 20):

Ak = - ~ 2:Pi Cjk("i)2 + "2:Pj Cjk (~)S j<k ". j>k IX)

10)

hat, worin Cjk sich aus dem Winkel -Itjk zwischen den Achsen des Ringes j und k bestimmt zu (SOMMERFELD. 1. c., GI. 19):

11)

Man ersieht hieraus, ·dall die Beeinflussungskonstante Ak den Radius "k 8') des aullersten Ringes vergrollert, wenn die inneren Ringe komplanar (-It;k = 0) sind, dagegen verkleinert, wenn die inneren Ringe senkrecht auf dem aullersten stehen (-Itjk = X!2)'

dall jedoch ain wie in 7) oder 7') orientierter innerer Ring (COS2 -1tik = I/S) den iiuIleren Ring gar nicht beeinfluIlt, indem sein Beitrag zu Ak verschwindet.

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

206 M. Born und A. Lande, [Hr. 21/24.

Stellt man nun die Forderung auf, dall die Ringe innerhalb des Ions die SteHung mini maIer potentieller Energie einzunahmen suchen, so wiirde SOMMERFELDa' Theorie senkrecht gekreuzte Ringe im Ion ergeben. Aber abgesehen davon, da/l eine solcha senkrecht gekreuzte Ringstellung mit der Regularitat des Kristall­systems schwer zu vereinigen ist, spricht auch der Vergleich mit der Beobachtung der Gitterkonstanten 8 stark zugunsten komplanarer Ringanordnung im Ion. Denn nur bei kom­planarer Ringstellung bewirken hinzukommende inn ere Ringe eine Vergrollerung des aullersten Hinges 8') 10) und damit eine Ver­groI3erung del' Gitterkonstanten iJ 6) mit zunehmender Atom­nummer der beteiligten lonen im periodischen System del' Ele­mente, wie es die Erfahrung fordert. Senkrecht gekreuzte innere Ringe wiirden dagegen beim Fortschreiten im periodischen System eine Verkleinerung der auBersten Radien I¥ und damit eine Ver­kleinerung von 8 ergeben, wabrelld die innere Ringorientierung 7) oder 7') wegen Ak = 0 koqstante Radien I¥ der auI3ersten Ringe und damit konstante Gitterabstii.nde 8 fiir alle Alkali­Halogenverbilldungen ergeben wiirde, im Widerspruch znr Er­fahrung. Die Annahme komplanarer Ringsysteme wird dagegen den Beobachtungen gerecbt (s. u. Figur S.209).

Sehr wesentlicb fiir die GroI3e des iiuI3ersten Elektronenringes ist die in 8) 8') auftretende Zahl nk der Impulsquanten. Die Durchfiihrung der Annahme nk = Ie ("der kte Ring ist k-quantig"), welche SOMMERFELD aua Rontgenspektralmessungen fiir die beiden innersten Ringe vermutet, ergibt bei hOheren Elementen des perio­dischen Systems viel zu groBe Atomradien und damit viel zu groBe Gitterkonstanten 8. In unserer zitierten Arbeit war beispielsweise die Vorstellung durchgefiihrt, daI3 del' dritte Elektronenring von Chlor und Kalium dreiquantig sei; der Ver­gleich mit der Erfahrnng zeigte die Unhaltbarkeit dieser Vor­stellung. Noch ungleich starker wiirde dieser Widerspruch werden, wenn man den Ansatz nk = /; auf Elemente aus der vierten oder fiinften Periode des Systems der Elemente, auf Br, J, Rb, Cs an­wenden wiirde. Vielmehr bleibt man hier wie dort nur dadurch im Einklang mit del' Erfabrullg, wenn man den jeweiligen aullersten Ring zweiquantig lallt (nk = 2) 'und auch die Elektronen der inneren Ringe demgemii.I3 mit' zwei Quanten aU8staUet. In tl"ber­einstimmung mit den erwahnten Rontgenspektren darf man iihrigens

69

70 ALFRED LANDE

1918.J Kristallgitter uud Bohr.ches Atommodell. 207

den inuersten (ersten) Ring einquantig lassen, weil dadurch del' b -Wert bei hOheren Elementen nicht wesentlich beeinfhillt wird, und beim Lithium, wo der erste Ring gleichzeitig der aullerste ist, allein die Vorstellung n, = 1 zu einigerma/3en richtigen b-Werten fiihrt. Wir wollen also im folgenden die Annahme durchfiihren, dall del' erste Ring einquantig und .alle folgenden zweiquantig sind.

Was die Anzahlen Pk der Elektronen in den verschiedenen Ringen Iv betrifft, so wird durch das periodische System das Schema p, = 2, P2 = 8, P3 = 8 nahegelegt. Die folgenden grollen Perioden von 18 Elementen fiihren aus chemischen Grunden zu der Vermutung P4 = 10, Po = 8, P6 = 10, P7 = 8. 'Vie gesagt, gibt dann komplanare Ringanordnung den beobachteten Gang von is mit Hilfe der theoretischen Formel 6) gut wieder (s. un ten Fig. 1). Nur beim Cs scheint die Komplanaritat durchbrochen zu sein. Die Cs-Verbindungen zeigen empirisch etwas kleinere Gitter­konstanten als die Rb-Verbindungen, was sich dadurch erklaren wiirde, dail einer der dem au13ersten naheliegenden Ringe beim Cs die Orientierungen 7) odel' 7') aufweist, so da/3 sein Beitrag zu den rillgvergro/3ernden Konstanten Ak in 8) 10) fortfiele. Ohnii daher behaupten zu wollen, dall die folgende Annahme beim Cs gel'ade der Wirklichkeit entspricht, ist beim Cs die Rechnung durchgefiihrt fiir den Fall, daB der funfte (drittauilerste) Ring gemii13 7 oder 7') aus del' Hichtung (2) der iibrigen Ringe heraus­gedreht ist. Auch bei den anderen behandelten lonen ist eine solche Herausdrehung innerer Ringe nicht ausgeschlossen, denn je weiter innen ein Ring liegt, desto geringer ist nach 8') 10) der Einfluil seiner Orientierung auf die GroBe des auilersten Ringes, und nur letztere Grolle kann nach 6) an der Erfahrung nachgeprtift werden. Es liegt nahe, in solchen Vel'drehungen innerer Ringe den Grund ftir die kristallographischen Unterschiede zu suchen, nach welchen die verschiedenen Halogen-Alkalisalze den verschiedenen Symmetrieklassen des regularen Kristallsystems zuzuordnen sind.

Wir gehen nun dazu tiber, eine Zusammenstellung der Elek­tronenzahlen Pk und reduzierten Radien Uk = ak: a o fiir die ver­'schiedenen positiven Alkali- und negativen Halogenion'en zu 'geben, welche mit Hilfe der Formeln 8') bis 10) mit n, = 1, nk = 2 (k> 1) berechnet sind unter Benutzung des Zahlenwertes ejk = '/2

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

208 M. Born uud A. Lande, [Nr.21/24.

bei komplanaren Ringen gemlW 11). Nul' beim Cs ist die SteHung des fiinften (drittaullersten) Ringes nach 7) so angenommen, dall der zugehOrige Faktor Cjlt in der Beeinflussungskonstante Ak 10) verschwindet.

Li. 3 2 0,3638 - - -: - - - - -Na. ,11

K .1119 Rb .. 137 Cs .155

F .. 19

Cl .1117 Br . 135 J .. 1153

2 0,0930 8 0,649 -i - - - - - - - - -20,0534 8 0,278 810,754 - - - - - - - -2 0,0272 8 0,1243 8

1

°,176 10 0,312 8 0,846 - - - -2 0,073 8 0,080 8 0,095 10 0,150 8 0,166 10 0,313 8 0,840

2 0,1141 8 0,959 - - - - - - - -2 0,0598 8 0,325 811,097 - - - - - - - -2 0,0286

1 8 0,1325 8 0,200 10 0,363 8 1,168 - - - -

2 0,0019: 8 0,0083 810,0099 10 0,145{ 8 0,2315 10 0,410 8 1,292

Diese Angaben, in 6) eingesetzt, geben folgende Werte fiir 0.10+ 8 cm. Die eingeklammerten Zahlen bedeuten die beob­achteten Werte, die sich mit Hilfe del' AVOGADROSchen Zahl N = 0,62.1024 nach del' Formel berechnen:

oS.N= 4 1k++ 1k-, (!

wol'in /-1+ und /-1_ die Atomgewichte del' lODen, (! das spezifische Gewicht des Saizes ist.

I ber. 1 beob·11

LiF 3,60 4,00 LiC! NaF 4,86 4,60 NaC! KF 5,34 5,31 KC! - - - RbO! - - - CsC!

I bel'. I beob·l! I ber. 1 beob·l:

4,19 5,11 LiBI' 1 4,44 5,45

1 5,44 5,59 NaBr 5,64 5,98 5,90 6,24 KBr 6,09 6,59

1

6,26 6,57 RbBr 6,58 6,88 I

6,24 6,53 ! CsBl' 6,43 6,81 i

LiJ NaJ KJ RbJ OsJ

I ber·1 beob ..

5,09\5,95

6,21 16'475 6,69 7,05 7,20 7,33

[7,03 I 7,23

i

1 I I I

Die berechneten Werte 0 sind in del' folgenden Figur als Striche, die beobachtetell als Punkte eingetragen. Man erkennt, wie durch die Einfiihrung komplanarer Ringe del' richtige Gang del' Gitter­konstanten erzielt wird und, abgesehen von den Li-Salzen, auch gute Dbereinstimmung del' absoluten Werte. Bei gemall 7) gekreuzten Ringen hatte man bei allen Verbindungen (auller bei denjenigen des Li) denselben konstanten Wert fUr 0 erhalten, im Widerspruch zur Erfahrung. Auch die Annahme, dall aUe Ringe auller dem

71

72 ALFRED LANDE

1918.] KristalJgitter und Bohraches AtommodeIl. 209

ersten zweiquantig sind, bewahrt sich gut; eine Anderung dieses Ansatzes nk = 2 (k> 1) wiirde ganzlich andere, von der Erfahrung weit abliegende Werte fiir die Gitterkonstante 8 ergeben, jeden­falls wenn sich diese !nderung auf den jeweiligen aullersten Elektronenring eines Ions beziehen wiirde. Von den inneren Ringen diirften einige, ohne wesentlichen Einfl.uJl auf 8, auch einquantig genommen werden, doch hat diese Freiheit wenig

(H08om

FOIBrJ ... ., , Li

. Beobaohtung - Theone

.- .:..

FOIBrJ '---v--'

Na

:. ...

F 01 Br J ~

K

..I. .:.

.:.

OI Br J ~

Rb

.:. -

01 Br J ~

Os

Vorteil, weil ja ein Ring, der in einem hOheren Element als innerer Ring auftritt, bei einem niederen Element selbst aullerer, also unbedingt zweiquantiger Ring ist. - Es sei noch bemerkt, daB die Berechnnng der elastischen Kompressibilitiit der Halogen­Alkalisalze zu theoretischen Werten fiihrt, welche rund doppelt so groll als die gemessenen sind. Wahrend also die Theorie den absoluten Grollendimensionen 8 gerecht wird, gibt sie doppelt so weiche Korper als die Erfahrung. Aui. diese Schwierigkeit Boll in der folgenden Arbeit eingegangen werden.

PAPER 15

Ober Koppelung von Elaktronenringen und da. optische Drehungsvermogen asymmc­

trischer Moleklile.

Von A. Lande.

~ I. Vber die Drehung def Polarisationsebene in organischen Verbindungen liegt ein umfang­reiches experimentelles Material vorl). Einiger­maBen aUgemeingiiltige GesetzmaBigkeiten fur die GroBe des Drehungswinkels bei verschiede­nen Substanzen sind jedoch nieht bekannt, ab­gesehen von wenigen nicht einmal ausnahmslos geltenden empirischen Regeln von beschranktem Umfang, welche fUr manche homologe Reihen asymmetrischer KohlenHoffverbindungen dne Zunahme der optischen Aktivitiit boi Ersetzung einer Atomgruppe durch gewisse andre fest­stellen. So haben P. A. Guye und C. Brown (1890), durch theoretische Oberlegungen gelehet, die Regel aufgestellt'): Die drehende Kraft eioes asymmetrischen Tetraeders 1st, abgesehen von einem konstanten Faktor, proportional dem "Asymmetrieprodukt"

p=(m,-m,)(m,-m"l ... (ma-m'l (m1 +m,+ ""3+ m.)'

aus den Massen "'" bis "'" der Atomgruppen in den Tetraederecken. Doch landen sieh Aus· nahmen von dieser Regel in solcher Anzahl, daB Guy e schlieBlich die Oberzeugung gewann ).nicht nur die l\iassen der vier Gruppen, son­dem auch i~re gegenseitige Lage, die Wir­kungen, welche sic aufeinander austiben, ihre Konfiguration und endlieh die Natur der Ele­mente seien auf die GroBe und den Sinn der Drehung von EinfIuB". Landolt (I. c.) setzt hinzu: "Wegen dieser Kompliziertheit des Phano~ mens durfte es auch auf andern Wegen nicht moglich sein, die num~rische Relation zwischen Drehung und atomistischem Bau der Molekiile jemals aufzudecken. II

1) Landolt, Das optische Drehungsvermogen. Bcaun­sl,;hweig 1898.

a) Literatur dazu Landolt § 86.

Reprinted from Phys. Z. 19,500-505 (1918).

Wlihrend die allgefiihrten Regeln sich au,· schlieBlich auf Parallelitiitell zwischen den Dre hungen homologer Reihen beziehen, feblen the.o­retische Aussagen uber die absolute GroBe des Effekts ganzlich. Eine Abschatzung der GraBenordnung ohne Eingehen auf die unbe­kannte Einzelstruktur speziellf!r organischer

. Fliissigkeiten ist aber moglich, wenn nur be­stimmte Grundvorstellungen liber den Mecha-nismus der optischen Aktivitiit vorlicgen. Nun hat Herr Born die allgemeine Elektronentheorie der optisch aktiven Kristalle, isotropen und an­isotropen Fllissigkeiten ') gegeben: Die quasi­elastisch an Gewichtslagen gebundenen Dis­persionselektronen sollen auBer von den Feld­starken des durchgehenden Lichtes 110ch von gegenseitigen Koppelungskraften angegriffen werden, tiber deren Natur zunachst nichts aus­gesagt wird. Die Anwendung der Bornschen Formeln auf einfache mechanische Modelle flihrt aber zu liuBerst verwickelten Abhiingigkeiten der DrehungsgraBe von der Art der gegensei­tigen Koppelung und der Konfiguration del Elektronen im Molekiil, die auch durch Nahe­rungen nieht wesentlich vereinfacht werden konnen. Das naheliegendste Modell einer asymmetrischen Kohlenstoffverbindung, ein Te­traeder, welches geometrisch reguHir ist und in dessen 4 Ecken Dispersionselektronen mit 4 verschiedenen quasielastisch isotropen Bindun­gen sitzen, gibt z. B. die Drehung Null wenn man nieht mindestens GraBen 7. Ordnung in dem Verhaltnis "wechselseitige Koppelungs­kraft zu Einzelbindungskraft" berucksichtigt"). Schwache Koppelungen fiihren dagegen bereits in I. Naherung zu einer merklichen optischen Aktivitat, wenn durch Einfiihrung von anisotro· pen Bindungen oder nichtzentralen Koppelungs­krliften dem Modell ein besonders starker Schrau­bungssinn erteilt wird. Jedorh feblt dan.1 wie­der die Maglichkeit, die GraBe dieser Asymme­trieelemente aug bekannten Molekulareigenschal-

r) M. Born, Dynamik der Kristallgitter. Leip'.ti~ HJIS. Diese ~itschr. 16,251, 1915; Ann. d. Phys. 55. '77, 1918.

2) A. Lande. Ann. d. Phys. 58, 225, § 61 1918.

73

74 ALFRED LANDE

Lallch\ tiber Koppelung von Elektronenringen. Phyoik. Zeitschr.XIX, 1918.

ten abzuleiten oder sie mit andern optischen Beobachtungen in Zusammenhang Z11 bringen, urn ein MaB fUr die Zll crwartenden Drehuugen zu erhalten. Nur in der neueren Thcorie der Atomstruktur von Bohr, Debyc, Sommer· feld u. a. treten anisotrope Bindungen ohne Ein­fiihrung neuer Konstanten auf, weIche im fo1-genden zu einer Abschatzung der Gri:Wenord­nung des Dreheffekts \'erwendet werden sail en.

Ein kreisendes Bohrsches Etektron ,'erhiiIt sich dispersionstheoretisch wie ein anisotrop ge­bundencs Elektron, von dC5sen urei Haupteigcn­fr,equenzen Z\yei zusammenfalleI1. Dereib bci def sehr schwachen elektrostatischtn gegen~eiti­gen Beeinflu5sung ihrer Schwingungen, ~tellen nun zwei soIche anisotrop gcbundene Elektroncll einen optisch aktiven Mechanismus d:!r; der Drehungswinkel wird proportional der Rreite der beiden aus den Haupteigenfrequcnzen gc­bildeten Duplets und hangt uoeh '"on dcr ctwas schief anzunehmcnden gegenseitigen Orieutit:rung der anisotropen Hauptrichtungen ab_ Die ge­samtc Aktivitat des 1101ekUls sctzt 5ich dann additiv aus den Beitragen zusammen, weIche die Kombinationen von je 2 s~jner Elektronenringe lie£ern. Zwar binnen diese Beitriige der einzelnen Paare bald positives, bald negatives Vorzeichen haben_ Trotzdem gentigen aber die aus der Dispersion bekannten Anisolropien, urn wenig­stens Zll einer Abschatzung fUr die G r 0 fi e n­ordnung der optischen Aktivitat zu gelangen. Es zeigt sich gute 'Obcreinstimmung mit der Erfahrung_ Zu diesem Resultat ftihrt auBer der Vorstellung von Elektronenringen wi,edcr die allgemeine Theorie, welche IBorn zur Ableitung der optischen Aktivitat aufstellteJ spcziell 1. d:e Kleinheit aber Endlichkeit der 'IJolekiildimen· sionen im Vergleich zur vVellenlange des auf­fallenden L,ichtes, 2. die Vvechselwirkung zwi­schen den Partikeln ein und desselben l\'Iole­kiils; letztcre werden wir aut elektrostatischc Krafte der Ejektronen zuriickfiihren konnen. Unter dem EinfluB der Lichtfeldstarken erhiUt dann jeder Elektronenring ein periodisehes Mo­ment, dessen GroBe noeh von seiner Orientierung gegen' die im Raum teste Lichtschwingungs­richtung abhangt. Durch Mittelung iiher aile moglichen Orientierungen des Mo]ekUls, bei denen aber die relati \'e Lage der verschiedenen Ringe gegeneinander erhalten bleibt, wird eine lineare Beziehung zwischen Feldshirke und Mo· ment der Volumeinheit abgeleitet, deren Koef· fizienten fijr die Brechung und Dispersio;l und ftir die Drehung der Polarisationsebene bestim­mend sind_

§ 2. Jede Atomgruppe in den Eckcn des Mole· kUls werde dispersionstheoretisch dargestellt durch einen Elektronenring, welcher mit quan-

tenktft festgek'htcr Um]aufsfrequenz urn eine im Molekiil festo .~\chse ro!icrt. Ein Ring (*) habe. als . Rotationsachse den Einheitsvektor 3 und die Umlau{sfrequcllz ('>, er bestehe aus ,lI Elek­tronen der ,Masse J/l und Ladung [, Die Ver-

I bindungrvom Mittelpunkt des Ringes (*) zu einem l{inge I') falle in Ric~tung des Einheitsvcktors fR. Cntn dem EinfluB einer mit der Frcquenz s periodischen clektrischcn FcldsGrkc ~l, am One des Ringes (*-) Zll nehmen, wird der Ring (*) ver­schuben und verzerrt; im Mittel libel' aIle zu­hJligen An£angsphasen der Kreisbahn stellt der Rlllg C:) em periodischcs fiLoment .p dar mit den KompOllenten in einem x y z·System (z·Achse 113)

V. ~ - ".11 lIt 0.2- 1--'-t-i(i· 1+-1-1 mw21,' x 2 ')' 2 1

f',11 I '., 1+-1= + 6' 1++/-1 p:: ~ - /}1(j}2j--t ll., 2 ''',. 2 I

\) = - ..!.~Ilo . ll'"'P (I) 1It(1)-

worin!+=/I+ .S\ f ~/i _.--'-) und 'P='P(!.)' \ 0)' \ COl OJ

bekannte Funktionen von .~ und .u sind, deren w

explizite Form bei Dcbye, Sommerfeldu.a.' ) be· nutzt wird. Vns intcressiert im foIgenden nUT die optische Aktiyitit fiir kleine Lichtfrequenzen S «(0, ftir welche die imaginaren Glieder in (I) verschwindcndc Koeffizienten bekommen. Obrig bleibt also mit d~r Abkiirzung

(!.({ l;2U

a~- ,,;/;;,/(0), b~-- m~' p(o),

V"-~ a .It,., V!I ~-a st"I' p .. ~ bSL. (2) Setzt man den Vcktor ~ aus cinem Vektor in der 3-Richtung ~1- (Sf, ~1) und einem darauf senk­rechten Vcktor ir -- B·(st', 3) ~ [3 [Sf, 3Jl zu· sammen und den Vektor V aus entsprcchenden zwei Vektoren, so wird aus (2) in vektorieller Schreibweise:

p-;l (Vm~a(Sl' -3(,\f d)), ~llv3)= b.g (ll'3)

oder addiert V = (1)/ + ,b-a) 3 (ll' 3)· (2')

Die Kraft Sf' setzt sich hier zusammen aus der elektrischen Feldstarke (!' des einfallenden Lichtes und aus Zusatzkraften IS('). hcrriihrend von den tibrigcn Ringen n des MolekUls. Letztere be· sitzen namlich cin periodisches ~ioment

p' ~ a' )t' + Ib' - a') 3'·(ll" 3'), (3) »irken also auf den Ring 1*) mit der Kraft

3'1') ~ :3l~1 [p', lllJJ= ~ lv' - lJl (v', lll)\. (4)

I) P. Debyc, Miillchner AkademieLcrichte 1(;115, S_ Ii A. Sommerfeld. Fe!itschrift Elster und GeiteL Derselbe_ Anll, d. Ph)s_ 53, 497, § 2, 1917,

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Physik.Zeitschr.XIX.19 18. Lande, Cber Koppelung vun Elektroncnringen.

Sind diese Zusatzkrafte d(l) :.chwach· gegen cr, so wird man bei ihrer Bercchnung nach (4) ~( 11icht aus (3), sondern aus

p' ~a' (f + (b' ~ n' J'Q" J) cntnehmen di.irfen. \vorin ~' die an cler Stelle () auftretende Feldst~trkc ohn~ Zusatz ist. Diesc hangt mit der Fcldst~irke cr ZUsanll11C'Il dUfch

_, _ ~ ~_';l 't" (~ ~) ¥ ,2 i J'C (i C~ 0; e , o-c (i (I -t. --},-- r (f4 1Jl) + .. ), "'eBn ~ di~_~ \VellellIlOrmalc und I. die \Vellell­lange der \Vellcn in der Substanz hedcutcll. 1m Gebiet der optischen "Vellen kann man sich auf die beiden hingeschriebencll Glieder der

Reihe nach -'~' beschrallken, und' crhalt dann

" I,' 2 ~ X , ,

I\'\'J~~ r~' II + i, I' (0 :Jl) ) >< ',a (i + 14')

+ (b'a')S' ((\;:1')-91(:ll, n' (j' +(h' -J);l'\~ ;1'):

aI, die von () herrlihrende, auf (,') wirkende Zu· 5atzkraft. Im ganzen ist also aus (4')

Ii! ~ (l' + 2' \);(') = (l' + s -', I •. II + r I.

-'- 2i_~'2' I (Il )]i) II' '1\ I 1. r2

in (2') einzufiihren. Dann zerHillt auch ~l in 2i:JC

einen von j. freien und in einen mit --x- pro-

portionalen Teil. vVahrend der erSlere die Brechung und Dispersion gibt, flihrt der lctztere zur optischen Aktivitat, die uns hier allein in·

teressiert. Der mit ~-~.:'-:: proponionalc Teil von ),

lJ zerfant, wie I' lk), weiter in Einzelbeitrage der, einzelnen Ringe 0, welche wir 1J(') nennen wollen. Es wird dann im ganzen

__ Ivo,:, i, .1 +2' , V - I freler T ellJ p( )

mit 2 i Jr I

P(')=;:- ," (5 1Jt) X

a la' ~ + (b' - a') 3' (IE 3') -

:R. (1Jt, a'~ + (b' -- n') B' (It fn): + (b -a)ld3, a'lE + (b' ~a')3' (~3')-

(5)

- 91 (91, a'r:r + (b' - a') B' (\l' ,{))) I

~ ist damit ausgedriickt als Funktion der an der Stelle (0) herrschenden Feldstarke <!'.

§ 3. Ebenso kann man fiir einen anderen

Ring das Moment .jJ~' als lineare Vektorfunk­tion del' an seinem Ort hcrrschenden Feld­starke IE* darstellcn. Tut man dies fUr alle Ringe der IV !\1olekiilc pro Volumeinhcit, su er­h~ilt man als Moment der Volumcinhcit aus (5)

,1: Ivan;. I, \T ",'* "," *' ~ = Ifreier TeilJ -r- ~ , ..- ~ p (').

wenn man Doeh uber allc OrienticTungcn dcr .Y 1Ilolekiile gegen die im Raum festen Rich, tungen a: und ~ mittelt. Statt des zweitcD, mit 2i::r

I. proportional en Tell" YOU I..P kann mall

auch schreibell

,:..\l "', .... '\.,' *' ' 2 ~ ... ~ (I' ','J + V (.))

und cs handelt sich darum, die angefiihrte Mit­telung auf (V*C1 + id anzllwenden. Aus (5') foIgt wegen ~n,,:, = - ~1t,!" wcnn man noeb UITI­

orc1net, als Beitrag des Rin:;paares «:')

1(1'\) + 1"(.)1 = i 2:", r: \" ~ji) X

laa' I~ -- ~R(:ll(\;)~ (S' +:ll (~I(l')1 + I I

la (b' - a')lB' (<!' s') -!)l (lll S') (t!' in--

J ~ B' (If S'H s' (3' 1Jt) (1Jt If): + 1, 7 I la (v -- a) S(<!'3! S(iJl3)(lfiJll-8 (lfilJ+

I I +.~m~~+ , I(b -a) (b' a', IBUlB')(~in-B(B!Yl)lm;i'yr:rir) 1\'\ -;l'(;lJ')((l;m+ir(B'lll)(lRml~S)f'

Hierin hebcn sich die Glieder des Faktors vun {la' sofort gegenseitig weg, ebenso in den Faktoren von a (b' - a') und a' (b - a) das erste gegen das dritte Glied. Den Rest kann man so schreiben

(p*o+v'( J)~i 2_/, . I X '" ): r2

a (b' - ct'):(,; 1Jt) IlR ,j') [(l' l;)' :lll]: +

+- a' (b - a) 1($:Jl) (tR8) [If [ilt 8J]:

-[- (b - (1).(b' -- a) i(S B') - (lR 2) (91 B'): (7!

x(slR) [@[22t Bei der Mittelung wird • und @ im Raume fest· gehalten, ill, 3, 3' unter Wahrung ihrer tela'

75

76 ALFRED LANDE

4 Lande, Uber Koppelung .on Elektronenringen. Physik.zeitschr.XIX, f9(8.

tiven Richtungen im Raume gedreht. Da zu jeder Lage von !It und 3' eine entgegengesetlte Lage -!It, - 3' gehilrt, kehrt in dem Faktor von a (b' - a'j bei dieser Umkehrung (5 !It) sein VOrleichen urn, wahrend (91 fn und [3' !It] un· veriindert bleiben; daher ist im Mittel der Fak· tor von a (b' - a') gleich Null, ebenso a uch der Faktor von a' (b - a). Der bei Drehung des Molekuls im Raum verandediche Faktor von (b - a) (b' - a') ist (5 91) [& [3 3']1 mit der x· Komponente

(5., !It, + $y)Jt. + Ox 91.) (&,. m. - tE. m,) (7") (~l = [33'] gesetli).

Fuhrt man eine solehe Drehung des Mole· kiils aus, daB :Jl in -!It und 21 in - mum· schlagt, so kehren aile Produkte :Jlf m'l ihr Vor· zeichen urn auBer ffi.x 2:(.1-., ffiy 91_v; ~z 91 ...

Letztere drei Produkte haben aber den glei­chen Mittelwert ~- I _.-- -.------ ----.- - I

~L=3~L+~L+~~-i~~

Obige x·Komponente (7") hat also als Mittelwert

(- Sy tE. +,,_ &,.) -'- (ffi W) = [&, slx I (lJl [3 8']) . 3 3

und der Mittelwert von (7) reduziert sich auf

~'(')+V'(') ~i[&;jl2.1r ~ (boo a)(b' - a') (8) 3 Ar

>< 1(8 8') - (:Jl ,el) (91 3')1 (:Jl, [8 in).

Naeh (6) wird dann die Polarisation der Volum· einheit

m Jvon l 1 '[& 1

jt' = lfreier Tell I + • • '/' mit

-Xor _~l! "'*x· I 1/!-- '/'.'-- 3 2 - r'

(b - a) (b' - a'J ([91 m L9Iln) , (91, [3 S']),

Wahrend der von l freie Teil, welcher propor· tional (l: ist, die Brechung nod Dispersion gibt, ist 1fJ der Parameter der optischen Aktivitat I), Der Drehungswinkel fj der Polarisationsebene pro Liingeneinheit der Substanz ist gegeben durch

f1 ~ 2.". t'{±.:\' .1fJ (10) d" 3 )

(11" = Brechungsindex fUr lange Wellen),

If.' setzt sich - eine Folge unsrer Annahme schwacher gegenseitiger Stiirungen _ aus den Beitragen 1fJ.' je zweier Elektronenringe (*) und n additiv lusammen.

Da aber die Beitrage 1fJ.' je nach der Orien· tierung der Kreiselachsen (*) und () im Mole­kUl bald positiv, bald negativ ausfallen, kiinnen

sieh die 'Po' teils gegenseitig verstarken, teils schwachen, und der gesamte Drehungseffekt wird in komplizierter Weise von den Orientie­rungen der verschiedenen Kreiselachsen gegen­einander abhangen.

Zwei Achsen z und z' werden sich im all­gemeinen nieht in einem Punkt treffen, sondem windschief in einer gewissen Entfernung l an~ einander vorbeizeigen; eine einfache geometrische Oberlegung zeigt, daB

r '(iR[3 3']) = t· sin (3 3') (10')

ist. Die projektionen 3x und 3'N auf die IU

!It normale Ebene N bilden in dieser Ebene einen Wink~l 1::: ~, und es ist

([!It 3J • [913']) =.8s· 3'.\' cos b' Mit Benutzung von (2) wird also der dimen­

sionslose Parameter 'I-' der optisehen Aktivitat fUr lange Wellen ,(

1fJ=X·2.~1fJ*,=2..!!~ X~--.!.- ~!!....(f.--rp.). 3). r' moo.'

E'll . mro.iji(r. - '1".). W., (II)

worin die Winkelfunktion W., gegeben ist dureh

W., ~:l.\ ~l'\ cos S ,-~- sin (H H'J. (12) r

W*, und 1/'*' werden also gleich Null, 1. wenll die beiden Achsen z und z' durch einen Punkt geben, 2. wenn die beiden Achsenrichtungen B und if parallel zeigen, 3. wenn eine der Achsen oder beide parallel zu 9t zeigen, 4. weflll

die durch :Jl und ~. gelegteEbene senkrecht auf der durch ill und 3 geleglen Ebene steht.

§ 4, Wir wollen nun wenigstens die GriiBen­ordnung der Einzelbeitrage '1'''' abschatzen. Der in (9) niehl ausgeschriebene von ). freie Teil hat die Form (l: . <Ii = (f . :s <Ii .. , worin (bei vernachlassigter gegenseitiger Stiirung der Elek· tronenringe gegcniiber ihren ungestorten Dis­persionsschwingungen) p. gegeben ist l ) dnrch

N ,I"k r (k) (k) l <1>. = -3- mw7 12 to + rp.r (13)

<1> bangt mit dem Brechungsindex n fur lange Wellen und der "molekularen Refraktion" $') zusammen dUTch

<Ii=(1I'-IJ.oo __ L- ,$= '!.x Molekularge.w!:~t 1/'+ 2 3 Dlchte

<PM 3 D

1) A. Sommerfeld, ..Ann. d. Phy:s. 53,498, Gl. (1), 19 17.

2) Vgl. Goldhammer, Dispersion und Absorption. LeipJ:ig 19131 § 27.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Phy;ik.Zeitschr.XIX.19IS. Lande. ('ber Koppelung von Elektronenringen. ~========~====~

Nach ciner \'on F. :Martens geprlHkll H.(·' gel ist abh' die molekularc Refraktion Z die Summe der "Atomrefraktion~n" ~h wdchc mil: P" analog (14) zusammenhangen durch

I (.. ) ,) (),t.= 1/-/..,- -] nk2+ 2'

~k ==~!. x Atomgewicht = ~.~'. , 3 Diehte (1..) 3 D,.

Fagt man llnter k im Beispiel ciner organischell Verbindung eine ganze Atomgruppe zusammen, welche dispersiollstheoretisch durch den Elek­tronenring (Il) reprasenti~rt sein solI, '30 wird !lach (13) (14') --1: 2Pk 3 (Pk I

mCOk':! N 2/0 -;- fJJo

Dies' in I I I) eingesetzt~ gibt

2;;C N I 81 g" /)" gk'Dk ·

'fJkk ~ 3""T" iii JV2 . -.1;:- . A-;'

b._I Lo_ I 'Pu x~ 2b.+ 1 2~o+I

'Po 'P 0

W (",')

;\Iach Sommerfeld') isl nUll

10 18,34 - 6 ·In,u

'Po (3,06Inl' + 11,7) 0,98

eine mit der Zahl ,Il der Ringelektronen nur langsam veranderliche Zan!. Aus ihr folgt z. B. fur I' = I bzw. ,f' ~, 4 der Faktor

to II f" ~ ~ I - UT I( = I 'Po 7'

2 & + 1= 1- -'-- -fur I' = 4 rpo 6,2

als MaB fur die relati,"e Breite der aus den beiden anisotropen Hauptfrequenzen g~bildeten Duplets fur I bzw. 4 Ringelektronen. Wir neh­men flir beide Ringe k und k' den Wert rund

+~. Ferner hat man -7

62 . 1023 N=~, Ykk,=2' Io-scm,

AXa= 5,89' 10 -5 em. Fur die Dichten

D = D >< Atomgruppen-Gewicht k Molekiilgewicht

nehmen wir rund!"', weil die Dichten D der 4

aktiven Substamen selbst in der Nahe des Wer­tes I liegen. Fur die Quotienten Sk: Ak besteht

I) A. Sommerfeld, 1. c. § 4, S.512.

der Durchschnitt"iwert ] It;; bei einer groBen Zahl yon Substaflzen mit wcnigcn Ausnahmen weicht ef nur wenig von 1/(; ab 1).

'('

Daber wird aus (15) (10)

'1' = S2WI,'/ =-.0 + .-~- -, - 3' 5.89 . 10-" . ~io-"

><~. -'- .--'--.-'-.~2WH 6,2'10" 16 36 49

0,04' IO--5 111 2.~2,'lV,.;./

fI ~- 2,' 2,' ("hk' = M ~ ~ Ww 50

(16)

mit der noch unbekannten V\J'inkelfunktion W,u.'. Nun zeigt die Erfahrung, daB erst vie r ver­schiedene 7.U einem asymmetrischen Tetraeder zusammentretcnde Atomgruppen oder noeh kom~ plizicrtere :MolekUle opti'5ches Drehungsvermogen besitzen. Nach der Vorstc]]ung der kreisenden Elektronenringe miiBten aber bereits MolekUle aus 2 cdcr 3 so1chen Gruppen optisch aktive Substanzcn lie fern , eben 50 auch 4 Atomgruppeo, we!cbe nicht aile vcr.:it:hieden sind. DaB solche Verbindungen aber tatsachlich inaktiv sind, kann nach unsrer Vorstvllung nur daher kommen, daB entweder samtliche Summanden iJ!kk' einzeln verschwinden oder sich paarweise aufheben. Das erstcre wird der Fall sein bei 2 oder 3 Atomgruppen im Molekul; die 2 bzw. 3 Kreisel­achsen wcrdt:n sich aus Symmetriegrunden in cincr einzigen Ebene einstellen, so daB s1eh je z\· ... ci~chsen in eine.m Punkt schneiden und die GroBe lu' aus (10') verschwindet, daher W kk =0. _(12)

Bei 4 Atomgruppen, r II III IV, von denen etwa I und II identisch sein mogen, wird die durch Ill, IV und die Mitte von rl If gelegte Ebene Symmetricebene des ,MolekiiIs sein, also II II = 0,

(I) (IiI) ,II) (Ill)

tIll lie = 0, dazu sin (3 3) ~ --- sin (3 3) und {II (IV) (II) lIV)

sin (3 S) = - sin (3 3)· Wird jetzt die Gruppc II durch eine von allen andern ver· schiedene Gruppe crsetzt, so werden die Kanten 'Ykk' des dadurch entstehenden asymmetrischen Tetraeders, vergliehen mit denen im Symmetrie­fall, in ihrer Lange verandert und in ihrer gegen" seitigen Orien tierung urn gewisse Winkelbetrage verdreht sein. U m Winkelbetrage derselben GroJ3enordnung mussen sich dann auch di~ Kreiselachsen yerdrehen, um unter den neuen Verhaltnissen stabile Lagen einzunehmen. Nun ist auch die Windschiefe Ijr (ro') gleich einem Verdrehungswinkel, namlich gleich dem im Sym­metriefall. verschwindenden' Winkel (genauer dessen Sinus) zwischen der Richtung [33'] und

I) Vgl. die Tabellen bei Goldhammer, 1. ,c. § 27.

77

78 ALFRED LANDE

6 Lande, aber Koppelung von Elektronenringen. Physik. Zeitschr.XIX, 1918.

der auf ))f normalen Ebene N. Die andern Faktoren von W .... (12), namlich 3'N 3x cos (~ .... ) sin (3.:n sind von der GriiBenordnung r auch im Asymmetriefall. Daher kann man W ... verglekhsweise im MaB eines Winkels W u· angeben, der von derselben GriiBenordnung ist, wie die Verdrehungswinkel der Kanten , .... bei der Umwandiung eines symmetrischen in ein asymmetrisches Molekiil; es wird sich um Win· kel von etwa 5 bis 'S Grad handeln. Daher hat man in (16) fiir W ... Winkel von etwa 5-15 Grad einzusetzen, deren genaue Werte von Fall zu Fall anders ausfallen. 8 ist dann im selben WinkelmaB wie W w gegeben. Die so

abgeschatzte GriiBenordnung ftir die Drehung der Polarisationsebene pro cm stimmt gut mil den in weiten Grenzen schwankenden tatsach· lichen Werten bei optisch aktiven organischen Verbindungen iiberein. Man findet, bei Mole· kulargewichten M der GroB'lIlOrdnung· 100,

Drehungswinkel von durchschnittlich So', zu· wellen k~einere von 50 bis zu groBeren von 2000,

die durch die verschiedenartigsten Umstande bei der gegenseitigen Orientierung der Atomgruppen und der dadurch bedingten Verstarkung oder Schwachung der einzelnen Summanden des Drehungsparameters 'I' = :s :s tp... zustande kommen.

(Eingegrulgen 26. Juli 1918.)

PAPER 16 79

496 Zuschriften an die Herausgebor.

Zuschriften an die Herausgeber. Die Abstiinde der Atome im Molekiil und im

Kristalle. Vorliiufige Mitteilung.

Naeh Uohr, Sommerff'trl u. a. bf"Bt.eht dins-Atom aUA

<-~in(>m positiven Kern, 1I1n welchen in verf;('hied('nen Rphllren nega.tive Elektronen herumlaufen. Dip }-;Jek~

troupn gruppieren ~ich zu ein oder mehrpren kOIl1.(>nt·ri­~('h('n ]tingen, wel(·he mit dmn Kern uncl den anderpn Elektronen-ringen durch, elektr<»>t~Ltif«~hf'! KrUftt"! vet· hunclPIi f<ind und qlHlntent.hooretir;.ch bt'stimmtc> Jo:nptg-it'n cuthalte-n. lIerr SO»l1n('r{dd hat kiirzli('h cl1e allge­meine Theorie 1F01('II1>r Rin~ystp.-m(' bl'huu()'f'1l1); Iln\~i

hctru('btl't.e I'f di(' Be{'illf\u!'!':lIng t'il1~ HingclcktrolltO 'dutch dh' EI('kl rom'n ('ines antif't{,ll Ringe,; 00, aI" t;ei

di£'IKIc'lr ander£' Ring kOlltinni'-"rlich mit eiurr La.dung he­Il'gt, 'Hldl{' gll'idl rl-pr (1~:Hll1,I:llll1ng dpr a.uf ihln (jn 'Virklil·lrkr.it. rlL ... kflllHllllil·rlil-h) III1g'r'onllll'tYIl I';!f·k­tront.'n ist.

Diri'loe ~lrUi(Jde HiAt sit'h nun erwi.il.crn auf g('gen' .-;eitige Beeinfln':':''iullg von Elektroo£'l1ringC'n, die Z11 z\vei verschiedencn Ringsyst'nmen mit zwei vpr!'lehie­rlrnf'n Zentralk£'rnrn g"e-horen, d. h. auf die \Vp.(·h~el­wirkunw'n zwi!<r'lH'Jl 7.wei Atomen, dip. in df'1l rhp.mi­>"chen An7.it'hullf!',.;krlHt(,u Hnd d{'n T\riiftcn Ix'; der KriAtallbilrlnn,!:!: in EI',,<,lleinnng treten. Hie Verbin­dun~ Nllel l)t>>;.t('ht 1.. B. UIIS einrm Na·Atom, tl~('n iiuBel\ ... tf'r Ring ('in F.lektr<>Jl - e a.bgt.'g'e-hcn lint. nmi (1M d{1d'llrcb die (;f'~amtln..(lung + e bcsitzt. lIn,1 ('!inl'ofll Chloratom, wc\rh(';,< durch Aufna.hme cines Elf'ktrons - e die Gr(;3.mtlruhmg - e zeigt. Es fragt t>irh nnn, warlllll l]if" beidf"11 ~elat1rnf'n Alornc nieht <.>1l1f:lI:h inf'in­andcrsUirzell, wie (IS die zwi'Bchen ihnen auitr(!tende Anziehungskraft e2/r2 rrwart..('D HeBe, warum sich viel­tnehr cill ,bf'stimmtrf Atoma.bstand r eioste-llt. drf in den (.}itt,(,rllimf'Il"lioIlPI1 d"r Kri~tnlle und den Moll'kiil­volnmim\ zutllg''(' tritt, und gemeSLScn , ... erd('n kallll. Die Antwort ist die. (lal3 dns Kraftge..;clz (l2/r' der bC'irhm entg('gengCRetzt gcl.n,lf'nen Atome nur fUr grol\(' Enl­fernllngl'll r :=;t.rrll,!! ,!!ilt.. Gelangt Ilagc,!;'c'n elM Kit-Aloin an (la~ C}·Atom hf'ntn, so wrrMn die Il~gath'('n Elck· troncnringe de.;; Na sr.hon fMt die des CI lwriihren, wenn die Na-Ringe \'on ch'm Cl·I\crn lHld CbI'IIH{) die t:l-H.ingc vom Na.-1(ern noeh ctwas gro6crc Ab!:l1ilnde ha.beD. Daher werden die gegeneeitigen AbstoOungen

1) Phys. Zt.schr. 15. Juli 1918_

Reprinted from Naturwiss. 6, 496 (1918).

<I('r n('gatiF"l1 Hill.g-i~ l)(>i AllnUhcr'llng' der Atome 61wr die gegellt-\t~it.i.!,re AII7.i('hl1n~ ?wischen Kl'TDt"n ltn(l Rill· gpn Uhcrwi{·.!!!'Tl. MaUlr'nmti'l'lch nmcht eh:h dies br· IIIcrkh:lr in ('in('r I\.orl'l·klion Iler Anv..iehung"kra.ft c'Jr:r dlllrr:h cine Aw.toDlIll.~l'okraft --uc2 jr'. die tLIl/ler von drr l<:nt,ferHllng r (\{>r hf'i!len AtolTl{' lIoch durc:h ,ll'n Fnk­tor !L yon ihn'r ~truktur 1111(\ ihrer gtgl'1l6eitigen ril.lll11lj('ht'll Oril'uti('fllng uhhiingt. Die Gesamtkra.ft

~ (1-- -~) wird Itlr'o Null fUr r =y&": dit'ser Absta.nd r~ r-fil,f'llt e.inc Gll~i(';hgewi(:ht.!1Ilag(' d{>r bl'irJf'1l A tome gcg'Cll­

j·illiuH!,·r rlitr. y" i.-;1. tllliLl'r ILIK AtotnuhAi.!Uld llll Mu­Ir'kill nllf7.lIfu~~I·n. DiI· l)I'i cll'r Annll1l1'rllllg dl!r IH·irlf'lI

AtOUI!! bi~ auf rlh~ 1'~II1fI'rnung y'n- gcwonnenc Arb('it hitngt fe-rner '-"Il~ zll~nnncn mit. der WH.rmpent,vick­

lung bei dl'llll chemisclwll P,'Q1.ei3 Na+ + 01- == NaCl. AIR eoinfachBte B('i~l)i{'le baben wir die ThE'Orie an

dt"n V('rhilHhmgen Il('r Alkn.limct.a.l1e T,i, Na., K mit d'Cn ll'lichten Ha.logenen F. CI gepriHt, iiber deren Atom­kOllfig'nrati<>n einigt'rmnflf'n bpgriindete Vorstellungen existiercll. ObwoJJi di(¥;e keinen Anspruch auf Enfl­giiltigkeit machen. ('T.giht ~ich doch eine bcfrif'llti.gt'Dlle ttbcreiJu.t.immllng 7.wisehen TheOl'lie und: Erf1l.hrung: 1. Die here-cbneten' At.omnl»ltande finden sich etwa. 3 bis 4 mal AQ gl'Q8 wie clie At.omrooi'en seU)St, und Jiegen in der Nilhe lIer ·in Kri!'l.taIJen bekallnten Gitter­dimelltdonen, t,}x>.IlS0 die GroDe der be-~ecbneten chemi­flchen W!irmeWntU1g'!!n in tlN Niihc der beobo.chu-tl>p. Ferner l..ei~t !Aich allch angpnahert <del' richtige Gang der Atomabst!i.n(le und Wiirll1eWnungen fUr die Ter­schioflenen p.hemiscben Yer'btindungsrei·hen.

Die Dcrc(~llfll1ng der OitterkollKtant.en im Kristall errordert math<"mut.isch ejll Eingehen auf das Gleich­:::-Im"j("ht tier un!'lltHich vieJen AtQJDkrliftf'. Ma.n ka.nn zei.gPII. du.O, wt'lln -,. d~1'I pot£'ntielle Bnpl'gie zwischen 2 Atomen h4, fiir dns G1f>ic~llgcwicht bei regulU.ren

KrilRtallr>n dif" Bt>(lingung z~~t:'C=o bestehen rouO.

WI) llie H.1I1J1111f' i1lu'r lLlle J':Ulf(! von Oitlr.-rpllnktcn 1." CTHI n!c~ken j"t urI(l ;v ·die rt·lntive a:-Koordinu.te jP­zw('icr AtQrne bcdelltet. Da nun .,_ naeh ohiger Be-­

t,Nl(·htUlig in (ier Form ·b==·,'-1-.'.-3+ ..... darKs­stellt werden kann, wo f,',., eine homol{ene li"unktioD n·ten Grades bedeutet, 80 ist na.eh dem Eulerschen So.tze

z:';"'= -'/'_1 .ta."_.-+ .... =o. Df'zpichnrt nnn b3 rlas VoluIn(l1l des Elemcntar·Parnl.

h'lf'pipl' 1~. fit) i"t "'n:::: bn A". wo A" eine von df'n nl1~olul('n l)illlt'IIr'.ionell rlns (litters una.bhllngi.ge Zahl h.t. rliH man tIuT/·h HunnJlo:tt.ion der Atomkrufte be­rt",·h nen kann. Dann folgt

-.~ A_, +i\A-a+ ... =0. und aus dil'..;er GIE'ichung bercchnet sich a, ganz analog ,dl' oben fur duLl'! pinzplne Molekiil erlii.utert wurdej. z. D. in enter Nl1herulIg:

6 _ ,/aA:;- _ ]I. . - fA_I - .

j':t; itlt, daun(·1t ,,,,hr wa.hrseheinlich, da.B der Grunt! filr dil~ ]1;xist.pn:r. f'ndlicl!er .Atoma.bsULnde .in einer ah­c;toBenden Z'1.IBRtzkra.ft ae2/r4 ·zu snelLen ist, Qbwohl drr genane Znllh·llwcrf. tier Konstanwn IL hei d{,fl nr· Hchictlellcm Vcrbilldungrn f'rst. ant Orund vf'rbr.;."icrter Atommotlelle hera.lJl.':Iokommen Ironn.

Berlin, ,den 30. Juli 1918. M. Born. A. Lande.

80 PAPER 17

101

Elektronenbahnen im Polyederverband. Von Dr. A. LAND~;.

(Vorgelegt von Hrn. PLANCK.)

Vielfache Erfahrungen notigen zu del' Annahme, 'daJ3 die Atome keine flachen Ringsysteme, sondeI'll raumliche Gebilde von Polyedersymmetl'ie sinu. Die gesamte organisehe Chemie weist auf ein Kohlenstoffatom yon Tetraeuel'struktur hin mit vier im Raume gleichwertigen Haupt­richtungen, gestii.tzt auch auf optische Erfahrungen uber uas Drehungs­vermogen fUr lineal' polarisiertes Licht. Raumliche Atome sind fernel' zui: BegrUlluung ues Kristallallf'baues notwendig: Warum cine bestimmte Atomsorte in uem einen Kristallsystem, eine andere Sorte in einem andern System kristallisiel't, bleibt Ilnverstiindlich, wenn beide Atom­sorten nul' aus ebnen Ringen aufgebaut sinu; man erwartct vielmehr, daJ3 bereits in dem einzelnen Atom odeI' Ton cine Hindeutung auf' das Kristallsystem vorgezeichnet sei. Zwar lassen sich aus BOHRschen Ringatomen l'eguJiire Kristallgit.ter aufbauen, welche die richtigen Gitterkonstanten zeigen I. Aher erstens sind uie so erhaltenen Raum­gitter nicllt stabil. Zweitens mussen die atomal'en AbstoJ3ungskrafte, welche den COULOMBschen Anzichungen del' lonen die Wage halten, nach Messungen iiber die Kompl'essibilitat regulare!' Kristalle mit del' -IOten Potenz des Gitterabstands wachsen; Elektronenringsysteme geben abel' nul' die -- Gte Potenz, wie Ht. M. BO,RN und Vel'fasser ohm' besondere Anna!nnen iiber die Struktur der- Ringe zeigen konnten". Hrn. BORN ist inzwisclJen del' weitere Nachweis gelungen, (la13 nul' Atome von vViirfelstruktur die gefordel'te -!Ole Potenz flir die AbstoJ3ungskriifte ergeben3 Ein Hinweis auf die Wiirfe!struktur del' gesattigten lonen mit 8 Elektronen in den 8 Ecken ist lihrigens auch die Vorzugsstellung del' Zahl 8 im periodischen System del' Elemente, die bei del' Ringtheorie (Bevorzugung eines Achterrings VOl' einem Siebener- und Nt'unerring) gar nicht zp. verstellen ist.

1 M. BORN und A. LAND;;, Sitzungsber. del' PreulJ. Akad. d. Wiss. 19I8 S. 1048.

2 M. BORN lllld A. LANn;;, erscheint demllikhst in Verh. d. deutschen Phys. Ges. , M. BORN, Verh. d. deutschell Phys. Ges.

Sitzungsbel'ichte 1919. (1)

Reprinted from Preuss. Akad. 5, 101-106 (1919).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

102 Gesamtsitzung vom 30. Januar 1919. - Mitteilung vom 9. JannaI'

Will man deshalb eine Theorie raumlicher Atome entwerfen, so darf man von den bewahrten Methoden des dynaniischen Gleichge­wichts beim RUTHERFoRDschen Atommodell, geregelt durch Quanten­bedingungen, nicht abweichen. Damit erhebt sich die Aufgabe, eill n-Korperproblem von n durcheinander und urn einen Kern wirbelnden Elektronen zu lOsen, speziell, nach Hrn. BORNS Ergebnissen, solche Losung~n eines Achtkorperproblems zu suchen, da/J die Gesamtheit del' acht Elektronenbahnen eine Wiirfelstruktur zeigt, d. h. jedem einzelnen Bahnstiick ds weitere 47 Bahnstiicke entsprechen, welche aus dem ersteren durch die Drehungen und Spiegelungen del' zum Wiirfel gehorenden Deckoperationen hervorgehen. Ein entsprechendes Problem kann man auch steIlen fUr die Bahnen von vier Elektronen in bezug auf die zum Tetraeder gehorenden Deckoperationen mit je 24 gleichwertigen Bahnpunkten. Urn solche »Elektronenbahnen im Polyederverband« zu erhalten, mu/J man das n-Korperproblem durch geeignete Verkniipfungen zwischen den 3 n Koordinaten spezialisieren, in Analogie zu del' einfachsten Spezialisierung, da/J aIle Elektronen in gleichen Abstanden hintereinander den gleichen Kreis von kon­stantem Radius beschreiben, odeI' zum SOMMER1'ELDSchen Ellipsenverein, bei welchem aIle Elektronen stets ein regulares Polygon von zeitlich veranderlichem Durchmesser bilden. Jede solche Annahme reduziert das n-Korperproblem auf ein Einkorperproblem. Die Erfolge del' BOHR­schen Elektronenringe bestatigen die Bevorzugung solcher harmonisch ineinandergreifender Bahnen . mehrerer Elektronen, die zwar nach sta­tistischen Prinzipien als iiu/Jerst unwahrscheinlich abzulehnen waren.

§ 1. Vier Elektronim im Tetraederverband.

Jeder Punkt xyz bildet auf dem regularen Tetraeder mit 23 an­dern eine Gruppe von 24 gleichwertigen Punkten mit den Koordinaten

xyz x-y-z -xy-z -x-yz xzy x-z-y -xz-y -x-zy

(I) yzx y-z-x -yz-x -y-zx yxz y-x-z -yx-z -y-xz zxy z-x-y -zx-y -z-xy zyx z-y-x -zy-x -z-yx.

SoU nun die Gesamtheit del' von vier Elektronen beschriebenen Bah-nen die Symmetrie des Tetraeders be~itzen, so mu/J man verlangen: 1st ds il'gendein Bahnelement eines Elektrons, so sollen auch die 23 nach (I) gleichwertigen Elemepte ds ebenfalls auf der Bahn dieses odeI'

81

82 ALFRED LANDE

A. LANDE: Elektronenbahnen im Polyederverband 103

eines andern Elektrons liegen. Gruppentheoretische trberlegungen tUh­ren dann zu folgendem Ansatz zur Reduktion des Vierkorperproblems auf ein Einkorperproblem: Man setze die 4 x 3 Koordinaten der Elek­tronen I II III IV, d. h. die 12 Koordinaten

XmYmZm

x-y-z -xy-z

XIVYIVZIV gleich

-x-yz

Aus der Lage eines Elektrons erhiilt man also die gleichzeitigen Lagen der drei andern durch Drehung um 180 0 um die drei Koordinattjln­achsen. Letztere drei Elektl'onen wirken abstoJ3end auf das erste aus Entfernungen 2,0., 2pu' 2p., wenn man die Abknrzungen

(3)P'=x'+y'+z', p;=y'+z', p;=z'+x', p;=x'+y'

einfiihrt. Dazu kommt die Anziehung des Kerns + Ze in der Ent­fernullg p. Die Bewegungsgleichungen des Elektrons heiJ3en also

und dieselben Gleichungen gelten auch fUr die drei andern Elektro­nen, dll (4) invariant gegen die Vertauschungen (2) ist. Die Energie des Systems Kern und 4 Elektronen wird

T U m... • .) • [4Z 1 1 1 ] (5) + = 4·- (x +y +z +e --+- + -+-- . 2 P p. pu P.

Jede losende Bahnkurve von (4) bildet mit den drei andern Bah­nen, die man durch Einsetzung der Vertauschungen (2) aus der erstll­ren erhiilt, vier in bezug auf das Tetraeder gleichwertige Bahnen, ent­sprechend der ersten Zeile des Schemas (I). Damit aber die volle Symmetrie (I) mit 24 gleichwertigen Bahnen vorhanden iat, mliJ3te jede der 4 Elektronenbahnen durch die 6 Permutationen der Reihen­folge xyz in sich iibergehen, d. h. durch Spiegelung an den Ehenen x = ± Y und y = ± Z und Z = ± x entsprechend den vertikalen Spalten des Schemas (I). Mit Rucksicht darauf, daJ3 an den Spiegelebenen keine Knicke in den Bahnkurven vorkommen dfufen, erfUllt man letztere Symmetriefol'derung durch folgende Anfangsbedingungen fUr sechs in gleichen Ahstanden aufeinander folgende Zeitpunkte t1 t2 • .. to (s. Fig.).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

104 Ges8mtsitzung vom BO .• Januae 1919. - MitteilulIg vom 9 .• lanua!'

I x(t,) = y(t,l == y(t,) = z(t,) = z(t,) = x(t,) (6) x(t,) ~ - fI(t,) = fl(t,) ~ - i(t.) = itt,) = - x(t,)

0= zit,) = x (t,) = y(t,l. = 0 ',_ t

I zit,) = x(t,) = x(t,) = y(t,) = y(t,) = zit,)

(6') i(t.) = - x(t.) = .1-(t,) ~ ~ fI(t,) = j;(t,) ~ - i (t,) X is

o = y(t.) = zit,) = x(t,) = o.

"

Diese Anfangsbedingungen sind nicht voneinander unabhiingig; da niimlich die Bewegungsgleichungen (4) selbst durch alle 24 Vel'­t.auschungen (I) in sjch i.ibergehen, ziehen bel'eits die Bedingungen

(6")

z(t.) = x(t.) z(t,) = - x(t,)

y(t,) = 0

die ubrigen Bedingungen (6) (6') uncI!: sich. In del' Figl,ll' ist die , Balm x(t}'JJ(t) z(t) eines Elektl'ons, durch uie nach (2) auch die Bahnen del' anderll Elektronen mitbestimmt sind, selH'matisch als Projektion auf die Ebene x + y + z = 0 aufgrzeichnet; die drei Koordinatcnachsen verlaufen teils unter (punktiert), teils i.iber (ausgezogen) diesel' Ebene.

Wir bemel'ken, daB man aucll mit 12 Elektronen, deren Koordi­naten die drei zyklischen Vertansclnmgen del' vier Wertetripel (2) sind, die Symmetrie des Tetracders et'l'eichen kann, falls wieder die Anfangsbedingungen (6) (6') (6") erfullt werden, und daB 24 Elektronen, deren Lagen und Geschwindigkeiten in cinem Anfangsmoment durch (I)

gegeben sind, sogar ohne AufeTlegung yon Bedingungen stets im Te­trae'derverband bleibcn.

§ 2. 8 Elektronen im Wiirfelverband.

Auf' dem Wiirfel bildet jedel' Punkt xyz mit 47 anderll eine GruppI' VOIl 48 gleichwertigen Punkten mit den Koordinaten

(7) { xyz, x-y-z, -xy-z, -x-yz, -x-y-z, -xyz,

x-yz, xy -z mit je G Permutationen.

Man setze die 8 X 3 Kool'dillaten von 8 Elektronen I, II,.···, VIII d. h. die 24 Koordinaten

gleich den ill (7) ausgesclll'iebencn 8 Wertetripeln. Dadurch geht das Achtkorperproblem del' 8 Elektronen (7') ,in dl'ci Glcichungen eines Einkorperproblerns uber. Aus del' Lage eines Elektrolls erhiilt man nach (7) die Lage del' 7 an<leru durch Spiegelung an den drei Ko­ordinatenebenen, den drei Koordinatenachsen und am Nllllpunkt. Die

83

84 ALFRED LANDE

A. LANDE: Elektronenbahnen im Polyederveroond 105

Bewegungsgleichungen des Elektrons lauten also hier mit Benutzung der Abkiirzungen (3)

m:J: = 8"[- Z'.~+_l_~ +_l_~ +_l_~+_l_~ 1 p" P 4p' P 4x" Ixl 4p; pg 4p! p.

(8) my = 8"[- Z.JL+_I_JL +_l_lL +_I_1L+ 1 . y] p' P 4p' P 4y' Iyl 4p! p. 4p! p-

.. [ZZ 1 Z 1 Z 1 z 1 z 1 mz = 8" -lp + 4p' p+ 4z'lzr+ 4p! p. + 4p; PI!

und uieselben Gleichungen gelten auch fUr die andern sieben Elek­tronen, da (8) invariant gegen die Vertauschungen (7) ist. Die Energie des Systems Kern mit acht Elektronen ist

T U 8 m (.. • .• I [8Z 2 (1 I 1 ) + = .-;- x +y +z)+e --- +-+2 -+-+-2 P P p. p, p.

+2(1~1+ I~I +-I~I)]' (9)

Die potentielle Energie wird unendlich. weIlli ein Elektron (also auch die i'thrigen) sich einer Ebene x = 0 oder y = 0 oder Z = 0 niihert. Ein Elektron kann also niemals aus dem Oktant.en heraus, in welch em es sich zu irgendeiner Zeit einmal befindet. Wir k5nnen annehmen, daJ3 ein Elektron, dessen Bewegung durch (8) bestimmt ist,. im positiven Oktanten liegt; dann diinen in (8) die Faktoren X/I <I ,yil III' zilzl durch 1 ersetzt werden. Die andern sieben Elektronen laufen dann nach (7) in den andern sieben Oktanten. Alles iiber die Anfangsbedingungen beirn Tetraeder Gesagte gilt unveriindert auch beim Wiil'fel, im besonderen die Gleichungen (6) (6') (6").

Auch 24 Elektronen, deren Koordinaten die drei zyklischeIi. Vertauschungen der hingeschriebenen Wertetripel (7) sind, durchlaufen Wiirfel symmetrische Bahnen, wenn die Anfangsbedingungen (6) (6') (6") erfiillt sind,und 48 Elektronen mit den Lagen (7) bleiben sogar ohne Auferlegung von Anfangsbedingungen im Wiirfelverband.

§ 8. Mannigfaltlgkeit periodischer Bahnen.

Geht man zur Zeit t, yon einem beliebigen Punkt der Ebene :r = y mit beliebiger Anfangsgeschwindigkeit 3; = - iJ, z = 0 aus (Fig. I), so wird im allgemeinen die Bahnkurve nach hinreichend langer Zeit sich den Bedingungen z = x, Z = ~ 3;, iJ = 0 beliebig s~l'k lliihern, also quasiperiodisch die Polyedergruppe erfiillen. Es ist aber m5glich, daJ3 bei gewissen zur Zeit t, auferlegten Anfangsbedingungen (6") die

Sitzungsb8J'ich", 1919. (2)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

106 Gesamtsitzung VOID 30. Januar 1919. - Mitteilung vom 9. Januar

Bahnkurve nach einer endlichenZeit t.-t, die Bedingungen (6") exakt er­fiillt, die Gesamtheitder Elektronenbahnen also nach derZeit r = 6 . (to- t,) di~ Symmetrie des Polyeders erreicht. Andert man jetzt bei festge­haltenem Ausgangspunkt die absolute GrOBe der Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t, ein wenig, so wird die Bahnkurve nicht mehr senkrecht durch die Ebene z = x hindurchgehen, sondern in einer durch zwei Polarkoordinaten (S-, cp) gegebenen Richtung. Durch Anderung der beiden Koordinaten des Ausgangspunktes auf der Ebene :r; = '!I kann man aber im allgemeinen diese Richtungslinderung (S-, cp) aufheben. Zu der gelinderten Anfangsgeschwindigkeit gehOrt dann eine gelinderte Periodenzeit r. Man erhiLlt auf diese Weise eine einparametrige Schar periodischer Bahnen, in welcher als Parameter auch der Energiewert E = T + U genommen werden kann:

r=f(E).

Nimmt man an, daI3 die eben geschilderte kontinuierliche Bahnenschar ctwa auf direktem Wege von der Ebene x = !I zur Ebene z = x f'Uhrt, ohne die Achse x: '!I: z = 1: 1 : 1 zu umschlingen (s. Fig.), so wird es noch andere Scharen periodischer Bahnen geben, welche diese Achse erst ein- oder mehreremal umschlingen, und deren Perioden 'I' mit benachbarten 7-Werten in den Funktionalbeziehungen

(10) 7 =/o(E), 7 =/.(E) , 7 =/.(E) , ...

stehen. Aus jeder solchen Schar wird dann die Quantentheorie durch eine weitere Bedingung E = kin r (n = 1, 2 , 3, ... ) eine Folge von zulassigen Perioden To, 'T.,. ••• ; 'Tn'T .. ••• ; 'TOI 7 ••... ; ... mit zugehOrigen Energiewerten

(I I) Eo, Eoo .. , EnE,,···; EOlE •• ... ; ...

aussondern. Gibt es aber keine periodischen Bahnen, so sind die a11-gemeinen Prinzipien f'lir ergodische Systeme der Quantelunll zUllrunde zu legen.

Ausgegeben am 6. Februar.

85

86 PAPER 18

Antwort aUf die Bemerkungen des HeTrn L. Yegard ~u unSeTen Arbeiten tibeT Kristallgitter

und Bohrsches Atommo4ell;

von M. Born und A. Lande.

(Eingegangen am 23. Mai 1919.)

In unseren Arbeiten iiber den Aufbau von Kristallgittern aus BOHRschen Atommodellen haben wir uns auf Ergebnisse SOMMER­FELDscher Arbeiten gestiitzt, die die Anordnung und Bewegung der Elektronen in den Ringsystemen betreffen. Herr VEGARD erhebt nun den Anspruch, da6 ihm die Prioritat bei zwei dieser Ansatze gebiihre. Es scheint uns nicht uberflussig, hierzu Stel­lung zu nehmen.

1. Die Hypothese der wachsenden Quan tenzahlen. Nach dieser solI jedem Elektron des innersten Ringes ein Quant, jedem Elektron des zweiten Ringes zwei Quanten usw. zukommen. Diese Idee einer von Ring zu Ring wachsenden Quantenzahl liegt an sich nahe und steckt schon in den ursprunglichen Formeln von MOSELEY 1) fur Ka und La. In einer gr06en Arbeit von 1916

') H. MOSELEY, Phil. Mag. (6) 26, 1024, 1913; 27, 703, 1914.

Reprinted from Deut. Phys. Ges. 385-387 (1919).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

386 M. Born nnd A. Lande, [Nr.11/12.

hat SOMMERFELD 1) die zweiquantige Natur del' L-Bahn zur voUen GewiI3heit erhoben. Herm VEGARDS Arbeiten sind samtlieh spateI' ersehienen und fiigen zu der groJ3en Leistung SOMMERFELDS, der Entwirrung del' Feinstruktur del' Rontgenspektra, niehts von gleieher Sieherheit hinzu. Die Ansieht, daB das emittierende Elektron von einem konstituierenden (primaren) Ringe des Atoms zu seinem inneren Ringe springt, ist wohl zuerst von KOSSEL 2) ausgesproehen, allerdings noeh nicht quantitativ durch­gefiihrt worden.

DaJ3 wir nieht die genannte groBe Arbeit SOMMERFELD S von 1916, sondem die in del' 1'hY8. ZS. (19, 297, 1918) erschienene Abhandlung zitiert haben, hat darin seinen Grund, daB wir die genauen Ringdurchmesser brauchten; diese sind abel' zum ersten Male in del' zuletzt genannten Arbeit von SOMMERFELD auf Grund del' konsequenten Beriicksichtigung del' Wechselwirkungen del' Ringe bereehnet worden. In den etwas friiheren Arbeiten von VEGARD ist diese Frage iiberhaupt nicht aufgeworfen. Das Ver­dienst des Herm VEGARD, erstmalig bestimmte kiihne Vorschlage iiber die Besetzung der Ringe gemacht und sie mit der Struktur des periodischen Systems und anderen physikalischen Tatsachen verkniipft zu haben, soIl deshalb nicht geleugnet werden.

Die Behauptung des Herm VEGARD, daB die Hypothese der wachsenden Quantenzahlen durch unsere Arbeiten iiber die Gitter eine Bestatigung gefuuden habe, ist in diesel' Allgemeinheit un­riehtig. Wir haben festgestellt und ausdriieklich hervorgehobon, daB die Dichteu der Halogen-Alkalisalze nur dann einigermaJ3en richtig herauskommen, wenn del' erste lUng einquantig, a 11 e folgenden abel' zweiquantig angenommen werden. Das ist zwar im Einklang mit SOMMERFELD sErge bnis iiber den L - Term, wider­spricht aber del' von Herm VEGARD propagierten Hypothese. Durch unsere weitergehenden Untersuchungen iiber die Kom­pressibilitat seheu wir uns tibrigens gezwuugen, die ganze Ring­struktur in Zweifel zu ziehen.

2. Der Ellipsenverein. In den wenigen Zeilen, die Hen­VEGARD 3) im Phil. Mag. 1918 dem Ellipsenverein widmet, findet sieh nichts iiber die dynamische Moglichkeit dieser Bewegungs-

1) A. SOMMERFELD, Ann. d. Phys. (4) 61, 1 u. 123, 1916. 2) W. KaSSEL, Verh. d. D. Phys. Ges. 16, 953, 1914. 3) L. VEGARD, Phil. Mag., April 1918, S.293.

87

88 ALFRED LANDE

1919.] Antwort anf die Bemel'kungen dee Herrn L. Vegard. 387

konstellation und iiber die Anordnung der Elektronen auf einem regelmlUligen, rotierenden und der Grolle nach pulsierenden Polygon. Hochstens hatten wir, wie es auch Herr SOMMERFELD tut, auf Herrn NICHOLSON 1) verweisen konnen, der am Beispiel des Heliumatoms auf eine derartige dynamische Anordnung vor SOMMERFELD aufmerksam gemacht hat. Ubrigens stimmen wir mit Herm SOMMERFELD.darin iiberein, dall der "Ellipsenverein" nur eine mogliche Anordnung der Elektronen darstellt, aber vielleicht nicht verwirklicht ist j er gibt ja nicht den richtigen Kernladungsdefekt 3,5 im L-Dublett. Vielleicht wird auch hier unser Vorschlag einer rliumlichen (kubischen) Anordnung der Elektronen weiterfiihren.

3. Die Anzahl der Elektronen in den Ringen. Wir haben unseren tTberlegungen die Gedanken KOSSELS iiber die Verteilung der Elektronen auf die verschiedenen Ringe zugrunde gelegtj denn diese hauptsachlich auf chemische Tatsachen ge­stiitzten Annahmen schienen uns besser fundiert als die Ergeb­nisse der Rontgenstrahlenforschung, bei denen vorlau£g noch keine Eindeutigkeit vorhanden ist. Was uns festzustehen scheint, ist, dall in den ersten Perioden des Systems der Elemente mit jedem Alkalimetall eine neue aullerste Elektronenschale einsetzt, wobei die Elektronenzahl beim Fortschreiten vom Alkalimetall his znm Edelgase von 1 bis 8 anwachst j den Anordnungen von acht Elektronen bei den Edelgasen (und bei den loneR der Nachbar­elemente) kommt eine hOhere Stabilitiit ala allen iibrigen Anord­nungen zu. Diesem Grundsatze widerspricht daB von Herm VEGARD zuerst aufgestellte Schema der Elemente 2)j neuerdings scheint et" allerdings den KOSsELschen Grundsatz anzuerkennen B). Eine Durchrechnung der Gitterkonstanten mit anderen Hypothesen iiber die Elektronenzahlen der Ringe wiirde zu keiner eindeutigen Entscheidung fiihren und scheint uns wegen der gegen die Ring­hypothese bestehenden Bedenken (Kompressihilitat) iiberfliissig.

Wir halten gegeniiber den von Herm VEGARD erhobenen Prioritatsanspriichen unsere Zitate aufrecht.

1) J. W. NICHOLSON, Phil. Mag. (6) 27, 557, 1914. 9) L. VBGARD, Verh. d. D. Phys. Ges. 19, 328~S4S, 1917 UDd Phil. Mag.

(6) 31), 293, 1918. B) L. VEGARD, Phil. Mag. (6) 86, 238, 1919.

PAPER 20

578 A. Lande, [Nr.17/18.

A.diabatenmethode zur Quantelung gestiJrter Elekt1·onensysteme,.

von A.. Lande.

(Eingegangen am 11. Juli 1919.)

§ 1. Die Elektronenbahnen im Atom sind in vielen Fallen dadurch der Theorie zuganglich, daB man sie auffaBt als Ab­weichungen von bekannten einfachen Bahnen, in der Astronomie als Storungen intermediarer Bahnen bezeichnet. Die konti­nuierliche Menge der mechanisch moglichen gestorten Bahnen kann dann nachtraglich durch die Quantenbedingungen eingeschrankt werden, welche P. EpSTEIN, K. SCHWARZSCHILD, J. M. BURGERS 1) fiir sehr.allgemeine FaIle von Bahnkurven gegeben haben. Diese Methoden besitzen aber die Eigenschaft, unmittelbar zu der Gesamtenergie des gestorten Systems als Ganzes zu fiihren, wahrend man in vielen Fallen, besonders bei Spektralfragen, vor aHem den Energieunterschied des gestorten Systems vom inter­mediii.ren kennen lernen will. In einem aus mehreren Elektronen bestehenden Atom ist z. B. die Xnderung der Gesamtenergie durch gegenseitige Storungen klein gegen die Gesamtenergie seIber, da­gegen betrachtlich gegen die Energie des auJlersten spektral tatigen Elektrons. Bei der oben -erwahnten Quantelung entsteht nun der Nachteil, daB man eine groBe Zahl von Rechnungsgliedern mitfiihrt, die sich auf die Energie del' inneren Elektronen be­ziehen und im Schlu/iresultat wieder herausfallen, und nur Glieder kleinerer Ordnung iibrig lassen, auf deren Wert es gerade an­kommt. Deshalb ist eine Methode der Quantelung angebracht, welche direkt auf die gesuchten kleinen Energiestorungen hinzielt. Hierzu erweist sich der Adiabatensatz von P. EHRENFESTS) als

1) P. EpSTEIN, Ann. d. Phys. (4) 51, 178, 1916; K. SCHWARZSCHlLD, Sitzungsber. Berl. Akael. 1916, S.548; J. M. BURGERS, Leidener Dissertation § 10, Haarlem 1918.

2) P. EHRIINl'EST, Ann. d. Phys. (4) 01, '327, 1916. Die erste Anwen­dung einer Adiabatenmethode auf Atomdynamik findet sich bei P. SCHlliRRER, Die RotatioDsdispel'sion des Wasserstofi's, Dissertation, Gottingen 1916.

Reprinted from Deut. Phys. Ges. 21,578-584 (1919).

89

90 ALFRED LANDE

1919.] Adiabatenmethode zur Quantelung gestiirter Elektl'onensysteme. 579

brauchbares Prinzip: Die nachtragliche Quantelung des gestorten Elektronensystems kann ersetzt werden durch die urspriingliehe Quantelung der intermediaren Bahnen, wenn letztere, nach Aus­fiihrung der Quantelung im ungestorten Zustande, durch lauter mechanische Gleichgewiehtszustande hindurch in gestOrte Bahnen umgewandelt werden. Liegt z. B. ein positiver Kern mit zwei Elektronenringen vom Bahnradius r und R vor, so gehe man vom Anfangszustand R = 00, r = rO aus, wobei rO den Radius des inneren Ringes auf seiner ungestort gequantelten Bahn bedeuten solI. Verkleinert man nun zwangsweise den Radius R, sO muB sieh, damit meehanisches Gleichgewieht erhalten bleibt, r gleich­zeitig in der Art andern, daB die Energiezunahme d Wier R) des inneren Ringes (potentielle Energie der inneren Elektronen gegen­einander und gegen den Kern + kinetische Energie) gleich der vom AuBenringe am inneren geleisteten Arbeit ist. Das fiihrt zu einer bestimmten Abhangigkeit r = r(R). Geht ma~ umgekehrt von einem Zustande r = 0, R = Ro aus und dehnt den inneren Ring r zwangsweise aus, so muB sich gleichzeitig R in der Art andern, daB die Energie des AuBenringes Wa (R, r) urn die vom Innenringe an ihm geleistete Arbeit vermehrt wird. Das fiihrt zu einer zweiten Beziehung R = R (r). Beide zusammen liefern ein bestimmtes, zu den urspriinglich gequantelten Werten rO, Ro ge­horendes Wertepaar r, R fiir die einander storenden Bahnen. Die bei diesem ProzeB auftretenden Arbeitsleistungen fiihren dann direkt zu den gesuchten Encrgieabweichungen des gestOrten Elektronensystems vom ungestOrten.

§ 2. Als Beispiel fiir diese Methode wollen wir zunachst eine Anzahl von Elektronenringen betrachten, deren Konfiguration durch eine Anzahl Koordinaten a (Ringradien) in del' Art be­schrieben sei, dal3 die potentielle Energie der Elektronen des kten Ringes gegeneinander und gegen den Kern nur von einem ak ab­hiingt:

1) Eventuelle raumliche Neigungen der Bahnebenen ~eien also

zwangslaufig durch ak mitbestimmt, eben so Verzerrungen del' Bahnen.

Zwischen je zwei Ringen bestehe ferner das Potential der Storungskrafte

I')

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

580 A. Lande, [Nr.17/1B.

Beschreibt man den Systemzustand durch Koordinaten und Geschwindigkeiten, so gilt nach LAGRANGE die Gleichgewichts­bedingung:

-l- (2: lJj + 2: 2: Vii - 2: r:) = 0, ak i i <i i

in der die kinetische Energie T; proportional a:1 sein moge

(z. B T; = ; a: ljin. Letztere Gleichung geht wegen 1) liber in

~. Tk = -l- (Uk + 2: Vik)' 1") ak ak j=F k

wodurch dann auch Tk als Funktion der a ausgedriickt ist. Ais Ausgangszustand des kten Ringes nehmen wir den Fall,

dall aHe engeren Ringe in den Kern hineingedrangt sind, alle aulleren sich ins Unendliche ausgedehnt haben, wiihrend ak selbst den ungest9rt gequantelten Wert a~ besitzt:

ak=a£, aj=O(j<k), aj=oo(j>k). 2)

Man gehe nun vom Anfangszustand 2) aus und andere durch irgendeinen Zwang alle Ilj (j =1= k) um gewisse Betriige d aj. Damit ak mit den aj im mechanischen Gleichgewicht bleibt, mull sich auch ak iindem, und zwar in der Weise, dall die von den aj an ak geleistete Arbeit

dAk = -~~ (2: Vik) dak oak j=f=-k

gleich ist der Energiezunahme

oWk '" oWk dWk = -.-dak + ~ --daj oak j=Fk oaj

der Energie Wk = Uk + Tko Die Gleichsetzung von d Ak und d Wk ergi bt

-l- (Wk + 2: Vik) dak + 2: °OY~k daj = O. ~ j=Fk j=Fk ~

3)

Die Losung dieser totalen Differentialgleichung (PF AFF ache Gleichung) wird gesucht in der Form

3')

ausgehend vom Anfangszustand 2). Dall bei zwei Ringen eine und nur eine Losung vorhanden ist, ist trivial.

91

92 ALFRED LAND~

1919.] Adiabatenmethode zur Quantelung gestorter Elektronensysteme. 581

Bei drei Ringen hangt die Existenz und Eindeutigkeit der LOBung al = a l (a~as) der PFAFFschen Gleichung

?Ll!'"l±X~~t_VlB) da1 + OWl da2 + OWl das = 0 4) oa l 0 all 0 as

ab von der Erfiillung einer "Integrabilitatsbedingung" genannten Beziehung 1) zwischen den Koeffizienten von daB dall' daB' Werden diese Koeffizienten X, Y, Z genannt, so heiDt die Bedingung

1m vorIiegenden Fall 4) wird daraus

0= O(WI + VB + VIS) . (02Wl _ 02w,,_\ aal oU2 0US oasoaJ

+ 0 w" . ((j2W1 _ 02(Wl + V12 + VIS») o~ o~d~ o~o~

+ 0 w" . (0 2 (WI + Vl_2_ + VI S) _ Oll WI ). oas OCl1 0Cl2 OU li oa1

Da nun in der Summe Wk = Uk + Tk die GroDe Uk nur von ak abhangt, wahrend Tk nach I") auch andere aj enthalt, wird aus 4')

4'~

Darin ist wegen I")

3 T, a1 32 v;. 2 oT, a l 32 VIS oa2 = 20a1 0a2 ' ca; - 2 oal oas'

woraus die Richtigkeit von 4"), d. h. die Erfiillung der Integra­bilitatsbedinguug folgt. Von einem bestimmten Anfangszustande del' a1 a2 Us ausgehend, gehort also zu jedem Wertepaar asas ein bestimmtes al = al (U2US)' gleichgiiltig auf welchem "W ege", d. h. in welcher funktionalen Verkniipfung a2 (us) die beiden GroJlen all und Us von jenen Anfangswerten in die Endwerte iiber­gegangen sind.

1) VgI. z. B. SERRET, Lehrb. d. Diff.- u. Int.-Rechnung, Bd. III, Nr.872. Leipzig, Teubner, 1909.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

582 A. Lande, [Nr.17/18.

Kommt nun ein vierter Ring a, hinzu, so driicke man mit Hilfe einer willklirlichen Funktionalbeziehung a. = a.(UtI) liberaH a. durch as aus, indem man z. B. schreibt

W1 (a1 a2 aS a.) = W1 [a1 a2 asl = [W,], oW, + oW, oa. _ 0[W1 ]

oas oa. (jas - -~-'

v;. s + Vu = VIS [a1 as] + Vu [a, as] = [Va], V12 = [V12]·

Dann geht bei vier Ringen 3) liber in die zu 4) analoge Gleichung 000 '" ([WI] + [V12] + [Va])da1 + '" [W1]da2 + '" [W;]dag = 0, u~ u~ u~

die ebenso wie 4) die Unabhiingigkeit des Endzustandes a1 vom Wege der zwei unabhii.ngigen Variablen a2 , as verblirgt. Da die Abhiingigkeit a. = a.(as), d.h. der "Weg" von a., willklirlich sein durfte, folgt die Unabhiingigkeit des Endzustandes a1 vom Wege der a2 as a. aus ihrem Anfangszustand in ihren Endzustand. Der Spezialfall 2) als Anfangszustand ist dabei nicht wesentlich.

Sukzessive zu mehr als vier Ringen libergehend, erhlilt man dann die eindeutige Bestimmtheit der Losung ak 3/) der PF AFF­schen G-leichung 3). Indem man ferner den Index lc von 1 bis n variieren liiIlt, jedesmal von einem Anfangszustande 2) ausgehend, erhiilt man n Gleichungen a1 = a1 (a2 as a, •. . ), a2 = a2 (a1 as a •... ) flir die n Unbekannten a. Diese Gleichungen haben ein be­stimmtes Wertsystem a1 a2 ••• a.. als Losung, welches man d urch ein konvergentes Verfahren foigendermallen ermitteln kann. Mali bringe vom Ausgangszustande 2) aus aHe Ringe auller ak zwangs­weise in die intermediii.ren Lagen ay. Dadurch riickt aZ, um daB Gleichgewicht aufrecht zu erhalten, in eiDe gestorte Lage a~l). Durch den entspreehenden Prozell findet man aueh gestorte Lagen aJ') fiir aHe anderen Ringe. Jetzt bringe man aHe Ringe aj=l=k in die eben bestimmten Lagen aY)j dadureh rlickt ak in eine. Lage a?).

Dureh den entspreehenden Prozell findet man aueh gestorte Lagen a]2) fUr die anderen Ringe. Dureh Fortflihrung dieses Ver­fahrens gelangt man so zu einer Reihe von Wertsystemen

a~ a~ a~ .• , j a~) a~) a~) ... j a~) arp a~) ... j ••• ,

welehe gegen das adiabatisch riehtige Wertsystem a1 a2 as'" kon­vergieren. Da die gestOrte Lage a~l) unabhiingig vom Wege der

93

94 ALFRED LANDE

1919.] Adiabatenmethode zur Quantelung geBtorter Elektronensysteme. 583

ar V eranderungen ist, kann man den Weg einschlagen, die aj aus ihren Anfangslagen (2) einzeln nacheinander in die Endlagen ujO) zu bringen; a~ riickt dadurch in n-l Schritten Dach a~'), und bei jedem dieser Schritte sind alIe du; gleich Null auller zweien (nii.mlich auller dak und dem gerade vorriickenden da;). Die Behand­lung der totalen Differentialgleichung 3) ist damit auf eine Folge von gewohnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung reduziert.

§ 3. 1m folgenden soIl das Beispiel zweier komplanarer Ringe mit den Radien r, (innerer) und r~ (aullerer Ring) und den Elektronenzahlen p, und p~ behandelt werden. Wir werden dabei die Formeln, die Herr SOMMERFELD ,) durch nachtragliche Quantelung des gestorten Systems gefunden· hat, teils bestatigen, tails erganzen. Es ist hier spaziall, wenn Z, bzw. Z2 die nwirk­same Kernladungszahl" bedeutet,

u __ E2p,Z, 1 - r1 '

U. __ E2p~Z2 2 - , r2

also nach

y = E2p,P2 (!!1 + ... ) '2 r2 4 ri ' I I") T, = -~ E

2Pl [z, + P2 ~~ + ... J, 2 '"' 2 r. .

T2 = ! .2 P2 [Z2 _ 3 p, ~ + ... J . 2 r2 4 r2

5)

Die Gleichungen 3) 2) verwandeln sich, wenn man unter k einmal den inneren, dann den aulleren Ring versteht, in

o 0 dr (W, + V, 2) dr ~r (W2 + V12)

, bzw. _, = _---'2'---c~_.

il TV, dr2 ~ W o r2 ' or, 2

r,=r10, r2 =00,' r,=O, r2=r~,

oder mit Benutzung der speziellen Werte 5)

bzw.

d (r-8) (r-3 ) 2 4 r-8

d (~8) = f r~3 = 3 P2 Z, + -3 r~3

~ (rn = F (tl) = _2_ z +.!.. r~2 . d(rl) r{ 3p, 2 2 rl

--')-A-. S-O-lII-lII-ER-F~LD, Phys. ZS. 19, 297, 1918.

6)

6')

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

584 A. Lande, Adiabatenmethode zur Quantelung usw. [Nr.17/18.

Um sie zu integrieren, bezeichnet man den Quotienten 123/r,3 mit ~ bzw. rNr22 mit ~, und erhiilt dann neue Differential­gleichungen fiir die Koordinaten t"l3 und ~ bzw. r: und $:

d(t"13) d~ d(ri) d$ rIB = rm - ~ bzw. -----.rr- = l!'(:E) -~.

Setzt man die Abkiirzung ein:

x = rm-~ = -~-ZI+~~' X=F(:E)-~=~Z2-~ $, 3 Ps 3 3 PI 2

so erpiilt man die Integrale

In (rIB) = 3ln x + Const bzw. In (r:) = - 2ln X + Const. Da nach 6') ~o = 0, zo = 0" ist, wird schliefilich

o 3 0 3 2 !:! = 1 + h_ ~ bzw. r2 - 1 PI r l 7) r 1 2Zlr~ ;:;- -4Z11 1J

als Losung von 6) erhalten. Einsetzung dieser Grofien in 5) gibt den Wert fUr die Gesamtenergie E = TI + VI + Ts + Us + Vill

-E = ~{(1i_~ +bO~ll)_~ PI;2 (1)2) 2 r 1 r 2 2 r 2 ~ 8)

+ PI ;2 [~ b (q)' + ~ p~ (q)6]}. r ll 16Z2 r. 4 ZI r2

Zu dem ungestorten Energiewert tritt also als Korrektion ein Glied mit (tj/r~)2 und weitere zwei Glieder mit (tj !~)' bzw. (r~/~)6. Wiihrend das erste Korrektionsglied mit Herm SOMMER­FELDS Ergebnis iibereillstimmt, weichen die beiden letzteren im Vorzeichen abo SOMMERFELDS Rechnung, die in den Gliedern hOherer Ordnung nicht konsequent vorgeht, gibt jedoch richtig gestellt I) Dbereinstimmung mit unserer Formel 8) ..

Eine Anwendung dieser Adiabatenmethode auf die Quantelung des Heliumatoms wird Verf. demniichst in der Phys. ZS. geben.

I) Bei SOMMERFELD, 1. c. § 3, ist die vor (13) .tehende Formel fiir V erhalten ,durch Eintragung von (12) in (7)". Es mull aber (10) in (7) ein­getragen werdell. Dadurch werden die Glieder (15) um den doppelten Betrag mit nmgekehrtem Vorzeichen vermehrt. SOMMERFELD s Ergebnisse fiir die Riintgenspektren werden dadurch aber nicht beriihrt, da sie mit Vernach­liissigung del' beiden letzten Korrektionsglieder gewonnen sind.

95

96 PAPER 21

1919.J A. Lande, Quantenregel fiir die raumliche Orientierung usw. 585

Eine Quantenregel fur die raumliche Orientierung von Elektronenringen;

von A. Lande. (Eingegangen am 11. Juli 1919.)

Uber die raumliche Orientierung einer elliptischen Elektronen­bahn in einem ebenen homogenen Kraftfeld hat Herr SOMMERB'ELD 1) eine Quantenregel abgeleitet. Bedeutet,a. den Winkel zwischen del' Bahnebene und der Normalebene des Feldes, so kann -IT nur diskrete Werte annehmen, bestimmt durch

cos-lT = !1t" 'tl

wobei n die azimutale Quantenzahl des Elektrons auf selUer Bahnellipse bedeutet und n1 ebenfalls eine ganze Zahl angibt (0 < n, :::;;: n). Es soil hier nun del' allge­meinere Fall behandelt werden, daB zwei Elektronen auf verschiedenen Bahnen urn einen schweren Kern kreisen 2). In Fig. 1 bedeuten J = A 0 und JI = A 0' GroBe und Achsenrichtung des Drshimpulses flir 0'

Fig. 1.

B

das erste und zweite Elektron in einem Zeit- 0

punkt; die Diagonale:;S = AB des Parallelo­gramms A 0 B 0' gibt also das Impuls-moment des ganzen Systems urn die vom A

Schwerpunkt A ausgehende Achse A Ban. Nach dem Flachensatz bleibt :;s dauernd nach GroBe und Richtung unveranderlich. Unmittelbar aus der Figur folgt ferner flir die Neigungswinkel {} und {}'

:;s = J cos ,a. + J' cos,a.' = const. 1) J sin {} - J'sin {}' = O. 2)

1) A. SOMMER];'ELD, Ann. d. Phys. (4) 51, 31, 1916, Formel 22). 2) 1m N achtrag zu A. LANDE, Das Serienspektrum des Heliums, Phys.

ZS. 20,228, 1919 hat Verf. eine andere AbleituDg del' raumlichen Quantelung 4), 5) gegeben. [Dort wurde {) im nmgekehrten Sinn henutzt, - {) statt {); daher .steht hier in 5) ein Minnszeichen.] Die hier gegebene Ableitung verdanke ich den Mitgliedern des Seminars fiir theoret. Physik in Miinchen.

Reprinted from Deut. Phys. Ges. 21, 585-588 (1919).

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

586 A. Lande, [Nr.17/1S.

Die Quantentheorie verlangt, dan die Flachenkonstante in 1)

'" kh ) ;;S = 2:71:" 3

sei, wo k eine ganze positive Zahl bedeutet. Infolge der gegen­seitigen Storungen der beiden Elektronen sind nun die einzelnen Faktoren J, J', cos It, cos,f}' nicht konstant. Bei Vernachlassigung der Storungseinfltisse gehen aber J und J' in zeitlich konstante GroIlen tiber, quantentheoretisch bestimmt durch die Impuls­gleichungen :

nh J=fi'

J'- n'h - 2:71:"'

wobei n und n' die azimutale\ Quantenzahlen Elektronenbahnen angeben. Einset~ung von 3), 3') in zu den Beziehungen

n cos ,f} + n' cos,f}' = k nsin,f}- -n'sin,f}-' = 0

3')

der beiden 1), 2) fiihrt

4) 0)

als Bestimmungsgleichungen ftir die N eigungen ,f}- und ,f}' der beiden Elektronenbahnachsen gegen die unveranderliche Achse AB. Die auf A 0 senkrechte Bahnebene des einen Elektrons schneidet die auf AB senkrechte "unveranderliche Ebene" in zwei Halb­strahlen, dem aufsteigenden und dem absteigenden Knoten. Do. A 0 mit AB und A 0' dauernd in einer Ebene liegt, ergibt sich der Satz von JAKOB! aus der Himmelsmechanik:

Der aufsteigende Knoten der einen Planetenbahn auf der unveranderlichen Ebene £aUt dauernd mit dem absteigenden Knoten der anderen Planetenbo.hn zusammen.

Die Ebene A 0 B 0' mit den beiden Drehachsen A 0 und A 0' kann noch um die im Raum feste Achse AB eine Rotations­bewegung o.usfiihren [Prazession] 1), deren Schnelligkeit von den gegenseitigim Bahneinfliissen o.bhangt.

Fig. 2 enthalt eine Zusammenstellung einiger nach 4), 5) bei verschiedenen Wertetripeln nn'k moglichen Bahnneigungen It und ~'. Die an die Drehimpulsvektoren geschriebenen Zahlen geben die azimutalen Quantenzahlen n, n', k an, deren GroIle mit, der Lange des betreffenden Vektors iibereinstimmt. Der Vektor des gesamten Drehimpulses ~ ist (wie in Fig. 1) senkrecht nach oben gezeichnet, Jim allgemeinen nach rechts, J' nach links, soweit

1) V gl. die Darstellung bei A. LANDE, I. c.

97

98 ALFRED LANDE

1919.] Quantenregel fiir die raumliche Orientierung v. Elektronenringen. 587

J und J' nicht mit :;'j zusammenfallen. In letzterem FaIle hat man Komplanaritat der beiden Elektronenbahnen mit gleichem bzw. entgegengesetztem Umlaufssinn, je nachdem J und J' nach del' gleichen bzw. entgegengesetzten Richtung zeigen.· Bei ge­gebenem n' = 1 (innerer Ring einquantig) gehoren zu jedem n .drei Stellungen, bei n' = 2 fiinf, bei n' = 3 sieben Stellungen dol' beiden Ringe gegeneinander, usf.

Die vorigen Resultate und Formeln lassen sich auf den Fall zweier Ellipsenvereine von Elektronen, speziell auf zwei Kreis-

Fig. 2. n.' =1

3

3A

:1 Ji ~'

2 t A 2 I 2

! 2: W: 2.+. ' I O~21 I )r

D = 2, D' = 2, k = 0, 1, 2, 3, 4

5 II = 2, 11.' = I, k = 1, 2, 3

D = 3, D' = 1, k = 2, ·3, 4

4 t 3 3 A : 1 3 A 3 i 3 :3

tYJ~'~ L 2 n = 3, D' = 2, k = 1, 2, 3, 4, 5

ringe mit den Besetzungszahlen p und p' ausdehnen. An Stelle von 3') treten dann die Impulsgleichungen

nh J=P'2n'

auf, so dall man statt 4) 5) erhalt

n'h J'=p'-

2n

pn cos {T + p'n' cos {T' = k p n sin {T - p' n' sin {T = 0 }

als neue Orientierungsregeln fUr die Winkel {T und ebene gegen die unveranderliche Ebene.

7)

{T' der Bahn-

SELECTED SOENTIFIC PAPERS

588 A. Lande, Quantenregel fiir die riiumliche Orientierung usw. [Nr.17/18.

Nach einer von Herrn SOMMERFELD schon 11)16 ausge­sprochenen These 1) enthii.lt eine Serie von Spektraltermen lauter Terme mit gleicher azimutaler Quantenzahl n, die sich nur durch verschiedtme radiale Quantenzahlen unterscheiden. Z. B. sollen nach SOMMERFELD die S-, P-, D-, B-Terme bzw. durch die azi­mutalen Quantenzahlen n = 1, 2, 3, 4 iiu13erer Elektronen charakterisiert sein. Da nach 4), 5) bei gegebenem n' (Fest­legung innerer Elektronenbahnen) und gegebenem n (Festlegung des Seriencharakters: S-, P-, D- oder B-Term) noch verschiedene Werte k, also verschiedene N eigungen fr, fr' vorkommen konnen, folgt die Moglichkeit, verschiedene S-, 1'-, D-, B-Serien eines Atoms auf verschiedene Orientierung der B;thnebenen gegen die unveriinderliche Ebene zuriickzufiihren 2).

1) A. SOMMERFELD, Sitzungsber. der Bayr. Akad. 1916, S. 131. 2) Eine Anwendun~ auf die beiden Spektren des Heliums (Ortho­

helium- und Farheliumspektrum) wird Verfasser demnaehst in der Phys. ZS. geben.

99

100 PAPER22B

Das Serienspektrum des Heliums.

(VorHiufige Mitteilung.)

Von A. Lande.

Urn das Serienspektrum des Heliums und der Alkalien dynamisch zu erkHiren, braucht man sich mit Rucksjcht auf die Bohrsche Frequenzbedingung V= E.- E./h nur mit den Energiewerten Ef/. zu beschliftigen, die ein AuBen­elektron (Valenzelektran) auf seiner n.quantigen Bahn urn die von Z - 1 Innenelektranen dicht umgebene Kernladung + Z e besitzt. Kern und innere Elektronen wirken auf das auBere wie ein punktformiger Kern der Ladung +e(1 +"l, worin " aus der Wechselwirkung der Elektro· nen zu berechnen isl. In Anbeiracht der Schnellig­keit des Elektranenumlaufes ersetzte A. Sam mer­feldll die Wechselwirkung zwischen inneren und auBeren Elektranen naherungsweise durch die Wirkung, welche zwischen den kanzentrischen Kreisbahnen auf tritt, wenD man sich dieselben entsprechend der Verweilzeit kontinuierlich mit Elektrizitat belegt denkl. "wird dann eine GroBe .weiter Drdnung in dem Radienverhalt­nis der inneren Elektronenbahnen zur auBeren. Dagegen wiirde man einen Effekt erster Drdnung durch eine exzentrische Verschiebung des Ringes vam auBeren Valenzelektron fort (Fig. I) erhalten, und eine solehe Verschiebung ist infolge der abstoBenden Kraft des AuBen-

I) A. Sommerfeld, Sitzungsber. del Bayr. Akade· mic, November 1916.

Reprinted from Phys. Z. 20, 228-234 (1919).

-e J9{ r------------ ~-e Fig, I.

elektrons gegen die Ringelektronen tatsachlich varhanden. Der Kern +Ze mit der urn die Strecke d verschabenen Ringladung (Z - I) (- e)

wlIkt dann auf das auBere Elektron in erster Naherung zuruck wie ein Dipol vam Moment d· e, dessen ungleichnamiger Pol auf das Va­lenzelektron zu zeigt; erst in zweiter Naherung macht sich in " die G ro B e des Ringes bemerk­bar, uDd in dritter Naherung eine Verzerrung der Kreisringform. Es kommt nun darauf an, die GroBe der exzentrischen Ringverschiebung d im Feld des Valenzelektrans zu. berechnen. Das ist eine ahnliche Aufgabe, wie die in der Dispersionsthearie gestellte Frage nach dem Moment eines Ringes im periodischen Feld dner Lichtwelle, nur daB im vorliegenden Fall das Feld mit dem Valenzelektron rotiert und dazu nicht an allen Stellen des Ringes die gleiche Starke und Richtung hat. Letztere In­homogenitat wird aber die GroBe des er­zielten Ringmomentes wieder nur in hoherer Drdnung verandern. Wir denken uns deshalb das inhomogene Feld des Valenzelektrons er­setzt durch ein homagenes von der GroBe und Richtung, wie es im Ringzentrum herrschen wiirde. Die verschiedenen schiefen Stellungen der Bahnebene des auBeren Elektrons gegen den

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

z Lande, Das Serienspektrum des Heliums. Physik. Zeitsehr. XX, 1919.

inneren Ring und die verschiedenen Ellipsenfor· men dieser Bahn, die bei azimutaler, radialer und raumlieher Quantelung auftreten, ergeben sehlieBlieh die Aussieht, das Seriensystem des Heliums dynamiseh zu deuten.

Der Gang der Untersuthung ist so vorge· zeichnet: Man reehne in Anlehnung an Debyes Storungstheorie des Wasserstoffmolekiils 1) die Storungen in einem rotierenden Felde aus, setze fiir die GroBe des Feldes die yom AuBen· elektron herriihrende Feldslarke - e,r' ein und ziehe die Energiebilanz des gesamten Systems Kern+Ring+Valenzelektron bei ,·er· schieden gequantelten Bahnen des letzteren, mn die mit h multiplizierten Kombinationsterme des Serienspektrums zu erhalten. Ihre GroBe hangt nariirlieh ab von der jeweiligen exzentri· sehen Ringversehiebung. Bereehnet man aber die Ringmamente in der iibliehen Weise der Dispersionstheorie, sinngemaB fiir rotierendes Feld geandert, so erhalt man ganz falsehe Energiewerte. Die iiblichen gestorten Ring· bahnen, welche aus ungestQ.rten Kreisbahnen yom Radius a enlSlehen, sind namlieh in dem storenden Feld zwar im Gleichgewieht; mit diesem Feld sind aber aueh noeh viele andere exzentriseh versehabene Bahnen vertraglieh, nam· lieh diejenigen, welche naeh jenen Formeln aus Kreisen mit irgendwelchen anderen Radien a' entstehen wiirden. Aus der Auswahl dieser me· chaniseh mit dem storenden Feld vertraglichen Bahnen hat man nun diejenige auszusuehen, welche aus der ungestorten Kreisbahn a bei unendlich langsamen Anwaehsen des Feldes entstehen wiirde (Adiabatensatz von P. Ehren· fest"»). Da nun die Ringladung - pc auch beim Bohrsehen Atommodell naherungsweise quasielastisch an den Kern gebunden ist, leistet ein elektrisches Feld beim Anwachsen vorn Betrag Null auf den Betrag ij; die Versehiebungsarbeit

W-pe.ij;.!:.. . 2

Der urn d versehobene Ring muB also einen urn W griiBeren Energieinhalt (kinetisehe + po· tentielle Energie der Ringelektronen gegenein· ander und gegen den Kern) haben als der un· gestOrte Ring. Die Deb y e sehen gestorten Disper· sionsbahnen widersprechen aber dieser Forderung, wie man sieh durch Reehnung leieht iiberzeugt. Zu dem ungestorten Radius a bekommt man vielmehr die energetisch riehtigen gestorten Bahnen, indem man die Debyesehen Storungsformeln auf einen ungestorten Ring a' anwendet, wobei a' so Zll

I) 1'. Debye, Sitznngsber. der Bayr. Akademie, Januar I9IS.

2) P. Ehrenfest, Ann. d. Phys. 51, 3z7, 1916

wahlen ist, daB naeh der Verschiebung die adiabatiseh verlangte Energiezunahme W gilt. 1m Faile der periodisehen Liehtwelle ware also mit der Verschiebung 'eine periodische PuIs a tion des Ringes verbunden, in unserm Fall der Heranbringung des felderzeugenden Valenzelek· trons aus dem Unendliehen eine einmalige kleine Zusammensehrumpfung des Ringes bei seiner azentrischen Verschiebung. Obrigens erweist sieh diese Radiusanderung als so klein, daB bei der Entwieklung des atomaren Feldes naeh Patenzen von air in groBer Naherung der normale Wert a eingesetzt werden kann. J enes Zusammensehrumpfen ist aber fiir die Energiebilanz wesentlieh.

tern dann die Serienterrne zu erhalten, hat man naeh der Methode der Dispersianstheorie zu jeder Entfernung 'r des AuBenelektrons die zugehorige Lage des Ringes aufzusuchen und das Potential des exzentrischen Systems Kern + verschabener Ring auf das Valenzelektron zu bilden und die Verschiebungsenergie W hinzu· zufiigen, urn naeh den allgemeinen Methoden von A. Sommerf eld ') die quantentheoretischen Bahnen des Valenzelektrons in die.em Potential· feld zu erhalten 2).

Das Valenzelektron soll urn den Kern eine konzentrisehe Kreisbahn besehreiben, deren Aehse mit der Aehse des ungestorten inneren Ringes einen Winkei ,'f einschlieBt (Fig. 2).

~~ ~----~

~

ft = 180' bedeutet also komplanar, aber ent· gegengesetzt urnlaufendes Elektron. Nimmt man die Schnittlinie der beiden Bahnebenen zur x-Achse, die Drehachse, des inneren Ringes zur z-Aehse, und hat das auBere EIektron die Umlaufsfrequenz s, so ist seine Bahn besehrie· ben dureh

Xo=rcosst, Y.=rsinsteosft, () z. = r sin s t sin ft. 1

Es erzeugt im Ringzentrum ein Feld, dessen periodisehe Komponenten dureh die reellen Teile von

I) A. SOUl merfeld, 1. c. 2) Vat FuBnote 1 S.232.

101

102 ALFRED LANDE

Physik. Zeitschr. XX, 1919. Lande, Das Serienspektrum des Heliums. 3

Q:1' = - i~, cos Ii eiJ ', . , Q;.=-i~sin{f(/I

" gegeben sind. Die Ringelektronen (beim He llur ein ein·

ziges) mogen mit der Frequenz ro auf einem Kreis vom Radius a umlaufen; eins von ihnen beschreibt dann ungestort die Bahn

x=acosrot, y=asinrot, (2)

%=0.

Steht es unter dem EinfluB der scheinbaren Kerniadung Z' = Z - 5, mit der Abschirmungs­konstante 5, (bei H. ist Z' ~ Z = 2), so sind " und m durch die mechanische Gleichgewichts­forderung und Quantenbedingung (einquantige Bahn)

ma2w=~ • (3) 2,.-

festgelegt, wahrend das Valenzelektron mit " Quanten den lmpuls

mr's=nh '3') 2,.-

hat. Aus GI. (3) und 13') folgt die Frequenz­beziehung

s na~

w=--;Z'

Die ungestorte Bahn (2) des inneren Elek­trons andere durch den EinfluB- des Feldes (I') ibren Kernabstand a urn einen Betrag R(t), ihren PhasenwinkeI m t urn einen Winkel <P (t), und ihre Koordinate z ~ 0 urn den Betrag Z(t), wobei Ria, <P und Zia als periodische Funktionen

R A _ A' (i=-= 2" e,(s+rn)t + "2 ei (B'-6l)t,

<P =!!. e,(·+",)1 +!. ei ,.- ",)t (4) 2 2 '

~=~ei" a 2

in die Bewegungsgleichungen des Ringelektrons im storenden Feld eingesetzt werden konnen. Mit Hilfe der potentiellen Energie U von Kern und Ring, die bci dem einen Ringelektron des H. die Gestalt

U = - Ze': V(a+R)":t:-X2= 2 e2 I R R' 1 Z· ) (s)

= - a \I- a + ao -2(i2+'

hat, erhiilt man nach dem Muster der Debye­schen Storungstheorie beim WasserstoffmolekuI')

I) .P. Deb)'e, 1 c.

als Resultat fur die Koeffizienten A, A', B, B', G in (4) die Ausdriicke

(2+~)'-I I c2 'ro

A = mamo,,(I -eos()-)( - 5)' ( , s\' 1+- - 1'''-)

\ tXJ un

Die Entwicklung nach der kleinen GroBe slm = na'l.' gibt mit Benutzung von (3)

A =(I-COS()-)~~(I-Z.~) n4 6 w

. 16( liS) B=J(I-eos()-)n4'-6w

, 13 ( 7 s\ A=-(I+CoslJ)n4 1 - 6 ;;) ,. 16(' II S\

B=J(I+COS1~)-- 1----) n4 \ 6 w

G=i-.:..... nm

Gist also in slOJ urn eine GroBenordnung kleiner als A, B, A', B'.

Damit sind die Storungen (4) bestimmt: Aus ihnen setzt sich die Bahn des gestorten Ringelektrons zusammen (statt (2»

x=(a+R)cos(rol-i-<P) = I =a[cosrot+~cosrot-<psinrot ]1

y=(a+R)sin(rot+<P)= (8)

z =Z: aa[S~.rol+ ~Sin wt- <Peosrot]I

a

Bildet man aus (I) und (8) die Entfemung I zwischen dem Valen.- und dem Ringelektron, so erhalt man, da

I' ~ (X,-x)' + (Y,-y)' + (Zo-z)',

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

4 Lande, Das Serienspektrum des Heliums. Physik. Zeitschr.XX, 1919.

den folgenden Ausdruck

~= I - ~[(cosstcOSOJt+COSN-sinstsinwt)+ " , R( !-cos{t· I+C05&\,

+;: costs l-ro)I·-2-+ cos (s-ro)t--2-j

I-COS{} I+COS{}- ] -p~sin($-rw)t. --2- - sin(s-ro)t -2-)

+:::~ 1 -2M + N'

" mit

Bildet man die reziproke GroBe r Il, entwickelt bis zu Gliedem zweiter Ordnung

!.. ~ 1 +M + ':(3M'- N')+' l 2

und bestimmt den zeitlichen Mittelwert, so erhillt man nach einiger Rechnung

M a l-coslt(A 'B) It-cos lt(A' 'B')] ~rl--8--- -, +--8- +,

M'- ~ f 1 +cos'lt - r'\ 4 +

+ ........ (l-cosltJ'[(A-iB)'+ 2A'+ z(iB)' + 128

+ .2..8 (I + coslt)' [(A' +iB')'+2A"+ z(iB')']-12

I-cos2l9- . ,. '} - ---------(A -'B)(-A -,B) . 32

(10)

Andererseits ist die in obiger Verschiebu~gs. arbeit W yorkommende GroBe d/z zu entnehmen aus der Entwicklung

e' d e' I W~"'2= 2i( -; -- 1)=

e2 rM I --- --, ~---l-+-(M'-N')j. (10')

r 2 4

Das mittlere Potential des in der Entfer­nung , kreisenden Elektrons gegen Kern Z -- 2

und Ring - 1 e ist also beim Helium

V=-~(2-(T)) + W.

Mit Benutzung von (7), (10), (10') ergibt sich

e'( a a2 a:J \ V = - r ,I +a1r +a, r:< + a, rs + ") (II)

mit den Abkurzungen

9 cos It

1:::s~6n' I a, = - --,-6---

45 (I + 150 cos','} + cos'lt)

(12)

als mi ttleres Potential d~s- auf einer geneigten Kreisbahn umlaufenden Valenzelektrons gegen Kern und verschobene Kreisbahn des inneren Ringelektrons beim Helium. Fur It = o· und '" = 1 80U ist iiberdies (I I) nicht nur das mitt­lere Potential, sondern das Potential in jedem Punkt der komplanaren Kreisbahn. Wir be­trachten nun im Folgenden den Ausdruck (II), ('2) als Potential des Valenzelektrons in einem beliebigen Punkt des Abstandes r vom Kern, auch wenn sich das Valenzelektron auf irgendeiner andern Bahn, etwa einer Ellipse, dureh diesen Punkt hindurch bewegt.

Die Reihenentwicklung (I I) des Potentials V auf das Valenzelektron bildet die Grundlage dcr Quantelung seiner Umlaufsbahnen im Atom· feld. Herr Sommerfeld hat die allgemeine Me­thode zur Ableitungderzugehorigen Kombinations­terme l ) mit Hilfe komplexer Integration gegeben nur fiir den Fall, daB allein gerade Potenzen

von a in V vorkommen (fehlende exzentrische r

Ringverschiebung). Die Erweiterung der Som­merfeldschen Methode auf Potentialfelder der Gattung (1;4) fiihrt zu folgender Bahnenergie des ValenzcIektrons bci n azimutalen und n' radialen Quanten

h v ~~ ....!'i'!....... ___ 1_. __ _

(,,+n')' ( __ n_o \' (13) .1 n+,,'")

\vorin On die nur von n, nieht von n' abhangende Griille bedeutet:

mit den Abkiirzullgen

~ 2:rtm e' IV = -'Ji3- (RYdberg-Frequenz),

h' (innerster Wasserstoff- (14) ao ~-, 4 Jr2m e2 ringradius).

Die in On auftretende GroBe ain2ao ist im wesentlichen gleich air. Die Stellung ,,!- der schiefen Kreisbahnen ist geregelt durch die So m mer f e 1 d schen Bedingungen 2)

coslt=~~- wobei "I + ".=n, (IS) "I+ n, erhalten aus der Quantelung im Raum. J ede quantentheoretisch miigliche Bahn is! nun chao rakterisiert durch die drei Quantenzahlen n'n1n2 •

I) A. Sommerfeld, Munchener Akademieberichte, ~ovelllber 19[6.

31 A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, 31, 1916, Formel 22.

103

104 ALFRED LANDE

Physik. Zeitschr. XX, 1919. Lande, Das Serienspektrum des Heliums.

n = n , *' n. bestimmt das Fliichenmoment mr'ip = nil/v" die Neigung 1J. der inneren gegen die iiuBere Elektronenbahn ist durch (, 5) gegeben, und die Exzentrizitat l; wird gefunden aus -y"i-=E' = n!n + n'. Rechnet man die Terme VH aus ([3) fiir verschiedene positiv ganzzahlige Tripel n' n 1 n 2 aus, so ergeben sich durch Vergleich mit den Serientermen v H = N/(n+n')' des Wasserstoffsl) die in der fol­genden Tabelle zusammengestellten Werte v H, : V f/.

Beobachtung Theorie

l'He I'J! : vJI vHe:I'f/ fl'nt "'2 I}

S, 32031 1,168 Niherung 13445 1, 103 unzu-7369 1,075 reichend 4 646 1,059

PI 27 174 0,982 0,9979 002 90U

12099 0.992 0,9986 102 6817 0,994 0,9989 302 4367 0,995 0,999 1 402

DJ 12204 I,OOIl 0>9996 003 9°' 6863 1,0009 0·9997 103 4391 1,0007 0>99976 203

Beobachtung Theorie -- _._-----,--

}'He VH~: VH l'He:I'H n' IJ,"2 i I} I

Sn 38 453 1,402 1,37 110 0" IS 073 1,237 1,225 2[0 SOlI 1,163 1,160 3 10 4963 1.13' 1, 125 410

PII 29 222 1,0657 1,050 020 , 0" 12 745 I,04SS 1,034- 120

7093 1,0337 1,023 220 4509 1,0278 1,019 320

DII 12208 1,00[2 1,0181 030 00 6865 1,0010 1,0135 130 4393 1,0009 1,0108 230

Theorie

::J-,,~.~~r~-= 1,029 Oll 60' 1,020 III

r,014 2ll f,OIl 31I

----I,OU 02I! 48-;00

r,oog 121

1,007 ,Z2[ "

---1--1,0062 I 012 170,53' 1,0046 I 112 " I,003~ :112 "

I) Fur N ist dabei der nach F. Paschen, Ann. d. Phys. 50, 935. 1916 fiir Helium geltende Wert N-I09722 genommen.

Nach einer zuerst von A, Sommerfeld vertretenen Auffassung besitzen in den Serien

Hauptserie v = S - P I I. (diffuse) Nebenserie v~P-- D " (16) 2. (scharfe) Nebenserie v = P - 5

die 5 -Terme die azimutale Quantenzahl n;:::;....:c I,

die P-Terme n = 2, die D-Terme n = 3, wah­rend die radiale Quantenzahl n' die Werte 1,2,3" durchliiuft. S·Terme gibt es also mit den Wertetripeln (n'nln,) = (n',o, I) und (n', 1,0), P-Terme mit (n', 0, 2), (n', [, I) und (n', 2, 0), D-Terme mit (n', 0, 3), (n [,2), (n', 2, I) und (n', 3, 0). Das sind zwei S-Termserien, drei P-Term- und vier D·Termserien. Empiriich gibt es ebenfalls zwei S-Termserien, namlich 51 (Parhelium) und die einfach beobachteten Sll-Terme; ferner drei P-Termserien, namlich PI und die beiden Terme von P rr ; ferner ware es moglich) daB von den beobachteten drei D-Termen Dl und zwei Drr-Terme einer noch doppelt ware, Dn also in Wahrheit ein Triplet darstellt. Die Zusammenstellung der Tabelle, graphisch in der Fig. 3 aufgetragen, zeigt aber, daB nach unserer N aherungsrechnung die Terme (n'o "), (n' ° 3), (n'2 0), (n' J 2), allenfalls auch (n', 0)

mit beobachteten Tcrmen nahe zusammenfallen, wahrend die tibrigen 1 erme mit den vorigen keine geniigend engen Duplets bilden. Man beachte aber, daB unsere Niiherungsmetpode, besonders die riiumliche Quantelung (15) nur als provisorisch anzusehen ist 1). In Wirklichkeit werden z. B. die gegeneinander geneigten Bahn­achsen noch sakulare Prazessioncn ausfiihren. deren Periode zu quanteln ist, an Stelle der riiumlichen Quantelung (IS;. Deshalb kann die hier gegebene Theorie, besonders die erhaltenen Zahlenwerte, nur als eine erste Orientierung tiber die Moglichkeit, das Scrienspektrum des Heliums dynamisch zu deuten, angesehen werden.

Unsere Naherung ist besonders unzureichend bei den 5 -Termen mit n = I, weil hier die iiuBere Elektronenbahn zu dicht am inneren Elektron ,vorbeifiihrt. Das hiingt damit zusam­men,daB die S-Terme hier ais starke Storungen der \Vasserstoffterme n = I, n = 0, I, 2 ., auf­gefaBt werden, im Gegensatz zu der iiblichen Beschreibung durch schwach gestorte Laufzahlen n= [,5; 2,5; 3,5". Auch bei den P-Termen (n ~ 2) wiirden die dritten Glieder der Reihen. entwicklung vermutlich die erhaltenen Quotienten

I J Die exakte Behandlung der gegenseitigen Bahn­storungen mit Hilfe Fourierscher Reihen nach Winkel­koordinaten nnd deren Quantelung (Schwarzschild, Burgers), die Verf. gegenwartig durchfiihrt, konnte be­reits die erste Naberung der bier gegebenen Rechnungs. methode bestatigen und dadurcb die obige Anwendung des Adiabatensatzes auf die Verschiebungsenergie W rechtfertigen.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

6 Lande, Das Serienspektrum des Heliums. Physik. Zeitsehr. XX, 1919.

I ~ n+--n' \/Ile: YH 1 xl =f)

lleoba.<ht: I I ~I h+W TheorL~: ><

II xl ='t

I tt-XI

h+ti ][ xl =3

I p< l't+h'

II XXi X =2.

."' .. "1. .. .1 .... 1 .. "1,,,,),,,,111,,' .. .1,, I,

~ ~ ~ y ~

Fig, 3

VHe/VH lioch merklich vcrgroBcrn. Ferner be­merkt man, daB Umkehrung des Vorzeiehens von cos it (Umkehrung des Umlaulssinns des iiuBeren Elektrons) gerade das Hauptglied a, der Reihenentwicklung On (13) umkehrt, also zu der nahezu entgegengesetzten Abweichung des He-Terms vom entspreehenden H-Term flihren wiirde. Die Forderung positiver Quantenzahlen n 1

und n2 sehlieBt aber solehe Umkehrung aus. In der Fig_ 3 sind die aus der Beobaehtung

abstrahierten Termwerte VHe : VH als Striche ein­getragen, fUr die verschiedenen \Verte von n +n~ und von HeI und HeII getrennt, dazu als Kreuze die theoretischen Termwerte VHe: Vll der Tabelle.

Die Werte der STerme von Herr in der Ta­beile, gehiirend zu den Quantentripeln (n'IO), und die entsprechenden Kreuze der Figur sind wegen der unzureichenden Konvergenz der Storungs­reihen nieht mit Hille von (13) bereehnet worden. Vielmehr ist, einer Anregung von Herrn So mm e r· feld folgend, der in (13) beniitigte Wert von On=l (nl = I, n2 = 0, {t = 0°) erhalten aus der von H. R au 1) gemessenen Ionisierungsspannung, die zur Erzeugung der FowlersehenHeliumserie

v=N 4(2_--'-) 42 n 2

notig ist. Die gemessene Ionisierungsspannung ist 75-80 Volt, umgerechnet gleich einer Ar­beit Nh- 5,55 bis 5,91. Davon mage die Arbeit

Nh -4 -(2. _ 2.) I' 4'

liir den Sprung des innem Elektrons aus der normalen einquantigen Bahn in die vierquantige F 0 W I e r sche Ausgangsbahn verbraucht werden, naehdem das iiuBere Elektron bereits entfemt

1) H. Rau, Berichte d. phys. med. Ges. Wurzburg, 26. Febr. 1914.

gedaeht ist. Der Rest Nh· 1,80 bis .,16 bleibt also zur Abtrennung dieses auBeren Elektrons vom neutralen Helium uhrig. 1st im neutralen Helium der Normalzustand durch das Quanten­tripel (n'n,n,)=(o, 1,0) (Grundglied von SII in obiger Tabelle) charakterisiert, so ist nach (13) die Abtrennungsarbeit Nh: (1_0,)2 fUr seinen Sprung ins Unendliehe niitig.

Aus der Gleichsetzung

I /1,80 (1:'==-0-;)"2= \2,16

folgt dann als Mittel 0, = 0,29_ Mit diesem Zahlenwert sind die theoreti

sehen Werte Sll naeh (13) bereehnet und in die Figur als Kreuze eingetragen. worden. Urn­gekehrt kann man aber aueh aus der dyna­misehen Deutung der S-Terme von Hell rtickwarts den Wert 01 extrapolieren und mit ihm die Energie des normalen He-Atoms mit n':::.....oo, n 1= I, n 2 =o nach (13) herech­nen_ Man findet so den Energiewert - Nh . 6,16 his 6,20 als inDe're Energie des neutralen Heliums im Normalzustand, wenn dieses be­steht aus dem Kern + 2e, umkreist von einem Elektron auf einquantiger Kreisbahn, in weite~ rem Abstand von einem zweiten Elcktron auf ebenfalls einquantiger 1) komplanarer Kreisbahn (Kreisbahn cum grano salis zu verstehen, da sieh die heiden Elektronen storen). Dieses Modell des normalen Heliums steht im Gegen­satz zu dem von N_ Bohr propagierten Modell'),

J) Bei fehlender gegem.eitiger StOrung wurden die Radien der beiden einquantigen Bahnen gleich aol2 und aO'I sein tao ist in (14) definiert).

2) Das Bohrsche Modell zwcier auf demselben Kreis diametral gegeniiber rotierender E~ktronen gibt bekannt­lich die falscbe Dispersion. Das hier verwcndete Helium­modell, zwei einquantigc Kreisbahnen mit verschiedenen Radien, wurde von So m mer i e 1 d vorgeschlagen.

105

106 ALFRED LANDE

Physik Zeitschr.XX, 1919. Lande, Das Serienspektrum des Heliums.

bei dem die beiden Elektronen auf ein und demselben einquantigen Kreis diametral gegen­iiberliegend laufen. Das Bohrsche Modell hat den Energieinhalt -Nh· 2(2-0,25)L_.- Nh· 6,125. Aus unserer Deutung der S-Terme von Hen ergibt sich also, daB das hier benutzte He-Modell mit seiner Energie -Xh·6,16 bis 6,20 urn ein geringes stabiler ist als das von B 0 h r vorgeschlagene. -

Nachtrag bei der Korrektur. Die Rotationsachse eines kreisenden Elektrons, weIche sich mit einer im Raum festen Achse gleich­richten will, mit der sie einen Winkel fj bildet, fiihre bei ullverandertem fj (fehIende Nutation) eine Prazessionsbewegung urn z aus, 1st 2%0

die Prazessionsfrequenz, klein gegen die Rotations­frequenz 5 des Elektrons, so ist die kinetische Energie naberungsweise gleich

my' (5 + 0 cos fj)'/1., die Gesamtenergie also urn einen Betrag

E = mr'so cos fj

groBer als die normale Energie bei fehIender Prazession. Aus der Quantelung dieser mit 0

periodischen Zusatzenergie: E - n, h· 0 folgt sofor!

wenn n, = mr'sjh die ZabI der Energiequanten sh ist, aus denen sich wegen oh«sh die Gesamtenergie im wesentlichen aufbaut, tiber­einstimmend mit der Regel (15), die von Som m er­feld auf ganz andere Art abgeleitet wurde.-

Die zwei kreisenden Elektronen beim Helium konnen eine Pdizessionsbewegung ausfiihren, so daB ihre Rotarionsachsen mit einer im Raume festen Achse z die unveranderlichen Winkel .'t und fj einschlieBen, wahrend ihre Knotenlinie 1. z mit der einen Frequenz 2:1<0

vorrtickt. Die Quantelung der mit 0 periodischeu Zusatzenergie E =ma'wo cos.'f + mr'so cos R, E = 11 t h. 0, fiihrt zu

lI,cosfj+ 11",cos,'}=n,. (2)

Da andererseits die potentielle Energie V der beiden Kreisbahnen nur von ft - fj abhiingt, £lihrt die Bedingung des Gleichgewichts

or OV ilV or oft = oft =- ofj=- 3&'

d. h. nta2 roo sin 8-= mr2 so sin 8 Zll

n,sin ~ + n"sinft= 0 (3)

als zweite Bestimmung fiir t't und 8 bei ge­gebenen lI,n,.n,. Die aus (2) (3) entspringenden diskreten Werte If, fj fiihren Z11 von (15) ab­weichenden gegenseitigen Stellungen der heiden Kreise gegeneinander. Die Diskussion von (2) (3) z~igt zu jedem noS bei n&J = I nur zwei Ste14

lungen (ft, e), entsprechend den zwei Term­systemen H ej und Hell. Die Duplizitat der Hen-Terme durfte moglicherweise auf Nuta­tionen mit quantenmaBigen bestimmten Fre­quenzen beruhen.

(Eingegangen 2S. Mart: 1919.)

PAPER 23

Uber die GroJ3e der Atome. Yon A. Lande.

(Einge-gangell anl 27 .. Januar 192D.)

"V (Jlln .lie Atollle au; o\)uTIL'n Elektroneuringen elltspreehcnd den Periodenzahlen des Systems 11er Elemente aufgehllnt sind, wird lllan ftir den z\\"eiten Bing hei "\tomnullllllern 7. in der Naehbllrschaft Yon Z = 10 Dimllnsionen von ungeHihr 0,35.10- 8 em Radius erwarten (zwciquanti1!er L-Rin~ mit ungef:ihr acht Elcktrollen Besctzung), wobei es hier wic ill den folgelldcll Betrachtllngen auf :20 Proz. mehr oder weniger Ilicht allkoll1lUen solI. Xicht del grU13er, also ebellfalls zwei­quantig w:irCll clalln die :ill13ercl1 Hinge del' anderen Edelgase bz\\". der ionisiertell Alkalien I1l1tl IIalogenc ullzunehmen, sowohl im Hinblick anf den GriHlellansticg der Etldgas-Atolllyolulllina Yon Nc his Em. wie auf den Gro:f3en:mstieg del' Kristallgitterkollstauten von Nal" bis CsJ, die del' dritten Potenz cler Hadien proportional sind. Ringioneu Yom ungef:ihr<Ju Radius 0,35.10- 8 em lassen sicl! mit alleiniger ZI1-hilfcnahme el"ktrostatischer l\:r,ifte Zll I\:ristallgittel'1l zllsammensetzen, welche dol' Gl'illJe nueh mit ,len cllll'iriscilen im Einklang stehen und d:lllnrch llie Ha,lill~groLlen del' beteiligtcn Ril1gioncn zu bestatigen scheinlJnl). Ditl SUnlmen del' heiden Atonlmdicll fiilleu dabei nm etW:l den dritten Teil del' gauzen Elltfel'llllllg zwist'hcll zwei belluch­bartell Atomzentren aus 1I1ll1 l'S hleiben zwischen den Rillgionen he­trachtliche LUckulJ frei.

Die BesUitigung cler obigcn .Atomgrli13e dUl'eh die Kristalldimen­siOIlcn wi I'd aber hinmllig, wellll man llie Vorstellllllg ebener Hinge anfgibt .und Elektronel1:111ordnungen von hoherer raumlicher Symmetric :lullimmt. Da13 die lonell dol' Alkalien nnel Hulogene und daher :meh die Edelgasatome fast kllgelsymmetrisch auzunehmen sind, mindestens aber die ::iymmetrie des \Y[irfels besitzen 2), darf wohl n1s ausgemueht

1) M. Born un,l A. Laude, Sitzungsber. Berliner Akatl., Bel'. 1918, S.1048. 2) Diesel ben, Yerh. d. D. Phys. Ges. 20, 210, 1918. )1. Born, ebenda·S. 230.

DaB der Kel'll lind oie innersten Elektronen nicht so s),1I11l1etrisch anfgebnut sind

Reprinted from Z. Phys. 2, 191-197 (1920).

107

108 ALFRED LANDE

1!J2 A. Lande, [Heft 3

gel tell. l'llahhaugig von dCI' mcchanischclI uud quantcnthcoretischen Untel'suehlln.!{ Rolcher LadungsvCI·tt,illlngt·n Holl illl folg(mdcn Sicher­hcit libcl' dill IIng-emhron Dilllonsiollcll del' \Viirfclschalcn gewollllcn werden. V oransgesetzt ~ei IIIlr el' s tc II s del' allgemeinc SlIb: libel' das pel'iodi"che System Ilel' Elcmollte: "Atolllnlllllll1IJI' = Kel'Uladllngs­zahl = ElckLronclIzlthl illl IIclltmlen Atom"; zweitcns daB all~

KOll1pl'essihilit.atslIlcsslIJlgclI dcr KriBtallc erlmltcnc Besilltat, daLl die KobaBioJlskriifte ill rien Kristllllen cill Potent.ial mit ,leI' Hcihen­elltwickclllllg

(1)

(abgcschcn VOll Illlhetr:ichtlichen RcihcnglicdcJ'll mit :ul/lel'cn Potcnzcn del' Gitterkollstanten Il) hcsitzeIl 1); drittcns, dail dieses Potential allein durch die COlliom hBchen Krafte zwisehell allen l'ositiVllll lind ncgativen Eillzelladungoll zlIstande k"lllmt. Eicktrolllagllet.isehc Krafte ki;nnen II'cgcll riel' J,angs:lmkeit dt'r ill Betl'lwht k')lllmellllcn Elt'ktrnnell­

bewegung'l'1I kuiuc Holle sl'ieleu. Dagcguli llIull man ZIII' El'zieluug del' Stabilit:it des Gittel'aufballs ZlIsat,;dwdiugulIgen vCl'lulltlieh (illanten­t.heol'etisehcr Natul' frei IrrRS!JD, die ahel', wie stets, GroLle unrl H.ichtung riel' elektrostatiBehcn Kraf(IJ IInverandcl't laHselJ worden. Jcdellfalls Rollinl irl-(cudwdchc hypothctisdlcn "l\lolekularkraftc" aIlSI-(C~I:hlIlSSCU

~cill. AIIH clcn ohigell drei VOr:l1IHHlll,ZIIIII-("1I foll-(t 111111 ZIIII:lchHt clie \Viil'fclsYlllllwtric del' :iullomn L'IIII1IJ~Hs(:halulI 2). Dureh IWek"ehllll.l ails rlcn cIIIl'iri8chcn l\:ri,,(,nlll-(itt,enlimenHioll(:n Boll die GI'ilJ3u (liu8Cr loncnwiirfol l\bgcschat~t worden. Ais Resultat Ill'gebcn sioh otwa ill'cimal HO groLle H.adiel1, als lIJan 8ie von dCII 7.\\'ci'pmntigen Hin/-(­atomell her gcwohnt iHt ..

\V1ihrclltl Jliimlieh die obigclI H.illgioneu mit ihrclI Hadieu VOIl

mnd 0,3: •. IO-~ CIII lIuter }<'reilassul1g betraehtliehcl' ZwiseheuriiullIe

(lie ellll'iriHeh vcr!'U1gtt·n Gitter als GleichgcwichtslagclI :lIIIICilIllCn, luii13ten sieh cntg~gl~ng()~ct7.t ,gel:ulcne IOllen vou genall' k 11 g' (~ 1 .. sYllllllctrischcr iiuJJercl' L,ulllllgsYerteilullg I)is 7.111' gcg(,llsuitigell lle­l'iihrulIg nlihel'll, \\'('it ja <Iuren L:ultlllgcn in deu Kngelzentren H'r­eilligt gedacht ,,-erdun diirfell. Die Radicn solcher sich lwriihrelldcn Kugeliouell wiirell dalln nach 1\lIs\\'cis del' cmpil'ischun Gittergl'oLlen

lIIehr als dreimal so groB an7.llIIChmen, als die Batlieu der dUl'Ch Liicken getrelllltcn l{ingillllclI. Nicht. viel llllllel's licgt nun dcl' Fall bci cler

I1llll tladurch such dip 8YlHlIlet.rie (l£~l" ti.nl~l·ell Schnle 'iltilrell. solI UIIH nic.ht hind11rn, do{'.b von im Wl'fH~Jltliebell wilrfeJsymmetrischen Tonen zu spreche-u.

1) 111. Born IInel A. I,an,lr!, Yerh. d. D. j'hy". Ges. 20, 210, 1918. 2) M. Born, eben.!a, S. 2iJo.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

19201 ijbe!' die GroLle der Atome.

\Vechselwirkllllg von 1~lektronenMystcmell von \YilrfelsYTlllllctrie mit dem Gitterpotential (1), wie an anderer Stelle dllreh Bereehnlln~

Ilcs Konstanten B von (I) ~e~eigt werden Boll. Aneh hier wird

Gleiehgewieht zwischen dOll An1.iebllngen der positiven und negativen

IonclIgcsamtladllngen IIn,1 dell AbstoBlIlIgen del' Ht.ets IIcgativell

knhischcn Elektronell~l'hiiren erst eintnJten, wellll ,lie wiirfclsymme­trischcn Sphiircn Rich fast bis zllr Berlihn11lg nahern. 'ViII lIlall al~o

fcsthalten, daB die kllhisehen Kristallgitter del' Alkali - Halogensalze mit llilfc clektrostatischer Krafte all~ lORen :tufgeballt sind, deren

Ue~t:tlt hercits die \Ylirfelsymmetrie des zu hildcmlen Gitters besitzt,

HO ist del' Folgorung nicht allszuweichon, IlaB dioso \Yiirfel­ionen sich in I{ristallen f:tst ohno I.iicken alloillanderiegen, ihre Ibdioll also fast ,lreimal ~riiBer sind als die Railien

?weiqnRlltiger B,ingiollon. Die \YiirfclRtruktllr tler LrttlullgBH·rteilllllg ill <In lillBerell Atom­

"l'hlirc' kallll dahci anf versehiu,lcllo \Yeise ZlI~tande kOIllIllCll. Am cinfachstell \Vltre die Allonlllllllg YOII a.-Ilt 1~I('ktrollcll ill dUll acht

\Viirfelcchll; au~ :-itabilit,litsp:riilldcn kiinncn lliese jedoch dort nieht ruhen. Es Hilld aber Bahncn ,Ier acht Elektronen ~ lIliiglich, lwi

,Iellen Llieselhcll IIIll clio al'ht \Viirfl'leckcn Ill'rnmkreisell derart, dal.l

die L:ulllng 8 c illl Zeitmit,t.el gleiehlldl.lig vClkil1. erHdleint auf vit'r ~l'iiJH,(~tl ](n~i~H'll cill(~1' J(ugcl luit. delll Atl)llIk(!1'1l al:-l Zl\lJf,nIJIl, dt!J'cll

1';l>elll'll ,~(',I!;I'n"illallllcr wie diu vic I' Scitell deH rl'gllliin,n Tetraeders

,~ellcigt sind I), Vi" AO auf del' 1\lIgeliliil'h" \crtcilt" Ladling i:l c heHitzt u\'"ufalls 'YiirfulHYlIllllctrie lind C~ wigt Ril'\l, daB lonen VOIl

sokher Gestalt sich tiur"h elektrostatische Krafte noeh cnger an­niihcrn III iisSCIl , als o~ hei :l<'ht Pllllktladlillgell ill .Iull acht \Yiil'fel­oekull dcr Fall w~\re, da jene Verteilllllg anf dell KllgelkreiHell sich

nicht mehr erhoblich von der i:;otropen Ladllngsyertuilllug lI11tcrscheidot, hoi der ja sogar "imig" Bcriihrl1llg der IOllen "illtret.cll miilJt". \Vie al,er alwh ,lie wahre 'l'iirfelsYlIlllletri,che L:l<lllllg~verteilllng ~cin lll;igc, jcdcnfalls kaHn lll:LIl Rich jUllos 1011 mit einer KII'!;c1sph:lrc lllllgebell llenken, welch" angiht" wic nahe :l1ld,'ro \\riirfclatolllc herangci:tsson

werd('Il, lind (liese ,,\Yil'kllng~si'hiire" winl nul' w(,llig gru[ler als (Ier wahre Ulllf:lllg ,lor liul.Ier~ten 1£Iektrollellsphliru lllld relatiy scharf

deliuiert Reiu, ciue Folge ties st:lrken \\lit del' neulltell l'oten? des A b­

standes abllchlllcnden AhstoJ.\ullgsl'otentials (1) tier Elektroncuwilrfel.

\Velehe Ibdicn r+ lIud r_ mall dt'll l'o~it,ivcll Alkali- llull ne~a­

tiven Halogenioncll (genaucr ihren \Yirknngsspharcn) zuschreihell muB,

1) A. Lall(l e1 Yerh. d. D. Phys. G-t~l'. ~l, 135:1, ~ 1, HlHL

Zeitschrift filr PhJHik. l!l20. 1~

109

110 ALFRED LANDE

1!J4 A. Lande, [Heft 3

iet :III~ dOT foigcndcn ZusulIllllcnstdhmg der empirisch!.'u Gitterkoll.

st.anten () (.Iol'pcltc Entferuullg ~weicr 'verschicden gciurlcner Nachbar­

iOllen) abzuleitcn, illl ja hci BeriihrllJlg der 101lim ~':2 einbeh gleieh

del' Hatliellsnmmc r + + f_ anzullllhmClI iet (Tabelle 1). Dureh die

'1' abelle 1 rler t~mlJiri~c.hell Gitt~rk"nstantell ,).108•

r ~i III 4,00 r,iCI r,) 11 T,inr [),4S Li.' 5,95 Sal" 4,60 Nn(H ;),rlH )\allr ,r;,~H NaJ H,4i

KJ" 5,:n KUI ti,~+ KBr 6,59 KJ 7,05 ]thel f),57 RhDr 6,88 RbJ 7,83 CsCl 6,51! CsEr 6,81 Cs.J 7,23

Hleil1hlln1!I!ll 21'~ + !l'I'_ = ,) mit clIIl'iriseh hcknuntoll rcehten ~citcn

sill,1 <lie Ei!lzcl\\,llrte 1'+ U1Hl r_ fruili"h 11111' bis auf ciuen IInlJestimmtoll

kOllstautcll OllllllllandclI fCRtgeiel:'t. Lct~tcroll tilulet man aber Illit llilfc der Gittprkollotante YUIl I"i,T. Da lliimlich das Li-Ioll mit seinen zwei

EluktrollCII keinl'll "'iil'fcl hild~1l kanll, ~oll!iern lllir cille einlillantigc

(allcllfalls ~\\'ei'ln:lllti!!c) J:iH~'~l'hliro hositzt., iet os judcuf:dis so vie!

kleiner als das ,J o,lioll, daD beilll Gitteraufb:lII die UIIl ~,y2" l'ntferntell

.Jodpartikd OhCl' Zlll' Bl'riihl'lIl1g kOlllmon aIR je oin .Joll- mit cincill lwllac.hl.arten Lit,ililllllioll. Daher i~t. illl Li.J III Hi C\'clltuoll audl ill

,1,,11 an,lcrcn Li-Hal~"u die "higll 1~::\(liellhl'~ichul1l! dnl'eh r, Y2 = ii :! Zll CI'Hutr.en, wodllrcil dCI' nnlJcstillll,ntc :::;UIllIIHIIIlI festgcie,l:'t ist. Dafiir hlcil)t "lwl' del' vie! kkincru lta(iius dcs Li - lOllS gallz Ull bestillllllt,

Fiil' die iihl'igcII IOllclI<1urchlll6SRet' h~\\'. -radicn crgcbcn sieh

oanu die :ds robe ~lihcru))gcn ZII betrachtcllden \V crte der ,,'Vir­

kllllgssphlil'ClI" : 'I':\I,ell,' 2.

II X<I-t K ... I Hil. I r.+ L I CL I Br_ I L

2 r. 10~ II I I I I

I 2,2 2,n 3,:; :i,2 2,4 3,3 i 3,6 4,1

1;1(10' • 2,07 ~t7:j :l,1O ;1,01 2,26 3,10 I ;1,38 3,86

Iu ,Icr 1.wcitcn Zeile stehcn ,lic :tuf "0 = 0,532, ll)-~ l'eiluzierten

Hndiell, in del' cJ'slcn dic Dnr"hlllcsser, welcile paarweisCl additiv zu­

~amlllcllgcfaf3t ,Iic 'Verte dm 'l'ahello 1 er,l:'ehcn sollen.

DaD ~ich die CIII piJ'iHchcn () -'V erte ii bCl'hau}lt anllahcl'nd dUTch

:HI(litive Zilsamlllcnsetzung (Ier vCl'scbicdcnen Kombinationen 2 r + + :! 1'_ bilt1ell lassen, weist Iltlhcli dell aJl(lcrcII Argllluentcn eheufalls

auf cille fast liickenlosc Beriihl'ung del' lunen im Git,ter hill.

DaD dio ,,\Virkulll!~sl'baren" del' 10llcn die hier gefuuden6

Grii/JclIordllllllg hal)clI, <iiirftc lJicht lieu soill, 'Vir hebanpten aber

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

19201 Dbel' die Gl'iille del' Atome. lU5

dariihcl' binalls, dal3 die Inlhn'n ilul.\ercn Eluktl'l)llunschalen nnr lin·

crhehlich (hiichstens etwa 20 Proz.) kleiner sind als die (;riil.\cn del'

'l'abelle 2. Es m(ige hier die Fl':l,gu :t1l:,!esel)llittc'lI WC l'(1 CHI , 0 h ,lie \V iirfel·

"trnktur wirklieh dureh aeht Elektronell oder dWa dllrch cine (innere

uu(l cine) llul.\erc Schale von je vier Elektronen auf.>,:·challt zu dCllkcll

ist, was dynamiseh durehaus mijglich II'llre I). 1Yir l)ilden Zl1 diescm

Z,,'eeke ,lie Hatliellvurhilltllissc 1'+: 1'_ \'011 jl' zwei tim cill Edelgas

.:!rul'l'icl'tcll 1011('11 Ilnd iinden nach Taholle '2 di,' (~uoticnten:

1';.;,,: 1'1-' - O,UHi,

1'1ll> : I'llr = O,U 17, 1,[;,:1'.1

O.UU",

O,'ioO. (:l)

,\n,h'l'cn;eits kaHn man :IllliclllnCn, dal3 nieht nul' hci Elektrollen·

ringen, soncle1'll flnch hci (len \V iirfelhahnen als erstc l\ahernn~" hei

V c]'Jla~hHissil!;ll!lg; dc's Ei1l1111sses illnercr i:ll'hllrcn, sich ,lie J~:l'\iCll

:,!lci('.llIl":llltil!;el' entRl'rcehclltl('1' Elektl'oll"Il!tnprdnonl!;en 1I111l!;l·kehrt

vCl'halt"ll wie <lit' wirks:lllHm K"rnl:uhlnco:szahh'll X' (X' = /, - "}' mit

,tel' A lJsehil'lIllll1gskOl),;t.allte s1' fiil' J:"sctzlln.~ Init I' I<:lekt rOlleD), also

r f.: r = X~,: /,+" Die \Vcr!.c sJ' lI'l'rd"1I ni"ilt ,·il·l ven;ehie,j,m ,('in 'Oil dun ('ntel'l'"ehcnden \Vorton h"i HinganOl'<jllllng, z. B. s. = O,U:J7 lind ". = 2,811;" so daD man crlliilt.:

r t : 1' .. = 7 - :.!,fiO:J : !l -_. 2,>-111:,

fiir aeht ll;j,..kt.I·II11<:II,

I'i': 1"_ = :1- O,!JG7:" - O,!lfll

fiiI' vicr ElcktrOlll'Il.

II,Gk

11,51 (3 il)

DcrVcl'g'ieic;h nlit (2) ents"heidut ZlIgUIl"tCIl ,leI' :illfJel'ull \Viirfd·

",hale :lliS :leh t Elokt.I'Onoll. IhlJ del' \\'''1'1. 11,1.8 klciIWI' ist !lIs die

\\'crto (2), wir,l \'clstiin,llieh, weil ill r1l'1Il Oitler die .~TO/.lCII Il:tlo.~un·

ionellSeh!llull 111I1'"h geg'ellscitigclI Eintlllll Illchr l\IIHanIInen.~cdriickt

lI'(,flicn, alH ,lie kluin,m Alkaliioncll"I,iJ;lrl'll dllreh ~e~un~"iligcll Ein·

rIlIl.l, I,,:lhrcnd die \\' Cl'bel\\ irkl1IIg' zwi"'hl'n AIl;;t1i· nllrl llalogcnioncn

heid" HOI'I ell ill gleiehcr \r "i,,, h"cilltllls,;ell wi I'd.

)<;" h:tnd"lt Rich nun danllll, die allS d"11l Kl'istaJlball hci All­

llahmc knbischcl' IOllCli lJid.!t ZIl ulIlgch"IlIil' (;r(irlcnah,chtltZllng r

(Tahellc ~) del' \Vil'kullg'HSl'htil'l'l1, die nicht "iel g'r(;I.\,,1' fll~ die wahrell

Elckt.rollclls("halcn Rind, Ill(j,lclllllii rJi~ ZlI \'(·rstchull. Yerf. hat kiirzlich

<lit· l~allJlthe()l'ie YOIl :teht Elcktr()ncn illl \Viirfcl\'urhand <.Juautcn·

thcol'ctiHch ill An~riff l!;CIlOIlllllCll und fiiI' !!roJlc wirks:tmc Kcrll'

1) A. Lande, J. c. ~:L

111

112 ALFRED LAND~

I!Hi A, I'lLnd~, [Up.ft s

ladungen 7,' liie Bahncn tim' ohen hcsehriebenen Ladungs\'erteilung

al~ Xiihernng gefnntlcn '), Del' Hadins diesel' Bahnell ergibt aieh zu 2)

, _ (211)2 1 -- flo· 7,' , (4)

tl,LS ist vicnnal 80 groJ.\ wie n-tllUmti!!e Hi 11 g radien, die sich lIach Bob r hck:mlltlich zn ,'= ao, n2/X' here(lhnen, Mit Einsctznng de!' in (4a) anftrctenden X'-\Verte crhiilt man aus (5)

"+ 411" 1'_ 4112

(/0 ,- fi,l!!:,' (10 - 4,I!J:"

\I'aM nnr fiir n = 2 w W m'tell fiihl't, die mit (len \" orten 1':00 del' '1':1 belle 2 zu \'erg!eiehen sind, lIa.mlieh

~'~: = 2,GB, (10

1'- = 3,83, (/0

(5)

ZahlclI, .Jie nllr al~ (·J'sl.c gl'uht' NiihlH"lIIg 1.11 hctr:whtl'n simi; ,Ienll \H,lm' i~t dahoi del' l~inl1l1l.l illllt'rHr Elektl'OIl<'1I (VergriiJ.\crung von I'),

noeh die' SWrung dlll'l~h ,Ii" f:lst l.eriihrclillen Nachh:ll'ionenspharell

(Vel'kleinul'ung von r) hcriick~il'htigt, gan1. ab.!!csehcn daVOli, daJl ja hereits die Ha,lillsfoTllwl (0-) nul' illl Gl'cll1.fall Mohr gl'oJler X' gilt.

Die tbcoretiRt·.be IOllclIgriifle «.) ist, also 1111" aIR l)rovisorisl\hc Ab­

schiit1.lIl1g :tllfwfasHell, die allul'dillgs fiil' It = 2 ill diu Gcgend ,IeI' lIill'l.']' 'I'nbcllu 2 gcf.()rdcl'Lcn \V"n,e weist,

Eill Einwand ge.!!cll ,lie gefllll<lcnc Griilje ,IeI' 'Viirfelspharell kijllllLtJ ails dol' Betraehtullg ,leI' Alkali-i::ioriensl'cktren cutsl'l'ingcn, d('ren konst:ml.e Tel'llll' (3 2, N), (2, II), (ii, (I) .!!eschl'iclJen werden mit dell Quanten1.ablell 8i2, 2, 'J, Daf.l die gehroehclle (lliantc1lzahl 3i2 lics 8-TerlU~ nieht auf f(,ster nasis !It.cht, hat sich lwi clem cntHl'reehcn,lell

Tan II loci HelilllU hel'ausgestellt. V cd, kOlilltC 1.cigen, daf.l mall hil'!' die (~ual1t.ellzahl 1 statt 3,'2 ZlI lIehmen hatS), und daf.l 3,'2 nul' dlll'ch

(·inc starke SWl'Ung ,IeI' einquantigcn Hahn dos Serienelektrons durch

EililluB des inneren EIllktrons vorgutiiuscbt win!. Ahlllichcs wird man

hci den Alkalispektl'cll YCrlllllten. Hier mUJlte eine 8- Bahn mit

II = 1 statt II = 3 ~ :llIf einelli Hadius t' = 1,00 VOl' sich gehen,

also i 11 11 e Thai b del' 'Viirfe!sphare veriaufllll, wenn sie ungestiirt

(wlIsscrstoffahnlich) wlin', Die Stiirnug delt in \Virklichkllit natiirlieb

auBen umlallfelldcn Elektrol18 dmeh den EinfiuJl del' \Viirfu!sphare

1) A. Lan<l~, DyuBmik ,ler l'anmlichen AtOlmtrllktlll'; Verh, d, D, Phy., Ge., 20, 2, 1918 nnd 21, 644 u, 653, 1919,

2) I, c, B,655, 1919. 3) l'hysik. X8, 20, 228, 1919,

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

1920J Uhel' <lie Grolle del' Atome. 197

kanll man aber fol~cll<l' I"maLlen herechlleIl 1): ]\hn deuke ~ieh die WiirfclKpb1ire ,Ier acht Elcktroncll ill den Kern hincingesebrumpft,

HI) ,lall das Valenzelektron <lie uugesWrt.e oinqll:lIItigo Bahn besehrcibeu

kalln. .1et1.t dehne man den innerell \Viirfel clurdl ir~C'II<l eim'n Zwan!! nllcmllich hng~a\ll aus. Dureh clie AI,~t.(Jlllln).: <ler negath'C'1l

'\Tiirfel~l'hlirl' wirel (lalln aueh <lie Hahn cles Valenzclcktrolls aus­!!otlehnt. \\' cnll der l'roz<JfS <lurch lanter 1l1cehanisehc (~leich.!!ewieht.s-

1.ustiill<le hiIHllln.:bgeht, crhalt lIlan zu jl'tlem AIIS,lchIlUII~szust:\IIu des \Viirfl,ls clil' 1.11).:('hiirig<' g est ii r t e ein,(uantige Balm des Valen1.­elektrons, welehl' stets <lujjerhallt cl('~ 'Viirfel~ hleiht und ,loeb ein­

'(lUlntig ist. ;\'nl' wird seiue Teflllenergie so stark von cler lIu~esWrtell ciuljllaut.i!!cn Euergic ahweiehcu, ,lall ('inc ).:chl"ochelle (~lIautem;abl

3'2 vor).:ctanseht ur~"heinoll k:ulIl. .Jedellfalls ,lnrf man ,las Aoftreten

~iIlC,; :"criel\terrl\~ (9'2' s) ebN als cill Ar~UIIlC'lIt Iii!' als .!!ogclI dio .gefun,I(·11ll Orl;(3(' ,Ier \Viirf"I-l'hiiroll :I uff:lSSC'II.

Ein :llIdurCI' Eillw:llId l"lnnl,u allK d"r t-i('hlirr .. ,luI' illl,crfen'n1.­

lilli"11 illl Laueeffckt. t'l"hohell \\"erd"II. j)ehy"~ ulld ~ChCrr(lr8 2) Melho,IC', aug der .!!l'IIIC'AS(,IHJII A It ell'S ]ntcnsitiitsa\,falls die GruI.\e d/lf hellgell,h'lI Elcktron()llhiille ahzuAehlitr.clI. hat, hiHher 1I0ch keillll

AIIWCII,hlllg auf Eill1.clfiillc hetel"ol'olarcr I{riHtallc gcfunc\ulI. \Vie ahel" al1eb ihr j{.'snltat au"fliIlt, je,lellfallA <Iiirftc ,lie Erklarung der

Iku.~l1l1gslilli('IIRI'hiirfc auf uieht fpAtel"('1II Boden At-ehcn, :ds dic VOII

IIns hCllutztc Vou\llS~etZ\lll~, daD die Kri~talle ,lurch elcktrost,atieche ](r1i£te zwis('boll Ionell von huherer riiulIllicbcr SYlIlllletrie zlletande

kommen 1111,1 (lc~halh die 10noll ootwendig die gefulluoncn GroLleu

hahclI luiissell.

\Vollte lIIall :L1,el" aus ir).:cmiweleholl Griiudcn cloch ciner klci­

nurun AURCicliIlUII).: ,1m' Elcktroncnspb:irPII ,leu Vor1.ug 'gehon, !II)

wii ... le II\:UI die Existenz hcsolJ(lerer IIkht eiektrischer "Molokular­kraft,," POSlll1iUl"(.'1I lIIii~KOII.

1) A. TJ:i "Ile, Vt~l'h. fl .... l'hy~. U~'!oI. 21, 5j~, 19tH. :!) 1\ Dqhye nnd P. SC)lI'rrel', l~hy~. ~3. lU, 4i4, Hq~.

113

114

230

PAPER 25

E. Madelung und A. Lande,

Uber ein dynamisches Wiirfelatommodell. Von E. Madelung und A. Lande.

Mit einer Abbildung.

(Eingegangen am 18. Juni 1920.)

[II/3

Die dynamische Behandlnng des Wiirfelatommodells, welches von aoht Elektronen mit den Koordinaten 1) 1. x, y, z, II. x, -y, -z, III. -x, y, -z, IV. -x, -y, z,

V. -x, -y, -z, VI. -x, y, z, VII. x, -y, z, VIII. x, y, -z gebildet wird, bel'uht darauf, daB durch diese Syrnrnetriebedingungen das Achtkih'perproblem auf ein Einkorperproblem zuriiekgefiihrt wird, von dem man, wenigstens irn Grenzfall kleiner bzw. groBer Kern­ladungen Z E, explizite Losungen angeben kann2), bei kleinem Z in Gestalt kleiner Kreisbahnen nrn die Wiirfelecken (II, § 2), welche sich bei groBein Z zu spharischen Dreiecken mit asymptotisch scharfen Ecken verzerren (III, § 1). Del' N aehteil dieses Modells besteht darin, dall es wesentlioh hohere potentielle Energie besitzt als del' ebene 8-Ring, und daB bei Einwirkung auLlerer Krafte die erzengten Bahn­stiirungen des Modells von sehr viel hoherer GroBenordnung sind als die el'zeugenden Stiirungskrafte: Die geringfiigigste Stiirung eines Elektrons liiBt dasselbe nieht mehr mit seinell Spiegelelektron zu dem die Symmetrie erhaltenden StoJl zusammentreffen, sprengt vielmehr das ganze Bahneusystcm auseinander.

Diese beiden Naohteile werden vcrmieden bei einem im folgeu­den zu behandelnden Wii I'felatommod ell , welches durch Ineinander­greifen von zwei Tetraedermodellen entst.eht, die del' eine von uns £riiher behandelt hat (III, § 3). Die Elektronen V bis VIII Bollen hier nicht mehr die am Symmetriezentrum invertierten Lagen von I bis IV einnehmen, also im Bogenabstand 11: hinter bzw. VOl' letztel'en herlaufen, sondern in einem von 11: abweichendeu Bogenabstand a, fUr den wir spater den ungeflihren Wert IX = 750 feststellen werden. Frei­lich geht dadurch der Vorteil der bisher behandelten Polyederbahuen, daLl sich das n·Korperproblem auf ein Eiukorperproblem reduziert, ver­loren, weil die acbt Elektronen dann nicht ruehr in jedem Moment gleichberechtigt sind, sondern sich in zwei Gruppen von je vier untereinander gleichberechtigten Elektronen einteilen. Man hat viel-

1) A. Land e, Sitzungsber. d. pl'eull. Akad. d. Wis •. 1919, S.101. 2) DerBelbe, Verh. d. D. Phys. Ges. 21, I. Mitteil. S.2, II. Mitteil. S.644,

III. Mitteil. S.653, 1919, IV. Mitteil. ZS. f. Phys. 2, 83, 1920, im folgenden zitiel't als I, II, III, IV.

Reprinted from Z. Phys. 2, 230-235 (1920).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

1920] Uber ein dynamisches Wiirfelatommodell. 231

mehr ein wesentlich kompliziertere'l! Zweikorperproblem zu lOsen, ver· einfacht nur durch die Bedingung der Periodizitat del' Losung und der Gleichberechtigung der beiden Bahnengesarntheiten jener zwei Gruppen von je vier Elektronen.

Einfache Verhaltnisse erhalt man dagegen bei groLler Kern· ladungszahl Z, wobei Z = 8 bereits als "groLl" anzusehen ist, weil dabei der zeitlich veranderliche"Teil des Coulombschen Potentials del' Ladungen klein ist gegen den zeitlichen Mittelwert dieses Poten· tials (s. u.). In diesem Fall hat man fiir die vier Elektronen I bis IV die durch Zentralabstand (h Azimut rp und Rohe ~ beschriebenell und bereits friiher behandelten Bahnen bei groLlem Z [vgl. III, (10)]

( l)

Dabei ist Q bei groLlern Z zeitlich annabernd konstant, ~ annabel'l1d gleich Null und rp annahernd gleich (jJ f. Die vier Elektronen be· schreiben also nach (1) bei groLlem Z vier Kreisbahnen mit del' Frequenz (jJ urn das Zentrurn, deren Ebenell senkrecht auf den vier Hauptdiagonalen des iill xye· System orientierten Wiirfels stehen 1). Die iill Winkelabstand IX hinter I bis IV herlaufenden Elektronell baben dann die Koordinaten (rp + IX = rp')

V. Y = + Q' [ V~ sin rp' - (scos rp' + is~'J 1 [ 1. 1 1 1 + 1 1'1] (2)

e = + Q - V2S111 rp - V6cOS rp \if

lx=+ T lX-- JX_-VI. y = - V II. y _. + VIII' l y - -

e=- e=- e=+ 1) Vgl. Fig. 1 in IV, ZS. f. Phys. 2, 83, 1920.

115

116 ALFRED LANDE

232 E. Madelung und A. Land~, [IllS

wo bei bei grollem Z asymptotisch

() = (/ = const, ~ =~' = 0, cp - q>, = 01 = const, cp = rot (3)

wird. Um wenigstens fiir grolle Z den Radins fl nnd die Energie W

(4)

des Modells (1) (2) zu finden, mull man die Abschirmungszahl S8 der acht Elektronen auf ihren Kreisbahnen berechnen, das iet das mit

-21 .!L multiplizierte Coulombsche Potential cines Elektrons gegen E2

die sieben anderen, welohes auch im Grenzfall (3) nioht konstant iat, sondem bei variierendem Azimut cp mit geringer Amplitnde und der Periode rp = ± 600 um einen Mittelwert Sa oszilliert .

. 1. Berechnungsmethode von Sa (Lande) .. Nennt man xgz die Koordinaten von I nnQ x' g' z' die von V im Grenzfall (3), so erhiilt man ana der Wirknng. von I gegen I~, TIl, ... VITI die Ab· Bchirmungszahl:

8s = !L{ 1 + 1 + 1 2 V4g2 + 4Z2 V4x2 + 4Z2 V4x2 + 4g2

+ . 1 + 1 V(X-X')2 + (Y-1I')2+ (S-S')2 V(X-X')2 + (y+y')2+(Z+S')2

+ 1 + 1 } V(x + x')2 + (y_y')2+ (11+.1)2 V(X+X')2+ (y+1I)2+ (Z_z')2

Einsetzung von (lr) und (2v) gibt bei Einfiihrung der Ab· kiirznngen

810 = sin cp ±. sin cp', c10 = cos cp ± cos cp', cp' = cp + 01

folgenden Ausdrnck fiir S8

ss(cp) = 1'3 + 1'6 4 1'2 - cos 2 cp 4 1'4 + cos 2 cp - V3 sin 2 cp

+ V6 +_1_+ 16 4 V4+cos2cp + V3 sin 2 cp 2Vs~+ c~ 2V4c~ + 2 c: + 6 s!

+ V6 2 1'5 c! + c~ + 3 s! + 3s~ + 2 Va (c+ s+ - c_ s_)

(5)

+ V6_ 2Y5c! + c~ + 3s! + 3s~-2V3(c+s+ -c_sJ

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

1920] Uber ein dynRmisches Wiirfelatommodell. 233

Die drei ersten Glieder, welche die Abschirmungszahl der vier Elektronen I bis IV wiedergeben, treten auch in III, § 3 auf ala 8. ("')

mit den nach je 600 sich wiederholenden Werten

8. (00) = 0,980, s, (300) = 0,956, s. = 0,968. (5')

Der Wert der vier letzten Glieder (5) hangt ab von dem Winkel a = ",'- ",. In Wirklichkeit wird aich nun ein solcher Winkel a aus­bilden, bei dem sa ein Minimum WiTd. Man hat also a zu bestimmen aus der Gleichung () sa/() a = 0, was nur durch nmstandliche numerische Rechnungen zu erreichen iat. Wir vereinfachen uns aber die Aufgabe, indem WiT statt des wirklichen Mittelwertes von 8a iiber alIe Winkel", einfach das arithmetische Mittel von 8a fiir '" = 00 und '" = 300

als S8 ansprechen. Das ist erlaubt, weil die Schwankung von 8a mit '" nur gering iet, wie sich aus folgender Zusammenstellung ergibt:

a = 600 : 88 (00) = 2,516 a = 900 : 88 (00) = 2,512 a = 1200 : 8a (00) = 2,789

Allgemein wird aus (5) (5'):

8a (300) = 2,533 8a (300) = 2,488 8a (300) = 2,534

S8 = 2,524 Sa = 2,500 Sd = 2,661

8a (cp = 00) = 0,980 +} [Y2 21 + -l/ 2 21 - cos a -3 cos a

+ 1 + 1 ] Y 2 + t cos a + Is sin OG 1/2+ ~- cos (( - v~ sina

1[ 1 __ + 1 S8('" = 300) = 0,956+- 1/2 2 1/2+ 2 .

2 Y - cos OG y yaSlDa

+ 1 + 1] Y 2 + 2 cos a y 2 -Is ain a

(6)

Aus der Minimalbedingung () sa/() a = 0 fiir das arithmetische Mittel dieser beiden Funktionen ergibt sich a in der Niihe vou

a = 750 mit Sa (00) = 2,476, 8a(300) = 2,496, (7)

Mittelwert sa = 2,486. (8)

Das Ergebnis a = 750 bringt es mit sich, daJ.l sa nicht nur das arithmetische Mittel fiir cp = 00 und '" = 300, sondern fiir die vier Azimute cp = 00, 150, 300, 45 0 ist, wie aus der Periodizitat von 8a mit cp = ± 600 folgt.

*

117

118 ALFRED LANDE

234 E. Madelung und A. Laude, [Ill 3

2. Berechnungsmethode von 88 (Madelung). Eine zweite Berechnungsmethode ergibt sich durch folgende trberlegungen: Be­trachtet Irian nur zwei Bahnen des Tetraedervel'bandes, so stellen diese zwei grO.llte Kugelkreise dar, die sich unter einelli Winkel 6 (cos 6 =~) schneid en. Befindet sich das Elektron I des ersten Kreises in einem Schnittpunkt 81 (vgl. Figur), so befindet sich das des anderen Kreises II im diametralen Schnittpunkt 82, Wandert I bis El urn den Winkel 'Pu, so wandert II um deu gleichen Winkel bis E 2. Ihr Abstand du ist also aus dem sphlirischen Dreieck 81 El E2 zu berechnen, in dem die Seiten 81 El = 'P12, 81 E2 = n - 9'12 und 6

bekannt sind. Folgt ein weiteres Elektron VI urn den Winkel OG dem II nach, so befindet es sich in E;' und der Abstand dl6 = El E~ ist eben so berechenb:u.

In unserem Modell haben wir nun die drei Elektronen II-IV, dio die Bewegungsform E1E2 (d. h. OG = 0), ferner die drei Elektroncn VI-VIII, die die Bewegungsform El E;' (OG * 0) relativ zu I besitzen, und schliel3lich noch das Elektron V mit der konstanten Entfernung OG von I.

Es ist zu beachten, dall die 9'ik nicht gleich dem friihel' ge­brauchten Winkel 9' sind; vielmehr gilt: 9' = 9'12 + 900 = 9'14 + 1500 _ 9'IS + 2100 = 'P2S + 1500 = 9'24 + 2100 = 9',. + 900.

Die Rechnnng verlliuft nach folgenden Formeln:

V2 .cos (9'12 - i) OG

cos 2 OG

C08 2

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

1920] fiber ein dynamisehes Wiirfelatommodell. 235

Die Rechnung (mit Rechenschiebergenauigkeit) ergab, daD das Minimum von 88 zwischen Ill. = 800 mit 88 = 2,490 und Ill. = 700

mit 88 = 2,488 liegt, der Minimalwert von 88 also noch etwas kleiner als letztere beiden Werte sein mull, iibereinstimmend mit dem Resultat der 1. Berechnungsmethode.

Die Schwankung der potentiellen Energie eines Elektrons betragt dabei nur bis zu ± 1,07 Proz. des Mittelwertes, wie man aus folgender Tabelle ersieht (fiir Ill. = 800):

<p 00 10° 20° 300 40° I 50° I 60°

12; e 2 d;7 2,484 2,463 2,466 2,503 2,515 I 2,510

I 2,484

mit dem Maximalwert 2,516 fiir cp = etwa 420 und dem Miuimal­wert 2,462 fiir cpo = etwa 12°.

Die mittlere .Abschirmungszahl 88 ist in beiden Rechnungsmethoden so berechnet, als ob die acht Elektronen wirklich auf den ungestorten Kreisbahnen in genau konstantem .Abstand hintereinander liefen. Das

9: "'E,'--__ _

~~'-":::-,---- s,

,u ""<l~~ wiirde aber nur bei konstantem Z - 88 der Fall sein. Da aber nach (7) und nltch der letzten Tabelle 88 (cp) nur wenig mit cp veranderlich ist, und das um so mehr von der wirksamen Zentralladungszahl Z - 88 bei nicht zu kleinem Z gilt, bleibt 88 mit sehr geringem J<'ehler als "wirksame" .Abschirmungszahl zur Einsetzung in (4) branchbar. Das Wiirfelatom besitzt also erheblich geringere Gesamtenergie W ala ein ebener 8-Ring mit 88 = 2,805, d. h. die raumliche .Anordnung erweist sich als erheblich stabileI' als die ebene. Das ab­solute Minimum von 88 erhielte man, wenn man die acht Elektronen in den Wiirfelecken ruhend festhiUt, namlich 88 = 2,4686. Duroh unBer dynamisches Modell ist die~es Ideal mit 88 = 2,486 nahezu erfiillt,

Die Betrachtungen iiber relativistische Eilipsenbahnen in der IV. Mitteilung 1) sind ohne weiteres auf das vorliegende Modell iiber­

tl'agbar. Kiel, Institut fUr theoretische Physik, im Juni 1920. Frankfurt a. M., Institut fiir theoretische Physik, im Juni 1920.

1) A, Lande. Dynaroik der raumlichen Atcmstruktur IV. ZB. f. Phys. 2, 83-86, 1920,

119

120 PAPER 26

A. Lande! (Frankfurt a. M.). Uber Wiirfel· atome.

1m Folgenden mochte ieh das Ergebnis einiger Abschatzuhgen von GroBenzusammen­hangen zwischen -universellen Konstanten und empirischen Atomeigenschaften auf Grund der Wtirfelhypothese 1 ) mitteilen, \veIche in ihrer Ge­samtheit Zll dem Versuch ermutigen, durch exaktere Storungsrechnungen diese .'-\bschat­zungen auf ff~steren Boden Zll stellen Das \iViirfelatom sei ein System au::, positivem Kern und 4 bz\'{. 8 Elektronen, bei dem die Cesamt­heit der Elektronenbahnen in folgender Art die Bedingung der Wtirfelsymmetrie erfullt, zunachst fur vier Elektronen. Man denke sich durch den Atomkern 4 Ebnen gelegtJ weIche wie die 4 Ebnen eines regularen Tetraeders gegen­einander g-eneigt sind. ] edes der 4 Elektronen hat cine der 4 Ebnen zur Verftigung, LIm in ihr eine Kreisbahn (5. Figur) oder auch eine

Ellipsenbahn zu beschreiben in der Art, daB gewisse Koordinatenverknupfungen dafur sorgen, daB diese Kreis- oder Ellipsenbahnen ein mecha­nisch mogliches System von raumlicher Symmetrie bilden, und dabei die Elektronen auf ihren ein­ander kreuzenden Bahnen sich niemals in die Quere kommell. Man erhalt auf diese Weise ein Modell fiir das Kohlenstoffatom (s. unten).

Eine Modifikation dieses Polyederbahnen­modells von vie r Elektronen fuhrt zu dem von Herrn Madelung und mir vorgeschlagenen Wiirfelatom aus acht Elektronen. Bei diesem soIl namlich hinter jedem der eben beschriebenen vier Elektronen ein zweites Elektron im Winkel­abstand 75 0 laufen. Dieses Modell besitzt eine

I} Au,:riihrliehe Mitteilung mit Literaturangaben siebe Zeitschr. t. Phys. 2, 380, 1920. Die Ber€chnungen uber dell Diamanten werd.en spater publiziert

Reprinted from Phys. Z. 21, 626-628 (1920).

wesentlich geringere Abschirmungskonstante S8 = 2,486 als ein ebner Ring von 8 Elek­tronen mit $8 = 2,805, und hat dadurch eine wesentlich geringere potentielle Energie als ein cbner Achtring. Nimmt man an, mangels einer ausgebauten Theorie der quantenmafiig bevor· zugten Zustande, daB die stabilste Elektronen­anordnung urn eine Kernladung + Z, diejenige mit der kleinsten potentiellen Energie sei, so JaBt sich beweisen, daB dann eine beliebige lahl z von Elektrone'O. die nur kleiner als die Kernladungszahl Z s~in soIl, sich in lauter \\'\irfelschalen von je 8 Elektronen aufteilt bis auf .den auHen an das Atom sich ansetzenden !{est der Division durch 8, wobei gegenseitige Storungen der Sehalen nieht in Betraeht ge· lOgen sind. Obwohl das periodische System in Einzelheiten dieser Aussage widerspricht, nam­lich erst eine innerste Schale von 2 Elektronen und spater Schalen von 18 Elektronen verlangt, die vieUeieht als Doppelschalen aufzufassen sind, wird doch der wesentliche Grundzug des Systems, die SondersteUung der Zahl 8 in den kleinen Period en, aus dem allgemeinen Prinzip der minimalen potentiellen Energie durch unsre \Vurfelbahnen verstiindlieh.

Die Frage, ob die Wiirfelsymmetrie einer Elektronenschale durch Kreisbahnen oder, was dynamisch ebensogut moglich ist, durch Ellipsenbahnen im Wiirfelverband zustande­kommt, muBte durch exakte Storungsrechnungen mit Berucksichtigung des Einflusses innerer und auBerer Elektronenspharen entschieden werden. Da soIche Storungsrechnungen noch nieht durch­.(~eftihrt sind, bleibt nichts andres ubrig, als sleh auf anschauliche Betrachtungen zu stiitzen, die zu folgender durch ihre Anwendungen be­statigten These fiihren: 111m Normalzustand laufen die Elektronen der Wurfelschalen auf zweiquantigen Ellipsen (n = I, n'~, I), fuhrt dann zu einer Rcihe von numerischen Voraus­sagen uber Atomeigenschaften, die sich allein aus universellen Konstanten und den beiden Quantenzahlen it und n' ergeben, wobei Sto­rungseinflusse stets nur schatzungsweise bertick­sichtigt sind.

r. Das positive Na-Ion. Die 8 Elek­tronen auf den von Herrn Madelung und mir angegebenen Wiirfelbahnen stellen eine urn rund 900 kcal pro Mol stabilere Konfiguration dar als jede andere ebne oder raumliehe An­ordnung der 8 Elektronen um eine Zentral·

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 121

2 Land~, Ober Wlirfelatome. Physik. Zeitsehr. XXI,) 920.

ladung Z = 9. Der Radius des Na·lons, Wlirfel­sehale im Elli psenverband gemaB obiger These, bereehnet sich im Aphelwert zu 0,605 . 10-' em im Einklang mit Kristallgitterdaten. Fajans und Herzfeld finden niimlich unter der An­nahme von 8 ruhenden Elektronen in den 8 Wlirfelecken den Wert 0,5 17' 10-8, ein Wert, der bei unsern dynamischen Ellipsenbahnen un­gefiihr auf den obigen universell bereehneten A phelwert zu vergriiBem ware.

2. Das neutrale Neon·Atom als Wiirfel ist selbst der stabilsten andern Konfiguration noch um rund 5 50 kcal pro Mol liberlegen, woraus die chemische Tragheit des N e verstiindlich wird. Dieselben 550 keal bedeuten eine untere Grenze der Ionisierungsspannung des N e von 23,8 Volt, wiihrend Messungen von Holst und Hopmanns und von Horton und Davies an Argon 15;1 bzw. 17 Volt ergaben.

3. Das negative Fluor-Ion steht gerade auf der Grenze, wo die Wiirfelanordnung be­ginnt unstabiler als andre Anordnungen zu wer­den. Freilich darf man sieh gerade in solchen GrenzfaIlen., wo eine Reihe von Konfigurationen nahezu die gleiche Energie besitzen, nieht auf das Prinzip der minimalen potentiellen Energie als alleiniges Auswahlprinzip verlassen. Viel­mehr ware es moglich, daB hier auch der Im­puis des Modells bei der Quantenauswahl der mechanisch moglichen Zustande mitspricht. In dieser Beziehung hatte dann unser Wlirfelmodell mit seinem Impuls Null eine Sonderstellung. Als Wiirfel-Ion im Ellipsenverband gemaB obiger These erhalt das F' -Ion den Aphelradius 0,875 . 10-8 em, im Einklang mit dem Kristall­gitterwert 0,75' 10-8 von Fajans und Herz· feld, der ungefiihr in dem erforderliehen MaBe vergroBert zu denken ist, wenn unsre dyna­mischen Bahnen statt ruhender Elektronen der Kristallgitterrechnung zugrunde gelegt wer­den. Wird ein positiver H··Kern dem F'-Ion angelagert, so legt er sieh aus Stabilitiitsgriinden dicht auf eine der Wiirfelecken auf, mit einem Kernabstand in I. Niiherung von 0,945 . 10-8 em. Aus dem Bandenspektrum des HF berechnet Herr A. Krazer den Wert 0,92' 10-'. Als lonisierungsenergie des HF-Molekiils ergibt unsre universelle Berechnung in I. Niiherung 350 kcal, was in die Reihe 320, 31 I, 302 kcal fUr HCl, HBr, HI paBt, die Herr Born aus empirischen Daten abgeleitet hat.

4. Das doppelt negative O"-Ion kann aus Stabilitatsgriinden keine Wlirfelschale aus 8 Elektronen besitzen. Dagegen ware eine Doppelschale aus zwei konzentrisch ineinander­gestellten W lirfelschalen von je 4 Elektronen sehr wahl moglich, welche dann Kreisbahnen beschreiben miissen, wei! sie sich .als Ellipsen-

bahnen gegenseitig durchdringen mliBten. Als Radius des 0" -Ions ergibt sich dann 2,2 . 10-8 em (mehr . als doppelt so groB wie der z.~ ·Radius). Diese GroBe bestatigt sich am H,O-Molekiil Lagert man namlich zwei H'-Kerne an ein 0" -Ion an, und zwar aus Stabilitatsgriinden auf zwei durch eine kurze Seitendiagonale getrennte Wiirfelecken, so gewinnt man dadurch min· destens 533 kcal pro Mol (unterer Grenzwert bei Vernaehliissigung von Storungen), wiihrend Herr Born und FrI. Bormann flir H,S den Wert 716 kcal finden. Ferner erhalt das H,O­Modell in dieser Niiherung drei Tragheits­momente 4,05 und 9,1 und 11,5' 10-41 °, wah­rend Herr A. Eucken aus den 1vlessungen von Rubens, AschkinaJ3, E. v. Bahr (nach dem Planckschen Quantenansatz berichtigt) die zwei Triigheitsmomente 3,8 und 8,8· 10-'· ableitet.

5. Fur das neu trale C-A tom, Wlirfelbahnen von 4 Elektronen im Ellipsenverband gemaB obiger These, bereehnet sieh der Aphelradius 1,3 . 10-1'\ der seine Bestatigung in der abso· luten Berechnung einiger Eigenschaften des Diamanten finde!. Ein Weg zur Auffindung der Kohiisionskraft dieses neutralen Kristalls er­gibt sich niimlich durch folgende Dberlegung: Die Wechselwirkung zwischen zwei als gleich schnell gehende Uhren aufzufassenden C·Atomen hiingt wesen tlieh von der dauernd oder doeh wenigstens viele Perioden hindurch gleieh bleibenden Phasendifferenz ihrer Elektronen­bewegungen abo Stellt man sich nun vor, daB in einem Diamantkristall die Phasen der einzelnen Atome nach Wahrscheinlichkeit verteilt waren, so wiirde auch die liber eine Peri ode gemittelte Kraft zwischen je zwei Atomen von Ort zu Ort nach Zufall wechseln, und es konnte kein regel­maBiges Kristallgitter zustandekommen, sondern nur ein auf molekulare Entfernungen wechselndes Gefiige mit unregelmaBig verteilter Dichte, die iiberdies infolge der nach und nach eintretenden Phasenanderungen einzelner A tome langsamen Schwankungen unterworfen ware. Der regel· miiBige Aufbau auch der einatomigen Kristalle drangt vielmehr zu der Annahme, daB' aIle Elektronenbewegungsphasen irgendwie geordnet sind. 1m einfachsten Fall (Diamant) mogen aile Atome die gleiehe Phase besitzen'), oder anders ausgedriiekt: Der ganze Kristall

I) Auf die als Einwand gegen die Existenz yon Phasenbeziehungen erhobeue Frage, wie sich denn bei der Bildung des Krista1ls die PhasenbeziehllDgen herstellen soIleD, ist zu antworten, daB man dies derselben U rsache zuzuschreiben bat, die auch bei der Bildung eines Bohr· Deb y e se hen H2 - Molekiils den heiden Elektronen die Phasendilferena ISo '. geben soh und die al1gemein bei der Aufnabme eines Iten Elektrons in einen Ring von p - I·F.Jektronen aus einem regularen p - t-Eck ein regu­lires I-Eck herstellen soli.

122 ALFRED LANDE

Physik.Zeitschr.XXI,1920 . Lande, -ober Wiirfelatome.

wird als ein groBes 1I1oIekiil aufgefaBt in clem Sinne, daB die inneren Bewcgungen (lieses Moleklils daucrnd regelmaBig ineinander­greifcn, nnt! Z\o,rar so, daB n1cht ntu die Atom­kerne, sOlldcrn auch die einander entsprechenden Elektronen aller gleichen At::.mc in jedem Augenblick cin Gitter bildcll, welches um das Tuhendc Gitter del' AtOlnkerne umhluft.

Bei der Verfolgung dieses "GittersYllchro­nismus ii findet man als Gitterpotential cine Funk-

tion mit cinem ersten und zweiten Differential­quotienten, d. h. die Bindungsenergie ciner C- C­Bindung, den Gitterabstand und die Kompressi­bilitat des Diamanten angenahert im Einklang mit der Erfahrung, unter alleiniger Benutzung universeller Konstanten und der beiden Quallten­zahlcll 1l = I, n' = I, wobci besonders beriick­sichtigt werden muB, daB die C·Atome durch die ¥/irkung ihrer Nachbarn in bestimmter \Veisc komprimicrt werden.

PAPER 27

A. Lande. Oberreicht vom Verlasser.

Physikalische Zcitschrift. 21. Jahrgang. 1920. Seite Il4-122 .

Storungstheork des Helium atoms.

(Aaszug aus der F,rankfurtcr lIabilitationsschrift.)

Von A. Lande.

In einer vorliiufigen l\litteiluug 1) in dieser Zeitschrift zeigte Verf., daB eine kOllsequente Anwendung der Quantentheorie auf die kom­planaren und geneigten Kreis- und Ellipsen­bahnen zweier Elektronen -I, um einen Kern + 21: Aussicht hat, das Serienspektrum des Helium. zu erkHircn. 1m folgendell soli des­halb die exakte Storungstheorie und Quantelung des Heliumatoms ausgefiihrt werden. Die friihe­ren Oberschlagsrechnungen werden dabei teils bestatigt, teils berichtigt. Der Fortschritt gegen !ruher besteht in kon3equenter Berlicksichtigung der Bahnstorungen und" einer neuen Quantelung der Bahnneigungen, welche nur zwei Serien~

systeme (H el nnd Hell) zulaBt, im Gegensatz zu der frliher erhaltenen Vielfachheit.

§ I. Wir wollen zuniichst nur dicjenigen Zu­stande des Atoms betrachten, bei denen beide Elek­tronen in einer Ebenc im gleichen Drehsinn urn den Kern + 2 E Iaufen '). Ihre Lagen sind dann he­stimmt durch Polarkoordinaten 1', rp (inneres) R, rp (iiu(\eres Elektron). Ihr gegenseitiger Abstand

1/"+ R' ~ zr R cos (q,-- rpf= (! hlingt nur von dCIn Winkelunterschied

r=rp-fP (I) abo Die gegenseitige potentie]]e Energie "i(l dtr beiden Elektronen ist in die nach Potenzen von r / R fortschreitende Reihe entwickelbar

I) A. Lande, Das Seriens!Je1..trum des Helium!, uiese Zeitschr. 20, 228, 1919.

2) Koruplanare C;~genrotation wlirrle tins Vorzeichen der Sturungfoll l. Urdnung Ull1kehren, entge.g-en der Re­ou:u.:btulli!.

Reprinted from Phys. Z. Zl, 114-122 (1920).

• ' .' (r l' 3 cos'r - I \ .• Ii =R\' +Rcos y + [[1.---2--+ ") (I)

Daher wird die gesamte poteIltielle Energie de. Systems mit dem Kern gIeich

2E2 ,!!2 ~2('r V=--- 1 --R+R R COSY

r2 3 C0521-1 \ +R2-. ~-2~-+") (2)

und die gesamte kinetische Energie J bei Ver­nachlassigung der Elektronenmassen ,II gegen die Kernmasse gleich

T=I!. [r' + r'<p' + R,' +- R' 11>"]. (2') 2

Die Lagrangeschen Gleichungen !iir eine Ko­ordinate Q

doT oT ilV dt ~-'fi=-iCi

auf die vier Koordinaten Y, rp, R1 P angewandt, fiihren zu den vier Bewegungsgleichungcn;

Ilr-1l1<P,+2!'= , r"

" ( _ 2 r 3 cos' Y -- I '. -R.\cosY+7r 2 +,,) (3 a)

2llrtjJ+,U1"p~= t' (3 cos r 3 ,. il cos' r ...

-R'\' crp +2R--i)f,,+") .. . l;~

f1 R--p. Rrp2+ "k-'=

" r ( 31'3C05'r- I \ N."R 2COSY+ R --z--+") (3 c)

123

124 ALFRED LANDE

Lande, Storungstheorie des Heliumatoms. Physik. leit.chr. XXI, "920,

Waren keine gegenseitigen Bahnstorungen VOT·

handen, so wiirden die heiden Elektronen ge­wisse ungestorte, in der Astronomie als inter­medi aT bezeichnete Bahnen beschreiben. Die wirklichen Bahnen sind dann als St6rungen sole-her intermediaren Bahnen Zll behandeln.

Die Verhaltnisse weichen hier insofern von den astronomischen ab, als der Kern zwar wegen seiner tiberwiegenden Masse als ruhend betrachtet werden dar!, aber seine Kraft auf die Planeten dieselbe GroBenordnung wie die gegenseitigen Storungskrafte der Planeten unter sich besitzt.

Ais intermediaTe Bahnen nehmen wir hier reine Kreisbahnen

r=r, rp=O)t,

R = J(, $ ~.,. 52 t an, als Lbsungen der Gleichungen (3), wenn deren feehte Seiten gleich Null gesetzt werilen. Man erll:i1t dann die intcrmedi~ren Rp.l.if'-hunge-Il

Hod eine klelne GriiBe {}

(,C- 21' /1<= l4f2/(~)'I'. (4")

Um durch sukzessive Naherung Losungen rit), 'P (t), R (t), P(t) von (3) zu finden, welche als Stbrungen reiner Kreisbahnen aufzufassen sind, set zen wir r(t) usw. als Fouriersche Rcihen nach der Winkeldifferenz (m-f1) tan:

r = Y" + r, cos (w-!2) 1 + Y, cos 2 (w-!2)t + ' 'P ~ rot + 'P1 sin(m-Q)t + '7',sin 2(ro-Q)t + R=R.+R, cos(w-,Q)t+R2 cos2(m -!1)t + P =Qt + P,sin (r'J-,Q)t + P,sin2«(o)-,Q)1 +

(;) deren Koeffizienten ro r] f2 usw. unten naher bestimmt werden. Da sich die Koeffizienten der Sinusglieder von l' und R und der Cosio nusglieder von OJ und Pals vcrschwindend herausstellen wiirden, sind sie in dem Ansatz (s) gleich fortgelassen. Zur Abkiirzung wollen wir 2uweilen statt (s) schreiben

r=y.+ r+r+ .. , R= R. +R+R+ .. , (5') 'P = '7'0 + iP + <P + .. ,

<P = <p. + ;p + !Ii + .. so daB die GroBe

7='7'- if' aus (I) die Form

mit ,=,.+7'+7'+ ..

1'0 = (<0-2) t, 7= ('7', - p,) sin Yo,

( ;")

usw. erh,Ut. Die auf der rochten Seite von (3)

vorkommenden GroBen haben daher die Ent­wicklungen (6) (6')

cos7=" cos '0- ism),. o cosy . -T(p- -- SIn ,'0 cos')' -. "_+-,,~S 2, = t (1 + cos Z70 - -2)'sin Z70)

Z

u cos:il Y = _ sin 2 y = O'P

. - (I cos' 7 ;= - sm 2 Yo - 2 Y COS 2 II) = - -~-(p-

1 I (' Z r ( ,)2 r' '- I .=--;- 1---+3 - _·z --I

(0)

1'2. !o2 '. '0 \ro ro / I mIt r=flCOSY11' r=f2 COS2i'o I (C/)

J~-i:O-= entsprechend. I Die GroBen ro l~, flJU in (5) sind tibrigens ver­schicden von dell intetmediiiren \Vel"ten r N. 0' l." aus (4), (4'), (4")· Bedeute! aoer [(J"J eillo GroBe -nter Ordnung in der kleinen GroBe: ~) (4"), so wird statt (4') (4")

2/·2

f~/ 7_ ,II i'1J (I/~ (I + itJ/,']), l7)

1;1 _ ) (2 C H

R'--- ,It A,,"J (I + 1(10 11

2 r (4 (l"/' (10 = R O =i -"-) (I -+ [Q,']) = (. (I + [(10"]) (7')

1) \ OJ

worin der Exponent n .sich unten (Gl. 15) zu n = 4/3 herausstellen wird.

Nach der klein anzunehmendcn Gr(jBe

(l"=(2r,,IRo)'/' sollen im folgenden die Storungen entwickelt werden.

Wir setzen nun den Ansatz (5), (5) in die Bewegungsgleichungen (3) ein und erhalten bis auf Glieder hoherer Ordnung:

,<t [(;·0-r,.'7',,2) + ('r-r<po' - 2Yo ro~) + -+(r - r<Pu'- 2 <Po YP' - 1'0 T' - "0 To Q,)1 +

2~[ 2r 3r' 2'1 +~, I-r;+ rQ' -r;J=

-~-[cosy -7sin~', __ ?_R cos, _ l<IJ2 I) liJ - Ro IJ

_Z~I+<:OS2'''l (Sa) No 4

," [(2 cj;o; + ruT) + (2r.;,+ ZTo;+ rog, + . E' ( R' +r'7')]=-"-2 1-2 H-sinyo-

RlJ \ Rif)

-rcosYo-tisin2)';1 (Sb) Ro I

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Physik. Zeitsehr. XXI, 1920. Lande, St6rung~theorie des Heliumatoms.

,II [(Ro-Ro<P,)2) + (R-:-R<Po':- 2RO <P~ <P).+ +(K-R<P,,'.--2 <Po l?<i>-Ro <i>2-21<." 4>0 <P)]+

(8 c)

,u I(z <Pop. + Ro;l,) + (zl~.p + 2 <Po R + .,..- ..:.... . [:2 r + R"tJ'+R<P)] 0 0-----0 1';' sinr,,· (8d)

R'"'\IJ

jEer kann man die zeitlich kOllstanten Glieder zusammenfassen und HiT sich gleich Null setzen [s. u. Gl. (I2a). (I2e)J, ebenso die GEeder mit clem Faktor cos "0 bzw. sin 10 [Gl. (9:'~ und die Cheder mit clem Faktor cos.!. 10 bzw. sin 2 Ie [G/. (16)]. Dabci ist also z. B.

{ sin {0 =( Pt -- 4\,: sin2;,u;- -..,. ('Pl--(/ll) _1_ cos 2{1J

mit dem Bestandteil (ffJJ- ·~(J)l)) zu den Kon­stanten, mit clem Bestandteil

((PI_lPl)~JS 270.

" zu den Gliedern mit cos 2 I'll zll schlagen. Da auf der reehten Seite von (8 a), (8 c) nur kon­stante und Cosinusglieder stehen bleiben, auf der rechten Seite von (8b), (8d) nur Sinus· glicder und keine konstanten Glieder) ist die Fortlassung der Sinus- bzw. Cosinusglieder in dem Ansatz (5) gerechtfertigt; man erhalt aus (8 aJ und (8 c) je drei fiir sieh zu erfiillende Gleichungen, aus(Sb) und (Sd)jezwei, im ganzen zebn simultane Gleichungen zur Bestimmung der zehn llubekannten Fourier-Koeffizienten

Yo r 1 Y;l (PI rp2 RI) Rl R2 q\ <Pt

als F1Jnktionen der frei bleibenden Gr6Beu (f)

und !l, die erst durch zwei Quantenbedingungen spater festgelegt werden.

§ 2. \Vir stellen zunachst die vier Gleichungen mit dem gleich Null gesetzten Faktor von cos r" bzw. sin ID zusammen (ga) bis (gd):

I) Man darf in (II) nicht fur Ji nahernngsweise den intermedHiren Wert ~_ 0 setzen, der zu

rl/ro~-fv~ fuhren wiirde. Denn es stellt sich der gestorte Wert '/

(ge), (9d) ergeben mit Benutzung von (7), (7") die Losungen

~ =~ r\;-()t.I( +. ~ ([0

(1\ =.,.. -}~ ()04 •..•

Der periodische Teil Rl cos II) und PI sin 10 von R llnd P ist also von vierter Ordnung verschwindend klein gegen den aperiodischen Teil R" und '1'0 = !It. Die Bahn des auBe­ren Elektrons ist also auch im gestorten Zu­sIand (nahezu) eine Kreisbahn, freilieh mit

einem ge;inderten Radius Ru =F R und [2 :i: sl Anders liegt der Fall bei dem inneren Elek­tron, dessen' Bahn stark verzerr1 wird. Multi­pliziert man namlich (9 h) mit 2 OJ/(/) --!J und ~ubtrahiert VOll (9a), so erhalt man bei Ver­nachHissigung von 22 neben 0 2

'-'- 3~_. ____ _

jj R11'J. /2 £2 \ ,II fll ro ~l- i, - - (-1ro(OII))

\ fo /

Dividicrt man hier 2 X 2 t 2/rq2 (7), so

[ + [Q,,"']

Zahler und Nenner durch wird his auf einen Faktor

wenn

r 1 (JOI

r;;- ~ -t 2 (;oT=~)

'I', ~ - 2 .'i(I+[('Ij·"])' r"

( I", ro') '1=4 1-2.i2;70' (II')

gesetzt wird. Der in 'II auftretende Fourier­Koeffizient Yo· wird erst simllItan mit den zwei Gleiehungen bestimmbar, welche durch Null· setzen des konstantcn Teils von (8 a) und (8 c) erhalten werden I). Diese Gleichungen heiBen ,u (roOJ' + ru 'l'l"iw-!l)21 +r l 'P,w(OJ-2»-

2<2(' r 2') c' R =-"2 I + ~-.!..2 -.~J---'!. +

til - ro R() 1 Ru

+ H'P,-<P1)-1 ~ : (Ila) o

groHer als sein Addend (J/II heraus. Dieser Fehler wurde in der oach dem Muster der Dispersionstheorie durchge­fiihrten Rechnung (A. Lande, 1. c.) implicite gemacht, und ralscht auch die allgemeinen Dispersionsformeln von Sommerfeld (Elster-Geitel- Fe~tschrift) fUr den Fall,

I daB der Elektronenring aus einem Elektron be5teht. '

125

126 ALFRED LANDE

4 L;tnd·'" Storu!lgstheorie des Heliumatom!li. Physik. Zeit,chr. XXI, '920.

,u(R".2' +Ro p,'(ru-.2)'·t+ R, p,2(w-S2))= 8' "ro J R,

= ---. + ---, -)3'. +('P, -P,)-}(o R'I R,J Ro

- s ~.-~i. (12C) "R(I rllf

Wegen der Kleinheit (10) von R,.'}(o und P, lind der nach (II) angenaherten Beziehung

'P, = - z r,/ro

( [;;!

\'R; --ll Ro ill"j-

Et fo (3 "II r 1 \

- 1{2R~ .4 Hoi + 3 r~)=:' (13 C)

Durch (II') \Vird aus (13a)

1 1 \1; 1 ~rl 1 3__ f, (II") JI+6-"+.!i,-+,,(,,, -.0+1('" I 11i rl)

(II'), (II") sind zwei Gleichungen fUr die bei· den U nbekannten 'I] und r i ,'rill weIche geldst werden durch

2 JI ~ ... j (i" 'I, + ~ (J;'I, -;:; ('" '/, '"

Ilnd zwei entsprechende Gleichuugen (I tJ c) llnd (16 d) fiir N.2 und Q'2'

(I6a, b) gehen in unserer Naherung liber in

7 . !j + 4 'fJ, = if g, 'I, 1"11

III it dell <-lllgeniiherten Losungcll

( 171

also nach (II') und (13 c)

2 c2 2 2 E:! ( .' r(12-lurl)OJ =~\_~QI)"3+

+ tr,,'I, - 5'4(>,/1.) , .

IlR"S2'=R' '(~'Q.)';' + " '

+ I "I + 3 ') ""6" Qo' 16 ttl, ) I

abweichend von den intermediaren Beziehun­gen (4').

Die erhaltenen \Verte Y1 ; i'1} und ifJl be­deu ten eine V crzerrung der inneren Elektronen­hahn, namlich eine exzentrische Verschie­bung von der jeweiligen Lage des auBeren Elektrons fortgewendet. Ihr Effekt ist eine schein bare Verstarkung der Kernladungswirkung auf das auBere Elektron.

Nachdem durch (10), (14), (IS) die Fou· rier-Koeffizienten r ll ?1 1<.11 Rl ifJl P1 der Reihen (s) bestimmt sind. bleibt noch ubrig, auch r,'t, R'!. qi2 zu bestimmen. Es wird sich aber zeigen, daB lctztere Koeffizienten in der Energie de~ gestarten Systems keine RolIe spielell, soweit die hier erstrebte Naherung vcrfolgt \Ovird. TrotzdelJ1 wollen wir der Vollstandigkeit halber die Gleichungen fUr y:!. CfJ2 R2 P2 aufstellen. Sic werden erhalten durch Nullsetzen des Faktors von .cos 2 III bz\v. sin 2 ,'II in (8) und heiBen (16a) (16b):

fI. , ( J.) 13 r,.) J-- ffl--'Yl "2-- ) 1\.1) 2 Ru

(I6b)

1\., \vahrend uie \Verte -R':.. und tP"!. in 110ch h6he-

" rem Grade ver:,chwinden als 1\1 J<~ und (P1

in (18). Dureh (10), ('4), (17) sind jetzt die Fou·

r i e r . Koeffizienten der gestorten Bahnen (5) als Funktionen von r", R.:I und QI! bestimmt, 1'0

und R" selbst sind durch (15) als Funktionen von (IJ, SJ und ()u gegebcn. Die gestorten Bahnen h~ingen also letzten Endes von dem \Vert zweier Parameter C:!b, z. B. von ro und Q Oller auch J'u und Ru.

~ 3. Die Energ-ie des gcsti>rtcn Elektronen­systems teilen wir eiu ill

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

I'hysik.Zeitschr. XXI, H)20. L:llld(·, Storungsthoori~ des Heliumatoms.

1. Energie des inneren Elektrons Wi = kinetische Energie + potentielle Energie gegen den Kern,

2. Energie des AuBenelektrons 11'a = kine­tische Energie + potentielle Energie gegen den Kern und das im Kern gedachte innere Elektron,

3. potentielle Energie VI" del' Storungs­krafte. Es wird also nach (2), (2')

JVI=!!... [/., + r' 2)._2"

2 r I W.=~(R'+ R''['')_ ~ (18)

"(' r r' 3 cos'7- 1 \ I V"=RRCOS 7 +/C2 2 -+ ... ).

Setzt man in WI die Fourier-Reihen (s) ein, ohne die von uns berechneten 5peziellen Werte Yu 1'1 Y2 PI fP2 Zll benutzen, so erhaIt man ll'j in der Form

WI= konst. + I, (r, 'h)' cos 27" + + I, (r, 'P, r, 'P,) cos 27,,·

Setzt man in die dabei auftretenden Funk­tionen I, Hnd I, die (angenaherten) Be,iehungen (14), (17)

",,=-z~, (hO-~-i.:'" (18) Yo 2 l"u

ein, so verschwinden f t und !,' und es bleibt als konstanter Teil ubrig

Wi=f.rn2m~-':.~-~-!!.-r2J (/)2. 2 ~l.'J = 2 rH 2' r ll 2

,,(", r 2 -- --;- I + 21/ + 2 ...!.,. )

111 Yo .

oder mit Benutzung von (14) der \Vert 2

lV, • i +J '/ 1 "f I '/ )' ~\2 4'{Jlj'-~(J!lr~+81(Ju" (19)

deT auch als Zeit mittel der in Wahrheit sehr schwach periodisch schwankenden Energie des inneren Etektrons angesehen werden kann 1).

Wegen der Kleinheit (10) von R, und <1>, wird felner

J, :! 2

IVn = ~RH2 ~2_.k-= - 2k, I'l:2

-;-(Ru

_,URU2.Q1;

also nach (IS)

W. 0_ -- f(t - tV,,', +

+ /2 V,"I,+ f2 vf)· (20)

Va ferne; der zeitliche Mittelwert von

I) DaB die periodischen Glieder von Wi in hoherer Ord­nung verschwinden, zeigt an, daB der Gesamtbetrag def Energie des Innenelektrons groB ist geJ;!en die von ihm gewonnene El1ergie auf seinem Wege von der Konjunk· tion zur Opposition unter der storenden Kmft \lel> Aunen· elektrons.

r cos 7 = ~rll + r 1 COS IU) ( COS '1'11- (fJl sin2 /11)

gleich 3_ r :! t 0 fll

ist [vgl. (s"), (18')], nacb (18)

wird der IVIittelwert von V;II

2 . 2 \ V. ___ ~(1..~ .':!.+l . .:.,

m-RI)2RIIYU R024f und mit Benut,ung von (14)

Via = ~- (- • ",,'/, + .. ~. (J "/, + .2. "fI 2) Ru "8"<;: 12 II 16~ (21)

also ~2 I I

W.+ VI"oc-j-c;-lt+-(I'I'j' (22) \.11 3 2

~ 4. Wir sind jetzt imstande, eine an anderer Stelle I) erHiuterte Quantelungsmethode anzu­wenden, spe,iell mit Benutzung der dortigen Gleichung [6], da es sich beim neutralen He­lium ja auch nur urn zwei "Ringe" handelt. Statt der dort benutzten Variablen r, r, wollen wir aber hier die GroBen 2 '11 und Ro nehmen, an denen im folgenden der Indes 0 fortge­lassen werden 5011.

Statt [6], [6') I. c. gilt hier fUr die heiden adiabatischell Prozesse

dR o(W,+V,,,\jo(zr) di;-rj - --- oW lioR .

hzw.

ausgehend von dem Anfangszustand J(=oc" r=r bzw. y=o, R=i?. (24) Fur die totalen il.nderungen d W, und d W. erhalt man aus (23a), (23b)

d W·~o -- dl!'~'-·'!-.~ , a( 27)" diU) hzw.

dW.~~-d(zy)ila.!i·:dd~:2· (2S)

l'm (23 a) zu lntegrieren, braucht mall (I (IVI-1- V,.) <2 ( I,',

'0(2r)-="4'" 2- 12 (11,),

OWl "'/ " a7f=:jY' ~ (J' (I --, ~(I 'J.

D"her wird aus (23 a)

--<!.!!...=-Q-;f,.6'(1 + .. ). (26) d (z.)

Andererseits ist

o V,. .' " - o(zr)=-X'2i(l' (I + ... ).

I) VgL A. Lande, Adiabatenmethode zur Quante~ lung gestorter Elektronensysteme; '·erh. d. Deuts'ch. Phys. Ges. 21, 578, 19ICI. Formeln dieser Arbeit werden hier in eckigen Klammern zitiert.

127

128 ALFRED LANDE

6 Landt\ Storungstheorie des Heliumatoms. Physik.Zeitseb.r. XXI, '920.

Die totale Anderung d Wi wird also naeh (25)

e' 5 dW;=- R2 4S(1+,,)dR.

Integriert man zwischen den Grenzen N = a.;. und R (24), so ergibt sich bis auf Glieder hOherer Ordnung in (J

Wi-Wi=2'~'~+" (26')

wobei

. " W,=-., r

faUs mall bei der Integration r als Konstante behandelt; daB letzteres in der hier erstrebten Naherung bereehtigt ist, geht hervor aus Glei­chung (26) die sieh auch sehreiben liiBt in der Form

d(zr). (21)-'1, = 1tdR·N-'I. (I + .. ). Ihr Integral zwischen den Grenzen R = x, r = f· bis R, r heiBt •

r - r 'I 126") -r-=h" Wahrend der Zusarnrnenziehung von R aus dem Unendlichen erfiihrt also ,. nur eine kleine Ausdehnung von der relativen Ordnung (>'1 •• Urn (23b) zu integrieren, braueht man aus (22)

o(W~~_Vi')= ~;(t+i(J')

iI w. c' '1 (' II 'I 3 'I" o(zr)=R,t(.l' ,1- 45 ("--)0\")'

Also geht (23b) liber in

oder

wenn zur

I--~_'lI"i6 ____ 1_6 ____ •. _ f (u),

I - ~~·ulIIU_ J_ iii, 45 Co

Abkurzung der Quotient (2 r)'I, • 'dR'I; =U, also (,=u l,

geset.t wird. Fuhrt man nun statt 2 r und I< die neuell Variablen u und utI, ein, so ergibt sich die U mformung

d(R·I.) du 7?'7: = f(u)~~.--u

Integration zwischen den Grenzen r .:..0..,.-' 0,

11 ~~ Rbis' r, R ergibt bis auf hOhere Potenzen von u

u

( fI') fd ( (' 11'1 3 "i In R =~ u --1-),1-4'5""-10""/ , 0

oder bei Wiedereillfiihrung von II statt u

4 = [ - * (.1'1. (I - i (>'1. - t (,'1./. (27)

Einsetzung in W. + Vi. (22) ergibt schlieBlich E2 . I '

W.+V,.=- 211. (I+UI'-2-tU'-t~') + .. (27')

Il'. + V,. - W.=--.; (i(,'I,.- tv''/._ t,,'). 2R

(27") Eill Vergleich VOIl (27") mit (26') zeigt, daB der

Energiegewilln von Wi gegeniiber ll', von hohe­rer Ordnung klein ist gegen den Verlust W. + Via gegenuber Wa = - "/2 k In un serer Nabe· rung bleibt also Wi wahrend des adiabatischen Prozesses konstant, in Obereinstimmung mit einem Theorem von Herrn N. Bohr').

Die Gesamtenergie E=Wi + W,,+ V,.

des gestorten Systems wird also naeh (26'), (27') bi. au! Glieder hoherer Ordnung in 2 ;tf'? (vgl. (7')::

t l 01;2 c:.i .'. E - '--,---, - ----.- HOrl·II-

r zR 2R - ~ W)'J. -.~ (O)'!· + "j, (28)

worin die beiden erstcn Glieder den intermedi­aren Energiewert angeben. Man kann diese Formel so auffassen, als sei die Energie 'des inneren Elektrons unverandert auf dem inter­mediaren Wert -~2rr gebliebeo, wahrend sich der absolute Betrag der Energie des auBeren Elektrons mit dem Stiirungsfaktor

F.: E,,~'I + HW- - t(l)"I.-t«'l)2 128') multipliziert habe. Die in ~ vorkommenden Radien r unu it sino die im ungestorten Zu­stand qllalltenthcoretisch festgelegten Bahn­radien mit den Quantenzahlen nj und n(l! und besitzen die Werte

;,,-,ao'z~,~, J R a na2 a -_'!....... (28") =-= o·Z(f. J 0= 4:r2f.ll;21

wobei Z; . und Za = I die "wirksamen Kern­ladungszahlen" und a" den Radius der ein­quantigen Bahn des Wasserstoflelektrons be­deuten. Beim Helium ist iiberdies 1tl= I an­zunehmen. Schreibt rcan also fur n. einfaeh 11, so wird schlieBlieh

2;' [ . ~=RO=n2

und (28') geht liber in die endgiiltigc Forme1

I) N. Bohr, The Quantum Theory of Line·Spectra, Teil 2, § 2, Kopenhagen 1918. Dieses Theorem war in der yorlaufigen Mitteilung des Verf. (1 c.) iiber das He nicht erfiillt, der dortige Vergleich mit quasielastischen VerhUltnissen tS. 229) Wal" also unzutreffend. Der Fehler wurde dart durc11 die ohel1 ~. 116 Fl1Bnote erw1ilmte Annlherur1.i! aui~ehobt!ll.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 129

Physik, Zeitschr, XXI,.I920, Lande, Storungstheorie des Heliumatoms.

E.: £.=1 +fn-"I, - tn_U1,_ in-I +" (29) Da. let.te hier hingeschriebene Glied

-1:8n4=-j-2: 2]tl. erscheint bei Sommerfeld als niedrigstes Storungsglied, wenn man Vall der Vorstellung der gleichmiil3igen Ladungsverteilung auf den Ring­peripherien ausgeht. Die beiden ersten Storungs­glieder von (29) sind der exzentrischen Ver­schiebung der inneren Bahn im Kraftfeld des auBeren Elektrans zuzuschreiben, Letztere Ver­schiebung gibt zu den Storungen der Ordnung n-' keinen Beitrag, wei! in (14) naeh den Gliedem mit ('u )/. sofort GHeder mit (10 71• falgen.

Es ist klar, daB die abgebrachene Reihe (28'), (29) fiir die Quantenzahl n = I keine zureichende Naherung zum Vcrgleich mit der Erfahrung darstellt,

~ 5. Die exakte Storungstheorie des He­liumatoms bei geneigtell Bahnebenen und elliptischem Umlauf hat Verfasser nieht clttrchgefiihrt. Nach Analagie zu friiher erhal­tellen Resuitat<'n ') liogt jedach Grund ,-or Zll der Annahme, daB ein N eigllngswinkcl (j zwischen den Bahnebenen die Energieformeln (28') und (29) in folgender Weise andert: Die beiden ersten Storungsglieder, welche der exzentrischen Ver­~chiebung des inneren Elektrons zuzuschreibcn waren, sind mit clem Faktor cos fJ zu versehl'u, <las dritte Storungsglied mit dem Faktor

(3 cas"H-I):2, mit dem allch in Sammerfelds Thearie dcr geneigten Ringe") das entsprechende Glied be· haftet ist. [Diese beiden Faktaren sind be­kannt als erste und zweite Kugelfunktion von cos H,] Bei elliptischer Bahn des auBeren Elek­trons mit dec cadialen Quantenzahl n' und der azimutalen Quantenzahl n fuhrt die t..·rwahnte Analogie dazu, aile hingeschriebenen Storungs­l-iliedcr mit dem Faktor

tI:(n+"') ill multipliziert!ll. El!l~rgiefonnel'))

(29) gcht clann ubcr in die

F.:E.=I +--!'-, [cos H,',!I '1.-- I, w-"I •. -) n+·n . , 3 cos' (j ,- I

-- 2' 'iff" '-t-"l (30)

Flir ('1 sind die Werte einzusetzen, weIche sich aus del" Quantelung der raumlichen Orientie­rung (bzw, cler Prazcssiansbewegung) von Elek­lroncnringt.'n crgeben und die aus GL (4) und (5)

I) A. La nu.,: 1 llil!:o.c Zeits!!hr. 20, 228, 1919. 2) A. Sommerfeld, diesc Zeitschr. 19, 297. 1918. 31 wabrt:nd ~,ls 1" .. 1dor de" (~liedes mit ,J.-. _ (2 r;R;;!;

~Iie :.r.wcite KUg'cH\mktion wohl das Ril'1nige trint, ist stalt nls 9 OIls F;:ddur del' er;';\en Sttirl1llgs~lif'c1er wahrscllcinlich eiue kflmpJi;.lcrtl'rc Funktioll yon (-} ;m nchmen, ueren Ct~~all eri;t \\cilere Rechnung .t:euell l.~UlIl, die aber das Re-.uilut f1ualilutiv wobl Ilicht lI11c1 cill<mlitati\" wnhl nm w~lliC o:tcen (30) :imielll wird.

Beo bachtung Theorie

I' H. "H;:I'H n'n ,k I {t l'n.: vJI

5'1 01 I 120° oJ 2 3u 3203 1 1,168 II I o,86r~

'3445 1,103 21 I 0,9078 7369 1,075 3 '

I 0,9308 4 646 1,059 41 I 0,9447

- --PI 27 174 0,989 o. • I04u 28" 0,9873

12099 0,992 ,. • 0,99 ' 9 681 7 0,994 .. • 0,9939

, 4;67 0,995 32 • 0,995 '

D I2 2001- 1,0011 03 991l S5' 0,998• 6863 1,0009 '3 0,9987 4391 1,0007 '3 0,9989

Beobachtung Theorie

l'H~ 1'/1 : 1'1/ ,,. n III iJ' )'lIr: I '1/

SII 01

I~ 0" 11457

33 453 1,402 II 1,229 15 0 73 1,237 21 • 1,152 ~ all 1.)68 3 '

1,114

4963 1,13 1 4 1 1,092

l'J[ 29 2iZ J,0657 02 0' 11°53(' I2 745 I,045S 12 1,0367 7 "93 1,0331 1,026B

450 9 1,0278 3' 11°214

j}JJ J2208 1,0012 03 4 0" ),01 36 6 S65 1,0010 13 4 1,0102

4393 1,0009 23 ,4 1,0081

einer Arbeit des Verfassers') ablulesen sind. Es sind das kamplanare Bahnen mil gleichgerirh­teter Rotation beider Elektronen

(If + f)-' = £1 = 0") bzw. entgegengerichteter Rotation

(f)- + {f = £1= 180") und bei n -== I iiberdies e = 120 11, bci n = :2

(-J=I04"2S'; bein~3 (j""99"3s' IlS\V, Die

lheoretischen V,; erte des Verhaltnisses Ell: fl.'" ·sallen sieh in der Beabachtung wiederfinden als VerhaItniszahlen VH,: VlI der Heli:lmterm­Sehwingungszahlen zu den Normalschwingung,'­zablen der Wasserstaffterme. Die folgende Tabelle gibt neben den thearerischen Werten, welche zu den verschiedenen Wertetripeln n

I) Vgl. A. Lande, Eine Quuntenregel fur die r:illl!l­!idle Orientierung von Elektronenuahnen, Verh. d. lJ. Phys. Ges. 21, 5~5, 1911}. Die dortigen Gl. (4) Im~1 (5) hciBen

n cos (} +.".1 cos il'- It nsin.fJ-- n'sin:F -0,

worin {f llud .:7' die !>:eigungswinkel def lJeidc:n Elt:kLn,· nenhahnen gegen die nnver1nderliche Ebene bedeuten, nnd n 1l' k Jrei game Zahlcn sind. Die:se Quantenregeln ;,.:elten aber nnl', wenn mau die St()nmgskrafte ve1nacb· liissigt, ein Fall, <1el" hier, besondcrs bei den Hahnen S;, welchc del' Tbeuric ~chwierigkcit b(;reih~11, nur in rnht'r ~JlU::l'ung 1.1ltrilrt.

130 ALFRED LANDE

Lande, St6rungstheorie des Heliumatoms. Physik.Zeitschr.XXI.1920.

(azimutale) n' (radiale) k (Gesamtimpulsquanten. zahl) mit zugehorigen Winkeln

11-, 11-', fJ = ,~ + {I.'

gehoren, auch die beobachteten Schwingungs· z.hlen der He·Terme und ihre Quotienten VIr., : VH mit den beobachteten Normalzahlen des Wasserstoffs. Die Beobachtung unter· scheidet zwei gesonderte Heliumspektren, nam­lich He, aus einfachen und Hell aus Duplet· termen bestehend, ferner innerhalb jedcr dieser beiden Spektren STerme, P-Terme und D· Terme, weIche sich zu den Kombinationen S-P (Hauptserie), P-D (I. diffuse Neben· serie) und P-S (2. scharfe Nebenserie) zu· sammenfinden. Die S-Terme sind iibrigens auch bei HeH einfach. An den experimen­tellen T ermwerten fallt auf, daB zwar bei Hell ein Abfallen der Werte v llf : V H von den 5-zu den p. und D·Termen der gleichen Quanten· zahl n + II' stattfindet, daB dagegen hei II e, ein soleher Gang nur zwischen den p. und D· Termen stattfindet, wahrend die beobachteten S,·Termc vollkommen auBerhalb dieses Ganges liegen. Daher ist von vornherein zu erwarten, daB die Theorie nicht ahne wei teres ZUT Er­klarung der 5,·Terme ftihren kann. Berechnet man nun nach (30) die theoretischen VUe: Va­

\Verte zu allen moglichen Kornbinatiollcn der Quantenzahlen n n' k fUr n = I, n = 2 und 'n = 3 mit AusschluB der komplanaren Gegen· rotation, so fiudet man 'Werte, die mit den daneben geschriebenen Beobachtungen der 5-, p. und D-Terme von Hel und Hen vereinbart werden k6nnen. Und zwar ist die Oberein­stimmung bei den Termen n = 2 und n = 3 gut, bei SII (n= 1) wenigstens qualitativ richtig; bel letzteren Tennen (n = I) reicht eben die Naherung (30) nicht im entfernte,ten mehr aus. Dagegen fallen bci Sr, W1e zu erwarten, Beobachtung und Theorie auch qualitativ gauz auseinander. Bei 60° Neigung (Nebenwinkel von 120°, d. h. Umkehr der Umlaulsrichtung) wUrden die beobachteten Werte von S1 resultieren. 60 0 Neigung ist aber quantentheoretisch nieht zulassig. Es liegt hier vielleicht ein anders· artiger Bahntypus vor.

\Vahrend heim \Vasserstoff zu der cinen -Gesamtquantenzahl n + 1-J,' nur eine Schwin­gungszahl VH (abgesehen von der Feinstruktur) gehort, treten Zll dem gleichen n + n' beim Helium mehrere Schwingungszahlen VH, auf, eine Art Grobstruktur durch verschiedene Ex­zentrizitat und raumliche Neigung der Bahllen. In der Figur, deren horizontaler MaBstab die WerJe des Quotienten VHf: Vn angibt, ist diese Grobstruktur des Terms n + n' fiir jede Ge· samtquantenzahl n + n' in einem besonderen horlzontalen Band gezeichnet, wobei noch Her (Parhelium) und Hell (Dupletlinien) ullterein·

ander getrcnnt aufgetragen sind und zwar die Be· obachtung als senkrechte Linien, die theoretischen Werte als Kreuze. Theoretische Werte von 5, sind nieht eingezeichnet, da 51 offenbar auf einer anderen Entstehungsart als der hier be­handelten beruht. Die ent,sprechenuen Wasser-

stoffIinien wiirden also in der Figur senkrecht tiber dem Teilstrich 1,0 liegen. Die Auhpal­tung dieser normalen Linien durch die gegen­seitigen Bahnstorungen geht also heim Helium bis zu 40 Proz. ihres ungestorten Normalwertes. was frtiher den AniaB znr EinfUhrung gebro­chener Quantenzahlen flir die S'-Terme gegeben hat. Hier) \VO die gebrochenen als gestortc ganze Quantenzahlen aufgefa.Bt werden, ist es dcshalb nicht verwunderlich, daB die Stonmgs· theorie mit den crs.tcn Rcihengliedern quanti­tativ nicht mehr ausreicht. Besonders befrie­digend erscheint es, daB die Quantclung der Prazessionen, die :l\Iannigfaltigkeit der diumlichen Stellungen bci jedcm 'Jl. auf zwei beschdinkt, Komplanaritat bei Iiell und Neigungswinkel von nahezu 90° bei Her. Die dritte Bahnstellung, komplanar entgegengesetzt rotierende Elektro· nell (e = 180°), besitzt einen so kleinen nega­tiven Energiewert Ell gegenuber den Energit­werten der beiden andern Stellungen, daB diese Gegenrotation au::; Stabilitatsgriinden auszu­schlieBen ist. Eine Erkbrung fiir das Zustande­kommen der 5 r -Terme und flir die Duplizitat det Hen·Terme fchIt').

I) In ei~ler Arbdt ,,~'cber Sericmpcl{tren nnch dem RohrEchcn Model." von F. Tank, Ann. d. Phy;;, 59, 293. 1919 werden die gegenseitigen Stiirunben der bcrden He-Elektronen so berechnct, als scien die Ladungen kon­tintlierlich tiber ihre Bahnen verteilt. Dahei "wird An­s.:hluB an die Erra~ rung nur be: den Hauptserien~eTlnen elTeicht", und zwar lInter der Annahme, clan beim ParhclillnL (Ht!) beide Eiektronen in derselben Ebene lauten, bcim Helium (Hen) in nahe:m senkrecht gekreuzten Ebenen (nmgekehrt als bci uns), daB bei HeI das innere Elektron einen einquantigen Kreifi, beim 11en einen zweiquantigen Kreis bcschreibt. Es erscheint aber die gew5.hlte An­n5.herung (kontinuierliche Ladungsverteilung) nicht Zll­

lJ.ssig zu sein, weil die Stornngen r. Ordnung dabci unberiicksichtigt blciben. Auch die Annahme cines zwei­quantigen inneren Elektrons bei Hen l{ann nicht be­friedigen.

rEin;',cRallgCl1 17. Augmt 1919.)

PAPER29A 131

19~11 A. Lande, Dber den anomalen Zeemaneffekt. 2:11

Uber den anomalen Zeemaneffekt (Teil I).

Von A. Lande.

(Eingegangen am 16. April In!.)

Inhalt: § 1. Die inneren Quantenzahlen. § 2. Quantentheorie des normalen Zeemaneffektes. § 3. Riinmliche Quantelung, Allswahl- und Polari.atioU3l'egel bestimmen die Anzahl del' n- nnd o-Komponenten. § 4. Die anomalen magne· tischen Energh~niveaus bestimmen die Lageu. S 5. Das Korrespondenzpl'inzip bestimmt die lilt e n sit a ten.

Die koml'li7.ierten Typen des anomalcn Zeemaneffekts sind in

neuerer Zeit sicherg-estellt worden heBonders durch die schonen Untel'­suchungen von E. Back illl Tiihinger Institut, welche So lU m erie ld 1) publiziel't hat. ~euerrling8 hat Back~), fufiend anf der R:lngeschen Regel und Sommerfelds mag-netooptischem Zerleglhgssatz, konstruk­tive. Gesetzlllafiigkeitun :lufg-edeckt, welehe die beob~chteten Zeeman­typen beherrBchen, un!1 zu "Indexregeln" zu~ammengcf:tGt, welchc es ermilglichell, 'llleh bisher unbeobachtete neue Typen YOrallRzllsagen. Die vorliegende Arheit soil nUll den Ban del' anomalen Zeem:1ntypen vom Standpullkte des Kombinatiollsprinzips und der Quantentheorie aus verstalldlieh machen. Sie endct dam it, daB jed<J einzelne magne­tische Zcrlegungskomponcnte eincm bestimllltcn Dhergange Yon einclll Ql1antenznstalllle des Atoms in cinen andercn Quantenzllstallll ZIl­

geordnet wird bzw. aus zwci magnetischen 'l'crmen kombiniert wirc1. Der anom:11e Zeemalleffekt g-iht dadurch eine besoIlllers eilldl'ingliche llillstl':'1tion Zlllll Auswahlprinzip Yon Rllhinowicz unci Bohr.

§ 1. ZllI' Vorbereitnllg lIluB kurz auf cinige bereits im magne­tisch un beeiufinGten Zustanc1e zntagc tretcndcn Eigentiimlichkeiten der­jenigell Liniengebildc eingegangen werden, die Ry(lberg als voll­standigo Dllbletts und Tripletts bezeichnet hat. Die Analyse del' Serienlinien in KOlllbinatiollstcrmc ergibt namlich bei den

Dublettlinien. Triplettlinien. eincn s-Term zwei p-Termc zwei d-Terme

einen s·Term drei p-Terme drei d -Torme

(1)

\Vahrend man nUll 'IllS diesem Schema c1nrch Kornuination des einen s-Terrns mit BelDen zwei (bzw. drei) p-Termen in del' Haupt­serie (s,p) Liniendubletts (bzw. 'fl'ipletts) crhalt, wiirde man in der

1) A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 63,221, 1920. Atombau u. Spektral­linien. 2. Aufl. S. 54!.

!) E. Back. Die Naturwissen.chaften 9, 199. 19~1.

Reprinted from Z. Phys. 5,231-241 (1921).

132 ALFRED LANDE

232 A. Lande, [V .. 4

ersten ~ebenserie (p,d) durch Kombinatioll aller p-Tenlle mit ihreu cl-Termen 2.2 = 4- (bzw. 3.3 = g·)fache Linieu erwarten, fintlet aber in Wirklichkeit nur 3- (bzw. 6-)facho Lillien in der ersten Nebcn· serie, namlich nm die folgenden Kombinationen I):

Vollsta lldige Du bletta. (,Ill,) (,jP.)

(PI bl)_ (Plh.) (P.o.)

Vollstantlige Tripletts. (SPI) (8 Pi) (SPs)

(PI dt ) (PI d.) (PI ds)

(P2 d.0 (P2 ds) (Pa cls)

(2)

In dem Ausfallen del' iibrigen Kombinationen erblickt Sommer· feld das vVirken eiues Auswahlprinzips, welches er zn dem Auswahl· prinzip von Rnbinowicz und Bohr2) in Parallele setzt, indcm er den verschiudenen Termen auBer ihren azilllutalcn Quautenzahlen 1/

noch gewisse andere gauze Zahlen k znordnet, die e1' ~innere" Quauten­zahlen nennt (Ta belle 1. Die eiugeklamlllerten Zablcu sind noeb nicht durch Beobachtnngen bestatigt):

Tabelle l.

!I DubIe!!. Triplet!'

'ferm.

II ! III P2 b, b, hI b. p, P. 1'3 d, d. "3 bt b, /'3 /I 2 " a 3 (4) (4) 2 2 2 3 ~ 3 (4) (4) (~)

k. 2 a 2 (4) (~) 2 1 0 3 .. 1 (4) (3) (~)

Dann liiJ3t sich namlich die 'l'atsache der vollstlinuigun Dubletts und Tripletts, daJ3 nur die Kombinationen (2) in Wirklichkeit Yor­komman, einf::tchor formulieren durab die Auswahlregcl:

B. Es werden nur diejenigen Terme kombiniert, deren "innere~

Quantenzuhlen k sich lim 0 oder ± 1 unterscheidell. § 2. 'Vir miissen ferner an die Debye-Sommerfeldscbe

Theorie des normalen Zcemullcffekts erinuern 3). 1st'll die azimlltale

I) In de,. Paschenschen Schreibweise bedeutet P, ~, p den Prinzipal-Term der Einfacblinien, Dubletts, Tripletts, wahrend 11: eine Parallelkomponente illl transversah"'D Zeemaneffekt angibt.

2) A. Rubinowicz, Pbys. ZS.19, 441, 1918. N. Bohr, Kopenh.Akad. 1915. Die strengere Fassung des Auswablprinzips von Bob r beint:

A. Es werden nur die Terme kombiniert, deren azimutale Quantenzahlen II sich um ± I unterscheideo. Die weitere Fassung (A') Hint AnderuD~en von I!

urn 0 oder ± 1 zu. Da. Korrespondenzprin zip verl[\ngt: (A) gilt, wenn uur ein Elektron zum Impuls des Atoms beitragt, wenn also seine Bahnebene mit der invarinblen Atomebene zusammenfallt. (A') gilt, 'venn mehrere /le' kreuzte Elektronenbabneu zum Ge'amtimpuls des Atoms beitragen (vgl. z. B. A. Sommerfeld, 1. c., 2. Aufl., 8.536.

3) Dadurcb brauchen wir in unsere Da"stellung Sommerfelds .magneto· optischen Zerlegnllgs,atz' (1. c.) nicht ausdriicklich einzufiihren, de,. bei der Anf· lindtlDg unserer Resultate wicbtig war.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

1921] tIber den snomalen Zeemaneffekt. 233

Quantenzahl, 80 kann die Drehachse des Atoms nur solche IY:nkcl (9 mit del' Feldriehtllllg H bilden, da/3

m = n.cos@ = ganze Zahl, :m, < n (3)

wird (Sommerftllds raulllliche Qu:mtclung). Die zu ili,-en Stet­lungen gehorigcn magnetiscben Stilrungsenergien E sind

E = '11/ .hwo, WO (4)

Fiihrt man statt E die in Einbeiten Wo h gemessene Energiegro/3e e ein, so scbreibt sich (4) in der fiir das Folgende wichtigen Form

~ = III.!I (m = 0, ± 1, ± 2, ... +- n mit 9 = 1) (4') Wo

mit dem sjJcziellen Proportionalit,itsfuktor 9 = 1. Aus clem Kone­epondenzprinzip von Bohr bzw. aus del' Kopplung von Atom und Ather nach Rll bin owicz lcitct sich die Auswuhl- und Polarisationsregel ab:

C. Die aquatoriale Qoautcnzahl m darf sieh uur um ° bzw. ± 1 andern: im ersten Falle entsteben parallel dem Fclc1e 11 pola­risierte (;-r)-Komponenten, im zweiten Faile senkrecht zum Felde polarisierte (6) -Komponcoten bei transversaler Beob­acbtung.

Rin Atom im S-Termzostaod (n = 1) bzw. illl E-Termzust:md (n = 2) kann also nacb (3) folgcnde IV crte der ii'luatorialcu Quanten­zahl be~itzeu:

S-Term (n = 1). .. -1 E-Terrn(Il=2) ... -2-1

(5)

Die nach C. erlaubten Dbergange des S-Termzust:mJes iu den P-Termzustand (Haoptsel'ie) werden also in (5) e!urch Pfeile zwischen zwei senkl'ecbt untereillander steheuden Stellcn (n - KOlllpoueutcn) hzw. durch 45° Imch recbts une! links :lnsteigcnde pfeile (6-Komponenten) dargcstellt.

BilJet man noeb die maglletiscben StiirungsenergieJifferenzen zwiscben Anfallgs- und Emlzustaml, .d e = ej> - es, so wirc1 bei den erlaubtell Uberg;tngeu die Abweichung .d e von del' Mitte Jes Auf­spaltungsbihles nach (4')

.d c = 0, -+:: 1 (norlllales Zeemantriplett).

\Vicbtig fUr das Folgendc ist, daB bier drei verscbiedene "Cber­gange, cntsprcchelltl o.en drei verschicdellen senkrechten Pf~iien, im Aufspaltungsbiltle ein und dieselbe n-Komponcnte in der Bildlllitte vernrsachen, nnd aueh die beiden 6-Kolllponentcn des norlllalen Tri­pletts bier Jrei vcrscbiedene Entstehuugsal'ten haben, clltsprecbend

Zeit.chrift far Pbysik. Ed. v. 16

133

134 ALFRED LANDE

234 A. Lande,

den drei recbtsgeneigtcn Pfeil en und den drei Iillksgeneigten PfeiIen in (5). Das ist eine Fol)!e del' Beziehung (4') zwischen Impuls 'lit und Energie e unter Vermittillug des einen stets gIeichen Faktors 9 = 1 Wir werden sehen, daJ.l iIU auomalen Zt1emaneffckt ein soIches Allf­einanderfalleu nicht mehr stattlilldet, sondern durch Ungiiltigkeit von 9 = 1 jeder Dbergallg (Pfeil) zu cineI' besonders sichtbaren Allf­spaltnngskolllpollentc fiihrt.

§ 3. Urn nun dill Strnktur I) der anomllIen ZeemanzerIegllngen quantentheoretisch zu beha1ll1tlln, wollen wir folgende Arbeitshypo­these aufstellen, die zwar fiir die formale Giiltigkeit nnsel'er Resultate bedeutungslos ist (man braueht iiberal! 8tatt QuantenzahIen einfach Zahleu zu sagen), fiir cine sptlziellcre Theorie tIes Effckts aber von Bedeutung sein kunn. Obige AuswahltageI B. geht namlich in das Auswahlprinzip N. fUr gekreuzte Elektroncnbahnen iiber, welln wir die hypothctischeu ninneren" Quantellzableu k (Tabello 1) ansprcchen ala die azimutalen Quantenzahlcu des Atoms als Ganzes in seiner invariablen Ebene (iIll Gcgensatz zu der "anJ.leren" azimntalen Quanten­zahl des eineu sprin)!end~n anJ.leren Elektrons). Existicrt nUll ein Feld H, so kann die Atomachse noeh verschiedene 'Vinkci @ mit dol' Feldl'ichtllng bilden. Bczeichnet man dtlmnach die Projektion des Impulsvoktors 7.: all£ die Fcldrichtung H als aquatorialen Impuls, so muJ.l die aqllatol'iale QlIantenzahl m gleich odeI' kleiner sein als die Quantcnzahl k

1'IIt[<k, (6)

und man el'wartet fiir 111 die obige Answahl- und Pol:1risationsregel C. von Rubinowicz und Bohr im lHagnetfelde.

Wiihrend jedoch die iibliohe raumliche Quantclllng im Magnct­felde ganzzahlige 'Verte fiir 111 aile in zulaJ.lt, muLl man sich hier (13e­griiudung in Teil II) mit rationalen Briiehen fiir m zufricdell' geben, die aber wegen C. im Abstande ± 1 aufeinanderfolgen miissen. Wegen der Symmetric von + nnd - fiir 'lit kommt deshalb aIs ein­zigc Folge gcbrochener Zahlen die Wertereihe:

1 'lit - -+-­- ~2'

'3 27.:-1 +- .... ±--~2' - 2

in Betraeht, neben der antleren Wertel'eihe

'lit = 0, ± 1, =-= 2, ± 3, ... ± k.

(7)

(7')

1) Die Forderung der ma!!neli.chen Aufspaltung. der 1'errne ist gestellt worden von 1'. v. Lohuizen, Arnst. Akad., Mai 1919. Siehe such J. Kroner!, Dissertation l\<Iiinchen 1920 und A. Sommerfeld. I. c.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

1921J Uber den anomalen Zeemaneffekt. 235

Wir werden sehen, daB die erst ere Alternative bei den Dnblett-, die letztere bei den Tl'iplett-Au£spaltung~bildern in Erscheinang tritt.

:\1it IIilfe von A., B., C. und (7), (7') 11i.Bt sich dann >.lie gan7.l' Mannigfaltigkeit del' kornpliziel'ten Zeemanzel'Iegungen beuerrsehen, wenn man noch den Propol·tionalitatsfaktor 9 [vgl. (4')] zwis"nen dem aquatorlalen Impuls m uud del' magnetischen StOrungsenergi,-, e keunt in del' Beziehung:

e=m.!J. (8)

Abel' :wch ohne Kenntnis del' Einzelwertc !J ist jetzt bereits die Anzahl der n- und o-Kornponcnten in jedclll Aufspaltungstyp be­stirnrnt auf Grund del' Quantcnzahleu n und k del' Taballe 1. Ver­stebt man z. B. unter g' den unbekanlltcn g-"\Vert fiir den Term ~

(n = 1, k = 1) lind g" fiir p, (n = 2, k = 2), so werden die magne­tischen Energienil'ealls fiir dieso Terme nach (7) [vgI. (5)]

~-"rerDl

p,-Terril. 3' " -2g

_1/2 [/

-'/2g" + ','29' + 1/2 y"

(5')

M::m bat also im Aufspaltungsbild del' Linie (!~ p,) X a - D2 -Linie zwei n-Komponenten [senkrechte Pfeile in (5')] bei ± (':2 g' - '2 g"), zwei o-KomjJonentcn (schr1i.ge Pfeile) bei ± ("29' - 3.'2 g") und zwei CI-Komponent,en bei ±('i2g' + '/2g").

§ 4. Diu Analyse del' Zeernanbilder fiibrt, wie wir nachher durch Syntbese bestatigen werden, zu foIgencler Berecbnungsart der Aufspaltungsfaktoren g. Wir woUen unter in den bei k = n vor­kommenden Maxirnalwert von m verstehen, also bei den

Ein£acblinien Dubletts Tripletts m=n m=(2n-1):2 »1=11

(Atomachse paraUul dem Felde, siebe Teil II) } (9)

Rei den Einiachlinientcrrnen, hei denen ja stets k = n ist, setzen wir danll

in.g =k, (10) woraus wegen (9) folgt:

9 = 1 (10')

[wie schon in (4') festgestellt, so daD (10) gerechtfertigt ist]. Es zeigt sich, daB bei den Dublettermen' ebenfaJls (10) gilt:

lVoraus wegen (9) folgt: iii,g = k, (11)

2k 0= 2n-1'

16*

(11')

135

136

236

mit den Einzlllwerten:

Term II

S 2 ' /1

A. Lande,

ALFRED LANDE

(11")

Es zeigt sich Jagegen bei den Triplettermell, daB hier das Pro­

dukt in. 9 nicht = kist, sondol'll je nach dem Term verschicdelle Wel'te hat, die in del' folgclldell Tabelle (12) zusammengestellt silld,

und aus del' sieh ill jedem Einzelf:llle der Faktor [l herechllet (12').

Flir k = n,

m.g = k+ I,

mit Jen Einzelwertell:

Term PI g 2/1 3 '

02

Aua (7), (7'), (11), (12)

k=n-l, 1

k + 1 + 1;=-1'

k = n-21 k

k+ ---I n-l

P3 d1 d. rls -, ----- - -- -;' 1

P9. I VI b2 /'3 II J % °/1 '/s 7/; 1/2 ! ("I.) (13ft,) (2jg) i, ,

(12)

(12')

folgt also, daB die SWrllngsonergioll e folgende -"'Vertruogliehkeiten 111. 9 bositzon:

I" 2

B 2

Tabelle 2.

I 111 I

8 I ±l ±2 ±3

o ±%

Diese Tahelle entspricht ganz dom, was Sommerfeld (\. c.) als ideale Forderung fiir oine Tabelle magnetiscber Energieniveaus

po~tuliert bat. Nur kommen bei den Triplett-d-Tcrruen noben dem X elmer 3 aucb die N cnner 2 und 6 VOl' [entgegen del' Aussage 1) des

1) Sommerfeld (I. c,) hat bel'eits durch Auwendung seines magneto­optischen Z.rleguugssatzes e,-kaunt, dall bei den Dubletts die Termnpnner 211-1, bei den Tripletts die Terwnenner II auftreten, und hat die •• Tatsache als ein .Zahlenmysterium" bezeichnet. nei uns ist dies eine Foige del' im Teil II zu begriiudendeu Gleichung Hi.1/ = k bzw. iii . .l1 = (Gl. 12). Speziell die drei Gesetze (12) werden wir illl TeillI als Anssclmitt aus einer grolleren Gesamtheit von Gesetzen erkennen, welche auch ,lie beim N eon auftretenden nenartigen Aufspaltuugen und die sogenannten Einfachterme beim Hg-Spektrum beherl·.chen, wobei aile dies. Gesetze rlurch eiue einheitlichc Forme! umfaOt wel'den, zu oer die Dublettaufspaltnngell mit gehoren.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 137

1921] Uber den anomalen Zeemaneflek!. 237

'P j-~ -~ ° + 3 + ~l I 2 ~ 2 2

1 1 f ds --0+-2 2

( d)1 (0) 1 (2) 3 5 I PI 3 t 2 f ( d )r~ - 1 _Jl

P3 3 I 2

138 ALFRED LAND~

238 A. Lande, [V/~

"Zahlenmysterinrus"'], eine Folge <lor z. T. gebrocbenen Werte yon ili.g in (12).

Die zu beobachtendcll m~gneti8chen Aufspaltungen de erhalt man daun al~ Differenz dor beiden e·\Verte des Anfangs. und End· terms, wah rend Znlas~igkeit und Polarisation der betreffenden Kom­ponente dureh C. geregelt ist.

In der folgen,lon Zus:\lll111enstellnng siud dementsprechend in der ersten Zeile die \Verte ,·on e = iii. g fur den En<lzustand, in der zweitcn Zeile fur den Anfullgszustalld hingeschrieben. Senkreeht unter­einander stehen will in (5) die Terme mit gleicher aquatorialer QlIanten­zahl 111; horizontalu Nacbbarn haben ein um ± 1 voncinander ab­weichendes Ill. )Ian <lonke sieh nun wie in (5) von der ersten Zeile zur zweiten Pfeilu gezeichnet, und zwar l. zwischen zwei senkrecht iibereinanderstehendell StclltJll (tJbergange mit :or-Polarisation) und 2. um 450 geneigte Pfeile zwischen je zwei Stellen, deren In sieh um + 1 bzw. -1 unterschei,lell (tJbergange mit O"-Polarisation). Die so erhaltenen tJbergallge goben nun in der Tat eindllutig unel liiekenlos aile beobaehtetell Aufspaltungsbilder wieder. Letztere sinel in der dritten Zeile angeschriebeu, und zwar die :or-Komponenton einge­klammert, die O"-Kolllponellten ohne Klammern. Diese Zahlen sind noch mit ± versehcn zu denken unel dllrch den Rungeschcn Xenner zu dividieren, der linter dem Bruchstriche steht. Z. B. gibt die Linie (t'jPI), d.i. die Na·D2 -Linie.

n· Komponelltell boi (+})-( +f) und (-})-( -;.) 0" - Komponcnten hei . t) , 6) (+T-(+lf und (-{-)-( -~) 0" - Komponenten bei (+})-( --}) lind (-})-( +i)

die man in der dritten Zeile wiederfimlet. Bei den Triplottlinien (SP2), (P2dS)' (Pld2) werden :or-Komponenten

in det· Bildmittc nicht btJobachtet. Bei den entsprechcnden nber­giingen (in dem Schema pllnktiert) bleibt auLler der inneren aqua­torialcn Quantouzahl tIl = 0 = m' allch die innere Quantcnzahl k ungeamlcrt, und wir mussen deshalb als Zusatz zu C. noeh verlangen;

C'. ubcrgiinge, hei dencn til = 0 nnd 71/'=0 nnd gleichzeitig k - k' = 0 ist. haben verschwinclende Intensitl.it.

Diese Zusatzrcg-ci wir,l ,·omKorrrspondenzprinzip gefordllrt (s.u. § 5). Zusammenfas"cnd k,;unen wir die Lage de der Zcemankomponcnten

bei den verschiedcnen Typen durch (13) durstellen:

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

1921] Uber den anomalen Zeemaneffekt.

Einfaehlinien Du blettli nien

k:::1I, n-1 bzw. k:=n=1

11::: 1, 2, ... 00 n= 1,2, ... 00

iii .g=1. m.g= k

C m-m'- { 0 (:rz:-Komponenten) . - ± 1 (0 - Komponenten)

Triplettlinien

1.=n, n-l, n-2 bzw. k=n=l

n= 1,2, ... 00

'iiI. g=Gl. (12)

I Lle=mg-m'g'

1 A. 11 - n' = + 1, - 1 B. Ie-k'::: 0, + 1, -1

C'. Die Kornbination k-k'::: 0, m = 0, m'= ° fiillt aus.

239

(13)

Einen bestimmten Zoemantyp orhiilt man boi festen n, n', k, k' durch Variation von m, m'.

Die ErkHirung der anomalen Zeemantypen ist also reduziert auf das Problem der anomalen Grundfaktoren g, die man nach (4) auf­fassen kann als scheinbar anoroale Werte von -jIL, siehe Teil Ill).

Auf Grund von (13) bz\\,. nach Analogie des Schemas S.237 kann man unter anderero folgende Voraussagen iiber bisher unbeobachtete

Til. belle 3.

C>-Se..) __ 12 __ ~(1=--8-,--) __ 2~ __ (30) 36 48 60 30

(1) (3) (0) 35 37 39 41 43 45

35

~1) (3) 27 29 31 33 35

(H)

(0) (1) (2) (3) 12, 13, _~~~!, 18 12

(0) 2 (5) 7 ----6----

(9) 12

1) Z. B. hat de ... '-Term del' Dubletts und Tripletts den Faktor 9 = 2, d. h. eine scheinbare Verdoppelung von el",. Damit hangt wohl das ganzlieb nnver­.tandliehe Ergebnis zusammen, dall die e/~, -Bestimmung ans dem magnetiseh­meehanischen Fun!\amento.leffekt von Einstein nnd de Haas (Verh. d. D. Phys. Ges. 17, 152, 1915) einen verc\oppelten el",-Wert ergibt. Vgl. S. J. Barnett, l'bys Rev. 11,239,1915; 10, 7, 1917; J. G. Stew"rt, Phys. Rev. 11,100,1918; Emil Deck, Ann. d. Phys. 60, 109, 1919.

139

140 ALFRED LANDE

240 A. Lande, [V,!

Zeemantypen mach en ; fiir die Aufspaltungsbilder der Bergmann­serien (db) und fiir Starks "diffuse Hauptserie" (sd). Von deu sechs Typen (bd) ist nul' der von (b, d, ) explizit hingeschrieben. Im Teil II folgen entsprechende Betrachtungen iiber das Spektrum VOIl

Hg und Ne.

§ 5. Hinsichtlich der Intensitaten bemerken wir, daG von den unzerspa!tenen !.inien (2) diejenigen die starkstoll sind [IIaliptlinien. in (2) unterstrichen], bei denen auGer del' Abnahme von n Ulll 1 aueh k lIlIl 1 abnimmt, daG dagegen die Unien, bei denen Te un­geandert bleibt oder um 1 zunirnmt, scbwacber sind (Satelliten). Diesen Tatbestand wiirde man nach dem Bohrschen Korresponden7.­prinzip erwarten, wenn man das aus gekreuzten I3ahnen best.ehonde Atom repr:isentiel't durch e i n Elektron, welches in der invaria blell Atomebene mit dem Kreisbahnradins c zirkuliert, und ein zweites Elektron, welches mit geringel'er Amplitude a axial schwingt (a < c).

Dasselbe Ersatzmodell im Magnetfeld (.p II z) mit der aqllatorialen Komponente m = k. cos@ hat dann als }Iittelwel'te der Amplituden x und z

parallel zum Feld z = c. si~ @ + a . cos @ \

- 1/1 + cos2 @ . f senkrecht zum Feld J; = C. i - -2-- + a . Sill @ (14)

Darans liest man nach Dohrs Korrespondenzprinzip ab: "Die Starke cineI' n-Komponente ist proportional zu z(@), die cineI' d-Kom­ponente zu x(@), wobei@ ein mittlerer Wert zwiscben den Neigungell @' und @" der Atomachse gegen die Feldrichtllng im Anfangs- und ElId­zustand ist." Da im allgemeinen c > a anzunchmen ist, also das c-Glied in (14) maGgebend ist, gilt qualitati\,; Diejenigcn n-Kompo­nenten sind die stal'ksten, dic bei q II e I' zum Feld gestellter Atom­achse entstehen; diejenigen d - Komponenten sind (lie starksten, boi deren Entstehung die Atomachse moglichst par a I I e I zum Feld zeigt. Oder auf das Schema S. 237 angewundt;

Ditljenigen n-Komponenten sind c1ie starksten, welchc dmch Pfeile in del' l\litte des Dbergangsschemas dargestclIt werden; die· jenigen d - Komponenten sind die starkstcn, wekhc dllrch Pfcile am rechtcn und linken Rande des Dbergangsschemtls dargcstcIlt werden. Nul' wenn Te' -Te" = 0 ist, muLl del' Ersatzstrahlor vel'schwindende zirklilare Amplitude c = 0 baben, so c1aG dann c1as a -Glied alleill maLlgebend ist und eine Umkehrung del' Abhangigkeit von @ eintritt. 1st daZll noch 1/1' = 0 = m" , d. h. @ = 900, so wird z = 0, wodllrcb die obige Zusatzl'egcl C' ihre Begl'iindnng find ct. Diose Folgerung

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

1921] Uber den anomalen Zeemaneffekt. 241

aus dem Korrespondenzprinzip bestatigt sich nun sehr gut, wie man clurch Vergleich mit den bei So m m e r£ e I d, 2. Aufl.. reproduzierten Figuren der verschiedeneu Zeemantypen sieht.

Zusammenfassuug. Die Quantentheorie des normaleu Zeeman­effekts (Sommerfeld, Debye) verlangt eine Reihe bestimmter Rich­tungen der Atomachsen gegen die magnetiscbe Feldricbtung (Quante­lung des aquatorialen Impulses). Da nun bei den Einfachlinien die aquatorialen Impulse mit den magnetiscben Energien durch einen einzigen konstanten Faktor zusammenbangen, entstehen bei allen erlaubten Impulsquantenspl'iingen stets wieder die gleicben Energie­spriinge (normales Triplett). Bei deu Dublett- und Triplettlinien hat dagegen jener Proportionalitatsfaktor bei den verschiedenen 'fermen verschiedene Eillzelwerte. Die erlaubtcu Impulsquanten­spriinge fiihren daher zu einer Reihe verscbiedener Energiespriinge, die in den anomalen Zeemanbilderll nebeneinander daliegend znr Beobacbtung gelangen. Jede beobachtete :It- und [l6-Komponente wird einem bestimlllten Cbergange der azilllutalell Quantel1zahl n, der "inneren" Quantel1zahl k und ibrer aquatorialell Komponente m zuge­ordnet. Ferner werden einige V oraussagen fiber die bisher nicht beobachteten Zeemantypen der Bergmannserie und Starks "diffuser Hauptserie" gemaeht. Das Problem des anomalen Zeemaneffekts ist dadurcb auf die Frage nacb der Herknnft dieses variablen Faktors zuriickgefiihrt, den man formal als anomalell <!/L-Wert auffassen kanll.

Frankfurt a.M., Institut fiir theoretische Physik.

141

142

398

PAPER29B

'Ober den anomalen Zeemaneffekt 1) (II. Teil). Von A.. Lande in Frankfurt a. lIL

(Eingegangen am 5. Oktober 1921.)

Inhalt: § 1. Zuriickfiihrung del' Dublettermzerlegungen auf eine modi­fizierte Larmol'pra,ession. § 2. Autbau del' Triplett· und Einfachtel'mzerlegungen aUs deDen del' Dubletts. § 3. Die aDomalen magnetomechanischen Effekte. § 4. Schlu.llbemerkungen.

N acbdem im Teil I die komplizierten Zeemantypen auf anomale Grnndfaktoren 9 =1= 1 reduziert waren, soil im foIgenden versucbt werden, die Anomalitat der 9 zuriickzufiihren auf eine Modifikation des Larmorscben Satzes iiber die Prazessionsbewegungen von Elek· troncnsystcmen im magnetiscben Fdd. Einen thcol'etiscben Grund fiir diese Modifikation konnen wir nicbt angeben. Wie bekannt, gelangt man aber bei Verwendung des Larmor~cben Satzes anch fiir bdicbig kornplizierte EI"ktronen8ysteme stets zum normalen Zeemantriplett, so daLl irgend eine Modifikation keinesfalls zu nmgehen ist. Dasselbe gilt fiir das anomale Ergebnis E: /L = 2 x Normal beirn Effekt von Barnett und beirn Einstein-de Haas·Effekt nach E. Beck. Unser Ziel ist, dic spczielle Form del' zu fordernden Modifikation aus den empirischcn Zeernantypen bzw. aus ihren Termen abzulesen und den Zusamrncn­hang mit den genannten magnetomechanischen Effckten aufzuzeigen.

§ 1. Nach dem Larmor schen Satz sind (a) aUe Elektronen­bewegungen im Magnetfeld H die gIeichen wic ohne Magnetfeld, falls man sic illl Magnetfeld bezieht auf ein Koordinatensystem, welches um die Feldrie.htung als Achse rotiert, und zwar (b) mit der Umlaufszahl

0= _s_.H (1) 4:n: C2 /L

(normale Larmorprazession). Diesen Satz kann man in seiner Teil­aussage (a) oder (b) modifizieren nach Annahme a oder b.

Annahme a:

Die normale Umlaufszahl 0 der Larmorprazession ist zu ersetzen durch die anomale Umlaufszahl 0 + .do.

Fiir Atome in den Dublettermznstanden (Quantenzablen k und n vgi. I, Tabelle 1) mull man speziell setzen:

~=+~. (2) o+L1o -2k

1) Teil I. ZS. f. Phys. 6, 231, 1921. Dort ist in Gl. (4') del' Druckfehler (')/(')0 = zu verbessern in e =. In Tab. 3 bei (sd2) ist (J = 12/6 zu erganzen.

Reprinted from Z. Phys. 5,398-405 (1921).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

A. Lande, Uber den anomalen Zeemane1l'ekt (II. Teil). 399

Das obere Vorzeichen soll dabei fUr die ~l-r.rerme mit k = n gelten (zu denen auoh der (I-Term gehort), das nntere Vorzeichen fur die ~'2-TerIlle mit k = n - 1.

Nach (2) wird boi den Dublettermen (k = n:+-1/2 -112) speziell

o+Llo 2k o = 2n-l'

Llo 1 - = +---- . o -2n-l

(3)

Wir fassen nun wie in Teil I die von Sommerfeld 1) als "innere" Quantenzahl eingefuhrte Zahl k auf als gesamte azirnutale Quanten­zahl des Atoms urn seine invariable Aehse (im Gegensatz zu der azimutalen Quantenzahl n des aullerstcn spektralen Elektrons).

Bei normaler Larmorprazession 0 wird dann, wie aus der Thcode des normalen r.rripletts bekanut, das Maximum der magne­tisehen Energie, gehi)rend zur Parallels tell ling von invariabler Atom­aehac lind Feldrichtung, bczogen auf o. h als Eiuhcit, gleich

Ii = 7v = n::l- 1/2-'/2 (4)

und allgemein bei schiefer Stellung (Winkel @ zwischen Feld und Atomaehse)

e=e.cos@, (5)

e gibt die Vcrmehrung der kinetischen Ato1llenergie durch die Pra­zession an, wah rend die potentiello Energie vom Feld unabhangig ist.

Nun lassen wir die normale Prazession 0 in die anomale Q +.do Ubergehen, wobei aber die maximale Energie E= eoh ihron Wert unverandert beibehalten solI.

Das ist, wegen del' urn LI 0 veril.nderten Prazessionszahl, nur lUoglich, wenn gleiehzeitig der Winkel @ von del' ParaUelstellung aus in den Wert ® tibergeht, entsprechend der Gleichullg

E= k.o.h = k.(o+Llo).h.cos@. (6)

Bd dem genannten Proy.e/3 mull demnaeh

o 0 2n-l cosl!<) = o+LI.o = ~ (7)

als aullorste Stellung statt der Parallelstellung resultieren. Die aqua­toriala Quantenzahl III des Atoms in dieser nellen aullersten Stellung ist dabei, da k die Ges!lmtimpulsqllantenzahl angibt, gleich

_ 2n-l m = k.eos@ = .. = n- 1!2' 2 ' (8)

Da wegen der Koppelung von Atom und Athel' naeh Rnbinowicz die aquatoriale Quantcnzahl III sieh nur urn ganze Einheiten andel'll

1) A. Sommerfeld, Anu. d. Phys. 68, 221, 1920. Atombau uud Spektral­linieu, 2. Autl., S. 541.

Zeitlchrlft fUr Physik. Bd, VII. 28

143

144 ALFRED LANDI!

400 A. Lande,

darf, erhiUt man fiir die moglichen Werte, ausgehend von dem Maxi­malwert in, die Reihe:

m=n- 1/ 2 , n-%, ... , 1/2, _1/2, ... , -(n-8/2)' -(n- 1/ 2), (9)

welcho in Teil I GI. (7) ohne Bogriindung eingefiihrt werden mullte, und die jetzt als Folge von (2) (6) [bzw. (2') (6') s. u.] erscheint.

Die zu (9) gehOrigen Stellungen der Atomachse im Feld sind wegen der von der Grolle der Larmorprazession unabhangigen Beziehung

cos@ = m:k (10) (k = gesamte azimutale Quantenzahl, m = aquatOl'iale Quantenzahl)

gegeben durch

_ n- 1!2 n- 3/ i 1/2 1/2 n- 8/ 2 n- I /2 I cos@--k-'-k-""k'-k''''--k-'--k-'(lO)

Die auf o. h als Einheit bezogcnen kinetischen Prazessionsenergien werden, wegen der von der Grolle der Larmorprazession unabhiingigen Beziehung e: e = cos @:cos @:

2n-3 -k· 2n~1' (11)

Wegen (10) konnen dabci nur diejenigen Wel'te e und m real auf­treten, boi dcnen

(12)

ist. Bei den {2,Termen mit k = n-l konnen z.E. aus diescm Grunde die Maximalwerte e und iii selbst nicht real in Erscheinung trcten, sondern haben nur als ideale Maximalwertc formale Bedeutung.

In (11), (9), (12) haben wir die magnctischen Aufspaltungen der Dublettermc, die sich in Teil I durch Analyse der empirischen Zcemantypell. ergaben, wiedergefunden. Man sicht auch sofort, dall cin "'2-'l'erm nicht existieren kann; denn fiir ihn sind wogon k = 0 iiberhaupt keine Stellungen cos @ nach (10') real moglich, boi bdiebig schwachelll Magnetfeld.

Beirn normalen Zeemaneffekt (0 h als Energieeinheit) ist dol' Quotient e:llI = g = 1. Beim anomalen Zeemancffekt [(o+.do).1; aIs Enel'giecinheit] ist der Quotient

g = e:m = (0 +- Llo):o, (13)

tl. h.: Die in Teil I auftretenden anomalen Aufspaltungs­fnktoren g zeigen nach A uffas8ung (a) das Verhliltnis (0 + .do): 0 der anomalen zur normalcn Prazession8zahl an.

Statt naeh Annahme (a) ein .do zur Larmorprazession 0 hinZll' zllfiigen, kann man auch 0 unverantiert lassen, dafiir aber einfiihl'cn die

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Uber den anomalen Zeemaneffekt (II. Teil). 401

Annahme b:

Das Atom erhalt eine Znsatzl'otation der UlIllaufszahl £1m um seine mit 0 prazessierende Achse, wobei £1m = const. cos@.

Beim Foucaultschen Pendel in verschiedenen Breiten @ (vom Pol ans gerechnet) ware co.nst = - 0, namlich £1m = - o. cos @, falls odie Umlanfszahl der Erde bedeutet. Hier dagegen bleiben aHe vorigen Betrachtnngen (a) unverAndert, wenn man das obige £10 anf­faJ3t als A bkiirzung fiir den Ausdrnck £1 m : cos @, also

(£1m)& = (£10) ... cos@. (13') Statt ans (2) (6) kann man (9) (11) (12) jetzt ableiten aus

£1m = +J.... 0-2k

E = koh = kh(ocos ® + £1m).

(2')

(6') Die verschobenen :n;-Komponenten der anomalen Zeemantypen weisen nach dem Analogieprinzip direkt auf eine solche Veriinderung £1 m der Periode m des Strahlers hin. Wir mochten deshalb der Auf­fassnng b vor der Auffassnng a den Vorzng geben.

§ 2. Die magnetische Aufspaltungsreihe der e (im Mall o. h) eines Spektralterms ist bestimmt', wenn gegeben sind die (idealen) Maximalwerte e nnd m und dazu die Gl'oJle k, welche nach (12) ge­wisse Werte von m nicht ;eal auftreten IaDt. Die Allfspaltllngsreihe heillt dann namlich (wie auch schon in Teil I benutzt):

und m = m, m -1, m - 2, ... - (m - 1), - m (14) e = m. 9 mit 9 = e: m I

mit del' Beschrankung m :<;;; k

Die Dnblettaufspaltungen sind z. B. nach obigem bestimmt durch

e=k, m=n- l /2 (k=n bzw. k=n-l). (15) Wir schreiben dies in del' nach (4) sachgemaJ3eren Form:

e= 1I±1/2- ' /2' m = 11- 1/2' (16) SpezieU fehlt der ~2-Term, d. h.

Ii = 1 + 1/2_1/2 tritt auf, (e = 1 - 1/2 _1/2 fehlt). (16')

Durch Addition und Snbtraktion von (16) (16') gelangt man nun zu folgendem Formelsystem:

e = (n±1/2 - 1/2) ±(1 + 1/2 - 1/2), iii = (1I- 1h)± (1- 1/2), (17) Wir fiigen noch folgendes ahnlich gebante Formelsystem hinzu:

Mit f= 11-1, '11-2, ... , 2,1,0 I sei e= (f+l;_1/2)±(1+;n- l 2)' "'=(f-12)+(1-1/~) (18)

28*

145

146 ALFRED LANDE

402 A. Lande,

Das sind wegen del' Vorzeichen + je vier Formeln, niimlich mit

a) + +, b) + -, c) - +, d) --. Sie fiihren zu folgenden Formeln fiir 9 = e: m

1 a) [/ = 1 + n' b) [I = 1,

1 a) 9 = 1 + fn' b) 9 = I,

fiir numerische Rechnungen geeigneten

c) 9 = 1,

0) 9 = 1,

1 d) g = 1- n _ r (17')

d) 9 = 1_~_1_. (18') (f -1) n

Wir behaupten nnn, daB (17) (IS) bzw. (17') (IS') gerade alIe Auf­spaltungsfaktoren 9 wiedergebcn, die zu einem Einfach-Triplett­seriensystem gehoren. [In Teil I, Gl. (12) kamen (17'a), (IS'a), (17' d) in anderer Schreibweise vor.]

Rechnet man niirnlich nach (17') (IS') aIle 9 ans, so erhiilt man die in Tabelle 4 zusammengestellten g-Werte; da jedesrnal del' Fall

Tabella 4.

~lli21314 II 2/, I % I % I % I)' 1 1 1 I 1

- 0/, '/2 I %

f~11 II % I % II, '%2 11-1 1 I 1 1

---I--i~ :: I :~~ n-21 i 11 I 1

I i-I Sf.

"-~II i ! I y,

Ta belle 5.

~ S (0) P 52 (I) 1J (2) Jj (3) , 8 (1) 111 ~5 (2) I ~ \19 (3) I b1 h; (4)

! - - Pa (0) d3 (2) b3 (2) --I I P2 ~4 (1) I d2 lJ6 \18 (2) I b2 (3) 11-1 ~3 (0) I lJ5 lJlO(2)

I --I lJ7 (1)

11-2 I I

~I! n- 3

11

I !{ I

I 1

1>. \12

(2)} (1)

1>11>3 (0) - -

I ~ (0)

(b) und (c) den gleichen Wert g, niimlich 9 = 1 ergibt, enthiilt jede Zelle del' Tabelle nul' drei Eintragungen. In den drei ersten Spalten fiir n = 1, 2, 3, finden sich in der Tat aIle beirn Hg und beim N e analysierteu Aufspaltungsfaktoren') wieder, wie mau ans del' zuge· ordneten Tabelle 5 sieht. Die "Einfachterme" des Hg sind dort mit S, P, D, ... , die "Tripletterme" des Hg mit s, PI> P2, Ps, dll d2,

ds ... bezeichnet; auch die Neon-Terme siud jn Paschens Bezeichnung angefiihl't, abel' mit deutschen Bnchstaben. Hinter die Termnamen sind in Tabelle 5 noah die empirisch bekannten Werte k in Klarnmern beigefiigt, welche mit den 9 zusammen die realen Aufspaltungsreihen

1) A. L8lld~, Phys. zs. 22, 417, 1921.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Uber den anomalen Zeemaneffekt (II. Teil). 403

beetimmen. Z. B. eieht man beim Vergleioh von Tabelle 4 und 5, dall der Hg-Term d. unel die Ne-Terme ~6 und ~8 die gleiche Term­aufepaltungsreihe e = 0, ±7/6, ±u/6 besitzen. Aucb die zugefiigten Zablen(k) zeigen eine gewieee, wenn auch nicht vollkommene Ordnung, woraus hervorgeht, dall das Scbema wobl nicht als endgiiltig zu be­trachten ist.

1m besonderen sind beim Hg die "Einfachterme" X durch (17 b, c), die "'rripletterme" Xl! X2, Xs duroh (17a), (18a)., (17d) dargestellt· Konseqllent ware also der s-Term als Sx zu bezeichnen, wiihrend fiir die empirisch fehlenden Terme S2 und Sa auch in der Tabelle kein Platz ist, d. h.: Ans (17) (18) folgt, da.ll es nur einen s-Term geben kann. Da der Wert g, = 1 von dem allgemeinen Formel­system (17) (18) mitumfallt wird, drangt sich die Anffassnng auf, daJl diese "Einfachterme" auch beim Hg, wie beim Ne, mit den ,,'rriplettermen" eine enge Einheit bilden, in welcher der Wel·t 9 = 1 als znfiUIiges Resnltat von Y ol,zeiohenvertauschungen keine wcsentlich bevorzugte Rolle spielt; dafiir spricht auch die Moglichkeit wecheel­seitiger Kombinationen von "Einfaoh"- mit" Triplettermen". 'Obrigens sind die beim Hg und Ne auftretenden "Einfachterme" ale "unecht" zu bezeichnen, weil bei ihnen k < n ist, im Gegellsatz zu den "eoh ten Einfachtermen" des Wasserstoffs, bei .welchem k mit n iibereinstimmt.

Eine Voraussage, wie die hoheren Terme des Neonspektrums iu die Spalte n = 4 von Tabelle 5 einzuordnen sind, ist eindeutig nur fiir den Term b~ (k = 4) und b6 (Ie = 0) moglich. Fiir die Berg­mannterme des Triplett-Hg-Spektrnms erwartet man dagegen, wie scbon in Teill, Gl. (11), (12') angedeutet, folgende Aufspaltungs­reihen (Tabelle 6), den en wir der Vollstandigkeit balber die Auf­epaitungsreihen der Dublett-Berg~annterme zufiigen. Denn nachdem die Bergmannterme der Tripletts durch Sal,lnders 1), die der Dubletts <lurch Meissner 2) isoliert sind, iet anch ibre magnetische Zerlegnng ins Bereich des Moglichen geriickt.

b1 /)2

Tabelle 6.

Dubletterme Tripletterme

H~ ± 1/2 1 ±% 1 ±% 1 ±l/g nl~ 01 ±1 1 ±2

1 ±3 IH

41 4 ± 4171 ± 1% I ± 2% I.t 2% h1 4f 4 .0 I ± i% l.±.lO/4,) ± 1bl4 \ ± 20;'. 4: 3 ±%I± %,±1%1 _ b2 4\ 8 o 1 ± 13/121 ± 26/ 12 ± 39/ 12 \ -I bs 4 2 O±%±%.- -

') F. A. Saunders, Astrophys. JOUl·n. 61, 23, 1920. 2) 'K. W. Meissner, Ann: d. Phys. 60, 378, 1921.

147

148 ALFRED LANDE

404 A. Lande,

§ 3. Von den magneto-mecbaniscben Effekten betracbten wir den eirifacheren von Barnett 1), der in folgender idealisierten Weise bescbrieben werden moge.

Wird ein diamagnetiscber Korper in mecbanische Drehung ver­setzt, so werden die mit dem Korper fest verbundenen Atomacbsen gegen den Raum eine Prazessionsbewegung ausfiihren, so daB der Korpel' Zll einem Magneten wird. Dieser Magnetismus muB aber aufgehoben werden dllrch ein del' mechanischen Drehachse paralleles Magnetfeld H von solcher Starke, daJl die mcchaniscb erzwungene Prazession dllrch eine entgegengesetztc magnetische Larmorsche Prazession riickgangig gemacbt wird. 1st 0 (lie mechanische Rotations­zahl, so ist der' absolute Betrag von H nach dem La rm orschen Satz ans der Gleichung

0=. _c __ •H 4:n:c2 r- (I)

zu bestimmeu. Das Experiment zeigt aber, daB bereits der ha I be Betrag der normal zu erwartenden Feldstarke den durch mechaniscbe Drehung erzeugten Magnetismus neutralisiert. Dies deuten wir so:

a) Die vom Feld H erzeugte Prazession bat nicht die Larmorscbe Umlaufszahl 0, sondern 0+.:10 = 2.0,

oder in der andel'll (vorzuziebenden) Auffassung:

b) AuBer der Larmorprazession 0 erzellgt das Feld noch eine Rotation .:1m = 0 • cos@ des Atoms um seine prazes­sierende Acbse (gleich aber mit entgegengesetztem Drehllngssinn wie beim Foucaultschen Pen del).

Gerade dieses Resultat erwartet man nun nach Ausweis des anomalen Zeemaneffekts fiir Atome im (I-Term- odeI' s-Termzustand. Denn das Verhaltnis (0+.:10):0 iet nach (13) (13') gleich dem Anf­spaltungsfaktor g, und g 'ist bei den B- mid s-Termen gleicb 2 (vgl. Anmerkung S. 239 in Teil 1). Entsprecbend bnn das Ergebnis des Einstein-de Haas-Effekts 2) nach den exakten Versllcben· von Beck B) gedeutet werden.

Es sei noch auf die Folgerung binge wiesen, daJl Korper, welche den S-Tel'mzustand (g = 1) als unerregten Ausgangszustand besitzen, einen normalen Barnett- und Einstein-de Haas-Effekt besitzen Bollten. Ferner BoUte in "starken" Feldern eine dem PaBcben-Back-Effekt

1) B. J. Barnett, Pbys. Rev. 6, 239, 1915; 10, 7, 1917. J. G. Stewart, Phys. Rev. 11, 100, 1918.

~) Einstein und de Haas, Verh. d. D. Phys. Ges. 17, 152, 1915. 3) E. Be.ck, Ann. d. Phys. 60, 1~9, 1919.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Dber den anomalen Zeemaneffekt (II. Teil). 405

analoge Verwandlung des anomalen in den normalen magnetomechani­schen Effekt eintreten.

§ 4. Wir stellen noch einmal die besonderen empirischen Tat­sachen zusammen, welche dUTch die Deutung von Sommerfelds "innet'er" Quantenzahl k als gesamte azimutale Quantenzahl des Atoms um seine invariable Achse (im Gegensatz zu del' azimutalen Quantenzahln des aullersten spektralen Elektrons) verstandlich wurden:

-a) Die Maximalenergie Ii = k bei den Dublettermen, d. h. Ii = n bei den ~I -Termen, Ii = 1'1 - 1 bei den ~2-Termen (vgl. II, § 1).

b) Die allgemeine Gleichnng m ~ k, welche das Fehlen del' idealen Maximalwerte Ii bei den ZerJegungen del' Terme k < n erklart (vgl. II, § I),

c) Die Zusatzregel (C') von Teil I, welche das Verschwinden del' 1t- Komponenten in del' Bildmitte bei den Kombinationen k' - k" = 0 verlaugt (vgl. I, § 5).

d) Die Zusatzregel (B') (vgl. Phys. ZS. 1. c.), welche die Kom­bination k' = 0 mit k" = 0 verbietet.

Die Begriinclung von (d) soIl hier naebg,holt werden: Man deuke sich den Dr9himpnls des Atoms dargesteIlt als axialen Vektor k parallel del' invariahlen Aehse des Atoms. Andert .i(,h k um ± 1 (k' -Tr/' = ± 1), so hleibt dabei die Riehtung von 7;' gieich del' von k" (weil keiue audere Riehtung im Raum aus­gezeichnet ist) und es wird nach Rubinowiez eine zirkuiare Welle mit k' //Tr/' als Symmetrieacbse ausgestrahlt. Andert sioh k urn 0 (k' - k" = 0), so wird nReb Rubinowicz eine lineare Welle parallel k' II k" poiarisiert ausgestrablt. 1st abel' in ietztel'em Fan k' = 0 und k" = 0, also beide Impuisvektoren k zu einem Pnnkt zn8ammengeschrumpft, so kann auch keine lineare Welle auftreten, weil .ie keine Ricbtung im Raume vorfindet, nReh del' sie ihre Polarisations­richtung orientieren k!lnnte.

Wollte man statt k etwa 1'1 ala Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl ansprechen, was ja wegen der Serienauswahlregel n' - n" = ± 1 nahe­liegt [aber auch fiir k gilt nach Sommerfeld eine AU8wahlregei k'-k" = 0, ±1], 80 wiirde die El'kIarung del' unter a), b), c), d) angefiihl'ten empirischen Tatsachen auf besondere Schwierigkeiten stollen. Ein weiteres Kriterium, ob k oder n den Gesamtimpuls dar­stellen, wiirden magnetische Messungen am Hg-Dampf geben, deBs en Grundterm 1,5 S die Wel'te k = 0 nnd n = 1 hat.

149

150 PAPER 30

Anorna!er Zeernaneffekt nnd Seriensysterne bei Ne nnd Hg.

Von A. Lande.

Inhalt: § I. Spektroskopische Aufspaltungs· regeln iIll Magnetfeld. § 2. Das Neonspektrum. § 3. Das Quecksilberspektrum.

§ I. Die quantentheoretisch begriindete Synthese der anomalen le:emantypen aus magnetischen Termen') la13t sich, unab­hangig von jeder theoretischen Deutung als spektroskopische Tatsache gefa13t, wie folgt dar­stellen. Die Schwingungszahl Vo einer Spektral· linie ist die Differenz zweier Terme 11' und 11". Durch ein magnetisches Feld wird jeder Term W fur sich in mehrere Einzelterme tV +Z, zerspaltcn, wobei die dem Feld H proportionalen lusatz­schwingungszahlen Z eine Anzahl verschiedener Werte annehmen. Eine bestimmte Aufspaltungs­linie (Parallel [.1lJ- oder Senkrecht [aJ-Komponente bei transversaler Beobachtung) hat also die Schwingungszahl

v = (W + Z) - (W' + Z') = = (W-W) +(Z -Z')=vo+Llv. Daher ist ihr Abstand LI v vom Ort der

unzerspaltenen Linie Llv = Z -Z·. (I')

Die fUr einen Term W charakteristische Reihe der magnetischen Aufspaltungsterme Z berechnet man auf folgende Weise. Jeder Term 11' wird in der Spektroskopie durch gewisse Buchstaben (s, p, d •. ) und Indizes (P" p" p, .. ) bezeichnet. Statt dessen charakterisieren wir ihn durch (zunachst zwei) ganze lahlen n und k (siehe die von Sommerfeld -) ubemommene lu­ordnung (Teil I Tabelle z) und behaupten:

I) A. Lande, Oher den anomalen Zeemaneffekt. Teil I. Zeitschr. f. Phys. 5, 231, 1921, zitiert aIs Teil I Dort ist in Gl (4') der Druckrehler wJWn = zu verbessern in t=. In Tab. 3 bei (sd2 ) ist G= 12/6 zu erganten.

2) A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 63, 221, I9:!O.

Reprinted from Phys. Z. 22,417--422 (1921).

lum Term n, k gehort die Wertereihe

Z ~ In· "'0 . g mit I m=o, ± I, ±2, ±3 ..... ±k bei Einfach· und Triplettermen, r m=±t, H, ±L .. ±(k-t)·

bei Dublettermen,

(2)

E H (2') 010 =--;; 4.7rC'

wobei

worin g eine unten noch naher Zll bestimmende Funktion von n und kist, und 010 den Ab~ stand der a·Komponente in Wellenzahlen von der Bildmitte im normalen leemantriplett bei der Feldstarke H angibt. Es wird also nil-ch (I') der Abstand LI v einer Komponente von der Bild­mitte im Mall roo:

Llvj"'o=m .g- m·· g'. Die s, p, d, . .. Terme besitzen der Reihe

nach die Zahlen n = I, 2, 3, .. , fur welche die ubliche Serienkombinationsregel gilt:

A) Es werden "nur die Terme kombiniert, bei denen n - n' = + 1 ist.

Fur die lahlen "-bzw. k' der beiden Terme gilt ferner nach Sommerfeld I. c. die Aus­wahlregel:

B) Es werden nur die Terme kombinicrt, bei denen k - k' = 0 oder = + I is!.

Wir erganzen dieseRegel durch den lusatz: B·) Die Kombination k = 0 ~ k' fallt aus. C) Es treten allein diejenigen 0- und .1l-Kom-

ponenten wirklich auf, bei denen 11Z ~ tn' = + I

ist (o-Komponenten), oder bei denen m-m' ~ 0

ist (.1l·Komponenten). C') Die Kombination m = m' bei k - k' = 0

fallt aus (Teil I § 5). Man konstruiert nach (")(2) die Lagen der

leemankomponenten LI v aus den Aufspaltungs­termen Z und Z' mit Hilfe des folgenden Schemas (3) (3')· Man schreibt zunachst die Wertereihe m . g und m' . g' der beiden Terme W und W' hin, gJeiche m untereinander (Beispiel Tabelle 3):

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Lande, Anomaler Zecmaneffekt u. ~eriensysteme bei N e u. H g. Physik. Zeitschr.XXll, 1921.

Einfach- und ,-kg,-(k--I)g,,,.,-Ig, 0, Ig,,,.,(k-I)g, kg Tripletterme 1 ""'k*' X X +~.j.X-I)<:X ,+,..- (3)

- g ,,,. ---lg,O, Ig, ... kg

Dttbletterme ,-(k-~)g, -(k-~)g,,,·,-tg, ,g, "., (k- i)g, (k-})g 1 1 -.., .j. X X.j. X + X X .j.'( . (3')

-(k-l)g',,,.,-}g', ~g', ,,_ (k'-t)g' I Bildet man nun in (3) (3') die Differenz

zwischen zwei Gliedern der ersten und zweiten Zeile, die durch einen senkrechten (bzw. 45 0

geneigten) Pfeil verbunden sind, m - 11" = 0

(bzw.m--m'=±I), 50 erhalt man nach (2) und (C) die Werte iJv/roo fiir die .7I'-Kompo­nenten (bzw. <i-Komponenten). Dabei ist (c') zu beachten. Wegen (B) falgt u. a. als Regel Hir die Anzahl der 50 erhaltenen Kampanenten:

a) Bei der magnetischen Aufspaltung einer Dublettlinie ist die Anzahl der .7I'-Kompo­nenten (d. i. die Anzahl der senkrechten Pfeile in (3')) doppelt so groil wie die k1einere der beiden Zahlen " und k'.

(1) Bei der magnetischen Aufspaltung einer Triplettlinie ist die Anzahl der .7I'-Kompo­nenten stets gleich k + k'. Doppelt so grail ist die Anzahl der a-Komponenten.

(1') Speziell ist im Faile ,,- k' = 0 cine .7I'-Komponente in der Bildmitte nicht var­handen (C).

Ferner sieht man aus (3) (3') sofort: 7) Die .1I'-Kampanenten folgen einander in

gleichen Abstanden L1 = g - g. Dasselbe gilt fiir die rechts und die links der Bild-. mitte liegenden Gruppen der G+Kompo­nenteD.

y') Dabei ist im Sonderfall (tI) eine .7I'-Kompo­nente in der Bildmitte erganzt zu denken.

Regeln ftir die relative Intensitat der ein­zelnen Kamponenten heiilen fiir k - k' t 0 [bz",. k-k'=o]:

6) Diejenigen Jl-Komponentcl1 sind die stark­sten [schwachsten], welche durch Pfeile in der Mitte des Obergangsschemas (3) (3') dargestellt werden; diejenigen a-Kampo­nenten sind die starksten [schwachsten], welche dUTch Pfeile am rechten und linken Rande des Obergangsschemas dargestellt werden.

Die Lag e der einzelnen Komponenten hangt nach von den \Verten der Faktoren g (k, n) ab. Bei den Dubletts fanden wir in Teil I die einfache Zusammensetzung g = k: (n-!) dieses Faktors, bei den Tripletts kompliziertere Funk­tionen (Teil I GI. 12). Letztere werden wir demnachst im Tell II zusammen mit denen der sogenannten Einfachterme zu einheidichen For­meln zusammenfassen. Die quantentheoretische Begrlindung obiger magnctooptischer Kombi-

nationsregeln und ihre Anwendung auf die Zerlegungen der vollstandigen Dubletts und Tripletts war im Teil I gegeben, mit Ausnahmc von (B'), deren Erklarnng noch aussteht_

Wir wollen jetzt fortschreiten zu dem ge­mischten System von Einfach- und Triplett­termen, wie es beim Hg-Spektrum und beim Ne-Spektrum vorliegt.

§ 2. F_ Paschen l ) hat nach Vorarbeiten von Watson') und Meiilner') auf Grund seines umfangreichen Beobachtungsmaterials fast samt­liche 800-900 Bogenlinien des Neonspektrums in ein System von Serien eingeordnet und in Terme aufgeliist. Er erhielt vier s-Termfolgen zehn po, vier s' - und acht d-Termfolgen. Dies~ kombinieren aber nur in begrenzter Auswahl. Zum Beispiel treten die zehn p-Termfolgen mit den vier s-Termfolgen nicht Zll 10>< 4 = 40, SOil'

dern nur zu 30 Hauptserien zusammen usw., in Analagie - zu Rydbergs Auswahl der "voll­standigen" Dubletts und Tripletts.

Die vorkommenden Serien sind in Pasch ens Tabelle IV zusammengestellt oder auch aus \V. Grotri ans ') iibersichtlicher graphischer Dar­stellung zu ersehen. Wir suchen nun in dieser Serienauswahl das Wirken desselben quanten­theoretischen Auswahlprinzips (B), das von Sommerfeld 5) zur Ordnung der vollstandigen Dubletts und Tripletts durch formaIe Einfiihrung "innerer/l Quantenzahlen angewendet wurde (siehe Teil I § I). Aus der Serienauswahl im N eonspektrum kann man durch einiges Probieren ruckwarts auf die "innere" Quantenzahl k jedes Terms schlieilen auf Grund von (B) (B') und gelangt so zu der in Fig. 1 gegebenen Zuord­nung. All dell linken Rand der horizontalen Linien sind die Zahlenwerte k angeschrieben, an den rechten Rand die zugehorigen Terme in P aschens Bezeichnung. Diese Zuordnung findet sich dann nachtraglich bestatigt, wenn wir gemafl (B) Pfeile zwischen je zwei hori­zontalen Linien ziehen, welche gleiches k oder

I) F. Paschen, Ann. d. Phys. 60, 405, 1919; 6S, 201, 1920.

2) H. E. Watson, Proc. Cambridge Phil. Soc. 16, 130, 1902. .

3) K. W. :MeiSner, Ann. d. Phys. 58, 333. 1919. 4) W. Grotrian, diese Zeitschr. 21,639. J920. 5) A. Sommerfeld, I. c. und auch: Atomba.u nnd

Spektrallinien, 2. Auflage, S. 540.

151

152 ALFRED LANDE

J'itysik.Zcitschr.XXII,11)2J. Land~. Allomaler Zeemalleffekt u. Scriensysteme bei Ne u. Eg.

3

, o

-

N~t)n.rj)flrtrvl1'J

• ,.-_f.!P6fJ. PzP,A

8 Pm

PI'.

J II Sf ~r J'~

S

/ldupIStWt'

Fig. I.

llm :±: I differierendes k besitzen. N ach (B") sind Dbergange zwischen k = 0 llnd k' = 0 aus­zulassen. Diese Pfeile geben dann in der Tat die beobachteten Serien richtig wieder, bis auf geringe Ausnahmen, die auch in dem Schema von Grotrian storend auftraten. Es sind nam­lich z:wei Linien schwacher lntensitat vorhanden, welche Paschen einer in das Schema nicht hineinpassenden Serie 2 p, - md, zuschreibt; es fehlen ferner in der Beobachtung die Serien­!inien 2p,-md,", 2p.-'-mdt, 2p,-md" 2P, - md" 2po - mst". Gegeniiber den tiber hundert Serien, die nach obiger Zuordnung k riehtig und vollstandig eintreffen, fallen jedoch diese 5 fehlenden nicht ins Gewieht. "Es ware aber wohl wiinschenswert, nach diesen fehlenden Serien noch einmal besonders Zll suchen" (Grotrian).

Aus der getroffenen Zuordnung k, indirekt also aus dem vollstandigen Schema der Kombi­nationsserien des Neons, konnen nun nach § I

cine Reihe von AU5sagen tiber die Zll erwartenden anomalen Zeemantypen der betreffenden Serien gemacht werden.

Zunachst ist auf Grund von {fll die Anzahl uer :Jr- und tJ·Komponenten ftir jede Term­kombination eindeutig angebbar. ZUlll Beispiel muG die Serie (s, P,) mit k = 2, k' = z im Magnetfeld 2 + 2 = 4 .1l·Komponenten und 4 rechte und 4 linke tJ-Komponenten zeigen. Wegen k = k' is! in der Bildmitte keine .7f-Komponente vorhanden «(/).

Die Einzelheiten des Zeemanbildcs hangen "on den charakteristischen Faktoren g und g' der beteiligten Terme abo Da aber derselbe Term mit seinem g in verschiedenen Kombi· nationen wiederkehrt, geniigt es, sein g aus einer dieser Kombinationen zn analysieren, urn dieses g bei der Bildung andrer Kombinationen verwenden zu konnen. Kennt man Z. B. den Wert g fiir einen Term {s. hat g= n und findet in dem Zeemanbild der Kombination dieses Terms mit einem andern den Abstand J zwischen je zwei tJ-Komponenten {die Serie (s, P.) hat im Zeemanbild den Abstand J = ! zwischen

je zwei ci-Kompo"entell), so ist wegen (7) soforl auch g' = g - J bekanl't (Ps hat g' = t -! = t) . Auf diese Weise gelangt man sukzessive dazu, aus wenigen exakt beobachteten Zeemantypen die g-Werte alIer Terme Zll analysieren nnd durch ihre wechselseitige Kombination die tibrigen Zeeman typen vorauszusagen oder unsicher be­obachtete Typell zu kontrollieren. Dabei kann stets das Schema (3') als sieherer Ftihrer be­nutzt werden bzw. die Regeln (fl) (f/) (7) und die Intensitatsregel (0').

Zum Beispiel sieht man einem von der Be­obachtung gelieferten Typ sofor! an, ob er einer Richtigstellung bedarf. Wenn etwa als Zeeman­typ von (P. 5,) angegeben wird: :Jr·Komponenten bei ± -t, :±:~, (I-Komponenten bei ± i, :±: t, ± if, :±: 1°/., so findet sich Regel (7) nieht erfUllt und fordert cine Korrektion des ja oft als un­sieher bezeichneten Versuchsergebnisses.

Auf dem angegebenen Wege gelangt man zur Tabelle I flir die magnetischen Auf­spaltungsreihen m·g (m=o, :!:I, :±:2, .. ±k) der verschiedenen Neonterme und durch Kom· bination nach (3') zu den siehtbaren Aufspal­tungsbildem in der Hauptserie (Tabelle 2). In Tabelle 2 sind die theoretischen Aufspaltungen und die experimentellen von Lohmann ' ) und Takamine und Yamada') zusammengestellt,

Tabelle I

fur m· g bei Neon.

Term I'iZI

.I'.i

1

o

.~s 0

o o o o o o o

o o o

±I

::f:3!2 :+:(;,2 + 3i~ +: 1-

und zwar bereits in der von Kronert b) auf die riehtigen R ungeschen Nenner und auf ganz­zahlige Zahler reduzierten Form.

Auch die relativen Intensitaten der :Jr- und a·Komponenten innerhalb eines Typs konnen nach Regel (O') angegeben werden.

Flir die Typen der I. N ebenserie konnen gemaB der Zuordnung k in Fig. I die Anzahl der :Jr. und (I-Komponenten nach (fl) (f/) eben-

I) W. Lohmann, Dissertation, Halle 1907. 2) Takamine u. Yamada, Proc. Tokyo Math. Phys.

Soc. 'I, 277, 1913-1914-3) J. Kronert, Dissertation, Miinchen 1920 (unge­

druckt); vgl. auch A. Sommerfeld 1. c. § 4.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

-l Lande, Anomaler Zeemaneffekt n. Seriensysteme bei Ne u. Hg. Physik.Zeitsch ... XXll,1921.

Tabelle 2.

Serie Theorie 1 Beobachtung

S2b

I I ~ S2PIO I .',f, "'LI I

.ftf:. I

) ,r:!!a saPIO

,r:! h. (0) 4 ~

3 3

·'·,17 (~ ~

3 3

s4Pl I (o~ 3 \ (~ .r~ P3 I 2 I 2

.sell (I) 8, 9 (I) 8, 9 ,:, -6- -6-

-'417 4 (51 9 4 IS) 9 -6- -6-

sl/'2 ~ (I) :l. 4

3 3

s2j7 ~~_t2, 3 ? 3

Abw!!ichende Reobachtungen von Loh. mann:

3) (I) (2) 6, 7, 8, 9 6

Die eingeklammerten Zi.ffern bedeutell n­Komponenten. Die Pfeile tiher den Ziffern sind in deT Richtung der theoretisch zu er­wartendenlntensiHitszunahme gezogen (Pfeil­spitze tiber der starksten (J- bzw. n.Kom. ponente).

fal1s exakt angegeben werden, die Einzelheiten der betreffenden Typen aber nur in einigen besonderen Fallen, da zur Analyse von g-Werten fiir die s('), d und dCi)-Terme nur wenig Material vorliegt 1).

Bemerkens\vert ist, daB die N eonterme $, jJ, d sich nach ihrer kleinsten Laufzahl 1,5; 2; 3 ebenso verhalten, wie auch beim H g die Terme s, jJ, d. Nach ihrer magnetischen Aufspaltung (TabeUe I) und nach ihren Zahlen k verhalten sie sich dagegen analog den Termen p, b, d des Hg.

Man kann gemaB Tabelle I dieverschiedenen Tcrme des N eonspektrums entsprechend ihrer

I) J. Kronert bemerkt 1. c., daB die von Franck nnd Hertz gemessene Ionisierungsspannung des Neon von 16 Volt einem Grundterm 1'= 130000 cm-I entspricbt, wah rend der grol3te optisch in Erscheinung tretende Serien. term (1,5 s:d v == 39 888 bat Das Neonspektrum hat also bereits "anieregte" ZusUinde als Grundbabnen.

Tabelle 2a.

Serie Theorie I Beobachtnng

~ - !) .r~h (01 (I) z~0 (0) (I) 2, 3, 4 s,",PIO

I

~-s2P4 (OU') 3, 4, __ 5 (0) (z) 6, 8, 9

3 6

I) +---

s2i'6 (0) (I) 6, 7, 8 (0) (I) 7, 8, 9 S,P, -·--6--

6

~ ~ s4b (0) (I) 7, 8, 9 (0) (I) 7, 8, 9 2)

6 6

+-- +--'~4hJ (0) (21 5, 7, 9 (0) (2) 6, 7, 9 .f4Ps 6 6

(0) Iz) 5, 7, 9 ---6--

~ -.f,,/:. (0) (I) 8, 9. 10 (0) [I) 8, 9, 10 6 6

+-- -s,p, (0) 4 (5) 9, '4 (0) 4 (5) 9. 14 --6--- --(,--

----)0 --+ <-S;'/4 (I) (z) 7. 8. 9, 10 (I) (z) 7. 8, 9. II "')

6 6

--+ --+ <-(l) (3) 6. 7. 9, 10 sJP6 (z) (4) 5, 7. 9, II

S5PS 6 6 (z) (4) 4, 7. 8 I[

6

+------~ ssi'9 (0) (I) (z) 6, 7, 8, 9, lOr (0) (I) (2) 6. 7. 8, 9, 10

6 6

magnetischen Aufspaltung einteilen in "Einfach· terme" mit g = I bzw. mit unbestimmten g (Ietzteres bei k = 0 und deshalb fehlender Term­aufspaltung) und "Tripletterrne" mit g ± I. Nach Tabelle I waren zu bezeichnen als

Einfachterme: s, s, P, p, P. P,., Tripletterme: S4 S5 P2 P7 P. P. P. p"

was auch Paschen I. c. S. 413 bemerkt.

Naeh Paschen besteht also das Neon­spektrum aus Serien kombiniert aus je zwei "Einfachtermen'.', Serien kombiniert aus je zwei "Triplettermen" und Serien aus einem Ein· fach- und einem Tripletterm kombiniert. Jedoch ist, wie in Teil II gezeigt werden so111 eine prinzipielle Unterscheidung zwischen "Einfach"· und "Triplett"-TlJ,rmen nach ihrer magnetischen Aufspaltung nicht wesentlich. Man kann nam­lich zeigen, daB alle Tripletterme, auch die beim Neon auftretenden neuartigen, zusammen

153

154 ALFRED LANDE

Physik.Zeitschr.XXII,1921. Lande, Anomaler Zeemaneffekt u. Seriensysteme bei Ne u. Hg.

mit den Einfachtermen In ihren Faktoren g einem einheitlichen Gesetz gehorchen, und daB der unter anderen resultierende Wert g = I neben gebrochenen g-Werten sachlich keinerlei bevor­zugte Rolle spielt

Diese Bemerkung gilt auch fUr das H g-Spek­trum, welches als Typus eines Einfach-Triplett­seriensystems besprochen werden soli').

§ 3. Das Hg-Spektrum wurdevon Paschen, Kayser und Runge, Eder und Valenta, Stiles, Miller 'aufgeliist in ein System von Einfachtermen 5, P, D, und Triplettermen S; p, P2 P.; d, d. d., die untereinander und wechsel­seitig kombinieren. In Fig. 2 sind diese Terme

Fig. 2.

2 -% 2 -¥, Z 0

1 1

mit niedrigster Laufzahl (z. B. 1,55) nach ihren Wellenzahlen " geordnet und als hori­zontale Grade dargestellt. An den rechten Rand der Graden sind die (nachtraglich zu bestatigenden Gesamtquanten-)Zahlen k angeschrieben, die bei der Serienauswahl (B) (B'), § I maBgebend sind. Weiter rechts stehen die magnetischen Auf­spaltungsfaktoren g (Teil I Tab. 2) bzw. g = I bei den Einfachtermen. Kombinationen sind zuge­lassen zwischen den Termen mit k - k' = + I oder = 0 (Auswahlregel B) unter AusschluB Von k = " = 0 (B'). Die Kombinationen sind durch Pfeile dargestellt mit angeschriebener Wellen­liinge .<. der betreffenden Spektrallinie.

Den Termen s und 5, P und P, d und D,.. sind der Reihe nach die (azimutalen Quanten-)Zahlen n = I, 2, 3, .. zugeordnet, ftir deren Anderung die Auswahlregel (A) gilt. Die von 1,55 ausgehenden zwei Pfeile sind die beiden A bsorptionslinien .<. = 2537 und .<. = 1849 des Hg. Sie sind Resonanzlinien,

I) Nachtrag bei der KorrektnT. Aus der Disser~ tation von Lohmann, die mir eest jetzt im Original zuganglich wird, crsche ich, daB die gemessenen Inten­siti ten bei den Nt-Aufspaltungen samtlich in voller Obereinstimmung mit den theoretischen Intensitaten (Tab. 2 a) steben. Da.durch wird die Intensitatsregel (4) uDd ihre .. quantentheoretische Ableitung (Teil I § s) von neuem gestutzt.

da von 2P. und von 2 P nUr der ganze Zurtick­sprung nach 1,55 miiglich ist Die Zustande 2P, und 2P. kiinnen dagegen wegen (B) und (B') weder von 1,55 erreicht werden noch nach 1,55 zUrtickfallen, sind also metastabil. Die Kombi­nationslinien (1,55 - 2P,) und (1,55 -2P.) sind verboten (1,55-2P.) ist erlaubt, (2P-2d,) ist wegen (B) verboten, (2 P - 3 d.) und (2P-3d.) erlaubt; (2P.-3D) ist verboten, ('P,-3D) und (2P.-3D) erlaubt, in Dber· einstimmung mit dem beobachteten Emissions­spektrum des Quecksilbers.

W. Miller') gibt als schwachen Zugleiter von (27. - 3d.) die Linie (27. - 3D) an. Man hat hier also einen Fall der Durchbrechung der Auswahlregel (B).

Aus dem vollstandigen Kombinationsschema des H g-Spektrums (Fig. 2). der Metastabilitat von p, und P. und der Resonanz von .<. = 2537 konnte also auf Grund von (B) (B') die Zuord· nung der Zahlen k zu den einzelnen Termen gewonnen bzw. nachtraglich bestatigt werden. Nachdem aber diese Zuordnung k festgestellt ist, konnen daraus theoretische Angaben tiber die zu erwartenden Zeemantypen der einzelnen Linien gemacht werden, zunachst tiber die An· zahl der :Jr- und a·Komponenten nach ({J) (fJ'), § I. Die Einzelheiten der Aufspaltungsbilder hangen noch von den g-Werten der Terme abo In Teil I Gl. (12') sinddieg-Werte fUr die Triplett­terme bereits analysiert; fUr die Einfachterme ist g = I zu nehmen. Daher kann man jetzt die Zeemantypen.ftir die gemischten Einfach­Triplettkombinationen voraussagen nach del Methode des § I Schema (3'). Man erwartet danach theoretisch aus den rechts in Fig. 2

angeschriebenen Aufspaltungsfaktoren g der Terme folgende Typen (Tabelle 3):

Tabelle 3.

(sP)~ •

Df-2-' o. 2\ P1. t -3i2 0 ',2 J

+-- +-­(p,DJ (0) (.) " 'c.1

2

P( -. o. } d'). - "I" - 7/e ° JIB 1'/6

+-- ----+ (d,F) (0) (.) 66• 7. 8

P{-' ? \ d, _1/. (, '12/

((f,P)~ 2

I) W. MiJler, Ann. d. Phys. 24, 105, 1907.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 155

6 Lande, Anomaler Zeemaneffekt u. Seriensysteme bei Ne u. Hg. Physik.Zeitschr.XXII, '92[,

Die Aufspaltungen von (P,D), (P,D), (PaD) sind bestiitigt durch W. Miller I. c., (d,P) durch Lohmann I. c., (SP,) durch Paschen'), auch hinsichtlich der Intensitiiten. Ober die Zero legungen von (sP) und (d.P) scheint experi· mentell nichts bekannt zu sein.

Zusammenfassung: In § , werden die friiheren Ergebnisse der quantentheoretischen Zeemantermanalyse als spektroskopische Kombinations-, Polarisations- und Inten­sitiitsregeln zusammengestellt. In § 2 und § 3 wird das vollstiindige Seriensystem von N e und Hg durch eine Auswahlregel geordnet, nach

J) F. Paschen, Ann. d. Phys. 85, 877, IqTI.

Art von Sommerfelds Auffassung der "voll· standigen" Dubletts nnd Tripletts, und aus der erhaltenen Ordnung mit Hilfe der Regeln des § I fiir jede Serie ihr Zeemantyp erhalten. Die Obereinstimmung mit der Erfahrung iiber Anzahl, Lage und Intensitat der Zeeman· komponenten bestatigt den Zusammenhang zwi· schen den magnetischen Aufspaltungstypen und den feldlosen Linienmultiplizitiiten, der friiher auf quantentheoretischer Grundlage entwickelt wurde.

Frankfurt a. M., Institut fiir theoret. Physik.

(Eingegangen 27. Juni 1921.)

156 PAPER 31

926 Lande: Cbsr den auomalen Zeemaneifekt.

1iber den anomalen Zeemaneffekt. Von A. Land., Fra"kfurt a. M.

A. Sommerfeld') u.nd E. B(J,I)/c') hahen in dieser ZeitschrLft cine Reihe von GesetzmiiBig­keiten aufgedeckt, welche die -kompHzierten Auf­spaltungstypen von Spektrallinien im magneti­schen Feld -beherrschen. Ieh ",ochte nun iLher eine Untersuchung') berichten, welche zuniichst aus ,den -empirischen Bildern der zerspaltenen Spektrallinien auf die Zerspaltung de, Spek­traZterme schlieDt und in den Termaufspal· tungen eine GesetzmiiBi,goceit findet, die RuBer­ordentlioh viel einfaeher ist ala etwa die von

pletts von lhr.r It-Komponente bei der obetre££en­den Feldstiirke ".,ben wiirden.

(a = 4,7 '10-' cm-1 GauD-I) Auf diesel-be Einheit wollen wir "uch die Auf­spaltungsgroBen .rer Terme -hez;ehen. Die TeDm­zerspaltungen ",onnen nun mit ehensolcher Sicher­-heit aus den Aufspaltungslinien analyeiert wel"d!en, wie iDJ ij·blicrher Weise die .gewohnlichen Serienterme ·aus den Spektrallinien. Das E~geb­ni~ ist in der folgenden Tab. 1 der Auf.paltungs­gropen (mit a 0.1. Einheit) fiir -die einzelnen Terme zusammengestelli. (Tabelle 1 slellt die en.dgiiItige Fas!JUlng der von Lohnizen auf.gestell­len Termzerspaltungetabellen dar.)

Ta.bella I.

Dubletterme

1-5j, -'I, _11, 11. s' " "'IYoI "

! 1 -Iii lit 1 I I I i

~1

I -'Is -'I, '/. '/S

I 2

I 2

p, _1/. ,/, I 2

b1 1-1'10-'-'" -'I, % '" 1%1 3

I 3

I b, -'Is -"'/5 % 6/5 2 B

I I I

Back bei d-en Liniefl. gefundene, 'lind die 8chlieBlich zu einer quantenthe01~etischen Deu­tung der Erscheinungen hinleitet. Man kann d.­nach fur jede Parallel- (It-) Komponente und jede Senkrecht- (0-) Komponente angeben, daB sie dem IT-bergang des At<Jms aUS einem bestimmten Quan1lenz.ustand, hei' besti,mm1.er Nei:gung dar in­variablen Ato.machse gagen di:e Feldriohtung, in einen a.rudern Qu.antenzuatand mit amrere,r be· stimmter Neigung ihre -Entstebung verdankt. Gleichzeitig wird .uch die relative Intensotat der JC- und a-Komponenten innerh.a1b eines Zeem,an­typs auf Grun<l einer einf.ehen Regel be­her.rscht, welche Meh dam Korrespondenzprinzip vora'Uszusehen 1st. Sohlie.Blich zeigt sich ein enger Zusammenhang ,des anoon'alen Zeeman­eifekte mit anoonalen ETgel>nissen, die dem opli­schen Gebiet rScheinhar fern IJ'egen, namlich den .magnelomechanischen Effekben VGn Barnett und v()n Einstein-de Haas nach den VeNuchen von E. Beck, welche eine soheinbare Ver.doppelung von Ell' zeigen.

§ 1. Das K ombinationsprinzip beim anomalen Zeeman.ffelet.

U m -die Entfern'llug einer Aufspaltungskmn­pommte von Ider Lage ·d.e.r unzerspaltenen Spek­tramnie (in Wellenzahlen gemessen) a.nzugeben, henutzt 'man "Is Einheit die Entfernut;lg a, _Iche die· beiden O'-Kompone.nten eines normalen Tri-

1) A. 8ommerfeld, "Die Naturw.n 1920, Hoeft 4, :t) E. Book) "Die Naturw.n 1921, Heft 12 undo 29. B) A Lande, Zs. f. Phy •• Bd. 5, S. 2~1. 1921, al.

T.il I. Teil II wsehei .. t demnlLchst. Ferner Phy •. z.. Bd. 22, B. 417, 1921.

Reprinted from Naturwiss. 9,926-928 (1921).

8

PI P2 p,

d1 do a,

Tripletterme

l=B -2 -I 0 I 2 3 IYoI" I -'11 0 '11 I I .'.\

I -'/, -'{, 0 '/. %

I 2

I 2

-'10 0 '" 1 2 0 0 I 2

1-12/s -'I. -,/, 0 'fa 'fa "/. I B

I

3 _14,'6 _7" 0 7/6 lit. 2 B

_11, 0 liz 1 3

Eine iihnliche Tachelle findet oioh fur die vielen Terme des von Paschen entwirrren N 80n­

Spektrums. Die Bedeutung der beigegehenen ZahleDJ m, fl., 1c wird unten erlii.utert.

A'U8 diesen Terma.ufspaltungen werden nun die AufspaitungebiLder der Linien in fo!gender Weise komhiniert. Es handle sich etw.a u.m eine Linde der Berie (j),. II,). Man schreibt [siebe das Schema (1)] die Term.uf.paltungsreihen der he­teillgten Terme llntereinander, und zw·ar ISO, daB Glieder mit gleichen m (vg1. oberste ZeUe der Tab. 1) senkrecht untereinander stehen. Dann ver­binde man je zwei Tel'!lIle, deren m sich urn 0 od'er ± 1 untersc.he~den, mitei,nander durch P£eile, welche angehen, -diaB <N" betraHenden Aufspai­tll·ngsterme mitein-ander kombiniert. wel'ld'en Bollen. Ibr" Differen~ -bestimmt die Enlfewung der kem­binierten .l't- ooer a-Komponente vom Ort der un­zerspaltenen Bpektrallinie. Gleioozeitig mit dieser Auswah! ist auch die Polarisation hestimmt naeh £<J!.gend"" Regel:

A. Es we.ruen nur die Aufspaltung.sterme kom­biniert, deren m sich Utm 0 oder urn ± 1 unterscheiden. 1m ersteren Faile [senk­"",hte Pfeile in dam Schema (1)1 enlsteben It-Komp<>nenten, im letzteren Faile [schrji.ge Piei,le] o-Komporrenten. "

PI -'I. -'io 'I. 61. JI'~X~X+X+~ .... (1

b1 _1'10 -% -,/, '" % "I. In dam angeiuhrten Bei:spielder Serienlinien

(jI,l,,) erhiilt men also

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 157

Lande: Vber den anomalen Zeemaneffekt. 927

.-t-Komponenton bei ± [6/S - ;l/[J 1 ± Fi3 - 'd/5J a-Komponenten bei ± [6/, - 15/,:, ± ['/3 - 9j,J

±[-'I,-'/,]' ±[-'Is+'/,J im ganzcn also f0]genden Aufspaltungstyp: -21, -19, -17, -15, (-3) (-1) (1) (3), 15,17,19,21

---15--'-

(Die It-Komponenten Isind eingeklammert.)

E'hellSo kann ma,lll sich ·auch samtliche u,urigen Allfspaltungstypen allis Tab. 1 nach dem Muster des Schema (1) selbst l'ekonstru.ieren. 'Del' Zeeman­typ von (03 tJ2), Na - Dl -I.iniC', ist z: B.

-=4,j-:;_21...~ 1 D.ie rechts in Tab. 1 zu jed'em Tel"In ,ange­

schriebene Zahl lc .gibt ·an, in w~eviele positive (die 0 nicht mit.gerechnet) Aufspaltull/l'sglieder del" T,erm ,im M'agnetfeld zerspalten \Vir<!.

,~rir konnen nun ,aueh die allgemeine Hegel angAb-elJ, u.::tch ,del' die relativen Intens-itaten der :t- U'nd a-Komponenten inneThalh -eines Zee'man­typs sich richten:

B. BeL del' Kombination zweiel' Terme mit ·verschiedenen k sind d,iejeni.gen 7t-Kompo­nenten die sUirkst-ell, welche dul'ch senk­rechte thergangspfei1e in der Mitte des Schemas (1) dargestellt ·sind, diejenigen o-Komponenten sind die stiirksten, welche dUTch schrage Pfaile a'm l'echten 'und lin­ken Rflude des tttbergangs;schemas ,dar.ge­stel1t sind.

Bei ,der Kombination z\veier Terme mit gleichen 7c ist da,s \\T ort "starksten" durch "schwlichsten" zu ers£'tzen, spezi-ell ha'bctl, d,ann .1t-Komponenten in ·der Bildmitte 80-

,gar Idie Intcnsitat O.

§ 2. Reduzie'rung der Aufspaltttngsreihen auf G-rundfaldoren und deren GeseizmiifJigkeUen.

Die Tah. 1 stellt das ,empi6sche M,ateri:al der Termaufspaltungen dar, in welchem GesetzmaBig­keiten zu Hnden jet'zt nicht schwer ist. Bezeich­net 'man ,die A'uf:;paltungs-gr6fhm del' Tah. 1 mit e, ,go sierht man, ,daB sie Vielfache €'ines fur den Term .ch:makteristischen GrundfaldoTS g sind, a,118

dem dUI'ch Multiplikation m,it den Z,ahlen m die Einz.elwerte e entstehen nach der Formel:

e=m-g, ms,k _ (2

1- -±'I '/ ~-=1 b - l m - 2' ± 2'" ± 2 - e1 den Dubletts

_m=O,±l,±2 .. ,±k "" Trip~etts_1 Dadurch redu'ziert 8ioh die Tab_ 1 aui folgendc kle,iu'8'l'e Tab. 2 Iur ,die Grun:dfaktorcn g:

Bejgefiigt sind zu jed'em Terill -die fUr ihn chal"ak­teri.stische Z,ah1 k, welClhe wegen m:S. k dje An­zahl der Aufspaltungsglieder e beschrankt, und die Zahl n, welehe 'den Termchal'aktel' festlegt (die s-Te1'me haben n = 1, die p-Tcrme haben n = 2, die d-Terme n = 3 llSW.) und fii,y welche die Ser~e'nkombinationsregel gilt (ohne M.agn(lt­feld) :

C. Es werden nur die Terme komb-iniert) deren n sich um ± 1 unlerscheiden.

(Diese Regel g;bt das Seriensehema: Haupt­berie, 1. NeoensC'l'ie usw.) Die Z'ahl khat UU'll)

auBel" ihrer Bedeutung fur die Anzahl der ma:gne­tischen Aufspaltungsterrne (m, :s; k) noch folgend'e Bedeutu.ng: Sie finde!:. ,sich -identi.sch mit der von Sommerfeld ein.gefuhrten "inneren" Quanten­zahZ jedes Terms, wdehe die AU'swahl der sog . . ,Y,ollstan,digenH DuLlett.s und Tripletts bestimmt durch ·die Auswab hegel:

D. Es werden nnr dif'. Terme miteinander kom­biniert. deren k s/:ch um 0 oder ± 1 1mter­scheiden.

D'. Speziell sind Obergo11ge k = 0 1'n lc' = 0 rel'boten.

Z. B. gibt Os naeh Tab. 2 we·gen (D) wohl die Komhinationcn

(~I 01)' !p, 0,)' (PI 0,), aber nicht (p, 0,). Naohcllem .die Tab. 1 Idel' AufspaJtungsg1'oBen

auf die Tab. 2 der Grundfaktoren g roouziert ist [.alIe Zeomantypen konnen also jetzt mit Hilfe del' einen Ta-belle 2 auf Grund der Ausw,ahl- und Po­lar.is'ationsTPge1 A und (2) konstruiert werden), bleiht .llJoch ub1'i.g, a'Uch nnch die g selbst 'auf cine einfaehe Formel zu 'bringen, die- fiiY jeden d1urch 7..; und n festgelegten (unzerspaltenen) Term seinen magnetischen Aufspaltungsfaktor g 00-rcohnen 1a13t. Bei den Dublettl1~nientermen sieht man allS Tab. 2 so fort, da.B g durc:r~ .die ein­faclhe Formel ,d-argestellt, wird:

9 = k: (n _1/2) bei den Dublettermen ... (3

Bei den Einfachlinieniermen, die untereinan.der kombiniert zum normalen Zeemantriplett fiihrelli, isL in norma1er ''leise

g = 1 bei Einfachlinientermen . . . (31

wahl' end die BestimmutllgsgleiClhu1J;g fiir 9 'bei den Triplettermen und bei denen d'es N e01Vspe!ktl'ums etwa,s veTwicke lte1'en, 3'be1' ebenfalls gesetzmaBigen nall! zeigt.

Damit .sind die ernpirischen Geseizma/Jigkeiten, die den Bau der anomalen Zeemantypen heherr­schen, erschopft. Die groB.e Ver€linfachung, die dureh die AI1.lyse der Auispaltungsterme ge­wonnen ist, im Vergleich zu' den von Back 1. c·

T abeIle 2.

Dubletterme ,Tripletterme

01 b, PI p, p, d l d, d,

9 21I " ., 'I, 'II 'I, " 12 011 '/, 'Is liz k 1 3 2 1 2 1 0 3 2 1 n 3 1 2 2 3 3 3

158 ALFRED LANDE

928 Besprechungen.

hehandelten Gesetzma.Bigkeiten der sichtbaren Aufspwltungslinien ist augenfii11ig, besonders da hier auch nooh die Intensitiiten duroh die Regel B mit beherrs'~ht werden.

n,berdi~ ko.nnen auch die Zeemantypen neuer Komoonations,serien mit Einschlu.B der Intensi­tawn nach dem Muswr des Schema's (1) voraus­gesagt wenten. In der Tat hahen Paschen und Back, wie ich hore, bei neu von in-uen entdeckten Kombinationslinien ,ger,adeille nach Schema 1 zu erwartenden neuartigen Zeema-ntypen gefunden.

§ 3. Quantentheoretischc Deutung. Theoretisch erhebt sich nun die Fr-age, woher

die anomaJen Termzer,spaltUiDgen (,ge:brochene Werte d", Grunrlfakt(>ren .q an Stelle von g = 1 bei den Einfachterrnen) ihren U rsprung hnhcn und weshalb die A uswahlregeln A, 0, D und die Intensitiitsregel B gilt. Einen Teil der Antwort girbt die Quantentheorie, speziell Bohrs Deutung der .spektralterme als Ener.gieniveaus. Die Zer· spaltung eines Ter-ms zeigt afr, daB ein und der­!Selbe Atomzustand verschiedene Z usatzenergien im Magnetfeld erhalten kann, entsprechend de-m Winkel E>, welchen ,die inrv'a:nia:ble Atomaohse mit der Feldrichtung ,bilde!. Durch das Magnetfeld wire llamlich die Achse des Atoms, w-elehe ohne Fe1d im Ral1m nach -einer f.esten Richtung zeigt, zu einer Priizes.sionsbewegurug urn ,die Feldrich­tung gezwungen, ner,art, ,dlaE dabei de-r Winkel e dauemd dersclbe bleibt. Die W:inkelgeschwindig­keit '{lieser Praze'ssion ist d.ahei ,nach 'einem von Larmor hewiesenen ,Satze igloeich

ro=02:cH. . (4

[€ und ~ = Elektronellladung und -ma<;se 1

c == Lichtgeschwindigkeit, H = Feldstarke und die zUlgehorige m:agnetische ZU8'atz.energie ist

E =0 g m roh/2,. (mitg =0 1), .... (5

worin m die aquatoriale QuantBnzahZ bedeutet, we-Iehe man durch MultipHka-tion mit cos e aus der ,gesamten azimutalen lmvu1squantenZlahl -d'es Atoms erhalt. Die aqnato.d,ale Q.uantenzahl m wir.d nun mit der in T,ah. 1 'auftretend'en. Z.ahl m ildientifiziert, wdd'llrch si()h nach Bohr und Rubino­wicz die Gliltig.keit der Auswahl- und: Polarisa­tiO'ns·regel A el'kHirt. Ferner wird die in Ta:b. 1 auftretend·e Zahl. k, welche wir mit Sommerfelds "inn-erer" Quantenzahl identisc:h ianden, auf­gefafit ,a1s die gesamte azim,utale Quantenzahl "It des Atoms, so ,dall <lie ra.umliche Orientierung dnes Atornzustand·es (der sich optisch als Auf­spaltung.s:te.I"m e bemerlOOar macht) gegeben: ist durch 7c und m zu:

m=okcos6 . .. . •.. (6 w·oraus sich Idie ob€n empirisch g-e£undene (2) Beziehung m ~ k er,klart. Die- Auswahlregel D' fur k, nehl'll mchr'crell landeren Einzelheiten der Zeemantypen, legt -ebenfalls die Aufiassung naihe, daB k die .gesamte Drehimpulsquantenzahl s-ei.

Die schwierigste Fraga ist die, w-arum die Grund£aktQren g nioht wi<> in (5) g = 1, sondern im allgemeinen (Tab. 2) gebrochene Zahlen sind. Dena auch ffu ,belie big komplizierte Elektronen­'Systeme gelangt man ber Anwendung de·s Lal'ID-or­.s'chen ISatzes stets zu 9 == 1 und d:amit zum nOT­

malen Zeemantriplett. E.ine ModiHkation dieses Hatzes ist also Ik-einesfalls zu umgehe-n. DM&elbe gilt wegen des auomalen Ergebnisses bei den ma~ gnetomechanischen FundamentaleHekten von Bar­nett unci von Einstein-de Haas? welche nsch den €xakten Vers"Uchen von E. Back eine ,scheinbare V f:!Taoppelung des Wertes E/,!- zeigen. Aufga:be einer kunfrigen Theorie ist 8S, die jed'en£allsnotige Modi£ikatioll in einer speziellen Form oQ'USZU­

sprechen, welche den anom-alenl IDrugnetom'echanl¥ schen Effekt und den Paschen-BaclceHekt mit­umfallt.

PAPER 33

353

Zur Theorie der anomalen Zeeman- und magneto-mechanischen Effekte.

Von A. Lande in Titbingen.

Mit zwei Abbildungen. (Eingegangen am 16. September 1922.)

Die Theorie des anomalen Zeemaneffekts und seiner Verwand­lung in den Paschen-Back-Effekt ist in einer bedeutsamen Unter-8uchung von W. Heisenberg 1) auf wenige Grundannahmen iiber den quantenmal3igen Aufbau der Atome und ihr Verhalten im aufieren Magnetfeld zuriickgefiihrt worden. Freilich schein en diese Grund­annahmen: a) halbzahlige Quantenaufteilung zwischen Atomhiille und Atomrumpf2), b) Unwirk~amkeit des Rumpfimpulses bei der raum­lichen Quantelung im Magnetfeld 3), c) Einstellung der Rnmpfimpuls­achse in die Resultante von aufierem und innerem Feld 4) nicht ohne weiteres verein bar mit den allgemeiuen Prinzipien, die bei der Ver­kniipfung von Mechanik, Elektrodynamik und Quantentheorie bisher gewohnt waren und welche auch in der neuen systematischen Atom­bautheorie von B 0 h r 6) benutzt werden. J edoch gelangt man bei naherer Beschaftigung mit dem Problem der magnetischen Linien­aufspaltung trotz aller Bedenken stets wieder zu del' Dberzeugung, dafi die Zeemantypen mit ihrer tiefgehenden Symmetrie der Term­anfspaltungen bereits von formalen wie auch von modellmaJ3igen Gesichtspunkten aus kaum wesentlich anders als nach Heisenberg

1) W. Heisen berg, Zur Quantentheol'ie del' Linienstl'uktur und del' ano­malen Zeamaneffekte, ZS. f. Pbys. 8, 273,1922. Vgl. aueh A. Sommerfeld, Atombau und Spektral1inien, 3. Autl., S. 494 ff.

2) Obwobl del' Dl'ehimpuls des Rumpfs fiil' sieb und del' des Lencbtelek­trons fiir sieb nul' im Zeitmittel halbzablig sein soil, bei dauernd ganzzabligem Gesamtdrehimpuls des Atoms, witrde bei allmii.blicbem Abtrennen des Leucbt­elektrons und immer sebwacher ·wel'dender Wecbselwirkung schlielllieb der Rnmpf mit dauernd balbzabligem Impuls zuriickbleiben konnen.

3) Dadul'ch ergibt sicb zugleicb ein Widersprucb zur Impulskoppelung von Atom- und Atberimpu!s (Rubinowicz), gegen den auch Heisenberg" aritb­metiscbe Mittelung iiber die amgestrahlten Impulse (I. c., S.281) nicht hilft wagen del' varia bIen Intensitii.tsverbiiltnisse der Mebrfacblinien. Kann docb z. B. nacb Wood reine D 1-Linienresonanz erzeugt werden bei feblendem D2•

<) Nacb dem mechaniscb begl'iindeten L Rl'morscben Sat'; diirfte keine solcbe Einstellung stattfinden, sondern nnr eine Prazession Um die iiullere Feld­ricbtung unter Beibebaltung del' Einstelluog im inneren Feld.

6) N. Bobr, Drei Aufsiitze itber Spektren und Atombau. Braunschweig, Friedr. Vieweg & Sobn A.-G., 1922. Siehe dort besonders die Bemerkungen zu Heisenbergs Them'ie S.98.

Reprinted from Z. Phys. 11,353--363 (1922).

159

160 ALFRED LANDE

354 A. Lande,

gedeutet werden kiinnen. Z. B. ist die formale Symmetrie zwischen zwei zusammengehorigen Dublettermen ~1 nnd ~2' deren Aufspaltungs· formeln [s. unten Gl. (6)] nur durch eine Vorzeichenvertauschung ± auseinander hervorgehen, nach Heisenberg auf zwei symmetrische Lagen der sich offen bar irgendwie anomal verhaltcnden Rumpfachse gegen die invariable Atomachse zuriickzufiihren. Nach Bohr (Vor· triige in Gottingen, Juni 1922) solI dagegen beirn ~/rerm die Rumpf. achse parallel, beim !"2·Term gekreuzt zur invariablen Atomachse stehen, eine V orstellung, die meines Erachtens von vornherein zu einem modellmiiLligen Verstiindnis der erwahnten Symmetrie nicht geeignet sein diirftc.

Bei dieser Sachlage solI im folgenden versucht werden, den Inhalt der Heisen bergschen TheOl'ie dadurch fester zu begriinden, daLl die yom Standpunkt der normalen Anschauungen allgreifbaren Postulate (a), (b), (c) alB notwendige Folgerungen aus einer Grundannahme iiber die Kinematik des Rumpfes dargestellt werden, zu deren An­erkennung das empirische Material un mittel bar zu zwingen scheint, besonders auf Grund des Analogieprinzips zwischen klassischer und Quantenausstrablung. Nach dem Analogieprinzip kann man nam­Hch aus den empirischen Zeeman-Typen und Paschen-Back-Ver­wandlungen direkt ablesen, welche Art von Anomalitat die Be­wegungen des Leucbtelektrons zeigen (§ I). Del' ScbluLl auf die verursachenden "anornalen" Kriifte ist dann nicht rnehr schwer (§ 2) und fiihrt weiterhin zurn Ursprung dieser Krafte einerseits, zu Auf· schliis~en iiber den Atombau audererseits (§ 3), und zwar wieder zu Heisen bergs Vorstellungen, welche damit ihre kinematiscbe und quantentheoretiscbe Begriindnng erfabren.

§ 1. Wir bescbranken uns zunachst anf schwaches auLleres Feld und betracbten nur die Zeemantypen der folgenden Serien bei den Dublettlinienatomen:

(~P,) (P, 0, ) (P2 O2)

(01 V,) ... (0. V2) ..•

bei denen asymptotiscbe Annaberung an die klassische Ausstrahlullg 1) zn erwarten ist, weil bei ibnen eine Qnantenzahl k um L1 k _ 1 springt, wobei lim L1 k/k = 0 ist.

Die Aufspaltungen dieser Serienlinien, etwa die von (P, 01) und (P2b2) [siebe Gl. (1)] konnen au£gefaLlt werden als aufgebaut ans

1) Bei den Kombinationen eines !l-Terms mit einem !.-Term, die mit einem Umschnappen der Rumpfstellnng verbunden sind, ist keine Analogi. zu erwarten, weil die Rumpforientierungs - Quantenzahl nicht asymptotiseh gegen Unendlieh strebt.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Zur Theorie der anornalen Zeeman- und rnagneto-mechanischen Effekte_ 355

mehreren ineinandergestellten Teiltripletts, bestehend ans je einer It-l{omponente umgeben von zwei (j-l{ompouenten, in Gl. (1) an­gedentet durch (j - (n) - 6. Charakteristisch fiir diese Teiltripletts ist, daB 1. ihre Spannweite nicht die eines normalen Lorentzschen Tri­pletts ist; 2. ihre Mitten (n- Komponenten) gegen die feldlose Bild­mitte verschoben sind.

f - 21/15----(- 31,5) ----- + '5/15

(I) -19/15 -----(-'/'5) +'7/15

V'11 -17/15 (+'/'5).. +19/15 - 15/15 ---- (+ 31,5) ----- + 21/'5 ( I)

- '3/15 - .. ----- (- '/15 ) ----- + 11/15

_11/15 - - --- (+ '/16) + 13/15

Zusammenfassend ergibt sich nun aus den Beobachtungen (bei den Bergmannserien durch Extrapolation) folgellde Tabelle 1 fur die Verschiebungen der Tciltriplettmittcn und fur ihre innerhalb eines Zeemantyps konstantcn Spannweiten. (Die Spannweite (n) - (j des normalen Tripletts ist gleich 1 gesetzt.)

Tabelle 1.

Serie II I 1 + dolo : J 6)/0 == Verschiebungen == Sp:.umweite

(~~,) ± '/3 1 + '/3 (\JI 01) ± '/5, ± 1/15 1 + '15 (01 b,) ± 1/7• ±~%5. ± '/35 1 + 1/7

(\121>2) r+= 11s1, += '/'5 1 - '/5 (02 b2) l += '/7]' + %5. += '/35 1 - '/7

(Die Teiltripletts, die zu den eingeklammerten Verschiebungen bei deu (~2l)2)-Typen gehoren, sind nicht beobachtet, sondern haben verschwindende Intensitat.]

Dieser Aufbau eines Zeemantyps aus verschobenen und gedehnten Teiltripletts wiirde nun zunachst bei Annahme klassischer Aus­strablung des umlauf end en Leucbtelektrons folgende Bewegungen anzeigen: Jedes besondere Teiltriplett entspricht einer Rotation des Leucbtelektrons in seiner Bahn und uberlagerter Prazession der Babn­ebene um die Feldricbtung bei einer besonderen N eigung .a- zwiscben Babnnormale und Magnetfeld. Die anomale Spannweite des Teil­tripletts zeigt aber, daB nicht die nacb der gewobnlicben Tbeorie 1) zu

1) P. Debye, Gottinger Nachr., 3. Juni 1916. A_ Sommerfeld, Phys. ZS. 11. 491, 1916.

161

162 ALFRED LANDE

356 A. Lande,

erwartende normale Larmor-Priizession c, sondern eine modi6zierte Priizession der Frequeuz c + .d 0 urn die Feldrichtung statt611det. Die Verschiebung der :n:-Komponenten des Teiltripletts zeigt ferner an, daLl aullerdem die feldlose Umlaufsfrequenz W des Leuchtelektrons sich in eine U mlaufsfrequenz W + .d W verwandelt hat. Die Werte dol' Tabelle 1 ge ben die entspreche:cden Verhiiltniszahlen .d W /0 und (0 +.d 0)/0 fiir die Teiltripletts der Zeemantypen an. Dabei ist iibrigens nach Tabelle 1 der l\faximalbetrag der Zusatzrotation (.d W / O)max gleich .d 0/ o. Er gehort offen bar zur Pa!'allelstellung von Atomachse und Feldrichtung (cos.& = ± 1), wiihrend die iibrigen kleiucren Zusatzrotationen .d w einem zu schiefer Achsenstellung ge­horigen Faktor cos.& zuzuschreiben sind I).

Quantentheoretisch ist dieses an del' Linienaufspaltung ge­wonnene Bild in folgender 'Veise auf die Terme zu iibertragen: \Virkt auf ein DllblettlilJienatom im Termzllstand

b, .•. \ b2 •••

4 ... (2)

ein iinLleres Magnetfeld, so erhalt dag Leuchtelektron nicht die elektro­dynamisch zu erwartende Larm 01'- Prazession 0 bei ungeiinderter Rotation w, sondern zu 0 kommt eine Zusatzprazession L1 0, zu w eine Zusatzrotation .dw 2). Wie sich gleich zeigen wird, fiihrt zur empiri­schen Termanfspaltung (6) folgender Ansatz fiir die ZusatzgroLlen der Dublettermc:

.do = + __ 1_ =~t = (.dW)max, -:lw = (.dW)max,cos{1, (3) o - 2 n - 1 n -i 0 0 0

welcher in der Tat asymptotisch iibereinstimmt mit Tab. 1. [Das 0 bere V orzeichen soIl stets fiir die ~I - Terme, das untere

fiir die ~2- Terme gelten. n ist gemaJ3 Gl. (2) den einzelnen Termen zuzllordnen.] Auch hier heben sich in den Stellungen cos {1 = + 1 und cos.& = - 1 die Zusatzpriizession .d 0 und die Zusatzrotation

I) Die Verbaltnisse sind, falls man Von del' normalen Prazession 0 und von del' feldlosen Rotation w absiebt. diesel ben wie bei der Rotation d '0 des Foucaultschen Pendels relativ zu del' mit do sieh dl'ebeuden Erde. Auf den Polen (eos.'t = ± 1) hebt dO gerade (d wlm.x auf, aUgemein gilt ! d 'v, = 1 Llo .eoslr I. Diesen Vergleieh verdanke ieh Herrn A. D. Fokker in Delft.

2) Dall die Anomalitat des Zeemaneffekts auf einer Zusatzpl'azession odeI' -Rotation berube, hatte Veri. in ZS. f. Phys. 7, 398, 1921 (Teil II) IIngedeutet, und zwar, urn dem oben S.353, Anm.3 erwahuten Dilemma zu entgeben, in etwas anderer Weise. Im AnschluJl an die dann ersehienene Arbeit von Heis en­berg (I.e.) ordnen wir jetzt (Llw)m.x del' l'arallelstellung cos ,9 =::': 1 zu.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 163

Zur Theorie der anomalen Zeeman- und magneto·meclJanisehen Effekte. 357

(LI ID )max, gegenseitig anf; die Bewegnng bleibt hier eine normale I.armor-Prazession, und die zugehorige magnetische Energie ist in ganz normaler Weise zu berechnen [G1. (5) und (5')].

Neben den Parallel- und Gegenstellungen von Feld und Atom­achse sind nun nach den Grundprinzipien del' Quantentheorie 1) die­jenigen schiefen Stellungen {1 zu erwarten, bei denen die magnetischen Energieterme Elh sich urn ganze Vielfache del' Stiirungs-, d. i. in diesem Faile der Prazessionsumlaufszahl 0 + Llo von den maximalen Energietermen unterscheiden:

Emax E ) -h--h: = z.(o+ Llo (z = gauze Zahl). (4)

Der Gesamtimpuls S des Atoms urn seine invariable Achse ist beirn ~1' bzw. ~2-Term 2):

(5)

zu setzen. Zn diesem S gehort in der Parallelstellung, wo die nor­male Larmorprazession stattfiudet, als maximaler magnetischer Energie­term in normaler Weise dol' Wert

Emax _ ( 1 + 1) -h-- on - 1i -"2' (5')

Daher ergibt sich aus G1. (3) und (4) folgende (empirisch be­statigte) Termaufspaltnngsreihe:

E/h=o(n-~+~)-z(o+Llo), (.z=O,1,2, ... ,2n-l).

Anders geschrieben mit Benutzung von G1. (3):

E n-l-z h:=o.(n-t±~)· -n!..-r (6)

Zn (6) gehoren die Wiukel:

E n-j-z cos fr = -- = ---1-

Emax n--g (6')

zwischen Atornachse und Feld, so daJ.\ die aquatorialen Impuls­komponenten J cos {1 gebrochene Qnantenz",hl bekommen. (6') gibt gerade die Acbsenstellungen, die Heisenberg zur Erkliiruug

1) N. Bohr, On the quantum theory of line spectra, Kopenhagen 1918, Part II 32.

~) k = n bzw. n - 1 ist wegen del' feldlosen Kombinationsauswahl bei <len ,zusammengesetzten Dubletts" von Sommerfeld (Ann. d. Phys. 63, 221, 1920) alB ,innere Quantenzahl" eingeflihrt worden. Auf Grund der Intensitiitsverhiilt· nisse innerhalb der einzelnen Zeemantypen deutete Verf. (ZS. f. Phys. 0, 231, 1921, Teil T, § 5) k als Gesamtimpulsquantenzahl de. Atoms.

164 ALFRED LANDE

358 A. Lande,

del' empirischen 1) Aufspaltungsterme Gl. (6) einfiihrt und welche er theoretisch ableitet ans seiner Grundannahme (b), da/3 nicht die aqua­toriale Komponente des gesamten Atomimpulses in ganzen Quanten­schritten fortschreite, sondel'\l nul' die des Leuchtelektrons, obwohl del' Rumpf in normaler Weise zur magnetischen Zusatzenergie im Feld .\) beitragen solI. Del' Zweck del' Betrachtnngen des VOl'­

liegcnden § 1 war, die Folgerungen aus del' quantentheoretisch zunachst anfechtbaren Hypothese (b) von Heisenberg darzustellen als Folge­rungen ans Boh rs Quantenforderung (4) mit Hilfe del' anomalen Prazessiollsfrequenz 0 + A o. Die Frage, welche Kraft e die Zusatz­prazession A ° und Zusatzrotation Am erzeugen, soil im § 2, del' U r­sprung dieser Krafte in § 3 behandelt werden.

§ 2. Wir erilluern an einige gelaufige Satze aus del' Kreisel­theorie. Der Drehimpuls eines starren, in einem Pnnkt seiner Achse

3 JI festgehaltenen symmetrischen Kreisels werde nach

Grone nnd Richtung parallel dieser Achse darge-stellt durch den Impulsvektor 31> welcher mit del' festen Richtung 3 den Winkel {)-, einschlie/3e (Fig. 1). Auf den mit del' Umlaufszahl m rotierenden Kreisel werde jetzt ein Drehmoment A 9J? urn eine auf del' Ebene 3S1 senkrecht gehaltene A9J?·Achse ausgeiibt. Dann fiihrt bekanlltlich die Kreisel-

Fig. 1. achse 3, eine Prlizessiou A 0 urn die a-Achse aus bei konstant erhaltenem Winkel {)-" deren Umlanfsfrequenz gegeben ist durch die Vektorgleichung:

Ao= AWl Ao=aAiJ!, oundAo=V:ektorlls } (7) o [SlO] [3'6] A9J? = " 1.S, nnd 1.s

Da das Drehmoment A9J? keine Impulsanderung nm die 6-Achse hervorbringen kann, ist mit A 0 eine gleichzeitige Anderung A m von m verbnnden, derart, da/3 Am verschwindet fiir cos {)-, = 0, Am sich gegen Ao forthebt fiir COS{)-l = lund -1, allgemein ent­sprechend der Vektorgleichung:

lAm: = IAo.cos{)-i.

Ar., ___ (S).Ao)3" (A Vk II"') LJ ~ 3,2 LJ m = e tor '-'I

(8')

(8)

(vgl. Foncaul taches Pendel, s. oben). Die Verbindnng von Prazession A 0 und Znsatzrotation Am bewirkt iiberdies, da/3 das von Null

1) A. Lande, Uber den anomalen Zeemanefiekt, Teil I, ZS. f. Phys. 6, 231, 1921.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Zur Theorie der a.nomalen Zeema.n- und ma.gneto-mechanisohen EfI'ekte. 359

anwachsende Drehmoment LlIJR keine Arbeit leistet, indem sich der kinetische Energiezuwachs von LI 0 aufhebt gegen die kinetische Energieverminderung von LI/l). Die Zusatzbewegung ist also narbeits­und impulslos".

Anders ist es bekanntlich, wenn ein Drehmoment [i1 ~] herriihrt von einem magnetischen Feld ~ parallel a auf das mit Ladungen im Verhiiltnis E: I" behaftete Massensystem, welches dann als Magnet vom Moment

. 3 E 11 = l' 2 cl"

erscheint. Es tritt dann entsprechend GI. (7) eine Pl'azession

0= .pJi1.p] = ~ ~ = _E_~ [31 .p] 31 201"

(9)

(10)

auf, die Zusatzrotation LI/l) fehlt abel', und das magnetische Feld leistet die Al'beit

(10') wenn es von Null bis zur vollen Starke anwachst 1).

Tritt ein auEeres Magnetfeld .p parallel a gleichzeitig auf mit einem mechanischen Drehmoment LlIJR um eine auf 3 1 und a senk­rechte Achse, so iiberlagern sich beide Effekte Gl. (7), (8) und (10) und fiihren zu dem folgenden Resultat:

Prazession .. 0 + Llo; 0 = 2 :1' .p, ~o = ~~ I Zusatzrotation LI/l); ILI/l)1 = ILlo.cos3'1 (11)

herriihrend von Magnetfeld ~ und Drehmoment LlIJR

Das Resultat Gl. (3) des § 1 liiEt aich demnach auf folgende Weise deuten: Neben dem aullel'en Feld .p, welches zu normaler Larmorprazession der Leuchtelektronenachse 3 1 urn .p mit normaler magnetischer Enel'gie Gl. (10') fuhrt, existiert noch ein mechanisches Drehmoment LlIJR, des sen Achse stets senkrecht auf .p und 3 1 steht, den Impuls um a nicht vermehrt nnd keine Arbeit leistet. Seine GrtiEe iat, bei Gleichsetzung von GI. (3) und (7)

Llo_LlIJR_ ±~ --0 - [31 0] - n- r ILI/l)1 = ILlo.cos3' I (12)

-------1) Man kann narnlich ij auffa.ssen a.ls Vektorsurnme .\;;I = ijp +~. (Fig. 1).

Die zu ~1 senkrechte Komponente ~. = ~. 8in,')-1 wirkt wie ein mechanisches Drehmoment [it~] = Li1 .\;;1.], gibt also nach Gl. (7) die Praze •• ionsfrequenz 0 GI. (10) und zugleich Mch G-I. (8') die Zusatzrota.tion urn die ~l"Achse - o. cos ,')-1'

Die zu ~1 paraUele Komponente.\;;lp gibt eine Zueatzrotation urn die ~1- Achee + 0 cos 1t1' so dall die reine Larmorsche Praze8sion 0 iibrig bleibt mit dem zugehorigen normalen Zuwl\chs (i1 .\;;1) an kinetischer Energie.

Z.it.chrift fIIr Physik. Bd. XI. 26

165

166

360

bestimmt zu

A. Lande,

+1 LlIJR = --\.[31 0],

n-li

ALFRED LANDE

(13)

oder wegen Gl. (9) und (10)

LfIJR= ±~1·[tl,p]. n- 2

(14)

Dieses mechanische Zusatzdrehmoment von in § 3 aufznkliirendem Ursprnng, das als "inneres Drehmoment" bezeichnet werden moge, kann demnach als Ursache fiir die Zusatzpriizession LI 0 nnd Zusatz­rotation LI ro des § 1 verantwortlich gemacht werden.

§ 3. Der Atomrumpf miige den mechanischen Drehimpuls 3g und daher das magnetische Moment iii = 3g Ii / 2 /L c besitzen. Mit Heisenberg nehmen wir an, dai.l der Vektor 32 sich parallel (bei den ~1-Termen) bzw. entgegengesetzt (bei den ~2-Termen) zu del' Resultante ,p +,pi aus innerem und iiui.lerem Feld einstelle, wobei das innere Feld ,pi parallel dem IJeuchtelektronenimpuls 31 gerichtet

sein soIl (Fig. 2). Daa von ,p auf iii wirkende Drehmoment [i2 ,p] wird dann aufgehoben durch ein vom Leuchtelektron auf den Rumpf aus­geiibtes entgegengesetztes Dreh-

Fig. 2. moment - [i2 ,p] , falls entsprechend

Heisen bergs Annahme (c) im Gleichgewicht ig parallel bzw. anti­parallel zur Resultante ,p + -Pt zeigt. Dem letzteren Drehmomeut entspricht aber als Reaktion ein entgegengesetztes Drehmoment [i2 ,p], ausgeiibt vom Rumpf 3 2 auf das Leuchtelektron 31 :

LlIJR = [ig,p]. (15)

1st speziell ,p klein gegen ,pi (schwacbes liui.leres Feld), so wird die Resultante ,p +,pi parallel -Pt, also auch i2 parallel ± il und

LlIJR = ± [il,p]~, (i2 II ± i1). (16) 11

Wir identifizieren dieses durch die Rumpfeinstellung auf das Leuchtelektron ausgeiibte arbeits- und impulslose Drehmoment mit dem in § 2 gefundenen inneren Dreb­moment GI. (14) bei schwachem Feld I). Speziell ergibt sich dann durch Gleichsetzung von Gl. (14) und (16) die Bedingung

± t = ± iii = ± 32 (3 II + 3 ) (17) n - l il 31 ' II - 1

fUr das Verhiiltnis der Impulse von Rumpf und Leuchtelektron.

1) Das Verhiiltnis der anomalen znr normalen Prazessionszahl 0 + 40/0 ist identisch mit dem VerhiiItnis (:;'!1 + :;)2)f:;'!1 und identisch mit dem Auf-

SELECI'ED SCmNTIFIC PAPERS 167

Zur Theorie der auomalen Zeemau- und magneto-meehanischen Eft'ekte. 361

Da in Gl. (5) der Gesamtimpuls des Atoms

h 3 = 31 + 3a = 211: (n - ~ ± H

war, folgt schlielllich als besonderes Resultat

31=2:(n-~), 3a=2:·t

(17')

(18)

als Einzelimpulse von Rumpf und Leuchtelektron, in "Obereinstimmung mit Heisenbergs Befund (a). Die Grundannahme (c), dall der Rumpf sich in die Resultante von .t> und ~ einstelle, geniigt also, um die weitere Annahme (b) von Reisen b.erg iiberfiiissig zn machen, es sei der Impuls 3 2 des Rumpfs bei der raumlichen Quantelung im Magnet­feld unwirksam. Es folgt vielmehr (b) aus (c) vermittelst (4). Die Einstellung des Rumpfes, als sei dieser ein Sta bmagnet (magne­tischer Dipol, speziell hier vom Momeut l/a Magneton) widerspricht dem Larmorschen Satz, welcher fiir den Rumpf als Kreisel (Ampere­scher Molekularstl'om) nur eine Prazession 0 bei festgehaltener feld­loser Einstellung verlangt, dadurch aber stets nul' znm normalen Zeemaneffekt fiihren kann.

In der Resultantenstellung, welche also der Kreiselkinematik be­reits widerspricht, darf der Rumpf auch weiterhin nicht als Kreisel behandelt werden. Denn in der Resultantenstellung wirkt auf den Rumpf gar kein resultierendes Drehmoment; der Rumpf als Kreisel sollte demnach in der momentanen Resultantenrichtung im Ranm stillstehen indem seine durch das aullere Feld .\). erzeugte normale Larmorprazession 0 infolge des inneren Feldes .\); iiberlagert sein solite von einer entgegengesetzten Zusatzprazession L1 0 = - 0 und Zusatzrotation I L1 m I = 1- 0 cos ./tal. Diese arbeits- und impulslosen Znsatzgro1.\en des Rumpfes sollten also von den arbeits- und impuls­losen Zusatzgrollen Gl. (3) des Leuchtelektrons vel'schieden sein. Dall der Rumpf in Wirklichkeit (au1.\er der normalen Energievermehrung h. ~ 0 cos./ta der Larmorprazession, zu der noch die potentielle Energie gegen das innere Feld ala energietermbestimmend hinzutritt) die arbeits- und impulslosen ZusatzgrMen Gl. (3) des Leuchtelektrons mitbekommt, wenn anders das Atom seinen Zusammenhalt bewahren soil, zeigt eben, daJl die normale Behandlung des Rumpfes als Kreisel zwar nicht mit dem Energie- und Impnlssatz, wohl aber mit der Kinematik im Widersprnch steht, nnd durch eine unmechanische Einstellung des Rumpfes zu ersetzen ist.

Bpaltungsfaktor g, welcher bei del' Termanalyse der Zeemantypen auftrat (vgl Lande, I. c., Teil 2).

26*

168 ALFRED LANDE

362 A. Lande,

§ 4. Wendet man statt der fiir schwache Felder giiltigen Gl. (16) die fiir aile Felder giiltige Gl. (15) an, so erhalt man, ganz im An­schluB an die formale Dbertragung der Voigtscben Koppelnngs­theorie von Sommerfeld 1) und an die modellmiWige Theorie von Heisenberg, den Dbergang zum Paschen-Back-Effekt, indem die Resultante .p + oPt aus der Ricbtung .pi (.p < .pi) in die Ricbtung .p (.p:> .pi) iibergeht, wobei Zusatzdrebmomente, Zusatzprazession und -rotation und magnetische Energie sieb entsprecbend andern 2).

§ 5. Sehr einfach ist jetzt die Erklarung fiir die Anomalitat der magnetomechanischen Effekte von Barnett S) und Einstein-de Haas i). Eine bestimmte Magnetisierung ist naeb GL (3) mit einer Atomachsen-

prazession um die Feldrichtung verbunden, welche 9 = (1 ± 2 n =-l)mal

so groB, beim ~1-Term (N ormalzustand n = 1) also 2 mal so groB ist, als normal bei der betreffenden Magnetisierung zu erwarten ware. [Dasselbe gilt auch bei dem 81 - Termzustand eines Triplettlinienatoms, welcher ebenfalls den Aufspaltungsfaktor 9 = 2 besitzt (vgl. FuB­note S. 360)]. Es ist demnach beim Vel'such von Barnett eine doppeltnol'male Winkelgeschwindigkeit der Atomachsen und des mit ihnen gekoppelten Kernmassengeriists niitig, um eine bestimmte Magnetisierung zu erzeugen bzw. aufzubeben. Und beim Versuch von Einstein-deRaas muE bei der 'Magnetisierung \bzw. Ummag­netisierung eines Korpera eine doppeltnormale Rotationsgesehwindigkeit der Atomachsen und des mit ihnen gekoppelten Kernmassengeriists als Reaktion auf eine bestimmte erzeugte Magnetisierung in EI'­scheinung treten.

Zusammenfassu ng.

Die von Reisen berg im Widerspruch zu dem mechanisch be­griindeten Larmorschen Satz angenommene unmechanische Ein­stellung des Atomrumpfs in die Resultante von auBerem (.p) und

1) A. Sommerfeld, ZS. f. Phys. S, 257, 1922. Atombau und Spektral­linien. 3. Auff., Kap.6.

2) Die Ubertragung del' vorigen Uberlegungen auf Triplettlinienatome wird in einer folgenden Arbeit gestreift, wo unter anderem die an Chrom und Neon aus dem Zeemaneffekt abgeleitete These vertreten wird, daJ3 man allgemein Bohrs nk-Bahnen durch nk_lj.-Bahnen zu ersetzen hat, wie es Heisenberg bei den Dublett· und Triplettlinienatomen vorgeschlagen hat.

S) S. J. Barnett, Phy •• Rev. 6, 239, 1915. I. G. Stewart, Phy •. Rev. 11, 100, 1918.

i) Einstein und de Haas, Verh. d. D. Phys. G ••. 17, 152, 1918. Emil Beck, Ann. d. Phys. 60, 109, 1919. G. Arvidsson, Phys. ZS. 21, 88, 1920.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Zur Theorie der anomalen Zeeman- und magneto-mechanischen Effekte. 363

innerem, vom Leuchtelektrou herriihrelldem ({)l) Feld fiihrt zum Auf­treten eines Drehrnomentes LlID1 ausgeiibt auf das Leuchtelektron. LI ID1 erzeugt eine "arbeits- und impulslose" Zusatzpriizession LI 0 um {) und Zusatzrotatioll LI ro urn {)i. Diese Zusatzbewegung ist aus den empirischen Zeemautypen lIach dern Analogieprinzip ablesbar und recht­fertigt mit Hilfe von Rohrs StOrungsquantelung (4) die schein bar anomale raumliche Quantjllung im Magnetfeld, welche Heisenberg als beso!Jdere Hypothese (b) neben der Einstellungshypothese ( c) ein­fiihrte. Die spezielle Gestalt der Zeemantermspaltungeu HiUt sich dann zur Feststellung der Eiuzelimpulse der Elektronen benutzeu uud fiihrt eindeutigzu Heisenbergs halbzahliger Quantenaufteilung (a) zwischen Rumpf und Leuchtelektron im Dublettlinienatom. Die anomale Zu­satzpriizession erkliirt gleichzeitig die Anornalitiit des Barnett- und des Einstein-deHaas-Effekts. Rei den unmechanischen Rumpfoigeu­schaften durch bricht R 0 h rs StOrungsquantenforderung (4) die (normaler­weise mit ihr identische) Forderung ganzquantiger iiquatorialer ImpUlse.

169

170 PAPER 35

VIII. Fortschritte beim Zeemaneifekt. Von Alfred Lande-Ttibingen.

Vor nunmchr 27 Jahren (1896) entdeckte P. ZEEMAN (23), daB die spektral beobachteten Schwingungsfrequenzen eines leuchtenden Gases durch Magnetisierung der Lichtquelle geandert werden kannen. Hatten die auf MAXWELLS Theorie gegriindeten HERTZschen Versuche die funda­mentale Rolle elektrischer und magnetischer Krafte bei der Ausbreitung des Lichts mittelbar sichergestellt, so zeigte das ZEEMANsche Phanomen unmittelbar die elektromagnetische Natur des Lichterzeugungsmechanis­mus. 1m besonderen bewies die erfolgreiche Voraussage der Einzelheiten beim f)normalen« Zeemaneffekt durch H. A. LORENTZ (14), daB dieselben elektromagnetisch wirksamen Teilchen, deren Existenz vor allem durch PH. LENARDS und J. J. THOMSONS Forschungen sichergestellt und deren Einfiigung in das Gebaude der MAXWELL-HERTzschen Lehren durch die Elektronentheorie von H. A. LORENTZ geleistet worden war, sich auch im gebundenen Zustand an einem allgemein elektromagnetischen Aufbau der 11aterie beteiligten. Tiefere Aufschliisse iiber die speziellen Elek· tronenanordnungen bei den verschiedenen chemischen Elementen in ihren verschiedenen Leuchtzustanden versprach die zuerst von MICHELSON, PRESTON, RUNGE und PASCHEN, neuerdings besonders eingehend von E. BACK (1) untersuchte magnetische Aufspaltung mancher Spektrallinien in mehrere Komponenten verschiedener Anzahl und Anordnung, deren immer wiederkehrende Erscheinungsformen als f)anomale Zeemantypen« bekannt geworden sind, und welche in starken Magnetfe1dern die von PASCHEN und BACK entdeckten Normalisierungsverwandlungen zeigen. Eine befriedigende Erklarung des anomalen Zeeman- und Paschen­Backeffektes im Zusammenhang mit der Deutung der »Multiplettstruktuf« magnetisch unbeeinfluBter SpektralIinien ist bisher noch nicht gefun­den. Immerhin haben sich mit Hilfe der allgemeinen Quantentheorie (M. PLANCK) und ihrer Anwendung auf den Atombau (N. BOHR) nebenaus­gedehnten spektroskopischen Erfolgen auch wichtige Aufschliisse atom­theoretischer Art ergeben, welche eine endgiiltige Lasung des Ratsels der anomalen Zeemaneffekte und damit einer Reihe prinzipieller Fragen tiber die Verwendung mechanisch-elektromagnetischer Grundsatze in der Quantentheone in nahe Aussicht stelIen.

~o*

Reprinted from Ergeb. Exakt. Naturwiss. 11, 147-162 (1923).

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

A. LANDE:

§ I. Klassische Theorie des normalen Zeemaneffekts. Normaler Zeemaneffekt liegt vor (vgl. Abb. I), wenn bei Beobachtung

parallel der Magnetfeldrichtung eine Aufspaltung der Spektrallinie in zwei Komponenten erscheint, weIche symmetrisch nach kleineren und gr6i3eren Schwingungszahlen verschoben sind (,)Langseffekt«), dagegen bei

Beobachtung senkrecht zur Kraftlinienrichtung eine Aufspaltung in drei Komponenten auf tritt, von denen eine am Ort der urspriinglichen Spektrallinie bleibt,

-Y die zwei and ern beiderseits symmetrisch verschoben Ix """".v. I... - I.. "sind (»Quereffekt«). Die zwei verschobenen Kom-ponenten bei Langsbeobachtung erscheinen rechts und links zirkular polarisiert; bei Querbeobachtung

erscheinen die beiden verschobenen Komponenten senkrecht (a), die unver­schobene Mittelkomponente parallel (n:) den Kraftlinien linear polarisiert_ Die Verschiebung derSeitenkomponenten ist proportional der angewandten Feldstarke .p und hat in Schwingungszahlen gemessen den Betrag:

Abb. I.

A + _ (.p in absoJ. Einheiten ) (I) LlV- 470-10 sc-.p -- - ) C = Lichtgeschwindigkeit

Die LORENTzsche Elektronentheorie gibt fUr das normale Zeeman­phanomen folgende Erklarung(14). Die Gesamtheit der Bahnenschwingender oder kreisender Elektronen eines Atoms, deren elektromagnetische Strah­lung durch den Spektralapparat harmonisch in einzelne Linien der Schwin­gungszahl v analysiert wird, erhalt im Magnetfeld nach LARMOR eine ge­meinsame gleichma13ige Drehung (Prazession) urn die Feldrichtung als Achse ') mit der Umlaufszahl

8 0= 4n:ql.p (8 = Ladung, fl = Masse jedes Elektrons).

Eine harmonische Analyse der Elektronenbewegungskomponenten parallel und senkrecht zur Magnetfeldrichtung zeigt dann, daB erstere unverandert bleiben, letztere in je zwei zirkulare Komponenten zerfallen, welche rechts bzw. links herum mit der Schwingungszahl v ± 0 umlaufen. Die zugehorigen Schwingungskomponenten des ausgestrahlten Lichts geben daher zu einer Aufspaltung der Spektrallinie v im Magnetfeld AnlaB, die gerade mit der beim normalen Zeemaneffekt langs und quer be­obachteten Ubereinstimmt und dabei den Betrag hat:

(3) Llv=±o. Die Gleichsetzung der rechten Seiten von (I) und (2) in (3) liefert

einen Weg zur experimentellen Bestimmung des Quotienten l3/ft. Der

I) ner Beweis des LARMoRschen Satzes iiber die gemeinsame Prazession (2) der Elektronenbahnen im Magnetfeld -\> beruht darauf, daL\ die bei einer solchen Pri,­zession 0 auftretende Zusatzzentrifugalkraft, die CORIOLIssche Kreiselkraft, die Grolle 4" f' [UoJ besitzt (0 als Veklor parallel der Drehachse gedacht), wahrend das Feld-\> eine Zentripetalkraft E [U-\>] : c erzeugt. Gleichgewicht zwischen beiden Zusatzkraften 4" f' [U oj = E [Il.pl : c besteht also, \venn 0 durch (2) beslimmt ist.

171

172 ALFRED LANDE

Fortschritte beim Zeemaneft'ekt. 149

Zeemaneffekt wurde so in den Handen von H. A. LORENTZ zu einem Hauptstutzpunkt fur das Vorkommen der universellen negativen Elek­tronenladung 8 in den Atomen.

§ 2_ Quantentheoretische Deutung des normalen Effekts_

Die Quantentheorie des normalen Zeemaneffekts ist von P. DEBYE (6) und A. SOMMERFELD (18) begonnen, von A. RUBINOWICZ (17) und N. BOHR (4) vollendet worden. Es sei W der gesamte Energieinhalt eines Elektronensystems (Atoms) in einem quantentheoretisch zulassigen Zustand, daher W/h nach der BOHRschen Theorie der zugehtirige Spektral­term des Quantenzustands. Geht nun das Atom vom Anfangszustand a in den Endzustand e uber, so sendet es die Energie W,,-We nach BOHR in Form einer monochromatischen Strahlung der Schwingungszahl

() W.. We ( . ) 4 '/I = T - T h = PLANCKS Wlrkungsquantum

aus. Wirkt aber sowohl im Anfangs- wie im Endzustand auf das Atom ein Magnetfeld ,p, so sind die Energien W" und W. urn dW .. und dW. 'geandert, die zugehtirigen Spektralterme demnach urn dW,,/h und dW./h und die ausgesandte Schwingungszahl '/I schlie13lich urn

(5) dW.. dW, .

d'/l = -h- - -h- = ZEEMANversch!ebung.

Nun sind die magnetischen Zusatzterme LlW/h im Felde,p leicht an­zugeben. Bedeutet namlich 0 die Umlaufszahl (2) der LARMoRprazession, die dem Atom wie in § I sowohl im Anfangs- wie im Endzustand auf­gezwungen wird, so wird ')

(6) LlWn -h-=m".o,

dW, -h-m •. o.

Die dabei auftretenden ganzen Zahlen m" und me werden als f)aqua­toriale QuantenzahleU« des Anfangs- und Endzustands bezeichnet und sind noch verschiedener ganzzahliger Werte

(7) m=±mmax, m=±(mmax-I), m=±(mmax- 2), ...

fahig, wobei mmax im Anfangs- bzw. Endzustand verschiedene Werte besitzen kann.

'lIst J der Vektor des gesamten Drehimpulsmoments .E,.. [Ut] fdr das Atom, M seine (ilquatoriale) Komponente gegen die Feldrlchtung~, also M=J cos (J~), so sind M und J durch die Quantenbedingungen 2nJ=jk, znM=mk ein­geschrl!nkt, wohei j und m = jcos(J~) game Zahlen bedeuten. Die Zusatzenergie .:JW im Magnetfeld berechnet sich zn dW= o' 2nM, also der Zusatzterm zn .JW/k=o·,,,.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 173

150 A. LANDE:

Die Kombination je zweier gell.nderter Terme (W + dW)/h flihrt zu einer Anderung (5) der ausgesandten Schwingungszahl

(8) d: .. _ d;:- = dv = o(m .. _ me),

deren GroBe auBer von der in 0 enthaltenen Feldstll.rke noch von den aquatorialen Quantenzahlen ma und me des Anfangs- und Endzustands abhangt. Stellt man in Tab. 1 fur das Beispiel mmax = 3 und mmax = 2

die zu denverschiedenenm-Werten nach (6) gehorigenZusatzterme dW/h zusammen,

Tabelle I.

m -3 -2 -I 0 2 3

dW,,/k -30 -20 -10 0 10 20 30

dW./k -20 -10 0 10 20

so erhalt man nach (8) die Verschiebungen dv im Magnetfeld durch Sub­traktion eines Gliedes der unteren von einem der oberen Zeile. Von allen diesen Differenzenbildungen sind aber quantentheoretisch nach BOHR und RUBINOWICZ nur diejenigen zulassig, weiche in Tab. 2 durch Pfeile verbunden sind,

Tabelle 2.

m -3 -2 -I o 2 3

dWa/ok -3 -2 -I 0 1 2 3

"'",lXlXl)<l><L/ -2 -I 0 I 2 dWe/ok

d. h. diejenigen, bei denen m sich nur urn 0 oder + 1 andert_ Diese Auswahlregel ist noch erganzt durch die Polarisationsregel, daB beim Obergang m-+m eine linear parallele.fl polarisierte Welle, beim Ober­gang m-+m ± 1 eine zirkular um.p polarisierte Welle ausgestrahlt wird. Beschrankt man sich auf Beobachtung quer zum Feld, so fuhrt also nach (8) der Obergang

{ m nach m mit dv = 0 zu n-Komponenten (senkr. Pfeile) (9) m nach m±1 » dV=±IO ~ a- (schragePfeile)

und gibt somit genau das in § 1 besprochene Bild des normal en Zeeman­effekts, wie es auch die klassische Theorie erklaren konnte. Charakteri­stisch ist, daB aile funf durch senkrechte Pfeile in Tab. 2 angedeuteten Obergange zu der einen n- Komponente in der Bildmitte d v = 0 flihren, aile funf rechtsgeneigten PleiIe zu der einen a-Komponente dv= + 10

und alle funf Iinksgeneigten Pfeile zu der einen a-Komponente dv= -10.

Ein solches Zusammenfallen der zu verschiedenen Obergangen gehorigen Komponenten findet aber beim anomalen Zeemaneffekt nicht mehr statt.

174 ALFRED LANDE

Fortschritte beim Zeemaneffekt.

§ 3. Die anomalen Zeemantypen.

Wie schon oben bemerkt, finden sich Spektrallinien mit normaler Aufspaltung nur ausnahmsweise. Die meisten Linien zeigen vielmehr komplizierte »anomale« magnetische Aufspaltungen, von denen zur Ver· anschaulichung einige in Abb. 2 im gleichen Mail· stab mit einem normalen Triplett schematisch wie· dergegeben sind, namlich die Typen der Haupt· serie (gleich denen der scharfen Nebenserie) und die der diffusen Neben· serie der Dubletts (Bei. spiel iVa) und der Tri· pletts (Beispiel Ct!). An jedem Typ sind links die beteiligten Kombi· nationsterme in der lib· lichenBezeichnungsweise

l _, 1""1 --....... --". (0) 1

"). '-1 _....L. ___ 1.---,. ~

~, ...--- --..-..." (!Jj!-

....-_.J.11.1_-n 11)"" ~.41' 'I~

1""-~IL..y...L-.JL...,-_IL-r--, f'JJ8(flJIGPI I I '--(5--

angegeben. Rechts ist in der abgeklirzten Schreib· weise (10') der Typus rational dargestellt(s. u.). Die7t.Komponenten sind in den Abbildungen nach oben, dieCT·Komponenten

"Pl •.. -----..L------.1 f¥-"PI rl-r-----JL.....----''----r---,I -("_;_"

nach unten als Striche abgetragen, deren Lange die relative Intensitat der Komponenten inner· halb des betreffenden Typs veranschaulichen ",ti,-­

soli. Diese Typen sind besonders durch die Be· obachtungen V"on ZEE· MAN, PRESTON, PASCHEN, RUNGE, BACK u. a. sicher· gestellt worden.

•. (o)f{2)J8 2

p,tiz r-, -r..."r--...I.......I.......L.-rl-r-r, _(OJ(._'_~5_"_9

I L-Lli~~I~'~ /I,d., ri" I I

(OJ('}(2)678Im "....... 6

Ober das immer wie. Abb. 2.

derkehrendeAuftreten dieser und anderer charakteristischer Aufspaltungs. typen unterrichtet die PRESToN5che Regel:

DerZeemantyp einerSpektrallinie hangt von derTermart (5, Pi, d;usw.)

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

A. LANDE:

jeder der beiden kombinierenden Terme ab, nicht von deren Laufzahl (I, 2, 3 usw.).

Z. B. geben die Terme 2P" 3P" 4P, ... in Kombination mit dem Term I,5S (oder auch mit den Termen 2,5S, 3,5s . • ,.) stets denselben Zeemantyp, welcher demnach charakteristisch flir jede Kombination (sP,) ist. Deswegen kann der Zeemantyp zur Erkennung der Zugehorigkeit einer Linie zu einer bestimmten Serie dienen und gewinnt dadurch groBe Bedeutung als analytisches Hilfsmittel in der Spektroskopie.

Flir das spezielle Aussehen der Typen ist von besonderer Bedeutung die RUNGEsche Regel:

Die gegen~eitigen Abstande .::tv der anomalen n;. und (1·Komponenten sind rationale Vielfache der A ufspal tungsgroBe.::tv = ± 0 = ± 4,70, 10-Sc . .p des normalen Tripletts.

Z. B. laBt sieh, wenn man den Faktor 0 fortlaBt, also das normale Triplett durch -I, (0), 1 beschreibt (die n;·Komponenten mogen stets eingeklammert werden) der Typus von (~.b.) der diffusen Dublettneben· serie darstellen durch

(10)

oder in abgeklirzter Schreibweise (vgl. Abb. 2)

(10') ~~. (V.b.) IS

Der Hauptnenner fUr die numerische Darstellung der Komponenten· verschiebungen (im vorliegenden Beispiel der Nenner IS) hei13t RUNGE' scher Nenner. Nenner groBer als 20 lassen sich an einem Aufspaltungstyp auch mit den heutigen verfeinerten Beobachtungsmitteln nicht mehr mit Sicherheit numerisch feststellen (z. B. laBt sich die Lage einer Kom· ponente bei 20/19 von 21/20 nicht mehr unterscheiden). Trotzdem flihren aber theoretische Uberlegungen zur sicheren Voraussage bzw. Identifizierung von Typen mit ihren RUNGEschen Nennern und Zahlern weit liber die Grenzen der direkten Beobachtungsgenauigkeit hinaus (s. u. § 6). - Wichtig flir diese Identifizierung ist auch die Intensitiits· absfutung der Komponenten innerhalb des Typs (s. u. § 4).

§ 4. Termanalyse der anomalen Typen.

Uber die eigentiimlichen GesetzmaBigkeiten der beobachteten Auf· spaltungsbilder sind im AnschluB an die RUNGESche Regel eine Reihe formaler Untersuchungen angestellt worden. Entscheidend flir das Ver· standnis dieser GesetzmaBigkeitenwurde der Gesichtspunkt des Kombina· fionsprinzips von RYDBERG, dessen Anwendung auf den Zeemaneffekt zuerst T. VAN LOHUlZEN (13) nachdriicklich forderte, indem er die Lagen der verschobenen n;. und (1·Komponenten aufzufassen suchte als Differenz

175

176 ALFRED LANDE

Fortschritte beim Zeemanefl'ekt. IS3

je zweier verschobenerTerme, wobei alS:> jeder der RUNGESchen Briiche{IO) aufzulOsen ware in eine Differenz zweierTermbriiche im Sinne von Gl. (5). Die Folgerung, daB dann der RUNGESche Nenner der Linienaufspaltung gleich dem Hauptnenner der beiden Termaufspaltungsbriiche sein miisse, bezeichnete A. SOMMERFELD (19) als »magnetooptischen Zer­legungssatZ«. Unter Benutzung der von A. SOMMERFELD (19) einge­fiihrten »inneren« Quantenzahlen und der Auswahl- und Polarisations­regel von BOHR und RUBINOWICZ gelang A. LANDE (10) die gesuchte Termanalyse der anomalen Typen, die sich'im engen AnschluB an die Quantentheorie des normalen Tripletts von § 2 folgendermaBen be­schreiben laJ3t.

Man versucht in die erste und zweite Zcile ciner der Tab. 2 nachge­bildeten Tab_ 3 die magnetischen Zusatzterme dWlok als solche RUNGE­sche Briiche einzutragen, daB ihre Kombinationen (= Differenzen), welche der Auswahl- und Polarisationsregel (9) geniigen (angedeutet durch senk­rechte und schrage Pfeile in Tab. 3) zu dem beobachteten Typus fiihren, der in der dritten Zeilevon Tab. 3 angeschrieben ist_ Z. B. erhalt man im Beispiel (!l.b.) die beobachteten n:-Komponenten als die Differenzen '/'5 = '/3 - '/5' -'/'5 = - '/3 - (-i) der senkreckt unter einander­stehenden Glieder der ersten und zweiten Zeile. DaB die am Kopfe der Tab. 3 angegebenen Zahlen m hier wie bei allen Dublettermen (allgemein bei allen »graden« Termen, s. u. § 6) halbzahlig sind, hangt mit der Sym­metrie ihrer Zeemanzerlegungen zusammen. Der Riickschlul3 aus einem beliebigen Linienaufspaltungstyp (dritte Zeile) auf die Termaufspaltungs­briiche dW/ok der ersten und zweiten Zeile ist auf Grund des Pfeil­schemas stets moglich durch Probieren oder auch durch Auflosung zweier linearer Gleichungen.

Tabelle 3.

i\.quat. Quantenzahlen '" I _3/. _ 'I. 'I.

,aWI.It von ~

,aWI.It von b.

,a "Iolt von (p.b.) 13 II ( I) ( I ) II 13 15 15 15 15 15 IS

Die Durchfiihrung der Termanalyse bei den anomalen Zeemantypen zeigte, daB in der Tat jede Termart ihre (von der Laufzahl unabhangige) eigene Reihe der magnetischen Zusatzterme dW 10k besitzt. In Tab. 4 sind die nach Analogie von Tab. 3 aus den Zeemantypen der Abb. 2 ge­fundenen Termaufspaltungen der Dublett· und Tripletterme zusammen· gestellt, aus denen sich die Typen der Abb. 2 durch das Pfeilschema wie in Tab. 3 rekonstruieren lassen.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

154 A. LANDE:

Tabelle 4 fiir dW/oh.

~ Dubletterme Tripletterme

11l -5/. _3/, -'I. 'I. 3/. 5/. m -3 -2 -I 0 I 2 3

i! I -'I, 'I, s I _./, o '/'

1>, I _6/3 -'iJ '/3 % p, I _6/2 _3/. 0 3/. 6/.

1>. I

-'13 '/3 p.

I _3/'J 0 3/.

h 0

b, I -'5/5 -9/5 _3/5 3/5 9/5 ,5/5 1

d, I -"13 -813 -413 o 4;' 8f3 "/3

D. I

_6/5 _'/5 '/5 6fs d,

I -'4/6 ~7/6 o 7,'6 '4/6

d3 _I/2 0 'I.

Die hier als Beispiel angeftihrten Dublett- und Tripletterme sind iibrigens nur besondere FaIle aus einer groBen Klasse von anomalen Termen, von denen in § 6 die Rede sein solI. Stets laBt sich aber, falls die beobachtete Linienaufspaltung in Form RUNGEScher Briiche dargestcllt ist, die Aufspaltung dW/oh der sie erzeugenden Terme ableiten, oft auch aus der Forderung, daB eine soIche Ableitung moglich sei, die Beobachtungsunsicherheit der Komponentenlagen iiber­winden. Umgekehrt kann man fUr neue Kombinationslinien, deren Zeemantypus noeh nie beobachtet war, diesen voraussagen, falls die magnetischen Termzerlegungen aus andern Kombinationen der be­teiligten Terme einmal gefunden sind. Dadurch erfahrt der An­wendungsbereieh des Zeemaneffekts zur Erkcnnung der kombinierenden Terme eine groBe Erweiterung.

FUr diese spektroskopische Anwendung und auch fUr das theoretische VersUindnis des anomalen Zeemaneffekts ist wichtig die Regel fUr die rela­tiven Intensitiiten der n- und a-Komponenten innerhalb ihres Typs. Bezeichnet man durch mmax den maximal en Wert von m fUr jede Term­zerlegung (nach Tab. 4 ist z. B. fUr den 1:'.-Term mmax = '/ .. fUr den b.-Term ist mmax = 3/. uSW.), so laBt sich diese Intensitiitsregel im An­schluB an das Pfeilschema (Tab. 3) leicht aussprechen durch folgenden Satz (A. LANDE) (10):

Bei der Kombination von zwei Termen mit verschiedenem mmax

(wie z. B. in Tab. 3) sind diejenigen n-Komponenten die stiirksten, weIche durch senkrechte Ubergangspfeile in der Mitte des Pfeilschemas dargestellt sind; und diejenigen a-Komponenten sind die stiirksten, welche durch schrage Pfeile am Rande des Pfeilschemas dargestellt sind. Bei der Kombination zweier Terme mit gleichem mmax (z. B. 1:', b.) ist das Wort »starksten« durch »schwachsten« zu ersetzen, speziell haben dann n - Komponenten m = 0 -+ m = 0 in der Bildmitte die Intensitat Null.

177

178 ALFRED LANDE

Fortschritte beim Zeemaneffekt. 155

§ 5. Termau{spaltungsgesetze.

Nachdem so durch ZurUckgehen von den beobachteten Linienauf­spaltungen zu den Termaufspaltungen eine groBe Vereinfachung in der formalen Beherrschung der Zeemaneffekte gewonnen ist, mUssen jetzt die Termaufspaltungen selbst, z. B. die in Tab. 4 angefUhrten, naher betrachtet werden. Man erkennt aus Tab. 4, daB die AufspaltungsgroBen dW/oh jedes Terms sich darstellen lassen als Produkt der am Kopf der Tab_ 4 angegebenen aquatorialen Quantenzahlen m mit einem fUr den betreffenden Term charakteristischen »Aufspaltungsfaktor« g in der Form

(II) dW

011 =m·g,

wobei m die in ganzzahligen Intervallen fortschreitenden Werte

(II') m=±mm.x, ±(mmax-I), ±(mmax-2), ...

durchlauft. Z. B. lassen sich die AufspaltungsgroBen ± %, + 9/5, ± ISis des Terms b, aus Tab. 4 darstellen mit mmax= 51. und g= 6/5 in der

16 36 56 .. Form ±-.-, ±-.-, ±-.-. Bel den Ubngen Termen der Tab. 4

2 5 2 5 2 5 sind die Faktoren g, die nach (II) (II') zusammen mit mm.x die Term­aufspaltungen dWloh vollstandig bestimmen, in der Tab. 5 zusammen­gestellt:

Tabelle 5·

Term I ~ j), j). b, b. p, Poll d, do d3

go '/' 4/3 "/3 6/5 4/5 2 3/. 3/. 0/0 413 7/6 l/Z mmu: I T./z 3/. 'I. 5/2 3/. 2 0 3 2

Es hat sich nun herausgestellt, besonders durch die Untersuchungen von CATALAN (5) und BACK (2) am Manganspektrum und H. GIESELER (7) am Chromspektrum und durch theoretische Untersuchungen von A. LANDE (11), daB die obigen Dublett- und Tripletterme AngehOrige einer graBen Gruppe von »Multiplettermen« sind, deren magnetische Aufspaltung (charakte­risiert durch mmax und g jedes Multipletterms) von einem einheitlichen Gesetz beherrscht ist. Charakterisiert man namlich jeden so1chen Term durch die Multiplizitatsklassenzahl r (r = 1 Singuletterm, r = 2 Dublett­term, r = 3 Tripletterm usw.), seine Artbestimmungszahl k (k = 1 s-Term, k = 2 p-Term, k = 3 d-Term usw.) und sein mmax (in Tab. 6 ist m statt mmax geschrieben), so erhalten die nach ihren r, k, mmax geordneten Mul­tipletterme folgende zugehorigen Grundfaktoren g (Tab. 6):

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 179

156 A. LANDE:

Tabelle 6.

=1:2:3:4:5: 6 :7: I 1...5.l.9.U.~.~.

4 5 6 71 -2/ ~Z~2 :~Z~2 ~2 ~ 2222222 ~o 2 3

2

3

4

o o

Singuletts r= I

2

~~ 3 3 ~ 6 5 5

6

7 8

7 8 ]0

Dubletts 1'=2

2

3

4

5 I 9 9 5 ---c------------------~--------------------~---

1 2 Tripletts 2 Quartett. I I

1'=3 1'=4 2 ~ 1.. 1.. 8 26 8 I 2

3

4

2

3

4

2

3

4

.1"

o 2 2 3 IS 5

o

~1..~ O~~~ 2 6 3 5 35 7

3

o

~~J.. 2~78~ 3 12 4 I 5 35 63 3

1.. ~ 6 ~ 62 116 !.1 4 20 5 76399 II

2 Quintett. 1\ 1'=5 I

IJ..:1l 4 20 5

2

12 66 12 -5 3S

~~~ 3 15 35

16 ~ 3 ]5 35 2

7 ]00 !.1 639 88 142 ~ 63 99 II

Sextetts 1'=6

~~~~~ 3 12 20 15 3

6 o

7 8 !.1 192 18 7 II 143 13

2 Septetts 1'=7

2

16

9

~ ~ 33 II

Oktetts 1'=S

4

5

2

3

2

3

2 3 4 S 6 7 ~ 1.. J.. 1.. ..! ~ ~ ~ ~k 2 2 2 2 2 2 2 2 "iii""'-1..:J..:1..:..!:~:~:~: J"

2 2 2 2

180 ALFRED LANDE

Fortschritte beim Zeemaneffekt. 157

Aile diese Grundfaktoren g sind als Funktionen von r, k, mmox be­rechnet nach der Formel

3 (;r-(k-~r g=-+ .

2 2 (mmox + I) • mmox

Dieses Gesetz hat sich bei den in Tab. 6 angeflihrten Multiplettermen, soweit von ihnen Zeemaneffekte untersucht sind, ausnahmslos bestatigt. Als Beispiele flihren wir an r = I Hg, r = 2 Na, r = 3 Hg, r = 4 Mn, r = 5 Cr, r = 6 Mn, r = 7 Cr, r = 8 llIn. Die Tab. 6 lieBe sich theo­retisch zu beliebig hoher M ultiplizitat r fortsetzen.

§ 6. Struktur und Intervallregel der Multipletts. Eine besondere Eigenschaft der Tab. 6 ist, daB nicht aile Stellen, zu

bclicbigen k, mmax und r gehorend, mit Termen ausgeflillt sind, daB viel­mehr z. B. bei r = 4 nur ein s-Term, drei p-Terme, vier d-Terme, vier f -Terme usw. vorhanden sind, allgemein, daB eine gewisse Struktur­regel die Vielfachheit der Multipletterme einschrankt.

Diese in Tab. 6 in Erscheinung tretende Strukturregel heiBt: Es gibt nur solehe Terme, deren mmax eingeschrankt ist zwischen den Grenzen:

I r-II I r-II k - t - 2-- <:: mmox <:: k - I + -2- .

Aus dieser Regel ergibt sich unter anderem das allmahliche Ansteigen der Multiplizitat in der Reihe der ungeradenZahlen (eins·Term, drei p-Terme, fLinf d-Terme usw.) bis die volle Multiplizitat r erreicht ist, welche dann weiterhin konstant bleibt.

Wie oben angemerkt, kommen bei ein und demselben Element Multi· pletterme mit verschiedener Vielfachheit vor, z. B. bei Hg Singulett. und Tripletterme, bei Mn Quartett-, Sextett- und Oktetterme. Diese k6nnen aber nicht in beliebiger Weise miteinander kombinieren, sondern nur unter Einschrankung durch A uswahlregeln, die bei Charakterisierung j edes Terms dUrch ein Wertetripel r, k, mmox sich in folgender Weise aussprechen lassen:

Zwei Terme (r, k, mmax) und (r', k', m:nax) kombinieren nur dann, wenn

k-k'

11lmax - 11't'max ::::::= 0 oder ± I

ist. Auch flir r~r' ist eine zu (IS) analoge, aber empirisch noch nicht ge­sicherte Auswahlregel zu vermuten. (I4) stellt die bekannte Regel dar, daB nicht zwei s-Terme untereinander oder zwei p ·Terme untereinander kombinieren, auch nicht ein s-Term mit einem d-Term, sondern wohl ein s-Term mit einem p-Term usw. (IS) ist inhaltsgleich mit der zuerst von SOMMERFELD (19) aufgestellten Auswahlrcgel fur seine })inneren« Quanten­zahlen I, welche dieStruktur der })zusammengesetzten« Multipletts (RYD­BERG) beherrscht.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 181

15 8 A. LANDE:

Unter besonderen Umstanden, in starken auBeren Feldern, kannen aber Ausnahmen von den Auswahlregeln (14) (15) eintreten. Besondere Bedeutung, auch fUr die theoretische Seite des Problems, haben hier die von PASCHEN und BACK (16) beobachteten Durchbrechungen der Regel (IS) und die von R. GaTzE beobachteten der Regel (14) gewonnen.

Von Bedeutung sind die am Kopf der Tab. 6 angegebenen Proportionen Ltv=I:2:3: ... bei den ungeraden, LtV=3/.:5/.:7/ •... bei den ge· raden Multiplettermen. Ihr Inhalt mage am Beispiel der Tripletterme P3 P. p, erW.utert werden, welche in Tab. 6 mit g = %' 3/., 3/. auf· treten: Der Schwingungszahlabstand Ltv3• von P3 nach P. verhalt sich bekanntlich zu Ltv., von P. nach p, angenahert wie I: 2.

Allgemein ist nun bei den ungeraden Multiplettermen das Intervall· verhaltnis benachbarter Terme das der ganzen (oder auch geraden) Zahlen, bei den geraden Multiplettermen das der halbzahlig gebrochenen (oder auch ungeraden) Zahlen. Das Intervall Ltv zwischen zwei (auch nicht benachbarten) Termen, welche gleiches r und k, aber verschiedenes mm.x haben, Jaf3t sich ganz allgemein darstellen dureh die Formel:

(16) v - v' = Ltv ist proport!onal ~[(mID'X +~)._ (m;"ax +~) 2]. Trotzdem diese Intervallregel (L"~DE) nur in 1. Naherung gilt, kann

sie doch als Hilfsmittel bei der Orientierung Uber die Multiplizitats­klasse von Termen dienen, falls das noeh bessere Hilfsmittel der Zeeman­effekte gerade nicht zur VerfUgung steht. Auch fUr die modellma.J.lige Erklarung der Multiplettstruktur und der anomalen Zeemaneffekte gibt die Intervallregel wichtige Fingerzeige.

Bei der Bearbcitung der anomalcn magnetischen Aufspaltung von :Ylultiplettermen ist es von Wert, eine praktische und systematische Be­zeichnung der vorkommenden Terme zu haben. Die Ubliche Bezeichnungs­weise der Spektroskopie, z. B. np, np. nP3 fUr die Triplett-p-Terme, hat sich mit ihrer Indizierung als nicht eindeutig und erweiterungsfahig bei llaheren Multiplettermen erwiesen. Deshalb mage hier zum Schluf3 eine (auch von PASCHEN gebrauchte) Bezeichnung nfd angefUhrt werden. n deutet dabei, wie bei BOHRS nk-Bahnen, dieHauptquantenzahl oder Laut­zahl des Terms an, k die azimutale Quanienzahl des auf3eren Valenz­elektrons, welche fUr die Termart (s, p oder d ... -Term) verantwortlich ist (vgl. Tab. 6). i bedeutet die )>innere{( Quantenzahl, die eng mit der beim Zeemaneffekt maBgebenden Zahl mm.x verknUpft ist (s. 0.), und r die fUr die Multiplizitatsklasse maf3gebende »Rumptquantenzahl« (vgl. Tab. 6). Zum Vergleich stellen wir die alten und neuen Bezeichnungen bei den Singulett-, Dublett- und Triplettcrmen in Tab. 7 zusammen:

Tabelle 7. Vergleichs tabelle.

nS nP nD I nij nIh nV. nb, n~, I

ns npl. 11}2 nh ltdl nd. nd3

, , n;2 . 2 . 2 nil n;2 ,,3 n~o n;3 nj2 n~l !tIC n" nil "'22 n" n33 n 3, "

182 ALFRED LANDE

Fortschritte beim Zeemaneffekt.

Die in Tab. 6 angegebenen g-Werte gehoren zu den Termen, deren neue Bezeichnungen nkj in Tab. 8 (in derselben Anordnung wie bei Tab. 6) zusammengestellt sind.

Tabelle 8. Term n;';.

I Ungerade Multipletts II

Gerade Multipletts l Singuletts

I Dubletts

s n~o . s nIl

p I no<

. n.,

, n •• p

d I . . d n32 n3• n33

f I 2 2 f I n'3 n'3 n ••

Tripletts Quartetts

s n~I n;2 s

p n~o n~1 n~:z n!I n~2 n!3 p

d n~I n~2 nj3 njI , n3 2 nj3

, n34 d

f n!2 n!3 n;. n12 n!3 n:. n!s /

Quintetts Sextetts

s n;2 6 n'3 s

p n~:r: n~2 n;3 n~2 6 6 P n'3 n.,

d n;o n;t n~a ni3 ni. n~l 6 n~3 6 6 d n32 n34 n35

/ n;

" ":2 n S .3 n~, ·n!s ~

n., 6

n •• 6

n'3 6

n •• 6

n.s 6

n.6 /

d" = I : 2 : 3 : 5 : 1.- J. 1.. 1. II :=d" 4 : = : : : : -

2 2 2 2 2

Der Vorteil der neuen Bezeichnung nkj liegt darin, daB aus der Term­bezeichnung gleichzeitig Struktur, Intervalle, Kombinationsauswahl und Zeemaneffekt abgelesen werden kann, vermittels der Formeln (13) (16) (14) (IS) (12), in denen

j = mmax bei ungeraden Multiplettermen . I d

J = mmax - -; • gera en

eingefiihrt ist, damit der Index i stets ah ganze Zahl geschrieben werden kann. Es sei noch bemerkt, daB Tab. 6 nicht das einzig existierende Schema der Multiplettermaufspaltungen ist, sondern nur ein Sonder­beispiel aus einer Foige von ahnlich gebauten aber noch unbekannten Schematen. Die darauf hinzielenden experimentellen Untersuchungen lind noch nicht abgeschlossen.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 183

160 A. LANDE:

§ 7. Paschen-Back-Effekt.

Werden die Spektrallinien eines Multipletts in sehr starken Magnet­feldern erzeugt, 50 verwandeln sich, nach der Entdeckung von PASCHEN und BACK (15) die oben beschriebenen anomalen Zeemantypen derart, da£ eine Verschmelzung der re- und a-Komponenten benachbarter Linien­aufspaltungen eintritt, und mit wachsender Feldstarke ein Zustand angenahert wird, bei dem im wesentlichen ein gewohnliches no/males Triplett tibrigbleibt, als habe man nicht ein Linienmultiplett, sondern eine einfache Linie mit normalem Zeemaneffekt magnetisch zerlegt_ Die genaue experimentelle Erforschung des Phanomens ist noch im Anfangs­stadium, dasselbekann auch von demtheoretischen Verstandnis des Paschen­Backeffekts gesagt werden. Nur ftir die Dubletts existiert eine mit der Erfahrung nahe tibereinstimmende formale Theorie, die Koppelungs­theorie von WOLDEMARVOIGT (22), die vonA.SoMMERFELD (20) in quanten­theoretisch formales Gewand gekleidet werden konnte. Eine modell­mal3ige Deutung der Zeemaneffekte und Paschen-Back-Verwandlungen iin Zusammenhang mit der Multiplettstruktur der Terme hat W. HEISEN­BERG (9) unternommen, jedoch ist trotz mancher vielversprechender Er­folge seine Theorie nicht zur Erklarung des jetzt vorliegenden Tatsachen­materials geeignet, und es scheint, dal3 die notige Modifikation der mecha­nisch-elektrodynamischen Prinzipien in der Quantentheorie in wesentlich anderer Weise vorzunehmen ist, als es von HEISENBERG versucht wurde. Auch hier ist weiterer Fortschritt vor allem von der eingehenden experi­mentellen Durchforschung des Gebiets zu erwarten 1).

§ 8. ModellmaBige Ansatze. Zum Schlul3 mtissen wir, obwohl die betreffenden Fragen zur Zeit in

einem ganz unabgeschlossenen Stadium sind, noch kurz auf die modell­mal3igen Vorstellungen eingehen, die von der Multiplettstruktur der Terme und ihrer anomalen magnetischen Termaufspaltung nahegelegt werden. Denkt man sich das Atom bestehend aus einem aul3eren (im Fall einer Quantenemission springenden) )Leuchtelektron« einerseits, und dem von ihm umkreisten Komplex der tibrigen inneren Elektronenbahnen, der als )Rumpf«bezeichnetwird, andererseits, so kann die Bahnebene des Leucht­e1ektrons gegen die invariable Ebene des Rumpfes noch verschiedene Orientierungen haben, ftir die aber nach einer Quantenregel nur bestimmte ausgewahlte Neigungen zulassig sind. Nennt man K die Drehimpuls-

1) Ein wichtiger ScOOtt zur fonnalen Beherrschung des Paschen-Back-Effekts bei der ganzen in § 6 behandelten Klasse von Multipletts ist soeben von W. PAULI (Zeitschr. f. Pbys. 1923, 16, ISS) erreicht worden. PAULI kann mit Hilfe einer ein­fachen Regel zu jedem Zeemanterm mg seinen normalisierten Paschen-Back-Term hin­schreiben. Umgekehrt IllIIt slch daher aus dem einfachen Schema 'der Paschen­Back-Terme das kompliziertere Schema der Zeemanterme gewinnen.

184 ALFRED LANDE

Fortschritte heim Zeemnnefl"ekt.

quantenzahl des Leuchte!ektrons, R die des Rumpfes, so muB auch die Vektorsumme dieser beiden Drehimpulse als gesamter Drehimpuls des Atoms durch eine Quantenzahl J bestimmt sein. Man kann sich nun, wenigstens in groBen Ztigen, von der Vielfachheit der Multipletterme (Strukturregel), den relativen Schwingungszahlabstanden der zu einem Multiplett gehorenden Terme (Interval1rege!) und in gewisser Weise auch von den Zeemanzerlegungen(g. Forme!) Rechenschaft geben, wenn man die oben eine so groBe Rolle spie!enden Zahlen,k, r, i (""""mmax) mit den eben angegebenen Quantenimpulsen in Zusammenhang bringt. DaB der Aufspaltungsfaktor g nicht den normalen Wert g == I (vgl. Tab. 2 des normalen Zeemaneffekts, wo dW 10k stets gleich mist) hat, sondern gebrochene Werte annimmt, deutet auf ein Versagen der klassischen Mechanik und Elektrodynamik in einem vie! weiterem MaBe hin, als es selbst die Quantentheorie bisher postuliert hat. Denn auch auf Grund einer quantentheoretischen Betrachtungsweise gelangt man ja, wie in § 2, selbst bei beliebig komplizierten Elektronensystemen im Atom stets zum normalen Zeemaneffekt.

Die offenbar notwendige aber noch unbekannte Modifikation der Grundprinzipien, auf die der anomale Zeemaneffekt so eindringlich hin· weist, verspricht freilich die tiefsten Aufschltisse tiber den Mechanismus des Atombaues zu geben; dabei deuten alle Anzeichen darauf hin, als ob die endgiiltige Losung dieser Fragen im Prinzip dicht vor der Tiir stande. Speziell eine Reihe von Fragen aus dem Gebiet des Magnetismus harren hier ihrer Aufklarung, besonders die Frage, ob das magnetische Moment eines Elektronensystems (bewegte Ladungen e) in gewohnlicher Weise aus dem mechanischen Drehmoment (bewegte Massen ~t) berechnet werden darf, so wie es die dem LARMoRschen Satz angeschlossene Gleichung (6) fordert. Nicht nur der anomale Zeemaneffekt, bei dem eine Durchbrechung (II) von (6) in der Form dW/k = m·g·o (g =1=1) auf tritt, verneint die Anwendbarkeit der gewohnten Prinzipien, sondern auch die magneto· meckaniscken Versucke von EINSTEIN, DE HAAS und BARNETT (3) und ihrer N achfolger, welche nach Ausweis genauer Beobachtungen einen anomalen Effekt ergeben im Sinne eines Quotienten g = 2 zwischen dem normal zu erwartenden und dem wirklich auftretenden magnetischen Moment gedrehter Massen. Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Bearbeitung dieser Fragen konnen die Experimente von STERN und GERLACH (21) tiber magnetische Ablenkung von Atomstrahlen geben.

Literatur. I. BACK, E.: Ann. d. Physik 1923, 70, 333. 2. - Zeitschr. f. Physik 1923, IS, 206. 3· BARNETT, V. J.: Phy.iknl. Rev. 1915, 6, 239. 4. BOHR, N.: Kg!. Dnnske Vidensk. Selsk. Skrifter, Kopenhagen 1918. 5. CATALAN, M. A.: Philosoph. Trans. Roy. Soc. 1922,223, 177.

Ergebn. der exakten Naturwissenschaften. II. II

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

162 A. LANDE: Fortschritte beim Zeemaneffekt.

6. DEBYE, P.: Physikal. Zeitschr. 1916, 17, 507. 7. GIESELER, H.: Ann. d. Physik 1922, 69, 147. 8. GOTZE, R.: Ann. d. Physik 1921, 66, 285. 9. HEISENBERG, W.: Zeitschr. f. Physik 1922,8,273.

IO. LANDE, A.: Zeitschr. f. Physik 1921,5,231. II. - Ibid. 1923, 15, 192. I2. - Verhand!. d. dtsch. Physikal. Ges. 1921,21,585. I3. VAN LOHUIZEN, T.: Amsterdam. Akad. Mai 1919. I4. LORENTZ, Z. A.: Versuch einer Theorie der elektr. und opt. Erschein. in bewegten

Korpern, Leiden 1895. IS. PASCHEN, F. und BACK, E.: Ann. d. Physik 1912,39,897. I6. - Physika 1921, 1,261. I7. RUBINOWICZ, A.: Physik.!. Zeitschr. 1918, 19,441. I8. SOMMERFELD, A.: Physika!. Zeitschr. 1916, 17,491. I9. - Ann. d. Physik 1920,63, 121. 20. - Zeitschr. f. Physik 1922, 8, 257. 2I. STERN, O. und GERLACH, W.: Zeitschr. f. Physik 9,349,353. 22. VOIGT, W.: Ann. d. Physik 1913,41, 403. 23. ZEEMAN, P.: Amsterdam. Akad. 1896, 31. Okt.

185

186 PAPER 36

Zur Theorie der Rontgenspektren. Von A. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 12. Juni 1923.)

391

§ 1. Die einheitliche Systematik del' Rontgenterme, welche neuerdings besonders von G. Hertz und M. Siegbahn und seinen Schiileru gefordert und in den Untersuchungen von Cos t e r nnd Wentzel zum Abschlull gebraeht wurde, ist bisher nieht ganz von entspreehend einheitliehen theoretiseheu Ansichten iiber die zu· grunde liegenden Atommodellzustande erganzt worden. Zwar hat die formale Analogie des Qnantenzahlsehemas del' Rontgenterme mit den Quantenzahlen del' B 0 h I' schen Elektronen~chalen zu bestimmten Vor6tellungen gefiihl't, in welch en Gruppen und Untergruppen sich die Liicken befinden, die zu den einzelnen Rontgentermen Anlall geben, abel' nnr soweit die von Bohr und Coster l ) als "normale" Niveans bezeiehneten Rontgenterme in Betracht gezogen werden; es sind das die Terme K, Ll L s, Ml Ms M5 usw., bei denen die Quanten­zahlen kl und k2 in del' Bezeichnnng n(klk2} von Bohr und Coster [d. h. m und n in der Bezeichnung k(m,n) von Wentzel] einander g leieh sind. Aueh von den Intervallen zwischen je zwei normalen Niveaus und den sie beherrschenden GesetzmaJ.\igkeiten als Snmme aus eiuem "A bschirmungsintervall" und einem So m m e rf e I d schen "Relativitatsiutervall" konnten Bohr und Coster auf Grund des Schalenaufbaues in weitem MaLle Rechenschaft geben. Fiir die "anornalen" NiveauR kanu dagegen "nach dem jetzigen Stand del' TheOl'ie keine vollstandige Erklarung gegeben werden" 2); es sind das die Terrnzustande L 2, MsM" N2N,Ne usw. mit k2 = kl -1, welche von dem normalen Naehbaruivean desselben kl durch ein Relativitatsintervall, von dem normalen Naehbal'lliveau desselben k2 durch eill Abschirmungsintervall getrennt sind.

Will man in diesel' Frage waiter kommen, so ergibt sich sofort die Alternative: a) Entweder entsteht der "anomale" n (kl k2)-Term dureh Entfernung eines nkt-Elektrons, b) odeI' eines nk,-Elektrons aus dem Atom.

Fiir a) und gegen b) abstand n(klk2) - n(k2k2)'

spricht del' A b se h irm u n gsd u bl ett­Fur b) und gegen a) sprieht del'

1) N. Bohr nnd D. Coster, ZB. f. Phys. 12, 842, 1928. ~) Ebend .. B. 364.

Reprinted from Z. Phys. 16, 391-396 (1923).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 187

3U A.L~~

Relativitiitsdublettabstand n(k,k2) -n(k,k,). gegen b) sprechen aber die Auswahlregeln

Fur a) und

I'k2 + 11 k l'kl + 1 k k l\;.kl _ 1 2~ 2 f

\;.k2 - I J (I)

welche k, als azimutale, k2 als "innere" Quantenzahl zu erkennen geben. Fur a) und gegen b) sprieht weiterhin (s. nnten) die Struktur (Vielfaehheit) der Rontgenterme, welche gegeben ist durch

k2 = kl und k2 = kl - 1 fur kl = 2, 3, 4 ... 1 k2 = k, fur kl = 1. f (2)

Wiihrend also die GroDe der Termintervalle teils fur, teils gegen a) und b) zeugt, wird durch die Auswahlregel die Alternative a) bevorzugt. Gegenuber Intervallabschatzungen, die nach dem heutigen Stand der Theorie auch in ihren Grundzugen noch als unsicber gelten konnen, fallt nun das viel allgemeiner und sicherer fundierte Argn­ment der Answahlregeln entscbeidend in die Wage, hier also zugunsten del' Anschauung a). Die folgellden trberJegungen wollen diese VOl" stellnng noch von zwei anderen Seiten hel' stutzen.

§ 2. Znnachst moge versncht werden, ohne auf Intervall­beziehungen und Auswahlregeln einzugehen, ein aUgemeines Bild fiber das Zustandekommen der normalen und anomalen Rontgellterme zu gewinnen, wie man es im AuschluJ3 an Kossels Vorstellungen auf Grulld des Bohrschen Schalenbanes erwarten kann.

DaD jede Elektronenschale des Atoms im a b g esc h los sen en Zustand im ganzen dell Drehimpuls Null 1) hat (mit Aus­nahme del' innersten I,-Schale mit dem Impuls Ih/2n), geht nieht nul' aus den periodisch wiederkehrenden Grundzugen del' optischen Spektren beim FOl'tschreiten im periodischen System hervor, sondern auch ans del' speziellen Multiplettstrnktur, den Intervallbeziehungen und Zeemaneffekten ihrel' Terme. - Es werde nun z. B. von den sechs Elektronen der impulslos abgeschlossenen 32-Schale eins hemus­gerissen, so daD die funf ubrigen sich zu einer neuen Konfiguration zusammenschlieJ3en. Aug mehl'eren Grunden wurde man erwal'ten konnen, daJ3 diese neue Konfiguration bestehe aus einer impulslos abgeschlossenell 32 - Schale mit 6 - 2 = 4 Elektrollen und dazu einem isolierten 32-Elektron fur sich. Ebellso konnte man allgemdn eI'warten, daJ3 bei Entfernung eines Elektrons aus einer impulslosen nk-Schale sich die ubrigen zu der nachstniedrigeren (zwei Elektl'onen

1) Diese Eigenschaft besitzen auch die Wiirfel- und Tetraederbahnen, die Verf, 1918 und 1919 vorsehlug und deren Modifikation wir in Bohrs raumlichen 8chslen wiederfinden.

188 ALFRED LANDE

Zur TheoL"ie der Rontgenspektren. 393

weniger enthaltenden) impulslosen IIk,Konfiguration und einem flk,Elek· troll fiir sich zusammenfinden; letzteres konnte man als das "Leucht, elektl'on" des Rontgenterms bezeichnen. Das .Atominnel'e in einem solchen Rontgentermzustand hat dann suller impulslosen Bchalen noch die innerste II,Bchale vom resultierenden ImpulB 1 und das Rontgen, leuchtelektron I) vom Impuls k. Del' Bachverhalt ist also analog den optischen Termzustanden der Dubletterme z. B. des Na·.Atoms: eine innerste II,Bchale vom Impuls 1, mehrere abgeschlossene Bchalen vom Impuls 0 und ein auJ3el'es I,euchtelektron 2) vom Impuls k .

.Analog dem Na wird man demnach auch bei den Rontgentermen z wei Bahnstellungen des Rontgenleuchtelektrons k gegen den innersten Rumpfimpuls 1 el'warten, indem k nnd 1 sich zu zwei verschiedenen Werten j des resultierenden Impulses vektol'iell zusammensetzen konnen. Eine .Ausnahme mull dabei fiir den niedrigsten Wert k = 1 auf­treten, bei dem bloll eine Btellung moglich ist, eben so wie beim Na del' El-Term einfach ist.

Danach ware jeder Rontgenterm chal'akterisiert dUl'ch drei Quantenzahlen, namlich II als Hauptquantenzahl, k als azimutale Quanten­zahl des Rontgenleuchtelektrons und j als resultierende Quantenzahl aus k und dem Impuls 1 der lcSchale. Wir haben hier eine spezielle Fassung der 0 ben unter a) genannten V orstellung: bei Entfernung eines Elektrons ans der flk' Bchale konnen jedesmal zwei Rontgen­terme n(k,j=k) und n(k,j=k-l) anttreten 3); sie sind zu identifizieren mit den Termen n (kl' k2 = kt) und n (k1, k2 = kt - 1) von Bohr und Coster; speziell fiir den niedrigsten Wert von kl (= k) entsteht nul' ein Term kl = k2 (k = j).

Bei dieser Identifizierung kt = k, k2 = j ergeben sich demnach obne weiteres:

1. Die Multiplettstruktur der Rontgentel'me:

j = k und j = k - 1 fiir k = 2, 3, 4 '" j = k fiir k = 1

2. Die Auswahlregeln in der bekannten Form:

,,,,;;rk + 1 \,;"k-l

identisch mit (1) und (2).

i+ 1 .J" . .1~

j-I

I) Die folgenden Betrachtungen wiirden sich nur unwesentJich iindem, wenn man der ionisierten "k,Sohale als Ganzes den Drehimpuls k liiJlt, statt obige "pezielle Aufteilung von k zwischen ,ROntgenleuchtelektron« (/,;) und zweifaeh lonisiertem Schalenrest (0) anzunebmen.

2) Bzw. eine ionisierte Schale vom Impuls k. 8) Nach neueren VOl'stellungen Boll j = k ± 1/2 sein.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 189

394 A. Lande,

Stellt man in Tab. 1 die den Hauptquantenzahlen tlkj = n(k} k2)

zugeschriebenen Rontgen- und optischen Terme zusammen, so wird die vollstiindige Analogie der Rontgenspektren zu den optischen Dublett­spektren mit ihren Haupt- und Nebenserien, zusammengeBetzten Du­bletts usw. besondera deutlich.

Tabelle 1.

K Lr Ln LlIr I Mr MIl MIlr }drv Mv "kj 111 211 221 222 I 311

321 322 382 388

B 2 ~ 2112 2111 H 3 +'2 3 VI 3 b2 3 b1

§ 3. Ais drittea Erfordernis fehlt jetzt die Ableitung der Inter­vallbeziehungen, speziell ein Verstiindnis der Tataache, daB die Dubletts n (ku k2 = kl ) - n (kll k2 = k1 - 1) "relativistisch" er­scheinen.

Auch bei dieser Frage kann die obi~e Vorstellung weiter­leiten, daB die erwiihnten "anomalen" Dubletts wesensgleich seien mit den optischen Dubletts bei Na, Mg+, AI++ und nur unter anderen Kernladnnga· und Abacbirmungsverhiiltnissen zustande kommen. (Durch diese V oratellung wird die Auffassnng, daB die 1ntervalle zwischen je zwei "normalen" Niveaus sich ala Sum me eines Abschirmungs­und eines echten Relativitiitsdnbletts darstellen, in keiner Weise be­riihrt.) Die Kellntnis der optischen Dubletts ist neuerdings durch F. Paschens 1) Auffindun.!!; des AI++-Spektrums wesentlich ge­fordert worden. Pasch en gibt fiir die Schwingungszahlenintervalle L1 v = m ~2 - m ~1 folgende Zusammenstellung:

Na (Z = 11) II Mg+ (Z = 12) AI++ (Z = 13)

Ta belle 2 fur LI v = m V2 -m .pl'

17,18 91,55

238

5,49 30,5 80,13

2,49 14,1 39,15

1,50 7,6

20,59

Befriedigende Rechnnngen iiber die modeUmiiBig zu erwartende GroBe dieser optischen Dubletts in Abhiingigkeit von der Kern­ladnngszahl Z und der Laufzahl m liegen nicbt vor. 1st aber die in § 2 vertretene .Analogie der optischen Dubletts mit den "rela­tivistischen" Rontgendnbletts richtig 2), so miiBten auch die optischen

1) F. Paschen, Ann. d. Phys. 71, 142, 1923 (Kayser·Heft). 2) A. 80m merfeld hat 1916 versucht, da8 Li· Dublett relativisti8ch ab­

zuleiten. DaB dies gelang, trotzdem, wie wir heute wissen, die A.lkalidubletts eineu ganz anderen Ursprung haben, scheint eine Stutze fiir die obige Analogie zu sein.

190 ALFRED LANDE

Zur Theorie der Rontgeuspektren. 395

Dubletts mit der vier ten Potenz einer abgeschirmten Kernladungszahl Z - s anwachsen 1) und durch Extrapolation Anschlu.13 an die be­treffenden Rontgendubletts gewinnen. Nun laJ3t sich Tabella 2 an­genahel't darstellen dnrch

Tabelle B.

wobei die Bohrsche Elektronenanordnung bei diesen optischen Termen schematisch dargestellt ist durch

(3)

EinigermaLlen vel'gleichbare Verhaltnisse im Atominnern liegen vor bei den ROlltgentermen LI! und Lm' fiir welche nach der oben vertretenen Ansicht gemeinsam das Elektronenzahlschema

2xlI , 4x2" 2x22 , 22"" (4) gilt. Die Abschirmungszahl s ist in (4) \lm zwei geringer als in (3) zu nehmen, also (Z -7)< einzusetzen. Die 22 -Bahn des Rontgen­leuchtelektrons ist ferner vergleichbar del' 32 - Bahn des optischen Leuchtelektrons (letztere ist ja effektiv einer nngest6rten 22 -Bahn aquivalent, wah rend bei groJ3erem Z im Atominnern eine 22-Bahn relativ wenig gestort ist). Tabelle 4 vergleicht demgemiiJ3 die Extra­polation des optischcn 32 - Du bletts mit dem Du blett Ln Lm L2 LI bei verschiedenen Z nach Bohr und Coster (I. c.).

z 27

1,6.105 1,2.105

Tabelle 4.

47

26 . 105 13. 105

67 87

410.105 210. 105

Die Extrapolation gibt also die richtige GroJ3enordnuog; zahlen­miiLlige Obereinstimmung ist wegen der Verschiedenheit del' Vel'hiilt­Disse [vgl. Gleichuog (3) uud (4)!] oicht zo erwarten und wiirde nul' einer zufiillig passenden Wahl del' Abschirmungskonstanten zu ver­danken sein.

Fiir die Rontgentermzustaode Mn Mill = M, Ma gilt das Schema del' Elektronenzahlen:

2 XII' 4 X 2j) 4 X 22, 6 X 31, 4 X 32, 3.,... (5)

I) Nimmt man mit Rosdestwensky und Reisen berg einen magne­tischen Ursprung diesel' Dubletts an, so ergibt sich ein Anwachsen mit del' dritten Potenz, falls andere Stornngskrafte vernachliissigt werden.

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

396 A. Lande, Zur Theorie der ROntgenspektren.

Die Abschirmungskonstante s ist in (5) um 10 groJler als bei den optischen Termen (3); die Rontgen-32-Bahn ist mit del' optischen 4g -Bahn vergleichbar (a. oben). Danach erhalt man die Vergleicha­tabelle:

Ta belie S.

Z 59 69 79 89

jJ.(Z-19)' '1 8.105 21.10· 43.10· 80. 10·

U-MU[ • I 7. lu. 16.10· 33.10· 52.10·

Fiir die Rontgenterme Nn ~n = No N. gilt das Schema del' Elektronenzahlen:

2 X II' 4 X 21, 4 X 2l1, 6 X 31, 6 X 3g• 6 X 3s, 8 X 410 6 X 42• 42•••• (6)

s iat in (6) urn 32 groJler ala bei den optischen Termen (3); die Rontgen-42 - Bahn ist del' optischen 511-Bahn vergleichbar. Man hat demnach die Vergleichstabelle:

z %.(Z-41)4 :NII-NIII .

Tabelle 6.

71 81

4.5.10· 6,1 . 10·

91

11 .10· 17.10·

Die Dbereinstimmung del' GroJlenordnung ist auch hier bemerkens­welt; irgend eine zahlenmaJlige Annaherung darf bei der ganz rohen Extrapolation von den optischen Dubletts zu den unter andersartigen Umstanden entstehenden Rontgendnbletts llicht erwartet werden. Daa Ziel der letzten Vergleichstabellen ist vielmehr nur, zu zeigen, daJl fUr die Altel'llative a) und apeziell fiir die Verwandtschaft der optischen mit den relativistischen Rontgendubletts (§ 2) nicht nllr die Multiplettstruktur und die Answahlregeln del' Rontgenterme spricht, sondem auch die Intervallbeziehullgen nicht von vom­herein als offensichtliches Gegenargument angefiihrt zu werden brauchen, vielmehr Anzeichen vorhanden sind fiir eine Verwandtschaft diesel' Rontgendubletts mit den optischen Dublett8 auch auf Grund del' Dublettintervalle. Dadurch wird die Auffassung, das Interval! zwischen je zwei normalen Niveaus aei die Summe aus einem Ab­achirmungs- und einem echten Relativitiitaintervall, in keiner Weise beeintrachtigt.

Ein weiteres Argument fiir die obige Auffassung gibt daa Spek­trum des N eons, dessen Zeemaneffekte aowohl bei den zu L1 analogen wie bei den zu LlI analogen Termen (Grotrian) auf eine Zerstorung dar Lg -Schale hindeuten. V gl. die binnen kurzem erscheinende Note.

191

192

292

PAPER 37

Zur Struktur des NeonspektruIDs. Von A.. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 5. Jn1i 1923.)

Das von Paschen 1) nach Vorarbeiten von Watson und Meissner analysierte N eonspektrum zeigt 4 s'-Termfolgen, 10 p-Termfolgen und 8 d-Term- nebst 4 s'-Termfolgen, deren Benennungen, "innere" Quantell­zahlen j und magnetische Aufspaltnngsfaktoren 9 in Tabelle 1 zu­sammengestellt sind. Die g-Werte der s- und p-Terme grlinden sich 2) auf die experimentellen Ergebnisse von Lohmann, Takamine und Yamada, die g-Werte der d- und s'-Terme sind noch nnbekannt.

Tabelle 1.

Ll L2 II S. S5 '3 82

II

j 1 2 0 1 j 9 % % °/0 1 9

Ps P7 P'0 P6 1)8 P9 P, Po P2 P.

II ~ j 0 1 1 2 2 3 0 1 1 2

9 % % 1 7/6 % 4/S % 1 % %

d. d. d2 d3 d" d" d' d~ 8' s~' S"" f...,I" --II~ 1 1 1 1 "' j 0 1 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3

Die Terme zerfallen in zwei Gruppen, von denen die eine der Ri tzschen Formel genligt, die andere erst dann, wenn man die Wellenzahl 780 cm-1 hinzuaddiert. Nach Grotrian S) gibt Llv = 780 cm-1

die Extrapolation des L-Dn bletts der Rontgenspcktren flir Z = 1 0 (Neon), 80 daE die in Tabelle 1 links zusammengestellten Terme dem Rontgen­term L" die anderen L2 zugeordnet sind.

Es scheint nun, daE diese Neonterme den Anfang eines Qnintett­~ystems, zweier Triplettsysteme und eines Singulettsystems bilden, da sie in folgender Tabelle 2 mit ihren j-Werten unterzubringen sind, und zwar L, flir sich llnd L2 flir sich (die b - Terme sind nicht analysiert). Fraglich bleibt aber die Einzelznordnung der Terme von Tabelle 1 zn den Stellen der Tabelle 2, z. B. ob P5 zum Triplett- und P2 zum Singulettsystem L2 gehort oder umgekehrt.

1) F. Paschen, Ann. d. Phy •. 60, 405, 1919; 63, 201, 1920. 2) A. Lande, Phys. ZS 22,417,1921. 3) W. Grotrian, ZS. f. Phys. 8, 116, 1922.

Reprinted from Z. Phys. 17,292-294 (1923).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

A. Landj\, Zur Strnktnr des Neonspektrnms. 293

Tabelle 2.

Quintett I Triplett Triplett I Singulett

.. 2

I

1 1 I 0 8

P 1 2 3 0 1 2 0 1 2

I 1 P

,t 0 1 2 S 4, 1 2 3 1 2 3 2 d (I,) 1 2 S 4, 5 2 3 4, 2 3 4, s (b)

L1 L2

In der ZuordnnngstabeUe 3 ist daher moglicherweise die Stellung der dort eingeklammerten Terme zu vertauschen, namlich P10 mit 1'7, Pe mit Ps, PB mit p&. Dasselbe gilt fiir die zugllhBrigen g-Werte dieser Terme, soweit sie in Tabelle 3 eingllklammert sind.

Tabelle S.

Quintett Triplett Triplett Singulett

Terme 86 8, 82 88 (P7) (Pe) Pa P3 (P1O) (PS) P1 (Pi) p, (p&)

% % 1 % (%) % % % (1) % % (%) '/s (1)

s 0 2 0 2 0

L1 L2

Auch ohne dall diese Sonderzuordnung im einzelnen mit Sicber­beit gelingt, erkenntman doch, daLl die magnetischen A ufspaltungs­faktoren g hier ganzlich andere sind, als bei der Klasse von Multipletts, welcbe Verfasser kiirzlich nacb Struktur, Intervallbeziehungen und Zeemaneffekt zusammenfassend behandelte 1). Welchen formalen Gesetzen diese neuen g-Werte geniigen, kann wohl erst nach einer eingebenden magnetischen U ntersuchung der d - und s'-Terme des N eons sichergestellt werden, wobei vielleicht auch die obigen g-Werte eine Nachpriifung verdienen. Denn es ist keineswegs sicher, ob sicb ihre Darstellung dUl'ch so kleine Rungesche Nenner aufrecht er­halten lassen wird.

Charakteristisch fiir jene friihere Multiplettklasse war, daLl der ge· flamte Drehimpnls (,1) des Atoms auller vom nk-Leuchtelektron nnr von Rnmpfelektronen des Drebimpulses k = 1 geliefert wurde (ab­geschlossene Schalen geben keinen Beitrag zum Drehimpuls des Atoms). In einigen, wenn nicht sogar in allen optischen Ttll'mzustanden des Neons dagegen ist anzunehmen, dall das Leuchtelektron aus der 22 - Schal(> herausgehoben ist, wahrend die zuriickbleibenden drei

1) A. Lande, ZS. f. Phys. II), 189, 1923.

193

194 ALFRED LANDE

294 A. Lande, ZUI St.-uktUI des Neonspektrums.

Elektronen k = 2 jetzt zum Rumpfimpuls beitragen. Traten nun friiher die einquantigen Rumpfdektronen in anomaler Weise mit doppelter magnetischer Energie in Erscheinung [vgl.Zdie g·Formel (21') 1. c.], so werden jetzt die hoherquantigen Rumpfelektronen dem Atom wesentlich andere anornale magnetische Eigenschaften verleihen. Diese Oberlegung gab mit den AnlaJl zu einer Untersuchung der Zeemaneffekte im Pb-Bogenspektrnm durch Herrn Back; denn das zu vorletzt gebundene Elektron im Blei (Z = 82) hat den Impnls k = 2, da derGrundterm des Thalliumspektrums (Z = 81) ein p,-Term istl). In der Tat zeigen die bisherigen Ergebnisse von Back lauter neue g-Werte. DaJl auch abgesehen von ihrem Zeemaneffekt die Multipletts bei Ne, Pb usw. vou anderer Art als die fruher be­handelten sind, geht auch aus dem Versagen der einfachen Intervall­proportionen hervor: Beirn Neon z. B. (Tabelle 3) folgen die Term­wellenzahlen innerhalb jedes Multipletts schein bar regellos aufeinander.

Aus Tabelle 3 scheint hervorzugehen, daJl beim Neon nicht nur die L1-Terme, sondern auch die L,-Terme durch Heraushebung des Leuchtelektrons aus der 22.8 c hal e entstehen. Denn wurde das L,-Triplett­system eine zerstorte 2, - 8chale im Rumpf besitzen, so solIte seine magnetische Aufspaltung die des gewohnlichen Triplettsysterns wie beim Si-8pektrum2) sein. Wir sehen so in den Zeemaneffekten des Neons eine 8tiitze fur die vom Verfasser vertretene Auffas8ung uber die Natur der Rontgente,·mzllstiinde, nach der u. a. sowohl Lx wie L2 (LIlt wie LJ[) durch ZersWrung der 22-8chale, und nur La (L,) durch ZerstOrung der 21 -8chale zustande kommt, was auf Grund der AU8wahlregeln und 8trnktur der Rontgenterme zu fordern war, obwohl die IntervalIbAziehungen dem Anschein nach ebensoviel fur wie g e g en diese Auffassung sprechen.

1) w. Grotrian, ZS. 12, 218, 1922. 2) F. Paschen und E. Back, Ann. d. Phys. 40,986, 1913.

PAPER 39

A. Lande (TUbing en). Schwierigkeiten in der Quantentheorie des Atombaues. besonders magnetischer Art.

Die Bohrsche Theorie nimmt an, daB die mechanischen Grundgesetze wenigstens in den stationiiren Zustanden der Elektronensysteme giiltig seien. Man versuchte deshalb die Quantenbahnen mit Hinzuziehung der astro­nomischen Storungsmethoden zu berechnen. Aber besonders Bohr selbst hat oft darauf hingewiesen, rla~ wir vorbereitet sein miissell, nieht einmal be1 den stationaren Quantenbahnen die mecha· nischen Gesetze besditigt zu finden, jedenfalls wenn es sich urn gekoppelte Systeme handelt, d. h. urn Systeme mit mehr als einem Elektron. Und in der Tat ist man bei dem einfachsten gekoppelten System, clem He-Atom, zwar zu einem ungeHihren Bild liber die den verschiedenen Spektraltermen zugrunde liegenden Bahnen ge­langt, im einzelnen endigten aber die graB­angelegten storungstheoretischen Untersuchungen Uber die Heliumterme von Kramers van Vleck Kemble l Born und Heisenberg'tnit der Er: kenntnis, dafl die Mechanik hier versagt. Nach d.iesem ~~gativen Resultat ist es umso wichtiger, eme posltIve Grundlage zu bekornmen, urn die im Atom wirkenden Gesetze der noch unbe· kannten "Ersatzmechanik" Zll finden. Es scheint nun, dafl neuere Ergebnisse iiber die Multiplett-

Reprinted from Phys. Z. 24,441-444 (1923).

struktur und den Zeemaneffekt der Spek­tralterme wenigstens einige r:ingerzeige in dieser Richlung bietcn, zusammen mit dem magneto­mecho.nischen Effekt von Barnett und Einstein-de Haas und dem Atomstrahl· versuch von Stern und Gerlach.

Angriffspunkte fiir die gesuchte M"Jifikation der Mechanik k6nnen besonders solche Eigen­schaften der Elektronensysteme bieten, bei denen offene WidersprUche gegen die gewohnten Quan­tenregeln zutage treten. Einige dieser Wider­spriiche solIen im Folgenden zusammengestellt werden, und zwar in etwas apodiktischer Form, tr~tzdem die zugruncle liegenden Vorstellungen kemeswegs endgiiltige Kliirung und Anerkennung gefunden haben, sondern nur die nach Ansicht des Vortragenden einfachste und formal durch­sichtigste Deutung der spektroskopischen und rnagnetischen Erfahrung darstellen.

Das Impulsvektorgeri.ist des Atoms HiBt sich beschreiben durch den Drehimpulsvektor R des Atomrumpfes (im Mafl hI2"'), den Dreh­lmpuls K des iiuflersten Valenz- oder Leucht­elektrons, und den aus den Vektoten R und K resultierenden Drehimpnls J des Atoms als Ganzes. Khat zur Verfiigung die Quantenzahlen

K='/" 'I" '12, '/2'.· (I) und gibt dann AnlaB zu einem

s, p, d, t, ... -Term.

195

196 ALFRED LANDE

2 Lande, Schwierigkeiten in der Quantentheorie des Atombaues. Physik.Zeitschr.XXIV, 1923.

R hat zur Verfiigung die Quantenzahlen

R = 11., 'I., 8/" 'I.... (2)

und giht dann AniaB zu einem Singulett·. Dublett·, Triplet .• Quartett· .... ·Term. Das Vorkommen soleher (A) halber Quantenzahlen 1) ist der erste Widerspruch gegen die gewohnten Regeln.

Durch ~ektorielle Zusammensetz~ng von R und K unter verschiedenen Winkeln gewinnt man verschiedene Gesamtimpulsvektoren J. welche AniaB geben zu der ¥ultipIizitat der Terme'). Qu"ntentheoretisch erwartet man fUr J dano die Werte J=1(+](. R+K-I. R+K-2 .... bis [R - K [. Statt dessen finden sich empirisch flir J die Werte:

/=R+K - t. R+K-j .... bis IR-K[ +l. (3)

Befindet sich das Atom im auBeren Magnet· feld &'l. und bedeutet m = J cos (J &'l) die aqua· toriale Quantenzahl des Atoms, so erwartet man fiir m die Werte m~J. J - I, J - 2 .... bis (- J). Statt dessen findet man die Werte:

m=J-i. J-j .... bis -J+~. (4)

Es erscheint also nach (3) und (4) jedesmal (B) ein Wert weniger als erwartet 3).

Die magnetische Energie des Atoms im Feld Sj sollte normalerweise gleich m· 0 . h sein (0 = Larmol'frequenz). ist in Wirklichkeit

I) Halbe Quantenzahlen traten zUerst auf bei der Termanalyse der Zeemantypeo, namlich halbzahlige m. Heisenberg ftihr'e dazu in seinem (inz;wischen ver­lassenen) magnetoop;ischen Modell allch halbzahlige K nnd Rein, lieS aber J ganzz:l.hlig.

2) A. Lande, Verb. d. D. Phys. Ges. 21, 585, 19 19.

3) Bohr betrachtet nicht J, sondern J + 1/2 als Ge­sam tim puIs des Atoms (Kayserheft), erhalt also statt (D) jedt:smal zwei Werte 1Jl weniger als erwartet. Sommer­feld nimmt J - 1/2 als Gesamtimpuls an, urn dem Wider­spruch (B) ganz zu entgehen; es ist aber fraglich, ob nicht allgemeine Griinde des Atombaus letztere Annahme verbieten. U. a. steht Sommerfelds neuartiger Ver­such (Ann. d. Phys. 70, 32, 1923) dell Gesamtimpuls des Atoms in geometrisch formaler Weise aDS dem Impu]svektor des unangeregten Atom~ und dem "Impuls· vektor der AnregungU zusammenzusetzen, in scharfem Gegensatz zu dem model] maBigen Deutungsversuch der Multipletstrnktur durch Zusammensetzung des Gesamt­impulses aus den Impulsvektoren der einzeInen Elcktronen­bahnen bzw. Bahngruppen (Rumpf und Leuchtelektron). In der saeben in dieser Zeitschrift erschient.nen Arbeit von Sommerfeld iiber "spektroskopische Magnetonen­zah1en~' werden die vom Verf. aus dem Zeemaneffekt spektroskopisch ermHtehen ProjektioneD der magnetise hen Momente auf die Feldrichtung zu einer Deutung der Magnetonen seIber herangezogen, welche von der frLiberen Deutung des Verf. und von der Doch andern Deutung Bohrs abweicht. Weiche der drei vorlaufig hypothetischen Magnetonenzahldelltungen die richtige ist, i[ann wahl eindeutig nach dem gegenwartigen Stand der Quantentheorie kaum entschieden werden (Anm. bei der Korr.).

aber. wie die Termanalyse der magnetischen Aufspaltungstypen zeigt. gleich

m·g·o·h. (5) mit (C) einem AufspaltungBfaktor If '*' 1. g hapgt dabei von R. K. ] ah (s. unten) und ist speziell bei den s·Termen (K = 1/.) gleich 2.

Wir erHiutern das Vorige an dem Versuch von Stern und Gerlach!). DaB hler zwei abgelenkte Atomstrahlen im Abstand ± I Ma· gneton. aber kein unabgelenkter Strahl auf tritt, deuteten Stern und Gerlach urspriinglich so. es besitze das untersuchte Silberatom (Dublett· s·Terrnzustand) I Magneton als magnetisches Moment und stelle seine Achseparallel (m= + I) bzw. antiparallel (111=-1), nicht.aher quer zum Feld (m = 0) ein. entsprechend dem be· kannten Querstellungsverbot von Bohr. Die spek· troskopischen Erfahrungstatsachen fiihren aber zu folgender anderer Deutung. Mit seinem ] = I

stellt sich das Silberatom nicht mit den Pro· jektionen m = + I unter AusschluB von m = 0

ein. sondern naCh (4) mit m = ± II,. Das Fehlen des unabgelenkten Strahls ist also nicht durch ein Ausnahmeverbot, sondem als SpezialfaU der allgemeinen Regel (8) zu erklaren. Obrigens ist Bohrs Querstellungsverbot nicht aufrecht zu erhalten. da jede Parallelkomponente in der BiJd· mitte beim Zeemaneffekt die Existenz der Querstellung m = 0 beweist. Zu m = ± 1i, beim Silberatom wiirde nun normalerweise eine Strahlenablcnkung von ± 'I, Magneton gehBren. Wegen (5) ist aber fiir die magnetischen Eigen. schaften nicht m, sondem 1n' g maBgebend, und gist, wie erwahnt, bei den s-Termen gleich 2,

daher m.g=±1/"2=::::I im Einklang mit Stern·Gerlach. Bei Quecksilberatomstrahlen (Singulett-S·Termzustand mit / = 1/.) erwartet man keine magnetische Ablenkung. weil nach (4) das Atom mit] = 1/, sich quer zum Feld stellt (m=o). Ebenso wird sich ein Heliumatom im Normalzustand (Parhelium·Singulett·S·Term ] = '/.) stets quer (m = 0) zu einem angelegten Feld &'l stellen und daher trotz seines Dreh· impulses] = 1/, keinen Paramagnetismus zeigen. Allgemein kann man natiirlich die verschiedenen maguetischen Momentkomponenten mg der Atome und lonen im Feld ohne wei teres aus den spektroskopisch bestimmten Zeemantermen mg voraussagen (Spektroskopische Bestimmung para· magnetischer Momentkomponenten = Zeeman· termbestimmung). ohne auf irgendwelche Modell· vorstellungen einzugehen. Der spektroskopisch gefundene Wert g = 2 bei den s·Termen findet eine weitere Auswirkung bei den magneto· mechanischen Versuchen, welche einen doppeltnormalen Effekt zeigen.

I) Stern u. Gerlach, Zeitschr. f. Phys. 9, 349 uod 353, 1922•

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Physik. Zeitschr.XXIV, 1923. Lande, Schwierigkeiten in der Quantentheorie des Atombaues. 3

Wir kommen jetzt zu einem weiteren Wider· sprueh, der sich am einfachsten zusammenfaBt in der Fornie!

(6) d. h. der Impuls eines +-Ions ist urn '/. Quantum kleiner als der Impuls desselben Ions, wenn es als Rumpf R des kompletten Atoms auftritt. Anders ausgedriickt: Trennt man Rumpf R und Leuchtelektron K eines Atoms durch Hebung von K auf immer hohere Erregungsstufen, so behiilt R seinen Impuls bel bis zu beliebig lockerer Bindung des K; sobald aber K ganz abgetrennt win!, wird der Impuls des zuriick­blelbenden Ions plotzlich nm '/. kleiner (Unter­schied zwischen unendlich lockerer Bindung und feblender Bindung des K). Die fundamentale Paradoxie dieses Resultates betont besonders Bohr'k indem er obige Fonnel (6) in der Gestalt

2J+~2R- I (7) betrachtet und damit sagt, daB die Zahl 2J+ der raumlichen Stellungen e1nes Ions im auBeren Magnetfeld urn I kleiner wird, sobald das Ion zum Rumpf Reines Atoms bei beliebig loser Koppelung des~ eingefangenen Valenzelektrons wild. Die Zahl der Stellungen von J+ bzw. R im Magnetfeld hangt niimlich eng zusammen mit dem apriorischen Gewicht des als J+ bzw. R auftretenden Elektronensystems.· Das funda­mentale Theorem der adiabatischen Inva.rianz der apriorisohen Gewichte (Eh r e n f est), welches eine Grundlage von Bohrs Aufbauprinzip bildet, ist also bei der Einfangung von Elektronen durohbrochen (D).

Ein weiterer ~Tiderspruch zeigt sich bei dem oben eingefiihrten Aufspaltungsfaktor g, der in schwachem auBeren MagnetfeId als Funktion der Quantenimpulse R, K, J zu· berechnen ist durch

3 R2_K2 g,ehwa<h = ;: + 2 (fa _ !-) - (8)

Diese Formel wiirde sich in der Gestalt

R cos (RJ) (8') gschwach = I + --J--

schreiben lassen, wenn nicht im Nenner von (8) (E) der Summand -'/. stande. Ohne dieses '/.,.­wiirde die unter (e) angefiihrte Anomalitat g 01= I

sich bei allen Multiplikationen auf die eine Annahme zuriickfiihren lassen, daB der Rumpf R mit doppelter magnetischer Energie auf tritt, also 2 R Magnetonen besitzt, wahrend das Leucht­elektron K in normaler Weise K Magnetonen besitzt. In starkem auBeren Feld gilt nach W. Pauli» die g-Formel:

I} N. BohT, Kayser·Heft, ADD. d. Phys. 71, 228, 1923. 2) W. Pa uJi, Zeitschr. f. Phys. 16. ISS, 1923.

gstark= m mK+zmR }

[ mK=Kcos(K~)] (9) m=mK+mk, mR= Rcos(R~) ,

bei der die verdoppelte magnetische Energie des Rumpfes durch den Faktor 2 an m,R rein zum Ausdruck kommt, ohne Storung durch das 'I,. Paulis Resultat laBt sich demnach so deuten, daB in stark em auBeren Feld die Meehanik in weiterem MaBe in Kraft bleibt ais in schwachem Fe!d: in letzterem tritt zu der in (A), (B), (D) erwahnten Modifikation der Quar.t:nbedin­gungen und der fiir (C) verantwortlichen Ver­doppelung des Rumpfmagnetons noch eine besondere Modifikation (E) der Mechanik, welche fortliillt, wenn das starke auBere Feld die gegenseitige Koppelung von R mit K iiber­tont; dabei wird dann R fur sich und K fiir sich im starken Feld ~ eingestellt mit den aquatorialen Komponenten [vgl. (4)]:

mR-~R-t. R-L .. _bis-R+i,\ ( ) mK~K-t.K-~,_ .. bis-K+,.r 10

Pauli zeigt, wie !llan aus den als bekannt vor­ausgesetzten Paschen~Back-Termwerten mgstark

die Zeeman-Termwerte mgschwach gewinnen kann (statt sie aus der g-Formel (8) zu berechnen), narnlich durch ein auf Heisenberg zuriick­gehendes Prinzip der "Permanenz der g-Summen"

19,t"k~lg,ehwach (R, K, m konstant). (II) J J

Wir fassen Panlis Methode zur Gewinnung der g,ehwach (Formel 8) aus den g";,,, (Formel 9) auf als einen Weg zur fonnalen 'Oberwindung der unbekannten Mechanik gekoppelter Systeme, mit Hilfe der Permanenz 4er g.Summen: Man berechne einen Serienterm v modeIlmechanisch unter Beriicksichtigung der Resultate (A), (B), (C), (D) zunachst in starkem iiuBeren Feld, wo er den Wert v + mg,,,,,k' 0 hat; nachtriiglich setze man formal statt des g" .. , das nach (8) bekannte zugehorige gschwach ein I Dabei muB man aber darauf achten, daB auch die Mittel­lage v des feldlosen Terms bei Anlegung des Magnetfeldes verandert wird. Nennt man nam­lich Vo den "Schwerpunkt" des Termmultiplets, so wird ein feIdloser Multipletterm bei v ~ Vo + r ro liegen, wobei ro eine fur aile Terme des Multi­plets gemeinsame FrequenzgroBe, r einen von J noch abhangigen Intervallfaktor bedeuten 5011, der den "Hebelarm lC vom "Schwerpunkt" Vo zum feldlosen Term v miBt. 1m auBeren Magnet­feld wird v dann vollstandig besehrieben durch

v ~ Vo + rro + mgo. (12) Ebenso wie g wird auch l' von schwachem zu starkem Feld verwandelt. Wieder postulieren

197

198 ALFRED LANDE

4 Lande, Schwierigkeiten in der Quantentheorie des Atombaues. Physik. Zeitschr. XXIV, 1923·

wir, daB in starkem Feld i mechanisch zu berechnen sei, namlich als MaB fUr die gegen­seitige Energie von R gegen K durch den cos (RK). In starkem Feld kommt- durch die unabhangige Prazession von R und K urn ~ nur der Mittelwert ' )

r""k = cos (RK) = cos (R~). cOS (K~) =\ =mR.mK ! (13)

R K in Betracht. Von diesem {stark gehen wir durch

I) Man Kann, wenn von der Modifikation (E) abge­seheu wird, den anomalen Zeemaneifekt daraur zuriick­fiihren, daB das Leuchte1ektron K mit normaler Larmor­frequenz 0, der Rumpf aber mit 2 () urn .\l prazessieren will. In schwachem auBeren FeId schlieSen beide den KompromiB, ihre Resultante J mit ff. 0 prazessieren zu lassen. In starkem Feld machen sich K und R uoab­han gig uud prazessieren mit 0 bzw. 20 fur sich urn i\ g jst ftir die Grundtermzustande (s-Term) gleich 2; damit hangt eng zusammen der doppeltnormale magneto­mechanische Etfekt nach Barnett, Einstein-de Haas und Beck. (Vgl. Zeitschr. f. Phys. 11, 353, 1922).

ein entsprechendes Prinzip der "Permanenz der r-Summen"

:::Er,"',k=:::Er"hwaoh (R, K, fit konstant) (14) J J

nach P a ~li s Rezept Zll dem zugehorigen Yschwach

tiber. Allgemein ergibt sich dann die Formel

l'+t-R'-K' 'Yschwach= --- 2RK-"'--) (IS)

welche mit der Intervallregel des Verf. im Einklang ist. Diese Formel wiirde sich in der Gestalt

/schwach = cos (RK) schreiben lassen, wenn im Zahler nicht (E) der Summand + I{, stande. Die beiden Perma­nenzprinzipien (I I) und (14) zeigen also nach dieser Auffassung einen Weg, urn die unbe­kannte Mechanik gekoppelter Termzustande formal zu umgehen auf dem Umweg tiber die bekannte Mechanik der Termzustande in starkem auBeren Magnetfeld.

PAPER 43

Termstruktur der Multipletts hoherer Stufe. Von .1. Lande in Tiibingen nnd W. Heisenberg in Giittingen.

(Eingegangen am 18. Mai 1924.)

279

1m Anschlull an die Struktur des Neonspektrums wird die Struktur der Multi­pletts hiiherer Stufe abgeleitet auf Grund eines Verzweigung sprinzips.

1m folgenden soIl die Multiplettstruktur, d. b. die Termvielfacb· heit und die Ordnung der "inneren" Quantenzahlen bei denjenigen Komplextermen besprochen werden, welcbe nicbt dem friiher be­handelten System 1) der Singulett-, Dublett- usw. Terme angehoren. Obwohl das N eonspektrum daB einzige bisber bekannte solcbe System darstellt, kann man docb die dort giiltigen Gesetze leicbt ver­aHgemeinern. Ais modellmalliges Charakteristikum fiir jene friiheren Multipletts, die wir als solcbe erster Stufe bezeicbnen wollen, wurde :angesehen, dall zum Drehimpuls R des Atomrumpfes nur Elektronen der niedrigsten azimutalen Quantenzabl (k = 1 in Sommerfelds, K = 1/9 in unserer Normierung) beitragen, indem die im Rumpf enthaltenen Elektronen als s-Terme gebunden wurden. Sind im Atomrumpf auch tI~-Elektronen mit k> 1 vorhanden, so miissen wir annehmen, dall die Termzustande des Atoms immer noch zur ersten Stufe geboren, wenn jene Impulsbeitrage k> 1 sich nach Grolle und Ricbtung gegenseitig fortheben, d. b. impulslos abge­scblossene Scbalen bilden (z. B. geben K und Nil. denselben Spektral­typus wie Li, weil die 2l -Bahnen sich dort in ibren Impulsen neu­traIisieren, e bell so die 29 -, die 31 - und die 39 - Bahnen). Tragt da­gegen zurn Rumpfimpuls auller tIl-Bahnen ancb eine flk-Babn mit k> 1 bei, indem eines der impulsbeitragenden Rumpfelektronen als p·Term oder d-Term usw. gebunden wurde, so gibt das Atom Multi­pletts zweiter Stufe. Tragen zwei flg-Babnen mit k>l zum Rumpfimpuls bei, indem etwa zwei Elektronen als p-Terme oder auch eines als p-Term und eines als d-Term usw. gebunden wurde, derart, daJl die Impulse sicb nicht fortheben, so gibt das Atom Multipletts dritter Stufe usw.; die verschiedenell Stufen bauen sich snkzessive aufeinander auf.

Ein Beispiel fiir ein KomplexBystem zweiter Stufe gibt das von Paschen analysierte Neonspektrum ll). Dieses liillt sich zwar nicht

1) A. Lande, Termstruktur und Zeemaneffekt der Multipletts. ZS. f. Phys. 11), 189, 1928 und 19, 112, 1928.

2) F. Paschen, Da. Spektrum des Neons. Ann. d. Phys. 60, 405, 1915 und 63, 201, 1920.

Reprinted from Z. Phys. 25,279-286 (1924).

199

200 ALFRED LANDE

280 A.. Lande uud W. Heisenberg,

beziiglich seiner Intervallverhiiltnisse und seines Zeemaneffektes, wohl aber beziiglich seiner Struktur (d. h. Vielfachheit und "innere" Qllantenzahlen J) zerlegt denken in ein Singulettsystem, zwei Triplett­systeme und ein Quintettsystem 1). Und zwar baut sich das Singulett­system und das eine Triplettsystem iiber dem Dublett - P2· Term des N eonions auf, das andere Triplett- und das Quintettsystem iiber dem Dublett-Pl-Term dcs Neonions2); dies ist angedeutet durch das in Tabelle 1 reproduzierte Schema der inueren Quantenzahlen J beim Neon:

Tabelle 1.

~2-~ 1~I-T~ S{~ % I ~ % p % % % % 1/2 ~ % % % % d % % % 7/9 I /2 % % 1/2 % % % % '

Neonatom:

Terme 2. Stufe

Neoniou ..

Dem Ne~-Term J = 1 entspringen (durch "Verzweigung" von J in J± 1/2) zwei Ne'8-Terme mit J = 1/2 bzw. 8/2, und dem Ne+­Term J = 2 entspringen zwei Ne·s-Terme mit J = % und J = 5/2,

Diese vier s-Terme werden dann zur Grundlage del' vier ineinander­greifenden Termsysteme des N eonatoms.

Es mull besonders betont werden, daB diese Einteilung des N eon­spektrums in ein Singlliett-Triplett- und ein Triplett·Quintett-Term­system nicht etwa bedeuten [soli, daJl auch die lntervall- und lnten­sitiitsverhlUtnisse und der Zeemaneffekt hier dieselben Gesetze be­folgen wie bei den entsprechenden Multipletts erster Stufe; vielmehr soil diese Einteilung nur eine iibersichtliche Ordnung del' vor­kommenden J- Werte erleichtern. In Wirklichkeit bilden die vier s-Terme zusammen eine enge Einheit und ebenso bilden die zehn p-Terme zusammen eine enge Einheit usw., wie beeonders bei ihren zUl'zeit von Back untersuchten Zeemaneffekten bervortritt. Diese engen Einheiten werden nur dadurch gegliedert, daB die von Ne+-p2 abge­zweigte Termgruppe nach Paschen um rund 780 Wellenzablen gegeniiber del' von Ne+-lh abgezweigten Termgruppe verschoben ist. Diese Gruppeneinteilnng gegeneinander verschobener Terme iet in Tabelle 1 (und allgemein in Tabelle 2) durch senkrechte Trennungs· striche angedeutet.

Das Schema der J-Werte lvon Tabelle 1 liifit sich nun hypo. thetisch erweitern zu dem allgemeinen Schema der Multipletterme

1) A. Lande, Zur Struktur des Neonspektl'ums. ZS. f. Phys. 17, 292, 1923. 2) W. Grotrian, Das L·Dublett des Neons. ZS. f. Phy •. 8, 116, 1922.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Termstruktur der Multiplett8 hllherer Btuf •. 281

zweiter Stu£e mit den in Tabelle2 angegebenen J-Werten l ). Die N ormierung des J schlie/lt sich der schon bei den Multipletts erster Stu£e bewahrten an; die Bezeichnungsweise der Spektroskopie behiUt diese J-Werte bei, soweit sie ganzzahlig sind, schreibt abel' statt del' halbzahligen J-Werte urn 1/" kleinere Werte als "innere" Quantenzahlen j.

Bei den Multipletts erster Stu£e war als praktische Term­bezeichnung da~ Symbol n~j eingefiihrt worden ('11 als Haupt­quantenzahl, j als ganze innere Quanteuzahl, Ie = 1, 2, 3... bei den s, p, d ... -Termen, r = 1, 2, 3 ... bei Singulett-, Dublett-, Triplett ... -Termen). Bei den Komplextermen zweiter Stufe werden wi~

mehrere Werte r ala obere Indizes anfiigen nU r, also etwa einen Neonterm, weil er dem Singulett-Triplett-Quintett-System angehort, mit nif& bezeichnen. SoIl noch besonders angedeutet werden, da/l der betreffende Term speziell zu der von Ne+ -1:11 abgezweigten Triplett-Quintettgruppe gehOrt, so wird durch tTberstreichen ge­schrieben ni}85. Da es dann immer noch zwei solche Terme gibt,

miissen diese vorll~ufig noch durch angehangte Bnchstaben a und b unter­Bchieden werden, wie es folgende Gegeniiberstellung der systematischen Bezeichnung und der von Paschen beim Neon gebrauchten erHiutert.

Tabelle 3.

8s 8" 8, s. PI P2 Po P. ! P3 P7 PIO P. 1s P& 1183& n1886 10 11

,,1830 II

n1885 12

n1885 20

,,1386 21&

"183. 21b

"18s. I 22 I n 18S5

'20 n 13S5 "1&

n1S85 21b n~;~ 1I~:~ n l3S5

2B

81' Sl" st'", 81''' d. d" d. d1" d. d,.' d. d' • n1885

81 n 18s5 B2&

n183• S2b

n1835 BB

,,188& 30

"13S5 Bl. n lSS5

31b n1836 32&

n133& B2b n1335

33& n1385

33b n 1SS5 8<

Diese Bezeichnllngsweise fiir die Terme zweiter Stnfe ist ein­deutig, wenn man noch verabredet, mit a den kleineren, mit b den gro/leren der beiden Terme gleicher iibriger Indizes zu benennen.

Daa Neonspektl'um bildet bisher das einzige bekannte Beispiel eines Multiplettsystems zweiter Stufe. Trotzdem kann sein in Tabelle 1 gegebenes Strokturschema mit gutem Grund zo dem Schema del' Tabelle 2 erweitert werden; denn wir wenden dabei das gleiche Verzweigungsprinzip an, das sich schon bei den Moltipleits

I) Bei del' Verzweigung you J = % in 0 uud 1 hat nor del' letztere Zweig reale Bedeutung, da Terme mit J = 0 durch die allgemeiue Btruktur. regel: IR-KI+%~J::S;IR+KI-% ausgeschlossen Bind.

201

Bin

gule

tt-p

-T

erm

1.

Stu

fe

Du

ble

tt-Q

uar

tett

­SY

Bte

m 2

. S

ture

Dub

lett

-p-T

erm

e 1

. S

tufe

Sin

gule

tt-T

ripl

ett-

Qui

ntet

t­S

yste

m 2

. S

ture

Tri

ple

tt-p

-Ter

me

1. S

tufe

Dub

lett

-Qua

rtet

t-S

exte

tt­

Sys

tem

2.

Stu

fe

n;l

2i

~j

n:j

n188

5 ~j

n~j

n2

Ui6

~j

Tab

ell

e 2

.

%

~2

1

2 2

~

~

%

3 3 4

2 2 2

3 8 8

2

4 4 5

/~

%

%

%

~%%

1/2

%

%

% %

%

%

%%

%

%

% 7

/2

1/2

%

% %

%

%

%

%%

%

7/2

%

%

%%

% "

/2

1/9,

1 ~

%

~

1 2

2 3

2 2

2 3

2 3

2 3

4

2 3

2 \I

3 4

23

4

2 8

4 5

3 4

3 4

2 3

4 5

2 3

4 5

23

45

6

t.:l

0

0

t-:l ~

t< ., 1:1

Q

, ,.. § Po ~ j:q

~.

(II 1:1

c' '" ~

!3 i i

Sin

gu

leU

-d-T

erm

1. S

tufe

Qu

arte

tt-S

exte

tt­

Sy

stem

2.

Stu

fe

Du

ble

tt-d

-Ter

me

1. S

tufe

Tri

ple

tt-Q

uin

tett

-Sep

tett

­S

yst

em 2

. S

tufe

Tri

ple

tt-d

-Ter

me

1.

Stu

fe

n~2 46

n

kj

"~j

3557

n

kj n:j

Du

ble

tt-Q

uar

tett

-Sex

tett

-Ok

tett

-S

yst

em 2

. S

tufe

n~

j466

B

Tab

ell

e 2

(F

ort

setz

un

g).

~

2 ~ 11

2

2 2 2

11 3 3

4 4 5

2 2 2

3 11 3

4 4 4 11

5

6

g~2

6~~h

'/2 %

%

%%

%

%%

%

~.

II %

~2

2 2 3

%%

%

'/2

% %

7/2

%

%%

%

%%

%%

%

%%

%

% %

% %

11/

2

%

% %

%

'%

%

% %

% "

/2

'I.

3/2

% %

% 1

1/2 '%

%

~

2 2 11

21

14

2 11

4

~

3

23

4

3 4

5

2 3

4 5

6

>.;J '" " i " I>!" ,; " "" '" " ~ e. c.

'E. i .,. 0' .,. '" " '" " rn ... " ~

3 4

2 11

23

4

23

4 5

2

3 4

5

2 3

4 5

2 11

45

6

2 3

4 5

2 3

45

6

23

45

67

I>

:>

CJ)

<:.

>0

'" tr1 t"'

tr1 ~ 0 '" I ("l :: til 1;; s

204 ALFRED LANDE

284 A. Lande und W. Heisenberg,

erster Stufe bewahrt. Hat etwa ein Ion (Mg+) einen Dnblett-~·Term als Grundznstand mit J = 1, so hat das zugehiirige Atom (Mg) zwei s - Terme mit J = 1/2 und J = 3/2 lind zeigt demnach ein Singnlett- und ein Triplettsystem erster Stufe.

Wir verallgemeinern diese Verzweigungsregel wie folgt: Wenn sich das Atom auf Zustanden des Ion s aufbaut, die durch die J-Werte J1> J2, ••• I n charakterisiert sind, so nehmen wir an, daD das Atom 211 s-Terme besitzt mit den J-Werten J1±1/2, ... I n ±I/2, und daD das Atom dementsprechend 2 n Multiplettsysteme zeigt von der Vielfachheit 2J= 2(Jl ±I/2), 2 (J2 ±1/2), ... usw.]) Dieser Verzweigungssatz erscheint als Erweiternng und Prazisierung des Rydbergschen Wechselsatzes.

CharakteriRtisch fiir die Vel'zweigung ist noch, daD die beiden Multiplettsysteme, die sich auf einem Zustand des Ions aufbauen, offen bar eine besondel'e Zusammengehiirigkeit zeigen. Sie besitzen namlich die gleiche Seriengrenze, da ja bei viilliger Ionisation ein bestimmter Term des Ions iibrigbleibt2).

Die Anwendung dieses Prinz ips auf die Terme nkj 1. Stufe mit den von ihnen abgezweigten (~) Termsystemen 1. und 2. Stufe zeigt die hypothetische Tabelle 4.

n~o -+ n~j

n~l ~n~j

n~2 ~n:j

n!a ~n~1

n~l ~ nC n~J n~j ~ntj35

n:j ~n~j57 n!j -+ n~?g

Tabelle 4.

~----------~~-I -nil -+ n~;, 11:j ni2 -+ n~j n~j

n~j -+ n:j'U6 n;j ~ n~j4668 n:j -+ 11~j68810

n;j ~ n~j3657 n:i -* nl;355779 n!j -+ n~ju77991I

Zu beach ten ist noch, daD die Terme des Ions, iiber denen sich die Terme des Atoms aufbauen, nicht identisch zu sein brauchen mit

1) Nul' wenn Jl selbst gleich 1/2 ist, findet bei ihm eine Verzweigung nicht in J l ± \/~ = 0 und I, sondern nul' in J l + 1/2 = 1 statt, so oall das 'Atom dann nnr (2 n - 1) s· Terme besitzt, anf denen eich 2 n - 1 Multiplettsysteme aufbauen (vgl. S. 281, Anm.l).

2) Als Beispiel diene das Cd, dessen Singuletterme und Tripletterme bei hoher Laufzahl derselben Grenze zustreben (denn sie sind verzweigt aUe dem DUblett ~. Term des Cd - Ions). AI. zweites Beispiel diene das N e, bei dem die

vom Dublett \lj'Tel'm des Ne-Ions abgezweigten Terme n13M einer gemeinsamen

Grenze zustreben, die vom Dublett )12- 'l'erm abgezweigten Terme rPM einer anderen gemeinsamen Grenze zuotreben, die gegen erstere urn rnnd 780 Wellen­z .. hlen ver.choben ist.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Termstruktur de .. Multipletts hoherer Stufe. 285

den Grundtermen des Ions. Vielmehr konnen anch im Ion, indem es zum Atomrumpf wird, noch betrachtliche Quantensprunge seiner Elektroneu vorkommen; man darf also das Aufbauprinzip nicht allzu eng auffassen.

Ebenso wie sich die Multipletts zweiter Stufe durch Verzweigung anf den hoheren Termen erster Stufe anfbauen, so gewinnt man durch naturgemaBe Verallgemeinerung von Tabelle 2 von der zweiten Stufc ausgehend durch Verzweigung die Komplexterme dritter Stufe. 1st z. B. daB zu vorletzt gebundene Elektron alB Term

n~}35 (p-Term des Neonspektrums) gebunden, 80 wird jeder p-Term

zweiter Stufe sich durch Hinzukommen des zuletzt gebundenen Elektrons in zwei s-Terme dritter Stufe verzweigen mit den folgenden J-Werten (Tabelle 5):

Tabelle 5.

'Zj -p-Terme J= % 1/2 3/2 % 1/2 % % % % 7;9, 1335 }

2. Stufe /\ t A 1\ t 1\ 1\ A 1\ 1\ _. ,- Terme 3. Stufe J = 1 2 1 2 2 3~

I 1 1 2 2 ~ 1 2 3 ~l

Man hat also hier 18 s - Terme dritter Stnfo zn erwarten, unter ihnen 6 s-Terme mit J = 1 = 2/2, 7 s-Terme mit J = '/2' 4 s-Terme mit J = 6/2 und 1 s-Term mit J = 8;2; demnach soll das Spektrum dritter Stufe hier aus 6 Du blettsystemen. 7 Quartett-, 4 Sextett- und 1 Oktettsystem bestehen, deren Terme sich jedoch beziiglicb ihrer Intervalle und ihres Zeemaneffektes ganz anders verbalten werden als bei den betreffenden Multipletts erster Stufe. Man sieht, daB hier eine groBe Fiille von ineinandergreifenden Termsystemen zu erwarten ist, von der aus man durch Verzweigullg weiter zu Komplextermen hoh81'er Stu fen ubergehen kann. Zum Gluck werden aber wohl Komplextermsysteme hoherer Stufen nur selten vorkommen, wei I mehrere nk-Rumpfelektronen mit k> 1 ihre Impnlse nach GroJ3e und Richtung leicht I\ufheben konnen, indem sie zu abgeschlossenen Schalen zusamr"nentreten. Immerhin darf man Spektra hoherer Stufen besonders dort suchen, wo etwa nach Bobrs System mehrere rtk-Bahnen mit k> 1 in unabgeschlossenen Schalen vorliegen soli en.

Von besonderem Interesse wird es sein, die Differenzell der gegeneinander verschobenen Termgruppen (z. B. A = 780 bei N e) zu verfolgen und zn sehen, ob etwa bei den uber'l'riplettermeu erster Stufe aufgebauten Termen zweiter Stufe sich in der Tat d rei Gruppen anssondern lassen, deren Verschiebungen A und B mit den

Zeitschrift fur Physik. Bd. XXV. 20

4

205

206 ALFRED LANDE

286 A. Lande n. W. Heisenberg, Termstruktur der MUltipletts hoherer Btufe.

Intervallen der zugrunde liegenden drei Tripletterme erster Stnfe iiber­einstimmen.

Zur modellmii13igen Bedeutung des Verzweigeus mage hier nur weniges bemerkt werden. Hat etwa das Neonion (vgl. Tabelle 1) die Gesamtimpulaquantenzahlen J = 1 (als V2 -Term) bzw. J = 2 (ala v,-Term), so erwartet man eigentlich nach dem Bohl'schen Auf­bauprinzip, daLl del' Rumpf des Neonatoms, der ja nichts anderes ist als das Neonion, jetzt die Rumpfquantenzahlen R = 1 bzw. R = 2 zeigen wird. Statt des sen besitzt er die Rnmpfqnanten­zahlen R = 1 ± '/2 bzw. R = 2 ± '/2 [wie man aus Tabelle 1 sieht; denn R istl) stets identiseh mit dem J'-W ert des s-Terms, hier also gleich '/2' 3/2, 8/2 und 5/2]. Die Verzweigung bedeutet also, daLl daB Ion, wenn e8 durch Einfangung eines iiuLleren Elektl'ons zum Rumpf eines Atoms wird, scheinbal' entgegen dem Anfbauprinzip zwei n e u e Zustiinde mit urn ± '/2 geandertem Impule annimmt. Die niihel'e Diskussion dieses auf Grund del' Bohrsehen Theorie aus der spektroskopischen Erfahrung abzulesenden Tatbestandes fiihrt aber zu so prinzipiellen Schwierigkeiten 2), daLl gerade dieser formal so einfaeh darstellbare ImpulsverzweigungsprozeLl einer der Haupteinwande gegen die Anwendbarkeit der fiir bedingt-periodische Bewegungen giiltigen Qnantenregeln anf die gekoppelten Systeme geworden ists) und weiterhin zu einem einfachen Modifikationsversuch <) der bisherigen Quantenregeln gedient hat.

Die Zeemaneffekte bei den haheren Multiplettstufen werden demnachst im AIJschlu13 an eine von Back unternommene magne­tische Untersuchung des Neonspektrums besprochen, wobei sich das Verzweigungsprinzip in Verbindung mit dem Permanenzprinzip del' g-Summen ebenfalls bewahrt.

1) Wegen der allgemeinen Strnkturregel iR -KI + % ~J ~ IR+Ki -'/2' 2) N. Bah r, Kayserheft der Ann. d. Phys. 71, 228, 1923. 3) Vgl. z. B. A. Lande, Phys. ZB. 240, 441, 1923 (Vortrag in Bonn). ') W. Heisenberg, ZB. f. Phys. (erscheint demnachst).

PAPER 44

149

mer gestrichene und verschobene Spektralterme. Von A. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 22. Juli 1924.)

§ 1. Folgerungen aus dem Zeemaneffekt flir die gestrichenen Terme. -§ 2. Folgerungen aus den Intervallen. - § 3. Die verschobenen Terme. -

§ 4. Die Durchbrechung des AuswahIprinzips.

§ 1. Die Vermutung, daB die zuerst von R. G ii t z e untersuchten Kombinationen (Pp/), (dd') gewiihnlicher Terme mit .gestrichenen" Termen auf einer Umbildung der Elektronenbahnen im Atomrumpf be­ruhen, wurde von Bohr 1) 1922 im Anschlull an sein Aufbausystem in priiziser Form flir die Erdalkalien so ausgesprochen: Das zu vorletzt gebl1ndene Elektron, z. B. des Ca, soIl bei den gewiihnlichen Termen in einer 41 Bahn, bei den gestrichenen Termen in einer 3s-Bahn laufen, wiihrend das zl1letzt gebundene Leuchtelektron im np- und np'-Term gleicher Hauptquantenzahl n beidemal die gleiche n~-Bahn beschreibt. Diese Ansicht suchte G. Wentzeli) 1924 zu stiitzen, indem er die Grenze oop der np-Termfolge um Llv = 13700 gegen die Grenze 00 p/ der n p/ -Termfolge verschoben nachzuweisen suchte, fast iiberein-

stimmend mit der Differenz Llv = 95719 - ~~g~~ = 2$+ - 3 :<, 1

d. h. der 41- gegen der 3s-Bahn irn Ca+-Spektrurn. Bohr weist auf die Durchbrechung der Al1swahlregel fiir k beirn i'rbergang des vorletzten Ca-Elektrons von der 3s- Zl1r 41-Bahn hin, welche andererseits nach Franck fiir die relative Bestandigkeit (Metastabilitiit) der gestrichenen Termzustiinde verantwortlich zu rnachen sei.

1m folgenden wird eine Anderung dieser spezialisierten Ansicht vorgeschlagen, welche l1nmittelbar aus den 1923 gefundenen Grund­ziigen des Impulsvektorgeriists 3) in den verschiedenen Komplexterm­zustiinden ablesbar ist (Impulsquanten R, K, J von Rumpf, Leucht­elektron und Atomganzem auf Grund der Struktur, Intervalle und Zeemaneffekte bei den Multipletts). Es ergab sich niimlich u. a., daB zwei Termkomplexe, welche gleiche Multiplizitiit mit gleichen

1) N. Bohr, Drei Aufsatze liber Spektren und Atombau, Nachschrift S. 148. Braunschweig, Friedr. Vieweg & Sohn Akt.-Ges., 1922.

2) G. Wentzel, Phys. ZS. 26, 182, 1924. 3) A. Lande, Termstruktur und Zeemaneffekt der Multipletts, ZS. f. Phys.

16, 189, 1923. Zeitschrilt liir Pl)ysik. Bd. XXVII. 11

Reprinted from Z. Phys. 27, 149-156 (1924).

2en

208 ALFRED LANDE

150 A. Lande,

"inneren" Quantenzahlen und magnetischen Termaufspaltungen besitzen (wie beim Ca die Komplexe np und die Komplexe mp'), auch in den Impulsen K des Leuchtelektrons und R des Atomrumpfs einander gleich sein miissen, und daLl iibermes der bei np und mp' gemeinsame Rumpf­impuls R nur aus Impulsbeitragen von ncBahnen aufgebaut sein kann, soweit es sich um "Komplextermzustande erster Stufe" handelt.

Die Beteiligung der Einzelimpulsbeitrage 1/9 solcher n1-Bahnen an dem durch den Zeemaneffekt erniittelten Rumpfimpuls R = 3/2 der Tripletterme ist dann nach den iibrigen Erfahrungen iiber den Schalenbau eindeutig gegeben: Zwei Impulse 1/9 rUhren her von den lcBahnen der beiden innersten Elektronen (Heliumschale), der dritte Impuls 1/9 vOn dem im Erdalkali zu vorletzt gebundenen Elektron, wahrend die symmetrisch abgeschlossenen Viererschalen niemals Rumpfimpulsbeitrage liefern. Es ist also das vorletzte Elektron bei den gewohnlichen wie bei den gestrichenen Erdalkalitermen unbedingt als ncBahn an­zusprechen. Die Moglichkeit, daLl das vorletzte Elektron als 3a-Bahn (gestrichene Termen nach Bohr) mit dem Impulsbeitrag 6/2 die beiden innersten Elektronenimpulse 1/9 + 1/2 zu der gewiinschten Resultante R = 8/s = 5/s - 1/9- 1/,. erganzt, ist deshalb auszuschlieLlen, weil ein solcher Rumpf zu Spektraltermen zweiter Stufe 1) AnlaLl geben wiirde.

Der Unterschied zwischen gewohnlichen und ge­strichenen Termen kann also nur in der Hauptquantenzahl n des vorletzten Elektrons liegen, und nicht in seiner Azimutal­quantenzahl k, welche beidemal gleich 1 sein muLl (bzw. l/S in der Normierung von Heisenberg und Verf.): Das oben erwahnte Gegen­argument von Wentzel wiegt iibrigens um so weniger, als seine Bestimmung der Grenze 00 p' eine ziemlich gezwungene Anwendung der Ritzschen Formel auf drei (hypothetisch) zu- einer Serie gerechnete p'-Terme macht, die sich nur mit ganz ungewohnlich groLlen Korrektions­groLlen der Ritzschen Formel einfiigen. Mit der Abweisung der 3a-Bahnen kann auch die von Wentzel, 1. c., in Form eines allgemeinen Gesetzes vermutete und zu weiteren Schliissen verwendete Auswahlregel beim Springen von zwei Elektronen nicht als haltbar angesehen werden. Allgemein diirften Vorschlage zur Erklitrung der gestrichenen Terme, die ihre Begriindung nur auf Vergleichen zwischen Termschwingungszahlen bauen, nicht entfernt diejenige Sicherheit beanspruchen konnen, welche die klaren GesetzmitLligkeiten des Zeemaneffekts liefern.

1) A. Lande und W. Heisenberg, Termstrnktur der Multipletts hiiherer Stufe. ZS. f. Phys. 26, 279, 1924.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Uber gestrichenc und verschobene Spektralterme. 151

Wir verallgemeinern nun obigen, aus dem Zeemaneffekt abgelesenen Tatbestand fiir den Fall, datl autler gewohnlichen .1"-Termen und ge­strichenen x'-Termen noch weitere Termfolgen nx", nx'" usw. existieren (Beispiele siehe unten): Beschreibt beim x-Term das vorletzte Elektron eine n,-Bahn, so beschreibt es bei den x'-, x"-, x'''-Termen eine 'In,-Bahn mit m = n + 1, n + 2, n + 3 usw. und stets k = 1. Die Termart, ob p- oder d-Term, wird durch die azimutale Quantenzahl k = 2 oder k = 3 (bzw. K = 3/2 oder K = 5/2 in der systematischen Normierung)usw. des zuletzt gebundenen Leuchtelektrons bestimmt. Bei den Kombina­tionen zweier x-Terme untereinander odeI' zweier .v'-Terme unterein­ander usw. springt nur das Leuchtelektron unter Befolgung der Auswahlregel k ---+- k ± 1. Bei einer gemischten Kombination (xx')

oder (x' x") oder (xx") usw. springt das vorletzte Elektron, und zwar unter Beibehaltung seines k = 1, indem sich jedoch seine Haupt­quantenzahl n andert.

Wahrend Bohrs spezialisierte Vorstellung 33 ---+- 4, einen k-Sprung des vorletzten Elektrons urn 2 Quanten verlangte, stellen wir einen k-Sprung urn Null feRt, der ebenfalls den iiblichen Auswahlregeln wider­spricht, andererseits aber wieder im Sinne von Franck und Reiche die J\iJetastabilitat der gestrichenen Termzustande gewahrleistet.

§ 2. Neben dem Zeemaneffekt und der Multiplettstruktur gibt die Behachtung der Termintervalle naheren Aufschlu1.l iiber die Elek­tronenbahnen bei den gewohnlichen und den gestrichenen Termen; denn die 'l'ermintervalle hangen ja, wie ihre relativistischen Gesetzmatligkeiten lehren I), eng mit den Dimensionen del' inneren und autleren Bahnschleife des Leuchtelektrons zusammen. Als typisches Beispiel betrachten wir wieder das Ca-Spektrum. Hier liegen nach Paschen und Gotze 2) und nach del Cam po 3) folgende drei p'-Termkomplexe VOl':

mp' bei 10800 mit den Intervallen 86,79:47,33 np'

op' 750

,,- 0000

welche kombinieren mit dem p-Term:

25,90: 13,54 14,59: 11,73

2p bei 34000 mit den Intervallen 105,92: 52,24

(51 42)

(51 52) (0, 62)

Die geringe Verschiedenheit der Intervalle in mp' gegeniiber den en in 2p zeigt, daB das Leuchtelektron beidemal dieselbe nk-Quantenbahn

1) A. Lande, ZS. f. Phys.20, 46, 1924. 2) Paschen und Gotze, l:3eriengesetze der Linienspektren. Berlin, J. Sprin­

ger, 1922. 3) A. del Campo, Trabajos Lab. Fis. Madrid 1923, S.31.

11*

209

210 ALFRED LANDE

152 A. Lande,

mit k = 2 beschreibt, die Differenz mp' - 2p also durch Anderung der Hauptquantenzahl n bei der n1-Bahn des vorletzten Elektrons zu­stande kommt. Die kleineren Intervalle von np' und op' zeigen gemaLl den relativistischen Intervallgesetzen, daLl hier das Leucht­elektron n.-Bahnen mit groJleren n als bei mp' und 2p ausfiihrt. 1m AnschluLl an Bohrs Schalenbausystem konnen die nk-Bahnen des vor­letzten und letzten Elektrons speziell so vermutet werden, wie es in Klammern hinter den Termintervallen oben angegeben ist; jedoch haben letztere Einzelangaben einen viel geringeren Grad von Sicherheit. Imme; hin kann man sie quantitativ zu stiitzen suchen durch folgende Gegeniiberstellung gemessener Ca-Terme und Differenzen beim Uber­gang ---+- vun einer Konfiguration des vorletzten und letzten Elektrons zu einer andern:

(41 41) ---+- (51 41) = (41 41) ---+- (41 51)

(41 3s) ---+­(4] 4.) ---+­(41 00) ---+-

= 28-38 17765- 8830 -(51 3s) = 3d1 ---+- md1' - 28934 - 11 045 -(51 4.) = 2P1 ---+- mp/ 33988 - 10752 (51 00) = 28+---+- 38+ 95719-43554 -

8935 17889 23236 52165

Dieses Schema zeigt nllmlich, daLl der Ubergang des vorletzten Elektrons von der 41- zur 5c Bahn sukzessiv ansteigende Energien braucht, wenn dagei das erste Mal das Leuchtelektron auf der 4c Bahn, das zweite Mal auf der 3s-Balm, das dritte Mal auf der 4.-Bahn gehalten wird und das vierte Mal ganz abgetrennt ist. N atiirlich ist solchen Betrachtungen keinerlei bindende Beweiskraft zuzumessen; vielmehr stiitzen wir uns nach wie vor auf die sicheren Schliisse aus dem Zeemaneffekt.

Ahnlich wie bei Ca liegen die Verhaltnisse bei Be. Hier existieren nach Back ') zwei Termkomplexe

2p mit den Intervallen 2,36: 0,69

p' " 2,03 : 1,41

Die annahernde GrO!lengleichheit der Intervalle zeigt, daLl das Leuchtelektron beidemal die gleiche nk-Bahn ausfiihrt und nur wieder das vorletzte Elektron zwei verschiedene ncBahnen beschreibt. Auch bei Sr und Ba finden sich analoge Verhaltnisse.

Ein anderes Beispiel entnehmen wir dem Cr-Spektrum (Z = 24). N ach Frl. G i e s e 1 e r I) finden sich im Cr - Qnintettsystem u. a. drei

1) E. Back, Zur Kenntnis des Zeemaneffektes. Ann. d. Phys. 70, 333, 1923. I) H .. Gieseler, Das Bogenspektum des Ohroms. ZS. f. Phys. 22, 228, 1924.

SELECff:D SCIENTIFIC PAPERS

Uber gestrichene und verschobene Spektraiterme. 153

zu einer gestrichenen Serie gerechnete Quintett-f-Termkomplexe n~j,

namlich (1. c., S. 284):

4 f' = 4~j bei 28500 mit den Intervallen 174,01: 141,08: 106,65: 71,40, 5f'=5~j " 18400 " 168,85:188,74:114,78:64,98, 6f'=6~j" 9800" 157,96:181,20: 85,24:67,64.

Die anniihernde Gleichheit dieser Intervallgro/.len zeigt, daJ.l nicht etwa das Leuchtelektron hier eine 4n 5.- und 6,-Bahn beschreibt, sondern allemal die gleiche n.-Bahn ausfiihrt, dafiir aber eins der friiher gebundenen Elektronen auf ncBahnen verschiedener Hauptquantenzahl n lauft. Die drei \ Terme ;aren also besser als 4 f', 4 r und 4 f''' zu bezeichnen, um anzudeuten, daJ.l ihr Seriencharakter von den sukzessiven ncBahnen eines friiheren Elektrons herriihrt.

Ahnliche Verhaltnisse, f- und f'-Termkomplexe mit nahezu gleichen Intervallen, finden sich in den von Meggers 1) beobachteten Multipletts des Vanadiums.

Gro/.lere Reihen von Termen mit nahezu konstanten Intervallen finden z. B. Kiess und Kiess 2) bei Ti (Z = 22). Um auch hier nur ein Beispiel herauszugreifen, so existiert im Triplettsystem des Ti ein f-Termkomplex mit den Intervallen 216,81: 170,04, welcher kombinierl mit 8 anderen f-Termkomplexen mit den Intervallen:

152,87: 98,58, 161,18: 119,78, 182,62: 89,40, 160,84: 116,05 126,86: 97,95, 126,50: 92,85, 166,50: 12U,06, 20,78: 24,46.

Die annahernde Gleichheit der ersten sieben dieser Intervalle zeigt, da/.l bei dieE'en sieben f-Termkomplexen das Leuchtelektron iedesmal dieselbe n.-Bahn durchlauft; nur der achte Termkomplex mit seinem erheblich kleineren Intervall entspricht oUenbar einer gro/.leren n.-Bahn des Leuchtelektrons. Die gro/.le Mannigfaltigkeit der gestrichenen Terme bei Ti ist darauf zuriickzufiihren, daB hier nicht nur das vor­l etzte, sondern auch das dritt- und viertletzte Elektron, entsprechend der Stellung des Ti im periodischen System, zu Ubergangen auf hijhere n, -Bahnen fahig sein kann, stets aber unter Beibehaltung der azi­Illutalen Quantenzahl k = 1; denn andernfalls wiirde man sofort Spektralterme zweiter Stufe, nicht gestrichene Tripletterme erster Stufe erhalten.

1) W. F. Meggers, Joum. Wash. Acad. 13, 317, 1923 und 14, 151, 1924 j femer O. Laporte, Phys. ZS. 24, 510, 1923, welcher ii.hnlich wie Giitze das Kombinationsschema (dd'), (ffl, (dn. (d'f) nachweist.

2) Kiess und Kiess, Journ. Opt. Soc. Americ. 8, 607, 1924.

211

212 ALFRED LANDE

154 A. Lande,

Aus der eingehenden Diskussion der gestrichenen Terme bei den Multipletts verschiedener Elemente sind gewiLl noch viele Einzelbeiten tiber die nk-Bahnen ermittelbar. In der vorliegenden Note sollte gezeigt werden, da1l die Ergebnisse des Zeemaneffekts und der In t e r v a 11 g roll en nicht nUr in serienanalytischer, sondern auch in modellmitlliger Hinsicht zur Aufklarung hinzugezogen werden konnen.

§ 3. Ganz anders als bei den "gestrichenen" Termen liegen die Verhitltnisse bei den "verschobenen" Termgruppen, wie sie z. B. im Neonspektrum von Paschen 1) erkannt worden sind. Es handelt sich hier nicht um nk-Bahnen eines inneren Elektrons mit k = 1 und verschiedenem n, sondern um llk-Bahnen eines inneren Elektrons mit k> 1, gemeinsamem n, aber verschiedener N eigung dieser nk-Bahn im Atom, wodurch dann die ·verschobene Termgruppe gegeniiber der unverschobenen andere Rumpfquantenzahlen R und daher andere Multi­plizititt erhitlt. Z. B. bildet beim Neon die eine Gruppe ein Singulett­Triplettsystem, die verschobene ein Triplett-Quintettsystem, beide zu­sammen ein n1335_System zweiter Stufe 2). 1m Gegensatz zu den gestrichenen Termen, welche sich nur in Spektren erster Stllfe finden, konnen verschobene Terme nur vorkommen, wenn ein inneres Elektron als nk-Bahn mit k> 1 verschiedene Neigungsmoglichkeit hat und somit ein Spektrum hoherer Stufe veranlallt. Strahlung tritt hier auf, wenn das zuletzt gebundene Leuchtelektron nach den gewohnlichen Auswahl­regeln (k ---+ k ± 1) springt, wobei das innere 1ik-Elektron entweder seine Neigung beibehalten oder sie auch itndern kann. Alle diese Vorstellungen sind in der Sprache der bisherigen Quantentheorie des Atombaues ausgedrtickt, die sich auf Bohrs Annahme: Term = Ener­gie : h griindet; bei einer Modifikation dieser Grundlagen wiirden auch die obigen Ausfiihrllngen in etwas modifizierter Weise aufgefaJ.lt werden miissen.

§ 4. Die oben erlituterte Vorstellung iiber die gestrichenen Terme ergibt, daJ.l hei den hOher gestrichenen Termzustitnden die Bahndimell­sion des vorletzten Elektrons erheblich groller als die des "Leucht­elektrons" sein wird, so da1l hinsichlieh des itulJeren Atomanblicks das vorletzte und das letzte Elektron ihre Rolle vertauscht haben. Man wundert sich dann, wieso fiir die Ubergitnge des vorletzten Elektrons eine andere Auswahlregel (k ---+ k) gilt, als man sie sonst ftir ein

1) F. Paschen, Das Spektrum des Neons. Ann. d. Phys. 60, 405, 1919, und 63, 201, 1920.

2) A. Land" und W. Heisenberg, I. c.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

ther gestrichene und verschobene Spektralterille. 15G

locker gebundenes Elektron, namlieh fur daR zuletzt gebundene Leucht­elektron (k -+ k ± I) gewohnt ist. Diese VeI'wllnderung ist del' A U8-

druck eines oft alB selbstverstandlich angenommenen r Vertauschung'R­

pl'inzips", es komme fiir die Grolle eines Terms und fur die Ubergange zu einem andel'en Term nicht darauf an, ob dieses odeI' jenes Elektron zum Rumpf zu reeimen sei odeI' 0 b es als Leuchtelektron anzusehen sei,

vielmehl' gebe es nul' all gem e i neG e set z e, denen die Elektronen

folgen, ganz gleich, ob man sie zum Rumpf rechnet odeI' nicht. In del'

Tat wird ein solches Prinzip del' endgiiltigen Theorie als Ideal vor­

schweben. Bei dem heutigen Stande del' Quantentheorie des Atombaues ist jedoch dieses Ideal nicht erftillt, vieimehr treffen wir fortwahrend

auf schein bar grundlegende Unterschiede zwischen einem Rumpfelektron

uud dem zuletzt gebundenen Leuchtelektron. Erstens zeigt das System

der anom alen Ze emaneffekte (g-Formel), soweit man sie auf Grund

der Bo h rscheu Theorie zu deuten imstande ist, dalJ das Leuchtelektroll sieh zwar magnetisch normal verhalt (u. a. auch dann, wenn es ab s-Term gelJUnden eine tt,-Balm beschreibt), dall dagegen die im Rumpf

gebundenen tt,-Bahnen anomale, namlich verdoppelte magnetische Energie besitzen ' ). Zweitens zeigt das von Heisenberg und Verf. 2) kurzlich

erlauterte "V e rzweigungs prinzi p" del' Multipletts einen ebenfalls

grnndlegenden Unterschied zwischen IJencht- und Rumpfelektronen.

Drittens beweist die Strnktur und del' Zeemaneffekt des Multipletts, dalJ

(jedenfalls bei den Multipletts erster Stufe) scharf quantenmallig be­stimmte Impulsaufteilung des Gesamtimpulses J auf Leuchtelektron K

und Rumpf R vorliegt, obwohl bei diesen oft stark gestorten und gewill nie ht mehr bedingt periodischen Systemen eine zeitliche Konstanz von K fiir sich und R fur sich mechanisch eigentlich unmoglich ist. Anders gesprochen, der Rumpf bihlet fur sich in diesel' Beziehung ein

abgeschlossenes Ganzes, und die Wechselwirkung zwischen dem Leucht­elektron und dem Rumpf ist unmechanisch geregelt.

Die besonderen Eigenschaften des Rumpfes einem Leuchtelektron

gegeniiber, bilden ubrigens ein Gegenstlick zu den besonderen Eigenschaften

des Gesamtatoms einem aulleren stollenden Elektron gegeniiber, welches

bekanntlich entweder elastisch reflektiert wird odeI' zu Quantenspriingen

Anlall gibt, jedenfalls aber unmechanisch in W echsel wirkung tritt.

Allgemein gesprochen, hangt diesel' ganze Fragenkomplex eng mit del'

1) A. Lande, ZS. f. Phys. 15,189,1923 nnd 17, 292, 1923. W. Panli, ehenda 16, 155, 1923.

2) I. c.

213

214 ALFRED LANDE

156 A. Lande, tiber gestrichene und verschobene Spektralterme.

Verkniipfung von Koppelungs- und Strahlungsvorgangen zusammen, worauf B 0 h r gelegentlich hingewiesen hat; eine befriedigende Losung, die im engen Anschlu!l an das Korrespondenzprinzip zu suchen ware, kaun wohl im Rahmen der heutigen Quantentheorie des Atombaues kaum gefunden werden. U m so weniger dad man sich aber wundern, wenn unter den bekaunten spektroskopischen Tatsachen viele sind, die beim heutigen Stand der Theorie dem Ideal allgemeiner Gesetze widersprechen, wie z. B. bei den p p'-Kombinationen die Verschiedenheit der Auswahlregeln fiir ein Leucht- und ein Rumpfelektron, selbst wenn letzteres lockerer ge bunden ist als er~teres.

Fiir die Frage, ob nicht schon jetzt Andeutungen gefunden werden konnen, wie sich das Korrespondenzprinzip mit der Durchbrechung der k-Auswahlregel bei der Ausstrahlung der Linien (Pp'), (dd') usw. abfinden konnte, ist vielleicht der Hinweis von Nutzen, daD ein prin­zipieller Unterschied zwischen n1-Bahnen und nk-Bahnen mit k> 1 insofern besteht, als die Fourierkoeffizienten bei nc und nk-Bahnen durchaus gleicher Art sind, die Quanteniibergange aber zwar bei den nk-Bahnen (k> 1) durch Absorption und Emission von Strahlung zu hoheren und niederen k fiihren konnen, die ncBahnen jedoch nicht zu niedrigerem k < 1 herabsinken diirfen. Es konnen also fiir die Be­rechnung von i'rbergangswahrscheinlichkeiten die Fourierkoeffizienten nicht bei allen Bahnen einheitlich in Rechnung gesetzt werden, im Gegensatz zu der iiblichen Handbabung des Korrespondenzprinzips im Rahmen der gegenwartigen Quantentheorie des Atombaues.

PAPER 45

Uber den quadratischen Zeemaneffekt. Von A. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 4. November 1924.)

329

Es werden die in der Feldstii.rke quadratischen Glieder der magnetischen Term­energie berechnet nnd in guter Ubereinstimmung mit der Erfahrung an den unsymmetrischen Storungen der Zeemantypen in stii.rkeren Feldern gefnnden. Die Storungsformeln von Born und Panli finden ihre Erganzung in Heisenbergs nenem Qnantenprinzip, welches die Erfiillnng der Permanenzsahe gewiihr­leistet. Letztere sagen das Verschwinden der Storungen im Mittel bei jedem

Zeemaneffekt richtig vorans.

§ 1. Die magnetische Aufspaltung der komplexen Spektralterme ist bekanntlich auf Grund der heutigen Quantentheorie des Atombaues nicht in befriedigender Weise erklarbar. Immerhin konrite die Theorie, 'lion gewissen allerdings prinzipiell wichtigen Einzelheiten abgesehen, den Erscheinungen des anomalen Zeemaneffekts und des Paschen-Back-Effekts gerecht werden bei Benutzung eines Hilfsmodells, deBsen gesamter (invariabler) Drehimpuls im Quantenma1l gleich Jist, vektoriell zu­sammengesetzt aus dem (doppelt magnetisch wirksamem) Drehimpuls R des Atomrumpfes und dem magnetisch normalen Impuls K des Leucht­elektrons. Neuerdings hat Heisenberg') einen Weg angegeben, der aus den Eigenschaften des Hilfsmodells den empirischen Tatbestand mit Einschlul.l der eben erwahntenEinzelheiten abzuleiten erlaubt. Heisen­berg zeigte namlich, dal.l sich die Verhii.ltnisse in sehr schwachen und sehr starken Feldern und in wesentlichen Ziigen ("Permanenzgesetze" , s. unten) auch in mittleren Feldern in vlllliger Ubereinstimmung mit der Erfahrung ergeben, wenn man die am Hilfsmodell gewonnenen Formeln nachtrltglich noch einer gewissen In tegr a tion unterzieht. 1m folgen­den soli nun diese Theorie auch fiir mittlere Felder so weit durchgefiihrt werden, dal.l die dem Quadrate der Feldstarke proportionalen unsym­metrischen Storungen der Zeemantypen bei beginnendem und auch "bei fast vollendetem Paschen-Back-Effekt vorausgesagt und mit der Erfahrung verglichen werden konnen. Dabei wird also zunii.chst auf obiges Hilfs­modell die Storungstheorie angewandt, und zwar in der von Born und Pauli 2) fiir quantentheoretische Zwecke eingerichteten Form, und zum

') W. Heisenberg, ZS. f. Phys. 26, 291, 1924. 2) M. Born nnd W. Pauli, ebenda 10, 137, 1922.

23*

Reprinted from Z. Phys. 30, 329-340 (1924).

215

216 ALFRED LANDE

330 A. Lande,

Schlu/.l dann Heisenbergs Integration ausgefiihrt. DaJ.I in der Tat die Theorie gut mit der Erfahrung iibereinstimmt ist als eine erneute Bestatigung der Permanenzgesetze, denen die He i sen b e r gsche Integration gerecht wird, aufzufassen, ferner als Zeichen dafiir, da/.l die Mechanik des Hilfsmodells auch in seinen StBrungen, besonders mit Heisenbergs Ver­besserung, in manchen Ziigen ein Abbild der Wirklichkeit ist.

1m folgenden werden zunachst die erhaltenen Endformeln fiir die Termaufspaltung in mittelschwachem und in mittelstarkem Feld mit­geteilt, in § 2 wird ihre mathematische Ableitung gegeben; in § 3 folgt der Vergleich mit der Erfahrung.

a) Schwaches Magnetfeld. Es bedeute wie gewohnlich u = LI Vnormal die der Feldst!!.rke ~ proportionale Wellenzahl der normalen Aufspaltung, nz 9 . 0 die anomale magnetische Verschie bung eines Zeeman­terms, dabei '/II die aquatoriale Quantenzahl, 9 den Aufspaltungsfaktor. Ferner sei /D. r die Entfernung des Komplexterms v vom Schwerpunkt V8

seines Multipletts, dabei r der fiir den betreffenden Komplexterm charak­teristische Intervallfaktor, /D ein MaJ.I fUr die absolute Gro/.le des ganzen Termmultipletts (s. unten). Dann wird die Lage v eines Zeemanterms beschrieben durch

v = Vs + /D." + o.nzg. (1)

In sehr schwachem Magnetfeld ist speziell

v = Vs + /D. "schwach + m 9.chwach, (::l)

wobei gschwach und rschwach die bekanuten Funktionen von R, K, J sind:

Wird das Feld starker, d. h. 0 groBer, so ist (2) zu ersetzen durch

v = V8 + /D rschwach + 0 (nz gschwach + V • 9 1 + v2 . g2 + ... ) (3)

als Potenzreihe von v = u: mIKR. Der Koeffizient 91 ergibt sich dabei in § 2 als Funktion von R, K, J, Ill:

(4)

SELEcrED SCIENTIFIC PAPERS

Uber den quadratiscben Zeemaneffekt. 331

Der Faktor 0 v von U1 ist dem Quadrat der Feldstarke proportional. Die hilheren Glieder 0 Vi 91 usw. lassen wir beiseite.

Ubrigens ist der jeweilige Wert von v bei gegebenem 0 = L/ 'Unormal

leicht aus der Spannweite des vorliegenden Termmultipletts berechenbar: Nach der r-Formel (2') ist namlich der Abstand L/'UJJ' zweier Terme 'UJ

und VJ' eines Multipletts (R und K gemeinsam)

W J2 - J'2 L/vJJ' = KR· 2 '

W J2 _J'2 also -- = L/vJJ': ---~

KR 2

JS - J'2/2 ist aber nichts anderes als die Summe IZJJ' der ganzeu bzw. halben Zahlen, welche in der Intervallregel den relativen Ab­stand VJ - VJ' beschreiben. Z. B. wird bei den Triplett-p-Termen mit der Intervallproportion 2 : 1

W L/vJJ' PI-Pa Pl -P2 PI-Pa KR - IZJJ' = 2 + 1 = --2- = --1-

und bei den Quartett-d-Termen n!l mit der Intervallproportion i:i:j w n!. - n!l

KR i+i+i Bei den Dublett-p-Termen, deren AbstandP1-ps in dem Intervall­

gesetz durch die Zahl i reprasentiert ist, wird

W L/vJJ' PI-Pl KR = IZJJ' = --~- .

Allgemein ist v = 0: wJKR dBher gegeben durch den Ausdruck

oKR O.IZJJ' V=--=---·

w L/vJJ' (5)

In den Fallen, wo die Intervallregel nicht exakt erfiillt ist, gelten ~lle Formeln nur angenahert; es ist aber angezeigt, nur den Idealfall der erfiillten IntervalIregel Z1l • .betrachten, da andernfalls alle Entwicklungen sehr kompliziert wiirden.

Die Formel (3) zeigt, daJ.I in mittelschwachem Feld der Wert r.chwach unverandert erhalten bleibt, und nur mg.chwach durch die Potenzreihe til U.chwa.:b + v U) + VS gs . .. ersetzt werden muLl. Eine wesentliche Eigen­schaft der Storungsglieder ist, daJ.I

IUl = 0, J

Ius = 0 usw. J

217

218 ALFRED LANDE

332 A. Lande,

summiert tiber die Terme J eille~ Mnltipletts bei festgehaltenem R, K und 111.

Darans folgt dann, daJ.I

,Emg = ,E(mgschwach + vgl + v 2 u. + ... ) J J

unabhangig von v ist, d. h. bei zunehmendem Feld erhalten bleibt; dies

ist der Inhalt des Satzes von der Permanenz I) der u-Summen von Heisenberg und Pauli.

b) Starkes }Iagnetfeld. Das Gegenstlick ZUlli vorigen bilden

die Verhiiltnisse in mittelstarkem Feld. Die allgemeine Formel (1) flir

die Lage eines magnetischen Terms:

v = Vs + o. mg + mr

hat in sehr starkem Feld die spezielle Form

v = Vs + O. In gstark + m Ystark, (6)

wobei g.tark und rstark sich in bekannter Weise I) aus den Impulsen R und ]( und deren Komponenten in Richtung des Feldes PR und Px , wobei PR + Px = m, berechnen:

(6')

Bei schwiicher werdendem Feld tritt an Stelle von (6) die Entwicklung

v = Vs + o. mUstark + m (Ystark + YI/V + y,/v2 + ... ) (7)

als Potenzreihe in l/v = m/KR: o. Der Koeffizient YI ergibt sich dabei im § 2 als Funktion von R, K, PR, Px = m - PR :

1 2' 1 (8 rl = 2 RK [(PRK -PKR) + (PR -PK)(PRPK -.)]· )

Der Faktor mlv von YI ist der Feldstarke umgekehrt proportional.

Die hoheren Glieder oy./v', usw. lassen wir beiseite. Formel (7) zeigt,

daLl in mittelstarkem Feld mgstark erhalten bleibt und nur Ystark durch

die Potenzreihe Ystark + Yllv + r./v' + ... ersetzt werden muLl. Eine wesentliche Eigenschaft der Storungsglieder ist. daLl

.Erl = 0, ,Ey. = ° usw. PK PK

summiert bei festgehaltenem R, K, m. Daraus folgt, daLl

,Er = ,E(rstark + 1/vYI + l/v'y. + ... ) PK PK

unabhangig von der Feldstarke ist, wie es das Permanenzgesetz der

r-Summen ') fordert. - Die Permanenzgesetze bilden eine Erganzung

I) W. Pauli, ZS. f. Phys. 16, 155, 1923. 2) A. Lande, ebenda 19, 112, 1923.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

lrber den quadratischen Zeemaneffekt. sss

zu der an und ffir sich willkiirlichen, wenn auch praktischen, Zerlegtmg von V in drei Summanden nach (1). Wesentlich ist, wie Heisenberg 1)

beweist, nur die Eigenschaft von ~v bzw. ~V1 eine lineare Funktion J PK

der Feldstarke ~ zu sein .. Mit Hille der mitgeteilten Formeln lil.Llt sich nun fiir ieden Multi­

pletterm erster Stufe die Lage v = Vs + amg + /Dr in mittelschwachem und mittelstarkem Feld angeben, abgesehen' von haheren Reihengliedern. Zur Beschreibung der Starung geniigt im ersten Fall die Angabe von

mg = mg.cbwacb + vgl' da rschwacb im Feld unveri!.ndert bleibtj im zweiten Fall wiirde die Angabe von r= rstark + Ijvr1 geniigen, weil gstark unverii.ndert bleibt. Wir beschrii.nken uns in Tab. 1 auf die An­gabe der nach (2') und (4) berechneten Werte von mg = mgscbwach + vg1 bei den s- und p-Termen der Dubletts und Tripletts, aus denen dann in § S die Storungen der Anfspaltungslinien bei mittelschwachem Feld abgeleitet werden. Bei den 8-Termen ist gl = 0, ebenso gi' gs USW.

~ mil KJ~I

1 "2

~lr 1 ill "2

rl 8 !! II "2 i I

1 II "21

Ta belle 1 fiir mg = mgschwach + v g1'

Dubletterme R = ~

5 1

I 1

-11 -"2 "2

-1 1 1

-2 - ~ + v .349S I i + v 134'5

-~ - v 23•2iJ I ~ - v2"43

Tripletterme R = j.

2

-2 -1 0 J 1 X --------2 0

I 2 I

-3 -i + v /."s O+v.s\ I 5 + v 11'j6s !

3 II

-i - v /958 O+vH- I i-v /108 I o - v.~ I I

1) W. Heisenberg, I. c., § 4.

219

220 ALFRED LANDE

BB4 A. Lande,

Man erkennt in Tab. 1, daB die Summen :E 91 der untereinander stehellden J

(gemeinsames m) Storungsglieder eines Termmultipletts (gemeinsames R und K) versehwinden, wie es die Permanenz der g-Sunllnen verlallgt. Die mathematisehe Ableitung der Formeln gl und rl bringt § 2 al" selbstandige Einschaltung.

§ 2. a) Seh waehes Magnetfeld. Wir betraehten zunaeast die Anniiherung an sehwaches Feld (0 <: w, v <: 1) und benutzen als Variable den resultierenden Impuls jo mit der zugeordneten Winkelkoordinate 1/10 = Winkel zwischen der (R, K, jo)-Ebene und der (jo~)-Ebene.

'111, R und K werden als unveranderliehe GroLlen betrachtet, die gegen­seitige Energie von R gegen K sei gleich w h. cos (R K) (Intervallregel). R solI gegen das Magnetfeld doppeltnormale Energie besitzen. Dann ist die Hamiltonsehe Funktion H des Atoms im Magnetfeld 1) dar­gestellt durch:

KR.H(j01/l0) =j~_K9_R2+V {In(1 +j~+R2_K2) wll 2 2j~

+ C;jto. V j~ -m~ V 2j~(K2 + R2) _j:_ (K2 _R2)2] (f.!)

= Ho + VHl mit v = oKR/w

An Stelle von jo und 1/10 werden jetzt neue kanonische Koordinaten j und 1/1 gesuehi, derart, daB H nur eine Funktion von j, nieht von 1/1 wird, die sich in Form der Reihe

KR.H(j) w: (.) w: (j 2W:' --}-- = ° J + VI) + v 2(,;1) + ... W !

(9')

darstellt. Die Storungstheorie in der von Born und Pauli 2) ein­geriehteten Fassung gibt den Formalismus zur sukzessiven Berechnung von WO, "lfTI' WI' ... an, und vereinfaeht sich im vorliegenden Fall (Hg = Hs = ... = 0, nur ein Variablenpaar j, 1/1) zu folgenden Formeln, unter intermediarer Benutzung einer Funktion F(j, 1/10):

(10)

1) W. Heisenberg,!. c., Gl. (5). 2) Born und Panli, 1. c., GI. (7)ff.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Uber den quadratischen Zeemaneffekt. 335

Letztere Gleichung gibt gemittelt tiber t/Jo von 0 bis 2:n::

(10')

also

worin a und b Abktirzungen ftir die Radikanden der beiden Quadrat­wurzeln in (9) bedeuten. Weiter gilt nach der Storungstheorie

1'1' (") _ dJ!~. dFt +~ (PHo(dF!\2+ dHo dFi •

2 J - dj dt/Jo 2 dj2 ot/J,) dj dt/J

Letztere Gleichung gibt gemittelt tiber t/Jo von 0 bis 2:n:

lV (.) = i{J[1. dFI, +~ 02 Ho.(dFl)2. 2 J oj dt/Jo 2 dP dt/Jo

Das ist wegen cos t/Jo = 0, cos't/Jo = 1/., ausgerechnet r • _ ~[5 ab _ 2b + 4a(K2 _R2 -p)]

lf2 (J) - 16 j6 j4 . (10")

Einsetznng von (10), (10'), (10") in (9') gibt

als Resulbtt der Storungsrechnung an obigem Hilfsmodell.

Die Verbessernng, welche nach Heisenberg') an dieser Theorie anzubringen ist, besteht, darin, daJ.l nicht H(j) : It, sondern

1 .J+ ,12 -fH(.j)dj = V-Vs h J-'I,

als Termverschiebung v - Vs aufzufassen ist. Diese Integration fiihrt

') W. Heisenberg,!. c .• GJ. (5).

221

222 ALFRED LANDE

13136 A. Lande,

Dadurch wird aus (11), wenn man beachtet, daB auch die Radikanden a und b FunktiQnen von j2 sind:

_ J2 + ~_ (R2 + K2) V-Vs - w 2KR

{ ( J'J_! _R2_K2

+ 0 m 1 + 2 (J2 - i) 1 [ 1 2 2] 2 + V"Is 1 + J 2 -i (2[R +K +m)

+ (~~ + ~8 (13 [R2 - K2]2 + 6 m2 [R2 + X2])

+ J4 + F2 + to 5 m2 (R'J _ X2)'J]' (J2-i)" f

= IlJr.chw.ch + 0 {mg.chwach + v. gll womit (4) bewiesen ist.

(12)

Die GroJ.le rschwach hier unterscheidet sich von der in (2') angegebenen

urn I2~R" Dies bedeutet aber nichts anderes, als daJ.l die (an und fiir

sich willkiirlich wiihlbare) Lage des "Schwerpunkts" Vs hier anders als in (2') genommen ist. Dieselbe Verschiebung hat wegen der Permanenz der r-Summen, auch die in (17) abgeleitete GroBe r.tark gegeniiber der in (6') angegebenen GroJ.le. Die den Gleichungen (2') und (6') zugrunde liegende Festlegung des "Schwerpunkts" Vs ist aber die natiirlichere, indem in bezug auf ibn wirklich "Gleichgewicht" zwischen den Termen vom Gewicht J und vom Hebelarm r w besteht.

b) Starkes Magnetfeld. Ganz entsprechend geht die Rechnung in starkem Feld (0 :> 1lJ, v :> 1) vor. Hier benutzt man als Variable die aquatoriale Komponente Po des Impulses K und als zugeordnete Winkelvariable den Winkel flJo zwischen den Ebenen (X~) und (R~), wilhrend R, X, m als Konstanten betrachtet werden. Die Hamil tonsche Funktion H im Magnetfeld ist hier dargestellt durch 1)

H(PofIJo) = (2m-p) o. h 0

(IS)

1) W. Pauli, ZS. f. Phys. 20, 371, ·1924, Formel (4 a).

SELECIED SCIENTIFIC PAPERS

Dber den quadratischen Zecmaneffekt. 337

Statt Po CPo suchen wir neue Variable PcP einzuflihren, so daD

II(P) 1 1 0/1,- = Wo(p) + V WI (p) + v' W.(p) + ... (14)

wird. Wo, W; usw. sind dann nach der Storungstheorie bestimmt durch

Wo(p) = IIo(p) = 2m-p 1 a IIo a P J J

WI (p) = III (PI CPo) - ap ([Po Letztere Gleichung gemittelt liber CPo von 0 bis 2n::

WI (p) = HI (p, CPo) = p (m - p), also

(15)

(15')

a F, a Ho l/i--p 1/ (m - p)2 a CPo = (WI - HI) : (}p = KR 1 - k2 V 1 - -'(;2- cos CPo

W (p) = d!!1. ap, + ~ ij2 Ho(~F!)2 + alI. a Fl. 2 ap a CPo 2 ap2 apo ap apo

Letztere Gleichung gemittelt gibt

W ( ) = a HI . ~ + ~ a2 Ho (a FI)2 . • p ap dpo "2 dp2 dcpo

:Man erhlilt ausgerechnet wegen cos CPo = 0, cos2 Po = -;: W2 (p) = ~ [X2 (m-p) _R2p + (m-p) (m- 2p)]. (15")

Einsetzung von (15), (15'), (15") in (14) ergibt

H(p) = 0 (2m _ p) + ro JP (m ~ p) h I KR

+~KR [m - p _ ~ + p (m=p) (m --::_~p)]} v h R2 X~' R'X2 (16)

als Resultat der Sttirullgsrechnung am Hilfsmodell. Nach Heisenberg erhlilt man als Termverschiebung v - VS:

p+ 1/2 * J H(p)dp = v -v::;, P_1/2

welche zu folgellder Formel flihrt, wenn man zum SchluD P K statt P und

P E statt 'm - P schreibt:

v - Vs = 0 (2 PE + P K )

+ ro jPRPK - ,'2 + 1 (PIIJ(' - P K R 2) + (PR - P K ) (PEPK - ill 1 RX v "2 RX J

= 0 gstark + ro {Ystark + ~. Ylt'

womit (8) bewiesen ist.

(17)

223

224 ALFRED LANDE

338 A. Lande,

§ 3. Den Vergleich mit der Erfahrung kOllllen wu mangeb ge­niigenden Beobachtnngsmaterials nur fiir den Fall lllittelschwachell Feides (v < 1) durchfiihren, und zwar an den lHultiplett~ (BPi) dn Dubletts und (SPi) der Tripletts. Da die s-'l'erllle keine Dtorungt'­glieder besitzen, treten beim Zeemaneffekt der KOlllbinationen s -]Ii die St6rungen der p - Terme rein in Erscheinung. Kombiniert man die Zeemannterme der 'l'abelle 1 nach den iibliehen Auswahl- und Polari­sationsregeln miteinander, so erhalt man folgende Lage der Zeemanliniell, ausgedriickt in Wellenzahlen 0 des normalen Effckts (die n-Komponenten in Klammern).

Tabelle 2.

B-P2 1 + 23.23 V, (~ + 23.23 v), (-~ + i:23 v), - ~ + :.23 v

a-PI I (I 32 "3 -"fl3 V, 1, e{ - 23;3 v), (-~-fl,v), -1, -~ -2~~3'C

Dabei ist vorausgesetzt, daLl die Wellenzahl ~l\ <sP.<sP. ist; anderenfalls kehren sich die Vorzeichen der Storungsglieder urn. l' ist naeh (5)

o.ZJJ'

V = dVJJ' '

d. h. bei den Dublett-p-Termen o.~

v = -~--,

bei den Triplett-p-'rermen

0.2 v=~~-

P2-PI

P2 - PI

0.3

Zum Vergleich mit der Erfahrung liegt nur sparliches Material vor. Uberdies ist zu beachten, daLl es sich urn die kleinen Storungen in den selbst bereits auLlerordentlieh kleinen Abstanden der einzelnen n- und «1-Komponenten handelt, deren Messung ja nur mit den besten Hilfsmitteln zu quantitativ zuverlassigen Daten fiihrt. Herrn Kollegen Back ver­danke ieh den Hinweis auf einige seiner Messungen, die sieh zu zahlen­maLligem Vergleich von Theorie und Erfahrung eignen. Es handelt sich

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

TIber den quadratischen Zeemanelfekt. 339

urn das X a -llnblett Lei 3303 .\.-E. mit dem feldlosen Linienabstand In.. = 0,li2.1...-E. im Feld yon 32 D88 GauLl, zu dem in dem betrachteten

Spektmlgebiet die normale Anfspaltung 0 = 0,169 A.-E. gehort 1). Daher

wird nach (0) hier . _ 0.H;9.~ _ 14

I - 0,()2 - l, 1.

\\" ir stellen nun das gemes~ene Verhaltnis

Abstand zweier Nachbarkomponent6n IJbeoh. = ~mgestorl-it~env~rtende~ Abstand dieser Komponente~

mit dem nach 'Tabelle 2 berechneten Verhaltnis der A b stan d e

(mp + vg1),- (mp + vg1)11 'lber = .-.-.---------- mit v = 0,41

. (mg)J - (mg)n

je zweier Xaehbarkomponenten zusammen:

Tabelle 3 fiil' die relative Vergrofierung der Komponentenabstande.

Komponenten I (ilO "9 "5 "7 "6 Os "4 ". "2 '" 1

lJbeob. 1,04 0,99 1,07 0,94 1,09 1,03 0,87 1,05

qber .. 1,00 1.00 1.0() 0,92 1,08 1,00 0,92 1,08

• -1.1s Beispiel eines 'l'ripletts betrachten wir das Mg-Triplett (8 Pi)

:>183. :)172, G1G7 A.-E., welches Back im Feld 38900 GauLl

(0 = 0,48D A.-E.) gemm"cll hat '). Dort wird llach (ii)

0,489.3 l" =-1('--- = 0,092.

Hier fi.ihren Beohachtung und Berechnung zu Tabelle 4.

Tabelle" fiir ,lie relative Vergrofierung der Komponentenabstande.

Komponenten

Qbeob.

qber ..

Komponenten

%eob.

%er.

(}18

Ii 0.

I

1) E. Back. druckt 1921.

"17 (i16l" {TUS (fu, "13 "12

1,01 1.00 0,89 1,00 1,00 0,99 1.00 1.00 0,92 1,00 1,00 1,00

"8 0, "6 "5 n. 03

1,00 0,99 1,02 1,02 1,00 0,96 1,04 0,99 0,98 1.02 1,01 0,99 0,98 1,02

Zur Pres:.tonschen Regel, Tubinger Diss. 1913,

(ill °10

1,11 1,08

0, u, 0,96 1,01

S.22. Ge-

2) Vgl. Back-L and e, Zeemaneffekt und Multiplettstrnktllr der Spektrallinien, S.157-159. Berlin, Verlag .T. Springer, 1925.

225

226 ALFRED LANDE

340 A. Lande, tiber den quadratischen Zeemaneffekt.

In Anbetraeht der sehwierigen l\fessungen (man beaehte die starke

Streuung der beobaehteten Werte) ist die Ubereinstimmung zwischen Theorie und Beobaehtung des quadratisehen Zeemancffckts als befriedigend anzusehen.

Beachtenswert ist noeh die den Permanenzsatzen entspringende Folgerung, daB die ALweiehungen der Komponentenintervalle von den ungestorten Intervallen, d. h. in Tabelle 3 und 4 die Abweichungen deT q von dem ungestorten Wert q = 1, sich innerhalh jedes Zeemantypus

im Durchschnitt fortheben. Diese Eigensehaft der Linienstorungen hat

B a c k bei seinen Messungen gestorter Typen seinem Storungsausgleich schon seit langer Zeit zugrunde gclegt; diese Ausgleiehsmethode findet also ihre Rechtfertigung in den Permanenzsatzen.

PAPER 47

Lichtquanten und Koharenz. Vun A. Lande in Tubingen.

(Eingegangen am 19. Juni 1925.)

571

Will man die Pia nc kscbe Strahlungsformei aus ,ler Lichtquantentheorie ableiten, so gelingt dies nach Bose nur mit Hilfe eines ,,'-nhrscheinlichkeitsansatzes, der die Lichtquanten als yoneinander in unanfgeklarter Weise statistisch abhangige Gebilde ansieht nnd ihnen Polarisation znschreibt. Dieser Wahrscheinlichkeits­ansatz kann aber anch lJei statistischer Unabhangigkeit der Lichtquantcn bcgrundet werden, wcnn man, in Analogie Zllr klassischen Welieninterferenz, die skalare Addition der Quanten e innerhalb jedcs Quantenblindels aufgibt zugunsten

einer Superposition der l'E mit nach Zufall verteilten Phasen, unter Zulassung nur ganzzahliger Quantenblindelenergien. Es wird auf die Beziehungen dieses Tntrr­ferenzansatzes zu Einstein, Theorie der Gasentartung hingewiesen. Die Qnanten­blindel erweisen sieh ferner als grundlegend aueh flir den Energieallstallsch zwischen

Strahlung und lIIaterie.

Bei der Ableitung der Strahlungsformel henutzt Planck zur Er­mittlung des Faktors 8nv2(c3 das klassi~ch berechnete Gleichgewicht zwischen Strahlungsdichte und Oszillatoren. Dnd auch in Einsteins

Ableitung wird ebendieser Faktor dnrch asymptotischen Vergleich mit dem klassischen Strahlungsgeset.z festgelegt. Eine rein quanten­theoretische Ableitung del' Shahlungsformel hat Bose ') versucht. Seine Dherlegungen haben weiterhin die Grundlage fur Einsteins Theorie der

Uaseut.art,ung gehildet. 1m folgemlen wird nun del' zuniichst unverstand­

liche Wahrscheinlichkeitsansatz von B 0 s e besprochen und gezeigt, dall

er auf cine Superposition der Lichtquanten zuruckgefuhrt werden kann, die ein q uantentheoretisches Analogon zur klassischen Welleusuper­position darstellt.

§ 1. Ahleitung del' Shahlungsformel aus der l .. icht-quantentheorie. a) Die Zellen ' ). Die Ciesamtenergie E der im Volumen V eingeschlossenen Strahlung bestehe aus Lichtquanten f = hv del' verschiedensten Grol.len, und zwar mogen zum I£nergiebereich L1 E im ganzen L1 N Quanten f gehtiren, welche zur Gesamtenergie Emit dem

Betrage L1 E = f. L1 N beisteuern. J edes Quant f hat einen Impuls p = E Ie. Die Richtung seiner

Forlbewegung ist bestimmt durch die Impulskomponenten p" Py, Po, wobei wegen

1) S. N. Bos e, ZS. f. Phys. 26, 178, 1924.

Reprinted from Z. Phys. 33,571-578 (1925).

227

228 ALFRED LANDE

572 A. Lande,

11 cler Radius der Rugel im Pxpypz-Raum ist, auf deren Oberflache zu bleiben das Quant gezwungen ist. Zwischen den Rugeln p und p +tlp liegt das Raumgebiet

f tlPxdpydpz = 4:rrp'tlp

Das gesamte Phasengebiet im Raum V und im lntervall L1 E hat

demnach den Inhalt

V p+dp E'

ftlxdydzfdPxdpytlpz = 4:rrV?L1E. p

Nach Plancks Grundannahme ist das Phasenvolumen m Zellen

der GroUe 11 3 einzuteilen, innerhalb deren die einzelnen Phasenpunkte als gleich wahrscheinlich gelten. Die Anzahl der ZclIen, die dem Oebiet L1 E

entsprechen, ist also

ouer wenn man der Tatsache uer Polarisation ' ) Rechnung tragt,

E' 8 :rrv' L1 A = 8:rr r ,. 3 3 L1 E = V- -- d v Zellen.

Ices (1)

auf die sich die Lichtquanten des Gebietes L1 E verteilen konnen (jede

Zelle kann dabei belie big viele Qllanten aufnehmen).

Da diese Zellen nach ihrer Anzahl (1) und ihrern Inhalt (Licht bestimrnter Richtung unu Farbe an bestimmtem Ort) iibereinstirnmen mit v. La u e s elernentaren linear polarisierten inkoharendcn Strahlen­

bUndeln 2), wollen wir statt Ze lIe auch die Bezeichnung "elernentares LichtquantenbUndel" oder auch einfach "ctuantenbUndel" benutzen.

b) Wahrscheinlichkeit und Strahlungsforrnel. Wir be-rechnen nun die Anzahl L1 "tV der untereinander als gleich wahrscheinlich

angenornmenen Moglichkeiten, L1 N Quanten auf L1 A Zellen zu verteilen,

in volliger Anlehnung an Plancks Verteilnng von L1 N Quanten anf L1 A

Oszillatoren 3).

I) B 0 s e muE also zur Ableitung der Strahlungsformel den Lichtquanten Polarisation zuschreiben.

2) Nach v. Laue (Ann. d. Phys. 44, 1197, 1914) ist die IntervaUbreite eines inkoharenten Strahlenbiindels definiert durch

1 Ti J f. d Q . cos e . .d t . .d p = l.

") In entsprechender Weise yerteilt Debye .d K Energien e auf.d A Eigen­schwingungen und v. La u r auf d A unabhangige Strahlenbiindel.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Lichtquanten nnd KoharE'nz. ;'i73

Welche Verteilungen dabei als gleich wahrscheinliche ~liiglich­

keiten angesehen werden, solI folgendes Beispiel erlautern. Werden

,d N = 4 Quanten auf ,d A = 3 Zellen verteilt, so hat man folgende

15 ll'lciglichkeiten rur den Zelleninhalt:

Tabelle 1.

Zelle Nr. 111 1

4 0 0 3

I

3 1 0 1 0 :3 :3 I 0 i 2

.. ,,21' 0 4 0 1 0 3 I 3 0 1 2 0 :3 :3

" 3 I 0 0 4 0 1 0 1 3 3 , 0 :3 :3 I :J I

Es ist keineswegs selbstverstandlieh, daG diese 15 .il'Iogliehkeiten

gleich wahrscheinlich sind ("gleiches Uewicht haben"): vielmehr wurde

man a priori unter der Annahme yoneinander llnabhangiger Quanten er-

1

3 ' wartelL daB der Verteilung I' ein "iermal so groJles (;ewieht zu­

o

kame als der Vcrteilung It i , weilletztere unr auf e i neW eise realisierbar o

1 I a bedj ist, indem alle ,·ier Quanten (I, Ii, c, d in Zelle Nr. 1 fallen: I 0 I'

, 0 . erstere dagegen auf vier Weisen:

I abc I I d , • 0

abdl lard '. "

I /)' , ., o 0:

i b r d I I (I !.

j 0

Es ist die Gleich wahrseheinlichkeit der obigell 1,:) Ver­

teilung-en von vieT quallten auf drei Zellen demnaeh als cine besondere

I'hysikalisch~ Allllahme anzusehell, die implizitc Bases Reclmungen zugrunde liegt und deren Inhalt in einer Abhangigkeit der Quanten im

Sinne eiuer gewissell I nterferenzrahigkeit zu snehen ist (§ 2 b). - Die Verallgemeinerung des obigen Beispiels ,d]l,' = 4, ,d A = 3, ,d IF = 15 gibt als Formel fur die Anzahl der .Kombinatiollen mit Wiederholung

Yon ,d A Elementell zur ,d N-ten Klasse·' :

TV = (,d ]". + ,d A-I)! . ,d (,dA-l)!,dN!

(2)

Aus diesem Wahrseheinlichkeitsansatz ergibt sich nach PIa n c k 111

bekannter Weise als mittlere Energie pro Quantenbundel

,dE E d A = U· - e'lk T _ 1 (3)

229

230 ALFRED LANDE

574 A. Lande,

Die Gesamtenergie der zurn GebieL1E im Volumen V gehOrigen Quanten­biindel wird demnach gleieh Ll E = Ii, • LlA, d. h. unter Benutzung von (1)

Ll E _ 87t V. ES Ll E 4) - cShs - e'JkT -1· (

Fiihrt man zum SchluLl statt E E

die "Schwingungszahl" 'II = h der

Lichtquanten ein, so wird der zum Intervall dv pro Volumeneinheit ge­hOrige Energieinhalt der Quantenbiindel, d. i. die raumliche Strahlungsdichte

d 87th'lls d'll (Iv V = -C~3- • ehl'Jk T _ 1 ' (5)

iibereinstimmendmit Planeks Strahlungsformel.

§ 2. Interferenz der Lichtquanten. a) Verteilungsdichte der Lichtquanten iiber die Zellen. Um einen Einblick in den Sinn des obigen Wahrseheinlichkeitsansatzes (2) zu gewinnen, solI zunachst die zugehorige Verteilungsdichte der Lichtquanten iiber die LlA Zellen nach B 0 s e festgestellt werden. Es sei PoLl A die Anzahl der leeren ZeIlen, PI Ll A die Anzahl der mit e i n e m Quant gefiillten Zellen usw., also

:;8pjLlA = LlA, :;8Pj = 1. (6) j j

Bei Aul'teilung von Ll N Quanten E iiber die Ll A Zellen des Energie­gebietes Ll E erwartet man, falls die Quanten als voneinauder un­abhangige Gebilde betrachtet werden diirfen, eine gleiehmaL!ige Verteilung, so riaL! in jeder Zelle J = Ll N/ Ll A Quanten liegen. Das bedentet nach obiger Bezeichnungsweise

fii. -. LlN Pj = ° fiir aIle j auLler P1 = 1 r J = -- .

LlA (7)

Bei 0 bigem \Yahrscheinliehkeitsansatz (2) ist aber von einer Bolehen gleichmaLligen Diehteverteilung keine Rede. Betraehten wir wieder das Beispiel der Dichteverteilungen in Tabelle 1. Hier entsprechen von den 15 Verteilungen die 3 ersten den Werten [Po Ll A = 2, PI Ll A = 0,

P2LlA = 0, PsLlA = 0, p,LlA = IJ; die 6 folgenden Verteilungen entsprechenden Werten [PoLlA = 1, PILlA = 1, P2Ll A = 0, PaLlA = 1, p,Ll A = OJ usw. Allgemein ist die Anzahl Ll w der untereinander gemaJ3 Tabelle 1 als gleich wahrseheinlich angenommenen Verteilungen, welche

zu einer gegebenen Dichteverteilung [PoLl A, PiLlA, P2LlA, ... J flihren, gleich der Zahl der Moglichkeiten, Ll A Zellen iiber Ll N Quanten in der verlangten Weise zu Yerteilen, also

(Ll A)! Llw = (PoLtA)! (PILlA)! (p2LlA)! ...

(8)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Lichtquanten und Kolliirenz. 575

1m Gleichgewicht sind nun die P OP, P2 ••• so zu wahlen, daB.dw

hzw. 19.dw ein ~laximum wird unter den Kebenbedingungen

::SPj = 1, :2 sjPj = LlE/LlA. (9) ) )

Dies fiihrt zu del' Verteilung:

Pj = Be-J'fi. (10)

Dabei bcstimmt sich B aus ::SPj = 1 zu B = 1 - e- eii, also

Pj = (1- e-efJ)e-Je{i. (10')

Ferner wird die mittlere Energic u pro Zelle

~ LIE ~. (1 Il\~' "i s (11) U = -LIA = fli JPj = -e-e'JfsJe-~eJ' = rl=-T'

Aus dem Vcrgleich mit (3) odeI' auch dirckt aus

l/T = JklgLlm/Ju.dA

folgt ~ = l/kT. Demnach ergibt sieh sehlieElieh als Gleiehgewiehts-

verteilung Pj = (1 - e-,;k T) e-iC:kT

an Stelle del' Gleichverteilung (7).

(10")

1m Grenzfall s<kT, bei demu=kT wil'd, el'gibt sieh aus (10") dureh Reihenentwicklung des el'sten Faktors

s . Ik T lJj = k1' e- Je .' ,

woftir man bei Einftihrung von j Ii = ii, k T = it aueh schreiben kann

s ~

Pj -:::=: ii p-II,:U. (12)

b) Superposition del' Lichtquallten als Ursache diesel' Verteilungsdichte. Wir wollen nun annehmen. es bestehe zwar Un­abhangigkeit del' Quantcn, infolgedessen Gleichverteilung (7) libel' die Zellen, jedoch setze sich del' Energicinhalt u einer Zelle nicht additiv

aus den J Beitragen s zusammen, sondeI'll nach eillem del' klassischen

Wellentheorie nachgebildeten W aliI'S che inlie likei ts gesetz folgender

Furm: Es sei zwar im Durchschnitt tiber viele Zell~n, welche je iQuanten

enthalten, del' Mittelwert des Energieinhaltes it = j . 0, bei einer einzelnen

Zelle sei abel' u = [2, + 22 + ... "} [2 = [Z I': (13)

WO 2, = X, + i y" "2 = x2 + i Y2: . .. komplexe Zahlen (Vektorell in del' .:ty-Ebene) seien, alle vom gleiehen Betrag V~ deren Argumente

231

232 ALFRED LANDE

576 A. Lande,

Pi = arctg (Yi/X;) jedoeh nach Wahrscheinliehkeit zwischen 0 und 2 n verteilt seien. Die Wahrs(,heinlichkeit, daLl del' resultierende Vektor Z = X + i Y auf eine }'lacheneinheit del' X Y-Ebene fallt, ist dann 1)

~ = C. e-r(X' + Pl. (14)

Die Konstanten C und r hestimmen "ieh aus den Nebenbedingungell

+= += H~dXdY = und H(X 2 + y2).~.rlXdY = u

zu C = l/nu, r = l/u.

Wegell X2 + y2 = I Z II = u

und dXdY = 2nV~.dV~ = ndu

wird dann die Wahrscheinlichkeit, daLl del' Energieinhalt einer mit ] (,!uanten E gefiillten Zelle in das Uebiet flu fallt:

1 - 1-~dXdY = -e-u/udXdY = -e-u/udu.

nit it

MiLlt man sehlieLllich u und u in Einheiten E

U =jE, U =jE (15)

(3 winl dabei nie-ht ganzzahlig zu sein) , so ist du = E dj, und es wird die WahrHcheinlichkeit, daLl eine mit 3 Quanten E gefiillte Zelle einen zwischen j und j + dj Energieeinheiten E be­tragenden Energieinhalt besitzt, gleich

(15')

iibereinstimmend mit dem Grenzfall (12) del' Quantenstatistik. Der zunachst unverstandliche Ansatz (2) del' Quantentheorie ist also, vorerst im Grenzfall E < k T, aquivalent dem Wahrseheinlichkeitsansatz del' folgenden Form:

1. Es sind zwar die Quanten E unabhangig voneinander auf die Quantenbiindel zu verteilen, so daB in jedes Biindel des Intervalls L1 E

gleich viele Quanten E fallen; del' Energieinhalt u des Biindels ist aber nieht durch skalare Addition del' einzelnen Energiebetrage OJ sondel'll durch Superposition del' V;. eicp mit nach Wahrscheinlichkeit verteilten

Phasen P zu bestimmen. Dies gilt zunachst nul' flir den Grenzfall 0 < kT it = kTJ wo auf

jedes Biindel viele Quanten G> 1) fallen. Abel' auch ohne diese Ein-

1) Vgl. Markoff, Wahrscheinlichkeitsrechnung S.33.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Lir htquanten unll KohaTt:'nz. 577

sehr,illkullg liiJlt sieh ,ms der a priori erwarteten (ileiehyprteilullg ,ler

Quallten, welchr gcmaJl (13) illterfericren, die allgemeine Energieverteilullg

(10') ablcitcn. wenn wir noeh folgende Zusatzforderung (11) einfiihren:

ll. Nur diejenigen (auf Kreisell liegendcll) Punkte der X Y-Ebcne

sind als Resulticrcmle Z = X +iY zugelassen, welehe ganzzahligen

,Verten It = j c entspreehcn; und diese Punkte sollen die gleiehe "Vahr­scheinlichkeit haben, wie bei kontinuierliehem j die umgebcndcn Flachen­

gebiete. . _ . . elu

In dem Geblet elXdl = neln hegen aber dJ = ~ c

dXrlY

nE zugelassenpn Energiewerte, d. h. die ausgezeichnetpn "Verte sind mit

gleichmaJliger Diehte liber die X Y-Ebenc yerteilt. Es geht daher

durch (n) das obige Ergebnis (14) liber in die neue Form: Die ,Vahr­

seheinlichkeit, daJl eine Zelle cinen hestimmten Energieinhalt X 2 + r' =It = j emit .lianzzahligem j erhiilt, ist gleich

Pj = Be- Ilu ,

wo B ,ieh hestimmt au~ der Nebeubedingung

also

2j 1'; = 1 zu B = (1 - e-I"), j

Pi = (l-c-ih)e-'~.i'

ii bereinstimmend mit (1 \I'). Die Annahmen (I) und (II) sind

reiehend, um die Energieyerteilung (10'), (1{;') libel' die Zellen

(Hi')

also hin­

tl'otz Un-abhangigkeit del' Quanten zu hegriillden und damit das Plancksdle

Strahlungsgesetz aus del' Liehtquantentheorie abzuleiten. :Man erkcnnt somit. daD schon del' einfachste Versurh, die Hypothese

del' Liehtquanten mit del' Strahlungsfol'mel zu \-ereinbaren, rlazu zwingL

den Liehtquanten l'olarisation und Phase zuzuschreiben.

§ 3. Yergleieh mit Einsteins Theorie del' Gasentartllllg. Durch sinngemalJe Ubertragung del' Liehtquantenstatistik auf Gasmolekille

hat Einstein cine Theorie del' (;asentartunp; aufgestelH. welehe darau! gl'Ulldet, daB die JVlolekille eines EncrgieinterYalls L1 c niGht gleiehmaJ3ig

iiber die zug:ehiiriKell Phasenzellen verteilt seien (wie man es bei gegen­seitiKer Unabhangigkeit der idealen Gasmolekiile erwartcn sollte), yiel­

mehr sei die Wahrseheinlichkeit PJ' daJl cine Zelle den Energieinhalt .i E

habe, gleich Pj = (1 - e- U) e- j u.

llail in diesel' Annahme eille Interfel'enz del' :Molekiile begriffen sei, hat

Einstein bereits gezeigt. Nach den obigen Resultaten kiinncn wir (liese

Inter!erenzcigensehaft aueh in folgender Form ausspreehen:

233

234 ALFRED LANDE

578 A. Lande, Lichtquanten und Koharenz.

III. Die kinetische Energie eines elementaren JIIlolekiilstrahlbiindels setzt sich nicht skalaI' aus den Einzelenergien E del' in ihr enthaltenen (aufeinander nicht wirkenden) Molekiile zusammen, sondeI'll durch Super­position aus oen Beitragen V~. eiT, wo die ,Phasen cp del' 1Ilolekiile" nach Zufall verteilt sind.

§ 4. (Nachtrag bei del' Korrektur.) DaJ3 die hier hervor­gehobenen Quantenbiindel auch fiir den Energieaustausch zwischen Rtrah­lung und Mat e ri e von Bedeutung sind, kann man durch folgende A bleitung del' Planckschen Strahlungsformel zeigen, im AnschluJ3 an Einsteins bekannte Ableitung.

Das Verhaltni. der Atomzahlen in den zwei Zustanden E1 und E, (wobei E 1 -E, = 0) i8t

(17)

N eben spontanen Emissionen 1 _ 2 soli en noeh induzierte Emissionen und A.b­sorptionen vorkommen, deren Wahrseheinlichkeit proportional der durchsehnitt­lichen Anzahl J der Quanten 8 in einem clementaren Quanteubiindel sein soli, wobei naeh(l) _ S,..,,'

j==!?l':~· Gleiehgewieht soli also bestehen fUr

(IS)

(19)

Einsetzung von (17) und (IS) in (19) nnd Anfliisung naeh (" giht dann Plancks Strahlungsforme!, wenn

(20)

Besonders im Hinblick auf (20) seheint diese Ableitung befriedigender als die Einsteinsehe, welche fur die Wahrseheinliehkeitsfaktoren (J1 (J,a1 die Beziehung

mit Benntzung der Rayleigh.ehen Formel ersehlieBen muB. Die Verallgemeinerung von (19) flir den Einstein-Ehrenfestschen Fall mehrerer simultaner Quanten­prozesse ergibt sich ohne weiteres.

Von besonderer Bedeutung scheint, daD die vom Strahlungsgesetz geforderte Superposition (13) del' Lichtquanten keineswegs die In ter­ferenzfahigkeit del' Spektrallinien erklart. Denn (13) hat nUl' Bedeutung im Strahlungsgebiet von Ray leigh (groJ3es T), Interferenzen sind aber beliebig weit im Wienschen Gebiet beobachtbar, wo auf

Tausende leerer Blindel ein Blindel u = 1 E kommt.

PAPER 49

604 LANDE: Warumhat das System der chC'm. Elemente die Periodenlltngen 2, 8, 8, IR, 18,32 ? [~~:~D

Warum hat das System der chemischen Elemente die Perioden­liingen 2, 8, 8, 18, 18, 32?

Von A. LANDE, Ttibingen.

Seit KOSSELS groOangc1egtem Versuch, die che­mischen Eigenschaftcn deT EJemcnte auf Grund ihr(,T Elektronenanordnung zu verstehcn, jst das Ratsel des periodischen Systems und im besonderen die Frage oach clem Ur~pnmg deT Perioden von 2, 8, 8, 18, 18, 32 Elcmenten zu einer Spezialfrage aus der Quantentheorie des Atombaues geworden. Diese Frage darf wahl bente, dank den Forschun­gen besonders von BOHR, STONER nnd PAULI und auf Grund einiger Resultate uber Spektra1linien (:\Iultiplettstruktur und Zeemaneffekt) in weitem t'mfang al. geklart gelten. Es besteht ein tiber­raschend einfacher Zusammenhang zwischen den Periodenzahlett 2 = "2 • III, 8 = 2 • 2 2, 18 = 2 • 311,

]2 = 2 . 41 lind den Quantenzahlen der im Atom gebllndenen Elektronen, die aus den Spektren der Elemente abgelesen worden sind.

Die atommodellmaBigc Bedeutung diescr Quan­tenzahlen, wekhe in einer dem Spl"ktroskopiker geHiufigen Weise durch die Symhole tt, K, J, m bezeichnet werden, und ihr Znsammenhang mit den Periorlenzahlen soil im folgenden naher er-1autert werden.

'Vir werden dabei sehen, claO die ebenfalls zu erlautermle Auswahl dicser Quantcnzahlen

(J) I" = ': 2, 3., ... 00, K:,~ n -- l, J = K ± \ \iml,,;:J-,

identisch ist mit dcm GC8Ctz def l'erioc1ellzah!cll. so daO wir (I) geradczlI ais "Formel de,~ 7lcriu­dischen Systems" ansprcchen konncn.

II) Die 'Balm cines jcden Elektrolls, welches sich am Aufbau cincs Atoms bctciligt, ist in ge­wisser Annahcrung eine Elliru;c. Nach BOHR ist nur cine beschr~\nkte Auswahl solcher ElIipscn ".irklich zugclassen; die grope llalbachse a einer Bahnellipse darf namlich nur gewisse Werte op a 2 ,

a3 • ••• besitzen, anders ausgcdruckt, a darf nur gleich a .. scin, WO

(2) n = " 2, 3, ... 00

(Diese ausgezeichneten Werte a lt sind genauer gew

n' geben durch an = 0,53' -Z,,· 10- 8 em, wenn Z'

die auf das hetr. Elektron clurch Zusammen­wirken des positivCll Kerns und der iibrigen nega­tiven Atomclcktronen resultierende "effektive" oder "abgeschirmte" Kernladung bedeutet.) Die Zah! n, w('khc somit die rir<iJ3c der Ellipscnh<1lh­adlse (I .. hcsti1ll1llt, win! "lIrw/Jlqlllwlctlz"h1" ril'l"

hdr. ElcktTlllwnhahn gcnanni, unrl es sind Elck­troncnbahncn mit den vcrschicdenstcl1 Haupt­lluantenzahlcn II --~ I, n ._- 2, n '0""- 3, ... mcjglich. Die Frage ist nllll, wiel!iele Elektroncll der Haupt~ qnantcnzahl 11. = I ein Atom enthalten kann, uncI f>benso wieviele Elekironcn mit n = 2, mit

Reprinted from Naturwiss. 13,604-606 (1925).

n = 3 usw. im Atom vorkommcn konncn. Ais Antwort werden wir gleieh finnen: Ein At0m kann hochstens 2 Elektronenbahnen mit n = I,

h6chstens 8 Hahnen mit n = 2, hochstens IS mit 'I = 3 und h6chstens 32 Elektronenbahnen mit n = 4 enthalten.

J() Soc ben war nur von der quantenhaften Be~ stimmung der gro/3en, Ellipsenhalbachsen a (al ,

at ... an ... aoo) die Rede. Aber auch die kleine Halbachse b jeder Elektronenbahn nimmt nach SOMMERFELD nUT quantcnhaft bestimmte \Verte an, die wir mit bE bezeichnen. Ebenso wie die kleinc Halbachse bE einer El~ipsc stets kleiner oeler h6chstens gleich der groBen Halbachse all sein kann, so wird auch die Quantenzahl K von bJl stets kleiner (h6chstens ebenso graB) wie die Quanten­zahl n von all sein. 1m besonderen zeigen die Spektren, daB K die \Verte

K = ~. ~. ~ ... bis (n - ~)

oder kurz geschrieben

l(~n-~-

annimmt. (Dcr zllr Quantcnzahl K gchorige Wert <ler klcincn Halhachsc bx ist iihrigcn!i

n2 _H tIN = 0,53 . 7/ . 10 em,

vcrgleichc obcn (lit.) 1m cin7.cln('n hat man dcmnach bei den Hauptquantenzahlcn n = I, 2, 3 usw. fol­gemle ~16glichkeiten fUr die Quantenzahl Keiner Ellipscnbahn:

n = 2

f{ = ~, ~ n = 3

K = ~, ~,~ usw.

K wird als "Ncbcnquantenzahl" oder auch als "azimutale" Quantenzahl bezeichnet, weil sie den azimutalen Drehimpula des betr. Elekuons mit seiner Bahn miSt; dieser ist na.mlieh K . h/21t, wo h PLANCKS Wirkungsquantum bedeutet.

J) Die Form der zulassigen Ellipsenbahnen. d. h. die Werte der groBen und kleinen Halbachsen all und bll , war durch die Quantenzahlen n und K festgelegt, und damit auch der Drehimpuls (Kreiselmoment) des Eicktrons K-, h/21T. in der Bahnebene. Nun stcht aber die Bahnebene des Elektrons nicht im Haum fest, sondern maeht eine Prazcssionsbewcgung (ahnlich wic die Ebene cinl"~ Krciscls). Nach alll3cn wirH dann das !{reiscl­moment J(. hjlt'( tier priizl's!:)icrcn<icll Ellipscn­hahn chen so ,vic das Krcisclmument einer nicht pr:izessicrencicn Hahn yom Drchmomcnt J . 1I/2:r, \11,'0 .} al!> "wirksamc" Quantcllzahl der Elek­tronell balm bczeichnet werden kann; der Drch­impuls darf namlich wieder nnr in bestimmter quantenmaBig ausgezeichneter \Veise zur \Virksam-

235

236 ALFRED LANDE

3~~~\~;S] LANDE: Warum hat das System der chern Etemente die Periodenlangcn 2, 8,8. r8, 18. 32? 60,"

keitl) nach auGen kommen, und zwart wie die Spektrcn zeigen, mit def \virksamen Quantenzahl

.J ;;--= K + ~ nnd J = ]{ - ~ .

Man hat demnach bei gcgebener Ellipsenform [vergl. (3)J noel! folgcnde ,Moglkhkcitell fUr die Wirksamkeit des Krciselimptl1ses ciner Hahn, ge­messen durch die wirksame Quantenzahl J, (welche ubrigens nicht gleich Null sein kann):

n = I

(4) J{ ~ ~ J = I

11 O~ 2

K = ~ II ~ J ~ I I 1,0

n=3 J{-' I' .. , J==~ I~212:3

m) Die Kreiselachse, urn we1che cler Dreh­impuls J. h/2 n der Eleldronenbahn nach auGen \virkt (wir nennen sic die J-Achse), kann nun selbst noeh verschicdcnc Hichtungen im Rauru besitzerl. 1st im Haulll cine hestimmte Hichtung­bcvorzllgt, \-\"inl 7.. B. dur('h Eill~clwltcn cilles starken Magnetfeldcs die J{wjtlinl('nrichtllll[l im Raum ausgezciehnct, so lmnn sieh die J-Ach<;e

Ij)

ooeh foIgende, durch Quantenzahlen 111 fe:stge1egte Richtungen annchmen [G1. (j), vergl. (1) (3) (4)~:

In der lctzten Zeile der Gleichung Ls} ist zn­sammcngezahlt, wie viele :\Ioglichkeitcn cine durch die Qnantenzahl n charakterisierte Elektronenbahn (mit der groOen I-falhachsc au) noeh besitzt bc­zuglich ihrer ldeillcll Halbachse (Quantenzahl ](), ihres wirksamcn Drehimpulses (Quantenzahl J) lIno ihrcr Stctlung illl Haum (Quantcnzahl m). Man sieht, (Llr3 cinc Elektroncllbahn n = I im ganzen nur die 2 l\l6glichkeiten m = + ~ lind m. = ~ ~ hat, 11 - 2 dagegen 2 Moglichkeiten (m = + ~ und m = - ~) bei]{ = ~ und 2 + 4 = 6 Moglichkciten bei ]{ = ] (namlich m = + ~ und - ~ bei J = I, m = L L - L -~! bei J = 2)

usw. Es ergeben sich auf diese Art in Gl. 5 grade 2, 8, IS, 32, ... :Moglichkeiten fur eine Elektroncnbahn der Hauptquantcnzahlen I. 2,

3, of, •• <lIs FolRC <ler in (I) Zlls<l1l11lll'ngcstclltcn QU;tlltcnanswa!lt.

Den Aufbau des pen:odi8chen Systems (succes~

-,

±Ji±L±],±~ ()

;;: II -\1 -: .! J il i I I: 2 I 2 4

__ -,-_-'!i_±----'-'i l_±--,-I,--I :l: t, ±..c;,-,' :_±_-'-.* ,_±_-_C-.'._:_t,-,_t--,-~ _,1-,;-'.1_3_1'-.,_3_1- -'----'-]~' _'-.1,-,'_' _1_, ',-' '_±_: Anzahl der II 2 + 2 + + + (; +

Moglichkeitcn : "7" .12 = :2.4 2 +

uoeh in verschicdencm \Vinkd gegcn <lie Kraft­linien einstellcn. Nun war J. b/2:Jr. der UIll die .J~HichtuJlg wirksamc ])rchimpllls. lIm die !(raft­linienrichtung als Acbsc, dic 5chief gcgen die J-Achse steht, herrscht demnach nur ein Dreh­impuls, den wir mit m . hj2 ;r bezeichnen, und der dem I3etrag nach kleiner (hochstens glcich) als J scin mull Die spekiroskopische Erforschung des Zeemaneffektes zeigt nun spezieU:

Iml~J-l ' ausftihrlicher geschrieben:

m ~ J - 1 ' J - ~, J - 1 ' his - (J - j) (Negatives m bedeutet einen \\tinkel ilber 900

zwischen der J-Achsc und dcr positiven H.ichtung der Kraftlinien.) Eine durch die Quantenzahlen n, K und J charakterisierte Elektronenbahn kann also im H.aum (z. B. gcgen ein starkes Magnetfcld)

t) Die Art di(~scr .,\lVirk<;amkcit" zu vcrstehcn jst cins der schwierigstcn noeh nngclosten ProLlemc der Atomphysik, SO(130 gcgcn die hier gcgcbcnc Dar­sldlung: EimH'lIrjUJlgcn lIlilglich ~j!ld, die mit (leT Fr'1/.':-(' llach dL'T BL't1cutuUg" deT t2IlantclI7.'lhil'n .J (aber atlch H, n llnu m) zusammenhangen, hier aber nicht naher behandc1t zu werden brauchen.

NW.1925.

si .... c Anlagcfung von Elcktroncnbahnen, von denen jede in siarkcm i\iagnC'tfe1d durcll Qnantcn7.ahlcn n, J{, J, 'tn cltari.tkterisicrt j~t) hat man sich dann so zu dcnkcn: Zunilcbst lagcr! sich ein Elcktroll mit den Quantcnzahlen n = I, ]{ :=.. L J = lund m ctwa = + } an (\Vasserstoff). Ein zweUes Elek­tron mit n = I hat dallIl nach (5) nur noch. die l\Ioglichkeit, sich mit n = I, R = L J =:: lund 1n = - ~ anzuhgcrn (Heli11m).

Ein drittc.'f Elektrull findet aIle l\Ioglichkeiten fur n. = I bereits durch die beiden erstcn Elck~ tronen besetzt und kann clcmnach nur als eine Hahn mit n = 2 angclagcrt, werdcn, d. h. es be­ginnt die zu:eite Pen·ode des System~, die erste Periode (n =--= I) 1{ann abo nicht mchr aIs z\\ci E1cmcntc (/l und lfe) cnthaltcll. J)as drittc bis zchnte Elcktron lagcrt sich nun in den 2 + (2 _J... 4) :0...- 8 J\·16glichkciicn an, die fur n = 2 v()r­]iegcll [vgl. (Sl!lllld bildct so die zweitC' Periode des Sy:;tclIls (Li, Be, 13, C, N, 0, F, Nc).

Ein eHtes Elcktron findet jctzt aile :\f0g­lichkcilen flif n : I unci /1. _.: 2 ht'reiis crschi)pft uni! kalln ~ich )lllr ab lJahn /I, =-~ 3 anlagern UI1(1

beginnt somit die driite Periodf',. Vas cHte bis achtzehntc Eicktroll belcgt <1iejcnigcn 2 + (2 + 4)

77

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

606 Zuschriften und vorIaufige Mitteilungen. [ Die Natur· wiuenschafteD

Tabdle de-r Elcktroncnzahlen auf Bahncn 11, 1\..

" II' I ' I 3 I • , "~~~~'r~-II~) __ !_l-.LI Ll=LY,}

10 Ne 12 2 "I I 36 Kr i~:2 :2 () 2 6 10 2 6

, J 7 : 1 :11: ... _ I o·~~

ISA 1212626 'I

54 X II 2 2 612 6 10 2 6 10 12 6 86 Emil 2 :2 612 6 1012 6 10 141 2 6 TO I. 6

Habnen n = 3, wckhc durch K = ~ und J(~.::: ~ charaktcrisicrt sind (Na bis 1\). vg1. (5) und die Tabcllc der Elcktronenbahncll Lei den Edelf/u.wm, welche vol1aufgefii1lte Gruppen n, K rcprasenticrcll.

Das neunzelmtc Elektron sucht sich aus energetischcn Grunden nicht eine Balm n = 3. Ii. = ~ aus, sOl1dern lagert sich mit n = 4 an, und beginnt so die t'ierte Periode. Erst nachtraglich werden die Bahnel1 n = 3. J( = ~ ausgcfUllt, so daB schlicfJIich "om ncnllT-chntcn Lis ZUlU scchsund­dreiBigstcn Elektron (K bis I{r) die 2 I3abncn n = 4. f{ = ~. die 2 + 4 I3ahnen n = 4. ]{ = ~ und die 4 + 6 Bahncll n = 3. K = } besetzt werden.

Das siebenunddreiBigste Elektron beginnt jetzt mit einer Bahn n = .5 die Junfte Pcriode, we1che

mit dem vierundfiinfzigsten beendet wird (Rb bis X); diese achtzehn Elektroncn flillen namlich die 2 Bahnen n = 5. [( = L die 2 + 4 Balmen n = 5. K = ~ und die 4 + 6 Bahnen tl = 4. K =.~ auf.

Das fiinfundfiinfzigstc Elektron beginnt mit einer Balm n = 6 die sech8(e Periode (Cs bis Em) aus 32 Elementen; diese kommen dadurch zu­stande, daB die 2 Hahnen n = 6, K = ? die 2 + 4 13ahnen n = 6. ]( =~, die 4 + 6 Bahncn n = 5. J( =;. und die 6 + 8 Bahnen n = 4. K == ; angelegt werden.

Das siebl!llUndachtzigste Elektron beginnt mit ciner I3a hn n = 7 die suwente Peri ode, die aber mitten in ihrer Entwicklung mit dem zweiund­neullzigsten Element (U) abbricht. Wir baben so an Hand der FormE'1 (I), welche Elektronenbahnen vcrschiedcncr Gestalt nml Oricnticrung bcstinnnt nnd in GI. (5) ih.rc ausfiihrlichc Darstdlung fand, die PeriodenHingen im System der Elemente als cine unmittclbarc Folgc der Quantengesetze er­kannt, die bei der Einfangung von Elektronen ihre ganzzahligen (bzw. halbzahligenl Forderungen durchflihren.

237

238 PAPER 50

Zur Quantentheorie der Strahlung. Von A. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 13. November 1925.)

817

§ 1. tl"bergangsseharen. - § 2. Spontane Emission. - § 3. Induzierte Strahlung.

§ 1. "Obergangsscharen. Bohr hat mehrfach darauf hin­gewiesen, daLl man den Quantenzustanden eines Atoms eine gewisse Un­scharfe zuschreiben muLl, weil man die elektrodynamische Reibungs­kraft der Strahlungsdampfung bei der Festlegung der stationaren Zustande vernachlassigt, urn sie erst zur Bestimmung der Ubergangswahrscheinlich­keiten zu verwenden. Im folgenden sollen nun einige Konsequenzen dieses Gedankens fUr die Grundpostulate der Bohrschen Theorie gezogen werden.

Nach den Versuchen von Bothe und Geiger, Compton und Simon dad wohl wieder angenommen werden, daB nicht die stationaren Zu­stande, sondern die "Obergange selbst mit Strahlung verkniipft sind. Will man nun nicht kurzerhand aIle Erfolge quasiwellentheoretischer und korrespondenzmaBiger Betrachtungen iiber Bord werfen, so kann eine Milderung der Lichtquantentheorie etwa' durch folgende Behauptung ver­sucht werden:

I. Der Ubergang zur Zeit t = 0 in einem Atom induziert Uber­gange in anderen Atomen nicht momentan, sondern mit abklingender Wahr­scheinlichkeit auch zu Zeiten t > 0 (abgesehen von der Latenszeit).

Wegen der geringen Abklingnngszeiten 10-7 bis 10-8 sec wiirde ein Unterschied gegeniiber zeitlos wirkender Lichtquanten experimentell unmittelbar kaum feststellbar seiD.

Die in I. formulierle Annahme kann man etwaR weniger prazis er­setzen durch die Behauptung, daB

II. bereits der Emissionsakt eines einz~lnen isolierten Atoms zu einer unscharfen d. h. nicht unendlich koharenzfahigen .Spektrallinie" fiihrt, deren Breite durch die klassische Dampfung berechenbar ist.

Bei q uasiklassischer A uffassung wird die unscharfe Emission bei Vo als eine Schwingung dargestellt, welche sich nach F 0 uri e r in eine kontinuierliche Schar rein harmonischer Schwingungen v aufl6st, die den Hauptwerl Vo umgeben. Jede einzelne dieser harmonischen Kom­ponenten kllnnen wir dann einem "Obergang zwischen zwei scharf definierten

7 ... itschrift fiir Physik. Bd. XXXV. 23

Reprinted from Z. Phys. 35,317-322 (1926).

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 239

318 A. r,ande,

Zustanden zuordnen, und erhalten als Aquivalent der unscharfen Spektral­linie gemaJ.l I. und II. eine kontinnierliche Schar von tJbergangen des einen Atoms, deren Struktur unten niiher besprochen wird.

Dieser wie es scheint zwingenden Konsequenz von I. und 11., daJ.l die Zustandsanderungen in Ubergangsscharen 1) bestehen, hat man wohl deshalb oft keine Bedeutung zugeschrieben, weil die Scharfe der Spek­trallinien eine viel auffallendere Eigenschaft als ihre Unscharfe ist. Die Unscharfe einer Spektrallinie 110 erstreckt sich aber in Wirklichkeit nicht nur auf den schmalen Bereich ihrer Halbwertsbreite, sondern, wie die Dispersion, Zerstreuung, Renexion und Brechung fremden Lichtes v =F Vo

zeigen, auf ein sehr viel weiteres Gebiet. Abweiehungen des Brechungs­index n vom Wert 1 finden sieh namlieh in einem sehr weit (eigentlieh 00 weit) gespannten Gebiet um 110 , das wir Dispersionsbreite nennen wollen; nahe bei Vo hat die n-Kurve uberdies eine im Vergleich zum ubrlgen Gebiet unverhaltnismaBig groJ.le (dumh die Dampfung bestimmte) Erhebung, deren Basis fur die Breite der "Spektrallinie" 110 maBgebend ist. Dies zeigt aber nur, daB innerhalb der gesamten zugeordneten Ubergangsschar der Hauptubergang .d Eo und seine unmittelbaren Nach­barn SO:lUsagen zufalligerweise (namlich wegen des zufallig sehr geringen Betrages der Strahlungsdampfung) stark bevorzngte Gewichte besitzen, entsprechend der sehr groJ.len Helligkeit der schmalen Spektrallinie Vo

gegenuber den entfernteren Dunkelstellen 11. Will man aber zu einew Verstiindnis der Dispersion, Zerstreuung usw. kommen, so muJ.l die Dnnkel­heit des ubrigen Dispersionsgebiets nur als relativ angesehen werden, und die N ebenubergange .d E weit ab von .d Eo werden von prinzipieller Bedeutung fUr die Phanomene der Wechselwirkung eines Atoms Vo mit fremdem Licht v.

Auf die Bedeutung der unscharfen Quantelung baben auJ.ler Bohr besonders Ehrenfest und Tolman '), ferner A. Smekal S) hingewiesen,

1) In dem Ansdrnck i'rb ergangsschar liegt eine Konzession an die gewiihn­liche Vorstellung, ein "i'rbergang" vermittele zwischen zwei scharfen "Zustanden". Es sind aber, wie eben Bohr betont, die ZustiLnde gar nicht scharf definiert, und dasselbe gilt dann von den Ubergiingen. Nur formal kann man den unscharfen Zustand aus "scharfen Zustiinden" im iiblichen Sinne nnd den fibergang aus einer Schar von "scharfen fibergiingen" entstanden denken. Jedoch hat diese Zerlegung naeh der hier vorgesehlagenen Auffassnng keinen physikalisehen Inhalt, nnd es ware konsequenter, statt fibergangssehar wieder eiDfach fibergang zu sagen.

') Ehrenfest nnd Tolman, Phys. Rev. 24, 287-295, 1924. (Weak Quantization.)

B) A. Smekal, ZS. f. Phys. 84, 81, 1925. (fiber metastationiire Atom- nnd Molekiilzustiil1de.)

240 ALFRED LANDE

Zur Quantentheorie der Strahlung. 319

und R. Beck e r 1) hat in seiner Quantentheorie der Dispersion G e wich t e der Nebenzustande quantitativ angegeben. Der Unterschied zwischen jenen und der vorliegenden Untersuchung besteht aber darin, da.LI dort die einzelnen Zustandsanderungen eines Atoms als scharfe Ubergange zwischen Nichtquantenzustanden aufgefallt werden, hier dagegen, ent­sprechend 1. und II., jede Zustandsanderung selbst bereits als ein Kontinuum von scharfen Ubergangen, d. h. als Ubergangsschar, aufgefa.LIt wird.

§ 2. Spontane Emission. Um die Ubergangsschar. die der unscharfen Spektrallinie eines Atoms zugeordnet ist, naher kennenzu­lernen, stellen wir die spontane Emission des Atoms dar durch die ab­klingende Schwingung

~=Ofiirt<O \

2"t(i')'o-~) f ~ = ~o e <0 fiir t > 0,

(1)

die man als Reprasentanten der Feldstarke einer realen oder virtuellen gedampften Strahlungsemission ansehen moge. Die unscharfe Spektral­linie (1) ist nun nach F 0 uri e r zusammengesetzt aus einer kontinuier­lichen Schar von rein harmonischen Komponenten ev e2"i vt in der Form

+00 ~ = J f"e2n; vt dv,

worin sich die Einzelamplituden e, berechnen zu

+ ~ .. 1 1 f,. = S ~ e- 27tHt d t = 2; ~o -. ~~---~1 . (2)

-00 t(v-v)+ o "1:0

Schreiben wir noch e. in der Form I e. I eid" so hat rur die einzelne har­monische Komponente die 1ntensitat:

1 f 12 -- ~ Q: 2 (3) • --- 4;n:2 0 2 1

(v - vo) +'" "1:0

1hr relatives Gewicht g,. ist dann gleich 1

1"1: ".' g,. ,ceo, ---- .. -L---i - 2 , wobei j g.dv= 1. (3')

;n: (v _ vo)2 + ( __ ) () :tOI

Quantentheoretisch entspricht der unscharfen Spektrallinie (1) nach unsefer Auffassung eine Ubergangsschar eines Atoms, oder im iiblichen Sinne

1) R. Becker, ZS. f. Phys. 27, 173,1924. (UberAbsorption undDispersion in B 0 h r s Quantentheorie.)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 241

320 A. I,anM,

eine Schar von scharlen Ubergangen Ll E vieler Atome, deren Einzel­glieder mit "Gewichten" an der Schar beteiligt sind, die proportional (3') sind, wenn dort v und Vo ersetzt werden dnrch:

LlB LlBo v = h' Vo = ---"'-' (4)

Maximales Gewicht haben dabei diejenigen Nebeniibergii.nge der Schar, die nahe bei dem Hauptiibergang Ll Eo liegen, der zwischen zwei quanten­theoretisch ausgezeichneten Zustanden Ell und E~ vermittelt. Die relativen Gewichte der Nebeniibergange sind nach (3') wesentlich durch 1/"1:0 be­stimmt, auch in grol.ler Entfernung von vo' FUr $0 ist, falls das Atom isoliert spontan strahlt, die klassische Abklingungszeit der Strahlungs­dampfung einzusetzen; bei StoJldampfung verkiirzt sich aber $0 wesentlich, und auch die Gewichtsverteilung (3') wird dann verzerrt.

Obwohl wir damit in den Rahmen der alten Auffassung zuriickfallen, wollen wir doch die durch (3) und (4) gegebene i:'rbergangsschar durch folgende Vorstellung fixieren. Das Atom besitzt autler den Quanten­energien Bo als Hauptwerten noch ein Kontinuum von Nebenwerten B. Dieselben Differenzen L1 J der W irkungsgriltlen, welche zwei Haupt­werte B~ und E~ trennen, liegen auch zwischen ie zwei anderen Werten Ea und Ee des Kontinuums. Wir konnen so dem Sprung Ll J ein ganzes Kontinuum von Wertepaaren Ba und Ee zuordnen, mit konstanten Differenzen Ll E = Ea - Ee = Ll Eo = Eg - E~ befindet. Gewilhn­lich mogen nun, wenn sich das Atom "im Zustand Ea. befindet, die um Eg gruppierten Werte Ell fortwlihrend unendlich schnell durchlaufen werden mit relativen Verweilzeiten, die ihren Gewichten entsprechen. Analoges gelte, wenn sich das Atom "im Zustand Ee. befindet. Ein spontaner Ubergang L1 J sei jetzt dadurch gekennzeichnet, dati das Atom die beiden Werte eines der oben beschriebenen Wertepaare Ell und E" gleichzeitig einninnnt und dann noch das ganze Kontinuum der Wertepaare unendlich schnell durchlauft mit relativen Verweilzeiten, die durch (3') gemessen sind. Natiirlich darf hierin nichts weiter als ein unrationeller Versuch gesehen werden, die Ubergangsschar (3') mit Be­griffen der hier gerade aufzugebenden Vorstellung scharf definierter Zustande zu beschreiben.

§ 3. Induzierte Strahlung. Die Wirkung eines spontanen Ubergangs des Atoms .A auf ein Atom B wird dann halb statistisch, halb kausal in Erscheinung treten. Statistisch insofem, als die in B in­duzierte t'rbergangsschar entweder vollstandig oder gar nicht zur Aus­flihrung kommt; nnr wenn viele Atome B da sind, wird ein gewisser

242 ALFRED LANDE

Zur Quantentheorie de. Strahlung. S~l

Prozentsatz vollstandiger Ubergange existieren. Kausal insofern, als die Fahigkeit der Ubergangsschar A, in B ebenfalls eine Ubergangsschar wahrscheinlich zu machen, zeitlich abklingt und im wesentlichen auf die Dampfungszeit 1:0 von A beschrankt ist. Diese Zeit ist tibrigens so kurz (~ 10- 8 sec), daB man in den meisten Fallen Koinzidenz von Ur­sache und Wirkung feststellen wird.

1m einzelnen konnen wir uns die Wechselwirkung zwischen A und B auch vermittelt denken durch virtuelle Oszillatoren und die von ihnen aus­gehende virtuelle Strahlung. Wahrend aber Bohr, Kramers und Slater jedem Qu an tenzustan d von A eincn Oszillator '1'0 (bzw. eine diskrete Zahl harmonischer Oszillatoren '1'0 v~ v~ ... ) zuordnen, mochten wir jedem Uber­gang '1'0 von A eine kontinuierliche Schar von harmonischen virtuellen Oszillatoren v mit den durch (2) gegebenen relativen Aroplituden zu­ordnen; denn nur die aus ihnen zusammenseizbare Schwingung (1), zur Zeit t = 0 beginnend, ist zu physikalisch-kausaler Wirkung wahrend t> 0 fahig, wahrend eine rein harmonische Schwingung '1'0' von t = - 00

bis + 00 dauernd, physikalisch ein Dnding ist.

Kommt nun die eben beschriebene Ubergangsschar in B wirklich zustande, d. h. hat B nach dem Ubergang seine Zustandsschar Ee mit Ea vertauscht, so ist B Quelle (virtueller) uuscharfer Wellen mit dem

Hauptwertvo geworden. Es soIl aber eben nur dann eine solche sekundare Strahlung von B ausgehen, wenn B die beschriebene Ubergangsschar wirklich ausftihrt, was halb kausal, halb statistisch (s. oben) eintreten oder auch nicht eintreten wird.

Zum Schlusse sei betont, daB wir auf die Einzelheiten des hier vor­geschlagenen Bildes weniger Wert legen als auf die Feststellung der Alternative:

Entweder ist die Zustandsanderung eines einzelnen Atoms mit der Emission einer mathematisch scharfen, d. h. ookoharenzfahigen Spektral­linie '1'0 verkntipft; dann kann die Zustandsanderung in einem Sprunge zwischen zwei scharfen Quantenzustanden L1 Eo = hvo bestehen, und die Strahlung tibt dann von t = - 00 bis + 00 dauernde oder Momentanwirkungen aus (Lichtquantentheorie). Oder, was durch die Korrespondenz zur klassischen Strahlungsdampfung naher liegt, jedes einzelne Atom sendet bereits eine unscharfe Spektrallinie aus; dann kann die zugeordnete Zustandsanderung nur in einer (simultanen) kontinuier­lichen Schar von Ubergangen 1) bestehen, unter denen auBer dem Haupt-

1) Siehe FuJlnote 1, § 1.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

A. Land~, ?;ur Quantentheorie der S:trahlung.

quanteniibergang .d Eo = hvo aueh noeh diejenigen ~ebeniibergange .d E = hv wesentlich zu beriicksichtigende relative Gewichte (3') haben, die in die "Dispersionsbreite" del' Spektrallinie, d. h. zum Teil weit auDer­halb der Linienhalbbreite, fallen.

Born und Jordan 1) haben dem Gedanken Ausdruck verliehen, daD die momentanen Ph as e n del' atomaren Elektronenbewegungen als prin­zipiell unbeobachtbare GroDen in den wahren Naturgesetzen keinen Platz haben. Wir moehten hier noeh einen Sehritt weitergehen und behaupten, daD auch scharfe Zustandsenergien von Quantenzustanden zu diesen GroDen gehoren; denn definiert und prinzipiell beobachtbar waren nach obigem nur die Eigenschaften del' "Zustandsscharcn" ; nul' form al kann man sie (ebenso wie die scharfen Zustlinde durch Angabe ihrer Momentanphasen) als Zusammensetzung scharfer Zustande veranschaulichen, wobei die Hauptzustande und ihre N achbarn fiir gewisse Erseheinungen (Linien­halbbreite) besondere Bedeutung habell, wahrend fur andere Phanomene (Dispersion usw.) auch die weiter entfernten Komponenten del' Schar wesentliche Beriicksichtigung erfordem. 1m Gegensatz zu anderen (1. e.), welche die einzelnen Haupt- und Xebcnzustande fiir sich als realisierbar (und beobachtbar) ansehen, mochten wir abel' als "Zustand" nnd "tTbergang" des einzelnen Atoms bereits nul' die Zustands schar und die tTbergangs­schar gelten lassen, um nicht (siehe obige Alternative) del' extremsten Lichtquantentheorie zu verfallen, die ja bisher bei dem Problem der I nterferenz versagt hat 2).

') Born und Jordan, ZS. f. Phys. 33, 479, 1925. ") Wenn z. B. G. Wentzel (ZS. f. Phys. 22, 193, 1924) den Versuch macht,

die Superposition statt Addition von Wellenenergien "in die Sprache der Quanten­tbeorie zu iibersetzen" als eine Superposition stattAddition der Wahrscheinlich­kei ten, mit denen Lichtquanten auf verschiedenen Wegen von Q nach P gelangen konnen, so mull dies wegen del' darin liegenden Koppelnng von Ereignissen, welche zeitlicb weit getrennt sein konnen, als verfehlt angesehen werden. Nach Wentzel soil z. B. in P ein dunkler Interferenzstreifen entstehen, weil die zwei Wege 11 und 12 , 8, und 82 nach P hin einen Gangunterschied (1/2 =) c 1</2 e besitzen und deshalb beide keine Lichtquanten e transportieren. Denkt man sich aber in die Mitte zwischen Q und P zur Zeit t = 0 pHitzlich einen schwarzen Schirm ein­geschaltet, del' den Weg l, versperft, l2 aber offen HUlt, so wird Q erst zur Zeit t = 1/2 c davon etwas merken und dann mit der Emission von Lichtquanten auf l2 nach P hin beginnen kounen, so dall P erst von t = 3l/2 c an aufgehellt wird. In Wirklichkeit wird aber die Aufhellung von P bereits zur Zeit t = l.2 c heginnen. Wen tz e I s Theorie widerspricht also den einfachsten Erfahrungs­tatsachen.

243

244 PAPER 51

169

Ein Experiment fiber KoMrenzfahigkeit von Licht. Von W. Gerlach und A. Lande in Tiibingen.

Mit 3 Abbildungen. (Eingegangen am 27. Jannar 1926.)

Das Plancksche Strablnngsgesetz verlangt Interferenz der Lichtqnanten innerhalb eines Elementarbiindels. Der vorliegende Versnch zeigt dasselbe fUr Lichtqnanten

ranmlich weit getrennter Elementarbiindel.

Im Hinblick auf die eindrucksvollen Versuche von Com p ton, welche eine vollige Einseitigkeit der emittierlen Lichtquanten zu beweisen scheinen, ist es nicht unangebracht, wieder einmal experimentell zu zeigen, dall Licht, welches von einer Lichtquelle nach weit verschiedenen Rich­tungen auegesandt wird, zur Interferenz gebracht werden kann. Die im folgenden beschriebenen Versuche sollen dabei der Anforderung »weit verschiedener Emissionsrichtung" in besonders definierter Form geniigenj es werden namlich Lichtstrahlen zur Interferenz gebracht, die zu verschie­denen .elementaren Strahlenbiindeln" [v. Laue]1) bzw. zu verschiedenen .elementaren Lichtquantenbiindeln" [Bosej2) gehOren.

Ein Elementarbiindel hat folgende anschaulich definierte Grlllle. Wird Licht des Bereichs Ll v von einer Spaltfiache Ll f auf einen Schirm ge­strahlt und erzeugt dort ein System von Beugungsstreifen, so gehOren zu einem Elementarbiindel diejenigen Lichtstrahlen, welche von Ll f her­kommend ein Beugungsmaximum und die zugehorige dunklere Umgebung bilden, und wahrend der Kohlirenzdauer Ll t =- l/Ll v auf den Schirm fallen. Mathematisch ist das Elementarbiindel gegeben durch die Un­gleichung

Llf l.ILl~cos@.Llv.L1t::;;' I, (1)

wenn Ll Q, sein raumlicher Offnungswinkel, @ der Winkel zwischen Strahlrichtung und Normale von L1 f bedeutet. In der Lichtquanten­theorie, wo

I;

v=h'

gesetzt wird, ist daher das elementare Lichtquantenbiindel definierl durch

1;2 Ll E Llf-2- LlQ,cos@.Llt < liS. (2)

c -

1) M. v. Laue, Ann. d. Phys. 44, 1197, 1914. 2) S. N. Bose, ZS. f. Phys. 26, 178, 1924.

Zeitschrift fiir Physik. BeL XXXVI. 12

Reprinted from Z. Phys. 36,169-173 (1926).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

170 w. Gerlach und A. Lande,

Falls die Strahlung nur geniigend monochromatisch ist (A E geniigend klein), wird das Elementarbiindel au1.lerordentlich langgestreckt, namlich entsprechend der Koharenzlange bis zu 10- 8 bis 10-7 Lichtsek. lang.

Vom Standpunkt der extremsten Lichtquantenlehre aus ist die Inter­ferenz bi8her gar nicht zu verstehen 1). Aber auch das Plan c k sche Strahlungsgesetz in seinem Ray 1 e i g h - J e an s schen Teilgebiet kommt bereits zu einer Ablehnung der extremen Lichtquantenauffassung2). Jedoch schaUt hier eine Milderung der Lichtquantentheorie Rat, namlich die Forderung, da1.l die Lichtquanten, welche zum gleichen Elementarbiindel gehMen, ihre Energien nicht additiv zusammensetzen, sondern sup e r­ponieren 3), nachdem man ihnen Phasen und Polarisation zugeschri.eben hat. Durch diese Zusatzannahme ist aber den lnterferenzer8cheinungen noch nicht geniigt j denn tlie Teile eines Lichtstrahls konnen auch dann interferieren, wenn der Lichtstrahl so violett oder so schwach ist, da1.l er zum Wi e n schen Spektralbereich gehorl. In letzterem FaIle sind aber die meisten elementaren Lichtquantenbiindelleer, und nur ausnahmsweise fiihrt ein Biiudel ein einziges Lichtquant mit sich, und Belegung mit mehreren Lichtquanten ist ganz zu vernachlassigen. Die Interferenz­fahigkeit Wi e n schen Lichtes verlangt also Superposition von Licht­quantenbruchteilen.

Die im folgenden beschriebenen Versuche sollen die Interferenz­fahigkeit noch nach einer anderen Richtung hin verfolgen, namlich zeigen, da1.l unter U mstanden Teile r au m Ii c h v e r s chi e den e r Elementar­biindel interferieren. 1m allgemeinen sind ja Teile verschiedener Ele­mentarbiindel inkoharent und nur unter besonderen, von der klassischen Wellenoptik vorauszusehenden Umstanden ist fiir sie Koharenz und somit Interferenz zu erwarten, und die Erfahrung (siehe unten) gibt der Wellen­optik vollkommen recht.

Die Beleuchtung zweier Spalte 8, und 82 in einem Schirme 8 geschehe mit Hilfe eines V 0 r spa Its A f, welcher auf 81 und 82 zwei v e r -schiedene Beugungsmaxima entwirft, so daB also die von Af nach l\ gehenden Lichtstrahlen eiuem anderen Elementarbiindel angehOren als die von A f nach 82 gehenden Strahlen. Das Experiment zeigt nun, ent­sprechend der klassischen Optik, Interferenzfahigkeit der von 81 und 82

weiterlaufenden Strahlen, verlangt also eine Superposition selbst solcher

1) TIber das Versagen der bisherigen Lichtquantentheorien der Interferenz vgl. z. B. Fullnote 2, S. 322 bei A. Lande, ZS. f. Phys. 35, 317, 1926.

2) L. Natanson, Phys. ZS. 12, 659, 1911. 3) A. Lande, ZS. f. Phys. 33, 571, 1925.

245

246 ALFRED LANDE

Ein Experiment iiber Koharenzfahigkeit Yon Licht. 171

Lichtquanten, welche zu weit getrennten Elementarbiindeln Lf f - S1 und Lf f - S2 gehiiren.

Das Ex per i men t wurde folgenderma13en ausgefiihrt '): Licht von einer Zeissschen 5-Amp.-Bogenlampe fant durch zwei, etwa '12m von­einander entfernte Spalte auf einen Schirm, in manchen Versuchen noch durch ein Filter von Wratten und Wainright monochromatisiert. Der erste Spalt, der Vorspalt, ist etwa 1 mm breit, in Zinkblech geschnitten, der zweite ein mit Mikrometerschraube meilbar verstellbarer Prazisions­spalt bester Ausfiihrung. In wieder '/2 m Abstand fallt das Licht auf einen Schirm, auf welchem etwa ein halbes Dutzend New ton scher Spaltinterferenzen auf jeder Seite des Spaltbildes scharf zu sehen war. Nun wurde an Stelle dieses Schirmes ein anderer gebracht, welcher eine Offnung hatte, vor welch e ein Doppelspalt gesetzt werden konnte. Solche Doppelspalte wurden durch Ritzen in sehr diinner Aluminiumfolie (rv 10 /L) hergestellt, sie waren je einige hunderlstel Millimeter breit und hatten verschiedene Abstande von der GroiJenordnung Zehntelmillimeter bis wenige Millimeter.

Die beiden Doppelspalte brachte man zunachst in das direkte Spalt­bild. Dann He13 sich mit einer Lupe im Abstand von einigen Dezimetern hinter dem Doppelspalt folgendes beobachten. Das von jedem einzelnen Spalte kommende Licht erzeugt ein weiteres Newt 0 n sches Interferenz­system, dessen Periode in normaler Weise von der Spalthreite ahhangt. Symmetrisch zu der durch die Normale auf dem Zwischenraum zwischen den beiden Spalten stehenden Ebene iiberlagern sich die beiden Beugungs­systeme. Hier tritt nun ein neues Beugungssystem von sehr scharfen engen Interferenzen auf, dessen Periode nur von dem Abstand der beiden Offnungsmitten der Doppelspalte abhangt. Dieses System zeigt, daiJ das Licht von allen Teilen des direkten Spaltbildes koharent ist, was selbst­verstandlich ist, nicht nur nach der klassischen Wellenoptik, sondern auch nach der nicht allzu extrem gefa13ten Lichtquantentheorie (Koharenz innerhalb eines Elementarbiindels siehe oben).

Bringt man aber den einen Spalt des Doppelspaltes in ein Beugungsbild desprimaren Interferenzstreifensystems, den anderen in irgend ein anderes, so bleiben die Interferenzen be­stehen, ein Beweis dafiir, daiJ aIle Beugungsbilder eines New­tons chen Interferenzstreifensystems kohi:lrent sind, ein nach der

') Vielfache und verstandnisvolle Hilfe bei der Ausfiihrung hat Herr cando phys. Vat t e r geieistet.

12*

SELECfEO SCIENTIFIC PAPERS

172 W. Gerlach und A. Lande,

k1assischen Theorie se1bstverstand1iches, Yom Standpunkt der Licht­quanten aber kaum zu verstehendes Resu1tat.

Zunachst war es auffallend, daB dieses sekundare Interferenzstreifen­system auch auftrat, wenn die beiden Spalte in zwei Intensitatsminima des primaren Streifensystems gebracht wnrden. Und dieses System b1ieb auch bestehen, wenn statt des engen Prazisionsspaltes ein ganz weiter Spalt (oder nur ein Spaltbacken) verwendet wmde. Auch b1ieb das System ungeandert, wenn der Doppe1spalt weit auBerha1b der primaren Beugungsbilder gestellt wnrde. DaB das Experiment dennoch beweisend ist, ergibt sich aus fo1gendem. Da die Kanten des Spaltes selbst als sekundare koharente Lichtquellen wirken, iiberlagert sich uber das primare Interferenzbild eine allgemeine schwache Lichtintensitat, so daB die fntensitatsminima nicht vollstandig dunke1 sind. Diese uber1agerte all

II~ o o~~~~--

Fig. I. Fig. 2. Fig. 3.

gemeine Lichtstrahlung kommt von den Spaltbacken selbst und ist daher in allen ihren Punkten koharent, nm durch die Phase verschieden. Sie liefert das seknndare Beugungsbild, wenn der Doppe1spalt in zwei Minimis steht (Fig. 1). Bringt man den Spalt in ein Maximum, den andern in ein Minimum des primaren Bengungsbildes, so sollte man wieder dasse1be Interferenzsystem nur auf dem von dem Maximum herriihrenden helleren Untergrund erwarten (Fig. 2). Statt dessen sieht:man aber gleichmaBige Helligkeit, weil auf der groBen allgemeinen Helligkeit das feine Streifen­system nicht mehr wahrgenommen wird (Fig. 2, ausgezogene Linien). Liegen aber beide Spalte in - belie big verschiedenen - primaren Beu­gungsmaxirnis, so treten wieder schade schwarze Interferenzen auf, obwohl die Gesamthelligkeit durch die Wirkung der beiden Maxima nochmah gesteigert ist (Fig. 3). Diese Interferenzen konnen also nicht die von det allgemeinen Beleuchtung des Doppelspalts herriihrenden Beugungsbilder der Fig. 1 sein, sondern nur Streifen, die durch Interferenz der von verschiedenen primaren Beugungsbildern ausgehenden Strahlung zustande kommen.

247

248 ALFRED LANDE

Ein Experiment tiber Koharenzfahigkeit von Licht. 173

Dieses Ergebnis ist nach dem bekannten Schrodingerschen Ver­such 1) ZU erwarten, doch scheinen uns die Versuchsbedingungen bei unserem Experiment noch scharfer definiert zu sein. Das Experiment ist gleichzeitig ein experimenteIler Beweis fiir die Tho mas You n g sche Ableitung der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes, die gegeniiber dem A b b e schen Versuch den Vorteil hat, daLl der Einflui3 aIler an den Randern von Schirmen anftretenden Bengungsef£ekte eliminiert worden ist.

Tiibingen, Physikal. Institut, Januar 1926.

1) E. Schrildinger, Ann. d. Phys. 61, 69, 1920.

PAPER 52

Neue Wege der Quantentheorie. Von A. LANDt:, Tiibingen.

Vor kurzem erschienen in der Zeitschr. f. Phy­sik einige Untersuchungen von HEISENBERG, BORN nnd JORDAN, die einen gewissen Abschlull der Be­miihungen hilden, durch eine in sich geschlossene Quamenmechanik die innereri WidersprUche der bisherigen halbklassischen, halb quantentheore­tischen Grundslitze der Atomphysik zu iiberwinden.

Ein Hinweis auf die UnzuUinglichkeit der iiblichen Quantenregeln bei atomaren Elektronen­systemen ware kaum notig. wenn wir uns noch im Jahre 1913 bellinden, in welchem BOHR seine Grundpostolate ~veroflentlichte. Denn der damals allgemeine Widerspruch des physikalischen Ge­liihls gegen die Kiihnheit der BOHRSChen An­nahmen hat sich erst allmli.hlich unter dem Ein­druck ihrer graBen ErfoJge in einen Glauben an die Unfehlbarkeit der Grundannahmen verwan­dett. Erst die in letzter Zeit sich hlufenden, mit der Theorie nieht in Einklang zu bringenden Einzelerfahrungen (die .. Anomalitat" des Zeemann­effektes, die UnganzzahJigkeit und Zweideutig­keit der Quantenzahlen, da.s Versagen der StOrungs­theorie ll, a. m.) haben allgemein zu der von BOHR schon lange vorher ausgesprochenen Oberzeugung gefiihrt, daB die Grundpostulate wesentlich ab­zuandern sind. In der Tat: erst Losung der Be­wegungsgleichungen des AtommodeUs im Rahmen der klassischen Mechanik, dann Einschrlinkung der zugelassenen Bewegungen durch Quantenvor­schriften, endlich Berechnung der Strahlungs­frequenzen aus den Energiespriingen und Ab~ schM.ung der Intensitaten mit Hille konesponden.­ma..Biger Oberlegungen, dies alles bedeutet eine Reihe miteinander organisch gar nicht verbundener Rezepte. die der Natur gewiB nicht angemessen sind und die doch, wie der Erfolg zeigt, einen wahren Kern enthalten mussen, wenn auch be· lastet mit uberfliissigem Beiwerk.

Es wax deshalb ein Schritt von grOBOl Trag­weite, als bei der Suche nach einer Abiinderung der Theone die scharfe Fragestellung erhohen wurde, welche Bestandteile der BOHRSChen Grundannah­men donn eigentiich zur Deutung der spektrosko­pischen E~J,,1vN,mgen verwendet werden, und welche Ziige der Theorie in der Erfahrung kein Gegen­stiick linden und somit ablinderungsfilbig oder iiberfliissig sind. Schon vor Jahren hat BORN gesprachsweise die damals ketzerische Ansicht vertreten. daB die raumzeitlich ablaufenden me-

Reprinted from Naturwiss. 14, 455-458 (1926).

chanischen Atommodelle keine physikalische Re­alitl!.t besitzen, d. h. durch keine ErJahrung ge­stiitzt werden; denn die Erfahrung gobe Auskunft nur iiber Zustandsenergien (Termwerte), Fre­quen.en und Intensitaten, niemals aber iiber momentane Lagen und Geschwindigkeiten dOl Elektronen; Momentanphasen seien vielmebr prin­.ipi£U unbeobac1l!OOr'}, und alle Bilder iiber die raurnzeitlichen Anderungen der Momentanphasen, also aile Modellvorstellungen, seien somit fiber­flflssig oder gaxmitdenBeobachtongen unvereinbar.

Die graBen EIfolge der BoHRSchen Modell­vorstel\ungen lenkten jedoch zunilchst von einer Weiterverfolgung diose. Gedankens ab und lieBen jedenfalls den heuristischen Wert der AtomInodelle mit ihren ElektIonenbahnen auBOl Zweifel. In der Tat kann man sich schwer der Oberzeugungskraft z. B. von SOMMERlI'ELDS Feinstrukturtheorie des Wasserstoffs und der R1intgenspektren entziehen; man meint bier die Elektronen mit ihrer von der Momentangeschwindigkeit abhlingenden relati­vistischen Massenkorrektion fOrmlich umlaufen zu 118hsn. Erst als neuere Erfahrungen und ihre Deutungsversuche (das Versagen aller exakten Berechnungen von Termwerten bei hoheren Atomen, die Gesetze der Multiplet!s und ihrer Inagnetischen AufspaJtongen nnd der dabei zu­tage tretende Widerspruch zwischen Neigungs­theorie und relativistischer Theorie) die Unzu­Uinglichkeit hereits der Grundpostulate erkennen lieBen, wurde die von BoHR selbst aus prinzipiellen --.,-zur Bekraftigung einOI primipiellen Unbecbacht­barkeit von Momentanphasen eines Elektrooensystems kOnnte man noch anfo.hren, daJ3 die eventoellen Hilfs­mittel ja selbst aus atomaren Systemen bestehen, in deneo die Phase ebenso definiert oder .undefioiert sei wie in dem zu uotersucheoden System. Hier ware einzuwenden. daB die Untersnchung ja auch geschehen kOnute mit Hilfe einze1ner isolierter Elektronen oder cX-Teilchen. welche in jedem Zeitpunkt eine bestimmte Lage nnd Gescbwindigkeit besitzen (Spur der Partikel in der WILsoNschen Nebelkammer). Da aber diese StOBe erfahrnngsgemiLD stets quantentheoretischen Ge­setzen foIgen (FRANCK und HBRTZ). dad man mit Recht eine ~ Unbecbachtbarkeit von Einzel­phasen in ElektronenBf/8temBn. annehmen. Die Sach­lage hat bier Ahnlichkeit mit der in der speziellen Relativita.tstheorie: die relativistische Zeitdefinition steht und UUt mit dOl Behanptung, grOGere Signal­geschwindigkeiten ala die des Lichtes seien prinzipiell nicht realisierbar.

249

250 ALFRED LANDE

LANDE: Neue \Vege der Quantentheorie.

Grunden stets in <len Vordergrund gestellte Suche nach einer befriedigenden Quantenmechanik nun auch zu einem praktisch dringenden Problem.

Es handelte sieh praktisch daTum, 'wenigstens cine mathcmatisch richtige Vorschrift (Gesetz­maOigkeit) zu finden, welche die verschiedenen beobachteten Eigenschaften eines Atoms, die GroBe seiner Zustanclsenergien, Strahlungsfre­quenzen und -intcnsitaten miteinander verknupft. 1m AnschluB an die obige Uberlegung von BORN

sollte dabei kein Gebrauch gemacht werden von den mit def Bcobachtung unvereinbaren raUffi­zeitlich-kontinuierlichen Mechanismen, speziell von clem Begriff def J\1omentanphase1), d. h. clem MOllumtbild der Lagen und Geschwindigkeiten der einzelnen Elektronen.

Die Art, wie die Verknupfung der beobacht­baren GroBen in der neuen Quantemnechanik geschieht, wird am besten an einem Beispiel, oem des linearen, im allgemeinen anharmonisch schv.ingenden Oszillators erHi.utert.

Fiihrt ein mechanischer Oszillator (System von einem Freiheitsgrad) anharmonische Schwin­gungen aus, so lassen sich diese nach FOURIER darstellen als Oberlagerung rein harmonischer Schwingungen l' mit den Koordinaten

Die klassi8che Emission wird eine gleich­zeitige Ausstrahlung aller dieser Schwingungs­zahlen l' sein mit I ntensiUiten proportional Q;' . 1,4 •

In der Quantentheorie, wo jede Spektrallinie einem Vbergan,g zwischen zwei Zustanden mit den Quantenzablen m und n zugeh6rt, kann man die Illtensitat und Schwingungszahl einer cinzelnell Spektrallinie herriihrend denken von einem ge­dachten (,;virtuellen") harmonisMen Oszillator mit der Koordinate

(I) q(m,n) = Q(m,n) 'e:2i;rr(m,fljt

welcher klassisch dieselbe Schwingungszahl J'(m, n) und Intensitat ausstrahlt, wie sie in Wirklichkeit beim Dbergang des anharmoni8chen Oszillators vom Quantenzustand m nach n entsprechend cler BOHRschen Frequenzbedingung entsteht. Das Gesamtsystem dieser harmonischen virtuellen 05-zillatoren, das "virtuelle Orchester" k6nnte man es nennen, ist also cin klassischcs Ersatzbild fur die Strahlung des anharmonischen Quantenoszilla­tors, indirekt also ein Ersatzbild fur den mecha­nisch nicht faBbaren Quantenoszillator selbst. 'Vir stell en die Koordinaten q (m, n) aller virtuellen Oszillatoren in fOlgendem Schema zUsammen,

1) Sowie man fiber die lnterjerenz df'r von vcr­schiedenen Atomen ausgesandten Strahlung Auskunft haben ,,,,ill, wird sich zw<J.r Doeh der Begriff der Phase, nicht aber der def Phasendifferenz venneiden la55en; <liese Frage ist in der neuen Qllantenmeehanik VOI­

laufig zurnckgcstcllt wordell, cbcnso wic ja uucil BOHRS cTste Theoric sich zunachst nur mit mono­chromatischer, d. h. unendlich interfel'enzfuhiger Shah­lung bcim zeitlos gedachten Elektr('~1('llSprung be-5chaftigte.

Dleses quadratische Schema nennt man die ]Uatrix der q(m, n), abgekiirzt die Matrix q

Ig(r,r) g(r,2) g(I,3) q(2,1) g(2,2) Q(2.3)

q ~ I q(3,1) q(3,2) Q(3,3) 12)

... \ .. ,

. "I ' ..

Der fonnalen Vollstandigkeit halber sind hier auch die Koordinaten q(l, I), q(2, 2) usw. von virtuellen Oszillatoren hingcschrieben, we1che dem "Dbergang eines Quantenzustandes in sich selbst" entsprechen, Neben dem Schema der Koor­dinaten k6nnen wir auch noch das der Impulse

p = ,u • M- fUr die einzelnen Ersatzoszillatoren der

Masse It hinschreiben (3) p(m,n)=P(m,n).e 2 i;Tp(m,n)t

und sie zusammenstellen in der Matrix

{P(l,l). p(2.I)

P ~ p(3,I)

p(I,2) P (2,2) P (3-2)

pl',3) pI2,3) pI3,3)

.. , ... }

Schema (2) und (4) driickt also nichts weiter aus, als daB wir uns die vom Quantenoszillator bei verschiedenen Gelegenheiten (Spriingen) ausgehen­den Strahlungsfrequenzen und lntensitiiten auch herriihrend denken k6nnen von dem anschau­lichen Bild des klassisch kontinuierlich strahlenden Ersatzorchesters der virtu ellen Oszillatoren, Die Frequenzen der letzteren werden daher. wie die des Quantenoszillators selbst, dem Kombinations­prinzip gehorchen, d. h. die Schwingungszahl dm, n) des virtuellcn Oszillators q (m, n) la13t sich ausdriicken als Differenz zweier "Tenne""m und 1'110

(5) l'(m, n) = 1'm - 1'",

Dariiber hinaus wird uoch die Giiltigkeit der BOHRschen F'J'equenzbedingung behauptct

) IVm IV. (6) 1'(rn,1I =" 1',." -1'" = h - h

d, h. der Term l'k sei gleich der durch PLANKS

Konstante dividierten Energie Wi< eines statio­naren Zustandes des anharrnonischen Quanten­oszillators.

Gesucht , .... in1 jetzt mi.t Hilfe einer neuen Quan­tenmechanik deI Zusalllluenhang zwischen In­tensitaten, 8chwingungszahlen und Termen, oder, was dasselbe ist, der Zusammenhang zwischen den /{oordinaten q (m, n) der virtuellen Oszilla­toren - deren Amplitudenquadrate sind pro­portional den Intensitaten -, den Impulse.n P (In, n) - diese driicken sich nach (3) durch die Frequenzen l' (m, n) und Koordinaten q (m, n) aus - und den Energien lV k - diese sind nach BOHR

durch (6) mit den Termen 1'& verkntipft, Es ist also ein wesentlicher Zug der neuen The­

orie, daB die Termenergien TV k das anharmoni­schen Quantenoszillators berechnet werden nicht aus gewissen klassisch-kontinuierlichen Mechani3-men, welche den Quantenzustand als mechanische8,

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

LANDE: Neue Wcgc £ler Quantcntheorie. 457

wenn auch quantentheoretisch ausgewahltes Sy­stem auffassen. Sondern die Eigenschaften des mechaniBch nicht /atJbare:n Quantenzustandes Ie werden veranschaulicht und berechnet durch Eigenschaften des klassisch-kontinuierlichen Er­satzorchesters. Z. B. die Ene.rgie WI; des Quanten­zustandes Ie wird, einer geistreichen Intuition HEISENBERGS entsprechend, folgendermaBen aus den q (n. m) und p (n, m) der virtuellen Oszillatoren in Analogie zur klassischen Mechanik berechnet:

In der klassischen Mechanik wurde die Energie lV des anharmonischen Oszillators dUTch einen Aus<lruck

IV ~ kinet. + pot. Energie ~ ~ q' + l'(q)

oder bei Benutzung des Impulses p = p-cl und der Heihenentwicklung l'(q) = a , q + a, q' + a, q' + ... dargestellt durch

(/)

Analog dazu behauptet HEISENBERG, die Energie W k des Quantenoszillators im Zustand k lasse sich berechnen aus den Koordinaten q (n. m) und Impulsen p (n, m) der virtuellen Oszillatoren durch folgenden Zll (7) analogen Ausdruck

lw'~ I :2;p(k,l)p(I,k)

Z" I

(8) + [a" q(k, k) + a,.::;; q(k,l) q(l, k)

+a,· ~~q(k,l) .q(l,m) .q(m, k) + ... J l>iescn auf den ersten Blick befremdenden nnd l;;omplizierten Ausdruck elhaIt man aus dem klas­sischenAusdruck (7). indem man in letzteremersetzt

I q durch q (k, k) ;~) ~' durch ::;; q(k, I) . q(l, k)

, I g3 durch 2i ~ q(k,l). q(l, m)· q(m, k), USW.

DeI mit clem "Matrizenkalkiil" verlraute l\lathe­matiker sieht sofort, daB diese Art Produktbildung itlcntisch ist mit dec bekannten Regel "Zeilen mal Kolonnen" bei der Multiplikation von Deter­minanten. WiT branchen abeT hier nicht naher auf {lie abgektirzte Rechenmethode des Matrizenkalkiils cinzugehen, die freilich bei naherer Deschaftigung mit der Quantenmechanik sich als ebenso geeig­net crweist. wie etwa die allgemein-kovarianten Tensoren fUr die Relativitatstheorie und die von 1\EWTO:-; eigens erfundene Fluxionsrechnung fur die Problcme der klassischcn Mcchanik.

l: m nun eine Termberechnung W k wirklich durchfiihren zu k6nnen, muBten in (8) die einzelnen Koonlinaten und Impulse der virtuellen Oszilla­toren bekannt sein. Diese werden aber bestimmt durch "Bewegungsgleichungen" und Quanten­bctlingungen der virtuellen Oszillatoren. Die Bcwegungsgleichungen wurden wieder von HEISEN­

BERG in Analogie zur ~Iechanik eines klassischen anharmonischen Oszillators aufgestellt:

In der kla88i8chen Mechanik besteht zwischen

NW.19.26.

Energie W als Funktion von Koordinate q und Impuls p der Zusammenhang der kanonischen Bewegungsgleichungen

(10) dq olV dp ~W di ~ (ip' J:t ~ - -dr; .

Bei dem klassischen anharmonischen Oszillator (7) heiBen die klassischen Bewegungsgleichungen daher speziell

f dq I

(II) dt~;, .p,

l ~ ~ - [a , + 2a,g + 3 a3q' + 4 ct,q' + ... J

In Analogie hierzu behauptet nun die neue Quan­tenmechanik folgenden Zusammenhang der q (m, n) mit den p (m, n) der virtuellen Ospillatoren:

(IZ)

q(m, n) ~!-. p(m, n) I'

p(m, n) ~ - [a, + 2a,q(m, n)

+ 3a3~q(m, k). q(k, n)

+ 4a.t:::;;q(m,k) ·q(k,ll .q(l,n)

+ ... ) Der Obergang von (II) zu (I2) ist wieder mit

Ersetzung der klassischen q, q2. ga,. .. durch Summen uber die q (m, n) gem~iB der Vorschrift (9) geschehen.

Die Gleichungen (12) sind als Bewegungs­gleichungen der virtuellen harmonischen Oszilla­toren anzusprechen; d ureh sie sind die Koordina­ten q (m, n) und Impulse p (m, n) ein .. solchen Oszillators eng gekoppelt mit den Koordinaten und Impulsen q(k, l) und p (k, l) der anderen virtu­ellen Oszillatoren.

Man kann die Gleichungen (12) aueh ohnc Eingehen auf den Begriff der Bewegung intcr­pretieren: Statt q (m, n) als zeitliche Ableitung von q (nt, n) aufzufassen, kann man q (m, n) die "punkticrte Koordinate" des virtuellen OszillatoTs nennen und sie delinieren durch

(12') { it (m, n) ~ Ii nv (m, n) • q (m, n) p (m, n) = li:JrJ' (m, n) . p (m, n)

in Ubereinstimmung mit den zeitlichen Ablci­tungen von (I) und (3).

Die Losungen q (n, m) und p (n. m) der Glei­chungen (I2) und damit die Zustandsenergien W k

in (8) sind erst dann bestimmt, wenn noeh Quanten­bedingungen hinzukommen. Durch eine Verall­gemeinerung der in der iibliehen, halbklassischen Theorie verwandten Bedingung jpdq = nh ge­langt HEISENBERG zu der den virtuellen Oszilla­toren auferlegten Quantenbedingung:

{ ~p(m, k). q(k, n) - t: q(m, k). p(k, n)

(13) = _"._ fUr m ~ n 2'"

zu welcher als Folge der Bewegungsgleichungen nach BORN und JORDAN noch hinzutritt

36

251

252 ALFRED LANDE

LANDE: Neue \Vege der Quantcntheoric. [ Die Natur­wissenschafteo

(13') J ,f:p(m, k)· q(k, n) -,f: q(m, k)· p(k, n)

1 =ofurm;::':n.

Die Quantenbedingungen verkniipfen also Koordi­naten und Impulse verschiedener virtueller Oszilla­toren miteinander. Besonders charakteristisch fliT die Qllantenbedingung (13) ist, daB auf ihrer rechten Seite gar keine ,.Quantenzahl" vorkommt, sondern nur das Wirkungsquantum 11, fur sich. Dies hat zur Folge, daB auch die Liisungen q (m, n) und p(tn, n) der Bewegungsgleichungen (12) und Quantenbedingungen (13) keine Quantenzahl ent· halten (s. n.). Die Lasung ist iiberdies insofern noch nicht eindeutig bestimmt, als die Numer·ierung (m, n) der Zustande dUTCh irgendeine andere Numerierung ersetzt ,verden kann, so daB bei jcder der vielen moglkhen N umerierungen der mit k bezeichnete Zustand ("der k-te Zustand") einen anderen physika1ischen Zustand reprasentiert; jedoch bleibt die Gesamtheit der Energiewerte stets clieselbe, welche Numerierung man auch wahlt. Wahlt man eine der moglichen Numerie­rungen, so stellen sich die W k wcgen (8) und (13) ab Funktionen von h behaftet mit Nummern dar, die jedoch. wenn man eine andere Numerierung auswahlt, anders ausfallen. Diese N'tlmmern nehmen die Rolle auf, welche die Quantenzahlen in den Quantenbedingungen der friiheren halb­klassischen Termberechnung gespielt hatten, ohne aber deren unmittelbare physikalische Bedeutung zu besitzen. Alles, was aus "Quantenzahlen" in (len Termausdrucken tiber allgebliche mechanische Eigenschaften des betreffenden Quantenzustandes in <.ler ursprunglichen lloHRschcn Theorie ausgesagt wurde. ist also zu revidieren. ] )er Quantenzustanu i~t eben gar nicht mechaniseh faBbar; sondern ~ein beobachteter Energieinhalt Ia,Ot sich nur in gewis~er \Veise aus meehanischen Eigen~chaftell tIe:; virtuellen Oszillatorensystems berechnen.

H6chstens in sehr iibertragenem Sinne darf man zur Abkiirzung des Ausdruckes oder, wie der Erfolg der bisherigen BOHRschen Theorie seit 1913 zeigt, als heuristiaches Prinzip jene Ausdrucksweise beibe­halten, die den Quantenzustand durch Begriffe der kontinuierlieh-klassischen Mechanik beschreiben '\-vill. Damit hat man auch eine Antwort auf die Frage, ob denn die neue Quantenmechanik "vor­stellbar" sci. Eine Vorstellung ist freilich, solange man sie im Rahmen klassisch-kontinuierlicher Be­griffesucht, verwehrt, bzw. nur durch das Ersatzbilcl des virtuellen Orchesters ermoglicht. Ebenso kann man sieh ja Satze <.ler elmen nichteuklidischen Geometrie nieht unmittclbar, sondern nur durch Abbildung auf gekriimmte Flachen im euklidischen Raum vorstellen. Doeh ist damit fiir das Ver­!"'itii.ndnis der Saehe nicht viel gewonnen. Erst haufige Beschaftigung mit vielen Anwendungs­beispielen kann hier zu ciner Vertra.utheit und Dbersieht der Zusammenhange zwischen den Be­obachtungen fUhren, die besser als hinkende Ver­gleiche quantentheoretischer Tatbestande durch klassisch-kontinuierliche BUder ist.

Die von HEISENBERG zuerst entworiene, von BORN unO. ] ORDAN vervol1konunllete neue Theorie, deren Fundamente besonders BOHR, KRAMERS

und SLATER vorbereitet hatten, ist natiirlich nur ein erster Versuch, in das unbekannte Gebiet der Quantenmechanik vorzustof3en. und e~ ist moglich, daB schon bei dem oben gewahlten einfachen Beispiel des anharmonischen Oszillators manche Einzelhciten nicht aufrechterhalten blei­ben werden. Die wesent1iche Erkenntnis, daf3 die Quantel1luechanik konsequent durch virtuelle klas­sischeBilder faBbarist, wdehe den Ube1·giingen, nicht den .~u8tiinden zugcorclnet :sind und welche somit cinc cxaktc Formulicrung de~ Korrcspundcnzprin­zips gcben, darf abeT wahl schon jetzt als bleibendc Frucht der nellen Theorie betrachtet werden.

PAPER 54

768

Zur Wellenmechanik der Kontinua und Elektrodynamik. Von A. LBndll in Tlibingen.

Mit 1 Abbildung. (Eingegangen am 28. Juli 1927.)

Die in der klassiscben Theorie exakt angebbaren GroDen Energiedichte, Impuls-, Spannungs- und Stromungsdichte sind quantentheoretisch gewissen Unbestimmt­heitsgrenzen unterworfen. Dies ftihrt zu einer Wellenfunktion der Dichten, welche im deB r 0 g Ii e schen Sinne vierdimensionale Ranmperioden besitzt und fur den

Fall der Elektrodynamik naher betrachtet wird.

§ 1. 1m folgenden wird versucht, Uberlegungen, die zur Wellen­mechauik der Massenpunkte gefiihrt haben, in moglichst ILhnlicher Weise zur Vorbereitung einer Quantentheorie der Kontinua zu benutzen. Zu den Kontinua gehOrt das elektromagnetische Feld, welches ja ebenfalls mit Energie, Impuls usw. behaftet ist. Der Zustand eines kontinuier­lichen Mediums in Raum und Zeit ist charakterisiert durch die Energie­dichte w, Impulsdichte g, Energiestromung G und Spannung p an jedem Weltpunkt; diese bilden die Komponenten des Energieimpulsdichten­Tensors t

t = It: n: ~l = lz:;i;: ::;1 ( X1X9X31~' t ) . .. x, y, z, . - ~c I ~ ~

t'1 t41 t'3 t" ;; Gz Ii Gy Ii Gz - w

dessen Symmetrie tik = tki den Satz von der Triigheit der Energie

9 = ~/C2

enthalt. In der klassischen Mechanik wird angenommen, daJ.l die Werte der 16 t-Komponenten an jedem Weltpunkt mit beliebiger Genauigkeit definiert uud prinzipiell meJ.lbar seien. Die Quantenmechanik der Kontinua wird aber von einer durch die GroJ3e h begrenzten lIIeJ3ungenauigkeit der D i c h t e komponenten ihren Ausgangspunkt nehmen, ahnlich wie die Quantenmechanik der Massenpunkte den Grollen Energie und Impuls selbst eine prinzipielle Unschiirfe zuschreiht 1.

W ir betrachten zuniichst die Energiedichte w. Diese ist klassisch de­finiert als der Grenzwert der gemessenen Gesamtenergie W in einem Volumen LtV, dividiert durch dieses Volumen in lim LtV = O. Nun ist aber die Fehlergrenze Ltw, mit der eine Gesamtenergie W meLlhar ist,

1 W. Heisenberg, ZS. f. Phys. 43,172, 1927.

Reprinted from Z. Phys. 44,768-772 (1927).

253

254 ALFRED LANDE

A. Lande, Zur Wellenmechanik der Kontinua und Elektrodynamik. 769

um so groLler, je kleiner die fur die Messung zur Verfugung stehende Zeit .dt ist, derart, daLl

.dW . .dt = h

Daher wird die Genauigkeitsgrenze.dw fur die Energiediehtemessung IV

.dW h hci hci .d w = .d V = AV. LTt .d x, .dx2 .dxa .dx~ .do (1)

mit .do als Weltvolumelement; dies ist der Ausdruck dafur, daLl man die Energiediehte statt dureh w = lim W!.dV besser zu definieren hat durch

I Wdx. 10 = lim J_ (1')

.do

als Grenzwert einer zu messenden W ir kung pro Weltvolumeinheit. Wahrend also die Energie lV eines .Massenpunktes der Koordinate t

konjngiert ist entsprechend der Beziehung .dlV . .dt = h, ist die Energie­dichte U! allen vier Koordinaten x, .c2 xa x. in gleicher Weise "konjugiert" gemaLl der Beziehung .d1O . .dx, .dx2 .dxa.dx. = hei.

Entsprechendes gUt vom Impuls. £lx ist die Energiestromung, daher §Jx! C = c 9, die Impulsstromung pro Zeit- und Flacheueinheit, c 9x . .d t . .d y.d z = @x der Gesamtimpuls, welcher wahrend .dt durch .dy.d z

stromt. Fur den Gesamtimpuls @x, welcher der Koordinate X kon­jugiert ist, gilt das Fehlergesetz h = .d@x . .d.t; es wird deswegen

Ii = .d (c 9x).dt.d y.d z . LI x und schlieLllich hie

.d (e 9x) = Xii als Gegenstuck zu (1). An Stelle der gewohnlichen Definition der Impulsdichte g.T = lim @x! LI V tritt jetzt besser die Definition

. Jc@x. dx, c gx = hm ~-.d-;-o--

als Gegensttick zu (1 ').

§ 2. :llan kann nun von den Dichtekomponenten I" bis t" auf die tibrigen tik verallgemeinern:

hie .d It· k = ---:---:----;--

I J LlxLly.dzLll

hie

Llo (2)

als Fehlergrenze fur die Messung irgend einer Dichtekomponente tjk bei Erstreckung der '\Virkungsmessung tiber ein \Veltvolumen .do; der Gleichung (1') entspricht dahei die Dichtedefinition

J Tjk dl'k l':i = ljk = lim = lim

. LI~LI~LI~LI~ LI~LI~LI~.d~ (2')

als "Wirkung" pro W eltvolumeneinheit.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 255

.70 A. Lande,

Es handelt sieh jetzt um die wellenmeehanisehe Verwertung dieser Ansatze. Wahrend de Broglie dem ~Iassenpunkt der Energie W eine zeitliehe Periodenlange 1; bzw. eine x. -W eUenlange A. zuordnet dureh

h hie W=hv=-=-

1; A. und entspreehend dem Impuls @" eine Wellenlange AI = h /@x dureh

hie ie@x = T'

I

kiinnen wir in der Meehanik der Kontinua der Diehtei:i k ein Weltvolumen Ajk als Periode zuordnen dureh

(3)

Das heiJlt also, einem in der ganzen Raumzeitwelt konstanten Diehtewert i:i k entsprieht eine Zustandsfunktion 1/J, welehe das Weltvolumen

hie Lid = Ajk = -I -I tjk

als Grundperiode besitzt. 1st dagegen tjk nieht iiherall konstant, so andert sieh aueh die Volumperiode Aj k mit dem Weltort. An einem bestin1mten Weltpunkt ist dureh die Zustandsfunktion 1/J ein bestimmter

Fig. I.

Wert Ajk (und dadureh ein bestimmter Wert tjk) nur in gewissen Fehler­grenzen definiert, und zwar um so genauer, je kleiner der Gradient von Ajk ist; ebenso ist ja aueh die zu einem bestimmten Punkt gehiirige ein­dimensionale Wellenlange A um so weniger genau definiert, je starker der Gradient von A ist, siehe Fig. 1.

Das Fehlergesetz LiPk. Liqk = h sieht Heisenberg als Aus­druek fiir die Vertausehungsregel Pkqk - qkPk = h/2i1t an, bzw. im Sehriidingersehen Sinne als Ausdruek dafiir, daJl Pk den Operator

11/2 i 1t . 0/0 qk vertritt in der Identitat

{ } qk - qk ;,0 , 1/J 1J. = 1.1/J (ql qs ... ). uqk uqk

Unsere Diehten t,k sind nun den vier Koordinaten XI bi~ X. in gleieher \V eise konjugiert; da es aber 16 GriiJlen tj k gibt, wird die Zustandsfunk­tion 1/J des Kontinuums formal eine Funktion der 4. 16 Koordinaten .£ilk,

256 ALFRED LANDE

Zur Welleumechanik der Kontinua der Elektrodynamik. 771

X.~k, x jak, X.~k; wegen der Symmetrie tjk = tkj tritt dann gleich eine Rednk­tion anf 4 . 10 Koordinaten ein. Den Wert von 1/1 in einem bestimmten Welt­

pnnkt Xl X 2 ;'3 X. erhiiJt man, indem man fiir alle .J;·i k den einen \Vert x" fiir alle x.~k den einen \Yert x2 usw. einsetzt, d. h. den 4. 10-dimensionalen Raum auf die 4-dimensionale \Velt projiziert. DaLl man beim Kontinunm mit so vielen Koordinaten zn tnn hat, darf nicht wundern, da ja auch bei Schrodinger ein System von n Freiheitsgraden eine 1/1-Funktion von 3 n Raumkoordinaten besitztj das Kontinuum besitzt eben an jeder Stelle 16 bzw. 10 Freiheitsgrade, deren Zahl sich iibrigens beim elektro­magnetischen Felde noch weiter rednziert. Man wird rlann Ijk als Ver­treter des Operators'

t' k = ~ a 4 (axjk ax!k axjk ax.i k J ::lin I " 3 4

auffassen, zu welchem freilich nicht die einfache Vertauschungsregel

tjk . (x, x2XaX.)jk - (''(:'');2 xax.)jk. tjk = hj2 in

gehort, sondern eine kompliziertere Regel, die nicht zu einer Quanten­algebra im Sinne von Heisenberg-Born-Jordan fiihren kann.

Die de Broglieschen periodischen bzw. fast periodischen 1/1- Fnnktionen wird man dann verallgemeinern zu

(4) mit

.v.i. "jk zjk Ij. 1 ()' = 2.; 2.; " = ~ 2.; 2.; tjl xjk yjk zjk lJk. (3)

j k Ajk h~c j k

LaLIt man sich dagegen von der Forderung leiten, daO die Zustands­grolle '1jJ in variant gegen Lorentztransformationen sein soUte, so wird man 7,11 folgender Gestalt von (l) gefiihrt:

(l) = -~ (2.;d8tjkXjXk).(X~+x~+.r,;+xn (6) h~c j k

§ 3. Dm zu der Differentialgleichung der 1/1-Funktion zu gelangen, wird man sich von den raumzeitlichen Eigenschaften der klassischen Gro6en tj k leiten lassen. Zunachst fiihrt schon die Forderung der Symmetrie des Tensors t zu einer Reduktion der 4. 16 anf 4. 10 Ko­ordinaten xlk = x~j. Aber auch die iibriggebliebenen 10 Komponenten tjk an der Stelle x, x2 eta x4 sind zuweilen nicht voneinander unabhangig.

1st namlich t der Energie-1mpulstensor eines elektromagnetischen Fe Ide s, so bestehen an jedem \Veltpunkt noch folgende flinf Beziehungen zwischen den 1jk: Erstens die Gleichung

(7)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

772 A. Lande, Zur WeHenmechanik der Kontinna und Elektrodynamik.

zweiteuR folgende weniger bekannte Gleichungen

txx txl + txy tyl + txz tzl + txl til = 0 (7')

und zwei cntsprechende Gleichungen mit '!J und z, schlieDlich

t XY txz txl + tyx t yz tyl + tzx tzy tzl = 0, (7'')

so daB von den 16 GroDen tjk nur fiinf Unabhangige iibrigbleiben. Da

andererseits an einer Stelle die seebs Feldkomponenten ct, bi~ .p, willkiirlich wllhlbar sind, werden die Feldkomponenten durch die t-Kom­

ponenten nicht vollstandig bestimmt '. Umgekehrt ist dagegen durch den

Sechservektor ~m des elektromagnetischen Feldes der Tensor t bestimmt

durch (wir benutzen die BezeichnUllgen von Laue, Relativitatsprinzip)

tjk = [[IJJ(, 1Jl111jk = H~)(jx iJ}lkx - iJ}(/, iJJ1tx) + + +, (8)

wo \))1* den zu ~m d ualen Sechservektor bedeutct, d. h. ':m,~" = iJ)l ol"

wo m n 0 p aIle vcrschieden sind und die Anordnung 'Ill'll 0 P aus X.'I z!

durch eine gerade Zahl von Vertauschungen hervorgeht. Ein klassisch - elektromagnetische:; Feldkontinuum liegt VOl', wenn

die aus del' ¢-Funktion abgeleiteten tjk die Bedingung

,div t = [:-llot P, Div ilot <1>] bei Div P = 0 (9)

erfiillen. lIIan nennt dann den ersten Faktor :)(ot P = ~m den Feld­

vektor, den zweiten Faktor Div <lto! P = P die Viererdichte, <1> Lias

Viererpotential, -,dh t oelber die Viererkraftdichte, und PS geltell dann

automatiRch die .\Iaxwellschcn Gleichungen

Div 1))( = P, Div :J)l* = O. (10)

Die zugehorige 'l/I-Funktion stellt die de Brog'lie sehe Funktion dar. Eine von del' klassischen moglicherweise abweichende Quantenelektro­

dynamik im Sehrodingerschen Sinne ware auf ein~r Differentialgleichung der ¢ - Funktion selbeI' aufzubauen und sollte im Grenzfall It = 0 in obigen de Broglieschen Fall iibergehen.

1 Zur Berechnung rler 6 GroBen 91t aus den I hat man folgende "Gleichungen

9Ji1k 11k + 9Jin 12k -'-- 91t3k 13k + 91tH 14k = 0 fur k = 1,2,3,4,

und [[9Ji, 9JiJls = I'.

257

258 PAPER 55

Spontane Quantenubergange. Von A. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 17. Marz 1927.)

885

Die spontanen lJbergiinge werden auf ein spontanes Dampfungsfeld znriickgefiihrt.

§ 1. Vor kurzem hat M. Born 1) nach der Wellenmechanik die Dbergangswahrscheinlichkeiten zwischen stationaren Quantenzustanden unter dem EinfluLl eines gegebenen aul3eren Feldes berechnet; u. a. wurde lIuch der EinfluLl ungeordneten Lichtes der Strahlungsdichte fl. diskutiert, urn die Einsteinschen Wahrscheinlichkeitskoeffizienten Bmn der er­zwungenen Absorption und Emission in die Wellenmechanik einzuordnen. Es fehlt aber ein entsprechender Ansatz fiir die spontane Emission. Auf Grund von Schrodingers Schwebungsinterpretation der Bohrschen Frequenzbedingung und nach Madelungs 2) hydrodynamischer Deutung des tJI-Feldes konnte man zu der Meinung kommen, die Wellenmechanik verlange zur spontanen Emission der Kombinationsfrequenz vmn sowobl die Anwesenheit von Partikeln im Anfangszustand m wie im End­zustand n, was aber wohl der Erfahrung widerspricht. Um der spon­tanen Emission auch fUr den Fall gerecht zu werden, daB zunachst all e Parlikel im Anfangszustand m sind, sah sich O. Klein 8) gezwungen, fUr die Ausstrahlung nicht die in diesem FaIle stationare Madel ung­sche Strijmung, sondern eine von ihr abweichende nicht stationare Stro­mung verantwortlich zu machen. Die letztere mochten wir nun auf ihre Ursache zUriickfiihren, auf eine Art Dampfungsfeld, welches einem eventuellen auLleren Feld an die Seite zu stellen ist.

Der gege bene "\Veg zur spontanen Strahlungsdampfung ware in einer Dbertragung der k 1 ass i s c hen Rechnungen zu suchen, die in einer friiheren Arbeit von Born und J ord an ') bereits zur quanten­theoretischen Umdeutung vorbereitet waren. Jedoch scheinen die dortigen Entwicklungen nicht zur unmittelbaren Dbersetzung in die Quantensprache brauchbar, weil das dort benutzte Dampfungsfeld

~ = - 82C3·illi mit dem Elektronenmoment!ffi in Phase ist (Arbeit

d.A = - ~. 9RIDldt) und deshalb bereits die Dbergangsamplituden

1) M. Born, ZS. f. Phys. 40, 167, 1926. 2) E. Malielung, ebenda 40, 322, 1926. B) O. Klein, ebenda 41, 407, 1927. ') M. Born und P. Jordan, ebenda 33, 479, 1925.

Reprinted from Z. Phys. 42, 835-839 (1927).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 259

836 A. Lande,

proportional del' Zeit anwachsen wiirden, was erst die Obergangswahr­scheinlichkeiten tun ullrfen.

Wir mocbten deshalb hier emem bei uer Ableitung des Strahlungs­

gleichgewichts zuerst von W. Bothe ') besehriUenen vVege folgen und die 'spontanen tibergange den erz,,'ungenen an die Seite stellen, indem

wir fragen, welches sttirende Feldpotential F (x, t), als Gegenstiick zu dem Feldpotential F (x, t) eines stiirenden auGeren Feldes, in die Gleichung

81[2 /L 4 n i /L o1jJ L11jJ- 112 [U(x)+F(x,t)l·1jJ-,~ a{=O (l)

einzusetzen ist, urn als Resultat die spontanen lTbergangswahrscheinlich­

keiten zu erhalten. (In erster Nahernng diirfen spontane und dnrch ein

anf.leres Feld induzierte lTbergange nnabhangig voneinander betrachtet werden.) Die A ntwort fiir den Fall, daB aIle Partikel im Anfangs­

zustand m sind, lautet folgendermaBen:

Das auf den Zustand m wirkende Dampfungsfeld ist in Vm n (n < m)

nicht rein periodisch, sondern mit llngeordlleten Phasenullterbrechungen behaftet, so daJJ die Fourierentwicklung des Dampfungsfeldes je eine

Umgebnng L1vmn del' Kombinationsfrequenzen Vmn umfaBt. Die Starke des Dampfungsfeldes ist dabei gleicb der Feldstarke ungeol'dnetel' Strahlung Q,., bei del' jeder Strahlungsfreiheitsgrad in del' Umgebung von

Vm n soviel Energie besitzt, als beim Emissionsprozef.l emittiert wird (d. h. jedel' Freiheitsgl'ad hat die Energie ltvm n).:

Fiihrt man namlich das Potential F(x, t) dieses "spontanen Damp­fungsfeldes" in obige Wellengleichung (1) ein, so erhalt man, wie in § 2 zu zeigen, aus dem Anfangszustand 1jJ = cm 1jJm einen Endzustand

1jJ = "2,kOk1jJk (k = 1, 2, ... m) mit Ok = cmamk> wobei amk, d. i.

die Wahrscheinliehkeitsamplitude des spontanenUbel'gangs m _ k, dem Einsteinschen Vel'haltnis

8 nhv;~ I: c3

zwischen spontanen und el'zwungenen tibergangswahrscheinlichkeiten m _ k geniigt. Auch wenn zunachst aHe Partikel im Zustand mallein

sind, del' lI'ladelungsche Ladungsstrom also stationar ist, werden durch

das spontane Feld, welches die Frequenzen Vmk enthalt, Ubergange

1) W. Bothe, ZS. f. Phys. 41, 345, 1927. Die vorliegende Untersnchung hat mit der von Bothe viele Beriihrungspunkte.

260 ALFRED LANDE

Spontane Quanteniibergange. 837

m -+ k (k < m) erzeugt. - Man kann nun weiter fragen, welche elektro­dynamische Ausstrahlung mit den spontanen Uhergangen verkniipft ist. Erst zur Beantwortung dieser Frage wird es notig sein, nehen der Madelungschen Stromdichte mit O. Klein noch eine andersartige Strom­dichte heranzuziehen, deren statistische Interpretation aber von derjenigen der Madelungschen Stromdichte abweichen wird. Und zwar mochten wir das Auftreten jener Kleinschen Ubergangsdichten bei der spontanen Ausstrahlung als eiue Folge des Dampfungsfeldes verstehen (§ 3).

§ 2. Setzt man in die Gleichung (1) fiir das Potential F (x, t) das negative Produkt aus Moment \D1 (x) und Feld ~ (t) ein, so erhalt man, falls das Feld aus ungeordnetem Licht der Strahlungsdichte Q (v) besteht, nach Born 1) fiir die Ubergangswahrscheinlichkeit m -+ n

8n3

B m ,,· Q (vmn) = wi \D1mn I2 • Q (vm ,,), (2)

wo \Dlmn das J\iJatrixelement des Moments \D1 (x) ist. Nimmt man nun die Strahlungsdicbte QO des "spontanen Dampfungsfeldes" fiir den Zu­stand m so, daJ.l auf jeden Freiheitsgrad bei v = v", 11 ein Quantum hVm n

fallt, d. h. (n < m), (3)

so wird die dadurch erzeugte spontane trbergangswahrscheinlichkeit

A _ 8 n3 1 em 12 0 ) mn - 3 h3 '""mn . Q (Vmn' (4)

und man erhalt in der Tat • _ 0 _ 8 n II v;'"

Amn·Bmn · Q (vmn) - (J (VIII") - . '8--' (5) c

entsprechend der Einsteinschen Beziehung.

§ 3. Es soll jetzt noch durch Wiederholung bekannter Ergebnisse von Born (1. c.) gezeigt werden, welche Rolle die Ubergangsdichten

Pm n (xt) = 1/7m (:ct) ';i;", (x t) spielen, aus welchen sich die dem Zustand rtI

zugeschriebene Dichte Pm (x, t) nach der O. Kleinschen Formel

Pm = p,"n + 21' Pm. + Pnm , (n < m)

aufbaut. 1st der Anfangszustand bzw. der Endzustand charakterisiert durch

1/7a = C1 1/71 + c2 1/7, + ... bzw. 1/7. = 01 1/71 + Os 1/72 + ... 1) M. Born, ZS. f. Pbys. 40, 167, 1927, Formel (39). Dort steht wohl ver·

sehentlich 4 ",3 statt 8 ",3.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 261

838 A. Lande,

mit den Schrodinger-Madelungschen Dichten (la = 1/Ja1/Ja und (Ie = 1/Je~., so setzen sich die 0" nach Born zusammen aus den Cm durch die linearen Gleichungen

On = .2:mcmbm", (6)

deren Koeffizienten bm" die Ubergangsamplituden, ihre Quadrate die Ubergangswahrscheinlichkeiten fiir den Einzeliibergang m -+ '/'I darstellen, wahrend die c! bzw. O! die Anzahl del' Partikel im Zustand m VOl' und nach del' storenden Einwirkung darstellen. Durch Losung del' Wellen­gleichung (1) erhiilt man nun fiir ein beliebiges Storungsfeld ~ (t) nach Born die Ubergangsamplituden bmn folgendermaLlen (~ kann z. B. ein willkiirlich gegebenes liulleres Feld sein odeI' auch unser spontanes, im Zustand m wirksames Dlimpfungsfeld): Man bilde die potentielle Energie

F(x, t) = - illl (x). ~ (t) bzw. die mit - ~-~ mnltiplizierte potentielle It

Energie 2in b(x, t) = h9Jl(x).~(t), (7)

und mit Benutzung del' ungesWrten Eigenfunktionen

die (jrollen T

2in r r -brn " = h J J d x . d t . b (x, t) 1/Jm 1/J"

000 T

2in J J = -11 dxdtb(x, t).Pmn(x, t) (8)

000

mit del' O. Kleinschen Dichte Pmn(x,t) = 1/Jm1/Jno Diese Dichte Pm" tritt also in den Ubergangsamplituden bm " auf, unabhlingig von den Zahlen Cm bzw. e" des Anfangs- und Endzustandes, z. B. auch dann, wenn ZUl' Zeit t = 0 aUe Partikel im Zustand m sind. Man kann die Gleichung (8) wegen (7) noch weiter zerlegen in

T

bm" = 2~ J dx \lJl (x) qtm (x) qr" (x). J dt~(t)e2i"(·m-,·,,)t o

T

2inJ "" J "" . = -11- dx !v<,,(lmn (x). dt ... (t)e2 ""·m"t

o

262 ALFRED LANDE

SpoDtane Qnanteniibergange. 839

worin jetzt ltJmn das Matrixelement von Wl (x) und e("mn) der Fourier­koeffizient bei der Darstellung von <Z(t) wahrend der Zeit T als Fourier­sches Integral

+=

<Z(t) = J e (v) e2i ''''tdv

ist, Auf ·diese Weise sind die von O. Klein eingeflihrlen Dichten, welche flir die Ubergangsamplituden ma.Llgebend sind, zurlickgeflihrl auf das die Ubergange erzeugende Feld, speziell flir spontane Ubergange, auf das spontane Dampfungsfeld.

Nacltrag bei der Korrektur. Inzwischen hat P. Dirac (Proc. Roy. Soc. (A) 114, 243, 1927) das Problem der spontanen und er­zwungenen Strablung in sehr viel wirksamerer Weise in Angriff ge­nommen durch Behandlung der Lichtquantenanzahl als q-Zahl, wodurch das von uns postulierte Dampfungsfeld (1 Quant pro Freiheitsgrad) auto­matisch in Erscheinung tritt,

PAPER 56

Zu Diracs Theorie des Kreiselelektrons. Von A. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 24. Miirz 1928.)

\:;01

§ 1. Allgemeinere Form der Koppelungsmatrizen. - § 2. Hydrodynamisches Stromungs· feld. - § 3. Analogon in der kIassischen Mechanik.

§ 1. Die von Dirac* entwickelte Wellenmechanik des rotierenden Elektrons ist besonders deswegen so iiberzeugend, weil sie gegeniiber der friiheren Theorie des Punktelektrons keine Komplizierung, sondern eher eine Vereinfachung durch Reduktion der friiheren Wellengleichung zweiter Ordnung auf solche erster Ordnung bringt. Diracs Gleichungssystem flir die vier gekoppelten Wellenfunktionen w, bis W. lautet:

(~ = 1, 2, 3, 4). (1)

Die darin vorkommenden vier Operatoren 1'1 bis 1', sind mit den Ko­ordinaten Xb den Impulsen Pk und den Potentialkomponenten (])k ver­tauschbar, sollen jedoch bei Ausiibung auf w~ das ResuItat

(2)

ergeben; die konstanten Koeffizienten yk" sind dabei gewisse Matrix­komponenten, durch deren nahere Angabe erst die Koppelungsoperatoren 1'k in (2) definiert sind. Fiir die 1'k wird verlangt

(1'k)2 = 1 (= Einh.~itsmatrix) } 1'k.7'1 = -1'I·1'k flir k =f= I (3)

wodurch die Invarianz der Wellengleichung (1) gegeniiber Lorentz­transformationen garantiert ist.

Dirac selbst hat seine Theorie mit Hilfe spezieller 1'-Matrizen ** durchgefiihrt, welche etwas unnatiirliche Realitlltseigenschaften besitzen,

1'1 und 1's imaginllr, 1'2 und 1', reel!. Man wird im Sinne der Relativitiits­theorie lieber 1'112 1'3 reell und nur y. imaginllr annehmen wollen, urn grilBere Symmetrie zu erreichen. Wir milchten deshalb an Stelle von

* P. Dirac, Proc. Roy. Soc., Febroar 1928.

** Diracs r- Matrilllen lauten: rl' = y~S = - i, ),~4 = - r's = :- 1,

rP = -rN' = -i, rl' = rP = -rP = -r1' = 1, dabei r~(;' = rf~· Aus ihnen entstehen durch eine spezielle .Drehung" die Matrizen (4).

Zeit.chrift f11r Physik. Ed. 48. 41

Reprinted from Z. Phys. 48,601--606 (1928).

263

264 ALFRED LANDE

602 A. Lande,

Dirac zunachst folgende Koppelungsmatrizen betrachten, die ebenfalls den Bedingungen (3) geniigen:

[ . . . -11 ,_ . . + 1 .

1'1- . + 1 . 'J' -1. .

'J -f "-l+ 1 .+

. + 1 '1 . . + 1

J

(4)

Sie haben, ebenso wie DinLcs 1', die hermitische Eigenschaft

'Yf~' === yr~, (4')

\VO '" den trbergang zum Konjugiertkomplexen bedeutet. Die Definition des Operators ® durch

'. It It "" (I)kl = 2in YkYI = - 2in YIYk und !(5)kIWd = ~:,®k~,.'Ij!:, (5)

gibt im einzelnen mit Hilfe von (4) die Matrizen

\ h[ -~-;l S _hli :1 (~n = 2n : r (\31 --- 2-n1 ~ - i l'

(S! =~1 ; -~ 1 6l _~[_1 :'1)' (5') 1. 2n .-1 . :1' 14-2n .-1

@" C~ :~ 1 ]. <'" ~ :~ 1_ I - I) Dnabhangig von der speziellen y-Wahl ist nach (3), (4') und (5) allgemein

S\,j.~' a~/~ h , ... ,~,!"V ,'-f'" It ~ ta ai.:' a'~' ~a ( i'l - (hi = 2' [(YkYz)" + (Yk1'l)- 'J =::;-:- ~,"[1'k 1'1' + Yk Yi 1

~n ~~1l

It ~", = 2-' (YkYI + 1'1 Yk)'~ = 0, (li)

In

d. h. die @kl sind hermitischj ferner ist allgemein nach (3) und (5)

(%1)2 = (2~lnY '1'k1'l' 1'kYI = - (2:1nY 1'kYkY 11'1 = (2~-Y . 1 (6')

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Zu Diracs Theorie des Kreiselelektrons. BOS

und schliel.llich die Diagonalsumme

~}@ii=~' 2:t2> y~;' 1'1" = --~.~ 2:t 2:~,(yi"yr-yF'yf~=o. (6") , ~~n" 2$n 2 . .

Fiihrt man die Beziehungen

@u = Dz , .•. , @" = i\)3", 1m28 = ,p"" ... , 1mu = - i ~'" (1m = Rot IP)

(7)

ein, so la13t sich nach Dirac die Wellengleichung (1) auf die :Form

{ 2:k (Pk + ~ IPky + p.i e2 + : (\lJ1@), t/!; 1 = 0 (8)

bringen mit den Operatoren

Pk = 2: n OOXk und ilJ1@ = 1m28 @2S + ... = (,p 8) + (~~). (9)

Bei Diracs Wahl der l' ergab sich ein magnetisches Moment .c mit reenem Operator .0"" imaginarem Dy und reellem ~ • ., ein elektrisches Moment \)3 mit imaginarem \)3", reellem \)3y, imaginarem \)3z. Dagegen sind hier D",DyDz reell, \)3z Illy \)3z imaginarj hier wie bei Dirac wird nach (6')

D~ .= .0; = .0: = (2~)2. 1 = -~: = - ~!~ = - \)3:, (10)

so daJ.l sich an Diracs physikalischen Folgerungen nichts andert. - Zu den allgemeinen Gleichungen (3), (6), (6'), (10) fiihren alle die Matrizen 1", welche aus dem r durch eine vierdimensionale "Drehung"

Yk = 2:j lXkjYi (2:j lXkjlXlj = 6k ! = 2:jlXjklXjl) (11) entstehen (diese Transformation soIl nur auf die 1', nicht auf die Ko­ordinaten XI bis x, ausgeiibt werden). Die dabei resllltierenden M.atrizen @' sind im allgemeinen verschieden von den @. Die besonderen @ haben also, im Gegensatz zu den @2, keine physikalisch invariante Bedeutung, ebensowenig wie die besonderen r.

Eine Minkowskische Drehung des Koordinatensystems alleia bei festgehaltenen Koppelungsoperatoren l' fiihrt zu Wellengleichungen in den neuen Koordinaten x;' von der Form

Iii ~m 2: (lXkjPk +E-lXkJ 0;') + I'c, t/!~} . J k· C

= {i ~ yic ~ic + ~ 0;,) + I' C, t/!~ I = 0,

mit Operatoren 1", welche aus dem l' durch die Drehungsformation (11) entstehen. EineTransformation der l' allein, bei festgehaltenem Koordinaten­system, welche zu den Gleichungen

{ i ~ yic (Pk + ~ 0 k) + I' c, t/!~} = 0

41*

265

266 ALFRED LAND~

604 A. Lande,

fiihrt, ist somit aquivalent einer inversen Transformation der Koor­dinaten allein. Wenn also nach bekannten Satzen bei einer kanonischen Transformation der Koordinaten die Matrixelemente eines Operators invariant sind, so sind sie auch invariant beim Ubergang zu neuen y' bei unveranderten Koordinaten. Dies wird im folgenden benutzt.

§ 2. Es ist jetzt zu zeigen, dall die tJ'berlagerung der Wellen­funktionen t/l1 bis t/I, eine entsprechende Hydrodynamik gibt, wie sie von Gordon und spater von O. Klein* flir die t/I-Funktion des relativisti­schen Punktelektrons eingefiihrt wurde. Bildet man namlich aus den WeHengleichungen {H, t/I} = 0 und {if~} = ° durcb l\fultiplikation mit dem konjugierten t/I und Subtraktion die Gleichung

~C (~~ H t/I:; - t/I~jj ;j:,) = 0, so reduziert sich diese auf die Form

o = ~: Div l-!:-- (;j,: Grad t/lt - t/I:Grad:;jd + 2 E 4i t/I,-;j,t] . 2~:n:' . . . c ". 2'i:n: E - --+ It -;;(t/l'm@t/I-t/l'JR@t/I), (11 a)

III der das Glied mit der Viererdivergenz von Gordon als Div des Viererstrlimungsvektors ~ gedeutet war. Diese Strlimungsdeutung iet auch hier aufrechtzuerhalten, weil das letzte (Hied in (l1a) ver­sch windetj es ist namlich

~:;j)-}1(;j,:;@t/I\ - t/I:;&;j:r;) = ~k! 'JRk ! ~\(';j,\@klt/li; - t/lC@k!~';) " """ """ - --, --t'-= ~k! j))/k! ~\ ~~' (t/I~ @ki t/I~, - t/lc @,,/ t/li;')

= ~kl Wlk! ~\ ~i;' :;j;~ t/I:;' (@H' - @fh = 0, unter Benutzung von (6). (11) hat also die Form der Kontinuitats­gleich ung

Div;J=O mit J'e- :B~b·~':n:(:;j;:;Clradt/l:;-t/l:;nrad:;j;t)+ 2cE4it/l~;j;i;l (12)

Der entsprecbende Additionsprozell :;j; If t/I + t/I H t/I = 0 fiihrt bekannt­lich zur Energiedichte. Zu den auch beim Punktelektron vorhandenen Energiegliedern kommt hier ein (Hied proportional zu ,,- - - " "" - tt' -,'t ~~WI(t/I;@t/li; + t/I.;@t/li;) = ~k!lmkl ~t ~;' t/li;t/li;'(@H + @k()

= 2 ~kllmkl2:t2:i;'¢;t/I:;'@~f' (13) hinzu, welches als Koppelungsenergiedir.hte der vier an der Strlimung beteiligten t/I-Komponenten zu deuten ist. Der Faktor jedes einzelnen lmkl in (13) ist reell, wie aus (6) folgt. Die Koppelungsenergiedichte besteht also aus einern reeHen magnetischen Anteil und einem imaginaren (wegen Wl 1 • = - i ~x usw.) elektrischen Anteil.

* W. Gordon, ZS.f.Phys.40, 117,1926; O. Klein, ebenda 41,407,1927.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Zu DirBcs Theorie des Kreiselelektrons. 605

DaJ3 diese Dichte der Koppelungsenergie keine unmit.telbare physi­kalische Bedeutung hat, sieht man schon ausderenAuftreten eines imaginaren Energieanteils, ferner daraus, daB ihre Gr5/.le von den einzelnen @ii' ab­hangt, deren Werte ja mit der willkiirlichen Wahl der zugrunde liegenden r-Matrizen variieren. Es darf eben, wie in jeder Feldtheorie, nur das Integral der Energiedichte iiber den ganzen Raum als physikalische GrUlle angesehen werden. Das Raumintegral von (13) ist nun

Koppelungsenergie = 2 :2kl :2, :2" 9.Ril' . @Zf} ,., S - (14) mit 9.Rk l = 1/1; 1/1~' 9.Rk! dv.

In dem besonderen Falle raumlich konstanten Feldes 9.R verschwinden die Matrixelemente 9.R~f' rur b =f= b" und es ist in diesem Falle speziell die

Koppelungsenergie = 2 :2kl 9.RkZ ' :2~ @~~ = 0 wegen (6"). Allgemein laBt sich (14) auf die Form

Koppelungsenergie = - ~i;~ {:2,:2k l (Pk +: 4ikYf + 41'2 cl1} (14')

bringen, wie man erkennt, wenn man (8) mit ;j;~ multipliziert, iiher den ganzen Raum integriert und iiber b von 1 bis 4 summiert. (14') enthalt gar nicht mehr wie (14) die einzelnen @if, sondern nur die Diagonal-

summe der :Matrix des Operators (Pk + C t1Ik)-2. Da letztere sich bei . c

den kanonischen Lorentztransformationen nicht andert, bleibt sie auch beim Obergang zu anderer r-Wahl unverandert, die ja jener Koordinaten­transformation aquivalent ist.

~ 3. Fiir viele Zwecke ist der Ansatz

1/1~ = IX!:' e2inw!:!h (b = 1, 2, 3, 4) (15)

niitzlich. Tn die Wellengleichung (8) eingesetzt fiihrt er zu

(~)2 IX~ 0 CI.~ + IX~ (Grad liJ':· +~-- 4'1)' + IX~ ,,2 C. 2 !-n - - - 'c \ r-

+ 4:'n Div [21X~( Grad Wi: + -~- 4'1)] I (15)

+ C "" em "" fUll' 2i1f(Wr - W,.,)/h _ U --- ..:::::.. ""kl ..:::::.. ""kl IX,IX~' e ' , - . C k' ;' . -

Summiert man iiber b, so falit das Div-Glied fort, da nach (12)

0= Div S = DivL~~n(;j;Grad1/l-1/IGrad;j,)+ 2cE4i!/J:;;;]

= Div l2~( Grad W + ~ 4'1)] = 0 (16)

']Jj7

268

606 A. Lande, Zu Dirac. Theorie des Kreiselelektrons.

und es bleibt neben (16) als zweite Gleichung fur IX. und W

( It)! (E )2 2i~ ~IX.'.DIX.~+~~OI~ GradW'+c!li + ~tX.!1t2C~

+ E~cm ~~tUC,' 2i"(W,-W~')lh_O - .c;. :tJ'kl .c;. .c;. ""kl tXt tx" e - . -, C kl ~'~ . .

ALFRED LANDE

(16')

wobei im letzten Glied jedes \))/kl einen reeHen Faktor hat. Ein ent­sprechender Ausdruck, aber ohne das letzte Koppelungsglied, war der Ausgangspunkt von F. Londons Verbindung zwischen Weylscher Elektrodynamik und Wellenmechanik. W oUte man dies auf das Kreisel­elektron ubertragen, so wurde man zu auLlerst kunstlichen Ausdrucken kommen.

lVlan kann weiter fragen, wie das klassisch-mechanische Analogon zum wellenmechanischen Kreiselelektron aussieht. Hierzu

hat man statt (15) den Broglieschen Ansatz tP, = eH " W~/h zu be­nutzen und gelangt so aus (15') zu vier Hamilton-Jacobischen Differentialgleichungen

(Grad W~ + +!liy + 1t2 C2 + 2:~Div( Grad lY~ + ~!li) + ~ ~kl \illkl ~t' @il' lin (WI - WI,)Jh = 0

C -

fur die VIer Wirkungsfunktionen WI im Raum und Zeit. Durch Summierung tiber ~ ltiLlt sich wieder das Divergenzglied ZUlli Verschwinden bringen.

Eine andere Moglichkeit, ein klassisches Analogon zum wellenmechani­schen I":reiselelektron zu erhalten, besteht darin, in die ursprlinglichen

vier linearen Diracschen Gleichungen (1) mit dem Ansatz tP~ = e2i"Wc l" einzugehen. Man erhalt so

~ ~_ 'C,(aw\'+~!li)e2i"W1;'I"+ 2i"JV~/h-O(~-12B4) .c;.k .c;.,' Yk a Xk c kite e - ~ - , , , .

Diese vier homogenen Gleichungen in den vier Unbekannten e2i "w1;/h

haben nur dann eine Losung, wenn die Determinante L1 der Koeffizienten der Unbekannten verschwindet. L1 ist aber eine Funktioll der a wda Xk, die

man als • Impulse " pi zu denten hat. L1 = 0 vertritt die Impnlsenergie­gleichnng, welche den Zusammenhang zwischen den raumlichen ImpnlB-

komponenten und den Energien ~ p; des klassischen Analogons bestimmt, c

alB Gegenstiick zur Pnnktelektronengleichung ~ (Pk + ~!lik Y + 1t2 02 = O.

PAPER 62

718

Zur Quantenelektrik von G. Mie. Von A. Lande in Tiibingen.

(Eingegangen am 12. Augnst 1929.)

§ 1. Die Miesche Grundgleiehung. - § 2. Vergleieh mit Diraes 8-Funktion. -§ 3. Vertausehungsrelationen fiir die FeldgroJlen. - § 4. Vertauschbarkeiten in der M i e schen Grundgleichung. ~ § 5. Reduktion auf Gleichungen erster Ordnung. -

§ 6. Kreiselelektron als Sonderfall. - § 7. Die Maxwellschen Gleichungen.

§ 1. Die Miesche Grundgleichung. Nach Mie * laJ.lt sich die klassische Elektrodynamik darstellen als Mechanik eines Systems von unendlich vielen Koordinaten und Impulsen, welche den momentanen Zustand in den unendlich vielen Volumteilen d G = dx dy ds des Raumes besehreiben. Durch kanonische Bewegungsgleichungen ist dann die Weiterentwicklung des elektromagnetischen Zustandes vorgezeichnet.

Kennt man namlich die Vektorpotentialkomponenten a~, a~, a; in samtlichen Volumteilen dGi , dG2 ••• , so sind damit auch ihre raum­lichen Ableitungen und durch rot a = 0 auch die Feldkomponenten

b~, b~, 0; mitbestimmt. Die Gesamtheit der Werte a;: zu einer Zeit to kann man als einen Punkt im a - Raum mit den unendlich vielen

Koordinaten a~, a~, a; auffassen. Die zeitliehe Lagenanderung dieses Koordinatenpunktes im a-Raum ist aber erst bestimmt, wenn zur Zeit to noch die samtlichen Geschwindigkeiten it;; gegeben sind. Statt dessen kann man auch naeh den Anfangswerten der ,Impulse" iugiert sind. Es sind dies die

fragen, die den Koordinaten a;; kon-

1 m p u I s e 2. bG • d G, c x

10 den einzelnen Raumteilen d G. N aeh M i e lassen sich namlich die Maxwellschen Gleichungen

1 . -b =-i+roq (und Q = divb) i = Qu/e, (1) c

1 . ~ -a =-e-gradp (und u = rota) c

in kanonisch~.r Form schreiben. 1st H die Gesamtenergie des FeIdes

(2)

H( G, G, G1. G2 G2 G2• • 1 bG'dG 1 bG'dG 1 bG'dG )' U:c ' ay , Oz , ax' ay , Oz , ••• , c x l' C Y l' C Z 1""

'" G. Mie, Ann. d, Phys. 86, 711, 1928. ZeitBchrift ftir Physik. Bd. 57. 47

Reprinted from Z. Phys. 57,713-722 (1929).

269

270

714 A. Lande,

so sind die Maxwellschen Gleiehungen aquivalent mit

d(b~. dG) aH --cdt- -=aa~

d a~ all

cdF =- a(b~.dG)

(0: = 1,2,3)

ALFRED LANDE

(1 ')

(2')

das ist ein Gleichungssyst.em, welches fUr jedes Volumenelement d G; fUr

sieh gilt. Ein Anfangspunkt im a-Raum (a-Feld) sehlagt somit naeh

den kanonisehen Bewegungsgleiehungen bei gegebenen Anfangsimpulseu

eine ganz bestimmte Hahn ein. LaJJt man dagegen die Anfangsimpulse unbestimmt, so konnen sieh aus einem Anfangsfelde a noeh die ver­

schiedensten zukiinftigen Felder a entwickeln.

In der Quantentheorie ist es nun nieht moglich, simultan die Koor­

diuaten und die Impulse scharf anzugeben. Vielmehr gelten nur gewisse

Wahrscheinlichkeitsgesetze, nach denen eine Schar von Anfangspunkten

in eine Schar von spateren Pnnkten Ubergeht.

Es sei 1/1 (a;l a;' a;"; a;2 a;2 a;12; ... t), kurz 1/J (a~, t) die Wahr­

seheinlichkeitsamplitude, daJJ unter einer Schar von a-Feldern zur Zeit t sieh e ins mit den unendlich vielen Koordinaten a~i befindet. Gefragt

wird nach der Amplitude 1/J (a~ G, n, zur Zeit t' ein Feld mit den Koor­

dinaten a~G anzutre!feu. 1/J folgot dabei einer Differentialgleichung, die

Mie aus der Hamilton-Jacobisehen Differentialgleichung der klassi­schen Elektrodynamik entwickelt. FaJJt man namlich die Impulse und

die Gesarntenergie des Feldes auf als Ableitungen einer Wi r k u n g s­funktion m> (n;;, t)

~bG.dG= am> c a an;: (0: = 1,2, 3), 1

am> E=-(ft,

so nimmt die klassische Energiegleichung

E2 - (J: + Ji + Jr) = E~

nach M i e die Form an

1 a m> 2 {f 3 a u~ am> }2 J f 3 a a~ am>}' 1 ~ ( --) - 2:" - ---a - \ ~,,----;; c' ,a t 1 a X, a u" I a X2 a a"

G G

I

(3)

(4)

(5)

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Zur Quantenelektrik von G. Mie. 715

Hierin bedeutet Eo die Ruhenergie des gesamten Feldes III einem trans­formierten Koordinatensystem, relativ zu dem die gesamte elektromagne­tische BewegungsgroJ3e J mit den Komponenten J, J~ Ja verschwindet.

Die wellenmechanische Grundgleichung erhalt M i e daraus, indem

er die 1 G O~ E=_O~ Imp u I s e ~ b" . a G = oa; und (6) c ot

ersetzt durch die

Operatoren h 0

und h 0

(6') 2in oa; ---- ,

2in ot ausgeiibt auf eine Funktion 1/1 (a;, t). So ergibt sich aus (5)

~ o~ 1/1 _ 3 v I f 3 0 a; ~ f 3 0 af 0 1/1 }" 4 n' E' - ° c' 0 t' + l ~ 0 Xv 0 at ~ 0 X," 0 af + 112 c' 0 - •

(7)

G C

Dies ist die Miesche Grundgleichung der Quantenelektrik.

Unser Ziel ist, sie zu vereinfachen, sie auf Gleichungen erster Ordnung zu reduzieren und nebenbei Vertausehungsralationen fiir die FeldgroJ3en abzuleiten.

~ 2. Vergleieh mit Diraes 5-Funktion. Wir wollen jetzt die spater zu benutzenden Gleichungen (10), (11), (12) ableiten. In der lIii e schen Grundgleiehung (7) kommen u. a. die Differentialquotienten

J!.." (oa;) vor, wobei a G und a C zwei verschiedene, eventuell zwei oa¥ Ox gleiche Volumenelemente des xyz-Raumes sind. Es ist klar, daJ3 diese Differentialquotienten verschwinden, wenn [j '* r. Wir brauchen also nur den Fall [j = r zu betrachten, und wir lassen dabei den unteren Index [j = r weg. Denken wir die Umgebung der Raumstelle x = ° in Streifen der Breite a x eingeteilt, die wir mit dem oberen Index g = ... - 2, - 1, 0, 1, 2, ... numerieren, so ist der Grenzwert

~a; = ~ (al ax aO + ~ixa~l) = ~. ~ -;:-~, und wenn man hierin al bzw. aO bzw. a-I urn 1 vermehrt:

~ (oao) = ~. (a l + 1) - a-' oao 1 oal Ox 2 ax = 7[;;+ 2dx' o (0 ao) oao 7[;; = 0,

~(oao) _~. 01 _(0- 1 + 1) _ oao __ 1~. oa- l Ox! - 2 dx - Ox 2dx

271

272

716 A. Lande,

1m lim ax = 0 ist also

_~ (oaO) = {± ~ ~x

oag Ox, 0 fiir 9 = + I,}

fiir andere g.

ALFRED LANDE

(8)

Wir be"trachten zurn Vergleich die Diracsche 8-Zackenfunktion 8GC

im xyz-Raum, welche fiir G =/= 0 verschwindet, fiir zusammenfallende Punkte G = 0 abel' so unendlich ist, daJ.\ f 8G C a G = 1 wird. Bei

G obiger Einteilung in Streifen a x ist fUr eine lineare 8 - Funktion (8g ,0 statt 8G C)

1 8g, ° = - fiir 9 = 0, dagegen = 0 fiir andere g.

dx o 1 1 1

ox 81,0 = Ux [(~,O - 81,°) + (81,0 - 8°,°)) = - 2" dx' dx'

oOx 8°, ° = 2 ~x [(81, ° - 8°,°) + (8°,0 - 8- 1,°)) = 0,

o 1 1 1 ox 8-1,0 = 2 dx [(8°,0_8-1,°) + (Il-I,O - 8-2,°)) = + 2dx . d x'

Es wird demnach

i. bg, ° = + _1_. ~ fUr 9 = ± 1, ox 2dx dx

=0 fiir andere g. }

Vergleich von (8) mit (9) gibt somit O~g(~:) =-dx fx (8g, 0).

(9)

Hierbei ist zu beachten, daJ.\ links %x eine Verschiebung des Punktes 0, rechts dagegen eine Verschiebung des Punktes 9 in del' x-Richtung bedeutet. Versteht man statt dessen auch rechts unter %x eine Verschiebung des Punktes 0, so dreht sich rechts das Vorzeichen urn. Allgemein erhalt man, wenn man noch von der linearen zur raum­lichen d-Funktion iibergeht und die unteren Indizes hinzufiigt:

~ (oaf) = + dO ~ (8GC).8 (10) O Goo ~r'

CI~ x x

(d~r bedeutet dabei 8(:1r = 1 fiir (:J = r, 8(:1r = 0 fiir (:J =/= r)· Wir merken noch an, daJ.\ aus dem Vergleich von

mit

O~ (aO) = 1 fiir 9 = 0, = 0 fiir andere g, ag

1 8g o = - fiir 9 = 0, = 0 fUr andere 9

dx

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Zur Quantenelektrik von G. Mie.

in entsprechender Weise folgt: ",iJ (aO) = dx. i5g, 0, und ranmlich: v U9

iJ (C) _ dO' "GC .. --G or - .U .u~y' iJ 0;

717

(11 )

Eine stetige nnd differenzierbare Funktion {(xy z), welcbe im Unend­lichen verschwindet, im Endlichen aber beliebige Gestalt hat, besitzt die Eigenschaft

J f J dxdydz :x {(xyz) = J f dydz [{(+oo,y,z) - {(-oo, y, z)] = O.

Dasselbe gilt demnach fiir die i5-Zackenfunktion

j. d C ~ (i5 GG) = 0 = f -~, (~.~.~), iJ x oat dx

G C

(12)

das letzte Gleichheitszeichen wegen (10); d a s In t e g rat ion s g e b i etC kann dabei belie big nahe urn den Punkt G zusammengezogen werden, da die entfernteren C keinen Beitrag zum Integranden liefern.

In (10), (11), (12) sind flir das folgende wichtige Beziehungen zu der i5-Zackenfunktion hergestellt.

£i3. Vertauschungsrelationen fiir die Feldgro/3el1. Zu-naehst wollen wir eil1ige VertauschUl1gsrelatiol1en fiir die Feldgro/3el1 ableiten. Es gilt, wenn wir die Impulse (6) als Operatorel1 (6') auffassel1,

fiir einen bestimmten Zeitpunkt

1 ,G ,G G 1 ,G dG - "~ d G . ny 1/J - ay . - "~ 1/J e c

hOG C h 0 11 iJ G 11 -.- ----zj (ar 1/J) - ar -.- --G 1/J = -.-1/J -G (ay) = -. 1jJ. d G i5GG i5h , 2t:n: oar 2t:n: oaf! 2tn oap 2t:n:

letzteres wegen (11). Als Operatorgleichung geschrieben bedeutet das

~G G C ,G _ he "GG" 'f!.ay-ay."~ - -.-·u 'U,lY'

2tn

Ferner gilt wegen b = rot n

2. bG d G bG 1/J - bC ' 2. bG d G 1/J e X ' Y Ye x

11 0 (on~ oa~) (on~ on:) 11 0 = 2 i:n: 0 a; ii; - a;: 1/J - a; - 0 x 2 i:n: 0 a~ 1/J

11 i} (oa~ i}n~) h 0 =-1/J- --- =-.-1/JdG·-(i5G c),

2i:n: a; OZ ox 2fn OZ

(13)

273

274 ALFRED LANDE

718 A. Lande,

letzteres wegen (10). Als Operatorgleichung erhalt man somit

bG bC - bC bG = ~ .i (8GC) (lS') zy yz 2inoe

und zwei entsprechende Vertauschungsrelationen fiir b:, bf und b~, b~ im gleichen Zeitmoment. Dagegen findet man entsprechend

(14)

Nichtvertauschbarkeit der zurn gleichen Raumpunkt G = C gehOrenden FeldgrijJ3en bz mit Ilz, bz mit by usw. bedeutet nach He i sen b erg be­kanntlich eine Unscharfe hei der simultanen Messung beider Grij/3en. -Die hier aus der M i e schen Theorie gewonnenen Vertauschungsrelationen stimmen mit den von Heisenbergund Pauli kiirzlich abgeleiteten iiberein.

§ 4. Vertauschbar keiten in der Mieschen G rundgleichung. Wir betrachten jetzt die GrijJ3e

u = fOIl~ ~foll~ OWu' o Xp. a Ilfl 0 x,. 0 Ily

G C

(15)

welche fur den Sonderfalll'" = v in der Mieschen Grundgleichung (7) auftritt.

Durch Ausdifferenzieren des Produkts wird

u- faaffaa~ 02'IjJ +f~alf~-; (oaf). - G ox" u ax,. oafoCl~ G ox" C oa~ oafi ox,.

Das zweite Glied ist, weil -; (~af) nur in der Umgebung Yon C = G oafl V x,.

nichtverschwindende Werte aufweist, gleich

f oa; O'IjJ I 0 oa~ - 0 cF;; oaG aafiG ax,. -

G Y C

unter Benutzung von (12). Es bleibt also nur das erste Glied:

II a a; oa~ 02'IjJ (15') U = oXp. . ax •. oafiG oac •

GC y

Da man hier die Reihenfolge der Differentiation von 'IjJ vertauschen kann, erhalt man fiir U aus (15) die zwei gleichwertigen Darstellungen

U - faa; ~f oa; ~ - I oa; ~I oa; ~ 'IjJ (16) - iJ xp. 0 a; 0 x,. iJ a~ 'IjJ - iJ x. a a; 0 x" a a; .

G C C G

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 275

Zur Quantenelektrik von G. Mie. 71 !'I

Fiir den Sonderfall /K- = v ergibt sich somit eine wesentliche Vereinfachung der Mieschen Grundgleichung (7), namlich die folgende Grundgleichung der Quantenelektrodynamik:

1 a2 tjJ 3 ff 3 3 an~ an~ a2 tjJ C2 (fi2 - ~ .2e ~ ax, . ax, . anf ano

1 1 1 I" r G 0

4:n:2

+ h2 c2 E~ tjJ = O. (17)

D' K ff' tanG Ie oe lZlen en a x"

im n~-Raum, wahrend d er Zeit t ist.

sind dabei Funktionen des "Koordinatenpunkts"

tjJ eine Funktion dieses Koordinatenpunkts und

§ 5. Reduktion auf Gleichungen erster Ordnung. Die Ver­tauschbarkeit (16) gibt jetzt die Moglichkeit, von der Grundgleichung (7) mit ihrer zweimaligen Differentiation nach den Koordinaten a~ in derselben Weise eine Gleichung erster Ordnung abzuspalten, wie es Dirac mit der Grundgleichung zweiter Ordnung des Punktelektrons getan hat, um das Gleichungssystem erster Ordnung des Kreiselelektrons zu erhalten.

Es seien namlich r/L vier Diracsche Operatoren mit

I',,~ = 1, I',/(r, + r,ru = 0 fiir f' =1= v,

welc.he auf vier Funktionen tjJ~ (aG, t) wirken, so daB

ru tjJ~ = 25' r;:t,' tjJt", Dann laJ.lt sich (7) zerspalten in

J _ i r. ~ - i .if r/L f i1 a n1 -;. + 2 i:n: Eo} l ax 4 1 1 a xl' a a(J he

G

{ . a . 3 f 3 aa~ a 2 i :n: } . + ~ r. -a + ~ .2: rv ~ -a -0 + -h- Eo· tjJ = 0, X. 1 1 X, aa C

() Y

( 18)

da bei der Ausmultiplikation die Faktoren von I',u rv und von rv I',u nach (16) gleich sind. Trennt man den ersten Operator {} ab, so bleibt

. atjJ .~ f~ aa; atjJ ..L 2i :n: _ ~ r. -a + ~ L..' r, ..:..J -a --0' -h- Eo tjJ - O.

X. 1 1 x. aa c o y

(19)

Das sind vier Gleichungen erster Ordnung fur vier Funktionen tjJt,. § 6. Kreiselelektron als Sonderfall. Mie hat aus seiner

Grundgleichung (7) die wellenmechanische Grundgleichung des Punk t­elektrons entwickelt. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude tjJ, ein gewisses

276 ALFRED LANDE

720 A. Lande,

Feld aG in den einzelnen Raumteilen G; anzutreffen, wird namlich eine Funktion des Elektronenorts ~ f}~. Felder a, die der Anwesenheit des

Elektrons in ~ 1) ~ = ~, ~~ ~3 widersprechen, haben dann ¢ = 0; zulassig sind nur solche Felder n, bei denen nG aliein von den relativen Kom­

ponenten x G -~, yG -- r), zG - ~ abhangt. Es ist daher (vg1. ~Iie,

1. c., § 9)

fil aa; ~-fiJ~(~a; ¢)--~! (20) • 1 ax, anG - 1 aaG ax, - a~,

G Y G Y

zu setzen, so daB aus (19), wenn man noch das V orzeichen der Zeit

umkehrt, wird

I. ~ It a¢ Eo I Iz...::.:; r v ,-.- .... - + -, ¢ = 0 . 1 2 z:n; a ~v c

(21)

das ist Diraes Gleichung des Kreiselektrons ohne auBeres Feld.

Bei Anwesenheit eines auBeren Feldes W, = n, i rp gewinnt man D ira c s Gleiehung

{<i ~ (~ ?-! + !... w) + Eo ¢} = 0 1 v 2 i:n; a~, c' c ' ,

(22)

indem man die klassischen BewegungsgroBen

-f~ an; asm c J, - L!. a ----a - -:- tP, (~ 1) b t), G I x, a a~ c

J. = iE

(l'Il ie, Gleichung 40) in die klassische Energiegleichung des Feldes 4

2: J,~ + E~ = 0 einsetzt, die Operatorenumdeutung (n) (6') vornimmt 1

und die entstehende Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Hilfe der Diracschen r,. auf erate Ordnung reduziert. Wesentlich fur die An­wendbarkeit des Verfahrens ist wieder die Vertauschbarkeit der Opera­toren (17); sie ermoglicht, dem Diracschen Gleichungssystem des Kreisel­elektrons ein entsprechendes System (22) fur die FeldgroBen an die Seite zu stellen.

und

§ 7. Die lVIaxwellschen Gleichungen. Da die Koordinaten a~ 1 G

Impulse - ba d G nicht simultan scharf definiert sind, konnen c

zwischen den FeldgroBen an verschiedenen Raumzeitpunkten nur sta­

tistische Zusammenhange bestehen. ¢ (n~, t) beschreibt die Wahrscheinlich­

keitsamplitude, zur Zeit t ein Feld mit den "Koordinaten" nG" aG" ... in den Raumteilen d G l' d G 2' ... auzutreffen. 1st f irgend eine Funktion

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Zur Quantenelektrik von G. Mie. 721

der Koordinaten und Impulse, so ist der statistische Mittelwert von f' das Matrixelement

[fJ = J~f'1jJ.dilGl.da0200'

Nur Matrixelemente sind der I\1essunp,' zuganglich. Zum Beispiel ist

[llui ] = J*aGi1jJ.daGl.daG,,,.

[,0; ('] _ f~ he iJ I 0 I 0 Va d C'i - 1jJ -2' -,' 1/J . ( a 1. ( a 2".

, /. n iJ a.;'i

(23)

(24)

Auch die raumlichen Ableitungen der Koordinaten und Impulse sind deliniert; z. B. wird der lVIittelwert der magnetiBchen Induktion

U+.dy (} U+,dz - G

[u;] = rotx [aU] =,' lim ~] ::-_l~o] - [il!f __ ]-laul, (25) Liy Liz

und die raumliehe Ladungsdichte hat den Mittelwert

[b(!+.1X]_ [h':] [(JIi] = div [hU] = lim ----"- " __ x + ...

Lix (26)

Nicht eindeutig ist dagegen die Definition der zeitlichen Ableitung. Rier widerstreiten ja schon iu der Schrodingerschen Wellenmechanik zwei Definitionen. HeiOt namlich die Wellengleiclmng

h ' ~ h ~

II 1/J + 2i 7t 1jJ = 0 bzw. H 1jJ - '2 i n 1jJ = 0,

so ist das ~Iatrixelement

[f'] = J~f'1/Jdq und die zeitliche Ableitung ist

[f']' = J'~f'1/J cl q + J * f'~' d q

= 2;b"\J (H*).f'1jJclq- J~f'll1jJdq), (27)

wahrend die in der lVIatrizenmechunik ubliche Definition lautet

. 2in 2'in( r~ r~ ) [f'] = -h- [ll f' - f'll] = Ii' J 1jJ II f' 1jJ tl q - J 1jJ f' H 1/J cl q . (27')

Es bieten sich demnach zwei Definitionen der Stromdichte i = rot I) _ 2. & c

dar, namlich * [iG] = rot [gO] - 2. [bUr bzw. [iO] = rot [1)U] - 2. [bOlo (28)

c c

• Man wird dabei 1) = fJlfL nnd e = '0/. definieren.

47*

277

278 ALFRED LANDE

722 A. Lande, Zur Quantenelektrik von G. Mie.

Bei jeder Wahl ist automatisch zwischen i und Q die Kontinuitats­gleichung erfiillt:

div [iG] = 2. [Qr bzw. div [iG] = 2. [p], (29) c c

da div rot [bG] identisch verschwindet. Das erste M a x well sche Gleichungssystem im Vakuum

1 . rot ~ - - b = i, div b = Q (30)

c

hat also sein Aquivalent bei den beobachtbaren Matrixelementen der Quantenelektrik, indem die Stromkomponenten i und (J einfach durch (26) und (28) definiert werden.

Das zweite Max wellsche Gleichungssystem, welches aus

b d 1 . = rot a, e = - gra If! - - a c

folgt, kann jedoch nur in Beinem ersten Teil b = rot a als Definitions­gleichung (25) fiir [b] aufgefailt werden. Bildet man dagegen

1 'G 1. 1. [eG] = - [u] und - [a] oder - [a] c C C

~email (24) und (27) oder (28), so wird im allgemeinen ihre Summe nicht der negative Gradient einer Raumfunktion [cpU] sein. Es konnte also hochstens in besonderen Fitllen, bei ganz bestimmten '1jJ-Funktionen, die Darstellung

~ 2. laG] + [eG] = - grad [cpG] at C

moglich sein, und es ware interessant, solche Sonderfalle kennen zu lemen, in denen die Maxwellschen Gleichungen wenigstens statistische Giiltig­keit hatten.

PAPER 63

Polarisation von Materiewellen. Von A. LANDE. Tiihingen 1•

RiclttungsquantelUl1g und PolariBation. Es ist Nach dem negativen Ausfall dieser Versnche ist es in letzter Zeit oft versucht worden. dUTch Experi- nicht liberllussig, auf die Verwandtschaft VOIl

mente nach dem Vorbild der Optik cine Polarisation wellenmechanischer und optischer Polarisation von Materiewellen herzustellen und nachzuweisen. naher einzugehen und dabei auf andere Experi­SoIche Versuche werden besonders dUTch die Krei- mente hinzuweisen. die cher ein positives Ergebnis selnatur der Elektronen nahegelegt; denn den voraussehen lassen. zwei entgegengesetzten Einstellungen im Magnet- Der Hauptunterschied zwischen optischer und feld entsprechen wellenmechanisch zwei unab- wellenmechanischer Polarisation ist der, daB in der hangige, d, h. nicht interferenzHihige Wellen ver- Optik zwei linear polarisierte Wellen dann un­schiedener .,Polarisation". So wurde in Analogie abhangigsind, d, h. nichtmiteinanderinterferieren, zum optischen Verfahren lief gekreuztell Spiegel wenn sie um goO gegeneinander geneigt sind, zwei ein Elektronenstrahl an Metall- oder Krystall- Elektronenwellen dagegen, wenn ihre Polarisations­spiegeln verschiedener SteHung, zurn Teil nach richtungen (oder punktme<:hanisch ihre Kreisel­Durchlaufung von Magnetfeldem, mehrfach reflek- achsen) urn 180 0 differieren. Statt mit senkrecht tiert und nach einer Abhangigkeit der reflektierten gekreuzten Spiegeln rouE man also mit Vorrich­Intensitat vom Azimut des Reflektors gesucht2, tungen operieren, bei denen zwei antiparallele

1 Vortrag auf der Gautagung der Phys. Ges., Tiibingen 25. Febr. 1929.

z ]. C, DAVISSON und L. H. GERMER, Nature 1928, 809. - Fr. WOLF, Z. Physik 52, 314 (1928). - E, HUl'P, Z. Physik 53, 518 (1929).

Reprinted from Naturwiss. 17,634-637 (1929).

Richtungen getrennt werden konnen {so u.}. Be· achtet man diesen Unterschied, so HiBt sich die Lehre von der Polarisation ziernlich wortlich aus cler Optik ins Wellenmechanische iihertragen.

Zunachst ist der dUTch die pnnktmechanischen

279

280 ALFRED LANDE

LANDE: Polarisation von Materiewellen. 635

Vorstellungen nahegelegte Irrtum zu berichtigen, ein Elektronenstrahl (odeT auch ein Atomstrahl mit magl1etischem Moment, z. B. Silber) gewinne beim Durchlaufen cines transversalen homogenen magnetischen Feldes eine besondere physikalische Eigenschaft, die man als Richtungsquantelung parallel und antiparallel zu clem Feld bezeichnet und die man irgendwie nachzuweisen befahigt sein miisse. 1m Gegenteil sagt die \Vellenmechanik. daB ein natilrlicher Materiestrahl auch nach Durch­laufung eines Magnetfeldes keinerlei Bevorzugung irgendeiner Transversalrichtung vor irgendeiner an­deren besitzt, sondern vor wie nach dem Durchgang dUTch das Feld unpolarisiert ist. LaBt man in einem entsprechenden optischen Versuch einen natur­lichen Lichtstrahl auf eine passend geschnittene Glimmerplatte fallen, so daB ordinarer und extra­ordinarer Strahl den gleichen "Weg durchlaufen, so ist es zwar fur manche Zwecke vorteilhaft, sieh den '\Vellenverlauf im Krystall formal aus zwei zueinander senkreeht polarisierten Komponenten aufgebaut zu denken; der austretende, aus beiden Komponenten superponierte Strahl wird aber trotzdem genau so unpolarisiert sein wie der ein­tretende. Ebenso ist es zwar fUr gewisse Zwecke praktisch, im Magnetfeld selbst mit einer Zer­legung der Materiewellen in zwei antiparaUele Kom­ponenten zu rechnen und sie durch das BUd der Richtungsquantelung zu veranschaulichen; experi­menteH konnen aber im austretenden Strahl jene beiden Richtungen keineswegs vor anderen Trans­versalrichtungen bevorzugt sein. Ein gegenteiliger SchIuG hat zum Teil die erwahnten negativ aus­ge~allenen Versuche veranlaBt. Und ebenso erfolg­los ware es, bei der Zerstreuung eines Atom- oder Elektronenstrahls in Materie naeh einer Abhangig­keit der gestreuten IntensitatvomAzimuteines vor­geschalteten transversalen Magnetfeldes zu suehen.

Polarisator und Analysator fur Materiewellen. In der Optik gibt cs einen Apparat, der wirklich aus natlirlichem Licht linear polarisiertes Licht macht, das NlcoLsche Prisma. Hier wird dUTch unsymmetrische Incidcnz erreieht, daB die beiden Komponenten verschiedene "Wege gehen, so daB man etwa die untere abblenden und nur die obere zur isolierten Untcrsuehung bringen kann. Ein Polarisator fur Materiestrahlen ist ein STERN­GERLACHscher Apparat mit inhomogenem Magnet­feld NS, dessen eine Zerlegungskomponente man abblendet und dessen andere man fur sieh untersucht (Fig. IJ. Der aus diesem Polarisator austretende

Strahl hat nun, wie gleich k1 I n zu sehen, eine nachweisbare

"HE---:rM=;~==l=i"--U ~~:~:::~:'di~;~:~i~~i~~ I"' I mit Hilfe eines zweiten Ni-

Fig. I. Polarisator. coIs, des Analysators, der z. B. bei urn go 0 gekreuzter

Stellung von dem Polarisatorstrahl keine Intensitat durchlaBt. Ebenso wird man zurn Nachweis der Polarisation des Materiestrahls einen zweiten STERN-GERLAcHschen Apparat als Analysator be-

nutzen. Wir stenen ihn zunachst parallel dem ersten (Fig. 2, das dort noch zwischengeschaltete Querfeld wolle man zunachst nicht beachten) und justieren ihn so, daB seine obere Strahlkornponente durch ein Loeh auf den Schirm gelangen kann. Drehen wir jetzt den Analysator urn 180 0 urn seine Langsachse, orler was denselben Effekt hat, polen wir seinen Magneten urn, so wird der in den Analy~ sat~r eintretende Strahl den punktierten Weg ein­schlagen und nicht auf den Schirm gelangen; dart herrscht also Dunkelheit. Wurde man eine kon­tinuierliche Drehung des Analysators inclusive der letzten Blende aus der Anfangs- in die urn 180 0

gedrehte SteHung ausfiihren, so wtirde man eine kontinuierliche Abnahme der Strahlhelligkeit auf dem Schirm wahrnehmen1 •

In der Optik !aOt sich flir jeden Richtungs­unterschied qJ von Polarisator und Analysator die austretende Intensitat nach der Formel J Ans.I

= J Pol' COS2 ffJ berechnen. Bei den Elektronen­wellen (und den Ag-Strahlen, etwas komplizierter ist es bei Atomen mit mehr als zwei Zeernan­komponenten s. u.) hat man entsprechend der Ver­doppelung der maBgebcndenWinkel die Intensitats-

formel J Anal = J pol • cos:!. ~. so daB JAn&l bei

ffJ = 900 auf die Halfte herabgegangen ist und bei ffJ = 180 0 verschwindet.

Elliptisch polarisierte M ateriewelkn. Es seien jetzt Polarisator und Analysator parallel gestellt wie in Fig. 2, so daB auf dem Schirm Helligkeit be­steht. Der Strahl lanfe in der X-Riehtung, die beiden inhomogenen Magnetfelder in der Z-Rich­tung. Es werde jetzt ein horoogenes Feld HII parallel y zwischen Polarisator und Analysator eingeschaltet (Fig. 2). Die Wellenmechanik er­wartet naeh C. G. DARWIN:!. bei kontinuierlicher

1)( ~ ~ n ~ ---+~~ ~ '-".-' ---.­

PO/Ol'i30tof' 2wischenfild An(J/fsafor

Fig. 2. Herstellllng und Nachweis der Polarisation.

1 Anm. b. d. Korrektur: Von maBgebender Seite wird, wie ich hore, fur Elektronen die Isolierung und der Nachweis polarisierter Strahlen (Richtungsquantelung des Spins) als prinzipiell unmoglich angesehen mit Ruck­sicht auf die HEISENBERGSche Unscharferelation. Die­sem Gedanken steht jedoch die allgemeine V'berlegung entgegen, daB zwei "reine FaIle", d. h. zwei Zu­stande mit verschiedener Quantenzahl, auch isoliert dargestellt und nachweisbar sein mussen, gerade weil die HEISENBERGSche Unscharfe sich erst einer noch weiterdetaillierten Festlegung des Zllstandcs widcrsetzt. Ferner ist schwer zu verstehen, warum nach dem "indirekten" Nachweis des Elektronenspins im Zee­maneffekt nicht auch ein direkter Nachweis prin­zipiell m6glich sein saUte.

2 C. G. DARWIN, Froc. Roy. Soc. Lond. 1I7. 258 (1927).

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS 281

LANDE: Polarisation von Materiewellen. [ Die Natur­wissenschaftell

Zunahme von HII zun~chst Abschwachung, dann Verschwinden des auf dem Schirm aufgefangenen Strahles. bei weiterer Verstarkung von Haber wieder ein Anwachsen bis zur urspriinglichen Helligkeit und periodisch so fort. Die Erwartung dieser typischen Interjerenzet'BCheinung steht im strikten Gegensatz zur Theorie der Richtnngs­quantelung. die etwa folgendermaBen argumenM

tieren wiirde. Der aus dem Polarisator austretende nach + • richtnngsgequantelte (polarisierte) Mate­riestrahl wird beim Eintritt in das Feld H_ zur Halfte nach + y, zur Halfte nach - y polarisiert. Beim Eintritt in das H,-Feld des Analysators wird dann eine gleichmiiBige Aufteilung in nach + z und - z gerichtete Partike1 entstehen, von denen nur die ersteren den Schirm erreichen. Das Ver­diichtige dieser falschen "Cberlegung liegt schon darin, daB bei Einschaltnng des geringsten Zwischenfeldes H. die Intensitat auf den Schirm sofort auf die Ha.lfte zurlickgehen soli.

Die richtige "Cberlegung, die zu einem perio­dischen Anwachsen und Abfallen der Intensitiit auf dem Schirm bei allmlihiicher Verstiirkung des Zwischenfeldes fiihrt, macht man sich am besten an dem optischen Analogon klar. In den Gang einer nach z fortschreitenden. nach z polarisierten Lichtwelle wird eine Glimmerplalte eingeschaltet, welche das Licht in zwei lineare Komponenten zer­legt, die in der oy-Ebene urn 45 0 gegen • geneigt sind. Die Dicke der Platte gebe k· A Gangunter­schied zwischen den beiden Zerlegungskomponen­ten. Dann setzen sich letztere beim Austritt aus der Platte zu einer e1liptisch polarisierten Welle zusammen, von der nur ein zwischen 0 und I lie­gender Intensitiitsbruchteil durch. den parallel • gestellten Analysator hindurchgeht. 1st z. B. der Gangunterschied '/.A, so ist die elliptische Schwin­gung zu einer linearen ausgeartet, die urn 90 0

gegen • geneigt ist, und der Analysator laBt keine Helligkeit durch. Entsprechende Wirkung, nur mit doppelten Winkeln, hat das homogene um goO gegen z geneigte H,,-Feld: Der nach + Ii".

polarisierte Materiestrahl wird in Hy in zwei Korn­ponenten zerlegt, die beiderseits urn 90 0 von + z abweichen. Die beiden Komponenten laufen aber mit verschiedener Phasengeschwindigkeit durch das Zwischenfeld. und zwar entspricht der Gang­unterschied I A einer solchen "Dicke" x und einer solchen Stiirke H, des Feldes, daB ein Kreisel­elektron bow. ein Ag-Atom, wAhrend es durch das Feld la-uft, gerade eine ganze Larmorprazession um die y-Richtnng ausfiihrt. Das ist bei Teilchen der Geschwindigkeit Vs der Fall, wenn

~! =.!. = 0 = g. sH" . a:: or 4.1t,uc

Hierin bedeutet or die Dauer, 0 die Frequenz der Larmorprazession, 9 den von Zeernaneffekt be­kannten Aufspaltungsfaktor (g = 2 beim Elektron und beim Ag-Atom) und e, 1', • die Elektronen­ladung, -masse und die Lichtgeschwindigkeit. Ein halb so starkes Feld gibt dann nur einen

Gangunterschied von -i-,t. In letzterem Fall setzen

sich die beiden urn goO gegen + z geneigten Kom­ponenten beim Austritt zu einer um 180 0 ge­neigten, d. h. nach - • polarisierten Materiewelle zusammen. welche den Analysator nicht passie­ren kann. Allgemein wird beim Gangunterschied k'A, d. h. bei

.!! =.!..... g. sH" '" k 4"1'"

in den Analysator eine + z..Komponente der Stiirke cos3 k.1t, eine - z-Komponente derStllrkesinl kn eintreten, von der nur die erstere den Analy­sator passiert.

Man kann in Analogie zur Optik die aus dem Zwischenfe1d austretende Materiewelle allgemein als uelliptisch polarisiert" bezeichnen. Dieser Name soll aber keinen anderen Inhalt haben als den, daB ein weiteres Zwischenfeld der Stiirke H; und der Dicke ",' aus diesem elliptischen Strahl wieder einen in der ursprlinglichen + z-Richtnng linear polarisierten Strahl macht, wenn

",H, + x' H; = 4"1'0. n (n = ganze Zahl) £9

oder was dasselbe ist. wenn die Gangunterschiede k·;' und k'· A. der beiden Felder zusammen

k·l+k'-l=n-l

ergeben. Yom experimentellen Standpunkt aus ist ja auch die Bezeichnung elliptisches Licht nichts anderes als der Hinweis auf die Moglichkeit, durch eine weitere Glimmerplatte den Gangunterschied der ersten Glimmerplatte zu paralysieren. DaB dagegen der Schwingungsvektor wirklich eine Ellipse beschreibt, ist nur eine Veranschaulichung, die sofort hinfru.I.ig wird, wenn man etwa den Logarithmus des Schwingungsvektors betrachtet.

ZirkulMe. PolariBation. In diesem zuna.chst experimentell aufgefaBten Sinn erhalt man aus dem linearen einen .,zirkular polarisierten" Materie­strahl, wenn man dem Zwischenfeld eine Stilrke gibt, die Aquivalent 1/4 1 Gangunterschied ist, so daB ein Materiepartikel nach punktmecha­nischer Auffassung Zeit zu 1/4 Larmorprazession haben wiirde. Der aus dem Zwischenfeld aus­tretende Strahl hat dann keine Vorzugsrichtung, er wird bei jeder Stellung des Analysators mit halber Intensitat auf dem Schirm ankommen

(cost ~ = sinl ~) . Er ist aber trotz seiner zirku­

laren Symmetrie doch ohne weiteres von einem natiirlichen unpolarisierten Strahl unterscheidbar; denn durch Einschaltung eines weiteren H,-Feldes von 1/4 i. Gangunterschied wird er zu einem linear nach - z polarisierten Strahl; ein natiirlicher Materiestrahl bleibt aber auch nach dem Durchgang durch ein homogenes Zwischenfeld beliebiger Starke unpoiarisiert.

DrehulIIg dtr Polarisatio .... bene. Einen ganz anderen Effekt als das transversa1e H.-Feld wird ein zwischengeschaltetes longitndinales H.-Feld

282 ALFRED LANDE

LANDE: Polarisation von Materiewellen.

hcrvorbringen, namlich einfach eine Drehung der Polarisationsebene des einfallenden nach + z pola­risierten Strahls urn die x-Achse, deren Winkel dirckt dem Drehwinkel der Larmorprazession (unter Deachtung des g-Faktors) urn die x-Achse entspricht. Man hat hier ein Gegenstuck zu der \\'irkung einer Quarzplatte, welche das eintretende lineare Licht in zwei zirkulare Komponenten mit yerschiedener Phasengeschwindigkeit zerlegt, die sich beim Austritt zu linearem Licht mit gedrehter Polarisationsebene zusammcnsetzen. DUTch Kom­bination von longitudinalen und transversalen Zwischenfeldern verschiedener Starke und Dicke kann man die optischen Experimente nachzubilden versuchen, die sich durch Kombination von Glim­mer- und Quarzplatten ergcben.

Die hier besprochenen typischen Interferenz­effekte wiirden einen besonders anschaulichen neweis von der Polarisierbarkeit der Materiewellen geben; sie sind aber natiirlich nicht leicht ausfuhl;'­bar, besonders wegen der schwachen Trennung der beiden Strahlen im STERN-GERLAcHschen Apparat, selbst bei stark inhomogenen Feldcrn und selbst wenn es gelungen ist, Strahlen mit einigermaBen einheitlicher Geschwindigkeit (monochromatische ,"Vellen) herzustellen.

Multiplizitiit der Polarisation. Es m6ge uoeh kurz auf die mannigfaltigen Erscheinungen cin­gegangen werden, we1che Atome zeigen wfuden, die optisch mehrere Zcemanterm-Komponenten besitzen, also im STER~-GERLAcH-Apparat in mehrere (etwa 6) getrennte Strahlen zerfallen (Fig. 3). \Viirde man sie aIle zur Superposition

Fig. 3. Atomstrabl mit mehrfacher Zerlegung.

bringen, so wiirde keiner von Ihnen mit einem an­deren interferieren; anders ausgedruckt, ein einzel­ner unter ihncn hat keine "Komponente" in Rich­tung eines der anderen. LaBt etwa der Polarisator nur den ersten obcrstcn Strahl durch, so wird auch in einem ihm gleich gebauten und gleich gestellten Analvsator nur der oberste Strahl auftreten. Die Frag~, mit welcher Intensitat eine aus dem Polari­sator kommende Strahlkomponente vomAnalysator durchgelassen wird, ",venn lctzterer urn 9' gcdrehtist, l:1Bt sich zuriickfiihren auf die Entwicklung von Kugelfunktionen nach Kugelfunktionen mit urn fP gedrehtem Pol. Denselben EinfluB wie eine Drehung des Analysators hat ein zwischengeschaltetes Longi-

tudinalfeld von entsprechender Starke. Ebillas an­ders ist der EinfluB eines transversalcn Zwischen­feIdes auf einen polarisierten Materiestrahl.

Doppelbrechung. Oberhalbder xy-Ebene herrsche kein Feld. unterhalb ein homogenes Magnetfeld Hz. (Eine soIche Unstetigkeit ist natiirlich nut angenahert realisierbar.) Von oben faUe in der xz­Ebene unter dem Einfallswinkel fPo einElektronen­strahl auf die xy-Ebene. Es findet dann eine Dop­pelbrechung statt, die wir erst nach der Theorie der Richtungsquantelung berechnen wollen. Und zwar sei ein Vorjeld H' eingeschaltet, welches eine parallel ± H' gerichtete Einstellung uer Par­tikelmomente erzeugt. Hat H' eine z-Kompo­nente, so wird die Halfte der Partikel zuerst mit ibrem N ordpol, danach mit ihrem Siidpol die xy-Ebene iiberschreiten; die iibrigen Partikel tauchen dagegen erst mit ihrem Sii<lpol, <lanD mit dem Nordpol in das Feld Hz. ein. Solange aber nur ein Pol in dem hornogenen Hz -Feld liegt, erfahrt das Partikel eine Kraft in der -:-- Hz~Rich­tung bzw. in rler - H,,-Riehtung; es wird also, bis aueh der andere Pol die xy-Ebene erreicht, abgelenkt, und man erwartet eine Doppelbrechung. In einem Vorfeld H', welches in Richtung der xy-Ebene liegt, werden die Parlikel dagegen eine soIche Richtungsquantelung erhalten, da13 sie mit beiden Polen gleichzeitig die xy-Ebene iibcr­schreiten und daher keine Brechung erfahren.

• In Wirklichkcit darf abeT die Richtung und iiberhaupt die Amvesenheit eines Vorfeldes keinen Einflu13 auf die Starke der Doppelbrechung aus­uben, (ebensowenig wie die Einschiebung eines GlimmerpHtttehens in den Gang des natfulichen Lichtstrahles, welcher auf einen doppelbrechenden Krystall auffallt). In der Tat gibt die Wellen­mechanik, unabhangig von der Anwesenheit und Richtung cines Vorieldes, das Doppelbrechungs­gesetz

~infP -= I-\- Hz-,-~1 Sln'Po - {tv

und zwar sawohl fiir den Vektor der Phasenge­schwindigkeit wie fur den der Gruppengeschwindig­keit (bei kleinem HJ, Die Doppelbrechung an der Grenzflache cines homogenen Feldes konnte als Ersatz flir die ubliehe Aufspaltung durch ein inhomogenes Feld dienen, und ihre Unabhangigkeit von einem Vorfelde wiirde eine besonders anschau­liehe WiderIegung der Richtungsquantelung zu­gunsten der Wellenmechanik geben1•

1 Anm. b. d. Korrektur: Inzwischen hat J. J. RABI (Z. Physik 54, I90 [I929]) im STERNschen Institut die Doppelbrechung von Kaliumatomstrahlen wirklich durchgefuhrt und das wellenmechanische Gesetz bestatigt.

780

PAPER 64

Zur Quantenmechanik der Gasentartung. Von A.I,aode in Columbus, Ohio.

(Eingegangen am 19. Dezember 1931.)

Nach Jordan beBteht eine Aquivalenz dar Wellen im Raume der Besetzungs­zahlen undimRaume der individuellenPartikel. Es wird gezeigt, daBdieB einem zufiiJligen formalen Umstand im Falle dar FermiBtatistik zu verdanken iBt; in allgemeineren FiiJlen hangt daB Ergebnis dagegen von der Bpeziellen klasBischen

Ausgangsform dar Energiegleichung abo

§ 1. Ein System von vielen gleichen Materiepartikeln mit verschwindend kleiner gegenseitiger Storung laLlt sich auf zwei Weisen quantentheoretisch behandeln: a) dnrch Wellen 'IjJ (N1 N 2 ••• ) im Raume der Besetzungs­zahlen N k , wobei die Nk von vomherein der Bedingung unterworfen werden, daLl sich in einem Zustand k nicht mehr als eine Partikel anfhalten dad (Nk < 2); oder b) dnrch Wellen 'IjJ (ki k2 • •• ) im ZUBtandsraum der indi­viduellen Partikel (n-te Partikel im Zustand k .. ), wobei nachtra~Iich nur die antisymmetrische lineare Kombination der GrundlOsungen zugela~sen

wird. Die Aquivalenz beider Methoden ist von J ordan I ) gezeigt worden,

bzw_ von DiracS) im FaIle der Bosestatistik. Es lragt sich nun, ob eine solche Aquivalenz allgemein besteht Z. B. in dem FaIle, daLl man eine e'lldliche PartikeZanzahl groper alB 1 in emem Quantenzustand zulaPt. Neben der Untersuchung einer Vorzugsstellung des Pauliprinzips diirfte diese Frage auch im Hinblick auf die noch unbekannte Statistik im Innem der Atomkeme vielleicht von Interesse sein. Die folgende Rechnung zeigt nun, daB eine Aquivalenz der Wellengleichungen fiir 'IjJ (N) und fiir 'IjJ (k) im allgemeinen nicht besteht. Vom formalen Standpunkt aus ist es viel­mehr einem Zufall zu verdanken, daB lin FaIle der Fermistatistik (und Bosestatistik) die beiden aquivalenten Formen der klassischen Energie­gleichung auch noch bei der Ubersetzung in die Quantentheorie zu gleichen Resultaten fiihren. Fiir jede andere Statistik ("Nk darf gleich 0,1, ... , Z -1 sein") Mngt das Ergebnis von der speziellen klassischen Ausgangs­form der Energiegleichung abo

,§2. Wellengleichung fur 'IjJ(NI N 2 ••• ). 1m. AnschlnLl an Jordana "Neubegriindung der Quantenmechanik"3) suchen wir die Matrizen-

1) P. Jordan, ZS. f. Phys. 44, 473, 1927. I) P. A. M. Dira.c, Proc. Roy. Soc. London (A) 114, 243, 1927. 3) P. Jorda.n, ZS. f. Phys. 44, 1, 1927.

Reprinted from Z. Phys. 74,780-784 (1932).

283

284 ALFRED LANDE

A. Lande, Zur Quantenmechanik der Gasentartung. 781

darstellung kanonischer GroBen N r und er , wobei die N r nur die ganz· zahligen Werte 0, 1, 2, ... , Z -1 kleiner als Z annehmen sollen. Die Matl'ix [N)N' N" beziiglich der Ubergange N' nach Nil ist dann einfach eineZ-reihige Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen

N' = r mit r = 0,1,2, ... , Z -1. (1)

Eine beliebige Funktion S (N~ N; ... ) im Raume der ganzen Zahlen N~ laBt sich dann entwickeln in der ForIll

1 2i7t(!9' N' + €/ Nit ) S(N'N' ... ) = "T'e'e"'.).-"-.e-h 1 1 2'2 '" (2) ,. ~ \ " V:Z

mit den Fourierkoeffizienten T (e') und den "Wellenlangen" h/e~. ~un gelten aber die Identitiiten (Orthogonalitatsrelationen):

Z-l 1 ~ _e2inr(8'-S")/z = ~8IS",

r=oZ Z-l 1 ~ __ e2 i n(r'-r") (s-const)/Z = ~r'r".

8=OZ

Wenn man also den N' die Eigenwerte N' = r = 0,1, ... , Z -1 zuschreiht, miiBsen die e' die Eigenwerte h (8 - const)(Z mit s = 0, 1, ... , Z - 1 durchlaufen. Dabei kann man noch const so wahlen, daB die e' symmetrisch urn Null liegen, namlich

e' h ( Z-l) . Z • = - 8 - -- mIt 8 = 0 1 ... - 1 Z 2 ",. (1')

In der Tat werden dann mit Hilfe der Orthogonalitatsrelationen die Fourier­koeffizienten

T(e;e;···) (2')

als Umkehrung von (2). Aus den Eigenwerten e: von (I') erhalt man die Matrixelemente

le.l N ' N" • T . \ - durch dIe ransiorrnatlOn:

{e.}N' N" = -;S!P* (@' N') . e~·!p (e' N") II'

mit der Transformierenden 1 2 i 1t / , , ~I

!p(e'N') = v:z e- -,,(III NI + 112 11. + ... ).

Es wird also

51 *

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 285

782 _\. Lande.

'Yegen der obigen Orthog(lBalitaten verschwindet dies, wenn N~ =1= N; fUr r =1= s. Bpim l~bergang N: nach N:' wird dann

1 2 i" '(' ") Ie l Y' Y" "" -II 9, x.- X. e' lJofs~ ~ = "? Z'6 ·~R·

9.

Mit BilH;l<tZlUlg von e: aus (1') ergibt die 8umBIt' nach elementarer llechnung

o fUr N~ = N~'

h (- 1)x;- x;'

2Z i . [n ("T' N")] sm Z ",.-1. _ fUr N' ± N"t , . J

(S)

als Z-reihige Hermitesche Matrix. Der Fall Z = 2 (Fermistatistik) ist i.-on Jordan behandelt und ergibt

IN lX's" _ 100} \ ,. - \01 ' J 1;;1 );Y' X" _ h { 0 1l. \17,'1 - 4i -101 (S')

Fur Z = S erhalt man wegen sin n/S = sin 2 n(S = ! )3

{Nrl"'s" = 010 . :e~Js's" =~, 2/YS 0 -2/YS. (8") 1000 I { 0 -2/YS - 2/YS}

I 002 J 6 ~ 2/YS 2/YS 0 Dei gl'oBerelll Z sind die )Iatrixelemente von e wegen des l!'aktors I/sin im allgellleinen nicht durch rationale Zahlen oder Quadratwnrzeln sus­druckbar, sondern irrationale Zahlen, "I'Iie von der Kreisteilung her hekannt.

Wir gehen nun fiber zu den GroBen

2in

b. = e- h ", .N~I' und b. (4)

und htmutzen sie fllf die 8chrodingergleichung1)

[H + 2~!n~] 1JI = [f?: H,'sbs + 2~!n ~'J 1JI = 0,

die dadnrch die Forlll erhalt:

[ "" HIN",I Je- 2~" " .. lie + 2!"1I, ') J N'I,j + h a] ,"(N' N' ... ) = 0 (5) -e rs I r r I r I I 8 I 2 i nat T 1 2 .

Die Matrixoperationen sind dsrin wie gewohnlich definiert dnrch

\1I1l f (N')

') P.Dirac, I.e.'

286 ALFRED LANDE

Zur Quantenmechanik der Gasentartung. 'iS3

1m Fall Z = 2 (Fermistatistik) nlduziert sich wegen t'O = 0 und (1 = I

die Matrix {N;!2) auf {NJ sich, da nach (3')

Und die unendliche Reihe l h- €i, reduziert { 2'" l

gilt, auf den einen Term

14el 2 _ {I' Ihl - I

+ 2 i 7l at J( h 1= J 0 ±il

I±i 0 J' so daB (5) in Ubereinstimmung mit Jordan fur Z = 2 lautet:

[2: H I 00\ J 0 -it r 0 + it J 00 I ~~] - 0 r," rSI011,.I_i olrl+i 0 Js lOIJs+2inot 1p - .

(5')

(5")

A uch iIll Fall Z = 3 gelingt nocheine Reduktion der unendlichen Heihe filr die EXpollcntiaifunktion; nach (3") ist niimlich hier

1~~l3 = t;E>] , so daj~ man erhiilt:

I :,:2~"1.l1 _ (2:n:) 13el2 2n Jsel Ie I - {II + (£0\ 3- 1 'Ihl ±<Sin 3 Th'T (5''')

Aber dieser Ausdruck enthiilt die irrationalen Zahlen (£0\ g~'7, und

<Sin ~t· Wir finden also das Resultat: 1m allgemeinen entMlt die Encl'gie­

matrix (:i) fur Z > 2 irmtionale Zahlen, Auch ist ihr Bau fur groBere Z

unubersichtlich, da eine Beduktion der unendlichen Heihe fur die Ex­ponentiaifunktion, wenn iiberhaupt, jedenfalls nicht durch wenige Glit,der moglich ist, wie die Kachrechnung des }'alles Z = 4 und Z = 5 zeigt.

§ 3, Wellengleichung fur 1p h r2 , ,,), vVir suchen jetzt die Schriidinger­gleichung im Zustandsraum der individuellen Partikel und ki:innen hier fast wi:irtlich der Untersuchung des FaUes Z = 2 von J or dan 1) folgen. Zuniichst haben wir

h iJ ~H(1'lr2"'SlS2"') CP(S,S2''') + 2inatcp(r1 r.,,,) = 0,

Hierin bedeutet H (1'. s) ([! (8) ~.~ 2: Hr8 ([! (r), Also wird ausfuhrlich

O. (6)

1) P. Jordan, ZS, f. Phys, 44, 473, 1927,

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

784 A. Lande, Zur Quantenrneohanik der Gasentartung.

Die Grundlosung rp (Tl T2 • •• ) ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, die erste Partikel im Zustand r l , die zweite Partikel im Zustand r2 usw. an­zutreffen. Man kann nun durch lineare Kombination der Grundlosungen leicht Losungen hinschreiben, welche identisch verschwinden, falls Z und mehr aIs Z Partikel den gleichen Zustand besetzen. (Fiir Z = 2 ist es die antisymmetrische Kombination.) Bedeuten nun Nv N 2, ••• die Anzahlen

der Partikel im Zustand 1, 2, ... und ist rp (N; N~ ... ) die zugehOrige Wahrscheinlichkeitsamplitude, so wird ein Zusammenhang zwischen "P(r1 r2 ••. ) und rp(Nl N 2 ••• ) bestehen, namlich

[ rp (T, r2 .. ·) [2 = I rp (N, N 2 .. • ) [': R (N, N 2 .. . ), (7)

wobei der Faktor R im Faile der Bosestatistik (Z = 0:» den Wert (Nl + N2 + .. ')!fNl ! N2! ... , im Faile der Fermistatistik (Z = 2) den Wert 1 hat. Auch fur Z > 2 wird R stets eine rationale Zahl, namlich eine Anzahl der Kombinationen sein. 8etzt man (7) in (6) ein, so erhalt man eine Gleichung fur rp (N 1 N 2 •.• ). In fast wortlicher tJbereinstimmung mit Jordan, 1. c., kann diese aber geschrieben werden mit Hilfe Z-reihiger Matrizen in der Form

Speziell fiir Z = 2 mit zweireihigen Matrizen, beginnend in der oberen linken Ecke, erhalt man den von Jordan behandelten }i'all der Fermi­statistik in Ubereinstimmung mit dem Ergebnis (5") des § 2, so daB hier die Aquivalenz beider Methoden bewiesen ist. Aber schon fur Z = 3 ent­halt (8) nur ganze Zahlen, dagegen enthielt (5"') in § 2 irrationale Zahlen,

und die Ergebnisse der beiden Methoden weichen uberhaupt in ihrem ganzen Bau vollig voneinander abo

Fur Z > 2 besteht also im allgemeinen keine Aquivalenz der Wellen im Raume der Besetzungszahlen und im Zustandsraum der individuellen Partikel. Die Aquivalenz im Faile der Fermistatistik ist eine Ausnahme, und man sah in § 2, welchem zufalligen formalen Umstand sie zu verdanken ist, namlich der Reduzierbarkeit der Exponentialmatrix auf ein Glied der

unendlichen Reihe.

287

288 PAPER 65

Reprinted from THE PHYSICAL R[\"lEW, Vol. 44, No. 12, 1028-1029, Decemoer 15, 1933

The Magnetic Moment of the Proton

O. Stern1 by his method of molecular rays obtained the surprising result that a proton has a magnetic moment of about 2t nuclear magnetons with a possible error of 10 percent. It seems now that the same result of an ex­traordinarily large magnetic moment of the proton can be derived from the magnetic properties of higher nuclei, although instead of Stern's value n, the value 2 seems to account best for the observations.

There are four types of nuclei belonging to even and odd charge-number Z and mass number AI, namely: (1) Z even, M even; (2) Z even, M odd; (3) Z odd, M even; (4) Z odd, M odd. In type 1 the nucleus consists of a-particles and an even number of neutrons. It is known from experiments that nuclei of this type have no mechanical moment j and no magnetic moment g-j. The even arrangements of neutron!) and the a-particles seem to form closed shells. They give us no information about the magnetic properties of their elements. Type 4 differs from type 1 only by one additional proton. Hence we suppose that, as a rule, the mechanical and magnetic moment of such a nucleus is due only to the orbit and spin of this one additional proton. Nuclei belonging to type 2 (a-particles and an acid number of neutrons) give us no information about the proton. Type 3 (one additional proton besides a-particles and an odd number of neutrons) does not exist, as a rule, due to an instability that was explained, together with some ex­ceptions of this rule, in a previous paper.2 So we are left only with type 4 (Z odd and M odd) where the quantum number j (total angular moment) and the magnetic moment g.j is due to the orbit and the spin of one proton only. Since the mechanical spin of the proton is s = !, its orbital quantum number l is combined with the spin to give one of the two valuesj =l±~ forming douulet-terms. Their g~valuescan be calculated according to the general formula of Goudsmit:

1(l+1)+j(j+I) -5(5+ I) g~g, 2j(j+I)

5(5+Il+j(j+I) -/(/+1) +g, 2j(j+I) ,

where s=~, gl = 1 and where gs is the magnetic factor of the proton. According to Stern we should take g,""-'5. It turns out however that g8=4 agrees better with the observed nuclear data of j and g than any other choice. Table I gives the g-values for various j and I, putting g~=4 ac-

j=~ H 2\ 3; 41 0 I 2 2 2/5 8/5 3 4/7 1017 4 2/3 4/3 5 8/11

Reprinted from Phys. Rev. 44,1028-1029 (1933).

cording to the above formula. Next we reproduce a table of Goudsmit3 (Table II) containing the observed values of j and g for various nuclei of type 4. Although the values ofj can be said to be observed, the values of g are obtained by rather indirect conclusions and extrapolations. Goudsmit himself classified his results under grades A, D, and C of reliability. Even the accuracy of the g-values graded B may not be considered more than qualitative. The last

TABLE II.

~uclei j (ob,.) g (obs.) g (theor.)

Li' (3) II 2.19 (A) 2 (l~l) AI" (13) I 4.2 (B) 4 (l~0) CU63 ,65 (29) H 1.7 (B) 2 (l~I) Ga69. 71 (31) 1t 1.34 (A) ?

1.70 (A) As" (33) H 0.6 (C) 0.4 (I~2)

Rb"',", (37) 2\ 0.5 (C) 0.57 (I~3) 1l 1.8 (C) 2.0 (l~I)

In lUi (49) 41 1.2 (B) 1.33 (l~4) Sb121 , 123 (51) 2" 1.1 (B) 1.6 (I~2)

3 ~ 0.6 (B) 0.57 (I~3) T12Q3, 205 (81) ~ 3.6 (A) 4 (I~O)

Bi'" (83) H 0.89 (A) 0.73 (1~5)

column gives the theoretical values of g taken from our Table I and selected as close as possible to the observed g, This choice is made in every case between two possibilities only, sincej is observed and only I may be either j+1 or j - L Thus there is almost no arbitrariness. The case of Ga is omitted from the comparison; apparently it cannot be subordinated to our sim_ple model, since the two isotopes M = 69 and 71 of Ga with equal j differ only hy 2 neutrons. Thus they should not, but do, differ in their values of g. Of course we do not pretend to give here an exact theory of the magnetic properties of nuclei. But we think that at least in first approximation the one proton is responsible for the mechanical and magnetic moment of the \\thole nucleus of type 4. From this simplified model we infer that the magnetic moment of a proton is about 2 magnetons differing from Stern's value by 20 percent. It is quite interesting that the values of the orbital quantum number 1 assigned to the proton in Table II indicate: The proton circles around inside or on the surface oj the neutron shells only, and never far outside them. Indeed 1=2 appears in Table II first \",·ith Z=33, l=3 first with Z=37, l=4 with Z =49, and 1 =5 with Z =83, in accordance with a scheme of neutron shells suggested in a previous paper.2

Ohio State University, Kovember 9, 1933 at Zurich.

ALFRED LANDE

'0. Stern, Helv. Phys. Acta 6, 426 (1933). 2 A. Lande, Phy,. Rev. 43, 620 (1933). 'S. Goud,mit, Phy,. Rev. 43, 636 (\933).

PAPER66A 289

Neutrons in the Nucleus. I

ALFRED LANDE, Ohio State UnitJersity, Mendenhall Laboratory of Physics

(Received January 21, 1933)

It is supposed that the nucleus consists of a-particles, neutrons and zero or one proton, instead of the former structure scheme, a-particles, electrons and 0, I, 2, 3 protons. The calculated mass defects Llm of the isotopes of a single element show an exact linear increase of Am with the mass number (instead of the fluctuating function in the formf'r structure scheme). The tl.m-difference of the isotopes of each element is rather constant throughout the periodic system for even elements. The absolute values of the mass defects give a potential energy curve decreasing uniformly with increasing atomic number (instead of showing a minimum at the element No. 50 in the former structure scheme). Tn the region of the radioactive sub-

FOLLOWING Heisenberg,' who has explained several facts about the existence and sta­

bility of isotopes by help of neutrons and protons, we assume that the building stones of the nucleus consist of a-particles, zero or one loose proton, and neutrons. It may be of interest to support this model from some other points of view throughout the periodical table, stressing more than does Heisenberg the r61e of the a-particles in the whole nuclear structure.

I. ISOTOPES OF A SINGLE ELEMENT

There are only a few elements with several isotopes whose atomic weights have been meas­ured to three decimals, so that one can calculate their mass defects with sufficient accuracy. These are Kr 36 (6 isotopes), Sn 50 (11 isotopes), Xe 54 (9 isotopes), Hg 80 (9 isotopes). Now the former theory interprets the structure of the Xc-isotopes Z ~ 54 in the following way:

Xe12'~31a+8 el,

Xe125 , missing,

Xe'26~31a+l0 el+2 pr,

Xe128~32a+1O el,

I W. Heisenberg, Zeits. f. Physik 78, 150 (1932).

stances the energy curve seems to turn up again. All of this helps the model that the isotopes of an element differ only by the number of neutrons incorporated by them, the binding energy per neutron being rather constant throughout the periodic system and about 0.009 in ma~s units for even elements, In several cases the isotopes give a picture of the construction of a complete outer shell of 8 or 12 neutrons and indications that also in other cases there is a shell structure of the neutron arrangement, but none of the a-particles. The empirical rule that odd elements have no isotopes with even mass nurnhers can be explained, together with its exceptions, by heln of the neutron structure scheme,

Xl"29 ~ 32,,+ 11 el + 1 pr,

etc.

assuming four different numbers of a-particles from 31 to 34. This scheme gives the following values for the mass defects of the nine isotopes (compare the mass-spectrum of Xe in Table II): 0.133, -, 0.150, -,0.137, ? 0.154, 0.162, 0.141, -,0.158, -,0.154, which arc seen to fluctuate with increasing mass of the isotope (compare Gamow's Table II of rl'duced weights with He~4.000j.

~o\Y since Aston's \\'eights2 of the Xe-isotopcs

increase from 123.867 to 135.RS5 in almost

exactly equal steps (passing over the missing isotopes) it is rather unsatisfactory to account for this linear rise by a fluctuating function. (JnE' has rather to explain it by a linear sequence of equal binding processes. In the scheme of neutrons (v) the Xe-isotopcs are to he described by

Xe'24~27a+16v to Xel36~27a+28v.

Here the mass defect of Xe'" becomes 27 X 4.000 + 16 X 1.0075 + 16 X 0.0005 - m""",,,d =0.261, representing the energy required to split up the nucleus into 27 a-particles and 16

2 G. Garnow, Atomic Nuclei and Radioactivity, Oxford, 1931.

620

Reprinted from Phys. Rev. 43, 620--623 (1933).

290 ALFRED LANDE

621 ALFRED LANDE

neutrons and break up each neutron into its components. The last part could be separated if we knew the exact atomic weight of the neutron. If one calculates in the same way the mass defects of all Xe-isotopes, one gets the results: 0.261, -, 0.279, -, 0.297,1,0.315,0.324,0.333, -,0.351, -, 0.369, indicating a linear increase of the defect by equal steps of 0.009 each, parallel to the observed linear steps of the atomic weights. This result is based on the assumption that all of the Xe-isotopes consist of 27 a­particles and 16 to 28 neutrons, the energy required to split off each neutron from the nucleus of Xe and to break it up into a proton and an electron being exactly constant, equal to 0.009 in mass units.

II. ISOTOPES OF VARIOUS ELEMENTS

If one carries out the same calculations for the isotopes of other elements insofar as their atomic weights are sufficiently determined, one obtains in all cases the same exact linearity of the mass defects, parallel to the fact that the observed atomic weights of the isotopes form a linear set. We have then merely to report the constant intervals between subsequent mass defects for various elements, among them 0.009 for Xe. These are given in Table I for those

TABLE I. Mass deject differences.

6 C .............. 0.008 54 Xe.......... 0.009 10 Ne ............. 0.006 80 Hg.. . ... .... 0.008 18 Ar ............. 0.009 3 Li........ .. .. 0.009 36 Kr ............. 0.008 5 B .............. 0.013 42 Mo ............. 0.008 17 Cl. ............. 0.011 50 Sn ............. 0.009 35 Br ............. 0.010

elements with more than one isotope, whose atomic weights are known up to 3 decimals.

We interpret then the values of Table I as the energy in mass units to split off one neutron and to break it up. The atoms of even charge number display in general many more isotopes than the odd elements. For even elements the binding energy per neutron seems rather constant throughout the periodic system except for Ne. The binding energy per neutron for odd elements is more variable and on the average a little larger than for even elements. This may be due to the one extra proton which increases the attrac­tion of the neutrons and disturbs the symmetry of the neu tron arrangement.

III. NUCLEAR STABILITY THROUGHOUT THE

PERIODIC TABLE

If one plots the mass defects according to the old theory (a-particles, loose electrons and 0, 1, 2, 3 loose protons) one obtains for the potential energy of the nuclei a distribution

. having a minimum in the range of element number SO (compare Gamow's Fig. 16). This minimum is a serious difficulty, because it means that the elements above SO should be unstable, while in fact they are unstable above 80. If however we plot the mass defects according to the new scheme (a-particles, neutrons and 0 or 1 proton), then we obtain the mass defects given in Fig.!. Each mass defect dot is marked with the number of neutrons contained in the isotope. The figure shows a general decrease of the po­tential energy with increasing atomic number. Among the radioactive substances the weights of Ra, Th and U are determined to only 2 decimals, in which the last one is not certain. So we have drawn dashes instead of dots in the region of their probable mass defects. Among the lighter elements the measured weights are rather in­complete, and sometimes only one of several isotopes could be used in our figure for that reason. The potential energy seems to have a minimum just in the region of the radioactive substances, where stable elements cease to exist. That our ~m increases uniformly while the curve of Gamow's book bends up after SO is due to the fact that in the old scheme the number of a-particles is larger than in the neutron theory. For instance Hg 80 with m= 196 to 204 has in the old scheme 49 to 51 a-particles, in the neutron scheme only 40.

IV. EXISTENCE OF ODD CHARGED NUCLEI

The rules of Harkins concerning the relative abundance of the elements and their isotopes throughout the periodic table read in our scheme: Elements with a loose proton (odd charge number) are much rarer than elements without a loose proton (even charge number). Furthermore if we consider first only even elements we find that isotopes with an even number of neutrons are more frequent than those with an odd number of neutrons. Missing isotopes in most cases belong to odd neutron arrangements. This fact cannot be

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 291

NEUTRONS IN THE NUCLEUS 622

4",

,06 ,0'

PI I

,or

~ .. ~

~ :: I:~}!' '0 s /. ,0;

'f't. tf ~1-

.~ I

JB ,.1'

I ,0,,"

r.

,.3 ,.3

/1. .• .t ,0)..

,.1 ~ ¥

¥.'! .i, .'1

',. '-, . 1..

::". :0 O~'~~~IO~--~~~Q-----3~O------'-O-----S~O------b-O----~7~o----~80------?~o--J

FIG. 1.

explained by energy balances, since we learned in Part I that the successive incorporation of one neutron after the other produces a linear increase of the mass defect without any break, at least for the neutrons added last, We have then to take for granted the preference of even arrange­ments of neutrons without an explanation by energy balances.

As to the elements of odd charge number one may wonder why they exist at all, both with even and odd numbers of neutrons. For if proc('sses of f3-emission connected with a transformation of one of the neutrons into a proton are taken into account, then the original loose proton and the new proton should associate with two neutrons to form an a-particle, and the odd element should pass over into an even one. However, though the final product has one a-particle more, it has three neutrons less, Now we learn from Table I that the energy gain 0.032 of building up an a-particle is about the energy loss of sepa­rating three neutrons and one /3-particle from the nucleus; so these two effects may approximately balance each other, and we expect that minor secondary causes shall give the decision whether

an element of odd charge numher is or is not stable.

N ow experience shows as a rule that odd elements have isotopes with odd mass numbers only, or expressed in our scheme: Odd elements have no isotopes with an odd number of neutrons.

We can explain this rule in the following way. The above-mentioned ,,-emission transforms an odd arrangement of neutrons into an even one. H there is only a small preference of even neutron arrangements before odd OTlf'R, this may give the decision mentioned above that the /3-emission in this case always will happen, hence odd arrangements of neutrons in odd elements will be unstable. In the reverse case, if an even number of neutrons has only a small tendency to remain even instead of turning odd, this will give the decision that the J3-emission is barred, and the isotope is stable.

This consideration does not hold if the odd number of neutrons is just unity. For then a ,B-emission would leave no neutron to form a new a-particle. In fact, there are four exceptions to the ru!~, namely, the existence of the stable isotopes, H2. Li', BIO, N14. But these are just four

292 ALFRED LANDE

623 ALFRED LA~Df:

cases in which our structure scheme gives one neutron only, namely:

II'. . .0,,+1 pr+lv

Li' ....... I,,+lpr+lv

RIO .. 2",+1 pr+lv

NI4. . .3,,+1 pr+lv

Thus from the point of view of the neutron scheme the four exceptions prove the rule. The same holds for the exceptions among the radio­active elements giving {3-rays.

V. NEUTRON SHELLS

I t is very tempting but precarious to conclude from the table of the isotopes known up to now details of the arrangement of the neutrons in the nucleus. The existence of closed shells of neutrons is suggested by the fact, so striking at the first view of an isotopic table, of similar isotope sequences repeated in different elements. Con­sider for instance the following cases of mass­spectra given in Table II. l\Ii'·sing isotopes are

TABLE II. J1,fass-specira.

Ge Se Kr Mo Ru I Hg 32 34 36 42 44 80

----------.-. - - - - -- .. .. (-)

(-)

Pb Po 82 84

Sn Xc 50 54

611 6v 6v 81' 81' 36/1 42" 42v 12v 16"

indicated by dots. The second line means the cbarge number of the element, the last line of the table indicates the number of neutrons contained in the isotopes of lowest mass. We interpret this number as the total number in complete or incomplete inner neutron shells, to which neu­trons are then attached step by step until an

outer shell is completed. The examples of Table II we interpret as the incorporation of an outer shell of 8 or of 12 neutrons. As to the dots we observe that usually odd arrangements of neu­trons are missing. With Se, Kr, Mo, Ru and also Sn and Xe, the isotopes with one neutron in the outer shell and the isotope with one neutron lacking in the outer shell are not observed. Whether this is essential or merely due to small intensity may be judged from the case of Hg. Here Aston's first experiments missed these two isotopes, but in a recent paper he reported them present in small intensity. So if one looks only for the possiLle population of neutron shells and for quantum rules controlling them, one should consider the missing isotopes more as an intensity problem.

Until the taL Ie of isotopes is completed by a table of their exact atomic weights to 3 decimals, it is rather precarious to generalize the idea that the smallest isotope represents all neutrons in inner shells, and the largest isotope an additional com­f}/ftc aliter s!tell. This idea may be justified for the RrouP of elements in Table II, since for those of them which are measured the mass defects certainly increase in equal steps, with the step magnitude O.OOS and 0.009. From mere energetic considerations one should expect that the in­corporation of the neutrons takes place with decreasing energy steps, until the last neutron is bound with nearly no energy and bars the incorporation of more neutrons. This helps the conclusion that the neutrons are arranged in shells like the outer electrons, subject to Pauli's exclusion principle and Fermi statistics.s At the same time one expects for the a-particles, since they consist of an ('yen number of components, Bose statistics and no she!l structure at all.

iVo/e added lit prouf: After thls paper was sent in, I received an article of E. r\. Gapon4 being rather identical with the contents of Sections I. II and 111 of the present paper. Compare abu wilh D. Iwanenko5 who first suggested the nuclear model used here. One may consider, then, th~se parts as an introduction into Part I I.

3 J. H. Bartlett, Phys. Rev. 41, 370 (1932); 42, 14, (1932).

4 E. N. Gapon, Zeits. f. Physik 79,676 (1932). 5 D. lwanenko, (omptes Rendus 195, 439 (1932)

PAPER66B 293

Neutrons in the Nucleus. II

AL'FREU L\NDE, Mendenhall Laboratory, Ohio State University

(Received February 10, 1933)

In Part I \,>,c came to the conclusion, that in several cases the lightest isotope of an element represents an arrangement of neutrons in more or less closed shells, that the heavier isotopes indicate the attachment of one neutron after the other, until with the heaviest isotope a new outer shell is completed. In the present paper we account for the number of neutrons in the nuclei by the following model. Up to Z -16 the neutrons populate a first shell with at most two neutrons. From Z = 17 to 28 an additional shell of four neutrons is allowed. From Z = 32 to 36 we see the presence

I.

USING the scheme "nucleus=O'-particlcs +neutrons-;-zero or one free proton" in the

case of an even or odd charge number, we have plottcl..l in Fig. 1 the number of neutrons in the isotopes against the charge number Z = 1 to 92 of the elements as far as known. The result can be described as follows (compare with the sche­malic diagram of Fig. 2). Up to Z = 16 the number n of neutrons varies between 0 and 2. From Z = 17 to 28 the number n runs from 0 to 2 to 6. From 32 to 36 we have n between 6 and 14. From 40 to 42 n is found between 8 and 16. The element Z=50 has n from 12 to 24, and in Z=54 n runs from 16 to 28. The significant feature of this dis­tribution is found in the fact, that the upper and lower limit of the n-range remain constant through a series of Z-values, and then jump up suddenly by several units. In some cases the former n-maximum becomes now n-minimum.

\Ve can account for this numerical arrange­ment by the model of Fig. 2. Up to Z = 16 the neutrons populate a first shell with at mOot 2 neutrons. From Z = 17 to 28 an additional shell of 4 neutrons is allowed. In Z = 32 to 36 we see the presence of neutrons in a third shell of 8. It is not

of neutrons in a third shell of eight. It is necessary to assume that between Z =--36 and 40 the inner shells are filled in with two more neutrons, and the same between Z = 50 and 54. Evidence for this filling in is seen in certain significant features of the binding energy. It is pointed out that the intensity distribution of the isotopes points to their stability with respect to a and {3 transformations. This can be used to give a more rational basis to the art of predicting missing isotopes.

meant that these shells are already complete. On the contrary we have to assume (verification in Section II), that between Z = 36 and 40 the inner shells are filled in with 2 more neutrons, so that the third shell of 8 neutrons rests now on 8

FIG. 1. Number of neutrons in the i::;otopes as a function of atomic number.

3·

/ .... ~7= ---- ---------Ie

= ... -,=

1.P Z JD .. 1 The odd clements give mass defects a little above our

smooth curves 11 =const., if we calculate din bv the scheme nucleus = a-particles+neutrons+proton, and "a little below the curves in the scheme "neutrons+protons." This shows that one of the a-particles has a looser stn~ct\.lre inside the nucleus than when isolated. FIG. 2. Idealized schematic diagram corresponding to Fig. 1.

624

Reprinted from Phys. Rev. 43, 624-626 (1933).

294 ALFRED LANDE

NEUTRONS IN THE NUCLEUS 625

instead of 2+4=6 inner neutrons. With Z=50 we meet a fourth shell of 12 neutrons built on the former three shells diminished by 4 neutrons. But with Z = 54 these 4 neutrons are filled in again (see Section II), and the fourth shell is based now on 16 inner neutrons. The observa­tions of isotopes for higher Z are too incomplete to draw conclusions from them.

Altogether we obtain for the elements up to Z = 54 a table of their capacity for neutrons, (Table I) not made use of in the case of "miss­ing" isotopes.

TABLE I. Neutron shells.

Z Neutron shells

3-\6 2()-28 32-36 40-44

50 54

2 24 2 4 8 268 2 6 4 12 268 12

Our taking recourse to the assumption of inner shells being filled in seems to render the result very hypothetical indeed. It is with the help of energy considerations that this structure scheme can be verified in an independent way.

II.

In Part I we calculated the mass defects am of the isotopes derived from their measured atomic weights according to the scheme nucleus = a-particles+neutrons+zero or one proton. If we join by a curve the mass defect dots in Fig. 1 of Part I belonging to a certain constant number n, these curves will represent the energy of binding a constant number n of neu­trons to a varying number Z /2 of a-particles, considering only the even' elements. Although there are not many dots on each particular curve n = const., that are obtained from direct measure­ments of the exact atomic weights, we know from Part I, that these curves run nearly parallel at constant distances from each other throughout the periodic system.' This enables us to extra­polate these curves in a rather wide range with good reason. The result is shown for the even

2 This fact was first found by E. N. Gapon, Zeits. f. Physik 79, 676 (1932).

..•

Am

'.~

../

I. FIG. 3. Mass defect for constant n as a function of Z.

elements in Fig. 3. In general the mass defect am increases with increasing number of a-par­ticles attached to a constant number n of neu­trons. Only between Z = 36 and 40 and between Z = 50 and 54 the curves are descending. These are just the ranges, where the numerical distri­bution of the isotopes suggested the assumption of neutrons being filled into inner shells. We have to interpret the descending parts of the curves n = const. as a sign, that the uniform process of attaching a-particles to a fixed number of neu­trons is interrupted here. Namely a-particles are apparently bound in these ranges looser than in the preceding ones, as if they were attached more toward the outside of the nucleus, and some of the neutrons were shifted to inner shells. One could try to explain the stability against a-emission on a descending part of the am-curve by the assumption that an emission of an outside a­particle would leave the nucleus in a state of e.'<citation with a am smaller than the measured am of the stable product after suclt an emission.

The extrapolation of our mass defect curves n = const. into the unexplored range Z = 54 to 80 shows that corresponding descending parts must occur here, too, in order to join the curves onto the measured mass defect dots of Z = 80.

III.

The isotopes of one element, though differing only by the number of neutrons in the outer shell, cannot be supposed to be in a state of mutual equilibrium. Else we should expect to

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 295

626 A L F RED LAN D E

find a maximum abundance for a certain isotope and a uniform decrease of the intensity to both heavier and lighter isotopes of tbe same element.

m=112 Intens. 0.1

113 o

114 0.1

115 o

116 117 2.3 27.1

Instead we find that the relative abundance var­ies in large steps up and down, as in the instance of Z=54:

118 119 4.2 20.7

120 26.4

121 o

122 10.3

123 o

124 8.8

Only if we consider the 4 families m=4N, 4N+l, 4N+2, 4N+3 separately:

1112 116 120 1241113 117 1211114 118 122 \ 115 0.1 2.3 26.4 8.8 0 27.1 0 0.2 4.2 10.3 0

119 20.7

then we obtain a uniform decrease on both sides of the maximum abundance. This indicates of course, that the intensity distribution can only be understood from the historical point of view of a- and /l-disintegration or synthesis. For this reason we think that speculations about the formation of nuclei by successive addition of pro­tons and neutrons have not much significance. For every charge number Z there should be a certain number n of neutrons possessing the largest stability, and the stability maximum should run along a uniformly ascending curve in the (nZ)-diagram, smoothing out the corners of Fig. 2. From this point of view one can under­stand the abundance distribution of the isotopes of each radioactive family separately. In partic­ular the isotopes represented by convex corners of the (nZ)-diagram are extremely weak or even missing, indeed.

Although the members of one family have mass differences of 4 units for a given charge number, the even families 4N and 4N - 2 contribute in many cases 2 or even 3 members to the isotopes of one element. These belong to different branches of the family because of forking processes, familiar in the case of radioactive elements. The odd families 4N-l and 4N-3 are, with a few

exceptions, represented by only one isotope in each element. Forking seems to be much rarer here. Consequently there is no great chance of predicting missing isotopes in the odd families. Furthermore, according to the rule obtained in Section IV, Part I, there is no chance to find stable isotopes of odd charge number with even mass numbers, except for the first elements.

A method of prediction based on the descend­ence theory has to consider two separate cases. Either the present abundance of the "stable" elements and their isotopes is the effect of a decay process. Then one will predict missing iso­topes on the heavier end of the mass spectrum of some elements. For instance, one will predict the missing isotopes n = 6 in Z = 26 and 28, since n = 6 in Z = 24 can be reached by a-disintegration only through the two missing isotopes, if one wants to avoid too large detours from the intensity max­imum. Or the present abundance is the result of a- and /l-synthesis. Then one will predict missing isotopes on the lighter end of the mass spectro­grams of some elements. It would be interesting to tell from a more completed table of isotopes, whether the present state appears to be the re­sult of decay or synthesis.

296 PAPER 67

Nuclear Magnetic Moments and Their Origin

ALFRED LANDE, Ohio State University

(Received June 27, 1934)

The origin of the nuclear moments is in most cases one proton or one neutron only. The analysis of hyperfine structure leads to the following magnetic moments: proton ....... 2.0 magne~ tons and neutron ...... -0.6 magneton.

T HE purpose of this article is to give a report pn the theoretical interpretation of

the observed mechanical momenta j (in units h/2>r) and magnetic moments I' (in units he/4>rmc = 1 nuclear magneton) of various nuclei through­out the periodic system. The theory was outlined already in a letter to the Physical Review' and applied to a group of cases. Meanwhile Tamm and Altschuler' extended our scheme to a new group of cases. The basic idea is this: One particle only, one proton or one neutron, is responsible for the total spin and the magnetic properties of the whole nucleus, the rest of it forming dosed shells in general. The observed vector j is thus composed in general by the orbit 1 and the spin s of one particle only. Since 5 is known to be t for the proton as well as for the neutron, 1 can be only j±!; hence there is no arbitrariness in this 2-vector model. This model fails, however, in some cases. The exceptions can be accounted for by the supplementary assumption of Tamm and Altschuler that here two neutrons line up their spins to s = 1 instead of forming a closed shell 5 = O. The arbitrariness of this additional third vector 5= 1 is greatly reduced by assuming that it reappears in all cases. This theory is in contradiction to that of H. Schueler' who starts from the beginning with a 3-vector model taking the core as the third vector. Although Schueler uses the basic idea that one proton or one neutron is mainly responsible for j and I'

beside the core, he ascribes, fOf instance, to the neutron a magnetic moment of -1.65 magnetons instead of Tamm-Altschulers and our value of about -0.5 or -0.6.

1 A. Lande, Phys. Rev. 44, 1028 (1933). 2 I. Tamm and S. Altschuler, Academy U.R.S.S. I, 455

(1934); D. Inglis and A. Lande, Phys. Rev. 45, 842 (1934). • H. Schueler, Zeits. f. Physik 88. 323 (1934). A thorough

discussion of the experimental g-values is given in Schueler's paper.

The theory is based on a division of all nuclei into four types belonging to different charge numbers Z and mass numbers M.

Type 1: Z even, M even. Nuclei of this type are most abundant. They consist of an even number of protons and an even number of neutrons. Since they show no mechanical mo­mentum j and no magnetic moment p. at all we suppose them to consist of closed shells.

Type 2: Z odd, M odd. This type differs from the first one by one additional proton only. We suppose then that this one proton, by its orbit I and its spins, is responsible for the j and p. of the whole nucleus.

Type 3: Z even, M odd. This type differs from type 1 only by one additional neutron. We suppose then that this one neutron is responsible for the j and I' of the whole nucleus.

Type 4: Z odd, M even: This type differs from the closed shell type 1 by one additional neutron plus one proton. In general this type is unstable and occurs only in four instances Hsl, Li68, Bloo, N,.', among them the deuton. Since here two different particles are cooperating it is not possible to obtain a unique interpretation of their j and I' values. Conversely the deuton would be the most inadequate object for an analysis of the properties of its two components. If one wants to know about the proton one has to inquire higher nuclei of type 2, and to know about the neutron one has to inquire type 3.

In some cases Tamm and Altschuler assume that one pair of neutrons does not form a closed shell. One has thus:

Type 2': Z odd, M odd, differing from the closed shell type 1 by one proton pI us two neutrons. The latter are supposed to form j" = 1 out of s,. = 1 and I., = 1 in all cases.

Type 3': Z even, M odd, differing from type 1 by three neutrons forming s •• = t.

477

Reprinted from Phys. Rev. 46, 477-480 (1934).

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 297

478 ALFRED LANDE

The theoretical g-values of type 2 and 3 are both taken from the generalized g-formula

j(j+ 1)+1(1+ I) -s(s+ 1) g=g,

2j(HI)

+g, j(j+ I)+s(s+ I) -1(1+ 1)

2j(.i+I) (a)

In type 2 we put s=~, l=j±t, g,=1. To fit the observation best one has to choose g8"'4, accord­ing to a magnetic moment oj the proton oj about 4·! = 2 magnetons. In type 3 we put s = t l=j±!. g,=O. To fit the observation best we choose ga = -1.2 according to a magnetic moment oj the neutron of - 1. 2 X ! = - 0.6 magneton.

To calculate g in type 2' for j,j,,-coupling T. and A. first calculate separately g, for the proton and g2~ for the neutron pair, and then insert g7l" and g2~ into the formula

j(J+ 1)+ j,U,+ I) - j"Ij,,+ I)

g=g, 2j(HI)

.iU+I)+ j,Jj,,+ I) -j,(j,+l) +g,,----- (b)

lj(j+ I)

In most casE'S of type 2' there is an isotope of the same clement belonging to type 2 where the tv. 0 neutrons form 5t ill a dosed shell. So j"s7l"11r and hence g,.- are fixed already. Furthermore we assume in all rases of type 2' j2V = S2v = 12~ = 1, hence g2, = - 0.6. In type 3' one uses formula (a) with s =} and g, = -1.2 for 3 neutrons. This theory claims to represent the facts only in first order approximation. All finer traits brought about by the interaction of the one acting particle with the rest of the nucleus are neglected. It is significant nevertheless that the observed g-values can be well explained in this way, taking into account that the observed g-values claim at best 10 percent accuracy. For instance Goud­smit' calculated with his extrapolation formula the value g = 3.6 for Tl and marked it even with the best grade A of accuracy, while Schueler'

45. Goudsmit, Phy,;:;. Re\". 43, 636 (1933). ~ H. Schueler, Z('jt~. f. Physik 88,323 (1934).

later decided for g = 2.94 using the formula of Fermi-Segre.· This may be kept in mind by judging the observed g-values graded Band C and the aim of getting better agreement between observation and theory by help of more compli­cated models.

To compare the theory with the observed g-values we give first the theoretical g-Tables I and II for various values of j and I. In Table I

TABLE I. Theoretical g-values of type 2 (and type 2') using Ji.-:r=2.0 and f.I~= -0.6. .. ~i' 1/2 - 3/2 5/2 7/2 9/2.

o 4 -2.133

-- -------- ---- ------

-0.8 1.306 I iJ 2 -- .. _-- -------------

2 0.4 1.6

-3-1---~ 0 57-!!!. -1-43-- ---04-1 128

--- ------------ -

~5 _11 ____ --... --- - ~~ 0.59 1.33 1.24

0.73 0.68

TABLE II. Theoretical g-values of type 3 (and Jype 3') using J.lrr =2.0 and I-'v= -0.6.

1/2 .l/2

-1.2 -1.2

-0.4 -2.0 -0.88

+0.24 +1.2 -0.24

+0.72

the numher in the upper left of each square represents type 2, where one proton alone is responsible for g and fl.. The number in the lower right of each square in italics accounts for type 2', where according to T. and A. 2 neutrons participate with s,,= 1. In Table II the number in the upper left of each square represents type

6 E. Fermi and E. Segrc, Zeits. f. Physik 82, 729 (1933),

298 ALFRED LANDE

:\UCLEAR MAGNETIC MO:VIENTS 479

TABLE Ill. Observed and theoretical g-values witk IJIr = +2 magnetons, p.~ = -0.6 ma.gnt?ton.

j g observed

Schueler-Goudsmit --~~~-

Li,a 3/2 2.19 (Breit) Abl1J 1/2 3.86 4.2 (B) CU63, 6.~9 3/2 1.82 1.7 (E) Ga71:11 3/2 1.82 1.7 (A) AS7f.33 3/2 0.6 (I) Rb~1>31 .1/2 0.6 0 . .\ (C) RbH• 37 3/2 2.04 1.8 (e) Tnl1~49 9/2 1.10 1.2 (E) Sbl~301 7/2 0.7 (B) CS133~5 7/2 0.83 TI 203 ,20r.81 1/2! 2.94 3.6 (A) Ri20983 9/2 0.80 0.89 (A)

~a231l 3/2 1.42 Gafi~31 3/2 1.42 Sh lnM 5/2 1.08 1.1 (E) AU19779 3/2 0.15

Cd m 48 1/2 -1.26 -1.33 (E) Sn1l9bO 1/2 -1.90 BalJ,56 3/2 +0.631 H g1998(l 1/2 +1.10 (E) Hg20 \80 3/2 -0.41 (B) Pb207S2 1/2 +1.20 (A)

3 where one neutron alone is responsible for j and p.. The lower right numbers in italics account for type 3', where 3 neutrons line up their spins to sa,~i. The theoretical g-values of Tables I and II are drawn as horizontal bars in Figs. 1 and 2, the normal types 2 and 3 a little more to the left than the abnormal types 2' and 3' for each single j. The observed g-values are repre­sented by dots, or vertical dashes on account of their possible error of ±10 percent in most cases. The admission of the abnormal types is increasing the number of possible g-values considerably as compared with our original simple theory of types 2 and 3. Nevertheless there are so great distances between the possible g-values for small j that one still has a unique coordination of theory and experiment. On the other hand for

,

G' 1 T

i _~ _~

'" - --~ ;- -, -!- +-- -, -h. 'I, ,>, f. ''''

)j , FIG. 1 and FIG. 2. Theoretical g-values of Tables I and

11 are drawn as horizontal bars.

g theor. coordination

2 1.~1 ..; 4 0 2 1 N M 2 1 '-v 0.4 2 -0.

.jj;., 0.57 3 .~~ 2 I II .-1.33 4 ," 0.67 4

-::;. 0.67 4 II

41 01 .~ 0.73 II

1..11 1.~I, j. ~ 3/2 II .5~ 1.31 1.~I, j.~.1/2 o\'i_ N

1.35 1.~4, j. ~ 5/2 jjll~ 0.133 1.~2, j.~3/2 !,.~~

-1.2 1~0 s~I/2 .5 ~.5 -2 1 3/2 +0.72 .} 3/2 ~ f"'J +1.2 2 3/2 SC'")~~ -0.4 1 1/2 II &'"'".l~ +1.2 2 .l/2 ~Cil

large j the g-values of type 2' come closer and closer to those of type 2; and in type 3' only the cases j =! and j = .~- are realized at all.

Aside from every detailed interpretation there remains one main result: The proton has a magnetic moment of J..L7r",,2 and the neutron has a magnetic moment of p..~ -0.6, as proved by the hyperfine structure of higher nuclei. There are other determinations of p.. by Stern and Rabi, namely. 2.5 from molecular rays and 3.2 from atomic rays of hydrogen in inhomogeneous magnetic fields. The Rabi method in particular is a very direct and unobjectionable way of finding J.Ln and one may wonder as to what is responsible for the difference between the two ray methods and the analysis of hyperfine structure. 7 No direct methods are known so far to determine the magnetic moment of the neutron. Scattering experiments seem to indicate that the neutron has no or only a very small magnetic moment.

7 According to new ideas on the structure of the nucleus a proton may split up into a positron and a neutron, and the neutron may split up into an electron and a proton; then the latter proton may perhaps contain an electron and a positron less than the former proton and may also have a different magnetic moment, a very precarious hypothesis of course, which I do not want to propagate.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 299

480 ALFRED LANDE

Table III gives a more detailed report of the g-values and their origin in various isotopes. It is of interest that the proton (type 2 and 2') produces j and I-values that are small at the beginning of the periodic table and increase more and more with higher elements. 8 On the other hand the neutrons of type 3 and 3' retain their small j and I-values throughout the periodic table. One may interpret this in the sense that

the single proton is bound to the surface of the nucleus while the single neutrons are bound inside.

8 Only Tlal is an exception with j=!. This behavior makes us suspect that our scheme of type 2 and the g-formula (a) does not apply here. The experimental g­value of TI is rather uncertain, too, depending on whether one applies the interpolation formulas of Goudsmit or of Fermi-Segre. For these two reasons we have marked Tl in Table III with question marks and have not drawn it in Fig. 1.

300 PAPER 68

CRITICAL REMARKS ON THE INTERPRETATION OF QUANTUM THEORY.

BY

ALFRED LANDE,

Professor of Theoretical Physics. Ohio State University.

I. Reality and interpretation. Dualism of interpretation. The corpuscular statistical interpretation of the wave density and the wave interpretation of discontinuities of energie represent untenable absolute standpoints as against the relativity of quantum theory.

2. Kinematics of diffraction. Equivalence of Huyghens' resonance and corpuscular transmissions of momentum. Length as a wave attri­bute, momentum as a corpuscular attribute. The compromises of the absolutists are based on over­interpretations. Modified meaning of the uncertainty relation. Classical versus wave and corpuscular view.

3. Quantum dynamics. Expansion of the range in space, contraction of the range of momentum. Corpuscular process relating wave data, wave process relating corpuscular data. The prototype of quantum dynamics. Prestabilized harmony between waves and particles.

4. Fluctuations. Particles and waves appear as limit cases of fluctu­ations. Classical and quantum theoretical undeter­minacy. The emission of a-particles and a-beats.

§ 1. REALITY AND INTERPRETATION.

When we wish to obtain information about a physical object, for instance when we ask for the position, volume, or energy, of a quantity of matter, we cannot draw conclusions from what we see before we have postulated a certain manner of interpreting the optical signals, that is, before we have

83

Reprinted from J. Franklin Inst. 226, 83-98 (1938).

SELECfED SCIENI1FIC PAPERS

ALFRED LANDE. [J. F. r.

presupposed a certain theory as to the constitution of the light received and its interaction with matter. Of course we are not allowed to invent such a theory at will. Instead we have to build up the theory of interpretation in such a way as to bring to a common denominator as complete a set of experi­ences as possible. This purpose is achieved to a certain extent by the corpuscular theory of light, established by Newton, revived by Einstein, according to which light is supposed to consist of photons that are capable of interacting mechanically with matter, the latter being supposed to consist of particles, too. As this hypothesis accounts for a great variety of phenomena (reflection, refraction, and also the so-called inter­ference phenomena as diffraction and polarization, refer to § 2), the corpuscular hypothesis obtains more and more the character of a reality: light and matter consist "in reality" of particles reacting mechanically.

Now it happens that the same fundamental experiences may just as well be understood from the wave point of view according to the undulatory theory established by Huyghens, extended by Fresnel and Maxwell, and transferred to matter by de Broglie: light and matter consist" in reality" of vibra­tions that are subject to the principle of superposition.

In addition to the previously mentioned stationary phe­nomena there is a wide range of phenomena to be classed as dynamical processes, where we succeed in getting a rational description only by using a peculiar method of changing over from the corpuscular to the wave theory and vice versa (§ 3). The problems of dynamical stability (Eigenwert problems) and fluctuations (§ 4) belong to this class. We prefer here to speak first of what we see (Kinematics) and later on of why we see it (Dynamics).

We might be disappointed, in view of our desire to have a uniform picture of the physical world, to be confronted with two equally justifiable images. We must not forget however that these images are to a certain extent results of our sub­jective interpretation, and that absolute reality ends where there are several equivalent physical realities. In the theory of relativity the basic equations could be derived from the equivalence of gravity and inertia. Similarly one can build up quantum theory on the equivalence of waves and particles.

301

302 ALFRED LANDE

July, 1938.] INTERPRETATION OF QUANTU~f THEORY. 8S

Due however to the desire to seek absolute truth, the absolutists have tried to persuade us to accept two different ways of escaping the dilemma of a twofold reality.

(I) The advocates of the wave lheory say: Only waves exist; and what sometimes appears to be a particle is in reality the intensity maximum of a group of waves condensed and keeping together within corpuscular dimensions, in violation of the ordinary rules of the wave theory (Schrodinger 1926, later abandoned). Furthermore, what sometimes appears as a discontinuous corpuscular (= quantized) change of energy is in reality the change of energy of a vibration taking place in violation of the continuous laws of damping. (Planck 1900, quantized oscillation.)

(2) The advocates of the corpuscular theory say: Only particles exist, and what sometimes appears to be a maximum of interference is in reality a maximum probability for the occurrence of particles. The particles appear to be guided, at least in their statistical behavior, by wave laws in violation of ordinary mechanics (Born 1927 and now generally accepted).

In § 2 we shall see that both interpretations although they sometimes help to obtain a quick but superficial picture, are untenable from a more critical point of view, in particular in view of the uncertainty principle, which is considered in the present paper from a somewhat different angle. First of all, there is no reason why opinion (1) should be better or worse than opinion (2). The least we should have learned from the dualism of interpretation is this: If one has reason to disagree with waves that have corpuscular attributes, one should reject as well particles that have miraculous wave attributes. Secondly, we are going to show in § 2 that there is no reason to resort to miracles as those postulated in (r) and (2), because one can explain the cases of apparent wave interference as the result of corpuscular collisions; and one can explain those phenomena that seem to prove discontinuous corpuscular changes of ene.rgy and momentum as the result of a wave interference. The miracles of quantum theory, so-called to contrast them with the two classical theories, are met only on a higher stage, in dynamics (§ 3).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

86 ALFRED LA:-WE. [J. F. 1.

§ 2. THE KINEMATICS OF DIFFRACTION.

It has often been shown that simple processes like reflection and refraction are understandable as the result of corpuscular mechanics applied to particles, just as well as the result of Huyghens' principle applied to waves. We might study therefore the equivalence of waves and particles in a case that has long been considered as a conclusive argument in favor of the wave theory only, the phenomenon of diffraction.

Consider a small line element ox of matter (Fig. I). A rectilinear monochromatic beam of light coming from the y-direction will then be diffracted by it through a cone 00 of deflected directions. (We are considering only the coherent part of the deflected light, although in the case of independent gas particles forming the line element it might be that the major part of the incident light is scattered incoherently with change of color.) The coherent cone of diffraction can be accounted for by means of the wave theory of light and matter. According to this theory matter is supposed to act as a source of resonance (Huyghens' source) sending out secondary light waves. The length ox of the matter element, the wavelength A of the light, and the angle 00 of the cone of diffraction are then related by the simple formula (giving the order of magnitude) :

A ox =-. 00

ill ox ,/oQ',.

FIG. I.

The diffraction appears here as a result of the principle of superposition applied to the interfering secondary waves. It seems impossible at first sight to derive the same result without the wave theory.

Nevertheless one can account for the same cone of diffrac­tion by means of the corpuscular theory of light and matter. Here photons of momentum P are deflected from their orig­inal y-direction. The cone on shows in this interpretation that the matter particles give momentum to the photons up to the amount ± tP· 00 parallel to the ± x-direction. In

303

304 ALFRED LANDE

July, I938.] INTERPRETATION OF QUANTUM THEORY.

other words the matter particles themselves cover a range of x-momentum

(I ')

which is the range of their statistically ruled change of x-momentum during the collisions.

One and the same optical signal, the light cone /lrl thus leads us two quite different results concerning the qualities of the matter, depending on the pre-supposed manner of interpre­tation. According to the wave theory of light the matter is found to consist of a line element of resonance having the length /lx. This length might in its turn be interpreted as the width of a packet of matter waves. According to the corpuscular interpretation the same matter consists of par­ticles whose momenta are spread over a range opx, that is, which suffer changes of their x-momentum up to that magni­tude. The length /lx is a quantity derived from the wave interpretation of the signal orl, the range opx belongs to the corpuscular interpretation.

It would be quite a mistake, however, if we should say that the matter wave packet spread along ox according to the first interpretation, had the property in addition of giving out momentum of range ap,. For the momenta have been introduced only in order to explain the deflection of photons of the 2nd interpretation. It would as well be a mistake if we should say that the matter particles [that transmit mechani­cal momenta of range opx] were spread over a range of mag­nitude ox in space. For ox derives its" reality" only from being the supposed seat of Huyghens' sources of waves. And yet it happens that both opinions, in particular the second one, are so commonly accepted that we may resort to an example from everyday life in order to regain an unbiased judgement.

Suppose we receive a sound signal" eagle" ; in the English language this will be interpreted by the picture of a bird of prey. A German, however, will interpret the same sound to mean" IgeI," that is, hedgehog. If now we happen to under­stand both English and German, are we entitled to assume that the source of the sound is a winged hedgehog or a bird with quills?

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

88 ALFRED LANDE. [J. F. 1.

But this is the very error made by the corpuscular sta­tistical interpretation, that particles are distributed along the range OX, and the same error is repeated by the commonly accepted corpuscular statistical interpretation of the wave density in general. According to the latter it is said, for instance, that the density of the charge cloud around the nucleus of a radiating H-atom is in reality the probability density according to which a corpuscular electron is expected to stay in the various volume elements, in defiance of the laws of mechanics. In fact, the purpose of this charge cloud is merely to account for the frequency and intensity of a wave radiation, and has nothing to do with the corpuscular me­chanical interpretation, which is based on transmission of energy and momentum by collisions.

If on the other hand one prefers the picture of the cor­puscular electron, one has to endow it with the quality of emitting a photon of energy E = El - E 2 , when the electron changes from the energy level El to E 2 • But it would be a mistake to ascribe these discontinuities of energy to the afore­mentioned charge cloud, or to any vibrational state whatso­ever. Neither does a jumping electron, which emits or deflects photons of certain energies, call for position governed by a charge cloud, whose only assignment is to send out waves. Nor does a charge cloud, explained as the result of a superposition of matter waves, call for a discontihuous change of its energy.

Instead of striving to acquiesce in such over-interpretations as are contained in the statistical picture of the wave functions, and in the wave picture of discontinuities of energy and momentum, one should say, and it is the meaning of quantum theory to say: The same observed radiation that appears, when interpreted in wave terms, to originate from a rotating or vibrating charge cloud of frequency 1112, seems to originate in energy changes El - E2 of an electron when interpreted in corpuscular fashion. The term "transition density" is ex­pressing this relation in a proper way: Schrodinger's wave density P12 is the corpuscular equivalent of Bohr's energy jumps, but P12 is not the place where the particles dwell when carrying out these jumps. A distribution in space is a quality belonging to the wave interpretation of the signal received,

305

306 ALFRED LAND~

July, 1938.J INTERPRETATION OF QUANTUM THEORY. 89

whereas jumps of energy belong to the corpuscular interpre­tation of the same signal.

Of course, one may ascribe energy and momentum also to waves. One has to be conscious, however, that a dynamics of waves is much more specialized and farther removed from direct observation than wave kinematics. On the other hand, one can ascribe to particles a position in space if one resigns fixing this position by means of observations interpreted in a corpuscular fashion.

A similar confusion, only in the opposite direction, can be seen in the case of the well-known wave interpretation of corpuscular discontinuities of energy. Here we mean the opinion, first suggested by Planck, that a particle oscillating with frequency Jl12 changes its vibrational energy by quantized amounts, emitting thereby a corresponding amount ~ = hp12

of light energy. Instead of defending this compromise be­tween the wave and corpuscular ideas, one should better say; a radiating oscillator is from the standpoint of the wave theory, a charge cloud whose vibrating density distribution PI2

can be calculated according to Schrodinger from the super­position of two vibrations of frequency PI and P2; the charge cloud sends out light waves of frequency P12 = PI - P2. From the corpuscular point of view the same "oscillator" has nothing oscillating at all, but is an electron that carries out transitions between energy levels separated by equal steps ~. It would be, however, an over-interpretation if we were to ascribe to the corpuscular electron of the oscillator a distribution in space represented by the oscillating Schrodinger charge cloud, or vice versa, if we should ascribe to the vibration (it is the charge cloud that vibrates) the property of having quantized energy levels and energy jumps.

I t is hard to free ourselves from these incorrect ideas inherited from the older quantum theory, since there are a great number of macroscopic phenomena which, although not proving them, are not disproving them either. But this is due to the fact that macroscopic observations can always be interpreted by means of both classical pictures. For instance, one finds particles (better: beams that display corpuscular fluctuations on account of their small intensity, see § 4) which travel to the interference maxima of waves as though the

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

ALFRED LANDE. [J. F. 1.

particles were guided by wave rules. We saw, however, that the mechanical cause of this diffraction can be found in collisions with the matter particles. Our example of diffrac­tion explains what is meant when we say: What is a matter line of length lix from the wave point of view, is an assembly of particles of range lipx of momentum from the corpuscular point of view.

If the "plug" of matter lix is replaced by a screen with a gap of width lix (this is a description in wave terms) then Babinet's principle requires the gap to produce the same diffracted cone of light liO as did the plug. One would expect at first sight that photons (corpuscular theory) should go straight ahead through the gap (wave description), giving a shadow of the edges of OX, instead of being diffracted. The corpuscular cause of their diffraction can be derived from the consideration that what is a plug or gap of width ox in wave terms are matter particles of range lipx in corpuscular terms.

Similar considerations apply to a grating with holes or grooves at constant distances d. This is now a wave de­scription. The corpuscular description of the same grating is this: It represents a system of matter particles bound to surrender momenta ruled statistically in such a fashion that the resulting deflection of photons gives exactly the same pattern as the diffraction of waves. It is the purpose of the quantum theory to give us the mathematical relations between the wave description of a phenomenon and the corpuscular description. In the case of diffraction from a single plug ox, quantum theory gives the result:

(I ") lix·opx· = P·A = h,

which follows from multiplying (I) with (I'). That is, the product of the ranges lix and opx is equal to the product of the values of A and P of the light employed, and this product always has the same value, Planck's h. The smaller ox, the larger opx, where ox and opx are complementary results of interpretation of one and the same observation, namely liO. This is the correct meaning of Heisenberg's uncertainty rela­tion. A more general rule reads: Every change of momentum Pi -+ Pk of free particles carried out with a probability 1 ajk 1 2,

gives rise to a Fourier component of the corresponding ampli-

307

308

July, 193R] INTERPRETATION OF QUA]'\TU).f THEORY,

tude .J;(x) of the wave density p = 1.J; I ~: .J;(x) = L L ajk'C2ir(prpx)·T/h.

k

ALFRED LANDE

This rule was already contained in Bohr's principle of corre­spondence of the older quantum theory, and was applied to the diffraction of gratings first by Duane, Ehrenfest, and Epstein. In the case of mutually bound particles (waves in higher dimensional spaces), the generalized quantum methods of Born-Heisenberg- Jordan or Schrodinger apply, supplemented in the case of several equal particles by the statistical rules of Einstein- Bose, or Pauli-Fermi- Dirac for particles, and by the rule of symmetry or anti-symmetry for waves.

At any rate there is no need of ascribing to particles, a knowledge of, and obedience to, interference rules, nor for endowing vibrations with corpuscular energy levels or jumps. One has only to make a consistent use of either wave or corpuscular concepts instead of fusing them to a necessarily one-sided and incorrect compromise.'

One may see a distinction between the classical theory of a process on the one hand and the wave and corpuscular descrip-

1 The statistical interpretation appears to be helpful in predicting the prob· ability of emission of a-particles from a calculation of the intensity of the emitted a-wave. In general, however, the a-wave is a superposition of a large or infinite nUIllber of monochromatic waves whose phases are chosen so as to cancel their resultant intensity outside the nucleus at the time t = 0 and to leave a positive intensity inside only. As time goes on the monochromatic components get out of phase, the intensity outside gains at the expense of the inside, wave beats are rushing outward at group velocity, and the resulting intensity displays interference fluctuations. It would be wrong to assume that the wave intensity with all its maxima and minima and with its beats and fluctua­tions is measuring the statistical distribution of the a-particles. It is only the average intensity over many maxima and minima that is apt to represent the average density of the particles. But this is a very restricted statement as compared with the statistical interpretation of the wave function, which claims that the details and in particular the maxima and minima of the wave intensity describe the average distribution of the particles.

The statistical interpretation fails most strikingly in places xyz where o/n(XyZ) is finite although the potential energy V(xyz) is larger than the total energy En, so the particles at xyz have negative kinetic energy that is imaginary velocity. If it is said that the uncertainty principle allows a large margin of en­ergies to particles in dxdydz this means again that I y, .. (xyz) !' does not measure the statistical density of particles of energy En.

VOL. 226, NO. 1351-7

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

92 ALFRED LANDE. [J. F. I.

tion on the other. Consider for instance the scattering of a-particles in the field of a nucleus of charge Ze, a process described correctly by Rutherford's formula. (I) The wave theory explains the observed facts by means of a variable index of refraction n that depends on the frequency of the incident a-waveS. (2) The corpuscular theory has to derive the same scattered intensity from a system of complementary transmis­sions of momentum by the scattering particle to the incident particles. (3) Now it is more or less accidental that the same Rutherford formula can also be derived from the model of a Coulomb center Ze that serves to deflect the a-particles 2e. This coincidence of the classical orbits with the wave and corpuscular result is the reason that we still consider the classical model of a point charge as a kind of physical reality, although it works only in the case of one such point charge. A couple of two classical Coulomb centers would deflect a-particles in a way quite different from the correct result of the wave theory and from its complementary counterpart. This shows again the limited value of the classical model of a point charge quite apart from the dilemma concerning its radius when the latter is assumed to be zero or is defined by the electric or the magnetic field energy and the mass. For­tunately the question of the radius neither arises in the wave theory (index n) nor in the description of complementary transmissions of momentum to the incident particles.

§ 3. QUANTUM DYNAMICS.

All that has been said so far about the rational description of an observation by means of waves or corpuscles applies, however, only to a single instant of time. As soon as one follows a certain quantity of matter in time, a new situation arises. One may ask, for instance, for the diameter ox of a quantity of matter at times 0 and t, as derived from an optical observation of the matter. Only if one applies the wave interpretation of the cones of diffraction oQo and oQ (§ 2) does one arrive at certain diameters oxo and ox, to be ascribed to the quantity of matter. Comparing now oxO with ox, one finds the surprising result that the diameter ox is

309

310

July, 1938.] INTERPRETATION OF QUANTUM THEORY.

expanding continuously in time according to the formula:

h t ox = - . - (expansion of length).

m oxO

ALFRED LANDE

93

supposed that ox has become already large compared with oxo. Here it is supposed that there are no forces between the parts of the matter. In formula (2) m is a constant peculiar to the matter, signifying the mass of the molecule in the corpuscular picture, and h is Planck's constant.

The phenomenon of expansion (2) c:ln be accounted for, according to Heisenberg, in a typical quantum fashion, in two distinct steps. First, one has to remember that the two diameters oxo and ox are observed by means of the two diffracted light cones oQO and oQ, from which is inferred

•• 0 _ A uX - oQo'

.\ ox = oQ'

if the matter is assumed to serve as a secondary source of light waves A. One now changes over secondly, in a quite incon­sistent manner, to the corpuscular interpretation of the observed light cones. Then OQo means that the photons

p =~ A

have obtained at time zero such momenta from the matter, that the matter itself covers a range of initial momenta

(s)

f · .. 1 I " 0 op,o p·oQG or 0 JnltJa ve oCltles up to VI = - = --.

m m Thus they will

spread during the time t over a length

(6) p·oQD

ox = vIO·t = --·t (expansion). m

The expansion (6) proves to be identical with (2), if at the end one returns to the wave intrepretation, that is, if one replaces

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

94 ALFRED LANDE. [J. F. I. .

lino and P in (6) by their wave equivalents with the help of (3) and (4)·2

From this example, which may be considered as the simplest prototype of quantum dynamics, two features of 'the' method of quantum theory can be seen.

First, the act of observation plays a decisive role in determining the process. If, for instance, we say that the matter is now within IixO, and is later within /ix, we would not be able to give a causal explanation of the miracle of expan­sion. If, however, we say that the matter is seen within lix at time 0, we concede the act of being seen to be a contributing factor, and it is true no longer that causality fails in explaining the expansion' (we disregard here the fluctuations which belong to quite a different level of the theory, compare with § 4)·

The distinction between being and being seen is irrelevant in dimensions of everyday life; it becomes essential, however, for microscopic processes where the act of being seen represents a relatively large encroachment into the course of events.

Second, the two diameters /ixO and lix seen at the times 0 and t (in fact we see only the light cones and infer from them the lengths lixo and lix by means of the wave interpretation) are related to one another in a causal way only by reinterpreting lixo by way of ono into a range of initial momenta opxo or initial velocities up to vxo = opxo/m. The motion lasts for the time t, and leads to the expansion OX, which can be found ultimately only by returning to the wave interpretation of the final cone lin.

The whole procedure of relating two wave data IixO and ox by means of the corpuscular mechanism appears to be very inconsistent, indeed. It represents, however, the typical method of quantum dynamics. Its counterpart consists in relating two corpuscular data by means of wave dynamics. In Schrodinger's theory one considers, for instance, a cor­puscular model at times 0 and t, and one relates the two corpuscular states by means of a wave process, asking in particular for such initial values of the corpuscular energy

• From the empirical point of view, it is inconsistent to assign to particles a range in space ax, since ax can be measured only if the wave theory is applied.

311

312 ALFRED LANDE

July, '938.] INTERPRETATION OF QUANTUM THEORY. 9S

that remain constant for all times t (eigenvalue problem, standing wave).

It is quite characteristic of the method of quantum theory that the previously described example of expansion can be inverted. Beginning and ending with the corpuscular inter­pretation of the observed cones orl° and orl, one finds the miraculous fact that independent particles, which at the time zero are spread over a range opxo of momenta, contract this range to the smaller magnitude

hm opx = opxo.t (contraction of range of momentum).

t is supposed to be large so as to make opx small compared with opxo. The relation (7) is equivalent, with (2), as can be seen, if one replaces Dpx by h/DX and Dpxo by h/DXo. In order to explain this contraction in a causal way, one can relate the two corpuscular data opxo and Dpx by a wave dynamical process, with due consideration of the process of observing. For this purpose we first re-interpret the cone Drl° in wave fashion, which leads us to the conclusion that the matter represents a group maximum of waves condensed within the range (3) DXO = Ajorl° in space. According to wave kinematics, such a group maximum spreads out in time with a group velocity Vx

which is determined by the formula Vx = dv/d(I/X). Here dv is the range of frequency, d(I/X) is the range of reciprocal wave­lengths of the harmonic components of the wave group. In our present case we have o(I/X) = I/DXo, and liv = I/t, where t is the time of observation, and oxO the width of the group maximum. The velocity of expansion of the maximum is thus Vx = lixOjt decreasing with the time t. If one now introduces a wave dynamics in which one ascribes to the wave group a range of momentum 3 up to m· vx, where m is a factor characteristic of the substance of the waves, then one

• From the empirical point of view it is inconsistent to ascribe a range of momenta to a wave group, since ap. can be verified only by means of a corpuscular interpretation of the diffracted cone of light. The whole argument is based on grounds just as objectionable as the argument criticised in footnote 2 on page 94. But it represents the ultimate attempt to describe quantum theory in classical terms.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

96 ALFRED LANDE. [J. F. 1.

arrives at the range

(8) ap. = mv.

If this result of wave dynamics is re-interpreted into corpus­cular language by replacing axo by h/op.o it leads to formula (7) for apx. In this way quantum theory gives a wave dy­namical derivation of the contraction of the range of corpus­cular momenta.

I t is characteristic that the expansion formula (2), and the contraction formula (3) both contain Planck's h. On the other hand, the two formulce

(6) and (8) ap.

which relate ranges of length to ranges of momentum, do not contain h. Multiplying (6) by (8) leads to the result that Heisenberg's product (I") remains constant all the time:

We have compared in paragraph § 2 the two interpretations of one and the same optical signal with the English and the German interpretation of a sound signal, "eagle-Igel." If we receive a succession of sound signals, they use to represent a reasonable sense only in one of the two languages, for instance, the sense "eagle flies high," but the nonsense" Igel, Fleiss, Hai," meaning "hedgehog, diligence, shark." In the case of light signals sent out by matter, it happens, however, that both classical interpretations represent sense. This" sense" is the reason indeed that physicists have developed the corpuscular and the wave theory independently. It appears thus, that there exists a sort of Leibnitzian "prestabilized harmony" between the two classical theories. The assignment of quantum theory is to reveal the formal relation between the two languages. As example of such relations we mention Planck's formula Ell! = h, de Broglie's p. X = h, Heisenberg's

apx' ox = h, Schrodinger's Px -> J;-~ . 2'J,7r ax

313

314 ALFRED LANDE

July, 1938.] INTERPRETATION OF QUANTUM THEORY. 97

§ 4. FLUCTUATIONS.

A decisive argument in favor of the pretended corpuscular constitution of matter and light is often seen in the fact that one can count particles in a beam. Indeed, at small intensity a beam shows fluctuations as though it consisted of particles of a certain mass m or energy E. This argument is contested, however, by the fact that the beam, if its intensity is raised sufficiently, shows fluctuations of a magnitude as though the beam consisted of a group of interfering waves whose phases are distributed at random. The dynamic properties of the ray are determined in both cases by the same material con­stant m. In the wave theory the role of m can be seen from the example of equation (8) in § 3.

One is confronted then with the fact that in the case of small intensity a diffraction pattern can be calculated by means of the wave theory, and yet shows corpuscular fluctu­ations. This looks as though "the particles, of which the beam consists in reality, are guided by the interference rules of waves." Here one has forgotten, however, that one could have derived the same pattern by means of corpuscular collisions without employing interference.

Vice versa, after one has derived the diffraction pattern in a corpuscular manner (§ 2), one finds wave-like fluctuations at places of large intensity. This appears then as though "the he am consists in reality of waves whose intensity distribution in the pattern is ruled by corpuscular laws." Here one has forgotten that the same pattern could have been derived from the outset by means of a wave calculation.

Both classical theories fail to give account of the observed intensity and its fluctuations in the case of intermediate intensities. Here one starts either with photons which then are subject to the typical wave-like statistics of Bose; or one starts from the wave model of Jeans, and subjects it to the corpuscular statistics of quantized oscillators.

Let us add finally a few remarks on the frequently mis­interpreted difference between classical and quantum-theo­retical indeterminacy. The latter, as seen from Heisenberg's formula opx' ox = h, relates the corpuscular to the wave interpretation of one and the same observation 011. The inde­terminacies of the distribution of particles found in beams of

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

98 ALFRED LANDE. U. F. 1.

small intensity, however, have nothing to do with quantum theory, nor have the individual interference beats in rays of large intensity. For instance, if we have a small quantity of radium, we cannot predict the exact times at which single a-particles will escape. This is, however, exactly the same uncertainty as in the case of a small ball put in a large box with a small hole.4 The task of quantum theory is only to calculate the magnitude of the radium-box in comparison with the magnitude of the hole (Gamow mount) and the energy of the a-ball, starting from certain general ideas concerning the structure of nuclei and applied to the nucleus of number 88. The uncertainty concerning the exact time of emission is then a purely classical affair. The same applies to the exact times of individual beats of a-waves that are emitted from a very strong radium preparation.

• In classical statistical mechanics it is the idea that the time of emission depends on particular initial conditions, whereas in the case of a-particles on is not even allowed to have the idea of such initial conditions; observing them would mean changing them.

315

316 PAPER 69

Transitions Between Levels Spaced Almost Continuously

ALFRED LANDE Mendenhall Laboratory, Ohio State University, Columbus, Ohio

(Received June 16, 1938)

The transition probabilities between closely spaced energy levels, when calculated according to the usual perturbation methods, lead to apparent infinities if the perturbation is finite. A more appropriate method of approximation which disposes of the infinities is worked out. The resulting finite transition probabilities are identical with the finite parts of the usual expressions in first and second order, but additional finite terms appear in orders higher than the second.

T HE probabilities of transition between the levels of a continuous or almost continuous

energy spectrum can always be treated in an unambiguous way as far as the first-order (direct) transitions are concerned. But the second-order transitions (through one intermediate state) give rise to infinite transition probabilities in the case of a continuous spectrum. Usually one splits up the resulting terms, in a more or less arbitrary

Reprinted from Phys. Rev. 54,940-944 (1938).

way, into a finite part that is supposed to represent the physical facts, and an infinite part that is neglected without further justification. This procedure appears all the more ambiguous when one learns that different approximation methods lead to different convergent parts of diverging series. The omission of infinite terms seems to be based on the hope that the various infinite members would cancel one another if

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 317

TRAKSITION PROBABILITIES 941

only a pruper way uf approximation were introduced.' In the following we propose a method of approximation that is more appro­priate to the case of a continuous energy spec­trum. Furthermore, whereas the perturbation method is confined to perturbations that are small compared with the unperturbed intervals, we here strive to do away with this nonphysical restriction in the continuous casc. The results obtained in this way turn out to be free from the infinities mentioned before. They allow one at the same time to trace down the origin of the infinities that appear in the usual perturbation method.

§1.

In order to show the divergence in question we first lise an expansion with respect to the perturbation time T. If

'l!°(x, t) = L,a,oJ;,otx) exp [iE,Ot/h]

is an unperturbed oJ;-function, and if a perturbing potential V is applied there will be a change of the coefficients a/ with the time

d,= L,a,(t)ivkl exp [iwklt], (1)

where Wll= (EkO-E,O)/h

and (2)

One can try to find the a, after the time T by means of a Taylor series

If one inserts on the right for a,(O), ii,(O) the values obtained from (1) and its derivatives, and assumes an(O) to be unity and all the other a,(O) to be zero, one obtains the following power series with respect to the time T:

I See L. Nordheim's remarks in Th(orie des el du rayonnement (Annales Institut PoincClre, 1936), p.

This series can be rearranged in various ways. For instance, when transitions from Eno to neighborin{!. leiJels E10 with small Wf'll are con­sidered, one may rearrange (3) into a series with respect to powers of W n /. The resulting formula is not written down explicitly. When the per­turbation is small one may rearrange (3) with respect to powers of V:

(exp [iW",T J -1)

Vn ,

wn ,

+ (exp [iwn:TJ -1

wn ,

(4)

The three power series with respect to T, Wnl and V do not represent the same values, however, because a,( T) does not converge uniformly in T, Wnl and V. In the most inlportant applications T

as well as w n , and V are small, and the result will then entirely depend on the limiting process applied. In the series (4) the first power of V is multiplied by an exponential factor that contains already the highest powers of T and wn ,. In the case of radiation one is interested in finding the total probability J(T) of transitions from an initial level n into a range of levels I distributed with the spectral density peE,') :

J(T)= Jia,(T)i2.p(E,O).dE,O. (5)

When using the first term (4) alone one obtains the well-known result

J sin' (Wn'T) J(T)= ---2-ivn,i2p(E,O)dE,'

wn ,

where the matrix element Vnl refers to a transition from EnD to a level ElD of the same energy. This first approximation becomes questionable, however, \vhen one sees that the higher terms of (4) contain denominators wn,' which lead, when integrated in (S) over dE,', to infinities. On the other hand L i in the second term of (4) will tend toward zero if the perturbation becomes small. In the limit when both wn , and V become small, one arrives at an indefinite product o(). 0, which contributes to the integral (S). In the case of a finite perturbation, but ever decreasing

318 ALFRED LANDE

942 ALFRED LANDE

unperturbed intervals, the value of this product would approach "'. This is just one example of the insufficiency of the perturbation method. Other series than the above for a,(T) with differ­ent divergent results (see below §4) have been used by various authors. Our aim is to get rid of the infinities altogether.

§2.

In order to obtain a convergent expression for the transition probability in the case of an almost continuous spectrum, we first derive a rigorous expression for a,( T) for any value of r and for any magnitude of V. Approximations will be left to a later stage of the calculations (§3).

Up to the time 0 and after the time r we have the unperturbed potential U' with eigenfunctions ",,'. From 0 to T the potential U'+ V gives rise to eigenfunctions "'m' and eigenvalues Em·, Before t = 0 only the level E.' shall be present with amplitude 1. We can then expand, at t=O, the unperturbed ",-function into a series of perturbed ",-functions:

(6)

whose coefficients cm,,' are defined by

By the time T the wave function has become

Expanding this last function into the series

"'<x . . ) = Lab) . "',o(x) 'exp [iE'TIA]

we find after equating the right-hand sides of the last two equations:

a,(T)= J ",< •.• ) . ","Cx) exp [-iEh/A]dx.

Using (6) and (7) we obtain

a,CT) = Lm' exp [i(Em· -E,')TIAJcm·,c'm·,

for every I including 1= n and for every V. For r = 0 we have in particular

1 l=n a,CO) = Ln.'cm.,c· .. ,. which is 5.,= for (7")

o l,cn

according to the completeness relation, Thus a,CT) for lr'n can also be written

a,(r) = L .. ·(exp [i(Em·-E,')rIA]-l)

• Cm' ,C'm'" (8)

The Cm " may be expressed in terms of the perturbation. Multiplying the wave equation for "'m' by",," and the wave equation for "', by", ... , subtracting the products and integrating over the space coordinates we obtain

cm·,CE ... -E,') = Vm" (9)

where Vm"= J "'m' V",,"*dx.

Thus, if Em.+E,', one has cm .,= Vm,,j(Em,-E,'). Next we show that Cm" is proportional to Cm' ••

From (9) we have first

(10)

Under the integral we can replace "'m' by the series

(10')

where the sum is extended only over j + n. Each Cm'i under the sum L' can be replaced by a qnotient as in (10), and the same process can be repeated. This iteration leads to the pro­portionali ty

em'n C""'l=---' VnZ(m'),

Em,-E,' (11)

VniVijVjl + Lif.'Lif.' +. . . (12) (Em' - E,') (Em' -E;')

and where the Vii are defined by

Vij= J "'i'V",rdx.

Inserting this value of em" into (8) we obtain

Vnl(m')

·--·lcm,.I', (13) Em,-E,'

All formulae so far are rigorous.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 319

TRANSITION PROBABILITIES 943

§3.

We now are going to carry out some approxi­mations. Because of the factor (10)

the members m' of the sum (13) have a maximum for those m' whose energy Em' is close to E.o. If the perturbation happens to be of such a magnitude that one perturbed level Em' is found to be very close to E.o (much closer than to EO .+1 or EO .-1) then there is a very steep maximum for this particular m' which shall be called N' hereafter. If the perturbation V is varied slightly so as to shift EN' to a position say halfway between E. ° and EO .+1, then the maximum will be only moderately steep, and a number of members m' besides N' will contribute to the sum (13). We now introduce the assump­tion that in general. barring singular cases of discontinuous potential functions, the value of the sum (13) will not depend on such small variations of the magnitude of V that would shift EN' over an interval between E.o and E°n+1. That is to say, we assume that the value of (13) does not depend on whether the magnitude of V is varied slightly such as to produce a very steep instead of a moderately steep maximum under the sum. We are then allowed to calculate the value of (13), in the case of an almost con­tinuous energy spectrum, for such a magni­tude of V that one Em' which is called EN' is very close to Eno and thus contributes alone to the sum (13). This reduces (13) to

exp [i(EN,-E,')Tlk]-l a,(r) = . V.,(N') (14)

EN,-E,o

where EN'-E.' and where

VniVijVil + L'Ll + .. '. (14') (EN,-E,')(EN,-E;')

The value of (14), according to our assumption, is independent of whether the perturbed level EN' is ve,y close to or actually coincides with E.o.

Thus we can finally write, without physical restriction, for l;c n

where

exp [i(E.'-E")TlkJ-1 ----------. VnZ(n),

E",o-E,o

VnjVil V.i·) = V.,+2:'i"<.--­

Eno-E/,

(15)

VniVijVil + L/2:;' + .. '. (15') (E. ° - E,O) (E.' - EiO)

The first-order term of (15') is identical with that of (14'); the higher teflljs of (15') and (14') agree if our assumption is correct. Inserting (15) in the integral (5) one obtains

J(T) =1rTk· p(E")'1 (11k) V.,(·) l'E,n_E.n. (16)

In contrast to (4), our result (15) (lS') does not contain denominators E,o-E,' in higher than first order, the integral over a,( T) will not give rise to infinities.

§4.

Comparison with other solutions. The expres­sion (4) for a,(T) contains denominators "'., =E.o-E,' and also higher powers of "'., which give rise to infinities in the integral J(T). The same infinities reappear in the well-known result' given by the perturbation theory:

(17)

The second-order term is identical, in its first part, with our expression (is'). Its second part, however, contains the fatal denominator Wnl

which leads to an infinity in J(T). The origin of this term as the result of the perturbation method can be traced down as follows. Going back to the equations (14) and (14') and apply­ing them to so small a perturbation V that EN' is the perturbed level of E.o itself (instead of that of a distant unperturbed level) one may expand the denominators (EN,-E,O) in terms of

I See E. C. Kemble, Quantum Mechanics (McGraw-HilL 1937), p. 386, formula (47.27).

320 ALFRED LAND~

944 ALFRED LAND~

the unperturbed levels, that is, one may write in (14)

If we- neglect all terms of higher than second order, and notice thatEN,-E.'= V .. because of (9) and (7), we obtain

1 [ V.; Vi! --- V.,+L:;' E.'-E,' E.'-E,'

V .. V., ] (E,'-E,') +. .. ;

hence according to (14)

exp [i(EN ·-E,')T/hJ-1

The square bracket turns out to be identical with (17), whereas the time factor before the bracket contains EN' in its exponent and E.' in its denominator, instead of EN' in both places as in (14) or E.' in both places as in (IS). The nonconvergent term in the usual expression (17) is thus found to originate from an inconsist­ency of approximation: If in (14), when passing over to (15) one would replace EN' by E.' only in the denominator but not in the exponent, then a,(T) would converge toward const/O= co instead of toward 0/0= finite for E,· .... E.'.

The divergent series (4) is correct only in its first-order convergent term. The divergent series (17) agrees with our result only in its first- and second-order terms and only when the divergent part of the latter is dropped. Our third- and higher-order terms differ however from the usually given expressions' which read in third order

in contrast to our

t'n,fJi:jf)jl L:/L:/---.

WniWni

The latter can be transformed by virtue of

1 1 1 --=--+-­WniWnj WrdWiJ WniWii

for E.'-E,' into the more symmetrical form

(18)

whose first part is identical with the- usually given third-order term. Not so, however, the second part of (18) since the state n is different from the state I although E.'=E,'. The cus­tomary expression3 is asymmetric in so far as it contains in its denominator the interval between the initial and the first intermediate level but lacks the interval between the last intermediate and the final level.

A few remarks may be added about degeneracy. In general V., does not vanish. If, however, for a group of final states I in the neighborhood of n, all the V., happen to vanish like (E.'-E,'), then we have degeneracy: The group I together with n may be considered as having had origi­nally exactly the same energies, then as being separated first by a potential, say (1/10) V, to which is added later the perturbation (9/10) V. The relation V.! = 0 means then that V is adapted to the originally coinciding states in so far as both the integrals

vanish. If V., vanishes like (E.'-E,')' then the second-order term in (lS/) will also vanish, and the series begins with the third-order term. The difference between our formula and the customary expression would then have physical significance.

"See for instance reference I, p. 10, formula (3.8)

PAPER 71A

SOMMERFELD'S FINE STRUCTURE CONSTANT AND BORN'S RECIPROCITY.

BY

ALFRED LANDE, Professor of Theoretical Physics. Mendenhall Laboratory. Ohio State University.

SUMMARY.

321

The problem of the electronic charge distribution together with that of the nagnitude of Sommerfeld's fine structure constant a = 27re'/hc = 1/137 is re­

duced to a linear homogeneous integral equation for the density amplitude f. The kernel depends on the parameter a, and every value of a determines an eigen­function. One eigen value a and one eigenfunction is selected by an additional condition which is, the energy balance. The resnlts are based on a hyperbolic sine relation between the momentum measurements of an inside and an outside observer, and on a similar relation between the space measurements of the two observers. Whereas the relations in momentum space are derived from the familiar Einstein energy-momentum equation, the space geometry of the particle is obtained by an application of the principle of reciprocity of M. Born.'

§1. EXTERNAL VERSUS PROPER OBSERVER OF THE PARTICLE. NEW SPACE GEOMETRY OF THE PARTICLE.

When a particle is accelerated from p = 0 to a momentum p (as observed by an outside observer), we may ask, what would be the proper increase of this momentum for an ob­server who is placed on the accelerated particle itself? The answer can be derived from the Einstein relation between energy and momentum (for an outside observer):

(e/c)2 = (moc)2 + p2

or, when using reduced values

E = e/moc2,

from the equation

E2 = I + p2 hence

P p/moc,

E-dE = P·dP,

(I)

defining a hyperboloid in the EPxPyP. space. An increment dP is the projection of an increment dP' on the hyperboloid

dP' = (dP2 + dE2)t.

The proper value of this increment is obtained, however, by

I M. Born, Proc. Roy. Soc. A, 165, p. 291, 1938. 495

Reprinted from J. Franklin Inst. 498, 495-502 (1939).

322 ALFRED LANDE

ALFRED LANDE. [J. F. 1.

dividing dP' by the proper unit of length which is, by the distance (P2 + E2)! of the line element from the center:

° _ (dPZ + dE2) I dP - p2 + E2

for which we can write, by virtue of (2)

dpo _ dP - (I + P2)!

The momentum increase from 0 to P for an outside observer th us corresponds to a proper increase from 0 to

i p dP po = , = In [P + (I + P2)!] = Sinh-1 P.

o (I + P2),

Vice versa we have P = Sinh po. (3')

For small values of P = plmoc the difference between po and P is negligible. But if p is as large as hiD where D is the electric diameter of the particle, the ratio P to po becomes of the order of 100, as was shown in a Letter to the Editor of the Physical Review.2

Next we ask for the volume element dW in the ordinary P-space as compared to that in the proper momentum space, dWO. The volume element in the curved space of the hyper­boloid (2) is

dW' = dPxdPydPz[ I +(:;J2 + (:;)2 + (:;zYT _ (I + 2P2)! - 1+ p2 dW.

The proper value of this volume element is obtained by divid­ing dW' by the proper unit of length (not by its cube, because the Lorentz contraction applies only to the longitudinal direction) :

dW

These formulae are consequences of the Einstein equation (2).

2 A. Lande, Phys. Rev., Sept. I, 1938.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Oct., I939.] SOMMERFELD'S FINE STRUCTURE CONSTANT. 497

We now introduce a new set of formulae relating the space measurements of an outside observer to those of an internal observer. If r is the distance from the center, we introduce a dimensionless reduced distance R and postulate a new geometry for the inside observer of the particle. His reduced line element shall be (compare with (3»

hence

dRo _ dR . - (I + R2)l '

R = Sinh RO,

and his volume element (compare with (4»

dVo _ dV - (I + R2)l

(5)

These relations are derived from an equation reciprocal (in the sense of Born's principle of reciprocity) to Einstein's equ. (2):

(ct)2 = (-ye2/moc2)2 + r2,

c!! = C~I + ,),e2/moc 2r)2 > c dt

with a numeri.cal factor ')'. Introducing

our new fundamental equation of the particle reads

~~ = -VI + (I/R)".

(6)

(6')

If t is interpreted as the time for a signal travelling along r then (6) means that the time -ye2/moc 3 is saved from infinity to the center of the particle. This agrees with an earlier result of Dirac's, 3 who derived from classical considerations that the time saved by a signal from infinity to the center of the particle is 2e2/3moc3. Thus -y = 2/3 might be correct, although Dirac's result concerns only the major part of the signal, and')' = I might still be true.

3 P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A, 167, p. 148, I938.

323

324 ALFRED LANDE

ALFRED LANDE. (J. F. 1.

§2. TWOFOLD COORDINATION OF PROBABILITY AMPLITUDES. THE INTEGRAL EQUATION.

In terms of the dimensionless quantities Rand P (I) (6') and of Sommerfeld's fine structure constant a = 27re2/hc we can write

2i7r . PR . 'PR - P . r = tal' = ta h

with a' = a"y. (8)

The density amplitude in space and the abundance amplitude in momentum space (for an outside observer) are then related by the equation

if;(R) = (2a~ r f f fx(p) exp [ia'(P·R)JdW (9)

and its inversion

x(P) = (2a~ r f f f if;(R) exp [-ia'(P·R)}dV. (9')

We are now going to apply quantum theory not only to the external but also to the internal observer. The latter shall be supposed to live in a world with a "natural" quantum of action ho relating his proper momentum and space coordi­nates. Since both worlds are related by the transforma­tion formulae of § I, ko will be calculable from h; Or, putting

k = 27re2/ca and ho = 27re2/cao, (10)

ao will be calculable from a and ao' = ao"y from a' = a"y. In the present state of the theory we know a to be near 1/137. This will lead in §3 to a "natural" value of ao near unity. A future theory might start from assuming ao to be unity and then try to calculate the numerical value of the fine structure constant a.

Quantum theory in the proper system shall be governed by the equation, using ao' instead of a',

XO(PO) = ( :: ) j f f f if;°(RO')

X exp [ - iao'(po·RO')}dVO' (II)

and its inversion analogous to (9) (9'). (The letters RO' and VO' are written instead of RO and VO in order to have RO

SELECrED SCIENTIFIC PAPERS

Oct., 1939·] SOMMERFELD'S FINE STRUCTURE CONSTANT. 499

available later.) It is plain that two quantum theories, one with h and one with ho in the two spaces cannot co-exist in general. But the point is that if we postulate them to co­exist then we come to a special case, to a o/-function rep­resenting a particle. (9) connects 0/ with x, (I I) connects 0/0 with xo. In addition we have the following relations between x, 0/ and xu, 0/0:

(12)

completing the cycle o/xx°%o/. Thus, beginning with 0/ in (9) we substitute on its right under the integral

x(P)dW = xO(PO)~dWdWO

(see (4». Then we replace XO(PO) by the integral (II) over %(RO) and substitute

%(RO')d VO' = o/(R') ~d V'd vo,. In this way we arrive at the integral equation

o/(R) = ( a~:~' r J J J [J J f exp (ia'PR)

X exp (- iao'PORO')-VdWdWo10/(R')"dV'dVO'.

In the case of spherical symmetry we obtain easily

(R) = (a' ao' ) If [ f sin (a' P R) sin (ao' PORO') 1/1 47r2 (a'PR) (an'PORO')

47rP2dP] , 47r (R')2dR' X (I + P2)1 o/(R) (1 + R'2)l'

where po and P, RO' and R' are related by (3') and (5). (13) is a homogeneous integral equation for o/(R) with the kernel

K(R R' , ') = (l!:'ao')l ('" sin (a'PR) , , a , (1'0 47r2 Jo ((I"PR)

sin ((1'0' Sinh P Sinh R') X (ao' Sinh P Sinh R')

The kernel is unsymmetric in Rand R' and contains the two VOL. 228, NO. 1366-35

325

326 ALFRED LANDE

500 ALFRED LANDE. !J. F. 1.

parameters a' = a'}' and ao' = ao'}'. If one of them is given then every value of the other leads to a solving eigenfunction f, normalized to unity. \Ve now introduce the additional condition 4

that is, because of R = rmoc2/e2'}', the condition that the electrostatic energy of the charge cloud shall be moc2• This additional condition then selects one eigenvalue a', if ao' is given, and vice versa. The theory is based on two ideas: (A) the classical equation P = I + R2 reciprocal to E2 = I + p2; (B) the coordination of the quantum functions f, X of (9) and fa, XO of (II).

13. APPROXIMATE SOLUTION OF THE INTEGRAL EQUATION.

Before trying to solve the integral equation (I3) we must get acquainted with the kernel (I4). Its values for various arguments cannot be obtained without much numerical work. But we may try at least a very rough approximation, not so much in order to obtain numerical results than to study the general type of problem involved. Our approximation shall consist in replacing the functions (sin x/x) under the integral (I4) by zero for values x > 271", and by a constant C for x < 271". The integral in (I4) then reduces to

J = C2 [PO' 471" (Sinh PO)2 (Cosh PO), dpo . . °

Instead from 0 to 00 the integral runs from 0 to an upper limit po* which is the smaller of the two values po* defined by

ao'po*Ro' = 271" resp. c/ Sinh po* Sinh RO = 271".

That is, po* is the smaller of the two values

po* = 271"/a'Ro, resp. po* = Sinh-1 (271"/a' Sinh RO). (I6)

The kernel (I4) is thus

4 For this additional condition as well as for many important critical remarks I am very much indebted to Prof. L. H. Thomas

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Oct., I939·] SOMMERFELD'S FINE STRUCTURE CONSTA:-IT. 501

where J is now to be considered as a function of its argument po* . So we have two cases:

Sinh (27rjOlo'RO') > 27rjOl' Sinh RO. (17 I)

Here K is an asymmetric function of RO and RO'.

Sinh (21r-jOloRO') < 27rjOl' Sinh RO. (17 II)

Here K depends on RO' alone and not on RO. The boundary between the two cases is given by the

equation (18)

representing a boundary line in the RORo' plane drawn in fig. 1. The point A on this curve marks the point where RO equals RO'. When solving the integral equation (13) with

FIG. I.

A

the simplified kernel we may first try to get a solution for a finite range of RO, supposing that f outside of this range is negligible. The kernel is then to be defined in a corresponding finite range, that is, within a finite square of fig. 1. Three such cases are drawn in fig. 1 supposing that f is negligible beyond A, E, C respectively. At the same time one may approximate the integral equation by a system of linear homogeneous equations for the values of f at various points R1oR2°Rao . '.. The kernel is then the determinant of the set. I ts elements are

Kmn = K(RmORnO').

Now if 01' is such as to produce the case I, then the determi­nant is an unsymmetric scheme of elements K mn , and the

327

328

502 ALFRED LANDE. [J. F. 1.

determinant will not vanish in general. In case II however, the determinant will have many equal columns. Thus the integral equation will have not only one but many independent solutions. The only case where there is one definite solution is found at the boundary between the two cases. If in fig. I we consider the three squares A, B, C resp. as being filled with the elements Kmn of the determinant K, then the square B contains many equal columns, entered as vertical lines. The column C does not contain equal columns at all. Only the square A represents the boundary case where equal columns just begin to appear, leading to one definite solution of the integral equation.

Thus, for a certain value of ao' we have first to draw the boundary line (IS) in the RORo' plane. Then we have to find the point A on it where RO = RO'. This point is determined by the equation

Sinh (27r/ao'RO) = 27r/a' Sinh RO,

that is by the equation

Sinh (27r/'YaoR°) = (27r/'YaR).

(The factors 211' on both sides are due to our neglecting of sin x/x beyond x = 211'.) In order to satisfy the additional condition of the electrostatic self energy we have to deal with a '" function that is negligible outside the usual electrostatic radius r = 2e2/3mo(;2, that is, we have to take R in (19) equal to 2/3'Y, and RO equal to Sinh-1 (2/3'Y)' If 'Y = 2/3 (see end of §I) then R = I and RO = o.SS. Putting I/a = 137 we then have on the right of (19) a number of order 211" 137. However, 211" 137 happens to be numerically close to Sinh (211'). Thus the argument of Sinh on the left of (19) must be of order 211', and 'YaoRo of order unity. Since 'YRo is of order unity the same must then be true oj ao itself. According to this very rough approximative consideration the appearance of 137 has its numerical origin in the fact that the ratio of 211' to Sinh (211') is of order I to 137.

It gives me great pleasure that I can refer to a paper of M. Born's on the same subject to be published soon by the Royal Society of Edinburgh.

PAPER 72 329

The Structure of Electric PartIcle. and the Number 137

In a recent letter to the editorl I reported the purely empirical result that the uncertainty product of the ranges in space and in momentum space of an electric particle, 6op·6or-h-137·2"e'/c, is reduced to a product 6op'.6o,. ~2 .. "/cwithout the factor 137 if 6op' and 60,.. are the prope, ranges as measured by an observer on th~ particle itself. The result was based on Einstein's energy-momentum relation (EI = 1 + pi in reduced units) and on a similar space-time relation (']'1= l+Rt in reduced units). The latter equation (postulate A), established in (I) for the first time, was to characterize the particle in a fashion ureciprocal'~ to Einstein's relation in the sense of Born's principle of reciprocity.' The physical meaning of 1"' = 1+ R' is that a signal sent across the particle travels at a velocity larger than &, in agreement with an earlier result of Dirac's.' [f, according to Dirac, the time saved by such a signal from infinity to the center of the particle, is 2et /3moe3, then our reduced coordinates are to be

T=cl·(moc·/ ..... )

with "Y -I. However, the question of the magnitude of the factor"Y is not quite settled; it is a question of the classical theory of the electron.

Starting from the classical equation P = 1 + R' and from the empirical result of (I) we have tried to work out a more consistent quantum theory of the particle with the aim of having the Sommerfeld fine structure constant a= 1/137 appear as the eigenvalue of a linear integral equation whose eigenfunction under an additional condition is the density amplitude I/t(r) of the electric particle (irrespective of its mass). With a-e2/Ac and with a' -a/'Y the Fourier ex­pansion of quantum theory reads

",(R) = (a'/2,,)lf f fx(P) exp [ia'(P·R)JdVp

and its inversion. We introduce a similar equation for the proper reduced coordinates and momenta (compare with

Reprinled from Phys. Rev. 56,486 (1939).

(I)) P'-sinh-1 P and R'=sinh-1 R, namely (Postulate B):

x'(P') = (a,'/2 .. )lf f fofl'(R') exp [-ia,'(p'·R')]dVO

and its inversion. Here we have used a,'=ao/"Y where aD

is a "proper" fine structure constant to be determined later. Identifying oPdV with (ofI')'dVO and x'dVp with (xO)2dVpO we obtain a closed chain of equations expressing '" by x, t', ",0, If. and resulting in a linear integral equation4

for If(R) whose unsymmetrical kernel K depends on the two parameters a and aD since 'Y is known classically:

,,(R) - fK(R, R', a., a) . ",(R') ·dR'.

On the suggestion of L. H. Thomas we add the condition that the electrostatic self-energy equals the rest energy m0e2. In our reduced coordinates this condition reads

f f(I/R,,) 'oP(R,) 'oP(R,) ·dVdV,=1'.

The integral equation is solved, according to a very rough approximative consideration,' by an eigenvalue ao of order unity if we assume a to be 1/137, and by an eigenvalue a of order 1/137 if we assume aD to be unity. The latter value would amount to a "proper quantum" lio=etjc applying to the proper space, as against Ii = e2 / ac.

There is the objection to (B) that two quantum theories, one with h and one with ko cannot hold simultaneously on the ground of the transformation theory. This is true in general. But the point is that if we require them to coexist then we are led automatically to special If-functions, those representing a particle.

Ohio State University, Columbus, Ohio,

June 28, 1939.

ALFRED LANDE

! t:.LB:!~'lr~~~i~~;~·S:'. :"~~.1;~~\a~.~ as (1). I P. A. M. Dirac. Proc. Roy. Soc. Al67. 148 (1938). 'To be published in the J. Frank. lnat. (1939).

330 PAPER 73A

ON THE EXISTENCE AND THE MAGNITUDE OF ELECTRONIC CHARGES.

BY

ALFRED LANDE,

Professor of Theoretical Physics, Mendenhall Laboratory. Ohio State University,

SUMMARY.

In order to quantize Dirac's classical point electron 1 we supplement Einstein's classical equation (Ele)2 - p2 = b2 with a reciprocal classical equation (et:..t)2 - (t:..rF = a2 where b = me and a is Dirac's signal radius. t:..t is the time saved by a light signal in various states of motion of the electron, and ale is the rest time saved. Our former efforts 2 of ob­taining an integral equation for the probability amplitude have been rectified by Born.3 There is no solution of the integral equation, however, unless advanced and retarded phases are introduced simultaneously, along with Dirac's advanced and retarded potentials. We have obtained a transcendental equation for the eigen-value II- = a'Y where a is the Sommerfeld fine-structure constant, and l' is the numerical factor in Dirac's signal radius a = -ye2/me2• The smallest eigen-value is II- = 0.0299. That is, ab = hlJ. = h/21O.

1. CLASSICAL THEORY OF THE POINT ELECTRON.

The Lorentz-Einstein theory ascribes the rest mass of an electric particle to the Coulomb potential of its charge cloud. Quantum theory, when considering the charge cloud as a probability cloud in order to avoid its explosive tendency, cannot overlook the fact that a small radius in space implies a large range in momentum space with energies of motion that would be about 100 times as large as the energy of the rest mass. Furthermore, since particles can have a mass without having a charge, the electrostatic theory of the mass

1 P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc., AI67, 148, 1938. 'A. Lande, Phys. Rev., 56, 482,1939. ]OURN. FRANK. INST., 228, 459, 1939. 3 M. Born, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 49, 219, 1939.

Reprinted from J. Franklin [nst. 229, 767-774 (1940).

SELEcrED SCIENTIFIC PAPERS

768 ALFRED LANDE. [J. F. I.

cannot be maintained any more. For these reasons Dirac has reexamined the problem of the classical point electron. His chief result was that the usual singularities in the field of a point charge can be avoided if one considers the point charge as subject to the difference of the advanced and re­tarded potential produced by its own past and future path. Without resorting to a finite radius of the particle, an elec­tronic "radius" re-appears in Dirac's theory in a quite new fashion. If a short light signal is sent toward the electron then the latter reacts already a long (infinite) time before the light signal could normally arrive at the charged point. The time saved by the bulk of the signal, as compared with a normal light signal, is T = a/c where a may be called the "signal radius" of the particle. It is hard to obtain an exact definition of the magnitude of a. In Dirac's theory the reaction of the electron to the signal is described by func­tions exp (r/ro) with ro = 2e2/3me 2• Therefore one may put a = 2ro or a = ro depending on whether one ascribes the time saved by the signal to the receiving electron alone or to the transmitting electron as well. According to another custom­ary definition of the "width" of the signal one might take the value of the signal radius 211" times as large. In view of this indefiniteness we write

with an unknown numerical factor 'Y of order i or 211"i. The signal time saved is t:J.t = a(c. During the time t:J.t the electron has travelled the distance ilr = o. This applies to an electron at rest and an observer at rest. If both are in the same state of motion, then the respective values are t:J.t' = a(e and ilr' = o. Relativity requires (Cilt)2 - (ilr)2 = (eilt')2 - (ilr')2. Thus we obtain in general

where

Various values of ilt and ilr as viewed by an observer at rest are found on the hyperboloid defined by equation (2).

The signal equation (2) is of the same form as Einstein's equation

where b = me.

331

332 ALFRED LANDE

June, 1940.] ELECTRONIC CHARGES.

The principal feature of this equation is that it is invariant under rotations but is not invariant under translations. The energy and the momentum of a particle can be found only on the hyperboloid defined by equation (3). There can be no " reciprocity" of the f, p space and the space t, r since space­time relations must be invariant under translations as well. This is the reason that an amplitude function x(t, p) has a physical meaning, but a function if;(t, r) describing the proba­bility amplitude of position in space-time is meaningless. On the other hand, a probability amplitude of finding various values of the intervals!:::.t and !:::.r can have a physical meaning.

The invariant volume element in the p-space of equation (3) is

(4) dwo = p2dpdcf>d(cos O)[r + (p/b)2]-I,

and the invariant volume element in the !:::.r-space of equation (2) is

(4') dvo = (M)2d(M)dcpd(cos ti)[r + (M/a)2]-t.

It is convenient to use the reduced dimensionless coordinates

(5) P = p/b, E = Ejbc, D = Mja, T = c!:::.tfa.

The proper value of P for an observer accelerated along with the electron is

(6)

Similarly we may use the abbreviation

(6') Do = sinh-1 D.

2. QUANTIZATION OF THE POINT ELECTRON.

The quantum theory of the electric particle shall be founded on the assumption that, the more exact we measure the distance !:::.r of equation (2) the less exact will be our simultaneous determination of the momentum p of equa­tion (3). That is, we consider the probability amplitudes x(p) and if;(M) as conjugate in the sense of the quantum theory. Our first attempt 2 to use this conjugacy was put on a reason­able basis by Born 3 whose work we are going to modify again.

SELEcrED SCIENTIFIC PAPERS

770 ALFRED LANDE. [J. F. 1.

First, Born's integral equation is the iteration of a much simpler one. Second, it is necessary to imitate Dirac's method of the advanced and retarded potentials; otherwise the result­ing equation would be meaningless.

In terms of the reduced coordinates (5) and with the abbreviation

the Fourier relations between if; and X read

(8) if;(D, T) = (p./271')I J x(P, E)

X exp {ip.(P·D - ET) jdWo,

(8') x(P, E) (p./27r)I J if;(D, T)

X exp {- i}J-(P·D - ET»dVo,

where dWo and dVo are reduced invariant elements

(9) dWo = P 2dPdq,d(cos e)(p2 + I)-t,

(9') dVo = D2dDd<pd(cos iJ)(D2 + I)-I. Substituting (8) in (8') one obtains with Born the integral equation

(10) x(P, E) = (}J-/271')3 f f x(P', E')

X exp {i}J-(D·P - P' - T·E - E')]dWo'dVo

and a similar integral equation (10') for if; when (8') is substi­tuted in (8). It was Born's idea that for a "particle at rest" one has to replace E by ± (P2 + 1)1 and T by ± (D2 + 1)1. One might think that for every sign of the square root there were a separate integral equation so as to determine four if; functions and four X functions. Instead, we carry the in­tegrals over all choices of the signs simultaneously, in line with Dirac's retarded and advanced potentials. That is, we replace factors exp (± i'-i) by their sum 2 cos ('-i). So we write instead of (8') and (10)

333

334 ALFRED LANDE

June, '940.] ELECTRONIC CHARGES. 77 1

(II) x(P) (JI./27r)I f f(D') exp (- iJl.P·D')

2 COS [JI.(P2 + I)I(D" + I)IJdVo',

(I2) x(P) (JI./27r)3 f f x(P') exp (iJl.D· P - P')

X 2 COS [JI.(P2 + I)I(D2 + I)IJ X 2 COS [JI.(P" + I)I(D' + I)IJdWo'dVo,

and two similar equations (II') and (12') for feD). Because of the formal equivalence of P and D, the equations for x(P) and those for feD) will have the same eigenvalues JI. and the same normalized eigen-functions, except for the fact that the latter may be supplied with factors ± I or ei~ without violat­ing their normalization. We therefore can replace f(D') in (II) by ± x*(D'). Then changing the notation D' under the integral to the notation P' we obtain instead of (I I)

(13) x(P) = ± (JI./27r)1 f x*(P') exp (- iJl.P,P')

X 2 cos [JI.(P2 + I)I(P'2 + I)lJdWo'.

(I2) is the iteration of the much simpler equation (13).---­Supposing spherical symmetry of X and integrating over de/> and d(cos 0) where 0 is the angle oetween the vectors P and P' we arrive at

(13') x(P) = ± 87r ( :7r ) I f x(P') sin JI.~;;') -- I P"dP'

X cos (JI.-/P~ +1 ,p" + I) ,(=.== ,p" + 1

Then introducing the proper reduced momentum Po defined by (6) (6')

P = sinh Po,

substituting

-/p2 + I = cosh Po,

x(P)·p = cp(Po),

and rearranging sines and cosines, we arrive at the integral equation

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

ALFRED LANDE. [J. F. 1.

± ~2: fa'" .p(Po')[sin (p. cosh (Po + P'))

- sin (p. cosh (Po - Po'))JdPo'.

3. EXACT SOLUTION.

In order to find the eigen-values and eigen-functions of (IS) we try the Ritz method. After multiplying both sides by cp(Po)dPo and integrating we have

(16) I = ± ~ f f cp(Po).pCPo')[sin - sinJdPodPo'. 7r

Substituting the new variables

u = Po + Po',

we obtain

v = Po - Po', dPodPo' = - Mudv,

(17) I = ± jff: ,{" du .£u dvcp (u ~ v) cp (11 ~ v)

X [sin (p. cosh 11) - sin (p. cosh v)].

In order to satisfy this equation we use a trial function with one maximum only:

(18)

We consider the limit A = 0 where

and

This is a constant probability density in the proper space for an observer who considers 47rPo2dPo as his volume element. For an observer at rest the density amplitude (14) is

(19') x(P) = cp(Po)/Pw = CPo/P = (C sinh-1 P)/P

with a maximum at P = 0 and a Gaussian-like decrease for larger values of P. When the trial function (~ is substi­tuted in (17) the latter after some rearrangements reduces to

I = ± ~ 2' (- I) J,'" sin (p. cosh u)du = =r ...J27rp.Jo(p.) 7r 0

335

336 ALFRED LANDE

June, I940') ELECTRONIC CHARGES. 773

where J 0 is the well known Bessel function. The last equation may be written

(20)

This is a transcendental equation for the smallest eigen­value JJ. of the equation (17). The smallest solution of (20) is

(20') JJ. = 0.157 "',

close to 1/211". But there are larger solutions JJ. ~ 1.8, JJ. ~ 3 etc. Substitution proves that our trial function (19) which solves the Ritz equation (17) is already the exact ground solution of the equation (IS). However, when we replaced the factor exp (± i...J) by 2 cos, we did so under the assump­tion that x(P, ..Jp2 + 1) = x(P, - ..Jp2 + I). If however x(P, ..Jp2 + I) = - x(P, - ..Jp2 + I) then the integration over both hyperboloids amounts to replacing the factor exp (± i...J) by 2i sin. (This is in close analogy to Dirac's difference of advanced and retarded potentials.) We then have to replace feD') in (l I) by ± ix(D'). As a consequence, the integrand in (IS) now becomes a difference of two cosines rather than two sines. The new integral equation (IS) is again solved by the eigenfunction (19) (19'), but JJ. is now de­termined by the transcendental equation

whose smallest solution is

(21') JJ. = 0.0299.

Although this eigenvalue is still larger than 1/137 it would lead almost to the correct value of a = JJ.i'Y if I' were as large as ~ . 211" (see § I). But as long as we don't have a classical theory which yields a definite value of I' without ambiguity, our JJ.-value (21') cannot yet be used to predict a. . Prof. L. H. Thomas has found that higher eigenfunctions of the integral equation (IS) are

(22) tp,(Po) = sin(vPo), that is, x,(Po) = sin(vPo)/sinh Po

for continuous values of the parameter v. The eigenvalue JJ.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

774 ALFHED LANDE. [J. F. 1.

thereby has to satisfy the transcendental equation

(23) I = ± >/ 27rp. ~ 1'" sin (fl. cosh u) cosh (vu)du 7r 0 cos

where the sin applies to the sum, and the cos to the difference of the factors exp (± i>/-). For v = 0 this is our former case (19), (20), (21). Although the spectrum of the eigenvalues fl., is continuous, the ground value (21') has the preference of belonging to the only non-oscillatory eigenfunction (19') with a maximum of x(P) at P = o. Other solutions (not eigen­functions) of (IS) are «,,(Po) = sinh (vPo).

I am greatly indebted to Prof. Thomas for his many valu­able suggestions.

337

338 PAPER 73B

ON THE STABILITY AND MAGNITUDE OF ELECTRONIC CHARGES. PART II, SCALAR WAVE FUNCTIONS.

BY

ALFRED LANDE and LLEWELLYN H. THOMAS,·

Mendenhall Laboratory, Ohio State University.

1. INTRODUCTION.

The question of how electronic particles can exist in space and time under the laws of relativity and quantum theory splits up in two separate problems. First, if the particle is supposed to be characterized by a fundamental momentum (me) and a fundamental length a reciprocal to m, then how large is the product ame (which is independent of m)? The answer has been found 1 in Part I. The numerical ratio ame/Ii in the most stable ground state is

p. = ame/Ii = 0.02985037 ..

as the smallest solution of the transcendental equation 27rP.[YO(p.)J2 = I. See also this Part II section 4.

The second question is that of how large is the length a? Or, if a is written in the form a = 'Ye2/me2, how large is the numerical factor 'Y? If 'Y were known we would be able to predict the value of Sommerfeld's fine structure constant

a = e2/eli = 'Y-l('Ye2/me2)mc'li-l = p./'Y.

Although we do not have a unique way of calculating 'Y, certain physical considerations (see below) seem to leave only two reasonable choices for 'Y. The one is 'Y = 4' (2/3)112 ob­tained when a is the diameter of }. }. Thomson's cross section (f of a free electric particle scattering infrared light, CT = (87r/3) (e2/me2) 2 so that (a/2)27r = (f with a circular area (1".

The other choice of 'Y is obtained from the stilI simpler formula a2 = 2u so that a is the diagonal of a quadratic area (1".

• Sections 1-4 by A. L., Section 5 by L. H. Th. 1 A. Lande, Part I, JOUR. FRANK. INST., :u9, 767, 1940.

Reprinted from I. Franklin [nst. 231,63-70 (1941).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

A. LANDE AND L. H. THOMAS.

It is noteworthy that the latter choice

a2 = 20", that is, 'Y = 4' (7r/3)1/2 = 4.093307 ..

immediately yields P. 1 a=-= 'Y 137·1273

[J. F. 1.

The value of II. was derived a priori, and only the factor 2 in a2 = 2(1 has been chosen a posteriori. The physical reason why (a/c) should be the time for a light signal to travel across (1 will be discussed in a separate paper.

Our way of arriving at the proper values of p. is related to the theory of Born and Fuchs! but differs in the method as well as in the results.

2. THE INTEGRAL EQUATION.

We are using reduced coordinates and momenta

R = ria, T = et/a, P = p/mc, E = E/mc2. (I)

Einstein's and the signal equation then read

E = ± (P2 + 1)112,

T = ± (R2 + 1)112.

In Part I we wrote Ilr and Ilt instead of rand t in order to emphasize the interval character of rand t. Through (2) (2') the wave functions I/t(R, T) and x(P, E) become functions of the vectors Rand P alone and of the sign of T and E:

I/t+(R) , I/t-(R) , x+(P) , x-(P).

The ground solution of the Schrodinger-Klein-Gordon equa­tion for a free particle is an exponential function

exp [iJi-l(P'T + d)].

We may build up more general solutions in the form of Fourier integrals

I/t(R) = (P./27r)3/2fxCP) exp [ip.(P·R + ET)}lWo, (3)

x(P) = (p./27r)3/2fl/t(R) exp [-ip.(P·R + ET)}lVo. (3') • M. Born. Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 59. 219. 1939. Born and Fuchs. ibid .•

60. 100 and 141. 1940.

339

340 ALFRED LANDE

Jan., 1941.J ELECTRONIC CHARGES.

dWo and dVo are the invariant volume elements on the hyperboloids (2) (2')

dWo = P2dPdr/>d(cos IJ) lEI-I, (4) dVo = R2dRdcpd(cost1)ITI-I,

whereas J.L is an abbreviation for the positive numerical factor

J.L = arne/ftC = 1'. a, see introduction). (4')

The integrations in (3) (3') shall be carried over positive and negative values of E and T respectively. The factor (J.L/27f)3/2 is chosen so that (3') would be the direct inversion of (3) were it not for the factor exp (iJ.LET) and the relativistic denominators IEI-l and ITI-l in dWo and dVo. That is, the nonrelativistic approximation of (3) (3') could be solved for every function 1/; and for every value of J.L. In fact, however, (3) (3') are satisfied by certain selected proper func­tions 1/; and proper values J.L only.3 When solving (3) (3)' we may consider two special cases;

x- = x+, or

x- = - x+,

(a)

(b)

so that 1/1+ and x+ satisfy the equations obtained from (3) (3')

1/;+(R) = (J.L/27r)3/22fx+(P)

X exp (iJ.LP·R) {i~~~(J.LIEIITI)·dWo, (s~}) x+(P) (J.L/27r)3 /22f1/;+(R)

X exp (- iJ.LP·R) {_ i~~~(J.LIEIITI)·dVo. (S'~})

When 1/1+ and x+ have been found then 1/;- and x- are defined by (a) (b). In Part I we considered wave functions of spherical symmetry (1 = 0). Here we discuss angular wave functions (1 = 0, I, 2, ... ) in general.

• A proper value problem of a similar kind was first suggested in JOUR.

FRANK. INST., 228, 459, 1939. M. Born (Part I) first suggested an integral equation not very different from (3) ·(3').

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

66 A. LANDE AND L. H. THOMAS. [J. F. I.

3. ANGULAR WAVE FUNCTIONS. INTEGRAL EQUATION.

If if; and X depend on t'J, <p and 0, cf> respectively we factorize

if;(R) = if;(R)\l3r(cos t'J) exp (im<p), x(P) = x(P)\l3r(cos 0) exp (- imcf».

(6)

The angular factors (spherical harmonics) shall be normalized to unity. We then have the expansion

exp (iJJ.P· R) = exp [iJJ.PR(cos t'J cos 0 + sin t'J sin 0 cos( <p -cf») ] " ! D L:m(21r) 3f2il(jJ.P R)-lf2 JI+!(jJ.P R) o 0

X \l31m(COSt'J)\l3r(cos O)·cos [m(<p - cf>)].

This and (6) substituted in (5) (5') leads to the equations

if;+(R) = i 1jJ.3f22 i" x+(P)

JI+1(jJ.PR) {.c~s(jJ.ITIIEI)P2dPo, X (jJ.PR) 1/2 2 sm

x+(P) = (- i) lp,3f22 i" if;+(R)

X JI+!(jJ.PR) { . c~s (p,I TilE I )R2dRo (7' ab } ) (p,P R)1/2 - 2 sm

if we use the abbreviations

R = sinh Ro, P = sinh Po,

I TI = cosh Ro, IE I = cosh Po,

I TI-1dR = dRo, IE 1-ldP = dPo.

(8)

The two interlocked equations (7) (7') for if; and x can be reduced to one equation for if; and another equation of the same form for X if we consider the particular cases

either

or

if;(x) = (±)ilx(x),

if;(x) = (±)ilHx(x).

(A)

(B)

Born's "reciprocity" appears to be a particular way (.\) of solving the quantum problem (3) (3'). The case (B) however turns out to be more important.

A real symmetric kernel is obtained in the two combination

341

342 ALFRED LANDE

Jan., I94I.] ELECTRONIC CHARGES. 67

cases (Aa) and (Bb) where (7) (7') reduce to the final integral equation

y;+(R) = (±)}L3/22.f"y;+(P)

X J1+!(}LPR) {cos( ITIIEI)F2dP (JLP R) 1/2 sin}L 0

and the same equation for x. The remaining task is that of solving equation (9) for 1 = 0, I, 2 .•.. .

An abbreviated way of obtaining (7) (7') and then (9) is this. Substitute the product (6) into the wave equation for y;(R)

V2y; - lJ21j;/ap = }L21J;.

This leaves for y;(R) the equation

2-~ (R2# ) _ l(l + I) .I.(R) = _ 2(E2 _ ).I.(R) R2 dR dR R2 'I' }L I 'I' ,

which is solved with E2 - I = p2 by

y;(R) = const. (}LPR)-1/2Jz+1(}LPR).

(10)

Supplying this ground solution with the relativistic factor exp (i}LET) and with an amplitude }LB/2.iIX(P) and integrating over dWo one arrives at (7). Since the angular momentum and its z-component are functions symmetric in rand p, the state (l, m) can also be described in momentum space which leads to (7'). The factor }LS/2 in front is chosen so that (7') is the inversion of (7) in the nonrelativistic limit according to the Fourier-Bessel formula

4. SOL~ON OF THE INTBGRAL EQUATION FOR I = O.

For 1 = 0 the Bessel function J Z+l reduces to

Jt(z) = (2/'1I')1/2Z-1I2 sin (s),

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

68 A. LANDE AND L. H. THOMAS. [J. F. I.

SO that instead of (9) we have to solve the integral equation

[R·~(R)J = (±)(2p./-rr)I/22 fa'" [p·~(P)J

X sin (p.PR) {~: (p.I TilE l)dPo• (II ~~} ) With the help of (8) we have shown in Part I that the solution IS

~.(R) = sin (vRo)·R-I = sin (vRo)·(sinhRo)-I (12)

for continuous values of the parameter v. The proper value p. thereby has to satisfy the equation

2 r'" - sin ( Aa}) I = (±)~27rp.-;Jo cos (p. cosh x) cos (vx)dx, 12' Bb

correcting a typographical error in (23) Part I. The smallest proper value is obtained in the limit v = 0 where (12') reads

( "Aa}) 12 Bb

. h h II I' {0.IS7 . I Th Wit t e sma est so utlons p. = 0.0299 respective y. e

corresponding proper function in both cases is

~o = const. RoR-1 = const. Ro' (sinh RO)-I.

Proper functions ~.(R) of (12) belonging to different parameters v are mutually orthogonal and normalized to unity in so far as they satisfy the equation

limA~ 2 LA ~.~.,R2dRo = a .. , (13) A-co 0

(47rR2dRo is the invariant volume element). This is true also in the limit V"" 0 where ~ "" (vRo) ·R-I. The physical sig­nificance of the smallest proper value p. = 0.0299 was dis­cussed in the introduction.

Other solutions of (II) are the functions [replace v by iK in (12) (12')!J

~,(R) = sinh (KRo) ·R-I = sinh (KRO)' (sinh RO)-I (14)

343

344 ALFRED LANDE

Jan., 1941.1 ELECTRONIC CHARGES.

for proper values J.! determined by the transcendental equation

1 = (±) ..J27rJ.'; i'" - ~: (J.! cosh x) cosh (Kx)dx. (14'~:}) For I K I > 1 (14) is infinite at R = <Xl and does not represent a proper function. For I K I < I (14) vanishes at R = <Xl,

but is not integrable in the sense of (13). Therefore the proper values J.' of (14'), always larger than 0.0299, do not have a physical significance.

5. SOLUTION FOR EVERY I.

In order to solve the integral equation (9) for every 1 = 0, I, 2 . .. we refer to a mathematical theorem (similar to a theorem of Gegenbauer, see Watson, Bessel functions, 1922, p. 379)·

The integral equation

21'" 1/I(P)(J.! sinh Ro sinh Po)-1/2J,+t (J.' sinh Ro sinh Po)

X exp (iJ.' cosh Ro cosh Po) sinh2 PodPo = ± 1/I(R)

is solved by the proper functions 4

.1. (R) _ . hi R .( d ) I sinh (KRO) " •• 1 - SIn 0 • d cosh Ro smh Ro

for proper values

(16)

_1_ = it+! ..J21iJ.'-1 ~ f.'" exp (iJ.' cosh x) cosh (Kx)dx (16') A •. I 7r 0

and continuous values of K. 1/1, .• vanishes at infinity if K is either . real between - I and + 1, or purely imaginary K = iv with v between - <Xl and + <Xl. 1/1, .• in (16) then is either real or purely imaginary, too. We therefore may split (IS) in its real and imaginary parts and arrive at two separate cases:

• It can at once be verified by differentiating the equation (15) that its solu­tions satisfy the differential equation

2- _d_ (R' d.p ) _ 1(1 + I) .p(R) = _ p'.p(R) R' dR. dRo R' •

which is a modification of (10).

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

A. LANDE AND L. H. THOMAS. [J. F. 1.

If 1 is odd then i'+l is real, and (9Aa) resp. (9 Bb) is solved by the proper function (16) whereby p. is determined by the transcendental equation

. 2 iOOcos 1 = (±)f,'+1. .. hrrp.- l·n (/l cosh x) cosh (Kx)dx. . 1r 0 S

If 1 is even then il+l is imaginary, and (9) is solved by the proper function (16) whereby /l is determined by

. 21'" - sin 1 = (±)f,1..J21r/l -- cos (/l cosh x) cosh (Kx)dx.

1r 0 (18)

If K is purely imaginary, K = ill, sinh (KRo) = i sin (IIRo), cosh (KX) = cos (IIX), then (16) represents an integrable proper function in the sense of (13). If K isreal between - I and + I then 1/; •• 1 still vanishes at infinity but is not integrable any more. When comparing (17) (18) with (12') one learns that the proper value spectra for every l' are the same as for 1 = 0 except for the various cases (Aa), (±) etc. in which they occur. Our proper functions and proper value spectra are quite different from those obtained by Born and Fuchs I.e. The most significant result of the quantization is the smallness of the proper value p. '" 0.03. This together with the largeness of the Thomson cross-section ('Y "" 4. I) leads to the small value of ex = p./'Y. The result rests on the signal equation which had been proposed as an example of Born's idea of reciprocity.

345

346 PAPER 74A

Finite Self-Energies in Radiation Theory. Part I

ALFRED LANDE

Mendenhall Laboratory, Ohio State Univusity, Columbus, Ohio

(Received March 8, 1941)

According to Dirac, electric particles display a finite radius fo=2e'lj3mc2 as the result of the damping term (2e2/3mc3)d3x/dt3 in the equation of motion. [f the finite radius is due to radiative damping, the same must neces­sarily be true for the finite self-energy that is inversely proportional to the radius. An infinitely large self-energy and an infinitely small radius (Coulomb's law e2 jr) results from Fermi's Fourier representation of classical electro­dynamics. A certain change is necessary, but the change is to produce at once a finite self-energy and a finite radius '0. Now, an electric particle vibrating in a field of frequency I' suffers a reduction R, of its vibrational energy due to radiative damping, the energy reduction factor being R p = 1/[1 + (1'/"0)2J where 1'0 = 3mc3/be2• In view of the uncertainty of position due to damping we propose that

1. INTRODUCTION

ELECTRIC particles can be treated from the unitary or dualistic point of view. In the

unitary theory a particle is but a spherically symmetric solution of certain modified field equations, without singularity at r = O. Born­Infeld's new field equations yield a finite maximum field e/ro' at r = O. The electronic radius ro can be adjusted so that the total field energy is K' me'; the fraction K can be chosen at will. This adjustable parameter is a disad­vantage since we cannot know beforehand what fraction of the total mass is of electromagnetic origin. We prefer the dualistic point of view in which particles of various masses m are taken for granted, and the field produced by them, the "radius" and the self-energy, are to be expressed in terms of e and m.

Reprinted from Phys. Rev. 00, 121-127 (1941).

the Fourier terms in the expression for the energy in Fermi'8 classical radiation theory be reduced by the same factor R~ with Doppler effect for particles in motion. The result of this reduction is that Dirac's finite radius ro now occurs in a modified Coulomb energy ("/r)[I-exp(-r/r.)], and the finite self-energy of a single particle becomes il/2ro = (3/4)mc2. Whereas the force between charged particles of finite mass remains finite for r=O, the force on an ideal test charge of infinite mass becomes infinite for r= O. This is analogous to the difference between the field E and the displacement D in Born's unitary field theory. Of interest for nuclear reactions are the electrostatic forces between particles of different masses m and }.f. The results are related to Sommerfeld's fine·structure constant and to the theory of mesons.

One general point is common to all theories of electric particles. The smaller the radius, the larger the mass, the product rome' being pro­portional to the square of the universal charge. However, the accepted (dualistic) radiation theory leads to an infinitely large self-energy and to an infinitely small radius, as expressed in Coulomb's energy e'/r= 00 for r=O. If there are any reasons for having a finite radius then the same reasons must also be responsible for the finite self-energy.

A radius dependent on the charge and mass occurs in Thomson's formula for the scattering cross section of an electric particle as the result of radiative damping. A similar radius occurs in Dirac's re-examination of the classical Lorentz theory.' Due to the damping term

1 P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A167, 148 (1938).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 347

122 ALFRED LANDE

(2e'/3mc')d'x/dt' in the equation of motion, the universal length

ro= 2e'/3mc'

plays the r61c of an apparent radius in Dirac's discussion. The same radius measures the uncer­tainty of position due to the natural line breadth. If the finite electronic radius is the result of radi­ative damping, the same cause then must also be responsible for the finite electromagnetic energy. Our task is to find the quantitative relation between radius and self-energy in terms of e andm.

In particular we have tried to answer the fol­lowing questions. (1) If m is the total inertia of a particle, what part of m is of electromagnetic origin? (in contrast to the infinite field energy of the present theory). (2) What is the mutual electrostatic energy of two electric patticles of equal or different masses? (in contrast to the Coulomb energy e'/r that is 00 for r=O).

An answer different from the impossible result of radiation theory can only be obtained by means of a formal change of this theory, in tro­duced ad hoc for the purpose of getting rid of the infinities.

We are proposing a cutting-off method based on the analogy to the classical Lorentz theory. If an electric particle of charge e and mass m is put into a periodic electric field of frequency v then the vibrational energy of the particle depends on whether we do or do not account for radiative damping. With damping the energy is reduced (§ 2) by a factor

R.=I/[I+(v/vo)'], where vo~3mc'/4 .. e'.

On the other hand, in Fermi's classical field theory the electromagnetic energy produced by the particles consists of Fourier terms of wave­length cl v. Our hypothesis is that each of these Fourier terms of the energy is to be reduced bv the same factor R, that reduces the energy of ~ vibrating electron because of radiative damping. For a particle in motion v is replaced by the Doppler frequency v' for reasons of invariance.

The result of this formal modification is so simple that it might be considered correct even if the method of deduction is not yet satis­factory. The mutual energy of two equal par-

ticles at distance r is found (§ 3) to be

Eik= (e'lr)[I-exp( -rlro)J where

ro=2e'/3mc'.

The same exp( -r/ro) appears in Dirac's inves­tigation. For r=O we have the finite value

For the self-energy of one particle at rest we obtain

intimately connected with the modification of Coulomb's mutual energy. With the former value of ro we also can write EO=imc2• That is, if the modified Coulomb law is correct (in view of its great simplicity it probably is) then only i of the total energy me' can be of electromagnetic origin. A result like this is not unexpected in view of neutral particles that have mass without field.

Our discussion throws an interesting sidelight on Sommerfeld's constant a= 1/137. The charac­teristic frequency Vo occurring in R. may be considered as the central frequency between v = 0 and v = 00 for the particle. Indeed, according to Dirac' Eq. (35) the spectral intensity emitted by a self-accelerated particle is proportional to R. and the total recorded intensity J R,liv consists of two equal parts, integrals from v=O to Vo, and from Vo to v= 00. The characteristic time period 10= llvo=4 .. e'/3mc' leads to an approximative value (a~ 1/140) of the fine-structure constant when used in the proper value theory' of the electronic charge.

There is also a relation between our results and the theory of the meson. The modified Coulomb potential resulting from the damping effect consists of two terms

V- U= (elr)-(elr) exp( -rlro).

V yields the ordinary Coulomb repulsion between like charges whereas U leads to an attraction between like charges at nuclear distances. V

'A. Lande, Phys. Rev. 59, 434 (1941); J. Frank. Inst. 229, 767 (1940); 231, 63 (1940). Part III is to appear soon. The proper value theory of M. Born starts from a different background and arrives at different results (Proc. Roy Soc. Edinburgh 59, 219 (1939) 60, 100 and 141 (1940). .

348 ALFRED LANDE

FINITE SELF-ENERGIES 123

and U are solutions of the differential equations we have a phase lag and amplitude reduction

v'v-a'v/act'= -4 .. p, r:j=tg-'(w'/wa); cosI:j=[l+(w'/wa)']-I. (4')

with v'u-a'u/act'= -4 .. p+k2U,

k= 1/ra=3mc2/2e'.

The terms describing the mutual energy between field and particles in Fermi's classical theory of radiation can be transformed (§7) into

The latter differential equation of Yukawa is the H' =4 .. c'Q-' L, w,-'I (L' .,p, sin.?" sinr ,,)' Schrodinger-Klein-Gordon equation for a free particle of mass +(L,e,cosr,,)'j. (5)

M = kh/z"c = (3mc'/2e') (h/z"c) = (3m/2)(hc/2 .. e') =m' (3/2)·137 =m' 205,

perhaps identical with the meson mass.

2. ENERGY OF SCATTERING PARTICLES

The equation of motion for a particle of charge e and mass m is

mx-(2e'/3c3)d'x/dt3=eE (1)

for small accelerations. For a periodic field

E=E. cos(wt)

the solution reads

x= (eE./mw') COSI. cos(wt- ,.), (1')

where

27rvo=wo=3mc3j2e2•

(2)

The average vibrational energy thus is

!m(x):,= (e'E~/4mw2) cos'r.. (3)

COS'I. is identical with the reduction factor R, mentioned before. Periodic terms also occur in the classical Fermi theory' under the heading "mutual energy." There, however, the terms appear without the reducing factor cos,. and without the phase lag r •. We are trying to rectify this situation in an invariant way. For this

purpose we need the proper value I:; of the phase shift for a particle ej moving with velocity fJ; in the direction of .?,j through the wave s of fre­quency w •. Since the proper frequency felt by the particle according to Doppler is

w:;=w,(l-P; cos.?;)(l-fJ;')--!, (4)

'E. Fermi, Rev. Mod. Phys. 4, 87 (1932).

Here \l is the total volume in which the proper vibrations of frequency w. take place; flai is the angle between the wave s and the velocity 13" and

r,,=w,r, cos8,;/c+phase

contains the angle ()af. between the wave direction s and the radius vector r, from the zero point to the particle e,. Replacing the summation over all waves s by an integration over (D/2 .. 'c')w,'dw. one obtains

H' = (e,e,(r12) + ... +infinite self-energies.

This is Fermi's explanation of the Coulomb law in wave fashion, accompanied by infinite self­energies of every single particle.

We propose to modify Fermi's mutual energy (5) into the form:

II' = 41rC2rt-l :2:, w~2 X I(L' e,fJ, sintl" cost;, sin(r.,+t;,»)'

+(L e, cos,:, cos(r,,+r;,»'j (6)

making use of the invariant phase shift and amplitude reduction (4) (4'). We remark that all electrostatic results obtained from (6) could as well be obtained from an energy expression half-way between (5) and (6) in which the

, reduction ,,' is applied only to one factor of

the squares (L'" )'. We even could omit the phase lag altogether.

Another justification for the factor cos'\' = R. is this. Due to the classical uncertainty bX=ra wave functions at the place X are to be replaced by their averages with density exp( -r /ra), viz.

1 ~

sin(wx/c),.=- f exp( -I ~ 1 ra- I) 2 _~

·sin[w(x+~)/c]dt

= sin (wx/c) . [I + (w/wa)']-I.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 349

124 ALFRED LANDE

3. SELF-ENERGY AND MUTUAL

ENERGY OF PARTICLES

For a single particle at rest, /1;=0 and 1:;=1. we obtain from (6)

E;o= (4 .. e'/!l)e;' L:. w,-' cos'r, cos'(r,;+ I')'

Replacing the sum by an integral we obtain

Next we consider the mutual energy of two particles at rest in the distance 'il' Here

cos(r .;+ 1 ,) COS(r'i+ r,)

=! cos(w,r/e cos8.)+! cos(phase)

where 8. is the angle between the wave sand the direction of r ii. Replacing the summation by the integration !d(cos8,)(!l/2lr'c')w,'dw" and using the abbreviations

w/wo=u, wr/e=uxo, xo=r/ro,

ro=2e'/3me', coss= (I+u')-I,

we obtain from (6) the mutual energy

E:i = (e'/r)(2/-tr) f.~ du sin(uxo)u-1(1 +U')-1

(8)

= (e'/r)[I-exp(-r/ro)]. (9)

For large r this is the Coulomb energy. For small r the mutual energy tends toward the constant value e2/To = -j-mc2. The mutual plus the self­energies of a pair of electrons at the distance zero is equal to the self-energy of a charge 2e. If an electron and a positron approach to r = 0 the energy 2· (ime') is released, but the system would still retain its original non-electromagnetic mass. This process has nothing to do with annihilation. In general, a point charge acts on another point charge like an exponentially shading-off charge cloud of radius ro=2e'/3me'.

For the mutual energy of two electric par­ticles of masses m and M we obtain from (6) with Xo=r/Ro and R o=2e'/3Me'

E!M=(e'/r)(2/ .. ) [dwsinWW-1

X (1 +w'/xo')-I(l+w'/Xo')-I. (10)

We discuss this integral in the limit M = 00

where Xo= 00. Here (10) reduces to

E~~ = (e'/r) (2/tr) f.~dW sinw w-' (l+w'/xo')-1

=(e'/r)(2/ .. ) f"dw f~dtcos(wt)(l+t')-1 Jo Jo

= (e'/r) (2/ .. ) !."dWKo(w) ,

where Ko is the Bessel function. For xo=r/ro= 00

this reduces to e'/r. In general one can say that a test charge of mass 0() in the distance r from the charge e of mass m feels a Coulomb potential of the smaller charge

(I', e' =e(2/ .. ) Jo dwKo(w) <e. (11)

Since Ko(w) for small w is -lgw+lg2-1'= -lgw+0.11593, the potential energy at small distance becomes

E!~= (e'/ro)(2/..-)[1.11593+lg(ro/r)]

= (3me'/ .. ) Ig(3.0S2 rofr).

For M»m one obtains approximately

E~»m= (3me'/ .. ) Ig(3.052 M/m). (12)

Whether the formulae (10, 11, 12) for particles of different masses have any physical significance depends on whether the protonic mass is or is not of electromagnetic character. It seems more reasonable to assume that the mass of the proton is mainly that of a neutron, plus a small electron mass. In this case the electric forces between electrons and protons, and between protons and protons, would be of the same type (9) as be­tween electronic particles, with ro being the electronic radius.

The potential energy between two electrons remains finite and differentiable even for r=O,

whereas the potential energy E~~ between the electron and a test charge of infinite mass (Ro=O) becomes logarithmically infinite for r= O. This is a distinction similar to that between the potential of the vector E (which remains finite), and the potential of the vector D (that becomes infinite for r=O) in the unitary theory of Born and In/eld').

4 M. Born, Proc. Roy. Soc. A143, 410 (1934).

350 ALFRED LANDE

FINITE SELF-ENERGIES 125

4. SELF-ENERGY OF PARTICLES IN MOTION

In order to find the electromagnetic self-energy of a particle in motion we need the average of

, (cosr.;)' over all angles ".;. Expanding (4') into powers of fJ' we obtain the average

4 (w.' w.' ) +-fJ' -cos'r.--cos'r. + ... , 3 w0 2 wo'

if we neglect terms in fJ'. Remembering that the average of cos',,,; is i and that of sin''',; is i we obtain from (6) the self-energy of a moving particle

[ 21.. 1(" 4 3" 4 .. )] E=(2e'wo/c) fJ'---+- -+-Ii'---fJ'-3 2 2 2 2 3 16 3 4

= fmc'(1 +!fJ') (13)

in agreement with relativity if Ii' is neglected. The result is mainly due to the invariance of the phase and amplitude reduction.

Our considerations yield definite values for the self- and mutual-energies. We cannot expect that quantum theory will change these values materially. In particular, there is no reason why the self-energy should be multiplied by a factor

of order 1000 on account of the magnetic dipole energy of a spinning charge cloud. This expecta­tion would be just as wrong as the expectation of an infinite self-energy from the picture of a point charge.

In conclusion: The electromagnetic self-energy of a charged particle is finite. Hence there must also be a deviation from Coulomb's law so as to eliminate Coulomb's singularity for r=O. We have tried to find the modified interaction energy and the corresponding finite self-energy by a modification of Fermi's radiation theory, taking account of the classical uncertainty of position due to the natural line breadth.

Our next task is that of trying to deduce the modified energy expression (6) from a corre­sponding modification of the general set-up of radiation theory. Fermi's theory is based on standing waves rather than on incoming and outgoing waves. Since standing waves account for retarded and advanced potentials in a sym­metrical fashion, they cannot adequately describe the very radiation damping that was the starting point of our approach. Indeed, radiation damping is due to transforming an incoming plane wave into an outgoing spherical wave. (The corre­sponding difficulties in the unreduced theory are much greater due to the infinite self-field of the electron.)

5. MODIFIED FERMI THEORY

Fermi' Eq. (140) introduces a Fourier expansion of the scalar and vector potential into standing waves in a large volume 0:

V(r, t) = c(8 .. /0), L.Q.(t) cosr '"

U(r, t) = c(8 .. /0) , L [a.x(tHA.q.(t)] sinr ... (14)

r ,,= w.(a,· r)/c+phase.

a. and A. are unit vectors longitudinal and transversal to the wave s. Substitution of (14) into the Maxwell equations with divU-aV/act=o leads to the following differential equations for Q .. x. and q,:

d'Q./dt'+w.'Q.=c(8 .. /0)' L' e, cosr ."

d'x./dt'+w.'x.= (8 .. /0)' L' .,(a.T,) sinr."

d'q./dt'+w.'q.= (8 .. /0)' L' e,(A.r,) sinr.,.

(15)

Equation (15) has homogeneous solutions (!" x.o, 2,° superposed by solutions of the inhomogeneous

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 351

126 ALFRED LANDJ;:

equation which are Q.'(t)=c(S .. /O)1 2:, e,w.-'(I-/l,' cos'D.,)-' COSr.i,

~:(t) = c(S1l"/0)1 2:, e<p, g~~iI .. ..,.-'(I-/l,2 cos'D.,)-' sinr ." (16)

when we suppose that j.,/c=/I, and r,=O. iI., is the angle between sand Ih By virtue of (16) and (14) the field at every point r is composed of contributions of every single particle in a symmetric fashion, aside from the pure field derived from (1', x', ".

Referring to the amplitude reduction and the phase lag (4') we now define reduced quantities Q .. x .. q. as the solutions of the following differential equation

d'Q./dl'+w.'Q.=c(S./O)' 2:, e, cost:, cos(r.,+ t:,), (17)

etc. Compare these with (15). The solutions are Q.=Q.'+Q.', etc. Here Q.' is identical with the former Q.' whereas Q.' is reduced in amplitude and lags in phase:

(17')

etc., to be compared with (16). We also define reduced potentials at the place of the particle .,.

V(i, I) = c(S .. /O) , L Q. cost:, cos(r.,+t:.),

Uti, I) = c(S .. /O) 1 L (a.it.+A.q.) cos!:, siner .,+t:,). (17")

Given positions and given velocities of the particles produce Fourier components (17') satisfying (17). Equations (15) are the Fourier representation of Maxwell's equations including divU-aV/act = O. Since (15) for Q. is equivalent to (17) for Q .. Eqs. (17) are only another form of Maxwell's equations as long as r=O.

6. ENERGY OF PARTICLES IN A FIELD

In Fermi's (154) we write t; for -C"r', 1 for 8" which is immaterial for our main task, which is to deduce (6) from a Hamiltonian. We propose the following modification of Fermi's Hamiltonian (154):

II = 2:, m,c'+ 2:.2:, (r,p,)+c(S .. /O)' 2:. Q. 2:,., cost:, cos(r.,+t:,)

- (S./O) 2:.2:, (r" a.x.+A.q.) cos!:, siner .,+ I:')

+t 2:. [(p.'+ e.'-P.') +w.'(q.'+x.'-Q.')]. (18)

II differs in the terms containing !:. from the unreduced Fermi Hamiltonian. Nevertheless, as we shall see in (20), the energy of the pure field is the same as in Maxwell's theory, and only the mutual energy is changed. As "coordinates" we consider the reduced quantities Q .. it, q.; the conjugate "momenta" are p .. ~ .. p •. As equations of motion iJH/iJQ.= -dP./dt, iJH/iJP.=dQ./dt we obtain the former Eqs. (17) which, as we saw before, are equivalent to Maxwell's equations for r,=O. Furthermore, the first four terms of (18) can be written

Energy = rest + potential + kinetic energy

E= 2:, [m.c'+.,v(i) + (/I" p.-e,U(i)/c)J, (18')

representing the Hamiltonian of a system of electric particles under the reduced potentials V and U, defined in (17") with the Fourier amplitudes Q.=Q,o+Q.', etc. and Q,o=Q,o. According to (18') a monochromatic external potential Q. acts on the particle with a potential V that is reduced by the

factor cost:. and has a phase lag I:' behind the phase of Q •. At the same time there is no damping term in (18'). The motion of the electron under this reduced external potential then is the same as its motion according to the usual theory where the effect of the unreduced potential is accompanied by that of a damping term. The terms Q.' in V calculated for vibrating electroDs have no phase

3S2 ALFRED LANDE

FINITE SELF-ENERGIES 127

lag and will not produce an additional damping effect. This result seems very inconsistent indeed. But we must remember that the method of standing waves accounts for advanced and retarded potentials simultaneously, not only for an external potential Q.' but also for the potential Q.' produced by a particle on itself. The whole problem needs further clarification.

7. TRANSFORMATION OF THE ENERGY

We now turn to transforming the energy (IS) into a more convenient form in which the Hamil­tonian form is abandoned, however. p, is the total momentum, p,-e,U(i)/e is the kinetic momentum (p,)ki". It docs not matter in (17) that (p,)k'n and m,e' split up into an electromagnetic and a mechanical part in the ratio of 3 to 1 (see below). Only the mechanical part is to be carried in m,e' and (r,p,)ki", the electromagnetic part being contained in tbe other terms of (IS). The potential momentum is a part of the second sum in (IS) and cancels the negative potential momentum repre­sented by the fourth sum of (IS). This leaves for the total energy:

E= E, m,c'+ E, (i',p,)kin+c(s .. /Il), E, e, E. Q. cos(r.,+t:,) cost:, Xi Eo [(p.'+(.'-P.')+",.'(q.'+X.'-Q.')J. (19)

A further simplification is obtained by virtue of [Fermi's (160)(161)J

".X,-P.=O, (.=",.Q.-(c/w.)(S .. /Il)1 Ei e; cost:; cos(r.;+i':;),

which results in

E= Ei mie'+ E, (i',p,)k'n+(4 .. c'/Il) E. ",.-'(E, e, cost:, cos(r.,+t:,)+! E. (P.'+w.'q.').

At last we can use the relations q,=P. so that

q.'= (q.')'+(q.')'+2q,'q.',

p.'= (q.')'+(q.')'+24,'4,'.

When summing over s the double products vanish because of independent phases. q.' can be taken from (16) whereas (tj.')' is small and of order fl'. Thus the energy becomes (if we neglect fl')

E= E, m,c'+ E, (i',p,)kln+! E. [(P.')'+"';(q.')'J

+(4 .. e'/Il) E. w~'{ (E, e;,8, sin"., sin(r,,+r:,) cosr:,)'+(e, cos(r,,+t:,) cost:,),l. (20)

E consists of the mechanical rest and kinetic energy of the particles, the pure field energy, and the mutual energy between field and particles. For the latter (20) yields the expression used before in (6) q.e.d.

The attempt to incorporate the phase lag and the amplitude reduction into the general set-up of the radiation theory cannot be considered as satisfactory because of inherent difficulties of the standing wave method. Nevertheless the results obtained in the case of particles at rest or in uniform motion may be considered as a supplement to Dirac's investigation' of the classical electron. Dirac has shown that the "own radiation field" of a particle leads to a self-accelerated motion in which the term exp( -r/r,) plays a major r6le. We have tried to show here that radiation damping when aecounted for by the modified energy (6), leads to a mutual energy between two particles of the extremely simple form

E 12 = (e'/r)[1-exp( -r/ro)].

The corresponding electromagnetic self-energy (E, = IE .. for r = 0) is 1mc' contradicting those who think that the mass ought to be completely of electromagnetic origin, and confirming the present idea '.' that only a part of the mass can be electromagnetic.

• W. Heitler, Quanlum Theory of RJJtlialion (Oxford, 1936), p. 33. See also reference 1.

PAPER 74B 353

Finite Self-Energies in Radiation Theory, Part II

ALFRED LANDE AND LLEWELLYN H. THOMAS

Mendenhall Laboratory, Ohio State UnifJBfsily, Columbus, Ohio (Received July 9, 1941)

The "cutting-ofi method" proposed in Part I is equivalent to a field theory based on Maxwell's equations supplemented by Yukawa's equations, both fields having the same point charges as sources. The chief result is a finite self-energy W=eJ/2ro and a modified Coulomb potential (e/r)[1-exp (-r/ro)], also derivable from a Hamiltonian in Fourier form. For accelerated motions the field theory yields a finite force of inertia (-mi) together with the universal damping term in first approximation. Small additional terms reflect the Hstructure" of the electron. Radiation and self-force of a vibrating electron are discussed, and the per­turbation problem is formulated. The exact integration of Yukawa's field equation is given in Section 9. Our results are related to Born-Infeld's unitary field theory and Dirac's theory of the classical electron, in particular with respect to waves of velocity larger than c. The electronic mass m is the result of photons of rest maS8zero and mesons of rest mass M-m·2·137 = 274m.

1. INTRODUCTION

I N Part I we discussed a "cutting-off method"! for obtaining finite self-energies of charged

particles. We started from the physical considera­tion that the natural line breadth AA=4 ... e'/3mc' allows to determine the position of an electron only within a range of order AA since the electron does not react to the phase of an external field at its exact position but rather to the phase averaged over the range AA. More precisely, its vibrational energy is reduced, as compared with the energy without damping, by the damping factor R=[l+(vA}.jC)'J-l. In Part I we then proposed to reduce the Fourier terms in Fermi's theory of radiation by the same factor R made invariant by Doppler correction for particles in motion. This reduction led to a finite electro­static self-energy W = e' /2r, and a modified Coulomb potential (elr)[1-exp (-rlr,)J where r.= AA/2,,= 2e'/3mc'.

In Part II we start from the remark that this potential is the difference of Maxwell and Yukawa potentials as solutions of two separate sets of invariant field equations with the same point charges as sources. The special value r.=2e'/3mc2 was chosen in Part I so that the Fourier reduction factor R. equals the former damping factor R. This led to an electromagnetic mass i of the total mass. However, the special choice of r. is not essential. It would seem even

1 A. Land~, Phys. Rev. 60, 121 (1941).

more reasonable to choose the parameter k= l/r, of the field theory so as to have a unitary field theory in which the mass of the field equals the total mass, by virtue of the formula W=e'/2r, = ke2/2=mc', or vice versa r.=e'/2mc'. Whether this choice is correct can only be decided by experiments with extremely short waves. In view of the existence of neutral particles it has be­come doubtful whether one should insist on a purely electromagnetic origin of the electronic mass. On the other hand the combination of Maxwell's and Yukawa's field equations is al­ready a deviation from the pure electromagnetic theory.

Our method offers a consistent and invariant scheme of formulae for calculating the properties of electronic charges without infinities. However, from a physical point of view it is hard to understand why the resulting potential, the resulting radiation of energy, etc., should be the difference rather than the sum of the two inde­pendent fields of Maxwell and Yukawa. A similar objection could be raised against Dirac's' differ­ence of advanced and retarded potentials. We are using retarded potentials only, although the retarded Yukawa potential is. given a negative sign. Apart from the lack of "physical under­standing" of this negative sign, our method may at least be considered as an invariant formal way of avoiding infinities in classical point charges. The Fourier representation of Section 7 shall

• P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 167, 148 (1938). 514

Reprinted from Phys. Rev. 60,514-523 (1941).

354 ALFRED LANDE

515 FINITE SELF-ENERGIES

prepare the way to a future application of quantum theory to our classical scheme.

2. FIELD EQUATIONS

Already in Part I we remarked that the modified electrostatic potential resulting from the Fourier method is the difference of two separate potentials

v = V" - V' = (eIT) - (elr) exp( -rlro). (1)

V' and V" are solutions of the differential equations

DV"=-4 .. p, DV'=-4 .. p+k'V', (2)

to be supplemented by two equations for vector potentials

DA"= -4".j/c, OA'= -4 .. j/c+k'A'. (2')

p and j vanish everywhere except on the world lines of point particles. The field derived from V"A" is an ordinary Maxwell field. The field of meson type derived from the potential V', A'is

E'=-vv'-A'lc, H'=curlA',

div A'+ V'lc=O. (3)

Together with (2) (2') this is equivalent with the field equations

curlE'=-H'lc, divH'=O,

curl H'=E'lc+4 .. jlc-k'A', (4)

div E'=4 .. p-k'V', div j+p=O.

Multiplying by H' and E', and subtracting we arrive at

-(clh) f ds{[E'H'].+k'An'1 = (l/S .. )(dldt)

Conden~ing three rows and columns to one we can write for the tensor T'

T,=IP~. is'lel+~IA~~ iA'V'\

liS'le -w' 4 .. 1iA'v' - V"

_~I (A"- V").m 0 I (7)

s.".l 0 (A''- V") ,

where p', S', w' are the usual expressions for Maxwell's tensor, Poynting's vector, and energy density in terms of E' and H'.

Corresponding equations with k = 0, called (3') to (7'), hold for the Maxwell field E", H". Since the potentials V" and V' are supposed to be subtractive the same applies to the field com­ponents E"-E'=E, H"-H'=H. But it also applies to the tensor components T" - T' = T. This can be learned from the fact that the last term in (5) is to be subtracted from the last term in (5') in order to give the total mechanical work J E -jdv = J (E" - E')jdv.

Integration of the wave equations (2) leads to the following general solution (see Section 9) for the potential of a point charge at xyzt:

V"- V'=ck f f f f R-IJl(kR)pd~d~drdT, (S)

where p(~~rT) is the density, and R is the 4-distance

R'= (cT-et)'- (~-x)'- (~_y)2_ (r-.)'. (S')

The integral extends over T from - <>0 to t and over values ~~r belonging to real values of R for the respective value of T (retarded potential). In case of point charges e the integration over ~~r yields a factor e so that (S) simplifies to a sum over the poin t charges:

f f V" - V' = Leek fR-1J1(kR)dT

X dv{E"+H"+k'(V"+A")I+ E'jdv. (5)

The stress-energy-momentum tensor T' therefore has the components

-T;'=w' = (1/8 .. ) {E"+H"+k'( V"+A") I, (6)

-iT:1=g' = (l/4,,-c) {[E'H']+k'V'A'I,

representing density of energy and momentum.

= L eck fooR-IJl(kR)( -oTloR)dR. (9) o

Replacing p by jlc and j by et for point charges one obtains the vector potential

A" -A' = L ek foo R-IJ1(kR)

o XHT)(-OT/oR)dR. (9')

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 355

A. LANDE AND L. H. THOMAS 516

The proof of the fundamental formula (9) is given in Section 9.

V' and V" can always be supplemented by solutions of the homogeneous Maxwell and Yukawa equations. The latter are solved by plane waves A whose frequency is

V*=[vo'+(C/A)'JI where vo=kc/211',

so that the phase velocity c· = V"A is larger than c:

C· = [c'+(voA)'JI.

A similar velocity larger than c occurred also in Dirac's theory of the classical point electron' and does not interfere with invariance. Vo is the minimum frequency of Yukawa waves.

3. ApPLICATIONS. UNIFORM MOTION

(I) As our first example we consider an elec­tron at rest at the zero point ('~! = O. At 1=0 and at the distance r'=x'+y'+z' we have from (8')

R'= (c,)'-r', ac,/aR= -R(R'+r')-I,

the root with minus sign since ,<I. According to (9) we obtain

V"- v'=ekf~J'(kR)(R'+r')-ldR o (10)

= (e/r)[I-exp (-kr)].

In particular for r=O we have (V" - V')o=ek, that is, the modified Coulomb potential of Part I and the starting point of Part II. Instead of k we may write I/ro.

The electrostatic self-energy of an electron at rest is

W,,,,=(1/811') f dv{E"'-(E"+k'V")} ,

where

E"=e/r', V'=(e/r)exp(-kr), E'=-aV'/ar.

Integration gives

W, .. ,=e'k/2. (10')

The same result could have been obtained by the simpler formula

W,,,,=!e(V"- V').=e'k/2.

The electromagnetic rest mass is therefore

m=e'k/2c', vice versa k=2me'/e', (10")

k determines the ratio e?/m, where the "mass m" is defined as the factor of c' in the self-energy, and the "charge e" is defined as the factor of I/r in the mutual energy. The corresponding meson mass is

M = hvo/c'= kh/l7r = 2m(hc/211'c') =m' 2 ·137.

(II) If the electron moves uniformly with velocity v./c={J we have

~={Jc" ~= 1=0,

R'= (c,-el)'- ({Jc,-x)'-y'-z',

ac,/aR= -R(I-{J')-I(R'+a')-I,

where

a'= (1-{J')-'[r'-2/3clx+{J'(c'I'+x'-r')J,

so that

V" - V' = ek(l-{J')-I f~ J,(kR) (R'+a')-ldR o

=e[a(I-{J')IJ-'[I-exp (-ak)]. (11)

It can easily be shown geometrically that

where d is the distance between xyz/ and the position ~ of the particle at the retarded time T

so that d = e(1 - ,), whereas '" is the angle be­tween d and the velocity. Therefore the first part of (11) agrees with the Lienard-Wiechert potential of a point charge V", whereas the second part represents the Yukawa potential V'. The vector potential is

In particular, on the moving electron itself (a = 0) we have

Vo=(V"- V')o=ek(l-/3')-I, A.= (A" -A')o=ek{J(l-/3')-I.

(12)

Energy and momentum of the field of the moving electron are therefore

W=eVo/2=mc'(I-/3')-I, G=eA o/2c=mv(1-/3')-I,

(12)'

356 ALFRED LANDE

517 FINITE SELF-ENERGIES

agreeing with relativity. An explicit proof of (12') is given in (29) Section 8. When two like (unlike) point charges approach to the distance 3.ro the finite work e'k=2mc' is spent (gained).

4. ACCELERATION. SELF· FORCE

Next we consider an electron moving along the x·axis with coordinates

~=ur+tJT'+igr', ~=r=O. (13)

The meaning of u, f, g is seen from the values at r=O:

At an external point r'=x'+y2+z' at time 1 we have from (8')

R'= (cr-cl)2- (ur+HT'+igr'-x)'-y'-z'.

For the field on the particle itself at r=O con­sider I and r as small so that r2 can be neglected altogether. Also neglecting second orders of u,j, g we obtain approximately

cr=cl-R+xR-'(ur+!jr'+igr').

In the same approximation we can on the right replace r by (I-R/c), hence

cdr/dR= -1-xR"'{u(t-R/c) Hf(I-R/c)'Hg(I-R/c)'} (14) -xR-'c-'1 u+f(I-R/c) +!g(I-R/c)'}.

There are two special cases of (14). If 1=0 and r is small we obtain

cdr/dR= -l+!xf/c-lxgR/c'. (14')

If t is small and r=O hence X=O we have

cdr/dR= -1. (14")

We arc now prepared to calculate V ncar the electron at t=O for small r. Substituting (14') in (9) we obtain

V"- V'=(I-!xf/c')ek f~J'(kR)R-'dR o

+ (xge/3c3) f~ J,(kR)d(kR) o

= (l-jxf/c')ek+xge/3c3,

since both integrals are unity. Therefore

-il V /ilx= tJek/c'-eg/3c'.

(IS)

Substituting (14") and ~=u+fr+!gr' in (9') we arrive at

A"-A'=(ek/c) J~ [u+f(t-R/c) o

+!g(t-R/c)']J.(kR)R-'dR,

- (iIA/ilct) '_0 = (ek/c) J~( -f+gR/c)J,(kR)R-'dR o

= -ekf/c+ge/c'.

The magnetic field H vanishes on the electron so that the" self-force F=eE= -eilV/ilx-eilA/ilct at 1=0 becomes

F= - (e'k/2c') -1+ (2&/3c') 'g, = -m(d'~/dr')+(2e'/3c3)(d·UdT3). (16)

where m is the mass due to the two fields, see (10"). If the whole mass of the electron is due to the fields, the various field centers (point charges) move according to the field equations alone in such a way that "the total field force is zero" on every single particle.

Charges with different masses and radii could be accounted for by extending the sums (9) (9') over terms with different individual values of k.

The self-force (16) at t=O is composed of retarded contributions of the whole path (13) during r<O. But only the immediate past matters in producing the two terms of (16). In case of a more general path

~=ur+Hr'+igr3+hhr'+'" for r<O

it turns out that the higher terms contribute also with their remote past to the self-force at 1 = O. In connection with the fact that the velocity ~ on such a path would be larger than c in the remote past, each higher term furnishes an infinite contribution to F. Even if an infinite series in r should represent a physically possible path H r) (vibrating electron) an integration by terms is not possible.

I t would be an interesting problem to find an accelerated path such that the self-force vanishes at all tilnes. As long as the acceleration is small this path will coincide with that derived by Dirac' from the difference of advanced and retarded Maxwell potentials.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 357

A. LANDE AND L. H. THOMAS 518

5. VIBRATING ELECTRON. RA])]ATION

An electronic point shall vibrate about the zero point with coordinates

~=a sin (WT), ~=O=r.

The amplitude a shall be small compared with the wave-length 21fc/w and with the electronic radius ro=l/k=c/wo so that a' can always be neglected. At distance r'=x'+y'+z' we have (8')

R'=c'(r-I)'+2ax sin (WT) -r',

hence in the same approximation

cT=ct-(R'+r')'+(R'+r')-lax sin (WT)

with the argument WT= wl- (R'+r')lw/c when neglecting a'. Thus

- R-'iJ(CT) / iJR = (R"+r')-! + (axw/c)(R'+r,)-t cos (WT) (17)

+ax(R'+r')-l sin (wr)

consisting of three terms. For large r (wave zone) the second term alone contributes to V, and the first term alone to A. With dUdr =aw cos (WT) we obtain from (9) (9')

J.''' - J." = (eaxw/c) f.~Jt(kR)(R'+r')-t o

Xcos[wl- (R'+r')lw/c]d(kR),

A" -A' = (eaw/c) .(00 J,(kR)(R'+r')-1

Xcos[wl- (R'+r')lw/c]d(kR).

(18)

In the limit of small w one can replace (R'+r') by r' not only for small R but also for large R since the integrals give negligible contributions for large R if w is small. In this case (18) sim­plifies to

V = V" - V' = (eaw/c) (x/r') cos [w(1 -ric)], (18') A =A" -A' = (eaw/c)(l/r) cos [w(t-r/c)],

that are the well-known Lorentz potentials. But for larger wane has to usc the complete integrals (18) ; we have not been able to evaluate them. From what is learned in (20') about the self-force of a vibrating electron the Lorentz potentials

(18') are valid up to W=Wo, and a decrease of the emitted potential will occur only for w>wo in connection with the fact that Yukawa waves have a minimum frequency Wo = kc (Section 2). This result is confirmed by the Fourier method, Section 8, III.

6. VIBRATING ELECTRON. SELF-FORCE

In order to find the self-force of a vibrating electron at time t it is convenient to have thp electron in the zero point r=O at time t. \Ve therefore consider the position

~=a sin (w,)-a·s, ~=r=O,

where the parameter s will later be equated to sin (w/). With small r and neglection of r' we now have

cT=ct-R+xaR-l[sin (w,) -s].

On the right we can replace T by (I-R/c) if a is small. Then

ilCT/iJR= -1-xaR-'[sin (wt-wR/c) -s] - (xaw/Rc) cos (wl-wR/c).

Substituting- in (9) (9') and neg-lecting (I' we obtain

<1 Jf/<1x= eka f.~J'(kR) {R-'[sin(wl-wR/c) -s] o

+ (w(R'c) cos(wt-wRlc):dR,

<1A/rJrI= -eka(w/c)'1~ J ,(kR)R-'

Xsin(wl-wR/c)dR.

We now put s = sin (wi). In thc self-force

F= -eiJV/iJx-eiJA/iJct,

we separate terms with factor~ sin (wi) and cos (wI). Writing

-w'asin (wt)=d'UdT', -w'acos (wI)=d';/dT',

and using the abbreviations kR=u, wR/c=qu with

e2k/2c'=m, ck=c/ro=wo, w/wo=q, (19)

358 ALFRED LANDE

519 FINITE SELF-ENERGIES

we obtain

F= -m(d'Udr')!(q) + (2e'/3c') (d'Udr')g(q) ,

I(q) = 2 f'" l,(u)u-' {cos(qu) - (qu)-' sin(qu)

• +(qu)-'[1-cos(qu)]}du, (20)

g(q) = if.'" l,(u) {(qU)-l sin(qu)

+ (qu)-'[(qu) cos(qu)-sin(qu)]}du.

For small q=.,I.,. the factors! and g reduce to unity so that F has the classical form (16). In general F can be found with help of auxiliary formulae in two cases O~q:~;;t and q~ I, re­spectively:

J.. sin (qu) {I l,(u)--du=

• (qu) I-(I-q-·)I,

f '" sin(qu) du 1~[(I_q')I+q-l sin-1q] l,(u)---=

• (qu) u ( .. /4)q-',

J.. du {(I-q.)1 l,(u) cos(qu)-=

• u Q Also

(qu)-'[I-cos(qu)] = (qU)-'i' sin(pqu)dp, •

(qu)-'[(qu) cos(qu) -sin(qu)]

= - f.' sin(pqu)pdp.

With these formulae we obtain in (20)

1(1/3q')[I- (I-q')']

Irq) = +q-'[(I-q')I-I]+(I-q')1

-(2/3q')

g(q) = {I

I-(I-q-')I, (20')

for 0 ~ q ~ I and q ~ I, respectively . For large frequencies q» I both I and g tend toward zero as though inertia and damping were fading out with increasing .,. The amplitude a shall always be small compared with cl.,. If we should con­sider frequencies .,~.,. and yet amplitudes a not small compared with the electronic radius r. = .,.1 c the result would be quite different. The de­pendence of the "scattering cross section" on the amplitude for frequencies of order .,. could be used for checking the classical theory if this effect were not completely overshadowed by quantum effects just at these high frequencies.

It is quite significant that the decrease of the factor g(q) begins only at the characteristic fre­quency .,. itself. Since the damping term with (2t'/3c')·g(q) is the counterpart of long distance radiation, this means that up to ., =.,. only Maxwell radiation is emitted, in agreement with the fact (Section 2) that Yukawa waves have a minimum frequency .,.=kc. We learn from (20') that for .,>.,. the ratio of Maxwell to Yukawa radiated energy is I to (I-q-·)I. The same result can be obtained directly by the Fourier method.

7. FOURIER METHOD. HAMILTONIAN

For particles at rest the field theory is equivalent with the Fourier reduction method of Part I. For particles in motion the field theory gives results differing from the Doppler correction of Part I, but consistent with relativity.

Similar to Fermi we expand the Yukawa potential V'(r, I) into a Fourier series of standing waves of direction a, in a large space 0 (for details compare with Fermi') :

V'(r, I) =c(8 .. /O)I1:.Q.'(I) cos r,,, rw= (.,.Ic)(a,·r)+phase.

Substitution into Eq. (2) gives the following differential equation for Q.'

• E. Fermi, Rev. Mod. Phys .• , 87 (1932).

(21)

(21')

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 359

A. LAND1=: AND L. H. THOMAS 520

in case of point charges. For uniform motions where r i in r.i changes with time (21) is solved by

(22)

iI'i is the angle between the wave normal a. and the direction of fJ;, and "'0 is written for kc. The dependence of t is contained in ri in r. i• Corresponding Fourier series for the Maxwell potential V" lead to

(22')

(22) and (22') can be augmented by solutions of the homogeneous differential equations. The Fourier

coefficient Q. = Q:' - Q: of the resulting potential V = V" - V' can be written

(23)

and contains the "reduction factor"

R.i= [1 +(l-P: cos'iI.,)",!/",:]-I. (24)

For p,=O this is the factor used in Part I for particles at rest. Corresponding calculations can be applied to the vector potential A =A' - A":

A(r, t) =c(8 .. /0)1 Eo [a.x.(I)+A.q.(t)] sinr"

with a.=longitudinal, A.=transversal unit vector. (3') is equivalent to w.x:+Q;=O. The Fourier

coefficients x.. = x:' -x: and q,=q:' -q~ are

(25)

with the same factor R.i. In all cases one may add solutions of the homogeneous equation (21') etc. The Hamiltonwn of the resulting field is H =H"-H', m •.

H= 'Eimic'+ L(ri(p~;n +p~ot»+c(8"/0)1 'Ei ei Eo(Q:' -Q:) COSr.i

with coordinates Q:Q:'q;q:'x:x:' and momenta pj>;'p:p:'~:e:' and with "'o=kc. (26) is verified by the canonical equations

(26')

etc., that agree with the differential equations (21) etc., for Q:, Q:' etc., (compare with Fermi, refer­ence 3, p. 129).

The first sum in (26) is the muhanical rest energy, the second sum contains the muhanical kinetic energy. In a unitary theory with k = 2mc' / e2 these two terms are to be omitted. The sum over (tiP i.ot)

is identical with the whole second line of (26) so that these sums cancel one another. The energy reduces to the two last lines of (26).

360 ALFRED LANDE

521 FINITE SELF-ENERGIES

8. ApPLICATIONS OF THE FOURIER METHOD

(I) First we consider a system of electrons at rest. Here (22) simplifies to

Q:=c(8 .. /0)' Le,cosr.,(.,!+.,!r',

Q!=p:=p:=e:=q:=x!=O and similar formulae for Q~' etc., without w!. The second line in (26) turns out to be half as large as, and of opposite sign as the third line, so that H reduces to

H = tc·(8 • .;n) I:, I:j e,ej I:. cosr" cosr.j

X[(.,~r' - (.,;+.,:)-'J,

obviously a difference of Maxwell and Yukawa terms. Instead we may write

H =ic(S,../o)I:, I:j e,ej I:. cosr., cosr.j

X",;'[l+(.,./",.)'J-', (27)

that is, Fermi's expression Hreduced" by a factor R=[1+(.,./",,)'J-' as in Part I. Replacing the summation I:. by an integration with Jeans'

factor (n/2""c')"'~' one arrives (see Part I) at

H = I:, (e"",/2c) +I:, L (e,e;!r)[l-exp(-r.,,/c)J (27')

in agreement with (10) (10'), representing finite self-energies and modified Coulomb energies.

(II) Our second example shall be one electron in uniform motion with velocity r,={j,c. Here we have to substitute the complete expressions (22) into the last two lines of (26). In addition we have

P:= -aH/ap:= -Q: =c(8 • .;0)'0, sinr ."",{j, cos".,

X[",;(l-{j: cos·".,)+",:T'

and corresponding expressions for the other momenta. First we sum over all directions "., by integrating with factor td(cos ") from -1 to 1, and replace sin' r., and cos' r., by t because of irregular phases. The second line of (26) then gives

c'(8 .. /0)(e'/2) I:. {",;'{j;' tgh-'{j,

- (",,{j,)-'("': +",!f1 tgh -'(",.{j,(",;+",:r1j), (2S)

obviously a difference of Maxwell and Yukawa

terms. The latter are small compared with the former for ",.«.". The last line of (26) gives

-!c'(s,../n)(o'j2)

xI:. {(.,;)-'-[.,;+(",:/(l-.B:»J-'}. (2S')

The tgh-' in (2S) can be expanded in powers of {j, and then integrated term by term with

Jeans' factor (n/2""c,)",!d.,.. The result is a series that condenses to the simple expression

(e,.,,/c)(l-.B~ -I. On the other hand (2S') can be integrated directly with the result

-t(e'",,/c)(l-.Bj -I just half as large as (2S). The balance is

H = (e'",,/2c)(1-{jj -I =mc'(l-(j:f\ (29)

agreeing with (12') and verifying the invariance of the method in Fourier form.

(III) The Fourier method can also be applied to the radiation emitted by a vibrating electron similar to Heider's method.' The result is quoted at the end of Section 6.

Our inflariant "cutting-off method" consists in using the Hamiltonian H =H" - H' rather than H" alone.

The perturbation problem of the classical Hamiltonian is this. The electrons may first move with prescribed constant velocities r,. The corresponding "electronic" field coordinates

Q:(t), etc., are given in (22), etc., augmented by solutions of the homogeneous equations (21') representing the initial "pure field." Between t, and t, the electrons shall move on prescribed accelerated path [r,(t) in r., on the right of (21') prescribedJ. The equation of motion (21')

together with the initial value Q:(I,) determines

the final value Q:(t,). Its continuation for t>t. can again be separated into an "electronic field" of type (22) and a "pure field" if the electrons move with constant velocities after 1,. Such a separation is not possible during the time of radiation I, <t<t,. The prescribed path ought to be such that the total force (no matter whether it can be separated into external and self-force) vanishes on every electron.

• W. Heider, Quantum TheM, of Radiation (Oxford, 1936), p. 54.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 361

A. LANDt AND L. H. THOMAS 522

9. ApPENDIX. EXACT INTEGRATION OF

YUKAWA'S EQUATION

The exact solution (V", A") of the Maxwell equations produced by charges p, j is· well known. The exact solution of the combined Maxwell-Yukawa problem shall be given here. The exact solution of the Yukawa problem alone might be of value for the discussion of meson problems, irrespective of the present field theory.

In order to solve the differential equation

V'V' -ii'V' /iic'I'= -4 ... p+k'V' (30)

we use the Fourier transformation

u'(A, B, C; I) = I I I V'(x, y,'; t)

Xexp[ -2i .. (Ax+By+C.)]dxdydz,

u(A, B, c; 1)= I I I p(x, y, z; I)

Xexp[ -2i .. (Ax+By+Cz)]dxdydz.

Their inversion substituted in (30) yields for u' the equation

-4 .. '(A'+B'+C')u'-ii'u'/iic'I' = -4 ... +k'u'. (31)

With the abbreviation

p'=c'[k'+4 .. '(A'+B'+C')], (32) q'=c'4 ... (A'+B'+C'),

(31) reduces to

P'u' +ii'u' /at'=4"c'rr.

The solution for vanishing u' and au'lal at t=-oo is

u'(A, B, C, t)= It sin[p(t-T)]p-14,..c'

- Xrr(A, B, c; T)dT. (33)

Reversing the Fourier transformation we obtain

V'= I I I dAdBdCexp[2i .. (Ax+By+Czl]

X i~ dT sin[p(l- T) ]p-14rc'

X I I I d~~d!;p(~, ~, !;; T)

Xexp[ -U,..(AHB~+C!;)]. (34)

Changing the order of integration we arrive at

V'(xyzt) =4 .. c'f I I {~P(~~!;T) XK'(x-~, "', I-T)d~~d!;dT (35)

with the kernel function

K'(x,y,z,t)= I I Isin~Pt)p-l

Xexp[ +U ... (Ax+By+Cz)]dAdBdC. (36)

The same considerations applied to the Maxwell field (with k=O) result in a corresponding for­mula for V" with kernel K" in which p is replaced by q of (32). The resulting potential is

X(K"-K')d~~drdT. (37)

The kernel K"-K' can be evaluated in polar coordinates. With

x'+y'+.'=r', A'+B'+C'=D'

we obtain

K" - K' = 2 f.~ sin(2,..r D)rl

X [sin(pt)p-l-sin(qt)q-l]DdD, (38)

in which P'=c'(k'+4 ... D') and q'=c'4,..'D'. Writing

p=ck cosh 8, q=ck sinh 8, 2 .. D=k sinh 8,

we have

K" - K' = (k'j4,..')2 f~ sin(kr sinh 8)r-1

o

X [sin(ckt cosh8)(ck cosh8)-1

-sin(ckt sinhB)(ck sinhB)-l]

Xsinh8 cosh8d8. (39)

(39) has two forms according to ct>r, or cl<r. If ct>r we write

ckl=X cosh a, kr=X sinh a, X'=k'(c't'-r').

362 ALFRED LANDE

523 FINITE SELF-ENERGIES

Associating and dissociating sines and cosines we arrive after somc transformations at the simple value of (39):

K" - K' = (k'/4 .. c~)J,P,).

If ct<r we write

ekt =~' sinh a, kr =~' cosh a, ~'2=k2(r'-e't2)= -~'.

Here ~ is imaginary, and the result is

K"-K'=O.

(37) thus yields the cxact solution

V"- V' =ek' r' f f f J,(~)~-lp(hrT)dTd~d~dr, J_~ (40)

where

~'=k'[(et-CT)'- (x-~)'-(y-~)'- (.- r)'J. The hr-integral is extended over values that make ~ real.

Subtracting V" - V' from the well-known Maxwell solution V" with the same charges as sources one obtains the exact sol ution of the Yukawa equation.

PAPER 75

On the Magnitude of Electronic Charges

ALFR.ED LANDE

Mtndmhall Laboratory, Ohio S'cue Uniwrsily, Columbus, Ohio (Received November 2S, 1940)

A charged point particle is characterized first by its classical rest energy EO'" met. second by the characteristic wave period 'o=4rel/3mc' that occurs in the classical formula ~/9.,. - [1+(10/.)']-' for the ratio of the scattering cross section for light of period. compared with the Thomson cross section .~ for light of period .,. Quantum theory asks that the product .,t, be as small as h/210 as the smallest eigenvalue of a proper value problem. The classical values of 10 and ,. together with their quantum product yield the value a JII:f 1/140 for Sommerfeld's fine­structure constant. The discrepancy may be due to our classkal treatment of the interaction between light and charged matter. The Lorentz invariance of the energy transmission coefficient R, ... ~/.~ makes R.,. apt to serve as a reduction factor in the theory of radiation for avoiding the usual infinities. As a first example, the energy reduction Rr leads to a modified Coulomb energy together with a finite electrostatic self-energy corresponding to an electrostatic mass mltat=m.

363

T HE velocity of a particle can be found in two ways; first, by measuring the energy.

and the momentum p so that

v/C=PC/E whereby E'- (PC)'=EO', (1)

if Eo stands for the rest energy; and second, by measuring the path , during a time interval t so that

quantum theory. The probability amplitudes !f(', I) and x(p, E) comply with the quantum rule (for free particles) that they are Fourier expan­sions of one another. At the same time E is determined by p and EO, and t is determined by r and to by virtue of (1) and (2). The Fourier integrals' read

V/C=,/ct whereby 1'-(,/<)'=1,', (2) x(p)=h-'f !fer)

if I, stands for the rest value of the interval t. Xexp [i/h(p·r-Et)]d.",dydz(to/J)l,

(3) The quantities p and • can be measured

optically if the particle is charged. The Compton scattering effect yields p and E within certain !f(T)=h-lfx(p) margins of accuracy since p and. change during the observation. The universal rest energy '0 which also is the critical photonic energy for the pair production, has a definite value E,=mc' without uncertainty.

The quantities rand t can also be measured optically by means of light waves scattered by the particle. The Lorentz rest system in which the scattering process takes place is defined by the system of interference fringes of the incident and rellected light and matter waves that move through the distance r during t. The position of the maxima cannot be measured exactly at any time. Therefore , and t are de-

Xexp [-i/h(p·r-.t)]dp.dP.dp.(E./E)'.

The square roots on the right provide for in­variant volume elements. The factors h-I are chosen so that the two integral equations are mere inversions of one another in the non­relativistic limit. The integrals are carried over positive and negative values of the square roots; they are soluble only for certain proper values of the quantity

(4)

termined within a certain margin only, although 'The integrals are modifications of Born's integral •. the rest period t. has a definite universal value Born modified the writer'. original wrong integrals. See ( ) A. Land~, J. Frank. lost. 228, 459 (1939). M. Born, Proc.

see (7 ). ~ ~·B!.~n:"':!1'u:~, ~~!(p:!~.~e~~u'rghal~~ The two uncertainties (corpuscular p and E, 100, 141 (1940) starts from a different background and

wave , and t) are rpciprocal in the sense of arrives at dillerent results.

434

Reprinted from Phys. Rev. 59, 434-435 (1941).

364 ALFRED LANDE

435 ELECTRONIC CHARGES

The smallest proper value of p. turns out to be'

p. = 0.02985037· .. (4')

as the smallest root of the transcendental equa­tion 2 .. ,,[ Yo(p.)]' = 1.

The smaUness of the product .01. in terms of h, namely .oto/h=1/210 must be considered as the chief reason for the smallness of the Sommerfeld fine-structure constant a. Indeed, the latter is

e' e' " a=-=--·-=--'J.l.=-, ell [lnEo Ii ctomc2 'Y

(S)

if')' is the numerical factor expressing Jo in terms of t' fmc' by the formula

(6)

A tentative value of 'Y is obtained by identifying t. with the characteristic period to that occurs in the scattering cross section <1>. for light of period T, as compared with the Thomson cross section <I>~ for light of period oc. The classical theory of the scattering of infinitely weak light waves yields the formula

<I>.=<I>~·[1+(T/tO)']-l where to=4".e'/3mc'. (7)

From identifying to of (2) with to of (7) we learn that 'Y is 4"./3, hence

a=,,;"=0.0298· (3/4 .. ) =1/140 (8)

instead of the experimental value = 1/137. The discrepancy may be due partly to the value of <1>. which was obtained from the classical scatter­ing of infinitely weak light waves, as against quantized waves of zero-point energy. A uniform theory is wanted in order to replace the two in­coherent sections of computing a=p./'Y from a quantum calculation of" and a classical calcula­tion of 'Y. The not quite convincing classical reasons for choosing 'Y = 4 .. /3 will be discussed in a paper, Part III, in the Journal of the Franklin Institute (1941) to which we also refer for the following remarks.

• A. Lande, J. Frank. Inot. 229,767 (1940). Part I.

The ratio R. = <1>./ <I>~ is apt to serve as a reduction factor to rid the radiation theory of infinities. R is Lorents-invariant since <I>~ is a universal constant, and <1>. depends on the scat­tered period T and the speed of the scattering particle in the following way. The light may have the period T for an observer who is at rest together with the particle. If the observer moves with velocity v' relative to the former rest system he will observe a differen t period T'. But the scattering cross section, that is, the ratio of the scattered to the incident intensity per unit area will be the same as in the rest system namely R. rather than R ••. Indeed, the scattering cross section can be thought of as the cross section of a (missing) column of light cut out of the incident parallel light rays, the walls of the column being light rays.

A first application of this reduction factor for the energy transmission is offered by the Dirac­Fermi wave theory of the electrostatic inter­action between particles and light. This theory leads to the Coulomb energy "je./T;. and to an infinite self-energy. If one assumes, however, that the energy contribution of the waves of period T is reduced by the invariant factor R. =<I>./<I>~ of (7), then one obtains a modified Coulomb energy

(eje./rj,)' [1-exp (-rj.3mc'/2e2)] (9)

and a finite electrostatic self-energy of value Est-at = i me!. This corresponds to an electro~ static mass

mstat=m, (9')

since, according to Abraham, any spherical electric field of energy E.... has an inertia m. ... =E .... · (4/3c'). The reduction of the infinite self-energy through radiation damping is prefer­able to an arbitrary cutting-off process, and perhaps also to those theories (Born-Infeld and Born's reciprocity) that yield the correct finite self-energy only with a certain selection of an adjustable parameter ro called "electronic radius" (determination of the factor "Y a posteriori) .

PAPER 76 365

Finite Self-Energies in Radiation Theory. Part m ALFRED LANDE AND LLEWELLYN H. TlIOMAS

M~ ... IrIlU Labtwalmy of Physi<s, Ohio Slat. u,.;'usily, Colu""'us, Ohio

(Received November 10, 1943)

The invariant field theory of Part II is interpreted, in agreement with F. Bopp, as Maxwell's theory with a linear differential relation between the fields E, Band D, H involving a new constant k which measures the reciprocal radius of the electron. The former "mesonic field" of minimum frequency po=",j2r represents polarization of the vacuum. The electron is a singularity in the D. H field whereas E, B remain finite. Instead of obeying dynamical equations of motion, the electron moves under the condition that the Lorentz force vanishes identically on the singularity. so that no work is done on the particle. All energy i.located in the field. In this respect the theory is unitary. Electromagnetic and inert mass are identical.

I. CLASSICAL FIELD THEORY

T HE modification of electrostatics proposed in Part I and its electromagnetic continu­

ation discussed in Part II ' rest on the assump­tion that vacuum is polarizable, as described by linear differential relations between the vectors E, Band D, H (for details see Section 6):

D=E-k-tOE, H=B-k"'OB, (1)

where 0 is the Laplace operator in :x:, y, s, iet. The constant k of dimension [I-'J determines the minimum frequency .o=kc/2r of waves of polarization or "meson waves." k also plays the role of the reciprocal electronic radius, although the charges. are condenSed in mathematical

'A. Land~, Phy •. Rev. 60, 121 (1941). A. Lande and L. H. Thomas 60, 541 (1941).

Reprinted from Phys. Rev. 65, 175-184 (1944).

In contrast to Dirac's classical electron which is subject to advanc;ed and retarded potentials and displays seIf­acceleration, the field theory works with retarded poten­tials only, and self-acceleration is avoided. Stable equi­librium between electrons and radiation is granted by spontaneous and induced transitions, similar to Einstein's derivation of Planck's radiation formula. In spite of dis­playing a magnetic moment the electron does not have magnetic self-energy, so that its radius is the ordinary electrostatic radius l/1r.-~/2~. In contrast to Born­Infeld's non-linear theory, our field equations allow a Fourier representation as a basis for the quantum theory of Part IV.

points only. The simplicity and naturalness of our approach are demonstrated by the fact that the same modification of Maxwell's theory has been proposed independently and simultaneously by F. Bopp.' Whereas we began in Part I with a Fourier representation of the field of a point particle with finite self-energy, Bopp started from a formal generalization of the Lagrangian function of the field E, B= f.,. namely.

L= -(1/16) I {f.~)·+k-l(iJf.~/iJ:x:,)·1 +J.<p. (2)

where J is the 4 current and <p is the 4 potential. The relation to other field theories (Maxwell,

Bom-Infeld) become obvious if the vectors E. H of Part II are called E, B. and the vectors En. H" are called D, H. Our "meson field" E' =D-H

• F. Bop.p, Ann. d. Physik ~8, 345 (1940),

366 ALFRED LANDE

176 ALFRED LANDE AND LLEWELLYN H. THOMAS

TABLE I. Notation.

g~~~ornler ~: if :"aA E~,IJ;;;q,~:' A" F~d/t}k~'i;1~

and H' = H - B then represents the electric and magnetic polarization of the vacuum (see Table I). In contrast to Born-Infeld. our relation between D. Hand E. B is linear so that it is easy to obtain a Fourier representation (not discussed by Bopp) with subsequent quantization. Infinities are avoided automatically withoUlJesorting to arbi­trary cutting-off procedures.

The new field theory is unitary insofar as all energy is supposed to be located in th .. field. with­out additional "mechanical" energy of particles. I nstead of introducing mechanical equations of motion for the electrons. we postulate that the field E and B (which is responsible for Loren tz force and work 011 the particles) shall vanish at all times on the point singularities themselves. As a consequence of this condition we were able in Part 11 to derive a quasimechanical equation of motion:

m(x),=external force + (2.'/3c')(di/dt) , (3)

valid at a particular time (t=O). m is an abbre­viation for k.'/2c' and represents the electromag­netic mass of "the surrounding field.

The simplest solution of the field equations is an electrostatic field of spherical symmetry surrounding a point charge. (II. Section 4):

D=./r'. E=./r'-.(I/r'+k/r) exp (-kr).

In contrast to D. the field E remains finite at r=O, namely, E= .k'/2. However. similar to Born-Infeld, the field component E. jumps from the finite value +tEt to -tEt when passing through the singularity, with the average value E. = 0 on the singularity itself. This discon­tinuity preserves the individuality of the par­ticle. The electric field energy of the particle at rest has value W=k.'/2=mc'.

Two point charges " and " at distance r have field energy

W= k.,'j2 + k.,'j2 + (.,,,/r) . [I-exp (-kr)]. (4)

Two opposite charges +. and - E therefore yield

W=mc'+mc'-.'/r for large r, W=mc'kr for small r.

(5)

Hence, when r decreases from 00 to 0, field

energy of value 2mc' is released. It thus turns out that transformation of mutual electrostatic into radiation energy with neutralization of +. and -. (annihilation) is possible already in the classical domain.

Another significant feature of our theory concerns electrons vibrating with high fre­quencies v> v,=kc/27r. The energy emitted in this case is reduced by a factor (II. Section 6)

1-(I-v,'/v')1 (6)

as compared with the normal Maxwell-Lorentz radiation. For v»vo the reduction factor ap­proaches vo'/2v', so that energy is emitted at the rate p2 rather than v" per second, or v rather than v' per period. This is of importance for the quantum theory of stationary states which always presumes that the energy emission during a single period is small compared with the energy of the state itself.

Our theory in its classical form does not dis­tinguish between self-field and external field, except for t/le special case of uniform motion. On the other hand. the quantum theory of radi­ation is dualistic. Here one considers electrons in uniform motion with definite self-energies W=W,(I-P')-I surrounded by a "pure field" with constant Fourier amplitudes. Transitions between stationary states result from mutual perturbations between pure field and particles. The difficulties of the quantum theory of radia­tion arise primarily from the task of describing the interaction between external field and mechanical particles in a dualistic fashion, although the classical theory of the electron in the field is unitary. The difficulty is solved in Part IV by considering as zero approximation particles without rest mass which therefore travel with the velocity of light. When the inter action with the field is introduced, stationary states of the particles with any velocity smalle­than c become possible. These states may b. obtained from states with zero velocity by Lorentz transformations, and the rest mass now has a definite value. Our special type of semi­unitary field theory in which the particles retain their individuality as singularities although all energy is located in the field, offers a satisfactory background from the classical and quantum points of view.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 367

FINITE SELF-ENERGIES 177

Z. TBB PROBLEM OF SELF-ACCELERATION

For vanishing external field Eq. (3) reads

dx/d(et) =ax with a=3me'/2.'. (7)

The solution of this non-relativistic equation is

dx/d(et) =exp (aetl+fJ (7')

where fJ is the velocity ratio v/ e at t = - 00. A free electron thus should be able to accelerate itself from any initial velocity v at t= - 00 to larger and larger velocities, the beginning phase of the process being described by (7'). Rela­tivistic corrections are needed for higher veloc­ities only. Dirac' has emphasized the funda­mental importance of self-acceleration in his relativistic theory of the classical point el;";tron. There he assumes that the force on the point charge is determined by the difference of retarded and advanced potentials, in order to get rid of the infinite self-energy. As a consequence he obtains self-acceleration. However, the whole idea of a free particle acquiring larger and larger velocities on its own accord is so non-physical that any theory yielding self-acceleration might be rejected almost a P,i01'i. Yet. self-acceleration is an inevitable _ consequence of any theory in which the electron is subject to a differential equation of motion of finite order because the equation of motion at the beginning of the process for small velocities is always approximated by (7) with the solution (7'). It is a decisive ad­vantage of the present field theory that the singularity does not obey a differential equation of motion. The force on the electron at I depends on the whole path before I rather than on the motion in the immediate neighborhood of t.

In II. Section 4 we discussed an electron moving with coordinate

(7")

during a short time t near t = 0 and with small coefficients ft, f. and g whose meaning is ft = (i)., f=(x)', g=(dx/dt). at 1=0. The self-force was found to be

self-force = - ("k/2c')· f+(2<'/3e·)·g = -m(f).+(2 .. /3e')(dX/dt).

where m is an abbreviation for (.'k/2c') repre­

• P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 167. 148 (1938).

senting the finite mass of the point charge •. Our requirement of a vanishing total force means vanishing self-force for a free electron, so that the latter at 1=0 satisfies the equation

m(x), = (2"/3e') (dx/dt) •.

This equation does not permit conclusions about self-acceleration before or after 1=0. Whether self-acceleration is possible depends on the question whether the self-field vanishes during an accelerated motion. Before answering this question of dynamics we must first find the cor­rect kinematic description of a relativistically accelerated motion.

Let us assume tentatively that the motion of a certain free particle were actually of the form (7') at least for large negative t and for small values of the initial velocity fJ. Let us ask also: What is the correct relativistic continuation of this accelerated motion? The answer may be found by relativistic transformations without resorting to dynamics. Since the electron is free, the acceleration at any time must depend only on the proper time s measured on the particle itself. For large negative t. however. I and s are identical provided that fJ«1. Instead of (7') we therefore may write relativistically

dx/d(es)=exp (aes)+fJ, d(et)/d(es) = 1 for s= - 00.

(8)

With reference to a Lorentz system xl in which the electron is at rest at the beginning of the process we also have

dx./d(es) =exp (acs). d(et.)/d(cs) = 1 fors=- 00.

(8')

Generalizing these equations tentatively for all • values we write

dx/d(es) =5(0~·+b). d(et)/d(es) = C(o~+b). dx./d(cs) =5(0·"), d(et.)/d(cs) = C( •• ") ,

where b(fJ) is a function of fJ which coincides with fJ for small fJ, whereas 5(s) is a function of s which coincides with z for small. like a sine function, and C(s)->1 for small- s like a cosine function. We now write down relativistic transformation formulae from xl to xol.

dx = [dxo+d(et.) ·fJJ(1-11')-1, d(ct) = [dx.· fJ+d(ct.) J(I-11')-1.

368 ALFRED LANDE

178 ALFRED LANDt AND LLEWELLYN H. THOMAS

Dividing by d(a) and writing. for ~ ... we obtain

5(.H) = [5(.H C(.). III (1-~)-1. C(zH) = [5(s)fJ+ C(z)]- (1-~)-I.

These equations represent rotations in Minkow­ski space. Indeed. if we write

(1--~)-I=coS (ib) = Cosh (b). /I(1-~)-I= -i sin (ib) =Sinh (b).

Tanh b=/I.

we have

5(z+b) =5(z) Cosh (bHC(z) Sinh (b). C(zH)=5(z) Sinh (bHC(z) Cosh (b).

These formulae are valid only if the functions S and C are Sinh and Cosh. The correct relativistic continuation of (7') in the xl system. therefore. is

dx/d(cs) =Sinh (.· .. +b). d(cI)/d(cs) = Cosh ( •• "+b). o=Tanh-'/l. (9)

where /I=v/c describes the original constant velocity of the electron in the xl system at 1= - "'. and s is the proper time. Equation (9) represents the only accelerated motion possible for a free electron with (7') as non-relativistic approximation for I"" - "'. As a consequence we obtain the following invariant description of self-acceleration:

d'x,/d(cs)'=a·exp (acs). (9')

where x, is the Lorentz system in which the electron is momentarily at rest.

Next let us calculate the self-force according to the field theory if the electron is relativistically accelerated according to (9). In order to simplify the mathematical problem let us discuss only the initial part of the process between t = - '" and t=(I/ac)·lnC where C is a small positive number. During this initial phase we may use the approximation (7'). Shifting the zero point of the time scale we may consider the motion

d~/d(CT) = C exp (aCT). ~={C/a)[exp (acT)-I]

(9")

during - '" < T <0. The zero point of the ~ axis coincides with the position of the electron at T=O. Furthermore. instead of discussing the self-force during the whole time T <0. we cal­culate it at T=O itself. In the original time scale this is the time 1= (1/ac) In C where C is any

small number. so that what applies to 1=0 also applies to a continuity of times t in the original time scale.

In order to find the self-force of the motion (9") at T = 0 we apply the method of retarded potentials (Part II. Section 4) and proceed in three steps.

(1) If the exponential function in (9") is expanded into a series we have

~= (C/a) [acT+t(acT)'+ HacT)'].

If we omit all higher terms. the result was already found in II. Section 4:

Self-force = - ("k/2c')(ilo+ (2<' /3c')(di/dT), = - o'a'C[(k/2a) -(2/3)].

The self-force vanishes for a =0 (uniform motion) and also for a=3k/4 (self-accelerated motion). that is. for a=3mc'/2o' which is Dirac's value.

(2) If the next expansion term (acT)'/24 is added to the series. the self-force becomes infinite for every value of a except a = O.

(3) If the complete exponential function exp (acT) is used the self-force becomes finite again due to the fact that successive expansion terms contribute infinite terms of opposite signs. The resulting self-force according to the method II. Section 4 is

-floC. i M Jl(kR) {(aR-l,-B) + (a-lR-'e-R )

• - (R--'a- l ) +(R-'.-") }d(kR)

or after integration:

Self-force =

I (a'+k')'-a (a'+k')I-k' 11 -"a'C +- .

a Ja' 3

If we had used the exact relativistic motion (9) rather than (9"). the bracket would contain an additional term linear in the small quantity C. For small but finite C the self-force vanishes only if the bracket is zero. The latter. however. does not vanish for a=3k/4 nor for any other value of a save a = 0 (or a "" 0 if the small correction term linear in C is added). That is. our field theory does not allow self-acceleration in its beginning phase. Therefore. the whole process of self-acceleration is not compatible with the

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS 369

FINITE SELF-ENERGIES 179

field theory. It will be noticed that the bracket in the last equation for the self-force would vanish for a=3k/4, if the positive root (a'+k')! were replaced by the negative root. However, because of our application of retarded potentials the root appears with positive sign, and we arrive at the gratifying result that self-acceleration is impossible in our field theory.

3. NEGATIVE ENERGY DENSITY

I t seems impossible to devise a field theory of charged particles without violating the require­ment that the density of the field energy ought to be largerin the presence of a field than wi th­out field, that is, be positive definite in the presence of a field. As an example we mention Born-Infeld's field theory which leads to negative energy densities' wherever the vectors D and B have certain large values. (In our theory negative field energy is connected with large frequencies v> vo=kc/2 ... rather than with large field inten­sities). Dirac' in his classical theory of the elec­tron simply assumes that an infinite amount of negative energy of unknown origin is condensed near the point electron so as to counterbalance somehow the infinite positive :vIaxwell energy. He thereby denies that the mass of the electron is of electromagnetic origin.

The negative energy density of the meson field in our theory seems to lead to certain dif­ficulties. Consider an electron vibrating with a frequency v larger than Vo for a limited time only. As shown in Part II, it then emits a group of Maxwell waves E, B and a group of meson waves of polarization D-E, H-B. The two groups travel with different group velocities and become separated at some distance from the source. The Maxwell group carries more energy than was emitted by the electron; the meson group with its negative energy re-establishes the energy b"lance. A resonator exposed to the Maxwell group alone then might transform the Maxwel1 energy into mechanical energy of the resonator, thereby reducing the energy remaining in the field to larger and larger negative values. This objection does not hold, however, in our

• M. Born, Proc. Roy. Soc. 143, 410 (1934). See also W. Heider, Quantum Theory of Radiation (Oxford Univer~ sity Press, 1936), Eq. (5), p. 237.

unitary theory where all energy is located and conserved in the field, and the work on the resonating charged particle is zero. From the energetic point of view our position with respect to negative field energy is the same as that of an observer above sea level who discovers that weights may be dropped below zero level at the expense of other weights raised above sea level. Difficulties appear, however, if one tries to derive a statistical distribution of photons and mesons over positive and negative levels, at least if he wants to apply the same statistical methods which had been developed for positive levels.

In case of Boltzmann statistics the relative number of particles on two energy levels is

fh/n,=exp (W,- W,fkT) ,

and remains unchanged if both energies are counted from a new zero point. Bose statistics, however, yield the following formula for the average number of particles of energy W:

ii=l/[exp (W/kT)-l],

where W is an absolute energy value without an additional constant. ii,fii, depends on the ab­solute position of the zero energy. Furthermore, Bose's formula is meaningless for negative values of W unless a new interpretation of a "negative number of particles" is invented. However, one must remember that Bose particles are "par­ticles" only in a very restricted sense, and that the success of Bose's procedure is more or less accidental. Bose showed that the same Planck radiation law which was derived from an equi­librium between radiation and radiating matter (Planck's and Einstein's derivations) could also be obtained from certain statistics applied to "particles without individuality." We cannot ex­pect that a modified Planck law (asked for by modified field theories) should still be derivable from Bose's corpuscular method. This applies in particular to our case where "pure field" and "electronic field" are undistinguishable within the range 11k of the electronic "radius." Radia­tion of wave-length }o. = 21f/k may be treated in connection with electrons responsible for the radiation equilibrium, similar to Einstein's derivation of Planck's law, as follows.

370 ALFRED LANDE

180 ALFRED LANDIl: AND LLEWELLYN H. THOMAS

4. MODIFiED EINSTEIN EQUILIBRIUM

An electron vibrating with frequency v> Vo = kc/21r emits negative meson energy at the ratio of (1- vo'/"') I to 1 in comparison to the normal Maxwell radiation, according to (6). This ratio has another significant meaning. The number of Jeans proper vibrations per unit cube and per wave-length interval d). is

dZ = (S .. /}.')d(I/}').

Since c/X = v for Maxwell waves, and

c/X= ("'- vo')1

for meson waves, we obtain the following num­bers of levels within the same dv:

dZ"=8"v'dv/c' for photons hv (10) dZ' = (8"v'dv/c')(1- vo'/v') I for meaons (-hv).

dZ' and dZ" turn out to have the same ratio as the numbers of mesons and photons emitted "spontaneously" by the vibrating electron during a certain time. Hence, if a group of electrons has emitted just one photon onto everyone of the dZ" levels within dv, the same group of electrons has also emitted just one meson onto everyone of the dZ' meson levels within dv. The total number of photons and mesons emitted is pro­portional to (dZ" +dZ') whereas the total energy emitted is proportional to h.· (dZ" -dZ').

After this preparation let us discuss Einstein's derivation of Planck's radiation law, modified by our field theory. Two electronic energy levels W. and W.<W. may be occupied by N. and N. electrons, respectively. Electronic transitions between the two levels produce emissions and absorptions of quanta +h. and - hv to and from the Jeans radiation levels within a certain re­sonance interval dv containing dZ" photon levels and dZ' meson levels. An electronic transi­tion from W. to the higher level W. corresponds to an increase of the electronic amplitude of vibration and to a decrease of the Maxwell field strength I E" I (= absorption of photons) and to an increase of the meson field strength I E' I (=emission of mesons). In terms of statistics this means that the probability of an electronic transition from W. to W. ought to be propor­tional to the difference of the numbers n"dZ" of photons and the number n'dZ' of mesons ready

to be absorbed from the resonance interval dv:

P .. =N.[n"dZ"-n'dZ'].

Opposite transitions a ..... b induced by the radia· tion will be proportional to the same difference, whereas spontaneous transitions will be propor­tional to l·dZ"-l·dZ' [see (6) and (10)J so that

P .. =N.[(n"+l)dZ"-(n'+l)dZ'].

In case of equilibrium we must have P .. =P .. in the average, that is,

(n"+I)dZ"-(n'+l)dZ'

ii"dZ"-ii'dZ'

The bars indicate average numbers of photons and mesons per level. If equilibrium shall apply to photon processes alone and to meson processes alone we must have

N./N.= (;;,'+l)/n" = (n'+I)/ii',

hence, fi" = ii'. That is, the average number of photons and mesons per Jeans level must be equal. If the electrons are subject to Boltzmann statistics N=const. exp (-E/kT) we obtain the following value for the average number of photons and mesons per level:

ii"=n'=[exp (hv/kT)-lJ-I. (10')

The total radiation energy within dv has density

w,dv= n"hvdZ" +ii'( -h.)dZ' = (w," -w.')dv

8 .. h",dv -----

c' exp (hv/kT)-1

X[I-(I-vo'/v')IJ. (10")

For v> '0= kc/2 .. Planck's radiation formula i, multiplied by the same factor (6) which already occurs in the classical energy emission of an electron for v> '0. The result is obtained without applying statistics to the pure radiation.

s. STABILITY OF EQUILIBRIUM

In order to show that the equilibrium is stable consider small deviations from the average numbers

n"=ii"+a", N.=N.+a,

n'=n'+a', N.=N.-a

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 371

FINITE SELF-ENERGIES 181

which are related by the condition

il.=z'a'-z"a" where Z' and Z" are the number of radiation levels involved (formerly called dZ' and dZ"). Photonic processes lead to an increase of the number of photons, d(n"Z")/dt=P •• -P .. whereas dZ' = 0, that is,

d(n" Z")/dt= (N. +A) (Ii" +a" + I)Z" -(N.-A)(Ii"+a")Z".

The terms of zero order in the deviations cancel, and the second-order terms shall be neglected. This leaves the first-order terms:

d(a"Z")/dt= -(a"Z")(N.-N.) +A· (21i"+I)Z".

Mesonic processes yield similarly d(n'Z')/dt =p .. -Pab and dZ"=O, that is, after removing second- and zero-order terms:

dCa' Z')/dt= - (a'Z')(N.-N.)+A(21i' + I)Z'.

At last, the electronic number N. increases with probability p .. - P ab, that is, after removing second- and zero-order terms:

dA/dt= -A I (21i" +1)Z" -(21i'+I)Z') + (N.-N.)(a"Z" -a'Z').

The last bracket is -A. Writing C for the positive constant N.-N., we thus obtain

(a) dA/dt= -A!C+(21i"+I)Z"-(21i'+1)Z'}

together with the former results

((3) da"/dt= -1l"C+A.(21i"+1), (y) da'ldt=-o'C+A·C2n'+I).

The factor of -A in Ca) is positive since C>O, and n"=Ii', as well asZ">Z'. Thus the absolute value of A will always decrease. The terms with A in ({3) and (y) will therefore shrink to zero after some time, and from thereon the ab­solute values of a" and 0' will always decrease. A small deviation from the average values Ii", Ii', N., N. thus tends to disappear automatically according to the transition probabilities accepted before, and the equilibrium turns out to be stable.

6. FIELD EQUATIONS

We now return to our former notation E, H for Maxwell's field E, B, and E", H" for Max­well's D, H (Table I). Both fields shall be

derived from potentials V, A and V", A", re­specti vel y :

E=-vv-Alc, H=VXA;

E"=-vv"-A"/c; H"=VXA".

(11)

(11')

However, only the potential V", A" shall always obey the Lorentz condition:

(V·A)+ V/c=R, (12)

(V·A")+ V"/c=O (12')

where R on the right of (12) may be any scalar function of xyzt, to be restricted later. In our applications we usually consider the special case R=O only. As a consequence of (11), (12) one obtains field equations for E, Hand E", H":

VXE+H/c=O, (13) (V·H)=O;

VXE"+H"/c=O, (13') (V'H")=O;

VXH-E/c=-DA+VR, (14) (V·E)= - 0 V-Ric;

VXH"-E"/c=-DA", (14') (V·E") = - 0 V".

The right-hand sides of (14') represent 4". times the current j/c and density p of the true charge (which later on is supposed to be condensed to world lines only). The right-hand sides of (14) represent 4". times the free current and density. DA and 0 V have the dimensions of potentials divided by the square of a length. They may be written in the form

-DA=k'A', (15) -DV=k'V';

-DA"=hj/c, (15') -DV"=4 .. p;

thereby defining a new "potential" A', V'. Hence (k'A'+VR) is 4 .. times the free current density, and (k'V'-R/c) is 4 .. the free charge density. As a consequence of (14) (14') we obtain continuity equations for free and true charge:

(V·A')+ V'/c= - DR/k',

(V·j)+p=O.

(16).

(16')

312 ALFRED LANDE

182 ALFRED LAND);; AND LLEWELLYN H. THOMAS

From the potentials A'. V' we may also derive a new "field" E', H':

E'=-VV'-A'/c. H'=VXA'. (17)

(13) and (14') are Maxwell's equations. It has been assumed that both fields E. H( = E. B) and E".H"(=D.Hl are derived from poten­tials. and that V". A" satisfy the Lorentz con­dition.

We now postulate a new relation between the two potentials. namely.

V"=V-DV/k'. A"=A-DA/k' (18)

from which follows

E"=E-DE/k'. H"=H-DH/k' (19)

or D=E-DE/k' and H=B-DB/k' in the usual notation. Eliminating DA and 0 V from (IS) and (18) we obtain

A=A"-A'. V= V"- V'. (20)

Hence (12) must be the difference of (12') and (16). That is. the right-hand side R of (12) must satisfy the condition

-DR+k'R=O. (21)

From (20) we learn that

E=E"-E'. H=H"-H' (22) I

or E=D-E' and B=H-H' in the usual notation. which shows that the fields E' and H' determine an electric (P) and magnetic (M) polarization of the vacuum

E'=41rP. H'=-41rM. (22')

Equation (16) now reduces to

(V.A')+V'/c=-R. (23)

The field equations for E' and H' according to (17) and (23) read

VXE'+H'/c=O. (24) (V·H')=O;

VXH' -E'/c= - DA'-VR. (24') (V.E')= - 0 V'+R/c.

Subtraction of (15) from (15') yields. because of (20).

-DA'+k'A'=4 .. j/c. (25) - 0 V'+k'V'=4 .. p.

Equation (25) together with (IS')

-DA"=4"j/c. -DV"=4"p (25')

shows that the true charge is the common source of the two otherwise independent fields E". H" and E'. H'. True charge shall be con­densed on singular world lines only.

The absolute values of the potentials A'. V' have a physical meaning without additional constants since they occur in the field equations (14) whose right-hand sides read

k'A'+VR and k'V'-R/c. (26)

They represent 4 .. times the free current and free charge density.

Since the fields E=E"-E' and H=H"-H' determine the Lorentz force and work. the energy­momentum tensor T must be the difference T= T" - T'. In particular. the density of energy and flux are

w=w"-w'. S=S"-5', (27) where

w' = (1/4 .. ) IHE"+H"+k'A"+k'V") +RV'/c-RV'/c+!R'I. (28)

5'= (c/4,,) I [E'XH'J+k'V'A'+ V'VR+A'R/cl,

and w"=(1/4 .. )t(E"'+H"'). (28') s" = (c/4,,)[E" XH"J.

Equation (28) contains the right-hand side R of (12) and is more general than the expressions for w' and S' of Part II where we considered the case of R=O only.

Meson waves in vacuum may have longitudinal field components. Indeed. consider the special case

A.'=a.' sin (2 ... 1+2"",/,,), A.'=O, A.'=O. V'=.'·sin (2 ... 1+2"",/A).

The amplitudes a.' and V' are not restricted by (12). The field is

E.'= -(a.'./c+.'/A)21r cos (2 .... 1+2 .. ,,/A). E,/ = E/ =H/ =H,/ =H/ =0,

representing a longitudinal electric wave. In case of Maxwell waves we would have a~" = -v", and E."=O. Maxwell waves do not have longi­tudinal components for two reasons: first. because A = c/.. and second. because of the

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 373

FINITE SELF-ENERGIES 183

Lorentz condition (12'). Meson waves do not have to satisfy the Lorentz condition, and their relation between X and v is

(vie)' = l/X'+(keI2".)'. (29)

7. ELECTRIC POLE AND MAGNETIC DIPOLE

In Part II we discussed the potential and field of an electric point charge •. The field equations allow the following solution:

V"=.lr, V'=(.lr) exp (-kr), (30) E:' = .Ir', E: = .(llr'+klr) exp (-kr).

At large distance this is the ordinary Coulomb field of a point charge •. In a similar way we now discuss the field of a magnetic dipole of moment 1'. The field equations for R=O allow the solution:

A."=O, A." = p.!...(':) , A."= -p.!...(':) oz r oy r

o A:=O, A.'=p.-(e-"Ir) ,

oz o

A.'=-p.-(e-"Ir) (31) oy

with the magnetic fields

H."=I'C;' -~). H." = p.3:'Y ,

3xz 11."=#-,

r'

I (3X' 1) (3X' 1) H:=p. 7-;;- +k -;;--;;-

13XY 3xy XY} H.'=p. -+k-+k'- e-",

r' " ...

\3XZ 3xy XZ}

H.'=p. -+k-+k'- e-". r' ,.. ...

For large' this is the ordinary Coulomb field of a dipole of moment I' parallel x. Although the field H=H"-H' does not vanish for ,=0, the Lorentz force p.oHlox vanishes for r=O. The

classical field theory remains unitary if we postulate as before that the electron moves so that the total Lorentz force and work on the singularity are always zero.

In order to find the energy of the magnetic field we use (27). (28) for the energy density w=w" -w' with function R=O. Integration over space yields

The field energy of the point dipole is finite due to magnetic polarization of the vacuum.

If the electron really had a magnetic self­energy like this, the common electric and mag­netic radius 11k at which Coulomb's law breaks down would be determined by the equation

mc2=!.'k+tp.'k'.

Substituting the quantum values

1'= .hI2me, .'= ahe, a= 1/137, (32)

this would yield the following equation for a=2mc2l<'k:

~ -=!+t(aa)-' 2

solved by a= 16.47; that is, llk= 16.47 (<'/2mc2). The radius would be more than sixteen times the electric radius, and the magnetic energy more than fifteen times the electric energy.

However, results obtained from substituting quantum values into classical formulae do not mean very much. Take the example of the ratio of spin M to magnetic moment I' which according to quantum theory and experience is 1'1 M = .Ime corresponding to a g factor 2. In the classical field theory the spin is due to the radial electric field of the pole • and the longitudinal field of the dipole p. which together produce angular momentum about the dipole axis, proportional to the product 'I'. In case of a point pole and point dipole with surrounding Coulomb fields, M becomes infinite. If instead we take a "model" in which the field is present outside the radius 11k only, M becomes 2,p.kI3c. In our invariant field theory in which Maxwell and meson terms are subtracted the spin happens to be zero. It is not surprising that the classical theory cannot yield the correct spin, because the angular moment rests on the exact knowledge of per-

374 ALFRED LANDE

184 ALFRED LANDE AND LLEWELLYN H. THOMAS

pendicular components of E and H simultane­ously which cannot be measured without uncer­tainty. The actual value M = th is just halfway between the field value M=O and the "normal" value M=h.

We learn, however, from these considerations that the ratio of magnetic moment to spin and also to magnetic energy varies widely with the special theory under consideration. The "model" with fields outside I/k yields

W",I=iE2k, Wmag = iE2k3, M=iEJ.Lk/c, I/k= 23.3.'/2me'.

Quan tum theory and experience, however 1 yield (see Part IV):

Wei = !E2k, Wmag=O, M=!h, I/k= E'/2me. (33)

The result that the magnetic energy and mag­netic mass are zero in spite of the presence of a magnetic moment p. is suggested already by the simple formula p.= .h/me; if m in this formula should depend on p. implicitly, the ratio between electric and magnetic energy would have com­plicated values [like 16.47 (see above)J. Also, the radius 1/ k would be much too large as soon as the magnetic energy plays any considerable part in the self·energy [even with so small a factor as t (see above)]' Already the discussion of various classical models and field theories shows that it is well possible already on a clas­sical basis to construct a dipole moment whose surrounding magnetic energy happens to vanish.

The satisfactory result of Part IV that the elec­tron does not have magnetic self-energy arising from its magnetic moment, and that its radius is the electrostatic radius I/k = .'/2mc', is ex­plained in the following way. In the first place, the only sources of the field according to the field equations (25), (25') arc the electric charges, and there are no retarded potentials from magnetic poles or dipoles. Turning to the Fourier representation of Part II, Section 7, the Hamiltonian consists of terms referring to the particles alone, to the field alone, and perturba­tion terms. In our unitary theory the terms referring to the particles alone vanish [first two terms in II, (26)]. The part of the "mutual" energy which is proportional to .' may be inter­preted as electromagnetic "self-energy." It arises from scalar and vector potentials, but for a particle at rest the contribution of the scalar potential [last term in first line of II, (26)J is of opposite sign and half as large as the contribution of the vector potential [second line in II, (26)J; the resultant energy is - !kt'+k.' = ~kt'. If the particle is in an external field one also obtains mutual energy terms proportional to E, namely, for a particle at rest.· (V' - V")". and also, if Dirac's quantum method is applied, the scalar product (wH"-H') where p. stands for .h/2me as though the electron had a dipole moment p..

There are no terms, however. proportional to ~2 which could be interpreted as magnetic self­energy. In spite of displaying spin and magnetic moment p., the electron at rest has only electro· static self-energy, and the mass is m=t.'k/c'.

PAPER 77 375

Interaction between Elementary Particles. Part I ALFRED LANDE

Mendenhal' LaboraJory, Ohio S'ate UlIi1lf.'ll'sity, Columbus, Ohio (Received June 13, 1949)

An elementary particle is considered as a mathematical point which under a.n invariant law of communi­cation involving a universal length II establishes a. primary potential in space-time. Due to the peculiar communication law, ,a-e1t'+al =Oor S'l=O, in contrast to the light signal law R!=O, the primary potential is without singularity at ,=0. It becomes the background of a. regular electrodynamic or mesonic field and automatically yields a finite radius II to the charge distribution, with a density falling off as (aIr)· at larger distances. The potentials of different particles are additive so that all quantities obey the super­position law. The total force on the Nth particle is produced under the same invariant communication law S=O by integration of the force density iN over the volume elements of the instantaneous rest system. KN is the resultant of mutual and selMorces, KN-SJ/KJlN. Only retarded field interaction is admitted between different particles. The original production of the self-charge by the center and its force reaction on the center is derived from a. heuristic scheme involving half·retarded, half-advanced potentials, as a. substitute for the instantaneous reaction between the I'parts" of a. charge. In the dynamics of the particle a variahle "acceleration mass" of field origin is added to the mechanical mass. An experimental determination of mass differences under various very high accelerations could reveal the unknown ratio between the field mass and the mechanical mass of a charged particle.

I. POINT PARTICLE VERSUS FINITE RADIUS

T HERE are two ways of approaching the problem of elementary particles and their fields. When it

became obvious that the primitive model of a charged ball was incompatible with relativistic dynamics, one turned to point particles as primary sources in spite of the field singularity at r=O. The last twenty years have seen heroic efforts of removing the divergencies inherent in the fields of point charges, first by arbi­trarily cutting off undesirable terms, and lately by systematic elimination methods. Nevertheless, to many it seemed appropriate to construct a theory which would never introduce a cause for divergencies at least in the classical domain rather than to rely on laborious elimination methods at a later stage.

Dirac1 tried to remove the point singularity from the very outset by assuming an effective potential equal to half the difference between retarded and advanced potential as responsible for the self-force of the electron. Dirac's theory led to an ever increas­ing self-acceleration of an isolated electron, and to a premonitory acceleration under an incoming light impulse due to signal communication faster than the velocity of light. Wheeler and Feynman in their ab­sorber theory of radiation' assume half the sum of the retarded and advanced potential to be effective between different particles, maintaining that an accelerated iso­lated electron would not suffer a self-force at all.

The second approach, through unitary field theories, strives to replace the arbitrary construction of finite balls of charge by modified field equations which auto­matically produce stable charge concentrations of finite radius. The most famous of these attempts, the Born-

1 P. A. M. Dirac. Proc. Roy. Soc. 167, 148 (1938).

Infeld theory' (1934) replaces the linear Maxwell scheme by non-linear field equations involving a basic length a. The same a then becomes the width of the resulting field maximum. However, non-linear theories in which resonance depends not only on frequency but also on amplitude, are unwieldy to quantization. Furthermore, the lack of superposition makes it im­possible to define the individual fields of various par­ticles at close distance from one another.

The following attempt of establishing an invariant theory of interaction between particles including self­reaction is related in various respects to the afore­mentioned theories, but tries to avoid some of the difficulties of the latter. Similar to Born-Infeld, we obtain a particle of finite electric radius a in an invariant fashion without introducing a special structural hy­pothesis; yet the linearity and superposition of the ordinary Maxwell field equations is not abandoned. Second, similar to Dirac, we admit advanced as well as retarded potentials for the communication "inside" of the particle, and retarded potentials for the interaction between different particles; but instead of half the difference we use half the sum of the two self-potentials, and yet we obtain a finite self-energy as well as a finite mutual energy between particles even at distances r«a and ,=0. It was Dirac's half-difference which seemed objectionable to Wheeler and Feynman until they were able to show that Dirac's results are derivable from their assumption of half the sum of the two potentials. In contrast to W. and F., however, we use only retarded potentials for the interaction between different particles and admit a self-force also for an isolated particle.

2. THE SIGNAL EQUATION OF A POINT PARTICLE

Let us start with an analogy. When a particle is tested as to the simultaneous values of its energy and

(1;]s)~' Wheeler and R. P. Feynm.n, Rev. Mod. Phys. 17, 157 14~~425B({;Mi~dH~: JfJe1t93r)050~%:1 ~~93~42, 410 (1934);

1176

Reprinted from Phys. Rev. 76, 1l7~1l79 (1949).

376 ALFRED LANDE

1177 INTERACTION BETWEEN ELEMENTARY PARTICLES

momentum, e.g., by its Compton reaction to photons, then various E and p values are found to satisfy the relation

p'-(E/C)2+b2~O, (b~m,c), (1)

and the particle is said to have rest mass mo=b/c. We know that particles exist which satisfy this relation, although with different values of the constant b. Figure 1 shows the two hyperbolic surfaces in Elc, p space with the gap 2b between positive and negative E/ c-values. The 3-dimensional p-space is continuous.

Vie now propose an analogous definition of a point particle in space- time: "~hen effects or "potentials" are received in a variety

of world points T, t related by the equation

r'-(ct)2+a2~O, or S'~O (a~signal radius), (2)

vhen these effects have their common source in a point particle located in the world point a (r=t=O). Figure 2 shows the two hyperbolic signal surfaces of the past and future characterizing a particle of signal radius a. Of course we do not know whether elementary particles actually possess signal surfaces 5= 0 rather than light cones R~ 0; yet Eq. (2) would be the simplest invariant way of introducing a finite radius a and elimi­nating divergencies without resorting to a structural hypothesis or to non-linear field equations. Equation (2) was first proposed by the author4 in 1939 under the impression of Born's Principle of Reciprocity.

As seen from Fig. 2 there is an initial time lag, t=a/c, for signals or "potentials" emerging from the point particle even to reach the immediately surround­ing points ,.=0. The communication time to distances ,. in general is t= 1/c[r2+a2Ji>r/c with asymptotic value l=r/c for r»a. The "phase velocity)) with which points along a radius are passed is drldt=c[l+ (a/r)2JI, faster than c. Yet since this sudden spurt of communica­tion over a range of order a (which is responsible for the lack of infinities at r= 0) starts only after the initial time lag, the total time for a signal to reach a point r is always longer than ric so that the signal velocity is less than c.

3. THE MAXWELL FIELD

Before applying the signal Eq. (2) to the theory of electric particles \ve comment on the Maxwell-Lorentz theory in general. An electromagnetic field F containing a continuous charge-current density J can be derived from a 4-potential q" satisfying the Lorentz condition Divcf> = 0, in the following fashion. The 6-vector F is obtailled as

(3)

from which the first Maxwell couple follows as an identity. The 4-vector J is defined as

47rJ~tJ.ivF, (4)

4 A. Lande, Phys. Rev. 56, 482 (1939). J. Frank. lnst. 231, 63 (1941).

which is the same as the second Maxwell couple; the latter thus is but a definition of J in terms of F, in accordance with the experimental procedure. From (4) follows the continuity equation of J as an identity. Equation (4) may also be written as

4 .. J~-D2of>. (5)

~ ., ~*t A . FlO. 1. FIG. 2.

At last, the 4-vector Lorentz force density and work rate density of the field is defined as

(6)

from which follows the identity k~ -tJ.ivT where Tis the symmetric stress-energy-momentum tensor of the field. These equations, or rather definitions in terms of the original 4-vector q" hold for any divergenceless function cf>(Xl •.• X4). One also may reverse the potential Eq. (5) to

(7)

where d};=dxl" ·dx" and R 1S the world di!ol.tance between d:£ and the field point. Whenever a J-distribu­tion is given which satisfies the Maxwell theory, i.e., which is derived from any function ¢ with Divq,=O, then this J may conversely be considered as a source II pro­ducing" a potential of> according to (7) with light velocity retardation (R~O).

We now introduce a special choice for the field poten­tial cI> surrounding an elementary point particle moving with any variable velocity Uk=dXIJd7 (7= proper time) on any world line. If the point particle were a point charge +t one would choose the Lienard-Wiechert potential

[ U ] ~==Ft -- , (R-U) R_'

(8)

whose Div vanishes, but which is singular at the point charge. We replace (8) by

[ U ] of>~=F' -- , (R- U) s_, (9)

whose Div also vanishes. The subscript 5=0 indicates that the primary potential q, in various world points is established by the point particle with a time retardation

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 377

ALFRED LANDit 1178

(or advancement in case of the lower sign) according to Eq. (2).

Once this potential is established it produces, or defines, a perfectly normal Maxwellian field sustaining a certain charge distribution J. In this Maxwell field (7) is still the inversion of (5).

4. STATIC SOLUTION

Wben the point particle is at rest in the O-point of space at all times t' one has U. = U,= U.=O, and

U,=ic, S'=O=r'-C'(t-t')2+a',} hence

R,=ic(t-t')=±i(r'+a')!, (10) (R· U)=R,U.= ±c(r'+a')I.

The scalar electric potential <p=q,,ji and the density p

become

• '1'=---, (r'+a')l

E 3a2

p=----4lr (r'+a,),,2

(11)

regular at ,=0. At a large distance from the point particle (which i. not a point charge) the condition S=O i. identical with R=O so that our results coincide with'those of point charges in the limit of ,»a. The result (11) is the first test passed by the theory, It holds for retarded as well as advanced effects, and also for half their sum. (Half the difierence would yield '1'= 0 and p=O everywhere; we therefore reject this possibility,)

A nucleon of "charge" g may become the source of a meson field derivable from the primary potential

q,=g'l'[U/(R,U) exp{(R'U)</cj]s_o. (12)

In the static example (10) it yields

'1'= g/(r'+a')! exp{ - (r'+a')!</c} , (12')

5. THE FORCE DENSITY ON THE SELF-CHARGE

If we assume that the charge-current density J N

which the Nth particle surrounds itself is obtained from half the sum of retarded and advanced potentials (9), as a substitute for the instantaneity within a point charge, we obtain in various space-time points:

q,N8elf=HCPN,ret~elf+q.,N.ady·elf)=seH-potential (13)

FNlJeU=!(FN, ret,elf+FN• adylelf) = self-field (13')

IN=!(JN,ret.+JN,adv) = current density. (13")

Only the resulting J N is used further on, namely, as a source of an ordinary retarded potential q,N and field FN=Curlq,N, The same I N is the source of q,N but half a source, half a sink of lPN1elf• lPN, and FN are "physical," Le., derived from J N, tPNlelf and FNaelf "virtual," i.e., constructed as a heuristic scheme for deriving J N.

Force and work rate density are defined in the Maxwell-Lorentz theory as k= [J, FJ. Correspondingly when F is the total physical field=SMFMN+F~' we define the force density kN which ultimately contributes

to the total force KN on the Nth particle

kN= ikN, ret+ikN, adv (14)

according to the division of I N in two parts in (13"). Here we have

(15)

and similarly kN, ""v. Another possibility would be to assume that the total force is the charge multiplied by the field at the point particle itself.

So far, this theory may be summarized as follows. In order to surround a point particle with a finite charge-current density IN dependent on the world line of the center, we introduce a heuristic Maxwellian scheme involving retarded and advanced potentials and leading to q,N"U and FN"U and then to J of (13"), The latter, irrespective of its mode of calculation,· becomes the source of an ordinary retarded potential q,N and a corresponding field F N, difiering from the "virtual" FN Belf• The physical FN alone produces, when acting on the J M of another particle, a contribu­tion KNM to the force on the latter.

5. THE SELF-FORCE ON A PARTICLE

When asking for the self-force and work rate KN on the Nth particle, it is logical that the kN-contri­butions in the surrounding volume elements should react on the center according to the same communica­tion law, S=O, which the center originally employed in establishing J N. We tentatively define the four com­ponents of K!l in the instantaneous rest system of the center by an integral of kN o over the volume elements dVo of the same rest system:

(16)

More specifically we assume that k'JN , ret is reported to the center in an advanced fashion, and kON, ad.". in a retarded way:

with the integrand given in (15) or (15') or (\5"). This definition provides a maximwn of simultaneity in spite of the finite communication velocity to and from the center. KN is clearly divided into self-, mutual, and pure field contributions:

KN=KIN+K2N+·'·KNN+'·'+KN~·. (18)

KMN depends only on the world lines of the particles MandN.

The (apparent) trouble with the above definition (17) is that the fourth component of KN° which repre-

* ~NBeIf is defined by means of the rule 5=0. Yet the rela.tion between ~N .. lf and J, as well as between J and ~ is that of a. com~ munication law R=O.

378 ALFRED LANDE

1179 INTERACTION BETWEEN ELEMENTARY PARTICLES

sen!.'! i times the work rate of the field on the particle, may have a finite value even in the instantaneous rest system of the center, which is not the rest system of the surrounding I N distribution. Of course, Kf,° vanishes in static examples and in case of a constant accelera­tion. However, during times of a varying acceleration (in general, when there are non-vanishing odd order time derivatives of the acceleration), the field works on the particle even in the instantaneous rest system of the center. The particle then accumulates the well-known "acceleration energy)) (G. E. Schott5)

which is carried along by the particle and contributes to its inertia. During times of decreasing acceleration

The equations of motion of a particle with T=proper time are

7. DYNAMICS

The equations of motion of a particle with T=proper time are

dP/dr=K, (19)

where K now is the 4-vector of force work rate resulting from both mechanical and field forces, and P is the momentum-energy vector of the particle satisfying the invariant relation 1"+ (m",)'=O. Since the work rate may possess a finite value even in the instantaneous rest system of the particle, the scalar m, is not a constant but rather a function of the proper time T

along the world line, representing mechanical plus variable "acceleration mass." When splitting P in two factors, namely, a scalar mo and a 4-vector acceleration dU /dr, (19) becomes

m,(dU/dT)+U(dm,/dT)=K. (20)

In the instantaneous rest system where (U.,)o=ic and

I G. E. Schott (Cambridge University Press, London, 1912). Refer also to the remarks of Dirac, reference 1, p. 155.

(dU./dr)'=O the four componen!.'! of (20) read

[m,(dUJdI)]'= (K,)', ... , [ic(dmo/tlt)]'= (K.)'. (21)

The four right-hand sides are sums of external mechan­ical plus self- and mutual field forces (the field forces depend only on the world lines. On the left of (21) one has the "unknowns" mo, U1U'l,U3 and their derivatives with respect to the time. Finding solutions in a system of several particles, each subjected to four equations of the form (21) is a matter of great complexity. Our aim was only that of deriving the field forces consisting of sell- and mutual parts in a system of charged par­ticles led along prescribed world lines.

8. CONCLUDING REMARKS

We have attempted to consider particles as mass points which react on each other at a distance through forces calculated by means of an intennediate kine­matic scheme representiug a superposition of sell and mutual fields. Essentially this is a unita,y theo,y of interaction between particles in which the fields are subordinate entities with no degrees of freedom of their own (unless one admits also pure fields in superposition).

Radiation theory rests on the dualistic view of par­ticles and field representing separate entities, with a mu­tual perturbation energy being responsible for acts of emission and absorption. This view can be applied also to our theory as an approximation, when regarding the combined field of other particles as an "external pure field." In this approximation the potential energy­momentum of the particle, instead of being the product (..p. U) at the place of the center, will be an integral over the distribution of (J .</» in space. In case of an external field of wave-length A«a the resulting per­turbation energy will be much smaller than in case of a point charge, and the integration over the whole radiation spectrum will behave as though it were cut off at wave-lengths A~a.

PAPER 78

THE PHYSICAL SIGNIFICANCE OF THE RECIPROCAL LATTICE OF CRYSTALS

By ALFRED LAl'\DE Ohio State University, Columbus, Ohio

S II\CE the discovery of Laue in 1912, the diffraction of X rays through crystals has been considered as an interference effect of

waves, controlled by the Laue and Bragg rules for the direction of the diffraction maxima and supplemented by rules connecting the relative intensity of the maxima with the Fourier wave analysis of the matter distribution within the basic lattice cell. In spite of the great success of the classical wave theory it must not be forgotten, however, that the quantum theory considers waves only as a one-sided working hypothesis opposed by the hypothesis of mechanical particles, The uncertainty prin­ciple delimits the applicability of the classical theories in microscopic dimensions. There are many large-scale phenomena, howe\'er, among them the diffraction of a broad ray of light (or a cathode ray) through a large-sized crystal, which may be deri\'ed from either classical hypothesis. A mechanical theory of X-rar diffraction, resting on a re-appraisal of the Bragg reflection rule (section 1. below), was first established in 1923 by P. Duane. A similar re-interpretation of the Laue interference rules (section 2) lends a new physical significance to the concept of the reciprocal lattice of a crystal. The latter is usually con­sidered as an abstract geometrical construction in spite of its "'ide usage in structural analysis. If the present article should contribute to lifting the reciprocal lattice from its abstract mathematical pedestal to a more 'realistic position in the physics of crystals, it \\'ill ha\'e attained its goal.

1. Bragg diagrams. Quantum theory contends that \\'hene\'er the clas­sical wave theory can explain an experiment. the same experiment must also be explainable in terms of particles whose energies and momenta are related to the wave length and frequenc), by the rela­tions E = hI' and p = h/A. No macroscopic experin:ent can e,'er decide which of the two theories is correct. C'vlicropht'llomena sho\\' that neither is correct.) The classical wave theory expiains the X-ray dif­fraction maxima as resulting from the Bragg interference condition

2d sin 8 = n 11 (Bragg's re:" tion ), (I)

in which d is the distance between successive lattice ,lanes, and (! i" the angle between the latter and the incident as well as the reflected ray, When (1) is divided by d ' A and multiplied b~' PI".!'lck's constant Ii it

reads 2~sin () = n dh . With introduction of h .\ = ;' as the momentum A ' . of the incident photons (or electrons) and \vith h ..: = P 1 as an ele­mentary momentum parallel to d characteristic c: the crystal, the Bragg relation finally translates into

Reprinted from Am. Scientist 37,414-416 (1949).

379

380 ALFRED LANDE

Reciprocal Lattice of Crystals 415

2p sill 9 = nP! (Duane's relation). (2)

The left-hand side now is the change of the normal momentum com­ponent of an incident particle (changing from +r . sin e to -p sin e). :\ccording to the conservation law of momentum, the right-hand side must be the change of momentum of the whole crystal normal to the reflecting plane. This momentum change is P = nP l . \Ve thus learn that in reaction to an incident particle the crystal changes its momentum (r)/IIPOllfllt normal to a lattice plane only by amounts P ':{'Izich are in­tegral multiples of a basic momentum quantu1Il, P = nP}, where PI = hid. The order n of the Bragg interference appears now as a 'llialltulI! lIumber. Because of its large mass, the kinetic energy of the cr~'stal as a whole during the reflection changes only by a negligible amount so that we have a quantizeu clastic reflection of a small par­ticle from a heavy body. Remember that the wan' theory also considers the whole crystal as a physical unit responsible for the interference effect.

:\t the time of its publication Duane's mechanical theory of diffraction (2) seemed artificial as compared ,,·ith the more natural \\'aYe inter­ference theory (1). tvIodern quantum theory. ho\\'ever. considers both particles and waves as legitimate working hypotheses, and Duane's con­ception must be accepted as a serious physical theory. "reciprocal," rather than in contradiction, to the usual wa\'e theory. It is not quite correct when a famous book on Rontgcnstrahl Interferenzen remarks:

(I) "The space !auice structure of crystals .... was rrm'ed by the X-ray experiments of Friedrich and Knipping, which at the same time brollght the final decision in fayor of the \\'a\:e nature of X rays" (italics ours).

I ndecd one may counter this statement by the reciprocal statement:

(II) The experiments of Friedrich and Knipping praYed that crys­tals are mechanical systems able to gain and lose momentum only in certain quantized amounts, P = nP lo in certain selected directions, and the same experiments brought the final decision that X rays are par­ticles subjected to the conservation laws of mechanics. From the stand­point of quantum theory both (1) and (II) are one-sided assertions; quantum physics is built on the (limited) equivalence of the two classical theories in explaining the observed facts. There is no point in arguing ",hether (1) or (II) describes the physical situation adequately.

2. Laue diagrams. We now discuss the two statements (1) and (II) from the standpoint of the Laue interference rules,

a(co,:l. a - C05 au) == h1"-. etc.. (3)

in \\'hich a, b, c are three vectors producing a tricline space lattice cell. whereas a, {3, Y and ao, {3o, YO are the angles between a, b, c and the incident and the diffracted X ray respectivel)' whose waH length is A. The integers h1, h2 , h:J describe the "order" of interference. The same rules are geometrically represented by the E,{'ald sphere COllstruction

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

416 American Scientist

FIG. I. Ewald sphere construction.

in the reciprocal lattice with basic vectors A, B, C of dimen­sion cm-l (Fig. 1). According to Ewald, draw the vector MO of length A- l in the direction of the incident X ray so as to end in any reciprocal lattice point 0; describe a sphere with M as "middle point" and MO as radius; when this sphere runs through, or very close to, another lattice point H, then MH is the direction of a possi­ble diffracted ray. We have the vector relation MO + OH =

MH, in which the reciprocal lattice vector OH is a composition of the basic vectors A, B, C, namely, hlA + h2B + h3C. This geometrical con­struction obtains a physical significance when it is carried out in a dia­gram h times as large, i.e., in momentum space, so that the numbers hb h2, h3 indicate integral numbers of quanta h. The vectors MO and MH represent the momentum vectors h/A of the photon before and after the reaction with the crystal. Hence OH is the momentum given out by the crystal during the reaction. Experience as represented by the Ewald sphere construction thus tells us that:

(II') a crystal is a mechanical system which can change its momen­tum only by such quantized amounts and directions as are indicated by vectors from one to any other point of the reciprocal lattice, sup­posing that the latter is enlarged by a factor h so as to represent a lattice in momentum space.

Those who consider the wave interpretation (namely, that a crystal is a periodic lattice in space) as physical, and the mechanical interpretation (II') as artificial or far-fetched, may imagine for a moment the situation which would have prevailed if the diffraction of cathode rays had been discovered prior to that of X rays, at a time when cathode rays were "finally decided" to c0nsist of particles. The deflection of various electron velocities then would soon have revealed that crystals always gain or lose certain quantized momenta which could conveniently be represented by a three-dimensional lattice in momentum space. Much later a theorist may have found that a rather unphysical interpretation of the same deflections was possible in terms of matter waves diffracted by a hypothetical space lattice reciprocal to the physical momentum lattice. \Ve know now, of course, that both interpretations have equal rights before the laws of the quantum theory.

381

382 PAPER 79

Interaction between Elementary Particles. Part II. AURED LAND~

Ohio Slal~ University, Columlnu, Ohio (Received October 19, 1949)

A particle described by an exact IS-function with shift of origin, rather than by a structural smoothed-CJut cJ..function, has equations of motion derivable from Fokker's least action principle, in a.nalogy to Feynman's work. The two objections of arbitrariness of the structure function. and of violation of the linear field equations within the particle radiu~ are thereby avoided. The relation to Born's new theory of elementary particles is discussed.

I N Part I' we considered a particle whose point center produces the surrounding field through com­

munication according to a "signal equation"

"-<'1'+8'=0(or R'+a'=S'=O). (1)

The length 8 thereby becomes the radius of the particle without further structural assumptions. In this Part II we proceed to the equations of motion under self and mutual forces derived from a least action principal, discarding former speculations (Part I, §5) about these forces. We rather proceed in close analogy to the method applied by Feynman' to a general class of particles whose fioite radius is obtaioed by replacing the exact a-function of a point source by a smoothed-out structural function f(R'), a favorite choice being an exponentially shading-off function. The drawback of this method is (A) the arbitrary selection of a structure function, and (B) the violation of the linear field equations within the range of f(R'). Both objections are avoided in the present theory' which replaces a(R') bya(S'). (A) the finite radius is introduced by Eq. (1) which is "reciprocal" to the energy equation p2-(E/c?+b2=O with b=mc, so that there is hardly a way to tamper with this equation; (B) using an exact ol-function although with shift of origin leaves the linear fieW equations valid in the whole space. In the following discussion we closely follow Feynman's method and notationj we also refer to his quotations of the literature.

Equations of M otion.-First we quote Fokker's unified principle of stationary action for the case of point particles a, b··· at world distances R .. with coor­dinate increments da~J db,., and proper time increments dT.= (da,da.)I:

'L. m.c'f dT.+! 'L. 'L. e.e. f f a(R •• ')da,db,

= Extr. (2)

The terms a=b in the double sum yield infinite field masses.

1 A. L&nd6, Phys. Rev. 76, 1176 (1949). I R. P. Feynman, Phys. Rev. 74, 939 (1948),

Therefore one may replace a(R') by various trial functions f(R') with consequences discussed by Feyn­man. We propose instead to modify Eq. (2) to

'L. m.c' f dT.+! 'L. 'L. e.e. f f a(S •• ')da"db,

= Extr. (3)

Field quantities F resulting from (2) are indicated by F, those from (3) by F. Dots indicate derivatives with respect to proper time. The equations of motion resulting from the variation problem (3) are

m.a.=e.d,I'L ..... F •• '(a)+F,."(a)}, (4)

where F •• '(x) = aA.'(x)/ax.-aA.'(x)/ax, (5)

and

(6)

From d(S')=d(R')=2(R·dR)=2dT(R·U) follows

db, dT 1 u, db,=---d(S')=---d(S').

dTd(S') 2 (R·U)

Therefore (6) is identical with the 4-vector potential given in Part I, namely

A .. (x)=- •• IU .. /(R .. ·U·)!s.... (6')

This is the Lienard-Wiechert potential except for the communication law S=O rather than R=O. The Lorentz condition Div A=O is satisfied in the whole space; therefore, the linear Maxwell scheme holds everywhere without exception. However, (6) leads to (6') only when the latter is understood as haH the sum of an advanced and a retarded potential. (Part I left this question unsettled.)

The following considerations are almost identical with those of Feynman,' except that our

A=t(A",+Aodv)

is defioed in (6) with a(S') replacing structure function f(R'). When defioing

the arbitrary 'it was pointed out to me by Dr. Belinfante that a similar classical theory was developed by H. J. Groenewold, Physica, 6, 115 (1939), coincident with the author's intr<xluction of the signal equation in Phys. Rev. 56, 482 (1939). (F)"" = FHF ... -!Fodv=t(F ... +F,..)+l(F ",.-Fad.).

814

Reprinted from Phys. Rev. TT, 814-816 (1950).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 383

815 INTERACTION RETWEEN PARTICLES

{F }ret approaches the retarded fielJ of a point charge outside the range a. Similar to Feynman's Eq. (12) the equation of motion of a particle can now b(' "Titten in thf' fOfm

The first term approaches the retarded field of all other particles outside the range a. The second term vanishes in a Wheeler-Feynman world in which all light is even­tually absorbed. The third term depends only on the motion of the particle a and represents the force of radiative damping. The fourth term is the inertial force of the particle on itself. Its value corresponds to a mass e2/2ac~, refer to Groenewold.s The third and fourth term contract, according to the above definition, to the one symbol (F)reta so that (7) reduces to

maii,=eau ll L (F)p./ret. ,.1l11

(8)

Except for the removal of the objections (A) and (B) this result conforms with Feynman's. The above equations represent a unitary theory of interaction between point centers. The field plays only the part of an intermediary mathematical ~cheme. Simultaneous action and reaction between distant points is abandoned since simultaneity is not a covariant concept. A foUm\,­ing Part III will discuss the particle-field dynamics in case of a dualistic theory.

Relation 10 Born's Reciprocily.-The length a in (I) whieh leads to the field mass mo=!e'/ac' takes the place of the electrostatic radius in structure functions j(R2) and removes classical infinities. Quantum theory predicts new phenomena beginning at the much larger Compton length Ac= h/mc= h/b. Whereas the Compton length depends on the mass uf the individual particle, the length a in the communication law (1) ought to be considered as universal. This contention is supported by considerations of reciprocity in conjunction with the fact that there are elementary particles of many dif­ferent masses, but with onc universal charge only. The argument of reciprocity may be presented here in the purely formal and unphysical fashion proposed in 1940 and meant only as a preliminary exploration of a formal character. Let .p(r) and x(p) be two functions pertaining to a free particle in space v and in momentum space w. Let '.f and X be Fourier transfonns of one another. According to non-relativistic quantum theory this would mean:

X(P)=h-lj .p(r) exp{ip·r/h)dv,

(9)

.f(r)=h-lj x(p) exp( -ip·r/h)dw,

where h= h/27r is a certain constant of action (we think, of course, of Planck's constant). When generalizing to four-dimensional spaces (r, ct) and (p, Elc), the energy R is df"termined by the momentum p according to

ji/c=±(p'+b2)1 with b=mc. (10)

Formal reasons of reciprocity then suggest that the parameter t is determined by r according to the equation

ct=±(r'+a')l. (10')

an equation interpreted physically at the beginning of Part I. Introducing reduced quantities R= ria, T= d/a, P=p/b, E=E/bc, together with dvo=dv(l+R')-la-' and dwo=dw(I+P")-lb-', the relativistically revised Eqs. (9) read

x(P)~ (K/2T)lj .f(R) exp[iK(PR+ET)]dVo,

(11)

if;(R) = (K/h)!j x(P) exp[ -iK(PR+ETl]dWo,

where K stands for

K=ab/h. (12)

In contrast to the Eqs. (9) which for all functions .p(r) are identical inversions of one another, the new Eqs. (11) are compatible with one another only under certain conditions. In particular, when resorting once more to reciprocity and requiring that l.p I' and 1 X I' are the same functions of their respective arguments, that is, when considering either .p=±x, or if;=±ix, then (11) is satisfied4 only ,,,,hen the parameter K satisfies the transcendental equation

(13)

solved by an infinite set of values

1(=0.157, ----1.8, ----3.0, etc., (LV)

or when K sa tisfies

(14)

solved by the set

K= 0.03, ~1.38, ~3.44, etc. (14')

There are two possible interpretations of these results. In 1940 we assumed one value h=moe and a variety of values of a= le2/moc2, i.e., a variety of charges e= (2KIic)I, namely a smallest charge, e~IO-9 e.s.u. from the smallest K= 0.03, and larger charges which might be considered as unstable.

It seems more appropriate now to assume that there is one universal value of a (=!&/moc2 with mo=electron field mass) and a variety of values b=mc belonging to

4 M. Born, Proe. Roy. Soc. Edinburgh, 49, 219 (1939); A. Lande, J. Franklin lnst. 229, 767 (1940).

384 ALFRED LANDE

ALFRED LANDlt 816

particles of total masses m= Kkl/Ji;= 2K·137mo. This purely formal calculation is related to the physically meaningful investigation of Born and Green.~ These

• M. Born and H. S. Green, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 62, 470 (1949) j M. Born, Rev. Mod. Phys. 21, 463 (1949).

authors obtain for the field mass of the electron (3/2r l)e'/ai', and they derive the eigenvalues of K

from the transcendental equation .-'L.4+1(",)=0 where L.'H is the (k+ I)" derivative of the Laguerre poly­nomial Ln.

PAPER 80 385

On Advanced and Retarded Potentials AI.FRI>D LANDS:

Ohio .'Walt Un.iwrrny, Columbus, Ohio June 26,1950

W HEELER and Feynman' in their absorber theory of radiation have attempted to circumvent the classical

in6.nities of point charges by introducing retarded and advanced potentials of interaction on an equal footing. Their theory has provoked much (unpublished) favorable as well as adverse com­ment. In view of the importance of the question whether a description of nature u;;ing advanced forces of interaction at a distance is possible, the following purely critical remarks may not be out of place.

That there are douhts about the consistency and physical applicability of the W-F theory is due to the dynamical incom­pleteness of the Maxwell-Lorentz theory, with fields determined by the world-lines of the charges, although the latter may be .t!;uided not only by self- and mutual electrodynamic forces and inertia but also by external forces, electromagnetic or mechanical, chosen at will, in short, by the arbitrary intervention of an experimenter. That the present motion of particles on a star 50 light years away should actually depend on whether a person on the earth arbitrarily will or will not decide to push a button in the year 2000 seems absurd, at least to our customary way of thinking. Closer analysis of the \vord "actually" shows that it could mean that the behavior of particles on the star in (1950+n)

'for various n's shows a dependence on whether some one does or does not push a button on the earth in (200+n) as estahlished post factum. An "actual" dependence of the yaar 1950 on the year 20<Xl as confirmed by observation docs not seem so absurd any more. It is quite a different question. however, whether waves converging on the llcause" are empirically acceptable. To rft:ondle us ",-ith this special form of retroaction, W-F wish to exclude arbitrary abrupt interventions, such as observers pushing buttons. They admit only built-in continuous mechanisms (\V-F. II p. 427) which thereby become parts of the system itself. Thus they restrict their theory to closed deterministic systems in which "the dis­tinction between cause and effect is pointless. The stone hits the ground because it was dropped from a height; equally well, the stone fell from the height because it was going to hit the ground" (W-F, II p. 428). The exclusion of arbitrary intervention, usually called an experimental test, for the sake of permitting a description by advanced and retarded potentials looks like a flight into unreality, however.

Wheeler and Feynman's reply to this objection L" that their absorber theory permits a comistem derivation of the tested results of the usual retarded theory. In particular, they point out that the well known self-force experienced by a particle a under an acceleration (which may also be represented by Dirac's anti­symmetric expression

F"(a)-![F'n,(a)-F"",.(a)],) (I)

Reprinted from Phys. Rev. 80, 283 (1950).

can be derived from the symmetric sum of half-advanced, half­retarded forces produced by the particles k other than a:

P(a)~t:!:, .. "[F'",(al+F' .. ,(a)]. (2)

The equivalence of (1) and (2) which is the central point of W-F's theory rests on two assumptions, namely, first, that the body of aU particles constitutes a "perfect ab~orber" characterized by the equation [\V-F, I (37)J:

(3)

valid in all world points P including those of a particle; second, that the following initial conditions hold at the place of particle a at the instant when a alone is accelerated (by any test force whatsoever) :

although 12::k ;ool"Fkret(a) =0,

~~.i;ool .. Fk&dv(a)r"O.

(4)

(4')

The left-hand side of (4') then is identical on the one hand with (2), and on the other hand with (1), by virtue of (3) and (4), thus proving the equivalence of (1) and (2).

Now, although there is no mathematical contradiction between the assumptions (3), (4) and (4'), nevertheless the following physical objection against the simultaneous validity of (3) and (4), (4') at the time of acceleration of a may be raised. Equation (4) implies that before and at the instant ,=0 when particle a is accelerated, the other particles are in a state of disorder so that their retarded force contributions which arrive in a at t=O, average out to zero. At times t>O, however, the other particles are affected by what happens to a at 1=0 and thus yield a non-vanishing advanced contribution (4') arriving at a at t=O. The privileged role of particle a at t=O leads to the unsymmetric initial conditions (4) and (4'). The absorber hypothesis (3), however, implies and can be accepted only (a) when all particles are on an equal footing, thus excluding any privileged part played by the particle a, and (b) when we are assured that no particle has, or ever will be, subjected to an arbitrary disturbance; otherwise (3) would be self-contradictory, as is shown by the example of keeping all particles at rest before t=O, and on prescribed paths after t=O. Thus, although (3) alone, or (4) and (4') alone may be acceptable, it is physically inconsistent to couple the symmetric assumption (3) with lhe asymmetric initial conditions (4), (4' ). It seems that other ways will have to be found in order to get rid of the classical infinities of point charges.~

lJ. A. Wheeler and R. P. Fe}"nrnan, Rev. Mod. Phys. 17, 157 (1945.J. Bohr commemoration number; Rev. Mod. Phys. 21, 425 (1949). Eimteln number. Referred to as W-F, I and II,

I \\I·e mention in tbis connection M. Born's theory of reciprocity, Re~·. Mod. Phys. ZI, 463 (1949). Einstein number; also A. Lande, Phys. Rev. 76,1176 (1949); 77, 814 (1950).

386 PAPER 81

Thermodynamic Continuity and Quantum Principles

ALFRED LANDE Departmene of Pkyms, Ohio State U niweTsUy. Columbus, Ohio

(Received April 3, 1952)

A condensed survey is given of the results of a previous investigation on quantum concepts and principles developed from the anti-Gibbs postulate of thermodynamic continuity. The same postulate now also yields major parts of quantum statistics, such as the equality of various occupation number sets without permuta­tion of individual particles, not however the alternative "either Bose or Fermi statistics." A distinction must be made between a coherent redistribution of particles without entropy change, and an incoherent redistri­bution leading to a new thermodynamic equilibrium. The latter is obtained from the former by a process of diffusion from separate level groups to a totality of levels.

I. QUANTUM PRINCIPLES OBTAINED FROM CONTINUITY

A RECENT investigation' demonstrated that the conceptual scheme as well as several principles

of quantum theory can be derived as consequences of a fundamental postulate oj continuity in the domain of thermodynamics: "The classical discontinuity of the diffusion entropy of two different gases gradually made alike, known as the Gibbs paradox, does not occur in reality." If one accepts this continuity principle then the following conclusions can and must be drawn.

(I) The alternative "like or unlike" as applied to states A and B of a gas, or of the mechanical systems (particles) constituting the gas, is to be abandoned in favor of a fractional likeness between two states. The latter may be described quantitatively by an intensity factor q(A, B) of mutual likeness with value between o and 1. The quantity q, which is symmetric in its two arguments, detennines the diffusion entropy S-So of the two gases A and B so that S -So may have an intermediate value between zero for q= 1 in case of like gases, and the full classical value, 2nR ln2, for q=O in case of n moles of gas A and n moles of a different gas B diffusing from separate volumes V into the com­mon volume 2V. For the entropy S-So as a continuous function of q refer to Eq. (7) below.

(2) Among all possible states of a mechanical sys­tem (gas particle) one may pick out a certain state At, then another state A, quite unlike A, with q(A" A,) = 0, then a third state A, quite unlike At and A" and so forth until one has a (complete) set of mutually unlike or "orthogonal" states A,t with mutual likenesses

q(A.,A •. )=8 .... (I)

From the remaining states one now may collect anothl complete orthogonal set BtB,···, then a set C, and so forth. This procedure is not unique, a fact known as degeneracy. The fractional likenesses q(A.,B;) be­tween members of different sets have values between o and 1. Whereas classical theory considers any state Al as surrounded by an indiscriminate manifold of other states all unlike At, the continuity principle leads

• A. LandE, Am. ]. Phys. (to be published).

to an organized arrangement of all possible states in orthogonal sets, members of different sets being linked by mutual likeness factors O<q<1.

(3) Likeness between two gas states is synonymous with inseparability, and unlikeness implies physical separability-by means of semipermeable diaphragms or other selective devices. Such devices playa decisive part in the definition of the diffusion entropy through a reversible process of unfusion. Any modification of the classical diffusion entropy S-So therefore implies a modification of the classical alternative "permeable or impermeable." To be more specific, fractional likeness between states A and B will manifest itself in a frac­tional separability of A from B. Let us define a device permeable for particles in the state B; and impermeable for non-B j = orthogonal to B;, as a B,-selector. When this selector is confronted with particles in the state A., then it will pass a fraction q=q(A.,B;) of the in­cident A k gas, and will reject the remaining fraction 1- q. A further inevitable consequence is that the passing fraction, in order to qualify for passage through the BJ~selector, must have turned from the original state A. to B;. Similarly, the repelled fraction I-q must have turned to the state non-Bi' These transitions may be ascribed to a dynamical interaction between the parti­cles and the selector; the latter represents an instru­ment of analysis, a challenge "Bj or non-Bj ." The newly acquired states will persist until subjected to another perturbing analyzer, e.g., a em-selector. In this way the continuity postulate foreshadows the splitting effect of one state AI:: into component states B"B", .• separately collectible with fractional in­tensities q(A .,B;) and quantitatively defining the q's. The sum of the intensity fractions must be unity:

l:; q(A.,B;) = I, and l:. q(A.,B;) = I, (2)

remembering that the q's are symmetric. In the following we not only use the concept of a

B,-selector which passes B; and repels non-B; (whether coming from the right or left) but also the concept of a B-separator which projects separate components B"B.· .. all to one side (working from right to left as well as from left to right; the Stern-Gerlach field is an example). In contrast to a Maxwell demon which

267

Reprinted from Phys. Rev. 1rT, 267-271 (1952).

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 387

268 ALFRED LANDIt

represents a thermodynamically objectionable one­way valve, selectors and separators are thermodynami­cally admissable; however, one must carefully dis­tinguish between reversible coherent, and irreversible incoherent splitting as discussed below

(4) When the splitting effect of a gas state A. into separately collectable components Bj is interpreted in terms of individual gas particles A., then q(A"Bj) represents the statistical fraction of all incident parti­cles A. jumping to Bj. The same fraction q(A.,Bj ) also represents the probability for a single particle irres­pective of the presence of others, to carry out a transi­tion to Bj when challenged by a B-separator. When the fractional transition probabilities are written down in the form of a matrix

then the rule (2) requires the sum of the elements in every row and in every column to be unity: the sum rule for the q(A,B) matrix.

(5) Similar matrices may also be drawn up for q(B,C) and q(A,C) etc. The question now arises whether there might be a general mathematical relation be­tween the elements of the various matrices; in parti­cular, whether the elements of q(A,B) and those of q(B,C) may be determining, in a unique or multivalent way, the elements of q(A,C). The problem of find­ing a mathematical relation between matrices in general is too vague to have a definite solution. In the present case, however, several restrictions make the relation­ship between the three matrices a quite definite mathe­matical problem. First, there is the sum rule (2) for the rows and columns which must hold not only for q(A,B) and q(B,C) but also, as the result of the mathe­matical relationship, for q(A,C). Second, the relation must work also in the special case of the states A and C coinciding so that q(A,B) combined with q(B,A) will yield q(A,A) as a unit matrix, Eq. (1). Third, the relationship is required to be self-reproducing so that it will also yield the matrix q(A,B) from q(A,C) and q(B,C), as well as q(B,C) from q(A,B) and q(A,C). This group requirement is not thermodynamic but represents a kind of symmetry principle: "What is good for the set A is good also for Band C."

These three requirements now restrict the relation­ship problem between the q-matrices so much that only one solution has ever been found-although there is as yet no proof of its] uniqueness. At first sight one might think the solution to read q(A.,Cm )

= Lj q(A"Bj) q(B;,Cm ); however, such a direct com­bination of the probabilities does not stand the test of the special case in the second requirement: q(Ak,A k,) =0 for k=k', since Lj q(A"Bj) q(B;,A.,) is positive. The unit sum rule suggests, however, that the q(A"Bi ) be geometrically interpreted as cosine squares between "directions" A. and B" with the set A representing

one orthogonal axis system, and the set B another. This further suggests that the required relation be analogous to an orthogonal transformation by means of the cosine rule, cos(A.,Cm)=Lj cos(A.,Bj)· cos(B;,Cm) where cos(A.,Bj) is written for ±[q(A.,Bj)JI. A more general· solution is then obtained when the bivalent ±v' q are replaced by complex quantities t/lCA.,Bj)=v'q e;', multivalent because of the arbitrary phase '1'. This arbitrariness is greatly reduced, from m' to m arbitrary phases, by the requirement that the sum of the products of the >//s in one row (column) with the complex conjugates of another is to be zero. The cosine relation then may be generalized to the product rule for (Hermitian) >/I's

This is the Born-Heisenberg-Jordan superposition rule for the complex probability amplitudes >/I = v'q e;-. It is the only known mathematical solution of the relationship problem under the group restriction of self-reproduction. If any other solution could be found it would present us with a most interesting, although unrealistic, alternative to quantum mechanics. With due reservations one may say, then, that the intro­duction of complex prohability amplitudes >/I subject to the superposition rule is inseparably linked to the admission of fractional likenesses q, which in their turn are forced on us by the anti-Gibbs postulate of thermodynamic continuity. In view of the amplitude character of the >/I's one may speak of a wave theory of matter, although Born's statistical interpretation of the >/I's as probability amplitudes is preferable and generally accepted. So far, we have recapitulated in a rather condensed fashion the results of a previous investigation.1

n. CONTINUITY AND QUANTUM STATISTICS

We now turn to the question as to what extent quantum statistics can be considered as a consequence of the thermodynamic priociple of continuity. Classical statistics leads to the discontinuity of the Gibbs paradox, whereas quantum statistics yields the re­quired continuity of the diffusion entropy. It therefore would not seem too surprising if one could reverse the argument and derive quantum statistics from the continuity postulate. We saw before that this postulate, via fractional intensities of mutual likeness, leads to probability amplitudes >/I subjected to superposition; this implies a "wave theory" which will also show its influence on statistics, in so fa.r as it controls the splitting or redistribution effect of particles over the states. Indeed, the wave theory leads to a distinction between a reversible redistribution, from a state Ak in a coherent fashion through intermediate states BhB,,. . . and back to A., symbolized by the formula

>/I(A.,A,)=Lj1f(A.,BI) >/I(B1,A.) = 1, (3')

388 ALFRED LANDE

THERMODYNAMIC CONTINUITY 269

and the irreversible or incoherent redistribution with

L; q(A "B;) q(B;,A,) '" 1, although q(A "A.) = 1. (3")

Thermodynamic implications of both Eq. (3') and Eq. (3") will be considered below.

(1) Let N particles, originally in the state A., pass through a B-separator. The resulting distribution over the states B1B2 ••• yields the occupation numbers N;=Nq., with dynamical certainty, both in the coher­ent and incoherent case, since only the intensities qki are involved. However, only in case of a coherent redistribution is this process dynamically reversible, according to Eq. (3'). The wave-dynamical certainty and reversibility of the sequence (N,O,O,"')_(N"N"",) proves that both the initial and the final distribution of the N particles are to be counted with the same statistical weight, viz., unity. Now, by either starting from new original states with all N particles in one state Akl or Ak" etc., or by using new separators B', or Elf, etc. one may obtain other reversible sequences (O,O,N,O,' .. )-(N,'N,'· .. ), always with wave-dy­namical certainty. The final occupation number sets, (N"N" .. ) and (N,',N,',"') and so forth must, there­fore, all be counted with the same statistical weight, unity. This general principle of weight counting is opposed to the classical theory with its permutation factors N!jN,!N,!· ".

(2) However, the discounting of permutations is only one, rather negative, feature of quantum statistics. It is important now that the transition probabilities q(A.,B;) from the state A. to B j do not give prefer­ence to one individual particle over any other, i.e., the q's are symmetric with respect to the N like par­ticles. Symmetry of q= Ilb I', however, requires lb to be either symmetric or antisymmetric in case of two like particles, according to perturbation theory. If a third particle joins the former two, and if one postulates continuiry of the symmetry character, then '" will remain symmetric or antisymmetric also for more than two like particles. However, this certainly i!\ not a result obtainable from thermodynamic considerations.

Still there is a certain gap between the proof of the weight equality of various occupation number sets (N,N,· .. ), and the justification of the partition function Ln,L."" exp(N!E,+N,.,+···) which ulti­mately l~ads to the average number of particles of energy E

';:=[(I/r)"''''Fl)-'.

Indeed, it ought to be proved that all equivalent occupation number sets occur once within a suffi­ciently large time interval. Such a proof would corres­pond to the classical step from Liouville's weight equality of like phase volume elements to ergodicity.

In view of this gap, all one can say is that the prin­ciple of thermodynamic continuity, by virtue of re­versible processes of redistribution, yields the equality of weight of various occupation number sets irres-

pective of permutations of individual particles. Assum­ing continuity of symmetry character would further leave the alternative between symmetric Bose and anti­symmetric Fermi statistics. [The Nernst theorem is obtainable only from additional assumptions COD­

ceming the lack of degeneracy of the lowest energy level, as explained by SchrOdinger in his "Stalistieal ThCffllodynamies. "J

(3) Coherent and incoherent distribution. In order to avoid a decision between the two statistics the following thermodynamic considerations deal with dilute gases in which (a) each particle has its private energy, (b) the density is so low that the question of Bose crowding together and Fermi crowding out is immaterial. This is the case when the number of par­ticles N distributed over a group of Z levels satisfies N<<Z. In this case quantum statistics yields the simple entropy formula

S=kN In(Z/N)+const. (4)

Let N particles, all in the state A k, be distributed over Z kinetic energy levels; the entropy according to Eq. (4) is, with omission of the additional constant,

So=kN In(Z/N).

The N particles may now be redistributed over the states B"B"", so that every group of N;= N q; particles occupies a partial volume in Z-space of Z,= Zq, levels. This corresponds to the separate collectibility in ordinary space and represents a coherent redistri­bution. Indeed, the entropy

S'=k L:;N; In(Z;/N;)

is identical with So. This distribution does not re­present a thermal equilibrium, however. If we now let the various particle groups irreversibly diffuse from the separate "volumes" Zj to the total volume of Z levels, then the final entropy is

S=k L; N; In(Z/N;),

so that after this incoherent distribution the entropy increase is

S-So=-kN L;qjlnq;. (5)

The q; play the same part as the concentrations in the thermodynamics of dissociation. When a B­separator is actually applied to an A. gas, the initial result may be a coherent redistribution; after a time, however, the distribution becomes incoherent result­ing in a thermal equilibrium.

(4) Alternating application of A- and B-separators. The last example showed that application of a B­separator to a pure All: gas increases the entropy irre­versibly. Let us now consider the simple case of only two orthogonal states, A' and A" in the set A, and similarly only B' and B" in the set B. The mutual likeness fractions may be

q(A',B')=q(A",B")=q,

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 389

270 ALFRED LANDI!:

and q(A',B")=q(A",B') = I-q.

Omitting the common factor kN as well as the addi­tional constant one has for the original pure A' gas,

So=-llnl=O.

Application of the B-separator splits the A' gas into a fraction q of B' and l-q of B", with resulting equili­brium entropy

S,=-qlng-(l-q) In(l-g).

Application of an A-separator now yields

q.=q'+(l-q)' of A' and l-g, of A",

with resulting entropy

S,= -q,lnq,-(l-q,) !n(1-q,),

and so forth. It can be proved' that S .... , is always larger than S n for any given likeness fraction q be­tween A' and B'. In the exceptional case of q=}, already S, has the value kN ln2, to be retained for all following S .'s. The value kN ·ln2 also is the asymptotic value of S-So for ff-HX) at any q-value under alterna­ting application of A-and B-separators.

U the original sets A and B have a sixfold multi­plicity, and the original n moles of pure Ak gas are subjected to an alternating "shake up" by B- and A­separators, the final state will be a mixture of six quite different gases, each consisting of n/6 moles with total entropy kN ·ln6. Suppose now that this gas mixture is exposed to a C-separator whose multiplicity is only five, so as to produce a mixture of five different gases Cl "' ·C5• Its maximum entropy can at most be kN . InS, less than it was before. This would contradict the second law. Thermodynamic reasons thus compel us to conclude that the orthogonal sets of states A, and B, and C, and so forth of one kind of particle must all have the same multiplicity m SO that all matrices q(A,B), and q(B,C) etc. are quadratic. In particular if the multiplicity is infinite for one set, then it must be infinite for all others. When it is m for one set, it must be m for all others. This seems to be a strange and unbelievable result. In fact, it represents a quite trivial feature of quantum theory according to the following consideration.

First, one may remember that the various sets of states A, and B, ctc. represent eigenstates of obser­vables A, and B, etc. which are mutually incompatible. (If A were compatible with B then two states A. and B; might actually be the same states.) In general, the number of eigenvalues of various observables of a mechaniCal system are unlimited and lead to quadratic infinite q-matriccs. Finite matrices occur only when "the kind of particle" whose states we consider is restricted to one value of a certain observable, M

J Clyde C. Reynolds, Masters thesis, Ohio Sta.te University (1952).

(of the angular momentum, say) with m-fold degeneracy so as to allow m orthogonal values of the sub-observable A ( = M.) and also m values of other sub-observables B, and C, etc. (such as M~' and M~", etc.), where all the sub-observables are compatible with K, but mutually incompatible. The thermodynamic require­ment of a common multiplicity m leading to quadratic matrices q(A "B;) and so forth then only expresses the fact that the common multiplicity is the m-fold degeneracy of the state K m of the particles under consideration. That finite q- and ~-matrices must be quadratic may also be seen from the following ex­ample. Suppose A has two eigenvalues, At' and Ak",

whereas B has three (or one) eigenvalues Bj • The eigenvalue equations for the latter then are

(B,','- B;)",.,;+ B,',''>/t.'';=O,

B,".,'",,';+(B,","- B;)", .. ';=O.

The determinant has only two solutions B;, rather than three (or one), and the assumption of non­quadratic matrices 1/1 proves to be wrong. In the usual case of considering "one kind of particle" and its states, there is an infinite degeneracy, and each set of orthogonal states has an infinite number of members, satisfying the thermodynamic requirement.

(5) Diffusion of two partially like gases. N particles of gas A and N particles of B may diffuse from separate volumes V into the common volume 2V. Originally the entropy is

So=2kN In(Z/N). (6)

Later when N particles of B are in the same volume with N particles of A, the description in terms of orthogonal states compels us to consider the fraction g of the B gas as being in the state A, and the fraction l-q in the state non-A, or orthogonal to A, or A. Thus, altogether in 2V there are now N(l +q) par­ticles of A and N(l-g) of A, both groups distributed over 2Z levels in 2V. The entropy now is

S=kN(!+g) In[2Z/N(!+g)] HN(l-q) In[2Z/N(I-q)]. (6')

The diffusion entropy increase is

S-So=kN(2ln2-(!+q) In(!+q) -(I-g) In(l-q)), (7)

S-So decreases monotonously from the classical value 2kN ln2 valid for q=O (quite. unlike gases) to S-So=O for q= I (like gases diffusing). Equation (7) is the detailed expression for the continuous entropy of diffusion, S-So= f(q) 2kN ln2, whose required continuity was the starting point of the derivation of quantum concepts and quantum principles from the anti-Gibbs postulate of thermodynamic continuity.

All general quantum results derived from the postulate of thermodynamic continuity are independent

390 ALFRED LANDE

THERMODYNAMIC CONTINUITY 271

of the Planck constant. They might have been found by Gibbs through pure reasoning concerning his paradox. The constant h enters only through the special formula for the fractional likeness amplitude between q and p,

"'(g,p) ~ exp(2i7rgp/h), (8)

obtained from microphysical evidence. This \b-function is periodic and thereby gives rise to de Broglie's p=h/A,

to the Heisenberg uncertainty relation between coor­dinates q and momenta p, and to the duality and com­plementarity of the particle theory and its wave-like formalism. Also, Eq. (8) opens the path to the dynamics of those special mechanical systems whose Hamilton­ian and other observables are given as functions of the q's and p's. Those parts of quantum theory, however, which rest on the thermodynamic continuity principle are independent of microphysical experience.

PAPER 82 391

Quantum Mechanics and Thermodynamic Continuity

ALFRED LANDE

McndmkaU LaboYlltory, The Ohio ,r.,'ifltc University, Columbus, Ohio (Received March 5, 1952)

The hdSic nlllcepts dlHI rllle~ ()f quun!lllil 1l1e('hallic~ cUT

~howll to be immediate consequences, on the hasis of simple reasoning, of a postulate of continuity in the domain of 1l1acro~copic thermodynamics. The contiuuity principle leads first to the concept of a fractional likeness between two states in general, as opposed to the classical alternative of either like or unlike. Then all possible states of a system Can be arranged in sets of mutually unlike or "orthogonal" states, with members A and B of different sets intercon­nected by fraclionallikcncss factors q(A, B) between zero and unity. These factors q are identic::}1 with the rela­tive intensities in a splitting effect of a state into com­ponents, ruled by probability relations and by the basic principle of quantulll statistics uf not counting perm uta-

1.

Q UANTUM theory rests on a number of new conceptions and mathematical rules of

interrelation which have proved superior to those of the classical theory. The usual ap­proach to these new conceptions and rules is inductive. Experience concerning spectral lines and colli:;ion processes has promoted the idea of discrete energy levels together with mathematical rules of calculating their values; experiments of matter ray diffraction has brought forward the idea of a duality between \\raVeS and particles, quantitatively connected by Planck's E=hv and de Broglie's p= hlA, together with rules of super­position for complex amplitudes if;; scintillation experiments have forced us to accept probability, and the thermal behavior of substances led to quantum statistics.

There is one drawback to this inductive physi­cal approach, however: It leaves the impression that quantum theory is pieced togethcr~as it actually was-from diverse evidence chiefly of a microphysical character. One may be wondering whether the various concepts and mathematical tbeorems of quantum theory might not be de­rivable from one fundamental principlc of Nature representing a general type of experience and therefore acceptable without much questioning.

liol1'" of ilHlividu,d p,lrjide:-,. The prohlem of relation be­tweell Lhe various fractional likencst-cs, or prohabilities of transition under analysis, is a purely mathematical problem and is solved by the introduction of probability amplitudes necessarily subject to a matrix law of multiplication, i.e., to the principle of superposition. Thus, starting from the continuity postulate of thermodynamics, quantum theory in its general outline is ohtained by simple reasoning. All further details, such as the duality of waves and particles, the uncertainty relation, and the mechanics of special systems, need only one more bit of empirical information, namely, the symmetric and periodic form of the amplitude tP of fractional likcllcs~ between a ~tate of given coorJin,lte and a state of given momentum.

theory of 1900 not from delicate microphysical data but from the long familiar macroscopic fact of thermal stability of radiation, as contrasted to the classically expected dissipation of the radiation energy to higher and higher frequencie3. In the following pages we are going to show that general Quantum mechanics is derivable from a postulate of continuity for the thermal work, entropy, etc., of reaction between substances, in particular their diffusion. That a continuity principle should be responsible for a branch of physics notorious for its discontinuous jumps between discrete mechanical states is rather ~mr­prising; nevertheless, thermodynamical prin­ciples have proved much more reliable than those of mechanics which lately had to undergo two major operations in order to accommodate elec­trodynamics (Einstein) and energetics (Planck).

2. THE POSTULATE OF CONTINUITY

It is a well-known fact that the maximum amoun t of work obtainable from the isothermal diffusion of two gases depends on whether the two gases are like or unlike. \Vhen they are like then their diffusion does not represent a physical process at all, and work cannot be gained from it. On thc other hand, when the two gases are unlike, or are samples of the same kind of gas

One ought to remember in this connection in two unlike "modifications" or "states" then that Max Planck developed his older quantum the maximum isothermal work obtainable from

353

Reprinted from Am. 1. Phys. 20, 353-359 (1952).

392 ALFRED LANDE

354 ALFRED LANDt

their diffusion, called the diffusion work hence­forth, has the classical value

W" ... =2nRT In2 for unlike gases, (1)

when n mols of either gas diffuse from separate volumes V to the common volume 2 V at tem­perature T. However,

W=O for like gases. (1')

The question now arises of what will happen to the value of W when two originally quite unlike gases, or two quite unlike states of the same kind of gas are gradually made more and more similar. Think of one gas sample consisting of molecules all pointing in one direction z, and another sample with the same kind of molecules pointing in another direction s*, with the angle 8 between z and z* gradually decreased to zero. Is there a sudden change of W from the full value of Eq. (1) to zero of Eq. (1') only in the last moment when the difference between the two gases changes from infinitely small to exactly zero? Or is there a gradual change from W" ... to zero when the two diffusing gases are made more and mqre like? The first alternative, an abrupt change of W, would present a most paradoxical situation, known as the Gibbs pa,adox. One intuitively refuses to believe in such a discontinuity of the diffusion work upon a continuous decrease of the unlikeness between the two gas states. The root of the paradox is of course the narrow classical alternative "either like or unlike" for describing the relation between the two gas states. There ought to be a partial or fractional likeness be­tween two gas states A and B, quantitatively defined by a factor q = q(A, B) of value between 1 and 0 so as to offer a generalized diffusion work value

W = f(g) • 2nRT In2 (1")

with the limiting cases f(g) = 1 for g = 0 (unlike gases) and f(q)=O for q=l (like gases). The possibility of such a gradual scale of likeness values had simply been overlooked in classical thermodynamics. The factor q of mutual likeness is symmetric in A and B. The requirement of avoiding the Gibbs paradox, namely, by a con­tinuous scale of likeness values, may be called the postulate of thermodynamic continuity.

3. ORTHOGONAL SETS OF STATES

Important conclusions may be drawn from the continuity postulate even before discussing the quantitative aspect of the fractional likenesses between various states. Let aU states of a certain kind of particle or system be listed on separate slips of paper forming a possibly infinitely high paper mountain. Draw one of the slips and denote the state it represents as the state A,. Any re­maining state will necessarily be either quite unlike A, for which we also say non-A" or fractionally like A,. Next draw anyone state quite unlike A, (non-A ,) and denote it as A,. Next draw a state both unlike A, and unlike A, and call it A ,. Continuing in this fashion one may collect a set of mutually quite unlike or "mutually orthogonal" states A,A,As···. When the next draw leaves no other choice than a state B, not orthogonal to all the previously drawn states A then the set A is "complete." Starting from B, we now may collect a complete set of mutually orthogonal states B, then a set C. and so forth. This procedure is not univalent, a fact known of degeneracy, and it may exhaust all possible states only after an infinite number of orthogonal sets has been collected.

The point brought out so far is this: Whereas classical theory considers any state A. as sur­rounded by an indiscriminate crowd of other states, all considered as quite unlike A" the principle of thermodynamic continuity leads to an organized arrangement of states into mutually orthogonal sets. The likeness fractions between the members of one set are

q(A.,A •. )=8 ••• , and g(B;.Br )=8ji" (2)

etc., with a being the Kronecker symbol. On the other hand, the members of different sets are connected by a web of fractional likenesses, each thread q(A., B;) having a definite "intensity" between 0 and 1.

4. QUANTITATIVE DETERMINATION OF LIKENESS FACTORS

If one knew the function f(g) in the diffusion work formula (1") [given later in Eq. (3)J one could use the W-measurement for finding the likeness fraction q between the two diffusing gas states. However, W can only be determined by a process of reversing the diffusion. Let us first

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 393

QUA N TUM M E C HAN I C S l\ N!) THE R 1\1 0 D Y" A 1\1 ICC 0 N TIN U [ T Y 355

discuss the special case of Hunfusing" the mixture of two quite unlike or orthogonal gas states, such as A 1 and non-A 1 (we use the latter expression for any state orthogonal to A 1). The separation of the gases A 1 and non-A 1 would require a sieve, or semipermeable diaphragm, or some other selective device which will pass the gas state Al but will block all states non-A 1. We call such a device an A I-selector.

Now if likeness between two states means lack of separability, and unlikeness (orthogonality) means total separability, then partial or frac­tional likeness between the states A, and B; must signify a sort of partial or fractional separa­bility-there is nothing else left besides total separability and inseparability than fractional separability. That is, the same A ,-selector which passes A. and blocks non-A, must be expected partially to pass and partially to repell the gas state B;. Quantitatively, if the gas B j is passed at the rate q;. and repelled at the rate 1 - q;. by an A k-selector, then such an experiment would define the fractional likeness q;, hetween A. and B;. The postulate of thermodynamic conti­nuity thus foreshadows a splitting effect of the state B; into components going different '\vays." Whereas the semipermeable membranes used in osmosis distinguish only between particles of a different kind, salt and solvent, selective devices distinguishing between mutually orthogonal states of the same kind of particle were first devised by Stern and Gerlach in 1921 in a planned attempt of isolating those "quantum states" which had been indirectly inferred from the analysis of optical spectra (Bohr) and colli­sion experiments (Franck-Hertz).

We now turn to the question of how some B rparticles manage to pass the A k-sclcctor! whereas others are repelled. Wanting to be true to our former definition of an A ,-selector (passing A" rejecting non-Ak) there can be only one answer: Those particles which pass must first have turned or "jumped" from the state B; to the state A, in order to qualify for passage, and then stay in the new state A,. Similarly, those particles which are repelled must have, in con­tact with the A ,-selector, turned to a state orthogonal to Ak thereby forfeiting their right of passage. These sudden transitions, seen here as a necessary consequence of the continuity

postulate, may be ascribed to the activity of the selector itself which challenges incoming particles Bj as to "Ak or non-Ak'" The actual arrange­ment of Stern-Gerlach is an example of an A-separator which yields, instead of A. and non-A k on different sides, various components AlA,··· all on one and the same side, yet separately collectable since they are going different "ways." It is not hard to imagine how by combi­nation of various A ,-selectors (k = 1, 2, ... ) one can in principle construct an A-separator and vice versa, and how the latter can be transformed into an A ,-selector by reflecting the path of all rays non-A k.

5. PROBABILITY

Another essential feature of quantum me­chanics is brought out by the question of how an individual particle B j decides whether to turn, when confronted by an A-separator, to the state A 1, whereas another particle B j decides to turn to A 2, and so forth. Since originally there was no difference between the particles B;. the various fates of individual particles can only be ascribed to probability, ruled by definite odds, q;1, gj2, .. " so that the observed relative intensities q" represent the probabilities for an individual particle to turn from B; to A k • Thus probability enters the scene. The sum of the relative intensi­ties, or probabilities, is unity:

Some physicists have expressed the hope that a hidden difference between the particles in the original state B; may be responsible as the cause of their different behavior. This hope is futile, and the reasoning leading to it is self­contradictory: If there were an individual cause for one Brparticle to turn with certainty to At, and for another to A 2, then these particles would have to be classified as not originally belonging to the same state B; but rather to different states, Bj l and B/', which contradicts the former assumption that both particles are in the same original state B; distinct from all other states found in the paper mountain of Sec. 3. There is no way out of the probability issue for particles as long as one acknowledges the principle of continuity and its logical consequences, the con­ceptions and rules of quantum theory.

394 ALFRED LANDE

356 ALFRED LANDE

6. QUANTUM STATISTICS

It is a matter of probability whether this particle B j will turn to the state A, and that to A, when sent through an A-separator. However, when there are N particles B j then the numbers N 1, N 2, ••• turning to A 11 A 2, "', respectively, are dynamically certain, namely, N.=qj.N. Similarly, when exposing the same N particles to a different separator arrangement, certain occu­pation numbers N,', No', ... will occur with dynamical certainty again. Now it is a general principle of statistical mechanics that situations following one another with certainty are counted with the same statistical weight or a priori prob­ability. In the present case, therefore, the dis­tribution of N particles with the occupation number set N,N,··· has the same weight as the original distribution of all N particles in one state B j. The same applies to the occupation number set N,' N,'··· and to any other occupa­tion number set obtainable from the same orig­inal distribution of all N particles in one state. Hence all these distributions have the same common weight, usually counted as weight unity. We here have arrived at the basic prin­ciple of quantum statistics: Regrouping does not change the statistical weight. This is opposed to classical statistics which counts each permuta­tion of identical particles as a separate case and assigns to the occupation number set N 1N 2"· •

the weight N!/NdN,!· .. and tothesetN,'N,'··· the weight N!/N,'!N,'!···. Quantum statistics does not need a special introduction as a new principle; it rather is an immediate consequence of the splitting effect in which various resulting occupation number sets are produced with dynamical certainty. In applications of this principle a sharp distinction must be made' be­tween the following two cases. (1) There are N particles and Z levels. Originally all particles B j

are in one level, the other levels being empty. Then a redistribution takes place with N.=gj.N particles A k occupying Z k = qjkZ levels, respec­tively, where "LN.=N and "LZ.=Z. Only in this case where N, particles are brought into the separate parts Z. of the Z-space, does the re­distribution have the same statistical weight as the original distribution. (2) From the same

I For a more detailed disc.nssion r('(rr to A. Lande, Phy,. Rev. (to he puhlished).

original distribution is obtained a redistribution in which N. = qj,N particles are now allowed in the whole Z-space of all Z levels. This redistribu­tion belongs to an increased statistical weight. It is obtained from case I by a diffusion of each group of N, particles from the partial volume Z. to the total volume Z. One may call case I "coherent" and case 2 "incoherent redistribu­tion." The distinction is of importance for prob­lems of reaching thermal equilibrium. When two dilute gases A and B diffuse from separate vol­umes V into the common volume 2 V, case 2 prevails, and the maximum isothermal work is

W=nRT{2In2-(1+g) In(l+g) -(I-g) In(l-g)) (3)

with value 0 for g=l, and value 2nRT·ln2 for g=O. Equation (3) determines the function j(q) left open in Eq. (1").'

7. SUPERPOSITION OF PROBABILITY AMPLITUDES

Suppose we construct a table or matrix, usually rectangular, of the fractions q(A" B j ):

{q(A', B,) q(A" B,) g(A" Ba) g(A" B,) q(A" B,) g(A" Ba)

... } ...

and similar matrices for g(B, C) and g(A, C), and so forth. The question arises whether there are quantitative relations between the elements of the various matrices, in particular whether g(A, C) depends on q(A, B) and g(B, C).

Let us first consider an analogous problem. Suppose a number of objects called A, B, C, ... are linked by quantities gAB, gBC, gA c, and so forth, all g's having positive real values between o and 1, including the special values gAA = 0, etc., for "self-linkage." We now want to establish a mathematical relation between the q's so that a given gAB and gBC will determine qAC, possibly in a multivalent fashion. The mathematical relation is required to be symmetric and self­reproducing so that it will also yield qBU when gAB and qA c are given; furthermore, in the case of A being identical with C, the relation gAA = 0 shall result as a special case. In spite of the vagueness of the problem, the restrictions im­posed on the interrelations are pointing to a definite solution. Indeed, the symmetry require·

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 395

QUANTLM MECHA~ICS ,\~D THER'vIODYNAMIC CONTINUITY 357

ment together with the g's all being less than unity offers the interpretation of the g's as dis­tances between puints A, B, C, .. located on a cirrle of diameter unity; hence gAR and gBe will determine qA (,', although in a hivalf'nt fashion, since C may be on either side of B. More geu­erally, q may be taken as the geodesic distance between points on a cirde according to any metric of axial symmetry, e.g., over a dome topping the circle. It is hard to imagine any other possible solution of the interrelation prob­lem under the above restrictions; however, it would be interestin" to find a strict proof of uniqueness.

We now turn to the quantum pl~oblem, again concerning objects A, B, C, .,. linked by quan­tities q.1f~, etc. However, the objects now have parts, A consists of members A 1, A~, ... also connected by g's, of value qAkAk' = Okk'; i.e., each object is self-orthogonaL As to the gA,R" they all are positive between 0 and I, and ,ati,fy the unit-sum rule (2') of rows and columns: L"q_1kBj

= 1 as well as LJqA_kRJ = 1. \Vanted is a mathe­matical relation between the q's so that given values of the qAB and qBC will determine tbe values of the qAC in a symmetric and self­reproducing, altbough possibly multivalent fash­ion. The relation also is required to result in q.4./;Ak' = Okk' in the special case of A being iden­tical with C. Again, in spite of the vagueness of the problem, the imposed restrictions lead to a definite solution. The unit-sum rule (2') for the q-matrices definitely points to the interpretation of the q's as cosine-squarf"s uetween "axis direc­tions" A k and B j of orthogonal coordinate sys­tems A and B, suggesting the interrelation (gA"cm)l = L;(q"kBj) 1. (gBJCm)1 in which the square roots have undetermined signs. The choice of ± signs is restricted by the require­ment that the proriuct of one row with another, or Olle column with another, is to yield the sum zero in every \.Iq-matrix. One also may introduce the generalization that the g's are the absolute squares of "Hermitian cosines'" ifi as intermediate quantities.

linked by the relation

(4)

The multivalence of the pbases tben is restricted by the requirement that in every ,p-matrix the sum of the products of the elements of one row with the complex conjugates of another is zero; the same rule holds for tbe columns. Just as in the former example, it is hard to see how one could construct another solution of the interrela­tion problem between the q's with the restrictions imposed on them. One may therefore say tenta­tively that tbe introduction of complex ampli­tudes f and their comuination law, i.e., the Rorn-Hcisenbcrg-Jordan tbeory, is a direct mathematical consequence of fractional like­ness between states and thereby a consequence of thermodynamic continuity. Still, a strict proof of the uniqueness of this method of solving the interrelation problem would be welcome.

8. QUANTUM MECHANICS, DUALITY, UNCERTAINTY

The results developed so far constitute general quantum theory. Special quantum mechanics asks the more specific question: What is the magni tude of the likeness factors qk; between states Ak and B j of a mechanical system in which the states A 'lnd B refer to certain functions A (q, p) and B(q, p) of coordinates q and momenta p? AnSlvering this question requires one more bit of information, namely, knowledge of the am­plitude ,p of likeness between a state of Riven coordinate value q, and a state of given value p of tbe associ'lte momentum. This amplitude has been found inductively to be

,p(q, p) =exp(2i7rgp/h), (5)

a function symmetric and periodic in q and p introducing Planck's quantum h into the theory. This periodic function is responsible for the famous duality of particles and waves: As a function of q tbe 'lmplitude ,p is periodic in space with wavelength X = hlp. Furthermore, accord­ing to wave theory, the number of waves per unit length, I/A, can be determined with ac­curacy t>(I/I-)~I/t>g, if t>g is the range over which the wave train is allowed to be tested. Replacing 1/1- by its original meaning p/h again, the last relation reads t>(j'/h)~I/t!.q, or t!.p.t>q "-'h, i.e., the uncertainty relation of Heisenberg for the margins of accuracy of a simultaneolls determination of the values q and p.

396 ALFRED LANDE

358 ALFRED LANDE

Apart from the special quantum-mechanical results based on the knowledge of the function o/I(q, p) of Eq. (5), all the general conceptions and theorems of quantum theory, those concerning discrete sets of mutually orthogonal states with fractional likeness between states in general, the probability interpretation of the likeness frac­tions q, the splitting effect with conservation of statistical weight, i.e., quantum statistics, and last but not least, the mathematical, i.e., logical,

necessity of introducing probability amplitudes 0/1 linked together by the matrix multiplication law (4)-all these results are immediate conse­quences of the postulate of thermodynamic con­tinuity: "the Gibbs paradox does not occur." One may speculate on what would have been the development of physics if Gibbs in the 1890's had consistently pursued his objection to the discontinuity inherent in the classical theory of diffusion.

PAPER 84

PROBABILITY IN CLASSICAL AND QUANTUM THEORY

ALFRED LANDE

The Ohio Slate University, Oolumbus, Ohio

EVER since Max Born in 1926 proposed his statistical inter­pretation of Schrodinger's wave function, the outstanding innovation of quantum mechanics has been seen in the admission of probability replacing classical determinacy. Heisenberg's uncertainty relation only stressed and clarified this view in a particularly significant example. The contrast between classical determinism and quantum uncertainty has since been stressed time and again by physicists and natural philosophers, and even moralists have drawn comfort from the quantum view that chance rather than strict causality is the supreme law of nature. In the following we wish to re-affirm that determinism fails not only in accounting for the results of any honest "classical" game of chance, but that there is no possibility of carrying out a program of reducing classical thermodynamics to deterministic mechanics, not­withstanding the many efforts of deriving the Second Law on a deterministic mechanical basis. In opposition to those who would like to see strict causality restored even to quantum theory we try to show that it is futile in principle to search for hidden causes behind any distribution which satisfies the mles of probability, whether the distribution occurs in a classical or quantum-theoretical investigation. To prove our point let us examine a simple macroscopic game of chance.

Ivory balls are dropped through a tube on the centre of a steel blade, and a 50 : 50 average ratio of balls falling to the right and left of the blade is observed. Now, although a superficial observer may consider an individual r-event as purely accidental, a more skilful physicist may be able to see in advance that an r-ball even before hitting the blade possessed a slight preponderance to the right. This seeing in advance presupposes that the observer has an optical device, a 80rt of optical blade, doing the same job of distinguishing between

w

Reprinted from Scientific Papers Presented to Max Born, pp. 59-64 (1953).

397

398

60 ALFRED LANDE

r- and l-balls which the steel blade does later. One of the events in the life of an r-ball may have been a predestined encoWlter with a group of molecules when leaving the tube. According to the classical view, then, to-day's r-state is preceded by yesterday's r-state, back to the infinite past through a continuous chain of events ... rrr ... of which the steel blade enconnter is only one link.

ALFRED LANDE

When the determinist is now asked for a causal explanation of the average flO : 50 ratio between r- and l-balls his answer will be that this ratio, too, was predetermined long before the tube and the blade ever existed. Pressed further why even the fluctuations from the average conform with statistical expectation of the theory of random events, he may retreat into conceding a pre-established harmony between groups of events looking a8 if subjected to random fluctuations although in reality each single event was predetermined. However, this would put the " as if" and the "reality" in an upside­down position. The random distribution is a physicall'eality, and the determinism which only looks like random is a purely academic construction. A distribution of effects satisfying the laws of errol' theory require!:!, just from the determinist's viewpoint, a corresponding random distribution of causes at an earlier time and from there to a still earlier time. A program of giving a strictly deterministic theory of statistically distributed events leads nowhere.

A word of excuse must be said for our apparent brushing aside of the many efforts to explain thermodynamic laws as the statistical effect of many particles obeying strictly deter­ministic law!:! of mechanics. What we maintain is that statistical theory can reduce one probability distribution to another, derive complicated odds from simple ones, calculate the average of x8 from that of x2 etc., and obtain time averages from the ergodicity of the system. However, when statistical theory equates the time average of one system to the in­stantaneous average of many like systems then this may be justified by appealing to the equal rights of various time elements of the one system as a model for assigning various present conditions to the many systems. But this certainly is not a deterministic argument, and no proof of ergodicity will help to make it ODe.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

OLASSIOAL AND QUANTUM THEORY 61

To consider another example, put N mass points with given initial conditions into a volume of incommensurable dimensions and wait one day. Will this not lead in the majority of cases to a positive entropy increment dS on purely mechanical grounds ~ It might or it might not. Indeed, imagine 20 similar experiments carried out with 20 differently selected initial conditions, all leading to positive dS values. Now carry out 20 more experiments after exchanging initial with final conditions and reversing the velocities; this will lead to 20 negative dS. Cantor forbids that we interpret this as an equality of the infinite number of positive and negative dS values of all possible experiments lasting one day. But neither are there mechanical grounds for the expectation that. in a finite number of experiments with initial conditions Relected at random dS will mostly be positive. The famous entropy staircase curve of P. and T. Ehrenfest is not derivable from reversible mechanics; it rather illustrates the actual situation conforming with rules of probability. A deterministic derivation of irreversibility frO'frt 1'evelwible deterministic mechanic.~ is an i.mpossibility. All this hal-! often heen said \mt has just as often been forgotten.

Similar considerations hold for the game played by insurance companies with their clients. Of course we do not maintain that Mr Jones died at the age of 88 and 3 months from the 10 per cent. mortality rate of the age group 88 to 89. Closer inspection may reveal rather that he died of disease. However, when the insurance statistician is asked for the cause of the 10 per cent. mortality rate he may appeal to germ distribution l-!tatistics, from there to weather statistics, sun spot statistics, and so on back to the time of Ylem and before. There is no way of getting around mixing of conditions under certain odds at some earlier time.

If the original act of mixing is shifted back to the infinite past this is only an evasion, not a deterministic answer to the question what causes individual events to conform with probability odds. But if the determinist finally concedes mixing at some finite date he ceases to be a determinist. Mixing with definite odds may often be described as thermal disorder, prevailing even at absolute zero as a frozen-in random arrange­ment of obstacles in space, Without such disorder classical

399

400 ALFRED LANDE

62 ALFRED LANDE

baIls aimed at a classical edge either would all drop to the right, or all to the left, or all pile up on the edge indefinitely, and there would be no probability issue any more. Our thesis is only that when there are ensembles of events con­forming with error theory then these events are not reducible to deterministic mechanics.

The last statement may be contested by pointing out a possibility of mechanically transforming an originally ordered ensemble into a distribution conforming with error theory, e.g. by putting N particles into one coner dV of an incom­mensurably dimensioned volume and waiting for pure mechanics to take its course, the result being a 50 : 50 distribu­tion ratio in any two halves of the whole volume, conforming with probability expectations although produced in a deter­ministic mechanical fashion. 'l'he fallacy of this argument is that if each single particle within dV had its definite initial condition selected at t = 0 according to some plan then there is no reason to expect on grounds of pure mechanics, nor way to prove, that after a number of days there will be anything similar to a 50: 50 distrihution of the particles in like halves-unless one appeals to probability argumentR again.

Determinism can also be discredited by noticing that the test of its validity depends on deliberately setting up certain initial conditions, repeated many times over, to see whether every time the same final conditions develop; on the other hand, setting up conditions deliberately according to a chosen plan is just what determinism forbids. General arguments of a related kind have been brought forward by K. R. Popper 1

with the conclusion that determinism is an evasive if not self­contradictory notion. Our present aim is more restricted; it is to point out that present probability distributions follow earlier probability distributions back to some act of uncontrolled mixing either at the infinite or the finite past; that irreversible processes cannot be deduced from reversible mechanisms without slipping in probability arguments; that acts of un­controlled mixing are the price we have to pay for deriving the laws of thermodynamics from molecular mechanics. Irreducible probability, at present or shifted back to the past, is not an innovation of quantum physics; it is a prerequisite

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS

OLASSIOAL AND QUANTUM THEORY 63

also of classical statistical mechanics, as well as of honest games of chance.

One may ask which is more fundamental, molecular dis­order, i.e. the abandonment of determinism in the molecular domain, or the Second Law of phenomenological thermo­dynamics. 'rhe question may be withOllt point in an absolute sense but is of methodical interest under a program of reducing strange and complicated data to simple and natural principles relatively speaking. Thus, when an inventor tries to construct a complicated engine of perpetual motion we foresee his failure under the First Law. When he tries to invent a Maxwell demon for interfering in a deterministic fashion with molecular disorder we can predict again that he will fail under the Second Law.

Starting from the Second Law as fundamental, the necessity of abandoning strict determinism in the molecular distribution in favour of irreducible laws of probability appears as a strange but necessary consequence. The peculiar indeter­minacy of quantum physics, however, cannot be based on the Second Law alone, although it, too, is of a thermodynamic origin in spite of its apparently pure mechanical character. Indeed, already the original theory of Max Planck rested on a thermodynamic basis, namely, on a principle of energy continuity opposing equipartition and postulating that there ought to be a gradual decrease of the thermal energy per vibration in temperature radiation from low to high frequencies; similarly there ought to be a gradual decrease of the thermal energy per mol from solid bodies with low to those with high elastic frequencies (diamonu), and from there to absolutely rigid bodies lacking thermal cnergy altogether-in contrast to the discontinuous drop to zero of the thermal energy from very rigid to absolutely rigid bodies predicted hy classical theory. In analogy to these earlier developments, the concepts and rules of modern quantum mechanics can be derived in a conclusive fashion from a postulate of entropy continuity 2

which negates the paradoxical entropy discontinuity pointed out by Gibbs. Quantum mechanics, largely resting on the creative work of Max Born and his collaborators, is usually presented as a refinement of the wave-particle duality restricted by the postulate that the two classical theories must never

401

402 ALFRED LANDE

AM"RFJD L4NDP:

come in conflict with one another; hence lllcertainty, hence wave mechanics, superposition, and so forth. However, the duality and complementarity together with the superpositional matrix formalism are lIueh strange features t.hemRclves that their replacement hy a Rimplc continuit.y prineiple ought to recommend itself at least from a methodical point of view.

1 K. H. l'ol'P}}a, hldei;el'll1in;Rm in Quantulll "by";",, aud in Classical PI'YHies, Brit • .1. Phi/"s. Science, 1, 117 and 173 (UI50).

• A. LANDE, Quantum J\1eehlluieA and 'l'hel'll1odywlInic Contiuuity, Amer. J. Phys., 20, 353 (1952); Phys. Rev., 87, 267 (1952).

PAPER 85

QUANTUM MECHANICS, A THERMODYNAMIC APPROACH

By ALFRED LAND11l

Ohio State University

QUANTUM mechanics is usually derived from a dualistic quality of matter-half wavelike and half particle like. The present dis­

cussion treats the structure of quantum mechanics as a consequence of a simple and almost self-evident principle in the domain of thermodynam­ics, namely, a principle of continuity for the entropy, in opposition to the discontinuity paradox of classical statistical theory. Entropy continuity implies a continuity of likeness values between two gases, or two states of the same gas, from total unlikeness to total likeness through various degrees of "fractional likeness. " From the latter concept, physically in­terpreted as fractional separability, one obtains the general structure of quantum mechanics, the necessity of introducing probability an1plitudes mutually related by a wavelike rule of superposition, and the basic prin­ciples of the two quantum statistics of Bose and of Fermi.

Energy Partition and Planck's Quantum

Fundamental progress in the physical sciences has often been achieved by investigators whose conscience did not permit them to compromise with apparently minor incongruities of current theories. One may recall Einstein's unceasing efforts to replace the age-old idea of an absolute "pace by a relativistic space-time frame which resulted in his theory of gravitation. Or closer to the present topic, Planck's discovery of the quantum resulted from his refusal to accept an incongruity in the realm of statistical thermodynamics. According to the classical "equipartition theorem" the energy of temperature motion is distributed in equal shares over loosely bound and tightly bound particles of a body, with only en­tirely fixed particles being excluded from sharing energy at all. Now, if this were true there would be an abrupt increase of the thermal energy, from zero to a finite value, when an originally fixed particle became ever so little movable! In place of such a discontinuity one rather expects a gradual increase of the particle's thermal energy share when its bond is gradually loosened, in compliance with the general Principle of Continu­ity, "Gradually increased causes ought to have gradually increased ef­fects." This principle must not be confused with the often violated rule "natura non facit saltus." Quantum jumps lacking a deterministic cause occur every day, but cause-effect continuity is the very mainspring of quantum mechanics.

Energy equipartition fails most conspicuously in the case of radiation. Classical theory expects high and low frequency vibrations of the spect­mm to receive equal thermal energy shares; observation shows a grad-

439

Reprinted from Am. Scientist 41, 439-448 (1953).

403

404 ALFRED LANDE

440 AMERICAN SCIENTIS'f

ual decrease of the thermal energy per vibration with increasing fre­quency (corresponding to an increasing rigidity of bond) without any hint of a discontinuity. Planck in 1900 overcame the discrepancy be­tween classical theory and observed facts by introducing the unclassical hypothesis that the energy of an oscillation of frequency " can be either zero or a multiple of a smallest quantum hll, where h is a universal factor, the quantum of action. In thermal equilibrium, then, a tightly bound particle or a high frequency vibration would be able to dwell in the high energy level h" only on rare occasions, thus exhibiting a com­paratively small average thermal energy. This is an instructive example of how continuity of an observed average is achieved by a hypothetically assumed discreteness of individual values. On the other hand, there is no compelling reason for removing the unacceptable energy discontinuity implicit in equipartition just by the quantum hypothesis of Planck; only a genius cl)uld have oonceived this far-reaching idea on the basis of the observed facts. In other words, a postulate oj thermal energy continuity is not sufficient for deducing the principles of quantum theory.

We mention this defect of the older quantum theory in order to con­trast it with modern quantum mechanics, established by de Broglie and Schrodinger as "wave mechanics" and by Born, Heisenberg, and Jordan as "matrix mechanics" in 1926. The general principles of the modern theory can be deduced, in this writer's opinion, from a postulate of entropy continuity anchoring quantum mechanics in the second law of thermody­namics. It will be seen that entropy continuity not only explains why uncertainty and probability replace determinism, but also why various probabilities are linked through a superposition law for "probability amplitudes" or psi-functions, that is, why matter must display a strange duality of wave and particle qualities. To have one basic principle from which further conclusions can be drawn without ap­pealing to experimental evidence is all the more important in a field where the unsophisticated interpretation of microphysical phenomena appears to expose a self-contradictory behavior of matter, half wavelike and half particle-like, thus giving quantum mechanics a reputation of being un­derstandable only to abstract mathematical minds in spite of its numer­ous applications in everyday gadgets and machinery. We hope that a de­duction of the strange conceptions and mathematical intricacies of quan­tum mechanics from an almost self-evident principle oj continuity in the realm of thermodynamics will help to clarify the enigmatic character of the theory.

The Gibbs Paradox and Entropy Continuity

In order to view the 'entropy continuity principle in its proper per­spective, we must first discuss the corresponding entropy discontinuity of classical statistical thermodynamics. Suppose two adjacent volumes

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

QUANTUM MECHANISM, THERMODYNAMIC APPROACH 441

V contain two different gas samples, A and B, at common temperature and pressure. When removing the separating wall the two gases will form a mixture filling the whole volume 2V. Now, instead of letting the diffusion take place "by itself" one may use a semipermeable diaphragm passing the gas A and blocking B. With its help one can gain, at the ex­pense of an equal supply of heat, a certain characteristic maximum amount of isothermal work. Its magnitude is W = 2RT In 2 when one mol of gas A is mixed with one mol of B. This maximum isothermal work (m.i.w.), has the same magnitude irrespective of the degree of difference between the two gas samples-this is the contention of the classical theory.

This classical contention leads to a serious discontinuity, however. Imagine that the gas A consists of a certain kind of elongatcd particles with their axes pointing North, and B contains the same kind of particles all pointing at a certain angle a away from North. Classical theory then asks us to believe that the m.i.w. obtainable from the mixing of A and B is always the same W whether the angle a is large, or small, or ever so small, with W abruptly dropping to zero when a is finally decreased from ever so small to exactly zero, rendering the two gases alike. Such a discontinuity of Wand of the entropy S of diffusion upon an infinitely small change of the angle a from almost zero to exactly zero (or of any other mark of distinction between the two gases) is just as unacceptable as the energy discontinuity criticized by Planck. The energy disconti­nuity rested on the too narrow alternative "fixed or loose"; the entropy discontinuity arises from too sharp a contrast between "like and unlike" applied to gases A and B. Already in the 1870's Josiah Willard Gibbs (IJ

of Yale was much disturbed by the discontinuity paradox of the classical entropy of diffusion without being able to propose a satisfactory solution.

Following in Gibbs' footsteps (2), let us first establish a Principle of Entropy Continuity: "There must be values of the diffusion entropy in­termediate between the full classical amount valid for the diffusion of two quite unlike gases, and the vanishing entropy for the diffusion of two like gases." Hence "Two states A and B of a gas, or of the particles thereof, must in general be classified as being in a mutual relation of fractinnallikeness, revealed in a corresponding intermediate value of the entropy and the m.i.w. of diffusion." We shall see that this entropy con­tinuity postulate leads immediately, by deductive reasoning, to the basic structure of quantum mechanics. To those not familiar with the intrica­cies of quantum mechanics this deduction may serve as an introduction.

Fractional Likeness between States

The first conclusion drawn from the principle of entropy continuity is that two states of a certain kind of particle may be in a mutual relation of fractional likeness. The term "state" is applied here in a most general

405

406 ALFRED LANDE

AMERICAN SCIENTIST

sense. For illustration we may consider states AI, A 2, etc., signifying various angles a with respect to the North. Other states Bl , B2, etc., may in­dicate various anglesfJwith respect to the N.W. The states CI) C2, etc., may indicate states of various internal energies of the particle. These states are permanent unless disturbed by interference from outside. Then there are transitory states Xl, X'2, etc., signifying positional coordinates or small domains in space, occupied by a particle. For the present discussion all specifications of the "states" considered are irrelevant. It is essential only that there be proper devices to observe and to distinguish the various states. Thus, there are orientation meters, energy meters, position me­ters, and other instruments devised to observe various states respec­tively. The term "particle" may be applied to an electron, or atom, molecule, crystal, or to any system, big or small. The "gas" then is a Gibbs assemblage of like systems.

The question now arises as to whether there are also devices or proce­dures for determining the degree of "fractional likeness" between two states, A 2, and Bo, say. Let us introduce the letter q to indicate mutual likeness fractions, and let us write q (A2, Bo) in the above example; q = 1 shall express exact likeness or identity, and q = 0 total unlikeness. The physical definition of a q-value must of course be closely associated with the m.i.w. and the entropy obtainable from the mixing of the two frac­tionally like gas state samples, or conversely from the m.Lw. to be spent on a process of unmixing. From the operational point of view total un­likeness between A and B means perfect separability of their mixture, and likeness between A and B implies a total lack of separability. Fractional likeness, with q between 0 and 1, therefore must indicate a sort of fractional separability. The question is, what physical meaning can be associated with this new concept?

Even before answering this question one may proceed to reason in the following somewhat abstract manner. Imagine that all possible states of a certain kind of particle, permanent and transitory, are listed one by one on separate cards, forming a huge paper mountain. A certain order may be brought into this chaos by the following procedure. Draw one card and call the state it represents AI. The second state A 2, shall be <lelected so as to be totally unlike AI, with q(AI' A 2) = 0 in the above no­tation. The third state Aa shall be chosen so as to be entirely unlike Al as well as unlike A 2• Continuing in this fashion we may collect a set of mu­tually unlike, Le., entirely separable states AI) A 2, A 3, etc. When after many draws no state can be found in the paper mountain which is en­tirely unlike all of the previously drawn states, then we have collected a complete set of mutually unlike, or separable, or mutually exclusive, or orthogonal states-denoted as the complete set A; the cards representing its members may be filed away in a drawer marked A. As an example, they may represent a catalog of all those orientations a with respect to

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

QUANTUM MECHANICS, THERMODYNAMIC APPROACH 443

the North which are separable from one another by a N-orientation me­ter.

The next draw will necessarily produce a state, named B l , which can neither be identical with any of the former states A nor entirely unlike all of them-otherwise it would have been included in the set A. Thus the state Bl must have a relation of fractional likeness to some if not to all of the states A. The same holds for the next state B2 to be chosen so as to be orthogonal, i.e., entirely unlike or separable from B l . Continuing in this way a complete set of states B may be collected and filed away in a second drawer, marked B. Then we may collect other orthogonal sets of states, C, and D, and so forth, until all the cards are used. Within one orthogonal set (drawer) every member state is only like itself and quite unlike every other member, i.e., in terms of likeness fractions

(A A ' _ 1 for k = k', q ., .) - 0 for k '" k'. (1)

Similar relations hold for the set B, the set C, etc. On the other hand, the mutual likeness fractions q(Ak' BJ) between any two states belonging to different sets have values between 0 and 1. These values may be com­piled in a systematic table or matrix in the following manner:

{q(Al' B,) q(A" B.) q(A" B,) ... } q(A., B,) q(A" B,) q(A., B.) .. .

... ... .0. . .. (2)

abbreviated {g(A, B)}. In the same fashion one may draw up the ma­trices {g(B, C)} and {q(A, C)} and so forth, even before knowing how to determine the values of the various q's in these matrices.

Led by the postulate of entropy continuity one thus can establish an orderly arrangement of all states of a particle or system into complete sets of mutually separable states, with a web of fractional likenesses con­necting members of different sets. Many such arrangements are possible. All this is rather general and abstract. Our next task is that of filling the general scheme with a more concrete physical content; in particular a quantitative operational definition is needed of the degree q of fractional likeness between two given states.

The Splitting Effect

If likeness stands for inseparability, and unlikeness for separability, then fractional likeness between two states A and B must signify a sort of fractional separability of the gas states A and B. Let us first consider the limiting case of total separability of two mutually orthogonal states (q = 0) such as Al and non - Al e.g., A2 or As. The separation or "un­fusion" of a gas mixture of Al and non - Al requires the existence and application of a sieve, or diaphragm, or other selective device passing all particles in the state Al but blocking, or reflecting or deflecting all particles non - A l. Such a device may be called an Al-selector.

401

408 ALFRED LANDE

444 AMERICAN SCIENTIST

Let this selector now be bombarded with particles in the state BI •

Since Bl is not like A., the Brparticles will not all pass. Since Bl is not non-AI, they will not all be repelled. There is no alternative, then, but that a certain fraction of the incident Brparticles will pass, and the re­maining fraction be repelled by the AI-selector. That is, fractional like­ness between A. and B} must reveal itself in a splitting effect for the BI qarticles when "tested" by an AI-selector as to Al or non-AI. It is con­venient to take the fractional intensity of the passing Brmatter as the puantitative definition of the mutual likeness fraction between A\ and BJ and denote it as q(A l , Bj). For thermodynamic reasons the fraction q(B j , A,) of At-particles passing a Brselector must equal the former frac­tion. We thus have an operational definition bf the q's in the matrix {q(A., B) I and in other matrix schemes, provided that the splitting effect exists. It must exist if there is to be a continuity of the entropy.

The next problem is to determine what enables some of the Brparticles to pass the A.-selector whereas others are repelled. Again there can only be one logical answer. Since the At-selector is a device passing the state A\ we must conclude that those Brparticles which pass do so by virtue of turning from their original state BJ into the new state A. and stay there, that is, carry out a transition from BI to A.t. Similarly, those particles BI which are repelled must have turned into a state entirely non-At and stayed there. Thus we have arrived at the necessity of "quantum jumps."

Furthermore, a particle originally supposed in the state Bl cannot have any premonition as to how it will act when later confronted with an A,­selector; if particles BI had different premonitions of later passing or being repelled respectively they would have had to be listed on different cards rather than on the one card BJ• The passing fraction q(BI , At) of the Brgas through the At-selector must therefore be interpreted, for an individual Brparticle, as its probability of transition from the state Bj to A. in contact. with the At-selector. Thus probability enters the scene. We use the t.erm "in contact with" or "when tested by" rather than "caused by" the AI-selector. Indeed, if the latter acted as a deterministic cause in the classical sense then all Brpanicles ought to react in the same way. A causal explanation of the splitting effect into passing and repelled frac­tions is out of the question as a matter of principle. We are faced with a pure prohahility issue. Probability, the most significant feature of quan­tum mechanics, entl.'rs as a direct consequence of the postulate of en­tropy continuity via fractional likeness, that is, fractional separation in the splitting effect posing the alternative B,.A l or B ,.non-AI'

In order to split a gas B, into separate, totally unlike components Al and A., etc., one may first apply an AI-selector, then subject the repelled frartion to an A:rselector, and so forth. There actually are 8eparators which perform the splitting of one state Bi into a complete set of mutu­ally orthogonal states At, A., etc., in one single step, with the various com-

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

QUANTUM MECHANICS, THERMODYNAMIC APPROACH 445

ponents emerging in different directions so that they may be collected separately. The Stern-Gerlach magnetic separation experiment is an example of such a separator, although marred by depolarization effects. The relative intensities of the various components, q(A~, B j ) represent probabilities for individual particles turning to the various component states A~; their sum must be unity for a given original state. Similiarly, for a given initial state A~ the sum of the probabilities q to arrh e at var­ious final states Bj of the set B must be unity, that is:

2:. q(A., B I ) = 1, 2:1 q(A., B I ) = 1 (3)

or, the sum of the q's in everyone row and everyone column of the ma­trix (2) is unity.

Hans Reichenbach [3J views quantum mechanics as an application of a three-valued logic in which the sharp alternative "true or false" is supplemented by a third truth value "indeterminate." Our viewpoint of supplementing the classical "like" or "unlike" by an intermediate frac­tional "like" is a physical illustration of this view.

General and Special Quantum M echanic8

It was to be expected that, starting from a very general principle, one might be able to draw only general and somewhat abstract conclusions. On the other hand, these general conclusions possess a high degree of credibility. It has been attempted to disprove probability as a ruling principle of microphysics in favor of classical certainty, by thinking out experiments where exact effects would result in place of quantum un­certainty [41. Now, instead of trying to reveal hidden inconsistencies in those thought experiments, one might as well ask: "Do you believe that the diffusion entropy really shows the discontinuity of the Gibbs para­dox? If not, then you must concede fractional separability, hence prob­ability-controlled behavior of particles or mechanical systems in general."

Proceeding from the general substructure of quantum mechanics to specific mechanical problems, one may ask: How large is the prob­ability factor q(A, B) between two specifically defined states A and B? To mention the most important example, A may signify a state of posi­tion of a mass point between coordinate values x and x + dx, and B may indicate a state of momentum in the x-direction of value between Ps and ps + dps. Experiments on matter diffraction have given the following answer: The probability q of transition from the position ran!1,e dx to the momentum range dps under scrutiny by a momentum meter is always smaller than the product dx·dps divided by the universal constant h of Planck. This is the famous uncertainty relation of Heisenberg; it pro­vides a specific bit of information from which further specific conclusions concerning energy levels, scattering cross sections, binding forces, and so

409

410 ALFRED LANDE

116 AMERICAN SCIENTIST

forth can be drawn. The term general quantum mechanics may be reserved for conclusions deduced from the basic principle of continuity, such as the admission of fractional separability and transition probability in the splitting effect as well as the general superposition rule of the next sec­tion, and also the general principles of quantum statistics. Special quan­tum mechanics introduces the new constant h on the evidence of special experiments. One such experiment, e.g., matter diffraction determininf.( the h-dominated probability relation between coordinates and momenta, may be exploited for the theoretical prediction of other special experi­mental results. All these results then are marked hy the constant h.

The Superposition Rule

We now return to general quantum mechanics, that is, to consequences of entropy continuity. All general conclusions that have been drawn so far were of a qualitative character, with the exception of the unit sum rule (3) for the relative intensities in the splitting effect. Yet by reasoning on very general lines one can derive still another quantitative law namely, that of Superposition.

Suppose all intensity fractions q(A, B) listed in the matrix (2) were known, e.g., from actual splitting experiments; likewise suppose the fractions q of the matrix q(B, C) were known. Will it be possible, then, to use this knowledge for a theoretical calculation of the still unknown frac­tions q(A, C) without having to determine them by direct observation? That is, do the transition probabilities q(A, B) together with the g(B, C) determine the direct transition probabilities q(A, C)? If an unambiguous determination of the latter from the two former should not be possible we would be content with having at least some method, ambiguous or mul­tivalent, restricting the values of the q(A, C) when those of q(A, B) and q(B, C) are given. The method must not give preference to one set of q's over another; that is, it ought to be cyclic, so as to apply also to a calcula­tion of q(A, B) from g(A, C) and g(B, C) and of q(B, C) from q (A, B) and q(A, C). Furthermore, the unit sum rule (3) must he satisfied for all three matrices.

A mathematician confronted with this problem will not fail to notice its analogy with the well-known problem of transformation from one set of orthogonal axes AIA2Aa to other orthogonal axes BIB2Ba and C1C2C" with q(Ak' BJl corresponding to the square of the cosine between the lit and B; directions. He therefore will first introduce generalized cosines, a = ± yq, and then establish the relation

a (Al, em) = 2:; '" CA., B;)·",(B;, em)

imitating the well-known cosine relation of geometry. In order to give a most general solution of the problem he then may replace the bivalent '" = ± yq by multivalent complex quantities >It whose absolute squares

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

QUANTUM MECHANICS, THERMODYNAMIC APPROACH 447

aretheq's that is If = v'q·exp(itp), multivalent by virtue of an arbitrary phase angle tpj with", replacing the a he will then establish the inter­relation formula

(4)

The generalized directional cosines If, whose absolute squares are the probabilities or intensities q, are known as "probability amplitudes," and (4) is the "amplitude superposition rule" of matrix mechanics. To the physicist it is the source of all the wavelike features of matter re­vealed in micromechanical experiments. Mathematically it \.epresents the natural and only known solution of the q-relation problem under the restriction of equivalence of all q's. There is still the possibility that future mathematicians might find a still more general solution j if so they would present us with a most interesting new development of quantum theory.

The point we wish to make is that the rule (4) initiating wave mechan­ics could have been found by pure mathematical, that is, logical reason­ing about the q-relation problem, without waiting for experimental clues. Superposition of probability amplitudes, then, is not a new and strange law of nature but is a simple implication of entropy continuity together with the assumption that various states A, and B, and C have equal rights in a cyclic interrelation law. From this viewpoint we now under­stand why particles obey wavelike rules. The waves in question are not vibrations in a medium, however, but are "probability waves" j in gen­eral they are neither periodic nor defined in space.

Quantum Statistics

The two quantum statistics of Bose and Fermi are often considered as foreign elements grafted on the tree of quantum mechanics. Yet even quantum statistics can be shown to be an outgrowth of the general prin­ciple of continuity and thus to qualify as a legitimate part of general quantum theory. Continuity of entropy implies lack of entropy increase during the diffusion of two like gases. This lack of entropy increase alone disproves the classical method of statistical mechanics of counting all N! permutations of N-like particles in the calculation of the probability. Only one single rather than N! permutations must be admitted in order to yield a vanishing entropy for the diffusion of two like gas samples. This condition holds even in the simple case that the gas consists only of two particles, first separate then together in a common domain. From the special quantum development of the Heisenberg and Heitler-London theory it is known that in the case of two particles the probability ampli­tude If has only two possibilities, namely, being symmetric and antisym­metric with respect to an exchange of the two particles. The same re­sult can be derived also from the general quantum theory without specific

411

412 ALFRED LAND~

448 AMERICAN SCIENTIST

use of Planck's quantum constant or of the Schrodinger equation. Now, in order to reduce the N! = 2! = 2 permutations of a two-particle system to one, the two particles must make a choice between either symmetry or antisymmetry as the mode of interaction. Which choice they will take can, of course, not be derived from general thermodynamic postulates. However, suppose the two like particles have chosen symmetry. A third like particle may now approach from infinity to almost infinity. If this in­finitely small cause were to produce a new symmetry type of mutual in­teraction then one would be faced with a sudden finite jump of the mu­tual "exchange energy" between the first. two particles in contradiction to the First Law. In order to maintain continuity of the exchange energy it is necessary to maintain conservation of the symmetry type when a gas of two like particles is enlarged by the admission of a third, then a fourth particle, and so on. Since two particles have only the choice between sym­metry and antisymmetry we thus arrive at the rule: "Once symmetric always symmetric, and once antisymmetric always antisymmetric." This rule is equivalent with the fact that there are two statistics for sys­tems of like particles, namely, the symmetric Bose statistics, and the an­tisymmetric Fermi statistics; the latter is equivalent to the Pauli exclu­sion principle l .

In conclusion, if our world is not "the best of all possible worlds" it certainly is the only one in which it is possible to avoid the dilemma of discontinuity.

REFERENCES 1. GIBBS, J. -WILLARD. Collected Works, Vol. II (Yale University Prcss, 1928), p.

167. Also: Commentary on the Scientific Writing. of J. Willard Gibbs, ed. by F. G. Donnan and A. E. Haas (Yale University Press, 1936), p. 37; and, Principle. of Statistical Mechanic., by R. C. Tolman (Oxford University Press, 1938), p. 626.

2. LANDE, A. Quantum mechanics and thermodynamic continuity. Am. Jour. PhyBiCll, eo, 353, 1952. ---Thermodynamic continuity and quantum principles. Phys. Rev., 87, 267, 1951.

3. REICHENBACH, HANS. Philosophic Foundations of Quantum Mechanics (Uni­versity of California Press, 1944), p. 42.

4. BOHR, NIELS. "Discussion with Einstein," in A. Einstein, Philosopher-Scienti8t, Library of Living Philosophers, P. A. Sehilpp, ed. (Tudor Publishing Co., Evanston, III., 1951), p. ZOO.

1 A mor .. detailed discussion of continuity as the key to quantum mechanics may be found in a monograph by this author to appear in the near future.

PAPER 86 413

Quantum Mechanics and Thermodynamic Continuity. II

. \LFRED LASDE

Tile Ohio .~·U.lte University, Columbus, Ohin

(Rece;ved August 4, 1953)

The program of deducing quantum mechanics from the postulate of thermodynamic con­tinuity is extended to embrace the principles of symmetry and quantum statistics, in particular the rule of conservation of symmetry type when a system of S particles in resonance inter­action is augmented by onc more particle. The special quantitativp. definition of quantum conjugacy contained in the commutation rule of Born and in the Schrodinger replacement of the momentum p by a differential operator may be rcplacl'u by a general qualitative physical definition: Hp and q are conjugate obseryahles in a mechanical system when the manifold of q reactions of the system uniquely determines the manifol<1 of its p reactions,'J \Vhen inter­preted in terms of superposition mechanics thi::. definition leads to the rules of Born amI SchrOdinger and from there tu Cjuantum dynamics.

I. INTRODUCTION

I N a recent investigation' it was shown that certain general principles of quantum me­

chanics, originally found from microphysical evidence and condensed in the Born-Heisenberg­Jordan and Schrodinger theory, may be deduced as direct consequences of the general postulate of continuity of cause and effect. More specifically, since the classical distinction between two states of a mechanical system as "either like or unlike" leads to 1he discontinuity paradox of Gibbs for the diffusion entropy of two like as against two unlike gases, one is compelled to admit fractional likeness values between states of gas particles and of systems in general. When unlikeness is identified with separability, and likeness with inseparability, then fractional likeness must imply some sort of fractional separability. This

1 "Quantum mechanics and thermodynamic continuity," Am. J. Phys. 20, .l53 (1952); also Phys. Rev. 87, 267 (1952).

Reprinted from Am. I. Phys. n, 82-87 (1954).

leads, as we saw in Part J, to the arrangement of all states of a system into sets of mutually orthogonal or completely separable states, the set A,A,··· and the set B,B,···, and so forth, with a web of fractional likenesses, q(A.,B;} <1, connecting the members of different sets. The same fr.lction q(A.,B;} also indicates the relative intensity in the splitting of the state A. into component states B;, or the probability of an individual particle (system) in the state A. to turn to the state B; and then be passed by a B;-selecting device. When looking for a self­consistent correlation law between the prob­abilities q so that the elements of the matrix q(A,B) together with those of q(B,C) will de­termine the elements of the matrix q(A,C)' one finds only one simple and natural mathematical solution of this correlation problem, namely, the nIle

(1)

414 ALFRED LANDE

QUA N TUM M E C HAN I C SAN D THE R MOD Y N A ~1 ICC 0 N TIN U I T Y _ I I

where the quantities'" are defined as complex amplitudes

"'km=y'(q"",) exp(iID'm) = "'m.- (1')

It is well known how the superposition rule (1) leads further to a general superposition or matrix formalism for the eigenvalues and transition values of various observable quantities, with '" itself playing the role of the "observable unity." In particular, one has the transformation rule

(2)

where a, is an eigenvalue of the observable a in the state A. and a'j=aj' is the transition value (matrix element) of a between two states B, and Cj. The ground structure of quantum mechanics, including the superposition formalism, is thus obtainable as a consequence of the postulate of thermodynamic continuity together with that of self-consistency.

Yet quantum mechanics has a superstructure built on additional rules of a more specific character. We refer to the Schriidinger rule of identifying a momentum p with the differential operator (h/i)fJ/fJq, and the Born commuta­tion rule, qp - pq = ih, both rules being equiva­lent definitions of canonical conjugacy between a coordinate q and a momentum p. Secondly we refer to the symmetry rules for systems of iden­tical particles, rules which are fundamental for the structure of atoms, molecules, and the physical qualities of matter in bulk. It is our in­tention to show in the following pages that con­jugacy and symmetry rules can be deduced from simple general postulates. The rule "'" is either symmetric or antisymmetric," i.e., the division of all particles into the Bose and the Fermi kind, wiII be shown to be a direct consequence of the postulate of entropy continuity. The quantita­tive qp rules of SchrOdinger and Max Born can be replaced by a less stringent general definition of conjugacy not requiring a special quantitative relation between q and p, but in­troducing conjugacy only by the following qualitative statement: "q and p are defined as conjugate observables of a system when the q reaction of the system uniquely determines its p reaction." A clarification of this somewhat enigmatic statement will be given in Sec. 3. At

any rate, the present investigation tries to round out our effort of presenting the concepts and rules of quantum mechanics as direct conse­quences of simple and plausible assumptions about the working of nature, rather than as an assortment of mysterious rules about noncom­mutative algebra, etc., applied to complex im­aginary quantities.

2. SYMMETRY PRINCIPLES AND QUANTUM STATISTICS

A statistical theory of thermodynamic phe­nomena is possible only when the many parts or particles of the thermodynamic macro-system are supposed to be in slight interaction. Without interaction, either direct by collisions or indirect through a common heat bath, one never would arrive at a thermal equilibrium. On the other hand, if the interaction were not slight then it would be meaningless to speak of the various parts of the macrosystem as individuals; a clear division into parts is possible only in the limit of negligibly small mutual effects. There­fore, when considering bodies whose parts are in strong interaction, statistical thermodynamics can be applied only to a Gibbsian ensemble of many samples of such a body. Statistical-thermo­dynamic phenomena are dependent, however, on the resonance mode of interaction between the slightly interacting parts of the assemblage.

(a) Resonance Interaction due to Superposition Mechanics

Let us start with a system of only two identical particles 1 and 2, whose states a and b may be described by amplitudes "'. and ~" as eigenfunc­tions of an observable H"(1,2) =H"(1)+H"(2). The superscript' is to indicate lack of mutual perturbation between 1 and 2. An eigenvalue of H" is E.'+ E.'; it belongs to the two ground solu­tions ",.(1)",.(2) and ",.(2)",.(1) as well as to any of their linear combinations. As soon as H" is augmented by an ever so small term H'(1,2) symmetric in 1 and 2 (because 1 and 2 are iden­tical particles) then even in zero approximation only the symmetric and the antisymmetric combination of the two ground solutions is admitted:

""(1,2) =",.(1)",.(2)±tf'.(2),y.(1). (3)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 415

ALFRED LANDE

This resonance effect is usually derived as a result of the h-controlled Schrodinger wave mechanics in the Heisenberg and Heitler-London theory. Yet the same result is inherent already in the g-enerai superposition formalism without refer· ence to any special connection between con­jugates q and p. The same applies to the further result that the eigenvalue E.'+E,' is to be augmented by a Coulomb-like interaction term Cab and by an exchange or resonance term Dab

with positive or negative sign in the symmetric or antisymmetric case respectively. The eigen­value of lfO+I!' thus becomes

The same result is also described by the following srheme:

)\yl1l

ant 1

-1

where a,b, in the top row stands for '/1.(1)'/1,(2); the next two rows give the factors in the sym­metric and antisymmetric combination. The last column lists the exchange term. For later use we add the corresponding scheme resulting from the resonance theory of three particles, 1 and 2 and 3 in three states, a and band c. The factors supplied to the 3! = 6 ground solutions are powers of the sixth root of unity.

f =exp(2i .. /6), hence f" =exp(2i .. n/6).

f l' f' l' l' f' J' f' J' r f" f"

.wt f' f; t' j" f" J" -D"/.-D,,c-nbc l' f' f!~ fir. 1''' pi J' flO in f" j" fW

sym J' J" pg f21 J~ f" D"b+D"c+DLe

One may think of the example of three identical electrons in the fields of three different centers, a, h, and c. There are then six different ways of reaction between the three particles, among them the symmetric one listed in the last row where all factors i" are unity, and the antisymmetric one in the third rOW with factors -1 and + 1, alternately. The other rows belong to other types of resonance reaction shortly called "un­iymmetric" ; their exchange energies are involved expressions. The transition from the first to the second scheme may be exemplified by the addi­tion of a third atom c to it molecule ab so as to

form a triple molecule. Perturbation theory of superposition mechanics admits all six modes of resonance reaction, although there is no guar­antee that any of them will lead to a stable triple molecule.

The following two questions now arise: Why is it that in case of two, and three, and N iden­tical particles only one out of 2!, 3!, and N! sym­metry types of reaction is actually present? And further: Why is it that the symmetry type once chosen by two particles is conserved also when a third, a fourth, and an Nth particle of the same kind is added to the system? Both questions are answered by pointing to the principle of con­tinuity. Let us first consider the reduction from N! to one.

(b) Reduction from N! Modes of Interaction to One

This reduction is necessary in order not to come in conflict with the Gibbs discontinuity paradox of dassical statistical thermodynamics. Classical theory. in contrast to observation, yields a finite entropy increase during the diffusion of two identical samples of a gas. Indeed, according to classical statistics, the entropy of N particles at temperature T in a volume V is described by the well-known formula

5=kNllgV+ClgT+const}. (5)

where k is the Boltzmann constant, C is a specific heat constant, (3/2 for monatomic, and 5/2 for diatomic gases), and const is independent of V, T, and N. However, this classical 5 formula leads to the unacceptable result that the diffusion of, say, 5 like gas samples from their original separate volumes V into the common volume 5 V would lead to an entropy increase. Indeed, for 5 separate samples one has, according to Eq. (5), the total entropy

50 = 5kN Ilg V + ClgT +const}.

After their diffusion the gas of 5N particles in 5 V at the same T would be

5 = k5N IIg (5 V) + CIgT+const} ,

leading to the entropy increase

5-5o=SkN Ig5 (classical), (5')

416 ALFRED LANDE

85 QUA N T U 1\1 ME C HAN I C SAN J) THE R MOD Y N A hI ICC 0 N TIN U I T Y. J J

instead of S - S, = O. The classical entropy for­mula is wrong. In order to arrive at a correct expression for the entropy of a gas of N particles in Vat T we may tentatively replace the const, which certainly must be independent of Vand T, by a still unknown function of N; that is, let us tentatively replace Eq. (5) by

S=kN{lgV+CIgT+f(N)}, (6)

and determine feN) so that S-So for the diffu­sion of 5 like gases will vanish. Originally we have, according to Eq. (6),

S,=5kN{lgV+ClgT+f(N)I.

After merging the 5N particles in 5 V we obtain

S=k5N{lg(5V)+C Ig1'+ f(SN) I.

In order that S-So=O we must have

f(SN) - feN) = -lg5 = -lg5 + Igl,

from wbich we learn that feN) must equal -lgN +const. The correct entropy formula for N particles in Vat T th us reads

S=kNllgV+Clg1'-lgN+constl. (7)

Equation (7) is obtained from Eq. (5) by sub­traction of the term kN IgN. Now, since S stands lor Boltzmann's k IgP, and since N IgN is only tbe Stirling approximation 01 IgN! in statistical calculations, the subtraction of kN IgN~k IgN! from the classical entropy S signifies a division of the classical probability P by 2V!. Hence, whereas classical statistics counts N! micro­distributions of N particles over N energy levels E., E., .. ·En belonging to one and the same macro-configuration of energy E.+E.+·· ·E., the correct statistics has to count such a macro­configuration with statistical weight unity rather tha~N! In superposition mechanics the same N! permutations yield N! resonance modes of inter­action; only one of them can actually be admitted for the sake of (7) replacing (5).

(e) Conservation of Symmetry Type

All unsymmetric functions '" must immedi­ately be discarded as unphysical since they have, as can be seen easily, ttnsymmetric probabilities 1"'1', unfit to represent legitimate states of identical particles. This leaves for any numher N

the choice between symmetry and antisym­metryonly.

Considering now a certain kind of identical particles, there still might be the possibility that these particles in two's may choose the sym­metric way of resonance interaction listed in the first line of the 2-particle scheme, but might, in case of three's, choose the antisymmetric resonance interaction of the 3-particle scheme. That this cannot be so, and that there rather must be conservation of symmetry' type when going from 2 to 3 to N identical particles can be proved as follows: Suppose that the two par­ticles under consideration interact the sym­metric way with exchange energy +D •• in the molecule ab (to use a familiar example). Suppose there is a third particle 3 in the state c, without any interaction with particles 1 and 2, e.g., bound in an atom c infinitely removed. The total resonance energy of the system ab +c will still be +D •• since there is no mutual energy between a and c nor between band c. When we now move the atom c from infinity to an ever-so­large finite distance from the molecule ab to form what may be called a triple molecule abc, then the absolute values of the exchange terms Do< and D., will still be negligibly small in magnitude. The total exchange energy of the system abc of the three particles in antisymmetric resonance would be -D ••. There would then be an abrupt change of the original exchange energy +D .. of the system upon the approach of c from an infi­nite to an ever-so-large distance from ab, except in the case of symmetric interaction also in case of the 3-particle system. Thus, in order to safe­guard continuity of the resonance energy upon the incorporation of one more particle into a 2-par­ticle system, and similarly during the addition of any new particle, there must be the rule once sym­metric always symmetric, and similarly once anti­symmetric always antisymmetric. The rule is identi­cal with the division of all particles in two classes, symmetrically interacting Bose particles, and anti­symmetrically interacting Fermi particles. The latter, of course, obey the Pauli exclusion prin­ciple, since antisymmetric '" functions for states a, b, c ... n vanish when two or more of these states are the same.

The statistical weight unity due to the absence of a N!-fold degeneracy leads immediately to the

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 417

.~LFRE]) LA'l])£: 86

consequence that the average number of particles per energy level E at temperature Tis

( 1 )-' 11 = ~et!kT~ 1 (8)

with upper sign for Bose and lower sign for Fermi particles. The rule of symmetry-type conserva­tion remains in force under any continuous varia­tion of the magnitude of the interacting forces involved. When it is true for one state of aggrega­tion under small forces (in a gas state), it remains also true when the forces are m<lde large (in a liquid or solid state). And since nondegenerac, fa ther than 1\T! fold degeneracy also prevails for the very lowest energy level in any state of aggre­gation, the precondition for the LV-ernst theorem is satisfied.

All unsymmetric '/I's can be shown to belong to at least twofold degenerate energy levels. The Nernst theorem and the requirement that ['/I [' be symmetric are thus equivalent: Both elimi­nate the unsymmctric y; functions.

3. CANONICAL CONJUGACY AND QUANTUM DYNAMICS

Classical dynamics rests on the Hamiltonian equations of motion for coordinates q and mo­menta p, defined as heing conjugate when they obey the canonical equations. Quantum me­chanics usually introduces conjugacy either by the Born commutation rule qp-pq=ih, or b,. the Schrodinger operator p= (!!/i)a/aq, both definitions being equivalent. Instead, we wish to introduce the following general qualitative definition: HI n every mechanical system there ;tre pairs of observables g and p so that the manifold of all q observations uniquely deter­mines the manifold of all p observations." For example, when the energy E and the time tare said to be conjugate this shall imply that an ob­servable f, whose eigenvalues are fot = f(t) , whereas jet'=O for t¢t', has transition values fE' E" which are nonvanishing only for certain energy transitions t;,E = E' - E" uniquely deter­mined by f", = f(t)o",. A consequence of this qualitative definition of conjugacy between E and t is the quantitative result that '/I(E,t) has

2 E. Schr5dinger, Stat·istical ThumodYllamics (Cambridge liJ1ivf'rsity Press, Cambricige, 19-1-6), Chapter III.

the form exp(iEt/h), where h is a constant of the dimension of the product El, whose magnitude ("an of course not be predi("ted in advance. The proof runs as follow!:i.

According to the general transformation rule (2) of superposition one has. replacing summa­tion hy integration from t = - oc to + oc.

fwR"= f '/I (E',t)f(t)'/I(t,E")dt, (9)

where '/I (t.E") =li(E",t). l\ow, when the left­hand sine is to have nonvanishing values only for certain energy differences tlE=E'-E", then these differences must Occur on the right-hand side in the product '/I(E',t)f(E",t), sinee f(t) does not contain E. This occurrence of the difference is possible only when the individual product factors '/I and li are exponential functions con­taining E as linear terms in the exponent, multi­plied in '/I hy i and in li hy -i in order that E' and E" appear in '/I and li with opposite sig-ns. That is, HE,t) must he of the form

'/I (E,t) =exp(-· ·iE···), (10)

irrespective of the special function f(t), i.e., of the special mechanical system under considera­tion. Now, since conjugacy is mutual, one may carr)' through the same argument with the rClle of E and t reversed. That is, assuming that an observable g whose llla.trix elements are gEE' =g(E)OEE' uniquely determines certain intervals :1.t=t'-t" for which gt't" does not vanish, one arrives at the conclusion that 1j;(E,t) must also have the form

'/I(E,t) =exp(·· ·it···), (10')

irrespective of any particular system under con­sideration. Comparing Eq. (10) with Eq. (10') one arrives at the following alternative. Either '/I (E,t) contains iE and it separately in the form exp( .. ·ait .. ·biE .. . ), or the same factor i belongs to both E and t simultaneously in the form

'/I(E,t)=exp(·· ·iEt·· ·)=A exp(iEt/h), (11)

where h is a constant of the dimension of an action. Only the latter alternative is admissible. I ndeed, when considering f(l) in the harmonically

418 ALFRED LANDE

87 QUA N TUM ME C HAN I C SAN nTH E R M 0 n Y N A M ICC 0 N TIN U I T Y. I [

expanded form

f(t) = E.!> cos (w,t) = E.!f.(e;',,+,-""") (12)

and substituting the first alternative for ",(E,t) into Eq. (9) then +ait and -ail cancel in the product'" f" leaving

f"'E" = E.!!. exp(·· ·bitlE···) f exp(±iw,t)dt.

The integrals vanish essentially, i.e., they fluc­tuate between positive and negative values depending on exactly where one stops integrating toward t = ± 00. With the second alternative (11), however, one obtains

f 8' E" = E.U. f exp[i(tlE/h±w.)t]dt, (13)

which has nonvanishing (and finite, if normalized properly) values for those !!.E values which satisfy the condition

ItlEI =w,h, (14)

determined uniquely by the function f(t) , in particular by the harmonic frequencies Wk. Only the alternative (11) can be correct.

We have thus arrived at the general result that the probability amplitude ",(E,t) must have the complex exponential form (11) periodic with frequency w=E/A. This result is identical with SchrOdinger's replacement of the energy E by the differential operator (li/i)!J/!Jt, and when q and p are conjugate in the same sense, of the momentum p by (hli)!J/oq. The latter result is

equivalent with the Born commutation rule, pq-qp=ili.

We have further obtained in Eq. (14) the Bohr frequency condition: A system with a spec­trum of frequencies w. must have energy level differences tlE = E' - E" = w.".

The counterpart of an oscillator in time is a periodic crystal in space, described by the vector function

fer) = E".,f"m cos(kw,r,+l<i>,r,+mwar.), (15)

from which the Laue-Bragg theory derives maxima of interference in certain selected direc­tions. The same maxima can be obtained also from the Ewald reciprocal lattice construction which, after multiplication by h is a lattice con­struction in momentum space' and tells us that the crystal described in space by the values f,,' = f(T)6", of Eq. (16) is a system capable of giving out certain selected vector momentum amounts tlp=p'-p" uniquely determined by the function fer).

It is gratifying that the quantitative rules of Planck (tlE=hv for an oscillator), Bohr (v=(E'-E")/h), SchrOdinger, and Max Born do not have to be assumed but may be derived from the above qualitative definition of con­jugacy interpreted in terms of the general superposition formalism which, in the last resort, springs from the postulate of thermodynamic continuity.

3 Refer to A. Lande, Quantum .llr.chanics (Pitman Publishing Corporation, New York, 1951), §S, p. 20.

PAPER 89 419

LE PRINCIPE DE CONTINUITE ET LA THEORIE DES QUANTA

Pa.r ALFREO LANDE, Professeur de Physique, Ohio State University, Columbus, Ohio (I).

Sommaire. - L'ancienne theorie des quanta a ell pour origine l'efiort de :\Iax Planck pour ~urmonter it- paradoxe de discontinuite inherent au theoreme classique de l'equipartition de l'energie. La theoric ({uantique moderne peot eire deduite d'nn pastulat de continuite pour l'entropie permettant de tourner Ie paradoxe de discontinuite de Gibbs. La superposition des amplitudes de probabilites est Ia consequence naturelle d'un pastulat relatif a la 10i de correlation existant entre les diverses probabilites, pastulat suivant lcqucl cctte loi de correlation est generaie, ne favorbe aucun etat particulier ct, par consequent, ('st symCtrique par rapport a tom; les etats.

Lc sujel de cetlc Conference est une deduction systematique des cOIlcepts et des regles formell('s de la lheoric quantique, it partir de postulats phy­siques simples, en attachant une importance parti­I:ulierc a la prollabilite cunside,n~e comme un element irreductible de la physiqde moderne. Aussi longtemps que les rcgles quantiques de probabilite sont basees sur un resnltat experimental negatif, sur notre incapaeitc it traduire des rcsultats cxactement pn':~visih]rs dans les experiences de microphysiqul', on peut luujours garder l'espoir qu'une investigation pIns serree permettrait de deceler nn determinism(' (·ache derrii'rc c('s mecanismcs atomiqucs appa­remment inconlr(llables. En revanch(" tout cspoir (h' r('staurer Ie dcti2rminisme 5crait perdu 5i l'on puuvait montrer que la thcorie quantiqup avec ses lois de probabilitC est nne consequence naLurelll' l'L positivl' de principes rmpiriqucs d'un caracterc g('ncral ct presque evident. Dans cc qui suit, no us l'ssayons de montrer que les concepts ct les rcglcs formcllcs fIr, la physique quanti que peuvent Hre ucduits du principe de coniinuite pour les relations ddcrministcs de cause it effet. principe qui s'cnoncc ainsi : ((]a grandeur de l'effet varic de fac;on continue avec la grandeur de la ranse )l, cL qui est applique

(1) Conference. faitc dCVUlllla Societe t'n.l.l1\·ai::.e de Physiqul', £1 la Sorbollllc. Ie 3 juiu 1!)5~. pendant ]a :',1) Exposition d'Instruments ct Materiel Scicntifiqucs.

Reprinted from I. Phys. Radium 16, 353--357 (1955).

au domainc de la thermodynamique, en particulif'r it ]'entropie de diffusion de deux substances.

On pent se rappcler, it ce sujet, que Ia premien' theorie quantique de Max Planck en 1900 avail de edifiee pour surmonter un paradoxe de discon­tinuite inacceptable, inherent it Ia thermodynamiquf statistique classique. En accord avec Ie theoreml" ,Ie l'equipartition, l'cnergie thermique d'une par­ticule dans un bain calorifique de temperature 7' a la valeur 3kT. que la particule soit liee etroitemenl :.\ sa position d'cquilibrc au que la liaison soit lache, "'cst-it-dire que la periode de vibration 7 de la par­liculc soit courte ou longue. D'autre part, lorsqUl' la particule est fixe avec une periode de vibratioJl -: -= 0, son cnergie thermique ne peut etre que o. II faudrait donc s'attendre it un changement brusque de l'energie thermique. de 0 a 3kT. produit par une causf' infiniment petite : la liberation, .l un degre aussi petit que l'on veut. d'une particule primiti­yement fixe. Evidcmment l'alternative aigue : '( ou bien fixe, ou bien libre ») doit etre remplacee pn thermodynamique statistique par !'introduction dc differents degrcs de fixite et c'est preciscment ce qu'a fait Max Planck avec sa fameuse hypothese quantique : E = nh,. Cette hypothese etait, eepen­dant, l'intuition d'un gen!e; ellc n'dait pas nnr, eonseqllcnce neccssairc du postulat de continuiU pour l'energie thermiquc d'une particule cansidenSf camme nne fanction de sa periodc de vibration.

'4

420 ALFRED LANDE

3M JOURNAL DE PHYSIQUE

En revanche, nous verrons qu'un postulat de coniinuite pour l'eniropie, fonde sur Ie deuxieme principe de la thennodynamique, plutot que sur Ie premier, conduit directement a Ia structure fonda­mentale de In thcoric quantique au moyen d'un raisonnemcnt simple, sans faire appet a beaucoup d'intuilion. Considerons une autre discontinuite de la thermodynamique statistique classique : Ie paradoxe de Gibbs relatif a la discontinuitc de l'entropie. Lorsque deux gaz A et B difTusent, a partir de volumes V separes, dans Ie volume commun 2 V. ce processus produit une augmentation definie oS de I'entropie S, egale a oS ,~ R In 2 par molCculc­gramme. En accord avec les idees classiques, ceci est suppose valable lorsque les deux gaz sont differents, sans que la question se pose de savoir a que! dcgre ils sont differents. Par ailleurs, lorsque les deux gaz sont egaux (c'est-a-dire identiques), leur diffusion produit r1 S = o. Considerons maintenant deux gaz de Ia meme espeee de particulcs mais dans deux etals differents A et B. Le terme " Ciat " est utilise ici dans sa signification la plus generale ct n'a pas besoin d'etre specifie a ce po~nt de notre discussion. Supposons par exemple que A et B soient deux ctats d'orientation de nos particules, faisant entre eux un angle y. Aussi longtemps que Ia difference angulaire y entre Ies particules du gaz A et cdie dll gaz Best finie, meme lorsque y l'st 3nssi, petit que l'on veut, ladiffusion desgazAetB produitoS~Rln2, Cependant, lorsque '[ a deeru de cette valeur aussi petite que ron vellt jusqu'a 0 exactement les deux gaz sont identiques et as devient o. Ce resultat de la thermodynamique statistique est physiquemcnt inacceptable puisqu'il est en contradiction avec Ie pastulat de continuite pour les relations de caus~ a eifet. Au lieu de fairc une distinction brutale entre l'egalite A ~ B et I'inegalite A I B avec respecti­vement les deux valeurs as = R In 2 et 0, il faudra introduirc entre deux ctats A et B d'une partieul£.' rlifTerents degres d'if ega lite fractionnaire )) qui conduiraicnt a diverses valeurs intermediaires de as. La valeur classique as = R In 2 consideree plus haut correspond a la separabilite physique (a I'aide de diaphragmes selectifs ou autres flltres, au sens Ie plus general) des gaz A et B dans Ie cas Ac' B, alors que la valeur 0 S = 0 dans Ie cas A = B cxprime simplcment leur inseparabilite au moyen de methodes physiques, c'est-a.-dire en utilisant un filtre. P~r consequent, l'egalite fractionnaire A rv B doit sigru­fier une sorte de separabilite fractionnaire. La manifestation physique de cette separabilite frac­tionnaire conduira directement aux fondations de la tMorie quanti que .

Afin de comprendre Ie concept nouveau de sepa­rabilitc fractionnaire, considerons un diaphragmt' semi-permeable ou fillre qui laisse passer les par­ticules dans I'etat A mais les rejette lorsqu'elles sont dans un etat A, eo qui definit I'etat A comme

un etat totalement different de A. Ces deux cas sont representes sur Ies figures I et '2. La figure I

represente Ie cas de particuies incidentes, dans un etat A passant au travers du flItre A, tan dis que la figure " montre Ie rejet des particules A. Suppo­sons maintenant que les particules incidentes se trouvent dans un etat B, tel qu'il existe une rela­tion d'egalite fractionnaire entre Ies Hats A et B (possibilite impliquee par Ie principe de conti­nuite).

Dans ce cas, nous devrons nous attendre a ce que la reaction des particules B en presence dn filtre A soit intermediaire entre celles des figures I et 2.

En particulier, si B est encore tres voisin de A, Ie resultat doit ctre tres similaire a celui de la figure I,

A I A I ~~

B I ~

Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3.

c'e:;t-a-dire : la pluparl des parlicules B passero nt, quelques-unes seront rejetees. T.e contraire se pro­duira si B est presque totalement different de A En general, Iorsque B ,......, A, nOllS nous attendrons it ce qu'une certaine fraction des B incidents passe au travers du filtre A, Ia fraction restante ctant rejelce, comme l'indique I'elfei de parlage de la figure ;l. Puisqlle la fraction de B qui passe se com­porte comme si eUe dait constituee par des parti­cules dans l' etat A, il est appropric de prendre cette fraction de passage comme definition quantitative de la fraction d'egalitc q(A, B). Pour une particule individucllc arrivant dans l'etat B sur Ie filtre A, la quantite q(A, B) exprime la probabilite de passage et 1- q la probabilite de rejet. L'incertitude, fait son apparition en consequence direde du postulat de continuite qui exige l'existence de cas interme­diaires entre A = B (entropie de difference oS = 0) ct A /-- B (entropie de difference (jS = R In '2).

On peut, en utilisant un raisonnement physique simple, en conclure que les particules qui, en passant au travers du fiItre A, se comportent comme des particules A sont, en fait, des parLicules A, c'esL-a~ dire que la fraction q(A, B) des particules B inci­denLes passe au travers du filtre A en vertu d'une propriete de sauter, au contact de ce filtre, de l'etat originel B au nouvel elat A et de rester dans ce nouvel etat (3. moins d'etre soumise a nne nouvelle epreuve avec un filtre C); de meme, la fraction rejeUe 1-q est constituee par des particules qui, au contact du filtre A sautent a l'etat A el y

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 421

N' .. a. LE PRINCIPE DE CONTINUITE ET LA THEORIE DES QUANTA

restent. Cette reaction est representee sur la figure 3. Ene repond a la question de savoir comment et pourquoi des particules B passent et d'autres sont rejetees. 'NOllS sommes ainsi arrivees au parlage d'un rayon incident de particules B en deux « Hats composants » A et A avec des intensites relatives definies. egales a q et 1-q. qui representent les pro­babiliws de transition de B a A et A respectivement en reponse it la sommation d'avoir a choisir entre A et A. M~me independarnment de tenes considerations

physiques, on peut voir que \'introduction d 'une egaJite fractionnaire en supplement a I'identite et a l'intigaJite totale (inseparabilite et separabilite totale) offre la possibilite de repartir tous les etats possibles d'une certaine espece de particules (ou de systemes mecaniques) en series d'etats mutuellement sepa­rabIes (c'est-a-dire mutuellement exclusifs. c'est-a­dire mutuellement orthogpnaux), eu procedant de la fa~on snivante : Sur une liste de tous les etats. on peut choisir d'abord une serie d'etats A,• A •• A, .... qui sont totalement differents, c'est-a-dire totalement separables les uns des autres a I'aide de filtres. Lorsque cette serie est « complete », on peut ensuite choisir, parmi les etats restant sur la liste, nne autre serie complete d'etats mutuellement orthogonaux 13,. B., Ba, "OJ puis nne autre serie C, et ainsi de suite jusqu'a ce que la liste complete soit epuisee; chaque etat a alors trollve sa place dans l'une des series orthogonale •. A titre d'exemple, considerons l'elec­tron d'un atome d'hydrogene, sans tenir compte du spin. Une seric d·etat. complete et orthogonale, est constituee par tous les etats de position corres­pondant aux diiferentes valeurs de trois coordon­nees (x, y, z). Une autre serie est constituee par les divers etats (E, L, Z) = (energie, moment angulaire, composante du moment angulaire suivant l'axe des z), habituellement decrits au moyen des trois nombres (n, " m). Dne troisieme serie est consti­tuee par les etats (E. L. Z*) = (n. I, mOl. ou Z· designe la composante du moment anguIaire suivant une autre direction de reiCrence, etc. (par suite de la « degenerescence ». la repartition de taus les etats en series orthogonales fi'est pas unique.)

Les membres d'une meme serie sont mutuelIe­ment inegaux avec les fractions d'egalite

,I,

tandis qu'il existe, entre les membres de series diffe­rentes, un q fractionnaire compris entre 0 et I. La somme des fractions· (de passage) est 'videmment .gale a I·unit ..

p, ~q(BI" ·\kl=l. I':!l , De plus, on pent mOllln.'r que, pour cit's raisons

d'ordre thermodynamique, iI doit exister une rela­tion de symetrie telle que

i~)

c'est-a-dire que la fraction du gaz A, passant it travers un filtre Bj est egaJe ala fraction du gaz Bi passant a travers un filtre Ak• Pour des raisons thermodynamiques de meme nature, afin d'eviter une contradiction avec Ie second principe, Ia mul­tiplicite M de la serie A (c'est-il-dire Ie nombre M des etats appartenant Ii la serie A) doit etre egal a la multipIicite de la serie B. de Ia serie C, etc. Par exemple. la multiplicite de la serie (x, y, z) est.'1 = x . et la multiplicite des series (E. L. Z) et (E, L. Z*). est aussi 1'1 =::e. Mais si nous considerons une « cate .. gorie restreinte ») de particules, par exemple Ie meme electron dans i'etat d'energie E,,, avec n = 3. cette particule ne possede alors que des series orthogonales de multiplicite a. ce qui signifie qU'iJ existe neuf valeurs possibles pour les couples de nombre (I. m). (I. mOl, .... Cette meme particule n'a pas d'etats de position (x, y, z) puis que I'une quelconque de ces posi­tions supprimerait la restriction E = E, imposee a i'energie, en rendant possibles pour la particule toutes Ies valeurs Ell. La multiplieite commune des series orthogonales A, B, C, ... (M pouvant Otre fini ou infini) conduit a des matrices q it M lignes et M colonnes, c'est .. a-dire it des matrices earrees du type

ql'\I- Btl (fiAt. H2·1

IIi .\~. B,/ 'II \:!! B2 ')

(II, \1. Blil l (:~ .. \.:! ... I.l~I.) ,=; q(A.n):. d·)

Les proprh~tes dl'S fractions de pas5agc ou pro­babilites q traduites par les equations (I) a (4) ci-dessus sont importantes pour la theorie quantique.

La plus caracteristique est la regie de superposition pour les amplitudes de probabilite qui conduit a la « mecanique matricielle » de Born-Heisenberg et la « mccanique ondulatoire » de de Broglie-Schrodinger. Cette regIe de superposition est souvent considerce comme I'expression d'un « principe de dualite »)

plutOt mysterieux entre les aspects ondulatoire et corpusculaire de la matiere. Cependant cette dua­lite, au plut6t Ia compiementarite entre [( espace­temps \) et « energie-moment »), reflete seulement un aspect particulier, encore qu·important. alors que la regie generale de superposition [voir (5)) est valable meme lorsque les 0/ ne sont pas periodiques.

Imaginons que toutes les fractions de passage au probabilites de transition q(A, B) de la matrice (4) aient ete observees experimentalement. Supposons de m~me que les elements de la matrice I q(B, C) : aient aussi ew observes. La question se pose alors de ,avoir si : q(A, B) i et : q(B, C) I determinent : q(A. C) I en vertu d'une loi ·mathematique de correlation entre les q. Pour etre generale, cependant, la meme. regie formelle doit aussi determiner les elements de

422 ALFRED LANDE

3~6 JOURNAL DE PHYSIQUE N° 5.

{ q(A, E) I a partir de ceux de I q(A, C)} et I q(B, C) I ; autrement dit, la loi de correlation doit otre repro­ductible, elle doit par consequent etre symetrique par rapport aux series A, E et C. A partir de consi­derations simples, iIIustrees par Ia figure 4, on peut

Fig. 4.

imaginer que la loi de correlation puisse s'ecrire

q(.\" em) = ~q(A', Bj)q(H j em)

I et inversement

q(A" Il j )= ~q(A" em), q(en" Ilj)'

Toutefois la premiere formule, si l'on resoud par rapport a q(A" Bj), conduit a un resultat tout a fait different de celui de la seconde formule et en contra­diction avec lui; la formule ci-dessus ne se reproduit pas, elle n'est pas symetrique par rapport a A, B, C. Une solution acceptable, symetrique et reproduc­tible, du probleme de correlation entre les elements de I q(A, B) I, I q(B, C) I et { q(A, C) I peut otre trouvee it partir d'une analogie mathematique. En accord avec (2), la somme des elements de chaque ligne ou colonne d'une matrice I q I est egale a "unite. Cela rappelle une regIe de sommation similaire, valable pour la matrice des carres des cosinus directeurs, cos'(A" E/), relatif. it deux axes A, et Bj appartenant it des systemes d'axes orthogonaux A et B. Entre les casinns eux-memes. existe Ia formule de transformation bien connue :

~~OS(A.t1 Cm )= !,COS(A'{l Bi)cos(Bj, em) j

qui est reproductible. Par consequent, on peut considerer que la serie des etats A" A., ... se comporte symboliquement comme un systeme d'axes ortho­gonaux, les q comme les carres des casinns, et leurs racines carrees comme les cosinus. Ces dernieres, definies par

4(A" Bi) == .,Iq(A" llj}

satisfont done a la loi de correlation

'1(,1." em:' = ~hA', Il,}',IBj, em), (0)

I

qui est bien reproductible si les signes + ou - sont choisis de telle mauiere que, dans Ia matrice Hi\;, Bj) la somme des produits deux a deux des elements d'une ligne et des elements d'une autre ligne soit .;gale a zero, la meme condition s'appliquant .;ga­lement aux colonnes. Cette condition reduit les M' signes dans la matrice {'" I a seulement M signes arbitraires.

La solution ci~essus du probleme de correlation peut maintenant etre generalisee en introduisant, au lieu du signe bivalent ±, une phase multivalente dans un 'I- complexe defini par

'I(A" B j )= Vq(A" Bj)exp(ir'j)' (6)

Eu depit de ces phases indeterminees, la loi de correlation (5) reste reproductible si l'on decide que ytj=-9jk, de telle sorte que <j>(A" Bj ) soit complexe conjugue de <j> (Bj, At) et si les valeurs des phases sont choisies de telle maniere que, dans chaque matrice 'I'. Ia somme de produits deux it deux des elements d'une Iigne et des conjugues des elements d'une autre Iigne quelconque soit egale a zero (Ia meme condition etant imposee aux colonnes), ce qui reduit les M' phases arbitraircs dans une matrice '" a M seulement. La formule (5) est Ia fameuse Ioi de superposition pour les ampli­tudes de probabilitti "', definies en fonction des probabilittis q par l'equation (6). Bien qu'iJ n'ait jamais ete demontre que (5) et (6) constituent la solution Ia plus generale du probleme de correlation entre les q, aueun mathematicien n'a jamais trouve une solution plus generale. Si une telle solution, plus generale, devait un jour etre decouverte (ce qui est plutat improbable), elle representerait la gene­ralisation la plus interessante de la theorie quantique d'aujourd·hui.

L'objet de ces considerations etait de montrer que les concepts et les regIes formelles de Ia theorie quantique peuvent ~tre deduits de principes phy­siques simples et presque evidents. II en est ainsi, en particulier, pour la repartition de tous les etats d'un type donne de partieules ou de systemes de particules en series d'etats orthogonaux avec une egalite fractionnaire entre les membres de deux series differentes. Cette .;galit.;· fractionnaire se manifestant comme nne separabilite fractionnaire dans un effet de partage contrOle par des rapports de probabilites. Tout ceci est la consequence du principe de continuite applique a I'entropie de diffusion. En outre, la regIe de superposition pour les amplitudes de probabilites '" ne doit pas Otre accepte. simplement comme une caracttiristique etrange de la physique quantique, maio peut etre consideree comme la reponse naturelle it l'exigenee d'avoir a trouver une loi generale de correlation entre les probabilites de transition, qui soit syme­trique par rapport a tous les etats, c'est-a-dire qui

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 423

N' 5. QUELQUES PHENOMENES MAGNETO-OPTIQUES 357

ne favorise pas uu etat ou un groupe d'etats au detrimeut des autres. II existe deux autres r~les fondamentales pour la thtlorie quantique. La pre­miere concerne l'interaction entre des particules identiques en resonance symetrique ou antisyme­trique. La seconde est la r~le de commutation de Born-Heisenberg ou la regIe de Schriidinger propo­sant de remplacer un momeut par un operateur

differentiel. Ces regles peuveut egalement etre consi­derees comme consequences de postulat. physiques simples et pre~que evidents (').

(I) Pour plus de details, .. auteur renvole l sa monographie : Foundations of Quantum Theo11/. a Study in Continuitg and Symmdru. Yale University Press et Oxford University Press. J 955.

424 PAPER 92

m'lDUCTION DE LA TH:!'lORIE QUANTIQUE A PARTIR DE PRINCIPES NON-QUANTIQUES

Par ALFRED LANDE, Professeur de Physique, Ohio State University. Columbus, Ohio.

Sommaire. - Le formalisme des matrices ou de la superposition des '" est equivalent l Ia metrique generale des probabilites de transition reelles. Cette metri1ue peut elre daveloppee comme

d~e~:~t:Ud~CBr~~li:~n~~i:~~~<!!tnB~~~~~: ~e~O~;::!~e~~e~ed~~~~~:~~gl:~n~~~~~~e$ applique aux quantites q et p dont la eonjugaison est definie par la propriete d'avoir une densit~ constante de probabilite dans l'espace qp. On obtient ainsi une deduction systemati~e de 18

!~:i~[:e e~ig~!i~~~ ~::t~ru~ii f:i:!.l;::p~~da~~:n~~~:di~~l·e e:xPsfa~~u~~e[~e ue~e;~l~~~~~p~e ~~ entre moment et position.

Le present article fait suite a une publication anterieure (') dont I'objet etait de deduire les concepts et les regles de la theo.ie quanti que it partir de principes fondamentaux d'un caractere general et non-quantique_ Le premier de ces prin­cipes est celui de la continuite thermodynamique qui implique l'existence de cas intermediaires entre l'entropie nulle correspondant a la diffusion de deux gaz egaux (ou identiques) et l'entropie finie, 2 R log 2 par molecule -gramme, correspondant it la diffusion de deux gaz inegaux (ou differents). Pour eviter Ie paradoxe de Gibbs de la thermo­dynamique statiBtique classique, c'est-a-dire la brusque variation d'entropie de zero it 2 R log 2 apparaissant lorsque deux gaz egaux deviennent, si peu que ce soit, differents, il faut admettre que les particules d'un gaz et les systemes mecaniqlles en general peuvent Be trouver dans divers etats A, B, etc ... de telle sorte que deux etats puissent avoir un degre fractionnaire d'egalite mutuelle, inter­mediaire entre l'egalite et l'inegalite totales. A chacun de ces etats correspond une valeur inter­mediaire de I'entropie de diffusion. Les conse­quences de ce postulat thermodynamique fonda­mental ont ete developpees dans Ie precedent article. Nous recapitulerons brievement dans Ie

QJ~n~: yN;:~st".!'r;;.t t:5~~ni~~u~~. ~~i~ r;..o::re~ egalement ~ ~ Foundations of Quantum Theory, a Study in Continuity and Rymmetry lI, Yale University Press, 1955.

Reprinted from I. Phys. Radium 17, 1-4 (1956).

paragraphe iles resultats obtenus qui constituent la structure de probabilites servant de base a la theorie quanti que. Les paragrapbes 2 et 3 renfer­ment des developpements nouveaux.

1. La mtltrique des probabilitlis de transition. -Tous les etats d'un systeme mecanique peuvent etre ,epartis en series (') orthogonales d' "tats ; la serie AI, AI, ... , ]a serie Bit Ral '" les series C, D, etc .... Deux etats appartenant it la meme serie, par exemple les etats A. et A.·, sont ortho­gonaux, c'est-a-dire separables et mutllellement exclusifs. Leur degre d'egalite est zero :

q(A.,Ak') ~ 8 .. •. (I)

Deux etats appartenant it des series diiTerentes ont lin degre d'egalite fractionnai,e :

o < q(A., Bj) < 1. (2)

q doit atre interprete comme etant la probabi­lite pOllr Ie systeme se trouvant dans un etat A. de sauter a l'etat B, lorsque Ie cboix lui est offert de passer ou de ne pas passer a travers un « filtre B, » (flltre laissant passer Ie systeme lorsqu'il se trouve dans I'etat Bi ).

La somme des probabilites de transition est "gale it I' unitt! :

:Eq(A., B,) -1. J

(3)

(2) 4( serie • est employe ici dans Ie sens ~n~ral de sys­t~me au d'ensemble (~ set» dans Ie texte anglais).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 425

JOURNAL DE PHYSIQU E

Pour des raisons de nature thermodynamique, it y a symetrie :

g(Ak, lJ,) - g(lJ" A,) (4)

aussi bien que multipliciU commune AI, soit finie, Bait infinie, pour toutes les series orthogonales, de telle sorte que la matriee des probabilites de tran­sition entre deux series orthogonales quelconques d'etats A et B :

I q(A" B,) g(A" B,) ... q(A" BM) I q(A.': .B,) g(.A~, B,) ::: q(A~: ~M) \ -I q(A, B) I (5)

est une matrice carree. L'equation (3) montre que la somme des eICments d'une ligne quelconque est egale It l'unite ; compte tenu de l'equation (4) il en est de m~me pour les colonnes_ On peut appeler metrique des probabilites Ie schema constitue par les quantites metriques q (= probabilites de tran­sition) reliant des series orthogonales d'entites (= "tats) et satisfaisant aux conditions enoncees ci-dessus_ Dans Ie precedent article, cette metrique a ete deduite du principe de continuite thermo­dynamique_

2. Amplitudes de probabilite et superposition. - L'introduction, en 1926, des amplitudes de probabilite <Ji a ete consideree a juste titre comme un grand sucees de la physique theo­rique, Neanmoins, on peut dire aujourd'hui que, contrairement Ii. Papinion courante, les lois expri· mant, dans Ie formalisme des <Ji, la multiplication des matrices ou la superposition (voir ci-dessous) ne nous introduisent pas dans un monde nouveau complexe et imaginaire au dela du monde reel des faits observes. Ces lois sont, en r"alite, implici­tement contenues dans la metrique de probabi­lites du paragraphe 1 et equivalentes a cette metrique sans,qu'i1 Boit nccessaire d'ajouter aucune information nouvelle de caractere mathematique ou physique. Ceci apparaitra eIairement dans l'ana· logie geometrique doveloppoe ci-dessolls.

A des points A, B, C ... dans un espace a n dimensions, on peut associer des distances qAB, qAC, qDC, etc... qui satisfont a la condition triangulaire :

IqAB - gHd ..; gAU <.: gAB + qBC (6)

et aux conditions d'identite et de symetrie :

qAl>. - 0 et qAll - m. (6')

II existe entre les distances gune correJation plu­tOt l8.che, definie par I'inegalite (6) qui admet une infinite de valeurs possibles pour qAO lorsque gAB et qoo sont donnees. Cette multivalence peut etre reduite par des restrictions imposees It la distribution des points_ Si les points sont taus sur une meme droite, gAO = IgAB ± qBol est biva­lent, puisque Ie point C peut se trouver d'un cote

de B ou de I'autre. Si Ie. points sont tous sur la circonference d'un cercle, qAO est encore biva­lent. S'ils sont dans un plan au dans I'espace, qAO = (gAB' + qBO' - 2qAB qBO cos ~)l" est multi­valent a cause de I'angle arbitraire ~. Cependant, avec ou sans ces restrictions, les relations genr­rales (6) et (6') sont toujours valables_

I! est possible, d'une fa\(On elegante, de rempla­cer les inegalites (6) entre les quantites definies q par une egalite entre des quantites indefinies: associons It chaque longueur qAB une quantite <JiAB = - <JiBA de grandeur 1<Ji1 = q, appelee vecteur et ajustons les directions de ces vecteurs de telle sorte qu'ils satisfassent au theoreme d'addi­tion:

4AC ~ 4AB + yoo_ (1)

Cette relation vectorielle est generale et repro­ductible, c'est-a-dire valable pour trois points quelconques. Mais elle ne contient aucune infor­mation metrique nouvelle qui ne soit deja contenue dans la relation (6) De fait, la geometrie s'est tres bien porte~ pendant 4 000 ans sans veateurs et ceux-ci n'ont apporte aucune revelation fonda­mentale. Les relations (6) et (7) sont equivalentes, mais iI est toujours plus agreahle d'avoir a faire a une equation qu'a une inequation_ Si done I'on trouve qne Ie theoreme d'addition des vecteurs est toujours val able, que Ie triangle soit petit au grand, regulier ou irr<lgnlier, on ne doit, en aucune lafon, considerer ce resultat comme une revelation gtiomli­trique nouvelle et encore moins comme une decouverte physique concernant les instruments de mesure. II est toujours possible d'ajuster les directions des vecteurs <} de module q de telle sorte que les equa­tions (7) soient valahles lorsque les quantites q satislont It I'inegalite (6).

Dans Ie cas particulier au taus les points sont. dans un plan, on peut representer les veateurs de ce plan par un symbole complexe :

0/ = 1<Ji1 e'9, ce qui ne signifie ovidemment pas que les vecteurs deviennent plus ({ complexes» au sens habituel de ce mot. II jl'est pas possible d'uti­liser la meme notation lorsque les points sont dis­trihues dans l'espace. D'autre part, si les points sont tous sur une merne droite, les vecteurs peuvent seulement avoir des directions opposees et les <Ji complexes deviennent reels: <Ji = ± q.

Revenons maintenant aux probabilites d. transition. Nous sammes ici en presence d'une rela­tion Iil.che entre trois matrices I qui, hAC! et 1 qBO I. Bien que les relations (1) a (4) ne soient pas suffisantes pour determiner une matrice en fonction des deux autres, e1les expriment les res­trictions auxquelles cette troisieme matrice est soumise lorsque les deux autres sont donnees, exac· tement comme la relation (6) exprime les restric­tions auxquelles la longueur qAC est soumise lorsque les longneurs qAB et qoo sont donnees.

426 ALFRED LANDE

DJ<:DUCTION DE LA THJ<:ORIE QUANTIQUE

Par analogio avec Ie cas geometrique, on peut I'emplacer ces restrictions, portant sur ]es matrices q detinies, par des equations reliant de. quantites inde/lnie. et cela de la maniere .uivante : asso­cions a chaque quantite q(Ak , B;) un vecteur q, (A., B;) et une autre vecteur ~(B;, A.) possedant to us deux Ie meme module ,,/q mai. dont les direc­tions, soit 'P et - 'P respectivement, sont variables, tous Ie. vecteurs q, se trouvant cependant dans un plan donne_

Ajustons maintenant les directions des vecteurs dans Ie plan de telle sorte qu'ils satisfassent au theoreme de multiplication sui~ant :

(8)

multiplication de deux matrices, pouvant s'e~rire plus explicitement :

<¥(Ak, Cm) -7~ lA" B;) ·<j>IB;, Cm). (8'1

Le produit de deux vecteurs ~, at h est defini comme un vecteur ~, dans Ie plan donne, ayant pour module I~I = Ihl.lhl et pour direction 'P = 'P, + 'P •• Le theoreme de multiplication est general et reproductible ; il s'applique aux vec­teurs reliant trois series quelconques d'etats ortho­gonaux pourvu que les q satislassent aux condi­tions (1) Ii (4). Puisque ces vecteurs sont tous dans un meme plan, on peut les representer par Ie sym­bole complexe q, = vq ei~, cette notation, repe­tons-Ie, n'augmentant en rien la «complexite» des vecteurs.

II va de soi que les relations metriques entre des series orthogonales d'entites (= etats) Bont decrites par des «transformations orthogonales». C'est exactement ce que font les equations (8), (8'): la loi de multiplication pour les ~ n 'est pas autre chose que la formule d'une transformation ortho­gonale. Elle n'introduit, dans la metrique des probabilites de transition q, aucune information qui ne soit deja contenue dansles conditions (1) Ii (4). Les directions des different. vecteurs ~ sont ton­jours ajustables de fa90n a ce qu'ils satislassent au tl,,;oreme de mUltiplication (8) au a la regie de superposition (8') pour les amplitudes de probabi­jile. II ne faut pas, par consequent, considerer l'introduction de q, {{ complexes» et les relations (8), (8') exist ant entre eux comme une nouvelle decou­verte matbematique et encore mains comme la revelation physique d'un monde cache et complexe qui gouvernerait les phenoniimes du monde reel. Des speculation. de cette nature n'ont pas plus de fonderrient que I'idee suivant laquelle la geometrie des distances reelles entre les points situes dans un meme plan serait regie par une super-geometrie des quantites complexes q, = yq ej~, qui, pour quelque raison esoterique, satisferaient au theo­reme d'addition (7). Le formalisme des q, presente

Ie caractere d'une verite matbemntique inebran­lable: {{ equations (1) a (4), done equations (8), (8') n. Que des series orthogonale. d'entites soient, Iiees entre elles par une transformation ortho­gonale est un fait mathematique qui ne depend d'aucune conftrmation empirique ; c'est une ques~ tion de definition, d'ajustement de la direction variahle des ~ et eet ajustement est toujours pos­sible, de fa90n a satisfaire aux conditions (1) iI (4) relatives aux q.

Par analogie avec les relations metriques biva­lentes existant entre des points situes sur une meme droite, la theorie des probabilites de transi­tion serait considerablement simplifiee si les vec­teurs amplitude de probabilite avaient seulement deux directions possibles (opposees) avec un q, reel et egal it ± v'q. Malheureusement, pour une raison qui apparaitra dans Ie pro chain paragraphe consacre it la dynamique, il est neeessaire d'admettre que les q, sont des veeteurs de direc­tion variable dans un plan. On peut cependant s'estimer heureux que les vecteurs ~ decrivant la transformation orthogonale entre les etats soient dans un m~me plan, ce qui permet d'utiliser la notation complexe, particulierement commode. Vanalogie geometrique de I'espace de Hilbert, sou­vent utilisee en physique theorique, n'a rien de commun avec I'analogie geometrique utilisee dans Ie present article.

3. D6duutlon des r6gles de quantllIcation.­La mecanique elassique doit etre abandonn';e puisqu'elle est en conflit avec les faits fonda­mentaux de la thermodynamique ; en particu­lier, elle conduit au paradoxe de I'equiparti­tion pour l'energie thermique et au paradoxe de Gibbs pour l'entropie de diffusion_ Cependant la mecanique elassique n'est pas tout Ii fait fausse ; Ie determinisme strict des equations du mouve­ment doit etre remplace par des lois statistiques qui, d'une cenaine maniere, correspondent aux lois classiques. Dans ces circonstances, il est tres plau­sible que Ie seul resultat fondamental capable do survivre lil'abrogation des equations deterministe. du mouvement 80it la proposition suivante de la mecanique statistique: la probahilite pour qu'un sys­teme mecanique se trouve dans un domaine donne de l'espace de phase (espace qp) est proportion­nelle au volume de ce domaine ; c'est-il-dire, il y a une densite constante de probabilite dans I' espace de phase.

Comment, maintenant, definir la conjugaison des observables q et p ? La defmition classique de deux variables conjuguees, en vertu de laquelle elles doivent satisfaire aux equations du mouvement d'Hamilton est denuee de sens puisque de telles equations n'existent plus. Dans la theorie quan­tique on a souvent defini des grandeurs conjuguees comme des quantites satislaisant il. la regie des

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 427

JOURNAL DE PHYSIQUE

operateurs de Schrodinger au a la regIe de commu­tation de Born ou encore comme des quantites POl'"

,edant une fonetion amplitude de prohabiJit.; :

y{q, p) = C exp (2inqp/h). (9)

Cependant, ees trois definitions equivalentes de la conjugaison supposent que la theorie quantique ait ete odmise au preolable. Notre intention est de deduire la fonetion periodique (9), equivalente aux prescriptions quantiques de SehrMinger et de Born, a partir de faits 011 d'axiomes fondamen­taux qui ne contiennent en eux-memes aucune trace de periodicite quantique. Nalls allons voir que la metrique generale des probabilites, c'est-a-dire Ie theoreme de multiplication des 0/, lorsqu'elle est appliquee a des 9 et des p conjugues, dont I. conjugaisull est definie au moyen de la densite de probabilite constante dans I'espace gp, implique la periodicite quanti que (9) comme une consequence mathematique et expligue par consequent la vieille " enigme » quanti que E ~ hv et p = h (1-.. La riemonstration est la suivaute :

Appliquons la regie generale de superposition (8') ,\ des €I als de moment ot de position:

~ (Pl, P' ) ~ ~;.~ (PIC' g. '" (g.,)1 ,). 1 III)

Le premier membre est ega] it 3kk , conform{~­ment a (1); il ne depend que de Ja ditjerencp p. - P". Dans les produits figurant au deuxieme membre, Pk et pe se trouvent dans deux facteurs differents. Le second facteur est Jo complexe conjugue (notation: *) de 0/ (Pe, gj). Le pro­duit 0/ (P., gj) 0/* (Pe, gi) dependra de la diffe­rence Pk - pe si et seulement si la fonetion 0/ (p, g) est une fonction exponentielle complexe avec p dans l'exposant, de telle maniere que Pk soil, Inultiplie par i dans Ie premier facteur et Pk" par - i dans Ie second facteur; c'estMaMdire qne 0/ (p, g) doit necessairement "tre de la forme;

y (p, q) ~ c exp ( ... Ip ..

Des considerations similaires apres echange des lettres p et q conduisent a la conclusion que 0/ (p, q) doit necessairement ctre aussi de Ja forme:

~Ip,q) _ CexpI __ ·iq. _I.

De plus, la densite de probabilit,; canst ante dans I'espace gp nous permet de remplacer, dans Ie deuxieme membre de I'equation (10), la somma­tion sur les positions qj par une integration sur dq. Cette equation devient alors ;

8 .. ' - f ~(pko q) y'(p", q)dq. Ill)

II y a maintenant OCllX possihiJil~:-I '+' (p, q) (~ont,ipTit. ip pi iq f\HpaJ'{~menL

OTt Iden

'~(p, q) _ C exp (iap + i~q) Oil bien p et. 9 se trouvent dans un meme facteur

'f(p, q) - C exp (iypq) (12i

En substituant ces deux expressions possihles dans J'eqlIat.ion (11), on trouve : ou.

Oil

81.-1.-' ~ c.( rxp [iylpl.- - pd q1 rlq.

La premiere solution com porte une contradic­tion ; elle est it rejeter. La seconde, au contraire, donne bien zero pour p. * P.' et. I'unite pour p. ~ pe it condition que la canst ante C soit. convenablement normalisee. Seule cette seconde solution est valable. Nous arrivons done au resul­tat suivant: la regIe de superposition des ~, appliquee aux observables q et p dont la coniu­gaison 0 He dMinie au moyen de 1a den site cons­tante de probabiJite dans Pespace de phase, conduit par neressite mathtimatique a la fonction (12). ()mmrl on l'emplare 1a con~tantA y par le Rymholp.

. f '1' 2,.,· f' (12 rnamt,pnant amI lPr: h,-' f~P.ttf'. ondWIl ) est.

identiqne it la fonction d'onde de SchrOdinger. NOllS avons, par eonsequent, explique la fanction d'onde periodique 0/ (p, q) avec la longueur d'onde A ~ hlp, ainsi que les prescriptions quantiques correspond antes de Schrodinger et de Born, an lieu de les introduire eumme des hypotheses com­modes. Far ailleurs, l'equation (9) nous oblige a prendre des 0/ complexes, c'est-a-dire des vecteurs dans un plan. Nous avons vu dans Ie paragraphe I [ que la regie de superposition des 0/ n'est pas une hypothese commode et nouvelle mais une forme equivaJente ou une consequence de la met rique generale des probabilites de transition entre des etats repartis en series d'etats mutuellement ortho­gonaux (c'est-it-dire totalement inegaux ou sepa­rabies au mutuellement exclusifs). Or la metrique des probabilites de transition est une consequence du principe de continuite de I'entropie. Ce principe fundamental de la thermodynamique, associe ala re-definition de la conjugaison enoncee ci-dessus, est sumsant pour nne deduction systematique de la theorie quanti que.

Je suis tres oblige a M. Gilbert Amat pour avoir aimablement traduit Ie manuscrit anglais.

Manuscrit ret;u Ie 10 juillet 1955.

428 PAPER 94

lit Superposition and Quantum Rules

ALFRED LANDE

The Ohio State University, Columbus, Ohio

(Received June 27. 1955)

The superposition rule for probability amplitudes 1ft is not a separate ad hoc assumption of a physical character but is a formal consequence of the arrangement of the states of a system in sets of mutually orthogonal states linked by probabilities of transition. Nor do the quantum prescriptions of Born and Schrodinger have to be introduced as ad hoc assumptions; they can be deduced as consequences of (a) the superposition rule, and (b) the definition of conjugates q and p as leading to a constant probability density in gp-space, a quality known from classical statistical mechanic,';. Quantum theory can thus be deduced from a nonquantal background.

I. INTRODUCTION

T HERE is no question that quantum theory in its nonrelativistic part is a faultless

tool of great adaptability to the most diverse problems of microphysics. On the other hand, after more than a quarter of a century of wave and matrix mechanics one still finds a rather embarrassing jumble of opinions, interpretations, illogical analogies, side issues proclaimed as last principles, and other legends concerning the significance of the theory. Without implying any criticism we give a few random quotations from the writings of prominent authors. ",p functions are beyond the understanding of the physicist," "\Vhen we go far enough in the direc­tion of the very small quantum theory says that our forms of thought fail," "Light is corpuscular in structure, at least when it interacts with matter," HElectrons, instead of having laws similar to classical laws, obey the laws of wave motion." We also mention the divergence of views between Bohr I de Broglie, Einstein, SchrOdinger, and others about what is 'behind' the formalism of the theory. No wonder that most physicists wish to retreat to the safe ground of the Schrodinger equation as containing every­thing necessary for the correct calculation of empirical data and refuse to take sides in the battIe of opinions. But even within the secure range of established theory it is not always clear where one has to draw the line between assump­tion and consequence, between formal definition and unforeseeable physical fact. It is here that the present investigation hopes to clarify the issue. I n two previous articles' we tried to show that one will arrive at the basic structure under­lying quantum mechanics from the simple phys­ical postulate of continuity for cause-effect rc-

'Am. J. Phys. 20, 353 (1952) and 22, 82 (1954).

Reprinted from Am. 1. Phys. 24, 56-59 (1956).

lations, applied in the domain of the second law of thermodynamics (opposing the paradox of Gibbs). The following discussion is independent of this thermodynamic deduction of the quantum structure; it only uses this structure itself which may be described as follows.

II. THE SCHEMA OF TRANSITION PROBABILITIES

All 'states/ permanent or transitory, of a particle (mechanical system) can be arranged in sets of distinguishable, separable, mutually exclusive, or orthogonal states, the orthogonal set A consisting of the statesfl,A,· . " the set B of the states B,B,· . " and so lorth. The complete orthogonal sets are all of the same multiplicity M for thermodynamic reasons. Two states such as A k and B j are linked by a transition proba­bility q(A .,B j) which may be determined by some sort of filter experimen ts. The following table or matrix contains the MX},{ transition probabilities between the states of the sets A and B:

{q(A"B,)q(AloB,)' . . q(AloBM)} q(A 2 ,B,)q(A 2 ,B 2)·· 'q(A 2 ,B M )

... . .. '" ... (Ila)

abbreviated as the matrix {q(A ,B)}. Similar matrices may be written down for the transition probabilities between the states A and C, and between Band C, and so forth. Since the q's are probabilities, the sum of the q's in anyone row and in anyone column of a q-matrix is unity:

Ljq(A.,B j)=l and L.q(A k ,B j)=1. (II h)

The total separability or orthogonality of the states belonging to one and the same set is indicated hy the equations

q(A.,A.,) =0, except for k=k', where q = 1. (I Ie)

56

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 429

57 '" SUPERPOSITION AND QUANTUM RULES

We also mention the symmetry quality, q(A.,B;) =g(BhA.) which is required for thermodynamic reasons.2

ill. THE NATURE OF ot In this section we shall inquire into the nature

of the complex quantity 1/1. There is hardly another concept of physical theory that has given rise to so much discussion, bewilderment, and misinterpretation than the 1/1 function of the Schrodinger theory. It is said that 1/1 waves reveal a duality between particle and wave qualities of matter, although this would be an illogical con trast between a thing (particle) and one of its many qualities (probability amplitude of its position under special circumstances). One also reads that 1/1 is a mathematical signpost to guide particles to their proper places in conflict (!) with the laws of mechanics "like a ghost which produces material manifestations." And in­accurate phrases such that "a 1/1 function de­scribes a state of a system" when in fact it describes the probability amplitude of transition from one to other states, have done as much harm as the loose application of the terms 'force, work, vis viva,' etc., in an earlier epoch.

In order to understand the esoteric quantity '" let us first consider the following abstract problem with a geometrical interpretation. Unspecified entities A, B, C,··· are linked by quantities gAB, gAC, gBC, and so forth. The g's are not quite independent but are supposed to satisfy the 'triangular' condition that gAC is not larger than the sum (and not smaller than the difference) of gAB and qBC

(lIla)

The g's also satisfy the conditions of self-linkage and symmetry

qAA=O, etc. and qAB=qBA. (IIIb)

Suppose now there is a general relation law be­tween the quantities q. What could be the possible form of this law? I t should give no preference to any of the entities A,B,' .. but should be symmetric in all of them as a sign of its generality. A glance at the conditions (IlIa) and ClIlb) reveals that the abstract problem is iden-

I For details refer to A. Lande, Foundations oj Quantum Theory, a Study in Continuityarul Sym1mtry (Yale Univer­sity Press, New Haven, 1955).

tical with that of finding a general law linking points A ,B,C,' .. by metric distances qAB etc. If the points are on a straight line then qAC = I qAB ±qBC I involving a bivalent ± sign. If the points are in a plane then qAC= (qAB'+qBC'-2qABQBC cosm! involving a multivalent angle fl. If the points are on a circle of radi us unity then

qAC= IqBCV(I-qAB')±qABV(I-qBc')I (IIIc)

involving a bivalent ± sign, and so forth. In each of these cases one has a special q-metric satisfying the general conditions (IlIa) and (IlIb).

Under the same general triangular conditions there is an elegant way of writing down an equality in place of the inequality (IlIa). Intro­duce quantities", which, in contrast to the in­equality (lIla), satisfy the equality

(IIId)

These quantities are called vectors. In order to render the triangular vector addition rule general and self-consistent, one has to define 1/1 BA = -I/IAB. In particular one then can replace the intermediate point B on the right by any other point D without affecting the result on the left of Eq. (IIId). When q is given, the corresponding vector 1/1 of mafn it"c1h I 1/1 I = q is of a flexible direction. The addition theorem adjusts the directions of the three vectors in a triangle rela­tive to one another. But the theorem (HId) does not add any new information beyond that con­tained already in the inequality (IlIa). Geo­metrical relations have indeed been known since Chaldean times without using vector notation. The latter is a convenient way of superficially concealing the fact that qAB and qBC do not determine qAC: it shifts the blame for this lack of determinacy to the indeterminate directions of the vectors. Instead of writing down the in­equality (IlIa) for definite quantities q, one can as well write down Eq. (IlId) for indefinite quantities .p. They are equivalent expressions of the same metric situation. Therefore, if the vector addition theorem proves correct in all applications of q-relations under the triangular conditions (IlIa,b), then one should not be sur­prised as though this vector addition law con­stituted a new and unforeseen discovery.

But imagine a novice is told that the relation between observed quantities q is dominated by

430 ALFRED LANDE

ALFRED LAND~: 58

complex quantities 1/;= 1~lei't" satisfying the equation

IfACi exp(iI'AC) ~ If"181 CXP(iI'AB)+ IfBcl exp(iI'Bc). (IIIe)

He certainly will be puzzled until he learns that this is only another notation for the simple vector addition rule, and that there is nothing complex in these quantities if; bu t the notation.

\Ye now return to the transition prohabilities q of Sec. II. Here we are faced with a similar problem of interrelation. The quantities of the matrices (q(A,B)) and (q(B,Cl) do not uniquely determine those of the matrix (q(A,C)). But suppose there is a general, perhaps bivalent or multivalent, connection between the three q­matrices just mentioned. This general law must of course satisfy the conditions of q-sllmmation in the rmvs and columns not only for the given matrices but also for those matrices I q I which are calculated from the g-iven ones by means of the desired law. A glance at the q-conditions (lIb,c) rewals that the problem is one of orthol':­onal transformation betv.recn sets of entities A, and B, and C, etc., characterized as orthogonal by Eq. (IIc). Its solution, irrespective of any physical meaning of thc quantities q. runs as follows:

Associate with every quantity q(Ak,B j) a vector t{(Ak,Bj) of magnitude If I =Vq and of a flexible direction lOin a plane; "ive to the vector f(B ;,Ak) the direction -I'. Connect the sets A ,B,C by the multiplication rule.

(llIf)

This is an ahbreviated notatioll for the more explicit prescription

with a sum of products on the right. Equations (1110 and (illg) are known as the superposition

rule for probability amplitudes. The summation is extended over the complete s(;'t of intermediat<-'

statcs BhB z••·· bet\vecn the initial state Ak

and the final state Cm as illustrated by the fol­lowing scheIlla;

I t is characteristic of this multiplication rule that it is general, self-consistent, symmetric in all sets of states. For example, one mayan the right of Eqs. (IIll) and (IlIg) replace the set B by any other complete set D of intermediate states without affecting the result on the left. The conditions (lIb) and (lIe) for the quantities q characterize the sets of entities A,B,··· as orthogonal sets. Hence they arc linked by or­thogonal transformation, that is, hy the ~natrjx multiplication (JIll) or superposition formula (lUg) for amplitude vectors f, the directions of which are adjusted so as to satisfy the super­position law. The latter does not repn'sent any new information which is not also containcu in the conditions (Ilb) and (lIe) for the proba­bilities q. It oIlIy replaces an inueterminate relation between definite quantities q by a definite equation between indeterminate quanti­ties if;. The I/;-superposition law is not a new and independent lmu of nature. I t is as self-evident uncler the probability schema (lIb) and (lIe) as is the vector addition law of geometry under the triangular q-rclations (lIla) and (llIb).

The superposition law for probability ampli­tudes was first received with startled amazement, as a glimpse into a new world of elusive complex quantities cOlltrolling the n:al world of observed data. This poetic vision turns out to have no substance at all. f-rnatrix multiplication is the formal expression of the natural metric of sets of orthogonal entities, namely) sets of mutually separable states connected by transition proba­bilities, the sum of which in every row and column of a probability matrix is unity as a matter of eOllrse; the symmetry q(A ,H) =q(B,A) is an additiollal condition, required for [(';:lSOIl5 of thermodYllamics. f-matrix multiplication could be satisfied by admitting 'Vectors of two opposite directions only, represented by real quantities f = ± ,/ q, similar to the g-eomctric case of points arranged alollg a straight lille (oco above). The rcason for generalizing to vectors f of various directions ill a plane, i.e., to complex f=v'qe;'I', is dynamics. as will be seen in the followillg !:iCC­tion.;'

l The product of two vectors in a plane is defined as a vector in the ~ame plane, of magnitude I If I = I ~J I X i 1/'21 and of direction ((' = 'PI + '1'2.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 431

59 of- SUPERPOSITION AND QUANTUM RULES

IV. ORIGIN OF QUANTUM PERIODICITY

I n this section we shall try to come still closer to the core of the quantum theory, namely, to an explanation of the strange periodic relation­ship between energy and time, momentum and space coordinates, in short, between conjugates. When M ax Planck had established beyond doubt that all oscillator of frequency. can emit and absorb energy only in amounts E = h., and when Niels Bohr later found similar quantum rules to prevail for periodic orbits in space, many physicists tried to explain these quantum facts as due to special circumstances within classical mechanics. This ideal seemed to have come true in the most unexpected fashion in the wave mechanics of de Broglie and Schriidinger. But first, the vibrating", states were soon recognized as having a statistical significance; and second, the new theory, like the older one, rests on quantum prescriptions which are only general­ized versions of the old quantum rules, namely the Schrodinger operator rule, p = (h/2i .. )d/dq, or the Born commutation rule, qp-pq=h/2i ... Both these prescriptions are introduced ad hoc with the only justification that they work even better than the older rules. They elevate the quantum enigma of periodicity to a higher level, but they do not solve it. And all attempts of ex­alting the quantum rules as manifestations of esoteric principles of duality and complemen­tarity have not solved the problem why there is this periodicity between conjugates, but have surrounded quantum theory with a halo of in­scrutability which it may take some time to disperse. The quantum prescriptions of Schro­dinger and Born are not inscrutable. They are consequences of the probability metric ('" super­position) applied to conjugate quantities when the latter are characterized by a quality known from classical mechanics. It is true that classical mechanics cannot be accepted without reserva­tion since it is in conflict with fundamental facts of thermodynamics (equipartition para­dox of the energy and Gibbs diffusion para­dox of the entropy). But neither is classical mechanics quite wrong; only the strict deter­minism of the equations of motion must be re­placed by statistical laws. Under these circum­stances it is highly significant that there is one

basic feature of classical mechanics apt to survive the decline of determinism, namely Liouville's theorem: the probability of a mechanical sys­tem to dwell in a given domain of phase space (=qp-space) is proportional to the volume of this phase space domain. To this must be added the trivial quality that only space intervals and momentum differences have a physical meaning.

The mathematical demonstration that this leads to the periodic relation between conjugates, in particular to the amplitude function "'(q,p) =exp(2i .. qp/h), is found in the second article in this Journal quoted above and also in Chapter 3 of the author's monograph.' However, the accompanying text asks for revision; it was not emphasized nor even realized that the replace­ment of summation over coordinate values q" (or time instants t.) by integration over dq (or dt) at fixed values of p (or E) is permitted only if there is a constant probability density in phase space. The innocent phrase "replacing summations by integrations" is in fact the crux of the matter. Elsewhere the mathematical reasoning is the same as in the resonance theory of collision and radiation. Therefore we do not repeat the proof here, and we only summarize as follows: There is no need for assuming the quantum prescriptions of periodicity or to justify them on grounds of assumed principles of duality and complementarity. The quantum periodicity rather is a consequence of (a) the formal metric of transition probabilities linking orthogonal sets of states through the superposition rule. The latter does not constitute a separate as­sumption as seen in Sec. II; (b) Pairs of con­jugates q and p yield a constant probability density in qp-space. This is a well-known feature of classical statistical mechanics; (c) only momentum differences and space intervals have a physical significance. None of these three propositions contains a hint of periodicity. Their combination, however, leads to the conclusion that the amplitude "'(q,p) must have the form exp(iqp/const); the constant may be denoted as h/2 ... -It was our object to "do away with quantum rules," that is, to deduce the strange formal prescriptions of the quantum theory from simple physical postulates of a nonquantal character: entropy continuity and Liouville's theorem.

432 PAPER 95

WeUenmedlanik und Irreversibililat

Von Professor Alfred Lande, Ohio State University, Columbus

Bekanntlich laflt sich die Nichtumkehrbarkeit thermodynambcher Vor­giinge aus der reversiblen klassischenMechanik nur ableiten, wenn man statistische Zusatzannahmen macht. In der Quantentheorie bilden Wahr­scheinlichkeitssiitze dagegen einen Teil der Grundlagen selbst, sodaB sich die Irreversibilitiit hier in viel ungezwungenerer Weise ergibt. Trotzdem mochten wir einige methodische Bemerkungen zu diesem Thema machen. Heutzutage ist "die Quantenmechanik" mit ihrer Dualitiit, qp-Unbestimmt­heit und Komplementaritiit, und mit ihren nicht-vertauschbaren Operatoren und komplex en 'P-Funktionen eine so alltiigliche Angelegenheit geworden, daB man es als eine zum Boltzmannschen Problem analoge Aufgabe an­sieht, die Nichtumkehrbarkeit jetzt aus der neuen Mechanik abzuleiten. Das heiBt aber doch, die Analogie zum klassischen Problem etwas zu weit trei­ben. Flir Boltzmann und seine Nachfolger war es in der Tat eine sinnvoJle Aufgabe, von der mathematisch und begrifflich e i n f a c hen Mechanik liber den in ihrem Rahmen recht fraglichen statistischen Grundansatz

mit symmetrischen

Wij=Wji

zur Thermodynamik vorzudringen. Heute will man dagegen von der sehr f rem dar t i g en Quantenmechanik ausgehen und aus ihr den im Quan­tenrahmen gar nicht problematischen statistischen Grundansatz und da­mit die Nichtumkehrbarkeit her lei ten. Dabei geht man zuniichst von der Schrodinger-Gleichung aus, die aber fUr den vorliegenden Zweck zuviel Theorie enthiilt, niimlich lP-Phasen, sodaB man hinterher liber die Phasen mitteln muB, urn das gewlinschte Resultat zu erhalten. DaB bei dieser Mit­telung verschiedene Phasen mit gleichem Gewicht geziihlt werden, ist eine plausible, aber in der Quantenmechanik nicht enthaltene Zusatzannahme. Die Behauptung also, daB man auf diese Weise die Irreversibilitiit aus der Quantenmechanik ableiten kann, ist ebenso unberechtigt wie die, daB man sie aus der klassischen Mechanik ableiten konne; denn hier wie dort werden statistische Zusatzannahmen eingefUhrt. Wiihrend aber auf klassischem Bo­den solche Zusatzannahmen unumgiinglich waren, ist ihre Heranziehung in der Quantentheorie ganz liberfiiissig und nur dadurch bedingt, daB man die Quantenmechanik in einer viel zu speziellen Form heranzieht und dann Miihe hat, die unnotige Spezialisierung wieder los zu werden. Denn in der Tat sind die komplexen GroBen 'l'ij mit ihren Phasenwinkeln ganz unwesent­lich fUr die reellen Wahrscheinlichkeiten Wij der e i n ze I n e n w-Tabellen, auf die es fUr die Irreversibilitiit allein ankommt. Wiihrend niimlich eine wwMatrix die Dbergangswahrscheinlichkeiten zwischen zwei orthogonalen Zustandsreihen i, i', in, . .. und j. j', j", ... enthiilt, besteht die Rolle der 'l'

nur darin, daB man mit ihrer Hilfe aus z wei gegebenen Matrizen Wi; und

312

Reprinted from Physik. Blatter 13,312-314 (1957).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Wik die d r itt e Matrix Wik berechnen kann, falls die Phasen der 'Pii und 'Pik bekannt sind - ahnlich wie man aus zwei SeitenIangen 8ii und 8i" eines Dreiecks die dritte Seite Sik berechnen kann, wenn die Richtungswinkel der ersten beiden bekannt sind. Fur die Irreversibilitat ben/itigt man aber, wie v. Neumann gezeigt hat, nur die Eigenschaft

~i wi} = 1 und ~i wij = 1

jeder einzelnen w-Matrix, wahrend die (durch komplexe Amplituden ver­mittelten) Zusammenhange zwischen verschiedenen w-Matrizen hier v511ig gleichgiiltig sind. Die symmetrischen reellen Wahrscheinlichkeiten wi} sind das primare Element der Theorie, wahrend die Amplituden 'P nichts als Hilfsgr5Ben zur bequemen Formulierung des Zusammenhanges zwischen d rei w-Tabellen darstellen. (Man k5nnte sogar ohne die 'P auskommen, wenn man stattdessen sehr unbequeme Verbindungsformeln fUr 6 w-Matri­zen zwischen 4 orthogonalen Zustandsreihen in Kauf nehmen will.) Das ganze Verfahren, die volle Quantenmechanik mit ihren 'P-Regeln zur Ab­leitung des statistischen Fundamentalsatzes und damit der Irreversibilitat heranzuziehen, stellt den einfachen Sachverhalt in noch h5herem MaBe auf den Kopf, als wollte man etwa von der relativistischen Hydrodynamik bewegter Fliissigkeiten ausgehen und aus ihr dann die Konstanz der Licht­geschwindigkeit im Vakuum ableiten. Wir sagten "in noch h5herem MaBe", denn in dem letztgenannten Beispiel kann die Aufgabe wenigstens ohne Zu­satzannahmen gelOst werden. Sinn volle Probleme der Physik bestehen aber darin, daB man einen verwickelten Sachverhalt aus einfachen Grundlagen abzuleiten und dadurch aufzuklaren sucht.

Gerade in dieser Hinsicht befindet sich aber die Quantentheorie in einer recht schiefen Lage. Denn nach einem Vierteljahrhundert dogmatischer Schulung ist es heute dazu gekommen, daB die gesamte Quantenmechanik mit allen ihren fremdartigen Rechnungs~geln und begrifflichen Abstraktio­nen als das allerletzte, nicht weiter zurlickfiihrbare Ergebnis theoretischer Analyse hingenommen wird. Flir das wirklich dringende Problem, sie auf einfache und unmittelbar annehmbare Grundsatze zuruckzufUhren, interes­siert man sich nicht mehr. Vor dreifiig Jahren war es gewiB angebracht, zunachts einmal nach dem Wi e, nicht nach dem War u m zu fragen und aus der Not der damals mifigllickten Erklarungsversuche eine Tugend zu machen. Auf die Dauer kann aber die Frage "warum ist die Welt eine Quantenwelt" nicht zuruckgedrangt werden. Nun hat es sich in der Tat herausgestellt, daB man den so fremdartigen Tnhalt der Quantenmechanik sehr wohl auf nicht quantenhafter Grundlage mit Hilfe einfacher und fast selbstverstandlicher empirischer Postulate ableiten kann (obwohl die bisher gegebene Ableitung') gewiB noch verbesserungsbedurftig ist). Dadurch ist aber der herrschenden Lehre einer Fun dam e n t a lit a t der Komple­mentaritat und anderer Quantenprinzipe der Boden entzogen.

Jedoch, warum soil man einen Sachverhalt in einfacher Weise darstellen, wenn man dasselbe auch in verwickelter Weise tun kann? Wenn Steine

1) A. Lande. NATURWISS. 41, 125 (1954); 43, 217 (1956). Siehe auch NUCLEAR PHYS. 3, 132 (1957).

313

433

434 ALFRED LANDE

nach unten fallen und Feuer nach oben drangt, so beruht das nach Aristo­teles darauf, daJ3 jeder Stoff seinen rechtmafiigen Platz sucht. Wenn die Pla­neten auf Kreisen urn die Sonne statt auf Epizyklen urn die Erde laufen, so ist das nach Kopernikus die Erfiillung des Dranges der Himmelskorper nach groBter Vollkommenheit. Wenn Elektronen sich nach der Schriidinger-Glei­chung richten, so sieht Bohr darin die Erfiillung einer allgemeinen Dualitat und Komplementaritat als hochsten Naturprinzips, das selbst ins Biologische und Psychologische hiniiberspielt. Ein solcher dogmatischer Standpunkt ist heute nicht mehr angebracht; denn nachdem sich viel einfachere Grund­lagen fiir die Quantenmechanik ergeben haben'), stehen jene Quantenprin­zipe als sekundare Folgen da - und sind dabei gleichzeitig auf eine .solidere Grundlage gestellt, als wenn man sie einfach ad hoc postuliert.

Zur Irreversibilitat selbst ist noch zu sagen, daJ3 nicht einmal die Quan­tentheorie zu einer einseitigen Entropiezunahme fiihrt. Denn die oft verges­senen Abweichungen von der wahrscheinlichsten Entwicklung als Ergebnis aufeinander folgender Quantenteste fiihren zu einer Ehrenjestschen Trep­penkurve, die in der Nahe des Entropiemaximums auf und ab schwankt. Da diese Kurve in der +t- und -t-Richtung den gleichen Charakter hat, hilft also auch die Quantentheorie nicht dariiber hinweg, dall kein eindeutiger Zusammenhang zwischen Entropie und Zeitrichtung besteht.

314

PAPER 97 435

" Superposition and Quantum Periodicity ALFRED LANDE

The Ohio State University, Columbus, Ohio

(Received May 24, 1957)

The superposilion law for probability amplitudes, u5Ually considered as an empirical rule and introduced into the Quantum theory as an ad hoc assumption, is shown to be the mathematical solution of almost self­evident requirements for the structural metric of the probabilities in general. \Vhen combining the general if; metric of superposition with the postulate of a constant probability density in q-space for given p, and of a constant probability density in p-space for given q, one arrives at the mathematical result that >{;(q,p) must necessarily have complex periodic form, exp(iqp/const). Various quantum principles can thus be reduced to a nonquantal basis.

INTRODUCTION

T HE following inquiry into the nature of prob­ability amplitudes is occasioned by a recent

statement of Heisenberg1 that t/I as a vector in Hilbert space "is completely abstract and incomprehensible ... and so to speak, contains no physics at all." Although this statement is out of context, remarks in the same vein hy ot.hers lead to the impression that t/I and its strange laws are introduced into the theory by decree, merely because they ((work." In contrast, the author has been attempting a program of reduction of quantum theory to strict and physically plausible basic axioms "so that our curiosity will rest" (Bridgman). The pro­posed postulates and their implications have at present the following form':

(1) The continuity postulate; it leads to the admis­sion of Hfractional equality" between states.

(2) Reproducibility of a test result; combination of (1) and (2) leads to transitions between states in "filter" tests, controlled by statistical rules.

(.3) Symmetry of the transition probability, P(A ,B) =P(B,A), in correspondence to classical reversibility. It leads to limagic square" matrices of the probabilities, \vith totally separable states figuring as "mutually orthogonal" states.

(4) The postulate tha.t there is a general metric law connecting the probabilit.y matrices; the only possibility to construct such a general law is that of unitary trans­formation, which is the superposition law for complex amplitudes 'l'.

(5) A constant probability density in q-space for constant p and in p-space for constant q; (4) and (5) together necessitate a periodic function 'l!(q,p) of the complex-imaginary form exp(2i7rqp/const), in \vhich the constant may be denoted by the now familiar letter h. The periodic qp-relation (duality) and other quan­tum features are thus deducible from, i.e., explained on, a nonquantal basis.

This paper deals only with one part of the axiornati­zation: that which leads up to the formalism for super-

1 W. Heisenberg, in Niels Bohr and tite Det'eillpment IIf Physics, edited bv W. Pauli (Pergamon Press, London, 1955), p. 26.

2 Reprinted from A. Lande, Nuclear Phys. 3, 132 (1957).

position of probability amplitudes. Instead of taking this formalism for gran Led, amI deducing the familiar algebra of transition probabilities, we proceed in the reverse order.

GEOMETRICAL ANALOGY

A geometrical analogy will indicate our philosophy. Someone has found a number of sticks of various lengths. There is reason to suspect that they were not cut at random but once formed a structural framework con­necting points A, B, C, ... in one- or two- or more dimensional space. Given the lengths, we find empiri­cally that these lengths obey cert.ain combinatorial laws. \Ve can proceed in the reverse order: find out what sub­structure (vectors) and what mathematics of this sub­structure (vector analysis) are requi"t,d to reproduce the observed laws of combinations of lengths. For a one-dimensional structure two lengths, P A Band P BC, will be found empirically to determine a third up to a choice of sih'll: PAC=PAB±PBC. In a two-dimensional structure in flat space, five lengths, PAD, PBC, PCA)

PAD, and P BD will be found again to determine a sixth, F CD , up to a chuice of sign. In a three-dimensional flat space, nine lengths associated wit.h five points determine a t.enth length, up to a sign. In all these examples, we find we can define vectors that satisfy the general addition law,

<PAc=(jJAn+<PBC,

made self-consistent by the relation

q,AB= -<PBA,

(I)

(2)

such that the lengths are given by bilinear expressions:

PAB~I4>ABI· (3)

ORTHOGONAL ENTITIES AND UNIT MAGIC SQUARES

Consider a class of entities SIS2" (e.g.) all"states" of a certain kind of atom) divided into subclasses A, B, etc., each subclass having Mr members. The subclass .Ii consists of M members A 1A 2 •• ·A M which are in the mutual relationship P:

P(Ak,A")~Okk" (4)

891

Reprinted from Phys. Rev. 108,891-893 (1957).

436 ALFRED LANDE

892 ALFRED LANDll:

characterizing them as muIu<Jlly orlhogon6l (e.g., dis­cernible states, separable by "filters"). Similarly the subclass B has M members BIB,· .. BM , of mutually orthogonal entities, and so forth for C, D, etc. Two members belonging to different subclasses are in a symmelri< relationship

P(A.,B,)=P(B;,A.), where O<P<1. (5)

Each P is a positi .. fraction of unity (e.g., fractional equality degree between the two states, fractional degree of separability, probability of transition from stateA, to B, and vice versa). The positive P-values con­necting two orthogonal sets A and B may be tabulated in a unit magic square

(6)

in which the sum of the M elements in every row and every column is supposed to be unily:

E,P(A "B,) = 1 for every k= 1,2,.. ·M, (7)

E.P(A .,B ,) = 1 for every j= 1,2,. .. M. (7')

We shall not use the word "matrix" for (P AB) because we do not propose to subject these quantities to addition or multiplication. Neither the sum nor the product of two of these objects gives in general a third unit magic square. The properties (5) and (7) justify the adjective "doubly stochastic" for every unit magic square. The special square (P AA) may be called the "identity magic square" because of (4).

UNITARY TRANSFORMATION

We now search for a mathematical substructure which will (1) generate unit magic squares and (2) permit associative combination. Only two ways have been discovered to construct self-consistent formal rules of associaJive combination of two index quantities; by addition:

(8)

made self-consistent by the condition UAB+UAB=O; and by multiplication:

WAC=WAB"WBC, (9)

made self-consistent by the condition W AB· W BA = 1. The two formalisms are made equivalent by the trans­formation W = eU • It is sufficient therefore to study the multiplicative formalism alone. To the unit magic squares (PAB), (PAC), ••• we thus associate in the mathematical substructure matrices (VIAB), (>/lAC), ••• , satisfying the combinatorial law

(>/IAC)= (>/lAB)· (>/IBC);

(>/IAB)-(>/IBA) = 1;

(lOa)

(lOb)

or in terms of matrix elements,

{A,/C.)=E, (A./B,)(B,/C.),

(A./A.)=E; (A./B,)(B,/A.)=8 ••. (11)

Now we come to the central mathematical problem: how to construct the unit magic square (P AB) out of the substructure matrix (>/lAB). We might be tempted to try the assumption that the transition probabilities are the simple squares of real matrix elements,

(12)

Then the unit magic square property for P A B together witb (11) demands that the (>/lAB) be real orthogonal matrices:

(>/IBA)= (>/IAB)-I= (>/lAB) ..... ,.,.... (13)

However; this formalism is unsatisfactory. It does not allow one to represent the most general unit magic square. Such a sqnare has n' real elements. They are subject to the 2n conditions (7) and (7'). These condi­tions are not all independent, for the sum of Eqs. (7) is identical witb the sum of Eqs. (7'). With account of this duplication, tbe most general unit magic square is characterized by n'-(2n-1)=(n-l)' independent real parameters. In contrast, the most general orthog­onal matrix, continuously connected with the unit matrix, is generated by a rotation in n-space that has only n(n-l)/2 real angular parameters. Therefore, we are forced to conclude that Ihe mathemalieal subslrueture cannol be composed of matrices with real elements.

As soon as it is accepted that the matrix elements are complex, the squaring operation (12) is unacceptable to obtain real probabilities. In its place we could find as an acceptable alternative only the operation of absolute square:

P(A.,B,) = I (A.IB,)I'. (14)

Then it follows from (11) and from the magic square property of (PAB) that (>/lAB) is unitary:

>/IBA = (>/IAB)-I= (>/IAB)"-·. (15)

Thus, we arrive in the most natural way at a mathe­matical substructure endowed with (1) complex prob­ability amplitudes, (2) a law of superposition (lOa) of these probability amplitudes, and (3) a principle of unitary transfonnation.

[A unitary matrix has enough free parameters to re­produce the most general unit magic square. Consider a unitary (>/lAB) which generates the magic square (P AB), and make an iofinitesimal change in it. We have no interest in an iofinitesimal complex rotation of the kth row of (y, AB),

(16)

because it leaves all probabilities unchanged; likewise for an iofinitesimal complex rotation of the jth column of (>/lAB). Consider therefore the complex rotation in the

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 437

of SUPERPOSITION AND QUANTUM PERIODICITY 893

2-plane (sl), characterized by the angle,

'lhus, d(A.IB;)=O for j,,<s, I,

d(A.IB.)= (A.IB.)8 • .,

d(A.1 B,)= (A.IB.)8 ...

(17)

(18)

it is hardly a new and independent step to assume that "observables," i.e., tensors in general, are subjected to the same transformation metric. That is, when 1/1 is the unit tensor, {BiIBk)=Ojk, and b is a tensor with prin­cipal components b(B;B,)=b,~;., then the following transfonnation formula ought to hold for the tensor compoI\ents of b in general:

b(A.,C.)=L (A,IB;)b;(B,IC.), (20)

or in matrix terminology

The most general infinitesimal unitary transformation (bAol= (Y,AB)(bBB) (Y,BC), (21) on the matrix is constructable from the n(n-I)/2 such complex rotations. It produces changes in the probabili- and hence further ties P(A.,B;) which leave the magic square property (bKL) = (Y,KA)(bAO)(Y,OL). (22) unaltered:

L. dP(A"B;)=O,

L;dP(A.,B;)=O. (19)

This general rotation has n(n-I) real parameters. Of these, (n-I) are redundant so far as concerns changes in the P(A.,B,). The remaining parameters are suffi­cient to generate the most general infinitesimal change in the unit magic square. Moreover, we can reach the most general unit magic square by a sequence of infini­tesimal changes from the identity square.tJ

In summary, it was a matter of indifference in speak­ing of the relations between points in a flat space whether one limited the discussion to relations between lengths, or introduced the mathematical substructure of vectors. So in quantum mechanics one can deal with vectors in Hilbert space or alternatively speak entirely about the interconnections between unit magic squares. In either language, all relations are purely geometrical.

GENERALIZATIONS

1. The rules employed in the measurement of dis­tances between points might have been calibrated according to an erroneous and nonlinear scale, such as L' = sinhL. Then a supplementary transformation (L=arc sinhL') would have had to be applied to the measured pseudolengths to convert them into numbers that had any simple relations. The corresponding gen­eralization to an erroneous scale of probabilities is too trivial to require further mention.

When '" superposition has once been established as the structural metric of probabilities of transition, then

t The section in square brackets has been added by a. reviewer.

UNCERTAINTY RELATION

Why does the function y,(p,q) have the complex periodic form

y,(q,p) = exp(ipq/h) , (23)

with reduced wavelength ~="/P? This fundamental fonnula of quantum mechanics, upon which duality, complementarity, and qp-uncertainty depend, is usually introduced by decree, either directly, or in the form of the Schriidinger operator rule, p= -iM/aq, or as the Born commutation rule, qp- pq=liji, as an ad hoc assumption. It has turned out) however, that (23) does not need to be introduced as a separate quantum theorem; the function (23), and with it the quantum rules of Schrodinger and Born, hence quantum dy­namics, can rather be shown to follow from

(a) the formal superposition law (lOa) for observables in general,

(b) lhe fact that only q- and p-differences are physically significant,

(c) the classical statistical principle that the prob-ability density in qp-space is constant.

Neither (a) nor (b) nor (c) contain any hint at period­icity; yet their combination leads, by mathematical necessity, to the conclusion' that y,(q,p) must be of complex exponential form exp(2i"qp/const). The value of the constant denominator in terms of conventional units can of course not be obtained from general considerations.

• A. Land6, Am. J. Phy,. 24, 56 (1956).

438 PAPER 101

Symposium on the Axiomatic Method

QUANTUM THEORY FROM NON-QUANTAL POSTULATES

ALFRED LANDE

Ohio State University, Columbus, Ohio, U.S.A.

1. Physical and Ideological Background. Theoretical physics aims at deducing formal relations between observed data by the combination of simple and general empirical propositions which, iftrue, will 'explain' the variety of phenomena. In the process of constructing a physical theory on a postulational basis one may distinguish between three steps. First, by critical evaluation of experience one arrives at ideological pictures for the connection of individual data (e.g. for the 'path' of a firefly, Margenau) and at general notions expressed in everyday language which takes much for granted and may involve circularity in the definition of terms. Second, the resulting picture is formalized and condensed into general laws. Third, the formal laws are now put in correspondence with a physical 'model' which gives an operational definition of each symbol, resulting in a self-consistent physical theory. In spite of its vagueness, step 1 is of importance to the physicist since it furnishes a legitimate basis for his selection of one formalism among many possible ones as the formal sub­structure of his laws.

The quantum theory in its historical development has followed this procedure, its laws arc based today on a few universal, though rather baffling, principles, the most prominent among them being those of wave-particle duality, qp-ttncertainty, and complementarity. I submit, however, that the process of reduction has not gone far enough, and that the quantum principles just mentioned can be reduced further to simple empirical propositions of a non-quantal character, the combination of which yields the quantum principles as consequences. The latter can thus be 'explained' on an elementary and more or less familiar back­ground "so that our curiosity will rest" (Percy Bridgman),. Conforming with step 1 above, I begin with considerations of a somewhat vague character in order to lay the ideological groundwork for the formal substructure of quantum mechanics. - Two objects, A and E, or two 'states" A and E of the same 'kind' of object, may be said to be different, written A =Ie E, when A and E are discernible, i.e. separable by means of

353 Reprinted from Berkeley Symposium on the Axiomatic Method, pp. 353-364 (1958

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

354 ALFRED LANDE

some device, shortly denoted as a 'filter', responding to B with 'no' when B *- A, and with 'yes' when B = A, as depicted by Figs. la and Ib where A is written for different from A or non-A. The term 'state', 'filter', 'kind' of system (atom) are introduced without operational definition; they happen to correspond to actual situations in microphysical experiments, however.

B=A ........ B;l A'I B-A'o.!

A ..... 1 A¥I ........' ....... A A

Fig. la Fig. lb Fig. Ie

As an illustration, A may signify a state of vertical orientation of the molecular axis of a certain kind of particle, and the A-filter may be a screen with a vertical slit. State A may be a state of horizontal orientation of the same particle, so that the A-filter blocks A-state particles.

Imagine now that, starting from a state B *- A (Fig. Ib) one gradually 'changes' state B so that it becomes 'more similar' to A (again no oper­ational definition of the terms in quotation marks is given). One may expect a priori that an abrupt change from Fig. Ib to la will take place only in the last moment when B becomes exactly equal to A. The postu­late of continuity of cause and effect requires, however, that a gradual change from B *- A to B = A as cause will lead to a gradual change of effect, from all B's blocked to all B's passed by the A-filter. More precisely, the continuity postulate requires that there be intermediate states B between B *- A and B = A, with results intermediate between Fig. Ib and la, that is, with some B's passing and some rejected, as pictured in Fig. Ie; such cases then signify a 'fractional equality' between B and A, 'Nritten B ,..., A. The ratio between passed and repelled B-state particles can only be a statistical ratio, i.e. a probability ratio for an individual B­state particle. Individual indeterminacy controlled by statistical ratios is a consequence of the continuity postttlate for cause and effect. The passing fraction written P(B, A) of B-state particles through the A-passing filter may be taken as an operational definition of the fractional eqttality degree between the states A and B, of value between 0 and I. And since equality degrees ought to be mutual, one will introduce the symmetry postulate, PtA, B) = P(B, A); the latter is physically justified as the statistical counterpart of the reversibility of deterministic processes. It stipUlates that the statistical fraction of B-state particles passed by an A-passing

439

440 ALFRED LANDE

QUANTUM THEORY FROM NON-QUANTAL POSTULATES 355

filter equals the statistical fraction of A-state particles passing a B-filter. Similar considerations apply to any game of chance with the alter­

native 'yes' or 'no', passed or blocked, right of left, etc. For example, when balls are dropped from a chute upon a knife edge, they will drop to the right or to the left, depending on the aim of the chute.

According to the continuity postulate, however, there ought to be a continuity of cases between all balls to the right and all to the left, occurring within a small range of physical aim, with statistically ruled ratios of r- and I-balls, gradually changing from 100:0 to 0:100 when the physically regulated aim of the chute is changed from one to the other end of the small angular range. Hypothetical reservaetions abo~t concealed causes for individual r- and I-events would never explain the miracle of 'statistical cooperation' of individual events yielding fixed statistical ratios [I], [2].

Next we introduce the empirical postulate ot reproducibility of a test result which stipulates that a B-state particle in Fig. Ic which has once passed the A -filter will pass an A -filter again with certainty. This harmless looking postulate implies that the incident B-state particle, in the first act of passing the A-filter, must have changed its state from B to A. Indeed, only thus will it pass another A-filter again with certainty. Similarly, an incident B-state particle once repelled by the A-filter must have jumped, by virtue of its first repulsion, from B to the new state .if so that it will be repelled again if tested once more by the A-filter. Dis­continuous changes of state (transitions, jumps) in reaction to a testing instrument can thus be seen as consequences of the postulate of repro­ducibility .of a test result and continuity of cause and effect. To these postulates we have added that of symmetry, P(A, B) = P(B, A), in which P now assumes the meaning of a transition probability from state B to A in an A-filtertest, and from A to B in a B-filtertest.

2. The Probability Schema. After these ideological preparations we come to the mathematical schema of the probabilities of transition. Consider a class of entities 5 (= 'states' of a given atom) which are in a mutual relation of 'fractional equality' Sm '" Sn, quantitatively de­scribed by positive fractional numbers, P(Sm, Sn), denoted as 'equality fractions'. Special cases are P = 0 (separability, total inequality of Sm and Sn) and P = I (identity, inseparability). The P-relations permit a division of the elements of class 5 into subclasses, the subclass A with members AlA 2 ••• which satisfy the orthogonality relation

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

356 ALFRED LANDE

(1 )

the subclass B, and C, and so forth. (The selection of complete orthogonal subclasses out of the entirety of entities S is not unique, a fact known to the quantum theorist as 'degeneracy').

P-values connecting the elements of two subclasses such as A and B may be arranged in a matrix:

(2) (P(Al' Bl) P(Al, B2) 1

(PAB) = P(~~,.Bl) P(~~,.B2) :::

The physical interpretation of the P's as probabilities of transition in tests justifies the postulate that the sum of the transition probabilities from anyone state Am to the various states BlB2 . .. be unity, i.e. that ~ach row of the matrix (2) sums up to unity. Furthermore, according to the symmetry postulate

(3)

the columns of the matrix (P AB) are the rows of the matrix (PBA) so that the columns of (P AB) also have sum unity;

(3')

Suppose now that the matrix (2) has M rows and N columns. The sum of all its elements would then be M when summing the rows, and N when summing the columns. Thus M = N, that is, the matrices (P AB) and (PAc) etc. must be quadratic, and the subclasses A, B, C, ... must all have the same multiplicity, M. The multiplicity M of the orthogonal sets of states may be finite or infinite depending on the 'kind' of particle. The P-matrices are unit magic squares.

3. The Probability Metric. We now introduce the further postulate that the various P-matrices are interdependent by virtue of a general law according to which one matrix (P) in a group is determined by the other matrices (P) of the same group. Only the following simple interdependence laws between two-index quantities are feasible:

(4) the addition law U AC = U AB + U BC

made self-consistent by UAB = - UBA

and corresponding laws for distorted quantities W = I(U), e.g. for W = eU•

441

442 ALFRED LANDE

QUANTUM THEORY FROM NON-QUANTAL POSTULATES 357

(5) the multiplication law WAC = WAB. WBC

made self-consistent by W AB. W BA = 1 There is no other conceivable way of making U AC or WAC independent

of the choice of the intermediate entity B than the addition theorem (4) and its generalization by distortion.

A model of (4) is furnished by the geometry of lengths LAB, LAC, etc. in frameworks connecting points A, B, C, .... Although (4) cannot be applied to the lengths L themselves, it may be applied to a substructure of quantities 'P satisfying the triangular relation 'PAC = 'PAB + 'PBC with 'PAB = - 'PBA, known as vectors. The latter determine the lengths L = I'PI. Of particular interest is plane geometry where vectors 'P can be written as complex symbols, 'P = I'PI. ei "'. Also in a plane, 5 points are connected by 10 lengths; when 9 of them are given they uniquely determine the tenth L.

In order to construct a law of interdependence between unit magic squares one may start from (5), Although (5) cannot be applied to the matrices (P) themselves, it may be applied to a substructure of quantites "P which are to satisfy the matrix multiplication formula

\Vhen now decreeing (the asterisk standing for the complex conjugate):

(7)

the P-matrices become unit magic squares, as required. (6) is known as the law of unitary transformation, connecting 'orthogonal axes systems' A and B etc. by 'complex directional cosines' "P. A tensor f in general obeys the transformation formula

(8)

To the physicist, the quantities "P are the 'probability amplitudes' which satisfy the law of interference (6), and the tensors fare' observables'. When f has its eigenvalues in the states F IF 2 ... that is, when

(9)

then, as a special case of (8), one has

(9')

The "P-interference law and the corresponding transformation law for

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

358 ALFRED LANDE

observables was first found inductively and was considered as a most surprising empirical law of nature. It turns out to be the only conceivable solution of the mathematical problem of finding a general self-consistent law connecting unit magic squares, viz. the law of unitary transformation.

In opposition to numerous physicists who see in the interference law for complex probability amplitudes a profound and unfathomable plan of nature presenting us with an abstract and unpictorial substructure of reality manifest in a wave-particle duality, it may be noticed that (a) each complex "P may be pictured as a vector in a plane giving direction to the corresponding probability P so that the P-metric can be visualized as a structural framework of lines in a plane, and (b) similar to plane geometry where 5 points A, B, C, D, E are connected by 10 lengths LAB, LAC, etc. and 9 L's uniquely determine the tenth L, so are there direct relations between the 10 unit magic square matrices (P AB) , (PAc), etc. which connect 5 orthogonal sets of states so that 9 P-matrices uniquely determine the tenth. That is, there are direct relations between the real probabilities P which can be formulated without resorting to complex quantities "P with wave-like phase angles.

4. Quantum Periodicity Rules. The quantum theorems of Born and Schrodinger

(10) (qp - pq) = hj2in and p = (hj2in)fJjfJq

are equivalent to the rule that the amplitude function "P(q, P) is a complex exponential function

(11) "P(q, P) = exp(iqpjconst)

with const = hj2n. The quantum rules (10) or (11) are usually introduced ad hoc as inductive results of quantum experience. I am going to show that they are consequences of the following postulates added to those introduced before:

a) Linear coordinates q and linear momenta p are physically defined up to additional constants so that there are observables whose values depend on q-differences and on p-differences only.

b) The statistical density of conjugates q and p is constant in qp-space (as it is in classical statistical mechanics).

The proof of (11) on the grounds of (a)(b) rests on the fact that the complex exponential function, f(x) = exp(ixjconst) is the only function f(x) which, together with its complex conjugate f*(x), satisfies the condi-

443

444 ALFRED LANDE

QUANTUM THEORY FROM NON-QUANTAL POSTULATES 359

tion that the product !(XI) .!*(X2) will depend on the dillerence Xl - X2 only.

The detailed proof runs as follows. As a special case of (9') for an observable I defined as a function of q one has

If q is a linear coordinate running continuously from - 00 to + 00, and for given p-values has constant 1"1'12 density, the last formula becomes an integral with constant weight factor in the integrand:

(12)

Since I(q) may be any observable whatsoever, one may consider the case that it is a d-function with maximum at any chosen place qi; the integral then reduces to

!(Pk, Pf) = 1p(Pk, qi)1p*(Pf, qi).

If the 'transition value' f(Pk, PJ) is to depend on the dillerence Pk - PJ only, the function "I' on the right must contain P in the form

(13) 1p(q, P) = exp( .. . ip .. . ).

An analogous consideration applied to an observable g(P) which may be chosen as a d-function yields the result that the function 'I'must contain q in the form

(13') 1p(q, P) = exp( .. . iq .. . ).

(13) and (13') together leave only the following alternative: Either 1p(q, P) is of the form

1p(q, P) = exp(a:iq + PiP)

with separate real constant factors a: and p, or

(14) 1p(q, P) = exp(iyqP)

with common real factor y. The first alternative would lead, according to (12) to

f(Pk, gf) = exp(ia:(Pk - Pf)Jff(q)·dq = exp(ia:(Pk - PJ)J·const,

where the left hand side depends on the choice of the function I, whereas the right hand side does not. Only the second alternative makes sense. When writing hj2n for y Eq. (14) it is identical with (II), q.e.d. Eq. (II) is

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

360 ALFRED LANDE

the fundamental wave function of quantum dynamics with wave length A = hip.

For completeness sake we add the well-known deduction of the symme­try theorems which are of such decisive importance for the aggregation of identical particles. Identity of two particles a and b signifies their indiscernibility and in particular equality of the two transition probabilities

or omitting reference to 5:

This equation can be satisfied only when 11' is either symmetric or anti­symmetric with respect to an exchange of the letters a and b, proved as follows. Write

= <Psym(a, b) + <Pant(a, b).

Similarly

Taking the absolute squares of the two last equations one arrives at

P(aj, bj ) = l<psyml 2 + l<Pantl 2 + real part of (2.,pSYffi<Pant*)

P(b i , aj) = same real part of same

The two P's can be equal only when either <psym or <Pant vanishes, i.e. (excluding the trivial case of 11' "" 0) when either 11' = <Pant or 11' = <Psym, q.e.d.

For systems of three or more identical particles lp(a, b, c, ... ) must either be symmetric with respect of the exchange of each pair, or anti­symmetric. Indeed, if 11' were symmetric with respect to a and b, but antisymmetric with respect to a and c, one would arrive at the following sequence:

+ lp(a, b, c) = + lp(b, a, c) = - lp(b, c, a) = - lp(a, c, b) =

= + lp(c, a, b) = + lp(c, b, a) = - lp(a, b, c)

which is self-contradictory. All particles are thus divided in two classes,

445

446 ALFRED LANDE

QUANTUM THEORY FROM NON-QUANTAL POSTULATES 361

those which form symmetric, and those which form antisymmetric 1j!­

functions. This concludes the deduction of the quantum theorems from basic

postulates of a non-quantal character.

5. Quantum Fact and Fiction. A few remarks may be added concerning the present quantum philosophy, reputedly the most revolutionary innovation in the theory of knowledge of the century. Its starting point is the allegation that quantum theory has invalidated the notion of objective states possessed by a microphysical system independent of an observer (according to some authorities) or independent of a measuring instrument (according to others). And the quantity 1j! is said to have a particularly 'subjective' character in so far as it expresses expectations of an observer, rather than states of an atom. 1j! is also reputed to be 'abstract' and 'unanschaulich' (unpictorial) due to its complex-imaginary form.

In the writers opinion, this quantum philosophy rests on various misunderstandings and fictions. First, complex quantities stand for vectors in a plane; hence 1j! gives direction to the transition probabilities so that the latter form a structural framework in a plane. The 1j!-multi­plication law (6) is quite analogous to the geometrical vector addition law f{!AC = </JAB + f{!BC. But nobody has yet found plane geometry abstract and unpictorial because it connects real lengths by vectors which could be symbolized by complex numbers.

Second, since a test resulting in the state Am of an atom is reproducible by means of the same A-meter, one may legitimately denote the state Am as being 'objectively possessed' by the atom. It is true that a sub­sequent B-test throws the atom into a new (equally reproducible) state Bn. Thus one does not have the right to say, or even to imagine, that the atom is in the two states Am and Bn simultaneously; the two states are 'incompatible'. But incompatibility as such is nothing novel and revo­lutionary. A state of angular twist value w of a rod of ice, and a viscosity value v of the same sample in the liquid state are mutually incompatible; there are no combination vw-states. It is significant of quantum dynamics that a state q and a state p, though individually reproducible, do not allow reproducible 'objective' qp-states; and if an objective q-state has been ascertained one must not even imagine any hidden simultaneous p-value to prevail. But this is not initiating a new philosophy of knowledge. It merely tells us to be careful with the application of the term 'objective state'. Of course, physicists are more impressed by the example of qp-

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

362 ALFRED LANDE

incompatibilitx than by the trivial example of vw-incompatibility. Yet after thirty years of emphasizing differences, one may as well begin stress­ing similarities between quantum physics and everyday experience.

Third, in this connection one ought to remember that statistical law, as opposed to classical determinism, is known from ordinary games of chance; they, too, confront us with the 'miracle of statistical cooperation' of individual events irreducible in principle [1], [2] to hidden causes. There is no structural difference between the ordinary ball-knife game des­ribed above and the quantum game of Fig. 1 c.

Fourth a great issue has been made of "p being a subjective expectation function which suddenly collapses or contracts in violation of the 'wave equation' when a definite observation is made, turning potentiality into actuality. However, in spite of subjectively tainted words 'expectation' and 'probability', the quantum theory, like any other theory in physics, correlates experimental data rather than mental states; in particular it correlates statistical experience gained in tests of atoms with macroscopic instruments. If someone uses these statistical laws (which are of the same quality as the Gauss law of errors) for placing bets or for enjoying anticipations of future events, this is his personal affair and has nothing to do with the quantum theory. (Similarly, nobody has yet found a subjective element in Gauss' error law, or in Newton's law of attraction because astronomers anticipate eclipses with high accuracy). The fiction that quantum theory deals with differential equations for expectations rather than with the correlation of objective data which never collapse, has instilled utter confusion into the 'quantum theory of measurement'. Here we learn that a 1p-function, after first developing according to the Schrodinger equation as a kind of 'process equation of motion', suddenly collapses whenever a point event takes place (according to some authori­ties) or only when an observer takes notice of the point event (according to others). But since nobody can seriously believe in such inconsistencies, one tries at least to talk away the difficulty, as testified by extended dis­cussions at many symposiums on 'measurement' during the last thirty years. The chief trouble is the mistaken view that the Schrodinger equation describes a physical change of state, either individually or statistically. Actually if connects various mathematical 'representations' of one and the same fixed state with one another, be it the fixed state A before the measurement, or B after the measurement [3], [4J, [5J, [6J.

Fifth, confusion prevails also with respect to the famous waveparticle duality. In fact the latter has become illusory since Max Born thirty

447

448 ALFRED LANDE

QUANTUM THEORY FROM };ON-QUANTAL POSTULATES 363

years ago introduced the statistical particle interpretation of the 'wave function' and thereby restored a unitary particle theory, following a short period of doubt whether matter really consisted of waves or of particles. Before Born it was considered philosophical to argue that neither waves nor particles are 'real'; but the same pseudo-philosophical talk has sur­vived although physicists in their sober hours consider particles, and particles alone, as the constituting substance of matter (in the non­relativistic domain). Still talking of duality, i.e. drawing a parallel between a thing (particle) and one of its many qualities (its occasional periodic probability distribution in space and time) is illogical.

The great merit of Schrodinger's original matter wave theory had been that it gave an explanation of the discreteness of quantum states in terms of proper vibrations in a medium. But Born's statistical interpretation, confirmed by the observation of point events, destroyed the ex­planatory character of the Schrodinger waves, without substituting a rational explanation for the wave-like phenomena. The present investi­gation is to fill this gap. The wave-like 1p-interference becomes a natural and necessary quality of particles under the postulate that the unit magic square P-tables are connected by a self-consistent law, the only con­ceivable such law is that of unitary transformation, which is identical with that of 1p-interference (6). Furthermore, the wave-like qp-periodicity, the basis of all 'quantization', becomes a natural and obvious particle quality under the postulates (a)(b) for conjugate observables q and p.

Postscript: The deduction on p. 360is inconclusive. Only perturbation theory leads to the symmetry principles.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

364 ALFRED LANDE

Bibliography

[I] LANDE, A., The case for indeterminism. In 'Determinism and Freedom', edited by Sidney Hook, New York University Press (1958), p. 69.

[2] --, Determinism versus continuity in modern science. Mind, vol. 67 (1958), pp. 174-181.

[3J --, Foundations of quantum theory. Yale University Press, 1955. [4J --, The logic of quanta. British Journal for the Philosophy of Science, vol.

6 (1956), pp. 300-320. [5J --, Non-quantal foundations of quantum theory. Philosophy of Science, vol.

24 (1957), pp. 309-320. [6] --, Zeitschrift fur Physik, vol. 153 (1959)pp.389-393.

449

450 PAPER 102

Aus dem Department of Physics, The Ohio State University, Columbus, Ohio, USA

Zur Quantentheorie der Messung Von

ALFRED LANDE (Eingegangen am 12. Mai 1958)

Die Heisenberg-von Neumannsche Beschreibung des Messungsvorgangs beruht auf einem Doppelsinn des Wortes "Zustand" und einer miBverstandlichen Auffassung der Schrodinger-Gleichung, die dann zu der bekannten Mischung von subjektiven und objektiven Elementen, dem Obergang vom Moglichen zum Faktischen usw. ftihrt. In der konsequenten statistischen Deutung kann man (nach Ausscheidung des erwahnten Doppelsinns) von der Mischung von Physik und Phanomenologie der BewuBtseinsinhalte zur reinen Physik zurtickkchren. Unser Ausweg aus den inneren Widersprtichen der Messungstheorie ist genau entgegengesetzt dem von SCHRODINGER und FEYERABEND, namlich rein statistisch.

HEISENBERG-YON NEUMANN'S description of the measuring process rests on a double meaning of the term" state" and on a misinterpretation of the SchrOdinger equa­tion which further leads to the mixture of subjective and objective elements, the transition from the possible to the factual, etc. If one eliminates the double meaning and consistently accepts the statistical interpretation, one can return from the mixture of physics and phenomenology of subjective elements of consciousness to pure physics again. Our remedy of removing intrinsic contradictions from the theory of measurement is just opposite to that of SCHRODINGER and FEYERABEND; it is purely statistical.

1. Kiirzlich hat P. FEYERABEND1 in dieser Zeitschrift versucht, die auf vielen Symposien 2 verhandelten Widerspriiche der Heisenberg­von Neumannschen Quantentheorie der Messung zu beseitigen. Seinem Standpunkt, daB "der Vorgang der Messung nicht zwischen beliebigen Systemen, sondem zwischen einem beliebigen System und einem makro­skopischen MeBapparat stattfindet" stimmt der Verfasser aufs Ent­schiedenste zu, mochte nur denselben Standpunkt auf die ganze Quanten­theorie ausdehnen. ]ede quantenphysikalische GroBe, z.E. die Wahr­scheinlichkeit W(q, p) des Dbergangs von einem q-Wert zu einem p-Wert bezieht sich auf einen makroskopisch gemessenen q-Wert und p-Wert. Die Theorie beschiiftigt sich dann damit, den mathematischen Zusam­menhang zwischen den GroBen W aufzudecken. 1m besonderen handelt es sich urn Dbergangswahrscheinlichkeiten W(5,; IS) zwischen Eigen­zustanden zweier Observablen s und r mit Eigenwerten S, und ri' wobei sich W auf folgende experimentelle Lage bezieht. Das System moge aus einer s-Messung mit dem Eigenwert s, im Zustand 5 i hervorgegangen

1 FEYERABEND, P.: Z. Physik 148, 551 (1957). • Vgl. z.B. Vol. IX of the Colston Papers. London: Butterworths Scientific

Publ. 1957 (Bristol Symposium). Z. Physik. Bd. 153 26

Reprinted from Z. Phys. 153, 389-393 (1959).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

390 ALFRED LANDE:

sein. Wird es jetzt einer r-Messung unterworfen (stets mit einem makro­skopischen MeBapparat), so kommt es im Zustand Rj und Eigenwert ri mit der relativen Haufigkeit W(Si; Ri ) an *. Es ist gewiB nichts Neues gesagt, wenn wir folgende drei Stufen unterscheiden:

A. Vor der Messungist das System im ZustandSi (nach Ausweis einer vorangegangenen s-Messung). Dieser Zustand andert sich nicht bis zum

B. Vorgang des r-Messung, weIche das System zwingt, nach einem Eigenzustand der Observablen r zu springen. Die Wahrscheinlichkeit flir Ankunft im Zustand Ri ist W(S;; Ri).

e. Danach bleibt das System im Zustand R j , bis eine folgende Messung es zu einem neuen Zustandswechsel zwingt.

Wir weisen hier auf MARGENAUS experimentell sehr wichtigen Unter­schied zwischen Zustandsvorbereitung und bestatigender Messung hin 3•

Die der statistischen Deutung entsprechende Beschreibung (A) (B) (e) antwortet auf die Frage: "Was geschieht mit dem Zustand eines unge­stOrten Systems?" mit dem kurzen Wort" Garnichts". Die statistische Deutung kennt nur sprunghafte Zustandsanderungen in Wechselwirkung mit einem MeBapparat. Und in der Tat, wie sollte man eine Anderung in einem System anders definieren als durch Hinweis auf ein physikali­sches MeBergebnis!

Die obige Beschreibung steht aber im Widerspruch zu der von vielen Physikern angenommenen Heisenberg-v. Neumannschen Beschreibung:

a) Ein sich selbst iiberlassenes (unbeobachtetes) System unterliegt einer kontinuierlichen, reversiblen und durch die Schrodinger-Gleichung geregelten Zustandsanderung.

b) Diese wird wahrend einer Messung abgelost durch eine plotzliche irreversible Zustandsanderung, die nicht der "Bewegungsgleichung" unterliegt und als Reduktion des wahrend a) gebildeten "Wellenpackets" bezeichnet wird.

c) Danach tritt dje in a) beschriebene kontinuierliche Anderung des Zustands wieder in Kraft.

Wahrend SCHRODINGER (und scheinbar auch FEYERABEND) an a), c) festhalt und daher konsequenter Weise b) sowie A, B, C zuriickweist, mochte der Verfasser als Anhanger von BORNS statistischer Deutung a), c) als einen unzulassigen Rest der "Wellenmechanik" aufgeben und nur A, B, C als in die statistische Deutung hineinpassend ansehen. Die Heisenberg-v. Neumannsche Mischung a), b), c) ist aber unter allen

* Dabei spielen subjektiv geHirbte Worte wie "Wahrscheinlichkeit" nnd "Er wartungsfunktion" usw. eine rein objektive Rolle als Vertreter von statistisch ausgewerteten objektiven Daten friiherer Experimente. Ob dann ein "Beobachter" diese objektiven Daten, sei es q oder p, E oder t, in seine subjektiven Betrachtungen aufnehmen will, ist fUr die Physik ganz gleichgiiltig. Nur die augenblickliche Mode legt groLlen Wert auf subjektive Elemente.

3 MARGENAU, H.: Philos. Sci. 25, 23 (1958).

451

452 ALFRED LANDE

Zur Quantentheorie der Messung 391

Umstanden inkonsequent; sie beruht auf einer irrttimlichen Auffassung der Schradinger-Gleichung als einer Art statistischer Bewegungsglei­chung sowie auf einem Doppelsinn des Wortes "Zustand", wie im fol­genden erliiutert werden soll.

2. In der Literatur liest man: D. Eine P-Funktion stellt einen Zustand eines Systems (oder einer

statistischen Gesamtheit) dar. d) Eine P-Funktion stellt nicht einen, sondern eine kontinuierliche

Folge von Zustiinden dar, die durch die SChradinger-Gleichung als einer Art statistischer Bewegungsgleichung miteinander verbunden sind.

D und d) gleichzeitig als richtig anzunehmen ist sinnlos. Wahrend die Wellenmechanik auf d) beruhte, kann die statistische Deutung nur D als richtig annehmen. Zwar bedeutet hier jede einzelne Amplitude P(5j ; Am), ebenso wie die Wahrscheinlichkeit W(5 j ; Am) eine Brticke zwischen zwei Zustanden 5 j und Am. Trotzdem kann man aber die ganze Funktion P(5j ;A m) ftir m=1,2, ... als "Darstellung" oder charakteristische Beschreibung des einen Zustandes 5 j betrachten. Der­selbe Zustand Sj (oder derselbe Hilbert-Vektor 5 j ) kann auch durch die Funktion P(5 j ; Bn) ftir n = 1,2, ... dargestellt werden, wo Bl B2 ... eine andere vollstandige Orthogonalreihe von Zustanden bedeutet; ebenfalls auch durch weitere Zustandsreihen C und D usw. Dies ist die oben unter D angefiihrte Auffassung.

Es ist aber eine Umdrehung der statistischen Quantentheorie, wenn man gleichzeitig die EinzelgriiBen P(5j ; A l ) und P(5i ; A 2) usw. als Darstellung der vielen verschiedenen Zustande Al und A2 usw. ansieht, wie es d) behauptet. d) bleibt auch dann noch unzulassig, wenn man als Beispiel ftir A l , A 2 , ... die Lagenzustande Xl X 2 ..• zur Zeit tA , als Bei­spiel ftir Bl B2 ... die Lagenzustande Xl X2 ... zur Zeit tB nimmt und dann im Widerspruch zu D behauptet, daB P(5,; X, tAl den statistischen Verteilungszustand tiber die Lagen X zur Zeit tA , und P(5i ; X, tB ) den Verteilungszustand tiber die Lagen X zur Zeit tB beschreibt, wobei die Anderung des Zustands von tA bis tB usw. von der Schradinger-Gleichung als einer Art Bewegungsgleichung beherrscht wird. Dies ist die Ansicht tiber den (angeblichen) Vorgang a) und c), der durch den Vorgang b) unterbrochen wird. Sie widerspricht offensichtlich der vorher beschrie­benen Deutung D nach der die Funktionen P(5,; x, tAl und P(5 j ; x, tB) usw. verschiedene Darstellungen des einen Zustandes 5. sind, wonach also die Schradinger-Gleichung verschiedene Darstellungen eines Zustandes verkntipft, nicht aber verschiedene Zustande miteinander verbindet. Ob­wohl diese Unterscheidung ftir praktische Zwecke gleichgtiltig sein mag, ist er ftir die Messungstheorie wesentlich und keineswegs eine Pedanterie.

Man kann gewiB die einzelnen GraBen P(5,; x, tAl ftir verschie­dene Werte X als "Amplituden der Erwartung" bezeichnen, daB ein im

26*

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

392 ALFRED LANDE:

physikalisehen Zustand 5; befindliehes System in die neuen physikali­sehen Lagenzustande x springen wiirde, fails ein Beobachter zur Zeit tA Lust hatte, solche Experimente anzusteilen. Weniger gliicklich ist es, wenn man dann die Funktion P(S;; x, tAl als Darsteilung des Zttstandes der Erwartttng fiir verschiedene x-Werte zur Zeit tA bezeiehnet. Denn das Wort "Zustand" bezieht sich iiblicherweise auf einen physikalischen Zustand des Systems, der objektiv dureh einen MeBapparat festgestellt wird, im gegenwartigen Fall auf den physikalischen Zustand 5;, nicht aber auf einen potentieilen "Zustand der Erwartung" im Falle vielleicht auszufiihrender Experimente, die auch durch andere Experimente ersetzt werden konnten, und jedenfails garnichts mit dem betraeh­teten Mellvorgang, der das System von 5; nach Ri bringt, zu tun haben, nicht einmal einen EinfluB auf die statistische GroBe W(S;; Rj )

haben. Die Vermis chung oder Parallelsetzung der beiden Anwendungen des

Wortes "Zustand" hat nun in der Beschreibung a), b), c) einen unheil­vollen EinfluB ausgeiibt. In b) handelt es sieh um eine diskontinuierliche Anderung des physikalischen Zttstandes von 5; naeh R i . In a) ist da­gegen der physikalische Zustand konstant; was sich "andert" ist die oben beschriebene EnC'artung im Falle von vielleicht zu verschiedenen Zeit en anzustellenden Experimenten. Die Schrodinger-Gleichung dien! nur dazu, verschiedene mathematische Darstellungen ein und desselben physikalischen Zustands zu verbinden.

Alles dies ist zwar im einzelnen bekannt, wird aber in dem Messungs­bericht a), b), c) durcheinander geworfen und erweckt die Vorstellung, daB eine langsame Zustandsanderung a) von einer plotzlichen Zustands­anderung b) abgeliist \\ird, def dann wieder eine lang same Zustands­anderung c) folgt. Wenn berichtet wird, daB das Volumen eines Ballons erst langsam anschwillt, dann in Beriihrung mit einer Nadel pliitzlich zusammenfallt, und danach wieder langsam anwachst, so nimmt der Horer an, daB clas \Vort "Vo]umen" in allen drei Fallen dieselbe Be­deutung hat. 'vVer aber dasselbe von dem 'vVort "Zustand" in dem Be­richt a), b), c) annimmt, tauscht sidl selhst, oder seinen Zuhiirer, oder heide. Und diese SelbsWiuschung hat dann zu den langen Diskussionen mit philosophischcm Einschlag AniaB gegeben, die wir von verschieclenen Symposicn her kennen.

Wah rend P(x, t) in cler Wellenmechanik einen physikalischen Schwin­gungszustand in Raum und Zeit bedeutete, ist daraus in der statistischen Deutung ein "Zustancl der Erwartung" flir x zur Zeit t geworclen, der clann besser durch P(S,; x, t) bezeiclmet werden soUte. Daneben gibt es in der statistischen Theoric aber auch noch physikalische Zustande, die sieh wahrend cines MeBvorgangs abrupt uncl akausal andern; solchen Vorgangen entspricht in der kontinuierlichen \Vellenmeehanik nichts.

453

454 ALFRED LANDE

Zur Quantentheorie der Messung 393

Man kann eben nicht ohne statistische Deutung auskommen, wie BORN schon vor 30 Jahren gesehen hat. In diesem Falle UiBt sich aber alles, was a), b), c) eigentlich sagen mochte, aber durch Doppelsinn ver­dunkelt i viel einfacher durch A, B, C ausdrlicken. In letzterer Beschrei­bung kommen aber x und t liberhaupt nicht vor. In der Tat haben Raum- und Zeit-Erwartungen nichts mit dem zu beschreibenden MeB­vorgang zu tun. Nur wer sich flir mathematische Darstellungen interes­siert, mag bemerken, daB man den physikalischen Zustand So' durch die Funktion 'F(S,; x, tAl und auch durch die Funktion 'F(Si; x, tB ) usw. darstellen kann, und· daB diese Darstellungen durch die SchrOdinger­Gleichung miteinander verbunden si"nd. Verfasser kann keinerlei Grund sehen, warum die Moglichkeit solcher Darstellungen (die keinen Bezug auf physikalische Zustandsanderungen haben) AnlaB gebcn soll zu Speku­lationen tiber den Zusammenhang des BewuBtseins eines Bcobachtcrs mit dem Schrumpfen eines Wellenpackets, den Ubergang vom Miiglichen zum Faktischen usw., kurzum zu einer Quantenphilosophie, die an die Stelle der theoretischen Physik (d.h. gesetzmaBiger Verknlipfung objektiver MeB­daten) eine subjektive Phanomenologie von BewuBtseinsinhalten setzt.

Ein Teil der Unstimmigkeiten in der Diskussion tiber Messungs­theorie entspringt der etwas liberlebten Ansicht, daB Wellen in dualisti­scher Weise den Partikeln gleichberechtigt sind, oder anders ausgedrlickt, daB nicht nur Partikel sondern auch 'F-Wellen eine selbstandige Wescn­heit besitzen - obwohl gezeigt werden kann, daB sich die wellenartigen Gesetze der Quantenphysik in ganz einfacher Weise auf korpuskular­statistischer Grundlage erkliiren lassen. 1m besonderen ist das Inter­ferenzgesctz der Wahrscheinlichkeiten nicht als eine unabhangige, aus einer Laune der Natur den Partikeln auferlegte Verordnung anzusehen, sondern als das einzige mathematisch mogliche Verbindungsgesetz 4 zwi­schen den Wahrscheinlichkeitstabellen (Matrizen), wenn man libcrhaupt das Bestehen eines allgemeinen Verbindungsgesetzes postuliert. Und urn die quanten-periodische Verknlipfung zwischen Koordinaten und Impulsen zu erklaren, braucht man sich nicht auf ein "Prinzip" der Dualitat zu berufen, sondern erhalt jene Periodizitat aus einer Kombi­nation des allgemeinen Interferenzgesetzes mit der Forderung einer kon­stanten Wahrscheinlichkeitsdichte in qp-Raum s. Was aber die Messungs­thcorie betrifft, so hat die Suche nach einem befriedigenden Ubergang von der mikrophysikalischen zur klassischen Theorie wenig Aussicht auf Erfolg, solange man den Thesen a), b), c) mit ihrem Doppelsinn, ihren ganz unwescntlichen "Darstellungen", und ihrer Verkennung des Sinnes der Schriidinger-Gleichung anhangt, anstatt von der cinfachcn Beschrei­bung A, B, C auszugehen.

I LANDE, A.: Phys. Rev. 108, ii<)1 (1957). i, LANDE. A.: Amer. J. Phys. 24, S(, (1956).

Druck der UniVPfsitatsdru('kert'i H. Stiirtz AU .. WUl'Zlmrg

PAPER 104

FROM DUALISM TO UNITY IN QUANTUM

MECHANICS * ALFRED LANDE

I Idols of Duality

THE doctrine of duality maintains that neither discrete particles nor continuous waves have an exclusive claim to physical reality, that both are rationalised pictures fitting different experimental situations which, being complementary, yield a more complete knowledge of a micro­physical object only in their combination. I concede that a neutral stand toward the wave-particle controversy, leaning on the doctrine of duality, was justified during the earlier period of quantum theory when the evidence pointed sometimes in this, sometimes in the opposite direction. But I maintain that the continued cult of duality and com­plementarity represented as fundamental features of the microphysi­cal world has become an all too convenient evasion of a serious pro­problem of theoretical physics, viz. that of establishing a unitary theory of matter resting on a clear decision between particles or waves as the real constituents of matter. Realism is the only stand which can satisfy physicists in the long run (Einstein certainly was a physicist). Dialec­tical positivism practised by Bohr and Heisenberg may serve only as a temporary stopgap, as a comfortable excuse for indecision resting on an unfilled gap in our knowledge of theoretical interconnections between data. Actually, a decisive step in the direction of unitary theory was taken already thirty years ago by Max Born. According to his statistical interpretation, wave-like appearances are the combined effects of statistical arrangements of real particles; this was a clear repudiation of dualism with its claim that particles and waves are mere' pictures' and of equal rank. Those who accept Born's statis­tical particle interpretation cannot speak of duality any more than they would speak of the duality of water droplets versus water waves with autonomous wave laws, (a) because it is illogical to construe an opposition between things (droplets) and one of their many qualities

* Received 4. xi. S8

16

Reprinted from Brit. 1. Phil. Sci. 10, 1&-24 (1959).

455

456 ALFRED LANDE

DUALISM TO UNITY IN QUANTUM MECHANICS

(their occasional arrangement as waves), and (b) because the appa­rently autonomous wave laws can be reduced to general mechanical principles for droplets as the real basic constituents of water. In quantum theory, however, anything goes. The same theorists who adhere to Born's realistic particle interpretation of wave-like appearances during their working days, pay lip service to an alleged 'fundamental duality' in their Sunday talk. Thereby they not only violate the simple logical rule (a); but they ignore that, similar to (b), the appearance of separate wave laws in quantum mechanics can be reduced to a combination of general elementary principles for the statistical behaviour of particles -principles which do not presuppose anything wave-like, as will be discussed in Section 3 below. (We here deal exclusively with ele­mentary quantum mechanics, disregarding relativistic theories of creation and annihilation of matter in real measurable fields, in contrast to the waves of elementary quantum mechanics which for adherents of Born's unitary particle interpretation, i.e. for non-dualists, are but 'expectation waves' for particles.) The philosophically adorned vacillation between workday particle realism and Sunday dualistic positivism may be excused, however, by the fact that Born's particle interpretation has never been developed into a complete theory by furnishing an explanation as to why particles, in their statistical mani­festations, should obey interference and other wave-like laws. By , explanation' we here mean a reduction of the puzzling wave pheno­mena displayed by particles to simple and unsophisticated general principles valid for particles, without resorting to wave arguments, i.e. without taking the explicandum for granted-as does the Copen­hagen doctrine when it answers the question 'why' above with: , don't you know that duality and complementarity arefundamental qualities of matter?' It is a similar evasion of the basic quantum problem when the physicist Dyson 1 recently reports with obvious satisfaction :

The student begins by learning the tricks of his trade ... then he begins to worry because he does not understand what he has been doing. This stage often lasts six months or longer, and it is strenuous and unpleasant. Then quite unexpectedly . . . the student says to himself: 'I understand quantum mechanics', or rather he says: 'I understand now that there isn't anything to be understood.' ... For each new generation of students there is less resistance to be broken down before they feel at home with quantum ideas. . . .

1 F. J. Dyson, Scientific American, Sept., 1958

B 17

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

ALFRED LANDE

I must confess that for myself, and I am certain also for a number of other physicists, the state of worry has lasted many years rather than six months; they and I still refuse to be ' broken down' to accepting rules without an ' understanding' of them from a unitary point of view.

It is always helpful to look into the history of a disputed ideology. In contrast to the well-established atomic theory of matter, the pheno­mena of interference discovered by Davisson-Germer and G. P. Thomson seemed to indicate a continuous substratum supporting matter waves, a hypothesis strongly supported by the immense success of Schrodinger's wave equation. Theory was thus faced with the following problem: Supposing that matter really consists of particles, how can one explain, from the pure particle point of view and with the least amount of ad hoc hypotheses, the appearance of wave-like phenomena? And vice versa, suppose matter is continuous, how can one explain individual clicks in Geiger counters and other phenomena indicating particles with definite measurable masses and charges? It was assumed of course that only one of the two constitution hypotheses could be accepted in the long rW1 because' you cannot have peasoup and whole peas at the same time' (Einstein).

2 Ways of Escape

A solution of the dilemma seemed to arise from Schrodinger's result that, according to his wave equation, the crests formed by a group of material waves move along exactly as particles would move accord­ing to the laws of ordinary mechanics. Hence, what appears to be a particle might in reality be the crest of a wave group. This would indeed offer a most fascinating explanation of corpuscular appearances within unitary wave theory. Unfortunately, just according to the wave equation, the steeper a crest maximum, the faster will it flatten out and thereby lose all resemblance to a discrete particle. The attempt at establishing a unitary wave theory of continuous matter thus failed; it could not account for particle-like phenomena.

To end this deadlock, Max Born took the opposite stand. What appears to be a wave intensity is in reality the density of a statistical or probability distribution of particles. And Schrodinger's wave crest motion indicates that ordinary mechanics holds in the statistical average, though not for individual particles, a most satisfactory result connecting micro- with macro mechanics. But neither Born nor his successors deemed it necessary to provide an explanation, resting on pure cor­puscular arguments, why particles should ever display a wave-like

18

457

458 ALFRED LANDE

DUALISM TO UNITY IN QUANTUM MECHANICS

interference and other wave features in their statistical behaviour. Don't we have the Schrodinger wave equation? That is 'why'! Unitary particle theory so auspiciously begun by Born thus remained a torso.

Instead of regarding the lack of explanation of wave phenomena as a challenge to further efforts at constructing a complete quantum theory of particles, most physicists yielded to the nordic siren song­and among the Greats only Einstein, de Broglie, and Schrodinger ignored it-of talking away a problem by philosophical reflection, rather than solving it by the concrete methods of theoretical physics. If a problem seems to resist all efforts of solution, it may be a ' pseudo­problem '. At any rate it deserves a proper name such as' fundamental duality' and 'universal complementarity '. Moreover, why should one try to ' explain', or to decide between two rival' realities' ! The belief in a reality behind the phenomena, independent of thought and sensation, is a metaphysical prejudice. And there are no eternal and self-evident truths through which nature could be ' explained '. Let the physicists look for economical description; and if they fInd two economical descriptions, let us guard against bias, in particular when the two turn out to be complementary. Duality must be regarded as , fundamental', as an immanent characteristic of all matter. The desire for a unitary realistic theory is old-fashioned and naive.

To all this I reply: your dialectical positivism and neutrality is pure opportunism, is an evasion of a clearcut problem of theoretical physics, is turning inability into a virtue. If wlitary wave theory collapsed together with the wave crests, there is no reason to believe that unitary particle theory, too, should be doomed to failure for all time. Nor is it justifIed to put the physical question whether matter really is con­tinuous or discrete, on a level with the deep philosophical issue of reality which has occupied thinkers from Locke and Berkeley to modern times. Physics starts from the position of naive realism. Margen au' s fIreflyl continues as one and the same real being also between visible flashes at night. In' Quantentheorie und Wirklich­keit' Einstein 2 replies to the subjectivistic positivism of Bohr and Heisenberg as follows: 'The concepts of physics refer to a real wcrld, to things that claim real existence, independent of perceiving subjects.' And when further discussing his view he speaks, as would anybody else, of electronic particles, and he wonders how and why these real

1 H. Margenau, The Nature of Physical Reality, New York, 19)0 2 A. Einstein, Dialectica, 1948, 2, 320 .

19

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

ALFRED LANDE

particles display wave-like phenomena, or vice versa. To Einstein and to other realists, i.e. to all physicists on weekdays, whole peas or peasoup is still the question. It is not a ' pseudo-problem' which can be disputed away. The unqualified answer rather is ' peas'; it will be developed in the next paragraph.

3 Unitary Particle Theory

Destructive criticism is of little value unless followed by positive suggestion for improvement. The following short outline may indicate how a corpuscular explanation of the wave-like laws can be obtained within the statistical particle interpretation.

(A) The most prominent difference of quantum from classical mechanics is the occurrence of statistically ruled events, viz. transitions of a micro-mechanical system from one state to another during its interaction with a macroscopic instrument of measurement. The author has shown on other occasions 1 that statistical distribution of effects issuing from one and the same cause are closely related to, indeed must occur under, the postulate of cause-effect continuity, which requires a graded scale of fractional equality values between two states A and B of the same mechanical system (particle), ranging from A = B (identity, inseparability) to A=\= B (complete inequality, separability of A and B) via intermediate cases A ,.., B of ' fractional equality' or fractional separability. The latter case implies that a ' filter' built for passing particles in the state A with certainty, will react to B-state particles when B ~ A by sometimes passing, sometimes rejecting them, at a statistical ratio which may serve as a quantitative measure of the , equality fraction' between A and B, denoted as P(A, B). The same fraction P(A, B) also indicates the probability of transition from the state B to A and vice versa. The postulate of cause-effect continuity thus yields sufficient reasons for the lack of sufficient causes for individual events.

(B) The statistical particle interpretation calls for an explanation of two characteristic wave-like features of particle behaviour, one being the interference law of probability amplitudes. Instead of accepting this wave-like law for particles at face value, or as a manifestation of a universal' principle' of duality, it may be explained as follows.2 For very general reasons (symmetry of the probabilities of transition both ways in correspondence with classical reversibility) one can arrange the

1 A. Lande, this Journal, 1956, 6, 300; Mind, 1958, 67, 174; Phi/os. Sci., 1957, 34,309

2 A. Lande, Phys. Rev., 1957, loS, 891

200

459

460 ALFRED LANDE

DUALISM TO UNITY IN QUANTUM MECHANICS

probabilities P in quadratic tables in which every row and every column sums up to unity. Each table (PAB) which COImects one set of states A (e.g. the states of energy) with another set B (e.g. the states of position) is a ' unit magic square matrix'. A priori one might think that the various P-tables, (PAB) , (PBC) , P(AC) , etc. are entirely inde­pendent of one another. If, however, one introduces the postulate that the various P-tables are interconnected by a general self-consistent law at all, rather than presenting a chaos, then one arrives by pure mathematical reasoning at the conclusion that this P-connection law can only be of the form familiar to mathematicians as unitary trans­formation. The latter, however, is known to physicists as the inteifercnce law of probabilities. In detail: unitary transformation associates with every element P of a unit magic square matrix a complex quantity .p, i.e. a vector in a plane giving direction to the quantity P. The vectors .p then represent a structural framework in a plane by virtue of the matrix multiplication law, (.pAC) = (.pAB) . (.pBC), which is identical with the interference law of quantum phy~ics. The ~imple postulate that a general P-connection law exists at all leads by mathematicalneces­sity to interference, so that this wave-like feature is explained on a purely corpuscular statistical basis, without appealing to ' duality'.

(C) Another quantum feature, usually introduced ad hoc or with reference to wave-particle duality, is the periodic connection between co-ordinates q and momenta p, as well as between energy and time, best known through Planck's rule E = hll and de Broglie's rule p = h/'A. This periodic relation between' conjugate' dynamical observables, which re-appears in modern quantum mechanics as Born's commuta­tion rule, qp - pq = hI 2i7r, and as Schrodinger's p-operator rule, is the backbone of quantum dynamics. It usually is accepted as fWlda­mental without further attempt at understanding it from the particle point of view. To those not yet' broken down' to accepting quan­tum theory at face value, it is the most intriguing quantum riddle. Yet it may be explained on the basis of particle mechanics alone, without appealing to wave-particle duality, in the following manner.1

, Conjugate observables ' such as q and p, have a statistical density distribution which is constant for all q-values at given p, and constant for all p-values at given q. This constant statistical density in q- and in p-space is well known from classical theory; it is not a separate quantum assumption; nor does it imply any periodic relation between

1 A. Lande, Am. J. Phys., 1956, 24, 56; Foundations of Quantum Theory; a Study in Continuity and Symmetry, New Haven, 1955

21

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

ALFRED LANDE

q and p. Yet, in combination with the above-mentioned general ifs-interference law, it leads by mathematical necessity to the result that the probability amplitude function ifs(q, p) must be of the complex exponential form, exp(2i1Tqp/ const), describing a • wave function' of wave length A = const/p. With the constant denoted by the familiar letter h one thus arrives at the most prominent feature of the quantum mechanics of particles, the periodic connection between co-ordinates and momenta, without appealing to wave arguments of duality.

4 General Conclusions

How does all this affect the status of duality, qp-periodicity, and complementarity as fundamental and ultimate principles of nature? Let . us ask the following analogous question: Someone has found experimentally that in every paper-cut triangle, the three altitudes intersect in one point, and that the same applies to the three medians and the three angular bisectors. He concludes that he has discovered a deep and fundamental geometrical feature, the principle of unity in trinity, with analogies in social relations, music, and so forth. Later he realises that his discovery could have been derived as a consequence of the (almost self-evident) general axioms of Euclid. will he still maintain that • unity in trinity' is an ultimate principle? The writer does not question the usefulness of the wave-particle antithesis for heuristic purposes. But he thinks that a better understanding of quantum mechanics can be attained-for those who did not yet arrive at the experts' view that ' there isn't anything to be understood '-by recognising the quantum principles as consequences of more general, more elementary, ground postulates upon which one can erect a unitary particle theory which at the same time explains wave-like appearances rather than merely accepting them as matters of fact or as manifestations of an immanent • duality'.

In a recent articlr 1 N rls Bohr reiterates wh?t h~ has toB us many times before :

This difficult task (of a rational generalization of classical mechanics) was eventually accomplished by the introduction of appropriate mathematical abstractions. Thus in the quantum formalism, the quantities by which the state of a physical system is ordinarily defined, are replaced by symbolic operators subjected to a non-commutative algorism involving Planck's constant. 1 Niels Bohr, • Quantum Mechanics and Philosophy', Survey of Philosophy ill

Mid-Century, Copenhagen, 1958

22

461

462 ALFRED LANDE

DUALISM TO UNITY IN QUANTUM MECHANICS

However, the same might be said of plain ordinary wave optics where it also has been found convenient to use the cabbalistic sign vi =I as an 'appropriate mathematical abstraction'. In my opinion it is time to overcome the idea that quantum mechanics is a kind of mathematical sorcery conjuring observable results as materialisations of abstract laws of nature which 'cannot be understood '. The simple laws of quantum mechanics rather are rational consequences of ordinary, elementary, plausible, and general principles concerning the statistical behaviour of matter particles, which can be grasped by any person who is ready to abandon the obsolete cult of dualism in favour of a unitary theory in which real particles produce wave-like appearances, as proposed thirty years ago by Max Born.

A few remarks may be added concerning the Theory of Measure­ment which has come into the limelight again through the Bristol Symposium on Observation and Interpretation of 1957. The starting point of the discussion always is the Heisenberg-von Neumann story of the sudden contraction and gradual expansion of a wave packet, telling us that a mechanical system undergoes two kinds of process, namely (a) a gradual change of state controlled by the reversible Schrodinger equation when the system is left alone, and (b) a sudden irreversible change of state during an act of measurement. Physicists are wondering of course how a consistent theory could account for two such entirely different kinds of process. My answer is that the tale of the two processes is a myth resting on a double mcaning of the term' state '. In (a) state means' state of expectation' in the mind of some observer who knows quantum mechanics. In (b) it means' physical state' of the system.l A sudden change of word­meaning cannot of course be understood in terms of a differential equation.

The source of the double meaning can be seen in a wrong inter­pretation of the Schrodinger equation as a 'process equation', as describing the gradual change of the physical state of a system. The Schrodinger equation does nothing of the kind (if one accepts Born's statistical interpretation). It rather describes a mathematical relation between various formalistic representations of one and the same physical state S [or Hilbert vector S, represented in terms of its orthogonal components with respect to the states (xyz, tA)' and also represented by its orthogonal components with respect to the states

1 A. Lande, • Zur Quantentheorie der Messung', Zeitschr. Physik, I958, 153, 389

23

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

ALFRED LANDE

(xyz, fB)), the component representations being y, (xyz, tA) and y, (xyz, tB)' and the two functions y, being connected by the Schrodinger equation.

Summary

When Schrodinger's idea of a unitary wave theory of matter, with wave crests giving the appearance of particles, proved untenable, Born took the first step toward a unitary particle theOlY of matter. How­ever, his interpretation was never completed into an explanation as to why the statistical behaviour of particles should be wave-like. The temporary lack of a complete unitary particle theory was then turned into a virtue by proclaiming dualism as 'fundamental', thus talking away a problem rather than solving it. The cult of duality and complementarity is an opportunistic evasion of a clear problem of theoretical physics, which can be solved, however. Three steps leading to a solution of the problem of wave appearances within pure particle theory are outlined; details have been published in physical journals. A return from the subjectivistic positivistic neutrality of Bohr and Heisenberg to a realistic unitary theory is possible.

Department of Physics and Astronomy Ohio State University Columbus, Ohio

24

463

464 PAPER 105

Heisenberg's Contracting Wave Packets

ALFRED LANDE

The Ohio State University, Columbus, Ohin

(Received November 3, 1958)

The discontinuous contraction of a wave packet preceded and followed by a continuous ex­pansion controlled by SchrOdinger's equation is a much discussed difficulty in the quantum theory of measurement. It is shown to rest on a mistaken interpretation of Schrodinger's equation as a uprocess equation" and on two different usages of the word "state," first as a subjective expectation state of an observer, then as the physical state of the object, and finally as a subjective expectation state again, with a sudden change of word meaning \vhich of course has no place in a physical theory.

T HE following statements have been discussed in the quantum theory of measurement.

(a) A ~-function represents a state of a system.

(a') A ~-function does not represent one but rather a sequence of states changing according to the Schriidinger time-dependent differential equation as a kind of statistical equation of motion.

It is further said that a function ~ (r,t) suddenly collapses when:

(b) a point event takes place at a meas­uring instrument,

(b') only when an ohserver perceives the point event so that his subjective expecta­tion changes.

This so-called "reduction of a wave packet" IS said to take place:

(c) as a physical contraction process with the velocity of light,

(c') as a mental process with the velocity of thought, i.e., instantaneously everywhere in space.

During this (physical or mental) contraction process the Schriidinger equation is invalid. It begins to operate again:

(d) when the point event has taken place, (d') only when an observer has realized

that the event has taken place. Heisenberg in a philosophical mood also tells us that a ~-function, or a vector in Hilbert space, is (we quote),'

(e) completely "objective," i.e., no longer contains features connected with the ob­server's knowledge,

1 W. Heisenberg, Niels Bohr and the Development of Physics (Pergamon Press, Inc., New York, 1955).

(e') completely abstract and incompre­hensible since the various expressions ~(q), ~(p), etc., do not refer to real space or to a real property; it thus, so to speak, contains no physics at all.

The writer would like to know which of the opinions (a) to (d') agree with Heisenberg's (e) and (e'). He also has difficulty in understanding why the lack of knowledge (e) shouhd be a criterion for objectivity, and why a function describing sta­tistical experience should be called abstract, in­comprehensible, and should contain no physics at all. He rather sees in the contradictions (a) to (d') together with the authoritative statements (e) and (e') the source of further misunderstand­ings, pseudo-problems, and pseudo-solutions dis­cussed at various Symposiums on the Theory of Measurement.' Instead of criticizing the opinions of others, the writer may be permitted to present his own view as to what the statistical interpreta­tion has to say to this controversy.

One of the chief tenets of (statistical) quantum mechanics is the projection postulate: a measure­ment converts the original state of an object into an eigenstate of the measured observable. Or in detail: when a system has been tested first by an instrument-let us call it an S-meter-and has emerged in the eigenstate Sk, and when the system is now subjected to a test by an A-meter, it will jump to one of the eigenstates AI, A" ... with probability P(Sk,A m), and will stay in the newly acquired statc A m until it is subjected to another test, by a B-meter, say. One has to be very careful, however, when using the word

2 Ninth Symposium of the Colston Research Society (Bris­tol, 1957); P. K. Feyerabend, ibid. p. 121; G. Silssmann, ibid. p. 1.11.

415

Reprinted from Am. 1. Phys. 27, 415-417 (1959).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 465

416 ALFRED LANDE

"state" in this context. For a hydrogen atom, energy alone does not define a "state," but com­bination of energy, angular momentum, its s­component and that of the spin; in short the com­bination (n,l,m,s), defines a state. Position does not define a IIstate," but position ric at a certain time IA does. The same (or any other) position at another time IB represents another "state." The state A. = (r. at time tAl is connected with the state B;= (r; at time tB ) by a probability P(A.,Bj ), symmetric with respect to A. and Bj •

Every quantity P connects two physical states, and the magnitude of P can be determined by repeated test experiments.

Much has been written about the complex quantity"', as being abstract and incomprehensi­ble,l and because of Hthe use of imaginary num­bers, not [being] susceptible to pictorial interpre­tation.'" The simple fact is that the P's are con­nected by a general mathematical correlation law, a P-metric, viz. that of unitary transforma­tion. The simplest formulation of the latter is obtained when one associates with every P a vector direction in a plane (vectors in a plane can be written as complex symbols) so that these vectors form a structure in a plane. This struc­tural law of unitary transformation is indeed the only conceivable general self-consistent law fit to connect P-tables with unit sums in the rows and columns.' But whether unpictorial or incompre­hensible, every "" similar to the corresponding P= 1"'1', connects two states: ",(S.,A m) connects the two states S, and Am by a vector in the plane structure of transition probabilities P. Neverthe­less it is justified to regard the entirety of the quantities ",(Sk,A ,), ~,(S.,A,), etc., i.e., thefunc­tion ,,(S.,A m ) for m = 1,2, ... as characteristic of, or as representing, the one state Sk. In mathe­matical terms, the one Hilbert vector S, can be represented by its directional cosines with the entirety of a complete orthogonal set of other Hilbert vectors A .. A" .... However, the same one state S. can also be represented by the func­tion ",(S.,B j ) for j = 1,2, ... , and in an infinite number of similar ways. This is the quantum view quoted under (a) in the foregoing.

Opposed to this correct view (a) is the often

• N. Bohr, Dialectica 2, 312 (1948). • A. Lande, Phys. Rev. 108, 891 (1957); Am. J. Phys.

24, 56 (1956).

heard opinion (a') that the function ",(S.,A .. ) for m = 1,2, ... describes a statistical distribution over the states A, and that the function ",(S.,BI) for j= 1,2, ... describes another state of statisti­cal distribution, this time over the states B. In particular, when A m is exemplified by the posi­tional state rm at lA, and B j by rj at tB, then the function ",(S,; r.tA) of r, often written as ",. (r.tA), is said to represent one statistical distribution, and ",(S.; r,tB) another such distribution, with the SchrOdinger equation controlling the gradual process of change from the one to the other dis­tribution state. But this is certainly at variance with (a) according to which both functions repre­sent one and the same physical state S, of the system. According to the (correct) statistical view (a), then, the Schrodinger equation does not de­scribe a process of development from one distri­bution state to another in the course of time. It merely connects two different mathematical rep­resentations of one and the same physical state S •. The "change" between tA and IB is not a process.

The fact that two mathematical representa­tions of one and the same physical state S. are connected by a differential equation is of great importance to the theoretical physicist who is concerned with relation laws between objective physical states ascertained by measuring instru­ments. This fact has' been turned, following Heisenberg, into a subjective report about "ex­pectations" of an "observer" who reflects about what may happen in tentative experiments at time IA or tB. According to this subjective version it looks, as Margenau' justly remarks, as though "physics has seriously begun to describe human knowledge, a subjective aspect of the mind, in terms of differential equations involving physical constants." (But Margenau declines the "projec­tion postulate" which, in this writer's opinion, is the backbone of quantum mechanics.) At any rate, one must not confuse the physical state of an object, Sk in our case, with a "state of expec­tation" of an observer who likes to speculate about what might happen in this or that future experiment.

Yet this very confusion of two different usages of the word "state" has led Heisenberg and von Neumann to the doctrine that "the state" of a

• H. Margen,u, Phil. Sci. 25, 23 (1958).

466 ALFRED LANDE

HEISENBERG'S CONTRACTING WAVE PACKETS 417

system can undergo two kinds of processes, namely:

(f) When the system is isolated, its state changes gradually in a reversible fashion con­trolled by Schrodinger's differential "process equation."

(g) When the system comes in contact with a measuring instrument, its state changes irreversibly in an abrupt fashion not controlled by the Schrodinger equation.

(h) \Vhen removed from contact with the instrument, the continuous process (f) takes over again, this time starting from the state newly acquired according to (g).

It is the often told story of the expanding, then suddenly collapsing, then again expanding wave packet, which would have substance only if the word "state" had the same meaning in (f) and (h) as in (g). But in (g) "state" means physical state of the object which indeed, according to the statistical interpretation, changes abruptly in contact with an instrument. In (f) and (h) IIstate" refers to a subjective "state of expecta­tion" of an observer who knows the transforma-

tion formulas of quantum mechanics. All this is well known and accepted by most quantum phys­icists in their active work. It is hard to see th~re­fore why one also should cling to the gradual ex­pansion and sudden contraction of wave packets, resting on a surreptitious change of word meaning, as the background for a theory of measurement.

In the writer's opinion it is incompatible with the statistical interpretation of quantum theory even to ask "how" the discontinuous change of physical state comes to pass during a measure­ment, the "how" referring to a more or less causal description. Von Neumann was certainly right in his contention that quantum mechanics cannot be reduced to causal chains, even if his prool has turned out to be circular.' Least of all, however, could such a change of state be understood on the grounds 01 the Schrodinger equation since this equation does not describe a process, but con­nects different representations of one and the same physical state.

& L. de Broglie, La Physique quantigue, restera t' elle in­deterministe (Gauthier-Villars, Paris, 1953); P. K. Feyera­hend, Z. Physik. 145,421 (1956).

PAPER 107

Aus dem Physikalischen Institut der Ohio State University, Columbus, Ohio, USA

Warum interferieren die Wahrscheinlichkeiten? Von

ALFRED LANDE

(Eingegangen am 17. Juli 1961)

Reprinted from Z. Phys. 164,558-562 (1961).

467

468 ALFRED LANDE

The wavelike interference law connecting various transition probabilities, usually taken as the expression of a basic and irreducible quantum dualism, is derived as a consequence of the postulate that a general connection law between the probabili­ties exists at all, together with requirements of symmetry, invarianee, and other features of a non-wavelike nature. Duality is thus divested of its fundamental character, and a way is found to understand quantum mechanics on a non-quantal basis.

1. Auf die Frage naeh dem Grund der Wahrseheinliehkeitsinterferenz hort man zwei Antworten. Erstens, die Physik habe gar nieht zu er­kHiren, "warum" gewisse Naturgesetze gelten; sie miisse sich vielmehr mit geordneter Besehreibung begniigen. Dieser Ansieht widerspricht aber die Erklarungsfolge KOPERNIKUS-KEPLER-l'\EWTON-EI};STEIN. Und die Quantentheorie ist heute best en falls im Kepler-Stadium ange­kommen. Deshalb ist aueh die zweite Antwort, die Wellenregeln der Partikelmechanik seien eben der Ausdruek eines Grundprinzips der Dualitat, nicht befriedigend. Denn die Berufung auf Dualitat ist in diesem Zusammenhange eben so tautologisch, wie etwa cler Hinweis auf ein horror-vacui-Prinzip angesichts der Schwierigkeit, leere I{aume her­zustellen. Was wir als "Erklarung" brauchen ist vielmehr eine Zuriiek­fiihrung cler befrcmclenclen wellenahnlichen Regcln cler Teilchenmecha­nik auf einfache und plausible nicht-wellenmaBige Grundsatze. Die im folgenden gegebene dritte Antwort auf clie obige Frage lautet nun: An­genommen daB die \Vahrscheinlichkeiten iiberhaupt einem allgemeinen Verkniipfungsgesetz unterliegen, so kann clieses Gesetz unter einfachen Zusatzannahmen, die nichts mit Wellen zu tun haben, nur das der wellen­ahnlichen Interferenz sein. Die Interferenz kann dadurch als mathe­matisehe Notwendigkeit <Jersianden werden, statt dan man sie als merk­wiirdigcs Naturspiel anzlInehmen hat.

2. ZlInachst einige Bemerkungen iiber die Wahrscheinlichkeiten selbst, ohne Riicksicht auf ein gegenseitiges Verkniipfungsgesetz. Ver­schiedene Beobachtungsgro!3en A, B, C, ... (Ort, Energie, Impuls, ... ) mogcn fiir ein gegebenes mechanisches System (Atom) gewisser Werte­reihen Al A2 ... A" und BI B2 ... B N , usw. fahig sein. \Vie gran diese "Eigenwerte" sind, und ob sic diskret oder kontinllierlich verteilt sind, interessiert uns hier nieht. Nur mogen die Multiplizitaten M und 1\1

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

\Varum interferieren die \Vahrscheinlichkeitcn? 559

der Wertereihen als endlich angenommen werden, urn mathematische Schwierigkeiten zu vermeiden.

Angenommen nun, daB eine A-Messung den Zustand Ak des Systems aufzeigt oder besser gesagt hervorru;t. Bei darauf folgenden B-Mes­sungen werden die verschiedenen Zustande Bn mit gewissen statistischen Haufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten W(Ak-+B,,) auftreten. Die experiment ell festgestellten GriiBen W kiinnen dann in einer Tabelle von M Zeilen und N Spalten, der Matrix (W:4b), zusammengestellt werden:

(1)

Ahnliche Matrizen lassen sich fiir die Ubergangswahrscheinlichkeiten zwischen andern Zustandsreihen tabulieren, z.B. (WAd, (WBe), usw. Jede Reihe von W-GriiBen summiert sich dann zu Eins auf. 1m beson­deren ist (WA A) eine Einheitsmatrix, mit Einsen in der Diagonale und Nullen auBerhalb. Dasselbe gilt fUr (WBB) usw.

In Analogie zur Umkehrbarkeit klassisch dynamischer Prozesse fiihren wir jetzt die S ymmetrieannahme ein:

-------W(Ak-+Bn) = W(Bn-+Ak) , oder (WAd =(U~A)' (2)

so daD die Pfeile von jetzt an fortgelassen werden kiinnen. Da nun die Spalten der Matrix (WAB) gleich den Reihen der Matrix (WEA ) sind, letztere sich aber 7:U Eins summieren, gilt dasselbe auch von ersteren. Das heiBt in jeder Matrix summieren sich Reihen wie Spalten zu Eins auf. Daher muG die Zahl der Reihen M gleich der Zahl der Spalten N sein. Die W-Matrizen sind also "magische Einheitsquadrate", woraus folgt, daB die Zustandsreihen A und B und C usw. alle die gleiche Multi­plizitiit besitzen. (Dies bedeutet eine starke Einschrankung des Begriffs "Zustand" in der Quantentheorie.) Zum Beispiel definiert die Lage keinen Zustand, wohl aber die Lage zu einer bestimmten Zeit (r, t). Denn (rk> tAl ist mit (rn' tB ) durch eine Ubergangswahrscheinlichkeit W verkniipft. Ferner ist W(rk' tA: fl' tAl =Okl. Zusammcnfassend: Aus der Symmetrie (2) folgt

die W-Matrizen sind magische Einheitsquadrate, (3)

-------(W:4B) = (WBA ) unddabei (WAA ) =(1). (4)

3. Wir machen jetzt die Annahme, daB zwischen den verschiedenen W-Tabellen, d. h. zwischen den magischen Einheitsquadraten (WA B), (W4 cl, (WBd usw. ein aUgemeines Verbindungsgesetz besteht, und fragen dann nach miiglichen Formen eines solchen Gesetzes. Statt der Ma­trizen (W) betrachten wir zunachst "GriiBen" <P usw. und fiihren gleich

469

470 ALFRED LANDE

560 ALFRED LANDE;

die weitere Beschrankung ein, daB das Verkniipfungsgesetz triangular sein soil, so daB z. B. P A e durch P A B und PBe bestimmt ist. Ent­sprechendes soil dann fiir irgend welche drei Buchstaben in irgend­welcher Anordnung gelten. Diese Allgemeinheit bedeutet aber erstens, daB die verbindende Gleichung

5(PABPBCPCA)=0 oderkurz 5(A,B,C)=0 (5)

symmetrisch in A, B, C sein muB. Zweitens, damit auch bei anderen Buchstaben keine Widerspriiche entstehen, muB die Verbindung transitiv sein, so daB sich aus den drei Gleichungen

5(A,B,C)=0 und 5(A,B,D)=0 und 5(A,C,D)=O

die vierte Gleichung 5(B, C, D) =0 als Falge ergibt. Wir untersuchen nun systematisch aile Faile, die unter dieser Forderung der Allgemein­heit (Symmetrie und Transitivitat) moglich sind.

4. Das einfachste triangulare Geset7. lautet

(/) An + PBC ..L PCA = K mit konstantem K. (6)

Es ist in der Tat symmetrisch gegeniiber Buchstabenvertauschungen sowie auch transitiv. Anwendung auf den Sonderfall A = B = C ergibt als Nebenbedingung

PAA=tK, unddann PAB+PBA=!K. (6')

Besonders einfach ist der Fall K =0, wo

PAn+PBc+PCA=O mit PAA=O und PAn~-PJJA' (7)

Die nachst einfache symmetrisch triangulare Verbinclung ist zweiten Grades und lautet (wir nennen die GroJ3en jetzt X):

X AR X JJC + XBCXCA + X CA X A B = L = konst. zugleich mit

X AA = VLi3 und X BA = (L -- VL/3 X BA )/(V.LI3 + X BA ).

Dies ist zwar eine symmetrische, aber so vcrwickelte Gleichung zwischen X A B und X B A , daB jede Beziehung zu dem gesuchten Gesetz fUr (TV,j B) c_~

(~) ausgeschlossen ist. ganz abgesehcn von Zweifeln iiber die Transi­tivitat der obigen X-Verbindung. Und der einfache Fall L =() kann nur durch Vcrschwinclen aller X-Werte erfiillt werden. Ahnlich ist es mit andercn X-Kombinationen zweiten Grades, die hier nicht hingeschrieben zu werden brauchen.

Der nachste Fall ciner triangularen und symmctrischen Verbindung ist dritten Grades, namlich das Proclukt

'PA B . 'PB C • 'Pc A = G mit konstantem G. (8)

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

'Varum interferiercn die Wahrscheinlichkeiten? 561

Es ist im wesentlichen identisch mit dem Additionsgesetz (6), aus dem es durch 'P = e<1J und G = eK hervorgeht. (8) verlangt im besonderen

~ A = G~ und 'PA H . 'PH A = Gl

Fiir K = 0, also G = 1 erhii.lt man die einfachere Form

~B'PBC'PcA =1 oder anders geschrieben

(8')

(9)

In ii.hnlicher 'Weise kann man symmetrische Verbindungsgesetze vierten und hoheren Grades konstruieren und auf Transitivitat untersuchen. Die dabei auftretenden Beziehungen zwischen X A B und X B A sind dabei noch verwickelter als im obigen Falle zweiten Grades. Als Muster fiir ein allgemeines Verkniipfungsgesetz zwischen den magis chen Einheits­quadraten (3), (4) bleibt also nur (6) und (8) bzw. (7) und (9) iibrig, wodurch unser Problem sehr erleichtert ist.

5. Von den "GroJ3en" f/J, X, 'P im allgemeinen wenden wir uns jetzt den quadratischen Matrizen (W) gemeinsamer Multiplizitat M2 zu, fiir welche ja ebenfalls die Addition und Multiplikation in bekannter Weise definiert ist. Setzt man nun (W) in obige Gesetze fiir f/J, X, 'P ein, so zeigt sich, daB weder sic, noch die nicht hingeschriebenen Gesetze hoheren Grades, die magische Quadrateigenschaft invariant lassen. Somit erhii.lt man das Resultat, daB die Wahrscheinlichkeiten iiberhaupt nicht durch ein eindeutiges trigonales Gesctz verbunden werden konnen. Halt man also an der Forderung cines allgemeinen trigonalen Verkniipfungs­gesetzes fest, so muB man mit einem mehrdeutigen Gesetz zufrieden sein.

Durch dieses Ergebnis wird aber unser Problem wieder recht un­bestimmt - auBcr wenn wir eine neue einschrankende Bedingung ein­fiihren. Wir wollen nun postulieren, daB die gesuchte mehrdeutige Verbindung zwischen den W-Matrizen auf einem der eindeutigen Ge­setze als Unterbau gegriindet ist. Die Mehrdeutigkeit konnte dann ent­weder durch eine quadratische oder kubische oder hohcr-gradige Ver­bindung zwischen W und f/J oder X oder 'P usw. zustandekommen.

6. Damit ist aber die Losung unseres Problems so fort angezeigt. Denn man erhalt eine Beziehung zwischen magischen Einheitsquadraten dann, und nur dann (unter den obigen Einschrii.nkungen), wenn man die eindeutige 'P-Verbindung (9') fiir Matrizen

als Unterbau benutzt und dann, im Fall reeller 'P, die Beziehung

W = p2 mit 'P(Ak---+Bn) = 'P(Bn---+ A,,) , (11)

471

472 ALFRED LANDE

562 ALFRED LANDE: \Varum interferieren die \Vahrscheinlichkeiten ?

und im Fall komplexer P (* bedeutet komplex-konjugiert)

einfiihrt. (11) ist als orthogonale Transformation und (11 ') als deren Verallgemeinerung zur unitiiren Transformation bekannt. (11 ') ist aber identisch mit dem Interjerenzgesetz der Wahrscheinlichkeitsampli­tuden P, das die Griinder der Quantenmechanik nach 25jahrigem Suchen durch geniale Intuition gefunden haben und jetzt als ein weiterhin nicht erklarbares Grundgesetz anzusehen pflegen. Es ist gewiB kein Kunststiick. nachtraglich zu zeigen, daB man zum gleichen Ergebnis auch durch formale. beinahe aprioristische Betrachtungen hatte kommen k6nnen. Wenn aber "Erklarung" gleichbedeutend mit einer Zuriick­fiihrung von merkwiirdigen Naturgesetzen auf einfache und allgemeine Grundforderungen ist. so mag die in der Uberschrift genannte Frage als beantwortet gelten. Dabei sei bemerkt, daB keine der obigen Ein­schrankungen * (Triangularitat und eindeutiger Unterbau) irgend etwas wellenartiges enthalt, und trotzdem die wellenahnliche Interferenz re­sultiert.

7. Ahnliches gilt von der Frage: "Warum besteht ein periodischer Zusammenhang zwischen Orts- und Impulskoordinaten, wie er sich in der Wellenfunktion P(q.p)=exp(2inqPlh) ausdriickt?". Es ist die Frage nach dem Grunde der Quanten-Dynamik. Die Antwort wurde vor kurzem in dieser Zeitschrift auf Grund einer einfachen Invarianz­forderung fiir q und P gegcbcnl. Zusammenfassend laBt sich deshalb sagen, daB man zur Rechtfertigung des wellenhaften statistischen Ver­haltens der Materie sich keineswegs auf ein beschreibendes .. Prinzip" der Dualitat zu berufen braucht. Der \V'ellencharakter der Quanten­theorie kann vielmehr aus Postulaten der Symmetrie. Invarianz und anderen nicht-wellenartigen Zusatzforderungen hergeleitet werden 2. Eine Dualitat zwischen Teilchen und Wellen ist iibrigens seit der statistischen Deutung (DUANE 1923 und BORN 1926) unlogisch geworden als ein Gegensatz zwischen Dingen (wie z. B. Kranken) und einer ihrer vielen Eigenschaften (der wellenfOrmigcn statistischen Epidemiekurve).

* Es ware moglich. daB die Fordernng eines allgemeinen Verkniipfungsgesetzes zwischen magis chen Einheitsquadraten als Lasung nur die der unitaren Transfor­mation zulaOt. ohne daB man ausdriieklieh die Einschrankung anf Trigonalitiit und eindcutigen unterban einzufiihren braueht - obwohl sich diese Behauptung ::ichwer beweisen lassen wird.

1 LANDE. A.: Z. Physik 162. 410 (1961). - Statt der Druckfehler b(q) in (6) und f3(q) vor (7) lies b(P) und f3(P).

2 LANDE. A.: From Dualism to Unity in Quantum Theory. Cambridge: The University Press 1960.

PAPER 108

Aus dem Physikalischen Institut der Ohio State University, Columbus, Ohio, USA

Ableitung der Quantenregeln auf nicht-quantenmaBiger Grundlage *

Von

ALFRED LANDE

(Eingegangen am 6. Februar 1961)

* Pr1Lzisierung und Vervollst1Lndigung eines an anderer Stelle gegebenen Be­weises, s. ALFRED LANDE, From Dualism to Unity in Quantum Physics, S. 59-60. Cambridge University Press 1960.

Reprinted from Z. Phys. 162, 410-412 (1961).

473

474 ALFRED LAND~

The general law of probability interference is only the first step to quantum me­chanics; it does not yet contain wave-like periodic traits. The latter enter the theory only through additional dynamical rules for the connection between co­ordinates and momenta, typified by the wave function 'P{P, q} = exp{2inqpJh}. This quantum-dynamical rule is shown to be derivable from a non-quantal, non­periodic requirement of invariance of certain quantities with respect to displacement of the zero point in q- and p-space.

Bei einem systematischen Aufbau der Quantenmechanik kann man zwei Stufen unterscheiden. Zunachst hat man das allgemeine Verkniip­fungsgesetz zwischen den Wahrscheinlichkeiten mit Interferenz der Amplituden 'P, mathematisch bekannt als das Schema der unitaren Transformation. Observable spielen dabei die Rolle von Tensoren, und 'P ist der Einheitstensor. Eigentlich quantenhafte Ziige, d. h. durch h beherrschte periodische Verkniipfungen zwischen Koordinaten und Impulsen findet man erst auf der zweiten Stufe, namlich in den Quanten­regeln

p = (!i/i) 8/8q, pq-qp =!i/i, (1a, b) und**

'Pqp = const . exp (iqP/!i) (1 c)

die auseinander folgen, wenn eine von ihnen axiomatisch angenommen wird. Die Quantenregeln haben aber einen Sinn nur, wenn man die erste Stufe (unitare Transformation) schon voraussetzt.

1m folgenden wird versucht, die periodische Quantenregel (1 c) auf nicht-quantenhafter (nicht-periodischer) Grundlage abzuleiten, wieder

** Der Einwand, daB 'P{P, q} in Gegenwart eines Feldes andere Formen habe, beruht auf einem MiBverstandnis: 'P{P, q) als Losung der Operatorgleichung p'P{P, q) =p' 'P{P, q} hat stets die Form exp{2inqpJh}. Es gibt aber auch noch andere Funktionen, 'P{E, q) genannt, welche Losungen anderer Operatorgleichungen, H'P{E, q) = E· 'P{E, q), sind.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

Quantenregeln anf nicht-ql1antenmaJ3igcr Grundlage 411

unter Voraussetzung der ersten Stufe. \,yir fiihren daw folgende For­derungen fiir konjugierte p und q ein:

A. Die Komponenten l~p' jeder Observablen T(q) hiingen nur von der Differenz p - P' abo

B. Dasselbe mit Vertauschung von q und p. A. B. enthalten nichts periodisches, sondern verlangen nur die 1n­

varianz gewisser von zwci p-\Vertcn (oder zwei q-\Verten) abhangenden GroBen gegen Verschiebungen des p- und q-Nullpl1nkts - was sehr vie! plausibler erscheint als die Quantenregeln (1) selbst. Aus A. und B. wollen wir jetzt ableiten, daB die Komponenten 'f~p des Einheitstensors, gewiihnlich als Funktion 'P(q, P) geschrieben, die Form (1 c) haben muB.

Zum Beweis benl1tzcn wir die allgemeine Transiormationsformel

(2)

Wenn nun die linke Seite fiir jedc Funktion T(q) nur yon p - P' ab­hangen soll, muG dasselbe auch im speziellen Fall ciner Deltafunkhon, D (q) = 0 (q - qo) gclten, wo (2) sich auf

reduziert, und zwar fiir jeden gewahlten \Vert qo, fiir den wir jetzt wieder q schreiben wollen. Die Frage ist nun: Welche Funktion 'Pqp erfiillt die Bedingung (3), d. h.

1{fqf, . 'Pq P' = f (P - P') ? (3')

Wie gleich bewiesen wird, lautet die Antwort: nur die Funktion

(4)

WO lX(q) ein reellcr von q abhangiger Faktor ist. Mit (4) wird dann auch die linke Seite Yon (2) nur von p -p' abhangen Iiir jedes T(q).

Zum Beweis von (4) setze man 'Pqp als Potenzreihe an:

(5)

mit von q abhangigen Koeffizienten, substituiere in (3') und ordne nach Gliedern aufsteigenden Grades in p und p'. Damit das Resultat rechts eine Funktion von p - P' wird, mUssen die Koeffizienten A" in gewissen Verhaltnissen stehen. Zunachst stellt sich heraus, daB At rein imaginar sein muG, At =irx, mit reeller Funktion IX (q). Danach erhalt man fUr die anderen Koeffizienten solche Werte, daB (5) zu der in (4) nieder­geschrie benen Exponcn tia!funktion wird.

\Vegen der Forderung B. erhalt man das entsprechende Resultat

Ppq = bo~ exp U· P(P)· q] = 'Pqf (6)

475

476 ALFRED LANDE

412 ALFRED LANDE: Quantenregeln auf nicht-quantenmii.lliger Grundlage

mit reeller Funktion ~(t). Vergleich von (4) mit (6) ergibt

ao(q) = bo(P) = const

(X (q) = q und ~ (P) = - P mal reeller const,} (7)

so daB Pqp schlieBlich die Form

Pqp = const· exp [iqp. reelIe const] (8)

annimmt, q.e.d. Nattirlich kann man nicht aus allgemeinen Betrach­tungen die GriijJe der reellen Konstante im Exponenten erhalten. Die periodische Grundregel der Quantendynamik ist somit aus den nicht­periodischen Forderungen A. und B. abgeleitet, die man auch als eine Definition der Konjugiertheit ansehcn kann. Entsprechendes gilt fiir E und t.

Die obige Betrachtung ist der SchluBstein der Bestrebungen, die Quantenmechanik aus einer Kombination nicht-quantenhaftcr Symme­trie- und Invarianzforderungen zu deduzieren.

PAPER 109 477

ALFRED LAND£

Dualismus, Wissenschaft und Hypothese

Der folgende Aufsatz ist unter dem Eindruck eines Briefwechsels mit HEISENBERG im Jahre 1960 entstanden. Wahrend die Lehrmeinung des Dualismus kaum wirksamer vertreten werden kann als durch HEISENBERGS beriihmte Chicagoer Vortrage (1929), die das Denken einer ganzen Generation von Pbysikern entscheidend beeinfiuBten, vertritt Verfaaser die Ansicht, daB ein einheitliches Vorstellungsbild auch in der Quantenphysik durchfiihrbar ist, nach welchem Elek· tronen und andere Partikel keine Wellennatur besitzcn, sondern der Quantenmechanik gehorchen.

I. Die Materiebeugung

Bei der Auistellung der Relativitats- wie auch der Quantentheorie hat eine metho­disch wichtige Regel eine leitende Rolle gespielt: Beseitige aHe Gedankenkonstruk­tionen, die nieht durch physikalische Operationen begriindet sind (absoluter Raum, Elektronenbahnen usw.), und ganz allgemein: BefleiBige Dieh groBtmoglicher OkonOInie des Gedankenbildes. Es seheint jedoch, aIs ob diese Lehre nach enolgreicher Auf­stellung des Quantenformalismus wieder in Vergessenheit geraten ist, und daB man ohne Not an recht umstandlichen VorsteHungen festhalt und sie sogar fiir grundlegend halt. Dieser Vorwun trifft im besonderen den Ideenkreis des Dualismus, der zwar urspriinglich von graB em heuristischem Nutzen war, inzwischen aber, und zwar gerade durch die Entwicklung der Quantenmechanik m. E. zum ideologischen Ballast geworden ist. Naturlich handelt es sich bei dieser Kritik nicht um theoretische Physik, d. h. um die regu!are Verknupfung von Beobaehtungskomplexen, sondern nur um das, was man dazu sagt und aIs erkenntnistheoretische Neuerung betrachtet.

Um die Diskussion zu vereinfachen, beschranken wir uns auf die Quantenphysik der Materie, obwohl ii.lmliche Betrachtungen auch fiir die Strahlung gelten. Welches sind nun die Beobachtungen, die - nach dem bereits aIs endgiiltig angesehcnen Sieg des Atomismus in der Chemie, Warmelehre und Radioaktivitat - doch wieder zu Zweifeln uber die Zusammensetzung der Materie, aus KorpuskeIn oder Wellen, fuhrten und daIm im Dualismus eine neutrale Haltung befurworteten ~ Es war im wesentlichen das Experiment der Elektronenbeugung: Ein Strahl A, der offensichtlich aus einzelnen Partikeln der Masse m, Ladung e und Geschwindigkeit v besteht, wird dureh einen KristaU in ein Buschel Bl B2 ... zerlegt. Dabei zeigt sieh, daB man die Richtungen Bn berechnen kaIm, indem man probeweise annimmt, daB der korpus­kulare Strahl A sieh bei der Ankunft am Kristall zunachst in einen kontinuierliehen, den ganzen Kristall u berdeckenden Wellenzug der Wellenlange ). = h jmv verwandelt und als solcher nach den RegeIn der Wellenintenerenz von dem System paralleler Gitterebenen in die Richtungen Bn aIs Maxima n-ter Ordnung abgebeugt wird, sich dann aber in die einzelnen Elektronen zurUckverwandelt, wie man sie in den ge­beugten Strahlen vorliudet. Das geht nicht mit rechten Dingen zu, oder besser: Das kann man nicht auf einheitliche Weise, weder rein korpuskular noch rein wellen­maBig verstehen. So schreibt SCHRODINGER1) (,' U nsere V orstellung von der Materie") :

') E. SCHR6DINGEB in "What is Life 1", Doubleday Anchor Book New York 1956.

Reprinted from Werner Heisenberg und die Physik unserer Zeit, pp. 119-127 (1961).

478 ALFRED LANDE

120 Alfred Lande

Nach der wohlfundierten heutigen Meinung ... ist alles und jedes Ding sowohl Partikel wie auch Welle ... Protonen (und Elektronen), die man stets als diskrete Partikel anzusehen gewohnt war, fiihren in Wechselwirkung mit einem Kristall zu Interferenzerscheinungen, die keinen Zwei£el an ihrer kontinuier­lichen Wellennatur gestatten. Die Schwierigkeit, diese zwei so vollig ver­schiedenen Charakterziige in einem einzigen Vorstellungsbild zu vereinigen, ist das Haupthindernis, das unsere Vorstellung von der Materie so unsicher und schwankend macht ... "

Und wahrend SCIIRODINGER sich viel Miihe gegeben hat, eine einheitliche Undulations­theorie der Materie einschlielllich der Korpuskularphanomene aufzustellen, sieht die Kopenhagener Sehule in dem ,Schwanken' weniger ein Dilemma als den Kernpunkt der neuen Physik und der darauf gegriindeten neuen Erkenntnislehre. Die Hin- und Riickverwandlung, alias Doppelmani£estation, mag nun gewill eine sehr reizvolle Botschaft vermitteln. Yom wissensehaftliehen Standpunkt, d. h. von dem der Okonomie des Denkens, ist sie jedoeh eine sehr kostspielige Hypothese, die zu ver­meiden man allen Grund haben sollte.

Ihr gegeniiber gibt es nun zwei Stellungnahmen, namlieh l. die Doppelnatur a1s bestehend anzuerkennen und sich philosophisch mit ihr

auseinanderzusetzen, 2. sie mit den Mitteln der theoretischen Physik zu iiberwinden.

Der erstere Weg besteht darin, dall man aus der anseheinenden Doppelnatur die Lehre zieht, dall die Physik gar nicht einer objektiven Wirklichkeit nachzujagen habe; sie konne uns niemals mehr als ein subjektiv gefarbtes Bild vermitteln. DaB man aber zwei Bilder braueht, sei eben eine verstarkte Warnung, keines der beiden als ,wirklich' oder ,richtig' anzuerkennen. Es hange von der Versuchsanordnung des Beobachters ab, in welcher Weise die Materie sieh mani£estiere. Naeh v. WEIZSAOKER handelt es sich urn einen

"Zusammenbruch der Substanzkategorie; oder vielleicht sollten wir die durch unser Denken an Objekte geformte Logik der neuen Situation anpassen".

Das sind recht kiihne erkenntnistheoretische Folgerungen aus dem so einfachen Beu­gungsexperiment. Freilich, sollte es sichherausstellen, daB nicht nur die Bahnspuren und der Oltropfchenversuch, sondern aueh die Materiebeugung und verwandte Quanten­erscheinungen auf einheitlich korpuskular-mechanische Weise gedeutet werden konnen, so wiirde sieh ,das Weltbild der Physik' insofern vereinfachen, als man dann ohne doppelte Mani£estation, ohne Verzicht auf das Denken an Objekte, ohne Zusammenbruch der Substanzkategorie und ohne Anpassung der Logik auskommen konnte.

II. Die Mechanik der Materiebeugung

Nun ist in der Tat seit vielen Jahren eine einfache mechanische, nieht-wellenmaBige Erklarung der Beugung am Kristall bekannt - oder auch in weitesten Kreisen unbekannt. In demselben Jahr 1923 namlich, in welehem DE BROGLIE in Paris seine geniale Wellentheorie der Materie vorlegte (die sich aber trotz ihres enormen heuri­stischen Wertes denkokonomisch als zu umstiindlich erwies), fand W. DUANE2),

.) W. DUANE, Proc. Nat. Acad. Wash. 9, 158 (1923).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 479

Dualismus, Wissenschaft und HypotheRe 121

Amerika, eine ebenso originelle wie einfache Deutung des Beugungsphanomens. (Damals dachte er an die Beugung von Lichtpartikeln am Kristall.) DUANEs Theorie lautet folgendermaBen: Derselbe Kristall, der aus Gitterebenen des Abstandes D besteht und daher periodische Raumverteilungskomponenten der Lange D, D12, DI3, ... Dln besitzt, ist eben dadurch (s. u.) zugleich ein mechanisches System, das senkrecht zu den GitterebenenImpulsbetrage der GroBe hiD, 2hID, ... nhlD ausgibt. Wenn der Kristall diese Impulse in statistischer Verteilung den einfallcnden Teilchen mitteilt, werden letztere in neue Richtungen abgelcnkt, welche mit denen der beobachteten Strahlen Bl B 2 ••• Bn iibereinstimmen. Man hat hier also eine korpus­kular-mechanische Deutung der Materiebeugung, nach welcher der periodische Intensitats-Wechsel nicht auf eine periodische Wellennatur der Elektronen, sondern auf die mechanische Aktivitat des Kristalls als Ganzes geschoben wird, ohne daB man an eine Zwischenverwandlung oder Doppelnatur der Elektronen zu denken hat. Ahnliches gilt nach EpSTEIN und EHREN~'EST3) fiir das oft diskutierte Gedanken­experiment der Beugung von Elektronen an zwei parallolcn Stab en oder Spalten. Stets handelt es sich urn eine Impulsiibertragung vom beugenden System als Ganzes auf die ankommenden Teilchen mit statistischen Haufigkeiten (Intensitaten), die fourier-rna Big mit der Raumverteilung der Materie im System verkniipft sind. In einer nicht-relativistischen Theorie mit Fernwirkung eriibrigen sich Fragen "wie kann ein Elektron wissen usw." Wenn Teilchen eine (unperiodische) Wand treffen und im gleichen Winkel reflektiert werden, konnte ein Dualist ja darin ebenfalls eine Zwischenverwandlung in Wellen und Interferenz nach dem HUYGHENSSchen Prinzip sehen, statt den ganzen Vorgang einheitlich mechanisch aufzufassen. Duane's Theorie ist iibrigens ein Vorlaufer und wichtiger Bestandteil der allen Physikern trotz dualistischer Sprechweise bekannten einheitlichen Quantenmechanik der Teilchen und Teilchensysteme. Sie kommt ohne das schwankende Bild aus, daB die Materie (und auch die Strahlung) sioh bei manchen Gelegenheiten korpuskular, bei anderen Gelegenheiten als Welle manifestiert. N ach DUA2'<E und nach der Quanten­mechanik manifestieren sich die Elektronen vielmehr stets als Partikel. Das urspriing­liche Dilemma einer Doppelnatur, d. h. der echte Dualismus, ist durch DUANEs und BORNS statistisch-mechanische Interpretation der wellenahnlichen Erscheinungen iibcrwundcn. Das Umgekehrte gilt m. E. bei der Strahlung: Hier ist das kontinuier­liche Feld real, und seine Quantenmechanik fiihrt zu korpuskularahnlichen Erschei­nungen.

III. Die Heisenbergsche Relation

Der EinfluB der dualistischen Lehre, welche die eingangs erwahnte methodische Regel verletzt, hat sich auch der Heisenbergschen Relation bemachtigt. Zunachst, was ist der empirische Inhalt der Beziehung (lX- (lpx ~ h 1 Wie HEISENBERG uns so schon in seiner urspriinglichen Arbeit lehrte, offen bar folgendes: Ein Strom von Partikeln wird auf einen Stab der Breite (Ix oder auf einen Schirm mit Spalt (Ix geleitet. Die einzelnen Teilchen erhalten nun vom Stab oder vom Schirm mit Spalt als GanzC8 versehiedene Impulse Px, deren Einzelwerte man aus den korpuskularen Treffern auf einem entfernten Kollektor genau feststellen kann. Es zeigt sieh aber (wie es auch die Quantentheorie fordert), daB die verschiedenen am Stab oder Spalt erhal­tenen px-Werte iiber ein Gebiet der GroBe (ipx ~ hl(ix gestreut sind.

a) P. EHRENFEST and P. EpSTEIN, ebenda 10.133 (1924) und 13, 400, (1927) Soc. 1957.

480 ALFRED LANDE

122 Alfred Lande

Dieser einfache statistische Sachverhalt solI nun nach BOHR bedeuten, daB fipx ein Unbestimmtheitsgebiet des Seins, der Existenz eines mit fix gleichzeitigen Impulses angibt (trotzdem der Eintritts- und der Austrittswert an fix in jedem Einzelfall genau festgestellt werden kann). BOHR empfiehlt uns sogar, nicht einmal an einen mit fix simultanen genauen Px-vVert zu denken. (In der Tat, wenn ein genauer Wert sich in einen anderen genauen Wert andert, kann man nicht von einem Wert sprechen; aber das ist trivial.) Es scheint, daB BOHR sich hier durch eine yom Dualismus inspirierte, allzu wortliche ilbersetzung eines legitimen Wellenresultats hat tauschen lassen. Es ist zwar richtig, daB ein auf die Lange fix beschranktes Wellenaggregatkeine genaue Wellenlange A und Wellenzahl v= 1/.1. hat, das letztere vielmehr nurbis aufein Unscharfegebieti5v ~ 1/6x definiert und denkbar ist. In der Quantentheorie wird aber aus dem Unscharfegebiet fiyein statistisches Streugebiet fipx =h·dY einzelner, genau meBbarer, also existie­render und daher denkbarer px-Werte: valeo, ergo sum! Auf den Einwand aber, daB es sich hier nur um indirekte Messungen handele, stellt Verfasser die Gegenfrage, wo in der Physik es ,direkte Messungen' gebe. AuBerdem wird ja auch das Unscharfe­gebiet fipx nur auf ,indirekte' Weise festgestellt. DaB nun ein einzelner px-\Vert beim Austritt aus fix zwar mellbar, aber nicht kon­trollierbar und voraussagbar isV), wird in der iiblichen Quantensprache durch die Worte ausgedriickt, es gebe keinen ,Zustand' eines simultanen x- und px-Wertes, wobei aber das wichtige Adjektiv ,kontrollierbar' oder ,reproduzierbar' gewohnlich ausgelassen wird. Dieser rein technische Gebrauch des Wortes ,Zustand' wird nun mit dem Zustand im gewohnlichen Sinne des Seins, der individuellen Koexistenz verwechselt, was dann zu weiteren erkenntnistheoretischen Folgerungen fiihren solI. Ein Doppelsinn des Wortes ,Zustand' (Zustand eines physikalischen Systems, Erwartungszustand eines Beobachters) hat auch bei anderen Gelegenheiten zu MiB­verstandnissen gefiihrt. Zusammenfassend: Der echte Dualismus mit seinem Dilemma zweier sich aus­schlie Bender aber komplementarer Manifestationen (manchmal Partikel und ein andermal Wellen, wie es der Vergleich von Bahnspuren mit Beugungsringen zu zeigen scheint) ist durch DUANE und die einheitliche Quantenmechanik als kost­spielige Hypothese iiberfliissig geworden. Dasselbe gilt daher von einem Teil der auf dem echten Dualismus aufgebauten Quantenphilosophie. Denn es geht alles mit rechten Dingen zu, einschlieBlich der befremdenden Quantengesetze fiir Materie­teilchen, die einer ganz natiirlichen Erklarung fahig sind (Abschnitt V).

IV. Der Neo-Dualismus

Zugegeben also, oder auch nicht zugegeben, daB die Materiebeugung nicht zu einem Dualismus, sondern auf geradestem Wege zur einheitlichen Quantenmechanik fiihrt. Jedenfalls ist es nicht logisch, ein Ding (Partikel) mit einer seiner Eigenschaften (statistische Disposition von Partikeln) aIs komplementares ,Bild' zu konfrontieren. Urn diesen Vorwurf zu vermeiden, ist man jetzt zu einem logisch einwandfreieren Dualismus iibergegangen. Man kann namlich den einheitlichen und vollstandigen Teilchenformalismus so umformen, dall er als einheitliche und vollstandige Beschrei­bung von Wellenvorgangen in einem kontinuierlichen Medium erscheint. Diese Zweite Quantelung von KLEIN, JORDAN und WIGNER (1928) ist hinsichtlich der Beobachtung

4) F. Bopp, in "Observation and Interpretation", Colston Research Soo. 1957.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 481

Dualismus, Wissenschaft und Hypothese 123

der Partikeltheorie gleichwertig. Deshalb ist es miiBig, dariiber zu streiten, welche Darstellung ,richtiger' sei. Der echte Dualismus (manchmal Partikel-, ein andermal Wellentheorie) ist tot; es lebe der Neo-Dualismus zweier aquivalenter Darstellungen ein und derselben vollstandigen Theorie.

Diese Umformungsmoglichkeit ist aber doch so verschieden von dem echten Dualis­mus, daB sie kaum mehr denselben Namen verdient. Denn erstenslaBt sich ja auch eine dritte und vierte Quantelung einfiihren, so daB man es eher mit einem Pluralismus von Darstellungen zu tun hat.

Zweitens haben die zwei Formen der Theorie, obwohl sie dieselben Beobachtungen beschreiben, doch in mathematisch-formaler wie auch ideologischer Hinsicht sehr verschiedenes Gewicht. Wahrend namlich die iibliche Quantenmechanik der Partikel und Partikelsysteme von BORN-HEISENBERG-JORDAN und SOHRODINGER in statisti­scher Deutung in einfachster Weise a'Uch von den Beugungserscheinungen Rechen­schaft gibt, ist die Zweite Quantelung eine auBerst verwickelte Methode, die bezeich­nenderweise bei der Materie fast nie angewandt wird. In der Tat ist schwer ein­zusehen, warum man einen /X-Strahl mit einzelnen Bahnspuren sowie ein aus einzelnen Treffern bestehendes Beugungsbild ala Manifestation eines Kontinuums ansehen soll, in welchem eine komplizierte nicht-lineare Differentialgleichung auf eine nicht­vertauschbare Wellenfunktion wirkt - statt einfach zu sagen, daB der /X-Strahl ebenso wie seine abgebeugten Komponenten ,in Wirklichkeit' aus einzelnen Teilchen ,besteht' (heutzutage muB man solche Worte in Anfiihrungszeichen Bchreiben). Die Zweite Quantelung ist gewiB auBerst wertvoll fiir die Behandlung eines Kontinuums, eines Feldes. In Anwendung auf die Materie ist sie aber der iiblichen Quanten­mechanik weit unterlegen. Ahnlich geht ja auch das Ptolemii.ische Weltbild aus dem Kopernikanischen durch eine Koordinatentransformation hervor, so daB beide hin­sichtlich der Erfahrung gleichwertig Bind. Trotzdem ware es irrefiihrend, hier das Wort ,Dualismus' anzuwenden. Denn hier wie dort sind ja auch noch andere Trans­formationen moglich, nur daB eben eine sich formal-mathematisch wie denkokono­misch, d. h. wissenschaftlich, vor allen andern auszeichnet. Drittens, um bei dem astronomischen Vergleich zu bleiben, gelang es KEPLER erst auf Grund des Heliozentrischen Systems, seine PlanetengeBetze zu entdecken, die dann durch NEWTON in universeller Art erklart werden konnten. In analoger Weise, wahrend die Zweite Quantelung ihrem Materiekontinuurn recht verwickelte Eigen­schaften beilegen muB, die vom Standpunkt eines Kontinuums sehr abwegig und ad hoc erscheinen, lassen sich die einfachen Quantenregeln der PartikeImechanik auf ganz natiirliche Weise erklaren (s. u.). Auch von diesem ganz entscheidenden Gesichts­punkt aus ist also die iibliche Quantenmechanik der Materie ebensoviel ,richtiger' als die Kontinuumstheorie, wie die heliozentrische Lehre ,richtiger' ist, als die Ansicht, daB sich das gesamte Weltall urn die Erde dreht. Es ist also kaurn berechtigt, die auf dem Widerspruch zweier ,Bilder' beruhende Quantenphilosophie nachtraglich durch Hinweis auf die Zweite Quantelung retten zu wollen. Man wird hier an den Disput zwischen GALILEI und Kardinal BELLARMINO erinnert, in welchem der letztere ein denkokonomisch kOBtspieliges Dogma durch Hinweis auf Koordinatentrans­formationen zu retten Buchte - ohne freilich von einer Doppelnatur der Planeten zu sprechen. Zusammenfassend: Der Haupteinwand gegen den echten Dualismus der zwanziger Jahre besteht in DUANES viel einfacherer einheitlich korpuskular-statistischer Beugungstheorie von 1923, ohne deren Ignorierung die dualistische Lehre m. E.

482 ALFRED LANDE

124 Alfred Lande

niemaLs fuBgefaBt hatte. Der Grund fur HEISENBERGS Unbestimmtheit der Voraus· sage und gegen BOHRS Unscharfe des Seins ist, daB die wartliche Ubersetzung einer legitimen Welleneigenschaft in die Teilchensprache willkiirlich ist und dabei der Erfahrung wie auch der statistischen Deutung widerspricht. Der Haupteinwand gegen die Idee einer Symmetrie des Wellen· und Partikelbildes ist jedoch, daB die Quantenmechanik der Materie einer einfachen Erkliirung als Partikelmechanik (aber nicht als Wellenvorgang) fahig ist, wie jetzt gezeigt werden soIl.

v. Grundlagen der Quantenmechanik

Die obige Kritik bestehender Ansichten war notwendig, urn den Weg fiir ein Problem freizumachen, das im Rahmen des Dualismus sinnlos ist und schon einige Jahre nach PLANeRS Entdeckung in MiBkredit gefallen war. Wir meinen die Frage: Lassen sich die so erstaunlichen RegeIn der Quantenmechanik auf einfache nicht.quanten. mafJige Grundlagen zuriickfiihren 1 Eine positive Antwort soli hier in Kiirze gegeben werden5).

Im Gegensatz zu den alteren Versuchen, mit den klassischen Bewegungsgleichungen auszukommen und vielleicht eine Liicke im Gleichverteilungssatz zu entdecken, beginnen wir gleich mit dem Schema der Wahrscheinlichlceiten des Zustandswechsels eines Mikroobjekts unter dem EinfluB einer Messung mit einem makroskopischen Instrument. Es ist von vornherein klar, daB bei einer A.Messung an einem bestimmten Objekt (A mage z. B. die Energie bedeuten) verschiedene Werte Al oder A2 oder As usw. gefunden werden kannen. (Ob diese Werte kontinuierlich oder diskret verteilt sind, tut hier nichts zur Sache.) Dasselbe gilt fiir eine B.Messung (B mage z. B. eine Ortskoordinate bedeuten), wo sich verschiedene Werte B l' B 2' Ba ... ergeben kannen. Dies ist trivial; es ist ja das Ziel jeder Messung, einen unter vielen maglichen Werten festzustellen. Sehr neuartig ist aber folgendes: Es zeigt sich, daB es besondere, im folgenden A and Band 0 usw. genannte observable GraBen gibt, oder vom Theo· retiker als existierend angenommen werden konnen, welche die Eigenschaft haben, daB, wenn z. B. eine A.Messung den Wert As ergeben hat, darauf folgende B.Messungen niemals einen bestimmten B.Wert, sondern eine bestimmte statistiscM Verteilung iiber die Werte Bv B2 ... aufzeigen. Die relativen Haufigkeiten, nicht sehr passend Wahrscheinlichkeiten genannt, kann man dann in einer geordneten Tabelle wie folgt zusammenstellen:

(W(AI-+B1 ) W(AI-+B2) W(Al-+Ba)··· W(A 2-+B1) W(A 2-+B2) W(A2-+Ba)···

... ... ... . .. ) = W(A-+B), (1)

genannt die Matrix W (A~ B). In ahnlicher Weise kann man die relativen Haufig. keiten W andrer Messungsreilien in Tabellen W (A~O), W (B~O) usw. zusammen· stellen. Die gefundenen Werte Win diesen Tabellen oder Matrizen hangen natiirlich von dem gewahlten Objekt sowie von der physikalischen Bedeutung der als A und B

0) A. LANDE, "FoUndations of Quantum Theory, a Study in Continuity and Symmetry", Yale Univ. Press 1955. "From Dualism to Unity in Quantum Physics", Cambridge Univ. Press 1960. Vgl. hierzu auch den Beitrag von F. Bopp: "Statistische Mechanik bei Storung des Zustands eines physikalischen Systems durch die Beobachtung. - Ein neuer Zugang zur Quanten· mechanik," auf S. 128 in diesem Band, dem eine vel"Wandte Vorstellung zugrunde liegt.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 483

Dualismus, Wissenschaft und Hypothese 125

und C usw. bezeichneten GraBen abo Wenn man aber die Gesamtheit der A-Werte, B-Werte usw. umfaBt, werden sieh die Reihen in jeder W-Tabelle zu Eins auf­summieren.

Man wird sieh nun nieht sehr wundern, oder man kann plausiblerweise auch fordern, daB die Symmetriebeziehung gilt:

(2)

da diese Symmetrie der Umkehrbarkeit klassiseher Prozesse entsprieht. Man kann dann oben aile Pfeile fortlassen. Daraus ergibt sieh sofort, daB sieh auch die Kolonnen jeder W-Tabelle zu Eins aufsummieren, da ja die Kolonnen der Tabelle W (A, B) identisch mit den Reihen von W (B, A) sind. Weiterhin, wenn die Reihe AI' A2 .. . AN aus N "\Verten besteht, muB das gleiehe fiir die Reihe B, und dann fiir aile andern Reihen C, D, usw. gelten, damit die Summe aller Glieder in jeder W-Tabelle nach Reihen summiert dasselbe Resultat N ergibt wie die Summe naeh Kolonnen. Aus der Symmetrieforderung (2) erhiilt man also das wiehtige Resultat, daB aile W­Tabellen magische Einheitsquadmte mit N Reihen und IV Kolonnen sind (,magiseh' weil eben jede Reihe und jede Kolonne sieh zu Eins aufsummiert). Wie groB die ,Multiplizitat' N ist, hangt ganz von dem bctraehtcten Objekt abo Meistens ist N unendlieh. Zur Vereinfachung tun wir aber so, als ob N endlich ware.

Wir stellen jetzt die Frage: Besteht vielleieht bei jedem Mikro-Objekt, ganz gleich was die Observablen A und B usw. bedeuten, ein allgemeines Verknupfungsgesetz zwischen den W-Tabellen, so z. B., daB die Tabelle W (A, C) nicht mehr frei ist, wenn die beidcn Tabellen TV (A, B) und W (B, C) gegeben sind? (Ebenso wie in einem Dreieck die Seite AC nieht mehr ganz frei ist, wenn AB und BC gegeben sind.) DaB iiberhaupt ein allgemeines Verkniipfungsgesetz zwischen den in ver­schiedenen Bxperim<mten erhaltenen relativen Haufigkeiten W bestehen soU, ist cine beinahe metaphysisehe Erwartung iiber die GcsetzmaBigkeit der Natur. Fiihrt man sie aber einmal als Annahme ein, so ist das Problem, das fragliche allgemeine Veri<nupfungsgesetz zu finden, rein mathematischer Art, unabhangig von der physi­kalischen Bedeutung der GroBan W in clen magischen Einheitsquadraten.

Dasselbe mathematische Problem ist in der Geometrie bekannt; nur bcdcutet dort die Reihe Al A2 ... AN ein System aufeinandcr senkrechter (orthogonaler) Achsen, die Reihe Rein anderes Achsensystem usw. UncI die sich zu Ein8 summierencIen GraBen W bedeuten die Kosinus-Quadrate, W =c2 , zwischen den verschiedenen

Achsen, und umgckchrt c = ± (W. Das Verkniipfungsgesetz zwischen den W = c2_

Tabellen i~t nun am cinfachsten durch die Bcziehung zwischen den Kosinus selbst clargestellt Unt] lautet

c(AbCn)=L.iC(Ak,Bi)·c(Bj,Cn) mit W=c", (3)

bekannt als das Gesetz der orthogonalen Tran8formation zur Verkniipfung der Tabellen IV = c2• Es laBt die magisehe Einheitsquadrat-Eigensehaft bestehen oder ,invariant' und bictet sieh also auch in unserm Fall, wo die W eine andere physikalisehe Be­deutung haben, als Vcrkniipfungsgmctz dar. Jcdoch gibt es noeh ein allgemeineres Gesetz, das cIerselben Invarianzforderung geniigt. Es besteht darin, daB man statt reeller Gral.len c = ± II W komplexe GriiBen einfiihrt, die wir mit dem ominasen Buchstaben 1p bezeichnen wollen, und die mit W durch die Beziehung 1p = V W· ei~

484 ALFRED LANDE

126 Alfred Lande

oder umgekehrt TV = Itp 12 verbunden sind, sonst aber derselben Beziehung wie die c in (3) geniigen, namlieh

tp(Ak' C.,) =Ljtp(Ak' Bj) ·tp(Bj,Cn) mit W = itp:2. (4)

Dies bezeiehnen die Mathematiker als unitiire Transformation. Es ist identiseh mi.t dem Inlerjerenzgesetz der Wahrscheinlichkeiten, das die Quantenphysiker naeh langen Irrwegen durch eine Kombination von Experiment und genialer Intuition entdeekt haben. Wie wir hier sehen, kommt man zu demselben Gesetz fast zwangsmaBig6 ) auf Grund der Annahme, daB uberhaupt ein allgemeines Verknupfungsgesetz zwischen den W-Tabellen als magisehen Einheitsquadraten besteht. (Innerhalb des Trans­formationssehemas (3) oder (4) spielen dann die Observablen die Rolle von Tensoren, und c bzw. tp ist der Einheitstensor.) Die Frage erhebt sieh jedoch, warum die Natur zu dem komplexen Gesetz (4) greift, statt sich mit dem einfacheren reellen Gesetz (3) zu begniigen, das ja ebenfalls die Invarianz der magischen Quadrateigenschaft garantiert. Die Antwort lautet: wieder wegen einer Invarianzforderung, wie wir jetzt sehen werden.

Statt weiter von Observablen A und B und C im allgemeinen zu sprechen, wollen wir jetzt die speziellen dynamischen GroBen p = Impuls und q = Lagenkoordinate eines Teilehens betrachten. Ihre Zusammengehorigkeit, Symmetrie und ,Konjugiert­heit' ist in der klassischen Mechanik durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen definiert. In der Quantentheorie kennt man drei zueinander aquivalente Definitionen oder Quantenregeln, die nur innerhalb des vorher beschriebenen unitaren Transfor­mationsschemas einen Sinn haben, namlich (1) BORNS Vertauschungsregel pq-qp= h/2in, (2) die SCHRODlNGERSche Operatorregel p = (h/2in) a/aq, und (3) die Regel, daB die zwischen p und q verrnittelnde Wahrseheinlichkeitsamplitude die wellen­maBige Form

tp(q, p)=Const ·exp (2inqp/h) (5)

besitzt. Zur Begrundung von (5) und damit der andern zwei Quantenregeln beruft man sich auf die stets bewahrten Anwendungen und nachtraglich aueh auf ein ,Prinzip' der Dualitat. Letzteres ist aber weniger eine Erklarung als eine Besehreibung del" aus (5) sich ergebenden Folgen in nicht adaquater Sprache, wie die ersten Ab­schnitte gezeigt haben mogen. Statt nun die Regel (5) oder die noeh merkwiirdiger aussehenden andern zwei Quantenregeln als letztes Ergebnis einer Analysc del' Beobaehtungen einzufiihren, kann man sie auf nicht-quantenhafter Basis ableiten. Man braueht nur zu fordern, daB gewisse von zwci Werten p und p' bzw. von zwei Werten q und q' abhangende GroBen, namlich die Komponenten T pp' jeder Obser­vablen T(q) und die Komponenten Sqq' jeder Observablen S(p), nieht von den absoluten Werten, sondern nur von den Difjerenzen p-p' bzw. q-q' abhangen sollen, also gegen Versehiebung des Nullpunkts im Raum und Impulsraum invariant sein sollen. Diese Forderung enthalt nichts von einer periodischen Verknupfung zwischen p und q. Und doch folgt aus ihr die Wellenfunktion (5), natiirlich ohne Bestimmung der Grof3e der Konstanten h. Der Beweis7 ) beruht im wesentliehen darauf, daB die einzige Funktion j(x), welehe die Beschaffenheit hat, das Prorlukt t(x)· j*(x') nur von x-x' abhangen zu lassen, die Form exp (ix/eonst) besitzt, welehe komplex-periodiseh ist.

') Eine systematische Ableitung ist in ZS. Phys. 162, 410 (1961) erschienen.

') A. LANDE, Zs. Phys.162, 410 (1961) gibt einen kiirzeren Beweis als den der obigen zwei Biicher.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 485

Duali8mU8, Wissenschaft und Hypothese 127

Die hier angedeutete Ableitung der formal-quantitativen Grundregeln der Quanten­mechanik griindet sich auf der qualitativen Annahme, daB es uberhaupt ,miteinander unvereinbare Observable' A und B usw. gibt, die durch ein allgemeines Schema (1) von Wahrscheinlichkeiten, besser relativen Hii.ufigkeiten von Messungsergebnissen, verknupft sind. Von hier aus erhii.lt man die magische Quadrateigenschaft der W· Tabellen aus der Symmetrieforderung (2) und die unitii.re Transformation oder Wahrscheinlichkeitsinterferenz aus der Forderung, daB ein allgemeine.! Verknupfungs­gesetz zwischen den magischen Einheitsquadraten bestehen soil. Die periodischs Beziehung (5) zwischen q und p vermittels einer Wirkungskonstanten folgt dann aus der DifJerenz. oder Invarianzforderung gegen Verschiebungen des Nullpunkts. Es sei bemerkt, daB die obigen tlbedegungen weder an eine fundament ale Dualitii.t appellieren, noch auch ,die Kenotnis des Beobachters' und andere subjektive Ele· mente einfiihren. Eine praktische Seite der obigen Ableitung ist, daB man eventuelle Anderungsvorschlage am Formalismus darauf priifen bno, welche der Grundan. nahmen man zu opfern bereit ist.

486 PAPER 111

Unitary Interpretation of Quantum Theory* ALFRED LANDE

The Ohio State University, Columbus, Ohio

(Recieved December 7. 1960)

This Anti-Copenhagen interpretation [compare with N. R. Hanson, Am. J. Phys. 27, (1959)] submits that the doctrine of an inherent double nature of matter (and of light) is a most uneconomical hypothesis which would never have been proposed (except for heuristic purposes) had it not been for an oversight of the mechanical particle theory of diffraction by Duane (1923), later incorporated into the quantum mechanics of 1926 in Born's unitary statistical interpretation of wavelike phenomena. Bohr's indeterminacy view comes from a verbal translation of a legitimate wave feature; it is contrasted to the uncertainty of prediction of exact results. The latter is supported by the experiment, the former is not, so that various Uepistemological lessons" drawn from Bohr's view stand on brittle ground, which can hardly be reinforced by pointing to the transformation from the first to the second quantization, i.e., from one to another form of a complete and unitary theory. The simple quantum rules of the particle theory (first quantization) can be reduced to general postulates of symmetry and invariance.

I. WAVES AND PARTICLES

T HE atomic theory of matter, strongly sug­gested by chemical and thermal experience,

was confirmed after 1900 by irrefutable direct evidence of discrete particles in cloud chambers,

Geiger counters, and oil drops. A turning point in the development of the quantum theory as well as the experiment of diffraction seemed to challenge the corpuscular view in favor of a continuous material medium supporting waves. In order to attenuate the contradiction, though hardly solving it, the viewpoint was brought

• Aided by a grant from the National Science Foundation.

Reprinted from Am. J. Phys. 29, 503-507 (1961).

ALFRED LANDE 487

504 ALFRED LAND';;

forward that matter is neither composed of particles nor of waves, but that we must become resigned to two classes of manifestations repre­sented by two convenient pictures, neither of which has a claim to reality in the traditional sense. The same detached dualistic view is supposed to give us various "epistemological lessons" (Bohr), in particular concerning the relation between subject and object, lessons which have been disputed, however, during thirty years of argument about the interpretation of the quantum formalism, and of the symbol '" in particular. It has been a dispute between the dialectical positivism of Bohr and Heisenberg who are satisfied with two contradictory though complementary "pictures" as the ultimate result of the new physics, and the quest for one definite physical reality independent of perceiving sub­jects pursued by Einstein, and also by Schriidinger, to whom the doctrine of the futility of searching for one objective view is jja philo­sophical extravagance dictated by hopelessness in the face of a severe crisis. "1

Following Einstein and Schriidinger, I think it mandatory that the crisis of dualistic appear­ances he solved in a realistic and unitary fashion, either by arriving at particles as the real con­stituents of matter with waves as mere appear­ances, or the other way around. I also think that the alternative has partly been solved long ago by Born's statistical particle interpretation of wave-like phenomena, although Born did not give us an explanation as to why the statistical laws of quantum mechanics should be wave-1ike. But let us first corroborate Born's interpretation by showing that particles always behave as particles, also in the diffraction experiment, that they never display a wave nature with amplitude and phase, that they do not deserve to be called ·'wavic1es."

IL DIFFRACTION OF MATTER

A homogeneous beam of negative charge dis­playing individual electrons of a definite rest mass m, charge e, and velocity v is impinging upon a crystal where it splits into various com­ponents of sharply defined directions Cl1, CI, "',

1 E. Schr&iinger, HOur Conception of Matter," published in What is Life? (Doubleday Anchor Book, New York, 1956).

which again are clearly composed of individual electrons. However, their directions can be calculated from the idea that the incident ray of particles transforms itself, in contact with the crystal, into a continuous matter wave of wave­length ).=h/mv covering the whole crystal with all its parallel lattice planes of mutual distance D. This wave is now diffracted according to the law of interference (2D sinCin= n)., Bragg) into the directions Cln as intensity maxima of the nth order. Thereafter the diffracted waves are re­formed into particles again. Thus, goes the argu­ment, matter displays a twofold nature, first as particles, then as waves, then as particles again­and duality is on its way to dominate "the world view of physics" for a whole generation, with the term "back-and-forth transformation" now re­placed by "double manifestation."

My comment to all this is: If one insists on a complicated and highly problematic interpreta­tion of the observed facts, one can arrive at any world view whatsoever. Instead of alternately applying particle theory and wave theory, why not resort consistently to the mechanical particle theory of diffraction which was established as early as 1923 by the American physicist Duane,' one of the pioneers of quantum mechanics? (Duane at his time thought of the diffraction of photonic particles.) His theory runs as follows: The crystal with its lattice planes of mutual distance D and with harmonic components of matter distribution of length D, D/2, D/3, "', is thereby (according to a rule later incorporated in the quantum mechanics of 1926) a mechanical system which as a whole can change its momen­tum perpendicular to the lattice planes only in selected amounts hiD, 2h/D, 3hjD, .... If these momenta are transmitted to the incident elec­trons under the law of momentum conservation (2p sinan= nh/D) , the electrons are deflected into exactly the same directions Cln which the Bragg interference law would yield if there were an interim transformation of the particles into waves of wave length ).=h/p=h/mv. The importance of Duane's mechanical diffraction theory is that it frees us from having to believe in a bewildering miracle of back-and-forth transformation, alias

'W. Duane, Proc. Nat!. Acad. Sci. U. S. 9, 158 (1923); P. Epstein and P. Ehrenfebt, ibid. 10, 133 (1924) and 13, 400 (1927).

488 ALFRED LANDE

QUANTUM THEORY 505

double manifestation. The latter, allegedly sup­ported by the contrast between particle tracks and diffraction fringes, turns out to be an ad hoc hypothesis violating every requirement of econ­omy of thought and moreover long overcome by the unitary quantum mechanics of 1926, of which Duane's theory of 1923 is an integral part. It would be just as extravagant to assume a Huy­ghens wave interlude in case of reflection of par­ticles (or balls) from a solid wall which is un­periodic, hence not subject to discrete momentum changes. The doctrine of a double nature, with matter (and light) on some occasions acting as though consisting of particles, and on other occa­sions as though consisting of waves, has become ideological ballast.

The same then holds, in the author's opinion, of part of the lessons drawn from the dualistic doctrine in the philosophy of knowledge. And the importance of the unitary viewpoint for the teaching of quantum mechanics can hardly be overstressed: instead of ingri'ining into the neophyte the idea that diffraction of matter shows a mysterious double manifestation, the same diffraction in Duane's interpretation opens a royal road to quantum mechanics in the usual form of a unitary statistical theory of particles and systems of particles.

Ill. HEISENBERG'S UNCERTAINTY RELATION

The experimental background of Heisenberg's relation ~x·~P.-h is the following: When par­ticles coming from the y direction interact with a rod of width ~x or a screen with slit ~x, they receive from the rod or the screen with slit as a whole various unpredictable P. impulses. In spite of their unpredictability, the individually re­ceived p..-values can post factum be ascertained with any desired accuracy from the point of arrival at a distant place. It is found now (in agreement with quantum mechanics) that the many accurately measured p. values emerging from ox are statistically spread over a ranKe ~P.-h/ox.

Influenced by tbe dualistic doctrine, however, Bohr tells us a quite different story. A wave aggregate confined to the range oX does not have an exact wave length>. or wave number ;;= 1/>. by definition. Rather, its ;; is undetermined in

principle up to a range ~;;-1/~x (correct !). By translating this wave result into the particle "picture" by means of p=h;;, he arrives at the result that particles confined to ox have their p. undetermined in principle up to oP.~h/lix.

Indeterminacy of being is of course quite different from uncertainty of what will be or nonreproducibility of an individual member of a statistical ensemble. In my opinion, the evidence of measurable, though not reproducible, p.­values emerging from ox counts more than a literal translation of a legitimate wave result into particle terms. Therefore, I hold to Heisen­berg's original view embodied in quantum mechanics that the dispersion of the p. is due to the statistically ruled interaction with the scattering body (rod or screen with slit), rather than to an inherent wave nature of the scattered particles.

The determination of an individual p.=mv. obtained from two positions, from the starting range ~x and the point of arrival far away, is "indirect" to be sure. But velocities are always determined indirectly, and I cannot see why this should prevent us from thinking of the two positions as not being simultaneous with said velocity. Furthermore, the technical term IIstate" in quantum theory means "reproducible state," and there is indeed no reproducible xp,-combina­tion state; x and pg; are called "incompatible." Nevertheless, individual pz values emerging from ox can he ascertained, and hence exist. Therefore, I cannot follow the contention that

(a) the concept of particle breaks down, (b) The category of substance breaks down,

and we have to modify our logic,' (e) a host of other assertions of the dualistic

school whicb have been convincingly refuted on empirical and logical grounds by Bunge' in a paper recommended to every quantum theorist.

IV. NEO-DUALISM

When dualists are confronted with the logical fallacy of an opposition between particle tracks and statistical results of particle tracks, they often fall back on a second line of defense and declare: Beside the popular though perhaps un-

3 C. F von Wcizsacker in The World View of Physics (University of Chicago Press, Chicago, llIinois r 1952).

• M. Bunge, Brit. J. Phil. Sci. 6, 1 and 141 (1955).

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS 489

506 ALFRED LANDE:

tenable duality above there still is a more sophisticated kind of dualism, to be seen in the equivalence of the complete unitary quantum mechanics of matter particles of 1926, and the complete and unitary wave formalism of Klein­Jordan-Wigner's second quantization of 1928, obtained by a coordinate transformation from the usual theory. Since there is no experiment to discriminate between the two forms of the theory, why should we regard the first as "more true" than the second? Indeed, if observa­tional equivalence were the only criterion! But science evaluates theories according to formal simplicity, multiple connectedness (Margenau), and what may be called explainability. The Ptolemean world view is obtained from the Copernican by a mere coordinate transfonnatioll, so that both are "equivalent." Yet apart from its greater formal simplicity, the heliocentric system is accepted as "true" because it first led to Kepler's laws and from there to Newton's explanation 011 the basis of the universal inverse square law of attraction. And nobody will speak of a duality of the planets in view of said coordi­nate transformation.

Similarly, not only is the usual quantum mechanics of particles much simpler than the K-J-W wave formalism. The qualities ascribed to the three-dimensional fluid, accepted for the sake of equivalence, look very odd indeed. Even 1110re important is that the quantum rules for particles in the usual form can be further reduced to simple general postulates (see below). The same seems hardly possible for the nonlinear differential equation acting on a noncommuta­tive", function of the second quantization, except by way of going back to the first quantization.

After all, it does not seem adequate first to justify a dualistic quantum philosophy by two complementary Hmanifestatiolls" (tracks versus diffraction fringes), and then, when both yield to Duane's and Born's unitary statistical particle interpretation, to fall back on the argument of observational equivalence of two complete and unitary forms of the theory, one of which is simple and explainable, and the other is not.

V. FOUNDATIONS OF QUANTUM MECHANICS

When after Planck's discovery all efforts of explaining the startling quantum rules on plausi-

ble grounds of deterministic mechanics failed, many people became resigned to an irres:\ucibility or "fundamentality" of the quantum theory. It had indeed been a hopeless task to give a con­sistent derivation of a set of inconsistent rules. Today, however, we have a perfectly self­consistent theory, yet one still reads: "We know today that [wavelike quantum rules E=h., etc.] are consequences of a basic fact of all atomic events, the dualism of the wave picture and the particle picture'" which clearly is begging the question. A reduction of the quantum principles (interference of probabilities, Born commutation rule, Schriidinger p-operator rule) from non­quantal postulates is indeed possible. Since it has been presented in this Journal' before, we here list only the results.

(1) In correspondence to the reversibility of classical mechanical processes, one has the postulate of a two-way symmetry of every transi­tion probability, P(A---+B) =P(B---+A).1;hisleads to the consequence that the probabilities can be arranged in matrices which are "unit magic squares" whose rows and columns sum up to unity.

(2) If one postulates that the various unit magic square matrices are such as to be connected by a general correlation law with equal rights (symmetry) for all states, the only known way to satisfy this demand is "unitary transforma­tion" via complex quantities >/I. It is identical with the "interference of probabilities." Each complex >/I can be visualized as a vector in a plane, giving its associated P = 1>/1 I' a direction in a sort of two-dimensional framework of proba­bilities. Observables then play the part of tensors within the unitary transformation schema.

(3) If one adds the further postulate that observables Q(q) have matrix elements Q •• , dependent on pop' only, and observables pep) have matrix elements P qQ' dependent on g-g' only, this postulate of Galileo and Lorentz invariance for linear coordinates q and momenta p leads to the result' that the amplitude function >/I (q,p) must be of the complex-periodic form, exp(2i"qp!const), which is the backbone of

'A. LandO, Am. J. Phy •. 24, 56 (1956) and 27, 415 (1959); also Foundations of Q", .. tum Theory (Yale Univer­sity Press, New Haven, Connecticut, 1955); From Dualism to Unity (Cambridge University Press, New York, 1960),

• A. Lande, Z. Physik 162, 419 (1961).

490 ALFRED LANDE

QUANTUM THEORY 507

quantum dynamics, together with a similar result for energy and time.

The quantum theory of radiation regards the field with its harmonic components of frequencies vas a mechanical system with an infinite number of freedoms, each of them subject to the quantum rules, thereby giving rise to the appearance of "photons." It is just the opposite to the case of matter. Matter consists of particles which by their statistical quantum performance give the appearance of waves. Radiation consists of "field oscillators" which by their quantum action produce the appearance of photonic particles dashing around.

Altogether, this article has two aims. First a negative one, namely that of repudiating the doc­trine that nature is dominated by a basic dualism of manifestations, a view held on both sides of the fence, by the indeterministic Copenhagen­G6ttingen School as well as by the deterministic­ally inclined camp of de Broglie, Schr6dinger, Bohm, and others, and expressed by Schrooingerl

in the foJ1awing sentences:

"The well established view today is that everything-anything at all- is at the same time particle and field . . . . Protons and neutrons . . . which everybody has been accustomed to considering as discrete parti­cles, when directed in swarms at a crystal surface, yield interference patterns which leave

no doubt as to their continuous wave structure. The difficulty, in all cases equally great, of combining these two so very different character traits in one mental picture is still the main stumbling block which causes our conception of matter to be so wavering and uncertain."

To this generally accepted view I must retort that Duane in 1923, and the founders of quantum mechanics in 1926, actually have taken the "wavering" out of our conception of matter by offering us a perfectly satisfactory unitary par­ticle theory, including that of matter diffraction through a crystal, using only one mental picture, without need for resorting to "wavicles." This of course signifies a vast ideological difference from the prevalent dualistic view.

The second and positive aim of this investiga­tion is to point out that, after removing the lIstumbling block" and the "wavering," the path is open to viewing the perplexing quantum­mechanical rules for particles and systems of particles (as well as of fields) not as irreducible or as manifestations of imminent uprinciples" of duality and complementarity. The quantum rules can rather be understood as being conse­quences of a few nonquantal postulates of symmetry, invariance, and the like, imposed on the general structure of the probability schema, Hpostulates so evident that one only needs to grasp them in order to accept them" (Descartes).

PAPER 116

Quantum Fact and Fiction

ALFRED LANDE

Ohio State University, Columbus, Ohio

(Received 19 June 1964)

Thefact is that, beside the two quantum rules for energy and angular momentum, there is a third analogous rule for the linear momentum, established by \V. Duane in 1923. Though thi" rule is generally accepted, there is no trace of recognition in the literature that it yields a con­sistent unitary particle explanation of all those phenomena of diffraction and coherence, e.g., of the two-slit experiment, which allegedly can be accounted for oBly by thefidion of a dual nature of matter, wilh transmutation of particles into waves and back illto particles again. The usual method of solvillg this dilemma has admittedly been that of "refining the language of physics," beginning with replacing the physical idea uf a forth and back transformation by the term "dual manifestation," thereby shunning any "real" constitution of matter, which then requires a specially adjusted philosophy of knowledge. In contrast, the quantum rule for the linear mo­mentum solves the apparent contradictions in a physical manner without alternating mani­festations. It illtrorluces a great simplification which should also influence the method of teach­ing the theory. The purpose of the present article is to give due credit to the American pioneer of quantum mechanics, \V. Duane, whose contribution to solving the duality paradox is a "hilling example of the scientific method, in contrast to the purely semantic approach in vogue for more than a generation.

491

A T the Volta Congress in Como 1927, XieJs Bohr proposed his principle of complemen­

tarity. As a means of accommodating apparent contradictions in the interpretation of atomic phenomena it became the cornerstone of the doctrin~ that we must abandon the search for une true constitution of matter, either particles or waves, and be content with two alternating "pictures" tORether with other "renunciations" based 011 the ilepistemological lessons" of quantum physics. (The terms in quotation marks are constantly used in the Copenhagen litera­ture.) The Bohr-Heisenberg "dialectical posi­tivism" of thesis, antithesis, and synthesis has often been attacked by philosophers of science

for its lack of thought economy, its inclusion of metaphysical elements, and its occasional clash with a simple realistic interpretation of facts. But it is favored by the majority of quantum theorists who brush off criticism by physicists like Einstein and Schrudinger and by philoso­phers of science like Margenau and Popper as due to their lack of "understanding Bohr." Typical here is the following passage written by L. Rosenfield':

Reprinted from Am. J. Phys. 33, 123--127 (1965).

"\\-'hile the great masters were vainly trying to eliminate the contradictions in Aristotelian fashion by reducing one aspect to another, Bohr realized the futility of such at­tempts; he knew that we had to live with this dilemma.

I L. RQ~nreld, Phys. Today SO (Oct. 1963).

492 ALFRED LANDE

124 ALFRED LAND~

and that the real problem was to refine the language of physics so as to provide room . , . for the coexi<;tence of the two conceptions."

However, already in 1927 Born's statistical interpretation had paved the way for a con­sistent unitary particle theory by "reducing one aspect to another." The present article follows Born's interpretation to its logical conclusion. In particular, the writer is opposed to Bohr's method of "living with this dilemma" by "refining the language of physics" because this, according to SchrOdinger, is "a philosophical extravaganza dictated by despair," if not an ideological "Eiertanz" (Einstein) and "the ulti­mate betrayal of Galilean science" (Popper). The dilemma has always been illustrated by the diffraction of material particles through a crystal or a screen with two slits where it has been asked again and again: "How could one ever explain those alternating diffraction maxima and minima than by the interference of waves?". As will be seen) one can!

DIFFRACTION THROUGH A CRYSTAL

When a broad stream of electrons, all of the same velocity, hits a crystal consisting- of a set of parallel lattice planes of mutual distance L, the electrons arc reflected at the same angle (J.

This has to be so according to the conservation laws for energy and momentum. However, the surprising fact is that reflection takes place only at certain disrrete angles f) of incidence and reflection. This selectivity is usually explained as follows. Before hitting the crystal, each electron of momentum p is transformed into a broad wave train of wavelength !.=h/p, h being Planck's constant. The superposition of the waves reflected from subsequent lattice planes produces large wave intensity only in those directions (J in which subsequent wave trains have path differences of lA, 21., .. ·n!.· . '. This is the case when the angle of incidence and reflection is determined by the equation

2L sin8=n!., (1)

known frolll x-ray diffraction as Bragg's equa­tion. After the waves have done their duty of yielding sharp interference maxima, they reform into particles again, observed as statistically distributed impacts on the film. In the refined

Copenhagen language, the forth and back trans­formation is named "dual manifestation." \Ve are told never to think of "real" particles or waves but only of two alternating "pictures." The success of the wave calculation of electron diffraction according to (1) is taken as a decisive proof of the dual nature, or aspect, or picture of matter.

However, already in 1923 one of the early pioneers of quantum theory, W. Duane,' has proposed a pure mechanical particle explana­tion of selective diffraction through a crystal. At this time he thought simply of x-ray photons; the selective diffraction of electrons through crystals was discovered only a few years later, and by that time Duane's theory was forgotten. I t went as follows. The incident particles do not have to spread out like waves (pardon: "manifest themselves as though they did"); they stay particles all the time. It is the crystal with its periodic lattice planes which is already spread out in space and as such reacts under the third quantum rule.

What are the three quantum rules? The first is Planck's rule: A body periodic in time with period T, e.g., an oscillator of frequency v= liT, has a finite probability of changing its energy E in amounts 6E=h/r. Conversely, an atom with a pair of energy levels of interval 6E displays a time period T = hi 6E or a frequency v = 6Elh (Bohr frequency condition). The second quantum rule maintains: A body which is periodic with respert to rotation through an angle 'P is entitled to change its angular momen­tum p", in amollnts h/ tp. Since the angular perio­dicity of all bodies is <p = z"., one has the Sommer­feld-Wilson quantum rule for the change of angu­lar momentum, 6P.=h/2". The third quantum rule of Duane concerns linear momentum and is quite analogous to the first two: A body periodic in a certain dircction of sparc with periodic length I is entitled to change its momentum component in this direction in amounts 6p=hll.

A space-periodic body is typified by a crystal, only thaI in addition to the ground period L it has higher periodicities or harmonic compon­ents of lengths LI2, LI3, .. ·Lln-·· so that for a crystal one obtains the rule for its momen-

2 \V. Duane, Proc. Nat. Acad. Wash. 9, 158 (1923).

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS 493

QUANTUM FACT AND FICTION 125

tum change perpendicular to the lattice planes

t1p=2p sinfJ=nh/L with n=1,2,3,···. (2)

Equation (2) yields a set of discrete angles which are identical with those determined by (1). In­deed, one only has to retranslate the wavelength I. of (1), which was introduced there by transla­tion of the incident momenta p into waves I.=h/p, back into the original momenta p=h/I., and (1) becomes identical with (2). The great differ"ence is, however, that Duane's quantum mechanics (2) leads directly to the correct angles of selective deflection of the incident particles without any mysterious wave interlude or dual manifestation, as assumed in (1). It thus turns out that the diffraction of matter by a crystal, usually regarded as conclusive physical evidence for the unavoidability of the doctrine of a dual nature of matter, is no evidence at all.

THE TWO-SLIT EXPERIMENT

Similar considerations apply to the diffraction 'of electronic particles through one or two slits in a screen, commonly quoted as proving a temporary wave manifestation. If only one slit is open, the electrons are diffracted into a broad fan of sidewise directions producing a broad intensity maximum on a film. If only the other slit is opened, a similar broad intensity distribution results. But when both slits are open, the new intensity distribution is not the sum of the two single slit ones, but rather a pattern of alternating maxima and minima. In particular, various formerly bright places now become dark. How can one ever explain that places accessible through one slit are blocked to electrons when another slit is opened except by assuming a temporary transformation of the electrons into broad wave trains and their interference? Does this not provide irrefutable evidence for duality? It does not! The diffraction of particles through one or two slits can be explained in a purely mechanical fashion, by an extension of Duane's quantum mechanics, shown in 1924 by Ehrenfest and Epstein as follows.'

A screen with one or two slits does not possess such obvious periodicities in space as a crystal.

I P. Ehrenrest and P. Epstein, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. 10, 133 (1924) and 13,400 (1927).

Nevertheless, its matter distribution curve can be decomposed into sinusoidal components of various periodic lengths I occurring with various amplitudes. Each periodic space component I reaches from one to the other end of the screen. An incident electron does not react to this or that individual point of the screen or slit. It rather reacts to the screen with slits as a whole solid body by way of its harmonic components I. And the intensity of an I-component in the harmonic analysis of the matter distribution in the diffractor is proportional to the statistical frequency or probability of the corresponding momentum transfer Ap =h/l. Of course, a screen with one slit has a different intensity distribu­tion in its I-spectrum, and hence produces a deflection pattern different from that of a screen with two slits. In both cases, however, the resulting diffraction patterns agree with those which could be calculated by means of the wave interference theory. Yet, as in case of the crystal, there is no reason to resort to the strange hypothesis of material transmutation from particles of momentum p into waves I.=h/p and back into particles again. Quantum me­chanics and, in particular, the third quantum rule can account for the observations without dual manifestations.' The quantum constant h occurs in the physical rules for the (probabilities of) exchange of energy and momentum between bodies, rather than as a magic translation key between two mental pictures. But nowhere in the many discussions of the diffraction of matter does one find any mention, let alone appreciation, of the third quantum rule as being the physical reason for the alternating maxima and minima. And Duane is entirely forgotten under the im­press of an exquisite though fantastic "quantum philosophy" supported by great names.

Schriidinger always wanted to replace the "quantum jumps" inherent in the energy and momentum exchange rules by a continuous wavelike resonance. We find here that both prevail at the same time: An atomic system containing a time period T, which can thus change

" In order to explain the phenomena connected with a coherence length by pure particle mechanics, one has to remember that a restriction of len~th &q', leads to a statisti­cal spread of momentum, ap,.··.,hj&q, as found by Heisen­berg, later changed into a metaphysical "prmciple or indeterminacy" that exact ;-values do not exist.

494 ALFRED LANDE

126 ALFRED LAND~

its energy in amounts dE = h/ r, needs another system containing the same time period T if it is to give off or receive the energy AE. The other system may be the surrounding radiation field which contains any desired time period; or it may be a free partide which is unperiodic and free of energy restrictions. A similar resonance of space periodicities I applies for bodies exchanging linear momentum, Ap ~hll. The wavelike reson­ance condition between bodies exchanging quan­tum amounts of energy and momentum is of course entirely different from the alleged duality of two pictures, according to which unperiorlic free particles transform into' periodic waves, or act as though they did. And no refined language justifies the claim of seeing duality ill the trans­formation of the quantum mechanics of the Rutherford atom into a formalism describing events in a continuous material medium by the second quantization of Klein, Jordan, and Wigner. It is said that this favors a dualism of "particles as well as waves at all times" in contrast to the original 'lsometimes particles and at other times waves." And Heisenberg5

maintains:

"The symmetry between waves and particles ... has to be regarded as an essential feature of quantum theory since Bohr's work of 1927 and the investigation of Klein, Jordan, and \Vigner."

Here we must object that Bohr's work of 1927 is repudiated by Duane's third quantum rule of 1923. And the investigation of K-J- W docs not yield a shadow of symmetry between particles and waves since their transformation does not lead from the momenta p of the particle model to corresponding waves A ~ hlp. If there are no waves, how can there be symmetry between waves and particles?

REAPPRAISAL OF THE QUANTUM IDEOLOGY

As "quantum ideology" we denote the lessons drawn from the (alleged) principles of duality, complementarity, and symmetry of pictures, resting on a magical rather than physical inter­pretation of diffraction. It is indeed quite heroic of L. Rosenfeld to assure us:

"The complementarity idea is, first of all, the most direct

.. W. Heisenberg in Niels Bohr and The Development of Physics (Pergamon Press, Ltd., London, 1955).

expression of a fact ... as the only rational interpreta' tion of quantum mechanics."

After Duane this is hard to accept. Dualists, at course, display a predictable lack of enthusiasm for simple physical explanations which are bound to discredit their linguistic refinements. They also ask questions such as: II\Vhen accord­ing to your unitary theory, an electron is re­flected from one lattice plane of a crystal, how can it 'know' of the other lattice planes at mutual distance L so that it will contribute its legitimate share to the diffraction pattern?" First, it is not my unitary particle theory hut the same quantum mechanics which everybody uses in his work, although theorists in and around the Danish capital seem not always to be aware that the third quantum rule of mechanics disposes of the need for dual manifestation. Second, as explained before, the selective deflec­tion of an electron by impulse transfer may occur at any place within the crystal; it is the diffractor as a whole solid body which acts through its periodic space components reaching from one end of the crystal to the other, filling out the empty spaces between the lattice points, too. And the emerging electron does not even have to be identical with the inciclent one; what matters is conservation of total charge, energy, and mOTIlentum during the reaction.

Similarly it has been asked: H If an electron is supposed to remain an electron all the time, how can it lknow,' when passing one slit, that there is another slit so that it will give its due contribution to the two-slit diffraction pattern?". Again, it does not need to know because it reacts to the diffractor as a whole mechanical unit via its period it: space components 1. And the diffracted electron does not have to he identical with the incident one; it may emerge from any point on the screen. Also, as phrased at another occasion: A sli t is more than a Nothing; it is a Nothing with something Around it. And the Around is as important for the inter­action process as the l\ othing.

If the quantum rules AE~h/T, etc., are justly regarded as prohlematic, then dualists are satisfied to "live with two problems," first the wave particle duality which they accommodate by "refining the language of physics," and second the two quantum rules for E and P.,

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 495

QUANTUM FACT AND FICTION 127

accepted as fundamental and irreducible. It should be obvious here thal the rejection of the dualistic translation rule, p = hlA, from one imaginary picture to another and its replacement by the third rule, flp=h;[ (analogous to the other physiral rules for flE and flP.) , that is the return fronl mctaphysirs to physics, removes the first problem of the quantum ideology. One wonders how the many books and symposia about physi('s and philosophy of the past genera­tion of theorists would have turned out if the manifestation magic had been replaced by the physics of Duane's third quantum rule which indeed is the missing link between wavelike appearaUl'CS and particle reality.

There remains, then, only one enigma, that of the three analogous quantum rules for E, P., and p. After many futile efforts during the carly years of the theory to "solve the quantum riddle," further attcnlpts to reduce them to a nonquantal basis arc regarded as naive. And when von \\ieizsacker6 tries to explain:

"\\"e know today that [the- quantum rules] are conse­quences of a basic fact of all atomic evcllt~, the dualism of the wave picture and the particle picture,"

this is neither physics, nor philosophy, nor is it explaining anything. \\"ith the same logic, or illogic, one could say that the wave-particle picture dualism is the consequence of the quan­tum rules. Actually, the quantum rilles can be explained, that is be reduced to, or he deduced from, a nonquantal basis. They follow from elementary postulates of synunetry and in­variance, familiar from deterministic mechanics, when these postulates are imposed on the in­terdependence between various probabilities of

6 C. F. von 'Yeizsacker, The lrorld View of Physics ~University of Chicago Press, Chica.go, 1952).

transition from state to state, so that Prob (A -> B) and Prob (B -> C) determine Prob (A -> C) in the same way as Prob (A -> C) and Prob (C -> B) determine Prob (A ..... B), to­gether with Galilean invariance concerning mechanical states of energy and momentum. 7

The quantum theory can thus be demystified in two steps: first, removing the dilemnla of an alleged dual manifestation by the third quantum rule aud, second, deducing the quantum rules themselves from a nonquantal basis of familiar postulates of symulctry and invariance.

It may be added that quantum mechanics with its three rules is but the form, the general schema connecting various Hstates," without specifimtion of the objects having those states, i.e., without concern for the substance to which the rules are applied. Quantum theory as such does not give us information about lhe fields of various elementary particles nor about the constitution of various solid substances-just as classical mechanics does not inform us of the construction of wrist watches, locomotives, or ntissilcs. The considerations above which chal­lenge common beliefs about the general roots of the quantum theory may therefore be of minor interest to the physicist busy with research at the frontiers of science. The student, however, who asks questions about the "why" of the baffling techniques of quantum mechanics may be advised to be somewhat skeptical of author­itative statements beginning with I!wc know today" and "he kne,v" and "the only rational interpretation." In short, after an age of ambi­guity dominated by the Bohr-Heisenberg duality as a Hprinciple," the quantum philosophy is open for an ag'Onizing reappraisal.

7 A. Lande, New Foundations of Quantum :Mechanics (The Cambridge University Press, Cambridge, 1965).

496 PAPER 117

DISCUSSION: SOLUTION OF THE GIBBS ENTROPY PARADOX

ALFRED LANDE

Ohio Stat. University

In his paper 'The Gibbs Paradox and the Distinguishability of physical Systems' (this Journal, July 1964) Robert Rosen discusses the discontinuity of the diffusion entropy S of two gases, A and B.

If there is a pronounced difference between the qualities of A and B, their diffusion entropy is S = 2R . in 2 per mole of each gas. This value remains unchanged when the difference is gradually shrunk to an ever so small value. Only in the last moment, when the difference between the gases A and B goes from ever so little to exactly zero, S goes down abruptly to S = O. 'Difference' signifies distinguishability, and the lattcr means operationally that the two gases can be separated out of their mixture by some sort of filter, at least in principle, hut irre~pective of whethcr physicists know of the difference or have ever achieved separation. Thus, the diffusion of one mole of oxygen gas 016 and one mole of 017 would have produced the full value S = 2R . in 2 even before Aston actually found that oxygen has several isotopes. But physicists often tell US not to flJQrry about the entropy discontinuity paradox since it is purely academic, there being no possibility, not evcn in principle, tt) confront 018 atoms with O-atoms of intermediate fractional m;lss numbers b(,twe(~n 17 alld )6,

In this example they arc right. They tell us, furthermore, that the various states of one and the same species of atoms are always defined by integral (or half-integral) quantum numbers, so that a continuity t)f intermediate states belonging to fractional numbers does not occur, hence again we ought not to worry. Here they are wrong (see below). At any rate, Rosen justly regards such arguments as inconclusive. But when he maintains that 'the ghost of the Gihbs paradox still walks in physics,' he would be right only if physics still werc classical. The following considerations will show that according to modern physics, theoretical as well as experimental, two states A and B of an atom may have an operationally defined 'fractional equality quotient' Q(A, B), defined by their 'fractional separability.' Q may range from Q ~" I for A = B (equality) to Q = 0 for A of- B (total inequality) via a continuous scale of fractional Q-values for A ,...., B (fractional equality, defined by the fractional degree of separability by means of a 'filter' in the most general sense).

To illustrate these new developments we take an example which, at first (classical) sight, seems to display the Gibbs paradox, but upon closer analysis shows how the discontinuity is removed by quantum physics. Consider two gases A and B of silver atoms, all of the same isotope and all in the ground state. Their only difference is that the atoms of gas A point with their spin and magnetic axis toward the north, whereas those of B point at an angle <X away from nonh. According to classical ideas, the two gases should be regarded as distinguishable, i.e. completely separable, as unequal, as long as <X is finite. But when the angular difference", is decreased from an ever so small finite value to exactly zero, the two gases abruptly become equal, and their diffusion entropy suddenly decreases from 2R . ill 2 to zero, so as to display the Gibbs paradox. This conclusion is wrong, however, since there does not exist a filter, neither in theory nor in practice, which would be able to pass all A-atoms and simultaneously block all B-atoms for any angle", excpting '" = 180°. For intermediate angles <X a certain statistical fraction, Q = cos2(<x/2) of B-atoms, will necessarily slip through the

192

Reprinted from J. Phil. Sci. 32, 192-193 (1965).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

SOLUTION OF THE GIBBS ENTROPY PARADOX 193

A-passing filter_ And the same fraction of A-atoms will slip through a filter which pas­ses all B-atoms, shortly termed B-filter. The passing fraction Q(A ---+ B) = Q(B -+ A) may then be taken as the operational definition of the mutual equality degree of gas A and B. The same considerations hold quite generally in atomic physics. The most famous example is the Heisenberg uncertainty rule which may be phrased as follows: There is no filter which passes all atoms confined to a space range 15q and simul­taneously confines all of them to a parallel momentum range 15p less than h{15q. By the way, the diffusion entropy of gas A and B depends on their fractional equality Q by way of the formula

s = 2R[ln 2 - (I + Q) ·In(l + Q) - (I - Q) 'In(l - Q)].

S decreases continuously from 2R . In 2 to zero when Q is varied continuously from Q = O(A i= B) to Q = I(A = B), thus overcoming the paradox.

It may be remarked here that, according to quantum physics, the equality fraction Q(t!, R) between A and n, that is the statistical fraction of l1-particlcs passing an A-passing filter, is idl'lltical with what is commonly known as the probability of II-particles jumping to the new state A by virtue of their passing the A-filter. Indeed, those B-partieles which have once passed the A-filter when tested again will pass the A-filter-all of them-thus indicating that they have changed their state from B to A,

It is well known that Max Planck in 1900 built up the beginnings of the quantum theory in order to overcome the discontinuity paradox of the thermal· energy of a 'gas' (radiation) consisting of oscillators of various frequencies and obeying the cquipartition. theorem of classical statistical thermodynamics. In an analogous way one arrives at the first steps toward the quantum mechanics of 1926 hy postulating Ihat the entropy discontinuity of classical theory must he overcome, namely hy some continuous scale of in-equality degrees = distinguishabilities = separabilities of atoms in various 'stat~s'. The solution of the Gibbs paradox by the considerations ibove seem to be little known, however, even among physicists (who simply have no time any more to worry about such old problems). Even Schrodinger, one of the few exceptions, in his admirable hooklet of 1948, Statistical T/wr1IlOdYllalllics, Cambridge University Press, remarks as quoted by Hosen: 'It has always been helieved that the Gibhs paradox embodied profound thought.' But he did not suggest that quantum mechanics with its statistically ruled jumps from state to state under tests (in whieh he did not believe) offered a measure for the desired continuity between distinguisha­bility and indistinguishability. Hasen's article, still based on prequantal ideas, therefore is a welcome occasion for clarifying the issue and for showing that the ghost of the Gibbs paradox neither walks nor stalks physics any more}.l

1 For details refer to A. Lande, 'Continuity, a Key to Quantum Mechanics', Philosophy of Science 20 (1953), 101-109. Foundalions o/Qua"llI1n Theory, a Study ill Co"tinuity and Symmetry, Yale Univers·;ty Press 1955. and the comprehensive late reporL in New Foundations of Quantum MICMnics, Cambridge University Press, to appear Spring 1965.

4'Y1

498 PAPER 120

Quantum Fact and Fiction. 11*

ALFRED LANDE

Ohio State University, Columbus, Ohio

(Received 2 l\Iarch 1966; in final form, 22 July 1966)

Electron diffraction was shown in Part I to be due to the quantum-mechanical activity of the diffractor rather than to a fictional wave-picture manifestation of the diffracted particles. Part II aims at eliminating further fictional elements, most of them based on inconsistency of interpretation. The controversy between the extremist views of Schrodinger and Born, either frequency re.">onane€' or quantum jumps, is removed by showing that consistency compels one to admit both to occur simultaneollsly. Attempts at saving duality and other fictions are criticized, stich as the contention that (1) "duality i~ a fact" seen in the contrast of obvious particle effects and not so obviolls particle effects, (2) that particles are material and waves are expectations by observing subjects, (3) that statistical law means the end of the sharp separation between subject and cbject, (4) that Heisenberg's empirical rule for the uncertainty of predicticn means indeterminacy of existence. It is pointed out that quantum mechanics can be derived as a necessary consequence of general nonquantal postulates, known from determin­istic mechanics, but applied now to the con~trllction of a probabili!;tic schema of connection between events.

THE task of separating fact from fiction in the in terpreta tion of the quantum theory

is, to a large extent, identical with pointing out inconsistencies. This "Tas see,l in Part I, where it was stressed that there are three conservation laws of mechanics: for the energy 1'" for the angular momentum p .. and for the linear mo­mentum p. Hence, it is inconsistent \vhen quan­tum theorists take notice only of two selection rules-one restricting the energy change of bodies with time periods T (Planck's rule of 1900. I>E~h/T~hv) and a second rule restrict­ing the change of angular mom en tum of bodies of rotational period tp (SoI1lIllerfeld-vVilson's rule of 1915, I>p.~h!'P, with 'P~2.- in most cases). There must be, and there is, a third analogous selection rule for the change of linear momentum of bodies having linear periods of length I (Duane's rule of 1923, I>p~h/l). This rule explains the diffraction patterns of elec­trons through crystals and screens with slits as being due to the selective momentum activity of the diffractor without introducing the fiction of a "dual picture manifestation" of an electron, followed by the advice of "living with the dilemma" and "refining the language of physics" (the official Copenhagen version), and answer­ing sllch questions as "How does an electron know when it has to switch from the particle to the wave manifestation "HId interfere with it-

self?" by taking the positivistic stand: "That's easy! Both are but subjective mind pictures which the observer can change at will; at any­ra te electrons do not exist in reali ty; everything is a picture." But why accept "picture mani­festations" when there is a consistent and uni­tary quantum physics, with particles remaining particles even in reaction to periodically con­structed bodies, according to three, rather than only two, selection rules, and in line with Born's statistical particle interpretation of the wave­function.

QUANTUM JUMPS AND RESONANCE

l\luch controversy has stemmed from incon­sistent interpretations of the selection rules them­selves, even of the two well-known ones. As to Planck's I1E=h", the consenSllS, correct in my opinion, is that a harmonic oscillator of fre­quency v is capable of harmonic oscillations of frequency v; and that it carries out such oscilla­tion when exchanging energy with a Uradiation oscillator" of the same frequency v, a resonance effect which terminates when the quantum I>E =hv has been exchanged, whereupon a sta­tionary state prevails. This is not a classical picture, but it is physical insof"r as is possible.

It is consistent to ascribe to the harmonic oscillator both periodicity /I and transitions dE when one ascribes to a rotator hoth angular periodicity 27r and transitions dp~, and to a

• A. Lande, Am. J. Ph)",. 33,123 (191\5) (Part I). crystal both periodicity l and transitions ~p . 1160

Reprinted from Am. 1. Phys. 34, 1160-1163 (1966).

SELECI'ED SCIENTIFIC PAPERS 499

1161 QUANTUM FACT AND FICTION. II

So far, so good. But, when proceeding from a harmonic to an anharmonic oscillator and then to an atom with a Balmer-type spectrum, the interpretation becomes inconsistent. Bohr's ver­sion, v= flElh, of Planck's oscillator rule is commonly taken as meaning that the atom carries out a quantum jump lJ.E only, without having a periodicity v= lJ.Elh at the same time, the latter being ascribed to the radiation only so that no resonance is involved. Bohr himself was never satisfied with this view, and he established the correspondence between spec­tral frequency v and atomic orbital frequency. To me, it seems more consistent to accept both energy exchange lJ.E and frequency resonance v between the atom and radiation. This is sug­gested also by quantum mechanics, which allows a radiating transition lJ.E = E,-E, to occur only when the atomic electric moment .... V has a noo­vanishing transition value or matrix element Mi. of frequency v=lJ.E/h. Why this periodic moment of the atom is regarded as "only virtual" is not clear. To me it looks very real indeed. The idea of both energy exchange and resonance is not even new!

Sehrildinger, however, impressed by his own wave mechanics and disapproving of Born's statistical particle interpretation, did not believe in quantum jumps at all. He regarded all evi­dence in favor of stationary energy levels and transitions between them as illusory, and he wrote about "the alleged energy balance-a reso­nance phenomenon." Born' challenged him with the opposite extremist view of quantum jumps only. The considerations above reconcile the two totalitarian views. There cannot be one picture for atoms (only lJ.E), another for har­monic oscillators (both lJ.E and v), and a third for radiation (only v in Bohr's equation). Rather, there is one general law lJ.E = hv, which reads:

A body gives out energy quanta ~ when it is capable of, and is actually carrying out, oscillations II = AE/h. For the sake of E-conservatiol1, it needs another body to unload the &E. But the other body, in order to receive dE, must also be capable of a frequency component ", E-conservation plus the quantum rule necessitate both energy exchange fjE, and resonance of " at the same time. Of course, whereas resonance fits into a classical picture,

'E. Schrodinger, Brit. J. Phil. Sci. 3, 3, 19 (1952); M. Born, ibid. 4, 95 (1953).

stationary states and quantum jumps do not. Still, physics requires that aE in one system is balanced by - aE in another, and that a period" in one system is produced by, or produces, the same II in another by resonance. Quantum theory only provides a non-classical relation between &E and JI.

The general meaning of lJ.E = hv just de­scribed is masked in the two most important cases by special circumstances: When the one system is a free electron which has no periodicity (rather than having ),.=ft/p), it is not restricted to a definite lJ.E. And if "the other body" is a radiation field, then it is not restricted to a definite v because radiation has every v availa­ble for resonance. In general, however, lJ.E ex­change and v resonance are present simultane­ously and arc mutually restricted by quantum theory.

SAVING DUALITY

All this has nothing to do with a doctrine of duality according to which an electron is a '\vavicle" which alternates between particle and wave-picture manifestation and "interferes with itself," a pure fiction invented out of ignorance of the Duane momentum rule of quantum me­chanics for space-periodic bodies. One must distinguish, of course, between the selection rules of quantum physics for lJ.E, lJ.P., and lJ.p, in periodically constituted bodies, as against the purely ideological conversion rules, E=hv and p = hi)" from one "picture" of single parti­cles to another. The trouble with the conversion rules is their basic untenability. E and p have different values with respect to different Galileo frames of reference, 0 and 0'. A wave field, how­ever, has the same wavelength ),. whether it is viewed from 0 or 0'. Notice also the enormous change of v when one chooses to add me' to the energy !mv2 , Whereas the selection rules are physics, the conversion rules can only be fiction -although they work in some cases. As re­marked at another place: "Se non e vero e ben trovato,"

Next, we discuss a few attempts of saving the duality doctrine-if not in substance, then at least in name. For example, it is said that duality prevails since one can transform the quantum mechanics in 3N-dimensional space for the statistical distribution of N particles into a

500 ALFRED LANDE

ALFRED LANDE 1162

formalism describing a continuous fluid in three dimensions. But since this fluid does not carry waves ).. corresponding to the momenta p of particle mechanics, it is hard to discover a "duality." The same holds of the contrast be­tween first and second quantization, since the latter describes the probabilities of a change in the occupation numbers of states from N to N+l or N-l particles, again without waves ).. = hlp being involved.

One of the founders of quantum mechanics, however, condemns "the reactionary p-totaller movement" (meaning Born's unitary statistical particle interpretation?) and maintains that "duality is a fact since there are particle and wavelike phenomena side by side," Hov,-ever, in case of wavelike diffraction of electrons, the fact has been shown to be fiction in Part I. And the fact that gases of like particles have density fluctuations of a classical corpuscular and also of a wavelike kind has been explained in a unitary fashion by Bose-Einstein and Fenlli--Dirac ~Lalis­tics, with particles either cTU\\'ding together or ex­cluding one another frolll the saille particle state under symmetry principles. At best, Olle can thus speak of an opposition between obvious parti­cle effects and not-sa-obvious particle effects. Calling this "duality" is a singularly misleading use of language.

SUBJECTIVE INTERPRETATION

But, after all, it seems that duality must be saved at any pricc as a conceptual revolution, enhancing the undeniable physical revolution of quantum theory. Jeans found it in a repudiation of one-sided materialism:

The ingredients of the particle picture are material, those of the wave picture mental· . '. Before :\Ian appeared on the scene·· ·and hefore there was human knowledge, there were no waves.

Jeans has succumbed here to the customary confusion of a statistical distribution of objec­tive data, described by a wavelunction, with the subjective mental activity of expectation of an observer. The same confusion is promoted when we are told, again hy one of the founders:

The appearance of chance in the I:'lementary processes means the end of the sharp separation of the object ob-

served and the subject observing. Fur chance can be understood only [my italics!] in regard to the expectations of a subject.

Going even further, the same authority main­tains that, in quantum theory,

the subjective element enters physics fiince the experi­menter can choose between complement.lTyarrangements,

as though the experimenter had not always been able to choose bet,,·een arrangements, comple­mentary or not, "\yithout making physics become subjective.

But, even if it \\ ere true that "chance can he understood only in regard to the expectations of a subject," one would like to know why this means the end of the sharp separation het\yeen subject and object. Where is the end of the sharp separation between subject and object \\ hen, in a Stern-Gerlach experiment, one ex­pects a 50:50 ratio of atoms turning to the right and left?

I t is true.. that during the interaction of t\VO

objects with their overlapping fields it is hard to say where the onc ohject ends and the other hegins. This holds also when the one object is used as a measuring instrument. But first to replace the measuring instrument by a thinking human observer and then to speak of the lack of sharp separation is confusion rather than "the conceptual situation in quanlum theory."

UNCERTAINTY VERSUS INDETERMINACY

A great deal of conceptual ~ituation has also been made of the objective statistical rule known as the "uncertainty principle," to which we come no\\'. Heisenberg's rule, op·oq-;:::::h, delimits the ~tatistical scatter of individual p values acquired by particles emerging from a hole of width aq. Heisenberg's rule is not a principle, however. It is a vcr:y important application of the selection rule for the p scattering activity of a diffractor, be it a crystal or a screen with one or t\\O slits (Part J). Objective statistical fact, with individual uncertainty of prediction, has been turned into fiction, howcver, by the 'interpretation that (a) olle cannot measure an exact p value within oq, and (b) one must not even think that stich a p value exists, its exact value being "indeterminate" of existence. Now if (a) and (b) should be justified only by the

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 501

1163 QUANTUM FACT AND FICTION. II

remark that the deflection or diffraction of a particle involves a change of p, and thus one cannot speak of one p value when there are two, this would be far too trivial to become the basis of a conceptual revolution. (a) and (b) can reasonably refer only to the one p value with which the particle emerges from liq. Although this value cannot be predicted within margin liP, p can be measured post factum with far greater accuracy than liP from its angular deflection to a distant film, as K. Popper had already pointed out in 1934. Moreover, the experimental test of Heisenberg's range consists in ascertaining those many individual p values and then finding that they are scattered over the range "p. How can one maintain, then, that such individual p values do not exist, that they are indeterminate of ex­istence within lip? They can even be measured­indirectly, of course, as all measurements in physics are indirect-which does not affect their existence at all. The term "indeterminacy" is likewise misplaced for Heisenberg's relation liE . lit "= h, which describes the uncertainty of predict­ing the exact instant t of disintegration of a radium atom within the margin of lit = 1580 years. Nevertheless, I contend that exact dis­integration instants t exist, and are recorded, indirectly only, by a Geiger counter. Heisen­berg's uncertainty of statistical distribution and individual unpredictability is a fact; indeter­minacy of existence of exact data is fiction.

But whichever version, physical or meta­physical, of the product fule, IiE·lit"=const. one wishes to defend, one cannot do it by appealing to general relativity with its quotient liE/lit =const., as Bohr did it in his "Discussion with Einstein." 2

The status of the principle of complementarity must obviously change with that of duality. In­deed, when one accepts Born's unitary statistical particle interpretation of wavelike appearances

2; Albert Einstein, Philosopher-Scientist, A. Schilpp, Ed. (Tudor Pub!. Co., New York. 1957).

then it is hard to defend a complementarity of a thing, a particle, with one of its more abstract qualities, its membership in a statistical en­semble which sometimes looks wavelike. Even less can there be a complementarity between a material particle and a "wave" which is said to represent expectations of an observing subject and hence, quite logically, did not exist "before Man appeared on the scene" (Jeans). One ought to listen, in this connection, to one among the many students of 2000 years of natural science who writes' about the positivism of the predomi­nant School of quantum interpretation:

Ernst Mach asserted that science was simply the most convenient mode of arranging sense impressions, and that any discussion of the real material world was pure and useless metaphysics· . '. Most physicists have so absorbed this positivism in their education that they think of it as an intrinsic part of science, instead of being an ingeneous way of explaining away an objective world in terms of subjective ideas. '

On the other hand, with the duality paradox out of the way (Part I), the scientific question remains of whether the puzzling prescriptions of the quantum formalism-the selection rules (all three of them), the interference law of prob­abilities, the Born pq commutation rule, the replacement of observable quantities by op­erators-might be derivable from a few postu­lates of a nonquantal character. This is indeed possible. Abandoning classical deterministic me­chanics, but applying its regulative principles of symmetry and invariance to the construction of a general theory of probability-connected events, leads directly to the formal rules of (nonrela­tivistic) quantum mechanics,4 so as to solve what was once known as "the Quantum Riddle," that is, not only to apply but to understand quantum mechanics.

3 J. D. Bernal, Science in History (c. A. Watts, London, 1965).

4 A. Lande, New Foundations of Quantum Mechanics (Cambridge University Press, London, 1965).

502 PAPER 125

International Journal of Theoretical Physics, Vol. 1, No.1 (1968), pp. 51-60.

Quantenmechanik, Beobachtung und Deutung

ALFRED LANDE

Ohio State University

Abstract

The doctrine of wave.particle duality and complementarity has been regarded since the late 1920's as the only possible interpretation of observations such as electron diffraction through crystals and screens with two slits as well as other coherence phenomena. Physicists have been unaware that those apparent wave features can be accounted for, without supernatural dual manifestations made palatable by semi.philosophical 'renunciation', by the unitary quantum mechanics of matter particles alone if one only is consistent enough to admit that there are three (rather than only two) conservation laws of mechanics, hence there are three (rather than two) corresponding selection rules, for E, P<p and also for the linear momentum p, restricting the mechanical activity of time-, angular·periodic, and also of space.periodic systems. This clears up the mystery of dualism in a physical manner without philosophical subtleties and leads to a great simplification of the quantum ideology.

1. Das Problem der Dualitat

Wiihrend der nieht-relativistisehe Quantenformalismus keinem Zweifel unterliegt, bestehen naeh vierzig Jahren immer noeh Fragen iiber seine Deutung. Dabei nimmt der Kopenhagener Dualisrnus eine so vurherrschende Stellung ein, dass abweichende Ansiehten sieh meistens nur auf Einzelheiten beziehen (siehe die Ubersieht in Kap. III dieses Aufsatzes). 1m seharfen Gegensatz zu allen diesen Meinungen, die stets eine Dualitiit in dieser oder jener Form als unvermeidlich betraehten, steht die urn 1955 vorgesehlagene einheit­liche Deutung der Quantenerseheinungen, iiber die hier kurz beriehtet werden soll. Dies ist natiirlich nur im Zusammenhang mit einer Kritik der Dualitiitslehre miiglich. Letztere begann schon 1905 beim liehtelektrisehen Effekt und wiederholte sieh in sehiirferem Masse bei der Materienbeugung (1926). Hier trat die Frage auf, wie man die diskreten Reflektionswinkel von Elektronen an Krystallen anders erkliiren kann als auf Grund von \Vellen entsprechend der Bragg'sehen lnterferenz beziehung

2L.sinOn = n'\ 51

Reprinted from Int. 1. Thear. Phys. 1, 51-60 (1968).

(1.1)

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

52 ALFRED LANDE

wobei L den Gitterebnen-Abstand und A = hip die duale Beziehung zwischen Teilchenimpuls und Wellenliinge darstellt. Da ein physika­lischer Umwandlungszauber von Elektronen in breite Wellenzuge abzulehnen ist, hat man nach anderen Erkliirungen gesucht. Hier bieten sich nun zwei Wege dar, ein physikalischer Weg und ein philosophisch-sprachlicher Ausweg.

Der philosophische Ausweg besteht darin, dass man zuniichst eine physikalische Losung als unmoglich ansieht und diesen Verzicht dann zum Grundprinzip des Quantendenkens erhoht. So schreibt Rosenfeld ( 1963) (in deutscher Ubersetzung des englischen Originals) :

'Wiihrend die grossen Meister sich vergebens plagten, den Wider­spruch in Aristotelischer Weise [entweder - oder] durch Zuruck­fUhrung der einen Ansicht auf die andere zu eliminieren, sah Bohr die Fruchtlosigkeit dieser Versuche. Er wusste [I], dass wir mit diesem Dilemma leben mussen ... und dass das wirkliche Problem darin bestand, die Sprache der Physik zu verfeinern, um Raum fUr die Koexistenz beider Auffassungen zu schaffen.'

N ach Ansicht des Verfassers liisst sich kaum eine schiirfere Charakteri­sierung (oder Selbstanklage) des Kopenhagener Gedankenkreises finden.

Die Sprachverfeinerung besteht darin, dass man sagt, es gabe 'in Wirklichkeit' weder Wellen noch Teilchen. Beide seien nur als subjektive Bilder klassischer Art aufzufassen, die den Versuchs­bedingungen entsprechend ausgewechselt werden konnen. In einer Nebelkammer gilt das Teilchenbild, am Krystall und an einem Beugungsspalt das Wellenbild. Diese Denkweise wird ergiinzt durch das Prinzip der Komplementaritat: cWo das eine Bild versagt, dort gilt das andere Bild', was sich nach Bohr auch in der Politik und in anderen menschlichen Angelegenheiten bestiitigt.

Wer an diese Errungenschaft philosophischer Sprachverfeinerung gewohnt ist, wird eine unphilosophische, dafUr aber physikalische LOsung des Dualitiitsproblems fUr unmoglich gehalten. Sie besteht darin, dass man die Beugungsbilder nicht einem Wechsel yom Teilchenbild zum Wellenbild der einfallenden Materie zuschreibt, sondern der Quantenmechanik des beugenden Korpers, der durch statistisch geregelte Impulsausgaben dIe Teilchen ablenkt. Die Zahl n in (1.1) wird dadurch aus einer Ordnungszahl der Welleninterferenz zu einer 'Quanrenzahl', in folgender Weise, die eine besonders schone Anwendung der Quantentheorie darstellt.

503

504 ALFRED LANDE

QUANTENMECHANIK, BEOBACHTUNG UND DEUTUNG 53

2. Losung des Problems

Der wesentliche Punkt ist, dass es in der Mechanik nicht nur zwei sondern drei Erhaltungssatze gibt, fUr die Energie E, den Drehimpuls Prp und den linearen Impuls p. Ihnen entsprechen nicht nur zwei sondern drei Auswahlregeln, namlich

JE = hll

Jprp = hlfP

Jp = hll

(2.1a)

(2.1b)

(2.1c)

(2.1a) ist Planck's Regel: Ein System, das eine Zeitperiode T besitzt, ist dadurch befugt, seine Energie in Quanten JE = hIT zu lindern (2.1b) und (2.1c) besagen das entsprechende fiir Korper mit Winkel­und linearen Perioden fP und l. Da jeder Korper die Winkelperiode fP = 217 hat, wird aus (2.1 b) die Sommerfeld-Wilson'sche Auswahlregel Jprp = hI217. Fiir Atome mit (spektral beobachteten, s.u.) Frequenzen v" = lIT" gilt Bohr's Frequenzbedingung, JE = hvn. Ein Krystall mit Gitterebnen im Abstand L hat die Grundperiode l = L sowie hOhere Raumperioden l = LIn, ist daher fahig, Impulse der Grosse nhlL auszugeben und aufzunehmen. Stets sind dabei die Erhaltungssatze bei der Wechselwirkung zweier Korper bewahrt. Wenn z.B. ein Teilchen im Winkel (J einfiillt und wegen des Energie- und Impulssatzes im selben Winkel reflektiert wird, andert sich seine Impulskomponente parallel zu L um 2p.sin(J. Fiir den Zusammenstoss mit dem Krystall gilt also der Impulssatz

2p. sin (J" = Jp = nhlL (2.2)

Diese Gleichung der Mechanik fiihrt zu denselben Winkeln (Jr., die man auch nach Gleichung (1.1) berechnen kann, indem man eine iiber­natiirliche Verwandlung der Elektronen in Wellen nach der Regel p = hI). annimmt. Oder man lindert die Sprache und schiebt alles auf eine Anderung des subjektiven 'Bildes'. Verf. kann es nicht als reine Geschmacksache betrachten, ob man die Materienbeugung einer Doppelverwandlung von 'Bildern' oder einem einheitlichen Quanten­prozess zuschreibt. Die wichtige dritte Quantenregel (2.1c) wurde schon 1923 von Duane aufgestellt, ist aber Jahrzehnte lang in der Fachliteratur als Staatsgeheimnis bewahrt worden trotz ihrer entscheidenden Bedeutung fiir die physikalische Losung des Dualitats­problems. Eine Sprachverfeinerung und ad hoc erfundene Quanten­philosophie ist iiberfliissig.

Bei dem Beugungsproblem von Elektronen an einem Schirm mit

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

54 ALFRED LANDE

ein oder zwei Spalten stiitzt sich die Dualitatslehre stets auf das anscheinende Wunder, dass eine Stelle im Beugungsbild, die durch einen Spalt fiir Elektronen zuganglich ist, unzuganglich wird, wenn man den zweiten Spalt offnet. Das scheint in der Tat nur durch Superposition von Wellen entgegengesetzter Phase erklarbar zu sein und wird bis heute als schlagender Beweis fUr die doppelte Bilder­sprache angesehen. Das 'Yunder Iii sst sich jedoch mit Hilfe der Quantenregel (2.1c) physikalisch erklaren. Wiihrend niimlich die Perioden l beim Krystall diskrete Werte besitzen, hat ein Schirm mit Spalt ein kontinuierliches l-Spektrum mit einer Intensitatsver­teilung, die im Einspalt- und Zweispaltversuch zu verschiedenen Wahrscheinlichkeiten der Ablenkungen LIp = hll fuhren und auf diese 'Veise die zwei verschiedenen Beugungsbilder hervorrufen.

Dabei ist es nicht niitig, dass im Krystall-Beispiel ein retlektiertes Elektron aile Gitterebenen 'durchfiihlt', oder im Zweispalt-Versuch durch einen der Spalte geht und dabei 'fuhlt', ob der andere Spalt offen oder geschlossen war. Das yom Film aufgefangene Elektron mag von irgend einer Stelle der Schirm-Riickseite herkommen, wenn nur im ganzen die Erhaltungssatze gewahrt sind - wie beim Stoss auf das eine Ende einer Kugelreihe die Kugel am andern Ende abfliegt. Wie Bohr stets betonte, betrifft jeder Quantenvorgang eine Ganzheit. 1m gegenwartigen Beispiel hiingt die Llp-Wirkung von den Perioden lab, die sich von einem zum andern Ende des Beugers erstrecken, und sogar dariiber hinaus ins Vakuum bei der Beugung an "ciner Halbebene, so unphysikalisch das auch aussehen mag. Die ganze Qu. M. ist ja unphysikalisch! Wie Verf an anderer Stelle betonte, ist ein Spalt keineswegs ein Nichts, sondern ein Nichts mit etwas Herum, und beide liefern ihren Beitrag zum l-Spektrum und dadurch zum gequantelten Impulswechsel LIp = hll.

3. Ersatz-Dualitat

Wer sich an abwechselnde Bilder als genugende Erkliirungphysika­lischer Probleme gewiihnt hat, wird dazu neigen, die Fahne der Dualitat wenigstens dem Namen nach, oder auch unter andern Namen zu retten. So ist es jetzt ublich, statt abwechselnder Bilder ihre gleichzeitige Geltung in allen Fallen zu betonen, gestiitzt auf die Aquivalenz der Beziehungen (1.1) und (2.2) bei der Beugung. Dabei wird aber vergessen, dass diese Aquivalenz sich nur auf die Winkel en bezieht, nicht aber auf ihren statistischen Aufbau, der einer reinen Teilchenmechanik den V orzug gibt. Dadurch wird die Aquivalenz viillig zunichte.

505

506 ALFRED LANDE

QUANTENMECHANIK, BEOBACHTUNG UND DEUTUNG 55

Eine andere Version sieht Wellen und Teilchen als objektiv in Raum und Zeit vorhanden an, wobei die deterministischen Wellen als Piloten der statistischen Teilchenverteilung dienen. Nach Born ist es umgekehrt: Die Grundgesetze der Quantenmechanik fiihren zu statistischen Verteilungen, die wie Welleneffekte aussehen. Die Born'sche Deutung stimmt nicht nur mit der Korpuskulartheorie der Chemie und Elektrolyse iiberein, sondern wird ganz iiberzeugend durch die Spuren in Nebel kammern und auch durch den statistischen Aufbau der Beugungsbilder bewiesen, wenn man Duane's Quanten­regel fUr LJp nicht ignoriert.

Hier hort man den iiblichen Eimwand, dass eine 'Zweite Quantel­ung' es ermoglicht, samtliche Erscheinungen, selbst die Bahnspuren, als Welleneffekte zu deuten. So lasst sich das Rutherford-Bohr'sche Atommodell mit seinen N Elektronen durch mathematische Trans­formationen als Modell einer gequantelten kontinuierlichen Fliissig­keit auffassen. Also diirfe man keinem der beiden 'Bilder' den Vorzug geben. Dazu ist erstens zu sagen, dass erstens besagte Fliissigkeit keine Wellen ,\. entsprechend den Teilchenimpulsen p = hI,\. enthalt, so dass man von einer Dualitat von Wellen und Teilchen nur sprechen kann, wenn man den Sinn des Wortes ad hoc andert. Zweitens stelle man sich einen Physiker vor, der zunachst nur den ausserst komplizierten nicht linearen Formalismus der Zweiten Quantelung zur Beschreibung der Spektren kennt und dann entdeckt, dass man ihr in die Quantenmechanik von N Teilchen umformen kann, die identisch mit den Elektronen der Kathoden­strahlen sind. Man wiirde ihn gewiss als den neuen Kopernikus und Newton des Atomgebietes feiern, statt ihn als Finder einer rein formalen Aquivalenz zu degradieren. wie es die Inquisition mit Galilei versuchte. Kurz gesagt, wer das Modell der zweiten Quantelung als gleichberechtigt mit dem N-Elektronenmodell ansieht, um den Dualitatsglauben zu retten, soUte auch das geozentrische Modell der Planetenbahnen als gleichberechtigt mit dem heliozentrischen Modell ansehen, im Widerspruch zu jedem Grundsatz wissenschaft­licher Methode.

Auf den Einwand schliesslich, dass die Dualitat eine 'Tatsache' sei, wie man aus den Dichteschwankungen in Gasen mit ihren zwei gesonderten Beitragen sehen konne, ist zu antworten, dass die Statistik von Fermi und Bose diese Erscheinungen auf Grund der einheitlichen Quantenmechanik von Gas-Teilchen erklart. Ebenso wie bei dem Gegensatz zwischen Bahnspuren und Beugungsringen bleibt also auch hier nichts anderes von der Dualitat iibrig als ein Kontrast zwischen offensichtlichen und nicht ganz offensichtlichen

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

56 ALFRED LANDE

Teilcheneffekten, ein etwas zu bescheidener Sinn des viel bewunderten und viel gescholtenen Begriffs.

In diesem Zusammenhang ist es aufklarend, die verschiedenen 'Vendungen des Dualitiitsdenkens zusammenzustellen:

(a) Abwechselnde objektive Manifestierung der Materie unter verschiedenen physikalischen Versuchsbedingungen.

(b) Abwech,~elnde subjektive Bilder zur Illustrierung verschiedener Beobachtungen.

(c) Gleichzeitige Existenz von Teilchen und Wellen in Raum und Zeit, wobei die Teilchen von den Wellen gefiihrt werden.

(d) Gleichzeitlg giiltige Bilder, die wegen ihrer mathematischen Aquivalenz auf aile Beobachtungen angewendet werden konnen.

(e) Gegensatz zwischen objektiv verhandenen Teilchen und subjek­tiven Wellenbildern, letztere daher erst 'seit der Mensch die Biihne betrat' (Jeans).

(f) Gegensatz zwischen kinematischen und dynamischen Daten in der reinen Partikelmechanik (also ohne Wellen).

(g) Gegensatz zwischen offensichtlichen und llicht ganz offensicht-lichen rein en Partikeleffekten (Schwankungen in Gasen).

Die Liste macht keinen Anspruch auf Vollstandigkeit. In Biichern iiber Physik und Philo sophie findet man die verschiedenen Stand­punkte nebeneinander und durcheinander vorgetragen in dem ullbewussten Bestreben, idealistische, positivistische und realistische Erkenntnislehrcn je nach 'Vahl zur Unterstiitzung des Dualismus in den verschiedenen Formen (a) bis (g) anzurufen, was dann sehr tiefgriindig aussieht. Allen Verteidigern der Dualitiit Rei jedoch die Frage vorgelegt, warum man scit vier Jahrzehnten von dem stiirksten Gegengrund, der einheitlichen Duane'schen Theoric der Beugung, kcinc Notiz genommen hat.

4. Quantensprunge und Resonanz

Versuche, eine einheitliche Deutung der Quantentheorie zu erreichen, sind stets daran gescheitert, dass man die Llp-Erklarung der Beugung ignorierte. Typisch in dieser Hinsicht ist die bekannte Diskussion zwischen Schrodinger und Born (1!J53). Auf Grund seiner 'Vellenmechanik und in Ablehnung dcr statistischen Interpretation bestand Schrodinger darauf, dass diskrete Quantensprunge zwischen stationaren Energiezustanden auf Illusion beruhen, und dass alles auf Wellenresonanz zuriickgefiihrt werden miisse. Born (1953) verteidigte den entgegengesetzten Standpunkt der reinen Teilchen-

507

508 ALFRED LAND~

QUANTENMECHANIK, BEOBACHTUNG UND DEUTUNG 57

mechanik mit Auswahlregeln fiir plotzliche Quantenspriinge. Damals blieb die Frage unentschieden, und keiner der Diskutanten sah, dass Resonanz und Quantenspriinge garnicht im Widerspruch stehen, dass beide sich vielmehr gegenseitig bedingen, wie die folgende Uberlegung zeigt.

Niemand bestreitet, dass ein harmonischer Oszillator der Frequenz vein Objekt ist, des harmonische Oszillationen der Frequenz v in Re80nanz mit einer Strahlungskomponente derselben Frequenz ausfiihrt. Dass ein Oszillator sowohl die Frequenz v besitzt als auch der Auswahlregel L1E = hI' beim Energieaustau8ch unterliegt, ist ebenso anerkannt wie dass ein Rotator sowohl die Winkelperiode cp =217 hat als auch der Auswahlregel L1p'l' = h/217 gehorcht. Beides ist unklassisch, stellt aber die Lage so gut wie moglich dar.

Wenn man aber yom Rotator und harmonischen Oszillator zum anharmonischen Oszillator und dann zu Atomen mit Balmer­ahnlichen Spektren iibergeht, wird die iibliche Deutung unklar. Bohr's Umkehrung 1'= L1E/h des Planck'schon Gesetzes wird allgemein so aufgefasst, dass das Atom nur eine Energieanderung L1E erleidet, ohne gleichzeitig eine Schwingung 1'= L1E/h auszu­fiihren; die Frequenz v wird nur der Strahlung zugeschrieben, sodass keine Resonanz im Spiel ist (Born's Standpunkt). Bohr war aber stets unzufrieden mit dieser Ansicht. Und sein Korrespondenzprinzip sollte eben zwischen spektralen und atomaren Frequenzen vermitteln. Mir scheint es logisch, dass man wie beim harmonischen Oszillator auch beim Atom 8owohl Energieanderungen L1 E al8 auch Schwingungen 1'= L1E/h in Resonanz mit der Strahlung annimmt. Das wird sogar durch die Quantenmechanik gefordert, weil Ubergange L1E = Ei - Ek nur erlaubt sind, wenn das atomare elektrische Moment Meinen nicht-verschwindenden Ubergangswert oder Matrixelement Mik der Frequenz 1'= L1E/h besitzt. Warum dieses periodische Moment M ik nu als 'virtuell' betrachtet wird, ist nicht klar. Meiner Auffassung nach sollte man es als ebenso physikalisch vorhanden ansehen wie sein Gegenstiick, die entsprechende Strahlungskomponente.

Dass 8owohl Energieaustausch wie auch Resonanz der Frequenzen verliegt und verliegen muss, geht aus dem Erhaltungssatz L1El = -L1E2 zusammen mit der Quantenbedingung L1E = hI' hervor entsprechend der Gleichung

1'1 = IL1El/hl = IL1E2/hl = 1'2

D.h. zwei Korper konnen Energie nur austauschen, wenn sie sowohl gleiche Niveauunterschiede wie auch gleiche (falschlich 'virtuell'

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

58 ALFRED LANDE

genannte) Schwingungsfrequenzen besitzen. Diese Regel ist aber gerade in den wichtigsten Anwendungen verschleiert. Wenn der erste Korper ein Atom und der zweite ein freies Teilchen ist, so kann letzteres seine Energie um jeden beliebigen Betrag andern, da es keine Periodizitat besitzt (im Widerspruch zu dem 'Bild' ,\ = hIp der Dualisten). Und ein Strahlungsfeld ist ebenfalls fUr jede geforderte Energieanderung bereit, da es Komponenten jeder beliebigen Frequenz v enthalt. Der alte Gegensatz zwischen nu\: Resonanz (Schrodinger) und nur Quantenspriingen (Born) ist dadurch gelost.

5. Voraussage, Messung, Existenz

Heisenberg's Quantenregel, 8x. 8pz ~ h, ist ein statistisches Gesetz. Ein Teilchenstrom, der senkrecht auf einen Schirm mit Spalt der Breite 8x fallt, wird in ein Biindel von Richtungen B zerstreut, die zu verschiedenen neu erworbenen Impulskomponenten p", gehoren. Mit Hilfe der Aufprallpunkte auf einem Film oder einem sonstigen Auffanger konnen die einzelnen pz-Werte gemessen werden. Man findet dann, dass sie iiber das Gebiet 8pz statistisch gestreut sind, wie es auch die Theorie der Impulsiibertragungen LIp vom Beuger als statistisches Ergebnis fordert. Da die experimentelle Grundlage der Heisenberg'schen Beziehung auf der Messung einzelner von 8x herkommender pz-Werte und ihrem Streubereich beruht, ist es, wie K. Popper schon 1934 bemerkte, schwer zu verstehen, warum hin­terher diese Messbarkeit einzelner pz-Werte aus den Ablenkungen B geleugnet wird, und derer Unmessbarkeit sogar zum Grundprinzip erhoben wird.

Die iibliche Antwort lautet hier, dass die einzelnen p",-Werte (warum nicht auch ihre Gesamtheitn nur indirekt am fernen Film, nicht aber im Spalt oder seiner nachsten Umgebung festgestellt werden konnen. Darauf ist zu bemerken, dass fast jede Messung, gewiss aber jede atomare Messung indirekt ist und Riickschliisse auf das gesuchte Datum nur auf Grund mehr oder weniger verwickelter Theorie erlaubt. Einen Impuls pz kann man seiner Definition gemass, pz = m(xl - X2): (tl - t 2) nur durch Benutzung zweier Lagen messen, die recht weit voneinander abliegen diirfen, wenn kein beschleuni­gendes Feld besteht, wie im vorliegenden Fall. Es liegt im Wesen des Impulses und der Geschwindigkeit, nicht in der Quantenphysik, dass man zwei Punkte braucht. Die Quantentheorie gibt uns nur iiber das statistische Streugebiet 8pz vieler Einzelbeobachtungen oder Messun­gen Auskunft. Es ist nichts Neues, dass bei der Impulsmessung mit

509

510 ALFRED LANDE

QUANTENMECHANIK, BEOBACHTUNG UND DEUTUNG 59

Hilfe eines Weges zwischen zwei Punkten der Impulswert im End­punkt durch Anprall geiindert wird. Heisenberg's Regel handelt von der Unbestimmtheit der einzelnen Voraussage und Unmoglichkeit der Preparation eines xp",-Paares. Dies als eine Unbestimmtheit der Nachhersage, d.h. der l\fessung darzustellen, ist eine willkiirliche Umdeutung des Begriffs der l\fessung. Sie ist offenbar dadurch motiviert, dass man, wegen der l\fissdeutung der Beugung, schon a priori an Welleneigenschaften einzelner Teilchen glaubt. Das heisst aber den Wagen vor das Pferd spannen, besonders wenn dann gesagt wird, dass die Heisenberg'sche Beziehung eine Bestiitigung der Dualitiit darstellt und die angebliche Unmessbarkeit von p", innerhalb von h(ox als unbestreitbare Tatsache angesehen und jedem Studenten als Grundprinzip der Quantenphysik eingepragt wird. Ein Cliche wird selbst durch standige Wiederholung nicht zur Wahrheit.

Von dieser problematischen Trans-Physik angeblicher l\fessun­moglichkeit ist aber immer noch ein weiter Schritt zur l\feta-Physik, die von dem ultra-positivistischen Satz ausgeht : 'Was man nicht messen kann, das existiert nicht'. Nach Bohr und Heisenberg soIl es sinnlos sein, einem Teilchen gleichzeitig einen bestimmten Ort und eine bestimmte Geschwindigkeit als existierend zuzuschreiben -iihnlich wie Zeno seinem Pfeil. Deshalb miisse man den Begriff einer Partikel in den eines verschwommcnen Wcsens, englisch 'Wavicle' genannt, umdeuten, das mit einer Unbestimmtheit der Existenz innerhalb der Grenzen ox und op", behaftet ist. Diese Umdeutung griinde sich also auf der Gleichung 'Unmoglichkeit der einzelnen Voraussage = Unmoglichkeit einzelner l\fessung = Unbestimmtheit der Existenz'. Schon das erste Gleichheitszeichen ist fraglich (und nach Ansicht des Verf. falsch). Das zweite Gleichheitszeichen ist aber reine l\fetaphysik.

Die Quelle der Kopenhagener l\fetaphysik liegt wieder in der Dualitiitslehre: Da eine Welle innerhalb ox keine bestimmte Wellen­zahl K = I(A hat, darf ein Teilchen im Gebiet ox nur einen unbestimm­ten Impuls haben. (Dcr Beziehung OX.OK ~ 1 entspricht ox.op", ~ h.) Denn sonst wiirde, wie Weisskopf richtig bemerkt, die folgende Katastropheeintreten:

'l\fan kann nicht Lage und Geschwindigkeit gleichzeitig messen. Konnte man es, dann wiirde die Koexistenz von Wellen- und Partikel-Eigenschaften jedes einzelnen Objekts zusammenbrechen ... und unsere Deutung des weiten Feldes atomarer Erscheinungen wiirde nichts als ein Gewebe auf zufiilliger Koinzidenz beruhender Irrtiimer sein.'

SELEctED SCIENTIFIC PAPERS

60 ALFRED LANDE

Und Heisenberg behauptet in iihnlichem Sinn (aus dem englischen ti bersetzt) :

'Es kann nicht geleugnet werden [?], dass die Elementarteilchen der gegenwartigen Physik enger mit den Wesenheiten Plato's als mit den Atomen Demokrit's verwandt sind , ,. Denn in der modernen Naturwissenschaft sind nicht mehr die materieIlen Dinge primar, sondern Gestalt, mathematische Symmetrie. Und da mathematische Struktur letzten Endes intellektueller Natur ist, so konnen wir mit Goethe's Faust sagen: Am Anfang war das Wort­der Logos.'

Hier muss Verf. leugnen, was nicht zu leugnen ist. Fur ihn ist ein Elektron selbst in der modernen Quantenphysik nicht eine platonische Idee, sondern ein stets innerhalb 10-12 cm konzentrierte Ladung, die (trotz Zeno und Bohr) in jedem Augenblick eine bestimmte Lage und Geschwindigkeit besitzt, obwohl man nicht beide gleichzeitig veraussagen kann. Glucklicherweise brauchen wir aber nicht zu warten, bis eine besondere Quantenphilosophie den Bau der Atomwelt zusammenhiilt. Denn das Getriebe erhalt sich schon jetzt, und bereits seit 1927, durch die eindeutige Quantenmechanik, tiber die wir ja aIle einig sind, und deren Aufbau der Kopenhagen und Gottinger Gruppe von Physikern zu verdanken ist, selbst wenn ihre neue Erkenntnis­lehre zuweilen recht willkurlich erscheint und letzten Endes auf Ignorierung der Duane' schen dritten Auswahlregel bei der Beugung beruht.

Literaturverzeichnis

Born, M. (1953). British Journal for the Philosophy of Science, 4,95. Lande, A. (1965). New Foundations of Quantum Mechanics. C.U.P., Cambridge. Rosenfeld, L. (1963). Physics Today. Schrodinger, E. (1952). British Journalfor the Philosophy of Science, 3, 3 and 19.

511

512 PAPER 129

Quantum Fact and Fiction m ALPIU!lD LANDE

Ohio State Unioerllity. C.lumb .... Ohio 1,3810 (a..ceived 29 April 1968; revision received 11 October 1968)

Part III of this series IA .. Land~. Ame~ .. J. PhY8. 88, 123 (1965). and 84. 160 (1966). quoted &8 Parts I and III continu,:" the cntlque of the customary interpretation of quantum mec'.'"-ID~' It IS dll:"cted agamst the idea thet electrone. in opposition to the Born ,tatietical particle mterprc:tatlon of th~ wave function, are uwavicles." Serious conceptual and elemen­tary m8;t~ematical de!~cts 1n Bohr's famous "Discussion with Einstein" are pointed out. The doctrme thet posItIOn q and momentwn p of a particle are blurred over an uncerteinty r~ge because ~th allegedly cannot be measured simultaneously. that q and p do not exist SImultaneously. 18 due to a coofusion of analogy with identity of qualities. In its second part, the paper offers & nonquantal derivation of the probability interference law as a necessity under the postulate that the general interdependence between probabilities is to beco the ordinary probability addition law in the average. The wave picture of matter viola: the postulate of relativity.

I. AIM OF THE ARTICLE

This article has two objectives. One is to deduce the quantum fcmnaliRm of matrix multiplication for probability amplitudes from simple and plausible nonquantal postulates. The other is to coT<l1llent on interpretation with particular refer­ence to the famous discussion between Bohr and Einstein.' and also to an otherwise most commend­able article by Witmer.' in this Journal where he voices a common view by writing.

I think. we have to recognize that the", functions are an entirely different kind of function, totally unlike any previous kind of function used in physics, and tha.t it is the existence of these functions that make., it altogether impossible to return &pin to the pMS· tine simplicity of cla!8ical materialism.

My contrary view. which is defended below. is ~hat the use of complex probability amplitudes. !/I. m atomic theory bas no more relevauce to changing our philosophical outlook from materialism to idealisni or dialectical positivism. or from ob­jectivism and operationalism to subjectivism (to name various items of the conceptual revolution) than did the introduction of "irrational." "imag­inary." and "transcendental" numbers into alge­bra. or of vectors and unimaginable multidimen­sional spaces into geometry. Some of these mathematical devices were originally regarded as abstract and bewildering. They were either rejected as illegitimate or praised as opening new vistas into the supernatural. instead of being

recognized as convenient fonnal shortcuts for expressing general relations between perfectly concrete and objective experimental data. If there is reason for changing traditional views in physics and philosophy. then it is the belated recogni­tion that not only ordinary games of chance. often thought to be ultimately reducible to micro­physical causality. but microphysics itself is dom­inated by statistical law. irreducible in principle to caus_ffect chains. Bohm and Vigier's idea of hidden causes to the contrary. The special form of statistical law under various circumstances then becomes a technical. rather than a philo­sophical. matter. Thus it is interesting to ask for special reasons why atomic probabilities obey a rule of wavelike interference rather than one of simple addition. Here. as in other instances. the student will hardly be satisfied when he is told that he must accept the quantum rules as "the tricks of the trade." that he just has to replace the momentum p by the Schriidinger operator. (h/2ir)a/aQ. acting on a complex imaginary function !/I. and other startling innovations. jus­tified at best by a "complementarity of two con­trasting pictures."

Unquestioned acceptance of the rules of the game without explanation of the "why" seemed justified a few years after Planck's discovery. when all efforts of solving the quantum riddle on a deterministic classical basis ended in failure. In contrast. this writer has attempted. for a number of years. to revive the problem of deducing

I N. Bohr, "Discussion with Einstein," in Albert Einstein, h h Philo.opher-Scienti.t. A. Schlipp (Tudor Co .• New York t e t eory, not from classical determinism with 1957). • statistical ingredients. but from a basically

• E. E. Witmer. "Interpretation of Quantum Mechanics probabilistio approach. regniated only by certain and the Future of Physics." Amer. J. Phys. 86. 40 (1967). postulates of order. such as generality. sym-

541

Reprinted from Am. J. Phys. 37.541-548 (1969).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 513

542 ALFRED LANDE

metry, and invariance. The solution proposed in previous articles and books,' always suffered from an insufficienc~' of mathematical reasoning, justly criticized by others. The present paper hopes to bridge this gap by adding to the previous postu­lates the requirement that the desired general law of probability connection ought to yield the ordin­ary addition law in the al'erage-a plausible non­quantal restriction which closes the mathematical gap of the deduction. As to interpretation, Heisenberg once remarked,

The mathematical equipment of the theory was complete in its most important parts by the middle of 1926 j but the physical significance was still extremely unclear,

It has remained unclear ever since in spite of all profundity. Only a few like Einstein and Schriidinger searched for a physical rather than linguistic-evasive answer to the question of inter­pretation. The principal reason for this state of affairs was, and still is, as pointed out by the writer in this Journal,' the failure to include all of quantum mechanics in the discussion of the paradox of electron diffraction by admitting two but not all three selection rules. The time has come also for a reorientation of the method of teaching the theory, not ae a collection of intricate calcula­tion rules which happen to work, but as the logical consequence of a few elementary and almost self-evident postulates of a nonquantal nature.

II. THE BOHR-EINSTEIN DISCUSSION

My first object of criticism concerns the famous "Discu:ssion with Einstein"l in which, according to coronIon opinion, Bohr "won." I am convinced of the opposite because of mathematical im­possibilities and conceptual inadequacies in Bohr's reasoning. Einstein had proposed a thought experiment according to which a maSS m and hence an energy E = me' of a particle can be measured with greater accuracy than allowed by the Heiscnberg uncertainty relation 6E· 6t~h. Bohr at first was not able to refute Einstein's argument. "But after a sleepless night he told Einstein that the latter had neglected his own general relativity theory," involving the time interval change lit, suffered by a clock owing to its

, A. Lande, From Dualism to Unity in Quantum PhymC8 (Cambridge University Pres.'S, London, 1960), and New Foundations of Quantum M echanica (Cambridge University P~S, London, 1965).

energy change, liE, during" shift, liq, of location in a gravitational field g. "Einstein, although he ac­knowledged his mistake, remained UIlconvinced."

His lack of conviction was only too justified, as may become clear from the following scrutiny of Bohr's reasoning:

(a) Are we to accept a chain of reasoning which needs, for the justification of the quantal uncer­tainty relation, the gravitational redshift of general relativity? If so, one could dm-ive Heisen­berg's relation from the relativistic clock retarda­tion. This is just what Bohr does, as remarked first by the philosopher J. Agassi. Or vice versa, one could derive the relativistic time retardation in a gravitational field from the uncertainty relation without going through the difficult phases of non­Euclidian geometry in curved space-time. This \jould indeed be a great methodical and pedagogi­cal shortcut, but the prospect should have left not only Einstein unconvinced.

(b) J\lisgivings about Bohr's victory become even more disquieting after a scrutiny of Bohr's mathematics. Here we find a justification or derivation of. the inverse proportionality of liE and lit in the uncertainty relation by appealing to the direct proportionality of the same quantities in gravitationa(theory; that is, the quantal

from the relativistic relation, 6E/E=lit/t, or

~E/E=mg.6q/m!?-=g.liq/!?-=lit/t.

It should be obvions that, by appropriate com­bination of direct and inverse proportionality one can obtain any desired result, just as dividing by zero in the familiar arithmetic puzzle. The only puzzle here is that physicists have acquiesced in this non sequitur for several decades until a philosopher of science put his finger on it.

(c) Einstein has never denied that Heisenberg's rule is a restriction upon the prediction of a single event within a statistical ensemble of a certain distribution breadth. His thought experiment was only to demonstrate that single outcomes can be ascertained, or accurately measured after they have happened. Heisenberg, in his original presentation of the rule, told us that the energy E, or the momentum p, of a particle cannot be predicted with an accuracy bettor than liE, or lip,

514 ALFRED LANDE

QUANTUM FACT AND FICTION III 543

within an allowance 01, or oq, due to likewise un­controllable and statistically distributed per­turbations of the measuring instrument, subjected in its atomic constitution to the same quantum restriction. Measurement disturbs the previous state of the object. But it produces a new present state ascertainable with much greater accuracy than the total statistical scattering range, oE and ap, as pointed out by Sir Karl Popper as early as 1934.

For example, the emission instant t of a single electron from a {3 source cannot be predicted within an interval at, the half-life of the source, cor­responding to an uncertainty aE~h/at of the energy of cmission. But nobody will deny tbat the emission time t with energy E of a single electron, though not predictable, can be measured after it has occurred more accurately than ot. Mixing up prediction of what will be with postdiction or measurement of what is or was is a serious mis­conception of the essence of statistical theory. Indeed, distribution of many statistical data over a certain range implies that each individual value participating in this distribution can be ascer­tained morc accurately than the whole range. As a matter of fact exact measurement of many individual outcomes is the prerequisite for con­tinuing that their distribution is controlled by the statistical law in question. It is self-contradictory, therefore, to maintain that such exact, or practic­ally exact, measurement is not possible in principle. If the tifth side of a pentagon cannot be discovcred not only because of poor eyesight but in principle, then it is not a pentagon. And if, in the case of an empirically confirmable statistical distribution law, single data cannot be measured in principle with greater accuracy than the whole distribution range, then it is not an empirically continuable statistical law of physics but a self-contradictory dogma. Yet, all logic to the contrary, the statement "(p, q) pairs and (E, t) pairs cannot be measured with greater accuracy than Heisenberg's limits of ac­curate prediction" has become one of tbe basic tenets of the Copenhagen spirit, and it is repeated many times to mystify students and teachers alike.

The mystery becomes even greater when the allegation of the nonmeasurability of simultaneous pairs of data after they have occurred is followed by the statement that such pairs of data do not even exist sbarply-although one can measure

them indirectly. It is like climhing lip a ladder and then denying its existencc. Yet the "Copen­hagen language" tells us that we ought to regard an clectron as a hybrid with both particle and wave features, as a H\vavicle" whORe vcry exiHtence is blurred over simultaneous ranges oq and ap, and oE and Qt, in analogy to a wave hlmred over thc range a(I/>.) ·aq~l, and av·Ot~1. This changing of the wave analogy of the statistical distribu­tion of many particles into an identity of the quali·,ies of each single particle with thosc of a wave is erroneous. Taking it as armament for the defense of the duality thesis is putting a false cart before a false horse.

Altogether: Lack of predictability of exact (p, q) pairs, Yes. Lack of measurability of exact (p, q) pairs, No. And lack of coexistence of exact p and q values of an elcctron, two times, No. Historically, the confusion seems to have originated principally from the belief that the diffraction patterns of clectrons through crystals and through a screen with two parallel slits necessitate the assumption that particles somehow transfonn or manifest themselves as waves. This confusion is seen in the statement that an "electroll) when hitting the crystal or screen with slits, acts as the ipicture' of a wave and interferes with itself/' or similar versions of dualism. It is Ilot a matter of taste whether electron diffraction is thought to be due to an intermediate wave picture of the original particle picture of the diffracted matter ray, or whether it is due to tbe physical activity of the diffracting body deflecting incident particles under the quantum-mechanical selection rule for the momentum change.4 The nonexistence doctrine is sustained neither by facts nor by logic.

III. PROBABILITY MATRICES

This section contains a brief recapitulation, for the convenience of the reader, of tbings publisbed previously,' as a preparation for the developments of Secs. 4 and 5.

Physics considers various quantities AJ BJ

C, ... , such as the energy, the position at various times, the electric moment, etc. of a given system. In a system, such as an atom, tbe observable A may be capable of a variety of values, AlA," .. , and the observable B may have values B1B,""· for the same atom. Whether these possible values

• A. Lande, Amer. J. Phys. 33. 123 (1965), and 34. 1160 (1966), quoted as Parts I and II.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 515

544 ALFRED LANDt

fonn a continuity or represent a discrete set is irrelevant for the following considerations. Merely for the sake of mathematical simplicity we assume finite multiplicities, A, to AM, B, to BN , etc., pending generalization to infinite multiplicities.

Suppose now that we have found our atom, hy an A-measuring instrument or A meter, in a state A=A •. Thereupon we subject the atom to a B-meter test. It then is not possible (in our statistically dominated world) to predict which of the values B, to BN will turn up. However, each of the B values occurs with a certain statistical frequency or probability, P(A ...... B~), the sum over these probabilities being unity:

LP(A ...... B~)=1. (1) ~

The totality of the P's connecting intial states A with final states B may be compiled in a probabil­ity table or matrix,

(

P(A, ..... B,) P(A, ..... B,)

P(A, ..... B,) P(A, ..... B,) :::)=(PAB)'

.. , of M rows and tv columns. In a similar way one may draw up P matrices (PAO), (PBO ), etc., and also the matrix (Pu ), which is not identical with (P AB). It is significant that, as soon as a new state has been reached under a test, all "remembrance" of any previous state is wiped out, and a new situation occurs. All this is almost self-evident as the starting point of a statistical schema of transitions from one to another state under tests with measuring instrument •.

Far from trivial, although plausible, is the postulate of a two-way symmetry of every single tranaition probability

P(A ...... B~) = P(B~-->A.). (2)

It is plausible because it is the statistical counter­part of the reversibility of classical mechanical processes (symmetry with respect to +t and -t). Two-way symmetry, Eq. (2), has far-reaching con­sequences. It means that the columns of the matrix (P AB) are identical with the rows of (Pu ) which, as rows, sum up to unity. Hence, not only the rows but also the columns of the matrix (PAB)and of all other P matrices, too, sum up to unity. Next, if one sums up all elements of (P AB) row by row, one obtains M·1=M. Summing up by columns

yields N ·1 = N. Hence M must equal N. That is, the multiplicity of all observables pertaining to a certain atomic system must be the sarne. In other words, the P matrices must all be quadratic, with M rows and M columns; they are unit magic squares, each row and each column adding up to the same sum, unity. A special case is the matrix

(P AA) = (PBB ) = ••• = (1), (3) or

(3')

where the unit matrix (1) contains ones in the diagonal and zeros outside the diagonal, indicating reproducibility of a test result: When an A­meter test has found the state A., and the A test is repeated without an intennediate B test, the sarne state A. is found again with certainty. Because of Eq. (2) we can now omit the arrow signs. (For details see Ref. 4.) So Car nothing is said or assumed about any relation between various unit magic square or stochastic· matrices (P AB),

(PAO) , (PBO) , and so forth. As our next step we introduce the postulate

that the various P matrices are not independent of one another but that a certain order prevails in the following sense. Suppose that the elements of the matrix (PAB ) and those of (PRO) are known, e.g., from statistical measurements with A, B, and C meters. We then assume that the elements of the matrix (P AO) are not quite Cree, but are either uniquely deter:mined [sign = ] or at least multi­valently restricted [sign ..... in Eq. (4) ] by way of a triangular relation,

(PAB)n(PBO)~(PAO), (4)

where the sign n indicates some still unknown mathematical procedure with equal rights or sym­metry with respect to all triples of observables A, B, C, D, •••. The reqnirement that Eq. (4) is to hold in general for all triples may serVe vice versa as a criterion for a physical quantity to qualify as an "observable" in the statistical structure. (Position is not an "observable," but position at time tA is an observable A, and position at time tB is,\Lnother observable B, with a statistical connection 6etween pairs of their values.)

In addition to the unspecified postulate of "order" or generality of Eq. (4). we postulate that Eq. (4) shall coincide with the ordinary probability relation law of classical physics in the average. The ordinary law which characterizes the quanti-

516 ALFRED LANDE

QUANTUM FACT AND FICTION III 545

ties P as probabilities, is the addition theorem

P.,= L,P.dP~" (5) ~

That is, the probability of arriving from state A. at C r equals the sum of the probabilities of going from A. to C, via the set of intermediate states B,E,·· ·BM , where B may represent anyone of the many observables serving as intermediate step­ping stones. The ordinary probability relation, Eq. (5), may as well be written in the form of the matrix product

(PAC) = (PAB ) X (PBC) , (5')

where the symbol X indicates the usual matrix rule "row times columns." [The postulate that Eqs. (.:;) and (5') are to hold in the average is the new restricting condition added to a previous incomplete derivation of the.p-interference theorem by this writer. J

IV. INTERFERENCE OF PROBABILITIES

We can now proceed to answer the question of why the probabilities interfere rather than add in the ordinary fashion of Eqs. (5) and (5'). First notice that Eq. (5') is unfit to serve as a general law because it would lead, in the speCial case of C=A to

(PAB ) X (PHA ) = (PAA ) = (1), (6)

or written out as

L, P .. Pd.·=Pa.·=~ •• ·, (6') ~

a self-cont.radiction, the right-hand side being zero for ex¢ex', whereas the left-hand side is a sum of positive terms. To solve the problem of Eq. (4) we turn to an indirect method, first introducing auxiliarly quantities named .p.~ etc., each of them individually connected with the corresponding Pad and then requiring that the .p matrices satisfy a univalent relation similar to that in Eq. (4) with = sign:

(7)

as a general triangular interdependence, including the special case

(.pAB)n(.pBA) = (.pAA) = (1), (8)

and yet reducing to the ordinary P-law Eqs. (5) (5') of product summation, in the average. In order to determine the still open operation n in Eq. (7), remember that this operation is required to become matrix multiplication of rows times columns when Eq. (7) is averaged. It follows that

n must also signify matrix multiplication X. [Indeed, the average of Eq. (7) would never yield Eq. (5) unless single pairs of .p's, like .p.~ and .p~>, were not occuring in a sum of products, .p<&.pPn in the same way as single pairs p.P and P p, are con­nected in the sum of products PaPP~, in Eq. (5).J That is, the postulate that the matrix multiplica­tion law [Eq. (5') J for the P's is to hold in the average (it cannot hold in general, see above), leads by necessity to the corresponding inter­dependence of the auxiliary quantities .p •• as a matrix multiplication in the form:

(.pAB) X (.pRC) = (.pAC), (9)

or multiplied out

L, .pa~.p~y = .pan p

including the special case

(9')

(.pa~) X (.p~a) = (.p.a) = (1), (10)

or multiplied out

L, .p~p.·=.pa.,=6a.' = 1 for a=ex', , =0 for exr"ex', (10')

Eq. (9) is supposed to hold always, not only in the average.

The functional relation between the auxiliary quantities .p.~ and the probabilities p .. is now determined by the following comparative listing:

P •• ·=~a.' L,p .. = L,PPa=l, p p

.pa.· = ~'.' L, .p~~. = 1, p

(PABJ X (PBC) = (PAC) in the average

(.pAB) X ('hc) = (.pAC) always

The functional dependence between P and I/; therefore is

(11)

In contrast to the always positive P's, because of Eq. (10'), the I/;'s must be allowed positive as well as negative, or possibly complex, values. In the latter case, Eq. (11) requires

.p<&=.p~a·= (Pa~)''' exp (i<PaP), (11')

where the asterisk indicates the complex conjugate. In case of real .p's, the asterisk can be dropped as insignificant so that .p.B= ± (P.p) 11' =I/;d. In all cases, a given .p •• determines the corresponding p •• uniquely, whereas a given P •• determines the corresponding .pa~ only up to a phase factor

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 517

546 ALFRED LANDlt

or a plus or minus sign. Whereas the relation Eq. (9) between the if;'s is univalent [=sign], the relation between the P's is only one of mutual restriction [-->sign in Eq. (4)].

Because Eq. (9) contracts the product of two matrices to a single one by elimination of the intermediate set B, (which may be replaced by any other set D, or E, etc.) the theorem of Eq. (9) is associative. Furthermore, each if; matrix has an opposite so that their product is the matrix unity, according to Eq. (10). And there are identity members among the if; matrices, (if; AA) = (if;BB)=···=(l). These three qualities safe­guard group structure of the multiplication theorem, Eq. (9), a particularly close form of interdependence.

The average result, the "ordinary" probability connection, as in Eq. (5), now results from the if; law in the following manner. Multiply Eq. (9') by its own conjugate,

if;.,if;.,*= (L: if; •• if;,,) (L: if;."*if;,,,*). (12) . " Separate on the right the product terms with {3 = {3' from those with {3 "" {3'. The latter, when averaged over the phases or over ± signs, nullify the double sum over {3""{3', leaving only the single sum

Iif;., I' = L: Iif;., I' Iif;" I' in the average, (13) , which is identical with Eq. (5), as required. The question, "Why do the probabilities interfere by way of a matrix prodnct law for the probability amplitudes t/;?'1 can now be aus\vered: The prob­abilities cannot be related otherwise if they are to be connected by a general triangular law which reduces to the ordinary triangular law for the prob­abilities [Eq. (5)J in the average. No quantum ingredients are involved in these considerations. The quantum enters only when one specializes the observables A and B etc. to represent mechanical quantities (position, momentum, etc.). However, the fact that atomic observables quite generally satisfy an interdependence law of the simple form, as in Eq. (9), signifies that in the atomic realm we have arrived at a very deep level of theoretical analysis indeed.

There is no reason to be mystified when the interdependence of probabilities, dominated by the matrix mUltiplication law with Eq. (5) in the average, can most conveniently be expressed by

the matrix multiplication theorem of Eq. (9), for associated quantities if;. Even if if; in application to mechanics is to have complex-imaginary values for reasons of Galilean invariance,' this does not involve a restriction of the reality of actual data any more than do complex symbols in optics. The thing to be amazed at is the fact that atomic probabilities, in contrast to those of ordinary life, can be linked by one general law of group quality at all. Why this law has the special form of multi­plication of if; matrices, this fact is clarified above. It says no less and no more than that the special conditions Eqs. (4) and (ii) in the average are satisfied, conditions which are of a most elementary nOhquantal form. Further steps in the demystifica­tion of the quantum formalism and its interpreta­tion cannot be elaborated in this short article. (See Ref. 4.)

How can the struggle between various inter­pretations, going on since 1927, be cleared once and for all? In my opinion, this could be achieved by going back to the origin of the formalism con­tained in simple nonquantal ground postulates of symmetry and invariance imposed on a general structure of probability connections. Does if; represent a material wave amplitude (Schrodin­ger') , or a probability amplitude (Born)? Since the if;-interdependence law is but a modification of the ordinary interdependence law of probabilities, only the Born interpretation can be right. That is, matter waves do not exist in physical space, and the alleged physical equivalence of matter waves and particles in' untenable. Whether one prefers particles or waves is not a matter of taste bnt one of physics as a science, in spite of duality's occasional utility for heuristic purposes. Next, does the un­certainty relation mean a restriction of predict­ability, or of postdictability (=measurement), or does it mean a blurred existence in space and momentum space? As in every statistical theory, predictability of individual events is restricted, but individual exact measurement is an essential part of confirming the statistical distribution law. And the blurred existence of individual entities spread over the whole statistical scattering range is an arbitrary metaphysical ornament, as every philosopher of science will confirm. Matter parti­cles are real; they can hurt us. The if; waves are

6 E. SchrodingerJ "Are There Quantum Jumps?", Brit. J. Phil. Sci. 3, 19 (1952) and M. Born, "The Interpretation of Quantum Mechanics/' ibid. 4, 95 (1953).

518 ALFRED LANDE

QUANTUM FACT AND FICTION III 547

probability amplitudcs, imaginary in more than onc sense, and they cannot hurt anybody physi­cally. Next, what is the content of the quantum rule, t;E = hv? Does it describe quantum jumps only (Born), or is it a resonance relation only (Schriidinger)? The reply is that both quantum jumps and resonance are inseparable, as may be learned from tracing the selection rule to its origin. I .4 Furthermore, Hhas quantum physics begun to describe conscious human experience in terms of differential equations concerning subjective expectations?" The answer is that quantum theory deals with statistical ratios recorded on objective instruments. As in every game of chunce, these ratios can also be taken as expectations and used for betting odds by ob­serving subjects. But this has nothing to do with the objective statistical character of quantum physics and its theory.

v. DUALITY VIOLATES RELATIVITY

Wave-particle duality rests on the translation formulas E=hv and p=h/"A from the one to the other "picture." The trouble is that the left-hand sides of these equations depend on the reference systems and the right-pand sides do not, if both sides are regarded as physical. Take the example of free parricles traveling with velocity u in system 0 and u' in system 0', the latter moving with velocity v relative to the former. According to every textbook, a traveling particle sometimes acts as though it were, or is, associated with, a wavc. Yet its wavelength would be "A=h/mu or "A' =h/mu' respectively according to the transla­tion formula of de Broglie. Suppose now that free particles later encounter a crystal at rest in another system 0'''. Now, if "A = h/mu and "A' =h/mu', the diffraction pattern would depend on the arbitrary choice of the reference system. Translation from the particlc to the wave picture thus contradicts the principle of relativity: Observed phenomena, such as diffraction, do not depend on arbitrarily chosen reference systems. But how can free par­ticles "know" in advance that they may eventually meet with a crystal at rest in O"'? And suppose part of the beam later meets with a second crystal at rest in 0"", which wavelength "A do the particles then "associate" with?

All this shows that those associated waves Can­not be regarded as physically existing with the same degree of physical reality as must be as-

cribed to particles. Physical waves, moving or standing, looked at from system 0, a light house, or from system 0', a traveling airplane, display the same wavelength "A = "A', apart from a Lorentz contraction small of second order in v / c, whereas momenta are quite different in first order, pr"p'. This ClYntradictilm betwem wave-particle duality and the fundamental principle of relativity diflcredit& the wave theory of matter (diffraction) once and fur all! It does not discredit optical wave diffraction since light waves have the same velocity, c = c' = e"··· in every reference system. There is nothing to say against using de Broglie's translation formula for mathematical calculation purposes. But it cannot serve as basis of a physical "principle of duality and complementarity." It is about time that students are told of this fact, instead of being indoctrinated with an untenable dogma which, more than a generation ago, proved extremely fertile, but cannot be sustained any more.

After the wave theory of matter diffraction has proved unacceptable, the question is how else can one explain those electronic patterns which look so very similar to x-ray wave diffraction patterns. The answer is contained in the unitary theory of particle diffraction resting on the selec­tion rule for momentum changes t;p which are the same in the systems 0 and 0' and 0". I rcfer to Duane's theory of 1923 which explains the selective deflection of particles by the mechanical actwity of the diffractor under the selection rules of quantum mechanics. It has been described in Part I of this series, but seems still to be unknown to most physicists today who still see in electronic dif­fraction an obvious counterpart to optical wave diffraction, demonstrated by displaying electron and x-ray patterns side by side. It really looks as though both must be due to the same physical process. Yet it is no more obvious than that the Earth stands still. And there is nothing more salutary than the shock of discovering that a hallowed prejudice turns out untenable after all, and Can be replaced by something better, that is, simpler and more self-consistent. Matter simply consists of discrete particles, and the wave picture is pbysically misieading. Besides, it is unnecessary: wavelike material phenomena result from the quantum mechanics of matter particles, as we know already Bince 1927 from Born's famous statistical particle interpretation of the de Broglie-Schriidinger waves.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 519

548 ALFRED LANDE

The case of light is just the reverse. The idea of photonic particles chasing around with the velocity of light was made superfluous a long time ago by the consistent quantum theory of the electromagnetic field with its pcriodic components of frequency p which are spread out continuously in space, and change their energy as a whole only in quanta !!.E = hp (Planck, Heitler, Fermi). There

is no duality in light as there is no duality in matter. Yet there are efforts at saving the duality doctrine, if not in substance, then at least in name. They rest on seeing a kind of duality in the op­position between obvious matter particle effects and not-sa-obvious matter particle effects, and in case of light, between obvious wave effects and not-so-obvious wave effects.

520 PAPER 130

Unity in Quantum Theory

Alfred Lande

Ohio State University, Columbus, Ohio

Received May 8, 1970

After a brief survey of arguments for a unitary particle theory of matter, offered by the writer in previous publications, the following new items are discussed. (1) The wave part of the dual aspect of matter, resting on the translation formula ,\ = hlp, is not covariant in the nonrelativistic domain. And relativistically, it is untenable not only on methodological grounds, but because it leads to obvious contradictions to elementary experience, e.g., in the equilibrium between a material oscillator and radiation. (2) The photon story as usually presented is rectified historically and factually. (3) The previous derivation by the writer of quantum mechanical theory from a nonquantal background is supplemented, in order to be conclusive, by the postulate that the general probability relation is to become the ordinary addition law in the average. (4) Quotations from the writings of prominant dualists, intended by the latter to support their ideology, disclose a fantastic disarray of pseudo philosophical standpoints which can be cleared up only by repudioting the alleged dual nature of matter and of light and by ceasing to constantly mix up the contrast between particles and fields with that between particles and waves, and by re­turning to a strictly unitary aspect.

1. INTRODUCTION

The paradoxical contrast between the wavelike and partic1elike phenomena of matter and oflight was regarded up to the late 1920's as a challenging problem of theoretical physics in urgent need of a consistent unitary solution. About 1928, however, Bohr and Heisenberg undertook the bold step of elevating the duality problem to a principle, that is, to an issue which no longer calls for an either-or solution but had to be accepted as fundamental, neither capable of nor even in need of justification on still deeper grounds. The principle of duality decreed that there is no objective reality

191

Reprinted from Found. Phys. 1, 191-202 (1971).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 521

192 Alfred Lande

to either particles or waves, that both are subjective pictures to be used at our convenience. The Copenhagen way of disposing of the contradictions by decree was accepted enthusiastically by the majority of physicists. It relieved them indeed of all responsibility of worrying about the paradox and of searching for a consistent physical explanation of the wavelike diffraction phenomena of electrons, otherwise known as discrete particles.

It seems to this writer that, after four decades of almost unchallenged dualism in textbooks, articles, and at symposiums on observation and interpretation, the time has come to attack dualism not only on methodological grounds, as has been done often before, but by purely physical arguments not offered before and yet, in the writer's opinion, quite decisive. The present article intends to show that the otherwise attractive and stimulating idea of matter waves somehow "associated" with matter particles is in conflict with the basic principles of physical theory as well as leading to false consequences in the experimental domain if taken seriously rather than only as an occasionally helpful working hypothesis.

2. THE UNITARY NATURE OF LIGHT

The common opinion is that a dual nature of light as a/act was revealed first by Einstein in 1905 when he proposed the hypothesis of photons in order to explain the presence of a corpuscular besides a wavelike term in the fluctuations of the radiation energy according to Planck's law. "Einstein's consideration shows that light can be described neither with particles alone nor with waves alone, that it rather is neither. of the two." Unfortunately, this is not so. Whether Einstein himself was conscious of it or not, he derived his two fluctuation terms from the same electro­magnetic wave theory of light that Planck used for calculating the equilibrium between electric oscillators v and surrounding light waves v. He also used Jeans's enumeration of the possible v-wave components in an interval dv in a given volume. If Einstein thus derived his fluctuations from Planck's wave theoretical results of the radiation equilibrium, this means that Einstein, too, used wave theory and that his photons were nothing but as-if illustrations of a result actually obtained from the wave theory of light, with energies restricted to values E = nhv.

The same application of wave theory is found also in the inversion of the problem in Einstein's celebrated derivation of Planck's law. It is based, first, again on Jeans's enumeration of independent standing wave components in an interval dv, and second on the hypothesis that the probability of absorption of an energy quantum hv by an electric oscillator from the surrounding wave field is proportional to nhv, and emission proportional to (n + 1) hv. If n were to be understood as the number of photonic particles roaming around, rather than as the number of quanta hv carried by a wave component, then it might still be plausible that absorption by the oscillator were proportional to n. But it would be inconceivable why emission acts by the oscillator should be proportional to the number n of photonic particles already present in the radiation. Thus Einstein showed for the second time that only waves of light producing

522 ALFRED LANDE

Unity in Quantum Theory 193

emission by interference with the oscillator vibrations lead to the correct Planck equilibrium law.

The pure wave theory of light won a complete victory around 1930 in the modern theory of radiation (Fermi, Heider), so that Heider could write: "Light quanta appear in the theory only as quantum numbers attached to the radiation oscillators [or wave components v]." The components v of the optical wave field are in resonance with the vibrations v (or vibration components v) of the material radiator, and there is energy exchange in quanta hv between the two. All observed optical phenomena, including the Compton and photoelectric effects, are explainable by light waves only. The hypothesis of photonic particles, though of occasional heuristic value, turns out to be ideological ballast, an as-if picture as opposed to the electromagnetic wave field as a physical reality. Presenting the corpuscular-looking part of the thermal energy fluctuations as proving any fact of duality is historically and physically untenable, all categorical assertions to the contrary not withstanding. After the apparent particle-wave paradox of light found its unitary solution around 1930, it has become a sin of omission not to add the adjective "apparent" to the term duality. Photons have become quantum numbers of wave components. Only for Pythagoras are numbers things and things, numbers.

3. THE UNITARY NATURE OF MATTER

After its elimination in the case of light, the dilemma or paradox of a dual nature of things raised its ugly head again in the case of matter in 1925 when the diffraction phenomena of electrons were discovered. If one looks at the alternating maxima and minima of intensity of electronic intensity reflected by crystals, it is quite suggestive indeed to see in them the same wave interference effect as in the case of X-ray diffraction and to discount the possibility of a mechanical particle explanation. Again, instead of trying and trying again to explain the contrast between linear tracks and alternating intensity fringes in a unitary fashion, theoretical physicists took advantage of the evasive gambit of Bohr and Heisenberg of introducing duality as a principle, which then lent a new lease on life, in a new form, to the moribund photon-light wave duality. Bohr's ideological creed was elaborated most clearly by his collaborator, Rosenfeld, who wrote (I have quoted this significant passage before) as follows:

"While the Great Masters [Planck, Einstein, SchrOdinger, et at.] were vainly trying to eliminate the contradictions in Aristotelian fashion by reducing one aspect to another, Bohr realized the futility of such attempts. He knew that we have to live with this dilemma ... and that the real problem was to refine the language of physics so as to provide room for the coexistence of the two conceptions."

Since that time, we have had a "wave language" and a "particle language," and the problem of the Great Masters, of finding a unitary interpretation of the phenomena, is talked out of existence. How poorly fit and how dispensible the particle language is in the case of light was discussed above. The reverse holds for matter: The wave

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 523

194 Alfred Lande

language for describing electronic effects is not only methodologically an unnecessary complication, it is impossible for purely physical reasons, as will be seen presently. At any rate, Karl Popper was justified when he scored the Bohr-Heisenberg method of solving a contradiction as "the ultimate betrayal of Galilean science." It signifies indeed a return to medieval scholasticism, which would have answered the question, "Why does matter sometimes display corpuscular and at other times wave qualities ?" by the answer, "Because it is the inherent nature of matter to behave in this fashion."

4. PHYSICAL FAILURE OF MATTER-WAVE THEORY

The most important (apparent) wave effect that needs to be explained in a unitary particle fashion is the diffraction of electrons through crystals and through slits in a screen, producing alternating maxima and minima. The usual dualistic interpretation reads as follows: The electrons leaving the source with momenta p transform, or act as though transforming, when being deflected by the diffractor, into waves of wave­length I. = hlp. Since this process takes place even when the electrons follow one another at long distances, each single electron is supposed to "interfere with itself" in contributing to the diffraction pattern. After the waves or as-if waves have done their duty, they reform into particles or as-if particles again as shown by countable impacts on a receiving film or Geiger counter. The idea of such back and forth transformation, with or without the words "as if" added, can at best be regarded as a temporary evasion as long as no physical explanation is known.

Yet, sinee 1955, a rational and unitary physical explanation has been available. Before discussing this, in Section 5, I wish to offer purely physical arguments why the wave aspect of the so-called duality of matter is unacceptable. Indeed, when using Galilean kinematics to fit the case of slow electrons, the translation I. = hIp from particles to waves violates the fundamental principle of covariance: In going from one reference system 0 to another one 0' moving with velocity u relative to 0, the momentum p transforms into p' = p - mu, whereas a physical wavelength I. remains the same, ,\' = A. (Snapshots of waves taken from a lighthouse show the same wavelength as those taken from an airplane.) Therefore, A = hIp can hold only in one preferred system of reference. To obtain the correct diffraction pattern from matter waves, one has to take p in the rest system of the diffractor. But how can a particle "know" before meeting with the crystal which wavelength it has to associate with? And which wavelength is the correct one in the case of two diffractors in mutual motion? The conclusion is that, although waves I. = hIp may have heuristic value for the purpose of calculation, one cannot ascribe to them any physical reality on the same level as particles as physical .entities.

It has been pointed out correctly that relativistic de Broglie waves do not have this defect: A = hIp here transforms into,\' = hlp', and v = Elh transforms into v' = E'lh. However, the phase velocity of the relativistic de Broglie waves is w = vI. = mc21mv = c2/v, which for slow electrons is a multiple of the velocity

524 ALFRED LAND~

Unity in Quantum Theory 195

c of light. (The group velocity g = v does not yield interference; only phases interfere.) Are we really to believe that diffraction of electrons is due to interference of waves of phase velocity w = c2/v? Although it is mathematically admissible, it suffers from the defect of discontinuity. Indeed, whereas the differential equations of motion for the mechanics of particles are not affected by the addition of the constant moc2

to the energy, the same constant makes an enormous and abrupt difference for the (allegedly) associated waves. Their phase velocity changes discontinuously from w = !v to w = c2jv. Even worse, relativistic matter-wave theory leads to experi­mentally wrong results (see below).

Let us first answer some questions to clarify the issue. First, are light waves of frequency v associated with, or equivalent to, light particles of energy E = hv and momentum p = hv/c? And vice versa, are photons of energy E equivalent to waves of frequency v = E/h which change their energy in quanta" = hv? Yes or No? Second, does the analogous situation hold also for the relation between matter particles and matter waves? Yes or No?

If the answers are Yes, the consequences are disastrous. Take the example of an electronic harmonic oscillator of frequency Yo • As we know from Planck, it changes its energy only in quanta " = hvo in resonance with, and through energy exchange with, the surrounding radiation waves of frequency 110 ; hence, the oscillator energy is quantized to Eo = nhvo. In the analogous case of matter, the waves are to be relativistic in order to preserve covariance. That is, their frequency is to be taken from the relativistic oscillator energy E = Eo + moc2 so that the associated wave frequency II = E/h is vastly larger than the oscillator frequency Yo • Also, the energy of the matter waves v would have to change in quanta " = hv rather than in the quanta "0 = hllO of the radiation waves. Energy exchange between radiation waves 110 and matter waves v would be impossible. Do not change the rules during the game! EO and Yo are incompatible with E and y. Relativistic matter particles are allright. But relativistic matter waves are physically unacceptable, even though they may be helpful as a mathematical fiction. The same holds for nonrelativistic matter waves ,\ = hip because of their lack of covariance. The wave mechanics of ",-functions is right, of course. But ",-functions do not describe physical waves, as Schrodinger thought, but represent statistical distributions of physical particles according to the unitary Born interpretation of 1927.

Unfortunately, the ideational cliche of wave-particle duality has taken a dogmatic hold on physicists and through them on the interested public in general, in spite of the statistical nature of the Schrodinger wave theory, which should have written finis to the alleged equivalence of the two "pictures" and the associated two "languages."

However, since Born in 1927 did not, or could not, explain the alternating maxima and minima in electron diffraction without resorting to the wave hypothesis, he and others indulged in a sort of doublethink. On the one hand, they accepted the statistical particle interpretation. On the other hand, they acclaimed the Bohr­Heisenberg pseudophilosopbical thesis that both particles and waves are no more than mental pictures, without the need to express preference for one over the other.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 525

196 Alfred Lande

The only riddle is why, in the more than four decades since de Broglie and SchrMinger established the mathematical theory of wave mechanics, nobody has seriously pointed out the purely physical arguments given above against the physical existence of matter waves, relativistic and non relativistic. Was perhaps a sort of Freudian repression involved?

The chief trouble is that dualists, in order to defend their preconceived doctrine, fluctuate from one to another meaning of the term duality, often with no reasonable meaning at all. Thus, Heisenberg offers as proof for the alleged particle-wave equivalence the possibility of transforming particle mechanics into a wave theory of matter by way of a second quantization which leads to "a nonlinear theory of matter waves for a ",-function reinterpreted as an operator with a peculiar com­mutation rule," a thoroughly complicated process which actually does not lead to waves ,\ = hip at all in spite of the letter", being involved. At the same time, in popular books ad usum delphini the plain ,\ = hip sort of duality is propagated as necessitated by the electron diffraction pattern although the latter can be disposed of, as the next section will show.

5. PARTICLE MECHANICS OF MATTER DIFFRACTION

A unitary particle theory of matter diffraction was offered by the writer in 1955. It is recapitulated here only for the convenience of the reader not yet familiar with it. It ascribes the diffraction pattern to the quantum mechanical activity of the diffractor rather than to a wave interlude of the diffracted particles. The matter distribution in space of the diffracting body can be analyzed into periodic space components (Fourier analysis) of various periods of lengths I. Each space component I then gives rise to a momentum change of magnitude LJp = h/I, according to Duane's (1923) selection rule for the linear momentum, in analogy to the two other selection rules, those for the energy LJE = h/T, with T = I/v, and for the angular momentum LJp., = h/rp, where rp is an angular period, usualy rp = 21T, according to the selection rules of Planck (1900) and of Sommerfeld and Wilson (1915). Duane's selection rule yields the direction of the observed diffraction maxima as follows.

A crystal consisting of lattice planes of mutual distance L has periods I = Lin perpendicular to the planes, hence can change its momentum in this direction only in quanta LJp = nhl L. On the other hand, a particle of momentum p incident at a glancing angle 0 and reflected at the same angle changes its momentum component perpendicular to the lattice planes by the amount 2p sin O. Momentum conservation during the reaction then leads to the equation 2p sin 0 = nh/L which, for various integral numbers n, yields a corresponding set of diffraction angles 0" . They agree with those obtained from wave theory via'\ = hlp, which transforms the 0" condition to 2L sin On = n'\, that is, Bragg's formula for wave interference.

The particle theory of diffraction through a crystal had the following history. As earlv as 1923, in the same year in which de Broglie proposed his matter waves

526 ALFRED LANDE

Unity in Quantum Theory 197

A = hlp, a mechanical theory of particle diffraction was developed by W. Duane in the USA based on his very important new selection rule for the linear momentum quoted above, but intended to explain the diffraction of X-rays by way of the photonic particle hypothesis. Duane's great achievement met with little response because the photon theory, which does not account for the electromagnetic qualities of radiation, could not even at that time (1923) be taken quite seriously. Thus, it was soon forgotten, after having been mentioned only once, in Heisenberg's Chicago Lectures of 1931. It was for a long time ignored in the literature in spite of its containing the key to a mechanical particle explanation of matter diffraction. It was only 32 years later that the writer in 1955 transferred Duane's theory from light, where it is out of place, to matter, where it yields the clue to a unitary mechanical particle explanation of electron diffraction without appealing to wave interference.

The mechanical momentum transfer theory also solves the old problem of diffraction through slits, where one asks: "How can it be that electrons reach certain places on a film through one slit, yet are blocked from the same places when a second parallel slit is opened?" Does this not show indisputably that wave interference is involved where bright plus bright may produce dark due to phase relations? The last conclusion was proved fallacious by the particle theory of mechanical momentum transfer from the diffractor to the incident particles (Ehrenfest and Epstein's photon theory of 1924) via the periodic space components of periods I into which the matter distribution of the diffractor can be analyzed. Of course, the I-spectrum of a one-slit screen differs from that of a two-slit screen.

Here, I must mention the often repeated question, "What right do you have to prefer particle mechanics to a wave theory of matter when both lead to the same experimental results, e.g., in the diffraction of electrons 1" The reply is now obvious: The wave theory, though quite helpful in selected cases, is untenable in general, for its lack of covariance in nonrelativistic theory, and because it leads to nonsensical results in relativistic theory. At the same time, the possibility of a pure particle explanation of the apparent interference phenomenon seems, as my correspondence shows, to have awakened many teachers of quantum theory and their students from the dogmatic slumber imposed on them by the traditional doctrine of wave-particle duality.

Another futile defense of dualism is based on the alleged equivalence of wave and particle effects inherent in the supposed possibility of transforming the mathematics of the one into that of the other aspect. However, such transformation is illusory for light; no mathematical transformation can lead from photonic particles to electro­magnetic Maxwell waves. And in the case of matter, although there is a transformation from a space representation to a momentum representation, the latter is not identical with wave theory, even when one finally uses the (untenable, see above) translation p = hiA.

There have been in the course of the past four decades many critics who objected to the dualistic ideology, e.g., Sir Karl Popper as early as 1932. But since these critics were "merely" philosophers of science, they were dismissed by the profession as not competent. I wonder, however, whether the purely physical arguments against the wave theory of matter can be brushed aside so easily.

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 527

198 Alfred Lande

6. NONQUANTAL FOUNDATIONS OF QUANTUM THEORY

The question has always been "Where do those strange selection rules and other puzzling features of quantum mechanics come from ?" According to current views, they all are anchored in, or even follow from, the principle of wave-particle duality. This, however, is a rather poor reply to Einstein's query in a letter of 1916 to Arnold Sommerfeld: "If I only knew which little screw the Lord applies here." Deriving quantum features from a quantum "principle" is walking around in circles and beginning, as the previous analysis has shown, at a most questionable point of the circumference. Clearly, "das Schriiubchen" expected to unlock the quantum riddle, or muddle, can be found only in a nonquantal basis of postulates which are to be simple and plausible so that they do not require further justification.

The task of constructing quantum mechanics on a nonquantal basis has been accomplished by way of the following three postulates imposed on a statistical structure of events connecting states of physical objects, with the restriction that this probabilistic theory is to correspond to classical mechanics. The three postulates read as follows(5).

(A) The probability for an atomic system to arrive from state A at state B equals the reverse probability from B to A. This symmetry postulate is plausible because it corresponds to the reversibility of classical deterministic processes. It has far-reaching consequences for the structure of probabilistic mechanics.

(B) There is a general relation between atomic probabilities of transition from state to state. It is to be identical with the ordinary addition law of probabilities in the average. This postulate leads to the interference theorem as the only possible general probability relation. (The condition for the average is new.)

(C) Atomic mechanics connects energy with time and momentum with space coordinates as mutually conjugate quantities. Their connection is postulated to be independent of arbitrary choices of zero points. From this postulate of covariance it follows, as a result of mathematical reasoning, that the connection between energy and time, and that the connection between momentum and space coordinates, must be periodic, the most significant feature of the quantum theory.

By thus proceeding from the How to the Why of quantum mechanics, that is, by deriving the theory from a simple and plausible nonquantal basis, (5) one has gained a new key or "Schriiubchen" to the understanding of the quantum realm. There is no suggestion of a dual nature of things or of the intrusion of the observer as a subject. Quantum mechanics is a purely objective theory without need for one or two "refined languages of physics." The only important fundamental innovation is that natural events are recognized as being in a statistically ruled rather than a deterministic relation. It may be added that the writer came to establish the nonquantal foundations of quantum theory only after he freed himself of the ideo­logical shackles of the duality doctrine.

528 ALFRED LANDE

Unity in Quantum Theory 199

7. THE QUANTUM PHILOSOPHY

After 40 years of wandering in the wilderness of dubious interpretations-there are at least seven different meanings(6) attributed to the quantity ifi alone-it is time to dispel the air of mystery which has enveloped the quantum domain since the days of matrix and wave mechanics in the late 1920's, based mainly on the dualistic trend, which favored acceptance of subjective pictures, even contradictory ones, instead of searching for a unitary and objective interpretation of atomic fact. Thus, after relativity theory had led to a revision of the concepts of physical space and time, it was now proclaimed that quantum theory was of similar philosophical import as revolutionizing the relation between subject and object. Philosophers and popular writers of course took great interest and tried to utilize this sensational message. At least some of them, however, became disappointed when they learned that it did not amount to more than, as we are told by Max Born, (2) "The observer has to decide beforehand which kind of answer he wants to obtain. Thus subjective decisions are inseparably mixed with objective observations .... The means of observation depend on the subject." As if they had not always depended on the subject, without having rendered physics half-subjective. Besides, the human observer is replaced today, most of all in the atomic domain, by automatically reporting instruments. Furthermore, if the quotation above refers to the observer's decision as to whether to obtain corpuscular or wavelike information, then we must object: All experiments with matter yield only corpuscular information, waves being out of competition. The reverse holds for radiation. It is quite surprising to see Max Born defending subjectivism and duality, because it was none other than he who in 1927 dealt a mortal blow to the "dual answer" doctrine by his magnificent unitary and objective particle interpretation of the Schrodinger ifi-waves. But recently, he told us that "an electron is neither particle nor wave," just confusing what an electron is with what the statistical effect of many electrons seem to suggest. Then, returning to the subjective view, he supports it from quite another standpoint than the choice of experiment, namely,(2) "The appearance of chance in the elementary processes means the end of the sharp separation between the object observed and the subject observing. For chance can be understood only in regard to the expectations of a subject." Has chance in any statistical situation with mechanical devices ever blunted the sharp separation between subject and object? Why so only in the quantum domain, where the chance distribution has ups and downs like a wave, when there is no change of the separation between subject and object in a Gaussian chance distribution with but one maximum, or in a dice game with six maxima? The mistaken notions that Born and other physicists have about probability and chance have been refuted often enough by philosophers of science as well as statisticians, who eliminate all subjective elements by renting electronic computers. Just the same, Born tells us further,(2) "The wave [which wave, physical or mathematical?] is just that part of the description of the phenomena that depends on the intrusion of the observer," presumably because of the statistical interpretation of the SchrOdinger wave function, which presumably means the end of the sharp separation of subject and object, a most fundamental fallacy.

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS 529

200 Alfred Lande

There is another trend, connected with the variety of subjective pictures, namely, that the only "real reality" is to be found in the mathematical formalism having precedence over interpretations. Thus, Niels Bohr suggested that the frequent occurrence of the imaginary unit V=I in the quantum mathematics was indicative of the "elusive character of quantum physics, not being susceptible to [one definite] pictorial representation." He only repeated the error of earlier days when "negative" and "irrational" and "transcendaental" numbers in the description of geometric or physical relations were thought to have magic implications. The same spirit is revealed also in the declaration by Werner Heisenberg,(4) "For modern natural science there is no longer in the beginning the material object but form, mathematical symmetry. And since mathematical structure is, in the last analysis, an intellectual content, we could say in the words of Goethe's Faust: 'In the beginning was the word-the Logos'." Is this really the ultimate sense of the quantum theory? Or is it of the same category as applying the principle of complementarity between particles and (nonexisting) waves to politics, psychiatry, and other human affairs, and praising it as being "in one sense the most important conception of our day" (J. A. Wheeler)? I rather agree with Mario Bunge that this "principle" of the more yin the less yang is entirely unscientific because it does not contain a criterion for finding the unknown yang to a given yin. The same must be said of the bold assertion by Born: "The most audacious application of the idea of complementarity is Bohr's solution [I] of the ancient problem of necessity versus freedom." Pointing out "the more necessity, the less freedom" is trivial rather than a solution of the ancient problem. Yet it is all the "principle" of complementarity can say.

A great deal of Weltanschauung has been connected with a misreading of Heisenberg's important uncertainty rule of individual prediction of an exact (p, q)­datum (q indicates space coordinate, p momentum) within a statistical ensemble of such data over a range 8p 8q ~ h. This rule of physical statistics has later been mistaken as restricting the exact measurability of an individual (p, q)-datum, and then as representing limits of exact existence of such data, according to the maxim "what one cannot measure does not exist." This change of meaning of the uncertainty rule of prediction is problematic for two reasons, one semantic, the other because it rests on false analogy. First, a statistical dispersion of data, here of (p, q)-data over a range 8p 8q ~ h, is defined and capable of empirical confirmation only by individual data measured with much greater accuracy than the statistical dispersion range itself. The assertion that each single datum is measurable only with an uncertainty as large as the whole statistical range is a self-contradiction. It can be made acceptable only if one first changes the meaning of the term "measurement" so that it fits the purpose, in this case the false analogy between wave qualities and single-particle qualities rather than those of the distribution of many particles. It is true that a wavelength ,\ or wave number K = 1/,\ cannot be measured within a space range 8q with greater accuracy than 8K ~ 1/8q. However, mathematically translating 8K into 8p/h and thereby arriving at 8p '" h/8q and at the same time changing "wave quality" to "individual quality" rather than statistical quality of many particles is deceptive and is one of the causes of the problematic, not to say illusive, quantum philosophy of the past four decades. The change of word meaning in the present

530 ALFRED LANDE

Unity in Quantum Theory 201

case is contained in the redefinition: "A measurement Mo is not a 'measurement' when neither a future measurement Ml can be predicted nor a past measurement M_l can be retrodicted." Of course, by arbitrarily changing the meaning of words one can prove anything, even a demonstrably untenable physical theory.

Another example of such an error, first regarding individual electrons as "wavicles" and then confusing them with the statistical effect of many particles, was made by even so great a physicist as Werner Heisenberg, who writes,(4) "It cannot be denied that the elementary particles of present day physics are more closely related to Platonic bodies (read: ideas) than to the atoms of Democritos." I rather vote for Democritos because an electron has a mass of 0.9107 x 10-27 gm, whereas a Platonic idea has none.

Enlightened by Heisenberg, the next step is taken by Sir James Jeans, (3) "It is probably [?] as meaningless to ask how much room an electron takes up as it is to discuss how much room a fear, an anxiety, or an uncertainty takes up." However, in contrast to the indefinite volume of a fear, etc., an electron has a volume of about 10-36 cm3.

Finally, we quote three revolutionary, though mutually exclusive, views on quantum thought offered by Carl F. von Weizsacker,1?l "What fails is the objectifi­ability of nature. Perhaps we can best speak of a collapse of the category of substance. Perhaps we should rather speak of the necessity of adapting our logic, formed by thinking in objects, to the new situation." His "best speak of" and "perhaps rather" do not offer a solid background for communicable thought. On the contrary, when trying to make sense out of the various interpretations and ensuing philosophies of dualism, one finds himself in the quandary of George Gamow's "Mr. Tompkins discovering the Quantum," whose only mistake is that he accepts the various doctrines of "best speak of," etc. seriously and at face value but without trying to wriggle his way out by way of an evasive "complementarity principle" which explains nothing. Gamow's still-timely parody challenges us to overcome the contradictions by a unitary outlook obtained without resort to the methodological and physical inadequacies pointed out in Section 3, and by clarifying the dramatic mysteries of the quantum by reduction to quite prosaic nonquantal ground axioms. Duality? Je n'ai pas besoin de cette hypothese!

Closing this article, I must ask for the indulgence of the reader to end with a quotation from Senator Barry Goldwater: "Reading over what I have written, it strikes me that my tone may have lacked humility."

REFERENCES

1. N. Bohr, Discussion with Einstein, in Einstein, Philosopher-Scientist, P. A. Schilpp, ed. (Tudor Pub!. Corporation, Evanston, 1949).

2. M. Born, The Restless Universe (Dover Publications, Inc., London, 1935); My Life and My Views (Scribner, New York, 1968); Proc. Phys. Soc. (London) 66, 501 (1953); Physics Today 21, 5! (1968).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS 531

202 Alfred Lande

3. Sir James Jeans, Physics and Philosophy (Cambridge University Press, New York, 1936). 4. W. Heisenberg, Physics and Philosophy (Harper & Row, New York, 1958). 5. A. Lande, New Foundlltions of Quantum Mechanics (Cambridge University Press, 1965); Quantum

fact and fiction, I-III, Am. J. Phys. 33, 123 (1965); 34, 1160 (1966); 37, 541 (1969). 6. L. Rosenfeld, Science Progr. 163, 393 (1953). 7. C. F. von Weizsacker, The World View of Physics (University of Chicago Press, Chicago, 1952).

532 PAPER 133

Quantum fact and fiction. IV

Alfred lAInd' Department of Physics Ohio State University Columbus. Ohio 43210 (Received 11 October 1974; revised 15 January 1975)

Niels Bohr has often pointed out that already the sim­p/est quantum rule, AE ::= hv, is irrationnl insofar as dE stands for a timeless energy jump. whereas a frequency v is defined only over a long time spano However, when this irrational relation is accepted as a mainstay of the quantum theory. one cannot reject a corresponding irrationality for momentum jumps IIp connected with periodicties in space, the less so as it yields a unitary mechanical explanation of all wavelike-looking phenomena of matter, in particular those of the dlffraction of electrons, without resorting to any wave interference in space. (This has nothing to do with the complex-imaginary wave function Ib, which has a purely statistical significance.) We therefore propose to regard matter particles as real physical entities as always, in contrast to the matter waves with A := hip as a suggestive yet expendable fiction, permitting a return from dualism to unity, a simplification of the customary interpretation of standard quantum effects, also suggesting a long overdue reform in the teaching of the elements of quantum mechanics.

Editor's note: This is the fourth and last in a series of articles begun ten years ago in this Journal. Earlier parts in the series may be found in American Journal of Physics 33, 123 (1965); 34, 1160 (1966); and 37, 541 (1969).

I. INTRODUCTI01l'

Since the late 1920s we have been expo~ed to the view that there is no unambiguous decision about the ultimate composition of matter, discrete particles or a continuum supporting waves; hence, we must adopt the idea of a fundamental duality. Typical are authoritative declarations such as1 :

We must not say "an electron is a particle" or "it is a wave" but rather "it is both particle and wave," and I decide by the disposition of my ex­periments in which of the two ways it manifests it· self. ..

as a particle in counters and cloud chambers, as a wave in diffraction through crystals and slits in screens produc· ing alternating maxima and minima of intensity. To sup­port this "wavicle" aspect. which is repugnant to the

Reprinted from Am. J. Phys. 43. 701-704 (1975).

adept who expects physics to be a self-consistent science with definite and unitary theories, we are told that2

Niels Bohr knew [!] that we have to live with the dilemma, and that the real problem was to refine the language of physiCS so as to make room for the coexistence of the two conceptions.

--a signal to refine the language of physics to the utmost at the expense of clarity and unambiguity. Bohr also took a stand in the old argument between objective realism and subjective idealism, tilting toward the latter not only as a philosophical issue but as opening the way to solving a purely physical impasse. Condensing his repeated assur· ances that there is a principle of complementarity to re­concile the two aspects, his opinion was that both parti­cles ami wave~ are but pictures (one of the most abused words in the quantum literature) of the classical sort. neither of them having a claim to represent complete physical reality.

The more or less linguistic trend toward a solution of a dilemma in physics by refined language stems from the widespread view that there is no unitary answer to the challenge, "How can we ever explain those diffraction fringes produced by electronic particles without assuming a wave interlude with superposition and wave interfer­ence?" This is the crucial question on which the physical solution of the paradox of duality depends. There is a positive answer to the challenge, namely the undiluted and unitary quantum mechanics of particles without any wave interference picture of the latter. It has been de­scribed by this writer in previous articles and books . .1 It is repeated here (Sec. III) for two reasons. The usual an­swer, "We need wave interference of the electrons by way of the Laue-Bragg: x-ray diffraction theory [Sec. II] un­der de Broglie's relation A = hlp," is unsatisfactory be· cause it appeals to supernatural powers and because its wave part alone violates basic tenets of physics. Second, objections against the pure particle mechanics of the ef· feet have been raised by several critics, but are reo pudi<:lted. here and now, as being objections to the very foundations of quantum mechanics and therefore of little avail (Sec. V). But let us now go into closer details of the duality issue.

II. DUAL INTERPRETATION OF MATTER DIF· FRACTION

The customary explanation of the diffraction fringes produced by electrons reflected from crystals of lattice plane distance L reads, in plain languuge. that the inci­dent particles of momentum p (somehow) transform into waves of wavelength A = hlp and thus produce interfer· ence maxima at glancing angles en detennined by the Bragg relation

2LsinBn =n">l.. (1)

After.vards tney reform into particles again, individually observable as clicks in Geiger counters or as impacts on a sensitive film. The refined Copenhagen language now

701

SELECfED SCIENTIFIC PAPERS

translates the words "fonh-and-back transfannation" into the more sophisticated "'dual manifestation."

However, I cannot see any difference between a super­natural duality of "being" and that of "manifestation," except some nebulous subjective picture difference. Einstein called it a "tranquilizer philosophy." Indeed. when one asks for some deeper reason of thi!» looking like dual manifestation. the answer is: "Elementary. There i~

a principle of duality." (For a scientific reply see Sec. III.) To me, this is like asking, "Why did the first settlers call a turkey a turkey?". with Mark Twain's answer. "Because it looked like a turkey." I think that. after half a century of dogmatic slumber, a new approach should be given a chance to be heard.

There are indeed objections against the de Broglie translation formula 3:'. distinguished from the quantum rule (6) below. In the nonrelativistic domain, the relation

A=ltlp (2)

violates one of the most sacred postulates of theoretical physics, that of covariance: Whereas a momentum p = m\' of a particle in a system ° changes to pi = P + mu in a system 0 ' moving with velocity u rela­tive to 0, a wavelength A. remains unChanged. A = A'. (A snapshot of ocean waves taken from a lighthouse display~ the same wavelength as one taken from an airplane.) Thus, when A = hlp prevails in 0, it fails in all other sys­tems 0'. But how can a moving particle "know" in which system, ° or 0', it should "associate itself" with a wave? Far away from the crystal it cannot know the lat­ter's rest system, which is the only one leading to the A yielding the correct interference pattern.

Things look much better in relativistic theory because there p = hl"'- becomes pi = h/A' under a Lorentz trans­formation. The drawback is, however, that the phase ve­locity of the waves now becomes as large as

w = v\ = (Elh)(hlp) = IIIc2/1111! = c2 Iv, (3)

which is an ever larger multiple of the velocity c of light, the smaller is the velocity v of the particle. A and w ap­proach infinity in the rest system of the particle. Besides, the very idea that the diffraction of slow electrons with small vic is a relativistic effect depending on a multiple of c is not very "physical." But all this is not important, compared with the entirely ad hoc flight into a dual man­ifestation principle-an evasion from solving the wave­particle dilemma. Fortunately, a physical theory of the diffraction of electrons and related effects is at hand. It is known as quantum mechanics.

III, UNITARY PARTICLE THEORY OF MATTER DIFFRACTION

In the same year, 1923, in which de Broglie proposed his relation A = hlp which was so very fertile for the further development of atomic theory, the Amerit:an physicist W. Duane succeeded in explaining the diffrac­tion fringes of x rays reflected from crystals in terms of Einstein's phofonic purtic/es 4 without appealing to wave interference. Instead, he introduced a selection rule for the linear momentum, analogous to that for the energy

702/ Alii. j. Phys. Vol. 43. No.8. AugUST 1975

533

and angular momentum. There are three, not only two. selection rul\!~ for indi­

vidual bodies. corresponding to the [flra consenation rules during the interaction of two bodie~ for the cnerg~ E, the linear p, and the angular momentum Po;.

(i) The first selection or quantum jump rule hold..; tor the energy and reads as follows: A system ha\ ing a periodic time component of magnitude T (e.g. .. an o~cil­

lator of frequency II = liT) i~ entitled to chang~ its energy in amounts

t>E=h!. (Planck, 1900), (41

If the system has several Fourier time cumponents '11'

'12 , etc., then it can change its energy in any of the amounts 8Eu = hiT".

(ii) The second selection rule controls the change of the angular momentum P" due to an angular period 'P, accord ing to

(51

And since every body has angular period I{J = 27f, there i~ the well-known rule for the change of PI' of a body.

t>p, =h/2rr (Sommerfeld and Wilson, 1915), (5')

However, a regular hexagon has periods I{J = 27fln with n = 1, 2, 3, 6, so that tlp'I' = nhl2'1T holds here.

(iii) The third quantum rule connects the linear momentum p with a linear period in space, I. It reads

t>p = hlz (Duane, 1923). (6)

For example, a crystal with lattice planes at distance I = L has structural Fourier components of periods I = Lin; it therefore is entitled to change its momentum component perpendicular to the planes in amounts (valid for any system of lattice planes)

t>p =nhl L (crystal), (6')

Equation (6') is the key to the selective reflection of inci­dent electrons into discrete directions which look like in­terference maxima, as follows.

A particle incident at a glancing angle 8 on a system of lattice planes changes its perpendicular p component from +p sinO to -p sinn, altogether hy the perpendicular p amount

t>p = 2p sine (electron), (7)

Since crystal and electron undergo opposite p changes. we can combine (7) with (6 ' ) to obtain

2p Sine" = t>p = nhl L, (8)

The directions 8n of the maxima determined here by the

Alfred Lande

534

"quantum number" n tum out to be identical with those of the Bragg rule (I) by virtue of the translation p = hlA, with n now being the "order" of wave interference.

The difference between the two ways of arriving at the correct angles On is spectacular. The dual theory ascribes the diffraction to a magic activity of the electrons, inci­dent as particles spaced at any large time and space inter­val, then "manifesting" themselves as interfering waves, and finally as individual particles again, a fantastic as­sumption accepted for lack of anything better. In the quantum-mechanical theory (Duane). the periodicity in­volved is that of the crystal alone. connected via rule (6') with the selectivity of the momentum transfer. It does not call for refined language and a subjective ideology of two opposite pictures.

To stress the advantage of the unitary approach. imag­ine that it has been observed that reflection of balls from a solid wall a1ways occurs at an angle of reflection equal to that of incidence. To explain this regularity. it is assumed that the balls transform into, or manifest them­selves near the wall as, waves which now, according to Huygens's principle, reinforce their wave intensity only in the angle of reflection. After the waves have done their duty, the waves become plain balls again. A generation la­ter someone offers a unitary explanation of the effect as due to E and p conservation. It will of course be met with great resistance from the dualist camp. Yet the difference from our present case of electronic diffraction is (only) that now the reflector has a pennament periodicity; hence, there are only discrete angles of incidence which lead to reflection at the same angles (JJI. Objections to the quan­tum mechanism of Duane as "just a mathematical trick. and entirely unphysical," and the like are discussed in Sec. V. Schrodinger's til waves refer of course to the statistical distribution of many particles and not to a dual feature of single particles as wavicles depending on the experimental setup.

IV, TWO-SLIT EXPERIMENT

Another apparent evidence for dual manifestation is the diffraction of electrons through a screen with two parallel slits, yielding a pattern of bright and dark fringes, similar to those in the analogous optical experiment which, since Thomas Young and Fresnel, is taken as the standard proof for the wave nature of light because, "How else can one explain that places hit by particles arriving through one slit, are blocked when another slit is opened?" In this example, too, quantum mechanics supplies an answer, as follows (Ehrenfest and Epstein, 1924),'

Whereas a crystal of lattice constant L has space periods I = L, £12, £13, ... , representing a discrete spectrum of Fourier components of its space structure, a screen with slits has a characteristic continuous spectrum of I values representing a Fourier integral. Each I compo· nent now entitles the diffractor as a whole unit to impart impulses f1 p = hll to an incident particle with a probabil· ity proportional to the intensity of the corresponding I component in the I spectrum.

The usual question has always been: "How can an electron, when passing through one slit, 'know' whether the other slit is open or closed, so as to give its contribu­tion to the two-slit or the one-slit diffraction pattern. without having fIrst spread out into a broad wave cover­ing both slits?" The reply is that it does not have to

Am. J. Phys. Vol. 43, No.8, August 1975

ALFRED LANDE

know because it reacts to one of the 1 components of the diffractor as a whole, and_ the l spectrum is different in its intensity distribution in the one-slit case from that in the two-slit case. The emerging panicle does not even have to be identical with the incident one-as in a row of ivory balls, the last ball continues the motion of the fIrSt with conservation of energy and momentum.

V, OBJECTIONS TO QUANTAL ACTION

Is all this not outrageously unphysical and irrational? In particular, how can an incident particle ever pick out just one among the crowd of alII values in the I spectrum by an instantaneous Fourier analysis of the diffractor, al­though the I components are defined only through its space structure as a whole whereas the particle strikes momentarily at one point, and related questions. To an­swer them we must go somewhat deeper into the quantum ideology as contrasted to ordinary views.

After the initiation of the energy relation 4E = hIT by Max Planck, the next great step forward in the under­standing of atomic mechanics was made by Niels Bohr in 1913 when he recognized that each spektralline is pro­duced separately by one atomic process at one time so that the whole spectrum is only the statistical result of many such processes of frequency production according to 11= 4Elh. Before that time, theorists always tried to construct a model of a radiator which could produce all the frequencies of the Balmer series simultaneously. but it turned out to be impossible to have such a series con­verge to an .upper limit of finite frequency. Thus Bohr's theory was a most revolutionary innovation. In after­thought, this is not too surprising under Planck's rule, be­cause only one E jump can occur at oDe instant, mther than many simultaneously in one body. Still, according to classical determinism. it is incomprehensible how such a process is chosen at random among a multiplicity of pos­sible E jumps, and also that an E change happening in­stantaneously should be connected with a time period II = lIT which is defmable as a Fourier component only over a long time allowance. Yet, Bohr's theory has be­come the cornerstone of all quantum mechanics.

Now, what holds for energy and time must. mutatis mutandis, also hold for momentum and space, not only with respect to the rules 4 E = hIT versus 4 p = hll but also with respect to their physical interpretation. For in­stance, since a body can carry out only one p jump, IIp, at one time, only one of its space periods I can be in­volved in determining it. Thus, a particle incident on a diffractor can pick out just one of the many Fourier com­ponents I of the I spectrum in its reaction, although from a classical detenninistic viewpoint it is hard to see how it can achieve such a feat, in particular when it strikes at one point in space, whereas an I component is defined only over the large space of the diffractor as a whole. Yet, analogy to the Bohr process should demonstrate that, if we accept the apparently unphysical elements of the lat· ter. we have no right to reject Duane's mechanism as an unphysical mathematical trick. It rather is quantum mechanics at its best.

As to the duality of light. electromagnetic waves versus photons, it has been shown long ago that the Compton, the photoelectric, and similar effects do not need the pic­ture of little balls of energy chasing around in space, but that the quantum theory of radiation explains these

Alfred Landi /703

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

phenomena in a unitary and consistent way. It is for this reason that Duane's 1923 x-ray theory of photon diffrac­tion was not appreciated at his time and was forgotten when the diffraction of electrons was discovered-where it belongs-as a physical, rather than philosophical or linguistic. way of removing the duality dilemma. On the other hand, the even more fundamental problem of reduc­ing the main features of atomic physics, the discontinuous quantum jumps, to simple and plausible general postulates-in short, the question of why the world is a quantum world-remained an open challenge to the theorists. It has recently been discussed (and solved?) in

704 I Am. 1. Ph.l·s. Vol. 43. No.8, August 1975

535

this Journal under the 2200-year-old thesis of Zeno that there are no simultaneous states of position and velocity. 6

Ie. F. von Weizsacker, The World View of Physics (University of Chicago, Chicago, IL. 1952).

2L. Rosenfeld, Sci. Prog. 163,393 (1953). 3A. Lande, QUQntum MechQnics in Q New Key (Exposition, Jericho.

NY, 1974). 4W. Duane. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 9,153 (1923). 5P. Ehrenfest and P. Epstein, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 10, 133

(1924); 13,400 (1927). GA. Lande, Am. J. Phys. 42, 459 (1974).

AlfredLtmdi>

536 PAPER 136

AnnaJen der Physik. 7. Folge, Band 33, Heft ~, 1976, S. 88-92 J. A. B"rth, Leipzig

Physikalische Theorie der Beugung YOn Malerieleilchen

Von A. LANDE t Ohio State University, Columbus, Ohio (USA)

In h a It. ii b e r sic h t. D"s physilmlische Paradoxon der Dualitat mit ihren zwei entgegengesetzten "Manifestationen Als-Ob" kann durch die einheitlichC' Quantenmechanik, im besonderen durch die DUANESche Auswahlregel fiir den linearen Impuls iiberwunden werden. Dies wird am Beispiel der Elektronenbengung am Kristan und am einfachen und Doppelspalt gezeigt. Was Einstein "Is ,Be­ruhigungsphilosophie' bezeiehnete, kann dadureh in objektive Physik verwandelt werden.

Physical Theory of the Diffraction of Matter Particles

Abstract. The physical paradox of duality with its two opposite "manifestations as-if" can be solved by the unita.ry quantum mechanics, in pn.lticular by the selection rule of DUANE for the linear momentum. Tbis is demonstrated in tltc example of the diffraction of electrons through a crystal and through a simple and double slit. Wh.t. Einstein scored as a "tranquillizer philosophy" can thereby be turned into objective physics.

Einleitnng

Zweck dieses Aufsatzes ist es, eine rein physikalische Antwort auf die Frage zu geben: "Wie lassen "ich die Beugungsstreifen von Elektronen am Kristall und Doppelspalt ohne Welleninterferen"" d.h. ohne Dualismus erklaren 1" Die Iller gegebene Antwort lautet: "Auf Grund der Quantenmechanik, die ein wellenartiges Zwischenspiel von Materieteil­chen als iiberfliissige Hypothese ablehnt". Falls sieh dies als richtig erweist, bedeutet es eine groBe Vereiufaehung in der Deutung atomarer Vorgange mit Ausschaltung del' naeh einem halben .r ahrhundert immer noeh verbreiteten Quantenmystik. DaB dieser Ausdruek bereehtigt ist, zeigt sieh u.a. darin, daB es mehrere einander widersprechende Auslegungen der Dualitiitslehre gibt, von denen wir die folgenden erwahnen, um sie spater dureh die eillheitliehe Quantenmeehanik del' TeiJehenbeugung zu ersetzen.

a) Die Materie basteht, aus einzelnen Teilehen, die sieh als Folge der Versuehsanord­nung gelegentlieh in ein wellentragendes Kontinuum verwandeln.

Dies ist zwar realistiseh gedaeht, aberdoch ganz unphysikaliseh. Um den Verwltnd­lungszauber zu umgehen, greift man nun zum \Vortzauber [1]:

b) Man darf nieht sagen "ein Elektron ist ein Teilehen" oder "es ist eine Welle", sondern "es manifestiert sieh nul' so als ob es ein Teilehen ware als lineare Bahnspur, und als 0 b es eine Welle ware bei der Beugung, beidemal als klassisches Bild."

Verf. kann keinen physikalisehen Unterschied zwischen "ist" und "manifestiert sich als ob" entdeeken. Ein Unterschied del' Spreehweisen ist kaum geeignet, ein physikalisches Paradoxon zu losen. Das Gegenteil von Version (b) behauptet

c) Aile Beobachtungen konnen auf Grund beider Theorien beschrieben werden, da die eine sieh durch eine mathematiseheTransformation in die andere umformenlaBt. Des-

Reprinted from Ann. Phys. (Leipzig) 33,88-92 (1976).

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

PhYBikalische Theorie der Beugung von Materieteilchen 89

halb ist es sinnlos, entscheiden zu wollen, welches Bild richtig ist. (S. Heisenbergs Kor­respondenz mit dem Verf., hinterlegt in der Dokumentensammlung der Preussischen Staatsbibliothek).

Hier braucht man gar nicht die Zweite Quantelung anzufuhren, denn die einfache Gleichung p = hi). leistet mathematisch dasselbe. Ob man aber deshalb beiden Seit-en derGleichung denselben Grad physikalischenSeins zuschreiben soli, das ist hier die Frage.

Gleichzeitigkeit von Teilchen und Wellen findet man auch in d) DE BROGLIES Idee einer onde pilote, welche die Bahnen der materiellen Teil­

chen leitet. Schlielllich haben wir

e) BORNS jwrpuskulare Deutung der scheinbaren Wellenphenomene als statistisches Ergebt¥s vieler Teilchen oder als Erwartungswert fur ein einzelnes Teilchen.

BORNS Deutung wird mit Recht allgemein als korrekt angenommen, weil sie ein­heitlich physikalisch ist. Nebenher halt man aber noch an einer oder sogar an mehreren der Deutungen a) bis c) fest. Und selbst MAX BORN hat in seinen spateren Jahren den Dualisrnus als elementaren Grundzug der Atomphysik verteidigt (siehe seine Korres­pondenz mit dem Verf. in der Staatsbibliothek).

Unser Ziel ist, die am Anfang gestellte Frage, Db die Beugungserscheinungen ohne Welleninterferenz erklarbar seien, und die im Prinzip negativ beantwortet wird, positiv zu liisen, und zwar auf Grund der Quantenmechanik des Beugers, an Stelle einer Als-Ob­Transformation der gebeugten Materieteilchen oder durch Sprachmanipulation, die von EINSTEIN als "Beruhigungsphilosophie" gekennzeichnet wurde. Zur Klarstellung des springenden Punktes betrachten wir erst ein noch einfacheres Problem.

1. Das Reflexionsgesetz

Zunachst stellen wir die Frage: Warum werden Materieteilchen beim Aufprall anf eine solide Wand stets unter demselben Winkel zuriickgeworfen! Jemand der nichts von Mechanik weill, mag vielleicht die folgende Theorie vorschlagen: Die Teilchen ver­wandeln sich zunachst nahe der Wand in kontinuierliche Wellen, die dann nach dem Huygenschen Prinzip durch Interferenz eine endliche Intensitat nur irn gleichen Re­f1exionswinkel erzeugen, wonach eine Ruckverwandlung in einzelne Teilchen, die man auf einen Schirm auffangen kann, stattfindet.

Diese mathematisch miigliche, aber physikalisch unannehmbare Theorie kann man dann dadurch verteidigen, dall man eine duale Philosophie des Ala-Ob mit zwei rein sub­jektiven Bildern einfiihrt, von denen keines objektive Realitat besitzt. Aber wozu dies alles, wenn die Mechanik auf Grund der Erhaltungssatze fiir Energie und Impuls das Problem in einheitlich physikalischer Weise ohne Verwandlungszauber oder duale Bilderphilosophie loot!

Die Quantenmechanik fiigt der Erhaltung von Energie E und Impuls p fiir das Gesamtsystem der Kiirper beirn ZusammenstoJ.l noch besondere Regeln fiir die Ande­l·ung von E und p jedes Einzelkiirpers hinzu, bekannt als Auswahlregeln, die zur ein­heitlichen Erklarung der Materiebeugung ohne Wellenbild fUhren, wie unten gezeigt werden soli. Zunachst erinnern wir aber an die ubliche dualistische Theorie der Materie­beugung, die nur eine logische Fortsetzung des obigen Dualismus beim Reflexionsgesetz darstellt.

2. Duale Theorie der Materiebeugung

Die iibliche und als notwendig betrachtete Erklarung der Materiebeugung lautet wie folgt: Treffen Elektronen irn Glanzwinkel e auf einen Kristall mit Gitterebnen des Ab­standes L, so werden sie nach dem Energie- und Impulssatz der Mechanik im gleichen

537

538 ALFRED LANDE

90 A.LA"DE

'Vinkel zul'uekgeworfen. Zwisehendureh manifestieren sie sieh aber, als ob sie Wellen del' Wellenlange A = h/p waren und durch Interferenz nur unter selektiven Winkeln On l'eflektiert werden, wobei On sieh aus der Gleichung

2L . sin On = nA (Bragg) (1)

bestimmt. n ist dabei die ,Ordnung' der Interferenz. Naeh getaner Schuldigkeit erfolgt eine Riiekverwandlung in Teilehen. Wer diese physikalisehe L'nmiigliehkeit nieht glaubt, mag zu del' viel geruhmten Philosophie der zwei subjektiven Bildel' Zuflueht nehmen und sieh bei diesem Ausweg beruhigen. So schreibt Bohrs engster Mitarbeiter ROSE~­FELD [2]:

"Niels Bohr wuJlte, daJl wir mit dem Dilemma [der Dualitat] zu leben haben ... und daJl das eigentliehe Problem war, die Sprache der Physik zu verfeinern, um Raum fur die Koexistenz del' beiden Auffassungen zu schaffen".

Wahrend also Bohr eine physikalische Liisung des Dualitatsparadoxons fur unmiig­lieh hielt und naeh erkenntnistheoretisehen und spraehliehen Auswegen suehte - das gleiche gilt noeh naeh vierzig Jahren fUr seine Sehnle - wird im folgenden gezeigt, daJl eine einheitlieh physikalisehe Deutung del' seheinbaren WellenauJlerungen erreicht wer­den kann, wodnreh dann ein groJler Teil der sog. Quantenphilosophie als iiberfliissig, wenn nieht gar als irrefiihrend erkannt werden kann.

3. Physikalisehe Theorie der Materiebeugung

Entspreehend den drei Erhaltungssatzen der Meehanik, fiir die Energie E, den Dreh­impuls p. und den linearen Impuls p, fiigt die Quantemneehanik noeh drei Regeln fUr die Anderung der drei GriiJlen in Einzelkiirpern hinzu, wie folgt.

a) Ein System, das eine periodisehe Zeitkomponente T oder Sehwingungszahl y = l/T besitzt (harmonischer Oszillator) kann seine Energie nur in Quanten

LIE = hiT (Planck, 1900)

andern. Besitzt del' Kiil'pel' mehrere periodische Fourier-Komponenten Tn (anharmo­nisehel' Oszillator), SO kann seine Energie in irgend einer der GriiJlenLIEn = h/Tn springen.

b) Der Drehimpuls gehoreht del' Auswahlregel

LIp. = hlrp (Sommerfeld, Wilson, 1915),

wobei rp irgend eine del' Winkelperioden bedeutet. Da eine von ihnen stets rp = 2n ist, gilt stets die Regel

LIp. = h/2n.

0) Wenig bekannt ist, daJl man den El'haltungssatz fur den linearen Impuls durch eine entsprcchcnde Auswahll'egel zu erganzen hat, welehe lautet:

LIp = hll, (DUANE, 1923) (2)

wobei l eine del' Fourierkomponenten in der Raumstruktur des meehanisehen Systems anzeigt. Fiir einen Kristall mit Gitterebnen des Abstandes L hat l die Werte L, L/2, L13, ... SO daJl hier die Regel

LlPn = nhlL (ebenfalls DUANE, 1923) (2')

in Kraft tritt [3].

N aeh diesel' Vorbereitung el'gibt sieh die physikalische Erklarung des scheinbaren Dualismus der Elektl'onenbeugung am Kristall in wenigen Zeilen. Ein im Glanzwinkel

SELECTED SCIENTIFIC PAPERS

Physikalische Theorie der Beugung von Materieteilchen 91

8 auf ein System von Gitterebnen auffallendes Teilchen, das nach den Erhaltungssatzen im gleichen Winkel reflektiert wird, andert dabei seine Impulskomponente senkrecht zu den Gitterebnen von +p . sin 8 nach -p' sin 8, im ganzen also um 2p' sin 8 = Lip. Kombination mit (2') flihrt dann zu

'/,L . sin On = rlhlp, (3)

was durch tJbersetzung in die Wellensprache mit dem Ergebnis (1) der Interferenz­hypothese libereinstimmt.

Auf die Frage also: "Warum ist die Reflektion von Elektronen unter dem gleichen Winkel an Kristall selektiv !" lautet die Antwort: "Nicht weil der Teilchenstrahl sich in eine Welle verwandelt oder so tut, als ob er sich verwandelte, oder weil weder Teilchen noch Wellen objektiv real existieren und deshalb die Sprache verfeinert werden muB" sondern "wegen der Quantenmechanik des Beugers" [4].

Das berlihmte Ewaldsche reziproke Gitter, ursprlinglich als abstrakt mathematische Konstruktion gedacht, hat eine viel graBere physikalische Bedeutung, als sein Autor voraussehen konnte. Mit h multipliziert stellt es den vollstandigen Katalog aller mag­lichen Impulsvekklren Lip des Kristalls dar.

4. Teilcbenbeugung am SpaJt

Wahrend ein Kristall diskrete Raumperioden l = Lin besitzt, hat ein Schirm mit Spalten eine kontinuierliche Reihe von l-Werten, die nach der Auswahlregel (2) zu einem kontinuierlichen Intensitatsspektrum im Beugungsbild fiihrt [Ii]. Letzteres ist natlirlich verschieden im Einspalte- yom Zweispaltebild. Dadurch erledigen sich die endlosen Diskussionen uber die Frage, wie ein an einem Spalt ankommendes Teilchen ,wissen' kann, ob der andere Spalt offen oder geschlossen ist, was als Zeichen fur eine breite Ma­teriewelle gelten soli. Nach der Quantenmechanik reagiert das Teilchen gar nicht lokal am Auftreffpunkt oder Dnrchgangspunkt, sondern nur auf eine der Raumperioden des Beugers als Ganzes. Wir haben es hier mit der unrelativistischen Theorie zu tun. Eine konsistente relativistische Quantenmechanik ist noch ein Zukunftstraum. 1m ubrigen braucht das gebeugte Teilchen gar nicht identisch mit dem einfallenden zu sein - wie bei einer Reihe von elastischen Kugeln die letzte die Bewegung der ersten fortsetzt mit Erhaltung von Energie und Impuls.

Der ImpulsprozeB mittels Reaktion einer Raumkomponente als Ganzes sieht sehr ,unphysikalisch' aus. Dasselbe mull aber von der gesamten Quantentheorie einschlieB­lich des Bohrschen Emissionsvorgangs gesagt werden. Man betrachte das Beispiel des anharmonischen Oszillators mit seinen vielen Zeitperioden Tn' Diese sind nur liber lange Zeitspannen definierbar. Und doch reagiert der Oszillator momentan und nur auf eine der vielen bereitstehenden Zeitperioden Tn mit entsprechendem Energiesprung LIE,. = hiT,.. Hier fragt man: Wie kann ein den E-Sprung kompensierendes auBeres System, materiell oder clektromagnctisch, iibcrhaupt ,wissen', daB Zeitperioden T" und SpI'linge LIE" verfligbar sind! Ganze Zeitperioden zu einem Zeitpunkt zu umfassen, ist nicht we­niger unphysikalisch als ganze Raumperioden momentan an einem Raumpunkt zu er­kennen. Und daB die relative Hiiufigkeit verschiedener maglicher Spriinge statistisch geregelt wird, ist klassisch ganz unve1'standlich. Und doch machen diese unphysikali­schen Ziige grade das Wesen del' Quantentheorie aus.

Historisch sei noch folgendes erwiihnt. Der amerikanische Rantgenforscher \V ALTER DUANE stellte seine Auswahlregel (2) mit ihrer Anwendung (2') auf den Kristall im Jahre 1923 auf, um die Beugung von Rantgenstrahlen auch vom Standpunkt der Photonen zu erklaren. Da aber niemand ernstlich an die physikalische Existenz von Photonenteil­chen, die mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum jagen, glaubte und ferner Anfang der dreiBiger Jahre eine konsequente Quantenmechanik del' Strahlung (Heitler, Fenni)

539

540 ALFRED LANDE

92

aile scheinbaren Photoneneffekte auf Quantelung del' Lichtwellen zuriickfiihren konnte, geriet DUANES Teilchentheorie derLichtbeugung in Vergessenheit, nachdem Heisenberg sie einmalig in seinen Chicagoer Vorlesungen von 1930 erwiihnte. Erst urn 1950 wurde sie vom Verf. wieder gefunden und auf Elektronen angewendet, deren Beugung zu DUANES Zcitcn unbekannt war. Leider wird sie trotz ihrer Ergiinzung zu den zwei be­kannteren Auswahlregeln und ihrer entscheidenden Rolle in del' Dberwindung des Duali­tatsdogmas immer noeh von den Lehrbiichern als Staatsgeheimnis behandelt.

Zuletzt sei noeh bemerkt, dall die Frage naeh delY' letzten Grund fiir die merkwiirdi­gen Quantengesetze, die Einstein Zeit seines Lebens vergebens zu beantworten suchte, ebenfaHs seine Losung gefunden hat, namlich auf Grund von drei allgemeinen Prinzipien del' Physik, Symmetrie, Kovarianz und Korrespondenz, in Kombination mit Zenos These vom Pfeil; An einem Ort sein (q) und sieh durah einen Ort bewegen (p) sind zwei verschiedene Zustande [6].

Literaturverzeichnis

[1] C. F. v. WEIZS_\.cKER, The World View of Physics, University of ChlCago Press, 1949_ [2] L. ROSENFELD, The Strife about Complementarity, Sci. Prog. 163, 393 (1953). [3] W. DUANE, Proc. Nat. Acad. Sci. Wash. 0, 158 (1923). [4] A. LANDE, Foundations of Quantum Tbeory, Yale Univ. Press, 1955; From Dualism to Unity,

Cambro Univ. Press 1960; New Foundations of Quantum Mechanics, Cambro Univ. Press 1965. [5] P. EpSTEIN and P. EHRE"FEST, Proc. Nat!. Acad. Sci. Wash. 10, 133 (1924) and 13, 400 (1927). [G] A. LANDE, Quantum Mechanics in a New Key, Exposition Press, Jericho, N.Y. 1974.

Rei der Redaktion eingegangen am 26. Februar 1975.

Anschr. d. Verl.: Mrs. A_ LANDE, Ohio State University, 174 West 18th Avenue, Columbus. Ohio. 43210, (USA)

APPENDIX A

Alfred Lande: A Biographical Sketch

Born in Elberfeld, Rhineland, Germany, on December 13, 1888. Died October 30,1975, in Columbus, Ohio, U.S.A.

Father a lawyer, much interested in science and mathematics.

Alfred Lande shows an early interest in music, becoming an accomplished pian­ist and a lifelong music enthusiast. Moreover, evident from his schooldays, is an exceptional gift for science, espe­cially mathematics and physics.

1908, Lande becomes a freshman at the University of Marburg.

Subsequently studies at the University of Gottingen, doing experimental work and attending Max Born's early lectures. Finally decides to switch to theoretical physics, his "chief interest anyway".

Enrolls at the University of Munich, where he immediately comes under the in­fluence of Arnold Sommerfeld and his celebrated school.

1913, on the recommendation of Born and Sommerfeld, Lande becomes an assistant to the mathematician David Hilbert in Gottingen.

1914, Lande obtains his Ph. D. in Munich under Sommerfeld.

At outbreak of World War I, Lande signs up with the Red Cross; later is drafted as a soldier, but never sees battle.

1917, becomes attached to the Artillerie-Priifungs-Kommission in Berlin, serv­ing as a scientific assistant to Max Born.

At the end of World War I, Lande takes up teaching music at the Odenwald­schule near Heidelberg but devotes his free time to research in theoretical spec­troscopy (1919-1920).

1920, Habilitation, University of Frankfurt am Main.

1921-1922, theoretical work commenced at the Odenwaldschule is continued and I;ulminates in the discovery of the g-factor and the g-formula.

1922, Lande is appointed as Extraordinarius (associate professor) at the Uni­versity of Tiibingen; there collaborates closely with F. Paschen and E. Back.

1929-1970, first guest professor and then full professor at Ohio State University, Columbus, Ohio, U.S.A.

541

APPENDIXB

Alfred Lande: An Autobiography

Alfred Lande, born Dec. 18, 1888 in Elberfeld, Rhineland. My first intense love was music, and I received piano lessons beginning at the

age of 5, composed music at 9, and had systematic schooling in theory and com­position until 18. But a lively interest in science began at about 8, at the top: cos­mology. The tales of my father, a lawyer but much interested in science and mathematics, about the planetary system on walks at sunset made a deep im­pression. I also remember having been puzzled by the discovery that the addi­tion of odd numbers yields square numbers. (When I showed this to my oldest son 30 years later, his only reaction was: so what? He became a political scien­tist.) At the age of 12 I became owner of "Bernstein's Naturwissenschaftliche Volksbucher" (mentioned also by Einstein) and studied the chapters on astro­nomy over and over again. Then 1 became fascinated with minerals, crystals, chemistry, built up a home laboratory (to the disgust of housemaids) and finally electricity. In high school I was very poor in Latin and Greek, except when an inspired teacher studied Plato in the original with us. But in mathematics and physics 1 was far ahead of my schoolmates and regarded by my teacher as a kind of Wunderkind.

When entering the University (Marburg 1908, Munchen, and G6ttingen) I discovered that there were many other Wunderkinder, and I had a hard time keeping pace with them. Being rather slow, I did learn more from textbooks than from lectures, thereby missing many useful hints, worrying over the para­dox how 1/2mv2 and mv could be conserved at the same time, and what is the difference between mass and weight, and similar puzzles which could have been cleared up by an experienced teacher in minutes. But paradoxes always intri­gued me, e.g. the one of Gibbs which is still mushed over in the books (I think that the pro"er solution is found in quantum theory, according to a paper writ­ten when 1 was 64).

After three years of study without decisive progress, direction, or personal in­fluence, 1 began experimental work with cathode rays in G6ttingen. But the constant vacuum leaks, dirt effects, waiting for the mechanic irked me so much that I decided to tum to theoretical physics which had been my chief interest anyway, and 1 changed from G6ttingen, where I had attended Max Born's maiden lecture, rather unorganized and for about 5 students, to Munchen.

In Munchen I came immediately under the influence of Arnold Sommerfeld, the greatest teacher of theoretical physics east of the Rhine. He was surrounded

542

APPENDIXB 543

by a talented crowd of students, almost all of them later coming to prominence: Debye, Einstein, Ewald, Laue as Dozent already, and various collaborators of Rontgen. We met daily after lunch for (?) and Torte in the Hofgarten to discuss the latest version of atomic physics. These gatherings, as well as weekly climbs and ski tours in the near Alps, proved more instructive to a young scientist than all the lectures together. Sommerfeld did not look with great favor on me be­cause I stubbornly tried to solve "the quantum riddle" of selective energy states by finding a gap in classical statistical mechanics, as did many others at that time, whereas, he and more progressive physicists regarded the quantum theory as something absolutely new and fundamental. Finally I gave up, although I never became entirely satisfied with the 'fundamentality' of the quantum rules. (Lately, 1952~, I have them reduced to more basic postulates of symmetry and invariance which also dispose of the 'duality'.) The most sensational event of my Miinchen days was Laue's discovery of x-ray diffraction in 1912.

In 1913 I had the great fortune of becoming scientific assistant to the great David Hilbert in Gottingen, thereby being accepted as a fullfledged member of a younger set with headquarters in the 'mathematische Lesezimmer' and de­pendency at the Konditerei of Kron und Lanz, where we gathered every after­noon. Hilbert who thought that "physics is too hard for physicists" tried to establish a 'world formula' for relativistic quantum mechanics (achieved many years later by Dirac). My task was to keep him up to date on the current litera­ture. This job as 'Hauslehrer' to a great mathematician was very wholesome for one used to confine himself to a single track. This was the time of the specific heat at low temperature (Debye, Born-Kanmin) and of the Bohr model. By the way, papers not written in German were mostly ignored, unless they appeared in translation. In Gottingen I came in close contact with Max Born, finished my rather insignificant Ph.D. thesis for Sommerfeld, and almost flunked my orals with Rontgen in Miinchen because of a spectacular blunder in optics (didn't know of phase shift upon reflection).

Then came a great gap, the first World War. I enrolled with the Red Cross, later was drafted as a soldier, but never fired a shot. Finally in 1917 I was enrol­led in one of the few military science offices in Berlin, as an assistant to Born in a section commanded by Rudolf Ladenburg, containing a number of other physicists, too. Beside the military problem of sound detection I became en­gaged in Born's study of the cohesive forces in crystals. It led to the important result that the electronic orbits could not be all in one plane, as suggested with great force by the current expression 'planetary orbits' which stuck like a fixed idea in the heads. Only Sommerfeld had once suggested two perpendicular orbits as more stable, but had not pursued the idea further. The space structure of the atom became my leading thread during the next seven years. It dominated the calculation of the energy levels of the Helium atom with two orbits on in­clined planes (the method of approach later turned out to be wrong). It led to the vector model of the atom, then to the term analysis of the anomalous Zee­man effect, the interval rule, the g-/actor, and finally to the g-formula on the ground of Back's magnificent experimental results. It yielded the necessity of modifying quantum numbers f etc. to j (j + 1), revealing here for the first time a

544 APPENDIXB

new 'quantum riddle'. This work was done first (1919-20) in the Odenwald­schule near Heidelberg, where I had the morning free for theoretical physics, and in the afternoon earned my keep by giving music lessons, in a most stimulat­ing atmosphere of educators, artists, nature lovers, etc., interrupted by a short visit to Copenhagen. Then Frankfurt (1921-22), where Stern-Gerlach found their magnetic splitting of silver rays and I the key to the magnetic splitting of spectral lines. From 1928 on I lived in Tiibingen, in close collaboration with Pas­chen and Back; since 1931 in Columbus, Ohio.

I do not wish to omit that, for acquiring a teacher's certificate, I had to study a certain amount of the history of philosophy, which I did first with reluctance ("philosophy is bunk"), then becoming interested more and more, reading the works of famous philosophers first hand. This proved of lasting value for my general outlook. It helped a great deal also, many years later, to look with critic­al eyes on the current production by famous authorities of books passing for 'physics and philosophy'.

Postscript

People have often asked me: "How did you ever find the g-formula?" My answer is: The g-formula was very easy to find on the grounds of Back's exhaus­tive material of anomalous Zeeman spectral types. The difficult step which re­quired a new idea, or rather the application of an old idea to a new subject, was trying to analyze the Zeeman types into Zeeman terms, an upper and a lower one. Rydberg had established as early as 1900 the combination principle, further interpreted in 1913 by Bohr. Sometime later my teacher Sommerfeld applied the combination principle to the normal Zeeman effect and was happy to find in this way the three normal components. Thereafter he fell back on studying the spectral types again, and in 1920 he published a paper on a 'magneto-optischer Zerlegungssatz' concerning regularities of the visible Zeeman types, similar to Runge's and Preston's rule. How was it possible that for twenty years the Ryd­berg combination principle was known and applied to a myriad of spectral lines for their term analysis, and by the theorists for the unravelling of the orbital structure of atoms - and yet nobody got the idea of applying the same principle to unravelling the anomalous magnetic types into terms?? Once this was done, and a structural interpretation was suggested on the basis of orbits arranged in space (rather than sticking to the fixed idea of 'planetary orbits' all in one plane), it was simple to see that each spectral term had its peculiar gyro-magne­tic factor g. After this it was not a difficult puzzle to combine the various clay tablets established by Back into a coherent language, in which the strange word k(k+ 1) instead of k2, and the like, occurred for the first time. But picking up the key, lying there for twenty years, was the decisive step.

APPENDIXC

Letter to Allen D. Breck"

Columbus, Ohio

Feb. 24, 1969

Dear Professsor Breck:

It is very fortunate to have a historian to write this planned contribution to the history of science. We ordinary people often mix up dates and events in our memory in a most unreliable fashion. I am glad that the two notes which I wrote years ago are of help to you. They have never been published, and you may make free use of them. The reprint from 'Isis' gives a detailed account of work done in the early 1920's. Dr. Forman has been particularly interested in my con­tributions as a physicist, and he has written as his Ph.D. thesis a long record with chapters "Alfred Lande and the Anomalous Zeeman Effect" and another chap­ter "A.L. receives a Call to Tiibingen" in which he investigates the intrigues within the faculty as a historical picture of german Universities in the 1920's. This is of no interest for your present purpose. All essential things concerning physics are condensed in the reprint sent to you. The main point is that, by the "term analysis" of the observed magnetic or Zeeman-types, I cracked the magnetic code of atomic structure by the g-factor, followed by its application in the g-formula.

It is interesting for the history of ideas to notice that today I am remembered chiefly for the complicated g-formula. Yet the latter was only a small step of ap­plying the introduction of the g-factor in the magnetic term-analysis, taken for self-evident today although at the time it was the great breakthrough, looked for by many physicists who had much more knowledge and technical ability than I as a beginner. But as Hermann Bondi wrote: "It is the mark of a really major step in thinking that, when we have become used to it, we can no longer imagine how things were before that step." So the term-analysis is taken as a matter of course and the g-formula as a feat of ingenuity, when it was the other way around .

• At the time of this letter, professor of history and departmental chairman at the University of Denver.

545

546 APPENDIXC

This brings me to my way of working. I have always been very slow in follow­ing the achievements of others, wishing to be able to reconstruct the whole com­plex as though it were my own creation. My greatest fault has always been not following the literature and informing myself of what others had done. Instead of knowing little about much, I put all my energy into finding out much about little, and biting my teeth into some irritating problem which seemed almost in­soluble. But I am convinced that my slowness and ignorance was helpful to make progress. As Arthur Koestler wrote somewhere: "Without the art of forgetting [or, in my case, of never have known of it] the mind remains cluttered up with ready-made answers and never finds occasion to ask the proper ques­tions." Thus, working quite alone in Frankfurt without encouragement from colleagues, I found the key, the g-factor, which then opened the drawer with the g-formula in it, when whole groups of older physicists, even the great atomist Sommerfeld, remained in the dark. It is also very interesting historically that, when I wrote to Sommerfeld of my results, he replied that a young student of his just had the same idea, but that I had priority. And this student was indeed a genius and would find other things of his own. (As I learned later, it was Heisen­berg, then 20 years old.)

I also learned a great deal from a remark of my father, a jurist, to whom I tried to explain some of the principles of relativity: "If you cannot explain the thing in simple terms, you have not understood it yourself." Thereafter, looking for simple things in simple language remained my leitmotif to this day. It came up again many years later when a mathematician told me: "The whole quantum theory is nothing but a terrible mess", which angered me so much that I began to scrutinize the muddle presented in the textbooks and articles on interpreta­tion by philosophizing physicists, after myself having an increasingly bad consci­ence in presenting the traditional muddle to my students. Thus brings me to the second phase of my work starting about 1954 when I was 66 years old.

A few years earlier, in 1950, a textbook on quantum mechanics came out (Pit­man) in which I presented the quantum theory as a faithful follower of the dualistic views of Bohr and Heisenberg, yet feeling frustrated at the same time in not having clarified the matter sufficiently. This was the beginning of trying to put quantum mechanics upon a unified basis. This work has steadily progressed for a dozen years. My book "New Foundations of Quantum Mechanics" of 1965 still suffers from insufficiency in deriving the "interference law of probabilities", which I think I have overcome only recently by an additional postulate so as to close a serious gap. The postulate looks almost self-evident now. By the way, almost all "sparks" came to me in the morning before rising.

As to 'duality', the conflict between particle and wave appearances was re­garded until 1927 as a most serious paradox which was in urgent need of being solved one or the other way. When no solution seemed to be at hand, it was de­creed that the paradox from now on had to be considered as a principle of na­ture, or of contemplating nature, and thus not in need of any explanation any more, adding the 'principle' of complementarity (which, according to Mario Bunge, does not say more than "the less yin, the more yen and vice versa" with­out even giving a criterium which yan is complementary to a given yin). Many

APPENDIXC 547

people regard this principle as very profound; others find it utterly trivial and at any rate evasive and unscientific because of its vagueness. And when one reads: "Bohr has done his utmost to explain that, with the principle of complementar­ity, all paradoxes could be avoided", it is a wonderful world indeed. But this faith has become the official creed of a whole generation of physicists, with few exceptions, such as Einstein and Schr6dinger - and also a few philosophers of science who, however, had the grace of being mere philosophers and thus could be dismissed as incompetents. I regard this whole duality principle as a mislead­ing elephant made of a non-existing mouse, by the method of ignoring, in 1927 and then continuing to ignore for 40 years, certain facts which indeed do not fit into the system (Duane' quantum theory of matter diffraction and the non-in­variance of the relation p = hi/") by a sort of snowblindness of the mind. Even today it seems quite difficult to rouse dualists out of their dogmatic slumber, since many people prefer irrational explanations when the rational can be made to look so much more exciting. Thus it may take some time until the establish­ment' will abandon the escapist doctrines of duality and complementarity, even when scores of younger physicists have written that this path "from dualism to unity" has made them 'understand' the quantum theory. However, there is no­thing more sad than the death of an illusion. Einstein has never yielded to this trend, and I follow his lead when he declared: "The highest task of the theoret­ical physicists is the search for those general and elementary laws from which one can construct the world picture by pure deduction. There is no logical way to those elementary laws; one needs intuition based on critical analysis of ex­perience."

As to your question about family history, there is nothing to say other than that my parents were the first real intellectuals, both intensely interested in liter­ature and in politics, both active in the city council and other public concerns, with my father for a short time becoming acting Regierungs-Priisident im Dus­seldorf am Rhein. The French accent was allegedly invented in the 18th century when there was a fashion to look French in name at least.

I hope this will answer some of your questions. Please feel free to use this material, including quotations and manners of speaking at your discretion. I my­self feel rather reluctant to indulge in this eulogy coming from my own pen. But apparently it cannot be helped.

Yours sincerely,

Please give my regards to Yourgrau. When will the Denver Symposium come out?

·including editors of American journals for physics teachers. Of course, they cannot be expected to preside over the liquidation of their own empire of evasion.

APPENDIXD

Books by Alfred Lande

1. Fortschritte der Quantentheorie (Steinkopf, Leipzig, 1922)

2. Zeemaneffekt und Multipletstruktur der Spektrallinien (with E. Back) (Springer-Verlag, Berlin, 1925).

3. Die Neuere Entwicklung der Quantentheorie (Steinkopf, Leipzig, 1926).

4. Vorlesungen uber Wellenmechanik (Akademie-Verlag, Leipzig, 1930). /'

5. Principles of Quantum Mechanics (Cambridge University Press, London, 1937).

6. Quantum Mechanics (Pitman, London, 1950).

7. Foundations of Quantum Theory (Yale University Press, New Haven, 1955).

8. From Dualism to Unity in Quantum Theory (Cambridge University Press, London, 1960).

9. New Foundations of Quantum Mechanics (Cambridge University Press, London, 1965).

10. Quantum Mechanics in a New Key (Exposition Press, New York, 1973).

548

APPENDIXE

Handbook Review Articles by Alfred Lande

1. 'Axiomatische Begriindung der Thermodynamik durch Caratheodory', Handbuch der Physik 9, 281-300 (1926).

2. 'Optik, Mechanik und Wellenmechanik', ibid. 20, 317-452 (1928).

3. 'Optik und Thermodynamik', ibis. 20,453-479 (1928).

4. 'Zeemaneffekt', ibid. 21, 360--388 (1928).

549

APPENDIXF

Papers of Alfred Lande

(Papers included in this volume are labeled with an asterisk)

1914

1. 'Zur Methode der Eigenschwingungen in der Quantentheorie' (Inaugural-Dissertation, kg!. Ludwigs-Maximillians-Universitat zu Miinchen) (Dieterichsen Univ.-Buchdruckerei, Gottingen, 1914).

*2. 'Quanteneffekt im Hochfrequenzspektrum', Phys. Z. 15,793-794. *3. 'Zur Theorie der Helligkeitsschwankungen', Phys. Z. 15,946-952.

1915

*4. 'Einige neue Experimente zur Quantenhypothese und deren theoretis­che Bedeutung', Naturwiss. 3, 17-23.

5. 'Die Beugung enlicher Wellenziige an einer Halbebene', Ann. Phys. (Leipzig) 48, 521-545.

*6. 'Uber ein Paradoxon der Optik', Phys. Z. 16, 201-204. 7. 'Theoretisches iiber die Breite der Spektrallinien', Phys. Z. 16,313-

316.

1916

*8. 'Die Abzahlung der Freiheitsgrade in einer Elektronenwolke (strahlen­der Korper)', Ann. Phys. (Leipzig) 50,89-105.

1918

*9. 'Uber die absolute Berechnung der Kristalleigenschaften mit Hilfe Bohrscher Atommodelle' (with M. Born), Preuss. Akad. 45, 1048-1068.

10. 'Uber die natiirliche optische Aktivitat isotroper Fiiissigkeiten', Ann. Phys. (Leipzig) 56, 225-260.

11. 'Die Randbelegungsmethode zur LOsung von Potential und Schwingungs­problemen', Ann. Phys. (Leipzig) 57, 519-540.

12. 'Das elektrostatische Potential des Fiusspatgitters', Verh. Deut. Phys. Ges. 22,217-223.

*13. 'Uber die Berechnung der Kompressibilitat regularer Kristalle aus der

550

APPENDIXF 551

Gittertheorie' (with M. Born), Deut. Phys. Ges. 20, 210-216. *14. 'Kristallgitter und Bohrsches Atommodell' (with M. Born), Deut.

Phys. Ges. 20, 202-209. *15. 'Uber Koppelung von Elektronenringen und das optische Drehungs­

vermogen asymmetrischer Molekiile', Phys. Z. 19, 500-505. *16. 'Die Abstlinde der Atome im Molekiil und im Kristall' (with M. Born),

Naturwiss. 6,496. (Vorlaufige Mitteilung.)

1919

*17. 'Elektronenbahnen im Polyederverband', Preuss. Akad. 5, 101-106. *18. 'Antwort auf die Bemerkungen des Herrn L. Vegard zu unseren

Arbeiten fiber Kristallgitter and Bohrsches Atommodell' (with M. Born), Deut. Phys. Ges. 385-387.

19a,b,c. 'Dynamik der raumlichen Atomstruktur', Deut. Phys. Ges. 21, 2-12; 644-652;653-662.

*20. 'Adiabatenmethode zur Quantelung gestorter Elektronensysteme', Deut. Phys. Ges. 21, 578-584.

*21. 'Eine Quantenregel ffir die raumliche Orientierung von Elektronenring­en' , Deut. Phys. Ges. 21, 585-588.

22a. 'Das Serienspektrum des Heliums', Naturwiss. 7,269-270. (Vorlaufige Mitteilung. )

*22b. 'Das Serienspektrum des Heliums', Phys. Z. 20, 228-234.

1920

*23. 'Uber die GrOsse der Atome', Z. Phys. 2, 191-197. 24. 'Wfirfelatome, periodisches System und Molekiilbildung', Z. Phys. 2,

380-404. *25. 'Uber ein dynamisches Wfirfelatommodell' (with E. Madelung), Z.

Phys. 2,230-235. *26. 'Uber Wfirfelatome', Phys. Z. 21, 62tH>28. *27. 'Storingstheorie des Heliumatoms', Phys. Z. 21, 114-122. (Habilita­

tionsschrift, Frankfurt.)

1921

28a,b. 'Uber die Kohiisionskraft im Diamanten', Z. Phys. 4, 410-423; 6, lO­ll.

**29a,b. 'Uber den anomalen Zeemaneffekt', Z. Phys. 5,231-241; 398-405. *30. 'Anomaler Zeemaneffekt und Seriensysteme bei Ne und Hg', Phys. Z.

22,417-422. *31. 'Uber den anomalen Zeemaneffekt', Naturwiss. 9, 926-928.

1922

32. 'Adsorption und fibereinstimmende Zustande' (with R. Lorenz), Z. Anorg. Allgern. Chern. 125,47-58.

552 APPENDIXF

*33. 'Zur Theorie der anomalen Zeeman- und magneto-mechanischen Effekte', Z. Phys. 11, 353-363.

34. 'Uber eine einfache Ermiulung der Grenzwerte des molaren Leitver­mogens starker Elektrolyte' (with R. Lorenz), Z. Anorg. Allgem. Chem. 125, 59-66.

1923

*35. 'Fortschritte beim Zeemaneffekt', Ergeb. Exakt. Naturwiss. 11, 147-162.

*36. 'Zur Theorie der Rontgenspektren', Z. Phys. 16,391-396. *37. 'Zur Struktur des Neonspektrums', Z. Phys. 17,292-294. 38a. 'Termstruktur und Zeemaneffekt der MuItipletts', Z. Phys. 15, 189-

205. 38b. 'Termstruktur und Zeemaneffekt der Muitipletts. II', Z. Phys. 19,112-

123. *39. 'Schwierigkeiten in der Quantentheorie des Atombaues, besonders

magnetischer Art', Phys. Z. 24,441-444. 40. 'Das Versagen der Mechanik in der Quantentheorie', Naturwiss. 11,

725.

1924

41a. 'Das Wesen der relativistischen Dubletts bei den Rontgenspektren', Naturwiss. 12,332. (Vorlaufige Mitteilung.)

41b. 'Das Wesen der relativistischen Rontgendubletts', Z. Phys. 24,88-97. 42. 'Die absoluten Intervalle der optische Dubletts und Tripletts', Z. Phys.

25, 4~57. *43. 'Termstruktur der Multipletts hOherer Stufe' (with W. Heisenberg), Z.

Phys. 25, 279-286. *44. 'Uber gestrichene und verschobene Spektralterme', Z. Phys. 27, 149-

156. *45. 'Uber den quadratischen Zeemaneffekt', Z. Phys. 30, 329-340.

1925

46. 'Bemerkungen zu der Kritik von O. Laporte und G. Wentzel', Z. Phys. 31,339.

*47. 'Lichtquanten und Koharenz', Z. Phys. 33,571-578. 48. 'Zeemaneffekt bei Muitipletts hOherer Stufe', Ann. Phys. (Leipzig) 76,

273-283. *49. 'Warum hat das System der chemischen Elemente die Periodenlangen

2,8,8,18,18,327, Naturwiss. 13, 604-606.

1926

*50. 'Zur Quantentheorie der Strahlung', Z. Phys. 35,317-322. *51. 'Ein Experiment iiber Kohiirenzfahigkeit von Licht' (with W. Gerlach),

Z. Phys. 36, 169-173.

APPENDIXF 553

*52. 'Neue Wege der Quantentheorie', Naturwiss. 14, 455-458. 53. 'Axiomatische Begriindung der Thermodynamik durch Caraheodory',

Handbuch der Physik 9, 281-300.

1927

*54. 'Zur Wellenmechanik der Kontinua und Elektrodynamik', Z. Phys. 44, 768-772.

*55. 'Spontane Quanteniibergange', Z. Phys. 42, 835-839.

1928

*56. 'Zu Diracs Theorie des Kreiselelektrons', Z. Phys. 48, 601--606. 57. 'Entropie verdiinnter Losungen', Z. Anorg. AI/gem. Chem. 171, 143-

145. 58. 'Optik, Mechanik und Wellenmechanik', Handbuch der Physik 20,317-

452. 59. 'Optik und Thermodynamik', Handbuch der Physik 20, 453-479. 60. 'Zeemaneffekt', Handbuch der Physik 21, 360-388. 61. 'Influenzmethode zur LOsung von Potential-und Schwingungsproble­

men', in Festschrift Zum 60. Geburtstage Arnold Sommerfelds (Hirs­chel, Leipzig).

1929

*62. 'Zur Quantenelektrik von G. Mie', Z. Phys. 57,713-722. *63. 'Polarisation von Materiewellen', Naturwiss. 17, 634-{;37.

1932

*64. 'Zur Quantenmechanik der Gasentartung', Z. Phys. 74, 7~784.

1933

*65. 'The Magnetic Moment of the Proton', Phys. Rev. 44, 1028-1029. **66a,b. 'Neutrons in the Nucleus. Parts I and II', Phys. Rev. 43, 620--623; 43,

634-{;26.

1934

*67. 'Nuclear Magnetic Moments and Their Origin', Phys. Rev. 46,477-480.

1938

*68. 'Critical Remarks on the Interpretation of Quantum Theory', J. Frank­lin Inst. 226,83-98.

*69. 'Transitions between Levels Spaced Almost Continuously', Phys. Rev. 54, 940-944.

70. 'Waves and Corpuscles in Quantum Physicists', Science 85, 210-213.

554 APPENDIXF

1939

*71a. 'Sommerfeld's Fine Structure Constant and Born's Reciprocity', 1. Franklin Inst. 228, 495-502.

71b. 'Sommerfeld's Fine Structure Constant and Born's Reciprocity', Phys. Rev. 56,482-483.

*72. The Structure of Electric Particles and the Number 137', Phys. Rev. 56, 486.

1940

*73a. 'On the Existence and the Magnitude of Electronic Charges', 1. Frank­lin Inst. 229, 767-774.

1941

*73b. 'On the Stability and Magnitude of Electronic Charges. Part II, Scalar Wave Functions' (with L. H. Thomas), 1. Franklin Inst. 231,63-70.

**74a,b. 'Finite Self-Energies in Radiation Theory. Part I and II' (the latter with L. H. Thomas), Phys. Rev. 60, 121-127; 60, 514-523.

*75. 'On the Magnitude of Electronic Charges', Phys. Rev. 59, 434-435.

1944

*76. 'Finite Self-Energies in Radiation Theory. Part III' (with L. H. Tho­mas), Phys. Rev. 65, 175-184.

1949

*77. 'Interaction between Elementary Particles. Part 1', Phys. Rev. 76, 1176-1179.

*78. The Physical Significance of the Reciprocal Lattice of Crystals', Am. Scientist 76,414-416.

1950

*79. 'Interaction between Elementary Particles', Part II', Phys. Rev. 77, 814-816.

*80. 'On Advanced and Retarded Potentials', Phys. Rev. 80, 283.

1952

*81. Thermodynamic Continuity and Quantum Principles', Phys. Rev. 87, 267-271.

*82. 'Quantum Mechanics and Thermodynamic Continuity', Am. 1. Phys. 20,353-359.

1953

83. 'Continuity, a Key to Quantum Mechanics', 1. Phil. Sci. 20, 101-109. *84. 'Probability in Classical and Quantum Theory', Scientific Papers Pre­

sented to Max Born (Oliver and Boyd, Edinburgh), pp. 59-Q4.

APPENDIXF 555

*85. 'Quantum Mechanics, a Thermodynamic Approach', Am. Scientist 41, 439-448.

1954

*86. 'Quantum Mechanics and Thermodynamic Continuity. II', Am. J. Phys. 22,82-87.

87a,b. 'Thermodynamische Begriindung der Quantenmechanik', Naturwiss. 41,125-131;41,524-25.

88. 'Quantum Indeterminacy, a Consequence of Cause-Effect Continuity', Dialectica 8, 199-209.

1955

*89. 'Le Principe de Continuite et la Theorie des Quanta', J. Phys. Radium 16,353-357.

1956

90. 'The Logic of Quanta', Brit. J. Phil. Sci. 6, 300-320. 91. 'Quantentheorie auf nicht-quantenhafter Grundlage', Naturwiss. 10,

217-221. *92. 'Deduction de la Theorie Quantique a Partir de Principes Non-Quanti­

ques', J. Phys. Radium 17, 1-4. 93. 'Quantum Mechanics and Common Sense', Endeavour 15,61-67.

*94. ''/' Superposition and Quantum Rules', Am. J. Phys. 24, 56-59.

1957

*95. 'Wellenmechanik und Irreversibilitat', Physik. Blatter 13, 312-314. 96. 'Non-Quantal Foundations of Quantum Theory', J. Phil. Sci. 24, 309-

320. *97. ''/' Superposition and Quantum Periodicity', Phys. Rev. 108, 891-893.

1958

98. '1st die Dualitat in der Quantentheorie ein Erkenntnis-problem?, Phil. Nat. 5, 498--502.

99. 'Determinism versus Continuity in Modern Science', Mind 67,1-8. 100. 'Quantum Physics and Philosophy', Current Science 27,81-85.

*101. 'Quantum Theory from Non-Quantal Postulates', in Berkeley Sympo­sium on the Axiomatic Method, pp. 353-364.

1959

*102. 'Zur Quantentheorie der Messung', Z. Phys. 153,389-393. 103. 'Quantum Mechanics, from Duality to Unity', Am. Scientist 47,341-

349. *104. 'From Dualism to Unity in Quantum Mechanics', Brit. 1. Phil. Sci. 10,

16-24.

556 APPENDIXF

*105. 'Heisenberg's Contracting Wave Packets', Am. J. Phys. 27,415-417. 106. 'Can Physical Knowledge Be Satisfied With a Dualistic Picture Rather

Than a Unitary Reality', Marquette University Symposium, June 1959.

1961

*107. 'Warum interferieren die Wahrscheinlichkeiten?', Z. Phys. 164,558-562.

*108. 'Ableitung der Quantenregeln auf nicht-quantenmassiger Grundlage', Z. Phys. 162,410-412.

*109. 'Dualismus, Wissenschaft und Hypothese', in Werner Heisenberg und die Physik unserer Zeit, Fritz Bopp, ed. (Yieweg, Braunschweig, 1961),

110. pp. 119-127. 'From Duality to Unity in Quantum Mechanics', Current Issues in the

*111. Philosophy of Science, H. Feigl and G. Maxwell, eds. (Holt, Rinehart and Winston, New York, 1961), pp. 350-370. 'Unitary Interpretation of Quantum Theory', Am. J. Phys. 29, 503-507.

1962

112. 'The Case Against Quantum Duality', J. Phil. Sci. 29, 1--6.

1964

113. 'Yom Dualismus zur einheitlichen Quantentheorie', Phil. Nat. 8,232-241.

1965

114. 'Why Do Quantum Theorists Ignore the Quantum Theory?', Brit. J. Phil. Sci. 15,307-313.

115. 'Non-Quantal Foundations of Quantum Mechanics', Dialectica 19, 349-358.

*116. 'Quantum Fact and Fiction', Am. J. Phys. 33, 123-127. *117. 'Discussion: Solution of the Gibbs Entropy Paradox', J. Phil. Sci. 32,

192-193.

1966

118. 'Quantum Theory Without Dualism', Scientia 7,208-212. 119. 'Non-Quantal Foundations of Quantum Mechanics', in Physics, Logic,

and History (Proceedings of the International Colloquium I, University of Denver, 1966), W. Yourgrau and A. D. Breck, eds. (Plenum, New York, 1970), pp. 297-310.

*120. 'Quantum Fact and Fiction. II', Am. J. Phys. 34, 1160-1163.

1967

121. 'Observation and Interpretation in Quantum Theory', Proceedings of the Seventh Inter-American Congress of Philosophy, Laval University.

122. 'New Foundations for Quantum Physics', Phys. Today 20, 55-58.

APPENDIXF 557

1968

123. 'Quantum Physics and Philosophy', in Contemporary Philosophy, R. Klibansky, ed. (La Nuova Italia Editrice, 1968), pp. 286-297.

124. 'Quantum Observation and Interpretation', in XN Internationaler Kon­gress fur Philosophie (Vienna, Sept. 1968) (Herder, Vienna, 1968), pp. 314--317.

*125. 'Quantenmechanik, Beobachtung und Deutung', Int. J. Theor. Phys. 1, 51-60.

126. 'Dialog on Dualism', Phys. Today. 21, 55-56.

1969

127. 'Auffassungen fiber die Quantentheorie: Wahrheit und Dichtung in Quantentheorie', Phys. Bliitter '25, 105-113.

128. 'Dualismus in der Quantentheorie', Phil. Nat. 11, 395-396. *129. 'Quantum Fact and Fiction. III', Am. J. Phys. 37,541-548.

1971

*130. 'Unity in Quantum Theorie', Found. Phys. 1, 191-202. 131. 'The Decline and Fall of Quantum Dualism', J. Phil. Sci. 38, 221-223.

1972

132. 'Einheit in der Quantenwelt', Dialectica 26, 115-150.

1975

*133. 'Quantum Fact and Fiction. IV', Am. J. Phys. 43, 701-704. 134. 'Why the World is a Quantum World', Logic and Probability in Quan­

tum Mechanics, P. Suppes, ed. (Reidel, Dordrecht, 1975), pp. 433-444.

1976

135. 'The Laws Behind the Quantum Laws', Brit. J. Phil. Sci. 27,43-50. *136. 'Physikalische Theorie der Beugung von Materieteilchen', Ann. Phys.

(Leipzig) 33, 88-92.

No date

137. 'Causality and Dualism on Trial', pp. 327-351. 138. 'Defence of Indeterminacy', in Charles De Koninck Volume, pp. 205-

208.

The editors gratefully acknowledge the permission of various publishers to re­print those papers from the above list that are included in the present selection.